Kap. XII. §.282. mit einem unabh. Veränderlichen 231 
wo P, Q, R Funktionen bloß von x und y seyn sollen, und setzte man 
hier dz,-dy statt dz und 822,-8y2-1-0z,-92y statt 922; so er 
hielte man 
2) (M--N.dz,)-d’y-4(P-4-O.dz,-4-R.dz, '4-N.02z,).dy? — 0, 
und diese Gleichung reduzirt sich sogleich bloß auf 
P-40.0z, -+-R.dz,'-+-N.92z, = 0, 
wenn, identisch 
M.AN.32, — 0 ist. 
Außerdem aber könnte man Funktionen z, von y suchen, welche 
statt z gesetzt, die Gleichungen (3. und 4.) zu gleicher Zeit identisch 
machen. Zu dem Ende müßte man die Gleichung (4.) differenziiren 
(nach allem y), dann aus dieser Differenzialgleichung und den beiden 
Gleichungen (3. und 4.) sowohl 92z, als auch Dz, eliminiren, die ent 
stehende Gleichung aber, welches eine Gleichung bloß zwischen z und y 
ist, und durch 
92,y 
vorgestellt seyn kann, prüfen, ob sie wirklich beide Gleichün 
gen (3. u. 4.) zu gleicher Zeit identisch macht. Nur wenn sich 
diese letztere Prüfung bewährt, giebt es solche Funktionen z, von y, 
wie wir sie hier gesucht und für diesen Fall in der Gleichung (5.) auch 
schon gefunden haben. 
Wird aber die Eliminationsgleichung (5.) identisch 0 = 0; so ge 
nügt die Gleichung (4.) bereits der (3), und man darf nur noch die 
(4.) integriren, um z in y so zu haben, daß beiden Gleichungen (3. u. 
4.) zu gleicher Zeit genügt wird. 
Daß man aber in den beiden letztern Fällen, auch wenn z = z, 
so gefunden worden ist, daß der Gleichung (5.) genügt wird, nicht 
alle Integrale haben werde, ersieht man am besten aus dem speziellen 
Beispiele, wo 
ydz1dy 
EN 
(4)... 
die gegebene Gleichung ist. Die Substitution von 82, dy, 
statt 9z, 
und 922, -dy 24.0z, d’y, statt 022, giebt hier folgendes: 
(B) ... y.8’zydy, 2-4(y.0z,—z).0’y, = 0, 
und liefert daher, wenn alle Ableitungen nach x fortfallen sollen, 
(C) .. y.922 = 0 und (D)... y.0z,—z = 0, 
welchen beiden Gleichungen durch