open access
http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration
free
Automatically created from the ECHO source; ECHO version 1.0RC; Script version 2011-08-15
GRANDE opus aggredior, dicerem
etiam tua Celſitudine nõ indignum,
SERENISSIME MAGNEDVX,
ſi meis viribus abſolui poſſe credide-
rim. MAGNI GEOMETRÆ
APOLLONII Conicorum diui-
nas propè dixerim meditationes per
tot ſecula temporum iniuria nobis ablatas proprio
Marte reſtituere, Herculeus equidem labor eſt, & qui
diu plurima, eaque robuſtiſsima ingenia, aut ab in-
cœpto deterruit, aut in opere defatigauit. Audeo ta-
men auſpicijs tuis inclyte FERDINANDE; &
quod
negatum imbecillitati meę timere debueram (quam per
per tot annos domeſtica incommoda, negotia publica,
& grauiſsimæ corporis, animique ægritudines exagita-
runt) gloriæ tuæ, maximoque in Matheſim, cognotaſ-
que ſcientias, atque artes, te fauente inſtauratas, amori
ſeruatum fuiſſe confido. Ibi enim Numinis fauor cla-
riùs elucet, vbi nulla hominum virtus adeſt. In re tam
ardua conatus mei ſi felici euentu caruerint, niſi lau-
dem, profectò excuſationem inuenient. At ſi fortuna
hilari vultu votis meis arriſerit, de tuo patrocinio, ac
munificentia, pro tam illuſtri beneficio, non tantùm
hæc ætas, quæ te præſentem vnà mecum admiratur,
verùm etiam magnificè loquetur grata poſteritas. Hęc
igitur quidquid ſunt, benignè, vt ſoles, intuere. Si MI-
NIMA, quod reor, ſterilis ingenij fœtum vt foueas; ſi
MAXIMA, vt tuæ vegetę lucis prolem regalibus vlnis
accipias. Atque interim plurimos, beatoſque annos bo-
no publico viue.
Florentiæ.
Octauo Calendas Ianuarij 1658.
SER
MÆ CELS. NIS TVÆ
Humillimus, Addictiſsimus, Obſtrictiſsimus
Seruus, &
Cliens
Vincentius Viuiani.
NEMO omnium neſcit, quieruditionis aliquid deguſta-
rint, ac geometricis potiſſimùm ſtudijs animum inten-
derint, meditationes Conicas, tum antiquiſſimas eſſe,
tum ab APOLLONIO Pergæo (qui ad annos fermè
nongentos nunc ſupra mille ſub Ptolomeo Euergete
floruit) omnia ea vſquequaque fuiſſe collecta, quæ ſparſim antea in
eo genere commentati fuerant Ariſteas Geometra, Eudoxus Cnidius,
Menæchmus, Euclides, Conon, Traſideus, Nicoteles, & quod ali-
qui tradunt Archimedes etiam, ac Doſitheus, multique alijvetuſtio-
res, quorum nomina cum ſcriptis periere. Hos inter APOLLO-
NIVS, vtiliſſimam hanc, admirabilemque doctrinam egregiè illu-
ſtrauit, ampliauitque octo libris comprehenſam, vt ipſe ad Eudemum
præfatur. Id autem tam ſelici ſupra cæteros excellentia perfecit, iure
vt ab omnibus ſui æui Mathematicis MAGNVS GEOMETRA au-
dierit.
Neque illud nos fugit, ad vſque Pappi Alexandrini tempora, hos
octo libros perueniſſe, qui neceſſaria nobis Lemmata ad eorum no-
tionem conſtruxit. Eutocius quoq;
Aſcalonites Pappo iunior, pręter
commentaria in quatuor APOLLONII priores, reliquas curas in toti-
dem reliquos Anthemo promittit. Cæterùm ex quo Eutocius floruit,
annos, vt aliqui tradunt, à condita ſaluta circiter CCCCLXXX. integram librorum familiam fuiſſe viſam nemo prodidit, ſed quatuor
poſterioribus inuidioſa vetuſtate diuulſis, priores tantùm meliori con-
cordia ſuperfuiſſe creditum hactenus.
Hanc ego notitiam tacitus intra me condidi, atque iam tum, cum
ginti iam expletis, ſtatim ea cura in animo ſedit (mihi equidem vni
placere certum, ac prurienti genio obſecundare) inueſtigandi quid
APOLLONIO propoſitum in libris deperditis, & qua in parte Co-
nicæ theoriæ verſarentur. Quinti autem libri hypotheſis præcipuè
me trahebat, vbi ex prima APOLLONII epiſtola ad Eudemum, de
MINIMIS, & MAXIMIS magna ſui parte agi non ignorabatur, de-
que MINIMIS, & MAXIMIS lineis ad ipſas Coni-ſectionum peri-
pherias, referente Eutocio. Qua autem ratione, aut quid ſpeciatim
colligeretur in ipſo quinti argumento, diuinationi, & coniecturæ tan-
tùm relinquebatur. In hac ergo cogitatione defixus, ſuſceptam Spar-
tam exornare vehementiori in dies ſtudio contendebam, ac biennij
ſpatio cæmenta abundè creuer@nt hiſce mox libris condendis; noua
ſcilicet quotidie ſuccurrebant huius diuinationis occaſione, quæ cupi-
ditatem, & laborem intenderent, donec paulatim in hunc, maiorem-
que numerum aucta, ad vniuerſam de MAXIMIS, & MINIMIS per-
tractationem ſe ſe extenderint. Sed vix diuinæ huius Geometriæ au-
guſtiſſimum limen ſubieram, cum inuidis caſibus, domeſticis præſer-
tim turbamentis iactatus, pedem illinc cogor referre, indolique reſ-
ponſare; per trina iam luſtra in alias curas proiectus, quæ inuita Ma-
theſi ſuſcipiuntur. Quare, &
priuatis concoquendis negotijs diſten-
tus, & publicis auocatus, dum alia qualiſcunque operæ meæ obſequia
SERENISS. MAGNODVCI præſtare debeo, morbis ad hæc ſæpe
incurrentibus; atque incerta vſus valetudine, non hanc tantùm de
MAXIMIS, & MINIMIS ritè diſponere, ac perficere quiui, verùm
nec aliam vllam è geometricis meis commentationibus; quarum ta-
men, nec pauca ſchedulis commendaueram, vti per tempus ſubſe-
ciuum, & curis ſubtractum multiplicibus, furari induſtriam licuerat.
Id vnum ſolatio fuit, hæc cum Amicis participaſſe honeſtiſſimis, ſicu-
ti factum memini tredecim plus minus ab hinc annis: cum Amicis in-
quam, & huiuſce ſtudij amatoribus, quibuſque haud retuſum erat pa-
latum ad noua hæc veritatum ſcitamenta. Vnus vtinam, vt credere
pium eſt, tardior Diuorum Comes (cur autem inuideo?) mihi teſtis
ſupereſſet Amicorum optimus, ac ſuauiſſimus, cui nihil iam eſt, quod
pro illius meritis in me ingentibus reddam, præter grati animi inge-
nuam profeſſionem, ac ſi quid mihi erit vnquam voc (is), aut ſoni præ-
ſtantiſſimarum eius virtutum fidam omni tempore commemorationẽ
Braccium loquor Manettum, cuius laudes piaculum eſt ignorare, ſiue
generis nobilitatem, cum morum elegantia ſumma probitate coniun-
que ſpectemus; dicam cumulatiſſimè, haud vltimum inter Audito-
res Galilei Galilei: quantum Heroa nomina?
quantum Florentiæ
decus, lumen ſeculi, ingeniorum phœnicem, ſydus, Solemq; vniuer-
ſæ Matheſeos? quale dixerim numen, ac genium corrigendæ Geogra-
phię, Aſtronomię nouis phænomenis ope teleſcopij detectis illuſtran-
dæ vindicandęque Philoſophiæ, in orbis admirationem, ac poſteri-
tatis regulam natum? Ex huius officina prodiens Manettus, non ali-
ter coloratus apparuiſſe debuit. Quod vel mihi æternum incutiat ru-
borem, ac morſu pœnitentiæ aſſiduò animum lancinet, ſi tantillum
cogito profectum meum ſub eodem Præceptore Galileo, ad cuius ſa-
pientiſſimi oris dictata, laris, & menſæ, horarumque omnium com-
munionem per annos fere tres interiùs admitti contigerit.
