open access
http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration
free
Automatically created from the ECHO source; ECHO version 1.0RC; Script version 2011-08-15
Presented by
C. W.
TURNER
1968
LItteris vſq;
naſcentibus, eos co-
luit ſemper honoribus Antiqui-
tas, eoſque non morituris obſe-
quijs Poſteritas venerabitur He-
roas, quos vel cadentes diſcipli-
nas tollere, vel iniquis fortunæ
caſibus oppreſſos erigere fæpius conſpexit; quarè cum ego cmni tempore, quantum in
me fuit, ſtudiofæ iuuentuti conſulere cupie-
rim, & preſertim generoſę Nobilium propa-
gini Mathematicas diſciplinas adamanti, &
iamdudum enixè poſtulanti, vt ſecundis typis
præclariſsima eruditiſsimi Caualerij Geome-
tria mandaretur, illorum votis reſpondi, quip-
pe dolentibus tam pretiofum opus, tranſlatis
aliunde ab huius diſciplinæ cultoribus cunctis
ferè voluminibus, in Bononienſi ſolo lucem na-
ctum, tam fubito noctẽ nanciſci, nec poffe de-
functi Auctoris mandata litteris Geometrica
ſchemata legere, quem viua voce in Archigy-
mnafio Bononienſi dictantem primarium Pro-
feſſorẽ ſilentès audierant; hinc eſt, Vir Genero-
ſiſsime, quod ego præfatum opus iterum prælo
commiſi, vtfæcundiſsimus parens filios produ-
ceret, quos formofos, & fine mendis ſpectabi-
les, omni adhibita diligentia, licet aſpicere, ac
intueri; vnde ſolùm deerat, cuihos tenues meos
labores ſacrarem, fortemque huic Geometrico
Cælo, ſorſan caſuro, Atlantem inuenirem, cum
ſtatim tui nominis fidei, inclyte Marti, ac tu-
telæ committere decreui; non enim maiori no-
mini, nobiliori Nurnini poteram hoc Nobili-
tatis opuſculum dicare, cum natus ſis ex nobi-
liſsima Vrſinorum familia inter Romanas fa-
cilè prima, cuius ſumoſæ Imagines patentia
vndequaq; arctant Palatia, monſtrantq;
ni-
gricanti colore ſplendidiſsimam antiquiſsimę
gentis originem; &
qui honorum gradus, qui
tituli inueniuntur, quosilla generoſiſsimè non
fubierit; quæ facta clariſsima perleguntur, quę
ipfa non peregerit; ab illa, ob ſeruatos Ciues
ciuicę funt Coronæ habitæ, ab illa obſeſſum
ab hoſtibus ſuam libertatem agnouit Capito-
lium; illa prudentiſsimos Patriæ Conſules,
fapientiſsimos Romæ Senatores, ſpectatiſsi-
mos Vrbi Præfectos, Vigilantiſsimos Eccle-
ſiæ Vexilliferos peperit; nullus in tota Euro-
pa iacet angulus, in quo miranda Vrſinæ do-
mus non conſpiciantur monumẽta; illam Italicę
orę, Hiſpaniarũ Regna, Galliarum Prouincię,
remotiſsima Britanniæ Littora agnofcunt; ab
illa domo initæ cum primoribus Regũ Coro-
nis ſanguinis affinitates, potentiſsimaq; Germa-
nia ab illius nobiliſsimę familiæ germine Im-
perij Romani Electores vidit, quam infignem
dignitatem ducentis quadraginta annis, & vl-
tra magna cum maieſtate continuauit; inſi-
gnes titulorum honores, nàm alios Comites,
alios Marchiones perlegetis; Barones alios,
Principes alios, Duces mirabimini; conſpicuę
dignitates, cum Baiuliui alij, S. Michaelis alij,
Rhodi alij eximij Equites fuerint; ſpectatiſsi-
ma curarum munia, cum ab illa familia ſuos
Cancellarios Sicilia, Priores Aquitania, Cam-
piductores Reſpublica Veneta, Patriarchas
Antiochia, Magnos Inſula Melitenſis habue-
rit Magiſtros; quid dicam de numeroſa ſegete
Epiſcoporum, Archiepiſcoporum, qui non tã
ſubiectis ſibi Ciuibus dicuntur præfuiſſe, quàm
fumma animi liberalitate, optimis vitæ mori-
bus, præfuiſſe; quoties verò, &
quot purpu-
ratos Principes admirata eſt Roma, cui nil mi-
rum ſolet accidere, ac vna totius Chriſtiani
orbis ſumma Capita eſt adorata; erubeſcebat
illa domus eximios Terris Proceres produxiſſe,
ni etiam Cœlis ſimiles genuiſſet, fulgentibus in-
ter illos Beatos ſpiritus ſummis martyrio Prin-
cipibus; nec in procreandis fœminis voluit ſte-
rilis eſſe in Viris ſæcundiſsima, cum enituerit
miraculis Margherita Virgo, quæ Reginam
Vrſinam, Vngariæ Regis Coniugem, ſuam
agnoſcens Parentem, ſui generis nobilitatẽ cum
animi ſanctitate coniunxit; longior eſſem in
recenſenda tantę ſtirpis nobilitate, ſi hiſtoriam,
non epiſtolam ſcriberem, & ſi illam, me ta-
cente, ſaxa ipſa, ac monumenta illius celſitu-
dinem non proclamarent; nam Venetijs eque-
ſtris ſtatua Nicolæ Vrſino ob ſeruatum ab ob-
ſidione Patauium videtur, teſtantur antiquiſſsi-
mi lapides à familia Vrſina adæquatum olim
Capitolium fuiſſe reconditum, Tabularum le-
ges ſuiſſe ſeruatas, liberatam à Faliſcis Rem-
publicam, reſectos Pontes, Plebem placatam;
hic in tuas laudes, Marchio inclyte, libentiſsi-
mè deſcenderem, ni mihi ſilentium tua impo-
neret modeſtia, quæ mauult egregia ſacere,
quàm benèfacta palam audire; hoc tamen ſo-
lum dicam, te his virtutibus, quas in clariſsimis
tuæ Domus diſperſas Viris intellexiſti, non de-
generaſſe, teq; vnum inſignibus tum animi tum
Corporis dotibus tot hominibus reſpondere; nam ſi animi celſitudinem ſpectas, quiste ma-
gnificentior, ſi liberalitatem, quis munificen-
tior, ſi in rebus peragendis dexteritatem, quis
te eruditior, tu enim, omitto cæteras artes, ac
ſcientias, quibus ab ineunte ætate cum maxi-
mo progreſſus cenſu operam impendiſti; ma-
thematica theoremata calles optimè, tu loco-
rum diſtantias, diſsitas littorum regiones, Tellu-
ris, ac Pelagi menſuram apprimè cognoſcis;
non tibi ignoti ſunt ortus, & interitus ſyderum,
agnoſcis qua parte Cœli ſerenitates, qua tem-
peſtates ſint ſuturę;, nec te in immenſo latentes
Oceano latent arenę;; accipe igitur qualecunq;
hoc tuum munus, quod tibi libens, ac lubens
offero, tuæq; auctoritatis clypeo contra mali-
gniliuoris dentem tutor, ac pater defende, nec
doni tenuitatem, ſed animum dantis plura da-
turi, ſi poſſet, conſpice; oblatum à Mife gra-
tum punicum malum;
ita Deus te diù inco-
lumem feruet, vt ex Patriæ bono, Domus, ami-
corum in terris diù poſsis viuere, dũ me tibi per-
petuum clientem polliceor, tuumque patroci-
nium hoc perenni in te animi mei monumen-
to fummoperè expoſco.
D.
T.
Ill.
me
_N_Eminem profectò mathamaticarum demon-
ſtrationum dulceainem, vel primoribus la-
bris vix attigiſſe puto, qui (non ſccus ac,
mellis in arbore latentis deguſtata paululũ
fuauitate, innumera licet ferientibus certa-
tim aculeis apium caterua deglutientẽ Vr-
ſum agrè arcere poſſunt) ſummarum, qua illas commitantur dif-
ficult atum copia crebris velut ictibus obliſtenterepulſus, ad ſatie-
catem vſq; eadem vbiq;
perfundi totis viribus non contendat.
Talia tibi amice Lector, qui melleos hoſce fructus depaſcere con-
ſueſti, cuiſdam in Geometriarei admiranda caſu in me orta ſpe-
culationis occaſione, parta, huiuſce dulcedinis amore flagranti,
libanda propone. Cum ergo ſolidorum, quæ ex reuolutione circa
axim oriuntur, genefim aliquando meditarer, rationemq; gignẽ.
tium planarum figurarum cum genitis ſolidis compararem, maxi-
mè ſanè admirabar quod à propriorum parẽtum conditione adeò
natæ figuræ degenerarent, vt aliam omninò ab eiſdem rationem
ſequi viderentur. Cylindrus enim exempli gratia, in eadem ba-
ſi, & circa eundem axim, cum cono conſtitutus, eſt eiuſdem
Similiter ſi in eadẽ
baſi, & circa eundem axim, bæmiſphærium, vel hamuphæroides,
necnon conoides parabolicum, atq; cylindcus, extiterint, hic erit
hæmiſphery, vel hæmiſphæroidis ſexquialter, conoidis
ratione Quinimmò &
in planis figuris per reuolu.
culi, eandem varietatem licet experiri. Sicnim plures circuli
concentrici intelligantur expoſiti radios habentes ex. g.
in pro-
portione numcrorum ab vnitate deinceps expoſitorum, ipſi circuli
non eandem radiorum proportionem conſeruabunt, ſedeam, quã
eorum g quadrata inuicem habebunt.
His verò perſpectis cum
grauitatum centra
reſpicerem, ſimilemque varietatem nactus eſſem, adhuc auge-
batur admiratio; in cono enim centrum grauitatis
dem axis. Similiter in conoide parabolico illiud ect in axe per
cum er-
go talem varietatem in plurimis alijs ſiguris ſæpius, ac ſæpè fuiſsẽ
meditatus, vbi prius ex. g.
cylindrum ex indefinitis numero pa-
rallelogrammis, conum verò in eadem baſi, & circa eundẽ axim
cum cylindro conſtitutum, ex indefinitis numero triangulis per
axem tranſeuntibus veluti compactum effingens, habita dictorũ
planorum mutua ratione, illicò & ipſorum ſolidor um ab ipſis ge-
nitorum emergere rationem exiſtimabam, cum iam planè conſta-
ret planorum rationi genitorum ab ijſdem ſolidorum rationem
minimè concordare, figurarum menſuram tali ratione inquiren-
temoleum, & operam perdere, ac ex inanibus paleis trituram fa-
cturum eſſe, mihi iure cenſendum videbatur. Verum paulò pro-
fundius rem contemplatus in hanc tandem deueni ſententiam,
nempè ad rem noſtram lineas, & plana, non ad inuicem coinci-
dentia, ſed æquidiſtantia aſſumenda eſſe; ſic enim in plurimis ra-
tione inueſtigata reperij tum corporum proportioni ipſorum plano-
rum, tum planorum proportiom ipſarum linearum proportionem
(ſi eo modo ſumantur, quo 2.
explicatur) ad amuſſim in
Cylindrumigitur, &
conum, iam dictos
non amplius per axem ſed æquidiſt anter baſiceu ſectos cõtempla-
tus, eandem ſanè rationem habere illa comperij, quæ lib. 2.
voco
omnia
conum,
veluti vefligia plani à b aſi ad oppoſitam baſim continuò illi æqui-
babet cylindrus ad conum. Optimam ergo methodum figurarum
ſcrutanda menſuræ indicaui prius line arum pro planis, & plano-
rum pro ſolidis rationes indagare, vt illicò ipſarum figurarum
menſuram mihi co mpar arem, res, puto, iuxta vota ſucceſſit, vt
perlegenti patebit. Artificio autem tali v ſus ſum, quale ad pro-
poſitas quæſtiones ab ſoluendas Algebratici adhibere ſolent; qui
quidem numerorum radices, quamuis ineffabiles, ſurdas, ac igno-
tas, nihilominus ſimul aggregantes, ſubtrahentes, multiplican-
tes, ac diuidentes, dummodo propoſitę rei exoptatam ſibi notitiã
enucleare valeant, ſua ſatis obyſſe munera ſibi perſuadent, Non
aliter ipſe ergo indiuiſibilium ſine linearum, liue planorum con-
gerie (ijſdem vt in lib. 2.
explicatur aſſumptis) licet quoad eo-
rundem numerum innominabili, ſurda, ac ignota, quoad ma-
gnitudinem tamen conſpicuis limitibus clauſa, ad continuorum
inueſtigandam menſuram vſus ſum, vt legenti in proceſſu ope-
ris apparebit. Propoſitum mihi eſt autem ò Geometra in his ſe-
ptem libris quamplurium tam planarum, quam ſolidarum figu-
rarum dimenſionem adinuenire, quarum aliquæ etiam ab alijs,
ac præcipuè ab Euclide, & Archimede pertractatę fuerunt, reli-
qua verò nemini, quod ſciam bucuſq; attentatæ;
vno tamem ex-
cepto Keplero, quioccaſionę Dolij Auſtriaci per virgam menſo-
riam dimetiendi, poſtquam in ſua
nouis aliquando, qualeſcumq; ſint, adiectis rationibus, tandem
cam partem ſuperaddidit, quam Stereometria Archimedeæ ſup-
plementum nuncupauit, in qua multiplicem Sectionum conica-
rum, Circuli nempè, Parabolæ, Hyperbolæ, & Ellipſis, necnon ea-
rundem portionum circa diu erſos axes reuolutionem contempla-
tus, ſolida numero octuaginta ſeptem, præter quinque Archime-
dea, Sphæram ſcilicet, Conoides parabolicum, Conoides hyperbo-
licum, Sphæroides oblongum, & prolatum Geometris perquam
eleganti præconio promulgauit. Cum ergo iam expoſitam me-
tiendarum figurarum nouam, ac, ſi dicere fas ſit, valde compen-
dioſam methodum adinueniſſem, fæliciter mecum actum eſſe exi-
ſtimaui, vt hæc ſolida, præter illa Archimedea, mihi ſuppedita-
rentur, circa quæ illius vim ac energiam, experiri liceret. Ne
quis tamen putet me omnium dictorum ſolidorum dimenſionem
fuiſſe conſequutum, ſicuti neq; Keplero contingere potuit, niſi
paucorum, nec ſatis fęliciter, vt prædictam Stereometriam, ac
ſupplementum perlegenti conſtare poterit:
ſatis mihi fuit eorum
aliqua certiori tamem, ni fallor ratione, inueſtigare, quæ circi-
ter numero pluſquam viginti ennumerari poterunt, præcipuè ſi
Archimedea in numero computentur, quinq; ſcilicet pro ſingulis
quatuor Coni ſectionibus, & amplius alia quædam inferius recẽ-
fenda. Velenim reuolutio fit circa axem dictarum ſectionum, &
ſic fiunt ſolida Archimedea, ex circulo nempe Sphæra, ex parabo-
la Conoides parabolicum, ex hyperbola hyperbolicum, & ex ellip-
ſi ſphæroides oblongum, ſeu prloatum. Velreuolutio fit circa pa-
rallelam axi, extra figuram, ſed minimè eandem tangentem con-
ſic ex circulo fit
res vocat) & ex Ellipſi Anulus latus ellipticus, quemidem Ke-
Velveuolutio fit circa parallelam axi, ac figuram tan-
gentem, & tunc ex circulo fit Anulus ſtrictus circularis, ex pa
tandem ex ellipſi, qui pariter Anulus ſtrictus
Denique reuolutione facta circa parallelam
axi, ſec antemq; figuram in duas portiones inæquales, ex circuli
In
ex minori fit Oli-
ua. Exparabolæ portione maiori fit
Ex hyperbola portione maiori
fit Aceruus maior
hyperbolicos, idem
ta, & alia obtuſa, vt in pecudibus, quando primum, inquit, cor-
Hæc verò ſunt ſolida numero viginti, quibus
etiam Anulus ſtrictus ellipticus altera parte latior, & Anulus
rus Tiara, ſeu Globo Turcico ſimilem putat, necnon ea ſolida, quæ
Hæc inquam ſunt, quæ ex ennumeratis ab ipſo ex-
cerpſimus examinanda, à quo præter aliqua nomina nibil aliud à
nobis deſumptum eſt, vt inſpicienti manifeſtum erit.
Sciat verò
lector nos præter dicta ſolida alia pariter quamplurima, quæ non
ſunt exgrege ſuperius enumeratorum, etiam contemplari. Præ
cæteris autem maximam buiuſce demonſtrandi methodi vniuer-
ſalitatem non reticebo, quod enim alij de vna, vel ſaltem paucis
ſolidorum ſpeciebus, nos de infinitis continuò demonctramus, ne-
g.
oſtenditur
altitudine cum eo exiſtentis, triplũ
numero coarctatur, ſolidum eidem inſiſtens, quod
altitudine
cum eo conſtitutum, conicum appellamus; quorum quidem ſo-
Ex hoc
autẽ vnico exemplo, tamquam ex vngue Leonem, dignoſcet ſtu-
dioſus, quanto Geometricus ager per hac fertilior, & amplior fiat,
hanc vniuer ſalitatem namq; circa omnia penè ſolida à nobis hic
conſiderata iugiter proſequemur. In primoigitur, &
ſecundum
Libro, vt plurimum lemmata proponuntur, quæ ad ſequentium
librorum doctrinam capiendam neceſſaria videntur, licet in eiſ-
dem plurima quoque ſint ſuigratia ſimpliciter demonſtrata: In
3.4.
&
5.
Libro ſolida e xaminantur, quæ ex conicis ſectionibus
ſuamgeneſim agnoſcunt. In 6.
agitur de ſpatijs helicis, hac ſo-
lidis ab eiſdem genitis, problemataq; circa predemonſtrata con-
ſtruuntur. In ſeptimo deniq;
Lib noſtram infinitatis indiuiſibi-
lium Oceanum emenſamratem, alia inſtituta methodo, in portũ
deducimus, vt in illius infinitatis ſcopulis periclitandi omnis tã-
dem tollatur ambiguitas. Scio tamen hæc prima fronte leuiter
perpendentibus, quippe quæ per iamdiù tritam Geometriæ ſemi-
tam haud fuerint inquiſita, minus eſſe probanda; at quinauſeã-
tis ſtomaci tumentes flatus initio ſupprimentes ad extremam hui-
us doctrinæ metam peruenire haud dedignabuntur, forte ſuper
hæc minimè amplius nauſeabunt; Ne quis igitur hanc rogo me-
thodum prius damnare velit, quam hæc omnia puro mentis ocu-
lo, ſinceroq; illius affectu fuerit perluſtratus, hic enim talir atio-
ne de monſtrata cum aliorum inuentis ad vnguem concordare iu-
giter animaduertet. Nemo autem hæc aggrediatur, qui ſex ſal-
tem priores Libros, &
vndecimum Elementorum non calluerit,
quod ſi in Apollony, & Archimedis Operibus Lector pariter ver-
ſatus fuerit, facilius hæc apprehendet, ſin minus, quædam pau-
Qui verò
viderit Com. de Motu Martis præfati Kepleri per has noſtras
fpeculationes planè intelliget, quam facilè in dimenſione plani el-
lipſis potuerit ipſe hallucinari, dum omnium diſtantiarum Pla-
netę à Sole, per ellipticam lineam circumuoluti, menſuram pu-
tat æquipollere plani eilipſis menſuræ (quod ect quoddam ſimile
errori, in quem initio præſentis ſpeculationis & ipſæ lapſus eram,
putans coincidentia lineas, vel plana, proportionem planorum,
ſou ſolidorum, eandem conſeruare) licet poſt modum & ipſe erro-
rem proprium detegat, & quomodo poſſit illum emendare conten-
dat. His igitur ritè conſideratis, neminem fore exictimo, qui
hanc nouam methodum duxerit aſpernendam, quin potius eandẽ
veluit auream clauem, qua ſumma arcis Geometriæ nonnullas
hucuſq; occluſas fores reſerantes, ſummis pulcherrimarum ſpe-
culationum the ſauris ditiſſimi fieri valeamus, albo adiecto cal-
culo, poſtmodum fortè ſatius comprobabit
_E_Xerit cece nouos ſapies C AV ALERIVS auſus
Archimedæa deficiente manu; Nempè geometricas ex vmbris cruit artes,
Queis metiare ſolum, queis metiare ſolum.
Egregium mirata VIRI decus, Ars ſtupet, indè
Sit ait, ergo meas exuperabis opes?
Anonymus.
_D_Vm nou@ peruoluis C AV ALERI ſchemata, deque
Arte Geometrica prima trophæa refers; Applaudit dignis tibi Felſina laudibus, &
quam
Suſpicit ingenio, voce per aſtra vehit.
Hinc Archimedis ſileant monumenta, reuixit
Eſſe Syracusij qui premit acta ſenis.
Co.
Franc.
Carolus Caprara Coll.
Nob Alum,
_V_Era Geometriæ recte documenta recludis,
Quæ minus antiquis emicuere viris. Sufficis illius noua ſchemata ſcilicet artis,
Percipis vndè dccus tu quoquè in orbe nouum.
Emenſæ ſpatium terræ dumque exprimis; indè
Arripis immenſi limina ſumma Poli.
Petrus Franc.
Coruinus Coll Nob.
Alum.
_O_Ptima ſi cupias cognoſcere ſchemata Lector,
Firma Geometrici percipeiura libri. Acquoris, atquè ſoli diſces ſpatia alma metiri,
Ingenij miros arripie ſquè modos.
Felſina plaudit ouans, tantoquè ſuperba triumpho,
Gaudia non vnquam deperitura cict.
Co.
Franc.
Carolus Caprara Coll.
Nob.
Alum.
_E_Xprimit egregiam nobis CAV ALERIVS, artem
ingenioquè refert abdita ſenſa nouo.
Huic veterum penitus cedunt monumenta virorum,
Vt longè meritis inferiora ſuis.
Co.
Marcus Antonius Herculanus Coll.
Nob.
Alum.
_P_Lena Geometricis ſunt hęc monumenta figuris,
Quæ BON AVENTV RAE condidit alma manus,
Ingeny vires, & ſuſpice mentis acumen,
Quod meritò æternum concelebrare licet.
Sola latere nequit VIRTVS:
hæc ſidera tranat,
Imaquè deſpiciens limina, ſumma petit.
Marcus à Cartis Coll.
Nob.
Alum.
_I_Am noua lux ſplendet, iam ſplendor prænitet omnis,
Arte Geometrica, dum noua iura refers.
Lux fuit Architas, lux Archimedis opuſque,
Lux ea ſed tenebris conſociata fuit; Lux tua pellucet nulla caligine preſſa,
Inctar Apollinei ſideris inſtar adeſt.
Petrus Franc.
Coruinus Coll.
Nob.
Alum.
CVM duæ rectæ lineæ inuicem paralle-
læ aliquam tetigerint figuram pla-
nam cum illis in eodem plano con-
ſtitutam, vnumquodq;punctum con-
tactus illius vertex dicatur, & oppo-
ſiti vertices puncta contactuum
vtriuſque dictarum tangentium pa-
rallelarum ſimul comparata; quilibei
autem vertices ſemper intelligentur aſſumpti reſpectu cu-
iuſcunque rectæ lineæ dictis tangentibus æquidiſtantis,
quæ infra regula appellatur.
LIneæ tangentes dicantur, oppoſitæ tangentes eiuſdem
figuræ reſpectu cuiuſcumque rectæ lineę eiſdem tan-
gentibus æquidiſtanter ductæ.
CVm earum vnius contactus fuetit in linea, tunc linea
contactus vocabitur baſis eiuſdem figuræ, reſpectu
cuius poterunt dici vertices puncta contactuum alterius
tangentis: vel ſi iſtius contactus pariter ſit in linea, ambæ
lineæ contactus, oppoſitæ baſes, ſumptæ reſpectu
cuiuſcumq; lineæ, cuiſint æquidiſtantes.
CVm plana inuicem parallela tetigerint aliquod ſoli-
dum, vnumquodq; punctum contactus illius vertex
dicatur; &
oppoſiti vertices puncta contactuum vtriuſque
dictorum tangentium planorum ſimul comparata: quilibet
autem vertices ſemper intelligantur aſſumpti reſpectu cu-
inſcumq. plani dictis tangentibus æquidiſtantis, quod in-
fra regula pariter appellatur.
IPſa tengentia plana dicantur, oppoſita tangentia plana
eiuſdem ſolidi, reſpectu dicti plani tangentibus æqui-
diſtantis aſſumpta.
CVm dictorum tangentium contactus fuerit in plano,
tunc vtriuſuis tangentium planorum plana conta-
ctus baſes dicantur, cuius reſpectu puncta contactus reli-
quitangentis plani poterunt vertices appellari, & vtriuſq;
tangentium planorum contactus plana dicentur, oppoſitæ
baſes:cum verò vtriuſque contactus fuerit in linea, oppoſi-
tæ baſes lineares ipſæ lineæ contactus vocabuntur.
CVm figuræ planæ oppoſitis tangentibus vtcumq.
du-
ctis, & ſolidę oppoſitis planis tangentibus, inciderit
perpendiculariter recta linea in eadem tangentia termina-
ta, dicetur hæc altitudo propoſitæ figuræ planæ, vel ſolidę,
reſpectu dictorum tangentium, vel cuiuſcumque eidem
æquidiſtantis, aſſumpta.
REgula appellabitur in planis recta linea, cui quædam
lineæ ducuntur æquidiſtantes, & in ſolidis, planum,
cui quædam plana ducuntur æquidiſtantia, qualis in ſu-
perioribus eſt recta linea, vel planum, cuius reſpectu fu-
muntur vertices, vel oppoſita tangentia, cui vel vtraq; vel
alterum tangentium æquidiſtat.
_H_Aec minimè diſcrepant ab bis, quæ in Euclide, Archimede,
& Apollonio, circa vertices, baſes, altitudines, &
tangen-
tia, ſiuelineas, ſine plana, aſſamuntur; cum, licet vniuerſalius, idem,
quod ipſi, declarent, vt ijs, qui in ſupra dictorum auctorum opert-
bus verſati ſunt innoteſcet facilè, vnde ſine ſcrupulo aſſumemus
aliquando ex dictis auctoribus, quæ ex conſimilibus difinitionibus
pendent, illis commiſcentes, prout opus fuerit, quæ ex bis dedu-
cuntur.
EXpoſita quacumque figura plana, &
in eiuſdem ambitu
ſumpto vt cumque puncto, ab eoque ad alteram eiuf-
dem partium ducta quadam recta linea terminata, & ſuper
planum propoſitæ figuræ eleuata, ſihæc per ambitum talis
figuræ ſemper æquidiſtanter cuidam rectæ lineæ moueri
intelligatur, donec omnem percurrerit ambitum, alterum
eiuſdem extremum punctum, quod non fertur per ambi-
tum propoſitæ figuræ, deſcribet circuitum planæ figuræ
ipſi propoſitæ æquidiſtantis, vt probabitur. Solidum er-
figuris iam dictis, &
ſu-
perficie linea quæ reuoluitur, deſcripta, dicetur: Cylin-
dricus; ſuperficies in reuolutione deſcripta, nec non quod
libet illius fruſtum, ſuperficies cylindracea. Cylindrici
oppofitæ baſes dictæ figuræ planæ interſe æquidiſtantes; latus autem cylindrici, quæuis recta in ſuperficie cylindra-
cea oppoſitas baſes pertingens, cui congruit in reuolutio-
&
tandem regula lateris cylindrici
dicetur illa, cui reuoluta ſemper manet æquidiſtans.
EXpoſita plana quacumq, figura;
extra cuius planum ad
vtramuis eiuſdem partium quodcũque fit aſlumptum
punctum, ſi ab eo ad quoduis punctum illius ambitus recta
linea ducatur, quæ indefinitè quoq; ſit producta, &
hęc per
eiuſdem ambitum moueatur donec ipſum totum percur-
rerit ambitum; ſumptum punctum erit vertex ſolidi, quod
compræhenditur ſuperficie deſcripta à linea, quæ reuolui-
tur inter ambitum propoſitæ figurę, & ſumptum punctum
clauſa, vertex, inquam ſumptus reſpectu propoſitę figuræ, vt
probabitur. Tale ſolidum autem dicatur;
Conicus, cuius
ver tex dictum punctum;
ſuperfi-
cies deſcripta linea, quę reuoluitur, & iacet inter ambitum
propoſitę figuræ, & dictum punctum, &
quodlibet illius
fruſtum dicatur; ſuperficies.
Conicularis;
illæ verò rectæ
lineæ, quæ in eadem reperiuntur, quibus congruit reuolu-
tainter verticem, & ambitum baſis concluſa, vocentur, la-
tera eiuſdem Conici.
_E_X hac, &
autecedentidefinitione, petet cylindrum eſſe cylindri-
cum, & conum eſſe conicum, eos ſcilicet, qui ab Apollonio,
& Sereno definiuntur.
CYlindricirecti dicentur, cum eorum latera fuerint ad
rectos angulos baſibus, ſcaleni verò, cum non fue-
rint ad rectos angulos eiſdem: Conicorum verò, &
cylin-
dricorum fruſta vocabuntur, quę per plana baſibus pa-
rallela (pro conſcis verſus ipſas baſes) ab ijſdem abſcin-
duatur.
AXis, diameter, figuræ planę, vel ſolidę, ordinatim ap-
plicatę adeaſdem, lineæ, iuxta quas poſſunt, &c.
ſumantur, prout ab Apollonio definiuntur, hoctantum ani-
maduerſo, me in ſequentibus aliquando abuti eiſdem no-
minibus ſectionum coni, Parabolæ .ſ.
Hyperbolæ, Ellipſis,
& oppoſitarum ſectionum, ſpatia videlicet intelligens ſub
illis, & earum baſibus, compręhenſa, quod ex modo lo-
quendi tunc euidenter cognoſcitur. Cætera deniq Apol-
lonij, & quæ ab Archimede circa Sphęroides, &
Conoides,
definiuntur, niſi alia afferatur à me definitio, ſumantur,
prout ab ipſis vſurpantur.
FIguram planam circa diametrum, vocat Apollonius,
Conicorum, cum in ea ductis quotuis lineis cuidam
æquidiſtantibus, omnes bifariam à quadam recta linea di-
uiduntur, quam vocat diametrum, ſieas oblique ſecet, &
axem, ſi eas rectè diuidat, & ipſam figuram circa diame-
trum, vel axem.
Siergo figura circa axem, reuoluatur circa eundem do-
nec redeat, vnde diſceſſit, deſcripta in tali reuolutione ab
eadem ſolida figura dicatur: ſolidum rotundum, eiuſdem
verò axis, circa quem fit reuolutio.
SImiles Cylindrici, &
Conicidicantur, quorum baſes
ſunt ſimiles (iuxta definitionem 10. ſimilium figura-
rum infra poſitam, ſubint ellige, veliuxta aliorum defini-
tiones, quas cum prędictam concordare infra oſtendemus)
in quibus ſumptis duabus homologis lineis, vel lateribus
vtcumque, & per ipſas, &
latera extenſis planis ipſa ad ean-
dem partem ęquè ad baſes inclinantur, horumq. conceptę
in eiſdem figurę ſunt ſimiles, nempè ſimilia parallelogram-
ma in cylindricis, & ſimilia triangula in conicis, quorum ho-
mologa latera ſint ſumptę in baſibus homologę.
SImiles ſphęroides dieentur, quę ex ſimilium ellipſium
reuolutione oriuntur.
SImiles portiones ſpherarum, vel ſpęroidum, &
ſimiles
Conoides, ſiue Conoidum portiones appellabimus,
quando per axes ductis planis ad rectos angulos baſibus
conceptę in eiſdem ſolidis figurę ſimiles erunt (iuxta de-
finit. 10.
ſubſequentem, vel etiam iuxta aliorum definitio-
nes de ſimilibus figuris planis allatas, ſubintellige) qua-
rum, & baſium communes ſectiones ſint homologe baſium
diametri, quę vel circuliſint, vel ſimiles ellipſes.
_C_Aetræ d finitiones ab Euclide ſimilium planarum figurarum,
& ſolidarum, &
ſimilium Cylindrorum, &
Conorum, &
quæ
ab Apollonio lib.6.
Conicorum, referente Eutocio, fiunt ſimilium ſe-
ctionum Coniportionum, ſumantur, vt abipſis afferuntur, adtuncto
tamen definitioni ſimilium ſectionum Coni portionum ibidem ab Apol-
lonio allatæ, ſi pro ſpatijs vſurpetur quam infr a dicetur.
SImiles figurę planę in vniuerſum vocentur, in quarum
ſingulis oppoſitę tangentes ita duci poſlunt, & in eaſ-
dem tangentes ita incidere ad eundem angulum, ex eadem
parte rectę lineæ in illis terminatę, vt, ſi intra dictas op-
poſitas tangentes eiſdem æquidiſtantes vtcumq; ductę fue
rint rectę lineæ, eas, quę incidunt dictis tangentibus, ſimi-
liter ad eandem partem ſecantes; reperiamus harum paral-
lelarum, nec non & oppoſitarum tangentium eas portiones,
quę inter dictas incidentes, & circuitus figurarum ad ean-
dem partem ſitę funt, eodem ordine ſumptas, eandem inter
ſe rationem habere, quam rectæ lineæ, quę dictis tangenti-
bus inciderunt, & in eaſdem terminantur.
IPſę autem quę dictis tangentibus incidunt, &
in easter-
minantur, dicentur; Incidentes dictarum tangentium
oppoſitarum, & figurarum.
QVę verò dictis tangentibus oppoſitis ęquidiſtant, &
diuidunt productę, ſi opus ſit, ſimiliter ad eandem
partem ipſas incidentes, necnon oppoſitarum
tangentium portiones, quę in ſimilibus figuris iam dictis
reperiuntur, vocentur; homologæ earumdem, ſumptę re-
gula qualibet earum; dicantur autem lineæ homologę, quę
funt intra ambitum ſimilium figurarum, quę verò in ambi-
tu, latera homologa. Ipſę verò tangentes etiam, tangentes
earumdem homologarum.
CVm verò duę ſimiles figuræ planæ in eodem plano, vel
in planis ęquidiſtantibus ita poſitę fuerint, vt earum,
& oppoſitarum tangentium, quę ſunt regulę homologarum
earumdem incidentes vel ſint ſuperpoſitę, vel ſibi inuicem
ęquidiſtent, homologis earumdem figurarum, & homolo-
gis partibus ipſarum incidentium, ad eandem partem con-
ſtitutis, ipſæ figurę ſimiles dicantur etiam, inter ſe ſimiliter
poſitę; ſiue à ſuis lineis, vel lateribus homologis ſimiliter
deſcriptæ.
SIverò fuerint quotcumq;
&
qualeſcumq;
figurę planę in
eodem plano vtcumq; diſpoſitę;
fuerint autem alię tot
numero figurę in quouis plano, cum prędictis ita ſe haben-
tes, vt binę ſint ſimiles, & earum omnium lineę homologę
duabus quibuſdam ſint æquidiſtantes: ductis verò oppoſi-
tis tangentibus ſingularum ſimilium figurarum, quę ſint
parallelę illis duabus, quibus homologę earumdem ęqui-
diſtant, & repertis incidentibus duarum ex dictis ſimilibus
figuris, & earum tangentium, illę productę fuerint vſq;
ad
extremas tangentes, reperiamus autem eaſdem à tangenti-
bus ſimilium figurarum ſimiliter ad eandem partem diuidi,
quarum portiones inter oppoſitas tangentes ſimilium figu-
rarum iacentes ſint earundem oppoſitarum tangentium, &
Tales figuræ dicentur bi-
næ ſimiles, & ſimiliter inter ſe poſitę primò dictæ, ac ſecun-
dò dictæ, & earum, ac exremarum tangentium etiam dicen-
tur incidentes, quæ in tangentium extremas terminan-
tur.
_S_Int duæ figuræ planæ.
ABCD, KLγP, in quibus ſupponantur
ductæ oppoſitæ tangentes, AE, CG, in figura, ABCD, & KQ,
KLγP, quibus incidant duæ rectæ lineæ, EG, Q℟, ad
eundem angulum ex eadem parte, ſiue ſecent figuras, ſiue non, du-
ctis autem vtcumq dictis tangentibus parallelis, BF, L&, quæ
in puctis F, &, diuidant ſimiliter ad eandem partem ipſas, EC,
Q℟, & circuitus figu-
S, D, L, T, X, P. repe-
riamus, DF, ad, P&,
eſſe vt, EC, ad, Q℟,
& ita eſſe, SF, ad, X&
,
IF, ad, T&, BF, ad
L&, ita nempè, vt, quæ
ſunt ad eandem partem
ipſarum, EG, Q℟, eo-
dem ordine ſumptæ, ſint,
vt ipſæ, EG, Q℟, ſic
etiam tangentes, AE, KQ, CG, γ℟, ſint vt, FQG, ℟, & ſic cæ-
teræ conſimiliter ſumptæ, tunc voco figuras, ABCD, KLγP ſimi-
ipſas, EG, Q℟, incidentes ſimiles figurarum, ABCD, KLγP,
oppoſitarum tangentium, AE, CG, KQ, γ℟;
ipſas, BI, SD,
LT, XP, quæ clanduntur perimetris figurarum, & diuidunt pro-
ductæ, ſiopus ſit, ipſas, EG, Q℟. ſimiliter ad eandem partem,
voco, homologas earumdem figurarum, quarum dictæ oppoſitæ
Cum verò figuræ, ABCD, KLγP, fuerint in eodem plano, vel
Q℟, ſint vel ſuperpoſitæ adinuicem, vel parallelæ, & homolo-
gæ, BI, SD, LT, XP, ad eandem partem ipſarum, EG, Q℟,
& partes homologæ incidentium (per dictas homologas, produ-
ctas, ſi opusſit, ſimiliter ad eandem partem dtuiſarum) fuerint
pariter adeandem partem conſtitutæ, tunc voco figuras, ABC
Sint nunc quetcumque figuræ planæ in eodem plano vtcumque
diſpoſitæ, ABCD, ΟRΩV, & aliæ tot numero in quouis plano,
KLγP, Ζ9βΣ, quæbinæ ſint ſimiles, ſcilicet, ABCD, ipſi,
KLγP, &, ΟRΩV, tpſi, Ζ9βΣ, quarum omnium homologæ
ctu ipſarum, quibus dictæ homologæ æquidistant, ductæ in figu-
ris, ABCD, KLγP, oppoſitæ tangentes, AE, CG, KQ, γ
in figuris, ΟRΩV, Ζ9βΣ, oppoſitæ tangentes, OH, Ω
M, ΖΓ, βΛ, quæ tangentes eruntregulæ homologarum ſimilium
figurarum iam dictarum; Sint deinde incidentes duarum ex di-
vt ipſarum, ABCD, KLγP, &
oppoſitarum tangentium, AE, CG, ipſæ, EG, Q℟, quæ pro-
ducantur vſque ad extremas tangentes, SM, βΛ, quibus inci-
dant in punctis, M, Λ, reperiamus autem integras, EM, QΛ,
ſimiliter ad eandem partem ſecaritum à tangentibus, CG, γ℟,
tum ab, OH, ΖΓ, & inſuper portiones, HM, ΓΛ, eſſe etiam
incidentes oppoſitarum tangentium, OH, ΩΜ, ΖΓ, βΛ, &
ſimilium figurarum, ΟRΩV, Ζ9β;Σ, velutiipſæ, EG, Q℟,
ſunt incidentes oppoſitarum tangentium, AE, CG, KQ, γR,
& ſimilium figurarum, ABCD, KLγP.
Tunc igitur has fi-
guras voco binas ſimiles, & vnas, ſcilicet ipſas, ABCD, OR
ΩV, ſimiliter, ac alias inter ſe diſpoſitas, ideſt vtipſæ, KLγP,
Ζ9βΣ, & earum, ac extremarum tangentium, AE, ΩΜ, K
Q, βΛ, ipſas, EM, QΛ, voco etiam incidentes.
SImiles figuræ ſolidæ, vel ſimilia ſolida, in vniuerſum
vocentur, in quorum ſingulis oppofita plana tangen-
tia ita duci poſſunt, & in eadem ita incidere ad eundem an-
gulum ex eadem parte duo plana in ijſdem terminata, vt ſi
ſpectu dictorum tangentium ſumptas, ſimiliter ad eandem
partem diuidentia, reperiamus figuras exhis planis in di-
tur, tot numero in vno, quot in alio ſolido produci, quæ
quæ ſunt vnius ſolidi ſimiliter inter ſe
diſpoſitę, ac quę ſunt alterius, & omnium homologas dua-
bus quibuſdam rectis lineis communiter, tamquam earum-
dem regulis, æquidiſtare. (ſic.
n.
earum homologæ cum
quibuſuis alijs duabus regulis angulos æquales cum præ-
dictis facientibus, vt infra Prop. 23.
huius oſtendetur, e-
tiam haberi poterunt) Vnde ſiregulæ homologarum acci-
piantur cum incidentibus planis concurrentes, & conce-
ptarum in ſolidis ſimilium figurarum ductæ in ſingulis op-
poſitæ tangentes præfatis regulis Parallelę producantur, ſt
opus ſit, quouſq; prædictis incidentibus planis occurrant,
& binarum quarumcumque oppoſitarum tangentium pun-
cta occurſuum iungantur rectis lineis, etiam has iungentes
reperiamus ſingulas eſſe incidentes ſuarum ſimilium figu-
rarum, & oppoſitarum tangentium, ac omnes dictas inci-
dentes concipi in figuris ſimilibus, quarum, & ipſæ inci-
dentes ſint homologæ, & omnium regulæ communes ſe-
ctiones planorum incidentium, & oppoſitorum planorum
tangentium. Has omnes, inquam, conditiones ſimilia ſo-
lida in vniuerſum habere ſuppono.
IPſæ autem figuræ planæ ſimiles, quæ capiunt omnes di-
ctas incidentes, vocentur. Figuræ incidentes dictorum
ſimilium ſolidorum, & oppoſitorum tangentium iam du-
ctorum.
FIguræ verò ex planis dictis tangentibus Parallelis in
nes eorumdem reſpectu dictorum tangentium ſumptas ſi-
militer ad eandem partem diuidentes, quæ ſimiles eſſe re-
vnæ, ac aliæ ſimiliter inter
Figuræ homologæ dictorum ſimi-
lium ſolidorum, ſumptæ regula vna ipſarum, vel oppoſito-
rum tangentium, quæ homologarum figurarum plana tan-
gentia, ſi libeat, etiam vocentur.
_S_Int ſolida, Γ β 3 Φ, AHBM, quorum ſint oppoſita tangen-
tia plana, Δ ℟ Ζ &, ſolidi, Γ β 3 Φ, &
, QP, L Π, ſθ-
eundem angulum ex eadem parte, Δ Υ QK, illa nempè quo-
rum, et dictorum tangentium ſint communes ſictiones, ΔΧ Ζ
rallelis, quæ diuidant eorum altitudinesreſpectu duitorum tan-
Sint autem eo-
rum in dictis ſolidis conceptæ ſiguræ planæ ſimiles, ſivna in vno
ſolido figura producantur, velſiplures, binæ ſimiles, et fi-
militer inter ſe diſpoſitæ, quæ fiunt in vno, ac quæ fiunt in alio ſo-
lido, ex. g.
ipſæ, β Λ, Σ Φ, HE, CM, quæ ſint binæ ſimiles, ideſt,
β Λ, ipſi, HE, &, Σ Φ, ipſi, CM, &
, β λ, Σ Φ, ſimiliter inter
ſe diſpoſitæ, ac ipſæ, HE, CM, quarum ſimilium figurarum bo-
mologæ duabus quibuſcumque regulis, vt ipſis, ℟ Ω, PR, æqui-
dictovel ſihæ non ſint cum planis, Δ Υ, QK, concurrentes,
Ω Δ, PRQ, proregulis homolog arum accipiemus, hoc .n.
fieri
pθſſe demonſtrabitur in Prop. 23.
buius, quę erunt cum planis, Δ
Υ, QK, concurrentes. Siergo ducantur prædictarum ſimilium
regulis, Ω Δ, RQ, ex. g.
ſiguræ, β Λ, oppoſitæ tangentes, β Τ,
Λ S, &, HE, ipſæ, HD, EI, &
, Σ Φ, ipſæ, Σ Ο, Φ V, &
tan-
demipſius, CM, ipſæ, CN, MG, quæ productæ ſi opus ſit, oc-
currant planis, Δ Υ, QK, inpunctis, T, S; OV;
D, I;
N, G;
iungantur autem, TS, OV, DI, NG, et ipſęreperiantur eſſe
incidentes ſimilium figurarum, β λ, HE, Σ Φ, CM, et dicta-
rum oppoſitarum tangentium.
Conſimiliter, ſectis eiſdem ſolidis alijs planis dictis planis tan-
gentibus paralle@is, altitudine ſque dictas ſimiliter ad candem,
partem ſecantibus, ſemper conceptæ in ſolidis figuræ ſint ſimiles,
velbinę ſimiles, &c.
&
earumdem homologarum oppoſitę tangen-
t
plana, Δ Υ, QK; occurrantque illis in punctis, quę ſiiungan-
tur rectis lineis, ipſę iungentes ſint dictarum ſimilium ſigurarum,
& ductarum oppoſitarum tangētium ſemper incidentes, quæ om-
nes iaceantin planis, Δ Υ, QK, per quarum extrema tranſeant
lineę, ΧVΥΤ, FGKD, et interius lineæ, 4 N 6 I, 7085,
& conting at figuras, ΧVΥΤ, FGKD, eſſe ſimiles, earumque
homologas dictas incidentes, & ipſarum regulas eſſe communes
ſectiones planorum, in quibus iacent, & oppoſitorum planor@m,
Hìsìgitur
poſitis, voco ſolida, Γ β 3 Φ, AHBM, ſimilia; ſiguras verò, F
dicθ figuras incidentes ſimilium ſolidorum iam
Z;
PQ,
Π L; ipſas autem figuras, β λ, Σ Φ, HE, CM, et eas, quarum
extenſa plana ſimiliter ad eandem partem diuidunt altitudines
ſolidorum, Γ β 3 Φ, AHBM, reſpectu dictorum tangentium
planorum ſumptas, & ſunt ſimiles, velbinæ ſimiles, &
ſimiliter
inter ſe diſpoſitæ, voco figuras homologas dictorum ſolidorum,
_A_Duertendum eſt autem pro ſimilium figurarum nominatione,
dum voco eas ſimiles figuras ſiue planas, ſiue ſolidas, me intel-
ligere in eis d finitiones generales ſuperius allatas; dum verò eas
particulari nomine appello, intelligere definitiones particulares pro
ipſarum ſimilitudine ab alijs, vel à me allatas, vt cum dicam, ſimi-
les coni ſectionum portiones, intelligam particularem in eis definitio-
nem, & cum dicam (ſimilta parallelogramma) intelligam in eis par-
ticularem definitionem ſimilium rectilinearum figurarum, & fic in
cæteris, licet vtramq; definitionem tum particularem, tum genera-
lem, de eiſdem figuris verificari inferius oſtendemus.
CVm fuerint quotcumque magnitudines eiuſdem ge-
neris vtcumque diſpoſitæ, prima ad vltimam dicitur
habere rationem compoſitam exrationibus primæ ad ſe-
cundam, ſecundæ ad tertiam, tertiæ ad quartam, & ſic de-
inceps vſq; ad vltimam.
CVm vnum, &
idem antecedens ad plura conſequen-
tia comparatum fuerit, ſingillatim ad vnumquodq; comparare idem ad eadem conſequentia ſimul collecta, di-
cemus, colligere, vel, colligendo.
PArallelogrammum dicetur expoſitę cuicumque planę
figuræ circumſcriptum, ſi eius ſingula latera tangant
dictam figuram, quæ illi pariter dicetur inſcripta.
PArallelepipedum dicetur expoſito ſolido circumſcri-
prum, ſi eius ſingula plana tangant dictum ſolidum,
quod illi pariter dicetur inſcriptum.
QVamlibet rectam lineam indefinitè ita poſſe moueri,
vt ſemper vni cuidam fixæ ſit parallela, ſiue in eo-
dem, ſiue in plut
QVodlibet planum indefinitè ita poſſe moueri, vt fem-
per vni cuidam fixo ſit æquidiſtans.
CViuslibet propoſitæ figuræ planæ, vel ſolidæ, verti-
cem inuenire, reſpectu datæ, pro figura plana rectæ
lineæ pro ſolida verò, reſpectu dati plani.
Sit ſigura plana quæcumque, ABC, &
in ea ducta recta linea,
BC, oportet reſpectu ipſius, BC, verticem figuræ, ABC, inue-
Sumatur in plano figuræ, AB
C, indefinitè producto, vtcumq; pun-
ctum, N, & per, N, ipſi, BC, du-
catur parallela, KV, indefinitè hinc
inde producta, vel igitur, KV, tan-
git figuram, BAC, & ſic inuentum
eſſet, quod quæritur, vel non; igitur
erit, KV, vel intra, vel extra figu-
ram, vbicumq; ſit, moueatur, KV,
ſemper manens in eiuſdem figuræ
æquidiſtans ipſi, BC, re-
cedendo ab eadem, BC, ſi intra figu-
ram reperiebatur, vel accedendo, ſi erat extra, tandem .n.
con-
in pun-
cto, A, igitur, A, erit vertex figuræ, ABC, reſpectu ipſius, B
niendus proponebatur.
Sit nunc figura ſolida, ſiue ſolidum, ADE, in quo reſpectu
plani, BECD, ſit vertex inueniendus, ſumpto igitur exrra pla-
num figuræ, vtcumque puncto, N, per ipſum agatur planum, K
HVX, ipſi, BECD, æquidiſtans, quod vel continget ſolidum,
BAC, vel non, ſi autem non contingat, moueatur accedendo,
tangatin, A, puncto, igitur punctum, A, erit vertex ſolidi, AD
_H_Inc manifeſtum eſt, ſi recta, BC, tangat planam figuram, AB
reſpectu datæ rectæ lineæ, quæ fuit vna ex eiſdem tangentibus, nem-
&
ita ſi figura, BDCE, tangit ſolidum, ADE, ducta erunt
oppoſita tangentia plana ſolidi, ADE, reſpectu plani, BECD, in
rum, boc pacto inuenti: Siverò recta linea, BC, ſecaret figuran, A
BC, vel planum, BECD, ſecaret ſolidum, ADE, eodem pacto ex
alia parte lineæ, BC, vel plani, BDCE, inueniemus verticem, vn-
de inuenti erun@ propoſitæ figuræ planæ oppoſiti vertices, & ductæ op-
poſitæ tangentes reſpectu datæ lineæ BC; &
in ſolido iuuenti erunt
oppoſiti vertices, & ducta oppoſita tangentia plana reſpectu dati
plani, BDCE, quæ cum tangunt in figuris planis, figuræ contactuum
earum ſingulæ baſes, &
baſes li-
neares, ſi contactus fieret in lineis: binc ergo diſcimus inuenire op-
eorum op-
poſita tangentia ducere reſpectu datæ in figura plana rectæ lineæ, &
dati plani par@ter in ſolida figura.
CVilibct figuræ planæ parallelogrammum circumſcri-
bere, cuius latera duabus datis rectis lineis, in pro-
poſitæ figuræ plano ſe ſecantibus, ſint parallela.
Sit propoſita quæcumque figura plana, AOVE, &
in ipſiu@
plano duæ rectæ lineæ, BD, IT, vtcumq; ſe inuicem fecante@
C, oportet illi parallelogrammum
circumſcribere, cuius latera rectis, SD, IT,
ſint parallela. Ducantur ergo oppoſitæ tan-
gentes figuræ, AOVE, reſpectu ipſius, IT,
quæ ſint, KM, HL, & aliæ duæ reſpectu ip-
prædictis concurrent, nam ſunt parallelæ ip-
ſis, BD, IT, quæ inuicem concurrunr, ſit
ergo concurſus in punctis, K, M, L, H, igi-
tur, KL, erit parallelogrammum, cuius ſin-
gula latera tangent ambitum ſiguræ, vt in
punctis, A, O, V, E, & ideò erit figuræ, AOVE, circumfcri-
ræ, AOVE, plano ſe inuicem ſecantibus, parallela; quod effi-
cere, &c.
CVilibet ſolido parallelepipedum circumſcribere, cu-
ius plana oppoſita tribus datis planis, ſe inuicem ſe-
cantibus, ſint parallela.
Sit ſolidum,
cumq; in quo
tria plana, A
CBD, AB, C
D, ſe inuicem
fecent, quæli-
bet duo, opor-
tetſolido, AC
lepipedum cir-
cūſcribere, cu-
ius oppoſita
plana prædi-
ctis planis ſint
parallela. Du-
cātur duo pla-
na oppoſita
producantur donec ſibi occurrant, oc-
current autem, quia hæc planis ſe inuicem ſecantibus ſunt parallela,
& ſit ab illis comprehenſum ſolidum, ZF, erit igitur, ZF, paralle-
ſepipedum, cum eius oppoſita plana ſint inuicem parallela, quæ tan-
gunt ſolidum, ACBD, vt in punctis, A, C, B, D, E, X, & ideò
erit ſolido, ACBD, circumſcriptum, habens plana oppoſita pro-
quod efficere opus erat.
_P_Oteſt autem contingere in antecedentis Propoſ.
figura ipſam eſſepa-
railelogrammum, & line as rectas ſe ſecantes, qutbus parallelo-
grammi circumſcriptibilis latera debent eſſe parallela, eſſe ipſa paralle-
logrammi latera, in quo caſu idem eſſet parallelogrammum circumſcri-
ptum, & cui circumſcriberetur:
V eluti hic etiam ſi ſolidum, ACBD,
eſſet parallelepipedum, cuius oppoſitis planis, plana circum ſcrip tibilis
deberent eſſe pacallela, tunc enim idem eſſet parallelepipedum circum-
ſcriptum, & cui cir cumſcriberetur:
Contactus autem in antecedenti po-
teſt etiam eſſe in linea, & in bac tum in linea, tum in planis, licet con-
tactus, qui fit in punctis tantum expoſitus fuerit.
DAta quacumq;
figura plana, vel ſolida, &
in plana da-
ta recta linea, in ſolida verò dato plano; qualibet li-
nea, vel planum, quod indefinitè productum non tangat fi-
guram dictam planam, vel ſolidam, in vertice ſumpto reſpe-
ctu dictæ lineæ, vel plani, vel totum extra, vel aliquid eius
intra figuram cadit, nempè figuram ſecat, ſi linea lineæ, vel
planum plano æquidiſtet.
Sit data figura plana, CARB,
in ea recta, AB, ſit vertex vnus
reſpectuipſius, AB, punctus, C,
& ſit recta, HM, parallela ipſi,
AB, quæ etiam indefinitè produ-
cta non tangat figuram, ARBC,
in, C, vertice. Dico, HM, vel
totam extra figuram cadere, vel
eandem ſecare. Neutrum efficiat
ſi poſſibile eſt, igitur, HM, tan-
get figuram, CARB, & non in,
C, igitur in alio puncto, vt in, E,
igitur, E, erit vertex figuræ, CA
RB, reſpectu ipſius, AB, eſt e-
bit, HM, quod eſt abſurdum, nam vtræque ſunt parallelæ eidem,
AB, & ideò inter ſe ſunt parallelæ, vel, VN, extendetur ſuper, H
M, & ſic, HM, tranſiret per, C, in ipſoq;
tangeret figuram con-
tra ſuppoſitum, quod etiam eſt abſurdum, non igitur, HM, tanget
cum ambitu figuræ, vel, tranſiens per aliquem punctum, eandem
ſecabit, ſi is punctus non ſit ex illis, qui funt vertices ipſius figuræ ex
hac parte, vel ex oppofito reſpectu ipſius, AB; quod ſimiliter in ſo-
lidis oſtendemus pro rectis lineis, AB, HM, VN, plana intelligen-
tes, & ipſam, CARB, eſſe figuram ſolidam ſupponentes, quæ
oſtendere opus erat.
_H_Inc patet à quolibet puncto ambitus datæ figuræ planæ, vel ſolidæ
ductam lineam, vel planum æquidiſtans illi, reſpectu cuius ſumi-
tur vertex (ſi ſumptus punctus non ſit vnus ex verticalibus dictis) ſeca-
rè figuram, cum, vt oſtenſum eſt, tangens eſſe non poſſit, & ideò ſem-
per inter duo oppoſita tangentia, reſpectu regulæ, penes quam ſumitur
vertex, aſſumpta linea cadet, licet indefinitè producatur.
_E_T quia ſi recta linea, vel planum, ſecat duas parallelas, vel duo
æquidiſtantia plana, ſecat etiam omnia intermedia illis æquidi-
ſtantia; ideò ſi recta linea, vel planum, tranſeat per verticem, &
baſim,
ſiue per oppoſitos vertices datæ figuræ planæ, vel ſolidæ, ſecabit etiam om-
nes in figura oppoſitis tangentibus æquidiſtantes intra figuram, vel ea-
ſdem productas extra figuram.
SI à quocumque puncto circuitus cylindrici, per quam fit
reuolutio verſus cylindricum ducta fuerit recta linea
in talibaſi conſtituti.
Sit cylindricus, CB, In baſi, AFB, in cuius circuitu ſumpto vt-
cumq; puncto, F, ab eo ducta ſit verſus cylindricum quædam paral-
Dico eam eſſe la-
tus huius cylindrici: Intelligatur per punctum, F, ductum latus cy-
cta ab, F, parallela ipſi, HM, ca-
dit ſuper, FE, & ſic erit, &
ipſa la-
tus cylindrici, vel non, nempè ſi ca-
deret, vt, FG, tunc quia, FE, eſt
parallela ipſi, HM, & etiam, FG,
eſt ipſi, HM, parallela ſequitur, F
E, ipſi, FG, eſſe parallelam, & ſunt
FE, FG, eductæ ab eodem pun-
cto, F, In quo ſunt concurrentes,
quod eſt abſurdum, igitur quæ du-
citur à puncto, F, parallela ipſi, H
M, cadet ſuper, FE, latus cylindri-
ci, igitur erit latus huius cylindrici, quod erat oſtendendum.
SVperficies, quæ clauditur ambitu deſcripto ab extremo
puncto lateris cylindrici, quod per circuitum eiuſdem
baſis non properat, eſt ſuperficies plana, & æquidiſtans bafi;
ſi ea ſumatur, in qua iacent iungentes duo quæuis puncta de-
ſcripti ambitus.
Sit quilibet cylindricus, AE, cuius baſis, CDEV, latus, MV,
cuius punctum extremum, M, quod non properat per ambitum ba-
Dico figuram hoc circuitu comprehenſam, in qua
iacent iungentes duo quęuis puncta deſcripti am-
bitus eſſe ſuperficiem planam, ęquidiſtantem baſi,
CDEV, & ideò ſingula puncta huius circuitusre-
periri in tali plano. Sumatur ergo in tali circuitu
vtcumq; punctum, M, &
per, M, ducatur baſi,
CE, æquidiſtans planum, MBOF. Dico om-
nia puncta deſcripti circuitus eſſe in hoc, plano: ſi
enim non ſint, aliquod erit extra, ſit hoc pun-
ctum, N, & per, N, ſit ductum latus cylindrici,
quod ſit, ND, ſecans circuitum figuræ planæ, B
F, in, O, & circuitum baſis in, D, deinde per, N
D, MV, quæ ſunt æquidiſtantes, cum fint cylindrici latera, exten-
iungantur, MN, puncta, quia ergo plana
parallela, BF, CE, ſecantur plano quodam, communes eorum ſe-
ctiones, nempè, OM, DV, erunt inuicem parallelæ, ſed etiam, O
D, MV, ſunt parallelæ, ergo, OV, erit parallelogrammum, &, O
D, æqualis ipſi, MV, eſt autem, MV, æqualis ipſi, ND, quia am-
bo ſunt latera eiuſdem cylindrici, ergo, DO, æqualis erit ipſi, DN,
pars toti, quod eſt abſurdum, non igitur aliquod punctum circuitus
deſcripti a puncto, M, eſt extra planum æquidiſtans baſi, CE, igi-
tur omnia ſunt in tali plano, iuncta igitur, NM, ipſa erit in eodem
cum illis plano, in quo pariter iacebunt duo quæuis puncta iungen-
tes eiuſdem circuitus, & ideò figura tali ambitu contenta eſt ſuper-
ficies plana ipſi baſi, CE, æquidiſtans, quod erat oſtendendum: iſte
autem vocantur cylindrici oppoſitæ baſes.
_Q_Voniam vero ſuppoſito ipſam, MBOF, eſſe ſuperficiem planam
baſi æquidictantem, & ducto per latera, OD, MV, plano oſten-
dimus, OV, eſſe parallelogrammum, ideò cum ſciamus, MANH,
eſſe ſuperficiem planam baſi, CE, æquidiſtantem, ducto per latera vtcum-
que plano cylindricum ſecante, oſtendemus eodem pacto, ducti plani ſe-
cantis in cylindrico conceptam figuram eſſe parallelogrammum, cum ſci-
licet planum ducitur tantum per duo latera, vel parallelogramma, cum
SI cylindricus ſecetur, vel tangatur à duobus planis per
eiuſdem latera ductis, quę non fint inter ſe parallela, ſint
autem illa producta donec ſibi occurrant, communis eorum
ſectio erit eiuſdem cylindrici lateribus parallela.
Sit quilibet cylindricus, FG, per cuius latera ſint ducta duo pla-
na non parallela, quæ ita ſint producta, donec ſibi occurrant, ſint
autem illa plana, AM, DN, quorum, & oppoſitarum baſium cy-
lyndrici, FG, communes ſectiones, AC, HM, DE, SN, erunt
baſium, FL, GK, indefinitè productarum plana ſecarià planis di-
ctorum parallelogrammorum pariter indefinitè productis, in rectis,
AR, DR, HO, SO, & eadem ſe inuicem ſecare in recta, RO.
Iungantur, CE.
parallela, erunt & ipſæ æquales, &
paralle-
læ, ſunt etiam parallelę ipſæ, CR, MO, er-
goangulus, ECR, erit æqualis angulo, N
MO, eodem pacto oſtendemus angulum, C
ER, eſſe æqualem angulo, MNO, vnde
funt pa-
rallelæ, ergo eas iungentes, quæ ſunt, RO,
CM, erunt ęquales, & parallelę, eſt autem,
CM, latus cylindrici, FG, ergo, RO, com-
munis ſectio duorum planorum dictum cy-
lindricum ſecantium, erit eiuſdem lateribus
parallela. Idem oſtendemus, ſi ſectio contingat fieri intra cylindri
cum, ſiautem fiat in ſuperficie, patet non poſſe fieri, niſi in latere
cylindrici, nam plana ſecantia ducuntur per latera, quodfibet autem
latus eſt cęteris eiuſdem cylindrici lateribus æquidiſtans, & ideò vbi-
cumq; contingat ſectionem fieri ſemper communis ſectio planorum
perlatera cylindrici ductorum ſe inuicem ſecantium, eſt parallela la-
teribus cylindrici. Idem ſequetur de tangentibus planis, quod erat
oſtendendum.
SI quilibet cylindricus ſecetur planis parallelis perlatera
ductis conceptæ in cylindrico figuræ erunt parallelo-
gramma æquiangula.
Sit quilibet cylindricus, BF, planis ſectus
in cylindrico, AF, concepta figuræ paral-
lelogrammum, BH, alterius autem paral-
lelogramma, AN, QF. Dico hæc eſſe
ęquiangula, quod enim ſint parallelogram-
latera, quod verò fint æquiangula patet e-
tiam, nam in parallelogrammo, AN, la-
tus, AD, æquidiſtat lateri, BO, &, AP,
ipſi, BC, nam ſunt communes fectiones pla-
ni, ABCR, & æquidiftantium planorum,
AN, BH, & ideo angulus, PAD, æqua-
æquiangula, vnde concludetur etiam parallelogramma, AN, QF,
eſſeinter ſe æquiangula, quod oſtendere opus erat.
_S_I autem intelligamus oppoſitarum baſium cylindrici, AF, ita pra-
ducta plana, vt ſecentur à plano per latera, AD, PN, QM, RF,
ducto in rectis, AR, DF, quarum portiones extra cylindricum manen-
tes ſint, PQ, NM, manifeſtum eſt etiam parallelogrammum, PM,
quod extra cylindricum conſtituitur, & quod integratur ex parallelo-
grammis, AN, PM, QF, .i.
AF, eſſe prædictis æquiangulum.
SI planum æquidiſtans plano perlatera cylindrici ducto
tangat cylindricum, contactus fiet in recta linea, velre-
ctis lineis, quæ erunt latera eiuſdem cylindrici: Vel ſi tan-
gat in plano, aut planis, plana contactus erunt parallelo-
gramma, æquiangula perlatera ducto.
Sit cylindricus, AC, per cuius latera ducatur planum in eo pro-
ducens parallelogrammum, AC, ſit autem ductum aliud plannm
lindricum, AC. Dico eiuſdem con-
tactum fieri in recta linea, vel rectis
lineis, quę erunt latera cylindrici, A
C, vel ſi tangat in plano, aut planis,
plana contactus eſſe parallelogram-
ma, æquiangula ipſi, AC. Primò
igitur non tangat ipſum in plano,
quia ergo tangit cylindricum, ali-
quid ſuperficiei cylindrici commune
eſt ipſi, & plano tangenti, ſit is pun-
ctus, O, exiſtens, & in plano tangen-
te, & in ſuperficie cylindracea, &
per, O, ſit ductum latus cylindrici,
quod ſit, EM. Dico totum, EM,
reperiri in plano tangente cylindri-
cumin, O, ęquidiſtante ipſi, AC. Ducatur per, M, ipſi, BC, pa-
rallela, XR, quia ergo, XR, ęquidiſtatipſi, BC, & EM, ipſi, AB,
eſt autem planum, quod tangit cylindricum in, O, æquidiſtans pla-
no, AC, & tranſit per idem punctum, O, per quod tranſit planum
per, EM, XR, ductum, ergo illa duo plana fiunt vnum planum,
iacet autem, EM, in plano per, EM, XR, ducto, ergo iacet etiam
in plano ęquidiſtante ipſi, AC, & cylindricum, AC, tangente, igi-
tur tangit cylindricum in recta, EM. Eodem pacto ſi in alio pun-
cto extra, EM, in ſuperficie cylindracea ſumpto tangeret cylindri-
cum, AC, oſtenderemus tangere ipſum in latere, quod per tale pun-
ctum tranſiret; in quo caſu tangeret cylindricum in lateribus vno
pluribus, vt contingere poteſt. Tangat autem ſecundò ipſum in
plano, igitur in eo plano ſnmpto vtcumque puncto, tanget cylindri-
cum in latere tranſeunte per tale punctum, igitur planum contactus
tale eſt, vt in eo omnes ductæ rectæ lineæ æquidiſtantes ipſi, EM,
ſint latera cylindrici, AC, & ſubinde eidem, EM, æqualia, vnde
ſuperſicies, in qua iacent erit parallelogrammum, igitur planum
contactus in hoc caſu erit parallelogrammum, & erit æquiangulum
parallelogrammo, AC, nam eius latera ſunt parallela lateribus pa-
rallelogrammi, AC, & ideò continent angulos æquales contentis
à lateribus parallelogrammi, AC, vnde talia parallelogramma ſunt
æquiangula, igitur contactus plani æquidiſtantis plano per latera
cylindrici ducto, vel fit in latere, aut lateribus contacti cylindrici,
vel in parallelogrammo, ſiue parallelogrammis, in eiuſdem ſuper-
ficie iacentibus, & æquiangulis ei, quod fit a plano per latera ducto,
quod oſtendendum erat.
_H_Inc babetur communes ſectiones plani tangentis, &
cylindrici op-
poſitarum baſium productorum planorum, quæ ſint, VF, XR,
eſſe inter ſe parallelas, & tangere eaſdem baſes;
ſcilicet, VF, ipſam
baſim, EAD, &, XR, ipſam, MBC.
SI cylindricus quomodocumque ſecetur per latera, diui-
ditur in cylindricos à ſecantibus planis, ſi autem ſecetur
planis omnibus eiuſdem lateribus coincidentibus inter ſe
parallelis; ſolidum compræhenſum conceptis in cylindrico
figuris, & incluſa ſuperficie cylindracea, erit cylindricus.
Sit cylindricus, AE, ſectus a planis quomodocumque per latera.
Dico per eadem diuidi in cylindricos;
ſint autem ſecantia plana, quę
in cylindrico, AE, producant parallelogramma, AE, ME. Quia
igitur, AE, eſt parallelogrammum, ſi in ipſo ducantur rectæ lineæ
ipſi, AD, HE, parallelæ, & in, AH, DE, terminatæ, erunt ei-
ſdem, AD, HE, æquales, & ſubinde erunt æquales, &
parallelæ
cea deſcripta latere, AD, ſiue latere cylindrici, AE, ergo ſolidum,
ARXE, erit cylindricus. Eodem pacto oſtendemus ſolida, AM
HDVE, MZHVIE, eſſe cylindricos, talibus igitur planis cy-
lindricus, AE, ſemper diuiditur in cylindricos, quæ eſt prior pars
huius Theorematis.
Secetur nunc duobus planis vtcumque inter ſe parallelis coinci-
dentibus cum omnibus ciuſdem lateribus, quæ in cylindrico, AE,
producant figuras, BNGK, COFL. Dico ſolidum compræhen-
ijs incluſam ſuperficiem
cylindraceam, eſſe cylindricum. Sintadhuc pla-
na per latera cylindrici, AE, vtcumque ducta, A
E, ME, quæ ſecent figuras, BNGK, COFL,
in rectis, BG, CF, NG, OF, igitur eiuſdem pla
ni, & ipſarum, BNGK, COFL, communes ſe-
ctiones erunt parallelæ, quę ſint, BG, CF, ſicut
etiam ipſæ, NG, OF, ſunt autem parallelę etiam
ipſæ, BC, NO, GF, ergo, BF, NF, erunt pa-
rallelogramma, & latera eorumdem, BC, GF,
NO, inter ſe æqualia, & æquidiſtantia;
ſi igitur
eorum quoduis, vt, GF, ſtatuatur pro regula lateris ylindrici, ſu-
perficies incluſa duabus figuris, BNGK, COFL, erit deſcripta
vno laterum, BC, vel, NO, properante per circuitum figuræ, C
OFL, ſemper ipſi, GF, æquidiſtante, donec redeat vnde diſceſſit,
igitur hæc erit ſuperſicies cylindracea, cuius oppoſitæ baſes ipſæ fi-
guræ, BNGK, COFL, & ſolidum eiſdem incluſum erit cylindri-
cus, quod erat poſterior pars huius Theorematis à nobis demon-
CViuſuis cylindrici oppoſitæ baſes ſunt fimiles, æquales,
& ſimiliter poſitæ.
Sit cylindricus, PN, cuius oppoſitæ baſes, APK, OZN.
Dico
eas eſſe ſimiles, æquales, & ſimiliter poſitas.
Ducantur vtcumque
oppoſitarum baſium productarum
communes ſectiones ſint ex vna parteipſæ, VF, XL, ex alia verò,
AB, ZG, quæ tangent vel in latere, ſiue lateribus, vt in, VX, AZ,
communes ſectiones, indefinitè producta, & in qualibet dictarum
in, AB, ſumpto vtcumque
puncto, B, ducatur vſque
ad oppoſitam tangentem
vtcumque in earum plano
recta, BF, illi incidens in,
F, & per, B, ducatur in pla-
no tangente ipſa, BG, pa-
rallela vni laterum cylin-
drici, PN, per ipſas autem,
FB, BG, intelligatur ex-
tenſum planum, quod ſe-
cet aliud planum tangens
in recta, FL, & planum
per, ZG, XL, ductum in
recta, GL, erunt igituripſę,
BE, GL, parallelæ, vt &
ipſæ, BG, FL, & erit, FG,
parallelogrammum. Du-
catur nunc intra dicta op-
poſita tangentia plana eiſdem ęquidiſtans planum, quod erit ductum
perlatera, cylindricumque, PN, ſecabit, ſit ductum perlatera, P
productum ſecet planum, FG, in recta, D
H, & planum, quod tranſit per, AB, VF, in recta, PD, &
quod
tranſit per, ZG, XL, in recta, OH: erit ergo, DH, parallela
ipſi, BG, &, BG, eſt parallela vni laterum cylindrici, ergo &
, D
H, erit parallela ipſi, KN, EM, CI, PO, & erunt ipſa, PI, CM,
EN, KH, FH, DG, parallelogramma, & eorum latera oppo-
ſita inter ſe ęqualia, nempè, FD, ipſi, LH, & DB, ipſi, HG, D
K, ipſi, HN, DE, ipſi, HM, DC, ipſi, HI, &, DP, ipſi, H
O, ſunt igitur ipſæ, BF, GL, ductæ inter oppoſitas tangentes fi-
gurarum, APK, ZON, ad eundem angulum ex eadem parte,
quia angulus, BFV, eſt æqualis angulo, GLX, nam, BF, eſt pa-
rallela ipſi, GL, &, FV, ipſi, LX, &
ſunt ipſæ, BF, GL, ſimili-
H, parallelas ipſis oppoſitis tangentibus, quæ cum ſint vtcumque
ſas, GL, BF, ex eadem parte, eodem ordine ſumptas, eſſe, vtip-
ſas, BF, GL, nam quia, DK, eſt æqualis ipſi, HN, &, BF, ipſi,
GL, vt, BF, ad, GL, ita eſt, DK, ad, HN, & ita eſſe oſtende-
mus, DE, ad, HM, DC, ad, HI, &, DP, ad, HO, nam iſtæ
ſunt æquales. Idem demonſtrabitur in cæteris, quæ ſimiliter ad ean-
ſunt ſimiles: Et quia earum homologæ, tum, PC, OI, tum, EK,
MN, ſunt ęquales, quod etiam de cæteris oſtendetur eodem pacto,
ſunt enim ſemper parallelogrammorum oppoſita latera, ideò figu-
ræ, APK, ZON, nedum erunt ſimiles, ſed etiam æquales, & re-
ipſę, BF, G
L, earum incidentes. Quia verò figuræ, APK, ZON, ſunt in pla-
nis æquidiſtantibus ita conſtitutæ, vt earum incidentes ſint paralle-
læ, & homologæ figurarum, ZON, APK, ſunt ad eandem par-
tem incidentium poſitę, & item homologæ partes incidentium, B
F, GL, vt ipſæ, BD, GH, ſunt ad eandem partem pariter conſti-
tutæ, ideò figuræ, APK, ZON, nedum erunt ſimiles, & æqua-
les, ſed etiam ſimiliter poſitæ, quod oſtendere opus erat.
_M_Anifeſtum eſt autem, quia plana oppoſita tangentia cylindrici,
PN, ducta ſunt vtcumque, & eorum, &
oppoſitarum baſium
productarum communes ſectiones ſunt regulæ homologarum earumdem,
quod ſi duxerimus duo alia oppoſita tangentia plana, habebimus etiam
earumdem figurarum homologas, regulis adbuc communibus ſectionibus
horum tangentium planorum poſtremò ductorum, & earumdem baſium
productarum, quæ communes ſectiones cum primò dictis angulos æqua-
les continebunt, nam quæ exiſtent ex. gr.
in plano figuræ, APK, erunt
dricorumbaſibus homologas babebimus etiam cum quibuſuis rectis lineis
æquales angulos cum duabus quibuſuis homologarum earumdem inuen-
tis regulis continentibus, quæ igitur cum regulis homologarum oppoſi-
tarum baſium cylindrici angulos ad eandem partem continent æquales,
ſunt & ipſæ homologarum earumdem regulæ, neonon earundem oppoſi-
tarum baſium, & oppoſitarum tangentium æquè ad prædictas inclinata-
rum, etiam incidentes licebit, vt ſupra, inuenire.
DEſiderari tantum videtur huius euidentia, quod ſcilicet planum
inter oppoſita tangentia plana eiſdem a quidiſtanter ductum
tranſeat perlatera cylindrici, quod aſſumpra eiuſdem figura nunc
intelliga-
tur ergo in ambitu vtriuſuis
oppoſitarum baſium cylin-
drici, PN, ſumptum pun-
ctum, vt, O, in ambitu fi-
guræ, ZON. Dico pla-
num, quod tranſit per, O,
æquidiſtans planis tangen-
tibus, AG, VL, tranſire
per latera cylindrici, PN. Ducatur ergo à puncto, O,
latus cylindrici, PO, & ab
eodem pundo, O, in baſi,
ZON, recta, ON, paral-
lela ipſi, XL, igitur pla-
num, quod tranſit per, P
O, ON, æquidiſtat plano,
lateri cylindrici, &, ON,
ipſi, XL, ęquidiſtat, quod
ergo ducitur per, O, eidem plano tangenti æquidiſtans tranſit per
ipſas, PO, ON, ſi. n.
non, erunt duo plana eidem plano, VL,
æquidiſtantia, & ideò inter ſe æquidiſtantia, quibus communis erit
punctus, O, igitur in eo concurrent, quod eſt abſurdum, non ergo
illa ſunt duo plana, ſed vnum tantum, illud nempè, quod ducitur
per punctum, O, ipſi plano, VL, æquidiſtans, tranſitque per, P
O, ON, neceſſariò: Siverò à punctis, I, M, N, erigantur latera
cylindrici, CI, ME, NK, erunt cuncta in plano per, PO, ON,
tranſeunte, ergo planum, quod ducitur per punctum, O, æquidi-
ſtans plano, VL, cylindricum tangenti tranſit per latera, PO, CI,
EM, KN, quod oſtendendum erat.
SI cylindricus planis ſecetur quomodocumque pet latera
ductis, eiuſdem oppoſitę baſes in figuras ſimiles, ęqua-
les, & ſimiliter poſitas diuiduntur, tales autem erunt, quæ
Et ſi idem
ſecetur planis parallelis quomodocumq; omnibus eiuſdem
lateribus coincidentibus, conceptæ in cylindrico figuræ e-
runt ſimiles, æquales, & ſimiliter poſitæ.
Conſpiciatur figura Propoſit.
10.
in qua iam propoſitas ſectiones
habemus, plana enim, AE, ME, tranſeuntia per cylindrici latera
plana, BNG, COF, omni-
bus eiuſdem lateribus coincidunt, & ſunt paral-
lela. Dico ergo figuras, MZH, EIV, eſſe ſi-
miles, & æquales, &
ſimiliter poſitas, quod pa-
tet, nam illæ ſunt cylindrici, MHZI, oppoſi-
tæ baſes; idem eodem modo probabitur de figu-
ris, AMH, DVE, & de, ARH, DXE, &
tandem oſtendemus pariter figuras, BNGK, C
OFL, eſſe ſimiles, æquales, & ſimiliter poſitas,
demonſtrandum erat.
_H_Inc apparet, quamuis figuram planam ex ſectione plani, oppofi-
tis baſibus cylindrici æquidiſtantis, in eo productam, eiſdem op-
poſitis baſibus eſſe ſimilem, æqualem, & ſimiliter poſitam.
SI quis cylindricus ſecetur plano per latera, deinde ſece-
tur planis oppoſitis eiuſdem baſibus æquidiſtantibus: Communes ſectiones plani per latera ducti, &
planorum ba-
ſibus æquidiſtantium, erunt lineæ, vellatera homologa fi-
gurarum ſimilium, quæ ex ſectione æquidiſtantium plano-
rum in cylindrico effecta in eodem producuntur.
Sit cylindricus, ADM, cuius oppoſitæ baſes, ABC, TDF, ſe-
cetur autem plano vtcumque per latera ducto, quod in eo producat
parallelogrammum, BF, & alio vtcumque plano oppoſitis baſibus
æquidiſtante, quodin eo producat figuram, YNXO, & in paral-
lelogrammo, BF, rectam, NO. Dicorectas, DF, NO, BC, eſſe
lineas, vellatera homologa figurarum, TDF, YNO, ABC, ſi-
Ducantur plana oppoſita tangentia cylindrici, AM, re-
planorum figura-
rum, YNO, TDF, productorum, communes ſectiones ſint, XS,
MG, alterius autem, & eorundem planorum ſint rectæ, YP, TQ,
indefinitè ambæ productæ, ſumpto autem in, YP, vtcumque pun-
cto, P, ducatur per, P, ipſi, CF, æquidiſtans, PQ, & ab eodem
in plano per, YP, XS, tranſeunte vſquead, XS, ducatur vtcum-
queipſa, PS, per ipſas autem, QP, PS, intelligatur extenſum pla-
num, quod ſecetaliud tangens planum in, SG, & planum per, T
tur autem ipſæ, NO, DF, verſus, P
S, QG, quibus occurrant in, V, R,
& iungatur, VR, erunt igitur, VR,
PQ, communes ſectiones æquidiſtan-
tium planorum, YQ, NR, & plani,
PR, & ideò erunt parallelæ, vt &
ip-
ſæ, PV, QR, &, PR, erit paralle-
logrammum: Similiter, vt in Prop.
11.
oſtendemus eſſe parallelogramma ip-
ſa, VG, PG, NF, OR, NR, & an-
gulum, PSX, æqualem eſſe angulo,
QGM, & tandem, PS, QG, eſſe in-
TDF, & oppofitarum tangentium, YP, XS, TQ, MG, &
tan-
gentes eſſe homologarum earundem regulas, & quia eiſdem æqui-
diſtant ipſæ, NO, DF, & productæ ſimiliter, &
ad eandem par-
tem ipſas incidentes, PS, QG, diuidunt; nam, PV, æquatur ipſi,
QR, &, VS, ipſi, RG, ideò ipſæ, NO, DF, erunt lineæ homo-
logæ figurarum, YNO, TDF, ſimilium, quæ in plures homolo-
gas ſecari contingere poteſt, prout ſe habet ambitus ſuperficiei cy-
lindraceæ huius cylindrici, AM, ſunt lineæ homologæ inquam, ſi
latera homologa, ſi ſint in earundem ambitu, veluti contingeret ſi
planum per latera ductum eſſet planum contactus vnius oppoſito-
rum tangentium, veluti ſi cylindricus fuiſſet, cuius oppoſitæ baſes
ſunt, ABC, TDF, excluſis reſiduis figuris, quæ ab ipſis, BC, D
F, abſcinduntur, tunc enim eodem modo facta fuiſſet demonſtra-
tio, vt conſideranti facilè patebit; idem oſtendemus in recta, BC,
& in quibuſuis alijs, quæ ſunt communes ſectiones planorum baſi-
bus æquidiſtantium, & parallelogrammi, BF, probantes ſcilicet
eaſdem eſſe lineas, vellatera homologa figurarum in cylindrico per
baſibus æquidiſtantia plana productarum, quod oſtendere opus erat.
SI duæ figuræ planæ non exiſtentes in eodem plano fue-
rint ſimiles, æquales, & ſim iliter poſitæ, illæ erunt cu-
iuſdam cylindrici oppoſitæ baſes.
Sint duæ ſimiles figuræ planæ, &
æquales, AQTO, FDNC,
non exiſtentes in eodem plano, & ſimiliter poſitæ.
Dico eas eſſe
cuiuſdam cylindrici oppoſitas baſes. Quoniam enim ſunt ſimiliter
poſitæ erunt inter ſe æquidiſtantes, & earum incidentes pariter inter
quæ ſint, TP, AB, & figuræ, FDNC, quæ ſint, FH, NL,
& ſint incidentes earum, &
ſimilium figurarum ipſę, BP, HL, quę
erunt parallelæ, & quia ſunt incidentes ſimilium figurarum, AT,
oppoſitarum tangentium iam ductarum, ideò ad eaſdem ex
eadem parte efficient angulos æquales, igitur angulus, BPT, erit
ideò etiam, PT, ęquidiſtabitipſi, LN,
, BA, ipſi, FH, iungantur, BH, PL,
quoniam ergo, AT, FN, ſunt ſimiles,
& æquales, earum homologæ erunt pa-
riter æquales, ſunt autem incidentes, BP,
HL, vt ipſæ homologæ, vt colligitur in
Coroll. 1.
ſequentis Propoſit.
22.
indepen-
denter ab hac Propoſitione, ergo, BP, H
L, erunt æquales, & ſunt æquidiſtantes,
ergo eas iungentes, BH, PL, erunt ęqua-
les, & æquidiſtantes.
Diuidantur ipſę in-
cidentes, BP, HL, ſimiliter ad eandem
iun-
gantur, EG, MK, erit ergo, MP, ęqua-
lis ipſi, KL, &, EM, ipſi, GK, &
, BE,
ipſi, HG, nam quia, BP, HL, ſimiliter
diuiduntur in his punctis, earum partes ſunt, vt ipſæ integræ, illæ
verò ſunt æquales, & ideò etiam homologæ partes ſunt æquales, &
eas iungentes, PL, MK, EG, BH, erunt æquales, & æquidiſtan-
ſtans ipſi, NL, quia ergo, MK, æquidiſtat ipſi, PL, &, RK,
ipſi, NL, planum per, MK, KR, tranſiens æquidiſtat tranſeunti
per, PL, LN, ſecet hoc planum tranſiens per, MK, KR, pla-
num, AT, productum, in recta, SM, & iungantur, SR, VI, erit
T, veluti, RK, æquidiſtat ipſi, NL, regulæ homologarum figu-
ræ, F N, & ſecant incidentes, BP, HL, ſimiliter ad eandem par-
tem in punctis, M, K, ergo ipſæ, SV, RI, erunt homologę di-
ctarum figurarum ſimilium, & ęqualium, quę ideò erunt æquales,
ſicut etiam ipſæ, VM, IK. &
ſunt ęquidiſtantes, ergo eas iungen-
tes erunt ęquales, & ęquidiſtantes, ſcilicet, SR, VI, MK, eſtau-
tem, MK, parallela, & ęqualis ipſi, PL, ergo, SR, VI, erunt
ęquales, & parallelęipſi, PL:
Eodem pacto per, EG, extendentes
planum ęquidiſtans plano, TL, quod ſecet figurarum, AT, FN,
productarum plana in rectis, QE, DG, oſtendemus ipſas, QO, D
C, eſſe homologas figurarum ſimilium, & ęqualium, AT, FN, &
ideò eas eſſe ęquales, vt & ipſas, OE, CG, ergo ſi iungantur, QD,
OC, iſtę erunt ęquales, & parallelę ipfi, EG, ideſt ipſi, PL;
ſimi-
liter in cæteris planis procedemus, quæ inter plana, TL, AH, ip-
ſis æquidiſtantia ducuntur, oſtendentes, quæ iungunt extrema ho-
mologarum earundem figurarum, AT, FN, eſſe æquales, & ęqui-
diſtantesipſi, PL, ſi igitur, PL, regula ſtatuatur, erunt omnes di-
ctæ iungentes in ſuperficie quadam, per quam ipſi, PL, properan-
te quadam recta linea æquali ſemper ęquidiſtanter, eiuſdem extrema
perficies cylindrici, cuius oppoſitę baſes erunt ipſę, AT, FN, ſunt
igitur, AT, FN, cylindrici cuiuſdam (nempè cuius latus eſt quod-
uis ipſorum, QD, SR, VI, OC,) oppoſirę baſes, quod erat no-
bis oſtendendum.
PVnctus manens, cui in reuolutione innititur latus coni-
ci, eſt vnicus vertex conicireſpectu eiuſdem baſis.
Sit conicus, ABD, baſis, BD, punctus, eui innititur latus co-
Dico, A, eſſe vnicum verticem conici, A
BD, reſpectu baſis, BD. Intelligatur per pun-
ctum, A, ductum planum ęquidiſtans baſi, dico
hoc planum tantummodo in hoc puncto tangere
conicum, ſi enim poſſibile eſt eundem tangat, ſeu
ſecet in duobus punctis, vt in, C, A, iuncta ergo,
AC, illa erit in ſuperficie coniculari, & cum de-
ſcendat à puncto, A, per ipſum tranſiet aliquando
latus conici, vt, AB, igitur, AB, erit in plano ducto per, A, baſi,
quia latus, AB, indefinitè productum oc-
currit baſi, etiam dictum baſi ęquidiſtans planum occurret indefini-
tè productum ipſi baſi, quod eſt abſurdum, non igitur planum du-
ctum per, A, baſi, BD, ęquidiſtans conicum tangit vel ſecat in a-
lio, quam in puncto, A, ergo, A, erit illius vnicus vertex reſpectu
baſis, BD, quod erat oſtendendum.
_C_Vm autem dicemus verticem alicuius conici, intelligemus ſemper
ipſum reſpectu baſis aſſumptum, ideſt punctum, curin reuolutie-
ne innititur latus cylindrict, niſi aliud explicetur.
SI conicus ſecetur vtcumque per verticem ducto plano,
concepta in ipſo ſigura, vel figuræ, erit triangulus, vel
trianguli.
Secetur quilibet conicus, ABF, plano vtcumque per verticem
ducto, quod in eo producat figuram, ſiue figuras, ABC, AEF.
munis ſectio illius, & baſis pro-
ducti plani, tota, BF, cuius, CE,
portio maneat extra baſim, eſt igi-
tur, BF, recta linea, dico etiam
eſſe rectas ipſas, AB, AC, AE,
AF, ſienim non eſt, AB, recta,
ducatur in plano figurę, ABC, re-
cta, AOB, igitur, AOB, quę
iungit punctum, B, & verticem coni eſt latus conici, ABF, ergo
eſt in ſuperficie coniculari, & eſt etiam in plano figurę, ABC, ergo
eſt in eorum communi ſectione, ideſt cadit ſuper, AB, igitur, AB,
erit recta linea, eodem modo oſtendemus ipſas, AC, AE, AF, eſſe
rectas, & ideò erit, ABC, triangulus, vt etiam, AEF, quod erat
oſtendendum.
_E_Odem modo nobis innoteſcit figuras, quæ extra conicum fiunt eſſe
triangulos, ideſt, ACE, eſſe triangulum, & qui ex ipſis inte-
gratur, ſcilicet, ABF, pariter eſſe triangulum.
SI conicus ſecetur vtcumque planis per verticem, diuidi-
tur ab eiſdem in conicos: Etſiſecetur vtcumque planis
coincidentibus omnibus eiuſdem lateribus, ſolida ab ijſdem
abſciſſa verſus verticem erunt pariter conici, & eorum baſes
ipſæ ſiguræ abſcindentes.
Sit quilibet conicus, AMV, ſectus plano vtcum que per verticem
ducto, quod in eo producat triangulum, ACD. Dico ab hoc pla-
no ſecante in conicos, ACVD, ACMD, fuiſſe diuiſum. Sin.
in-
telligamus latus trianguli, ACD, quod ſit, AC, vel, AD, inni-
xum puncto, A, indefinitè productum ferri per rectam, CD, ipſa
deſcribet ſuperriciem trianguli, ACD, ad modum ſuperficiei coni-
cularis, eſt autem reliqua, quę inſiſtit ambitui, CVD, ſic deſcripta,
properante per circuitum figuræ planæ,
CVD, ergo erit, ACVD, conicus,
cuius baſis ipſa figura, CVD, & ver-
tex, A. Eodem modo oſtendemus, A
CMD, eſſe conicum, cuius baſis, CM
D, vertex, A. Secetur nunc plano vt-
cumque omnibus conici, AMV, late-
ribus concidente, quod in eo producat
figuram, BNEO. Dico, ANO, eſſe
conicum, cuius baſis figura, BNEO,
vertex, A, nam dum latus conici, AM
V, properat per circuitum baſis, CMD
V, vt deſcribat eius conicularem ſuperficiem, properat etiam per
circuitum figurę, BNEO, & deſcribit ſupra ipiam ſuperficiem co-
nicularem, igitur ſuperficies ab eadem figura, BE, ablciſia verſus,
A, eſt conicularis, & ſolidum comprehenſum ab ipſa, &
figura pla-
na, BNEO, erit conicus, & eiuſdem baſis ipſa figura, BNEO,
vertex autem, A, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc habetur, ſi planum tranſeat per verticem conici, &
quamli-
bet rectam lineam intra baſim conici exiſtentem, qui quidem ſe-
cetur alio plano coincidente cum omnibus eiuſdem conici lateribus,
conico productan à plano omnibus eiuſdem lateribus coincidente, vt
patet in conico, ACD qui ſecatur plano, ACD, & alio, BNEO,
quorum com nunis ſectio ſit, BE. Dico n.
ſi, CD, ſit intra figuram, C
MDV, etiam, BE, fore intra figuram, BNEO, nam, ACVD, e§t
conicus, & quia latera non vniuntur, niſi in puncto, A, ideo, BOE,
eſt aliqua figura, vt etiam, BNE, & ideò, BE, cadit intra figuram,
BNEO.
SI per verticem conici, &
rectam tangentem eius baſim
extendatur planum, hoc tanget ipſum conicum in vna,
vel pluribus rectis lineis, quę erunt latera conici, velin pla-
no tranſeunte per eiuſdem latera, quod erit triangulum, ſiue
in plurib us triangulis.
Sit conicus, cuius vertex, A, baſis, BCE, quam tangat recta,
DF, in puncto, vel punctis, ſiue in linea. Dico planum, ADF,
tangere dictum conicum in recta linea, ſiue in pluribus rectis lineis,
ſiue in plano, quod erit triangulum per eiuſdem latera tranſiens.
in puncto, B, & iungatur, AB, perq;
AB, &
, DF, dictum ſit extenſum pla-
num, ergo, AB, erit latus conici, A
CE, nam latus, quod reuoluitur tran-
ſiens per, B, congruit rectę, AB, alio-
quin duæ rectæ lineæ clauderent ſuper-
ficiem, eſt ergo, AB, in ſuperficie co-
niculari, eſt etiam in plano per, A, &,
DF, tranſeunte, ergo, AB, eſt com-
munis tum ſuperſiciei coniculari, tum
plano per, A, &, DF, ducto, nullus
autem punctus rectę, AB, eſt intra ſu-
perſiciem cylindraceam, ergo planum
per, AB, DF, ductum tangit conicum
in recta, AB: Eodem pacto oſtendemus idem tangere conicum in
quibuſuis alijs lateribus, quæ ducuntur à punctis contactus rectæ li-
neæ, DF, qui fi ſint plures, fit etiam contactus in omnibus lineis,
fi vero contactus rectæ, DF, fiat in recta linea tunc contactus plani
per, AB, DF, fit in ſingulis rectis lineis, quæ à recta talis contactus
trianguli, cuius baſis eſt linea contactus vertex reſpectu eius, pun-
ctus, A, igitur, contactus plani per, AB, DF, ductifit vel in vna,
vel pluribus rectis lineis, vel in plano, quod eſt triangulum, ſiue
plura triangula, non ſecabit autem alicubi tale planum ipſum coni-
cum, tunc enim aliquis punctus talis plani per, AB, DF, tranſeun-
tis eſſet intra ſuperficiem conicularem, ſit is punctus, I, iuncta igi-
tur, AI, & producta verſus baſim incidet intra baſim, vt facilè o-
ſtendi poteſt, & quia eſt, AX, in plano per, AB, DF, ducto, &
punctus, X, eſt etiam in plano baſis, erit in communi fectione, ideſt
in linea, DF, igitur aliquis punctus rectæ, DF, erit intra baſim,
igitur illam ſecabit, quod eſt abſurdum, ergo falſum eſt planum per,
A, DF, ductum ſecare alicubi ipſum conicum, igitur illum tanget
in his, quæ dicta ſunt, quod oſtendere oportebat.
_E_X hoc habetur, ſi conicus ſecetur plano baſi æquidiſtante, commu-
nem ſectionem huius, & plani per verticem, &
tangentem baſim
ducti, tangere figuram à plano æquidiſtante baſi in conico productam, ſi
enim eam ſecaret, etiam tangens planum ſecaret conicum, quod eſt ab-
ſurdum.
SI conicus planoſecetur baſi æquidiſtante, concepta in
eo figura erit ſimilis baſi, & eidem ſimiliter poſita.
Sit conicus, cuius vertex, A, baſis, TDF, ſecetur autem plano
baſi æquidiſtante, quod in eo producat figura, VBO. Dico hanc
eſſe ſimilem baſi, & eidem ſimiliter poſitam.
Ducantur ipſius ba-
ſis duæ vtcumque oppoſitæ tangentes, quæ ſint, TH, SP, indefi-
quamlibet dictarum tangen-
tium extendatur planum, erunt ergo hęc plana tangentia conicum,
ADF, ſecent autem figuræ, VBO, productum planum in rectis,
punctum, vt, H, à quo verſus reliquam tangentem eiuſdem figurę,
TDF, in eiuſdem plano ducatur vtcumque, HP, in, SP, termi-
nata, deinde intelligatur extenſum planum per, A, &, HP, tran-
ſiens ita, vtſecet plana conicum tangentia in rectis, AH, AP, &
P, vtcumq; in puncto, G, à quo ducatur ipſi, SP, parallela, GD,
ſecans baſis ambitum in punctis, F, E, C, D, deinde extendatur
planum per, A, verticem, & rectam, DG, quod per conici latera
producet triangula ſiueintus, ſiue extra conicum, quæ
ſint, ADC, ACE, AEF, AFG, ſecabitque figuram, VBO, ſe-
cet eius productum planum in recta, BM, quæ ambitum eiuſdem,
VBO, diuidat in punctis, B, R, I, O, habebimus etiam triangula,
ABR, ARI, AIO, AOM, quorum latera erunt portiones late-
rum inferiorum triangulorum, per planum autem, ADG, ſiue per
rectam, AG, ſit ſecta, KN, in puncto, M. Quia ergo plana, quę
per, TH, SP, tranſeunt
ſunt parallela, & ſecan-
tur à plano, APH, com-
runt parallelę.ſ.
KN, ipſi,
HP, igitur triangulus, A
MN, æquiangulus erit
triangulo, AGP, & ideo
circa æquales angulos e-
lia, ergo vt, PG, ad, G
A, ſic erit, NM, ad, M
A, eodem modo oſtende-
mus, vt, AG, ad, GH, ita eſſe, AM, ad, MK, ergo ex æquali
PG, ad, GH, erit vt, NM, ad, MK, ſunt igitur, PH, NK, ſi-
militer ad eandem partem diuiſæ in punctis, M, G: Eodem modo
oſtendemus triangulum, AMO, eſſe ęquiangulum ipſi, AGF, &,
AMI, ipſi, AGE, &, AMR, ipſi, AGC, &
tandem, AMB,
ipſi, AGD, igitur, vt, GA, ad, AM, ſic erit, permutando, FG,
ad, OM, vt verò, GA, ad, AM, ſic permutando eſt, PG, ad,
NM, ideſt, PH, ad, NK, ergo, FG, ad, OM, eſt vt, PH, ad,
NK, ſimiliter oſtendemus, EG, ad, IM, &, CG, ad, RM, &
tandem, DG, ad, BM, eſſe vt, PH, ad, NK, & quia, KN, eſt
parallela ipſi, HP, &, NX, ipſi, PS, ideò angulus, KNX, eſt
habemus igitur duas figuras planas, VBO,
TDF, quarum ductæ ſunt oppoſitæ tangentes, VK, XN, vnius,
&, TH, SP, alterius, inuenimus autem rectas, KN, HP, inter
eaſdem poſitas, cum eis ad eandem partem angulos æquales conti-
nentes, ita ſe habere, vt ductis duabus vtcumque ipſis tangentibus
parallelis, quæ diuidant ipſas ſimiliter ad eandem partem, repertum
perimetrum figurarum con-
tinentur, eodem ordine ſumptas, eſſe vt ipſas, HP, KN, inciden-
ho-
mologarum earundem regulæ ipſæ tangentes, dictæ figuræ ſunt in
planis æquidiſtantibus, quarum incidentes fibi inuicem ęquidiſtant,
& homologæ earundem figurarum ſunt ad eandem partem inciden-
tium, & ipſarum incidentium partes homologæ pariter ad eandem
partem conſtitutæ, igitur figuræ, VBO, TDF, nedum erunt ſimi-
les, ſed etiam ſimiliter poſitæ, quod oſtendendum erat.
_E_T quia oſtenſum eſt ipſas tangentes, SP, XN, eſſe bomologárum
earundem ſimilium figurarum regulas, & ductæ ſunt vtcumque,
patet ſi duxerimus alias duas eiuſdem baſis oppoſitas tangentes, quæ cum
primò ductis angulos efficient æquales, & per ipſas, &
verticem, A,
extenderimus duo plana (quorum & plani figuræ, BVO, producti com-
munes ſectiones erunt aliæ duæ figuræ, BVO, oppoſitæ tangentes) quod
eodem modo oſtendemus has ſecundas tangentes eſſe homologarum earun-
dem ſimilium figurarum regulas, & intra ipſas contineri earundem
quoq; incidentes, ſacient autem ſecunda tangentes cum primis angu-
los æquales, prima. n.
ex.
gr.
tangens figuræ, BVO, quæ eſt, XN, eſt
parallela ipſi, SP, primæ tangenti figuræ, DTF, & ſecundatangens
figuræ, BVO, eſt pariter parallela ſecundæ tangenti figuræ, DTF, nam
tum primæ, tum ſecundæ tangentes ſunt communes ſectiones æquidiſtan-
tium planorum, ipſarum nempè figurarum, BVO, DTF, productorum
planorum, & ideò ſunt parallelæ, &
angulos continent æquales, vnde
bomologas cum àuabus quibuſdam regulis, eaſdem etiam babebimus cum
duabus quibaſuis alijs angulos æquales cum prædictis ad eandem partem
continentibus.
_P_Atet in ſuper ex bac, &
11.
ac 12.
huius ſimilium planarum figu-
rarum, quæex ſectione planorum baſi cylindrici, vel conici æqui-
diſtantium in illis producuntur, vel ſunt oppoſitæ baſes cylindrici, aut
fruſti conici, poſſibile eſſe inuenire incidentes, quæ ſint & ductarum vt-
cumq; oppoſitarum earundem tangentium incidentes, &
quia punctum,
H, ſumptum eſt vtcumque, & ab ipſo ducta quælibet incidens, HP, pa-
tet, quod, ducta vtcumque in dictis figuris incidente earum tangenti-
cidentes earundem, quarum altera ſit iam ducta; veluti, acta, HP, vt-
cumque inuentæ ſunt duæ incidentes, KN, HP, quarum altera fuit,
HP. Et quia bomologarum in eaſdem incidentes productarum, &
ad
eas terminatarum, portiones, eodem ordine ſumpcæ, ſunt proportiona-
les, ſunt enim, vt ipſæ incidentes, ideò per homologarum productarum,
talia extremaſemper tranſeunt aliquæ incidentes.
SI conicus ſecetur quomodocumq;
planis parallelis, cum
omnibus eiuſdem lateribus coincidentibus, conceptæ
in ipſo figuræ erunt inter ſe ſimiles, & ſimiliter poſitæ.
Sit conicus, cuius baſis, FHG, ver-
parallelis, quæ cum omnibus eiuſdem la-
teribus coincidant, & ſint conceptæ in
ipſo figuræ, DME, BNC. Dico has
eſſe ſimiles, & ſimiliter poſitas:
Nam
quia planum figuræ, DME, coincidit
omnibus lateribus conici, AFHG, ideo
autem plano eius baſi, DME, æquidi-
ram, BNC, ergo figura, BNC, erit ſi-
milis baſi, DME, & eidem ſimiliter po-
ſita, quod erat demonſtrandum.
SI quilibet conicus ſecetur plano per verticem, ſiue ab
eodem tangatur in plano, nempe in triangulo, veltrian-
gulis, ſecetur autem alijs planis vtcumq; baſi parallelis, com-
munes ſectiones, quæ ab eodem plano ſecante ſiunt in dictis
planis baſi parallelis, erunt homologę lineę, vel latera figu-
rarum, quæ ab eiſdem æquidiſtantibus planis in eodem co-
nico producuntur.
Videatur figura Propoſ.
16.
huius, in qua conicus, ATDF, in-
telligatur ſectus plano vtcumque per verticem, A, ducto efficiente
triangulum, ſiue triangulos, ADC, AEF, intra, extra autem trian-
gulum, ACE, & qui ex illis integratur, ADF, ſecetur autem alio
plano baſi parallelo, quod in conico producat figuram, VBO, &
ſint earum, & plani per verticem communes ſectiones, BR, DC,
IO, EF. Dico eaſdem eſſe lineas homologas earundem figurarum,
VBO, TDF. Intelligantur in baſi ductæ oppoſitæ tangentes, T
H, SP, per quas, & verticem, A, extendantur plana, quæ pariter
plani figurę, VB
O, producti communes ſectiones, VK, XN, quas, vt ibi, oſten-
ptas, accipiatur deinde in, TH, vtcumq; punctum, H, à quo vſq;
ad aliam oppoſitam tangentem, SP, ducatur vtcumque, HP, &
peripſam, & punctum, A, extendatur planum, quod ſecet tangen-
tia plana in rectis, AH, AP, & planum parallelarum, VK, XN,
in recta, KN, erunt ergo ipſæ, KN, HP, parallelæ, extendatur
planum trianguli, ADF, ita vt ſecet triangulum, APH, in recta,
AG, & planum figuræ, TDF, productum, ſi opus ſit, in recta, D
G, Eodem modo igitur, quo vti ſumus in Propoſ. 19.
quia, KN,
HP, ſunt parallelæ, oſtendemus ipſas, KN, HP, eſſe ab ipſis, B
M, DG, (quę ſunt communes ſectiones trianguli, ADF, & ęqui-
diſtantium planorum, VBO, TDF, & ideò ſunt parallelæ) ſimi-
liter diuiſas, & ad eandem partem in punctis, M, G, vnde, vt ibi
oſtendemus figuras, VBO, TDF, eſſe ſimiles, & earum, &
tan-
gentium oppoſitarum, XN, VK; SP, TH, incidentes eſſe ipſas,
KN, HP, & tangentes eſſe regulas homologarum earundem, qua-
rum duæ ſunt ipſæ, BRIO, DCEF, coniunctæ, ſiue ipſæ, BR,
DC; IO, EF.
Eodem modo, ſi propoſitus conicus fuiſſet, cuius
vertex, A, baſis altera figurarum a bafi, TDF, per rectam, DF,
abſciſſarum, vt ipſa, DTF, oſtenſum eſſet ipſas, BR, DC; IO,
EF, communes ſectiones plani conicum tangentis in triangulis, A
planorum æquidiſtantium, BVO, DTF, eſſe ea-
rundem homologas, erunt autem in hoc caſu latera homologa, ve-
lut cum ſunt intra figuras ſunt lineæ homologæ earumdem, quode-
rat oſtendendum.
_H_Inc habetur, ſi propoſitum fuiſſet fruſtum conici, BTF, quod eius
omnia latera producta coincidiſſent in vno puncto, A vnde,
oſtenſum pariter fuiſſet communes ſectiones plani per eius latera tran-
ipſarum, V
BO, TDF, ſiue eiſdem æquidiſtantium inter eaſdem ductarum, eſſe ea-
rundem lineas, vel latera homologa, vnde patet communes ſectiones
planiper latera fruſti conici ducti, & eiuſdem baſium oppoſitarum, ſiue
eiſdem æquidiſtantium inter eas productarum figurarum, eſſe earundem
lineas, vel latera homologa; lineas, inquam, cum ſunt intra figuras,
nec ſumuntur in plano tangente: latera, cum ſunt in earum circuitu,
cum nempè ſunt in eodem plano tangente, in eo præcisè, quod eſt pla-
num contactus fruſti conici (contactus ſcilicet cius plani, quod per ver-
ticem ducitur) quod ſemper erit trapezium, vel trapezia, vt patere po-
teſt in trapezijs, BDCR, IEFO, quæ eſſent planum contactus fruſti
conici, ſiidem fruſtum tangeretur à plano trianguli, ADF.
SI duæ figuræ planę ſimiles, non exiſtentes in eodem pla-
no, fuerint inæquales, & ſimiliter poſitæ;
erunt cuiu-
ſdam fruſticonici oppoſitæ baſes.
Vtamuradhuc figura Propoſ.
19.
&
ſint duæ figuræ planæ quæ-
cumque ſimiles, inæquales, & ſimiliter poſitę, non tamen exiſten-
tesin eodem plano, ipſæ, VBO, TDF. Dico, quod erunt am-
bæ cuiuſdam fruſti conici oppoſitę baſes. Quoniam ergo figure, V
BO, TDF, ſunt ſimiliter poſitæ, & non in eodem plano, erunt in
quia ſunt ſimiles ſint earum incldentes, &
oppoſitarum tangentium, quæ ſunt earundem homologarum regu-
læ, ipſæ, KN, HP; KN, ipſius, VBO, &
, HP, ipſius, TDF,
& prædictæ tangentes figuræ, VBO, ſint ipſæ, VK, XN, &
fi-
guræ, TDF, ipſæ, TH, SP, erunt ergo ipſæ, KN, HP, æqui-
diſtantes, & quia ad tangentes, quæ ſunt regulæ homologarum, illę
æqualis angulo, HPS, & quia, KN, eſt parallela ipſi, HP, erit
etiam, XN, parallela ipſi, SP. Eodem pacto oſtendemus, VK,
eſſe parallelam ipſi, TH; ducantur in figuris, VBO, TDF, duæ
earum homologæ regulis dictis tang entibus, quæ ſint ipſæ, BR, I
O, DC, EF, ſint autem totæ, BO, DF, productæ, ſi opus ſit, vt
ſecent ipſas, KN, HP, quas diuident ſimiliter ad eandem partem,
vt in punctis, M, G, & quia figuræ propoſitæ ſunt inæquales, ſit
maior ipſa, TDF, igitur etiam maior erit, DC, ipſa, BR, vel, E
F, ipſa, IO, ſi, n. eſſent eiſdem æquales, etiam reliquæ homologæ
his parallelæ eſſent ęquales, cum omnes ſint proportionales (ſunt.n.
ſi minores, etiam
ipſa figura, TDF, eſſet minor figura, BVO, contra ſuppoſitum,
eſtigitur, DC, maior ipſa, BR, eſt autem, vt, DC, ad, BR, ita,
PH, ad, NK, nam vt, DG, ad, BM, itaeſt, PH, ad, NK, &
erit vt, PH, ad, NK, ſic etiam eſſe oſtendemus, EF, ad, IO, vt,
PH, ad, NK, & quia, DC, eſt maior ipſa, BR, vel, EF, ipſa,
IO, ideò, HP, erit maior, KN, ſi igitur iunxerimus puncta, PN,
HK, ipſæ, PN, HK, ſi producantur ad partes ipſius, NK, con-
current, vt in, A. Dico, A, eſſe verticem conici, cuius eſt baſis ipſa,
explano ipſi,
TDF, ęquidiſtanter du-
cto eſt in ipſo concepta
figura, VBO. Quia er-
ipſi, PH, erunt triangu-
la, ANK, APH, ęqui-
angula, & circa æquales
angulos latera propor-
tionalia, igitur, HP, ad,
PA, erit vt, KN, ad, N
A, &, permutando, H
P, ad, NK, erit vt, PA,
ad, AN, vt autem, PH,
ad, NK, ita eſt, PG, ad, NM, nam ipſa, HP, KN, ſimiliter
ſunt diuiſæ in punctis, G, M, ergo, PA, ad, AN, erit vt, PG,
ad, NM, & ſunt parallelæ ipſæ, PG, NM, ergo puncta, G, M,
A, erunt in vna recta linea, ſit illa, AG, igitur, vt, PG, ad, NM,
NK, vt, FG, ad, OM, & vt, EG, ad, IM, &
tandem, vt, D
G, ad, BM, ergo, vt, GA, ad, AM, ita erit, FG, ad, OM; E
G, ad, IM; CG, ad, RM;
&
, DG, ad, BM, ergo, cum ſint
parallelæ, erunt tum puncta, AOF, tum, AIE, ARC, tum etiam,
ABD, in vna recta linea, extendantur ergo dictæ rectæ lineæ, quę
Eodem modo, ſi per duas quaslibet
homologas figurarum, VBO, TDF, planum extendamus, fiet in
cæteris demonſtratio; igitur ſi ſumantur in ambitu figurę, TDF,
quęcumq; puncta, quę iungantur cum puncto, A, ſemper iungen-
tes tranſibunt per circuitum figuræ, VBO, ergo figurę, TDF, &,
VBO, erunt fruſti conici oppoſitę baſes, quod à conico, ATDF,
QVoniam oſtendimus, tum, DC, BR, tum etiam, EF, IO, eſſe vt
ipſas incidentes, PH, NK, habetur ſimilium figurar um homo-
logas pariter eſſe, vt incidentes earundem, & oppoſitarum tangentium,
quæ ſunt earundem regulæ, quod in diffinitione aſſumitur contingere
tantum ijs, quæ inter circuicum figurarum, & ipſas incidentes, eodem
ordine ſumptæ, continentur.
PAtet etiam ex hac, &
14.
huius, omnes ſimiles figuras planas poſſe
eſſe alicuius cylindrici, vel fruſti conici, oppoſitas baſes; vnde qua
pro illis in Coroll. 2.
19.
huius colliguntur, pro omnibus ſimilibus figu-
ris planis etiam colligi poſſunt.
SI in recta linea ſignenturtria puncta, primum, medium, &
po-
ſtremum, à primo autem, & medio ducantur ad eandem par-
tem duę inuicem parallelę ita ſe habentes, vt educta à primo ad edu-
ctam à ſecundo, ſit veluti recta inter primum, & poſtremum pun-
ctum poſita, ad eam, quę inter medium, & idem poſtremum ſita eſt;
Extrema puncta parallelarum, quę non ſunt in propoſita linea, &
illius poſtremum, eruntin recta linea.
Sit propoſita recta, AC, in qua ſignatis vt-
&, A, poſtremo, à punctis, C, B, educantur
ad eandem partem duę inuicem parallelę, quę
ſint, CE, BD, ita ſe habentes, vt, CE, ad,
BD, ſit, vt, CA, ad, AB. Dico puncta,
A, D, E, eſſe in recta linea, ſi enim (iuncta,
ED,) ipſa, ED, producta non tranſit per,
A, tranſibit ſupra, vel infra, A, ſecans, CA,
(nam, BD, eſt minor ipſa, CE, vt eſt, AB,
minor, AC,) tranſeat, vt per, M, quia igi-
tur, EDM, eſt recta erit, MCE, triangu-
lus, in quo lateri, CE, ducitur parallela, B
D, ergo trianguli, ECM, DBM, erunt æ-
circa æquales angulos latera proportionalia, ergo, per-
mutando, CE, ad, BD, erit vt, CM, ad, MB, eſt autem vt, C
A, ad, AB, diuidendo, CB, ad, BM, erit vt, CB, ad, BA, er-
go, MB, erit æqualis ipſi, BA, totum parti, quod eſt abiurdum,
non igitur, ED, producta tranſit ſupra, A, eodem modo oſtende-
mus non tranfire infra, A, ergo tranſibit per, A, ergo tria puncta,
A, D, E, erunt in recta linea, AE, quod erat oſtendendum.
SI duarum quarumlibet ſimilium figurarum habeamus
homologas cum duabus quibuſdam regulis, habebi-
mus etiam homologas earundem cum duabus quibuſuis a-
lijs, cum prædictis angulos æquales ad eandem partem fa-
cientibus.
Patet hęc propoſitio, nam quæcunq;
figuræ planę ſimiles, ſi ſint
æquales, & ſimiliter poſitæ, poſſunt eſſe cuiuſdam cylindrici oppo-
dictis angulos æquales ad eandem partem conſtituentibus, ergo hoc
in quibuſcumque planis ſimilibus figuris verificatur, quod eſt pro-
poſitum.
_E_T quia incidentes ad homologarum ſimilium figurarum regulas an-
ipſæ incidentes
erunt homologarum earundem ſimilium figurarum regulæ, & vice verſa
in quibuſdam regulis homologarum poterunt ſumi earum incidentes.
SI in duarum ſimilium figurarum oppoſitas tangentes, quę
earundem homologarum ſint regulæ, incidant duæ re-
ctæ lineæ ad eundem angulum ex eadem parte eaſdem ſe-
cantes, ductis verò quibuſdam duabus, prædictis tangenti-
bus parallelis, in dictis figuris, quæ ſecantes diuidant ſimi-
liter ad eandem partem, vel aſſumptis ipſis oppoſitis tangen-
tibus, reperiamus harum portiones inter incidentes, & cir-
lut illæ, quæ dictis tangentibus inciderunt, iſtæ, quæ illis
inciderunt, erunt tum ſimilium propoſitarum figurarum, tum
ductarum tangentium, incidentes.
Sint duę quęcumq;
ſimiles planę figurę, ACEI, MTVS, qua-
rum ſint ductæ oppoſitæ tangentes homologarum earundem regu-
læ, AB, EF, figuræ, AE, &, MN, VR, figurę, MV, incidant
autem eiſdem ad eundem angulum ex eadem parte duæ, BF, NR,
& ductæ ſint quædam duæ ipſis tangentibus parallelæ, CD, TO,
ſecantes ipſas, BF, NR, (& coniequenter incidentes, vt facilè
patet) ſimiliter ad eandem partem, reperiamus, CD, ad, TO, &
pariter, ID, ad, SO, eſſe vt, BF, ad, NR. Dico ipſas, BF, N
R, eſſe incidentes ſimilium figurarum, AE, MV, & ductarum op-
EF, AB.
Ex dictis igitur ipſę, CI, T
figurarum, AE, MV, & quia, CD,
, B
F, ad, NR, vt, ID, ad, SO, erit, C
D, ad, TO, vt, ID, ad, SO, igitur
puncta, D, O, reperientur in duabus
dictarum fimilium figurarum, & op-
poſitarum tangentium, incidentibus,
ſint illæ ipſæ, HG, PL, quę cum ip-
ſis, TO, CD, æquales angulos ad
eandem partem continebunt. Dico ta-
men etiam ipſas, NR, BF, eſſe ea-
rundem figurarum, & tangentium, in-
cidentes: Sint puncta contactus tangentium, FE, RV, proxima ip-
ſis, NR, BF, ipſa, V, E. Dico, EF, ad, VR, eſſe vt, FB, ad,
lus, CDP, æquatur angulo, TOH, &, CDB, ipſi, TON, re-
liquus, PDB, ęquabitur reliquo, HON, & ſic etiam, FDL, ipſi,
ROG, eſt etiam angulus, PLE, ęqualis angulo, HGV, ideò re-
lo, ORG, & ſic triangula, FDL, ORG, erunt æquiangula, vt
etiam probabimus triangula, DPB, OHN, eſſe ęquiangula, ſicut
ſunt ęquiangula inter ſetriangula, FDL, PDB, &, ROG, HO
N, vnde vt, LD, ad, DF, ſic erit, PD, ad, DB, permutando,
LD, ad, DP, erit vt, FD, ad, DB, componendo, LP, ad, PD,
erit vt, FB, ad, BD, permutando, LP, ad, FB, erit vt, PD, ad,
ON, eſſe vt, HG, ad, NR, ergo, PL, ad, BF, erit vt, HG,
ad, NR, erat autem, EL, ad VG, vt, PL, ad, HG, ergo, EL,
ad, VG, erit vt, BF, ad, NR, quia verò, BF, ad, NR, eſt vt,
DF, ad, OR, (nam, BF, NR, ſunt ſimiliter diuiſæ in punctis,
D, O,) ideſt vt, FL, ad, RG, ergo, EL, ad, VG, erit vt, FL,
ad, RG, ergo reliqua, EF, ad, VR, erit vt tota, EL, ad, VG,
ideſt vt, BF, ad, NR. Idem oſtendemus de quibuslibet ductis ip-
ſis, EF, VG, parallelis, quę diuidant, BF, NR, ſimiliter ad ean-
dem partem, nempè eas, quæ inter ipſas, BF, NR, & circuitum
figurarum, AE, MV, eodem ordine ſumptæ continentur, eſſe vt
ipias, BF, NR, ergo, BF, NR, ſunt incidentes ſimilium figura-
ductarum tangentium, quod oſtendere opus erat.
INnoteſcit exhoe conſequenter duarum ſimilium figurarum, &
ea-
rundem oppoſitarum tangentium, quæ ſuntregulæ homologarum,
tum incidentes ſimiliter diuidi ab homologis earundem figurarum, pro-
ductis, ſi opus ſit, tum quaſcumque alias, quæ cum homologis angulos
continent æquales, vt exempli gratia ipſæ, NR, BF. Et vlterius ip-
ſas homologas eſſe tum vt quaſuis incidentes, tum vt eiſdem parallelas,
ideſt ex. gr.
CI, ad, TS, mdum erit vt, PE, ad, HG, ſiue vt, BF, ad,
NR, ſed etiam vt, BF, ad quamcumque aliam parallolam ipſi, NR,
ductam inter parattelas, MN, VR, nam illa erit æqualis ipſi, NR. Patet igitur duarum ſimilium figurarum homologas nedum eſſe vt ea-
rum, & oppoſitarum earundem tangentium, quæ ſunt regulæ homolo-
garum, incidentes, ſed etiam vt quaſuis alias inter eaſdem tangentes
ductas ipſis incidentibus æquidiſtantes, ſiue ad homologas ſimilium figu-
rarum æqualiter inclinatas.
SI quæcunque ſimiles figuræ planæ à rectis lineis deſcti-
bantur, quæ ſint earundem homologæ, & inter ſe æqua-
les; ſuperponantur autem ad inuicem ipſæ figuræ, ita vt ea-
ſdem deſcribentes rectæ lineæ ſibi congruant, figuræq; ſint
fimiliter poſitæ, illæ quoque erunt ad inuicem congruentes.
Sint ſimiles figuræ planæ, ABXC, EFPG, quæcunq;
deſcri-
ptæ ab earundern homologis, & æqualibus rectis lineis, BC, PG,
Dico etiam ipſas figuras ad inuicem fore
congruentes. Sint oppoſitæ tangentes ductæ pro figura, ABXC,
ipſæ, AD, XQ, regula, BC, & pro figura, EFPG, regula, F
tium ſint quoque incidentes ipſę, DQ, MN, productis verò, BC,
ſuper-
ponatur figura, ABXC, figuræ, EFPG, ita vt, BC, congruat
ipſi, FG, & ſint ſimiliter poſitę:
Erunt ergo ipſæ incidentes, DQ,
inuicem
parallelæ, vel congruentes, ſed in noſtro caſu erunt congruentes,
cum enim vt, BC, ad, FG, ita ſit, DQ, ad, MN, ipſæ verò, B
C, FG, ſint ęquales, etiam, DQ, MN, ęquales erunt, ſicut etiam,
B, poſitus ſit in, F, erit, O, in, R, & DQ, extenſa ſuper, MN,
cum etiam, DO, MR, ſint ęquales
punctus, D, erit in, M, ſic autem oſten-
demus quoque punctum, Q, cadere in,
N, & conſequenter, XQ, cadere ſuper,
PN, &, AD, ſuper, EM, ſi ergo figu-
ra, ABXC, cadens ſuper, EFPG, non
congruit illi, eſto quod ceciderit, ſi poſ-
ſibile eſt vt, FVIG, ita vt ambitus ex-
tra ambitum cadat, ſumpto autem quo-
cunque puncto, I, qui ſit in ambitu fi-
guræ, VFPGI, ſed cadens non in am-
bitu figuræ, EFPG, per ipſum duca-
tur, TZ, parallela, EM, ſecans, MN,
in, Z, ambitum figuræ, VPI, in, V, I, & ambitum figuræ, EF
PG, in, T, S, erunt autem homologę, VI, TS, & inter ſe ęqua-
æquales reliquæ vſq; ad incidentes, nempè, SZ, IZ, quod eſt ab-
guræ, ABXC, ſuperpoſitę, ipſi, EFPG, vt dictum eſt, extra am-
bitum eiuſdem figurę, EFPG, igitur cadet ſuper illius ambitum, &
ipſę figurę erunt ſibi inuicem congruentes, quod oſtendendum erat.
EX hoc inſuper colligitur figuras quaſcumq;
planas ſimiles ab æqua-
libus rectis lineis, tanquam ab bomologis, deſcriptas interfé æqua-
les eſſe, cum ita ad inuicem ſuperponi poſſint, vt ſibi congruant, velut
demonſtratum eſt.
Et vice verſaſi figuræ ſint ſimiles, &
æqua-
les, etiam homologas æquales eſſe, ſi enim inæquales eſſent, etiam ipſæ
figuræ inæquales eſſent, quod eſt abſurdum. Vlterius autem patet, ſi
ſint inuicem ſuperpoſitæ, ita vt ſimiliter ſint conſtitutæ, ac duæ quæuis
homologæ inuicem fuerint congruentes, etiam ipſas figuras fore con-
gruentes, alioquin ſequerentur abſurda ſuperius demonſtrata, cum quę-
uis aliæ homologæ neceſſariò quoque ſint æquales, quæ enim congruerunt
ſunt æquales, & ſubinde etiam incidentes, &
quæuis aliæ homologæ in-
ter ſe ſunt æquales.
SI duobus parallelis quibuſcumque planis inciderint duo
plana ſe ſe interſecantia, primum nempè, & ſecundum;
fuerint autem alia duo parallela quæcumque plana, quibus
pariter incidant duo alia plana ſe ſe diuidentia, primum ſi-
militer, & ſecundum:
Eorum autem cum paralielis planis
communes ſectiones angulos ęquales comprehenderint, nec-
non primorum, ac ſecundorum planorum mutuæ ſectiones
ad communes ſectiones primorum planorum cum planis pa-
rallelis effe ct as angulos æquales conſtituerint, ipſa verò pri-
ma plana ad plana parallela æquè fuerint ad eandem partem
inclinata: Eędem communes ſectiones ad communes ſectio-
nes ſecundorum planorum cum planis parallelis effe ctas an-
gulos pariter conſtituent æquales, necnon ſecunda plana e-
runt ad eadem plana parallela æqualiter ad eandem partem
inclinata.
Sint duo parallela quæcunque plana, BD, HV, quibus incidat
duo plana, HA, primum, AV, ſecundum ſe ſe ſecantia in recta,
AG. Sint nunc alia duo plana quęcunq;
parallela, LQ, &
Λ, qui-
bus pariter incidant alia duo plana, LY, primum, &, Κ Λ, ſecun-
dum, ſe ſe pariter ſecantia in recta, KY, communes vero ſectiones,
BA, AD; LK, KQ, incidentium planorum cum planis paralle-
lis contineant angulos æquales, ſit nempè, BAD, angulus æqua-
lis angulo, LKQ, (erit. n.
&
, HGV, ęqualis ipſi, &
Υ Λ,) ſimili-
, angulos conſtituant æ-
quales, & prima plana, BG, LY, ad plana parallela, BD, HV;
LQ, &
Λ, ſint æquè ad eandem partem inclinata.
Dico angulos,
AGV, Κ Υ Λ, ęquales eſſe, necnonſecunda plana, AV, Κ Λ, ad
recti, & plana, AV, Κ Λ, eiſdem planis parallelis erecta;
ſed non
ſint perpendiculares, & à punctis, A, K, demittanturipſę, AE, K
ſint perpẽdicu-
lares, incidant
autem ſubiectis
planis in pun-
ctis, E, T; de-
inde à puncto,
A, ad, HG, V
G, productas,
ducantur per-
pendiculares, A
F, quidem ipſi; HG, &
AP,
dentes in pun-
fortè, AG, eſſet
alteri earũ per-
pendicularis, vt
contingere po-
teſt, & iungan-
tur, EP, EG,
EF; ſimiliter in
alia figura ca-
dant à puncto,
K, perpendicu-
lariter ſuper ip-
ſas, & Y, Λ Υ,
productas, ſi o-
pus ſit, ipſæ, K
Z, KX, & iun-
, TZ.
Quoniam ergo anguli, AF
G, KZY, ſunt recti, ideò quadratum, AG, erit æquales duobus
quadratis, AF, FG, ſicut quadratum, KY, æquale duobus, KZ,
ZY, eſt autem etiam quadratum, AF, ęquale duobus quadratis, A
E, EF, quia angulus, AEF. rectus eſt, &
quadratum, KZ, pari-
teræquale quadratis, KT, TZ, ergo quadratum, AG, ideſt duo
tribus quadratis, AE, EF, FG, vnde, ablato communiquadrato,
pari
ratione autem probabimus quadratum, YT, æquari quadratis, Y
&
eodem modo
biectis planis, HV, & Λ, &
ideò inter ſe æquales:
Similiter anguli,
APE, KXT, erunt inclinationes ſecundorum planorum, AV, K
Λ, cum eiſdem ſubiectis planis. Quia ergo anguli, AFE, KZT,
ſunt æquales, &, AEF, KTZ, recti, erunt triangula, AFE, K
ZT, inter ſe ſimilia, vt etiam triangula, AFG, KZY, inter ſe,
nam anguli, AGF, KYZ, ſunt quoque æquales, &, AFG, KZ
Y, recti; erit ergo, vt, EF, ad, FA, ſic, TZ, ad, ZK, &
vt, A
F, ad, FG, ſic, KZ, ad, ZY, ergo ex æquali, vt, EF, ad, FG,
itaerit, TZ, ad, ZY, & ſunt circa rectos, nempè æquales angu-
erunt, anguli igitur, EGF, TYZ, adæquabuntur, totus autem,
PGF, toti, XYZ, æquatur, ergo reliquus, EGP, erit ęqualis re-
liquo, TYX, & ſunt recti, EPG, TXY, vt probatum eſt, ergo
erunt, GPE, YXT, ſimilia triangula, igitur, vt, PG, ad, GE,
ſic erit, XY, ad, YT, vt verò, GE, ad, GF, ſic eſt, YT, ad, YZ,
& vt, GF, ad, GA, ſic, YZ, ad, YK, ergo ex æquali, PG, ad,
GA, erit vt, XY, ad, YK, habemus ergo duo triangula, APG,
KXY, habentia duos angulos, APG, KXY, ęquales, ſunt. n.
re-
cti, circa verò duos, PGA, XYK, latera proportionalia, & reli-
quorum vtrumq; ſimul, PAG, XKY, minorem recto, ergo erunt
anguli, PGA, XYK, ęquales, vnde reliqui, AGV, Κ
Υ Λ, pariter æquales erunt, quod eſt vnum propoſitorum.
Rurſus, quia, PE, ad, EF, eſt vt, XT, ad, TZ;
EF, autem
ad, EA, vt, TZ, ad, TK, ergo ex æquali, PE, ad, EA, erit vt,
XT, ad; TK, &
ſunt circa ęquales angulos, PEA, XTK, latera
non anguli, APE, KXT, inclinationis ſecundorum planorum, A
V, Κ Λ, cum ſubiectis planis inter ſe æquales, & ad eandem partem
quod etiam demonſtrare propoſitum fuit.
POſita definitione, quam affert Euclides lib 6.
El.
de ſimi-
libus figuris rectilineis, ſequitur pro ipſis etiam defini-
tio geneneralis, quam de omnibus ſimilibus figuris planis
ipſe attuli.
Sint duæ vtcumque figuræ rectilineæ, ABDEH, MTRPN;
æquales, A, M; B, T;
D, R;
P, E;
HN, &
circa æquales angu-
los latera proportionalia. Dico eaidem eſſe ſimiles iuxta meam de-
finitionem: Ducantur duæ vtcum que oppoſitæ earum tangentes,
quæ cum duobus ex lateribus homologis earumdem angulos æqua-
les ab eadem parte contineant, ſint autem ex vna parte tangentes
ipſæ, AH, MN, quæ cum ipſis, HE, NP, lateribus homologis
angulos continent ęquales, AHG, MNO, & ſint ex alia parte tan-
gentes ipſæ, DF, RQ, quæ cum ipſis, HE, NP, productis con-
punctis angulorum, qui ſunt, B, E; TP, di-
ctis tangentibus parallelæ, BG, CE, TO, S
P, & iungantur, BH, BE, TN, TP.
Quia
ergo anguli, MNQ, AHF, ſunt æquales,
etiam anguli, NQR, HFD, erunt ęquales,
& quia anguli, NPR, HED, ſunt quoque
æquales, etiam anguli, RPQ, DEF, erunt
æquales, & reliqu reliquis, vnde trianguli, R
PQ, DEF, erunt æquianguli, & ideò, QP,
P, ad, PN, vt, DE, ad, EH, ergo, ex ęquali,
NQ, HF, ſunt ſimiliter ad eandem partem
diuiſæ in punctis, E, P, quia verò angulus, NPS, æquatur angu-
lo, NQR.. HFD.
. HEC, &
, NPR, ipſi, HED, ideo reli-
quus, SPR, æquabitur reliquo, CED, eſt autem angulus, TR
P, ęqualis angulo, BDE, ergo trianguli, PSR, ECD, erunt æ-
quianguli, & ideò, CE, ad, ED, erit vt, SP, ad, PR, &
, ED,
ad, EF, erit vt, RP, ad, PQ; ergo ex æquali, &
permutando, C
E, ad, SP, erit vt, EF, ad, PQ .i.
vt, HF, ad, NQ.
S militer
circa eos latera ſunt
proportionalia, ideò trianguli, BDE, TRP, erunt æquianguli,
vnde anguli, DBE, RTP, &, BED, TPR, erunt ęquales, ſunt
autem ęquales ipſi, CED, SPR, ergo reliqui, BEC, TPS, erunt
æquales, & ideò trianguli, BCE, TSP, erunt ęquianguli, &
quia
angulus, BEF, eſt ęqualis ipſi, TPQ, reliquns, BEH, erit ęqua-
lis reliquo, TPN, eſt autem, BGE, ęqual sipſi, TOP, ergo trian-
guli, BGE, TOP, erunt ęquianguli, ergo, BG, ad, TO, erit vt,
BE, ad, TP, ideſt vt, CE, ad, SP, ideſt vt, HF, ad, NQ, per-
mucando, & conuertendo, HF, ad, GB, erit vt, NQ, ad, OT;
quia verò anguli, HAB, NMT, ſunt ęquales, &
circa eoſdem la-
HAB, NMT, ſuntæquiangun,
anguli, AHB, MNT;
ABH, MTN, interſe ęquales, ergo
cum anguli, AHG, MNO, ſint æquales, reliqui, BHG, TN
O, erunt æquales, ſunt etiam æquales anguli, HGB, NOT, ergo
trianguli, HBG, NTO, ſunt æquianguli, ergo, BG, ad, GH,
erit vt, TO, ad, ON, erat autem, FH, ad, GB, vt, QN, ad, O
T, ergo ex ęquali, FH, ad, HG, erit vt, QN, ad, NO, ſunt@gi-
tur ipiæ, HF, NQ, ſimiliter diuiſæ, & ad eandem partem in pun-
ctis, G, O, & ipſæ diuidentes, BG, TO, ſunt vt ipſæ, HF, NQ.
Ducantur nunc inter dictas oppoſitas tangentes elſdem parallelæ
duæ v@cumque, VK, XY, inter circuitum figurarum iam propoſi-
tarum, & rectas, HF, NQ, comprehenſę, ſimiliter ad eandem par-
tem diu@dentes ipſas, HF, NQ, in punctis, K, Y, ſecanteſque ip-
ſas, BE, TP, in punctis, 3, 4, eſt ergo, FK, ad, QY, permutan-
do, vt, HF, ad, QN, ideſt vt, FE, ad, QP, ergo, FK, ad, Q
Y, erit vt, FE, ad, QP, & reliqua, EK, ad reliquam, PY, vt, F
K, ad, QY, ideſt vt, FH, ad, QN; Similiter oſtendenius, vt, F
H, ad, QN, ſic eſſe, GK, ad, OY, ergo, GK, ad, OY, erit vt,
KE, ad, YP, &, permutando, GK, ad, KE, erit vt, OY, ad, Y
P, componendoque, GE, ad, FK, erit vt, OP, ad, PY, eſt verò,
vt, GE, ad, EK, ita, BG, ad, 3K, & vt, OP, ad, PY, ita, T
O, ad, Y4, ergo, BG, ad, 3K, erit vt, TO, ad, Y4, & permu-
tando, BG, ad, TO, erit vt, 3K, ad, 4Y, eſt verò vt, BG, ad, T
O, ita, HF, ad, NQ, ergo, 3K, ad, 4Y, erit vt, HF, ad, NQ,
ſimiliter, quia ipſæ, VK, XY, diuidunt ſimiliter ad eandem partem
ipſas, BC, TS, in punctis, V, X, ac diuiduntur ipſę, GE, OP, in
punctis, K, Y, ideò eodem modo oſtendemus ipſas, V3, X4, eſſe
vt ipſas, CE, SP, ideſt vt ipſas, HF, NQ, erant autem, 3K, 4
X, vt ipſæ, HF, NQ, ergo totæ, VK, XY, erunt vt ipiæ, HF,
NQ, habemus igitur figuras, ADE, MRP, in quibus ductę ſunt
oppoſitæ tangentes, AH, DF, MN, RQ, quibus inciderunt ip-
ſæ, HF, NQ, ad eundem angulum ex eadem parte, inuentum eſt
autem eas, quæ inter dictas, HF, NQ, & circuitum figurarum ei-
ſdem tangentibus vtcumq; ducuntur ęquidiſtantes, &
ſecant dictas,
HF, NQ, ſimiliter ad eandem partem, eodem ordine ſumptas, eſſe
vt ipſas, HF, NQ, ergo figuræ, ADE, MRP, quæ erant ſimi-
les iuxta definitionem Euclidis, erunt etiam ſimiles iuxta definitio-
nem meam, & erunt dictæ tangentes regulæ homologarum earum-
ipſarum, ac dictarum ſimilium figurarum incidentes ipſę, H
F, NQ, quod erat oſtendendum.
_Q_Via verò oppoſitæ tangentes, AH, DF, MN, RQ, ductæ ſunt
vtcumque, angulos tamen æquales ad eandem partem cum homo-
logis lateribus continentes, ideò quaſcumq; duxerimus oppoſitas
tangentes in figuris rectilineis ſimilibus iuxta Euclidem, dummodo fa-
ciant angulos æquales ad eandem partem cum lateribus homologis, ea-
ſdem eſſe regulas homologarum ſimilium figurarum poterit probari.
POſita infraſcripta definitione ſimilium portionum ſectio-
num coni, illi adiuncti, quod infra dicetur, ſequitur
pro ipſis etiam mea definitio generalis ſimilium planarum fi-
gurarum. Hoc autem dico pro ſpatijs ſub ipſis ſectionibus,
& rectis lineis contentis, non autem pro ipſis tanquam lineis,
licet crediderim Apolloniũ ipſarum ſimilium ſectionum tan-
quam linearum, non autem figurarum, quę fiunt ab ipſis, ſi-
militudinem attendiſſe, ego verò ipſam recipio tanquam ip-
ſarum figurarum ſimilitudini congruam, dum illi adiungitur,
quod in ipſa Propoſ. explicatur.
SImiles portiones ſectionum coni ſunt, in quarum ſingulis ductis
lineis baſi parallelis numero æqualibus, ſunt ipſæ parallelæ, &
baſes ad abſciſſas diametrorum partes ſumptas à verticibus, in ijſdem
rationibus, tumabſciſſæ ipſæ ad abſciſſas: Apollonius lib.
6.
Coni-
corum, vt refert Eutocius.
Sint ſimiles portiones ſectionum coni, DAF, QRK, in baſibus,
DF, QK, quarum diametri ſint ipſæ, AE, RG, ſecentur autem
ſimiliter ipſæ diametri in punctis, N, O; V, X;
&
ſit, D F, ad, E
A, vt, Q K, ad, G R, &, C H, ad, O A, vt, T L, ad, X R, &
, P
M, ad, N A, vt, S P, ad, V R; has igitur Apollonius in ſupradicta
definitione ſimiles vocat, mihi autem hoc opus eſt illi adiungere.ſ.
quod anguli baſibus, &
diametris, ad eandem partem contenti ſint
æquales, vt angulus, A E D, ipſi, R G Q, ſi.u.
hoc non ponatur
poſſet contingere eſſe baſes, D F, Q K, æquales, & ipſas, A E, R
G, in quo caſu tot figuras ſimiles, & æquales, ex.
gr.
ipſi, A D F,
ad baſes, quam tamen variationem per definitionem ſupradictam
excludere neceſſarium eſſe exiſtimaui. Suppoſito igitur, quod tali
definitioni hoc adiungatur, dico eam cum mea concordare, ſi pro
telligatur. Ductis enim per vertices,
A, R, baſibus, DF, QK, paralle-
lis, illæ tangent dictas portiones, &
inter eaſdem ductas habebimus ip-
ſas, AE, RG, illis ad eundem an-
gulum incidentes ex eadem parte,
quibus ſimiliter ad eandem partem
diuiſis, vt in punctis, N, O; V, X;
&
per eadem ductis ipſis tangenti-
bus parallelis, BM, CH, SP, TL,
inuenimus eas, quęinter ipſas, AE,
RG, & circuitum figurarum, ADF, RQK, ad eandem partem
continentur, & diuidunt ipſas ſimiliter ad eandem partem, eodem
ordine ſumptas, eſſe in proportione ipſarum, AE, RG, nam quia,
DF, ad, EA, eſt vt, QK, ad, GR, permutando, DF, ad, QK,
erit vt, EA, ad, GR, & quia ipſæ, AE, RG, ſunt diametri, ad
quas ordinatim applicantur dictæ parallelę, ideò ab eiſdem bifariam
diuidentur, ergo, &, DE, ad, QG, &
, EF, ad, GK, erit vt, E
A, ad GR, eodem modo oſtendemus tum, CO, ad, TX, tum, O
H, ad, XL, eſſe vt, OA, ad, XR .i.
vt, EA, ad, GR, &
ſic, B
N, ad, SV, &, NM, ad, VP, eſſe vt, NA, ad, VR .
i.
vt, EA,
ad, GR, ſunt igitur figurę, ADF, RQK, ſimiles iuxta meam de-
tangentium oppoſitarum (quarum duæ
ex vna parte ſuntipſæ, DF, QK,) incidentes ſunt ipſæ, AE, RG.
_A_Ffert Commandinus ali@m definitionem ſimilium hyperbolarum,
ſcilicet ſimiles eſſe, quarum coniuncta diametri inter ſe, vel qua-
rum figuræ latera eandem proportionem babent, quam Dauid Riualtus
in Com. in Arch.
lib de Conoidib.
&
Sphæroidibus ad Defin.
18.
oſten-
dit concordare cum ſupradicta Apollonij, quam videat, qui voluerit: Hæc igitur eodem modo, quo illa Apollonij, cummea pariter concorda-
bit (ſumpta tamen hyp@rbola tanquam figura) vnde hac quoque hypo-
teſi ſi opus fuerit, pariter vtemur ad paſſiones inde dependentes demon-
ſtranda
SI ſint duæ ſimiles ſolidæ figuræ iuxta definit.
9.
Vndec.
Elem.
&
in earum altera duæ aſſumantur in ambitu quæcumque figuræ
coincidentes, illæ erunt ad inuicem æquè ad eandem partem incli-
natæ, ac aliæ duæ, quæ in reliqua ſolida figura eiſdem ſimiles eſſe
ſupponuntur.
Sint ſim les ſolidæ figuræ, AN, KR, in earum autem altera, A
N, ſumantur duæ quæcumq; figuræ inuicem coincidentes, AV, V
reliqua ſimiles
ſint, Κ Λ, qui-
dem, AV, &,
Λ &, ipſi, HV:
Dico vtraſque,
AV, VH, ęquè
ad inuicem, &
ad eandempar-
tem eſſe incli-
natas, ac ſunt
ipſę, Κ Λ, Λ &.
Velergo, AG,
ctis planis per-
pẽdiculares, &
tunc, AV, Κ Λ,
erunt ipſis, H
V, & Λ, erecta,
vel nõ, & tunc
demittantur à
punctis, A, K,
ſubiectis planis
perpẽdiculares,
AE, KT, & ſu-
per ipſas, HG,
VG, productas
(ſi opus ſit, &
niſi, AG, KY,
ſint vel ipſis, H
G, & Y, vel ip-
ſis, GV, Υ Λ, perpendiculares) ſimiliter ad angulos rectos cadant,
, AF, KZ, ipſis, HG,
& Y, perpendiculares, iunganturque, PE, XT, PF, XZ, &
, F
E, ZT. Quoniam ergo, APG, eſt angulus rectus, erit quadra-
æquatur duobus quadratis, PE, EA, propter angulum rectum, A
buntur tribus quadratis, GP, PE, EA, & ablato communi qua-
drato, EA, quadratum, GE, æquabitur quadratis, GP, PE, er-
go, EP, erit perpendicularis ipſi, PV, cui etiam eſt perpendicula-
Eo-
dem modo oſtendemus, KXT, eſſe inclinationem planorum, Κ Λ,
, &
angu os, EFG, TZY, eſſe rectos.
Quoniam verò angu-
lus, AGV, æquatur ipſi, Κ Υ Λ, (ſunt. n.
figuræ, AV, Κ Λ, ſimi-
les ex hypoteſi) etiam, AGP, æquabitur, KYX, &, APG KX
Y, recti ſunt, ergo triangula, APG, KXY, ſimil a erunt. Eodem
modo probabimus etiam triangula, AGF, KYZ, eſſe ſimilia, er-
go, PG, ad, GA, erit vt, XY, ad, YK, &, GA, ad, GF, vt, Y
K, ad, YZ, ergo ex æqual@, PG, ad, GF, erit vt, XY, ad, YZ,
& ſunt latera proportionalia circa æquales augulos, PGF, XYZ,
(ſunt.n.
æquales ijs, qui ſunt ad verticem, nempè, HGV, &
Υ Λ,
qui adęquantur, cum ſint ſimilium figurarum, HGV, & Υ Λ,) er-
anguli, GPF, YXZ,
vt &, GFP, YZX, inter ſe æquales, ergo ipſi, FPE, ZXT;
P
FE, ZXT, inter ſe quoque erunt æquales, cum ſint reſiduirectc-
rum, GPE, GFE, YXT, YZT; ergo triangula, PEF, XTZ,
pariter ſimilia erunt. Erit ergo, AP, ad, PG, vt, KX, ad, XY;
&
, PF, ad, PE, vt, XZ, ad, X
T, ergo ex ęquali, AP, ad, PE, erit vt, KX, ad, XT, & ſunt an-
guli, AEP, KTX, rect@, ergo triangula, APF, KXT, ſitnilia
angu@i, APE, KXT, ęqual@s, qu@@unt inclinationes pla-
norum, AV, Κ Λ, ad plana, VH, Λ &, ad eandem partein, quod
oſſendendum erat.
IN eadem antecedentis ſigura ſi @upponamus propoſitas eſſe duas
ſimiles quaſcumque rectihneas ſiguras, AV, Κ Λ, interſe, nec-
Λ, conuen@entes in homologis lateribus vtriſq;
com-
munibus, GV, Υ Λ, ſint autem homologæ inter ſe, AG, KY; H
G, & Y;
&
ipſæ figuræ æquè ad eandem partem inuicem inclinatæ.
D@co angulos, AGH, KY &
, ęquales eſſe, &
circa eo@dem latera
pr@portionalia, quod etiam de angulis, DVN, Q Λ ℟, pariter ve-
rum eſſe oſtendemus.
Hocautem ex Propoſ.
26.
huius facilè comprehendemus, ſunt.
n.
(ijſdem vtibi conſtructis) duo oppoſita plana parallela tangentia fi-
guras, AV, Κ Λ, ipſa, BD, HV; LQ, &
Λ, quibus incidunt pla-
na figurarum ſimilium, AV, Κ Λ, ęquè ad eandem partem inclina-
ta, quæ ſint nobis tanquam prima, ijſdem autem incidunt etiam ſe-
cunda plana prima diuidentia, nempè plana, AGH, KYT, anguli
autem, HGV, & Υ Λ, ſunt æquales, qui nempè continentur com-
munibus ſectionibus primorum, & ſecundorum planorum cum pla-
nis, HV, & Λ, quæ ſunt duo parallelorum planorum, ſimiliter an-
guli, AGV, Κ Υ Λ, (contenti communibus ſectionibus primorum,
& ſecundorum planorum, &
communibus ſectionib.
primorum pla-
norum, & ipſorum, HV, &
Λ,) ſunt æquales, ſunt.
n.
fimilium fi-
gurarum, AV, Κ Λ, ergo etiam anguli, AGH, KY &, æquales
erunt, vt in Propoſ.26.
iam oſtenſum eſt.
Cum autem figurę, AV,
Κ Λ, ſint ſimiles, &, AG, KY, latera homologa, erit, AG, ad,
GV, vt, KY, ad, Υ Λ, oſtendemus autem eadem ratione, VG, ad,
GH, eſſe vt, Λ Υ, ad, Y &, ergo ex ęquali, AG, ad, GH, erit vt,
KY, ad, Y &. Eodem modo probabimus angulos, DVN, Q Λ ℟,
ęquales eſſe (ſiue plana, AH, DN; K &
, Q ℟, ſint parallela, ſiue
non, hoc.n.
nihil refert) &
circa eos latera eſſe proportionalia, quod
oſtendere opus erat.
SI in ſimilibus rectilineis figuris, iuxta Euclidem, ducantur rectæ
lineæ quęcumque, earundem latera homologa ſimiliter ad ean-
dem partem diuidentes, ipſę diuident eaſdem in ſimiles figuras, ſimi-
les autem erunt, quę ad eandem partem diuidentium linearum con-
ſtituentur, & ipſæ ſecantes earundem erunt homologa latera.
Sint ſimiles rectilineæ figuræ iuxta Euclidem,
F, IO, ſecantes latera homologa, AC, GM; necnon, DE, HN, ſimiliter ad eandem pa-
tem, vt, AC, GM, in punctis, B, I, &, DE,
HN, in punctis, F, O. Dico figuras ab eiſdem
conſtitutas ad eandem partem, nempè, BAD
F, IGHO; BCEF, IMNO, inter ſe ſimi-
les eſſe. Ducantur à punctis, B, I, ad angulos
oppoſitos rectæ lineæ, BD, BE, IH, IN, vt
ſi figuræ ſint quadrilateræ, vel multilateræ, in
triangula diſceparentur. Quoniam ergo, AC,
GM, ſimiliter diuiduntur in, B, I, erit, BA, ad, IG, vt, AC, ad,
anguli, BAD, IGH, ſunt æquales, er-
go, BAD, IGH, erunt triangula ſimilia, ergo anguli, ADB, G
HI, æquales erunt, ſunt autem ęquales etiam, ADF, GHO, er-
go reliqui, BDF, IHO, erunt æquales, eſt verò, BD, ad, DA,
vt, IH, ad, HG, &, AD, ad, DF, vt, GH, ad, HO, ergo ex
æquali, BD, ad, DF, eſt vt, IH, ad, HO, ergo triangula, BD
F, IHO, pariter ſimilia erunt, & anguli, DFB, HOI, inter ſe,
necnon, DBF, HIO, inter ſe ęquales, ergo anguli, ABF, GIO,
ADF, GHO, erunt etiam ęquales, & figurę, ABFD, GIOH,
æquiangulę, & cum, BA, ad, DF, FB, binæ ſint in eadem ratio-
ne cum, IG, GH, HO, OI, patet, quod etiam circa ęquales an-
gulos ſunt latera proportionalia, ergo ipſæ figuræ, BADF, IG
HO, ſimiles erunt. Eodem autem modo oſtendemus ſimiles eſſe, B
CEF, IMNO, patet autem ipſas, BF, IO, eſſe earum latera ho-
mologa, quod erat demonſtrandum.
SI in ſimilibus ſolidis planis contentis iuxta def.
9.
vndec.
Elem.
quatuor quęlibet puncta ſumantur in vnoquoq;
eorundem (non
tamen in eodem plano conſtituta) ad quę anguli ſolidi æquales ter-
minantur, illaq; iungatur rectis lineis, fient ſimiles pyramides trian-
contentis.
Sint ſimilia ſolida, AHCD, FO
9.
vndec.
Elem.
&
in
ijs accepta quatuor quęcumq; pun-
cta, nempè, A, H, C, D, in vno,
&, F, O, G, L, in alio ſolido, quæ
non ſint in eodem plano, ſed ad an-
gulos ęquales conſtituta, iungantur-
querectis lineis, AH, AC, CD, C
FO, FG, FL, OG, G
L, LO, ſiue hęc iungentia ſint ipſo-
rum ſimilium ſolidorum latera. Di-
copyramides, AHCD, FOGL,
ſimiles eſſe. Vel ergo plana has py-
ramides continentia ſunt in ambitu
ſolidorum, vt ex.gr.
CHD, GOL, &
tunc erunt ſimilia, ex ipſa de-
finitione, vel non ſunt in ambitu, tunc autem probandum eſt nihi-
lominus eſſe ſimilia, vt non ſint in ambitu ipſa triangula, ACH, F
ABH, FIO, H
BC, OIG, ergo tria hęc tribus iam dictis ſimilia erunt, ergo & ba-
ſes, ACH, FGO, ſimiles erunt, nam cum ſit, AC, ad, CB, vt,
FG, ad, GI; BC, ad, CH, vt, IG, ad, GO, erit ex ęquali, AC,
ad, CH, vt, FG, ad, GO, eadem ratione oſtendemus, CH, ad,
AH, eſſe vt, GF, ad, FO, ergo triangula, ACH, FGO, ſimilia
erunt. Eodem modo probabimus triangula, AHD, FLO, ACD,
FGL, eſſe ſimilia, ex quo concludemus ipſas pyramides ſimiles eſſe. Quod ſi tria triangula ad, B, I, terminantia omnia non ſint in am-
bitu, oſtendemus tamen illa eſſe ſimilia, erunt.n.
vel baſes pyrami-
dum, quarum tria triangula verticalia erunt in ambitu, vel ſaltem
aliarum pyramidum, quarum triangula ſimilia eſſe probabuntur,
quia erunt baſes pyramidum tria triangula verticalia in ambitu ha-
bentium, ad hæc.n.
tandem deuenire neceſſe erit:
Igitur oſtenſum
eſt, quod proponebatur.
_Q_Via verò in pyramidibus triangulatis, BAHC, IFGO, exiſten-
tibus ſimilibus illarum triangulis verticalibus, baſes, ACH, F
GO, neceſſiriò ſimiles eſſe oſtenſæ ſunt, ideò ex hoc colligimus ſi
in duabus pyramidibus triangulatis tria verticalia triangulatribus ver-
ticalibus triangulis ſimilia ſint, etiam baſes ſimiles eſſe.
SI duo ſimilia triangula fuerint ſubiectis planis æquè ad eandem
partem inclinata, ita vt communes cum illis ſectiones ſint ea-
rum latera homologa, quæ tanquam baſes aſſumantur; ab eorum
autem verticibus rectæ lineæ in ſublimi fuerint conſtitutæ, angulos
æquales cum eorum lateribus homologis continentes, illæ erunt ſu-
biectis planis æqualiter inclinatæ, vel eiſdem ambo parallelæ; ſi au-
tem fuerint inclinatæ, & vſque ad ſubiecta plana producantur, iun-
ganturq; pucta occurſuum cum extremis baſium dictorum triangu-
lorum, pariter hinc conſtitutæ pyramides ſimiles erunt.
Sint ſimilia triangula, ABD, HPO, ſubiectis planis ęquè incli-
nata, in baſibus, BD, PO, à quorum verticibus, A, H, rectæ li-
neæ, AC, HN, in ſublimi conſtitutæ contineant cum homologis
eorum lateribus angulos æquales, ſint nempè anguli, CAB, NH
P, necnon, CAD, VHO, inter ſe æquales. Dico ipſas, AC, H
N, ſubiectis planis eſſe ęqualiter inclinatas, vel eiſdem ambo paral-
ganturque, CB, CD, NP, NO,) pyramides, ACDB, HNO
P, ſimiles eſſe. Sumatur ergo in, AD, etiam quantumuis protenſa
vbicumq; punctum, F, &
accipiatur in, HO, producta, ſi opus ſit,
HL, ęqualis, AF, & indefinitè extenſis lineis, AC, AB, HN, H
pendiculares, FE, FG,
LI, LM, occurrentes
ipſis, AE, AG, HI, H
M, in punctis, E, G, I,
M, & iungantur, EG,
IM. Quoniam ergo duo
anguli, AFG, HLM,
recti, &, FAG, LH
M, ſunt æquales, & la-
tera, AF, HL, ęqua-
lia, erunt etiam, FG,
lia; eodem modo oſten-
demus æqualia eſſe, F
E, LI, EA, IH, vnde cum ſint ęquales, EA, IH, AG, HM, &
quales erunt, & pyramides, AEFG, HILM, ſimiles, &
ęquales
ad inuicem exiſtent. Suſpendatur nunc pyramis, AEFG, &
pona-
gruet, ſed & triangulo, EFG, cadente ſuper, ILM, punctum, F,
erit in, I, ac latus, AF, in, HL, alioquin duę eidem plano, ILM,
dum (ſunt autem, AF, HL, perpendiculares planis, EFG, ILM,
IL, IM, ſint perpendiculares in puncto, L,) ergo, FA, cadet ſu-
per, LH, & punctum, A, in, H, vnde etiam, EA, cadet in, IH,
, AG, in, HM, punctum, B, verò eſto, quod ſit in, T, D, in,
S, &, C, in, V, erit et@am, DB, congruens ipſi, ST, CD, VS,
&, CB, ipſi, VT, &
quia angulus, ABD, æquatur ipſi, HPO,
ABD, autem eſt etiam æqualis, HTS, ergo, HTS, HPO, ſunt
æquales, &, ST, parallela, OP.
Dico etiam triangulum, VST,
n.
hoc non ſit, quia, ST, eſt parallela
ipſi, OP, poterit per, ST, duci planum ipſi, NOP, parallelum,
ducatur, & producat in pyramide triangulum, KST, acta autem à
puncto, H, ipſi, OP, perpendiculari, quę ſit, HQ, ſecante, ST,
dicularis ipſi, OP, & iungatur, HR, triangulumque, HRQ, ſe-
cet duo triangula, VST, KST, in rectis, YX, ZX. Quia ergo
Q, parallelæ, ſed &, ST, OP, ſunt parallelę, ergo anguli, ZXS,
RQO, erunt æquales, rectus ergo eſt etiam ipſe, ZXS, ſed etiam,
ris, & ſubinde plano per ipſas tranſeunti, &
conſequenter, SXY, eſt
, H
XY, inclinatio planorum, HST, SVT, hæc autem eſt æqualis in-
clinationi planorum, HOP, NOP, ex hypoteſi, ideſt angulo, H
XZ, ergo angulus, H
XY, qui eſt totum, eſt
ęqualis augulo, HXZ,
eiuſdem parti, quod eſt
abſurdũ, ergo abſurdum
etiam eſt dicere trian-
gulum, VST, non æ-
quidiſtare ipſi, NOP,
æquidiſtat ergo, & ip-
ſæ, VS, VT, ſunte-
O, NP, & triangula,
VHS, ipſi, NHO, V
HT, ipſi, NHP, nec-
non, VST, ipſi, NOP, ſunt ſimilia, ergo pyramides, HVST,
HNOP, ſunt ſimiles, eſt autem pyramis, HVST, ſimilis, immo
& ęqualis, ipſi, ACDB, ergo pyramides, ACDB, HNOP, in-
ter ſe ſimiles erunt, & anguli, ACB, HVT, ACD, HVS, inter
ſe æquales, ergo, AC, HV, rectę lineę ſtantes in ſublimi, & cum
ipſis, CD, CB, VS, VT, angulos æquales continentes (à quibus
etiam contenti anguli, DCB, SVT, ſunt ęquales) erunt ad plana
ſunt ipſæ py-
ramides, ACDB, HNOP, ſimiles, vt propoſitum fuit demon-
ſtrare.
Si verò rectæ lineæ angulos æquales cum ipſis, DA, AB, OH,
HP, continentes eſſent ipſæ, AT, Η Λ, quarum, Λ Η, eſſet paral-
lela plano, VST, probaremus etiam, TA, eſſe parallelam plano,
CDB, alioquin ſi cum ipſo producta concurreret, etiam, Λ Η, ex
ſupra oſtenſis, producta concurreret cum plano trianguli, VST. Vel
præintellectis duabus iam datis, AC, HN, & ſuppoſita ſuperiori
AD,
HO; AB, HP;
eſſe ad inuicem ſuperpoſita, vnde ſi, Λ Η, æquidi-
ſtat plano, NOP, etiam neceſſe eſſe concluderetur, Λ Η, ſeu, ΓΑ,
in ea conſtitutam, æquidiſtare plano, NOP, vel ipſi, VST, ſeu,
ΓΑ, ipſi, CDB, quod erat oſtendendum.
_E_X boc Lemmate colligitur ſimilium ſolidorum, iuxta Euclidis de-
finitionem, latera bomologa quœcunque, vel (duabus in ambitu
quibuſcumque figuris ſimilibus aſſumptis) iacere in plano ſimilium di-
ctarum figurarum, aut illis œquidiſtare, vel œqualiter eiſdem inclinari; Vt in figura Lemmatis 4.
ex.
gr.
CD, GL, (aſſumptis ſimilibus figuris,
HCD, OGL,) iacent in earum plano, BA, IF, autem vel ambo illi
œquidiſtant, vel eiſdem ſunt œqualiter inclinata, namiunctis, AC, A
H, IFO, BAC, IFG, œquales, & triangula, ACH, FGO, ſimilia,
nam pyramides, ABCH, FIGO, ſunt inter ſe ſimiles, ipſa verò trian-
OGL, cum etiam, ACHD, FGLO, pyramides ſint ſimiles ex eodem
Lemmate 4. vnde vel, AB, FI, œquidiſtant baſibus, CHD, GOL, vel
ſunt eiſdem œqualiter inclinata, idem de cœteris bomologis quibuſcum-
que lateribus, quibuslibet ſimilibus figuris in ambitu aſſumptis compa-
ratis, pariter intelligendum erit.
SI in ſimilibus ſolidis iuxta Euclidem ducantur plana duabus qui-
buſcumque ſimilibus figuris in eorum ambitu aſſumptis paralle-
la, quæ vt eorum baſes accipiantur; diuidant autem ducta plana eo-
rum altitudines, reſpectu dictarum baſium captas, ſimiliter ad ean-
dem partem, quęcumque latera homologa ab eiſdem ſecabuntur, ſi-
militer ad eandem partem diuidentur.
Sint in ſimilibus ſolidis iuxta Euclidis definition.
9.
Vndec.
