Fabrica, et uso del compasso di proportione, dove insegna à gli artefici il modo di fare in esso le necessarie divisioni, e con varij problemi ... Casati, Paolo unknown 1685 MPIWG:X2KAKSPC

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 ita
FABRICA ET VSO Del Compaſſo di Proportione, Doue inſegna à gli ARTEFICI il modo di fare in eſſo le neceſſarie diuiſioni, E con varij Problemi vſuali moſtra l’vtilità di queſto Stromento, PAOLO CASATI DELLA COMPAGNIA DI GIESV', Dando le ragioni, & apportando le dimoſtrationi di tutte le operationi nella Fabrica, e nell Vſo. OPERA VTILE

Non ſolo à Geometri, Agrimenſori, Architetti ciuih, e militari, Pittori, Scoltori, & à tutti quelli, che vſano del Diſſegno, mà anche à Bombardieri, Sergenti di Battaglia, Mercanti, & altri, per molte operationi Aritmetiche, fatte con grandiſſima facilità, Accreſciuta notabilmente in queſta ſeconda Editione dal medeſimo Autore.

IN BOLOGNA, Per Gioſeffo Longhi 1685. Conlic. de’Superiori.
Franciſcus Bellhomus Societatis Ieſu in Pro-uincia Veneta Præpoſitus Prouincialis.

OPuſculum, cui titulus eſt, Fabrica, & Vſo del Compaſſo di Proportione, & c. à P. Paulo Caſato Societatis noſtræ compoſitum, tres viri graues, ac docti eiuſdem noſtræ Societatis perlegerunt, & in lucem edi poſſe iudicarunt. Quare facultate mi-hiconceſſa ab Adm. Reuer. P. Ioanne Paulo Oliva Vi-cario Generali poteſtatem facio, vt imprimatur, ſi alijs, ad quos ſpectat, it a viſumfuerit. Bononiæ die 26. Octobris 1662.

Franciſcus Bellhomus.

Locus + Sigilli.

V. D. Fulgentius Orighetus Rector Pœniten-tiariæ, pro Illuſtriſsimo, & Reuerendiſsimo D. Ioſepho Muſotto Vicario Capitulari.

Reimprimatur.

Fr. Vincentius Vbaldinus Vicarius Generalis S. Officij Bonon. Ordinis Prædicat.

TAVOLA De’ Capi contenuti in queſto Trattato. CApo 1. Checoſa ſia il Compaſſo di Proportione, & in che ſia fondato. # Pag. 4. Capo 2. Come ſi diuida il Compaſſo di Proportione per le ſemplici longhezze di # linee rette, & vſo di queſia linea Aritmetica. # 7 Queſt. 1. Come ſi troui la partè determinat a in numeri d’vna linea data. # 10 Queſt. 2. Come ad vna linea data ſi troui vna maggiore nella proportione determinata # in numeri. # 17 Queſt. 3. Come ſi troui vna Quarta Proportionale, e ſi continui vna proportione. # 19 Queſt 4. Come lo Stromento ſerua di ſcala vniuerſale per qualſiu@glia diſſegno. # 21 Queſt. 5. Date du@ linee trouare la loro proportione in numeri. # 24 Queſt. 6. Dati gli Aſsi d’vn’ Ellipſi, deſcriuere la ſuæ circonferenza. # 27 Queſt. 7. Come potiamo ſeruirci dello Stromento di Proportione, in vece delle Tauole # Trigonometriche, per la ſolutione di molti Triangoli. # 29 Queſt. 8. Come ſerua per la Proſpettiua lo Stromento. # 31 Queſt. 9. Come potiamo valerci dello Stromento per pratticaï in Numeri la regola # del Trè, ò Aurea, che vogliamo dire. # 34 Queſt. 10. Come d’vna linea data ſi poſſano prendere particelle piccioliſſime, quante # le ne vorranno. # 51 Capo 3. Come s’habbia à diuider’il Compaſſo di Proportione per le Superficie piane, & # vſo di queſta linea Geometrica. # 54 Queſt. 1. Data vna ſigura regolare, come ſi poſſa deſcriuerne vn’ altra della ſteſſa ſpe-# cie nella proportione, che ſi deſidera. # 67 Queſt. 2. Data vnafigura irregolare, come ſi poſſa deſcriuerne vna ſimile nella brama-# ta proportione. # 74 Queſt. 3. Data vna linea in vn piano, come s’habbia à trouare la grandezza della linea, # che le corriſponde in vn’altro piano ſimile nella data proportione. # 77 Queſt. 4. Data due figure piane ſimili trouar la loro proportione. # 82 Queſt. 5. Data due, ò piu figure piane ſimili, trouarne vna ſimile vguale à tutte quel-# le inſieme. # 85 Queſt. 6. Data due figure piane ſimili, e diſuguali, trouar’vna figura ſimile vguale alla # loro differenza. # 86 Queſt. 7. Data due linee, come poſſa trouarſi la terza proportionale. # 87 Queſt. 8. Come ſi troui vna media proportionale tra due linee date, e ſi faccia vn Qua-# drato vguale ad vna figura rettilinea. # 89 Queſt. 9. Deſcriuere con facilità vna Parabola. # 90 Queſt. 10 Data vna Parabola in vn Cono dato, trouar vn Quadrato à lei vguale. # 91 Queſt. 11. Data due linee vguali, che ſi tagliano per mezzo obliquamente, deſcriuere in- # torno ad eſſe vn’ Ellipſi. # 92 Queſt. 12. Data vna portione di Ouato trouar il reſtante delſuo diametro. # 94 Queſt. 13. Dalli due diametri d’vn’ Ellipſi trouar l’area. # 96 Queſt. 14. Dato vn numero, trouare la ſua radice quadratæ. # 97 Capo 4. Come s’habbia à diuidere lo Stromento per i Corpi ſolidi; & vſo di queſta li-# nea Cubica. # 105 Queſt. 1. Tradue linee date, come ſi trouino due medie continuamente proportionali: # ouero tra due numeri dati. # 113 Queſt. 2. Come ſi poſſa ad vna linea data applicar’ vn ſolido rettangolo vguale ad vn # Cubo dato. # 116 Queſt. 3. Dato vn ſolido, come s’habbia à trouarne vn’ altro ſimile nella data propor-# tione. # 118 Queſt. 4. Dati due Corpi ſimili, come ſi conoſca la loro proportione. # 125 Queſt. 5. Come ſi poſſafar’vn Cono vguale ad vn Cilindro dato, e che habbiano li dia-# metri delle baſi, e gl’Aſſi proportionali. # 128 Queſt. 6. Come ſi troui vna Sfera vguale ad vn Cilindro dato. # 130 Queſt. 7. Data vna Parabola, trouare la proportione di due ſegmenti terminati ad vn # medeſimo punto. # 132 Queſt. 8. Data vna Parabola terminata, tagliata da vna linea parallela, trouar la pro-portione delle parti nelle qualli è diuiſa. # 133 Queſt. 9. Come d’vn numero dato ſi troui la Radice Cubica. # 134 Capo 5. Come s’habbia à notare nello Stromento la Proportione de’Metalli; & vſo di # queſta linea Metallica. # 145 Queſt. 1. Come ſi poſſa cauare la proportione delle grauità ſpecifiche di due, ò più # corpi. # 151 Queſt. 2. Dato vn corpo, la cui grandezza, e grauità ſiano note, come ſi poſſa trouarne # vn’altro d’altra materia, che in grauità habbia la proportione data. # 154 Queſt. 3. Come ſi poſſa trouare la grandezza di qualſiuoglia peſo, conoſcendone vn’ al-# tro d’altra materia. # 159 Capo 6. In qual maniera s’habbiano à notare nello Stromento li Gradi del Circolo: & # vſo di tal linea. # 160 Queſt. 1. Come ſi poſſa deſcriuer’vn’ angolo di quantità determinata. # 165 Queſt. 2. Come ſi conoſca lagrandezza, e quantitd d’vn’ angolo dato. # 168 Queſt. 3. Come con lo Stromento ſi poſſa pratticare tuttala Trigonometria ſenza Ta-# uole. # 171 Queſt. 4. Trouar in numeri la proportione di due rette con l’aiuto delle Tauole de’Se-# ni. # 175 Queſt. 5. Trouar in piccoli numeri i ſeni de’ gradi del quadrante. # 177 Queſt. 6. Data vna linea corda d’vn’arco di determinata quantità, come ſi troui il ſuo # circolo. # 179 Queſt. 7. Come ſi poſſa prendere qualſiuoglia parte determinata del circolo, c deſcriue-# re qualſiuoglia figura regolare. # 181 Queſt. 8. Dato il diametro d’vna sfera, come ſi trouila ſuperficie sferica, e la ſolidità # di qualſiuoglia ſegmento di detta sfera, conoſciuto nella quantità de’gradi d’vn circolo # maſsimo perpendicolare al piano della baſe di detto ſegmento. # 183 Queſt. 9. Data in gradila circonferenza d’vn ſegmento di circolo, come ſi troui l’area # di detto ſegmento. # 189 Capo 7. Come nello Stromento s’habbiano à ſegnare i lati delle figure regolari; vſo di # queſta linea de’Poligoni. # 191 Queſt. 1. Come data vna linea ſi poſſa farne vna figura Regolare, qual più piace, ò de-# ſcriuere l’angolo d’vna figura Regolare, di quelle, che ſon ſegnate nello Stromento. # 196 Queſt. 2. Data vna figura regolare, come ſe le poſſa circoſcriuere, ò inſcriuer’ vn cir-# colo. # 198 Queſt. 3. Dato vn’arco, come ſi poſſa facilmente trouare in eſſo la quantità d’vn grado, # & altre parti del circolo non ſegnate nella linea de’ poligoni. # 199 Queſt. 4. Come ſi conoſcala proportione de’lati delli poligoni deſoritti nello ſteſſo circo-# lo; e poi anche la proportione delli ſteſſi poligoni. # 203 Queſt. 5. Dato vn Poligono regolare, trouarne vn’altro à lui vguale. # 206 Capo 8. In qual maniera s’habbia à ſegnare nello Stromento la linea d’vguaglianza tra # piani regolari diſſomigliante, & vſo di queſta linea trasformatoria. # 207 Queſt. 1. Data vna figura regolare, trasformatoria in vn’altra vguale di più, ò meno # lati. # 211 Queſt. 2. Data vna figura regolare trouarne vn’altra regolare diuerſa, à cui habbia la # data Proportione. # 212 Queſt. 3. Date due figure regolari diuerſe, conoſcere, che proportione habbiano trà di # loro. # 213 Queſt. 4. Data l’area d’vn poligono regolare, trouaril ſuo lato. # 214 Queſt. 5. Dati due poligoni regolari diuerſi vguali, trouare la proportione de’ circoli, # ne’quali eſſi ſi deſcriuono. # 215 Queſt. 6. Data vna figuraregolare far’vn circolo a lei vguale, e dato vn circolo far vn # quadrato vguale. # 215 Queſt. 7. Date due figure regolari diſſimili, e diſuguali, farne vna vguale à tutte due, e # diſſomigliante. # 216 Queſt. 8. Dati due poligoni regolari diſſimili, e diſuguali, trouar’vn’altra figura diſſimi-# le, che ſia vguale alla loro differenza. # 217 Capo 9. In qual maniera habbia à ſegnarſi la linea de’corpi regolari, & vſo di queſta # linea. # 218 Queſt. 1. Conoſciuto il diametro d’vna sfera, come ſi poſſa formar’vn cubo, ò altro ſoli-# do regolare, che capiſca in eſſa. # 223 Queſt. 2. Data vna piramide trouar la sſera, che contenga vn’ altra piramide in data # proportione. # 223 Queſt. 3. Dato il diametro della sfera trouar la proportione de’corpi regolari inſcrit-# ti. # 224 Queſt. 4. Data vna sfera trouar i lati de’corpi ordinati circoſcritti. # 227 Queſt. 5. Come dato vn corpo regolare ſi trasformi in vn’altro, chegli ſia vguale. # 228 Capo 10. Come ſi poſſa diuidere vna linea, che ſerua per quadrare tutti i Segmenti del # Circolo, efigure inſcritte: & vſo di queſt a linea Quadratrice. # 231 Queſt. 1. Se due Circoli diſuguali ſi tagliano, come ſi troui la quantità dell’area, in cui # communicano, e la lunula che reſta. # 236 Queſt. 2. Dato vn trapezio in vn Circolo, eſegmento di circolo, trouare la ſua quanti-# tà. # 239 Queſt. 3. Dato vn ſegmento di circolo, ò troppo grande, ò troppo piccolo, come ſi deb-# ba operare per trouar la linea, che dia il quadrato vguale al ſegmento. # 240 Queſt. 4. Data vna portione di Circolo trouare la ſua grandezza in miſura determina-# ta. # 242 Queſt. 5 Dato vn Segmento di Circolo, trouare la proportione, che il Segmento hà ad # vn dato Triangolo, che in eſſo capiſce. # 244 Capo Vltimo. Come ſi poſſano con gran facilità fabricare molti Compaſſi di proportione # altrigrandi, altri piccoli. # 246 Conchiuſione. # 248
DELLA FABRICA, ETVSO Del Compaſſo di Proportione.

IO non pretendo di ſcriuere coſa nuoua, mà impiegarmi in materia vtile. Ciò che del-l’Organo ſi dice eſſer’vn Compendio de gli Stromenti Muſicali à cagione deìla molti-plicità, e varia combinatione de’regiſtri, che contiene, parmi poſſa vgualmente dirſi del Compaſſo di Proportione, cioè, che ſia vn Compendio di molti ſtromenti Geometrici inuentati per la facilità di molte operationi, poiche contiene varietà di linee diuerſa-mente diuiſe, e ſeruendo variamente conforme alla diuerſa apertura di detto Compaſſo, comprende vna grand’vniuer-ſalità d’operationi. Mà alcuni ſi trouano prouiſti di ſimile Stromento fabricato con grand’accuratezza, e politezza in Francia, ò in Fiandra, à quali però non ſerue più che vna bel-la pittura nella lor galeria, il cui vſo finiſce, con eſſer’attenta-mente rimirata: eſſendoche ne conoſcono le linee, che vi ſono notate, ſe non forſi quanto dalle parole aggiunte à ciaſ- cuna linea intendono qualche coſa, ne ſanno ſeruirſi del detto Stromento. Altri poi ſono, che veramente ſariano capaci di ſeruirſene con loro grand’vtilità, e piacere; mà la difficoltà di far venire da paeſi ſtranierilo Stromento, e l’ignoranza de’noſtri Artefici Italiani, quali (per alrro capaci di farlo molto eſſattamente) non ſanno fabricarlo, è cagione, che manchino di tal commodità. Quindi è, che à gl’vni, & à gl’altri deſiderando di far coſa vtile, acciò e chi l hà ſappia ſeruirſene, e chi ne manca poſſa facilmente prouederſene, mi ſon riſoluto in primo luogo di moſtrar' il modo, con cui hab-biano à diuiderſi le linee, che in queſto Stromento s’hanno à deſcriuere; le quali diuiſioni, ò ſi potranno ſare da gli ſteſſi Artefici, ò chi non ſi fidaſſe della lor diligenza, potrà farle egli ſteſſo, doppo che dall’Art fice fatto ſarà tutto il mate-riale dello Stromento; nel che non ſitroua tale difficoltà, che non poſſa con poco trauaglio trouarſi Artefice, che lo faccia. Dipoi alla deſcrittione di ciaſcuna linea ſoggiungo in alcune queſtioni l’vſo dello Stromento con tal linea. Dalle quali queſtioni ciaſcuno colſno ingegno potra trouarne dell’altre, & ampliare l’vſo dello Stromento; poiche io pretendo di ſcriuere breuemente inſieme, e moſtrare la ſtrada à quei, che non la ſanno.

Da ciò ſi vede per qual cagione io habbia ſcritto in forma ſemplice, & in lingua Italiana: eſſendo che così era conue-niente di fare à chi voleua eſſer’inteſo dalli noſtri Artefici Ita-liani: Oltre che eſſendo molti, iquali non hanno l’vſo della lingua Latina così famigliare, e pure affettionandoſi alle co-ſe Mattematiche, ſpenderiano vtilmente molto tempo, che loro sfugge otioſamente, hò deſiderato di far loro in ciò coſa grata, mentre non ſono ritirati dalla lettione di queſta Ope-retta dalla qualità dell’Idioma.

E ſe ad alcuno pareſſe ſuperflua queſta mia fatica; eſſendo che di queſto Stromento è ſtato ſcritto da altri; ſappia, che tal’obiettione à me ancora è venuta in mente prima di met-tetmi à ſcriuere queſti fogli; e quello che più mi ritraeua, era il dubbio probabiliſsimo d’incontrar mi à dire molte coſe der-te da altri, e ſoggiacer’alla riprenſione d’hauer copiato. Mà finalmente mi ſon laſciato vincere dal deſiderio non di mia lode, mà dell’altrui vtilità; tenendo per certo, che sì come non oſtante ſia ſtato ſcritto da altri di queſta Mareria, ad ogni modo io non hò hauuto forruna di vedere mai alcun’Autore, fuorche il Galilei, di cui nel 1642. ventidue anni prima di ſcriuere queſt’Operetta, nella Libreria noſtra del Collegio Romano mi capitò vn picciolo libretto di queſta Materia, da me allhora poco inteſo; così à molti altri poteua accadere ſi-mile diſgratia, che non capitaſſe loro alle mani alcuno di que’ buoni Autori; e perciò capitando loro queſta mia Operetta, ne potranno trarre qualche vtilità. Oltre che vediamo da tanti Huomini ſaggi eſſerſi ſpiegati gli medeſimi ſei primi li-bri d’Euclide, e pur niuno ſi ſtima inutile, portandoſi con ciò qualche maggior facilità a’principianti: e così per la ſteſſa cagione hò creduto non eſſer queſta mia fatica ſuper flua, mentre non ſcriuo per Mattematici prouetti, ma per principianti, e poco eſperti nelle coſe della Geo-metria. E per queſto per lo più cito le propoſitioni d’Euclide, con le quali ſi dimoſtrano le coſe, che vado dicendo. § § § § § §

CAPO PRIMO. Che coſa ſia il Compaſſo di Proportione, & in che ſia fondato.

IL Compaſſo di Proportione non è altro, che vno Stro-mento compoſto di due regole piane, e diritte di ma-teria ſolida (ò ſia legno, ò ottone, ò argento) nell’vna delle due eſtremità vnite inſieme in modo, che ſi poſſino allargar, e ſtringere sì, che riſtrette ſi combacino, & allargate ſi ſten-dano à formar vna ſola regola diritta. Che ſe bene non è aſſoluta mente neceſſario, che poſſano tanto allargarſi, ò ſtrin-gerſi, ad ogni modo così riuſcirà più vtile lo Stromento.

Si chiama Compaſſo, perche il ſuo vſo è con allargarlo, ò ſtringerlo à ſomiglianza del Compaſſo, con cui ſi deſcriuo-no i circoli maggiori, ò minori. Si dice poi di Proportione, perche ſerue à trouar linee nella proportione, che ſi deſidera.

Dal centro dunque, circa di cui ſi muouono le due regole (il quale conuien che ſia accuratiſſimamente ſegnato nella ſuperfieie dello Stromento, e ſi troua nell’interſettione delli lati interiori delle due regole, prolongati con linee occulte, e ſottiliſſime, baſtando poi ſegnare viſibilmente ſolamente il punto, che corriſponde al centro) ſi tira ſopra ciaſcheduna regola vna linea retta, e queſta ſi diuide con la deſiderata pro-portione; auuertendo, che l’vna, el’altra linea ſia vguale, e ſimilmente diuiſa. E ciò fatto, s’hà lo Stromento, di cui hab-biam biſogno per poter diuidere ſimilmente qualunque altra linea, che non ſia maggiore della diſtanza, che è trà li due eſtremi punti delle linee deſcritte sù le regole, quando ſtanno diſteſe, e fanno vna regola ſola.

Siano dunque le due regole AB, AC, congionte nel pun- Fondamento. to A, circa di cui, come intorno à centro, ſi poſſano girare; e ſul piano della regola AB tiriſi dal centro A, vna linea ret-ta AE, e ſimilmente ſul piano dell’altra regola ſitiri dall’iſteſ-ſo centro la retta vgnale all’AE. Se queſte due linee AE, AL ſaranno ſimilmente diuiſe, qualunque linea, che non ſia mag-giore della diſtanzatra E, L, quando ſono le due regole di-ſteſe in vna ſola, ſi potrà ſimilmente diuidere. Come ſe per eſſempio AE, & AL ſono ſimilmente diuiſe in H, & I, ſia vna linea, che ſia la diſtanza EL; ſe ſi pigliarà la diſtanza HI, e ſi traſportarà nella linea data, queſta ſarà diuiſa nella ſteſſa proportione, che è diuiſa la linea AE in H. E perche le due regole congiunte in A ſi puonno allargar, e ſtringere, ſi vede, che tutte le linee, le quali poſſono capire trà la minima, e la maſſima diſtanza di E, & L, tutte ſi poſſono diuidere nella ſteſſa proportione di AE diuiſa in H. Dal che ſi raccoglie, che quanto più lunghe ſaranno le regole AB, AC, anche maggiore ſarà l’vſo loro per la diuiſione di linee molto maggiori.

Auuertaſi però, che, ſe bene ſin’hora non s’è parlato che di diuiſioue di linea retta, non è, che à queſt’vſo ſolamente ſi riſtringa il Compaſſo di Proportione, di cui parliamo; mà ciò s’è detto per più facile intelligenza de gl’ineſperti: poiche più à baſſo ſi ſpiegaranno gl’vſi molto maggiori, che per vna ſemplice diuiſione. Quindi è, che per eſſer più obuio, e com-mune l’vſo di queſto Stromento per le diuiſioni, è anche chia-mat@ da molti Stromento delle Parti; ſe ben’il vocabolo di Compaſſo, ò Siromento di Proportione pare più proprio, perche comptende più vniuerſalmente il fine, à cuiſerue.

Hor’acciò s’intenda fondamentalmente l’vſo di queſto Stromento, e veggaſi, come quellc due diſtanze EL, & HI CAPO I. hanno trà di ſe la proportione di AE, & AH, ſia nella ſecon-da figura il triangolo Iſoſcele AEL, e prendaſi AH vguale alla AI, e tiriſi la linea HI. E' manifeſto, che li due triangoli AEL, AHI ſono ſimili; perche gl’angoli HI, ſon vguali trà di ſe (per la 5. del 1.) e ciaſcuno è la metà del complemento dell’ angolo A, à due angoli retti (per la 32. del 1) e per la ſteſſa ragione anche ciaſcuno de gli an-goli E, & L è la metà dello ſteſſo complemen- to. Dunque l’angolo I è vguale all’ angolo L, e l’angolo H vguale all angolo E: dunque li due triangoli A H I, AEL ſono equiangoli; dunque (per la 4 del 6.) ſono ilati proportionali circa gl’angoli vguali; dunque come AE ad EL, così AH à HI, e permutando come AE ad AH, così EL à HI. Se dunque HI ſi trasferirà ſopra la EL, e ſia EK ſa-rà la EL diuiſa in K proportionalmente alla diuiſione di AE in H.

E queſta è la dimoſtrazione generale, qualunque ſia la pro-portione, in cuiſia diuiſa la linea retta tirata ſul piano delle regole dello Stromento. E perche varie aſſai puonno eſſere le proportioni, nelle quali ſi può diuidere vna linea, così ſopra la ſteſſa faccia della regola dello Stromento ſi tirano diuerſe linee variamente diuiſe, acciò le ſteſſe due regole vengano à ſeruirci per tanti Stromenti, quante linee ſono tirate in vna delle ſudette regole. Sì che tutto l’ artificio di queſto Stro-mento conſiſte in mettere ſopra le ſue regole quelle propor-tioni, con cui ſi può deſiderare d’hauer altre linee in propor-tioni ſimili; ancorche quelle linee non foſſero commenſura-bili alle linee deſcritte nello Stromento.

Da quel che s’è detto è manifeſto, che li due ttiangoli AEL, Capo Secondo. Fondamento. AHI, deuono eſſere nell’ iſteſſo piano; Fondamento. AHI, deuono eſſere nell’ iſteſſo piano; Capo Secondo. Fondamento. AHI, deuono eſſere nell’ iſteſſo piano; Capo Secondo. Fondamento. AHI, deuono eſſere nell’ iſteſſo piano; onde ſe la linea AE foſſe ſopra vna ſupei ficie incuruata, non procederebbe la di-moſtrazione: Perciò ſi vede, quanto ſia neceſſario, che le re-gole ſiano così ben’aggiuſtate e ſode, che ne in ſe ſteſſe facil-mente s’incuruino, & anche allargate ſi conſeruino nell’iſteſſo piano Deuono poi eſſere ciaſcuna tanto larghe, che vi poſ-ſa capire tutta la moltitudine delle linee, che vi ſi vorranno tirare, ſenza confuſione, & in modo, che li numeri notati alli punti delle diuiſioni ſi poſſano commodamẽte oſſeruare ſen-za pericolo d’errore, con prender’il numero corriſpondente ad vn punto per vn’altro.

Auuertaſi eſſer neceſſario nell’o perationi prendere col Cõ-paſſo accuratamente la lunghezza delle linee, e perciò con-uiene, che le ſue punte ſiano ben’ acute: e ſe tali non foſſero, ſi potranno alle gambe del Compaſſo con ſottili cordicelle da liuto legare ſtrettamente due aghi da cucire, le cui punte ſono ſottiliſſime, & acute, quanto baſta ad ogni più accurata operatione.

CAPO SECONDO. Come ſi diuida il Compaſſo di Proportione per le ſemplici lunghezze di linee Rette, & vſo di queſta linea Aritmetica.

IL primo, e più facile vſo di queſto Stromento è in ordine alle ſemplici lung hezze di linee Rette perciò da queſte ſi comincia. Si tirano dunque dal centro A due linee rette AE, AL, e queſte ſi diuidono nelle più minute parti vguali, che ſi può, ſalua la diſtintione neceſſaria, per non confonderſi nel numerarle, & hauuto riſguardo alla lunghezza delle regole. E quì fà di meſtieri apportarui tutta la diligenza, per poter CAPO II. dipoi ſeruirſene con ſieurezza. Communemente ſi diuide in cento parti, sì perche queſta è diuiſione ſofficiente, sì perche dentro queſto numero ſi trouano quelle proportioni, che communemente ſono vſuali, potendoſi maſſime tutte ridur-re à ragione di centeſime, perle operationi Mecaniche, alle quali ſeruono gli Stromenti. Mà ſelo Stromento foſſe aſſai lungo, ſi potrà diuidere in 150. ouero in 200. particelle. E perche queſta linea è talmente diuiſa, che le diſtanze dal centro A vanno ſempre creſcendo con vgual differenza, co-me le progreſſioni Aritmetiche hanno vguali gl’incrementi, ò decrementi de’ſuoi termini, perciò queſta linea diuiſa in particelle vguali, con ragione ſi può chiamare linea Arit-metica.

Diuidaſi dunque la linea AE (ele diuiſioni fatte in queſta ſi traſportino nella A L) con vn ben’ acuto, e ſodo compaſ-ſo in due parti vguali; e ciaſcuna ſarà di 50. particelle cente-ſime, onde al punto della diuiſione ſi noti il numero 50. Di-poitutta la linea AE ſi diuida in cinque parti vguali, e ciaſcu-na ſarà di 20. particelle: onde doueranno ſegnarſi con li nu-meri 20. 40. 60. 80. Cosìhauutaſi la diſtanza trà 40. e 50. shà la decima parte ditutta la linea AE, e con queſta comin-ciando da A ſi ſegnano di dieci in dieci: con che anche ſi pro. ua, ſe le prime diu ſioni furono accuratamente fatte. Simil-mente ſe vna di queſte decime ſi diuide per metà (ouero ſe ne piglino trè decime, e ſi diuidano per metà) s’hauranno le di-uiſioni di cinque in cinque, e la linea AE ſarà diuiſa in 20. parti vguali. E sì come le decime furono notate col numero, & vna lineetta traſuerſale, così la metà delle decine ſi nota con vna ſola lineetta più piccola, acciò ſubito ſi poſſa cono-ſcere, e numerare le particelle, le altre poi ſi ſegnano con Linea Aritmetica. ſoli punti. Finalmente ciaſcuna di queſte parti venteſime ſi diuide in cinque particelle vguali, e ſarà tutta la linea AE di-uiſa in cento particelle vguali.

E perche forſi il diuider’ vna di quelle parti venteſime in cinque particelle vguali riuſcirebbe aſſai difficile, pigliſi da A ſin a 30. e ſia la linea RS diuiſa in ſei di quelle parti vente-ſime. Tutta la RS ſi diuida in cinque parti vguali, il che ſi farà applicando la RS all’interuallo 100. 100. come più à baſſo ſi dirà, e ’l’in-teruallo 20. 20. s’applichi alla linea RS in a, b, c, d; poiche la diſtanza tra il numero 5. & il punto a, ſarà appunto la quinta parte di tutta quella venteſima della linea AE: Il che è manifeſto, perche RS è particelle 30; R a, che è quinto di RS, è particelle 6; dunque la diſtanza di 5, & a, è la trenteſima di tutta la RS, e così la centeſima di AE.

Ora per prouare ſe ſia giuſta la diuiſione, ſi prenda R a, e ſe replicata cade nel 60. ella è giuſta, e ſegnarà tutti li punti numerati dal 6. Così preſa 5 b ſi replichi, e ſe è giuſta, comin-ciando da A centro, caderà nel 70. & in tutti li numeri molti-plici di 7. Così 10 c, darà 8, & i ſuoi moltiplici, cadendo pre-ciſamente in 80: e così anche 15 d, darà 9. & i ſuoi moltipli-ci, cadendo nel 90. Et in queſta maniera traportando li ſu-detti interualli non ſolo dalli punti delle decime, mà anche dalle loro metà, come da 5. 15. 25. & c. ſi verranno à ſegnar tutti i punti della linea AE con molta aggiuſtatezza, ò ſe furo-no già ſegnati, ſi conoſcerà la buona diuiſione.

CAPO II.
QVESTIONE PRIMA. Come ſi troua la parte determinata in numeri d’ vna linea data.

SIa data la linea MN longhezza della Cortina in vn diſ-ſegno di qualche Fortezza, e volendoſi prendeie la dif-feſa dal quinto della Cortina, ſi cerchi la ſua quinta parte. Allarghiſi lo Stromento in mo-do, che la diſtanza 100. 100. ſia la MN: poi eſſendo 20. la quinta parte di 100. ſi pigli la diſtanza 20. 20, ritenendo la ſteſſa apertura dello ſtromento, e queſta ſara la MO quinta parte cercata di MN. Mà ſe la linea foſſe tale, che la parte cercata foſſe molto piccola, ſi prenda l’interuallo del reſto: come nella figu-ra antecedente; ſe della linea RS ſi deſidera la parte trenteſima, s’applichi RS all’ interual-lo 30. 30. & à quell’a pertura ſi prenda l’inter-uallo 29. 29. & il Compaſſo tagliando 29 par-ti della linea RS, laſcierà vna trenteſima. Preſo dipoi l’interuallo 28 28. e queſto applicato al-la linea RS, laſcierà due trenteſime, e così di mano in mano. Se bene fatta la prima ope-ratione, ſe l’interuallo Si è di parti 29, vgua-le à queſto ſia R e, ſimilmente di parti 29: la diſtanza i e è di particelle 28: queſta dunque applicata da S, darà S u parti 28: così u e ſarà parti27. e perciò queſta applicata da S, darà S @ di parti 27; e cosi dell’altre.

Linea Aritmetica.

Che ſe ſi cercaſſe tal parte, la quale non foſſe preciſamente nel numero 100; pigliſi vn’altro numero, che habbia tal par-e, e ſopra di quello ſi ponga la longhezza MN, e poi il nu-mero, che ſarà la parte cercata del numero preſo, darà la lon-ghezza cercata. Per cagion d’eſſempio ſi deſideri della data linea MN vna parte, che ſia quattro vndecime. Non ſi po-tendo il 100 diuidere giuſtamente per 11, prendo vn nume. 10 qualſiuoglia, che ſia numerato dall’ 11; eſia 88. Apro lo Stromento in modo, che MN ſia la diſtanza di 88; e perche l’vndecima parte di 88 è 8, queſto replico quattro volte, e 32 ſono quattro vndecime: piglio dunque la diſtanza 32. 32, & è MR quattro vndecime di MN. Vn’ altra maniera di trouar vna parte aſſai piccola, vedrai nel capo 7, queſtio-ne 3. nel fine.

Di quì ſi vede, che data vna linea maggiore, ſe ne può tro-uar vna minore in qualſiuoglia proportione di quelle, che con numeri ſi ponno eſprimere, pigliando dentro à 100 dne numeri nella data proportione; & applicata la linea data al maggiore di queſti due numeri, il minor numero darà la line@ minore cercata. E ſe per auuentura li due numeri eſprimen-ti la proportione foſſero tali, che eccedeſlero il 100, ſi ridu-cano à centeſime; che per l’operatione Mecanica vi ſarà po-chiſſimo sbaglio. Il che ſi fà (per ricordarlo alli meno prat-tici) moltiplicando per 100 il Conſeguente della Proportio-ne, & diuidendo il prodotto per l’Antecedente; e s’haurà la proportione eſpreſia con due noui termini, il maggior de’ quali ſarà il 100. & il minore, che ſi cerca, ſarà il Quotiente, che riſulta da cotal diuiſione. Sia per cagion d’ eſſempio la medeſima linea MN, e ſe ne cerchi vna minore, ò parte di MN in tal proportione, che ſiano come 3, 22 {8/50}, che è quan- CAPO II. to dire come 150 à 108. Moltiplico 108 per 100, & è 10800, queſto diuido per 150, ene viene 72. Applico dun-que la linea data al 100. 100, e la diſtanza 72. 72, mi dà MX, che è quello, che ſi cercaua. In queſto eſſempio però, perche 150, e 108 ſono a mbidue pari, baſta diuidere ciaſcu-no per metà, e ne’ numeri 75, e 54 s’eſprime la ſteſſa propor-tione; onde applicando MN à 75. 75. la diſtanza 54. 54 da-rà l’iſteſſa MX.

Mà ſe la linea data foſſ@ così lunga, che ò non haueſſimo Compaſſo così grande, che baſtaſſe à prenderla tutta, per ap-plicarla al noſtro stromento, ò lo Stromento foſſe così picco-lo, che allargato non poteſſe capire tutta la linea data; Al-lhora vna cotal linea ſi diuida per mezo, e ſe ancora riuſciſſe troppo lunga, la metà ſi diuida di nuouo per mezo, e s’haurà la quarta parte, e queſta quarta parte s’applichi allo Stro-mento, come s ella foſſe la linea propoſta, e ſi cerchi la parte determinata come ſopra; e poi queſta replicata tante volte, in quante parti è ſtata diuiſa la linea data, ſarà la parte, che ſi de-ſidera: onde ſe ſolo ſi diuiſe in due queſta parte trouata, ſi rad-doppia, e ſe quella fù diuiſa in quattro, queſta ſi replica quat-tro volte, perche le parti con i moltiplici han la ſteſſa pro-portione (per la 15. del 5.) Così figurandoci vna linea lunga 300 determinate particelle, ſi prende la ſua quarta parte, che ſia 75. e s’applichi allo Stromento 75. 75, e ſe ſi vogliono due terzi di tutta la data linea (che ſono 200) ſi prendano li due terzi di 75, che ſono 50. e perche la linea tutta fù diuiſa in quattro, ſi replichi queſta linea trouata tra 50. 50 quat-tro volte, e ſaranno appunto li due terzi della linea data, cioè 200; poiche come 50 à 75, così 200 à 300.

Che ſe dalla linea data ſi doueſſe cauar vna parte denomi- Linea Aritmeticæ. nata da vn numero Primo maggiore del 100, che è il ma ſſi-mo della linea dello Stromento, tiriſi vn’ altra linea arbitra-ria, che faccia angolo con la linea data; & in quella prendaſi ſeparatamente l’ecceſſo ſopra il 100, e poi il 100, con hauer data allo Stromento quell’apertura, che più piacerà. Dipoi congionti gli eſtremi con vna linea, ſi tiri à queſta dall’ eſtre-mo della prima diuiſione vna parallela; & ſi hauerà l’intento. Sia data la li- nea BC della quale diuiſa in parti 111, ſi vogliano 11 parti. Tiriſi ad arbitrio la li-nea CA, & a-perto arbitra-riamente lo Stromento, prendaſi l’interuallo 11. 11, e ſia CE: @ndi la diſtanza 100. 100, e ſia EA. Dunque CA è di parti 111. Congiongaſi AB, & à queſta linea ſi tiri parallela la EF; e così delle 111 parti ditutta la BC, ne ſaranno 11 la parte CF: poiche come CE à CA, così CF a CB. L’iſteſſo s’intenda, ſe l’ecceſſo ſopra 100 non doueſſe eſſere la parte cercata; mà per eſempio ſi voleſſero 58 delle 111. Fatta CA di 111, prendaſi in eſſa CH 58 parti come ſopra, e tirata la parallela HI, ſi hauerà l’intento, cioè IC 58.

Mà forſi per gli Artefici, che per lo più cercano vna parte aliquota, ò più parti aliquote non maggiori delle decime, tornarà commodo vn’altra ſorte di linea Aritmetica, in cui ſiano notate le parti aliquote ſin alle decime; come ſe ſi pren-da la ST, & in eſſa ſi noti la ſua metà, il terzo, il quarto, e CAPO II. così di mano in mano ſin alla decima; e per maggior com-modità dell operare, parimente, ſi notino le frattioni non equiualenti ad vn’altra parte aliquota, ò ad v@’ altra frattio-ne; e queſte frattioni ſi notino al ſuo punto con due numeri, cioè col ſuo Numeratore, e ſuo De-nominatore: Così ſi deue notare; mà non {6/10}, che à quella ſono vguali; mà non {4/6}, ò,, e così de gli altri. Solo deue auuertirſi di mettere li numeri con tal diſtintione, che non generino confuſione, onde vno ſi prenda per vn’altro. Nella ſteſſa maniera ſia diui-ſa, e notata la SV totalmente vguale alla ST. Non conſegliarei però di mettere queſta linea (la quale però chiamaſi Diuiſoria) ſopra dello Stro-mento, in cui deuono metterſi le al-tre linee, delle quali ſi dirà più auan-ti; à fine che li numeri di queſta line@ non ſi confondano con quelli d’altre linee vicine; Mà ſarei di parere, che ſi metteſſe queſta in vno Stromento particolare, maſſime, che gli Artefici più ordinarij non hanno biſogno di quell’altre linee, e di queſta puonno grandemente giouarſi.

L’vſo di queſta linea è manifeſto; perche poſta la linea da diuiderſi, ò di cui ſi voglia vna parte determinata, nell’ eſtremità alli punti 1. 1, l’inter- Linea Aritmetica. uallo corriſpondente alla parte cercata ſubito la darà. Che ſe la linea data ſoſse troppo lunga, ſi tagli per mezo, ò in quat-tro parti, e conla meta, ò il quarto applicato alli punti 1. 1. ſi operi come ſopra; poiche la parte trouata dourà raddop-piarſi, ò quadruplicarſi per hauere la parte da principio cer-cata. Così potrebbono i Legnaiuoli in vn gran Compaſſo dilegno, computando le ſue punte nella lunghezza, deſcri-uere le ſudette parti; perchecon detto Compaſſo preſa la lunghezza della linea da diuiderſi, ſubito gl’interualli notati sù le gambe del Compaſſo lot darebbono la parte cercata.

Potrà anche queſta linea Diuiſoria ſeruire à Moltiplicar, e Diuidere qualſiuoglia numero, il cui Moltiplicatore, ò Diui-ſore ſia vn numero in eſſa notato. L’operatione è fondata ſo-pra la verità nota à gli Aritmetici, che nella moltiplicatione l’Vnità al Moltiplicatore hà la ſteſſa proportione, che il Mol-tiplicato al Prodotto, e nella Diuiſione l’iſteſſa proportione ha il Diuiſore all’Vnità, che ha il Diuiſo al Quotiente; eſſendo manifeſto, che tante volte l’vnità è contenuta dal Moltiplica. tore, ò dal Diuiſore, quante volte il Moltiplicato è contenu. to dal Prodotto, ò il Quotiente dal Diuiſo. Or habbiaſi vna Scala di parti minutiſſime, la quale à molti vſi può ſeruire, & in eſſa ſi prenda con vn Compaſſo vn numero di particelle corriſpondente al numero dato da moltiplicarſi: ſe il Molti-plicatore è numero intiero, quella grandezza di linea preſa col Compaſſo, ſi applichi all’ interuallo della parte aliquora denominata da tal numero; come ſe foſſe 7, ſi applichi alli Punti 7. 7. Dipoi prenda@i nell’eſtremità l’interuallo 1. 1, & applicato alla Scala ſodetta, ſi trouarà nel numero delle par-ticelle eſpreſſo il numero Prodotto, eſſendo che il primo in-terual@o al ſecondo, per la coſtruttione, è come {1/7} ad 1, cioè, CAPO II. come 1 à 7: dunque le particelle applicatelal primo interual-lo ſono come 1 à 7 in riguardo delle particelle trouate col ſe-condo interuallo, cioè il Moltiplicato al Prodotto. Così do-uendoſi moltiplicar 14 per 7; piglio nella Scala 14 particel-le, & allargo lo Stromento tanto, che le poſſi applicare al 7. 7; quindi prendo l’interuallo 1. 1, & applicatolo alla Scala trouo parti 08; e tanto ſi fà moltiplicando 14. pe 7.

Mà ſe il Moltiplicatore foſſe vnode’ otti notat sù lo Stro-me ito, deue operarſi differentemente; cioè il numero Molti. plicando ſi applica alli punti 1. 1; e l’interuallo del rotto da-to darà il Prodotto. Così volendo moltiplicar l’iſteſſo 14 per {6/7}, applico il numero dato all’interuallo eſtremo 1. 1; e l’inter-uallo {6/7}. {6/7} darà nella ſcala 12, che è il numero Prodotto, eſ-ſendo come l’V nità à {6/7}, così 14 à 12.

Similmente nella Diuiſione prendo nella Scala il numero dato da diuiderſi, & allargo lo Stromento sì, che capiſca trà l’eſtremità 1. 1; dipoi all’interuallo corriſpondente al nume-ro intiero del Diuiſore trouo la linea, che sù la Scala dà il Quotienre. Habbiaſi à diuidere 176 per 8: Nella ſcala pren-do 176, e l’applico allo Stromento in 1. 1: all’interuallo 8. 8; trouo tal linea, che sù la Scala mi dà 22: poiche come 1 ad {1/8}, cioè come il Diuiſore 8 à 1, cosi il Diuiſo 176 à 22 Quotiente.

Mà ſe il Diuiſore foſſe vn Rotto delli notati, à quell’inter-uallo douria applicarſi il numero Diuiſo, perche l’interuallo 1. 1 daria il Quotiente cercato, à cui il diuiſo hauerebbe la ſteſſa proportione, che hà il Diuiſore all’ Vnità. Habbiaſi à diuidere 176 per {2/3}: preſa dalla Scala la lunghezza di parti 176, l’applico alli punti {2/3}. 3: dipoi l’interuallo 1. 1, tra-portato sù la Scala darà il Quotiente 264: poiche veramen- Linea Aritmetica. teil Rotto {2/3} ſi contiene 264 volte nel numero 176, e co-me il Diuiſore {2/3} all’ vnità, così il Diuiſo 176, al Quotien-te 264.

QVESTIONE SECONDA. Come ad una linea data ſi troua una maggiore nella proportione determinata in numeri.

LI due numeri, co’quali s’eſprime la proportione deter-minata ſe ſoſſero aſſai piccioli, ſi moltiplichino per qualſiuoglia numero tale, che il prodotto dalla moltiplica-tione per il maggiore non ecceda 100. Poi ſi piglino queſti due prodotti come Antecedente, e Conſeguente della Pro-portione, e la linea data s’applichi nello Stromento al nume- ro minore, poicheil numero maggiore darà la lunghezza del-la linea cercata. Sia la figura prima della queſtione prece-dente, data la linea H, la quale debba ad vn’altra linea hauer la proportione di 3 à 7. Moltiplico così il 3 come il 7 per 10, e ſono 30, e 70. Allargo lo Stromento, & applico la linea H alla diſtanza 30, 30; e poi ritenendo lo Stromento così allar-gato, prendo la diſtanza 70. 70, e ſarà la linea MN cercata. In queſta maniera ſe foſſe data in diſſegno vna fronte huma-na, quanto è dal mezo doue finiſcono le ſopraciglia ſin alla radice de’capegli, ſi trouerà la lunghezza della faccia, piglian-do vna linea trè volte maggiore: E perche la faccia è la de-cima parte, come ſcriue Vitruuio lib. 3. cap, 1. ò come altri vogliono, la nona parte di tutta la giuſta ſtatura humana, data la fronte ſi pigli vna lina, che ſia 30, ouero 27 volte maggio. re, e ſi haurà l’altezza del corpo proportionato.

CAPO II.

Che ſe la linea dataf ſſe così grande, che non capiſſe com-modamente nell’apertura dello Stromento, operiſi come s’è detto nel fine della queſtione precedente; cioè pigliſi vna ſua pa@@e aliquora, econ eſſa s’operi al modo detto; poiche que-ſta linea trouata, e replicata tante volte, in quante parti la li-nea data fù diuiſa, ſarà appunto la linea cercata.

Se finalmente la proportione foſle determinata in numeri ambidue maggiori di 100. riducaſi à denominatione di cen-teſime, facendo come il Conſeguente maggiore all’ Antece-dente, minore nella Proportione data, così 100 ad vn’ altro numero, e con queſti due vltimi s’operi, applicando la linea data al numero minore trouato, e la diſtanza 100. 100, darà la linea cercata. Mà ſe de’ numeri eſprimenti la proportio-ne, ſol’il maggiore eccedeſſe 100, baſterà, applicata la linea data al numero minore, pigliare per la linea cercata prima la diſtanza 100. 100, poi la diſtanza del reſto del numero, e di queſte due diſtanze farne vna ſola linea.

Così per eſſempio habbiamo dato il Semidiametro d’vn cerchio, e vogliamo vna linea retta proſſimamente vguale al-la Semicirconferenza. Sappiamo per la Dottrina d’Archi-mede, che la Circonferenza al Diametro (l’iſteſſo è delle loro metà) è minore, che la tripla è dieci ſettanteſime, mà maggio-re, che la t@ipla è dieci ſettantuneſime. Sì che la prima pro-portione di 7 à 22, la ſeconda di 71 à 223. Sia dunque il ſe-midiametro dato la linea B, la quale applicata al 7. 7, ouero 14. 14, darà nelli 22. 22, ouero 44. 44, la linea C vn poco maggiore della vera Semicirconferenza. Per hauer poil’al-tra proportione applichiſi la linea B alli 71. 71, e poi per li 223, pigliſi due volte 100. 100, e poi 23. 23. e ſarà vna li-nea di 223 particelle, delle quali B ne hà 71, così poco dif- Linea Aritmetica. ferente dalla linea C, che riuſcirà inſenſibile la differenza. Mà ſe la linea B foſſe ſtata mol-to maggiore, allhora ſaria riuſcita queſta ſe-conda linea minore di C, con differenza tale, che per hauer la Semicirconferenza proſſima alla vera, ſi douria à queſta minore di C ag-giungerela metà della accennata differenza.

QVESTIONE TERZA. Come ſi troui vna Quarta Proportionale, e ſi continui vna Proportione.

QVando ſon date trè linee, & alla Terza ſi cerca vna Quarta, che ſia nella pro-portione della Prima alla Seconda, ſenza che ſia eſpreſſa in numeri la proportio-ne, ſi traſporta la Prima dal centro dello Stro-mento A ſopral’vno, e l’altro lato; eſe non cade preciſamente ſopra alcuno de’ punti ſe-gnati, baſta leggiermente con la punta del Compaſſo tagliar à trauerſo la linea tra l’vn punto, el’altro, tanto che ſi poſſa riconoſcere. Poi s’allarghi lo Stromento tanto, che trà li due punti già ſegnati con la punta del Compaſſo capiſca la fe-conda delle linee date. Finalmente la Terza ſi traſporti ſi-milmente dal centro A ſopra l’vno, el’altro lato, e ſi ſegni il ſuo termine; poiche la diſtanza trà queſti due punti vltima-mente ſegnati è la Quarta Proportionale, che ſi cerca.

Siano date trè linee 1. 2 3. e ſi cerchi la Quarta nella pro-portione della prima alla Seconda. Traſporto la Prima ſo- CAPO II. pra l’vno, e l’altro lato dello Stromento dal centro A, eſe-gno le linee laterali nelli punti R, S: Dipoi lo Stromento tanto s’allarga, chela Seconda capiſca nella diſtanza RS. Il che fattto applico la Terza sù l’vno, e l’altro lato, e ſegnati li punti T, V, piendo la diſtanza T, V, & è la Quarta propor-tionale cercata. La dimoſtrazione è manifeſta dalla ſecon-da figura.

Linea Aritmetica.

Di quì appariſce, come date due linee ſi poffa trouar la. Terza in Proportione continua, e così di mano in mano: eſ-ſendo che di trè continuamente proportionali, la Seconda hà ragione di Conſeguente, e d Antecedente; e perciò la diſtan-za li traſporta dal centro A dello Stromento ſopra de’lati, co-me s’ella foſſe vna Terza per trouar la Quarta. Così ſia data la linea AB diuiſa in D, e ſi debba tagliar in proportione con-tinua, come AB ad AD, così AD ad vn’altra. Piglio sù lo Stromento AB, AC vguali alla data AB, l’allargo tanto che capiſca la Seconda trà BC. Poi traſporto la diſtanza BC in AD, AE, ela diſtanza DE è la Terza proportionale; qua-le traſportata in AF, AG dà la diftanza FG Quarta propor-tionale: Così FG trasferita in AH, AI dà la Quinta HI; & HI applicata in AK, AL dà la Seſta KL e così di mano in mano. Onde trasferite le diuiſioni F, H K, O, sù la linea data AB, queſta ſarà diuiſa, come ſi cercaua, e come AB ad AD, così AD ad AE, cosi AE ad AH, così AH ad AK, & AK ad AO.

La ragione di ciò è chiara, per quello, che s’è moſtrato nelcap I. eſſendo come AB à BC (intendanſi tirate le line BC, DE, & c.) così AD, cioè BC à DE cioè AF; dunque AB, AD, AF ſono continuamente proportionali.

QVESTIONE QVARTA. Come lo Stromento ſerua di Scala vniuerſale per qualſiuoglia diſſegno.

SI trouano alle volte diſſegni già fatti, ne v’è aggiunta la Scala per poter ridurre tutte le linee ad vna mifura Ho-mogenea: altre volte s’hà à far qualche diſſegno, & il douer CAPO II. à ciaſcuno far la ſua Scala particolare, è fatica aſſai noioſa; perciò lo Stromento di Proportione ſeruirà diScala vniuer-fale, ò ſiano fatti li diſſegni, ò da farſi.

Primieramente, ſia data la Campagna diſſegnata ne’ſuoi termini A B C D E F, di cui ſi deſidera ſapere la grandezza. Se vno de’lati è conoſciuto in miſura, s’applichi quella linea al numero corriſpondente nello Stromento: Come ſe il lato AF ſi ſapeſſe eſſere paſſi 79. la lunghezza AF s’applichià 79. 79, el’altre linee tutte applicate allo Stromento, ritenuta la Linea Aritmetica. primiera appertura moſtreranno di quanti paſſi ſiano; & ope. rando conforme alli precetti della Geodeſia, ſi verrà à troua-re la grandezza di tutta la Campagna. Et acciò chinon è prattico, poſſa quì apprendere la forma, piacemi di moſtra-re, come ſi tirino le linee per cauarne poi la grandezza dell’ area.

Dal punto A alla linea A B tiriſi la perpendicolare AG: poſcia dall angolo più baſſo E ſi tira la EH perpendicolare al-la AG; che perciò EH vien ad eſſer parallela alla AB (per la 28. del primo) è doppo queſto dall angolo p ù interno, che quì è B ſi tira la linea BI parallela alla AH: onde ſi hà il paral-lelogrammo A I.

Doppo queſto dall’angolo D ſi tirino due linee DK, DL perpendicolarialle linee BI, & EI, ſopra le qualicadono; e ſi hà il piccolo Rettangolo KL. E perche reſta il Trapezio BK DC, tiriſi la linea DB, che lo diuide in due Triangoli. Si che dall’area cauati li parallelogrammi, reſtano li Triangoli: Ne’ quali ſe non v’è angolo Retto, tiriſi da vn’angolo al lato op. poſto vna perpendicolare. Così li Triangoli BKD, DLE, EHG per eſſer rettangoli, non han biſogno d’altra perpen-dicolare, come ne’Triangoli, AGF, BCD, fà di meſtieri ti-rare le perpendicolati GN, DM.

Ora ſe vno de’lati è conoſciuto, come AF paſſi 79 aperto lo Stromento in modo, che trà 79, e 79 capiſca la linea AF, ritengaſi la ſteſſa apertura, & applicando ciaſcuna linea ſi tro-uerà la ſua grandezza. Ma per non prenderſi fatica ſouer-chia, baſta nelli parallelogrammi prendere la miſura de’due lati, che fanno l’angolo Retto; e queſti moltiplicati inſieme danno l’area de’ſudetti parall logrammi. Nelli Triangoli poi fi piglia la miſura della perpendicolare, e della baſe, ſopra CAPO II. di cui ella cade; e moltiplicata la Perpendicolare per la metà della baſe, ſi hà l’area del triangolo (per la 41. del 1.) E ridot-te in vna ſomma tutte queſte aree, danno tutta l’area della Campagna diſſegnata.

Quindi ſi caua, che ſe il dato diſſegno foſſe Topografia di paeſe non tanto grande, che ſenſibilmente s’allontanaſſe dal-l’eſſer piano, con ogni facilità ſi potrà conoſcere la diſtanza d’vn luogo dall’altro, purche vna qualche diſtanza ſia nota, ſeruendo queſta per dar vna deter minata apertura allo Stro-mento: come facilmente ſi raccoglie da ciò, che s’è detto ſin’hora.

Mà per traportar vn diſegno di grande in piccolo, ò di piccolo in grande, non è di meſtieri dir altra coſa più parti-colare, poiche ciò è manifeſto da ciò che ſi è detto nella queſtione antecedente, non eſſendo queſto altra coſa, che trouare la Quarta proportionale.

QVESTIONE QVINTA. Date due linee trouare la loro proportione in numeri.

E’Vero, che non tutte le linee ſono trà di loro commen-ſurabili, ne hanno la proportione, che ſi poſſa eſpri-mere con numeri, come è manifeſto dalla Geometria, e dal libro Decimo d’Euclide; ad ogni modo per le operationi Me-caniche, alle volte ci baſta ſapere, quali ſiano que’ numeri, che più da vicino eſprimono la proportione, ò almeno li ter-mini (per dir così) eſtrinſeci della proportione, cioè quelli, che ſono immediatamente maggiori, & immediatamente mi-nori del douere; tra’ quali prendendoſi il mezo Aritmetico Linea Aritmetica. ſi hà quel che ſi cerca, per quanto ſi può hauere Fiſica-mente.

Ora per operare più ſpeditamente in que- ſta occaſione, ſarà bene hauer due Compaſ-ſi, co’quali ſi prenda iſquiſitamente la lun-ghezza (ò ſe foſſero troppo lunghe, la metà, ò altra parte aliquota) di ciaſcuna delle date linee, acciò variandoſi l’apertura dello Stro-mento, ſi ritenga ſempre nelli due Compaſſi aperti la ſteſſa lunghezza delle linee date da poterſi applicar allo Stromento.

Siano dunque date le due linee C, B, la cui proportione in numeri ſi cerca. Prendaſi con vn Compaſſo accuratamente la lunghez-za di C, e con l’altro Compaſſo quella di B, dipoi s’applichi la lunghezza di C al 100, 100, e con la lunghezza di B ſi vegga ſopra qual numero dello Stromento aperto ella ca-da, e ſia per cagion d’eſſempio ſu’l 32, 32; e diremo, che C à B hà la proportione di 100 à 32. Mà ſe la lunghezza di B foſſe minore del-la diſtanza 32, 32, e maggiore della diſtanza 31, 31, diremo, che la proportione di 100 à 31 è maggior della vera, e quella di 100 à 32 è minor della vera: onde eſ-ſendo la differenza d’vna ſola centeſima parte di C, baſterà per l’ordinario prendere la B per 31 {1/2}.

Auanti però che ſi venga à queſto di prendere litermini eſtrinſeci della proportione, cioè il maggior, & il minore, conuien tentare in altri numeri, maſſime di quelli, che ſi chia-mano Primi, cioè che non hanno altro numero, che li miſuri, CAPO II. & applicata ad eſſi la lunghezza di C, vedere ſe la lunghezza di B ſi poſſa applicare preciſamente ad alcun numero dello Stromento, ò al contrario applicata la B ad alcun numero Primo, vedere ſe la C ſi poſſa applicare à qualche numero pre-ciſamente nello Stromento. Quando dunque ſi troua inutile ogni pruoua per hauer il numero preciſamente, allhora con-uien oprare come di ſopra, prendendo il maggior, & il mino-re. Et in tal caſo è meglio applicar la C al maſſimo numero dello Stromento, cioè al 100, più toſto, che ad altro nume-ro più piccolo, perche eſſendo la differenza de’due termini trouati d’vna ſola centeſima, ſempre più s’accoſterà al vero, che ſe ſi veniſſe ad adoprar vna differenza denominata da vn numero minore di 100, eſſendo à tutti manifeſto, che è mi-nor vna centeſima parte, che vna nouanteſima ſettima del tutto.

Mà per operar ancora più preciſamente in caſi ſimili, doue non ſi poſſano hauere li numeri preciſi, meglio ſarà trouare la differenza d’vna parte centeſima della linea minore B, perche queſta è minor differenza, che vna centeſima della maggio-re C, perche le parti hanno la proportione de’ Moltiplici, e de gl’Intieri (per la 15, del 5.) e così c’accoſtaremo più al vero. Tale dunque ſarà l’aperatione. La linea minore B, s’applichi nello Stromento al 100. Poì la fteſſa B ſi caui dalla maggiore C, quante volte ſi può, e ſiano per eſſempio trè volte; ſi che reſta vna parte della C, minore della data B; e ſia queſto reſtante IO. Onde di quali parti 100 è B, di tali 300 è CI. Preſa dunque col Compaſſo la IO, & applicata allo Stromento, trouo che è maggiore, che la diſtanza 14, 14 è minore che trà 15. 15. Sì che dico, che B à C, hà la propor-tione maggiore di 100 à 315, e minore di 100 à 314; poiche Linea Aritmetica. la linea C è minore di 315, e maggiore di 314. E per il contra-rio C à B hà la proportione minore di 315 à 100, e maggiore di 314 à 100, come è manifeſto dalla 26. de l 5.

Ora ſe fi farà come 315 à 100, così 100 à 31 {235/315}; c come 314 à 100, così 100 à 31 {266/314}; ſi vede chiaramente, che hab-biamo li due Conſeguenti maggior, e minore della propor-tione in termini più vicini trà di ſe, che non erano prima 31, e 32, mettendo la linea maggiore C per 100: poiche ridotte le due frattioni allo ſteſſo Denominatore 98910, il Numera-tore della prima ſarà 73790, quello della ſeconda 83790. Eridotti tutti gl’Intieri alla denominatione commune troua-ta, ſarà la linea C 9891000, e la linea B ſarà maggiore di 3140000, e minore di 3150000; onde la differenza è di 10000 particelle di tutta la C; la qual differenza è minore, che la centeſima parte della ſteſſa C; poiche queſta centeſi-ma è delle particelle di C 98910.