Teſtis alter accedat, quem vocare ad officium poſſit Prætor inco-
lumem, ac præſentem (ita illum fata diu ſeruent) Illuſtriſſimus, & Cla-
riſſimus Senator Andreas Arrighettus, cum quo dudum meos hoſce
labores communicatos volui, eiuſque examini, atque emunctiſſimo
iudicio ſubmittere; vt ille non tantùm eo tempore, ſed hodie quoque
Conicas diſciplinas memoriæ feliciter recolit, quas Iuuenis attentè
excolebat, cum totus Mathematicis addictus artibus eundem Gali-
leum aſſectabatur. Atqui ob hanc eximiam laudem, ac reliquas vir-
tutes illuſtribus hodie, primæque notæ muneribus meritò in Patria
fungitur.
Ab eadem claſſe alium arceſſo, qui pro me aram tangat;
Florenti-
num Patricium Carolum Datum: illum Matheſeos, illum liberæ, in-
deprauatæq; Philoſophiæ nobilem amatorem;
cuius in ore, Græca,
Latina, Etruſca ſedet facundia; quem vnum inter pauciſſimos huiuſce
Vrbis demiror, qui & ſuæ eruditionis exemplo, &
opera, fauore, of-
ficijs in alios, genus omne bonarum artium earundemque cultores
mirificè amplectatur, ac foueat. Nouit Italia, nouit Europa homi-
nem, noſcet breui vniuerſus literatorum Orbis ex amœniſſimis do-
ctiſſimiſque lucubrationibus, quas ipſe in dies eruditiſſimè molitur.
Hic, de meis hiſce fœtibus Parente ipſo magis ſollicitus, quoties
verecundiam hanc meam, edendique moroſitatem increpuit? quoties
deſidiam, metumque exprobrauit? quoties monuit vt puſillum ali-
quod, dummodo nouum populi iudicio committerem? quoties à
multis annis refractario pudori calcar hortationis impegit, vt ab hoc
ſaltem Commentario de MAXIMIS, & MINIMIS periclitari famam
inciperem, quem magis affectum compoſitumque ſciebat? At ego
meum ea cunctatione paſcebam; Amicos verò cariores detinebam
noui ſubinde aliquid è meis nugis ad eorum examen afferendo.
Sed circa initium proximè elapſi Menſis Iunij, currentis anni 1658.
Ioannes Alphonſus Borellus Piſis reuerſus, qua in Vrbe, &
Academia
Clariſſimus Matheſeos Profeſſor publicè docet, Romam cogitabat.
Cauſa illi profectionis mihi hæc longiùs narrandi.
Inter cætera Auguſtæ Domus inſtrumenta, quibus SEREN.
FER-
DINANDVS II. MAGNVS ETRVRIÆ DVX, vel ad inuidiam
potentiſſimorum Regum prætiosè nobilitatur, loculi aſſeruantur Co-
dicum MM. SS.
quos è Medicea Romæ Bibliotheca magnis pridem
ſumptibus collectos Florentiam tranſtulerunt. Arabicus inter hos
comparebat latina ſupernè inſcriptione. APOLLONII PERGÆI
CONICORVM LIBRI OCTO.
_Exclamare libet populus, quod clamat oſiri_
Hunc Borello ſæpius tractare licuit, ſæpius diligenti oculo intueri.
E´ numero, ac dictinctione librorum, è collatione diagrammatum,
quæ proximè congruebant tum in Arabico, tum in prioribus quatuor,
quos antea habebamus, atque è reliquorum tandem examine, quibus
conſimilis facies, ſimiliaque lineamenta Conica, haud immeritò co-
nijciebat integros eſſe APOLLONII libros diu deploratos, diu re-
quiſitos.
Orat igitur SERENISS.
MAGNVMDVCEM, adnitenteque SE-
RENISS. LEOPOLDO FRATRE, Parente muſarum inclyto, vni-
co, atq; aureo, ſi non aurei ſeculi Mecœnate;
exorat ſibi, vt Romam
deferre liceat, tum APOLLONIVM, tum libellos alios quoſdam
geometricos, interpretem illic facilè nacturus inter Viros Propagan-
dæ Fidei, cui fidem veri detectam penitus exploratamque deberet.
Commodùm Florentiæ peregrinabantur Maronitæ nonnulli, quos
huic operæ aptos ſtatim ſenſit PRINCEPS idem LEOPOLDVS. Accerſiti coram interpretantur, vt mihi narratũ eſt.
Ex proęmio Ope-
ris, & cuiuſque libri initio, Propoſitionumque aliquot explanatione
rem ſicuti erat agnoſcunt; præter quatuor iam editos APOLLONII
libros, tres quoque proximos poſteriores adeſſe, compendij tamen
factos, neſcio cuius Arabis diligentia. Nunquam antea huc penetra-
tum, aut cognitionis tam certæ lucrifactum, quamlibet aliàs Viris, &
Arabicæ linguæ peritis, & Geometriæ conſultiſſimis ſæpe conat is
eruere: accurrante pręſertim SERENISS.
eodem LEOPOLDO,
inſtar Triptolemi ſparſis literarum, ac beneficientiæ ſeminibus, morta-
le genus quotidre altiùs demereri. Indicante autem Maronita adeſſe
Romæ, vbi per Æſtatem agere Borellus decreuerat, Abrahamum Ec-
chellenſem natione Arabem, linguarum verò orientalium peritia op-
pidò celebrem, neq; Matheſeos ignarum;
tunc idem Borellus (quan-
doque SERENISS. MAGNODVCI placuiſſet, APOLLONIVM,
ac reliqua ſcripta fidei ſuæ committere, & Abrahamo ocium foret in-
terpretandi) ſuam vltrò operam in rebus geometricis adhibere polli-
citus eſt. Satis ſuperque ſe adprobauerat Abrahami peritia, qui lin-
guarum orientalium Doctor, tunc Romæ, olim in Piſano Lyceo me-
ruerat. Nec minus ſpectata erat ſuæ SERENISSIMÆ CELSITV-
DINI Borelli præſtantia in geometricis, ac philoſophicis ſtudijs.
Non cunctanter ergo SERENISS.
MAGNVSDVX ſcripta Borel-
lo credidit, & qua ſolet auguſta ſapientia bonas artes tutari, ac foue-
re, operis aggreſſionem nutu firmat, ſuique SERENISSIMI NO-
MINIS auſpicio, ac maieſtate fundari permittit.
Hæc omnia acta ſunt intra dies octo, vel minus, quibus Borellus
Florentiæ permanſit. Ego hinc procul, cum inſigne hoc cemelium
Reipublicæ literariæ detectum. Reuerſo, ſeduli Amici ſtatim nun-
ciant, ac Borellus deinceps rem totam mihi ore confirmat, paulò an-
te quàm peteret Romam. Exultabam animo, ac plenus gaudij geſtie-
bam, fortunatum verè me ſentiens, quod hac ætate ſpirarem, cum
magnus Geometriæ ſpiritus redderetur hoc reperto theſauro.