Elem.
aſſumptę in ambitu duæ ſimiles figurę tanquam baſes, ex.
gr.
trian-
gula ſimilia, ADB, MKN, ſint verò de ambitu etiam deſcripta
triangula ſimilia, AHI, MSQ; AHD, MSK;
&
, IHD, QS
K; quibus etiam adiungantur latera bomologa, IF, QP, ad verti-
ces, F, P, reſpectu dictarum baſium captos, pertingentia, reliquis
dimiſſis figuris eorum ambitum complentibus, ne nimia fieret Sche-
matis confuſio, ſint autem à verticibus, F, P, demiſſæ altitudines
reſpectu baſium, ADB, MKN, ipſę, FC, PO, planis baſium in
cumque baſibus parallelis, & ſecantibus altitudines, FC, PO, ſimi-
liter ad eandem partem in punctis, Λ Γ, eadem ſecent latera homo-
loga ex. gr.
IH, QS, in punctis, Π Z.
Dico in eiſdem ſecari ſimi-
liter ad eandem partem. Producantur ergo, HI, SQ, hinc inde,
ita vt (niſi hocipſis contingat abſque eo, quod producantur) ad pla-
na baſium, DAB, KMN, & eiſdem æquidiſtantia plana per ver-
tices, F, P, ducta, terminentur, vt in punctis, L, T, G, R, à pun-
ctis verò, G, R, demittantur ad plana dictarum baſium perpendicu-
lares, GE, RX, illis incidentes in, E, X, & iungantur, L, E, TX.
Sìmiliter à verticibus, F, P, ad puncta baſium, B, N, ducantur, F
B, PN, & iungantur, BC, NO.
Quoniam ergo latera homolo-
ga, HI, SQ, continent cumhomologis lateribus ſimilium trian-
gulorum, AID, MQK, ad eandem partem baſibus, DAB, KM
N, inclinatorum (quia, IADB, QMNK, eſſent ſimiles pyrami-
des) angulos ęquales, & producta incidunt in plana dictarum baſium
&, GEL, RXT,
ſunt recti, ergo triã-
gula, GLE, RT
X, ſimilia erunt, er-
go, GL, ad, RT,
erit vt, GE, ad, R
X, ideſt vt, FC, ad
PO. Vlterius ſi iun-
geremus, FA, FD,
PM, PK, fierent
ſimiles pyramides,
FDAB, PKMN, vnde pateret, FB, PN, eſſe ad plana baſium,
ſubinde angulos, FBC, P
NO, eſſe ęquales, & cum ſint recti, FCB, PNO, triangula, FB
C, PNO, eſſe æquiangula, & vt, FC, ad, PO, ita eſſe, FB, ad,
PN, etiam manifeſtum eſſet, ſed vt, FC, ad, PO, ita eſt, GL, ad,
RT, & vt, FB, ad, PN, ita, BD, ad, NK, &
ita quodcunque
latus in ſolido, FHB, ad latus ſibi homologum in ſolido, PSN,
ideſt ita, IH, ad, QS, ergo vt, GL, ad, RT, ita, HI, ad, SQ,
ita compoſitum ex reſiduis, LH, IG, ad compoſitum ex reſiduis,
TS, QR, ſunt autem, LH, TS, latera homologa ſimilium pyra-
ad, SQ, ita, HL, ad, ST, ergo etiam reliqua, IG, ad reliquam,
QR, eſt vt, HI, ad, SQ, vel vt altitudo, FC, ad, PO, vel vt, G
ipſæ, GL, RT,
ſimiliter ad eandem partem ſectę in punctis, Π, Z, nam ſimiliter ſe-
cantur ac, FC, PO, in punctis, Λ, Γ, ergo etiam reliqua, I Π, ad,
QZ, erit vt tota, GΠ, ad totam, RZ, ideſt vt, FC, ad, PO. Eo-
dem modo oſtendemus, ΠH, ad, ZS, eſſe vt, FC, ad, PO, er-
go, IΠ, ad, QZ, erit vt, ΠH, ad, ZS, & permutando, IΠ, ad,
ΠH, erit vt, QZ, ad, ZS, ſunt ergo latera homologa, IH, QS,
ſimiliter ad eandem partem ſecta à præfatis planis, quod eodem mo-
do de quibuſcumq; homologis lateribus, quæ contingat dictis planis
ſecari, pariter oſtendemus, hoc verò demonſtrare propoſitum fuit.
_E_X boc autem Lemmate inſuper habetur nedum latera bomologa ſi-
milium ſolidorum, ſed etiam, ſi illa producantur vſq; ad oppoſita
tangentia plana, eorum reſidua, vel ipſa tota, eſſe vt eorum dictas al-
titudines.
SI in duobus ſimilibus ſolidis iuxta defin.
9.
vndec.
Elem.
accipiantur, ac in eorumdem ambitu, duæ quæcumq;
ſimiles figurę planę tanquam baſes, quibus parallela ducan-
tur quæcumq; plana eadem ſecantia, necnon corum altitu-
dines, reſpectu dictarum baſium aſſumptas, ſimiliter ad ean-
dem partem diuidentia. Productæ ijſdem in ſolidis figuræ
ſimiles erunt iuxta definitionem 10. huius, &
omnium ho-
mologæ duabus quibuſdam regulis æquidiſtabunt.
Sint ſimilia ſolida iuxta defin.
9.
vndec.
Elem.
ipſa, AEFSOGo,
Tl & p f8s, in eorum autem ambitu capiantur ſimiles quæcumque
figurę planę, OGFS, f8 & p, quibus parallela ducantur duo quę-
cumque plana eadem ſecantia, necnon & altitudines reſpectu dicta-
rum baſium aſſumptas ſimiliter ad eandem partem diuidentia, ac in
ipſis ſolidis figuras, LHMP, YVZd, producentia. Dico has eſſe
ſimiles figuras planas icxta defin. 10.
huius, omniumque ſic produ-
ctarum in dictis ſolidis homologas duabus quibuſdam regulis, vtex. gr.
ipſis, OS, fp, æquidiſtare.
Igitur figurarum ambientium dicta
ſolida duæ aliæ ſimiles quæcumq; capiantur cum baſibus concurren-
tes, vt ex. gr.
oOS, sfp, ſimilia triangula, ducantur autem pręfa-
tis baſibus oppoſita tangentia plana, AC, TR, ſecantia producta
rant, Oo, fs, productæ vt in punctis, B, Q, & iungantur, SB, p
Q, eſto autem, quod plana figurarum, LHMP, YVZd, diuiſe-
rint plana figurarum, oOS, sfp, producta in rectis, KN, ug, quę
ab ipſis, BS, Qp, BO, Qf, ſecentur in, I, X, Ku, & iungantur,
LK, PI, Yu, dX. Quoniam ergo plana figurarum, HMPL, V
militer ad eandem partem di-
uidentia, ſecant latera homo-
loga, ao, Ts, ſimiliter ad
eandem partem in punctis, L,
V, erunt figurę, ALH, TY
V, ad eandem partem ſecan-
inter ſe ſimiles, & earum late-
ra homologa ipſę, HL, VY; eodem modo oſtendemus ſi-
miles eſſe ipſas, EALP, lT
Yd, & earum latera homolo-
ga ipſas, LP, Yd, ſunt autem
figuræ, AEPL, ALH, in-
uicem ad eandem partem æ.
què inclinatæ, acipſæ, Tld
Y, TYV, cum ſint in planis
Tlps, AGOo, T8fs, quę
tem æquè inclinatę, ergo an-
guli, HLP, VYd, homolo-
gis lateribus contenti eruntę-
quales, & circa eoſdem latera
erunt proportionalia. Eodem
modo oſtedemus cæteros an-
gulos, LPM, YdZ, interſe,
necnon, PMH, dZV, ac,
MHL, ZVY, æquales eſ-
ſe, & circa æquales angulos
latera exiſtere proportionalia,
ergo figuræ, LHMP, YVZd, ſimiles erunt iuxta Euclidem, er-
10.
huius.
Reliquum eſt, vt demonſtremus earum homologas duabus aſſum-
Et quidem ſi plana ſecent
figuras, oOS, sfp, hoc manifeſtum eſt, etenim productę lineę ip-
ſis baſibus, OS, sp, erunt parallelæ, & latera homologa ſimilium
figurarum ex traiectis planis in ſolidis productarum. Siverò plana
parallela ſecent duas figuras ipſis, oOS, sfp, continuatas, vti ſa-
ciunt plana figurarum, HMPL, VZdY, quæ etiam ſecant plana
figurarum, oOS, sfp, producta in rectis, KN, ug, oſtendemus
ipſas, KN, ug, eſſe regulas homologarum ſimilium figurarum, L
HMP, VZdY, iunctis, PK, du. Quia enim, Oo, fs, ſunt ip-
ſorum ſimilium ſolidorum latera homologa, producta, ac terminata
ad baſium plana, & oppoſitorum tangentium, in punctis, O, B;
f,
& nedum, Oo, fs, ſed etiam, oB, sQ, ſunt vt eorum altitudines
ſumptæ reſpectu dictarum baſium, ſed ſic etiam ſunt ipſæ, oS, sp,
latera homologa, ergo, Bo, ad, oS, eſt vt, Qs, ad, sp, & angu-
los æquales, BoS, Qsp, complectuntur latera proportionalia, er
gulorum, oOS, sfp, ſunt etiam ſimilibus figuris, LPSo, Ydps,
ęquè ad eandem partem inclinata, quibus communia ſunt homolo-
cum verò, BS, Qp, ſint vt dictæ altitudi-
nes, & ſic etiam, IS, Xp, necnon, PS, dp, (etenim, BS, Qp, in,
, ES, lp, ſimiliter ſecantur, &
ad eandem partem, in pun-
ctis, P, d,) erit, IS, ad, SP, vt, Xp, ad, pd, & circumſtant an-
lia. Eodem modo oſtendemus ſimilia eſſe triangula, LoK, Y su.
Vlterius, quia eſt, Ko, ad, oS, vt, us, ad, sp, &
, oS, ad, SI,
vt, sp, ad, pX, & anguli, KoS, usp, necnon, oSI, spX, ſunt
æquales, ideò trapezia, KoSI, uspX, erunt ſimilia, ſed etiam fi-
guræ, LPSo, Ydps, ſunt ſimiles, eſt autem, KL, ad, Lo, vt,
uY, ad, Ys, &, oL, ad, LP, vt, sY, ad, Yd, ergo, KL, ad, L
P, erit vt, uY, ad, Yd, eodem modo autem oſtendemus, LP, PI,
IK, KL, binas eſte in eadem proportione cum ipſis, Yd, dX, Xu.
uY. Manifeſtum eſt autem ſi iungeremus, AO, Tf, AS, Tp, quod
fierent ſimiles pyramides triangulatæ ipſæ, AOoS, Tfsp, ſimili-
bus n. triangulis comprehenderentur, vt meditanti compertum fiet,
clinata, cum quibus coincidunt in lateribus homologis, Lo, Ys,
proportionalia, vt probatum eſt, ergo triangula, KLP, uYd, ſi-
milia erunt, & erit, KP, ad, PL, vt, ud, ad, dY, eſt verò, PL,
d, ad, dX, eſt autem, PI, ad, IK, vt, dX, ad, Xu, ergo trian-
gula quoque, PKI, duX, pariter ſimilia erunt, vnde anguli, LP
I, YdX; PIK, dXu, &
, IKL, XuY, æquales erunt.
Ducantur
nunc in planis figurarum, LHMP, YVZd, à punctis, L, Y, pa-
Y4. Cum igitur anguli, LK
I, YuX, ſint ęquales, etiam,
KL3, uY4, æquales erunt,
, KLP, uYd, ſuntæ-
quales, ergo reſidui quoque, 3
LP, 4Yd, erunt ęquales, vn-
de cum ipſæ, L3, Y4, con-
tineant cum lateribus homo-
logis, LP, Yd, ad eandem
partem angulos æquales, e-
runt regulę homologarum ſi-
milium figurarum, LHMP,
YVZd, vnde etiam ipſæ, K
N, ug, velipſæ OS, fp, e-
runt regulæ homologarum
earundem, ſunt. n.
OS, KN,
parallelæ, vt etiam, ug, fp,
vnde omnes homologæ ſimi-
lium figurarum, LHMP, Y
VZd, ipſis regulis, OS, fp,
æquidiſtabunt, quod & de cę-
teris eodem modo oſtende-
tur, dumſectio fiet in figuris,
AESo, Tlps. Quod ſi fi-
guris, AESO, Tlps, aliæ
figuræ planæ continuarentur
citra cõtactum planorum ba-
ſibus oppoſitorum, cum his
in lateribus homologis, AE,
Tl, conuenientes, quibus eſ-
ſent inclinatę, parum diſſimili
methodo, producentes, OB,
fQ, vſq; ad tangentia plana, &
occurſuum puncta cum ipſis, S, p,
iungentes, necnon extrema laterum homologorum, qualia fuerunt,
LP, Yd, cum extremis rectarum in triangulis (qualia fuerunt, BO
S, Qfp,) productarum, panter iungentes, vt fecimus cum ipſis, KI,
LPIK, YdXu, eſſe ſimiles, ex quo propoſitum quoque noſtrum
haberemus. Similiter ſi anguli ſolidi, Q, f, pluribus, quam tribus
angulis planis contineantur, currit tamen demonſtratio, cum trian-
milia, & ęquè ad eandem partem inclinata figuris, cum quibus con-
currunt, etenim ex. gr.
pyramides, SGOo, p8fs, ſi eorum latera
iungerentur, ſimiles eſſent, quapropter ipſius demonſtrationis vis
non eneruatur. Similiter ſi, oOS, sfp, non eſſent triangula, ſed
aliæ quæcumque figuræ ſimiles, pro, oS, sp, acceptis lateribus ip-
ſis, Oo, fs, adiuncta, os, conterminantibus, & planis ad hæc la-
tera pariter terminantibus, eodem modo demonſtratio abſoluere-
tur: hæc omnia autem ſingillatim proſequi nimis longum, ac ſche-
matibus rem aperire, res tricis plena eſſet, quapropter Lectoris in-
duſtriæ hoc relinquo, ſi enim ea rectè percepcrit, quę ſuperius expli-
cata ſunt, circa huius veritatem minimè hæſitabit, infinita autem ſi-
milium ſolidorum planis contentorum varietas efficit, vt ægrè ip-
ſius demonſtrationis vniuerſalitatem oculis ſubijcere poſſim, quod
Lector æqui, bonique faciat, hæc verò oſtendenda proponebantur.
POſita definit.
9.
vndec.
Elem.
ſimilium ſolidarum figura-
rum, ſequitur, & mea definitio generalis ſimilium ſo-
lidorum.
Aſſumptis denuò antec.
Propoſ.
figuris, ſint adhuc ſimilia ſolida
iuxta Euclidem ipſa, AGS, T8p. Dico eadem eſſe etiam ſimilia
iuxta definit. 11.
huius, quam de ſimilibus ſolidis generaliter attuli.
Sint autem ducta eadem oppoſita tangentia plana, vt ibi, ita vt duę
ſimiles figurę, GFSO, f8 & p, ſint plana contactuum ex vna par-
te, ex alia verò ſint plana tangentia, AC, TR, captis autem alijs
duabus ſimilibus figuris cum baſibus concurrentibus, ipſis nempè, O
So, fps, illarum plana extendantur, ita vt ſecent oppoſita tangen-
tia plana, in rectis nempè, BC, OD; QR, f℟;
extenſis autem vl-
terius planis, GOo, 8fs, quęnunc ſint in ambitibus ſolidorum ipſa
ſecent oppoſita tangentia plana in rectis, AB, TQ; GO, 8f, &
plana figurarum, OSO, fps, producta in rectis, BO, Qf, ſecen-
tur verò hęc ſolida duobus planis oppoſitis tangentibus parallelis vt-
cumque, & ſint illa eadem, quę in ſolidis produxerunt figuras, LH
MP, YVZd, iſtæ ergo ſimiles erunt, & earum homologæ, ſi pro
diſtantes regulis quibuſcumque cum ipſis, OS, fp, angulos æqua-
les ad eandem partem continentibus, cum ergo ipſæ, GO, 8f, an-
riter duabus, GO, 8f, tan-
quam nouis regulis ęquidiſta-
bunt, iſtis autem, quæ tan-
gunt ex vna parte figuras, G
FSO, 8 & pf, ducantur ex
alia parte oppoſitæ tangen
tes, FD, & ℟, ita vt incidant
duę, GO, FD, plano, BD,
in punctis, O, D, & duæ, 8
f, & ℟, plano, Q℟, in pun-
ctis, f, ℟, ſint autem iunctæ,
OD, f℟. Similiter figurarum,
HMPL, VZdY, ſint ductę
oppoſitæ tangentes præfatis
regulis, GO, 8f, parallelæ,
planis, BD, Q℟, occurren-
tes in punctis, K, N; ug, iun-
gantur autem, KN, ug, &
ita cæterarum ſic producibi-
lium figurarum intelligantur
ductæ oppoſitæ tangentes ip-
ſis, GO, 8f, parallelæ, &
productæ vſque ad plana, B
D, Q℟, punctaq; occurſuum
iuncta rectis lineis, per qua-
rum omnium extrema tran. ſeant lineæ, BO, CD, Qf,
R℟. Cum ergo, GO, 8f,
ſint homologarum regulæ, ac
oppoſitę tangentes figurarum
ſimilium, OGFS, f8 & p,
incidant autem illis ad eun-
dem angulum ex eadem parte, OD, f℟, & ſit, GO, ad, f8, vt, O
D, ad, f℟, ideo, OD, f℟, erunt incidentes ſimilium figurarum,
p, &
oppoſitarum tangentium, GO, FD, 8f, &
℟. Similiter in figuris, HMPL, VZdY, oſtendemus eſſe ipſarum
ſas, KN, ug, ſi. n.
iungeremus, MK, Zu, probaretur, MH, ad,
HK, eſſe vt, ZV, ad, Vu, (ſunt. n.
ſimiles figuræ, HMPL, V
ZdY, necnon, LPK, Ydu, circumſtant autem latera proportio-
nalia angulos æquales, MHK, ZVu, & ideò oſtenderemus trian-
gula, MHK, ZVu, eſſe ſimilia, vnde pateret angulos, HKM,
VuZ, eſſe æquales, ſed etiam, HKN, Vug, ſunt ęquales, ergo
quales, MNK, Zgu, ergo triangula, MKN, Zug, eſſent æ-
quiangula, vnde, MN, ad, Zg, eſſet vt, KN, ad, ug, incidunt
autem, KN, ug, oppoſitis tangentibus, HK, MN, Vu, Zg, ad
eundem angulum ex eadem parte, ergo ipſarum tangentium, ac fi-
MK, ad, Zu, ideſt vt, MH, ad, ZV, vel vt quoduis ſolidorum
latus homologum ad quoduis latus homologum, ideſt vt, GO, ad,
8f, ideſt vt, OD, ad, f℟; OD, autem ad, f℟, ſit vt, Bo, ad, Qf,
ideò, KN, ad, ug, erit vt, BO, ad, Qf, & diuidunt ſimiliter ad
eandem partem ipſas, BO, Qf, in punctis, Ku, quæ incidunt ip-
ſis, BC, OD, Qf, R℟, ad eundem angulum ex eadem parte, ſunt
.n.
anguli, BOD, Qf℟, æquales, quod &
de cæteris incidentibus
probabitur, ergo figurę, BODC, Qf℟R, quę capiunt omnes di-
arum homologę ipſę incidentes, qua-
rum omnium regulæ ſunt, OD, f℟, & ſunt ipſę figurę, BD, Q℟,
æquè ad eandem partem ipſis baſibus inclinatę, cum ſint in planis fi-
fin. 11.
huius.
quod ſi plana, GOo, 8fs, non eſſent in ambitu ſi-
milium dictorum ſolidorum, facilè tamen oſtenderemus portiones
ſolidorum vltra eadem plana exiſtentes eſſe ſimiles, ac ipſarum, &
oppoſitorum tangentium planorum iam dictorum incidentes repe-
riri in planis figurarum, BD, Q℟, cum eiſdem integrantes figuras
incidentes integrorum ſimilium ſolidorum, ac dictorum oppoſito-
rum tangentium, quod ſpeculanti facilè innoteſcet, hoc autem erat
oſtendendum.
CIrculi omnes, necnon femicirculi ſunt ſimiles iuxta meam deſi-
nitionem ſimilium planarum figurarum, & eorum, &
tangen-
tium oppoſitarum, quæ ab extremitatibus diamertrorum ducuntur,
incidentes ſunt ipſi diametri.
Sint circuli, ABCD, ONQ, quorum diametri, AC, OQ, per
quorum extrema ducantur tangentes, FA, GC, HO, LQ. Dico
rum figurarum, & eorum, &
ductarum oppoſitarum tangentium in-
cidentes eſſe ipſas diametros, AC, OQ, quæ etiam de ſemicirculis
verificantur. Diametri ergo, AC, OQ, diuidantur fimiliter ad ean-
dem partem in punctis, E, M, à quibus vſque ad circumferentiam
ducantur ipſæ, EB, MN, parallelæ dictis tangentibus, quæ cum
ad angulos rectos diametros diuidant, etiam ipſę, BE, NM, erunt
BE, erit ęquale rectangulo, AEC, ſi-
cuti quadratum, NM, æquale rectan-
gulo, OMQ, rectangulum autem, A
EC, ad quadratum, EC, eſt vt, AE,
ad, EC, ideſt vt, OM, ad, MQ, ideſt
MQ, ideſt vt quadratum, NM, ad qua-
dratum, MQ, ergo quadratum, BE,
ad quadratum, EC, eſt vt quadratum,
NM, ad quadratum, MQ, (quæ au-
tem hic ſupponuntur, vel petantur ex
Eucl. lib.
Elem.
vel ex ſequenti meo lib.
denter ab hoc Lemmate demonſtratur)
ergo, BE, ad, EC, erit vt, NM, ad,
MQ, permutando, BE, ad, NM, e-
rit vt, EC, ad, MQ, vel vt, AC, ad, OQ, igitur, quæ æquidi-
ſtant ipſis tangentibus, FA, HO, & ſimiliter ad eandem partem
vtcumque diuidunt ipſas, AC, OQ, & iacent inter ipſas, &
circui-
tus ſemicirculorum, ABC, ONQ, ad eandem partem, eodem or-
dine ſumptæ, ſunt vt ipſæ, AC, OQ, quæ dictis tangentibus inci-
dentes, ergo ſemicirculi, ABC, ONQ, ſunt figuræ planæ fimiles
ſuxta meam definitionem, quarum & oppoſitarum tangentium, quę
ab extremitate diametrorum ducuntur, incidentes ſunt ipſi diame-
tri; ſic etiam patebit ſemicirculos, ADC, OZQ, necnon circu-
los, AC, OQ, eſſe ſimiles, iuxta eandem definitionem; quod oſten-
dendum erat.
POſitis infraſcriptis definitionibus ſimilium cylindro-
rum, & conorum, ſequitur definitio generalis, quam
de ſimilibus ſolidis ipſe attuli.
SImiles coni, &
cylindriſunt, quorum &
axes, &
baſium diame-
tri eandem inter ſe proportionem habent. Euclid.
lib.
11.
Elem.
defin.
24.
Verum, quia ſupradicta definitonon
conorum re-
ctorum, ideo aliam, quę affertur à Com-
mandino tum de rectis, tum etiam de
ſcalenis illi ſubiungo, quam ſufficiet o-
ſtendere cum mea ſuptadicta concor-
dare, nam hęcCommandinieam, quam
Euclides attulit, inuoluit.
SImiles coni, &
cylindri, ſiue recti, ſiue ſcaleni ſunt, quando per
axes ductis planis ad rectos angulos baſibus, communes ſectio-
nes eorum, & baſium cum axibus æquales angulos continentes, ean-
dem inter ſe, quam axes, proportionem habent: Commandinus lo-
co definitionis ſupra citatæ.
Sint coni, BEC, GMN, &
cylindri, AC, FN, ſimiles iuxta
Dico eoſdem eſſe ſimiles iuxta meam ſu-
pradictam. Vt autem in ſimul pro conis, &
cylindris fiat demon-
ſtratio, ſupponanturconi, & cylindri iam dicti eſſe in eiſdem baſi-
bus, & circa eoſdem axes;
ducantur ergo in ipſis plana per axes, qui
ſint, EO, MR, quoniam ergo latera cylindrorum ſunt ſuis axibus
parallela, ideò dicta plana tranſibunt per latera cylindrorum, ſiue
per latera conorum, ſiue conicorum,
EBC, MGN, quia per eorum vertices intra ipſos ducuntur, ſint
autem dicta plana ea, quę ſint ad rectos angulos baſibus, quorum &
baſium communes ſectiones, quæ ſint, BC, GN, cum axibus æ-
quales angulos continentes eandem interſe, quam axes proportio-
nem habeant, vt fert definitio, fient igitur in cylindricis parallelo-
gramma, vt, AC, FN, & in conicis triangula, vt, BEC, GMN,
quia anguli, BOE, GRM, ſunt ęquales, ideò etiam ipſi, BCD,
GNH, ſunt æquales, & eſt, BC, ad, CD, vt, GN, ad, NH,
ideò parallelogramma, AC, FN, & triangula, BEC, GMN, e-
runt ſimilia iuxta definitionem Euclidis, & ideò etiam iuxta meam,
& quia ipſæ, AD, BC, FH, GN, tangunt figuras, AC, FN,
quę diuidunt ipſas, EO, MR, ſimiliter ad eandem partem exiſten-
tes parallelæ ipſis, BC, GN, ſunt vtipſæ, EO, MR, ad eandem
partem eodem ordine inter ipſas, & circuitum dictarum figurarum
compræhenſæ, quia quæ ſunt ex vna parte ſunt æquales ipſis, BO,
GR, & quæ ex alia ipſis, OC, RN, in triangulis autem ſunt, vt
ipſæ, BO, GR, vel, OC, RN, .i.
vt, OE, RM, &
ideo, earum
oppoſitarum tangentium dictarum erunt ipſæ, EO,
MR, quę tangentes ſunt regulæ homologarum ſimilium figurarum,
AC, FN, vel, EBC, MGN. Vlterius, quia, BXC, GYN,
ſunt ſemicirculi, erunt figurę planę ſimiles iuxta meam definitionem,
quarum & tangentium, quæ per extrema, BC, GN, ducuntur e-
idem patet de ſemicirculis, B ℟ C, GZN, & de quibuſcumq;
alijs,
quæ diuident ipſas, EO, MR, ſimiliter ad eandem partem, & con-
ſequenter diuidunt etiam altitudines eorũdem reſpectu baſium ſum-
deijs, quæ per extrema, E, M,
ducuntur, habemus igitur cylindros, AC, FN, ſiue conos, BEC,
GMN, quorum ducta ſunt plana oppoſita tangentia dictorum ſo-
lidorum homologis figuris parallela, quæ ſunt plana, B ℟ CX, A
D; GYNZ, FH, quibus inciderunt duo plana ad ęquales angulos
ex eadem parte, illa nempè, in quibus ſunt ipſa parallelogramma,
AC, FN, vel triangula, BEC, quia ſunt recta ad baſes .i.
ad dicta
tangentia, ipſæ autem ſiguræ .i.
parallelogramma, vel triangula in-
uenta ſunt eſſe ſimilia, quarum homologarum regulæ oppoſitę tan-
gentes, AD, BC; FH, GN, quarum ſunt incidentes, EO, MR,
earum autem lineæ homologæ, ſumptæ regulis dictis tangentibus,
repertæ ſunt eſſe incidentes figurarum planarum ſimilium, quæ di-
uidunt altitudines dictorum ſolidorum iam dictas ſimiliter ad ean-
dem partem, & oppoſitarum tangentium, quæ omnes ijs, quæ du-
cuntur per extrema, BC, GN, tangentes circulos, B ℟ CX, GY
NZ, ſunt ęquidiſtantes, vt facilè conſideranti patebit, ergo cylin-
dri, AC, FN, vel coni, BEC, GMN, ſunt ſimiles iuxta meam defi-
DEfinitio mea ſimilium conicorum, &
cylindricorum
concordat cum definitione generali ſimilium ſolido-
rum.
Sint cylindrici quicunque, AH, KY;
ſeu conici in ijſdem baſibus,
& altitudinibus (vt vna vice vtriuſq;
demonſtrationem abſoluamus)
NLH, VXY, ſimiles iuxta definit. 7.
huius.
Dico eoſdem etiam
eſſe ſimiles iuxta definit. 11.
Quoniam ergo vtraque prædicta ſolida
ſitę tangentes, quę ſint homologarum regulę, ipſę, LD, HG, X f,
prædictarum ſimi-
DG, f l, quæ etiam pro regulis alia-
ſint ergo duę quæcunque homologę
parallelę incidentibus, D G, fl, ip-
ſæ, LH, XY, ſi ergo per has, & la-
iam dictorum extendantur plana, ab
ijs producentur in cylindricis ſimilia
parallelogramma, & in conicis ſimi-
lia triangula, quę etiam erunt ad ba-
ſes æquè ad eandem partem inclina-
ta. Extendantur ergo per oppoſitas
tangentes, LD, HG; Xf, Yl, pla-
na tangentia tam cylindricos, quam
conicos iam dictos, & hęc ſimul cum
planis baſium indefinitè producan-
tur ad partes incidentium, DG, fl,
& tandem per, DG, fl, cum ſint
parallelæ, extendantur plana ipſis,
AH, KY, parallela ſecantia iam pro-
ducta plana in rectis, DG, GE, E
B, BD, DE, fl, l &, &
Z, Zf, f
, erunt ergo parallelepipeda, AG,
Kl, & priſmata, LNGD, XVlf,
ſimile ipſi, AH, &, Zl, ſimile, K
Y, quæ cum ſint inter ſe ſimilia, e-
tiam, BG, Zl, erunt ſimilia, ſic e-
tiam oſtendemus triangula, EDG,
& fl, eſſe ſimilia, ſub intellige iuxta
definitionem Euclidis, ergo erunt e-
tiam ſimilia iuxta defin. 10.
Ducantur duo plana oppoſitis tangenti-
baſium, LH, XY, ſumptas, ſimiliter ad eandem partem diuidentia,
M, ST, ſecent verò plana tangentia in rectis, IC, MF, Od; r ℟,
Tp, So, iſtæ ergo erunt ad inuicem parallelæ, & tangent figuras,
Quod ergo figuræ,
les baſibus, & ijſdem ſimiliter poſitę
ipſarum, & quarumcunq;
ſic in prę-
fatis ſolidis producibilium ſimilium
figurarum homologæ duabus qui-
buſdam regulis, vt ex. gr.
ipſis, HG,
Yl, ſemper æquidiſtent. Reliquum
eſt autem, vt probemus, CF, ℟ p,
vel, dF, op, eſſe prædictarum in-
cidentes. Cumergo duę, IC, CF,
duabus, LD. DG, ęquidiſtentan-
ſic etiam probabimus eſſe æquales,
R ℟ p, Xfl, cum verò, IC, ſit e-
tiam æqualis, LD, & R ℟, ipſi,
Xf, necnon, CF, ipſi, DG, &,
℟ p, ipſi, fl, erit, IC, ad, R ℟, vt,
CF, ad, ℟ p, & incidunt ipſis, IC,
MF, R ℟, Tp, ad eundem angu-
lum ex eadem parte, ergo, CF, ℟
p, erunt incidentes ſimilium figura-
rum, IM, RT, & oppoſitarum tan-
R ℟, Tp, ea-
dem ratione demonſtrabimus, dF,
op, eſſe incidentes ſimilium figura-
rum, OM, ST, & oppoſitarum tan-
gentium, Od, MF; So, Tp, eſt
autem, dF, ad, op, vt, dE, ad,
o &, ſcilicet, vt, DE, ad, f &
, nam,
DE, f &, ſunt ſimiliter ad eandem
partem diuiſæ in punctis, do, (ete-
eandem partem diuiduntur) ergo, dF, op, æquidiſtantes oppoſitis
tangentibus, BE, DG, Z &, fl, ſunt homologæ figurarum ſimi-
lium, EDG, & fl, quarum &
oppoſitarum tangentium incidentes
erunt ipſæ, ED, & f.
Eodem modo oſtendemus, CF, ℟ p, eſſe
oppoſitarum
tangentium, BE, DG, Z &, fl, incidentes ſunt ipſæ, BD, Zf,
hæc autem etiam in cęteris traiectis planis, vt dictum eſt contingere
oſtendemus, ergo, BG, Zl, EDG, & fl, erunt figurę incidentes
ſimilium cylindricorum, ſeu conicorum iam dictorum, & oppoſito-
rum tangentium planorum, AE, LG, K &, XL, ergo in his ſoli-
dis adſunt omnes conditiones defin. 11.
vt recolenti eafdem patefiet,
igitur erunt iuxta eandem pariter ſimilia. Aduerte autem, quod ſup-
poſui planum, NG, tangere tam cylindricum, quam conicum, vt
etiam, Vl, ne figura nimis confunderetur, & vt fierent latera, E
G, & l, communia parallelogrammis, BG, Zl, &
triangulis, D
EG, f & l, valebit tamen eadem demonſtratio etiamſi plana ducta
per, HG, Yl, tangentia cylindricos, diuerſa ſint à planis per eaſdem,
HG, Yl, tranſeuntibus, ac tangentibus ipſos conicos, fient enim
ſemper ſimilia triangula, EDG, & fl, etiamſi non adiaceant late-
ribus, EG, & l, vt conſideranti facilè patebit, hæc autem nobis o-
ſtendenda erant.
SI ſolidum rotundum ſecetur plano per axem, producta in
eo figura erit, quæ per reuolutionem ipſum genuit.
Sit ſolidum rotundum, cuius axis, AM, baſis circulus, HDEF,
cat figuram, ACDFG. Dico hanc
eſſe eam, quæ per reuolutionem ip-
Intelligatur re-
uolui circa, AM, figura, quę dictum
ſolidum genuit, donec reperiatur po-
ſita in plano figuræ, ACDFG, igi-
tur vel harum figurarum perimetri
congruunt, vel non, ſi ſic ex illis fa-
cta erit vna figura, ea nempè, quæ
per reuolutionem generat dictum ſo-
lidum, ſi verò non congruant, ali-
quis punctus alterius ambituum di-
ctarum figurarum non reperietur in
reliquæ ambitu, ſit is punctus, B, qui
reperiatur in ambitu figuræ, quæ per reuolutionem dictum ſolidum
deſcripſit, quæ ſit ipſa, ABDFG, & non in ambitu figurę, ACD
FG, cuius ambitus eſt communis ſectio plani ducti per axem, & ſu-
ni ſectione iam dicta, & eſt in plano figuræ, ACDFG, igitur erit
intra, vel extra ſuperficiem ambientem dictum ſolidum, eſt autem in
ambitu figuræ, quæ tali ambitu dictam ſuperficiem deſcribit, ergo
erit in ipſa ſuperficie ambiente, & non erit, quod eſt abſurdum, non
igitur aliquis punctus ambitus figuræ, quæ dictam ſolidum per reuo-
lutionem generat eſt extra ambitum figuræ, ACDFG, igitur iſti
ambitus, & conſequenter ipſæ figuræ ſibi inuicem congruunt, &
fit
vna figura, ea ſcilicet, quæ per reuolutionem dictum ſolidum rotun-
dum generat, quod erat demonſtrandum.
SI ſolidum rotũdum ſecetur plano ad axem recto, fiet con-
cepta in ipſo figura circulus, cuius centrum erit in axe.
Sit ſolidum rotundum, cuius axis, AC, &
figura, quæ ipſum per
reuolut onem genuit ipſa, ABCD, ſecetur autem plano ad axem
recto, ex quo in ipſo producatur figura, MBND. Dico hanc eſſe
circulum, cuius centrum erit in axe, vt, E, ſit autem communis ſe-
ctio plani recti ad axem, & figuræ, ABCD, recta, BD, quia er-
go figura, ABCD, eſt circa axem, ipſa autem, BD, quæ rectè a-
axim applicatis, ideò ab ea bifariam diui-
num per axem, quod in dicto ſolido pro-
ducat figuram, AMCN, quæ ſecet figu-
hæc figura eadem ei, quæ per reuolutio-
nem dictum genuit ſolidum, & ideò erit fi-
gura circa axem, ad quam ordinatim ap-
plicatur, MN, cum ipſa rectè axem, AC,
diu dat, ergo, MN, bifariam diuiditur in,
E, eodem pacto quaſcumq; alias commu-
nes ſectiones figurarum per axem, AC,
tranſeuntium, & figurę, BNDM, oſten-
demus bifariam diuidi in, E. Vlterius, quia figuræ, ABCD, AM
CN, ſunt eædem illi, quæ per reuolutionem generat ſolidum, AB
CD, &, BD, MN, tranſeunt per idem punctum axis, AC, rectè
eundem ſecantes, ideo ſi ipſa, AMCN, reuolueretur, donec eſſet
in plano figurę, ABCD, illi congrueret, &, MN, ipſi, BD, vn-
de, MN, BD, ſunt æquales, & ideò earum dimidię, NE, EB;
M
ctas à puncto, E, ad lineam ambientem, MBND, eſſe æquales
cuilibet ipſarum, BE, EN, ED, EM, ergo figura, MBND, erit
circulus, cuius centrum, E, in axe reperitur, quod erat oſtendendum.
_C_olligimus autem ipſas, BD, MN, communes ſectiones figurã-
rum per axem ductarum, & circulorum, qui per ſectionem dicti
ſolidi per plana ad axem recta in eo produsuntur, eſſe eorum diametros,
cum per centrum tranſeant.
SI quicunq;
conus ſecetur plano baſi æquidiſtante conce-
pta in cono figura erit circulus centrum in axe habens.
Si conus ſit rectus patet hoc ex antecedenti Propoſ.
cæterum ſi ſit
ſcalenus, qualis ſit conus, ACFD, qui ſecetur plano baſi, CFD,
æquidiſtante, quod in eo producat figuram, BRE. Dico ipſam eſſe
circulum, centrum in axe habentem. Secetur ergo plano per axem,
circuli, CFD,
communis ſectio ſit, CD, quę erit diameter dicti circuli; eius autem
& figuræ, BRE, communis ſectio, BE;
ſunt igitur trianguli, AB
N, ergo, CN, ad, NA, erit vt, BI, ad, IA,
vt, BI, ad, IE, ergo, ex æquo, CN, ad, N
D, erit vt, BI, ad, IE, ſed, CN, eſt ęqualis,
ND, ergo &, BI, ipſi, IE.
Ducatur nunc
aliud planum per axem, quod producat trian-
gulum, ANF, quodq; ſecet figuram, BRE,
in, IR, fient ergo trianguli, AIR, ANF, æ-
quianguli, ergo, FN, NA, NC, erunt lineæ
in eadem proportione cum ipſis, RI, IA, IB,
ergo, ex ęquo, FN, ad, NC, erit vt, RI, ad,
IB, ſed, FN, eſt æqualis ipſi, NC, ergo, R
I, erit æqualis ipſi, IB, eodem modo oſtende
mus quaſcunque ductas à puncto, I, ad lineam ambientem, BRE,
eſſe æquales ipſi, BI, ergo figura, BRE, erit circulus, cuius, cen-
trum, I, quod oſtendere oportebat.
_H_Inc patet ipſam, BE, communem ſectionem trianguli por axem
ducti, & circuli, BRE, eſſe eiuſdem diametrum, cum per eius
centrum tranſedt.
SI ſolidum rotundum, vel conus ſcalenus ſecentur plano
per axem, deinde ſecetur ſolidum rotundum (niſi baſim
habeat, quę circulus erit) plano ad axem recto circulum pro-
ducente, in cuius plano, & illius, qui eſt coni baſis perpen-
dicularis ducta ſit baſi figurę per axim ductę; deinde ſumpto
puncto in ambitu figuræ per axem, per illum æquidiſtans di-
ctæ perpendiculari ducta fueritrecta linea, hæc tanget dicta
ſolida, at ſi ſumptus punctus ſit extra talem ambitum, ſed in
ſuperficie ambiente dicta ſolida, quæ per ipſum ducitur ei-
dem æquidiſtans intra dicta ſolida cadet, & producta vſque
ad ſuperficiem ambientem à figura ducta per axem bifariam
diuidetur.
Sit ſolidum rotundum, ABTF, vel conus ſcalenus, APR, in
baſi circulo, PXRZ, quorum axis, AT, & ſi ſolidum rotundum
non habeat baſim, ſe-
axem, quod in eo pro-
ducat circulum, PXR
Z, ſecentur autem am-
bo planis per axem-
quæ producant in ſo-
lido rotundo figuram,
APTF, & in cono
triangulum, APR,
deinde in plano circu-
li, PZRX, ducatur
ipſi, PR, communi
ſectioni dicti circuli, &
figuræ per axem, perpendicularis, ZX, & ſumpto puncto in ambitu
figurę per axem, vt, 2, per ipſum ducatur recta linea parallela ipſi,
Dico hanc tangere dicta ſolida, ſi enim non tangit ſecet, ve-
luti, D2N, in puncto, N, igitur punctus. n.
erit extra planum figu-
ræper axem, nam ipſa, D2N, eſt parallela ipſi, ZX, quæ eſt ad
rectos angulos figuræ per axem tranſeunti, & ideò etiam, D2N,
occurret illi in alio puncto, ergo, N, eſt extra planum figuræ per a-
xem, ducatur per, N, planum æquidiſtans plano, PXRZ, circuli,
ſit, BF, communisſectio ip-
ſius circuli, & figuræ per axem, quæ erit ipſius circuli diameter, &
,
ZX, parallelam, vt, NC, cum etiam, BF, ſit parallela ipſi, PR,
continebunt angulos æquales, ſed, ZX, ſecat perpendiculariter, P
mitate diametri, ergo intra circulum, BCFN, erit, & bifariam ſe-
cabitur ab ipſa, BF, ergo non tranſibit per circuitum figuræ per a-
xem ductæ, & per ipſum tranſit, D2N, ergo, NC, N2D, ſunt
duæ rectæ lineæ eidem, ZX, parallelę, ergo etiam inter ſe erunt pa-
rallelæ, quod eſt abſurdum, cum tranſeant per idem punctum, N,
ergo ducta per punctum ambitus figuræ per axem parallela ipſi, ZX,
tanget dicta ſolida: Sit nobis nunc punctus, N, pro puncto vtcung;
in ſuperficie ambiente ſumpto extra circuitum figuræ per axem, à
quo ducta ipſi, ZX, parallela, occurrat producta ſuperficiei ambienti
in puncto, C, oſtendemus ergo eodem modo ſupra adhibito (poſt-
quam duxerimus per, N, planum circulo, PXRZ, æquidiſtans,
quod in ſolido producat circulum, BNFC,) ipſam, NC, intra cir-
culum, BNFC, cadere, & bifariam diuidi à recta, BF, ſiue à figu@a
per axem ducta (nam eſt, NC, perpendicularis ipſi, BF,) quod o-
ſtendere opus erat.
SI ſolidum rotundum, vel conus ſcalenus, ſecentur plano
per axem, & deinde alio plano ſecentur, cuius, &
vnius
planorum rectè axem ſecantium communis ſectio ſit recta li-
nea perpendicularis communi ſectioni eiuſdem, & plani per
axem; figura à ſecundo ſecante plano in ſolido producta erit
circa axem, in cono ſcaleno autem erit circa axem, vel dia-
metrum, & axis, vel diameter erit communis ſectio per dicta
ſecantia plana productarum figurarum.
Sit ſolidum rotundum, APCQ, &
conusicalenus, APEQM,
vtraque autem ſecentur plano per axem, quod producat figuram, A
PCQ, in ſolido, & triangulum, APQ, in cono, deinde ſecentur
altero plano, cuius, & plani recti ad axem (quo productus ſit circu-
lus, PMQE,) communis ſectio ſit, EM, perpendicularis ipſi, PQ,
communi ſectioni eiuſdem, & plani per axem ducti.
Dico figuram,
BEDM, in ſolido rotundo eſſe circa axem, & in cono circa axem,
axem, vel diametrum eſſe, BD, communem ſe-
ctionem productarum figurarum. Si ergo ſecundò producta figura
per axem pariter ducta eſſet, manifeſtum eſt in ſolido rotundo fore
in cono fore triangulum, in quo axis,
cum illas bifariam diuidat, eſſet talis triangulus figura circa axem, ſi
verò ad angulos non rectos, eſſet figura circa diametrum, nempè
circa, AC. Sed non tranſeat hęc ſecunda figura per axem, ſint au-
tem puncta, B, D, extrema communis ſectionis primæ, & ſecundę
figuræ, ideſt ip-
in ſolido rotun-
do (& in-cono,
dum triangulus,
APQ, per axem
ductus tranſit e-
tiam per ductam
à vertice, A, per-
pẽdicularem ipſi
baſi, PEQM,
ideſt cum trian-
gulus, APQ, eſt
erectus baſi, PE
QM,) ipſa, EM, communis ſectio ſecundi plani ſecantis, &, PQ,
ctioni planorum, PEQM, APQ, ad inuicem erectorum, erit etiam
perpendicularis plano per axem, & ideò erit perpendicularis ad om-
nes per eam in tali plano tranſeuntes, ideò, BD, rectè ſecabit ipſam,
EM, & quæ ducuntur per extrema, BD, æquidiſtantes ipſi, EM,
tangent ipſa ſolida, vnde, B, D, erunt oppoſiti vertices figurarum,
BEDM, reſpectu ipſius, EM, ſumptarum, quare, BD, ſecabit
quia ſumpto
& ab eo ducta eidem, EM, parallela intra figuram cadit, ſit is pun-
Sie oſtendemus, BD, diuidere cæteras omnes ipfi, EM,
æquidiſtantes in ſuperficiem ambientem hinc inde terminatas, &
quia, BD, ſecat, EM, adangulos rectos, cæteras omnes iam di-
ctas bifariam, & ad angulos rectos ſecabit, igitur tunc figura, BED
M, erit circa axem, BD, ſiue in ſolido rotundo, ſiue in cono: Siau-
tem triangulus, APQ, non tranſeat per ductam ipſi plano perpen-
dicularem, tunc eodem modo, quoſupra oſtendemus, BD, ſecare
omnes ęquidiſtantes ipſi, EM, bifariam, & quia triangulus, APQ,
non tranſit per perpendicularem baſi, neque erit erectus ipſi baſi, P
EQM, ergo angulus, EDB, non erit rectus, nam ſi eſſet rectus,
cum ſit etiam rectus, EDP, planum circuli, PEQM, eſſet erectum
triangulo, APQ, & ille huic, quod eſt contra ſuppoſitum, igitur,
conſequenter cæteras iam dictas illi æquidi-
ſtantes bifariam, & ad angulos non rectos, igitur figura, EBM, tunc
erit circa diametrum, & erit diameter ipſa, BD, ſiue axis, in ſupra-
dicto caſu tum in cono, tum etiam in ſolido rotundo, quod erat oſten-
dendum.
_H_Inc colligitur in cono, ſi triangulus per axem ductus ſit erectus
baſi, fieri dictam figuram circa axem; ſi verò non ſit erectus, ſed
inclinatus eidem, fieri figuram circa diametrum; in ſolido rotundo au-
tem fieri ſemper figuram circa axem.
SI conus ſecetur plano per axem, ſecetur deinde altero pla-
no ſecante baſim coni ſecundum rectam lineam, quę ad
baſim trianguli per axem ſit perpendicularis, cuius & trian-
guli per axem cõmunis ſectio ſit parallela vni laterum trian-
guli per axem; quadrata ordinatim applicatarum ad axim,
vel diametrum figurę in cono ſecundo plano productę, æqui-
diſtantium eiuſdem, & baſis communi ſe ctioni erunt inter fe,
vt abíciſſæ per eaidem ordinatim applicatas verſus verticem
ſumptæ ab eiſdem axibus, vel diametris iam dictis.
Sit conus, cuius vertex, A, baſis circulus, CEFD, ſecetur autem
prius plano per axem, quod in eo producat triangulum, ACF, ſe-
pendicularem ipfi, CF, cuius in cono concepta ſit figura, BED,
lela ipſi, AF, cuius vertex reſpectu ipſius, ED, erit, B; ducaturà
puncto, M, qui non ſit punctus, B, ſed vtcumque ſumptus in linea,
EBD, extra baſim, ED, ipſi, ED, recta ęquidiſtans, MO, pro-
ducta vſq; ad ambientem ſuperficiem, cui occurrat in, O, igitur hęc
erit vna ex ordinatim applicatis ad axim, vel diametrum, BV, ęqui-
diſtans ipſi, ED, quę bifariam diuidetur ab ipſa, BV, in puncto, N,
ducatur per, N, ipſi, CF, parallela, HR, eſt verò etiam, MO, ipſi,
ED, parallela, ergo planum tranſiens per, HR, MO, æquidiſta-
quatuor puncta, H, M, R, O, erunt in circuli
gulus, HNM, æquatur angulo, CVE,
quatur rectangulo, HNR, & quadra-
tum, EV, rectangulo, CVF, eſt autem
rectangulum, CVF, ad rectangulum, H
NR, (quia eorum altitudines, VF, NR,
ſunt æ quales, cum ſint parallelogrammi,
NF, oppoſita latera) vt baſis, CV, ad,
HN, ex prima Sexti Elem. vel ex quinta
libro ſequentis independénter ab hac de-
monſtrata, & quia, HN, eſt parallela
ipſi, CV, trianguli, BHN, BCV, ſunt æquianguli, ideò, vt, C
ctangulum, HNR, ideſt quadratum, EV, ad quadratum, MN,
erit vt, VB, ad, BN, eſt autem quadratum, ED, quadruplum
quadrati, EV, nam eſt æquale quadratis, EV, VD, & rectangulis
conficiunt quatuor quadrata, EV, & eadem ratione quadratum, M
O, eſt quadruplum quadrati, MN, ergo quadratum, ED, ad qua-
dratum, MO, erit vt, BV, ad, BN, quæſunt abſciſſæ ab ipſa axi,
vel diametro, BV, verſus verticem, B, per ipſas, ED, MO, ordi-
natim adipſam, BV, applicatas, quod oſtendere opus erat; hęc au-
tem vocatur ab Apolonio Parabola.
IIſdem poſitis, præterquamquod, BV, ſit parallela ipſi, A
F, ſed poſito, quod concurrat cum eodem latere, FA, ver-
ſus verticem producto, vt in, Z. Dico quadratum, ED, ad
quadratum, MO, eſſe vt rectangulum, ZVB, ad rectangu-
lum, ZNB.
Quia enim quadratum, EV, eſt æquale rectangulo, CVF, &
quadratum, MN, rectangulo, HNR, ideò quadratum, EV, ad
F, HNR, rectangulum verò, CVF, ad,
HNR, habet rationem compoſitam ex ea,
quam habet, CV, ad, HN, (vt infra inde-
pendenter ab hac Propoſit. probatur) .
i.
VB,
æquianguli, & ex ea, quam habet, VF, ad,
NR, ideſt, VZ, ad, ZN, quia trianguli, V
FZ, NRZ, ſunt æquianguli, duę verò ra-
tiones, VB, ad, BN, &, VZ, ad, ZN,
rectangulum, ZNB, ergo rectangulum, C
VF, ad rectangulum, HNR, .i.
quadratum,
EV, ad quadratum, MN, vel quadratum, ED, ad quadratum, M
O, erit vt rectangulum, ZVB, ad rectangulum, ZNB, quod oſten-
dere opus erat; hæc autem ab Apollonio vocatur Hyperbola.
TAndem eiſdem poſitis, preterquam dicto concurſu, po-
ſito, inquam, BV, concurrere cum vtroq; latere trian-
guli per axem, & productum, etiam cum baſi trianguli per
axem conuenire, vt in, 2. Dico quadratum, RD, ad qua-
dratum, MO, eſſe vt rectangulum, VSB, ad rectangulum,
VNB.
Sit ergo talis hic appoſitum ſchema, in quo planum figuræ B ℟
VD, (cuius axis, vel diameter ſecat vtraque latera, AC, AF, &
producta incidit in baſim, CF, productam in, 2,) extenſum indefi-
triangulo per axem, ACF, & ſint adhuc per puncta, N, S, ipſi, C
F, ductæ parallelæ, TL, HR, igitur quadratum, ℟ S, erit ęquale
quadra-
tum, MN, æquale rectangulo,
ad, HNR, habet rationem com-
poſitam ex ea, quam habet, T
S, ad, HN, .i.
SB, ad, BN,
quia trianguli, BTS, BHN,
ſunt æquianguli, & ex ea, quam
habet, SL, ad, NR, .i.
SV,
ad, VN, quia pariter trianguli,
SVL, NVR, ſunt æquiangu-
li, duę autem rationes, SB, ad,
BN, &, SV, ad, VN, componunt rationem rectanguli, BSV,
i.
quadratum, ℟ S, ad quadratum, MN, vel quadratum, ℟ D, ad
quadratum, MO, erit vt rectangulum, VSB, ad rectangulum, V
NB, quod oſtendere opu erat; hæc autem ab Apollonio vocatur
Ellipſis.
_H_Aec circa ſectiones conicas appoſui, tum vt quod menti meæ ſuc-
currit in lucem proferrem, tum vt eluceſcat, quam facilè paſſio-
nes, quæ ab. Apollonio in Elementis conicis circa earundem diametros,
vel axes quoſcumque demonſtrantur, circa eos, qui axes, vel diametri
princibales, ſiue ex generatione vocantur modo ſupradicto oſtendantur. His tamen contenti ex Apollonio recipiemus pro dictarum ſectionum
axibus, vel diametris quibuſcumq; quod ipſe colligit ad finem Trop.
51.
primi Conicorum, ſcilicet.
In Parabola vnamquamque rectarum linearum, quę diametro ex
generatione ducuntur æquidiſtantes, diametrum eſſe: In hyperbola
verò, & ellipſi, &
oppoſitis ſectionibus vnamquamque earum, quę
per centrum ducuntur, & in parabola quidem applicatas ad vnam-
quamq; diametrum, ęquidiſtantes contingentibus, poſte rectangula
ipſi adiacentia: In hyperbola, &
oppoſitis poſſe rectangula adiacen-
tia ipſi, quę excedunt eadem figura: In ellipſi autem, quę eadem de-
ficiunt: Poſt@@mò quęcumque circa ſectiones adhibitis principalibus
diametris demonſtrata ſunt, & alijs diametris aſſumptis eadem con-
tingere.
Tres autem proximæ Propoſitiones etiam in meo Speculo Vſtorio de-
ſcriptæ fuerunt, cum & ibi ijſdem indigerem, has verò hic repetere
volui, vt qui meum illud Speculum non viderunt, etiam ijſdem potiri
poſſint: Aliqua tamen ex infraſcriptis nunc ex Archimede, &
eiuſdem
Commentatoribus ſumemus, vt iam oſtenſa, ne has demonſtrationes, quæ
apud præfatos Auctores videri poſſunt, fruſtra repetamus.
SI ſphęra, vel ſphęroides, conoides parabolicum, vel hy-
perbolicum planis ſecentur ad axem rectis, communes
ſectiones erunt circuli diametros in eadem figura ducta per
axem (quæ eſt illa, quę per reuolutionem creat dictum ſoli-
dum) ſitas habentes.
Patet hæc Propoſitio, nam ſupradicta ſunt ſolida rotunda, na-
n.
ex reuolutione figurarum circa axem.
SI conoides parabolicum plano ſecetur non quidem per a-
xem, neque æquidiſtanter axi, neque ad rectos angulos
cum axe, communis ſectio erit ellipſis, diameter verò ipſius
maior erit linea concepta in conoide ab interſectione facta
planorum, eius ſcilicet, quod ſecat figuram, & eius, quod
ducitur recto per axem ad planum ſecans, minor verò diame-
ter æqualis erit diſtantiæ linearum ductarum æquidiſtanter
axi ab extremis diametri maioris.
Hæc oſtenditur ab Archimede lib.
de Conoidibus, &
Sphæroidi-
bus p. 13.
SI conoides hyperbolicum plano ſecetur coincidente in
omnia conilatera conoides compræhendentis non recto
ad axem; ſectio erit ellipſis, diameter verò maior ipſius erit
concepta in conoide à ſectione facta planorum, alterius qui-
alterius acti per axem recto ad pla-
num ſecans. Archim.
ibid.
Propoſ.
14.
SI ſphæroides plano ſecetur non recto ad axem, ſectio erit
ellipſis, diameter verò ipſius maior erit concepta in ſphę-
roide ſectio duorum planorum, eius ſcilicet, quod ſecat figu-
ram, & eius, quod ducitur per axem recto ad planum ſecans.
Arch.
ibid.
Propoſ.
15.
Minor verò diameter ſic habetur.
Sit Sphæroides, vel conoides
hyperbolicum, BDMF, axis, BM, centrum, A, ellipſis verò per
ſphæroide, BDM
F, in conoide verò
hyperbola, NCO. Secetur autem ſphę-
roides, vel conoides
plano non recto ad
axem, ſed erecto fi-
guræ, BDMF, ex
quo fiat in ipſis ſe-
ctio, DF, hæc erit
ellipſis, cuius maior
diameter, DF. In-
ueniatur nunc ver-
tex ellipſis, ſeu hy-
perbolæ, BDMF,
reſpectu ipſius, DF, qui ſit, C, & iungatur, CB, ac per, B, aga-
tur, BG, tangens in, B, ipſam ellipſim, ſeu hyperbolam, tandem à
puncto, D, parallela ipſi, BG, & à puncto, F, parallela ipſi, CB,
produc antur, DE, FE, quæ inuicem concurrent vt in, E. Dico
igitur, quod erit, ED, minor diameter eiuſdem ellipſis, DF.
Hoc autem demonſtrat ibid.
Dauid Riualtus in Commentarijs in
Archim. ad Propoſ.
14.
&
15.
SI ſphæroides, vel conoides parabolicum, ſeu hyperboli-
cum ſecentur quomodocumq; planis parallelis ad axem
rectis, ſiue inclinatis, communes ſectiones ſimiles erunt, &
diametri eiuſdem rationis erunt omnes in eadem figura per
axem tranſeunte, rectè eaſdem ſecante.
Hæc colliguntur in Coroll.
2.
Prop.
15.
lib.
Arch.
de Conoidibus,
& Sphæroidibus, &
ibidem etiam à Federico Commandino in ſuis in
Arch. Comment.
demonſtrantur.
Hęc verò circa ipſas ſectionum fi-
guras verificari pariter manifeſtum eſt, hoc autem dico, vtor enim
ijſdem ſectionum nominibus tamquam figuras ſub ipſis comprehen-
fas ſignificantibus.
EXpoſitis prædictis coni ſectionibus, circulo nempè, El-
lipſi, Parabola, & Hyperbola, ſi, quę ad earundem axes
ordinatim applicantur, diametri eſſe intelligantur circulo-
rum ab ipſis deſcriptorum, qui ſint erecti pianis ipſarum figu-
rarum, periphærię deſcriptorum circulorum in ſectione, quę
eſt circulus, erunt omnes in ſuperficie ſphęrę, in Ellipſi verò
in ſuperficie ſphæroidis, in Parab. in ſuperficie conoidis pa-
rabolici, & in Hyperbola in ſuperficie conoidis Hyperbolici.
Sint prædictę ſectiones figurę
axes, AC, vna ex ordinatim ad
axim applicatis, BD, quæ in-
telligatur eſſe diameter ab ea
deſcripti circuli, BNDE. Di-
co circumferentiam, BNDE,
eſſe in dicta ſuperficie. Intelli-
gantur dictę figuræ reuolui circa
ſuos axes, vt ex circulo fiat ſphę-
ra, ex ellipſi ſphæroides, ex pa-
rabola conoides parabolicum,
& ex hyperbola hyperbolicum,
ſecentur autem planis ad axem
rectis, eundem axem ſecantibus in eodem puncto, in quo deſcriptus
lidis circulus centrum in axehabens, cuius diameter erit, BD, ha-
plano in dicto ſolido producti eſt in ſuperficie ambiente dictum ſoli-
dum, ergo, & periphęria circuli, BNDE, deſcripti, vt dictum eſt,
erit in tali ſuperficie, ſcilicet in ſuperficie ſphæræ in figura circuli,
ſphæroidis in figura ellipſis, conoidis parabolici in figura parabolæ,
& hyperbolici in figura hyperbolę, idem oſtendemus de alijs quibuſ-
cumque ſic deſcriptis circulis ab ordinatim applicatis ad dictos axes
tanquam à diametris, qui ſint erecti eiſdem ſectionibus, igitur quod
proponebatur demonſtratum fuit.
INFRASCRIPTIS poſitis, eadem adhuc ſequi oſten-
demus.
Ijſdem enim expoſitis figuris, præter circulum, ſupponamus ip-
fam, AC, non eſſe axem, ſed diametrum, & ad ipſam ordinatim ap-
plicari vtcumque, BD, intelligatur autem, BD, diameter cuiuſdam
ellipſis ab eadem deſcriptæ, quæ ſit erecta plano propoſitæ figuræ,
ſit autem, in figura ellipſis, deſcriptæ ellipſis ſecunda diameter per-
pendicularis ipſi, BD, & æqualis ductæ à puncto, B, parallelę tan-
tremitate eiuſdem axis (quæ
tangat in, S,) interiectæ in-
ter, BD, & eam, quę ducitur
genti puncta, S, A. In figura
verò hyperbolæ ſit ſecunda
diameter perpendicularis, BD,
& æqualis ei, quæ ducitur à
puncto, D, parallela tangenti
hyperbolam in extremitate a-
xis (vt in, S,) interiectæ in-
ter, BD, & eam, quę ducitur
à puncto, B, parallela iungenti
puncta, S, A, & tandem in párabola ſit ſecunda diameter perpendi-
cularis quoque ipſi, BD, & æqualis diſtantiæ parallelarum eiuſdem
Intelligantur dein-
ſphæroides, in quibus planis per eorum
axes ductis, productæ ſint figuræ iam dictæ, ſecentur deinde planis
ad axem obliquis, ſed erectis ad dictas figuras, & ſint eadem plana
deſcriptarum ellipſium dicta ſolida ſecantia, erunt ergo ex his ſecan-
tibus planis conceptæ in ipſis figuræ pariter ellipſes, quarum diame-
trierunt, BD, quidem prima, ſecunda autem in ſpha roide æqualis
ductæ à puncto, B, parallelæ tangenti ellipſim in, S, interiectæ in-
ter ipſam, BD, & ductam à puncto, D, parallelam iungenti pun-
cta, S, A, (in cęteris autem ſolidis eadem ſuo modo verificabuntun)
à dicto ſecante plano producitur, & eſt etiam prima diameter ellipſis,
quę deſcribitur modo ſupradicto, ſunt autem ſecundę diametri vtriuſ-
que ellipſis ęquales, immo communes, quia ad rectos angulos ſecant
ipſam, BD, ergo habemus in eodem plano duas ellipſes circa ea-
ſdem diametros coniugatas, ergo neceſſario erunt congruentes, ſed
linea ellipſis, quę eſt communis ſectio dicti plani, & ſuperſiciei ſphe-
linea ellipſis vt ſupra de-
ſcriptæ erit in ſuperficie dicti ſphæroidis. Eodem modo idem de cæ-
teris ellipſibus ſimiliter deſcriptis demonſtrabimus tum in ſphæroide,
tum etiam in conoidibus parabolicis, & hyperbolicis, quę oſtendere
opus erat.
_H_Inc patet propoſito aliquo ex ſupradictis ſolidis, eoq;
ſecto planis
vtcumque parallelis ad axem rectis, ſiue obliquis figuras, quæ ex
ſectione planorum in ipſis ſolidis producuntur, eaſdem eſſe illis, quæ de-
ſcribuntur lineis rectis, tamquam homologis diametris, & primis, ijs,
inquam, quæ-ſunt communes ſectiones dictarum æquidiſtantium figura-
rum, & figuræ, quæ produceretur ducto plano per axem rectè eas ſecan-
te, quæ deſcribentes eſſent, quæ ondinatim applicantur ad axes, vel dia-
metros dictarum figurarum, ſecundis autem diametris deſcriptarum fi-
gurarum exiſtentibus, ijs, quæ ſupradictæ ſunt, prout poſtul at varietas
ſolidorum, iuxta Prop.42.
43.
&
44.
huius.
_A_Duerte tamen licet ſupra vocentur diametri, quæ dictas figuras de-
ſcribunt, deberetamen intelligi ſemper eſſe axes deſeriptarum fi-
gurarum, cum .n.
nomen diametri ſit commune diametro, &
axi, @li-
quando vice axis vtimur nomine diametri, vt in circulo apparet, cuius
tamen omnes diametri ſunt axes: Inſuper ſciendum eſt etiam, quæ circa
ſunt dictæ paſſiones, quoq; intelligi poſſe.
Eadem verò nedum in dictis
integris ſolidis, ſed etiam in eorum portionibus, ſiue in portionibus ſe-
ctionum coni abſciſſis per line as ad earum axim, vel diametrum ordina-
tim ductas, pariter verificari manifeſtum eſt.
PRopoſitis duabus quibuſcumq;
ſimilibus figuris, duæ quæuis re-
ctæ lineæ earum homologę poterunt eſſe incidentes, vel in ipſis
productis reperientur ſaltem earum incidentes, & oppoſitarum tan-
gentium, quibus ipſæ incidunt ad eundem angulum ex eadem parte,
erunt autem dictæ homologæ ſemper inuentarum incidentium par-
tes proportionales.
Sint duæ quæcunq;
ſimiles figuræ planæ, IQsP, 487R, in eiſ-
que duæ quælibet homologę, Is, 47. Dico has eſſe vel incidentes,
vel in eiſdem productis reperiri poſſe incidentes prædictarum figura-
rum, & oppoſitarum tangentium, quibus occurrant ipſæ homolo-
gæ, productæ, ad eundem angulum ex eadem parte, quales ſint, D
L, dO; pu, g Y.
Ducantur autem vlterius oppoſitę tangentes, quę
ls, 47, ipſæ, Ad, Co; F
g, KZ, quarum, & dicta-
ſint, AC, FK, parallelæ
n.
fieri
erunt autem etiam
ipſæ, d O, g Y, regulæ ho-
mologarum, cum faciant
angulos æquales cum regu-
lis, dA, gF, vt ſuppono,
& inueniri poterunt earum,
& dictarum figurarum inci-
dentes parallelæ eiſdem, A
d, Fg, ſint ipſę, LO, uY,
tales incidentes: Vel ergo
homologæ datæ, ls, 47,
terminantur ad oppofitas
tangentes, DL, dO; pu,
gY, velnon, & tunc producantur, &
ipſis incidant in punctis, E,
f; ℟, &
, &
vlterius productæ vſque ad, AC, FK, ſecent ipſas in
punctis, B, G. Vlterius vel, Ho, XZ, tangunt ſetotis, vel aliqua
gant in punctis tantum, P, R, & ab ipſis ducantur parallelę regulis,
dO, gY, ipſæ, PN, RT, occurrentes incidentibus, LO, uY, in
punctis, N, T, dico, LN, uY, ſimiliter ad eandem partem ſecari
in, N, T, ſi.n.
hoc non ſit, diuidatur, LO, in, M, ſimiliter ad ean-
dem partem, acdiuiditur, uY, in, T, & per, M, extendatur, MI,
parallela, dO, incidentes ambitui figuræ in, I, & rurſus ſecetur, u
Y, in, V, ſimiliter ad eandem partem, vt ſecatur, LO, in, N, quia
ergo, N, eſt intra puncta, M, O, etiam, V, erit inter puncta, T,
Y; ducatur tandem, VS, parallela, gY, incidens ambitui figurę in,
S. Quia igitur, MI, non incidit in punctum contactus rectæ, H o,
cum figura, erit, MI, maior, NP, eadem ratione oſtendemus, SV,
fore maiorem ipſa, RT, eſt enim, RT, minima earum, quæ abin-
cidente, uY, ad ambitum figuræ duci poſſunt æquidiſtanter ipſi, g
Y. Cum verò, IM, RT, ſimiliter diuidant, &
ad eandem partem
ipſas incidentes, LO, uY, erit, IM, ad, RT, vt, LO, ad, uY,
RT, ad, SV, eſt autem, IM, maior, PN, ergo etiam, RT, erit
maior, SV, ſed etiam minor, quod eſt abſurdum, ergo falſum eſt ip-
ſas, PN, RT, non ſecare ſimiliter ad eandem partem ipſas, LO,
uY, ſic igitur eaſdem diuidunt, eritque, PN, ad, RT, hoc eſt, H
L, ad, Xu, vt, LO, ad, uY, idem oſtendemus etiam ſi contactus
eſſet in parte linearum, Ho, XZ, ſeu in totis eiſdem lineis, vt conſi-
deranti facilè innoteſcet. Eadem autem methodo probabimus etiam,
DL, pu, eſſe vt ipſas, LO, uY, ergo reſiduæ, DH, pX, hoc eſt,
AC, FK, erunt vt, LO, uY, ideſt vt, E4, ℟ &, ſed, AC, FK,
ſimiliter ſunt diuiſę ab homologis, sl, 7 4, productis, in punctis, B,
K, ideſt vt, E 4, ad, ℟ &. Extendantur, NP, TR, quę diuidunt,
LO, uY, ſimiliter ad eandem partem, ſecentque ipſos, E4, ℟ &,
in punctis, 2, 3, incidat autem, NQ, in, Q, punctum contactus
lineæ, Ad, cum figura, oſtendemus, vt factum eſt circa ipſas, NP,
TR, etiam, T8, incidere in punctum contactus rectę, p g, cum fi-
gura, quod ſit ipſum, 8, quoniam ergo probatum eſt, DE, ad, p
℟, eſſe vt, E4, ad, ℟ &, erit etiam, Q2, ad, 83, vt, E4, ad,
℟ &. Similiter probabimus, 2P, ad, 3R, eſſe vt, E4, ad, ℟ &
,
& diuidunt ipſas, E4, ℟ &
, ſimiliter ad eandem partem, à quibus
viciſſim ſecantur ad eundem angulum ex eadem parte, cum, E4, ℟
&, ſint parallelæ ipſis, LO, uY, ergo, E4, ℟ &
, erunt incidentes
ſimilium figurarum, PlQs, R487, & oppoſitarum tangentium,
47, ſi fuiſſent ad oppoſitas tangentes terminatę in punctis, E, 4, ℟,
. Modòetiam ſi ad illa puncta non terminentur dico tamen, ls,
ad, E4, eſſe vt, 47, ad, ℟ &, etenim, ls, ad, 47, eſt vt, AC,
ad, FK, ideſt vt, LO, ad, uY, vel vt, E4, ad, ℟ &, vt probatum
eſt, ergo permutando, ls, ad, E4, erit vt, 47, ad, ℟ &, quod o-
ſtendere oportebat.
_E_T quoniam probatum eſt, l s, ad, 4 7, eſſe vt, E 4, ad, ℟ &
, ſeu
vt, LO, ad, u γ, vt autem, LO, ad, u γ, ita duæ homologæ, QP,
ad, 83, ideò duæ homologæ, ls, 47, ſunt inter ſe, vt duæ homologæ,
QP, 8R, & cum oppoſitæ tangentes, DL, dO, pu, g γ, ductæ ſint vt-
cumque, licet ad eundem angulum cx eadem parte cum ipſis, E4, ℟ &,
ideò duæhomologæ, ls, 4 7, erunt vt quæcumq; aliæ duæ homologæ qui-
buſuis regulis aſſimptæ, vel vt ecrum incidentes, immo & ipſæ inciden-
tes, crunt inter ſe, vt quæuis aliæ duæ incidentes, oſtenſum. n.
eſt, A
C, ad, FK, eſſe vt, LO, ad, u γ.
SI ſint duæ ſimiles figuræ planæ, quarum ſint ductæ oppo-
ſitæ tangentes, quæ ſunt homologarum earundem regu-
læ, per quas extendantur duo plana vtcumque inuicem pa-
rallela ęquè ad eandem partem ijſdem inclinata, deinde ſum-
ptis duabus quibuslibet homologis illæ deſcribere intelli-
gantur figuras planas ſimiles, ductis primò planis æquidi-
ſtantes, ita vt ſint ſimiliter deſcriptæ, & deſcribentes earum
lineæ, vel latera homologa, idem autem contingat cæteris
homologis, etiam ſi omnes figuræ deſcriptæ ſeorſim in vna-
quaque propoſitarum figurarum non eſſent ſimiles; Solida,
quę ab ijſdem tanguntur oppoſitis planis, in quibus ex traie-
ctione planorum præfatis oppoſitis tangentibus æquidiſtan-
tium eædem figuræ produci poſſunt, erunt ſimilia, & figuræ
deſcriptæ eorundem homologæ figuræ, & earum regulę ipſa
oppoſita tangentia plana, quorum & dictorum ſolidorum fi-
guræ incidentes erunt primò propoſitæ figuræ.
Hæc Propoſitio manifeſta eſt, inuoluit.
n.
requiſita omnia defini-
nam hic habemus duo ſolida, ea nempè,
quæ ſecantur planis dictarum figurarum, quorum duo extrema ſiue
primo ducta æquidiſtantia plana talia ſunt, vt illis incidant duo pla-
na (in quibus nempè reperiuntur propoſitæ figuræ ſimiles, quarum
homologarum regulę ſunt communes ſectiones earum, & dictorum
oppoſitorum planorum tangentium) ad eundem angulum ex eadem
parte, ſunt autem figuræ planę deſcriptæ lineis, vel lateribus homo-
logis propoſitarum figurarum inter ſe ſimiles, illæ. ſ.
quæ ſecant in-
cidentes propoſitarum figurarum, & ſubinde altitudines dictorum ſc-
æquidiſtant dictis tangenti-
bus planis, reſpectu quorum altitudines dictas aſſumptas intelligo; &
quia ſupponimus omnium deſcriptarum ſimilium figurarum late-
ra homologa deſcribentia eſſe lineas, vel latera homologa ſimilium
figurarum, quæ omnia ſunt inter ſe æquidiſtantia, ideò omnes ea-
ipſa latera deſcribentia erunt etiam lineæ incidentes, vel in eiſdem
productis ſaltem reperiri poterunt incidentes deſcriptarum ſimilium
figurarum, & oppoſitarum tangentium duabus quibuſdam ſemper
ęquidiſtantium, ſcilicet eis, quę cum dictis incidentibus angulos con-
tinent ęquales (erunt autem dicta latera homologa incidentes, ſi di-
ctæ tangentes tranſeant per extrema laterum deſcribentium, ſi au-
tem non, poterunt tamen in ipſis lateribus productis aſſumi earun-
cum ipſæ
propoſitæ figuræ ſint ſimiles, ſubinde etiam erunt ſimiles illæ, quæ
capient omnes dictas incidentes, ſi fortè accidat ipſa latera homolo-
ga deſcribentia non eſſe incidentes, vt dictum eſt, igitur adſunt hic
omnes conditiones definitionis meæ ſimilium ſolidorum, ergo ſoli-
da, in quibus dictæ ſimiles deſcriptæ figuræ ex traiectione dictorum
planorum producuntur, erunt ſimilia, & regulæ figurarum homo-
logarum erunt dicta plana tangentia, & eorum, ac dictorum ſolido-
rum figuræ incidentes, propoſitæ primò figuræ, vel aliæ in eiſdem
planis inuentæ, illæ ſcilicet, in quibus iacent omnium ſimilium de-
ſcriptarum figurarum lineæ incidentes, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc apparet ſi deſcriptæ figuræ omnes ſint inter ſe ſimiles, dicta,
ſolida pariter eſſe ſimilia. Vnde ſi intelligamus ſimiles coni ſe-
ctionum portiones, ſiue eaſdem integras, circa axes, vel diametros, &
ab ordinatim applicatis ad axim, vel diametrum, earundem deſcribi ſi-
mil. s figuras planas eiſdem ſectionum portionibus erectas, tanquam à
ſolida, in qui-
bus deſcriptæ figuræ ex traiectis planis producentur (quæ in ſequenti li-
bro dicuntur, ſolida ad inuicem ſimilaria genita ex dictis ſectionum por-
tionibus) erunt ſimilia, & figurarum homologarum eorundem regulæ
rum & dictorum ſolidorum figuræ incidentes erunt dictæ ſectionum por-
tiones, vel in earum planis iacebunt. V nde colligimus omnes ſphæras
eſſe ſimiles, nam ſi ſecentur planis per axem, conceptæ figuræ fiunt ſimi-
les, ideſt circuli, quod ſi ſecentur adhuc planis ad horum circulorum pla-
metris eiſdem rectis lineis, in quibus coincidunt circulis per axem du-
oppoſitarum tangentium per eorum extrema ductarum, quæ
ſunt iſtæ inci-
dentes, ſiue diametri deſcriptorum circulorum, quæ axem diuidunt fi-
militer ad eandem partem, vt ipſi axes, igitur ſpbæræ omnes ſunt ſimi-
les, & ductis duobus planis oppoſitis tangentibus vtcumq;
&
per axem,
figuræ incidentes dictorum tangentium, & ſphærarum, &
dicta plana
tangentia erunt regulæ homologarum figurarum earundem, vnde tan-
dem patet quoſuis circulos in ſphæris per centrum tranſeuntes poſſe eſſe
figuras incidentes earundem ſphærarum, & planorum oppoſitorum tan-
gentium ſphæras in extremis punctis diametrorum quorumuis dictorum
circulorum per centrum tr anſeuntium.
POſita definitione particulari ſimilium ſphæroidum, ſe-
quitur & generalis ſimilium ſolidorum.
Sint ſimiles ſphæroides
larem de ipſis allatam, AB
CD, FEHG. Dico has
eſſe ſimiles iuxta definitio. nem generalem ſimilium
ſolidorum; ductis enim pla-
nis per axes, AC, FH,
producantur in eiſdem el-
lipſes, ABCD, FEHG,
proinde erunt ſimiles tum iuxta defi-
nit. Apollonij, tum iuxta definit.
10.
huius.
Et quoniam ſi ſecentur
planis ad axem rectis in dictis ſphæroidibus gignuntur circuli, vt ex. gr.
BNDO, EXGV, (qui ſecent axes, AC, FH, ſimiliter ad ean-
ctiones cum figuris per axem tranſeuntibus, vt ipſę, BD, BG, ideò
iſtæ erunt incidentes ipſorum circulorum, BNDO, EXGV, &
E, G;
quod etiam de
cæteris intelligemus. Ergo ſi per axium, AC, FH, extrema ducta
ſint duo oppoſita tangentia plana, quæ erunt circulis, BNDO, E
XGV, parallela, habebimus plana ellipſium, ABCD, FEHG,
illis incidentia ad eundem angulum ex eadem parte; nam adilla ſunt
erecta, in quibus reperientur ſimiles figuræ, ellipſes nempè iam di-
ctæ, & homologarum earundem regulæ erunt communes ſectiones
earundem productorum planorum cum oppoſitis tangentibus pla-
nis, quæ homologę erunt incidentes homologarum figurarum (qua-
rum regulæ ſunt dicta tangentia plana) & oppoſitarum tangentium
per earundem extrema ductarum, quæ ſemper duabus quibuſdam re-
gulis æquidiſtabunt. Ergo dictæ ſphæroides ſimiles erunt iuxta de-
fin. 10.
huius, &
earum, ac dictorum oppoſitorum tangentium pla-
norum figuræ incidentes erunt eædem ellipſes, ABCD, FEHG,
per axes tranſeuntes, quod &c.
P Oſita definitione ſimilium portionum ſphæràrum, vel
ſphæroidum, aut conoidum, ſiue earundem portionum,
ſequitur etiam definitio generalis ſimilium 4olidorum.
Sint ſolida, FMH, BAC, ſimiles
vel ſimiles conoides, ſeu conoidum por-
tiones iuxta particularem definitionem
Dico eadem eſſe ſimi-
lia iuxta definitionem generalem ſimi-
lium ſolidorum. Baſes ergo erunt vel
circuli, vel ſimiles ellipſes, nempè, F
GHN, BDCE, ductis autem planis
per axes ad rectos angulos baſibus fiant
in ipſis figuræ, FMH, BAC, quæ e-
runt ſimiles ſectionum coni portiones, & earum baſes, FH, BC,
n.
ſolida rotunda, &
plana, FMH, BA
C, per axes tranſeuntia ſunt baſibus erecta. Sint autem ſolidorum
iam dictorum axes, necnon axes, ſeu diametri figurarum, FMH,
BAC, ipſæ, OM, XA. Qura ergo ſiguræ, FMH, BAC, ſunt
fimiles portionum coni ſectiones, quarum baſes, ſiue ad earum axes,
vel diametros, MO, AX, ordinatim applicatæ ſunt, FH, BC, e-
runt homologarum earundem regulæ, ac tangentes ipſas figuras ex
vna parte, ex alia verò, quo per vertices, M, A, eiſdem ducentur æ-
quidiſtantes, earundem verò oppoſitarum tangentium, acipſarum
figurarum incidentes, MO, AX, eritque, FH, ad, BC, vt, MO,
Si ergo baſes, FGHN, BDCE, ſint circuli erunt figurę
ſimiles, quarum & oppoſitarum tangentium per extrema, FH, du-
Si verò ſint ſimiles el-
facilè probabimus, ſicut pro circulo fa-
ctum eſt ad Lemma Propoſ. 31.
huius,
auxilio Propoſ. 40.
huius, ipſas, FH,
BC, eſſe incidentes ſimilium figurarum,
FGHN, BDCE, & oppoſitarum
tangentium, quę per puncta, F, H; B,
C, ducuntur (quę ipſis, FH, BC, exi-
ſtent perpendiculares, cum ſint axes ea-
rundem figurarum.) Et eodem modo
ſi dicta ſolida ſecentur alijs planis præ-
fatis baſibus parallelis (ita tamen vt illa
diuidant ſimiliter ad eandem partem ip-
ſas, MO, AX, & ſubinde etiam altitudines ipſorum ſolidorum re-
productas in ſo-
lidis figuras eſſe ſimiles, & earum, ac oppoſitarum tangentium (æ-
quidiſtantium tanquam regulis duabus oppoſitis tangentibus ba-
ſium, FH, BC, per extrema, F, H; B, C, iam ductarum) inci-
dentes eſſe communes ipſarum ſectiones cum figuris, FMH, BAC,
quæ omnes erunt lineæ homologæ ſimilium figurarum, FMH, B
AC, quarum regulę, FH, BC. Ergo, ductis per, M, A, duobus
planis baſibus parallelis, quæ ipſa ſolida contingent, incidunt hiſce
oppoſitis tangentibus planisad eundem angulum ex eadem parte
plana figurarum, FMH, BAC, ſectis autem ſolidis planis paralle-
lis, vt dictum eſt, fiunt in ipſis ſimiles figuræ planæ, & earum inci-
dentes capiuntur omnes in ſimilibus figuris, FMH, BAC, quarum
ſunt homologæ, earumque regulæ ipſæ, FH, BC, & lineæ homo-
logæ figurarum homologarum duabus quibuſdam regulis, vtpotè
nes æquidiſtant, ergo ſolida, FMH, BAC, ſunt ſimilia iuxta de-
fin. 11.
huius, &
earum, ac oppoſitorum tangentium planorum iam
dictorum, figuræ incidentes ſunt ipſæ, FMH, BAC, quod erat o-
ſtendendum.
_H_Inc etiam non difficile intelligi poteſt, propoſitis duabus coniſi-
milibus ſectionibus, FMH, BAC, quarum axes, vel diametri
ſint, MO, AX, ac poſito ipſas, FH, BC, tanquam axes deſcribere cir-
culos, ſeu ſimiles ellipſes erectas planis figurarum, FMH, BAC, &
cæteras omnes ordinatim applicatas ad ipſas, MO, AX, vel circulos,
vel ſemper ſimiles ellipſes deſcribere, vt dictum eſt, ſolida in cuius ſu-
perficie capiuntur omnes peripbæriæ circulorum, vel ſimilium ellipſi-
um, eſſe ſimiles portiones ſphærarum, vel ſimiles ſphæroides, vel conoi-
des, earumuè portiones, ſimiles inquam nedum iuxta defin. 11.
huius,
hoc. n.
habetur ex 48.
huius, ſed etiam iuxta defin.
9.
habentur.
n.
hic
omnes iſtius conditiones, vt examinanti facilè apparebit, quod eſt con-
uerſum eius, quod in præſenti Theor. propoſitum fuit.
Hoc autem con-
uerſum etiam in reliquis Theorematibus, in quibus definitiones particu-
lares ſimilium planarum, vel ſolidarum figurarum cum generalibus o-
ſtendimus cencordare, poterat demonſtrari, ſedcum in ſequentibus libris
vel nullam, vel ſaltem non neceſſariam occaſionem viderem me huius
habiturum eſſe, & cum etiam facilè hoc ſtudioſus, quirectè priores pro-
poſitiones intellexit, deducere poſſit, proptereane longior fierem, con-
ſultò hoc prætermiſi, quod tamen verum eſſe minimè dubito, & propte-
rea hoc etiam pro vero ſuppoſito infraſcriptum Coroll. ſubiungere volui.
_V_Lterius ergo cum hucuſque ſatis manifeſtum ſit, definitiones par-
ticulares ſimilium planarum, vel ſolidarum figurarum, cum de-
finitionibus generalibus 10. nempè, &
11.
huius concordare, ideò in ſe-
quentibus vtriuſq; definitionis, tam particularis ſcilicet quam generalis,
prout libuerit, hypoteſi nos vti poſſe ex hoc colligemus.
_N_E miretur autem Lector ſi in hoc quaſdam propoſitiones aſſum-
pſerim tamquam veras, quæ in ſequenti Libro demon§trantur,
quales præcipuè eſſe potuerunt Propoſ. 5.
6.
7.
&
8.
lib.
ſequentis, has
.n accepitamquam in Elementis iam demonſtratas, licet potuiſſent etiam
deſumi ex ſeq. Lib.
2.
cum ipſæ non penderent ex hic demonſtrandis, ne
fieret petitio principij, vt ſuis locis admonui in præſenti Libro; placuit
tamen eaſdem Propoſ. noua mea methodo indiuiſibilium etiam demon-
ſtrare, vt ex ea, tamquam ex herculeo cornu, quanta ſit manans demon-
ſtrationum affluentia paſſin digito demonſtrarem.
In quo de Triangulo præcipuè, &
Parallelogram-
mo, ac Solidis ab eiſdem genitis plura de-
monſtrantur, necnon aliæ quædam
Propoſitiones lemmaticæ pro ſe-
quentibus Libris oſten-
duntur.
SI per oppoſitas tangentes cuiuſcunq;
da-
tæ planæ figuræ ducantur duo plana in-
uicem parallela, recta, ſiue inclinata ad
planum datæ figuræ, hinc inde indefini-
tè producta; quorum alterum moueatur
verſus reliquum eidem ſemper æquidi-
ſingulæ re-
ctæ lineæ, quæ in toto motu fiunt com-
munes ſectiones plani moti, & datæ figuræ, ſimul collectæ
Omnes lineæ talis figuræ, ſumptæ regula vna ea-
rundem; &
hoc cum plana ſunt recta ad datam figuram:
Cum
verò ad illam ſunt inclinata vocentur. Omnes lineę eiuſdem
obliqui tranſitus datæ figuræ, regula pariter earundem vna; libeat tamen, cum expediet, etiam prædictas vocare, recti
tranſitus, ſicuti has, obliqui tanſitus, eius nempè, qui fit in
tali ęquidiſtãtium planorum ad datam figuram inclinatione.
_H_ Inc patet, quoniam oppoſitæ tangentes regula quacunque in data
cunq; recta linea propoſita haberi poſſe, tum recti, tum etiam eiuſdem
obliquitranſitus.
SI, propoſito quocunq;
ſolido, eiuſdem oppoſita plana tan-
finitè producta, quorum alterum verſus reliquum moueatur
ſemper eidem ęquidiſtans, donec illi congruerit; ſingula pla-
collecta, vocentur: Omnia plana propoſiti ſolidi, ſumpta, re-
_H_ Inc etiam diſcimus, veluti propoſiti ſolidi oppoſita tangentia pla-
na quacunque regula duci poſſunt, ita eiuſdem omnia plana re-
gula quocunq; plano haberi poſſe.
SI oppoſitis tangentibus planis occurrant interius duæ re-
cta, quę ſunt comm unes ſectiones propoſitæ lineæ perpendi-
culariter incidentis, & ſingulorum planorum, quæ collecta
dicuntur, omnia plana (ita tamen producta, vt eaſdem ſecare
poſſint) ſiue puncta, quę ſunt communes ſectiones eiuſdem,
& moti plani, fiuntq;
in toto motu, ſimul collecta vocentur:
Omnia puncta recti tranſitus propoſitæ lineæ perpendicula-
riter incidentis; quę in obliquè incidente vocentur, eiuſdem
obliqui tranſitus.
_E_X hoc habetur ſingula puncta recti tranſitus, vel obliqui, inciden-
tis lineæ, nedum eſſe communes ſectiones illius, & ſingulorum,
quæ collecta dicuntur, omnia plana propoſiti ſolidi, ſed etiam, ſi per
talem incidentem extendatur planum, eſſe communes ſectiones illius,
& ſingularum, quæ collectæ dicuntur :
Omnes lineæ planæ figuræ, cuius
oppoſitætangentes ſunt communes ſectiones plani eiuſdem figuræ, &
oppoſitarum tangentium dicti ſolidi : nam motum planum deſignat in
plano ſecante rectam lineam, & inſimul punctum in ineidente, quod
reperitur in illa recta linea, & ideò idem punctum eſt communis ſectio
tum moti plani & rectæ incidentis, tum vnius earum, quæ dicuntur om-
nes lineæ datæ figuræ planæ (ita tamen productæ, vt hanc incidentem ſe-
care poſſint) & eiuſdem incidentis.
SI inter alterum extremorum punctorum propoſitæ rectæ
lineæ, & ſingula puncta, quæ ſimul collecta dicuntur
omnia puncta recti, veleiuſdem obliqui tranſitus eiuſdem,
fumamus interiacentes lineas, dicantur iſtæ ſimul collectæ: Omnes abſciſſæ propoſitæ lineæ, quas (etiam ſi non expri-
matur) vocari ſupponemus recti tranſitus, ſi puncta ſint recti
tranſitus, vel eiuſdem obliqui tranſitus, ſi puncta ſint eiu-
ſdem obliqui tranſitus.
REctæ lineæ verò in antecedentis deſinitionis propoſita
linea inter eadem puncta, & reliquum extremorum in-
teria centes, dicentur: Reſiduæ omnium abſciſſarum propo-
ſitæ lineæ recti tranſitus, ſi puncta ſint rectitranſitus, vel eiu-
idem obliquitranſitus, ſi ſumpta puncta ſint eiuſdem obliqui
tranſitus.
_H_Inc liquet cuilibet abſciſſæ in proximis definitionibus propoſitæ li-
neæ reſpondere vnam ex reſiduis, ita vt tot ſint illæ, quæ dicun-
tur reſiduæ omnium abſciſſarum propoſitæ lineæ quot illæ, quæ dicun-
tur eiuſdem omnes abſciſſæ, ſiue recti, ſiue eiuſdem obliqui tranſitus, nam
reſiduæ omnium abſciſſarum propoſitælineæ interiacent inter reliquum
extremum eiuſdem punctum, & eadem illa puncta, inter quæ, &
ex-
tremum primò dictum, interiacent omnes abſciſſæ.
SI pro qualibet earum, quæ dicuntur omnes abſciſſæ pro-
poſitæ rectæ lineæ, ipſa propoſita linea, ſiue eidem æ-
qualis, ſemel aſſumpta intelligatur, iſtæ ſimul collectæ di-
centur: Maximæ omnium abſciſſarum propoſitæ lineæ, vel
ſubintelligentur ſemper eſſe omnium, etiam ſi dicerentur ſo-
lummodò: Maximæ abſciſſarum.
_E_T quia omnes abſciſſæ tot ſunt, quot omnes reſidue, maximè verò
omnium abſciſſtrum tot ſunt, quot omnes abſciſſæ, nam cuilibet
abſciſſæ reſpondet vna maximarum, ideò maximæ omnium abſciſſarum
propoſitæ lineæ tot erunt, quot etiam reſiduæ omnium abſciſſarum, quot-
cumque ſint omnes abſciſſæ, vel reſiduæ : ideſt pro qualibet reſidua ha-
bebimus quoque vnam maximarum; ijs ſemper recti, vel eiuſdem obli-
qui tranſitus aſſumptis.
SI cuilibet omnium abſciſſarum propoſitæ rectæ lineæ ad-
iuncta intelligatur alia recta linea cuidam equalis, com-
poſitæ ex omnibus abſciſſis, & adiunctis, ſinul colle ctæ di-
centur : Omnes abſciſſæ propoſitæ lineæ adiuncta tali, nem-
pè adiuncta illa, cui, quę adiunguntur, ſunt ęquales. Sive-
rò fieret hęc adiunctio reſiduis, vel maximis omnium abſciſ-
ſarum, pariter dicerentur : Reſiduæ, vel Maximæ omnium
abſciſſarum adiuncta eadem; rectiſemper, veleiuſdem ob-
liqui tranſitus.
PRopoſita quacunque plana figura, &
in ea ducta vtcun-
que recta linea vſque ad ambitum hinc inde terminata,
ſi ipſa recta linea deſcribere quamcumque figuram planam
intelligatur, non exiſtentem in plano propoſitę figurę, ac de-
inde reliquæ earum, quæ dicuntur omnes lineæ propoſitæ fi-
guræ, ſumptę regula iam ducta linea (& recti tranſitus ſi de-
ſcripta figura ſit erecta plano propoſitę, veleiuſdem obliqui
tranſitus, ſi illi ſit inclinata, eius nempè tranſitus, qui fit in
tali inclinatione) deſcribere intelligantur figuras planas ſi-
miles, ac ſimiliter poſitas, & æquidiſtantes primò deſcriptę,
ita vt omnes deſcribentes ſint deſcriptarum ſigurarum lineę,
vel latera homologa; omnes deſcriptæ figuræ ſimul ſumptæ
dicentur. Omnes figuræ planæ ſimiles talis propoſitæ figurę,
ſumptæ regula earum vna, vel regula etiam ipſa linea, vel
latere deſcribente; vt ſi deſcriptæ figuræ eſſent quadrata, hæ
dicerentur. Omnia quadrata talis propoſitæ figuræ, vel ſi eſ-
ſent triangula ęquilatera dicerentur. Omnia triangula ęqui-
latera eiuſdem.
Solidum, cuius omnes deſcriptæ figuræ ſimiles ſunt om-
nia plana, dicetur: Solidum ſimilare genitum ex propoſita fi-
gura iuxta eandem regulam, iuxta quam ſumptæ omnes di-
ctæ figuræ ſimiles fuerunt, quæ igitur ex figuris propoſitis,
vt ſic generantur, dicentur abſque alio addito: Solida ſimi-
laria genita ex propoſitis figuris iuxta regulas omnium ſimi-
lium figurarum, quæ ipſorum euadunt omnia plana, propo-
ſitæ autem figuræ, eorundem genitrices figuræ vocabuntur.
Cum verò duarum genitricium vtcunq:
figurarum omnes
deſcriptæ figuræ nedum ſimiles erunt: quę reperientur in ea-
rum vnaquaque, ſed etiam quæ ſunt vnius, inuenientur ſimi-
les omnibus figuris ſimilibus alterius propoſitæ figuræ, fue-
rint autem in vtroque ſolido figuræ æquè eleuatæ ſuper pla-
na genitricium figurarum, tunc ſolida genita ex propoſitis fi-
gurarum earundem propoſitarum genitricium figurarum, di-
centur ſolida inter ſe, vel ad inuicem ſimilaria, genita ex di-
ctis figuris iuxta dictas regulas, vel intelligentur ſemper eſſe
inter ſe, ſeu ad inuicem ſimilaria, licet hoc non exprimatur,
quotieſcunq; contrarium aliquid non adijciatur.
Cum autem duas figuras in eodem plano habuerimus in
eadem altitudine exiſtentes, rectangula ſub ſingulis earum,
quæ dicuntur omnes lineæ vnius propoſitarum figurarum, &
illis in directum reſpondentibus in alia figura ſimul ſumpta
ſic vocabimus, nempè Rectangula ſub eiſdem figuris, regu-
la eadem, quæ eſt omnium ſumptarum linearum regula.
Cum verò propoſitarum figurarum altera fuerit parallelo-
grammum, cuius baſis, iuxta quam altitudo ſumitur, ſit ſum-
pta pro regula, dicta rectangula vocabuntur etiam: Omnia
rectangula reliquæ figuræ æquè alta ac eorum vnum.
_S_It ſigura plana quæcunque, ABC, duæ eiuſdem oppoſitæ tan-
gentes vtcunque ductæ, EO, BC, intelligantur autem per, E
quod tranſit per, EO, ex. gr.
moueatur verſus planum per, BC,
ſemper illi æquidiſtans, donec illi congruat, igitur communes ſe-
ctiones talis moti, ſiue fluentis plani, & figuræ, ABC, quæ in toto
motu ſiunt, ſimul collectæ à me vocantur: Omnes lineæ figuræ, AB
vna, vt, BC, recti tranſitus, cum plana parallela rectè ſecant fi-
guram, ABC, eiuſdem obliqui tranſitus, cum illam obliquè ſecant,
eius ſcilicet tranſitus, qui in tali inclinatione ſit.
Intelligamus nunc, ABC, eſſe ſolidum, cuius duo oppoſita pla-
na tangentia ſint, quæ tranſeunt per, EO, BC, moueatur autem
adhuc planum, per, EO, extenſum, verſus planum per, BC, ſem-
in ſolido, ABC, figuræ, quæ in toto motu fieri intelliguntur, voco: Omnia plana ſolidi, ABC, ſumpta regula corum vno, quarum ali-
Vlterius duæ rectæ lineæ, ON, EM, occurrant planis per, EO,
BC, tranſeuntibus iam dictis in punctis, O, N; EM, quarum, O
N, perpendiculariter, EM, verò obliquè illis incidat, puncta igi-
tur, quæ ſunt communes ſectiones omnium planorum ſ lidi, ABC,
productorum, ſiopus ſit, & rectæ, ON, vocantur ipſius omnia pun-
cta recti tranſirus, quarum aliqua ſunt puncta, H, I, N, quæ in-
teripſa, & extremum punctum, O, continentur, vt ipſæ, OH, OI,
aliud extre-
omnium abſciſſarum; tot æquales ipſi, ON, quot ſunt omnes ab-
abſciſſarum, ſiue omnium abſciſſarum, ON, quibus ſi adiung atur
cta tali linea, omnes quidem recti tranſitus in recta, ON, in, EM,
clinatione fit.
Dicitur autem in Coroll.
Defin.
3.
eadem puncta recti tranſitus,
ſiue obliqui, fieri tum ab omnibus planis propoſiti ſolidi, vt, ABC,
planiper eaſdem inciden-
tes extenſi, vt ex. gr.
pla-
ni, quod tranſit per, EO,
BC, quod quidem ctiam
tranſeat per ipſas, ON,
EM, idem enim planum,
quod in ſolidum, ABC,
producit figuram, LH, in
figura plana, ABC, producit rectam, LH, & in recta, ON, pun-
ctum, H, in, EM, verò punctum, γ, quod tranſit, HL, produ-
cta, & ideò dico puncta, H, γ, poſſe dici etiam effecta àresta, γ,
H, & ſic omnia puncta recti tranſitus quę nempè ſunt in, ON, ne-
dum fieri à dictis planis parallelis ſed etiam à lineis parallelis fi-
omnia puncta dicuntur eiuſdem obliqui tranſitus, eius nempè, qui
in tali inclinatione fit.
Pro intelligentia Defin.
_8._
ſupponatur in figura plana propoſita,
ABC, vtcunque recta, BC, quæ deſcribat figuram planam, BC,
gulæ autem lineæ, quæ di-
cuntur omnes lineæ figuræ,
ABC, ſumptæ regula, B
C, recti tranſitus, ſi figu-
ra, BC, ſit erecta figuræ,
ABC, veleiuſdem obliqui
tranſitus (qui nempè in in-
clinatione deſcriptæ figuræ
ad planum, ABC, fit, ſi figura, BC, ſit inclinata ad figuram, AB
C,) deſcribere intelligantur figuras planas ſimiles ſimiliter poſitas,
& æquidiſtantes ipſi figuræ, BC, ita vt deſcribentes ſint deſcripta-
quæ ſint ipſæ, BC, PF, LH, iſtæ igitur omnes ſimul ſumptæ vocan-
BC, vellinea, aut latere, BC.
Solidum, cuius omnes dictæ figuræ ſimiles ipſius, ABC, ſunt
omnia plana, dicitur, ſolidum ſimilare genitum ex figura plana, A
BC, iuxta regulam ipſam figuram, vel lineam, BC, & ipſa figu-
tur ipſum, ABC.
Si verò adſit alia figura plana, cuius omnes lineæ, quædam re-
gula ſumptæ, deſcribant ſimiles figuras planas, & ſimiliter poſitas,
omnes vni cuidam æquidiſtantes, & ſimiles figuræ, BC, &
æquè
ex iſtis figuris, iuxta dictas regulas vocabuntur vlterius inter ſe,
vel ad inuicem ſimilaria, licet cum dicemus, ſolida ſimilaria geni-
ta ex talibus, & talibus figuris, &
hoc etiam ſine alio addito, in-
telligemus ſemper ea eſſe inter ſe, vel ad inuicem ſimilaria, etiam
ſinon exprimatur, hoc autem niſi aliter explicetur.
Pro declarandis D.
&
E.
Defin.
_8._
exponantur duæ figuræ in eo-
in eadem altitudine, quæ ſint, BCDA, ADE, ſit
autem altitudo figuræ, ABCD, ſumpta reſpectu ipſius rectæ, CD,
& altitudo figuræ, ADE, reſpectu ipſius, DE, quæ intelligantur
abſcindere ex eadem parte à communi altitudine partes æquales,
quæ ſibi in directum erunt, ſint verò ambæ communis regula om-
nium linearum dictarum figurarum, & ſit ducta alia vtcumq;
ei-
cuius portio manens in figu-
ra, BD, ſit, MO, & ma-
nens in figura, ADC, ſit,
ON; rectangula igitur, C
DE, MON, & reliqua re-
earum, quæ dicuntur omnes lineæ figuræ, BD, (regula, CE, vel,
CD,) & illi in directum poſita in figura, ADE, continentur (erit
autem ſemper aliqua eidem in directum, præterquam fortè illi, qua
tangit figuram, vt, BA, potest .n.
in figura, ADE, illi vice lineæ
vnum punctum tantum reſpondere, vt, A, hoc tamen rect augulum
non computatur, quia nihil illis adiungit, erit inquam bæc linea-
rum reſpondentia in figura, ADE, eis, quæ ſumuntur in, BD, nam
ſunt in eadem altitudine ſumpta aſpectu earundem linearum, ſub
quibus rectangula continentur) ſimul ſumpta vocamus: Rectangu-
Siverò contingeret alteram earundem ſigurarum eſſe par allelo-
grammum, & regulam omnium eiuſdem linearum eſſe vnum eiu-
ſdem laterum, vt, CD, reſpectu cuius ſumitur altitudo, tune quia
illæ, quæ æquidiſtantipſi, CD, in parallelogrammo, BD, ſunt ei-
dem, CD, æquales, & ſunt latera dictorum rectangulorum, ideò
dico, nos ea vocare poſſe nedum rectangula ſub his figuris, ſed etiam
ſic appellare, nempè. Omnia rectangula figuræ ADE, (quæ non,
eſt neceſſariò parallelogrammum) æquè alta, ac vnum eorum .i.
ac
rectangulum, CDE, altitudinis ſcilicet æqualis ipſi, CD, prout
libuerit autem nominentur.
COngruentium planarum figurarum omnes lineæ, ſum-
tes; Et congruentium ſolidorum omnia plana, ſumpta eorum
vno, vt regula communi, ſunt pariter congruentia.
Omnes figuræ ſimiles alicuius figuræ planæ ſunt omnia
plana ſolidi, quod terminatur ſuperficie, in qua iacent peri-
QVarumlibet planarum figurarum omnes lineæ recti
tranſitus; &
quarumlibet ſolidarum omnia plana, ſunt
magnitudines inter ſe rationem habentes.
Sint duæ planæ vtcumque figuræ, EAG, GOQ, quarum re-
gulæ, EG, GQ, vtcumq; ſit autem figuræ, EAG, altitudo ſum-
pta reſpectu, EG, ipſa, A ℟, & figuræ, GOQ, altitudo ſumpta
reſpectu, GQ, ipſa, OP. Dico ergo omnes lineas recti tranſitus fi-
guræ, EAG, ſumptas cum regula, EG, ad omnes lineas rectitran-
ptas cum regula, GQ, ra-
tionem habere. Conſtitu-
antur regulæ, EG, GQ,
ſibi in directum, & ſint to-
tæ figuræ ſupra ipſas regu-
las in eodem plano, vel igi-
tur altitudines, A ℟, OP,
ſunt æquales, vel non, ſupponamus primò ipſas eſſe ęquales, abſcin-
dantur nuncab altitudinibus, A ℟, OP, ex hypoteſi ęqualibus, por-
tiones, I ℟, RP, æquales verſus regulas, EG, GQ, ſi ergo per
punctum, I, duxerimus regulæ, EG, parallelam, LM, hæc pro-
ducta tranſibit per punctum, R, fiet ergo, LM, quę clauditur peri-
EAG, &, NS, clauſa perimetro figuræ, GOS, vna ex omnibus
lineis figurę, GOQ, ſumptis omnibus lineis iam dictis, regula com-
muni, EQ, & recti tranſitus, vti ſemper intelligemus, niſi aliter ex-
plicetur, etiamſi id non exprimatur. Quoniam igitur ſi recta, NS,
ſit minor recta, LM, poteſt indefinitè producta aliquando fieri ma-
ior, ſi hoc intelligamus fieri de cæteris lineis, quæ ab altitudinibus
portiones abſcindunt ęquales verſus regulas, EG, GQ, patet, quod
ſingulę, quę erunt in figura, GOQ, productę fient maiores ijs, quę
erunt in figura, EAG, ſit autem ita facta productio cuiuſuis om-
nium linearum figuræ, GOQ, regula, EQ, vt quæ illi in directum
conſtituitur in figura, EAG, ſit portio eiuſdem productæ, vt ex. gr.
ita ſit producta, SN, verſus, ML, vt ipſam pertranſeat perueniens
verbi gratia vſque ad, T, ita vt, LM, ſit portio ipſius, TS, patet
ergo, quod omnes lineæ figuræ, EAG, erunt pars omnium linea-
rum figuræ, GOQ, ſic productarum, & iſtę erunt totum, nam illę
iſtis claudentur, ſiue in his totæ reperientur, & aliquid amplius .
ſ.
quod de omnibus lineis figuræ, GOQ, ſic productis manet extra fi-
guram, EAG, totum autem eſt maius ſua parte, ergo omnes lineę
figuræ, GOQ, ſic productę fuerunt, vt maiores effectę fuerint om-
nibus lineis figuræ, EAG; eadem methodo omnes lineas figurę, E
AG, ſic producemus, vt complectantur omnes lineas figuræ, GO
Q, iam productas, vt dictum eſt, & ideò maiores eiſdem fiant, ma-
gnitudines autem rationem habere inter ſe dicuntur, quæ multipli-
rum, EAG, GOQ, cum altitudines, A ℟, OP, fuerint æquales,
inter ſe rationem habere.
Non ſint autem æquales, ſed altitudo, A ℟, ſit maior altitudine,
OP, & ab, A ℟, ſit abſciſſa verſus, EG, ipſa, C ℟, ęqualis ipſi, O
P, & per, C, ducta, BD, parallela, EG, intelligatur per, BD, à
figura, EAG, abſciſſa figura, BAD, & ea conſtituta, vt, HFE,
ita vt ſit in eodem plano ad eandem partem cum figuris, EBDG,
(quæ remanſit) &, GOQ, exiſtente, HE, in directum ipſi, EQ,
quod ſi adhuc altitudo, FX, ſit maior altitudine, OP, abſcindatur
illi æqualis, & ſic ſemper fiat, &
diſponantur figuræ reſiduæ, vt ea-
rum baſes ſint in directum ipſi, EQ, & figuræ conſtitutæ in eodem
plano, & ad eandem partem cum figuris, EAG, GOQ, in altitu-
dinibus vel ęqualibus, vel non maioribus altitudine, OP, Intelliga-
tur nunc ducta vtcumque in figura, GOQ, recta, NS, parallela,
GQ, quæ erit vna ex omnibus lineis figura, GOQ, regula, GQ,
producaturq; ita, vt pertranſeat omnes ſic diſpoſitas figuras, vt vſq;
in, Z, complectetur ergo, SZ, ipſas, LM, YT, &
ſic quæuis om-
quæ de ip. a manent in figuris iam diſpoſitis, ergo omnes lineæ figu-
ræ, GOQ, ſic productæ complectentur omnes lineas figurarum ſic
diſpoſitarum, ergo erunt ad illas ſimul ſumptas, vt totum ad partem,
nam illæ in his reperientur, & aliquid amplius, ergo erunt illis ma-
iores, omnes lineę autem figurarum ſic diſpoſitarum ſunt non mino-
res omnibus lineis figuræ, EAG, ex qua deſumptæ ſunt, ergo om-
nes lineę figurę, GOQ, ſic productæ ſunt, vt effectæ fuerint maio-
res omnibus lineis figurę, EAG; eodem pacto oſtendemus nos poſ-
ſe vice verſa iſtas illis efficere maiores, ergo omnes lineæ figurarum,
EAG, GOQ, ſumptæ cum regulis vtcumque ſuppoſitis, cuiuſuis
ta eaſdem regulas, ſunt
magnitudines inter ſe ra-
tionem habentes, quod ſi
ſubter rectam, HQ, ad-
huc eſſent portiones con-
ſideratarum à nobis figu-
rarum, EAG, GOQ, eo-
dem modo oſtenderemus omnes lineas earundem ſumptas, cum ijſ-
dem regulis eſſe magnitudines rationem inter ſe habentes, vnde inte-
grarum figurarum omnes lineę eſſent magnitudines inter ſe rationem
habentes, quod in fig. planis oſtendere opus erat.
In ſiguris autem ſolidis conſimiliter procedemus;
nam ſi in ſupe-
riori figura intellexerimus, EAG, GOQ, eſſe figuras ſolidas, &
pro rectis lineis æquidiſtantibus intellexerimus plana æquidiſtantia,
vt pro rectis, EG, GQ, plana, EG, GQ, quibus plana, LM, N
S, ſint æquidiſtanter ducta, ſumptis pro regulis planis, EG, GQ,
ijſque in directum ſibi conſtitutis.i.
ita vt iaceant regulæ in eodem
plano, oſtendemus nos poſſe ita producere omnia plana ſolidæ figu-
ræ, GOQ, vt eadem complectantur omnia plana figuræ, EAG,
(ſi ſint eiuſdem altitudinis dictæ figuræ) integræ exiſtentis, vel (ſi
non ſint) diuiſæ in figuras ſolidas, ex. gr.
EBDG, BAD, ſic di-
ſpoſitas, vt baſes, ſiue regulę iaceant in eodem plano, & ita, vt om-
nia plana dictarum ſigurarum ſolidarum, vel ſint intra oppoſita pla-
na dictas figuras tangentia, vel nihil eorum extra, vnde omnia pla-
na figuræ ſolidæ, GOQ, ſic producta fient totum, & portiones ab
eiſdem captæ in figura ſolida, EAG, integra, vel diuiſa, vt dictum
eſt.i.
omnia plana figuræ, EAG, fient pars omnium planorum fi-
guræ, GOQ, ſic productorum, nam hæc in illis tota reperientur,
& aliquid amplius, vnde omnia plana figuræ, GOQ, ſic producta
erunt, vt effecta ſint maiora omnibus planis figuræ, EAG; eodem
G, vt fiant maiora omnibus planis figuræ, GOQ, ita productis, &
ergo omnia plana ſolidarum figurarum, EAG, GO
Q, ſunt magnitudines inter ſe rationem habentes, quod oſtendere
opus erat.
_P_Oſſet fortè quis circa hanc demonſtrationem dubitare, nonrectè per-
cipiens quomodo ind finitæ numero lineæ, vel plana, quales eſſe
exiſtimari poſſunt, quæà me vocantur, omnes linea, vel omnia plana
talium, vel talium figurarum poſſint ad inuicem comparari: Propter
quod innuendum mihi videtur, dum conſidero omnes lineas, vel omnia
plana alicuius figuræ, me non numerum ipſarum comparare, quem igno-
ramus, ſed tantum magnitudinem, quæ adæquatur ſpatio ab eiſdem li-
neis occupato, cum illi congruat, & quoniam illud ſpatium terminis
comprehenditur, ideò & earum magnitudo eſt terminis eiſdem compre-
henſa, quapropter illi poteſt fieri additio, vel ſubtractio, licet numerum
earundem ignoremus; quod ſufficere dico, vt illa ſint ad inuicem compa-
rabilia, alioquin neque ipſa ſpatia figurarum eſſent ad inuicem compa-
rabilia: Vel enim continuum nihil ali ud eſt pręter ipſa indiuiſibilia, vel
aliquid aliud, ſi nihil eſt præter indiuiſibilia, profectò ſi eorum conge-
ries nequit comparari, neque ſpatium, ſiue continuum, erit comparabi-
le, cum illud nihil aliud eſſe ponatur, quam ipſa indiuiſibilia: Si Verò
continuum eſt aliquid aliud præter ipſa indiuiſibilia, fateri æquum eſt hoc
aliquid aliud interiacere ipſa indiuiſibilia, habemus ergo continuum,
diſſeparabile in quædam, quæ continuum componunt, numero adbuc in-
definita, inter quælibet enim duo indiuiſibilia æquum eſt interiacere ali-
quid illius, quod dictum eſt eſſe aliquid aliud in ipſo continuo præter in-
diuiſibilia, qua enim ratione tolleretur à medio duarum, à medijs quo-
que oæterarum tolleretur; hoc cum ita ſit comparare nequibimus ipſa,
continua, ſiue ſpatia adinuicem, cum ea, quæ colliguntur, & ſimul col-
lecta comparantur, ſcilicet, quæ continuum componunt, ſint numero in-
definita, abſurdum, autem eſt dicere coutinua terminis comprehenſa non
eſſe ad muicem comparabilia, ergo abſurdum eſt dicere congeriem om-
nium linearum ſiue planorum, duarum quarumlibet figurarum non eſſe
ad inuicem comparabilem, non obſtante, quod quæ colliguntur, & il-
lam congeriem componunt ſint numero indefinita, veluti hoc non obſtat
in continuo, ſiue ergo continuum ex indiuiſibilibus componatur, ſiue,
non, indiuiſibilium congeries ſunt adinuicem comparabiles, & propor-
tionem habent.
Non inutile autem mibi videtur eſſe animaduerter e pro huius confir-
matione, hoc pro vero ſuppoſito, quam plurima, quæ ab Euclide, Ar-
chimede, & alijs oſtenſa ſunt, à me pariter fuiſſe demonſtrata, meaſq;
concluſiones ad vnguem cum illorum concluſionibus concordare, quod
euidens ſignum eſſe poteſt, me in principijs vera aſſumpſiſſe, licet ſciam,
& ex falſis principijs ſophiſticè vera aliquando deduci poſſe, quod ta-
men in tot, & tot concluſionibus, methodo geometrica demonſtratis mihi
accidiſſe abſurdum putarem: Hoc tamen addo, non tanquam præfatæ ve-
ritatis legitimum fundamentum, ſed vt non negligendum, immò ſummè
expendendum illius argumentum, quod ſequentia percurrenti continuò
magis, ac magis eluceſcet.
AEqualium planarum figurarum omnes lineæ ſunt ęqua-
les, & æqualium ſolidarum omnia plana ſunt æqua-
lia, regula quauis affumpta.
Sint duę æquales planę figuræ, ADC, AEB, in figura, ADC,
ſit regula, AC, vtcunque, & in figura, AEB, regula vtcunque ſit,
AB. Dico omnes lineas figuræ, ADC, regula, AC, ęquales eſſe
omnibus lineis figurę, AEB, regula, AB; intelligatur ſiguram, A
EB, ita ſuperponi figuræ, ADC, vt regulæ ſint ad inuicem ſuper-
poſitę, velut eſt, AB, in, AC, vel ſaltem ęquidiſtent, vel ergo tota
figura congruit toti, vel pars parti, congruat pars parti, ergo con-
pariter congruentes, ſcilicet omnes lineę, AD
B, partis figurę, AEB, erunt congruentes om-
nibus lineis, ADB, partis figuræ, ADC, ſu
perponantur adhuc reſiduæ harum figurarum
partes, hac lege tamen, vt omnes earundem li-
neæ regulis, AB, AC, fiue regulę communi,
AB, vel, AC, ſemper ſituentur æquidiſtantes,
& hoc ſemper fiat, donec omnes refiduę partes ad inuicem ſuperpo-
ſitæ fuerint, quia ergo integræ figuræ ſunt æquales erunt dictæ par-
tes ſuperpoſitæ inuicem congruentes, ergo & earum omnes lineæ
erunt pariter congruentes, magnitudines autem congruentes ſunt
ad inuicem æquales, ergo omnes lineæ partium figuræ, AEB, ſi-
mul ſumptarum.ſ.
omnes lineæ figuræ, AEB, ſumptæ regula, A
B, erunt ęquales omnibus lineis partium figurę, ADC, quibus prę-
dictæ partes congruerunt, ſimul ſumptarum.. omnibus lineis figu-
dum erat.
Ita ſuperpoſitis æqualibus figuris ſolidis, ita vt duæ in ipſis aſſum-
ptæ vtcunq; regulæ ſint ad inuicem ſuperpoſitæ, vel æquidiſtantes,
& reſiduorum facta ſemper ſuperpoſitione ita, vt omnia eorum pla-
na regulis iam iuperpoſitis ęquidiſtent, tandem, quia figurę ſunt æ-
quales, dictæ partes erunt ad inuicem congruentes, & conſequen-
ter integrę quoq; figuræ erunt congruentes, ergo earum omnia pla-
na ſumpta cum dictis regulis erunt ad inuicem congruentia, ergo &
æqualia, quod in figuris ſolidis oſtendere quoque opus erat.
_H_Inc patet in eadem figura plana, omnes lineas ſumptas cum qua-
damregula æquart omnibus lineis ſumptis cum alia quauis regu-
la; &
in figuris ſolidis omnia plana vnius ſumpta cum quadam regula
æquari omnibus planis eiuſdem, regula quauis aſſumpta; vnde ex.
gr.
ſecto planis cylindro æquidiſtanter axi, qua ſectione in ipſo creantur pa-
ſecto eodem planis æquidistanter baſi ductis, qua ſe-
ctione creantur in eodem circuli, patet ex hoc, omnia parallelogramma
ſdem, regula baſi.
FIguræ planæ habent inter ſe eandem rationem, quam
eorum omnes lineæ iuxta quaniuis regulam aſſumptæ; Et figuræ ſolidæ, quam eorum omnia plana iuxta quamuis
regulam aſſumpta.
Sint figuræ planæ vtcunque, A, D.
Dico,
figuræ, A, iuxta quamuis regulam aſſumptæ
ad omnes lineas figuræ, D, iuxta quamuis re-
gulam aſſumptas. Intelligantur ergo omnes
lineæ figuræ, A, &, D, aſlumptæ iuxta qua-
ſdam regulas, deinde capiantur quotcunque fi-
guræ, BC, ſingulæ æquales figuræ, A, & fi
guræ, D, quotcunque ęquales figurę, vt, E; nunc, ſi continuum
componitur ex indiuiſibilibus, patet abſque alia demonſtratione fi-
guram, A, ad figuram, D, eſſe vt omnes lineæ figurę, A, ad om-
non eſſet niſi ipſa indiuiſibilia comparare; ſed eſto, quod hoc ſit fal-
ſum, vel quod, etiamſi verum ſit, tamen legitima ratione ad hoc pro-
bandum nondum peruenerimus; nihilominus adhuc dico ipſa indi-
uiſibilia. ſ.
omnes lineas figurę, A, ad omnes lineas figuræ, D, eſſe
vt figuram, A, ad figuram, D. Quoniam ergo aſſumpſimus figu-
ras, B, C, ſingulas æquales figuræ, A, &, E, æqualem figuræ, D,
omnes lineæ ſingularum figurarum, A, B, C, erunt æquales omni-
gula dictæ omnes lineæ ſint aſſumptæ) & ideò quotuplex erit com-
poſitum ex figuris, ABC, figuræ, A, totuplex erit compoſitum ex
omnibus lineis figurarum, ABC, omnium linearum figuræ, A, &
ideò habebimus æquè multiplicia primæ, & tertiæ vtcunq;
ſumpta;
ſimiliter oſtendemus compoſitum ex figuris, E, D, æquè multiplex
neis figurarum, E, D, multiplex eſt omnium
linearum figuræ, D, quæ ſunt æquè multipli-
cia ſecundæ, & quartę vtcunque ſumpta, quia
ergo ſi multiplex primę. ſ.
compoſitum ex figu
ris, ABC, ſuperauerit multiplex ſecundę, ſci-
licet compoſitum ex figuris, DE, etiam mul-
tiplex tertiæ. ſ.
compoſitum ex omnibus lineis
figurarum, ABC, ſuperabit multiplex quartæ
.ſ.
compoſitum ex omnibus lineis figurarum, DE, &
ſi multiplex pri-
quale multiplici quarte, ſcilicet ſi compoſitum ex figuris, ABC,
fuerit æquale compoſito ex figuris, DE, etiam eorundem compo-
ſitorum omnes lineæ erunt æquales, & ſi minus, minus, ideò prima
ram, D, erit vt omnes lineæ figuræ, A, ad omnes lineas figuræ, D,
ſumptas iuxta datas regulas. ſ.
iuxta quaſcunq;
regulas, quod in fig.
Verum ſi intellexerimus, A, D, eſſe figuras ſolidas, aſſumentes,
C, B, ſingulas æquales ipſi, A, &, E, ipſi, D, oſtendemus com-
poſitum ex figuris, ABC, tam multiplex eſſe figurę, A, ac compo-
ſitum ex omnibus planis figurarum, A, B, C, multiplex eſt omnium
planorum figurę, A, & ſic compoſitum ex figuris, D, E, tam mul-
tiplex eſſe figuræ, D, ac compoſitum ex omnibus planis figurarum,
DE, multiplex eſt omnium planorum figuræ, D, & tandem per
antecedentem Propoſitionem oſtendemus, ſi multiplex primæ ſupe-
rauerit multiplex ſecundę, etiam multiplex tertiæ ſuperaturum mul-
tiplex quartæ, & ſi minus, minus, vel ſi æquale, &
ęquale fore, er-
nia plana, D, cum quibuſuis regulis aſſumpta, quod & in figuris ſo-
lidis oſtendere opus erat.
_L_Iquet ex hoc, quod, vt inueniamus, quam rationem habeant inter
ſe duæ figuræ planæ, vel ſolidæ, ſuſſiciet nobis reperire, quam, in
figuris planis, inter ſe rationem habeant earundem omnes lineæ, &, in
figuris ſolidis, earundem omnia plana iuxta quamuis regulam aſſumpta,
quod nouæ huius meæ Geometriæ veluti maximum iacio fundamentum,.
SI duæ figuræ planæ, vel ſolidæ, in eadem altitudine fue-
rint conſtitutæ, ductis autem in planis rectis lineis, &
in figuris ſolidis ductis planis vtcumque inter ſe parallelis,
quorum reſpectu prædicta ſumpta ſit altitudo, repertum fue-
rit ductarum linearum portiones figuris planis interceptas,
ſeu ductorum planorum portiones figuris ſolidis interceptas,
eſſe magnitudines proportionales, homologis in eadem figu-
ra ſemper exiſtentibus, dictæ figuræ erunt inter ſe, vt vnum
quodlibet eorum antecedentium, ad ſuum conſequens in a-
lia figura eidem correſpondens.
Sint primò duæ figurę planæ in eadem altitudine conſtitutæ, CA
M, CME, in quibus duæ vtcunque rectæ lineæ inuicem parallelæ
ductæ intelligantur, AE, BD, reſpectu quarum communis altitu-
tem portiones figuris interceptæ
ipſæ, AM, BR, in fig. CAM,
&, ME, RD, in fig.
CME,
reperiatur autem, vt, AM, ad,
ME, ita eſſe, BR, ad, RD. Dico figu am, CAM, ad figu-
ram, CME, eſſe vt, AM, ad,
ME, vel, BR, ad, RD, quoniam enim, BD, AE, vtcumq; du-
ctæ ſunt inter ſe æquidiſtantes, patet, quod quęlibet earum, quę di-
cuntur omnes lineæ figuræ, CAM, ſumptæ regula altera ipſarum,
vt, BR, ad, RD, vel vt, AM, ad, ME, vt igitur, AM, ad, M
E, vnum .ſ.
antecedentium ad vnum conſequentium, ita erunt om-
nia antecedentia, nempè omnes lineę figurę, CAM, regula, AM
ad omnes lineas figuræ, CME,
regula, ME; indefinitus .
n.
nu-
merus omnium antecedentium,
& conſequentium, qui pro vtriſ-
que hic idem eſt, quicunque ſit
(& hoc nam figuræ ſunt in ea-
dem altitudine, & cuilibet ante-
cedenti in figura, CAM, aſſumpto reſpondet ſuum conſequens illi
in directum in alia figura conſtitutum) non obſtat quin omnes lineę
figurę, CAM, ſint comparabiles omnibus lineis figurę, CME, cum
ideò omnes lineæ fi-
guræ, CAM, regula, AM, ad omnes lineas figurę, CME, regu-
la, ME, erunt vt, AM, ad, ME, verum, vt omnes lineæ figuræ,
CAM, ad omnes lineas figurę, CME, ita fig. CAM, eſt ad figu-
R, ad, RD, vel, AM, ad, ME, quod in figuris planis oſtendere
opus erat.
Si verò ſupponamus, CAM, CME, eſſe figuras ſolidas, &
vice
rectarum, AM, BR, ME, RD, plana intelligamus figuris, CA
M, CME, intercepta inuicem parallela, & ita conſtituta, vt plana,
AM, ME, iaceant in eodem plano, veluti ſe habeant etiam plana,
BR, RD, reſpectu quorum præfata altitudo aſſumpta quoq; intel-
ligatur, eadem methodo procedentes oſtendemus omnia plana figu-
ræ, CAM, ad omnia plana figuræ, CME, ideſt figuram ſolidam,
CAM, ad figuram ſolidam, CME, eſſe vt planum, BR, ad pla-
in ſoli-
dis oſtendere opus erat.
_C_Olligitur ex hoc in figuris planis, vel ſolidis, ſi magnitudines com-
paratæ ſint lineæ rectæ, vel plana, ſint autem illæ, quæ dicuntur
omnes lineæ, vel omnia plana dictarum figurarum, de illis quoq; verifi-
cari, vt vnum antecedentium ad vnum conſequentium, ita eſſe omnia,
antecedentia ad omnia conſequentia; &
in ſupradictis figuris planis
omnes lineas vnius ad omnes lineas alterius, vel in ſolidis omnia plana
vnius ad omnia plana alterius, eſſe vt vnum antecedentium ad vnum,
omnia plana intelliguntur aſſumpta.
PArallelogramma in eadem altitudine exiſtentia inter ſe
ſunt, vt baſes; &
quę in eadem baſi, vt altitudines, vel,
vt latera æqualiter baſibus inclinata.
Sint parallelogramma quæcunque, AM, MC, in eadem altitu-
dine conftituta, ſumpta altitudine iuxta baſes, GM, MH. Dico
parallelogrammum, AM, ad parallelogrammum, MC, eſſe vt, G
M, ad, MH. Ducatur quęcunq;
intra parallelogramma, AM, M
ius portiones parallelogrammis,
AM, MC, interceptę ſint, DE,
EI. Quoniam ergo, DM, eſt
parallelogrammum, ſicut &, E
H, erit, DE, ęqualis ipſi, GM,
&, EI, ipſi, MH, erit igitur, G
M, ad, MH, vt, DE, ad, EI, & DE, EI, ductæ ſunt vtcunq;
parallelæ ipſis, GM, MH, ergo parallelogramma, AM, MC, e-
runt ex genere figurarum Theorematis anteced. ergo, AM, ad, M
C, erit vt, DE, ad, EI, vel vt, GM, ad, MH, quæ ſunt eorun-
dem baſes. Hæc autem verificabuntur etiam ſi altitudines æquales
fuerint, vt facilè patet.
Sint nunc parallelogramma, QP, LP, in eadem baſi, NP, con-
ſtituta. Dico eadem eſſe, vt altitudines ſumptæ iuxta baſim, NP,
demittantur ergo, OR, TS, altitudines in, NP, productam, in
punctis, RS, illi occurrentes (niſi fortè, TP, OP, eſſent ipſæ alti-
tudines, vel intra parallelogramma inciderent baſi, NP,) & à pun-
ctis, Q, L, illis parallelæ, QX, LV, in punctis, V, X, baſi, NP,
incidentes, ſuntigitur parallelogramma, QS, LR, in ęqualibus al-
titudinibus, QT, LO, ſumptis iuxta baſes, TS, OR, ergo paral-
tem parallelogrammum, QS, æquale parallelogrammo, QP, &,
LR, ipſi, LP, ergo parallelogramma, QP, LP, erunt inter ſe, vt,
TS, OR, quæ pro ipſis ſunt altitudines ſumptæ iuxta baſim, NP. Si autem latus, OP, extenderetur ſuper latus, PT, ideſt latera, O
P, PT, eſſent ęqualiter inclinata communi baſi, NP, tunc ſumptis
pro baſibus ipſis, TP, OP, haberemus parallelogramma, QP, L
ideò eſſent,
NP, inclinata, hæc autem pariter verificabuntur etiamſi baſis, NP,
non ſit communis, ſint tamen duæ baſes æquales, quæ oſtendere o-
pus erat.
PArallelogramma habent rationem compoſitam ex ra-
tione baſium, & altitudinum iuxta eaſdem baſes ſum-
ptarum, ſiue laterum æqualiter baſibus inclinatorum, cum
ſcilicetilla ſunt æquiangula.
Sint parallelogramma vtcunque, AD, FM.
Dico eadem habe.
re inter ſe rationem compoſitam ex rationibus baſium, quæ ſint, C
altitudinum, quę ſint, BV, ON, ſumptæ iuxta baſes,
CD, GM, illiſque productis, ſi opus ſit, in punctis, V, N, occur-
rentes, ſiue ex ratione laterum, BD, OM, ſi ſint æquiangula: Ab-
XV, æqualis ipſi, ON, & per, X,
ducatur, XP, parallela, CD, ſe-
cans, BD, in, R, vt fiat paralle-
logrammum, PD, in eadem altitu-
dine cum parallelogrammo, FM,
& in eadẽ baſi cum parallelogram-
mo, AD. Parallelogrammum er-
go, AD, ad parallelogrammum,
FM, ſumpto medio de foris parallelogrammo, PD, habet ratio-
grammum, PD, ideſt ex ratione, quam habet, BV, ad, VX, vel,
ON, ſiue, BD, ad, DR, quoniam, AD, PD, ſunt æquiangu-
la, ideſt ex ratione, BD, ad, OM, & hoc quotieſcunque, PD, F
inſuper eſt compoſita ex ea, quam
habet parallelogrammum, PD, ad parallelogrammum, FM, ideſt
ex ea, quam habet, CD, ad, GM, ergo parallelogrammum, AD,
quam habet, BV, ad, ON, quæ ſunt altitudines, vel etiam ex ea,
quam habet, BD, ad, OM, ſi, AD, FM, ſint æquiangula; &
ex
ea, quam habet, CD, ad, GM, quod oſtendere opus erat.
PArallelogramma, quorum baſes altitudinibus, vellate-
ribus æqualiter baſibus inclinatis, reciprocantur, ſunt
æqualia, & quæ ſunt æqualia, baſes habent altitudinibus,
vel lateribus æqualiter baſibus inclinatis, reciprocas.
Sint parallelogramma, HX, AD, quorum baſes, VX, BD, re-
ciprocentur eorum altitudinibus, CO, RZ, vel lateribus, CD, R
X, quotieſcunq; ſint æqualiter baſibus inclinata.
Dico hæc paral-
lelogramma eſſe æqualia; etenim parallelogrammum, HX, ad pa-
rallelogrammum, AD, habet rationem compoſitam ex ea, quam
habet, VX, ad, BD, &, RZ, ad, CO, ſiue, RX, ad, CD, cum
VX, ad, BD, ita, CO, ad, RZ,
vel, CD, ad, RX, cum illa ſunt
mum, HX, ad parallelogrammum,
AD, habet rationem compoſitam
ex ea, quam habet, CO, ad, RZ,
&, RZ, ad, CO, ſiue ex ea, quam
habet, CD, ad, RX, &, RX, ad, CD, quæ eſt eadem ei, quam
CO, ſuntque proportiones æqualitatis, ergo parallelogrammum,
HX, erit æquale parallelogrammo, AD.
Sint nunc parallelogrammum, HX, æquale parallelogrammo, A
D. Dico, vt, VX, ad, BD, ita eſſe, CO, ad, RZ, vel, CD, ad,
RX, cum ſunt æquiangula. Quoniam ergo parallelogrammum, H
X, eſt æquale parallelogrammo, AD, erit ad illud, vt, CO, ad,
CO, vel vt, CD, ad, CD, ideſt (de foris ſumpto, RZ, vel pro
ſecunda ratione, RX,) inratione compoſita ex ea, quam habet, C
ex ea, quam habet, RZ, ad, CO, vel ex ea, quam
habet, CD, ad, RX, &, RX, ad, CD, verum, HX, ad, AD,
D, &, RZ, ad, CO, vel, RX, ad, CD, cum ſunt æquiangula,
ergo duæ rationes, CO, ad, RZ, &, RZ, ad, CO, vel, CD, ad,
RX, &, RX, ad, CD, componunt eandem rationem, quam iſtę
duæ.ſ.
VX, ad, BD, &
, RZ, ad, CO, vel, RX, ad, CD, eſt
autem communis ratio, quam habet, RZ, ad, CO, vel, RX, ad,
CD, ergo reliqua ratio .ſ.
quam habet, VX, ad, BD, erit eadem
angula, ergo æqualia parallelogramma baſes habent altitudinibus,
vel lateribus æqualiter baſibus inclinatis reciprocas, quod oſtendere
opus erat.
SImilia parallelogramma ſunt in dupla ratione laterum
homologorum.
Sint ſimilia parallelogramma, AC, EG.
Dico eadem eſſe in du-
Quoniam enim ſunt ſimilia illa
ſunt æquiangula, ſint anguli, BCD, FGH, æquales, & latera ho-
CD, GH, ſi ergo pro
baſibus ſumpierimus ipſas, BC, FG, erit,
quam habet, BC, ad, FG, & ex ea, quam
habet, DC, ad, HG, quæ eſt eadem ei,
quam habet, BC, ad, FG, vel, FG, ad
tertiam proportionalem duaru, primę nem-
pè, BC, & ſecundæ, FG, ergo, AC, ad, EG, erit vt, BC, ad ter-
tiam proportionalem duarum primę, nempè, BC, & @ecundę, FG,
.i.
erit in dupla ratione eius, quam habet, BC, ad, FG, vel, CD,
_H_Inc patet, quæ de parallelogrammis in ſuperioribus Propoſitioni-
bus oſtenſa ſunt, eadem de eorundem omnibus lineis cum quibuſ. uis regulis aſſumptis pariter verificari, nam illa ſunt, vt ipſa paralle-
PArallelogrammorum in eadem altitudine exiſtentium
omnia quadrata, regula baſi, iuxta quam altitudo ſum-
Sint igitur parallelogramma, AM, MC, in eadem altitudine.
Di-
rallelogrammi, MC, regula, GH, eſſe vt quadratum, GM, ad
quadratum, MH. Sit intra parallelogramma, AM, MC, ducta
vtcunque, DI, parallela ipſi, GH, cuius portio, DE, maneat in,
, EI, in, BH, quoniam ergo, D
E, eſt æqualis ipſi, GM, figurę autem pla-
næ ſimiles deicriptæ à lateribus, vel lineis
ideò
quadratum, DE, erit æquale quadrato, G
M, & quadratum, EI, quadrato, MH,
ergo, vt quadratum, GM, ad quadratum,
MH, ita erit quadratum, DE, ad quadratum, EI, & quia, DI, vt-
cunq; ducta eſt parallela ipſi, GH, ideò, vt vnum ad vnum, ita om-
erunt omnia quadrata parallelogrammi, AM, ad omnia quadrata
parallelogrammi, MC, regula, GH, quod erat oſtendendum.
_H_Inc patet, ſi vice quadratorum ſumamus alias quaſcunque figuras
ſimiles, quod eodem pacto oſtendemus omnes figuras ſimiles pa-
vt ex. gr.
omnes circutos parallelogrammi, AM, ad omnes circulos pa-
rallelogrammi, MC, eſſe vt ſimiles ſiguras ab ipſis b ſibus, GM, MH,
d@ſcriptas, nam fi uræ planæ ſimiles quæcunq; vt dictum eſt, deſcriptæ à
lateribus, vel lineis homologis æqualibus ſunt æquales; omnibus pari-
PArellelogrammorum in eadem baſiexiſtentium omnia
quadrata, regula ipſa baſi, ſunt vt altitudines, vel vt la-
tera, quę æqualiter baſi ſunt inclinata, ſi illa ſint ęquiangula.
Sint parallelogramma, AD, BD, in eadem b ſi, CD, exiſten-
tia, quorum ſint altitudines iuxta baſim, CD, ſumptæ, AO, CN. Dico omnia quadrata parallelogrammi, AD, adomnia quadrata
parallelogrammi, BD, regula, CD, eſſe vt, AO, ad, CN, vel
etiam vt, AC, ad, CB, ſi parallelogramma, BD, DA, fuerint æ-
quiangula, producantur autem, CA, CB, indefinitè ad partes op-
nempè æquales ipſi, CA, &, BP, æqualis ipſi, BC, &
complean-
tur parallelogramma, AM, IK, BQ; ſunt igitur parallelogramma,
CF, AM, IK, in æqualibus altitudinibus, ac baſibus, & ideò ſin-
gulorum omnia quadrata regulis eiſdem baſibus, erunt æqualia, &
runt ęqualia, regula, CD, altitudines autem parallelogrammorum,
CF, AM, IK, ſunt æquales ipſi, AO, & altitudines parallelogram-
morum, CE, BQ, ſunt æquales, nempè ipſi, CN, habemus ergo
æquèmultiplices primę, & tertiæ .
ſ.
compoſitum ex altitudinibus pa-
rallelogrammorum, CF, AM, IK, quod tam multiplex eſt altitu-
dratis, CF, AM, IK, multiplex eſt omnium
quadratorum parallelogrammi, CF, & ſic com-
poſitum ex altitudinibus parallelogrammorum,
CE, BQ, tam multiplex eſt altitudinis, CN,
ac compoſitum ex omnibus quadratis parallelo. grammorum, BQ, CE, multiplex eſt omnium
quadratorum, CE; ideſt quam multiplicia ſunt
omnia quadrata parallelogrammi, HD, omnium quadratorum pa-
rallelogrammi, AD, tam altitudo parallelogrammi, HD, multi-
plex eſt altitudinis parallelogrammi, AD, ſiue tam ipſa, CH, mul-
tiplex eſt ipfius, CA, dum ſunt æquiangula, & quam omnia qua-
drata parallelogrammi, PD, multiplicia ſunt omnium quadratorum
parallelogrammi, BD, tam altitudo parallelogrammi, PD, mul-
tiplex eſt altitudinis, CN, vel tam, PC, multiplex eſt ipſius, CB:
Si autem multiplex primæ fuerit æquale multiplici ſecundæ, etiam
multiplex tertiæ erit æquale multiplici quartæ, ſi maius maius, & ſi
minus minus, nam ſi altitudo parallelogrammi, HD, fuerit æqua-
lis altitudini parallelogrammi, DP, omnia quadrata, HD, erunt
æqualia omnibus quadratis, DP, nam parallelogramma, HD, D
P, ſunt in eadem baſi, CD, ſi illa maior, & hæc maiora, &
ſi mi-
logrammi, DB, .ſ.
AO, ad, CN, vel, AC, ad, CB, dum ſunt
æquiangula, ita erunt omnia quadrata, AD, ad omnia quadrata,
DB, ſunt ergo, vt altitudines ipſorum parallelogrammorum, vel
vt latera ęqualiter baſi inclinata, cum nempè parallelogramma ſunt
æquiangula: hæc autem etiam verificarentur ſi parallelogramma
eſſent in æqualibus baſibus, quod oſtendere opus erat.
_E_Ademratione, ſi vice quadratorum ſumamus alias figuras ſimiles,
oſtendemus omnus figuras ſimiles parallelogram morum in eadem,
nata, dum illa ſunt æquiangula.
QVorumlibet parallelogrammorum omnia quadrata te-
gulis duobus quibuſuis in eiſdem aſſumptis lateribus,
habent inter ſe rationem compoſitam exratione
quadratorum dictorum laterum, & altitudinum, vel laterum,
quę cum prędictis ęqualiter inclinãtur, ſi illa ſint ęquiangula.
Sint parallelogramma vtcunq;
AD, FM, in quibus regulæ ex-
tent latera vtcunque, CD, GM, altitudines autem iuxta dictas re-
gulas ſumptæ, BV, ON. Dico omnia quadrata, AD, ad omnia
quadrata, FM, habere rationem compoſitam ex ea, quam habet
quadratum, CD, ad quadratum, GM, & ex ea, quam habet, B
V, altitudo ad altitudinem, ON, vel etiam, BD, ad. OM, ſi illa
ſint æquiangula, lateraq; BD, OM, æqualiter ſint inclinata cum
abicindatur
à, BV, verſus, V, ipſa, XV, æ-
qualis, ON, & per, X, ducatur, X
P, parallela ipſi, CD, ſecans, BD,
in, R, erit autem, DR, æqualis
ipſi, OM, ſi ſint æquiangula, quod
facilè probari poteſt, erit etiam pa-
rallelogrammum, PD, in eadem
baſi cum parallelogrammo, AD,
ſed in eadem altitudine cum parallelogrammo, FM, omnia ergo
rationem compoſitam ex ea, quam habent omnia quadrata, AD,
ad omnia quadrata, DP, .i.
ex ea, quam habet, BV, ad, VX, ſiue,
quiangula parallelogramma, AD, DP; &
componitur ex ea, quam
habent omnia quadrata, PD, ad omnia quadrata, FM, .. ex ea,
quadrata, AD, ad omnia quadrata, FM, habent rationem com-
ſunt æquiangula, & ex ea, quem habet quadratum, CD, ad qua-
dratum, GM, quod oſtendendum erat.
_H_Inc patet, ſi vice quadratorum ſumamus alias figuras planas ſimi-
les, quod eodem pacto oſtendemus omnes figuras ſimiles, AD, F
M, habere inter ſerationem compoſitam ex ratione quadratorum, CD,
GM, & altitudinum, BV, ON, vel laterum, BD, OM, æqualiter
baſibus inclinatorum, cum parallelogramma ſunt æquiangula.
P Arallelogrammorum, quorum baſium quadrata altitu-
dinibus iuxta eaſdem baſes ſumptis reciprocantur, vel
lateribus æqualiter dictis baſibus inclinatis; omnia quadra-
ta, regulis eiſdem baſibus, ſunt æqualia: Et quorum paral-
lelogrammorum, regulis baſibus, omnia quadrata ſunt æ-
qualia, baſium quadrata altitudinibus, vellateribus æqua-
liter dictis baſibus inclinatis, reciprocantur.
Sint parallelogramma, HX, AD, quorum baſium, VX, BD,
quadrata altitudinibus iuxta ipſas baſes ſumptis, vel lateribus, RX,
CD, ſi hæc baſibus, VX, BD, æqualiter ſint inclinata, recipro-
Dico omnia quadrata pa-
rallelogrammorum, HX, AD, eſſe
inter ſe æqualia. Nam omnia qua-
D, habent rationem compoſitam ex
ea, quam habet quadratum, VX, ad
quadratum, BD, .i.
ex ea, quam
habet, CO, ad, RZ, vel, CD, ad,
RX, cum ſunt æquiangula, & ex ea, quam habet, RZ, ad, CO,
vel, RX, ad, CD, quæ duæ rationes componunt rationem, CO,
ad, CO, vel, CD, ad, CD, quæ eſt ratio æqualitatis, & ideò om-
nia quadrata, HX, erunt æqualia omnibus quadratis, AD.
Sint nunc omnia quadrata, HX, æqualia omnibus quadratis, A
D, regulis eiſdem, VX, BD. Dico quadratum, VX, ad quadra-
tum, BD, eſſe vt, CO, ad, RZ, vel, CD, ad, RX, cum ſunt æ-
RZ, ad, CO, &
ſic, CD, ad,
CD, ex ea, quam habet, CD, ad, RX, &, RX, ad, CD, quia
verò omnia quadrata, HX, ſunt æqualia omnibus quadratis, AD,
ideò ſunt ad illa, vt, CO, ad, CO, vel vt, CD, ad, CD, .i.
in ra-
tione compoſita ex ratione, CO, ad, RZ, &, RZ, ad, CO, vel,
CD, ad, RX, &, RX, ad, CD, ſunt autem omnia quadrata, H
X, ad omnia quadrata, AD, in ratione compoſita ex ea, quam ha-
, RZ, ad, CO, ſiue,
RX, ad, CD, cum ſunt æquiangula, ideò duæ rationes, CO, ad,
RZ, &, RZ, ad, CO, ſiue aliæ duę rationes, CD, ad, RX, &
,
RX, ad, CD, componunt eandem rationem, quam iſtę duę .ſ.
ra-
tio quadrati, VX, ad quadratum, BD, &, RZ, ad, CO, vel, R
X, ad, CD, eſt autem communis ratio, RZ, ad, CO, vel, RX,
ad, CD, ergo reliqua ratio, quam habet quadratum, VX, ad qua-
dratum, BD, erit eadem reliquę, quam nempè habet, CO, ad,
RZ, vel, CD, ad, RX, cum ſunt æquiangula, quod erat oſten-
dendum.
_I_Dem eodem modo de omnibus figuris ſimilibus quibuſuis parallelo-
grammorum, HX, AD, regulis ijſdem, VX, BD, oſtendi poſſe ex
ſuperiori methodo colligitur.
SImilium parallelogrammorum omnia quadrata, regulis
homologis lateribus, ſunt in tripla ratione laterum ho-
mologorum.
Sint ſimilia parallelogramma, AC, EG, quorum latera homo-
Dico omnia quadrata, A
EG, eſſe in tripla ra-
tione eius, quam habet, BC, ad, FG. Quo-
ſunt ſimilia, ideò ſunt æquiangula, & circa
æquales angulos latera habent proportio-
nalia, &, BC, CD;
FG, GH, ſunt late-
ra ad inuicem æqualiter inclinata, quorum,
BC, FG, ſunt regulę, ideò omnia quadrata, AC, regula, BC, ad
ratione quadrati, BC, ad quadratum, FG, & ex ratione, DC, ad,
i.
in ratione compoſita ex tribus rationi-
bus, BC, ad, FG, ideſt habent eandem rationem, quam, BC, ad
FG, .. ſunt in tripla ratione eius, quam habet, BC, ad, FG, quod
_H_Inc patet, quod eodem modo idem oſtendemus de omnibus quibuſ-
uis alijs figuris ſimilibus parallelogrammorum, AC, EG vice
quadratorum ſumptis, regulis eiſdem, ex ſuperioribus Corollarijs id de-
ducentes.
SI duo parallelogramma fuerint in eadem altitudine con-
ſtituta, omnes figuræ ſimiles vnius ad omnes figuras ſi-
ſibus, iuxta quas altitudo ſumitur, erunt, vt figura deſcripta
à baſi parallelogrammi primò dicti ad figuram deſcriptam à
baſi parallelogrammi ſecundò dicti.
Sint parallelogramma in eadem altitudine conſtituta, AE, EC.
Dico omnes figuras ſimiles parallelogrammi, AE, ad omnes figu-
eſſe vt figura deſcripta à, DE, ad figuram deſcriptam ab, EF, quæ
lelogrammorum altitudo .ſ.
ex.
g.
omnia qua-
drata, AE, ad omnes circulos, EC, eſſe vt
quadratum, DE, ad circulum deſcriptum ab,
EF. Ducta enim ipſa, HN, vtcunque paral-
lela, DF, reperiemus, vt figura, DE, ad fi-
guram, EF, ita eſſe figuram, HM, ad figu-
ram, MN, quia quæ deſcribuntur lateribus,
HM, DE, equalibus ſunt ęquales, veluti de
ideò, vt vnum
ad vnum, ſic omnia ad omnia .ſ.
vt figura deſcripta à, DE, ad figu-
figuras ſimiles parallelogrammi, EC, ſimiles, inquam, figuræ de-
ſcriptæ ab, EF, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc in figura Propoſ.
II.
colligemus omnes figuras ſimiles pàral-
lelogrammi, AD, ad omnes figuras ſimiles parallelogrammi, F
M, etiam tamen diſſimiles prædictis, habere rationem compoſitam ex ra-
tione figurarum, quæ à baſibus, CD, GM, deſcribuntur, & altitudi-
num, vel laterum æqualiter baſibus inclinatorum; quia omnes figuræ ſi-
miles, AD, ad omnes figuras ſimiles, FM, diſſimiles prædictis, ha-
bent rationem compoſitam ex ea, quam habent omnes figuræ ſimiles, A
ſcriptæ à, CD, ad ſibi ſimilem figuram deſcriptam à, GM, & ex ra-
æquiangula, & eſt compoſita ex ratione omnium figurarum ſimilium, F
M, ad omnes figuras ſimiles ipſius, FM, diſſimiles tamen proximè di-
ctis, quæ eſt eadem ei, quam habet figura, GM, ſimiles figuræ, CD ad
guram, GM, ſibi ſimilem, & huius ad figuram, GM, ſibi diſſimilem,
ideò habebimus omnes figuras ſimiles, AD, ad omnes figuras ſimiles ip. ſius, FM, diſſimiles tamen prædictis habere rationem compoſitam ex
ea, quam habet figura ipſius, CD, ad figuram, GM, ſibi diſſimilem, &
ex ea, quam habet, BV, ad, ON, vel, BD, ad, OM, cum parallelo-
gramma ſunt æquiangula. Conſimili methado in figura Propoſ.
12.
col-
ligemus omnes parallelogrammi, HX, figuras ſimiles, omnibus figuris
ſimilibus parallelogrammi, AD, etiamſi prædictis ſint diſſimiles, eſſe
tamen æquales; Et ſi ſint æquales, figuras deſcriptas ab, VX, BD, li-
cet diſſimiles, altitudinibus, CO, RZ, vel lateribus, CD, RX, baſi-
bus æqualiter inclinatis, reciprocè reſpondere.
OMNES figuræ planæ ſimiles ſunt inter ſe in dupla
ratione linearum, ſiue laterum homologorum, ea-
rundem.
SInt duæ quæcunque figuræ planæ ſimiles, ABD, ΦΣΛ.
Dico
eaſdem eſſe in dupla ratione linearum, vel laterum homologo-
Ducantur ipſarum oppoſitę tangentes, AK, FM,
figuræ, ABD, &, Φ Π, Δ Ω, ſiguræ, Φ Σ Λ, quæ homologis ea-
rum lineis æquidiſtent, deinde ſint intradictas oppoſitas tangentes
ductæ, KM, Π Ω, taliter, vt illæ ſint incidentes dictarum ſimilium
tangentium, hoc facto, diuidantur ipſæ incident@s, K
ad eandem
partem vtcunq; in punctis, L, Γ,
per quæ puncta ſint ductæ ipſæ, B
L, Σ Γ, quarum portiones figuris
interceptę ſint, BE, ID, in figu-
ra, ABD, &, Σ 2, 3 Λ, in figu-
ra, Φ Σ Λ, ſumatur autem ex, BL,
recta æqualis vtriſque ſimul, BE,
ID, ter ninans in, KM, quæ ſit,
QL, & pariter ipſius, Σ 2, 3 Λ, ſit
ſumpta æqualis, Τ Γ, term nans
in, Π Ω, & in puncto, Γ, ſicq;
fiat
de cæteris, quæ ipſis tangentibus
æquidiſtant, & manent intra figu-
rarum ambitum, quibusn m è in
eadem rectitudine ſun antur rectæ
æquales in ipſis, KM, ΠΩ, termi-
natæ, erunt igitur omnium in@en-
tarum linearum reliqui termini in
alia quadam inea, quæ inc pi@t in
puncto, K, & deſinet in, M, pro
figura, ABD, & quæ incip e in Π, &
deſinet in, Ω, pro figura,
Φ Σ Λ, ſint iſtę lineę, KQM, Π Ω; patet igitur figuram, KQM,
Π Ω, ipſi, Φ Σ Λ, nam omnes earum
lineæ ſumptæ regulis, FM, Δ Ω, ſunt æquales, quod ex ip a con-
ſtructione patet; dicantur autem iſtæ conſtruct ones, translationes
omn um linearum ſ gurarum, ABD, ΦΣΛ, in figuras, KQA, Π
Τ Ω, ipſi, KM, ΠΩ adiacentes, effectę regulis dictis tangent bus. Patet vlterius figuras, KQM, ΠΤΩ, eſſe ſim les, nam homologę
figurarum, ABD, ΦΣΛ, (quia illę ſunt ſimiles) ſunt vt incidentes,
translatæ ſunt (ſimui in vnam rectam coniunctis, quæ diuiſæ erant,
, Σ 2, 3 Λ, in linea,
Τ Γ,) ergo quę tangentibus dictis æquidiſtant in ſigur s, KQM, Π
Τ Ω, & diuidunt incidentes, KM, ΠΩ, ſimiliter ad eandem par-
tem, & iacent inter ipſas incidentes, &
circuitum figurarum ad ean-
dem partem eodem ordine ſumptæ, ſunt vt ipſæ incidentes, ergo fi-
gurę, KQM, ΠΤΩ, ſunt ſimiles, & earundem homologarum re-
earum incidentes ipſæ, KM, Π Ω.
PRoducantur nunc ipſę, KM, ΠΩ, indefinitè verſus puncta, M,
Ω, & ab ipſis productis ſumantur partes æquales, MP, ipſi, K
M, &, ω &
, ipſi, ΠΩ, &
per puncta, P, &
, ducantur dictis tangen-
tibus parallelę, ZP, ℟ &, quoniam ergo, KM, ΠΩ, ſunt inciden-
mòlogas earundem regulis ipſis incidentibus, KM, ΠΩ, ductis er-
go ex oppoſito tangentibus eaſdem figuras, KQM, ΠΤΩ, paral-
lelis ipſis, KP, Π &, quæ ſint, XZ, β ℟, poterimus transferre om-
nes lineas figura@um, KQM, ΠΤΩ, in figuras ipſis, ZP, ℟ &, ad-
iacentes, translatione facta regulis, KP, Π &, fiant ergo dictę tran-
, quæ erunt æqua-
les ipſis, KQM, ΠΤΩ, & ſubinde ipſis, ABD, ΦΣΛ, probab-
mus autem etiam eaſdem eſſe ſimiles (veluti in figuris, KQM, Π
, ZP, ℟ &
, eſſe dictarum figurarum incidentes,
& homologarum regulas ipſas, MP, Ω &
, patet autem ex conſtru-
ctione integras eſſe in figuris, MZP Π℟ &, tum quæ æquidiſtant
ipſis, ZP, ℟ &, tum ipſis, MP, Π ℟, nam ex prima translatione
integras habuimus, quę in figuris, KQM, ΠΤΩ, ipſis, FM, ΔΩ,
erant æquidiſtantes, & ſubinde etiam integras, quæ in figuris, MZ
P, Ω ℟ &, ipſis, ZP, ℟ &
, æquidiſtant, ex ſecunda translatione ve-
rò integras habuimus eas, quę ipſis, MP, Ω &, æquidiſtant, &
hęc
per conſtructionem, quæ omnia ſeruare opus eſt.
NVncin figuris, MZP, Ω ℟ &
, à maiori homologarum, MP,
Ω &, quæ ſit, MP, aicindatur, OP, æqualis ipſi, Ω &
, &
vt, MP, ad, PO, ita ſit quælibet in figura, MZP, parallela ipſi,
MP, adeius portionem, & portionum termini ſint ex vna parte in
recta, ZP, ex alia verò inlinea, ZO, erit ergo, vt vna ad vnam .i.
vt, MP, ad, PO, ita omnia ad omnia, .
ſ.
ita omnes lineæ figuræ,
ideò vt, M
, ita figura, MZP, ad figuram, OZP,
VLterius ab ipſis, OP, Ω &
, abſcindantur partes æquales, O
R, ΩΥ, & per puncta, R, Y, ducantur ipſis, ZP, ℟ &
, æ-
quidiſtantes, SR, VY, & per, S, vbi, RS, ſecat lineam, ZO, du-
P, & per, C, vbi, HC, ſecat li-
neain, ZM, ducatur, CN, pa-
rallelaipſi, ZP, ſecans, MP, in,
N; eſt igitur vt, MP, ad, PO,
ita, CH, ad, HS, per conſtru-
ctionem .i.
ita, NP, ad, PR, &
permutando, vt, MP, ad, PN,
ita, OP, ad, PR, diuidendo, vt,
MN, ad, NP, ita, OR, ad, R
P, .i.
ita, ΩΥ, ad, Y &
, igitur ip-
ſæ, CN, VY, æquidiſtant regu-
lis homologarum, quę ſunt, ZP,
℟ &, &
diuidunt ad eandem par-
tem ſimiliter ipſas incidentes, M
P, Ω &, (ſi .
n.
ZP, ℟ &
, ſtatue-
P, Ω &, ſunt incidentes, ſi verò
has ſtatueris regulas, illæ erunt in-
cidentes, ambę .n.
terminant in
oppoſitas tangentes, quæ ſunt re-
gulæ homologarum earundem) ergo, CN, ad, VY, erit vt, MP,
ad, Ω &, .
i.
vt, ZP, ad, ℟ &
, &
ſunt, CN, SR, æquales, &
, S
R, VY, vtcunque ductæ ipſis, ZP, ℟ &, æquidiſtantes, ergo ve,
ZP, ad, ℟ &, ita, SR, ad, VY, ergo vt, ZP, ad, ℟ &
, ita erit
, quod pariter ſerua.
QVoniam verò figura, MZP, ad figuram, Ω ℟ &
, habet ratio-
ZP, .i.
ex ratione, MP, ad, Ω &
, &
ex ratione figuræ, OZ
P, ad figuram, Ω ℟ &, .
i.
ex ratione ipſius, ZP, ad, ℟ &
a .
i.
ex ra-
, ideò figura, MZP, ad figuram, Ω ℟
habebit rationem compofitam ex duabus rationibus ipſius, MP,
ad, Ω &, .
i.
duplam eius, quam habet, MP, ad, Ω &
, ſiue, KM,
ad, Π Ω, quæ illis ſunt æquales, ſed & figuræ, ABD, φ Σ Λ, ſunt
æquales figuris, MZP, Ω ℟ &, ergo ſigura, ABD, ad figuram, Φ
Σ Λ, duplam rationem habebit eius, quam habet, KM, ad, Π Ω,
quia vero, KM, &, Π Ω, ſunt incidentes ſimilium figurarum, AB
3 Λ, ſimul, vel ita, BE, ad, Σ 2, ſiue, ID, ad, 3 Λ, ergo figura,
habet, BE, ad, Σ 2, vel, ID, ad, 3 Λ, .i.
erunt iſtæ ſimiles figuræ
in dupla ratione linearum, vel laterum homologorum, BE, Σ 2, vel,
ID, 3 Λ, vel aliarum quarumcumque homologarum præfatis regu-
lis æquidiſtantium, quod oſtendere opus erat.
_E_T quia dictæ figuræ planæ ſimiles oſtenſæ ſunt eſſe in dupla ratione
linearum, vel laterum homologorum, quæ æquidiſtant regulis vt-
cunque ſumptis, patet eaſdem eſſe in dupla ratione quarumuis homolo-
garum, & duas quaſdam homologas ſumptas cum quibuſdam regulis, eſſe
inter ſe, vt alias quaslibet duas homologas, cum alijs quibuſuis regulis, eſſe
aſſumptas, quod etiam in Corollario Lemmatis 48. Lib.
1.
aliunde dedu-
ctum eſt.
_V_Niuersè inſuper manifeſtum eſt, ſitres rectæ lineæ deinceps pro-
portionales fuerint, vt prima ad tertiam, ita eſſe figuram planam
deſcriptam à prima ad eam, quæ à ſecunda de ſcribitur; &
huius conuer-
ſum, dummodò deſcribentes ſint ſimilium deſcriptarum figurarum lineæ,
ſiue latera homologa.
SI quatuor rectæ lineæ proportionales fuerint, prima au-
tem, & ſecunda ſimiles figuras planas deſcripſerint, &
tertia, & quarta alias figuras planas ſimiles, licet etiam præ-
dictis diſſimiles eſſent, ita vt deſcribentes ſint earum lineæ,
vel latera homologa, figura primæ ad figuram lecundæ erit,
Et ſi fuerint quatuor fi-
guræ planæ proportionales, ita vt quæ ſunt termini eiuſdem
proportionis ſint figuræ ſimiles, deſcriptæ ab eorundem li-
neis, vel lateribus homologis; lineæ, vel latera homologa
deſcribentia erunt proportionalia.
Sint quatuor rectæ lineæ proportionales, AB, CD, FG, HM,
prima verò, & ſecunda deſcribant fig.
planas ſimiles, AXB, CVD,
, FG, HM, ſimiles figuras pla-
nas, FOG, HNM, licet prędictis
diſſimiles eſſent, & ſint deſcribentes
figurarum deſcriptarum lineæ, vel
latera homologa. Dico, AXB, ad,
CVD, eſſe vt, FOG, ad, HNM. Sit, R, tertia proportionalis ipſa-
rum, AB, CD, &, I, tertia pro-
portionalis ipſarum, FG, HM; eſt
igitur, AXB, ad, CVD, vt, AB,
ad, R, .i.
in ratione dupla eius, quam habet, AB, ad, CD, .
i.
eius,
i.
vt, FG, ad, I, quę eſt, vt, FOG,
ad, HNM, ergo vt, AXB, ad, CVD, ita erit, FOG, ad, H
NM.