QVESTIONE SESTA. Dati gli Aſsi d’ vn’ Ellipſi, deſcriuere la ſua circonferenza.

SIa data la linea AB Aſſe maggiore, ela linea C Aſſe mi-nore d’ vn’Ellipſi, e ſi voglia deſcriuere l’Ouato, di cui ſono Aſſi. Primieramente per la Queſt. 5. antecedente ſi troui in numeri la loro proportione, e ſia per eſempio come di 5 à 3. Dipoi circa AB come diametro ſi deſcriua vn circo-lo: e dal punto eſtremo A ſi prendano di quà, e di là archi vguali ad arbitrio AS, AR; AD, AF; AH, AI & c. e con linee rette congionti li punti vgualmente diſtanti dall’eſtre- CAPO II. mità A, taglieranno il diametro AB ad angoli retti in O, M, P & c. E così le linee per-pendicolari alla AB ſa- ranno parallele trà di lo-ro, & ordinatamente applicate così al diame-tro del circolo, come all’ Aſſe maggiore dell’ El-lipſi.

Mettanſi dunque ciaſ-cuna delle applicate nel circolo ad vn numero della linea Aritmetica, che habbia vn’altro nu-mero, à cui ella ſia come 5 à 3, come ſaria 50, 50; e 30, 30: perche il ſecon-do interuallo 30, 30, darà l’Applicata dell’Ellipſi: Così OR ad OV; MF ad MN; PI à PQ, e così ſuſſeguentemente, ſaranno come 5 à 3, e pigliaraſſi ad OV vguale OG, & à MN vguale MK & c. perche la linea tirata per li punti Q, N, V, A, G, K, & c. ſarà Elliptica.

Ciò ſi demoſtra, perche nell’ Ellipſi i Quadrati delle Ap-plicate hanno la proportione delli rettangoli fatti dalli ſeg-menti del diametro, à cui ſono Applicate: e nel circolo i Quadrati delle perpendicolari OR, MF ſono vguali alli ret-tangoli AOB, AMB fatti dalli ſteſſi ſegmenti: dunque co-me il Quadrato di OV al Quadrato di MN, così il Quadra-to di OR al Quadrato di MF. Dunque per la 22. del 6. co-me OV ad MN, così OR ad MF, e permutando come OV Linea Aritmetica. ad OR, così MN ad MF; e perche OV ad OR per la co-ſtruttione ſono come l’Aſſe maggiore AB all’Aſſe minore C, cioè come le loro metà EX ad EL; dunque il Rettangolo AEB al Rettangolo AOB è come il Quadrato della metà dell’Aſſe minore al Quadrato dell’Applicata OV.

QVESTIONE SETTIMA. Come potiamo ſeruirci dello Stromento di Proportione, in vece delle Tauole Trigonometriche, per la ſolutione di molti Triangoli.

SE bene ciò appariſce aſſai chiaramente da ciò, che s’è detto nella queſtione 4. ad ogni modo per maggior ſpie- gatione è bene accennarlo quì più particolarmente. Sia per cagione d’eſſempio vna Torre, la cui altezza, e diſtanza da noi, deſideriamo di conoſcere. Pren-daſi vn piano di qualunque ſor-te, come ſaria vna tauola, MHC, e ſi ponga in ſito verticale con la Torre, di mode, che la linea ret-ta del ſuo lato MH ſia parallela all’Orizonte: poi collocato l’oc-chio nel punto M, e riguardando la cima della Torre, ſia il raggio viſuale la linea MB, la quale ſi ſegni. Fatto queſto, ſi ritiri l’oſſeruatore più indietro, in modo però, che nella ſteſ-ſa dirittura ſiano la Torre, & i luoghi delle due oſſeruationi: & in queſto ſecondo luogo di nuouo collocata la tauoletta CAPO II. MHC come prima, ſi noti il raggio viſuale MC, il quale ne-ceſſariamente cade di ſotto di BM, douendo l’iſteſſa Torre in ſito più lontano apparire ſotto angolo minore; e così CMH deue eſſere minore di BMH: e ſe tutto ciò ſarà fatto accura-tamente, habbiamo tutto ciò, che ci fà di meſtieri al noſtro intento.

Tiriſi dunque in vn piano à parte la linea IN indefinita, e dal puuto I ſi tiri vn’altra linea parimenti indefinita, mà che faccia in I l’angolo vguale all’angolo CMH, che è il minore delli due oſſeruati. Dipoi nella IN pigliſi il punto O arbi-trariamente, e ſi faccia in O vn’altr’angolo vguale all’ angolo BMH, che è il maggiore delli due oſſeruati. Et in tal manie-ra IO rappreſenta la diſtanza delli due luoghi dell’ oſſerua-tione; ele due linee OA, IA, che s’incontrano in A, rappre-ſentano li due raggiviſuali, che ſi terminano nella cima della Torre. E che s’incontrino in A, è manifeſto, perche li due angoli AOI, AON ſon vguali à due retti (per la 13. del lib. 1.) l’angolo AIO è minore dell’angolo AON, per la con. ſtruttione, dunque li due AIO, AOI ſon minori di due retti; dunque quelle due linee ſon conuergenti, e da quella parte s’incontrano; e ciò ſi fà in A. Se dunque dal punto A, ſopra la linea IN parallela all’Orizonte, ſi tirarà la perpendicola-re AN, queſta ſarà l’altezza della Torre ſopra l’altezza dell’ occhio dell’oſſeruatore, la quale ponendoſi IS, ò la ſua vgua-le OR, ſarà tutta l’altezza della Tore AL, e la ſua diſtanza ſarà ON, cioè RL.

Ora portando ſopra dello Stromento la linea IO come 100, trouo per la queſtione precedente, che AN è 374, & ON 328. Sì che eſſendo nota la diſtanza de’ due luoghi dell’ oſſeruationi per cagion d’eſſempio di paſſi 18, trouo, che ſe Linea Aritmetica. IO 100 è paſſi 18, AN 374 è paſſi 67 {1/3} proſſimamente, & ON 328 è paſſi 59. Se dunque all’altezza AN paſſi 67 {1/5} s’ag-gionga l’altezza dell’ occhio ſopra il piano del piede della Torre, per eſſempio di piedi Romani 6, ſarà tutta l’altezza cercata AL di piedi 342 {2/3}, ela diſtanza cercata ON, ouero RL di piedi 295.

Di quì è manifeſto, che dato qualunque triangolo, ſi può trouare la proportione de’ſuoi lati; e ſe vno di queſti è cono-ſciuto in miſura determinata, ſi verrà anche in cognitione del-la quantità de gl’altri due lati nella ſteſſa miſura.

QVESTIONE OTTAVA. Come ſerua per la Proſpettiua lo Stromento.

SIa l’occhio O, il punto della viſta C, in diſtanza di piedi 10 {1/2}; l’altezza dell’occhio OB piedi 6; à cuiè vguale DC. AB è l’Orizonte. Non eſſendoui ſpatio nel Piano da-te per tutte le diſtanze, così potraſſi operare con la ſola linea DC, col Compaſſo di Proportione.

CAPO II.
Primo, Data la diſtanza dell’ oggetto, trouare in qual parallela all’ Orizon@ale caſchi.

Prendaſi DC, e ſi metta ſul Compaſſo di Proportione al numero corriſpondente alla diſtanza dell’ oggetto dall’ oc-chio; e poi al numero corriſpondente alla diſtanza dell’oc-chio dal Quadro, ſi trouera quanto ſotto al punto della viſta C ſi debba tirare la cercata parallela. Sia la diſtanza dell’og-getto BA piedi 28 {1/2}, & OC piedi 10 {1/2}. Metto la DC all’in-teruallo 57, 57: e preſo l’interuallo 21, 21. mi viene CE, per cu ſi tirarà la parallela EF. La ragione per la ſomiglian-za de’ triangoli ADE, OCE è manifeſta, perche come AD à OC, così DE à EC, e componendo come AD + OC(cioè AB) à OC, così DC à CE.

Secondo, Data la lon@ananza dell’ oggetto dal piano Verticale, in cui è l’Aſſe Viſuale, trouare il ſuo luogo nella data diſtanza.

Prendaſi la CE, e ſi metta al numero dell’altezza dell’oc-chio ſopra l’Orizonte; & al numero della diſtanza dell’ogget-to dal mezzo, ſi hauerà l’interuallo douuto nella parallela tro-uata. Sia dunque data la diſtanza di piedi 5. 3′, come ſaria DG. Perche CD è 6 piedi, intendaſi 60′. Dunque CE po-ſta al 60. 60, l’interuallo 53. 53 darà EI. (ſe CE è troppo piccola, prendaſi il triplo, e poi della linea trouata ſi prenda la terza parte, e ſarà la EI). La ragione è, perche come CD à DG, così CE à El.

Linea Aritmetica.
Terzo, Dato il luogo nel piano della Perſpettiua, data la diſtanza dell’ occbio dal quadro, e data l’altezza perpendicolare del corpo, trouar il punto doue ſi terminarà.

Sia il punto I il luogo nel piano della Perſpettiua: l’altez- za data ſia di piedi 15 {3/8}, cioè BS; la diſtanza dell’ occhio OC piedi 10 {1/2}. Faciaſi come CO ad SB, così CH, cioè EI data, ad I T. Ora CO ad IB è come 21 à 30 {3/4}; meſla dunque la EI all’ interuallo 21. 21, l’inter-uallo 30 {3/4}. 30 {3/4} darà la IT cercata.

Di qua ſi vede quanto facile ſarà trouare le conuerſe di queſte trè propoſitioni. Primo, ſe ſi farà come CE à CD, così OC à BA, s’haurà la diſtanza dell’oggetto. Secondo, ſe come CE à EI, così CD à DS, s’haurà la diſtanza dall’aſse viſuale. Terzo, ſe come EI à IT, così CO à BS, s’haurà di quanta altezza perpendicolare ſia l’oggetto viſto in IT.

CAPO II.
QVESTIONE NONA. Come potiamo valerci dello Stromento per pratticar in Numeri la Regola del Trè, ò Aurea, che vogliamo dire.

QVeſta prattica veramente non può riuſcire tanto preci-ſa per ragione de’ Rotti, mà per gl’Intieri appariſce faciliſſima, e preſta. Si pigli dal centro A dello Stromento con vn Compaſſo la diſtanza ſin al punto corri-ſpondente al ſecondo numero delli trè dati (ò per parlare più vniuerſalmente, corriſpondente al numero, che è il Conſe-guentetrà li dati) & à queſta diſtanza s’allarghilo Stromen-to, applicandola al punto corriſpondente al numero, che è Primo Antecedente della Proportione: perche all’incontro del punto, che corriſponde al Terzo numero, ò al Secondo Antecedente, ſi prenderà la diſtanza nello Stromento; e queſta applieata dal Centro A ſopra la linea dello Stromento moſtrerà il Quarto numero cercato.

Sia per cagion d’eſſempio, ch’io habbia comprato 54 braccia di panno per 36 zecchini; & vn’amico ne vorrebbe hauere 2 I braccia; Quanto hà egli à pagare per ſua parte? Piglio col Compaſſo nello Stromento dal centro ſin al pun-to 36; queſta diſtanza applico al 54. 54. E ritenendo queſta apertura piglio la diſtanza 21. 21. Queſta traporto dal cen-tro dello Strumento sù la linea, e vedendo che cade ſul pun-to 14, dico al mio amico, toccali per ſua parte à pagare 14 zecchini.

La dimoſtratione di ciò è manifeſta, perche ſe di quali par-ti 54 è AE, ditali 36 s’è preſa EL, dell’iſteſſa miſura hauen- Prattica in numeri della Regola del Trè. done AH 21, ſeguirà che HI applicata dal punto A alla li-nea AE caderà in vn punto, che moſtrarà di quante parti ella ſia in miſura homogenea al termine ſuo corriſpondente, e caderà nel punto 14.

E perche i’eſſempio poſto è della regola, diretta, mettiamone vn’altro dell’@uerſa. Hò vna laſtra d’argento lunga piedi 2 {1/2}, elarga oncie 7: Vorei che l’orefice ne faceſſe vna della ſteſſa groſſezza, mà larga oncie 10; Quanto dourà eſſer longa? Quì è certo, che il Primo Antecedente deue eſſere queſto numero, che è poſto nelterzo luogo, cioè il 10; ela proportione ordinata ſarà come 10 à 7, così 30 (poiche piedi 2 {1/2} ſono oncie 30) ad vn’altro. Preſa dal centro la di-ſtanza ſin al punto 7 la colloco trà 10. 10, e ritenuta la ſteſſa apertura dello Stromento, prendo la diſtanzatrà 30. 30; e queſta diſtanza applicata alla linea dal centro, trouo, che ca-de nel punto 21; e così dico, che la lunghezza cercata dourà eſſere di oncie 21. Così d’vno ſquadrone diſoldati, che hà 60 di fronte, e 25 di fianco, volendo metterne 40 di fianco, ſi cerca, quanti ſariano di fronte: la proportione ordinata ſarà come 40 à 25, così 60, ad vn’ altro, & operando, come s’è detto, ſi trouarà venire 37 difronte: vero è che ne auan-zeranno 20: e perciò ſitrouerà che la punta del Compaſſo caderà tra’l 37, e 38.

Potrebbe occorrere, che li numeri foſſer ò troppo grandi, ò troppo piccioli, ſi che ò non ſi trouaſſero per la ſua gran-dezza nella linea ſegnata dello Stromento, che ſol arriua al Ioo, ò non ſi poteſſero commodamente applicar all’apef-tura dello Stromento per la ſua picciolezza. Se foſſero trop- CAPO II. pograndi, conuien diuiderli, e prenderne vna parte aliquo-ta; ſe foſſero troppo piccioli, conuien pigliare li loro multi-plici. E perche queſto può occorrere in più modi, per di-ſtintione più chiara, ſarà bene parlar di ciaſcuno partico-larmente.

Primo delli trè numeri dati ſe ſolo il Secondo Antecedente della Proportione è maggiore di 100, ſi prenda la ſua metà, ò il terzo, e poi il numero trouato ſi raddoppij, ò ſi triplichi, e s’haurà il quarto numero cercato. Per eſſempo, 24 perſone in vn tal tempo conſumano 30 ſacchi di farina: in tempo vguale 120 perſone quanta ne conſumeranno? La diſtanza del centro ſin à 30, applicaſi trà 24. 24; e perche 120 non fi troua nella linea, prendo la ſua metà 60, ela diſtanza 60, 60, applicata alla linea, trouo eſſer 75; dunque queſta rad-doppiata, dico richiederſi 150 ſacchi di farina per 120 perſone.

Secondo, ſe ſolo il Primo Antecedente, ò ſolo il Primo Conſeguente, ò ambidue, ò l’vn, e l’altro Antecedente ſono maggiori di 100; l’vno, el’Altro Antecedente, ò li primi An-recedente, e Conſeguente, ſimilmente ſi diuidano, e con quel-le parti s’operi, come quelle foſſero li termini dati. In vn capitale di ſcudi 2000 s’è fatta perdita di ſcudi 1120; io che cihaueuo per mia parte 75 ſcudi, quanto vengo à perdere? Perche li due priminumeri ſon troppo grandi, leuo à ciaſcuno vn zero, e reſtano le loro decime parti 200, e 112: e perche queſtiancora ſon troppo grandi, li diuido per metà, e ſono le lor venteſime parti 100, e 56. Prendo dunque dal centro al punto 56, e l’applico tra 100. 100: poi trà 75. 75 prendo la diſtanza, & applicata alla linea dello Stromento, trouo ch’el-la è 42; e perciò dico eſſer la perdita, che mi tocca di 42 ſcudi.

Prattica in numeri della Regola del Trè.

Terzo, ſe tutti trè li numeri dati ſono maggiori di 100, conuien diuiderli tuttitrè: E ciò ſi può far ò diuidendoli ſimil, mente, come ſe 200 dà 150, che darà 160? perche, tutti di-uiſi per metà, dico, ſe 100 dà 75, che darà 80? & applicati li 75 tra 100. 100, la diſtanza 80. 80, mi darà 60, e queſto raddoppiato fà 120, che è quello che ſi cerca: Ouero ſi pon-no diuidere ſimilmente ſolamente due, cioè ò li due Antece-denti, ò il Primo Antecedente col ſuo Conſeguente, e di quell’altro numero che reſta, prenderne quella parte che più piacerà; poiche quello, che ſi trouarà, ſarà parte ſimile del Quarto, che ſi cerca. Così ſtando nello ſteſſo eſſempio, ſe 200 dà 150, che darà 160? Piglio la metà del primo, e del ſecondo 100 è 75, e del terzo 160 piglio la quarta parte 40, & opro come prima, pigliando vltimamente la diſtanza trà 40, 40, e mi viene 30, il quale quadruplicato mi dà 120: ouero delli due Antecedenti propoſti 200, e 160. piglio la metà 100, e 80, e del primo conſeguente 150 piglio la terza parte 50, & oprando, come s’è più volte detto, trouo 40, il qual’è la terza parte del numero cercato, cioè di 120.

La ragione di queſto modo d’operare ſtà fondato nella 15, & 11 del lib. 5. d’Euclide, cioè, che le parti hanno le propor-tioni de’ ſuoi intieri, ele proportioni ſimili ad vna ſteſſa pro-portione ſono ſimili trà di loro. E perciò ſe ſia come A al B, così C al D, eſſendo {1/2} A al {1/2} B, come A al B, anche ſarà co-me {1/2} A al {1/2} B, così C al D, eſſendo come C al D, così {1/3} C al {1/3} D ſarà per conſeguenza, come {1/2} A al {1/2} B, così {1/3} C al {1/3} D. E perche ſe come A al B, così C al D, vale anche permutan-do, come A al C, così B al D, ne ſeguirà con l’iſteſſo diſcorſo, che come {1/2} A al {1/3} C, così {1/2} B al {1/3} D. Et in tal modo è manife-ſta la ragione delle ſopraccennate operationi. E quello, che CAPO II. quì s’è detto de gl’Intieri riſpetto alle loro parti, così vale la forma di diſcorrere delle parti, riſpetto de gl’Intieri, fatta ſo-lo la conuerſione de’ter mini, per ciò che appreſſo ſi dirà de gl’Intieri riſpetto de’ ſuoi moltiplici. Il che hò voluto così breuemente accennare, per non replicar con tedio più volte lo ſteſſo.

Quarto, ſe ſolo il ſecondo Antecedente ſarà troppo picco-lo, baſterà raddoppiarlo, ò triplicarlo, e ſeruirſi di queſto, co-me ſe foſſe il vero Antecedente, perche del numero, che ſi tro-uerà, dourà pigliarſi la metà, ò il terzo, per hauer il numero, che ſi cerca. Per eſſempio. V na fontana, che getta l’acqua fempre vniformemente, hà riempito vn vaſo capace di 54 botti d’acqua in 23. ore, quant’ore ci vogliono per empir vno capace di ſol 7 botti? Piglio dal centro ſin al punto 23. e queſta diſtanza applico all interuallo 54. 54. Dipoi perche 7. 7. è troppo vicino, piglio la diſtanza 14. 14. e queſta ap-plicata dal centro cade ſul punto 6; onde perche il 7 ſi rad-doppiò, prendo la metà di 6, e dico; che in 3 ore s’em pirà il vaſo capace di ſol 7 botti. E’vero, che ciè qualche differen-za, e non ſono preciſamente 3 ore, mà ſolo 2 {53/54}, il che nell’ operatione, c’habbiamo per la mano, non è da conſiderarſi.

Quinto, mà ſe ſolo il Primo Antecedente, ò ſolo il Primo Conſeguente, ò ambidue, ò l’vn, el’altro Antecedente foſſero troppo piccioli, tutti due gl’Antecedenti, ò li Primi Antece-dente, e Conſeguente, ſimilmente ſi moltiplichino, raddop-pino, ò triplichino, e s’opri, come ſe queſti foſſero li numeri dati, perche ne verrà il numero cercato. Così s’io dico 7 mi dà 10, che midarà 3? raddoppio il 7, & il 3, come troppo piccioli, & opro, come ſe cercaſſi, 14 midà 10, che mi darà 6? e trouo, ch’è vn poco più di 4.

Prattica in numeri della Rego’a de’Trè.

Seſto, ſe tutti trè li numeri dati ſono troppo piccioli, òtut. ti ſi moltiplichino vgualmente, & il numero, che ſitrouerà dourà diuiderſi per il moltiplicatorepreſo, come ſe tutti ſi raddoppiarono, ſi deue prendere la metà del trouato, per ha-uer quello, che ſi cercaua, come è maniſeſto. Ouero due, cioè ò li due Antecedenti, ò li due Primi termini ſi ponno moltiplicare ſimilmente, e l’altro numero moltiplicar altri-menti, perche quel che ſi trouerà, ſi dourà diuidere per il nu-mero, che moltiplicò queſt’ vltimo. Per eſſempio: d’vn drappo alto cinque quarte il Sarto me ne fece prendere brac-cia 7 {1/2}, ora per far vna ſimil veſte d’vn drappo alto ſol 3 quarte, quante braccia hò à comprarne? E’certo, che quì è la proportione euerſa, cioè che le altezze, e le lunghezze ſo-no reciprocamente proportionali, e come la ſeconda altezza alla prima aitezza, così la prima lunghezza alla ſeconda lun-ghezza, che ſi cerca: Sidice dunque, come 3 al 5, così 7 {1/2} ad vn altro: quadruplico il 3, & il 7 {1/2}, eſono 12, e 30; duplico il 5, & è 10. Oprodunque con queſtitrè numeri 12, 10, 30; e preſadal centro la diſtanza ſin al punto 10, l’applico al 12. 12; e preſo l’interuallo 30. 30, trouo eſſere 25. Ora perche il 5 ſolo ſi duplicò, piglio la metà di 25, edico, che del ſecon-do drappo me ne fan di meſtieri braccia 12 {1/2}. Equeſto ſteſ-ſo haurei trouato, ſe haueſſi duplicato rutti trè li numeri; per-che come 6 al 10, così 7 {1/2} al 12 {1/2}.

Mà perche ſpeſſo occorre, che l’interuallo, che ſi troua, non cade preciſamente ſul punto ſegnato da qualche numero intiero, ſi potrà trouare la frattione, & auuicinarſi più al ve-ro in queſto modo. Si prenda dal centro dello ſtro mento con vn’altro Compaſſo la diſtanza ſin’al punto proſſimamente maggiore, & il numero dital punto ſi moltiplichi, quanto ſi C A P O II. può, purche non paſſi il 100, & allargato lo Stromento, à queſto numero moltiplice s’applichi la lunghezza preſa con queſto ſecondo Compaſſo; e poi ſi vegga in qual’ interuallo capiſca la longhezza trouata col primo Compaſſo; perche la frattione aderente all’intiero già conoſciuto, haurà per De-nominatore il numero, che fù il moltiplicatore, e quanti pun-ti ſi trouano mancare per giungcr à quella diſtanza maggio-re, tanta deue eſſere la differenza tra’l Numeratore, & il De-nominatore della frattione. Sia per eſſempio nell’o peratione trouata vna tal lunghezza, che applicata dal centro cada tra li punti 19, e 20; onde s’arguiſce, che il numero cercato è 19 con vnafrattione. Ora con vn ſecondo Compaſſo preſala diſtanza dal centro ſin’à 20, ſe applico queſta al 40. 40, che è duplo di 20, non mi può dare ſe non {1/2}, ſe al 60. 60, che è triplo, poſſo trouar li Terzi, ſe al 80. 80, che è quadruplo, trouerò li Quarti, e finalmente ſe al 100. 100, che è quintu-plo, trouerò li Quinti. Sia dunque applicata alli 100. 100: e poi col primo Compaſſo, che daua quella miſura minore di 20, e maggiore di 19, veggoin qualinteruallo ſi poſſa appll-care, etrouo che al 97. 97, onde mancando 3 al 100 dico, chela frattione aderente al 19 è {2/5}; ſe ſi foſſe applicata al99, ſaria ſtato il numero cercato 19 {4/5}.

La ragione di queſta operatione è, perche quelle 20 par-ticelle applicate al 100. 100, vengono come ad eſſere diuiſe in 100 parti, cioè ciaſcuna ne’ſuoi quinti; ora ſe di quali 100 parti ſono le 20, ditali 97 ſono quell’altre, è manifeſto; che à queſte mancano {3/5} per arriuar à 20, ecosì ſono 19 {2/5}. Mà ſe la diſtanza prima trouata foſſe ſtata maggiore di 24, e dal centro ſin à 25 ſi foſſe applicata al 100. 100, la frattione ſa-ria di Quarti, e cadendo la diſtanza trouata ſul 97. 97, ſaria Prattica in numeri della Regola delTrè. il numero cercato 24 {1/4}, poiche mancano {3/4}, per eſſere {100/4}, cioè 25.

Forſi riuſcirà ad alcuno più facile queſt’altro modo. Quan-dola miſura trouata, e dalcentro applicata ſula linea dello Stromento non cade in vn punto intiero, pigliſi con vn’altro Compaſſo la miſura ſin al punto proſſimamente minore: & il numero di tal punto moltiplicato, sì che non arriui à 100, s’a-pra lo Stromento, & al punto, che cortiſponde al numero moltiplicato, s’applichi la lunghezza preſa col ſecondo Com-paſſo; poi applicatala miſura, che dà il primo Compaſſo, il numero de’ punti, ehe eccedono quel moltiplicato, ſarà il Numeratore della frattione, il cui Denominatore è quel che fù il Moltiplicatore. Sia la miſura trouata maggiore di 17: Prendo con vn’altro Compaſſo dal centro ſinal punto 17; e queſta diſtanza applico al numero 68. 68, quadruplo del 17: e perciò la frattione haurà il 4 per Denominatore: applicata poi quella miſura trouata maggiore di 17, trouo che capiſce al 71. 71: e perciò dico, che eſſendo l’ecceſſo di 3 punti, la frattione ſarà {3/4}, ecosì il numero, che ſi cercaua è 17 {3/4}.

Laragione di queſto modo d’operare è, perche in quell’-applicatione al numero quadruplo vengono le 17 vnità ad eſſer diuiſe in tutti i ſuoi Quarti, che ſono 68; dunque ſe la miſur a trouata hà di tali Quarti 71, ſarà il ſuo numero 17 {3/4}.

Auuertaſi quì, che può occorrere, che la miſura tolta col primo Compaſſo non poſſa applicarſi preciſamente a due punti ſimili, come 71, e 71; ma ſolo a 71, e 72; & in tal caſo èſegno, che è più di trè quarti: e ſe cade così preciſamente ſu due punti 71, e 72, ſi può prendere per vna metà; ſe ca-deſſe ſul 71, & alla metà del 72, ſi potria prendere per vn Quarto. Ora mettiamo, che cada ſu li 71. 72; e così oltre C A P O II. li {3/4}, v’èla metà d’vn Quarto, che è {1/8}, che aggiunto alli {3/4} ſo-no in tutto {7/8}. Sefoſſe caduto alla metà del 72. era vn Quarto d’vn Quarto, cioè {1/16}, ecosì tutta la frattionc {13/16}.

E per non laſciare di ſpiegare anche meglio l’vſo di queſto Stromento, per trouare con più preciſione le frattioni aggiun-te agl’intieri, ſenza obligarcia prendere li numeri moltiplici, maſſime, che bene ſpeſſo appena ſi ponno raddoppiare, ò tri-plicare; perciò aggiungerò anche queſto modo d’operare. Preſo dunque, come ſi diſſe, con vn ſecondo Compaſſo dal centro ſin al numero proſſimamente minore, s’apra lo Stro-mento, e queſta diſtanza s’applichi a quell’interuallo, che più piace, in maniera però, che poila diſtãza, che dà l’altro Com-paſſo poſſa capire almeno tra 100. 100; & il numero dital interuallo ſarà il Denominatore della frattione. Di poi rite-nuta l’a pertura medeſima dello Stromento, ſi vegga in qual interuallo capiſca la prima miſura. Il numero de’ punti, che queſto ſecondo interuallo è diſtante dal primo già coſtituito, ſi moltiplichi per l’Intiero nu mero, che ſi preſe proſſimamen-ce minore; e ciò per la molti plicatione ſi produce, ſarà il Nu-meratore della frattione.

Sia la miſura trouata maggiore di 6, ma minore di 7. Pren-do dal centro ſin al 6, e queſta diſtanza applico ad arbitrio ad wn numero, per eſſempio al 50. 50: e perciò le parti della frat-tione ſaranno cinquanteſime. Quindi applicata la miſura trouata, veggo che cade ſul 53, 53. Dunque preſo l’ecceſſo 3, lo moltiplico per il numero intiero 6, e ſi fà 18, per nu-meratoredella frattione; e perciò dico, che la miſura trouata dà il nu mero cercato 6 {18/50}.

La dimoſtratione di queſta operatione ſi vede dalla figura preſente doue BC è parallela alla DE, e prendendoſi BF Fratticain numeri della Regola delTrè. vguale alla DE, e congiun-gendoſi li punti E, F con vna linea retta EF, viene ad eſſer EF parallela alla BD per la 33. del libro 1. Dunque per la 2. del lib. 6. come AE ad EC, così BF à FC: dunque il rettangolo fatto dalle due EC, BF, cioè DE, appli-cato alla prima AE darà la FC: come appariſce dalla 16. del lib. 6. Se dunque DE è il numero 6. collocato ſu lo Stromen-to nelli punti 50. 50, cioè in AD, AE, ela miſura trouata BC s’addatta alli punti B, & C 53. 53, ſarà come AE 50, ad EC 3, così Bf, cioè DE 6 alla FC; e perciò EC 3 moltiplicando DE 6 ſà 18 da diuiderſi per AE 50; onde il Quotiente {18/56} è la FC da aggiungerſi alla BF, cioè alla De 6; ecosì tutta la BC è 6 {18/50} numero cercato.

Di quì ſi vede, che ſe le due miſure preſe co’due Compaſſi, come s’è detto, cadeſſero in tal apertura dello Stromento, che non foſſero diſtanti, che vn punto ſolo, il Numeratore della frattione ſarà il numero intiero preſo. Come per eſſempio, ſe il numero è 27, & è applicato all’interuallo 43. 43, e l’altra miſura cade ſul 44. 44, diremo, che il numero cercato è 27 {27/44}. Laragione è, perche l’vnità moltiplicando il 27 non lo muta.

Finalmente s’auuerta in queſto modo, che ſe la diſtanza EC foſſe di molti punti, & il numero DE foſſe così grande, che riuſciſſe difficile moltiplicarlo per EC così alla mente, ſi dourà applicare la DE più vicina al centro A, che così la BC riuſcirà più vicina alla DE, & EC ſarà numero minore.

In vn’altra maniera potiamo ſeruirci di queſto stromento per trouar il quarto numero proportionale ſenza applicar i C A P O II. numeri al lato dello Stromento, ma a gl’interualli: e poten-doci ogni punto ſeruir per due, anche ſenza compaſſo molto grande faremo ciò che deſideriamo. Per eſſempio 168 mi dà 72, che coſa mi darà 63? Diuido li 168, & li 72 per me-tà, e ſono 84, e 36. A qualunque apertura dello Stromento prendo l’interuallo 84. 84, con vn compaſſo, e col ſecondo compaſſo alla ſteſſa apertura dello Stromento prendo 36, 36. Ritengo li Compaſſi così, & applico il primo compaſſo al terzo numero dato, cioè à 63. 63. allargando lo Stromento, & a queſta apertura applicando il ſecondo compaſſo, trouo che cade nell’interuallo 27. 27. onde conchiudo, che il quar-to numero cercato è 27. Queſta prattica è manifeſta per la coſtruttione dello Stromento; perche di quali parti 84 era la prima linea compreſa dal primo compaſlo, di tali 36 era la ſeconda: ora preſa la prima di 63, la ſeconda viene ad eſ-ſere di 27.

Queſto modo d’operare moſtra vna grandiſſima facilità per ſciogliere le queſtioni appartenenti al moltiplico de’capitali, quando corrono intereſſi ſopra intereſſi, cioè che il frutto di ciaſcun anno a capo d’anno s’accreſce al capitale: il che ſi fà, eſſendo noto, quanto per cento ſia il frutto, perche ſe il 100 guadagna nel primo anno per eſſempio 4. ſarà il capitale del ſecondo anno 104; e così biſogna dire, ſe 100 a capo del pri-mo anno dà 104, che coſa darà 104 a capo del ſecondo anno? e ſi troua, che dà 108 {16/100}. E poi ſeguitando all’ iſteſſo modo a replicare la regola del Trè, ſe 100 dà 104, che coſa darà 108 {16/100} a capo del terzo anno? tante volte ſi replicherà, quan-ti ſon gl’anni, che ſi laſcia il denaro a moltiplico. Il che, co-me ſi vede, porta tempo, e fatica nel calcolo. Ma ſe le linee Aritmetiche dello Stromento ſono accuratamente diuiſe, Prattica in numeri della Regola del Trè. queſta operatione ſi farà con pochiſſimo trauaglio.

Sapendoſi quanto per cento ſi guadagna, prendaſi la metà del 100, che è 50, ela metà del frutto annuo: & aperto lo Stromento ad arbitrio, prendaſi l’interuallo 50. 50, ma con-ſeruiſi il compaſlo così aperto, come ſi preſe queſta prima miſura, ouero ſi tiri vna linea vguale à tal’apertura, per hauer-ne memoria, ouero ſi prenda queſta prima lunghezza vguale ad vn numero determinato di punti preſi ſul lato dello Stro-mento; e poi con vn’altro Compaſſo (ſe per altro in vno de’ modi detti non ſi conſeruaſſe memoria della prima larghez-za) eſſendo ancora lo Stromento allargato come prima, ſi prenda l’interuallo corriſpondente alla metà del capitale, e del frutto; e così ſe il frutto è 4 per 100, prendaſi 52. 52, ſe foſſe 6 per 100, prendaſi 53. 53; e così de gl’altri. Queſta larghezza vltima di Compaſſo per il ſecondo anno, di nuouo s’applichi al 50. 50, allargando lo Stromento, e di nuouo ſi prenda il 52. 52, ſe fù alli 4, ouero il 53. 53, ſe fù alli 6 per 100. Di nuouo queſt’vltima lunghezza per ilterzo anno s’ap-plichi al 50. 50, con allargare lo Stromento, & al 52. 52 s’ha-urà la lunghezza conueniente al terzo anno; e così tante vol-te, quanti ſon gl’anni, che ſi laſcia a moltiplico. Finalmente ſi paragoni la prima larghezza, che fù preſa da principio con queſt’vltima trouata; ela proportione di quella prima a queſt’vltima è la proportione del capitale meſſo da principio allo ſteſſo accreſciuto d’anno in anno, con i frutti, che diuen-tarono capitale. Così ſe furono alli 4 per 100, troueremo che li 100 in capo a dieci anni diuentano 148 {1/4} quaſi, cioè vn poco più d’vn quinto: Onde dico, ſe in dieci anni 100 mi danno 148 {1/4}, nello ſteſſo tempo vn capitale di dieci mila ſcudi diuerrà 148 25.

C A P O II.

In altra maniera ſi può operare ritenendo ſempre la me-deſima apertura dello Stromento, ma prendendo nel ſuo lato inumeri. Per eſſempio ſia al 4 per 100: prendaſi dal centro A ſin al 52 la diſtanza, e queſta ſi metta tra 50, 50, e queſta è l’apertura dello Stromento ſenza mutarla. Ora prendaſi la metà del numero del capitale, e ſe è troppo grande, pren-daſi vna parte aliquota di eſſo; come ſe foſſe il capitale 300 Scudi, la ſua metà è 150, prendaſi 75, che è la 4. parte. E col compaſſo preſo l’interuallo 75. 75, mettaſi vna punta nel cen-tro, e ſu li lati dello Stromento leggiermente ſi ſegni con l’al-tra punta; prendaſi queſto interuallo tra li ſegni fatti, e di nuouo dal centro ſi traporti, e ſegniſu li lati; e ciò tante volte ſi replichi, quanti ſono gli anni: così ſe foſſero cinque anni, ſi prendano cinque volte gl’interualli, e l’vltimo, cioè il quin-to interuallo traportato dal centro ſul lato dello Stromento, darà il numero cercato; e caderà proſſimamente al punto 91. Si che 75 ſcudi a capo di cinque anni danno 91 ſcudi proſſi-mamente; e perche 75 è la quarta parte di 300, diremo che 300 ſcudi a capo di cinque anni ſaranno proſſimamente ſcu-di 364. Di queſto modo d’operare la ragione è manifeſta, perche ritenuta ſempre l’apertura medeſima dello Stromento tutti i lati a gl’interualli ſono come 50 à 52, cioè 100 a 104; e perche gl’interualli ſucceſſiuamente ſi traportano ſu li lati, perciò ſempre ſi cõtinua la proportione iſteſſa di 100 a 104.

Che ſe haueſſi curioſità di prouarlo col calcolo, ſe non prenderai di volta in volta le frattioni proſſime alla vera ora maggiori, ora minori, ma tutta la frattione intiera (la quale è nel ſecondo anno di centeſime, nel terzo di dieci-milleſime, e così ogn’anno aggiungendo due zeri al denomi-natore) trouerai nel decimo anno vna frattione, che haurà Prattica in numeri della Regola del Trè. per denominatore l’vnità con diciotto zeri, & il numeratore tale, che è proſſimo ad vn quarto d’vnità. E ſe cercaſſi per vent’anni, l’vltimo denominatore ſaria di 38 zeri, ſempre due meno del doppio del numero de gl’anni, eſſendo che per il primo anno non ſi fà la diuiſione per 100, e per gli altri anni ſi aggiongono ſempre due zeri al denominatore. In ſomma (perche queſte coſe ſi ſcriuono per li meno eſperti) baſterà per il fecondo anno moltiplicar il capitale col frutto in ſe ſteſ-ſo, e per l’iſteſſo capitale col frutto, cioè per 104, ouero 105, ò altro, moltiplicar di mano in mano i prodotti; e poi veden-do quante volte hai fatto tal moltiplicatione, taglia dal nu-mero vltimamente prodotto due volte altre tante figure; co-me ſe hai fatto la moltiplicatione cinque volte, taglia alla de-ſtra dieci figure, e queſte ſono il numeratore della frattione aderente al numero d’intieri ſignificato dall’altre figure re-ſtanti; e queſto ſaria il moltiplico del capitale fatto in 6 anni. Onde ſi vede eſſer quaſi vna progreſſione Geometrica, la cui Radice è il capitale col frutto, cioè 104, & c. principiante dall’vnità. E perciò in tal caſo conuiene trouar quella Pote-ſtà, ò quel Grado della Progreſſione, il cui Eſponente è il nu-mero de gl’anni (nel che ſe bene viſono alcuni compendij, v’è però di molta fatica,) e trouato tal Grado della detta progreſ-ſione, tagliarne, come s’è detto, le figure alla deſtra due meno del doppio del numero di tal Grado, perche realmente il pri-mo termine della progreſſione non è l’vnità, ma il 100. Il che ſia detto per moſtrare di quanto compendio ſia l’vſo di que-ſto Stromento, con cui preſtiſſimo ſi fà coſa per altro operoſa.

Quindi volendo ſi ſa pere in quanto tempo raddoppiaraſſi il Capitale, ſi piglia vna linea, & all’interuallo 50. 50, ſia appli-cata tal linea, dipoinel modo detto, conſiderato il frutto an- C A P O II. nuo, tante volte ſi replica l’operatione, ſin che ſi venga ad ha-uer allargato il compaſſo, in modo che comprenda il doppio della linea data da principio: e con quante operationi verrai ad hauere tal linea doppia della data, tanti anni ſi ricercano per raddoppiar il capitale.

Dalle coſe dette ſi raccoglie anche il modo per tramutar tra di ſe le ſpecie delle monete, eſſendo conoſciuto il lor valo-re, riducendolo prima alla medeſima ſemplice denominatio-ne; come ſe il valore d’vna ſpecie di moneta foſſe compoſto di lire, e ſoldi, ſi riduce il valor d’ambidue in ſoldi, e così dell’ altre denominationi di valore, e quando fatta queſta riduttio-ne riuſciſſero i numeritroppo grandi, baſterà prendere, di ambidue li numeri eſprimenti il valore, vna medeſima parte aliquota. Per eſſem pio s’hanno a ridurre Ongari in Doppie; eſſendo il valor dell’Ongaro 17 giulij, quello della Doppia 30 giulij, è manifeſto, che 30 Ongari ſono 17 Doppie, per-che l’iſteſſo numero ſi produce prendendoſi trenta volte il 17, e prendendoſi diciſette volte il 30. Dunque il numero de gl’Ongari al numero delle Doppie ſarà reciprocamente co-me il valor della Doppia al valore dell’Ongaro. Perciò aper-to ad arbitrio lo Stromento, prendo con vn compaſſo l’inter-uallo 30. 30, e con vn’altro compaſſo l’interuallo 17. 17. Poſcia per ridurre vn numero d’Ongari in Doppie, applico il primo compaſſo all’interuallo corriſpondente al numero dato de gl’Ongari, & il ſecondo compaſſo con la ſua apertu-ra caderà nel numero competente delle Doppie, ò ſe ſi foſſe preſa vna parte aliquota del numero de gl’Ongari, s’haurà ſi-mile parte del numero delle Doppie. Così ſe foſſero dati 180 Ongari, prendo la metà, che è 90, & applico l’apertura del primo compaſſo all’interuallo 90. 90; & il ſecondo com- Pratticain numeri della Regola del Trè. paſſoapplicato, caderà al 51. 51. Dunque conchiudo, che 90 Ongariſono Doppie 51, e perciò 180 Ongari ſono Dop-pie 102. Per il contrario ſe voleſſi cambiar Doppie in Ongari, al numero delle Doppie applico il ſecondo compaſſo, con cui ſi preſe il valore delli Ongari; e l’altro compaſſo darà il numero de gl’Ongari: Siano date Doppie 204, perche il nu-mero è troppo grande, piglio la ſeſta parte, che è 34, & ap-plico il ſecondo compaſſo con la ſua apertura all’interuallo 34. 34, e poi l’altro compaſſo cadendo nell’interuallo 60. 60, moſtra, che ſi come il 34 era la ſeſta parte del numero delle Doppie, così il 60 è il ſeſto delnumero de gl’Ongari, onde Doppie 204 ſi cambiano in Ongari 360.

Che ſe il valore è compoſto di diuerſe ſpecie, come in Vene-tia lo Scudo è lire 9 ſoldi 6, & il Zecchino nuouo lire 17, con-uien riſoluer tutto in ſoldi, ſi che lo Scudo è ſoldi 186, & il Zecchino ſoldi 340, e perciò 340 Scudi ſono Zecchini 186, e nella ſteſſa proportione ſono le parti aliquote ſimili. Onde perche il 340, & il 186 ſon troppo grandi, ſi prende la lor quarta parte 85, e 46 {1/2}, come ſe queſto foſſe il valore (pi-gliandoſi adeſſo non più il valor in ſoldi, mà in groſſetti, eſſen-done 85 groſſetti in vn Zecchino, e 46 {1/2} in vno Scudo) e ſi opera come di ſopra.

Auuertaſi in queſte operationi eſſere molto meglio, e più ſicuro, quando quella prima apertura dello Stromento arbi-traria ſi piglia aſſai grande, perche poi nelle ſeguenti opera-tioni rieſce maggior diſtintione, ſenza pericolo di prender vn’ intiero di più. Vero è che queſta operatione, come mec-canica, non darà la preciſione della frattione aderente a gl’in-tieri, mà queſta poi ſi troua, eſſendo aſſai hauer ſubito notitia de gl’intieri con qualche facilità. Come nel propoſto eſſem- CAPO II. pio ſi vuol ſapere quanti Zecchini ci vogliono per far la ſom-ma di cento ſcudi. Preſi gl’interualli 85, e 46 {1/2}, applico il maggiore all’interuallo 100. 100, che è il numero dato de gli ſcudi, & il minore veggo eſſer più di 54, e meno di 55, onde dico li 100 Scudi cambiarſi con Zecchini 54, & alcune lire di più: E queſte ſi trouano paragonato inſieme il valore di 100 Scudi, e di 54 Zecchini, poiche la loro differenza è quel-lo, che deue aggiungerſi alli 54 Zecchini trouati.

E queſto che s’è detto della traſmutatione delle monete tra diloro, ſi deue intendere di tutte l’altre miſure, ò ſiano dell’iſteſſo paeſe con diuerſe denominationi, o ſiano di paeſi diuerſi con l’iſteſſa denominatione sì, ma con grandezze di. uerſe; perche hauutaſi la loro proportione, ſi tramutano con proportione reciproca. Così perche lo ſtadio Romano è paſſi 125, & il miglio paſſi 1000, mille ſtadij Romani ſono 125 miglia Romane: e perche lo ſtadio Greco era di piedi antichi Romani 600, elo ſtadio Aleſſandrino di piedi 720, è manifeſto, che 600 ſtadij Aleſſandrini erano 720 ſtadij Gre-ci: Onde ſi vede correr quì la ſteſſa operatione, che s’è detta per la traſmutatione delle monete.

Ma forſi troppo lungamente ci ſiamo fermati in moſtrare queſto vſo dello Stromento di Proportione nella Regola del Trè, per deſiderio d’eſſer meglio inteſi dalli principianti: i quali dalle coſe quì dette, potranno raccogliere ciò che deb-ba farſi in caſi ſimili.

Trouar Particelle piccioliſsime d’vna linea.
QVESTIONE DECIMA. Come d’vna linea data ſi poſſano prendere particelle piccioliſsime quante ſe ne voranno.

QVeſta queſtione in ſoſtanza non è diſferente da quello, che s’è detto nella prima, e ſeconda queſtione di que-ſto capo ſecondo, ad ogni modo per facilità mag-giore di chi non foſſe così prattico, ò non haueſſe così ben compreſo, ciò che iui s’è detto, ſi conſidera quì la prattica di trouare vna linea, che contenga vn determinato numero di minute particelle d’vna linea data.

E quì conuien oſſeruare, che ſe bene la linea dello Stro-mento non è attualmente diuiſa, che in 100 parti vguali, ad ogni modo eſsẽdo all’occhio aſſai manifeſta la metà di ciaſcu-na diqueſte centeſime, vien ad eſſere virtualmente ſegnata in 200 parti. Quindi è, che ſe d’vna linea applicata all’interuallo 100. 100. voleſſi hauere {157/200}, baſta ch’io cerchi l’interuallo 78 {1/2}. 78 {1/2}, perche ciaſcuna parte delle ſegnate nello Stro-mento vale per due. Così d’vna linea data ſe bramo hauere {141/153} diuiſo per metà li 153, viene 76 {1/2}, & a queſto interuallo 76 {1/2}. 76 {1/2} applicata la linea data, l’interuallo del numero, che è la metà del 141, cioè 70 {1/2}. 70 {1/2}, mi darà la parte che ſarà {141/153} della linea data.

Mà ſe voleſſi, che tali particelle non foſſero leuate, ma aggiunte ad vna linea vguale, ò moltiplice alla data; ſe bene baſterebbe tirar vna linea indefinita, e da quella leuar vna parte vguale, ò moltiplice alla data linea, & a queſta parte leuata aggiungere le ſudette particelle; ad ogni modo alle CAPO II. volte per ragione, ò della picciolezza della linea, ò del poco numero di dette particelle, riuſcirebbe incommodo il prenderle ſepara-tamente: Perciò in tal occaſione applicata la linea data al numero, che è la metà del deno-minatore delle particelle, ſi intenderanno gl’intieri vguali alla data linea riſoluti in ſimili particelle, & alla lor ſomma aggiunto il nu-mero delle particelle: ò più toſto intendaſi vna ſola parte vguale alla linea data riſoluta in tali particelle, con l’aggiunta del loro nu-mero; e la metà di tal ſomma darà il punto nello Stromento, doue ſi trouerà la linea, che ſi cerca.

Per eſſempio è data la linea H, e ne vor-rei vna, che della detta linea foſſe 1 {71/100}. Perche 100 è il denominatore delle particel-le, applico la linea H all’interuallo 50. 50. Dipoi intendo quell’ altra linea nella parte vguale alla H diuiſa in 100 particelle; e perciò tutta ſara {171/100} della H. Dunque la metà di 171, cioè l’interuallo 85 {1/2}. 85 {1/2}, mi darà nell’inde-finita MN la parte MX, che ſarà 1 {71/100} della li-nea H. Che ſe haueſſi voluto vna linea, che di detta linea H foſſe 4 {71/100}; haurei in vna linea preſo trè vol-te la lunghezza della H, & a queſte haurei aggiunta queſta trouata MX; etutta la linea compoſta ſaria ſtata quella, che ſi cercaua.

E queſto che s’è detto delle parti centeſime, s’intende, quando la linea data non è così grande, che ſe ne poſſa pren- Trouar particelle piccioliſsime d’vna linea. der ò il quinto, ò il decimo, ò altra tal parte da poterſi com-modamente applicar allo Stromento. Poiche ſe la data linea foſſe così grande, che ſe ne poteſſe prendere la quinta parte, & applicarla all’interuallo 100. 100, ſi potriano hauere le milleſime, prendendo quel numero di milleſime, che auanza, cauatine tutti li quinti del mille, cioè tutti li 200, & applican-do la metà del reſto all’interuallo, che gli corriſponde. Come ſe ſi voleſſero {792/1000} della linea; queſta diuiſa in cinque parti, & applicato vn quinto d’eſſa all’interuallo 100. 100, cauo dal 792 trè volte il 200, e perciò prendo vna linea, che ſia trè quinti della data, e queſta ſarà {600/1000}: il reſto 192 applico all’ interuallo della ſua metà, cioè a 96. 96, & aggiunta alli detti trè quinti la longhezza trouata in queſto interuallo, tutta ſarà {792/1000} della data linea. E queſta aggiunta al doppio della li-nea data, farà vna lunghezza, che ſarà alla data come 2 {792/1000}. E così dell’altre.

Nella ſteſſa maniera ſe la linea data foſſe così lunga, che la ſua decima parte poteſſe commodamente applicarſi all’iter-uallo 50. 50, commodiſſimamente ſi trouerà vn’altra linea in proportione ſuperpartiente di milleſime; perche eſſendo vna decima della linea applicata al 50. 50, s’intende detta Deci-ma diuiſa in 100; e così tutta la linea in 1000. Onde ogni me-tà de’puntiſegnati nello Stromento, valendo vna centeſima della Decima, vien ad eſſer {1/1000} della linea intiera. Quindi ſe della linea data, la cui Decima s’è applicata all’interuallo 50. 50, vorrò vn’altra linea, che ſia 1 {96/1000}, prendo il numeratore, come ſe foſſe 196, e la ſua metâ 98 applico all’interuallo 98. 98, e queſta lunghezza aggiungo à noue decime di tutta la linea, poiche ne preſi vna da principio. E generalmente in queſto metodo d’operare, tutto il numero ſi butti in milleſi- CAPO II. me, e poi delle centenara, che ſono in tal numero, ſi prendo-no tante decime della data linea, ma vnadi meno, e col reſto s’operi come s’è detto. Così ſi voglia vna linea, che ſia della data 3 {240/1000}; tutto è 3240 milleſime: delle 32 centenara ne pi-glio 31, ecosì replico la data linea trè volte, e v’aggiungo vna decima: del reſto 140 opro come s’è detto, & aggiungo a queſta linea di 31 decime della data l’interuallo 70. 70, che è la metà di 140: & in tal modo ſarà la linea 3 {240/1000} della data.

CAPO TERZO. Come s’habbia a diuider il Compaſſo di Proportione per le Superficie Piane, & vſo di queſta linea Geometrica.

POiche queſte coſe non ſi ſcriuono per huomini dotti, conuien ricordar à quelli, che ſono men’eſperti, che fi-gure ſimili ſon quelle, che tra di loro hanno gl’angoli vguali (a benche gl’angoli di ciaſcuna ſiano tra di ſe diſuguali) & i lati, che fanno gl’angoli in vna, ſono proportionali alli lati, che fanno gl’angoli vguali nell’altra figura; come le definiſce Euclide nel principio del libro 6, & ilati, che nell’vna, e l’altra figura ſi corriſpondono, ſi chiamano Lati Homologi. In oltre (come ſi dimoſtra nella 19. e 20. del lib. 6.) così li triangoli, come l’altre figure poligone ſimili, hanno trà di loro la pro-portione duplicata, della proportione, che ſi troua trà li lati Homologi; cioè continuando la proportione de’ſudetti lati, come il primo termine al terzo, così le figure trà di loro. On-de ſe per cagion d’eſſempio vn lato è la metà dell’altro, con-uien continuare la proportione di 1 a 2, con vn terzo termi-ne, eſarà 4; e così la proportione di quelle due ſuperficie Capo Terzo Linea Geometrica. piane ſimili è come 1 a 4 Così ſe li lati foſſero come 2 a 3, queſta proportione ſi continua in tre termini, cioè 4, 6, 9, ele ſuperficie ſono trà di loro come 4 a 9: Linea Geometrica. piane ſimili è come 1 a 4 Così ſe li lati foſſero come 2 a 3, queſta proportione ſi continua in tre termini, cioè 4, 6, 9, ele ſuperficie ſono trà di loro come 4 a 9: Capo Terzo Linea Geometrica. piane ſimili è come 1 a 4 Così ſe li lati foſſero come 2 a 3, queſta proportione ſi continua in tre termini, cioè 4, 6, 9, ele ſuperficie ſono trà di loro come 4 a 9: Capo Terzo Linea Geometrica. piane ſimili è come 1 a 4 Così ſe li lati foſſero come 2 a 3, queſta proportione ſi continua in tre termini, cioè 4, 6, 9, ele ſuperficie ſono trà di loro come 4 a 9: e così di tutte l’altre.

Ora ſicome nelli numeri, quando ſon trè minimi numeri continuamente proportionali, li due eſtremi ſono numeri quadrati, per il primo corollario della prop. 2. del lib. 8. e li numeri piani ſimili hanno la proportione duplicata della pro-portione de’lati Homologi, per la 18. del lib. 8. onde ne ſie-gue, che li numeri piani ſimili hanno trà diloro la proportio-ne de’Numeri Quadrati de’lati Homologi; Così parimenti le ſuperficie piane ſimili, hauendo la proportione duplicata de’ lati Homologi, la qual proportione iſteſſa ſi troua trà li qua-drati de’ſudetti lati Homologi, ſi dicono hauere trà di loro la proportione delli quadrati de’lati homologi; Eſe ben ſi potria dire, che dette ſuperficie ſimili hanno la proportione de’trian-goli ſimili, e ſimilmente poſti ſopra li detti lati Homologi; ad ogni modo per eſſer grande la varietà de’triangoli ſimili, che ſopra detti lati ſi ponno intendere, perciò ſi dice più toſto, che hanno la proportione de’quadrati di detti lati, poiche per la vguaglianza de gl’angoli, e de’lati, che è nel quadrato, dato vn lato, e conoſciuto tutto il quadrato.

Quindi è, che per conoſcere qual proportione habbiano due figure ſimili, baſta conoſcere qual proportione habbiano li quadrati de’loro lati Homolgi. E per il contrario conoſciu-ta la proportione de’quadrati, ſi manifeſtarà quella de’lati, la qual è ſubduplicata di quella de’quadrati. Onde ſe ſaranno date due linee, e ſi deſiderino due quadrati nella proportio-ne di dette due linee; conuien trouar trà quelle vna media proportionale, & i quadrati della prima, e della ſeconda han-no la proportione della prima alla terza: e ciò che de’quadra- CAPO II. ti ſi dice, s’intenda anche delle figure ſimili, e ſimilmente po-ſte ſopra la prima, e ſeconda linea delle trè continuamente proportionali. Perciò volendo ſopra vnalinea retta ſegnar ilati di figure ſimili, le quali habbiano vna determinata pro-portione, baſterà che ſopra detta linea ſi ſegnino i lati de’ quadrati nella ſteſla proportione. E queſti ſono facili a tro-uarſi per la 47. del Lib. 1.

Per venir dunque all’atto di ſegnar, e diuidere lo Stro-mento per ſeruircene nelle ſuperficie piane, ſitiri dal centro A, vna linea retta AZ; & vn’altra vguale A S: le quali nonè neceſſario ſegnare ſin ad A, ma baſterà, che comincino à ve-derſi in F, e G; in maniera tale però, che la diſtanza A F ſia capace di 15 diuiſioni, caſo ch’ella foſſe {1/2} di tutta la AZ; di che ſi vedrà la ragione poco appreſſo.

Di poi la diſtanza A F dal punto F ſi vada replicando nel-la linea A Z, in maniera, ch’ella venga diuiſa in parti vguali; che quì non ponno commodamente eſſere più di 8. Mà per far più diuiſioni conuerrebbe, che lo Stromento foſſe più lun-go. Eciò che ſi dice della linea A Z, ſi faccia anche nella A S, ſenza che habbiamo più di meſtieri diricordarlo. Alli punti notati ſi ſcriuano li numeri quadrati, intendendoſi nel punto F 1, e cosìne gl’altri, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, i quali ſono li numeri quadrati di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, conforme, che A 4 è dupla di A F, & A 9 è tripla della ſteſſa A F, e così dell’altre. E più volontieri da me ſi notano le diuiſioni di tal linea con li ſo pradetti numeri quadrati, acciò quelli ſteſſi manifeſti-no l’vſo dital Linea eſlere per le figure piane. La ragione poi di notare tali numeri è, perche eſſendo A 4 doppia di A F, il quadrato di A 4 è quadruplo del quadrato di AF: e perche A 9 è tripla di AF, ilſuo quadrato è noncuplo, ecosì de gl’altri.

Linea Geometrica.

Volendoſi dunque notare ſu la linea AZ ilati de’quadrati, che vanno creſcendo ſecondo l’ordine naturale de’numeri, ſi vede che eſſendo dall’vnità al 4 la diſferenza 3, e dal 4 al 9 la differenza 5, dal 9 al 16 la differenza 7, e così di mano in mano aggiungendo li numeri diſpari, neceſſariamente ne ſie gue, che delle ſette parti della linea F 64 la prima ſi diuide in trè, la ſeconda in cinque, la terza in ſette, la quarta in noue, la quintain vndici, la ſeſta in tredeci, e la ſettima in quindeci. Perciò ſi diſſe, che la diſtanza AG, ò AF, che ſi piglia per il lato del primo Quadrato, douea eſſer tanto lunga, che foſſe capace di 15 diuiſioni. Onde appariſce, che volendoſi pro-ſeguire oltre 64, conuerrebbe che lo Stromento foſſe aſſai più lungo, acciò la AF ſi pigliaſſe così grande, che vi ſi poteſ-ſero commodamente notare tutte le diuiſioni neceſſarie per l’vltima parte, le quali, come s’è accennato, vanno ſempre creſcendo di moltitudine, conforme creſcono li numeri diſpa-ri. Quindi è, che riuſcendo queſte diuiſioni tra di loro diſu-guali, & in maniera, che la diſtanza dal centro A à ciaſcun-punto non hà la proportione del numero, che gli corriſpon-de, cioè A 1 ad A 2, nonè come à 2, anzi più toſto A 2 è tra A 1, & il ſuo duplo Media Proportionale di medietà Geo-metrica; perciò queſta linea in tal modo diuiſa può, e ſuole da molti chiamarſi linea Geometrica, à differenza della pri-ma, che habbiamo chiamato Aritmetica nel Capo prece-dente.