Nec propterea ceſſabant Amici, quibus res meę cordi erant, horta-
tiones, ac ſtimulos ſubdere, vt hanc ſaltem de MAXIMIS, & MINI-
MIS lucubrationem publici iuris facerem; de qua actum eſſe omnino
videbam, tunc iam repertis APOLLONII libris; atq;
animum ab ea
prorſus auerteram tineis iam pertundenda, aut Veneris Marito do-
nanda. Rarò interim, aut nunquam auditum fatebantur, mihi ſanè
(vt illis videbatur) improſperum: non modò librum per duodecim
iam ſecula conſepultum reuiuiſci me viuo, qui eidem aliquatenus ſup-
plendo non indiligenter vacaueram; ſed &
illud damnabant qualeſ-
cunque hos labores meos delituiſſe, qui diu pridem vulgari, ante
APOLLONIVM repertum, ac ſtudioſorum manibus teri potuiſſent. Acriùs inquam inſtare Amici, neque incitamenta remittere;
vno ore
adhortari, vt properatò colligerem, diſponerem, meorumque edi-
tionem anteuerterem. Non deerant autem illis ſpecioſa acumina ad
impellendum. Quod enim ad me;
priùs fuiſſe hæc excogitata, quàm
Facilè etiam perſuadere ignarum me,
vel ipſius Arabici alphabeti, nec vnquam mihi tractatas, aut cogni-
tas noui libri figuras. Eſto aiebant me tantùm collineaſſe ad eundem
cum APOLLONIO ſcopum (quamuis latè ſe fundat mea de MA-
XIMIS, & MINIMIS ratiocinatio) non ne plures vię eandem ducunt
Corinthum? Quod ſi ab eo penitus abeam, dum plura conſector
geometrica, emolumenti inde tamen aliquid accedet literis, ac eo
ſaltim nomine, quia nouum commendabitur.
Fateor autem, mihi alioquin pertinaci deditionem hæc exprimere
incipiebant: vehementiùs tamen a criores ſtimuli aliundè ac cedentes:
ſed digito compeſce labellum.
Inter hæc Borellus ſub octaua Iunij, ni fallor, Romam contendit,
cum ſuo illo diues noui APOLLONII viatico. At ego delinita ob-
ſtinatione meis velut ad lucem diſponendis ſenſim incumbo, quod
Viris CCLL. Senat.
Arrighetto, ac Dato bona fide patefacio;
nec prę-
ſtantiſſimo Adoleſcenti Laurentio Magalotto celatum volui, inſimul
ratus, amicitiæ candori labem inferre, ſi hæc mea qualiacunque in-
uenta feliciſſimum, atque admirabile prorſus ingenium latuiſſent,
Mathemati cis non minus, quàm Philoſophicis, atque Anatomicis
ſtudijs impensè addictum; Iuriſprudentiæ ſacris initiatum;
Muſis,
quà latinis, quà Etruſcis apprimè carum; ad omnia egregia æque na-
tum, nulliſque demum equeſtrium exercitationum decoribus deſtitu-
tum, qui ingenuum, & ornatiſſimum Patricium decent, è cuius tam
clara Adoleſcentię Aurora fulgentiſſimum Virilitatis meridiem Patria
hæc meritò auguratur.
Sic pluteos, &
ſcrinia compilans mea confuſas pagellas in melio-
rem ordinem digero, aptiora huic tractatui ſeligo, atque in claſſes
partita tribus diſtinguo faſciculis.
Sed interim agrum petens Solem cogor pati noxium, &
immodi-
cum, qui febri ſtatim iniecta acutiſſima penè ad necem me afflixit; fuitque dies Iunij decimus octauus cum quindenis alijs inter meos
egritudinum faſtos, magnis februalibus nimiùm quantùm nefaſtos.
Diù inops virium omnem ſtudiorum curam abieceram: nec caput,
nec mens conſtabat paginis recenſendis, quæ multo punice, multaq;
litura indigebant, multa etiam perſcriptione; quippe adumbraueram
meditationes, & confuſanea opera, nequid interim deperiret, tan-
tummodo innueram.
Neſcio autẽ quo pacto labores hi mei SERENISS.
LEOPOLDO
ſuboluere, qui partitè mox de tota illorum ratione, ac proceſſu à me
modis publicarem. Verùm neceſſe eſſe prorſus admonuit, à nemine
ignorari diu mihi fuiſſe in pugillaribus meis hunc tractatum affectum
ante APOLLONII libros nuper detectos; ac prudenter ſuggeſſit pu-
blica teſtatione fidem confeſtim facere ſcriptis meis, quatenus ſaltim
conſtaret à me priùs detecta, atq; habita, quàm vllus Arabici APOL-
LONII apex in latinum verteretur. Adiecit ſe veritatis prædem af-
futurum vbi opus eſſet, me præter Arabicæ linguæ ignorationem nun-
quam APOLLONIVM hunc cõtrectaſſe, aut particulare quidquam
ex eo nouiſſe. Neque hac ſteterunt memoranda SERENISS.
CEL-
SIT. beneficia, vt æquiſſimæ cauſæ patrocinaretur.
Ne quà ſuſpicio-
nis labecula (ſi qui forte ſunt) parùm æquos mihi homines nutriat,
SERENISS. idem PRINCEPS videre ipſe, ac perpendere voluit
enunciata omnia, ac lineas veluti numerare, quæcunque huic tracta-
tioni inſererentur, ac ſingulis faſciculis, Mediceo ante ſigillo obſigna-
tis teſtationem inuictam his verbis propria manu exaratis inſculpere.
In primo.
Adì 8.
Luglio 1658.
furon veduti da me gli appreſſo numero quarantotto
mezi fogli di dimoſtrazioni geometriche d´ vn trattato de MASSIMI, e
MINIMI intorno alle Sezioni Coniche, di mano di Vincenzio Viuiam, fer-
mati col mio Sigillo.
In ſecundo verò.
Adì 8.
Luglio 1658.
furon veduti da me gli appreſſo numero cinquan-
totto mezi fogli di dimoſirazioni geometriche intorno à materie Coniche atte-
nenti al trattato de MASSIMI, e MINIMI, di mano di Vincenzio Vi-
uiani, fermati col mio Sigillo.
In tertio denique.
Adì 8.
Luglio 1658.
furon veduti da me gli appreſſo numero ſeſſantano-
ue mezi fogli di dimoſtrazioni geometriche d´ vn trattato de MASSIMI,
e MINIMI intorno a Problemi, e Teoremi varij, il tutto, come ne gli al-
tri faſci ſcritto in forma di bozza, di mano di Vincenzio Viuiani, fermati
col mio S gillo.
Tam ſapientis, tam inclyti, tam generoſi Principis verendo teſti-
monio probatus, fauſtoque iuſſu excitatus, quanta animi alacritate
opus aggredior, exactiori forma, atque ordine contexendum.
Roma tunc literæ à Borello vigeſima nona Iunij nunciante inter
alia, feliciter incæptam APOLLONII verſionem, cuius proxima
Hebdomade ſpecimen miſſurus foret ad SERENISS. LEOPOL-
DVM, vt illinc de vniuerſo opere ſpem egregiam conciperet. Nona
Iulij à me reſponſum, atque vnà ſignificatum quid ſtatuiſſem de meis
laboribus publico dandis, pauciſque narratum, quid, quantùmque
SERENISS. LEOPOLDVS egerit, &
qua eius ſumma benignitate,
ac præſidio ad hæc animarer. Inſimul orabam, ne quid vel minimum,
poſthac ſuper libris APOLLONII repertis ad me ſcriberet. Ijſdem
præcibus SERENISS. LEOPOLDVM adij, vt ſacrum me, atque
inteſtabilem, & omni indignum colloquio cenſeret de eadem re.
