LES DONNÉES D’EUCLIDE. 
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PROPOSITIO XX. 
IIPOTAXIX 2. 
Si sint dua magnitudines date , et auferantur 
Edv q oo ueyébn dedouéva, rai aoaipebn aT 
ab ipsis magnitudines inter se rationem ha 
ai riv peyébn npòs adanna novov éovTa dedo 
bentes datam ; reliqua inter se vel rationem 
pévoye rà noirà Tpog ananna utoi Néyov e 
habebunt datam, vel altera alterà, datà, major 
dedouévov, n rò érepov ToU érépou, ocbévri, 
erit quam in ratione. 
pelor éorat à év dóy. 
Sint dua magnitudines data AB, TA, et ab 
Eoro ovo peyébn ddoie rà AB, TA, rai 
ipsis AB, T'A auferantur magnitudines AE, TZ 
wo rv AP, Pа аоаи ha r AE, TZ 
rationem habentes inter se datam ; dico ipsas 
nyo a p nne dedoévor néyo or 
Ta EB, ZA Tpos dnnnnα NTOi Nóyov exet dedo 
EB, ZA inter se vel rationem habere datam, 
pévoy, n ro érepov Tou érépou, dobévri, pelo 
vel alteram alterâ, datâ, majorem esse quam 
oiv a ev nν. 
in ratione. 
H 
Quoniam enim data est utraque ipsarum AE 
Erei yap dobév éoriy inárepoy réy AB, TA 
TA; ratio igitur ipsius AB ad TA data. At verò si 
λoνoς να TCU, AB Tpoę Tô2 TA dobeig. Kai ei 
eadem est qua ipsius AE ad Tz ; erit et re 
pev o abroς eoTi TO AE TpOg TO' TZ éoTat ra. 
liqua EB ad reliquam ZA ratio data. Non sit 
oIToU TOU EB Tpoe NoITov. Tò ZA NoyOg Sobeig. 
vero eadem, et fiat ut AE ad TZ ita AH ad 
Mnčoro on o avro„, rai 7eUomno oς Tò AE 
TA. Ratio autem ipsius AE ad TZ data; ratio 
7po° To TZ oe ro AH Te r TA. Ao e 
PROPOSITION XX. 
Si deux grandeurs sont données, et si l'on en retranche des grandeurs qui 
ayent entr'elles une raison donnée, les restes auront entre eux une raison 
donnée, ou bien l'un sera plus grand à l’égard de l'autre, d'une donnée, qu'en 
raison. 
Soient deux grandeurs données AB, TA, et que des grandeurs AB, TA, soient 
retranchées les grandeurs AE, rz qui ayent entre elles une raison donnée ; je 
dis que les restes EB, zA ont entre eux une raison donnée ; ou bien que l’un 
est plus grand à l’égard de l’autre, d’une donnée, qu’en raison. 
Car puisque chacune des grandeurs AB, TA est donnée, la raison de AB à TA sera 
donnée (1); donc, si cette raison est la même que celle de AE à rz, la raison 
du reste EB au reste zA sera donnée (19. 5). Mais qu’elle ne soit pas la même, 
et faisons en sorte que AE soit à Tz comme AH est à TA. Puisque la raison de AE