TAUTOCHRONE.
199.  Après  avoir  reconnu  que  la  cycloide  est  tautochrone
dans  le  vide  ,  il  convient  de  s’assurer  si  elle  jouit  seule  de
cette  propriété.  Prenons  l'origine  des  coordonnées  au  point
le  plus  bas  où  la  tangente  est  horisontale,  comptons  les  y
verticalement;  nommons  s'  l'arc  qui  reste  à  décrire,  et  S
l'arc  entier.  La  composante  de  la  gravité  suivant  l'arc  s  de  la
dy
:  si  l'équation  de  cette  courbe  étoit
courbe  est  —  g
donnée    seroit  une  fonction  connue  de  s;  on  peut  donc
—  Ms  +  Ns  +  etc.,  e,  c....  étant  des
supposer
exposans  croissans  et  positifs,  puisque  g  L  doit  être  nul
ds
lorsque  s  —  0;  M,  N....  sont  des  coefficiens  indépendans ¬
  de  S.  Concevons  maintenant  la  courbe  rectifiée,  car
la  vitesse  n’est  point  changée  par  la  courbe  (voyez  204,  1°.)  Fig.  98.
B  l'origine,  Dle  point  de  départ,  BD—S,  BN  —  s,  et  le
mobile  soumis  en  N  à  la  force  —  g» ¬
  on  a  donc
des
—  gMS  —  gNS  —  etc.
de
Il  s'agit  d'intégrer  cette  équation  depuis  s  —  S  jusqu'à
s—  o,  et  on  devra  obtenir  une  valeur  de  t  indépendante
de  S.  On  multiplie  par  de  ,  on  intègre,  et  comme  la
vitesse  est  nulle  en  D  ou  s—S,  on  trouve
ds  2gM
gerieg  28N  geti  gete.
6+1
de  a+1
Pour  dégager  les  divers  termes  de  S,  faisons  s  —  So,
ils  seront  tous  de  la  forme28
le
6+1