Mà per fare nella linea AZ le diuiſioni per notar’i lati de’ Quadrati moltiplici del Quadrato di AF, ſecondo l’ordine naturale de’ numeri, è neceſſario ſopra vn piano (e ſarà otti-ma vna laſtra dirame ben pulita, poiche in eſſa appariſcono facilmenteli ſottiliſſimi ſegni, che ſi faranno colla punta del CAPO III. Compaſſo) tirar vna linea vguale alla AZ dello Stromento, & in eſſa prender AC vguale alla AF, dello Stromento, e queſta replicarla in 4, 9, 16, & c. E per hauer poile altre diuiſioni, dal punto A ſi tiri la perpendicolare AB vguale alla AC: ma auuertaſi di metter ogni diligenza per farla giuſtiſſimamen-te perpendicolare, e preciſamente vguale alla AC; perche in vna di queſte due coſe, che ſi manchi, ridonda poinelle diuiſioni non picciola imperfettione. Perciò ſarà bene fare la ſudetta perpendicolare più lunga del biſogno, acciò ſi poſ-ſano far le pruoue più accertate, ſe l’angolo A ſia retto: e tro-uatoſiretto, allhora ſe ne taglia la AB vguale alla AC. E ciò fatto, tutto è preparato per le diuiſioni deſiderate.

Prendaſi dunque la diſtanza BC, e ſi traporti in AD, e ſarà A D il lato del Quadrato duplo del Quadrato di AC; come appariſce dalla 47. dellib. 1. eſſendo vgualitra diſeilati AB, A C. Quindi preſa la diſtanza BD ſi traſporti in AE, e queſto ſarà illato del quadrato tripolo del quadrato di AC; perche il quadrato di BD, cioè di AE è vguale alli quadrati di DA, & AB, cioè à trè quadrati di AB, cioè di AC. E così ſuſſe-guentemente pigliando la diſtanza B 4, e traſportandola dal punto A, s’haurà il lato del quadrato quintuplo, & in tal ma-niera ſi procederà in ciaſcun punto, pigliando la diſtanza da quello al punto B, e traportandola sù la linea, che ſi diuide.

E per non far molta fatica poco vtilmente, facendo diui-ſioni non tanto aggiuſtate, ſi potranno di tanto in tanto nel progreſſo far alcune proue per vedere, ſe le diuiſioni ſon fate giuſtamente. Ora perche A 4 è il doppio di AC, cioè AB, preſoſi da principio, ne ſe ne può fiſicamente dubitare, pren-deremo la diſtanza A 4, e poſto vn piede del compaſſo in B, vedremo ſe l’altro piede cade giuſtamente in E, e ſarà ſegno, Linea Geometrica che AE è preſa giuſtamente per il lato del triplo Quadrato. E perche AE fù fatta vguale alla BD, ſarà anche ſegno, che A D fù preſa con preciſione. Mà per eſſaminar anche di van-taggio ſe AD ſia giuſta, ella ſi replichi in H, ſi che AH ſia-doppia di AD: dunque il quadrato di AH è quadruplo del quadrato di AD; e perche il quadrato di AD ſi ſuppone du-plo del quadrato di AC, ne ſeguirà, che il quadrato di AH ſia ottuplo di quello di AC. Dunque in H cade la diuiſione 8. Ora prendendoſi la diſtanza A 9, ſi traporti dal punto B in H, poiche eſſendo BH lato del quadrato noncuplo, ſarà manife-ſto, che AH è lato dell’ ottuplo, e per conſeguenza AD del duplo, come ſi cercaua d’eſſaminare. Che ſe in queſte proue non ſi trouaſſero corriſponderſi li punti così preciſamente, di nuouo s’eſſamini la rettitudine dell’angolo A, e l’vguaglianza di AB con AC, & emendate queſte ſi proceda auanti.

Trouati giuſti queſti punti eſſaminati, con eſſi ſe ne po-tranno eſſaminare de gl’altri, ò anche da principio notare con ſicurezza; perche ſe AD replicata in H cade nel 8, repli-cata di nuouo darà il lato del qnadrato noncuplo di AD, cioè 18, e di nuouo replicata darà il lato del ſedecuplo, cioè 32, e preſa la quinta volta caderà nel termine del lato del Quadra-to, che contiene 25 volte il Quadrato di AD, cioè 50 volte il primo Quadrato di AC Così parimenti AE, che è 3 dupli-cata darà 12, triplicata darà 27, quadruplicata 48. Così A 5 duplicata darà 20, e triplicata 45. A 6 duplicata darà 24, e triplicata 54. A 7 duplicata darà 28, e triplicata darà 63. A 10 duplicata darà 40. A 11 duplicata darà 44, e così del-l’altre ſin’à A 15, che duplicate darà 60.

Per eſſaminare poi gl’altri punti, ſi prenda da vno di queſti già certi, e determinati la diſtanza ſin’à B, e s’applichi in A, CAPO III. e caderà nel punto proſſimamente maggiore; di nuouo ſi prenda dall’iſteſſo punto ſin’ad A, e s’applichi in B, e caderà nel punto proſſimamente minore, ſe da principio s’oprò giu-ſtamente. Come per eſſempio, habbiamo certo il punto di 16, prendo la diſtanza B 16, e dourà darmi A 17; e così A 16 dourà dare B 15: il che ſe ſarà, moſtrerà, che quando ſi preſe B 14 per notare A 15, s’era oprato bene. E così de gl’ altri.

Vn’altra maniera aſſai facile per trouare ilati de’quadrati ſi hà colbene- ficio d’vn ſe-micircolo de-ſcritto ſopta la lunghezza, di cui deu’ eſ-ſere la linea Geometrica; e ſia il ſemi-circolo ſopra la linea AZ.

Prendaſi il lato del primo quadrato in vna commoda di-ſtanza dal centro dello ſtromento; e ſia AF, la quale ſia ap-plicata al ſemicircolo dall’eſtre mità del diametro A, e dal punto F ſi tiri la perpendicolare FG, che prolongata in D ta-gliarà il lato del rettangolo AC. Ora la diſtanza AG ſi re-plichi in H, I, K, & c. quante volte ci può capire; e ſimilmen-re la BD ſi replichi in E, O, & c. le quali ſono vguali alle prime. Tirate dunque le linee EH, OI, & c. ſaranno tutte parallele alla DG, e perciò perpendicolari al diametro AZ, eſega-ranno la circonferenza in S, T, V, X, Y. Dico che A Sè il lato del quadrato duplo di AF, & AT è lato dd triplo, e così di Linea Geometrica mano in mano. Onde ſe queſte linee AS, AT, & c. ſi trapor-taranno ſu la linea Geometrica da diuiderſi, ſarà fatta la giu-ſta diuiſione.

E che queſtiſian’i lati che ſi cercano, è manifeſto dall’ 8. del 6. perche AF è media proportionale trà AZ, & AG, on-de per la 17 del 6 il quadrato di AF è vguale al rettangolo di A Z in AG. Similmente per la ſteſſa ragione il quadrato di A S è vguale al rettangolo di AZ in AH: dunque li quadrati di AF, & AS, ſono come i rettangoli di AZ in AG, & AZ in A H. Mà perche queſti rettangoli hanno la ſteſſa altezza A Z, ſono per la prima del 6. come le baſi AG, & AH, e di queſte la ſeconda è dupla della prima; dunque anche il rettan-golo di AZ, & AH, cioè il quadrato di AS è doppio del ret-tangolo di AZ in AG, cioè del quadrato di AF.

Così dimoſtraraſſi il rettangolo di AZ in AI, cioè il qua-drato di A T, eſler triplo del rettangolo di A C in A G, cioè del quadrato di A F, eſſendo che A I è tripla di A G. E così dituttigli altri. Auuertaſi però, che per hauer il ſemicirco-lo preparato conforme all’intento, baſterà ſegnare nella cir-conferenza i punti doue ſi taglia dalla regola applicata alli punti oppoſti del rettangolo A C, ſenzatirare le linee paral-lele, ne meno le linee ſuttendenti gli archi; perche baſtarà prendere con il compaſſo le diſtanze A F, A S, A T, & c. etra-portarle sù lo ſtromento.

Fatte sù la laſtra dirame queſte diuiſioni (le quali fatte vna volta per vno ſtromento, ſeruiranno all’Artefice per molti altri ſenza nuoua fatica) altro non reſta, che con diligenza-traportarle sù la linea A Z dello ſtromento e nello ſteſſo tem-po, che vna diuiſione ſi ſegna nell’A Z, ſi deue ſegnare nell’ A S, acciò ciaſcuna ſia vgualmente preſa dal centro A. E nel CAPO III. traportarle ſtimo ſarà più facile, eſicuro prender ſempre nel-la linea la diſtanza di ciaſcun punto dall’A: ſe forſi nel pro-greſſo, quando conuien’allargar’ aſſai il compaſſo, non ſi giu-dicaſſe di prendere le diſtanze da traportarſi da vn qualch’ al-tro punto più vicino; nel chel iſperienza inſegnerà a ciaſcu-no ciò, che gli tornerà più a conto per la facilità d’operare, e per la ſicurezza della preciſione, & aggiuſtatezza neceſſaria al fine preteſo. Mà ſe tirate sù lo ſtromento le linee AZ, & AS, ti fidaſſi d’allargar lo ſtromento in modo, che foſſi ſicuro, che le dette due linee faceſſero vn’angolo retto (il che cono-ſcereſti con l’applicatione d’vna ſquadra giuſtiſſima, ouero fatto vn quadrato d’vna linea vguale ad A F, allargaſſi lo ſtro-mento in modo, che il diametro di detto quadrato foſſe l’in-teruallo FG) in tal caſo, ſenza traportar le diuiſioni fatte pri-ma in vna laſtra, ſi potriano far’ immediatamente nello ſteſ-ſo ſtromento ritenuto in quella apertura, poiche è lo ſteſſo, che ſe foſſe vna laſtra.

Se ben’il modo ſin’ora preſcritto per ſegnar’i lati de’qua-drati è ſicuriſſimo, e Geometrico, e perciò il più preciſo; nientedimeno ò gl’Arteficinon vorranno prenderſi tanta bri-ga, la quale forſi ſtimeranno maggiore di quello, che real-mente è, ò alcuno temerà, che quello traportare li punti del-la laſtra sù lo ſtromento poſſa portar qualche variatione, ò anche ſi vorrà con altro modo di operare prouare, quanto preciſamente ſiano notati li punti in queſta linea quadratica, ò Geometrica, che chiamar la vogliamo. Perciò ecco vn’al-tra forma mecanica, in cui ci ſeruirà la linea Aritmetica del Capo precedente.

Queſto conſiſte in eſtrarre la Radice quadrata di ciaſcun numero dall’ 1 ſin’al 64, come ſe foſſe quadrato: e ſe ben’è Linea Geometrica certo, che non eſſendo tutti quadrati, non hanno preciſamen-te la Radice, ad ogni modo ſi può auuicinar’aſſai alla vera Ra-dice, con inueſtigare in parti milleſime la frattione, che s’ag-giunge al numero intiero. Il che ſi fà con aggiunger’al nume-ro, la cui radice quadrata ſi cerca, ſei zeri, poiche così verrà vna radice di quattro figure, el’vltime trè ſaranno milleſime: così per hauere la radice di 3, cauo la radice quadrata dal 3000000, e venendo 1732, dico la radice del 3 eſſer 1 {732/1000}. E così de gl’altri numeri, come nella tauoletta quì aggiunta ſi può vedere; in cui dirim petto à ciaſcun numero ſtà la ſua radice, le cui trè vltime figure ſono milleſime parti dell’vnità. Mà perche nè meno ſi vien preciſamente nel numero delle milleſime, perciò quando viſi dourebbe aggiunger qualche coſa, s’è poſto il ſegno †; come quando l’vltima figura è vn poco troppo grande, e ſi douria leuar qualche coſa, s’è po-ſto il ſegno-: Tutta però la differenza dell’ aggiunger, ò leuare non arriua ad vna milleſima; onde ſi vede, che nell’o-peratione ordinaria di ſtromento non molto grande non può eſſer la differenza d’vna punta di compaſſo; e perciò ſi può adoperare francamente tutto il numero notato.

CATO III. ######## Tauola de’ numeri con le ſue Radici Quadrate eſpreſſe \\ in particelle Milleſime dell’ Vnità. Quad. # Radici # Quad. # Radici # Quad. # Radici # Quad. # Radici 1 # 1000 # 17 # 4123† # 33 # 5744† # 49 # 7000 2 # 1415- # 18 # 4242† # 34 # 5830† # 50 # 7071† 3 # 1732† # 19 # 4359- # 35 # 5916† # 51 # 7142-4 # 2000 # 20 # 4472† # 36 # 6000 # 52 # 7212-5 # 2236† # 21 # 4582† # 37 # 6082† # 53 # 7280† 6 # 2450- # 22 # 4690† # 38 # 6164† # 54 # 7348† 7 # 2646- # 23 # 4796- # 39 # 6245- # 55 # 7416† 8 # 2828† # 24 # 4898† # 40 # 6324† # 56 # 7484-9 # 3000 # 25 # 5000 # 41 # 6404- # 57 # 7550-10 # 3162† # 26 # 5099† # 42 # 6480† # 58 # 7616-11 # 3316† # 27 # 5169† # 43 # 6558- # 59 # 7682-12 # 3465- # 28 # 5292- # 44 # 6633† # 60 # 7746-13 # 3606- # 29 # 5386- # 45 # 6708† # 61 # 7810† 14 # 3742- # 30 # 5478- # 46 # 6782† # 62 # 7874† 15 # 3872† # 31 # 5568- # 47 # 6856- # 63 # 7937† 16 # 4000 # 32 # 5656† # 48 # 6928† # 64 # 8000

E per ſodisfar’al dubbio, che alcuno potria hauere, per qual cagione potendoſi tutte le Radici notare vn poco mag-giori, ò tutte vn poco minori, altre ſi ſiano notate maggiori del douere col ſegno--, altre minori col ſegno †; dico eſſerſi ciò fatto, perche la radice vera è più vicina al numero ſegna-to, che à quello, che foſſe minore, ò maggiore per vna mil-leſima: e pois’è hauuto riſguardo di far sì, che con queſta al-ternatione ora di più, ora di meno ſi venga a conſeruare quanto ſi può la giuſta miſura, la quale, aggiunte inſieme quelle piccole, & inſenſibili differenze, nel progreſſo verreb-be ad alterarſi notabilmente.

Che ſe la lunghezza del lato del primo quadrato non foſſe tale, che occorreſſe eſſer ſollecito delle parti milleſime, ba-ſterà prenderele centeſime, laſciando l’vltima figura della Linea Geometrica tauoletta, maſſime ſe haueſſe aggiunto il ſegno--, e foſſe minore di 5: e ſe queſt’vltima figura foſſe maggiore del 5, & haueſſe aggiunto il ſegno †, potrà accreſcerſi la penultima fi-gura d’vn’ vnità. Come per eſſempio, la radice di 2 è 1. 415, baſterà prendere 141, cioè applicata AF all’interuallo 50. 50 (come s’è detto nel Cap. 2. Queſt. 9.) pigliare l’interuallo del-la metà di detto numero, cioè 70 {1/2}. 70 {1/2}, e queſta ſarà la lunghezza di A 2, lato del quadrato duplo. Per il contrario la radice di 8 è 2828 †, perche l’vltima figura è 8 †, accre-ſco la figura penultima 2 d’vn’vnità, onde ſia la radice in een-teſime 283; e così conſiderata queſta, come ſe foſſe 183, prendo l’interuallo della metà 91 {1/2}. 91 {1/2}, e dal punto F tra-portandolo, ſarà tutta la A 8 radice del quadrato ottu plo: e così de gi’altri. Quando poi l’vltima figura foſſe maggiore del 5, & haueſſe il ſegno--, ouero minore del 5 col ſegno †, ſi può ſicura mente prendere, come ſe non foſſe, ſenza peri-colo disbaglio notabile, maſſime quando nella radice ante-cedente ſi foſſe aggiunta l’vnità alla penultima figura nel mo-do detto.

Mà ſe voleſſi ampliar l’vſo di queſta linea Geometrica à numeri moltiplici delli numeri in eſſa ſegnati, cioè alli dop-pij, triplici & c. baſterà nella AF, & AG laſciate occulte, ſe-gnare il lato de’ quadrati ſubmultiplici del quadrato di AF; perche con vn compaſſo prendi la lunghezza AF, e quefta applica all’interuallo 2. 2. Dipoi ritenuta quella ſteſſa aper-tura dello ſtromento, prendi l’interuallo FG, e queſto trapor-tato dal punto A nelle linee AF, AG, ſegnerà il punto del la-to del quadrato, che è la metà del quadrato di AF. Nell’i-ſteſſo modo la lunghezza AF applica all’ interuallo 33, e l’interuallo FG darà la quãtità da ſegnarſi nelle line AF, AG, CAPO III. e ſarà il lato del quadrato, che è la terza parte del quadrato di AF. E così procedendo in altri numeri, ſe vorrai la quarta, ò quinta, ò ſeſta parte del quadrato di AF. Quindi è che cer-cando illato d’vn quadrato, che ſia al quadrato dato di AF, come 1 12 à 1, ſarà l’iſteſſo, che trouare quello, che ſia come 56 à {1/2} del quadrato AF; ouero volendo vn quadrato, che ſia come 147 à 1, ſarà l’iſteſſo, come ſe voleſſi quello, che è co-me 49 à {1/3} del quadrato di AF. Nel che ſarà vn gran compen-dio nell’operare. Noi però di fatto non habbiamo ſegnato queſti punti delle parti del quadrato di AF, per sfuggire la confuſione del Lettore, acciò nella figura vedendo li molti-plici, eli ſubmoltiplici di AF, non prendeſſe gl’ vni in vece de gl’altri.

E per non replicar più volte l’iſteſſo con tedio di chi legge, auuerti, che queſto ſteſſo, che s’è detto del ſegnare le parti del quadrato in queſta linea Geometrica, ſi potrà far’anche nella linea cubica, di cui ſi parlerà nel Capo ſeguente, ado prando l’iſteſſo modo per ſegnare nelle AH, AI i lati de’cubi ſubmoltiplici. Onde propoſta vna proportione moltiplice, il cui termine maggiore ſupera il maſſimo ſegnato nello ſtro-mento, diuidital numero per vno delli denominatori delle parti notate, & il quotiente darà l’intiero, che hà alla detta parte l’iſteſſa proportione; come appariſce eſſere 147 à 1, come 49 à {1/2}.

Linea Geometrica
QVESTIONE PRIMA. Data vna figura regolare, come ſi poſſa deſcriuerne vn’ altra della ſteſſa ſpecie nella proportione, che ſi deſidera.

FIgura Regolare ſi chiama quella, che hà ne’ſuoi termini, da’ quali è compreſa, tutte le le parti vniformi; perciò quelle, che hanno molti lati, & angoli, ſaranno Regolari, ſe ſaranno Equilatere, & Equiangole; & il Circolo ſe bene non hà, propriamente parlando, nè lati, nè angoli, è però figura regolare, perche le parti della circonferenza, che lo termina, ſono vniformemente diſpoſte: il che non ſi può dire dell’El-lipſi, della Parabola, nè dell’Hiperbola, perche con tutto che i termini di tali figure ſiano regolati da certe, e deter minate conditioni, non ſono però in ogni ſua parte vniformi. Quin-diè, che delle Fortezze alcune ſi chiamano Regolari, perche la figura, che ſi fortifica è Regolare, cioè Equilatera, & Equi-angola. E ſe bene è manifeſto, che non tutte le linee della fortificatione ſono trà loro vguali, eſſendo certo, che la faccia del Baloardo, la ſpalla, ò fianco, ela cortina, ſono trà di loro diſuguali: ad ogni modo, perche tutte le cortine trà di loro, tutte le ſpalle de’Baloardi trà di loro, e tutte le faccie trà di loro ſono vguali, anche per queſto capo ſi puonno chiamar Regolari, à diſferenza dell’Irregolari, doue le cortine ſono trà di loro diſuguali, ele parti d’vn Baloardo non ſon’vguali alle lor’homogenee d’vn’altro Baloardo. Noi però quì par-lando di figure Regolari, prendiamo quelle, che aſſoluta-mente parlando ſon’Equilatere, & Equiangole, conſiderãdo-le aſſolutamente in ſe ſteſſe, e non come ordinate nel circolo.

CAPO III.

Sia primiera- mente data in nu-meri la proportio-ne, che deuono hauere le due figu. re regolari ſimili; & applicato il lato della figura data al numero delle linee Geometri-che AZ, AS, l’in-teruallo, che ſarà al numero, che corriſponde alla, figura cercata, darà il lato, che ſi deſidera. Per cagione d’eſſempio, ſia data la linea R lato dello ſpa-tio, in cui ſtà ordinata vna Batta-glia quadra di terreno, e voglia-mo vn’altr’ area pur quadra, che ſia il doppio, e quattro quinti della prima: sì che la propor-tione della prima alla ſeconda è di 5 à 14. Applico dunque la linea R all’interuallo 5. 5, e poil’interuallo 14. 14 mi darà la linea Slato del quadrato, che ſi cerca.

La dimoſtratione di ciò non è punto diffe- rente da quella, che s’apportò per fonda-mento nel Capo 1. Sia AH vguale all’A 5. & AE vguale all’A 14: HI ſia la linea R, & EL la linea S. Ora perchecome AH ad AE, così HIad EL, come già ſi dimoſtrò, ſarà an- Linea Geometrica. che come il quadrato d’AH al quadrato d’AE, così il quadra-to di HI, cioè di R, al quadrato d’EL, cioè di S, per la 22 del lib. 6: li due primi quadrati ſono come 5 à 14, per la conſtrut-tione dello ſtromento; dunque anche li quadrati di R, & S hanno la ſteſſa proportione.

Dalla ſteſſa propoſitione 22 dellib. 6 ſi dimoſtra, che qual ſi voglia altra ſpecie di figure ſimili, e ſimilmente poſte ſopra le due ſeconde linee R, & S, ſiano di quanti lati, & angoli eſ-ſere ſi vogliano, hanno trà di loro la proportione de’quadra-ti delle due prime linee ſegnate sù lo ſtromento: E così ſe la linea Sfoſſe data lato d’vn pentagono regolare da fortificarſi, e voleſſimo metter’in diſſegno vn’altro pentagono minore nella proportione di 14 à 10, applicata la linea S alli punti 14. 14, prendaſi la diſtanza 10. 10, e ſarà la linea T lato del pentagono regolare, à cui mancano due ſettimi del maggiore pentagono.

E perche ſpeſſo occorre, che douendoſi vn diſſegno tra-portare digrande in piccolo ſecondo vna data proportione, & il lato dato è così grande, che non capiſce nello ſtromen-to; prendaſivna parte aliquota di detto lato, e con eſſa s’ope-ri, come ſe foſſe il lato ſteſſo, perche ſi trouerà la parte ali-quota ſimile del lato cercato; come ſe la ſo pradetta linea S foſſe la ſeſta parte dellato del pentagono maggiore, la linea T trouata ſarà la ſeſta del minore. Perche come S à T, così il ſeſtuplo di S al ſeſtuplo di T, dunque per la 22 del 6, come il pentagono di Sal pentagono di T, cioè come 14 à 10, così il pentagono del ſeſtuplo di S, al pentagono del ſeſtuplo di T.

Per il contrario volendoſi ttaſportar’vn diſſegno d’vna fi-gura regolare di piccolo in grande, può eſſer’il lato dato tale, che non capiſca nell’interuallo del minore de’due numeri CAPO III. eſprimenti la proportione; & in tal caſo ſi trouino altri due termini maggiori nella ſteſſa proportione: Come pereſſem-pio, ſi debba trouar’il lato d’vn poligono maggiore del poli-gono dato nella proportione di 3 à 2. Perche il lato S dato non capiſce nell’interuallo 2. 2, in vece delli due numeri 2, e 3, prendo 14, e 21 nella ſteſſa proportione; & applicato il la-to S al punto 14. 14, la diſtanza 21. 21, cioè la linea V ſarà illato cercato del poligono ſeſquialtero del dato.

Ciò che de’poligoni regolari ſi dice, dee intenderſi anche de’circoli, i quali per la 2 del lib. 12 ſono nella proportione de’quadrati de’ſuoi diametri, e perche li quadrati de’ diametri ſono quadrupli de’quadrati de’ſemidiametri, ſaranno anchei circoli nella proportione de’quadrati delli ſemidiametri. Sì che volendo due circoli in vna determinata proportione, ba-ſterà trouar’i lati de’quadrati nella ſteſſa proportione, e quel-le linee ſaranno li ſemidiametri de’circoli nella bramata pro-portione. Sia data la forma per improntar’vna moneta d’ar-gento; e ſe ne vuol far vn’altra per improntar vna moneta, che nella ſteſſa groſſezza ſia il doppio della prima. Sia la linea R il ſemidiametro della moneta ABC; applico R al punto 5. 5, e preſo l’interuallo 10. 10, trouo T ſenndiametro della mo-neta DEF, che ſarà doppia della prima: perche eſſendo am-bidue della ſteſſa groſſezza, come ſi ſuppone, hanno la pro-portione delle lor baſi circolari, per la 11 del lib. 12, e queſte hanno la proportione de’quadrati delli loro ſemidiametri, co-me s’è detto; e tali quadrati ſono come 10 à 5, cioè vnodop-pio dell’altro.

Di quì vedendoſi, che cauato il circolo minore del mag-giore, reſta il cingolo, ò annello DEFABC vguale al circolo minore ABC, perche egliè la metà del maggiore, ſi raccoglie Linea Geometrica il modo di trouar’vna portione annulare, che habbia la bra-mata proportione ad vn circolo dato, ò ad vn’altra portione annulare. Primieramente dal circolo ABC ſi voglia cauar’ vna portione, che ſia {2/5} dello ſteſſo circolo. Veggo, che ba-ſta trouar’il ſemidiametro d’vn circolo, che ſia al dato circolo, come 3 à 5, & applicato il ſemidiametro dato al 5. 5, l’inter-uallo 3. 3 midà il ſemidiametro del circolo HIK, che deſcrit-to dallo ſteſſo centro laſcia il cingolo ABC, KHI, che è {2/5} del dato circolo ABC.

Secondo. E’dato il circolo HIK, e voglio trouar’vna por-tione annulare, che lo contenga vna volta, e due terzi, cioè, che ſia come 5 à 3, mà che le circonferenze, che la terminano ſiano ambidue maggiori di quella del circolo dato. Applico il ſemidiametro dato al punto 3. 3. E poi à mio piacere prendo vn’interuallo di qualche punto maggiore, come ſaria 10. 10, econ queſto dallo ſteſſo centro deſcriuo la circonfe-renza DEF. Quindi ſe voglio l’altra circonferenza ancor maggiore, perche il cingolo deue eſſere come 5 à 3, prendo l’interuallo di cinque punti più diſtanti dal 10. 10, cioè 15. 15, edeſcritta la circonferenza LMN ſarà il cingolo LMNF-DE al circolo HIK, come 5 à 3: poiche il circolo LMN al cir-colo HIK è come 15 à 3: & al circolo DEF, come 15 à 10, dunque leuato DEF dal circolo LMN, quel che rimane è al dato circolo HIK, come 5 à 3. Mà ſe voglio, che la circonfe-renza maggiore ſia DEF, prendo l’interuallo di cinque punti minori del 10, & è 5. 5; onde la circonferenza ABC termi-narà il cingolo DEFABC, che ſarà al dato circolo, come 5 à 3, come è manifeſto per lo ſteſſo diſcorſo.

Ora dal ſopradetto raccogliendoſi, come li due cingoli AHBICK, & LDMENF ſono come 2 à 5, è chiaro il modo CAPO III. di far due cingoli nella data proportione; come ciaſcuno ſenz’altro nuouo diſcorſo può per ſe ſteſſo raccoglier da quel che ſin’ora s’è detto.

Nella ſteſſa maniera volendoſi vn circolo vguale à tutta la ſuperficie sferica d’vn globo dato, poiche ſi sà da Archime-de lib. de Sph. & Cylind. prop. 30. che queſta è quadrupla del circolo maſſimo di detta sfera, prendaſi il diametro del globo dato, e pongaſi nella linea Geometrica all’interuallo d’vn numero, di cui vi ſia il quadruplo come al 6. 6, e prendaſi l’interuallo 24. 24, che darà il diametro del circolo vguale alla ſuperficie sferica del globo. ll che ſi può fare col ſolo rad-doppiare il diametro del globo. Quindi hauendoſi vn globo piccolo, nella cui ſuperficie foſſero deſcritte le ſtelle, eſe ne voleſſe far vn’altro, la cui ſuperficie foſſe ſette volte maggio-re, acciò più diſtintamente compariſſero le ſtelle; primiera-mente trouiſi il diametro del circolo vguale alla data ſuperfi-cie sferica, come ſi è detto; dipoi queſto diametro trouato ſi metta all’interuallo d’vn numero, a cui ſia nella linea Geo-metrica notato vn’altro ſettuplo, come ſe ſi prendeſſe 4. 4, e poi 28. 28, e queſto ſecondo interuallo darà il diametro d’vn circolo vguale ad vna ſu perficie sferica ſettupla della ſuperfi-cie data Perciò diuiſo tal diametro trouato in due parti vguali, la ſua metà ſarà il diametro del globo di tal ſuper-ficie.

Mà ſe la proportione, in cui ſi deuono formare li due po-ligoni ſimili regolari foſſe eſpreſſa non in numeri, ma con li-nee; conuerrà trà le due linee eſprimenti la proportione tro-uare vna Media proportionale, per la 13 del lib. 6, e ſegnate ſottilmente le prime due delle trè continue proportionali sù le linee Geometriche AZ, AS, (caſo che non cadeſlero in al- Linea Geometrica cuno de’punti in eſſe notati) s’applichi il lato del dato poligo-no all’interuallo, che gli corriſponde, maggiore, ò minore che ſia, el’altro interuallo darà il lato cercato dell’altro poli-gono. Sia eſ- preſſa la pro-portione con le due linee AB, BC, queſte ſi vniſcano in vna, e tuta la AC diuiſa per metà in D, all’ interuallo DA ſi deſeriua il ſemicircolo AEC: e dal punto B alzata la per-pendicolare BE, ſarà la Media proportionale trale due date. Dunque sù le linee Geometriche dello ſtromento AZ, AS, cominciando dal centro A, ſi ſegnino ſottilmente colla punta del Compaſſo le linee BE, & AB: e ſe illato dato deue eſſer minore di quello, che ſi cerca, queſto s’applichi nello ſtro-mento all’interuallo, doue furono ſegnati li ter mini della BE, perche li ter mini della maggiore AB ſegnati nello ſtromen-to, daranno l’interuallo per il lato maggiore. La ragione di queſta operatione è, perche come le linee ſegnate ne’lati, così ſono gl’interualli de’loro eſtremi, come più volte s’è detto; dunque come i quadrati delle ſudette linee, così li quadrati de gl’interualli, per la 22 dellib. 6. Mà il quadrato di AB al qua-drato di BE è come la linea AB alla BC, per la 20 dellib. 6; dunque anche i quadrati de gl’interualli, cioè li poligoni ſimi-li, ſono come AB à BC; come ſi cercaua.

Quì però deue auuertirſi, che queſta operatione non è alli. CAPO III. gata à queſta linea AZ diuiſa per le ſuperficie, mã trouata la Media proportionale ſi può pratticare anche cõ la linea ſem-plicemente diuiſa in parti vguali come nel Capo 2. Dal che ſi caua, che con quella ſola linea diuiſa vgualmente ſi puonno far le operationi de’piani, ſe la proportione de’numeri s’eſpri-me in linee nella ſteſſa proportione rationale, come s’è inſe-gnato nella Queſt. 1. e 2. del Capo 2. e poi tra queſte ſi pren-da vna Media proportionale: poiche traportate la prima, e la ſeconda di queſte tre proportionali ſul lato dello ſtromen-to, gl’interualli daranno ciò, che ſi cerca; come dal già detto è manifeſto. Mà per leuar la briga di trouare la Media pro-portionale, ſi fà queſt’altra diuiſione della linea AZ per i lati de’quadrati commenſurabili.

Che ſe la proportione foſſe eſpreſſa con due figure rettili-nee diſſimili, & irregolari; queſte, per la 14 dellib. 2, ſi ridu-cano à quadrati; e poi, come il lato d’vn quadrato al lato dell’-altro quadrato, così ſi faccia il lato del poligono regolare da-to, al lato cercato del poligono ſimile, che ſi deſidera.

QVESTIONE SECONDA. Data vna figur a irregolare, come ſi poſſa deſcriuere vna ſimile nella bramata proportione.

DVe maniere ſi puonno tenere per venir all’ eſſecutione di queſto problema. La prima è, pigliando i lati del-la figura data, etraportando ciaſcuno sù lo ſtromento al nu-mero corriſpondente all’antecedente della data proportione, epigliando poi, per illato, che ſi cerca, l’interuallo, che dà il numero, con cuis’eſprime il conſegaente di detta proportio. Linea Geometrica ne; auuertendo di far l’angolo ſul fine d’vna linea trouata vguale all’angolo, che nell’iſteſſa poſitura gli corriſponde nel-la figura data. Sia vn Baloardo ABCDEF, e ſe ne voglia far’ vn ſimile, ma ſia vn quarto più di capacità, & ampiezza. Dunque il Dato al Cercato, deue eſſere, come 4à 5. ouero come 16 à 20, come più tornerà commodo eſprimere la propor-tione con numeri maggiori, ò minori.

Per tanto tirate le due linee RF, FS, che facciano l’angolo RFSvguale al’angolo AFE, per la 23 del lib. 1, ſi prenda la mez-za gola FA, es’applichi all’inter- uallo 16. 16, poiche l’intetuallo 20. 20 darà FL, eperciò anche la ſua vguale FM mezze gole del Baloardo maggiore che s’hà à de-ſcriuere. Ciò fatto, dalli punti L, & M s’alzino due linee indefinite, che facciano l’angolo FLI vguale all’angolo FAB, el’angolo FMK vguale all’angolo FED; & applicato il fianco AB all’interuallo 16. 16, ſi trouarà l’inter-uallo 20. 20, che ſarà LI, & il ſuo vguale MK fianchi del Ba-loardo maggiore. Quindi ſi faccia l’angolo I vguale all’an-golo B, el’angolo K vguale all’angolo D, e le due linee IH, KH s’incontreranno nel punto H; e ſarà ſegno, che ſi ſia ben’opra-to, ſe applicando BC all’interuallo 16. 16, l’interuallo 20. 20 darà preciſamente IH.

E' dunque il Baloardo LIHKMF in proportione ſeſqui- CAPO III. quarta al Baloardo dato: poiche, per la 20 del lib. 6. più vol-te mentouata, ſono nella duplicata proportione de’lati homo-logi, cioè come i quadrati di detti lati: ora perche il quadra-to di AF, al quadrato di LF è come 16 à 20, cioè come 4 à 5, anche il Baloardo dato al Baloardo fatto è come 4 à 5.

La ſeconda maniera è, con prender vn’angolo della figura, e da quello tirar linee rette à tutti gl’angoli, che eſcano fuori della figura data: poiche trouata vna ſola linea sù lo ſtro-mento, con ſolo tir ar linee parallele alli lati della data figura, ſarà fatto ciò, che ſi cerca. Sia dato lo ſteſſo Baloardo ABC-DEF, e ſen’habbia à fare, come di ſopra, vno ſeſquiquarto. Prendo il punto F, e tiro la Capitale FC, prolongandola an-che fuori; ſimilmente prolongo FB, FD, FA, FE. Doppo di che applico la Capitale FC all’interuallo 16. 16, e l’inter-uallo 20. 20 mi dà FH Capitale del maggior Baloardo. Ora dal punto H tiro due parallele alle due faccie CB, CD, che rincontrando le prolongate FB, FD in I, & K, fanno le faccie del nuouo Baloardo HI, HK, e ſimilmente dalli punti I, & K tirandoſi le IL, KM parallele alle BA, DE, s’hauranno li fian-chi del Baloardo maggiore, e determinaranno le ſue mezze gole LF, & MF. La dimoſtratione è la ſteſſa, che di ſopra, per la 20 del lib. 6, eſſendo manifeſto per il paralleliſmo del-le linee, che cosìl’vno, come l’altro Baloardo ſono riſoluti in triangoli ſimili.

Fattoſi il diſſegno à queſto modo del maggiore intorno al minore (l’iſteſſa for ma d’operare ſi tiene, quando data vna figura maggiore, ſe ne voglia far vna minore) non è difficile il traportarlo ſeparatamente, ò col Compaſſo di tre punte, ſo-Prapplicandole alli punti FLI, & alla linea FR applicando le punte, che danno la diſtanza FL, poiche l’altra punta mo- Linea Geometrica ſtra il punto I, per tirar la linea LI, e così di mano in mano: Ouero col Compaſſo ordinario di due punte, col beneficio de gl’archi, che ſi tagliano, cioè nella FR pigliaſi la FL, poi all’interuallo LI ſi deſcriue vn’arco occulto, & all’interuallo FI ſe ne deſcriue vn’altro pur occulto, che tagliando il primo in I, dà il punto per tirar la LI. Similmente à gl’interualli IH, & FH altri due archi daranno nella lor’ interſettione il punto H; e nella ſteſſa maniera ſi trouerà il punto K, & il punto M: e congiunti tali punticon linee, ſarà traportato il diſegno fat-to intorno alla figura minore data.

QVESTIONE TERZA. Data vna linea in vn piano, come s’habbia à trouarela grandezza dellalinea, che le corriſponde in un’ altro piano ſimile nella data proportione.

OCcorre alcune volte, che eſſendo data vna ſuperficie piana, in cui ſono deſcritte varie linee, ſenza prenderſi la briga di deſcriuere tutta l’altra ſuperficie ſimile maggior, ò minore nella data proportione, vorriamo ſapere, quanta douria eſſere la grandezza d’vna linea, che in quella ſuperficie da farſi corriſpondeſſe ad vna tal linea, che habbiamo nella ſuperficie data. L’operatione è facile, poiche baſterà nello ſtromento prendere nella linea A Z li due numeri eſprimenti la data proportione de’piani, & applicata la data linea all’ in-teruallo del numero congruente, l’interuallo dell’ altro nume-ro darà la linea cercata.

Sia per cagion d’eſlempio dato in piccolo il diſſegno d’vn’ Orologio à Sole, eſi voglia ſapere, quanto maggiore dourà CAPO III. eſſere lo ſtile d’vn’Orologio totalmente ſimile in vn’altro pia-no dato maggiore. Se non sò quanto maggiore, ſia queſto ſecondo piano. Prendo la lunghezza, ò la larghezza del da-to Orologio, & applicatala alla lunghezza, ò larghezza del piano, in cui s’hà à deſcriuereil nuouo Orologio, veggo, che proportione habbiano le lunghezze tra loro, ò le larghezze tra loro (poiche è tutto il medeſimo) e preſi li quadrati de’ numeri eſprimenti la proportione di dette lunghezze, ò larghezze, queſti daranno la proportione de’ piani. Così ſe la lunghezza del diſſegno ſi contiene ſei volte nella lunghezza del piano, le ſuperficie de gl’Orologi ſaranno come 1 à 36. Dunque prendo la lunghezza dello ſtile A B nel diſſegno, e nello ſtromento l’applico all’ in-teruallo 1. 1; poiche l’interuallo 36. 36 mi darà CD lun-ghezza dello ſtile per l’Orologio da deſcriuerſi nel piano, che è 36 volte maggiore.

Egli è vero, che conoſciuta la proportione de’ lati delle ſu-perficie, il trouar poi queſte linee ſi può fare per quello, che s’è detto nel primo Capo, con la linea dello ſtromento diuiſa in parti vguali per le linee ſemplici, poiche tali linee hanno tra di loro la proportione de’lati delle figure ſimili; Mà ſe ſia data la proportione ſolamente de’ piani, e non quella de’lati, conuien’ operare con queſta linea AZ dello ſtromento nel modo detto: e così ſe la proportione de’piani foſſe data, co-me 1 à 24, la lunghezza dello ſtile douria eſſere CE, prenden-doſi l’interuallo 24. 24.

La dimoſtratione di ciò, che s’è operato è, perche la pro- Linea Geometrica. portione, che vna linea hà ad vn’altra linea dello ſteſſo piano, è l’iſteſſa con la proportione, che nell’altro piano ſimile han-no le due linee homologe, e permutando & c. Dunque data la proportione de’ piani ſimili, le linee homologe de’ detti piani ſono tali, che li loro quadrati ſono nella proportione de’piani dati. Dunque pigliandoſi nello ſtromento tali due linee, che li loro quadrati hanno la proportione de’ piani da-ti, quella è la grandezza cercata della linea homologa alla li-nea data.

Mà ſe occoreſſe, che la linea data foſſe così grande, che nello ſtromento non capiſſe all’interuallo del numero, che le cormſponde ne’ termini della proportione data, prendaſi vn a parte aliquota di detta linea, poiche l’interuallo dell’altro nu-mero della proportione darà vna ſimile parte aliquota della linea, che ſi cerca: perche eſſendo le parti nella proportione de’ſuoi intieri, per la 15 del lib. 5, anche i quadrati delle parti hanno la proportione de’ quadrati de’ ſuoi intieri, per la 23 dellib. 6. Come ſe la proportione de’ piani doueſſe eſſere, come 4 à 63, e la linea nel piano dato foſſe lunga vn palmo, queſta non capirebbe nell’interuallo 4. 4; prendaſi dunque tal parte, che commodamente vi capiſca, e ſia la quinta parte; queſta s’applichi all’interuallo 4 4, el’interuallo 63. 63 darà la quinta parte della linea, che ſi cerca.

Che ſe alcuno de’termini della proportione foſſe eſpreſſo con vn numero maggiore di quelli, che ſono notati nella li-nea AZ, veggaſi s’egli ſi può diuidere per qualche numero quadrato, e ſeruaſi del quotiente, per pigliar nello ſtromen-to l’interuallo, che à tal numero corriſponde; e poiqueſto in-teruallo ſi replichi tante volte, quante vnità ſono nella radice di quel numero quadrato, che ſeruì per diuiſore; che così s’ha- CAPO III. urà tutta la linea cercata. Per eſſempio, ſia dato il ſemidia-metro d’vn circolo, e ſi deſideri il ſemidia metro d’vn’altro cir-colo, che riſpetto al primo ſia come 2 {22/25} à 1. la proportione dunque è come 72 à 25. Applico alli punti 25 25 il dato ſe-midiametro; e perche nella linea AZ dello ſtromento non v’è il num. 72, diuido queſto per vn numero quadrato, come per 9, la cui radice è 3: evenendo il quotiente 8, prendo l’in-teruallo 8. 8: e perche 3 è radice del 9 diuiſore, triplico la li-nea trouata all’ interuallo 8. 8, e cosìhò il ſemidiametro cer-cato d’vn circolo, che ſarà al dato circolo, come 72 à 25. La ragione è, perche l’interuallo 8. 8 dà il raggio d’vn circolo, che è al dato, come 8 à 25. Mà il raggio triplo di quello, è raggio d’vn circolo non cuplo; dunque d’vn circolo, che è come 72.

Similmente ſe ambidue li numeri foſſero troppo grandi, ne ſi poteſſero diuidere per lo ſteſſo numero quadrato, baſterà diuidere ciaſcuno per quello, che ſi può, edella linea data prendere la parte, che dimoſtra la radice quadrata del Diui-ſore del numero, che le corriſponde. Per eſſempio nella fig. 15 la linea CD è in vna figura piana, e ſi cerca la grandezza di quella, che le corriſponde in vn’altra figura piana, cheſia alla data figura, come 99 à 80. Diuido 80 per il quadrato di 2, che è 4, & il quotiente è 20: perciò diuiſa la CD per me-tà (poiche 2 è la radice del Diuiſore) queſta metà applico all’interuallo 20. 20. Poi diuiſo il 99 per 9, il quotiente 11 mi moſtra, che debbo prendere l’interuallo 11. 11, e perche la radice del diuiſore è 3, triplico queſt’ interuallo, e ſarà ciò che ſi cercaua. La ragione è, perche l’interuallo 20. 20 è l’interuallo 11. 11, dannoi lati de’quadrati, che ſonocome 20 à 11. Dunque il primo lato duplicato è lato d’vn qua- Linea Geometrica. drato, che è quadruplo di 20, cioè come 80, & il ſecondo la-to triplicato è lato d’vn quadrato noncuplo di 11, cioè co-me 99.

Se poi li due numeri eſprimenti la proportione del piano ſono tali, che niuno d’eſſi ſi poſſa diuidere per alcuno de’nu-meri quadrati, ſi riducano ad altri numeri, che proſſimamente eſprimano la data proportione, ſe bene non tanto preciſa-mente; quando l’operatione Mecanica non richiede tanta ac-curatezza. Il che ſi fà prendendo ò il maſſimo numero, ò vno de’maggiori di quelli, che ſono notati nello ſtromento, e que. ſto moltiplicato per il minore delli due della proportione, il prodotto diuiſo per l’altro numero, chereſta, cioè per il ter-mine maggiore della proportione, il quotiente darà l’altro numero, che ſarà il termine minore, con cui ſi eſprime la pro-portione ridotta à queſta nuoua denominatione. Per eſſem-pio debbano eſſer due piani, che habbiano la proportione di 223 à 71: prendo per nuouo termine maggiore 62, che mol-tiplicato per il minore 71, produce 4402, il quale diuiſo per il maggiore 223, dà per nuouo termine 19 {165/223}, che è quaſi 19 {3/4}: onde prendendo l’interuallo vn poco minore di 20. 20, s’haurà quanto baſta per operare fiſicamente. Che ſe vi foſſe di meſtieri di maggior preciſione, conuerrebbe in tal caſo operare conforme alle regole della Geometria, trouando la media proportionale tra due linee, che haueſſero la propor-tione data de’piani, e quella media ſaria la lunghezza cercata della linea.

CAPO III.
QVESTIONE QVARTA. Date due figure piane ſimili trouar laloro proportione.

NOn ſi vuol negare, che vi ſiano delle ſigure ſimili, la cui proportione non ſi può eſprimere con numeri, come quelle, che ſono incommenſurabili, & hanno i lati homologi incommenſurabili di lunghezza, e di potenza, come ſi parla nellib. 10 d’Euclide. Adogni modo, per la prattica, à cui ſer-ue queſto ſtromento, baſterà trouare appreſſo di poco, qual ſia la loro proportione. E per far ciò, con due diſtinti com-paſſi ſi prenda la lunghezza de’lati homologi delle figure, cioè di quelli, che ſono frapoſti fra gl’angoli ſimili, e poſta la li-nea minore ad vn’interuallo, che ſi ſtimerà più à propoſito, con-forme à ciò che la prattica inſe-gnarà, veggaſi sù qual’ interuallo capiſca l’altra linea maggiore; & inumeri, ne’quali caderà queſta applicatione, eſprimeranno la proportione. Come per @ſſem-pio, ſono dati li due Baloardi ſi-mili, e ſi deſidera ſapere, che pro-portione habbiano; prendo con due compaſſi la lunghezza delle faccie CD, & HK; & applicata CD all’interuallo 24. 24, trouo, che HK cade nell’interuallo 30. 30, onde cauo, che le lor’aree ſono come 24 à 30, cioè come 4 à 5.

Linea Geometrica.

Equì è da auuertire eſſer meglio applicare la linea minore à tal’a pertura dello ſtromento, che la maggiore venga à ca-dere verſo li numeri maggiori, perche eſſendo li punti delle diuiſioni verſo il fine dello ſtromento tra diloro poco diſtanti, ſi vien’anche à trouare più preciſamente l’interuallo capace della maggiore, paſſandoſi dall’vn punto all’ altro con poca differenza, doue che nelle parti dello ſtromento più vicine al centro non è così facile, che ſi affron-ti preciſamente in tal’apertura, che li due Compaſſi ſi poſſano giuſtamẽ. te applicare a’pun-ti, che ſi cercano. Così ſia il circolo HIK la larghezza d’vn cannello di bronzo, per cui vno riceue l’acqua dal bottino d’vna fontana; & il circo-lo DEF ſia la lar-ghezza d’vn’altro cannello, per cui l’acqua della ſteſſa fontana ſi deriua ad vn’altro: ſi cerca la pro-portionc dell’acqua, che ciaſcuno riceue, quanto è per queſto capo. Prendo il ſemidiametro, ò il diametro del primo, e l’applico all’interuallo 15. 15; dipoi veggo doue cada il ſemidiametro, CAPO III. ò dia metro dell’altro, e trouo, che cade nel 50; dunquc argo-mento, che l’acqua ſi diuide trà queſti due nella proportione di 15 à 50, cioè di 3 à 10.

Che ſe le linee date foſſero troppo lunghe, già dalle coſe dette di ſopra ſi caua, in qual maniera poſſiamo ſeruirci delle lor parti aliquote. Se ſi piglia d’amendue la ſteſſa parte ali-quota, come la metà, ò il terzo di ciaſcuna, li numeri in cui cadono, eſprimono la proportione, perche la ſteſſa propor-tione è de’quadrati de gl’intieri, e de’quadrati delle parti ſi-mili. Se vna linea è ſtata applicata intiera, e dell’altra s’è ap-plicata vna parte, il numero in cui cade, ſi moltiplichi per il quadrato del denominatore della parte; come ſe la linea mi-nore ſi foſſe applicata al 27. 27, e della maggiore preſa la metà, cadeſſe nel 18. 18, perche il 2 è denominatore della parte, cioè della metà, piglio il ſuo quadrato 4, e moltiplica-to per eſſo il 18, trouo, che viene 72; onde dico, che li piani ſono come 27 à 72, cioè come 3 à 8. Se in vece della metà haueſſe preſo il terzo, e foſſe caduto nell’ interuallo 8. 8, per-che 9 è quadrato del 3 denominatore della parte preſa, mol-tiplicato 8 per 9, all’iſteſſo modo ſi ſaria trouato 72. Se fi-nalmente d’vna linea ſi foſſe preſa la metà, dell’altra il quin-to, il num. della prima ſi molti plicarebbe per 4, e quello del-la ſeconda per 25, che ſonoi quadrati de’denominatori delle parti preſe, & i prodotti eſprimerebbono la proportione cercata de’ piani ſimili.

Linea Geometrica
QVESTIONE QVINTA. Date due, ò piu figure piane ſimili, trouarne vna ſimile vguale à tutte quelle inſieme.

OCcorre alle volte hauer’alcune figure la ſomma delle quali ſi vuol’hauere in vna ſola figura ſimile à quelle: e ſe bene ciò ſi può pratticare, mediante la 47 del lib. 1, come appariſce da ciò, che s’è detto nella deſcrittione di queſte linee Geometriche; ad ogni modo ſenz’altro trauaglio facil-mente ſi troua il lato della figura, che ſi cerca mediante que-ſto ſtromento. Siano dati due, ò più pentagoni, per farne vno ſimile vguale à tutti inſieme. Prendo con tanti compaſ-ſi, quante ſono le figure date, li lati di dette figure, e confor-me alla Queſtione precedente trouo la proportione di dette figure tra di loro: e conſiderati i numeri eſprimenti la pro-portione, li riduco in vna ſomma, & il numero, che ne riſulta è quello, à cui nelle linee Geometriche ſi deue prender l’in-teruallo, per hauer’il lato del pentagono, che ſi cerca. Così ſe ſi è trouato, che la proportione delli dati due pentagoni è co-me 7 à 10. il pentagono vguale à tutti due ſarà come 17; on-de ritenuta quella ſteſſa apertura dello ſtromento, prendo l’interuallo 17. 17, e queſto è illato del pentagono vguale al-li due pentagoni dati.

Mà ſe eſſendo più di due le figure date, ò non haueſſi tanti compaſſi, quante ſon quelle, ouero nella ſteſſa apertura di ſtromento non ſi trouaſſe, che cadeſſero giuſtamente sù li punti, ſi faccia così: ſe ne prendano due di quelli, che caden-do sù li punti moſtrano la proportione, e ſe ne troui vno CAPO III. vguale à quelli, come ſopra, & è ſtato all’interuallo 17. 17. Ritengo con vn compaſſo queſto interuallo, e con vn’altro compaſſo prendo il lato del terzo pentagono dato, & appli-cando queſti due compaſſi alle linee Geometriche con altra apertura di ſtromento, trouo la proportione loro, e cadano per eſſem pio sù li punti 12. 12, e 13. 13: dunque il pentago-no vguale à queſti due ſarà come 25, & all’interuallo 25. 25, haurò il lato conueniente al pentagono vguale alli tre penta-goni dati.

QVESTIONE SESTA. Date due figure piane ſimili, e diſuguali, trouar’vna figura ſimile vguale alla lor differenza.

QVeſta operatione ſeguita per il conuerſo della prece-dente, perche ſe vniti i numeri eſprimenti la propor-tione ſi troua la ſomma, ſottratto il minore dal maggiore ſi hà il reſiduo. Dati dunque due Baloardi ſimili nella figura della queſtione 4, ſe ne voglia far’vno vguale alla lor differenza; prendo in eſſi due lati homologi, per eſſem-pio le mezze gole FE, FM, & applicatele allo ſtromento nel-le linee Geometriche, trouo, che cadono ne’ punti 16, e 20; onde la proportione de’piani è nota; ſottrago il 16 dal 20, & il reſiduo 4 mi moſtra, che all’interuallo 4. 4, haurò la mez-za gola del Baloardo ſimile vguale alla loro differenza.

Linea Geometrica
QVESTIONE SETTIMA. Date due linee, come poſſa trouarſi la terza proportionale.

SI piglino le lunghezze delle due linee date con due di-ſtinti compaſſi, es’appplichino allo ſtromento nel mo-do detto alla queſtione precedente: e ſi oſſerui ſopra quali numeri cadano. Dipoi la lunghezza della prima s’applichi nella linea Aritmetica, di cui ſi parlò nel Capo 2, al numero, che le corriſponde; perche l’interuallo, che nella ſteſla linea Aritmetica darà l’altro numero corriſpondente nella linea Geometrica, ſarà la terza proportionale, che ſi cerca.

Siano date due linee T, V, alle quali conuenga trouare la terza proportionale: le applico nella linea Geometri-ca AZ, AS, etro-uo, che T cade nell’ interuallo 17. 17, & V ca-de nell’interuallo 33. 33. Perciò nella linea Aritmetica A E, AL della figura 1 applico la linea data T all’interuallo 17. 17, el’interuallo 33. 33, nella ſteſſa linea darà la terza propor-tionale X. La dimoſtratione è manifeſta, perche di tre con-tinue proportionali la proportione della prima alla terza è duplicata della proportione della prima alla ſeconda, cioè CAPO III. come il quadrato della prima al quadrato della ſeconda, così la prima alla terza. Or eſſendo il quadrato di T al quadrato di V, come 17 à 33, come moſtrò la linea Geometrica, & eſ-ſendo la T alla X, come 17 à 33, come s’è fatto con la linea Aritmetica; ne ſeguita, che la T alla X hà la proportione del quadrato di D al quadrato di V, e perciò continua la propor-tione della linea T alla linea V.

Quindi ſe ſarà dato il quadrato HO ſopra la linea HI, che rappreſenta vn campo di terra; e ſarà data la linea KL fianco d’vn’ altro pezzo diterra, che debba eſſer’ vguale al detto quadrato HO, ſi vede eſſer neceſſario trouar’vna Terza pro-portionale, à fine, che ſi faccia il rettangolo vguale al qua-drato, per la 17 del lib. 6. Applico dunque le due linee HI, KL alla linea Geometrica, e vego, che cadono ne gl’interual-li quella 14. 14, queſta 49. 49. Perciò nella linea Aritmeti-ca applico la linea KL all’interuallo 49. 49, el’interuallo 14. 14 nella ſteſſa linea Aritmetica midà la KM, onde il rettan-golo ML è vguale al quadrato HO.

Della ſteſſa maniera dato vn ſegmento di circolo, ſi troua-rà il diametro di eſſo circolo: poiche diuiſa la corda per mez-zo, e tirata à perpendicolo vna linea indefinita, ſi ponga in primo luogo l’altezza del ſegmento, nel ſecondo la metà del-la corda, e trouiſi la terza proportionale: e queſta aggionta all’altezza del ſegmento, darà il diametro del circolo, come appariſce dalla 13 del lib. 6.

Linea Geometrica.
QVESTIONE OTTAVA. Come ſi troui vna media proportionale tra due linee date, e ſi faccia vn Quadrato vguale ad vna figura rettilinea.

SE la proportione delle linee date è conoſciuta in nume. ri, ſi applichi nella linea Geometrica vna delle date li-nee all’interuallo d’vno de’numeri, ch’eſprimono la propor-tione delle due linee eſtreme, poiche l’interuallo corriſpon-dente all’altro di detti numeri darà la lunghezza della media proportionale. Mà ſe non ſi sà, che proportione habbiano tra di loro le due linee eſtreme date, queſta ſi troui sù la linea Aritmetica nel modo inſegnato alla Queſtione 5. del Cap. 2, e poi s’opri, come s’è detto.

Sia dato vn triangolo KSL nella fig. della queſt. antece-dente, e ſi voglia vn quadrato, che gli ſia vguale. Per quel-lo, che ſi caua dalla 41. del lib. 1, il ſudetto triangolo è vguale al parallelogrammo rettangolo, che habbia la ſteſſa baſe, e la metà dell’ altezza perpendicolare, ò la ſteſſa altezza è la metà della baſe. Dunque ſe ſi trouerà vna media proportio-nale tra la baſe, e la metà dell’ altezza perpendicolare del triangolo, queſta ſarà il lato del quadrato vguale al triango-lo dato KSL, eſſendo che per la 17 del 6, il quadrato di quel-la è vguale alrettangolo ſotto le due eſtreme. Diuido dun-que per metà l’altezza SL in R, e nella linea Aritmetica ap-plicate KL, & LR, trouo, che la prima è 49, la ſeconda 14: perciò nella linea Geometrica applico KL all’ interuallo 49. 49, e nella ſteſſa preſo l’interuallo 14. 14, dà la linea HI me- CAPO III. dia proportionale cercata, il cui quadrato HO è vguale al da-to triangolo KSL. E che HI ſia la media proportionale cer-cata è manifeſto, perche per la coſtruttione dello ſtromento il quadrato di KL al quadrato di HIè come 49 à 14, cioè co-me la linea KL ad LR: dunque eſſendo la proportione di KL ad LR duplicata della proportione di KL ad HI, ſaranno continuamente proportionali KL, HI, LR. Che ſe la figura ſia di molti lati, ſi riſolua in triangoli, & in ciaſcheduno ſi tiri la perpendicolare, etrouiſi il quadrato di ciaſcun triangolo, e poi per la queſt. 5. ſi troui il quadrato vguale à tutti queſti quadrati.

QVESTIONE NONA. Deſcriuere con facilità vna Parabola.

EDimoſtrato, che nella Parabola li quadrati delle linee Applicate al diametro ſono in tal proportione, quale hanno le Saette (che ſono la parte del diametro intercetta tra’l punto dell’ Applicatione, & il Vertice della Parabola) eſſendoche ciaſcun Quadrato delle Applicate è vguale al ret-tangolo fatto dalla Saetta, e dal lato Retto; e perciò hauen-do tutti i rettangoli l’altezza medeſima, che è il lato Retto, hanno la proportione delle baſi, cioè delle Saette.

Preſo dunque il Diametro della Parabola ſi diuida in quan-te ſi vogliano parti vguali cominciando dal Vertice, e per i punti delle diuiſioni ſi tirino linee parallele tra di loro, ò ſiano perpendicolari al diametro, ò oblique, come più piacerà. Dipoi prendaſi il lato Retto, ſe è dato, e tra eſſo, e la prima Saetta, trouiſi vna Media proportionale, per la queſt. 8, e que- Linea Geometrica ſta ſarà la grandezza della prima Applicata. Ciò fatto, pon-gaſi queſta prima Applicata tra li punti 1. 1. della linea Geo. metrica; e poſcia preſa la diſtanza 2. 2. ſi ponga nella ſecon-da parallela, e ſarà la ſeconda Applicata; nella terza paral-lela ſi metta la diſtanza 3. 3. e ſarà la terza Applicata, e così di mano in mano. Finalmente la linea, che paſſarà per que-ſti punti eſtremi delle Applicate, ſarà Parabolica.