Sit nunc figura, AXB, ad, CVD, ſibi ſimilem, vt, FOG, ad,
HNM, ſibi ſimilem, licet iſtæ eſſent prædictis diſſimiles, & eas de-
ſcribentes ſint earum lineæ, vel latera homologa. Dico, AB, ad,
CD, eſſe vt, FG, ad, HM, ſit adhuc, R, tertia proportionalis ip-
ſarum, AB, CD, &, I, tertia proportionalis ipſarum, FG, HM,
gura, FOG, ad, HNM, ita, FG, ad, I, eſt verò, vt, AXB, ad,
CVD, ita, FOG, ad, HNM, ergo vt, AB, ad, R, ſic, FG, ad,
I, eſtautem, AB, ad, R, dupla rationis ipſius, AB, ad, CD, &,
FG, ad, I, dupla rationis ipſius, FG, ad, HM, ergo vt, AB, ad,
CD, ita, FG, ad, HM, quæ oſtendere opus erat.
_P_Ropoſitionis proximè ſubſequentis nimia fortaſſe prolixitas faſti-
dium potius Lectori, quam delectationem pariet, veruntamen, qui
hoc veretur, ac tantum otij, aut tolerantiæ habere nequit, vt illius ſa-
tis tongam texturam percurrere Valeat, ipſam ſupponat, ac prætereat,
ijs enim præcipuè à me dirigitur, quibus nec otium deeſt, nec ingenium,
quodam animi vigore ſuperandi, potius quam ab ipſis ſuperari velint. Poterat quidem in plures Propoſitiones commodius diſtribui, ſed cum-
illæ omnes in hanc ſimpliciſſimam eſſent conſpiraturæ, eas omnes ſub
hac vna Propoſit. colligaui, quamtamen in Sectiones ceu in tot mem-
bra distinguere placuit, ne Lectoris mens nimium defatigaretur. Porrò
quanti hæc Propoſitio ſit momenti, ſicut & præcedens Propoſ.
15.
atten-
ta præcipuè earum vniuerſalitate, neminem, qui eaſdem intellex erit,
fore puto, qui itidem non agnoſcat; quid enim fuit, quo ad figuras pla-
nas, Euclidem lib. 6.
Elementorum in Propoſ 19.
demonſtraſſe ſimilia-
triangula, & in Propoſ.
20.
ſimilia Polygona eſſe in dupla ratione la-
te um homologorum, necnon lib. 12.
Propoſ.
2.
Circulos eſſe, vt diame-
trorum quadrata, hoc eſt in dupla ratione diametrorum? Similiter in eo,
quod ſpectat ad ſolida, quid fuit ipſum nobis in lib. 12.
Propoſ.
8.
oſten-
diſſe ſimiles Pyramides eſſe in tripla ratione laterum homologorum, &
in Prop. 12.
ſimiles conos, &
cylindros eſſe in triplaratione diametro-
rum quæ ſunt in baſibus, & in Propoſ.
18.
Sphæras itidem eſſe in tri-
pla proportione diametrorum? Quid tandem fuit alios quoq;
demonſtraſ-
ſe, quædam alia ſimilia ſolida, vt portiones Sphærarum, necnon Sphæ-
roidearum, & Conoide arum figurarum, eſſe in tripla ratione linearum,
vel laterum homologorum? Præ huius comparatione, quod in his duabus
tantum Propoſitionibus edocemur; omnes .
n.
ſimiles figuras planas in
Prop. 15.
&
omnes ſolidas in ſubſequenti Propoſ.
17.
comprebendimus,
quod mebercle conſideratione dignum videtur.
OMnia ſimilia ſolida ſunt in tripla ratione linearum, vel
laterum homologorum, quę ſunt in eorundem homo-
logis figuris.
SInt duo vtcunq;
ſimilia ſolida, V &
, AP.
Dico hæc eſſe in tri-
pla ratione linearum, ſiue laterum homologorum, quæ ſunt in
eorundem homologis figuris. Quia ergo dicta ſolida ſunt ſimilia, po-
terunt duci duo plana oppoſita tangentia in vnoquoque propoſito-
rum ſolidorum (quæ in ſolido, AP, repræſententur peripſas, AH,
in ſolido, V &
, peripſas, V Σ, &
2,) homologis eorundem
figuris æquidiſtantia, inter quæ etiam ducibilia erunt alia duo plana
ad eandem partem inclinata, in quibus iacebunt
tangentium op
poſitorum, figuræ incidentes, ſint igitur talia duo plana, quorum,
& oppoſitorum planorum tangentium in ſolido, AP, communes ſe-
ctiones, HL, OO, G, & ſolidi, V &
, Σ 3, 28, in his autem pla-
fimiles, & tangentur à dictis communibus ſectionibus, quæ erunt li-
extendantur inter di-
cta oppoſita tangentia vtcunque plana eiſdem æquidiſtantia, altitu-
dines propoſitorum ſolidorum reſpectu dictorum tangentium ſum-
ptas ſimiliter ad eandem partem diuidentia, ſit igitur vnius ductorum
planorum concepta in ſolido, AP, figura, BC, eiuſdem autem, &
figuræ, H {00/ }, communis ſectio, OX, quod etiam ſecet incidentem
figuræ, H {00/ }, quæ eſt, LG, in, E; pariter alterius planiconcepta
in ſolido, V &, figura ſit, Π Ω, idem verò planum ſecet figuram, Σ 2,
incidentem eiuſdem figuræ, nempè ipſam, 38, in
puncto, 4, igitur figuræ, BC, Π Ω, erunt duæ figurarum homolo-
, &
, OX, Φ Λ, earum incidentes, &
,
LG, 38, erunt ſimiliter diuiſæ in punctis, E, 4, nam etiam altitu-
dem partem ſub intellige) ſi igitur à punctis, O, Φ, duxerimus tan-
gentes figuras, BC, Π Ω, erunt iſtæ regulis homologarum earun-
dem figurarum parallelæ, vel pro regulis aliarum etiam aſſumi pote-
runt, & quę à punctis, X, Λ, ducentur prędictis parallelę occurrent
eiſdem figuris, & illas ex oppoſito prędictarum contingent, ita vt ha-
beamus (ſi & iſtæ ductæ intelligantur, quæ ſint, XC, Λ Ω,) oppc-
fitas tangentes figuræ, BC, quæ erunt, BO, CX, & figuræ, Π Ω,
quæ erunt, Π Φ, Ω Λ, necnon pro regulis homologarum earundem
haberi poterunt; vel igitur figuræ, BC, Π Ω, adiacent ſuis inciden-
tibus, OX, Φ Λ, totę ad eandem partem, & interius integrę exiſten-
tes, vel non, ſi ſic factum erit, quod volumus, ſi non transferantur
omnes lineæ figurarum, BC, Π Ω, regulis eiſdem tangentibus, in
15.
effectum eſt,
hinc autem reſultantes figurę ſint, OZX, Φ Γ Λ, quę per talem con-
ſtructionem ad eandem partem incidentium, & interius integrę nc-
bis proueniunt. Similiter ſi intelligamus ducta alia duo plana prędi-
ctis ęquidiſtantia, quę ſolida propoſita ita ſecent, vt fiant in ipſis non
vnica in ſingulis figura, ſed plures, ex. gr.
in ſolido, AP, figurę, R,
I, & in, V &
, figuræ, ℟, N, eadem autem ſecent figuras inciden-
tes in rectis, SY, Β Δ, & rectas, LG, 38, in punctis, K, {10/ }, dum-
modo hæc plana pariter ſecent altitudines dictas propoſitorum ſoli-
dorum ſimiliter ad eandem partem, erunt figurę, R, I, binę ſimiles, &
ſ.
I, ſimilis ipſi, N, &
, R, ipſi, ℟, &
linearum homologarum earundem regulæ ipſis, CX, Ω Λ, æquidi-
ſtabunt, ipſę autem rectę, S, Y; β, Δ, erunt earundem incidentes,
vt, S, β, ipſarum, R, ℟, &, Y, Δ, ipſarum, I, N, ſi igitur figurę,
R, I, ℟, N, non adiacent ſuis incidentibus, transferantur ſingula-
rum omnes lineę, regula ſemper, pro figuris, RI, ipſa, CX, & pro
adiaceant homologis lineis figurarum incidentium, H, {00/ }, Σ 2: Si
igitur eandem methodum ſeruemus in cæteris figuris, quæ ex lectio-
ne planorum tangentibus æquidiſtantium in dictis ſolidis producun-
tur, transferentes nempè omnes earum lineas homologas, regulis
ſemper ipſis, CX, Ω Λ, in figuras adiacentes lineis homologis figu-
rarum incidentium, H, {00/ }, Σ 2, quę reperientur totę ad eandem par-
tem, & interius integrę, tandem nobis erunt comparata duo ſolida,
nes prædictæ adiacentes figuræ erunt omnia plana, nam hæ omnes
adiacentes erunt æquales omnibus homologis figuris dictorum ſimi-
lium ſolidorum, quarum omnes lineę in ipſas figuras adiacentes mo-
erit æquale ipſi, HZ {00/ }, &, V &
, ipſi, Σ 2.
Sed &
hæc ſolida, H
altitudines reſpectu dicto-
rum tangentium ſumptas ſimiliter, & ad eandem partem di uidentes,
ſunt inter ſe ſimiles, & in ipſis linearum homologarum regulæ om-
nes vni cuidam æquidiſtant, illi nempè, qua regula translationes fa-
ctæ ſunt, & earundem figurarum ſi milium, incidentes ſunt lineę ho-
mologæ duarum planarum ſimilium figurarum, nempè, H {00/ }, Σ 2,
æqualiter ad figuras adiacentes, & ad eandem partem inclinatarum,
quarum regulæ ſunt communes ſectiones oppoſitorum tangentium
nempè, HL, 3 Σ, quod ſerua.
NVnc quia figuræ iam dictæ adiacentes homologis lineis figura-
rum, H {00/ }, Σ 2, plurificari poſſunt, quę ſunt in eodem plano,
vti apparet in figuris, S, Y, β, Γ, quę cum ſint in eodem plano ſunt
tamen duæ figuræ, ideò vt ex duobus fiat vna tantum, adhuc om-
nium linearum harum adiacentium figurarum aliam translationem
regulis, HL, Σ 3, faciemus; ducantur ergo per ipſas, LG, 38, duo
plana, quorum & oppoſitorum planorum tangentium communes
ſectiones ſint ipſæ, 3 {12/ }, 8 {13/ }, LQ, GT, cum ipſis, 3 Σ, 82, LH,
G {00/ }, angulos æquales continentes, & agantur duę ex oppoſito tan-
gentes figuras, OZX, Φ Γ Λ, parallelę ipſis, OX, Φ Λ, quę ſint ip-
iæ, ZF, Γ 7, productæ cum reliquis tangentibus oppoſitis, OX, Φ
Λ, donec occurrant planis, LT, 3 {13/ }, vt in punctis, E, F; 4, 7, iun-
ctis rectis lineis, EF, 47. Quia ergo, DE, ęquidiſtat ipſi, {00/ }G, &
,
eadem
ratione angulus, 647, probabitur æqualis ipſi, 28 {13/ }, vnde, quia,
{00/ }GT, æquatur ipſi, 28 {13/ }, angulus, FED, erit æqualis angulo,
746, & cum ſit, vt, OX, ad, Φ Λ, vel vt, OE, ad, Φ 4, quia, L
G, 38, ſunt lineæ incidentes ſimilium planarum figurarum, H {00/ },
comprehenſæ inter eaidem extremitates rectarum, EF, 47, & peri-
metrum figurarum, OZX, Φ Γ Λ, eaſdem tangentes, ergo, EF, 4
7, erunt incidentes ſimilium figurarum, OZX, Φ Γ Λ, & oppoſita-
rum tangentium, OE, ZF; Φ 4, Γ 7.
Similiter ſi ſic producantur
β Δ, quarum duæ incidant ip-
ſis, LG, 38, vt in, K, {10/ }, reliquæ vero in punctis, {11/ } {14/ }, planis, L
T, 3 {13/ }, occurrant, iunctis, K {14/ }, {10/ } {11/ }, oſtendemus pariter ipſas, K
{14/ }, {10/ } {11/ }, eſſe incidentes ſimilium figurarum, Y, Δ, vel ſimilium, S,
β, & oppoſitarum tangentium extremarum, quæ ad puncta, K 14,
&, {10/ }, {11/ }, terminantur.
Si igitur transferamus omnes lineas tum fi-
regulis ipſis, OE, Φ 4, prius compoſitis illis, quę ſibi in directum e-
runt, tum in figuris, S, Y, tum, β Δ, vt ex illis fiat vnica compoſita
recta linea, prędictis in directum poſita in figura adiacente, qualis ſit,
9 {10/ }, æqualis .i.
compoſitæ ex his, quibus adiacent figuræ, β Δ, &
,
MK, æqualis compoſitæ ex his, quibus adiacent figuræ, S, Y; tan-
dem habebimus figuras adiacentes ipſis incidentibus .ſ.
MK {14/ }, 9 {10/ }
{11/ }, in quibus plures figuræ, S, Y, in vnam, MK {14/ }, & β, Δ, in v-
Si igitur hoc fiat in cęteris figuris, quę
in ſolidis, HZ {00/ }, Σ Γ 2, ipſis tangentibus planis æquidiſtant, tandem
habebimus duo ſolida, quæ ſint, LDFG, 3687, æqualia duobus
ſolidis, HZ {00/ }, Σ Γ 2, ſeu duobus, AP, V &, LDGF, nempè ipſi,
AP, &, 3687, ipſi, V &
, nam omnia eorum plana, regulis oppo-
Sed
& hæc ſolida, LDGF, 3687, dico eſſe inter ſe ſimilia:
Cum .
n.
gentia plana ſolidorum, LDGF, 3687,) incidant quoq; duo pla-
na, LT, 3, {13/ }, ad eundem angulum ex eadem parte (ſunt .n.
prima
ad eandem
partem, inclinata, & anguli, TG {00/ }, {13/ } 82, æquales inter ſe, nec-
non anguli, LG {00/ }, 382, vnde etiam ſecunda plana ad eadem tan-
gentia plana ſunt ad eundem angulum ex eadem parte. Sint verò
partem diuidentibus, conceptę (vt probatum eſt) inter ſe ſimiles, vt
ipſæ, DEF, 647, necnon, MK {14/ }, 9 {10/ } {11/ }, & omnium earundem
linearum homologarum regulæ duabus quibuſdam, nempe ipſis, O
E, Φ 4, æquid ſtantes, & earum incidentes ipſæ, EF, 47, necnon,
K {14/ }, {10/ } {11/ }, quę omnes incidentes iacent in plano ſiminum figurarum,
LFG, 378, & ſunt earum homologæ, æquidiſtantes ipſis, LQ,
3 {12/ }, communibus ſectionibus planorum incidentium figurarum, L
FG, 378, & oppoſitorum tangentium, quarum quidem figurarum
tem inclinata, & cum ipſæ, inquam, figuræ, LFG, 378, ſint ſi-
miles interſe, nam ex. g.
eſt, EF, ad, 47, vt, OE, ad, Φ 4, ideſt
G, 38, (quod etiam de cæteris probabitur) & cum anguli, LGT,
ijs, quæ
lib. 1.
Prop.
26.
oſtenia ſunt, ideò, inquam, &
ipſæ figuræ, LFG,
ipſa iolida, LDGF, 3687, pariter ſimilia erunt.
Nunc ſolidum, 3678, planis, oppoſitis tangentibus parallelis,
in talia fruſta diuiſum intelligatur, vt quæ in ipſis ducuntur rectæ li-
neę ipſi, 38, æquidiſtantes, in ciſdem fruſtis ſingulę integrę habean-
tur .i.
ita vt ductarum ſic linearum, quæ ad fruſtorum ambientem ſu-
perficiem terminantur, pars quidein non ſit intra fruſta, pars verò
extra, ſed totæ intra, vel ſaltem nihil earum extra reperiatur, hanc
etenim ſectionem ſupponere ſieri poſſe nullam inuoluit repugnan-
tiam, cum hoc totum ſolidum ex duabus linearum translationibus re-
ſultans ſit interius integrum, enim vero ſi præfatum ſolidum in fru-
ſta quæcunque per dicta plana parallela icinderetur, nec in ipſis con-
tingeret, quod attentamus, denuò facta fruſta planis prædictis pa-
rallelis continuò reſecaremus, vt tandem omnis lmearum, ipſi, 38,
æquidiſtanter in d ctis fruſtis ducibilium, fractura tolleretur: Eſto igi-
tur, quod hoc obtinuerimus per duo plana, 9 {10/ } {11/ }, 647, oppoſitis
plan@s tangentibus parallela, qu@bus ſolidum, 3678, intria fruſta,
3647, 6 {11/ }, &, 9 {10/ } {11/ } 8, ſectum habeatur eius rationis, qualem di-
ximus, in his ergo ſingul s fruſtis ductæ quæcunque ipſi, 38, æqui-
diſtantes, & ad eorum ſuperficiem terminatæ, integræ habebuntur.
Sit vlterius in alio ſolido, LDFG, diuifa, LG, ſimiliter ac, 38, in
punctis, E, K, per quæ tranſeant plana, DEF, MK {14/ }, oppoſitis
planis tangentibus parallela, quibus ſolidum, LDFG, in tria fru-
ſta ſcindatur, LDEF, D {14/ }, MK {14/ } G, erunt ergo etiam hęc fruſta
eius rationis, qualem cupimus .i.
omnes ductę ipſi, LG, æquidiſtan-
tes, in ipſis fruſtis conceptæ, integræ erunt; quodex eorum ſimili-
tudine facilè oſtendi poteſt, ſi enim aliqua ex. gr.
in fruſto, LDEF,
poſtet, etiam illi homologa in fruſto, 3647, fracta eſſe deberet, quod
eſt abſurdum, nullam .n.
ducibilium ipſi, 38, in ſolido, 3678, ęqui-
diſtanter linearum fractam eſſe iam ex conſtructione manifeſtum eſt,
fruſta autem, 3647, LDEF, eſſe inter ſe ſimilia, ſicut etiam, 6
{11/ }, D {14/ }, necnon, 9 {10/ } {11/ }8, MK {14/ } G 2 ex diffinitione ſimilium ſoli-
dorum liquidò apparet.
EX his fruſtis autem duo accipiamus, quę ſimul cum homologis
partibus ipſarum, LG, 38, detruncantur, vt ipſa, LDEF,
3647, & ponamus eadem ſeorſim, deinde ex maiori ipſarum, LE,
34, vt ex, LE, abſcindatur æquali minori .ſ.
OE, æqualis ipſi, 34,
hoc facto intelligamus ſingulas, quæ tum in figura, LDE, tum in
figura, LFE, ipſi, LE, æquidiſtant, & ſunt exiam dictis totæ in-
militer, & ad ean-
dem partem diui-
di, ac ſecatur, LE,
in, O, & per di-
ctas ſectiones ex-
tenſas lineas, OD,
OF, vlterius ſecto
ſolido, LDEF,
plano vtcunq; ip-
ſi, LFE, æquidi-
ſtante, quod in eo
producat figuram,
QMY, & in ſigu-
ra, LDE, rectam, QY, in figura verò, DEF, rectam, YM, &
in ſuperficie, LDF, lineam, QAM, intelligantur ſingulæ in figu-
ra, QYM, parallelæ ipſi, QY, ſimiliter, & ad eandem partem di-
uidi, ac ſecatur, QY, in, T, & per ipſas ſectiones concipiatur ex-
tenſa linea, TIM; ſie autem fiat in cæteris figuris, quę in ſolido, L
DEF, ipſi, LEF, æquidiſtant, inuentis lineis, qualis eſt ipſa, TI
M, quorum termini erunt in lineis, DTO, DMF, per eaſdem au-
tem lineas ſic ſe habentes intelligamus extenſam ſuperficiem, cuius
termini erunt lineæ, DO, OF, FD, vt habeamus ſolidum, ODE
F, figuris, ODE, OEF, DEF, & ſuperficie, DOF, comprehen-
ſum. Quoniam ergo linea, OF, diuidit omnes ipfi, LE, in figura,
LEF, æquidiſtantes ſimiliter ad eandem partem, ac diuiditur, LE,
i.
vt, LE, ad, E
EF, regula, LE, .i.
vt, LE, ad, EO, ita figura, LEF, ad figu-
ram, OEF; eodem modo oſtendemus, vt, QY, ad, YT, ſic eſſe
ita, LE, ad, EO, ergo figura, LEF, ad, OEF, erit vt, QYM,
ad, TYM, & ſic erit quælibet alia figura in ſolido, LEDF, ipſi,
tem, ergo vt vna ad vnam, ſic omnes ad omnes .i.
vt figura, LEF,
ad figuram, OEF, ſic omnia plana ſolidi, LEDF, ad omnia pla-
ita ſolidum, LEDF,
ad ſolidum, OEDF, eſt autem figura, LEF, ad figuram, OEF,
vt, LE, ad, EO, vel ad, 34, ergo ſolidum, LEDF, ad ſolidum,
OEDF, erit vt, LE, ad, 34, quod pariterſerua.
DVcatur nunc intra ſolidum, OEDF, planum ipſi, DEF, æ-
quidiſtans, quod in eo producat figuram, CNX, quæ ſecet
figuram, ODE, in recta, CN, &, OFE.
in recta, NX, &
ſuper-
ficiem, ODF, in linea, CX, ſecet autem & lineas, DO, in, C, O
E, in, N, &, OF, in, X, ſimiliter in ſolido, 3467, ducatur pla-
num ipſi, 647, æquidiſtans, quod abipſa, 34, abſcindat, 35, æqua-
lem ipſi, ON, & producat in eo figuram, RSP;
vlterius per pun-
cta, C, X, ducantur, BH, G Ω, parallele ipſi, LE, & occurrentes
lineis, DL, LF, in, B, G, & rectis, DE, EF, in, H, Ω, deinde
à puncto, B, ducatur, BV, parallela ipſi, DE, ſiue, CN, (nam,
DE, CN, ſunt communes ſectiones planorum æquidiſtantium, C
NX, DEF, & plani, ODE, eadem ſecantis, vnde, CN, DE, ſunt
parallelæ, veluti patebit etiam, NX, æquidiſtare ipſi, EF,) & iun-
gatur, VG, quia ergo, NX, eſt parallela ipſi, Ε Ω, &, Χ Ω, ipſi,
NE, erit, Χ Ω, æqualis ipſi, NE, & quia, LE, ad, EO, eſt vt, B
H, ad, HC, .i.
vt, VE, ad, EN, eſt autem, G Ω, ad, Ω Χ, vt,
LE, ad, EO, quia eſt illi parallela, & ſecatur à linea, OF, in, X,
ergo, G Ω, ad, Ω Χ, erit vt, VE, ad, EN, ſunt autem, Ω Χ, EN,
inter ſe æquales, ergo &, G Ω, VE, erunt æquales, &
ſunt paralle-
læ, ergo etiam eas iungentes, VG, Ε Ω, erunt æquales, & paralle-
læ. Sumatur nunc intra lineam, CX, vtcunq;
punctum, I, per quod
ipſi, LE, parallela ducatur, AK, quæ ſuperficiei, LDF, occurrat
in, A, & plano, DEF, in, K, quia ergo, AK, æquidiſtat ipſi, L
ctum idem, quod prius, quod adhuc ſecet figura, LDE, in recta,
perficiem, ODF, in linea, TM, & figuram, CNX, in recta, ZI,
ſecet autem, QY, ipſam, BV, in puncto, ℟, & iungatur, A ℟, erit
ergo, ZI, ipſi, YK, æquidiſtans, eſt autem etiam, AK, æquidiſtans
ipſi, QY, ergo, YI, erit parallelogrammum, & ideò, IK, erit æ.
quia, AK, ad, KI, eſt vt, QY, ad, YT, .
i.
vt,
BH, ad, HC, .i vt, ℟ Y, ad, YZ, erit, AK, ad, KI, vt, ℟ Y, ad,
YZ, ſunt verò, IK, ZY, æquales, ergo &, AK, ℟ Y, erunt æqua-
les, & ſunt parallelæ, quia ambo ſunt parallelæ eidem, LE, ergo
eas iungentes, quæ ſunt, ℟ A, YK, erunt æquales, & parallelę, eſt
rallela ipſi, Ε Ω,
&, Ε Ω, ipſi, VG,
ergo, ℟ A, erit pa-
rallela ipſi, VG. Similiterautẽ pro-
cedemus in reli-
quis, quę per pun-
cta lineę, CX, ipſi,
LE, ducuntur æ-
quidiſtantes, do-
nec occurrant ſu-
perſiciei, LDF,
& plano, DEF,
harum autem patet nihil extra ſuperficiem, LDF, manere, ex iam
dictis, ſint ergo omnium earum termini ex vna parte in linea, BAG,
ex alia in linea, Η Κ Ω, veluti ergo oſtenſum eſt, A ℟, eſſe paralle-
lam ipſi, GV, ſic oſtendemus reliquas, quę iungunt puncta, quibus
iam ductæ occurrunt lineæ, BG, cum punctis, in quibus plana per
dictas lineas ducta, ipſi, LEF, æquidiſtantia, ſecant ipſam, BV, eſſe
ipſi, VG, paralſelas ergo omnes erunt in eodem plano, in eo ſcili-
cet quod tranſit per, BV, VG, omnes .n.
dictæ parallelæ tranſeunt
per puncta rectæ lineæ, BV, ſunt igiturd cta occurſuum puncta, &
in ſuperficie, LDF, & in plano, BVG, erunt ergo in eorum com-
muni ſectione, linea ergo, BAG, eſt communis ſectio plani per, B
V, VG, tranſeuntis, & ſuperficiei, LDF;
habemus ergo ſolidum,
Β Ω, in cuius ambiente ſuperficie ſunt duæ figuræ planæ inuicem pa-
rallelæ, BVG, Η Ε Ω, in quarum circuitu ſumptis vtcunque duo-
bus punctis, V, E, & iuncta, VE, cæteræ iungentes quælibet aliæ
tæ ſunt æquales, ergo, Β Ω erit cylindricus, cu@us oppoſitæ baſes
ipſæ, BVG, Η Ε Ω, hoc autem ſecatur plano eildem oppoſit@s ba-
QVia verò, LE, ad, EO, eſt vt, BH, ad, HC, .
ſ.
vt, VE,
ad, EN, permutando, & diuidendo, LV, ad, VE, erit vt,
ON, ad, NE, .i.
vt, 35, ad, 54, ergo, LE, 34, ſunt ſimi-
liter ad eandem partem diuiſæ a figuris, BVG, RSP, ergo ſunt ip-
ſæ figuræ inter ſe ſimiles, quarum latera homologa ipſæ, VG, SP,
tes ſuntipſę, LE, 34, vnde eſt, EF, ad, 47, vt, LE, ad, 34, .ſ.
vt, VG, ad, SP, ſunt verò figuræ, DEF, 647, quia ſimiles, in
dupla ratione ipſarum, EF, 47, & ipſæ, BVG, RSP, in dupla
7, ita erit figura, BVG, vel, CNX, eidem æqualis ad figuram, R
SP, Quoniam verò ſolida, LEDF, 3647, ſunt ſimilia, vt facilè
oſtendi poreſt, & eorum figuræ incidentes, &
oppoſitorum plano-
rum tangentium (quorum ex vna parte duo ſunt ipſa, 647, DEF,)
ſunt figuræ, LEF, 347 quarum lineæ incidentes, LE, 34, ideò
plana ipſis, DEF, 647, æquidiſtantia, quæ ſimiliter ad eandem
partem diu dunt incidentes, LE, 34, diuidunt etiam altitudines di-
ctorum ſolidorum reſpectu dictorum tangentium ſumptas ſimiliter
34, eſſe perbendiculares ipſis, DEF, 647, tunc enim ſiunt eædem
incidentes altitudines dictorum ſolidorum) cum igitur, vt, LE, ad,
34, .i.
ad, EO, ita ſit altitudo ſolidi, LEDF, tum adabſciſſam al-
titudinem per planum tangens in, O, ipſi, DEF, æquidiſtans .i.
ad
altitudinem ſolidi, OEDF, tum ad altitudinem ſolidi, 3467, ideò
ſolida, OEDF, 347, erunt in eadem altitudine ſumpta reſpectu
baſium, DEF, 647, & plana ipſis baſibus æquidiſtantia partes æ-
quales ab ipſis, OE, 34, abſcindentia, et am ab eorum altitudini-
bus abſcindent partes æquales, oſtendimus autem figuras, quę ab ip-
ſis, OE, 34, abſcindunt partes æquales, eſſe proportionales, ergo
in ſolidis, OEDF, 3467, in eadem altitudine exiſtentibus ſumpta
reſpectu baſium, DEF, 647, figuræ, quę ab eiſdem altitudinibus
vtcunque abſcindunt partes æquales, ſunt ſemper, vt ipſæ baſes, er-
go vt vna ad vnam, ſic omnes ad omnes, & ſic ſolida ad ſolida .
ſ.
vt
habet, EF, ad, 47, .i.
in ratione compoſita ex duabus rationibus
tionibus ipſius, LE, ad, 34, quod etiam ſerua.
SI igitur inter ſolida, LEDF, 3467, medium ſumamus ſoll-
rationem compoſitam ex ratione ſolidi, LEDF, ad ſolidum, OE
DF, .i.
ex ratione ipſius, LE, ad, 34, &
ex ratione ſolidi, OED
F, ad ſolidum, 3467, .i.
compoſitam ex duabus rationibus ipſius,
LE, ad, 34, igitur ſolidum, LEDF, ad ſolidum, 3467, habe-
bit rationem compoſitam ex tribus rationibus ipſius, LE, ad, 34,
.i.
triplam rationem habebit eius, quam habet, LE, ad, 34, quia
G, 38, quæ ſunt in prima huius Propoſ. figura, ideò his fruſtis ibi-
dem conſpectis iam oſtenſum erit fruſtum, LEDF, ad fruſtum, 34
67, triplam rationem habere eius, quam habet, LE, ad, 34, ideſt,
LG, ad, 38.
EOdem modo ſumptis alijs duobus fruſtis, D {14/ }, 6 {11/ }, oſtendemus
eadem habere triplam rationem duarum, LG, 38, & ſimiliter
reliqua fruſta pariter triplam rationem habere duarum, LG, 38, &
i.
vt fruſtum, LEDF, ad
fruſtum, 3467, ita eſſe omnia fruſta ſolidi, LG, ad omnia fruſta
ſolidi, 38, ſed fruſtum, LEDF, ad fruſtum, 3467, triplam ratio-
nem habere oſtenſum eſt eius, quam habet, LG, ad, 38, ergo ſo-
lidum, LG, ad ſolidum, 38, triplam rationem habebit eius, quam
&, 38, ipſi, V &
, ergo ſolidum, AP, ad, V &
, triplam rationem
habebit eius, quam, LG, ad, 38, quia verò, LG, 38, ſunt inci-
dentes ſimilium planarum figurarum, H {00/ }, Σ 2, & oppoſitarum
tangentium, HL, {00/ } G, Σ 3, 28, ideò, vt, LG, ad, 38, ita erunt
lineæ homologæ figurarum, H {00/ }, Σ 2, ſumptæ regulas, HL, Σ 3,
ex. gr.
ita, OX, ad, ΦΛ, iſtæ verò ſunt incidentes ſimilium figura-
oppoſitarum tangentium, BO, CX, ΠΦ, ΩLamp;
,
ideò, vt ipſæ, OX, ΦΛ, ita erunt quælibet homologæ figurarum,
BC, ΠΩ, ſumptę regulis ipſis, CX, ΩΛ, at ſolidum, AP, ad, V &,
plam rationem habebit eius, quam, OX, ad, ΦΛ, & conſequenter
etiam triplam rationem eius, quam habebit quælibet in figura, BC,
æquidiſtantem, vel quælibet in quacunque figurarum ipſi, BC, in
ſolido, AP, æquidiſtantium, ad ſibi homologam in ſolido, V &
lgitur ſimilia ſolida ſunt in tripla ratione linearum, vel laterum ho-
mologorum, quæ ſunt in eorundem homologis figuris, quod nobis
oſtendendum erat.
_E_T quia iam dicta ſimilia ſolida oſtenſa ſunt eſſe in tripla ratione li-
nearum bomologarum, quæ ſunt in homologis figuris, æquidiſtan-
tibus oppoſitis planis tangentibus vtcunque ſumptis, ideò clarum eſt ea-
dem ſimilia ſolida eſſe in tripla ratione quarumuis homologarum in ipſis
ſolidis deſoriptibilium, & duas quaſuis homologas ſumptas iuxta quæ-
dam oppoſita tangentia plana, eſſe vt duas quaſuis homologas ſumptas
iuxta alia oppoſita tangentia plana.
_V_Niuersè inſuper habetur, ſi fuerint quatuor rectæ lineæ deinceps
proportionales, vt prima ad quartam, ita eſſe ſolidum deſcriptum
à prima ad ſolidum illi ſimile deſ criptum à ſecunda, & huius conuer-
ſim; dummodò deſcribentes ſint lineæ, vel latera homologa ſimilium fi-
gurarum, quæ in ipſis homologæ vocantur.
SI quaturor rectę lineę proportionales fuerint, ſolidum de-
ſeriptum à prima ad ſolidum ſibi ſimile deſcriptum à ſe-
cunda, erit, vt ſolidum deſcriptum à tertia ad ſibi ſimile de-
ſcriptum à quarta. Et ſi fuerint quatuor ſolida proportiona-
lia, quorum quæ ſunt eiuſdem proportionis termini ſint ſimi-
lia, eadem deſcribentia erunt proportionalia; dummodò ta-
men ſemper deſcribentia ſint vel lineæ, vel latera homologa
figurarum, quæ in ipſis homologæ vocantur.
Sint ergo quatuor rectę lineę proportionales, AB, CD, FG, H
M, & ſint ab ipſis, AB, CD, deſcripta ſimilia ſolida, AXB, CV
D, & ab, FG, HM, ſimilia ſolida, OFPG, NHQM, ita vt
duæ, AB, CD, ſint homologę figurarum, AEBY, DKC ℟, &,
cantur in ipſis ſolidis homologæ. Dico hæc ſolida eſſe proportiona-
lia; ſit duarum, AB, CD, tertia proportionalis, R, quarta, S, &
duarum, FG, HM, tertia, I, quarta, T, eſt igitur ſolidum, AXB,
ad, CVD, vt, AB, ad, S, .i.
vt, FG, ad, T, (quia vt, AB, ad,
i.
vt ſolidum, FOGP, ad, HNM
Q, quod eſt propoſitum.
Sit nunc ſolidum, AXB, ad ſibi ſimile, CVD, vt, FOGP, ad
ſint ea-
dem deſcribentes, AB, CD, li-
neæ, vel latera homologa figura-
rum homologarum, AEBY, C
KD ℟, &, FG, HM, duo po
ſtrema deſcribentes ſint lineæ, vel
latera homologa figurarum ho-
mologarum, FGP, HMQ. Di-
co has eſſe proportionales; ſint
adhuc duarum, AB, CD, tertia
proportionalis, R, quarta, S, &
duarum, FG, HM, tertia, I,
quarta, T, quia ergo ſolida, AX
B, CVD, ſunt ſimilia erit, AXB, ad, CVD, vt, AB, ad, S, &,
ſolida proportionalia, ergo &, AB, ad, S, erit vt, FG, ad, T, er-
go, AB, ad, CD, erit vt, FG, ad, HM, quod oſtendendum erat.
SI in parallelogrammo diameter ducta fuerit, parallelo-
grammum duplum eſt cuiuſuis triangulorum per ipſam
diametrum conſtitutorum.
Sit parallelogrammum vtcunque, AD, in
angula, FAC, CDF. Dico parallelogram-
mum, AD, duplum eſſe cuiuſuis triangulo-
rum, FAC, CDF; abſcindanturab, FD, C
A, verſus puncta, F, C, partes æquales, FE,
CB, & per puncta, B, E, parallelæ ipſi baſi,
CD, ducantur, EH, BM, incidentes diame-
tro, FC, in punctis, H, M; quoniam ergo in triangulis, FHE, C
,
HEF, ipſi, FDC, qui eſt æqualis angulo illi oppoſito, FAC, qui
tandem æquatur angulo, MBC; interior exteriori, ideò anguius,
FEH, æquatur angulo, MBC, ſunt igitur in triangulis, FEH, M
BC, duo anguli duobus angulis æquales, & latera illis adiacentia
ſunt æqualia, nempè, FE, ipſi, BC, ergo reliqua latera erunt æ-
ſ.
HE, ipſi, BM, eodem modo oſtendemus de cæteris pa-
rallelis ipſi, CD, eas nempè, quæ verſus puncta, F, C, abſcindunt
à lateribus, FD, CA, partes æquales, eſſe pariter inter ſe æquales,
veiuti ſunt extremæ, AF, CD, æquales, ergo omnes lineæ trian-
guli, CAF, æquabuntur omnibus lineis trianguli, FDC, ſumptis
omnibus lineis regula, CD, ergo triangulus, ACF, erit
æqualis triangulo, FDC, ergo duo trianguli, ACF, FDC, ſcili-
cet parallelogrammum, AD, erit duplum cuiuſuis triangulorum, A
CF, FCD, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc patet, quæcunq;
de parallelogrammis in Prop.
5.
6.
7.
&
8.
huius Librioſtenſaſunt, eadem de triangulis vt verarecipi poſſe,
ſi in triangulis conditiones ibi oppoſitæ repertæ fuerint, nam in vnoquo-
que expoſitorum triangulorum ſumptis duobus quibuſuis lateribus ſieri
poteſt ſub illis in eodem angulo parallelogr ammum, cuius triangulum
erit dimidium. Triangula ergo, quæ in eadem ſunt altitudine inter ſe
ſunt, vt baſes: Et quæ in eadem baſi mierſe ſunt, vt altitudines, vel vt
latera æqualiter baſibus inclinata; Item babent rationem compoſitam ex
ratione baſium, & altitudinum, ſine laterum æqualiter baſibus inclina-
torum, cum ſunt æquiangulæ: Item triangula, quorum baſes altitudi-
nibus, vel lateribus æqualiter baſibus inclinatis, reciprocantur ſunt æ-
qualia; &
quæ ſunt æqualia baſes habent altitudinibus, vel lateribus
æqualiter baſibus inclmatis, reciprocas: Et tandem habetur ſimilia trian-
Propoſ. pendent.
_C_Olligitur in ſuper, ſi ſupponamur, CD, eſſe æqualem ipſi, DF,
quamlibet ductam in triangulo, FCD, parallelam ipſi, CD, æqua-
lem eſſe ei, quam ipſa abſcindit ab, FD, verſus, F, nempè ipſi abſciſſæ,
FE, & producta, EH, verjus, AC, cui incidat in, N, ipſam, HN,
æquari reſiduæ abſciſſæ, FE, .ſ.
ipſi, ED, &
, NE, integram æquari
colligemus omnes lineas trianguli, FCD, regula, CD, dum latus, FD,
æquatur ipſi, DC, eſſe æquales omnibus abſciſſis ipſius, FD; &
omnes
omnes lineas par allelogrammi.
AD, æquari maximis abſciſſarum,
FD, quæ dicuntur eiuſdem obliqui tranſitus, ſi angulus, CDF, non ſit
rectitranſitus, ſi ſit rectus;
vnde ſicuti oſtendimus, paralle,
logrammum, AD, duplum eſſe trianguli, FCD, vel, ACF, & ſubin-
de etiam omnes lineas, AD, regula CD duplas eſſe omnium linearum
trianguli, FCD, vel, ACF, ſic etiam vt demonſtratum recipi potest
duplas eſſe omnium abſciſſarum eiuſdem, vel reſiduarum omnium abſciſ-
ſarum, vnde & omnes abſctſſas patebit æquari reſiduis omnium abſciſ-
ſarum eiuſdem lineæ, ijs vel recti, vel eiuſdem obliqui tranſitus ſumptis,
quæ ad ſequentium intelligentiam diligenter ſunt adnotanda.
SIt magnitudo, A, ad quotcunque magnitudines, E, O, ſingil-
latim ad vnamquamque, vt magnitudo, V, ad tot alias, P, S,
nempè ſit, A, ad, E,
vt, V, ad, P; A, ad, O, vt, V, ad, S.
Dico, A,
ad, E, O, ſimul eſſe, vt, V, ad, P, S, ſimul iun-
ctas. Etenim conuertendo erit prima, E, ad ſecun-
dam, A, vttertia, P, ad quartam, V, ſed etiam
conuertendo quinta, O, eſt ad ſecundam, A, vt
E, & quinta, O, erit ad ſecundam, A, vt compo-
ſita ex tertia, P, & ſexta, S, ad quartam, V, ergo
conuertendo, A, ad, EO, ſimul erit, vt, V, ad, P,
colligere, ſeu colligendo.
ASſumpta Propoſ.
antecedentis figura, dimiſſa, BM, re-
tineatur, NE, pro vna ex ductis vtcunque parallela
ipſi, CD, producta autem, CD, vtcunque in, M, comple-
toque parallelogrammo, OD. Dico parallelogrammum, A
M, ad trapezium, FCMO, eſſe vt, CM, ad, MD, ſimul
cum {1/2}, CD.
Erit enim, AM, parallelogrammum, vnde, MA, ad, AD, erit
eſt vt, CD, ad, {1/2}, C
erit vt, MC, ad, {1/2}, CD, eſt autem,
AM, ad, FM, vt, CM, ad, MD,
ergo, colligendo, AM, ad, FM, cum
OFCM, erit vt, CM, ad, MD, cum,
{1/2}, DC, quod oſtendendum erat.
_M_Anifeſtnm eſt autem, ſi, CD, ſit æqualis ipſi, DF, omnes lineas
ſciſſarum, FD, & omnes lineas trianguli, FCD, regula eadem æquari
omnibus abſciſſis, FD. Nunc ſi intelligamus cuilibet earum, quæ dicun-
tur maximæ abſciſſarum, vel abſciſſæ, adiungirectam, DM, vocantur
tunc maximæ abſciſſarum, vel abſciſſæ adiuncta, DM, hæc autem ſunt
trapezio, FC
MO, nam ſi produxeris, NE, vſq; ad, OM, in, X, ſiet, EX, adiun-
cta tum ipſi, NE, vni ex maximis abſciſſarum, FD, tum ipſi, HE,
vni ex omnibus abſciſſis, FD, &, EX, adiuncta eſt æqualis ipſi, DM,
vnde omnes linea, AD, adiuncta, DM, ſunt omnes lineæ parallelo-
grammi, AM, & ſunt æquales maximis abſciſſarum ipſius, FD, ad-
iuncta, DM, & omnes lineæ trianguli, FCD, adiuncta, DM, ſunt om-
nes lineæ trapezij, FCMO, & ſunt æquales omnibus abſciſſis ipſius, F
D, adiuncta, DM. Quiaergo, AM, ad trapezium, FCMO, eſt vt, C
M, ad, MD, cum, {1/2}, DC, ideò omnes lineæ, AM, ad omnes lineas
i.
ma-
ximæ abſciſſarum, FD, adiuncta, DM, ad omnes abſciſſas, FD, adiun-
cta, DM, erunt vt, CM, compoſita nempè ex propoſita linea, CD, ſiue
ex propoſita, FD, illi æquali, & adiuncta, DM, ad compoſitam ex ad-
iuncta, MD, &, {1/2}, propoſitæ lineæ, CD, vel, DF.
IN expoſita ſuperioris Propoſ.
figura, ſiproducatur, CD,
ad partes, C, vtcunque, vt in, R, & compleatur parallc-
logrammum, GC, oſtendemus trapezium, FGRC, ad tra-
, {1/2}, CD, ad
compoſitam ex, MD, &, {1/2}, CD.
Nam trapezium, CRGF, ad, GD, eſt vt compoſita ex, RC,
&, {1/2}, CD, ad, RD, inſuper, GD, ad, AM, eſt vt, RD, ad, C
M, & tandem, AM, ad trapezium, FCMO, eſt vt, CM, ad, M
D, cum, {1/2}, CD, ergo ex æquali trapezium, FGRC, ad trape-
zium, FCMO, erit vt, RC, cum, {1/2}, CD, ad, MD, cum, {1/2}, D
C, quod erat demonſtrandum.
_H_Inc patet omnes lineas trapezij, FGRC, regula, RM, ad omnes
CD, ad, MD, cum, {1/2}, DC, veluti autem in antecedenti oſtendimus,
ſi, CD, ſit æqualis ipſi, DF, omnes lineas trapezij, FGMO, regula,
CM, æquari omnibus abſciſſis ipſius, FD, adiuncta, DM, ita in præ-
ſenti oſtendemus omnes lineas trapezij, FGRC, regula, RD, æquari re-
ſiduis omnium abſciſſarum ipſius, AC, vel, FD, adiuucta, RC; vnde
patebit reſiduas abſciſſarum propoſitæ lineæ, vt, FD, adiuncta, RC, ad
omnes abſciſſas eiuſdem, adiuncta alia linea, vt, DM, eſſe vt compoſi-
tum ex prima adiuncta, &, {1/2}, propoſitæ, CD, ſiue, FD, illi æqualis,
ad compoſitum ex ſecunda adiuncta, &, {1/2}, propoſitæ lineæ, ideſt vt, R
C, cum, {1/2}, CD, vel, DF, ad, MD, cum, {1/2}, CD, vel, DF.
EXpoſitis duobus vtcunq;
parallelogrammis, in eiſdem-
que ductis diametris, & duobus vtcunq;
lateribus pro
regula ſumptis, nempè in vnoquoq; eorum vno:
Omnia qua-
drata cuiuſuis dictorum parallelogrãmorum ad omnia qua-
drata cuiuſuis triangulorum per diametrum in ipſo conſtitu-
torum, erunt vt omnia quadrata reliqui parallelogrammi ad
omnia quadrata cuiuſuis triangulorum per diametrum in
iſto ductam pariter conſtitutorum.
Sint expoſita vtcunque parallelogramma, AS, Τ β, in ijſque du-
ctæ diametri, EO, Z &, regulis ſumptis, ES, Ζβ.
Dico omnia
quadrata, AS, ad omnia quadrata trianguli, OES, eſſe vt omnia
quadrata, Τ β, ad omnia quadrata, & Ζ β.
Sienim, vtomnia qua-
Ζ β, ita non ſunt om-
nia quadrata, AS, ad omnia quadrata trianguli, OES, erunt igi-
tur ita omnia quadrata, AS, ad maius, vel ad minus omnibus qua-
dratis trianguli, OES, ſint exceſſus, vel defectus, omnia quadrata
figuræ planæ, Ω, diuidatur autem latus, OS, bifariam, in, Q, &,
OQ, QS, bifariam in, P, R, & ſic deinceps fiat, ita vt ductis per
puncta diuiſionum parallelis ipſi, ES, DR, CQ, BP, tandem de-
uentum ſit ad parallelogrammum, DS, cuius omnia quadrata, re-
tem, in quibus dictæ parallelę ipſam, OE, ſecant, ducantur vſque
ad proximas parallelas æquidiſtantes lateribus, AE, OS, ipſę, LN,
GK, EM, erit igitur triangulo, OES, circumſcripta figura quæ-
parallelogrãmo,
LP, GQ, FR,
DS, & alia in-
ſcripta compoſi-
ta ex parallelo-
grammis, 9 Q, I
R, HS, ita vt
omnia quadrata
figuræ circũſcri-
ptę, regula, ES,
excedant omnia
quadrata inſcri-
ptæ, regula ea-
dẽ, minori quan-
titate, quam ſint
omnia quadrata figuræ, Ω; nam in parallelogrammo, DS, recta,
HM, diuidit omnia quadrata, DS, in omnia quadrata, DM, in
omnia quadrata, HS, & in rectangula bis ſub, DM, MR, veluti
punctum, H, diuidit quadratum, DR, in quadrat. DH, quad at-
HR, & rectangulum bis ſub, DHR, ſiue ex 23.
ſeq.
ab hac inde-
pendente, & ideò omnia quadrat.
DS, excedunt omnia quadrata,
HS, omnibus quadratis, DM, & rectangulis bis ſub, DM, MR,
eodem pacto oſtendemus omnia quadrata, FR, excedere omnia
quadrata, IR, omnibus quadratis, FK, & rectangulis bis ſub, FK,
KQ, & ſic omnia quadrata, GQ, excedere omnia quadrata, 9 Q,
omnibus quadratis, GN, cum rectangulis bis ſub, GN, NP, & in
figura circumſcripta ſuperſunt adhuc omnia quadrata, LP, porro ſi
hos exceſſus ſimul colligamus fient omnia quadrata, DS, nam ſi
omnia quadrata, LP, vel, 9 Q, iunxeris omnibus quadratis, GN,
rectangulis bis ſub, GN, NP, fient omnia quadrata, GQ, hęc
ſi iunxeris omnibus quadratis, FK, cum rectangulis bis ſub, FK, K
Q, fient omnia quadrata, FR, quę tandem ſi iunxeris omnibus qua-
dratis, DM, cum rectangulis bis ſub, DM, MR, fient omnia qua-
drata, DS, quę cum ſint minora omnibus quadratis figurę, Ω, hinc
figuræ circumſcriptæ omnia quadrata excedunt omnia quadrata in-
ſcriptę minori quantitate, quam ſint omnia quadrata, Ω, & ideò ex-
cedunt omnia quadrata trianguli, OES, multò minon quantitate: Quia ergo omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata trianguli, OE
S, cum omnibus quadratis, Ω, erant vt omnia quadrata, Τ β, ad om-
nia quadrata trianguli, & Ζ β, hinc omnia quadrata, AS, ad om-
nia quadrata figurę circumſcriptę triangulo, OES, habebunt maio-
rem rationem, quam omnia quadrata, Τ β, ad omnia quadrata tri-
anguli, & Ζ β.
Nunc diuidatur ſimiliter, &
β in punctis, ℟, Δ Σ, ac, OS, in
punctis, P, Q, R, & per puncta, ℟ Δ Σ, parallelæ ipſi, Ζ β, du-
cantur, ℟ V, Δ Χ, Σ Υ, ſecantes, & Ζ, in punctis, r, 3, 6, per quę
vſque ad proximas parallelas ipſis, & β, ΤΖ, æquidiſtantes ducan-
tur, Φ Γ, Λ 3, 46, vt triangulo, & Ζ β, ſit circumſcripta figura ex
Φ ℟, Δ Δ, 4 Σ, Υ
β, cõpoſita, quia
ergo, vt, OS, ad,
SR, ita eſt, & β,
ad, β Σ, vt au-
tem, OS, ad, S
R, ita ſunt om-
S, ad omnia qua-
drata, DS, &
vt, & β, ad, β
Σ, rta ſunt omnia
quadrata, Τ β, ad
omnia quadrata,
Υ β, ergo omnia
quadrata, AS, ad omnia quadrata, DS, ſunt vt omnia quadrata,
Τ β, ad omnia quadrata, Υ β, quia verò omnia quadrata, Υ β, ad
omnia quadrata, 6 β, .@.
ad omnia quadrata, 4 Σ, ſunt vt quadra-
@.
ad quadratum, 6 Σ, .
@.
vt quadra-
tum, β &, ad quadratum, &
Σ, .
@.
vt quadrarum, SO, ad quadra-
tum, OR, ideſt vt quadratum, ES, ad quadratum, HR, ideſt, vt
omnia quadrata, DS, ad omnia quadrata, FR, ergo ex æquali om-
Eodem pacto oſtendemus om-
nia quadrata, AS, ad omnia quadrata, GQ, elle vt omnia quadra-
ta, Τ β, ad omnia quadrata, Λ Δ, & tandem omnia quadrata, AS,
ad omnia quadrata, LP, eſſe vt omnia quadrata, Τ β, ad omnia
quadrata, Φ ℟, vnde, colligendo, omnia quadrata, AS, ad omnia
quadrata parallelogrammorum, DS, FR, GQ, LP, ideſt figurę
circumſcriptæ, erunt vt omnia quadrata, Τ β, ad omnia quadrata
figuræ circumicriptæ triangulo, & Ζ β, ſed omnia quadrata, AS,
ad omnia quadrata figuræ circumſcriptæ triangulo, OES, oſtenſa
ſunt habere maiorem rationem, quam omnia quadrata, Τ β, ad om-
nia quadrata trianguli, & Ζ β, ergo omnia quadrata, Τ β, ad om-
nia quadrata figuræ circumſcriptæ triangulo, & Ζ β, habebunt ma-
iorem rationem, quam ad omnia quadrata trianguli, & Ζ β, ergo
omnia quadrata figuræ circumſcriptæ triangulo, & Ζ β, minora c-
runt omnibus quadratis trianguli, & Ζ β, quod eſt abſurdum, non
ergo omnia quadrata, AS, ad maius, quam ſint omnia quadrata
trianguli, OES, habenteandem rationem, quam omnia quadrata,
Τ β, ad omnia quadrata trianguli, & Ζ β.
Dico autem neque ad minus eiuſdem habere eandem rationem,
ſint enim defectus adhuc omnia quadra a figurę, Ω, & ſit circumſcri-
pta triangulo, OES, figura ex parallelogrammis, LP, GQ, FR,
DS, & al@a inſcripta ex parallelogrammis, MQ, IR, HS, com-
poſita, ita vt omnia quadrata circumſcriptæ ſuperent omnia qua-
drata inſcriptę minori quantitate, quam ſint omnia quadrata, Ω, er-
go omnia quadrata trianguli, OES, ſuperabunt omnia quadrata in-
icriptæ figuræ multo minoriquan@tate, ſunt autem omnia quadra-
ta, AS, ad omnia quadrata trianguli, OES, detractis omnibus qua-
drat@s, Ω, vt omnia quadrata, Τ β, ad omnia quadrata trianguli, &
Ζ β, ergo omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata inſcriptæ figu-
ræ habebunt minorem rationem, quam omnia quadrata, Τ β, ad
omnia quadrata trianguli, & Ζ β.
Diuidatur nunc pariter latus, &
β, in punctis, ℟, Δ, Σ, ſimiliter ac, OS, diuiditur in, P, Q, R, &
cæ@era, vt ſupra, fiant, vt habeamus figuram inſcriptam ex paralle-
logrammis, Τ Δ, 3 Σ, 6 β, compoſitam, oſtendemus igitur, vt ſu-
pra, omnia quadrata, AS, ad omnia quadrata figurę inſcriptę trian-
gulo, OES, eſſe vt omnia quadrata, Τ β, ad omnia quadrata figu-
ræ inſcriptæ triangulo, & Ζ β, ſunt autem omnia quadrata, AS, ad
omnia quadrata figuræ inſcriptæ triangulo, OES, in minori ratio-
ne, quam ſint omnia quadrata, Τ β, ad omnia quadrata trianguli,
& Ζ β, ergo omnia quadrata, Τ β, ad omnia quadrata figurę inſcri-
Ζ β, erunt in minori ratione, quam omnia qua-
drata, Τ β, ad omnia quadrata trianguli, & Ζ β, ergo figurę inſcri-
ptæ triangulo, & Ζ β, omnia quadrata maiora erunt omnibus qua-
dratis trianguli, & Ζ β, quod eſt abſurdum, igitur omnia quadrata,
AS, non ad minus, quam ſint omnia quadrata trianguli, OES, erunt
vt omnia quadrata, Τ β, ad omnia quadrata trianguli, & Ζ β, ſed
neque ad maius, vt oſtenſum eſt ergo ad ipſa erunt, vt omnia qua-
drata, Τ β, ad omnia quadrata, & Ζ β.
Si autem comparentur om-
nia quadrata, AS, Τ β, ad omnia quadrata triangulorum, AEO,
TZ &, eodem modo fiet demonſtratio, igitur oſtenſum eſt, quod
erat demonſtrandum.
_H_Inc patet quæcunque de omnibus quadratis parallelogrammorum
tales, vel tales conditiones habentium in Propoſ. 9.
10.
11.
12.
13.
14.
buius Libri oſtenſa ſunt, eadem de omnibus quadratis triangulo-
rum, tanquam de eorundem partibus proportionalibus verificari, regu-
la vno latere ſumpta, dum triangula circa altitudines, & baſes, ſiue à
baſibus de ſcriptas figuras, & latera æqualiter baſibus inclinata, eaſdem
obtinuerint conditiones ibi notatas.
_I_Gitur triangulorum in eadem altitudine exiſtentium omnia quadra-
ta, vel omnes figuræ ſimiles (ſiue ſint ſimiles ad inuicem, quæ ſunt
_E_T ſi triangula fuerint in eadem, vel æqualibus baſibus, omnes figu-
tera baſibus æqualiter in clinata.
_I_Tem triangulorum omnia quadrata, ſiue omnes figuræ ſimiles, etiamſi
trianguli, habebunt rationem com-
poſitam ex ratione figurarum à baſibus deſcriptarum, & altitudinum,
ſiue laterum baſibus æqualiter inclinatorum.
_E_T triangulorum, quorum baſium figuræ altitudinibus, vel lateri-
bus æqualiter bafibus inclinatis reciprocantur, omnes figuræ, ſi-
Et ſi omnes figuræ, ſimiles baſium fi-
guris, ſint æquales, figuras baſium altitudinibus, vel latoribus æquali-
ter baſibus inclinatis reciprocè reſpondentes habebunt.
_E_T tandem ſimilium triangulorum omnia quadrata erunt in tripla
regulas verò
in ſupradictis ſuppono ſemper duo illorum triangulorum latera, quæ ba-
ſes voco; hic verò intellige illorum triangulorum latera bomologa.
His
autem ſequentem Tropoſitionem ſubiungam, tum buius gratia, tum eo-
SI, expoſita quacunque figura plana, in ea ducatur vtcun-
que recta linea, quæ ſit ſumpta pro regula, eadem verò
in puncto, vel punctis diuiſa, prout lib. 2.
Elem.
ſupponitur
ſecari, per puncta diuiſionum lineas duxerimus rectas, ſiue
curuas, figuram diuidentes, & ſemeltantum ſecantes quam-
uis aliam regulæ parallelam, ſiregula in vno puncto tantum
diuiſa ſit, vel toties, quot ſunt puncta diuiſionum regulę (ex-
ceptis tamen extremis, in quibus linearum ſectæ partes in
puncta aliquando degenerare poſſunt.) Quæcunq;
in dict, 2.
lib.
demonſtrantur hac diuiſione ſuppoſita circa vel quadra-
ta, vel rectangula eidem rectæ lineæ applicata, eadem de
omnibus quadratis dictæ figuræ, vel eiuſdem partium, vel
Sit expoſita vtcunq;
figura plana, ABCD, in qua ducta, BD,
recta linea vtcunq; ſit illa ſumpta pro regula, &
ea diuiſa in vno, vel
pluribus punctis, prout poſtulant Propoſ. 2.
lib.
Elem.
per puncta di-
uifionum ducantur lineæ fiue rectę, ſiue curuę, AEC, AFI, toties
quamuis aliam ipſi, BD, parallelam in figura, BADC, ſecantes
gr.
ipſa, CI, in qua parte, CI, quæin recta, CI, feparari debuiſ-
ſent per lineas, AEC, AFI, in puncta, C, I, partibus, BE, FD,
reſpondentia degenerauerunt. Dico quæcunque demonſtrantur in
linea, BD, circa quadrata, vel rectangula, illi, vel illius partibus ap-
plicata, verificari de omnibus quadratis totius figurę, BADC, ſiue
partium eiuſdem figuræ per dictas lineas conſtitutarum, ſiue de re-
ctangulis ſub eiuſdem partibus. Vtex gr.
quia in 3.
Propoſ.
lib.
2.
oſtenditur rectangulum ſub, BD, DF, æquari rectangulo
ſub, BFD, cum quadrato, FD, ſic dico verum eſſe rectangula ſub
figura, ADI, æquari re-
ctangulis ſub figuris, ABIF, ADIF, cum om-
nibus quadratis figuræ, ADIF, ſi enim aliam
vtcunque duxerimus regulæ, BD, parallelam,
vt, HO, ſecantem lineas, AC, in, M, &, A
I, in, N, verum eſſe comperiemus rectangulum,
HON, æquari rectangulo, HNO, cum qua-
drato, NO, & idem in cęteris regulę, BD, pa-
rallelis in figura, ABCD, ductis reperiemus,
ergo verum erit rectangula illa ſimul collecta, ideſt rectangula ſub fi-
figura, ADI, æquari rectangulis ſub figuris, AB
I, ADI, cum omnibus quadratis, ADI, quod 3. Propoſit.
2.
lib.
Elem.
reſpondet.
Similiter ſi ſupponamus, BF, bifariam ſecari in, E, cui adiunga-
tur, FD, ſuppoſuerimus etiam lineam, AC, bifariam ſecare quam-
libet omnium linearum figuræ, ABI, regula, BD, ſupradictarum,
quarum ſingulis aditur, quę in directum manetin figura, ADI, ve-
luti Propoſ. 6.
oſtenditur rectangulum, BDF, cum quadrato, FE,
æquari quadrato, ED, ita hic ad modum ſuperioris oſtendemus re-
ctangula ſub figura, ABID, &, ADI, cum omnibus quadratis fi-
guræ, ACI, æquari omnibus quadratis figuræ, ACD, quod re-
ſpondet Prop. 6.
eiuſdem lib.
Conſimiliter reliqua demonſtrabimus,
vnde iuxta I. Propoſ.
Secundi Elem.
colligemus.
_R_Ectangula ſub figura indiuiſa, ABID, &
ſub diuiſa, ACD, per
lineam, AI, æquari rectangulis ſub indiuiſa, ABID, & ſub
partibus diuiſæ, quæ ſunt, ACI, AID.
_I_V xta ſecundam habebimus omnia quadrata figuræ, ABID, æquar@
rectang. ſub, ABID, &
ſingulis partibus, ABI, AID.
_I_Vxta tertiam iam dictum eſt in Propoſitione quid colligamus.
_I_V xta quartam habemus omnia quadrata figuræ, ABID, pe@ vnicãm
lineam, AFI, diuiſæ, æquari omnibus quadratis fi u@arum, AB
I, AID, & rectangulis bis ſub dictis fig.
ABI, AID.
_I_V xta quintam, ſi ſupponamus lineam, AI, bifariam diuidere omnes
lineas figuræ, ABID, regula, BD, ſumptas, & eaſdem lineam,
AC. non bifariam diuidere, colligemus rectangula ſub inæqualibus par-
tibus, ABC, ACD, cum omnibus quadratis figuræ, ACI, æquari om-
nibus quadratis figuræ, ABI.
_I_V xta ſextam quid colligatur iam dictum eſt in Propoſitione.
_I_V xta ſeptimam colligemus, ſuppoſito, quodfigura, ABID, ſeoetur
à ſola linea, AI, vtcunque, dummodo eadem ſecet omnes æquidi-
ſtantes ipſi regulæ, BD, in figura, ABID, ductas, & in vno tantum
puncto, colligemus inquam omnia quadrata figuræ, ABID, & omnia
quadrata figuræ, ADI, æquari rectangulis bis ſub figuris, ABID, A
DI, vna cum omnibus quadratis, ABI.
_I_V xta octauam, ſi ſupponamus figuram, ABCD, vtcunque ſectam
per lineam, AC, (quæ tamen ſecet omnes ipſi, BD, æquidiſtantes
in figura, ABCD, ductas, & in vno tantum puncto vti dictum eſt) col-
ligemus rectangula quater ſub figuris, ABCD, ABC, cum omnibus
quadratis, ACD, aquari omnibus quadratis figuræ compoſitæ ex figu-
ra, ABCD, &, ABC, ita vt omnium linearum figuræ, ABCD ſin-
gulis intelligatur adiecta, quænunc in figura, ABC, eſicum illa in ea-
dem rectitudine.
_I_V xta nonam, ſi ſupponamus lineam, AI, ſecare omnes æquidiſtan-
tes ipſi, BD, in figura, ABID, ductas bifariam, & lineam, AC,
eaſdem bifariam non ſecare, colligemus omnia quadr ata figuræ, ACD,
cum omnibus quadratis figuræ, ABC, dupla eſſe omnium quadratorum
figuræ, AID, cum omnibus quadratis figuræ, ACI, intermediæ.
_I_V xta decimam, ſi ſupponamus, AC, lineam bifariam ſecare omnes
æquidiſtantes ipſi, BD, in figura, ABI, ductas, & illis addi, quæ
in directum illas iacent in figura, AID; colligemus omnia quadrata fi-
guræ, ABCD, cum omnibus quadratis figuræ, ADI, dupla eſſe om-
nium quadratorum figuræ, ABC, cum omnibus quadratis figuræ, ACD.
_I_V xta vndecimam, ſi ſupponamus, BD, in, E, itaſectam eſſe, vtre-
ctangulum, DBE, ſit æquate quadrato, ED, quælibet autem æqui-
diſtantium ipſi, BD, in figura, ABCD, tali modo, & ad eandem par-
tem diuid itur per lineam, AEC, patet, quod etiam rectangula ſub fi-
guris, ABCD, ABC, æquabuntur omnibus quadratis figuræ, ACD,
regula, BD, igitur linea, AC, diuidet ſuperſiciem planam, ABCD,
(ſic dicere liceat) ſecundum extremam, ac mediam rationem, hæc au-
tempro ſequentibus accuratè memoriæ commendetur.
EXpoſito parallelogrammo quocunq;
in eoque ducta dia-
metro; omnia quadrata parallelogrammiad omnia qua-
drata cuiuſuis triangulorum per dictam diametrum conſtitu-
torum erunt in ratione tripla, vno laterum parallelogrammi
communiregula exiſtente.
Sit parallelogrammum, AG, in eo ducta diameter, CE, regula
vtcunque latus, EG. Dico omnia quadrata, AG, eſſe tripla om-
nium quadratorum trianguli cuiuſuis, AEC, ſiue, CEG. Diui-
dantur bifariam latera, AC, CG, in punctis, B, H, & per, B, ip-
ſi, CG, perque, H, ipſi, CA, parallelę ducantur, BF, DH, quę
ſe cum recta, CE, communiter bifariam ſecabuntin puncto, M. Quia igitur in figura, ſiue parallelogrammo, AG, ducitur linea, B
F, quę omnes æquidiſtantes ipſi, EG, bifariam ſecat, &, CE, quæ
quam, DH, omnia quadrata trianguli, A
EG, & cum omnibus quadratis duorum
omnium quadratorum, AF, licet enim, D
H, perlineam, CE, fit non bifariam diui-
ſa, nihil tamen hoc obſtat noſtro propoſi-
to, nam & ipſi, DH, contingit, veluti ijs,
quæ inæqualiter ſecantur, quadratum ſe-
ctarum partium, ſcilicet quadrata, DM,
MH, dupla eſſe quadratorum dimidiæ, nempè quadrati, DM, &
eius, quæ inter ſectiones interijcitur, quæ hic nulla eſt, cum duę ſe-
cantes, BF, CE, vniantur in puncto, M: Sunt autem omnia qua-
drata trianguli, AEC, æqualia omnibus quadratis trianguli, CE
G, quia ſunt triangula in æqualibus baſibus, EG, AC, & eadem al-
ideò omnia quadrata trianguli, CE
G, ſunt æqualia omnibus quadratis, AF, cum omnibus quadratis
triangulorum, CBM, MEF. Quoniam verò omnia quadrata tri-
anguli, BMC, funt æqualia omnibus quadratis trianguli, CMH,
omnia verò quadrata trianguli, CEG, ad omnia quadrata triangu-
li, CMH, ſunt in tripla ratione eius, quam habet, GC, ad, CH,
quæ eſt dupla .i.
in ratione octupla, &
hoc, quia triangula, CEG,
CMH, ſunt ſimilia, ideò omnia quadrata, CEG, erunt octupla
quadrupla omnium quadrato-
rum, CMH, vel, CBM, &, MEF, ſunt autem omnia quadrata
trianguli, CEG, æqualia omnibus quadratis, AF, cum omnibus
quadratis triangulorum, CBM, MEF, ergo hæc erunt quadrupla
omnium quadratorum triangulorum, CBM, MEF, & diuidendo
nia quadrata, AF, vt quadratum, GE, ad
quadratum, EF, ideſt quadrupla .i.
vt 12.
ad 3.
&
omnia quadrata, AF, ſunt omnium
quadratorum triangulorum, BMC, ME
F, tripla, ergo omnia quadrata, AG, e-
runt duodecupla omnium quadratorum
triangulorum, BMC, MEF, & ſunt ad
omnia quadrata, AF, vt 12. ad 3.
ergo om-
nia quadrata, AG, ad omnia quadrata, A
F, cum omnibus quadratis triangulorum, CBM, MEF, erunt vt
12. ad 4.
ſunt autem omnia quadrata, AF.
cum omnibus quadra-
tis triangulorum, CBM, MEF, æqualia omnibus quadratis trian-
guli, CEG, vel, AEC, vt oſtenſum eſt, ergo omnia quadrata, A
G, ad omnia quadrata trianguli, CEG, vel, AEC, ſunt vt 12.
ad 4. .
i.
ſunt eorum tripla.
quod oſtendendum erat.
_H_Inc patet, ſi ducamus intra parallelogrammum, AG, æquidiftan-
tem ipſi, EG, vtcunque, RV, ſec antem, CE, in, T, &, BF,
in, S, quod veluti oſtendimus, RV, æquari vni maximarum abſciſſarum. CG, dum, EG, eſt æqualis ipſi, GC, ita namc oſtendemus quadratum,
RV, æquari quadrato vnius maxim trum abſciſſarum, CG, & quadra-
tum, TV, æquari quadrato vnius omnium abſciſſarum, CG, ideſt qua-
drato, VC; quadratum verò, RT, æquari quadrato @nius reſiduarum
omnium abſciſſirum, CG, ideſt quadrato, VG, vnde concludemus om-
nia quadrata, AG, regula, EG, æquari quadratis maximarum abſciſ-
ſarum, CG, & omnia quadrata triangult, CEG, æquari quadratis om-
nium abſciſſarum, CG, & omnia quadrata trianguli, AEC, æquari
quadratis reſiduarum omnium abſciſſarum, CG, & rectangula ſub tri-
angulis, AEC, CEG, æquari rectangu is ſub omnibus abſctſſis, & re-
ſiduis omnium abſciſſarum, CG, ita ſumptis, vt quoduts rectangulum
intelligatur ſub vna abſciſſirum, & eius reſidua:
Vnde veluti oſtendi-
mus omnia quadrata, AG, tripla eſſe omnium quadratorum trianguli,
rum bis ſub triangulis, AEC, CEG, (ſunt enim omnia quadrata, AG,
æqualia omnibus quadratis triangulorum, AEC, CEG, & rectangulis
rum, C G, tripla eſſe quadratorum omnium abſciſſarum, bel quadrato-
rum reſiduarum omnium abſciſſarum, CG, & tripla etiam eſſe rectan-
gulorum fub dictis omnibus abſciſſis, reſiduiſque bis ſumptis, ſexcupla
berò eorundem rectangulorum ſemel ſumptorum, ſunt autem maximæ
abſciſſarum, abſciſſæ, & reſiduærecti tranſitus ſi angulus, EGC, ſitre-
SI in duobus parallelogrammis ſumptis duobus lateribus
pro baſibus, & regulis, ipſa parallelogramma fuerint in
eadem altitudine ſumpta reſpectu dictarum baſium; in ei-
ſdem autem baſibus, & altitudine fuerint aliæ duæ planæ fi-
guræ ita ſe habentes, vt ſi ducatur vtcunque parallela dictis
baſibus (quæ in directum ſint conſtitutæ) recta linea, eiu-
ſdem portiones dictis parallelogrammis, & figuris interce-
ptæ, vel abeiſdem deſcriptę planæ figuræ ſint proportiona-
les, homologis exiſtentibus, quæ ſunt in parallelogrammis,
& pariter quę ſunt in figuris, in ijſdem baſibus, &
altitudine
cum illis conſtitutis, dictorum parallelogrammorum, ac fi-
gurarum omnes lineæ, ſi lineæ, vel omnes figurę planę ſimi-
les, ſi iſtæ comparentur (fimiles in quam exiſtentibus, quæ
ſunt in vnaquaque figura) erunt proportionales.
Sint parallelogramma, AE,
directum iacentibus, & in eadem
altitudine reſpectu dictarum ba-
ſium conſtituta, AE, ED, ſit
autem regula, CE, vel, EF, &
in eiuſdem tanquam in baſibus,
& eadem altitudine cum paral.
lelogrammis, AE, ED, ſint fi-
guræ, BCE, BEF, eiuſmodi, vt ſi duxerimus vtcunqueipſi, CF,
parallelam, vt, MQ, cuius portiones interceptę parallelogrammis,
interceptę figuris ſint, IO, OP, le-
periamus, MO, ad, OI, eſſe vt, QO, ad, OP. Dico omnes li-
neas, AE, ad omnes lineas figurę, BCE, eſſe vt omnes lineę, BF,
ad omnes lineas figuræ, B E F, ſi verò vice linearum comparentur
libus exiſtentibus, quę ab omni-
bus lineis vniuſcuiuſque propo-
ſitarum figurarum deſcribuntur,
cuius deſcribentes ſint earum li-
neę, vel latera homologa. Di-
co omnes figuras ſimiles ipſius,
A E, ad omnes figuras ſimiles
ſigurę, BCE, eſſe vt omnes fi-
guras ſimiles ipſius, BF, ad omnes figuras ſimiles figuræ, BEF,
quia enim, MQ, vtcunque ducta eſt parallela ipſi, CF, & eſt, M
O, ad, OI, vt, QO, ad, OP, permutando erit, vt, MO, ad, O
Q, ſic, IO, ad, OP, i. vt, CE, ad, EF, ſic, IO, ad, OP, &
ſic
oſtendemus, vt, CE, ad, EF, ita eſſe quaſlibet alias duas in figu-
ris, BCE, BEF, exiſtentes ipſi, CF, parallelas, & vt vna ad vnam
ſic omnia ad omnia .i.
vt, CE, ad, EF, ita omnes lineæ figurę, B
omnes lineæ, AE, ad omnes lineas, ED, ergo omnes lineę, AE,
ad omnes lineas, ED, erunt vt omnes lineę figurę, BCE, ad om-
nes lineas figuræ, BEF.
Si verò vice linearum ſumamus deſcriptas, vt dictum eſt, ab eiſdem
figuras, ex. gr.
ſi, vt quadratum, MO, ad triangulum &
ae;
quilaterum,
cuius latus, IO, ita reperiamus eſſe circulum, cuius diameter, OQ,
ad polygonum, cuius latus, OQ, omnium autem linearum, AE,
fingulæ deſcribant quadrata, & omnium linearum figuræ, BCE,
ſingulę deſcribant, triangula &ae;
quilatera, &
omnium linearum, BF,
ſingulæ deſcribant circulos, & figuræ, B E F, ſingulę deſcribant po-
lygona prædicto ſimilia, ita vt quæ in eadem figura ſunt lineæ, vel
latera deſcribentia ſint homologa, erit vt quadratum, MO, permu-
tando, ad circulum, OQ, ita triangulum &ae;
quilaterum, IO, ad po-
lygonum, OP, quia verò, MO, &ae;
quaturipſi, CE, &
, OQ, ipſi,
EF, ideò quadratum, MO, &ae;
quatur quadrato, CE, &
circulus,
OQ, circulo, EF, & ideò, vt quadratum, CE, ad circulum, EF,
ae;
quilaterum, IO, ad polygonum, OP, vnde,
quia, MQ, vtcunq; ducta eſt parallelaipſi, CF, concludemus om-
nia quadrata, AE, ad omnes circulos, BF, eſſe, vt omnia triangu-
la &ae;
quilatera figuræ, BCE, ad omnia polygona vni ſimilia figuræ,
permutando omnia quadrata, AE, ad omnia triangula a-
lygona vniſimilia figuræ, BEF.
Eodem modo fiet demonſtratio, ſi vice iſtarum aliæ aſſumantur
figuræ planæ, quarum poſſunt etiam, quæ ſunt duarum figurarum
eſſe ſimiles, vt ſi comparentur omnia quadrata parallelogrammo-
rum, AE, ED, & omnia triangula &
ae;
quilatera figurarum, BCE,
BEF, vel ſi comparentur omnia quadrata, AE, & figuræ, BCE,
& omnia triangula &
ae;
quilatera, BF, &
figuræ, B E F;
poteſt etiam
eſſe omnium quatuor figurarum omnes figuras eſſe ſimiles, vt ſi com-
parentur omnia quadrata eorundem, vel omnes circuli, &c.
patet
autem hic demonſtrationem currere quotieſconque ea, quæ compa-
rantur ſunt eiuſdem generis .ſ.
vel lineæ, vel ſuperficies, ſi verò con-
tingat magnitudines diuerſi generis comparari, vt ſi compararentur
omnes lineæ, AE, & figuræ, BCE, &
omnia quadrata, BF, &
fi-
gurę, BEF, tunc quia &a4;
permutata ratione non poſſumus argumen-
tari, cum lineam ſuperficiei comparare ſit abſurdum, ideò demon-
ſtratio pro his non currit, quapropter aliud Theorema pro hoc ſut-
iungemus.
IN eadem antecedentis Propoſ.
figura ſi comparentur ma-
gnitudines diuerſi generis, adhuc comparatæ magnitu-
dines erunt proportionales.
Comparentur ex.
gr.
gula, CE, ad omnes li-
neas fi uræ, BCE, &
omnia quadrata, BF,
regula, EF, ad omnia
quadrata figurę, BEF,
ita vt ducta vtcunq. ipſi,
CF, paraliela, MQ,
reperiamus, MO, ad,
OI, eſſe vt quadratum,
QO, ad quadratum, O
P. Dieo adhuc omnes
lineas, AE, ad omnes
lineas figurę, BCE, eſ-
ſe vt omnia quadrata, B
F, ad omnia quadrata figurę, BEF; ponatur ſeorſim parallelogram-
inipſis tanquam in baſibus conſtituti intelligan-
tur duo cylindrici recti, FE, nempè in baſi, AE, &, DGE, in baſi
figura, BCE, & in eadem altitudine, quorum quod inſiſtit ipſi, A
E, eſt parallelepipedum, vt facilè oſtendetur, intelligatur nunc pa-
rallelepipedum, FE, ſecari vtcunque plano ipſi, GE, &ae;
quidiſtante,
producetut ergo ex hac ſectione in ipſo parallelogrammum rectan-
E, rectangulum, LO, fiet autem & in hoc cylindrico rectangulum,
quia dictum planum ducitur per latera baſi, BCE, rectè inſiſten-
ae;
qui-
diſtanter ipſi, GE, quod
ducitur perlatera, GC,
SE, erit ergo rectange-
lum, KO, vnum ex ijs,
quę dicũtur omnia pla-
na parallelepipedi, FE,
regula, GE, & rectan-
gulum, LO, erit vnum
ex ijs, quę dicuntur om-
nia plana cylindrici, G
DE, regula, GE, quę
rectangula erunt &ae;
què
alta, ac rectangulum,
GE, omnia igitur pla-
na parallelepipedi, FE,
(regula, GE,) ſunt omnia rectangula &ae;
què alta, ac, GE, ipſius pa-
rallelogrammi, AE, (regula, CE,) & omnia plana cylindrici, G
ae;
quiangula, &
&
ae;
què
alta, ac ipſum, GE, regula eadem, CE: Secentur nunc dicti cylin-
drici planis baſibus &ae;
quidiſtantibus, fient ergo communes corum ſe-
ctiones ſimiles, & &
ae;
quales baſibus, ſit in parallelepipedo, FE, pro-
in cylindrico, GDE, producta figura, HQP, erit
ergo vt, AE, ad figuram, BCE, ita, NP, ad figuram, HQP, &
ita etiam quælibet alię figurę in ipſis per plana &ae;
quidiſtanter baſibus
eoſdem ſecantia productæ, & vt vna ad vnam, ſic omnes ad omnes
i.
vt, AE, ad figuram, CBE, ita omnia plana parallelepipedi, F
E, regula, AE, ad omnia plana cylindrici, GDE, regula eadem
ae;
-
qualia omnibus eiuſdem planis, regula, GE, quæ ſunt omnia re-
ae;
què alta, acipſum, GF, &
omnia plana cylindrici, GDE, regula baſi, CBE, ſunt &ae;
qualia om-
ipſa ſunt omnia rectan-
ae;
què alta, acipſum, GE, ergo
omnia rectangula ipſius, AE, regula, CE, &ae;
què alta, acipſum, G
E, ad omnia rectangula figuræ, CBE, regula, CE, &ae;
què alta, ac
ſ.
vt omnes lineę,
AE, ad omnes lineas, BCE, regula, CE, quod ſerua.
Conſpiciatur nunc figura Theorematis anteced.
in qua diximus,
MO, ad, OI, eſſe vt quadratum, QO, ad quadratum, OP. Di-
co omnes lineas, AE, ad omnes lineas figurę, BCE, regula, CE,
eſſe vt omnia quadrata, BF, ad omnia quadrata figurę, B E F, quia
enim, vt, MO, ad, OI, ita (ſumpta quauis communi altitudine,
nempè ex. gr.
altitudine conſtitutorum parallelepipedorum, quę eſt,
SE,) rectangulum ſub, MO, &, SE, ad rectangulum ſub, IO, S
E, ideò, vt rectangulum ſub, MO, SE, ad rectangulum ſub, IO,
SE, ita erit quadratum, OQ, ad quadratum, OP, ſunt autem hæ
magnitudines eiuſdem generis, nempè omnes ſuperficies, ergo om. nia rectangulaipſius, AE, regula, CE, &
ae;
què alta, ac vnum eorum,
BCE, regula eadem, CE, &ae;
què alta, ac vnum eorum, vt, GE,
erunt vt omnia quadrata, BF, ad omnia quadrata figuræ, BEF,
omnia verò rectangulaipſius, AE, &ae;
què alta, ac vnum eorum, vt,
GE, ad omnia rectangula figuræ, BCE, &ae;
què alta, acipſum, G
E, ſunt vt omnes lineæ ipſius, AE, ad omnes lineas figuræ, BCE,
E, regula, CE, erunt vt omnia quadrata, BF, ad omnia quadrata
figuræ, BEF, ſunt ergo proportionales, licet ſint magnitudines di-
uerſi generis, nempè lineę, & ſuperficies, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc igitur primò habetur, ſi fuerint parallel ogrammum, &
figurá
plana in eadem baſi, & altitudine, regula ſumpta baſi, omnia,
rectangula parallelogrammi &ae;
què alta ad omnia rectangula illius figu-
ræ &ae;
què alta ac prædicta, eſſe vt dictum parallelogrammum ad dictam,
figuram, quod patuit, dum oſtenſum eſt omnia rectangulaipſius, AE,
altitudinis, SE, ad omnia rectangula figuræ, BCE, altitudinis eiuſdem,
SE, eſſe vt, AE, ad figuram, BCE.
_H_Abetur ſecundò cylindricos in eadem altitudine exiſtentes eſſe in-
terſe, vt baſes, quod de cæteris, veluti de ſupradictis, FE, GD
E, oſiendetur, quamuis aliter etiam id aliundè infra colligetur.
_H_Abetur tertiò, ſi non ſint in ſupradictis duobus Theorematibus ex-
poſita duo parallelogramma, & duæ figuræ, ſed vnum tantum,
& vna figurain eadem baſi, &
altitudine cumipſo, cuius baſi poſita pro
regula, & ſumpto vteunque puncto in vno laterum baſi inſi§tentium,
perque ipſum baſi ducta parallela, reperiatur eam, quæ intercipitur pa-
rallelogrammo ad eam, quæ intercibitur figura, vel figuras ſimiles ab
ipſis deſcriptas, tanquam homologis lineis, vel lateribus, eſſe vt vnam
ex maximis abſciſſarum lateris, in quo ſumptum eſt punctum, ad abſciſ-
ſam per ductam baſi &ae;
quidiſtantem, vel vt iſtas adiuncta quadam recta,
linea, vel vt iſtarum figuras ſimiles ab ipſis tanquam lineis, vel lateri-
bus homologis deſcriptas, ita vt figuræ deſcriptæ &a4;
ſingulis earum, quæ
dicuntur omnes lineæ parallelogrammi, & dictæ figuræ, ſint ſimiles, vt
pariter, quæ deſcribuntur &a4;
ſingulis earum, quæ dicuntur maximæ ab-
ſciſſarum, vel abſciſſæ dicti lateris, quod adbuc dictæ magnitudines col-
lectæ erunt proportionales: Vt ex.
gr.
ſi in Theorematis antecedentis fi-
gura habeamus tantum parallelogrammum, BF, & in eiuſdem baſi, E
F, & eadem altitudine, figuram, BEF, &
ſumpto in vno laterum, B
E, DF, vtcunque puncto, O, & per, O, ducta, OQ, parallela ipſi, E
F, reperiamus, QO, ad, OP, eſſe vt, EB, ad, BO, vel figuras ſimiles
deſcriptas ab, OQ, OP, tanquam lineis, vel lateribus homologis, vt
ex. gr.
quadratum, QO, ad quadratum, OP, eſſe vt, EB, ad, BO, vel
vt, EB, adiuncta quadam linea ad, BO, adiuncta eadem, vel vt abiſtis
deſcriptas ſimiles figuras, dico collectas magnitudines, quæ comparan-
tur eſſe proportionales: Nam ſi ipſi, BE, intelligatur applicatum pa-
rallelogrammum, AE, cuius baſis ſit, CE, in directum ipſi, EF, con-
ſtituta, &, CE, &
ae;
qualis ipſi, EB, tunc omnes lineæ, AE, regula, C
ae;
quales maximis abſciſſarum, BE, vt probatum eſt, &
omnes
abſciſſæ &ae;
quales omnibus lineis trianguli BCE, ſi ſit iuncta, BC, (quæ
ſecet, MO, in, X,) vnde vice earum, quæ dicuntur maximæ abſciſſa-
rum, vel abſciſſæ ipſius, BE, rectè ſumemus omnes lineas, AE, & tri-
anguli, BCE, & itareperiemus quadratum, QO, ad quadratum, OP,
ex. gr.
eſſe vt, MO, ad, OX, vel vt quadratum, M, O, ad quadratum,
bus, ſiue ab ipſis adiuncta quadam linea, vnde caſus iſte ad caſum Theo-
rematis præſentis, vel antecedentis deductus erit, & ideò patebit, om-
nes lineas, AE, ad omnes lineas trianguli, BCE, vel omnes figuras ſi-
miles, AE, ad omnes figuras ſimiles trianguli, BCE, ideſt vel maxi-
mas abſciſſarum, BE, ad abſciſſas omnes ipſius, BE, vel earum figuras
ſimiles eſſe, vt omnia quadrata, B F, ad omnia quadrata figuræ, BEF. Vocabuntur autem iſtæ;
Quatuor ordinum magnitudines collectæ iuxta
quatuor magnitudines proportionales vtcunque inuentas, quæ fuerunt
ex. gr.
prima quadratum, OQ, ſecunda quadratum, OP, tertia, EB,
quarta, BO, magnitudines autem collecta iuxta primam. ſ.
ex.
gr.
om
nia quadrata, BF, dicentur primi ordinis, collectæ verò iuxta ſecun-
dam. ſ.
omnia quadrata figuræ, BEF, magnitudines ſecundi ordinis, col-
lectæ verò iuxta tertiam magnitudines tertij ordinis, & tandem collectæ
iuxta quartam magnitudines quarti ordinis, ſic igitur appellabimus hos
quatuor magnitudinum ordines. In ſupradictis autem, quod dicimus de
abſciſſis, idem intellige de reſiduis abſciſſarum, & quod de ipſis ſimpli-
cibus, idem de eiſdem adiunctis alijs, ſiue ſint recti, ſiue eiuſdem obli-
qui tranſitus: Hoc autem Corollarium præ cæteris ſummè animaduerten-
dumeſt, ac memoriæ diligentiſſimè commendandum, ex hoc enim potiſ-
ſimas demonſtrationes tanquam ex fonte dermari ſtudioſus in ſequen-
tium Librorum lectione ſacilè comprehendet.
SI duo trapezia fuerint in eadem baſi, ſumpto vnolate-
rum &ae;
quidiſtantium pro baſi, &
regula, &
fuerint etiam
in eadem altitudine reſpectu illius baſis, & latera baſi paral-
lela fuerint &ae;
qualia, trapezia erunt &
ae;
qualia, &
omnia eo-
rundem quadrata erunt &ae;
qualia.
Sint duo trapezia, AERB, IABD, in eadem baſi, AB, quæ
ſit ſumpta pro regula, cuiq; latera, ER, ID, ſint parallela, &
in-
ter ſe &ae;
qualia, Dico trapezia eſſe &
ae;
qualia, &
omnia eorundem qua-
drata eſſe &ae;
qualia.
Producantur, AE, BR, donec ſibi occurrant,
vt in, O, &, AI, BD, donec ſimul incidant, vt in, X, &
iunga-
tur, OX, quia ergo, ER, parallela eſt ipſi, AB, erunt triangula,
eadem ratione ſimilia erunt triangula, A
XB, IXD, ergo vt, AB, ad, ER, velad, ID, illiæqualem, ita
erit, BO, ad, OR, vt autem, AB, ad, ID, ita eſt, BX, ad, XD,
Ducaturintra trapezia parallela ipſi, AB, vtcun-
, O
B, in, T, ſunt igitur triangula, AO
B, VOT, ſimilia, & pariter ſunt ſi-
milia triangula, AXB, SXC, ergo,
AB, ad, VT, erit vt, BO, ad, OT,
.i.
vt, BX, ad, XC, (quia, VC, pa-
rallela eſtipſi, AB, & conſequenter
ipſi, OX,) .i.
vt, AB, ad, SC, er-
go, VT, SC, erunt &ae;
quales.
&
eo-
rum quadrata pariter &ae;
qualia, ſic au-
tem de cæteris ipſi, AB, parallelis
idem oſtendetur, ergo omnes lineæ
trapezij, AERB, erunt &ae;
quales omnibus lineis trapeZij, AIDB,
regula, AB, & conſequenter ipſa trapezia erunt &
ae;
qualia, &
omnia
eorundem quadrata pariter &ae;
qualia, quod oſtendere opus erat.
SI parallelogrammum, &
trapezium habuerint commu-
nem baſim vnum ęquidiſtantium laterum trapezij, quod
ſit ſumptum pro regula; Omnia quadrata parallelogrammi
ad omnia quadrata trapezij erunt, vt quadratum dictæ baſis
ad rectangulum ſub parallelis lateribus trapezij, cum, {1/3},
quadrati differentiæ dictorum laterum &ae;
quidiſtantium.
Sit parallelogrammum, AC, &
trapezium, IBCO, cuius late-
rum &ae;
quidiſtantium alterum, vt, BC, ſit communis baſis ipſi, &
trapezio, & regula.
Dico ergo omnia quadrata, AC, ad omnia qua-
BC, ad rectangulum ſub, BC, IO, vna
cum, {1/3}, quadrati differentiæ ipſarum, B
CIO. Sumatur in, DA, ipſa, ED, &
ae;
-
qualis ipſi, IO, & iungatur, BE, &
per,
E, ipſis, AB, DC, parallela ducatur, E
Omnia ergo quadrata trapezij, EBC
D, perlineam, EM, diuiduntur in omnia
quadrata trianguli, EBM, & in omnia
quadrata, MD, & in rectangula ſub tri-
angulo, EBM, &, EC, bis ſumpta;
ad horum ergo ſingula com-
paremus omnia quadrata, AC. Igitur omnia quadrata, AC, ad
M, quod ſerua. Inſuper omnia quadrata, AC, ad omnia quadra-
nia quadrata, AM, ſunt tripla omnium quadratorum trianguli, EB
l.
ſunt ad illa, vt quadratum, BM, ad, {1/3}, quadrati, BM, er-
go, ex &ae;
quali, omnia quadrata, AC, ad omnia quadrata trianguli,
Tan-
dem omnia quadrata, AC, ad rectangula ſub, AM, MD, erunt vt
quadratum, BC, ad rectangulum, BMC, rectangula verò ſub, A
ſub, MD, ſunt vt,
AM, ad triangulum, EBM, (quia illa ſunt omnia rectangula pa-
rallelogrammi, AM, & trianguli, EBM, &
ae;
què alta, altitudinis
nempè &ae;
qualis ipſi, MC, ſumpta regula, BM,) .
i.
dupla .
i.
vtre-
ctangulum, BMC, ad eiuſdem dimidium, ergo, ex &ae;
quali, omnia
quadrata, AC, ad rectangula ſub triangulo, EBM, & ſub, MD,
erunt vt quadratum, BC, ad dimidium rectanguli, BMC, ad ea-
dem verò bis ſumpta erunt, vt quadratum, BC, ad rectangulum, B
MC, ergo, colligendo, omnia quadrata, AC, ad omnia quadra-
ta, EC, ad omnia quadrata trianguli, EBM, & ad rectangula bis
ſub triangulo, EBM, & ſub, EC, erunt vt quadratum, BC, ad qua-
dratum, CM, cum rectangulo, CMB, &, {1/3}, quadrati, BM, ſed
rectangulum, BMC, cum quadrato, MC, conficit rectangulum
ſub, BC, CM, ergo omnia quadrata, AC, ad omnia quadrata tri-
anguli, EBM, parallelogrammi, MD, & rectangula bis ſub eiſdem,
.i.
ad omnia quadrata trapezij, EDCB, .
i.
ad omnia quadrata tra-
ae;
qu@les) erunt, vt quadratum,
BC, ad rectangulum ſub, BC, CM, .i.
ſub, BC, ED, vel, IO,
vna cum, {1/3}, quadrati, BM, quę eſt differentia parallelarum, BC, E
D, ſiue, BC, IO, ipſius trapezij, IBCO, quod oſtendere opus erat.
_P_Atet autem ſi ipſi, ME adiungamus in directum, EF, &
ae;
qualem,
ipſi, MC, & ſi ſupponamus, BM, &
ae;
quari ipſi, ME, facillimè pro-
bari poſſe omnia quadrata, AC, &ae;
quari quadratis maximarum abſciſ-
ſarum ipſius, ME, adiuncta, EF, & omnia quadrata trapezij, EBC
D, &ae;
quari quadratis omnium abſciſſarum, ME, adiuncta, EF, nam ex.
gr.
ducta ipſi, BC, parallela vtcunque, VR, quæ ſecet, EB, in, S, &
,
EM, in, T, patet, quod, VT, eſt &ae;
qualis ipſi, ME, &
, TR, adiun-
ctæ, EF, & ideò tota, VR, &
ae;
qualis toti, MF;
ſimiliter, ST, eſt &
ae;
qua-
lis ipſi, TE, &, TR, adiunctæ, EF, vnde patet, SR, &
ae;
quari compo-
ſitæ ex, TE, vnaabſciſſarum, & adiuncta:
Conſimiliter in cæteris fa-
vnde patebit pariter quadra-
ta maxim trum abſciſſarum propoſitæ rectæ lineæ, vt ipſius, EM, adiun-
cta quædam, vt, EF, ad quadrata omnium abſciſſarum eiuſdem adiuncta
eadem, eſſe vt quadratum vnius maximarum abſciſſarum adiuncta iam
dicta .i.
vt quadratum compoſitæ ex propoſita, &
adiuncta, adrectangu-
lum ſub hac compoſita, & ſub adiuncta, vnacum, {1/3}, quadrati differen-
tiæhuius compoſitæ, & adiunctæ .
ſ.
vt quadratum, MF, ad rectangu-
lum ſub, MF, FE, vnacum, {1/3}, quadrati, EM, quæ eſt differentia ea-
rundem, & eſt etiam propoſita linea.
CViuſcunque parallelogrammi omnia quadrata regula
vno laterum ad omnia quadrata eiuſdem regula altero
laterum cum prædicto angulum continentium, erunt vt pri-
ma regula ad ſecundam.
Sit quodcunq;
parallelogrammum, AD.
Dico omnia quadrata
eiuſdem, regula, DB, eſſe vt, CD, ad, DB: Omnia enim quadra-
ta, AD, regula, CD, ad omnia quadrata, AD, regula, DB, ha-
bent rationem compoſitam ex ea, quam habet quadratum, CD, ad
ex ea,
quam habet, BD, ad, DC,
(quia, BD, &ae;
qualiter inclina-
tur baſi, CD, ac, CD, ipſi
baſi, DB, nam ſunt circa eun-
dem angulum) .i.
ex ea, quam
ctangulum ſub, BD, DC, duæ autem rationes, nempè quadrati, C
D, ad quadratum, BD, & quadrati, BD, ad rectangulum ſub, B
D, DC, componunt rationem quadrati, CD, ad rectangulum ſub,
regula, DB, erunt vt, CD, prima regula ad, DB, ſecundam, quod
oſtendere opus erat.
_H_Inc patet, ſi iungamus, CB, omnia quadrata trianguli, CBD,
regula, CD, ad omnia quadratratrianguli eiuſdem, regula, DB,
eſſe vt, CD, primam regulam ad, D B, ſecundam, nam omnia quadrata
altitudine cum parallelogrammis conſti-
tutorum ſunt omnium quadratorum dictorum parallelogrammorum ſub-
SI intra parallelogrammum agatur à puncto baſis lateri-
bus oppoſitis parallela, & conſtitutorum hinc parallelo-
grammorum vnius ducatur diameter: Rectangula ſub factis
parallelogrammis ad rectangula ſub trapezio, & triangulo in
toto parallelogrammo per dictam diametrum conſtitutis, re-
gula baſi, habebunt eandem rationem, quam baſis paralle-
logrammi, in quo non ducitur diameter ad compoſitam ex,
{1/2}, eiuſdem, &, {1/6}, baſis alterius:
Rectangula verò ſub toto
parallelogrammo, & ſub eo, in quo ducitur diameter, ad re-
ctangula ſub dicto trapezio, & ſub triangulo, qui eſt trape-
zijportio, erunt vt baſis totius parallelogrammi ad compoſi-
tam ex, {1/2}, baſis parallelogrammi, in quo non ducitur diame-
ter, & ex, {1/3}, baſis alterius.
Sit ergo parallelogrammum, AF, in baſi, DF, quæ ſit regula,
intra quam ſumptum ſit punctum, E, & per, E, ipſis, AD, CF,
acta parallela, BE, ducatur autem in alterutro parallelogrammo-
rum, AE, EC, vtin, EC, diameter, EC. Dico ergo rectangula
pezio, ADEC, & triangulo, CEF,
eſſe vt, DE, ad compoſitam ex, {1/2}, D
E, &, {1/6}, EF.
Rectangula enim ſub
BE, & ſub triangulo, CEF, indiui-
ſo, æquantur rectangulis ſub, AE, &
triangulo, CEF, vel triangulo, BE
C, & rectangulis ſub triangulo, BE
C, & triangulo, CEF, nunc patet
rectangula ſub, AE, EC, ad rectan-
triangulo, BCE, eſſe vt, BF, ad triangulum, ſt
EC, .i.
dupla .
i.
vt, DE, ad, {1/2}, DE, quod ſerua.
Item rectangula ſub, AE, EC, ad omnia quadrata, BF, ſunt vt
rectangulum, DEF, ad quadratum, EF, .i.
vt, DE, ad, EF, om-
i.
ſunt ad illa, vt, EF, ad, {1/6}, eiuſdem, EF, ergo ex
AE, & triangulo, BEC, ſiue, CEF, oſtenſa ſunt eſſe, vt, DE,
ad, {1/2}, DE, ergo, colligendo, rectangula ſub, AE, EC, ad rectan-
gula ſub, AE, & triangulo, CEF, &
ſub triangulo, BEC, &
eo-
dem, CEF, .i.
ad rectangula ſub trapezio, ADEC, &
triangulo,
, {1/6}, EF, quę
eſt Theorematis prima pars.
Dico vlterius rectangula ſub, AF, FB, ad rectangula ſub trape-
zio, ADEC, & triangulo, BEC, eſſe vt, DF, ad compoſitam ex,
{1/6}, DE, &, {1/3}, EF;
rectangula .
n.
ſub, AF, FB, ad rectangula ſub,
AE, EC, ſunt vt rectangulum, DFE, ad rectangulum, DEF, .i.
triangulo, BEC, ſunt vt, B
i.
dupla .
i.
vt, DE, ad, {1/2}, ipſius, DE, ergo, ex
æquali rectangula ſub, AF, FB, ad
rectangula ſub, AE, & triangulo, B
EC, erunt vt, FD, ad, {1/2}, DE, quod
ſerua. Item rectangula ſub, AF, FB,
ctangulum, DFE, ad quadratum, F
E, .i.
vt, DF, ad, FE:
Omnia verò
quadrata, BF, ſunt tripla omnium
quadratorum trianguli, BEC, .i.
ſunt vt, FE, ad, {1/3}, FE, ergo ex
æquali rectangula ſub, AF, FB, ad omnia quadrata trianguli, BE
C, ſunt vt, DF, ad, {1/3}, FE, erant autem eadem ad rectangula ſub,
AE, & triangulo, BEC, vt, DF, ad, {1/2}, DE, ergo, colligendo,
rectangula ſub, AF, FB, ad rectangula ſub, AE, & triangulo, BE
C, vna cum omnibus quadratis trianguli, BEC, .i.
ad rectangula
ſub trapezio, ADEC, & triangulo, BEC, erunt vt, DF, ad com-
, {1/3}, EF, quę eſt Theorematis ſecunda pars;
hæc autem erant demonſtranda.
_C_Olligimus autem ex hoc Theoremate rectangula ſub maximis ab-
ſciſſarum propoſitæ lineæ, adiunctis eiſdem tot vni cuidam æquali-
bus, ad rectangula ſub omnibus abſciſſis eiuſdem adiunctaiam dicta li-
nea, & ſub reſiduis abſciſſarum eiuſdem, eſſe vt adiuncta ad compoſitam
ex, {1/2}, adiunctæ, & {1/2}, propoſitæ lineæ, &
hoc ex prima parte huius
girectam, EM, æqualem ipſi, DE, & BE, eſſe æqualem ipſi, EF, om-
nes lineæ trapezij, ADEC, erunt æquales omnibus abſciſſis ipſius, BE,
(quæ ſit propoſita linea) adiuncta tamen, EM, & omnes lineæ triangu-
li, CEF, (intellige ſemper regulam, DF,) erunt æquales reſiduis om-
nium abſciſſarum prop@ſitæ lineæ, BE, item omnes lineæ, AE, erunt
æquales ijs, quæ adiunguntur maximis abſciſſarum, BE, nam earum ſin-
gulæ ſunt æquales ipſi, DE, vel, EM, & omnes lineæ, EC, maximis
abſciſſarum, BE, pariter æquales erunt, vnde patet propoſitum. Exſe-
cunda verò parte conſimili ratione colligemus rectangula ſub maximis
abſciſſ rum propoſitæ lineæ, vt, BE, adiuncta quadam, vt, EM, &
ſub maximis abſciſſarum eiuſdem propoſitæ, BE, ad rectangula ſub om-
nibus abſciſſis, ſumptis verſus, E, eiuſdem propoſitæ, BE, adiuncta,
EM, & ſub eiuſdem omnibus abſciſſis propoſitæ, BE, eſſe vt compoſita
ex propoſita, & adiecta .
ſ.
vt, BM, ad compoſitam ex, {1/2}, adiectæ, quæ
eſt, ME, & {1/3}, propoſitæ, quæ eſt, BE.
EXpoſita Propoſit.
antecedentis figura, &
intra parallelas,
AC, DF, eiſdem æquidiſtanter ducta recta linea, H
O, quæ ſecet, BE, in, M, &, CE, in, N, oſtendemus, re-
gula eadem, DF, rectangula ſub parallelogrammis, AO, O
B, ad rectangula ſub trapezijs, HACN, MBCN, eſſe vt
rectangulum, HOM, ad rectangulum ſub, HO, MN, cum
rectangulo ſub compoſita ex, {1/2}, HM, &, {1/5}, NO, &
ſub, NO.
Rectangula enim ſub parallelogram-
ctangulum, HOM, ad rectangulum,
C, ad rectangula ſub parallelogrammo,
AM, & trapezio, BMNC, ſunt vt, B
i.
vt, MO,
ad, MN, cum, {1/2}, NO, vel vt rectan-
M, & ſub compoſita ex, MN, &
, {1/2}, N
O, ergo, ex æquali, rectangula ſub, AO, OB, ad rectangula ſub,
AM, & trapezio, BMNC, ſunt vt rectangulum, HOM, ad rectan-
gulum ſub, HM, & compoſita ex, MN, &
, {1/2}, NO, quod ſerua.
Inſuper rectangula ſub, AO, OB, ad omnia quadrata, OB, ſunt
omnia quadrata,
OB, ad omnia quadrata trapezij, BMNC, ſunt vt quadratum, O
M, ad rectangulum, OMN, cum, {1/3}, quadrati, NO, ergo, ex æ-
NC, ſunt vt rectangulum, HOM, ad rectangulum, OMN, cum,
{1/3}, quadrati, NO, oſtenſa ſunt autem rectangula ſub, AO, OB, ad
rectangula ſub, AM, & trapezio, BMNC, eſſe vt rectangulum,
HOM, ad rectangulum ſub, HM, & compoſita ex, MN, &
, {1/2},
AO, OB, ad rectangula ſub, AM, &
trapezio, BMNC, cum omnibus
ctangula ſub trapezijs, AHNC, BM
NC, erunt vt rectangulum, HOM,
ad rectangulum ſub, HM, & compo-
ſita ex, MN, &, {1/2}, NO, vna cum re-
ctangulo ſub, OM, &, MN, &
, {1/3},
quadrati, NO, rectangulum autem
ſub, HM, & compoſita ex, MN, &
,
{1/2}, NO, diuiditur in rectangula ſub, H
M, &, MN, &
ſub, HM, &
, {1/2}, NO, ſi ergo iunxeris rectangulum
ſub, HM, MN, cum rectangulo ſub, OM, MN, ſiet rectangulum
ſub, MN, &
remanebit rectangulum ſub, HM,
& ſub, {1/2}, NO, cum, {1/3}, quadrati, NO, ideſt cum rectangulo ſub,
NO, &, {1/3}, NO, eſt autem rectangulum ſub, HM, &
, {1/2}, NO,
ſub, NO, hoc ergo ſi iunxeris
rectangulo ſub, NO, &, {1/3}, NO, conficiemus rectangulum ſub com-
poſita ex, {1/2}, HM, &, {1/3}, NO, &
ſub, NO, totum igitur conſe-
quens iam dictum diuiſum eſt in hæc duo rectangula, nempè vnum
ſub, HO, MN, aliud ſub compoſita ex, {1/2}, HM, &, {1/3}, NO, &
ſub, NO; ad hæc ergo ſimul ſumpta rectangulum, HOM, erit vt
rectangula ſub, AO, OB, ad rectangula ſub trapezijs, AHNC, B
MNC, quod oſtendendum erat.
_H_Inc etiam patet, ſi ſupponamus, FE, eſſe æqualem ipſi, EB, &
ipſi,
EB, in directum adiunctam ipſam, EZ, ſumamus tamen cum,
EZ, ipſam, EM, ex quibus conſiciamus, MZ, adiunctam maximis ab-
ſciſſarum, vel abſciſſis ipſius, BM, propoſitæ vtcunque lineæ, quod fa-
omnes lineas, BO, æquari ma-
ximis abſciſſarum, BM, adiuncta, ME, & omnes lineas trapezij, A
HNC, æquari omnibus abſciſſis, BM, adiuncta, MZ, & omnes lineas
trapezij, BMNC, æquari omnibus abſciſſis ipſius, BM, adiuncta, M
E, quorum exemplum patere poteſt in recta, HO, in qua, HO, æquatur
ipſi, BZ, &, HN, ipſi, MZ, &
, MN, ipſi, ME, æquari autem ſu-
pradicta ſic intellige, vt ſemper cuilibet aſſumptæ in parallelogrammo,
AO, reperiatur ſibi æqualis reſpondens in recta, BZ, & ſic cuilibet aſ-
ſumptæ in trapezijs iam dictis, reperiatur illi æqualis correſpondens in
recta, BZ, quæ erit vna abſciſſarum, BM, adiuncta, MZ, vel, ME,
ea nempè, que terminatur ad idem punctum, per quod tranſit ea, quæ
æquidiſtat ipſi, DF, & cum eadem comparata illi reperitur æqualis (ſic
autem intellige in cæteris, cum dicimus omnes lineas alicuius figuræ,
quæ eſt parallelogrammum, vel trapezium, vel triangulum æquari om-
nibus abſciſſis, vel maximis, vel reſiduis omnium abſciſſarum alicuius
lineæ, adiuncta, vel non adiuncta aliqua linea.) Rectangula ergo ſub
maximis abſciſſarum, BM, adiuncta, MZ, & ſub maximis abſciſſarum,
BM, adiuncta, ME, ad rectangula ſub omnibus abſciſſis, BM, adiun-
cta, MZ, & ſub omnibus abſciſſis, BM, adiuncta, ME, erunt vt re-
ctangulum ſub, HO, OM, ideſt ſub, ZB, BE, ad rectangulum ſub, H
O, MN, vnà cum rectangulo ſub compoſita ex, {1/2}, HM, &, {1/3}, NO,
& ſub, NO, ideſt ad rectangulum ſub, ZB, ME, vna cum rectangulo
ſub compoſita ex, {1/2}, ZE, &, {1/3}, MB, &
ſub, MB.
EXpoſita adhuc antecedentis Theorematis figura, ſi ipſi,
EF, ad punctum, F, iungatur in directum quædam re-
cta linea, vt, FS, & compleatur parallelogrammum, FR, re-
gula ſumpta, DS, oſtendemus rectangula ſub, AE, ER, ad
rectangula ſub trapezijs, ADEC, CESR, eſſe vt rectan-
gulum, DES, ad rectangulum ſub, DE, & compoſita ex, S
F, &, {1/2}, FE, vna cum rectangulo ſub, EF, &
compoſita ex,
{1/6}, EF, &, {1/2}, FS.
Rectangula enim ſub, AE, ER, ad rectangula ſub, AE, &
tra-
i.
vt, ES,
ad, SF, cum, {1/2}, FE, .i.
tumpta, DE, communi altitudine, vt re-
ſub compoſita ex,
SF, &, {1/2}, FE, quod ſerua.
Inſuper rectangula ſub, AE, ER, ad rectangula ſub, BF, FR,
item rectan-
gula ſub, BF, FR, ad rectangula ſub triangulo, BEC, & trapezio,
CESR, ſunt vt, FS, ad compoſitam ex, {1/2}, SF, &, {1/6}, FE, ideſt
compoſita ex,
{1/6}, EF, &, {1/2}, FS, ergo ex æquali
ctangula ſub triangulo, BEC, &
trapezio, CESR, erunt vt rectan-
gulum, DES, ad rectangulum ſub,
EF, & compoſita ex, {1/6}, EF, &
,
{1/2}, FS; erant autem eadem rectan-
gula ſub, AE, ER, ad rectangula
ſub, AE, & trapezio, CESR, vt
idem rectangulum, DES, ad re-
ctangulum ſub, DE, & compoſita
ex, SF, &, {1/2}, FE, ergo, colligen-
do, rectangula ſub, AE, ER, ad rectangula ſub, AF, & trapezio,
CESR, & ſub triangulo, BEC, &
eodem trapezio, CESR, .
i.
ad rectangula ſub trapezio, ADEC, &
trapezio, CESR, erunt
compoſita ex,
SF, &, {1/2}, FE, vna cum rectangulo ſub, EF, &
compoſita ex, {1/6},
EF, &, {1/2}, FS, quod oſtendere opus erat.
_Q_Voniam verò ſi ſupponamus, FE, eſſe æqualem ipſi, EB, faci’e,
ADEC, æquari
reſiduis amnium abſciſſarum, BE, ſumptis verſus, E, adiuncti,
EZ, & omnes lineas trapezij, CESR, æquari omnibus abſciſſis, EB,
adiuncta recta linea æquali ipſi, FS, ad punctum, B, quæ ſit, BV, &
omnes lineas, AE, æquari tot æqualibus adiunctæ, ZE, quot ſunt
omnes abſciſſæ, BE, & omnes lineas, ER, æquari maximis abſciſſa-
rum, EB, adiuncta, BV, ideò rectangula ſub iſtis erunt etiam æqualia
rectangulis ſub dictis trapezijs, & parallelogrammis, vnde propoſita
vtcunq; linea, VZ, eaq;
vtcunq;
ſecta in duobus punctis, BE, pate-
bit rectangula ſub tot æqualibus, ZE, quot ſunt omnes abſciſſæ, ſiue,
maximæ abſciſſarum, EB, & ſub maximis abſciſſirum, EB, adiuncta,
BV, ad rectangula ſub reſiduis omnium abſciſſarum, BE, adiuncta,
EZ, & ſub omnibus abſciſſis, EB, adiuncta, BV, eſſe vt rectangu-
compoſita ex, SF, &
, {1/2}, FE,
vna cum rectangulo ſub, EF, & compoſita ex, {1/6}, EF, &
, {1/2}, FS .
i.
vt
rectangulum, ZEV, quod eſt vnum rectangulorum maximis æqualium,
ad rectangulum ſub, ZE, & ſub compoſita ex, VB, &
, {1/2}, BE, vna
cum rectangulo ſub, EB, & compoſita ex, {1/6}, EB, &
, {1/2}, BV, regulam
autem bic pariter ſuppone ipſam, DS, & abſciſſas, reſiduas &
maxi-
mas abſciſſarum tum bic, tum in ſupradictis, & ſequentibus, niſi aliud
dicatur, ſemper intellige, vel recti, vel ei uſdem obliqui tranſitus, recti
non ſuerint rectangula, cum diffinitiones de his allatas.
EXpoſitis duabus vtcunq;
figuris planis, &
in earum vna-
quaque ſumpta vtcumque regula, vt omnia quadrata
earumdem figurarum ſumpta iuxta dictas regulas, ita erunt
ſolida quæcumq; ad inuicem ſimilaria ex eiſ dem figuris ge-
nita iuxta eaſdem regulas.
Sint duæ vtcunque ſiguræ planæ, ABC, DEF, in quibus duæ
vtcunque ſint iumptæ regulæ, BC, EF, rectæ lineæ. Dico igitur,
vt omnia quadrata figuræ, ABC, regula, BC, ad omnia quadrata
figuræ, DEF, regula, EF, ita eſſe ſolidum fimilare quodcunque
nitum ex figura, DEF, iuxta regulam, EF. Ducatur in altera di-
ctarum figurarum, vtin, DEF, vtcumque regulæ, EF, parallela,
plam rationem laterum, à quibus deſcribun-
HM, habebit duplam rationem eius, quam
habet, EF, ad, HM, ſed etiam aliæ duæ
quæcumque figuræ planę ſimiles ab eiſdem
tanquam lineis, vel lateribus homologis ea
earumdem, ergo, vt quadratum, EF, ad
quadratum, HM, ita erit alia quælibet figura plana deſcripta ab, E
F, ad ſimilem ſibi deicriptam ab, HM, ua vt, EF, HM, ſint ea-
rum homologæ, &, permutando, quadratum, EF, ad aliam ngu-
ram deſcriptam ab, EF, erit vt quadratum, HM, ad figuram præ-
dictę ſimilem ab, HM, deſcriptam. Sic etiam eſſe oſtendemus qua-
dratum cuiuſcumque in figura, DEF, ductæ ipſi, EF, æquidiſtan-
i.
vt quadratum,
deſcriptam ab, EF, ſic erunt om-
nia quadrata figuræ, DEF, regula, EF, ad omnes figuras ſimiles
eiuſdem figuræ, DEF, regula eadem, EF, ſimiles inquam deſcri-
ptæ ab, EF, vt autem quadratum, EF, ad figuram deſcriptam ab,
EF, ita quadratum, BC, ad figuram, quę deſcribitur à, BC, ſimi-
lis ei, quę deſcripta eſt ab, EF, ita vt deſcribentes ſint earumdem ho-
mologę, vt autem quadratum, BC, ad figuram deſcriptam à, BC,
ſic eſſe oſtendemus omnia quadrata figuræ, ABC, regula, BC, ad
omnes figuras ſimiles eiuſdem figurę, ABC, ſimiles inquam deſcri-
ptæ à, BC, vel ab, EF, eodem modo, quo id oſtendimus in figura,
DEF, ergo omnia quadrata figurę, ABC, ad omnes figuras ſimi-
les alias quaſcunque eiuſdem figuræ, ABC, erunt, vt omnia qua-
les prædictis eiuſdem figuræ, DEF, regulis
prædictis, BC, EF, ergo permutando, vt
omnia quadrata figuræ, ABC, ad omnia
quadrata figurę, DEF, ita erunt omnes fi-
guræ ſimiles quæcumque figurę, ABC, ad
omnes figuras ſimiles prædictis figuræ, DE
F, quia verò omnes figuræ ſimiles alicuius
figuræ planæ regula quadam ſumptæ, ſunt
omnia plana ſolidi, quod dicitur ſimilare, &
genitum ex tali figura iuxta eandem regulam, ideò, vt omnes figurę
guras ſimiles ipſius figuræ, DEF, regula, EF, ſimiles inquam præ-
i.
vt omnia quadrata figuræ, ABC, regula, BC, ad omnia
quadrata figuræ, DEF, regula, EF, ita erunt omnia plana ſolidi
ſimilaris cuiuſcumque geniti ex figura, ABC, iuxta regulam, BC,
ad omnia plana ſolidi ſimilaris geniti ex figura, DEF, iuxta regu-
lam, EF, vt au@em omnia plana duorum ſolidorum ſic & ipſa ſoli-
ſunt ſimilaria ad inuicem, quia omnes figuræ ſimiles figuræ, ABC,
ſunt etiam ſimiles omnibus figuris ſimilibus figuræ, DEF,) iuxta
regulas, BC, EF, erunt ad inuicem, vt omnia quadrata earumdem
figurarum eiſdem regulis ſumpta, quod erat oſtendendum.
_H_Inc patet, ſi in figura, ABC, vtcumq;
regula, BC, deſcripſerit
duas quaſcumque figuras, quod vt vna ad aliam, ita erunt om-
nes figuræ ipſius, ABC, ſimiles vni deſcriptarum ad omnes figuras eiu-
i.
ita omnia plana ſolidi ſimilaris ge-
niti ex, ABC, iuxta regulam, BC, (ſimilibus exiſtentibus eiuſdem fi-
guris vni deſcriptarum) ad omnia plana ſolidi ſimilaris geniti ex eadem
figura iuxta eandem regulam (huius ſimilibus exiſtentibus figuris alteri
deſcriptarum) ideſt ita erunt ſolida ſimilaria genita ex eadem figura, A
BC, iuxta communem regulam, BC, non tamen ſimilaria ad inuicem. ſed, quarum omnia plana ſunt omnes figuræ ſimiles eiuſdem, ABC, ſi-
miles inquam, quæ ſunt vnius dictorum ſolidorum vni deſcriptar um à,
BC, figurarum, & quæ ſunt alterius, ſimiles alteri deſcriptarum fi-
gurarum.
_V_Nde ſolida ſimilaria, ſed non ad inuicem, genita ex.
gr.
à figuris,
ABC, DEF, iuxta regulas, BC, EF, quæ duas figuras planas
diſſimiles deſcripſerint, quibus ſint ſimiles figuræ, quæ dicuntur omnia
plana dictorum ſimilarium ſolidorum, erunt ad inuicem, vt ipſæ figuræ
diſſimiles deſcriptæ ab ipſis, BC, EF, nam ſolidum ſimilare genitum ex,
DEF, iuxta regulam, EF, ad ſibi ſimilare genitum ex figura, ABC,
iuxta regulam, BC, erit vt figura deſcripta ab, EF, ad ſibi ſimilem fi-
guram deſcriptam à, BC, item ſolidum boc ſimilare genitum ex figu-
ra, ABC, iuxta regulam, BC, ad ſolidum ſimilare, ſed non fibi,
genitum ex eadem figura iuxta eandem regulam, BC, erit vt figura de-
ſcripta à, BC, ſimilis deſcriptæ ab, EF, ad figuram ſibi diſſimilem de-
ſcriptam ab eadem, BC, (quibus figuris diſſimilibus ſint ſimiles figuræ,
quæ dicuntur omnia plana ſolidorum ſimilarium genitorum ex eadem fi-
gura, ABC, iuxta communem regulam, BC,) ergo, ex æquali ſolidum
ſimilare genitum ex figura, DEF, ad ſolidum ſimilare, ſed non ſibi, ge-
nitum ex figura, ABC, (genita intellige iuxta regulas, EF, BC,) erit
vt figura deſcripta ab, EF, cui ſunt ſimiles figuræ huius ſolidi, ad figu-
ram deſcriptam à, BC, prædictæ diſſimilem, cui ſunt ſimiles figuræ ſoli-
di ex, BAC, geniti iuxta regulam, BC.
SOlida ſimilaria genita ex parallelogrammis iuxta regu-
lam vnum eorundem laterum, ſunt cylindrici; &
ſoli-
da ſimilaria genita ex triangulis iuxta regulam vnum eorun-
dem laterum, ſunt conici, quorum baſes erunt figuræ à re-
gulis deſcriptæ, & latera, eorundem parallelogrammorum,
vel triangulorum latera regulis inſiſtentia.
Sit ergo expoſitum quodcumq;
parallelogrammum, AC, &
tri-
angulum, FGH, in quibus pro regulis ſumantur latera, BC, GH. Dico ſolidum quodcumq;
ſimilare genitum ex parallelogrammo, A
C, (iuxta regulam, BC,) eſſe cylindricum, cuius baſis erit a, BC,
deſcripta figura, & latus, vtrumuis ipſorum, AB, LC, laterum re-
gulæ, BC, inſiſtentium; Et genitum ex triangulo, FGH, iuxta
regulam, GH, eſſe conicum, cuius baſis erit à, GH, deicripta fi-
gura, & latus vtrumuis duorum, FG, FH, regulæ, GH, inſiſten-
tium. Deſcribantur à regulis, BC, GH, figuræ vtcunque planæ,
BCE, GHP, æqualiter inclinatę planis, AC, FGH, deinde per
circuitum figuræ, BCE, feratur latus, AB, cui ſit æqualelatus, E
X, quodque puncto, A, deſcribat circuitum figuræ, AXL, & per
circuitum figuræ, GHP, feratur vtrumuis laterum, FG, FH, in-
guram, GHP, cuius portio
inter, F, & punctum, P, fit,
FP, erit ergo ſolidum quod
clauditur ſuperficie cylindri-
duabus figuris, ALX, BC
E, cylindricus; &
quod c au-
ditur ſuperficie conica de-
ſcripta altero laterum, FG,
FH, indefinitè producto, &
figura, GHP, erit conicus. Dico autem ſolidum ſimilare genitum ex, AC, iuxta regulam, BC,
cuius omnia plana ſint omnes figuræ ipſius, AC, ſimiles figuræ, B
CE, eſſe hunc cylindricum, ACE, nam quælibet earum, quæ di-
cuntur omnes figuræ ſimiles parallelogrammi, AC, regula, BC,
deſcripta latere homologo ipſi, BC, igitur eius perimeter erit in ſu-
perficie cylindrica deſcripta latere, AB, ſi enim aliquid eius eſſet in-
tra, vel extra illam ſuperficiem, aliquid eius eſſet intra, vel extra com-
munem ſectionem talis aſſumptę figurę, & ſuperficiei cylindricę, ta-
lis autem communis ſectio eſt perimeter figuræ ſimilis, & ſimiliter
poſitę, ac, BCE, (quia ſi cylindricus plano ſecetur baſi æquidiſtan-
ſimiliter poſita, ac baſis) ergo ha-
beremus duas figuras ab eodem latere homologo deſcriptas, ſimiles
æquales, & ſimiliter poſitas, &
non congruentes, quod eſt abſur-
rum, quę dicuntur omnes figurę parallelogrammi, AC, ſimiles ipſi,
BCE, regula, BC, & eſt vnum eorum, quæ dicuntur omnia pla-
aſſumpta figura etiam vnum eorum, quæ dicuntur omnia plana cy-
lindrici, ACE, regula, BCE, quod etiam de cæteris ſimili modo
oſtendetur, ergo ſolidum ſimilare genitum ex, AC, iuxta regulam,
BC, & cylindricus, ACE, habebunt omnia plana (regula, BCE,
aſiumpta) communia, ergo ſolidum ſimilare genitum ex, AC, iux-
ta regulam, BC, erit idem cylindrico, ACE, cuius baſis eſt figura,
BCE, & latus alterum laterum, AB, LC.
Similiter oſtendemus ſo-
lidum ſimilare genitum ex triangulo, FGH, iuxta regulam, GH,
eſſe dem conico, FGHP, cuius latus alterum laterum, FG, FH,
& baſis eſt figura, GHP, conſimili via ſupradictæ procedentes, quę
erant demonſtranda.
_H_Inc manifeſtum eſt, ſi figuræ deſcriptæ à, BC, GH, ſint circuli,
quod ſolidum ſimilare genitum ex, AC, erit cylindrus, & geni-
tum ex triangulo, FGH, conus ſiue recti, ſiue ſcaleni, ſi verò deſ criptæ
figuræ ſint rectilineæ, genitum ex, AC, erit priſma, ex, FGH, autem
pyramis, ſiue recta, ſiue ſcalena cętera autem nomine communi vo-
cantur ſolida ſimilaria genita ex eiſdem fig. iuxta regulas, intellige,
BC, GH.
_S_I intra triangulum, FGH, ducamus ipſi, GH, parallelam vtcunq;
quæ ſit, DI, abſcindens à triangulo, FGH, trapezium, DH, oſten-
demus eodem modo, quo ſupra, ſolidum ſimilare genitum ex trape-
zio, DH, iuxta regulam, GH, eſſe fruſtum ſolidi ſimilaris geniti ex
triangulo, FGH, iuxta eandem regulam, ideſt fruſtum conici, FGHP,
i.
cont, cum figura deſcripta à GH, eſt circulus, vel fruſtum pyra-
midis rectæ, ſiue ſcalenæ, cum illa eſi figura rectilinea, quæ facilè
oſtendentur.
_T_Andem patet vice verſa, ſi quiuis cylindricus, vel conicus, vel
eius fruſium, intelligatur ſecari per latera, de illo plano ſecante
ptionem ſimitium figurarum, & ipſa eſſe ſolida ſimilaria genita ex ei-
ſdem figuris geni@ricibus iuxta regulas communes ſectiones planorum,
baſium, quæ figuræ genitrices in cylindricis erunt paral-
in fruſtis conicis trapezia;
igitur
verum eſt quodlibet ſolidum ſimilare genitum ex parallelogrammo iuxta
regulam vnum laterum eſſe cylindricum, & genitum ex triangulo iux-
taregulam vnum laterum eſſe conicum, & ex trapezio eſſe fruſtum co-
nicum; &
vice verſa, quemlibet cylindrum eſſe ſolidum ſimilare geni-
tum ex parallelogrammo in ipſo producto per planum per latera ductum,
genitum inquam iuxta communem ſectionem eius, & baſis cylindrici;
&
quemlibet conicum eſſe ſolidum ſimilare genitum ex triangulo in eo-
nem plani per latera, geni-
tum, inquam iuxta commu-
nem ſectionem eius, & baſis
dicticonici; &
quodlibet fru-
ſtum conicum eſſe ſolidum ſi. milare genitum ex trapezio in
ipſo producto per traiectionem
plani per latera eiuſdem fru-
ſti, genitum inquam iuxtare-
gulam communem ſectionem-
eius, & vnius baſium eiu-
ſdem: Siue ergo, expoſito pa-
rallelogrammo, & triangulo intellexeris iuxta diffin 8.
huius, deſcribi
omnes figuras ſimiles eis quæ deſcribuntur à baſibus dicti parallelogram-
mi, & trianguli, &
ſic conceperis effici ſolidum, cuius illæ ſunt omnia
plana; ſiue intellexeris latus dicti parallelogrammi, vel trianguli in-
rum, vt babeas ſolidum dicta ſuperficie deſcripta, & baſi, vel baſibus
comprehenſum, idem vtroque modo tibi obuenit ſolidum, poteſt autem
prior vocarigeneratio ſolidorum per deſcriptionem figurarum; poſteriov
autem, generatio ſolidorum per reuolutionem facta, quæ maioris diluci-
dationis gratia bic appoſui, vt ex hac declaratione aliqualiter pateat,
in plurimis etiam alijs vtramq; gener ationemritè nos imaginari poſſe,
vt in ſpbęra, ſphęroide, & conoidibus, &
eiuſdem fruſtis, &
alijs quam-
plurimis, vt ſuo loco animaduertetur.
_E_T quoniam, vt oſtenſum eſt Prop.
33.
huius Libri, vt omnia qua-
drata duarum figurarum inter ſe ſumpta cum datis regulis, ita
ſunt ſolida ſimilaria genita ex ijſdem figuris iuxta eaſdem regulas, ideò
cumin Propoſitionibus huius Libri inuenta eſt ratio omnium quadrato-
rum par allelogrammorum, vel triangulorum, vel trapeziorum, regu-
lis eorum lateribus, eandem rationem comperiemus habere ſolida ſimi-
laria genita ex parallelogrammis, ideſt cylindricos, vel ex triangulis,
ideſt conicos, vel ex trapezijs, ideſt fruſta conica, genitainquam iuxta
eaſdem regulas, quæ amplius dilucidabimus ſingula, quæ opportuna
fuerint, Theoremata denuò aſſumentes.
_I_N Propoſ.
9.
igitur expoſita denuò eius figura, intelligantur baſes,
GM, MH, deſcribere ſimiles figuras planas, quæ ſint, GIMR, M
THS, vt eorum lineæ, vel latera homologa, æquè erectas planis, AM,
in ijs, tanquam in baſibus conſiſte-
re cylindricos, AM, BH, quorum latera
ſint, AG, CH, erunt igitur hi cylindrici
ſolida ſimilaria genita ex parallelogram-
H, igitur erunt, vt omnia quadrata eorun-
dem regulis eiſdem, GM, MH, ſunt au-
i.
ergo cy-
lindrici, AM, MC, erunt vt quadrata baſium, GM, MH, .i.
vt figu-
ræ ſimiles, GIMR, MSHT, igitur cylindrici in eadem altitudine, &
ſimilibus baſibus inſiſtentes ſunt, vt ipſæ baſes.
_I_N Propoſ.
10.
conſimiliter procedentes collige@@us, cylindricos in
eadem, vel æqualibus, ac ſimilibus baſibus conſiſtentes eſſe, vt alti-
tudines, vel vt latera ęqualiter eorundem baſibus inclinata.
_I_N Propoſ.
II.
deducemus cylindricos ſimilibus baſibus inſiſtentes
habere inter ſe rationem compoſitam ex ratione baſium, & altitu-
dinum, vel laterum æqualiter dictis baſibus inclinatorum.
_I_N Propoſ.
12.
colligemus cylindricos, quorum ſimiles baſes altitù-
dinibus, vel lateribus æqualiter baſibus inclinatis reciprocè re-
ſpondent, eſſe æquales; &
cylindricos æquales, ſimilibus baſibus inſi-
ſtentes, baſes habere altitudinibus, vel lateribus æqualiter baſibus in-
clinatis, reciprocas.
_I_N Prop.
13.
habebimus ſimiles cylindricos eſſe in tripla ratione la-
terum homologorum.
_E_X Prop.
14.
colligimus ſi prædicti cylindrici inſiſtant baſibus diſ-
ſimilibus, adh uc prædictas paſſiones de ipſis ver@ficari; in quibus
tamen non numerant ur ſimiles cylindrici, cum oporteat eoſdem ſimiles
baſes habere.
_I_N Prop.
22.
habemus in eius figura, ſolida ſimilaria genita ex pa-
rallelogrammis, AS, Τβ, iuxta regulas, ES, Ζβ, ea@dem ratio-
nem babere ad ſolidi ſimilaria genita ex triangulis, OES, & Ζβ, ideſt
OES, & Ζβ, eaadem rationem babere, vnde, cum conica
proportionales cylindricorum in eadem altitudine cum ipſis exiſten-
tium, quæeunq; de cylindricis in huius Coroll.
Sectionibus 2.
3.
4.
5.
6.
&
7.
collecta ſunt, eadem &
pro conicis tamquam collecta recipiemus.
_I_N Propoſ.
24.
habemus quemcumque cylindricum eſſe triplum coni-
ci in eadem baſi, & altitudine cum ipſo.
Sit cxpoſitus quicunq;
cy-
lindricus, AE, in baſi, DHEF, in eadem autem baſi, & altitudine ſit
conicus, DBE, ſic tamen baſi inſiſtens, vt ducto plano per latera conici,
idem tranſeat per latera cylindrici, AE, ſit autem ductum tale planum,
DBE, & in cylindrico, AE, parallelo-
tri-
angulum, DBE, genitrices figuræ eorum-
vocantur, genita iuxta communem regulam,
DE, quod ergo gignitur ex, AE, ad geni-
tum ex triangulo, DBE, erit vt omnia qua-
drata, AE, ad omnia quadrata trianguli,
DBE, regula, DE, ideſt triplum, ſolidum
verò ſimilare genitum ex, AE, iuxta re-
AE, & ſolidum ſimilare genitum ex triangulo, DBE, iuxta regulam,
DE, cuius figuræ ſint ſimiles pariter figuræ, DFEH, eſt conicus, DBE,
ergo cylindricus, AE, triplus erit conici, DBE, & conſequenter tri-
plus erit cuiuſuis alij in eadem baſi, DFEH, & altitudine, cum coni-
tudme ſiantes ſunt, vt baſes, vnde cum baſes ſunt æquales, & conici
ſunt æquales, verum ergo eſt, quod proponebatur.
_I_N Prop.
27.
habemus ſolida ad inuicem ſimilaria genita ex trape-
zijs in eadem baſi (quæ ſit vnum laterum æquidiſtantium) & altitu-
dine conſtitutis, quorum oppoſitæ baſes ſint æquales, genita, inquam,
iuxta communem regulam ipſam baſim, ideſt fruſta conicorum quorum
oppoſitæ baſes ſunt figuræ deſcriptæ à lateribus dictorum trapeziorum
æquidiſtantibus, eſſe æqualia.
_I_N Prop.
28.
habetur cylindricum in ea dem baſi, &
altitudine cum
fruſto conici conſtitutum, ad idem, eſſe (ſumptis duabus homologis
in oppoſitis fruſti conici baſibus) vt quadratum maioris dictarum homo-
logarum ad rectangulum ſub dictis homologis vna cum, {1/3}, quadrati dif-
ferentiæ earumdem homologarum. Sit eylindricus, AC, in baſi figura
quacumque plana, BC, in eadem autem baſi, & altitudine ſit fruſtum
conici, EBCI, ſic tamen ſe habens, vt ducto plano per latera cylindri-
BEIC, ſit autem ductum tale planum, quod
faciat in cylindrico, AC, parallelogram-
mum, AC, & in fruſto, BEIC, trapezium,
BEIC, erunt igitur rectæ, BC, EI, lineæ
oppoſitarum baſium fructi inter ſe bomologæ,
quia cylindricus, AC, eſt ſolidum ſimi-
lare genitum ex, AC, iuxta regulam, BC,
fruſtum, EBCI, eſt ſolidum prædicto ſimilare genitum ex trapezio,
EBCI, ſunt autem h æc ſolida ſimilaria, vt omnia eorumdem quadrata,
& omnia quadrata, AC, regula, BC, ad omnia quadrata trapezij, E
BCI, regula eadem ſunt, vt quadratum, BC, ad rectangulum ſub, BC,
EI, vna cum, _{1/3},_ quadrati differentiæ earumdem, ergo cylindricus, A
C, ad fruſtum conicum, EBCI, & ad quoduis aliud in eadem baſi, &
al-
titudine cum hoc conſtitutum (quo niam exiſtet huic æquale) erit vt qua-
ferentiæ earu mdem, BC, EI, quæ ſunt duarum oppoſitarum baſium, E
I, BC, bomologæ vtcumque ſumptæ, nam planum eadem ſolida ſecans
_H_Inc pátet ſi in eadem baſi, BC, figura, fuerit conicus, &
eadem
altitudine cum fruſto, ideſt cum cylindrico, AC, qui ſit conicus,
ideò ad fruſtum, EBCI, erit
vt, _{1/3}_, quadrati, BC, ad rect angulum ſub, BC, EI, vna cum, _{1/3}_, qua-
drati differentiæ, BC, EI, ideſt vtt otum quadr atum, BC, ad rectangu-
lum ſub, BC, & tripla, EI, vna cumtoto quadrato differentiæ earum-
dem, BC, EI. Vide igitur quam ſit amplior hæc demonſtratio ea, qua
alij oſtenderunt cylindrum eſſe triplum coni, & priſma piramidis in ea-
dem baſi, & al
gnato coarctantur numero, cuius modi demonſtrationis vniuerſalitatem
in alijs figuris quoque in poſterum conſiderandis proſequemur, vt am-
plius infra patebit.
_I_N Prop.
29.
&
eius Corollario tandem edocemur ſolida ſimilaria
genita ex parallelogrammo, vel triangulo eodem, iuxta duas regu-
las latera angulum continentia, ideſt cylindricos ab eodem parallelo-
grammo, & conicos ab eodem triangulo genitos, iuxta dictas regulas,
eſſe inter ſe, vt eaſdem regulas.
PArallelepipedum ſub baſi rectangulo quodam, altitu-
dine autem quadam recta linea æquatur parallelepipe-
dis ſub baſi eodem rectangulo, & ſub quotcumq;
paitibus,
in quas altitudo vtcumq; diuidui poteſt.
Et ſi rectangulum,
quod eſt baſis, intelligatur vtcumq; diuiſum in quotcumq;
rectangula, dictum parallelepipedum æquatur parallelepi-
pedis ſub ſingulis partibus altitudinis, & ſingulis partibus
bafis.
Sit parallelepipedum rectangulum, AP, cuius baſis rectangulum,
TH, ſupponatur pro nunc indiuiſa, & altitudo, DT, diuiſa vtcum-
quein quotcumq; partes, DS, ST.
Dico parallelepipedum, AP,
æquari parallelepipedis ſub, DS, TH, & ſub, ST, TH.
Duca-
tur per, S, planum æquidiſtans baſi, TH, quodin eo producet re-
, A
M, eſt ſub, DS, SG, vel, IH, (quia, SG, TH, ſunt figuræ ſi-
æquales) NP, vero ſub, ST, TH, continetur, eit autem
parallelepipedum, AP, contentum ſub, DT, TH, æquale paral-
lelepipedis, AM, NP, ſuis partibus ſimul ſumptis, ergo parallele-
pipedum ſub, DT, TH, æquatur parallelepipedis ſub, DS, TH,
& ſub, ST, TH.
Sit nunc bafis, TH, diuiſa vtcumque in quotcumque rectangula,
TV, VP. Dico parallelepipedum ſub, DT, TH, æquari paral-
lelepipedis ſub, DS, TV, ſub, DS, VP, ſub, ST, TV, & ſub,
ST, VP. Ducatur per rectam, QV, planum æquidiſtans planis,
in parallelepipedo,
NP, rectangulum, RV, per pla-
lelepipeda, AM, NP, in paralle-
pipeda, AR, BM, NQ, OP, eſt
autem totum parallelepipedum, A
P, æquale parallelepipedis, AR, B
M, NQ, OP, & eſt parallelepipe-
dum, AR, ſub, DS, SO, ideſt ſub,
DS, TV, & parallelepipedum, B
M, ſub, ER, RG, hoc eſt ſub, D
S, QH, & parallelepipedum, NQ,
eſt ſub, ST, TV, &, OP, eſt ſub,
RQ, QH, hoc eſt ſub, ST, QH,
ergo parallelepipedum, AP, ideſt
ſub, DT, TH, eſt æquale paralle-
lepipedis ſub, DS, &, TV, &
ſub,
DS, VP, & ſub, ST, TV, &
ſub,
ST, QH, ideſt parallelepipedis ſub
fingulis partibus altitudinis, & ſingulis partibus baſis content@s.
_C_Ontineri autem parallelepipedum voco ſub tribus rectis eiuſdem
angulum ſolidum continentibus, quarum dua qualibet rectum
angulum conſtituunt, ſiue ſub earum quauis, & parallelogrammo re-
ctangulo ſub reliquis duabus; ita vt, cum dico parallelepipedum ſub
tali recta linea, & tali rectangulo, ſiue ſub talibus tribus rectis lineis,
intelligam illud parallelepipedum habere angulum ſolidum rectis an-
gulis conſtitutum, veluti in iſtis Theorematibus ipſum aſſumo, igitur
patet nos ex tribus rectis parallelepipedum continentibus quamlibet
poſſe pro altitudine ſumere, & rectangulum ſub reliquis duabus pro
baſi.
SI recta linea in vno puncto ſecta ſit vtcumq;
parallelepi-
pedum ſub tota linea, & quadrato vnius factarum par-
tium erit æquale parallelepipedo ſub tali parte, & rectan-
Idem autem parallelepi-
pedum ſub tota, & talis partis quadrato, erit æquale paral-
lelepipedo ſub reliqua, & quadrato talis partis, vna cum
cubo eiuſdem partis.
Sit ergo recta linea, AC, vtcumque ſectain, B, dico parallelepi-
pedum ſub, AC, & quadrato, CB, &
quari parallelepipedo ſub, B
rectangulo, BCA, hoc autem patet
ex ſuperiori Scholio, nam parallelepipedum
ſub, AC, & quadrato, CB, continetur ſub
tribus his rectis lineis, nempè, AC, & dua-
bus, CB, & ideòidem contìnetur ſub, CB, &
rectangulo, ACB,
ſiue eſt æquale contento ſub, BC, & rectangulo, ACB.
Dico inſuper parallelepipedum ſub, AC, &
quadrato, CB, æ-
quari parallelepipedo ſub, AB, & quadrato, CB, vna cum cubo, C
B, quod patet nam parallelepipedum ſub diuiſa altitudine, AC, &
partibus ſingulis, & baſi, ſcilicet ſub, AB, &
quadrato, BC, &
ſub,
BC, & quadrato, BC, ideſt cubo, BC, quod erat oſtendendum.
SI recta linea in vno puncto ſecta ſit vtcumq;
cubus totius
æquabitur parall elepipedis ſub partibus, & quadrato
eiuſdem. Idem etiam erit æquale parallelepipedis ſub tota,
& partibus quadrati totius per talem diuiſtonem factis, ideſt
parallelepipedis ſub tota, & quadratis partium, &
rectan-
gulo ſub partibus bis contento.
Sit recta linea, AC, vtcumq;
ſecta in, B, dico cubum, AC, æquari
parallelepipedis ſub partibus, AB, BC, & quadrato totius, quod
patet nam cubus, AC, ideſt parallelepipedum ſub diuiſa, AC, &
AB, BC, eiuſdem, AC, diuiſæ, & ſub eadem baſi quadrato, AC.
Dico etiam cubum, AC, æquari parallelepipedis ſub, AC, &
quadrato, AB, quadrato, BC, & rectangulo bis ſub, ABC, nam
cubus, AC, ideſt parallelepipedum ſub indiuiſa altitudine, AC, &
dem indiuiſa altitudine, AC, & ſub dictis baſis partibus, nempè ſub
quadrato, AB, quadrato, BC, & rectangulo bis ſub, ABC, quod
erat oſtendendum.
_H_Inc patet cubùm totius, AC, æquari parallelepipedis ſub ſingulis
partibus i pſius, AC, & ſingulis partibus quadrati, AC, quod
etiam patet ex Theoremate 35.
SI recta linea in vno puncto ſecta ſit vtcumq;
cubus totius
æquatur cubis partium, vna cum parallel@ pipedis rer
ſub qualibet partium, & quadrato reliquæ.
Vel æquatur
cubis partium vna cum tribus parallelepipedis, ſub tota, &
eiuſdem partibus contentis.
Sit recta linea, AC, vtcumque ſecta in puncto, B.
Dico cubum,
AC, æquari cubis, AB, BC, & parallelepipedis ter ſub, AB, &
quadrato, BC, & ter ſub, BC, &
quadrato, AB.
Nam parallele-
pipedum ſub, AC, & quadrato, AC, (qui eſt cubus, AC,) æqua-
ſub ſingulis
partibus quadrati, AC, ab hac diuiſione prouenientibus, ideſt pa-
rallelepipedo ſub, AB, & quadrato, AB, qui eſt cubus, AB, item
ſub, AB, & quadrato, BC, item ſub, AB, &
rectangulo, ABC, bis,
quadrato, BA, bis ſumpto, habemus ergo vnum
AB, & quadrato, BC, &
duo ſub, BC, &
quadrato, BA; tranſeamus nunc ad aliam
partem, BC, remanent ergo parallelepipe. da ſub, BC, &
quadrato, BC, ideſt vnus cubus, BC, item ſub, C
B, & quadrato, AB, &
tandem ſub, CB, &
rectangulo, CBA, bis,
ideſt ſub, AB, & quadrato, BC, bis, ſi igitur hæc poſteriora pa-
parallelepipedum ter ſub, AB, & quadrato, BC, &
ter ſub, BC, &
quadrato, BA, quibus æquale erit parallelepipedum ſub, CA, &
quadrato, CA, ideſt cubus, CA. Quia verò parallelepipedum ſub,
CB, & quadrato, BA, ideſt ſub, AB, &
rectangulo, ABC, cum
parallelepipedo ſub, AB, & quadrato, BC, ideſt ſub, CB, &
re-
ctangulo, ABC, æquatur, ex 35. huius, parallelepipedo ſub tota,
AC, & rectangulo ſub partibus, AB, BC, ideò dicta ſex parallelepi-
peda tribus ſub tota, AC, & partibus eiuidem, AB, BC, æqualia
c
_Q_Voniam poſterior pars Propoſ.
antec.
addita fuit poſt impreſionem
Lib. 3 4.
&
5.
ideò ne mireris, benigne Lector, ſi in eiſdem ali-
quando Propoſitiones offenderis nonnibil prolixiores, quam ſi per banc
poſteriorem partem fuiſſent demonſtrate, cum illaex priori parte tunc
deductæ fuerint, quod ſolerti Geometræ haud difficile erit in illis propo-
ſitionibus animaducrtere, in quibus banc viderit adhiberi.
SI recta linea bifariam, &
non bifariam ſecta fuerit, pa-
rallelepipedum ſub medietate propoſitæ lineæ, & ſub
rectangulo inæqualibus partibus contento, cum parallele-
pipedo ſub eadem medietate, & ſub quadrato ſectionibus
intermediæ, æquabitur cubo eiuſdem medietatis propoſi-
cæ lineæ.
Sit recta linea, AE, bifariam diuiſa in, B, non bifariam in C.
Di-
co parallelepipedum ſub, BE, & rectangulo, ACE, vna cum pa-
rallelepipedo ſub, BE, & ſub quadrato, BC, cubo eiuſdem, BE,
æquale eſſe; Nam rectangulum, ACE, cum quadrato, BC, qua-
drato, BC, ad quadratum, BE, ita (ſumpta communi altitudine,
rectangulo, ACE, &
ſub, B
E, & quadrato, BC, ad parallelepipedum ſub, BE, &
quadrato,
BE, ideſt ad cubum, BE, ergo parallelepipedum ſub, EB, & ſub
rectangulo, ACE, vna cum parallelepipedo ſub eadem, EB, & ſub
quadrato, BC, erit æquale cubo, EB, quod oſtendendum erat.
SI recta linea bifariam ſecta fuerit, &
illi in directum ad-
iuncta quæuis recta linea; parallelepipedum ſub com-
poſita ex dimidia propoſitæ, & ex adiuncta linea, &
ſub re-
ctangulo ſub compoſita ex tota, & adiuncta, &
ſub adiun-
cta, vna cum parallelepipedo ſub compoſito ex eadem pro-
poſitæ medietate, & ex adiuncta, &
ſub quadrato eiuſdem
medietatis, æquabitur cubo compoſitæ ex dicta medietate,
& adiuncta.
Sit recta linea propoſita, AC, bifariam in, B, diuiſa, cui in dire-
ctum ſit adiuncta vtcumq; CE.
Dico parallelepipedum ſub, BE,
& rectangulo, AEC, vna cum parallelepipedo ſub, BE, &
qua-
drato, BC, æquari cubo ipſius, BE. Nam rectangulum, AEC, cum
quadrato, CB, æquatur quadrato, BE, igitur (ſumpta communi
rectangulo, AEC,
vna cum parallelepipedo ſub, BE, & quadrato, BC, æquabitur pa-
rallelepipedo ſub, BE, & quadrato, BE, ideſt cubo, BE, quod eran
_E_X methodo in ſuperioribus demonſtrationibus adhibita manifeſtum
eſt nos ſimiliter cęteras Propoſitiones ſecundi Elementorum de-
monſtrare poſſe, in quibus linea ſecta in vno, vel pluribus punctis con-
ſideratur, ad parallelepipeda eadem traducentes, nam ſi ſuper ſpatia
in illis conſiderata intelligantur conſtitui æquè alta parallelepipeda,
erunt illa, vt ipſę baſes, propterea quę ibi de baſibus demonſtrantur,
de parallelepipedis æquè altis eiſdem baſibus inſiſtentibus rectè colligi
poſſunt, quæ ob claritatem, & facilitatem à me relinquuntur.
PArallelepipedum, quod ſub tribus rectis lineis propor-
tionalibus continetur, æquale eſt cubo mediæ.
Hæc manifeſta eſt, nam habebunt baſes ipſis altitudinibus recipro-
cas, quod etiam vniuerſalius oſtenditur Vndecimo Elementorum
Propoſ. 36.
DAta recta linea terminata, vtcumque in puncto diuiſa,
poſſibile eſt ipſam ad alteram eiuſdem partium ita
producere, vt cubus compoſitæ ex propoſita linea, & adiun-
cta, ſit æqualis cubo propoſitæ lineæ, ſimul cum cubo com-
poſitæ ex adiecta, & illi conterminante portione ſectæ lineę.
Sit data recta linea, AC, terminata, diuiſaq;
vtcumque in pun-
cto, B, oftendendum eſt poſſibile eſſe ipſam ita producere ad alteram
illius partium, vt ad, C, vt cubus compoſitę ex, AC, & adiecta, ſit
æqualis cubo, AC, cum cubo compoſitæ ex eadem adiecta, & ex,
BC, portione, AC, adiectæ conterminante. Producatur ergo, C
A, ad partes, A, vt in, N, ita quod, NB, ſit tripla, BA, ſiat dein-
de, vt, NB, ad, BC, ita quadratum, BC, ad quadratum rectæ li-
neę, M, ſeorſim poſitæ: Vlterius exponatur recta, EF, æqualis com-
poſitæ ex, AC, CB, cui applicetur rectangulum æquale quadrato,
autem, AC, verſus, C, vt in,
D, ita nempè, vt, CD, ſit
æqualis, FH. Dico cubum to-
tius, AD, æquari duobus cubis,
AC, BD. Cum.
n.
ſit, vt, N
B, ad, BC, ita quadratum, BC,
ad quadratum, M, ideò parallelepipedum ſub altitudine, AB, (qu
eſt, {1/3}, prædictę altitudinis, NB,) & quadrato, M, æquabitur ter-
tiæ parti cubi, BC. Quoniam verò quadratum, M, æquatur rectan-
ſub,
CD, ideò parallelepipedum ſub altitudine, AB, & baſi rectangulo
ſub compoſita ex, AD, BC, & ſub, DC, æquabitur tertiæ parti
cubi, BC, addatur commune parallelepipedum ſub, BC, & baſi re-
ctangulo, BDC, erit ex vna parte hoc parallelepipedum cum, {1/3}, cu-
bi, BC, ex alia verò hæcſumma; ſcilicet parallelepipedum ſub, AB,
& ſub rectangulo ſub compoſita ex, AD, BC, &
ſub, DC, vna
cum parallelepipedo ſub, BC, & rectangulo, BDC, quæ quidem
ſumma efficit parallelepipedum ſub, AC, & rectangulo, ADC, iam
n.
nabemus parallelepipedum ſub, AB, &
rectangulo, ADC, &
ſub, AB, & rectingulo, BCD,.
. ſub, BC, &
rectangulo ſub, A
B, CD, cui ſi iunxeris parallelepipedum ſub, BC, & rectangulo ſub,
BD, DC, componeour parallelepipedum ſub, BC, & rectangulo,
pipedo ſub, AB, & eodem re-
ctangulo, ADC, componet pa-
re-
ctangulo, ADC, quod quidem
æquale erit alteri ſummæ prædi-
ctæ, nempè parallelepipedo ſub,
BC, & rectangulo ſub, BD, D
C, vna cum, {1/3}, cubi, BC, ergo & eorum tripla æqualia erunt ſci-
licet parallelepipedum ter ſub, AC, & rectangulo, ADC, ſeu ter
rectangulo, ACD, æquabitur parallelepipedo ter ſub,
BC, & rectangulo, BDC, ſeu ter ſub, BD, &
rectangulo, BCD,
cum cubo, BC, additis verò communibus cubis, AC, CD, fiet pa-
rectangulo, ACD, cum cubis, A
C, CD, ideſt totus cubus, AD, æqualis parallelepipedo ter ſub, B
rectangulo, BCD, cum cubis, BC, CD, (quæ integrant
cubum, BD,) & cum cubo, AC, eſt igitur cubus, AD, æqualis
duobus cubis, AC, BD. Poſſibile eſt ergo facere, quod propoſi-
tum fuit.
EX hoc manifeſtum eſt, ſi, AC, ſit latus dati cubi, &
ſit etiam da-
tarecta linea, vt, AB, minor, AC, poſſibile eſſe inuenire duos
eubos, vt, AD, DB, ita vt eorum differentia ſit æqualis cubo dato,
AC, & laterun cubicorum, AD, DB, ſcilicet, AB, pariter diffe-
rentia ſit data, eſt. n.
cubus, AC, æqualis dictæ cuborum, AD, DB,
differentiæ, vt eſtenſum eſt. Cum verò ſimilia ſolida quæunq;
ſint in
tripla ratione linearum, ſeu later um bomologorum eorumdem, ideò
erunt, vt cubi ipſarum linearum, ſeu laterum bomologoroum, & ideò
eandem rationem, quam babet cubus, AD, ad cubum, DB, babebit
ex. gr.
Icoſaedrum deſcriptum latere, AD, ad Icoſaedrum deſoriptum
latere, BD, prædicto bomologo, & vt cubus, AD, ad cubum, AC,
ita erit Icoſaedrum, AD, ad Icoſaedrum, AC, nec non colligendo, vt
cubus, AD, ad cubos, AC, BD, ita erit Icoſaedrum, AD, ad Ico-
ſaedra, AC, BD, ergo Icoſaedrum, AD, æquabitur Icoſaedris, AC,
BD, & ſuperabit Icoſaedrum, BD, Icoſaedro, AC, ergo ſi datum fuiſ-
, AB, recta linea ipſius latere minor, non diſ-
ſimiliter, ac in cubis inuenta eſſent Icoſaedra, AD, DB, quorum diffe-
rentia eſſet æqualis dato Icoſaedro, AC, nec non eorumdem laterum bo-
mologorum differentia æqualis datæ rectæ lineæ, AB. Sic etiam datæ
Sphæræ Orbem datæ craſſitici, minoris tamen illius ſemidiametro, æqua-
lem poſſibile erit inuenire. Vniuerſaliſſimè autem dato quocumq.
ſolido,
duorum ipſi dato ſimilium differentiam æqualem poſſibile erit inuenire,
quorum pariter linearum, ſeu laterum bomologorum differentia ſit da-
ta, dummodo ea ſit minor linea, ſeu latere propoſiti ſolidi prædictis
bomologo, quodex ſuperius dictis facilè conſiare poteſt.
NOnnulla autem ex præfatis proximis Propoſitionibus etiam ab
alijs oſtenſæ fuerunt, ſed ne Lectori ad alios Libros pro barum
captu eſſet recurrendum, bic eas adiungere placuit, pręcipuè cum ea-
rum adductę demonſtrationes abaliorum Auctorum rationibus, ni fal-
lor, non parum ſint differentes, cum ferè omnes ex vnica Propoſ. 35.
via ſatis compendioſa deductæ ſint;
qued olim me circa Propoſitiones
Secundi Elem. à prima nempè vſq;
ad 10.
præſtitiſſe memini, eas omnes
ex prima compendioſiſſimè demonſtrando, vt etiam poſtmodum, & Pa-
trem Clauium feciſſe animaduerti.
OMnia quadrata portionis circuli, vel El-
lipſis, ad omnia quadrata parallelo-
grammi in eadem baſi, & altitudine
cum portione conſtituti, regula baſi,
erunt, vt compoſita ex ſexta parte axis,
vel diametri eiuſdem, & dimidia reli-
quæ portionis, ad axim, vel diame-
trum reliquæ portionis: Eadem verò
ad omnia quadrata trianguli in ijſdem
exiſtentis erunt, vt compoſita ex dimidia totius, & reliquæ
portionis axi, vel diametro, ad axim, vel diametrum reliquæ
portionis.
Sit circulus, vel ellipſis, EDRP, cuius axis, vel diameter, ER,
ad quem ordinatim applicetur, DP, abſcindens vtcumque portio-
nem, DEP, quæ ſumatur quoq; pro regula, &
centrum ſit, A, ac
parallelogrammum, FP, in eadem baſi, DP, cum portione, & ea-
dem altitudine; ſint autem primò, DF, PH, latera parallelogram-
mi, FP, parallela ipſi, ER. Dico ergo omnia quadrata portionis,
DEP, ad omnia quadrata parallelogrammi, FP, eſſe, vt compo-
ſita ex ſexta parte, EB, & dimidia, BR, adipſam, BR.
Sumatur
per, C, ducaturipſi, D
P, parallela, CM, ſecans curuam circuli, vel ellipſis, EDRP, in,
N; Eſt igitur quadratum, BP, vel, MC, ad quadratum, CN, vt
rectangulum, RBE, ad rectangulum, RCE; eſt autem, EP, pa-
alti-
tudine, cum ſemiportione, EBP, regu-
la eſt ipſa baſis, &, CM, ducta vtcum-
que parallela ipſi baſi, repertumque eſt
quadratum, CM, ad quadratum, CN,
eſſe vt rectangulum, RBE, ad rectan
gulum, RCE, ergo magnitudines ho-
rum quatuor ordinum erunt proportio-
nales.ſ.
omnia quadrata parallelogram-
lectæ, iuxta primam, nempè iuxta qua-
dratum, CM, ad omnia quadrata ſemi-
portionis, EBP, magnitudines ſecundi
ordinis collectas, iuxta ſecundam. ſ.
iux-
ta quadratum, CN, erunt vt rectangu-
la ſub maximis abſciſſarum, EB, & ſub
adiunctis, BR, magnitudines tertij or-
dinis collectæ, iuxta tertiam .ſ.
iuxta re-
ctangulum, RBE, ad rectangula ſub
omnibus abſciſſis, EB, & reſiduis earun-
dem, adiuncta, BR, (recti, vel obliqui
tranſitus ſupradictis exiſtentibus) quæ
ſunt magnitudines quarti ordinis colle-
ctæ, iuxta quartam.ſ.
iuxta rectangulum,
R CE; quoniam verò rectangula ſub
maximis abſciſſarum, EB, & ſub adiun-
ctis, BR, ad rectangula ſub omnibus ab-
ſciſſis, EB, adiuncta, BR, & ſub earum
reſiduis, ſunt vt, BR, ad compoſitam ex
ſexta parte, EB, ergo conuertendo omnia quadrata
ſemiportionis, BEP, ad omnia quadrata parallelogrammi, EP, vel
ſ.
omnia quadrata portionis, DEP, ad omnia
quadrata parallelogrammi, FP, erunt vt compoſita ex, {1/6}, BE, &,
{1/2}, BR, ad eandem, BR; Iungantur nunc, DE, EP.
Dico vlterius omnia quadrata portionis, EDP, ad omnia qua-
drata trianguli, DEP, eſſe vt compoſita ex dimidia totius, ER, &
ipſa, BR, ad eandem, BR. Cum enim oſtenderimus omnia qua-
drata parallelogrammi, FP, ad omnia quadrata portionis, DEP,
, {1/6}, BE, ideò omnia
quadrata trianguli, DEP, cum ſint, {1/3}, omnium quadratorum pa-
{1/3}, RB, ad compoſitam ex, {1/2}, RB, &, {1/6}, BE, ideſt vt tota, RB,
ad compoſitam ex, {3/2}, RB, &, {3/6}, BE, ſed, {1/2}, RB, .
ſ.
{3/6}, RB, cum,
{3/6}, BE, conſtituunt, {3/6}, integrę, ER, ſcilicet, {1/2}, eiuſdem, ER, quę
ideò cum, {2/2}, ipſius, BR, .ſ.
cum, BR, ad ipſam, BR, erit, vt om-
nia quadrata (conuertendo) portionis, DEP, ad omnia quadrata
trianguli, DEP.
Quoniam verò, ſi in parallelogrammi, vel trianguli dicti, baſi, D
in eadem altitudine,
ficut etiam omnia quadrata triangulorum, regula eorundem baſi,
ideò oſtenſum eſt omnia quadrata portionis, DEP, ad omnia qua-
drata parallelogrammi in eadem baſi, & altitudine cum ipſa conſti-
tuti eſſe, vt compoſita ex, {1/6}, BE, &, {1/2}, BR, ad eandem, BR, ad
omnia verò quadrata trianguli in ijſdem poſiti, vt compoſita ex, B
R, & dimidia, RE, ad ipſam, BR, quod oſtendere opus erat.
_H_INC patet in figura, in qua baſis portionis conſtitutæ per cen-
trum circuli, vel ellipſis tranſeat, quoniam omnia quadrata pa-
rallelogrammi, FP, ad omnia quadrata portionis, DEP, ſunt vt,
A R, ad compoſitam ex, {1/2}, AR, &, {1/6}, AE, ſcilicet, {1/6}, AR, quia,
E A, eſt æqualis ipſi, AR, {1/2}, AR, autem, &, {1/6}, AR, conſtituunt,
{4/6}, vel, {2/3}, ipſius, AR, ideò omnia quadrata parallelogrammi, FP, eſ-
ſe ad omnia quadrata portionis, DEP, vt, AR, ad, {2/3}, AR, ideſt eſſe
eorundem ſexquialtera; quia verò omnia quadrata trianguli, DEP,
drata trianguli, DEP, ad omnia quadrata portionis, DEP, ſunt vt 1. ad 2.
