Vnde cum aliquis diceret priori modo, dolium habeo vrnarum .400. vini, & per
vices .25. extraxi & impleui ipſum, vt dictum eſt. Nunc verò velim ſcire proportio-
nem vini ad a quam hac vltima vice. Nunc igitur ſi procedemus iuxta doctrinam
primi exempli huius theorematis, obtinebimus quod quærebamus.
Sed ſi diceret iuxta Tartaleæ quæſitum, hoc eſt dolium habeo, quod ignoro quot
nam
nã urnas contineat, volo tamen per .25. vices extrahere, & implere vt
ſupradictum
ſupradictũ
eſt, ita vt vltima vice proportio vini ad aquam ſit ſeſquialtera. Tunc ſi iuxta mo-
dum ſecundi exempli huius theorematis procedemus habebimus quod cupimus.
Alio etiam modo aliquis quærere poſſet, hoc eſt, habeo
dolium
doliũ quod capit .400.
vrnas. Habeo etiam vas trium vrnarum, quo mediante me oportet extrahere, &
implere. Velim tamen ſcire quoties me hoc facere oporteat, ita vt poſtrema vi-
ce vinum ſe habeat ad aquam in proportione ſeſquialtera, vnde multoties accidet
vltimam extractionem, & impletionem mutilatam, ſeu imperfectam, euadere.
Exempli gratia, ſi proportio vini ad aquam in vltima miſtione deberet eſſe vt
.n.
u.
ad
.n.a.
ita vt extrema vice fuiſſet
.t.m.
quæ quidem
.t.m.
excederet terminum per
.
n.m.
quæ
.n.m.
reuera eſſet nobis cognita, eò quòd ex priori modo hic ſupra dicto
proportio
.a.m.
ad
.m.u.
nobis in-
noteſceret, & proportio
.n.a.
ad
.
n.u.
nobis data eſt ſimul cum
quan titate
quã
titate
.a.u.
quare quantitas
.n.u.
&
m.u.
nobis cognita, remanebit, et
n.m.
eorum differentia ſimiliter, etiam, et
.t.n.
reſiduum vaſis, quo metimur, vnde
neceſſe erit, quo
[?]
d vltima vice vas contineret ſolum
.t.n.
reliqua uerò per ſe patent.
1.146.
THEOREMA CXLIII.
HIeronymus Cardanus in
lib. ſuæ arithmeticæ cap .66. quæſtione .56.
quam Car
danicam vocat, ita inquit.
Quidam perambulauit prima die certam quantitatem ſpatij, & ſecunda die,
tan tò
tãtò plus proportionaliter, quantò diameter eſt maior coſta, & tertia die tantò plus
ſecunda, quantò proportionaliter portio lineæ diuiſæ ſecundum proportionem ha
bentem medium, & duo extrema excedit minorem portionem, & quarta die in
proportione ad tertiam vt ſecunda ad primam, & quinta die proportionaliter tan-
tò plus quarta, quantò in tertia plus ſecunda, & ita alternatis vicibus in diebus no-
uem peregit nouem milliaria. Quæritur igitur quantum ambulauit die prima.
Hoc autem nihil aliud eſt, quàm ſi aliquis diceret, propono tibi, exempli gratia,
lineam
.a.l.
nouem partibus inuicem non æqualibus ita diuiſam
.a.c
:
c.d
:
d.e
: & cæte-
ris, quarum partium proportiones tibi etiam do, vt putà.
a.c.
ad
.c.d.
et
.c.d.
ad
.d.e.
et
.
d.e.
ad
.e.f.
& ſic de cæteris vſque ad poſtremam
.k.l.
quæ quidem proportiones ſint
etiam inuicem diſſimiles, ſeu inæquales, do tibi etiam
proportionem
proportionẽ totius lineæ
.a.l.
ad
.a.b.
ſuam partem, quæ vt in propoſito exemplo nonupla eſt.
Quæro nunc quam proportionem habebit
.a.c.
ad
.a.b.
