EiNSTEIN: Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. 1068
linearen Transformationen gegenüber kovariant sein müssen, so würde
unsere Theorie ihre Hauptstütze einbüßen. Denn eine Transformation
auf ein beschleunigtes oder rotierendes System würde dann keine be
rechtigte Transformation sein, und die in §1 hervorgehobene physi
kalische Gleichwertigkeit des »Zentrifugalfeldes« und Schwerefeldes
würde durch die Theorie nicht auf eine Wesensgleichheit zurückgeführt.
Anderseits aber ist es (wie sich im folgenden zeigen wird) vorteil
haft, zu fordern, daß zu den berechtigten Transformationen auch die
linearen gehören. Es sei daher zunächst kurz einiges gesagt über
die Modifikation, welche die im Absatz B dargelegte Kovarianten
theorie erfährt, wenn statt beliebiger nur lineare Transformationen als
berechtigte zugelassen werden.
Kovarianten bezüglich linearer Transformationen. Die
in § 3 bis § 8 dargestellten algebraischen Eigenschaften der Tensoren
werden dadurch, daß man nur lineare Transformationen zuläßt, nicht
vereinfacht; hingegen vereinfachen sich die Regeln für die Bildung
der Tensoren durch Differentiation (§ 9) bedeutend.
Es ist nämlich allgemein
dag
Or da
Da
Also ist z. B. für einen kovarianten Tensor zweiten Ranges ge
mäß (§ 5a)
2r 0 1 dr, drg de
A
Da dr, da, dal da,
0a.
usw. von den
Für lineare Substitutionen sind die Ableitungen
0a.
a unabhängig, so daß man hat
dr, dag dag dAgg
A
2 Ju da dr dag
Da,
asd
A
ist also ein kovarianter Tensor dritten Ranges.
Oag
Allgemein kann gezeigt werden, daß man durch Differentiation
der Komponenten eines beliebigen Tensors nach den Koordinaten wieder
einen Tensor erhält, dessen Rang um i erhöht ist, wobei der hinzu
tretende Index kovarianten Charakter hat. Dies ist also die Operation
der Erweiterung bei Beschränkung auf lineare Transformationen.
Da die Erweiterung in Verbindung mit den algebraischen Operationen
die Grundlage für die Kovariantenbildung überhaupt bildet, beherrschen
wir damit das System der Kovarianten bezüglich linearer Transforma-