Che ſe il lato Retto non è dato, prendaſi la prima Appli-cata grande ad arbitrio, e ſi operi, come ſi è detto; e ad vna delle Saette, & alla ſua Applicata trouandoſi per la queſt. 7. la Terza Proportionale ſarà illato Retto di tal Parabola.

QVESTIONE DECIMA. Data vna Parabola in vn Cono dato, trouar vn Quadrato à lei vguale.

SIa dato il Cono ABC, e dal punto D ſia fatta la Settione, che genera la Parabola FDG. Or eſſendo DE paralle-la ad AB, come CA à CB, così CD à CE, la quale perciò, per la queſt. 3. del capo 2, ſarà no-ta. E perche CB è diametro del circolo BFCG, tagliata ad angoli retti dalla ſettione FG, perciò tra CE, & EB ſi troui la Media Proportionale, e ſarà EG, conforme alla 13. del 6. Ora il Maſſimo Triangolo della Parabola ha per baſe FG, e per altezza ED Aſſe della Parabola, e perciò è vguale al rettangolo fatto da ED, EG. CAPO III. Dunque tra ED, EG ſi troui vna Media proportionale, e ſia per cagione d’eſempio la linea H; & il quadrato di queſta ſa-râ vguale al Triangolo maſſimo della Parabola FDG. Final-mente, perche dalle coſe dimoſtrate da Archimede la Para-bola al ſuo maſſimo Triangolo è come 4 à 3, quella linea vl-timamente trouata Hpongaſi nella linea Geometrica all’in-teruallo 3. 3, e poi ſi prenda l’interuallo 4. 4: che queſto darà vna linea il cui quadrato è vguale alla Parabola data, eſſendo anch’egli ſeſquiterzo del maſſimo Triangolo medeſimo.

QVESTIONE VNDECIMA. Date due linee vguali, che ſitagliano per mezzo obliquamēnte, deſcriuere intorno ad eſſe vn’ Ellipſi.

SIano le due linee AB, CD, che ſi tagliano per mezzo ob-liquamente in E; & intorno ad eſſe habbiaſi à deſcriuer vn’ Ellipſi, di cui elle ſono i diametri coniugati vguali. Prima ſi trouino gli Aſſi: il che breuemente ſi fà tirando le linee AC, AD; e queſte diuiſe vgual-mente in F, e G, dal centro E ſi tirino le linee EH, EI indefinite: Queſte ſi di-moſtra, che ſonogli Aſſi, perche eſſen-do li punti D, A, C, eſtremità delli dia-metri vguali dati nella circonferenza dell’Ellipſi, così la linea AD, come la AC ſono Applicate, quella al diame-tro EI, e queſta al diametro EH. Ora perche AE è vguale ad EC, per l’hipo- Linea Geometrica teſi, & AF vguale à FC per la coſtruttione, e FE è commu-ne, ſono li Triangoli AFE, CFE vguali, egli angoli poſti à F ſono vguali, e perciò retti: dunque il diametro EH è Aſſe. Similmente ſi dimoſtra gli angolià Geſſer retti, cper conſe-guenzail diametro EI eſſer Aſſe.

Per trouar il termine de gli Aſſi, dal punto A ſi tiri vna pa-rallela all’altro diametro DC, la quale è Tangente dell’Ellip-ſi, e taglia gli Aſſi in H, & I. Trouiſi dunque tra EF, & EH, la media Proportionale EL, per la queſt. 8, e queſto è il termi-ne dell’ Aſſe maggiore: e ſimilmente tra EG, & EI trouiſi la Media proportionale EK, & è K termine dell’ Aſſe minore. Tirata per tanto la KL è Applicata al diametro AB.

Ciò fatto, nel Diametro AB prendanſi quelli punti che ſi vogliono M, P, & altri, e ſi tirino linee parallele all’Applica-ta KL, ò pure al diametro DC, che tutto torna allo ſteſſo. E per hauere la quantità di queſte, ſi prenda, per la queſt. 8, la media proportionale tra li due ſegmenti del diametro: così tra AM, MB ſia MN; e tra AP, PB ſia PR, e così dell’altre: perche li punti N, R, & c. ſono anch’eſſi nella circonferenza ſteſſa con gli altri. Il che ſi dimoſtra, perche nell’ Ellipſi i Quadrati delle Applicate ſono nella proportione delli Ret-tangoli fattidalli ſegmenti del diametro, à cuiſono Applica-te. Onde come il rettangolo AOB al rettangolo AMB, così il Quadrato OL al Quadrato MN: e così in realtà ſono, eſ-ſendoſi poſte OL, MN medie Proportionali.

E che li Quadrati delle Applicate all’vno de’Diametri con-iugati vguali, ſiano vguali alli Rettangoli fatti dalli ſegmenti, è manifeſto; perche come il rettangolo AEB al Quadrato EC, così il rettangolo AOB al Quadrato OL: Mà ilrettangolo AEB è vguale al Quadrato EC (eſſendo vguali le trè linee CAPO III. EA, EB, EC, per l’hipoteſi) dunque anche il rettangolo AOB è vguale al Quadrato OL, & AMB al Quadrato MN.

Auuertaſi dalli meno prattici, che tal modo di deſcriuere l’Ellipſi con le Medie proportionali al modo ſodetto, conuie-ne ſolo alli diametri coniugati vguali.

Nella maniera che ſi è deſcrita vna quarta parte dell’El-lipſi, ſi fà il quadrante oppoſto; e l’iſteſlo artificio ſi vſa con gli altri quadranti; il che non hò fatto in queſto eſempio per isfuggire la confuſione delle linee. Che poi HS, & IZ ſiano gli Aſſi, che ad angoli retti ſi tagliano in E, è maniſeſto; per-che da E vſcendo trè linee EA, EC, ED vguali, quello è cen-tro del circolo, che paſſa per li punti eſtremi, onde CAD è an-golo retto, eſſendo nel ſemicircolo; e perciò AC, & IE ſono parallele, e l’angolo IEF è vguale all’angolo AFE retto, poi-che tutti due inſieme ſi vguagliano à due retti.

QVESTIONE DVODECIMA. Data vna portione di Ouato trouar il reſtante del ſuo diametro.

SIa data la portione Elliptica BAC, in cui ſia tirata la retta BC, e diuiſa per mezzo in D; à queſta tiriſi parallela vn’altra linea EF ſimilmente diuiſa in G. Quindi per D, e G tirata la retta DA ſa-rà parte del Diametro, di cui ſi cerca il re-ſiduo DH. Prendanſi le Applicate DC, e FG, e la proportione de’ loro Quadrati ſi troui nella linea Geometrica: Dipoinella linea Aritmeti- Linea Geometrica ca ſi troui la proportione delle linee GA, DA.

Ora, perche come il Quadrato di GF al Quadrato di DC, così è il rettangolo AGH al rettangolo ADH; perciò à fine di trouare la DH, queſta ſi metta I℞ al modo gli Algebriſti. Eſappongaſi, che GA ſia 3, e DA ſia 5: dunque GD è 2: e così GH è 2 + I℞. Dunque il rettangolo AGH è 6+3℞, & il rettangolo ADH è 5℞. Quindiè, che trouatoſi il Quadrato di GF eſſere 17, & il Quadrato di DC 25 (per cagion d’eſſem-pio) ſarà come 17à 25, così 6 + 3℞, à 5℞: e per la 16 del 6, ò 19 del 7. ſaranno 85 ℞ vguali à 150 † 75℞, e leuate da ambe le parti 75℞, reſtano 10℞ vguali à 150; diuiſo 150 per 10, il Quotiente 15 dà la quantità di vna Radice, cioè DH, che è 15 parti di quelle, che in DA ſono 5; e tutto il diametro AH è di parti 20.

Quindi per vedere ſe il diametro AH ſia Aſſe dell’Ellipſi, oſſeruiſi, ſel’angolo CDA ſia retto, ò nò: il che facilmente ſi farà mettendo nella linea Geometrica la DC all’interuallo 25. 25, come ſi trouò; e vedendo doue capiſca la DA, aggion-ganſi queſti due Quadrati. Dipoi tirata la retta AC anch’ella applicata alla linea Geometrica, ritenuta la ſteſſa apertura dello ſtromento, moſtrarà il ſuo Quadrato: il quale ſe ſarà vguale alla ſomma di que’due Quadrati, l’angolo CDA è ret-to, per la 48 del 1: ſe è maggiore, l’angolo è ottuſo per la 12 del 2, e ſe è minore l’angolo è acuto per la 13 del 2. Se dunque non è angolo retto, quel diametro non è Aſſe.

CAPO III.
QVESTIONE DECIMATERZA. Dalli due diametri d’vn Ellipſi trouar l’area.

PRimieramente ſi faccia come 14 à 11, così il Quadrato del diametro maggiore ad vn’altro, e ſarà l’area del circolo di detto diametro, per la 2. di Archimede lib. de di-menſ. circuli. Dipoi per le coſe dimoſtrate dall’ iſteſſo Archi-mede lib. de Conoid. & Sphæroid. prop 5. Facciaſi come il diametro maggiore al minore, così il Quadrato del diame-tro maggiore ad vn’altro, e ſarà l’area dell’Ellipſi.

Perciò nelle linee Geometriche pongaſi la linea data, che è maggior diametro dell’Ellipſi, all’interuallo 14. 14, e di poi prendaſi l’interuallo 11. 11, e ſarà lato d’vn Quadrato vguale al circolo di detto diametro.

Dipoi habbiaſi in numeri la proportione delli due Dia-metri dati, e ſia per cagion d’eſſempio 15 a 13: Dunque quell’interuallo trouato tra 11. 11, ſi ponga tra 15. 15, poi-che l’interuallo 13. 13, darà illato del Quadrato, che è vguale all’area dell Ellipſi cercata.

Finalmente queſt’vltimo lato trouato ſi paragoni col dia-metro maggiore dato, e sì come è noto il Quadrato di eſſo diametro maggiore, cosìſarà noto il Quadraro del lato vlti-mamente trouato, e per conſeguenza ſarà nota l’area dell’ Ellipſi.

Linea Geometrica
QVESTIONE DECIMAQVARTA. Dato vn numero, trouare la ſuaradice quadrata.

E’Vero, che non tutti li numeri ſono quadrati, e perciò non hanno la radice preciſa, ad ogni modo, per le ope. rationi Fiſiche, ci baſta la radice più vicina ne’numeri intieri, e nel formare ſquadroni quadri di gente, non occorre ſaper li rotti. Mà perche tutti li numeri diſotto del 100. ſono di due ſole figure, perciò nello ſtromento non ſi trouerà imme-diatamente, che la radice di numeri non maggiori di quattro figure, perche vn numero ditre, ò quattro figure hà la radice di due figure, mà ſe il numero habbia cinque, ò ſei figure, la radice è di tre figure, come è manifeſto, & allhora ſi richiede qualch’altro artificio da ſpiegarſi. Ora ſe è nota la proportio-ne di due quadrati, la ſubduplicata è la proportione delle loro radici, e così di quali parti è vna, ditali ſarà anche l’altra. Per-ciò dato vn numero, ſappiamo, che proportione habbia ad vn’altro numero, preſi tutti due come quadrati nella linea Geometrica. E ſe ſarà nota la radice d’vno nella linea Arit-metica, ſi manifeſterà anche l’altra radice in particelle ſimili. Quindi è, che dato vn numero d’alcune figure, ne piglio vn’altro ad arbitrio, mà preciſamente quadrato, il quale ò tutto intiero, ò gettati via li zeri, ſia tra li numeri ſegnati nella linea Geometrica. Et il numero dato ò tutto intiero, ò getta-te via tante figure, quanti zeri ſi leuarono dal quadrato pre-ciſo, lo prendo al ſuo interuallo nella linea Geometrica, allar-gato lo ſtromento ad arbitrio: e poi con vn’altro Compaſſo prendo l’interuallo del numero preciſamente quadrato nel CAPO III. modo detto, tolto ad arbitrio. Poſcia nella linea Aritmetica applico queſto ſecondo interuallo al numero, che è radice co-noſciuta del quadrato precilo, el’altro interuallo darà nella linea Aritmetica la radice cercata.

Sia dato il numero di Soldati 5400, di cui deſidero la radice quadrata per ſapere, quanti debbano eſſer per fronte, volen-do far ſquadrone quadro di gente; leuo li due zeri, & aperto lo ſtromento ad arbitrio, prendo nella linea Geometrica l’in-teruallo 54. 54. Eritenuta quell’apertura di ſtromento, pi-glio nella ſteſſa linea l’interuallo d’vn numero preciſamente quadrato, come 4. 9. 16, ò altro tale. Sia preſo per eſſempio l’interuallo 9. 9, la cui radice è nota eſſere 3. Ora perche ſi gettaron via due zeri dal numero dato 5400, s’intendono le-uati due zeri anche dal 900; ſono dunque li due quadrati ap-plicati nella proportione di 900 à 5400; e così la radice del primo è 3 con vn zero, cioè 30. l’interuallo dunque 9. 9 del-la linea Geometrica applicato nella linea Aritmetica al 30. 30, l’apertura dell’altro Compaſſo, che daua 54. 54 nella li-nea Geometrica, caderà nella linea Aritmetica all’interuallo 73. 73, e così dico la radice del numero 5400 eſſere 73, e perciò eſſere 73 file di Soldati, ciaſcuna delle quali ne hà 73 difronte.

L’iſteſſo ſarebbe, ſe in vece di prendere 9. 9 ſi foſſe preſo 25. 25, poiche quell’interuallo 25. 25 della linea Geometri-ca applicato nella linea Aritmetica al 50. 50, ſimilmente hauria dato l’intiero 73 per radice del 5400. Mà perche quell’interuallo è vn poco maggiore del 73. 73, è ſegno, che al numero 73 và aggiunta vna frattione.

Mà ſe il numero dato foſſe ſtato 5486, ſaria ſtato bene in vece di 54 prendere 55, poiche quel numero più s’accoſta Linea Geometricâ al 5500, & allhora la radice, che viene 74 è proſſima alla vera: il che deue farſi, quando ſi tagliano due figure, che paſ-ſano la metà di 100, poiche in vece del numero intiero s’ope-ra col ſubcentuplo.

Che ſeil numero, di cui ſi cerca la radice, foſſe piccolo in modo, che nello ſtromento non ſi poteſſe facilmente prender nella linea Aritmetica l’interuallo proprio, ſi prenda il decu-plo, e ſi trouerà in decime la frattione attaccata all’intiero. Come per eſſempio, cerco la radice di 18 piedi, che ſono l’a-rea d’vn piano da ridurſi in quadro: prendo nella linea Geo-metrica l’interuallo 18. 18, e poi nella ſteſſa prendo l’inter-uallo d’vn numero quadrato, per eſſem pio 49. 49, la cui ra-dice è 7: mà perche rieſce ò ſcommodo, ò impoſſibile met-tere quell’interuallo nella linea Aritmetica al 7. 7, lo metto al 70. 70, e trouando, che il primo interuallo preſo cade quaſi al 42 {1/2}. 42 {1/2}, poiche li 70 non erano ſe non 7, così li 40 non ſono ſe non 4, & il reſto dà li decimi d’vn’intero, perciò dico, che la radice di piedi 18 è piedi 4 {1/4} quaſi, ma certo è più di 4 {1/5}, perche cade in vn’interuallo maggiore di 42. 42, cioè maggiore di 4 {2/10}.

Occorrendo poi, che il numero foſſe ditre ſole figure, ò anche di due, ma maggiore del maſſimo quadrato notato nella linea Geometrica, prendaſi vna parte aliquota di eſſo tale, che ſia minore del numero 64 maſſimo delli notati nel-la linea: e queſto interuallo s’applichiad vn’altro numero in tal linea, il qual’habbi vn’altro così moltiplice, come tutto il numero è moltiplice di quella parte preſa; e queſto vltimo in-teruallo del moltiplice ſarà l’interuallo, che nella linea Arit-metica moſtrerà, quanti intieri, e quante decime habbia la radice. Per eſſempio, cerco la radice di 96: perche è troppo CAPO III. grandeil numero, piglio la metà 48, e prendo nella linea Geo-metrica l’interuallo 48. 48, e con vn’altro Compaſſo l’inter-uallo per eſſempio 4. 4, la cui radice è 2, ma per commodità nella linea Aritmetica s’applicherà all’interuallo 20. 20, onde poi s’hauranno li decimi dell’vnità: ſe ſi applicaſſe alla linea Arit metica, l’interuallo preſo 48. 48 non hauriamo ſe non la radice della metà del quadrato, & eſſa caderebbe all’interual-lo 69. 69, cioè la radice ſaria 6 {9/10}, onde per hauer la radice del doppio quadrato, cioè di 96, conuerrebbe raddoppiare la radice trouata, e tra 69 decime, e 138 decime trouare il medio proportionale 9 {7/10}. Mà per trouare ciò ſenza fatica di calcolo in trouar queſto medio proportionale, prendo quell’-apertura di compaſſo, che pigliaua l’interuallo 48. 48, e l’ap-plico nella linea Geometrica all’interuallo 10. 10, e poi (per-che 48 è la metà di 96) prendo l’interuallo del doppio di 10, cioè 20. 20, e queſto applico alla linea Aritmetica, in cuil’a-pertura dell’altro Compaſſo è applicata al 20. 20, e trouo, che queſt’vltimo interuallo cade nel 97. 97, e quaſi nel 98. 98, onde conchiudo, chela radice del numero 96 è 9 {7/10}, e quaſi 9 {8/10}.

E perche operando in tal maniera occorrerà, che l’interual-lo vltimo da applicarſi alla linea Aritmetica ſarà tale, che non capirà nell’interuallo dell’a pertura dello ſtromento, perciò ti-riſi vna linea lunga quanto porta queſt’interuallo preſo nella linea Geometrica: e poi preſo nell’ Aritmetiche l’interuallo 100. 100, ſi leui dalla linea tirata; il reſto della linea s’appli-chi all’interuallo dell’ Aritmetiche, e s’haurà il numero da aggiungerſi al 100: tutte le decine ſaranno vnità, il reſto da-rà i decimi dell’vnità. Per eſſempio cerco la radice di 156: perche è troppo grande, piglio la terza parte, che è 52, e nel- Linea Geometrica. le linee Geometriche prendo l’interuallo 52. 52, e con quell’ apertura prendo l’interuallo d’vn numero quadrato, per eſ-ſempio 4, la cui radice è 2, e queſto interuallo s’applicherà nell’Aritmetiche al 20. 20. Dipoi quell’apertura di compaſ-ſo, che daua l’interuallo 52. 52, allargato lo ſtromento, la metto nelle ſteſſe linee Geometriche ad vn numero, che hab-bia il triplo, per eſſempio al 15. 15, e poi prendo il triplo, cioè 45. 45. E queſto è l’interuallo, che darà la radice di 156. Mâ perche applicato il ſecondo Compaſſo nelle linee Arit-metiche, come ſi diſſe, al 20. 20, queſt’ altro interuallo non ci capiſce; perciò alla miſura di queſto interuallo tiro vna linea, e preſo il maſſimo interuallo delle linee Aritmetiche 100, 100, lo taglio dalla linea deſcritta, e quel che auanza della linea, l’applico allo ſtromento, e vedo, che cade all’in-teruallo 24. 24: onde conchiudo eſſere 124 decime, cioè 12 {4/10} la proſſima radice di 156.

Di quì ſi caua il modo ditrouar la radice quadrata anche de’ numeri maggiori di quattro figure, perche ſe ſarà il num. 18412, dicui ſi cerchila radice quadrata, getto via le due vltime figure 12, e del reſto 184 prendo la quarta parte, che è 46, e nelle linee Geometriche prendo la diſtanza 46. 46, e con vn’altro Compaſſo l’interuallo di qualche numero qua-drato, per eſſempio 9. 9; e così, come quello 46 è di centina-ra, così anche queſto 9, onde ſono due quadrati 900, e 4600; e queſto è la quarta parte del numero propoſto, dunque ap-plicando queſto interuallo ad vn numero, di cui ſi troui il quadruplo, per eſſempio al 15. 15, l’interuallo 60. 60, ſarà la radice del quadrato 18400. Dunque applicato quell’in-teruallo 9. 9, preſo da principio col ſecondo Compaſſo, alla linea Aritmetica al punto 30. 30, l’altro Compaſſo con l’a- CAPO III. pertura dell’vltimo interuallo preſo darà nelle ſteſſe linee Aritmetiche vn’interuallo maggiore dell’interuallo 100. 100. Perciò da vna linea vguale à queſt’interuallo cauo l’interuallo 100. 100, & applicato il reſto di detta linea, trouo, che cade all’interuallo 35. 35, & vn poco più; onde conchiudo, che la radice del numero propoſto 18412 è 135, e qualche coſa di vantaggio.

Due coſe quì ſono da auuertire: la prima è, che li 100 pun-ti della linea Aritmetica potendoſi prendere per 200, ſi può rendere più breue l’operatione, poiche applicandoſi all’inter-uallo 15. 15, come ſe foſſe 30. 30, verrà l’altro interuallo alli punti 67 {1/2}. 67 {1/2}, in circa, onde immediatamente ſi caua eſ-ſer la radice 135 in circa, come prima. La ſeconda è, che ſe da principio ſi darà alle linee Geometriche l’apertura, pren-dendo prima nella linea Aritmetica ſopra illato la lunghezza corriſpondente al numero, che è radice del quadrato preciſo, come di 30 punti, ò di 15, che s’intendano valer 30, e queſti s’applichino al 9. 9, e poi preſo l’interuallo corriſpondente del numero dato, queſto poi applicato allato dello ſtromen-to sù la linea Aritmetica, ſi potranno hauer le frattioni ade-renti nel modo, che s’è detto nel Capo 2. queſt. 7. verſo il fine.

Seil numero dato foſſe così grande, che lidue numeri mol-tiplicati inſieme, che lo producono, foſſero ambidue mag-giori di quelli, cheſon notati nelle linee, ſe ne prendano tre, che ſiano minori, e lo miſurino, moltiplicati tra di loro. Per eſſempio ſia il numero dato 604812, leuate le due vltime fi-gure, reſta 6048, il quale ſi produce dal 72 per 84, niuno de’ quali ſi troua notato nelle linee Geometriche. Perciò pren-do tre numeri, che inſieme moltiplicatilo producono, e ſono Linea Geometrica 56. 9. 12. Ecosì preſo l’interuallo 56. 56, deuo trouar’il la-to del quadrato noncuplo, e perciò l’applico al 4. 4, il cui noncuplo è 36, el’interuallo 36. 36 ſarà il lato del quadrato noncuplo del primo. E perche à queſto ſi deue trouar’il duo-decuplo, applico queſto ſecondo interuallo al 5. 5, e piglio il duodecuplo, che ſarà all’interuallo 60. 60, e con queſto ope-rando nelle linee Aritmetiche, come s’è detto, trouo la ra-dice quadrata del numero dato 604812 eſſere 777, e quaſi 778, poiche nella linea deſcritta ſi può leuare ſette volte l’interuallo 100. 100, & il reſtante è quaſi 78.

Mà cercando la Radice Quadrata d’vn Rotto, prendi nel-le linee Geometriche li due interualli corriſpondenti al Nu-meratore, & al Denominatore: dipoi traportali nelle linee Aritmetiche, aprendo lo ſtromento in modo, che capiſca, l’interuallo del numero, che vuoi ritenere; poiche l’altro in-teruallo nelle ſteſſe linee darà il numero cercato.

Sia il Rotto {4/9}, di cui ſi cerca la Radice Quadrata: prendo nelle linee Geometriche 4. 4, con vn Compaſſo, e con vn’al-tro 9. 9. Dipoi volendo ritener il Numeratore 4; apro lo ſtromento in modo, che l’interuallo del primo Compaſſo ſi addatti alli punti 4. 4, nelle linee Aritmetiche; poiche l’altro Compaſſo ſi addattarà alli punti 6. 6: onde dirò che la radi-ce cercata è {4/6}, cioè {2/3}. Ouero addattando il ſecondo Com-paſſo, che corriſponde al Denominatore, alli punti 9. 9, tro-uo che l’altro corriſponde alli 6. 6: onde dirò, che la Radice cercata è {6/9}. E perche il 4, & il 9 ſono interualli troppo pic-coli, in lor vece ſi prendano li moltiplici, cioè 40, e 90, ò qualſiuoglia altro. II che molto più ſerue, quando il Rotto dato non hà la Radice preciſa, poiche ſi trouarebbe la Radi-ce più vicina alla vera. Così cercando la Radice di {4/10} ſi tro- C A P O III. uarebbe ben ſi eſſer di denominatione maggiore di {4/6}, mà ſi ſappia appreſſo di poco quanto maggiore; mà applicandoſi li Compaſſi al decuplo, ſi trouarà eſſer di denominatione maggiore di {40/63}. Quindi eſſendo il denominatore troppo pic-colo, la frattione con lo ſteſſo Numeratore è maggiore del douere.

Queſto modo dioperare è fondato nella regola per troua-re tal Radice Aritmeticamente, la quale ſi approſſimi alla vera; cioè ſi moltiplica il Numeratore per il Denominatore: del prodotto ſi caua la Radice Quadrata proſſima; e queſta ſi mette per Denominatore al Numeratore dato, ouero per Numeratore al dato Denominatore. Così per {4/10} ſi caua la Radicc di 40 fatto dal 4 in 10, & è 6 {4/13}: onde la Radice proſ-ſimamente è {52/82}, ouero {82/130}; la prima è maggiore del douere, eſſendo che quadrandoſi vien vna frattione maggiore di {4/10}; la ſeconda è minore del douere, perche quadrandoſi dà vna frattione minore di {4/10}.

E’la ragione di queſto prendere la Media Proportionale tra il Numeratore, & il Denominatore dati, cauaſi dalla na-tura delli Quadrati, cheſono nella duplicata proportione de’ ſuoi lati. Perciò volendoſi la Radice Quadrata d’vn Rotto, ſi cerca vna frattione, il cui Numeratore ſia al Denominatore nella proportione ſubduplicata del Numeratore al Denomi-natore della frattione data. E così ritenuto il primo Nume-ratore, queſta Media Proportionale è il Denominatore; e ſe queſta ſi mette per Numeratore, reſta il primo Denomina-tore.

Linea Cubica
CAPO QVARTO. Come s’habbia à diuidere lo Stromento per i corpi ſolidi: & uſo di queſta linea Cubica.

SI come le ſuperficie ſono terminate da linee, dalle quali riceuono la denominatione, così li corpi ſolidi ſono ter-minati da ſuperficie, e da queſte, ò per la qualità loro, ò per la moltitudine vien denominata la figura ſolida; perchc s’ella è vna ſuperficie ſola in tutti i ſuoi punti vgualmente diſtante dal centro, che s’intende nel mezzo della ſolidità del corpo, ſarà quel corpo vna sfera; ma ſe non hà queſta vgual diſtanza dal centro, ſarà ben sì sferoidale la figura, ma non sfera; tale è la ſuperficie d’vn vouo, & altre tali ò Elliptiche, ò Pſeudoel-liptiche; ma ſe ſono più ſuperficie terminanti il corpo di di-uerſo genere, cioè altre ſuperficie piane, altre curue, & incli-nate à far’vn’angolo ſolido, dalla qualità delle ſuperficie ſi denominarà il corpo, ò Cono, ò Cilindro, ò con altro nome compoſto; come li Conoidi Parabolici, ò Hiperbolici, & c. Que’ſolidi però, che più communemente ſi conſiderano, ſono quelli, che hanno molte faccie, e ſon terminati da ſuperficie piane; e conforme al numero, e qualità di tali ſuperficie ſono chiamati tali corpi, come ciaſcuno sà, e può facilmente vede-re nelle definitioni del lib. 11. d’Euclide.

Ora nella guiſa, che quelle ſuperficie ſi dicono ſimili, le quali hanno vgual numero di linee, che le terminano, e tra loro proportionali: Così le figure ſolide ſimili (che tanto è, quanto dire corpi ſimili) s’intendono eſſer quelle, che ſono terminate da vgual numero di ſuperficie ſimili. Onde ſe le C A P O IV. ſuperficie d’vn corpo ſaranno non ſolamente vguali di nu-mero, ma anche di grandezza alle ſuperficie d’vn’altro cor-po, tali due corpiſaranno vguali, e ſimili; ma ſe le ſuperficie vguali di numero, e diſuguali di grandezza ſono ſimili, li cor-pi ſono ben sì ſimili, ma non vguali. Di queſta maniera vn cubo è ſimile all’altro cubo, perche così l’vno, come l’altro hanno ſei faccie piane, e ciaſcheduna è quadrata; e poiche tutti li quadrati ſon ſimili, perciò anche li cubi ſono ſimili: ma ſe vn quadrato d’vno ſarà maggiore d’vn quadrato dell’altro, ſaranno i cubi diſuguali. Paragonando poi due Parallele pi-pedi (chi non è così prattico de’vocaboli, s’imagini vna tra-ue, vna tauola, ò coſa tale ben ſquadrata) hanno ben sì cia-ſcuno ſei piani quadrilateri, de’quali li due oppoſti ſono pa-ralleli, ma a fine che ſiano ſimili li Parallelepipedi, conuiene che detti piani d’vno ſiano ſimili alli piani dell’altro. Mà par-lando de’Coni, e de’Cilindri, ſe bene potria dirſi eſſer tra loro ſimili quelli, che hanno le baſi, e le ſuperficie Coniche, ò Ci-lindriche ſimili; ad ogni modo per eſſer più immediatamente nota la lunghezza della lor baſe, e la lor’altezza perpendi-colare, ò per parlar più generalmente, il lor’Aſſe, quelli ſono Coni, ò Cilindri ſimili, che hanno gli aſſi, & i diametri delle baſi proportionali; il che però ſi deue intendere con la mede-ſima inclinatione dell’aſſe alla baſe, come è manifeſto, per-che ſe vn’aſſe cadeſſe perpendicolare alla baſe, e l’altro aſſe foſſe obliquo, con tutto, che dettiaſſi haueſſero nella lunghez-za loro la proportione delli diametri delle baſi, non per tan-to ſariano ſimilii Coni, ò Cilindri.

Permeſſe queſte coſe, per più chiara intelligenza, auuerto, che nelle cofe ſeguenti prenderò il nome di Lati Homologi nel ſenſo medeſimo, che s’è detto nel Capo precedente; e per Linea Cubica nome di Piani Homologi intenderò que’ piani, che ne’ due corpi ſimili ſono ſimilmente poſti in ordine à gl’altri piani delle figure, che terminano.

Eſſendo dunque l’vſo di queſto ſtromento di Proportione in ordine alle figure ſimili, per poter’ in eſſo deſcriuere due li-nee talmente diuiſe, che poſſano ſeruir’ al fine preteſo in or-dine a’corpi ſolidi, conuien ſupporre ciò che nel lib. 11, e 12 d’Euclide s’inſegna, cioè, che li ſolidi ſimili ſono nella tripli-cata proportione de’lati homologi, come le sfere ſono nella triplicata proportione de’ſuoi diametri. Il che è quanto dire, che dati due lati homologi di due corpi ſimili, ò due diametri di due sfere, ſe ſi continuarà la proportione ſin’al quarto ter-mine; qual proportione hà il primo al quarto termine, tale è d’vn ſolido all’altro, ò d’vna sfera all’altra. Sì che date quat-tro linee continuamente proportionali, come la prima alla quarta, così il ſolido sù la prima al ſolido ſimile sù la ſeconda.

Quindiè, che data in linee la proportione, che debbano hauere due ſolidi, conuiene tra quelle trouare due medie con-tinuamente proportionali, per potere sù la prima, e sù la ſe-conda fare li ſolidi ſimili, come auuertiti furono da Platone quei di Delo, quando cercauano di raddoppiare l’ altare d’Apolline (il qual’era ſtimato vno de’ ſette miracoli, per eſ-ſer fatto tutto di ſole corna deſtre, ſenza eſſer’ incollate, ne le-gate inſieme, come riferiſce Plutarco nel fine del libro De ſo-lertia animalium) conforme all’Oracolo hauuto, & eſſi in ve-ce di raddoppiarlo, ne haueano fatto vno quattro volte mag-giore del douere, come dice lo ſteſſo Plutarco nel libro de Genio Socratis; Et è aſſai noto appreſſo molti Scittori eſſere queſta la famoſa duplicatione del Cubo, cioè l’inuentione di due medie proportionali tra due eſtreme, l’vna delle quali ſia doppia dell’altra.

CAPO IV.

Varij ſono ſtati li tentatiui, evarie ſono le forme per tro-uare mecanicamente queſte due medie proportionali; e chi vuole può vedere nell’ Annotationi di Guglielmo Filandro ſopra il libro 9. di Vitruuio cap. 3. qual foſſe il Meſolabio d’Eratoſtene; nel Villalpando tom. 1. part. 2. lib. 1. cap. 3. prop. 12. E nella Geometria di Renato di Chartes ſul prin-ci pio del lib. 3. trouerà, come perl’inuentione delle medie proportionali, egli ſi ſerua d’vno Stromento da lui propoſto nel principio del lib. 2. Ma quanto appartiene al noſtro fine preſente, meglio ſarà ſeruirci d’vna tauola di numeri, co’qua-li ſi notaranno tanto preciſamente, quanto baſta, per l’ope-rationi mecaniche, li punti richieſti in ordine alli ſolidi.

E perche tra li ſolidi il più conoſciuto, e facile ad hauerſi la ſua miſura è il cubo, come quello, che hà le tre dimenſioni di tal maniera vguali, che data la lunghezza d’vna ſua linea, e queſta moltiplicata in ſe ſteſſa, ſe ſi moltiplica di nuouo il pro-dotto per la medeſima, ſi fà nota la ſua ſolidità; e date quat-tro linee continuamente proportionali, come il cubo della prima al cubo della ſeconda, così qual ſi voglia ſolido sù la prima ad vn’altro ſolido ſimile sù la ſeconda, eſſendo che tan-to i cubi, quanto quegl’ altri ſolidi ſono nella proportione della linea prima alla quarta: Perciò ſegnandoſi nello ſtro-mento di Proportione i lati de’ cubi, che vanno creſcendo ſe-condo la ſerie naturale de’numeri, ſi vengono ad hauere pari-menti ſegnati i lati homologi di qualunque ſolidi ſimili. Quin-di è, che tal linea ſi chiama più toſto col nome ſpecifico di Cubica, che col generico di Stereometrica; sì perche tutti li cubi ſono ſimili, sì anche perche riducendo le proportioni a’numeri, ſi trouano le medie proportionali coll’eſtrattione della radice cubica.

Linea Cubica

Sì che per formare la ſottoſcitta tauoletta, in cui ſi notano le proportioni, che hà la radice di ciaſcun cubo alla radice del primo cubo, conuiene tra li due numeri eſprimenti la propor-tione de’ cubi trouare il primo de’ due medij proportionali; perche queſto ſarà la radice del cubo, che hà al cubo del pri-mo numero la proportione, che hà il quarto numero al pri-mo, com’è manifeſto da quello, che delle linee s’è detto. E perche la maggior parte de’numeri non hà la radice cubica preciſa, & aggionger’à gl’intieri frattioni di diuerſe deno-minationi, ſaria coſa, che nella prattica porterebbe molto di-ſturbo, quindiè, che riuſcirà commodiſſimo intendere l’vni-tà diuiſa in mille particelle, perche così tutte le frattioni ag-giunte à gl’intieri ſaranno di milleſime; e nel numero, che ver-rà per radice, le tre vltime figure ſaranno numeratore delle parti milleſime aggiunte à gl’ intieri ſignificati dal reſto delle figure antecedenti nel modo detto nel Capo precedente, do-ue ſi parlò delle radici de’ quadrati.

Sia dunque nella fig. dello Stromento tirata dal centro del-lo ſtromento la linea AL, ela AM, nella quale ſi prendano AH, & AI vguali, e perciò non è neceſſario, che queſte parti AH, AI ſiano viſibili; e s’intenda AH eſſer’ il lato del primo cubo; queſta ſi replichi quante volte ſi può, nelli numeri 8, e 27, in maniera, che A 8 è doppia, & A 27 è tripla della lun-ghezza AH. E per queſto s’è notato nel ſecondo punto 8, e nelterzo 27, per denotare, che il cubo di A 8 contiene otto volte, & il cubo di A 27 contiene ventiſette volte il cubo di AH. E ſe la linea AL foſſe più lunga, che ſi poteſſe vn’altra volta replicare, nel quarto punto ſi notarebbe 64, percheil cubo della linea quadrupla di AH, contiene 64 cubi di AH. Ma perche ſi vede che tra 8, e 27, è molto più tra 27, e 64 CAPO IV. cadono molti numeri, onde dette parti deuon’ eſſer capaci di molte diuiſioni, perciò s’è preſo da principio la linea AH vn poco grandicella; altrimenti non riuſcirebbe commoda la diuiſione. E queſta è la cagione, che non capirà ſe non circa 50 diuiſioni tutta la AL: la quale in vno ſtromento più gran-de, in cui poſſa prenderſi aſſai più lunga la AH, riuſcirà anche capace di più numero di lati cubici.

Mà per ſegnare li lati de gl’altri cubi, e vedere, come ſi ſia fatta la ſeguente tauoletta delle radici, conuien trouare tra l’vnità, & il numero di ciaſcun cubo il primo delli due medij continuamente proportionali; il che ſi fà moltiplicando il quadrato del primo nel quarto numero; e la radice cubica del prodotto è il ſecondo numero, che ſi cerca. Il fondamen-to di ciò fare è, perche dati quattro termini continuamente proportionali A, B, C, D, il piano fatto dalli due eſtremi A in D, è eguale al piano fatto dalli due medij Bin C, per la 16 del 6, e 19 del 7. Dunque li ſolidi fattì dalli due piani detti, e dal primo termine, ſono vguali, e così il quadrato del primo nel quarto A quadrato in D, e vguale al ſolido fatto dallitre primi A in B in C. E perche A, B, C, ſono continua-mente proportionali, il piano fatto da gl’eſtremi, A in C, è vguale al quadrato del medio, B quadrato per la 17 del 6, e 20 del 7, li ſolidi fatti da queſti due piani, e dal ſecondo ter-mine B ſono vguali, e così A in B in C, cioè, come ſopra s’è dimoſtrato, A quadrato in D, è vguale al cubo di B ſecondo termine delli quattro. Dunque eſſendo noti li due eſtremi, moltiplicato il quadrato del primo nell’ altro eſtremo, il lato cubico del prodotto è il ſecondo termine delli quattro con-tinuamenre proportionali. Nella ſteſſa maniera ſi dimoſtra, che moltiplicato il quadrato del quarto termine nel primo, la Linea Cubica. radice cubica del prodotto è il terzo termine delli quattro.

Di quì ſi vede, che ſe il primo termine AH ſia 1000, & il ſuo doppio 2000, il quadrato del primo 1000000 moltipli-cato per 2000, darà il ſolido 2000000000, la cui radice cu-bica 1259 è il ſecondo termine delli quattro, & è radice del cubo doppio del cubo di AH. Elo ſteſſo s’intende diqualſi-uoglia altro numero: onde baſterà à ciaſcun numeroal 3, al 4, al 9, & c. aggiunger noue zeri, perche così la radice cubica ſarà di quattro figure, la prima delle quali moſtra, quante volte ſi debba prender la linea AH, e le tre vltime figure mo-ſtreranno, quante milleſime della ſteſſa AH ſi debbano di più aggiungere. Che ſe ſi foſſero per AH preſe ſolo le centeſi-me, con aggiunger’ ad eſſa due zeri, allhora à gl’altri numeri doueua aggiungerſi ſolamente ſei zeri, e la radice di tre ſigu-re hauria con le due vltime moſtrato il numero delle cente-ſime. Ma perche volendo ſeruirci ſolo delle centeſime ſi opera con più preciſione, conoſciuto il numero delle mil-leſime, perciò nell’anneſſa tauolletta ſi ſon poſte le milleſi-me, ſegnando le radici ſin’al cubo, che è cinquanta volte maggiore del cubo di AH.

CAPO IV. ######## Tauola de’numeri con le ſue Radici Cubicbe eſpreſſe \\ in particelle Milleſime dell’ Vnità. Cubi # Radici # Cubi # Radici # Cubi # Radici # Cubi # Radici 1 # 1000 # 16 # 2520 - # 31 # 3142 - # 46 # 3583† 2 # 1259† # 17 # 2572 - # 32 # 3175 - # 47 # 3609 -3 # 1442† # 18 # 2620† # 33 # 3208† # 48 # 3634† 4 # 1187† # 19 # 2664 - # 34 # 3240 - # 49 # 3660 -5 # 1710 - # 20 # 2715 - # 35 # 3271† # 50 # 3684† 6 # 1817† # 21 # 2759 - # 36 # 3301† 7 # 1913 # 22 # 2702† # 37 # 3332† 8 # 2000 # 23 # 2844 - # 38 # 3362 -9 # 2080† # 24 # 2885 - # 39 # 3391† 10 # 2154† # 25 # 2924† # 40 # 3420 -11 # 2224 - # 26 # 2962† # 41 # 3448† 12 # 2290 # 27 # 3000 # 42 # 3476† 13 # 2352 - # 28 # 3037 - # 43 # 3504 -14 # 2410† # 29 # 3072† # 44 # 3530† 15 # 2466† # 30 # 3108 - # 45 # 3557 -

Il modo di ſeruirſi di queſta Tauola per portare sùle linee AL, AM le diuiſioni, eſſendo lo ſteſſo con quello, che s’è det-to di ſopra nelle Radici de’Quadrati, non hà biſogno di più lunga eſpoſitione. E finita la diuiſione di tutta la linea, ſi po-tranno notare tutte le decine, e con vna lineeta ſegnare la metà delle decine, acciò con maggior facilità ſi poſſano pren-deri punti corriſpondenti à que’ numeri che più piaceranno.

In queſta linea Cubica non potiamo hauere nel diuiderla que’vantaggi compendioſi, che s’hebbero nella linea Geo-metrica, raddo ppiando, ò triplicando i lati ſegnati; perche il lato doppio dà il cubo ottuplo, e così A 2 raddoppiata cade nel punto 16, A 3 duplicata nel punto 24, A 4 nel punto 32, A 5 nel 40, A 6 nel 48; & oltre di queſte niun’ altra ſi può raddoppiare; onde queſti ſoli punti ſi puonno eſſaminare.

Linea Cubica

Segnati di queſta maniera nelli lati dello Stromento i lati de’eubi, che vanno creſcendo conforme alla ſerie naturale de’numeri, è manifeſto per la dimoſtratione fondamentale portata nel capo 1, che anche gl’interualli dello Stromento allargato danno i lati de’Cubi, che ſono nella ſteſſa proportio-ne indicata dalli numeri notati nello Stromento: poiche eſ-ſendo quattro linee proportionali (cioè li due lati nello Stro-mento, e li due interualli loro corriſpondenti) i ſolidi ſimili ſopra di eſſe ſono proportionali per la 37. del lib. 11.

QVESTIONE PRIMA. Tra due linee date, come ſi trouino due medie continuamente Proportionali: ouero tra due numeri dati.

SE la proportione delle due linee date non è conoſciuta in numeri, ſi cerchi per la queſt. 5. del capo 2, la quale tro-uata, s’applichi nella linea cubica dello Stromento la prima delle date linee all interuallo del numero, che le corriſponde, perche l’interuallo dell’altro numero nella ſteſſa linea cubica, darà la ſeconda delle quattro proportionali. Di poi l’ altra delle due date linee, allargando, ò ſtringendo lo Stromento, s’applichi all’interuallo del numero, chele corriſponde, per-che l’interuallo del numero corriſpondente all’ altra, darà la terza delle Quattro Proportionali.

Siano date due linee R, S, le quali ſi troua, che hanno la proportione di 29 à 42; applico la linea R all’inter-uallo 29, 29 della linea cubica dello Stromento, e ritenuta la ſteſſa aper- CAPO IV. tura, prendo l’interuallo 42. 42, e mi dà la linea A prima del-le due medie. Di poi applico la linea S all’interuallo 42, 42 della linea cubica, e l’interuallo 29. 29, mi dàla linea B ſecon-da delle due medie. Onde le quattro R, A, B, S, ſono contin-uamete Proportionali: il che così ſi dimoſtra. Il cubo di R al cubo di A è come 29 à 42, per la coſtruttione dello ſtro-mento, e per la propoitione, che gl’interualli preſi hanno conilati dello ſtromento; dunque la linea R alla linea A hà la proportione ſubtriplicata di 29 à 42, cioè della linea R alla linea S: dunquetra R, & S poſte due medie in continuata proportione la linea A è la ſeconda proportionale. Simil-mente il cubo di S al cubo di B è nella proportione di 42 à 29, per la coſtruttione dello Stromento, & applicatione fat-ta: dunque la linea S alla linea B, hà la proportione ſubtripli-cata di 42 à 29, e per conuerſione B à S, hà la ſubtriplicata di 29 à 42, cioè di R à S: Eſſendo dunque la proportione di R ad A, e quella di B ad S, ſubtriplicate della proportione di R ad S, reſta che anche quella di A à B, ſia ſubtriplicata della ſteſſa; e perciò come R ad A, così A à B, così B à S.

L’iſteſſo ſi farà dati due numeri, tra’quali ſi voleſſero due medij proportionali; come per eſſempio tra 8, e 27. A qual-ſiuoglia apertura dello Stromento nella linea cubica, prendo con due Compaſſi gl’interualli 8, 8, e 27, 27. Dipoi trapor-tando il primo interuallo ſu la linea Aritmetica all’interuallo S, 8, applico l’altro Compaſſo, e veggo che cade nell’ inter-uallo 12, 12; onde dico, che il num. 12 è il ſecondo propor-tionale. Quindi ritenendo l’interuallo preſo con queſto ſe-condo Compaſſo, l’applico nella ſteſſa linea Aritmetica al punto 27, 27, ſtringendo lo Stromento, come fà di biſogno, e conſiderando che l’interuallo preſo col primo Compaſſo, Linea Cubica. cade nel punto 18, 18, dico che il terzo proportionale è 18; onde ſono continuatamente Proportionali 8. 12. 18. 27. e tra li due eſtremi propoſti, ſi ſono trouati due medij propor-tionali.

E quì s’auuerta ciò che in altre occaſioni s’è detto, che ſe non foſſe commodo applicare alla linea Aritmetica il Com-paſſo con la ſua apertura preſa nella linea cubica, quella ſteſ-ſa apertura s’applichi ad alcun numero moltiplice, ò ſubmol-tiplice, poiche l’altro Compaſſo darà vn numero ſimilmente moltiplice, ò ſubmoltiplice del numero, che ſi cerca. Cosìſe l’interuallo primo non ſi può applicare all’interuallo della li-nea Aritmetica 8. 8, s’applichi al numero triplo 24. 24, per-che così il ſecondo interuallo caderà nel 36. 36 triplo del 12, che ſi cerca: e ſe il ſecondo interuallo s’applicherà al numero duplo 54. 54, il primo interuallo caderà nel 36. 36 duplo del 18, che ſi cerca.

Quando però li due numeri dati non ſono ſimili ſolidi, non ſi troueranno li due medij proportionali preciſi, ma vi ſaran-no aggiunte frattioni, che ſolo s’auuicineranno al vero ſenza dar preciſione, come ſi può raccogliere dalla 19, e 21 del lib. 8, e per trouar tali frattioni, potremo valerci dell’ artificio moſtrato nel Capo 2 alla Queſt. 7, quando le linee, ò apertu-re del Compaſſo, che per lo ſteſſo ſi prendono, non cadono preciſamente ne’ punti dello ſtromento.

CAPO IV.
QVESTIONE SECONDA. Come ſi poſſa ad vna linea data applicar’ vn ſolido rettangolo vguale ad vn Cubo dato.

HAuendo il corpo tre dimenſioni in Lunghezza, Lar-ghezza, e Groſſezza, che altri chiamano Altezza, ò Profondità, ſi dice, che vn ſolido ſia applicato ad vna linea data, quando ſi ſuppone, che detta linea ſia vna delle ſue tre dimenſioni, e ſi determina, quali, e quanto grandi ſiano l’al-tre due dimenſioni dello ſteſſo corpo. E per maggior facilità di queſto eſſempio, maſſime che è conforme all’vſo più com-mune, ſuppongo eſſer’ il ſolido, che deue applicarſi alla data linea, rettangolo; poiche poi ſopra la ſteſſa baſe qualſiuo. glia parallelepipe-do, che habbia la ſteſſa altezza per-pendicolare, gli ſa-rà vguale, per la 30 del lib. 11, e per conſeguenza ſarà vguale al dato cu-bo.

Sia dunque dato il cubo V T il cui lato V S, e ſia datà lalinea CD, la quale debba eſſere vna delle dimenſioni del ſo- Linea Cubica lido rettangolo vguale al cubo dato. In due maniere ciò ſi può fare. Primieramente con trouare alle linee CD, VS vna terza proportionale E, perche il ſolido fatto da queſte tre, cioè il ſolido C I H è vguale al dato cubo fatto dalla media V S, per la 36 del lib. 11. Secondariamente con trouare la quarta proportionale, mettendo CD la prima, & VS la ſe-conda; poiche il quadrato della prima con la quarta fanno vn ſolido vguale al cubo della ſeconda. Dunque con due Com-paſſi prendendo le linee CD, & VS, vedo nella linea cubica, ſopra quali interualli cadano, etrouando, che cade la CD nell’interuallo 29. 29, e la V S nell’interuallo 4. 4, applico la CD nella linea Aritmetica al punto doppio del 29, cioè al 58. 58, & all’interuallo 8. 8 doppio del 4 trouo la quarta proportionale F. Dunque della CD fatto il quadrato CM, preſa DL vguale alla F quarta proportionale, ſarà il ſolido CML vguale al cubo dato.

Così ſe foſſe dato vn pezzo di marmo ben ſquadrato, che foſſe per ogni verſo ſette palmi, e da vn’altro gran pezzo di marmo, che per vn verſo è 10 palmi, per l’altro 11, e per il terzo 4 palmi, ſi doueſſe cauar’ vn pezzo vguale al primo, ma quadro in vna delle faccie; facilmente ſi cauerà in numeri, quanta debba eſſer la groſſezza. Primieramente ſi pigli il cu-bo di 7, & è il pezzo cubico dato 343 palmi ſolidi. Dipoi il pezzorozzo non può ſquadrarſi, che con hauer 10 palmi in quadro, e così il quadrato di 10 è 100; per il quale diuiden-do il cubo 343, viene per la groſſezza cercata palmi 3 {43/100}. Mà ſe non ſapeſſi alcun numero, che miſuraſſe i lati de’ ſudetti pezzi di marmo, prendo con vn Compaſſo tal parte aliquota dellato del cubo, che poſſa commodamente capire ne gl’in-terualli dello Stromento: e ſimile parte aliquota prendo nel CAPO IV. lato mezzano dell’altro pezzo di marmo, per eſſempio la de-cima parte. Et applicando queſte due miſure à gl’interualli della linea cubica, oſſeruo in quali numeri cadano; perche la proportione, che hauranno queſti due numeri, tale dourà ha-uer’il lato mezzano oſſeruato alla linea della groſſezza, che ſi cerca. Laragione di queſta operatione è, perche eſſendo le miſure preſe con i Compaſſi ciaſcuna la decima parte del lato, il cubo di tal parte è vna milleſima di tutto il cubo di quei lati intieri: dunque li cubi delle parti hanno la propor-tione de’cubi intieri. Dunque per l’applicatione fatta allo Stromento trouandoſi in numerila proportione de’ cubi, due linee, che ſiano nella ſteſſa proportione di queſti numeri ſo-no due eſtreme di quattro continuatamente proportionali: Dunque anche le decuple di queſte ſono ſimilmente eſtreme di quattro proportionali, delle quali la prima è il lato, di cui ſi deue far’ il quadrato, la ſeconda è il lato del cubo dato, ela quarta ſarà queſta trouata, la quale col quadrato della prima farà vn ſolido vguale al cubo della ſeconda.

QVESTIONE TERZA. Dato vn ſolido, come s’habbia à trouare vn’ altro ſimile nella data proportione.

POſſono li ſolidi eſſere Regolari, ò Irregolari; Regolari, quando tutte le linee, & i piani del corpo ſono vguali tra diloro; Irregolari, quando non v’è queſta vguaglianza. Nell’operatione v’è queſta ſola differenza, che ne’ Regolari trouata vna linea, che habbia la douuta proportione con il la-to del ſolido ſimile, non s’hà à cercar’ altra linea; mà ne gl’Ir- Linea Cubica regolari conuien far queſta operatione circa tutte le linee, che concorrono alla coſtitutione dell’ angolo ſolido. Ne lle sfere baſta trouar’ il diametro, ma per li Coni, e Cilindri ſi. mili conuien trouare il diametro della baſe, e l’aſſe.

Se dunque il cor-po dato è cubo, ò altro de’ corpi Re-golari, veggaſi con quali numeri ſi e-ſprima la propor-tione data, & il la-to del corpo dato ſi applichi nella li-nea cubica all’ in-teruallo del nume-ro, che gli corri-ſponde, e l’ inter-uallo dell’ altro nu-mero darà il lato, che ſicerca. Così ſe al cubo VST ſi debba farne vno, che ſia {7/8} di quello, applico il lato V S all’interuallo 8. 8, e l’inter-uallo 7. 7, mi darà il lato del cubo cercato. Mà ſe foſſe dato DAH ſolido di lati diſuguali, e conueniſſe farne vn ſimile, che foſſe parimenti {7/8}, applico D I all’interuallo 8. 8, e l’ inter-uallo 7. 7 dà il lato homologo RB. Dipoi all’iſteſſo interual-lo 8. 8 applico I A, e la diſtanza 7. 7 dà il lato homologo BK, che col primo trouato faccia l’angolo R BK vguale all’angolo D I A. Finalmente allo ſteſſo interuallo 8. 8 applico IH, e la diſtanza 7. 7 dà il terzo lato homologo B O, il quale con il ſecondo trouato faccia l’angolo KBO vguale all’ angolo AIH: CAPO IV. e compiti tutti li parallelogrammi, ſarà fatto il corpo RKO ſimile al dato DAH; e che è à quello, come 7 à 8. Che ſia ſimile è chiaro, per l’vguaglianza de gl’angoli, circai quali ſono i lati homologi, ciaſcuno preſo nello Stromento à gl’i-ſteſſi interualli, e perciò nella medefima proportione; onde li piani RK, DA; e li piani KO, AH, e RO, DH ſono ſimili. E perche, per la 33 dellib. 11, li ſolidi ſimili ſono nella pro-portione triplicata de’lati homologi, cioè nella proportione de’cubi di detti lati homologi, eſſendo tali cubi, come 7 à 8, per la coſtruttione dello Stromento, anche li ſolidi ſimili RKO, DAH ſono come 7 à 8.

L’iſteſſo modo ſi dourà tenere ne’ Coni, e Cilindri ſimili, ſeruendoſi de gl’interualli delli ſteſſi numeri peri diametri delle baſi, e per gl’aſſi.

Così li Pittori, per eſprimere vn corpo, che ſia più picco-lo di vn’ altro ſimile in data proportione, ſi ſeruiranno di que-ſta linea cubica; altrimenti ſe per far’vn dito la metà più pic-colo, lo faceſſero la metà più corto, ſaria rappreſentato vn dito otto volte minore: perciò applicato il dito maggiore all’interuallo 2. 2 di queſta linea cubica, l’interuallo 1. 1 darà la lunghezza deſiderata; e così dell’altre parti. Quindi è, che deuono auuertire li Pittori altra coſa eſſere far’vn Quadro la metà più piccolo, altra coſa far le figure in eſſo la metà più piccole: perche l’impicciolire il Quadro è impicciolir’ vna ſuperficie, doue che l’impicciolire le figure, è far corpi mi-nori: in quello ſerue la linea Geometrica, & in queſto la Cubica.

Così parimenti ſeruirà queſta linea Cubica alli Scultori, & alli Fonditori nel far le for me per Campane, Artiglierie, ò coſe ſomiglianti, ſe voleſſero far’vna Statua, ò altra figura ſi- Linea Cubica. mile ad vna data. Poiche ciaſcheduna parte applicata all’in-teruallo conueniente, s’haurà la miſura corriſpondente nella figura ſimile.

Mà commodiſſi mo riuſcirà queſto noſtro Compaſſo di Proportione alli Bombardieri, per notar li diametri delle palle, e dalla grandczza della bocca dell’ Artiglieria raccoglier la loro portata, e formarne li ſuoi Calibri, ò Colibri, come altri li chiamano; e con ragione da molti ſi deplora l’ignoran-za di molti di queſta profeſſione, che hanno Calibri ſpropo-ſitatiſſimi; mà con queſta linea Cubica fatta nel Compaſſo di Proportione con qualche accuratezza, e diligenza, potrà cia-ſcuno eſſaminare nel ſuo Calibre, ſe ſiano ben notati li diame-tri; e con ſomma facilità, e preſtezza potrà notare li diametri delle palle di ferro, di piombo, di pietra à ragion di libre ò communi di 12 oncie, ò, come in moltiluoghi s’ vſa, di 16. oncie.

Habbiaſi noto il diametro d’vna palla, il cui peſo ſi sà, per cagion d’eſſempio, di libre 7, queſto diametro ſi noti sù la Regola, ò Calibre, e nella linea Cubica s’applichi all’inter-uallo 7. 7; perche ritenuta quell’apertura dello Stromento, prendendo tutti gl’interuali da 1 ſin’ à 50, e traportandoli sù la Regola, s’hauranno li diametri delle palle ſin’ à 50 libre di peſo, della ſteſſa materia, di cui era quella, il cui diametro era noto. E queſto, che s’è fatto con vna palla di ferro, ſaputaſi la proportione, che hà la pietra col ferro, ſi potrà fare con le palle di pietra: onde ſe la pietra, conſorme all’ opinione de’ Bombardieri, è la terza parte del peſo del ferro in parità di mole, conuerrà pigliar’vna linea, che ſia diametro d’vna sfe-ra, la qual ſia tre volte tanto, quanto la palla di ferro nota di libre 7, e ſarà il diametro della palla di pietra di libre 7, & ap- CAPO IV. Plicato all’interuallo 7. 7, nella linea Cubica, all’iſteſſo modo s’hauranno li diametri delle palle di pietra. Ne differente ſarà la forma per le palle di piombo, perche ſupponendoſi il peſo del piombo ſeſquialtero à quello del ferro, ſi prenderà il diametro della palla di piombo, di peſo vguale con quella di ferro, che ſia diametro d’vna sfera, la qual fia {2/3} della pal. la di ferro. E finalmente per notare le palle à ragion d’oncie 16 per libra, auuerti che 4 libre da oncie 12 fanno 3 libre da oncie 16 l’vna: perciò prendi il diametro trouato di libre 4 piccole, e notatolo ſopra vn lato della Regola, ò Calibre ſia il diametro di libre 3 groſſe, e queſto diametro applicato nello Stromento all’interuallo 3. 3, s’hauranno da gl’altri interualli tutti li diametri delle palle à ragion di peſo d’oncie 16 per li-bra. Dal che ciaſcun vede, che queſti diametri ſon tali, che ciaſcuno aggiunge vn terzo di peſo alle palle, che hanno la, ſteſſa denominatione nella ſerie de’diametrià ragione d’oncie 12 per libra. E così il diametro di 45 libre groſſe è il diame-tro di libre 60 piccole, perche come 16 à 12, così 60 à 45.