&
conuertendo omnia quadrata portionis, DEP, ſunt dupla om-
uium quadratorum trianguli, DEP, & ſub ſexquialtera omnium qua-
dratorum parallelogrammi, FP, dummodo in eadem baſi, & altitudine
cum portione ſint conſtituti parallelogrammum, & triangulum, vt pau-
lò ſupr a in fine demonſtrationis ſubiunximus.
SI à circulo, vel ellipſi per lineam ad eorum axim, vel dia-
metrum ordinatim applicatam vtcunque portio abſcin-
datur, ſit autem parallelogrammum in eadem altitudine cum
dicta portione, ſed in baſi æquali ſecundę diametro, & regula
baſis ipſius portionis: Omnia quadrata dicti parallelogram-
miad omnia quadrata dictę pottionis erunt, vt rectangulum
ſub dimidia eiuſdem axis, vel diametri, & ſub eiuſdem dimi-
diæ tripla, ad rectangulum ſub axi, vel diametro abſciſſæ
portionis, & ſub compoſita ex axe, vel diametro reliquę por-
tionis, & dimidia totius axis, vel diametri.
Sit igitur circulus, vel ellipſis, BVOR, eius axis, vel diameter,
BO, ordinatim ad ipſum applicata, VR, vtcumq; abſcindens por-
tionem, VBR, ſit verò ſecunda diameter, CF, & producta, VR,
ita vt, PN, ſit æqualis ipſi, CF, &, PM, ipſi, CA, in baſi, PN,
& altitudine portionis, VBR, ſit parallelogrammum, DN, &
cir-
ca axim, vel diametrum, BM. Dico ergo omnia quadrata paralle-
logrammi, DN, regula, VR, ad omnia quadrata portionis, VBR,
eſſe vt rectangulum ſub, BA, & tripla, AO, ad rectangulum ſub, B
ſub compoſita ex, MO, OA;
iun
gantur, VB, PB; Omńia ergo quadrata
ſemiportionis, BCVM, ad omnia qua-
drata trianguli, BVM, ſunt vt, AO, O
M, ad, OM, .i.
ſumpta, BM, commu-
MOA, ad rectangulum, BMO, omnia
vt quadratum, VM, ad quadratum, P
M, velad quadratum, CA, .i.
vt rectan-
conuer-
tendo omnia quadrata trianguli, BPM, ad omnia quadrata ſemi-
portionis, BVM, erunt vt rectangulum, BAO, ad rectangulum
, MOA, &
antecedentium tripla.
ſ.
omnia quadrata
parallelogrammi, DM, ad omnia quadrata ſemiportionis, BVM,
portionis, VBR, erunt vt rectangulum ſub, BA, & tripla, AO,
, MOA, quod verum eſſe oſtendetur,
vt in antecedente, etiam ſi parallelogrammum, DN, non ſit circa
axim, vel diametrum, BM, vnde patet, &c.
SI intra circulum, velellipſim, duæ ad axim, vel diame-
trum ordinatim applicentur rectæ lineę, ſit autem paral-
lelogrammum, & triangulum in eadem altitudine cum por-
tione inter applicatas concluſa, ſed in baſi altera applicata-
rum: Omnia quadrata dicti parallelogrammia ad omnia qua-
drata concluſę portionis (regula baſi) erunt, vt rectangulum
ſub partibus axis, vel diametri per baſim conſtitutis ad re-
ctangulum ſub abſciſſa per baſim ab extremitate axis, vel
diametri, & ſub compoſita ex medietate portionis axis, vel
diametri eiſdem applicatis intermedię, & abſciſſa per aliam
applicatam ab eiuſdem extremitate, vna cum rectangulo ſub
eadem intermedia, & ſub compoſita ex, @, eiuſdem, &
, {1/2}, ab-
ſciſſæ per eandem applicatam ab eiuſdem extremitate: Om-
nia verò quadrata incluſę portionis ad omnia quadrata dicti
trianguli erunt, vt rectangulum ſub compoſita ex abſciſſis ab
axi, vel diametro per ordinatim applicatas verſus terminum,
cui baſis propinquior eſt, & ſub ſexquialtera abſciſſæ ab alio
extremo per applicatam, quę non eſt baſis, vna cum rectan-
gulo ſub huius reliqua, & ſub dupla abſciſſę per baſim ab ex-
tremo, cui ipſa baſis propinquior eſt, ad rectangulum ſub
partibus axis, vel diametri per baſim conſtitutis.
Sit ergo circulus, velellipſis, ACDF,
ad ipſam ordinatim applicatæ ſint, IS, C
F, intercipientes portionem, ICFS, ſit
autem parallelogrammum, BF, in baſi
vtrauis applicatarum, vt in, CF, & eadem
altitudine cum fruſto, CISF, ſit etiam
nunc circa axim, vel diametrum, MR, re-
gula verò, CF; Dico ergo omnia quadra-
ta parallelogrammi, BF, ad omnia qua-
drata portionis, ICFS, eſſe vt rectangulum, DRA, ad rectangu-
ſub compoſita ex, {1/2}, RM, &
ex, MA, vna cum
rectangulo ſub, RM, & ſub compoſita ex, {1/6}, RM, &
, {1/2}, MA.
Su-
matur in, MR, vtcunque punctum, T, per quod agatur ipſi, CF,
parallela, TX, fecans curuam, SF, in, V, erit ergo quadratum, R
F, vel quadratum, TV, ad quadratum, TX, vt rectangulum, D
RA, ad rectangulum, DTA; &
quoniam, MF, eſt parallelogram-
mum in eadem baſi, RF, & altitudine cum ſemiportione, MRFX
, TX, ducta fuit vtcunque parallela
ipſi, RF, repertumque eſt quadratum, T
V, ad quadratum, TX, eſſe vt rectangu-
lum, DRA, ad rectangulum, DTA, con-
vt in antecedente, cocludemus omnia qua-
drata parallelogrammi, MF, ad omnia
quadrata ſemiportionis, MRFS, eſſe vt
rectangula, DRA, tot, quotſunt omnes
abſciſſæ ipſius, MR, ad rectangula ſub re-
ſiduis omnium abſciſſarum, MR, ad@un-
cta, RD, & ſub omnibus abſciſſis, MR, adiuncta, MA;
quia ve-
ſub, DRA, tot, quot ſunt omnes abſciſſę, RM, ad rectangula ſub
refiduis omnium abſciſſarum, MR, adiuncta, RD, & ſub omnibus
ctangulum ſub, DR, & ſub compoſita ex, {1/2}, RM, &
, MA, vna
cum rectangulo ſub, RM, & ſub compoſita ex, {1/6}, RM, &
, {1/2}, M
A, ergo omnia quadrata parallelogramini, MF, ad omnia quadrata
ſemiportionis, MRFS, vel omnia quadrata parallelogrammi, BF,
ad omnia quadrata portionis, ICFS, erunt vt rectangulum, DR
A, ad rectangulum ſub, DR, & ſub compoſita ex, {1/2}, MR, &
ex,
MA, vna cum rectangulo ſub, RM, & ſub compoſita ex, {1/6}, RM,
&, {1/2}, MA.
Iungantur nunc, CM, MF.
Dico inſuperomnia quadrata por-
tionis, ICFS, ad omnia quadrata trianguli, MCF, eſſe vt rectan-
gulum ſub compoſita ex, MD, DR, & ſub ſexquialtera, MA, vna
cum rectangulo ſub compoſita ex, MD, & dupla, DR, &
ſub, {1/2},
MR, ad rectangulum, DRA; omnia .
n.
quadrata parallelogram-
mi, BF, ad omnia quadrata portionis, ICFS, oſtenſa ſunt eſſe vt
rectangulum, DRA, ad rectangulum ſub, DR, & ſub compoſita
ex, {1/2}, RM, & ex, MA, vna cum rectangulo ſub, RM, &
ſub com-
poſita ex, {1/6}, RM, &, {1/2}, MA, ergo eorum tertia pars ad eadem con-
ſequentia erunt vt tertia pars rectanguli, DRA, ad eadem conſe-
quentia rectangula .ſ.
vt integrum rectangulum, DRA, ad illa re-
ſub compoſi-
, MA, diuiditur in rectangula ſub, DR, &
, {1/2}, R
M, & ſub, DR, &
, MA, triplicetur rectangulum ſub, DR, &
,
ſub, {1/2}, RM, cui ſi ad-
datur rectangulum ſub, MR, &, {1/2}, RM, fit rectangulum ſub com-
poſita ex tripla, RD, & ex, RM, .
ſ.
ſub compoſita ex, MD, &
dupla, RD, & ſub, {1/2}, RM, quod ſerua:
Remanent rectangula ad-
ſub, MR, &
, {1/2}, MA, triplicanda, quod
ſic fiet; rectangulum ſub, DR, MA, æquatur rectangulo ſub dupla,
, {1/2}, MA, cui ſi addatur rectangulum ſub, {1/2}, MA, &
ſub,
MR, fiet rectangulum ſub, {1/2}, MA, & ſub compoſita ex, MR, &
dupla, RD, .ſ.
ſub compoſita ex, MD, DR, quod triplicatum fit
rectangulum ſub compoſita ex, MD, DR, & ſub ſexquialtera, M
A, quod ſimul cum rectangulo ſub compoſita ex, MD, & dupla, D
R, & ſub, {1/2}, MR, ad rectangulum, DRA, conuertendo, habe-
bit eandem rationem, quam omnia quadrata portionis, ICFS, ad
omnia quadrata trianguli, CMF; quod etiam verificabitur, ſi di-
triangulum, ſint quidem in eadem baſi
cum portione, ſed non circa eundem axim, vel diametrum cum ea-
dem portione, vt ſupra patere poteſt in antecedentibus, quod erat
oſtendendum.
IN eadem antecedentis figura ſi parallelogrammum ſit
quidem in eadem altitudine cum portione, ſed in baſi æ-
quali ſecundæ diametro; omnia quadrata dicti parallelo-
grammiad omnia quadrata dictę portionis erunt, vt quadra-
tum dimidijaxis, vel diametri eorumdem ad eadem conſe-
quentia rectangula, retenta eadem regula.
Exponatur denuò antece@entis figura,
producatur, CF, ita vt, V @, ſit æqua-
lis ſecundæ diametro, quæ ſit, EH, &,
VR, æqualis, RX, & in, VX, baſi ſit
conſtructum parallelogrammum, GX,
in altitudine eadem cum portione, ICF
S, ſit etiam circa eandem axim, vel dia-
metrum, MR, cum portione, IECFH
S: Omnia ergo quadrata parallelogram-
mi, GR, ad omnia quadrata parallelogrammi, BR, (regula, CF,)
ſ.
vt rectangulum,
tem quadrata parallelogrammi, BR, ad omnia quadrata ſemipor-
RA, ad rectangulum ſub, DR, & ſub
compoſita ex, {1/2}, RM, & ex, MA, vna
cum rectangulo ſub, RM, & ſub com-
poſita ex, {1/6}, RM, &, {1/2}, MA, ergo ex
mi, GR, ad omnia quadrata ſemiportio-
nis, ICRM, vel omnia quadrata paral-
lelogrammi, GX, ad omnia quadrata
portionis, ICFS, erunt vt quadratum,
AO, ad rectangulum ſub, DR, & ſub compoſita ex, {1/2}, RM, &
ex, MA, vna cum rectangulo ſub, RM, & ſub compoſita ex, {1/6}, R
, {1/2}, MA;
quod etiam pater, ſi parallelogrammum, GX, non
ſit circa axim, vel diametrum, MR, quod erat oſtendendum.
SI in circulo, vel ellipſi ducantur coniugati axes, vel dia-
metri, in altera autem eorundem ſit tamquam in baſi pa-
rallelogrammum circa eundem axim, vel diametrum cum cir-
culo, vel ellipſi, circa quæm ſit etiam triangulus, ſed in baſi
oppoſita baſi parallelogrammi, ſumatur autem in dicta axi,
vel diametro vtcunq; punctum, per quod baſibus dictis aga-
tur parallela; quadratum eiuſdem parallelæ trianguli lateri-
bus interceptæ æquabitur reliquo quadrati eius, quæ inter-
cipitur lateribus parallelogrammi, dempto quadrato eius,
quæ intra circulum, vel ellipſim concludetur.
Sit circulus, vel ellipſis, BDHF, eius coniugati axes, vel diame-
tri, BH, DF, in altera autem earum, vtin, DF, tanquam in baſi,
& circa axim, vel diametrum, BE, ſit parallelogrammum, AF, cir-
ca eundem verſo4;, ſed in baſi, AC, ſit triangulum, AEC, ſumatur
autem in, BE, vtcunque punctum, M, per quodipſi, DF, agatur
parallela, VR, ſecans curuam, DBF, in, T, I, & latera trianguli,
AEC, in, S, N. Dico ergo quadratum, SN, æquari reliquo qua-
drati, VR, dempto quadrato, TI. Nam rectangulum, HEB, ad
rectangulum, HMB, eſt vt quadratum, FE, vel quadratum, RM,
i.
quadratum, BE, ad qua-
dratum, ME, (quod eſt exceſſus re
ctanguli, HEB, ſub rectangulum, H
reliquum, dempto quadrato, MI, ſed
vt quadratum, BE, ad quadratum, E
M, ita quadratum, BC, ideſt quadra-
tum, MR, ad quadratum, MN, quia
gula; ergo quadratum, BC, ideſt qua-
dratum, MR, ad quadratum, MN,
erit vt idem quadratum, MR, ad ſui
reliquum, dempto quadrato, MI, &
eorum quadrupla .ſ.
quadratum, SN, æquabitur reliquo quadrati,
VR, dempto quadrato, TI, quod erat oſtendendum.
_Q_VONIAM autem punctum, M, ſumptum eſt vtcumque hinc
patet, quod omnia quadrata trianguli, AEC, (regula, DF,)
æquantur reliquo omnium quadratorum parallelogrammi, AF, dem-
ptis omnibus quadratis ſemicirculi, vel ſemiellipſis, DBF, & duabus
vtcunq; ductis ipſis, DF, parallelis, vt, XG, VR, patet, quod om-
nia quadra@a trapezij, γSN℟, æquabuntur reſiduo omnium quadra-
torumpar allelogrammi, XR, demptis omnibus quadratis portionis ſe-
micirculi, vel ſemiellipſis inter, ZL, TI, concluſæ: Quia verò oſten-
ſa eſtratio omnium quadratorum cuiuſuis parallelogrammorum in alti-
tudine eadem cum portionibus, baſi autem æquali ſecundæ diametre,
tium, hine manifeſta eſt ratio eorundem ad dictareſidua, & conſequen-
ter ad omnia quadrata portionum ſemicirculi, vel ſemiellipſis, DBF,
dictis parallelis interpoſitarum, vt ex. gr.
nota erit ratio, quam babent
omnia quadrata parallelogrammi, XR, ad omnia quadrata portionis,
ZTIL, & ſic in reliquis.
Quia verò omnia quadrata trianguli, AE
BE, ad, EM, ideò etiam patebit, quod omnia quadrata parallelogram-
mi, AF, demptis omnibus quadratis ſemicirculi, vel ſemiellipſis, D
BF, ad omnia quadrata parallelogrammi, VF, demptis omnibus qua-
dratis fruſti, TDFR, ſint in tripla ratione ipſius, BE, ad, EM, ideſt
vt cubus, BE, ad cubum, EM.
SI in circulo, vel ellipſiad axim, vel diametrum eiuſdem
ordinatim applicetur vtcumque recta linea, quæ ſuma-
tur pro regula; Omnia quadrata eiuſdem ad omnia quadra-
ta alterutrius portionis peream conſtitutæ, erunt vt paralle-
lepipedum ſub quadrato totius axis, vel diametri, altitudi-
ne eiuſdem dimidia, ad parallele pipedum ſub quadrato aſ-
ſumptæ portionis, altitudine autem linea compoſita ex reli-
quæ portionis axi, vel diametro, & dimidia totius:
Vel e-
runt, vt cubus totius axis, vel diametri ad parallelepipe-
dum ſub quadrato aſſumptæ portionis axis, vel diametri, &
ſub altitudine linea compoſita ex tripla axis, vel diametri
reliquæ portionis, cum cubo axis, vel diametri reliquæ por-
tionis.
Sit circulus, vel ellipſis, ABCD, cuius axis, vel diameter, AC,
centrum, O, & ordinatim vtcunq;
ad ipſam applicata, BD, con-
ſtituens duas portiones, BAD, BCD, quæ quoque ſit regula. Dico ergo omnia quadrata circuli, vel ellipſis, ABCD, ad omnia
quadrata portionis, BAD, ex duabus portionibus, BAD, BC
D, ad libitum ſumptæ, eſſe, vt parallelepipedum ſub baſi quadra-
æqualis, CO, & illi in directum conſtituta, ad
parallelepipedum ſub baſi quadrato, AE, al-
titudine, EX, vel vt cubus, AC, ad parallele-
pipedum ſub baſi quadrato, AE, altitudine tri-
pla. EC, cum cubo, AE;
iungantur, BA, A
D, BC, CD: Omnia ergo quadrata portio-
nis, BCD, ad omnia quadrata portion@s, BA
habent omnia quadrata portionis, BCD, ad
omnia quadrata trianguli, BCD, & ex ea,
quam habent hæc ad omnia quadrata trianguli, BAD, & ex ratio-
ne iſtorum ad omnia quadrata portionis, BAD: Omnia verò qua-
Omnia item quadrata trian-
guli, BCD, ad omnia quadrata trianguli, BAD, (quia triangula
ſunt in eadem baſi, BD,) ſunt vt, CE, ad, EA: Omnia denique
harum autem trium ra-
tionum componentium rationem ſupradictam illa, quam habet, C
, CE, ad, ECO, componit rationem quadrati, C
E, ad rectangulum ſub, AE, & fub, ECO, habemus ergo illas tres
rationes in has duas reſolutas .ſ.
in eam, quam habet quadratum, E
C, ad rectangulum ſub, AE, &, ECO, &
in eam, quam habet com-
poſita ex, OA, AE, ad, AE; ratio autem quadrati, EC, ad rectan-
gulum ſub, AE, &, ECO, &
ratio ipſius, OAE, ſumptę pro al-
titudine ad, AE, pariter pro altitudine ſumptam, componunt ratio-
nem parallelepipedi ſub baſi quadrato, CE, altitudine autem, EA
CO, quod ſerua.
Duplicentur nunchorum parallelepipedorum altitudines, omnia
ergo quadrata portionis, BCD, ad omnia quadrata portionis, BA
D, erunt vt parallelepipedum ſub quadrato, EC, altitudine verò
dupla, EA, & dupla, AO, quæ eſt, AC, ad parallelepipedum ſub
baſi quadrato, AE, altitudine dupla, EC, & dupla, CO, quę eſt,
AC; parallelepipedum autem ſub quadrato, CE, &
ſub compoſita
, AC, æquatur parallelepipedis ſub quadrato, C
E, & ſub, AE, bis, vna cum parallelepipedo ſub, AC, &
ſub qua-
drato, CE, ideſt vna cum parallelepipedo ſub, AE, adhuc ſemel,
ſub quadrato, EC, cum cubo, EC, quę ſimul cum prædictis con-
ficiunt parallelepipedum ter ſub, AE, & ſub quadrato, EC, cum
cubo ipſius, EC. Similiter oſtendemus parallelepipedum ſub qua-
drato, AE, & ſub compoſita ex, CA, &
dupla, CE, æquari paral-
lelepipedis ter ſub, CE, & ſub quadrato, EA, cumcubo, EA, er-
go omnia quadrata portionis, BCD, ad omnia quadrata portionis,
BAD, erunt vt parallelepipedum ter ſub quadra@o, CE, altitudi-
ne, EA, cum cubo, CE, ad parallelepipedum ter ſub quadrato, A
E, altitudine, EC, cum cubo, AE, ergo, componendo, omnia qua-
drata circuli, vel ellipſis, ABCD, ad omnia quadrata portionis, B
AD, erunt vt parallelepipedum ter ſub altitudine, AE, & quadra-
to, EC, cum cubo, EC, ſimul cum parallelepipedo ter ſub altitu-
dine, CE, & ſub quadrato, EA, cum cubo, EA, ad parallelepipe-
dum ter ſub quadrato, AE, altitudine, EC, cum cubo, AE, illa
circuli, vel ellipſis, ABCD, ad omnia quadrata portionis, BAD,
erunt vt cubus, AC, ad parallelepipedum ſub baſi quadrato, AE,
altitudine linea compoſita ex dupla, EC, & ex, AC, ergo (dimi-
diatis huius rationis terminis) omnia quadrata circuli, vel ellipſis, A
BCD, ad omnia quadrata portionis, BAD, erunt vt parallelepi-
E, altitudine, EX, (quæ eſt dimidia altitudinis parallelepipedi ſub
baſi quadrato, AE, altitudine dupla, EC, & ipſa, CA, ſimul) pa-
tet ergo, quod omnia quadrata circuli, vel ellipſis, ABCD, ad om-
nia quadrata portionis, BAD, erunt vt parallelepipedum ſub baſi
quadrato, AC, altitudine, CX, ad parallelepipedum ſub baſi qua-
drato, AE, altitudine, EX, vel (vt probauimus) vt cubus, AC, ad
parallelepipedum ſub baſi quadrato, AE, altitudine linea compo-
ſita ex dupla, EC, & ex, AC, .
i.
ad parallelepipedum ſub baſi qua-
drato, AE, altitudine tripla, EC, cum cubo, AE, quæ erant de-
monſtranda.
HInc etiam patet portionis, BCD, omnia quadrata ad omnia qua-
drata portionis, BAD, eſſe vt parallelepipedum ſub baſi qua-
drato, CE, altitudine autem, EAO, ad parallelepipedum ſub baſi qua-
drato, AE, altitudine autem, ECO, patet ergo ſi circulus, vel ellipſis
per applicatam ad eorum axim, vel di@metrum in duas portiones vt-
cumq; diuidantur, quæq;
ſumatur pro regula, quod nota erit ratio om-
nium quadratorum vtriuſque portionis inter ſe.
SI in circulo, vel ellipſi duæ ad eundem axim, vel diame-
trum ordinatim applicentur rectæ lineæ; Omnia qua-
drata vnius portionis (regula baſi) ad omnia quadrata alte-
rius portionis erunt, vt parallelepipedum ſub baſi quadrato
axis, vel diametri illius, & ſub compoſita ex axi, vel dia-
metro reliquæ portionis, & dimidia totius, ad parallelepi-
pedum ſub baſi quadrato axis, vel diametri alterius portio-
nis, & ſub compoſita ex axi, vel diametro reliquæ portio-
nis, & dimidia totius.
Sit circulus, vel ellipſis, ACND, cuius axis, vel diameter, AN,
centrum, O, duæ ad ipſum vtcunq; ordinatim applicatæ ſint, BF,
CD, ſit autem producta, AN, in, X, ita vt, XN, ſit æqualis, N
O; regula vero alterutra applicatarum, vt, CD.
Dico ergo omnia
quadrata portionis, BAF, ad omnia quadrata portionis, CAD,
altitudine, MX. Nam omnia quadrata portionis,
CND, ſunt vt parallelepipedum ſub baſi quadra-
to, AE, altitudine, EX, ad parallelepipedum ſub
baſi quadrato, AN, altitudine, NX, item om-
nia quadrata circuli, vel ellipſis, ACND, ad om-
pipedum ſub baſi quadrato, AN, altitudine, N
X, ad parallelepipedum ſub baſi quadrato, AM,
altitudine, MX, ergo ex æquali omnia quadrato portionis, BAF,
ad omnia quadrata portionis, CAD, erunt vt parallelepipedum ſub
baſi quadrato, AE, altitudine, EX, ad parallelepipedum ſub baſi
quadrato, AM, altitudine, MX, quod erat oſtendendum.
ADato circulo, vel ellipſi portionem abſcindere per li-
neam ad eiuſdem axim, vel diametrum ordinatim ap-
plicatam, cuiusomnia quadrata ad omnia quadrata trian-
guli in eadem baſi, & altitudine cum ipſa portione, habeant
rationem datam; oportet autem hanc eſſe maiorem ſexqui-
altera, exiſtente regula ipſa ordinatim applicata.
Sit circulus, vel ellipſis, ADME, axis, vel diameter, AM, cen-
trum, F, oportet igitur ad ipſum axim, vel diametrum, lineam or-
vel ellipſi abſcindat, portionem, cuius
omnia quadrata (regula ipſa applicata)
ad omnia quadrata trianguli in eadem
baſi, & altitudine cum ipſa habeant ra-
tionem datam; hanc dico prius oporte-
re eſſe maiorem ſexquialtera, nam cu-
iuslibet abſciſſæ portionis (vt oſtenſum
eſt) omnia quadrata ad omnia quadrata
trianguli in eadem baſi, & altitudine
totius axis, vel diametri, & ex diametro
reliquæ portionis, ad axim, vel diame-
trum reliquæ portionis, & diuidendo exceſſus omnium quadratorum
drata dicti trianguli, ſunt vt d@midia totius axis, vel diametri ad axim,
tet ergo, quod dicta ratio diuiſa ſit ma-
ior ea, quam habet, FM, ad, MA, quæ
componendo euadit ſexquialtera: ſit er-
go data ratio, quam habet, BH, ad, N
R, maior ſexquialtera, & abſcindatur,
HS, æqualis ipſi, NR, & fiat, vt, BS,
ad, SH, ita, FM, ad, MO, & ducatur
per, O, ipſa, DE, ad axim, vel diame-
trum, AM, ordinatim applicata, & iun-
gantur, DA, AE; quoniam ergo, vt,
BS, ad, SH, ita eſt, FM, ad, MO,
componendo, BH, ad, HS, vel, NR,
crit, vt, FM, MO, ad, MO, ſunt autem omnia quadrata portio-
nis, DAE, (regula, DE,) ad omnia quadrata trianguli, DAE,
ideò ſunt ad ea in ratione data, in ea .
ſ.
quam habet, BH, ad, NR, quod efficere opus erat.
OMnia quadrata circuli, vel ellipſis, regula altero axium,
vel diametrorum, ad omnia quadrata eiuſdem, re-
gula reliquo axium, vel diametrorum, erunt, vt dictus pri-
mus axis, vel diameter, ad dictum ſecundum axim, vel dia-
metrum.
Sit circulus, vel ellipſis, MPCF, cuius axes, vel diametri coniu-
Dico ergo omnia qua-
drata circuli, vel ellipſis, MP, CF, regu-
la, MC, ad omnia quadrata eiuſdem, re-
gula, PF, eſſe, vt, MC, ad, PF; ducan-
tur per puncta, M, P, C, F, tangentes cir-
culum, vel ellipſim, MPCF, quę ſint, A
N, ND, DH, HA, conſtituentes paral-
lelogrammum, AD, circulo, vel ellipſi,
MPCF, circumſcriptum, cuius latera
parallela ſint ipſis, PF, MC, axibus, vel
diametris coniugatis: Omnia ergo qua-
drata circuli, vel ellipſis, MPCF, regula, MC, ſunt ſubſexquial-
ſunt ſubſexquialtera omnium quadratorum parallelogrammi, AD,
CF, regula, MC, ad omnia quadrata eiuſdem regula, PF, erunt,
vt omnia quadrata parallelogrammi, AD, regula, MC, ad omnia
mi, AD, regula, MC, ad omnia quadrata eiuſdem, regula, PF,
ſunt, vt, MC, ad, PF, ergo omnia quadrata circuli, vel ellipſis, M
PCF, regula, MC, ad omnia quadrata eiuſdem, regula, PF, erunt,
vt, MC, ad, PF, quod oſten ler oportebat.
_H_INC patet, ſi ad, MC, PF, ordinatim applicentur rectæ lineæ
portiones abſcindentes à dicto circulo, vel ellipſi, quoniam oſten-
ſa eſtratio omnium quadratorum abſciſſæ portionis, regulabaſi, ad omnia
item oſtenſa eſt ratio om-
vel diametrorum, ad omnia quadrata eiuſdem, regula reliquo axi, vel
diametro, & deniq;
oſtenſa eſt ratio omnium quadratorum eiuſdem cir-
culi, vel ellipſis, ad omnia quadrata portionis per aliam ordinatim ap-
plicatam abſciſſæ, regula baſi dictæ portionis, quod ideo nota erit ratio
rum, regulis dictarum portionum baſibus, quod, &c.
SI circulus, &
ellipſis, vel duæ ellipſes ſuerint circa eun-
dem axim, vel diametrum, illi erunt interſe, vt eorum
ſecundiaxes, vel diametri.
Sint circulus, &
ellipſis, vel duæ ellipſes, AFVT, AGVS, cir-
diametri, FT, GS. Dico circulum, vel ellipſim, AFVT, ad cir-
culum, vel ellipſim, AGVS, eſſe, vt, FT, ad, GS; duæ igitur,
DA, DF, tangentes eaſdem in terminis coniugatarum axium, vel
diametrorum, inter ſe conueniant in, D, erit ergo, DH, paralle-
logrammum, ducatur etiam per, G, ipſa, GC, parallela ipſi, AV,
quæ tanget ellipſim, AGVS, in, G, erit ergo etiam, CH, paral-
altitudine cum ſemiportione, AG
altitu-
dinecum ſemiportione, AFH; ſumatur vtcunque in, AH, pun-
ctum, O, & per ipſum ducatur ipſi, FT, parallela, OE, ſecans cur-
uam, AG, in, N, CG, in, I, curuam, AF, in, M, &, DF, in,
Igitur quadratum, FH, ad quadratum,
ctangulum, VOA, .i.
vt quadratum, GH,
ad quadratum, NO, ergo quadratum, F
MO, erit vt quadratum, IO, ad quadra-
tum, ON, ergo, EO, ad, OM, erit vt,
IO, ad, ON, eſt autem, EO, ducta vt-
cunque parallela, FT, & ſunt parallelo-
gramma, DH, CH, in ijſdem baſibus, &
altitudinibus cum ſemiportionibus, AFH,
AGH, ergo omnes lineæ parallelogram-
neæ parallelogrammi, CH, ad omnes lineas ſemiportionis, AG
vt parallelogrammum, CH, ad ſemiportionem, AGH, ergo, per-
mutando, DH, ad, CH, parallelogrammum erit, vt ſemiportio,
AFH, ad ſemiportionem, AGH, ergo vt, DH, ad, CH, .ſ.
vt
tio, AFH, adſemiportionem, AGH, vel ſic eorum quadrupla .ſ.
ita erit circulus, vel ellipſis, AFVT, ad circulum, vel ellipſim, A
GVS, quod, &c.
_H_INC etiam habetur, quoniam quadratum, EO, ad quadratum,
OM, eſt vt quadratum, IO, ad quadratum, ON, idcircò, quòd
eodem pacto, iuxta Th. antecedens, concludere poſſumus omnia qua-
drata, DH, ad omnia quadrata, CH, eſſe, vt omnia quadrata ſemi-
portionis, AFH, ad omnia quadrata ſemiportionis, AGH, vel vt
omnia quadrata circuli, vel ellipſis, AFVT, ad omnia quadrata cir-
culi, vel ellipſis, AGVS, ſunt autem omnia quadrata parallelogram-
mi, DH, ad omnia quadrata parallelogrammi, CH, vt quadratum,
circuli, vel ellipſis, AFVT, ad omnia quadrata circuli, vel elli-
pſis, AGVS, ſunt vt quadratum, FH, ad quadratum, HG, vel vt qua-
dratum, FT, ad quadratum, GS, ſcilicet ſunt vt quadrata ſecundorum
axium, vel diametrorum.
C Irculus, vel ellipſis ad quemlibet circulum, vel ellipſim
habet eandem rationem, quam rectangulum ſub ipſius
coniugatis axibus, vel diametris, ad rectangulum ſub iſtius
coniugatis axibus, vel diametris, æquè tamen diametris ad
inuicem inclinatis.
Sit circulus, ABCD, cuius axes coniugati ſint, AC, BD, cen-
trum, O, ductis verò per puncta, A, C, parallelis ipſi, BD, FL, Q
G, & per puncta, B, D, parallelis ipſi, AC, LG, FQ, vt ſit, FG,
rectangulum circulo, ABCD, circumſcriptum, ſit, STVI, qui-
lum, ER, ſit circumſcriptum, habens
latera parallela coniugatis axibus, SV,
TI. Dico circulum, ABCD, ad elli-
pſem, STVI, eſſe vt rectangulum, FG,
ad rectangulum, ER; producatur, SV,
hinc inde, ita vt, NK, ſit æqualis, OA,
&, NM, ipſi, OC, &
circa, KM, TI,
axes intelligatur, KT, MI, ellipſis, vel
circulus, & productis tangentibus, TE,
IR, vt occurrantipſis, HK, MP, ſit
rectangulum, HP, circumſcriptum ipſi,
KTMI, ellipſi, vel circulo, habens la-
tera coniugatis axibus, KM, TI, paral-
lela: Eſt ergo vt rectangulum, FG, ad
D, ad circulum, vel ellipſim, KTMI,
quia ſunt ambo circa, AC, KM, axes
item parallelogrammum, H
P, ad parallelogrammum, ER, eſt vt
circulus, vel ellipſis, KTMI, ad circu-
lum, vel ellipſim, STVI, ergo ex ęqua-
lirectangulum, FG, ad rectangulum, ER, erit vt circulus, ABC
D, ad circulum, vel ell pſim, STVI.
Sit nunc, ABCD, ellipſis, vt etiam, STVI, poterit eſſe, quod,
AC, BD, ſint non axes, ſed coniugatæ diametri, &, FG, pa-
rallelogrammum, oportet autem ſumere in ellipſi, ST, VI,
coniugatas diametros, SV, TI, itavt æqualiter ſint inclinatæ
ac ipiæ, AC, BD, tunc enim circumſcripta parallelogramma,
lum erit parallelogrammi, HP, ipſi, FG, & ellipſes, ABCD, K
æquales diametros, ita vt ſi ſuper-
ponerentur ad inuicem iſti ellipſes,
vt, KM, eſſet in, AC, ipſa, TI,
eſſet in, BD, & ideò eodem mo-
do oſtendemus, vt ſupra ellipſes,
ABCD, STVI, eſſe inter ſe, vt
parallelogramma illis eircumſcri-
pta, FG, ER, & quia illa ſunt
ęquiangula habebunt rationem ex
ratione laterum compoſitam, ſed
etiam parallelogramma rectangu-
tionem cõpoſitam ex ratione eo-
rundem laterum, ergo ellipſis, A
BCD, ad ellipſim, STVI, erit
vt parallelogrammum, FG, ad
parallelogrammum, ER, ſibiæ-
quiangulum. .
vt rectangulum ſub,
FL, LG, vel ſub, BD, AC, dia-
metris, ad rectangulum ſub, TI,
SV, diametris, patetigitur circu-
lum, vel ellipſim, ABCD, ad cir-
eulum, vel cllipſim, STVI, eſſe vt rectangulum ſub axibus, vel dia-
metris, AC, BD, ad rectangulum ſub axibus, vel diametris, SV,
TI, quæ diametri æquè ad inuicem inclinantur, quod oſtendere
opuserat.
_H_INC ergo colligitur, quod quando circulos comparatur ad cir-
culum, illi ſunt interſe, vt rectangula ſub eorum axibus. i.
vt
quadrata axium, & ideò ſunt in dupla ratione axium, ſiue diametro-
rum, quando verò circulus comparatur ad ellipſim, erit ad illum, vt
ſui axis quadratum adrectangulum ſub axibus ellipſis. Denique, ſiel-
lipſis comparetur ad ellipſim, erit ad illum, vt rectangulum ſub axibus
illius ad rectangulum ſub axibus alterius, vel vt rectangulum ſub dia-
metris (coniugatis ſemper intellige, niſi aliud addatur) illius ad rectan-
gulum ſub diametris alterins, quæ vt prædicti æqualiter ad inuicem
ſunt inclinatæ; vel tandem, vt parallelogramma illis circumſcripta,
gula, vniuerſaliter igitur prædicta ſunt iter ſe, vt parallelogramna re-
ctangula, vel æquiangula illis circumſcripta; Vnde etiam habetur pa-
rallelogramma rectangula illis circumſcripta eſſe, vt parallelogramma
æquiangula pariter illis circumſcripta.
_H_INC vlterius colligitur, quod quæcunque de binis parallelo-
grammis oſtenſa ſunt in Theorem. 5.
6.
7.
8.
lib 2.
præſuppoſitis
conditionibus illic conſideratis circa eorum baſes, & altitudines, vel
circa eorum latera, eadem & de ellipſibus verificabuntur eaſdem con-
ditiones in proprijs axibus, vel diametris habentibus; nam his poſitis
parallelogrammaillis circumſcripta, & æquiangula habent in ſuis la-
teribus, vel in baſi, & altitudine eaſdem conditiones, vnde ſicuti di-
ctæ concluſiones ſequuntur pro parallelogrammis circumſcriptis, ita
etiam verificantur pro inſcriptis ellipſibus, ad quas dicta parallelo-
gramma habent eaſdem rationes, vt probatum eſt, quæ igitur hic non
Theoremata ſupplentur, pro circulis autem hoc tantum habemus, quod
ſint, vt eorum axium, vel (ſimanis dicere) diametrorum quadrata,
non aliaque circa eoſdem variatio contingit.
_C_olliguntur ergo hæc de binis ellipſibus .
ſ.
quod quæ ſunt circa ean.
dem diametrum, ſunt vt reliquæ ſecundæ diametri.
_Q_V æcunq;
ellipſes habent rationem ex axibus, vel diametris con-
iugatis, æqualiter ad inuicem inclinatis compoſitam.
_E_Llipſes habentes axes, vel diametros coniugatas, quæ æqualiter
ſunt inclinatæ, reciprocè reſpondentes, ſunt æquales; &
quæ
ſunt æquales, & habent axes, vel diametros ad inuicem æqualiter in-
clinatas, eaſdem habent reciprocè reſpondentes.
_S_Imiles ellipſes ſunt in dupla ratione ſuorum axium, vel diametrc-
rum homologarum, vel vt corundem quadrata.
_P_Ro circulis autem (vt ſupra dictum eſt) hoc tantum habetur, quod
ſint vt diametrorum quadrata, vel in dupla ratione diametrorum; neque illis alia variatio contingit, ſicuti ellipſibus competere ex ſupe-
rioribus compertum eſt.
QVęcunq;
de omnibus quadratis parallelogrammorum,
appoſitas ibi conditiones habentium, oſtenſa ſunt in
Theor. 9.
10.
11.
12.
13.
lib.
2 eadem de omnibus quadratis
circulorum, vel ellipſium illis inſcriptorum (regula in
vtriſque altero axium, vel diametrorum coniugatarum) ve-
rificabuntur.
Patet hæc propoſitio, nam omnia quadrata circulorum, vel el-
lipſium (regula altero axium, vel diametrorum) ſunt ſubſexquial-
buntur, latera habentium dictis axibus, vel diametris parallela; ha-
bentibus autem illis appoſitas ibi conditiones in ſuis lateribus, eędem
adſunt in axibus, vel diametris circulorum, vel ellipſium, quibus
circumſcribuntur, & è contra;
&
ideò concluſiones, quæ collectæ
ſunt pro illis in dictis Theor. etiam pro omnibus quadratis circulo-
rum, vel ellipſium illis inſcriptorum, vt demonſtratę recipi poſſunt,
cum fint eorum partes proportionales, ijſdem regulis pro omnibus
quadratis circulorum, vel ellipſium, & pro omnibus quadra-
tis parallelogrammorum illis circumſeriptorum, aſſumptis,
quod, &c.
SI circulum, vel ellipſim duæ rectæ lineæ in terminis
coniugatarum diametrorum tetigetint inter ſe conue-
nientes, eiſdem diametris ductis. Omnia quadrata conſti-
tuti parallelogrammiad omnia quadrata trilinei à dictis tan-
gentibus, & ab incluſa curua comprehenſi, regula altera
diametrorum, erunt vt dictum parallelogrammum ad ſui
reliquum, dempto quadrante circuli, vel ellipſis iam dictæ,
quod inſcribitur prædicto parallelogrammo, ſimul cum ex-
ceſſu dicti quadrantis ſuper duas tertias iam dicti parallelo-
grammi, quæ ratio erit proximè, vt 21. ad 2.
Sit circulus, vel ellipſis, ABCD, cuius diametri coniugatæ, A
C, BD, in quorum terminis, C, D, duæ rectæ lineę ipſum tangen-
tesinter ſe conueniant in, V. Dico ergo (ſumpta regula qualibet
diametrorum, vt, BD,) quod omnia quadrata parallelogrammi, O
V, ad omnia quadrata trilinei, DCV, duabus tangentibus, DV,
VC, & ab ijs incluſa curua, DC, comprehenſi ſunt, vt idem paral-
dempto quadrante, OCD, circuli,
vel ellipſis, ABCD, ſimul cum eo
ſpatio, quo idem quadrans excedit
duas tertias parallelogrammi, OV. Sumatur intra, OC, vtcunque pun
ctum, E, & per, E, ducatur ipſi, B
D, parallela, EF, ſecans curuam, D
C, in, I. Omnia ergo quadrata pa-
rallelogrammi, OV, ad rectangula
ſub parallelogrammo, OV, & ſemi-
portione, OCD, ſunt vt parallelo
ſed eadem ad
reſiduum erunt vt parallelogrammum, OV, ad reſiduum ſemipor-
tionis, OCD, demptis ab ea, {2/3}, parallelogrammi, OV, quarum
idem parallelogrammum, OV, eſt ſexquialterum; reſiduum autem
rectangulorum ſub parallelogrammo, OV, & ſemiportione, OC
D, demptis omnibus quadratis ſemiportionis, OCD, ſunt rectan-
trilineo, CDV, nam veluti in,
IE, EF, relinquit rectangulum ſub, EI, IF, ita in cæteris ſequitur; &
illis ſimul collectis ſequitur etiam, quod detractis omnibus qua-
V, & ſemiportione, OCD, relinquantur rectangula ſub ſemipor-
tione, OCD, & trilineo, DCV, ad hæc igitur, quæ ſunt dictum
grammi, OV erunt vt parallelogram-
mum, OV, adreſiduum ſemiportio-
nis, OCD, ab ea demptis, {2/3}, paral-
lelogrammi, OV; eadem autem om-
nia quadrata parallelogrammi, OV,
ad rectangula ſub parallelogrammo. OV, &
ſemiportione, OCD, .
i.
ad
D, vna cum rectangulis ſub ſemipor-
tione, OCD, & trilineo, CVD,
ſunt vt parallelogrammum, OV, ad
ſemiportionem, OCD, vt paulò ſupra in hac demonſtratione oſten-
dimus, ergo, colligendo, omnia quadrata parallelogrammi, OV,
ad omnia quadrata ſemiportionis, OCD, vna cum rectangu is bis
ſub ſemiportione, OCD, & trilineo, CVD, ſumptis, erunt vt pa-
rallelogrammum, OV, ad ſemiportionem, OCD, vna cum exceſ-
ſu, quo dicta ſemiportio, OCD, excedit, {2/3}, parallelogrammi, O
V, ergo, perconuerſionem rationis, omnia quadrata parallelogram-
mi, OV, ad omnia quadrata trilinei, DCV, quæ remanent detra-
ſub illa, & ſub trilineo, DCV, bis ſumptis, ab omnibus quadratis
parallelogrammi, OV; (veluti detracto quadrato, EI, vna cum re-
ctangulo bis ſub, EI, IF, remanet quadratum, IF,) ad omnia qua-
dratatrilinei, DCV, erunt vt parallelogrammum, OV, adreſiduum,
detracta ſemiportione, OCD, vna cum exceſſu, quoipſa ſuperat
duas tertias parallelogrammi, OV, à dicto parallelogrammo,
OV.
Eſt verò parallelogrammum, OV, ad dictum ſpatium reſiduum
proximè, vt 21. ad 2.
nam ſi ſupponamus parallelogrammum, OV,
eſſe 21. erit ſemiportio, OCD, earumdem partium proximè 16.
{1/2},
eſt .n.
adeam, ſicut rectangulum, quod eſſet circulo, vel ellipſi, A
rallela ad eundem circulum, vel ellipſim .i.
vt 14.
ad 11.
proximè, vt
oſtendit Archimedes lib. de Dimenſione Circuli, eſt .
n.
vt 14.
ad 11.
ita 21.
ad 16.
{1/2}, rurſus duæ tertiæ parallelogrammi, OV, ſunt 14.
OCD, quæ eſt pioximè 16.
{1/2}, excedit, {2/3}, paral-
lelogrammi, OV, ſcilicet 14. per 2 {1/2}, ſi ergo ſemiportioni, OCD,
quæ eſt proximè 16 {1/2}, iunxerimus exceſſum eiuſdem ſemiportionis
ſuper, {2/3}, parallelogrammi, OV, .i.
2 {1/2}, fiet totum conſequens pro-
ximè 19. hoc ſi detrahatur a toto parallelogrammo, OV, quod eſt
21. relinquentur 2.
erit ergo parallelogrammum, OV, ad hoc reſi-
duum proximè, vt 21. ad 2.
vnde &
omnia quadrata parallelogram-
mi, OV, ad omnia quadrata trilinei, DCV, erunt proximè vt 21. ad 2.
quod erat oſtendendum.
_H_INC patet, ſi nos præcisè ſciamus, quam rationem habeant om-
nia quadrata parallelogrammi, OV, ad omnia quadrata trilinei,
DCV, quia etiam ſcimus, quam rationem habeant omnia quadrata, C
D, ad omnia quadrata ſemiportionis, OCD, ſciemus etiam, quam ra-
tionem habeant eadem ad rectangula ſub ſemiportione, OCD, & trili-
neo, DCV, bis ſumpta, & item nota erit ratio ad eadem ſemel ſum-
pta, quæ ſi iungantur omnibus quadratis ſemiportionis, OCD, compo-
ſemiportione,
OCD, & fiet nota ratio omnium quadratorum, OV, ad rectangula
ſub parallelogrammo, OV, & ſemiportione, OCD, quæ eſt eadem
& ideò hęc erit nota, ſicut etiam erit nota ratio parallelogrammi cir-
culo, vel ellipſi, ABCD, circumſcripti, habentis latera parallela
ipſis, AC, BD, ad eundem circulum, vel ellipſim, ABCD, & hinc habere-
tur circuli quadratura; ideò quærendum eſt, quam rationem habeant præ-
cise omnia quadrata, OV, ad omnia quadrata trilinei, CDV; quod hucuſ-
que nec alijs, nec mibi compertum eſſe potuit.
SI circa parallelogrammi rectanguli quodlibet laterum,
tamquam circa diametrum integrorum, ſemicirculus,
vel ſemiellipſis, etiam ipſo non exiſtente rectangulo, deſ-
cripti fuerint, circumferentia autem circuli, vel curua elli-
pſis non pertingant, neque ſecet oppoſitum prædicto latus,
ſit autem regula parallelogrammi baſis: Omnia quadrata
dicti parallelogrammi ad omnia quadrata figuræ, quæ reli-
quis tribus parallelogrammi lateribus (dempto eo, quod
curua circuli, vel ellipſis contine-
tur, erunt proximè, vt baſis eiuſdem parallelogrammi ad ſui
reliquum, demptis ab ea, {11/14}, rectæ lineæ, quæ ſit æqualis
dimidiæ ſecundæ diametri Prædicti circuli, vel ellipſis, ſi-
mul cum exceſſu, quo dicti, {11/14}, excedunt, {2/3}, tertiæ propor-
tionalis duarum, quarum prima eſt dicta baſis, ſecunda au-
tem dicta ſecundæ diametri dimidia.
Sit parallelogrammum, FD, &
circa latus, FB, vtcunque tam-
quam circa diametrum (intellige autem ſemper diametrum hic, &
in ſequentibus, vt eſt nomen commune diametro, & axi) integri ſic
deſcriptus ſemicirculus, vel ſemiellipſis, FQB, cuius curua, FQB,
neque tangat, neque ſecet latus, ZD, oppoſitum lateri, FB, bifa-
riam autem diuiſa, FB, in, A, & per, A, ipſi, BD, baſi ducta pa-
rallela, AP, ſeceturà curua, FQB, vtcunq; in, Q;
erit autem, A
Q, dimidia ſecundæ axis circuli, vel ellipſis, cuius centrum, A; du-
catur inſuperper, Q, ipſi, FB, parallela, HC, quæ tanget circu-
erit, BC, æqualis ipſi, AQ;
fiat dein-
de, vt, DB, ad, BC, ita, BC, ad, BI, & ſumatur, BR, quæ ſit,
{2/3}, BI, &, BE, quæ fit, {11/14}, ipſius, CB, &
, EV, quæ ſit æqualis
Dico er-
go omnia quadrata parallelogrammi, FD,
ad omnia quadrata figuræ, quæ compre-
henditur tribus lateribus, FZ, ZD, DB,
& curua, FQB, eſſe, vt, BD, ad, DV,
proximè. Omnia .
n.
quadrata parallelo-
grammi, FD, ad rectangula ſub paralle-
logrammo, FD, & ſemicirculo, vel ſemi-
mum, FD, ad eundem ſemicirculum, vel
ſemiellipſim, FQB; quia verò parallelo-
grammum, FD, ad parallelogrammum, FC, eſt vt, DB, ad, BC,
& item parallelogrammum, FC, ad ſemicirculum, vel ſemiellipſim,
ad 11.
ideſt vt, CB, ad, BE, ergo ex
æquali parallelogrammum, FD, ad ſemicirculum, vel ſemiellipſim,
FQB, erit vt, DB, ad, BE, & ideò omnia quadrata parallelogram-
mi, FD, ad rectangula ſub parallelogrammo, FD, & ſemicirculo,
i.
ſumpta, DB, com-
muni altitudine erunt, vt quadratum, DB, ad rectangulum ſub, D
B, BE, quodſerua.
Aduerte nunc, quodrectangula ſub parallelogrammo, FD, &
ſe-
ſemicirculo, vel ſemiel-
lipſi, FQB, & in omnia quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis, FQ
B, videndum ergo nunceſt, quamrationem habeant omnia quadra-
ta, FD, ad omnia quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis, FQB,
omnia quadrata, FD, ad omnia quadrata, FC,
i.
ad rectangulum ſub,
DB, BI, nam tres, DB, BC, BI, ſunt continuè proportionales,
omnia item quadrata, FC, omnium quadratorum ſemicirculi, vel
i.
ſunt vt rectangulum, DBI,
ad rectangulum, DBR, quia, BR, eſt, {2/3}, BI, ergo ex æquali om
nia quadrata, FD, ad omnia quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipfis,
FQB, ſunt vt quadratum, DB, ad rectangulum ſub, DB, BR,
omnia autem quadrata, FD, ad rectangula ſub, FD, & ſemicircu-
lo, vel ſemiellipſi, FQB, erant vt idem quadratum, DB, ad rectan-
gulum ſub, DB, BE, ergo omnia quadrata, FD, ad rectangula ſub
ſemicirculo, vel ſemiell pſi, FQB, & ſub quadrilineo, FQBDZ,
erunt vt idem quadratum, DB, ad rectangulum ſub, DB, &, RE,
ad eadem verò bis ſumpta, vt idem quadratum, DB, ad rectangu-
lum ſub, DB, &, RV, quia verò omnia quadrata, FD, ad omnia
quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis, FQB, ſunt vt quadratum, D
B, ad rectangulum ſub, DB, BR, ergo colligendo omnia quadra-
ta, FD, ad omnia quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis, FQB, vna
cum rectangulis ſub ſemicirculo, vel ſemiellipſi, FQB, & quadri-
lineo, FQBDZ, bis ſumptis, erunt vt quadratum, DB, ad rectan-
gula ſub, DB, BR, DB, RV, .i.
ad rectangulum ſub, DB, BV;
quia verò ſiab omnibus quadratis, FD, ſubtraxeris omnia quadrata
ſemicirculi, vel ſemiellipſis, FQB, vna cum rectangulis bis ſub eo-
dem ſemicirculo, vel ſemiellipſi, FQB, & ſub quadrilineo, FQB
conuerſionem rationis, omnia quadrata parallelogrammi, FD, ad
ad rectangulum ſub, BD, DV, .i.
vt, BD, ad, DV, quod tantum
proximè verificatur, non .n.
parallelogrammum, FC, ad ſemicir-
culum, vel ſemiellipſim, FQB, eſt pręcisè, vt 14. ad 11.
ſed tantum
proximè, ideò, &c.
Defiderari nunctantum videtur in hac demonſtratione, quod pro.
betur punctum, R, non identificari puncto, E, ſed cadere inter, B
E, quod ſic facilè patet, cum .n.
oſtenſum ſit omnia quadrata, FD,
ad rectangula ſub parallelogrammo, FD, & ſemicirculo, vel ſemiel-
lipſi, FQB, eſſe vt quadratum, DB, ad rectangulum ſub, DB, B
E, inſuper oſtenſum ſit omnia quadrata, FD, ad omnia quadrata
ctangulum ſub, DB, BR, quoniam rectanguſa ſub, FD, & ſemi-
circulo, vel ſemiellipſi, FQB, ſunt maiora omnibus quadratis ſemi-
circuli, vel ſemiellipſis, FQB, ideò etiam rectangulum ſub, DB, B
E, ſemper maius eſt rectangulo ſub, DB, BR, & ideo punctum, R,
ſemper cadet inter punctum, B, & punctum, E, quocunque deinde
cadat punctum, I, vnde patet, &c.
Similiter, quia omnia quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis, FQ
B, vna cum rectangulis ſub eodem, & ſub quadrilineo, FQBDZ,
bis ſumptis, minora ſunt omnibus quadratis, FD, ideò, BV, com-
pofita ex tribus, BR, RE, EV, minor eſt ipſa, BD, nam, DB, ad,
BV, eſt, vt omnia quadrata, FD, ad compoſitum ex omnibus quadra-
tis ſemicirculi, vel ſemiellipſis, FQB, & ex rectangulis ſub eodem, &
ſub quadrilineo, FQBDZ, bis ſumptis, vnde omnia clarè patent.
_H_INC habetur omnia quadrata, FD, ad reliquum ſui, demptis
omnibus quadratis quadrilinei, FQBDZ, eſſe, vt, DB, ad, BV.
SI circulo, vel ellipſi circumſcribatur parallelogrammum,
habebit latera eorundem diametris parallela; ſumpto
autem quolibet laterum pro regula; omnia quadrata dicti
parallelogrammi rectanguli, ad omnia quadrata circuli,
vel ellipſis inſcripti, vna cum rectangulis bis ſub codem cir-
culo, & duobus trilineis cuiliber laterum adiacentibus, quæ
non fuerunt ſumpta pro regula, erunt, vt dictum parallelo-
grammum ad dictum circulum, vel ellipſim.
Sit circulus, vel ellipſis, MBEG, cuius centrum, A, per quod
tranſeant diametri, ME, BG, ductis autem tangentibus circulum,
vel ellipſim in punctis, M, B, E, G, donec concurrant, ſit eidem cir-
cumſcriptum parallelogrammum, HF, quod habebit latera paral-
Di-
co ergo omnia quadrata parallelogrammi, HF, ad omnia quadra-
ta circuli, vel ellipſis, MBEG, vna cum rectangulis bis ſub eodem
circulo, vel ellipſi, MBEG, & ſub trilineis, MGN, GFE, adia-
centibus lateri, NF, ſumpto vtcunque ex duobus, HD, NF, quę
ellipſim, MBEG. Omnia .
n.
quadrata parallelogrammi, HF, ſunt
ideò ſunt ad illa, vt parallelogrammum, HF, ad ſui ipſius duas ter-
tias, quod ſerua.
Quoniam verò omnia quadrata parallelogrammi, AF, ad rectan-
gula ſub eodem, & ſub ſemiportione, AEG, ſunt vt parallelogram-
drata ſemiportionis, AEG, ſunt ſexquialtera .i.
ſunt vt parallelo-
grammum, AF, ad ſui ipſius, {2/3}, igitur eadem ad reliqua. ſ.
ad rectan-
gula ſub ſemiportione, AEG, & trilineo, GEF, erunt vt parallelo-
grammum, AF, ad exceſium, quo ſemiportio, AEG, excedit, {2/3}, pa-
rallelogrammi, AF, omnia autem quadrata, BF, ſunt quadrupla om-
nium quadratorum, AF, ergo omnia quadrata, BF, ad rectangula
trilineo, GEF, erunt vt quater paral-
lelogra nmum, AF, ad dictum exceſſum.i.
vt parallelogrammum, H
conſequentibus
quadruplicatis, omnia quadrata paralle
logrammi, BF, adrectangula quater ſub
ſemiportione, AEG, & trilineo, GEF, .
i.
ad rectangula bis ſub portione, BEG, &
trilineo, GEF, erunt vt, HF, ad dictum ex
ceſſum quater ſumptum, quia enim, AE,
eſt diameter bifariam diuidit in portione,
BEG, omnes ipſi, DF, æquidiſtantes, &
ideò rectangula quater ſub ſemiportione,
AEG, & trilineo, GEF, fiunt rectangula
bis ſub portione, BEG, & trilineo, GEF, omnia ergo quadrata paral-
lelogrammi, BF, ad rectangula bis ſub portione, BEG, & trilineo, G
EF, vel eorum dupla. ſ.
omnia quadrata parallelogrammi, HF, ad re-
ſub trilineis, MGN, GE
F, erunt vt parallelogrammum, HF, ad quatuor exceſſus ſemiportio-
nis, AEG, ſuper duas tertias parallelogrammi, AF, .i.
ad exceſſum cir-
culi, vel ellipſis, MBEG, ſuper, {2/3}, parallelogrammi, HF, erant autem
omnia quadrata parallelogrammi, HF, ad omnia quadrata circuli,
vel ellipſis, MBEG, vtidem parallelogrammum, HF, ad, {2/3}, ſui ipſius,
ergo omnia quadrata parallelogrammi, HF, ad omnia quadrata cir-
culi, vel ellipſis, MBEG, ſimul cum rectangulis bis ſub eodem circulo,
vel ellipſi, MBEG, & ſub trilineis, MNG, GFE, erunt vt parallelo-
grammum, HF, ad ſui ipſius, {2/3}, vna cum exceſſu circuli, vel ellipſis, M
BEG, ſuper eaſdem duas tertias .i.
erunt vt parallelogrammum, H
F, ad circulum, vel ellipſim, MBEG, quod erat oſtendendum.
OMnia quadrata, BF, ad rectangula ſub, BF, &
ſub portione,
BEG, ſunt vt, BF, ad portionem, BEG, rectangula verò
parallelogrammo, BF, diuiduntur in re-
ctangula ſub, BEG, &, BDE, trilineo .
i.
ſub trilineo, GEF, &
ſub, BEG, & trilineo, GEF, &
ſub, BEG, &
eadem portione,
BEG, .i.
in omnia quadrata portionis, BEG, ergo omnia quadra-
ta, BF, ad omnia quadrata portionis, BEG, ſimul cum rectangu-
lis ſub portione, BEG, & trilineo, GEF, bis ſumptis, vel omnia
quadrata, HF, ad omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MBEG,
ſimul cum rectangulis ſub circulo, vel ellipſi, MBEG, & trilineis,
MNG, GFE, bis ſumptis, erunt vt, BF, ad portionem, BEG,
vel vt, HF, ad circulum, vel ellipſim, MBEG, quod erat oſten,
dendum.
SI à parallelogrammo per lineam lateribus parallelam
parallelogrammum abſcindatur, quod intelligatur cir-
culo, vel ellipſi circumſcriptum, regula autem ſit parallelo-
grammi baſis : Omnia quadrata circumſcripti parallelo-
grammi, ſimul cum rectangulis bis ſub eodem, & ſub reli-
quo parallelogrammo per dictam parallelam conſtituto, ad
omnia quadrata dicti circuli, vel ellipſis, ſimul cum rectan-
gulis bis ſub eodem circulo, vel ellipſi, & ſub quadrilineo
duabus parallelis circulum, vel ellipſim tangentibus, inclu-
ſaque ab ijſdem curua, & latere totius parallelogrammi,
quod circulum, vel ellipſim non tangit, comprehenſo, erunt,
vt dictum circumſcriptum parallelogrammum ad eundem
circulum, velellipſim.
Sit ergo parallelogrammum, HO, cuius baſis, &
regula, DO,
ductaque, NF, intra ipſum lateribus, HD, CO, parallela, ſit ab-
ſciſſum à toto parallelogrammo, HO, parallelogrammum, HF, in-
telligatur autem circumſcriptum circulo, vel ellipſi, MBEG, cuics
centrum, A, per quod tranſeant diametri, ME, &, BG, quæ ſit
producta vſque in, P, erunt autem dictæ diametri parallelæ paralle-
logrammi, HO, lateribus, tranſibuntque per puncta contactuum,
Dico igitur omnia quadrata parallelogrammi, HF,
ſimul cum rectangulis bis ſub, HF, & parallelogrammo, FC, ad
omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MBEG, ſimul cum rectangu-
lis bis ſub eodem circulo, vel ellipſi, MBEG, & ſub quadrilineo, M
GEOC, eſſe vt parallelogrammum, HF, ad circulum, vel ellipſim,
MBEG : Omnia .
n.
quadrata parallelogrammi, HO, ad omnia
dratum, OE, omnia item quadrata parallelogrammi, MO, ad re-
portione, MGE, ſunt vt,
MO, ad portionem, MGE, fiat vt, MF, ad portionem, MGE,
ita, FE, ad, EI, erit ergo vt, MO, ad portionem, MGE, ita, O
E, ad, EI, ergo omnia quadrata, MO, ad rectangula ſub, MO, &
portione, MGE, erunt vt, OE, ad, EI, .i.
vt quadratum, OE,
ad omnia quadrata, OM, vt quadratum, DO, ad quadratum, O
E, ergo ex æquali omnia quadrata, HO, ad rectangula ſub, MO,
& ſub portione, MGE, erunt vt quadratum, DO, ad rectangu-
lum ſub, OE, EI, ad eadem verò quater ſumpta, vt quadratum, D
O, ad rectangulum ſub, OE, & quadrupla, EI;
rectangula autem
por-
quantur rectangulis
ſub quadrilineo, M
GEOC, & por
tione, MGE, vna
cum omnibus qua
dratis portionis, M
GE, ilia ig tur qua-
ter ſumpta reddunt
quater rectangula ſub portione, MGE, & quadrilineo, MGEO
C, vna cum omnibus quadratis portionis, MGE, quater ſumptis,
quia verò omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MBEG, æquantur
portionis, MGE, vna cum
rectangulis bis ſub vtriſq; portionibus .
i.
vna cum omnibus quadratis
portionis, MGE, bis ſumptis, & omnia quadrata portionis, MBE,
æquantur omnibus quadratis portionis, MGE, ideò omnia quadra-
ta portionis, MGE, quater ſumpta æquantur omnib. quadratis cir-
culi, vel ellipſis, MBEG, item rectangula ſub portione, MGE, &
quadrilineo, MGEOC, quater æquantur rectangulis ſub toto circu-
lo, vel ellipſi, MBEG, & ſub quadrilineo, MGEOC, bis ſumptis, itaut
hucuſq; probauerimus rectangula ſub portione, MGE, &
paralle-
logrammo, MO, quater ſumpta æquari omnibus quadratis circuli,
ellipſi, & ſub quadrilineo, MGEOC, quoniam verò oſtenſum eſt
omnia quadrata, HO, ad rectangula ſub portione, MGE, & pa-
rallelogrammo, MO, quater ſumpta eſſe, vt quadratum, DO, ad
rectangulum ſub, OE, & quadrupla, EI, ideò ex æquali omnia
quadrata, HO, ad omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MBEG,
vna cum rectangulis bis ſub eodem circulo, vel ellipſi, & ſub quadri-
lineo, MGEOC, erunt vt quadratum, DO, ad rectangulum ſub,
OE, & ſub quadrupla, EI, quod ſerua.
Quoniam verò omnia quadrata, HF, vna cum rectangulis bis ſub
vnum, ad vnum .ſ.
vt quadratum, DF, vna cum rectangulo bis ſub,
DF, FO, ad quadratum, DO, omnia quadrata verò parallelogram-
mi, HO, ad omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MBEG, vna cum
rectangulis bis ſub eodem circulo, vel ellipſi, & ſub quadrilineo, M
GEOC, eſſe oſtenſa ſunt, vt idem quadratum, DO, ad rectangu-
lum ſub, OE, & quadrupla, EI, ergo ex æquali omnia quadrata pa-
rallelogrammi, HF, vna cum rectangulis bis ſub parallelogrammis,
HF, FC, ad omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MBEG, vna
ſub eodem circulo,
vel ellipſi, MBE
G, erunt vt quadra-
tum, DF, vna cum
rectangulo ſub, D
F, FO, bis, ad re-
ctangulum ſub, OE,
& quadrupla, EI,
vel erunt, vt eorum
dimidia .ſ.
vt dimi-
dium quadrati, DF,
quod erit rectangulum, DFE, vna cum rectangulo ſub, DFO, ſe-
mel (ex quibus componetur rectangulum ſub, OE, FD,) ad rectan-
gulum ſub, OE, & dupla, EI, vel, vt adhuc horum dimidia .
ſ.
vt
rectangulum ſub, OE, &, ED, ad rectangulum ſub, OE, &
, EI,
i.
vt, DE, ad, EI, quia, OE, altitudo eſt communis, oſtenſum
ergo eſt omnia quadrata, HF, vna cum rectangulis bis ſub paralle-
logrammis, HF, FC, ad omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MB
EG, vna cum rectangulis bis ſub eodem, & ſub quadrilineo, MGE
OC, eſſe, vt, DE, vel, FE, ad, EI, .i.
vt parallelogrammum, M
F, ad portionem, MGE, vel vt parallelogrammum, HF, ad cir-
culum, vel ellipſim, MBEG, quod erat propoſitum.
OMnia quadrata parallelogrammi circulo, vel ellipſi
circumſcripti (regula baſi) ad omnia quadrata figuræ
compoſitæ ex circulo, vel ellipſi, & ex duobus trilineis ad-
iacentibus lateri, quod non eſt regula, nec ipſi parallelum,
veluti dicitur in Th. 14.
erunt, vt idem parallelogrammum
ad circulum, vel ellipſim, cui circumſcribitur, vna cum eo
ſpatio, quod relinquitur, dempto à quarta parte dicti paral-
lelogrammi circuli, vel ellipſis quadrante, ſimul cum exceſ-
ſu, quo idem quadrans ſuperat duas tertias dicti parallelo-
grammi ideſt erit, proximè, vt 21. ad 17.
Exponatur denuò figura Theor.
14.
Dico omnia quadrata paral-
lelogrammi, HF, ad omnia quadrata figuræ compoſitæ ex circulo,
vel ellipſi, MBEG, & trilineis, MGN, EGF, eſſe vt, HF, ad
circulum, vel ellipſim, MBEG, vna cum reſiduo, dempto à paral-
lelogrammo, MG, circuli, vel ellipſis, quadrante, MGA, ſimul
cum eo exceſſu, quo idem quadrans ſuperat duas tertias parallelo-
grammi, MG. Etenim oſtenſum eſt omnia quadrata, HF, ad om-
ſub eodem, & ſub trilineis, MNG, GFE, eſſe vt, HF, ad circu-
lum, vel ellipſim, MBEG, quod lerua.
Vlterius, quia omnia quadrata, HG, ad omnia quadrata, MG,
@.
vt parallelogram-
mum, HF, ad parallelogrammum, MG; inſuper omnia quadrata,
cum eo ſpatio, quo idem ſuperat duas
tertias rectanguli, MG, ab eodem re-
ctangulo, MG, ergo ex æquali omnia
quadrata, HG, ad omnia quadrata tri-
linei, MGN, erunt vt, HF, ad reſi-
duum, dempto quadrante, MAG, ſimul
cum eo ſpatio, quo idem ſuperat, {2/3}, re-
ctanguli, MG, ab eodem rectangulo, M
, duplicatis proportionis terminis,
omnia quadrata, HF, ad omnia quadra-
ta trilineorum, MNG, GFE, erunt vt duplum, HF, ad duplum
i.
vt, HF, ad vnum illud reſiduum ;
omnia autem qua-
drata eiuſdem, HF, ad omnia quadrata circuli, vel ellipſis, MBE
G, ſimul cum rectangulis bis ſub eodem, & ſub trilineis, MNG, G
FE, ſunt vt, HF, ad circulum, vel ellipſim, MBEG, ergo, col-
ligendo, omnia quadrata, HF, ad omnia quadrata circuli, vel elli-
pſis, MBEG, & ad omnia quadrata trilineorum, MNG, GFE,
ſimul cum rectangulis bis ſub circulo, vel ellipſi, MBEG, & trili-
neis, MNG, GFE, ideſt ad omnia quadrata figuræ, NMBEF,
erunt vt, HF, ad circulum, vel ellipſim, MBEG, ſimul cum reſi-
eo
ſpatio, quo idem excedit duas tertias parallelogrammi, MG.
Dico nunc hanc rationem eſſe, vt 21.
ad 17.
proximè, parallelo-
grammum enim, MG, ad dictum reſiduum eſt, vt 21. ad 2.
proxi-
mè, vt oſtendimus Theor. 12.
parallelogrammum vero, HF, qua-
druplum eſt ipſius, MG, ergo, HF, ad illud reſiduum eſt, vt 84. ad 2.
proximè, eſt autem idem, HF, ad circulum, vel ellipſim, MBEG,
vt 14. ad 11.
proximè .
i.
vt 84.
ad 66.
ergo parallelogrammum, H
F, ad compoſitum ex circulo, vel ellipſi, MBEG, & dicto reſiduo
eſt, vt 84. ad 68.
proximè .
i.
vt 21.
ad 17.
proximè, ideò omnia qua-
drata, HF, ad omnia quadrata figuræ, NMBEF, ſunt proximè,
vt 21. ad 17.
patet ergo propoſitum.
_H_INC patet, quoniam omnia quadrata, HF, omnium quadrato-
& ideò, ſi dempſeris omnia quadrata, MF, ab omnibus quadratis ſigu-
ræ, NMBEF, omnia quadrata, HF, ad reſiduum erunt, vt, HF, ad
illud, quod relinquitur, dempto, MG, à circulo, vel ellipſi, MBEG, &
reſiduo ſæpius dicto .ſ.
quod remanet ablato ab, MG, quadrante, MAG,
& eo exceſſu, quo idem ſuperat, {2/3}, MG, eſt autem, HF, ad bac rema-
nentia ſpatia proximè, vt 84.ad 47.
Conſtitue .
n.
HF, 84.
erit circulus, vel ellipſis, MBEG, 66.
&
di-
ctum reſiduum 2. vt ſupra oſtendimus (proximè ſemper intellige) eſt au-
tem, MG, 21. demas ergo 21.
à compoſito ex 66.
&
2.
ideſt à 68.
re-
manent 47. eſt ergo, HF, ad remanentia ſpatia, vt 84.
ad 47.
vnde om-
nia quadrata, HF, ad reſiduum, dempt is omnibus quadratis, MF, ab
omnibus quadratis ſiguræ, NMBEF, erunt, proximè, vt 84. ad 47.
quod eſt propoſitum.
_H_INC etiam patet, quoniam omnia quadrata, MF, ad omnià
quadrata trilineorum, MNG, GFE, ſunt, vt 21. ad 2.
pro.
ximè, quod ad ſuireliquum erunt, vt 21.
ad 19.
proximè, ſunt autem
omnia quadrata, HF, quadrupla omnium quadratorum, MF, & ideò
omnia quadrata, HF, ad reſiduum, demptis omnibus quadratis trili-
neorum, MNG, GFE, ab omnibus quadratis, MF, erunt proximè,
vt 84. ad 19.
ſunt autem omnia quadrata, HF, ad reſiduum, demptis
omnibus quadratis, MF, ab omnibus quadratis figuræ, NMBEF, vt
84. ad 47.
proximè, ergo reſiduum primum .
i.
quod relinquitur, demptis
omnibus quadratis trilineorum, MNG, GFE, ab omnibus quadratis,
MF, ad reſiduum ſecundum .i.
ad id, quod relinquitur, demptis omni-
bus quadratis, MF, ab omnibus quadratis figuræ, NMBEF, erit pro-
ximè, vt 19.ad 47.
vnde patet, &
c.
EXponatur denuo figura Prop.
16.
Dico omnia quadra-
ta, HO, (regula eadem ibi ſumpta) ad omnia quadra-
ta figuræ compoſitæ ex parallelogrammo, MO, & ſemicir-
culo, vel ſemiellipſi, MBE, eſſe, vt quadratum, DO, ad
rectangulum ſub, DO, OE, vna cum rectangulo ſub, OE,
& ſub exceſlu, quo dupla, EI, ſuperat, EF, cum, {2/3}, quadra-
ti, DE.
QVoniam ergo omnia quadrata figuræ, CMBEO, diuiduntur
per lineam, ME, in omnia quadrata parallelogrammi, MO,
in omnia quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis, MBE, & in re-
ſub ſemicirculo, vel ſemiellipſi, MBE,
patet primò, quod omnia quadrata, HO, ad omnia quadrata, MO,
ſunt, vt quadratum, DO, ad quadratum, OE. Inſuper omnia
quadrata, HO, ad omnia quadrata, HE, ſunt vt quadratum, OD,
ad quadratum, DE, omnia verò quadrata, HE, ad omnia qua-
ad ſui ipſius, {2/3}, ergo ex æquali omnia quadrata, HO, ad omnia
quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis, MBE, ſunt vt quadratum,
OD, ad, {2/3}, quadrati, DE. Vlterius omnia quadrata, HO, ad om-
omnia item quadrata, MO, ad rectangula ſub, MO, & ſemicir-
culo, vel ſemiellipſi, MBE, ſunt vt, OM, ad ſemicirculum, vel ſe-
miellipſim, MBE, .i.
vt, OE, ad, EI, nam facta eſt, FE, ad, EI,
vt, MF, ad ſemicirculum, vel ſemiellipſim, MGE; ad eadem verò
igitur, colli-
gendo, omnia quadrata, HO, ad omnia quadrata ſemicirculi, vel
ad omnia quadrata,
MO, & ad rectan-
gula bis ſub ſemicir-
culo, vel ſemiellipſi,
MBE, & ſub, MO,
ſimul ſumpta .i.
ad
omnia quadrata fi-
guræ, CMBEO,
erunt vt quadratum,
OD, ad quadratum, OE, ad, {2/3}, quadrati, DE, cum rectangu-
lo ſub, OE, & dupla, EI, ſimul ſumpta;
quia verò ſemicircu-
lus, vel ſemiellipſis, MGE, eſt pluſquam dimidium parallelogram-
mi, MF, etiam, EI, erit pluſquam dimidia, EF; &
ideò dupla,
EI, excedet ipſam, EF, vel ipſam, DE, rectangulum ergo ſub,
OE, & dupla, EI, poterimus diuidere in rectangulum ſub, OE,
&, ED, &
in rectangulum ſub, OE, &
exceſſu, quo dupla, EI,
ſuperat, ED, iungamus rectangulum ſub, DE, EO, cum qua-
drato, EO, fiet rectangulum ſub, DO, OE; quadratum ergo,
OE, {2/3}, quadrati, ED, & rectangulum ſub, OE, &
dupla, EI,
commutata ſunt vt in, {2/3}, quadrati, ED, in rectangulum ſub, D
O, OE, cum rectangulo ſub, OE, & ſub exceſſu duplæ, EI,
ſuper, ED. Omnia ergo quadrata, HO, ad omnia quadrata fi-
guræ, CMBEO, erunt vt quadratum, DO, ad rectangulum
ſub, DO, OE, cum rectangulo ſub, OE, & ſub exceſſu duplæ,
EI, ſuper, ED, vel, EF, cum, {2/3}, quadrati, DE, quod erat oſten,
dendum.
_P_ATET autem omnia quadrata, HT, ad omnia quadrata figure,
BMCP, eſſe pariter, vt quadratum, BP, ad rectangulum ſub,
BP, PA, vna cum rectangulo ſub, PA, & ſub exceſſu, quo dupla,
EI, ſuperat, EF, cum, {2/3}, quadrati, BA. Et quoniam, iuncta, BM,
oſtenſum eſt omnia quadrata, HP, ad omnia quadrata trapezij, MB,
drati, AB, ideò eadem omnia quadrata, HP, ad reſiduum omnium
quadratorum figuræ, quæ eiſdem, MCPB, & curua, MB, contine-
tur, demptis ab ijſdem omnibus quadratis trapezij, BMCP, erunt vt
idem quadratum, BP, ad rectangulum ſub, AP, & ſub exceſſu du-
pla, EI, ſuper, EF, vnacum, {2/3}, quadrati, BA.
EXpoſita adhuc figura Propof.
15.
&
intra circulum, vel
ellipſim, MBEG, ducta, RV, vtcunq; regulę, DF,
parallela, diuidente ipſum circulum, vel ellipſim in duas vt-
cunque portiones, SMT, SET. Dico omnia quadrata
portionis, SMT, cumrectangulis bis ſub eadem portione,
& ſub quadrilineo, MTVN, ad omnia quadrata portionis,
SET, cum rectangulis bis ſub eadem portione, & ſub tri-
lineis, TGV, GEF, eſſe vt portio, SMT, ad portionem,
SET.
Quoniam .
n.
rectangula ſub portione, SMT, &
parallelogram-
parallelogrammum, HV, rectangula verò ſub, SMT, & paralle-
logrammo, HV, diuiduntur in rectangula ſub, SMT, & ſub, SM
T, ideſt in omnia quadrata, SMT, & in rectangula ſub, SMT, &
ſub quadrilineis, HRSM, MTVN, ideſt bis ſub, SMT, & ſub
quadrilineo, MTVN; namcum, ME, ſit diameter, bifariam di-
uidit tum ordinatim applicatas in parallelogrammo, HF, tum in
circulo, vel ellipſi, MBEG, & ideò exceſſus earundem linearum
hinc inde relinquuntur æquales, vndein quadrilineis, HRSM, M
TVN, lineæ in eadem rectitudine ſumptæ ſunt æquales, ideò om-
nia quadrata portionis, SMT, & rectangula ſub eadem, &
ſub qua-
portio, SMT, ad parallelogrammum, HV. Omnia inſuper qua-
ſunt vt, HR. ad, RD, .
i.
vt, HV,
ad, VD; eodem deniq;
modo, quo ſu-
pra, oſtendemus omnia quadrata, RF,
ad omnia quadrata portionis, SET, cum
rectangulis bis ſub eidem, & ſub trilineis,
TGV, GEF, eſſe vt, RF, ad portio-
nem, SET, ergo ex æquali, omnia
quadrata portionis, SMT, cum rectan-
gulis bis ſub eadem, & ſub quadrilineo,
MTVN, ad omnia quadrata portio-
nis, SET, cum rectangulis bis ſub eadem. &
ſub trilineis, TGV,
GFE, erunt vt portio, SMT, ad portionem, SET. quod oſten.
dere opus erat.
_H_INC patet omniä quadrata parallelogrammorum in eadem al-
titudine cum portionibus, vel fruſtibus portionum exiſtentium,
ad omnia quadrata earundem ſimul cumrectangulis bis ſub ijſdem, &
ſub quadrilineis, vel trilineis, quæ illis èregione reſpondent lateri,
NF, adiacentia, veluti ſupra fuerunt quadri ineum, MTVN, &
trilineum, TGV, GEF, eſſe, vt eadem parallelogramma ad eaſdem
portiones, vel portionum fruſta, quod ex ſupra dictis clarè patet.
EXpoſita adhuc figura Propoſ.
16.
&
intra circulum, vel
ellipſim ducta quacunq; regulæ parallela, RX, diui-
dente ipſum vtcunq; in duas portiones, SMT, SET.
Di-
co omnia quadrata portionis, SMT, cum rectangulis bis
ſub eadem, & ſub quadrilineo, MTXC, ad omnia quadra-
ta portionis, SET, cum rectangulis bis ſub eadem, & ſubqua-
drilineo, TGEOX, eſſe vt portio, SMT, ad portionem, SET.
Fiat prius, vt, MV, ad ſemiportionem, MYT, ſic, VY, ad,
YZ. Omnia ergo quadrata, MX, ad rectangula ſub, MX, &
ſe-
miportione, MYT, ſunt vt, MX, ad, MYT, diuide rectangula
, MYT, in omnia quadrata, MYT, &
in rectangula
ſub, MYT, & ſub, MTXC, omnia ergo quadrata, MX, ad om-
nia quadrata, MYT, cum rectangulis ſub, MYT, & ſub quadri-
lineo, MTXC, erunt vt, MX, ad, MYT, .i.
vt, XY, ad, YZ,
.i.
vt quadratum, XY, ad rectangulum ſub, XY, &
, YZ, eadem
verò ad hæc quater ſumpta erunt, vt quadratum, XY, adrectangu-
lum ſub, XY, & quadrupla, YZ, ſunt autem omnia quadrata ſe-
miportionis, MYT, quater ſumpta æqualia omnibus quadratis por-
rectangula ſub, MYT, &
quadrilineo, MTXC,
quater ſumpta æqualia rectangulis ſub eodem quadrilineo, & ſub
portione, SMT, bis ſumptis, nam portio, SMT, bis continet ſe-
miportionem, MYT, ergo conuertendo, omnia quadrata portio. nis, SMT, cum rectangulis bis ſub eadem, &
quadrilineo, MTX
C, ad omnia quadrata, MX, erunt vt rectangulum ſub quadrupla,
YZ, & ſub, YX, ad quadratum, YX, omnia autem quadrata, M
X, ad omnia quadrata, HV, cum rectangulis bis ſub parallelogram-
vt vnum ad vnum. vt quadratum, YX,
ad quadratum, RV,
cum rectangulis bis
ſub, RV, VX, ergo
exęquali omnia qua-
drata portionis, SM
T, cum rectangulis
bis ſub eadem, & ſub
quadrilineo, MTX, adomnia quadrata, HV, cum rectangulis bis
ſub parallelogrammis, HV, VC, erunt vt rectangulum ſub, XY, &
quadrupla, YZ, ad quadratum, RV, cum rectangulis bis ſub, RV
X, vel vt eorum dim dia .ſ.
vt rectangulum ſub, XY, &
dupla, YZ,
ad dimidium quadrati, RV, ſeil cet ad rectangulum ſub, RV, VY,
cum rectangulo ſub, RV, VX, vel adhuc, vt horum dimidia (com-
pone autem rectangulum ſub, RV, VY, cumrectangulo ſub, RV,
VX, ex quibus fit rectangulum ſub, RV, YX,). ſ.
vtrectangulum
ſub, ZY, YX, ad rectangulum ſub, RY, YX, .ſ.
vt, ZY, ad, YR,
.ſ.
vt ſemiportio, MYT, ad, MV, vel vt portio, SMT, ad, HV.
Inſuper omnia quadrata, HV, cum rectangulis bis ſub parallelo-
grammis, HV, VC, ad omnia quadrata, RF, cum rectangulis bis
ſub parallelogrammis, RF, FX, funt vt, HR, ad, RD, & tan-
dem modo ſuperiori oſtendemus omnia quadrata, RF, cum rectan-
gulis bis ſub parallelogrammis, RF, FX, ad omnia quadrata
portionis, SET, cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub quadrili-
o nnia quadrata portionis, SMT, cum rectangulis bis ſub eadem,
& ſub quadrilineo, MTXC, ad omnia quadrata portionis, SET,
cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub quadrilineo, TGEOX,
erunt vt portio, SMT, ad portionem, SET, quod oſtendere o-
portebat.
_H_INC patet omnia quadrata parallelogrammorum in eadem al-
titudine cum portionibus, vel portionum fruſtibus exiſtentium,
vna cum rectangulis bis ſub ijſdem parallelogrammis, & reliquis pa-
rallelogram nis illis in directum exiſtentibus, ad omnia quadrata por. tionum, vel fruſtorum eorundem, ſimul cumrectangulis bis ſub ijſdem,
& ſub quadrilineis illis in directum iacentibus, veluti fuerunt quadri-
lineun, MTXC, TGEOX, eſſe, vt dicta parallelogramma ad di-
ctas portiones, vel portionum fruſta; quodex prædictis clarè patet;
Vnde ex. g.
omnia quadrata, RG, ſimul cum rectangulis bis ſub paral-
lelogrammis, RG, GX, ad omnia quadrata fruſti, SBGT, cum re-
ctangulis bis ſub, SGBT, & quadrilineo, TG, PX, erunt vt paral-
lelogrammum, RG, ad fruſtum, SBGT, hoc .n.
pariter oſtendetur,
veluti probatum eſt omnia quadrata, HV, ſimul cum rectangulis bis
ſub, HV, VC, ad omnia quadrata portionis, SMT, ſimul cum re-
ctingulis bis ſub eadem, & ſub quadrilineo, MTXC, eſſe vt, HV,
ad portionem, SMT, vnde manifeſtum eſt, quod in hoc Corollaris
colligitur.
SIin circulo, vel ellipſi apteturrecta linea, per cuius ex-
trema puncta ducantur duæ rectæ lineæ, quæ ſint (exi-
ſtente apta parallela vniaxium, vel diametrorum) paralle-
læ ſecundo axi, vel diametro, quæ ſumatur pro regula: Re-
ctangula ſub portione minori abſciſſa per aptatam, & ſub
quadrilineo, quodaptata, & duabus dictis parallelis vſque
ad curuam circuli, vel ellipſis productis, & ab ijſdem inclu-
ſa curua comprehenditur, in circulo, erunt æqualia rectan-
gulis ſub duobus triangulis per diametrum quadrati, vel
rhombi (& hoc in ellipſicum diametri coniugatę ſe obliquę
ſecabunt, quibus latera dictirhombi ſint æquidiſtantia) ab
In ellipſi verò
ad eadem rectangula, erunt vt quadratum ſecundiaxis, vel
diametri, ad quadratum primæ.
Sit primò circulus, ABFH, &
in eo vtcunque aptata recta, AB,
per puncta, AB, producantur viq;
ad
circumferentiam, HF, duæ, AH, BF, parallelæ ſecundæ diame-
tro, ST, quæ ſumatur pro regula, quia autem circulus eſt, ESRT,
ideò coniugatæ diametri, ER, ST, ſeſecant ad angulos rectos, &
ideò, AH, BF,
ſunt perpendiculares ipſi, AB; ſuper, A
B, ergo ſit deſcriptum quadratum, AD,
& in eo ducta diameter, AD.
Dico er-
go rectangula ſub portione, ASB, &
quadrilineo, AB, FH, eſſe æqualia re-
ctangulis ſub duobus triangulis, ABD,
AVD, ſumatur enim in, AB, vtcunq; punctum, m, &
per, M, ducatur ipſi, B
F, parallela, CG, ſecans, AD, in, N;
VD, in, O, & curuam circuli in, CG,
quia ergo duæ, AB, CG, in circulo ſe
MC, eſt æquale rectangulo, BMA, &
quia, AM, eſt æqualis ipſi, MN, &, M
B, ipſi, NO, rectangulum, AMB, eſt
æquale rectangulo, MNO; ergo rectan-
gulum, CMG, erit æquale rectangulo,
MNO, idem de cæteris probabitur, er-
go rectangula ſub portione, ACB, &
quadrilineo, ABFGH, erunt æqualia
rectangulis ſub triangulis, ABD, AVD, quod eſt propoſitum in
circulo.
Sit nunc in inferiori figura ellipſis, ESRT, centrum, X, axes,
aptata, AB, parallela ipſi, ER, per cuius extrema puncta, AB,
productæ ſint vſque ad curuam ellipſis duæ, AH, BF, parallelę ſe-
cundæ axi, vel diametro, ST; ſit inſuper deſcriptum quadratum,
velrhombus, AD, cuius latera diametris, ER, ST, ſint paralle-
la, & in eo ducta diameter, AD, &
per puncta, E, S, ſint etiam du-
ctæ tangentes, EY, SY, coincidentes in, Y, quæ erunt parallelæ
diametris, ER, ST, .ſ.
YE, ipſi, ST, &
, YS, ipſi, ER;
erit er-
quepuncto, M, & per, M, ducta, CMG, parallela ipſi, BF,) ſe-
quetur rectangulum, GMC, ad rectangulum, BMA, eſſe vt qua-
dratum, EY, ad quadratum, YS, ergo rectangulum, TZS, ad re-
ctangulum, BZA, erit vt rectangulum, GMC, ad rectangulum,
BMA, & ſic dereliquis oſtendemus .
i.
rectangula ſub portione, AS
B, & quadrilineo, AHTFB, adrectangula ſub omnibus abſciſſis,
AB, & reſiduis abſciſſarum eiuſdem .
i.
adrectangula ſub triangulis,
ABD, AVD, (ſunt .n.
rectangula ſub omnibus abſciſſis, AB, &
reſiduis abſciſſarum eiuſdem, æqualia rectangulis ſub duobus triangu-
tum, SX, ad quadratum, XE, vel vt quadratum, ST, ad quadra-
tum, ER; ergo rectangula ſub portione, ASB, &
quadrilineo, A
HTFB, ad rectangula ſub triangulis, ABD, AVD, erunt vt qua-
dratum, ST, ad quadratum, ER; quod oſtendere oportebat.
HINC patet, quoniam probauimus, omnia quadrata, AD, ſex-
cupla eſſe rectangulorum ſub triangulis, ABD, AVD, quod
in circulo eadem quadrat a ſint ſexcupla rectangulorum ſub portione,
ASB, & quadrilineo, AHTFB.
In ellipſi verò, quia pariter om-
nia quadrata, AD, rectangulorum ſub triangulis, ABD, AVD,
ſunt ſexcupla .i.
ſunt ad illa, vt cubus, AB, ad ſui ipſius ſextam par-
tem, inſuper rectangula ſub triangulis, ABD, AVD, adrectangula
quadrilineo, AHTFB, ſunt vt quadra-
tum, ER, conuertendo ad quadratum, ST, .i.
vt ſexta pars cubi, AB,
ad eiuſdein talem partem, ad quam ipſa ſextapars ſit, vt quadratum, E
R, ad quadratum, ST, binc ex æquali omnia quadrata, AD, in elli-
pſi, ad rectangula ſub portione, ASB, & quadrilineo, AHTFB,
erunt vt cubus, AB, ad ſui ipſius eam partem, ad quam eiuſdem cubi,
AB, ſextapars ſit veluti quadratum, ER, ad quadratum, ST. Ve-
rum ſi in ellipſi diametri non ſint axes, vice cubi, AB, concludemus
omnia quadrata, AD, adrectangula ſub portione, ASB, & quadri-
lineo, AHTFB, eſſe vt parallelepipedum ſub altitudine, AB, baſi
rhombo quod ab ipſa, AB, deſeribitur, ad ſui ipſius eam partem, ad
quam eiuſdem parallelepipedi pars ſexta ſit veluti quadratum, ER, ad
quadratum, ST,
SI intra parallelogrammum, quod circulo, vel ellipſi ſit
circumſcriptum, ducatur lateribus eiuſdem parallela
quædam rectalinea, per circuli, vel ellipſis centrum non
tranſiens, altero reliquorum laterum regula exiſtente. Om-
nia quadrata parallelogrammi, quod maiori portioni circu-
li, vel ellipſis iam dicti, remanent circumſcriptum, ad om-
nia quadrata figuræ compoſitæ ex maiori portione, & duo-
bus trilineis, quiad baſim eiuſdem hinc inde extra conſtitu-
untur, demptis eorundem trilineorum omnibus quadratis,
erunt in circulo, vt parallelepipedum ſub baſi parallelo-
grammo dictæ portioni maiori circumſcripto, altitudine
eiuſdem portionis diametro ad cylindricum ſub baſi eadem
maiori portione, altitudine differentia diametrorum maio-
ris, acminoris factarum portionum, vna cum ſexta parte cu-
bi baſis eiuſdem portionis In ellipſi verò erunt, vt paralle-
lepipedum ſub baſi parallelogrammo maiori portioni ſimili-
ter circumſcripto, altitudine eiuſdem portionis diametro,
ad cylindricum ſub baſi eadem maiori portione, altitudine
differentia diametrorum maioris, ac minoris factarum por-
tionum, vna cum ea porte cubi baſis eiuſdem portionis, ad
quam ſexta pars eiuſdem cubi ſit, vt quadratum primæ dia-
metriad quadratum ſecundæ, vel, ſi diametrinon ſint axes,
vna cum ea parte parallelepipedi ſub altitudine baſi eiu-
ſdem portionis, ac ſub baſi rhombo ab eadem deſcripto, ad
quam eiuſdem parallelepipedi pars ſexta ſit, vt quadratum
primę diametri ad quadratum ſecundæ.
Sit ergo circulus, vel ellipſis, CFEH, cui ſit circumſcriptum pa-
rallelogrammum, AQ, & centrum ſit, N, diametriautem tranſeun-
tesper puncta contactuum laterum circumſcripti parallelogrammi,
& per centrum, N.
ſint, CE, FH;
ſit autem, FH, regula, cui in-
ſiſtens, & lateribus, AP, DQ, parallela intra ipſum ducta ſit, LG.
Dico ergo omnia quadrata parallelogrammi, AG, ad omnia qua-
drata figuræ, LCFEG, demptis omnibus quadratis trilineorum,
CLI, YGE, eſſe, in circulo, vt parallelepipedum ſub baſi
tione, TCFEY, altitudine, IM, vna cum, {1/6}, cubi, TY. In elli-
pſi verò, vt parallelepipedum ſub baſi parallelogrammo, AG, alti-
tudine, FI, ad cylindricum ſub baſi portione, TCFEY, altitudi-
ne, MI, vna cum ea parte cubi, TY, ad quam eiuſdem cubi ſexta
pars ſit, vt quadratum, CE, primę diametri, ad quadratum ſecun-
dæ .ſ.
ad quadratum, FH, vel, ſi diametri non ſint axes, vna cum
ea parte parallelepipedi ſub, TY, & rhombo, RZ, ad quam illius
pars ſexta ſit, vt quadratum, CE, primæ diametri ad quadratum
ſecundæ. Ducantur per, T, Y, ipſi, PQ, parallelæ, Τ Δ, Υ Φ, ſe-
cantes curuam, CFE, in punctis, R, V, quæ iungantur recta, R
V, producta in, B, K, quoniam ergo, EC, eſt diameter, ad quam
quoq; bifariam ſecabit, eſt autem, ST,
æqualis, XY, ob parallelogrammum,
SY, ergo, VX, erit etiam æqualis ipſi,
RS, & tota, VY, toti, RT, cui etiam
eſt parallela, ergo, RV, TY, ſunt etiam
æquales, & parallelæ, eſtque, RV, in,
M, bifariam ſecta.
Diuidamus igitur omnia quadrata fi-
guræ, LCFEG, demptis omnibus
quadratis trilineorum, CLT, EGY, in
omnia quadrata figuræ, LCRT, dem-
ptis omnibus quadratis trilinei, LCT,
in omnia quadrata figuræ, GEVY,
demptis omnibus quadratis trilinei, E
GY, & in omnia quadrata figuræ, TR
FVY. Rurſus per rectam, RV, diui-
VY, in omnia quadrata, YR, in om-
nia quadrata portionis, RFV, & in re-
ctangula bis ſub, YR, & portione, R
FV, his ſeparatis, ad eorum ſingula comparemus nunc omnia qua-
drata parallelogrammi, KG.
Igitur omnia quadrata, KG, ad omnia quadrata, RY, ſunt vt,
mum, RY; omnia inſuper quadrata, KG, ad omnia quadrata, K
T, ſunt vt, BK, ad, KR, .i.
vt, KG, ad, KT;
item omnia qua-
drata, KT, ad omnia quadrata figuræ, LCRT, demptis omnibus
quadratis trilinei, LCT, .i.
ad omnia quadrata portionis, RCT,
cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub trilineo, CLT, ſunt vt, KT,
CLT, erunt vt, KG, ad portionem, RCT. Eodem modo oſten-
demus omnia quadrata, KG, ad omnia quadrata figuræ, VEGY,
demptis omnibus quadratis trilinei, EGY, eſſe vt, KG, ad portio-
nem, VEY, quæ conſerua.
Omnia inſuper quadrata, KG, ad omnia quadrata, RY, vt
ad rectangula ſub, RY, R Φ, ſunt vt, RY, ad R Φ, & tandem re-
ſub, RY, ſunt vt, R Φ, ad portionem, RFV, ergo ex æquali
omnia quadrata, KG, adrectangula ſub portione, RFV, & ſub,
RY, erunt vt, KG, ad portionem, RFV, ergo, colligendo, om-
nia quadrata, KG, ad omnia quadrata figurarum, LCRT, VE
GY, demptis omnibus quadratis trilineorum, CLT, EGY, & ad
omnia quadrata, RY, & ad rectangula ſemel ſub portione, RFV,
& ſub, RY, erunt vt, KG, ad portiones, RCT, VEY, RFV,
& ad rectangulum, RY, .
i.
vt, KG, ad portionem, TCFEY.
Reliquum eſt, vt comparemus omnia quadrata, KG, ad omnia
quadrata portionis, RFV, & ad rectangula ſub eadem, &
ſub, RY,
quia autem, RV, æquatur ipſi, TY, portio, RFV, æquatur por-
tioni, THY, etiam in ellipſi, quia, RV, TY, ſunt parallelæ,
ideò omnia quadrata portionis, RFV, ſunt rectangula ſub portio-
ne, RFV, & ſub portione, THY, quibus ſi iunxeris rectangula
ſub, RY, componentur rectangu-
la ſub eadem portione, RFV, & ſub quadrilineo, RTHYV.
Nuncvel, RV, eſt æqualis ipſi, VY, &
ſic, RY, erit quadratum,
ſiue rhombus, vel, RV, non eſt æqualis ipſi, VY, & tunc in ipſa,
VY, producta, ſi opus ſit ſumatur, VZ, æqualis, ipſi, VR, & du-
cta per, Z, Z Π, ipſi, RV, parallela, ſit conſtitutum, RZ, qua-
dratum, vel rhombus ipſius, RV: Omnia ergo quadrata, KG, ad
omnia quadrata, RZ, habent rationem compoſitam ex ratione
ex ratione ipſius, KB, ad, RV, quæ duæ rationes componunt ra-
Siautem, CE, FH, ſint tantum
quadrata, RZ, rhombi habent rationem compoſitam ex ratione,
KL, ad, R Π, bis ſumpta, & ex ratione, KB, ad, RV, quæ tres
baſi parallelogrammo, KG, ad parallelepipedum ſub altitudine,
RV, baſi autem rhombo, RZ: Omnia verò quadrata, RZ, in
qua-
drilineo, RTHYV, .i.
ſunt adilla, vt cubus, RV, ad ſui ipſius
ſextam partem. In ellipſi verò omnia quadrata, RZ, ad rectangu-
la ſub portione, RFV, & quadrilineo, RTHYV, ſunt vt cubus,
RV, vel parallelepipedum ſub altitudine, RV, baſi rhombo, RZ,
ad ſui ipſius eam partem, ad quam ſexta pars eiuſdem cubi, vel pa-
rallelepipedi ſit, vt quadratum, CE, primæ diametri, ad quadra-
tum, FH, ſecundæ; ergo ex æqualiin circulo omnia quadrata, K
G, adrectangula ſub portione, RFV, & ſub quadrilineo, RTH
YV, erunt vt parallelepipedum ſub altitudine, BK, baſi quadra-
to, KL, vel (quodidem eſt) vt parallelepipedum ſub, LK, & re-
ctangulo, KG, ad, {1/6}, cubi, RV. In ellipſi verò eadem erunt, vt
parallelepipedum ſub altitudine, LK, baſi parallelogrammo, KG,
ad eam partem cubi, RV, vel dicti parallelepipedi ſub, RV, &
vel parallelepipedi ſexta pars ſit, vt
quad. CE, ad quadratum, FH.
Sunt autem omnia quadrata, KG, ad
omnia quadrata figurarum, RCLT,
VEGY, demptis, omnibus quadratis
trilineorum, CLT, EGY, vna cum
omnibus quadratis, RY, & cum re
δtangulis ſub portione, RFV, & ſub,
RY, ſemel, vt, KG, ad portionem,
TCFEY, vt oſtendimus .i.
ſumpta, K
L, communi altitudine, vt parallelepi-
pedum ſub altitudine, KL, baſi paral
eadem altitudine, KL, & ſub baſi por
tione, TCFEY, ergo, colligendo,
omnia quadrata, KG, ad omnia qua
drata portionum, RCT, VEY, cum
rectangulis bis ſub ijſdem, & ſub trili
neis, CLT, EGY, inſuper ad omnia
quadrata, RY, cum rectangulis ſub, R
Y, & portione, RFV, ſemel, &
ad rectangula ſub eadem portio-
ne, RFV, & quadrilineo, RTHYV, ideſt ad omnia quadrata
portionis, RFV, cum rectangulis iterum ſub eadem, & ſub, RY,
quia rectangula ſub portione, RFV, & quadrilineo, RTHYV,
ſeparantur per lineam, TY, inrectangula ſub, RY, & portione,
RFV, & ſub portione, THY, &
portione, RFV, quæ ſunt om-
i.
(his omnibus in vnam ſummam
quadratis trilineorum, CLT, EGY, erunt vt parallelepipedum ſub
altitudine, KL, baſi parallelogrammo, KG, ad cylindricum ſub
altitudine, KL, baſi portione, TCFEY, vna cum, {1/6}, cubi, RV,
In ellipſi autem, vt idem parallepipedum ad eundem cy-
lindricum, vna cum ea parte cubi, RV, vel parallelepipedi ſub, R
V, & rhombo, RZ, ad quam eiuſdem cubi, vel parallelepipedis ſex-
ta pars ſit, vt quadratum, CE, ad quadratum, FH: Omnia autem
quadrata, AG, ad omnia quadrata, KG, ſunt vt parallelepipedum
ſub altitudine, AL, baſi parallelogrammo, AG, ad parallelepipe-
dum ſub altitudine, LK, baſi parallelogrammo, KG, ergo ex ęqua-
li pariter omnia quadrata, AG, ad omnia quadrata figurę, LCFE
G, demptis omnibus quadratis trilineorum, CLT, EGY, erunt in
circulo, vt parallelepipedum ſub altitudine, AL, vel, FI, baſi au-
tem parallelogrammo, AG, ad cylindricum ſub altitudine, LK, vel,
MI, baſi autem portione, TCFEY, vna cum, {1/6}, cubi, RV, vel,
TY. In ellipſi verò erunt, vt parallelepipedum ſub altitudine, FI,
baſi autem parallelogrammo, AG, ad cylindricum ſub altitudine,
MI, baſi autem ipſa portione, TCFEY, vna cum ea parte cubi,
RV, vel, TY, ſiue parallelepipedi ſub altitudine, TY, & baſi rhom-
bo, RZ, ad quam eiuſdem cubi, vel parallelepipedi ſexta pars ſit, vt
quadra@um, CE, ad quadratum, FH; quod oſtendere oportebat.
EXpoſita figura circuli Theorematis ſuperioris, &
in eo
ſumpta vtcunq;portione minori, RFV, cæteris, prout
ſtant, ſuppoſitis. Dico omnia quadrata, Δ V, ad omnia qua-
drata portionis, RFV, eſſe, vt ſexquialtera, FM, ad reli-
quum diametri, MH, maioris portionis, ab eodem dempta
recta linea, ad quam tripla, MN, ſit, vt parallelogrammum,
Δ V, ad portionem, RFV.
Rectangula enim ſub, Δ V, VT, ad omnia quadrata, RZ, ſunt vt
i.
vt rectangulum, FMI, ad quadratum, VZ, vel
ad quadratum, RV, omnia item quadrata, RZ, ſunt ſexcupla re-
quadrilineo, RTHYV, ideſt
ſunt ad illa, vt quadratum, RV, ad ſui, {1/6}, ergo ex æquali rectan-
gula ſub, Δ V, VT, ad rectangula ſub portione, RFV, & quadri-
lineo, RTHYV, erunt vt rectang. FMI, ad, {1/6}, quadrati, RV,
.
ad, {1/3}, quadrati, RM, .i.
ad rectangulum ſub;
FM, &
, {1/3}, MH, .
i.
vt,
MN, ad, {1/3}, MH, vel vt tripla, MN, ad, MH. Inſuper eadem
rectangula ſub, Δ V, VT, ad rectangula ſub portione, RFV, &
Δ V, ad portionem, RFV, ergo ſi
fiat, vt, Δ V, ad portionem, RFV,
rectangula
ſub, Δ V, VT, ad reliquum, demptis
rectangulis ſub portione, RFV, &
ſub, RY; à rectangulis ſub eadem por-
tione, & ſub quadrilineo, RTHYV,
.i.
ad rectangula ſub portione, RFV,
& portione, THY, .
i.
ad omnia qua-
drata portionis, RFV, erunt vetripla,
MN, ad, M ω, omnia autem quadra-
ta, Δ V, ad rectangula ſub, Δ V, VT,
ſunt vt quadratum, FM, ad rectangu-
lum, FMI, .i.
vt, FM, ad, MI, vel
vt ſexquialtera, FM, ad ſexquialte-
ram, MI, .i.
ad triplam, MN, rectan-
gula autem ſub, Δ V, VT, ad omnia
tripla, MN, ad, M ω, ergo ex æqua-
quadrata portionis, RFV, erunt vt ſexquialtera ipſius, FM, ad,
M ω, quæ eſt reſiduumipſius, MH, dempta, H ω, ad quam tri-
pla, MN, eſt vt, Δ V, ad portionem, RFV, quod oſtendere
opus erat.
EXpoſita denuò figura circuli Th.
21.
oſtendendum eſt
omnia quadrata portionis minoris, RFV, vtcunque
ſumptæ regula diametro. ſ.
FM, ad omnia quadrata eiuſ-
dem regula baſi. ſ.
RV, eſſe vt rectangulum ſub, M, &
ſub
baſi, RV, ad tria quadrata lineæ, RM, cum quad. MF.
Omnia .
n.
quadrata portionis, RFV, regula, FM, ad omnia
M, .i.
vt, {2/3}, M ω, ad, FM;
omnia item quadrata, Δ V, regula,
Δ V, regula,
tionis, RFV, regula, FM, ad omnia quadrata, Δ V, regula, R
V, erunt vt, {2/3}, ω M, ad, RV, vel vt, {1/3}, ω M, ad, RM, .i.
ſum-
pta, RM, communi altitudine, vt rectangulum ſub, {1/3}, ω M, &
ſub, RM, ad quadratum, RM, vel ad rectangulum, FMH; omnia vero quadrata, Δ V, regula, RV, ad omnia quadrata por-
, {1/6}, MF, .
i.
ſumpta, MF, communi altitudine, vt re-
ſub compoſita ex,
{1/2}, HM, &, {1/6}, MF, erant autem omnia quadrata portionis, RFV,
regula, FM, ad omnia quadrata, Δ V, regula, RV, vt rectangulum
ſub, {1/3}, M ω, & ſub, RM, ad rectangulum, FMH, ergo ex æquali
omnia quadrata portionis, RFV, regula, FM, ad omnia quadrata
eiuſdem, regula, RV, erunt vt rectangulum ſub, {1/3}, M ω, & ſub, R
M, ad rectangulum ſub, FM, & ſub compoſita ex, {1/2}, HM, &
, {1/6},
M F, .i.
vt rectangulum ſub tota, M ω, &
ſub, RM, ad rectangu-
lum ſub, FM, & ſub compoſita ex, {1/2}, FM, &
ſexquialtera, MH,
.i.
&
ſub compoſita ex, {1/2}, FM, &
ſexquialtera, MI, &
ſexquial-
tera, IH, porrò ſexquialtera, IH, cum, {1/2}, FM, efficit duas, FM,
I H, quibus ſi iunxeris, MI, detractam de ſexquialtera ipſius, MI,
fiet tota, FH, cum, MN, æqualis dimidio, FM, & ſexquialteræ,
M H: Omnia ergo quadrata portionis, RFV, regula, FM, ad om-
nia quadrata eiuſdem portionis, regula, RV, erunt vt rectangulum
ſub, M ω, & ſub, RM, ad rectangulum ſub, FM, &
ſub compoſi-
ta ex, FH, MN, .i.
ad rectangulum ſub, FM, &
ſub, MN, ſub,
ſub, MH, &
ad quadratum, FM:
quia verò rectangulum,
F MH, æquatur quadrato, RM, erunt omnia illa quadrata, vt re-
ctangulum ſub, ω M, & ſub, RM, ad quadratum, RM, quadra-
tum, MF, & rectangulum ſub, FM, MN, vel vt iſtorum dupla.
ſ.
vt rectangulum ſub, ω M, &
ſub, RV, ad quadratum, RM, qua-
dratum, MV, duo quadrata, FM, & duo rectangula ſub, FM, M
N, .i.
vnum ſub, FM, MI, cui ſi iunxeris vnum de duobus quadra-
le quadrato, RM. Sunt ergo omnia quadrata portionis, RFV, re-
rectangulum ſub, ω M, & ſub, RV, ad tria quadrata, R, M cum
vno quadrato, FM, quod oſtendere oportebat.
IN figura circuli, &
ellipſis eiuſdem Theor.
21.
oſtenden-
dum eſt, ibi appoſitis retentis, ſumpta tamen vtcunque
portione minori, RFV, & regula diametro eiuſdem portio-
nis. ſ.
FM;
omnia quadrata parallelogrammi, Δ V, ad omnia
quadrata portionis, RFV, eſſe vt quadratum, FM, ad ſpa-
tium, quod remanet, dempto rectangulo ſub, IM, & ſub, F
M, (ad quam, FM, ſit, vt, Δ V, ad portionem, RFV,) à re-
ctangulo ſub, FM, & ſub, {2/3}, ipſius, MH.
Sit igitur vt, Δ V, ad, RFV, ita, FM, ad, MI;
omnia ergo qua-
drata, Δ V, adrectangula ſub, Δ V, VT, ſunt vt quadratum, FM,
ad rectangulum, FMI, rectangula inſuper ſub, Δ V, VT, ad re-
ſub, VT, ſunt vt, Δ V, ad portionem,
i.
vt, FM, ad, MT, .
i.
ſumpta, MI,
MI, ad rectangulum, r MI, ergo ex æ-
la ſub portione, RFV, & ſub, VT, erunt
vt quadratum, FM, ad rectangulum,
Γ Μ Ι, quod ſerua.
Vlterius omnia quadrata, ΔV, ad om-
M, ad quadratum, MO, vel ad quadra-
tum, RV, .i.
ad quatuor rectangula ſub,
R M, MV: Omnia inſuper quadrata,
V II, ad rectangula ſub portione, RFV,
& quadrilineo, RTHY V, ſunt vt ſex
quadrata, CE, ad quadratũ, FH, nam in
circulo omnia quadrata, RZ, ſunt ſex-
V, & quadrilineo, RTHYV, &
ideo ſunt
ad illa, vt ſex quadrata, CE, ad quadra-
tum, CE, vel ad quadratum, FH, in ellipſi
verò omnia quadrata, RZ, ſunt ad re-
ctangula ſub portione, RFV, & quadrilineo, RTHYV, vt ſex quadra-
ta, CE, ad quadratum, FH, quod elicitur ex Prop. 21.
huius.
Quia
vero rectangulum, RMV, ad rectangulum, FMH, (tum in cir-
vt quadratum, CE, ad quadratum, FH, ideò ſex rectangula, RMV,
ad rectangulum, FMH, erunt vt ſex quadrata, CE, ad vnum qua-
dra um, FH, .i.
erunt vt omnia quadrata, RZ, ad rectangula ſub
portione, RFV, & quadrilineo, RTHY V, vt autem ſunt ſex re-
ctangula, RMV, ad rectangulum, FMH, ita quatuor rectangu-
la, RMV, ad, {2/3}, rectanguli, FMH, .i.
ad rectangulum ſub, FM,
&, {2/3}, MH, ergo omnia quadrata, RZ, ad rectangula ſub portio-
ne, RFV, & quadrilineo, RTHY V, erunt vt quatuor rectangu-
la, RMV, ad rectangulum ſub, FM, &, {2/3}, MH, erant autem om-
nia quadrata, Δ V, ad omnia quadrata, RZ, vt quadratum, FM,
ad quatuor rectangula ſub, RMV, ergo ex æquali omnia quadra-
ta, Δ V, ad rectangula ſub portione, RFV, & quadrilineo, RTH
YV, erunt vt quadratum, FM, ad rectangulum ſub, FM, & ſub, {2/3}, MH,
eadem verò omnia quadrata, Δ V, ad rectangula ſub portione, R
F V, & ſub, VT, oſtenſa ſunt eſſe, vt quadratum, FM, ad rectan-
gulum, ΓΜΙ, (ex quibus habemus rectangulum ſub, ΓΜΙ, mi-
nus eſſe rectangulo ſub, FM, & ſub, {2/3}, MH, nam rectangula ſub
portione, RFV, & ſub, VT, minora ſunt rectangulis ſub eadem
portione, RFV, & quadrilineo, RTHY V,) ergo omnia quadra-
ta, Δ V, ad reſiduum omnium rectangulorum ſub portione, RFV,
& quadrilineo, RTHY V, demptis rectangulis ſub portione, RF
V, & ſub, VT, .
i.
ad rectangula ſub vtriſq;
portionibus, RFV, THY,
.i.
ad omnia quadrata portionis, RFV, erunt vt quadratum, FM,
ad reſiduum ſpatium, dempto rectangulo, ΓΜΙ, a rectangulo ſub,
F M, & ſub, {2/3}, MH, (hoc autem vocetur reſiduum rectangulum
huius Theor.) quod oſtendere opus erat.
EXpoſita adhuc figura Theor.
antecedentis, oſtendemus
omnia quadrata portionis, RFV, regula, FM, ad om-
nia quadrata eiuſdem portionis, regula baſi, eſſe vt paralle-
lepipedum ſub b ſireſiduo rectangulo antecedentis Theor-
altitudine tripla, MH, ad parallelepipedum ſub baſi rectan-
gulo ipſius, FM, ductæ in, RV, altitudine linea compoſita
ex, MH, HN.
Omnia .
n.
quadrata portionis, RFV, regula, FM, ad omnia
quacrata eluidem, regula, RV, habent rationem compoſitam ex
regula, FM, .
i.
ex ea, quam habet reſiduum rectangulum Theor.
antecedentis ad quadratum, FM, &
ex ratione omnium quadrato-
R V, .i.
ex ea, quam habet, Δ R, ad, RV, vel, ſumpta, Δ R, com-
R V; &
tandem ex ea, quam habent
drata portionis, RFV, .i.
ex ea, quam
habet, MH, ad compoſitam ex, {1/2}, M
H, &, {1/6}, FM.
Rationes autem re-
ctanguli reſidui Theor.antecedentis ad
quadrati, FM,
ad rectangulum ſub, FM, RV, re-
ſoluuntur in rationem rectanguli reſi-
dui Theor. antecedentis ad rectangu-
lum ſub, FM, RV, quę iuncta rationi
ipſius, MH, ad compoſitam ex, {1/2}, M
, {1/6}, FM, cõponit rationem paral-
lelepipedi ſub baſi reſiduo rectangulo
Theor. antecedentis, altitudine, MH,
ad parallelepipedum ſub baſi rectan-
gulo ſub, FM, RV, & ſub compoſita
ex, {1/2}, MH, &, {1/6}, FM:
Triplicentur
horum parallelepipedoru altitudines,
ſiet pro an ecedentis altitudine tripla,
M H, & pro altitudine parallelepipedi conſequentis tripla dimidiæ,
M H,.. ſexquialtera ipſius, MH, .
.
ſexquialtera, MI, &
ſexquial
tera, IH, cum, {1/2}, FM, porro ſi ſexquialterę, MI, iunxeris ſexqui-
alteram, IH, cum dimidia, FM, .ſ.
duplam, IH, quoniam ſex-
quialtera, IH, eſt, MI, IN, ſi inquam illi iunxeris bis, IH, com-
ponetur altitudo conſequentis parailelepipedi, quę erit, MH, HN; omnia ergo quadrata portionis, RFV, regula, FM, ad omnia qua-
drata eiuſdem, regula, RV, erunt vt parallelepipedum ſub bafi re-
ſiduo rectangulo Theor. antecedentis, altitudine tripla, MH, ad
parallelepipedum ſub baſi rectangulo, ſub, FM, RV, altitudine li-
nea compoſita ex, MH, HN, tum in circuli, tum ellipſis figura,
quod oſtendere oportebat.
ADhucetiam exponatur figura circuli, &
ellipſis Theor.
21.
oſtendemus, .
n.
omnia quadrata figuræ, LCFE
G, demptis omnibus quadratis trilineorum, CLT, YGE,
regula, FI, ad omnia quadrata portionis, TCFEY, regu-
la baſi, TY, eſſe, in circulo, vt cylindricus ſub, IM, & por-
tione, TCFE Y, vna cum, {1/@}, cubi, TY, ad parallelepipe-
dum ſub altitudine, FI, baſi verò rectangulo ſub, FI, &
ſexquitertia duarum, IH, HN. In ellipſi verò habere ra-
tionem compoſitam ex ea, quam habet cylindricus ſub, IM,
& portione, TCFE Y, vna cum ea parte cubi, TY, vel pa-
rallelepipedi ſub, RV, & rhombo, RZ, ad quam eiuſdem
cubi, vel parallelepipedi ſexta pars fit, vt quadratum, CE,
ad quadratum, FH, ad parallclepipedum ſub altitudine, L
G, baſi parallelogrammo, AG; &
ex ea, quam habet qua-
dratum, FH, ad rectangulum ſub, FI, & ſub ſexquitertia
duarum, IH, HN.
Omnia quadrata namq;
figuræ, LCFG, demptis omnibus qua-
drata, AG, regula, FI, vt cylindricum ſub, MI, & ſub baſi por-
tione, TCFE Y, vna cum, {1/6}, cubi, TY, in circulo (in ellipſi ve-
rò vna cum ea parte cubi, TY, vel parallelepipedi ſub, RV, &
rhombo, RZ, ad quam eiuſdem, {1/6}, ſit vt quadratum, CE, ad
quadratum, FH,) ad parallelepipedum ſub, LA, & parallelo-
grammo, AG. Vlterius omnia quadrata, AG, regula, FI, ad
G, .i.
vt parallelepipedum ſub, AL, &
parallelogrammo, ALG,
ad parallelepipedum ſub, LG, & parallelogrammo eodem;
AL
G, ergo ex æquali omnia quadrata figuræ, LCFEG, demptis
omnibus quadratis trilineorum, CLT, YGE, regula, FI, ad om-
nia quadrata, AG, regula, TY, erunt vt cylindricus ſub, MI, &
portione, TCFEY, vna cum, {1/6}, cubi, TY, in circulo, in ellipſi
verò vna cum dicta parte cubi, TY, vel parallelepipedi ſub, RV,
& rhombo, RZ, ad parallelepipedum ſub, LG, &
parallelogram-
mo, ALG.
Tandem omnia quadrata, AG, ad omnia quadrata portionis,
tripla,
N H, .i.
vt, {3/4}, quadrati, FH, ad rectangulum ſub, FI, &
ſub, I
H N, .i.
vt totum quadratum, FH, ad rectangulum ſub, FI, &
ſub ſexquitertia ipſarum, IHN, .i.
in circulo, vt quadratum, AP,
idem rectangulum ideſt ſumpta, FI,
communi altitudine, vt parallelepipe-
dum ſub, FI, & quadrato, AP, .
i.
vt parallelepipedum ſub, AP.
vel, L
G, & parallelogrammo rectangulo
ſub, FI, ſiue, AL, &, LG, ad pa-
rallelepipedum ſub, FI, & ſub baſi
rectangulo ſub, FI, & ſub ſexquiter-
tia, IHN, ergo ex æquali omnia
quadrata figuræ, LCFE G, dem-
ptis omnibus quadratis trilineorum,
CLT, YGE, regula, FI, ad omnia
quadrata portionis, TCFE Y, regu-
la, TY, erunt vt cylindricus ſub, M
I, & ſub portione, TCFE Y, vna
cum, {1/6}, cubi, TY, ad parallelepipe-
dum ſub, FI, & ſub rectangulo ſub,
F I, & ſexquitertia, IHN;
&
hoc in
circulo.
In ellipſi autem eadem habebunt
rationem compoſitam exiam dicta ratione .ſ.
ex ratione cylindrici
ſub, MI, & ſub portione, TGFE Y, vna cum ea parte cubi, vel
parallelepipedi ſub, RV, & rhombo, RZ, ad quam eiuſdem, {1/6}, ſit
vt quadratum, CE, ad quadratum, FH, ad parallelepipedum,
ſub, LG, & parallelogrammo, AG, &
ex ratione quadrati, FH,
ad rectangulum ſub, FI, & ſub ſexquitertia ipſarum, IHN;
quas
duas rationes in circulo in vna reſoluimus, quia in eo quadratum,
F H, æquatur quadrato, AP, quod cum in ellipſi non verificetur,
ideò has duas rationes componentes pro ipſa ellipſi retinuimus; quod oſtendere oportebat.
IN eadem ſuperioris figura oſtendemus, tum in circulo,
tum in ellipſi, omnia quadrata figuræ, LCFEG, dem-
ptis omnibus quadratis trilineorum, CLT, YGE, regula,
vt cylindricum ſub, MI, & portione, TCFE Y, vna cum,
{1/6}, cubi, TY, pro circulo, pro ellipſi verò, vna cum ſæpius
dicta parte cubi, TY, vel parallelepipedi ſub, RV, & rhom-
bo, RZ, ad, {2/3}, parallelepipedi ſub, AD, & parallelogram-
mo, AQ, ideſt, in circulo ad, {1/6}, cubi, FH.
Omnia .
n.
quadrata figurę, LCFE G, demptis omnibus quadra-
tis trilineorum, CLT, YGE, ad omnia quadrata, AG, ſunt vt cy-
lindricus ſub, MI, & portione, TCFE Y, vna cum, {1/6}, cubi, TY,
vel dicti parallelepipedi, ad parallelepipedum ſub, LA, &
paralle-
logrammo, AG; omnia verò quadraca, AG, ad omnia quadrata,
AQ, ſunt vt quadratum, AL, ad quadratum, AD, .i.
ſumpta, A
quadra-
to, AL, ad parallelepipedum ſub, PA, & quadrato, AD, hoc eſt,
vt parallelepipedum ſub, LA, & parallelogrammo, AG, ad paral-
lelepipedum ſub, DA, & parallelogrammo, AQ, omnia autem qua-
drata, AQ, omnium quadratorum circuli, vel ellipſis, CFEH, ſunt
i.
ſunt ad ea, vt parallelepipedum ſub, AD, &
paral-
lelogrammo, AQ, ad eiuſdem, {2/3}, ergo ex æquali omnia quadrata
figuræ, LCFE G, demptis ommbus quadratis trilineorum, CLT,
YGE, ad omnia quadrata circuli, vel ellipſis, CFEH, erunt vt
cylindricus ſub, MI, & portione, TCFEY, vna cum, {1/6}, cubi, T
Y, pro circulo, pro ellipſi verò, vna cum ſæpius dicta parte cubi, T
Y, vel parallelepipedi ſub, RV, & rhombo, RZ, ad, {2/3}, parallele-
pipedi ſub, AD, & parallelogrammo, AQ, .
i.
pro circulo ad, {2/3},
cubi, AD, vel cubi, FH, quod oſtendere opus erat.
SIparallelogrammo ſit inſcripta figura quæcunque, ita ta-
men, vt, ſumpto vno laterum parallelogrammi pro re-
gula, &, ductis vtcunque ipſiregulæ parallelis intra paralle-
logrammum, earum quælibet, vel tota ſit intra figuram in-
ſcriptam, vel eiuſdem aliqua parte extra figuram exiſtente,
ac ad vnum laterum parallelogrammi terminante, ad latus
eiuſdem parallelogrammi prædicto oppoſitum terminet alia
portio eiuſdem, regulæ æquidiſtantis, ſint autem duæ quæ-
tes, & in eadem recta linea conſtitutæ integræ, &
inter ſe
æquales: Omnia quadrata dicti parallelogrammi ad omnia
quadrata inſcriptæ figuræ, cum rectangulis bis ſub eadem
figura, & ſub dictarum portionum ijs omnibus, quę extra fi-
guram ad vnum dictorum laterum oppoſitorum eiuſdem pa-
rallelogrammi terminantur, erunt vt prædictum parallelo-
grammum ad inſcriptam figuram.
Sitigitur parallelogrammum, AN, &
illi inſcripta vtcunq;
figu-
ra, BDMO, & ſumpta pro regula, EN, ſit ducta vtcunque intra
parallelogrammum, AN, ipſa, DO, quę cadat etiam tota intra fi-
guram, BDMO, ſit etiam ducta alia vtcunque parallela ipſi, EN,
nempè, VR, portiones autem eiuſdem, VR, ſint extra figuram,
ad latera oppoſita, AE, CN, terminantes .ſ.
VI, SR, quæ ſint in-
tegræ, & inter ſe æquales.
Dico omnia quadrata, AN, ad omnia
quadrata figuræ, BDMO, cum rectangulis bis ſub figuræ, BDM
O, & ſub trilineis, BCO, ONM, .
i.
ſub omnibus portionibus, quę
terminant ad latus, CN, extra figuram, BDMO, conſtitutis, elie
Omnia
enim quadrata, AN, ad rectangula ſub,
A N, & ſub figura, BDMO, ſunt vt, A
N, ad figuram, BDMO, ſed rectangula
ſub, AN, & ſub figura, BDMO, diui-
D MO, & ſub trilineis, BAD, DEM,
ſub eadem, & ſub trilineis, BCO, ON
M, & in rectangula ſub eadem in eandem
ſ.
in omnia quadrata eiuſdem fi-
guræ, BDMO, quia verò linearum æqui-
diſtantium, regulæ, EN, portiones, quæ
ſunt in eadem recta linea extra figuram adiacentes lateribus oppoſi-
tis, AE, CN, ſunt & integræ, &
æquales, ideò ſicuti rectangu-
lum, VIS, eſt æquale rectangulo, ISR, ita rectangula ſub figura,
B DMO, & trilineis, BAD, DEM, erunt æqualia rectangulis
ſub eadem figura, BDMO, & ſub trilineis, BCO, ONM, ſunt
ergo rectangula ſub, AN, & ſub figura, BDMO, æqualia om-
nibus quadratis figuræ, BDMO, cum rectangulis bis ſub eadem,
& ſub trilineis, BCO, ONM;
omnia autem quadrata, AN, ad
rectangula ſub, AN, & ſub figura, BDMO, ſunt vt, AN, ad fi-
guram, BDMO; ergo omnia quadrata, AN, ad omnia quadra-
ſub
trilineis, BCO, ONM, erunt vt, AN, ad figuram, BDMO,
quod oſtendere opus erat.
EXponatur figura Theor.
antecedentis, dimiſſis tamen re-
ctis lineis, DO, VR, & ſit adhuc regula, EN, produ-
cantur autem ad eaſdem partes, AC, EN, in, HF, ita vt, C
H, ſit æqualis, NF, iuncta igitur, HF, erit, HF, parallela
ipſi, CN, quoniam, CH, NF, ſunt æquales, & parallelæ,
& erit parallelogrammum, AF, &
, CF.
Dico ergo omnia
quadrata, AN, cumrectangulis bis ſub, AN, NH, ad om-
nia quadrata figuræ, BDMO, cum rectangulis bis ſub ea-
dem, & ſub quadrilineo, BOMFH, eſſe vt, AN, adfigu-
ram, BDMO.
Omnia quadrata.
n.
parallelogrammi, AN, ad omnia quadrata fi-
gurę, BDMO, cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub trilineis, BC
Item rectangula
ſub, NH,
ſunt vt, AN, ad feadem rectangula ſub, AN,
NH, bis ſumpta ad rectangula ſub figura, BDMO, & ſub, NH,
bis ſumpta erunt pariter, vt, AN, ad figuram, BDMO, . i.
vt omnia
quadrata, AN, ad rectangula bis ſub figura, BDMO, & ſub trili-
neis, BCO, ONM, cum omnibus quadratis eiuſdem figurę, BDM
O, ergo vt vnum ad vnum, ita omnia ad omnia. ſ.
vt omnia quadra-
ra, & ſub trilineis, BCO, ONM, ita om-
nia quadrata, AN, cum rectangulis bis ſub,
AN, NH, ad omnia quadrata figuræ, B
DMO, cum rectangulis bis ſub eadem, &
ſub trilineis, BCO, ONM, & bis ſub ea-
dem, & ſub, NH, .
i.
ad rectangula bis ſub
eadem, & ſub quadrilineo, BOMFH;
ſunt autem omnia quadrata, AN, ad om-
nia quadrata figurę, BDMO, cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub
trilineis, BCO, ONM, vt, AN, ad, BDMO; ergo omnia qua-
drata, AN, cum rectangulis bis ſub, AN, NH, ad omnia quadrata
figurę, BDMO, cum rectangulis bis ſub, eadem, & ſub quadrilineo,
oportebat. Per hanc autem, &
antecedentem Propoſit.
vniuerſa-
lius oſtenduntur Propoſ. 15.
16.
necnon Corollaria Prop.
19.
&
20.
SI parallelogrammum fuerit ellipſi circumſcriptum, ita ta-
men, vt eiuſdem latera non tangant ellipſim in extremis
punctis axium eiuſdem; portiones coalternè tangentes erunt
æquales; &
ſi duabus oppoſitis tangentibus ducantur paral-
lelę abſcindentes à reliquis coalternis tangentibus rectas li-
neas æquales, ſumptas verſus puncta contactuum; rectangu-
lum, quod continetur ſub vnius parallelarum ea parte, quæ
manet intra curuam ellipſis, & tangentem ex ea parte, &
ſub
reliqua illi in directum manente intra ellipſim, erit æquale
rectangulo ad coalternam tangentem ſimiliter ſumpto.
Sit ergo ellipſis, BDMG, cui ſit circumſcriptum parallelogram-
mum, AR, ita tamen, vt puncta contactuum non ſint puncta ex-
trema axium eiuſdem, tangant autem in punctis, BDMG, & iun-
gantur, BM, DG, & quoniam, AC, FR, ſunt tangentes paralle-
læ, vt etiam, AF, CR, ideò, BM, GD, per centrum ellipſis tran-
Dico ergo portiones laterum parallelo-
grammi, AR, coalternè tangentes eſſe
æquales. ſ.
AD, ipſi, GR, AB, ipſi, M
R, BC, ipſi, FM, &, CG, ipſi, DF;
iungantur, BG, DM; in triangulis ergo,
BSG, DSM, latus, BS, æquatur late-
ri, SM, & latus, GS, lateri, SD, item
angulus; BSG, angulo, DSM, ergo ba-
angulus,
SBG, angulo, SMD, &, SGB, ipſi, S
DM, totus autem angulus, CBS, æquatur toti, FMS, ſibi coal-
terno, ergo reliquus angulus, CBG, æquatur reliquo angulo, DM
F, & ſimiliter probabimus angulum, BGC, æquari angulo, MD
F, ergo reliquus, BCG, æquabitur reliquo, DFM, (qui etiam ſunt
æquales, quia ſunt anguli oppoſiti parallelogrammi, AR,) & ideò
trianguli, BCG, DFM, erunt æquianguli, &, BG, DM, latera
,
CG, ipſi, DF, eſt autem, AC, æqualis ipſi, FR, &, AF, ipſi, C
R, ergo reliqua, AB, æquabitur reliquæ, MR, & reliqua, AD, re-
liquæ, GR; ſuntigitur portiones laterum parallelogrammi, AR,
coalterne tangentes inter ſe æquales.
Sumantur nunc vtcunque duæ coalternè tangentes, AD, RG,
& ab ipſis verſus puncta contactuum, DG, abſcindantur vtcunque
duæ rectæ æquales, PD, VG, & per puncta, PV, ducantur baſi,
FR, parallelæ, PQ, EV, ſecantes curuam ellipſis in punctis, HI,
ipſa, PQ, & in punctis, NO, ipſa, EV.
Quoniam ergo, AB, A
D, tangunt ellipſim, BDMG, coincidentes in puncto, A, eſt au-
tem, QP, parallela vni tangentium. ſ.
ipſi, AB, ſecans curuam el-
lipſis in, H, & aliam tangentem in, P, rectangulum ergo, IPH, ad
i.
vt quadratum, MR, ad quadratum, RG:
conſimili modo oſtende-
mus rectangulum, NVO, ad quadratum, VG, eſſe vt quadratum,
MR, ad quadratum, RG, . i.
vt rectangulum, IPH, ad quadratum,
PD, vel ad quadratum, VG, ergo rectangulum, IPH, eſt æquale
rectangulo, NVO. Nunc oſtendemus, PH, eſſe æqualem ipſi, O
V, conſideremus duo quadrilatera, APXB, MTVR, quæ ſunt ſi-
milia polygona, nam angulus, PAB, eſt æqualis angulo, MRV,
&, ABX, ipſi, RMT, tum, BXP, ipſi, MTV, &
tandem, XP
A, ipſi, TVR, quę facilè apparent, & duo latera, AB, MR, ſunt
æqualia, vt etiam, AP, RV, ergo reliqua latera erunt æqualia, quę
æqualibus adiacent angulis, vnde, TV, erit æqualis ipſi, PX, &,
MT, ipſi, BX, vnde rectangulum, MTB, æquabitur rectangulo,
MXB, & quoniam, vt rectangulum, MTB, ad rectangulum, M
I, ſunt parallelæ tangenti, AC, & ideò ordinatim applicatę ad dia
metrum, BM, erit ergo quadratum, TO, æquale quadrato, XI,
&, TO, ipſi, XI, vel, HX, ergo reliqua, OV, erit æqualis reli-
quæ, PH, & quia rectangulum, IPH, eſt æquale rectangulo, N
VO, erit, IP, æqualis ipſi, NV, & quia, PH, eſt æ qualis, OV,
erit, HI, æqualis, NO, & ideò rectangulum, IHP, erit æquale re-
ctangulo, NOV.
Vel breuius ſic proceſſiſſet demonſtratio, dimiſſo Apollonij theo-
remate, oſtenſo. n.
OV, eſſe æqualem ipſi, PH, &
, TO, ipſi, XI,
manet oſtenſum, NO, æquari ipſi, HI, quoniam, NO, HI, bi-
faria diuiduntur a diametro, BM, & ideo illicò manifeſtum euadit
rectangulum, NOV, æquari rectangulo, IHP, quod oſtendere
oportebat.
_H_Inc patet nedum rectangulum, NOV, æquari rectangulo, IHP,
ſed etiam portiones interceptas tangentibus, & curuaellipſis eſſe
inter ſe æquales, belut, OV, ipſi, PH.
EXpoſita ellipſi, cum parallelogrammo illi circumſcripto
Theor. antecedentis, cæteris omiſſis, oſtendemus, re-
gula, FR, omnia quadrata parallelogrammi, AR, ad om-
nia quadrata ellipſis, BDMG, cum rectangulis bis ſub ea-
dem ellipſi, & ſub trilineis, BCG, GRM, eſſe, vt paralle-
logrammum, AR, ad ellipſim, BDMG.
Ducantur à punctis contactuum regulæ, FR, parallelę, GE, D
omnia ergo quadrata, AR, ad rectangula ſub ellipſi, BDMG,
& ſub, AR, ſunt vt, AR, ad ellipſim, BDMG;
verum rectangula
ſub ellipſi, BDMG, & ſub, AR, ſunt æqualia rectangulis ſub el-
ſub duobus trilineis, BAD, DFM, item ſub el-
lipſi, BDMG, & ſub eadem.
i.
omnibus quadratis ellipſis, BDM
G, & ſub eadem ellipſi, BDMG, &
ſub duobus trilineis, BCG,
GRM, verum rectangula ſub ellipſi, BDMG, & ſub trilineis, B
dem ellipſi, & ſub trilineis, BCG, GRM,
quod ſic patet, quoniam enim, AD, RG,
ductis
ipſi, FR, parallelis intra ellipſim, ex ipſis
coalternè tangentibus, AD, RG, abſcin
dentibus portiones æquales verſus puncta
contactuum, rectangula ſumpta, vt dictum
eſt in antecedenti Theor. ſunt æqualia, ideò
& omnia omnibus erunt æqualia.
ſ.
rectan-
gula ſub portione, OGBD, & trilineo, BAD, erunt æqualia re-
ctangulis ſub portione, SMG, & ſub trilineo, GMR, eadem ra-
tione rectangula ſub portione, OMD, & trilineo, DFM, æquan-
tur rectangulis ſub portione, SBG, & trilineo, BCG, ergo rectan-
gula ſub ellipſi, BDMG, & duobus trilineis, BAD, DFM, ęquan-
tur rectangulis ſub ellipſi, BDMG, & ſub trilineis, BCG, GRM;
cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub trilineis, BCG, GRM, erunt
vt, AR, ad ellipſim, BDMG. Eodem modo, ſumpta pro regula,
CR, oſtendemus omnia quadrata, AR, ad omnia quadrata ellipſis,
BDMG, vna cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub trilineis, DAB,
CG, eſſe vt, AR, ad ellipſim, BDMG, quod oſtendere oportebat.
_H_Inc babetur omnia quadrata, AR, regula, FR, ad omnia quadra@
ta ellipſis, BDGM, vna cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub
trilineis, BCG, GRM, eſſe vt omnia quadrata, AR, regula, CR, ad
omnia quadrata ellipſis, BDMG, vna cum rectangulis bis ſub eadem,
& ſub trilineis, DAB, BCG;
vtraq;
enim oſtenſa ſunt eſſe, vt, AR,
ad ellipſim, BDMG.
ASſumpta antecedentis figura, dimiſſis lineis, EG, DV,
producantur ad eandem partem, AC, FR, in, TX,
ita vt, AT, ſit æqualis, FX, & iungatur, TX, ergo ipſa, A
X, CX, erunt parallelogramma. Dico igitur, omnia qua-
drata, AR, cum
quadrata ellipſis, BDMG, cum rectangulis bis ſub eadem,
& quadrilineo, BGMXT, eſſe vt, AR, ad ellipſim, BDM
G, regula, FX.
Omnia.
n.
quadrata, AR, ad rectangula bis ſub ellipſi, BDMG,
ſub trilineis, BCG, GRM, vna cum
MG, ſunt vt, AR, ad ellipſim, BDM
ctangula ſub ellipſi, BDMG, & ſub, R
T, ſunt vt, AR, ad ellipſim, BDMG,
& eadem bis ſumpta ſunt pariter, vt, AR,
ad ellipſim, BDMG, ergo omnia qua-
drata, AR, cum rectangulis bis ſub, A
R, RT, ad omnia quadrata ellipſis, B
DMG, cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub trilineis, BCG,
GRM, & cum rectangulis bis ſub eadem, &
ſub, RT, ideſt cum
ſub quadrilineo, BGMXT, erunt vt,
AR, ad ellipſim, BDMG. Sic etiam fiet demonſtratio, ſi produ-
cantur, FA, RC, ſimiliter ac productę ſunt, AC, FR, quarum al-
tera pro regula ſumatur.
_H_Inc patet, ſi, BDMG, non eſſet ellipſis, ſed alia vtcunque figu-
ra plana parallelogrammo, AR, inſcripta, dummodo portiones
laterum coalternè tangentes eſſent æquales, & rectangula ſumpta ad
coalternè tangentes, eo modo, quo dictum eſt in heor. antecedenti, eſ-
ſent quoque æqualia, quod omnia quadrata, AR, ad omnia quadrata,
talis figuræ, cum rectangulis bis ſub eadem, & ſub trilineis adiacenti-
bus lateri, quod non ſumitur pro regula, erunt vt, AR, ad talem figu-
ram; V eluti erunt etiam omnia quadrata, AR, cumrectangu
AR, RT, ad omnia quadrata talis figuræ, cum rectangulis bis ſub ea-
dem, & ſub quadrilineo ſimili ipſi, BGMXT, bæc.
n.
eodem modo col-
ligentur, quo pro ellipſi, BDMG, per demonſtrationem collecta ſunt,
aderunt enim eadem principia, ex quibus demonſtratio pro ellipſi pende-
bat: Exemplum facile baberi poteſt in figura ex duabus æqualibus cir-
culi, vel ellipſis portionibus minoribus compoſita tali pacto, vt baſis v-
nius portionis alterius baſi congruat, quæ quidem figura ſit inſoripta di-
cto rectangulo, cuiuſque latera eam tangant non in punctis extremis
axium, ſed in quatuor alijs vtcunq, vnde, &c.
QVæcunque ſolida ad inuicem ſimilaria, genita ex figu-
ris ſuperius in hoc Libro Tertio conſideratis, iuxta re-
gulas ibidem aſſumptas, quarum patefacta eſt ra-
tio omnium quadratorum, habent inter ſe rationem notam.
Quoniam enim alibi oſtenſum eſt, vt omnia quadrata duarum fi-
gurarum inter ſe ſumpta cum da
Theorematibus huius Libri inuenta eſt ratio omnium quadratorum
duarum quarundam figurarum cum talibus regulis, colligimus etiam
nunc eandem eſſe rationem duorum ad inuicem ſimilarium ſolido-
rum, quæ ex illis figuris iuxta eaſdem regulas genita dicuntur; Vt
exempli gratia in Propoſ. I.
conſpectis, iterum eiuſdem figuris, cum
EP, ad omnia quadrata parallelogrammi, FP, eſſe vt compoſita ex
ſexta parte, EB, & dimidia, BR, ad ipſam, BR, oſtenſum etiam
eſt ſolidum ſimilare genitum ex portione, DEP, ad ſolidum ſibi ſi-
milare genitum ex parallelogrammo, FP, eſſe vt compoſita ex ſex-
ta parte, EB, & dimidia, BR, adipſam, BR.
Cum verò oſten-
ſum eſt omnia quadrata portionis, EDP, ad omnia quadrata trian-
guli, DEP, eſſe vt compoſita ex dimidia totius, ER, & ipſa, BR,
ad eandem, BR; pariter oſtenſum eſt ſolidum ſimilare genitum ex
portione, EDP, ad ſibi ſimilare genitum ex triangulo, DEP, iux-
ta eaſdem regulas eſſe, vt compoſita ex dimidia totius, ER, & ipſa,
BR, ad eandem, BR.
Cum verò in Corollario eiuſdem Theorem.
collectum eſt, omnia
quadrata parallelogrammi, FP, eſſe ſexquialtera omnium quadra-
torum portionis, DEP, (ſi, DP, per centrum, A, tranſeat) hæc
verò eſſe dupla omnium quadratorum trianguli, DEP; patet, quod
etiam ſolidum ſimilare genitum ex parallelogrammo, FP, ſexquial-
terum erit ſolidi ſibi ſimilaris geniti ex portione, DEP, iuxta ean-
dem regulam, DP, hoc verò erit duplum ſolidi ſibi ſimilaris geniti
ex triangulo, DEP, iuxta eandem regulam, DP.
_Q_Voniam verò ſolida ad inuicem ſimilaria genita ex duabus figuris
guræ ſimiles, quæ dicuntur, omnes figuræ ſimiles duarum genitri-
cium figurarum, cum eiſdem regulis aſſu
ſimilaria genita dicuntur, figurarum autem variationes nullo dato nu-
mero clauduntur, ideò nec horum ſimilarium ſolidorum variationes vl-
lo dato coarctantur numero, vnde euidentiſſimè apparet banc demon. ſtrandi methodum, ipſamque demonſtrationem, infinitè (vt ita dicam)
locupletem eſſe; vt igitur ad parttcularia ſolida ſimi aria deſcendamus,
expendendæ ſunt ipſæ figuræ, quæ dicuntur (omnes figuræ ſimiles, &c.)
miles parall@logrammi, quod tunc iſi
verò illæ ſint omnes figuræ ſimiles trianguli (intellige in parallelogram-
mo, & triangulo vnum laterum pro regula) illæ erunt omnia plana Co-
&
ſi parallelogrammum ſit rectangulum, &
figuræ eidem erectæ
erit cylindricus rectus, ſcalenus autem niſi ſit rectangulum, vel figuræ
non eidem erecta; ex quo babes, qualeſcunque figuras intellexeris eſſe
eas, quæ dicuntur omnes figuræ ſimiles parallelogrammi, FP, regula,
DP, veltrianguli, EDP, regula eadem, ſolidum genitum ex paralle-
tum verò ex triangulo, DEP, ſemper eſſe conicum, vt etiam accidit in
omni parallelogrammo, & triangulo, dummodò regula ſit vnum laterum
eorundem, ſolida igitur ſimilariagenita ex parallelogrammis ſunt cy-
lindrici, genita verò ex triangulis ſunt conici, genita inquam, regula,
vno laterum eorundem exiſtente; quod ſi figuræ quæ dicuntur omnes fi-
guræ ſimiles par allelogrammidati, regula vno laterum, ſint eirculi, ille
cylindricus erit cylindrus; &
ſi, quæ dicuntur omnes figuræ ſimiles dati
trianguli ſint pariter cirouli, regula vno laterum, conicus erit conus; nomine ergo communi bic cylindrus, &
conus dicti ſunt ſolida ſimila-
ria nomine particulari dicti ſunt cylindricus, & conicus, ſed nomine,
magis particulari, & proprio dicuntur cylindrus, &
conus, quotieſcun-
Pariter ſi figuræ genitrices ſolidorum ſint circuli, vel ellipſes, illæ
autem, quæ dicuntur @omnes figuræ ſimiles earundem ſumptæ cum datis
regulis) ſint pariter circuli, quorum deſcribentes rectæ lineæ in figuris
genitricibus ſint eorundem diametri, ſolida ſimilaria genita ex eiſdem,
iuxta eaſdem regulas, erunt, alterum ſpbæra, quod ſcilicet gignitur ex
ſimiles rectè ſecent axem ellipſis, & ſint erectæ tum circulo, tum ellipſi;
ellipſes iuxta alibi oſtenſa; quæ igitur in boc caſu nomine communi di-
cuntur, ſolida ſimilaria genita ex circulo, vel ellipſi, iuxta datas regu-
las, nomine particulari, & proprio, dicuntur ſphæra, vel ſphæroides:
Et quæ pariter dicerentur nomine communi ſolida ſimilaria genita ex
portione tali, vel tali, iuxta talem regulam, portione inquam circuli,
vel ellipſis, quotieſcunque figuræ, quæ dicuntur, omnes figuræ ſimiles
talis portionis iuxta eandem regulam, ſint circuli erecti genitricibus,
& figura genitrix pontio circuli, erit, &
dicetur nomine particulari, &
proprio, portio ſphæræ; ſi verò ſigura genitrix ſit ellipſis portio, &
ſi-
metros habentes, vt poſtulat Propoſ. 47.
Lib.
1.
fiet etiam portio ſphæ-
roidis: Sic igitur nommibus particularibus hæc ſolida vocari conſuene-
runt. Cum verò figuræ ſimiles non ſunt neq;
circuli, neq;
ellipſes ſum-
ptæ, vt dictum eſt, ſufficiet eadem vocare nomine communi ſolidi ſimi-
Laris, &c.
licet ad variationem, &
nominationem ſimilium figurarum,
conſequenter & eadem varia ſolida, variè nominari poſſent;
fortè autem
in ſequentibus ex genitricium figurarum variatione varia nomina com-
ponemus, interim hæc teneantur, hoc animaduerſo, quod in ſuperiori-
bus, dum ſit ſphæra, vel ſphæroides, vel eorundem portio, ſuppono li-
neas, quæ ſunt in genitricibus ſiguris, & circulos, vel ellipſes deſcri-
His autem prædemonſtratis ſequentia Corol-
laria colliguntur, quæ quidem cum Typographo deeſſent conſueti buiu-
ſcemodi caracteres, diuerſis imprimineceſſe fuit.
IN Propoſ.
prima igitur, ſi ſuppoſuerimus, PRDE, eſſe circu-
lum, vel ellipſim, & axem, ER, &
circa eandem in baſi, DP,
parallelogrammum, FP, quę quidem ſit baſis portionis, DEP, re-
ctè ſecans axim, ER, deinde intellexerimus omnes figuras ſimiles
po@@onis, DEP, eſſe circulos diametros in figura genitrice, DEP,
(cui ſut erecti) ſitos habentes, tunc, FP, erit figura genitrix ſolidi
ſimilaris, quod erit cylindrus rectus, & DEP, erit figura genitrix
ſolidi præ@@ ſimilatis, quod erit portio ſphæræ, vel ſphæroidis,
cuius axis, ER, & quia patet ex ſupradictis, quam rationem habeat
ſolidum ſimilare genitum ex, FP, ad ſibi ſimilare genitum ex, DE
P@uxta regulam, DP, ide@ patet ex ſupradictis, quam rationem ha-
beat cylindrus, FP, ad portionem ſphæræ, vel ſphæroidis, DEP,
ſiue, DP, tranſeat per centrum, A, ſiue non. Similiter ſi ſuppoſue-
rimus, EDRP, eſſe ſphæroidem, &, ER, non axim, ſed diame-
trum, & ſecari per ellipſim, DSPR, obliquè ad diametrum, ER,
& circa eandem diametrum, EB, in eadem baſi ellipſi, DSPR,
eſſe cylindricum, FP, ſecari autem cylindricum, & portionem ſphæ-
roidis planis parallelis ipſi ellipſi, DP, quę intelligatur erecta plano,
DEPR, conceptæ in ipſo cylindrico figuræ erunt omnes figuræ ſi-
quæ ſiunt in portione ſphæroidis, D
EP, erunt omnes figuræ ſimiles portionis, DEP, omnes inquam
ellipſes ſimiles ellipſi, DP, (eſt enim idem, ſiue intelligas has figu-
ras ſimiles deſcribi omnibus lineis figurarum genitricium, FP, DE
P, ſiue percipias ealdem produci per ſectionem corporum per plana
factam ipſi, DP, parallela) & quia patet ratio harum omnium ſimi-
lium ſigurarum, ſiue ellipſium inter ſe ex ſupradictis, & ſubinde ſoli-
dorum ſimilarium genitorum ex, FP, & portione, DEP, qucrum
vnum eſt cylmdricus, alterum eſt portio ſphæroidis ſecta plano, D
P, ideo patet, quam rationem habeat cylindricus, FP, ad portio-
nem, DEP, .@.
eſſeeandem, quam habet compoſita ex ſexta parte,
EB, & dimidia, BR, ad ipſam, BR, &
hoc, ſiue, ER, ſit axis,
ſiuenon; Quod ſi, DP, tranſeat per centrum, A, cylindricum, FP,
eſſe ſexquialterum portionis ſphærę, vel ſphęroidis, DEP. Ijſdem
vijs patebit conum, ſiue conicum, EDP, ad portionem ſphærę, vel
ſphæroidis, DEP, eſſe vt, BR, ad compoſitam ex, BR, & dimi-
dia totius, ER, quod ſi, DP, per centrum tran@eat, conum, vel cc-
EP; hæc autem etiam ab alijs oſteniſa ſunt.
Verum ſi ſiguræ ſimiles
pſes, ſed aliæ vtcunque figuræ, vt
ex. g.
quadrata, veluti in figuris in
tra ellipſes exemplificare volu, dia
metros homologas in figuris gen -
tricibus habentia, adhuc eædem
rationes ſupradictis erunt inter hęc
ſolida ad inuicem ſimilaria genita
ex, FP, & portione, DEP, ſiue
ex triangulo, EDP, & portione,
DEP, baſes habentia quadratas; patet autem hic, quod ſolidum ſi-
milare genitum ex, FP, baſem ha-
bens rectilineam, ſicuti eſt priſma,
ita & hoc nomine vocari poteſt
magis particulari, veluti & ſoli-
dum ſimilare genitum ex triangu-
lo, EDP, nomine piramidis vo-
cari poteſt, dum baſim habet recti-
lineam.
Deniq;
vniuerſaliſſimè habetur
ratio quorumcumque duorum ſo-
lidorum genitorum ex, FP, & por-
tione, DEP, ſiue ex triangulo, D
EP, & portione, DEP, iuxta re-
gulam, DP, quacunque in ſimili-
bus figuris variatione facta. Quæ
autem in huius Theorematis decla-
ratione animaduerſa ſunt, memo-
ria teneantur, nam & ſequentia
conſimili methodo, ſed breuiori
declarabimus; ſuſſiciat autem tot
figurarũ variationes in duabus tan-
tum exemplificaſſe, quas ſolido-
rum indicant baſes, nempè circu-
lus, & quadratum, inſcriptum ei-
dem circulo, habens vtrunq; dia-
metrum in figura genitrice, impo-
ſterum enim cuin ſine figurarum
confuſione id ægrè ſieri poſſit vna tantum poſitione contenti erimus,
ras ergo variationes ex his facillimè auidus veritatis indagator pro-
prio marte comprehendere poterit, quæ pro huius Theor. declarat.
adieq.
quoq;
dilucidat.
fatis effe reor.
IN Propofitione fecunda, expoſita figura Coroll.
antec.
confor-
miter, patet, quam rationem habeat folidum fimilare genitum
ex, DN, ideft cylindricus in bafi figura deſcripta à baſi, PN, cuius
latus eſt, HN, ad ſolidum ſibi ſimilare genitum ex portione, VCB
FR,. i.
(ſi omnes figuræ ſimiles ipſius, DN, ſint circuli diametros
in, DN, habentes, & omnes figuræ fimiles portionis, VCBFR,
ſint pariter circuli rectè axem, BO, ſecantes, & diametros in eadem
portione ſitos habentes, quicirculi ſint genitricibus erecti) cylindrus,
DN, ad portionem ſphæræ, velſphæroidis, VCBFR, velſi figu-
habet prifma, DN, ad ſolidum ſibi
ſimilare genitum ex portione, VCB
FR, circuli, vel ellipſis, BCOF. Ductis autem rectis, BP, PN, pa-
tet ſimiliter ratio, quam habet co-
nus, BPN, ad portionem ſphæræ,
vel ſphæroidis, VCBFR, fiue py
ramis, BPN, ad ſolldum ſimilare
genitum ex triangulo, BPN, (in-
telligeiemper hęc ſolida inuicem ge-
nita iuxta regulas in Theorematibus
aſſumptas, ne toties id repetatur)
ſiue tandem, quam habet vniuerſa-
liter ſolidum ſimilare genitum ex, DN, vel triangulo, BPN, ad ſo-
lidum ſibi ſimilare genitum ex portione, VCBFR, & hocſi, BO,
ſit axis quod ſi tantum fit diameter eædem rationes colligentur ad
modum ſuperioris Theorematis. Eſtergo in figura cylindricus, D
N, adportionem ſphæræ, vel ſphæroidis, VCBFR, vel priſma,
DN, ad ſolidum ſimilare genitum ex portione, VCBFR, veltan-
dem quodlibet ſolidum ſimilare genitum ex, DN, ſiue quilibet cy-
lindricus genitus ex, DN, ad ſolidum ſibi ſimilare genitum ex por-
tione, VCBFR, vt rectangulum ſub, BA, & tripla, AO, adre-
ctangulum ſub, BM, & ſub compofita ex, MO, OA.
Solidum ve-
rò ſimilare genitum ex triangulo, BPN, ſiue ſit conus, ſiue pyramis,
ſiue tantum conicus, ad ſibi ſimilare genitum ex portione, VCBFR,
milare genitum ex portione, VCBFR, vtrectangulum, BAO, ſiue
quadratum, BA, ad rectangulum ſub, BM, & ſub compoſita ex, M
O, OA, nam ſicut rectangulum, BAO, eſt tertia pars rectanguli
tripla, AO, ita ſolidum ſimilare genitum ex triangulo,
BPN, eſt tertia pars ſolidi ſimilaris geniti ex, DN, vnde patet, &c.
IN Propoſit.
tertia colligitur, quam rationem habeat ſolidum ſi-
milare genitum ex, BF, ſiue ſit cylindrus, ſiue priſma, ſiue tan-
tum conicus, ad ſibi ſimilare genitum ex portione circuli, vel ellipſis,
ICFS, ſiue hoc ſit fruſtum ſphærę, vel ſphæroidis, ſiue tantum ſo-
lidum ſimilare genitum ex portione, ICFS, ſiue, AD, ſit a@is ſiue
ctangulum, DRA, ad rectangulum
ſub, DR, & ſub compoſita ex, {1/2}, R
M, & ex, MA, vna cam rectangulo
ſub, RM, & ſub compoſita ex, {1/6}, R
M, &, {1/2}, MA.
Solidum autem ſimi-
lare genitum ex triangulo, MCF, ſiue
ſit conus, ſiue priſma, ſiue tantum co-
nicus, ad ſibi ſimilare genitum ex por-
tione, ICFS, ſiue hoc ſit fruſtum
ſphæræ, vel ſphæroidis, ſiue tantum
ſolidum ſimilare genitum ex tali por-
tione, ICFS, erit vt rectangulum,
DRA, ad rectangulum ſub compoſita ex, MD, DR, & ſub ſex-
quialtera, MA, vna cum rectangulo ſub compoſita ex, MD, &dupla, DR, &
ſub, {1/2}, MR, ſiue, AD, ſit axis, ſiue tantum dia-
meter, quę iuxta antecedẽtium declarationem facilè percipi poſſunt.
IN Propof.
quarta patet ratio, quam habet ſolidum ſimilare ge-
nitum ex, GX, quod apparet in ſuperioris figura, ad ſibi ſimilare
genitum ex portione, ICFS, quæratio ibi conſpiciatur.
IN Corollario Propof.
quintæ, ſi ſupponamus notam rationem,
quam habent omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata trian-
guli, AEC, vel quam habent omnia quadrata, XR, ad omnia qua-
drata trapetij, YSN℟, veluti iam eam notam reddidimus, colligi-
mus, quam rationem habeant omnia quadrata, AF, ad reliquum,
demptis omnibus quadratis ſemicirculi, vel ſemiellipſis, DBF, &
quam rationem habeant omnia quadrata, XR, adreliquum, dem-
I℟, & ideò patet, quam rationem ha-
beant omnia quadrata, AF, ad om-
nia quadrata ſemicircult, vel ſemielli-
pſis, DBF, & quam rationem habe-
ant omnia quadrata, XR, ad omnia
quadrata portionis, YTI℟, vnde ap-
paret, quam rationem habeat ſolidum
ſimilare genitum ex, AF, ſiue ſit cy-
lindrus, ſiue priſma, ſiue tantum cy-
lindricus, ad ſolidum ſibi ſimilare ge-
nitum ex ſemicirculo, vel ſemiellipſi,
DBF, ſiue hoc ſit hæmiſphærium,
ſiue hæmiſphæroides, ſiue tantum ſolidum ſimilare illi, genitum ex,
DBF. Item patet, quam rationem habeat ſolidum ſimilare geni-
tum ex, XR, quodcunque illud ſit, ad ſibi ſimilare genitum ex por-
tione, YTI℟. Eodem pacto manifeſta fieret ratio ſolidi ſimilaris
geniti ex, AG, ad ſibi ſimilare genitum ex portione, YB℟, & ita
in reliquis. Inuentæ igitur ſunt alio modoa prædictis, rationes fo-
lidorum inuicem ſimilarium genitorum ex parallelogrammis in bafi
æquali ſecundæ diametro conſtitutis. ſ.
in baſi æquali ipſi, DF, &
circa eoidem axes, ſiue diametros vtcunque portionum, YB℟, T
Y℟I, DTIF, &, DBF, quod explicare opus erat, &
in ſuprapo-
ſita ngura modo ſolito declaratum eſt, ſed tantum vnico exemplo ne
ipſa confonderetur.
IN Propoſ.
ſexta, &
eiuſdem figura apparet ſolidum ſimilare ge-
D, ſiue ſit ſphæra, vel ſphæroides, vel
tantum ſolidum ſimilare, ad ſolidum ſibi
ſimilare genitum ex altera portionum, B
AD, BCD, vtramuis, vtex, BAD,
ſiue hoc ſit portio ſphæræ, vel ſphæroi-
dis, vel tantum ſolidum ſimilare genitum
ex, BAD, eſſe vt parallelepipedum ſub
altitudine, XC, baſi quadrato, CA, ad
parallelepipedum ſub altitudine, XE, baſi
quadrato, EA, vel vt cubus, AC, ad pa-
rallelepipedum ſub altitudine tripla, EC,
baſi quadrato, AE, cum cubo, AE.
VNde colligitur in Corollario ſolidum ſimilare genitum ex por-
tione, BAD, ad ſibi ſimilare genitum ex portione, BCD,
eſſe vt parallelepipedum ſub altitudine, XE, baſi quadrato, EA, ad
parallelepipedum ſub altitudine, OAE, baſi quadrato, EC, qua-
liacunque ſint illa ſolida ſimilaria, ſiue ſit, AC, axis, ſiue tantum
diameter.
IN Propoſ.
ſeptima colligitur ſoli-
ne, BAF, ad ſibi ſim lare genitum ex
portione, CAD, ſiue hæciolida ſint
portiones ſphærę, vel ſphæroidis, ſiue
tantum ſolida ſimilaria, ſiue, AN,
ſit axis, ſiue tantum diameter, eſſe vt
parallelepipedum ſub altitudine, XE,
baſi quadrato, EA, ad parallelepipe-
dum ſub altitudine, XM, baſi qua-
drato, MA, vt exemplificaturin præ-
ſenti ſigura more ſolito.
IN Propof.
octaua diſcimus à data ſphæra, vel ſphæroide, vel ſo-
lido quocunque genito ex circulo, vel ellipſi, iuxta regulam, quę
ſit vna ex ordinatim applicatis, abſcindere portionem, quæ ad ſoli-
dum ſimilare ſibi genitum ex triangulo in eadem baſi, & circa eun-
dem axim, vel diametrum cum portione conſtituto, habeat datam
rationem, quam oportet eſſe maiorem ſexquialtera; quæ omniaibi
clarè patent, & ideo figuram non appono.