Ite-
rum Borellus ad me vigeſima eiuſdem Menſis, ſilentium paciſcens,
atque inſtitutum meum laudans (euicerant quippe Amicorum conſi-
lia, ac PRINCIPIS iuſſa) Conicas ſpeculationes typis mandandi,
diſerta ſubdens verba.
Ed io trà gli altri teſtifico, che ella non hà hauuto minima notizia di
queſti vltimi libri d´ APOLLO´NIO.
Magnis quotidie incrementis Romano ſemone, vt Romę par erat,
Grecus Auctor, nuper Arabs loquebatur. At Borellus mihi Harpo-
crates de condicto. Florentiam deinde reuertitur exeunte Octobri.
Eapſe reditus die, SERENISS.
MAGNVSDVX (qua in omnes in-
credibili humanitate ad miraculum vſque, ac diſciplinã Regnantium
vti ſolet) Borellum, me præſente, de ſilentio admonuit, donec meus
prodiret liber; atqui ille mecum inuiolatè ſeruauit, quod cum alijs
quoque ab eo factum non dubito.
His itaque in anteceſſum fide vti optima maxima expoſitis, abun-
dè oſtenſum puto, ante APOLLONIVM repertum per trina iam
luſtra meas haſce, qualeſcunque cogitationes fuiſle lucubratas. Inde
incorruptiſſimi teſtes Arrighettus, & Datus adſtruunt.
Magalottus ab
ipſa ſtatim inuentione mihi accerſitus confirmat. Arabicæ linguæ fa-
teor ſum ignariſſimus, quod mihi iniurato, vel incredulus credat Apel-
la. Neque APOLLONII poſteriores verſaſſe vnquam libros, aut
ex ijs me nouiſſe quidquam, etiam Borellus ſponſor accedit.
Poteram ſolennem ab his formam teſtandi, ex iure Quiritum exige-
re huic præfationi ſubſcribendam, ſed omnium inſtar, ac veluti pro
muro æneo veritatis, extitit mihi SERENISS. LEOPOLDI lucidiſ-
ſima aſſeueratio, cui radios ſuos Apollo ſubmittit, atque illa olim,
quæ apud Sagram de veritate concedant.
Interea non deſinam Lector quin te rogem, vt quæ hìc legeris, ijs
Expedit enim exi-
ſtimationis meæ cauſa, totam hanc facti ſeriem, quàm latiſſimè in
vulgus manare; alioquin ſilentium hìc perdet Amyclas.
Sed inhęreamus ei, quod magis intereſt;
ſi etenim eũdem, aut prę-
ter propter cum APOLLONIO ſcopum attigiſſe fors mihi dederit
(optare debeam, nec ne, equidem neſcio) nemo ſanus ignorat, quid
æra lupinis diſtent, nemo præſtantiſſimi Scriptoris ingenium, doctri-
nam, ſoliditatem, nemo tenuitatem meam, & curtam domi ſupelle-
ctilem. Ille omnium fermè, qui ante ſe de Conicis ſcripſerunt viden-
di commoditate vſus; ego illius tantùm ductu, &
auſpicijs mea hæc
exequi conabar, & prioribus quatuor eiuſdem libris, hoc eſt prætio-
ſiſſimæ veſti, niſi complementum, atque integritatem, ſegmenta, &
lacinias ſaltim adnecterem.
Quod ſi contra, vel in totum, vel ex parte ab eiuſdem APOLLO-
NII inſtituto aberrauero, non tamen erit pœnitendi prorſus laboris,
noui aliquid in eodem argumento Geometriæ Conicæ per me affulſiſ-
ſe. Neque ignoro multa, ne dicam infinita veritatum genera, admi-
randaſque MAXIMORVM, & MINIMORVM contemplationes à
me fuiſſe relictas: ſed memento benigne Lector, &
finitum omnibus,
& mihi infirmiſſimum datum ingenium;
multiſque iam annis (quod ijs
notum, qui mea norunt) partìm cum morbis, partìm cum morborum
reliquijs conflictatum, aut curis fuiſſe diſtractum alieniſſimis; cum ta-
men hæc ſtudia magnis olim Auctoribus creuerint, qui ſerenitatem,
atque ocium, fortunæ lautiori debebant, vel munijs opportuniori-
bus artes illas excolebant. Nec mirere interim ſi tot Menſes excurre-
rint, ex quo imper ata hæc editio inſtitui cæpit. Paucioribus abſolue-
batur, ſi valetudo, ac quies annuebant. Sed neque tu à me expetis
Lector, neque ego impoſſibilia capeſſo.
Vtere interim, ac ſitanti ſunt, fruere primitijs hiſce meis, quales
iamdiu ſterili in agello prouenerunt, quas tamen non ita extenuabo,
vt ſolent cæteri, qui pręfantur; ſunt enim non mea, ſed Naturæ admi-
rabilia opera, ac veritates, ſicuti admirabilis illa, ac vera ſemper eſt; ego detexi tantùm, ac geometrico ordine concinnaui.
At enim multis alijs erudita hæc inceſſit libido APOLLONII Co-
nica, qua deficiunt, reſtituendi ſupplendique. Et quidem non viles
animas, ſed mentes nobiliores, atq; eminentiſſimi nominis, comper-
tæq; auctoritatis in geometrico puluere exacuit.
Ex his Abbas Mau-
rolicus Meſſanenſis, duobus libris, quintum, & ſextum APOLLONII
tunc irrepertos ſupplere, ipſorumq; argumenta diuinare conatus eſt,
hi libri commentarijs
ſubijciuntur in quatuor APOLLONII priores. Alter fuit Claudius
Mydorgius Patricius Pariſinus, eiuſdem APOLLONII ſextum, ple-
no illo exactiſſimæ doctrinæ acumine inueſtigans, quod bini duo libri
poſtremi è quatuor hactenus à Mydorgio editis ſatis declarant. Vter-
que ſanè tam doctis laboribus magnam ſibi induſtriæ famam circum-
dedit. Non vitio tamen vllus mihi vertat, ſi ijſdem molitionibus Ado-
leſcentiæ annos ego quoq; impenderim.
Etenim ipſa de MAXIMIS
& MINIMIS ſpeculatio, quo ad me intacta penitus ad hunc diem vo-
cari poteſt, niſi quid minimum apud quintum eiuſdem Maurolici pro-
ximis hiſce Menſibus à me notatum excipiam, vti & pauca nonnulla
ſparſim poſtea à me reperta in Atlantico verè opere ſummi Geometræ
Gregorij à Sancto Vincentio è doctiſſima, ſpectatiſſima, nec vnquam
ſatis laudata SOCIETATE IESV.
Sed velim Lector antequam iſta aggrediar, illa, quæ nuper retuli,
apud laudatos Auctores adire ne recuſes; erit enim mox fortaſſe, vt
non tota temeritate me oneres.
Quæ autem fata meos maneant libellos neſcio ante veſperum.
De MAXIMIS, &
MINIMIS ago;
MAXIMA non anhelo, de
MINIMIS cum Prætore non curo; ſi vtraque componuntur, aurea
mediocritas naſcitur; hac ero contentus.
Neque indictum tandem huius libri titulum volo.
DIVINATIO-
NEM voco; verè enim ſolius diuinantis eſt, quid ſpeciatim APOL-
LONIO propoſitum fuerit aſſequi, quaue methodo, ſolo audito no-
mine de MAXIMIS, & MINIMIS.
Non ſum ego Diſcipulus Tagis,
aut Verna Sibillę; diuinaculum tamen, ac Prophetam dum ago vehe-
menter cupio, vt hi labores non tantùm in hac florentiſſima Patria
mea ſint accepti, ſed exteris quoque non iniucundi, omnino autem
Reipublicæ literariæ vtiles. Hæc ſumma votorum.
Vale.