E così ſi faccia rifleſſione, quanto più giuſti ſaranno com-munemente li diametri delle palle notate, e preſe dal Com-paſſo di Proportione ſegnato nella linea Cubica, come hab-biamo detto in queſto Capo, che con la forma preſcritta da Luigi Colliado nella ſua Prattica Manuale di Artiglieria trat-tato 4 cap. 32, doue ciaſcuno potrà eſſaminare, quanto s’al-lontani dalla preciſione. E ſia per eſſempio ciò ch’ egli dice per hauer’il diametro d’vna palla di due libre; prendaſi, dice egli, il diametro d’vna palla d’vna libra, e diuiſo in quattro parti, vna ſe ne aggiunga, sì che il diametro di vna libra è co-me 4, e quello di due è come 5; li cubiſono 64, e 125, e pure queſto, per eſſer doppio, douria eſſere 128, onde manca Linea Cubica dalla preciſione {3/64}. Mà nel noſtro Stromento il diametro di vna palla d’vna libra è 1000, quello di due è 1259, il cubo di queſto è 1995616979, il quale douria eſſere 2000000000, e perciò manco della preciſione {4383021/1000000000}, doue che li {3/64} ridotti alla ſſeſta denominatione, ſono {46875000/1000000000}, che è vna differenza dieci volte maggiore di quella, che viene dal modo da noi tenuto. Cosìper il diametro della palla di 3 lib. diuide in ſet-te parti quello di due, & vna di queſte aggiunge, onde il dia-metro di due al diametro di tre libre è come 7 à 8; il diametro di due era {5/4} del primo diametro, dunque il diametro di tre libre è {10/7} del primo diametro, com’è manifeſto, ſe le due pro-portioni 4 à 5, e 7 à 8 ſi continuano in tre termine 28. 35. 40. Dunque il diametro d’vna lib. al diametro di tre libre è come 7 à 10: il cubo di quello è 343, il cubo di queſto è 1000, e pur’il triplo del primo è 1029; sì che è minor del douere di {29/343}, le qualiridotte ſono {84548104/1000000000}. Mà nel noſtro Stromen-to il diametro della palla di tre libre è 1442, il cui cubo 2998442888 mãca dal triplo cubo del primo 3000000000 ſolamente di {1557112/1000000000}. Dal che manifeſtamente appariſce, quanto più accuratamente con qneſta maniera poſſano farſi Calibri giuſtiſſimi, e con facilità grandiſſima, & eſſaminare igià fatti.

Mà ſe il Bombardiere haurà ſeco queſto Stromento di Proportione, haurà ſeco vn Calibre vniuerſale per tutti i Paeſi, ſecondo la diuerſità de’ peſi; poiche conoſciuto il dia-metro d’vna palla di determinato peſo di quel paeſe, ritenuta quell’apertura dello Stromento, à cui tal diametro è applica-to al numero corriſpondente alle libre del peſo, ſubito ſi co-noſcerà il diametro di qual ſi voglia altra palla di tal materia di qual ſi voglia peſo.

CAPO IV.

Quindi volendo diametri di palle minori d’ vna libra, metta il diametro d’vna libra al numero 12. 12, e potrà ha-uer il diametro d’vna, due, e più oncie, & anche minori dell’ oncia, ſe trouato il diametro d’vn’ oncia ſi applichi ad vn nu. mero capace della diuiſione cercata; così mettendoſi al 50. 50, ſi potrà hauer il diametro d’vna palla, che ſia {1/50} d’oncia.

Che ſe per auuentura la proportione, che deuono hauer’i ſolidi ſimili foſſe eſpreſſa in numero maggiore del 50, che ſi troua nella linea Cubica dello Stromento, come ſe la propor-tione foſſe di 40 à 72, ſi riduca à minor termini, come di 10 à 18, ouero di 5 à 9, e con queſti numeri ſi operi, comeſe in eſſi foſſe data la proportione, poiche in realtà è la ſteſſa pro-portione diuerſamente eſpreſſa. Mà ſe li numeri della Pro-portione non haueſſero alcuna commune miſura, come 49 à 60, s’applichi il lato del ſolido dato all’interuallo 49. 49; dipoi ritenuta quell’ apertura dello Stromento, diuiſo il 60 per alcun numero, che lo miſuri, ſia per cagion d’eſſempio, il 12, che lo miſura per 5, prendo l’interuallo 12. 12, e conſer-uo queſta lunghezza, la quale applico all’interuallo di qual-che numero, che habbia tra’numeri della linea vn numero quintuplo à cagione, che il 12 miſuraua per 5 il 60; e per eſ-ſempio l’applico al 7. 7; Quindi al quintuplo di 7, cioè all’in-teruallo 35. 35 haurò il lato del ſolido, che ſarà come 60 in, riguardo del dato, che è 49. E che ciò ſia, è chiaro dall’ope-ratione, perche nella prima operatione ſi trouò il lato d’vn, ſolido, che al 49 era come 12; nella ſeconda operatione s’è trouato il lato d’vn ſolido quintuplo di quello, e perciò pren-dendoſi cinque volte il 12, vien’ad eſſere 60. Così per hauer’ il lato del ſolido, che ſia come 51 ad vn’ altro il cuilato s’ad-datta all’interuallo 28. 28, prendo l’interuallo 3. 3: queſto Linea Cubica applico, aprendo lo Stromento, al punto 2. 2; & al 34. 34 trouo la grandezza del lato di 51: perche 34 contiene il 2 dieciſette volte; all’interuallo 2. 2 fù applicato il lato del ſoli-do 3; dunque il 3 preſo 17 volte dà 51. Di quì appariſce, che ſe il numero maggiore ſi miſura dall’ 8, preſo l’altro numero, che lo miſura, e raddoppiato l’interuallo, ſarà il lato cercato; Come ſe ſi voleſſe il lato di 96, il quale ſi miſura dal 12 per 8; preſo l’interuallo 12. 12, eraddoppiato, darà ciò, che ſi cer-ca, perche illato doppio dà il cubo ottuplo, e così il 12 ottu-plicato è 96.

Mà quando occorreſſe, che il numero maggiore di 50 foſ-ſe numero primo, non miſurato da altro numero, che dall’ vnità, e per conſeguenza diſpari, come ſe foſſe 83, ſi potrà ſenza pericolo di errore ſenſibile prendere la metà del nu-mero all’interuallo 41 {1/2}. 41 {1/2}, e poi applicata queſta diſtan-za al punto 25. 25, l’interuallo 50. 50 darà il lato cercato di 83: perche ſe bene quel lato, che dà il 41’ preſo à occhio, non è così preciſo, è però tanto poca la differenza, che per l’operatione ſiſica non porta errore notabile.

QVESTIONE QVARTA. Dati due corpi ſimili, come ſi coneſca la loro proportione.

COn due Compaſſi ſi prendano i due lati homologi, & applicati nella linea Cubica à gl’ interualli, ne’quali caderanno con preciſione la maggiore che ſi potrà, i numeri, che cortiſpondono eſprimeranno la pro portione. E ſe i lati de’ corpi dati foſſero troppo grandi per applicargli allo ſtro-mento, ſi opericon vnalor parte aliquota ſimile, perche il ſo- CAPO IV. lido ſimile ſopra la parte del lato d’vno, hà al ſolido ſimile ſo-pra parte ſimile dellato dell’altro la proportione, che hanno tra di loro gl’intieri ſolidi ſimili ſopra i lati intieri.

Prendiamo l’eſſempio dalli Bombardieri, i quali danno il vento alle palle dell’ artiglieria, cioè prendono le palle vn, poco minori di quello, che richiede la bocca del pezzo, à fine che mancando per auuentura, come ſpeſſo accade, la douuta rotondità alla palla, non reſti impedita dal poterſi ſpinger à baſſo, quanto conuiene, ò nello ſparare non incontraſſe con, qualche piccola prominenza à ſerrar così giuſto, che perico-laſſe il pezzo. Due ſono le prattiche, che adoprano. Pri-mieramente prendono il diametro della bocca del pezzo, e diuiſolo in 21 parti, ne danno 20 per il diametro della palla. Ora per ſapere, che proportione habbia la palla, che real-mente s’ adopra, à quella, che giuſtamente porta il pezzo, s’ella foſſe iſquiſitamente polita, e liſcia; prendaſi il diametro dell’ anima del pezzo, e nella linea cubica dello ſtromento s’applichi all’ interuallo di quel numero, che è il peſo della palla, che lo denomina, e ſia vn cannone da 40, onde dourà applicarſi all’interuallo 40. 40; e poi ſi vegga à che interual-lo ſi poſſa applicare il diametro della palla, ch’è {20/21} del diame-tro del pezzo, e ſi trouerà, che cade tra li numeri 34, e 35, onde ſi raccoglie, che tal palla non arriua à 35 libre di peſo, mà è circa 34 {1/2}. E cio ſi conferma, ſe delli due diametri 21, e 20 ſi prendano i cubi 9261, & 8000: & eſſendo il primo libre 40, ſi faccia come 9261 à 8000, così libre 40 à libre 34 {5/9}, & in queſta maniera, ſe la portata del pezzo foſſe di libre 50, dato il vento alla palla, con leuare al ſuo diametro {1/31}, ſaria la palla ſolo di libre 43 {1/5} poco meno.

Linea Cubica

La ſeconda maniera è tale; il cir- colo CDAB ſia la bocca del pezzo, e dal punto A s’applichi il ſemidia-metro in AB, & AD: e preſo l’inter-uallo DB, dal punto A ſi tagli il dia-metro AC nel punto E; & del reſtan-te EC ſi laſci vn terzo IC; & IA ſarà il diametro della palla, à cui s’è dato il vento. Per ſaper dunque quanto meno peſi della giuſta portata del pezzo, s’applichi nella linea cubica il diametro AC al numero del peſo, che denomina il pezzo, per eſſempio da 40, all’interuallo 40. 40; e poi il numero dell’interuallo, in cui cade il diametro AI manifeſtarà il peſo vero della palla 35. Equeſto ſi confermarà, ſe preſo il diametro AC, come 200, trouerò tanto nella linea Aritmetica dello ſtromento, quanto nelle Tauole Trigonometriche, che BD corda digr. 120, cioè AE è 173, e per conſeguenza EC 27, la cui terza parte 9 è CI; e perciò IE 18 aggiunta alla EA 173 da tutto il diametro della palla AI 191, & AC è 200; i quali numeri nella tauoletta poſta in queſto Capo ſono radici delli cubi 7, & 8: e così ſe 8 dà libre 40, 7 ne darà 35. Come pure con queſto metodo, ſe l’anima del pezzo foſſe capace di palla di libre 50, datogli il vento, ſi trouerà, che ſarà ſolo di libre 43 {3/4}.

Dalle coſe dette ſi caua, come ſi poſſa anche venir’in cognitione della ſolidità de’ corpi vuoti, quando la vacuità di dentro è capace d’vn corpo ſolido ſimile à quello di tutto il vaſo ſe foſſe pieno. Come nella figura 20, ſe ſia dato il vaſo BEV, la cui vacuità ſi riem pireb- CAPO IV. be con vn corpo ſimile, e ſia la ſua bocca OI, in maniera che, come DE ad EV, così OS ad SI, e come ED à DB, così SO ad OT profondità della capacità del vaſo. Applico il lato DE all’interuallo 18. 18, e preſo col Compaſſo il lato OS, trouo, che cade nell’interuallo 9. 9, onde argomento, che la ſolidità del vaſo è tanta, quanta è la capacità ſua.

QV ESTIONE QVINTA. Come ſi poſſa far’vn Cono vguale ad vn Cilindro dato, e che habbiano li diametri delle baſi, e gl’ Aſsi proportionali.

OGni Cono paragonato con vn Cilindro, che habbia la baſe, e l’aſſe, vguale alla baſe, & all’ aſſe del Cono, è la terza parte del Cilindro, per la 10 del lib. 12, e perciò da-to il Cilindro, baſterà trouar’il diametro della baſe, e l’aſſe d’vn ſimile Cilindro, che foſſe tre volte maggiore, perche il Cono, che haurà queſto diametro della baſe, e queſto aſſe, eſſendo la terza parte di queſto Cilindro triplo del primo, ſarà vguale al primo Cilindro. Ora perche li Cilindri ſimili ſono nella triplicata proportione delli diametri delle baſi, per la 12 del lib. 12, cioè come i cubi di detti diametri; perciò applicato il dia-metro del Cilindro dato AB à qual ſi voglia numero della linea cubica, come per eſſempio all’interuallo 6. 6@@ rendaſi il numero triplo (poiche il Cilindro da farſi deue eſſer triplo) e l’interuallo 18. 18, darà la linea Linea Cubica EF diametro della baſe il cui centro è G. Dipoi all’iſteſſo interuallo 6. 6, applica-to l’aſſe CD del Cilindro dato, l’inter-uallo 18. 18, darà l’aſſe GH; e perciò il Cilindro EIF è ſimile al Cilindro ADB, eſſendo come AB ad EF diametri, co-sì CD à GH aſſi; & eſſendo il cubo di EF triplo del cubo di AB, per la conſtruttione dello ſtromento, anche il Cilindro EIF è triplo del Cilindro dato ADB: Dunque eſſendo il Ci-lindro EIF triplo an che del Cono EHF ſopra la ſteſſa baſe GEF, con la ſteſſa altezza GH ſarà il Cono EHF vguale al Ci-lindro dato ADB, & hauranno li diametri delle baſi, e gl’aſſi proportionali, come s’era propoſto.

CAPO IV.
QVESTIONE SESTA. Come ſi troui vna Sfera vguale ad vn Cilindro dato.

SE foſſe data vna gran Colonna, e ſi voleſſe ſapere, quan-to, ò quale douria eſſer’ il diametro d’vna sfera vguale alla colonna (la quale ſuppongo eſſer’ vn cilindro retto, cioè, che l’aſſe cade perpendicolare nella baſe; ſe nò, facilmente ſi ridurrà ad vn cilindro retto, che habbia l’iſteſſa baſe, e l’iſteſ-ſa altezza perpendicolare, che ſia aſſe, come ſi raccoglie dal Corollario della 11 del lib. 12) prendaſi il diametro della ba-ſe, e l’altezza di tal cilindro; ſi troui la lor proportione in numeri, per la queſt. 5. del cap. 2. e nella linea cubica dello ſtromento applicato il diametro all’ interuallo del numero, che gli corriſponde, ſi prenda l’interuallo, che dà l’altro nu-mero corriſpondente all’aſſe. Queſta diſtanza trouata s’ap-plichi nello ſtromento all’ interuallo 2. 2, poiche l’interuallo 3. 3 darà il diametro cercato della sfera vguale al cilindro. E ſe gl’interualli 2. 2, e 3. 3 foſſero troppo piccolli, ſi pren-dano li loro equemoltiplici in qualunque proportione. Sia nell’iſteſſa fig. 21 dato il cilindro EIF, à cui ſi voglia far’vna sfera vguale; ſi troua, che il diametro della baſe EF all’ aſſe GH è come 91 à 200, cioè come 5 à 11, nella linea cubica applico EF all’interuallo 5. 5, e l’interuallo 11. 11 mi dà la linea R. Applico la linea R all’interuallo 2. 2, e l’interuallo 3. 3 mi dà la linea S diametro della sfera MN vguale al dato cilindro EIF.

Per dimoſtrare, che ciò ſia, prendaſi la linea R diametro, & aſſe del cilindro quadroto KPXL, & in queſto cilindro s’in- Linea Cubica tenda la sfera, il cui centro Q, e così il diametro della baſe del cilindro KL, come l’altezza KP ſia vguale al diametro della sfera. Ora perche li cubi di EF, e di R ſono come 5, e 11, per la co ſtruttione dello ſtromento, la proportione di 5 à 11, cioè di EF à GH, è triplicata della proportione de’lati, cioè di EF à R; dunque R è la ſeconda di quattro continuata-mente proportionali, delle qualli EF è la prima, e GH la quar-ta; e ſia V la terza. Dunque perche le baſi de’ cilindri EIF, KPL ſono nella proportione duplicata de’ diameri EF, KL, cioè R, le baſi di detti cilindri ſono come EF prima alla V terza. Mà come EF à V, così R à GH; dunque come la ba-ſe, il cui diametro EF, alla baſe, il cui diametro KL, così l’al-tezza PK per la coſtruttione vguale alla linea R, all’altezza GH. Dunque, per la 15 del lib. 12, reciprocandoſi le baſi, e l’altezze, i due cilindri EIF, KPL ſono vguali. Dunque la sfera QZOY, il cui diametro è la linea R vguale all’altezza del cilindro, & il cui circolo maſſime è vgualle alla baſe di det to cilindro, è ſubſeſquialtera al cilindro, cioè come 2 à 3, per il Manifeſto 9 del lib. 1. de Sphæra; & Cylindro d’Archime-de. Dunque eſſendoſi preſa la linea R lato del cubo 2, e la linea S lato del cubo 3, la sfera MN, il cui diametro è la li-nea S è ſeſquialtera della sfera QZOY, il cui diametro è la li-nea R. Dunque così la sfera MN, come il cilindro KPL eſ-ſendo ſeſquialteri della ſteſſa sfera Q Z O Y, ſono vguali; dunque anche la sſera MN è vguale al dato cilindro EIF.

CAPO IV.
QVESTIONE SETTIMA. Data vna Parabola, trouare la proportione di due ſegmenti terminati ad vn medeſimo punto.

SIa data la Parabola ABC, & in eſſa due ſegmenti AFB, e BC terminati nello ſteſlo punto B. Si cerca la propor-tione di queſti due ſegmenti. Tiriſi il Diametro BD: il che ſi farà, ſe con-gionte le eſtremità de’ ſegmenti con la retta AC, à queſta dal punto B ſi tirarà parallela la BG; e così I’vna come I’altra parallela diuiſe per mezzo in H & I; la retta HI prodot-ta ſin in F ſarà il diametro, à cui ſono Applicate HE, IB. Dunque ſia BD parallela alla FH, e ſarà diametro, eſſendo che nella Parabola tuttii diametri ſon paralleli all’ Aſſe. Sì che il diametro BD taglia la AC in E.

Ora perche li ſegmenti AFB, e BC hanno tra di loro la tri-plicata proportione della linea AE all’EC, come dimoſtra Gregorio di S. Vicenzo lib. 5. Quadr. circ. prop. 260; mettaſi la linea AE in qualſiuoglia interuallo della linea Cubica; e quell’interuallo, doue capirà la linea EC col numero oppo-ſto dimoſtrarà la proportione delli due ſegmenti: poiche eſ-ſendo triplicata della proportione di AE ad EC, ſarà la me-deſima delli Cubi di dette linee AE, EC.

Linea Cubica
QVESTIONE OTTAVA. Data vna Parabola terminata, tagliata da vna linea parallela, trouar la proportione delle parti, nelle qualli è diuiſa.

SIa data la Parabola DBE terminata dalla linea DE; & à queſta ſia parallela la linea AC. Si cerca la propor-tione del ſegmento ABC al re- ſtante DACE. Diuiſe le due pa-rallele in mezzo in F, c G, ſia ti-rata la BG diametro della Para-bola. Ora perche le line BF, BG ſono nella duplicata proportione di AF à DG (eſſendo tra di loro come ſi quadrati delle ordinatamente Applicate, alli quali ſon vguali i Rettãgoli da eſſe ſaette & illato Retto) cioè di tut-te le intiere AC, DE; la proportione del Triangoſo ABC, al Triangolo DBE è compoſta della proportione delle baſi AC, DE, e dell’ altezze BF, e BG, cioè è triplicara di AC à DE.

Mà perche la Parabola ABC alla Parabola DBE è nella proportione del ſuo Triangolo maſſimo ABC aſ Triangolo maſſimo DBE; dunque la Parabola ABC alla Parabola DBE è nella triplicata proportione della linea AC alla linea DE. Mettaſi dunque nella linea Cubica dello ſtromento à qualſi-uoglia interuallo ſa linea DE, etrouiſi doue capiſca l’inter-uallo AC, che ſarà manifeſta la proportione delle due Para-bole: e preſa la differenza trà di loro, ſarà manifeſta la pro-portione delſegmento ABC al reſtante DACE.

CAPO IV.
QVESTIONE NONA. Come d’vn numero dato ſi troui la Radice Cubica.

APerto lo Stromento; gl’interualli de’numeri nelle linee cubiche danno i lati de’cubi, i qualli hanno tra diloro la proportione eſpreſſa dalli numeri adiacenti. Dunque ſe detti lati s’applicheranno ad interualli delle linee Aritmeti-che, ſi conoſcerà la proportione di detti lati; la qual’è la ſub-triplicata della proportione de’Cubi. Dunque conoſciuta la proportione di due cubi, & il lato d’vno di eſſi, ſi conoſcerà anche l’altro. Quindi è, che applicato vn cubo ad vn nu-mero delle linee cubiche, e preſo il lato d’vn’altro cubo co-noſciuto nella ſua radice, & applicata queſta all’interuallo corriſpondente nelle linee Aritmetiche, l’altro lato del cubo dato ſi conoſcerà, eſſendo applicato all’interuallo proportio-nato delle linee ſteſſe Aritmetiche. Perciò dato vn numero preſo come cubo; & applicato alle linee cubiche (nel modo proportionatamente, che ſi diſſe dell’ eſtrattione della radice quadrata con le linee Geometriche) quelche reſta tagliate via le tre vltime figure, e preſo l’interuallo d’vno de’numeri cubi ſegnati nelle linee, cioè 8, ouero 27, radice de’ quali ſo-no 2, e 3, e queſto poinelle ſinee Aritmetiche applicato al 20. 20, ouero al 30. 30, l’altro interuallo applicato alla ſteſſa li-nea, darà la radice cubica cercata. E la ragione, perche ſi buttino via le tre vltime figure, è perche li cubi di 20, e di 30 ſono 8000, e 27000, e così gettate via le tre vltime figure, reſta la proportione de’cubi eſpreſſa in numeri minori, che ſono ſegnati nelle linee dello Stromento: & applicati poi Linea Cubica. gl’interualli alli 20, ouero 30, & à numeri corriſpondenti, vengono le radici cercate.

Cerchiſi la radice cubica del numero 14119; gettate via le tre ſigure 119, il reſto 14 applico all’interuallo 14. 14 del-le linee cubiche: poicon vn’altro Compaſſo prendo l’inter-uallo 8. 8 nella ſteſſa apertura dello Stromento. Poinelle li-nee Aritmetiche applico queſto ſecondo interuallo preſo alli punti 20. 20, che è la radice di 8000, e vedendo, che il primo interuallo preſo applicato à queſte ſteſſe linee Aritmetiche cade al 24. 24, e vn poco più; dico, che la radice cubica del dato numero 14119 è 24 con vna frattione aderente. Che ſe le tre vltime figure tagliate paſſano li 500, ſi può accreſcer d’vn’vnità il numero, che reſta, poiche più s’accoſta al mille. Così cercandoſi la radice di 19864, ſi può in vece del 19 prendere il 20, & operando come prima, ſi troua eſſer la ſua radice 27, e poco più.

Mà ſe il numero reſtante foſſe maggiore del maſſimo no-tato nelle linee cubiche, prendaſi vna parte aliquota tale, che nelle linee cubiche ſiano due numeri così moltiplici l’vno dell’altro, come il tutto è moltiplice della detta parte aliquo-ta: come ſe ſi prende la ſeſta parte, viſia vn numero ſeſtuplo d’vn’altro. Et in tali occaſioni è bene nel principio prendere piccola apertura dello Stromento, per poter poi applicar quell’interuallo preſo à numeri minori, come moſtrerà l’iſpe-rienza. Cerchiſi la radice cubica di 336212: tagliate le tre vltime figure, reſta 336, il qual’è troppo grande; piglio dunque la ſettima patte di 336, cioè 48, & aperto lo Stro-mento, prendo nelle linee cubiche l’interuallo 48. 48, e con vn’altro Compaſſo l’interuallo 8, 8. Mà perche il lato preſo di 48 è ſolo il lato d’vn cubo ſubſettuplo del cubo dato, per- CATO IV. ciò cerco nella linea cubica due numeri, vno de’ qualiſia ſet-tuplo dell’altro, eſono 5, e 35, perciò quell’ interuallo preſo 48. 48, allargando lo Stromento, lo metto alli punti 5. 5, & allhora prendo l’interuallo 35. 35, che è quello, che ſi cerca-ua. Quindi l’interuallo, che fù preſo tra 8. 8, applico nelle linee Aritmetiche al 20. 20; & in quell’apertura di Stromen. to trouando, che l’vltimo interuallo s’applica nelle dette linee Aritmetiche alli punti 69. 69, & vn poco più, dico, che la ra-dice del numero 336212 è 69 con vna frattione.

Quando poi l’interuallo vltimo riuſciſſe così grande, che foſſe maggiore dell’interuallo 100. 100 della linea Aritmeti-ca, ſi deſcriue vna linea vguale à tal’ interuallo delle linee Cu-biche vltimamente trouato, e cauatone la diſtanza 100. 100 delle Aritmetiche, s’applica il reſto della linea, e ſi vede quan-to di più vada aggiunto al 100. Cerchiſi la radice cubica di 1840325, gettate le tre vltime figure, diuido il reſto 1840 in quaranta parti, e trouo, che la ſua quaranteſima patte è 46. Apro mediocremente lo Stromento, e prendo col primo Compaſſo l’interuallo 46. 46, e col ſecondo Compaſſo l’in-teruallo 8, 8. Dipoi, perche il cubo 46. 46 và moltiplicato 40 volte, applico quell’interuallo preſo col primo Compaſ-ſo all’interuallo 1. 1, e poi prendo l’interuallo 40, 40. Et operando poi, con hauer’ applicato l’interualo preſo col ſe-condo Compaſſo alli punti 20. 20 delle linee Aritmetiche, trouo, che eccede l’altro Compaſſo la maſſima diſtanza 100. 100: perciò da vna linea deſcritta vguale all’vltimo in-teruallo preſo col Compaſſo alli punti 40, 40 delle cubiche, cauo l’interuallo 100. 100 dell’Aritmetiche, & applico à quello il reſto della linea deſcritta, e cadendo alli punti 22, dico, che la radice cubica del numero dato 1840325, è 122 con qualche frattione.

Linea Cubica.

Quì pure nelnumero così grande, che due numeri, i quali moltiplicati inſieme lo producono, ſono maggiori delli nota-ti nella linea cubica dello ſtromento, ſe ne piglino 3, ò anche quattro, dalla moltiplicatione de’quali vien prodotto il nu-mero, chereſta, leuate le tre vltime figure, nel modo detto, quando ſi parlò dell’eſtrattione della radice quadrata. Così cercando la radice cubica di 3600000, leuate le tre vltime figure, reſta 3600, che ſi fà dal 60 per 60: poſſo dunque prendere tre numeri 15. 15. 16, e preſo l’interuallo 15. 15, prender poiillato del cubo quindecuplo di queſto, applican-do quell’interuallo al 3. 3, epoi prendendo i’interuallo 45. 45, & hauuto queſto, s’hà à prender’il lato del cubo ſedecu-plo, il che ſi farà applicando queſto ſecondo interuallo tro-uato al 3. 3, e poi prendendo l’interuallo 48. 48, & operan-do con queſto nel modo detto, nelle linee Aritmetiche ſi tro-ua, che la radice cubica di 3600000, ſarà 153 in circa.

Finalmente per i piccoli numeri s’opera ſenza tagliarne alcuna figura; e s’hanno l’intieri con le decime. Cerco la ra-dice del numero 47; prendo l’interuallo 47. 47, & anche 8. 8, queſto ſecondo nelle linee Aritmetiche applico al 20. 20, e l’altro cade nel 36. 36, poco più: onde dico, che la radice cu-bica di 47 è 3 {6/10}, poco più: perche per radice di 8 douea, prenderſi 2, e non 20; dunque hauutiſi i decimi del cubo preciſo, vengono li decimi del cubo dato non così preciſo. Cerco la radice di 180, prendo il quinto 36, e l’interuallo 36. 36 applico ad vn’altro numero, dicui ſia il quintuplo nelle linee cubiche, per eſſempio al 5. 5, e poi prendo l’interuallo quintuplo 25. 25. Poi applicato l’interuallo 8. 8, preſo da principio al 20. 20, delle linee Aritmetiche, trouo, che l vlti-mo interuallo cade nelle linee Aritmetiche al 56. 56, e qua- C A P O IV. ſi 57. 57. onde conchiudo, che la radice cubica di 180 è 5 {6/10} in circa.

Che ſe il numero dato non foſſe intiero, ma vn rotto, di cui ſi cercaſſe la radice cubica; ſarà ſacile il trouarla; cioè nelle linee cubiche applicando all’interuallo corriſpondente al nu-mero, che ſi vuol ritenere (ò ſia il Numeratore, ò pure il De-nominatore) iſ compaſſo con quell’apertura, che ſi vuole; e di poicon altro compaſſo prendendo l’interuallo riſpondente all’altro numero della frattione data; poiche nelle linee Aritmetiche applicato il primo compaſſo al numero, che ſi vuol ritenere della data frattione, ouero ad vn ſuo moltiplice, (il che ſarà meglio, per hauer la radice più vicina alla preciſio-ne) l’ltro compaſſo moſtrarà il numero cercato. Sia per ca-gione d’eſempio dato il roto {4/7}, di cui ſi vuole la radice cubi-ca: prendo nelle cubiche l’interuallo 4. 4. (poiche voglio ri-tener il Numeratore) e con altro compaſſo l’interuallo 7. 7. Quindi applico il primo compaſſo nelle linee Aritmetiche al decuplo di 4, cioè al 40, & il ſecondo compaſſo caderà all’in-teruallo 48. 48, poco più: onde la radice ſarà proſſimamen-te {40/48}, cioè proſſimamente {5/6}, il cui cubo {125/216} è poco maggiore del cubo dato {4/7}. Che ſe nelle linee cubiche prendo col primo compaſſo l’interuallo 7. 7, e col ſecondo 4. 4, nelle Aritmeti-che applico il primo compaſſo al 70. 70, & il ſecondo cade all’interuallo 58. 58. onde la radice è proſſimamente {58/70}, cioè {29/35}; il cui cubo {24389/42875} è poco minore del cubo dato {4/7}. La ragio-ne di queſto modo di operare è manifeſta, perche cercando ſi laradice cubica ad vn numero rotto, ſi cerca vna frattione, il cui Numeratore al ſuo Denominatore habbia la propottio-ne ſubtriplicata del Numeratore al Denominatore della data frattione. Ora per la conſtruttione dello ſtromento ſi hanno Linea Cubica i lati de’cubi, che ſono nella ſubrriplicata proportione de gli ſteſſi cubi; dunque prendendo come cubi il Numeratore, & il Deno minatore, gl’interualli, che alli loro numeri corriſpon-dono, ſono nella ſubtriplicata proportione; e perciò eſami-nata la loro quantità nelle linee Aritmetiche, ſi hauranno due numeri nelſa ſubtriplicata proportione, come ſi cerca. Per-ciò à fine di cauare la ſudetta radice Cubica ſenza lo ſtromen-to, baſtarà moltiplicar il quadrato del Numeratore 4, cioè 16, per il Denominatore 7, e dal prodotto cauata la radice cubica ſarà la prima delle due medie proportionali tra 4, e 7, e perciò Denominatore ſotto il Numeratore 4. Ouero il quadrato del Denominatore 7, cioè 49, ſi moltiplicarà per il Numeratore 4, e dal prodotto la radice cubica ſarà la ſecon-da delle due medie tra 4, e 7, e perciò Numeratore, a cui per Denominatore ſi dà il 7.

In queſto luogo, come per aggiunta, mi perſuado non ſia per eſſer diſcaro al mio Lettore, ſe proporrò vna maniera, aſſai facile per trouar la radice cubica de’ numeri, almeno molto vicina alla preciſione, della quale non ſi curano più che tanto quelli, che cercano tali compendij, diſſi vicina alla preciſione, non perche non ſi poſſa hauere la radice preciſa, quando ella c’è, ma perche in alcuni numeri grandi, come ap-preſſo ſi vedrà, non ſempre s’affronterà.

Per li numeri, che non ſiano maggiori di ſei figure, e per-ciò la radice non è che di due figure, ſeruirà con ogni preciſio-ne la ſeguente tauoletta, in cui nel capo di ciaſcun’ordine, dou’è C 2. C 3. & c. ſi moſtra che, quando la prima nota del-la radice è 2, ouero 3, ò qualunque altro numero, tutto quel-lo, che ſi dourà cauare, è vno de’numeri poſti in quell’ordine venendo à baſſo; e nella prima colonna, doue ſon poſte le 9 C A P O IV. radici, corriſponde aſ numero la figura, che ſi deue aggiun-ger’alla radice trouata da principio.

R # C. # C. 1 # C. 2 # C. 3 # C. 4 # C 5 # C. 6 # C.7 # C.8 # C.9 1 # 1 # 331 # 1261 # 2791 # 4921 # 7651 # 10981 # 14911 # 19441 # 24571 2 # 8 # 728 # 2648 # 5768 # 10088 # 15608 # 22328 # 30348 # 39368 # 49688 3 # 27 # 1197 # 4167 # 8937 # 15507 # 23877 # 34047 # 46017 # 59787 # 75357 4 # 64 # 1744 # 5824 # 12304 # 21184 # 32464 # 46144 # 52224 # 80704 # 101584 5 # 125 # 2375 # 7625 # 15875 # 27125 # 41375 # 58625 # 78875 # 102125 # 128375 6 # 216 # 3096 # 9576 # 19656 # 33336 # 50616 # 71469 # 95976 # 124056 # 155736 7 # 343 # 3913 # 11683 # 23653 # 39823 # 60193 # 84763 # 113523 # 146503 # 183673 8 # 512 # 4832 # 13953 # 27872 # 46592 # 70112 # 98432 # 131552 # 169472 # 212192 9 # 729 # 5859 # 16389 # 32319 # 53649 # 80379 # 112509 # 150039 # 192969 # 241299

Sia dato il numero 438976, da cui de- ueſi eſtrarre la radice cubica. Noto li punti ſotto il 6, el’8 al modo conſueto: e nel ſecondo ordine, che è de’cubi, trouo, che il cubo proſſimamente minore di 438 è 343 cubo di 7; dunque noto 7 per radice, e leuo 343 dal 438, e reſta 95. A queſte figure 95, che ſon reſtate, aggiungo l’altre tre figure del numero dato, & è 95976.

438976 # 76 343 95976 95976 0

Ora perche la radice trouata da principio è 7, cerco nell’ ordine C. 7, venendo à baſſo vn numero vguale, ò proſſima-mente minore del 95976, e lo trouo preciſamente à dirittu-ra della radice 6 nella prima colonna: perciò aggiungo il 6 alla radice 7, e fatta l’eſtrattione, nulla rimane; onde conchiu-do, che il num. dato 438976 è preciſamente cubo, e la ſua ra-diee è 76.

Linea Cubica

Nell’iſteſſa maniera dato 749812, leuo dal 749 il cubo di 9, che è 729, e rimane 20. Il numero, che reſta è 20812. Ora perche la radi- ce è 9, cerco nella colonna C. 9 vn nu-mero proſſimamente minore, e niuno ve n’è; onde aggiungo il o alla radice, che ſarà 90, e reſta per numeratore della frattione adiacente il numero 20812; e per denominatore al modo ſolito ſarà il triplo della radice trouata, cioè 270, moſtipſicato per la-ſteſſa radice, & il prodotto 24300 ſarà il denominatore, oue-ro moltiplicato per la radice accreſciuta dell’vnità, cioè per 91, & il prodotto 24570 ſarà il denominatore, a cui per lo più torna bene aggiungere l’vnità, onde ſia 24571, quello dà la frattione maggiore, e queſto minore del douere.

749812 # # 20812 # 90 729 # # 24570 20812

Mà ſe il numero dato foſſe 57649, le-uo dal 57 il cubo di 3, che è 27, e reſta 30; sì che il numero rimanente per la ſe-conda operatione è 30649. Cerco dun-que neila colonna C. 3 vn numero proſ-ſimamente minore di queſtc, che è rima-ſto, e trouo 27872, quale cauo dal 30649, ereſta 2777. E perche all’ in-contro del ſudetto numero 27872 ſi troua la radice 8, ag-giungo queſta al 3, & è la radice del numero dato 38 con vna frattione, il cui numeratore è quel 2777, che reſtò, & il de-nominatore è il triplo della radice 38 moltiplato per 39, per hauer ſa frattione minore, ouero il triplo quadrato della ra-dice 38, per hauer la frattione maggiore.

57649 # 38 27 30649 27872 2777

La ragione di queſto modo d’operare è, perche i numeri di ciaſcuna area della tauoletta ſono quelli, che ſi fanno dal CAPO IV. triplo quadrato del numero poſto in cima (preſo però come numero decadico, cioè non 2, ma 20, e così de gl’altri) molti-plicato nel numero laterale corriſpondente della radice, e di più dal quadrato della radice poſta nella prima colonna nel triplo del primo numero della radice preſo pure come deca-dico, e di più dal cubo della detta ſeconda figura della radice. Per eſſempio, ſotto il C. 3. ſi troua corriſpondente alla radi-ce laterale 3 il numero 8937. Queſto ſi fà dal quadrato di 3 (cioè dello 30 poſto in cima) preſo tre volte, & è 2700, mol-tiplicato per ſa ſeconda radice laterale 3, onde è 8100. Di più il triplo della prima radice, che era 3 (cioè 30) è 90, e queſto ſi moltiplica per il quadrato della ſeconda radice 3, cioè per 9, eſi fà 810. Finaſmente prendo il cubo della ſe-conda figura della radice 3, cioè 27, & aggiunti inſie me que-ſti tre numeri ſolidi 8100, 810, 27, ſi fà la ſomma 8937: E queſto numero ſi dourâ ſempre cauare nella ſeconda ope-ratione, quando la prima figura della radice ſarà 3, e la ſecon-da ſarà parimenti 3. L’iſteſſo s’intenda fatto in tutti gl’altri numeri areali di queſta tauoletta. Onde fatta la fatica vna volta in far la tauoletta, rieſce poi facile l’operatione nel mo-do detto.

Che ſe il numero dato ſarà maggiore di ſei figure, ſi diuida per vn numero cubo, di cui ſia conoſciuta la radice, e del quo-tiente rimaſto minore di ſette figure ſi caui nel modo predet-to la radice; poiche ſe queſta radice trouata ſi moltiplicarà per la radice nota del cubo, che fù diuiſore, ſi produrrà la ra-dice cercata del numero dato. La ragione di ciè è manifeſta, perche come l’vnità al diuiſore, così il quotiente al numero diuiſo; dunque eſſendo l’iſteſſa la lor proportione ſubtriplica-ta, è ancho come la radice cubica dell’vnità alla radice cubi- Linea Cubica ca del diuiſore, così la radice cubica del quotiente alla radice cubica del numero diuiſo; queſta dunque ſi fà con la molti-plicatione delle radici cubiche del quotiente, che è trouata, e del diuiſore, che ſi ſuppone nota. Sia dato il numero 32001-3504000, di cui ſicerca la radice cubica. Mi è noto, come ſuppongo, che 438976 è numero cubo, la cui radice è 76. Prendo quel numero per diuiſore del numero dato, e mi vien per quotiente 729000; di queſto cerco la radice cubica nel modo ſopradetto, etrouata eſſer 90, moltiplico 90 per 76 radice del diuiſore, eſi produce 6840 radice cercata del nu-mero dato. Così ſia dato 128024064: queſto diuido per 343 cubo del 7: del quotiente 373248 trouo la radice eſſere 72; e queſta moltiplicata per 7 radice del diuiſore, produce 504 radice cercata del numero dato.

Ma ſe vn numero ſarà così grande, che non ti ſia noto vn cubo, che diuidendoſo laſci per quotiente meno di 7 figure, diuidilo per qucl cubo, che ti è noto: & il quotiente troppo grande diuidi ſimilmente per vn cubo noto, ſin che habbi vn quotiente piccolo à tuo modo, dal quale poſſi cauar la radi-ce: dipoi queſta radice moltiplicata ſucceſſiuamente con le radici de’cubi preſi per diuiſori, darà finaſmente la radice cercata.

Di quì hai vn modo aſſai facile per cauare la radice cubica anche ſenza queſta tauoletta, ſe ſolamente ſaprai i primi no-ue cubi, diuidendo per eſſi il tuo numero, ſin che reſti vn quo-tiente minore di 4 figure, di cui ti ſarà nota la radice; e queſta poi moltiplica per tutte le radici de’cubi diuiſori. Sia dato lo ſteſſo numero poco prima poſto 128024064: lo diuido per 729 cubo del 9, & il quotiente 175616 diuido di nuouo per 343 cubo del 7, e viene il quotiente 512, la cui radice è CAPO IV. preciſamente 8. Dunque moltiplicate infieme queſte tre ra-dici 9, 7, 8, ſi produce dell’8 in 9 il 72, e queſto per il 7 dà 504 radice del detto numero.

Dal che potrai anche inferire la facilità del ſeruirſi delli cu-bi di 10, 100, 1000, & c. tagliando dal dato numero alla de-ſtra tanti numeri ternarij di figure, che non reſtino più di tre figure, delle quali prendi il cubo maggiore con la ſua radice, e quel che auanza del numero reſtato aggiungi alle figure ta-gliate, e ſerue per numeratore della frattione, il cui denomi-natore ſarà il triplo quadrato della radice trouata, aggiunti tanti zeri, quante figure tagſiaſti fuora: Dipoi queſta radi-ce trouata moltiplica per il 10, ouero 100, & c. conforme tagliaſti fuora 3, ò 6, ò 9 figure, e ſi produrrà la radice cer-cata; è ben vero, che ſarà vn poco maggiore del douere, co-me per il contrario, ſe haueſſi accreſciuto d’vn’vnità quel tri-plo quadrato della radice, verrebbe vn poco minore del do-uere. Così ſia dato l’iſteſſo 128024064: taglio ſei figure, che è come diuiderlo per 1000000, cubo del 100, reſta 128 {024064/1000000}, da cui cauato 125 cubo di 5, reſta 3 con la frat-tione: Dunque, poiche 75 è il triplo quadrato di 5, la radi-ce ſarà 53 {024064/1000000/75}, cioè 5 {3024064/75000000}, queſta radice moltiplicata per 100 radice del cubo diuiſore, produce 504, con l’aggiun-ta d’vna frattione, la quale fà il numeratore troppo grande, che ſe in vece del 75 haueſſi preſo 76, ſaria venuto meno di 504, onde ſi caua douerſi prendere 504.

Linea Metallica
CAPO V. Come s’habbia à notare nello Stromento la Proportione de’Metalli; & vſo di queſta linea Metallica.

HAbbiamo ſin’ora nelle linee ſegnate sù lo Stromento, riſguardato preci ſamente le grandezze, ò ſiano lun-ghezza, ò aree, ò corpi, ſenza tener conto della materia; Ora per cagion d’eſſempio, onde altri potrà à ſuo talento de-ſcriuerne altre, conſideriamo le grandezze in materie deter-minate in quanto ſi poſſono paragonar’inſieme, e ſiano li me-talli, aggiungendoui la Calamita, il Marmo, e la Pietra, per hauer dieci materie da paragonar’inſieme. In due maniere ſi può inſtituire queſta comparatione, cioè nella grauità, eſ-ſendo vguale la lor mole; ouero nella mole, eſſendo vguale illor peſo. Mà perche hauere nello Stromento vna linea di-uiſa nella proportione della grauità, è coſa, che non hà mol-ta difficoltà, poiche è vna diuiſione di linea ſemplice, e tutte le ſue operationi non ſolo ſi puonno facilmente fare con la li-nea Aritmetica, hauuto riſguardo alla Tauoletta, che quì ſi porrà, nella cui ſeconda colonna s’eſprimono le proportioni delle grauità; ma anche ſenza la Tauoletta ſi potranno caua-re dallo Stromento nel modo, che quì à baſſo nella Queſt. 1. ſi dirà; perciò è meglio hauer le proportioni de’lati cubici, ouero delli diametri delle sfere, ch’eſſendo di diuerſa mate-ria, ſono però di vgual peſo; e queſto hauendo qualche diffi-coltà, conuerrà quì ſpiegare, acciò ſi vegga il modo, che ſi de-ue tenere; poiche li meno prattici vi ci potriano prendere non piccolo sbaglio.

CAPO V.

Suppongo noto dalla Statica, che la ſpecie della grauità de’ corpi paragonati inſieme ſi conoſce dal peſo di ciaſcuno nell’ iſteſſo mezzo, in cui grauitano, eſſendo di mole vguali: così perche vna palla di ferro peſata nell’aria ſi troua eſſere libre 21, doue che vna di pietra della ſteſſa grandezza peſata pure nell’aria, non è che libre 7, perciò diceſi, che il ferro è tre vol-te più peſante della pietra. In oltre ſuppongo ciò, che nella Statica ſi dimoſtra, che le grauità ſpecifiche de’ corpi, e le lo-ro moli ſono reciprocamente proportionali, cioè, come la grauità ſpecifica del primo, alla grauità ſpecifica del ſecondo, quando le moli ſono vguali, così quando le grauità aſſolute ſon’vguali, la mole del ſecondo alla mole del primo. E per ſtare nell’eſſempio propoſto del ferro, e della pietra, il ferro è in ſpecie tre volte più peſante della pietra; dunque quando faranno due maſle, vna di ferro, e l’altra di pietra vguali di peſo, la maſſa di pietra ſarà reciprocamente tre volte mag-giore di quella di ferro. Così perche in mole vguale il peſo dell’oro è come 100, & il peſo del rame è come 47 {1/3}, così in peſo vguale la mole del rame ſarà come 100, ela mole dell’ oro ſarà come 47 {1/3}; ecosì di tutte l’altre grauità.

Quindiè, che conoſciuta la proportione, che hanno le gra-uità ſpecifiche de’corpi propoſti, ſi verrà a trouar la propor-tione della loro ſolidità, quando ſi ſuppongano di peſi vgua-li, ſe ſi riuoltarà la proportione delle grauità in modo, che quello, ch’era conſeguente nelle grauità, diuenga anteceden-te della proportione nelle ſolidità. Onde eſſendo li dieci cor-pi propoſti nella grauità tali, che l’oro è il più peſante, e la pietrail più leggiero, per il contrario, ſe ſi faranno dieci palle di peſo vguale, quella di pietra è la più grande, e quella d’oro la più pic cola.

Linea Metallica

E prima di paſſar’ auanti, mi conuien quì auuiſare, che ſi troua appreſſo gl’ Autori qualche diuerſitànel determinare le proportioni delle grauità ſpecifiche; e ciò è potuto accadere ſenza alcun errore, ò imperfettione nelle lor’ iſperienze, per-che il ferro, ò l’argento, ò l’oro di tutte le miniere non è per-fettamente ſimile, ne tuttii marmi ſono giuſtamente peſanti à vn modo, e da queſta diuerſità de’ corpi oſſeruati hà potu-to naſcere la diuerſità delle proportioni, che ſi ſono deter-minate: anzi deue auuertirſi, che ſi troua diuerſità di peſo nel metallo coniato, e nel metallo fuſo, perche nel fonderlo non ſi condenſa tanto, quanto nel batterlo per coniarlo, e così nella ſteſſa mole ſi può trouare diuerſità di peſo tra argento, & argento tolto dalla ſteſſa miniera. Mà purche ſi prenda la proportione trouata da alcun’eſſatto, e diligente oſſeruatore, tanto baſta; perche nell’operatione fiſica, à cui ſerue que-ſto Stromento di Proportione, di cui trattiamo, non può riu-ſcir’errore notabile. A me è piacciuta la proportione ap-portata dal Merſennio ne’ſuoi Hidraulici, come quella, che mettendo la grauità dell’oro, come 100, e paragonando con eſſa l’altre grauità, moſtra alla prima aſſai intelligibiln ente la loro proportione.

CAPOV. #### Tauola delle granità ſpecifiche d’ alcuni corpi, della ſolidità \\ delle sfere vgualmente peſanti, e loro diametri \\ in particelle milleſime. Corpi # Grauità \\ ſpecifiche # Solidità \\ delle sfere, \\ ò de’cubi # Proportioni \\ de’ diametri, \\ ò lati cub. Pietra # 14 # 100 # 4. 641 † Marmo # 21 # 66 {2/3} # 4. 055 --Calamita # 26 # 53 {11/13} # 3. 776 † Stagno # 38 {1/4} # 36 {23/38} # 3. 320 † Ferro # 42 # 33 {1/3} # 3. 218 † Rame # 47 {1/3} # 29 {27/47} # 3. 094 --Argento # 54 {1/2} # 25 {37/54} # 2. 950 † Piombo # 60 {1/2} # 23 {17/321} # 2. 850 --Argento viuo # 71 {1/2} # 19 {41/71} # 2. 695 † Oro # 100 # 14 # 2. 410 †

Or’ecco in qual maniera s’è fatta queſta Tauoletta, in cui nella prima colonna ſono poſti i corpi per ordine, come van-no creſcendo di grauità, e calando di mole; nella ſeconda ſono le grauità ſpeeifiche, cioè i peſi di detti corpi, quando ſono di mole vguali; nella terza la ſolidità delle sfere fatte di ciaſcun corpo, sì che però ſiano di peſo vguali: e quel che delle sfere ſi dice, s’intende de’ cubi, e di qualſiuoglia altro corpo ſimile, poiche tutti ſono nella triplicata proportione Linea Metallica de’ lati homologi, come le sfere ſono nella triplicata propor-portione de’diametri: nella quarta poi ſono le proportioni de’ diametri del@e sfere, ò lati de’ cubi: Ecco, dico, in qual maniera s’è fatta queſta Tauoletta. Perche la grauità della pietra è 14, e l’altra eſtrema dell’oro è 100, la mole della pie-tra ſi pone 100, e quella dell’oro 14. Dipoi paragonando la pietra cel marmo, quella è in grauità 14, e queſto 21; dunque quella in mole è 21, e queſto 14, ma s’è poſta la mole della pietra 100, dunque dico, ſe 21 dà 14, 100 danno 66 {2/3}, e queſta ſarà la mole del marmo. Nell’iſteſſa maniera s’ande-rà paragonando la grauità della pietra con la grauità de gl’ altri, e ſi farà reciprocamente tale la mole della pietra alla mole di detti corpi. E queſto compendioſamente ſi fà pi-gliando il numero 1400, e diuidendolo per ciaſcun numero delle grauità, cioè per 26 grauità della calamita, & il quo-tiente 53 {11/@@} è la mole della calamita; per 38 {1/4} grauità dello ſtagno, & il quotiente 36 {23/38} è la mole dello ſtagno, ecosì de gl’ altri.

E perche nello Stromento conuien notare la proportione ſubtriplicata delle sfere, ò de’ cubi, perciò da ciaſcun nume-ro delle ſolidità ſi caua la radice cubica, aggiungendo à cia-ſcun numero noue zeri, à fine d’hauer la radice in parti mille-ſime: nel che s’è operato nella ſteſſa maniera, che nel Capo 4. onde circa il modo di ſeruirci de’ numeri della quarta co-lonna per notar le diuiſioni dello Stromento, non occorre re-plicar ciò, che già di ſopra s’è detto.

Per venir dunque all’eſſecutione dal centro dello Stro-mento, tiro le due @inee AP vguali; e pongo, che A P ſia dia-metro d’vna palla di pietra, il quale conforme alla Tauoletta è 464 centeſime: onde ſi può intendere tutta la linea diuiſa CAPO V. in 116 parti, ciaſcuna delle quali ſia {4/100}. Quindi è, che pren-dendo la metà della linea AP, ſarà di queſte parti 58; e perciò nella linea Aritmetica dello Stromento applico la metà di AP all’interuallo 58. 58; & hò lo Stromento aperto per po-ter ſegnare occultamente nella linea AP gl’intieri, che ſono 4. Eſſendo dunque ciaſcuna di quelle 116 parti di {4/100}, vn’intiero ne contiene 25: onde prendendo l’interuallo 25. 25, dal pun-to A, @o ſegno occulta mente nella linea AP, replicandolo ſo-lo tre volte ne’punti a, b, c: perche tanto baſta per il reſto dell’operatione. Sì che vna di queſte parti vltimamente trouate è 100 di quelle particelle, delle quali tutta la AP è 464.

Dunque per hauer le parti centeſime in ordine à ſegnar nella linea AP gl’altri diametri, la grandezza d’vna di queſte parti vltimamente trouate per vn’intiero, applico nella ſteſſa linea Aritmetica all’interual@o 50. 50; eritenuto lo Stromen-to nel@a ſteſſa apertura paſſo all’inueſtigatione de gl’ altri dia-metri nel modo che nella Queſt. 10. del Cap. 2. ſi diſſe. Così perche il diametro della sfera di marmo è 405, prendo 105, & all’interuallo della metà cioè al 52 {1/2}. 52 {1/4} hò la parte da aggiunger alli tre intieri, cioe dal punto c ſin’all’M; e così di quali parti AP è 464, di tali eſſendone Ac 300, e c M 105, tutta @a AM è 405 diametro d’vna sfera di marmo di peſo vguale alla sfera di pietra. Così per la calamita alli due in-tieri A b aggiungo l’interuallo della metà di 178, cioè di 89. 89, & è b C; onde AC è il diametro per la calamita: E così de gl’altri. Similmente per l’argento, il cui diametro è 295, prendo alla metà di 295 l’interuallo 97 {1/2}. 97 {1/2}, e l’aggiungo ad vn intiero, cioè dal pnntoa, onde AA è il diametro di vna sfera d’argento. E nella iſteſſa maniera s’anderanno aggiun- Linea Metallica gendo ne gl’altri ad vn intiero gl’interualli proportionati; il che già tante volte s’è detto, che non occorre replicarlo.

Quì auuerto che nello Stromento ſi ſon poſte le lettere ini-tiatiue de’nomi ltaliani, e per l’argento viuo, già che hà otte-nuto da’Chimici il nome di Mercurio fattogli già commune, s’è poſta la lettera M, la qual’eſſendo la più vicina alla lettera O, e ſapendoſi, che doppo l’oro l’argento viuo è il più peſan-te, ogn’vno facilmente intende eſſere la M per l’argento vi-uo. Sarà poi lecito à qualſiuoglia Artefice porre quelle let-tere, che più gli piacerà, purche ſiano tali, che ſi poſſa facil-mente conoſcere qual nome dimoſtrino.

QVESTIONE PRIMA. Come ſi poſſa cauare la proportione delle grauità ſpecifiche di due, ò più corpi.

GIà s’è detto, che le grauità ſpecifiche ſono reciproca-mente, come le moli, e grandezze delli peſi aſſoluta-mente vguali; onde è manifeſto, che hauendoſi nello Stro-mento la proportione ſubtriplicata delle moli, queſta pro-portione triplicata darà la proportione delle moli, e rouer-ſciata ſarà proportione delle grauità ſpecifiche. Si può dun-que in due maniere operare. Primieramente, allargando lo Stromento, quanto piace, e prendendo con due Compaſſi gl’interualli de’due corpi, la cui proportione delle grauit à ſpe-ciſiche ſi cerca: dipoi con la linea Aritmetica per la Queſt. 5. del Cap. 2 ſi vegga, che proportione in numeri habbiano quelli due interualli preſi: li numeri ſi cubichino, e ſarà nota la proportione cercata, ſe ſi riuolterà. Per eſſempio voglio CAPO V. paragonar l’oro con la pietra, prendo gl’interualli dell’vno, e dell’altra, e con la linea Aritmetica trouo alla pietra corri-ſponder 100, & all’oro 51, & vn poco più, quaſi 52: piglio il cubo di 100, che è 1000000, & il cubo di 51, che è 132651 e dico, che l’oro alla pietra in mole vguale, è di peſo, come 1000000, à 132651 in circa, cioè come 100 à 13 {2651/10000}. Mà preſo il cubo di 52, che è 140608 trouo, che è come 100 à 14 {608/10000}, onde, poiche il 52 è ſtato preſo troppo grande, @e grauità ſpecifice ſono come 100, e 14.

Secondariamente ſi può fare con più facilità, quando nello stromento vi ſia la linea cubica; poiche il primo modo pro-poſto è buono, quando nello Stromento eſſendoui la ſinea metallica non v’è la cubica. Prendanſi come prima gl’inter-ualli della linea metallica, e ſi vegga nella linea cubica, à quali interualli s’addattino, & i numeri della linea cubica moſtre-ranno i termini della Proportione reciproca, poiche mo-ſtrano la proportione delle grandezze. Così l’interuallo FF nella linea metallica corriſpondente al ferro portato sù la li-nea cubica all’interuallo 13. 13, l’interuallo CC corriſpon-dente alla calamita, cadendo nella linea cubica all’interuallo 21. 21, dimoſtra, che la mole della calamita alla mole del fer-ro è come 21 à 13, e perciò reciprocamente la grauità del ferro alla grauità della calamita è come 21 à 13.

La dimoſtratione è chiara: perche gl’interualli CC, & FF ſono nella proportione di AC ad AF, per quello che s’è det-to nel Capo 1; dunque eſſendo queſte, per la conſtruttione dello Stromento nella proportione ſubtriplicata delle gran-dezze, anche gl’interualli CC, FF ſono nella ſteſſa propor-tione ſubtriplicata; dunque queſte portate come interualli della linea cubica, ſono nella ſteſſa proportione, in cui ſono Linea Metallica ilati cubici ſegnati nella ſteſſa linea cubica: dunque i ſolidi de gl’interualli CC, FF ſono nella proportione de’cubi de’ lati cubici corriſpondenti; e così i numeri eſprimenti la propor-tione de’cubi, eſprimono anche quella delle grandezze de2 ſolidi metallici, e per conſeguenza reciprocamente preſi an-che la proportione delle grauità ſpecifiche.

Quindi è, che ſaputoſi il peſo d’vna palla di ferro, che por-ta vn cannone, ſi potrà facilmente ſapere, quante libre porti di palla di pietra; poiche trouata la proportione delle graui-tà ſpecifiche, come 3 à 1, ſe la palla di ferro è di libre 60, quella di pietra vguale è libre 20.

E quì ſi può auuertire la diuerſa forma, con cui ſi può in diſſegno eſprimere la proportione delle grauità di due corpi; perche ſe ſi vuol’ eſprimere con sfere, ò con cubi, baſterà prendere gl’interualli della linea metallica, e ſopra quelli, co- me ſopra diametri, ò ſemidiametri deſcri-uere le sfere, ò come ſopra lati deſcriuer i cubi, ò altri ſolidi ſimili, poiche recipro-camente preſi eſprimeranno la proportio-ne delle grauità ſpecifiche. Così per eſ-primere la proportione dell’ oro al ferro, nella linea metallica all’interuallo dell’oro prendo qualunque ſemidiametro, e de-ſcriuo la sfera A; e ritenuta la ſteſſa aper-tura dello Stromento, prendo l’interuallo del ferro, e queſto mi ſerue di ſemidiame-tro per la sfera B, & in tal maniera la pro-portione della grauità dell’oro alla grauità del ferro, è quella della sfera B alla sfera A. Mà ſe ſi vorrà con linee eſprimere la ſteſſa proportione, non baſterà deſcriuere due linee, che CAPO V. ſiano gl’interualli dell’oro, e del ferro nella linea metallica; mà ò conuiene continuar la proportio ne di dette linee ſin al-la quarta proportionale, e come la proportione della prima alla quarta è la proportione della grandezza de’ peſi vguali di oro, e di ferro, così la proportione della quarta alla prima è la proportione della grauità ſpecifica dell’ oro alla grauità del ferro; ò traportati queſti interualli alla linea cubica, ve-dendo, che l’interuallo del ferro poſto al 50. 50, l’interuallo dell’ oro cade nel 21. 21, conuiene nella linea Aritmetica prendere due interualli nella proportione di 50 à 21, e ſiano le linee R, S, onde l’oro al ferro di mole vguale è in grauità, come R ad S.

