THÉORIE  ANALYTIQUE
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partie  au  coup  x,  puisqu’il  y  aura  x  francs  déposés  au  jeu  ;  ainsi
la  probabilité  de  cet  événement  étant  y,  par  ce  qui  précède,  S.xy,
sera  l’expression  de  l’avantage  de  A,  le  signe  S  s’étendant  à  toutes
les  valeurs  possibles  de  x.  La  fonction  génératrice  de  y.  étant  u
ou  7,  T’  étant  le  numérateur  de  l’expression  précédente  de  u,
et  T  étant  son  dénominateur  ;  il  est  facile  de  voir  que  l’on  aura
S.xyx  en  différentiant  ,  et  en  supposant  ensuite  t  =1  dans  cette
différentielle  ,  ce  qui  donne  avec  cette  condition.
T'dT
dT"
S.xY
Tdt  Ta.dt
Pour  avoir  le  désavantage  de  A,  on  observera  qu’à  chaque  coup
qu’il  joue,  la  probabilité  qu’il  perdra,  et  par  conséquent  qu’il  déposera -
  un  franc  au  jeu,  est  i  —g;  sa  perte  est  donc  le  produit
de  1—q,  par  la  probabilité  que  le  coup  sera  joué  ;  or  la  probabilité
que  le  coup  «  sera  joué,  est  i  —y—y;  la  fonction  généraT'.t+T".t ¬

trice  de  l'unité,  est  ici  ,et  celle  de  +Y,  est
T.(1—t)
T"étant  ce  que  devient  T’lorsqu’on  y  change  q  en  1  —g,  et  réciproquement ¬
  ;  ainsi  la  fonction  génératrice  du  désavantage  de  A  est
1—0).t.(T-T—T"
(1—1).T
Le  numérateur  et  le  dénominateur  de  cette  fonction  sont  divisibles
par  1  —t;  de  plus,  on  aura  la  somme  de  tous  les  désavantages
de  A,  ou  son  désavantage  total,  en  faisant  t=  i  dans  cette  fonction -
  génératrice  ;  le  désavantage  total  est  donc  par  les  méthodes
connues,  et  en  observant  que  T+  T"=  T,  lorsque  t  =1,
—  0).(dT—dT—  dT"
T.dt
t  étant  supposé  égal  à  l’unité,  après  les  différentiations.  Si  l’on  retranche ¬
  cette  expression,  de  celle  de  l’avantage  total  de  A,  on  aura
pour  l'expression  du  sort  de  ce  joueur,
ad  T4-(1—9).  (dT—  d1
TdT
T.dt
Ta.dt