80. PROP. XII. THEOREMA.

Sit trapezium A B I P, A; polygonum
A B E I O P, C; polygonum A B C G
K N P, D; & polygonum A B D L P, B. di-
co D eſſe medium harmonicum inter C & B. ex hujus 4,
A: C: : C: B, & componendo A + C: C: : C + B: B, ſed ex
hujus 5, A + C: C: : 2 C: D; & ideo C + B: B: : 2 C: D, & permutando B + C: 2 C: : B: D, & dividendo, differentia in-
ter B & C eſt ad 2 C, ut differentia inter B & D ad D, & per-
mutando differentia inter B & C eſt ad differentiam inter
B & D ut 2 C ad D, hoc eſt, ut C + B ad B, & dividendo,
differentia inter D & C eſt ad differentiam inter B & D ut
C ad B; & proinde D eſt medium harmonicum inter C & B,
quod demonſtrare oportuit.

Hæc propoſitio eodem modo locum habet in omnibus po-
lygonis complicatis, ut patet ex ſcholio 5 hujus.

81. PROP. XIII. THEOREMA.

Inter duas quantitates A, B, ſit media a-
rithmetica C, media geometrica D & me-
dia harmonica E. dico C, D, E, eſſe con-
tinuè proportionales. quoniam A, E, B,
ſunt in ratione harmonica; erit differentia inter A & E ad
differentiam inter E & B ut A ad B; & componendo erit
differentia inter A & B ad differentiam inter E & B, ut
A + B ad B; deinde permutando & componendo 2 A: A + B: :
E: B, ſed 2A eſt duplum ipſius A & A + B duplum ipſius C; & ideo A: C: : E: B; & proinde CE = AB, & AB = DD, ideo-
que CE = DD; & igitur C: D: : D: E, quod demonſtrare o-
portuit.