IN Propof.
nona patet ratio, quam
circulo, vel ellipſi, iuxta regulam pri-
mum axim, vel diametrum, ad ſolidum
ſimilare genitum ex eodem, iuxta ſe-
cundum axim, vel diametrum tamquam
regulam, ſiue hæc ſolida ſint ſphæra, vel
ſphæroides, vel tantum ſolida ſimilaria,
quæ in his appoſitis figuris clarè patent,
in quarum vna conſpici poteſt ſphęroi-
des prolatum, in altera oblongum, præ-
dicta autem ratio eſt ea, quam habet
prima axis, vel diameter ad ſecundam
axim, vel diametrum: quę etiam pro re-
liquis ſolidis ad inuicem ſimilaribus ma-
nifeſta ſunt.
IN Corollario autem eiuſdem Theorematis colligimus eſſe notam
rationem omnium quadratorum duarum portionum circuli, vel
ellipſis abſeiſlarum per lineas, quarum vna ſit parallela primo, alte-
ra ſecundo axi, vel diametro, quales ſint in appoſitis figuris portio-
nes, BMS, VPX, vnde etiam nota eritratio ſolidorum ſimilarium,
BMS, VPX, exipſis genitorum, vnumiuxta regulam, BS, alte-
rum iuxta regulam, VX, ſiue ſint hæc portiones ſphæræ, velſphæ-
roidis, ſiue ſolida ſimilaria genita ex portionibus, BMS, VFX.
IN Propoſ.
1 2.
dicimus, quod ſi circuli, vel ellipſes habuerint in
ſuis coniugatis axibus, vel diametris eas conditiones, quas ſup-
poſuimus in elſe lateribus parallelogrammorum in Theor.9.
10.
11.
12.
13.
Lib.
2.
quod pro eorum circulorum, vel ellipſium omnibus
quadratis regula baſi ſequentur eædem concluſiones ibi collectæ, ſi
enim nis circumſcribantur parallelogramma latera habentia axibus,
vel diametris coniugatis circulorum, vel ellipſium parallela, habe-
bunt hæc parallelogramma requiſitas conditiones in ſuis lateribus,
& ideò ſequentur iam dictæ concluſiones pro parallelogrammis, &
conſequenter pro omnibus quadratis ellipſium illis inſcriptorum,
cum hæc ſint ſubſexq uialtera omnium quadratorum parallelogram-
morum illis circum ſcriptorum ideſt vt clarius loquar, ſi circulus, &
ellipſis, vel duæ ellipſes fuerint circa eandem diametrum, vel circa
æquales diametros, velaxes, erunt omnia quadrata eorundem regu-
lis ſecundis axibus, vel diametris, vt omnia quadrata parallelogram-
morum illis circumſcriptibilium, latera habentium dictis axibus, vel
diametris parallela, regulis eildem retentis, & quia omnia quadrata
parallelogrammorum, latera baſibus æquè inclinata & qualia haben-
tium regulis baſibus, ſunt vt quadrata baſium, ideò omnia quadrata
circulorum, vel ellipſium circa eundem axim, vel diametrum, vel
æquales conſtitutorum, erunt vt quadrata ſecundorum axium, vel
diametrorum, & ideò ſolida ſimilaria genita ex ipſis iuxta eaſdem
regulas, erunt vt quadrata ſecundorum axium, vel diametrorum,
quæ ſolida, veleruntſphæra, & ſphæroides, vel ambo ſphæroides
circa eundem axim, vel diametrum, vel ſolida ſimilaria genita ex
dictis circulo, & ellipſi, vel duabus ellipſibus iuxta dictas regulas,
quæ quoque erunt interſe, vt quadrata ſecundorum axium, vel dia-
metrorum.
QVod ſi in dictis figuris circulo, &
ellipſi, vel ellipſibus ſumatur
pro regula communis axis, vel diameter, erunt omnia qua-
drata eorundem inter ſe, vt ſecundi axes, vel diametri inter
ſe, & ſic etiam erunt ſolida ſimilaria ex eiſdem genita iuxta dictam
regulam, in quibus includitur ſphæra, & iphæroides.
ITem colligimus ſolida ſimilaria genita excirculo, &
ellipſi, vel
ellipſibus, vtcunque iuxta datas regulas .i.
ſphæram, &
ſphæroi-
des, & alia quæcunque ſolida ſimilaria genita ex dictis figuris, ha-
bere inter ſe rationem ex eorum axibus, vel diametris coniugatis
compoſitam.
ITem colligimus ſolida ſimilaria genita ex circulo, vel ellipſi, vel
ellipſibus, quæ habeant axes, vel diametros reciprocè quadratis
axium illis coniugatorum relpondentes iuxta quæ genita, intelligan-
tur, effe æqualia, dummodo vel vna in vtriſque ſumantur axes, vel
vna diametri æqualiter ad inuicem inclinatæ: &
ſi hæc ſint æqualia,
illa eſſe reciprocè reſpondentia.
ITem habemus, quod ſphæræ, &
ſimilia ſphæroideia, &
in vni-
uerſum, quod ſolida ſimilaria genita ex circulis, vel ellipſibus ha-
bentibus axes, vel diametros in ratione ſecundorum axium, vel dia-
metrorum, cum quibus æqualiter ſintinclinati, quod, inquam, ſint
in tripla ratione axium, vel diametrorum. i.
vt cubi eorundem.
Hæc
enim demonſtrata de omnibus quadratis parallelogrammorum pro
omnibus quadratis circulorum, vel ellipſium, tamquam eorundem
partibus proportionalibus (dum illis inſcripta intelliguntur) recipi
poſiunt.
IN Prop.
13.
colligemus ſolidum ſimilare genitum ex, OV, quod
poteſt eſſe vel cylindrus, vel prima, ad ſibi ſimilare genitum ex
trilineo, DCV, eſſe vt, OV, ad reliquum ſpatium, dempta quarta
circuli, vel ellipſis, OCD, cum exceſſu dicti quadrantis ſuper duas
tertias, rectanguli, OV, ideſt proximè, vt 21. ad 2.
Exponatur de
huius Theor. figura tantum rectangulum, OV, cum quarta, OCD,
dimiffa, EF, ſi igitur intelligemus, OV, circa, DV, manentem re-
uolui, quoad redeat, vnde diſceſſit, defcribetur, ab, OV, cylindrus,
OA, ideſt ſolidum ſimilare genitum ex, OV, cuius omnes figuræ
tes, à trilineo autem, DCV, deſcribetur quoddam ſolidum, quod
quarta circuli; vel ſphæroidalis, ſi, OC
D, ſit quarta ellipſis, ideſt ſolidum ſimila-
re, quod poteſt dici genitum ex trilineo,
DCV, habens omnes ſuas ſimiles figuras
circulos ſemidiametros in figura genitri-
ce, DCV, ſitos habentes, eſt igitur inter
hæc duo ſimilaria ſolida, quęin particulari
hoc exemplo ſunt cylindrus, & apex ſphę-
ralis, vel ſphæroidalis, ratio eadem ſupradictę, quam breuitatis caufa
aliter exemplificare dimiſi. Conſimili autem vnico exemplo.
f.
affu-
mendo pro ſiguris ſimilibus ipſos circulos, ſemidiametros in figuris
genitricibus habentibus, breuitatis cauſa, & ob ſeruandam in figuris
claritatem impoſterum contenti erimus.
IN Propof.
14.
patet ratio ſolidi ſimilaris geniti ex, FD, ad ſoli-
dum ſimilare genitum ex figura, FQBDZ. Appoſita.
n.
hic
illius figura, dimiffa, HC, &, AP, &
retenta, BD, tantum in, V,
diuifa, reuoluatur, FD, circa manentem axim, ZD, modò ſupra-
drus, FA, & ex figura, FQBD
Z, fiet quoddam ſolidum rotun-
dum, quod vocetur, Tympanum
fphærale, ſi, FQB, ſit ſemicircu-
lus, vel ſphæroidale, ſi, FQB, ſit
ellipſis, erunt autem hæc duo ſo-
lida ſimilaria genita ex figuris, F
D, FQBDZ, figuras ſimiles cir-
culos habentia, quorum ſemidia-
metri iacent in ſuis genitricibus fi-
guris, & patet, quod ratio cylin-
dri, FA, ad tympanum ſphærale, vel ſphæroidale, FQRA, eſt ea-
dem ei, quam habet, BD, ad, DV, eandem autem habet quodli-
bet ſolidum ſimilare genitum ex, FD, ad ſimilare ſibi genitum ex fi-
gura, FQBDZ, qualecunque ſit.
IN Propof.
13.
colligimus ſolidum ſimilare genitum ex, HF, ad
ſolidum ſimilare genitum ex figura, NMBEF, demptis ſolidis
ſimilaribus genitis à trilineis, MNG, GFE, eſſe vt, HF, ad circu-
lum, velellipſim, MBEG. Reuoluatur, HF, circa, NF, manen-
tem, vt ſupra, ex, HF, igitur fiet cylindrus, H ℟, & ex figura, N
ra, à qua ſi auferantur ſoli-
da, quæ fiunt à duobus tri-
lineis, MNG, GFE, re-
manebit quædam figura ſo-
lida, quam vocabimus, Anu-
lum ſtrictum circularem, ſi,
MBEG, ſit circulus; Elli-
pticum verò, ſi ſit ellipſis, &
patebit, quam rationem ha-
beat cylindrus, H℟, ad hunc
anulum ſtrictum, AI, ſicuti vniuerſaliter patet ex ſupradictis, quam
rationem habeat ſolidum ſimilare genitum ex, HF, ad ſolidum ſibi
ſimilare genitum ex figura, NMBEF, demptis ſolidis ſimilaribus
genitis ex trilineis, MNG, GFE.
IN Propof.
16.
patet, quam rationem habet ſolidum ſimilare ge-
nitum ex, HO, dempto ſolido ſimilari genito ex, NO, ad ſoli-
milari genito ex figura, MGEOC, .i.
effe eandem ei, quam habet,
Reuoluatur, HO, cir-
ca manentem axem, CO, modo ſuprad cto, ex, HO, igitur fiet cy-
lindrus, H ℟, & ex figura, CMBEO, fiet quoddam ſolidum ſimi-
lare prædicto cylindro, auferatur à cylindro, H ℟, cylindrus, NL,
defcriptus ab, NO, & à prædicto ſolido ſimilari auferatur ſolidum
ſimilare genitum ex figura, MGEOC. Dico nos iam compertum
habere reſiduum primum. i.
faſciam ſolidam cylindricam (vtita di-
gignitur ex reuolutione circuli, vel ellipſis, MBEG, effe vt, HF,
ad ipſum circulum, vel ellipſim, MBEG; quod etiam patet de re-
fiduis quorumlibet ſimilarium ſolidorum ex, HO, & figura, MBE
OC, genitorum, demptis ſolidis ſimilaribus genitis ex, NO, & fi-
gura, MGEOC, vt ſupra diximus. Vocetur autem ſolidum, quod
in ſupradicto exemplo, & figura gignitur ex reuolutione circuli, vel
ellipſis, MBEG, Anulus latus circularis, ſi, MBEG, ſit circulus,
vel, Anulus latus ellipticus, ſi, MBEG, ſit ellipſis.
IN Prop.
17.
colligitur ſolidum ſimilare genitum ex, HF, ad fo-
lidum ſimilare genitum ex figura, NMBEF, eſſe vt, HF, ad
circulum, vel ellipſim, MBEG, vna cum reſiduo, quod remanet,
ſi à rectangulo, MG, dematur quarta circuli, vel ellipſis, MAG,
ablato inſimul exceſſu, quo eadem quarta ſuperat duas tertias rectan-
guli, MG. Conſpiciatur ergo exemplum in figura Coroll.
13.
huius,
patebit ergo cylindrum, H ℟, ad ſolidum genitum ex figura, NM
BEF, habere ſupradictam rationem, que eſt proximè, vt 21. ad 17.
vt in Propof.
17.
huius oſtenditur.
Vocetur autem ſolidum ſimilare
quæ ſint circuli, ſiue quod fiet per reuolutionem dictæ figuræ, NM
BEF, vocetur, inquam. Baſis columnaris ſtricta, &
circularis, ſi,
MBEG, ſit circulus, elliptica autem, ſi is fit ellipſis.
IN Coroll.
i.
colligitur ſolidum ſimilare genitum ex, HF, ad ſo-
lidum ſimilare genitum ex figura, NMBEF, dempto ſolido ſi-
milari genito ex, MF, eſſe proximè, vt 84. ad 47.
ideſt in noſtro
exemplo cylindrum, H ℟, ad baſem columnarem ſtrictam genitam
ex figura, NMBEF, dempto cylindro, MX, eſſe proximè, vt 84. ad 47.
IN Coroll.
2.
habetur ſolidum ſimilare genitum ex, MF, demptis
ſolidis ſimilaribus genitis ex trilineis, MNG, GFE, ad ſolidum
ſibi ſimilare genitum ex figura, NMBEF, dempto ſolido ſimilari
genito ex, MF, eſſe proximè, vt 19. ad 47.
In exemplo autem no-
ſtro, dum reuoluitur, HF, apprehende ſuperficiem cylindricam de-
ſcriptam linea, ME, quę in duas partes diſſeparat anulum ſtrictum,
AI, ſcilicet in vnam, quam poſſumus vocare interiorem, & in aliam
exteriorem; interior eſt, quę gigniture ex reuolutione ſemicirculi, vel
ſemiellipſis, MGE; exterior autem, quæ generatur ex ſemicirculo,
vel ſemiellipſi, MBE, eſtigitur hæc pars interior anuli ſtrictiad par-
tem exteriorem proximè, vt 19. ad 47.
vtin cæteris ſolidis ſimilari-
bus ſupradictis contingere diximus.
IN Propoſ.
18.
habemus ſolidum ſimilare genitum ex, HO, ad
ſolidum ſimilare genitum ex figura, CMBEO, eſſe vt quadra-
tum, DO, ad rectangulum ſub, DO, OE, vna cum rectangulo
ſub, OE, & ſub exceſiu, quo dupla, EI, ſuperat, EF, &
, {2/3}, qua-
drati, DE. Exemplum conſpici poteſt in figura Coroll.
14.
huius,
in qua ſolidum ſimilare genitum ex, HO, eſt cylindrus, H ℟, ſoli-
dum verò ſimilare genitum ex figura, CMBEO, eſt, quod naſcitur
ex reuolutione eiuſdem figurę circa, CO, quod ſolidum vocabimus. Baſem columnarem latam, circularem, ſi, MBEG, ſit circulus, el-
lipticam verò, ſi ſit ellipſis.
IN huius Corollario colligitur ſolidum ſimilare genitum ex, HP,
ad ſolidum ſimilare genitum ex figura, CMSBP, dempto ſoli-
do ſimilari genito extrapezio, MBPC, ideſtin exemplo cylindrum
genitum ex reuolutione, HP, ad mediam baſem columnarem latam
genitam ex figura, MSBPC, dempto fruſto conico genito ex tra-
pezio, CMBP, eſſe vt quadratum, BP, adrectangulum ſub, AP,
& ſub exceſſu duplæ, EI, ſuper, EF, vna cum, {1/3}, quadrati, BA.
Ex quibus etiam facilè inueniri poteſt, quam rationem habeat ſoli-
dum ſimilare genitum ex figura, MSBPC, ad ſolidum ſimilare ge-
nitum ex trapezio, MBPC, .i.
quam rationem habeat, in exemplo,
media baſis columnaris lata genita ex reuolutione, MXBPC, ad
fruſtum conicum genitum ex reuolutione trapezij, MBPC.
IN Propoſ.
19.
colligimus ſolidum ſimilare genitum ex figura, S
MNV, dempto ſolido ſimilari genito ex quadrilineo, MNV
genitum ex figura, SBEG
T, demptis ſolidis ſimilari-
bus genitis ex trilineis, TV
G, GFE, eſſe vt portio, S
MT, ad portionem, SBE
GT, circuli, vel ellipſis, M
BEG; ideſt in propoſito
exemplo, ſolidum, quod
generatur ex portione, SM
T, dum intelligimus, HF,
reuolui circa, NF, manentem axim, ad ſolidum, quod generatur ex
portione, SBEGT, erit vt portio, SMT, ad portionem, SBEGT.
IN Corollario eiuſdem colligimus ſolida ſimilaria genita ex paral-
lelogrammis circa eoſdem axes, cum portionibus conſtitutos ad
ſolida ſibi ſimilaria genita ex eiſdem portionibus, eſſe vt dicta paral-
lelogramma ad dictas portiones. ſ.
in exemplo cylindrum, HO, 2
fruſtum anuli ſtricti reſectum ſuperficie deſeripta linea, ST, erit v
HV, ad portionem, SMT, & item cylindrus, R ℟, deſcriptus a
erit vt, RF, adeandem portionem, quod patet etiam dereliquis ec-
rundem ſolidis ſimilaribus.
IN Propoſ.
20.
expoſita figura, &
exemplo conſtructo, oſtendi-
mus pariter ſolidum deſcriptum à portione, SMT, ad ſolidum
deſcriptum à portione, SBEGT, dum, HO, reuoluitur circa ma-
nentem axim, CO, eſſe vt portio, SMT, ad portionem, SBGET. quod etiam de reliquis ſolidis ſimilaribus ab eiſdem portionibus ge-
nitis patet.
In huius autem Corollario colligitur ſolida ſimilaria genita ex pa-
rallelogrammis, cum portionibus in eadem altitudine exiſtentibus,
& ad rectas, HD, CO, terminantibus, demptis ſolidis ſimilaribus
genitis ex parallelogrammis in eadem altitudine cum dictis portioni-
bus exiſtentibus, ſed ad rectas, NF, CO, terminantibus, adſolida
re-
liquo ſpatio, viq; ad, CO, dempto ſolido ſimilari genito ex hocre-
liquo ſpatio, eſſe vt dictorum parallelogrammorum reſiduum paral-
lelogrammum ad dictam portionem. Vtin exemplo cylindrum, H
Y, dempto cylindro, NQ, ad portionem anulilati reſectam per ſu-
perficiem deſcriptam in reuolutione a linea, ST, eſſe vt, HV, ad
portionem, SMT.
IN Propof.
22.
expoſita figura, &
exemplo conſtituto, colligi-
mus ſolidum ſimilare genicum ex, AG, ad ſolidum ſimilare ge-
nitum ex figura, LCFEG, deinptis ſolidis ſimilaribus genitis ex tri-
lineis, CLT, YGE, eſſe (ſi, CFEH, ſit circulus) vt parallelepi-
pedum ſub baſi parallelogrammo, AG, altitudine, FI, ad cylindri-
FEY, altitudine, IM, vna cum,
{3/6}, cubi, TY. In ellipſi verò, vt
parallelepipedum ſub baſiparalle-
logrammo, AG, altitudine, FI,
ad cylindricum ſub baſi portione,
TCFEY, altitudine, MI, vna
cum ea parte cubi, TY, vel (rhom
bo ab eadem, TY, deſoripto, vt in
Theor. 21.)
parallelepipedi ſub, T
Y, & dicto rhombo, ad quam eiu-
ſdem cubi, vel parallelepipedi ſex-
ta pars ſit, vt quadratum, CE, primæ axis, ad quadratum ſecundæ
.ſ.
ad quadratum, FH.
Sit ergo conſtitutum exemplum per reuolu-
tionem, AG, circa manentem axim, LG, ſiue ergo, CFEH, ſit
circulus, ſiue ellipſis, habebit genitus cylindrus ab, AG, ad genitum
ſolidum a portione, TCFEY, ſupradictam rationem. Vocetur au-
tem ſolidum deſcriptum à portione, TCFEY, (ſi ſit portio circu-
li) malum roſeum; ſi verò ſit portio ellipſis:
Malum cotoneum.
IN Prop.
23.
ium-
Theor.
21.
portione minori
vtcunque, RFV,
quæ ſit portio circu-
li, cum illi circum-
ſcripto rectangulo, Δ
V, aſſumpto etiam
integro axi, FH, &
puncto, @, in ea, vt
ibi ſumptum eſt, pa-
tet ſolidum ſimilare
genitum ex, Δ V, ad
ſolidum ſibi ſimilare
w. Reuoluatur igitur, vt ſiat noſtrum exemplum, Δ V, circa, RV,
manentem, cylindrus igitur deſcriptus à, Δ V, ad ſolidum deſcriptum
à portione, RFV, erit vt ſexquialtera, FM, ad, M w, & ſic dere-
liquis ſolidis ſimilaribus ab ipſis genitis, &c.
Vocetur autem ſolidum
deſcriptum per reuolutionem à portione circuli, RFV, minori; Ma-
lum citrium.
IN Propof.
24.
aſſumpta adhuc figura ſuperioris, quæ reuoluitur,
colligitur ſolidum ſimilare genitum ex portione, RFV, iuxta
axim, FM, regulam, ad ſolidum ſimilare genitum ex eadem, iuxta
baſim, RV, regulam eſſe, vt rectangulum ſub, w M, & ſub baſi, R
lineę, RM, cum qua-
drato, MF. Fiat no-
ſtrum exemplum per
reuolutionẽ portio-
nis, RFV, ſemel cir-
ca, RV, & iterum cir-
ca, FM, manentes
axes, primò igitur fit: Malum citrium per
reuolutionem circa,
RV, ſecundò fit ſeg-
mentum ſphæræ per
reuolutionem circa, FM, patet ergo, quam rationem habeat Ma-
lum citrium, ad ſegmentum ſphæræ ab eadem circuli portione per
reuolutionem genitum, quod etiam de reliquis ſimilaribus ſolidis ab
eadem portione, iuxta dictas regulas genitis concluſum eſt.
IN Propof.
25.
ſi ſumamus ex figura Theorem.
21.
portionem cir-
culi, vel ellipſis, RFV, vtcunque, cum integra axi, FH, à quá
ſit abſciſſa, IH, æqualis, FM, ſumatur inſuper de, MH, ipſa, M
T, ad quam, FM, ſit vt, Δ V, ad portionem, RFV, coll gemus, ex-
poſita hic figura, ſolidum ſimilare genitum ex, Δ V, ad ſibi ſimilare
genitum ex portione, BFV, eſſe vt quadratum, FM, ad rectangu-
lûm, quod remanet, dempto rectangulo ſub, IM, & ſub, TM, à
rectangulo ſub, FM, &, {2/3}, ipſius, MH.
Fiat noſtrum exemplum;
Δ V, adſolidum ge-
nitum ex reuolutio-
ne portionis, RF
V, habebit ſupradi-
ctam rationem; hoc
autem ſolidumiam
vocauimus: Malum
citrium, ſi, RFV,
ſit portio circuli, ce-
terum, ſi ſit portio
ellipſis, vocetur; O-
liua genita ex tali
portione;eadem au-
tem rationem habe-
re ſolida ſimilaria genita ex, Δ V, & portione, RFV, (intellige ſem-
pergenita iuxta regulam ibi aſſumptam, ſcilicet iuxta regulam, FM,)
iam ſuperius diximus.
IN Propof.
peiſdẽ
antecedẽtis fi-
guris colligi-
tur ſolidu ſi-
milare genitũ
iuxta regulã,
FM, ad ſibi
ſimilare geni-
tum iuxta re-
gulam, RV,
eſſe vt paral-
lelepiped. ſub
baſi rectãgu-
lo, qđ dicitur
reſiduum an-
reced. Theor.
altitudine tri-
pla, MH, ad
parallelepipedum ſub baſi rectangulo ipſius, FM, ductæ in, RV, al-
titudine linea compoſita ex, MH, HN. Pronoſtro exemplo ap-
portio, quæ reuoluantur ſemel circa, FM, &
ſe-
mel circa, RV, pateb tergo, quam rationem habeat, Malum citrium
ad ſegmentum ſphæræ genitum ab eadem portione circuli, & quam
habeat Oliua ad ſegmentum ſphęroidis genitum ex eadem portione.
IN Prop.
27.
aſſumitur iterum fig.
Theor.
21.
tum circuli, tum el-
lipſis, & nunc, jſdem figuris hicappoſitis, colligimus ſolidum ſi-
milare genitum ex portione, TCFEY, tuxta regulam, FI, ad ſolidum
fibi ſimilare genitum ex eadem portione, iuxta regulam, TY, eſſe, in
fig. circul, vt cylindr cum ſub, IM, &
portione, TCFEY, vna cum, {1/6},
cubi, TY, ad parallelepipedum ſub altitudine, FI, baſiverò rectangulo
ſub, FI, & ſub ſexquitertia duarum, IH, HN.
In ellipſis verò fig.
habe-
re rationem cõpoſitam ex ea, quam habet cylindricus ſub, IM, & por-
parte cubi, TY, vel parallelep-
pedi, ſub, RV, & rhombo, RZ,
ad quam eiuſdem cubi, vel pa-
rallelepipedi ſexta pars ſit, vt
quadratũ, CE, ad quadratum,
FH, ad parallelepipedum ſub
altitudine, CE, baſi parallelo-
grammo, AG, in fig. Th.
6.
&
ex ea, quã habet quadratum, F
H, ad rectangulum ſub, FI, &
ſub ſexquitertia duarum, IH,
HN. Pro noſtro igitur exem-
plo reuoluantur portiones, T
CFEY, ſemel circa axes ma-
nentes, TY, & ſemel circa axes
manentes, FI; ex reuolutione
igitur facta à portione circuli
circa, TY, fit, Malum Roſeum,
ex reuolutione verò eiuſdẽ cir-
ca, FI, fit maius ſegmentum
ſphæræ: Item ex reuolutione
facta à portione ellipſi, TCFE
Y, fit, malum cotoneum, circa
axim, TY, ex reuolutione verò eiuſdem circa, FI, fit maius ſegmentum
ſphæroidis: Igicur malum roſeum ad ſegmentum maius ſphæræ, &
malum cotoneum ad ſegmentum maius ſphæroidis iam dictum, ha-
bent ſupradictam rationem, vt & ſolida ſimilaria, &
c.
IN Propoſ.
28.
aſſumitur adhuc antecedentis figura, hic autem
colligimus nos, ſuperiores aſpicientes figuras pro noſtro exem-
plo, ſolidum ſimilare genitum ex portione circuli, vel ellipſis, TC
FEY, ad ſolidum ſimilare genitum ex circulo, velellipſi, iuxta com-
munem regulam, FH, (comparatis tamen genitis vel ambo ex ijs,
quæ ſunt circuli, vel ex ijs, quæ ſunt ipſius ellipſis) eſſe vt cylindri-
cum ſub altitudine, MI, baſi portione, TCFEY, vna cum, {1/6}, cu-
bi, TY, (quod tamen ſolum in circuli figu a contingit) in figura au-
tem ellipſis illud commutamus in hoc. ſ.
vna cum ea parte cubi, TY,
vel parallelepipedi ſub, RV, & rhombo, RZ, ad quam eiuſdem cu-
bi, vel parallelepipedi ſexta pars ſit, vt quadratum primi axis ad qua-
dratum ſecundi ad, {2/3}, parallelepipedi ſub, AD, & parallelogram-
mo, AQ,. i.
in figura circuli, ad, {2/3}, cubi, FH.
Dictam igitur ra-
tionem in ſuprapoſitis exemplis habet Malum Roſeum, ad ſphęram
genitam ex circulo, ex cuius portione maiori Malum Roſeum dici-
tur genitum iuxta regulam, FH; &
eandem habet Malum Coto-
neum ad ſphæroides genitum ex ellipſi reuoluta circa axem, CE, pa-
rallelam axi, TY, circa quem reuoluitur portio, TCFEY, ad ge-
nerandum Malum Cotoneum, quam rationem pariter diximus ha-
bere ſupradicta ſimilaria ſolida, &c.
IN Propoſit.
29.
habetur ſolidum ſimilare genitum ex, AN, ad
ra, CBDMN, demptis ſolidis ſimila-
ribus genitis ex trilineis, ſiue figuris, B
CO, ONM, eſſe vt, AN, ad figuram,
BDMO. Apponatur hie illa figura,
&, vt fiat noſtrum exemplum, reuol-
uatur, AN, quod ſupponamus eſſe pa-
rallelogrammum rectangulum conue-
nienter ipſi reuolutioni, circa axim, C
N, manentem, fiet igitur ex, AN, cy-
lindrus, ex reuolutione verò figuræ, B
DMO, fiet ſolidum totupliciter varia-
bile, quotupliciter figura, BDMO,
variari poteſt, vocabimus autem ſolida
genita à figuris inſcriptis rectangulo, AN, genita inquam per reuo-
Solida anularia ſtricta, patet ergo cylindrum
genitum ab, AN, ad ſolidum anulare ſtrictum genitum ex figura, B
DMO, quæcunque ſit, eſſe vt, AN, ad eandem figuram, BDM
O; ſicq;
eſſe cætera ſolida ſimilaria genita ex his, iuxta ſumptamre.
gulam ſiue, CN, ſiue, NE, vtrifq;
ſolidis communem.
IN Prop.
30.
colligimus ſolidum ſimilare genitum ex, AF, dem-
pto ſolido ſimilari genito ex, CF, ad ſolidum ſimilare genitum
ex figura, HBDMF, dempto ſolido ſimilari genito ex figura, HB
OMF, eſſe vt, AN, ad figuram, BDMO. Aſſumatur hic illius fi-
pro noſtro exemplo
ſupponatur, AF, eſſe rectan-
gulum, reuoluaturq; circa ma-
nentem axim, HF, cylindrus
ergo genitus ex, AF, dempto
cylindro genito ex, CF, ad ſo-
lidum genitum in reuolutione
ex figura, BDMO, erit vt, A
N, ad, BDMO; ſolida autem
genita ex figuris inſcriptis re-
ctangulo, BDMO, cum con-
ditionibus ibirequiſitisvocabi-
mus communiter: Solida anu-
laria lata; eadem patent de cę-
teris ſolidis ſimilaribus genitis
ex, AN, & figura, BDMO, etiamſi, AF, non ſit rectangulum,
quia tunc intelligo fieri generationem ſolidorum per deſcriptionem
ſimilium figumrum, & non per reuolutionem, vt in exemplo ſolito
aſſumpſi, vnde patet, &c.
IN Prop.
32.
docemur ſolidum ſimilare genitum ex, AR, ad ſo-
lidum ſibi ſimilare genitum ex figura, BCGRMD, demptis
ſolidis ſimilaribus genitis ex trilineis, BCG, GRM, eſſe vt, AR,
ponatur hic illa figura, &
, vt fiatnoſtrum
manentem axim, CR; cylindrus ergo
genitus ex, AR, ad ſolidum genitum
in reuolutione ex ellipſi, BDMG, erit
vt, AR, ad ellipſim, BDMG, ſic
etiam, vt diximus, cætera ſolida ſimi-
laria ex ijſdem per deſcriptionem ſimi-
lium figurarum genita: Vocetur au
tem ſolidum in reuolutione genitum
ex ellipſi, BDMG; Anulus ſtrictus
ellipticus altera parte latior.
IN Corollario colligitur ſolidum ſimilare genitum ex, AR, ad ſo-
lidum ſibi ſimilare genitum ex ellipſi, BDMG, ambo iuxta
communem regulam, FR, eſſe vt ſolidum ſimilare genitum ex eo-
dem, AR, ad ſolidum ſimilare ſibi genitum ex eadem ellipſi, BDM
G, ſed ambo genita iuxta communem regulam, CR. Exemplum
patebit, ſi concipies, AR, reuolui circa manentem axim, FR, cy-
lindrus enim tunc genitus, ab, AR, ad anulum ſtrictum ellipticum
altera parte latiorem, genitum ab ellipſi, BDMG, habebit ean-
dem rationem, quam ſupradictus cylindrus ad ſupradictum anulum,
Crideò (amplius colligemus) quoniam, permutando, cylindrus ge-
nitus in reuolutione circa, CR, facta, ad cylindrum genitum in re-
uolutione circa, FR, eſt vt anulus factus in illa reuolutione ad anu-
lum factum in hac, propterea ſicuti primus cylindrus ad ſecundum
ad, RC, ſic etiam erunt ſolida ſimilaria genita ex eiſdem, iuxtare-
gulas, FR, RC.
IN Propoſit.
33.
colligimus ſolidum ſimilare genitum ex, AX,
dempto ſolido ſimilari genito ex, CX, ad ſolidum ſibi ſimilare
genitum ex figura, BDMXT, dempto ſolido ſimilari genito ex fi-
gura, BGMXT, eſſe vt, AR, ad ellipſim, BDMG; quod ſi ſu-
mantur ſolida ſimilaria genita ex eiſdem iuxta communem regulam,
TX, vel, CR, eandem rationem inter ſe habere comperientur di-
cta reſidua ſcilicet quam habet, AR, ad ellipſim, BDMG. Expo-
natur figura, &, vt fiat exemplum, reuoluatur, AX, circa manen-
ex, CX, ad ſolidum ge-
nitum in reuolutione ex
ellipſi, BDMG, erit vt,
AR, ad ellipſim, BDM
G; idem accidet, ſireuo-
lutio ſiat circa axem pa-
rallelam ipſi, AC, inclu-
ſam duabus, FA, RC,
verſus, A, C, puncta pro-
ductis: vocetur autem ſo-
lidum genitum inreuolu-
tione ex ellipſi, BDMG, anulus latus ellipticus altera parte ſtrictior.
HInc inſimul patet, quod faſcia ſolida cylindrica (vt ita dicam)
in reuolutione circa, TX, genita ex, AR, ad anulum geni-
tum ex ellipſi, BDMG, in eadem reuolutione, eſt vt cylindrus ge-
nitus ex, AR, dum reuolutio ſit circa, CR, ad anulum ſtrictum el-
lipticum altera parte latiorem in eadem reuolutione circa, CR, at-
ellipſi, BDMG, genitum; nam ambo ſunt, vt, AR, ad ellipſim,
BDMG, dem patet pro ſolidis ſimilaribus, &c.
Quia verò dicta fa-
ſcia ſolida genita ab, AR, ad cylindrum ab eodem, AR, genitum
eſt, vt reſiduum quadrati, FX, dempto quadrato, RX, ad quadra-
tum, FR, eſt. n.
cylindrus genitus ab, AX, ad cylindrum genitum
ab, AR, vt quadratum, FX, ad quadratum, FR, cylindrus item
genitusà, CX, ad eundem cy ndrum genitum ab, AR, eſt vt qua-
dratum, RX, ad quadratum, RF, ergo hoc cylindro dempto à cy-
lindro genito ab, AX, reliqua faſcia ſolida genita ex, AR, ad cy-
lindrum genitum ex eodem, AR, erit vt reſiduum quadrati, FX, ab
eo dempto quadi
nem habebit etiam anulus latus ellipticus altera parte ſtrictior ad
anulum ſtrictum ellipticum altera parte latiorem ex eadem ellipſi, B
DMG, genitum; quia vero reſiduum quadrati, FX, dempto qua-
drato, RX, eſtrectangulum ſub, XR, RF, bis cum quadrato, FR,
ideſt rectangulum ſub, XF, FR, cum rectangulo ſub, XR, RF, .i.
rectangulum ſub compoſita ex, RX, XF, &
iub, FR, ideò dictus
anulus latus ad dictum anulum ſtrictum, erit vt rectangulum ſub
compoſita ex, RX, XF, & ſub, FR, ad quadratum, FR, .
i.
erit
vt compoſita ex, FX, XR, ad, RF, nempè vt, VR, ad, RF.
VLterius habemus faſcias ſolidas cylindricas genitas exempligr.
ab eodem rectangulo, AR, dum ſit reuolutio ſemel circa, T
X, & ſemel circa parallelam, AC, ad anulos latos ellipticos altera
parte ſtrictiores genitos in reuolutionibus ab ellipſi, BDMG, ha-
bere eandem rationem ſcilicet quam habet, AR, ad ellipſim, BDM
G, & ideò inter ſe dictos anulos eſſe, vt dictas faſcias, dictæ autem
faſciæ ſolidæ cylindricæ ſunt, vt reſidua, demptis à quadratis ſemi-
diametrorum baſium integrorum cylindrorum quadratis ſemidiame-
trorum baſium cylindrorum, quas dictæ faſciæ complectuntur, &
ideò dicti anuli inter ſe eandem rationem habebunt, quam dicta qua-
dratorum reſidua.
IN Corollario huius tandem dicitur, quòd ſi, BDMG, non
eſſet ellipſis, tum in Schemate huius, tum Theorematis antece-
dentis, ſed alia vtcunque ſigura habens tamen prædictas conditiones
ibi appoſitas, quod de eadem dicta quoque de ellipſi, BDMG, ve-
riſicarentur, noſque hic colligimus, quod omnia ſupradicta æquè,
ac deſolidis genitis ab ellipſi, BDMG, de genitis abipſa figura pa-
riter veriſicarentur. Poſſumus autem vocare ſolida deſcripta per
reuolutionem factam circa, CR, à ſigura, BDMG. Solida anu-
laria ſtricta altera parte latiora: quæ verò ſiunt ab eadem per reuolu-
tionem circa, TX. Solida anularia lata altera parte ſtrictiora.
POſſent quidem plura alia circa bæc ſolida conſiderari;
bt ſi ſecentur
planis parallelis, ad axem, circa quem ſit reuolutio, exiſtentibus
rectis, quam inter ſerationem babeant reſecta ſegmenta. Item reſtat
contemplandum ſolidum, quod naſceretur ex reuolutione dimidiæ elli-
pſis circa non axem, ſed diametrum, vel diametro parallelam; quæ vo-
luta circa diametrum ſolidum deſcribit referens ſiguram Pyri; circa,
berò parallelam diametro portionem maiorem ab ellipſireſecantem, de-
ſcribit quoddam ſolidum latius ex vna parte, quam ex alia, referens ſi-
guram Mali paradiſi, vt vulgò dicitur, circa berò parallelam diametro
dam ſolidum referens ſiguram Fici, pluraque bis ſimilia contemplandæ
remanerent, ſed bt ſtudioſo Lectori in agro hoc fertiliſſimo laborandi, il-
lumq; excolendi non omnis bideatur ſublatus eſſe locus, illius hæc inqui-
ſitioni reſeruare bolui bis. Aduerte autem in ſuperioribus licet ſigura-
rum aſſumpti ſuerint axes, bt circa eoſdem ſieret reuolutio, tamen ea-
dem beriſicart aſſumptis, quæ ſunt tantum diametri, nam paſſiones Se-
ctionum Conicarum eiſdem inſunt, ſiue ſint circa axes, ſiue circa tan-
tum diametros, bt babetur Libro Primo Scbolio Propoſitionis 40.
SI PARALLELOGRAMMVM, &
trian-
gulum fuerint in eadem baſi, & circa
eundem axim, vel diametrum cum pa-
rabola; parallelogrammum erit para-
bolæ ſexquialterum, triangulum au-
tem erit eiuſdem parabolæ ſubſexqui-
tertium.
Sit ergo parabola, FCH, in baſi, FH, circa axim, vel diame-
trum, CG, ſit autem in eadem baſi, FH, & circa eundem axim, vel
diametrum parallelogrammum quoq; AH, &
triangulum, CFH.
eſſe ſexquialterum parabolæ, FCH; triangulum autem, CFH, eſſe eiuſdem
parabolæ, FCH, ſubſexquitertium.
Sumatur ergoin, CE, quæ tangit pa-
rabolam in puncto, C, vtcunque pun-
ctum, N, & per, N, ducatur ipſi, CG,
parallela, NO, producta vſque ad ba-
ſim, FH, cui occurrantin, O; quæ pa-
riter ſecet curuam parabolæin, M, &
per, M, ducatur ipſi baſi, FH, parallela, IL. Eſtergo quadratum,
. vt, ON, ad, NM, eſt autem, CH, pa-
rallelogrammum in eadem baſi, & altitudine cum trilineo, CMH
E, & punctum, N, vtcunq;
ſumptum, per quod acta eſt ipſi, CG,
parallela, NO, repertumque eſt, vt quadratum, EC, ad quadra. tum, CN, itaeſſe, ON, ad, NM;
ergo horum quatuor ordinum
marum abſciſſarum, EC, magnitudines primi ordinis collectæ iuxta
quadratum, CE, ad quadrata omnium abſciſſarum ipſius, CE, ſiue
ambo ſint recti, vel eiuſdem obliqui tranſitus, quæ ſunt magnitudi-
nes ſecundi ordinis collectæ, iuxta quadratum, CN, erunt vt om-
gnitudines tertij ordinis collectæ, iux-
ta, NO, ad omnes lineas trilinei, CM
HE, magnitudines quarti ordinis col. lectas, iuxta, NM, regula pro his om-
nibus lineis exiſtenteipſa, EH; vt au-
mi, CH, ad omnes lineas trilinei, CM
HE, ita eſt parallelogrammum, CH,
ad trilineum, CMHE, ergo paralle-
logrammum, CH, ad trilineum, CMHE, eſt vt quadrata maxi-
marum abſciſſarum ipſius, CE, ad quadrata omnium abſciſſarum ip-
ſius, CE, verum illa quadrata ſuntiſtorum tripla, ergo erit paralle-
rallelogrammum, CH, erit ſexquialterum ſemiparabolæ, GCM
H, ideò etiam parallelogrammum, AH, erit parabole, FCH, ſex-
quialterum. Quoniam verò triangulum, CFH, eſt dimidium pa-
rallelogrammi, AH, ideò quarum partium parallelogrammum, A
H, erit ſex, & parabola, FCH, conſequenter ea undem quatuor,
triangulum, CFH, erit tria, & ideò erit ad parabolam, FCH, vt
tria ad quatuor, & idcircò erit eiuſdem ſubſexquitertium, quæ oſten-
dere oportebat.
HInc patet ductas in trilineo, CMHE, æquidiſtantes axi, bel dia-
metro, CG, eſſe inter ſe, bt quadrata abſciſſarumper eaſdem d
tangente, CE, berſus berticem parabolæ, quieſt punctum, C; nam oſten-
ſum eſt, ON, ſiue, HE, ad, NM, eſſe bt quadratum, EC, ad quadra-
tum, CN, & punctum, N, ſumptum eſt btcunque, ideo, &
c.
SI intra parabolam ducantur vtcunque duæ ad axim, vel
diametrum eiuſdem ordinatim applicatę lineę, abſciſſæ
abijſdem parabolæ, erunt inter ſe, vt cubi dictarum linea-
rum ordinatim applicatarum.
Sint ergo intra parabolam circa axim, veldiametrum, CG, con-
ſtitutam, duæ adipſum ordinatim applicatæ rectæ lineæ, FH, OM,
parabolas, OCM, FCH, abſc ndentes. Dico ergo parabolam, F
CH, ad parabolam, OCM, eſſe vt cubum, FH, ad cubum, OM; conſtituantur circa axes, vel diametros, CI, CG, &
in eiſdem ba-
ſibus, OM, FH, cum dictis parabolis parallelogramma, AH, RM.
lateribus compoſitam, ſunt au-
tem parallelogramma, AH, R
M, æquiangula, nam, OM, eſt
parallela ipſi, FH, ideò paralle-
logrammum, AH, ad parallelo-
grammum, RM, habebit ratio-
nem compoſitam ex ea, quam ha
bet, FA, ad, RO, .i.
GC, ad,
CI, .i.
quadratum, FH, ad qua-
ex ea, quam habet, FH, ad, OM, ſed etiam cu-
bus, FH, ad cubum, OM, habet rationem compoſitam ex ea, quam
habet quadratum, FH, ad quadratum, OM, & ex ea, quam ha-
grammum, RM, & conſequenter parabola, FCH, ad parabolam,
OCM, (quia ſunt dictorum parallelogrammorum ſubſexquialterę)
SI in parabola ducatur quædam recta linea ad eiuſdem
axim, vel diametrum ordinatim applicata; agantur de-
inde ipſx
ad curuam parabolicam, & dictam ordinatim applicatam,
quæ baſis erit eiuſdem parabolæ; Dictæ æquidiſtantes rectę
ſdem æquidiſtantibus conſtitutis.
Sit ergo parabola, FCH, circa axim, vel diametrum, CG, ad
quam ordinatim applicetur recta linea vtcunq; FH, ducantur dein-
de intra parabolam axi, vel diametro, CG, parallelæ vtcunque, A
N, MO, baſim, FH, in punctis, N, O, diuidentes. Dico igitur re-
ctam, AN, ad rectam, MO, eſſe vt rectangulum, FNH, ad re-
ctangulum, FOH; ducatur per, M, ipſi, FH, parallela, MI;
eſt
ergo, GC, ad, CI, vt quadratum, GH, ad quadratum, IM, vel
G, ad ſuireliquum, dempto quadrato,
GO, hoc autem reſiduum eſt rectan-
gulum ſub, GOH, bis, vna cum qua-
drato, OH, quod eſt æqualerectan-
gulo, FOH, nam rectangulum, GO
H, cum quadrato, OH, æquatur re-
ctangulo, GHO, .i.
rectangulo ſub,
FG, OH, cui ſi iunxeris rectangulum
ſub, GO, & eadem, OH, conſurget
integrum rectangulum, FOH, æqualerectangulis ſub, GOH, bis,
i.
vt rectangulum, FGH, ad rectangulum, FOH, &
con-
HOF, ad rectangulum, H
GF; codem modo oſtendemus, CG, ad, AN, eſſe vt idem rectan-
gulum, HGF, ad rectangulum, FNH, ergo ex æquali, & conuer-
tendo, AN, ad, MO, erit vt rectangulum, FNH, ad rectangulum,
FOH, quod oſtendere oportebat. Poſſunt autem vocari &
, AN,
MO, ordinatim applicatæ ad baſim parabolæ, FCH, ſcilicet ad
ipſam, FH.
SI ad baſim parabolæ ordinatim applicetur vtcunque re-
cta linea, ſiat autem parallelogrammum, & triangulum
habentia circa communem angulum dictam applicatam, &
abſciſſam à baſiab vtrauis extremitatum eiuſdem, vel ſint
duæ ad baſim vtcunque ordinatim applicatæ, ſub alterutra
quarum, & ſub in cluſa ab ijſdem portione baſis ſiat paralle-
logrammum, & triangulum;
dicti parallelogrammi, vel trian-
ptam ratio nota erit.
Sit parabola, cuius baſis, FG, ad axim, vel diametrum, CX, or-
dinatim applicata; ad baſim autem, FG, ſit etiam ordinatim appli-
cata, AN, vtcunq; diuidens baſim, FG, in puncto, N, ſiat autem
parallelogrammum, RN, & triangulum, AFN, ſublateribus, A
N, NF, vel ſub, AN, NG; Vel ſint duæ vtcunque ad baſim, FG,
ordinatim applicatæ, AN, CX, ſiat autem parallelogrammum, &
triangulum ſub, AN, NX, vel ſub, CX, XN. Dico parallelogram-
gulum, FAN, ad
portionem, AFN,
parabole, FCG, pa-
rallelogrammo, RN,
inſcriptam, eſſe in ra-
tione nota. Similiter
parallelogrammum,
ZX, & triangulum,
NCX, ad portio-
nem, ACXN, habe-
re rationem notam. Producatur, CX, vt-
cunque in, E, & cir-
ca ſemiaxes, vel ſemi-
diametros coniuga-
tas, FX, XE, intel-
ligatur deſcriptus ſe-
micirculus, velſemi-
ellipſis, FEG, pro-
ducantur deinde, RF, ZN, indeſinitè, ſecetque, ZN, curuam ſe-
micirculi, vel ſemiellipſis, FEG, in puncto, O, & compleantur pa-
rallelogramma, VN, RX, ſumatur deindein, FN, vtcunq; pun-
ctum, S, per quodipſi, CE, parallela ducatur, YT, ſecans curnam
parabolæ in, I, curuam autem, FEG, in, M; eſt ergo, AN, ad, I
rectangulum, GSF, ergo, AN, vel, YS, ad, SI, erit vt quadra
tum, NO, vel vt quadratum, TS, ad quadratum, SM, ſunt au-
tem, RN, NV, parallelogramma in eiſdem baſibus, & altitudini-
punctum, S, ſumptum eſt
vtcunque, repertumque eſt, vt, YS, ad, SI, ita eſſe quadratum, T
erunt proportionales collectæ, iuxta quatuor iam dictas magnitudi-
nes proportionales .ſ.
omnes lineæ ipſius, RN, (ſumpta pro omni-
bus communi regula, CE,) ad omnes lineas trilinei, FIAN, erunt
vt omnia quadrata, FO, ad omnia quadrata trilinei, FMON, ra-
tio autem, quam habent omnia quadrata, FO, ad omnia quadrata
trilinei, FMON, iam notiſicata eſt lib.3.
de circulo, &
ellipſi Pro-
1.
ergo &
ratio
omnium linearum, R
N, ad omnes lineas
trilinei, FIAN, &
ſubinde ratio paral-
lelogrammi, RN, ad
portionem, FIAN,
nota erit, & ſubinde
nota erit ratio trian-
guli, FAN, quod eſt
dimidium parallelo-
grammi, RN, ad
eodem modo oſten-
demus parallelográ-
mum, ZX, ad qua-
drilineum, NACX,
eſſe vt omnia qua-
drata, RX, ad om-
nia quadrata quadri-
linei, ONXF, ratio autem, quam habent omnia quadrata, RX,
ad omnia quadrata quadrilinei, ONXE, iam notiſicata eſt in ſupra-
dicto Libro, Propoſit.3.
&
4.
ergo ratio pamllelogrammi, ZX, ad
quadrilineum, ſiue portionem parabolæ, ANXC, nota erit, veluti
& ratio trianguli, CNX, ad eandem portionem, ANXC, pariter
nota erit, quod erat oſtendendum.
HInc colligitur dicta parallelogramma ad portiones parabolæ ſibi
inſcriptas, ordmatimque ad parabolæ baſim applicatis incluſas,
eſſe, bt omnia quadrata parallelogrammorum illis è regione reſponden-
tium, quibuſq; inſcribuntur ſemiportiones circuli.
vel ellipſis iam di-
ctæ ad omnia quadrata dictarum ſemiportionum, regula communt axi,
vel diametro, CE, exiftente. Oſtenſum .
n.
eſt, RN, ad portionera, FA
N, eſſe, bt omnia quadrata, FO, ad omnia quadrata trilmet, FMON;
, ZX, ad portionem, ACXN, eſſe, vt omnia quádratà, ℟ X, ad
omnia quadrata quadrilinei, NOEX, &, AN, CX, ordinatim ad ba-
ſim, FG, applicatæ ſumptæ ſunt vtcunq; vnde patet.
DVctis vtcunque ad baſim parabolæ ordinatim applica-
tis, parallelogramma ſub ipſis, & portionibus baſis ab
ijſdem abſciſſis ad ſibi inſcriptas portiones parabolæ infra-
ſcriptam rationem habebunt.
Sit ergo parabola, HGA, in baſi, HA, circa axim, vel diame-
trum, GO, & ſint ductæ ipſi, GO, parallelæ vtcunque, ST, EC,
compleantur autem parallelogramma, LT, BO, DC, deinde pro-
ducatur, GO, vtcunque in, M, & circa ſemiaxes, vel ſemidiame-
tros, HO, OM, intelligatur, HMA, ſemicirculus, vel ſemiellipſis,
EC, productæ ſe-
cent in, VN, com-
pleàtur pariter pa-
rallelogramma, H
V, HM, HN, pro-
ducantur inſuper, Y
M, BG, vſque in,
& ℟, &
, SV, EN,
vſq; ad puncta, P,
Z, Q, I, quæ ſunt
in lateribus, B ℟, Y
&. Igitur paralle-
logrammum, LT,
ad portionem, HS
T, erit vt omnia
quadrata, HV, ad
omnia quadrata ſe-
miportionis, HT
V, (regula, GM, pro hac Propoſ. ſumpta).
i.
vt, TA, ad compó-
ſitam ex {1/2}, TA, &, {1/6}, HT, vt patet in Libro de Circulo, &
Ellipſi
Propoſitione I.
Similiter oſtendemus, BO, ſemiparabolæ, HGO, eſſe ſexqui-
alterum, eſt enim vt omnia quadrata, HM, ad omnia quadrata, H
VMO, ideſt in ratione ſexquialtera, vt patet in eadem Propoſit. I.
Pariter demonſtrabimus, DC, ad portionem, HGEC, eſſe vt,
AC, ad compoſitam ex, {1/2}, AC, &, {1/6}, CH, ſicenim ſunt omnia
patet in eiuſdem Lib. Propoſ.
I.
Quod ſi velimus comparare parallelogramma, quæ ſunt in baſi-
bus æqualibus axi, vel diametro, inueniemus infraſcriptas rationes
ſcilicet parallelogrammum, BT, ad portionem, HST, eſſe vt re-
ctangulum ſub, HO, & tripla, OA, ad rectangulum ſub, HT, &
ſub compoſita ex, TA, &, AO, ſicuti ſunt omnia quadrata, HZ,
ad omnia quadrata ſemiportionis, HTV. Eadem ratione, BC, ad
C, erit vt rectangu-
lum ſub, HO, &
tripla, OA, ad re-
ctangulum ſub, H
C, & ſub compoſi-
ta ex, CA, &, AO,
ſic enim ſunt om-
nia quadrata, HI,
ad omnia quadrata
ſemiportionis, HM
NC, vt patet in eo-
dem Lib. 3.
Prop.
2.
Sitandem ſuma-
musparallelogram-
mum, PC, cui in-
ſcripta eſt parabolę
portio, TSGEC,
incluſa duabus, ST,
EC, ad baſim, HA, vtcunq; ordinatim applicatis, ſiue intercipiant
axem, vel diametrum, GO, ſiue non, ſiue axis, vel diameter, GO,
ſit altera harum duarum ad baſim, HA, ordinatim applicatarum,
ſiue non; reperiemus parallelogrammum, PC, ad portionem, TS
GEC, eſſe vt rectangulum, HOA, ad rectangulum ſub, AC, &
ſub compoſita ex, {1/2}, CT, & tota, TH, vna cum rectangulo ſub, T
C, & ſub compoſita ex, {1/6}, TC, &
, {1/2}, TH, ſic enim eſſe inuenie-
mus omnia quadrata, TI, ad omnia quadrata quadrilinei, TVM
NC, vt patet eodem Lib. Propoſ.
4.
_H_Inc habetur ſi fiant triangulæ, ductis, SH, PH, GH, QT, hæc
ad portiones, quibus inſcribuntur habere eaſdem rationes, quas
habent dimidia antecedentium ad eadem conſequentia ſuperius expoſita,
ſunt enim & ipſa triangula dictorum parallelogrammorum dimedia.
SI ad baſim datæ parabolæ ordinatim applicetur recta li-
nea, tota parabola ad abſciſſam portionem per ipſam or-
dinatim applicatam erit, vt parallelepipedum ſub altitudine
dimidia baſi, ſub baſi autem quadrato totius baſis, ad paral-
lelepipedum ſub altitudine linea compoſita ex dimidia baſi,
& reliquo baſis, dempta abſciſſa ab eadem extremitate ba-
ſis, à qua portio parabolæ abſcinditur, & ſub baſi quadrato
eiuſdem abſciſſæ per dictam ordinatim applicatam: Vel erit,
vt cubus totius baſis ad parallelepipedum ſub baſi quadrato
abſciſſæ, altitudine tripla reliquæ, cum cubo dictæ abſciſſæ.
Sit parabola, HG
& axis, vel diameter,
GO; ducatur deinde
ipſi, GO, vtcunque
parallela, ST. Dico
parabolam, AGH,
ad vtramuis portio-
num, SHT, TSG
A, vt ad, SHT, eſſe
vt parallelepip. ſub al-
titudine dimidia, H
A, quæ ſit, AX, illi
in directum conſtitu-
ta, baſi quadrato, A
H, ad parallelepipe-
dum ſub altitudine, X
T, baſi quadrato, T
H. Producatur, GO,
in, M, & circa ſemia-
xes, vel ſemidiame-
tros, HO, OM, in-
telligatur deſcriptus
ſemicirculus, vel ſe-
miellipſis, HMA,
deinde per puncta, G, M, ducantur ipſi, HA, parallelæ, B ℟, Y
, &
per, HA, ipſi, GM, parallelę, BY, ℟ &
, producaturque, T
S, vſque ad, B ℟, Y &, in, P, Z, &
per, SV, ducantur, VF, SL,
parallelæipſi, HA, ſunt igitur parallelogramma, BA, AY, LT,
TF, BT, TY, PA, AZ. Igitur parabola, AGH, ad portionem,
HST, habetrationem compoſitam ex ea, quam habet parabola, H
quadrata, H &, (regula ſumpta pro hoc Theor.
ipſa, GM,) ad om-
&
ex ea, quam
ideſt omnia quadra-
H, ad omnia
quadrata, HZ; &
ex
ideſt omnia quadra-
ta, HZ, ad omnia
quadrata ſemiportio-
nis, HTV, ſed etiam
omnia quadrata ſe-
micirculi, vel ſemiel-
lipſis, HMA, ad on-
nia quadrata ſemipor
tionis, HTV, ha-
bent rationem com-
poſitam ex ea, quam
habent omnia qua-
drata ſemicirculi, vel
ſemiellipſis, HMA,
ad omnia quadrata,
H &, &
ex ea, quam
habent hęc ad omnia
quadrata ſemiportio-
nis, HTV, ergo pa-
rabola, HGA, ad portionem, HST, eſt vt omnia quadrata, HM
dum ſub altitudine, XA, baſi quadrato, AH, ad parallelepipedum
ſub altitudine, XT, baſi quadrato, TH; vel vt cubus, AH, ad pa-
rallelepipedum ſub altitudine tripla, AT, baſi quadrato, TH, cum
cubo, TH, ſic. n.
eſſe omnia quadrata ſemicirculi, vel ſemiellipſis,
HMA, ad omnia quadrata ſemiportionis, HVT, oſtenſum eſt
Lib. 3.
Propoſ.
6.
_H_Inc patet, quod, diuidendo, portio parabolæ, SGAT, ad por-
tionem, SHT, erit bt omnia quadrata ſemiportionis, AMVT,
ad omnia quadrata ſemiportionis, HVT, .ſ.
bt parallelepipedum ſub
altitudine linea compoſita ex, OH, HT, baſi quadrato, TA, ad paral-
lelepipedum ſub altitudine, XT, baſi quadrato, HT, bt patet in Coroll. ſupradictæ Propoſ.
6.
eiuſdem Libri 3.
SI duæ ad baſim parabolæ applicentur vtcunque rectæ li-
neæ, abſciſſæ portiones parabolæ eruntinterſe, vt pa-
rallelepipeda ſub baſibus quadratis abſciſſarum à baſi per
eaſdem applicatas ab eadem extremitate, à qua portiones
abſciſſæ intelliguntur, altitudinibus compoſitis ex reſiduis
dictæ baſis (demptis abſciſſis) & dimidia totius.
Sit ergo parabola, HGA, in baſi, HA, ad quam ordinatim ap-
plicentur duæ vtcunque lineæ, ST, RV, abſcindentes portiones, R
Dico portionem, RHV, ad
portionem, SHT, eſſe (ſi producatur, AX,
æqualis ipſius baſis, AH, medietati) vt pa-
rallelepipedum ſub altitudine, XV, baſi qua-
drato, VH, ad parallelepipedum ſub altitudi-
ne, XT, baſi quadrato, TH. Eſt enim por-
tio, RHV, ad parabolam, AGH, vt paral-
lelepipedum ſub altitudine, XV, baſi quadra-
XA, baſi quadrato, AH, item parabola, A
GH, ad portionem, HST, eſt vt parallele-
pipedum ſub altitudine, XA, baſi quadrato,
AH, ad parall elepipedum ſub altitudine, XT,
baſi quadrato, TH, ergo exæquali portio, R
HV, ad portionem, SHT, eſt vt parallele-
pipedum ſub altitudine, XV, baſi quadrato,
VH, ad parallelepipedum ſub altitudine, X
T, baſi quadrato, TH, quod oſtendere opor-
tebar.
SI ad baſim datæ parabolæ ordinatim applicetur recta li-
nea, ſub qua, & ſub portione baſis abſciſſa, ac earum ex-
trema iungente, fiattriangulum, portio parabolæ abſciſſa ad
triangulum ſibi inſcriptum erit, vt ad reliquam baſis, dempta
abſciſſa, eadem reliqua cum, {1/3}, ipſius abſciſſæ.
Sit parabola, HGA, in baſi, HA, ad quam ordinatim applicetur
vtcunque recta linea, ST, fiat autem triangulum ſub, ST, & vtrauis
ſub, SH,
quod ſit, HST. Dico portionem, HST, ad
triangulum, HST, eſſe vt compoſitam ex, A
T, &, {1/3}, TH;
ad, AT, compleatur paralle-
logrammum, CT, eſt ergo parallelogrammum,
poſitam ex, {1/2}, AT, &, {1/6}, TH, &
anteceden-
tium dimidia ſcilicet triangulum, HST, ad
portionem, HST, erit vt dimidia, AT, ad
compoſitam ex, {1/2}, AT, &, {1/6}, TH, ideſt vt,
AT, ad, AT, cum, {1/3}, HT, & conuertendo,
portio, HST, ad triangulum, HST, erit vt
compoſita ex, {1/3}, HT, & tota, TA, ad, TA,
quod oſtendendum nobis erat.
_P_Oteſt autem, &
dicta ratio ſic conſtitui, triplicatis terminis, ſcili-
cet, quod portio, HST, ad triangulum, HST, ſit bt bna, HA,
cum duabus, AT, ad tres, AT, bel ſic, quod ſit, bt dimidia, HA, cum,
AT, ad ipſam, AT.
A Data parabola portionem abſcindere per lineam ab
eiuſdem baſim ordinatim ductam, quę ad triangulum
ſub eadem ordinatim ducta, & abſciſſa per eandem à baſi pa-
rabolæ ad eandem partem, ad quam abſcinditur portio, ha-
beat datam rationem, dummodò hæc ſit maior ſexquialtera.
Hoc Problema ſoluetur methodo Propoſ.
8.
Lib.
3.
propterea circa
ipſum non immoror.
SI ad baſim datæ parabolæ ordinatim applicentur vtcun-
que rectæ lineæ, triangula ſub ipſis, & portionibus baſis
abijſdem abſciſſis, erunt vt parallelepipeda ſub baſibus qua-
dratis abſciſſarum à baſi, altitudinibus autem reſiduis ipſius
baſis demptis abſciſſis.
Sit parabola, HGA, cuius baſis, HA, axis, vel diameter, GO,
ſint autem ductæ duæ vtcunq; ordinatim applicatæ adipſam baſim,
HA, ipſæ, ST, VX, & iungantur, SH, VH.
Dico triangulum,
VHX, ad triangulum, HST, eſſe vt parallelepipedum ſub altitudi-
ne, AX, baſi quadrato, XH, ad parallelepipedum ſub altitudine, A
T, baſi quadrato, TH. Quoniam enim triangula vnum angulum
angulis circumſtãtium compoſitam,
ideò triangulum, VHX, ad triangu-
poſitam ex ea, quam habet, VX, ad,
ST, ideſt rectangulum, AXH, ad
ex ea, quam
habet, XH, ad, HT, ſed iſtæ duæ
rationes componunt rationem paral-
lelepipedi ſub altitudine, HX, baſi
rectangulo, AXH, ad parallelepi-
pedum ſub altitudine, HT, baſi re-
ctangulo, HTA, . i.
parallelepipedi
altitudine, AT, baſi quadrato, TH, ergo triangulum, VHX, ad
triangulum, SHT, erit vt parallelepipedum ſub altitudine, AX, baſi
quadrato, XH, ad parallelepipedum ſub altitudine, AT, baſi qua-
drato, TH, quod erat oſtendendum.
_H_Inc apparet, ſi producatur, GO, btcunq;
in, E, &
circa ſemiaxes,
bel ſemidiametros, HO, OE, deſcribi intelligatur ſemicirculus,
vel ſemiellipſis, HEA, quod, ſi etiam producantur, ST, VX, in, N,
M, & iungantur, HN, HM;
omnia quadrata trianguli, HXM, ad
omnia quadrata trianguli, HTN, regula, OE, erunt in ratione com-
poſita ex ea, quam habet quadratum, XM, ad quadratum, TN, . i re-
ctangulum, AXH, ad rectangulum, ATH, & ex ea, quam habet,
XH, ad, HT, . i.
erunt, bt parallelepipedum ſub altitudine, AX, baſt
quadrato, XH, ad parallelepipedum ſub altitudine, AT, baſi qua-
drato, TH.
SI ad axim, vel diametrum datæ parabolæ ordinatim ap-
plicentur duę rectæ lineę eandem ſecantes, deinde ſum-
pto extremo puncto minoris dictarum ordinatim applicata-
rum, & alio extremo puncto maioris dictarum, ſed non ad
eandem partem, iungantur dicta puncta recta linea; hæc di-
uidet quadrilineum duabus ordinatim applicatis incluſum
in duo trilinea: Trilineum igitur conſtitutum in maiori di-
ctarum linearum ad trilineum cõſtitutum in minori tanquam
in baſi erit, vt dicta maior ordinatim ductarum, ſimul cum
tertia proportionali duarum, quarum prima eſt tripla com-
poſitę ex minori, & dimidia exceſſus maioris ſuper minorem,
ſecunda autem eſt dimidia dicti exceſſus, ad eandem mino-
rem, cum eadem tertia proportionali.
Sit ergo parabola, cuius baſis, BH, axis, vel diameter, NO, due
adipſam vtcunque ordinatim applicatæ ſint, BH, baſis, &, AM,
minor ipſa, BH, abſcindens parabolam, ANM, ſumatur autem
vtcunque punctum, A, extremum minoris, AM, & punctum, H,
ad aliam partem de duobus extremis maioris, BH, & iungantur, A,
H, puncta recta linea, AH, deindeà punctis, A, M, demittantur
verſus, BH, parallelæipſi, NO; AC, MG, erit ergo, BC, GH,
exceſſus, BH, ſuper, AM, &, BC, æqualis ipſi, GH, dimidium
dicti exceſſus; fiat etiam, vt tripla, HC, ad, BC, ita, BC, ad, C
iungatur, AG.
Dico trilineum, ABH, ad trilineum, AM
H, eſſe vt, BH, cum, CE, ad ipſam, AM, cum, CE: Prius au-
tem dico portionculam, ASB, eſſe æqualem portionculæ, MIH,
& enim trapezium, ABOR, æquatur trapezio, ROHM, &
quadrilineum, RASBO, ipſi quadrilineo, RMIHO, cum, A
O, axis, vel diameter bifariam diuidat omnes æquidiſtantes ipſi, B
H, & ideò omnes lineæ quadrilinei, RASBO, æquentur omni-
bus lineis quadrilinei, RMHO, vnde dicta quadrilinea etiam ſunt
ęqualia, & ideo portionculæ, ASB, MIH, inter ſe ſunt æquales:
poſita ex {1/3}, BC, & ex, CH, ad, CH, ideò, diuidendo, portion-
vt, BC, ad triplam, CH, . i.
ſumpta, BC, communi altitudine, vt
quadratum, BC, ad rectangulum ſub, BC, & tripla, CH;
eſt au-
ideſt (ſumpta communi altitudine tripla, CH,) vt rectangulum
ſub, BC, & tripla, CH, ad rectangulum ſub, BH, &
tripla, CH,
ad triangulum, ABH, erit vt qua-
dratum, BC, ad rectangulum ſub,
BH, & tripla, HC, quoniam vero,
BC, eſt media proportionalis inter
triplam, HC, & ipſam, CE, ideò
gulo ſub tripla, HC, & ſub, CE,
vnde portioncula, ASB, ad triangulum, ABH, erit vt rectangu-
lum ſub, CE, & tripla, CH, ad rectangulum ſub, BH, &
tripla,
CH, ideſt erit, vt baſis, CE, ad baſim, BH, ergo, componendo,
trilineum, ASBH, ad triangulum, ABH, erit vt, CE, cum, B
H, ad ipſam, BH, triangulum verò, ABH, ad triangulum, AC
G, vel ad triangulum, AGM, eſt vt, BH, ad, CG, vel ad, AM,
eſt vero triangulum, AGM, æquale triangulo, AHM, ergo tri-
lineum, ASBH, ad triangulum, AMH, erit vt, CE, cum, BH,
ad, AM, eſt verò trilineum, ASBH, ad portionculam, ASB,
vel, MIH, illi æqualem, per conuerſionem rationis, vt, BH,
cum, CE, ad ipſam, CE, ergo, colligendo, trilineum, ASBH,
ad triangulum, AHM, & portionculam, MIH, .
i.
ad trilineum,
AMIH, erit vt, BH, cum, CE, ad ipſam, AM, cum, CE,
quod oſtendere oportebat.
_H_Inc patet triangulum, ABH, ad portionculam, ASB, eſſe bt,
BH, ad, CE.
ASſumpta figura Propoſ.
ant.
dimiſſa recta, AG, &
con-
ſtituto parallelogrammo ſuper, BH, circa axim, vel
diametrum, RO, quod ſit, PH, iunctiſque, BR, RH, o-
ſtendemus parallelogrammum, PH, ad fruſtum parabolæ,
ASBHIM, eſſe vt, BH, ad, HC, cum, CE; &
trian-
gulum, RBH, ad idem fruſtum eſſe vt, BH, ad duplam,
HC, CE.
Parallelogrammum enim, PH, eſt ad triangulum, ABH, vt
dupla, BH, ad ipſam, BH, triangulum verò, ABH, ad ſection-
culam, ASB, eſt vt, BH, ad, CE, ergo, ex æquali, parallelo-
grammum, PH, ad ſectionculam, ASB, eſt vt dupia, BH, ad,
ad duas portionculas, AS
B, MIH, erit vt dupla, BH, ad
duplam, CE, ideſt vt, BH, ad, C
Item parallelogrammum, PH,
ad trapezium, ABHM, eſt vt, B
H, ad, AM, cum dimidio exceſſus,
BH, ſuper, AM, . i.
ad, AM, vel,
CG, GH, ergo, colligendo, pa-
rallelogrammum, PH, ad ſectionculas, ASB, MIH, cum trape-
zio, ABHM, . i.
ad fruſtum parabolæ, ASBHIM, erit vt, BH,
ad, HC, cum, CE. Quia verò triangulum, RBH, eſt dimidium
parallelogrammi, PH, ideò ad fruſtum, ASBH'IM, erit vt di-
midia, BH, ad, HC, cum, CE, . i.
vt, BH, ad duplam, HC, C
E, quod erat oſtendendum.
SIab extremo puncto baſis datæ parabolæ ducatur vſq;
ad
curuam parabolæ ſupra, vel infra baſim (indefinitè
producta ipſa curua) recta linea: Data parabola ad ſegmen-
ta ſub ductis lineis, & curua ab ijſdem abſciſſa comprehen-
ſa, ſingillatim ſumpta, erit vt cubus baſis ipſius datæpara-
bolæ ad cubum rectæ lineæ dicto puncto interceptæ, & alio
puncto eiuſdem baſis productæ, ſi opus ſit, in quod cadit
recta linea, quæ ducitur ab alio extremo puncto baſis re-
ſecti ſegmenti parallela axi, vel diametro ipſius datæ pa-
rabolæ.
Sit ergo data parabola, HNB, inbaſi, HB, ſumpto autem vno
extremorum punctorum, H, B, ipſius baſis, H B, vtipſum, H, ab
eo ducatur vtcunq; recta linea, HA, ſupra baſim, HB, &
indefi-
nitè producta curua, NAB, alia, HV, ſubterbàſim, vt ſint con-
ſtituta ſegmenta, ANH, VBNH, ſit autem axis, vel diameter,
NO, cui parallelæ ducantur per puncta, AV, verſus baſim, HB,
rentes illi in punctis, X, C. Dico ergo parabolam, HNB,
ad ſegmentum, HN.A, eſſe vt
cubus, HB, ad cubum, HC.
Eandem verò ad ſegmentum,
HNBV, eſſe vt cubum, BH,
ad cubum, HX, iungantur
puncta, B, A; B, N;
N, H,
& ſit, CE, tertia proportiona-
lis duarum, quarum prima eſt
tripla, CH, ſecunda autem ipſa, BC. Quoniam ergo triangula,
dines, vel vt lineæ, quæ a verticibus, NA, ad baſes ductæ cum
eiſdem æqualiter inclinantur .i.
triangulum, HNB, ad triangu-
lum, HAB, erit vt, NO, ad, AC, .i.
vt rectangulum, HOB,
ad rectangulum, HCB. Inſuper triangulum, HNB, ad portion-
HNB, ad triangulum, HAB, .i.
ex ratione rectanguli, HOB,
ad rectangulum, HCB, & ex ratione trianguli, HAB, ad por-
i.
exratione, BH, ad, CE, quæ duæ rationes
ctangulo, HOB, vel quadrato, OH, ad parallelepipedum ſub
altitudine, CE, baſi rectangulo, HCB, ergo triangulum, HNB,
ad portionculam, ASB, eſt vt parallelepipedum ſub altitudine,
BH, baſi quadrato, HO, ad parallelepipedum ſub altitudine, C
E, baſi rectangulo, HCB, eſt autem, vt dicebatur, triangulum,
HNB, ad triangulum, HAB, vt rectangulum, HOB, vel qua-
dratum, HO, ad rectangulum, HCB, ideſt ſumpta, HB, com-
munialtitudine, vt parallelepipedum ſub altitudine, HB, baſi qua-
drato, HO, ad parallelepipedum ſub altitudine, HB baſi rectan-
gulo, HCB, ergo, colligendo, triangulum, HNB, ad portion-
culam, ASB, cum triangulo, ABH, ſilicet ad trilineum, HAS
B, erit vt parallelepipedum ſub altitudine, HB, baſi quadrato, H
O, ad parallelepipedum ſub altitudine compoſita ex, HB, CE,
baſi rectangulo, HCB; vel vt iſtorum quadrupla ſilicet vt paralle-
lepipedum ſub eadem altitudine, HB, baſi quadruplo quadrati, H
O, ideſt quadrato, HB, ſilicet vt cubus, HB, ad parallelepipedum
ſub eadem altitudine compoſita ex, HB, CE, baſi quadruplo re-
Quia verò parabola, HNB, eſt ſexquitertia trian-
guli, HNB, ideò erit ad ipſum, vt ſolidum ſexquitertium cubi, H
B, ad cubum, HB, eſt autem triangulum, HNB, ad trilineum,
HASB, vt cubus, HB, ad parallelepipedum ſub altitudine com-
poſita ex, HB, CE, & ſub baſi quadruplo rectanguli, HCB, ergo
ad trilineum, HASB, erit vt
ſolidum ſexquitertium cubi, H
B, ad parallelepipedum ſub al-
titudine compoſita ex, HB, C
E, baſi quadruplo rectanguli,
HCB; vel vt iſtorum ſubſex-
quitertia ſilicet vt cubus, HB,
ab parallelepipedum ſub ea-
dem altitudine compoſita ex,
HB, CE, baſi triplo rectan-
guli, HCB, eſt enim quadruplum rectanguli, HCB, ſexquiter-
tium tripli eiuſdem rectanguli; hoc autem conſequens parallelepi-
triplo rectanguli, HCB, vel baſi rectangulo ſub, BC, & tripla,
CH, & in parallelepipedum ſub altitudine, HB, baſi etiam rectan-
gulo ſub, BCH, ter ſumpto, quoniam verò tripla, HC, &, CB,
CE, ſunt deinceps proportionales, ideò parallelepipedum, quod
ſub baſi rectangulo ipſius, BC, ductæ in tri-
plam, CH, æquabitur cubo, BC, remanet adhuc parallelepipe-
dum ſub altitudine, HB, baſi t@ibus rectangulis, BCH, quod (al-
titudinem, BH, diuidentes in duas ſilicet in, BC, CH,) diuidi-
mus in parallelepipedum ſub altitudine, HC, baſirectangulo, H
quadrato, CH, ter ſumpto, & in parallelepipedum ſub altitudine,
ſub altitudine, HC, baſi quadrato, BC, ter ſumpto; parallepipe-
lo, HCB, ter ſumpto, æquatur parallelepipedis ter ſub, BC, &
quadrato, CH, terſub, HC, & quadrato, CB, cum cubo, CB,
ad hæc ergo ſimul ſumpta cubus, HB, erit vt parabola, HNB,
ad trilineum, HASB; quia verò parallelepipedum ter ſub, BC,
quadrato, CH, cum parallelepipedo ter ſub, HC, &
quadrato,
CB, cum cubo, CB, deficiunt à cubo, BH, quantitate cubi, HC,
ideo, per conuerſionem rationis, parabola, HNB, ad ſegmentum,
HNA, erit vt cubus, BH, ad cubum, HC.
Nuncdico parabolam, HNB, ad ſegmentum, HNBV, eſſe
vt cubum, BH, ad cubum, HX; ducatur per, V, ipſi, BH, pa-
rallela, VZ, ſecans curuam parabolæ productam in, Z, & à
currens ipſi, VZ, in, I, eſt ergo parabola, BNH, ad parabo-
lam, VBNHZ, vt cubus, BH, ad cubum, VZ, item parabo-
la, VBNHZ, ad ſegmentum, VBNH, (quia, VH, eſt ſupra
baſim, VZ,) eſt vt cubus, ZV, ad cubum, VI, vel, XH; æqua-
lis, VI, quia, XI, eſt parallelogrammum; ergo, ex æquali, pa-
rabola, HNB, ad ſegmentum, HNBV, conſtitutum per lineam
ductam à puncto extremo, H, baſis, BH, properantem infra
eandem baſim, BH, erit vt cubus, BH, ad cubum, HX, quæ o-
ſtendenda erant.
SIintra curuam parabolæ ducantur vtcunque duæ rectæ
lineæ in eandem curuam terminantes, parabola ab vna
ductarum conſtituta ad parabolam ab alia conſtitutam erit,
vt cubus primò ductæ ad cubum rectæ lineæ, quæ, ducitur
primò ductæ, incluſæ dicto puncto, & alio eiuſdem paralle-
læ productæ, ſi opus ſit; in quod cadit, quæ ducitur per
aliud extremum punctum ſecundò ductæ, parallela axi, vel
diametro parabolæ per primò ductam conſtitutæ.
Sit curua parabolæ, BAEC, intra quam ſint vtcumq;
ductæ in
eandem curuam hinc inde terminantes (.i.
quod non ſint ductæ pa-
rallelæ axi) primò, BC, ſecundò, AD; ducatur deinde per vtrum
ductæ, vt per, A, ipſa, AF, parallela
ipſi, BC, in quam productam, ſi opus
ſit, incidat parallela axi, quæ ducitur
per punctum, D, aliud extremum
ipſius, AD, occurrat autem illi in, F. Dico parabolam, BAEC, ad para-
bolam, AED, eſſe vt cubum, BC,
ad cubum, AF. Eſt enim parabola,
item parabola, ANE, ad parabolam, ANED, eſt vt cubus, A
ED, eſt vt cubus, BC, ad cubum, AF, quod oſtendere opus
erat.
IN eadem antecedentis figura, ſi ducatur intra parabo-
lam, BNC, à puncto, V, ſumpto vtcumque in curua, B
NC, verſus baſim, BC, ipſa, VX, incidens baſi in, X, pa-
rallela axi, vel diametro eiuſdem parabolæ. Dico parabo-
lam, ANED, ad ſegmentum, VCX, eſſe vt cubum, AF,
ad parallelepipedum ter ſub, BX, & quadrato, XC, cum
cubo, XC.
Nam parabola, ANED, ad parabolam, BNC, conuertendo,
eſt vt cubus, AF, ad cubum, BC, item parabola, BNC, ad
ſegmentum, VCX, eſt vt cubus, BC, ad parallelepipedum ter ſub
quali, parabola, ANED, ad ſegmentum, VXC, erit vt cubus,
AF, ad parallelepipedum terſub, BX, & quadrato, XC, cum cu-
bo, XC, quod oſtendere oportebat.
INeadem ſupradicti Theorematis figura oſtendemus tri-
lineum, VNAI, ad trilineum, VNABX, eſſe vt pa-
rallelepipedum ter ſub, EI, & quadrato, IA, cum cubo,
IA, ad parallelepipedum ter ſub, CX, & quadrato, XB,
cum cubo, XB. Similiter trilineum, VEI, ad trilineum,
VECX, eſſe vt parallelepipedum ter ſub, AI, & quadra-
to, IE, cum cubo, IE, ad parallelepipedum terſub, BX, &
quadrato, XC, cum cubo, XC.
Trilineum enim, VNAI, ad parabolam, ANE, eſt vt paral-
quadrato, IA, cum cubo, IA, ad cu-
bum, AE, item parabola, ANE, ad parabolam, BNC, eſt vt
cubus, AE, ad cubum, BC, & tandem parabola, BNC, ad trili-
X, & quadrato, XB, cum cubo, BX, ergo, ex æquali, trilineum,
VNAI, ad trilineum, VNBX, erit vt parallelepipedum ter ſub,
quadrato, IA, cum cubo, IA, ad parallelepipedum ter
ſub, CX, & quadrato, XB, cum cubo, XB.
Eodem modo o-
ſtendemus trilineum, VIE, ad trilineum, VXC, eſſe vt paralle-
lepipedum ter ſub, AI, & quadrato, IE, cum cubo, IE, ad pa-
rallelepipedum ter ſub, BX, & quadrato, XC, cum cubo, XC,
quod, &c.
SI duæ intra curuam parabolicam ducantur rectæ lineæ
axem ſecantes, fuerint autem conſtitua@um ab eiſdem
parabolarum diametri, vel axis, & diameter æquales, &
ipſe
parabolæ erunt æquales.
Sit curua parabolica, BAC, intra quam ducantur vtcunque duę,
DF, MC, axem ſecantes, ideſt non parallelæ axi, ſint autem, A
R, HO, diametri, vel axis, & diameter inter ſe æquales.
Dico
parabolam, DAF, eſſe æqualem parabolæ, MHFC; ducatur
producantur, AR, HO, vſq;
ad, BC, in, P, Q, iunganturque, AC, HC, &
à puncto, M,
ducatur, MX, parallela axi, vel diametro, AP; quoniam ergo, O
ipſa ſecat, MC, bifariam in, O, ſe-
cabit etiam, XC, bifariam in Q; &
quia parabola, ABC, ad pa-
rabolam, MHFC, eſt vt cubus, BC, ad cubum, CX, vel vt cu-
bus, PC, ad cubum, CQ, ideò ſemiparabola, APC, ad ſemipa-
rabolam, HOC, erit vt cubus, PC, ad cubum, CQ, & eorun-
i.
triangulum, APC, ad triangulum, HOC,
erit vt cubus, PC, ad cubum, CQ: quoniam verò triangula æqui-
angula habent interſerationem compoſitam exratione baſium, &G
altitudinum, vel linearum à verticibus earundem ductarum æqua-
ideò triangulum, APC, ad triangu-
lum, HOC, habebit rationem compoſitam ex ratione baſis, PA,
ad baſim, OH, vel, AR, illi æqualem, & ex ratione, PC, ad, C
Q, quæ vel ſunt altitudines, vellineæ ductæ à communi vertice, C,
cum æquali inclinatione ad baſes, AP, &, HO, productam, quia,
PA, ad AR, ita quadratum, PC, ad
quadratum, RF, ergo triangulum, A
PC, ad triangulum, HOC, habebit
rationem compoſitam ex ea, quam ha-
bet quadratum, PC, ad quadratum, R
F, & ex ea, quam habet, PC, ad CQ,
quia verò triangulum, APC, ad trian-
gulum, HOC, eſt vt cubus, PC, ad
cubum, CQ, ideò ad illud habet etiam rationem compoſitam ex
ea, quam habet, PC, ad CQ, & ex ratione quadrati, PC, ad qua-
dratum, CQ, ergo iſtæ duæ rationes, ſcilicet quam habet, PC,
ad, CQ, & quadratum, PC, ad quadratum, RF, componunt
eandem rationem, quam iſtæ duæ, ſcilicet ratio, PC, ad, CQ, &
quadrati, PC, ad quadratum, CQ, eſt autem in his communis
ratio, quam habet, PC, ad, CQ, ergo reliqua ratio, quam habet
quadratum, PC, ad quadratum, CQ, erit eadem ei, quam habet
quadratum idem, PC, ad quadratum, RF, ergo quadratum, C
, CQ, erit æqualis ipſi, RF.
Quoniam autem parabola, BAC, ad parabolam, DAF, eſt vt
i.
vt cubus, PC, ad cubum, RF,
item oſtenſum eſt parabolam eandem, BAC, ad parabolam, MH
FC, eſſe vt cubum, PC, ad cubum, CQ, ideò parabola, DAF,
ad parabolam, MHFC, erit vt cubus, RF, ad cubum, QC, ſunt
autem, QC, RF, inter ſe æquales, vtoſtenſum eſt, & ideò et@am
parabolæ, MHFC, quod oſtendere opuserat.
_H_Inc patet, ſi diametri, AR, HO, vel axis, &
diameter ſint æquà-
les, etiam, DF, XC, eſſe ęquales, nam oſtenſum eſt, QC, eſſe æqualem
ipſi, RF, eſt autem, XC, dupla, CQ &, DF, dupla, FR, ideò etiam,
XC, DF, ſunt, æquales.
EXpoſita ſemiparabola cum dimidia baſi, &
axi, vel
diametro totius, & completo parallelogrammo ſub
dicto axi, vel diametro. &
ſemibaſi, deſcriptaque ellipſis
quarta, vel circuli circa axem vel diametrum, & ſemi-
baſim dictam, tanquam circa ſemiaxes, vel ſemidiame-
tros coniugatas integræ ellipſis, vel circuli; ſi deinde ſu-
matur vtcunque punctum in ſemibaſi, per quod ducatur
recta linea ad oppoſitum latus parallelogrammi paralle-
la dictæ axi, vel diametro, portio huius inter ſemibaſim,
& curuam ellipſis, vel circuli incluſa, erit media propor-
tionalis inter incluſam oppoſitis lateribus parallelogram-
mi iam dicti, & eadem ſemibaſi, ac curua parabolæ.
Si
verò ſumatur punctum in axi, vel diametro iam dicta,
& per ipſum ducatur ſemibaſi parallela, producta vſq;
ad
latus oppoſitum parallelogrammi iam dicti, & iungantur
extrema puncta curuæ parabolæ recta linea, huius portio
incluſa inter axim, vel diametrum dictam, & curuam pa-
rabolæ, erit media proportionalis inter eam, quæ inclu-
ditur lateribus oppoſitis dicti parallelogrammi, & eam,
quæ includitur lateribus trianguli ſub dicta axi, vel diame-
tro, & dicta ſemibaſi conſtituti.
Sit ſemiparabola, AOCB, in baſi, BC, &
axis, vel diameter
integræ, AB, compleaturq; parallelogrammum, DB, &
circa, A
B, BC, tanquam ſemiaxes, vel ſemidiametros coniugatas, deicri-
batur quarta circuli, vel ellipſis, AICB, deinde ſumatur in baſi, B
C, vtcunque punctum, P, & per, P, ducaturipſi, AB, parallela,
PH, ſecans curuam parabolæ in, X, & circuli, vel ellipſis, AIC,
Dico ergo, IP, eſſe mediam
proportionalem inter, HP, PX, pro-
ducatur, CB, verſus, B, in, Z, ita
vt, BZ, ſit æqualis, BC, eſt ergo
quadratum, AB, vel quadratum, H
P, ad quadratum, PI, vt rectangu-
lum, ZBC, ad rectangulum, ZPC,
.i.
vt, AB, vel, HP, ad, PX, ergo
vt, HP, ad, PI, ita erit, IP, ad, PX.
Iungantur puncta, A, C, &
ſum-
puncto, V, in, AB, per ipſum ducaturipſi, BC, pa-
rallela, VF, ſecans curuam parabolæ in, O, & rectam, AC, in, N.
Dico ergo, vt, FV, ad, VO, ita eſſe, VO, ad, VN;
eſt enim
quadratum, BC, vel quadratum, FV, ad quadratum, VO, vt, B
A, ad, AV, .i.
vt, BC, vel, FV, ad, VN, ergo erit, vt, FV, ad,
VO, ſic, VO, ad, VN, quæ oſtendere oportebat.
PArabolæ ſunt inter ſe, vt parallelogramma illis circum-
ſcripta latera habentia baſibus, & eorundem axibus,
vel diametris parallela.
Patet hæc propoſitio, nam dictæ parabolæ ſunt ſubſexquialteræ
ideò ſunt inter ſe, vt ipſa paral-
lelogramma.
HInc patet, concluſiones, quę de parallelogrammis collectæ ſun@
in Propoſ 5.6.
7.
8.
Lib.
2.
ſuppoſitis quibuſdam conditionibus in
lateribus, vel in altitudine, & baſi dictorum parallelogrammorum, poſ-
ſe colligi etiam pro parabolis eaſdem conditiones in axibus, vel diame-
tris, vel altitudinibus, & baſtbus habentes;
quia enim tunc dictæ con-
lelogrammorum, vel in altitudine, & baſi eorundem, quia baſis eſt
communis, & reliquum latus axi, vel diametro parabola æquidiſtans,
ideò ſequuntur illicò oſtenſæ concluſiones pro parallelogrammis; &
conſequenter etiam pro ipſis parabolis, quarum ipſa parallelogramma
ſunt ſexquialtera, recipi poſſunt.
_Q_Via ergo oſtenſum eſt pàrallelogramma, quæ ſunt in eadem altitu-
dine, eſſe inter ſe, vt baſes, & quæ in eadem baſi, vel æqualibus
baſibus, eſſe interſe, vt altitudines, vel vtlinea à verticibus ad baſes
cum æquali inclinatione ad eaſdem ductæ: ideò colligemus etiam para-
bolas, quæ ſunt circa eundem axem, vel diametrum, eſſe inter ſe, vt ba-
ſes; &
quæ ſunt in eadem, vel æqualibus baſibus, eſſe inter ſe, vt alti,
tudines, vel vt lineæ, quæ à verticibus eorundem ad baſes cumæquali
inclinatione ducuntur, ſiue illa ſint axes, ſiue diametri.
_S_Imiliter colligemus parabolas habere rationem compoſitam ex ra-
tione baſium, & altitudinum, vel linearum, quæ à verticibus du-
cuntur, æqualiter baſibus inclinatarum, ſiue ſint axes, ſiue diametri.
_I_Tem parabolæ habentes baſes altitudinibus, vel lineis à verticibus
ductis æqualiter inclinatis reciprocas erunt æquales; &
parabolæ
æquales, quarum diametri æqualiter ab baſes ſint inclinatæ, habebunt
baſes altitudinibus, vel lineis ductis à verticibus ad baſes æquali@er in-
clinatis reciprocas.
_D_Eniq;
parabolæ, quarum axes, vel diametri, ad haſes ęqualiter in-
clinati, ad eaſdem baſes habent eandem rationem, ſunt in dupla
ratione baſium, ſiue axium, vel diametrorum, vel vt quadrata eorun-
dem: N am parallelogramma his parabolis circumſcripta ſunt ſimilia,
& ideò ſunt, vt quadrata laterum homologorum, quæ vel ſunt axes, aut
diametri, vel baſes dictarum parabolarum, & ideò etiam ipſæ parabolæ
ſunt, vt quadrata axium, vel diametrorum æqualiter baſibus inclina-
tarum, vel vt quadrata baſium, quæ omnia facilè patent.
_D_Eſiderari fortè tamen videtur, quod oſtendamus has varietates
parabolis contingere poſſe, nec eaſdem eſſe, exempligratia, vt
circulos, quibus tantum contingit ſe habere, vt diametrorum quadra-
ta, nec alia ijſdem accidit variatio, propterea ſubſequens Theorema,
ſubijciemus.
DAto quocunq;
parallelogrammo, circa eiuſdem duo
latera angulum continentia ſemiparabola deſcribi
poteſt, cuius alterum eorundem laterum ſit baſis, alterum
axis, vel diameter integræ parabolæ, ad quem dicta baſis
ordinatim applicatur.
Sit parallelogrammum quodcunque, AD, cuius ſumantur vt-
cunque duo latera, AC, CD, circa angulum, ACD. Dico cir-
ca, AC, CD, ſemiparabolam de@cribi poſſe, ita vt alterum ipſo-
rum, AC, CD, ſit baſis dictæ ſemiparabolæ, alterum ſit axis, vel
Eſto
quod velimus, CD, eſſe baſim, &,
CA, axim, vel diametrum inte-
græ parabolæ; applicetur ergo ad,
AC, rectangulum æquale quadra-
to, CD, quod latitudinem faciat
ipſam, XA, erit ergo quadratum,
CD, æquale rectangulo ſub, CA,
AX, &, AX, erit linea, iuxta
quam poſſunt, quæ à curua para-
bolæ tranſeunte per puncta, D, A,
poſſunt; erit ergo quædam ſemiparabola, cuius curua tranſibit per
puncta, AD, in baſi, CD, exiſtente, AC, axi, vel diametro in-
tegræ parabolæ, ſit autem dicta ſemiparabola, ACD, quod oſten-
dere opus erat.
_H_Incliquet, ſi cuilibetparallelogrammo eſt inſcriptibilis ſemip.
1.
rabola talipacto, quo dictum eſt, quod parietates, quæ paralle-
logrammis contingunt, etiam ipſis parabolis competere poſſunt.
O Mnia quadrata parallelogrammi in eadem baſi, &
cir-
ca eundem axim, vel diametrum cum parabola, regu-
la baſi, ſunt dupla omnium quadratorum ipſius parabolæ: Omnia verò quadrata parabolæ ſunt fexquialtera omnium
quadratorum trianguli in eadem baſi, & circa eundem axim,
vel diametrum cum ipſa conſtituti.
Sit ergo parabola, cuius baſis, VF, axis, vel diameter, EM,
AF, & triangulum, EVF, in
eadem baſi, VF, & circa eun-
dem axim, vel diametrum, EM. Dico, omnia quadrata, AF, re-
gula, VF, omnium quadrato-
rum parabolæ, VEF, effe du-
pla: Omnia verò quadrata para-
bolæ, VEF, omnium quadra-
torum trianguli, VEF, effe fex-
quialtera. Sumaturintra, EM,
vtcunque punctum, N, per quodipſi, VF, agatur parallela, ND,
ſecans curuam parabolę; in, O;
eſt ergo quadratum, MF, vel qua-
dratum, ND, ad quadratum, NO, vt, ME, ad, EN, eſt au-
tem, EF, parallelogrammum in eadem baſi, & altitudine cumſe-
miparabola, EMF, regula eſt, MF, & punctum, N, ſumptum vt-
cunque, per quod regulæ parallela ducta eſt, ND, repertumq; eſt,
ergo horum quatuor ordinum magnitudines erunt proportionales
collectæ iuxta dictas quatuor magnitudines proportionales ſci-
licet omnia quadrata, EF, magnitudines primi ordinis collectæ
iuxta primam ſcilicet iuxta quadratum, ND, ad omnia quadrata
femiparabolæ, EMF, magnitudines fecundi ordims collectas
iuxta ſecundam ſcilicet iuxta quadratum, NO, erunt vt maxi-
tertiam . ſ.
iuxta, ME, ad omnes abiciſſas ipſius, ME, magnitudi-
nes quarti ordinis collectas iuxta quartam . ſ.
iuxta, EN, ſumptis
maximisabſciſſarum, EM, & eiuſdem omnibus abſciſſis, vel recti,
ſunt autem maximæ abſciſſarum, E
M, duplæ omnium abſciſſarum, EM, recti, vel eiuſdem obliqui
tranſitus, ergo & omnia quadrata, EF, erunt dupla omnium qua-
dratorum ſemiparabolæ, EMF, & eorum quadrupla .
ſ.
omnia
quadrata, AF, erunt dupla omnium quadratorum parabolæ, VE
F; Quarum ergo partium omnia quadrata, AF, erunt ſex, earum
omnia quadrata parabolæ, VEF, erunt tres, ſed quarum partium
omnia quadrata, AF, ſunt ſex, earum omnia quadrata trianguli,
EVF, iunt duæ, quia omnia quadrata, AF, iunt tripla omnium
drata parabolæ, VEF, funttres, earum omnia quadrata triangu-
li, EVF, erunt duæ, ergo omnia quadrata parabolæ, VEF, erunt
ſexquialtera omnium quadratorum trianguli, VEF, quæ oſtende-
re oportebat.
SI ad eundem axim, vel diametrum parabolæ ordinatim
applicentur duæ rectæ lineæ parabolas conſtituentes,
quarum altera ſumatur pro regula, harum parabolarum
omnia quadrata erunt interſe, vt quadrata axium, vel dia-
metrorum earundem.
Sinr ergo ad eundem axim, vel diametrum, CG, parabolæ, F
applicatæ, FH, OM, parabo-
las, FCH, OCM, abſcinden-
tes, ſit autem regula altera ha-
rum ordinatim applicatarum, vt,
FH. Dico omnia quadrata pa-
rabolæ, FCH, ad omnia qua-
drata parabolæ, OCM, eſſe vt
quadratum, GC, ad quadratum,
CI: Conſtituantur parallelo-
grammum, AH, in baſi, FH,
& circa axim, vel diametrum, CG, &
parallelogrammum, RM,
in baſi, OM, & circa axim, vel diametrum, CI.
Quoniam ergo
omnia quadrata, RM, ſunt dupla omnium quadra-
torum parabolę, OCM, ideò omnia quadrata parabolę, FCH, ad
omnia quadrata parabolę, OCM, erunt vt omnia quadrata; AH,
ad omnia quadrata, RM: Omnia vero quadrata, AH, ad omnia
quadrata, RM, habentrationem compoſitam ex ea, quam habet
quadratum, FH, ad quadratum, OM, ideſt ex ea, quam habet,
GC, ad, CI, & ex ea, quam habet, HE, ad, NM, quiaillę cum
nes, ſcilicet, quam habet, GC, ad, CI, &, HE, ad, NM, .
1.
G
C, ad, CI, componuntrationem quadrati, GC, ad quadratum, C
I, ergo omnia quadrata, AH, ad omnia quadrata, RM, vel om-
nia quadrata parabolę, FCH, ad omnia quadrata parabolę, OC
M, erunt vt quadratum, GC, ad quadratum, CI, quod oſtende-
re opus erat.
IN figura Prop.
12.
ſumpta regula ipſa, BH, oſtendemus
omnia quadrata, PH, ad omnia quadrata fruſti, ABH
M, eſſe vt, ON, ad compoſitam ex, NR, & @.
RO:
Omnia
verò quadrata fruſti, ABHM, ad omnia quadrata triangu-
li, RBH, eſie vt compoſitam ex, ON, dupla, NR, et @. R
O, ad ipſam, NO.
Sumatur in, RO, vtcunq;
punctum, X, per quod regulę, BH,
paralleia ducatur, XT, ſecans curuam parabolę in, I, eſt ergo qua-
dratum, OH, vel quadratum, TX, ad quadratum, XI, vt, ON,
mum, RH, in eadem bafi, & alti-
tudine cum quadrilineo, ROHM,
& punctum, X, ſumptum eſt vt
cunque, ductaque, XT, regulæ
parallela, repertum eſt quadratum,
TX, ad quadratum, XI, eſſe vt,
ON, ad, NX, ergo horum quatuor ordinum magnitudines erunt
ſ.
omnia quadrata, RH, magnitudines primi ordinis
collectę iuxta primam. ſ.
iuxta quadratum, TX, ad omnia quadrata
quadrilinei, RMHO, magnitudines ſecundi ordinis collectas iuxta fe-
cundã. ſ.
iuxta quadratum, XI, erunt vt maximę abſciſlarum, OR,
adiunctal, RN, ad omnes abiciſſas, OR, adiuncta, RN, quę ſunt
quartam.
ſ.
iuxta, ON, ter-
tiam, &, NX, quartam, ijſdem recti, vel eiuſdem obliqui tranſitus
ſumptis: Quia verò datæ rectæ lineæ, OR, adiungitur, RN, ideò
maximæ abſciſſarum, OR, adiuncta, RN, ad omnes abſciſſas, OR,
adiuncta, RN, recti, vel eiuſdem obliqui tranſitus, ſunt vt, ON, ad
compoſitam ex, NR, & {1/2}.
RO, ideò omnia quadrata, RH, ad om.
.
omnia
quadrata. PH, ad omnia quadrata fruſt, ABHM, erunt vt, ON,
ad compoſitamex, NR, & {1/2}.
RO;
Et conuertendo omnia quadrata
fruſti, ABHM, ad omnia quadrata, PH, erunt vt compoſita ex,
NR, & {1/2}.
RO, ad, NO, omnia verò quadrata, PH, omnium qua-
dratorumtrianguli, RBH, ſunt tripla. 1.
ſunt vt, NO, ad {1/3}.
eiuſ-
omnia quadrata trianguli, BRH, erunt vt compoſita ex, NR, & {1/2}.
RO, ad {1/3}.
NO, vel vt horum tripla.
ſ.
vt compoſita ex tribus, NR,
& ſexquialtera, RO, adipſam, NO, porrò ſi iunxerimus vnam,
NR, cum, RO, fiet integra, ON, cum duabus, NR, & dimidia,
RO, æqualistriplæ, NR, & ſexqualteræ, RO;
ergo omnia qua-
drata fruſti, ABHM, ad omnia quadrata trianguli, RBH, erunt
vt compoſita ex dupla, NR, & dimidia, RO, cum, NO;
ad ipſam,
NO; quæ oſtendere oportebat.
_O_Via autem probatum fuit omnia quadrata, PH, ad omnia quã-
drata fruſti, ABHM, eſſe vt, NO, ad dimidiam, OR, cum,
RN, ſunt autem omnia quadrata, PH, ad omnia quadrata parallelo-
grammi, AG, vt quadratam, HO, ad quadratam, RM, . i.
vt, ON,
ad NR, ideò omnia quadrata, PH, ad omnia quadrata fruſti, AB
HM, ab ijſdem demptis omnibus quadratis, AG, erunt vt, NO,
ad dimidiam ipſius, OR.
SI intra curuam parabolæ ducatur vtcunq;
recta linea in
eandem terminata, & ad axem obliqua, deinde intra
portionem ab ipſa reſectam ducatur alia vtcunq; prædictæ
parallela, agantur autem ab extremitate harum parallela-
rum lineæ axi æquidiſtantes: Vt baſis reſectæ portionis ad
diſtantiam parallelarum ab eiuſdem extremitate ductarum,
ductarum ab eiuſdem extremitate ſecundò dictæ.
Sit ergo intra curuam parabolicam, ABCDF, ducta vtcunque,
BF, obliquè ſecans axem, NR, in eandem curuam terminata,
agatur deinde intra portionem, BNF, reſectam à, BF, recta, C
D, parallela ipſi, BF; ducantur inſuperà punctis, B, C, D, F, axi,
NR, parallelæ, BO, CV, DG, FH, & à puncto, F, cadat
A, ſecans parallelas, DG
R, CV, BO, in punctis, G,
R, V, O, poterunt ergo dicta-
rum parallelarum diſtantiæ iumi
in ipſamet, AF, nam ipſa per-
pendiculariter dictas parallelas
ſecat, erit ergo, OF, diſtantia
parallelarum, BO, FH, ab
extremis punctis rectæ, BF, ductarum; pariter, VG, erit diſtan-
tia parallelarum, CV, DG, ab extremis punctis, CD, ducta-
rum. Dico ergo, BF, ad, FO, eſſe vt, CD, ad, VG:
Ducan-
tur a puncto, D, ipſi, CV, perpendicularis, DX, ſecans, BF, in,
M, quoniam ergo anguli, BOF, CXD, ſunt recti, ideò iuntin-
terſe æ quales, item anguius, OBF, eſt æqualis angulo, VIF, & V
IF, ipſi angulo, XCD, ergo angulus, OBF, erit æqualis angulo, X
ideò reliquus, OFB, reliquo, XDC, æqualis erit, &
trian-
guli, BOF, CXD, ſimiles erunt, vnde, BF, ad, FO, erit vt, C
D, ad, DX, . i.
ad, VG, quod oſtendere opus erat.
A Sſumpta iterum ſuperioris figura, dimiſſa axi, &
ei-
dem parallelis, BO, CV, DG, FH, & ipſa, DX,
ſiguram plènam deſcribere cum portione, BCDF, com-
munem habens angulum mixtum ſub, BF, & curua, FD
C, quifit ad punctum, F, ita vt quælibet in deſctipta figu-
ra recta linea ipſi, BF, æquidiſtanter ducta, ſit diſtantia pa-
rallelarum axi, quæ ab extremis punctis eiuſdem rectæ li-
neæ, productæ vſque ad curuam parabolicam, duci poſſunt: Vocetur autem hæc deſcripta figura;
figura diſtantiarum
portionis, ſiue parabolæ, BCDF.
Quoniam ergo, OF, eſt diſtantia parallelarum axi ductarum à
punctis, BF, abſcindatur à, BF, recta, FE, æqualis diſtantiæ, F
O, inſuper intelligatur adhuc ipſa, CD, ducta vtcunque parallela
rectæ, BF, terminans in puncta, CD, curuæ parabolæ, & cum
ſit, VG, diſtantia parallelarumaxi, quæ à punctis, CD, ducun-
tur, abſcindatur ab ipſa, CD, verſus, D, ipſa, DZ, æqualis di-
ſtantiæ, VG; ſic ductis in portione, BCDF, omnibus lineis, regu-
la, BF, in earundem ſingulis intell gantur ſumptæ diſtantiæ, ſicut
acceptæ ſuerunt, EF, ZD, quarum extrema puncta ſint in curua
parabolica, FDCB, ſint autem in huius curuæ ea parte, in qua
ſunt puncta, DF, patet ergo ſi fumamus punctum, S, verticem
portionis, BSF, quod dictarum omnium linearum extrema puncta
erunt in curua parabolica, quæ incipit a vertice, S, & deſinit in, F;
diſtantiarum intelligatur ducta linea, S
ZE. Dico figuram, SFE, compre-
henſam recta, EF, curua parabolica,
SDF, & linea, SZE, eſſe huiuſmo-
di, quod, ſi duxerimus intra ipſam vt-
cunq; ipſi, BF, parallelam, quæ pro-
ducatur vſq; ad curuam parabolicam,
huius portio manens in figura, SEF, erit diſtantia parallelarum
axi, quæ ducuntur ab extremis punctis ab eadem producta in curua
parabolica ſignatis. Intelligatur ergo ducta vtcunque, DZ, ipſi, B
F, parallela, & producta vſq;
ad curuam parabolicam incidens illi
in puncto, C, quoniam ergo, CD, eſt vna earum, quæ dicuntur
omnes lineæ figurę, BSF, portio eiuſdem manens intra figuram,
SEF, erit diſtantia parallelarum axi, quę ab eiuſdem extremis pun-
ctis ductæ intelliguntur, & hoc per conſtructionem patet, quoniam
abipſa, CD, abſciſſa eſt, DZ, quę terminat in lineam, SZE, æ-
qualis dictę diſtantię, ergo figura, SEF, deſcripta eſt, qualem pro-
blema poſtulabat; quę vocetur figura diſtantiarum portionis, ſiue pa-
rabolę, BSF.
_Q_Via verò oſtenſum eſt, BF, ad diſtantiam parallelarum axià, B,
F, ductarum, eſſe vt, CD, ad diſtantiam parallelarum axi à
punctis, C, D, ductarum, ſunt autem, EF, ZD, æquales dictis diſtan-
tijs, ideò erit, BF, ad, FE, vt, CD, ad, DZ, & ſic erit quælibet du-
cta in portione, BSF, parallelaipſi, BF, adeiuſdem partemincluſam@
figura, SEF, vt, BF, ad, FE.
INeadem antecedentis figura oſtendemus omnia quadra-
ta portionis, BSF, ad rectangula ſub eadem portione,
BSF, & ſub figura, SEF, regula communi, BF, eſſe vt, B
F, ad, FE.
Eſt enim quadratum, BF, ad rectangulum ſub, BF, FE, vt, B
F, ad, FE; ſimiliter ducta vtcunque, CD, parallela regulę, BF,
oſtendemus quadratum, CD, ad rectangulum, ſub, CD, DZ,
eſſe vt, CD, ad, DZ, eſt autem vt, BF, ad, FE, ita, CD, ad,
DZ, ergo quadratum, BF, ad rectangulum, BFE, erit vt qua-
dratum, CD, ad rectangulum, CDZ, ſic oſtendemus quamlibet
ductam intra portionem, BSF, parallelam regulę, BF, ad eiuſdem
ctangulum ſub, BF, FE, ergo quadratum, BF, ad rectangulum
ſub, BF, FE, erit vt omnia quadrata portionis, BSF, ad rectan-
gula ſub portione, BSF, & ſub figura, SEF, vt autem quadratum,
BF, ad rectangulum ſub, BF, FE, ita, BF, ad, FE, ergo omnia
quadrata portionis, BSF, ad rectangula ſub portione, BSF, & fi-
gura, ESF, erunt vt, BF, ad, FE, quod oſtendere opus erat.
SI intra curuam parabolæ duæ vtcunque ducantur rectæ
lineę in eandem @terminatæ, quarum vna rectè, altera
obliquè axim ſecet, ſint autem conſtitutarum ab eiſdem pa-
rabolarum diametri inter ſe æquales: Omnia quadrata pa-
rabolæ per eam, quæ rectè axim ſecat, conſtitutæ, regula
eadem, erunt æqualia rectangulis ſub parabola per obli-
quam ad axem conſtituta, regula eadem, & ſub figura di-
ſtantiarum eiuſdem parabolæ per obliquam ad axem con-
ſtitutæ.
Sint intra curuam parabolicam, BAC, duæ vtcunquæ ductæ in
eandem terminatæ, DF, MC, quarum, DF, rectè, altera, MC,
obliquè ſecet axem, AP, ſit autem deſcripta linea, HR, vt ſit con-
ſtituta, HRC, figura diſtantiarum portionis, MFC, & ab eodem
vertice, H, à quo ducitur linea, HR, ducatur, HQ, parallela
axi, AP, & ſint diametri, AZ, HO, parabolarum, DAF, M
HC, inter ſeæquales. Dico ergo omnia quadrata parabolæ, DA
F, regula, DF, eſſe æqualia rectangulis ſub parabola, MHC, re-
gula, MC, & ſub, HRC, figura diſtantiarum eiuſdem parabolæ,
MHC. Iungantur ergo, DA, AF, MH, HC, &
à puncto, M,
ducatur, MX, axi, AP, æquidiſtans, à puncto verò, C, perpendi-
cularis axi, AP, producta vſq; in, B, tandem à puncto, H, ipſa, H
I, perpendicularis ipſi, MC: Omnia ergo quadrata, DAF, para-
bolæ, regula, DF, adrectangula ſub parabola, MHC, regula, M
C, & ſub trilineo, HRC, habent rationem compoſitam ex ea,
quam habent omnia quadrata parabolæ, DAF, regula, DF, ad
ex ea, quam
habent omnia quadrata parabolę, MHC, regula, MC, adrectan-
gula ſub parabola, MHC, & ſub trilineo, HRC, regula eadem,
Omnia verò quadrata para-
bolæ, DMF, regula, DF, ad om-
nia quadrata parabolæ, MHC, re-
gula, MC, ſunt vt omnia quadrata
trianguli, DAF, regula, DF, ad
omnia quadrata trianguli, MHC,
regula, MC, nam omnia quadrata
parabolarum ſunt ſexquialtera om-
nium quadratorum triangulorum in
eiſdem baſibus, & circa eoſdem axes cum ipſis conſtitutorum, regu-
Omnia inſuper quadrata trianguli, DAF, regula, DF,
ad omnia quadrata trianguli, MHC, regula, MC, habent ratio-
quadratorum baſium
. i.
ex ratione, quam habet, AZ, ad, HI, &
ex rationẽ, quam ha-
bet quadratum, DF, ad quadratum, MC, vel quadratum, ZF,
ad quadratum, OC, eſt autem, AZ, æqualis ipſi, HO, ex hypo-
teſi, &, ZF, ipſi, QC, ergo omnia quadrata trianguli, DAF, ad
tionem compoſitam ex ea, quam habet, OH, ad HI, & ex ea,
quam habet quadratum, QC, ad qu adratum, CO, quia verò trian-
guli, HIO, OQC, ſunt æquianguli, ideò, OH, ad, HI, erit vt,
OC, ad, CQ, ergo illa habebunt rationem compoſitam ex ea, quam
habet, OC, ad, CQ, & quadratum QC, ad quadratum, CO, eſt
rectangulum ſub OC, CQ, ad quadratum, QC, ergo ratio com-
poſita ex ea, quam habet, OC, ad, CQ, & quadratum, QC, ad
quadratum, CO, eſt eadem compoſitæ ex ea, quam habet rectan-
gulum ſub, OC, CQ, ad quadratum, CQ, & quadratum, CQ,
ad quadratum, CO, . i.
eademei, quam habet rectangulum ſub,
QC, CO, ad quadratum, CO, . i.
eadem ei, quam habet, QC, ad,
CO; ergo omnia quadrata trianguli, DAF, ad omnia quadrata
trianguli, MHC, vel omnia quadrata parabolæ, DAF, ad om-
nia quadrata parabolæ, MHC, regulis iam dictis, erunt vt, QC,
ad, CO, quod ſerua.
Vlterius omnia quadrata parabolæ, MHC, ad rectangula ſub
trilineo, HRC, regula, MC, ſunt vt, M
C, ad, CR, vel ad, CX, . i.
vt, OC, ad, CQ, ergo omnia qua-
drata parabolæ, DAF, regula, DF, ad rectangula ſub parabola,
MHC, & trilineo, HRC, regula, MC, habebunt rationem
compoſitam ex ea, quam habet, QC, ad, CO, & ex ea quam
habet, CO, ad, QC, ideſt habebunt eandem rationem, quam
habet, QC, ad, QC, ideſt eruntillis æqualia, quod oſtende-
re opus erat.
_H_Inc patet omnia quadrata parabolæ, DAF, regula, DF, ad om-
nta quadrata parabolæ, MHC, regula, MC, eſſe vt QC, ad,
CO, vel, XC, ad CM, vel, DF, (quæ eſt æqualis ipſi, XC,) ad, MC,
dumdiametri, AZ, HO, ſunt æquales, vt in Theoremate oſtenſum eſt.
_P_Atet vlterius, ſi intra cùruam parabolicam duæ vtcunq;
rectæ li-
neæ obliquè axem ſecantes, & in ipſam terminantes, ductæ fue-
rint, regula pro qualibetparabola ſumpta earum baſi, quod rectangula
ſub dictis parabolis per eaſdem conſtitutis, & ſub figura diſtantiarum
earundem parabolarum, inter ſe erunt æqualia, quotieſcunq diametri
earundem ſint æquales, vtraq; enim ſingillatim æquabuntur omnibus
qu dratis parabolæ, cuius baſis ſecet perpendeculariter axem eiuſdem
qui ſit æqualis diametris dictarum parabolarum, & pro, qua ſit regula
eiuſdem baſis.
SI intra curuam parabolicam duæ vtcunque ductæ fue-
rint rectæ lineæ in eandem terminantes, quarum vna
rectè, altera obliquè ſecet axim; omnia quadrata conſtitu-
tæ parabolæ per eam, quæ axim rectè ſecat, regula eadem,
ad rectangula ſub parabola conſtituta per obliquè ſecantem
axem, regula huius baſi, & ſub ſigura diſtantiarum eiuſ-
dem parabolæ, erunt vt quadratum axis primò dictæ para. bolæ ad quadratum diametriſecundò dictæ parabolæ.
Sintigitur intra curuam parabolicam, ADH, duæ ductæ rectæ
lineæ in eadem terminantes, quarum vna rectè, altera obliquè ſecet
axim, ſi ergo conſtitutarum ab ijſdem parabolarum diametri ſunt
æquales, pater veritas Propoſitionis ex antecedenti Theor. non ſint
autem conſtitutarum parabolarum diametri æquales, ſint autem
duæ parabolas conſtituentes, AH, rectè ſecans axem, DO, & C
axis, DO, maior diametro parabo-
læ, CEG, quæ ſit, EM, & ſit du-
cta linea, ER, & conſtituta, ER
G, figura diſtantiarum parabolæ, C
EG. Dico ergo omnia quadrata
parabolæ, ADH, regula, AH,
ad rectangula ſub parabola, CEG,
& trilineo, ERG regula, CG,
eſſe vt quadratum, DO, ad quadratum, EM, abſcindatur ergo
ab, OD, DN, æqualis ipſi, EM, & per, N, ducatur ipſi, AH,
parallela, BF. Omnia ergo quadrata parabolæ, ADH, ad omnia
quadrata parabolæ, BDF, regula communi, AH, vel, BF, ſunt
vt qúadratum, OD, ad quadratum, DN, vel ad quadratum, E
M, ſedomnia quadrata parabolæ, BDF, regula, BF, ſunt æqua-
trilineo, ERG, regula, C
G, ergo omnia quadrata parabolæ, ADH, regula, AH ad re-
ctangula ſub parabola, CEG, & trilineo, ERG, regula, CG,
dendum.
_H_Inc patet, ſi àuæ rectæ lineæ ad axem obliquæ parabolas conſtitue-
rint, ſumpta pro regula conſtitutæ parabolæ recta eam conſtituen-
te, quoniam rectangula ſub dictis parabolis, & figuris diſtantiarum ea-
rundem ad omnia quadrata parabolæ, cuius baſis ſit ad axim recta (quæ
pro eadem ſumatur pro regula) ſunt, vt quadrata diametrorum earun-
dem ad quadratum axis illius tertia parabolæ; quod ideò illa rectangula
erunt inter ſe, vt diametrorum earundem parabolarum quadrata fuerint
quoq; inter ſe.
OMnia quadrata parabolarum, regulis baſibus ſuntin-
terſe, vt omnia quadrata parallelogrammorum, in
eiſdem baſibus, & circa eoſdem axes, veldiametros exi-
ſtentium, regulis eiſdem baſibus.
Manifeſta eſt hæc propoſitio, nam omnia quadrata dictarum
parabolarum ſunt ſubdupla omnium quadratorum eorundem pa-
baſibus iam dictis.
_H_Inc colligimus concluſiones, quæ de omnibus quadratis parallelo-
grammorum collectæ ſuntin Theorematibus _9. 10.
11.
12.
13._
Lib.
_2._
regulis ibidem aſſumptis, ſuppoſitis quibuſdam conditionibus
circa altitudines, vel latera æqualiter baſibus inclinata, & quadrata
baſium, vel ipſas baſes, veriſicarietiam de omnibus quadratis parabo-
larum, ſuppoſitis eiſdem conditionibus circa axes, vel altitudines, vel
circa diametros æqualiter baſibus inclinatas, & circa quadrata baſium,
vel eaſdem baſes; nam his conditionibus axibus, vel altitudmibus, vel
diametris, & quadratis baſium, vel ipſis baſibus competentibus, etiam
altitudinibus, vel lateribus parallelogrammorum, æqualiter baſibus
inclinatis, & quadratis baſium, vel eiſdem baſibus, pariter conueniunt,
quæ quidem parallelogramma ſint in eiſdem baſibus, & circa eoſdem
axes vel diametros cum parabolis; &
ideò dictæ concluſiones, quæ tunc
omnibus quadratis etiam parabolarum eiſdem inſcriptiarum, tamquam
pro earundem partibus proportionalibus, ſcilicet dimidijs, pariter vt
vera recipi poſſunt.
_E_T quia oſtenſum eſt omnia quadrata parallelogrammorum in ea-
drata baſium; &
exiſtentium in eadem baſi eſſe, vt altitudines, vel
etiam, vt latera eorundem æqualiter baſibus inclinata, ideò pariter hic
colligemus omnia quadrata parabolarum in eadam altitudine exiſten-
tium, regulis baſibus, eſſe vt quadrata baſium, & exiſtentium in ea-
dem baſis eſſe interſe, vt altitudines, vel vt diametros æqualiter ba-
ſibus inclinatas.
_S_Imiliter quia oſtenſum eſt omnia quadrata parallelogrammorum, re-
dratorum baſium, & altitudinum, vel laterum æqualiter baſibus in-
clinatorum; ideò colligemus, hic, omnia quadrata parabolarum regu-
lis baſibus, babere inter ſe rationem compoſitam ex ratione quadrato-
rum baſium, & altitudinum, vel diametrorum æqualiter baſibus in-
clinatorum.
_C_Onſimili metbodo colligemus, omnia quadrata parabolarum, regu-
lis baſibus, quarum baſium quadrata alt itudinibus, vel diametris
æqualiter baſibus inclinatis reciprocantur, eſſe æqualia, & quæ ſunt
æqualia, eſſe parabolarum, quarum altitudines, vel diametri æquali-
ter baſibus inclinatæ, baſium quadratis reciprocantur.
_D_Eniq;
&
hoc obtinemus.
nempè omnia quadrata parabolarum,
regulis baſibus, quarum altitudines, veldiametri, baſibus æ-
qualiter inclinatæ, ad eaſdem baſes eandem rationem habeant, eſſe in-
ter ſe in tripla ratione baſium, vel altitudinum, vel diametrorum
æqualiter baſibus inclinatarum; quæ omnia clarè, &
facilè patent.
SI duæ rectæ lineæ ducantur, quarum altera parabolam
tangat, altera verò axi, vel diametro parabolæ æqui-
diſtanter ducta eandem ſecet, in idem punctum concurren-
tes: Omnia quadrata parallelogrammi, regula tangente,
erunt ſexcupla omnium quadratorum trilinei ſub dictis tan-
gente, & ſecante, &
curua parabolæ ab ijſdem incluſa,
comprehenſi.
Sit ſemiparabola, ACB, quam tangat lineæ, AD, &
à pun-
cto, A, ducta, AB, axis, vel diameter, integræ parabolæ, dein-
de agatur vtcunque, DC, parallela axi, vel diametro, AB, ſecans
curuam parabolæ in, C, & occurrens tangenti, AD, in, D, duca-
tur tandem à puncto, C, ipſi, AD, æquidiſtans, CB, ſecans, AB,
in, B, regula autem ſit, AD. Dico ergo omnia quadrata parallelo-
trilinei, ADC, ſexcupla: Omnia enim
quadrata, AC, ad rectangula ſub, AC,
ſemiparabola, ABC, ſunt vt, AC, ad
ſemiparabolam, ABC, .i.
ſexquialtera
.i.
vt 6.
ad 4.
omnia autem quadrata, AC,
ſunt dupla .i.
vt 6.
ad 3.
ergo omnia qua-
bus quadratis ſemiparabolæ, ABC, à re-
ctangulis ſub, AC, & ſemiparabola, ABC, .
i.
ad rectangula ſub
ſemiparabola, ABC, & trilineo, ADC, erunt in ratione ſex-
cuplaideſt vt 6. ad 1.
ad eadem verò bis ſumpta, vt 6.
ad 2.
quo-
niam verò omnia quadrata, AC, ad omnia quadrata ſemipara-
bolæ, ABC, ſum vt 6. ad 3.
vt dictum eſt, ideò omnia quadrata,
AC, ad omnia quadrata ſemiparabolæ, ABC, cum rectangulis
bis ſub ſemiparabola, ABC, & trilineo, ADC, erunt vt 6.
ad 5.
ergo ad reliquum ſcilicet ad omnia quadrata trilinei, ADC, omnia
ad 1.
ideſt erunt eorundem ſexcupla,
quod oſtendere oportebat.
_H_Inc habetur omnia quadrata trilineorum ſub tangentibus, &
ſe-
cantibus, veluti ſunt, AD, DC, regulis tangentibus, eſſe
inter ſe, vt omnia quadrata parallelogrammorum ſub eiſdem tangen-
tibus, & ſecantibus, regulis ijſdem tangentibus, quoniam dictorum
trilineorum omnia quadrata ſunt ſextæ partes omnium quadratorum di-
ctorum parallelogram norum; Etideò proipſis etiam has concluſiones
colligemus, ſcilicet.
_S_I dicti triliaei fuerint in eadem altitudine, quòd omnia quadrata
earundem erunt inter ſe, vt baſium quadrata @ſ. tangentium;
Et
ſi fuerint dictitrilinei in eadem baſi ſcilicet tangente, dicta omnia qua-
drata erunt inter ſe, vt altitudines, vel, vt ſecantes æqualiter baſibus
ſcilicettangentibus, inclinata.
_I_Tem quod omnia quadrata dictorum trilineorum habebunt inter ſe
rationem compoſitam ex ratione quadratorum baſium, & ex r atio-
ne altitudinum, vel ſecantium æqualiter baſibus, ſcilicet tangenti-
bus, inclinatarum.
_P_Ariter quod omnia quadrata dictorum trilineorum, quorum tan-
gentium quadrata altitudinibus, vel ſecantibus æqualiter tangen-
t&
quæ ſunt æqualia, eſſe
trilineorum, quorum baſium, vel tangentium quadrata altitudinibus,
vel ſecantibus equaliter tangentibus inclinatis, reciprocantur.
_T_Andem, quòd, ſi dictorum trilineorum ſecantes ád tángentes eán-
demrationem habuerint, omnia quadrata eorundem erunt in tri-
plaratione tangentium, vel ſecantium.
EXponatur figura Theor.
antecedentis, &
intra paralle-
logrammum, AC, ducatur vtcunq; recta, EF, pa-
rallelaipſi, BC, quæ ſumatur pro regula: Oſtendemus.
n.
om@ia quadrata, AC, demptis omnibus quadratis ſemipa-
rabolæ, ABC, ad omnia quadrata, EC, demptis omni-
bus quadratis quadrilinei, MEBC, eſſe vt quadratum, A
B, ad quadratum, BE.
Omnia.
n.
quadrata, AC, ad omnia quadrata, EC, demptis
omnibus quadratis quadrilinei, EMCB, habent rationem compo-
ſitam ex ea, quam habent omnia quadrata, AC, ad omnia qua-
drata, EC, ideſt ex ea, quam habet, AB, ad, BE, & ex ea,
.i.
ex ea, quam habet, AB, ad {1/2}, BE,
ſ.
quàm habet,
AB, ad, BE, &, AB, ad {1/2}.
BE, com-
ponunt rationem quadrati, AB, ad re-
ctangulum ſub, EB, & {1/2}.
BE, .
i.
ad
dimidium quadrati, BE, ergo omnia
C, demptis omnibus quadratis quadrili-
nei, MEBC, erunt vt quadratum, AB,
ad dimidium quadrati, BE, ſunt autem omnia quadrata, AC,
demptis omnibus quadratis ſemiparabolæ, ABC, dimidium
omnium quadratorum, AC, quia omnia quadrata, AC, ſunt du-
pla omnium quadratorum ſemiparabolæ, ABC, ergo omnia qua-
drata, AC, demptis omnibus quadratis ſemiparabolæ, ABC, ad
omnia quadrata, EC, demptis omnibus quadratis quadrilinei, E
MCB, erunt vt dimidium quadrati, AB, ad dimidium quadrati,
BE, ideſt vt quadratum, AB, ad quadratum, BE, quod erat
demonſtrandum.
SI parallelogrammum, &
parabola fuerint in eadem ba-
ſi, & circa eundem axim, vel diametrum conſtituta,
baſiſque ſumatur pro regula: Omnia quadrata dicti paral-
lelogrammi ad omnia quadrata figuræ compoſitæ ex para-
bola, & alterutro trilineorum, qui fiunt extra parabolam,
demptis omnibus quadratis eiuſdem trilinei, erunt vt di-
ctum parallelogrammum ad dictam parabolam; ad eadem
verò cum omnibus quadratis illius trilinci erunt, vt dictum
parallelogrammum ad dictam parabolam ſimul cum {@/2} {1/4}. di-
ctiparallelogrammi .i.
vt 24.
ad 17.
Sit ergo parallelogrammum, AF, in eadem baſi, DF, &
circa
eundem axim, vel diametrum, BE, cum parabola, DBF, regula
ſit, DF. Dico omnia quadrata, AF, ad omnia quadrat
CBDF, demptis omnibus quadratis trilinei, BCF, eſſe, vt, AF,
ad parabolam, DBF, eadem verò ad omnia quadrata fig. CBD
lam, DBF, cum {@/2} {1/4}. paral-
lelogrammi, AF; quoniam
enim, BE, eſt axis, vel dia-
meter tum parabolæ, DBF,
tum parallelogrammi, AF,
ideò ſi ducatur intra paralle-
logrammum, AF, vtcunq-
recta linea parallelaipſi, D
F, portiones eiuſdem inclu-
ſæ trilineis, ADB, CFB, erunt inter ſe æquales, & ideò para-
bola, DBF, erit figura, qualem poſtulat Prop. 29.
Lib.
3.
quapro-
pter omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata figuræ, CBDF,
demptis omnibus quadratis trilinei, BCF, erunt vt, AF, ad para-
bolam, DBF.
Quoniam verò omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata, BF,
ſunt vt quadratum, DF, ad quadratum, FE, .i.
quadrupla .
i.
vt
24. ad 6.
omnia verò quadrata, BF, ſunt ſexcupla omnium qua-
dratorum trilinei, BCF, .i.
vt 6.
ad 1.
igitur omnia quadrata, AF,
ad 1.
ideſt vt, AF,
ad ſui ipſius {@/2} {1/4}. ergo omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata fi-
parallelogrammi, AF;
parallelogrammum autem, AF, eſt ſex-
quialterum parabolæ, DBF, .i.
ad illam, vt 24.
ad 16.
ergo ſi nu-
mero 16. iungatur {1/4}.
eiuſdem parallelogrammi, AF, fient 17.
igitur omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata figuræ, CBDF,
erunt vt 24. ad 17.
quod oſtendendum erat.
_H_Inc patet omnia quadrata, AF, eſſe ſexquialtera omnium qua-
dratorum figuræ, CBDF, demptis omnibus quadratis trilinei, B
grammum, AF, eſt ſexquialterum.
IN eodem antec.
Propoſit.
Schemate oſten demus omnia
quadrata figuræ, CBDF, demptis omnibus quadratis,
BF, ad omnia quadrata, BF, demptis omnibus quadratis
trilinei, BCF, eſſe vt 11. ad 5.
Nam omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata figuræ, CBD
F, oſtenſa ſunt eſſe, vt 24. ad 17.
eadem verò ad omnia quadrata,
BF, ſunt vt 24. ad 6.
quia ſunt eorum quadrupla, ergo ad reſiduum
.f.
ad omnia quadrata figuræ, CBDF, demptis omnib.
quadratis,
ad 11.
con-
uertendo omnia quadrata fi-
gurę, CBDF, demptis om-
nibus quadratis, BF, ad om-
nia quadrata, AF, erunt vt
11. ad 24.
Item omnia qua-
drata, AF, ad omnia qua-
drata, BF, ſunt vt 24. ad 6.
omnia verò quadrata, BF,
ad omnia quadrata trilinei,
BCF, ſunt vt 6. ad 1.
ergo omnia quadrata, AF, ad omnia qua-
drata trilinei, BCF, ſunt vt 24. ad 1.
eadem verò ad omnia quadra-
ta, BF, ſunt vt 24. ad 6.
ergo omnia quadrata, AF, ad omnia qua-
drata, BF, demptis omnibus quadratis trilinei, BCF, erunt vt 24.
ad 5. erant autem omnia quadrata figuræ, CBDF, demptis omni-
ad 24.
ergo,
exæquali, omnia quadrata figuræ, CBDF, demptis omnibus qua-
dratis BF, ad omnia quadrata, BF, demptis omnibus quadratis tri-
linei, BCF, erunt vt 11. ad 5.
quod erat oſtendendum.
ASſumpta eadem anteced.
Theor.
figura, ſiproducatur
baſis, DF, (quæ retineatur pro regula) vtcunq; in,
M, & per M, ipſi, BE, parallela ducatur, MH, cui occur-
rat, AC, producta, in ipſo, H. Omnia quadrata, AM,
demptis omnibus quadratis, CM, ad omnia quadrata figu-
ræ, HBDM, demptis omnibus quadratis quadrilinei, H
BFM, erunt vt, AF, ad parabolam, DBF, ideſt erunt
eorum ſexquialtera: Quod facilè patebit, quia parabola, D
BF, inſcripta parallegrammo, AF, eſt figura, qualem po-
ſtulat Propoſit. 30.
Lib.
3.
Vlterius autem dico omnia qua-
drat’a, AM, ad omnia quadrata figuræ, BDMH, eſſe vt
quadratum, DM, ad quadratum, ME, dimidium qua-
drati, ED, cum rectangulo ſub ſexquitértia, DE, &
ſub, EM.
In conſtructa figura igitur omnia quadrata figuræ, HBDM, per
rectam, BE, diuiduntur in omnia quadrata ſemiparabolæ, BDC,
in omnia quadrata, BM, & in rectangula bis ſub ſemiparabola, B
ſub EH, nunc ad horum ſingula comparemus omnia qua-
Om-
nia igitur quadr@@-
ta, AM, ad om-
nia quadrata, BM,
ſunt vt quadra-
tum, DM, ad
quadratum, ME,
quod ſerua. Item
omnia quadrata,
AM, ad omnia quadrata, AE, ſunt vt quadratum, MD, ad qua-
dratum, DE, omnia verò quadrata, AE, ſunt dupla omnium qua-
dratorum ſemiparabolæ, BDE, ergo omnia quadrata, AM, ad
omnia quadrata ſemiparabolæ, BDE, ſunt vt quadratum, MD,
ad dimidium quadrati, DE, quod etiam ſerua. Tandem omnia
DM, ad rectangulum, DEM, rectangula verò ſub, AE, EH, ad
rectangula ſub ſemiparabola, BDE, & ſub, EH, ſunt vt, AE, ad
ſemiparabolam, BDE, (quia, EH, eſt parallelogrammum) idelt
ſexquialtera .i.
vt, DE, ad {2/3}.
DE, .
i.
vt rectangulum ſub, DEM,
(ſumpta, EM, communi altitudine) ad rectangulum ſub {2/3}, DE, &
ſub, EM, ergo, ex æquali, omnia quadrata, AM, ad rectangula
ſub ſemiparabola, BDE, & ſub, BM, erunt vt quadratum, DM,
DE, &
ſub, EM;
ad eadem verò bis ſumpta
erunt, vt idem quadratum, DM, ad rectangulum bis ſub {2/3}. DE, .
i.
ſub ſexquitertia, DE, ſemel, &
ſub, EM, ergó, colligendo, omnia
quadrata, AM, ad omnia quadrata, BM, & ad omnia quadrata ſe-
miparabolæ, BDE, cum rectangulis bis ſub, HE, & ſemiparabo-
la, BDE, ideſt ad omnia quadrata figuræ, HBDM, erunt vt qua-
dratum, DM, ad quadratum, ME, & dimidium quadrati, ED,
cum rectangulo ſub ſexquitertia, DE, & ſub, EM, ſimul iuncta quæ
nobis erant demonſtranda.
_H_Inc apparet, quod methodo huius in Propoſ.
32.
oſtendi poterat
omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata figuræ, CBDF, eſſe
vt 24. ad 17.
prius demonſtrando omnia quadrata, AF, ad omnia qua-
drata figuræ, CBDF, eſſe vt quadratum, DF, ad quadratum, FE, {1/2}. qua-
drati, ED, & rectangulum ſub ſexquitertia, DE, &
ſub, EF, vt nem-
pè 24. ad 17.
veluti calculanti patebit, quod bic appoſui, vt eam ratio-
nem etiam hoc pacto teneamus.
IN eadem anteced.
Propoſ.
figura oſtendemus omnia
quadrata, BM, ad omnia quadrata figurę, BFMH, eſſe
vt quadratum, EM, ad quadratum, MF, cum rectangulo ſub
{2/3}. EF, &
ſub, FM, vna cum {1/6}.
quadrati, EF, regula eadem
retenta.
Omnia .
n.
quadrata figuræ, BFMH, per rectam, CF, di
tur in omnia quadrata, CM, in omnia quadrata trilinei, BCF, &
ſub, CM;
ad horum ergo
fingula comparemus omnia quadrata, BM; hæc igitur ad omnia
ſerua. Item omnia quadrata, BM, ad omnia quadrata, BF, ſunt
ad quadratum, EF,
ta, BF, ſunt ſexcupla
omnium quadratorú
trilinei, BCF, .i.
ſunt
ad illa, vt quadratum,
EF, ad eiuſdem {1/6}. er-
go, ex æquali, om-
nia quadrata, BM, ad
omnia quadrata trili-
nei, BCF, ſunt vt quadratum, EM, ad {1/6}. quadrati, EF, quod etiá
ſerua. Tandem omnia quadrata, BM, ad rectangula ſub, BF, FH,
ſunt vt quadratum, EM, ad rectangulum ſub, EF, FM, rectangu-
ſub, C
M, ſunt vt, BF, ad trilineum, BCF, (nam, CM, eſt parallelogram-
mum) ideſt ſunt eorum tripla .i.
ſunt vt, EF, ad {1/3}.
EF, .
i.
vt rectan-
gulum, EF/M, ad rectangulum ſub {1/3}. EF, &
ſub, FM, ergo, ex æ-
quali, omnia quadrata, BM, ad rectangula ſub trilineo, BCF, &
ſub, FH, erunt vt quadratum, EM, ad rectangulum ſub {1/3}. EF, &
ſub, FM, ad eadem verò bis ſumpta, vt quadratum, EM, ad re-
ctangulum bis ſub {1/3}. EF, &
ſub, FM, ideſt ſemel ſub {2/3}.
EF, ſub, F
M, ergo, colligendo, omnia quadrata, BM, ad omnia quadrata; C
M, ad omnia quadrata trilinei, BCF, & ad rectangula bis ſub tri-
lineo, BCF, & ſub, FH, .
i.
ad omnia quadrata figuræ, BFMH,
erunt vt quadratum, EM, ad quadratum, MF, rectangulum ſub
{2/3}. EF, &
ſub, FM, vna cum {1/6}.
quadrati, EF, quod oſtendere opus
erat.
_H_Inc colligimus omnia quadrata, BM, ad reſiduum, demptis ab
eiſdem omnibus quadratis figuræ, BFMH, eſſe vt quadratum,
EM, ad reſiduum, demptis à quadrato, EM, his omnibus .ſ.
quadrato,
FM, rectangulo ſub, MF, & {2/3}.
FE, cum {1/6}.
quadrati, EF, hoc autem
reſiduum eſt rectangulum ſub, MF, & ſexquitertia, FE, cum {5/@}.
qua-
drati, EF; nam ſi à quadrato, EM, dempſeris quadratum, FM, rema-
nebunt duo rectangula ſub, MF, FE, cum quadratum, FE, vlterius ſi à
rectangulo bis ſub, MF, FE, dempſeris rectangulum ſub, MF, & {2/3}.
F
ſub {1/3}.
FE, remanebitrectangu-
lum bis ſub, MF, & {2/3}.
FE, idtſt ſemel ſub, MF, &
ſexquitertia, FE:
Tandem ablato {1/6}.
aquadrato, FE, remanent {5/6}.
eiuſdem quadrati, vnde
omnia quadrata, BM, ad reſiduum, demptis omnibus quadratis figuræ,
BFMH, erunt vt quadratum, EM, ad rectangulum ſub, MF, & ſex-
quitertia, FE, cum {5/6}. quadrati, FE.
INeodem Schemate Theor.
Prop.
34.
oſtendemus omnia
quadrata figuræ, BDMH, demptis omnibus quadra-
tis, BM, ad omnia quadrata, BM, demptis omnibus qua-
dratis figuræ, BFMH, eſſe vt, EM, cum {1/2}. EM, &
{1/2}.
ED,
ad, MF, cum {1/3}. MF, &
{5/6}.
FE.
Omnia enim quadrata, AM, ad omnia quadrata figuræ, DBH
M, ad quadratum,
ME, rectangulum
ſub, ME, & ſexqui-
tertia, ED, cum {1/2}. quadrati, ED, ea-
dem verò ad omnia
quadrata, BM, ſunt
vt quadratum, DM, ad quadratum, ME, ergo omnia quadrata, A
M, ad omnia quadrata figuræ, HBDM, demptis omnibus qua-
Matis, BM, erunt vt quadratum, DM, ad rectangulum ſub, ME,
& ſexquitertia, ED, cum {1/2}.
quadrati, ED, &
, conuertendo, hæc
ad illa erunt, vt rectangulum ſub ſexquitertia, ED, cum {1/2}. quadra-
ti, ED, ad quadratum, DM: Omnia verò quadrata, AM, ad om-
nia quadrata. BM, ſunt vt quadratum, DM, ad quadratum, ME,
& tandem omnia quadrata, BM, adeorum reſiduum, demptis
omnibus quadratis figuræ, BHMF, ſunt vt quadratum, EM,
ſexquitertia, FE, cum {5/6}.
quadrati,
FE, ergo, ex æquali, omnia quadrata figuræ, BDMH,
demptis omnibus quadratis, BM, ad omnia quadrata, BM,
demptis omnibus quadratis figuræ, BFMH, erunt vt rectangu-
lum ſub, ME, & ſexquitertia, ED, cum {1/2}.
quadrati, ED, ad re-
ctangulum ſub, MF, & ſexquitertia, FE, cum {5/6}.
quadrati, FE;
quia verò rectangulum ſub, ME, &
ſexquitertia, ED, æquaturre-
ſub, ED, quia baſes eorum
ſunt altitudinibus reciprocę, & eadem ratione rectangulum ſub ſex-
quitertia, EF, & ſub, FM, æquatur rectãgulo ſub EF, &
ſexquitertia,
FM, ideò ſupradicta ratio erit eadem ei, quam habet rectangulũ ſub,
DE, vel, EF, & ſub ſexquitertia, EM, cum {1/2}.
quadrati, DE, ideſt
cum rectangulo ſub, EF, & {1/2}.
EF, ad rectangulum ſub, EF, &
ſub
ſexquitertia, FM, cum {5/6}. quadrati, EF, ideſt cum rectangulo ſub,
EF, & {5/6}.
EF, duo autem rectangula ſub, EF, &
ſub ſexquitertia,
EM, & ſub, EF, &
{1/2}.
EF, conficiunt rectangulum ſub, EF, &
ſub
compoſita ex {1/2}. EF, &
ſexquitertia, EM;
pariter alia duo rectan-
gula ſub, EF, & {5/6}.
EF, &
ſub, EF, &
ſexquitertia, FM, conficiunt
rectangulum ſub, EF, & compoſita ex {5/6}.
EF, &
ſexquitertia, FM,
ergo omnia quadrata figuræ, BDMH, demptis omnibus quadra-
tis, BM, ad omnia quadrata, BM, demptis omnibus quadratis figu-
erunt vt rectangulum ſub, EF, &
compoſita ex {1/2}.
E
F, & ſexquitertia, EM, ad rectangulum ſub eadem altitudine, EF,
& ſub compoſita ex {5/6}.
EF, &
ſexquitertia, FM, .
i.
vt compoſita
ex {1/2}. EF, vel {1/2}.
ED, &
ſexquitertia, EM, ad compoſitam ex {5/6}.
E
F, & ſexquitertia, FM, ideſt vt, EM, cum {1/3}.
ME, &
{1/2}.
ED, ad, M
F, cum {1/2}. MF, &
{5/6}.
FE, quod oſtendere oportebat.
IN figura Prop.
32.
oſtendemus, regula, DF, omnia qua-
drata ſemiparabolæ, DBE, ad omnia quadrata ſiguræ,
CBDF, demptis omnibus quadratis trilinei, BCF, eſſe vt
octaua pars, DF, ad duas tertias eiuſdem, DF, .i.
vt 3.
ad 16.
Nam omnia quadrata ſemiparabolæ, BDE, ſunt dimidium om.
ſunt ad illa, vt {1/2}. quadrati, D
omnia quadrata, AE, ad om-
nia quadrata, AF, ſunt vt qua-
dratum, DE, ad quadratum,
DF; tandem omnia quadrata,
DF, ad omnia quadrata figurę,
quadratis trilinei, BCF, ſunt ſexquialtera, ideſt ſunt vt quadratũ,
DF, ad rectangulum ſub, DF, & {2/3}.
DF, ergo, exæquali, omnia
F, demptis omnibus quadratis trilinei, BCF, erunt vt dimidium
quadrati, DE, .i.
vt rectangulum ſub {1/8}.
DF, &
ſub, DF, ad rectã-
gulum ſub {2/3}. DF, &
ſub, DF, .
i.
vt {1/8}.
DF, ad {1/3}.
DF, .
i.
vt {1/2} {3/4}.
D
F, ad {1/2} {6/4}. DF, .
i.
vt 3.
ad 16.
quod oſtendere opus erat.
IN figura Prop.
34.
adhuc oſtendemus omnia quadrata
figuræ, HBDM, demptis omnibus quadratis figuræ, B
HMF, ad omnia quadrata figuræ, CBDF, demptis omni-
bus quadratis trilinei, BCF, eſſe vt, D/M, MF, ad, FD.
Quoniam .
n.
omnia quadrata, AM, demptis omnibus quadra-
tis, CM, ſunt ad omnia quadrata figuræ, HBDM, demptis om-
ræ, BHMF, vt, AF,
ad parabolam, DBF,
ſ.
vt omnia quadrata,
A F, ad omnia quadra. ta figuræ, CBDF,
demptis omnibus qua
dratis trilinei, BCF,
ergo, permutando,
omnia quadrata, A
M, demptis omnibus
quadratis, CM, ad omnia quadrata, AF, erunt vt omnia quadra-
ta figuræ, HBDM, demptis omnibus quadratis figuræ, HBFM,
ad omnia quadrata figuræ, CBDF, dem ptis omnibus quadratis
trilinei, BCF, ſunt autem omnia quadrata, AM, demptis omnibus
quadratis, CM, ad omnia quadrata, AF, vt rectangulum bis ſub,
MF, FD, cum quadrato, FD, .i.
rectangulum ſub compoſita ex,
DM, MF, & ſub;
FD, ad quadratum, FD, .
i.
vt compoſita ex,
DM, MF, ad, FD, ergo omnia quadrata figuræ, DM, HB, dem-
ptis omnibus quadratis figuræ CBDF, demptis omnibus quadra.
tis trilinei, BCF, erunt vt, DM, MF, ad, FD, quod oſtendere
opus erat.
IN Schemate adhuc Prop.
antec.
oſtendemus omnia qua-
quadrata figuræ, HBDM, demptis omnibus quadratis
figuræ, BHMF, eſſe ad omnia quadrata ſemiparabolæ, B
DE, vt, DM, MF, ad @ {3/6}. ipſius, FD.
Nam omnia quadrata figuræ, HBDM, demptis omnibus qua-
dratis figuræ, BHMF, ad omnia quadrata figuræ, CBDF, dem-
F, ad, FD, hæc autem ad omnia quadrata ſemiparabolæ, BDE,
ſunt vt {2/3}. FD, ad {1/8}.
ipſius, FD, .
ſ.
vt, FD, ad @ {3/6}.
FD, ergo, ex æ-
quali, omnia quadrata figuræ, HBDM, demptis omnibus qua-
dratis figuræ, BHMF, ad omnia quadrata ſemiparabolæ, BDE. erunt vt, DM, MF, ad @ {3/6}.
ipſius, FD, quod oſtendere opus erat.
SI in figuris Propoſ.
32.
&
34.
ducantur, GP, GV, regu-
lis, DF, DM, parallelæ, oſtendemus (ſi ipſę ſecauerint
parabolam, DBF,) omnia quadrata figuræ, CBDF, dem
ptis omnibus quadratis trilinei, BCF, ad omnia quadrata
figuræ, CBNP, demptis omnibus quadratis quadrilinei,
BCPO. Vel omnia quadrata figuræ, HBDM, demptis
omnibus quadratis figuræ, BHMF, ad omnia quadrata fi-
guræ, HBNV, demptis omnibus quadratis figuræ, HVO
B, eſſe vt parabolam, DBF, ad parabolam, NBO.
Demonſtratio præſentis, Theor.
erit conformis demonſtratio.
nibus Prop.
19.
20.
Lib.
3.
quapropter inde petatur.
_H_Inc colligemus omnia quadrata ſiguræ, HBDM, demptis omni-
bus quadratis figuræ, BHMF, ad omnia quadrata figuræ, HBN
V, demptis omnibus quadratis figuræ, BHVO, eſſe vt omnia quadra-
ta figuræ, CBDF, demptis omnibus quadratis trilinei, BCF, ad omnia
CPO; &
vtraque eſſe, vt cubum, DF.
ad cubum, NO.
INeiſdem figuris oſtendemus, regulis adhuc ipſis, DM,
DF, omnia quadrata figuræ, CBDF, ad omnia quadra-
ta figuræ, CBNP, eſſe vt parallelepipedum ſub, BE, &
{1/2} {1/2}. quadrati ipſius, DF, ad parallelepipedum ſub, BX, &
his ſpatijs ſimul compoſitis .ſ.
quadrato, XP:
1.
quadrati,
NX, & rectangulo ſub ſexquitertia, NX, &
ſub, XP;
Om-
nia verò quadrata figuræ, HBDM, ad omnia quadrata fi-
guræ, HBNV, eſſe vt parallelepipedum ſub, BE, & his
ſpatijs .ſ.
quadrato, ME, 1.
quadrati, ED, &
rectangulo
ſub ſexquitertia, DE, & ſub, EM, ad parallelepipedum ſub,
BX, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato, VX, 1.
quadrati, XN, &
re-
ctangulo, ſub ſexquitertia, NX, & ſub, XV.
Ducatur per, N, ipſi, BE, parallela, NQ, in vtraq;
figura, igi-
figuræ, CBDF, ad
omnia quadrata figu-
ræ, CBNP, habẽt ra-
tionem compoſitam
ex ea, quam habent
omnia quadrata figu-
ræ, CBDF, ad om-
nia quadrata, AF, .i.
ex ea, quam habent
{3/2} {7/4}. quadrati, DF, ad
quadratum, DF, & ex ratione omnium quadratorum, AF, ad om-
i.
ex ratione, EB, ad, BX, &
ex ratione om-
nium quadratorum, AP, ad omnia quadrata, QP, .i.
ex ratione
quadrati, GP, vel quadrati, DF, ad quadratum, PN, & tandem
ex ratione omnium quadratorum, QP, ad omnia quadrata figurę, C
i.
ex ratione quadrati, NP, ad quadratum, PX, cum {1/2}.
quadra-
ti, XN, & cum rectâgulo ſub ſexquitertia, NX, &
ſub, XP, harum au-
tem rat onum iſtæ .ſ.
quam habent {1/2} {7/4}.
quadrati, DF, ad quadratum,
DF, quadatum, DF, ad quadratum, NP, & quadratum, NP, ad hęc
ſimul .ſ.
quadratum, PX, @.
quadrati, NX, &
rectangulum ſub ſex.
ſub, XP, conficiunt rationem @ {7/4}.
quadrati, DF,
ad hæc ſpatia vltimo dicta, hæc vero ratio, cum ea, quam habet, E
B, ad BX, conficit rationem parallelepidi ſub, BE, & {1/2} {7/4}.
quadra-
ti, DF, ad parallelepipedum ſub, BX, & dictis ſpatijs vltimò dictis,
ſcilicet quadrato, PX, {1/2}, quadrati, NX, & rectangulo ſub ſexquiter-
nia, NX, & ſub, XP, ergo omnia quadrata figurę, CBDF, ad om-
nia quadrata figuræ, CBNP, erunt vt parallelepipedum ſub, BE, &
{1/2} {7/8}. quadrati, DF, ad parallelepipedum ſub, BX, &
dictis ſpatijs
vltimo dictis.
Eadem methodo compoſitionis proportionum, ſumptis medijs
omnibus quadratis, AM, AV, QV, inter omnia quadrata figura-
rum, HBDM, HBNV, oſtendemus parjter omnia quadrata fi-
guræ, HBDM, ad omnia quadrata figuræ, HBNV, eſſe vt pa-
rallelepipedum ſub, BE, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato, ME, {1/2}, quadra-
ti, ED, & rectangulo ſub ſexquitertia, DE, &
ſub, EM, ad paral-
lelepipedum ſub, BX, & ſub his ſpatijs, .
ſ.
quadrato, VX, {1/2}.
qua-
drati, XN, & rectangulo ſub ſexquitertia, XN, &
ſub, XV, quæ
erant nobis oſtendenda.
SI intra parabolam axi, vel diametro eiuſdem parallela
ducatur recta linea in curuam, & baſim parabolæ ter-
minata, quæ baſis ſumatur pro regula, ducta verò tangente
parabolam intermino dicti axis, vel diametri, & producta
dicta parallela vſque ad ipſam, compleatur parallelogram-
mum ſub ipſa, & baſis maiori portione:
Omnia quadrata
conſtituti parallelogrammi ad omnia quadrata reſiduæ fi-
guræ eodem iincluſæ parallelogrammo, ab eodem dempto
trilineo extra ſemiparabolam facto, erunt vt quadratum ba-
ſis dicti fruſti ad quadratum reſidui eiuſdem baſi, dempta
ab eadem dimidia baſis totius parabolæ, ſimul cum {1/2}. quadrati huius dimidiæ, &
rectangulo ſub ſexquitertia ta-
lis dimidiæ, & eodem baſis reſiduo iam dicto.
Sit ergo parabola, HBM, cuius axis, vel diameter, BG, baſis,
eidem, BG, parallela, EF, ducta
verò tangente, AC, in termino,
B, quæ erit parallela baſi, HF, pro-
ducatur verſus, FE, illi productæ
occurrens in, C, & compleatur pa-
rallelogrammum, AF, regula ve-
rò ſit, HM. Dico ergo omnia qua-
drata, AF, ad omnia quadrata fi-
guræ, CBHF, eſſe vt quadratum, HF, ad quadratum, FG, {1/2}. qua-
dtati, GH, & rectangulum ſub ſexquitertia, HG, &
ſub, GF.
Hęc
autem erit conſimilis demonſtrationi ſecundæ partis Theor. 32.
ideo inde colligatur.
IN eadem anteced.
Propoſit.
figura oſtendemus omnia
quadrata, AF, ad omnia quadrata figuræ, CBHF, dem-
ptis omnibus quadratis trilinei, BCE, eſſe vt parallelepi-
peduw ſub, BG, & quadrato, HF, ad reliquum parallelepi-
pedi ſub, BG, & his ſpatis .
ſ.
quadrato, FG, {1/2}.
quadrati,
GH, & rectangulo ſub ſexquitertia, HG, &
ſub, GF, ab eo-
dem dempto {1/3}. parallelepipedi ſub, CE, &
quadrato, FG.
Nam omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata, BF, ducta per,
& quadrato, HF, ad parallelepipedum ſub, BI, &
quadrato, IE,
ſuut autem omnia quadrata, BE, ſexcupla ommum quadratorum
pedum ſub, AH, vel, BG, & ſub
quadrato, HF, ad parallelepipedi
ſub, BI, & quadrato, IE, ſextam
partem: Quia verò omnia quadra-
ta, AF, ad omnia quadrata figuræ,
ad hæc ſpatia .ſ.
quadratum FG,
{1/2}. quadrati, HG, &
rectangulum
ſub ſexquitertia, HG, & ſub, GF, .
i.
ſumpta, BG, communi alti-
tudine, vt parallelepipedum ſub, BG, & quadrato, HF, ad paral-
dicti, ſpatijs, ideò omnia quadrata, AF,
ad omnia quadrata figuræ, CBHF, demptis omnibus quadratis
trilinei, BGE, erunt vt parallelepipedum ſub, BG, & quadrato, H
F, ad reſiduum, dempta ſexta parte parallelepipedi ſub, BI, vel, C
E, exceſſu, BG, ſuper, EF, & ſub quadrato, IE, à parallelepipedo
ſub, BG, & dictis ſpatijs .
ſ.
quadrato, FG, {1/2}.
quadrati, GH, &
re-
ctangulo ſub ſexquitertia, HG, & ſub, GF.
INeadem figura Prop.
42.
ducta intra fruſtum parabolæ,
EBHF, recta, VR, parallela baſi, HM, oſtendemus
omnia quadrata figuræ, CBHF, ad omnia quadrata figu-
ræ, CBRV, eſſe vt parallelepipedum ſub, BG, & his ſpa-
tijs .ſ.
quadrato, FG, {1/2}.
quadrati, GH, &
rectangulo ſub
ſexquitertia, HG, & ſub, GF, ad parallelepipedum ſub, B
S, & ſub his ſpatijs, ſcilicet quadrato, VS, 1.
quadrati, SR,
& rectangulo ſub ſexquitertia, RS, &
ſub, SV.
Huius demonſtratio non eſt alia à demonſtratione Propoſ.
41.
ideò ibi in ſecunda eiuſdem parte recolatur.
INeodem Propoſ.
42.
Schemate oſtendemus omnia qua-
drata figuræ, CBHF, demptis omnibus qua dratis trili-
nei, BCE, ad omnia quadrata ſemiparabolæ, BHG, eſſe
vt reliquum parallelepipedi ſub, BG, & his ſpatijs .
ſ.
qua-
drato, FG, {1/2}. quadrati, GH, &
rectangulo ſub, FG, &
ſex-
quitertia, GH, ab eodem dempta ſexta parte parallelepi-
pediſub, CE, & quadrato, FG, ad dimidium parallelepi-
pediſub, BG, & quadrato, GH.
Etenim omnia quadrata figuræ, CBHF, demptis omnibus
quadratis trilinei, BCE, ad omnia quadrata, AF, conuertendo,
ſunt vt parallelepipedum ſub, BG, & his ſpatijs, ſcilicet quadrato.
FG, {1/2}.
quadrati, GH, &
rectangulo ſub, FG, &
ſexquitertia, G
H, ab eodem dempto {1/6}. parallelepipedi ſub, CE, &
quadrato, F
quadrato, HF;
item omnia
quadrata, AF, ad omnia quadrata, AG, ſunt vt quadratum, FH,
ad quadratum, HG, .ſ.
ſumpta, BG, communi altitudine, vt pa-
rallelepipedum ſub, BG, & quadrato, FH, ad parallelepipedum
ſub, BG, & quadrato, HG:
_Tandem omnia quadrata,_ AG, dupla
ſunt omnium quadratorum ſemiparabolæ, BHG, ergo, ex æquali,
omnia quadrata figuræ, CBHF, demptis omnibus quadratis trili-
nei, BCE, ad omnia quadrata ſemiparabolæ, BHG, erunt vt pa-
rallelepipedum ſub, BG, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato, FG, {1/2}.
quadra-
ti, GH, & rectangulo ſub, FG, &
ſexquitertia, GH, ab eodem
dempto {1/6}. parallelepipedi ſub, CE, &
quadrato, FG, ad dimidium
parallelepipedi ſub, BG, & quadrato, GH, quod erat demonſtran-
dum.
IN parabola ducta axi, vel diametro æquidiſtanter rect@
linea, ſi deinde fiat parallelogrammum ſub eadem du-
cta, & ſub baſi, angulum habens æqualem angulo i
tionis eiuſdem ductæ ad baſim, regula ſumpta baſi. Re
gula ſub parallelogram
mum diuiditur à ducta linea, ſunt dupla rectangulorum
ſub portionibus fruſti parabolæ, dicto parallelogrammo in-
cluſæ, per eandem ductam conſtituris.
Sit parabola, AZG, in baſi, ZG, circa axim, vel diametrum,
cumque recta, DP, fiat autem
parallelogrammum ſub, ZQ,
DP, angulum habens æqualẽ
angulo inclinationis, DP, ad
ZG, .i.
angulo, qui ſit, DPG,
vtcunque exduobus, DPG,
DPZ, ſit autem hoc paralle. logrammum, HG, regula ve.
ro, HG. Dico ergo, rectãgula
ſub, HP, PE, dupla eſſe rectãgulorũ ſub portionibus, BDPZ, DGP.
Sumpto ergo vtcunq; in, DP, puncto, T, per, T, ducatur, RF, ipſi,
ZG, æquidiſtans ſecanſq; curuam parabolæ in, SI, &
, AQ, in, O.
Rectangulum ergo, ZPQ, ad rectangulum, STI, habet rationem
lum, ZQG, ideſt ex ea, quam habet, DP, ad, AQ, & ex ra-
tione rectanguli, ZQG, ad rectangulum, SOI, vel quadra-
ti, QG, ad quadratum, OI, ideſt ex ea, quam habet, QA, ad,
ex ratione rectanguli, SOI, ad rectangulum, STI, ideſt
ex ratione, AO, ad, DT, ergo rectangulum, ZPG, vel, RTF, ad
rectangulum, STI, erit vt, PD, ad DT, abſciſſam. Et quoniam,
altitudine cum fruſto,
BZGD, & per punctum, T, vtcunq.
ſumptum ducta, BP, regulæ
parallela, quę eſt baſis, ZG, inuentũ eſt rectangulũ BTP, ad rectan-
gulũ, STI, eſſe vt, PD, ad DT; quatuor ergo horum magnitudinum
ſunt eſſe proportionales, & hoc modo ſolito, reperimus rectangula
ſub, HP, PE, ad rectangula ſub portionibus, BZPD, DGP, eſſe vt
maximę abſciſſarum, DP, ad omnes abſciſſas, DP, recti, vel eiuſdẽ
i.
eſſe eorum dupla, quod oſtendere opus erat.
IN anteced.
figura oſtendemus, regula eadem, ZG, omnia
quadrata, DG, ad omnia quadrata, DPG, eſſe vt, ZP,
ad compoſitam ex {1/3}. ZP, &
{1/2}.
PCOmnia verò quadrata,
DC, ad omnia quadrata trilinei, DGE, eſſe vt, ZP, ad ſui
reliquum, demptis ab eadem {2/3}. ZP, cum {1/6}, PG.
Rectangula enim ſub, HP, PE, adrectangula ſub, HP, &
por-
ſ.
vt, ZP, ad
compoſitam ex {1/4}. ZP, &
{1/6}.
PG;
eadem autem rectangula ſub, H
P, PE, ſunt dupla rectangulorum ſub portionibus, DBZP, DP
i.
ſunt ad illa, vt, ZP, ad {1/2}.
ZP, ergo ad reſiduum rectangulo-
, DPG, dem-
ptis rectangulis ſub portioni-
bus, DBZP, DGP, ideſt
P G, & trilineo, BHZ, .
i.
tri-
lineo, DEG, erunt vt, ZP,
ad {1/6}. PG, .
i.
ſumpta, PG, cõ-
muni altitudine, vt rectangu-
lum, ZPG, ad rectangulum
ſub, PG, & {1/6}.