QVESTIONE SECONDA. Dato vn corpo, la cui grandezza, e grauità ſiano note, come ſi poſſa trouarne vn’altro d’altra materia, che in grauità habbia la proportione data.

PErche in queſta queſtione ſi ſuppone nota la grauità, ela grandezza del corpo, poco importa, che detto corpo ſia regolare, eſſendo che ſi può operare, come ſe ſi haueſ@e vna sfera di peſo vguale, mentre non ſi cerca im mediatamen-te la proportione, ne ſa ſimilitudine della grandezza, mà de’peſi.

Sia per eſſempio vn pezzo di marmo di peſo 40 libre, e ſi voglia hauer’vna palla, ò vn cubo di piombo vguale di peſo al marmo. Conuien dunque trouar, ò il diametro d’vna sfe-ra, ò il lato d’vn cubo di marmo vguale alla grauità del pez-zo di marmo dato. Sia per eſſempio conoſciuto il lato d’vn Linea Metallica cubo di marmo, che peſi due libre, e ſia la linea M: que ſta nella linea cubica s’ applichi all’interuallo 2. 2, & all’inter-uallo 40. 40, s’haurà la linea N lato d’ vn cubo di marmo di libre 40 vguale al pezzo dato. Si porti dunque la li-nea N nella linea metallica all’interuallo del marmo MM, e nella ſteſſa linea metallica ritenuta l’apertura dello Stromen-to, l’interuallo del piombo PP, darà la linea P lato d’vn cubo di piombo di libre 40.

Mà ſe ſi cercaſſe vn cubo di piombo, ch’in vna ſtadiera equilibraſſe vn’altro peſo maggiore, è manifeſto dalle ragio-ni ſtatiche, che li peſi deuono hauere la proportione recipro-ca delle lunghezze de bracci della ſtadiera, pigliandoli dal punto, da cui ella ſtà ſoſpeſa; e perciò al peſo dato conuien trouar v’altro peſo della ſteſſa materia, che ſia minore nella proportione de’bracci della ſtadiera; & hauuto il lato cubico, ò diametro sferico di tal peſo minore applicato alla linea metallica, ſubito ſi trouerà il lato, ò il diametro del cubo, ò della sfera dell’altra materia, che ſi cerca. Così ſia la ſtadie-ra AB ſoſtenuta nel punto C, ſi che il braccio CB ſia noue volte maggiore del braccio CA, e dall’ eſtremità A debba ſoſpenderſi vn peſo di 450 libre di ſtagno; dunque eſſendo BC à CA, come 9 à 1, il peſo che in A è 450 libre, vien equi-librato in B da libre 50. Ora facciamo, che ſia noto il dia-metro di vna palla di ſtagno di lib. 3, s’appli chi tal diametro nella linea cubica all’interuallo 3. 3, e l’interuallo 50. 50, da-rà il diametro d’vna palla di ſtagno di lib. 50. Queſto dia-metro trouato ſi porti nella linea metallica all’ interuallo SS CAPO V. dello ſtagno, poiche l’interuallo PP del piombo darà il dia-metro d’vna palla di piombo dilibre 50, che poſta in B, equi- librerà le libre 450 di ſtagno poſte in A.

Quì però deue intenderſi la ſtadiera equilibrata da ſe me-deſima, perche altrimenti nelle ſtadiere communi non riuſci-rebbe aggiuſtato il peſo, a cagione che il braccio lungo del-la ſtadiera hà li ſuoi momenti di grauità.

Auuertaſi in queſte operationi riuſcir aſſai commodo prendere le sfere; perche quando foſſero grandi aſſai, ſi può operare col ſemidiametro più toſto, che col diametro, e s’hà l’apertura del Compaſſo per deſcriuer la sfera; ma ſe ſi pren-deſ@e la metà dellato cubico, conuerria pigliar il cubo otto volte minore del peſo dato, e ſi trouerebbe il lato d’vn cubo otto volte minoré del douere: onde finita l’operatione, ſaria di meſtieri raddoppiar il lato trouato.

In oltre ſi deue auuertire da chi non foſſe tanto prattico della Geometria, che quando ſi tratta ſolamente d’eſprimere la proportione, tanto è trouar li diametri delle sfere, quanto ilati de’cubi; perche le sfere eſſendo tra di ſe nella triplicata proportione de’loro diametri, hanno la proportione de’cubi de gli ſteſſi diametri; Mà ſe ſi trattaſſe d’eſprimere le gran-dezze, non è l’iſteſſo prender le sfere, & i cubi, come è ma-nifeſto; poiche la sfera circoſcritta dal cilindro è à queſto co-me 2 a 3, & il cilindro cir@oſcritto dal cubo è nella propor-tione del circolo al quadrato d@l diametro, cioè come 11 a 14: onde ne viene, che queſti tre corpi sfera, cilindro, e cu-bo, à quali ſerue l’iſteſſa linea di diametro alli rotondi, e di la-to al cubo, ſono nella proportione di 22. 33. 42, e così il cubo alla sfera è come 21 à 11; dal che appariſce quanto enorme sbaglio faria chi in ciò operaſſe ſenza la douuta rifleſ-ſione.

Linea Metallica

Dal che così di paſſaggio poſſiamo raccogliere, come ſi poſſa trasformar vn cubo in vna sfera, & al contrario. Perche ſe ſarà dato il lato d’vn cubo, è manifeſto, ehe di quali parti quel cubo è 21, la sfera che habbia diametro vguale ſarà ſolo 11: pongaſi dunque quel lato del cubo dato nella linea cubi-ca, come ſe foſſe diametro d’vna sfera all’interuallo II. II, e preſo l’interuallo 21. 21, queſto ſarà il diametro della sfera, la quale eſſendo alla sfera del primo diametro, come 21 à 11, vien ad eſſer vgual al cubo dato, perla 7 del lib. 5. E ſe la sfera s’haurà à cangiar in cubo, pongaſi il diametto di detta sfera come latò d’vn cubo all’interuallo 21. 21, e preſo l’in-teruallo 11. 11, ſarà lato d’vn cubo, che ſarà al cubo del pri-mo lato, come 11 à 21, e perciò vguale alla sfera del primo diametro preſo, come lato di cubo.

Fatta poi queſta trasformatione di sfera in cubo vguale della ſteſſa materia, ſarà facile, per quel ches’è detto con la linea metallica trouar la sfera, c̀’lcubo vguale di peſo, che ſia d’altra materia.

L’iſteſſa forma d’operare ſi terrà nella trasformatione di sfera, ò cubo in cilindro, hauendo riſguardo alla propor-tione delle loro grandezze; e ſeruendoſi della linea Cubica, Geometrica, e poi della linea Metallica per la diuerſità della materia in ordine al peſo. Così eſſendo data la sfera S d’ar-gento, e ſi voglia vn cilindro d’oro vguale di peſo, il cilindro quadrato CE, che hà per baſe il circolo maſſimo della sfera, e per altezza il diametro della ſteſſa sfera, è ſeſquialtero alla sfera: dunque trouandoſi con la linea Geometrica il diame-tro d’vn circolo ſubſeſquialtero, e ſia CF, il cilindro CG d’al-tezza vguale al diametro della sfera ſarà vguale alla ſteſſa sfe-ra, poiche anch’egliè ſubſelquialtero del cilindro CE, ha- CAPOV. uendo la proportione delle baſi, per la 11 del lib. 12. Dunque il cilindro CG d’argento è vguate alla sfera S d’argento. Or volendoſi vn cilindro quadrato, che fia vguale al cilindo CG, e per confeguenza alla sfera da-ta S, tra il diametro della baſe CF, e l’altezza FG ſitroui la ſeconda delle quattro continuatamente proportio-nali, per la Queſt. 1. del Cap. 4. col mezzo della linea cubica, e ſia CO, diametro della baſe del cilindro, à cui eſſendo vguale l’altezza OL, ſarà il ci-lindro CL quadrato vguale al cilindro CG, cioè alla sfera; eſſendo che le ba-ſi, e l’altezze di queſti due cilindri ſo-no reciproche, come s’è dimoſtrato nella Queſt. 6. del Cap. 4. perche per la coſtruttione il circolo del diametro CF al circolo del diametro CO è co-mela prima alla terza proportionale, tra le quali la linea CO è la ſeconda. Or cſſendo come la prima alla terza, così la ſeconda alla quarta, cioè CO, ouero OL vguale altezza, all’ altezza FG, ſi rende manifeſto, che ſi reciprocano le baſi, e l’altezze. Tra-portato dunque CO nella linea metallica all’interuallo AA dell’argento, prendaſi l’interuallo OO dell’oro, e ſia la linea IM diametro della baſe, & MK altezza vguale: onde il cilin-dro d’oro IK eſſendo ſimile al cilindro CL d’argento, & eſ-ſendo per la coſtruttione dello ſtromento nella proportione Linea Metallica reciproca delle grauità ſpecifiche, ſaranno detti due cilindri equiponderanti, e perciò il cilindro d’oro IK ſarà di peſo vguale alla sfera S d’argento.

QVESTIONE TERZA. Come ſi poſſa trouare la grandezza di qualſiuoglia peſo, conoſcendone vn’altro d’alira materia.

DAlle coſe dette ſin’ora è manifeſto, che ſapendoſi la, grandezza d’vn peſo in materia determinata di quel-le, che ſono nella linea metallica ſubito ſi troua la grandezza del corpo d’vgual peſo in figura ſimile, e di materia diuerſa. Poſcia con la linea cubica ſi troua la grandezza del peſo, che ſi cerca. Per cagione d’eſſempio ſi cerca di far’ vn vaſo di capacità cubica in modo, che capiſca libre 3200 d’argento viuo: è noto il diametro d’vna palla diferro di 3 libre. Per-che ſi cerca illato cubico del vaſo, ſi riduca la grandezza del-la palla ad vn cubo vguale, trouando il lato del cubo di ferro di 3 libre, come s’è detto nella Queſt. precedente: e queſto lato cubico nella linea metallica s’applichi all’interuallo del ferro FF, perche l’interuallo del mercurio MM darà il lato di vn cubo d’argento viuo di 3 libre. Queſto lato trouato s’ap-plichi nella linea cubica all’interuallo 3. 3, e l’interuall 0 50. 50, darà illato d’vn cubo di 50 libre d’argento viuo. Dun que queſto lato quadruplicato darà il lato d’vn cubo 64 volte maggiore del cubo di libre 50, cioè del cubo di lib. 3200 d’argento viuo, come ſi cercaua.

Quando il numero, che denomina il peſo è grande aſſai, per trouar preſto vn lato, che con replicarlo alcune volte dia CAPOV. il lato, che ſi cerca, prendaſi vn numero cubo, che lo miſuri per vn’altro num. minore del 50 (poſto che la linea cubica, dello ſtromento non ecceda li 50) ò di qualſiuoglia altro, che ſia il maſſimo de’numeri notati nella linea cubica. Così per trouar’il diametro d’vna sfera di marmo, che peſi libre 4000, ſe prendeſſi il cubo di 4, cioè 64, verrebbe il quotiente 62 {1/2} maggiore del 50, che è il maſſimo delli notati nella linea cu-bica; perciò preſo il cubo di 5, cioè 125, e per 125 diuiſo il 4000, viene il quotiente 32. Et in tal maniera operando, come prima, cioè trouato il diametro della sfera di marmo di lib. 3 vguale alla sfera di ferro conoſciuta, & applicato nella linea cubica tal diametro all’interuallo 3. 3, prendaſi l’interuallo 32. 32; e perche il 4000 fù diuiſo per il cubo di 5. per queſto quell’interuallo 32. 32 deue replicarſi cinque volte, e quello ſarà il diametro d’vna palla di marmo di 4000 libre.

CAPO VI. In qual maniera s’habbiano à notare nello Stromento li Gradi del Circolo: & vſo di tal linea.

PEr la neceſſità, che s’hà molte volte di diſſegnar’ alcune piante di campi, e coſe ſimili, ò per l’vſo della Gnomo-nica, conuien fare angoli di miſure determinate in gradi, i quali ſono quelle 360 parti, in cui s’intende diuiſa la circon-ferenza di ciaſcun circolo, come è noto. A queſto fine mol-ti hanno deſcritta vna quarta parte dicerchio diuiſa ne’ſuoi gradi, e dalla circonferenza vltima tirate per ciaſcun grado linee rette al centro, vengono à diuidere ſimilmente altri Gradi del Circolo archi più piccoli deſcritti dal medeſimo centro, per poterſi ſeruire ora di queſto, ora di quell’ arco di maggior, ò minor diſtanza dal centro, conforme al biſogno occorrente. Mà di quanta imperfettione ciò ſia, è manifeſto, per la confuſione, che ſaria, ſe foſſero molti gli archi deſcritti l’vno vicino all’al-tro, e per la difficoltà, che tutte le linee ſiano giuſtiſſimamen-te tirate; oltre che coll’auuicinarſi tra di loro, quanto più s’ac-coſtano al centro, vengon’ à far confuſione, eſpeſſo non ſal-uano l’vguaglianza della diuiſione. Perciò ſi sfuggono tutti queſti inconuenienti nello Stromento di Proportione, il qua-le ſerue per diuider tutti li circoli poſſibili, li cui ſemidia me-tri puonno capire tra la minima, e la maſſima dilatatione dello ſtromento nel luogo, doue s’applica il ſemidiametro, come ſi dirà.

Tirandoſi dunque nello ſtromento vna linea retta, è certo, che queſta non và diuiſa in parti vguali, come vna linea cir-colare è diuiſa in parti vguali, che ſi chiamano Grandi; poi-che in tal linea reta dello ſtromento ſi ſegnano non gl’archi, mà le corde ſottendenti à gl’archi, e con eſſe s’opera nel mo-do, che ſi ſpiegarà à baſſo. E che tali corde de gl’archi, che creſcono vgualmente in numero di grandi, non creſcono anch’eſſe vgualmente, è manifeſto dalla dottrina de’Seni, che quì ſi ſuppone. Onde grauemente errarebbe l’ Artefice, che vna tal linea tirata nello ſtromento per vn quadrante di cerchio, voleſſe diuider’in 90 parti vguali; perche così fa-cendo, queſta linea non ſaria punto differente dalla ſinea Aritmetica, di cuis’è parlato nel Capo 2. E così eſſendoci oſferto vno Stromento di Proportione, ſe applicati due com-paſſi à due numeri nella linea Aritmetica, quelle due diſtan-ze vengono ad applicarſi à due numeri ſimili nella linea de’ CAPO VI. gradi, ò del quadrante del cerchio, ſarà ſegno euidente non eſſerſi fatta tal linea dall’ Artefice ſecondole regole debite, e lo ſtromento è inutile.

Ora douendoſi notare nello ſtromeuto le corde de gl’ar-chi, ſi puonno notare, ò quelle di tutto vn ſemicircolo, ò ſol quelle d’vn quadrante; e torna più à conto notar ſol queſte del quadrante, perche in tal modo rieſcono le diuiſioni della linea più diſtinte, e notabili, e per altro queſte baſtano per qualſiuoglia arco anche maggiore. Se pur non foſſe così lun-go lo ſtromento, che riuſciſſe commodo il notarui tutto vn ſemicircolo. Perciò qui parleremo ſolo della diuiſione per il quadrante, perche da ciò ſarà manifeſto, quanto s’habbia à fare volendoſi fare per il ſemicircolo.

Per tanto voltato lo ſtromento dall’altra faccia oppoſta alla ſegnata già per linee rette ſenza relatione al circolo, ſi ti-rino dal centro nell’vno, e nell’altro braccio due linee rette vguali, cialcuna delle quali ſi ſuppone eſſer corda dell’arco di 90 gradi. Conuien dunque trouare, qual ſia il ſemidia-metro d’vn circolo, la di cui quarta parte habbia per corda la linea data. Il che ſi fà in tal maniera. Suppongaſi, che la linea retta tirata nello ſtromento ſia la A B corda dell’ arco di gradi 90, ecerchiſi il ſemidiametro, cioè la corda di gr. 60. Diuidaſi vgual-mente la AB in C, e ſi alzi la per-pendicolare CD vguale alla CB, e per il punto D ſi tiri la retta BD, à cui prendaſi vguale BE, & il punto Eè il termine della corda di gr. 60 nel cerchio, di cui la AB è corda di gr. 90. Perche ſe ſi tira la retta DA, li due triangoli Gradi del Circolo ACD, BCD hanno per la coſtruttione vguali i lati CA, CB, c la CD è commune, e gl’angoli al punto C ſono fatti vguali dalla perpendicolare CD, dunque, per la 4 del lib. 1, le baſi DB, DA ſono vguali, e gl’angoli vguali. E perche per la co-ſtruttione ambidue ſono iſoſceli, eſſendo le tre line AC, CD, CB vguali, gl’angoli CDB, CDA ſono ſemiretti, per la 5, e 32 del lib. 1. e così tutto l’angolo ADB è retto: Onde eſſendo ſimili li triangoli BCD, BDA, come CB ſemidiametro à BD corda di gr. 90. così anche BD ſemidia metro, cioè BE, à BA corda di gradi 90. E per prouare ſe habbi operato giuſta-mente, prolonghiſi la BD in F, tanto che BF ſia vguale alla BA, e fatto centro in E all’interuallo EB, ſi deſcriua l’arco BF, eſe paſſerà preciſa mente per il punto F, ſarà ſegno, che s’operò giuſtamente: Perche dal centro C deſcritto il qua-drante BD, ſono due circoli, che ſi toccano interior mente nel punto B, e così la retta BDF tagliando dell’vno, e dell’al-tro archi ſimili (come ſi può facilmente raccogliere dalla 20, ò anche dalla 32 del lib. 3.) fà che tanto l’arco BF, quanto l’arco BD ſiano di gr. 90. Similmente ſi prouerà con alzare dal punto E vna perpendicolare, e perciò parallela alla CD, la quale cadendo nel punto F, ſarà indicio, che s’oprò giu-ſtamente. Perche eſſendo ſimili li triango li BCD, BEF, co-me BD à BC, così BF, cioè BA à BE, per la 4 del lib. 6. Ne ſono inutili queſte proue, perche conuien’operare con eſſat-tezza nel for mare lo ſtro mento.

Sia dunque ſo pra vna laſtra piana di rame, ò altra materia piana conſiſtente, la linea RS longhezza della linea, che può tirarſi nel lato dello ſtromento, e conforme al modo detto ſia R C la corda di gr. 60. Perciò all’interuallo CR fatto centro in C, ſi deſcriua vn àrco, & applicata l’apertura del Compaſ- CAPO VI. ſo dal punto R, ſi taglia l’arco nel punto 60. Queſt’arco R 60 diuiſo per metà, per la 30 del lib. 3. darà il punto 30; onde la diſtanza di R 30 replicata dal punto 60, darà 60. 90, e così R 90 ſarà il quadrante del cerchio, e ſi ſarà operato giuſta-mente, ſe l’apertura R 90 comprenderà preciſa mente la li-nea R S. Così le ſolite ſubdiuiſioni daranno tutti li 90 gradi del quadrante, quali conuien notare con grandiſſima eſatez-za, quanto ſarà pòſſibile; poiche diuiſo R 30 per metà, darà R 15; e diuiſo R 30 in tre parti vguali, darà R 10; le quali parti R 10, & R 15 replicate, daranno la diuiſione di tutte le decine per metà. Sì che ſol reſta diuidere R 5 in cinque gradi vguali: il che forſi non riuſcirebbe così aggiuſtato, ſe ſi ten-taſſe immediatamente replicando cinque volte la piccola apertura del Compaſſo; perciò prendo vn’ interuallo mag-giore, e lo diuido con ogni diligenza in cinque parti vguali, e ſia R 45, poiche la ſua quinta parte RI contine 9 gradi; e così queſt’a pertura replicata, caderà in O, E, V, cioè ne’gradi 18, 27, 36, e così di mano in mano. Applicata poi queſta ſteſ-ſa apertura alli punti già notati, e replicata conuenientemen-te, verranno ad eſſer ſegnati tuttili gradi.

Che ſe più toſto voleſſimo prendere vn’interuallo minore, e replicarlo più ſpeſſo (il che forſi non riuſcirà tanto accura-to, poiche quanto più ſi replica il Compaſſo, la punta tanto più ſpatio rubba) ſi può diuidere R 30 in cinque parti vgua-li, ciaſcuna delle quali contiene 6 gradi, e replicato quell’in-teruallo conuenientemente al modo detto, cominciando or da vno, or da vn’altro de’punti già ſegnati, verranno ad eſſer notati tutti li gradi.

Fatta queſta diuiſione del quadrantc ne’ſuoi gradi, ſi pren-dano dal punto R gl’interualli à ciaſcun grado, e ſi notino Capo VI. Gradi del Circolo nella linea RS, e queſte ſono le corde di ciaſcuno di quegl’ar-chi, che deuono notarſi nello ſtromento: Gradi del Circolo nella linea RS, e queſte ſono le corde di ciaſcuno di quegl’ar-chi, che deuono notarſi nello ſtromento: Capo VI. Gradi del Circolo nella linea RS, e queſte ſono le corde di ciaſcuno di quegl’ar-chi, che deuono notarſi nello ſtromento: Capo VI. Gradi del Circolo nella linea RS, e queſte ſono le corde di ciaſcuno di quegl’ar-chi, che deuono notarſi nello ſtromento: e perciò tali diuiſio-ni deuono trasferirſi nelle linee AC, AQ dello ſtromento. Se bene io conſegliarei più toſto prendere nell’arco R 90 immediatamente le corde di ciaſcun’arco, e traſportarle sù lo ſtromento; poiche così pare l’operatione ſia per riuſcire più eſatta.

Da queſta coſtruttione, e dalle ragioni di ſopra più volte addotte, ſi rende manifeſto, che eſſendo lilati AC, AQ diuiſi nella proportione ditutte le corde de gl’archi del quadrante, il cui ſemidiametro è A 60, data quaſſiuoglia apertura dello ſtromento, l’interuallo 60. 60 ſarà la quantità del ſemidia. metro del circolo, e tutti gl’altri interualli daranno le corde de gl’archi corriſpondenti di detto circolo.

QVESTIONE PRIMA. Come ſi poſſa deſcriuer’ vn’angolo di quantità determinata.

GIà ſi sà, che la quantità de gl’angoli ſi denomina dalla moltitudine de’gradi del circolo, che habbia il centro nel punto, doue s’vniſcono le due linee, che fanno l’angolo; e la quantità de’gradi della circonferenza compreſa tra dette due linee denomina l’angolo di tanti, ò tanti gradi. Onde ne viene, che douendoſi deſcriuer’vn’angolo, dall’eſtremo d’vna linea data, come da centro à qualunque interuallo, ſi deſcri-ue occultamente vn’arco minore della ſemicirconferenza, più, ò meno, ſecondo che l’angolo deu’eſſer maggior, ò mi-nore; poiche dal punto, doue la data linea taglia la detta cir-conferenza, prendendoſi l’arco della determinata quantità, CAPO VI. ſi trouerà il punto, per il quale dalcentro tirata vna linea farà l’angolo cercato.

Debbaſi per cagione d’eſſempio deſcriuere l’Angolo del centro d’vna Fortezza rego-lare di cinque baloardi; il qual’è digr. 72. Sia la linea CL, che partendo dal centro della fortezza, ſia inſieme ſemidiametro del circolo, in cui ſi deſcriue il Poligono in-teriore. Dal punto C, come centro all’interuallo CL ſi deſcriua l’arco LM. Poſcia nello Stromento s’applichi la linea CL all’interuallo de’gradi 60. 60: & in quella apertura dello Stromento prendaſi l’interual-1072. 72; e queſto applicato all’arco deſcritto, ſarà LN. Dun-que dal punto C al punto N tirata la CN, ſarà LCN l’angolo del centro d’vn Pentagono regolare, cioè digradi 72.

Mà ſe ſi voleſſe deſcriuere l’angolo del medeſimo Penta-gono ſenza ſaperſi il centro della figura, per deſcriuerui vn Baloardo, baſterà leuare l’angolo del centro, che è gr. 72 da due Retti, cioè da 180, ereſtano gr. 108. Sia dunque la linea BA, & il punto A, doue deu’eſſer l’an-golo, ſia centro dell’arco BO (pre-ſo l’interuallo AB, ò tutto, come in quefta figura, ò ſol parte d’vna linea maggiore, ſe AB foſſe aſſai più lunga) da cui ſi deuono pren-dere gr. 108. Nello Stromento s’applica AB all’interuallo de’gr. Gradi del Circolo 60. 60; e perche non vi ſon notati ſe non i gradi del quadran-te, e queſto angolo è aſſai maggiore, perciò con la ſteſſa a pertura del Compaſſo prendo primieramente BC, che è gradi 60; e perche il reſiduo ſin alli 108, ſono gradi 48, pren-do l’interuallo 48. 48, e lo trasferiſco in CD; onde vien ad eſſerel’arco BD gr. 108 e tirara la linea AD darà l’angolo del pentagono BAD.

Ora ſe ſopra l’angolo BAD del pentagono voleſſimo de-ſcriuere il baloardo col ſuo angolo proportionato, primiera-mente ſi diuide l’angolo BAD per metà, onde eſſendo BD gr. 108, prendaſi nello Stromento l’interuallo 54. 54, e ſarà BE: e così applicata la riga alli punti AE, ſi tiri la Capitale I. A, che prolongata taglia per mezzo l’angolo del Poligono, e giungerebbe ſin al centro. Suppongaſi che in L debba eſſer la punta del Baloardo. E perche alla forma aſſai commune, e pratticata ſi fà l’angolo del Baloardo, che ſia due terzi dell’ angolo del Poligono, eſſendo queſto gr. 108, quello ſarà gr. 72, & il ſemiangolo del Baloardo gr. 36. Fatto dunque centro in L à qualunque interuallo, per eſſempio LM, ſi deſcriua vn arco di quà, e di là; & applicata nello Stromento la linea LM all’interuallo 60. 60, prendaſi l’interuallo 36. 36, & applica-to nell’arco deſcritto, dal punto M ſi prenda vguale MN, & MO: e tirate le linee LN, LO, ſarà l’angolo del Baloardo NLO di gr. 72, come ſi richiedeua.

Che ſe occorreſſe deſcriuer vn’angolo, che oltre li gradi haueſſe anco li minuti, conuien auuertire, ſe la figura da de-ſcriuerſi è grande, ò pur piccola; perche nelle piccole vua cotal differenza di minuti non è notabile: onde ſe li minuti ſono aſſai meno di 30, ſi puonno laſciare, ſe paſſano notabil-mente li 30, ſi puonno prendere per vn grado di più; così in CAPO VI. vece digr. 10. m. 12. baſta prendere nello Stromento l’inter-uallo 10. 10: & in vece digr. 10. m. 49. ſi può prendere nello Stromento l’interuallo 11. 11. Che ſe li minuti aggionti alli gradi s’auuicinano più, ò meno alli 30, ſi puonno pigliare nello Stromento li due numeri vicini, cioè il minore in vn braccio, & il maggiore nell’altro braccìo dello Stromento; così per gr. 10. m. 28, ouero per gr. 10. m. 36. ſi può prende-re nello Stromento l’interuallo 10. 11, & ſarà proſſimamen-te ciò che ſi deſidera. Ma ſela figura foſſe notabilmente grande, in tal caſo conuerrà deſcriuer vn arco con vna grand’ apertura di Compaſſo, ſiche il ſemidiametro ſia grande da applicarſi all’interuallo 60. 60, dipoi ſi prenda nell’ arco de-ſcritto il numero de’gradi intieri, e poi il numero d’vn grado di più, e quella differenza à occhio ſi può diuidere ſecondo il numero de’minuti aggionti; così per l’angolo digr. 10. m. 12, prendo prima l’interuallo 10. 10, e poil’interuallo 11. 11, e ſegnati nell’arco deſcritto, piglio à occhio la quinta parte della differenza tra queſti due ſegni, che corriſponde alli mi-nuti 12; e tirata la linea darà l’angolo deſiderato.

QVESTIONE SECONDA. Come ſi eonoſca la grandezza, e quantità d’vn’angolo dato.

DA ciò, che s’è detto nella precedente Queſtione è coſa faciliſſima, ſe ſarà dato vn’angolo, conoſcere deter-minatamente in gradi, quanta ſia la ſua grandezza, fatto cen-tro nel punto, oue le due linee ſi toccano, & à qualunquein-teruallo deſcritto vn arco, che tagli amendue quelle linee, perche applicata la larghezza del Compaſſo, alla cui apertura Gradi del Circolo ſi deſcriſſe l’arco alli punti 60. 60, dello Stromento poſcia co’l Compaſſo preſa la grandezza dell’arco deſcritto com-preſo tra le due linee date, s’applichi allo Stromento, & ap-parirà di quanti gradi ſia l’angolo dato. Così le due linee RS, RT fanno l’angolo SRT, la cui quantità ſi deſidera conoſcere. Dal punto R all’inter-uallo RA deſcriuo l’arco AB occulto (ouero per più facilità ſegno le due linee ne’punti A, e B ſenza deſcriuere l’arco) e l’apertura del Compaſſo RA applico all’interuallo 60. 60 nello Stromento. Dipoi prendo col Com-paſſo la diſtanza AB, & applicata allo Stro-mento ritenuto nella ſteſſa apertura, trouo, che caſca all’interuallo 253. 25 {1/3}, e così dico l’angolo SRT eſſere digr. 25. m. 20.

Similmente ſe ſarà tirata la linea TS, e fatto il triangolo, conoſcerò, quanto ſia l’ang. S, ſe alla lunghezza ST prendeiò vguale SC, & applicata queſta lunghezza ST alli punti 60. 60 dello Stromento, prenderò col Compaſſo la diſtanza TC, e ritenuta la ſteſſa apertura dello Stromento, trouando, che la diſtanza TC s’applica giuſtamente nello Stromento all’in-teruallo 90. 90, dico che l’angolo Sè retto, e perciò l’angolo T è il complemento dell’angolo R, e per conſeguenza è di gr. 64. m. 40.

Di qui è manifeſto il modo di cauare dall’ombra d’vn cor-po, la cui altezza è conoſciuta, quanta ſia l’altezza del Sole ſopra l’Orizonte. Sia dunque l’altezza perpendicolare d’vn baſtone piedi 6, e miſurando la longhezza dell’ombra, trouo che è piedi 2. oncie 10 {1/2}. Si che queſte due miſure ſono oncie 72, & oncie 34 {1/2}. Dunque alargatolo Stromento à mio pia- CAPO VI. cere, prendo nella linea Aritmetica l’interuallo 72. 72, & in vn piano delcriuo à tal’interuallo vguale la linea RS: e poi preſo l’interuallo 34 {1/2}. 34 {1/2}, glideſcriuo vguale la linea ST, che cade perpendicolarmente in S. Quindi tirata la linea RT moſtrarà il raggio del ſole, come RS rappreſenta l’altezza del baſtone, & ST la longhezza dell’ ombra. Cerco dunque nel modo detto di ſopra la quantità dell’angolo T, e queſta è l’altezza del Sole ſopra l’Orizonte.

Di queſto modo potranno ſeruirſi iPittori, per non far l’ombre de’corpi, ò troppo corte, òtroppo lunghe, quando la coſa dipinta rappreſenta vn fatto operato in ora determi-nata del giorno in vn luogo determinato; perche per eſſem-pio ſe ſi dourà dipinger il Miracolo di S. Pietro, quando riſa-nò lo ſtorpiato alla Porta ſpecioſa del Tempio di Gierufa-lemme, biſogna auuertire di non far l’ombre delle fabriche in modo, che non corriſpondano con le altezze, all’hora nona, cioè tre ore doppo mezzo dì (parlando dell’ ore diſuguali) circa il fine di Maggio in Gierufalemme. Che ſe bene nonè neceſſaria in ciò vna certa preciſione Mattematica per l’vſo de’ Pittori, ad ogni modo ſi può errare aſſai in ciò, e moſtra. re d’hauer fatto l’ombre, & il ſito del Sole à caſo.

Mà ſe l’angolo dato foſſe così grande, che deſcritto l’arco, non ſi poteſſe nello Stromento trouare la ſua quantità, ſi po-trà prender in due volte: Come nella figura della queſtione precedente l’angolo BAD è tale, che aperto lo Stromento all’interuallo AB applicato alli punti 60. 60, la diſtanza BD non capiſce nello Stromento, perciò preſo ad arbitrio vn’interuallo, pereſſempio 80. 80, & applicato all’arco de-ſcritto BD, ſaranno BI gr. 80; il reſto dell’arco ID applico al-lo Stromento, ecade nell’interuallo 28. 28; onde alli gradi Gradi del Circolo 80. aggiontigradi 28, tutto l’arco BD, e per conſeguenzala quantità dell’angolo dato BAD, ègr. 108.

QVESTIONE TERZA. come con lo Stromento ſi poſa pratticare tutta la Trigonometria ſenza Tauole.

SE Bene di queſto ſi parlò qualche coſa nel cap. 2. Queſt. 6, ad ogni modo ſarà meglio più vniuerſalmente ſpie-gare quì l’vſo dello Stromento nella ſolutione prattica de’ triangoli, e ſeruirà per quelli che non ſi curano di tanta pre-ciſione, quanta oprando co’numeri ſi troua coforme alle re-gole della Trigonometria.

E quì ſuppongo ciò che è noto, che delle ſei parti, cioè di tre lati, etre angoli, che ſono in vn triangolo, conuien ſaper-ne tre, per conoſcere l’altre tre. Se ſono datitutti tre gl’an-goli, non ſi può conoſcere, quanta ſia la longhezza de’lati, ma ſolo la proportione, che li lati hanno tra di loro, eſſendo-che li triangoli equiangoli, eſimili tra di loro, hanno ben ſi i lati proportionali, ma non vguali. Onde ſe ſaranno dati tre angoli d’vn triangolo, facciaſi qualunque triangolo con detti tre angoli, enella linea Aritmet. applicato vno de’lati all’interuallo, che più piacerà, ſi troueranno gl’altri, e ſarà manifeſta la lor proportione. Siano litte angoli dati gr. 25. m. 20, gr. 19. m. 40, gradi 135. Sopra la linea RT, faccio l’angolo TRC gr. 25. m. 20, el’angolo RTC digradi 19. m. 40, ecosì rieſce il terzo angolo TCR CAPO VI. gradi 135. Ora applico la linea RT nella linea Aritmetica all’interuallo 80. 80, eritenuta quell’apertura dello Stromen-to, veggo che il lato RC cade all’interuallo 38. 38, & il lato CT cade all’interuallo 48. 48, dal che cauo la proportione de’tre lati eſſere 160, 76, 96.

Mà ſe ſaranno dati li tre lati d’vn triangolo, ſi troueranno li tre angoli, prendendo nella linea Aritmetica tre interualli nella proportione de’lati dati; e formatone vn triangolo, ſi cerchi la quantità di due angoli nel modo detto nella Que-ſtione precedente, perche il terzo angolo ſarà noto, eſſendo il complemento ſin a’ gradi 180. Così date le diſtanze di tre luoghi di paſſi 160. 76. 96, prendo nella linea Aritmetica gl’interualli della metà di detti num. cioè 80. 38. 48, e forma-to il triangolo TCR, cerco come ſopra s’è detto gl’angoli R, & T, e così ſi fà noto anche il terzo angolo.

Mà ſe non foſſero date le miſure delli trè lati, eſolamente foſſe propoſto vn triangolo, dicui ſi deſidera ſapere gli ango-li: circa il Triangolo ſi deſcriua il circolo per la 5. del lib. 4. (cioè ſi troui il centro, e da quel punto ſin all’eſtremità d’vno de gliangoli ſi prenda la diſtanza, che è il Raggio del circo-lo) & ilſemidiametro di tal circolo portato tra li punti 60. 60, veggaſi à qual interuallo capiſca ciaſcuno de’lati dati; poiche il numero corriſpondente nello Stromento, darà il doppio dell’angolo oppoſto allato applicato: eſſendoche tal lato è Corda dell’ arco notato, & è ſottenſa all’angolo fatto nelcentro, che è doppio dell’angolo alla circonferenza, qual è l’angolo cercato oppoſto al lato dato.

Quando li dati ſono miſti d’angoli, elati, ò ſono due an-goli, & vn lato, ò due lati, & vn angolo: e queſto in due ma-niere, poiche è il lato adiacente alli due angoli dati, ouero Gradi del Circolo oppoſto ad vn di loro; e ſimilmente ò è l’angolo compreſo dalli due lati dati, ouero oppoſto ad vno di detti lati.

Sia dato vn lato, e gl’angoli adiacenti; ſia AB parte delſa riua d’vn fiume, conoſciuta in miſura di piedi 90; e ſi deſideri ſapere la diſtanza AC, che trauerſa il fiume. Sia oſſeruato in A l’angolo CAB, di gradi 78, & in B l’angolo ABC di gradi 35; deſcriuo nell’eſtremità della linea AB li due angoli con-forme alle ſopradette miſure oſſeruate, cioè ABC gr. 35, e BAC gr. 78; onde le linee BC, AC ſi rincontrano in C. Ap-plicata dunque la linea AB sù la linea Aritmetica alli punti 90. 90, trouo, che AC cade nell’interuallo 56. 56, dal che cõ- chiudo, che la diſtanza dal punto A al punto C, che tra-uerſa il fiume è di piedi 56: e così la diſtanza BC è di piedi 95 {1/2}.

Mà ſe foſſe dato illato A B con l’angolo B adiacente, e l’angolo C oppoſto, ſarà anche noto il terzo angolo A, che è complemento alli due retti; e così ſi deſcriuerà la figura, come ſe foſſe dato il lato con li due angoli B, & A adiacenti, e s’operarà, come poco fà ſi diceua.

Ora ſian dati due lati con l’angolo compreſo: deſcriuaſi l’angolo dato, come s’è detto nella prima Queſtione, e ſi prenda la lunghezza de’lati proportionata à ilati dati; poile eſtremità de’lati ſi congiungano, e s’haurà il triangolo, in cui ſi conoſceranno l’altre parti, come ſopra. Sia nella figura antecedente, dato l’angolo compreſo dalli lati dati di gr. 25. CAPO VI. 20. & il lato RT ſia paſſi 92, & RS paſſi 83; & appunto con tal proportione ſiano le linee RT, RS: tiro la linea TS; & ap-plicata RT nella linea Aritmetica all’interuallo 92. 92, tro-uo che TS cadendo nell’interuallo 40. 40, moſtra che la di-ſtanza di S da T è di paſſi 40. Così cercando nel modo ſpie-gato nella 2. Queſtione, ſi trouerà l’angolo S retto, e l’altro reſta noto, per eſſer il complemento delli due conoſciuti ſin’à gradi 180.

Siano finalmente dati due lati, & vn angolo oppoſto ad vno diloro. In queſto caſo conuien oſſeruare ſe l’angolo da-to è oppoſto allato maggiore, ò pur al minore de’dati; per-che ſe è oppoſto al lato maggiore, non v’è biſogno d’altra precognitione; mà ſe foſſe oppoſto allato minore, allhora può darſi caſo, in cui ſia neceſſario ſaperela ſpecie dell’ango-lo oppoſto allato maggiore, cioè ſe ſia ottuſo, ò pur acuto. ll che ſi vedrà chiaramente dalla prattica, che quì ſoggionge-rò. Sia dato vn’angolo di gr. 67. oppoſto ad vn lato di piedi 90, & adiacente ad vn lato di piedi 56. Tiro la linea CA di piedi 56, e faccio l’angolo C di gr. 67. tirando la CB indefi-nita. Poi nella linea Aritmetica poſto il lato CA all’inter-uallo 56. 56, prendo l’interuallo 90. 90, e dal punto A, come da centro deſcriuo con quell’apertura di Compaſſo vn’arco, che taglia l’indefinita CB nel punto B: e così tirata la retta AB, ſarà l’altro lato de’dati oppoſto all’angolo dato: onde ſarà conſtituito tutto il triangolo ABC, e nel modo detto ſi conoſceranno l’altre parti incognite. Ora perche la linea AB è maggiore, che AC, è manifeſto chel’arco occulto de-ſcritto non taglia l’indefinita CB, ſe non nel pnnto B da que-ſta parte oppoſta all’angolo dato: e così il lato dato non può hauer altra poſitura che AB.

Gradi del Circolo

Mà ſe dato l’iſteſſo angolo C gr. 67. il lato adiacente foſſe 70 piedi, cioè C D, & il lato oppoſto foſſe piedi 65, applicata C D nella linea Aritmetica all’interuallo 70. 70, e preſa la di-ſtanza 65. 65, deſcritto dal centro D vn’arco, che tocchi l’in-definita C B nel punto E, tirata la linea D E, è manifeſto, che l’angolo D E C è retto, ne altra può eſſere la poſitione del lato oppoſto di piedi 65.

Che ſe finalmente dati gl’iſteſſi lati di piedi 90, e piedi 56, ſia dato l’angolo B digr. 35. oppoſto allato minore, preſa A C di tali parti 56, delle quali A B è 90, e dal punto A deſcrit-to vn’arco, ſi vede, che tagſia l’indefinita B C in due punti C, & l, e così non ſappiamo ſe dobbiamo più toſto ſeruirci della A C, ò pure della A I, ſe non ſi sà, ſe l’angolo oppoſto al lato maggiore dato A B, ſia acuto, come A C B, ò pur ottuſo, co-me A I B.

QVESTIONE QVARTA. Trouar in numeri la proportione di due rette con l’ aiuto delle T auole de’ Seni.

COn tutto, che nell’ vſo della linea Aritmetica dello Stromento ſi ſia moſtrato, come poſſa trouarſi la pro-portione di due linee date, ad ogni modo chi deſideraſſe auuicinarſi anche più alla preciſione, & eſprimerla con nu-meri maggiori, potria ſeruirſi di queſta linea de’ gradi, doue ſono notate le corde de gl’archi del Quadrante: le quali cor-de ſono il doppio del ſeno della metà dell’arco: cosila metà della corda di gradi 74, è il ſeno di gradi 37.

Date dunque due linee, la maggiote s’applichi in queſta CAPO VI. linea de’gradi all’interuallo 60. 60, e s’intenderà diuiſa in tan-te particelle, di quante è il raggio delle Tauole de’ Seni, poi la linea minore delle date ſi vegga à qual interuallo preciſa-mente cade nella ſteſſa linea de’ gradi dello Stromento, e prendaſi la metà di detti gradi, il cui ſeno trouato nelle tauo-le ſi raddoppia, e ſi hà il numero corriſpondente alle particel-le contenute nella linea minore data: Come ſe delle due li-nee R T, R S, nella figura dell’ antecedente queſtione 3. pag. 171. io cerco la proportione, applico la maggiore R T nella linea de’gradi all’interuallo 60. 60; poi veggendo, che la mi-nore R S cade nell’interuallo di gr. 53 {1/2}, cerco nelle tauole il leno di gr. 26. m. 45. (che è la metà di detti gr. 53 {1/2}) e rad-doppiato il numero di queſto ſeno trouato, haurò il numero deſle particelle corriſpondenti alla linea R S, dando alla R T il numero del raggio delle tauole.

Che ſe le due linee date non foſſero con notabil ecceſſo differenti, potria la minore applicarſi all’interuallo 60. 60, e poi vedere doue capiſca la maggiore, e cercare come pri-ma il ſeno della metà de’gradi, e raddoppiarlo; e queſte ſaran-no le particelle della linea maggiore, poſta la minore col nu-mero del raggio.

Mà ſe dato il numero del raggio alla minore, ſa linea mag-giore foſſe così grande, che eccedeſſe l’ interuallo 90. 90. (come nella ſteſſa figura applicata T S all’interuallo 60. 60, e cercandoſi il numero delle particelle di T R) prendaſi l’inter-uallo 90. 90; e leuiſi dalla linea maggiore, quante volte ſi può, e quante volte s’è preſo, tante volte ſi pigli iſ doppio del ſeno di gr. 45, e ſia T E vna volta il doppio del ſeno di gradi 45. Dipoi il reſtante della linea, cioè E R s’applichi nello Stromento alla linea de’ gradi, e cadendo nell’interuallo 54. Gradi del Circolo 54, prendaſi il ſeno di gr. 27, e ſi raddoppij, e queſto s’ag-giunga al doppio deſ ſeno di gr. 45 già preſo, e così s’haurà il numero delle particelle della linea T R corriſpondenti alle parti del raggio aſſegnate alla linea minore T S.

QVESTIONE QVINTA. Trouar in piccolinumeri iſeni de’ gradi del quadrante.

ALcuna volta conuien operare ſenza hauer le tauole de’ Seni, e pur ſi vuole riſoluer il triangolo non così me-canicamente, come s’è detto nella Queſt. 3. di queſto Capo; & in tal caſo potiamo ſeruirci dello Stromento per trouar i Seni de gl’angoli. E perche nello Stromento ſono ſegnate le corde de gl’archi, già ſi vede, che volendo il ſeno d’vn’agolo, conuien prendere la corda d’vn arco doppio; così per trouar il ſeno dell’ angolo di gr. 37, ſi deue prendere la corda dell’ arco di gr. 74.

Primieramente dunque allargato ad arbitrio lo Stromen-to, con vn Compaſſo prendo l’interuallo 60. 60 nella linea de’ gradi, e queſto è il raggio. Poi ritenuta la ſteſſa apertura dello Stromento, con vn’altro Compaſſo prendo l’interuallo dell’arco doppio dell’angolo, il cui ſeno ſi deſidera, e volen-doſi il ſeno di gr. 37, prendo l’interuallo 74. 74. Fatto que-ſto, ritenuta l’apertura de’due Compaſſi, applico nella linea Aritmetica l’apertura del Compaſſo, che dà il raggio alli pun-ti 50. 50 (intendendoſi ciaſcuno diuiſo in due, onde è come ſe il raggio foſle 100) e l’altro Compaſſo con la ſua apertura applico nella ſteſſa linea Aritmetica, e cade nelli punti 60. 60; il che moſtra, che la corda di gr. 74 è di parti 120 di quel- CAPO VI. le, delle quali il raggio è 100; e per conſegûenza il ſeno di gr. 37. è particelle 60. L’iſteſſa forma ſi tiene per trouare qualſiuoglia altro ſeno.

Quì perc̀ conuien’ oſſeruare, che eſſendo nello Stromento fatta la diuiſione delle corde ſolo per il quadrante, non ſi po-trà trouar’ il ſeno, ſe non di gr. 45. nel modo detto; doue che ſe nello Stromento foſſero le corde per tutto il ſemicircolo, come ſi può fare nelli Stromenti, che ſono aſſai lunghi, con queſto metodo ſi trouerebbono li ſeni di tutti i gradi del qua-drante. Ma non hauendoſi ſe non le corde del quadrante nello Stromento, in occaſione, che il doppio dell’angolo, il cui ſeno ſi cerca, eccedeſſe li gr. 90, cerchiſi il ſeno del com-plemento dell’angolo dato, e queſto moltiplicato in ſe ſteſſo, ſi caui dal 10000 quadrato del raggio; poiche il reſtante è il quadrato del ſeno, che ſi cerca. Per eſſempio, deſidero il ſe-no di gr. 50: queſt’arco raddoppiato è gr. 100, i quali non ſo-no nello Stromento. Cerco dunque nel modo detto di ſopra il ſeno del complemento, cioè di gr. 40, prendendo la corda di gr. 80. la quale trouo di particelle 129; onde il ſeno di gr. 40 è 64 {1/2}: il cui quadrato 4160, leuato dal 10000 quadra-to del raggio 100, laſcia 5840, la cui radice quadrata 76 è il ſenocercato di gr. 50, le quali coſe ſon manifeſte, per la dot-trina de’ſeni, eſſendo che il quadrato del raggio è vguale alli quadrati de’ſeni di due angoli, che inſieme fanno gr. 90.

Aggiongaſi quì, che moſte volte potrà oprarſi con la cor-da dell’arco doppio così bene, come col ſeno dell’angolo da-to, poiche hanno tra diloro la ſteſſa proportione le parti, & i moltiplici: ne meno ſarà neceſſario prendere il raggio, ma baſterà nella linea de’gradi prendere le corde de gl’archi dop-pij, e poi trasferitele à gl’interualli della linea Aritmetica, ſi Gradi del Circolo conoſcerà la loro proportione, e s’operarà, come ſe s’haueſ- ſero li ſeni de gl’angoli. Sia per eſſempio il triangolo AIB, di cui ſono dati gl’an-goli IAB gr. 32, IBA gr. 35, & il lato A I piedi 56: cer-chiſi la quantità del lato I B. Ora perche i lati, & i ſeni de gl’angoli oppoſti ſono pro-portionali, e le corde de gl’-archi doppij ſono propor-tionali alli ſeni delle loro metà, anche i lati del triangolo, e le corde de gl’archi doppij de gl’angoli dati, ſono tra di loro proportionali. Prendo dunque nella linea de’ gradi le corde de gl’archi 70, e 64, e traportata nella linea Aritmetica la corda di gr. 70 all’interuallo 100. 100, trouo, che la corda di gr. 64 cade all’interuallo 91 {1/2}, 91 {1/2}. Dunque oprando, come ſe queſti foſſero li ſeni de gl’angoli dati, dico, come 100 à 91 {1/2}, eosì A I piedi 56 à I B piedi 51 {1/48}.

QVESTIONE SESTA. Data vna linea corda d’ vn arco di determniata quantità, come ſi iroui il ſuo circolo.

SIa dato vn triangolo ABC, e ſia il lato A B oppoſto ad ad vn’angolo di gr. 42, e voglia deſctiuerſi vn circolo intorno ad vn taltriangolo. E dunque manifeſto, che la da-ta linea del triangolo inſcritto nel circolo è corda d’vn’arco doppio dell’angolo oppoſto, che è angolo alla circonferen- CAPO VI. za di cuiè doppio l’angolo al centro, per la 20, del libro 3. Dunque la data linea A B applico nella linea de’gradi dello Stromento all’ inter-uallo 84 84, eritenuta quell’ apertura di Stromento, prendo l’interuallo 60. 60; e queſto è il ſemidiametro del circolo, in cui il triangolo dato ſi deſcriue. Per tan-to con quell’ apertura di Compaſſo dalli punti A, & B deſcriuo due archi occulti, che ſi tagliano in D, onde è il ſemidiame-tro A D, & èil punto D centro del circo-lo circoſcritto al dato triangolo.

E così generalmente data vna linea, che ſia corda d’vn’ arco, quella s’applichi al numero de’gradi di detto arco; poi ritenuta quell’a pertura di Stromento, ſi prenda l’interuallo 60. 60, e queſta ſarà la quantità del ſemidiametro del circolo, in cui la data linea è corda dell’arco determinato.

Che ſe la linea data ſoffe corda d’vn’arco maggiore del quadrante, alſhora queſta ſi diuide per mezzo con vna linea perpendicolare indefinita: poiad vn’eſtremità di detta linea ſi faccia vn’angolo, che ſia la metà del reſiduo ſin’ al ſemicir-colo, cioè ſin a gradi 180; poiche doue ſarà tagliata la per-pendicolare indefinita, iuiſaràil centro del circolo, che ſi de-ſidera. Così ſia la linea MN corda digr. 136, la quale non è nello Stromento, in cui ſolo ſon’i gradi del quadrante. Que-ſta ſi diuida per mezzo in P, e ſia la perpendicolar indefinita PK. Or il reſiduo da 136 ſin à 180 è 44, la cui metà è gradi 22. Facciaſi dunque nell’eſtremità M l’angolo PMO, come s’è detto nella prima Queſtione, digr. 22: e la linea MO ſarà il ſemidiametro del Circolo, il cui centro è il punto O, & in Gradi del Circolo cui la linea MN è corda di gr. 136. Il che è manifeſto, per-che ſe ſi tira la linea ON, li due triangoli OPM, OPN rettan-goli in P hanno il lato OP commune, elilati PM, PN vguali per la coſtruttione, dunque per la 4 del lib. 1. gl’angoli POM, PON ſono vguali: l’angolo POM è complemento dell’an-golo OMP digr. 22, dunque POM è gr 68. e per conſeguen-za anche PON è gr. 68; ondetutto l’angolo MON, cioè l’ar-co di cui MN è corda, è di gr. 136.

QVESTIONE SETTIMA. Come ſi poſſa prendere qualſiuoglia parte determinata del circolo, e deſcriuere qualſiuoglia figura regolare.

SE il circolo è dato, e ſi deſidera vna ſua parte aliquota, diuidaſi il numero de’ gradi 360 per il denominatore della parte che ſi deſidera, & il quotiente ſarà il numero de’ gradi, la corda de’quali applicata al circolo prenderà la parte cercata. Il che ſi fà applicando prima il ſemidiametro del circolo dato all’interuallo 60. 60 nella linea de’ gradi nello Stromento: e poi prendendo l’in-teruallo corriſpondente al nume-ro de’ gradi trouati nel quotiente della diuiſione.

Sia dato il circolo, il cui ſemi-diametro BC; e ſi cerchi l’ottaua, parte: Diuido 360 per 8, evien il quotiente 45. Applico dunque nello Stromento nella linea de’ gradi all’interuallo 60. 60 la linea CAPO VI. BC; e ritenuta quell’apertura, prendo l’interuallo 45. 45, e queſto applicato al circolo dato in CD, queſta è l’ottaua patte di detto circolo; e così replicata diuiderà il circolo in ot-to parti vguali; e le linee tirate alli punti di dette diuiſioni de-ſcriueranno vn’ottangolo regolare. Così per deſcriuere vna figura di noue lati vguali, diuido 360 per 9, & il quotiente 40 moſtra, che deuo prendere la corda digr. 40. & oprare come ſopra, e ſarà CE la nona parte del circolo.

Mà ſe la parte del circolo cercata non foſſe aliquota, fac-ciaſi come il denominatore al numeratore della parte cerca-ta, così gr. 360. ad vn’altro numero, e verrà il numero de’ gradicompetenti alla parte, che ſi deſidera. Così deſideran-doſi hauere d’vn circolo vn’arco, che ſia {5/9}, facciaſi come 9 à 5, così 360 à 200. Dunque deuono pigliarſi dal circolo dato gradi 200; i quali ſe bene non ſi puonno pigliare nello Stro-mento tutti inſieme, ad ogni modo ſi puonno pigliar per par-ti; onde eſſendo più del ſemicircolo, prolongato il ſemidia-metro CB in F, ſarà CEDF gr. 180; e rimanendo gradi 20 fin’à 200, prendo gr. 20 nello Stromento allargato in 60. 60, all’interuallo di BC, e ſono FG; e così tutto l’arco CDGè {5/9} del circolo, cioè gr. 200. In ſomigliante maniera, per prender la terza parte del circolo, che è gr. 120, ſi prendono due volte 60, ò qualſiuoglia aſtri due numeri, che aggiunti inſieme fac-ciano la ſteſſa ſomma digr. 120.

Che ſe foſſe data vna linea, e conueniſſe farne vn poligo-no regolare, diuidanſi gr. 360 per il denominatore del poli-gono; alli gradi del quotiente s’applichi nello ſtromento la linea data, e ritenuta quell’ apertura dello Stromento, pren-daſi l’interuallo 60. 60, e ſarà quello il ſemidiametro del cir-colo, a cui applicata la linea data, ſarà il lato del poligono, e Gradidel Circolo replicata formarà il detto poligono cercato. Sia data la linea KL, e ſi deſideri vn pentagono regolare, di cui ella ſia lato. Diuido 360 per 5 denominatore del poligono, & è il quo-tiente 72: perciò cerco il circolo, in cui KL ſia corda di gradi 72 nel modo detto nella precedente Queſtione: il che faccio, applicando la linea KL all’interuallo 72. 72 nella linea de’ gradi; e poi preſo l’interuallo 60. 60, trouo eſſer’vguale alla linea BC; e di queſta ſeruendomi, come di ſemidia metro, de-ſcriuo il circolo CDG, à cui applicata, e replicata la linea KL, formarà il pentagono.

QVESTIONE OTTAVA. Dato il diametro d’vna sfera, come ſi troui la ſuperficie sferica, ela ſolidita di qualſiuoglia ſegmento di detta sfera, conoſciuto nella quantità de’ gradi d’vn circolo maſsimo perpen-dicolare al piano della baſe di detto ſegmento.

SI come nel circolo altra coſa è il ſegmento, & altra il ſet-tore, poiche ſegmento è quello, che da vna linea retta, e parte della circonferenza ſi comprende, e ſettore è quello, che vien compreſo da due linee rette vſcite dal centro, e dalla circonferenza, che da dette linee rette vien’intercetta: Così parimente nella sfera ſegmento è quella parte ſolida, che ſi comprende da vn piano, che taglia la sfera, e dalla ſuperficie sferica: doue che il ſettore è compreſo da vna ſuperficie conica, la cui cima è nel centro della sfera, e della ſuperficie sferica, che vientagliata dalla detta ſuperficie conica. Quindi ciò che ſi comprende dal piano CTRH, e dalla ſuperficie sfe- CAPO VI. rica CAR, ouero dalla ſuperficie sferica CBR, è ſegmento della sfera: mà il ſolido compreſo dal-la ſuperficie conica CSR, e dalla ſuper-ficie sferica CAR, è ſettore della sfera.

Or per trouare la ſuperficie di tutta la sfera data, baſta prendere per ſemi-dia metro d’vn circolo tutto il diame-tro della sfera, poiche quel circolo ſarà vguale alla ſuperficie della sfera; eſſendo che la ſuperficie di qualſiuoglia sfera, come dimoſtra Archimede lib. 1. de Sphoer. & Cylindro, prop. 30, è qua-drupla del circolo maſſimo di detta sfe-ra; & il circolo, il cui diametro è dop-pio del diametro dell’ifteſſo circolo maſ-ſimo, è quadruplo di detto circolo, per la 2. dellib. 12, e perciò il circolo, il cui raggio è vguale al diametro della sfera, è vguale alla ſuperficie di tutta la sfera, per la 7. del lib. 5. E perche il circolo è vguale al triangolo, li di cui lati poſti ad angolo retto, ſono il raggio, e la circon-ferenza (come nel lib. de dimenſ. circ. moſtra Archimede) e perciò al paralle-logrammorettangolo fatto dal raggio, e dalla ſemicirconfe-renza; perla 41 del lib. 1. d’Euclide; ne ſeguita, che il ret-tangolo fatto da tutto il diametro, etutta la circonferenza ſarà quadruplo del circolo. Dunque dato il diametro della sfera, ſi conoſce la circonferenza, la quale è al diametro proſ-ſimamente come 355 à 113; e moltiplicato il diametro per Gradi del Circolo la circonferenza del circolo maſſimo, s’haurà tutta la ſuperfi-cie delſa sfera. In queſta maniera facilmente troueremo tut-ta la ſuperſicie della terra, il di cui giro nel libro, che intitolai, Terra Machinis mota diſſert. 2. n. 22. moſtrai molto proba-bilmente eſſere di paſſi romani antichi 30598162. ſe queſto giro moltiplicato per 113, diuideremo il prodotto per 355, poiche verrà il diametro della terra di paſſi romani antichi 9739696. moltiplicato dunque il giro per il diametro, ſi tro-uerà la ſuperficie di tutta la terra eſſere di paſſi romani antichi quadrati 298016796038752, cioè miglia quadrate 298016796, e paſſi quadrati 38752.