& ſic de cæteris partibus
eiuſdem ad eandem
.a.b
.
Quod quidem facillimum erit ſpeculari, nec non operari vnicuique, qui omnino
practicæ numerorum ignarus non fuerit, dum ab ordine ſcientifico non diſcedat.
Cum enim cognoſcimus proportionem
.a.c.
ad
.c.d.
conſequenter cognoſcemus
ctiam proportion em aggregati
.a.c.d.
ad
.c.d.
cum autem cognouerimus proportio-
THEOREM. ARIT.
nem
.c.d.
ad
.d.e.
ſi
.c.d.
accipiemus, vt medium inter
.a.d.
et
.d.e.
cognoſcemus etiam
proportionem
.a.d.
ad
.d.e.
quare etiam eam quæ
.a.e.
ad
.d.e.
collocando poſteà.
d.e.
inter
.e.f.
et
.a.e.
innoteſcet ea, quæ eſt
.a.e.
ad
.e.f.
& ita gradatim accedenrus ad
perfectam cognitionem proportionis totius
.a.l.
ad
.k.l
. Nunc autem mediante
.k.l.
cognoſcemus proportionem totius
.a.l.
ad
.i.k.
& hac mediante, cam cognoſcemus,
quæ totius
.a.l.
ad
.g.h.
& hac mediante eam quæ totius
.a.l.
ad
.f.g.
& ſic gradatim, co
gnita nobis erit proportio totius
lineæ
.a.l.
ad ſuam partem
.a.c.
be-
neficio poſteà totius lineæ
.a.l.
co
gnoſcemus proportionem
a.c.
ad
a.b.
& ſic aliarum reſpectu lineæ
.a.b.
vt quærebatur, quæ quidem propoſitio, etſi car
danica uocetur leuiſſima tamen eſt.
1.147.
THEOREMA CXLIIII.
QVamuis multi de modo in ſumma colligendi, ſubtrahendi,
multiplicandi
multiplicãdi, & di
uidendi proportiones ſcripſerint, nullus tamen (quod ſciam) perfectè, ac
ſcientificè ſpeculatus eſt has operationes, quapropter hanc rem cum ſilentio tranſi
re nolui, quin aliquid de ipſa conſcribam à ſumma dictarum proportionum in-
cohando.
Quotieſcunque igitur volunt duas proportiones inuicem aggregare, ſimul ea-
rum antecedentia multiplicant, & ſimiliter earum conſequentia. Tunc proportio
terminata ab illis productis euadit in ſummam illarum duarum propoſitarum
proportionum.
Vt exempli gratia, ſi voluerimus colligere proportionem ſeſquialteram cum ſeſ-
quitertia, multiplicando .3. cum .4. antecedentia ſcilicet, pro ductum erit .12. poſteà
multiplicando .2. cum .3. conſequentia, tunc productum erit .6. Proportio igitur,
quæ inter .12. et .6. reperitur. (quæ dupla eſt) eſt ſumma propoſitarum
proportionum
proportionũ.
Cuius rei ſpeculatio erit huiuſmodi ſint
.x.
et
.u.
duo antecedentia quarunruis proportionum
.t.
verò et. n ſint eorum conſequentia, productum
autem antecedentium ſit
.a.g.
illud verò quod
con
cõ
ſequentium ſit
.d.a.
vnde proportio
.a.g.
ad
.a.d.
compoſita erit ex proportione
.x.
ad
.t.
& ex ea,
quæ eſt
.u.
ad
.n.
per .24. ſexti vel quintam octaui. Patet igitur ratio rectè faciendi, vt ſuprà dictum
eſt.
1.148.
THEOREMA CXLV.
QVotieſcunque deinde detrahere volunt vnam proportionem ex altera mul-
tiplicant antecedens vnius cum conſequenti alterius. Tunc proportio, quę
inter talia duo producta incluſa reperitur, eſt reſiduum, ſeu differentia illarum dua-
rum proportionum datarum.