PG, .
i.
ad {1/6}.
quadrati, PG, ſunt autem omnia quadrata, DG, ad rectangula ſub,
quali, omnia quadrata, DG, ad rectangul a ſub trilineis, DPG, D
EG, erunt vt quadratum, PG, ad {1/6}. quadrati, PG, .
i.
erunt eorum
fexcupla: Quoniam ergo omnia quadrata, DG, ad rectangula, ſub,
DG, &??
trilineo, DGP, ſunt vt, DG, ad, DGP, .
i.
vt, ZP, ad
compofitam ex {1/2}. ZP, &
{1/6}.
PG, ſunt autem omnia quadrata, D
i.
ad ea,
vt, ZP, ad {1/6}, ZP, ergo omnia quadrata, DG, ad omnia quadrata,
D GP, erunt vt, ZG, ad reſiduum, dempto {1/6}. ZP, à compoſita ex
{1/2}. ZP, &
{1/6}.
PG, quia verò ſi ab {1/2}.
ZP, dematur, {1/6}.
ZP, remanent
1. ZP, ideò omnia quadrata, DG, ad omnia quadiata, DPG, erunt
vt, ZP, ad compoſitam ex {1/3}. ZP, &
{1/6}.
PG, vt dictum eſt.
Quia verò nunc oſtenſum eſt omnia quadrata, DG, ad omnia
quadrata, DPG, eſſe vt, ZP, ad compoſitam ex {1/3}. ZP, &
{1/6}.
PG,
omnia autem quadrata, DG, ad rectangula ſub trilineis, DPG, D
E G, ſunt vt, ZP, ad {1/6}. ZP, &
ad eadem bis ſumpta, vt, ZP, ad {1/3}.
Z P, ideò omnia quadrata, DG, ad omnia quadrata, DPG, &
ad
rectangula bis ſub, DPG, DEG, erunt vt, ZP, ad compoſitam ex
{2/3}. ZP.
&
{1/6}:
PG, ergo omnia quadrata.
DG, ad reſiduum, demptis
omnibus quadratis, DPG, & rectangulis bis ſub, DPG, DEG, .
i.
ad omnia quadrata trilinei, DEG, erunt vt, ZP, ad reſiduum, dem-
ptis {2/3}. ZP, &
{1/6}.
PG, ab eadem, ZP, quæ nobis oſtendenda erat.
IN ſupradictæ Propoſ.
figura, ducta, AX, parallela baſi,
Z G, quæ tanget parabolam in, A, cui occurrat, GE,
producta, in puncto, X, oſtendemus omnia quadrata trili-
nei, DPG, ad omnia quadrata ſemiparabolæ, AQG, ha-
bere rationem compoſitam ex ea, quam habet compoſita ex
{1/3}. ZP, &
{1/6}.
PG, ad, ZP, &
ex ratione parallelepipedi ſub,
D P, & quadrato, PG, ad dimidium parallelepipedi ſub,
A Q, & quadrato, QG;
Omnia vero quadrata trilinei, AX
G. ad omnia quadrata trilinei, DEG, habere rationem cõ-
poſitam ex ea, quam habet parallelepipedi ſub, AQ, & qua-
drato, QG, ſexta pars, ad parallelepipedum ſub, DP, &
quadrato, PG, & ex ea, quam habet, ZP, ad reſidunm, dem-
ptis ab eadem, ZP, {2/3}. ZP, cum {1/6}.
PG.
Omnia .
n.
quadrata trilinei, DPG, ad omnia quadrata ſemipa-
omnia quadrata, DPG, ad omnia quadrata, DG, ideſt ex ratione
compoſitę ex {1/2}. ZP, &
{1/6}.
PG, ad, ZP, &
ex ea, quam habent om-
i.
ex ratione paralle-
lepipedi ſub, DP, & quadrato, PG, ad parallel epipedum ſub, AQ,
& quadrato, QG, &
tandem ex ea, quam habent omnia quadrata,
A G, ad omnia quadrata ſemiparabolæ, AQG, .i.
ex ratione paral-
lelepipedi ſub, AQ, & quadrato, QG, ad eiuſdem dimidium:
Duæ
quadrato, PG, ad paral-
lelepipedum ſub, AQ, & quadrato, QG, &
ratio huius ad eiuſdem
quadra-
to, PG, ad {1/2}. parallelepipedi ſub, AQ, &
quadrato, QG, ergo om-
G, ad omnia quadrata ſemiparabolæ, AQG, ha-
bent rationem compoſitam ex ratione rectæ compoſitæ ex {1/3}. ZP, &
{1/2}. PG, ad, ZP, &
ex ratione parallelepipedi ſub, DP, &
quadrato,
P G, ad {1/2}. parallelepipedi ſub, AQ, &
quadrato, QG, vt dictum eſt.
Inſuper omnia quadrata trilinei, AXG, ad omnia quadrata trili-
nei, DEG, habent rationem compoſitam ex ratione omnium qua-
i.
ſubſexcupla .
i.
ex ra-
tione {1/6}. parallelepipedi ſub, AQ, &
quadrato, QG, ad idem paral-
lelepipedum, & ex ratione omnium quadratorum, AG, ad omnia
quadrata, DG, .i.
parallelepipedi ſub, AQ, &
quadrato, QG, ad
parallelepipedum ſub, DP, & quadrato, PG, quæ duæ rationes cõ-
ficiunt rationem {1/6}. parallepipedi ſub, AQ, &
quadrato, QG, ad pa-
rallelepipedum ſub, DP, & quadrato, PG, &
tandem ex ratione
omnium quadratorum, DG, ad omnia quadrata trilinei, DEG, .i.
ZP,
cum {1/6}. PG, ergo omnia quadrata trilinei, AXG, ad omnia quadra-
ta trilinei, DEG, habent rationem compoſitam ex ea, quam habet
{1/6}. parallelepipedi, ſub, AQ, &
quadrato, QG, ad parallelepipedum
ſub, DP, & quadrato, PG, &
ex ea, quam habet, ZP, ad ſui reſi-
duum, demptis ab ea {2/3}. ZP, cum {1/6}.
PG, quæ oſtendere oportebat.
IN eadem figura Propoſ.
46.
oſtendemus, producta, PD,
verſus, AX, cui occurrat in, C, omnia quadrata trilinei,
D GP, ad omnia quadrata figuræ, CAZP, demptis omni-
bus quadratis trilinei, ACD, habere rationem compoſitam
ex ea, quam habet compoſita ex {1/3}. ZP, &
{1/6}, PG, ad ZP, &
ex ratione parallelepipedi ſub, DP, & quadrato, PG, ad pa-
his ſpatijs .
f.
quadrato, PQ {1/2}.
quadrati, QZ, &
rectangulo ſub ſexquitertia, ZQ, &
ſub, Q
P, ab eodem dempta {1/6}. para llelepipedi ſub, CD, &
quadra-
to, QP,
Completo parallelogrammo, KP, omnia igitur quadrata trili-
drata figurę, CAZP, demp tis
omnibus quadratis trilinei, A
CD, habent rationem com-
poſitam ex ea, quam habent
omnia quadrata, DPG, ad
omnia quadrata, DG, .ſ.
ex
ratione compoſitæ ex {1/3}. ZP,
& {1/6}.
PG, ad, ZP, &
ex ratio-
G, ad omnia quadrata, KP, .i.
ex ratione parallelepipedi ſub, D
P, & quadrato, PG, ad parallel epipedum ſub, AQ, &
quadrato, Z
P, & tandem ex ratione omnium quadratorum, KP, ad omnia qua-
drata figuræ, CAZP, demptis omnibus quadratis trilinei, ACD,
.f.
ex ratione parallelepipedi ſub, AQ, &
quadrato, ZP, ad paralle-
pipedum ſub, AQ, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato, PQ, {1/2}.
quadrati,
rectangulo ſub, PQ, &
ſexquitertia, QZ, ab eodem dem-
pta {1/6}. parallelepipedi ſub, CD, &
quadrato, PQ;
duæ autem ra-
tiones parallelepipedi ſub, DP, & quadrato PG, ad parallelepipe-
dum ſub, AQ, & quadrato, ZP, &
huius parallelepipedi ad paral-
lelepipedum ſub, AQ, & ſpatijs iam dictis, ab eodem dempta {1/6}.
pa-
rallelepipedi ſub, CD, & quadrato, PQ, componunt rationem pa-
rallelepipedi ſub, DP, & quadrato, PG, ad parallelepipedum ſub,
dictis ſpatijs ab eodem dempta {1/6}.
parallelepipedi ſub, CD,
& quadrato, PQ, ergo omnia quadrata trilinei, DGP, ad omnia,
quadrata figuræ, CAZP, demptis omnibus quadratis trilinei, AC
D, erunt in ratione compoſita ex ea, quam habet {1/3}. ZP, cum {1/6}.
P
G, ad, ZP, & ex ea, quam habet parallelepipedum ſub, DP, &
qua-
drato, PG, ad parallelepipedum ſub, AQ, & his ſpatijs .
f.
quadra-
to, PQ, {1/2}. quadrati, QZ, cum rectangulo ſub, PQ, &
ſexquitertia,
QZ, ab eodem parallelepipedo dempta {1/6}. parallelepipedi ſub, CD,
& quadrato, PQ, quod oſtendere opus erat.
IN eadem figura, ducta per, I, IL, æquidiſtante ipſi, A
Q, adhuc oſtendemus omnia quadrata trilinei, DGP,
ad omnia quadrata trilinei, DTI, habere rationem compo-
ſitam ex ea, quam habet rectangulum, ZPG, cum. qua-
drati, PG, ad rectangulum, STI, cum quadrati, TI, & ex ea,
quam habet quadratum, PG, ad quadratum TI.
Nam omnia quadrata, DGP, ad omnia quadrata, DIT, ha-
bent rationem compoſitam ex ea, quam habent omnia quadrata,
DGP, ad omnia quadrata, DG, .i.
ex ea, quam habet {1/3}.
ZP, cũ
PG, ad, ZP, .
i.
ſumpta, PG, communi altitudine, ex ea, quam
habet rectangulum ſub {1/3}. ZP, &
{1/6}.
PG, &
ſub, PG, ad rectangu-
lum, ZPG, item ex ratione omnium quadratorum, DG, ad om-
nia quadrata, DI, ſcilicet compoſita ex ea, quam habet, PD, ad, D
T, & quadratum, PG, ad quadratum, TI, eſt autem, vt, PD, ad,
DT, ita rectangulum, ZPG, ad rectangulum, STI; Tandem
verò componitur ex ea, quam habent omnia quadrata, DI,
ideſt ex ratione, ST, ad {1/3}. ST, cum {1/6}.
TI, ideſt ſum-
pta, TI, communi altitudi-
ne, ex ea, quam habet rectan-
gulum, STI, ad rectangulum
fub, TI, & compoſita ex {1/3}.
S
T, & {1/6}.
TI, iſtæ autem ratio-
ſ.
quam habet rectangu-
lum ſub {1/3}. ZP, &
{1/6}, PG, &
ſub, PG, ad rectangulum, ZPG, & huius ad rectangulum, STI,
& taudem rectanguli, STI, ad rectangulum ſub, TI, &
{1/3}.
ST,
cum {1/6}. TI, componunt rationem rectanguli fub {1/3}.
ZP, &
{1/6}.
PG,
& ſub, PG, ad rectangulum ſub {1/3}.
ST, &
{1/6}.
TI, &
ſub, TI
6 .i, tri-
plicatis terminis, componunt rationem rectanguli ſub, ZP, PG,
cum rectangulo, ſub {3/6}. PG, &
ſub, PG, .
i.
cum {1/2}.
quadrati, PG,
ad rectangulum ſub, ST, TI, cum rectanguio ſub {3/6}. TI, &
ſub, T
I, .i.
cum {1/2}.
quadrati, TI, &
remanſit ſola ratio quadrati, PG, ad
quadratum, TI, ergo omnia quadrata trilinei, DGP, ad om-
nia quadrata trilinei, DIT, habebunt rationem compoſitam ex
quadrati, PG, ad re-
ctangulum, STI, cum {1/2}. quadrati, TI, &
ex ea, quam habet qua-
dratum, PG, ad quadratum, TI, quod, &c.
IN omnibus huius Libri 4.
Propoſitionibus, in quibus
duarum quarumcunque fi grarum notificata fuit ratio
omnium quadratorum, iuxta regulas in eiſdem aſſumptas,
nota etiam euadit ratio ſimilarium ſolidorum, quæ ex illis
gignuntur figuris, iuxta eaſdem regulas.
Quoniam enim oſtenſum eſt Lib.
2.
Prop.
33.
vt omnia quadra-
ta duarum figurarum inter ſe ſumpta cum datis regulis, ita effe ſo-
lida ſimilaria genita ex ijſdem figuris iuxta eaſdem regulas, ideò
cum in Propoſitionibus huius Libri inuenta eſt ratio omnium qua-
dratorum duarum figurarum cum quibuſdam regulis, colligemus
etiam nunc eandem eſſe rationem duorum ſimilarium ſolidorum,
quæ ex illis figuris iuxta eaſdem regulas, genita dicuntur. Vtex.
g.
in Prop.
21.
conſpecta denuò illius figura, cum oſtenſum eſt omnia
quadrata, AF, eſſe dupla omnium quadratorum parabolæ, VEF,
regula ſumpta, VF; &
item omnia quadrata parabolæ, VEF, eſ-
ſe ſexquialtera omnium quadratorum trianguli, VEF, conclude-
mus pariter ſolidum fimilare genitum ex, AF, ad ſibi ſimilare geni-
tum ex parabola, VEF, duplam habere rationem; hoc verò ad ſo-
lidum ſibiſimilare genitum ex triangulo, VEF, habere rationem
ſexquialteram, genita autem dicta ſolida intellige iuxta dictam re-
gulam, VF; pater ergo propoſitum.
_Q_V oniam autem apertè colligitur ex Lib.
I.
Prop.
46.
&
47 ſi onæ-
nes figuræ ſimiles parabolæ, quæ ſumantur regula eiuſdem baſi,
ſint circuli, diame tros in eadem parabola ſitos babentes, cui ſint ere-
cti, ſolidum ſimilare genitum ex dicta parabola eſſe conoides parabo-
licum, cuius baſis rectè ſecat axim; ſi verò ſint ellipſes homologas
diametros in eadem parabola ſitos babentes eidem erectæ, quarum ſe-
cunda diametri ſint æquales diſtantia parallelarum, qua ducuntur ab
extremis primæ diametri æquidiſtanter axi, eſſe pariter conoides pa-
rabolicum, cuius baſis tunc obliquè axim ſecat. Ideò ex bis infra-
Lib. 3.
effectum eſt, aſſumptis nempè omnibus figuris ſimilibus genitri-
cium figurarum, quæ ſint circuli, diametros in ipſis genitricibus figu-
ris, quibus ſunt erecti, ſitos babentes, quæ per reuolutionem figuraram
circa ſuos axes deſcribi facilè appræbendi poſsũt, propter quod in exẽ-
plis tantũmodò axes aſſumemus congruenter ipſarũ genitrium figurarũ
reuolutioni, licet exempla etiam aſſumptis diametris confiici poſſent
per deſcriptionem omnium ſimilium figurarum haud tamen per reuolu-
tionem factam. Liceat autem Prop.
antecedentium reaſſamptas figu-
ras ſub ampliori forma quandoque proponere, bel ſub auguſtiori, pro-
ut expedire comperietur, ſeruata ſemper earundem ſimilitudine.
IN Prop.
21.
ergo ſi intelligantur tres figuræ, nempè parallelo-
grammum, AF, triangulus, EVF, & parabola, VEF, circa com-
tur eſſe, EM, fiet ex, AF, cylindrus,
AF. extriangulo, VEF, conus, VEF,
& ex parabola, VEF, conoides para-
bolicum, VEF, vnde patebit cylindrũ,
AF, eſſe duplum conoidis, VEF, &
hoc eſſe ſexquialterum coni, VEF; &
vniuerſaliſsimè, vt dictum eſt, ſoli-
dum ſimilare genitum ex, AF, ad ſibi
ſimilare genitum ex parabola, VEF, habere duplam rationem, hoc
verò ad ſibi ſimilare gentium ex triangulo, VEF, rationem ſexqui-
alteram, quod tamen, ne figuræ multiplicentur, ſeu nimis confun-
dantur (quod etiã impofteru obſeruabimus) vno tãtũ adhibito exẽ-
plo, reuolutionis figurarũ
IN Prop.
22.
aſſumpta eius figura, fiat exemplum per reuolutio-
CG, dimiſsis parallelogrammis, AH,
RM, fient igitur in hac reuolutione
conoidea parabolica ex, FCH, OCM,
parabolis, quæ fint, FCH, OCM; vn-
de patebit conoides parabolicum,
FCH, ad conoides parabolicũ, OCM,
eſſe, vt quadratũ, GG, ad quadratũ,
ſic eſſe quodlibet ſolidum ſimilare genitũ ex parabola, FCH,
ad ſibi ſimilare genitum ex parabola OCM, iuxta communem re-
gulam, FH, ſiue CG, ſit axis, ſiue tantum diameter, quod iuxta an-
tecedentis explicationem facilè intelligi poteſt.
IN Prop.
23.
aſſumpta figura Prop.
12.
ſcilicet parabola, BNH,
parallelogrammis, PH, AG, & triangulo, BRH, reuoluatur pa-
plum, circa axem, NO, & inſimul, PH,
AG, & triangulus, BRH, circa RO,
patebit ergo cylindrum ex, PO, ad
fruſtum conoidis ex, ABOR, in reuo-
lutione genitum, eſſe vt, ON, ad com-
poſitam ex, NR, & {1/2}.
RO, ipſum ve-
rò ad idem dempto cylindro ex, AO,
.ſ.
AG, vt, NO, ad {1/2}.
RO, ex Corollario huic Propoſitioni ſubiecto,
hoc fruſtum tandem ad conum gentium ex triangulo, RBO, vt cõ-
poſita ex, ON, dupla, MR, & {1/2}.
RO, adipſam, NO;
&
vniuerſa-
liter quæcunque ſolida ſimilaria ex eiſdem figuris genitricibus geni-
ta, iuxta communem regulam, BH, eaſdem rationes habere, vt ſu-
pradicta ad inuicem comparata, ſiue, NO, ſit axis, ſiue tantum dia-
meter; quod ex Propol.
51.
clarè patet.
Intelligatur autem in ſe-
quentibus, licet ſemper aſſumatur axis, tamen pro ſolidis ſimilari-
bus etiam aſſu mptis diametris eadem ibi appoſita verificari.
IN Propoſ.
26.
veluti oſtendimus in eiuſdem figura hic appoſita
ad rectangula ſub portione, BSF, &
figura diſtantiarum, SEF, eſſe vt, BF,
ad FE, ſic oſtenſum fuiſſet (aſſumptis
vice quadratorum alijs figuris ſimili-
bus, & vice rectangulorum, aſſumptis
alijs ſimilibus figuris eius generis, vt
veluti eſt vnum quoduis dictorum
omnium quadratorum ad rectãgulum adiacens lateri, à quo deſcri-
bitur, ita ſit figura ab eodem latere deſcripta vice quadrati ſumpta,
ad figuram deſcriptam eodem latere vice rectanguli ſumptam, fiet
guras ſimiles portionis, BSF, ad figuras vice rectangulorum ſum-
ptas eſſe pariter, vt, BF, ad, EF, & pariter ſoliudm, quorum omnes
dictæ figuræ ſimiles vice quadratorum ſumptæ ſunt omnia plana,
ad ſolidum, quorum figuræ vice rectangulorum ſumptæ ſunt om-
nia plana, eſſe, vt, BF, ad, FE; quæ quidem ſolida non ſunt ſolida
ad inuicem ſimilarià, quia vtriuſque ſolidi figuræ non ſunt inter ſe
fimiles, ſed tantum ſunt ſimiles inter ſe, quæ ſunt in vnoquoque
horum ſolidorum ſingillatim ſumpto.
IN Prop 27.
ſimiliter aſſumpta eiuſdem ſigura, vt fiat noſtrum
exemplum reuoluatur parabola, BAC, circa AP, axem, vt fiat
per planum à, DZ, deſcriptum in re-
uolutione abſcindetur conoides para-
bolicum, DAF, cuius baſis rectè axim,
AP, ſecat, & eſt circulus, intelligatur
autem etiam per, MC, planum ex-
tendi rectũ ad planũ parabolæ, BAC,
per hoc igitur abſcindetur pariter co
noides parabolicum, cuius baſis erit ellipſis, cuius maior diameter,
MC, minor autem erit, CR. Dico nunc hæc duo conoidea eſſe
inter ſe æqualia, cum diametri eorundem, AZ, HO, ſint æquales: ſi enim intellexerimus conoides, DAF, planis parallelis baſi ſecari,
& pariter conoides, MHC, ſecari planis parallelis ſuæ baſi, fient,
plana, omnes figuræ ſimiles inter ſe .ſ.
omnes circuli figuræ geni-
tricis, quæ eſt parabola, DAF; in conoide verò, MHC, dicta omnia
plana fient omnes figuræ ſimiles genitricis, MHC, .ſ.
omnes ellipſes
eiuſdem, quarum coniugatæ diametri erunt inter ſe, vt, MC, ad, C
R, maiores diametros in figura genitrice, MHC, ſitas habentes. Intelligantur nunc circa illas maiores diametros deſcribi circuli in
planis ellipſium iacentes, erit ergo quilibet circulus ad ellipſim ab
eo comprehenſam, vt maior diameter ad minorem, & quia iſtę con-
ſ.
ad minores, vt M
C, ad, CR, .ſ.
vt quadratum, MC, ad rectangulum, MCR, &
vt
vnum ad vnum, ſic omnia ad omnia .ſ.
vt omnes circuli figuræ ge-
nitricis, MHC, ad omnes eiuſdem ſimiles ellipſes, ita circulus circa,
MC, ad ellipſim circa, MC, .ſ.
ſic quadratum, MC, ad rectangulum,
ſ.
ita omnia quadrata figuræ genitricis, vel parabolæ, MH
C, ad rectangula, ſub parabola, MHC, & figura diſtantiarum, H
ſ.
ita ſolidum, cuius omnes circuli figuræ genitricis, MHC,
iuxta regulam baſim, MC, ſumpti, ſunt omnia plana, ad ſolidum,
cuius omnia plana ſunt omnes ſimiles ellipſes iam dictæ figuræ ge-
nitricis, MHC, ſumptæ iuxta eandem regulam, ſcilicet ad conoides
parabolicũ, MHC; ſunt verò omnes circuli parabolæ, DAF, iuxta
regulam, DF, ad omnes circulos parabolæ, MHC, iuxta regulam,
eaſdem regulas: ideo ex æquali omnes circuli parabolæ, DAF, ad
omnes ellipſes ſimiles iam dictas parabolæ, MHC, erunt vt omnia
quadrata, DAF, retentis ſemper eiſdem regulis, ad rectangula ſub,
MHC, & figura diſtantiarum, HRC, .
i.
omnes circuli, DAF, erunt
æquales omnibus ſimilibus ellipſibus iam dictis figuræ, MHC, ve-
rum omnes circuli parabolæ, DAF, ſumpti iu xta regulam, DF,
quorum diametri ſunt in figura genitrice, DAF, funt omnia plana
conoidis geniti in reuolutione ex ſemiparabola, DAZ, omnes verò
ellipſes ſimiles iam dictæ parabolæ, MHC, ſunt omnia plana co-
rabolicum, DAF, eſt æquale conoidi parabolico, MHC. Sed vni-
uerſaliter ſolidum genitum ex, DAF, habens omnia plana, quæ ſint
omnes figuræ ſimiles inter ſe eiuſdem genitricis, DAF, erit æquale
ſolido genito ex, MHC, habenti omnia plana, quæ ſint omnes fi-
guræ ſimiles inter ſe eiuſdem genitricis figuræ, MHC, ad quas om-
nes figuræ ſimiles figuræ genitricis, DAF, ſint vt omnia quadrata,
DAF, ad rectangula ſub figura genitrice, MHC, & figura diſtantia-
rum, HRC, dummodo diametri, AZ, HO, inter ſe ſint æquales,
quæ hic nobis erant colligenda.
IN Coroll.
v.
colligitur ſolidum ſimilare genitum ex parabola, D
AF, ad ſibi ſimilare genitum ex parabola, MHC, eſſe vt, DF,
ad MC, dum, AZ, HO, diametri fuerint æquales.
IN Coroll.
2.
colligitur, ſi fuerint duo plana axem conoidis pa-
rabolicæ obliquè ſecantia, ſint autem abſciſſarum conoidum
diametri inter ſe æquales, quod abſciſsæ conoides erunt inter ſe
æquales; ſed vniuerſaliter, vice ſimilium ellipſium, quæ ſunt om-
vnoquoque ſolido aſsumptis, inter ſe eandem rationem, quam prę-
dictæ ſimiles ellipſes habentibus, quod ea ſolida, quorum aſsum-
ptæ fimiles figuræ ſunt omnia plana, erunt inter ſe æ qualia, dum
diametri genitricium eorundem figurarum, quæ ſunt abſciſsæ pa-
rabolæ, inter ſe quoq; æquales fuerint.
IN Propoſ.
28.
&
eius Coroll.
aſsum pta illius figura, &
facto ſo-
lito exemplo per reuolutionem, ADH, parabolæ circa axim,
ca, ADH, in reuolutione deſcripta
ſecetur quomodocunque planis ſiue
ad axem rectis, ſiue obliquis, quod ab-
fcifsæ conoides erunt inter ſe, vt qua-
drata diametrorum eorundem, Nam
vt omnia quadrata, BDF, regula, BF,
quæ axim, DO, rectè ſecat, ad rectan-
gula ſub parabola, CEG, & figura di-
ftantiarum, ERG, ita eſse omnes circulos, BDF, diametros in ea ſi-
tas habentes, ſumptos iuxta regulam, BF, ad omnes ſimiles elli-
pſes figuræ genitricis, CEG, ſumptas iuxta regulam, CG, quarum
diametri maiores ſunt in figura, CEG, minores verò in figura di-
ſtantiarum, REG, oſtendemus, methodo antecedentis, ergo dicti
omnes circuli parabolæ, BDF, ad dictas omnes ellipſes parabolæ,
CEG, erunt vt quadratum, DN, ad quadratum, EM, ergo & co-
nois parabolica, BDF, ad conoidem parabolicam, CEG, erit vt
quadratum, DN, ad quadratum, EM, vnde, conuertendo, conois
parabolica, GEC, ad conoidem parabolicam, FDB, erit vt qua-
dratum, EM, ad quadratum, DN, ſi ergo aliud planum, vtcunq; obliquè axem, DO, ſecauerit, erit conois parabolica, BDF, ad
hanc conoidem vltimò reſectam, vt quadratum, DN, ad quadra-
tum diametri huius reſectæ conodis, ergo ex æquali conois pa-
rabolica, CEG, ad hanc conoidem vltimò reſectam, cuius baſis
pariter obliquè ſecat axim, DO, erit vt quadratum, EM, ad huius
diametri quadratum, quomodocunque igitur reſecetur conois pla-
nis axem ſecantibus, reſecta ſegmenta ſunt, vt diametrorum qua-
drata. Sed vniuerſaliter, ſi, vice circulorum, vel dictarum ellipſium,
ſummamus alias figuras ſimiles in vnoquoq; ſolido ſeorſim, quo-
rum ſunt omnia plana, ijs exiſtentibus omnibus figuris ſimilibus
ijſdem genita iolida iuxta regulas baſes abſciſſarum parabolarum,
ſi dictæ figuræ ſimiles fuerint inter ſe, vt prædicti circuli, vel ſimi-
les e lipſes, vel vt omnia quadrata, & rectangula ſub abſciſſis pa-
rabolis, & figuris diſtantiarum earundem, regulis ſemper pro vna-
quaque earundem parabolarum baſibus ſumptis, erunt inter ſe, vt
quadrata diametrorum abſciſſarum per ducta plana parabolarum,
intellige tamen reſecantia plana ſemper in ſupradictis eſſe erecta
plano genitricium figurarum, vt planum per, CG, erectum para-
bolæ, ADH, plano, ſimiſiter & quod per, BF, ſiue in conoide, ſiue
in alijsiam dictis ſolidis, vt ſupradictum eſt genitis.
EXponatur parabola, ACE, circa axim, CM, in baſi, AE, cui
paraliela ducatur vtcunque, BD, intra ipſam, & iungatur, BE,
BRE, & vt fiat noſtrum exemplum
reuo uatur parabola, ACE, circa axim
manentem, CM, vt fiant conoides
parabolicæ, ACE, BCD, & per BE,
ducatur planum erectum plano para-
bolæ, ACE, ſcindens fruſtum conoi-
dis, BAED, in duas portiones, ſcilicer,
BAE, BDE. Dico ergo portionem, BAE, ad portionem, BDE,
(reſecta, CO, æquali ipſi, RS,) eſſe vt quadratũ, MO, cũ rectangulo
bis ſub, MOC, ad quadratum, ON, cum rectangulo bis ſub, ONC.
Nam conois, ACE, ad conoidem, BRE, eſt vt quadratum, MC,
ad quadratum, SR, vel ad quadratum, OC, ergo, per conuerſionem
rationis, & conuertendo, portio ſolida, BAE, ad conoidem para-
bolicam, ACE, erit vt reſiduum quadrati, MC, dempto quadrato,
OC, ad quadratum, MC, .ſ.
vt quadratum, MO, cum rectangulo
bis ſub, MOC, ad quadratum, MC, quod ſerua. Item quia conoi-
dem, ACE, ad conoidem, BRE, diximus eſſe vt quadratum, MC,
ad quadratum, CO, eadem autem conois, ACE, ad conoidem, BCD,
eſt vt quadratum, MC, ad quadratum. CN, ergo conois, ACE, ad
reliquum dempta conoide, BCD, à conoide, BRE, erit vt idem qua-
dratum, MC, ad reliquum, dempto quadrato, CN, à quadrato, CO,
.i.
ad quadratum, ON, cum rectangulo bis ſub, ONC, eſt ergo co-
nois, ACE, ad portionem ſolidam, BDE, vt quadratum, MC, ad
quadratum, ON, cum rectangulo bis ſub, ONC, erat autem portio
cum rectangulo bis ſub, MOC, ad quadratum, MC, ergo, ex æqua-
li, portio ſolida, ABE, ad portionem ſolidam, BDE, erit vt qua-
dratum, MO, cum rectangulo bis ſub, MOC, ad quad. ON, cum re-
ctang. bis ſub, ONC, quod &
c.
Sed vniuerſaliter ſi ſint ſolida ſimilaria genita ex parabolis, ACE,
BCD, iuxta communem regulam, AE, & ducatur planum per, BE,
rectum plano parabolæ, ACE, ſcindens ſolidum ſimilare genitum
ex, BDEA, in duas portiones ſolidas, BAE, BDE, adhuc, conſe-
quenter ſupradictis, inueniemus has duas portiones ſolidas eſſe in
eadem ratione, vt portiones ſolidæ productæ ex ſectione fruſti co-
noidis parabolicæ, BAED, .ſ.
eſſe vt quadratum, MO, cum rectan-
gulo bis ſub, MOC, ad quadrat, ũON, cum rectangulo bis ſub, ONC,
quod ex ſupradictis erui facilè poteſt; quæ demonſtratio currit etiã,
ſi, CM, non ſit axis, ſed tantum diameter, vt confideranti clarè
patebit.
IN Prop.
29.
&
Cor.
Sect.
1.
&
2.
colligimus ſolida ſimilaria geni-
ta ex parabolis in eadem altitudine conſtitutis, genita inquam
iuxta regulas ipſarum baſes, eſſe inter ſe, vt quadrata baſium, & in
ijſdem baſibus conſtitutis, vt earum altitudines, vel vt diametros
æqualiter baſibus inclinatas; hoc igitur nedum concluditur de co-
noidibus parabolicis in eadem altitudine ſtantibus, quod ſit, vt qua-
drata baſium, vel in eadem baſi exiſtentium, quod ſint, vt altitu-
dines, ſed de cæteris ſimilaribus ſolidis ex ipſis parabolis genitis
iuxta regulas baſes, vt dictum eſt.
ITem habemus conoides parabolicas, &
cætera ſolida ſimilaria
ex parabolis genita iuxta regulas baſes, habere inter ſe ratio-
nem eompoſitam ex ratione quadratorum baſium, & altitudi-
num, vel diametrorum æqualiter baſibus inclinatarum.
ITem eadem ſolida, quarum baſes altitudinibus, vel diametris
æqualiter baſibus inclinatis reciprocantur, eſſe æqualia, &
quæ ſunt æqualia habere baſes altitudinibus, vel diametris æqua-
liter baſibus inclinatis, reciprocas.
TAndem colligemus conoides parabolicas, &
cætera ſolida ſi-
milaria ex parabolis genita iuxta regulas ipſarum baſes, qua-
ra habeant eandem ratione .i.
ſimiles conoides parabolicas, &
ſi-
milia ſolida ſimilaria genita ex parabolis iam dictis, eſſe in tripla
ratione dictarum homologarum linearum.
IN Prop.
30.
expoſita figura, vt fiat ſolitum exemplum, reuo-
luatur, ACD, circa manentem axim, DC, patebit ergo cylin-
.ſ.
BF, eſſe ſexcuplum ſolidi geniti ex
trilineo, CDA, .ſ.
ſolidi, CAF.
Sed
vniuerſaliter ſolidum ſimilare geni-
tum ex, BD, ad ſibi ſimilare genitum
ex, CDA, ſexcuplam rationem habe-
re, ſiue CD, ſit perpendicularis ipſi,
DA, ſiue non; vocetur autem ſoli
dum genitum per reuolutionem ex, C
DA, Apex parabolicus.
IN Corollario autem colligimusapices parabolicos in eadem
altitudine exiſtentes, eſſe vt baſium quadrata, & in eiſdem ba-
ſibus eſſe, vt altitudines, ſic etiam eſſe ſolida ſimilaria genita ex
trilineis in eadem altitudine, vel in eadem baſi exiſtentibus, geni-
ta inquam iuxta regulas tangentes ipſas parabolas.
ITem, quod eadem ſolida quomodocunque ſint, habeant inter
ſe rationem compoſitam ex ratione baſium, & altitudinum,
vel ſecantium æqualiter tangentibus inclinatarum.
ITem, quod eadem ſolida baſes habentia altitudinibus;
vel ſe-
cantibus æqualiter tangentibus inclinatis reciprocas, ſint æ-
qualia; &
quæ ſunt æqualia, baſes habeant altitudinibus, vel ſe-
cantibus æqualiter tangentibus inclinatis reciprocas.
TAndem, quod eadem ſolida ſint in tripla ratione tangen-
tium, vel ſecantium parabolas; ſi tangentes ad ſecantes ſe-
miparabolas, ex quibus in reuolutione generantur, habeant ean-
dem rationem.
IN Propoſ.
31.
expoſiea figura, &
vt fiat noſtrum exemplum re-
uoluto, AC, circa manentem axim, AB, patet ſolidum, quod
C, ad ſolidum, quod fit ex trilineo,
MFC, eſſe vt quadratum, AB, ad
quadratum, BE, & vniuerſaliter, ſo-
lidum ſimilare genitum ex, AC,
dempto ſolido ſimilari genito ex ſe-
miparabola, ACB, ad ſibi ſimilare
genitum ex, EC, dempto ſolido ſi-
milari genito ex fruſto, EMCB,
eſſe vt quadratum, AB, ad quadratum, BE, genita, in quam in-
tellige iuxta communem regulam, BC.
IN Prop.
32.
expoſita figura, &
vt fiat noſtrum exemplum re-
uoluto, AF, circa manentem axim, CF, patebit cylindrum
in reuolutione genitum ex AF, ad ſolidum genitum ex parabola,
DBF, eſſe vt, AF, ad parabolam, DBF, & ita eſſe quodlibet ſo-
lidum ſimilare genitum ex, AF, ad ſibi ſimilare genitum ex figu-
ra, CBDF, dempto ſolido ſimilari genito ex trilineo, BCF; cy-
lindrum verò genitum ex, AF, .ſ.
AM, ad ſolidum in reuolutione
genitum ex figura, CBDF, eſſe vt, AF, ad parabolam, DBF,
parallelogrammi, AF, .
1.
vt 24.
ad 17.
&
ita eſſe ſolidum
nitum ex, A
F, ad ſibi ſi-
milare geni
tum ex figu-
ra, CBDF,
genita in-
quam iuxta
communem
regulam, D
F. Vocetur
autem ſolidum, quod in reuolutione generatur ex parabola DB
F. Semianulus ſtrictus parabolicus;
quod verò gignitur ex, figu-
ra, CBDF; Semibaſis columnaris parabolica ſtricta.
IN Corollario colligitur cylindrum, AM, eſſe ſexquialterum
ſemianuli ſtricti parabolici, DBFXM, vnde colligi poteſt pro-
prietates, quæ conoidibus, vel apicibus parabolicis in Corollarijs
7. &
8.
Propoſit.
51.
huius in eſſe oſtenſa ſunt, &
de ſemianulis ſtri-
ctis parabolicis pariter concludi.
IN Propoſit.
33.
habemus partem interiorem ſemianuli ſtricti
parabolici, ad exteriorem (quæ partes diſſeparantur per ſuper-
ficiem in reuolutione deſcriptam in ſuperioris figura per lineam, ſi-
ue axim, BE,) eſse vt 5. ad 11.
&
ſic eſse quodlibet ſolidum ſimila-
re genitum ex, BF, dempto ſolido ſimilari genito ex trilineo, BC
F, ad ſibi ſimilare genitum ex figura, CBDF, dempto ſolido ſi-
milari genito ex, BF, genita, inquam, iuxta communem regu-
lam, DF.
IN Prop.
34.
aſſumpta eiuſdem figura, vt fiat exemplum reuo-
luatur, AM, circa manentem axim, HM, fiat autem ex, AM,
in reuolutione cylindrus, AL; patet igitur cylindrum, AL, ad ſo-
lidum in reuolutione genitum ex parabola, DBF, eſſe vt, AF, ad
licus) & ad ſolidum genitum ex figura, HBDM, eſſe vt quadra.
tum, DM, ad quadratum, ME, {1/2}.
quadrati, ED, cum rectangu-
lo ſub ſexquitertia, DE, & ſub, EM, quod vocetur Semibaſis co-
lumnaris parabolica lata; Et vniuerſaliter ſolidum ſimilare geni-
re eandem rationem proximè dictæ ad idem verò dempto ſolido
ſimilari genito ex quadrilineo, BFMH, eſse vt, AF, ad parabo-
lam, DBF,.. in ratione ſexq uialtera.
IN Coroll.
poteſt colligi etiam in Cor.
10.
Prop.
51.
Sect.
po-
ſter. concludi poſse cylindrum in reuolutione genitum ex, AF,
ad ſemibaſim columnarem ſtrictam parabolicam genitam ex figu-
ra, CBDF, eſse vt quadratum, DF, ad quadratum, FE, {1/2}, qua
drati, ED, & rectangulum ſub ſexquitertia, DE, &
ſub, EF, &
ſic eſſe ſolida ſimilaria ex eiſdem genita iuxta communem regu-
lam DF.
IN Prop.
35.
iterum aſsumpta antecedentis figura, patet cylin-
drum genitum in reuolutione ex, BM, .i.
cylindrum, BY, ad
ſolidum genitum ex reuolutione figuræ, BHMF, .ſ.
ad ſolidum,
BFKR, quod vocetur Semitympanum parabolicum, eſse vt qua-
dratum, EM, ad quadratum, MF, cum rectangulo ſub {2/3}. EF, &
FM, vna cum {1/6}. quadrati, EF;
&
ſic eſse ſolidum ſimilare geni-
tum ex, BM, ad ſibi ſimilare genitum ex figura, BHMF, iuxta
communem regulam, DM.
EX Coroll.
habetur cylindrum, BY, ad reſiduum, dempto ſe-
mitympano parabolico, BFKR, ab eodem, eſse vt quadra-
tum, EM, ad rectangulum ſub, MF, & lub ſexquitertia, FE, cum
{5/6}. quadrati, FE, &
ſic eſse ſolidum ſimilare genitum ex, BM, ad
reſiduum, dempto ad eodem ſolido ſimilari genito ex figura, BH
MF, iuxta communem regulam, DM.
IN Prop.
36.
vila adhuc eadem figura, patet portionum ſemia-
nul@ lati parabolici ex, DBF, parabola in reuolutione geni-
ti, quæ ſepatantur a ſuperſicie deicripta ab axi, BE, exteriorem
ad interiorem .1.
quæ gignitur a ſemiparabola, BDE, ad eam,
quæ gignitura ſemiparabola, BFE, eſse vt, EM, cum {1/3}. EM, &
{1/2}. ED, ad MF, cum {1/3}.
MF, &
{5/6}.
FE, &
ſic eſse ſolidum ſimilare
genitum ex figura, DBHM, dempto ſolido ſimilari genito ex, B
M, ad ſolidum ſimilare genitum ex, BM, dempto ſolido ſimilari
genito ex figura, BFMH, iuxta communem regulam, DM.
IN Prop.
37.
viſa fig.
Cor.
10.
P.
51.
huius, patet conoidem pa-
ge-
nitam in re-
uolutione ex
ſemiparabo-
la, BDE, ad
ſemianulum,
ſtrictum para
bolicum ge-
nitum ex pa-
rabola, DBF,
eſse vt {1/8}. DF,
ad {2/3}. DF,.
.
vt 3. ad 16.
&
ſic eſſe ſolidum ſimilare genitum ex, DBE, ſemipa-
rabola, ad ſibi ſimilare genitum ex figura, CBDF, dempto ſolido
ſimilari genito ex trilineo, BCF, iuxta communem regulam, DF.
IN Propoſ.
38.
conſpecta adhuc eadem ſuperiori figura, habe-
tur ſemianulum latum parabolicum genitum in reuolutione
ex parabola, DBF, ad ſemianu um ſtrictum pararabolicum geni-
tum ex eadem, eſse vt, DM, MF, ad FD, & ſic eſse ſolidum ſimi-
lare quodcunq; genitum ex figura, HBDM, dempto ſolido ſimi-
lari genito ex figura, BHMF, ad ſolidum ſibi ſimilari genitum ex
figura, CBDF, dempto ſolido ſimilari genito ex trilineo, BCF,
iuxta communem regulam, DM.
IN Prop.
39.
viſa eadem ſuperioris figura, habemus ſemianu-
lum latum parabolicum genitum ex parabola, DBF, ad co-
noidem parabolicam genitam ex eadem per reuolutionem, eſse vt,
DM, MF, ad {3/16}. ipſius, FD, &
ſic eſse quodlibet ſolidum ſimila-
re genitum ex, HBDM, dempto ſolido ſimilari genito ex figura,
BHMF, ad ſolidum ſibi ſimilare genitum ex ſemiparabola, BDE,
iuxta communem regulam, DM.
IN Prop.
40.
viſis fig.
Cor.
10, &
12.
ſuperiorum, &
ductis vt-
cumque baſi parabolæ, DBF, æquidiſtantibus intra ipſam, quę
ſint, GP, GPV, patet ſemianulos parabolicos ex parabolis, DBF,
NBO, in vtraq; figura per reuolutionem genitos, eſse inter ſe, vt
ipſas parabolas, DBF, NBO, & ſic eſse quodlibet ſolidum ſimi-
lare genitum ex figura, HBDM, dempto ſolido ſimilari genito
ex figura, BFMH, ad ſibi ſimilare genitum ex figura, HBNV,
dempto ſolido ſimilari genito ex figura, HBOV. Et ſic etiam
ſolidum ſimilare genitum ex figura, CBDF, dempto ſolido ſimi-
lari genito ex trilineo, CBF, ad ſolidum ſibi ſimilare genitum ex
figura, CBNP, dempto ſolido ſimilari genito ex figura, BCPO,
genita inquam iuxta communes regulas, DF.
EX Coroll.
habetur ſemianulos latos parabolicos ex parabolis,
DBF, NBO, in reuolutione circa, HM, genitos eſse ad in-
genitos in reuolut. circa, CF, &
ſic ſolida ſimiliaria, &
c.
&
vtroſq;
ſemianulos parabolicos, ſiue latos, ſiue ſtrictos eſſe ad inuicom, vt
cubi dictarum parabolarum baſium, DF, NO, & ſic etiam ſolida
ſimilaria, &c.
IN Prop.
41.
viſis adhuc fig.
Cor.
10.
&
12.
ſuperiorum, patet
ſemibaſim columnarem ſtrictam parabolicam genitam in re-
uolutione ex figura, CBDF, ad ſemibaſim columnarem latam pa-
rabol cam genitam ex figura, CBNP, eſſe vt parallelepipedum
ſub, BE, & {1/2} {7/4}.
quadrati ipſius, DF, ad parallelepipedum ſub, BX,
& his ſpatijs.
ſ@ quadrato, XP, {1/2}.
quadrati, NX, &
rectangulo ſub
ſexquitertia, NX, & ſub, XP;
&
ſic etiam eſse quodlibet ſolidum
ſimilare genitum ex figura, CBDF, ad ſolidum ſibi ſimilare genitũ
ex figura, CBNP, iuxta communem regulam, DF, patet inſuper
ſemibaſim columnarem latam parabolicam genitam in reuolutio-
ne circa, HM, ex figura, DBHM, ad ſemibaſim columnarem latã
parabolicam genitam ex figura, HBNV, eſse vt parallelepipedum
ſub, BE, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato.
ME, {1/2}.
quadrati, ED, &
rectã-
gulo ſub ſexquitertia, DE, & ſub, EM, ad parallelepipedum ſub, B
X, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato, VX, {1/2}.
quadrati, XN, &
rectangulo
ſub ſexquitertia, NX, & ſub, XV;
&
ſic etiam eſſe ſolidum ſimila-
re quodcunq; genitum ex figura, HBDM, ad ſolidum ſibi ſimila-
re genitum ex figura, HBNV, iuxta communem regulam, DM.
IN Prop.
42.
aſſumpta figura, quæ ad ipſum pertinet .
ſ.
paralle-
logrãmo, AF, & ſruſto parab læ maiori illi incluſo .
ſ.
EBHF,
plũ reuoluatur, AF,
eirca manẽtẽ axim,
CF, fiat autem ex,
AF, cylindrus, AN,
& ex figura, HBCF,
ſolidum, HBON,
quod vocetur: ſemi-
baſis collumnaris
media parabolica, & extenſo plano, AF, macſimiè producatur in
in ſemibaſi columnari figura,
HBON, quæ erit circa exem, CF, compoſita ex duabus figuris,
FBHF, FEON, ſimilibus, & æqualibus ei, quæ per reuolutionem
ſemibaſim columnarem, HBON, generat; patet ergo in hac Pro-
poſit. cylindrum, AN, ad ſemibaſem columnarem mediam para-
bo icam, HBON, eſſe vt quadratum baſis, HF, ad quadratũ, FG,
{1/2}. quadrati, GH, cum rectangulo ſub ſex quitertia, HG, &
ſub, G
F; ſic verò etiam erit quodlibet ſolidum ſimilare genitum ex, AF,
ad ſibi ſimilare genitum ex figura, CBHF, iuxta communem re-
gulam, HF.
IN Prop.
43.
viſa ſuperioris figura, patebit cylindrum, AN, ad
ſolidum genitum in reuolutione ex fruſto maiori parabolæ,
EBHF, (quod vocetur Aceruus maior parabolicus) .ſ.
ad Aceruũ,
HBEON, eſſe vt parallelepipedum ſub, BG, & quadrato, HF, ad
reliquum parallelepipedi ſub, BG, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato, FG,
{1/2}. quadrati, GH, &
rectangulo ſub ſexquitertia, HG, &
ſub, GF,
ab eodem dempto 1. parallelepipediſub, CE, &
quadrato, FG;
Sic etiam erit ſolidum ſimilare quodcunq;
genitum ex, AF, ad ſibi
ſimilare genitum ex figura, CBHF, dempto ſolido ſimilari genito
ex trilineo, BCE, iuxta communem regulam, HF.
IN Prop.
44.
adiuncta ſuperioris figuræ linea, RV, parallela ipſi,
HF, quæ, RV, ſit producta vſq; in, X, per ſpſam ducatur pla-
num æquidiſtans baſi, HN, quod faciet in ſemibaſi columnari, HB
ON, communem factionem circulum, RX, habetur ergo hinc ſe-
mibaſim columnarem mediam parabolicam, HBON, ad abſciſſum
per circulum, RX, fruſtum, RBOX, eſſe vt parallelepipedum ſub,
BG, & his ſpatijs .
ſ.
quadrato, FG, {1/2}.
quadrati, GH, &
rectangulo
ſub ſexquitertia, HG, & ſub, GF, ad parallelepipedum ſub, BS, &
ſexquitertia, RS, & ſub, SV.
Veluti etiam erit quodlibet ſolidum
ſimilare genitum ex figura, CBHF, ad ſibi ſimilare genitum ex fi-
gura, CBRV, iuxca communem regulam, HF.
IN Prop.
45.
viſa adhuc anteced.
figura, patet aceruum maio-
rem parabolicum, HBEON, ad conoidem parabolicam geni-
tam ex ſemiparabola, BHG, eſſe vt reliquum parallelepiped@ſub,
GB, & his ſpatis ſ.
quadrato, FG, {1/2}.
quadrati, GH, &
rectãgulo ſub,
FG, & ſexquitertia, GH, ab eedẽ dẽpto {1/6}.
parallelepipediſub, CE, &
quadrato, FG, ad dimidiũ parallepepidiſub, @BG, & quadrato, GH;
vt etiã erit quodlibet ſolidũ ſimilare genitũ ex figura, CBHF, dem-
pto ſolido ſimilari genito ex trilineo, BCE, ad ſolidum ſibi ſimilare
genitum ex ſemiparabola, BHG, iuxta communem regulam, HF.
IN Prop.
47.
ſumatur ex figura Prop.
46.
fruſtum minus parabo-
læ, quod eſt, DPG, cum Parallelogrammo, DG, & integra
ZAG, quæ eſt,
ZG, &, vt fiat
ſolitum exem-
plum, reuolua-
tur, DG, circa
manentẽ axim,
DP, & iterum
circa manentẽ
axim, EG, fiet ergo ex reuolutione circa, DP, à parallelogrammo,
DG, cylindrus, RG, & à fruſto parabolæ minori, PDG, ſolidum,
quod ſit, HDG, quodque vocetur, Aceruus minor parabolicus; &
ex reuolutione circa; EG, à parallelogrammo, DG, in alia figura
cylindrus, DV, & à trilineo extra fruſtum minus parabolæ conſti-
tuto ſolidum, DGX@, quod eſt fruſtum apicis parabolici refectum
per circulum. DX, quodque vocetur Fruſtum apicis parabolici.
Pa-
tet ergo cylindrum, RG, ad aceruum minorem parabolicu, HDG,
eſſe vt, ZP, ad compoſitam ex {1/3}. ZP, &
{1/6}.
PG, ac cylindrum, DV,
ad fruſtum apicis parabolici, DGX, eſſe vt, ZP, ad ſui reliquum,
demptis ab ea {2/3}. ZP, cum {1/6}.
PG;
Sic autem etiam erit quodlibet
ſolidum ſimilare genitum ex, DG, ad ſolidum ſibi ſimilare genitum
ex fruſto minori, DGP, vt, inquam, in priori parte huius Theor. dictum eſt;
&
ſic etiam ſolidum quodlibet ſimilare genitum ex,
DG, ad ſibi ſimilare genitum ex trilineo, DEG, iuxta communem
parte dictum eſt.
IN Propoſitione 48:
ſumatur de figura Propoſit.
46.
parabola.
ZAG, cum baſi, ZG, &
axi, AQ, &
axi, AQ, &
reſecto eius minori fruſto,
DPG, de eiuſdem figura adnuc ſumatur, AXG, trilineum, in quo
ducitur, DE, æquidiſtans ipſi, AX, & ſeorſim ponatur, vt autem fiat
axim, AQ, & fruſtum minus eiuſdem, quod eſt, DPG, circa, DP,
ex quo fiat aceruus minor, RDG. Inſuper trilineum, AXG, reuo-
luatur circa, GX, vt fiat apex parabolicus, AGZ, & ex GDE, eius
fruſtum, GDY; patet igitur ex ipſa Prop.
48.
aceruum minorem,
RDG, ad conoidem parabolicam, ZAG, habere rationem compo-
ſitam ex ea, quam habet compoſita ex {1/3}. ZP, &
{1/6}.
PG, ad, ZP, &
ex ratione parallelepipedi ſub, DP, & quadrato, PG, ad dimidium
parallelepipedi ſub, AQ & quadrato, QG;
&
ſic etiã eſſe quodlibet
ſolidum ſimilare genitum ex fruſto parabolæ, DGP, ad ſibi ſimila-
re genitum ex ſemiparabola, AQG; iuxta communem regulam,
ZG. Item ex eadem Prop.
patet apicem parabolicum, AGZ, ad
eius fruſtum, DGY, habere rationem compoſitam ex ea, quam
habet ſexta pars parallelepipedi ſub AQ, & quadrato, QG, ad pa-
rallelepipedum ſub, DP, & quadrato, PG, &
ex ea, quam habet,
ZP, ad reſiduum, demptis ab eadem, ZP, {2/3}. ZP, cum {1/6}.
PG:
Sic
autem quoque erit quodcunque ſolidum ſimilare genitum ex trili-
neo, AXG, ad ſibi ſimilare genitum ex trilineo, GDE, iuxta com-
munem regulam, AX.
N Propoſitione 49.
aſſumpta de figura Propoſit.
46.
parabola,
ZAG, cum axi, AQ, &
illi parallela, DP, abſcindatur ab axi,
ſuper, DP, & vt fiat ſolitum
exemplum, reuoluantur tũ
fruſtum maius, ZADP, tum
fruſtum minus, DPG, circa
communem axem, DP, vt
ex fruſto maiori, DAZP,
fiat aceruus maior parabo
licus, ZADON, & ex fruſto
minori, DPG, fiat aceruus
minor parabolicus, RDG: Patet ergo ex hac Propoſ.
aceruum
minorem, RDG, ad aceruum maiorem, ZADON, habere ratio-
nem compoſitam ex ea, quam habet compoſita ex {1/3}. ZP, &
{1/6}.
PG,
ad ZP, & ex ratione parallelepipedi ſub, DP, &
quadrato, PG, ad
parallelepipedum ſub, AQ, & his ſpatijs.
ſ.
quadrato, PQ, {1/2}.
qua-
drati, QZ, & rectangulo ſub ſexquitertia, ZQ, &
ſub, QP, dempto
ab eodem {1/6}. parallelepipedi ſub, AV, &
quadrato, QP:
Sic autem
erit etiam quodlibet ſolidum ſimilare genitum ex fruſto minori,
DPG, ad ſibi ſimilare genitum ex figura, CAZP, Prop. 46.
dem-
pto ſolido ſimilari genit o ex trilineo, ACD, iuxta communem re-
gulam, ZG.
N Propoſitione 50.
de figura Propoſit.
46.
ſumatur fruſtum
minus parabolæ, quod eſt, DGP, quodque ſecatur per rectam,
piantur inſuper duæ integræ, ZG,
SI, & vt fiat noſtrum exemplum,
reuoluatur, DPG, fruſtum circa
manentem axim, DP, vt ex, DPG,
ſiat aceruus minor, RDG, & ex,
DTI, eius fruſtum, YDI, patet er-
go ex hoc Theorem. aceruum mi-
norem, RDG, ad reſectum fruſtum, YDI, habere rationem com-
poſitam ex ea, quam habet rectangulum, ZPG, cum {1/2}. quadrati,
quadrati, TI, &
ex ea, quam
habet quadratum, PG, ad quadratum, TI. Vt etiam erit quod-
libet ſolidum ſimilare genitum ex fruſto minori parabolæ, quod
eſt, DPG, ad ſibi ſimilare genitum ex trilineo, DTI, iuxta com-
munemregulam, PG.
_P_Lurã alia poſſemus adbuc circa bac examinare, præcipuè ſolidita-
tem eius, quod produceretur, reuoluta parabola circ a baſim, vel
illi parallelam, ſine tangentem p arabolam, ſiue extra ipſam conſtitu-
tam, & proportionem eiuſdem ſegmentorum;
necnon, &
aliorum
corporum, quorun notitia tum ob ſpeculationem iucunda, tum in or-
dine ad praxim conſiderata, non inutilis etiam eſſe videtur, ſed bæe
alij; indaganda relinquam.
Hæc autem nunc delibaſſe ſufficiat.
OMNIA quadrata Hyperbol@, regu-
la ſumpta baſi ſcilicet vna ex ordi-
natim applicatis ad axim, vel diame-
trum eiuſdem, ad omnia quadrata
parallelogrammi in eadem baſi, &
altitudine cum ipſa, erunt vt linea
compoſita ex dimidia tranſuerſi la-
teris hyperbolæ, & diametri, vel
axis eiuſdem, ad compoſita n ex tranſucrſo latere, & axi,
vel dia netro eiuſdem: Eade n verò ad omnia quadrata
trianguli in eadem baſi, & altitudine cum ipſa erunt, vt cõ-
poſit@ ex ſexquialtera tranſuerſi lateris, & axi, vel diame-
tro eiuſdem, ad compoſitam ex tranſuerſo latere, & axi,
vel diametro eiuſdem.
Sitigitur hyperbola, DBF, in baſi, DF, cuius axis, vel diameter,
EB, & tranſuerſum latus, BO, bifariam diuiſum in, N, deſcribatur
vero paralielogrammũ, AF, in eadem altitudine, & baſi cum hy-
perbola, DBF, & nunc circa axim, vel diametrum, BE, circa quam
Dico ergo
omnia quadrata hyperbolæ, DBF, regu-
la, DF, ad omnia quadrata, AF, eſſe vt
compoſitam ex, NB, & {1/3}.
BE, ad, OE;
ad omnia verò quadrata trianguli, DBF,
eſſe vt compoſitam ex ſexquialtera, OB,
& ipſa, BE, ad, OE, ſumatur in, BE, vt-
cunq; punctum, M, &
per, M, ducatur,
MG, parallela ipſi, DF, ſecans curuam
hyperbolæ in, H. Eſt ergo quadratum,
MH, vt rectangulum, OEB, ad rectangu-
lum, OMB, eſt autem, BF, parallelogrã@
mum in eadem altitudine, & baſi cum ſemihyperbola, BEF, &
punctum, M, vtcunq; ſumptum, per quod acta eſtipſi, DF, pa-
rallela, MG, regula, DF, repertumque eſt, vt quadratum, GM, ad
quadratum, MH, ita eſſe rectangulum, OEB, ad rectangulum, O
tionales .ſ.
omnia quadrata, BF, magnitudines primi ordinis col-
lectæ iuxta primam .ſ.
iuxta quadratum, GM, ad omnia quadra-
ta ſernihy perbolæ, BEF, magnitudines ſecundi ordinis collectas
iuxta ſecundam .ſ.
iuxta quadratum, MH, erunt vt rectangula ſub
maximis abſciſſarum, BE, magnitudines tertij ordinis collectę iux-
ta tertjam .ſ.
iuxta rectangulum ſub, OE, EB, ad rectangula ſub
omnibus abſciſsis, EB, adiuncta, BO, & ſub omnibus abſciſsis, EB,
magnitudines quarti ordinis collectas iuxta primam, .ſ.
iuxta re-
ctangulum, OMB; verum rectangula ſub maximis abſciſſarum,
EB, adiuncta, BO, & ſub maximis abiciſſarum, EB, ad rectangula
ſub omnibus abſeiſsis, EB, adiuncta, BO, & ſub omnibus abſciſsis,
EB, recti, vel eiuſdem obliqui tranſitus, ſunt vt, OE, ad compoſi-
tam ex, NB, & {1/3}.
BE, ergo, conuertendo, omnia quadrara ſemi-
i.
omnia quadrata hyperbolæ, DBF, ad omnia quadrata, AF, etiam
ſi, AF, non eſſet circa axim, vel diametrum, BE, ſed tantum in ea-
dem altitudine cum hyperbola, DBF, erunt, vt compoſita ex {1/2}. O
B, & {1/3}.
BE, ad, OE.
Quoniam verò omnia quadrata, AF, ſunt tripla omnium qua-
OE, oſten-
ſum autem eſt omnia quadrata hyperbolæ, DBF, ad omnia qua-
drata, AF, eſſe vt compoſitam ex {1/2}. OB, &
{1/3}.
BE, ad, OE, ergo,
ex æquali, omnia quadrata hyperbolæ, DBF, ad omnia quadrata
trianguli, DBF, etiam ſi non eſſet circa axim, vel diametrum, BE,
ſed tantum in eadem altitudine cum hyperbola, DBF, erunt vt cõ. poſita ex {1/2}.
OB.
&
{1/3}.
BE, ad {1/3}.
OE, vel vt horum tripla .
i.
vt com-
poſita ex ſexquialtera, OB, & ipſa, BE, ad, OE, quod oſtendere
opus erat.
SI duæ ad axim, vel diametrum hyperbolæ ordinatim
applicatæ fuerint rectæ lineæ, hyperbolas conſtituen-
tes, ſit autem earum altera regula: omnia quadrata hyper-
bolæ ab vna earundem conſtitutæ ad omnia quadrata hy-
perbolæ per aliam conſtitutæ, erunt vt parallelepipedum
ſub compoſita ex ſexquialtera tranſuerſi lateris hyparbola-
rum dictarum, & ſub axi, vel diametro hyperbolæ primò
dictæ, & ſub quadrato eiuſdem axis, vel diametri ad pa-
rallelepipedum ſub compoſita ex eiuſdem tranſuerſi lateris
ſexquialtera, & axi, vel diametro hyperbolæ ſecundò di-
ctæ, & ſub quadrato eiuſdern axis, vel diametri.
Sint intra curuam hyperbolæ duæ vtcunq;
ad axim, vel diame-
trum, NE, ordinatim ductæ rectæ lineæ, HG, DF, hyperbolas, N
HG, NDF, conſtituentes, ſit autem earum altera, vt, DF, ſum-
pta pro regula, & tranſuerſum eorundem latus, NO, bifariam di-
uiſum in, B, cui in directum ſit adiecta, OX, æqualis dimidiæ, ON. Dico ergo omnia quadrata hyperbolæ, DNF, ad omnia quadra-
quadra-
to, EN, ad parallelepipedum ſub, XM, & quadrato, MN.
Fiant
ergo in baſibus, DF, HG, & circa axes, vel diametros, NM, ME,
parallelogramma, AF, CG: Omnia ergo quadrata hyperbolæ,
DNF, ad omnia quadrata hyperbolæ, HNG, habent rationem
compoſitam ex ea, quam habent omnia quadrata hyperbolæ, D
NF, ad omnia quadrata, AF, omnia quadrata, AF, ad omnia qua-
drata, CG, & omnia quadrata, CG, ad omnia quadrata hyperbo-
læ, HNG; ſed omnia quadrata hyperbolæ, DNF, ad omnia qua-
ON.
.
i.
ex, BN, &
{1/3}.
NE, ad,
ſ.
vt, XE, ad trip lam, OE.
Inſuper omnia
HG, ideſt rectangulum, OEN, ad rectagulũ,
OMN, .i.
horũ tripla, .
ſ.
rectangulum ſubtri-
, EN, ſola, ad rectã gulũ ſub tripla,
OM, & ſola, MN, &
ex rñe, EN, ad, NM;
tã-
dem omnia quadrata, CG, ad omnia quadra-
ta hyperbolæ, HNG, ſunt vt, OM, ad cõpo-
ſitam ex, BN, & {1/3}.
NM, .
i.
vt tripla, OM,
ad, MX, ideſt ſumpta, MN, communi alti-
tudine, vt rectangulũ ſub tripla, OM, & ſub,
MN, ad rectãgulũ ſub, XM, MN, ergo omnia
quadrata hyperbolæ, DNF, ad omnia qua-
drata hyperbolæ, HNG, habent rationem
compoſitam ex ea, quam habet, XE, ad tri-
plam, EO, .i.
ſumpta, EN, communi altitudine, ex ea, quam ha-
bet rectangulum, XEN, ad rectangulum ſub, NE, & tripla, EO, &
ex ea, quam habet rectangulum ſub tripla; OE, &
ſub, EN, ad re-
ctangulum ſub tripla, OM, & ſub, MN, &
rectangulum ſub tripla,
OM, & ſub, MN, ad rectangulum ſub, MN, &
MX, &
tandem ex
ea, quam habet, EN, ad, NM; porrò iſtæ rationes .
ſ.
quam habet
rectangulum ſub, XE, &, EN, ad rectangulum ſub tripla, OE, &
,
EN, item quam habet rectangulum ſub tripla, OE, &, EN, ad re-
ctangulum ſub tripla, OM, & MN, &
quam habet rectangulum
ſubtripla, OM, &, MN, ad rectangulum, XMN, conficiunt ratio-
nem rectanguli, XEN, ad rectangulum, XMN, quæ ſimul cum ra-
tione: quam habet, EN, ad, NM, conficit rationem parallelepipe-
di ſub, NE, & rectangulo, NEX, .
i.
ſub, XE, &
quadrato, EN, ad
rectangu o, NMX, .
i.
ſub, XM &
quadrato, MN, ergo omnia quadrata hyperbolæ, DNF, ad omnia
quadrata hyperbolæ, HNG, erunt vt parallelepipedum ſub, XE,
& quadrato, EN, ad parallelepipedum ſub, XM, &
quadrato, M
N, quod oſtendere oportebat.
IN eadem antecedentis figura, ſi producatur, HG, hinc
inde vſque ad curuam hyperbolicam, cui incidat in,
ON, &
{2/3}- NE, regula eadem, DF, retenta;
oſten-
demus?? omnia quadrata parallelogrammi, SF, ad om-
nia quadrata fruſti hyperbolæ, HDFG, eſſe vt rectangu-
lum, OEN, ad rectangulum ſub, OE, &, NM, vna cum re-
ctangulo ſub compoſita ex. No, &
. ME, &
ſub, ME;
Omnia verò quadrata trianguli, DMF, ad omnia quadra-
ta eiuſdem fruſti, HDFG, eſſe vt rectangulum, OEN, ad
rectangulum ſub, OE, & tripla, NM, vna cum rectangulo
ſub compoſita ex, NX, & ME, ſub, ME.
Sumatur in, ME, vtcunq;
punctum, L, &
per ipſum regulæ,
DF, parallela ducatur, LK, curuam hyp rbolicam in, I, ſecans;
LK, ad quadratum, LI, vt rectangulum,
OEN, adrectangulum, OLN; eſt autem
parallelogrammum, MF, in eadem baſi, &
altitudine cum figura, MGFE, punctum,
L, ſumptum eſt vt cunque, perq; ipſum re-
gulæ, DF, ducta parallela, LK, repertum
eſt, vt quadratum, KL, ad quadratum, LI,
ita eſſe rectangulum, OEN, ad rectangulũ,
OLN; quatuor ergo ordinum magnitudi-
nes conſtructæ iuxta has quatuor inuentas
magnitudines proportionales, erunt quoq; proportionales .
i.
omnia quadrata:
MF, ad
omnia quadrata figuræ, MGFE, quæ ſunt
magnitudines primi, & ſecundi ordinis conſtructæ iuxta primã, &
ſ.
iuxta quadratum, KL, &
quadratum, LI, erunt, vt
rectangula ſub maximis abſciſſarum, EM, adiuncta, MO, & ſub
maximis abſciſſarum, EM, adiuncta, MN, ad rectangula ſub om-
nibus abſciſsis, EM, adiuncta, MO, & ſub omnibus abſciſsis, EM,
adiuncta, MN, quæ ſunt magnitudines tertij, & quarti ordinis
collectæ iuxta tertiam, & quartam .
ſ.
iuxta rectangulum, OEN,
OLN; verum rectangula ſub maximis abſciſlarum, EM, adiuncta,
MO, & ſub eiſdem adiuncta, MN, ad rectangula ſub omnibus ab-
ſciſsis, EM, adiuncta, MO, & ſub ijſdem adiuncta, MN, omnibus
OEN, ad rectangulum ſub, OE, &, NM, vna cum rectangulo ſub
compoſita ex {1/2}. ON, &
{1/3}.
ME, &
ſub, ME, ergo omnia quadra-
ta, MF, ad omnia quadrata figuræ, GMEF, vel horum quadru-
pla .i.
omnia quadrata, SF, ad omnia quadrata fruſti, HDFG,
, NM,
vna cum rectang. ſub compoſita ex {1/2}.
ON, &
{1/3}.
ME, &
ſub, ME.
Quia verò omnia quadrata trianguli, DMF, ſunt {1/3}.
omnium
vt {1/3}. rectanguli, OEN, ad rectangulum ſub, OE, &
, NM, vna cũ
rectangulo ſub compoſita ex {1/2}. ON, &
{1/3}.
ME, &
ſub, ME, vel vt
horum tripla .i.
vt rectangulum, OEN, ad rectangulum ſub, OE,
& tripla, NM, vna cum rectangulo ſub compoſita ex ſexquialte-
ra, ON, .i.
ex, NX, &
ON, &
{2/3}.
NE, &
ſub, ME, quę oſtendere opus
erat.
IN eadem antecedentis figura productis, CH, RG, ver-
ſus baſem, DF, cui incidant in, PQ, regula eadem re-
tenta, oſtendemus omnia quadrata, SF, ad omnia quadra-
ta fruſti, HDFG, demptis omnibus quadratis, HQ, eſſe vt
rectangulum, OEN, ad rectangulum ſub, EM, & ſub com-
poſita ex {1/3}. EM, integra, MN, &
{1/2}.
NO:
Omnia verò quadra-
ta trianguli, DMF, ad eadem eſſe oſtendemus, vt rectang. OEN, ad rect.
ſub compoſita ex, EX, dupla, NM, &
ſub, ME.
Omnia .
n.
quadrata, SF, ad omnia qu adrata fruſti, HDFG
rectangulum ſub, OE, & NM, vna cum,
rectangulo ſub compoſita ex {1/2}. ON, &
{1/3}.
ME, &
ſub, ME:
Omnia verò quadrata-
SF, ad omnia quadrata, HQ, ſunt vt qua
dratum, DF, ad quadratum, PQ, vel ad
i.
vt rectangulum, OEN,
ad rectangulum, OMN, ergo eadem ad re-
GF, demptis omnibus quadratis, HQ, e-
runt vt rectangulum, OEN, ad reliquum,
dempto rectangulo, OMN, à rectangulis
ſub, OE, MN, & ſub compoſita ex {1/2}.
ON,
& {1/3}.
ME, &
ſub, ME, eſt autem rectangu-
ſub, EM,
MN, ergo dempto rectangulo, OMN, à rectangulo ſub, OE, MN,
remanet rectangulum, EMN, ad quod vna cum rectangulo ſub
compoſita ex {1/2}. ON, &
{1/3}.
ME, &
ſub, ME, ipſum rectangulum
OEN, erit vt omnia quad. SF, ad omnia quad.
fruſti, HDFG, dẽ-
N, cum rectangulo ſub, EM, & iub compoſita ex {1/3}.
EM, &
{1/2}.
N
O, rectangulo ſub, EM, & ſub compoſita ex {1/3}.
EM.
integra, MN,
& {1/2}.
NO, ergo omnia quadrata, SF, ad omnia quadrata fruſti, D
HGF, demptis omnibus quadratis, HQ, erunt vt rectangulum,
OEN, ad rectangulum ſub, EM, & ſub compoſita ex {1/3}.
EM, in-
tegra, MN, & {1/2}.
NO.
Omnia verò quadrata trianguli, DMF, ad eadem erunt, vt {1/3}.
rectanguli, OEN, ad rectangulum ſub, EM, &
ſub compoſita ex
{1/3}. EM, integra, MN, &
{1/2}.
NO, .
i.
vt totum rectangulum ſub, O
EN, ad rectangulum ſub, EM, & ſub compoſita ex, EM, tripla,
MN, &, NX, .
i.
ſub, EM, &
ſub compoſita ex, EX, &
dupla, MN,
quæ oſtendenda erant.
IN eadem figura, regula eadem retenta, oſtendemus om-
mnia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyper-
bolæ, DNF, ad omnia quadrata, SF, demptis omnibus
quadratis fruſti, HDFG, eſſe vt parallelepipedum ſub cõ-
poſita ex ipſa, XE, EN, & ſub quadrato, NE, ad parallele-
pipedum ſub compoſita ex eadem, XE, & cum, EN, NM,
& ſub quadrato, ME.
Quia enim omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata hyperbo-
ON, &
{1/3}.
NE, ideò
per conuerſionem rationis, & conuertendo omnia quadrata, AF,
demptis omnibus quadratis hyperbolæ, DNF, ad omnia quadra-
ta, AF, erunt vt compoſita ex {1/2}. ON, &
{2/3}.
NE, ad, OE, .
i.
ſum-
pta, NE, communialtitudine, vt rectangulum ſub compoſita ex
{1/2}. ON, &
{2/3}.
NE, &
ſub, NE, ad rectangulum, OEN.
Quoniam
verò omnia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyperbo-
læ, DNF, ad omnia quadrata, SF, demptis omnibus quadratis
fruſti, DHGF, habent rationem compoſitam ex ea, quam habent
omnia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyperbolæ, D
i.
ex ea, quam habet rectangulum
ſub compoſita ex {1/2}. ON, &
{2/3}.
NE, &
ſub, N E, ad rectangu-
lum, NEO; &
ex ratione, quam habent omnia quadrata,
AF, ad omnia quadrata, SF, ideſt ex ea, quam habet, NE,
ad, EM, & tandem ex ea, quam habent omnia quadrata, SF,
bolæ, DNF, ad omnia quadrata, SF, demptis omnibus quadra-
tis fruſti, HDFG, habebunt rationem compoſitam ex ea, quam
habet rectangulum ſub compoſita ex {1/2}: ON, &
{2/3}.
NE, &
ſub, N
E, ad rectangulum, NEO, & ex ea, quam habet, NE, ad, EM,
& ex ea, quam habent omnia quadrata, SF, ad omnia quadrata,
FG. Quoniam autem omnia quadrata,
SF, ad omnia quadrata fruſti, HDFG, sũt
vt rectã gulum, OEN, ad rect. ſub OE, NM,
cum'rectãg. ſub compoſita ex {1/2}.
ON, &
{1/3}.
ME, &
ſub, ME, ideò oĩa quadrata, SF, ad
reſiduum, daptis omnibus quadratis fruſti,
HDFG, erunt vt rectangulum, OEN, ad
reſiduum, demptis à rectangulo, OEN, re-
gulo ſub compoſita ex {1/2}. ON, &
{1/3}.
ME,
& ſub, ME;
ſi igitur à rectangulo, OEN,
dempſeris rectangulum ſub, OE, MN, re-
manebit rectangulum ſub, OE, EM, rur-
ſus ſi à rectangulo ſub, OE, EM, dempſeris rectangulum ſub com-
poſita ex {1/2}. ON, &
{1/3}.
ME, &
ſub, ME, .
i.
ſi dempſeris rectangu-
lum ſub, OB, &, ME, remanebit rectangulum ſub, BE, EM, à quo
ſi adhuc auferas rectangulum ſub {1/3}. ME, &
ſub, ME, .
i.
{1/3}.
qua-
drati, ME, habebimus rectangulum, BEM, dempto {1/3}. quadrati,
ME, ad quod rectangulum, OEN, erit vt omnia quadrata, SF, ad
ſui reliquum, demptis omnibus quadratis fruſti, HDFG, ergo om-
nia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyperbolæ, DNF,
ad omnia quadrata, SF, demptis omnibus quadratis fruſti, HDF
G, habebunt rationem compoſitam ex his rationibus .ſ.
ex ea, quã
habet rectangulum ſub compoſita ex {1/2}. ON, &
{2/3}.
NE, &
ſub, NE,
ad rectangulum, OEN, & ex ratione, NE, ad, EM, &
ex ea, quam
habet rectangulum, OEN, ad rectangulum, BEM, dempto {1/3}. qua-
drati, ME; harum autem iſtæ duæ, quam .
ſ.
habet rectangulum
ſub compoſita ex {1/2}. ON, &
{2/3}.
NE, &
ſub, NE, ad rectangulum,
OEN, & quam habet rectangulum, OEN, ad rectangulum, BEM,
dempto {1/3}. quadrati, ME, conficiunt rationem rectanguli ſub com.
poſita ex {1/2}.
ON, &
{2/3}.
NE, &
ſub, NE, ad rectangulum, BEM
dempto {1/3}. quadrati, ME, vel, his triplicatis, conficiunt rationem'
rectanguli ſub compoſita ex tribus, BN, .ſ.
ex, NX, &
ter {2/3}.
NE,
.ſ.
dupla, NE, .
ſ.
ſub compoſita ex, NE, &
, EX, &
ſub, NE, ad
rectangulum ſub tripla, BE, & ſub, EM, demptis {3/3}.
ideſt integro
X, & dupla, EN, ſi a rectangulo ſub compoſita ex, EX, &
dupla,
EN, & ſub, EM, abſtuleris quadratum, ME, .
i.
rectangulum ſub,
MF, &, ME, remanebit rectangulum ſub compoſita ex ipſa, XE,
EN, NM, & ſub, EM, illas ergo tres componentes rationes in has
duas reſolutas habemus, ſcilicet in eam, quam habet rectangulũ
ſub, XEN, integra, & ſub, EN, ad rectangulum ſub integra, XE,
EN, NM, & ſub, ME, &
in eam, quam habet, NE, ad, EM, quæ
duæ rationes componunt rationem parallelepipedi ſub, NE, &
ſub rectangulo integræ, XEN, ductæ in, EN, ideſt parallelepipe-
quadrato, NE, ad parallelepipedum ſub,
ME, & rectangulo integræ, XE, EN, NM, ductæ in, ME, .
i.
ad
parallelepipedum ſub integra, XE, EN, NM, & quadrato, ME,
ergo omnia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyperbo-
læ, DNF, ad omnia quadrata, SF, demptis omnibus quadratis
fruſti, HDFG, erunt vt parallelepipedum ſub integra, XEN, &
quadrato, NE, ad parallelepipedum ſub integra, XE, EN, NM,
& quadrato, ME, quod erat oſtendendum.
A Data hyperbola portionem abſcindere per lineam
ad eiuſdem axim, vel diametrum ordinatim appli-
catam, cuius omnia quadrata, regula propoſitæ hyperbo-
læ baſi, ad omnia quadrata trianguli in eadem baſi, & cir-
ca eundem axim, vel diametrum cum portione, ſiue hyper-
bola abſciſſa, exiſtentis, habeant datam rationem, quam
oportet eſſe quidem maioris inæqualitatis, ſed tamen mi-
norem ſexquialtera.
Sit ergo data hyperbola, FEG, cuius axis, vel diameter, E M &
larus tranſuerſum, CE, cuius ſit, AE, ſexquialtera, baſis, & regu-
la, FG, data ratio, quam habet, HR, ad, RL, maioris inæquali-
tatis, ſed minor ſexquialtera, oportet ergo ab hyperbola, FEG,
per lineam ad, EM, ordinatim applicatam .i.
baſi, fiue regulæ,
FG, parallelam, portionem, ſiue hyperbolam abſcindele, cuius
omnia quadrata ad omnia quadrata trianguli in eadem baſi, &
circa eundem axim, vel diametrum cum ipſa habeant rationem,
quam habet, HR, ad, RL; quia ergo ratio, HR, ad, RL, eſt mi-
nor ſexquialtera, erit minor ea, quam habet, AE, ad, EC, & etiã
AC, ad, CE, eandem ergo, quam
habet, HL, ad, LR, habebit, AC, ad
maiorem, CE, ſit illa, CO, & per,
O, ducatur, SV, parallela ipſi regu-
læ, FG, iunganturque, SE, EV: Om-
nia ergo quadrata hyperbolæ, SEV,
ad omnia quadrata trianguli, SEV,
ſunt vt, AO, ad, OC, quia verò, AC,
ad, CO, eſt vt, HL, ad, LR, compo-
nendo, AO, ad, OC, erit vt, HR, ad,
RL, ergo omnia quadrata hyperbo-
læ, SEV, ad omnia quadrata triangu-
li, SEV, erunt vt, HR, ad, RL, .i.
in
ratione data, quod facere opus erat.
SI circa datam hyperbolam deſcribantur aſymptoti,
eiuſdem autem baſis vſq; ad aſymptotos producatur,
quæ ſumatur pro regula: O nnia quadrata hyperbolæ ad
omnia quadrata trianguli aſymptotis, & baſi comprchen-
ſi, habebunt rationem compoſitam ex ea, quam habet
quadratum baſis hyperbolæ ad quadratum baſis trianguli,
& ex ea, quam habet rectangulum ſub compoſita ex ſex-
quialtera tranſuerſi lateris, & axi, vel diametro datæ hy-
perbolæ, ſub eodem axi, vel diametro, ad rectangulum
ſub compoſita ex tranſuerſo latere, & axi, vel diametro
eiuſdem hyperbolæ; &
ſub compoſita ex {1/2}.
tranſuerſi late-
ris, & eodem axi, vel diametro.
Sit igitar data hyperbola, cuius baſis, SX, circa axim, vel dia-
metrum, OV, cuius tranſuerſum latus ſit, BO, bifariam in C, di-
uiſum, ſit autem illi in directum adiuncta, AB, æqualis, BC, de-
inde ducta per, O, tangente hyperbolam, quæ ſit, ED, cui erit
parallela baſis, SX, abicindantur, EO, OD, ita vt quadratum, E
O, & quadratum, OD, ſeorſim ſint æqualia quartæ parti rectan-
guli ſub, BO, latere tranſuerſo, & ſub eiuſdem recto latere, ſi ergo
iunctis, CE, CD, ipsæ producantur indefinitè verſus baſim, SX,
Dico igitur omnia quadrata hyperbolę,
SOX, ad omnia quadrata trianguli, HCR, habere rationem com-
SX, ad quadratum, HR, & rectangulũ,
AVO, ad rectangulum, BVC, inngan-
tur, OS, OX: Omnia ergo quadrata hy-
guli, HCR, habent rationem compoſi-
tam ex ea, quam habent omnia quadra-
ta hyperbolæ, SOX, ad omnia quadra-
ta trianguli, SOX, .i.
ex ea, quam Habet,
AV, ad, VB, & ex ea, quam habent om-
nia quadrata trianguli, SOX, ad omnia
quadrata trianguli, HCR, quæ eſt com-
poſita ex ea, quam habet quadratum, S
ex ea, quam
habet, OV, ad, VC, habemus ergo has tres rationes componen-
tes rationem, quam habent omnia quadrata hyperbolæ, SOX, ad
omnia quadrata trianguli, HCR, ſcilicet eam, quam habet qua-
dratum, SX, ad quadratum, HR, & quam habet, AV, ad, VB, &
tandem, quam habet, OV, ad, VC, harum autem iſtæ duæ .ſ.
quã
habet, AV, ad, VB, &, OV, ad;
VC, componunt rationem rectã-
guli, AVO, ad rectangulum, BVC, ergo omnia quadrata hyper-
bolæ, SOX, ad omnia quadrata trianguli, HCR, habent rationẽ
compoſitam ex ea, quam habet quadratum, SX, ad quadratum,
HR, & rectangulum, AVO, ad rectangulum, BVC, quod oſten-
dere opus erat.
IN eadem anteced.
figura, regula eadem, retenta, oſten-
demus (ducta intra hyperbolam, SOX ipſa, IY, occur-
rente aſymptotis, CH, CR, in, T, P,) omnia quadrata tra-
pezij, THRP, ad omnia quadrata fruſti hyperbolæ, ISXY,
eſſe in ratione compoſita ex ea, quam habet rectangulum
ſub, GP, VR, cum .quadrati, PM, ad quadratum, VX, &
ex ea, quam habet rectangulum, BVO, ad rectangulum
ſub, BV, OG, vna cum rectangulo ſub compoſita ex .BO,
& {1/3}.
GV, &
ſub, GV.
Ducantur per puncta, X, R, XN, RM, rectæ lineæ parallelæ
axi, vel diametro hyperbolæ, OV, occurrentes, TP, productæ, in,
N, M: Omnia ergo quadr.
trapezij, GPRV, ad omnia quadrata
quadlilinei, GVXY, habent rationem compoſitam ex ea, quam
habent omnia quadrata trapezij, PGVR, ad omnia quadrata,
GR, .i.
ex ea, quam habet rectangulum ſub, PG, VR, cum {1/3}.
qua-
drati, PM, ad quadratum, VR, & ex ea, quam habent omnia qua-
drata, GR, ad omnia quadrata, GX, ideſt ex ea, quam habet qua-
dratum, RV, ad quadratum, VX; quæ duæ rationes componunt
GP, VR, cum {1/3}. quadrati, PM, ad qua
&
tandem ex ea, quam ha-
bent omnia quadrata, GX, ad omnia
quadrata, GYXV, .i.
ex ea, quam habet
BV, GO, vna cum rectangulo ſub com-
poſita ex {1/2}. BO, &
{1/3}.
GV, &
ſub, GV,
ad omnia quadrata quadrilinei, YGVX,
vel eorum quadrupla .i.
omnia quadrata
trapezij, THRP, ad omnia quadrata fru-
ſti, ISXY, habebunt rationem compoſi
quam habet rectangulum ſub,
GP, VR, cum {1/3}. quadrati, PM, ad quadratum, VX, &
ex ea, quã
habet rectangulum, BVO, ad rectangulum ſub, BV, GO, vna cum
rectangulo ſub compoſita ex {1/2}. BO, &
{1/3}.
GV, &
ſub, GV, quod
oſtendere opus erat.
VIſa adhuc anteced.
figura, exponemus aliter rationẽ
ibi adinuentam tantummodo compoſitam ex dua-
bus, ad vnam ſolum eandem reducentes, probando .ſ.
om-
nia quadrata trianguli, HCR, regula eadem, HR, retenta
ad omnia quadrata hyperbolæ, SOX, eſſe vt cubus, CV,
eſt ad parallelepipedum ter ſub, CO, & quadrato, OV,
cum cubo, OV.
Nam vt in ſupradicta Propoſit.
oſtenſum eſt, omnia quadrata
do, habent rationem compoſitam ex ea, quam habet quadratũ,
rectangulum, BVC, ad rectangulum:
AVO, quæ eſt compoſita pariter ex duabus .
ſ.
ex ea, quam habet,
ex ea, quam habet, BV, ad, VA, vt autem, BV,
ad, VA, ſic eſt, ſumpta, OV, communi altitudine, rectangulum,
BVO, ad rectangulum, AVO, quodſerua. Sumatur nunc harum
rationum componentium ea, quam habet quadratu, HR, ad qua-
dratum, SX, quæ eſt eadem el, quam habet quadratum, HV, ad
quadratũ, HV, ſuperat rectang. HSR, &
quia rectangul.
HSR, eſt
æquale quadrato, EO, ideò, vt quadratum, HV, ad rectaugulum,
ita
erit quadratum, VC, ad quadratum, CO, quia triangula, CEO,
CHV, ſunt ſimilia, ergo, per conuerſionem rationis, quadratum,
HV, ad exceſſum ſui ſuper quadratum, EO, .ſ.
ad quadratum, VS,
erit vt quadratum, VC, ad exceſſum ſui ſuper quadratum, CO, .i.
ad rectangulũ bis ſub, CO, OV, cum quadrato, OV, .
i.
ad rectan-
gulum ſemel ſub, BO, OV, cum quadrato, OV, .i.
ad integrum
rectangul@, BVO; erit ergo, vt quadratum, HV, ad quadratum,
VS, ita quadratum, CV, ad rectangulum, BVO, hæc ergo ratio,
quam nempè habet quadratum, CV, ad rectangulum, BVO, ſum-
pta vice eius, quam habet quadratum, HV, ad quadratum, VS,
vel quadratum, HR, ad quadratum, SX, (quæ erat vna rationum
componentium) componit rationem omnium quadratorum triã-
guli, HCR, ad omnia quadrata hyperbolæ, SOX, ſimul ſumpta
cum ea, quam habet rectangulum, BVO, ad rectangulum, AVO,
& cum ea, quam habet, CV, ad, VO;
harum autem trium rationũ
componentium ea, quam habet quadiatum, CV, ad rectangulum,
BVO, & quam habet hoc rectangulum, BVO, ad rectangulum,
AVO, componunt rationem quadrat, CV, ad rectangulum, AV
O, illas ergo tres in has duas rationes reiolutas habemus .ſ.
in eam,
quam habea quadratum, CV, ad rectangulum, AVO, & in eam,
quam habet, CV, ad, VO, porro iſtæ duæ rationes componunt
rationem parallelepipedi ſub, CV, & quadrato, CV, .
i.
cubi, CV,
ad parallelepipedum ſub, OV, & rectangulo, AVO, .
i.
parallele-
pipedi ſub, AV, & quadiato, VO, .
i.
parallelepiped ſub, AO, &
quadrato, OV, cum cubo, OV, i. parallelepipedi ter ſub, CO, &
ergo omnia quadrata trianguli,
HCR, ad omnia quadrata hyperbolæ, SOX, erunt vt cubus, CV,
ad parallelepipedum ter ſub, CO, & quadrato, OV, cum cubo, O
V, quod oſtendere opus erat.
SI à centro hyperbolæ duæ intra aſymptotos eiuſdem
ductæ fuerint rectæ lineæ indefinitè productæ, agan-
tur autem intra curuam hyperbolicam parallelæ tangenti-
bus in punctis concurius ductarum linearum, & curuæ hy-
perbolicæ hinc inde ad eandem productæ, erunt iſtæ ba-
ſes hyperbolarum, quarum diametri, vel axes erunt por-
tiones ductarum à centro interceptæ inter ipſas, & earun-
dem hyperbolarum vertices: Dico autem omnia quadra-
ta vnius dictarum hyperbolarum, regula eiuſdem baſi, ad
omnia quadrata alterius regula quoq; huius baſi, habere
rationem compoſitam ex ratione rectanguli ſub compoſita
ex ſexquialtera tranſuerſi lateris hyperbolæ primò dictæ,
& axi, vel diametro eiuſdem, &
ſub compoſita extran-
ſuerſo latere, & axi, vel diametro hyperbolæ ſecundò di-
ctæ, ad rectangulum ſub compoſita ex ſexquialtera tran-
ſuerſi lateris hyperbolæ ſecundò dictæ, & axi, vel diame-
tro eiuſdem, & ſub compoſita ex tranſuerſo latere, &
axi,
vel diametro hyperbolæ primò dictæ; &
ex ratione paral-
lelepipedi ſub altitudine hyperbolæ primò dictæ, baſi ve-
rò, baſis eiuſdem quadrato ad parallelepipedum ſub alti-
tudine hyperbolæ ſecundò dictæ, baſiq; pariter eiuſdem
baſis quadrato.
Sit ergo hyperbolæ, ADC, vtcunq:
baſis, AC, centrum, E, per
quod intra eiuſdem aſymptotos, EY, EZ, ductæ ſint, FEDB, HE
VI, vtcunq; indefinitè productæ, ſit tamen altera earum diameter
iam expoſite hyperbolæ, pro alia hyperbola autem conſtituenda,
ducta pariter ſit vtcunq: intra curuam hyperbolicam, &
in eandẽ
hinc inde producta ipſa, OX, parallela tangenti curuam hyperbo-
licam in puncto, V, in quo ipſam, HI, ſecat. Dico ergo omnia
quadrata hyperbolæ, ADC, regula, AC, ad omnia quadrata hy-
perbolæ, OVX, regula, OX, habere rationem compoſitam (ſum-
ptis, EF, FM, æqualibus ipſi, ED, &, EH, HR, æqualibus ipſi,
EV,) ex ratione rectanguli ſub, MB, HI, ad rectangulum ſub, RI,
FB; &
ex ratione parallelepipedi ſub altitudine hyperbolæ, ADC,
baſi quadrato, AC, ad parallelepipedum ſub altitudine hyper
bolæ, OVX, baſi autem quadrato, OX. Nam omnia quadrata
hyperbolæ, ADC, regula, AC, ad omnia quadrata hyperbolæ,
OVX, regula, OX, (iunctis, AD, DC, OV, VX,) ſumptis medijs
C, OVX, habent rationem compoſitã
ex ratione omnium quadratorum hy-
perbolæ, ADC, ad omnia quadrata
i.
ex ratione, MB, ad,
BF, & ex ratione omnium quadratorũ
trianguli, ADC, ad omnia quadrata
ratione altitudinis trianguli, ADC, vel
hyperbolæ, ADC, ad altitudinem triã-
guli, OVX, vel hyperbolæ, OVX, & ex
ratione quadrati, AC, ad quadratum,
OX, & tandem eſt compoſita ex ratio-
VX, ad omnia quadrata hyperbolæ, O
VX, .i.
ex ea, quam habet, HI, ad, IR, harum autem rationum
ſ.
quam habet, MB, ad, BF, &
, HI, ad,
IR, componunt rationem rectanguli ſub, MB, HI, ad rectangulũ
ſub, RI, FB; aliæ autem duæ rationes componentes .
ſ.
quam ha-
bet altitudo hyperbolæ, ADC, ad altitudinem hyperbolæ, OVX,
& quam habet quadratum, AC, ad quadratum, OX, componunt
rationem parallelepipedi ſub altitudine hyperbolæ, ADC, baſi
quadrato, AC, ad parallelepipedum ſub altitudine hyperbolæ, O
VX, baſi quadrato, OX, ergo omnia quadrata hyperbolæ, ADC,
regula, AC, ad omnia quadrata hyperbolæ, OVX, regula, OX,
habent rationem compoſitam ex ratione rectanguli ſub, MB, HI,
ad rectangulum ſub, RI, FB, & ex ratione parallelepipedi ſub al-
titudine hyperbolę, ADC, baſi quadrato, AC, ad parallelepipe-
dum ſub altitudine hyperbolæ, OVX, baſi verò quadrato, OX,
quod oſtendere opus erat.
IN eadem antec.
figura, iuncta, DV, &
à puncto, X, ducta,
XP, parallela ipſi, DV, indefinitè producta, à puncto
autem, O, ipſa, OP, parallela ei, quæ tangeret hypeibo-
producta
occurrat ipſi, XP, in puncto, P, ſuppoſitoque, BD, eſſe
axim, oſtendemus omnia quadrata hyperbolæ, ADC, ad
rectangula omnia hyperbolæ, OVX, ſimilia rectangulo
ſub, XO, OP, habere rationem compoſit am ex ratione re-
ctanguli ſub, MB, HI, ad rectangulum ſub, RI, FB, & ex
tatione parallelepipedi ſub altitudine hyperbolæ, ADC,
& baſi quadrato, AC, ad parallelepipedum ſub altitudine
hyperbolæ, OVX, baſi aute m rectangulo ſub, XO, OP.
Nam omnia quadrata hyperbolæ, ADC, regula eadẽ, AC, ad oĩa
quadrata hyperbolę, OVX, regula, OX, oſtenſa ſunt habere ratio-
nẽ cõpoſitam ex ratione rectang. ſub, MB, HI, ad rectang.
ſub, RI,
FB, & parallelepipedi ſub altitudine hyperbolę, ADC, baſi quadr.
inſuper omnia quadra-
ta hyperbolę, OVX, ad rectangula
omnia eiuſdem hyperbolę ſimilia re-
ctangulo, XOP, regula, XO, ſunt vt
vnum ad vnum, ſcilicet vt quadratũ,
XO, ad rectangulum, XOP, .ſ.
ſumpta
communi altitudine eiuſdem hyperbo-
læ, OVX, altitudine, vt parallelepi-
pedum ſub altitudine hyperbolæ, O
VX, baſi quadrato, OX, ad parallele-
pipedum ſub eadem altitudine, baſi
autem rectangulo, XOP, ergo omnia
quadrata hyperbolę, ADC, regula,
AC, ad omnia rectangula hyperbolę,
OVX, ſimilia rectangulo, XOP, regu-
la, OX, erunt in ratione compoſita ex ratione rectanguli ſub, MB,
HI, ad rectangulum ſub, RI, FB, & parallelepipedi ſub altitudine
hyperbolę, ADC, & ſub quadrato, AC, ad parallelepipedum ſub
altitudine hyperbolę, OVX, baſi quadrato, OX, & ex ratione hui-
us parallelepipedi ad parallelepipedum ſub eiuſdem hyperbolę, O
VX, altitudine baſi rectangulo, XOP, quę duę vltimò dictę racio-
nes componunt rationem parallelepipedi ſub altitudine hyperbo-
lę, ADC, baſi quadrato, AC, ad parallelepipedum ſub altitudine
hyperbolę, OVX, baſi rectangulo, XOP, ergo omnia quadrata
hyperbolę, ADC, regula, AC, ad omnia rectangula hyperbolę,
compoſitam ex ea, quam habetrectangulum ſub, MB, HI, adre-
ctangulum ſub, RI, FB, & ex ea, quam habet parallelepipedum
ſub altitudine hyperbole, ADC, baſi quadrato, AC, ad parallele-
bipedum ſub altitudine hyperbole, OVX, baſi rectangulo, XOP,
quod erat demonſtrandum.
ASſumptis quibuſcunq;
hyperbolis, in vnaquaq;
re-
gula baſi, oſtendemus omnia quadrata vnius ad om-
nia quadrata alterius, habere rationem compoſitam ex ra-
tione rectanguli ſub compoſita ex ſexquialtera tranſuerſi
lateris, & axi, vel diametro hyperbolæ primò dictæ, &
ſub
compoſita ex tranſuerſo latere, & axi, vel diametro hyper-
bolæ ſecundò dictæ ad re ctangulum ſub compoſita ex trã-
ſuerſi lateris ſexquialtera, & axi, vel diametro hyperbolæ
ſecundò dictæ, & ſub compoſita ex tranſuerſo latere, &
axi
vel diametro hyperbolæ primò dictæ, & ex ratione paral-
lelepipediſub altitudine hyperbolæ primò dictæ, baſiau-
tem quadrato baſis eiuſdem, ad parallelepipedum ſub al-
t tudine hyp rbolæ ſecundò dictæ, baſi pariter quadrato
b ſis eiuſdem. Velſi comparentur omnia quadrata hy-
perbolæ primò dictæ, ad omnia rectangula hyperbolæ fe-
cundò dictæ ſimilia cuidam rectangulo, illa ad hæchabe-
buntrationem compoſitam exratione prædictorum rectã-
gulorum, & exratione parallelepipedi primò dictiad pa-
rallelepipedum ſub altitudine hyperbolæ ſecundò, dictæ
baſirectangulo, cuiomnia dicta rectangula ſunt ſimilia. Vel tandem ſi comparentur omnia rectangula primæ hy-
perbolæ ſimilia cuidam rectangulo ad omnia rectangula
ſecundæ hyperbolæ ſimilia pariter cuidam rectangulo, il-
la ad hæchabebunt rationem compoſitam ex ratione pa-
rallelepipedi ſub altitudine hyperbolæ primò dictæ baſi
rectangulo, cuiomnia eiuſdem rectangula ſunt ſimilia, ad
parallelepipedum ſub altitudine ecundæ hyperbolæ baſi
rectangulo, cuiomnia eiuſdem rectangula iam dicta ſunt
ex ratione, quæ in huius Theorematis ſupradi-
ctis caſibusinter illa duorectangula primò loco expoſita
fuit.
Sint aſſumptę quęcunq;
hyperbolę, BAD, HMQ, circa axes,
vel diametros, AC, MP, circa quas ſint quoq; triangula, BAD, H
MQ, & in baſibus, BD, HQ, latus autem tranſuerſum hyperbolę,
BAD, ſit, GA, cuius ſexquialtera, VA; &
larus tranſuerſum hy-
perbolę, HMQ, ſit, MX, cuius ſexquialtera, MR, ſint autem ex-
poſitæ duæ vtcunque rectæ lineæ, FY, EN. Dico omnia qua-
drata hyperbolę, BAD, regula, BD, ad omnia quadrata hyper.
la, HQ, habereratio-
nem compoſitã ex ea,
quam habet rectangu-
lum ſub, VC, XP, adre-
ctangulum ſub RP, C
G, & ex ea, quam ha-
bet parallelepipedum
ſub altitudinehyperbo-
lę, BAD, & ſub qua-
drato, BD, ad paralle-
lepipedum ſub altitu-
dine hyperbolę, HMQ,
baſi quadrato, HQ; quod oſtendemus ad
modum Propoſ. 10.
Si
verò comparentur om-
nia quadrata hyperbolæ, BAD, ad omnia rectangula hyperbolæ,
HMQ, ſimilia rectangulo ſub, HQ, EN, oſtendemus illa ad hæc
habere rationem compoſitam ex ratione primò dicta inter illa re-
ctangula, & ex ratione parallelepipedi ſub altitud ne hyperpolæ,
BAD, baſiquad ato, BD, ad parallelepipedum ſub altitudine hy-
perbolæ, HMQ, baſi rectangulo ſub, HQ, EN; hocq;
oſtende-
mus iuxta methodum Propol. antecedentis.
Sitandem compa.
rentur omnia rectangula hyperbolæ, BAD, ſimilia rectangulo ſub,
BD, FY, ad omnia rectangula hy perbolæ, HMQ, ſimilia rectan-
gulo ſub, HQ, EN, oſten demus propoſitum de his hoc pacto: Nã
omnia rectangula hyperbolæ, BAD, ſimilia rectangulo ſub, BD,
FY, ad omnia quadrata eiuſdem, BAD, ſunt vt rectangulum ſub,
BD, FY, ad?? quadratum, BD, .
i.
vt parallelepipedum ſub altitudi-
pipedum ſub eadem altitudine baſi quadrato, BD: pariter omnia
quadrata hyperbolæ, BAD, ad omnia rectangula hyperbolę, HM
Q, ſimilia rectangulo ſub, HQ, EN, habent rationem compofitã
ex ratione rectanguli ſub, VC, XP, ad rectangulum ſub, RP, GC,
& parallelepipedi ſub altitudine hyperbolæ, BAD, &
ſub quadra-
to, BD, ad parallelepipedum ſub altitudine hyperbolæ, HMQ,
bafi rectangulo ſub, HQ, EN, ergo, ex æquo, omnia rectangula
hyperbolæ, BAD, ſimilia rectangulo ſub, BD, FY, regula, BD, ad
omnia rectangula hyperbolæ, HMQ, ſimilia rectangulo ſub, HQ,
EN, regula, HQ, habebunt rationem compoſitam ex ratione re-
ctanguli, ſub, VC, XP, ad rectangulum ſub, RP, GC, & ex ratio-
ne parallelepipedi ſub altitudine hyperbolæ, BAD, baſi rectangu-
lo ſub, BD, FY, ad parallelepipedum ſub eadem altitudine, & baſi
quadrato, BD, & ex ratione huius parallelepipedi ad parallelepi-
pedum ſub altitudine hyperbolę, HMQ, baſi rectangulo ſub, HQ,
EN; .
i.
compoſitã ex ratione parallelepipedi ſub altitudine hy-
perbolę, ABD, baſi rectangulo ſub, BD, FY, ad parallelepipedum
ſub altitudine hyperbolę, HMQ, baſi rectangulo ſub, HQ, EN,
quę erant oſtend.
SImilium hyperbolarum omnia quadrata, regulis ea-
rum baſibus, ſunt in tripla ratione axium, vel diame-
trorum earundem.
Sint ſimiles hyperbolæ, BAD, HMQ, earum latera tranſuerſa,
GA, XM, quorum ſint ſexquialteræ, AV, MR, in directum axi-
bus, vel diametris, AC, MP, baſes, & regulæ ſint, BD, HQ.
Di-
co omnia quadrata hyperbolæ, BAD, ad omnia quadrata hyper-
bolæ, HMQ, eſſe in tripla ratione eius, quam habet, AC, ad, M
P, iungantur, BA, AD, HM, MQ. Quoniam ergo hyperbolæ
ſunt
anguli in clinationis, AC, ad, BD, & MP, ad, HQ, inter ſe æqua-
les, ergo triangula, BAD, HMQ, ſunt ſimilia, & ideo omnia qua.
drata eorundem, regulis ijſdem, erunt inter ſe in triplaratione la-
terum homologorum .i.
eius, quam habet, BD, ad, HQ, vel, AC,
ad, MP; quia verò quadratum, BC, ad rectangulum, GCA, eſt vt
hyperbolæ, BAD, rectum latus ad tranſuerſum .I.
vt rectum latus
I.
vt qua-
quia autem ratio, quam habet, BC, ad, CA, &
, BC, ad, CG, com-
item ra-
tio, quam habet, HP, ad, PM, &, HP, ad PX, componit rationem
gulum, MPX, harum
autem rationum com-
ponentium ea, quam
habet, BC, ad, CA, eſt
eadem, ei, quam ha-
bet, HP, ad, PM, ideò
reliquæ componentiũ
erunt eædem .ſ.
BC, ad
CG, erit vt, HP, ad, P
X, eſt autem etiam, A
C, ad, CB, conuerten. do, vt, MP, ad PH,
ergo, ex æquali, & con-
uertendo, GC, ad CA,
erit vt, XP, ad PM, &
diuidendo, GA, ad, A
C, erit vt, XM, ad MP, & antecedentium dimidia .
ſ.
VG, ad AC,
erit vt, RX, ad, MP, eſt autem eadem, VG, ad, GA, vt eadem, R
X, ad, XM, ergo, VG, ad, GC, erit vt, RX, ad, XP, & componen-
do, VC, ad, CG, erit vt, RP, ad PX, eſt autem, VC, ad, CG, vt om-
nia quadrata hyperbolæ, BAD, ad omnia quadrata trianguli, B
AD, &, RP, ad PX, vt omnia quadrata hyperbolę, HMQ, ad om-
nia quadrata trianguli, HMQ, ergo omnia quadrata hyperbolę,
drata hyperbolæ, HMQ, ad omnia quadrata trianguli, HMQ, &
permutando, omnia quadrata hyperbolę, BAD, ad omnia gua-
drata hyperbolę, HMQ, erunt vt omnia quadrata trianguli, BA
D, ad omnia quadrata trianguli, HMQ, .@.
in tripla ratione eius,
SIexponatur ſemiperbola, quæ per axem, vel diametrũ
integrę ſit abſciſſa, habens pro baſi dimidiam baſis
cta baſi, & axi, vel diametio, in angulo ab eiſdon comen-
to, ſumpta baſi pro regula: Omnia quadrata dicti paralle.
logrammi ad omnia quadrata trilinei extia hypeibolam
conſtituti, erunt vt idem parallelogran n@un ad ſuiieli-
quum ab eodem dempta ſemil yperbola, vna cum exceſſu,
quo dicta ſemihyperbola ſuperat. dicti parallel@ gram-
mi, cum {1/6}. parallelogrammi ſub targente hyperbolan, &
axis, vel diametri hyperbolæ ea poitione, ad quam teli-
qua ſit, vt integra axis, vel dian eter ad eiuſdem latus
tranſuerſum.
Sit ergo axis, vel diameter hyperbolę, BE, cuius
in angu-
lo, BED, ſub, BE, ED, conſticutum parallelogrã-
mum, GE, ſit autem, vt, EB, ad, BA, ita, EH, ad, H
B, & per, H, ducta, HM, parallela ipſi, ED, quę ſu-
matur, pro regula, ita vt ſit conſtitutum parallelo-
grammum ſub, HB, & ſub, BG, quæ erit tangens
hyperbolam in puncto, B. Dico gitur omnia qua-
drata, BD, ad omnia quadrata trilinei, BGD, eſſe
ut, BD, ad ſui reliquum, dempto ab eodem ſemihyperbola, BE
D, vna cum exceſſu, quo ipſa ſuperat {1/3}. dicti paralle ogran mi, B
D, cum {1/6}. B M.
Nam omnia quadrata, BD, ad rectangula ſub, B
D, & ſemihyperbola, BED, ſunt vt, BD, adiplam, BED, rectan-
BED, æquantur rectangulis ſub, BOD, B
ED, ſimul cum omnibus quadratis, BED, ergo omnia quadrata,
BD, ad rectangula ſub, BGD, BED, cum ommbus quadratis, BE
ſunt autem omnia quadrata, BD, ad
omnia quadrata, BED, vt, AE, ad compoſitam ex {1/2}. AB, &
{1/3}.
B
E, .i.
vt, BE, ad compoſitam ex {1/2}.
BH, &
{1/3}.
HE, quia, AE, BE,
proportionaliter diuiduntur in punctis, B, H, .i.
vt parallelogram-
BM, &
{1/3}.
HD, .
i.
vt, BD, ad
compoſitum ex {1/3}. BD, &
{1/6}.
BM, ergo omnia quadrata, BD, ad
rectangula ſub, BGD, BED, erunt vt, BD, ad exceſſum, quo ſe-
BD, cum {1/6}.
BM, erant autem omnia qua-
drata, BD, ad rectangula ſub, IGD, BED, vna cum ommb. qua-
dratis, BED, vt, BD, ad, BED, ergo omnia quadrata, BD, ad
rectangula bis ſub, BGD, BED, vna cum omnibus quadratis, BE
{1/3}. BD, cu-n {1/6}.
BM, ergo per conuerſionem rationis omnia qua-
drata, BD, ad omnia quadrata, BGD, erunt vt, BD, ad iui reli-
quum, ab eodem dempta ſemihyperbola, BED, & exceſſu, quo
eadem ſuperat {1/3}. BD, &
{1/6}.
BM, quod erat oſtendendum.
HAnc Propoſi@ionem appoſui, vt &
nonnullas alias inferius
quæ licet ſupponant quadraturam byperbolæ iam notam, vt &
ipſæ completè inteligantur, non inutiliter tamen aliqualiter ſcrriexi-
ſtimaui, vt ſi alicuius ind uſtria illius quadratura in lucem prodeat,
illico & bic appoſita nota fiant;
vel è conuersò, vt per bæc aliquan-
do adinuenta ſtacim illius quadr atura nobis inoteſcat; vade cumſcie-
mus, quam rationem habeat, BD, ad ſemihyperbolam, BED, appreben-
demus ſtatim, quam rationem babeant omnia quadrata, BD, ad omnia
quadrata trilinei, BGD: Vel è contra, ſi quando notificabimus, quam
rationem babeant omnia quadrata, BD, ad omnia quadrata trilinei,
BGD, ſtatim compertum babebimus, quam rationembabeat, BD, ad
ſemibyperbolam, BED, & eius quadratura notareddetur.
SI parallelogrammum, &
hyperbola fuerint in eadem
baſi, & circa eundem axim, vel diametrum, regula
baſi. Omnia quadrata dicti parallelogrammi ad omnia
quadrata figuræ compoſitæ ex hyperbola, & alterutro tri-
lineorum extra hyperbolam conſtitutorum, demptis om-
nibus quadratis aſſumpti trilinei, eruut vt dictum paral-
lelogramum ad inſcriptam hyperbolam.
Sit hyperbola, CBD, in baſi, CD,
latus tranſuerſum, AB, in eadem au-
tem baſi, CD, & circa eundem axim,
vel diametrum, BE, ſit parallelogrã-
mum, FD, regula verò, CD. Dico
ergo omnia quadrata, FD, ad omnia
quadrata ſiguræ, GBCD, demptis
omnibus quadratis trilinei, BGD, al-
terutrius ex duobus, BFC, BGD, ef-
qualem poſtulat Prop. 29.
Lib.
3.
eſt enim, BE, communis axis,
vel diameter, FD, parallelogrammi, & hyperbolæ, CBD, vnde
patet propoſitum.
IN eadem anteced.
Prepoſ.
figura, ſi producatur, CD,
vtcunq; in, M, &
compleatur parallelogrammum, HC,
regula, CM: Omnia quadrata, FM.
demptis omnibus qua-
dratis, GM, ad omnia quadrata figuræ, HBCM, dem-
ptis omnibus quadratis figuræ, HBDM, erunt vt, FD, ad
hyperbolam, CBD.
Patet hoc Theor.
nam, CBD, eſt ſigura, qualem poſtulat Prop.
30.
Lib.
3.
quia, BE, eſt communis ax@s, vel diameter, parallelo-
grammi, FD, & hyperbolæ, CBD, vnde, &
c.
_H_Inc babetur omnia quadrata, FD ad omnia quad ſigura, GBCD,
demptis omnibus quadratis trilmet, BGD, eſſe vt omnia qua-
drata FM, demptis omnibus quadratis, GM, ad omnia quadrata figu-
ræ, HBCM, demptis omnibus quadratis ſig. HBDM, quia vtraq;
ſunt,
vt, FD, ad byperbolam, CBD.
IN eadem Prop.
15.
figura ſi intelligamus ductam vt-
cunq; axi, vel diametro, BE, parallelam, RS, fiat au-
tẽ, vt oia quad FE, ad oia q uad. ſemihyperb BCE, regula,
CD, .i.
vt, AE, ad compoſitam ex.
AB, &
BE, ita quadra-
tum, CE, ad quadratum, EI, & vt FE, ad ſemihyperbolã,
BCE, ita eſſe ſupponatur, CE, ad, EV, vbicunq; cadatpũ-
ctum, V. Dico omnia quadrata, FS, ad omnia quadrata
figuræ, RBCS, regula, CD, eſſe vt quadratum, CD, ad
quadratum, SE, quadratum, EI, & rectangulum bis ſub,
VE, ES.
Omnia .
n.
quadrata figuræ, RBCS, ſecantur per, BE, in omnia
inre-
ctangula bis ſub, BCE, & ſub, BS, ad horum ergo ſingula compa-
remus omnia quadrata, FS; hæcigitur ad omnia quadrata, BS,
ſunt vt quadratum, CS, ad quadratum, SE, pariter omnia qua-
drata, FS, ad omnia quadrata, FE, ſunt vt quadratum, SC, ad
quadratum, CE, omnia verò quadrata, FE, ad omnia quadrata,
nia quadrata, FS, ad omnia quadra-
ta, BCE, erunt vt quadratum, CS, ad
quadratum, EI; quodſerua.
Item
omnia quadrata, FS, ad rectangula
ſub, FE, ER, ſunt vt quadratum, C
S, ad rectangulum, CES, rectangula
ſub, BC
E, ER, ſunt vt, FE, ad, BCE, .i.
vt, C
E, ad, VE, .i.
ſumpta, ES, communi altitudine, vt rectangulum,
CES, ad rectangulum, VES, ergo, ex æquo, omnia quadrata, FS,
gulum, VES, ad eadem verò bis ſumpta, vt quadratum, CS, ad
rectangulum bis ſub, VES; ergo, conſequentibus ſimul collectis,
omnia quadrata, FS, ad omnia quadrata, BS, ad omnia quadra-
ta, BCE, & ad rectangula bis ſub, BCE, ER, ideſt ad omnia qua-
SE, quadratum, EI, & rectangulum bis ſub, VE, ES;
qua me-
thodo ſimiliter oſtendemus omnia quadrata, FD, ad omnia
quadrata figurę, GBCD, eſſe vt quadratum, CD, ad quadra-
tum, DE, quadratum, EI, & rectangulum bis ſub, VE, ED;
&
ſimiliter omnia quadrata, FM, ad omnia quadrata figuræ, HB
CM, eſſe vt quadratum, CM, ad quadratum, ME, quadratum,
EI, & rectangulum bis ſub, VE, EM, quod oſtendere opus erat.
IN eadem Prop.
15.
figura oſtendemus omnia quadrata
figuræ, HBCM, dempti omnibus quadratis figuræ, H
BDM regula eadem retenta, ad omnia quadrata figuræ,
GBCD, demptis omnibus quadratis trilinei, BGD, eſſe
vt compoſita ex, CM, MD, ad, DC.
Hoc Theorema demonſtrabitur methodo Sect.
2.
Collorarij
29. Prop.
33.
Lib.
3.
quod ſimiliter quacunq;
figura exiſtente, CB
D, dummodo, BE, ſit communis axis eius, &, FD, facilè collige-
mus.
IN eodem Prop.
15.
figura oſtendemus omnia quadrata
BCE, regula, CD, ad omnia quadrata figuræ, GBCD,
demptis omnibus quadratis trilinei, BGD, eſſe vt quadra-
tum, IE, ad rectangulum ſub, CD, & dupla, VE.
Nam omnia quadrata, BCE, ad omnia quadrata, FE, ſunt vt
quadratum, IE, ad quadratum, EC, item omnia quadrata, FE,
ad omnia quadrata, FD, ſunt vt quadratum, EC, ad quadratum,
tandem omnia quadrata, FD, ad omnia quad.
figuræ, GBC
D: demptis omnib.
quadratis trilinei, BGD, ſunt vt, FD, ad hyper-
bolã, CBD, .i.
vt, CE, ad, EV, velvt, CD, ad duplã, VE, vel vt qua-
dupla, VE, ergo, ex æqua-
li, omnia quadrata ſemihyperbolæ, BCE, ad omnia quadrata figu-
ræ, GBCD, dẽptis omnibus quadratis trilinei, BGD, eruntvt qua-
dratum, EL, ad rectangulum ſub, CD, & dupla, VE, quod erat de-
monſtrandum.
_O_Via ve ò omnia quadrata figuræ, GBCD, demptis omnibus qua-
d atis trilinei, BGD, ad mnia quadrata fig. HBCM, demptis om
nibus quadratis figuræ, BHMD, oſtenſa ſunt eſſe, vt, CD, ad, DMC, .i.
ſumpta communi altitudine dupla, VE, vt rectangulum ſub, CD, &
dupla, VE, ad rectangulum ſub, CMD, & dupla, VE, ideò etiam, ex
ptis omnibus quadratis figuræ, BHMD, erunt vt quadratum, EI, ad
vectungulum ſub, CMD, & dupla, VE.
_H_Aec, &
ſimilia poſſumus circa byperbolam, eiuſque portiones
contemplari, quorum plurima Lectoris induſtriæ ex aminanda
relinquo, tum ad nimiam prolixitatem euitandam, tum etiam; quia
bæc Tbeoremata minus fortè reliquis iucunda erunt, tum completa
ſi quis tamen adbuc voluerit aliacirca eandem contemplari, metbo-
dum tenere poterit Lib. 2.
&
3.
à me proſequutam, mibi verò poſt
byperbolarum ſpeculationem ad oppoſitas ſectiones, & coniugatas
Appolonij opportunè videtur tranſeundum.
SI ad axim, vel diametrum vtriuſq;
oppoſitarum ſectio-
num ordinatim applicentur rectæ lineæ in eaſdem
terminatæ, ita vt abſciſſæ per eaſdem ab axibu, vel dia-
metris verſus vertices ſint æquales erũt iſtæ applicatæ pa-
rallelogrammi oppoſita latera, quod parallelogrãmum ſi
compleatur, regula applicatarum altera ſumpta, omnia
quadrata parallelogrammi conſtituti ad reliquum, dem-
ptis ab ijſdem omnibus quadratis oppoſitarum hyperbo-
larum iam ſer dictas ordinatim applicatas conſtitutarum,
erunt vt rectangulum ſub compoſita ex tranſuerſo latere,
& axi, vel diametro alterutrius oppoſitarum hyperbola-
rum, & ſub compoſita ex hoc axi, vel diametro, &
.
tran-
ſuerſi lateris, ad rectangulum bis ſub . tranſuerſi lateris,
& ſum compoſita ex.
eiuſdem tranſuerſi lateris, &
axi,
vel diamerro alrerutrius oppoſitarum hyperbolarum, cum
{2/3}. quadrati eiuſdem axis, vel diametri.
Sint oppoſitæ ſectiones, AMC, BND, quarum latus tranſuer-
ſum ſit, NM, communis axis, vel diameter earundem, ad quam
hincinde productam ordinatim applicẽtur, BD, AC, in fectiones
terminatæ, abicindentes verſus vertices, NM, axes, vel diame-
tros, FN, ME, hyperbolarum, BND, AMC, (quas pariter oppo-
ſitas voco) quæ ſint inter ſe æquales, iunganturque, BA, DC, &
ſit, O, centrum oppoſitarum ſectionum, BND, AMC: Quoniam
ergo, FN, ME, ſunt æquales, erunt etiam æquales, BD, AC, &
ſunt equidiſtantes, quia ad eandem diametrum, velaxim, FE, ſunt
, BC,
parallelogrammum. Dico ergo (regula ſumpta altera applica-
tarum, AC, BD, vt, AC,) omnia quadrata, BC, ad reliquum eo-
rundem demptis omnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum,
BND, AMC, eſſe vt rectangulum, NEO, ad rectangulum, NOE,
quadrati, EM.
Ducanturper, M, O, puncta paralie
ſunt parallelogramma, TC, VC, VD: Omnia ergo quadrata pa.
rallelogrammi, VC, ad omnia quadrata hyperbolæ, AMC, ha
bent ratiíonem compoſtionem ex ea, quam habent omnia quadrata,
i.
exratione, OE, ad, EM, &
ex
ad omnia quadrata hyperbolę, AMC,
ideſt ex ea, quam habet, NE, ad cõ-
poſitam ex, OM, & {1/3}.
ME, iſtę duę
i.
quam habet, OE,
ad, EM, &, NE, ad compoſitam ex,
OM, & {1/3}.
ME, componuntrationem
rectanguli ſub, NE, EO, ad rectangu-
lum ſub, EM, & ſub compoſita ex, O
M, & {1/3}.
ME, ergo omnia quadrata,
VC, ad omnia quadrata hyperbolę,
AMC, ſunt vt rectangulum, NEO, ad
ſub compo-
ſita ex, OM, & {1/3}.
ME, quod eſt ęqua
le rectangulis ſub, OM, &, ME, &
ſub
{1/3}. ME, &
ſub, ME, .
i.
rectangulo, OME, cum {1/3}.
quadrati, ME;
qu
O, cum rectangulis bis ſub, EMO, ideò ſi ab his dempſeris ſemel
rectangulum, EMO, remanebit de quadrato, OE, rectangulum,
EMO, cum quadratis, EM, MO, rurſus ſi dempſeris {1/3}. quadrati,
EM, à quadrato, EM, remanebunt {2/3}. quadrati, EM, rectangulũ,
EMO, cum quadrato, MO, rectangulum verò, EMO, cum qua-
drato, OM, ęquatur rectangulo, EOM, vel, EON, quod collectũ
ſimul cum {2/3}. quadrati, EM, eſt reſiduum, quod remanet detracto
rectangulo, EMO, cum {1/3}. quadrati, EM, a quadrato, EO, ergo
detracto rectangulo, EMO, cum {1/3}. quadrati, EM, à quadrato, E
O, iuncto rectangulo, EON, .i.
à rectangulo, NEO, remanent
duo rectangula, NOE, cum {2/3}. quadrati, ME;
quia ergo oſtenſum
eſt omnia quadrata, VC, ad omnia quadrata hyperbolę, AMC,
eiſe vt rectangulum, NEO, ad rectangulum, OME, cum {1/3} qua-
drati, ME, ideò, per conuerſionem rationis, omnia quadrata, V
O, ad reliquum, demptis ab ijſdem omnibus, quadratis hyperbo-
lę, AMC, erunt vt rectangulum, NEO, ad rectangulum bisſub,
NOE, cum {2/3}. quadrati, EM.
Eodem pacto, ſi ducamus per, N,
D, in puncto, N, oſtendemus omnia quadrata, BS, ad reliquum,
demptis omnibus quadratis. hyperbolæ, BND, (ſumptis medijs
omnibus quadratis, BP,) eſſe vt rectangulum, MFO, ad rectangu,
lum bis ſub, MOF, cum {2/3}. quadrati, FN, .
i.
vt rectangulum, NE
O, ad rectangulum bis ſub, NOE, cum {2/3}. quadrati, EM, nam, E
M, eſt æqualis, NF, & ideò etiam, EN, ęqualis, MF, &
, EO, pa-
riter eſt æqualis ipſi, OF. Tandem vt vnum ad vnum, ita omnia
ad omnia .i.
vt omnia quadrata, BS, ad reliquum, demptis omni.
bus quadratis hyperbolæ, BND, .
i.
vt rectangulum, MFO, ad re-
ctangulum bis ſub, MOF, cum {2/3}. quadrati, FN, ita omnia qua-
drata, BC, adreliquum. demptis ab eiſdem omnibus quadratis hy-
perbolarum oppolitarum, AMC, BND, eſt autem, vt rectangu-
lum, MFO, ad rectangulum bis ſub, MOF, cum {2/3} quadrati, FN,
ita rectangulum, NOE, ad rectangulum bis ſub, NOE, cum {2/3}.
quadra @, EM, ergo omnia quadrata, BC, ad reliquum demptis
ab j@d@m omnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum, AMC,
BND, erunt vt rectangulum ſub, NEO, ad rectangulum bis ſub,
NOE, cum {2/3}. quadrati, ME, quod oſtendereopus erat.
SI, veluti in anteced.
ſit parallelogrammum habens op-
poſita latera, quæ ſint ad diametrum tranſuerſam op-
poſitaruin ſectionem ordinatim applicata, quæq; oppoſi-
tarum hyperbolarum ſint baſes, inſuper deſcribantur earũ
aſymptoti, & regula ſit latus tranſuerſum, conſtituti paral-
lelogra nmi omnia quadrata ad omnia quadrata figuræ,
quæ continetur lateribus parallelogrammi iam dicti, late-
ritranſuerſo parallelis, & portionibus oppoſitarum ſectio-
num inter eadem latera comprehenſis, erunt vt quadratũ
vniuſcuiuſuis laterum dicti para llelogrammi lateri tran-
ſuerſo æquidiſtantium ad quadratum lateris tranſuerſi,
vna cum. quadrati portionis dicti lateris eiuſdem paral-
lelogrammi, quæ inter aſymptotos incluſa manet.
Sint oppoſitæ ſectiones, FAD, EVC, quarum latus tranſuer-
ſum, AV, centrum, O, per quod tranſeant earum aſymptoti, YO
Prop.
conſſitutum paralle-
logrammum, FC, cuius oppoſita latera, FD, EC, ſint ad axim,
vel diametrum, AV, in eadem productam, órdinatim applica@a,
diftantes, ſint earum portiones
inter aſymptotos concluſæ, H
S, NY, regula ſit, AV. Dico
ergo omnia quadrata, FC, ad
omnia quadrata figuræ, FAD
CVE, ideſt figuræ concluſæ in-
ter latera, FE, DC, & oppoſi-
tarum ſectionum portiones in-
ter eadem manentes, quę ſunt,
FAD, EVC, eſſe, vt quadratũ,
DC, vel, FE, ad quadratum,
AV, cum {1/3}. quadrati, HS, vel,
NY. Per puncta ergo, O, V,
ducantur, XL, VP, ad ipſam,
AV, ordinatim applicatæ, erit
igitur, XL, ſecunda diameter,
&, VP, tanget ſectionem, EV
C. Quoniam ergo rectangulum, HCS, æquatur quadrato.
OV,
ideſt quadrato, LP, rectangulum verò, HCS, æquatur rectangu-
vna cum quadrato, SC, erit æquale quadrato, LP; eodem pacto
ſi intelligamus ipſi, LC, æquidiſſantem vtcunq; ductam intra pa-
rallelogrammum, OP, viq; ad ſectionem, VC, productam, oſten-
demus rectangulum bis ſub eius portionibus inter, OL, OS, & in-
ter, OS, & ſectionem, VC, concluſis, vna cum quadrato eius, quę
inter, OS, & ſectionem, VC, clauditur, æquari quadrato eius, quę
manet inter, OL, VP, & ſic de reliquis conſimihter ſumptis;
vnde
patebit tandem rectangula ſub trianguio, LOS, & figura, OVCS,
bis ſumpta, vna cum omnibus quadratis figuræ, CVCS, æquari
omnibus quadratis, OP, regula, AV, iam ſuppoſita, quia ergo
ZO, ad quadratum, OV, ideò pam
rectangula ſub triangulo, LOS, & figura, OVCS, bis, vna cum om-
nibus quadratis figuræ, OVCS, erunt vt quadratum, ZO, ad qua-
dratum, OV; quod ſerua.
Inſuper omnia quadrata, CO, ad omnia quadrata parallelogrã-
mi, SO, ſi compleretur, eſſent vt quadiatum, CL, ad quadratum,
omnium qua-
dratorum parallelogrammi, SO, ergo omnia quadrata, CO, ad
omnia quadrata trianguli, LOS, erunt vt quadratum, CL, ad {1/3}. quadrati, LS;
&
quontam oſtenſum eſt omnia quadrata, CO, ad
rectangula bis ſub triangulo, LOS, & figura, OVCS, vna cum
VCS, eſſe vt quadratum, ZO,
vel, CL, ad quadratum, OV,
ideò omnia quadrata, CO, ad
rectangula bis ſub triangulo,
LOS, & figura, OVCS, vna
com omnibus quadratis tum
figuræ, OVCS, tum trianguli,
i.
omnia quadrata, CO,
ad omnia quadrata figuræ, O
LCV, erunt vt quadratum, C
L, ad quadratum, OV, vna cũ
quadrati, LS, &
anteceden-
tium dupla .i.
omnia quadra-
ta, XC, ad omnia quadrata fi-
guræ, EVCLX, erunt vt qua-
dratum, CL, ad quadratum,
OV, cum {1/3}. quadrati, LS, &
adhuciſtorum quadrupla .ſ.
omnia quadrata, FC, ad omnia qua-
OV, vna cum {1/3}. quadrati, LS, vel vt iſſorum quadrup a, ſedicet.
vt quadratum, CD, ad quadratum, AV, vna cum {1/3}.
quadrati, H
S, vel, NY, quod oſtendere opus erat.
Dico omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figuræ, FADC
VE, eſſe vt quadratum, RZ, compoſitæ ex tranſuerſo latere, AV,
& axibus, vel diametris oppoſitarum hyperbolarum, FAD, EVC,
ad quadratum, AV, vna cum rectangulo ſub, AZ, & ſexquitertia,
ZV, Nam oſtenſum eſt eadem eſſe, vt quadratum, CL, vel, ZO,
ad quadratum, OV, cum {1/3}. quadrat, LS, &
quoniam rectangu-
lum, CSD, cum quadrato, SL, eſt æquale quadrato, CL, vel, ZO,
dratum, LS, erit æquale reliquo quadrati, ZO, dempto quadra-
to, DV, .i.
erit ælquale rectangulo ſub, OVZ, bis, vna cum qua-
drato, VZ, .i.
rectangulo ſub, AVZ, ſemel cum quadrato, VZ, .
i.
rectangulo ſub, AZV, &
ideò {1/3}.
quadrati, LS, erit æquale {1/3}.
re-
i.
erit æquale rectangulo ſub, AZ, &
{1/3}.
Z
V, & ideò omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figuræ, FAD
CVE, erunt vt quadratum, ZO, ad quadratum, OV, cum rectan. gulo ſub, AZ, &
{1/3}.
ZV, .
i.
vt horum quadrupla, nempè, vt qua-
dratum, RZ, ad quadratum, AV, cum rectangulo ſub, AZ, & {1/3}.
ZV, .i.
ſub, AZ, &
ſexquitertia, ZV, quæ ratio ſic proponebatur
explicanda, quæque, vt libet, retineri poterit.
_H_Inc patet quadratum dimidiæ eius, quælateri tranſuerſo op-
poſitarum ſectionum æquidiſtanter ducitur, ſubtenditurq; an-
gulo, qui deinceps eſt angulo ſub aſymptotis comprebenſo, ſectiones
continenti æquale eſſe rectangulo ſub compoſita ex latere tranſuerſo,
& axi, vel diametro alterutrius conſtitutarum hyperbolarum per or-
d natim applicatas à punctis, quibus dicta ſubtenſa incidit, producta,
ipſis oppoſitis ſectionibus, & ſub eodem axi, vel diametro, quod pa-
tet, veluti oſtenſum eſt quadratum, SL, æquari rectangulo, .AZV.
SI per vertices oppoſitarum ſectionum rectæ lineæ or-
dinatim ad eorum axim, vel diametrum applicentur
vſque ad aſymptotos productæ, quarum extrema ad eaſdé
partes ſumpta iungantur rectis lineis, iungenteſq; vſq;
ad
oppoſitas ſectiones producantur, erunt iſtæ parallelogrã,
mi oppoſita latera, quod parallelogrammum ſi complea-
tur, regula exiſtente latere tranſuerſo: Omnia quadrata
conſtituti parallelogrammi erunt ſexquialtera omnium
quadratorum figuræ comprehenſæ ſub lateribus dictipa-
rallelogrammi lateri tranſuerſo æquidiſtantibus, & ſub
oppoſitarum ſectionum portionibus inter eadem latera cõ-
cluſis: Omnia verò quadrata dictæ figuræ erunt quadru-
pla omnium quadratorum triangulorum, quiſub aſympto-
tis & ijſdem incluſis portionibus laterum parallelogram-
mi, tranſuerſo lateri æquidiſtantium continentur.
Sint oppofitæ fectiones, FAD, EVC, quarum latus tranſuer-
per puncta autem, AV, ſint ductæ ordinatim, NH, YP, productæ
vſq; ad aſymptotos, in punctis, N, H, Y, P, ipſis incidentes, quæ
fectiones tangent, deinde iunctis, NY, HP, producantur ipſæ tun-
ad ſectiones illis in punctis, F, E, C, D,
occurrentes, iunganturque, FD, EC, & per, O, ad
E, in, X, &, DC, in, L, quæ erit ſecunda diameter,
& producatur, AV, indeſinitè incidens ipſis, FD,
EC, in punctis, R, Z, erit ergo, FC, parailelogrã-
i.
rectangulum, E
NF, eſt æquale quadrato, AO, ideſt rectangulo, C
HD, item quadratum; NX, eſt æquale quadrato,
HL, & ideo rectangulum, ENF, cum quadrato, NX, .
i.
quadra-
i.
quadrato, LD, &
ideò, XF, erit æqualis ipſi, LD, &
eius dupla, F
E, æqualis duplæ, CD, & eidem parallela, vnde, FD, erit, EC,
parallela, & ambæ ordinatim ad axim, vel diametrum, RZ, or-
dinatim applicatæ, & ideò in, R, Z, bifatiam ſectæ, &
, FC, erit
parallelogrammum, ſitregula latus tranſuerſum, AV, Dico nũc
omnia quadrata parallelogrammi, FC, eſſe ſexquialtera omnium
&
hęc eſſe quadrupla omnium
quadratorum triangulorum, NOY, HOP; nam omnia quadrata,
FC, ad omnia quadrata figuræ, FADCVE, oſtenſa ſunt eſſe, vt
quadratum, DC, ad quadratum, AV, cum {1/3}. quadrati, HP, eſt
autem quadratum, HP, æquale quadrato, AV, & ideò ſunt, vt
quadratum, DC, ad quadratum, HP, cum {1/3}. quadrati, HP, vel vt
quadratum, RZ, ad quadratum, AV, cum, {1/3}. quadrati, AV.
Pro-
ducantur nunc aſymptoti, NP, HY, verſus, EC, cui productæ in-
cidant in S, I, eſt ergo rectangulum, SEI, æquale quadrato, YV,
i.
quadrato, EZ, &
ideò rectangulum, SEI, cum quadrato, EZ,
duplum eſt quadrati, EZ, vel quadrati, YV, eſt autem rectangulũ,
SEI, cum quadrato, EZ, ęquale quadrato, SZ, & ideò quadratũ,
SZ, duplum eſt quadrati, YV, eſt autem, vt quadratum, SZ, ad
quadratum, YV, ita quadratum, ZO, ad quadratum, OV, ergo
quadratum, ZO, erit duplum quadrati, OV, vel eorum quadru pla
.f.
quadratum, ZR, duplum quadrati, AV;
quia verò dictum eſt
omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figuræ, FADCVE, eſſe
vt quadratum, RZ, ad quadratum, AV, cum {1/3}. quadrati, AV, .
i.
vt quadratum, RZ, ad {1/3}.
quadrati, AV, &
eſt quadratum, RZ,
duplum quadrati, AV, ideò quadratum, RZ, erit {6/3}. quadrati, AV,
quadrati, AV,
erit vt {6/3}. ad {4/3}.
.
i.
vt 6.
ad 4.
.
i.
in ratione ſexquialtera, ergo omnia
quadriata, FC, ad omnia quadrata figurę, FADCVE, erunt in ra-
tione ſexquialtera.
Igitur conuertendo omnia quadrata figurę, FADCVE, ad om-
nia quadrata, FC, eruntin ratione ſubiexquialtera, .i.
vt 4.
ad 6.
ſunt autem omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata, NP, vt qua.
dratum, ZR, ad quadratum, AV, ideſt dupla .i.
vt 6.
ad 3.
&
om-
nia quadrata, NP, ſunt tripla omnium quadratorum triangulo-
rum, NYO, OHP, .i.
ſunt ad illa, vt 3.
ad 1.
ergo ex ęquali, omnia
quadrata figurę, FADCVE, ad omnia quad. triangulorum, NY
O, OHP, erunt vt 4. ad I.
.
1.
eorum quadrupla, quę erant oſten-
denda.
_Q_V oniam Verò in Propoſ.
antec.
oſtenſum eſt, ac in eius figura,
omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figuræ, F ADCVE, eſſe
Vt quadratum, DC, ad quadratum, AV, cum {1/3}. quadrati, HS, &
quia omnia quadrata, ZL, ad omnia quadratatrianguli, OSL, vel eo-
rum quadrupla .ſ.
omnia quadrata, RC, ad omnia quadrata trianguli,
SOH, oſtenſa ſunt eſſe, Vt quadratum, CL, ad {1/3}. quadrati, LS, vel Vt
quadratum, CD, ad @. quadrati, HS, &
ſic eorum dupla.
.
ſ.
Vt quadra.
tum, LC, ad {1/3}.
quadrati, SH ita omnia quadrata, FC, ad omnia qua-
drata triangulorum, NOR HOS, erant autem omnia quadrata, FC, ad
omnia quadrata figuræ, FADCVE, vt quadratum, DC, ad quadratum,
AV, cum {1/3}. quadrati, HS, ergo omnia quadrata, FC, ad reliquum,
demptis omnibus quadratis triangulorum, NOR, HOS, abomnibus
quadratis figuræ, FADCVE, erunt, vt quadratum, DC, ad quadratum,
AV; &
ideò in præſenti Propoſ.
omnia quadrata, FC, ad omnia qua-
dratà figuræ FAD, CVE, demptis ab ijſdem omnibus quadratis triã-
gulorum NOR, HOP, erunt vt quadratum, RZ, ad quadratum, AV,
ideſt dupla.
_P_Atet etiam nos poſsè inuenire parallelogrammum circumſcri-
ptum ſectionibus oppoſitis, veluti, FC, ideſt ita quod eius duo
oppoſita latera ſint baſes oppoſitarum hyperbolarum, & reliqua duo
omnia quadrata deſeripti parallelogram ni ad omnia quadrata figuræ
dictis lateribus, quæ tranſuerſo lateri æ quidiſtant, & ab ijſdem ſe-
ctionum oppoſitarum in cluſis portionibus compræbenſæ, demptis om-
bus quadratis triangulorum ſub aſymptotis, & ab ijs incluſis portio-
nibus laterum, parallelogrammi tranſuerſo lateri æquidiſta ntium,
babeant datam rationem, dummodo ea ſit maioris inæqualitatis: Sit
in figura Propos. 21.
data ratio maioris inæ quadlitatis, quam babet,
KB, ad, GM, & ſupponatur ductam ſuiſſe, FE, æqudiſtantem lateri
tranſuerſo, AV, ita vt quadratum, FE, ad quadratum, Av, ſit vt, K
B, ad, GM, & conſtructam fuiſſe figuram, velutibi factum eſt, patet
igitur, quia omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figurę, FADCV
E, ſunt vt quadratum, FE, ad quadratum, AV, ex Coroll, antec. dem-
ptis tamen ab omnibus quadratis dictæ figuræ, omnibus quadratis
triangulorum, NOR, HOS, quod ideò ad eadom erunt in ratione da-
ta .ſ.
m ea quam babet, KB, ad, GM.
SI duo parallelogramma vtcunq;
fectionibus oppoſitis
circumſcripta fuerint modo ſolito, habentia ſcilicet
duo oppoſita latera, quæ ſint oppoſitarum hyperbolarum
baſes, & reliqua duo lateri rianſuerſo æ quidiſtantia, regu-
la vna dictarum baſium: Omnia quadrata vnius paralle-
logrammi, demptis omnibus quadratis oppoſitarum hy-
perbolarum communes cum eo baſes habentium, ad om-
nia quadrata alterius parallelogrammi, demptis omnibus
quadratis oppoſitarum hyperbolarum communes cum eo
baſes habentium, erunt vt parallelepipedum ſub altitudi-
ne axi, vel diametro vnius hyperbolarum, cuius eſt com-
munis baſis cum parallelogrammo primò dicto, baſirectã-
gulo ſub dimidia tranſuerſi lateris, & ſub compoſita ex ea-
dem dimidia, & axi, vel diametro dictæ hyperbolæ, vna
cum. quadrati eiuſdem axis, vel diametri, ad parallele-
pipedum ſub altitudine axi, vel diametro hyperbolæ, cui-
us eſt communis baſis cum parallelogrammo ſecundò di-
cto, baſirectangulo ſub dimidia tranſuerſi lateris, & ſub
compoſita ex eadem dimidia, & axi, vel diametro hyper-
quadrati eiuſdem axis,
vel diametri.
Sint oppoſitis ſectionibus, FAD, EVC, quorum latus tranſuer-
ſum, AV, centrum, O, circumſcripta parallelogramma vtcunque'
ſint baſes oppoſitarum hyperbolarum, F
D, EC, nempè hyperbolarum, FAD, EV
C, &, TY, MN, hyperbolarum, TAY, M
VN, nempè ſint ad axim, vel diametrum
tranſuerſam, AV, ordinatim applicata, &
reliqua latera, ad ſecundum axim, vel dia-
metrum, quæ ſit, XL, pariter ordinatim
applicata, regula autem vna dictarum ba-
ſinum, vt, EC. Dico ergo omnia quadra.
ta, FC, demptis omnibus quadratis oppo.
ſitarum hyperbolarum, FAD, EVC, ad
omnia quadrata, FN, demptis omnibus
quadratis oppotitarum hyperbolarum, T
AY, MVN, eſſe vt parallelepipedum ſub
alcicudine, ZV, baſi rectangulo VOZ, cũ
{1/3}. quadrati, ZV, ad parallelpipedu ſub altitudine, SV, baſi re-
ctangulo, VOS, cum {1/3}. quadrati, SV:
Omnia .
o.
quadrata, FC,
dempt somnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum, FAD, E
VC, ad omnia quadrata, TN, demp@ sommbus quadratis oppo-
ſitarum hyperbolarum, TAY, MVN, habentrationem compo-
fitam ex ea, quain habent omnia quadrata, FC, demptis omnibus
quadratis oppoſitarum hyperbolarum, FAD, EVC, ad omnia
quadrata, FC, & ex ratione horum ad omnia quadrata, TN, &
ex ratione iſtorum ad omnia eorundem quadrata, demptis omni-
bus quadratis oppoſitarum hyperbolarum, TAY, MVN; verum
omnia quadrata, FC, demptis omnibus quadratis oppoſitarum
hyperbolarum, FAD, EVC, ad omnia quadrata, FC, ſunt vt re-
ctangulum, AOZ, b@s, cum {2/3}. quadrati, ZV, ad rectangulum, A
Omnia item quadrata, FC, ad omnia quadrata, TN, habẽt
rationem compoſitam ex ratione, FE, ad, TM, vel, EX, ad, MH,
ſiue, ZO, ad, OS, & ex ratione quadrati, EC, ad quadratum, MN,
@andem omnia
quadrata, TN ad eadem demptis omnibus quadratis oppoſitarũ
hyperbolarum, TAY, MVN, ſunt vt rectangulum, ASO, ad re-
ctangulum, AOS, bis, cum {2/3}. quadrati, SV, habemus ergo has
ſ.
ratione
rectanguli, AOZ, bis, cum {2/3}. quadrati, VZ, ad rectangulum, AZ
O, rationem, ZO, ad OS, rationem rectanguli, AZV, ad rectan-
gulum, ASV, & tandem rationem rectanguli, ASO, ad rectangu-
lum, AOS, bis cum {2/3}. quadrati, SV, harum autem rationum illa,
gulum, ASV, componitur ex ratione, Z
V, ad, VS, & ex ratione, ZA, ad, AS, ha-
bemus ergo quinque rationes componen-
tes rationem primò dictam, ſitigitur pri-
mo loco diſpoſita ratio, quam habet re-
ctangulum bis ſub, AOZ, cum {2/3} quadra-
ti, ZV, ad rectangulum, AZO; ſi rurlus
aſſumamus ex cæteris quatuor rationibus
eam, quam habet, ZA, ad, AS, vel (rum
pta, ZO, communi altitudine) quam ha
bet rectangulum, AZO, ad rectangulu
ſub, ZO, AS, quæ habeatur ſecundo roco; &
inſuper ſiex cæteris tribus ratiombus
ſumamus, quam habet, ZO, ad, OS, vel
(ſumpta, AS, communi altitudine) quam
habet rectangulum ſub, ZO, AS, ad rectangulum, ASO, quæ ſit
poſita tertio loco, & tandem ſiteneamus quartò loco eam, quam
habet rectangulum, ASO, ad rectangulum ſub, AOS, bis, {2/3}. qua-
drati, SV, habebimus has quatuor hoc ordine diſpoſitas conſequẽ-
ter rationes .ſ.
rationem rectanguli ſub, AOZ, bis cum {2/3}, quadra-
ti, ZV, ad rectangulum, AZO, rationem huius ad rectangulum
ſub, AS, OZ, rationem huius ad rectangulum, ASO, & tandem
rationem huius ad rectangulum, AOS, bis, vna cum {2/3}. quadrati,
SV, quæ component rationem primæ ad vitimam .ſ.
eam, quam
quadrati, ZV, ad rectã-
gulum, AOS, bis, vna cum {2/3}. quadrati, SV, vel quam habent ho-
rum dimidia .ſ.
rectangulum, AOZ, cum {1/3}.
quadrat V, Z, ad rectã-
gulum, AOS, cum {1/3}. quadrati, SV, @llas ergo quatuor rationes in
ſolam hane redegimus; huicſi iungamus eam, quam habet, ZV,
ad, VS, quæ erat quinta ratio, quæreſidua erat, componetur ex
dictis quinque rationibus hæcſola .ſ.
quam habet parallelepipedũ
ſub altitudine, ZV, baſi rectangulo, AOZ, vel, VOZ, cum {1/3}. qua-
drati, ZV, ad parallelepipedum ſub altitudine, SV, baſi rectangu-
lo, AOS, vel, VOS, cum {1/3}. quadrati, SV, quę erit ea, quam habe-
bunt omnia quadrata, FC, demptis omnibus quadratis oppoſita
ptis omnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum, TAY, MVN,
quod, &c.
IN eadem antecedentis figura, regula ſumpta, DC, oſtẽ-
demus omnia quad. fig.
FADCVE, ad omnia quadra-
ta figuræ, TAYNVM, eſſe vt paralle lepipedum ſub, XL, &
quadrato, RZ, cum duplo quadrati, AV, ad parallelepipe-
dum ſub, HG, & quadrato, BS, cum duplo quadrati, AV.
Omnia namque quadrata figuræ, FADCVE, ad omnia quadra-
ta figuræ, TAYNVM, habent rationem compoſitam ex ea, quam
habent omnia quadrata figuræ, FADCVE, ad omnia quadrata,
FC, .i.
ex ratione quadrati, AV, cum {1/3}.
quadrati, KI, (quæ ſit
portio, DC, capta inter aſymptotos, qui ſint, PI, KQ, ducti per,
, ℟, FE, in, P, Q, &
, TM, in, Ω, Π) ad
quadratum, DC, & ex ratione omnium quadratorum, FC, ad om-
nia quadrata, TN, quæ eſt compoſita ex ea, quam habet quadra-
tum, DC, ad quadratum, YN, & ex ea, quam habet, EC, ad, MN,
tandem ex ratione omnium quadratorum, TN, ad omnia qua-
drata figuræ, TAYNVM, .i.
ex ratione quadrati, YN, ad quadra-
tum, AV, cum {1/3}. quadrati, &
℟, porrò ex his rationibus compo-
nentibus ea, quam habet quadratum, AV, cum {1/3}. quadrati, KI, ad
quadratum, YN, ad quadratum, AV, cum {1/3}. quadrati, &
℟, com-
ponunt rationem quadrati, AV, cum {1/3}. quadrati, KI, ad quadra-
tum, AV, cum {1/3}. quadrati, &
℟, vel triplicatis terminis, compo-
nunt rationem trium quadratorum, AV, cum quadrato, KI, ad
tria quadrata, AV, cum quadrato, & ℟, vel componunt rationem
V, cum quadrato, G ℟; quadratum autem, LI, eſt æquale rectan-
gulo, OVZ, bis cum quadrato, VZ, & quadratum, G℟, æquale
rectangulo, OVZ, bis cum quadrato, VS; nam rectangulum, KC
I, ex prop. 11.
Lib.
2.
Conicorum æquatur quadrato, OV, &
idẽ
rectangulum, KCI, cum quadrato, IL, æquatur quadrato. LC, vel
quadrato, OZ, vnde quadratum, LI, remanet æquale rectangulo
ſub, OVZ, bis cum quadrato, VZ; &
ſic etiam quadratum, G℟,
concludetur æquale eſſe rectangulo bis ſub, OVS, cum quadrato,
componunt ergo rationem trium quadratorum, OV, cum
rectangulo, OVZ, bis, & quadrato, VZ, .
i.
duorum quadratorum,
OV, cum quadrato, OZ, ad tria quadrata, OV, cum rectangulo,
OVS, bis & quadrato, VS, .
i.
ad duo quadrata, OV, cum quadra-
to, OS, hæc autem ratio ſimul cum ea, quæ remanſit .i.
cum ra-
tione, EC, ad, MN, componit rationem parallelepipedi ſub, EC,
& baſi quadrato, ZO, cum duplo quadrati, OV, ad parallelepipe-
dum ſub, MN, & baſi quadrato, SO, cum duplo quadrati, OV;
vel parallelepipedi ſub, XL, baſi quadrato, RZ, cum duplo qua-
drati, AV, ad parallelepipedum ſub, HG, baſi quadrato, BS, cum
duplo quadrati, AV, quod nobis erat oſtendendum.
IN eadem figura Prop.
23.
oſtendemus omnia quadrata
figuræ, FADCVE, (regula eadem, AV,) demptis omni-
bus quadratis triangulorum kOI, POQ, ad omnia quadra-
ta figuræ, TAYNVM, demptis omnibus quadratis trian-
gulorum, &O, ΩΠ, eſſe vt, EC, ad, MN, vel, XL, ad, H
G, qui ſuntſecundiaxes, vel diametri.
Nam omnia quadrata figuræ, FADCVE, demptis omnibus
omnia quadrata figuræ, TAYNVM, dẽ
ptis omnibus quadratis triangulorum, &
O℟, ΩΟΠ, habent rationem compoſitã
ex ratione omnium quadratorum figuræ,
FADCVE, demptis omnibus quadratis
triangulorum, KOI, POQ, ad omnia qua-
drata, FC, .ſ.
ex ratione quadrati, AV, ad
quadratorum, FC, ad omnia quadrata, T
N, quæ eſt compoſita ex ratione quadra-
ti, DC, ad quadratum, YN, & ex ratione,
CE, ad, NM, & tandem componitur ex
ratione omnium quadratorum, TN, ad
omnia quadrata figurę, TAYNVM, dẽ-
ptis omnibus quadratis triangulorum, &
O℟, ΩΟΠ, .i.
ex ea, quam habet quadratum, YN, ad quadratũ
qua-
ti, AV, ad quadratum, AV, quę ſimul cum ratione ipſius, EC, ad
MN, componit rationem parallelepipedi lub, EC, & quadrato,
AV, ad parallelepipedum ſub, MN, & quadrato, AV, quæ tandẽ
eſt eadem ei, quam habet, EC, ad, MN, quia illa ſunt parallelepi-
peda in eadem baſi, & ideò omnia quadrata figuræ, FADCVE,
demptis omnibus quadratis triangulorum, KOI, POQ, ad om-
nia quadrata figuræ, TAYNVM, demptis omnibus quadratis
triangulorum, & O℟, ΩΟΠ, erum vt, EC, ad, MN, vel, XL, ad,
HG, quod demonſtrare opus erat.
ASumpta iterum figura Propoſ.
23.
dimiſſo quouis pa-
rallelogrammorum, FC, TN, vt dimiſſo, TN, cæte-
ris ijſdem manentibus, oſtendemus omnia quadrata, FC,
demptis omnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum,
FAD, EVC, regula, EC, ad omnia quadrata figuræ, FAD
CVE, regula, DC, vel, AV, habere rationem compoſitam
ex ratione rectanguli, AOZ, bis cum @. quadrati, VZ, ad
rectangulum, AZO, & ex ratione rectanguli ſub, DC, vel,
RZ, & ſub EC, ad quadratum, AV, cum.
quadrati, KI,
vel cum rectangulo ſub, AZ, & ſexquitertia, ZV.
Omnia namq;
quadrata, FC, demptis omnibus quadratis oppo-
ſitarum hyperbolarum, FAD, EVC, regula, EC, ad omnia qua-
drata figuræ, FADCVE, regula, AV, habent rationem compoſi-
tam ex ratione omnium quadratorum, FC, demptis omnious qua-
dratis oppoſitarum hyperbolarum, FAD, EVC, ad omnia qua-
drata, FC, communiregula, EC, .f.
ex ratione rectanguli, AOZ,
quadrati, VZ, ad rectangulum, AZO, &
ex ratione
omnium quadratorum, FC, regula, EC, ad omnia quadrata, FC,
regula, CD, vel, AV, .ſ.
ex ratione, EC, ad, CD, vel rectanguli
tandem componitur ex ra-
tione omnium quadratorum, FC, regula, DC, ad omnia quadra-
ta figuræ, FADCVE, regula eadem, DC, .ſ.
ex ratione quadrati,
quadrati KI, duæ verò rationes,
ſcilicet rectanguli ſub, ED, CD, ad quadratum, CD, & quadrati,
CD, ad quadratum, AV, cum {1/3}. quadrati, KI, componunt ratio-
cum {1/3}. quadrati, kI, ergo omnia quadrata, FC, demptis omnibus
rum, FAD, EVC, regula, EC, ad
omnia quadrata figuræ, FADCVE,
regula, DC, vel, AV, habebunt ra-
tionem compoſitam ex ractione re-
ctanguli, AOZ, bis cum {2/3}. quadra
ti, KI, ad rectangulum, AZO, & ex
ratione rectanguli ſub, RZ, EC, ad
quadratum, AV, cum {1/3}. quadrati,
KI, .i.
cum {4/12}.
quadrati, KI, quæ
ſunt {4/3}. quadrati, LI, .
i.
rectanguli,
& ſexquitertia, ZV, erit æquale ter-
tiæ parti quadrati, kI, erit igitur di-
cta ratio compoſita ex ratione pri-
mò dicta, & ex ratione fectanguli
ſub, RZ, EC, ad quadratum, AV,
cum {1/3}. quadrati, kI, ſiue cum rectangulo ſub, AZ, &
ſexquitertia,
ZV, quod oſtendere propoſitum erat.
SI in eadem anteced.
Propoſit.
figura intelligantur de-
ſcriptæ ſectiones, quæ ab Apollonio coniugatæ vo-
cantur, quæ ſint, Y & B, HTN, coniugatæ prædictis, FAD,
EVC, habentes ſcilicet quadratum tranſuerſi lateris, & T,
æquale rectingulo ſub alio tr anſuerſo latere, AV, & linea
iuxta qua n poſſunt, ſiue latere recto oppoſitarum ſectionũ,
FAD, EVC, & regula ſit DC, latus parallelogrammi, FC,
expoſitis primò ſectionibus oppoſiti, FAD, EVC, circum-
ſcriptum, æquidiſtans earu nlateri tranſuerſo, AV: Om-
nia quadrata, FC, ad omnia quadrata figuræ, FADCVE,
demptis omnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum,
Y & B HTN, quæ portionibus laterum, FE, DC, inter op-
poſitas ſectiones, Y & B HTN, exiſtentium conſtituuntur,
erunt vt parallelepipedum ſub dimidia baſis primò expoſi-
tarum alterutrius, hyperbolarum, vt ſub, ZC, & ſub qua-
occurrant, vt in, S,) ad parallelepipedum bis ſub, LT, &
quadrato, TO, cum cubo, TO, & amplius @.
eiuſdem cubi.
Producatur, OL, indefinitè, cui occurrat, SG, ducta per, S, ipſi,
ZO, æquidiſtans, & occurſus ſit in puncto, G, &
per, T, ipſa, MT,
æquidiſtans ducatur ipſi, AV, & per, V, VM, æquidiſtans ipſi, V
T, quæ tangent ſectiones in punctis, VT, & conuenient interſe
in aſymptoto, OS, vt in, M, vt ex pri. Secundi Conicorum elici
poteſt: Omnia ergo quadrata, FC, ad omnia quadrata figuræ,
FADCVE, vel omnia quadrata, RC, ad omnia quadrata figuræ,
qua-
drati, kI, ſiue vt quadratum, CL, ad quadratum, OV, vel, TM,
cum {1/3}. quadrati, LI, quia verò quadratum, CL, vel, SG, ad qua-
dratum, MT, eſt vt quadratum, GO, ad quadratum, OT, & qua-
dratum, GS, ad quadratum, LI, eſt vt quadratum, GO, ad quadra-
tum, OL, ideo quadratum, SG, ad quadratum, TM, vel, OV, cum
{1/3}. quadrati, LI, erit vt quadratum, GO, ad quadratum, OT, cum
{1/3}. quadrati, OL, ſiue vt triplum quadrat, GO, ad quadratum, LO,
cum tribus quadratis, OT, vel ſumpta, ’LO, communi altitudine,
vt parallelepipedum ſub, LO, & triplo quadrati, OG, ad paralle-
le ipedum ſub, LO, & quadrato, OL, cum triplo quadrati, OT,
ſic igitur erunt omnia quadrata, RC, ad omnia quadrata figuræ,
DAVC, quod ſerua.
Inſuper omnia quadrata, RC, ad omnia quadrata trianguli, K
OI, ſunt vt quadratum, DC, ad {1/3}. quadrati, kI, vel vt quadratum,
CL, vel quadratum, GS, ad {1/3}. quadrati, LI, vel vt quadratum, G
O, ad {1/3}. quadrati, OL, vel vt trip um quadrati, GO, ad quadra-
tum, OL, Vel, ſump@@, OL, communi altitudine, vt parallelepipe-
dum ſub, LO, & triplo quadrati, CG, ad parallelepipedum ſub L
O, & quadrato, LO, .
i.
ad cubum, LO.
Vlterius omnia quadra
cubus, LO, ad parallelepipedum ter ſub, OT, & quadrato, TL, cũ
cubo, TL, ergo, ex æquali, omnia quadrata, RC, ad omnia qua-
drata hyperbolæ, HTN, erunt vt parallelepipedum ſub, LO, &
triplo quadrati, OG, ad parallelepipedum ter ſub, OT, & qua-
drato, TL, cum cubo, TL, erant autem omnia quadrata, RC, ad
omnia quadrata figurę, DAVC, vt idem parallelepipedum ſub, L
O, & triplo quadrati, OG, ad parallelepipedum ſub, LO, &
qua-
drato, OL, cuin triplo quadrati, OT, ergo omnia quadrata, RC,
ad omnia quadrata figuræ, DAVC, demptis omnibus quadratis
triplo
quadrati, OG, ad reliquum, quod habetur, dempto parallelepipe-
quadrato, TL,
cum cubo, TL, à parallelepipedo
ſub, LO, & quadrato, LO, .
i.
à cu-
bo, LO, & parallelepipedo ſub, LO,
& triplo quadrati, OT, verum, quia
cubus, LO, æquatur parallelepipe-
dis ter ſub, OT, & quadrato, TL,
ter ſub, TL, & quadrato, TO, cum
cubis, OT, TL, ideò ſi à cubo, OL,
dematur parallelepipedum ter ſub,
OT, & quadrato, TL, cum cubo,
ter ſub, LT, & quadrato, TO, cum
cubo, TO, quod iungendum eſt pa-
rallelepipedo ſub, LO, & triplo qua-
drati, TO, habebimus ergo pro
quæſito reſiduo parallelepipedum
ſub, LO, & quadrato, OT, ter .
i.
ſub, LT, &
quadrato, TO,
ter, cum tribus cubis, TO, & adhuc parallelepipedum ſub, LT, &
i.
habebimus parallelepipe-
dum ſub, LT, & quadrato, TO, ſexies, cum quatuor cubis, TO,
pro quæſito reſiduo, igitur omnia quadrata, RC, ad omnia qua-
drata figuræ, DAVC, demptis omnibus quadratis hyperbolæ, HT
N, vel omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figuræ, FADCV
E, demptis omnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum, Y &
B, HTN, erunt vt parallelepipedum ſub, LO, & triplo quadrati,
OG, ad parallelepipedum ſexies ſub, LT, & quadrato, TO, cum
quatuor cubis, TO, .i.
vt parallelepipedum ſub, LO, vel, ZC, &
quadrato, OG, vel, ZS, ad parallelepipedum bis ſub, LT, & qua-
drato, TO, cum cubo, TO, & amplius eiuſdem cubi, TO, nam
hæc ſunt eorundem ſubtripla, vt conſideranti facilè patebit, quod
erat oſtendendum.
SI, expoſitis ſectionibus coniugatis, parallelogrammũ
deſcribatur, habens latera earundem axibus, vel dia-
metris coniugatis parallela, in earum aſymptotis conue-
oppoſitas ſectiones diuidentia’ alterutro
axium, vel diametrorum, ſumpto pro regula. Omnia qua-
drata deſcripti parallelogrammi ad omnia quadrata figurę
duobus oppoſitis lateribus parallelogrammi regulæ æqui-
diſtantibus, & reliquorum laterum portionibus inter ſe-
ctiones coniugatas, & prædicta latera concluſis, &
ipſis
coniugatis ſectionibus, comprehenſæ, demptis ab ijſdem
omnibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum, quarum
latus tranſuerſum non fuit ſumptum pro regula, erunt vt
cubus dimidij lateris parallelogrammi regulæ non æqui-
diſtantis, ad duo parallelepipeda, quorum vnum contine-
tur ſub dimidio exceſſus dicti lateris ſuper baſim hyperbo-
læ, quam idem latus abſcindit, & ſub quadrato dimidij
eiuſdem lateris, aliud verò ſub dimidio baſis dictæ hyper-
bolæ, & ſub @.
quadrati eiuſdem, cum quadrato dimidij
lateristranſuerſi, quod non eſt regula, ab his tamen dem-
pto paralleledipedo ſub dimidio lateris tranſuerſi, quod
non eſt regu a, & ſub quadrato axis, vel diametri alteru-
trius hyperbolarum, quarum eſt latus tranſuerſum, vna cũ
{1/3}. cubi eiuſdem axis, vel diametri.