Mà per trouare la ſuperficie d’vn ſegmento di sfera, ſe ſi cerca la ſola ſuperficie sferica conoſciuta ne’gradi del circolo maſſimo perpendicolare alla baſe di detto ſegmento, pren-daſi la metà del numero di detti gradi, & applicato nelle linee de’gradi nelio Stromento il ſemidiametro della sfera, il qual è anche ſemidiametro del circolo maſſimo, all’interuallo de’ gradi 60. 60, prendaſi l’interuallo della metà di detti gradi, e queſto ſarà il ſemidiametro del circolo vguale alla ſuperficie sferica cercata di detto ſegmento. Mà ſe ſi prenderà l’inter-uallo del numero intiero de’gradi dati, queſto ſarà tutto il dia-metro del circolo, che è la baſe del ſegmento. Il che è mani-feſto nella ſteſſa figura, in cui al piano CHRT è perpendico-lare, il circolo maſſimo BCAR, & il punto A è l’apice del ſegmento C A R, come il punto B è l’apice del ſegmento C B R: dunque per la prop. 36. del lib. 1. de Sphœra, & Cylind. d’Archimede, la linea A C è raggio del circolo vguale alla ſu-perficie sferica C A R, e per la prop. 37. la linea BC è raggio del circolo vguale alla ſuperficie sferica CBR. Ora tanto la linea A C, quanto la B C, ſottendono la metà de’gradi del cir- CAPO VI. colo maſſimo, che paſſa per detti ſegmenti. Doue che la CR, che ſottende tutto l’arco di detto circolo maſſimo, è il diametro del circolo, che è baſe delli ſegmenti.

E ſe vorremo trouar in numeri la ſuperficie sferica ſudetta, cerchiamo per eſſempio nella terra, quanta ſia la ſuperficie, compreſa dal circolo polare, e ſia il polo A, nel meridiano BRAC ſia AC gr. 23 {1/2}. Apro lo Stromento ad arbitrio, e con vn Compaſſo preſo l’interuallo de’gradi 60. 60, con vn altro Compaſſo prendo l’interuallo 23 {1/2}. 23 {1/2}. Dipoi appli-cato l’vno, el’altro Compaſſo nella linea Aritmetica, il primo all’interuallo 100. 100, el’altro doue s’addata, trouo, che di quali parti il ſemidiametro è 100, & il diametro è 200, di ta-li quaſi 41 è AC ſottendente gr. 23 {1/2}. Dunque come 200 à 41, così il diametro della terra di paſſi 9739696, alla ſotten-dente di gr. 23 {1/2}, cioè paſſi 1996637. ſemidiametro del cir-colo vguale alla ſuperficie sferica CAR compreſa dal circolo Polare. Facciaſi per tanto come 113 à 355, così il ſemidia-metro 1996637 alla ſemicirconferenza di detto circolo, che è paſſi 6272620; e moltiplicato il ſemidiametro per la ſemi-circonferenza ſarà tutta l’area del circolo paſſi quadrati 12524145178940, e così la ſuperficie sferica compreſa nel circolo polare è miglia quadrate 12524145, e paſſi quadra-ti 178940.

Trouata queſta ſuperficie sferica, ſitrouarà la ſolidità del ſettore SRAC, poiche queſta è vguale al cono, la cui baſe è vguale alla ſuperficie sferica, CAR, è l’altezza vguale al rag-gio della sfera AS, come inſegna Archimede lib. 1. de Sphęr. & Cylind. prop. 38. Dunque moltiplicata la baſe perla terza parte dell’altezza, s’haurà la ſolidità del cono vguale al ſetto-re. Si che la terza parte del raggio del globo della terra, eſ- Gradi del Circolo ſendo paſſi 1623282 moltiplicata per la ſuperficie sferica trouata 12524145178940, dà la ſolidità di tutto il ſettore, migſia cubiche 20330219434. e paſſi ſolidi 360081080.

Finalmente per hauere la ſolidità del ſolo ſegmento CRA, ſi cerchi la ſolidità del cono CSR, trouando la ſubtenſa di tut-to l’arco CAR, che è gradi 47. il che ſi fà applicando il ſemi-diametro della sfera alli gr. 60. 60, e poi preſo l’interuallo 47. 47, e nella linea Aritmetica applicato il raggio della sfera al 100. 100, la ſubtenſa di gr. 47, cioè CR è quaſi 80; e queſta come diametro darà la grandezza del circolo CT RH; e la SI ſeno del complemento della metà de’gradi dati, ſarà l’altezza del cono, la terza parte dunque di tal altezza moltiplicando la grandezza del circolo baſe del cono, dà la di lui ſohdità; la quale leuata dalla ſolidità del ſettore, laſcierà la ſolidità cercata del ſegmento CRA.

Vn’altra maniera vi ſarà per trouar la ſuperficie sferica di qualſiuoglia ſegmento, e delle zone, ſe faremo rifleſſione, che Archimede al manifeſto 9. doppo la prop. 31. del lib. 1. de Sphœra, & Cylindro, moſtra, che la ſuperficie del cilindro con le baſi è ſelquialtera alla ſuperficie della sfera, il cui maſ-ſimo circolo è vguale alla baſe di detto cilindro circoſcritto à detta sfera: onde neſegue, che detratte le baſi, reſta la ſuper-ficie cilindrica vguale alla ſuperficie sferica. Ora ſia alla sfe-ra BRAC circoſcritto il cilindro IK, e con li piani OF, ZP pa-ralleli ſia tagliata la sfera, & il cilindro. Come di ſopra ſi è detto, il circolo, di cui ſia raggio la linea AC, è vguale alla ſuperficie sferica CAR. Ma per la prop. 13. dello ſteſſo lib. d’Archimede, la linea media proportionale trà il lato, & il diametro della baſe del cilindro retto, è raggio d’vn circolo vguale alla ſuperficie cilindrica; dunque ſela ſteſla CA è me- CAPO VI. dia proportionale tra il lato del cilindro KF, & il diametro della baſe OF, ſarà la ſuperficie cilindri-ca KO vguale alla ſuperficie sferica d’al-tezza vguale CAR. E che CA ſia media proportionale trà KF, & OF, così è ma-nifeſto. OF è vguale ad IM, cioè à KM, cioè ad AB diametro del circolo, e tirata la BC, l’angolo BCA nel ſemicircolo è retto; e la CH è perpendicolare alla baſe BA, dunque, per l’8. del 6. CA è media tra BA, & AH, cioè tra OF, e KF.

Nella ſteſſa maniera ſi moſtra, che la ſuperficie cilindrica KZ è vguale al cir-colo, di cui è raggio l’AD; & all’iſteſſo circolo è vguale la ſuperficie sferica D A E. Dunque leuata la cilindrica K O, e la sferica CAR vguali, rimane la cilindrica FZ vguale alla zona della sfe-rica D C R E.

Sì che ſe la ſuperficie sferica è di ſeg-mento, trouiſi il ſeno verſo della metà de’gradi dati, cioè AH, e queſto ſi mol-tiplichi per il giro del circolo maſſimo della sfera: e ſe la ſuperficie sferica è d’vna zona, prendaſi la differenza de’ſeni verſi de’ due gradi eſtremi della larghezza di detta zona, cioè HV, e ſi moltiplichi per l’iſteſſo giro del circolo maſſimo della sfera, e s’haurà la ſuperficie, così sfe-rica CRED, come cilindrica FZ corriſpondente. Mà ſe nelle linee Geometriche applicarai le due linee AC; AD, e per Gradi del Circolo la Queſt. 6. del Capo 3. trouerai il raggio del circolo vguale alla differenza de’circoli di dette due linee AC, AD, haurai il circolo vguale alla zona C R E D.

QVESTIONE NONA. Data in gradi la circonferenza d’vn ſegmento di circolo, come ſi troui l’area di detto ſegmento.

ESſendo che per l’vltima del 6. d’Euclide li ſettori del cir-colo hanno tra di ſe la proportione de gl’archi, da’ quali ſono compreſi, il ſettore à tutto il circolo hà la proportione del ſuo arco à tutta la circonferenza. Si che nella figura 24, ſe ſarà dato il circolo BR AC, & il ſegmento di circolo CRA, tirate dal centro le linee SC, SR, il ſettore SCAR à tutto il cir-colo, hà la proportione, che hà l’arco CAR à tutta la circon-ferenza. Quindi è, che conoſciuti li gradi dell’arco del ſeg-mento, ſe ſi fà come gr. 360, alli gradi conoſciuti del ſegmen-to, così l’area di tutto il circolo ad altro, verrà ad hauerſi l’a-rea del ſettore SCAR: E ſe da queſto ſi leua il triangolo CSR (il quale ſi troua moltiplicando CI ſeno della metà de’gradi conoſciuti del ſegmento, per SI ſeno del complemento di di detta metà) rimane l’area del ſegmento CRA.

Dunque applicato il raggio del circolo dato all’interuallo de’gradi 60. 60. prendaſi l’interuallo congruente alli gradi dati del ſegmento: ouero ſe ſolo ſoſſe dato il ſegmento, per la Queſt. 6. di queſto Capo, ſi troui il raggio del ſuo circolo. Et applicati queſti due interualli (cioè il raggio del circolo, e la corda del ſegmento) nelle linee Aritmetiche ſi troui la lor proportione, e della CR già conoſciuta in numeri ſi prenda CAPO VI. la metà CI. Quindi per la Queſt. 5. ſi troui il ſeno del com-plemento della metà de’gradi dati, cioè la SI, e queſto molti-plicato per CI darà la quantità del triangoſo da leuarſi dal ſettore, acciò reſti l’area del ſegmento.

Sia dato il ſegmento, il cui arco ſia di gr. 47. Se iſ diametro è 100000, e la circonferenza 314159, l’area del circolo fat-ta dalla metà del diametro, e dalla metà della circonferenza è di particelle quadrate 7853975000. Dunque come gr. 360 à gr. 47, così 7853975000 all’area del ſettore di gr. 47, cioè à 1025380069. Quindi aperto lo Stromento, e preſi gl’interualli 47. 47, e 60. 60, trouo che di quali parti 50 è il raggio di tali quaſi 40 è la ſubtenſa di gr. 47. dunque la metà è parti quaſi 20. E perche la metà de’gr. 47 è 23 {1/2}, il cui complemento è gr. 66{@/2} trouo con aprire di nuouo lo Stro-mento, come prima, che il ſeno di gr. 66{@/2} è di parti 45, del-le quali il raggio è 50. Ora perche il diametro ſi poſe 100000 il raggio non è 50; ma 50000, e così alli numeri trouati con lo Stromento aggiongo trè zeri; onde moltiplco 20000 per 45000, e ſi produce l’area nel triangolo 900000000, che leuata dal ſettore trouato 1025380069 laſcia per area del ſegmento dato 125380069.

Di quì ſi vede ciò, che debba farſi, quando il ſegmento dato è maggiore del ſemicircolo, come il ſegmento CRB: poiche operandoſi, come prima, ſi troua da principio tutto il ſettore SCBR: e poi trouata l’area del triangolo CSR, que-ſta non ſi leua dal ſettore trouato; mà ſe gl’aggionge per ha-uer tutto il ſegmento CRB.

E ſe ſarà vna parte di circolo compreſa da due linee’ paral-lele, trouiſi la quantità de’due ſegmenti, che eſſe fanno, e la differenza di detti ſeg menti, è l’area dello ſpatio compre- Linea de’ Poligoni ſo dalle due linee parallele, e da gl’archi trà eſſe intercetti, come è manifeſto.

CAPO VII. Come nello Stromenio s’ habbiano à ſegnare ilati delle figure regolari; vſo di queſta linea de’ Poligoni.

DA quello, che s’è detto nella Queſt. 7. del Capo pre-cedente, doue habbia mo inſegnato il modo di troua-uare il lato di qualſiuoglia figura regolare, non pare neceſſa-rio deſcriuere nello Stromento i lati delle figure iegolari, che puonno deſcriuerſi nello ſteſſo circolo, ad ogni modo per la breuità dell’operare, ſarà vtile porre nello Stromento queſta linea de’Poligoni.

Tirate dunque ne’ lati dello Stromento le due linee AR, AT, acciò rieſcano più diſtinte le diuiſioni, prendaſi tutta la linea A R, per il lato del triangolo equilatero, che può de-ſcriuerſi nel circolo: poiche come queſta figura è la minore di tutte quelle, che nello ſteſſo circolo puonno deſcriuerſi, ſe ſi conſidera l’area, e capacità ſua, così il ſuo lato è il maggio-re di tutti. Ora poſta la detta linea AR, per lato del trian-golo, è manifeſto, ch’ella è corda della terza parte del circo-lo, cioè di gr. 120. Conuien dunque trouar il ſemidiametro del ſuo circolo: il quale ſe non ſi troua nel modo detto nella Queſtione 6. del Capo precedente, può trouarſi nel modo ſeguente.

Sia la linea A B lato del triangolo, e corda di gr. 120; dun-que dal centro del circolo tirati li ſemidia metri, faranno gli angoli alla baſe vguali di gr. 30 per ciaſcuno. E per far ciò, CAPO VII. prendo nell’eſtremltà della data linea due parti vguali tra di loro BC, AD, & allo ſteſſo interuallo dalli punti B, & C de-ſcriuo due archi occuſti, che ſi ſegano in E; e ſimilmente dal-li punti C, & E deſcriuo due altri archi occulti, che ſi taglia-no in F. Nella ſteſſa maniera opero dalli punti A, & D allo ſteſſo interuallo deſcriuendo due archi, che ſi tagliano in G: e dalli punti G, & D due altri, che ſi ſegano in H. Poſcia dal punto B per F, & dal punto A per H, tiro due linee, che ſi incontrano in I, e dico, che I è il centro del circolo, e l’ango- lo AIB, è di gr. 120. eſſendo, che li due angoli ABI, BAI ſo-no ciaſcuno di gradi 30. Il che così ſi rende manifeſto. Ti-rinſi le linee AG, GD, DH, HG, e perche per la coſtruttione gl archi occulti tutti ſono ſtati deſcritti allo ſteſſo interuallo, li due triangoli ADG, DHG ſono equilateri, e tra di loro vguali; dunquel’angolo DAG è di gradi 60, come anche Capo VII. Linea de’ Poligoni tutti gl’altri. Linea de’ Poligoni tutti gl’altri. Capo VII. Linea de’ Poligoni tutti gl’altri. Capo VII. Linea de’ Poligoni tutti gl’altri. Or eſſendo ne’ triangoli ADH, AGH li due lati AD, DH vguali alli due lati AG, GH, ela baſe AH com-mune, per l’8. del lib. 1. gl’angoli DAH, GAH ſono vguali; dunque l’angolo DAH è gr. 30. E la ſteſſa forma di dimo-ſtrare ſaria per prouare, che CBF ſia digr. 30. Dunque eſ-ſendo vguali li due angoli BAI, ABI, anche i ſati IA, IB ſono vguali: Dunque fatto centro in l all’interuallo IB ſi deſcriua il circolo, e l’arco oppoſto all’ angolo AIB ſarà gr. 120; il che ſi renderà manifeſto ſe dal punto A applicato il ſemidiametro alla circonferenza diuiderà in L preciſamente per metà, in modo, che AL; LB ſiano vguali, e prolongata la AI in K, ſi che ſia diametro del circolo, riuſcirà parimenti BK vguale à BL, & LA.

Trouato illato dell’eſſagono, che è la corda dell’arco AL, la quale nella linea AB traportata è A 6, ſi cerca il lato del quadrato nello ſteſſo circolo: il che ſi fà diuidendo per mezzo l’arco LB, ouero dal centro I, tirando vna perpendicolare al diametto AK, e cade in M, ſi che AM traportata nella linea data AB, ſia A 4 lato del quadrato.

Per hauer il lato del pentagono, diuidaſi, come inſegna Ptolomeo nel lib. 1. dell’ Almageſto, per mezzo il ſemidia-metro IK, nel punto N, e dal punto N all’interuallo NM, ſi deſcriua vn’arco occulto, che taglia il diametro in O; poiche dal punto O, tirata la linea OM, queſta è illato del pentago-no da applicarſi all’arco AP, e nella linea A B ſarà A 5. E per conſeguenza OI è il lato della figura di dieci angoli applicata all’arco A Q, e nella linea Ab ſarà A 10.

Per illato della figura di ſette lati non v’è forma propria-mente Geometrica; ma tentando ſi può trouare, ò la ſettin a parte di tutto il circolo, e queſt’ arco darà la corda, che ſarà CAPO VII. lato dell’eptagono, ouero la ſettima parte del ſemicircolo, e due di queſte ſaranno la ſettima ditutto il circolo.

Or hauendo gl’archi, che ſonola 4. 5. 6. 7. 10. parte del circolo, diuidendoli per mezzo, e ſubdiuidendoli hauremo la 8. 16. 12. 14. 20. parte del circolo con la ſua corda da ſe-gnarſi nella linea A B. Pertrouare la 9 parte, ſi può diuider in 3 parti l’ arco ALB, e la terza parte ſia A R, quale perciò ſarà la 9 di tutto il circolo. E queſta diuiſa per mezzo da-rà la 18.

Mà per la decimaquinta parte, ſi prenderà l’ arco A P, che è la quinta, e l’ arco A B, che è la terza parte del circolo, e la loro differenza PB diuiſa per mezzo s’applichi all’arco A S, che queſta ſarà la 15 parte di tutto il circolo, come conſta dalla 16. dellib. 4.

Si che non reſtano, che la 11. 13. 17. 19. parte del circo-lo, la quale non ſi troua, che mecanicamente tentando con la replicatione del Compaſſo. ll che ſe bene è di qualche noia nella fabrica dello Stromento, ad ogni modo apporta poi fa-cilità per ſempre nell’ altre occaſioni: e la prattica di tal di-uiſione non rieſce tanto ſcommoda, quando il circolo è così grande, che la corda della terza parte ſia vguale alla linea dello Stromento, e di tal grandezza deue intenderſi la linea A B della preſente figura, ſe bene s’è fatta quì aſſai più piccola.

Che ſe bene quando lo Stromento è aſſai lungo, vi ſi puon-no commodamente notare li lati delle figure anche di più an-goli, nulladimeno ne’ mediocri baſterà ſin alla figura di 20 angoli, come s’è fatto nella figura 27.

Mà ſe queſtaforma d’oprare ſin’ ora accennata, non pia-ceſſe come troppo operoſa, potremo hauere l’iſteſſo intento Linea de’Poligoni con l’ aiuto della tauola de’ ſeni, e della linea aritmetica dello Stromento; eſſendo che in tal modo hauremo, quanto baſte-rà, per le operationi Fiſiche. Ora primieramente diuidaſi il circolo, cioè gr. 360. per il numero de’lati della figura, e s’haurà ſa quantità de’ gradi, che toccano à ciaſcun lato. Di-poi queſto numero de’ gradi trouati diuidaſi per metà, e di queſta metà ſi cerchi il ſeno nelle tauole, come ſi vede fatto nella ſeguente tauoletta, in cui nella prima colonna ſonoi numeri de’lati delle figure regolari; nella ſeconda ſono i gra-di de gl’archi, che toccano à ciaſcun lato di ciaſcuna figura nella terza la metà di detti gradi, e nella quarta il ſeno di cia-ſcuna. Ciò fatto tiriſi ſopra vn piano vna linea retta vgua- CAPO VII. le alla linea AR, ouero AT dello Stromento nella figura 27, e preſa col Compaſſo la lunghezza di tal linea, s’applichi nel-la linea Aritmetica dello Stromento all’ interuallo 86 {1/2}, 86 {1/2}, poiche douendo quella eſſer corda digr. 120, il ſeno di gradi 60 è 866. E ritenuto lo Stromento in quell’ apertura, pren-daſi il ſeno 707, all’interuallo 70 {1/2}. 70 {1/2} per il lato del qua-drato, e queſto ſi ſegni nella linea tirata, che rappreſenta la linea dello Stromento AR. E così di mano in mano confor-me alla quantità de’ſeni notati: perche ſe bene queſti ſono ſe-ni della metà de gl’archi, ſono metà delle corde, e queſte han-no tra loro la medeſima proportione, che detti ſeni.

Proportione de’lati de’Poligoni deſcritti nello ſteſſo circolo, enumero\\de’ gradi, che prende ciaſcun lato di dette figure. Fig. # # Arco # # Metà # Seno 1 # G. # M. # G. # M. 2 # # # 3 # 120 # # 60 # # 866 4 # 90 # # 45 # # 707 5 # 72 # # 36 # # 587 6 # 60 # # 30 # # 500 7 # 51 # 25 # 25 # 42 # 433 8 # 45 # # 22 # 30 # 382 9 # 40 # # 20 # # 342 10 # 36 # # 18 # # 309 Fig. # # Arco # # Metà # Seno 11 # 32 # 43 # 16 # 21 # 281 12 # 30 # # 15 # # 258 13 # 27 # 41 # 13 # 50 # 239 14 # 25 # 42 # 12 # 51 # 222 15 # 24 # # 12 # # 204 16 # 22 # 30 # 11 # 15 # 195 17 # 21 # 10 # 10 # 35 # 183 18 # 20 # # 10 # # 173 19 # 18 # 54 # 9 # 27 # 164 20 # 18 # # 9 # # 156

Finita, che ſia nella linea tirata queſta diuiſione, ſi traporta sù le linee AR, AT dello Stromento, il quale hauendo le li-nee laterali diuiſe nella proportione de’ lati delle figure rego-laririſpetto al medeſimo circolo, in cui capifcano, è manife-ſto, che anche gl’interualli hauranno ſimile proportione, co-me più volte s’è dimoſtrato.

QVESTIONE PRIMA. Come data vna linea ſi poſſa farne vna figura Regolare, qual più piace, ò deſcriuere l’ angolo d’vna figura Regolare, di quelle, che ſon ſegnate nello Stromento.

SIa data vna linea AB nella figura 35, e di eſſa voglia farſi vna figura di cinque lati vguali. Queſta s’applichi nella linea de’poligoni AR, AT dello Stromento, all’ interuallo 5. 5: e perche il lato dell’aſſagono è vguale al ſemidiametro del circolo, in cui hà da formarſi il cercato pentagono, ritenuta quell’apertura dello Stromento, prendaſi l’interuallo 6. 6, e Linea de’Poligoni con tal’interuallo dall’ eſtremità A, & B della linea data ſi de- ſcriuano due archetti, che ſi tagliano in C, e con quello ſteſſo interuallo dal centro C ſi deſcriua il circolo ABD-EF, nel quale replicata la linea A B, s’haurà il pentagono cercato.

Che ſeſolo ſicercaſſe di far’vn’ an-golo del Pentagono all’ eſtremità A della linea data, trouato come prima il centro C, baſterà deſcriuere occul-tamente l’arco A F, & ad eſſo applicare la linea A B, ſiche ſra la retta A F, e ſarà fatto l’angolo BAF del pentagono. Il che è vn pran compendio d’operare per chi hà da far in grande il diſſegno d’vna fortezza regolare.

Quindi è, che ſe la linea data foſſe molto grande, in modo, che non ſi poteſſe prender tutta col Compaſſo, ò non capiſſe nell’interuallo dello Stromento, baſterà ſolo pigliarne vna parte nell’eſtremità, qualunque ella ſia ad arbitrio, ò ſia ali-quota, ò nò, e con quella far l angolo deſiderato del poligo-no, nel modo che s’è detto: perche allongata poi queſta linea tirata per far l’angolo, ſinche ſia tanto quanto la prima, fatto nella ſua eſtremità vn angolo vguale al già trouato, e co-sì di mano in mano verrà à compirſi la figura bramata. Co-me per eſſempio, ſe c’imaginiamo la linea A B prolongata alla lunghezza di quattro palmi, queſta non può tutta capire nello Stromento: perciò ne prendo ſolo la parte A B, e come ſe con quella ſola doueſſi operare, quella applico nello Stro-mento, & opero come s’è detto: poiche prolongata poi A F tanto ch’anch’ella ſia di quattro palmi, nella ſua eſtremità fac-cio vn’altr’angolo vguale all’ angolo BAF, e così di mano in mano ſin che ſia compita la figura.

CAPO VII.
QVESTIONE SECONDA. Data vna figura regolare, come ſe le poſſa circoſcriuere, ò inſcriuer’ vn circolo.

PEr la circoſerittione del circolo non ſi richiede più che trouar’il centro della figura regolare data: la quale ſe hà numero pari di ſati, come 6, 8, & c. baſta dalli due angoli oppoſti tirar’vna diagonale, e da altri due angoli oppoſti vn’ altra diagonale, la quale diuiderà per mezzo la prima, & il punto dell’interſettione è il centro della figura; e l’interuallo dal detto punto ſin’ad vno de gl’angoli è il ſemidia metro del circolo, che ſi circoſcriue alla figura.

Mà ſe la data figura è di numero diſuguale dilati, conuien’ applicar’ il lato di detta figura nella linea de’poligoni nello Stromento all’interuallo corriſpondente alla figura (così ſe è vn pentagono s’applica all’interuallo 5. 5.) e poi preſo l’in-teruallo 6. 6, deſcriuere, come nella Queſtione precedente, due archi occulti, che ſi tagliano in C; e queſto è il centro della figura, & all’interuallo CA ſe le circoſcriue il circolo ABDF.

Per iſcriuere poi il circolo, baſta, trouato come prima il centro della data figura, diuider per mezzo vno de’lati, come AB in H, e dal centro C all’interuallo CH deſcriuer’ il circo-lo HIKLM, il quale ſarà inſcritto alla detta figura, poiche tutti i lati di eſſa lo toccano; come facilmente ſi può dimo-ſtrare dalle coſe, che dice Euclide nellib. 4. in ſomigliante propoſito.

Linea de’Poligoni
QVESTIONE TERZA. Dato vn’arco, come ſi poſſa facil mente trouare in eſſo la quantità d’vn’ grado, & altre partidel circolo non ſegnate nella linea de’ poligoni.

SE bene queſto problema facilmente ſi mette in prattica con la linea de’gradi dello Stromento, nondimeno con-uien pratticarlo con queſta linea de’ poligoni, perche queſta prattica darà lume per varie diuiſioni aſſai minute anche di lin ee rette.

Sia dato l’arco AB, di cui ſi deſidera ſapere, quanto ſia grande la quantità d’vn grado. Cerchiſi, per la 25. del lib. 3. il centro di tal’ar-co; il che breuemente ſi fà prendendo ad arbitrio AC, e dalli punti A, & C deſcrit-ti occultamente à qualſiuo-glia interuallo due archi, che ſi tagliano in E, & F, per li punti E, & F ſi tiri vna li-nea retta indefinita, e lo ſteſ-ſo facciaſi prendendo ad ar-bitrio BD, e per li punti del-l’interſettioni de gl’archi occulti G, & H ſimilmente ſi tiri vna linea retta indefinita; la quale taglierà la prima nel punto I; e queſto è il centro del circolo, di cui l’arco dato AB è parte. CAPO VII. Preſo dunque il ſemidiametro di tal circolo, cioè l’interuallo IA, ouero IB, l’applico nella linea de’poligoni alli punti 6. 6, e ritengo queſta apertura dello Stromento.

Ora quì conuiene far rifieſſione à ciò, che oſſeruò Euclide nell’vltima propoſitione del libro 4. doue inſegnò à deſcri-uere la figura di quindici lati, col beneficio de’lati del trian-golo, e del pentagono: & è, che moltiplicando inſieme li de-nominatori di due figure regolari, cioè i numeri de’loro lati, ſi hà il denominatore d’vn’altra nuoua figura; e la differenza de gl’archi corriſpondenti al lato di dette due figure contiene tante parti di queſta nuoua figura, quanta è la differenza de’ numeri de’lati di quelle figure. Così il triangolo hà trè lati, il pentagono cinque, moltiplico 3, per 5, & hò 15; e perche la differenza di 3 à 5 è 2, perciò dall’ iſteſſo punto del circolo applicato il lato del triangolo, & il lato del pentagono, la dif-ferenza de gl’archi corriſpondenti à queſti lati contiene due parti delle quindici del circolo. E ſe la differenza del nume-ro de lati delle figure ſia l’vnità, applicati i loro latial circolo, reſtarà la differenza de gl’archi la parte competente alla nuo-ua figura: Così applicato il lato del quadrato, e del pentago-no, la differenza è la venteſima parte del circoſo, perche 4 moltiplicato per 5, fà 20. Il che è manifeſto, perche delle 20 parti vn quarto ne leua 5, e delle ſteſle 20 vn quinto ne leua quattro; dunque la differenza d’vn quarto, e d’vn quin-to è vna venteſima.

Suppoſta queſta dottrina veriſſima, e chiariſſima, hauendo noi nella linea de’poligoni illato della figura di 20, & il lato della fig. di 18 lati, moltiplicando 20 per 18, habbiamo 360, che è il numero de’gradi ditutto il circolo; e perche la diffe-renzatra 20, e 18 è 2, perciò preſo nello Stromento nella li- Linea de’Poligoni nea de’poligoni l’interuallo 18. 18, l’applico all’arco dato, & è A K: di poi preſo l’interuallo 20. 20, l’applico nello ſteſſo arco dal punto K, & è K L; onde reſta A L due trecenſeſſante-ſime di circolo, e ſe A L ſi diuiderà per mezzo, hauremo il gra-do del circolo.

Che ſe prendeſſimo l’interuallo, che diuide il circolo in 20, e quello, che lo diuide in 19 parti, la differenza loro ſarà{1/380} del circolo, così per diuider il circolo in 63 parti, prendo due nu-meri, che moltiplicati facciano 63, e queſti ſono 7, e 9, la differenza de’quali è 2. Dunque applicato al circolo il lato della figura di ſette, e quello di noue lati, la differenza ſarà {2/63} del circolo, e diuiſa per mezzo, darà l’arco, la cui corda è lato della figura di 63 lati.

Di quì ſi vede, che hauendo noi nella linea de’poligonii lati di diciotto figure, combinandole à due à due, ſi ponno fa-re 162 combinationi, e trouar’i lati di altre 162 figure, oltre le notate nello Stromento. Mà perche alcune differenze comprenderebbono numero diſuguale di parti, ſaria aſſai dif-ficile il trouarle, perciò meglio è ſeruirſi ſolo di quelli, che hanno ne’numeri la differenza, che è numero pari, e riceue ſubdiuiſione. Come per eſſempio, ſe prendiamo il lato di 20, e queilo di 13, la differenza ſarà {9/260} del circolo; e troppo difficile riuſcirebbe diuidere in ſette parti quella particella, che è la differenza de gl’archi: ſe pur non s’adopraſſe ne gli archi l’induſtria, che nelle linee rette habbiamo moſtrata nel Cap. 2. eſpreſſa doue vna venteſima ſi diuiſe in cinque parti. Mà ſe prendiamo il lato di 11, e quello di 19, la difſerenza ſarà{8/209} del circolo; la qual differenza diuiſa, e due altre volte ſubdiuiſa, finalmente reſta {1/209} del circolo.

Da queſte coſe quì dette ſi raccoglie vn modo faciliſſi mo CAPO VII. per pigliar in vna retta linea data vna particella, che per altro ſaria difficile à trouare, quando il numero delle parti è nume-ro compoſto: cioè trouando due numeri differenti tra di loro ſolamente per l’vnità, ouero per il binario, ò quaternario, i quali inſieme moltiplicati, facciano il numero, che denomi-na le parti.

Per eſſempio voglio vna ſettanteſima ſeconda della linea retta MN. Veggo, che il 72 ſi fà dalla molti-plicatione di 8 per 9, onde cauo, che la diffe-renza dell’ottaua, e della nona parte di detta linea MN è la ſettanteſima ſeconda cercata. Applico dunque nella linea Aritmetica dello Stromento la linea M N al interuallo 80. 80, perche all’ interuallo 10. 10, haurò l’ ottaua parte, che ſarà ML. Dipoi l’iſteſſa MN appli-co all’interuallo 90. 90, & all’interuallo 10. 10, haurò la nona parte, la quale ſarà LI, e la-ſcierà la differenza IM {1/72} di tutta la linea; per-che delle 72 particelle vn’ ottauo ne contiene 9, & vn nono ne contiene 8, dunque la diffe-renza d’vn’ottauo, e d’vn nono è {1/72}.

E' vero, che ſi può fare più breuemente, e ſarà maniera commune anche quando la parte è denominata da vn numero primo; cioè ſi metta la linea data all’interuallo della deno-minatione delle parti, & all’ apertura medeſi-ma ſi prenda l’interuallo proſſi mamente mi-nore, poiche leuato queſto dalla linea data, il rimanente ſarà la parte cercata. Così poſta la MN all’ interuallo 72. 72, prendaſi l’inter- Linea de’Poligoni uallo 71. 71, e ſarà NI; dunque IM è vna ſettanteſima ſecon-da, come ſi cercaua. E di queſta maniera conuerà operare, quando il numero della parte cercata cadeſſe nelli punti vi-cini al centro dello Stromento, che per il gruppo dello ſteſſo Stromento, non viſi puonno prendere: onde conuiene pren-dere l’interuallo, che porta la differenza tra il Numeratore, & il Denominatore della parte cercata. Così ſe voleſti @ del-la MN, veggo che la differenza tra il 3, e 72 è 69; perciò po-ſta la MN alli punti 72 72, prendo 69. 69, e leuato dalla MN queſt’interuallo, il reſiduo ſarebbe {3/72}.

Che ſe la linea data foſſe piccola aſſai, come ML, e ſi vedeſ-ſe diuidere in parti 9; perche ſaria ſcommodo l’applicarla allo Stromento, prolongo la linea ML tanto, che la replico otto volte ſin ad N: dipoi applicata la MN all’ottuplo di par-ti 9, cioè al 72, prendo poi 71. 71, e ſarà NI, onde reſtando IM {1/72} di MN, ſarà per conſequenza {1/9} di ML: e così potrà, ſe ſi vorà, continuar ladiuiſione di ML in tutte le ſue none par-ti prendendoſi 70. 70, e traportandolo dal punto N verſo M, che laſciarà {2/72}, cioè {2/9} di ML, & c.

QVESTIONE QVARTA. Come ſi conoſca la proportione de’lati delli poligoni deſcritti nello ſteſſo circolo; e poi anche la proportione delli ſteſsi poligoni.

DAlla tauoletta poſta in queſto Capo è manifeſta la pro-portione de’lati de’poligoni; mà non ſi può ſempre hauere queſta tauoletta alla mano, come s’hà lo Stromento. Per conoſcer dunque la proportione di detti lati conuiene vedere, ſe ſi vogſiono con relatione alſemidiametro, ò ſolo CAPO VII. tra di loro. Per eſſempio voglio ſapere, che proportione habbia il lato del pentagono al lato del decagono. Poſſo conſiderarli aſſolutamente tra di loro ſenza riguardo del lato dell’eſſagono, che è vgual al ſemidia metro; ouero determina-ta la quantità delle particelle del ſemidiametro, conſiderare quante di quelle particelle contenga ciaſcuno di detti lati. Nel primo caſo con due Compaſſi prendo gl’interualli 5. 5, e 10. 10, nella linea de’poligoni. Dipoi nella linea Aritme-tica applico il lato del pentagono all’interuallo 100. 100, e trouando, che il lato del decagono cade nell’interuallo 52. 53, dico, che la loro proportione è come di 100 à 52 {1/2}. Mà volendoſi la loro proportione in riguardo del lato dell’ eſſa-gono, conuiene prendere trè miſure, cioè oltre li due detti in-terualli pigliar’anche quello di 6. 6, e queſto nella linea Arit-metica porre all’interuallo 100. 100, e così troueraſſi la pro-portione del lato del pentagono à quello del decagono, come 58 {1/2} à quaſi 31.

Trouata la proportione de’lati di due figure, in riguardo al lato dell’eſſagono poſto come 100, ſi trouerà la proportio-ne di dette figure, cercando l’area d’vno de’triangoli di cia-ſcuna, e poi moltiplicando queſt’area, per il numero de’lati di ciaſcuna. L’area poi di ciaſcun trian-golo ſi troua con la moltiplicatione della metà del lato per la perpendico-lare, che in eſſo cade dal centro; cioè moltiplicando AH per CH, come ſi caua dalla 42. dellib. 1. Si troua poi la grandezza della perpendicolare CH, ò con lo Stromento applicando CA ſemidiametro nella linea Aritme- Linea de’Poligoni tica all’interuallo 100. 100, ò dal quadrato della CA 100, cauando il quadrato della metà del lato conoſciuto. Eſſen-do dunque il lato del pentagono in riguardo del ſemidiame-tro del circolo, à cui è inſcritto, come 58 {1/2}, la ſua metà è 29 {1/4}, il cui quadrato è 855 {9/16}, il quale ſottratto dal quadrato del ſemidiametro, reſta il quadrato della CH, e la radice 95 {1/2} in circa è la quantità della perpendicolare CH. Moltiplicato dunque CH 95 {1/2} per HA 29 {1/4}, l’area d’vn triangolo quinta parte del pentagono è 2793 {1/2}, e queſta moltiplicata per 5. numero de’lati per conſeguenza de’triangoli del pentagono, ſarà tutta l’area del pentagono 13976. Il che pure ſi ſaria trouato, ſe preſa la metà del giro del pentagono (che è 292 {1/2}) cioè 146 {1/4} ſi foſle moltiplicata per la perpendicolare 95 {1/2} @ poiche ſaria venuta l’area del pentagono allo ſteſſo modo 13967.

Ora per trouar l’area del decagono, il cui lato è quaſi 31, & il mezzo giro 155, in circa, trouola perpendicolare cauan-do dal quadrato del ſemidiametro, cioè da 10000, il quadra-to della metà del lato 15 {1/2}, cioè 240, e reſtano 9760 qua-drato della perpendicolare, quale perciò è 98. Moltiplica-to dunque 155 per 98 {3/4}, ſi produce l’area del decagono 15306. Dal che conchiudo, che il pentagono, & il deca-gono deſcritti nello ſteſſo circolo ſono come 13967, e 15306, & in minori termini, poiche li numeri non ſon tanto preciſi, come 14 à 15. E nella ſteſſa forma ſi procederà nel-la comparatione dell’altre figure, doue ſi vedrà, che quanto minore è il lato, tanto più và creſcendo l’area.

CAPO VII.
QVESTIONE QVINTA. Dato vn poligono regolare, trouarne vn’altro à lui vguale.

SE ſarà data vna figura regolare, & vn’altra diuerſa ſe ne deſideri à lei vguale, primieramente per la Queſtione antecedente ſi troui la proportione di tali figure nello ſteſſo circolo, come ſe ſia dato vn pentagono, e ſi voglia vn deca-gono à lui vguale, ſi troua, che il pentagono al decagono nel-lo ſteſſo circolo è come 14 à 15. Dipoi il lato della data figu-ra s’applichi nelle linee de’poligoni all’interuallo conuenien-te, come nel caſo noſtro all interuallo 5. 5, e ſi prenda l’inter-uallo della ſpecie della figura, che ſi cerca, come quì è il de-cagono, e ſarà 10. 10. Finalmente perche il decagono è co-me 15, al pentagono, che è come 14; nelle linee Geometri-che all’interuallo 15. 15, applico queſto lato trouato del de-cagono; e preſo l’internallo 14. 14, ſarà illato d’vn decago-no, che è al decagono inſcritto nello ſteſſo circolo col penta-gono dato, come 14 à 15, cioè come il pentagono dato al decagono nello ſteſſo circolo: Dunque queſt’ vltimo inter-uallo preſo è il lato del decagono vguale al dato pentagono; poiche così il decagono di queſto lato, come il pentagono dato hanno la ſteſſa proportione di 14 à 15 al decagono nel-lo ſteſſo circolo con la figura data, per la 7 del 5.

Trasformatoria de’ Piani
CAPO VIII. In qual maniera s’ habbia à ſegnare nello Stromento la linea d’vgualianza trà piani regolari diſſomiglianu: & vſo di queſta linea trasformatoria.

COnuien talhora cangiar’vna figura piana in vn’altra di ſpecie differente, e ſe bene di ciò s’e parlato nel Capo antecedente alla Queſt. 1. nientedimeno per farlo più preſto, e con facilità, ſi può nel noſtro Stromento ſegnar il lato di ciaſcuna figura. E perche le figure Irregolari non hanno al-cuna determinatione, potendo eſſer molto varia la loro irre-golarità, perciò ſolamente ſi conſiderano le reglari, poiche conoſciuto vn lato, tutti gl’altri ſon noti, eſſendo tra di ſe vguali.

Primieramente fà di meſtieri conoſcere la proportione de’lati delle figure diſſomiglianti, ma ſecondo l’area, ò ſuper-ficie tra diſe vguali. E perche tutte le figure regolari puon-no concepirſi, come deſcritte nel circolo; dal cui centro tira-te à ciaſcun’ angolo linee rette, l’area ſi diuide in tantitrian-goli vguali, quanti ſono i lati di ciaſcuna di dette figure, per-ciò baſterà trouar la baſe d’vno di detti triangoli. Onde no-ta, che ſia l’area d’vna figura, queſta ſi diuiderà in tante parti, quanti ſono i lati della figura, che ſi deſidera, e queſto quo-tiente ſarà l’area del triangolo, che è tal parte di detta figu-ra. Del qual triangolo iſoſcele eſſendo conoſciuta l’area, e la proportione de’lati (poiche per il Capo antecedente ſi co-noſce la proportione dellato della figura al ſemidiametro del circolo, in cui è deſcritta, ò almeno ſi può cauare dalle rauole de’ſeni) ſi troua la grandezza della baſe.

CAPO VIII.

Dunque ſuppoſto il lato del triangolo equilatero eſſer 1000, trouo la ſua area nel modo commune à tutti li trian-goli, cioè dalla metà del giro di tutto il triangolo ſottraendo ciaſcuno de’lati, e moltiplicate inſieme le trè differenze, e queſto prodotto moltiplicato per la detta metà del giro, cauo la radice quadrata, che ſarà l’area cercata. Perciò eſſendo vn lato 1000, tutto il giro è 3000, e la metà 1500; dunque le trè differenze ſono 500, 500, 500, le quali moltiplicate inſieme, fanno 125000000, e queſto prodotto moltiplicato per 1500 metà del giro del triangolo, dà 187500000000; la cui radice quadrata è 433012 area del dato triangolo equilatero.

Ora volendoſi illato d’vn quadrato vguale al dato trian-golo, prendo la quarta parte dell’area trouata del triangolo, & è 108253, e queſta è l’area del triangolo, che è la quarta parte del quadrato vguàle al dato triangolo. Et in queſto piccolo triangolo, quarta parte del quadrato li lati poſti, co-me 1000, la baſe è 1414 ℞ 2000000. Dunque perche li triangoli ſimili ſono nella proportione duplicata de’lati, cioè le lor’aree ſono come li quadrati de’lati homologi, per la 19. del lib. 6, trouata l’area corriſpondente à queſti trè lati ne’termini della proportione conoſciuta, ſe ſi farà come l’area trouata all’area conoſciuta 108253, così il quadrato della baſe 1414 ad vn’altro verrà il quadrato della baſe, che ſi cer-ca. Quindiè, che data la proportione de’lati del triangolo 1000, 1000, 1414, ſi troua l’area 499999: ecosì come queſta à 108253, così il quadrato della baſe, che è 2000000 (ouero 1999396 ſe ſi prende per baſe 1414 preciſamente) à 433012, quadrato della vera baſe, che ſi cerca; quale per-ciò ſarà 658 +, etale ſarà illato del quadrato vguale al da-to triangolo.

Trasformatoria de’ Piani

Con l’iſteſſo metodo ſi trouano i lati del pentagono, eſſa-gono, & altri vguali al dato triangolo, cioè prendendo per il pentagono la quinta parte dell’area del triangolo equilatero poſto, per l’Eptagono la ſettima parte, & c. E poi conoſciu-ta la proportione del lato di ciaſcuna figura al ſemidiametro del circolo, in cui ella può deſcriuerſi, ſi troua l’area di queſto triangolo iſoſcele; e finalmente facendoſi, come la quinta, ò ſettima, & c. parte del triangolo equilatero poſto, à queſt’area vltimamente trouata, così il quadrato del lato del pentago-no, ò eptagono, & c. al quadrato del lato vero cercato; onde la radice di queſt’vltimo quadrato ſarà il lato, che ſi cerca: e così ſi ſono trouati ilati d’aſcune figure regolari, come nell’ anneſſa Tauoletta ſi troua notato. Econ queſta proportione ſi diuidono le linee AN, AV nella fig. dello Stromento pag. 164. pigſiando tutta la AN per 1000 lato del triangolo, il quale ſi ſegna con la nota Δ per contradiſtinguerlo dal 3, che ſi ſegna nell’altra linea, in cui ſono le parti del circolo, e chia-miamo linea de’poligoni. Così per il pentagono ſi prende A 5 di pati 502-- di quelle, delle quali tutta la AN è 1000; e neſlo ſteſſo modo dell’altre tutte.

# # # # Lati di figure regolari tra di loro vguali. Triangolo # 1000. # Ottangolo # 299+ Circolo # 742+ # Nonangolo # 264+ Quadrato # 658+ # Decangolo # 237+ Pentagono # 502 --- # Vndecangolo # 214+ Eſſagono # 408+ # Dodecangolo # 197 ---Eptagono # 342 ---
CAPO VIII.

Col medeſimo metodo approuarei, che nella ſteſſa linea ſi ſegnaſfe il Diametro del circolo vguale all’iſteſſo triangolo, la cui area è di parti 433012 quadrate. Perche il circolo è vguale al triangolo rettangolo fatto dal ſemidia-metro, edalla circonferenza, e perciò vguale al Rettangolo ſotto il ſemidiametro, ela ſemicirconſerenza, onde queſti la-ti hanno la proportione medeſima del diametro alla circon-ferenza, cioè di 113 à 355; perciò moltiplicato 355 per 113 l’area del circolo ſarà 40115. Siche habbiamo due aree di circoli, vna di 40115, l’altra di 433012; e perche ſono i circoli comei quadrati del diametro, prendaſi il quadrato del diametro 226, cioè 51076, e facciaſi, come il circolo 40115 al circolo 433012, così il quadrato 51076 al quadro 5513-28: la cui radice quadrata 742 + è la quantità del diame-tro del circolo, che dourà prenderſi dal punto A, e verrà à cadere tra’l quadrato, & il Triangolo, e ſi potrà ſegnare ò con la figura circolare Θ, ouero con le lettere Dia; acciò s’in-tenda quello eſſer il diametro del circolo, la cui area è di parti 433012, vguale al Triangolo equilatero, li cui lati fono vguali alla linea AN di parti 1000. Così con vna tal diui-ſione ſegnata per il circolo, ſi potrà immediatamente quadra-re il circolo, eſſendoui il quadrato vguale al dato Triangolo, al qual è vguale il Circolo del diametro notato.

Quindi è manifeſto, che dato qualunque lato di triangolo, à cui ſi deſidera altra figura regolare vguale, gl’interualli dell’ apertura dello Stromento ſaranno nella ſteſſa proportione, in cui ſono diuiſi i lati dello ſteſſo Stromento, come più volte di ſopra s’è detto.

Trasformatoria de’ Piani
QVESTIONE PRIMA. Data vna figura regolare, trasformarla in vn’altra vguale dipiù, ò meno lati.

HAbbiaſi per cagione d’eſſempio vna laſtra d’argento quadrata, e vogliaſi farne vn’altra d’vgual groſlezza, mà di figura eſſagona, ſi cerca la grandezza del lato dell’eſſa-gona. Nella linea trasformatoria, ò d’vguaglianza, comun-que chiamar la vogliamo, s’applichi all’interuallo del qua-drato il lato dato; e ritenuta quell’ apertura, prendaſi nella ſteſſa linea l’interuallo 6. 6, e queſto riuſcirà il lato cercato dell’eſſagono.

Mà ſe foſſe la laſtra così grande, che non capiſce il lato del quadrato ne gl’interualli dello Stromento, e ſi voleſſe ſape-re in numeri di quanti deti ſarà la lunghezza del lato trouato dell’eſſagono, così può operarſi. Allargato lo Stromento à qualſiuoglia apertura, prendaſi con due Compaſſi gl’inter-ualli corriſpondenti al quadrato, & all’eſſagono nella linea trasformatoria. Dipoi nella linea Aritmetica ſi vegga con l’applicatione de’due Compaſſi, che proportione habbiano tra diloro que’ due lati; e trouando che il lato del quadrato à quello dell’eſſagono vguale è come 100 à 62, con la rego-la del trè dico, ſe 100 danno 62, illato d’vna laſtra quadrata di deti 20, mi darà in vna laſtra vguale eſſagona, il lato di deti 12 {2/3}.

Che ſe non ſi poteſſe prendere preciſamente in denomina-tione di miſura conoſciuta di palmi, deti, & c. il lato del qua-drato, e nondimeno foſſe aſſai grande, prendo la metà, ò al- CAPO VIII. tra parte aliquota di detto lato, e l’applico all’interuallo del quadrato nella linea trasformatoria, e poi prendo il lato del-la figura, che ſi deſidera, nell’interuallo della ſteſſa linea tra-sformatoria; perche moltiplicando queſta tante volte, in quante parti fù diuiſo l’altro lato della figura data, s’haurà il lato cercato. La ragione di ciò è manifeſta; perche i lati del-le figure ſimili ſono nella proportione ſubduplicata nelle ſteſ-ſe figure, dunque preſa la metà del lato dato, queſta è lato d’vn quadrato ſubquadruplo del primo: Dunque illato del-l’altra figura trouato (eſſendo al quadrato di quella metà vguale l’eſſagono di queſto lato trouato) è lato d’vn’eſſagono ſubquadruplo al dato quadrato. Ora raddoppiato il lato trouato ſarà lato d’vn’altro eſſagono quadruplo di queſto; Dunque l’eſſagono della linea doppia del lato trouato è vguale al quadrato dato.

QVESTIONE SECONDA. Data vna figura regolare trouarne vn’altra regolare diuerſa, à cui habbia la data Proportione.

QVeſta operatione è facile adoprandoſi la linea trasfor-matoria, e la linea Geometrica: poiche prima nelia trasformatoria ſi troua l’vguale, poi nella Geometrica ſi tro-ua quella, che hà la data proportione. Sia dato vn triango-lo, e ſi deſidera vn’ottangolo, che contenga tre volte, e mez-za detto triangolo, cioè che ſia al triangolo, come 7 à 2. Pon-go dunque nella linea trasformatoria il lato dato del triango-lo all’interuallo proprio: quindi prendo nella ſteſſa linea l’in-teruallo 8. 8, e queſto è l’ottangolo vguale al triangolo dato. Trasformatoria de’ Piani Conuien dunque trouare vn’ottangolo, che à queſto ſteſſo ottangolo ſia come 7 à 2: perciò il lato trouato dell’ottan-golo vguale applico nella linea Geometrica all’interuallo 2. 2: e preſo nella ſteſſa linea Geometrica l’interuallo7. 7, que-ſto ſarà il lato dell’ ottangolo, che è come 7, in riguardo del primo ottangolo, cioè del triangolo dato, che è come 2.

Che ſe deſideri conoſcer in numeri illato di queſto ottan-golo, che è al triangolo dato, come 7 à 2: ſi troua con l’ap-plicatione de’lati del triangolo, & ottangolo vguali nella linea Aritmetica, che ſono come 100 à quaſi 30: dipoii lati de gl’ottangoli, che ſono come 2 à 7, applicati ſimilmente al-la linea Aritmetica, trouo che ſono come 30 à 56, onde raccolgo, cheil lato del triangolo dato allato d’vn’ottango-lo, che lo contiene trè volte, e mezza è come 100 à 56.

QVESTIONE TERZA. Date due figure regolari diuerſe, conoſcere, che proportione habbiano tra di loro.

SIano date due figure diuerſe regolari, per eſſempio vn pentagono, & vn triangolo: applico nella linea trasfor-matoria il lato della figura, che hà meno angoli, cioèil lato del triangolo, & à queſta appertura all’interuallo 5. 5. nella ſteſſa trasformatoria prendo il lato del pentagono vg uale. Poſcia queſto lato d’vn pentagono vguale al triangolo dato, & il lato del pentagono dato, applico nella linea Geometri-ca, come ſi diſſe nel Capo 3. Queſt. 4. e così trouata la pro-portione de’pentagoni di queſti due lati, ſi fà manifefta la proportione del pentagono, etriangolo dati.

CAPO VIII.

La ragione di queſta operatione è manifeſta dalle coſe più volte dette, e dalla coſtruttione dello Stromento nella diui-ſione di queſte linee, delle quali ci ſeruiamo.

QVESTIONE QVART A. Data l’area d’vn poligono regolare, trouar il ſuo lato.

ESſendoche ogni area s’intende compoſta di quadretti di determinata miſura, data l’area, deue eſler dato il lato di ciaſcun quadretto. Ora ſuppongaſi data l’area d’vn pen-tagono di 400 palmi quadrati, e cerchiſi quanto grande ſia il lato del detto pentagono. Trouifi il lato d’vn quadrato di 400 palmi, cauando dal dato numero la radice quadrata, che è 20, & in vn piano ſi deſcriua vna linea, che ſi ſupponga di 20 particelle, ciaſcuna delle quali ſe ben piccola rappreſenti vn palmo. Queſta linea s’applichi nella linea trasformato-ria all’interuallo proprio del quadrato, & à quella apertura dello Stromento ſi prenda l’interuallo 5. 5, del pentagono. Il che fatto, queſti due interualli del quadrato, e del pentago-no s’applichino nella linea Aritmetica, e ſi trouerà, che ſe il lato del quadrato 400, è 20, il lato del pentagono di 400 pal-miè 15 {1/4}.

Si che data qualſiuoglia area ſi caua la radice quadrata; e poſta vna linea di tante miſure s’applica nella trasformatoria all’interuallo del quadrato; poiche l’interuallo corriſponden-te alla denominatione del poligono dato, ſarà il lato della fi-gura, la cui area è vguale al quadrato della linea ſuppoſta, cloè all’area data.

Trasformatoria de’ Piani
QVESTIONE QVINT A. Dati due poligoni regolari diuerſi vguali, trouare la porportione de’ circoli, ne’ quali eſsi ſt deſcriuono.

E’Manifeſto, che li poligoni vguali diuerſi non ſi puonno deſcriuere nello ſteſſo circolo; dunque il poligono di più lati ſi deſcriue in vn circolo minore, che quello di meno lati, ma vguale d’area. Cerchiſi dunque la proportione de’ circoli.

Il che ſi fà trouando la proportione de’ ſemidiametri. E ſia per eſſe mpio vn triangolo, & vn’eptagono vguali.

Primieramente applico nella linea de’poligoni il lato del triangolo all’interuallo 3. 3, e prendo l’interuallo 6. 6, e que-ſto è il ſemidiametro del circolo, in cui ſi deſcriue il dato triangolo. Similmente nella ſteſſa linea de’poligoni applico il lato dell’eptagono all’interuallo 7. 7, e con quell’ apertura prendo l’interuallo 6. 6, il quale ſfarà il femidiametro del cir-colo, in cui ſi deſcriue il dato eptagono. Preſi dipoi queſti due ſemidiametri, s’applicano nella linea Geometrica, & in quella ſi troua la proportione de’circoli, come s’è detto nella Queſt. 4. del Cap. 3.

QVESTIONE SESTA. Data vna figura regolare far’vn circolo à lei vguale, e dato vn circolo far vn quadrato vguale.

SE non foſſe nella linea ſegnato anche il diametro del cir-colo vguale à ciaſcuna delle figure notate nella linea CAPO VIII. trasformatoria; è facile il trouarſi in queſto modo. Data la figura, ſi trasformi in quadrato: il lato di queſto quadrato nella linea Geometrica s’applichi all’interuallo 11. 11; pren-daſi nella ſteſſa linea Geometrica l’interuallo 14. 14, e queſto è il diametro del circolo, che ſicerca; la ragione è manifeſta, perche per le coſe dimoſtrate da Archim. il quadrato del dia-metro è al circolo, come 14, à 11; il quadrato di queſt’ vltima linea è al quadrato poſto all’interuallo 11. 11, cioè al poligo-no dato, come 14 à 11, dunque il dato poligono, & iſ circo-lo del diametro vltimamente trouato ſono tra di ſe vguali per la 7. del 5.

Quindi dato vn circolo, ſarà faciliſſimo il quadrarlo: per-che applicato il diametro dato alli punti 14. 14: prendaſi l’in-teruallo 11. 11, e queſta linea darà vn quadrato vguale al cir-colo dato; eſſendoche il circolo al quadrato del ſuo diametro è come 11 à 14.

QVESTIONE SETTIMA. Date due figure regolari diſsimili, e diſuguali, farne vna vguale à tutte due, e diſſomigliante.

QVeſta operatione ſi fà con ridurre le due diſſimili à ſomiglianza, e poi vnirle in vna ſimile, e finalmente trouare vna diſſimile. Sia dato vn pentagono, & vn quadrato diſuguali, e ſi voglia far vn triangolo vguale alla ſomma del pentagono, e del quadrato. Prima riducaſi il pen-tagono in quadrato, in queſto modo. Nella linea trasforma-toria s’applichi il lato del pentagono dato aſl’interuallo 5. 5, e poi prendaſi l’interualſo de’quadrati, *** *** che ſarà il la- Trasformatoria de’ Piani to del quadrato, vguale al dato pentagono. Di poihauen-doſi già queſto lato d’vn quadrato, & il lato del quadrato da-to, s’applichino tutti due nelle linee Geometriche, per tro-uar la lor proportione, e ſi faccia vn quadrato vguale à tutti due, come s’è detto nel Cap. 3. Queſt. 5. e ſarà queſto qua-drato vguale al pentagono, & al quadrato dati. Finalmente il lato di queſto quadrato nelle linee trasformatorie s’appli-chi all’interuallo proprio de’quadrati, e con quella apertura s’haura all’interuallo ΔΔ proprio de’triangoli il lato deltrian-golo vguale al dato quadrato, e per conſeguenza alle due fi-gure date diſſimili, e diſeguali.

E ſe foſſero molte le figure date da vnirſi, ſi continui l’o-peratione nello ſteſſo modo; come ſe oltre iſ pentagono, e quadrato dati vi foſſe anche vn triangolo, e poitutti inſieme haueſſero à far’ vn’ottangolo; trouato il triangolo vguale al pentagono, & al quadrato dati, così il lato di queſto, come del dato triangolo s’applichino nelle linee Geometriche, e ſi troui vn triangolo eguale à tutti due; e finalmente il lato di tal triangolo vguale à tutte trè le figure date s’applichi nelle linee trasformatorie all’interuallo del triangolo, poiche rite-nuta quell’ a pertura di Stromento, l’interuallo 8. 8, darà il lato dell’ottangolo vguale alle trè figure date.

QVESTIONE OTTAVA. Dati due poligoni regolari diſsimili, e diſuguali, trouar’ vn’ altra figura diſsimile, che ſia vguale alla loro differenza.

SIa dato nello ſteſſo circolo vn triangolo, & vn quadrato, li quali neceſſariamente ſono diſuguali, e ſi voglia far CAPO VIII. vn’eſſagono vguale alla differenza tra il triangolo, e quadra-to dati. Nelle linee trasformatorie applicato il lato del trian-golo dato, ſi troui il lato d’vn quadrato à lui vguale; Dipoi queſto lato trouato, & il lato dato del quadrato, s’applichi-no nelle linee Geometriche, e trouata la loro proportione ſi troui il lato del quadrato vguale alla ſoro differenza, per quel che s’è detto nel Cap. 3. Queſt. 6. Finalmente queſto lato del quadrato vltimamente trouato s’applichi nelle linee trasfor-matorie all’interuallo de’quadrati, poiche nelle ſteſſe linee l’interuallo 6. 6, darà il lato dell’eſſagono vguale à quel qua-drato, che è la differenza de’ due quadrati applicati, cioè del triangolo, e del quadrato dati.