Vt exempli gratia, ſi aliquis vellet ex proportione dupla detrahere ſeſquialte-
ram, multiplicaret .2. antecedens duplæ cum .2. conſequenti ſeſquialteræ, quorum
productum eſſet .4. pro antecedenti reſiduę proportionis. Deinde multiplicaret .3
antecedens ſeſquialteræ cum .1. conſequenti duplæ, & productum eſſet .3. pro
con- ſequenti
cõ-
ſequenti reſiduę proportionis; quæ quidem reſidua proportio eſſet vt .4. ad .3. hoc
eſt ſeſquitertia, & ſic de cæteris.
Pro cuius ratione, ſit proportio
.x.
ad
.n.
ea quæ (exempli gratia) maior ſit, à
qua volumus demere proportionem
.t.
ad
.u.
minorem ſcilicet. Nunc autem
productum
.x.
in
.u.
ſit
.a.g.
illud verò
.t.
in
.
n.
ſit
.a.d
. Tunc dico proportionem
.a.g.
ad
.a.
d. eſſe reſiduam quæſitam. Sit
.b.a.
productum
u. in
.n.
vnde eadem proportio erit producti
.a.
g.
ad productum
.a.b.
quę
.x.
ad
.n.
et
.a.d.
ad
a.b.
quæ
.t.
ad
.u.
ex prima ſexti, ſeu .18. vel .19. ſe-
ptimi, ſed proportio
.a.g.
ad
.a.b.
hoc eſt
.x.
ad
.
n.
componitur ex ea, quæ eſt
.a.g.
ad
.a.d.
& ea,
quæ eſt
.a.d.
ad
.a.b.
hoc eſt
.t.
ad
.u.
ergò ea, quę
eſt
.a.g.
ad
.a.d.
erit quàm quærebamus.
1.149.
THEOREMA CXLVI.
RATIO verò, quòd rectè fiat, quotieſcunque aliquam proportionem dupli-
care volentes, quadramus terminos ipſius proportionis, vel ſi eam triplicare
voluerimus, cubamus ipſos terminos, vel ſi eam quadruplicare voluerimus
inuenimus cenſicos cenſicos terminorum ipſius proportionis, & ſic de ſingulis, in
.17
Theo. huiuſmodi tractatus
manifeſta eſt.
1.150.
THEOREMA CXLVII.
QVotieſcunque nobis propoſiti fuerint duo numeri ad libitum, deſideraremus
q́ue duas proportiones tali relatione inuicem refertas, quali ſunt hi duo pro
poſiti numeri inter ſe, ita faciendum erit.
Sciendum primo eſt proportionem maioris numeri propoſiti ad minorem ſem-
per eſſe alicuius ex quinque generum, hoc eſt aut erit generis multiplicis, aut ſu-
perparticularis, aut multiplicis ſuperparticularis, aut ſuper partientis, aut multi-
plicis ſuperpartientis.
Nunc autem ſi erit ex genere multiplici, iam ab antiquis traditus eſt modus,
quem
quẽ
ſequi debemus. Cuius ſpeculatio à me inuenta patet .in .17. Theo. huius libri, vt
in præcedenti dixi.
Sed ſi talis proportio datorum numerorum erit alicuius aliorum generum, ita
agemus, ſi fuerit ſuperparticularis.
Sit exempli gratia, ſeſquialtera, tunc ſumantur duo numeri inuicem inæquales,
quos à caſu volueris
.o.
et
.c.
qui quidem cubentur, & eorum cubi ſint
.a.
et
.e
. Inuenia
tur poſteà. u. ita proportionatus ad
.o.
vt
.o.
eſt ad
.c.
ex regula de tribus, hoc eſt diui-
dendo quadratum ipſius
.o.
per
.c.
vnde nobis proueniat
.u.
& quia proportio
.a.
ad
.e.
tripla eſt proportioni
.o.
ad
.c.
& proportio
.u.
ad
.c.
dupla eſt
eidem
eidẽ, quæ
.o.
ad
.c.
ideo
proportio
.a.
ad
.e.