Sintigitur expoſitæ ſectiones coniugatæ, AEC, MON, PIQ,
BFH, quarum communes aſymptoti indefinitè cum ſectionibus
fint producti, qui ſint, TSV, RSX, ſint autem earum axes, vel dia-
metri coniugatæ, EO, FI, quarum alterutra ſit ſumpta pro regu-
la, vt, FI, ſit vlterius deſcriptum parallelogrammum, TV, latera
habens æquidiſtantia ipſis, EO, FI, & in aſymptotis, TV, XR, cõ-
uenientia in punctis, T, R, V, X, ipſaſq; ſectiones diuidentia, ita
vt, quæ inter ſectiones manent, fiuntq; hyperbolarum baſes ſint,
PQ, NM, HB, AC, quorum æquidiſtantia erunt æqualia. Dico
ergo omnia quadrata parallelogrammi, TV, ad omnia quadrata
figuræ inte, TX, RV, TB, HR, VQ, PX, & ſectiones, BFH, PIQ,
cõcluſæ, demptis ab ijſdë omnibus quadratis oppoſitarum hyper-
bolarum, AEC, MON, eſſe vt cubus dimidij, XV, ad parallelepi-
pedum ſub, QV, & quadrato dimidij lateris, XV, vna cum paral-
lelepipedo ſub dimidio, PQ, & ſub compoſito ex {1/3}.
quadrati eiuſ-
dem dimidij, PQ, & quadrato, SO, ab his tamen dempto paralle-
lepipedo ſub, SO, & quadrato reliquæ ad medietatem, XV, cum
cubi eiuſdem reliquæ.
Producantur, FI, EO, hinc inde vſq;
ad
latera, TX, XV, VR, RT, quibus occurrant in punctis, &, Z, Y,
duntur, & per, Q, ducatur, QK,
ęequidiſtans ipſi, RV: Omnia
igitur quadrata parallelogram-
mi, SV, ad omnia quadrata ſigu
rę, SIQK, habent rationem com-
poſitam ex ea, quam habent om-
nia quadrata, SV, ad omnia qua-
i.
ex ratione, YS, ad,
Sk, & ex ratione omnium qua-
dratorum, SQ, ad omnia qua-
drata figurę, SIQk, .i.
ex ratione
cum {1/3}. quadrati, kD, .
i.
exra-
tione quadrati, YS, ad quadratũ
SO, cum {1/3}. quadrati, SK, duę
autem rationes, YS, ad, Sk, &
quadrati, YS, ad quadratum, SO, Cum {1/3}. quadrati, Sk, componũt
rationem cubi, YS, ad parallelepipedum ſub, KS, & compoſito ex
quadrato, SO, & {1/3}.
quadrati, Sk, ergo omnia quadrata, SV, ad
omnia quadrata figurę SIQk, erunt vt cubus, YS, ad parallelepi-
pedum ſub, kS, & compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati, Sk:
Omnia item quadrata, SV, ad omnia quadrata, kV, ſunt vt, SY,
i.
ſumpta communi baſi quadrato, SY, vt cubus, SY, ad
parallelepipedum ſub, Yk, & quadrato, YS, ergo omnia quadrata’
SV, ad omnia quadrata figuræ, SIQk, & parallelogrammi, kV, .
i.
ad omnia quadrata figuræ, SIQVY, erunt vt cubus, YS, ad paral-
lelepipedum ſub, kY, & quadrato, YS, vna cum parallelepipedo
ſub, kS, & compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati, Sk:
Quo-
niam verò omnia quadrata, SV, ſunt tripla omnium quadratorũ
N, ſunt vt cubus, SY, ad parallelepipedum ter ſub, SQ, & quadra-
to, OY, cum cubo, OY, ideò omnia quadrata, SV, ad omnia qua-
pipedum ter ſub, SO, & quadrato, OY, cum cubo, OY, .
i.
vt cu-
bus, SY, ad parallelepipedum ſub, SO, & quadrato, OY, cum {1/3}.
cubi, OY;
erant autem omnia quadrata, SV, ad omnia quadrata
figuræ, SIQVY, vt cubus, SY, ad parallelepipedum ſub, kY, &
quadrato, YS, vna cum parallelepipedo ſub, kS, & compoſito ex
{1/3}.
quadrati, Sk, ergo omnia quadrata, SV, ad
omnia quadrata figuræ, SIQVY, demptis omnibus quadratis ſe-
mihyperbolæ, YON, vel horũ quadrupla .ſ.
omnia quadrata, GV,
ad omnia quadrata figuræ, FIQVRH, demptis omnibus quadratis
hyperbolę, MON, vel horum dupla .i.
omnia quadrata, TV, ad om-
nia quad. rigurę, XPIQVRHFBT, dẽptis omnibus quadratis op-
poſitarum hyperbolarũ, AEC, MON, erunt vt cubus, YS, vel, ZV,
ad parallelepipedum ſub, kY, & quadrato, YS, vel ſub, QV, &
qua-
drato, VZ, vna cum parallelepipedo ſub, kS, & compoſito ex qua-
drato, SO, & {1/3}.
quadrati, Sk, vel vna cum parallelepipedo ſub, Z
Q, & compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati, ZQ, ab his ta-
men dempto parallelepipedo ſub, SO, & quadrato, OY, quę, eſt
reliqua ad ipſam, SY, vel, ZV, vna cum {1/3}. cubi eiuſdem reliquę, N
Y, quę eſt diameter alterutrius hyperbolarum dictarum, quod, &c.
_H_Inc habetur omnia quadrata, TV, ad omnia quadrata fig.
ianz
dictæ, quæ comprehenditur terminis, quiſunt, TX, RV, TB,
HR, VQ, PX, & ſectionibus oppoſitis, BFH, PIQ eſſe vt cubus RS,
ad parallelepipedum, ſub, KY, & quadrato.
YS, Vna cum parallele-
pipedo ſub, KS, & compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati, SK, Vt
ſuperius oſtenſum eſt.
INeadem anteced.
figura ſi aliud parallelogrammum de-
ſcribatur vtcunque, conditionibus tamen, quo, TV, de-
ſcriptum eſt, cuius latera ſectiones coniugatas diuidant,
quod ſit parallelogrammum, βΩ, cuius latera ſectiones cõ-
iugatas diuidant in punctis, L, Γ, Φ, Λ, 3, Σ, 7, 9, & axes,
vel diametros coniugatas, &, Y, GZ, in punctis, ℟, 8, 6, 4,
regula alterutro axium, vel diametrorum coniugatarum, V
T, FI: Oſtendemus omnia quadrata figuræ, quæ remanet
demptis oppoſitis hyperbolis, BFH, PIQ à parallelogram-
mo, TV, ablatis ab ijſdem omnibus quadratis oppoſitarum
hyperbolarum, AEC, MON, (quæ figura breuitatis cau-
ſa dicatur, figura parallelogrammi, TV,) ad omnia qua-
drata figuræ, quæ remanet, demptis oppoſitis hyperbolis,
nibus quadratis oppoſitarum hyperbolarum, LΕΓ, ΣΟ3,
quæ dicatur figura parallelogrammi, βΩ, eſſe vt paralle-
lepipedum ſub, QV, & quadrato.
VZ, vna cum parallelepi-
pedo ſub, QZ, & compoſito ex quadrato, SO, &
@.
quadra-
ti, QZ, ab his dempto parallelepipedo ſub, SO, & quadra-
to, OY, & {1/3}.
cubi, OY, ad parallelepipedum ſub, ΛΩ, &
quadrato, Ω4, vna cum parallelepipedo ſub, Λ4, & com-
poſito ex quadrato, SO, & @.
quadrati, Λ4, dempto paral-
lelepipedo ſub, SO, & quadrato, O6, cum {1/3}.
cubi, O6.
Nam omnia quadrata figuræ parallelogrammi, TV, demptis
iam dictis, ad omnia quadrata figuræ parallelogrammi, βΩ, dem-
ptis iam dictis, habent rationem compoſitam ex ratione omniũ
quadratorum primo dictæ figuræ, demptis, &c.
ad omnia qua-
drata, TV, .i.
ex ea, quam habet parallelepipedum ſub, QV, &
quadrato, VZ, vna cum parallelepipedo ſub, QZ, & compoſita
{1/3}.
quadrati, QZ, dempto ab his parallelepi-
pedo ſub, SO, & quadrato, OY, &
{1/3}.
cubi, OY, ad cubum, ZV, itẽ
ex ratione omnium quadratorum, TV, ad omnia quadrata, βΩ,
ideſt ex ratione cubi, VZ, ad cubum, Ω4, quia parallelogramma,
tandẽ
ex ratione omnium quadratorum, βΩ, ad omnia quadrata figuræ
parallelogrammi, βΩ, demptis iam dictis, .i.
ex ratione cubi, Ω4,
quadrato, Ω4, vna cum paralle-
lepipedo ſub, Λ4, & compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati,
Λ4, ab his dempto parallelepipedo ſub, SO, & quadrato, O6, vna
cum {1/3}. cubi, O6, rationes autem parallelepipedorum primò dicto-
rum, dempto parallelepipedo ſub, SO, & quadrato, OY, cum {1/3}.
cubi, OY, ad cubum, ZV, cubi, ZV, ad cubum, Ω4, &
cubi, Ω4,
ad parallelepipeda poſtremò dicta, dempto parallerepipedo ſub, S
O, & quadrato, O6, cum {1/3}.
cubi, O6, componunt rationem pa-
rallelepipedorum primò dictorum, dempto iam dicto ad parallele-
figuræ parallelogrammi, TV, demptis omnibus quadratis oppoſi-
tarum hyperbolarum, AEC, MON, ad omnia quadrata figuræ
parallelogrammi, βΩ, demptis omnibus quadratis oppoſitarum
hyperbolarum, LEI, ΣΟ3, erunt vt parallelepipedum ſub, QV,
& quadrato, VZ, vna cum parallelepipedo ſub, QZ, &
compoſi-
to ex quadrato, SO, & {1/3}.
quadrati, QZ, ab his dempto parallele-
quadrato, OY, cum {1/3}.
cubi, OY, ad parallele.
pipedum ſub, ΛΩ, &
quadrato, Ω4, vna cum parallelepipedo ſub,
Λ4, & compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati, Λ4, ab his dẽ-
pto parallelepipedo ſub, SO, & quadrato, Ο6, cum {1/3}.
cubi, Ο6,
quod oſtendere opus erat.
_H_Inc patet, quod eadem methodo oſtendemus omnia quadrátá fi-
guræ parallelogrammi, TV, nibil ab eis dempto, ad omnia
quadrata figuræ parallelogrammi βΩ, nibil pariter ab eis dempto, eſſe
Vt parallelepipeda primò dicta ad parallelepipeda ſecundò dicta.
IN omnibus huius Lib.
5.
Propoſitionibus, in quibus
duarum quarumcunq; figurarum notificata fuit ratio
omn ium quadratorum, iuxta regulas in eiſdem aſſumptas,
nota etiam euadit ratio ſimiliarium ſolidorum, quæ exillis
gignuntur figuris, iuxta eaſdem regulas.
Quoniam enim oſtenſum eſt Lib.
2.
Prop.
23.
vt omnia qua-
drata duarum figurarum inter ſe ſumpta cum datis regulis, ita eſſe
ſolida ſimilaria genita ex ijſdem figuris iuxta eaſdem regulas, ideò
cum in huius Libri Propoſitionibus inuẽta eſt ratio omnium qua-
dratorum duarum figurarum cum talibus regulis, colligemus etiã
nunc eandem eſſe rationem duorum ſimilarium ſolidorum, quæ
ex illis figuris iuxta eaſdem regulas genita dicuntur, quæ amplius
in ſequentibus dilucidabimus ſingulas Propoſitiones, quæ oppor-
tunæ fuerint, denuò aſſumentes.
Vnde cum in prima Propoſ.
exempli gratia oſtenſum eſt (con-
ſpecta denuò eiuſdem figura) omnia quadrata hyperbolæ, DBF,
regula, DF, ad omnia quadrata, AF, eſſe vt compoſitam ex, NB,
& {1/3}, BE, ad, OE, eandem comperiemus habere rationem ſolidum
ſimilare genitum ex hyperbola, DBF, ad ſolidum ſimilare genitũ
ex, AF, iuxta communem regulam, DF; &
eodem pacto collige-
mus, veluti omnia quadrata hyperbolæ, DBF, ad omnia quadra-
ta trianguli, DBF, ſunt vt compoſita ex ſexquialtera, OB, & ex,
BE, ad, OE, ita eſſe ſolidum ſimilare genitum ex hyperbola, DBF,
gulam, DF.
_Q_V oniam verò ex Propoſ.
45.
Lib.
Primi habetur, quod ſi quæ
cunque conois byperbolica, im cuius baſi ſit cylindrus, & conus
& circa eundem axem, vel diametrum ſecetur planis baſi æquidiſtan-
tibus, quibus pariter ſecentur cylindrus, & conus, fient conceptæ in
ſolidis figuræ ſimiles baſi, ideò omnia plana eorundem regula baſi erũt
num per axem, producet in ipſis figuras genitrices earundem, nempè
parallelogrammum in cylindro, hyperbolam in conoide, & trian-
gulum in cono, dicta autem ſolida erunt ſimilaria genita ex his figu. ris genitricibus iuxta communem regulam ipſam baſim, &
ideò eorũ
ratio nota erit, quia ſcimus quam rationem habeant inter ſe omnia
quadrata dictarum genitricium figurarum, regula baſi. Hæc autem
ſimiliter pro ſequentibus memoria teneantùr, in quibus ſiet noſtrum
ſolitum exemplum per reuolutionem ſigurarum circa ſuos axes, Vt
habeamus omnes figuras ſimiles genitorum ſolidorum, quæ ſint circuli
diametros in figuris genitricibus, quibus ſint erecti, ſitas habentes,
licet eadem Verificentur ſſumptis non axibus, ſed tantum diametris,
Vt alibi pluriés repetitum eſt, ex dictis autem infraſcripta habentur
Corollaria.
VTigitur fiat noſtrum exemplum in Prop.
1.
reuoluatur pa-
rallelogrammum, AF, circam manentem axim, BE, vt fiat
F, ex hyperbola, DBF, conois, DBF,
& ex triangulo, DBF, conus, DBF, col-
ligitur ergo cylindrum, AF, ad conoidé,
DBF, eſſe vt, OE, ad compoſitam ex,
NB, & {1/3}.
BE, conoidem autem, DBF,
ad conum, DBF, eſſe vt compoſitam
ex ſexquialtera, OB, & ex, BE, ad OE;
&
ita eſſe ſolida quæcunque ſimilaria
genita ex eiſdem figuris .ſ.
ex parallelo-
grammo, AF, hyperbola, DBF, & triã-
gulo, DBF, iuxta communem regulam,
DF, vt ſupra dictum eſt, quę declarare oportebat.
INProp.
2.
aſſumpta eius figura, dimiſſis parallelogrammis, A
Z, CG, & rectis, CH, RG, LK, vt fiat noſtrum exemplum re-
NE, vt fiat ex parallelogrammo, SF, cy,
lindrus, SF, ex triangulo, DMF, conus-
DMF, & ex hyperbolis, DNF, HNG,
conoides hyperbolicæ, DNF, HNG,
patet ergo ex hac Propoſ. conoidem, D
NF, ad conoidem, HNG, abſciſſam pla-
no, HG, æquidiſtanteipſi plano, DF,
eſſe vt parallelepipedũ ſub, XE, & qua-
drato, EN, ad parallelepipedum ſub, X
M, & quadrato, MN, &
ſic eſſe quod-
libet ſolidum ſimilare genitum ex hy-
perbola, DNF, ad ſibi ſimilare genitũ
ex hyperbola, HNG, iuxta communem
regulam, DF.
IN Prop.
3.
patet in ſuperioris figura, in qua eius exemplum
conſtructum eſt, cylindrum, SF, ad fruſtum conoidis, HDFG,
eſſe vt rectangulum, OEN, ad rectangulum ſub, OE, &, NM,
vna cum rectangulo ſub compoſita ex {1/2}. NO, &
{1/3}.
ME, &
ſub, M
E. Et conum, DMF, ad idem fruſtum eſſe, vt rectangulum, OE
N, ad rectangulum ſub, OE, & tripla, NM, vna cum rectangulo
ſub compoſita ex, NX, &, ME, &
ſub, ME;
&
ſic eſſe ſolida ſi-
milaria quæcunq; genita ex eiſdem figuris, parallelogrammo nẽ-
pè, SF, fruſto hyperbolæ, HDFG, & triangulo, DMF, iuxta cõ.
munem regulam, DF.
IN Prop.
4.
iterum aſſumpta figura Coroll.
2.
patebit cylindrũ,
FG, ab eo dempto cylindro, HQ, eſſe
vt rectangulum, OEN, ad rectangulum
ſub compoſita ex {1/3}. EM, integra, MN,
& {1/2}.
NO.
Conum verò, DMF, ad idẽ
fruſtum, dempto cylindro, HQ, eſſe vt
rectangulum, OEN, ad rectangulum ſub
compoſita ex, EX, & dupla, NM:
&
ſic
eſſe quæcunq; ſolida ſimilaria genita ex
eiſdem figuris .ſ.
parallelogrammo, SF,
fruſto hyperbolæ, HDFG, dempto ſo-
lido ſimilari genito ex, HQ, & triangu-
lo, DMF, iuxta communem regulam,
DF.
IN Prop.
5.
aſſumpta iterum figura Prop.
2.
dimiſsis rectis, CP,
RQ, Lk, & triangulo, DM, &
, vt fiat ſolitum exemplum, ea
F, fiat cylindrus, AF, ex hyperbola,
DNF, conois, DNF, quæ ſolida
ſint ſecta plano, SZ, baſi, DF, ęqui-
diſtante, patet cylindrum, AF, dẽ-
pta conoide, DNF, ad cylindrum,
SF, dempto fruſto conoidis, DHG
F, eſſe vt parallelepipedum ſub cõ-
poſita ex, XE, EN, & ſub quadrato,
NE, ad parallelepipedum ſub com-
poſita ex, XE, EN, NM, & ſub qua-
drato, ME; &
ſic eſſe quodlibet
ſolidum ſimilare genitum ex, AF,
dempto ſolido ſimilari genito ex
hyperbola, DNF, ad ſibi ſimilare
genitum ex, SF, dempto ſolido ſimilari genito ex fruſto hyperbo-
læ, DHFG, iuxta communem regulam, DF.
IN Prop.
6.
expoſita eius figura, &
vt fiat noſtrum exemplum ea-
num tranſiens per, SV, æquid ſtans ba-
ſi, FG, a cono de, FEG, reſecare conoi-
dem, SEV, quæ ad conum, SEV, habet
rationem datam, quam nempè habet H
R, ad, RL, idq; diſcimus efficere quo-
cunque ſolido ſimilari exiſtente, FEG,
cuius figura genitrix ſit, FEG, à quo .ſ.
ſciemus abſcindere per planũ baſi ęqui-
diſtans ſolidum ſibi ſimilare, quod nem-
pè erit genitũ ex hyperbola, SEV, quod
ad ſolidum ſibi ſimilare genitum ex triã-
gulo, SEV, habeat rationem datam,
dummodo data ratio ſit quidem maioris
in æqualitatis, ſed minor ſexquialtera.
IN Prop.
7.
expoſita eius figura, dimiſsis tamen rectis, ED, SO
parallelogrammis,
GX, GR, eadem reuoluatur cir-
ca manentem axim, CV, vt ex
triangulo, HCR, fiat conus, H
CR, & ex hyperbola, SOX, co-
nois, SOX, patet ergo conum,
HCR, ad conoidem, SOX, eſſe
in ratione compoſita ex ea, quã
habet quadratum, SX, ad qua-
dratum, HR, & rectangulum,
AVO, ad rectangulum, BVC.
IN Prop.
8.
ſumpto exemplo ex anteced.
figura, in qu a trap
zium, THRP, in reuolutione genuit fruſtum coni, THRP, &
nuit fruſtum conoidis, IYXS; pa-
tet fruſtum coni, THRP, ad fru-
ſtum conoidis, IYXS, habere ra-
tionem compoſitam ex ea, quã
habet rectangulum ſub, GP, VR,
cum {1/3}. quadratiearum differen-
tiæ ad quadratum, VX, & ex ea,
quam habet rectãgulum, BVO,
ad rectangulum ſub, BV, OG,
vna cum rectangulo ſub compo. ſita ex {1/2}.
BO, &
{1/3}.
GV, &
ſub,
GV; &
ſic eſſe quodlibet ſolidũ
ſimilare genitum ex trapezio, T
HRP, ad ſibi ſimilare genitum ex fruſto hyperbolæ, ISXY, iux-
ta communem regulam, HR.
EX Propoſ.
9.
conſpecta figura Corollarij 7.
manifeſtò colli-
gitur Conum, HCR, ad conoidem, SOX, eſſe vt cubus, CV,
ad parallelepipedum ter ſub, CO. &
quadrato, OV, cumcubo, O
V, & ſic etiam eſſe quæcunq;
ſolida ſimilaria genita ex triangulo,
HCR, ad ſibi ſimilaria genita ex hyperbola, SOX, iuxta commu-
nem regulam, HR.
IN Prop.
10.
colligimus ſolida ſim laria genita ex hyperbolis,
AOC, OVX, habere inter ſe rationem compoſi@am ex ratio-
nibus ibi appoſitis, quæ breuitatis gratia inibi recola@tur.
IN Propoſ.
11.
expoſita eius figura, habemus conoides hyper-
bolicas ab eadem conoide diremptas. habere inter ſe rationẽ
Vt autem
fiat noſtrum exemplum, intelligatur in ipia (in qua dimittantur
aſymptoti, & rectæ, ad, DC, OV, VX, PO, PX,) BD, eſſe axem,
circa quam reuoluatur figura, vt ex hypeibola, ADC, fiat conois
vlterius per,
OX, traducatur planum, OX, ere-
ctum plano genitricis hyperbolæ,
ADC, cuius pars in conoide con-
cepta erit ellipſis, OX, cuius maior
diameter, OX, minor autem in fi-
gura propoſitionis linea, PO, ha-
bemus igitur ex Prop. 11.
conoi-
dem, ADC, ad conoidem, OVX,
habere rationem compoſitam ex
ratione rectanguli ſub, MB, HI,
ad rectangulum ſub, RI, FB, & ex
dine hyperbolæ, ADC, baſi qua-
drato, AC, ad parallelepipedum ſub altitudine hyperbolæ, OVX,
baſi autem rectangulo ſub, XO, OP, veluti ſunt omnia quadrata
hyperbolæ, ADC, regula, AC, ad omnia rectangula hyperbolæ,
OVX, (regula, OX,) ſimilia rectangulo ſub, XO, OP, ſiue omnes
circuli eiuſdem ad omnes ellipſes hyperbolæ, OVX, ſimiles ellipſi,
minor, nam omnes dicti circuli ſunt omnia plana conoidis, ADC,
regula, AC, & dictæ omnes ellipſes ſunt omnia plana conoidis, O
VX, eandem autem rationem ſupradictæ comperiemus habere
quæcunq; lolida non quidem ſimilaria inter ſe, ſed quorum om-
nia plana ſint omnes figuræ ſimiles genitricium figurarum, ADC,
OVX, a quibus genita dicuntur, quæ habeant inter ſeeandem ra-
tionem ei, quam habet quadratum, AC, ad rectangulum, XOP.
IN Propoſ.
12.
conſpecta illius figura, &
completis conoidibus,
BAD, HMQ, patet eorum rationem eſſe compoſitam ex ra-
tionibus ibi explicatis, vbi videri poterunt. Quas quidem ratio-
nes comperiemus etiam habere quæcunq; ſolida, licet etiam non
ſimilaria ad inuicem, genita tamen ex eildem figuris, quarum om-
nes figuræ ſimiles (inter ſe, quę ſunt vnius, vtriuſq; tamen figuræ
genitricis diſſimiles) habeant eandem rationem, quam habent
comparata.
IN Prop.
13.
habetur ſimiles conoides hyperbolicas eſſe in tri-
ex ſimilibus hyperbolis naſcuntur: lgitur in anteced.
Corollarij
figura, ſi ſupponantur ſimiles hyperbolæ, BAD, HMQ, vt fiant
ex illis ſimiles conoides hyperbolicæ, FEG, HTS, iſtæ erunt inter
ſe in tripla ratione axium, AC, MP, & ſic erit quodlibet ſolidum
hyperbola, HTS, iuxta regulas, FG, HS.
IN Prop.
14.
expoſita eius figura, vt fiat exem plum, reuolua-
cylindrus, EF, & ex trilineo, DGB, ſo-
lidum, DBGF, quod vocetur: Apex
hyperbolicus; patet ergo cylindrum, E
F, ad apicem, BDF, eſſe vt, BD, ad ſui
reliquum, dempta ab eodem ſemihy-
perbola, BED, vna cum exceſſu, quo
ipſa ſuperat {1/3}. parall:
logrammi, BD, &
{1/6}. BM;
&
ſic eſſe patet, quodlibet ſoli-
dum ſimilate genitum ex, BD, ad ſibi
ſimilare genitum ex ſemihyperbola, BE
D, iuxta communem regulam, ED.
IN Propoſ.
15.
expoſita
p@u@n, eadem voluatur cir-
ca axim, GD, vt ex, FD,
fiat cylindrus, FH, & ex
hyperbola, CBD, ſolidum,
CBDNH, quod voeetur: Sem anulus ſtr@ctus hyper-
bolicus: @ntelligantur autẽ
ſe@nper hæc ſolida ſecari
per axem, vt ijs producan-
tur figuræ, quæ in reuolu-
D, produci figuram, FH, compoſitam ex duobus parallelogram-
mis, FD, DM, & figuram, CBDNH, compoſitam ex duabus hy-
perbolis, CBD, DNH; patet ergo cylindrum, FH, ad ſolidum, C
BDNH, eſſe vt, FD, ad hyperbolam, CBD, & ſic eſſe quodlibet
ſolidum ſimilare genitum ex, FD, ad ſibi ſimilare genitum ex hy-
perbola, CBD, iuxta communem regulam, CD.
IN Prop.
16.
vt fiat exemplum, reuoluatur eius figura circa
axim, HM, vt ex, FM, fiat cylindrus, FQ, & ex hyperbola, C
CBD, SOQ,
quod voce-
tur: Semia-
nulus latus
hyperbolicus
patet ergo cy
lindrum, FQ,
ad ſemianulũ
latum hyper-
bolicum, CB
DSOQ, eſſe
vt, FD, ad
hyperbolam, CBD, & ſic eſſe quodlibet ſolidum ſimilare genitum
ex, FD, ad ſibi ſimilare genitu@n ex hyperbola, CBD, iuxta com-
munem regulam, CD.
VNde habetur ex Corollario cylindrum, FH, in figura Co-
rollarij antecedentis ad ſemianulum ſtrictum hyperbolicu,
CBDNH, eſſe vt cylindrum, FQ, in ſigura huius Corollar jad
ſemianulum latum hyperbolicum, CBDSOQ, & ſic ſolida ſimi-
laria, &c.
IN Prop.
17.
ſi, ducta parallela axi, vel diametro hyperbolæ, B
E, ſit, GD, patet in ſigura Corollarij 15. quam ra@onem ha-
Semiba-
ſis columnaris ſtricta hyperbolica: Si verò dicta parallela ſit, HM,
anteced. quam rationem
habeat cylindrus, FQ, ad
ſolidum, CBOQ, quod vo-
cetur: Semibaſis colum-
naris lata hyperbolica: ſi
tandem ſit, RS, voluto, FS,
circa axim, RS, vt ex, FS,
fiat cylindrus, FH, & ex fi-
gura, CBRS, ſolidum, CB
DH, quod vocetur: Se-
mibaſis columnaris media
hyperbolica: patet cylin-
drum, FH, ad ſemibaſim, CBDH, eſſe vt quadratum, CS, ad qua-
dratum, SE, quadratum, EI, & rectangulum bis ſub, VE, ES, vt
& ſolida ſimilaria ex eiſdem genita iuxta communẽ regulam, CS.
IN Prop.
18.
habetur, viſis proximis antecedentibus figuris, ſe-
m@anulum latuin hyperb@l@cum, CBDSOQ, ad ſemianulum
ſtrictum hyperbo icum, CBDNH, eſſe vt, CM, MD, ad, DC; &
ſic ſolida ſimilaria, &c.
IN Prop.
19.
habetur, viſa figura Corollarij 15.
conoidem hy-
perbo@icam genitam ex ſem@hyperbola, CBE, ad ſem@anulũ
@tr@ctum hyperbolicum, CBDNH, eſſe vt quadiatum, IE, ad re-
ctangulum ſub, CD, & dupla, VE.
VNde in Corollario colligitur eandem conoidem ad ſemianu-
lum latum hyperbolicum eſſe vt quadratum, EI, ad rectan-
gulum ſub compoſitæex, CM, MD, & ſub dupla, VE, &
ſic ſoli-
da ſim@laria ex eiſdem figuris genita iuxta communem regulam,
CD.
IN Prop.
20.
expoſita eius figura, &
vt fiatſolitum exemplum;
ea circa axim, FE, reuoluta, vt ex, BE, fiat cylindrus, BC, &
C, fiant conoides, BND, AMC, quę
pariter dicantur; Conoides oppoſitę,
Pitet cylindrum, BC, ad reliquum,
demptis ab eodem oppoſitis cono@di-
bus, AMC, BND, eſſe vt rectangulũ,
NEO, ad rectangulum, NOE, bis,
cum {2/3}. quadrati, ME;
&
ſic eſſe quod-
libet lolidum ſimilare genitum ex, B
E, ad reliquum, demptis ab e@dem
ſolid@s ſimilaribus gen tis ex ſemihy-
perbolis, BNF, AME, vel ſic ſolidum
quodlibet ſimilare genitum ex, BC, ad
relliquum ab eodem, dempt@s ſolidis
ſimilaribus genitis ex hyperbolis op-
poſitis, BND, AMC, iuxta commu-
nem regulam, AC.
IN Prop.
21.
expoſita eius figura, &
ea circa axim, LX, reuo-
luta, vt ex, DX, fiat cylindrus, DE, & ex figura, DAFEVC,
quod vocetur: @ym-
panum hyperbolicũ: &
ex triangulis, HL
O, OXN, oppoſit
coni, HOS, NOY,
patet cylindrum, D
E, adtympanum, D
AFEVC, eſſe vt qua-
dratum, FE, ad qua
dratum, AV, cum1.
quadrat@ HS,. Ve (vt aliter ibiexplicatur) vt quadratum, RZ,
ad quadratum, AV, vna cum rectangulo ſub, AZ, & rexquitertia,
ZV; &
ſic eſſe quod@bet ſolidum ſimilare genitum ex, DE, ad ſibi
lam, FE.
IN Prop.
22.
ſi in ſuperioris figura ſupponamus, FR, eſſe æqua-
lem ei, quæ tangens ſectionem, DAF, in, A, concluditur in-
ter, A, & aſymptoton, ON, habetur cylindrum, DE, eſſe ſexquial-
terum tympani hyperbol ci, DAFEVC, & hoc tympanũ eſſe qua-
druplum conorum, NOY, HOS, & ſic eſſe ſolida ſimilaria ex
eiſdem figuris genita iuxta communem regulam, DC.
IN Coroll.
1.
habetur cylindrum, DE, ad tympanum hyperbo-
licum, DAFEVC, demptis conis oppoſitis, HOS, NOY, eſſe
vt quadratum, DC, ad quadratum, AV, & in caſu præſentis Prop.
eſſe eorum dupla, &
ſic ſolida ſimilaria, &
c.
IN Coroll.
2.
diſcimus inuenire cylindrum deſcriptum à paral-
lelogrammo ſectionibus oppoſitis circumſcripto, vt ibi dicitur,
quod ad reliquum tympani hyperbolici, demptis oppoſitis conis,
habeatrationem datam, dummodo ea ſit maioris inæqualit. idem
intellige de ſol dis ſimilaribus, &c.
IN Prop.
23.
aſſumpta eius figura, &
,
reuoluta, vt ex, FC, fiat cylindrus, FC, &
ex, TN, cylindrus, TN, & ex oppoſitis,
hyperbolis, FAD, EVC, oppoſitæ conoi-
des, FAD, EVC, & ex, TAY, MVN, op-
poſitæ, conoides, TAY, MVN, patet er-
go cylindrum, FC, demotis oppoſitis co-
noidibus, FAD, EVC, ad cylindrum, TN,
demptis oppoſitis conoidibus, TAX, MV
N, eſſe vt parallelepipedum ſub, ZV, &
baſirectangulo, VOZ, cum {1/3}. quadrati,
ZV, ad parallelepipedum ſub, ZV, baſi
rectangulo, VOS, cum {1/3}. quadrati, SV, &
dis ſimilaribus genitis ex oppoſitis hypeibolis, FAD, EVC, ad @o-
lidum ſibi ſimilare genitum ex, TN, demptis ſolidis ſimilaribus
genitis ex oppoſitis hyperbolis, TAY, MVN, iuxta communem
regulam, EC.
IN Propoſ.
24.
expoſita eius figura, &
, vt fiat exemplum, ea
circa axem, XL, reuoluta, vt ex figura, EV@DAF, fiat tyin-
panum hyperbolicum, EVCDAF, & ex figura, MVNYAT, fiat
MVNYAT, patet tympa-
num, EVCDAF, ad tympa-
num, MVNYAT, eſſe vt
parallelep pedum ſub, XL,
& quadrato, RZ, cum duplo
quadrati, AV, ad parallele
pipedum ſub, HG, & qua
drato, B@, cum duplo qua-
drati, AV; &
ſic eſſe quod-
libet ſolidum ſim@lare genitũ
ex figura, EVCDAF, ad ſibi ſimilare genitum ex figura, MVNY
AT, iuxta communem regulam, CD.
IN Prop.
25.
viſa figura anteced.
Coroll in qua ex triangulis,
QOP, IOK, geniti ſint coni opooſiti, QOP, IOK, & ex trian-
gulis, ΠΟΩ, ℟O&, coni oppoſiti.
ΠΟΩ, ℟O&
, patet tympanu,
EVCDAF, demptis con@s, QOP, IOK, ad tympanum, MVNYA
T, demptis conis, ΠΟΩ ℟O&, eſſe vt, XL, ad, HG;
&
ſic eſſe ſo-
lidum ſimilare genitum ex figura, EV@DAF, demptis ſolidis ſimi-
laribus genitis ex triangulis, QOP, IOk, ad ſolidum ſimilare geni-
tum ex figura, TAYNVM, demptis ſolidis ſimilaribus genitis ex
triangulis, &O℟, Ω@Π, @uxta communem regulam, AV.
IN Prop.
26.
viſis figuris Corollarij 23.
24.
&
ſuppoſito, FC,
eſſe idem parallelogrammum, in vunq; figuris pate@ cylin-
23.
demptis oppoſitis conoidibus, F
AD, EVC, ad tympanum hyperbolicum genitum ex figura, EVC
DAF, in figura Coroll. 24.
ſcilicet ad tympanum hyperbolicum,
EVCDAF, habere rationem compoſitam ex ratione rectanguli,
AOZ, bis cum {2/3}. quadrati, VZ, ad rectangulum, AZO, &
ex ra-
tione rectanguli ſub, DC, vel, RZ, & ſub, EC, ad quadratum, A
V, cum {1/3}. quadrati, KI, vel cum rectangulo ſub, AZ, &
ſexqui.
tertia, ZV, &
ſic eſſe quodlibet ſolidum ſimilare genitum ex, FC,
de@nptis ſolidis ſimilaribus genitis ex oppoſitis hyperbolis, FAD,
EVC, iuxta communem regulam, EC, ad ſolidum ſimilare ſibi
genitum ex figura, EVCDAF, iuxta regulam, CD.
IN Prop.
27.
conſpecta figura Coroll.
21.
intelligantur deſcri-
ptæ ſectiones, BIG, kMP, quæ dicuntur coniugatæ ſectioni-
bus, DAF, CVE, ex quibus in reuolutione genitæ fuerint oppoſi-
tæ conoides, B G, kMP, patet igitur cylindrum, DE, ad tympa-
num hyperbolicum, DAF, EVC, demptis oppoſitis conoidibus,
BIG, KMP, eſſe vt parallelepipedum ſub, ZC, & ſub quadrato, Z
Q (quæ habetur extenſa, ZC, ad aſymptoton producta .ſ.
ad, OS,
cu@occurrat in, Q,) a@ parallele ipedum bis ſub, XM, & quadra-
to, MO, cum cubo, MO, & amplius {1/3}.
eiuſdem cubi;
&
ſic eſſe
quodlibet ſolidum ſimilare genitum ex, FC, ad ſibi ſimlare g@nitũ
ex figura, DAFEVC, demptis ſolidis ſimilaribus genitis ex oppo-
ſitis hyperbolis, BIG, KMP, iuxta cõmunẽ regulam, FE, vel, AV.
IN Prop.
28.
illius aſſumpta figu-
&Y, vel, GZ, ſit autem reuolutio
circa, &Y;
patet ergo cylindrum ge-
nitum ex, TV, nempè, TV, ad reli-
quum, ab eodem demptis ſolidis ge
nitis ex quatuor hyperbolis coniu-
gatis, BFH, PIQ, AEC, MON, eſſe
vt cubus, ZV, vel, SY, ad parallele-
pipedum ſub, QV, & quad.
ZV, vna
cum parallelepipedo ſub, ZQ, & ſub
compoſito ex {1/3}. quadrati, ZQ, &
qua@rato, SO, ab his tamen dempto
parallelepipedo ſub, SO, & quadra
to, OY, cum {1/3}. cubi, OY, &
ſic eſſe
ad ſibi ſimilare genitum ex figura, TBFHRVQIPX, demptis ſo-
lidis ſimilaribus genitis ex oppoſitis hyperbolis, AEC, MON, iux-
ta communem regulam, RV; eadem verò eſſe oſtendemus ſum-
pta pro regula ipſa, VX, & reuolutione facta circa axem, GZ.
IN Coroll.
colligitur cylindrum, TV, ad cylindrum, TP, &
, HV,
cum tympano, BFHQIP, eſſe vt cubus, YS, ad parallelepipedũ
ſub, KY, & quadrato, YS, vna cum parallelepido ſub, KS, &
com-
poſito ex quadrato, SO, & {1/3}.
quadrati, SK;
&
ſic ſolida ſimilaria ex
elſdem figuris genita iuxta ibi aſſumptam regulam, RV.
IN Propoſ.
29.
viſa eius figura, eaque reuoluta circa axem, &
Y,
vt in anteced. conſpicitur, patet ſolidum in reuolutione de-
ſcriptum a figura reſidua, demptis à parallelogrammo, T V, qua-
tuor hyperbolis, BFH, PIQ, AEC, MON, ad ſolidum deſ@riptum
in reuolutione ex figura reſidua, demptis à parallelogrammo, βΩ,
quatuor hyperbolis, 9F7, ΦΙΛ, L E ſ, ΣΟ3, eſſe vt parallelepipe-
dum ſub QV, & quadrato, VZ, vna cum parallelepipedo ſub, QZ,
& compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati, QZ, ab his dempto
parallelepipedo ſub, SO, & quadrato, OY, &
{1/3}.
cubi, OY, ad paral-
lelepipedum ſub, ΛΩ, & quadrato, Ω4, vna cum parallelepipedo
ſub, Λ4, & compoſito ex quadrato, SO, &
{1/3}.
quadrati, Λ4, dempto
parallelepido ſub, SO, & quadrato, O6, cum {1/3}.
cubi, O6:
Sic etiam
patet eſſe quodlibet ſolidum ſimilare genitum ex figura, TBFHR
VQIPX, demptis ſolidis ſimilaribus genitis ex opoſitis hyperbolis,
AEC, MON, ad ſibi ſimilare genitũ ex figura, B9F72ΩΛΙΦΛ, dem-
ptis ſolidis ſimilaribus genitis ex oppoſitis hyperbolis, LEF, ΣΟ3,
iuxta communem regulam, RV.
IN Coroll.
colligitur eadem ſolida, genita nempè ex figuris,
TBFHRVQIPX β9F72ΩΛ ΙΦΔ, iuxta communem regulam,
RV, nihil ab eis dempto, eſſe vt dicta parallelepipeda, nihil pari-
@er ab eiſdem dempto.
_S_I verò intelligeremus, reuolutionem parallelogrammi, TV, non
fieri circa, &γ, ſed circa, XV, vel illi parallelam, ſeu circa, TX,
aut illi parallelam, quoniam figura, T BFHRV QIPX, cxempli gratia,
talis eſt, qualem poſtulant Propoſ. 29.
&
30.
lib.
3.
vt facilè patet,
ideò cylindrus, vel faſcia cylindrica genita ex parallelogrammo, TV,
ad ſolidũ genitũ in tali reuolutione ex dicta figura, TBFHRV QIPX,
erit vt dictum parallelogrammum, TV, ad dictam figuram, T BFHR
VQIPX. Mitto autem hic pariter quamplurima, quæ adbuc circa hæc
indaganda ſuperſunt, vt Lectori in his laborandi locus relinqu atur-
Hæc verò circa hyperbolam, & oppoſitas ſectiones pro nunc adinue-
niſſe fit ſatis.
SI, dato quocumque circulo, ſuper eiuſdem
centro, ad diſtantiam omnium punctorum
rum circumferentiæ deſcribi intelligan-
tur; prædictæ circumferentiæ ſimul ſum-
ptæ dicantur. Omnes circumferentiæ dati circuli.
ET ſi à præfato circulo quęcumque figura abſciſſa in-
telligatur; portiones omnium circumferentiarum
dicti circuli, conceptæ in abſciſſa figura, dicentur. Om-
nes circumferentiæ eiuſdem abſciſſæ figuræ.
SPatium Helicum voco, quod copræhenditur ſub ſpira-
li, vel eius quacumque portione, & rectis, quæ à ter-
minis eiuſdem ſpiralis, ſeu illius portionis, ad initium re-
uolutionis ducuntur.
SPiralem verò intelligo iuxta diffinitionem Archimedis
lib. de Spiralibus, nempè, ſi cuiuſcumque circuli ra-
dius æquali celeritate moueatur circa ipſius centrum (cu-
ius aliud extremum punctum periphæriam deſcribet) ini-
tio autem circulationis diſcedat à centro punctum æque-
uelociter motum ſuper radio, taliter vt eodem tempore
prædictum punctum percurrat circumferentiam, & hoc ip-
ſum radium, quod ex compoſitione duorum motuum de-
ſcripta à puncto, quod radium percurrit, ipſa linea, ſit ea,
quam voco ſpiralem, cuius initium dicitur ipſum centrum,
terminus verò aliud extremum punctum ipſius radij; &
ini-
tium circulationis, ſiue voluta ipſe radius: Appellatur au-
tem hæc, ſpiralis in prima reuolutione genita, ſicuti aliæ
etiam ſunt in alijs reuolutionibus deſcriptibiles, produ-
cto radio, & continuato motu, vt in ſecunda, in tertia, in
quarta reuolutione, & ſic deinceps, vnde &
deſcripti cir-
culi dicuntur primi, ſecundi, tertij, &c.
quæ Archimedem
lib. de Spiralibus recolenti melius innoteſcent, eiuſdem
enim terminos in hoc Libro paſſim vſurpabimus
_A_Spice Schema Prop.
9.
huius, in quo eſt circuliradius, AE, qui
æqueuelociter motus circa, A, deſcribit circulum, SME, ipſum
verò, E, circumferentiam, MSE, initio autem reuolutionis diſcedat
ab, A, punctum motum æqueuelociter ſuper, AE, quam percurrat eo
tempore, quo punctum, E, pertranſit circumferentiam, MSE, deſi-
gnans curuam, AIE, hæc igitur dic itur ſpiralis in prima reuolutione
orta, cuius initium, A, terminus, E, &, AE, vocatur circulationis
initium: Exempla autem ſpir alm̃ in alijs reuolutionibus geni@ arum
babes in Schemate Cor. Prop.
20.
huius, etenim, LSO, in ſecunda,
OTP, in tertia, PVG, autem in quarta reuolutione genitæ dicuntur.
CIrculorum æqualium, necnon ſectorum æqualium,
& ab eodem, vel æqualibus circulis abſciſſorum,
omnes circumferentiæ ſunt æquales.
Hæc Propoſitio facilè per ſuperpoſitionem oſtendetur.
Si
enim circuli æquales ad inuicem ſuperponantur, ita vt centrum
centro congruat, etiam ipſi circuli congruent, cum ſupponantur
æquales, vnde & eorum radij ſint æquales, congruentibus autem
circulis, etiam omnes vnius circumferentiæ congruent omnibus
alterius circumferentijs, & ideò inter ſe æquales erunt.
Eadem
pariter ſuperpoſitionis adhibita via, oſtendemus ſectorum æqua-
lium, ab eodem, vel æqualibus circulis abſciſſorum omnes circum-
ferentias inter ſe æquales eſſe, quod erat demonſtrandum.
OMnis circulus æqualis eſt triangulo rectangulo, cu-
ius radius eſt par vni eorum, quæ ſunt circa rectum
angulum, circumferentia verò baſi.
Hæc oſtenditur ab Archimede lib.
de Dimenſione Circuli, Pro-
poſ. 1.
propterea ibirecolatur.
OMnis ſector circuli æqualis eſt triangulo rectangu-
lo, cuius circuli radius eſt par vni eorum, quæ ſunt
circa rectum, circumferentia verò baſi illius ſectoris.
Si circulus, ABCD, cuius radius, ED, &
ſector, EDC, expo
ſito vero triangulo, HOM, cuius angulus, HMO, ſit rectus, &
letus, HM, æquale ipſi, ED, &, MO, circumferentiæ, ABCD,
&
iungatur, HN.
Dico
ergo ſectorem, ECD, æquari triangulo, HNM,. Nam circulus,
ABCD, ad ſectorem, CED, eſt vt circumferentia, ABCD, ad cir-
autem circulus, ABCD,
æqualis triang. HOM,
ergo triangulus, HOM,
ad ſectorem, ECD, eſt
vt circumferẽtia, ABCD,
ad circumferentiam, CD,
ideſt vt, OM, ad, MN, id-
eſt vt triangulus, HOM,
ad, HNM, igitur idem
triangulus, HOM, ad ſe-
ctorem, ECD, ad trian-
gulum, HNM, eandem
habet rationem, ergo ſector, ECD, eſt æqualis triangulo,
HNM, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc patet, ſi ſumpto vtcumque puncto in, ED, vt, X, centro,
E, ad diſtantiam, X, circuferentia, FZX, deſcripta fuerit in-
ſuper abſciſſa, HR, æquali ipſi, EX, per, R, ducta fuerit, SR, parllela
ipſi, OM, ſecans, HN, in, I, trape zium, OSRM, æquari reſiduo circu-
li, ABCD, ab eo dempto circulo, FZX, quod reſiduum dicatur faſcia
circulorum, BD, FX, nam circulus, BD, ad circulum, FX, eſt vt qua-
dratum, DE ad quadratum, EX, ideſt vt quadratum, MH, ad qua-
dratum, HR, ideſt vt triangulus, HOM, ad triangulum, HSR, vnde,
æquatur triangulo, HSR, vnde faſcia, BF, æquatur trapezio, OSRM; eoden modo colligemns reſiduum ſectoris DEC, ab eo dempto ſectore,
æquart trapezio, IRMN.
_P_Atet inſuper, quia circulus, CDB, æquatur triangulo, HOM, &
circulus, FZX, triang. HSR, item circumferentia, ABCD, ipſi
OM, &, FZX, ipſi, SR, (nam, DE, æquatur ipſi, MH, &
, EX, ipſi, RH,)
quod veluti, OM, ad, SR, eſt vt, MH, ad, HR ita circumferentia, ABCD,
ad, FZX, erit vt, DE, ad, EX. Sic etiam oſtendemus ſimilium ſectorum,
CED, ZEX, circumferentias, CD, ZX, eſſe vt ſemidiametri, DE EX, &
ipſos ſimiles ſectores eſſe vt quadrata ſemidiametrorũ, DE, EX, quoniã
tem circuli ſunt, vt diametrorum quadrata.
DAti circuli, necnon ſimiles fectores inter ſe ſunt, vt
omnes eorundem circumferentiæ.
Sint in eadem antecedentis figura circuli quinque, BADC,
FXZ, deſcripti ſuper eodem centro, E, & abijſdem intelligantur
ED, XEZ. Dico circulos,
DABC, FZX, necnon ſe-
ctores, DEC, XEZ, inter ſe
eſſe, vt omnes iplorum cir-
cumferentiæ. Sit denuò
expoſitũ triãgulum, HOM,
cuius ſit angulus rectus, H
MO, latus, HM, æquale ra-
dio, ED, &, MO, circum-
ferentiæ, DCBA, abſciſſa
autem, HR, æqualr ipſi,
EX, & per, R, ducta paral-
lela ipſi, OM, quæ ſit, SR, intercepta lateribus, HO, HM, patet,
vt dicebatur in Corol. 2.
ant.
Propoſ.
quod circumferentia, FZX,
æquatur ipſi, SR, eodem modo abſcindentes ab ipſis, HM, ED,
verſus, H, E, puncta æquales quaſcunque rectas lineas, & per ea-
rum terminos ducentes parallelam quidem ipſi, OM, in triangulo,
& circumfer entiam iuper cenrro, E, in circulo, ABCD, manife-
ſtum erit prædictam circumferentiam æquari prædictæ parallelæ,
lateribus, HO, HM, interceptæ, & vnicuique circumferentiæ in
circulo, ABCD, fic deſcriptæ reſpondere ſuam parallelam in triã-
gulo, HOM, cum ſint rectę, HM, ED, æquales, igitur conclude-
mus omnes circumferentias circuli, DABC, æquari omnibus li-
neis trianguli, HOM, regula, OM, ſicut etiam omnes circumfe-
rentias circuli, FZX, æquari omnibus lineis trianguli, HSR, regu-
la eadem, OM, quapropter, vt omnes lineæ trianguli, HOM, ad
omnes lineas trianguli, HSR, ideſi vt triãgulum, HOM, ad, HSR,
rentiæ circuli, ABCD, erunt ad omnes circumfarentias circuli
ciuidem, FZX; quod &
fimuli methodo de ſectoribus ex.
g.
DEC,
CD, facilè oſtendemus, hæc autem erant demonſtranda.
QVicumque ſectores inter ſe comparati, ſeu quæcum-
que figuræ ex ſectoribus compoſitæ ad ſectores, vel
ad figuras ex ſectoribus compoſitas comparatæ, habent
eandem rationem, quam omnes ipſarum circumferentiæ
ad omnes illarum circumferentias.
Sint quicunque circuli ſuper centro, A, nempè, ECD, maior, &
,
VIO, minor, & in, ECD, fit ſector quicunque, CAD, &
ſimiliter
in, VIO, quilibet ſector, OAB. Dico ſectorem, CAD, ad ſectorẽ,
OAB, eſſe vt omnes circumferentias, CAD, ad omnes circumfe-
rentias, OAB. Secent radij, CA, AD, circumferentiam, VIO, in
Eſt ergo ſector, CAD, ſi-
milis ſectori, IAO, & ideo eſt ad illum,
vt omnes circumferentiæ ad omnes
vt ſector, IAO,
ad ſectorem, OAB, ita omnes cir-
cumferentiæ ad omnes circumferen-
tias, nam ſector, IAO, ad, OAB,
eſt vt circumferentia, IO, ad, OB,
vt verò, IO, ab, OB, ſic, deſcripta cir-
cumferentia, STR, vtcumque, ipſa, ST,
ad, TR, eſt enim, IO, ad, ST, vt OA, ad,
tando, vt, IO, 3d, OB, ſic, ST, ad, SR, & vt vnum ad vnum, ita
omnia ad omnia, ideſt vt, IO, ad, OB, ita omnes circumferentiæ,
IAO, ſectoris ad omnes circumferentias ſectoris, OAB, ſed vt, IO,
ad, OB, ſic, vt dectũ eſt, ſe habet ſector, IAO, ad, OAB, ergo, IAO,
ad, OAB, eſt vt omnes circum ferentiæ, IAO, ad omnes circumfe-
rentias, OAB, ſed & ſectorem, CAD, ad, IAO, eſſe oſtenſum eſt,
vt omnes circumferentiæ, CAD, ad omnes circumferentias, IAO,
ergo ex æquali ſector, CAD, ad ſectorem OAB, eſt vt omnes cir-
cumferentiæ, CAD, ad omnes circumferentias, OAB. Et com-
ponendo figura compoſita ex ſectoribus, CAD, OAB, ad ſectorẽ,
OAB, erit vt omnes circumferentiæ figuę eiuſdem, ad omnes cir-
cumferentias ſectoris, OAB, veiuti etiam ſi prædicta figura non
figuram ex ſectoribus com-
poſitam compararetur, oſtenderemus, eaſdem figuras eſſe inter ſe,
vt omnes earundem circumferentiæ, quod demonſtrare opus
erat.
_P_Atet aùtem, veluti oſtenſum eſt ſectores, AIO, AOB, eſſe vt om-
nes eorum circumferentiæ eodem modo demonſtrari poſſe, circu-
lum, VOB, & ſectorem, AOB, &
in uniuerſam circulos, &
ſuos ſe-
ctores inter ſe eſſe, vt omnes eorum circumferentiæ.
SI in circulo ab eiuſdem centro ad circumferentiam
curuam quædam linea illius conditionis producatur,
vt quæcunq; rectæ lineæ à centro ad ipſam pertingentes
(præter illius extrema iungentem) intra illud ſpatium ca-
dant, quod comprehenditur ducta curua, & illius extrema
iungente: Erit dictum ſpatium ad propoſitum circulum,
vel quemcunq; ſectorem, vt omnes eiuſdem circumferen-
tiæ ad omnes illius circumferentias.
Sit quicunque circulus, NOQT, &
centrum, A, curua, AFN,
ducta à centro, A, ad periphæriam, cui incidat in, N, & fit eius
conditionis, qualis ſuppoſitum eſt, ſitq; iuncta, AN, Dico igitur
circulum, NOQT, vel ad quem-
cunque ſectorem, eſſe vt omnes
eiuſdem circumferentiæ ad om-
nes illius circumferentias. Fiat
vt circulus, NOQT, ad figuram,
NFA, ita circumferentia, NOQ
T, ad circumferentiam, QR, ita
enim erit, & circulus, NOQT,
ad ſectorem, QAR, iunctis, QA,
AR, vnde ſector, QAR, erit æ-
qualis figuræ, AFN, vel ergo
omnes circumferentiæ, QAR, æquantur etiam omnibus circum-
ferentijs figuræ, AFN, & ſic quia fector, QAR, ad circulum, NO
etiam figura, AFN, ad circulum, NOQT, & conſequenter etiam
ad quẽcumq; illius ſectorem per anteced.
Prop.
&
Cor.
erit vt om-
nes circumfer. ad omnes circumferentias:
Vel, niſi omnes circũ.
ferentiæ, QAR, æquantur omnibus circumferentijs figuræ, AFN,
erunt eiſdem maiores, vel minores, ſint primò maiores, qua ntita-
te omnium circumferentiarum ſectoris, AST, intellecta autem à
gente curuam, AFN, in puncto,
A, quæ circumferentiæ incidat
in, O, ſecetur circumferentia, O
N, bifariam in, L, & rurſus par-
tes, OL, LN, bifariam in pun-
ctis, P, M, & hoc ſemper fiat
donec ad circumferentias deuẽ-
minor, ST, ſcilicet iplæ, OP, P
L, LM, MN, & à centro, A, ad
puncta, P, L, M, extendantur re-
ctæ, AP, AL, AM, quæ ſecaburt curuam, AFN, earum enim por-
tiones inter centrum, & curuam interceptæ, ex hypoteſi cadunt
intra ſpatium, ANFA, ſecent in, C, F, I, & centro, A, interuallis,
AC, AF, AI, arcus deſcribantur, BCD, EFG, HIK, incidẽtes pro-
ximis rectis lineis, à centro eductis, in punctis, B, D; E, G;
H, k.
Quoniam ergo omnes circumferentiæ ſectoris, QAR, ſuperant
omnes circumferentias figuræ, AFN, quantitate omnium circum.
ferentiarum ſectoris, AST, omnes autem circumferentiæ figuræ
compoſitæ ex ſectoribus, NAM, IAH, FAE, CAB, ideſt figuræ
ſpatio, AFN, circumſcriptæ, ſuperant omnes circumferentias fi-
guræ compoſitæ ex ſectoribus, KAI, GAF, DAC, ideſt figuræ ei-
dem ſpatio inſcriptæ, quantitate omnium circumferentiarum fe-
ſectoris, BAC, & quadrilineorum, ECDF, HFGI, MIkN, quæ ſi-
mul adæquantur omnibus circumfèrentijs ſectoris, MAN, vt fa-
cilè oſtendi poteſt, propterea omnes circumferentiæ figuræ circũ-
ſcriptæ ſuperant omnes circumferentias inſcriptæ quantitate om-
nium circumferentiarum ſectoris, MAN, quæ cum ſint minores
omnibus circumferentijs ſectoris, TAS, ideò omnes circumferen-
tiæ figuræ, circumſcriptæ ſuperabunt omnes circumferentias in-
ſcriptæ minori quantitate, & eædem multò minori quantitate ſu-
perabunt omnes circumferentias ſpatij, AFN, quam omnes circũ-
ferentiæ ſectoris, AQR, ſuperent omnes circumferentias ſpatij, A
ſectoribus compoſita ad ſectorem, ſit vt omnes circumferentiæ ad
omnes circumferentias, ideò etiam figura circumſcripta minor erit
ſectore, QAR, & multò minor eri
& æqualis illi oſtenſa fuit, quod eſt abſurdum, igitur abſurdum etiã
eſt dicere omnes circumferentias ſectoris, QAR, maiores eſſe om-
nibus circumferentijs ſpatij, AFN. Dico nunc neque eſſe mino-
res, ſi hoc verum eſt, ſint minores omnibus circumferentijs ſecto-
ris, SAT, & repetita eadem conſtructione, ſit ſpatio, AFN, circũ-
ſcripta figura ex ſectoribus compoſita, & alia inſcripta, ita vt cir-
cumſcriptæ figurę omnes circumferentiæ ſuperent omnes circum-
ferentias inſcriptæ minori quantitate, quam ſint omnes circum-
ferentiæ ſectoris, SAT, ergo omnes circumferentiæ figuræ, AFN,
ſuperabunt omnes circumferentias figuræ inſcriptæ multò minori
quantitate, quam eædem ſuperent omnes circumferentias, QAR,
ergo omnes circumferentię inſcriptæ figuræ maiores erunt omni-
bus circumferentijs ſectoris, QAR, ergo figura inſcripta maior e-
tiam erit ſectore, QAR, & eodem multò maior erit figura, AFN,
contra hypoteſim, eſt enim illi æ qualis, quod eſt obſurdum, igitur
abſurdum etiam eſt omnes circumferentias ſectoris, QAR, mino-
res eſſe omnibus circumferentijs figuræ, AFN, ſed neq; ſunt illis
maiores, vt oſtenſum eſt, ergo ſunt eiſdem æquales, ſed omnes cir-
cumferentiæ ſectoris, AQR, ad circulum, OQSN, vel quemcunq; ſectorem comparatæ ſunt, vt ſpatium ad ſpatium, ergo ſpatium
erit, vt omnes illius circumfer. ad omnes iſtius circumferentias,
quod, &c.
SI in ſpiralem ex prima reuolutione ortam incidant duę
lineæ à puncto, quod eſt initium ſpiralis, & producã-
tur vſq; ad circumferentiam primi circuli, eandem rationẽ
inter ſe habebunt iſtæ in ſpiralem incidentes, quam arcus
circuli, medij inter terminum ſpiralis, & limites linearum
productarum in citcumferentia factos, ſumptis in conſe-
quentia arcubus à fine ſpiralis.
SI in ſpirales in alijs reuolutionibus genitas, quam in
lineæ ab initio ſpira-
lis, habebunt illæ in-
ter ſe eandem rationẽ,
quam arcus circuli pri-
mi, intercepti, veluti
dicitur in anteceden-
te, cum integra circũ-
ferentia toties aſſum-
pta, quotus eſt vnitate
minor reuolut ionum
numerus.
Hę duę Propoſitiones oſtenduntur ab Archimede lib.
de pir.
Prop.
14.
&
15.
_I_N prima reuolutione orta ſit ſpiralis, ACER, &
RTV MG, in ſe-
cunda, &, AC, AE, pertingant ad primam, AV, AM, ad ſecun-
dam, erit, AC, ad, AE, vt circumferentia, RSO, ad, RSN, AV, verò
ad, AM, erit vt circumferentia tota, RNOS, cum, RSO, ad, RNOS,
totam, cum, RSON, &, ſic in cæteris.
SPatium compręhenſum à ſpirali ex prima reuolutione
orta, & prima linea, quæ initium eſt reuolutionis, eſt
tertia pars primi circuli.
Sit ſpiralis in prima reuolutione genita ipſa, AIE, AE, verò re-
uolutionis initium, & centro, A, interuallo, AE, ſit primus circu-
lus deſcriptus, ESM. Dico ſpatium, AIE, tertiam partem eſſe cir-
culi, EMS. Sumpto itaq;
vtcunq;
puncto, vt, V, in, AE, centro,
A, interuallo, AV, circulus deſcribatur, VIT, & iuncta, AI, prò-
cuius latus, OQ, circa rectum, OQR, ſit æquale ipſi, AE, &, QR,
circumferentiæ, SME, & compleatur rectangulum, QZ, abſcin-
datur autem, OX, æqualis, AV, & per, X, ducatur, XY, parallela,
RE, ſecans, ZR, in, Y, &, OR, in, N, &
vertice, O, per punctum,
YX, in, G, & per, G, agatur, GB, parallela, OQ, incidens ipſi, ZO,
in, B. Quoniam ergo quadratum, ZR, ad quadratum, BG, eſt
quadratum, OX, ideſt vt quadratum, EA, ad quadratum, AV, ſed
ſic etiam eſt circumferentia, ESM, ad circumferentiam, ITV, ete-
nim ad eam habet rationem compoſitam ex ratione circumferẽ-
tiæ, ESM, ad circumferentiam, IVT, ideſt ex ea, quam habet, EA,
ex ratione circumferentiæ, IVT, ad circumferentiam,
ITV, ideſt circumferentiæ, MSE, ad circumferentiam, SME, ideſt
ex ratione, EA, ad, AI, vel ad, AV, duæ verò rationes, EA, ad, A
EA, ad quadratum, AV, ideſt vt, RQ, ad, XG, eſt autem, RQ, æ,
qualis circumferentiæ, MSE, ergo &, GX, circumferentiæ, ITV,
æqualis erit, & ſic oſtendemus quamlibet circumferentiam ipſi
A, concentricam, & interceptam inter ſpiralem, AIE, &
rectam
AE, tamen extra ſpatium helicum, AIE, adæquari ductæ in trili-
neo, OGRQ, ipſi, RQ, ductæ parallelæ, quæ nempè abſcindunt
verſus puncta, O, A, ipſarum, OQ, AE, partes ęquales, & quia,
OQ, AE, ſupponuntur æquales, ideò omnes lineę trilinei, OGR
Q, regula, RQ, omnibus circumferentijs trilinei recta, AE, ſpira-
li, AIE, & circũferentia, MSE, cõpręhenſi æquales erunt.
Similiter,
quia eſt, RQ, ad, NX, vt, QO, ad, OX, vel, EA, ad, AV, vel circũ-
ferentia, MSE, ad, TIV, æquatur autem, RQ, ipſi, MSE, ergo, N
X, æquatur circumferentiæ, TIV, & ſic oſtendemus omnes lineas
trianguli, ORQ, adæquari omnibus circumferentijs circuli, MSE,
ergo vt trianguli, ORQ, omnes lineæ ad omnes lineas trilinei, OG
RQ, vel vt triangulum, ORQ, ad trilineum, OGRQ, ita omnes
guræ ſpirali, AIE, recta, AE, & circumferentia, MSE, concluſæ,
& per conuerſionem rationis triangulum, ORQ, vel, OZR, ad fi-
guram, OGR, erit vt omnes circumferentiæ circuli, MSE, ad om-
nes circumferentias ſpatij helici, AIE, ideſt vt circulus ad ſpatium,
AIE, (quia curua, AIE, eſt talis conditionis, qualem poſtulat Prop.
vt elicitur ex Prop.
7.
huius) cum verò ſemiparabola, OGRZ,
ſit ſexquitertia trianguli, OZR, vnde diuidendo figura, OGR, ſit
tertia pars trianguli, OZR, ideò, & ſpatium helicum, AIE, tertia
pars erit circuli, MSE, quod demonſtrare oportebat.
_H_Vcuſq;
per methodum indiuiſibilium etiam in boc Libro libuit
procedere, vt innoteſceret nos poſſe, quæ Archimedes oſtendit
Lib. de Spiralibus, circa ſpatiorum menſuram, etiam tali artificio de-
monſtrare, etenim ſi quis hoc attentauerit circa ſequentes Propoſitio-
nes, idipſum obtineri poſſe facilè animaduertet, veruntamen hoc ar-
bitrio, ac iudicio Lectoris relinquendo, placuit etiam ſtylo veteri,
aliter tamen ab Archimede, eaſdem propoſitiones demonſtrare.
SIt alia ſpiralis ex prima reuolutione orta, ASRMB, AB, verò
initium reuolutionis, & centro, A, interuallo, AB, ſit primus
circulus deſcriptus, ECDB, deinde exponatur triangulus, FHG,
rectum habens angulum ad, G, cuius latus, FG, ſit æquale ipſi, A
B, & HG, circumferentiæ, ECDB, erit ergo triangulus, FHG, æ-
qualis circulo, ECDB, intelligatur deinde in eiuſdem trianguli
, HG, pa-
tanget ſectionem in puncto, F. Dico igitur, FLHG, trilineum
ſpirali, ASRMB, &, AB, ſi enim non eſt illi æquale, erit eodem,
cetur, Ω, rurſus diuidatur, HG, bifariam in, Π, & iungantur, FΠ,
& ſic ipſæ, AΠ, ΠG, diuidantur bifariam in, P, Γ, &
iungantur,
PF, ΓF, ſicque ſemper fiat donec deuentum ſit, vt ad triangulum,
FΓG, quod ſit minus ſpatio, Ω, deueniemus autem, nam à ma-
gnitudine propoſita, & his, quæ relinquuntur, ſemper aufertur
ducantur, XQ, YKT, ZLV, ſecantes, FG, in punctis, Q, T, V, di-
co, FG, per hæc ſecari in partes æquales, nam, HG, ad, GT, ha-
betrationem compoſitam ex ea, quam habet, HG, ad, IQ, &, IQ,
ad, ΓG, ſed, AG, ad, IQ, eſt vt quadratum, GF, ad quadratum, F
Q, &, IQ, ad, ΓG, vt, QF, ad, FG, ideſt vt quadratum, QF, ad
rectangulum, QFG, ergo, HG, ad, GT, habebit rationem com-
quadratum, FQ, ad rectangulum, QFG, quæ erit eadem ei, quam
bet, GF, ad, FQ, igitur, HG, ad, GT, erit vt, GF, ad, FQ, eodem
eſſe vt, GF, ad, FT, &
HG, ad,
GP, vt, GF, ad, FV, vnde, FG, diuiſa erit in partes æquales; ha-
lo, FIQ, & ex trapezijs, KQ, LT, HV;
compoſitam, &
aliam in-
exceſlus cir-
angulo, IFQ, quę, quia ęquantur trapezijs, ΓV, VN, NQ, &
triangulo, IFQ, (nam dicta trapezia ſunt reſidua triangulorum in
ęqualibus baſibus, & altitudinibus conſtitutorum) ideſt triangulo,
FΓG, ſubinde ſunt minora ſpatio, Ω, & ideo circumſcriptã ſuperat
inſcriptaminori ſpatio, quam ſit Ω, ergo trilineum, FLHG, excedit
inſcriptã multò minori ſpatio, excedit autem ſpatium reſiduum cir-
culi, ECDB, iam dictum ſpatio Ω, ergo ſigura inſcriptaerit maior
dicto ſpatio reſiduo; quod ſerua.
Diuidatut nunc, AB, ſim liter, ac diuiditut, FG, in punctis, 3,
4, 7, centro autem communi, A, ad diſtantiam punctorum, 3, 4,
7, deſcribantur circumferentiæ, 35Δ, 4ΣRβ, 789M, ſecantes ſpi-
ralem in punctis, S, R, M, per quæ tranſeant eductæ à centro, A,
productæque vſque ad circumferentiam, ECDB, rectæ, AD, AC,
AE, vt igitur in præhabita demonſtratione oſtendemus circumfer. 53, &
rectam, IQ, inter ſe æquales eſſe, &
ſimiliter circumferen-
tiam, RΣ4, æquari rectæ, KT, &, M987, ipſi, LV, &
quia, 53,
Σ4, eſt, vt, 3 A, ad, A4, ideſt vt, QF,
ad, FT, ideſt vt, IQ, ad, NT, eſt autem ęqualis, 53, ipſi, IQ, ergo,
Σ4, erit ęqualis ipſi, NT, & eſt, 34, ęqualis ipſi, QT, ergo faſcia, 53
4Σ, erit ęqualis trapezio, IQTN; eodem modo oſtendemus faſciã,
R9874, æquari trapezio, KV, & faſciam, MECDB7, ęquari tra-
pexio, PLVG, & ideo figura compoſita ex dictis faſcijs ęqualis
erit figurę compoſitę ex his trapezijs inſcriptę trilineo, FLHG, eſt
autem hæc figura inſcripta maior ſpatio reſiduo circuli, ECDB, ab
eo dempto ſpatio ſub ſpirali, & voluta, AB, ergo figura compo-
ſita ex dictis ſpatijs erit maior ſpatio dicto reſiduo, cui tamen eſt
inſcripta, quod eſt abſurdum, non ergo trilineum, FLHG, maius
eſt dicto reſiduo.
Dico neq;
eſſe minus.
Sit, ſi fieri poteſt, minus ſpatio eodem,
Ω, ſit autem vt ſupra trilineo, FLHG, circumſcripta figura, ex
trapezijs, KQ, LT, HV, & triangulo, IFk, compoſita, &
alia ei-
dem in cripta ex trapezijs, PO, OT, NQ, ita vt earum differentia
ſit minor ſpatio, Ω, igitur circumſcripta excedet trilineum, FLH
G, multò minori ſpatio, ergo circumſcripta figura minor erit ſpa-
tio reſiduo jam dicto circuli, ECDB, quod excedit trilineum, FLH
G, ſpatio, Ω, quod tamem eſt abſurdum, nam ſectorem, AS3, pa-
ret ęqualem eſſe triangulo, FIQ, faſciamque, ΑRΣ43, æquari oſtẽ
dem us trapezio, kQ, modo ſupra adhibito, & faſciam, βΜ874, ip-
ſi trapezio, LT, & totam faſciam, 679C, trapezio, HV, vnde fi-
gura compoſita ex dictis faſcijs, & ſectore, A53, erit ęqualis com-
triangulo, FIQ, quæ oſtenſa eſt eſſe
minor ſpatio reſiduo iam dicto circuli, ECDB, & ideò figura com-
poſita ex dictis faſcijs erit minor ſpatio reſiduo iam dicto, cuita-
men circumſcribitur, quod eſt abſurdum, non eſt ergo trilineum,
FLHG, minus dicto ſpatio reſiduo circuli, ECDB, & oſtenſum eſt
neq; eſſe illo maius, ergo erit illi æquale, &
triangulus, FHG, eſt
æqualis circulo, ECDB, ergo triangulus, FHG, ad trilineum,
FLHG, erit vt circulus, ECDB, ad reſiduum ſpatium ab eo dem-
pto ſpatio ſub ſpirali, A53 MB, & voluta, AB, ſed triangulus, FH
G, eſt ſexquialter trilinei, FLHG, ergo circulus, ECDB, erit ſex-
quialter ſpatij reſidui iam dicti, & conſequenter erit triplus ſpatij,
quod comprehenditur ſub ſpirali, A53MB, & voluta, AB, quod
erat oſtendendum.
_H_Inc patet eductas à vertice parabolæ ad ſecantem quamcunq;
diametro eiuſdem parallelam, parabola, ac tangente ibidem
interceptam, ſimiliter ſecare eandem, actranſiens per punctum cur-
uæ parabolæ, in quo prædicta eam diuidit, eidemq; parallela, ſecatip-
ſam tangentem, eſtenſum enim eſt, ex. g.
HG, ad GΓ, eſſe vt, GF, ad,
FQ. ex quo nouus, ni fallor, ac pulcberrimus deſcribendi parabolam
elicitur modus.
_S_It deſcribendæ parabolæ diameter, A2, baſis, QX, cuiper, A, ſit
ducta parallela, LF, ſintque, AF, AL, æquales ipſis, 2X, 2Q, æ-
qualibus, ſecta autem, AF, in quotcunq; partes æquales, vt in quin-
que, velutietiam, LA, in punctis, K, I, H, G, B, C, D, E, per ipſa du-
cantur diametro, A2, æquidiſtantes, ΚΣ, 19, H8, G7, B3, C4, D5, E6,
ſecantes ſi niliter baſim, QX, in æquas partes in punctis, Σ, 9, 8, 7, 3,
4, 5, 6, tandem iunctis,, LQ, FX, ipſæ ſimiliter ſecentur ac, AF, vel,
AL, ſcilicet in quinq; partes æquales in punctis, R, S, T, V, M, N,
O, P, & ad bæc puncta ducantur ab, A, rectæ lineæ, AR, AS, AT,
AV, AM, AN, AO, AP, necnon, AQ, AX, notentur autem pun-
cta, in quibus eductæ ab, A, ſecant parallelas diametro, A2, eatamẽ,
in quibus eductæ diuidunt eas parallelas, quæ viciſſim abſcindunt de
ipſis, AL, AF, verſus, A, eandem partem, quam ab ipſis, QL, XF, ab-
ſcindunt eductę, verſus tamen puncta, L, F, vt ex. g.
notabimus pun-
ctum, γ, in quo educta, AP, abſcindit {4/5}. ipſius, QL, verſus, L, ſicut
abſcinditab, LA, ver
ſus, A, {4/5}. ipſius, LA,
ſic ergo puncta notata
erunt, Q, γ Ζ, &, Φ,
Δ, Γ, Π, ℟, Χ, per
quæ ſi extend itur cur-
ua linea, dico propin-
quiſſimè ſic Parabolã
delineari, prædictanẽ-
pè puncta eſſe in Pa-
rabola, cuius diame-
ter, A2, & baſis, QX,
etenim babet bæc pro-
prietatem in præbabito Corollario declaratam, vel, vt clarius loquar,
XF, ad, E℟, exempligratia babetrationem compoſitam ex ratione, X
F, ad, FV, ideſt, propter conſtructionem, ex ratione, FA, ad, AE, & ex
ratione, VF, ad, E℟, boc eſt adbuc ex ratione, FA, ad, AE, duæ autẽ
rationes, F A, ad, AE, componunt ratione quadrati, FA, ad quadra-
tum, AE, ergo, XF, ad, E℟, eſt Vt quadratum, FA, ad quadratum, A
F, & Parabolam circa diametrum, A2, in baſi, QX, ergo punctum,
℟, eſt in tali parabola: Hoc idem oſtendemus eodem modo de cęteris
punctis, Π Γ, Δ, Φ, &, Z γ, ergo dicta puncta ſunt omnia in dicta pa-
rabola. Hic quidẽ modus debuiſſet poni Lib.
4.
ſiue in meo Tractatu de
Specuio V ſtorio iam in lucem edito, ſed quia oritur bic ex proprietate
proximè demonſtrata, nec illud prius menti ſubuenit, propterea idip. ſum bic ſubiungere libuit.
SI in ſpirali ex prima reuolutione orta ſumatur punctũ,
quod non ſit initium, nec terminus eiuſdem ſpiralis,
ab initio autem ſpiralis ad dictum punctum agatur recta
linea, & ſuper initio ſpiralis centro ad diſtantiam dicti pũ-
cti deſctibatur circulus, eiuſdem portio comprehenſa du-
cta linea, & portione eius, quæ dicitur reuolutionis initia-
tiua, quam abſcindit circumferentia dicti circuli, & circũ-
ferentia eiuſdem, quæ eſt ad conſequentia, tripla eſt figu-
ræ comprehenſæ ducta linea, & portione ſpiralis, quæ eſt
ad conſequentia vſquc ad initium ſpiralis.
Sit ſpiralis ex prima reuolutione orta, AOVE, primus circulus,
EYG, ſumptum in ſpirali vtcumq; punctum, V, &
centro, A, in-
teruallo autem, AV, circulus deſcriptus, VHX. Dico portionẽ,
AOVA, comprehenſam ſpiralis portione, AOV, & recta, AV, eſ-
ſe {1/3}. portionis eiuſdem circuli comprehenſæ rectis, AV, AC, &
circumferentia, VHXC. Exponatur triangulus rectangulus, HkF,
rectum habens angulum, FKH, cuius latus, HK, æquale ſit ipſi,
AC, & kF, circumferentiæ, CXHV, erit ergo triangulus, HFk,
æqualis portioni circuli, cuius baſis eſt circumferentia, CXHV;
quam tangat, KH, in, H, &, FK, ſit axi eiuſdem æquidiſtans.
Dico trilineum, H℟Fk, eſſe æqualem ſpatio circumferentia, VHX
C, ſpirali, VOA, & recta, AC, contento (quod ſpatium breuitatis
cauſa dicatur reſiduum portionis circuli, VHC,) ſi enim non, erit
co maius, vel minus, ſit primò maius, & vt in antecedenti trilineo,
H℟Fk, figura circumſcripta intelligatur ex triangulo, HM3, &
ex trapexijs, P3, ℟4, F6, compoſita, & alia inſcripta ex trapezijs,
ptam minori ſpatio, quam ſit differentia dictarum figurarum (quę
differentia ſit ſpatium, Ω,) igitur trilineum, H℟FK, minori quã-
titate ſuperabit figuram inſcriptam, quam ſpatium reſiduum por-
tionis circuli, VHC, ergo figura inſcripta erit maior dicto reſiduo,
quod eſt abſurdum, nam ſi, AC, diuidamus ſimiliter, vt, KH,
in punctis, IBD, & deſcripſerimus per eadem puncta ſuper centro,
A, circumferentias, INS, BRZ, DΠΟΣ, oſtendemus, vt in ante-
cedenti figuram compoſitam ex faſcijs, ΙΒβ, ΒDΔ, DCΧΦ, eſſe
æqualem figuræ inſcriptæ trilineo, H℟Fk, & conſequenter eſſe
maiorem ſpatio reſiduo portionis circuli, VHC, cui tamen inſcri-
bitur, quodeſt abſurdum.
Sit nunc trilineum, H℟Fk, minus eodem, Ω, dicto reſiduo, &
cætera, vt prius conſtructa, quia ergo circumſcripta figura ſuperat
inſcriptã minorr quantitate, quam ſit, Ω, ſuperabit ipſum trilineũ,
H℟FK, multò minori quantitate, ergo figura circumſcripta mi-
nor erit ſpatio reſiduo portionis circuli, VHC, oſtendemus autem,
vt ſupra figuram compoſitam ex ſectore, ANI, & ex faſcijs, IBR,
BDO, DCV, eſſe æqualem figuræ circumſcriptæ trilineo, H℟Fk,
ergo erit minor ſpatio reſiduò iam dicto, cui tamen circunſcribitur
quod eſt abſurdum, trilineum ergo, H℟Fk, neq; maius, neq;
mi-
nus eſt ſpatio reſiduo iam dicto, ergo illi æquale, ſicut triangulus,
CHV, ſed triangulus, HFk, eſt ſexquialter trilinei, H℟FK, ergo
talis portio eſt ſexquialtera ſpatij reſidui iam dicti, ergo eſt tripla
ſpatij, quod ſpirali, AROV, & recta, AV, continetur, quod erat
oſtendendum.
SI ab initio ſpiralis in prima reuolutione ortæ educan-
tur rectæ lineæ vtcumque ad ipſam ſpiralem terminã-
tes, ſpatia ſub portionibus ſpiralis abſciſsis per eductas
verſus initium, erunt vt cubi earundem eductarum.
Sit ſpiralis in prima reuolutione orta, ACDB, ipſa, AB, reuo-
luta, & ſpiralis initium, A, à quo ad ipſam ſpiralem terminantes
ſint eductæ vtcumq; AC, AD.
Dico ſpatium ſub portione ſpira-
lis, AXC, & educta, AC, ad ſpatium ſub portione ſpiralis, AXCD,
& educta, AD, eſſe vt cubum, AC, ad cubum, AD.
Centro igitur,
A, interuallis, C, D, ſint deſcripti circuli, CMVN, DGE, & ſit
ad circumferentiam circuli, DG, cui incidat
tur circuli, CAV
N, ad portionem
circuli, DAEGO,
habet rationem
compoſitá ex ea,
quam habet por-
portionem, OAE
ne quadrati, VA,
E, & ex ratione
portionis, OAEG, ad portionem, DAEGO, ideſt ex r@tione cir-
cumferentiæ, EGO, ad circumferentiam, EGD, ideſt ex ratione,
VA, ad, AE, duæ autem rationes quadrati, VA, ad qua lratum, A
E, & ipſius, VA, ad, AE, componunt rationem cubi, VA, ad cu-
bum, AE, ergo portio, CAVN, ad portionem, DAEGO, erit vt
cubus, VA, ad cubum, AE, ſunt autem ſpatia, AXC, AXCD, ter-
tiæ partes dictarum portionum, ergo ſpacium, AXC, ad ſpatium,
AXCD, erit vt cubus, VA, ad cubum, AE, quoderat oſtenden-
COmpræhenſum ſpatium ſub ſpirali, q æ eſt minor
ea, quæ ſub prima reuolutione fit, nec abet termi-
num initium ſpiralis, & rectis, quæ à terminis ipſius in ſpi-
ralis initium ducuntur, ad ſectorem habentem radium æ-
qualem maiori earum, quæ à termino ad initium ſpiralis
ducuntur, arcum verò, qui intercipitur inter duas rectas
ſecundum eaſdem partes ſpiralis, habet eandem rationem,
quam rectangulum compræhenſum ſub rectis à terminis
in principium ſpiralis ductis, vna cum. quadrati exceſſus,
quo maior dictarum linearum ſuperat minotẽ, ad quadra-
tum maioris linearum à terminis ad initium ſpiralis coniũ-
ctarum.
Sit ſpiralis ex prima reuolutione@@o, OP℟QX, primus circu-
lus, ΩkXF, cuius, radius, & voluta ſit, OX, ſpiralis, ℟Q, minor
ea, quæ ſub prima reuolutione fit, nec habet terminum initium
ſpiralis, iunctis autem, OA, OQ, & ijs vſque ad circumferentiam,
FΩΚΧ, productis, cui incidant in, Ω, F. Dico trilineum, ℟OQ,
ad ſectorem, AOQ eſſe vt rectangulum, AO℟, cum {1/3}. quadrati,
A℟, ad quadratum, AO. Exponatur parallelogrammum rectan-
gulum, ED, cuius latus, CD, ſit æqualeipſi, OX, &, BD, circum-
ferentiæ, FΩΚΧ, & ſit iuncta, BC, &
, CT, ſit æqualis circumferẽ-
tiæ, XkΩ, TM, circumferentiæ, ΩF, &, ME, circumferentiæ, FX,
& per puncta, M, T, ducanturipſi, CD, parallelæ, MH, TN,
quarum, MH, ſecet, BC, in, I, & per, I, ipſi, EC, parallela duca-
tur, IG, erit ergo, MC, æqualis circumferentiæ, XkΩF, & quia
circumferentia, ΧFΩκ, ad circumferentiã, FΩkX, eſt vt, XO, ad,
CM, vt, EB, ad, MI, ergo, EB, ad, MI, erit vt, XO, ad, OQ, ſunt
autem ipſæ, XO, EB, æquales, ergo etiam æquales eruntiplæ, M
tum, OF, ideſt vt quadratum, IM, ad quadratum, MH, ideſt vt
omnia quadrata, MG, regula, EB, ad omnia quadrata, MN, &
ſector, ΩΟF, ad circulum, FK, eſt vt circumferentia, ΩF, ad cir-
drata, MN, regula, EB, ad omnia quadrata, ED, & circulus, ΩΚΧ
F, ſpatij, OXQ℟PO, triplus eſt, ideſt, ſe habet ad illud, vt omnia
item ſpatium, OXQ℟P, ad ſpatium, OQ℟PO, eſt vt cubus, OX,
quadrata trianguli, EBC, ad omnia quadrata trianguli, MIC, er-
quadrata, MG, ad omnia quadrata trianguli, MIC, & quia ſpatiũ,
OQ℟PO, ad ſpatium, ℟PO, eſt vt cubus, OQ, ad cubum, O℟, id-
eſt vt cubus, MI, ad cubum, TL, ideſt vt omnia quadrata triangu-
nia quadrata trianguli, TLC, eſt autem idem ſector, AOQ, ad ſpa-
tium, OP℟Q, vt omnia quadrata, MG, ad omnia quadratatrian-
guli, MIC, regula eadem, ergoſector, AOQ, ad reliquum ſpa-
tium, dempto ſpatio, OP℟, à ſpatio, OP℟Q, erit vt omnia qua-
drata, MG, regula, MI, ad omnia quadrata trapezij, MILT, ſed
qua-
drati, LG, ergo, conuertendo, ſpatium, ℟OQ, ad ſectorem, AOQ,
erit vtrectangulum, AO℟, cum tertia parte quadrati, A℟, ad qua-
dratum, AO, quod erat oſtendendum.
IN eadem antecedentis ſigura centro, O, diſtantia, O℟,
deſcripta circumferentia, ℟Y, oſtendemus trilineum,
A℟Q, ad trilineum, ℟QY, eſſe vt, ℟O, cum {2/3}. ℟A, ad, ℟
O, cum tertia parte ipſius, ℟A.
Quia enim ex antecedenteſector, AOQ, ad ſpatium, Q℟O, eſt
vt quadratum, AO, ad rectangulum, AO℟, cum {1/3}. quadrati, A ℟,
per conuerſionem rationis, idem ſector ad trilineum, A℟Q, erit vt
quadratum, AO, ad rectangulum, O℟A, cum {2/3}. quadrati, ℟A, nã
dempto rectangulo, AO℟, à quadrato, AO, remanet rectangulũ,
OA℟,. i.
rectangulũ, O℟A, cum quadrato, ℟A, à quo ablato {1/3}.
re-
manet rectangulum, O℟A, cum {2/3}. quadrati, ℟A, ideſt cum re-
℟ A, &
ſub, ℟A, quod cum rectangulo, O℟A, cõ-
ficit rectangulum ſub compoſita ex, O℟, & {2/3}.
℟A, &
ſub, ℟A,
conuertendo igitur trilineum, A℟Q, ad ſectorem, AOQ, erit vt
{2/3}.
℟A, &
ſub, ℟A, ad qua-
dratum, OA, inſuper ſector, AOQ, ad ſectorem, ℟OY, eſt vt qua-
dratum, AO, ad quadratum, O℟, & quia idem ſector, AOQ, ad
ſpatium, Q℟O, eſt vt quadratum, AO, ad rectangulum, AO℟, cũ
{1/3}. quadrati, ℟A, ideò ſector, AOQ, ad reliquum dempto à ſpatio,
℟OQ, ſectore, ℟OY, ideſt ad trilineum, Q℟Y, erit vt quadratu,
quadrati, ℟A, ab eo
dempto quadrato, ℟O, ideſt ad rectangulum, O℟A, cum {1/3}. qua-
drati, ℟A, erat autem trilineum, A℟Q, ad rectorem, AOQ, vt re-
ctangulum ſub compoſita ex, O℟, & {2/3}.
℟A, ad quadratum, AO,
ergo ex æquali trilineum, A℟Q, ad trilineum, ℟QY, erit vt rectã-
gulum ſub compoſita ex, O℟, & {2/3}.
℟A, &
ſub, ℟A, ad rectangu-
lum, O℟A, cum 3. parte quadrati, ℟A, ideſt ad rectang.
ſub com-
{1/3}.
℟A, &
ſub, ℟A, &
quia horum rectangulo-
℟QY, erit vt, O℟, cum {2/3}. ℟A, ad, O℟, cum tertia parte, ℟A,
quod oſtendcre opus erat.
SI duæ rectæ lineę ducantur, quarum altera parabolam
tangat, altera verò ducta axi, vel diametro eiuſdem
æquidiſtans, eandem ſecet, iuncto verò puncto contactus
cum hoc ſectionis puncto, rurſus ab hoc puncto ad latus
illi oppoſitum in facto triangulo recta producatur, quæ
curuam ſecabit parabolæ, à quo ſectionis puncto ducatur
axi, vel diametro parallela quouſq; incidat in tangentem:
Triangulum ſub eductis ad ſecantem à puncto contactus,
ad portionem parabolæ eiſdem interceptam erit, vt qua-
dratum totius tangentis ad rectangulum ſub eadem, & ſub
illius abſciſſa per eam verſus punctum conta ctus per ſecũ-
dò ductam axi, vel diametro parallelam, vna cum {1/3}. qua-
drati differentiæ dictarum tangentium.
Sit parabola curua, BIA, quam tangat, DA, in puncto, ADB,
vero axi, vel diametro eiuſdem parallel a eandem ſecet in puncto,
B, iunctis verò, BA, à puncto, A, ducatur intra triangulum, ABD,
adlatus oppoſitum, BD, vtcumq; AC, ſecans curuam, AIB, in, I,
à quo verſus tangentem, AD, ducatur, IE, axi, vel diametro iam
dicto æquidiſtans. Dico igitur triangulum, ABC, ad trilineum,
ABI, eſſe vt quadratum, DA, ad rectangulum, DAE, vna cum
{1/3}. quadrati, DE.
Exponatur parallelogrammum, FP, cuius an-
gulus, OPH, ſit æqualis angulo, ADB, &, OP, æqualis ipſi, AD,
&, HP, ipſi, BD, abſcindatur deinde ab, OP, verſus, O, ipſa, ON,
æqualis ipſi, AE, & per, N, ducatur, GN, parallela ipſi, HP, ſe-
cans iungentem, HO, in, M, (ſint enim iuncta, H, O, puncta re-
cta, HO,) ſit verò regula, HP. Quia ergo, BD, ad, DC, eſt vt, D
conuertendo, CB, ad, B
D, erit vt, ED, ad, DA, ideſt vt, NP, ad, PO, ideſt vt omnia qua-
drata, GP, ad omnia quadrata, FP, regula, HP, ſed vt, CB, ad, B
D, ſic triangulus, ABC, ad triangulum, ABD, ergo vt omnia qua-
drata, GP, ad omnia quadrata, FP, ſic erit triangulus, ABC, ad
triangulum, ABD, quod ſerua,
Inſuper omnia quadrata, FP, ſunt tripla omnium quadratorum
ideo ſunt ad illa, vt triangulus, ABD, ad ſe-
ctionem, AIB, cuius eſt triplus, quod etiam ſerua. Vlterius om-
ſunt vt cubus, PO, ad cubum, ON, ideſt vt cubus, DA, ad cubum,
AE, ideſt vt ſectio, AIB, ad ſectionem, AXI, (ſunt enim tertiæ par-
ergo ex &quali omnia quadrata, GP, ad omnia quadrata trianguli,
OMN, erunt vt triangulus, ABC, ad ſectionem, AXI, ſed omnia
quadrata, GP, ad omnia quadrata trianguli, OHP, erant vt idem
triangulum, ABC, ad ſectionem, AIB, ergo omnia quadrata, G
P, ad reliquum, demptis omnibus quadratis trianguli, OMN, ab
pezij, MHPN, erunt vt triangulus, ABC, ad reliquum, dempta
ſectione, AXI, a ſectione, AIB, ſcilicet ad trilineum, AIB, ſed om-
nia quadrata, GP, ad omnia quadrata trapezij, MHPN, ſunt vt
quadratum, HP, ad rectangulum, ſub, HP, MN, vna cum {1/5}. qua-
drati, GM, ideſt vt quadratum, PO, ad rectangulum ſub, PO, ON,
vna cum {1/3}. quadrati, PN, ergo triangulus, ABC, ad trilineum, A
BI, eric vt quadratum, PO, ad rectangulum, PON, vna cum {1/3}. qua-
drati, PN, ideſt vt quadratum, DA, ad rectangulum, DAE, vna
cum {1/3}. quadrati, DE, quod erat oſtendendum.
SPatium ſub ſpirali ex quacunq;
reuolutione genita,
præterquam ex prima, & recta eiuſdem numeri cum
rectangulo ſub radio eiuſdem circuli, & ſub radio circuli
vnitate minoris, vna cum 3. parte quad.
differentiæ vtri-
uſq; radij, ad quadratum maioris radij prædictorum.
Sit quicunq;
circulus, CDFB, ſpatium eiuſdem numeri cum eo,
quod cõtinetur ſub ſpirali, GMSIB, & voluta, GB;
circulus vnita-
te minor ipſæ, YaHG. Dico ſpatium dictum ad circulum, BCD
F, eſſe vt rectangulum, BAG, cum tertia parte quadrati, GB, ad
quadratum, AB. Exponatur triangulus, LPQ, rectum habens an-
gulum ad, P, cuius latus, LP, ſit æquale ipſi, AB, & latus, PQ,
æquale compoſito ex tot circumferentijs circuli, CDFB, quot ra-
dij primi circuii ſunt in, AB, deinde intra triangulum, LPQ, ver-
tice, L, deſcripta ſit parabola, cuius curua tranſeat per, Q, quæ
ſecans paralle-
la axi ipſa, QP, abſcindatur deinde ab, LP, recta, Lβ, æqualis ipſi-
per, β, ducatur, βΔ, parallela ipſi, QP, ſecans curuam pa-
rabolæ in, Ω, & iunctis, LΩ, producatur, LΩ, vſq;
ad, QP, cui in-
Quia igitur eſt, QP, ad, ΡΣ, vt, PL, ad, Lβ, per con-
uerſionem rationis, PQ, ad, QΣ, erit vt, LP, ad, Ρβ, quotuplex
ergo eſt, LP, ipſius, Ρβ, radio primi circuli æqualis, totuplex erit,
QP, ipſius, QΣ, eſt autem etiam totuplex, QP, circumferentiæ, C
DFB, ergo, QΣ, erit æqualis circumferentiæ, CDFB, eſt autem, L
P, æqualis ipſi, AB, ergo triangulus, LQΣ, circulo, CDFB, æqua-
lis erit. Dico vlterius trilineum, LQΩ, æquari ſpatio circuli, CD
voluta, GB, ſi enim nõ,
erit eo maior, vel minor, ſit primò, maior quantitate ſpatij ſeorſim
expoſiti, 8, diuiſa autem bifariam, QΣ, in, ℟, iungatur, L℟, rur-
ſus bifariam diuidantur, Q℟, RΣ, in punctis, &, Π, &
iungantur,
&L, ΠL, &
ſic ſemper fiat donec deuentum ſit ad triangulum mi-
norem ſpatio, 8, ſit is triangulus, LΠΣ, per puncta autem, in qui-
, ſecant curuam, QΩ, ſcilicet per, O, V, Z, du-
cantur, QP, parallelæ, 7Γ, 69, Φ+, quæ ſi producantur ſecent, β
P, in punctis, 2, 3, 4, quia ergo, Q&, &
℟, ℟Π, ΠΣ, ſunt æqua-
les facilè oſtendemus per Coroll. Prop.
9.
huius, etiam, P4, 43, 32,
O, & triangulum, LΟΓ, ſimul collecta æquari triangulo, LΠΣ, .
i.
eſſe minora ſpatio, 8, habemus ergo ſpatio, LQΩ, circum ſcriptam
figuram ex triangulis, LQ&, L+Z, L9V, LΓΟ, &
aliam eidem in-
ſcriptam ex triangulis, LZ+, LV6, LO7, LΩΣ, compoſitam,
quam circumſcripta excedit minori ſpatio, quam ſit, 8, ergo tri-
lineum, LQΩ, excedet inſcriptam multò minori ſpatio, ergo in-
ſcripta erit manior ſpatio, GMSIB, quod eſt abſurdum, nam ſi cen-
tro, A, ſemidiametris æqualibus ipſis, L4, L3, L2, deſcribantur ſe-
ctores, vel ſectorum reſidua. AkIR, XSN, TME, habebimus ſpa-
tio, BISMG, inſcriptam figuram ex ſectoribus, vel ſectorum reſi-
duis iam dictis compoſitam, & aliam circumſcriptam ex ſectori-
bus, vel ſectorum reſidius, BAC, IAR, SAN, MAE, compoſitam,
quia, ΣQ, ad, QP, eſt vt, βΡ, ad, PL, &
, PQ.
ad, Q&
, eſt vt, L
P, ad, P4, ex æquali, ΣQ, ad, Q&, erit vt, βΡ, ad, P4, ideſt vt GB,
ad, BK, ideſt vt circumferentia, CDFB, ad circumferentiam, CB,
(nam dum punctus, B, deſcribit totam circumferentiam, CDFB,
punctus deſcribens ſpiralem percurrit ipſam, GB, & dum, B, deſcri-
pſit circumferentiam, CB, idem punctus percurrit ipſam, Bκ,) eſt
, æqualis
erit circumfer. CB, eſt verò, Q&
, ad, ΦΖ, vt, PL, ad, L4, ideſt vt,
BA, ad, Ak, ideſt vt circumferentia, CB, ad circumferentiam, IK,
eſt altitudo triangu-
KAI, æqualis erit. Eodem modo oſtendemus triangulum, LVB,
triangulum, LO7, ſectori, ATM, &
tan-
dem triangulum, Ab9Ω, ſectori, AHG, ergo figura inſcripta trili-
neo, LQΩ, æqualis erit inſcriptæ ſpatio, GMSIB, eſt autem illa
maior ſpatio, GMSIB, èrgo figura inſcripta ſpatio, GMSIB, erit
eodem ſpatio, GMSIB, maior, quod eſt abſurdum, non ergo tri-
lineus, LQΩ, maior eſt ſpatio, GMSIB.
Sed dico neq;
eſſe minorem eodem ſpatio, GMSIB, ſi enim eſt
ſit adhuc defectus ſpatium, 8, modo autem ſupra adhibito circum-
ſcribatur trilineo, ΙΩQ, figura, & alia inſcribatur ex triangulis
compoſita, ita vt circumſcripta fuperet inſcriptam minori ſpatio,
quam ſit, 8, deſeruiant autem nobis iam in prima parte deſcriptæ
figuræ, tum intra, & extra trilineum, LΩQ, tum intra, vel extra
ſpatium, GMSIB. Igitur figura circumſcripta trilineo, LΩQ, ſu-
perabit eundem trilineum multò minori ſpatio, quam ſit, 8, nem-
pè quam ſpatium, GMSIB, excedat trilineum, LΩQ, ergo figura
huic trilineo circumſcripta erit minor ſpatio, GMSIB, oſtendemus
autem eandem ęquari figurę circumſcriptæ eidem ſpatio, GMSIB,
modo ſuprapoſito, ergo figura circumſcripta ſpatio, GMSIB, erit
eodem minor, quod eſt abſurdum, igitur trilineus, LΩQ, neq; eſt
maior, neq; minor ſpatio, GMSIB, ergo eſt eidem æqualis, &
eſt
triangulus, LQΣ, æqualis circulo, CDFB, ergo circulus, CDFB,
eſt autem triangulus, LQΣ, ad trilineum, LQΩ, vt quadratum, P
Lad rectangulum, ΡLβ, vnam {1/3}. quadrati, Ρβ, ergo circulus, CD
FB, ad ſpatium, GMSIB, erit vt quadratum, PL, ad rectangulum,
ΡLβ, vna cum {1/3}. quadrati, Ρβ, ideſt vt quadratum, BA, ad rectan-
gulum, BAG, vna cum {1/3}. quadrati, GB, quod erat nobis oſtendẽ-
dum.
_P_Oterant autem, vt in Prop.
5.
&
6.
huius, componi figuræ, quæ
circumſcrihuntur, & inſcrihuntur, ex trapezijs, in quo caſu,
circumſcriptio, & inſcriptio intelligi dehuiſſet cir ca trilineum, Q
ΩΣ, vel in ſupra demonſtratis propoſitionibus poterant dicta figuræ
ex triangulis componi, veluti in hac effectum eſt, & tunc circumſcri-
ptio, & inſcriptio ſectionibus, FLH, in Schem ate poſterioris demõſtra-
t ionis Prop. 9.
&
H℟F, in Propoſ.
10.
fieridebuiſſet intelligi, banc
tamen varietatem proſequutus ſum, vt pateat vtroq; modo nos, quod
inquirimus, obtinere poſſe.
SI in ſpirali ex quacunq;
reuolutione genita ſumatur
punctum, quod non ſit initium, nec terminus eiuſdem
ſpiralis, & iungantur cum puncto, quod eſt initium reuo-
lutionis, quo tanquam centro ad diſtantiam ſumpti puncti
circulus ſit deſcriptus, huius ſector, vel ſectoris reſiduum,
cuius baſis ſit circumferentia inter hoc punctum, & princi-
pium circulationis ad partes conſequentes incluſa, ad ſpa-
tium helicum ab eodem ſectore, vel ſectoris reſiduo, ap-
prehenſum, erit vt quadratum ſemidiametri deſcripti cir-
culi, ad rectangulum ſub eodem, & ſub radio circuli eiuf-
dem numeri cum ſpirali vnitate prædicta minoris, vna cũ
tertia parte quadrati exceſſus vtriuſq; radij.
Conſpiciatur antecedentis figura, in qua ſumpto vtcunq;
pun-
cto in ſpirali, GMSIB, quod ſit, I, intelligatur deſcriptus circulus,
IRεK. Dico igitur ſectorem, vel eius reſiduum, cuius baſis eſt
circumferentia, IRεk, ad rectas, IA, Ak, terminata, ad ſpatium
ſub ſpiralis portiones, ISMG, & rectis, IA, AG, eſſe vt quadratũ,
IA, ad rectangulum ſub, IA, AG, vna cum {1/3}. quadrati, Gk;
in ip-
ſa enim, QΣ, iam habebus, & Σ, æqualem circumferentiæ, CDFB,
terminanti ad, C, B, producatur, Φ+, quouſque ſecet ambas, LΠ, L
Σ, vt in, {12/ }, {13/ }, & quia, &
Σ, ad, Z, {13/ }, eſt vt, ΣL, ad, L, {13/ }, vel vt, PL, ad,
IRεK, ideò circumferentia, IRεk, erit æqualis ipſi, Z {13/ }, ſi ergo diui-
damus, Z, {13/ }, bifariam, & factas portiones adhuc bifariam, &
ſic sẽ-
per fiat, iungẽtes diuiſionum pũcta cum, L, & per puncta, in quibus
iſtę iungẽtes ſecant curuã parabolę, ΖΩ, ductis ipſi, Z {13/ }, parallelis,
vt in antecedenti circumſcripſerimus trilineo, LΖΩ, figuram, & aliã
inſcripſerimus, ex triangulis compoſitam, & ſimiliter ſpatio, AIS
MGA, figuram ex ſectoribus, vel eorum reſiduis compoſitam cir-
cumſcripſerimus, velut in antecedenti (quam quia antecedentis
propoſitionis methodo ſimilis eſt, hic explanare mitto) & aliam
inſcripſerimus, tandem oſtendemus trilineum, LΖΩ, neq; maius,
neq; minus eſſe ſpatio, AISMGA, &
ideò illi eſſe æquale;
ſimili-
ter oſten demus triangulum, LZ {13/ }, ſectori, IPεK, vel ſectoris reſi-
gulum, L&Σ, ideſt ex ratione, QΣ, ad, Σ&
, vel ex ratione circum-
quatur ideſt ex ratione circuli, CDFB, ad ſectorem, vel eius reſi-
duum, ACDFBA, & ex ratione trianguli, L&
Σ, ad triangulum,
LZ {13/ }, ideſt ex ratione quadrati, PL, ad quadratum, L4, ideſt ex ra-
(dicatur ſic breuitatis cauſa, ſiue ſit ſector, ſiue eius reſiduum) AC
DFB, ad ſectorem, AIR εkA, quæ duæ rationes componunt ratio-
Σ, ad triangulum, LZ {13/ }, erit vt circulus, CDFB, ad ſectorem, AI
RεKA, ſed triangulus, LQΣ, eſt æqualis circulo, CDFB, ergo triã-
gulus, LZ {13/ }, ſectori, AIR εKA, æqualis erit, & eſt trilineus, LΖΩ,
MGA, erit vt triangulus, LZ {13/ }, ad trilineum, LΖΩ, .i.
vt quadra-
tum, 4L, ad rectangulum ſub, 4L, Lβ, cum {1/3}. quadrati, 4β, .
i.
vt qua-
quadrati, GK,
quod erat oſtendendum.
COmpræhenſ@m ſpatium ſub ſpirali, quæ eſt minor ea,
quæ ſub vna reuolutione fit, nec habet terminum
initium ſpiralis, & rectis, quæ à terminis ipſius in reuolu-
tionis initium ducuntur ad ſectorem habentem radium æ-
qualem maiori earum, quę à termino ad initium reuolutio-
nis ducitur, arcum verò, qui intercipitur inter duas rectas
ſecundum eaſdem partem ſpiralis; habet eandem rationẽ,
quam rectangulum compræhenſum ſub rectis à terminis
ad initium reuolutionis ductis, vna cum tertia parte qua-
drati exceſſus, quo maior dictarum linearum ſuperat mi-
norem, ad quadratum maioris earundem.
In eadem antecedentis figura ſupponamus arſumptam, IS, por-
tionem ſpiralis in vna reuolutione genitæ, quæ non habcat termi-
num initium talis ſpiralis, a cuius extremis punctis, I, S, ſint du-
ctæ ad, A, initium reuolutionis ipſæ, SA, IA, & ſit ſector, IAR,
cuius ſemidiameter ſit æqual s maiori ductarum, IA, AS, nempè
ipſi, IA. Dico ſectorem, IAR, ad trilineum, IAS, eſſe vt quadra-
tum, RA, ad rectangulum, RAS, vna cum {1/3}. quadrati, RS, (vta-
mur conſtructis in eadem figura) Sector igitur, AIRεKA, eſt æqua-
lis triangulo, LZ {12/ }, vt in antecedenti oſtenſum eſt, eodem modo
probabimus triangulum, L+{13/ }, eſſe æqualem ſectori, ARεKA,
ergo reliquus triangulus, LZ+, erit æqualis reliquo ſectori, IAR; ſimiliter iuxta antecedentem oſtendemus ſpatium, AISMGA, eſſe
æqualem trilineo, LΖΩ, & ſpatium, ASMGA, eſſe æqualem tri-
V, ergo ſector, IAR, ad trilineum, LZV, erit vt triangulus LZ+,
ad trilineum, LZV, ideſt vt quadratum, L4, ad rectangulum ſub,
4L3, cum {1/3}, quadrati, 34, ideſt vt quadratum, IA, vel, RA, ad re-
ctangulum ſub, RA, Ac, vna cum {1/3}. quadrati, RS, quod oſtende-
re opus erat.
TRilineum, IRS, ad trilineum, ISX, erit vt, SA, cum
{2/3}. SR, ad, SA, cum {1/3}.
SR.
Huius demoſtratio non erit alia à demoſtratione 13.
huius,
propterea ibi recolatur.
PRimi circuli ſpatium helicum ad ſpatium helicum ſe-
cundi circuli erit, vt tertia pars quadrati radij primi
circuli ad rectangulum ſub rad io primi, & ſecundi circuli,
vna cum tertia parte quadrati exceſſus radij ſecundi circu-
li ſuper radium primi. Spatium verò ſecundi circuli ad
ſpatium tertij erit, vt rectangulum ſub radio eiuſdem, &
ſub radio circuli vnitate minoris, ideſt primi, vna cum ter-
tia parte quadrati differentiæ horum radiorũ, ad rectangu-
lum ſub radio eiuſdem, & ſub radio circuli vnitate maio-
ris, ideſt tertij, vna cum tertia parte quadrati differentiæ
iſtorum radiorum, & ſic deinceps in reliquis.
Exponantur ſuper eodem centro, A, circuli, primus, HRVO,
ſecundus, kLNM, tertius autem, CDFB, cum ſpatijs ſub ſpirali-
bus eiuſdem numeri cum circulis, primo, AGHA, ſecundo, HPK
MH, tertio autem, MZSBM. Dico ſpatium primum ad ſecundũ
eſſe vt {1/3}. quadrati HA, ad rectangulum ſub, HA, AM, vna cum {1/3}.
quadrati, HM, ſecundum verò ad tertium eſſe vt rectangulum ſub,
HA, AM, cum {1/3}. quadrati, HM, ad rectangulum ſub, MA, AB,
vna cum {1/5}. quadrati, MB.
Nam ſpatium, AGH, ad ſpatium, HP
kM, habet rationem compoſita ex ratione ſpatij, AGH, ad cir-
culum, OVRH, ideſt ex ratione {1/3}. quadrati, HA, ad quadratum,
ex ratione circuli, OVRH, ad circulum, MkLN, ideſt ex
ratione quadrati, HA, ad quadratum, AM, & ex ratione circuli, C
ctangulum, MAH, vna cum {1/3}. quadrati, MH, quæ rationes com-
ponunt rationem {1/3}. quadrati, AH, ad rectangulum, MAH, cum
{1/3}. quadrati, HM.
Item ſpatium, HPMH, ad ſpatium, MZSBM,
habet rationem compoſitam ex ratione ſpatij, HPMH, ad circu-
lum, kLNM, ideſt ex ratione rectanguli, HAM, cum {1/3}. quadrati,
ex ratione circuli, kLNM, ad circu-
lum, CDFB, ideſt quadrati, MA, ad quadratum, AB, & tandem
quadrati, BA, ad rectangulum, BAM, cum {1/3}. quadrati, MB, quæ
quadrati,
HM, ad rectangulum, MAB, cum {1/3}. quadrati, MB.
Et ſic dein-
ceps oſtendemus tertium ſpatium ad quartum eſſe, vt rectangulũ,
MAB, cum {1/3}. quadrati, MB, ad rectangulum ſub, BA, &
radio
circuli vnitate maioris, vna cum {1/3}. quadrati differentiæ horum
radiorum, quæ differentia ſemper eſt æqualis radio primi circuli,
quod oſtendere opus erat.
EXponatur triangulus, ETI, habens rectum angulum ad, T,
cuius latus, ET, ſit æquale radio primi circuli, &, TI, eiuſdẽ
circumferentiæ, & per, EI, tranſeat parabolæ curua quam tangat,
TE, in, E, vertice, ſecet verò, TI, in, I, eiuſdem axi æquidiſtans,
deinde indefinitè producta, ET, verſus, T, in ea ſumantur tot par-
per puncta, YZ, ducantur parabolæ axi æ-
quidiſtantes, YX, ZQ, curuæ eiuſdem indefinitè productæ occur-
rentes in punctis, X, Q, & iungantur, EX, EQ.
Erit igitur ſectio,
EIX, ad ſectionem, E℟I, vt cubus, YE, ad cubum, ET, ſic enim
ſunt eorum tripla ſcilicet triangula, EIT, EXY, quod elicitur ex
prima Lib. 4.
&
, diuidendo, trilineum, EXI, ad ſectionem, E℟I,
erit vt parallelepipedum ter ſub, ET, ac quadrato, TY, & ter ſub,
quadrato, TE, cum cubo, TY, ad cubum, TE, vel vt horũ
ſubtripla, ſcilicet, vt parallelepipedum ſemel ſub, YT, & quadra-
to, TE, & ſub, ET, &
quadrato, TY, ſcilicet ſub, YT, &
rectan-
cubi, TY, ideſt cum parallelepipedo ſub, TY, &
{1/3}. quadrati, TY, ad {1/ }.
cubi, TE, ideſt ad parallelepipedum ſub, T
E, vel, TY, & tertia parte quadrati, TE, nempé vt parallelepipe-
dum ſub, TY, & quadr.
ET, &
rectangulo, YTE, &
tertia parte
quadrati, YT, quod conficit parallelepipedum ſub, YT, & rectan-
gulo ſub, YET, & ſub tertia parte quadrati, YT, ad parallelepi-
ſub t ertia parte quadrati, TE, &
quia horum
parallelepipedorum altitudines ſunt eædem, ideò erunt, vt baſes
ſcilicet, vt rectangulum ſub, YET, cum tertia parte quadrati, TY,
quadrati, ET.
Eodem modo oſtendemus trilineum, EQX,
adtrilineum, EXI, eſſe vt exceſſus cubi, ZE, ſuper cubum, YE, ad
exceſſum cubi, YE, ſuper cubum, TE, .i.
vt parallelepipedum ter
ſub, ZY, & quadrato, YE, ter ſub EY, &
quadrato, YZ, cum cu-
quadrato, TY, ter
quadrato, TE, cum cubo, TY, vel vt horum ſub tri-
pla .i.
vt parallelepipedum ſub, ZY, &
quadrato, YE, ſub, EY, &
quadrato, YZ; .
i.
ſub, ZY, &
rectangulo, ZYE, cum tertia parte
cubi, ZY, quæ conficiunt parallelepipedum ſub, ZY, & his iunctis
ZY, ideſt ſub, ZY, & rectangulo, ZEY, cum tertia parte quadrati,
ZY, ad parallelepipedum ſub, YT, & quadrato, TE, ſub, ET, &
quadrato, TY, cum tertia parte cubi, TY, quæ eſſe æqualia oſtẽ-
demus parallelepipedo ſub, YT, & rectangulo YET, cum tertia
parte quadrati, YT, igitur trilineum, EQX, ad trilineum, EXI,
erit vt parallelepipedum ſub, ZY, & rectangulo, ZEY, cum tertia
@arte quadrati, ZY, ad parallelepipedum ſub, YT, ideſt ſub, ZY,
ſub rectangulo, YET, cum tertia parte quadrati, TY, &
quia
hæc parallelepipeda ſunt in eadem altitudine, ideo ſunt vt baſes,
igitur trilineum, EQX, ad trilineum, EXI, erit vt rectangulum, ZE
tia parte quadrati, YT, eſt autem ſectio, E℟I, æqualis ſpatio, AG
H, & trilineum, EXI, ſpatio, HPMH, &
trilineum, EQX, ſpatio,
MZSBM, ergo ſpatium, AGH, ad ſpatium, HPMH, erit vt ter-
tia pars quadrati, TE, ad rectangulum, TEY, cum tertia parte
quadrati, TY, ideſt vt tertia pars quadrati, HA, ad rectangulum,
HAM, cum tertia parte quadrati, HM. Similiter concludemus
ſpatium, HPMH, ad ſpatium, MZSBM, eſſe vt rectangulum, HA
M, cum tertia parte quadrati, HM, ad rectangulum, MAB, cum
tertia parte quadrati, MB, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc patet ſi ducatur quædam tangens parabolam, quæ in partes
quotcunq; æquales diuidatur, &
per puncta diuiſionum du-
cantur recta linea diametro parallelæ, quouſq; incidant in curuam
parabolæ, his incidentiæ punctis cum contactus puncto iunctis, ſpa-
tium ſub prima iungente, & ſubtenſa curua parabola ad trilineum
ſub prima, & ſecunda iungente, &
ab illis appræhenſa curua, eſſe vt
tertia pars quadrati primæ partis tangentis eſt ad rectangulum ſub
prima parte, & compoſito ex prima, &
ſecunda cum tertia parte qua-
dratis ſecundæ. Similiter hoc trilineum ad trilineum ſub ſecunda,
& tertia iungente, &
ab illis appræhenſa curua parabolæ, eſſe vt re-
ctangulum ſub prima, & ſub compoſito ex prima, &
ſecunda parte
tangentis (enumeratione ſemper à puncto contactus incepta) vna cum
tertia parte quadrati ſecunda ad rectangulum ſub compoſita ex prima,
ſecunda, &
ſub compoſito ex prima, ſecunda, &
tertia parte,
vna cum tertia parte quadrati tertiæ partis, & ſic trilinea deinceps
ſequentia eſſe, vt hæc rectangula deinceps ſequentia cum tertia parte
dictorum quadratorum, eodem enim modo ſupra adhibito hoc oſtende-
tur. Quotieſcunq;
autem tangens ſit æqualis radio circuli ſpiralium
alicuius numeri veluti fuit, EZ, æqualis ipſi, AB, & diuidatur in tot
partes æquales, in quot radius talis circuli diuiditur à circumferen-
tijs infertorum circulorum, tunc nedum in parabola dicta ſpatia ſe
habent, vt dictum eſt, ſed etiam ſunt æqualia ſpatijs dictorum circu-
lorum, primum nempè primo, ſecundum ſecundo, & ſic deinceps, à
puncto contactus parabolæ dictorum ſpatiorum enumeratione facta,
quod eſt admirabile, hęc autem ex ſupradictis manifeſta ſunt.
SI parabolam tetigerit recta linea, quæ diuidatur in
quotcunq; partes æquales, per puncta autem diuiſio-
num, & extremum ducantur rectæ lineæ diametro para-
bolæ, æquidiſtautes, quouſq; in eiuſdem curuam incidant,
iungantur autem puncta incidentiæ cum puncto cõtactus. Spatium ſub prima iungente, &
ſubtenſa ab eadem curua
erit ſeptima pars ſpatij ſub prima, & ſecunda iungente, &
ab ijs appræhenſa curua compræhenſi. Hoc verò ad ſpa-
tium ſub ſecunda, & tertia iungente, &
appræhenſa curua,
erit vt 7. ad 19 Hoc autem ad ſpatium ſub tertia, &
quar-
ta iungente & ab ijs incluſa curua, vt 19.
ad 37.
&
ſic de-
i@ceps, prout indicat appoſita numerorum ſeries.
Sit tangens parabolam, AHF, ipſa, AE, diuiſa in quotcumq;
partes æquales, AB, BC, CD, DE, ductis autem à punctis, B, C,
D, E, diametro parallelis, quouſq; incidant curuæ, AHF, ipſæ, B
N, CM, DH, EF, iungantur puncta incidèntiæ, quæ ſint, F, H, M,
N, cum puncto, A, &, AN, dicatur prima iungens, AM, tecunda,
AH, tertia, & ſic deinceps.
Dico ipatium ſub, AN, &
ab ea ſub-
tenſa curua, eſſe ad ſpatium ſub, NA, AM, & curua, MN, ideſt
ad trilineum, AMN, vt 1. ad 7.
hoc verò ad trilineum, AHM, vt
7. ad 19.
&
ſic deinceps, prout indicat oppoſita numerorum ſeries
Eſt enim ſpatium, AIN,
ad trilineum, AMN, vt {1/3}. quadrati, AB, ad rectangulum, CAB,
Series ſpatiorum 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Series numerorum 1.
7.
19.
37.
61.
91.
127.
cum {1/3}.
quadrati, CB, ſi ergo, AB, ſtatuatur 3.
erit, AC, 6.
rectan-
gulum, CAB, 18. tertia pars quadrati, BC, erit 3.
quæ iuncta ipſi
18. efficit 21.
erit ergo qualium partium quadratum, AB, eſt 9.
re-
ctangulum, CAB, cum tertia parte quadrati, BC, 21. &
tertia pars
quadrati, AB, eſt 3. eſt igitur ſpatium, AIN, ad trilineum, AMN,
vt 3. ad 21.
ideſt vt 1.
ad 7.
Eodem modo reperiemus trilineum, A
NM, ad, AMH, eſſe vt 7. ad 19.
&
hoc ad trilineum, AHF, vt 19.
ad 37.
&
ſic deinceps, prout indicat ſeries numerorum ſupra poſi-
ta, quod demonſtrandum erat.
_H_Inc patet ſi expoſita ſint ſpirales in quotcunque reuolutionibus
genitæ, initio circulationis exiſtente in, K, ſint autem volutæ
ipſæ, KL, LO, OP, PG, & ſpirales eodem ordine procedentes, KRL, L
SO, OTP, PVG, quod ſi, KG, fuerit æqualis ipſi AE, & diuiſa in pun-
ctis, L, O, P, prout diuiditur, AE, in punctis, B, C, D, ſpatium, KRL,
, LSO, trilineo, AMN, &
, OTP, trili-
neo, AMH, & tãdem, PVG, trilineo, AHF, &
ſic deinceps, vnde
etiam hæc ſpatia ſe habebunt, prout indicat ſuprapoſita ſeries nume-
Secunda ſeries num.
1.
6.
12.
18.
24.
30.
36.
rorum.
Si autem primum ſpatium ſubtrahatur à ſecundo, ſecundum
à tertio, tertium à quarto, & ſic deinceps, habebimus hanc numero-
rum ſecundum ſerieum indic antem rationem primi ſpatij ad faſciam ſe-
quentem, & huius ad faſciam ſequentem, &
ſic deinceps, in qua pa-
tet primum ſpatium eſſe _{1/6}_. faſcia ſequentis, ſecundam verò faſciam
prima eſſe duplam, tertiam eiuſdem triplam, quartam quadruplam, &
ſic deinceps, ſec undum numenorum continuum incrementum, qua in-
uentis ab Archimede eſſe conformia eiuſdem de ſpiralibus librum
perlegenti compertum fiet.
_H_Aec libuit apponere, tum quia adhibita methodus ab Archime-
dea diuerſa eſt, tum etiam, vt admirabilem connexionem, &,
vt ita dicam parabolici, ac helici ſpatij, affinitatem, talia ſpeculanti,
puto, non aſpernendam, ob oculos ponerem; quibus, &
ſequentia
Hoc autem tántum circa prę-
fatas demonſtrationes dicam, quod licet in Prop. _12._
&
_14._
indiuiſi-
bilibus, nempè omnibus qu adratis parallelogrammorum, quæ ibi de-
ſcribuntur, vſus fuerim, tamen etiam modo conſueto potuiſsent de-
monſtrari, ſi ex .g.
vice omnium quadratorum parallelogrammi, ED, re-
gula, EB, ibi aſſumpta, Vſus fuiſsem parallelepipedo ſub altitudine,
DB, baſi autem quadrato, EB, vel pro omnibus quadratis trianguli,
CBE, regula eadem, EB, vſus eſſem pyramide ſub altitudine, CE, ba-
ſi eodem quadrato, EB, etenim ſimiliter demonſtratio abſolui potuiſ-
ſet, hac omnium quadratorum parallelogrammorum ibidem conſide-
ratorum dimiſſa congerie, & ſubſtitutis parallelepipedis, vel pyrami-
dibus, aut earum fruſtis, vbi opus erat. Hæc inuenire volui, vt præ-
dicta omnia ſtylo veteri demonſtrabilia eſſe, etiam aliter ab Archi-
mede patefiat.
SI exponatur ſeries ſpiralium, &
circulorum deinceps à
primis, in ſpatijs verò ſub ſpiralibus, & volutis, cylin-
drici, & conici in eadem altitudiue ſtantes intelligantur
conſtituti tamquam in baſibus, ſimiliter & in circulis con-
ſtituti eſſe cylindri, & coni inte lligantur.
Cylindri inter
ſe, & cylindrici pariter inter ſe, ſiue ad cylindros compa-
rati, ſiue coni inter ſe, & conici inter ſe ſiue ad conos com-
parati eandem rationem, quam baſes habebunt.
Patet hæc propoſitio, nam cylindrici, &
conici in eadem alti-
ſunt autem prædicta ſoli-
da per conſtructionem in eadem altitudine poſita, ergo erunt in-
ter ſe, vt ipſæ baſes; Vocentur autem Cylindri, &
Cylindrici, nec-
non Conici eiuſdem numeri cum ſpatijs, quibus inſiſtunt .i.
pri-
mus cylindrus, vel conus, qui eſt in primo circulo, ſecundus cylin-
drus, vel conus, qui eſt in ſecundo circulo tamquam in baſi; pri-
mus cylindricus, vel conicus, qui eſt in ſpatio helico primi circuli
tamquam in baſi, ſecundus cylindricus, vel conicus, qui eſt in ſpa-
tio ſecundi circuli, & ſic deinceps.
_E_T quia in ſuprápoſitis Propoſitionibus baſium prædictorum ſoli-
dorum ratio fuit adinuenta, ideò eandem pro dictis ſolidis ratio-
nem inde colligemus.
PRimus cylindrus nonuplus eſt primi conici.
Hæc Propoſitio pariter manifeſta eſt, nam primus cylindrus ad
primum cylindricum eſt, vt primus circulus ad ſuum ſpatium
ideſt in ratione tripla, primus verò cylindricus ad primum conicũ
eſt in ratione tripla, quia ſunt in eadem baſi, quod eſt ſpatium pri-
in eadem altitudine, &
ideò primus cylindrus ad
primum conicum eſt in ratione nonupla, quæ ex duabus triplis
conflatur.
SEcundus cylindrus ad ſecundum conicum eſt, vt tri-
plum quadrati radij ſecundi circuli, ad rectangulum
ſub radio eiuſdem ſecundi, & radio primi circuli, vna cũ
tertia parte quadrati differentiæ eorundem radiorum.
Secundus enim cylindrus ad ſecundum cylindricum eſt, vt ſecũ-
culi ad rectangulum ſub radio eiuſdem, & ſub radio primi vna cũ
tertia parce quadrati differentiæ eorundem radiorum, ſecundus ve-
& altitudine cum eo conſtituitur, ergo eſt ad illum, vt dictum re-
ctangulum ſub radijs primi, & ſecundi circuli, vna cum tertia par-
te quadrati differentiæ eorundem ad horum coniunctorum tertiã
partem, & ex æquali ſecundus cylindrus ad ſecundum conicum
erit, vt quadratum radij primi circuli ad tertiam partem rectangu-
li ſub radijs primi, & ſecundi circuli, cum nona parte quadrati dif-
ferentiæ eorundem radiorum, ideſt, vt triplum quadrati radij ſe-
cundi circuli ad rectangulum ſub radijs primi, & ſecundi circuli,
vna cum tertia parte quadrati differentiæ eorundem radiorum.
_H_Inc patet reliquorum cylindrorum ad conicos eiuſdem numeri
rationem eandem eſſe illi, quam habet triplum quadrati radij
circuli, qui eſt baſis talis cylindri, ad rectangulum ſub eodem radio, &
radio circuli vnitate minoris, vna cum tertia parte quadrati differen-
tiæ vtriuſq; radij, quod eod.
modo oſtendetur.
_P_Atet inſuper, quod eadem methodo facilè inueniemus rationem
cuiuſcunq; cylindri, vel fruſti cylindri, &
conici, vel fruſti co-
nici, in baſibus aliquibus ex iam conſideratis ſpatijs conſtituti, quæ ob
facilitatem dimitto; vt ad aliqua ex antecedentium librorum, &
hui-
us propoſitionibus conſtructa Problemat a, ſiue Theoremata, ſpecula-
tionem noſtram conuertentes, vtilitatis eximiæ, quam ſuperius tra-
dita doctrina, etiam ad praxim deducta, afferre poteſt, illuſtriora quæ-
dam præbeamus argumenta.
CYlindrum, vel conum conſtituere æqualem datæ
ſphæræ, vel ſphæroidi, vel eiuſdem portioni.
Sit ſphæra, vel ſphæroides, ACEG, circa diametrum, AE, opor-
Exponatur
cylindrus, RQ, & conus, SPQ, quorum altitudo, vt, SV, ſit æqualis
ipſi, AE, & baſis æqualis circulo tranſeunti per centrum, N, qui ſit,
CG, recté axem ſecans, ſeu pro ſphæroide, ſi, AE, non ſit axis, RQ,
altitudinẽ hab eat æqualem altitudini ſphæroidis @uxta planũ, CG,
aſſumptę, & ſit in baſi æquali ellipſi, CG.
Erit ergo cylindrus, RQ,
ſexquialter ſphæræ, vel ſphæroidis, ACEG, & conus ſubduplus
eiuſdẽ, ſi igitur in eadẽ baſi fiat cylindrus, cuius altitudo ſit {2/3}. ipſius,
SV, hic erit æqualis datæ ſphæræ, vel ſpæroid@, ACEG, ſi verò, fiat
conus altitudinis duplæ ipſius, VS, in eadem pariter baſi, i@@e eidẽ
ſphæræ, vel ſphæroidi æqualis erit, coni enim, & cylindri in eadẽ
baſi conſtituti ſunt, vt altitudines.
Sit rurſus conſtituendus cylindrus, vel conus, æqualis eiuſdem
ergo cylindrus, RQ, cuius baſis ſit æqualis círculo, vel ellipſi, DF,
altitudo verò, SV, æqualis ipſi, AO, ſeu altitudini portionis, ADF,
ptæ, erit igitur hic cylin-
vt, OE, ad compoſitam ex
{1/2}. OE, &
{1/6}.
OA, hanc au-
tem rationem habeat, SV,
ad aliam altitudinem, erit
ergo cylindrus, RQ, ad cy-
lindrum altitudinis inuen-
tæ, & in eadem baſi, PQ,
conſtitutum, vt, OE, ad
compoſitam ex {1/2}. OE, &
{1/6}. OA, .
i.
vt cylindrus, R
Q, ad portionem, DAF,
igitur inuentus cylindrus
erit æqualis portioni, DA
F. Triplicetur nunc alti-
tudo inuenti cylindri, &
fiat conus talis altitudinis,
in eadem cum eo baſi, hic
igitur conus erit æqualis
inuento cylindro, & ſub-
inde portioni, DAF. Eo-
dem modo inueniemus cy-
lindrum, vel conum æ-
qualem portioni, BAH.
SOlido quocunq;
in eadem baſi, &
altitudine cum cy-
lindro conſtituto, ad quod cylindrus notam rationẽ
habeat, cylindrum, & conum, inuenire, æqualem dato
ſolido.
Sit ſolidum quodcunque, DAF, ad quod cylindrus, BF, in eadem
baſi, DF, & eadẽ altitudine cum eodẽ cõſtitutus, habeat notam ra-
tionem. Oportet cylindrum inuenire, &
conum, æqualem dato ſo-
lido. Fiat ergo, vt cylindrus, BF, ad ſolidum, DAF, ſic altitudo, quæ
ſit, AE, ad altitudinem, EI, & per, I, ducatur planum producẽs
in cylindro, BF, circulum, GK, conſtituenſque cylindrum, GF,
igitur, vt, AE, ad, EI, ſic erit cylindrus, BF, ad cylindrum, GF, &
vnde cylindrus, GF, erit æqualis ſo-
lido, DAF. Rurſus triplicetur alti-
tudo, EI, & fiat conus eiuſdem al-
titudinis in baſi, DF, hic igitur co-
nus erit æqualis cylindro, GF, &
ſubinde ſolido, DAF, quod inueni-
re opus erat.
_H_Inc patet nos etiam poſſe inuenire cylindrum, &
conum, nedũ
æqualem dicto ſolido, ſed qui ad ipſum babeat datam rationem,
ſi enim altitudo inuenti cylindri, vel coni æqualis dicto ſolido, fiat
id ali am altitudinem in data ratione, tamen conuerſa, & harum al-
tatudinum vltimò inuentarum in eiſdem baſibus cum prædictis fiant
cylindrus, & conus, habebunt iſti ad dictum ſolidum datam ratio-
nem, vt facilè apparet.
_H_Inc etiam patet cylindrum in baſi apicis ſphæralis, vel ſphæ-
apicis ſit, vt, _2._ ad _21._
eſſe æqualem eidem apici.
_V_Lterius habetur quoq;
cylindrum, ad cuius altitudinem altitu-
do tympani ſphæralis, vel ſphæroidalis ſit, vt ſemidiameter
baſis tympani ad reliquum, dempta ab eadem recta linea, ad quam di-
midia ſecundæ diametri circuli, vel ellipſis ſit, vt circulus ad qua-
dratum, cui circumſcribitur ſimul cum exceſſu, quo dicta linea exce-
dit _{2/3}_. tertiæ proportionalis ſemidiametri baſis tympani, &
dimidiæ
ſecundæ diametri dicti circuli, vel ellipſis, eſſe æqualem dato tym-
_E_T cylindrum, ad cuius altitudinem, altitudo anuli ſtricti circu-
laris, vel elliptici, ſit vt quadratum ad circulum, cui circum-
ſcribitur, in baſi exiſtentem circulo, cuius radius ſit æqualis ſecundæ
Conſimiliter autem inueniemus cylindrum æqualem anulo
lato circulari, vel elliptico; &
eius portionibus, abſciſſis planis ad
axem reuolutionis rectis; ſiue cuicunq;
ex figuris Corollariorum 26.
27.
28.
29.
Lib.
3.
Similiter inueniemus cylindrum æqualem Malo
Roſeo, vel Cotoneo, vel Citri@, vel Oliuæ; Conoidi Parabolico, Vel
hyperbolico, eiuſdem fruſto, Apici parabolico, Semianulo ſtricto, vel
lato, & ſemibaſibus ſtrictis, medijs, vel latis, Aceruis minori, vel
maiori parabolicis. Tympano hyperbolico, &
portionibus eorundẽ
ſupra conſideratis, & cylindricis, vel conicis, qui in baſibus ſpatijs
ſub ſpiralibus, & volutis conſtituuntur.
Triplicatis autem altitu-
dinibus inuentorum cylindrorum, in quibus, & eiſdem baſibus cum
cylindris, conſtituantur coni, iſti prædictis ſolidis æquales erunt, &
iuxta Coroll. _1_ antecedentis inueniemus pariter cylindrum, vel co-
num, qui ad quoduis ex prædictis ſolidis datam ratione mhabeat.
SPhæram inuenire æqualem dato cylindro.
Similiter, &
ſphæroidem circa datum axim æqualem dato cyin-
dro -
Sit cylindrus datus, A, oportet illi æqualem ſphæram inuenire.
Fiat cylindrus rectus, CFD, ſexquialter cylindri, A, deinde inter,
baſis diametrũ, CD,
duæ mediæ continuè
proportionales, iuxta
methodũ ab alijs tra-
ditam, inueniantur,
quę ſint, M, GH, de-
ſcripto autem circu-
lo circa alterà dictarũ
mediarum tanquam
diametrum, vt circa,
GH, fiat is baſis cu-
uſdam cylindri altitu-
dinis æqualis ipſi, G
H, & ſit tandem ſphæra, B, circa diametrum æqualem ipſi, GH,
conſt tuta. Dico ſphæram, B, eſſe æqualem cylindro, A.
Eſt en@m
CD, ad, GH, vt, M, ad, FF, permutando, CD, ad, M, eſt vt, G
CD, ad quadratum, GH, vel circulus, CD, ad circulum, GH, er-
go vt, LK, ad, FE, ſic circulus, CD, ad circulum, GH, ergo cy-
quialter cylindri, A, ergo cylindrus, GLH, erit ſexquialter cylin-
dri, A, eſt autem cylindrus, GLH, etiam ſexquialter ſphæræ circa
diametrum, GH, vel illi æqualem, NO, deſcriptæ ideſt ſphæræ, B,
Sit nunc datus axis, NO, circa quem ſit conſtituenda ſphærois
æqualis dato cylindro, A, ſi igitur ſphæra circa diametrum, NO,
eſſet æqualis dato cylindro, non poſſet circa hanc diametrum fie-
ri alia ſphærois ęqualis dato cylindro, ſed talis ſphęrois eſſet eadẽ
ſphęra. Non ſit autem ęqualis ſphęra, B, cylindro, A, tunc fiat
ſphęra ęqualis cylindro, A, quę ſit circa diametrum, ST, deinde
fiat, vt, NO, ad, ST, ſic quadratum, ST, ad, X1, bifariam diuiſam
in, B, centro, & fiat ſphęrois circa diametros, NO, XI, igitur pri.
miaxes, NO, ST, reciprocè reſpondent ſecundorum axium, ST,
vel, 34, XI, quadratis ergo ſphęra, ST, erit ęqualis ſphęroidis, NX
lindro, A, quod erat inueniendum.
_H_Inc colligitur cuicunq;
ex ſolidis in antecedenti, &
Corolla.
rijs eiuſdem nominatis ſphæram æqualem nos ſcire conſtitue-
re, necnon ſphæroidem æqualem circa datum axem, ſphæramque, ac
ſphæoidem, quæ ad quodcunq; ex ipſis datam rationem habeat.
Pro-
qui ad ipſum datam rationem habeat, deinde fiet ſphæra, vel ſphærois
circa datum axim, æqualis inuento c ylindro, quæ ſubinde ad datum
ſolidum datam rationem habebit: Et vniuerſaliter patet ſi diſcamus,
dato cylindro æquale ſolidum ex iam @onſideratorum genere construe-
re, conſequenter eiuſmodi ſolidum nos ſcire conſtruere, quod ad ali-
quod ex nominatis in antecedenti Propoſitione, & eiuſdem Corolla-
rijs, datam rationem habeat.
DAto cylindro apicem ſphæralem æqualem conſtitue-
re, vel ſphæroidalem, & hunc circa datum axem.
Vtamur antecedentis figura, in qua ſupponamus dato cylin-
dro, A, conſticuendum eſſe æqualem apicem ſphæralem, vel ſphę-
roidalem, & hunc circa datum axem.
Exponatur autem cylin-
drus, FCD, qui ad cylindrum, A, ſit, vt 21. ad 1.
deinde inter, C
D, FE, ſumantur duæ inediæ continuè proportionales, GH, M, &
fiat cylindrus altitudinis, GH, qui ſit, GLH, ac ſupponatur ipſi,
LK, aſſumptam eſſe æqualem ipſam, NO, igitur ductis tangenti-
bus circulum circa, NO, in punctis, O, R, N, quæ ſint, OZ, Z℟,
℟N, concurrentibus in Z, ℟, patet, OZ, eſſe æqualem ipſi, GK,
&, ℟Z, æquatur ipſi, Lk, crgo cylindrus, qui naſceretur ex reuò-
lutione parallelogrammi, NZ, circa manentem axem, ℟Z, eſſet
æqualis cylindro, GLH, oſtendemus autem, vt in antecedenti cy-
lindrum, GLH, eſſe æqualem cylindro, CFD, vnde patebit cylin-
drum genitum ex, NZ, ad cylindrum, A, eſſe vt 21. ad 1.
ſedidem
ad apicem, qui naſceretur ex reuolutione trilinei, OZR, circa, RZ,
ad 1.
nam cylindrus ex, NZ, duplus eſt cylindriex, BZ,
ergo apex genitus ex trilineo, OZR, æqualis erit cylindro, A.
Sit nunc inueniendus apex ſphæroidalis circa datum axem, RZ,
vel illi æqualem, qui ſit æqualis cylindro, A, ſi ergo talis eſſet apex
ſphæralis, qui fit ex, OZR, non eſſet alius apex ſphæroidalis circa,
RZ, vel illi æqualem, qui eſſet æqualis cylindro, A; ſi verò non
ſit, inueniatur apex ſphæralis, vt, ΤΔ4, æqualis cylindro, A, dein-
de vt, RZ, ad huius facti apicis axim, 4Δ, ita fiat dimidij diametri
baſis eiuſdem, ideſt, ΤΔ, quadratum ad quadratum, OY, ſiue, BI,
& per, 1, tranſeat elliplis, NIO, &
ducatur eandem tangens in, I,
quę fit, IY, igitur quia, RZ, ad, 4Δ, axim facti apicis ſphæralis eſt,
vt quadratum, ΤΔ, dimidij diametri baſis, ad quadratum, OY,
ideſt, vt circulus, qui eſt baſis facti apicis ſphæralis, ΤΔ4, ad cir-
culum, qui eſt baſis alterius, ideò iſti apices erunt æquales: nam
ſe habebunt, vt cylindri in eiſdem cum illis baſibus, & circa eoſ-
dem axes exiſtentes, qui cylindrici erunt æquales, nam axes baſi-
bus reciprocè reſpondet; ergo apex ſuphæroidalis, qui fiet ex, O
YI, & eſt circa axim, IY, æqualem ipſi, RZ, datæ, erit æqualis cy-
lindro, A, quæ inuenienda erant.
_P_Atet autem, quod iuxta Corollarium antec@dentis poterimus etiã
inuenire apices ſphęrales, vel ſphæroidales circa datum axim, ad
datum quodcunq; ſolidum ex enumeratis in dicto Corollario datam
ratoinem habentes.
DAto cylindro tympanum ſphærale eidem æquale cõ-
ſtituere, cuius axis ſemidiametro baſis ſit æqualis.
Sit datus cylindrus,
baſis, BC, oportet illi
æquale tympanu ſphę-
rale conſtituere, cuius
axis ſemidiametro ba-
ſis ſit æqualis. Vt hoc
fiat exponatur recta li-
nea terminata quæcũ-
que, EI, quæ ſit bifariã
ſecta in, G, & vt quad.
circulo cuicunq;
circũ.
ſcriptum ad eundem
circulum, ita fiat, GE,
ad, EF, ſumatur dein-
de, FH, quæ ſit exceſ-
ſus, quo, FE, ſuperat
{2/3}. tertiæ proportiona-
lis duarum, IE, EG,
deinde vt, HI, ad, IE, ita fiat, AD, ad, LO, altitudinem alterius
cylindri in baſi, NP, æquali ipſi, BC, exiſtentis, & tandem inter
LO, &, ON, baſis ſemidiametrum, ſumantur duæ mediæ conti-
nuò proportionales, QO, OR, & in altitudine æquali, OR, nem-
pè, T8, baſi, ℟8, æquali eidem, OR, fiat parallelogrammum re-
ctangulum, 58, in cuius plano deſcribatur ſemicirculus, SY℟, &
ipſum cum parallelogrammo reuo uatur circa manentem axim,
T8, donec redeat vnde diſceſſit, patet autem, quod ex parallelo-
grammo fiet cylindrus, vt, Sφ, & ex figura, SY℟8T, tympanum
ſphærale, 5Yφ. Dico igitur hoc tympanum eſſe æquale dato cy-
lindro, ABC, &, T8, æqualem ipſi, 8℟, ſemidiametro baſis, ℟φ.
Sint parallelogrammum, Sφ, & figura, SYφ, per axem tranſeun-
tia, & X&
, per centra, X, &
, circulorum ducta, ſecans, T8, in, Z,
manifeſtum eſt igitur, quod, XZ, bifariam ſecabitur à circumfe-
rentia, SY℟, vt in, Y, cum, 8℟, ſit æqualis, ℟S, & ipſi, XZ, S℟,
autem ſit dupla, XY, vnde ſi ſecetur, ℟8, bifariam in, 4@erit, ℟4,
æqualis ipſi, XY, ſit autem ab ea dempta, ℟@, ad qua ?? 4℟, ſit vt
in, ℟8, ſumpta, 37, æqua
lis exceſſui, quo, 3℟, ſuperat {2/3}. tertiæ proportionalis duarum, 8℟,
℟4, patet ergo, quod cylindrus, Sφ, ad tympanum, SYφ, eſt vt, ℟
8, ad, 87. Quoniam vero, vt, LO, ad, OQ, ſic eſt, QO, ad, OR,
ad quadratum, OQ, vel ita quadratum, RO, ſeu quadratum, ℟8,
ad quadratum, NO, vel ita circulus, ℟φ, ad circulum, NP, ergo
duo cylindri, Sφ, KP, quorum axes reciprocè baſibus reſpondent,
erunt æquales, quod ſerua. Vlterius, quia vt, IE, ad, EG, ſic eſt,
vt, EG, ad, EF, ſic quadratum ad inſcriptum circu-
lum, & ita etiam, ℟4, ad, ℟3, ergo ex æquali, IE, ad, EF, erit vt,
8℟, ad, ℟3. Similiter quia, IE, ad, EG, eſt vt, 8℟, ad, ℟4, &
, E
G, ad {2/3}. tertiæ proportionalis duarum, IE, EG, eſt vt, 4℟, ad {2/3}.
tertiæ proportionalis duarum, 8℟, ℟4, ideò ex æquali, vt, IE, ad,
{2/3}. tertiæ proportionalis duarum, IE, EG, ita, 8℟, erit ad {2/3}.
tertię
proportionalis duarum, 8℟, ℟4, eædem autem, IE, 8℟, ad, FE, 3
℟, erant in eadem ratione, ergo ad exceſſus duarum, EF, ℟3, ſu-
per {2/3}. tertiarum proportionalium, IE, EG, ex vna parte, &
, 8℟,
℟4, ex alia, erunt in eadem ratione .i.
vt, IE, ad, FH, ita erit, 8℟,
ad, 37, ſed etiam, vt, IE, ad, EF, ſic eſſe oſtenſum eſt, 8℟, ad, ℟3,
ergo, coll@gendo, vt, IE, ad, EH, ita, 8℟, ad, ℟7, & per conuer-
ſionem rationis, & conuertendo, vt, Hl, ad, IE, ideſt vt, AD, ad,
LO, ideſt vt cylindrus, BAC, ad cylindrum, NLP, vel illi æqualẽ,
Sφ, (vt oſtenſum eſt) ita, 78, ad, 8℟, ſed vt, 78, ad, 8℟, ita tym-
panum, SYφ, ad cylindrum, Sφ, ergo, vt cylindrus, BAC, ad cy-
drus, BAC, æquaturtympano, SYφ, cuius axis, T8, ſemidiametro
baſis, ℟8, eſt æqualis, quod, &c.
_C_Olligitur autemiuxta Corollarium Propoſit.
26.
huius, nos poſ-
ſe in uenire tympana ſphæralia, quorum axes ſemidiametris
baſium ſint æquales, quæ ad datum quodcunq; ex ſolidis in ſectione 3.
Coroll.
2.
Propoſ.
25.
huius enumeratis, datam rationem habeant.
DAto cylindro anulum ſtrictum circularem æqualem
inuenire.
Sit datus cylindrus, A, oportet illi anulum ſtrictum circularem
æqualem inuenire. Reperiamus ergo cilindrum, quiad cylindrũ
A, ſit, vt duplum cuiuiſuis quadrati ad circulum dicto quadrato
dein de huic inuento cylindro alius inueniatur ęqua-
ęqualis diametro ba. ſis .
@.
MN, ipſi, OC,
qui diuidatur bifariã
in, R, & per, R, du-
cto plano oppoſitis
baſibus æquidiſtan-
te, ſit conſtitutus cy
lindrus, DC, in quo
planum per axem
ductum produxerit
parallelogrammum,
DC, quod in duo ſe.
parab tur quadrata per ipſam, RN, ſint illis inſcripti æquales cir-
culi, E, F, ex quorum reuolutione circa, RN, intelligatur effectus
anulus ſtrictus circularis, EF. Dico hunc eſſe æqualem cylindro,
A. Nam, BC, ad, A, eſt vt parallelogrammum, BN, .
i.
vt duplũ
ctum genitum ex, E, igitur hic anulus cylindro, A, æqualis erit,
quod inuenire opus erat.
DAto cylindro anulo latum circularem ęqualem inue-
nire, dato circulo, qui per reuolutionem ipſum ge-
nerat; oportet autem datum cylin drum maiorem eſſe anu-
lo ſtricto ab eodem circulo per reuolutionem genito.
Sit datus cylindrus, E, datus circulus, CD, ſit autem datus cy-
lindrus, E, maior anulo ſtricto per reuolutionem dati circuli circa
ipſum rectam tangentem genito. Oportet anulum latum circula-
rem inuenire ab eodem circulo per reuolutionem genitum, æqua-
lem dato cylindro, E. Sit tangens circulum, CD, in puncto, D,
ipſa, MN, circa quam fieri intelligatur reuolutio, vt deſcribatur
anulus ſtrictus circularis ex, CD, fiat deinde, vt anulus ſtrictus ab
eo genitus ad cylindrum, E, ita, DC, diameter eiuldem ad aliam,
FH, (quæ erit eadem maior, quia etiam c@lindrus, E, eſt maior
lis, deinde tota, FI, bifariam diuidatur in, G, & producta, DC,
verſus, C, indefinitè in ea ſumatur, AD, æqualis ipſi, GI, & ab-
ſciſla ab eadem ad punctum, A, ipſa, AR, eidem, CD, ęquali, in-
telligatur circa, AR, diametrum deſcriptus circulus, AR, ęqualis,
Dico anulũ
latum circularem
deſcriptum per, A
R, reuolutum cir-
ca, MN, in tali ſi-
tu, cylindro, E, ę-
qualem eſſe. Nam
ſtrictus anulus de-
ſeriptus à, CD, ad
cylindrum, E, eſt
vt, DC, ad, FH, &
quia, GI, eſt æqualis ipſi, AD, &, CD, ipſi, HI, erit, GH, æqualis
ipſi, AC, ergo vt, DC, ad, FH, ita eſt eadem, DC, ad, IGH, vel ad,
DAC, ſiue, AR, ad, ADR, (nam compoſita ex, AD, DR, eſt æ-
ex, AD, DR, ita anulus ſtrictus genitus ex circulo, CD, ad anu lũ
latum genitum ex circulo, AR, ergo anulus ſtrictus genitus ex cir-
culo, CD, ad anulum latum genitum ex circulo, AR, erit, vt idem
anulus ſtrictus ad cylindrum, E, ergo anulus latus genitus ex circu-
lo dato, AR, ſiue, CD, in tali ſitu, æqualis erit cylindro, E. In-
uentum ergo eſt, quod opus erat.
_I_Vxta Coroll.
autem Prop.
26.
huius, manifeſtum eſt nos etiam di-
ctos anulos in dataratione ad datum cylindrum inuenire poſſe, &
ſubinde etiam in data ratione ad quodcunq; ex ſolidis in Sect.
3.
Cor.
2.
Prop.
25.
huius enumeratis.
_H_Abetur injuper ſi in recta, DA, indefinitè producta, continuen-
tur à puncto, D, æquales circulorum diametri; ab eiſdem cir-
@ulis per reuolutionem circa, MN, deinceps genitos anulos ſeſe ha-
bere, vt numeros impares ab vnitate continuò progredientes. Quod
ſi in eadem recta linea perpendiculari ipſi, MN, Vt in eadem, DA, in@
ctangulorum, in eademq; altitudine exiſtentium, æquales baſes, ijſq;
bifariam ſectis, ab effectis punctis educantur parallelogrammorum di-
ctorum diametri, circa quas exiſtant aliæ planæ figuræ eius conditio-
nis, vt ducta quacunq; parallela.
AD, illius portiones in his figuris
conceptæſint æquales, tum anuli deſoripti à dictis parallelogrammis
ſe habebunt vt numeri impares ab vnitate deinceps expoſiti, tum etiã
anuli geniti à prædictis figuris: Etenim iſti anuli deinceps ſe habe-
bunt, vt quedratum primæ æqualium rectarum linearum, in ipſa, D
A, aſſumptarum, & exceſſus quadratorum deinceps ſubſequentium
æqualium linearum, vt facilè innoteſcet, ſi in memoriam reuocentur,
quæ dicta ſunt in Coroll. 29.
34.
Lib.
3.
pro ibi conſideratis figuris,
quibus hæc quoq; adaptantur.
_M_Anifeſtum etiam eſt nos poſſe iuxta ſupradictam metbodum
cætera ſolida attentare, vt e adem dato cylindro tum æqualia,
tum etiam in data ratione inueniamus, veluti ex. gr.
baſim columna-
rem ſtr ictam, latam, ac med am, Malum Roſeum, Citrium, & reliqua,
quæ in Sect. 3.
Cor.
2.
Prop.
25.
huius enumerantur, vt ſubinde cui-
libet ex conſideratis in hoc volumine ſolidis inueniamus ex genere
cuiuslibet nedum æquale, ſed etiam in data ratione, quæ omnia ſingil. latim proſequi minimè volui, tum ad vitandam prolixitatem, tum
etiam, vt alijs iucundi exercitij occaſionem non eripiam, veluti, &
centri grauitatis nouorum ſolidorum inuentionem, nemini, quod ſciã
adhuc tentatam, alijs pro nunc relinquam, ſufficiat enim in præſenti
prædicta ſolida inueniendi rationem aliqualiter declaraſſe, centriq;
grauitatis dictorum ſolidorum inueſtigandi materiam præbuiſſe.
_A_Duertendum eſt autem circa ſupradicta ſolida, quorum menſurã
præcisè non inuenimus, vt ex. g.
patet de apicibus ſphærali-
bus, tympanis, anulis, & alijs plurimis, neq;
inuentionem prædictam
eſſe, vel fore præciſam, non tamen aſpernendam, cum proximè ad ve-
ritatem accedat.
SI in ſpatio helico primi circuli ſpiralium conicus in
eadem altitudine cum apice parabolico, in baſi dicto
circulo exiſtente, ſit conſtitutus; apex parabolicus erit
ſexquialter dicti conici.
Patet hæc Propoſitio, nam ſi in dicto circulo, vt in baſi, &
cir-
erit ſexcuplus apicis parabolici, & nonuplus dicti primi conici, er-
go apex parabolicus ad cylindrum erit, vt 3. ad 18.
&
conicus ad
ipſum, vt 2. ad 18.
vnde apex adconicum erit, vt 3.
ad 2.
ideſt in
ratione ſexquialtera, quod erat oſtendendum.
SI circa diametrum baſis ſemianuli ſtricti parabolici
tanquam circa propriam diametrum ſphæra, vel ſphę-
rois, fuerit conſtituta, cuius ſecunda diamet@er ſit æqualis
altitudine, ſiue axi, eiuſdem ſemianuli; dicta ſphæra, vel
ſphærois ipſi ſemianulo æqualis erit.
Hæc etiam patet, nam cylindrus in eadem baſi cum ſemianulo
dicto, & eadem altitudine, eſt eiuſdem ſexquialter, eſt autem etiã
ideò dicta ſphæra, vel
ſphærois, erit æqualis dicto ſemianulo, quod oſtendendum erat.
SI cylindrus, &
conus, hæmiſphærium, vel hæmiſphę-
roides, conoides parabolicum, apex parabolicus, &
ſphæralis, fuerint in baſi eodem circulcirca eundem
axim, infraſcriptam rationem inter ſe habebunt -
Sit cylindrus, BE, in baſi circulo, CE, circa axem, FD, in qui-
bus ſint etiam hæmiſphærium, vel hæmiſphæroides, CFE, conoi-
d@s parabolicum, CRFkE, conus, CFE, apex parabolicus, CVF
ZE, & apex ſphæralis, vel ſphæroidalis, CXFYE, qualium igitur
partium cylindrus, BE, eſt 126. talium hæmilphærium eſt 84.
co-
conus 42.
apex para-
apex ſphæralis 12.
vnde patet hæmiſphęrium, vel
hæmiſphæroides ſexquitertium
ſe-
ptuplum apicis ſphæralis. Co-
noides verò parabolicum tri-
quintuplum ſexquiquartum apicis ſphæralis, quæ ex ipſis nume-
bolici, triplum ſexquialterum proximè apicis ſpæralis, quoad api-
cem ſphæralem enim ſemper proximam dictam rationẽ intellige,
& tandem apex parabolicus ad ſphæralem erit ſexquiſupertripar-
tiens quartas.
SI in baſi cylindri, &
circa eundem axim, fuerint hæ-
miſphærium, vel hæmiſphæroides, conoides parabo-
licum, hyperbolicum, & conus, ſecto verò axi vtcunque,
ducatur planum per punctum ſectionis baſi æquidiſtans. Abſciſſæ per ductum planum à dictis ſolidis portiones erũt
ad ſolida, à quibus abſcinduntur in ratione infraſcripta.
Similiter demptis dictis ſolidis ſingillatim à cylindro, ab-
ſciſſæ per ductum planum portiones ad reſiduum cylindri,
demptis ſolidis iam dictis, erunt in ratione infraſcripta.
Sit cylindrus, BF, in baſi circulo, DF, &
circa axim, AE, circa
quem in eadem baſi ſit hæmiſphærium, vel hæmiſphæroides, DV
ATF, conoides parabolicum DOARF, hyperbolicum, DNASF,
& conus, DMAIF, ſumpto autẽ vtcunq;
puncto in, AE, quod ſit, k,
per, k, ducatur planũ, CG, baſi, DF, æquidiſtans. Igitur hæmiſphę-
ralle lepipedũ ſub dupla, AE, & quadrato, AE, ad parallelepipedum
ſub compoſita ex dupla, AE, & ex, EK, &
@ub quadrato, kA.
Co-
noides parabolicum, DOARF, ad conoides, OAR, erit vt qua-
Conoides hyperbolicum, DN
ASF, ad conoides, NAS, vt parallelepipedum ſub compoſita ex
, EA, &
ſub quadrato, E
dum ſub compoſita
ex ſexquialteraeiuſ-
dem tranſuerſi late-
ris, &, KA, &
qua-
drato, KA. Conus
verò, DAF, ad co-
num, MAI, vt cu-
bus, EA, ad cubum,
AK.
Nunc intelliga-
lindro, BF, hæmi-
ſphærium, vel hæ-
miſphæroides, DVATF. Igitur per demonſtrata patet reliquum
cylindri ab abſciſſam ab eo portionem per ductum planum eſſe, vt
Dempto autem conoide parabo-
lico ab eodem cylindro; reliquum cylindri ab abſciſſam portionẽ
erit, vt quadratum, AE, ad quadratum, EK. Dempto verò co-
ſciſſam portionem erit, vt parallelepipedum ſub compoſita ex
ſexquialtera tranſuerſi lateris, & dupla axis eiuſdem, &
ſub qua-
drato eiuſdem axis, ad parallelepipedum ſub compoſita ex ſex-
axibus vtriuſq;
portionis,
& ſub quadrato exceſſus maioris axis ſuper minorem.
Tandem
dempto cono, DAF, à cylindro, BF, reſiduum cylindri ad abſciſsã
portionem erit, vt cubus, AE, ad parallelepipedum ſub ſexquialte-
ſub rectangulo, AKE, cum {2/3}.
quadrati, KE.
Nam cy-
lindrus, BF, ad reliquum cylindri, CF, dempto fruſto coni, DMIF,
cylindrum, CF, ideſt ex ea, quam habet, AE, ad, EK, & ex ratio-
IF, quæ eſt ea, quam habet quadratum, DE, ad rectangulum, CM
K, cum {2/3}. quadrati, CM, vel quadratum, EA, ad rectangulum, E
KA, cum {2/3}. quadrati, EK, eſt autem reliquum cylindri, BF, dem-
pto cono, DAF, {2/3}. eiuſdem cylindri, ergo reliquum cylindri, BF,
dempto cono, DAF, ad reliquum cylindri, CF, dempto fruſto, D
MIF, erit in ratione compoſita ex ea, quam habẽt {2/3}. AE, ad, EK,
ideſt, AE, ad ſexquialteram, EK, & quadratum, AE, ad rectangu-
quadrati, kE, quæ duæ rationes componunt
rationem cubi, AE, ad parallelepipedum ſub ſexquialtera, Ek, &
quadrati, kE, ſic igitur erit reſiduu@
cylindri, BF, dempto cono, DAF, ad reſiduum cylindri, CF, dem-
pto fruſto, DMIF; cætera autem ex ſuis Propoſitionibus patent,
quæ explicanda proponebantur.
_L_Icet autem in ſuperioribus bu ius Libri Propoſitionibus tantum.
modo cylindros, conos, ſphæras, ſphæroides, conoides paraboli-
cas, & byperbolicas, apices ſphærales, atque anulos, apices parabo-
licos, & ſemianulos, ac cætera conſimilia ſolida fuerimus contempla-
ti, quorum omnia planà ſunt omnes figuræ ſimiles figurarum, quæ eo-
rundem genitrices appellantur, ſcilicet in his ſolidis, aſſumptis tan-
tum ſimilibus figuris, quæ ſint circuli, vel ellipſes; tamen manifeſtum
eſt, ſi vice circulorum, vel ellipſium alia fuiſſent aſſumptæ ſimiles fi-
guræ, quod eadem circa talia ſolida Theoremata, vel Problemata ſi-
milia præpoſitis conſtruere potuiſſemus. Vnde ex .
g.
veluti in Prop.
26. buius inuenimus ſphæram æqualem dato cylindro, ita ſi vice cy-
lindri habuiſſemus cylindricum, cuius baſis fuiſſet triangulum æqui-
laterum, poteramus vice ſphæræ inuenire ſolidum, cylindrico dato ſi-
milare, genitum ex circulo, cuius nempè omnia plana ſuiſſent omnes
figuræ ſimiles, ideſt omnia triangula æquilatera, circuli, qui erat ſphæ-
ræ, & eſt buius ſolidi genitrix figura, &
eodem modo in cæteris banc
commutationem proſequi, aſſumptis quibuſcumque ſimilibus figuris
genitricium figurarum, ex quibus dicta ſolida ad inuicem ſimilaria
genita dicuntur, quam varietatem, vt & alia quamplurima tum Pro-
blemata, tum Theoremata, quæ ex bactenus oftenſis deduci poſſent,
quaq; Lectoris induſtria relinquuntur, cuiq;
licebit iuxta propoſit am
methodum facilè meditari, & propterea circa bæc non amplius im-
morandum mibieſſe cenſui.
