Fig. 140. 
CALCUL DES VARIATIONS. 
500, 
Les équations (D) deviennent donc 
d 
da 
a. 
—0, d 
)—0......(1). 
dsy(z—h)) 
ds V(2—K)) 
Nous omettons ici la troisième, qu’on peut démontrer 
comprise dans les deux autres : condition sans laquelle le 
problême proposé seroit absurde. En intégrant et divisant 
l’un par l’autre les résultats, on obtient dy = adx, ce 
qui prouve que la projection de la courbe sur le plan xy 
est une droite, et que par conséquent cette courbe est 
décrite dans un plan vertical. Prenons, pour abréger, ce 
plan pour celui des æz ; la première des valeurs (1) suffira, 
et nous aurons da = Cds y (z—h); et comme 
ds — das + dze, on trouve l’équation de la cycloïde, 
en faisant z — h= z'. (Voy. p. 282.) 
Si les limites sont deux points fixes A et C, il n’y a 
aucune autre condition à remplir si ce n’est de faire passer 
la cycloïde AC par ces deux points; ce qui détermine les 
valeurs des constantes. 
Si la seconde limite est un point fixe C', et si la pre 
mière est une courbe AB située, ainsi que le point fixe, 
dans un plan vertical ; en prenant ce plan pour celui des 
«z, on a y =o, et on en déduit 
dz 
da 
oz. 
L 
x 
ds V(z—h) 
dSV(2—k) 
Comme on a dx“=o, dz" =o, il suffit de rendre 
L’ nul , en ayant égard à la première limite, qui est une 
courbe AB dont x=fz' est l’équation donnée. On en 
déduit àx' — Aèz —o; multipliant par à, ajoutant à 
L', on trouve les deux équations 
d 
dac 
AX— 0 
0(2—h) 
d V(2—k)