ſeſquialtera erit proportioni
.u.
ad
.c
.
Sed ſi proportio numerorum propoſitorum fuerit ſeſquitertia, faciemus
.a.
et
.e.
eſſe cenſica cenſica ipſius
.o.
et
.c
. tunc ſumemus
.u.
conſequentem ad
.o.
vt dictum eſt,
deinde inueniremus
.i.
conſequens ad
.u.
ita ut
.u.
conſequens ipſius
.o
. tunc habebi-
mus proportionem
.i.
ad
.c.
triplam, & eam quæ eſt
.a.
ad
.e.
quadruplam proportio-
THEOREM. ARIT.
ni
.o.
ad
.c
. Idem dico de reliquis proportionibus ſuperparticularibus.
Sed ſi data proportio numerorum fuerit ex ſuper partientibus, vt exempli gra-
tia de quinque ad tria, efficiemus, vt
.a.
et
.e.
ſint prima relata ipſius
.o.
et
.c.
vnde
proportio
.a.
ad
.e.
ita ſe habe-
bit ad proportionem
.o.
ad
.c.
vt quinque ad
vnum
vnũ & propor-
tio
.i.
ad
.c.
ut tria ad
vnum
vnũ. Qua-
re proportio
.a.
ad
.e.
ad pro-
portionem
.i.
ad
.c.
ſe habebit,
vt quinque ad tria, & ſic de reliquis.
Pro alijs, eundem ordinem ſeruando, obtinebimus quod volumus.
1.151.
THEOREMA CXLVIII.
QVamuis in .16. ſexti et .20. ſeptimi manifeſtè pateat ratio, quare rectè fiatac
cipiendam radicem quadratam illius producti, quod fit ex duobus datis
terminis, vt medium proportionale geometricè inter ipſos habeamus: nihilomi-
nus, quia per aliam methodum hoc idem ſcire poſſumus, inconueniens non erit a-
liquid circa hoc dicere.
Cogitemus igitur exempli gratia, tres numeros continuè proportionales geo-
metricè
.a.b
:
c.d.
et
.e.f.
quorum
.a.b.
et
.e.f.
tantummodo nobis cogniti ſint, imagine-
mur etiam
.g.a.
eſſe productum quod fit ex
.a.b.
in
.e.f.
et
.d.k.
quadratum
.c.d.
et
.a.h.
id quod fit ex
.a.b.
vnde eandem proportionem habebimus
.a.h.
ad
.a.g.
quæ eſt
.h.b.
ad
.b.g.
ex prima .6. aut .18. vel .19. ſepti-
mi, ſed per .11. octaui ita eſt quadrati
.a.
h. ad quadratum
.k.d.
vt
.a.b.
ad
.e.f.
hoc
eſt vt
.h.b.
ad
.b.g.
ergo per .11. quinti ita
erit
.a.h.
ad
.a.g.
vt ad
.k.d.
vnde
.a.g.
æqua
le erit
.k.d.
per .9. quinti. Rectè ergo erit
accipere radicem quadratam
.a.g.
pro
.c.
d.
quod etiam eſt diuidere vnam datam
proportionem
proportionẽ per æqualia, hoc eſt in duas
æquales partes, non dubito quin poſſer aliquis dicere non oportere vti poſteriori-
bus Theorematibus ad demonſtrandum priora illis, ſed hoc .148. dictum ſit luden
di loco.
1.152.
THEOREMA CXLIX.
Vnde
fiat
quod
ꝙ ſi quis inuenire voluerit ſecundum terminum ex quatuor nume
ris continuè, & geometricè proportionalibus, quorum duo extremi tantum-
modo nobis cogniti ſint, rectè factum ſit quadrare primum eorum, & hoc quadra-
tum poſteà per alium terminum cognitum multiplicare, cuius producti demum ac-
cipere radicem cubam pro ſecundo termino quæſito, hocloco videbimus.
Imaginemur quatuor terminos continuè proportionales, vt dictum eſt, eſſe.