_G_EOMETRIAE, in ſex prioribus Libris
per eam, quam indiuiſibilium methodum
non incongruè appellamus, bactenus pro-
motę, talis fuit, qualis bucuſq; videri po-
tuit, ſtructura, necnon talia, qualia iacta
ſunt fundamenta. Illa quidem adeò firma,
atq; inconcuſſa, eſſe decuit, vt velut ada-
mantina ſummorum ingeniorum tamquam
arietum ictrbus pulfata ne minimum quidẽ
nutantia agnoſcerentur: Hoc enim Mathematicarum dignitati, ac
ſummæ certitudini, quam præ omnibus alijs humanis ſcientijs, nemi-
ne philoſopborum reclamante, ipſæ ſibi vindicarunt, maximè conue-
nire manifeſtum eſt. An id ego ſufficienter præſtiterim a iorum iudi-
cio relinquam; vnicuique enim hæc perlegenti ex animi ſui ſenten-
tia iudicare licebit. Haud quidem me latet circa continui compoſi-
tionem, necnon circa inſinitum, plurma à philoſophis diſputari, quæ
meis principijs obeſſe non paucis ſortaſſe videbuntur, propterea nem-
pè hæſitantes i quod omnium linearum, ſeu omnium planorum, con-
ceptus cimerijs veluti obſeurior tenebris inapprehenſibilis videatur: Vel quod in continui ex indiuiſibilibus compoſitionem mea ſententia
prolabatur: Vel tandem quod vnum infinitum alio maius dari poſſe
pro ſirmiſſimo Geometriæ ſternere auſerimfundamento, circa quæ mil-
libus, quæ paſſim in ſcholis circumferuntur argumeutis, ne Achil-
His tamen ego per ea,
quæ Lib. 2.
Prop.
1.
ac illius Scholio præcipuè declarata, ac demon-
ſtrataſunt, ſatisfieri poſſe dijudicaui: quoad conceptum enim omniã
linearum, ſeu omnium planorum efformandum, facilè hoc per nega-
tionem nos conſequi poſſe exiſtimaui, ita nempè vt nulla linearum,
ſeu planorum, excludi intelligatur. Quoad continui autem compo.
ſitionem manifeſtum eſt ex præoſtenſis ad ipſum ex indiuiſibilibus cõ-
ponendum nos minimè cogi, ſolum enim continua ſequi indiuiſibilium
proportionem, & è conuersò, probare intentum ſuit, quod quidem cũ
vtraq; poſitione ſtare poteſt.
Tandem verò dicta indiuiſibilium aggre-
gata non ita pertractauimus vt infinitatis rationem, propter infinitas
lineas, ſeu plana, ſubire videntur, ſed quatenus finitatis quandam
conditionem, & naturam ſortiuntur, vt propterea, &
augeri, &
diminui poſſint, vt ibidem oſtenſum fuit, ſi ipſa prout diffinita ſunt
accipiantur. Sed his nihilominus fortè obſtrepent Philoſophi, vecla-
mabuntq; Geometræ, qui puriſſimos veritatis latices ex clariſſimis
baurire fontibus conſueſcunt ſic obijcientes. Hic dicendi modus ad.
buc videtur ſubobſcurus, durior quam par eſt euadit hic omnium li-
nearum, ſeu omnium planorum conceptus, quapropter bun@ tuæ
Geometriæ ceu Gordium nodum aut auſeras, aut ſaltem frangas, niſi
diſſoluas. Fregiſſem qu idem fateor, ò Geometræ, vel emninò à prio-
ribus Libris ſuſtuli ſſem, niſi indignum facinus mihi viſum fuiſſet no-
ua hæc Geometriæ veluti myſteria ſapientiſſimis abſcondere viris; vt,
his fundamentis, quibus tot concluſionum ab alijs quoq; oſtenſarum
veritates adeò mirè concordant, alicuius induſtria melius fortè con-
cinnatis, huiuſce nodi exoptatam illis diſſolutionem aliquando præ-
ſtare poſſint. Interim qualiſcumq;
mea ſuerit illius tentata diſſolu-
tio, ipſum tamen in præſenti Libro, nouis alijs denuò ſtratis funda-
mentis, quibus ea omnia, quæ indiuiſibilium methodo in antecedenti-
bus Libris iam oſtenſa ſunt, alia ratione ab infinitatis exempta conce-
ptu comprobantur, omninò è medio tollendum eſſe cenſui. Hoc verò
præcipuè à nobis factum eſt, tum vt apud eos, quibus noſtra hæc indi-
uiſibilium methodus minus probabitur, non indignè noſtram banc de
Continuis doctrinam Geometriæ titulo inſigniri clarius eluceſcat; tum
etiam vt appareat, quod non leui ratione ducti, cum poſſemus cuncta
per indiuiſibilium methodum præoſtenſa, tantum per huius Libri fun-
damenta demonſtrare, illam quoque methodum tanquam nouam, ac
conſideratione dignam, fuimus preſequuti. Nodum verò ipſum, cui
negotium faceſſeret, non inaniter in præcedentibus Libris relictum eſ-
ſe, quinimmo nos ipſum alicui Alexandro aut frangendum, aut iuxta
ſcrupoliſiſsimi cuiuſq; Geometræ vota diſſoluendum, meritò reſer-
uaſſe, nõ ineptè quiſpiam iudicabit.
FIguræ planæ quæcunq;
in eiſdem parallelis conſtitutę,
in quibus, ductis quibuſcunq; eiſdem parallelis ęqui-
diſtantibus rectis lineis, conceptæ cuiuſcumq; rectæ lineæ
portiones ſunt æquales, etiam inter ſe æquales erunt: Et
figuræ ſolidæ quæcumq; in eiſdem planis parallelis conſti-
tutæ, in quibus, ductis quibuſcunq; planis eiſdem planis
parallelis æquidiſtantibus, conceptæ cuiuſcunq; ſic ducti
plani in ipſis ſolidis figuræ planæ ſunt æquales, pariter in-
terſe æquales erunt. Dicantur autem figuræ æqualiter
analogæ, tum planæ, tum ipſæ ſolidæ interſe comparatæ,
ac etiam iuxta regulas lineas, ſeu plana parallela, in qui-
bus eſse ſupponuntur, cum hoc fuerit opus explicare.
Sint quæcunq;
planę figuræ, BZ&
, CβΛ, in eiſdem parallelis,
AD, Y4, conſtitutæ, ductis autem ipſis, AD, Y4, quibuſcunque
parallelis, E6, LΣ, portione ex. g.
ipſius, E6, in figuris conceptę,
nempè, FG, HI, inter ſe ſint æquales, necnon ipſius, LΣ, portio-
nes, MN, OP, ſimul ſumptæ (ſit enim figura, BZ&, ex.
g.
intus ca-
ua ſecundum ambitum, {12/ }, N, {13/ }, O,) ipſi, SV, ſint pariter ęqua-
les, & hoc contingat in quibuſcunq;
alijs ipſi, AD, æquidiſtanti-
bus. Dico figuras, BZ&
, CβΛ, inter ſe æquales eſſe.
Aſſumpta
ergo alterutra figurarum, BZ&, CβΛ, vt ipſa, BZ&
, cum paralle-
larum, AD, Y4, portionibus ipſi conterminantibus, nempè cum,
AB, Y&, ſuperponatur reliquæ figuræ, CβΛ, ita tamen vt ipſæ, A
B, Y&, cadant ſuper, BD, &
4, vel ergo tota, BZ&
congruit toti,
CβΛ, & ita cum ſibi congruant æquales erunt, vel non, aliqua
tamen pars eſto, quod congruerit alicui parti, vt, CΙγβ587, pars
figuræ, BZ&, ipſi, CΙγβ587, parti figuræ, CβΛ.
Manifeſtum eſt
autem ſuperpoſitione figurarum taliter effecta, vt portiones pa-
rallelarum, AD, Y4, ipſius figuris conterminantes ſint inuicem
ſuperpoſitæ, quod quæcumq; rectæ lineæ in figuris conceptæ erãt
ſibi in Birectum, manent etiam ſibi in directum, vt ex. g.
cum, M
N, OP, eſſent in directum ipſi, SV, dicta ſuperpoſitione facta, ma-
nent etiam ſibi in directum, nempè, QR, ST, in directum ipſi, SV,
eſt enim diſtantia ipſarum, MN, OP, ab, AD, æqualis diſtantiæ,
SV, ab eadem, AD, vnde quotieſcunque, AB, extendatur ſuper, B
D, vbicunque hoc fiat, ſemper, MN, OP, manebunt in directum
de cæteris quibuſcunq;
ipſi, AD, parallelis in
vtraque figura liquidò apparet. Quod verò pars vnius figuræ, vt,
BZ&, congruat neceſſariò parti figuræ, @βΛ, &
non toti, dum fit
ſuperpoſitio tali lege, quali dictum eſt, ſic demonſtrabitur. Cum
enim ductis quibuſcunq; ipſi, AD, parallelis conceptæ in figuris
ipſarum portiones, quæ erant ſibi in directum, adhuc poſt ſuper-
poſitionem maneant ſibi in directum, illæ vero ante ſuperpoſitio-
nem effent ex hypoteſi æquales, ergo poſt ſuperpoſitionem por-
tiones parallelarum ipſi, AD, in figuris ſuperpoſitis conceptæ erũt
pariter æquales, vt ex.g.
QR, ST, ſimul ſumptæ æquabuntur ipſi,
SV, ergo niſi vtræque, QR, ST, congruant toti, SV, congruente
parte alicui parti, vt, ST, ipſi, ST, erit, QR, æqualis ipſi, TV, &,
QR, quidem erit in reſiduo figuræ, BZ&, ſuperpoſitæ, TV, verò
in reſiduo ſiguræ, @βΛ, cu@ fit ſuperpoſitio. Eodem modo oſten-
demus cuicunq; parallelæ ipſi, AD, conceptæ in reſiduo, figuræ, B
Z&, ſuperpoſitæ, quod ſit, H℟597, reſpondere in directum ęqua-
lem rectam lineam, quę erit in reſiduo figuræ, @βΛ, cui fit ſuper-
poſitio, ergo ſuperpoſitione hac lege facta, cum ſupereſt aliquid
de figura uperpoſita, quod non cadatſuper figuram, cui fitſu-
perpoſitio, neceſſe eſt reliquæ figuræ aliquid etiam ſupereſſe, ſuper
quod nihil ſit ſuperpoſitum. Cum autem vnicuiq;
rectæ lineæ
parallelę, AD, conceptæ in reſiduo, vel reſiduis (quia poſſunt eſſe
plures figuræ reſiduæ) figuræ, BZ&, ſiue, C℟γ, ſuperpoſitæ, re-
ſpondeat in directum in reſiduo, vel reſiduis ſiguræ; CβΛ, alia re-
cta linea, manifeſtum eſt has reſiduas figuras, ſiue reſiduarum ag-
gregata, eſſe in eiſdem parallelis, cum ergo reſidua figura, H℟597,
gregatum, ipſius, CβΛ, (quod ſit ipſi fruſta, ΙΓΛ, 785,) erit in eiſdẽ
parallelis; E6, Y4, ſi enim non pertingeret hinc inde ad parallelas,
E6, Y4, vt ex. g.
ſi pertingeret quidem vſq;
ad, E6, non tamen vſq;
ad, Y4, ſed tantum vſque ad, LΣ, conceptis rectis lineis in fruſto,
Q℟β59R, ipſi, AD, parallelis non reſponderent in reſiduo figuræ,
CβΛ, ſeu ex reſiduis aggregato, aliæ rectæ lineæ, vt ſuperius neceſ-
ſe eſſe probatum eſt, ſunt ergo hæc reſidua, vel reſiduorum aggre-
gata in eiſdem parallelis, & in illis conceptæ parallelarum ipſis, A
D, Y4, portiones inter ſe ſunt æquales, vt ſupra oſtendimus, ergo
reſidua, ſeu reſiduorum aggregata, ſunt eius conditionis, cuius ip-
ſas, BZ&, CβΛ, figuras iam eſſe ſuppoſitum fuit, ideſt æqualiter
analoga. Fiat ergo denuo reſiduorum ſuperpoſitio, ita tamen vt
parallelæ, GH, & β, ſuper parallelas, HK, β4, ſint conſtitutæ, &
congruat pars, VΔΛ, fruſti, H℟597, parti, VΔΛ, fruſti, ΙΓΛ, oſten-
demus ergo vt ſupra, dum vnius habetur reſiduum haberi etiam al-
terius, & hæc reſidua, ſiue reſiduorum aggregata, eſſe in eiſdem
parallelis, ſit autem ad figuram, BZ&, ſpectans reſiduum, ΚVΛ3
ΠΧ, ad figuram autem, CβΛ, ſint pertinentia reſidua, ΙΓΔV, 785,
quorum aggregatum eſt in eiſdem parallelis cum reſiduo, ΚVΛ3
ΠΧ, nem pè in parallelis, E6, Y4, ſi ergo horum reſiduorum fiat
denuò ſuperpoſitio, ita tamen vt parallelæ, in quibus exiſtunt, ſint
ſemper ad inuicem ſuperpoſitę, & hoc ſemper fieri intelligatur, do-
nec tota figura, BZ&, fuerit ſuperpoſita, dico totam debere ipſi,
CβΛ, congruere, alioquin ſi eſſet aliquod reſiduum vt figurę, CβΛ,
cui nihil eſſet ſuperpoſitum, eſſet etiam aliquod reſiduum figurę,
, quod non eſſet ſuperpoſitum, vt ſupra oſtendimus neceſſe
eſſe, ponitur autem totam, BZ&, eſſe ſuperpoſitam ipſi, CβΛ, er-
go ita ſunt ad inuicem ſuperpoſitę, vt neutrius reſidua habeantur,
ergo ita ſunt ſuperpoſitę, vt ſibi congruant, ergo figuræ, BZ&, C
βΛ, inter ſe ſunt æquales.
Sint nunc in eodem ſchemate duæ figuræ ſolidæ quæeunque,
BZ&, CβΛ, in eiſdem planis parallelis, AD, Y4, conſſitutæ, ductis
autem quibuſcunq; planis, E6, LΣ, præfatis æquidiſtantibus, ſint
conceptæ in ſolidis figuræ, quæ iacent in eodem plano, ſemper in-
ter ſe æquales, vt, FG, æqualis, HI, &, MN, OP, ſimul ſumptæ
(ſit enim ſolida figura ex. g.
BZ&
, intus vtcunq;
caua ſecundum
ſuperficiem, {12/ }, N, {13/ }, O,) æquales ipſi, SV. Dico eaſdem ſolidas
figuras æquales eſſe. Si enim ſolidum, BZ&
, cum portionibus,
ABY, & planorũ, AD, Y4, ipſi conterminantibus, ſolido, CβΛ, ita
ſuperpoſuerimus, vt planum, AB, ſit in plano, AD, &, Y&
, in pla-
no, Y4, oſtendemus (vt fecimus ſuperius circa parallelarum ipſi, A
D, conceptas in figuris planis, BZ&, CβΛ, portiones) figuras in
ſolidis, BZ&, CβΛ, conceptas, quæ erant in eodem plano, etiam
poſt ſuperpoſitionem manere in eode plano, & ideò adhuc ęqua-
les eſſe figuras in ſuperpoſitis ſolidis conceptas, & ipſis, AD, Y4,
parallelas. Niſi ergo totum ſolidum toti congruat in prima ſu-
perpoſitione, relinquentur reſidua ſolida, vel ex reſiduis compoſi-
ta in vtroq; ſolido, quæ non erunt ad inuicem ſuperpoſita, cum
enim ex. g.
figuræ, QR, ST, æquentur figuræ, SV, dempta com-
muni figura, ST, reliqua, QR, æquabitur reliquæ, TV, hocq; cõ-
tinget in quouis alio plano ipſi, AD, parallelo occurrenteſolidis,
C℟Γ, CβΛ, ergo ſemper habentes reſiduum vnius ſolidi, habebimus
etiam reſiduum alterius, & patebit, iuxta methodum adhibitam in
priori parte huius Propoſitionis circa figuras planas, reſidua ſoli-
da, vel reſiduorum aggregata ſemper eſſe in eiſdem parallelis pla-
nis, vt reſidua, H℟597, ΙΓΛ, 785, eſſe in planis parallelis, E6, Y4,
ac æqualiter analoga: ſi ergo hæc reſidua adhuc ſuperponantur,
ita vt planum, EH, locetur in plano, H6, &, Υβ, in, β4, &
hoc
ſempei fieri intelligatur, donec quod ſuperponitur, vt, BZ&, totũ
fuerit aſſumptum, tandem ipſum totum, BZ&, congruet toti, Cβ
Λ, niſi enim toto ſolido, BZ&, ipſi, CβΛ, ſuperpoſito, @pſa ſibi cõ-
gruerent, eſſet aliquod reſiduum vnius, vt ſolidi, CβΛ, ergo etiam
eſſet aliquod reſiduum ſolidi, C℟Γ, ſeu, BZ&, illudq;
non eſſet ſu-
perpoſitum, quod eſt abſurdum, ponitur enim iam totum ſolidũ,
BZ&, eſſe ipſi, CβΛ, ſuperpoſitum, non ergo erit aliquod reſiduũ
in ipſisſolidis, ergo ſibi congruent, ergo dictæ figuræ ſolidæ, BZ&,
CβΛ, inter ſe æquales erunt, quæ fuerunt demonſtranda. Præfatę
ſi
opus erit, iuxta regulas lineas parallelas, ſeu plana parallela, AD,
Y4.
_C_Vm antecedens Prop.
maximi ſit momenti, vt in ſequentibus
apparebit, aliuſq; modus priorem partem demonſtrandi, ſtylo
Archimedeo haud abſimilis, menti ſuccurrerit, idipſum ne pereatin
Lemmata diſtributum hic ſubiungere placuit.
SI in eadem, vel æqualibus baſibus, &
in eiſdem paral-
lelis figuræ planę æqualiter analogę iuxta eaſdem ba-
ſes fuerint conſtitutæ, itatamen, vt quæcunq; æquidiſtã-
tium baſibus linearum portiones in eiſdem conceptæ figu-
ris integræ ſint, ac eidem baſi, vel baſibus æquales, ipſæ
pariter figuræ inter ſe æquales erunt.
Sint in eadem baſi, GH, ſeu in æqualibus baſibus, &
in eiſdem
parallelis, AF, PQ, figuræ planæ, AGHB, EGHF, æqualiter ana-
ta eandẽ
baſem, G
H, ſeu ba
ſes ęqua-
les iã di-
ctas, ex-
tenſa ve-
ro qua-
cunq; ip-
ſis, PQ, A
F, parallela, SR, eiuſdem portiones captæ in præfatis figuris, vt,
ST, NO, integræ ſint, ac æquales baſi, GH, ſeu dictis æqualibus
baſibus. Dico etiam præfatas figuras inter ſe æquales eſſe.
In ea-
dem enim baſi, GH, ſeu in altera dictarum æqualium baſium ſit
conſtitutum, & in eiſdem parallelis, AF, PQ, quodcunq;
paralle-
logrammum, CH, in quo portio concepta ipſius, SR, ſit, LM, quę
erit æqualis ipſi, GH, & conſequenter ipſi, NO, vnde addita cõ-
muni, MN, fiet, LN, æqualis, MO. Eodem modo autem oſten-
demus, CE, eſſe æqualem, DE, & reliquas huiu ſmodi ſimiliter
Nunc aſſumpto trilineo, ECG, &
poſito, C, in, D, &
,
CG, in, DH, cadet, G, in, H, quia, CG, DH, ſunt æquales, ca-
dente verò trilineo, ECG, ſuper, FDH, extendetur, CE, ſuper, D
F, cum angulus, FDH, exterior fit æqualis interiori, ECG; paral-
lelarum, DH, CG, & punctum, E, erit in, F, ambituſque, ENG,
cadet ſuper ambitum, FOH, ſi enim non, eſto quod aliquod pun-
ctum ambitus, ENG, non cadat ſuper, FOH, cadet ergo, vel extra
trilineum, FDH, vel intra, cadat extra, vt in, R, ita vt ambitus, E
NGH, cadat vt, FRH, erit ergo, MR, maior, MO, ſed, MR, eſt
æqualis, LN, ergo, LN, erit maior, MO, ſed eſt etiam æqualis ei-
dem, MO, ex demonſtratis, ergo eſſet æqualis, & maior eadem,
MO, quod eſt abſurdum, non ergo aliquod punctum ambitus, EN
G, cadit extra trilineum, FDH, eodem modo probabitur, nec ca-
dere intra eundem trilineum, ergo ambitus, ENG, cadet ſuper am-
bitum, FOH, congruens totus toti, & conſequenter etiam trili-
neus, ECG, congruet trilineo, FDH, & illi æqualis erit, vnde abla-
to communi trilineo, DIE, & addito communi trilineo, GIH, fiet,
EGHF, figura æqualis parallelogrammo, CH. Eodem modo
oſtendemus figuram, AGHB, æquari eidem, CH, ergo figuræ, A
GHB, EGHF, inter ſe æquales erunt. Cum autem dictæ figuræ
fuerint in æqualibus baſibus, tum conſtituentes ſuper vnamquãq; parallelogrammum in eiſdem parallelis cum ijidem poſitum, con-
cludemus etiam dictas figuras æquales eſſe, probantes eodem mo-
do deſcriptis parallelogrammis adæquari, quę quidem inter ſe erũt
æqualia, quod demonſtrare opus erat. Hæcautem vocentur pa-
rallelogramma curuilinea, cum, AG, BH, EG, FH, fuerint curuæ
lineæ, cum verò fuerint rectæ lineæ, parallelogramma rectilinea
ad illorum differentiam eadem appeliabimus, ſed vtraq; in gene-
re, ſi libuerit, nomine parallelogrammi tantum ctiam nuncupa-
bimus.
SI in æqualibus rectis lineis, tamqũam in baſibus, &
iu
eiſdem parallelis, fuerint quæcunq; planæ figuræ, æ-
qualiter analogæ iuxta dictas baſes; portiones autem æ-
quidiſtantium quotcunq; ipſis baſibus linearum in figuris
conceptæ integræ fuerint, ac in altera dictarum figurarum
ſic ſe habentes, vt quælibet propinquior baſi ſit maior re-
motiori, dictæ figuræ interſe æquales erunt.
+
Sint in æqualibus rectis lineis, QP, TY, tamquam in baſibus,
& in eiſdem parallelis, AL, QY, quæcunq;
planæ figuræ CQPD,
HTYL, æqualiter analogæ iuxta dictas baſes, QP, ΓΥ, ductis au-
tem quotcunq; baſibus parallelis, vt, ΛΧ, ΓV, βΚ, earum in figu-
ris conceptæ portiones integræ ſint, ac in altera figurarum pro-
pinquior baſi maior remotiori, vt ſi conceptæ in, CQPD, ſint, N
℟, I&, EZ, &
in, HTYL, ipſæ, SX, RV, OK, iſtæ quidem integræ
ſint necnon ex. g.
in figura, CQPD, N℟, maior, I&
; I&
, maior,
EZ, & ſic in cæteris (erit enim etiam, SX, maior, RV, &
, RV, ma-
ior, OK, & ſic in cæteris, cum ſint æqualiter analogæ iuxta ba-
ſes, QP, TY.) Dico figuras, CQPD, HTYL, inter ſe æquales eſ-
ſe. Si enim non ſint æquales, altera earum maior erit, ſit maior,
HTYL, ipſa, CQPD, ſpatio, +, tunc minoris figuræ baſis, QP,
te iugiter puncto, P, in linea, PD, donec congruat ipſi, AD, igitur
punctum, Q, deſcribet lineam, QΓΑ, &, QP, deſcribet parallelo-
grammum, AP, rectilineum, ſeu curuilineum, prout, AQ, DP,
fuerint rectæ, vel curuæ, erit autem, CΓΑ, tota extra figuram, CQ
PD, cum parallelæ, QP, in figura, CQPD, ipſi, QP, propinquio-
res remotioribus ſint ſemper maiores (quo pacto data baſi, & cur-
ua linea, tota in eodem plano cum ipſa baſi, ac vni extremorum
eiuſdem conterminante, parallelogrammum curuilineum, ab ij@dẽ
apprehenium, deſcribere docemur) ſimiliter compleatur paralle-
logrammum, FY, ducaturquæ, ΓV, parallela, QY, b fariam diui-
dens altitud nem figurari m, CQPD, HTYL, reſpectu, QY, aſſum-
ptam, ſecanſque, AQ, in, Γ, CQ, in, I, DP, in, &, FT, in, Π, HT,
in, R, &, LY, in, V, per, ΓV, igitur diuidetur parallelogrammum,
, &
Q:
rurſus autem per
fariam, & ſic ſemper ſiat (ſectis inſimul conſtitutis parallelogram-
mi@, quæ idcircò etiam bifariam diuidentur) donec ad parallelo-
grammum, vt ad, ℟Q, deueniatur minus ſpatio, +, ſit igitur ſe-
, γ℟, Δ Ρ, per
ęquidiſtantes lineas, βκ, γV, ΔΧ, quæ ſecent lineas, AQ, in pun-
ctis, β, Γ, Δ, CQ, in, E, I, N, DP, in, Z, &, ℟, FT, in, ΛΠΣ, HT,
in, O, R, S, & tandem, LY, in, K, V, X, compleanturq;
paralle-
logramma, BZ, 2&, 3℟, ΔΡ, iuxta deſcriptionem ſuperius tradi-
tam, erunt enim lineæ, BE., 2I, 3N, ΔQ, extra figuram, CQPD,
quod patebit, veluti, AQ, extra, CQPD, fimiliter cadere oſten-
ſa eſt, & conſequeuter figura ex parallelogrammis, BZ, 2&
, 3℟, Δ
P, compoſita comprehendet ſpatium, CQPD, ſint autem etiam
completa parallelogramma, E&, Ι℟, NP, quorum deſcriptæ li-
neæ, ΕΦ, ΙΩ, NM, intra figuram, CQPD, quidem cadere oſtende-
mus ex eadem ratione, quod dictæ parallelæ ipſi, PQ, propinquio-
res remotioribus ſint ſemper maiores, & ſubinde patebit figuram
ex parallelogrammis, E&, Ι℟, NP, compoſitam comprehendi à
figura, CQPD. Tandem compleantur parallelogramma quoque,
Gκ, 6V, 9X, ΣΥ, ex quibus compoſitam figuram ſpatium, HTYL,
eadem methodo comprehendere demonſtrabimus. Cum ergo fi-
gura comprehendens ſpatium, CQPD, ſuperet ab eo compreh en-
ſam parallelogrammis, BZ, 2Φ, 3Ω, ΔΜ, hoc eſt parallelogram-
mo, ΔΡ, quod eſt minus ſpatio, +, dicta comprehendens figura
ſuperabit, CQPD, muitò minori ſpatio, quam ſit, +, ſed, HTY
L, ſuperat, CQPD, ex hypoteſi ſpatio, +, ergo figura compre-
hendens, CQPD, minor eſt, HTYL, & multò minor figura ipſum,
HTYL, comprehendente, quæ iam deſcripta fuit, hoc autem eſt
&, 6V, 3℟, 9X, &
, ΔΡ, ΣΥ, tota toti adæquatur contra præde-
monſtrata, non ergo figura, HTYL, maior eſt, CQPD.
Sit nunc eadem minor, ſi poſſibile eſt, eodem ſpatio, +, igitur
deſcriptis circa, CQPD, eiſdem figuris, ita vt comprehendens, CQ
PD, ſuperet ab eo comprehenſam minori ſpatio, quam ſit, +, cõ-
pleantur parallelogramma, OV, RX, SY, ex quibus compoſitam
figuram, vt ſupra à ſpatio, HTYL, comprehendi oſtendemus. Igi-
tur ſi comprehendens, CQPD, ſuperat figuram comprehenſam
minori ſpatio, quam ſit, +, ipſum ſpatium, CQPD, ſuperabit ab
eo comprehenſam figuram multò minori ſpatio, quam ſit, +, idẽ
autem ſuperat, HTYL, ſpatio, +, ergo figura comprehenſa à
multò maior erit figu-
ra iam deſcripta, ab eodem ſpatio, HTYL, compi ehenſa, quod eſt
, æquetur, OV, Ι℟,
ipſi, RX, necnon, NP, ipſi, SY, tota toti adæquator contra præ-
demonſtrata, nec ergo figura, HTYL, minor eſſe poteſt figura, C
QPD, ſed neque eadem maior, vt oſtenſum eſt, ergo eidem æqua-
lis etit, quod demonſtrare oportebat. Vnamquamque autem di-
ctarum figurarum, CQPD, HTYL, pręfatas conditiones haben-
tium, figuram in alteram partem deficientem appellabimus, regu-
la baſi, ſeu quacunq; illi ęquidiſtante.
SI curua linea quæcunq;
tota ſit in eodem plano, cuioc-
currat recta in duobus punctis, aut rectis lineis, vel in
recta, & puncto, poterimus aliam rectam lineam præfatæ
æquidiſtantem ducere, quæ tangat portionem curuæ lineæ
inter duos predictos occurſus continuatam.
_T_Angere autem dico rectam lineam aliam quamcunque curuam
totam in eodem plano cum ea exiſtantem, cum ipſa recta linea
ſiue in puncto, ſiue in recta linea, euruæ, occurrente, eadem curua vel
tota eſt ad eandem partem, vel illius nihil eſt ad alteram partem illi
occurrentis rectæ lineæ.
Sit curua linea, BAC, tota in eodem exiſtens plano, cui recta, B
C, occurrat in duobus punctis, ſeu rectis lineis, vel in recta, & pun-
Dico nos aliam rectam
ipſi, BC, æquidiſtantem ducere poſ-
ſe, quæ tangat portionem curuæ li-
neæ inter duos occurſus, B, C, con-
tinuatam. Quoniam ergo recta eſt,
BC, & curua, BAC, ideò inter ſe ſpa-
tium comprehendent, figuramque,
vt, BAC, conſtituent, ergo poſſibi-
le erit figuræ, BAC, reſpectu rectæ, BC, verticem inuenire, ſit is
get figuram, BAC, ergo totus ambitus, BAC, eſt ad eandem par-
qua illius portio eſſet ad alteram partem rectæ, DF, iam recta, D
F, ſecaret figuram, BAC, quod eſt abſurdum, ergorecta, DF, tan-
git curuam, BAC, igitur poſſibile eſt, &c.
_H_Inc manifeſtum eſt quomodo ducenda ſit recta linea datam cur-
uam totam in eodem plano cum ea exiſtentem contingens, quæ
quidem data recta linea ſit æquidiſtans.
SI propoſita quæcumque figura plana vni regulæ paral-
lelis quotcumque lineis ita ſecari poſſit, vt conceptæ
in figura rectæ lineæ integræ ſemper exiſtant: Ipſa ex pa-
rallelogrammis rectilineis, aut curuilineis, ſeu ex figuris
in alteram partem deficientibus, regula eadem, compo-
netur.
Sit quæcumque figura plana, SPFR, talis tamen, vt ſecta quot-
cumq; vni regulæ, vt, FE, parallelis, conceptæ in ipſa rectæ lineę
integræ ſint. Dico ipſam, velex parallelogrammis rectilineis, aut
teram partem deficientibus,
reg. eadem, FE, componi.
Sint enim ductæ, SA, FE, op-
poſitæ tangentes figuræ, SPF
R, regula eadem, FE, quibus
incidat quomodocumq; recta
linea, AE, moueatur autem, F
ſtanter eidem, SA, donec illi
congruat, interim verò punctum, E, ita in ipſa feratur, vt deſcri-
bat lineam, ENA, cum, AE, figuram, ANE, comprehenden@em,
quæ eidem, SPFR, ſit æqualiter analoga iuxta regulam, FE; in
eadem integris exiſtentibus parallelis ipſi, FE, ad ambitum, ANE,
terminantibus: rurſus feratur recta linea, AE, verſus ambitum, A
NE, ſemper ipſi, AE, æquidiſtanter donec totam pertranſierit fi-
guram, ANE, adnotentur autem contactus lineæ ſic decurrentis
ctis, & lineis, vel tantum in punctis, eſto quod fiat contactus in re-
cta, LM, & in puncto, N, tranſeantq;
per puncta, L, M, N, rectæ
lineæ regulæ, FE, parallelæ, HD, QC, PB, ſecantes ambitum fi-
guræ, SPFR, in punctis, P, Q, H, I, O, R, & rectam, AE, in pun-
factus fuerit contactus in am-
bitu, ANMLE. Quoniam er-
go a puncto, N, ad, A, nullus
datur contactus, erit, ANB, fi-
gura in alteram partem, nem-
pè verſus, A, deficiens, hoc eſt
quælibet in figura, ANB, pa-
rallela, NB, erit maior remo-
tiori, ſi enim non, eſto quod
aliqua vt, YT, non ſit maior remotiori, XV, ad ambitum termina-
ta, vel ergo erit illi æqualis, vel eadem maior, ſit illi æqualis, &
iungatur, YX, hæc ergo erit paralſela, AE, & occurrit ambitui in
duobus punctis, Y, X, ergo poſſibile erit ducere rectam lineam ipſi,
YX, ſeu, AE, parallelam, tangentem portionem curuæ lineæ, hoc
eſt contra ſuppoſitum: quod ſi dicatur, YT, eſſe minorem, XV,
multò magis conuincetur præfatum abſurdum, ergo, YT, erit ma-
ior, XV, & quælibet, NB, propinquior remotiore maior, ergo fi-
gura, ANB, erit in alteram partem deficiens: eodem modo autem
oſtendemus etiam, NMCB, LED, eſſe figuras in alteram partem
deficientes, LMCD, autem manifeſtum eſt eſſe parallelogrammũ
rectilineum, ergo in figura, SPFR, ipſa, SPR, quæ eſt æqualiter
analoga ipſi, ANB, erit figura in alteram partem deficiens, ſic etiã,
PQOR, HFI, QHIO, verò erit paralle@ @grammum rectilineum,
ſeu curuilineum, prout, QH, OI, rectæ, vel curuæ, eſſe poſſunt,
ergo figura, SPFR, componitur ex figuris in alteram partem defi-
cientibus, ac ex parallelogrammo rectilineo, ſeu curuilineo, re-
gula, FE, quod oſtendere opus erat.
_H_Inc habetur figuram, SPFR, ipſi, ANE, æqualem eſſe, &
vni-
uerſaliter figuras planas æqualit er analogas, in quibus earum
regula æquidiſtantium quotcunq; linearum concepta portiones inte-
graſunt, inter ſe æquales eſſe.
PRopoſit.
antacedens, aliter, quoad priorem partem,
oſtenſa.
Sint quęcũq;
figurę planę ęqualiter analogę iuxta regulã, GM,
ipſę, BHIC, DQK, quarum oppoſitę tangentes, AF, GM, regula pa-
riter, GM, parallelarũ, autẽ ipſi, GM, quotcumque portiones in vna-
que dictarum figurarum integrę ſint, ſiue non. Dico eaſdem ęqua-
les eſſe. Incidat ergo parallelis, AF, GM, quomodocumque recta
linea, EL, in eiſdem terminata, moueatur autem, GM, verſus, A
F, ſemper eidem, AF, ęquidiſtanter donec illi congruerit, interim
autem vnum punctum moueatur in eadem, GM, ſic mota, deſcri-
bens ambitum, I βΕ, figurę ęqualiter analogę ipſi, DQK, & aliud
punctum in eadem motum ad aliam partem, EL, deſcribat ambi-
turn figurę, EYL, ęqualiter a@ alogę ipſi, BHIC, in quibus quidem
ſic deſcriptis figuris conceptę ipſi, GM, parallelarum portiones
quęcumque integrę ſint. Erit ergo figura, @ βL, ęqualis figurę, E
YL, eſto autem quod in figura, DQK, conceptę portiones paral-
lelarum ipſi, GM, non omnes ſint integrę, ſed aliquę fractę per in-
teriorem ambitum, nempè, quę intercipiuntur parallelis, Q6, ΦΩ,
tamen vnoquoque dictę parallelarum port ones integrę habean-
tur, ſit autem in motu, GM, a quodam runcto deſcripta linea,
& γ5, nempè ambitus figurę, 5 &
ΣΤ, eodem modo, quo delcripti
fuerunt ambitus, @β@, EYL, g@ręinquam, 5&Σ @, ęqualiter ana-
logę fruſto, 7R Ω@; er tergorel@qu@ figura, 5Δ&
, qualiter analo-
ga ſrulto, QΦ@, cumtota, Τ ΔΣ ſit toti compoſito ex fruſti, QΦ
R, 7R Ω6, ęqualiter analoga, & ſunt portiones ipſi, GM, paralle-
figura, 5Δ&
, 5&
ΣΤ, integræ omnes, ſicut
contingere ſuppoſuimus in fruſtis, QΦR, 7R Ω6, ergo cum, QΦR,
, ſint figuræ etiam æqualiter analogæ, inter ſe æquales erunt:
Eadem ratione patebit fruſtum, 7RΩ6, æquari figuræ, S&
ΣΤ, er-
go fruſta, QΦR, 7RΩ6, ſimul ſumpta æquabuntur figuræ, Τ5βΔΣ,
ſed & figuram, 76D, ipſi, EST, adæquari, necnon, ΦΚΩ, ipſi, ΔL
logæ, & portiones parallelarum ipſi, GM, in eiſdem conceptarũ
integræ ſint, ergo tota figura, DQK, toti, ΕβL, æqualis erit. Cõ-
ſimili modo in figura, BHIC, ducentes rectas lineas ipſi, GM, pa-
rallelas, nempè, O2, P3, quibusipſa diſtinguatur in fruſta, capien-
tia dictas parallelarum portiones integras ſcilicet in fruſta, BON,
CN2, PH4, 4I3, OP32, PH4, 4I3, eaſdem, O2, P3, producentes
vt ſecent ambitum figuræ, EYL, velutin, T, X, ℟Υ, deſcriptiſq; lineis, EV, ZL, vt fuit deſcripta, 5Γ&
, vt conſtituatur figura@, ET
liter analoga ipſi, BON,) & figura, Ζ℟L, ęqualiter analoga ipſi,
4I3. (ex quo, ZLY, remanet etiam æqualiter analoga ipſi, PH4,)
cum in his captę parallelarum dictæ portiones integræ ſint, mani-
feſtum erit fig. ETV, æquari ipſi, CN2, EVX, ipſi, BON, Ζ℟L,
ipſi, 4I3, ZLY, ipſi, PH4, & tandem, ΧΤ℟Υ, ipſi, OP32, ex quo
concludemus figuram, BHIC, æquari ipſi, EYL, hoc eſt ipſi, ΕβL,
ſed eidem,, ΕβL, oſtenſa eſt æqualis etiam, DQK, ergo figuræ, B
HIC, DQK, inter ſe æquales erunt, igitur quæcumq; planæ figu-
ræ æqualiter analogæ inter ſe æquales erunt, quod oſtendendum
erat. Per hæc autem priori parti Propoſ.
1.
huius iam ſatisfactum
eſſe manifeſtum eſt.
FIguræ planæ quæcumq;
in eiſdem parallelis conſtitu-
tæ, in quibus, ductis quibuſcumq; eiſdem parallelis
æquidiſta t@bus rectis lineis, conceptæ cuiuſcumq; rectæ
lineæ portiones ſunt inter ſe, vt cuiuſlibet alterius in eiſdẽ
figuris conceptæ portiones (homologis tamen in eadem
figura ſemper exiſtentibus) eandem inter ſe proportionem
habebunt, quam dictæ portiones. Dicantur autem pro-
portionaliter analogæ, ac etiam, ſi libuerit, iuxta regulas
ipſas parallelas, in quibus exiſtunt.
Sint duæ quælibet figuræ planæ, Β&
℟ΚΓΔ, CΦλ, inter paralle-
las AD, ΧΩ, conſtitutæ, ducta vero vtcumq; EQ, prædictis paral-
lela, eiuſdem portiones in figura, Β&Δ, conceptæ, quæ ſint, HI, L
M, ſimul ſumptæ ſint ad eam, ſeu ad eas, quæ concipiuntur in fi-
gura, CΦλ, vt aliæ quælibet ſimiliter ſumptæ, nempè ex. g.
vt, &
℟ΓΔ, ad, Φλ. Dica figuram, Β&
℟κΓΔ, ad figuram, CΦλ, eſſe vt,
HI, LM, ad, NO, velvt, &℟, ΓΔ, ad, Φλ, vel vt quęlibet aliæ ſi-
militer ſumptæ. Accipiantur in, Φλ, producta verſus, λ, quotcũq;
eidem, Φλ, æquales, vt;
λ2, ſimiliter quælibet linearum figuræ, CΦ
λ, producatur, & in ipſa intelligantur tot aſſumptæ æquales vni-
cuiq; productarum, quot aſſumptæ ſunt æquales ipſi, Φλ, ex.
g.
vni-
per omnium terminos ex parte, 2, tranſeat linea, C
P2, ſimiliter in alia figura, Β&Δ, ſumantur quotcumq;
in ipſa, Δ&
,
producta verſus, &, æquales ipſis, &
℟ΓΔ, fimul ſumptis, &
pro-
ductis reliquis in fig. Β&
Δ, ipſi, &
Δ, parallelis, aliæ tot æquales
ſuis productis in directum capiantur, per quorum omnium termi-
nos tranſeant lineæ, BGZ, BFY. Quoniam ergo figurę, BFYZG,
BGZ&H, Β&
℟κΓΔ, ſunt in eiſdem parallelis, AD, ΧΩ;
&
ductis
in eiſdem quomodocumq; ipſis, AD, ΧΩ, parallelis, interceptæ in
figuris portiones ſunt æquales, ideò ip@æ figuræ, BYZ, BZ&, Β&
℟κΓΔ, æqualiter analogæ, & ſubinde æquales, erunt:
Quo pa-
Quotu-
plex ergo eſt aggregatum ex, Υ℟, ΓΔ, aggregati ex, &℟, ΓΔ, to-
tuplex erit aggregatum ex figuris, BYZ, BZ&, Β&
℟κΓΔ, ſeu figu-
ra, ΒΥ℟κ @Δ, figuræ, Β&℟κΓΔ;
ſimiliter quotuplex erit, Φ2, ipſi-
us, φλ, totuplex erit aggregatum ex figuris, Cφλ, Cλ2, hoc eſt figu-
ra, CΦ2, ipſius figuræ, CΦλ, habemus ergo æquè multiplices pri-
mæ, & tertiæ vtcumq;
aſſumptas, ſimiliter &
æquè multiplices ſe-
cundæ, & quartæ.
Quoniam verò ex.
g.
Υ℟, ΓΔ;
FI, LM, ſunt
æquè multiplices ipſarum, &℟, ΓΔ;
HI, LM, ſimiliter, 2Φ, PN,
ſunt æquè multiplices ipſarum, Φλ, NO, ipſę verò, &℟, ΓΔ, HI,
LM, φλ, NO, ſunt proportionales, ideò ſi aggregatum ex, Υ℟, ΓΔ,
adæquabitur ipſi, φ2, etiam aggregatum ex, FI, LM, adæquabitur
ipſi, NP, vt & reliquæ omnes ſimiliter ſumptæ, &
conſequenter
gutum ex, Υ℟, ΓΔ; ſuperet, φ2, eodem modo patebit figuram, ΒΥ
℟κΓΔ, ſuperare figuram, Cφ2, vel ſuperari ab eadem, ſi, Υ℟, ΓΔ;
tam. f.
figura, Β&
℟ΚΓΔ, ad figuram, Cφλ, erit, vt aggregatum
ex, &℟, ΓΔ;
ad, φλ, vel vt aggregatum ex, HI, LM, ad, NO, ſeu
vt quælibet aliæ duæ ſimiliter ſumptę, quod erat oſtendendum,
Dicantur autem dictę figuræ proportionaliter analogę iuxta regu-
lam, AD, vel, ΧΩ.
FIguræ ſolidæ quæcumq;
in eiſdem planis parallelis
conſtitutæ, in quibus ductis quibuſcumque planis di-
ctis parallelis æquidiſtantibus, coneeptæ cuiuſcumq; ſic
ducti plani in ipſis ſolidis figurę planę ſunt inter ſe, vt eiuſ-
modi cuiuſlibet alterius plani in eiſdem ſolis conceptæ ſi-
guræ (homologis tamen in eodem ſolido ſemper exiſter ti-
bus) eandem inter ſe, quam dictæ iam-conceptæ cuiuſcũq; plani figuræ, rationem habebunt.
Dicanrur autem figurę
proportionaliter analogæ, iuxta regulas ipſa plana paral-
lela, in quibus exiſtunt.
Sint duę quelibet fig.
ſolidę, AMEGF, PQRY, in eiſdem planis
parallelis conſtitutę; ductis verò quibuſcumq;
planis præfatis pa-
rallelis ęquidiſtantibus, eorum conceptę, in ſolidis figurę ſint vnius
plani ex. g.
figuræ, NSTV, ΖΩΔ, alteriusautem, MEGF, QRY,
vel contingat has eſſe ſolidorum baſes, ac in altero planorum pa-
rallelorum, ſolida, AMEGF, PQRY, contingentium, ſit verò figu-
ra, MEGF, ad figuram, QRY, vt figura, NSTV, ad figuram, ΖΩ
Δ, homologis nempè in eodem ſolido exiſtentibus. Dico ſolidum,
AMEGF, ad ſolidum, PQRY, eſſe vt, NSTV, figura, ad figuram,
ΖΩΔ, vel vt figura, MEGF, ad figuram, QRY. Ducatur enim in
figura, MEGF, vtcumq; recta, EF, ad illius ambitum terminata,
cui ducta parallela, SV, in figura, NSTV, producantur ambæ in-
definitè verſus puncta, S, E, in quibus ſumantur vtcũq; ęquè mul-
tiplices, BS, CE, ſimiliter in eiſdem figuris ductis ali js eiſ dem, SV. EF, ęquidiſtantibus, ſumãtur earum pariter ęquè, multiplices iux-
ta prędictarum multiplicitatem, & omnium termini ſint in lineis,
NBT, MICHG, ſicut ipſarum partium termini ſint in lineis, NST,
NOT, NBT, MEG, MDG, MCG, traductis verò alijs quotcumq;
planis pręfatis parallelis, ac ipſa ſolida ſecantibus, hoc idem fiat
circa ipſorum figuras in ipſis ſolidis conceptas, omnium verò ita
MDG; AMEG ſimiliter in alio ſolido eſto quod plana, quę produ-
xerũt in ſolido, AMEGF, figur. MEGF, NSTV, genuerint figuras,
QRY, ΖλΩ, ad quas illæ habent eandem rationem, ductis autem,
vel aſſumptis rectis, QY, ΖΔ, inter ſe parallelis, illæ producantur
verſus eandem partem, ΔΥ, in ijſq; productis accipiantur quæcũq;
æquè multiplices, vel æquales, YX, Δ℟, &
idem fiat in cæteris
ipſis parallelis in figuris, QRY, ΖΩΔ, ſic productis, & omnium
termini ſint in lineis, YXR, Δ℟Ω, hæ verò lineæ, ſicut & reliqua-
rum figurarum eodem modo producibilium, ſint in ſuperficiebus,
Manifeſtum eſt autem figuras, MEGF, MDGE, M
CGD, eſſe æqualiter analogas, & ideò inter ſe æquales, ſicut etiã
figuræ, NSTV, NOTS, NBTO, pariter inter ſe ſunt æquales, &
quecunq; aliæ ſunt in eodem plano, ex quo habemus etiam ſoli-
da, AMEGF, AMDGE, AMCGD, eſſe æqualiter analoga, & ideò
interſe æqualia. Eodem modo oſtendemus ſolida, PQRY, PRX
Y, pariter inter ſe æqualia eſſe. Quotupiex eſt ergo ſolidum, AM
CGF, extribus, AMCGD, AMDGE, AMEGF, compoſitum, to-
tuplex eſt figura, MCGF, ex tribus, MCGD, MDGE, MEGF, cõ-
poſita, figuræ, MEGF. Similiter quotuplex eſt ſolidum, PQRX,
ex duobus, PQRY, PYRX, compoſitum ipſius, PQRY, totuplex
eſt baſis, QRX, ex duabus, QRY, YRX, compoſita, fig. QRY;
ita
vt habeamus æquè multiplices primæ, & tertiæ, necnon ſecundę,
& quartę magnitudinis.
Cum autem figuræ, FMCG, VNBT,
ſint æquè multiplices figurarum, MEGF, NSTV, & pariter figu-
ræ, QRX, ΖΩ℟, ſint æquè multiplices figurarum, QRY, ΖΩΔ,
homologæ, MEGF, NSTV, ideò ſi figura, MCGF, fuerit
æqualis figuræ, QRX, etiam figura, NBTV, erit æqualis figuræ,
ΖΩ℟, & quælibet alia in ſolido, AMCGF, ſibi reſpondenti in alio
ſolido, PQRX, vnde & ſolidum, AMCGF, æquabitur ſolido, PQ
RX. Et ſi figura, MCGF, ſuperauerit figuram, QRX, eodem
QRX, & ſi illa ſuperabitur, etiam hoc ſuperabitur, ergo prima ad
ſecundam erit, vt tertia ad quartam, hoc eſt ſolidum, AMEGF, ad
ſolidum, PQRY, erit vt figura, MEGF, ad figuram, QRY, vel vt
figura, NSTV, ad figuram, ΖΩΔ, vel vt alia quælibet eiuſmodi
hoc eſt ad exiſtentem in eodem cum ipſa plano quod oſtendere o-
erat. Dicantur autem figuræ proportionaliter analogæ, iuxta re-
gulas, MEGF, QRY.
HÆc, &
antecedens methodo Indiuiſibilium oſtenſæ quoq;
fuerunt Lib.
2.
Prop.
4.
cum verò prima, ſecunda, &
tertia
Prop. eiuſdem libri ſint illius methodi fundamenta, hinc opus erit
in præſenti Lib. quaſcumq;
illas ſubſequentes, &
ex dicta indiui-
ſibilium methodo Propoſitiones dependentes, aliter demonſtra-
re, vt vel ſcrupoloſo cuiq; Geometrę ſatisfiat.
Igitur ab hac Lib.
2. Propoſ.
4.
incipientes, curabimus, vt, quę per illam methodum
vera eſſe demonſtrata ſunt, etiam per noua hæc fundamenta con-
firmentur. Primi Lib.
autem Prop.
nullatenus à dicta methodo
pendere manifeſtum eſt circa nonnullas tamen obiter prius hæc
pauca maioris facilitatis gratia libuit declarare.
In Prop.
4.
igitur Lib.
primi ſciat Lector tacitè ſupponi omnes
vertices datę figuræ, reſpectu eiuſdem regulę aſſumptos, eſſe in ea-
dem recta linea regulæ parallela; ſeu, pro figuris ſolidis, in eodem
plano regulæ æquidiſtante, diffinitionibus conformiter; quod ob
ſui claritatem inter axiomata poterat recenſeri.
In Prop.
26.
prætermiſſa fuit demonſtratio pręſentis caſus, cum
nempe, AG, contingit eſſe perpendicularem, GV, & hoc cum fa-
cile, intellecto difficiliori caſu (qui ibidem explicatur) hoc probari
poſſet; concludetur autem hoc modo, quod prætendimus, nempe
in tali caſu etiam, KY, eſſe perpendicularem ipſi, ΥΔ, & ſecunda
plana, AV, ΚΔ, ad plana, HV, &Δ, æquè ad eandem partem in-
clinari. Sit, AG, ad, GP, vt, KY, ad, YX, iunctis, AP, PE, KX, X
cęteris vt ibidem conſtructis, eodem modo prius oſtende-
mus vt ibitriangula, AFE, KZT, necnon, AFG, KZY, EFG, TZ
Y, & AGE, KYT, eſſe inter ſe ſimilia, &
angulum, PGE, æquari
angulo, XYT. Hoc ſuppoſito, cum, PG, ad, GA, ſit vt, XY, ad,
YK, &, AG, ad GE, vt, KY, ad, YT, exæquali, PG, ad GE, erit vt, X
Y, ad, YT, & ſunt circa æquales angulos, PGE, XYT, ergotrian-
TY, &, GE, ad, EA, vt, YT, ad, Tk, ergo, PE, ad, EA, eſt vt, X
T, ad, TH, & ſunt circa rectos, PEA, XTK, ergo triangula, PEA,
,
PE, ad, PG, eſt vt, XT, ad, XY, ergo, AP, ad, PG, erit vt, KX, ad,
XY, &, PG, ad, GA, eſt vt, XY, ad, Yk, ergo triangula, APG, kXY,
AGV, ergo, kYX, &, ΚΥΔ, rectus erit, vnde anguli, AGV, κΥΔ ę-
quales erunt. Cum verò quadratum, PA, ęquetur quadratis, PG,
quadratum PA, ęquetur etiam
quadratis, PE, EA, duo quadrata, PE, EA, æ quabuntur tribus
quadratis, PG, GE, EA, & ablato communi quadrato, EA, erit
quadratum, PE, æquale quadratis, PG, GE, vnde angulus, PGE,
conſequenter etiam rectus ipſe, XYT, vnde anguli,
AGE, kYT, erunt inclinationes ſecundorum planorum, AV, ΚΛ,
cum ſubiectis planis, HV, &Δ, &
inter ſe ęquales, per quę ſuppo-
ſito caſui ſatisfieri maniſeſtum eſt.
In Lemmate 5.
poſt Prop.
8.
prętermiſſa fui demonſtratio prę-
ſentis caſus, cum eadem facilis exiſtimaretur, nempè quando, FE,
FG, cum, AE, AG, &, LI, LM, cum, HI, HM, concurrere mini-
me poſſe contingat, vt cum angulos, EAF, GAF, IHL, MHL, re-
ctos, vel recto maiores acciderit eſſe: Sic autem tum hic, tum ſup-
poſitus ibi caſus poterit vniuerſaliter demonſtrari. Intelligantur
iungantur,
EF, FG, EG, IL, LM, IM: Cum ergo anguli, FAG, LHM, ſup-
ponantur ęquales, & latera, FA, LH, &
, AG, HM, ęqualia, erunt
pariter baſes, FG, LM, æquales: Sic autem probabimus tum, EF,
Rurſus ſuſpenſa pyrami-
de, AEFG, ponatur, F, in, L, demittaturq; FG, ſuper, LM, cui cõ-
gruet, & triangulo, EFG, cadente ſuper, ILM, punctum, E, pari-
ter erit in, I; Sed &
punctum, A, dico fore in, H, tres enim ſphæ-
ricæ ſuperficies ſuper centris, I, L, M, radijs inuicem ſe ſecantibus
deſcriptæ, nempè radijs, HI, HL, HM, ſeu, AE, AF, AG, in duo-
bus tantum punctis ſeſe decuſſare poſſunt, vt facile oſtendi poteſt,
duę enim quęlibet ſphæricæ ſuperficies in circuli periphæria ſe ſe-
quę ſunt ab ambas partes plani, ILM, nempè vnum ſupra alterum
infra ipſum, quare non ad aliud punctum, quam ad, H, concurrẽt
tres rectæ lineæ, AE, AF, AG, ad eandem partem plani, ILM, cum
ipſis, HI, HL, HM, conſtitutæ, ergo, AF, cadet in, HL, AE, in,
HI, &, AG, in, HM, quibus pręoſtenſis, reliquum demonſtratio-
nis, vt ibi, proſequemur.
PArallelogramma in eadem altitudine exiſtentia inter
ſe ſunt vt baſes.
Sin in ſigura Prop.
5.
lib.
2.
parallelogramma, AM, MC, in ea-
dem altitudine. Dico eadem eſſe inter ſe, vt baſes, GM, MH.
rę proportionaliter analogę, iuxta ipſas baſes, cum ſit, GM, ad,
MH, vt, DE, ad, EI, &, DI, ducta ſit vtcumque, vnde patet pro-
poſitum etiam independenter à methodo Indiuiſibilium.
PRopofitionis 5.
Lib.
2.
prior pars pendet quidem ab Indiuiſi-
bilium methodo, verum pars poſterior, necnon Prop. 6.
7.
&
8. abſq;
illa methodo, vt intuenti apparebit, oſtenduntur, qua-
propter, cum ab eadem exemptę ſint, non indigent vt reſtauren-
tur, ſed illas tamquam ſtylo veteri demonſtratas, vt veras in hoc
libro quoq; vſurpabimus, quod etiam de alijs Propoſitionibus fiet,
quę a methodo Indiuiſibilium immediatę pendere non conſpicien-
tur, etiamſi mediatè ab eadem vtiq; dependere competiantur, ſuffi-
ciet enim illas Prop. de nouo oſtendere, quę immediatè ab ipſa
methodo Indiuiſibilium fidem ſumpſiſſe videbuntur. Cum verò
ſubſequentes Propoſitiones, in quibus parallelogrammorum om-
nia quadrata, ſeu omnes figurę ſimiles, regulis baſibus, examinan-
tur, ſint in gratiam cylindricorum, prima verò tantum pendeat ex
methodo Indiuiſibilium, propterea illa erit denuo oſtendenda,
quam nunc ſubiungo.
CYlindrici in eadem altitudine exiſtentes inter ſe ſunt
vt baſes.
Manifeſla eſt ſimiliter hæc Prop.
cum enim ſecto quolibet cy-
ipſi baſi, propterea vt baſis ad baſim, ſic erit figura ad ſiguram ab
eodem plano baſibus æquidiſtante etcumq; productam, ergo hi
cylindrici erunt figurę proportionaliter analogæ, iuxta ipſas baſes,
HOc demonſtrato haud difficile erit ſtylo veteri oſtendere cy-
lindricos exiſtentes in eadem baſi eſſe inter ſe vt altitudines,
vel vt latera æqualiter baſibus inclinata.
Similiter eoſdem habere inter ſe rationem compoſitam ex ra-
tione baſium, & altitudinum, vel laterum æqualiter baſibus incli-
natorum. Et eos qui habent baſes altitudinibus, vel lateribus æ-
qualiter baſibus inclinatis, reciprocas æquales eſſe; Vel æquales,
baſes haberet altitudinibus, ſeu lateribus æqualiter baſibus incli-
natis, reciprocas atq; ſimiles cylindricos eſſe in tripla ratione late-
rum hom ologorum. Sufficiet namq;
nos methodum imitari, qua
dem onſtrata Prop. 9.
lib.
2.
poſtmodum reliquæ vſq;
ad Prop.
14.
oſtenſæ fuerunt, probando circa cylindricos, quod ibi circa omnia
quadrata datorum parallelogram. oſtendebatur.
Hæc autem pro
cylindricis poſtea collecta ſunt in eodem lib. 2.
Prop.
34.
Cor.
4.
generali a ſec. B.
vſq;
ad ſec.
G.
quæ quidem animaduertere opus
erat.
In Prop.
15.
eiuſdem lib.
2.
hæc ſupplenda videntur.
In Sec.
A.
probatur figuram, KQM, ipſi, ABD, &
, ΠΤΩ, ipſi, φΣΛ, æqualem
eſſe ex Prop. 3.
eiuſdem, nempè ex methodo Indiuiſibilium, hoc
autem patebit etiam ex prop. prima huius, ſunt enim dictæ figuræ
æqualiter analogæ. In ſec.
B.
figuram, MZP, adæquari ipſi, KQ
M, &, Ω℟&
, ipſi, ΠΤΩ, eodem modo deducetur ex prima huius.
In ſec. C.
probabitur vt, MP, ad, PO, ita eſſe figuram, MZP, ad, O
ZP, ex prop. 2.
huius.
In ſec.
D.
ſimiliter oſtendemus figuram, O
ZP, ad figuram, Ω℟&, eſſe vt, ZP, ad, ℟&
, ſimiliter ex prop.
2.
huius. Cętera verò abſq;
methodo indiuiſibilium ſubſiſtunt;
vt &
Corollaria, & prop.
16.
In Prop.
17.
eiuſdem lib.
2.
hæc pariter ſupplenda ſunt.
In ſec.
A.
elicitur ex 3.
pariter lib.
2.
ſolidum, HZ {00/ }, æquari ſolido, ABP
C, &, ΣΓ2, ſolido, VΠ&
Ω, cum verò hæc ſolida ſint figuræ æqua-
liter analogæ vt eorum conditiones expendenti patebit, ideò quod
ibi ex 3. lib.
2.
hic ex prima huius deducemus.
In ſec.
B.
ſolidum,
, 3687, ſolido, ΣΓ2, pariter ex prima
huius colligemus. In ſec.
D.
quod figura, LED, ad, OED, ſit vt,
LE, ad, EO, ſeu quod figura, QAMY, ad, TIMY, ſit vt, QY, ad, Y
T, ideſt vt, LE, ad, EO, vel quod figura, LFE, ad, OFE, ſfit vt, LE,
ad, EO, patet, ex prop. 2.
huius:
Quod verò ſolidum, LDFE, ad
ſolidum, ODFE, ſit vt figura, LEF, ad figuram, OEF, ideſi vt, LE,
ad, EO, manifeſtum eſt pariter ex 3. huius.
In ſec.
F.
ſolidum, O
DFE, ad ſolidum, 3674, eſſe vt figura, EDF, ad figuram, 467,
pateb@t ex 3. huius, ſunt enim dicta ſolida figuræ proportionali-
ter analogæ vt conſideranti manifeſtum erit. Cætera huius prop.
cum Cor.
&
prop.
18.
abſq;
methodo Indiuiſibilium ſubſiſtunt,
vt examinantifacilè apparebit.
QVæcunq;
de parallelogrammis oſtenduntur in Prop.
5.
6.
7.
&
8.
Lib.
2.
eadem etiam de triangulis, con-
ditiones ibi ſuppoſitas circa ſuas baſes, & altitudines, ſeu
latera æqualiter baſibus inclinata, habentibus, verifi-
cantur.
Hæe Propoſitio maniſeſta eſt, cum enim expoſito quocunq;
triangulo, &
aſſumptis duobus quibuſuis lateribus angulum quē-
libet continentibus parallelogrammum compleri poſſit in illo an-
gulo, cuius triangulum erit dimidium, ideò quæcunq; triangula
triangulis circa baſes, & altitudines, ſeu latera æqualiter baſibus
inclinata, præfatas conditiones, eam pariter habent completa
parallelogramma, & de illis verificantur ea, quæ in dictis propo-
hoc eſt de dictis triangulis verificabuntur. Triangula ergo, quæ
ſunt in eadem altitudine inter ſe ſunt, vt baſes; Et quæ ſunt in
ea dem, vel æqualibus baſibus, vt altitudines, vel vt latera, quæ
æqualiter baſi, ſeu baſibus, inclinantur. Habent inter ſe rationem
compoſitam ex ratione baſium, & altitudinum, vel laterum ęqua-
liter baſibus inclinatorum. Habentia baſes altitudinibus, vel la-
teribus baſibus æqual ter incl natis, reciprocas, ſunt æqualia; Et
quæ ſunt æqualia baſes habent altitudinibus, vel lateribus æqua-
liter baſibus inclinatis, reciprocas. Et tandem ſimil a triangula
ſunt in dupla ratione laterum homologorum; Quæ omnia etiam
Lib. 2.
Prop.
19.
Coroll.
1.
ex methodo Indiuiſibilium collige ban-
Coroll.
2.
autem ſpectat ad dictam methodum pertractan-
dam, propterea non opus eſt, quod aliter oſtendatur: Lemm2
verò antecedens Propoſ. 20.
ſtylo veteri demonſtratur, ſicut &
ipſa Propoſ. 20.
&
21.
quorum Corollaria haud nobis opus eſt ali-
ter demonſtrare, cum eorum vſus non ſit, niſi pro methodo Indi-
uiſibilium.
COnici in eadem, vel æqualibus altitudinibus exiſtẽ-
tes inter ſe ſunt vt baſes.
Sint quicunq;
conici in eadem, vel æqualibus altitudinibus, A
E, BF, exiſtentes, AKLM, BSQTR. Dico hos eſſe inter ie, vt ip-
ſorum baſes, KLM, SQTR. Abſciſſis enim ab altitudinibus, AE,
BF, vtcunq; partibus æqualibus verſus, A, B, ipſis, AC, BD, per,
LM, æquidiſtans, & per,
D, ſimiliter planum baſi,
SQTR, æquidiſtans, qui-
bus in conicis producan-
kLM, quarum lat era ho-
mologa, IO, LM, ſimili-
ter, XNVP, erit ſimilis baſi, SQTR, ducto autem plano tranſeun-
te per altitudinem, BF, ſecetur baſis in recta, QR, vtcunque, &
figura, XNVP, in recta, NP, ſuperficies verò conicularis in rectis,
BQ, BR, erunt ergo hæ ſimiliter ſecta in punctis, N, P, ac, BF, in,
O, ac, AE, in, C, &, QR, NP, latera homologa ſimilium figura-
les ſimiliter ſectæ in punctis, C, D. Cum ergo figura, KLM, ſimi-
lis ſit ipſi, GIO, habebit, KLM, ad, GIO, duplam proportionem
FB, ad, BD, vel, RB, ad, BP, vel tandem eius, quam habet, QR,
ad, NP, ſed etiam ſigura, SQTR, ad, XNVP, habet duplam ratio-
nem eius, quam habet, QR, ad, NP, ergo figura, KLM, ad, GIO,
eſt vt, SQTR, ad, XNVP, & permutando figura, kLM, ad, SQT
R, erit vt figura, GIO, ad figuram, XNVP, & puncta, C, D, ſum-
pta ſunt vtcunque, ac conici, AKLM, BSQTR, ſunt in æquali-
bus altitudinibus, AE, BF, reſpectu baſium, KLM, SQTR, aſſum-
lindrici erunt inter ſe, vt baſes, KLM, SQTR, quod erat demon-
_C_Vm verò etiam cylindrici in eiſdem baſibus, &
altitudinibus
prædictis æqualibus, ſint inter ſe, vt ipſæ baſes, propterea erũt
etiam inter ſe, vt ipſi conici, vnde ſi in vna ſpecie cylindricorum, &
baſi, & altitudine cum eo exiſtentis, illicò hoc etiam de reliquis ſpe-
crebus cylindricorum, & conicorum facilè colligemus.
QVilibet Cylindricus triplus eſt Conici in eadem ba-
ſi, & altitudine, cum eo exiſtentis.
Sit quicunq;
cylindricus, GO, &
conicus in eadem baſi, IMNO,
& eadem altitudine cum ipſo.
Dico cylindricum, GO, triplum
Exponatur enim pri-
ſma, AFDE, triangu-
lares habens baſes, A
BC, FDE; altitudinis
æqualis altitudini cy-
lindrici, GO, in baſi
verò, FDE, ſit pyra-
mis, CDFE; erit er-
go priſma, ADEF,
triplum pyramidis, C
DEF, cum reſoluatur in tres pyramides æquales, FDBC, FDEC,
FBAC, vt oſtendit Euclides Vnd. Element.
Prop.
7.
vt autem ſe
dricus, GO, ad conicum, HIMNO, ergo, GO, triplus eſt conici, H
MO, vnde omnis cylindricus triplus eſt conici in eadem baſi, & al-
titudine cum eo conſtituti, illi enim conici, qui ſunt in eadem ba-
ſi, & altitudine ex ant.
omnes inter ſe ſunt æquales, quod oſten-
dendum erat.
PErant.
prop.
ſatisfit prop.
22.
lib.
2.
ex ea enim pariter habe-
tur omnes cylindricos eandem rationem habere ad conicos
in eadem baſi, & altitudine cum ipſis exiſtentes, cum eorum eſſe
triplos fuerit demonſtratum, & eadem, quæ ex ipſa deduceban-
tur, hic pariter colliguntur, proprietates inquam illæ, quas cylin-
dricis competere dictum eſt in Annot. prop.
5.
huius.
Sic ergo
ratum, ac firmum eſt, Conicos in eadem, vel æqualibus baſibus
exiſtentes, eſſe inter ſe vt altitudines. Habereq;
rationem compo-
ſitam ex ratione baſium, & altitudinum.
Eos verò, quorum ba-
ſes altitudinibus reciprocantur, æquales eſſe, & æqualium baſe-
altitudinibus reciprocari. Ac tandem ſimiles conicos eſſe in tri-
pla ratione linearum, vel laterum homologorum eorundem ba-
ſium, ſeu ſimilium triangulorum per verticem traſeuntium, quæ
in ipſius prop. 22.
Cor.
Sectionibus, in gratiam Conicorum pari-
ter colligebantur. Per hanc etiam ſatisſit prop.
24.
eiuſdem lib.
2.
cum per eam ibi demonſtrati intendatur cylindricum quemcũq;
triplum eſſe conici in eadem baſi, & altitudine cum eo exiſtentis,
vt in Sec. 1.
Cor.
4.
gen.
prop.
34.
poſtea declaratur.
Aduerte au-
tem, quod pag. 79.
lin.
15.
hæc verba, _&
cum omnibus quadratis_
_duorum triangulorun CBM, EMF_, ponenda ſunt poſt hæc verba,
_dupla erunt omnium quadratorum, AF_.
COnicorum fruſta æquè alta, &
in baſibus æquè alto-
rum conicorum, à quibus abſcinduntur, conſtituta;
inter ſe ſunt vt baſes.
Videatur ſchema prop.
7.
huius, in quo ſint conicorum æquè
altorum, AkLM, BSQTR, fruſta, GIOLKM, XVTS, in eiſdem
cum illis baſibus, kLM, SQTR, & in æqualibus altitudinibus, C
E, DF, exiſtentia, igitur abſciſſis verſus puncta, C, D, altitudinum
partibus æqualibus, & per earum terminos ductis planis baſibus
parallelis, oſtendemus ab ijſdem productas in fruſtis figuras eſſe
bit dicta ſruſta eſſe figuras proportionaliter analogas, quapropter
ipſa eſſe inter ſe vt baſes pariter concludemus, quod erat demon-
ſtrandum.
_C_Vm verò etiam cylindrici in baſibus dictorum fruſtorum, &
in
æqualibus cum eiſdem altituainibus conſtituti, ſint inter ſe vt
baſes, erunt etiam inter ſe vt dicta fruſta, & permutando habebunt
fruſto coni-
co, & cylindrico in eadem baſi, &
altitudine, cum eo exiſtente, vt
rationem cylindrici ad fruſtum conicum inueniamus, ſufficiet alicuius
cylindrici præfatæ altitudinis rationem ad fruſtum conicum in eadem
baſi, & altitudine cum eo exiſtens inuenire, ex ea enim propoſiti cylin
drici, & fruſti conici ratio illicò apparebit.
Per hanc autem Propoſ.
ſatisfit etiam Prop.
27.
Lib.
2.
&
Sect.
K.
Cor.
4.
gen.
34.
eiuſdem Lib.
2.
vbi contenditur probare, conicorum fruſta in eadem baſi, & altitudi-
ne exiſtentia, eſſe inuicem æqualia, hoc enim per hanc Prop maniſe-
ſtum eſt.
CYlindri cus ad fruſtum conicum quodcunq;
in eadem
baſi, & altitudine cum eo conſtitutum (ſumptis dua-
bus homologis in oppoſitis baſibus fruſti conici) eam ha- bet rationem, quam quadratum maioris homologarum ad rectangulum ſub ambabus homologis, vna cum tertia
parte quadrati differentiæ earundem. Idem verò fruſtum
ad conicum in eadem baſi, & altitudine, cum eo exiſten-
tem, erit vt rectangulum ſub maiori, & tripla minoris, vna
cum quadrato diferentiæ earundem homologarum, ad
maioris quadratum.
Sint in quacunque baſi, PRQS, &
eadem altitudine cylindri-
cus, FQ, fi uſtum conici, BPRQS, nempè, LNMISR, in baſi mi-
noriquoque, LNMI, & conicus, OPRQS, ſecto autem quomodo-
cunq; conico plano per verticem acto, producatur triangulum, B
erunt homologæ ſimilium ſigurarum, LNMI, PRQS, ſimiliter,
codem extenſo plano, ac completo cylindrico in eadem altitudi-
ne cum conico, BRS, ſecentur eius oppoſitæ baſes, necnon ſigu-
ra, FVHG, ab eodem plano in rectis, AC, FH, PQ. Dico ergo
NISR, eandem rationem habere,
quam quadratum, PQ, ad rectan
gulem, ſub, PQ, LM, vna cum {1/3}. quadradifferentiæ earundem.
Idem
verò fruſtum ad conicum, OPQ, eſſe
vt rectangulum ſub, PQ, & tripla,
LM, vna cum quadrato differentiæ
earundem, ad idem quadratum, P
Q. Etenim cylindricus, FQ, ad fru-
ſtum conici, NISR, habet rationem
compoſitam ex ratione cylindrici,
FQ, ad cylindricum, AQ, ideſt ex
ratione, FP, ad, PA, vel, LP, ad, BP,
ſit, FX,) ad, PQ, & ex ratione cylindri-
ci, AQ, ad conicum, BSR, ideſt ex
ea, quam habet, PQ, ad {1/3}. PQ, &
fruſtum, ISRN, quæ eſt eadem ei, quam habet cubus, PQ, vel, F
H, ad parallelepipedum ter ſub, HX, & quadrato, XF, ter ſub, F
X, & quadrato, XH, cum cubo, FX, eſt enim conicus, BSR, ſimi-
ideò, BSR, ad, BIN, eſt vt cubus, PQ, vel, FH,
ad cubum, LM, ſeu ad cubum, XH, vnde cum cubus, FH, æquæ-
tur cubis, FX, XH, cum parallelepipedis ter ſub, FX, & quadrato,
XH, & ter ſub, HX, &
quadrato, XF, ideò per conuerſionem ra-
tionis conicus, BSR, ad fruſtum, ISRN, erit vt cubus, FH, ad
parallelepipedum ter ſub, FX, & quadrato, XF, ter ſub, XF, &
Duæ rationes autem nempè, quã
habet, FX, ad, PQ, &, PQ, ad ſui {1/3}.
componunt rationem, FX, ad
{1/3}. PQ, vel triplæ, FX, ad, PQ, ſeu, FH, vel, ſumpto pro communi
baſi quadrato, FH, componunt rationem parallelepipedi ſub tri-
pla, FX, & ſub quadrato, FH, ad cubum, FH, quæ proportio cum
ea, quam d ximus habere cubum, FH, ad paralleiepipedum ter ſub
HX, & quadrato, XF, ter ſub, XF, &
quadrato, HX, cum, cubo,
FX, componit rationem parallelepipedi ſub tripla, FX, & quadra-
to, FH, ad parallelepipedum ter ſub, HX, & quadrato, XF, ter
ſub, XF, & quadrato, HX, cum cubo, XF, ergo cylindricus, FQ,
ad fruſtum, ISRN, erit vt parallelepipedum ſub tripla, FX, & qua-
drato, FH, ad dicta ſex parailelepipeda cum cubo, FX, vel vt eo-
rum ſub tripla, idéſt vt parallelepipedum ſub, FX, & quadrato, F
quadrato, XH, ſub, HX, &
quadrato, XF, cum {1/5}. cubi, XF, hæc tria verò æquantur paralle-
lepipedo ſub, FX, & rectangulo, FHX, cum {3/3}.
quadrati, FX, nam
parallelepipedum ſub, HX, & quadrato, XF, idem eſt cum paral-
lelepipedo ſub, FX, & rectangulo, FXH, quod ſi ipſum iunxeris
pcrallelepipedo ſub, FX, & quadrato, XH, ſimul cum {1/3}.
cubi, FX,
ideſt vna cum parallelepipedo ſub, FX, & {1/3}.
quadrati, FX, (cum
ſit communis altitudo) fiet parallelepipedum ſub, FX, & rectan-
gulo, FXH, cum quadrato, XH, ideſt ſub, FX, & rectangulo, FHX,
& ſub {1/3}.
quadrati, FX, igitur cylindricus, FQ, ad fruſtum, ISRN,
erit vt parallelepipedum ſub, XF, & quadrato, FH, ad parallelepi-
pedum ſub, XF, & rectangulo, FHX, cum {1/3}.
quadrati, FX, ideſt vt
quadratum, FH, vel quadratum, PQ, ad rectangulum ſub, FH, HX,
vel ſub, PQ, LM, vna cum {1/3}. quadrati, FX, differentiæ ipſarum
homologarum, PQ, LM. Quoniam verò conicus, OSR, eſt {1/3}.
cy-
vt {1/3}. quadrati, PQ, ad rectangulum ſub, PQ, LM, cum {1/3}.
quadra-
ti, FX, vel vt quadratum, PQ, ad rectangulum ſub, PQ, & tripla,
LM, cum quadrato, FX, & conuertendo fruſtum, ISRN, ad coni-
cum, OSR, erit vt rectangulum ſub, PQ, & tripla, LM, cum {1/3}.
quadrati, FX, differentiæ earundem homologarum, ad quadra-
tum, PQ quæ oſtendere opus erat.
PEr ſuperiorem autem demonſtrationem ſuppletur prop.
28.
1, 2.
necnon ei, quod colligitur in ſec.
L.
&
M.
Cor.
4.
gen.
24.
eiuſdem 1. 2.
Cor.
autem prop.
28.
eſt in gratiam methodi indiui-
ſibilium. Quod prop.
29.
eiuſdem 1.
2.
ſi intelligamus in eius figu-
ra latera, CD, DB, deſcribere ſimiles figuras planas, in quibus tã-
quam in baſibus cylindrici conſiſtant, quorum latera ſint, CD,
pro figura, DB, & DB, pro figura, CD, oſtendemus conſimili ibi
traditæ demonſtrationi cylindricum ſublateræ, DB, baſi figura, D
C, ad cylindricum ſub latere, DC, baſi figura, BD, prædictæ ſimili
eſſe vt, DC, ad, DB, & ſic etiam eſſe conicum ſub lateribus, CB, B
D, baſi figura, CD, ad conicum ſub lateribus, BC, CD, baſi figura
ipſius, DB, habent enim cylindrici inter ſe, necnon & conici, ra-
tionem, compoſitam ex ratione baſium, & altitudinum, leu late-
rum æqualiter baſibus inclinatorum, vt ſuperius denuò animadu-
Per hæc autem ſatisfit ctiam Sec.
N.
Cor.
4.
gen.
34.
2.
Circa verò prop.
25.
&
26.
cum Corollarijs nihil
dictum fuit, cum ſintlemmaticæ pro methodo indiuiſibilium, qua
propter reſtauratione minimè indigere viſæ fuerunt; Prop.
33.
au.
tem recoletur in examine lib.
3.
cum Cor.
Prop.
34.
conſiſtit inde-
pendenter à methodo indiuiſibilium, vt illius etiam Corollaria, vn.
de necipſa reſtauranda viſa ſunt. Veruntamen circa Cor.
4.
gene-
rale eiuſdẽ prop. 34.
ſuperius ſuis locis adnotata fuerunt, quæ ani-
maduertenda erant. Reliquæ tandem propoſitiones à 35.
vſq;
ad
finem lib. 2.
non pendent ab indiuiſibilium methodo, &
propte-
rea circa illas nihil nobis dicendum occurrit. Relicta deniq;
fuit
vltimoloco prop. 23.
cum Corollarij ſectionibus, ac prop.
30.
31.
& 32.
a 23.
præcipuè dependentibus cum paulò diligentiorem ani-
maduerſionem popoſcere viderentur, præſertim verò cum propo-
ſitione 23. reſtaurata, aliæ quædam propoſitiones lemmaticæ, ad
rem noſtram pertinentes, forent fuperexſtruendæ, vt in ſequenti-
bus manifeſtum crit.
SI propoſitum quodcumq;
ſolidum parallelis quotcumq;
planis ita ſecari poſſit, vt conceptæ ex ſecantibus pla-
nis in eo figuræ ſint ſemper parallelogramma rectangula,
latera verò eadem deſcribentia ſint omnia vni cuidam la-
teri, vt regulæ æquidiſtantia: Illud ſuperficiebus cylin-
draceis comprehenſum erit.
Sit propoſitum quodcunq;
ſolidum, ASOC, quod quidem pa-
rallelis quotcunq; pianis fectum eſſe ſupponatur, efficientibus in
eo parallelogramma rectangula, EH, IM, latera verò hæc deſcri-
bentia, GH, LM, vt & reliqua omnia præfata parallelogramma
Dicoſolidum, ASOC, ſuperficiebus cylindraceis comprehendi.
Quod enim ſuperficies, in qua iacent omnia prædicta latera, quæ
rectangula deſcribunt (quæ ſit, CNOD,) ſit cylindracea, manife.
ſtum eſt ex eo, quod omnia vni regulæ, PQ, ſint parallela, & eadẽ
ratione ſuperficies, in qua iacent latera rectangulorum prædictis
oppoſita (quæ ſit, ARSB,) erit cylindracea. Similiter cum planũ,
EH, æquidiſtet plano, IM, &, GH, ipſi, LM, etiam, EG, ipſi, LI,
æquidiſtabit, eodem modo autem etiam oſtendemus reliqua late-
ra, quæ præfatis rectangula deſcribentibus lateribus perpendicola-
LI, æquidiſtare, ex
quo concludemus
hæc omnia pariter
in ſuperficie cylin-
dracea coextendi,
quæ ſit, ACNR,
qua methodo pate
bit etiam ſuperficiẽ,
BSOD, eſſe cylin-
draceam, in qua
quidem iacent late-
ra rectangulorũ prę-
dictis oppoſita. Nũc
ſi ducta intelligan-
tur oppoſita plana
ſolidum, AO, tan-
gentia, ac præfatis
ſecantibus planis æ-
quidiſtantia, contin-
gere poteſt, vt ipſo-
rũ planorũ cõtactus ſit ex vtraq; parte, vel in puncto, vel in linea, vel
in plano, vel ex vna parte contactus in vno iſtorum, ex altera verò
in alio promiſcuè, vt conſideranti facilè innoteſcet, attamen quo-
modocunq; res ſe habeat etiam ratione iſtorum contactuum fiet,
vt dictum ſolidum cylindraceis ſuperficiebus comprehendatur, ſi
enim contactus ex neutra parte fiat in plano, dictum ſolidum non
alijs ſuperficiebus cylindraceis, quam ijs, quæ dictæ ſunt compre-
hendetur, vt manifeſtum eſt, ſi vero contactus ſit in plano, illud
erit parallelogrammum rectangulum, vt, AD, RO, cum enim
hæc tangentia plana æquidiſtent planis ſecantibus, quę tranſeunt
per latera cylindrici, cuius, ACNR, BDOS, ſunt ſuperficies, etiam
ipſa per eiuſdem latera tranſibunt, ergo, AC, BD, ſicut etiam, R
N, SO, per quæ tranſeunt dicta tangentia plana, ipſis, EG, FH, æ-
EF, GH, pariter æquidiſtare, ergo plana contactuum, AD, RO,
erunt parallelogramma rectangula, ergo & ipſa erunt ſuperficies
cylindraceæ, ergo etiam ratione contingentium planorum ſecan-
tibus planis æquidiſtantium præfatũ ſolidũ ſuperficiebus cylindra-
ceis comprehendi manifeſtum eſt, quod oſtendere opus erat.
HViuſmodi ergo ſolida appellabimus nomine com-
muniſolid a rectangula. Cum verò vnumquodque
in eiſdem ſolidis ex ſecantibus planis productorum paral-
lelogrammorum rectangulorum fuerit quadratum, etiam
ſolida quadrata vocabuntur. Et ipſorum regulæ, quibus
latera plana rectangula continentia, æquidiſtant.
INſuper ſolidum quodcunque rectangulum ſub duabus
quibuſcunque ſuperficiebus dicetur contineri (regulis
ijſdem ſupradictis) in quibus vnumquodq; ęquidiſtantium
planorum, ipſum ſolidum rectangulum ita ſecantium, vt
dictum fuit, æqualia latera per ſectionem iſdem deſigna-
uerit, ſub quibus parallelogrammum rectangulum, ab eo-
dem plano ſecante in ſolido productum, continetur. Et
cum fuerit ſolidum quadratum porerit etiam appellari, ſo-
lidum quadratum alterutrius dictarum ſuperficierũ ipſum
continentium. Ipſas verò ſuperficies, æqualia rectangu-
lorum planorum latera capientes, homologas pariter nun-
cupabimus, regula quocunq; dictorum eaſdem ſecantium
planorum.
IVxta ergo ſuprapoſitas definitiones manifeſtum eſt, quaſnam
conditiones habere debeant ea ſolida, quæ vocantur ſolida re-
ctangula: Erit igitur, ASOC, rectangulum ſolidum:
quod ſi, A
D, EH, IM, RO, & cætera huiuſmodi plana fuerint quadrata,
poterit etiam dici, ASOC, quadratum ſolidum: Ipſius autem re-
gulæ erunt ex. g.
NO, OS, quibus latera rectangula continentia
æquidiſtant. Eſto nunc, quod parallela plana, quæ in ſolido, A
O, rectangula, AD, EH, IM, RO, genuerunt, indefinitè produ-
cta occurrerint ex g. tribus ſuperficiebus, TX℟Y, DOrZ, φΝΟΛ8,
in quibus per ſectionem deſignauerint, TY, æqualem ipſi, BD, &
Δ, VΩ, X℟, deinceps æquales ipſis,
FH, kM, SO, ſicut etiam, ΣΛ, ΠΛ, NO, deinceps æqualesipſis,
GH, LM, NO, & in ſuperficie, DΖΓΟ, ipſas, DZ, H9, Μβ, CΓ,
deinceps æquales eiſdem, BD, FH, KM, SO, & cætera plana pa-
rallela ſimiliter ſe habuerint (ipſę autem ſuperficies, BO, DΓ, T℟,
inter ſe, vti etiam, CO, φO, inter ſe, erunt homologæ, regula quo-
cunq; dictorum eaſdem ſecantium planorum inter ſe æquidiſtan-
tium.) Dicimus ergo ſolidum rectangulum, AO, nedum contine-
ri ex. g.
ſub ſuperficiebus, BDOS, CDON, in quibus iacent latera
præfata rectangula continentia, ſed etiam ſub ſuperficiebus, T℟,
CO, vel, T℟, φO, vel ſub ſuperficiebus, ΓΖDΟ, ODCN, vel ſub,
ΓΖDΟ, φΝΟΛ8, in his enim plana parallela produxerunt latera
ijs æqualia, ſub quibus parallelogramma rectangula, AD, EH, I
M, RO, & cætera huiuſmodi continentur, vt dictum fuit, in quo
non nihil à modo loquendi in planis diſcedere videmur, dicitur. n.
ex.
g.
rectangulum planum, AD, contineri ſub, BD, DC, quæ re-
ctum angulum conſtituunt, & non ſub, TY, φ8, quæ ipſius rectũ
potius ſoliditatis deterrninationẽ reſpiciens, quam continentiam,
quæ fit à ſuperficiebus in ambitu contentorum ſolidorum exiſten-
tibus, cum enim cernerem non omnes ſuperficies ſolidum rectan-
gulum vt ſic continentes poſſe in ipſius contenti ſolidi ambitu re-
periri (vt ex. g.
cum contineretur duabus ſuperficiebus planis in il-
lius ambitu exiſtentibus, aliæ autem illis homologæ eſſent curuæ)
& tamen latera ‘in his concepta viderem adæquari lateribus rectā-
gula plana continentibus, & conſequenter eorundem areæ quan-
titatem præſcribere, vnde & iſtæ prædictis homologæ ſuperficies
viderentur ipſius contenti ſoliditatẽ determinare (quęcumq; enim
ſolida ſub ip ſius contineantur inter ſe erunt æqualia, vt infra oſtẽ-
demus) ideò volui præfata ſolida rectangula dici ſub omnibus his
ſuper ficiebus homologis ſecundum eandem regulam contineri. Quemadmodum ſi quis aliter ab Euclide diceret parallelogrammũ
rectangulum nedum ſub lateribus ipſius angulum rectum conſti-
tuentibus, ſed etiam ſub quibuſcunq; alijs lateribus prædictis æ-
qualibus contineri, ſubintelligendo non hoc parallelogrammũ
in ipſius ambitu neceſlariò ipſa latera continentia habere, ſed per
ea ſiue ſint in ambitu, ſiue non, ipſius areæ quantitatem determi-
nari, patallelogrammum enim rectangulum contentum ſub duo-
bus lateribus, iuxta modum loquendi Euclidianum, æquatur cui-
cumq; parallelogrammo rectangulo ſub alijs duobus prædictis æ-
qualibus contento. Quod ſi quis attendat demonſtrationes ſec.
à prima illius def.
dependentes, animaduertet ſuam ſortiri
veritatem ſiue ſecundum hanc, ſiue ſecundum adductam defini-
tionem intelligantur; conſimilem autem demonſtrationum ſeriẽ
exſuperioribus definitionibus emanantem, inferius & ipſæ ſubiun-
gam.
PRopoſito quocunq;
ſolido rectangulo iuxta datas re-
gulas, ac ſub duabus quibuſdam ſuperficiebus con-
tento; indefinita numero ſolida rectangula pariter dari
poſſunt, iuxta eaſdem regulas, quorum vnumquodq; pro-
poſito ſolido æquale erit, ac ſub eiſdem ſuperficiebus
continebitur.
Sit propoſitum quodcunq;
ſolidum rectangulum, POIS, ſub
duabus ſuperficiebus, QSIB, OBIH, contentum, cuius regulæ
ſint, HI, IS. Dico indefinita numero ſolida rectangula regulis
eiſdem pariter dari poſſe, quorum vnumquodq; ipſi, POIS, æqua-
le erit, ac ſub eiſdem ſuperficiebus, QSIB, OBIH, continebitur. Igitur rectangulum ſolidum, POIS, ſuperficiebus cylindraceis cõ-
prehendetur, illæ ergo ſuperficies indefinitè hincinde produci in-
telligantur, in quibus latera fignata per plana parallela, in ſolido
parallelogramma rectangula gignentia, vni regulæ, vt ipſi, HI, æ-
quidiſtant, tales autem ſunt ſuperficies, PS, SH, HB, BP, ſicut
RI, PB, fuerint parallelogramma rectangula, tam iuxta regulam,
HI, quam iuxta, SI, poſſunt in ipſis rectę lineæ vni cuidam paral-
lelæ deſignari: Producatur autem ipſæ, PS, SH, HB, BP, hinc
inde inderinitè, intelligaturq; ſimiliter in quacunq;
productarum
ſuperficierum, vt in, OI, producta, exiſtere figura quæcunque, ΔΚ. Μλ, homologa, iuxta regulam, RI, ipſi, OHIB, in eadem ſuperfi-
cie exi@tenti, deinde per illus ambitum, ΔΚΜλ, feratur quædam
recta linea indeficitè hinc inde producta, temper ipſi, SI, æquidi-
ſtanter, donec omnem illius percurrerit ambitum, gignens ſuper-
ficies cylindraceas, CΔΚΝ, NM, GMλD, DΔ, abſcindenſq; a fu-
perficie, QR, indefinitè producta ſuperficiem cylindraceam, DCN
G. Eſto igitur, quod vnum parallelorum planorum in ſolido, PI,
rectangula plana gignentium, vt, quod genuit, XV, indefinitè pro-
ductum, ita vt fecet ſolidum, CM, in eo produxerit figuram, E℟,
quoniam ergo, EF, eſt parallela ipſi, & ℟, nam eſt portio, EY, quę,
eſt parallela ipſi, & V, ſimiliter, E&
, eſt parallela ipſi, F℟, erit, E℟,
, F℟&
, eſt angulus rectus, eſt enim exterior
parallelarum, F℟, XT, & ideòipſi interiori, XT&
, æqualis, erit,
E℟, etiam rectangulum, & quia, &
℟, æquatur ipſi, TV, ſunt.
n.
ſicut etiam, F℟, æquatur ip-
ſi, YV, ideò rectangulum, E
℟, erit æquale rectangulo, X
V. Eadem ratione oſtende-
mus, quæcunq; alia duo re-
ctangula ab eodem dictorum
ęquidiſtantium plano in ipſis
ſolidis producta ęqualia eſie,
ergo cum ſolida, CM, PI, ſint
in eadem altitudine ſumpta
regulis eiſdem æqualibus re-
ctangulis, cõcluduntur enim
inter extrema plana parallela, quorum contactus eſt in planis, N
M, RI; Cλ, PB, ideò dicta ſolida erunt æqualiter analoga iuxta di-
&
cum ſuperficies, ΔΜ,
ſit homologa ipſi, OI, &, DM, ipſi, QI, regula plano, RI, propte-
rea & erit, CM, ſolidum rectangulum æquale ipſi, PI, &
ſub eiſdẽ
ſuperficiebus, QI, IO, continebitur, & eius regulæ erunt pariter
ipſæ, HI, IS. Cum verò in ſuperficie, OI, indefinitè producta, in-
definitæ numero figuræ ipſi, OI, homologæ, regula plano, RI,
ſupponi poſſint, vt facillimè apparet, ideò ſupradicta methodo tot
ſolida rectangula ijſdem ſuperexſtrui poterunt, regulis eiſdẽ, quot
erunt figuræ ipſi, HP, homologæ, iuxta dictas regulas, ideſt nu-
mero indefinita, quorum vnumquodq; ipſi, PI, adæquari, ac ſub
eiſdem ſuperficiebus, QI, IO, contineri, vt ſupra oſtendemus. Quemadmodũ ſi etiã indefinitè ſuperficies, PH, HS, SB, BP, ſupra,
vel infra producerentur, alia indefinita numero ſolida rectangula
inueniri eodem modo poſſent, quorum vnumquodque ipſi, PI,
adæquari, ac ſub eiſdem ſuperficiebus, QI, IO, contineri, regulis
eiſdem, HI, IS, pari ratione probaremus. Hæc autem oſtenden-
da proponebantur.
_E_X ſupra demonſtratis manifeſtum eſt, quomodo ſolidum rectan-
gulum ſub duabus datis ſuperficiebus contentum, iuxta datas
regulas, in data ſuperficie cylindracea, quæ continentium altera fit
ipſa
lateræ, NG, moto per lineam, NEC, ſemper ipſi, HI, æquidiſtanter.
_I_N ſuper innoteſcit ſolidum rectangulum quodcunq;
eſſe ſemper
portionem ſolidam duobus cylindricis ſe ſe inuicem per ſuas ſu-
perficies cylindraceas decuſſantibus communem, quorum laterum re-
regulæ ſi ſimul ad vnum punctum componantur, ſibi inuicem perpen-
diculares erunt, vt regula, HI, cui æquidiſtant latera ſuperficiei cy-
lindraceæ, PSHBP, eſt ad angulum rectum cum regula, IS, cui æquidi-
ſtant latera ſuperficici cylindracea, PHSBP, quod quidem ſolidum, P
I, patet gigni ex concurſu dictarum ſuperficierum, ſicut, CM, ex con-
curſu earundem ‘PSHBP, indefinitè productarum, necnon ipſarum,
CκGΛC, hoc eſt vnumquodq; ipſorum, CM, PI, eſſe portionem ſolidam
communem duobus cylindricis, quorum laterum regulæ ſunt ipſæ, HI,
IS, ad inuicem perpendiculares.
_V_Lterius patet, quod ſolida rectangula ſub ſuperficiebus bomolo-
gis iu xta eaſdem regulas contenta, inter ſe ſunt æqualia: Et
enim ſi propoſit@ ex. g.
eſſent ſuperficies, QI, IO, homologæ ipſis, DM,
ΜΔ, regula plano, RI, & completa fuiſſent ſolida rectangula, PI, CM,
ecdem modo oſtenſum fuiſſetipſa inter ſe æqualia eſſe.
_E_X hæc Prop.
&
Cor.
ant.
deniq;
apparet, quam congruenter di-
ctum fuerit ſolidum rectangulum nedum ſub duabus ſuperficie-
bus in eiuſdem ambitu exiſtentibus contineri, ſed etiam ſub duabus
alijs quibuſcumq; prædictis homologis, iuxta eaſdem regulas, licet
enim diuerſis ſuperficiébus ipſa ſolida comprehendatur, tamen eadem
ſemper ſolidatis quantitas conſeruatur, retentis eiſdem regulis, cuius
determinatio cum ex lateribus habeatur, vel rectangula plana dicto-
rum ſolidorum continentibus, vel æqualia ijs, quæ eadem continent,
iaceant verò hæc in dictis ſuperficiebus, propterea non incõgruè, puto,
dictum fuit præfata ſolida ſub talibus quibuſcumque homologis ſuper-
ficiebus, regulis eiſdem, contineri.
SI, expoſitis duabus quibuſcumq;
ſolidorum rectangu-
lorum deſcriptibilium regulis, ad vnum punctum cõ-
poſitis, iuxta eaſdem ſolidum rectangulum contineatur
ſub parallelogrammo, & alia quacumq;
figura plana in
ambitu contenti ſolidi exiſtente, ipſum ſolidum rectangu-
lum erit cylindricus, & figura plana ſuperius dicta erit il-
lius baſis. Quod ſi etiam prædicta figura fuerit parallelo-
grammum, & ambo in illius ambitu, contentum ijſdem
ſolidum rectangulum erit parallelepipedum.
Exponantur duæ inuicem perpendiculares regulæ, BC, CD, ſo-
lidorũ deſcriptib liũ ſub parallelogrammo, AC, & figura plana qua
cumque, HDC, ſit autem deſcriptum ſolidum rectangulum ſub eiſ-
CH, iuxta regulas, B
C, CD, ita tamen vt
figura plana, HDC,
ſit in ambitu ipſius
contenti ſolidi. Di-
co, AGCH, eſſe cy-
lindricum. Quod.
n.
AC, CG, GH, ſint
ſuperficies cylindra-
ceæ, quarum regula,
BC, manifeſtum eſt,
quod verò latera per
ſecantia para lela plana in ipſis deſignata ſint æqualia ipſi, BC, la-
teri parallelogrammi, AC, ex dictis etiam cõſtare poteſt, ſed maio-
ris dilucidationis gratia ſit ab aliquo dictorum ſecantium planorũ,
in ſolido, AGHC, productum rectangulum, IMON, eſt ergo, IN,
æqualis, MO, hoc eſt ipſi, BC, quo pacto idem de cæteris oſten-
demus, in parallelogrammo autem, GC, eadem verificantur, & in
illi oppoſito, ſi contactus plani ipſi, GC, oppoſiti eſſent in plano,
vt manifeſtum eſt, ergo perinde eſt ac ſi latus æquale, BC, ambitũ
percuriſſet ipſam ſuperficiem, ADBH, deſcribendo, erit ergo, A
GCH, cylindricus, cuius baſis eſt, HDC, figurá. Præfatum qui-
dem ſolidum habet in ambitu figuras ipſum continentes, ſed ſi ve-
ambitu; hoc in ſchemate ant.
prop.
facilè percipiemus, in qua
ſint regulæ, SI, IH, continentes verò figuræ, QI, ΔΜ, quarum,
QI, ſupponatur eſſe parallelogrammum, ſed non in ambitu con-
tenti eiſdem ſolidi, quod ſit, CM, ΔΜ, verò ſit figura plana, quæ
debet in ambitu ſolidi reperiri, igitur conſimili methodo oſtende-
mus etiam, CM, eſſe cylindricum, in baſi, ΔΜ, conſtitutum. Quod
ſicontinentes figuræ, QI, IO, fuerint ambo parallelogramma, ac
in ambitu contenti ſolidi, quod ſit, PI, manifeſtum eſt nedum, PI,
eſſe cylindricum, ſed etiam eſſe parallelepipedum, ſunt enim pla-
na, RI, PB, parallela, necnon, PH, eſt ſuperficies plana ipſi, QI,
parallela, ac, PS, eſt plana, necnon ipſi, HB, ſimiliter parallela,
quod oſtendere oportebat.
_E_X hoc colligitur, ſi, ducta, EH, per, H, parallela, DC, in paral-
lelis, EH, DC, ind finitè productis, reperiatur alia quæcunq; plana figura, vt, EHC, ſolidum rectangulum ſub parallelogrammo
propoſito, AC, ſeu illi analoga ſuperficie ſecundum regulam planum,
GC, & ſub figura, FHC, in ambitu contenti ſolidi exi lente, quod ſit,
AFCH, ad contentum ſub eodem parallelogrammo, AC, ſeu illi ana-
loga ſuperficie ſecundum dictam regulam, & ſub figura, HDC, dummo-
do ea ſit in ambitu pariter contenti ſolidii, eſſe vt figura, EHC, ad figu-
ram, HDC, ſunt cnim hæc ſolida, ABFHC, ABGHC, cylindrici in ea-
ideò ſunt inter
ſe vt ipſæ baſes, vnde cum ipſæ fuerint æquales etiam dicta ſolida re-
ctangula æqualia erunt.
_H_Abetur inſuper ſi in eodem ſchemate ducatur in parallelogram-
mo, AC, quacumq; parallela, HC, vt, RS, conſtituens paralle-
logrammum, RG, rectangulum ſolidu n ſub, AC, & figura plana ex.
g.
HDC, contentum, dummodo hæc ſit in ipſius ambitu, ad rectangulum
ſolidum ſub, RC, & eadem figura, HDC, in huius etiam ambitu exi-
ſtente, ſeu ſub quacumq; alia plana figura in eiſdem parallelis cum, H
DC, exiſtent, dummodo ſit in ipſius ambitu, regulis ijſdem, BC, CD, eſſe
vt parallelogrammum, AC, ad par allelogrammum, CR, ſeu vt, BC, ad,
CS; Et ſi ſint etiam parallelogramma, HV, HD, habetur etiam rectaã-
gulum ſolidum ſub, AC, CE, ad rectangulum ſolidum ſub, RC, CT, eſſe
ctangula baſes dictorum rectangulorum ſolidorum, quæ ex dictis ſunt
parallelepipeda, ſeu cylindrici eiuſdem altitudinis ſumptæ reſpectu
dict arum baſium, & ideò ſunt vt ipſæ baſes, hoc eſt vt dicta rectangu-
la, ſuppoſito tamen quod continentia parallelogramma ſint in ambitu
contentorum ſolidorum.
POterant quidem exhiberi parallelogramma, AC, RC, in eodē
plano cum figuris, EHC, CHD, & in eiſdem cum ipſis paral-
lelis, vt, HY, proipſo, AC, &, HR, proipſo, RC, &
intelligi me-
taliter deſcripta ſolida rectang. iam dicta ſub iſtis in eodem plano
iacentibus fig. prout dictum eſt, quo pacto eadem intelligi potuiſ-
ſent, ſed cum nonnihil difficile captu initio huius nouæ doctrinæ
hoc mihi fore videretur, eadem vt ſupra exhibere malui, verunta-
men valde expediet pro ſequentibus aſſuefieri dictorum ſolidorum
mentali deſcriptioni, exhibitis continentibus eadem fig. (quæ, pu-
to, ſemper planæ erunt ) in eiſdem parallelis conſtitutis, quemad-
modum duabus quibuſcung; rectis lineis exhibitis, illico rectangu-
lum ſub ipſis mentaliter deſcribere ſolemus, ſicuti & quadratum
datæ rectæ lineæ cuiuſcumq; abſque eo, quod ſemper in ſchema-
tibus ipſa deſcripta exhibeantur, ſic ergo & ſolida rectang.
&
ſolida
quadrata, ſub duabus planis figuris in eiſdem parallelis exiſtentibus
iuxta datas regulas contenta, ad figurarum confuſionem euitan-
dam & nos quoq;
mentaliter vt plurimum deſcribemus.
SI duo triangula fuerint in eiſdem parallelis conſtituta.
Solidum rectangolum ſub eiſdem contentum, regula
altera dictarum parallelarum, ac alia quadam illi in ſubli-
mi perpendiculari, erit pyramis, habens in baſi parallelo-
grammum rectangulum, ſub dictorum triangulorum baſi-
bus contentum, dummodo alterum dictorum triangulorũ
ſit in ambitu contentiſolidi.
Sint duo triangula in eiſdem parallelis conſtituta, LK, ND, nẽ
pè, ABC, ACD, in baſibus, BC, CD, in parallela, ND, diſpoſitis,
eleuetur autem à puncto, C, quædam, CF, perpendicularis ipſi, C
Dico ſolidum rectangulum ſub duobus triangulis, ABC, ACD,
contentum, regulis, BC, CF, eſſe pyramidem, cuius baſis erit pa-
rallelogrammum rectangulum ſub prædictis baſibus, BC, CD, pa-
riter contentum, dummodo alterum dictorum triangulorum ſit in
ambitu ipſius contenti ſolidi. Sit enim deſcriptum ipſum ſolidum
rectangulum ſub triangulis, ABC, ACD, contentum, nempè, AE
ſorum, vt, ABC, in ambitu
ipſius contenti, ſolidi, &, AF
C, ſuperficies homologa ipſi,
ACD, iuxta regulam planũ,
BCF, erit ergo, ACF, trian-
gulum, eſto enim, quod vnũ
parallelorum ipſi, BF, plano-
rum, ſolidum, AEC, ſecanti-
um, in eo effecerit parallelo
grammum rectangulũ, GMIH, & intriangulo, ACD, rectam, IY,
iam ſcimus, quod, HI, eſt in eodem plano cum, FC, cui eſt paral-
lela, & ambo ſunt in eodem plano cum, AC, quod etiam de reli-
quis in ſuperficie, ACF, ipſi, FC, parallelis exiſtentibus eodem mo-
do oſtendetur, ergo iacent omnes in plano ipſarum, AC, CF, ergo,
ACF, eſt ſuperficies plana cum vero vt, CD, ad, IY, ita ſit, CA, ad,
AI, & ita etiam, CF, ad, IH, erit, CF, ad, IH, vt, CA, ad, AI, er-
gotria puncta, FHA, erunt in recta linea, in eadem autem eſſe
oſtendemus etiam reliquarum ipſi, CF, parallelarum extrema pun-
cta ex hac parte, ergo, ACF, erit triangulum: Conſimili autem
eſt,
BF, parallelogrammum rectangulum, ergo ſolidum, ABF, eſt py-
ramis, & eius baſis parallelogrammum, BF, quod oſtendere opus
erat.
_E_X hoc pariter intelligipoteſt, quod ſolidum rectang.
contentum
ſub trapezijs ex.g.
MBCI, ICDγ, in eiſdem parallelis, Sγ, ND,
exiſtentibus, regulis ijſdem, BC, CF, eſt fruſtum pyramidis abſciſſæ per
planum baſi, BF, æquidiſtans, vt, GECI, dummodo alterum dictorum
trapeziorum in ambitu contenti ſolidi conſiſtat.
SImiliter ſi compleautur parallelogramma, PC, CR, CO, ſolidum
rectangulum ſub, RC, CP, ſeu ſub, OC, CP, contentum, quod eſt
parallelepipedum, triplum erit contenti ſub triangulis prædictis ideſt
pyramidis, AEC. Contentum verò ſub parallelogrammis, TC, &
, C
X, ad contentum ſub dictis trapezijs hoc eſt ad fruſtum pyramidis, GE
CI, erit vt quadratum, BC, rectangulum ſub, XI, IM, vna cum {1/3}. qua.
XM, retentis ſemper ijſdem reg.
BC, CF.
Hæc autem V
ſiue latus, AC, ſit commune præfatis triangulis, ſeu parallelogram -
mis, ſiue non, ac ſine latus, IC, ſit cõmune predictis trapezijs, ſeu paral
lelogrammis, ſiue nõvt facilè intuenti innoteſcet.
_P_Atet vltimo ſolida rectangula ſub dictis triangulis, regulis iam
dictis, contenta, ſe babereinter ſe, vt ipſæ pyramides, nempè
æquè alta eſſe in pro portione baſium, & in eadem, vel æqualiqus ba-
ſibus exiſtentia eſſe in proportione altitudinem reſpectu baſium aſſum-
ptarum, quod eſt ſimile illi, quod animaduerſum eſt in Cor. I.
&
2,
prop. ant.
circa parallelogramma ſolida rectangula continentia.
ADuerte autem cum ſolidum rectangulum fuerit quadratum,
tunc vnam ſufficere exponi figuram, vt ex. g.
triangulum, A
BC, quod tunc æquipollet duobus expoſitis, ABC, ACD; &
con-
tentum ſolidum ſub, ABC, ACD, tunc etiam dicimus quadratum
ſolidum ipſius, ABC, regulis, BC, CF, hæc autem planarum figu-
rarum quadrata ſolida mentaliter quoque vt plurimum deſcripta
eſſe intelligemus, vt etiam ſuperius animaduerſum fuit. His au-
tem præpoſitis, nunc illa ſubiungemus, quæ aſſimilantur Prop. Sec.
Elem.
ac iuxta methodum indiuiſibilium lib.
2.
prop.
23.
oſtẽ-
ſa fuere.
SI duæ expoſitæ fuerint ſuperficies ſolidum rectangulũ
iuxta datas regulas continentes, altera autem earum
fuerit in quotcunq; partes diuiſa per lineas ſecantes quaſ-
cunq; ſuæ regulæ intra dictam ſuperficiem parallelas, alte-
Solidum rectangulum ſub indi-
uiſa, & ſub diuiſa contentum, æquabitur ſolidis rectangu-
lis ſub eadem indiuiſa, & ſub partibus diuiſæ, regulis ijſ-
dem, contentis.
Sint duæ expoſitæ ſuperficies, AC, CH, ſolidum recrangulum,
FC, iuxca regulas, kC, CB, continentes, earum autem altera, vt,
AC, ſit diuila in quotcumq; partes, vt per lineam, DEC, ſecan-
tem quaſcumq; intra ſuperficiem, AC, ipſiregulæ, BC, parallelas,
verò, HC, ſit indiuiſa. Dico ſolidum
contentum ſub indiuiſa, HC, & ſub
diuiſa, AC, ideſt, FC, æquari ſolidis
contentis ſub, DEC, CH, & ſub, DE
CBA, & ſub eadem, CH.
Intelliga-
tur ergo quandam rectam lineam fer-
ri peripſam, CED, indefinitè produ
ctam, donec totam percurrerit, ac
ſemper moueri ipſi regulæ, KC, æqui-
diſtanter, deſcribet ergo ſuperficiem
cylindraceam, quæ ſit, KEH, & ab-
ſcindet à ſuperſiciebus, FK, AC, ſu-
perficies cylindraceas, HIK, DEC, &, HC, eſt cylindracea, &
hoc
ſiue ſit in ambitu contenti ſolidi, ſiue non, alioquin non poſſent
latera, quæ per ſolidum, FC, ſecantia plana, ipſi, GC, æquidiſtã-
tia ſignantur in ipſa ſuperficie, HC, omnia vni regulæ, kC, æqui-
diſtare, ergo ſolidum, HIKCED, ſuperficiebus cylindraceis com-
prehenditur, quarum regulæ ſunt, kC, CB, inuicem perpendicula-
res ergo ſi ſolidum, HIKCED, ſecetur planis ipſi, kB, parallelis fiẽt
in ſolido parallelogramina ipſi, kB, æquiangula, hoc eſt rectangu-
la, & ideò dictum ſolidum erit ſolidum rectangulum contentum
ſub, HC, CED, ſuperficiebus: Eodem modo oſtendemus, HIKC
EDAG, eſſe ſolidum rectangulum contentum ſub ſuperficie, DIC,
hoe eſt, Dk, il i homologa iuxta planum, BK, ac ſub, DECBA, eſt
autem ſolidum, FC, æquale duobus ſolidis, HIC, CIHFB, ſimul
ſumptis, ergo ſolidum rectangulum contentum ſub indiuiſa ſuperö
ficie, HC, & ſub diuiſa, AC, æquale eſt ſolidis rectangulis conten-
tis ſub eadem indiuiſa, HC, & ſub partibus diuiſæ, DEC, DECB
A, regulis ſemper ijſdem, BC, CK, retentis, quod oſtendere opus
erat.
_E_Xpoſita figura plana quacumq;
BGEO, in parallelis, AC, DF, &
aſſumptis pro regulis, DF, FH, inuicem perpendicularibus, ita
AC, DF, primò colligitur, ſi ipſa figura per
ſolam lineam, BE, (ſecantem quaſcumq; in-
tra eandem figuram, ipſiregulæ, DF, para l-
lelas deſcriptibiles) diutdatur vtcunq; qua-
dratum ſolidum ſubindiuiſa, BGEO, & ſub
eadem, BGEO, quatenus diuiſa, æquari rectangulis ſolidis ſub eadem
indiuiſa, BGEO, & ſub partibus, BGE, BOE.
_C_olligitur ſecundò rectangulum ſolidum ſub indiuiſa, BEO, &
ſub
diuiſa, BGEO, æquarirectangulis ſolidis ſub eadem indiuiſa, BE
O, & ſub parte, BEO, hoc eſt quadrato ſolido, BEO, &
rectangulo ſo-
lido ſub, BEO, BEG.
_C_olligitur tertiò quadratum ſolidum ipſius, BGEO, æquari rectã-
gulis ſolidis ſub, BGEO, ac, viriuſq; partibus, BEG, BEO, per
Cor. prim.
&
ſubinde æquari quadratis partium, BEG, BEO, vnacum
rectangulobis ſub eiſdem partibus, BEG, BEO, per Cor. ant.
_C_olligitur quartò, ſi linea, BIE, bifariam, BNE, verò non bifari@
ſecent dictas ipſi, DF, parallelas: Rectangulum ſolidum ſub in
diuiſa, BNEO, & ſub diuiſa, BGEN, per ipſam, BIE, æquari rectan-
gulo ſolido ſub eadem indiuiſa, BNEO, & ſub partibus, BIEN, BGEI,
diuiſæ, hoc eſt æquari rectangulo ſub eadem, BNEO, & ſub, BIEO, cum
ſolido rectangulo ſub, BOEN, BNEI, cui (i addatur quad. ſolidum, BI
EN, (ex quibus integratur rectang ſolidum ſub, BIEO, BIEN, per
Cor. primum) fiet quadratum ſolidum, BEO, cui æquabitur rectangu-
lum ſolidum ſub, BGEN, BNEO, cum quadrato ſolido figuræ, BIEN,
intermediæ ſec intibus lineis, BIE, BNE, liceat autem, curn dicimus
v
tentum, breuitatis gratia, etiam ſi non exprimatur, vt in planis fieri
conſacuit.
_C_olligitur quintò, ſi ſupponamus, BIE, bifariam ſecare dictas
ipſi, DF, parallelas in figura, BGEN, & deinde illis adiungi,
BNEO, figuram in eiſdem parallelis cum, BGEN, conſtitutam; rectan-
gulum ſolidum ſub, BGEO, & ſub, BNEO, hoc eſt vnum ſub, BGEL,
ſeu, BIEN, & ſub, BNEO, indiuiſa, aliud ſub, BIEO, &
ſub, BNE
O, cum quadrato ſolido, BIEN, ( quod iunctum rectangulo ſolido ſub,
BIEN, BNEO, facit rectangulum ſolidum ſub, BIEN, BIEO, per Cor. 2.)
æquari quadrato ſolido, BIEO, per Cor.
I.
hoc eft rectangulum ſo-
lidam ſub figura compoſita ex propoſita, BGEN, & adiecta, BNEO, &
ſub adiecta, BNEO, cum quadrato ſolido, BIEN, dimidiæ ipſius propo-
ſitæ, æquari quadrato ſolido, BIEO, compoſitæ ex dimidia, BIEN, &
adiecta, BNEO.
_C_olligitur ſextò, in eadem fig.
BGEO, poſito, quod per lineam tan-
tum, BNE, ſecentur dictæ parallelæ ipſi, DF, quad. ſolidum fi-
EO, æquari rectangulo ſolido bis ſub, BGEO, &,
BNEO, figuris contento, cum quadrato ſolido
reliquæ figuræ, BGEN. Nam quadratum
ſolidum, BGEO, æquatur quadratis ſolidis, BG
EN, BNEO, cum duobus rectangulis ſolidis
ſub eiſdem figuris, addito ergo quadrato ſolido communi, BNEO, fient
quadrata ſolida figuraxum, BGEO, BNEO, æqualia duobus rectangulis
ſolidis ſub figuris, BGEN, BNEO, cum duobus quadratis ſolidis, BN
EO, hoc eſt duobus rectangulis ſolidis ſub, BGEO, BNEO, cum qua-
drato ſolido, BGEN.
_C_olligitur ſeptimò, ſi propoſitæ figuræ, B G E N, diuidatur per li-
neam, B I E, dictas quoq; parallelas ipſi, D F, ſecantem, rectan-
gulum ſolidum quater ſub, B G E N, B I E N, cum quadrato ſolido,
B G E I, æquari quadrato ſolido figuræ compoſitæ ex, B G E N, &
figura, B I E N, ſeu illi homologa, quæ ſit, B N E O. Duo enim
rectangula ſolida ſub, B G E N, B I E N, cum quadrato ſolido, B GEI,
æquantur duobus quadratis ſolidis, B G E N, B I E N, ex Cor. ant.
adbuc rectangulis ſub, BGEN, BIEN, ſeu, BNEO, quæ ſuperſunt, fi-
eut quatuor rectangula ſolida ſub, BGEN, BIEN, cum quadrato ſo-
lido, BGEI, æqualia duobus quadratis ſolidis, BGEN, BNEO, cum
duobus rectangulis ſolidis ſub, BGEN, BNEO, hoc eſt quadrato ſoli-
do, BGEO, per Cor. Tertium.
_C_olligitur octauò, ſi figuræ, BGEO, ſecetur vt in Cor.
4.
quadrata
ſolida figurarum, BGEN, BNEO, dupla eſſe quadratorum ſoli-
dorum, BGEI, BIEN. Nam quad.
ſolidum, BGEN, æquatur quadra-
tis ſolidis, BGEI, BIEN cum duobus rectangulis ſolidis ſub, BGEI, BI
EN, per Cor. Tertium, ideſt cum duobus rectangulis ſolidis ſub, BIEO,
(homologa ipſi, BGEI,) &, BIEN, quibus ſi addatur reſiduum qua-
dratum ſolidum, BNEO fiunt duo rect angula ſolida ſub, BIEO, BIE
N, cum quadrato ſolido, BNEO, æqualia quadrato ſolido, BIEO, ſeu,
BGEI, cum quadrato ſolido, BIEN, igitur quadrata ſolida, BGEN, B
NEO, dupla ſunt quadratorum ſolidorum; BGEI, BIEN.
_C_olligitur nonò, ſuppoſitis in figura ſectionibus ipſius Cor.
5.
qua-
drata ſolida, BGEO, BNEO, dupla eſſe quadratorum ſolidorum,
BGEI, BIEO. Etenim quadratum ſolidum, BGEO, æquatur per Cor 3.
quadratis ſolidis, BGEI, BIEO, cum duobus rectangulis ſolidis ſub, BG
EI, ſeu, BIEN, illi homologa, &, BIEO, quæ duo rectangula ſolida fa-
ciunt cum quadrato ſolido, BNEO, reſiduo, quadrata ſolida, BIEO, BI
EN, ſeu, BGEI, BIEO, ergo quadrata ſolida, BGEO, BNEO, dupla
ſunt quadratorum ſolidorum, BGEI, BIEO.
_C_olligitur decimò, &
vltimò, ſi tandem ex.
g.
lineæ, BNE, ſecet
quaſcumq; intra figuram, BNE, ipſi, DF, æquidiſtantes, ſecun-
dum extremam, ac mediam rationem, ita vt maior portio cuiuſcumq; ſectæ lineæ ſit ex.
g.
in figura, BGEN, rectangulum ſolidum ſub, BGE
O, BNEO, æquari quadrato ſolido, BGEN, bæc enim ſolida erunt
æqualiter analogaiuxta regulam planum, DFH, ex eo quod in vnoquo-
que eidem parallelorũ planorum ipſa ſolida ſecantiũ, ac capientiũ vnũ
rectangulum, & vnum quadratum, ſemper rectangulum eſt æquale,
quadrato in eodem plano exiſtenti.
DDuertatur autem me in omnibus ſupra poſitis Corollarijs
ſupponere ſecantes lineas, parallelas ipſi, DF, in dictis figu-
ris, non niſi ſemel occurrere eidem rectæ lineæ, vt, BIE, ſemel, ac,
BNE, ſeorſim ſemel tantum; ipſas verò parallelas ad ambitum fi-
guræ terminari, ac ſingulas integras eſſe, quódetiam ſuppono in
prop. 2 3.
lib.
2.
integras autem eſſe ſubintelligo;
cum in plures re-
ctas lineas, aliquo interuallo ſeparatas, per ambitum figuræ, quæ
ab eadem regulæ parallela efficiuntur, diſiungi minimè comperien-
tur, in quo ſenſu ſciat lector (ne quis circa hoc hæſitaret) me ſem-
per in his libris hunc terminũ vſurpare, ſciat inſuper eaſdẽ regulas,
DF, FH, pro omnibus ſemperretineri. Hæc autẽ ſegnius, quam for-
tè par erat, à me nunc explicata ſunt, ſed cum Propoſitiones Lib. Sec.
Elem.
hæc imitarentur, &
inſuper conſimilis doctrina, adhi-
bita tamen indiuiſibilium methodo, tradita iam fuiſſet Lib. 2.
Prop.
23. ideò ne rerum ſimilitudo faſtidium pareret, currenti, vtita di-
cam, calamo adnotata ſunt. Ex ſupradictis autem facile eſt intel-
ligere nomen quadrati ſolidi alicuius figuræ planæ æquipollere
nomini omnium quadratorum eiuſdem figuræ, & nomen rectan-
guli ſolidi ſub duabus figuris æquipollere nomini rectangulorum
ſub eiſdem figuris, quibus quidem in methodo indiuiſibilium vte-
bamur, ex quo patet, vt ſic nos indefinitum planorum numerum
euitare, cui ipſorum, quæ rectangula ſolida appellauimus, ſolidita-
tem ſatis concinne puto ſubſtituimus. His autem paratis, ſequen-
tium propoſitionum demonſtrationes tum quæ ſuperſunt 1. 2.
tum
lib. 3.
4.
ac 5.
paucis mutatis compendioſiſſimè per hanc nouam
methodum, abſq; ſolidarum figurarum circumſcriptione, &
inſcri-
ptione, vt alij conſueuerunt, necnon facile, oſtendemus, per hæc
verò Prop. 23.
Lib.
2.
iam ſatisfactum eſſe manifeſtò apparet.
COnſpecta denuò figura Prop.
30.
lib.
2.
&
aſſumpta
regula, FD, & alia, quæ à puncto, F, quomodocunq;
intelligatur eleuata ſuper planum, AF, perpendiculariter
ipſi, FD. Rectangulum ſolidum ſub, AE, EC, ad rectan-
gulum ſolidum ſub, ADEC, trapezio, & triangulo, CEF, re-
gulis iam dictis, contentum, erit vt, DE, ad compoſitam ex @.
DE, & {1/2}.
EF.
Hoc oſtendetur eodem modo, ac inſupradicta prop.
30.
lib.
3.
mutatis tantum ſupradictis nominibus, nempe ſi vbi dicimus re-
ctangula ſub duabus quibuſdam figuris, hic dicamus rectangulum
ſolidum ſub eiſdem figuris, ſicuti etiam cumdicuntur omnia qua-
nunc ſubſtituemus nomen quadrati ſo-
lidi eiuſdem figuræ, vt ſupra dicebatur. Igitur cum rectangulum ſolidum ſub
trapezio, ADEC, diuiſo per lineam, B
ſub triangulo, CEF, indiuiſo, æ-
quetur rectangulo ſolido ſub, AE, &
triangulo, CEF, vel triangulo, BEC, &
rectangulo ſolido ſub triangulo, BEC,
& triangulo, CEF, primò patet rectan-
gulum ſolidum ſub, AE, EC, adrectang. ſolidum ſub, AE, &
triã-
gulo, BEC, eſſe vt, BF, ad, BEC, ideſt vt, DE, ad {1/2}. DE, eſt enim,
BF, duplum trianguli, BEC. Similiter rectangulum ſolidum ſub,
quadratum, EF, ideſt vt, DE, ad, EF, quadratum verò ſolidum, B
F, cum ſit triplum quadrati ſolidi, CEF, & quadrati ſolidi, BEC,
erit etiam triplum duorum rectangulorum ſolidorum ſub, BEC, CE
F, (quadratum ſolidum enim, BF, oſtenſum eſt æquari quadratis
ſolidis, BEC, CEF, cum duobus rectang. ſolidis ſub, BEC, CEF,)
ideò erit ſexcuplum rectanguli ſolidi, ſub, BEC, CEF, ideſt erit
ad illud vt, EF, ad ſui {1/6}. ergo ex æquali rectangulum ſolidum ſub,
AE, EC, ad rectangulum ſolidum ſub, BEC, CEF, erit vt, DE, ad
{1/6}. EF, &
ad rectangulum ſolidum ſub, AE, &
triangulo, BEC, ſeu,
CEF, oſtenſum eſt eſſe vt, DE, ad {1/2}. DE, ergo colligendo rectan-
gulum ſolidum ſub, AE, EC, ad rectangulum ſolidum ſub, AE, CE
F, & ſub, CBE, CEF, ideſt ſub trapezio, CADE, &
triangulo, CE
F, erit vt, DE, ad compoſitam ex {1/2}. DE, &
{1/6}.
EF, quod oſtendere
opuserat.
Præſentem propoſitionem denuò ſecun
thodum oſtendere volui, vt
ſuppleri po
num mutatione facta, demonſtratio ſimillima fit, cum ea pariter
fuerint ſtabilita principia, vt in antecedentibus potuit ſtudioſus
animaduertere, quæ principijs methodi indiuiſibilium ſimilia ap-
parebant, ſufficiet ergo tales propoſitiones, tantum innuere, cum
tionibus, popoſcere videbuntur. Quoad regulas autem, iuxta
quas dicimus ſolida rectangula contineri, poterimus etiam vice
duarum vnam tantum retinere, pro vt in methodo indiuiſibilium
effectum eſt, vt ex. g.
in fig.
huius prop.
poterat ſufficere ipſa, DF,
altera enim regula non alio fungitur offitio, quam determinandi
cum priori regula vnum planum, cui plana ſolida rectangula ſecã-
tia, ac in illis rectangula plana producentia, æquidiſtant, & hoc in
antecedentibus effectum eſt, vt clarior ſolidorum rectangulorum
deſcripcio haberetur, in poſterum tamen vnam tantum regulam
innuemus, alteram tacitè ſubintelligentes, dum præfata vni cuidã
eſſe parallela ſemper ſupponere debeamus, erunt autem eædem
regulæ, quæ in propoſitionibus infra citandis adhibitæ fuerunt, niſi
alias regulas innuendi quandoq; neceſſitatem habuerimus.
IN eodem Prop.
30.
Lib.
2.
ſchemate, regula eadem ibi
aſſumpta, rectangulum ſolidum ſub, AF, FB, ad rectan-
gulum ſolidum ſub trapezio, ADEC, & triangulo, BEC,
erit vt, DF, ad compoſitam ex, {1/2}. DE, &
{1/3}.
EF.
Hæc oſtendetur vtibi, prædicta tantum nominum mutatione
facta, vt meditanti innoteſcet.
IN ſchemate Prop.
3 I.
eiuſdem Lib.
2.
regula eadem,
rectangulum ſolidum ſub, AO, OB, ad rectangulum ſo-
lidum ſub trapezijs, HACN, MBCN, eſt vt rectangulum,
HOM, ad rectangulum ſub, HO, MN, cum rectangulo ſub
compoſito ex {1/2}. HM, &
@.
NO, &
ſub, NO.
Hæc ſimiliter vt antecedens expedietur.
IN ſchemate Prop.
32.
Lib.
2.
ſimiliter regula eadem
retenta, rectangulum ſolidum ſub, AE, ER, ad rectan-
gulum, DES, ad rectangulum ſub, DE, & compoſita ex, SF,
& {1/2}.
FE, vna cum rectangulo ſub, EF, &
compoſita ex {1/6}.
E
F, & {1/2}.
FS.
Hæc etiam vt antecedentes abſoluetur.
HVcuſq;
Propoſitionibus Lib.
2.
quæ reſtauratione indigere
videbantur ſatisfactum eſſe manifeſto apparet. Reliquum
eſt, vt & ſequentium Librarum Propoſitiones denuò perpenden-
tes, per hanc nouam methodum à nobis quoq; &
ipſæ reſtauren-
tur, quod maiori, qua fieri poterit, breuitate, ac facilitate, nunc
præſtare conabimur.
ASſumpto ex Schemate Prop.
1.
Lib.
3.
ſemicircolo,
vel ſemiellipſi, EPR, circa diametrum, ER, ſimul cũ
applicata, BP, quæ etiam ſit regula, & parallelogrammo, H
B, iuxta quemlibet trium ibi allatorum caſuum nunc oſten-
demus, conſpecta etiam illa figura, quadratum ſolidum
portionis, DEP, ad quadratum ſolidum parallelogrammi,
FP, eſſe vt compoſita ex {1/6}. EB, &
{1/2}.
BR, ad ipſam, BR.
Producantur enim indefinitè verius, B, E, ipſę, PB, HE, &
fiant,
B℟, EG, ſingulæ æquales ipſi, RE, & iungantur, G℟, capiaturq;
BX, æqualis ipſi, BE, &
per, X, agatur, XL, parallela, ER, &
iun-
gatur, XE, ac ſit quæcumque, CN, applicata in ſemiportione, EP
hinc inde vt ſecet, HP, vt in, M,
EX, vt in, D, LX, vt in, Z, & G℟,
vt in, Q; ſunt ergo, GB, LB, G
X, parallelogramma, &, ℟X, eſt
æqualis, RB, XB, autem ipſi, B
E, vnderectangulum, ℟XB, eſt
æquale rectangulo, RBE, hoc
eſt, in circulo quadrato, BP: ea-
dem ratione oſtendemus tum rectangulum, QZC, æquari quadra-
to, CM, tum rectangulnm, QDC, æquari quadrato, CN, & hoc
In ellipſi
verò oſtendemus rectangula, ℟XB, QDC, eſſe vt quadrata, BP, C
N, ſicut rectangula, ℟XB, QZC, vt quadrata, BP, CM. Ergo ſi
intelligamus ſolidum rectangulum fieri ſub parallelogrammis, GX,
quadratum ſolidum, EP,
communi regula, BP, erunt hæc
ſolida inter ſe æqualiter, vel pro-
portionaliter, analoga, cum ſint
in eiſdem planis parallelis, nem-
pè tranſeuntibus per lineas, ℟P,
GH, & quæcunq;
plana his pa-
rallela præfata ſolida ſecantia,
producant in ipſis æquales figu-
ras planas, vel ſaltem proportionales, ſicut patuit de rectangulo, Q
ZC, æquali quadrato, CM; vel ad idem exiſtente, vt rectangulum,
℟XB, ad quadratum, BP. Eadem ratione, quia probauimus re-
ctangulum, QDC, æquari quadrato, CN, vel ad idem eſſe vt re-
ctangulum, ℟XB, ad quadratum, BP, concludemus ſolidum rectã-
gulũ ſub trapezio, EG℟X, & triangulo, EXB, eſſe ęqualiter, vel pro-
portionaliter, analogum quadr. ſolido, EBP, iuxta communem re-
gulam, BP, igitur rectangulum ſolidum, ſub GX, XF, æquabitur qua-
drato ſolido, EP, & rectangulum ſolidum ſub, EG℟X, EXB, ęqua-
bitur quadrato ſolido, EBP, vel ſaltem erunt proportionalia in el-
lipſi, ergo quadratum ſolidum, EP, ad quadr. ſolidum, EBP, erit
ſub, EG℟X, &, EXB, hoc eſt, vt, ℟X, ad compoſitam ex {1/2}.
℟X,
& {1/6}.
XB, ideſt, vt, RB, ad compoſitam ex {1/2}.
RB, &
{1/6}.
BE, ergo,
iterum conſpecta figura prop. 1.
lib.
3.
quadratum ſolidum portio-
BE,
& {1/2}.
BR, ad ipſam, BR, cum enim ſemiportiones, DEB, BEP,
ſint homologę ſecundum regulam planum tranſiens per regulam,
BP, cuiæquidiſtant plana ſolida ſecantia, ſicut etiam, FB, BH, &
cum quadratum ſolidum figuræ, FP, diuiſæ per lineam, EB, æque-
duobus rectangulis ſolidis ſub, FB,
BH, ideſt quatuor quadratis ſolidis, BH, ideò quadratum ſolidum,
FP, quadruplum erit quadrati ſolidi, BH, ſicut etiam patebit qua-
dratum ſolidum portionis, DEP, quadruplum eſſe quadrati ſolidi
ſemiportionis, EBP, ergo, vt quadratum ſolidum, EBP, ad qua-
dratum ſolidum, BH, ita eſt quadratum ſolidum portionis, DEP, ad
quadratum ſolidum, DH, ideſt vt compoſita ex {1/6}. BE, &
{1/2}.
BR, ad
ipſam, BR, quod oſtendendum erat.
_E_x proximè dictis manifeſtum eſſe poteſt quadratum ſolidum cuiuſ-
cumq; figuræ circa diametrum, regula baſi, quadruplum eſſe
quadrati ſolidi cuiuſuis eiuſdem portionum, quæ ab ipſa diametro ſe-
parantur.
POſterior pars prop.
1.
lib.
3.
oſtendetur vt ibi dicta nominum
tantum mutatione facta cum Cor. ſicut etiam prop.
2.
ASſumpto ex ſchemate prop.
3.
ſemicirculo, vel ſemiel-
lipſi, ASFD, circa diametrum, AD, ſimul cum appli-
catis, RF, MS, quarum altera ſit regula, & parallelogram-
mo, NR, oſtendemus in illius figura, quadratum ſolidum
FB, ad quadratum ſolidum portionis, ICFS, eſſe vt rectan-
gulum, DRA, ad rectangulom ſub, DR, & ſub compoſita
ex {1/2}. RM, &
ex, MA, vna cum rectangulo ſub, RM, &
ſub
compoſita ex {1/6}. RM, &
{1/2}.
MA.
Producantur enim indefinitè ipſæ applicatæ, SM, FR, verſus,
MR, à quibus abſcindantur, CR, HM, ſingillatim ipſi, DA, æqua-
gillatim pariter æquales ipſi,
DR, &, YR, LM, æquales
ipſi, MA, & iungantur, HG,
kQ, LY, QL, & ſit, TX, quę
cumq; inter, RF, MS, diame-
tro, AD, ſimiliter applicata,
quæ indefinitè hincinde ex-
tendatur ſecans, NF, in, V, A
D, in, T, LY, in, I, LQ, in, O, KQ, in, Z, &, HG, in, P.
Erunt
ergo, HQ, KY, LR, parallelogramma, & rectangulum, GQR, æ-
quabitur rectangulo, DRA, cum autem, GQ, ſit æqualis, DR, &,
YR, ipſi, MA, erit, QY, æqualis, RM, hoc eſt ipſi, YL, eſt autem,
QY, ad, YL, vt, OI, ad, L, ergo, OI, æquatur, IL, ideſt, TM, &, Z
I, ipſi, RM, ergo, ZO, æquatur, RT, ergo rectangulum, POT, æ-
rectangulo, DTA, ergo vt rectangulum, GQR, ad
rectangulum, POT, ita rectangulum, DRA, erit ad rectangulum,
DTA, hoc eſt ita quadratum, RF, ad quadratum, TX, ergo per-
mutando rectangulum, GQR, ad quadratum, RF, erit vt rectan-
gulum, POT, ad quadratum, TX, quod & in reliquis huiuſmodi
quadratum ſolidum, MSXFR, erunt, vel æqualiter
in circulo, vel proportionaliter analoga in ellipſi, ergo erunt inter
ſe vt rectangulum, GQR, & quadratum, RF, ſunt quoq;
inter ſe,
ſed vt rectangulum, GQR, ad quadratum, RF, ſic etiam eſſe oſtẽ-
demus rectangulum ſolidum ſub, HQ, QM, ad quadratum ſolidũ,
NR, ergo rectangulum ſolidum ſub, HQ, QM, ad quadratum ſo-
lidum, NR, erit vt rectang. ſolidum ſub, LHGQ, LMRQ, ad qua-
dratum ſolidum, MSXFR, & permutando rectangulum iolidum
ſub, HQ, QM, ad rectangulum ſolidum ſub, LHGQ, LMRQ, erit
vt quadratum ſolidum, NR, ad quadratum ſolidum, MSXFR, eſt
autem rectangulum ſolidum ſub, HQ, QM, ad rectangulum ſoli-
dum ſub, HGQL, LQRM, vt rectangulum ſub, GQR, ad rectan-
&
ſub compoſita ex {1/2}.
QY, &
ex, YR;
vna cum
rectangulo ſub, QY, & ſub compoſita ex {1/6}.
QY, &
{1/2}.
YR, hoc eſt
vt rectangulum, DRA, ad rectangulum ſub, DR, & ſub compoſi-
ta ex {1/2}. RM, &
ex, MA, vna cum rectangulo ſub, RM, &
ſub cõ-
poſita ex {1/6}. RM, &
{1/2}.
MA, ergo ſic etiam erit quadratum ſolidum
NR, ad quadratum ſolidum ſemiportionis, MSXFR, & ita etiam
quadratum ſolidum, BF, ad quadratum ſolidum ipſius, ICFS, con-
ſpecta figura dìctæ prop. 3.
quod oſtendere opus erat.
POſterior pars dictæ Prop.
3.
oſtendetur vt ibi, ſolita nominum
mutatione facta, ſicut etiam Prop. 4.
Prop.
5.
reſtauratione
non indiget; Cor.
autem deducetur eodem modo, vt ibi mutatis
tantum dictis nominibus, fiunt enim quadrata ſolida figurarum
ijſdem parallelis in eiuſdem ſchemate interceptarum, figuræ ſolidę
deinde Corollarium eodem modo, quo ibi factum eſt. Prop.
6.
cum Cor.
Prop.
7.
8.
9.
cum Cor.
pariter vt ibi oſtendentur, muta-
tis nominibus, vt ſupra Prop. 10.
ſic patebit probabuntur enim fi-
guræ, AFH, AGH, eſſe proportionaliter analogæ, & ideò eſſe inter
ſe, vt, FH, HG, eodem modo, quo ibi factum eſt, ex quo ſimiliterr
concludetur, AFVT, ad, AGVS, eſſe vt, FT, ad, GS; &
non diſ-
colligemus quadratum ſolidum, AFVT, ad quad
ſolidum, AGVS, eſſe vt quadratum, FT, ad quadratum, GS, ſubau-
di tamen in illius ſchemate ſecundas diametros, FT, GS, eſſe in eadẽ
recta linea. Prop.
11.
cum Cor.
demonſtrantur, vt ibi, Prop.
verò
12. ſimiliter, ſolita tantum nominum mutatione facta.
Prop.
13.
oſtendetur quoque mutatis nominibus, &
c in qua aduerte pag.
27.
lin. 22.
ſuperfluè dici in, EF, quadratum, EI, detractum à rectan-
gulo ſub, IE, EF, relinquere rectangulum ſub, EI, IF, vt concluda-
tur detractis omnibus quadratis ſemiportionis, OCD, à rectangu-
lis ſub parallelogrammo, OV, & ſemiportione, OCD, relinqui re-
ctangula ſub, OCD, DCV, hoc enim conſtat ex C. 23.
1.
2.
vt ci-
tatur in margine, illud tamen ad maiorem declarationem appoſi-
tum erat. Corollarium eiuſdem pariter declarabitur mutatis, &
c.
Prop. 14.
ſimiliter probabitur, cum Cor.
mutatis nominibus, &
c.
Sic etiam Prop. 15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
cum Cor.
in qua patebit
rectangula ſub, ASB, AHTFB, æquari rectangulis ſub triangulis,
ABD, AVD, cum ſint ſolida æqualiter analoga, & hoc in figura
circuli, in figura autem ellipſis dicta ſolida oſtendentur eſſe propor-
tion aliter analoga, ac inter ſe vt coniugatarum diametrorum qua-
drata. Sic etiam Prop.
22.
23.
24.
25.
26.
in qua ſchema ante-
cedentis reponendum eſt. Propoſ.
27.
28.
29.
30.
31.
cum Cor.
Prop. 32.
cum Cor.
ac tandem Prop.
33.
pariter cum Cor.
EXpoſitis duabus quibuſcumq;
figuris planis, &
in ea-
rum vnaquaq; ſumpta vtcumq;
regula, vt quadrata
ſolida earundem figurarum iuxta dictas regulas, ita erunt
ſolida quæcumq; ad inuicem ſimilaria ex eiſdem genita fi-
guris, iuxta eaſdem regulas.
Sint duæ quæcumq;
figuræ planæ, ABC, DEF, in qnibus duæ
vtcumq; ſint ſumptæ, BC, EF, rectælineæ.
Dico igitur vt qua-
dratum ſolidum figuræ, ABC, ad quadratum ſolidum figuræ, DE
F, regulis iam dictis ita eſſe quodcunq; ſolidum ſimilare genitum
ex, ABC, ad ſibi ſimilare genitum ex, DEF, iuxta eaſdem regulas. Ducatur in altera figurarum, vt in, DEF, vtcumq;
regulæ, EF, pa-
Igitur quadratum, EF, ad quadratum, HM, habet
duplicatam rationem eius, quam habet, EF, ad, HM, ſed etiam
eius, quam, EF, habet ad, HM, ergo vt quadratum, EF, ad qua-
dratum, HM, ita eſt figura, EF, ad ſibi ſimilem figuram deſcriptã
ab, HM, & permutando vt quadratum, EF, ad figuram quamcuq;
HM, ad figuram prędictæ ſimilem deſcriptam
ab, HM, prædictæ homologa, ergo quadratũ
ſolidum figuræ, DEF, & ſolidum ſimilare quo-
dcumq; genitum ex figura, DEF, luxta comu
nem regulam, EF, ſunt ſolida proportionaliter
analoga ſecundum communem regulã, EF, ergo erunt inter ſe vt fi-
Eodẽ modo oſtẽ-
demus quadratum ſolidũ, ABC, & ſolidũ aliud quodcumq;
ſimilare
genitum ex figura, ABC, iuxta cõmunẽ regulam, BC, eſſe inter ſe, vt
figuræ à, BC, deſcriptæ, ſunt autem duo quadrata, BC, EF, & duæ
aliæ quæcumq; ſimiles figuræ planæ deſcriptæ ab homologis, BC,
EF, proportionales, ergo & dicta ſolida proportionalia erunt, nẽpè
vt quadratũ, BC, ad figuram, BC, ſic erat quadratum ſolidũ, ABC,
ad ſolidum ſimilare genitũ ex, ABC, ſed vt quadratũ, BC, ad figurã,
BC, ita eſt qua dratum, EF, ad figuram, EF, prædictæ ſimilem, & ita
etiam quadratum ſolidum, DEF, ad ſolidum prædicto ſimilare ge-
nitum ex, DEF, ergo quadratum ſolidum, ABC, ad ſolidum ſimi-
lare, ABC, eſt vt quadratum ſolidum, DEF, ad ſolidum præ dicto
ſimilare genitũ ex, DEF, & permutando quad.
ſolidũ, ABC, ad qua-
dratũ ſolidũ, DEF, erit vt ſolidũ quodcũq; ſimilare genitũ ex, ABC,
ad ſibi ſimilare gen tũ ex, DEF, luxta dictas regulas, quod oſtendere
opus erat.
HVius demonſtratio ſimilis eſt demonſtrationi Prop.
33.
1.
2.
cui
per hanc ſuppletur, Coro laria autem iuxta methodum ibi
adhibitam facilè quoq; deducentur, illam vero huc reſeruaui, vt
promptiorem pro colligendis ſequentibus Corollarijs lib. 3.
ex hac
pendentibus eam haberemus. Adhibuit quidem nomen ſolidi ſi-
milaris, quod per indefinitum numerum parallelorum planorum
fuit pariter explicatum lib. 2.
ad B.
Defin.
8.
attamen ſi vice om-
nium planorum, ſeu deſcriptarum figurarum, ſubſtituamus quot-
cumq; plana, ſeu deſcriptas figuras, ita vt perimetri deſcriptarum
figurarum iacere intelligantur in ſuperficie ipſum ſolidum ambiẽ-
te, intelligemus nihilominus, licet nonnihil diuerſo modo, eſſe idẽ
ſolidum, quod dicitur ſimilare, ac à propria genitrice deſcriptum,
ſiue per eandem ſic modificatam, vt hæc ſimilaria ſolida ab infini-
tatis conceptu, ſeu ab indiuiſibilium methodo, eximerentur; Non
eſt autem difficile inſuper intelligere quadrata ſolida quarumcũq; planarum figurarum, in ambitu eorundem exiſtentium, eſſe etiam
ſolida ſimilaria, genita ex eiſdem figuris, quarum dicuntur qua-
drata ſolida, iuxta eaſdem regulas, iuxta quas quadrata ſolida di-
cebantur: &
è conuerſo ſolida ſimilaria, genita ex quibuſcumq;
figuris iuxta quaſuis regulas, quarum figuræ, à genitricium lineis
homologis deſcriptæ tamquam à lateribus, ſint quadrata, eſſe pa-
riter quadrata ſolida earundem figurarum iuxta eaſdem regulas.
Igitur ad rem noſtram manifeſtum eſt, quod quæcumq; ſolida ad
inuicem ſimilaria, genita ex figuris lib. 3.
hic denuò conſideratis,
iuxta aſſumptas regulas (quarum patefacta eſt ratio quadratorum
ſolidorum) habebunt rationem notam, per quod ſuppletur Propo-
ſit. 34.
lib.
3.
colligentur autem vt ibi factum eſt ſequentia Corol-
laria vſq; ad finem eiuſdem lib.
3.
mutatis tantum ſæpè dictis no-
minibus, vbi neceſſe fuerit, quod enim ibi per omnia quadrata hic
per quadrata ſolida conſideratarum figurarum colligetur. Do-
ctrina autem ſcholij ſubſequentis etiam pro hac noua methodo
ſubſiſtit, ſi tamen vice omnium figurarum, ſeu omnium planorum,
ſubſtitutas intelligamus quotcumque figuras, ſeu quotcumque
plana, cætera cnim à methodo indiuiſibilium exempta ſunt, & hæc
ſufficiant circa examen lib. 3.
nunc autem Prop.
lib.
4.
ſimiliter
perluſtrabimus.
ASſumpta ex ſchemate Prop.
1.
Lib.
4.
ſemiparabola,
CHG, cum parallelogrammo, EG, viſa tamen etiam
illa figura, oſtendemus parallelogrammum, EF, ſexquial-
terum eſſe parabolæ, HCF.
Producta enim diametro, CG, vtcumq;
in, V, deſcribatur qua-
drans circuli, vel ellipſis, HGV, iuxta duas ſemidiametros coniu-
gatas, HG, GV, & per, H, ducta, EP, parallela, CV, &
indefinitè
extenſa, agantur ſimiliter à punctis, CV, parallele, HG, ipſæ, EC,
PV, erunt ergo parallelogramma, EG, GP, EG, quidem circum-
ſcriptum ſemiparabolæ, HCG, &, PG, quadrati, HGV, ſit inſu-
per quæcumq; MO, ordinatim ad, HG, applicata, regula, CG, quę
hinc
indevt ſecet EC, vt in, N, HV, vt in, R, & PV, vt in, Q, ergo, CG,
ad rectangulum ſub compoſita
ex, HG, GO, & ſub, OH, (hoc.
n.
deducitur ex prop.
3.
lib.
4.
quæ
non dependet à prop. 1.
neq;
indi-
get, quod denuò demonſtretur)
ideſt vt quadratum, GV, ad qua-
dratum, OR, ſed vt, CG, ad MO,
ita eſt quadratum, CG, ad rectan-
gulum ſub, CG, ſeu, NO, & OM, ergo quadratum, CG, ad rectan-
gulum, NOM, erit vt quadratum, GV, ad quadratum, OR, & per-
mutando quadratum, CG, ad quadratum, GV, erit vt rectan-
gulum, NOM, ad quadratum, OR, ſic ductis alijs parallelis
euenire oſtendemus; ergo ſolidum rectangulum ſub, EG, paral-
lelogrammo, & ſemiparabola, CHG, erit proportionaliter ana-
logum quadrato ſolido quadrantis, HVG, ſecundum regulam,
C V, ſecundum eandem autem oſtendemus etiam quadratum
ſolidum, EG, eſſe proportionaliter analogum quadrato ſolido, H
V, etenim quadratum, CG, ad quadratum, GV, eſt vt quadratum,
NO, ad quadratum, OQ, vnde vt quadratum, CG, ad quadratum,
GV, ſic erit quadratum ſolidum, EG, ad quadratum ſolidum, G
P, & ſic etiam rectangulum ſolidum ſub, EG, HCG, ad quadratum
ſolidum, HGV, ergo quadratum ſolidum, EG, ad quadratum ſoli-
dum, HV, erit vt rectangulum ſolidum ſub, EG, HCG, ad quadra-
tum ſolidum, HGV, ergo permutando quadratum ſolidum, EG, ad
rectangulum ſolidum ſub, EG, HCG, erit vt quadratum ſolidum,
HV, ad quadratum ſolidum, HGV, ſed quadratum ſolidum, HV,
trum, G, ergo quadratum ſolidum, EG, ſexquialterum erit rectan-
guli ſolidi ſub, EG, HCG, ſed vt quadratum ſolidum, EG, ad rectan-
gulum ſolidum ſub, EG, HCG, ita baſis, EG, ad baſim, HCG, ergo,
EG, erit ſexquialtera, HCG, & conſequenter, viſa figura prop.
1.
4.
erit parallelogrammum, AH, ſequialterum parabolæ, FCH,
quod oſtendendum erat.
PEr hanc autem ſuppletur prop.
1.
lib.
4.
etenim illius poſterior
pars deducetur, vt ibi, hac vero demonſtrata reliqua nunc
Igitur circa Corollarium p.
1.
nihil dicendum eſt.
Prop.
2.
autem reſtauratione non indiget.
Prop.
3.
ſimiliter.
Prop.
4.
oſten detur eo modo, quo nos primam demonſtrauimus, Corolla-
riũ verò deducetur vt ibi, mutatis tamẽ ſepè dictis nominibus &c.
ex
hac autem oſtenſa facilè deducetur prop. 5.
cum Cor.
mutatis &
c.
vt etiam prop. 6.
cum Cor.
p.
7.
8.
cum dictis in Scholio.
Similiter
Prop. 9.
10.
cum Cor.
mutatis &
c.
Prop.
11.
cum Cor.
p.
12.
13.
14.
15.
16. 17.
cum Cor.
18.
19.
cum Cor.
20.
cum Cor.
reſtaurationem mi-
nimè poſtulant, cum a methodo in diuiſibilium non dependeant.
EXpoſito denuò Schemate prop.
21.
eiuſdem lib.
4.
regu-
la eadem, VF, retenta, oſtendemus quadratum ſolidũ,
AF, duplum eſſe quadrati ſolidi parabolæ, VEF, & hoc eſſe
ſexquialterum quadrati ſolidi trianguli, VEF.
Eſtò quòd, ND, ſecet, EF, in, I, igitur rectangulum, DNI, eſt æ-
quale quadrato, NO, quod & circa quaſcumq;
applicatas con-
gulum ſolidum ſub parallelogram-
mo, CM, & triangulo, EMF, erit æ-
qualiter analogum quadrato ſolido
ſemiparabolæ, EMF, quadratum
ſolidum autem, CM, ad rectangulũ
ſolidum ſub eodem parallelogram-
mo, CM, & ſub triangulo, EMF, eſt
vt, CM, ad EMF, ideſt duplum, ergo quadratum ſolidum, CM, du-
conſequenter quadratum ſoli-
dum, AF, duplum etiam erit quadrati ſolidi parabolæ, VEF, vnde
& quadratum ſolidum, VEF, ſexquialterum erit quadrati ſolidi, E
VF, quod &c.
PEr ſuprapoſitam prop.
ſuppletur prop.
21.
prop.
22.
verò dedu-
cetur eodem modo mutatis nominibus &c.
ASſumpta ex Schemate prop.
23.
ſemiparabola, NOH,
cum fruſto, MROH, & parallelogrammo, VO, ac re-
quadratum ſolidum, PH, viſa dicta figura, ad quadratum ſo-
lidum, ABHM, eſſe vt, ON, ad compoſitam ex, NR, & @.
RO.
Extendantur .
n.
HO, VR, verſus, OR, &
fiant, OC, RA, ſingulæ
æquales ipſi, ON, &, DO, BR, capiantur ſingulæ æquales ipſi, RN
& iungantur, AC, BD, CB, quas extenſſa indefinitè, TX, ſecet in, F’
P, E. Etunt ergo, AO, BO, AD, parallelogramma.
Cum verò, CO’
æquetur, ON, & DO, ipſi, RN, erit, CD, æqualis, OR .
i.
ipſi, DB,
vnde etiam, EP, ipſi, PB, hoc eſt ipſi, RX, & tota, EX, toti, NX, &
reliqua, FE, reliquæ, OX, æqualis erit. Quoniam vero quadratum,
vt, ON, ad, NX, hoc eſt, FX,
ad, XE, hoc eſt quadratum,
FX, vel quadratum, CO, ad
rectangulum, FXE, ideo per-
mutando quadratum, HO,
ad quadratum, OC, erit vt
quadratum, IX, ad rectangu-
lum, FXE, ex quo conclude-
mus, vt in ſuperioribus rectangulum ſolidum ſub, AO, & trapezio,
BCOR, eſſe proportionaliter analogum quadrato ſolido, RMHO. Similiter oſtendemus quadrata ſolida, AO, OV, eſſe proportionali-
ter analoga, & conſequenter prædictis duobus ſolidis eſſe propor-
tionalia colligemus, vnde permutando quadratum ſolidum, VO,
ad quadratum ſolidum, MORH, ſeu (conſpecta figura prop. 23.
lib.
4.) quadratum ſolidum, PH, ad quadratum ſolidum fruſti, ABHM,
erit vt quadratum ſolidum, AO, ad rectangulum ſolidum ſub, AO,
trapezio, BCOR .
i.
vt, AO, ad, BCOR .
i.
vt, CO, ad compoſi-
tam ex, OD, & {1/2}.
DC, .
i.
vt, ON, ad compoſitam ex, NR, &
{1/2}.
R
O, quod &c.
PEr hanc ſimiliter ſuppletur prop.
23.
poſterior .
n.
pars, cum
Cor. deducetur vt ibi, mutatis nominibus &
c.
Prop.
24.
reſtau-
ratione non indiget, ſicut etiam p. 25.
cum Cor.
Prop.
26.
oſtende-
tur etiam vt ibi, mutatis, &c.
ſicut &
p.
27.
cum Cor.
ſimiliter p.
28.
cum Cor.
p.
29.
cum Corollarijs, p.
30.
cum Corollarijs, p.
31. 32.
cum Cor.
p.
33.
34.
cum Cor.
35.
cum Cor.
p.
36.
37.
38.
39.
40.
cum Cor. 41.
42.
43.
44.
45.
p.
46.
autem eſt nobis reſtauranda.
IN figura prop.
46.
oſtendemus, regula eadem retenta, re-
ctangulum ſolidum ſub, HP, PE, duplum eſſe rectangu-
liſolidi ſub, BZPD, DPG.
Sumatur .
n.
de illius ſchemate
ſto parabolæ, BZGD, & rectis, R
F, DP, fiat autem inſuper, AP,
æqualis, PD, & ducta, AM, paral-
lela, DP, iungatur, AD, ſecans, C
T, in, N. Cum ergo in dicta prop.
independenter ab indiuiſibilium methodo, cõcludatur rectangulũ’,
RTF, ad, STI, eſſe vt, PD, ad, DT, idpſum & hic tanquã demonſtra-
tũ reci piemus, ſed, PD, ad, DT, hoc eſt, CT, ad, TN, eſt vt quadra-
tum, CT, ad rectangulum, CTN, ergo rectangulum, RTF, ad, STI,
erit vt quadratum, CT, ad rectangulum, CTN, eſt autem, RF, vt-
cumq; ducta parallela, ZG, ergo modo conſueto oſtendemus ſoli-
dum rectangulum ſub, HP, PE, eſſe proportionaliter analogum
quadrato ſolido, MP, ſicut rectangulum ſolidum ſub, BZPD, DP
G, eſſe proportionalites analogum rectangulo ſolidoſub, MP, PA
D, & tandem concludemus hæc ſolida eſſe proportionalia, ideſt
rectangulum ſolidum ſub, HP, PE, ad rectang. ſolidum ſub, BZPD,
DPG, eſſe vt quadratum ſolidum MP, ad rectangulum ſolidum ſub,
MP, PDA, ideſt vt, MP, ad, PDA, ideſt concludemus rectangulum
ſolidum ſub, HP, PE, duplum eſſe rectanguli ſolidi ſub, BZPD, PD
PRop.
46.
igitur reſtaurata, ſtylo noſtro ſequentium propoſitio-
num demonſtrationes proſequemur ab hac vſque a d 51. inclu-
fiuè, quæ quidem veritatem habere comperitur ex prop.22.
hu us.
Scholium autem ſequens retineatur vt ib, ſubſtituendo tamen no-
mini omnium ſimilium figurarum hocaliud, nempe quotcunque
ſimiles figuras &c.
vt in examine lib.
3.
animaduerſum eſt.
His ve-
rò prædemonſtratis ſubſequentia Corollaria vſq; ad finem lib.
4.
ſo-
lita nominum mutatione facta, cuncta facillimè deducentur per
iam oſtenſa circa quadrata, ſeu rectangula ſolida ſub talibus, & ta-
conſideratis.
Appendix au-
tem Cor 6 reſtauratione minimè indigere manifeſtum eſt. Et hæc
circa prop.lib.
4.
adnotaſſe ſufficiat, reliquum eſt, vt ad lib.
5.
exami-
nandum nos conferamus.
IN Schemate prop.
1.
lib.
5.
regula eadem retenta, oſten-
demus quadratum ſolidum parallelogrammi, AF, ad
quadratum ſolidum hyperbolæ, DBF, eſſe vt, OE, ad com-
poſitam ex, NB, &. {1/3}.
BE.
Aſſumatur .
n.
ex eo paral-
mihyperbola, BEF, & recta,
OE, necnon, MG, quæcum-
q; ex ordinatim applicatis ad
diametrum, BE, extendantur
autem, CB, FE, & fiant BD,
EQ, ſingulæ æquales ipſi, E
O, necnon, RE, AB, ſingulæ
æquales ipſi, EB, & iungan-
tur, DQ, AR, AE, quas, GM,
indefinitè quoq; producta ſecet in punctis, P, S, T.
Erunt ergo, D
R, DE, AE, parallelogramma. Quoniam verò quad.
EF, ad quad.
OEB, ad, OMB, hoc eſt vt rectangulum, QER,
ad rectangulum, PTS, permutando quadratum, FE, ad rectangu-
lum, QER, erit vt quadratum, HM, ad rectangulum, PTS, quod
& in cæteris oſten demus, ergo quadratum ſolidum, BEF, &
re-
ctangulum ſolidum ſub trapezio, DQEA, & triangulo, AER, erunt
proportionaliter analoga, ac in proportione quadrati, FE, & re-
ctanguli, QER, Conſimili modo probabimus quadratum ſolidum,
CE, eſſe æqualiter analogum rectangulo ſolido ſub, OB, BR, & ad
ipſum pariter eſſe in proportione quadrati, EF, ad rectangulum, Q
ER, ergo dicta ſolida proportionalia erunt, & permutãdo quadratũ
ſolidumCE, ad quad, ſolidũ, BEF, erit vt rectangulum ſolidum ſub,
QB, BR, ad rectangulum ſolidum ſub, DQEA, ARE, hoc eſt vt, QE,
QR, &
{1/3}.
RE, hoc eſt vt, OE;
ad compoſitãex, N
B, (quæ eſt dimidia, BO,) & {1/3}.
BE, igitur, viſo ſchemate dictę prop.
1 quadratum ſolidum, AF, ad quadratum ſolidum, DBF, erit vt, O
E, ad compoſitam ex, NB, & {1/3}.
BE, quod demonſtrare oportebat.
PEr hanc ſuppletur prior parti prop.
1.
poſterior verò oſtendetur
vt ibi, mutatis conſuetis nominibus &c.
ſicut etiam prop.
2.
Conſimili autem methodo adhibita in præſenti prop.
oſtendemus
quad. ſolidum, GE, ad quadratum ſolidum, HMEF, in ſuperiori fig.
(hoc eſt in figura p.3.
lib.
5.
quadratum ſolidum, SF, ad quadratum
ſolidum, HDFG,) eſſe vt rectangulum ſolidum ſub, QM, MR, ad
rectangulum ſolidum ſub trapezijs, PQET, SRET, hoc eſt vt re-
ctangulum, QER, ad rectangulum ſub, QE, ST, vna cum rectan-
gulo ſub compoſita ex {1/2}. PS, &
{1/3}.
TM, &
ſub, TM, ideſt viſo ſche-
mate p.3.
vt rectangulum, OEN, ad rectangulum ſub, OE, &
NM,
NO, &
{1/3}.
ME, &
ſub, M
E; poſterior pars autem eiuſdem prop.
3.
deducetur vt ibidem, mu-
tatis nominibus &c.
Sicut &
omnes prop.
à 4.
vſque ad 20.
incluſi-
uè, cum earum Corollarijs. In prop.
21.
verò patebit quadratum ſo-
lidum, OP, viſa illius figura æquari rectangulo ſolido ſub, O
LS, OVCS, figuris, regula, DC, etenim ex ibi demonſtratis liquidò
apparet hæc eſſe ſolida æqualiter analoga iuxta dictam reguiam,
ex quo de inde reliqua concludentur mutatis nominibus &c.
ſicuti
& Cor.
In prop:
22.
figura ſic eſt corrigenda, debet enim, EC, hinc
inde produci, vt incidat aſymptotis, OY, OP, verſus eam productis,
in, S, I, quælitterę deſunt, cæterum prop. oſtendetur vt ibidem mu-
tatis &c.
ſimul cum Corollarijs, necnon prop.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
cum Cor.
&
29.
cum Cor.
Prop.
30.
autem patet ex dictis.
His deniq;
reſtauratis, acſequenti ſcholio modificato, iuxta quod dictum fuit
3.
&
4.
ſequentia Corollaria vſq;
ad finem eiuſdem l.
5.
per quadratorum ſolidorum prædemonſtrata, ſimiliter, vt in præ-
fatis libris, colligentur, hæc autem pro reſtauratione lib.5.
dicta
ſint ſatis.
Quoad lib.
6.
verò patet in eo traditas demonſtrationes, quæ ex
methodo indiuiſibilium dependebant, ibidẽ fuiſſe reſtauratas. Illæ
autem propoſitiones, in quibus adhibentur aliquando nomina om-
nium quadratorum talium, vel talium figurarum, adhuc ſubſiſtent,
ſi illis nomina quadratorum ſolidorum earundem figurarum ſub-
ſtituamus, hac.n.
ſola mutatione facta, cætera omnia manent in
ſuo robore, vt in eo libro innuitur in ſcholio prop. 20.
ac ſuperius
ſæpè ſæpius repetitum fuit.