Scribebam Florentiæ Octauo Idus Decembris 1658.
TVI
Amantiſsimus
Vincentius Viuiani.
_A_NTEQV AM inſtitutum opus aggrediamur, ſiquidem in
ipſo frequenter accider vti, proferreque affectiones propoſi-
tionum 11. 12.
ac 13.
primi conic.
non erit fortaſſe omninò
incongruum meas earundem demonſtrationes hic exhibere,
quales olim, cum primùm ad elementa conica me conuerte-
rem, aliter ac breuius vnico tantùm Theoremate concludi poſſe animaduer-
ti, eaſque proponi enunciationibus, vtirebar genuinis, ac proximis ad trium
coni-ſectionum, Parabolæ, nempe, Hyperbolæ, & Ellipſis laterum inuen-
tionem. Verùm antea mihi detur, vt quibuſdam morem gerens, qui tres
prædictas Apollonij propoſitiones difſiciles admodum exiſtimant, ob nimium
in ea vſum 23. ſexti Elementorum;
earundem demonſtr ationes ſingillatim
afferre poſsim eodem penitus modo, quo aliquibus, voce, & ſcriptis expli-
care ſolitus fui, hoc eſt ſine compoſita proportione, quam, neſcio quaratione
faſtidiant.
Stantibus igitur ijſdem hypoteſibus, expoſitionibus, ac conſtructionibus
prædictarum Apoll. propoſitionum, adhibitiſque figuris, quæ ibi in Comman-
dini verſione.
_QVo ad 11.
primi conic.
poſt ea verba_ Rectangulum igitur MLN æquale eſt
quadrato K L ſequatur ſic.
Itaque, quoniam quadratum BC ad rectangulum BAC eſt vt HF
ad FA ex conſtructione, & rectangulum BAC ad rectangulum ACB vt AB
ad BC, vel vt ablata BF ad ablatam BG, hoc eſt vt reliqua FA ad reliquam
GC, ſiue ad LN, ergo ex æquo quadratum BC ad rectangulum ACB, vel
recta BC ad CA, vel BG ad GF, vel ML ad LF, erit vt HF ad LN, ideoque
rectangulum ſub extremis ML, LN, ſiue quadratum KL æquatur rectangu-
lo HFL. _Vocetur autem huiuſmodi ſectio &
c._
vt ibi vſque ad finem.
Quo ad 12.
primi poſt ea verba, _ergo rectangulum RNS æquale eſt MN qua-_
_drato_, ſic dicatur.
Itaque, quoniam rectangulum BKC ad quadratum AK eſt vt LF ad FH
per conſtrutionem, vel vt XN ad NH, & quadratum AK ad rectangulum
AKC eſt vt AK ad KC, vel HG ad GC, vel HN ad NS, ergo ex æqualire-
ctangulum BKC ad rectangulum AKC, ſiue recta BK ad KA, ſiue BG ad
GF, vel RN ad NF, eſt vt XN ad NS, ac propterea rectangulum ſub extre-
mis RN, NS, hoc eſt quadratum MN æquale rectangulo ſub medijs XN, NF: _linea igitur MN poteſt ſpatium XF, &
c._
vt ibi vſque ad finem.
Quo tandem ad 13.
primi poſt ea verba _ergo rectangulum PMR æquale eſt_
_LM quadrato_ legatur ſic.
Cumque ſit rectangulum BKC ad quadratum AK ita HE ad ED ex con-
ſtrutione, vel XM ad MD, & vt quadratum AK ad rectangulum AKC ita
AK ad KC, vel DG ad GC, vel vt DM ad MR, erit ex æquo rectangulum
BKC ad rectangulum AKC, vel BK ad KA, ſiue BG ad GE, vel PM ad ME
vt XM ad MR, quare rectangulum ſub extremis PM, MR, vel quadratum
ML æquatur rectangulo XME ſub medijs. _Liuea igitur LM poteſt ſpatinm_
_MO &c._
vſque ad finem.
Sed iam ad propoſitas Apollonij propoſitiones accedamus, quas ſimul ſequenti
Theoremate amplectemur, itemque ſine compoſita proportione demonſtrabimus.
Si conus plano per axem fecetur, fecetur autem &
altero plano
baſi coni non æquidiſtante, quorum communis ſectio conueniat,
tra, vel infra ſui ipſius verticem, planum verò, in quo eſt baſis co-
ni, & ſecans planum, conueniant ſecundum rectam lineam, quæ ſit
perpendicularis, vel ad baſim trianguli per axem, vel ad eam, quæ
indirectum ipſi conſtituitur, & fiat, vt rectangulum ſegmentorum
diametri ſectionis inter latera, & baſim trianguli per axem interce-
ptorum, ad rectangulum ſegmentorum baſis, ita ſectionis diameter
ad aliam: recta linea, quę à ſectione coni ducitur æquidiſtans com-
muni ſectioni plani ſecantis, & baſis coni vſque ad ſectionis diame-
trum, poterit rectangulum adiacens lineæ quarto loco inuentæ, la-
titudinem habens lineam, quæ ex diametro abſcinditur inter ipſam,
& verticem ſectionis interiectam (ſi tamen ſectionis diameter ęqui-
diſtet alterutri laterum triãguli per axem) ſed ipſum excedet (ſi cum
vtroque latere vltra verticẽ conueniat) vel ab eo deficiet, (ſi ijſdem
lateribus infra verticem occurrat) rectangulo ſimili ſimiliterque po-
ſito ei, quod continetur prædicto diametri ſegmento, & quarta in-
uenta, iuxta quam poſſunt, quæ ad diametrum applicantur.
SIt conus, cuius vertex A, baſis circulus BC, &
ſecetur plano per axem,
quod ſectionem faciat triangulum B A C, ſecetur autem & altero
axem, nempe AC æquidiſtet, vt in prima figura, vel cum vtroque latere in
F, H, extra verticem coni, vt in ſecunda; ſiue infra verticem, vt in tertia, &
quarta conueniat, & ſecans planum baſi non æquidiſtet, faciatque ſectio-
nem in ſuperficie coni lineam MFT, & communis ſectio plani ſecantis, atq;
eius in quo eſt baſis coni ſit DGE perpendicularis ad baſim trianguli per axẽ
BC, vel ad eam, quæ indirectum ipſi conſtituitur, vt in quarta figura; &
fiat
in prima figura, vt quadratum FG, in reliquis verò, vt rectangulum HGF,
FL, quæ (facilitatis, & commoditatis gratia tantùm ad ea, quæ à nobis in po-
ſterum ſunt pertractanda, non quod hanc, vel aliam poſitionem requirat
propoſiti demonſtratio, poteſt enim ipſa FL cum diametro FH, ad quemcun-
que angulum conſtitui) concipiatur applicari ex F, ſectionis vertice, ordi-
Patet hic ipfam FL ſectionem contingere in L, F
per 17. primi conic.
(quæ huic aptè præponi poterat, cum ipſa, ope tan-
tum præcedentium ſeptimæ, & decimæ eiuſdem Librl
Su-
matur præterea in ſectione quodlibet punctum M, per quod agatur MN
æquidiſtans ipſi DE, vel FL, & producta conueniat in prima figura cum LV
parallela ad FG, in reliquis verò cum iuncta HL in X; &
per L, X ipſi F N
æquidiſtantes ducantur LO, XP. Dico lineam MN poſſe rectangulum ſub
FN, & NO
habens FN in prima figura, in ſecunda verò prædictum
dens, & in tertia, &
quarta ab eo deficiens rectangulo ſub LO, &
OX ſimili
ei, quod ſub HF, & FL continetur.
