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diese  Geschwindigkeit  von  dem  Widerstande  ab,  dem  die  Kraft  des  Rades  das  Gleichgewicht
halten  muß.  Da  die  wegen  des  Stoßes  verlorene  Geschwindigkeit  =  u  —  x  ist,  so  ist  die
dazu  gehörige  lebendige  Kraft  —  M  (u  —  x)2;  wogegen  das  einfließende  Wasser,  da  es  sich
nach  dem  Stoße  mit  einer  Geschwindigkeit  —  x  bewegt,  eine  lebendige  Kraft  —  Mx2  behält,
und  es  bleibt  daher  von  der  ganzen,  dem  einfließenden  Gewässer  beiwohnenden  bewegenden
Kraft  nur  übrig:
Mu2  —  Mx?  —  M(u—x)?.
Der  Werth  dieses  Ausdruckes  muß  —  o  sein,  wenn  der  Widerstand  —  o  oder  unendlich
ist,  und  die  zugehörigen  Werthe  von  x  sind  x  —  u  und  x  —0.  Zwischen  diesen  beiden  Grenzen, ¬
  für  deren  jede  der  Effect  —  o  wäre,  giebt  es  einen  Werth  von  x,  für  welchen  der  vorstehende ¬
  Ausdruck  ein  Maximum  wird.  Durch  die  Differenzialrechnung  findet  man  den  fragliMu? ¬

chen  Werth  von  x  —  „,  und  dann  ist  die  der  Maschine  mitgetheilte  lebendige  Kraft
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Daher  leisten  Schaufelräder  ihren  größten  Effect,  wenn  die  Geschwindigkeit  der  Schaufeln
halb  so  groß,  wie  die  des  dagegen  strömenden  Wassers  ist,  und  der  gedachte  größte  Effect  beschränkt ¬
  sich  darauf,  daß  die  Hälfte  der  dem  Strome  inwohnenden  lebendigen  Kraft  benutzt
werden  kann.
Diese  Resultate  kommen  mit  denen,  welche  Smeaton  geradezu  aus  Versuchen  abgeleitet
hat,  beinahe  überein.
Von  den  Rädern  mit  Zellen.  (Oberschlächtige  Räder.)
Räder  dieser  Art  werden  bloß  durch  das  Gewicht  des  Wassers  bewegt,  wenn  dieses  tangential ¬
  auf  das  Rad  und  mit  einer  Geschwindigkeit  in  die  Zellen  strömt,  welche  der  eines
Punktes  im  Theilrisse  gleich  ist.  Wenn  die  Geschwindigkeit  des  Rades  kleiner,  als  die  des  zufließenden ¬
  Wassers  ist,  so  wirkt  das  letztere  durch  den  Stoß  und  durch  sein  Gewicht  zugleich.
Wir  wollen  diese  beiden  Fälle  nach  einander  untersuchen.
Nennt  man  im  ersten  Falle  die  Geschwindigkeit  des  Rades  im  Theilrisse  u  und  II  die  lothrechte ¬
  Höhe  des  durch  die  fortwährend  mit  Wasser  angefüllten  Zellen  eingenommenen  Bogens,
so  findet  man,  daß  das  Wasser,  wenn  es  von  derselben  Höhe  frei  herabfiele,  eine  Geschwindigkeit ¬
  —  Ju2  +  2gH  erlangt  haben  würde,  weil  es  im  Rade  schon  mit  der  Geschwindigkeit  u
ankommt.  Diese  im  Wasser  enthaltene  lebendige  Kraft  ist  daher  in  diesem  Falle  —  M  (u2  +  2gH),
wo  M  wie  vorher  die  Größe  der  in  jeder  Zeiteinheit  zufließenden  Wassermenge  bedeutet.  Allein
das  Wasser  fließt  ohne  relative  Geschwindigkeit  aus  den  Zellen  ab,  folglich  mit  einer  absoluten
Geschwindigkeit  —  u;  der  Verlust  an  lebendiger  Kraft  ist  daher  —  Mu'  und  die  zur  Ueberwindung ¬
  des  Widerstandes  noch  übrig  bleibende  lebendige  Kraft  =  M.  2gH.