In tutte queſte operationi ſe le linee, che ſono lati delle figure date, foſſero troppo grandi, ſi prendano le parti ali-quote, ricordandoſi poi di moltiplicare l’vltima linea troua-ta ſecondo la denominatione della parte aliquota preſa; co-me ſe ſi preſe il terzo della linea, quella trouata ſarà ſola-mente il terzo di quella, che ſi cerca, e così dourà triplicarſi: ſe ſi preſe il quarto, queſta dourà quadruplicarſi, e così dell’altre.

CAPO IX. In qual maniera habbia à ſegnarſi la linea de’ corpi regolari, & vſo di queſta linea.

COrpi regolari ſi chiamano quelli, che hanno le loro ſu-perficie piane, dalle quali ſono compreſi, ſimili, & vguali: E perche ogni angolo ſolido è fatto almeno da trè ſuperficie, ne può eſſere ſe non minore di quattro angoli ret- Corpi Regolari ti, perciò niun corpo regolare può hauere l’angolo ſolido fat-to, ò da ſei triangoli equilateri, ò da quattro quadrati, perche queſti inſieme fanno quattro angoli retti, e non ſaria ango-lo, mà vn piano: quattro pentagoni vguali farebbono più di quartro retti; tre eſſagoni fariano giuſtamente quattro ret-ti, e tre eptagoni ò di più lati fariano più di quattro retti; on-de conſta, che l’angolo ſolido non può eſſer fatto, che ò da tre, quattro, e cinque triangoli equilateri, ò datre quadrati, ò da tre pentagoni equilateri; e per conſequenza ſolo cinque corpi regolari ſono poſſ@bili. Ora ſe di trè triangoli equila-teri ſi faccia vn’angolo ſolido, tutto il corpo haurà quattro faccie, e ſi chiama retraedro, che vuol dire di quattro faccie, ouero piramide; ſe ſi faccia vn’angolo ſolido di quattro trian-goli equilateri ſi forma l’octaedro, cioè d’otto faccie; ſe di cinque triangoli equilateri, ſi formi l’angolo ſolido, ne viene l’icoſaedro di venti faccie. Dipoi l’angolo ſolido ſi fà di trè quadrati, e ſe ne forma il cubo, ouero exaedro di ſei faccie: e finalmente di tre pentagoni equilateri ſi fà l’angolo ſolido del dodecaedro di dodici faccie.

Per trouar dunque i lati di queſti cinque corpi regolari contenuti in vna medeſima sfera, ci ſeruiremo del modo da-to da Euclide nell’vltima propoſitione del lib. 13. Si tiri nel-lo Stromento la linea, che deue à queſto effetto ſeruire, e ſia la linea AP, ouero AM. A queſta linea ſe ne tiri in vn pia-no vna vguale, e ſia la linea AB, la quale diuidaſi in modo, che BC ſia la metà, BD la terza parte, BE la quinta parte. E dal centro C ſi deſcriua il ſemicircolo AFB. S’alzino poi le perpendicolari CF, DG, EH, e ſi tirino le linee AF, che è lato dell’octaedro, AG, che è lato della piramide, ouero tetraedro BG, che è lato del cubo. E queſta linea BG ſi ta- CAPO IX. gli nell’eſtrema, e media ragione, cioè in modo, che il qua-drato del ſegmento mag-giore ſia vgual’al rettango- lo fatto da tutta, e dal ſeg-mento minore, come s’in-ſegna nella 30 del libro 6, ouero nell’ 11. del lib. 2; e ſia il ſegmento maggiore BK, che è lato del dodecae-dro. Finalmente della linea BH, come di ſemidiametro ſi formi il ſemicircolo BOL; diuidaſi l’arco per metà in O, & il ſemidiametro HL per metà in N: pren-daſi l’interuallo NO; & à queſto ſia vgua-le NI: e così ſarà HI lato del decagono, & IO lato del pentagono; e ſi trasferi-ſcano nell’altra figura in modo, che BI ſia vguale à IO, & IH ſia il lato del decago-no nel circolo BOL, ſarà dunque BI lato dell’ icoſaedro.

Trouate queſte miſure, ſitrasferiſcono ſopra lo Stromen-to, in cui AP è diametro della sfera, A4 vguale ad AG, A8 vguale ad AF, A 6 vguale à BG, A 20 vguale à BI, A 12 vguale à BK; & in tal maniera ſono ſegnati i lati de’corpi re-golari, che puonno deſcriuerſi nella ſteſſa sfera.

E perche ſe bene tutte queſte linee ſono tra di loro incom-menſurabili di longhezza, nondimeno li lati del tetraedro, octaedro, e cubo ſono col diametro della sfera commenſura-bili di potenza (gl’altri due lati del dodecaedro, & icoſaedro ſon’affatto irrationali) e ſono iloro quadrati in queſta pro- Corpi Regolari portione, cioè del diametro della sfera, come 6, del lato del-la piramide, come 4, del lato dell’octaedro, come 3, del la-to del cubo, come 2, come ſi vede appreſſo il Clauio nella dimoſtratione della ſudetta prop. vlt. del lib. 13. perciò ſi potrà prouare con la linea Geometrica dello Stromento, ſe tali lati da noi trouati nel primo modo applicati in eſſa corri-ſpondano giuſtamente alli numeri di 6. 4. 3. 2. acciò ſiamo ſicuri, che l’operatione fù giuſta.

Quindi ſi potrà in numeri determinare la quantità di que-ſte linee in proportione al diametro della sfera, quale mettia-mo eſſere di particelle 2000. Dunque il ſuo quadrato 4000000, che è al quadrato del lato della Piramide come 6 à 4, darà 2666666 quadrato, la cui radice 1633- è il la-to della Piramide. Similmente come 6 à 3, così il quadrato 4000000 al quadrato 2000000, la cui radice 1414 + è il lato dell’octaedro. E come 6 à 2, così il quadrato 4000000 al quadrato 1333333, la cui radice 1154 + è il lato del Cubo.

Mà per ilati delli altri due corpi regolari ſi richiede mag-gior induſtria, poiche il lato del Cubo 1154 deue diuiderſi nella media, & eſtrema ragione, cioè come 1000 à 618. proſ. ſimamente, & il ſegmento maggiore 713 ſarà il lato del do-decaedro, come ſi hà dal primo corollario della prop. 17. del lib. 13. d’Euclide. E per trouar il lato dell’Icoſaedro, primie-ramente deue trouarſi il raggio di quel circolo, che compren. de lecinque baſi delli cinque triangoli, che coſtituiſcono l’an-golo ſolido di queſto corpo: Ora per il primo corollario del-la prop 16. del lib. 13. il quadrato di quel raggio è la quinta parte del quadrato del diametro della sfera; onde ſarà 800000 il quadrato, e la ſua radice 894 + è il raggio di det- CAPO IX. to circolo. Dipoi eſſendo noto queſto circolo, deue trouarſi il lato del Pentagono compreſo in queſto circolo; poiche queſto è il ſato cercato dell’ Icoſaedro, eſſendo baſe d’vno delli cinque triangoli equilateri, che fanno l’angolo ſolido. Per trouar queſto lato del Pentagono (il cui quadrato per la 10 del 13. è vguale alli quadrati del Raggio, e del Decago-no nell’ iſteſſo circolo) biſogna trouar il lato del Decagono poſto il Raggio 894, cioè tagliar il Raggio nella eſtrema, e media ragione, eſſendoche il ſegmento maggiore è il lato del Decagono per il corollario della 9. del 13. Quindi ſarà il la-to del Decagono 552: il cui quadrato 304704 aggionto al quadrato del Raggio, che è 800000 dà 1104704 quadrato del lato del Pentagono; e perciò ſarà la ſua radice 1051 il la-to cercato dell’Icoſaedro.

# # Diuiſioni della linea per i corpi regolari inſcritti \\ nella medeſima sfera. Diametro della sfera. # 2000 Piramide. # 1633---Octaedro. # 1414+ Cubo. # 1154+ Icoſaedro. # 1051 Dodecaedro. # 713+ Corpi Regolari
QVESTIONE PRIMA. Conoſciuto il diametro d’vna sfera, come ſi poſſa formar’ vn cubo, ò altro ſolidoregolare, che capiſca in eſſa.

QVelli, che ſi dilettano dentro sfere di vetro formare di piccole regolette teſſute inſieme varie figure, come ſe foſſero linee, hauranno l’vſo di queſto problema. Il diametro della sfera dato s’applichi all’ interuallo vltimo della linea de’ corpi regolari; e di poi preſo l’interuallo del cubo, ſe ſi deſidera formare vn cubo, ò di qualunque altro ſo-lido, che voglia formarſi, cioè l’interuallo 6. 6, in quella ſteſ-ſa linea, e s’haurà il lato del cubo. Se ſi voleſſe formar’ vna piramide, prendaſi l’interuallo 4. 4, in quella linea de’cor-piregolari.

QVESTIONE SECONDA. Data vna piramide trouar la sfera, che contenga vn’ altra piramide in data proportione.

SIa data vna piramide, e ſi deſideri vna sfera, che conten-ga vna piramide, che alſa data ſia come 9, à 8. Trouiſi illato della piramide, che ſia come 9 à 8, riſpetto della pira-mide data: e perche i ſolidi ſimili ſono nella triplicata pro-portione de’lati Homologi, cioè, come i cubi de’lati, illato della piramide data s’applichi nella linea cubica dello Stro-mento all’interuallo 8. 8; e preſo l’interuallo 9. 9, ſarà lato della piramide, che alla prima ſarà come 9 à 8. Quelſto lato CAPO IX. trouato s’applichi nella linea de’corpi regolari all’interuallo 4. 4, proprio del tetraedro, el’interuallo eſtremo darà il dia-metro della sfera, che contiene vna piramide, che è ſeſquiot-taua della piramide data.

QVESTIONE TERZA. Dato il diametro della sfera trouar la proportione de’corpi regolari inſcritti.

SIa data vna sfera, il cui diametro è noto, eſi cerchi la proportione di detta sfera à ciaſcuno de’corpi regolari inſcritti. Ogni sfera è vguale al cono, la cui baſe è vguale alla ſuperficie sferica, e l’altezza vguale al raggio, come di-moſtra Archimede nel lib. 1. de Sphęr. Cyl. dunque dato il diametro ſi troua la circonferenza del maſſimo circolo, e que-ſta moltiplicata per il ſudetto diametro dà la ſuperficie sferi-ca, baſe del cono, e queſta poi moltiplicara per la terza par-te del raggio, cioè il ſeſto del diametro dà la ſolidità del cono vguale alla sfera; perche ſe la baſe ſi moltiplicaſſe per tuttta l’altezza, ſaria la ſolidità del cilindro di baſe, & altezza vgua-le; dunque eſſendo il cono la terza parte di tal cilindro, perla 10. del lib. 12. è manifeſto, cheſi deue moltipliar ſolo per la terza parte dell’altezza. Per trouar poila ſolidità d’vn corpo regolare inſcritto; Primo, ſi troua il lato di detto corpo, ap-plicando il dia metro della sfera all’eſtremità della linea de’ corpi regolari, econ vn’altro Compaſſo ſi prenda l’interual-lo competente al corpo, che ſi cerca: e queſti due interualli applicati nella linea Aritmetica, danno in numeri homologi al diametro della sfera, illato del corpo, per eſſempio dell’ Corpi Regolari icoſaedro, che conſta di 20 faccie triangolari equilatere. Se-condo trouato il lato del triangolo equilatero ſi cerchi la ſua area, trouando ſa perpendicolare, che da vn’angolo cade nel mezzo del lato oppoſto: il che ſi fà nella linea Geometrica, applicando il lato del triangolo, ela metà di detto lato, à due numeri, de’quali neceſſariamente vno è quadruplo dell’altro, per eſſempio 48, e 12, e preſa la differenza 36 piglio l’inter-uallo 36. 36, & applico nella linea Aritmetica il lato del triangolo al ſuo numero competente trouato nella prima operatione, e poi veggo qual interuallo comprenda quella diſtanza vltimamente preſa, che è illato d’vn quadrato, a cui il quadrato del lato del triangolo è come 4 à 3, e queſto mol-tiplicato per la metà del lato del triangolo dà l’area del trian-golo. Terzo, perche il corpo iſcritto nella sfera è vguale à tante piramidi, che hanno la cima nel centro della sfera tra di ſoro vguali, per hauer le baſi, e gl’aſſi vguali, conuien tro-uare la perpendicolare, che dal centro della sfera cade nel piano del triangolo. Ora ſe il piano del triangolo s’intenda prolongato per ogni parte, taglia la sfera, e fà vn circolo, in cui è iſcritto detto triangolo. Prendaſi dunque il lato del triangolo, e nella linea de’poligoni s’applichi all’interuallo proprio del triangolo, econ vn’altro compaſſo ſi prenda il raggio del ſuo circolo, cioè il lato dell’eſſagono: e nella linea Aritmetica applicato il lato del triangolo al numero, che gli compete già trouato, veggaſi à qual numero cada il raggio del circolo. Cadendo dunque dal centro della sfera la per-pendicolare nel centro di tal circolo, è noto il raggio del cir-colo, & è noto il raggio della sfera oppoſto all’angolo retto, dunque applicati queſti due raggi alla linea Geometrica, ſi troua la proportione de’loro quadrati, & alla differenza di CAPO IX. tali quadrati applicato il Compaſſo, ſi troui poi nella linea Aritmetica la ſua quantità in parti homologhe al raggio della sfera, e per conſeguenza al lato del corpo, che ſicerca. E queſta è l’altezza della piramide triangolare. Quarto, per-che la piramide per la 7. del 12 è la terza parte del priſma, che hà l’iſteſſa baſe, e la iſteſſa altezza, ſi moltiplichi l’area trouata del triangolo per la terza parte di queſta altezza tro-uata, e ſarà la ſolidità della piramide. Finalmente queſta ſo-lidità trouata ſi moltiplichi per il numero delle faccie del cor-po regolare, che ſi cerca, e s’haurà tutta la ſolidità di detto corpo; e per conſeguenza la proportione, che hà alla sfera.

Ciò che s’è detto de’corpi, le cui faccie ſono triangolari, ſi deue proportionata mente intendere del dodecaedro, le cui faccie ſono pentagone: perche trouato il lato del dodecae-dro, che è il lato del pentagono, ſi troua il raggio del circolo, in cui capiſce detto pentagono, e diuiſo per metà il lato del pentagono in eſſo cade ſa perpendicolare dal centro, la qua-le può il quadrato, che è differenza trà il quadrato del rag-gio trouato del circolo, & il quadrato della metà del lato del pentagono: e cosi4; ſi troua l’area d’vno de’cinque triangoli iſoſceli, ne’quali ſi diuide il pentagono; onde ſi vien à cono-ſcerel’area di detto pentagono. Poi dal quadrato del raggio della sfera leuato il quadrato del raggio di detto circolo, re-ſta il quadrato della linea, che dal centro della sfera cade perpendicolarmente nel piano pentagonico, & è l’altezza della piramide, che è la duodecima parte dell’octaedro: co-me è manifeſto.

Quanto poi al cubo è manifeſto, ch’egli è alla sfera dello ſteſſo diametro con il ſato del cubo, come 21 à 11, come s’oſ-ſeruò nel Cap. 5. queſt. 2. Mà il cubo inſcritto nella sfera è Corpi Regolari tale, che il ſuo lato è di potenza ſubtripla alla potenza del diametro della sfera, per la 15. del lib. 13. Dunque prendaſi la terza parte del quadrato del diametro della sfera, e di queſta prendaſi la radice quadrata: la quale moltiplicata nel ſuo quadrato darà la ſolidità del cubo inſcritto. Cosi4; poſto il diametro della sfera eſſer 2000, il ſuo quadrato è 4000000 di cui la terza parte è 1333333 {1/2}; e la radice quaſi 1154 {1/2} è lato del cubo, che moſtiplicato per il ſuo quadrato, dà la ſoſi-dità 1537999990, doue che il cubo circoſcritto vien’ad eſ-ſere 8000000000.

QVESTIONE QVART A. Data vna sfera trouar i lati de’corpi or dinati circoſcritti.

LI corpicircoſcritti alla sfera hanno i loro piani, che toc-cano la sfera; e perciò l’altezza delle piramidi, che han-no per bale tali piani, è vguale al raggio della sfera data. Ora perche il corpo inſcritto, & il circoſcritto ſono ſimili, hanno anche ilati homologi, e li piani ſono ſimili: e per conſeguen-za le pitamidi, nelle quali ſi riſoluono, hauendo trà di loro la proportione de’ſuoi tutti, per la 15. del 5. hanno la propor-tione triplicata de’lati homologi. Mà perche le piramidi hanno le baſi ſimili, queſte baſi hanno la proportione dupli-cata de’lati homologi; e perche le piramidi hanno trà diſe la proportione compoſta della proportione delle baſi, e del-le altezze, eſſendo le baſi nella duplicata proportione de’lati, ſeguita, che le altezze habbiano la ſteſſa proportione de’lati. Ora eſſendo data la sfera, & il ſuo raggio, habbiamo l’altez-za della piramide maggiore, che è parte del corpo circoſcrit- CAPO IX. to. Nello Stromento data la sfera habbiamo il lato del cor-poinſcritto. dunque nel modo detto nella Queſtione pre-cedente, ſi troui la perpendicolare, che dal centro della sfera cade ſul piano del corpo inſcritto. E poi facciaſi, come la perpendicolare trouata, allato del corpo inſcritto, così il ſe. midiametro della sfera al lato del corpo circoſcritto, che ſi cerca.

Di quì è manifeſto, che hauendo ſe piramidi ſudette la proportione triplicata de’lati delle baſi, cioè la triplicata del-l’altezze, anche il corpo inſcritto, & il circoſcritto hanno la, proportione triplicata della perpendicolare dal centro della sfera sù la faccia del corpo inſcritto, al ſemidiametro della ſteſſa sfera; e così conoſciuta detta perpendicolare, & il rag-gio della sfera, e preſi i loro cubi, queſti daranno la propor-tione delcorpo inſcritto, al circoſcritto, nella ſteſſa sfera.

QVESTIONE QVINT A. Come dato vn corpo regolare ſi trasformi in vn’altro, che gli ſia vguale.

SIa dato vn’icoſaedro, e ſi voglia far’vna piramide à lui vguale. Come s’è detto nella Queſt. 3. ſi troui la pro-portione dell’icoſaedro, e della piramide inſcritti nella ſteſſa sfera. Dipoinella linea delli corpi regolari applicato il lato dato dell’icoſaedro all’interuallo 20. 20, ſi prenda il lato del-la piramide nella ſteſſa sfera all’interuallo 4. 4. E finalmente nelle linee cubiche s’applichi queſto lato della piramide all’ nteruallo d’vn numero, à cui ſia vn’altro numero di dette lineenella proportione, che ſi trouò eſſere l’icoſaedro alla Corpi Regolari piramide; perche l’interuallo di quell’ altro numero darà il lato della piramide, che alla piramide inſcritta nella ſteſſa sfera con l’icoſaedro hà la proportione, che l’iſteſſo icoſaedro hà alla piramide ſeco inſetitta; Dunque per la 7. del 5. la pi-ramide di queſt’ vltimo lato trouato è vgualle all’icoſaedro dato.

Da ciò, che quì ſi è detto, potranno ad imitatione della linea Trasformatoria de’Poligoni trouarſi ilati di tutti i cin-que corpi regolari, & il diametro della sfera, i quali corpi ſiano tra di ſe vguali; onde ſi potriano ſegnare nella ſteſſa linea de’corpi regolari, mà tirata (non così à trauerſo, come per più diſtintione ſi è fatto nella figura poſta alla pag. 164.) per il lungo de’lati dello Stromento come l’altre linee, acciò così rimanendo le diſtanze delle miſure notate alquanto maggiori, vi ſi poſſano con diſtintione ſegnar i punti, che cor-riſpondono alli lati de’corpi, che ſi vguagliano. Nel che ſi deuono auuertire due coſe: la prima è, che queſti punti no-tati per l’vguaglianza ſudetta non ſi notino con inumeri, co-me ſi ſon notati li corpi inſcritti nella ſteſſa sfera, mà con la lettera capitale de’loro nomi; cioè il Dodecaedro col D, l’Icoſaedro con l’I, il Cubo col C, la Sfera con S, l’Ottaedro con l’O, e la Piramide con P. La ſeconda è, che creſcendo ilati con l’ordine, con cui quì ſi ſono annouerati, conuien. auuertire, che il maggior lato di tutti è quello della Pirami-de, ò Tetraedro: e così queſto deue metterſi nel fine della linea, ò più à baſſo, ò alquanto più ſopra del punto, doue è notato il diametro della sfera per li corpi inſcritti: altrimen-ti ſe à ciò non ſi haueſſe il douuto riguardo, correrebbe peri-colo, che non vi foſſe luogo per il lato della Piramide, che douria eſſere più lungo ditutta la linea tirata ſul lato dello CAPO IX. Stromento. Perciò auuertaſi di metter il diametro della Sfe-ra notato con la lettera S, come ſi è detto, circa li trè quinti di tutta la linea AP, ouero altra più lunga tirata ſul lato dello Stromento; perche in tal modo viſarà luogo per il lato della Piramide: eſſendo, che li lati de’corpi vguagliati ſono proſ-ſimamente nella proportione, che quì metto per facilità de gli artefici, che voleſſero valerſi delli numeri per far la ſudet-ta diuiſione, per trasformar vn corpo in vn’altro vguale.

# # Lati de’ corpi vguagliati. Piramide # 100. Octaedro # 63---Sfera # 61---Cubo # 49. Icoſaedro # 37. Dodecaedro # 24+ Quadratrice de’Segmenti del Circolo
CAPO X. Come ſi poſſa diuidere vna linea, che ſerua per quadrare tutti i Segmenti del Circolo, e figure inſcritte: & vſo diqueſta linea Quadratrice.

ESſendoſi queſto opuſcolo ſtampato alcuni anni ſono, ec-co mi capitan’in mano le Operationi del Compaſſo Geometrico del Galilei; & all’Operat. 31. trouo vſarſi da lui certe linee, che chiama Aggiunte, e ſeruono à riquadrare i Segmenti del Circolo, e per conſeguenza anche le figure inſcritte al Circolo benche Trapezie, cioè à ritrouar vna li-nea, che fatta lato d’vn quadrato, darà vn’area vguale al pro-poſto Segmento, ouero alla figura rettilinea, ò miſta, che ſia di linee rette, e di curue circolari. Mi pare vtile queſta linea, perciò in queſta ſeconda impreſſione aggiongo quì la ſua de-ſcrittione, & vſo, à fine che chi haueſſe alcuno Stromento for-mato à ſo miglianza di quello del Galilei, ſappia valerſene, & intenda come ſia fatta la diuiſione dital linea, la quale io chiamo Quadratrice; eſſendo che dà li lati de’quadrati vguali alli Segmenti di circolo propoſti.

Primieramente è neceſſario determinare la lunghezza del-la linea da tirarſi ſul lato dello Stromento; e queſto ſi farà tro-uando la linea, ilcui quadrato ſia vguale al ſemicircolo, che ſi ſuppone eſſer il maggior delli ſegmenti, che ſi notano nella linea. L’area dunque del ſemicircolo è vguale al rettangolo fatto dal Raggio, e dalla quarta parte della circonferenza: perciò inteſo iſ diametro eſſere 200000, la circonferenza è 628318; ela quarta parte 157079 moltiplicata per il Rag- CAPO X. gio 100000. darà l’area 15707900000: ſa radice quadra-ta di queſto numero è 125331 di quelle parti, delle quali il Raggio è 100000. Dal che ſi vede, che tutta la linea tirata dal centro deue in maniera diuiderſi, che delle cinque parti di tutta; le quattro par- ti cominciando dal centro ſi diano al Rag-gio, e tutta ſarà il lato del quadrato vgua-le al ſemicircolo: Perciò prendaſi A *** 100, & A ◻ 125 {1/3} perche poi sì come l’interuallo *** *** ſarà il Raggio, così l’in-teruallo ◻ ◻ ſarà il lato del quadrato vgua-le al ſemicircolo di quel Raggio.

Fatto queſto, ſi deue determinare in quante parti vguali ſi vuole diuidere l’al-tezza del ſemicircolo, la qual è vguale al Raggio, per hauer con ciò le diuerſe altezze di varj ſegmenti. Eſſendoche l’i-ſteſſa linea A ***, che ſi è poſta raggio d’vn ſemicircolo, può in vn’altro circolo maggiore eſſere la metà della corda d’vn’ arco minore del ſemicircolo, e perciò l’al-tezza del ſegmento ſarà minore di A ◻. Il Galilei la diuiſe in 20 parti vguali, onde non ne ſegnò ſe non 18, perche l’vltime due cadeuano nel gruppo dello Stromen-to. Veroè, che ſe la linea foſſe aſſai lun-ga, ſi potria la parte A *** diuidere in maggior numero di parti; mà auuertaſi, che poſſano eſſer i punti ſenza confuſio-ne. Qui per chiarezza maggiore ſi è fat- Quadratrice de’Segmenti del Circolo ta la diuiſione in 20 parti, e dal modo, che in queſte ſi ado-prarà, ſarà manifeſto ciò, che douria pratticarſi in qualunque altra diuiſione. Solo auuertaſi, che il ſegno ***, e linumeri ſi mettono dalla parte di fuori della linea, perche nell’iſteſſa linea ſi deuono far le altre diuiſioni, che ſeruano per ilati de’ quadrati corriſpondenti, & inumeri ſi metteranno dalla parte di dentro.

Ora per intender il modo da tenerſi in tro-uare l’ aree di ciaſcun ſegmento, la metà del-la cui corda ſia vguale al Raggio A *** dello Stromento, e le altez-ze ſiano differenti ciaſ-cuna per vna ò più ven-teſime parti del Rag-gio di che manchino; Conſideriſi la preſente figura, nella quale CD è corda del ſegmento C O D A, e la medeſima linea era diametro del circolo mi-nore già ſtatuito, e così la meta della corda ſudetta AD è 100000. Sia altezza del ſegmento la perpendicolare OA, la quale s’intenda prolongata ſin alla circonferenza in B; e perciò OB è diametro del circolo, eſſendo che paſſa per il centro, come quella, che taglia CD per mezzo ad angoli ret-ti; come ſi caua dalla terza del libro terzo. Dunque DA è media proportionale tra OA, & AB per la 13. del lib. ſeſto, e così eſſendo nota la prima OA altezza del ſegmento, e la CAPO X. ſeconda, AD metà della corda, ſi verrà in cognitione della terza AB. Sia dunque OA 19 di quelle parti delle quali ne ſono 20 in AD: ſi che diuiſo il quadrato di AD 100000. 00000. per OA 95000, il quotiente darà AB 105263; à cui aggionto AO 95000, tutto il diametro OB è noto 200263; e queſto diuiſo per mezzo dà il Raggio OI 100131 dal qual Raggio leuata l’altezza del ſegmento OA 95000, rimane AI 5131 altezza perpendicolare del triangolo CID, che dourà leuarſi dal ſettore I C O D, per hauere la quantità del ſegmẽto dato. Dũque il triangolo CID ſarà 513100000, vguale al rettangolo fatto dal perpendicolo IA, e da A D me-tà della baſe CD.

Ora perche il Settore ſi fà dal Raggio, e dalla metà dell’ arco, perciò conuien inueſtigare la metà dell’arco COD, cioè l’arco O D, che è miſura dell’angolo OID. Mà perche nel triangolo rettangolo D A I è noto il lato D A 100000, & il lato AI 5131, prendaſi queſto numero come Tangente dell’ Angolo A D I, e nella tauola delle Tangenti ſi troua corri-ſpondere à gr. 2. 5' 6 {1/4}; perilche ſi notifica il ſuo complemen-to quantità dell’angolo DIA, e dell’arco OD gr. 87. 3’{3/4}.

Notificata la quantità dell’arco OD in gradi, reſta ridurla à parti ſimili alle particelle del ſuo Raggio OI. E perche in ogni circolo la proportione del Raggio alla ſemicirconferen-za è come 100000 à 314159, facciaſi il terzo termine dell’ analogia il Raggio OI già trouato 100131, e ſarà il quarto termine 314570 ſemicirconferenza del circolo, di cui è Rag-gio OI. Il che fatto inſtituiſcaſi queſta ſeconda analogia: ſe gr. 180 danno particelle 314570, che daranno gr. 87. 3' {3/4}? e trouaremmo particelle 152151, che ſono l’arco O D. Mol-tiplichiſi queſt’arco OD trouato per il Raggio IO, e ſarà tut- Quadr atrice de’ Segmenti del Circole ta la quantità del Settore ICOD 15235031781: dal Settore ſi leua l’area del triangolo CID 513100000, & il reſiduo 14721931781 èla quantità cercata del ſegmento dato CO DA. Queſto numero ſi accorci delle due vltime figure 81, e dal reſto ſi caui la Radice quadrata 121. 33. nella quale le due vltime figure 33 ſi ſon ſeparate con vn punto, per ſigni-ficare, che di quali 100 partiè la metà della corda del ſeg-mento dato, di tali 121, e di più 33 centeſime, cioè{1/3} deue eſſere la linea, il cui quadrato ſia vguale al dato ſegmento. E così di tal lunghezza è A 1 de’numeri interiori in propor-tione di A *** come 100.

Con queſto metodo ſi trouano le altre linee quadratrici de’ ſegmenti, che hanno minor altezza: e così nell’ anneſſa Ta-uoletta nella prima colonna ſi mettono per ordine li ſegmen-ti, come ſon notate le ſue altezze nella linea dello ſtromento cominciando dalli più alti, e così il primo hà pet altezza {19/20}, il ſecondo ne hà 18 venteſime, e così per ordine, come di-moſtra la ſeconda colonna. Il reſtante è chiaro dal titolo di ciaſcuna colonna. E finaſmente l’vltima colonna contiene le Radici abbreuiate del quadrato vguale all’ area del ſeg-mento, poiche queſte ſon quelle, ehe deuono notarſi nella linea Quadratrice dello Stromento; e le due vltime figure ſeparate col punto, dinotano le parti centeſime d’vn’ intiero; acciò ſi vegga quel che ſi deue aggiongere all’ intieri: così al numero 6 interiore deue eſſere A6 parti 100. 95, cioè pochiſ-ſimo meno di parti 101 delle quali A *** è 100.

Dalla conſtruttione di queſta linea Quadratrice ſi rende manifeſto il ſuo vſo: eſſendoche A *** e la metà della corda d’vn legmento: A 3, per eſſem pio, de’numeri eſteriori è l’al-tezza del ſegmento, & A 3 de’numeri ntieriori è la linea, che Quadratrice de’S enti del Circolo. CAPO X. dà vn quadrato vguale à quel ſegmento. enti del Circolo. CAPO X. dà vn quadrato vguale à quel ſegmento. Quadratrice de’S enti del Circolo. CAPO X. dà vn quadrato vguale à quel ſegmento. Dunque dato qua-lunque ſegmento di circolo, la metà della ſua corda ſi appli-chi all’interuallo *** ***: poi ritenuta l’apertura medeſima dello Stromento ſi veda à che interuallo delli numeri eſteriori capiſca l’altezza data del ſegmento, e ſia per eſſempio alli punti 3. 3. eſteriori; perciò prendendoſi l’interuallo 3. 3. delli numeri interiori ſi haurà la linea, che dà il quadrato vguale al dato ſegmento.

Ordine de’ Segmenti # Altezza de’Segmenti # Metà dell’ Angolo \\ del \\ Settore # # # In parti de # # Gr. M. # Perpen- \\ dico. del \\ Triang. # Raggio \\ del \\ Circolo # 1 # 19 # 87 # 3 {3/4} # 5131 # 100131 # 1 2 # 18 # 83 # 58 {1/2} # 10555 # 100555 # 1 3 # 17 # 80 # 43 {3/4} # 16323 # 101323 # 1 4 # 16 # 77 # 19 {1/6} # 22500 # 102500 # 1 5 # 15 # 73 # 44 {2/5} # 29166 # 104166 # 1 6 # 14 # 69 # 59. # 36428 # 106428 # 1 7 # 13 # 66 # 2 {6/7} # 44423 # 109423 # 1 8 # 12 # 61 # 55 {2/3} # 53333 # 113333 # 1 9 # 11 # 57 # 37 {1/3} # 63409 # 118409 # 1 10 # 10 # 53 # 7 {4/5} # 75000 # 125000 # 1 11 # 9 # 48 # 27 {1/3} # 88611 # 133611 # 1 12 # 8 # 43 # 36 {1/6} # 105000 # 145000 # 1 13 # 7 # 38 # 34 {5/6} # 125357 # 160357 # 1 14 # 6 # 33 # 24 # 151666 # 181666 # 1 15 # 5 # 28 # 4 {1/3} # 187500 # 212500 # 1 16 # 4 # 22 # 37 {1/6} # 240000 # 260000 # 1 17 # 3 # 17 # 3 {2/3} # 325833 # 340833 # 1 18 # 2 # 11 # 26 # 495000 # 505000 # 1 # # # # ali la metà della corda è 100000. # Area \\ del \\ Settore # Area \\ del \\ Segmento # Radici quara- \\ te abbreuiare. 1 # 15235031781 # 14721931781 # 121.33 7 # 14819494235 # 13763994235 # 117.32 2 # 14465074126 # 12832774126 # 113.28 9 # 14177697500 # 11927697500 # 109.21 2 # 13964702292 # 11048102292 # 105.10 8 # 13835427144 # 10192627144 # 10095 7 # 13802288951 # 9359988951 # 96.74 5 # 13882499169 # 8549199169 # 92.46 3 # 14100498947 # 7759598947 # 88.08 1 # 14488875000 # 6988875000 # 83.59 5 # 15097374945 # 6236274945 # 78.97 6 # 16000170000 # 5500170000 # 74.16 7 # 17314867789 # 4779167789 # 69.13 0 # 19238429400 # 4071829400 # 63.81 4 # 22124225000 # 3374225000 # 58.08 3 # 26687180000 # 2687180000 # 51.83 0 # 34591141170 # 2007841170 # 44.80 7 # 50892385000 # 1392385000 # 37.31
QVESTIONE PRIMA. Se due Circoli diſuguali ſi tagliano, come ſi troui la quantità dell’area, in cui communicano, e la lunula che reſta.

HAbbiaſi riceuuta ſopra vna carta la ſpecie optica dell’ Ecliſſe del Sole, e ſia ADB il termine dell’oſcuratione, e vogliaſi ſapere, quanta ſia la parte del diſco Solare oſcura-ta, e coperta dalla luna. Tiriſi alli punti A & B, doue le cir-conferenze ſi tagliano, la corda A B, e queſta diuiſa per mez-zo in F ſia tagliata dalla perpendicolare DC: Quindi la metà della corda A B, cioè F B, ſi applichi nelle linee Quadratrici all’interuallo *** ***, poi preſa l’altezza FD veggaſi à quall’interuallo de’nume-ri eſteriori ella capiſca; & alli numeri interiori corriſpondenti ſi haurà la li-nea del quadrato vguale al ſegmento A D B F.

Similmente preſa la altezza FC, & applicata alli numeri eſteriori, doue capiſce, ſi vedrà qual interuallo debba Quadratrice de’Segmenti del Circolo pigliarſi de’numeri interiori per hauer la linea del quadrato vguale al ſegmento ACBF. Hauute queſte due linee de’ quadrati vguali alli due ſegmenti, conforme alla Queſt 5. del capo 3. ſi trouarà il lato d’vn quadrato vguale à tutti due li ſu-detti quadrati, cioè à tutta la parte oſcurata ADBCA. E que-ſto, che ſi è detto dell’Ecliſſe del Sole, deue intenderſi anche di quello della Luna, che cade nel cono ombroſo della Terra, come è manifeſto.

Et acciò qualche principiante non ſtimaſſe difficile l’haue-re queſte linee, cioè la corda AB, e le altezze FD, FC, à ca-gione del moto, che fà la ſpecie optica del Sole, ò della Luna ſopra il piano, doue ſi riceue; ſappia che baſta notare con vn punto li due termini A e B, che ſon manifeſti, e ſubito ad ar-bitrio notare vn punto, per eſſempio 1 nel giro dell’ombra, & vn’altro punto arbitrario nelgiro dell’imagine lucida, per eſſempio S. Poiche hauuti queſti punti ſarà facile con ſuo agio finire l’imagine circolare, e trouare i centri delli due cir-coli; eſſendo che perla 25. del lib. 3. e la quinta del lib. 4. per li tre punti S A B ſi tira il circolo, il dicui centro ſi troua O, e perli trè punti A I B ſimilmente ſi tira il circolo, il dicui cen-tro ſitroua V. E di queſta maniera ſarà facile trouare il dia-metro del circolo, da cui ſi deue cauare la parte oſcurata ADBCA.

Per vedere quanta ſia la parte oſcurata di tutto il diſco lu-minoſo, prendaſi il diametro del diſco luminoſo, e nelle linee Geometriche ſi applichi all’interuallo 14. 14, e ritenuta quel-l’apertura dello Stromento prendaſi l’interuallo 11. 11. poi-che queſto è il lato del quadrato vguale à tutto il circolo, il cui diametro ſi è preſo. Di poi ritenuta pure l’iſteſſa apertu-ra, nelle medeſime linee ſi vegga, doue capiſca la linea tro- CAPO X. uata lato del quadrato vguale alla parte oſcurata ADBCA, & il numero corriſpondente à queſto interuallo paragonato con 11, moſtrarà la proportione di detta parte oſcurata al circolo intiero: onde la differenza ſarà la quantità della par-te ancora luminoſa: e così ſarà quadrata anche la lunula ASBDA.

Di quì ſi vede, che ſia meglio compire tutto il cerchio quando ſia data vna ſunula, in cui tirata la corda, che vniſca le punte eſtreme, e queſta diuiſa per mezzo da vna perpen-dicolare, veniſſe l’altezza maggiore della metà della ſudetta corda; perche ſaria ſegno, che il ſegmento ſia maggiore del ſemicircolo: come ſe la ſunula data foſſe AGBDA, trouiſi il centro O del circolo eſteriore, e ſi compiſca il circolo con l’aggionta dell’arco ACB: poiche trouata, come ſopra, la quantità della parte ADBCA, e leuata, come ſi è detto dal circolo intiero, rimarrà la cercata quantità della lunula AGBDA.

Mà ſe l’altezza della perpendicolare, che cade in mezzo della corda, che vniſce le punte eſtreme della Lunula data, ſarà minore della metà di detta corda, ſarà ſegno, ch’il ſeg-mento è minore del ſemicircolo: tale ſarebbe la lunula SGE LS. Tirata la corda SE, diuidaſi per mezzo in H dalla per-pendicolare GH; così ſi hanno due ſegmenti ſull’iſteſſa corda, l’altezza del minore è H L, quella del maggiore è H G. Dun-que applicata HE all’interuallo *** ***, conforme alle due al-tezze HG, HL ſi trouino le linee de’quadrati vguali alli ſeg-menti predetti: Quindi per la Queſt. 6. del capo 3. nelle linee Geometriche ſi troui la differenza di queſti quadrati, e la li-nea, il cui quadrato è vguale à tal differenza, darà il quadra-to vguale alla lunula SGELS.

Quadratrice de’Segmenti del Circolo
QVESTIONE SECONDA. Dato vn trapeZio in vn Circolo, e ſegmento di circolo, trouare la ſua quantità.

NOn tuttili trapezj ſon tali, che poſſa loro circoſcriuerſi vn circolo; perche i quadrilateri deſcritti in vn circo-lo hanno gli angoli oppoſti vguali à due retti per la 22. del lib. 3. Onde à queſti ſoli è riſtretta la preſente Queſtione. Sia dato il Trapezio ABCD nel ſegmento circolare AOD. Pri-mieramente diuidaſi in mezzo nel punto Elacorda AD, & alzata la perpendicolare EO, cerchiſi nel modo detto in queſto Capo la li-nea, che dà il quadrato vguale al ſegmento AODEA. Dipoi ciaſ-cheduno de gl’altri lati del Trape-zio, i quali ſono corde di particolari ſegmenti, ſimilmente ſi diuidano per mezzo, e ſi habbiano dalle perpendicolari le altezze delli ſegmenti. E con quelle corde, & altezze nel modo predetto ſi trouino i quadrati vguali à ciaſcun delli trè ſegmenti. Queſti trè quadrati minori ſi vniſcano in vn ſol quadrato, per la Queſt. 5. del capo 3. e queſto quadrato ſi le-ui dal quadrato vguale à tutto il ſegmento AODEA, per la Queſt. 6. del capo 3. & il quadrato vgualle alla differenza, che rimane è la quantità del Trapezio propoſto.

Queſto, che ſi è detto del modo di trouare l’area de’Trape-zj inſcritti nel circolo, deue intenderſi dell’ altre figure m ol-tilatere, ò ſiano dilati vguali, ò diſuguali, trouando le linee CAPO X. de’ quadrati vguali alli particolari ſegmenti, e queſti quadra-ti vniti leuandoli dal quadrato vguale à tutto il ſegmento, che capiſce tutta la figura; poiche la differenza che reſta è la cer-cata quantità della figura propoſta.

QVESTIONE TERZA. Dato vn ſegmento di circolo, ò troppo grande, ò troppo piccolo, come ſi debba operare per trouar la linea, che dia il quadr ato vguale al ſegmento.

ALle volte occorre, che ſia propoſto vn ſegmento con la corda, ò con l’altezza così piccola, ò così grande, che non ſi poſſano commodamente applicare à gl’interualli della linea quadratrice, perciò ſarà neceſſario nelle troppo piccole valerſi delle moltiplici, e nelle troppo grandi ſeruirſi d’vna parte aliquota; perche poi la linea trouata nella ſteſſa proportione ſi ſminuiſce, con cui l’altre ſi accrebero, ò ſi ac-creſce, ſe l’altre furono ſminuite. Così ſe le miſure del ſeg-mento furono raddoppiate, ſi toglie la metà della linea tro-uata; ſe quelle furono dimezzate, queſta ſi raddoppia.

Mà può accadere, che ſe bene la metà della corda commo-damente capiſce nell’interuallo *** ***, l’altezza del ſegmento ſia minore di quelle, che corriſpondono à gl’interualli de’pun-ti notati eſteriormente, il che occorrerà ogni volta, che la proportione dell’altezza alla metà della corda ſarà minore d’vna decima parte di detta metà; poiche ſolamente vi ſono ſegnate 18 venteſime di tutta la A ***. Et in tal caſo non va-lerebbe raddoppiar, ò triplicare la mezzacorda, e l’altezza; perche rimanendo ſempre la medeſima proportione, non ſi Quadratrice de’Segmenti del Circolo potria trouar ſegnato alcun punto, che deſſe interuallo ſoffi-ciente all’iutento. Perciò ſi vede, che in quante più parti vguali ſi potrà commodamente diuidere la corda propoſta A *** nello ftromento, tanto maggiore ſarà ilſuo vſo, eſſendo che più dirado occorrerà hauere vn ſegmento, la cui altezza ſia molto minore; eſe il gruppo dello ſtromento impediſce ilſuogo per li punti 19. 19, forſi non impedirà per li punti 37 37; ſe tutta la linea fofſe diuiſa in 40 parti vguali. Oltre di che queſte minori diuiſioni daranno più eſattamente le al-tre altezze de’ſegmenti.

In caſo però che ſi faceſſero queſte più minute diuiſioni, deue auuertirſi, che caderanno alle volte i punti delli numeri eſteriori, e delli interiori, così vicini, che ſi dubitarà, à quali numeri eſſi appartengono. Perciò io conſigliarei, che alla linea Quadratrice ſi tiraſſe parallela dalla parte difuori vn’al-tra linea vicina, alla quale dalli punti delle parti vguali ſi tiraſ-ſero lineette, poiche tali punti, da quali vſciſſero tali lineette traſuerſali, ſi riconoſcerebbero per appartenenti alli numeri eſteriori; e così alli numeri interiori apparterebbono gli al-tri punti, dalli quali non vſciſſero ſimili lineette, e ſi togliereb-be il pericolo di prender vn punto per vn’altro vicino.

Quando dunque l’altezza del ſegmento è minore della de-cima parte della metà della corda, trouiſi la loro proportio-ne, come ſi diſſe alla Queſt. 5. del capo 2, e ſtatuita la mezza corda come 100000, ſi faccia l’altezza data del ſegmento à queſto numero nella proportione trouata: così trouata la proportione della mezza corda all’altezza eſſere di 12 à 1, diuidaſi 100000 per 12, eſarà l’altezza 8333. dipoi con queſta miſura ſi operi nella maniera adoperata in queſto ca-po per trouare le quantità de’lati del quadrato da notarſi sù CAPO X. lo ſtromento (il che quìnon fà biſogno di replicare) e cosi ſi haurà cognitione di quel piccoſo ſegmento.

QVESTIONE QVART A. Data vna portione di Circolo trouare la ſua grandezza in miſura determinata.

SOno alle voſte date alcune portioni circolari, che non ſono deſcritte in carta da poterſene traportare le linee con il Compaſſo; perciò date le loro miſure, ſi trouano linee nella ſteſſa proportione, e con quelle ſi opera sù lo Stromen-to nel modo detto. Sia, per cagione d’eſempio, data nella parte ſuperiore d’vna porta, che tondeggia, vna portione circolare, e ſi vuol ſapere di quante braccie, ouer oncie, qua-drate ſia quello ſpatio.

Prendaſi la miſura della larghezza, che ſia braccia 5, e del-l’altezza, che ſia braccia vno, & oncie noue: la metà della corda è braccia 2 {1/2}, cioè oncie 30, e l’altezza è oncie 21. Nelle linee Aritmetiche con due Compaſſi prendanſi due interualli, che habbiano la ſteſſa proportione di 30 à 21; e ſiano 100. 100, e 70. 70. le quali lunghezze quanto ſi pren-deranno maggiori, tanto più eſatta riuſcirà l’operatione. La lunghezza, che rappreſenta la metà della corda del ſegmen-to circolare, ſi applichi nelle Quadratrici all’interuallo *** ***, e l’altra che rappreſenta l’altezza, ſi applichi alli punti de’nu-meri eſteriori doue capiſce, e ſarà all’interuallo 6. 6. Perciò ritenuta l’apertura ſteſſa dello Stromento, con queſto mede-fimo Compaſſo allargato ſi prenda nelli punti de’numeri in-teriori l’interuallo 6. 6. Poſcia ritornando alle linee Aritme- Quadratrice de’ſegmenti del Circolo tiche, di nuouo ſiapplichi il primo Compaſſo all’interuallo 100. 100, eveggaſi doue darà l’apertura di queſto ſecondo Compaſſo, che ſarà alquanto maggiore; e ſi trouarà eſſere 101, ſe il primo Compaſſo ſi applicarà alli punti 50. 50, per-che il ſecondo caderà nel 50 {1/2}. 50 {1/2}. Ora dicaſi, ſe la mezza corda 100 dà la linea 101, il cui quadrato è vguale al ſegmen-to, vna linea di oncie 30 darà vna linea di oncie 30 {3/10}; il cui quadrato {91809/100} ſarà l’area di detta portione circolare data, cioè oncie quadrate 918: e perche ogni braccio quadro con-tiene oncie 144, la ſua area ſarà braccia 6, oncie 54, cioè braccia 6 {3/8} di miſura piana.

Mà ſe miſurando il ſegmento propoſto, ſi trouaſſe l’altez-za eſſere maggiore della metà della larghezza, ſaria ſegno, che quel ſegmento foſſe maggiore del ſemicircolo: & in tal caſo conuerrebbe trouare l’altezza dell’altro ſegmento mi-nore, e con quella ſi operarebbe nel modo ſodetto, trouan-do la quantità di quel ſegmento minore; e queſta leuata dal-la quantità di tutto il circolo, il reſiduo darebbe la grandez-za del propoſto ſegmento. Per trouar dunque l’altezza del ſegmento minore, facciaſi come l’aſtezza data D C alla C B metà della data larghezza, così C B à C E: e queſta terza pro-portionale, trouata per la Queſt. 7. del capo 3. è il reſiduo del diametro del Circolo, altezza del ſegmento minore. Siche applicata C B all’in-teruallo *** ***, e C E all’interuallo de’numeri eſteriori doue capiſce, ſi haurà dall’interuallo de’numeri inte-riori corriſpondentila linea del qua-drato vguale al ſegmento minore. CAPO X. Or eſſendo già noto il diametro del circolo, ſi troui la linea del quadrato à lui vguale, per quello che ſi è detto nel capo 8. e dal quadrato vguale al circolo ſi leui il quadrato vguale al ſegmento minore, come per la Queſt. 6. del capo 3. & ilre-ſiduo ſarà la cercata quantità del ſegmento maggiore pro-poſto.

QVESTIONE QVINT A. Dato vn Segmento di Circolo, trouare la proportione, cheil Segmento hàad vn dato Triangolo, che in eſſo capiſce.

SIa dato il Segmento di circolo C O D B C, in cui il maſſi-mo triangolo è quello, la cui altezza è la medeſima con l’altezza del Segmẽto, cioè la perpẽ-dicolare, che cade nel mez-zo della corda C D, cioè BO. Ora ſia dato il Triangolo C A D, di cui ſi voglia ſapere, che parte ſia del ſegmento dato. Compiſcaſi il maſſimo Trian-golo COD, il quale eſſendo sù la medeſima baſe CD, hà al Triangolo CAD la proportione delli perpendicoli, cioè di OB ad AE.

Primieramente eſſendo larea del maſſimo triangolo vgua-le al rettangolo fatto da OB, e BC, trouiſi tra queſte due linee la media proportionale, eſia H, per la Queſt. 8. del capo 3. & il quadrato diqueſta linea H ſarà vguale al detto Triango-lo maſſimo COD, perla 17. del lib. 6.

Quadratrice de’Segmenti del Circolo

Dipoi nelle linee Quadratrici di queſto capo ſi applichi BC metà della corda alli punti *** ***, e l’altezza BO ſi troui ne gl’interualli de’numeri eſteriori, poiche all’interuallo de’ numeri interiori corriſpondenti ſi haurà la linea I, che dà il quadrato vguale al ſegmento dato. Si che il dato ſegmento di circolo al Triangolo maſſimo che capiſce, hà la proportio-ne del quadrato di I al quadrato di H, cioè la duplicara pro-portione di queſta ſeconda linea I trouata, à quella H, che in primo luogo ſi trouò. Dunque cerchiſi, per la Queſt. 7. del capo 3, à queſte due la terza proportionale K; & il ſegmen-to al Triangolo maſſimo hà la proportione della linea I alla linea K.

Finalmente per la Queſt. 3. del capo 2. ſi faccia come B O ad EA, così K ad L: onde neſiegue, perl’ 11. del lib. 5, che il triangolo C O D al triangolo C A D ſia come K ad L. Dun-que il ſegmento del circolo al Triangolo C O D è come la linea I alla linea K; & il Triangolo C O D al Triangolo C A D è come la linea K alla linea L: dunque perla 22. del libro 5. ſaràil dato ſegmento del circolo al triangolo dato C A D in-chiuſo, come la linea I alla linea L. Perciò volendoſi ſaper in numerila proportione, ſi portino le dette due linee I, & L sù le linee Aritmetiche; e gl’interualli, ne’quali capiranne, daranno i numeri, che eſprimono la cercata proportione del ſegmento al triangolo dato in eſſo.

CAPO VLTIMO.
Come ſi poſſano con gran facilità fabricare molti Compaſsi di proportione altri grandi, altri piccoli.

DAlle coſe dette in tutto queſto Trattato della diligen-za, con cui deuono farſi le diuiſioni delle linee de-ſcritte (alcune delle quali non ſi può negare, che ricercano molto particolar’ attentione, acciò ſiano diuiſe accuratamen-te) potrà per auuentura ſpauentarſi qualche. Artefice, te-mendo, che rieſca la fattura così lunga, e trauaglioſa, che douendoſi condegnamente ricompenſare, venga à riuſcire tanto cara, che trouandoſi pochicompratori, venga à trarne poco guadagno. Per facilità dunque de gl’Artefici, a’ quali non baſta hauerne fatto vno, ò anche d’altri, i quali voleſ-ſero con poca fatica diuidere le linee tirate nel ſuo Compaſſo di proportione, ſoggiongo per fine di queſto Trattato que-ſto Capo, iſ quale in ſoſtanza non è altro, che la prattica di quanto diſopra s’è detto.

Proueggaſi dunque l’Artefice d’vn Compaſſo di propor-tione con le regole aſſai lunghe, ſopra delle quali ſiano tira-te dal centro varie linee rette nell’vna, e nell’ altra faccia, e queſte linee diuida nella maniera, che habbiamo moſtrato, ne ſtimi alcuna diligenza ſuperflua, ne perduto il rempo, che v’impiegarà, à fine, che le diuiſioni ſiano accuratiſſime; per-che fatta vna volta queſta fatica, non haurà più à replicarla, e gli ſeruirà per tutta la ſua vita, e de’ ſuoi figliuoli, perche queſto Compaſſo di proportione dourà ritener appreſſo di ſe, e non venderlo, per non neceſſitarſi ad vna nuoua fatica.

Occorrendo poi far vn’ aſtro Stromento vguale, ò più Fabricar Compaſsi grande, ò più piccolo del ſuo gia fatto, qual però ſi ſuppone de’ più lunghi, che ſogliano communemente farſi, ſi tirino dal centro le linee, che poiſi vogliono diuidere; e fatto que-ſto, la lunghezza di ciaſcuna linea pongaſi nell eſtremo in-teruallo della linea ſimile dello Stromento già perfettionato: poiche ritenuta quell’a pertura dello Stromento, baſterà tra-portare ciaſcun’ interuallo ſopra la linea, che ſi vuol diuidere; & in tal maniera queſta ſarà diuiſa nella ſteſſa proportione, che la linea dello Stromento maggiore. Così volendo ſe-gnare la linea metallica, per eſſempio, prendo la diſtanza dal centro dello Stromento, ſin’all’ eſtremità della linea da diui-derſi, & alargo lo Stromento già fatto, in modo, che tutta quella linea capiſca nell’vltimo interuallo della linea metal-lica PP, doue è ſegnata la pietra. Dipoi prendo l’interuallo MM per il marmo, e queſta longhezza traporto dal centro ſopra la linea che ſi diuide, nell’vno, e nell’altro braccio, e ſi ſegnarà il punto per il marmo. E così ſuſſeguentemente ne gl’altri punti CC, SS, & c. onde ſarà diuiſa la linea Metallica nel nuouo Stromento, ſecondo la proportione, con cui fù diuiſa quella del primo Stromento: l’iſteſſo s’intende di qual-ſiuoglia altra linea da diuiderſi. Nel che ſi vede quanto gran compendio di fatica ſia queſto.

Di quì ſi vede, che ſe vn’amico habbia vn Compaſſo di proportione, diligentemente fatto da buon’artefice, ciaſcuno potrà con gran facilità farſene vno da ſe, cauando da quello le diuiſioni nel modo, che s’è detto douer fare l’Artefice. On-de con molto poca ſpeſa può eſlere prouiſto d’vn buono Stromento.

Conchiuſione.

EQueſte coſe baſtino per la ſpiegatione della Fabrica, & Vſo del Compaſlo di proportione, dalle quali ciaſcu-no potrà andar inuentando altre operationi. Sì come anche puonno deſcriuerſi altre linee, nelle quali ſiano altre propor-tioni, ſecondo il piacere di ciaſcuno: come ſarebbe vna linea delle fortificationi, nella quale ſi ſegnaſſe la proportione delle parti di eſſa, cioè la capitale, & il fianco del baloardo in cia-ſcuna fortezza di più angoli, ſupponendoſi la mezzagola, & il fianco vguali al ſeſto di tutto il lato del poligono: & io per sfuggire la confuſione, tal linea ſegnarei, co-me nella preſente figura, pigliando per eſ-ſempio A4 per la capitale in vna fortezza di 4 baloardi, e perciò notarei al punto 4 anche la lettera C, per denotare, che è ſa ca-pitale, e poi il fianco del baloardo di tal for-tezza notarei AF. Dal che ne verrebbe, che data vna fortezza di 4 baloardi da deſcri-uerſi, tagliato per mezzo l’angolo con vna capitale indefinita, ſi prenderebbe il ſeſto del lato del poligono fortificabile, e queſto applicato all’interuallo FF, che è tra il 4, & ilcentro A, l’interuallo CC, che è di rimpetto al 4, daria la quantità della capitale determinata. Per la fortezza poi di cinque baloardi hauuta ſi la proportione della capitale, e del fianco per mezzo del calcolo, prenderei dal centro A tal di-ſtanza per A 5, la quale foſſe la capitale del baloardo dital fortezza, che prendendoſi il fianco proportionato AF, cadeſ-ſe tra il punto ſegnato 5, & il ſegnato 4; perche in tal modo Conchiuſione. queſte lettere CF, ſignificarebbono la capitale, & il fianco del baloardo di fortezza di cinque baſtioni. L’iſteſſo dico in or dine ad altri punti per fortezza di più baloardi. A me poi pìace più ſegnar il fianco, e la capitale, perche con queſteſi può anche operare per la fortificatione irregolare, quanto lo permetterà la ſteſſa irregolatità.

Ciò che per modo d’eſſe m pio s’è detto della linea delle fortificationi, con notare queſte due ſole diuiſioni, s’intenda anche, ò notando altre proportioni d’altre linee appartenen-ti alla fortificatione, ò pur anche altre linee d’altre coſe, e proportioni, ſecondo il piacere di ciaſcuno. Così perche ſpeſſo può venir’ occaſione di tagliar’ vna linea nella media, & eſtrema ragione, potrebbeſi nello Stromento tirar’ vna li-nea nell’vno, e nell’ altro braccio, la quale à queſt’ effetto ſer-uiſſe, tagliandola con queſta proportione, poiche qualſiuo-glia linea data applicata all’eſtremo interuallo, ſaria tagliata ſimilmente, prendendo l’interuallo de’ punti, ne’ quali le li-nee laterali furono così diuiſe. Se bene ſe non hai tal linea preciſamente diuiſa nello Stromento, baſterà, che applica-ta tutta la linea all’interuallo 100. 100, prendi l’interuallo 38. 38, e con queſto diuidaſi la linea data; perche il ſegmen-to maggiore 62. hà per ſuo quadrato 3844. poco maggio-re del rettangolo fatto da tutta 100, e dal minor ſegmento 38, cioè poco maggiore di 3800, come richiede cotal ſet-tione. Se tutta la linea foſſe 1000, le parti ſariano 618, e 382, & il quadrato del maggior ſegmento è 381924 poco minore del rettangolo 382000.

Mà ciò ſi fà con preciſione maggiore ſe la data linea ſi ap-plichi nelle linee che moftranole corde de gliarchi, all’inter-uallo 60. 60; poiprendaſil’interuallo 36. 36, che queſto da- Concbiuſione. rà il ſeg mento maggiore; eſſendo che il primo interuallo è la-to dell’ Eſſagono, il ſecondo è lato del Decagono deſcritti nell’iſteſſo cerchio; e dalla Prop. 9. dellib. 13. d’Euclide ſi hà il Corollario, che tagliato illato dell’Eſſagono nella media, & eſtrema ragione, il ſeg mento maggiore è il lato del Deca-gono. Che ſe ſi voleſſe, che la data linea foſſe l’vno de’ſeg-menti, e biſognaſſe farui vn’aggionta, ſi che tutta foſſe taglia-ta nella media, & eſtrema ragione, ſarà pronto il modo per la ſteſſa Prop. 9. dellib. 13. S’ella è il ſegmento maggiore, ſi applichi al 60. 60, e preſo l’interuallo 36. 36. gli ſi aggionga: per il contrario, ſe la linea data è il ſegmento minore, ſi ap-plichi al 36. 36, egli ſi aggiongerà l’interuallo 60. 60; che così tutta la compoſta ſarà, qualeſiricerca.

IL FINE.