Ducatur enim per N linea RNS parallela ad BC, eſt autem &
MN ipſi DE
æquidiſtans, quare angulus RNM æqualis planum tranſiens per MN, RS
ſi igitur planum per MNRS producatur ſectio circulus
RNS æquale eſt quadrato MN, vti rectangulum BGC æquale eſt quadra-
to DG.
Iam cum ſit NX parallela ad GV, &
NS ad GC, erit in prima figura GV
ad NX, vt GC ad NS, ob æqualitatem; in reliquis verò erit GV ad NX, vt
GH ad HN, vel GC ad NS, ob triangulorum ſimilitudinem; quare permu-
tando in omnibus, GV ad GC, erit vt NX ad NS.
Amplius cum in prima figura factum ſit vt quadratum FG ad rectãgulum
BGC, ſiue ad quadratum GD, ita recta HF ad FL, vel ad GV ei æqualis, ob
parallelogrammum FV, erit FG ad GV, vt GV ad GD; quare rectangulum
FGV æquatur quadrato DG, ſiue rectangulo BGC. Item in reliquis figuris,
cum factum ſit vt rectangulum HGF, ad rectangulum BGC, ita recta HF ad
FL, vel HG ad GV, & idem rectangulum HGF ad rectangulum FGV ſit vt
eadem HG ad GV, erit rectangulum BGC æquale rectangulo FGV: cum
ergo in ſingulis figuris rectangulum BGC æquale ſit rectangulo FGV, erit
BG ad GF, ſiue RN ad NF, vt VG ad GC, ſiue vt XN ad NS: rectangulum
ergo RNS, ſiue quadratum MN æquatur rectangulo XNF. Linea igitur MN
poteſt rectangulum ſub ONF, quod adiacet lineæ FL, latitudinem
habens FN, in prima figura, ſed in ſecunda ipſum rectangulum excedit, &
in tertia & quarta ab eodem deficit, rectangulo ſub LO, &
OX, ſimili ei,
quod ſub HF, & FL continetur.
Quod erat demonſtrandum.
Sectio DFE, cuius diameter FG in prima figura æquidiſtat AC vni laterum
trianguli per axem, vocatur PARABOLE.
Et cuius diameter in ſecunda figura occrrrit vtrique lateri trianguli per axẽ,
dicitur HYPERBOLE.
Et cuius diameter, in tertia, &
quarta conuenit cum vtroque latere infra
verticem trianguli per axem, ELLIPSIS nuncupatur.
Segmentum verò HF diametri ſectionis inter latera trianguli per axem in-
terceptum, in ſecunda, tertia, & quarta, dicitur LATVS TRANSVER-
SVM Hyperbolæ, vel Ellipſis, quod in ſequentibus intelligatur ſemper
extra Hyperbolen ex ipſius vertice in directum poſitum cum diametro,
licet in conſtructionibus expreſsè non dicatur.
In omnibus autem figuris linea FL, quarto loco inuenta, dicitur LATVS
RECTVM ſectionis, quod deinceps concipiatur ſemper contingenter
applicari ex ſectionis vertice, ſiue ordinatim ductis æquidiſtans.
Ambo ſimul latera FL, FH, FIGVRÆ LATERA nuncupantur.
Recta verò LV æquidiſtans diametro ſectionis FG, vt &
recta HL, figuræ
latera ſub tendens dicitur FIGVRAM DETERMINANS, ſeu REGV-
LATRIX, vel REGVLA.
Segmenta inſuper diametrorum NF, GF, licet ab ipſo Apollonio dicantur
latitudines, vocentur potius ALTITVDINES, ita vt NF dicatur altitu-
do propria ſemi-applicatæ MN &c.
Rectæ autem NX, GV, quæ recto lateri FL, ſiue ordinatim ductis æquidi-
ſtant, & inter ſectionis diametrum, &
regulam intercipiuntur, vocentur
LATITVDINES, rectangulorum nempe FNX, FGV, quibus ſemi-ap-
plicatarum quadrata NM, GD æqualia ſunt oſtenſa, ita vt XM ſit latitu-
do propria ſemi-applicatæ MN &c.
quæ ſemi-applicatæ indifferenter,
ac ſępius dicentur applicatæ, velordinatim ductæ.
HInc patet, in quacunque coni-ſectione, quamlibet ſemi-applicatam
eſſe mediam proportionalem inter propriam altitudinem, propriam-
que latitudinem: hoc eſt quadratum cuiuſcunque ſemi-applicatæ æquari
rectangulo ſub propria altitudine, ac propria latitudine contento: oſtenſum
eſt enim tàm in Parabola, quàm in Hyperbola, vel Ellipſi, vel circulo, qua-
dratum ſemi-applicatæ MN æquari rectangulo FX, quod ſub altitudine
propria FN, ac ſub propria latitudine NX continetur.
HIC animaduertendum eſt in hac propoſitione nos ſub contrariam
com-ſectionem non excluſiſſe, quam Apollonius in eius quinta
primi expendens, circulum eſſe demonſtrauit, quoniam ex eo,
quod ſuperius dictum fuit, elicitur huic etiam competere eandem
Ellipſis proprietatem, videlicet ordinatè applicatarum potentias æquarire-
ctangulis, rectæ lineæ quarto loco inuentæ applicatis, latitudinem habentibus
ea diametri ſegmenta, quæ inter ipſas applicatas, ac ſectionis verticem in-
tercipiuntur, deficientibuſque rectangulis ſimilibus contento ſub tranſuerſo re-
ctoque latere, quæ latera in hac ſub contraria ſectione inter ſe ſunt æqualia, ac
penitùs eadem cum diametro vnius circuli: quamobrem circulus nihil aliud
eſſe videtur quàm Ellipſis æqualium laterum, habens tamen tranſuerſum
latus, quod vicem gerit axis linearum ad ipſum ordinatè ductarum.
Immo ſi noſtri eſſet inſtituti, hic quoque demonſtrare poſſemus non tantum
perbolæ, magnaque pars Parabolæ, præmittendo tamen nouas quaſdam ani-
maduerſiones, cautioneſque perutiles, nemini, quod ſciam, adhuc cognitæs,
præcipuèque vtendo methodo ab ipſo Apollonio ſatis diuerſa, certàque indu-
ſtria propoſitionum figuris characteres diſponendo, ad hoc vt eadem demon-
ſtratio cuin
in ſuperiori Theoremate vſi ſumus, ex quibus maximum doctrinæ conicæ
compendium oriretur; ſed quoniamid, plus laboris, ac temporis, quam in-
genij requireret, libenter opusrelinquo ijs, quibus multum ocij ſuppetit,&
quos magis iuuat in alienas lucubrationes commentaria ſcribere, quàm vel
ipſas latiùs promouere, vel nouas meditari, ac geometricè demonſtrare.
Quod autem in Apollonij ſubcontraria ſectione tranſuerſum, rectumque
latus reperiatur eadem methodo, rationeque illorum rectangulorum qua vti-
mur in præcedenti, quodque hæc ipſa latera inter ſe ſint æqualia manifeſtum
fiet ex eo, quod mox demonſirabimus non tantum in prædicta ſectione ſub-
contraria, quæ recta eſt plano trianguli per axem recto plano baſis coni ſcale-
ni, ſed etiam ei quæ ſecat planum baſis com ſecundum rectam lineam perpen-
dicularem baſi cuiuſcunq; trianguli per axem non iſoſcelis, vel ei, quæ ipſi baſi
indirectum producitur, dummodò talis ſectio ex ipſomet triangulo, triangu-
lum auferat ſibi ſimile, ſed ſubcontr ariè poſitum.
REpetitis igitur duabus vltimis præcedentibus figuris, intelligatur conũ
ABC ſcalenum eſſe, ſectumque plano per axem, quodcunque trian-
lib. ſecundi Sereni, vnicum eſt) habent idcircò vnum latus altero maius,
BAC, efficient angulum AFN æquale angulo ACB.
