CHRIST. HUGENII ita ut angulus C O S ſit æqualis angulo C D O, ſi deinde
ducantur aliæ rectæ S P, S Q, S R; triangula S C O, S C P,
S C Q, S C R erunt neceſſario ſimilia C O D, D L E, E M F,
F N G, quoniam S C O eſt ſimile ipſi C O D per conſtru-
ctionem, & aliorum C S P, C S Q & c. tangentes æqualiter
creſcunt.

Si porro ducas C T, O V, P X & c. perpendiculares ad SO,
S P, S Q evidens eſt, triangula C T O, O V P, P X Q & c. æ-
qualia eſſe & ſimilia triangulis C O D, D L E, E M F & c. eo-
dem ordine ſumendo: unde concluditur, ſi ſpatia C D,
D E & c. ſint infinite parva, ut & partes C O, O P & c. , id eſt
ſi C G ſit curva catenæ, & C R æqualis ejus longitudini,
tum ſumma T O, V P, X Q & c. erit æqualis ſummæ perpen-
dicularium K D, L E, M F & c. id eſt rectæ G Σ vel axi Φ C
(nam ſpatium B C tum pro nihilo habetur) & ſumma C T,
O V, P X erit æqualis ſummæ C K, D L, E M & c. ideſt appli-
catæ G Φ.

Deſcribendo autem centro S arcum CZ uſque ad ulti-
mam ſecantium S R facile patet, ſummam infinite parva-
rum T O, V P, X Q æqualem eſſe rectæ Z R; conſequenter,
ſi ponamus quod S C Φ ſit axis Catenæ, & linea C S certæ
longitudinis, & quod C Φ ſit æqualis Z R exceſſui ſecantis
cujuſvis S R ſupra radium S C, & quod applicata Φ G ſit
æqualis ſummæ omnium C T, O V, P X & c. uſque ad illam,
quæ cadit in S R, punctum G erit in curva catenæ, cujus
longitudo C G erit æqualis rectæ C R: ſed quæritur ſumma
infinitarum C T, O V, P X & c. quam obtineo hâc conſidera-
tione, quod anguli S O V, S P X, S Q Y poſſint haberi pro
rectis, utpote quorum differentia cum recto eſt infinite exi-
gua, & quod tum lineæ O V, P X, productæ utrinque, ut & R Ω perpendicularis ad S R, fiant tangentes Parabolæ C Ω,
cujus vertex eſt C, axis C S, focus S, & in qua S C eſt pars
quarta Parametri; quarum tangentium quævis ſecatur in duas
partes æqualiter per C R, ita ut una dimidia pars pertingat
ad axem, altera ad punctum contactus, ſic ΔΩ ſecta eſt in
R; quæ facile demonſtrantur. Hinc porro intelligo ex E-