Iam dico rectam FN
productam cum reliquo latere AC conuenire, cumque baſi BC ad partem
minoris lateris AC.
Quoniam cum in triangulo BAC ſint anguli A, C, minores duobus rectis,
permutato C in F, erunt anguli FAC, AFN duobus rectis minores, ex quo
rectæ AC, FN conuenient ſimul in H, & reliquus angulus ABC in triangu-
lo BAC æquabitur reliquo angulo AHF in triangulo HAF, hoc eſt triangu-
la BAC, HAF erunt ſub contrariè poſita. Amplius cum ſit BA maior AC,
erit HA maior AF, propter ſimilitudinem triangulorum BAC, HAF, vnde
angulus AFH erit maior angulo AHF, ſiue angulo ABC, ſed anguli BFH,
AFH ſunt duobus rectis æquales, quare anguli BFH, ABC minores erunt
duobus rectis, ideoqne FH, BC ſimul conuenient, vt in G. Nunc verò con-
communiſque ſectio huius ſecantis plani cum plano baſis coni ſit recta DGE
perpendicularis baſi BC trianguli per axem, & cum conica ſuperficie ſectio-
nem efficiens MFTH, cuius diameter ſit FH. Itaque iam ſuperiùs oſtenſum
eſt, ſi fiat vt rectangulum FGH ad rectangulum BGC, ita diameter FH ad
aliam lineam FL, quæ ex F ordinatim in ſectione ductis æquidiſtet, iunga-
turque HL, quadratum cuiuſcunque applicatæ MN parallelæ communi ſe-
ctioni DE, æquari rectangulo NP, applicato rectę FL deficientique rectan-
gulo LX ſimili rectangulo ſub HF, FL. Quod verò talia latera HF, FL inter
ſe ſint æqualia ita oſtenditur.
Cum ſit enim angulus AFH æqualis angulo ACB, erit conſequens BFG
conſequenti HCG æqualis, eſtque angulus BGF æqualis angulo HGC, cum
in tertia figura idem ſint, in quarta verò ſint ad verticem, quare in triangu-
lis BGF; HGC circa æquales angulos ad G erunt latera proportionalia, ſiue
vt FG ad GB ita CG ad GH, ideoque rectangulum FGH æquale erit rectan-
gulo BGC, ſed vt rectangulum FGH ad BGC, ita tranſuerſum HF ad re-
HF,
FL æqualia crunt. Quod demonſtrandum erat.
Sed quoniam
HNF ad quadratum NM, atque hæc ipſa latera æqualia ſunt oſtenſa, ergo
quare in qualibet ſubcontra-
ria ſectione MFTH, deducta, vt in præcedenti, ex triangulo per axem coni
ſcaleni, quod tamen non ſit æquicrure, rectangula ſub ſegmentis diametri
ſunt ſemper æqualia quadratis eorum ordinatè applicatarum, quæ quando
cum diametro FH rectos angulos conſtituent, (quod eueniet cum commu-
nis ſectio DGE perpendicularis fuerit, non ſolùm baſi BGC trianguli per
axem, ſed etiam rectæ FHG communi ſectioni plani ſecantis cum prædicto
triangulo, hoc eſt quando triangulum per axem BAC rectum fuerit baſi co-
ni BC, nam tunc DGE communis ſectio plani ſecantis FH cum plano ba-
ſis coni BC, cum poſita ſit perpendicularis rectæ BGC, quæ eſt communis
ſectio trianguli per axem cum plano baſis coni, perpendicularis etiam
dem GFH erunt perpendiculares) Ellipſim efficient æqualium laterum cir-
ca axim FH, quæ eadem erit, ac circulus diametri FH. Si verò prædictæ
applicatæ ad obliquos angulos diametrum ſecabunt (quod accidet cum. DGE obliquè ſecat rectam FHG) tunc ipſa ſectio erit pariter Ellipſis æqua-
lium laterum, ſed eius tranſuerſum latus, diameter erit non autem axis.
Non ſemper igitur ſubcontraria ſectione coni ſcaleni efficitur circulus, ſed
ſolùm cum triangulum per axem rectum eſt baſi coni, quo in caſu, vt viſum
eſt, ei debetur eadem proprietas, ac Ellipſi, æqualium tamen laterum circa. axim.
In ſectionibus autem ſubcontrarijs cuiuslibet alterius trianguli per
axem (dummodo non ſit triangulum æquicrure, quia tunc communis ſectio
plani ſecantis cum ipſo triangulo non conuenit cum baſi eiuſdem trianguli, ſed
ei æquidiſtat) oritur Ellipſis æqualium item laterum, ſed circa diametrum,
quæ oblquè ſecat applicatas. Hinc ergo liquidò conſtat in ſuperiori propoſitio-
ne opus non fuiſſe ſubcontrariam ſectionem reijcere, vti fit ab ipſo Apoll. in.
13. primi, atque ab alijs doctrinam conicam pertractantibus ſed hæc obiter
delibaſſe ſufficiat; quo etiam nomine liceat mihi inſequentes demonſtrationes
proferre, non tam vt deſiderio obſequar hominis mihi amiciſsimi, quam vt
alteri cuidam, quocum iam ab hinc multis annis illas, nec non plures alias
communicaui, in mentem redigam, eas, non eius, ſed quidquid ſunt ingenioli
mei eſſe inuenta; atque ita periculo occurram, ne ille, non dicam fidei, ſed
memoriæ forſan defectu ſibi eas aſciſcat. Hoc autem audentiùs faciam,
cum eæ non omnino ab inſtituto opere ſint alienæ, verſantur enim circà tan-
gentes coni-ſectionum ab Apoll. acutiſsimè quidem inuentas, ac negatiuè
oſtenſas in eius 33. ac 34.
primi, à me autem neſcio anbreuiùs, euidentiùs
certè affirmatiuèque demonſtratas, ac Problematicè propoſitas, vt in ſe-
quentibus.
Datæ Parabolæ per punctum in ea datum lineam contingentem
ducere.
SIt Parabole, cuius diameter AB, &
datum in ea punctum ſit C.
Opor-
tet ex C Parabolæ contingentem rectam lineam ducere.
Applicetur ordinatim recta CD, &
diametri ſegmento DE æqualis po-
natur EA, iungaturque ACF. Dico ipſam eſſe tangentem quæſitam.
Sumpto enim in ſectione quolibet puncto G, per eum applicetur BGF
rectam AC ſecans in F, diametrum verò in B, & iuncta DF ex E vertice.
ducatur EHM parallela ad AF ſecans DF in H, &
CD in M, ſitque HL ipſi
FB æquidiſtans. Iam cum ſit AE æqualis ED, erit FH æqualis HD, ob pa-
rallelas AF, EH; itemque BL æqualis LB ob æquidiſtantes BF, LH:
quare
fumpta EI media geometrica inter DE, & EB ipſa EI minor erit media.
arithmetica EL. Ampliùs quadratum GB ad CD
linea.
GB ad CD erit vt EI ad ED, cumque ſit EI minor EL, habebit EI ad ED:
ſiue GB ad CD, minorem rationem quam EL ad ED, vel quàm EH ad EM,
ſeu quam AF ad AC, vel quàm FB ad eandem CD, ergo GB minor eſt FB:
quare punctum F cadit extra Parabolen, & ſic de quolibet alio puncto rectæ
ACF. Vnde ipſa ACF Parabolen contingit in C.
Quod faciendumerat.
IIfdem poſitis, dico iterum punctum F cadere extra Parabolen.
Nam ſe-
cta AB bifariam in H, cum eadem quoque in æqualiter ſecta ſit in E (nã
cum ſit DE æqualis EA, erit in prima figura BE maior EA, & in ſecunda BE
minor EA) erit rectangulum AHB maius rectangulo AEB, ac propterea. quadratum EA ad rectangulum AHB, ſiue ad quadratum AH minorem ha-
quàm idem qua-
rectangulum A E
B, & quatuor qua-
drata E A, ſiue
vnicum quadra-
tum A D, ad qua-
tuor quadrata A
H, ſiue ad vnicum
quadratum A B
minorem habebit
rationem quàm
quadratum E A
ad rectangulum
A E B, ſed quadratum A D ad A B eſt vt quadratum C D ad F B, & qua-
dratum E A ad rectangulum A E B eſt vt quadratum E D ad rectangu-
lum B E D, cum ſit A E æqualis E D, vel vt recta E D ad rectam E B,
vel vt
tum G B, ergo quadratum F B maius eſt quadrato G B, vnde punctum F
cadit extra Parabolen, & ſic de quolibet alio puncto rectæ A C F, præ-
ter C. Quare ducta eſt per datum punctum C recta A C F Parabolen
contingens. Quod erat faciendum.
POſitis ijſdem.
Dico iterum, vt ſupra.
Sumatur enim poſt D A, A B tertia proportionalis A H, erit ag-
A D, A H maius quàm
duplum mediæ A B,
ſiue maius quàm du-
plum A E cum E B,
ſed eſt A D dupla ad
A E, ergo A H erit
maior quàm dupla E
B, ſed eſt A D dupla
D E, ergo A D ad D
E minorem habet ra-
tionem quàm A H ad
E B, & permutando D
A ad A H minorem
habet rationem quàm D E ad E B, ſed D A ad A H, eſt vt quadratum
D A ad quadratum A B, vel vt quadratum D C ad quadratum B F, &
D E ad E B,
to B G; ideoque punctum F cadit extra ſectionem, vt &
quodcunque
aliud punctum rectæ A C F, præter C. Erit ergo recta A C F Parabolen
contingens in in C. Quod erat faciendum.
PRopoſitio 34.
primi conic.
licet ab Apollonio negatiuè ſit demon-
ſtrata, facilè tamen ad affirmatiuam reducitur, ſi ex ip-
ſa in principio demantur ea verba. _Si enim fieri po-_
_teſt, ſecet vt E C F_, ad finem verò. _Quod fieri non_
_poteſt_; nam ibi linea H G oſtenditur minor G F, vnde punctum F
cadet extra ſectionem, & ſic quodcunque aliud punctum rectæ E C H
præter C, quare ipſa E C H ſectionem continget in C: ſed vt clariùs
idem pateat, en afferemus noſtram directè concluſam demonſtrationem,
de qua in præcedenti Monito, præmiſſo tantùm (vice propoſitionis 169. ſeptimi Pappi, qua indiget Apolloniana propoſitio) ſequenti Lemmate, in
quo interim duæ ſimul circuli proprietates detegentur haud iniucundæ.
Si circuli diameter A B inæqualiter ſecetur in C, &
ad mino-
rem partem C B producatur, ita vt ſit A D ad D B, vt A C ad
C B, & ex C erigatur perpendicularis C E, iungaturque D E.
Dico quadratum ipſius D E æquari rectangulo A D B.
Si verò in recto angulo D C E, quælibet alia ſubtenſa F G
applicetur ipſi D E æquidiſtans, productam diametri partem
ſecans in F, aut infra D, aut ſupra, & perpendicularem C E in
G. Dico ampliùs quadratum applicatæ F G ſemper excedere
rectangulum A F B.
QVò ad primum, ſit circuli centrum H, &
iungatur H E.
Iam cum ſit A D ad D B, vt A C ad C B, erit componendo A D
cum D B ad D B, vt A B ad B C, & ſumptis antecedentium
ſubduplis, erit H D ad D B, vt H B ad B C, & perlconuerſionem rationis
D H ad H B, vt B H ad H C, vel vt D H ad H E (ipſi H B æqualis) ita
H E ad H C: quare triangula D H E, E H C, cum habeant circa com-
munem angulnm H latera proportionalia, ſimilia erunt, vnde angulus
D E H æquabitur angulo E C H, ſiue rectus erit, ideoque D E circulum
continget, hoc eſt quadratum D E æquabitur rectangulo A D B. Quod
primò, &c.
Ampliùs iungantur E B, E A, quas, recta F G producta ſecet, in I &
cadat primùm applicata F G infra contingentem D E, ſitque G M
ipſi E A, & G N ipſi E B parallela.
Iam cum ſit G F parallela ad E
G N ad E B,
erit triangulum A D E ſimile triã-
gulo M F G, & triangulum E D B
ſimile triangulo G F N, quare vt
A D ad D E, ita M F ad F G, &
vt E D ad D B, ita G F ad F N; ſuntque A D, D E, D B continuę
proportionales, vnde M F, F G,
F N, erunt quoque proportiona-
les, ſiue rectangulum M F N ęqua-
bitur quadrato F G.
Præterea cum B E circulum
contingat, & E B ſecet, erit an-
gulus D E B æqualis angulo B A
E, ſed (cum triangula B E C, B A
E in ſemicirculo ſint ſimilia) eſt
quoque angulus B E C, æqualis
lis angulo B A E, ergo angulus
D E B, ſiue alternus E I G æqua-
lis erit angulo B E C, ergo linea
G I ipſi G E æqualis. Item angu-
lus O E A æquatur angulo A B E in alterna portione, ſiue angulo A E C,
eſtque angulus O E A alterno G L E æqualis, vnde anguli A E C, G L E
æquales erunt, quare linea G L æqualis eidem G E; erunt ergo L G, G I
inter ſe æquales, ſed eſt G F maior I F, habebit ergo L G ad G F mino-
rem rationem quàm G I ad I F, & componendo L F, ad F G, ſiue A F
ad F M minorem rationem quàm G F ad F I, vel quàm N F ad F B, qua-
re rectangnlum ſub extremis A F, F B, minus Quod demonſtrandum erat.
Idem penitùs oſtendetur, quando applicata _F G_ productæ diametro
occurrat vltra D; nam adhibitis angulis ad verticem E, alterniſque pa-
rallelarum, item demonſtrabirur _I G_ ipſi _G L_ æqualem eſſe, & ex _G_ facta
fimili conſtructione, demonſtratio, & concluſio omninò erit eadem, ac
ſupra.
Datæ Hyperbolæ, vel Ellipſi, per punctum in ea datum
SIt Ellipſis, vel Hyperbolæ A B K, cuius tranſuerſum latus ſit B C, &
datum in ſectione punctum ſit A, extra verticem B: oportet ex A
datæ ſectioni contingentem lineam ducere.
Ex dato puncto A ordinatim applicetur A D, occurrens diametro in
D, & fiat vt C D ad D B, ita C E ad E B, iungaturque E A:
dico ipſam
E A ſectionem contingere.
Etenim ſumpto in ea quocunque puncto F, vel ſupra, vel infra A,
ordinatim agatur F H G, ſectionem ſecans in H, diametrum in G, & ſu-
per tranſuerſo B C deſcribatur ſemicirculus B L C, cuius diametto B C
in Ellipſi ex puncto D erigatur perpendicularis D L, iungaturque E L,
quæ, per Lemma antecedens, erit ipſi circulo contingens in L. At in
Hyperbola ex E puncto ducta ſit diametro C B perpendicularis E L, iun-
gaturque D L, quæ item, ob præmiſſum Lemma, ſemi-circulum B L C
continget in L, & ex G ipſi D L æquidiſtans ducatur G I ſemi-circulum
plicata G I maior G M, ſiue quadratum G I maius quadrato G M, vel
maius rectangulo C G B, ſed eſt quoque, per idem Lemma, quadratum
G I (in ſecunda figura) maius rectangulo C G B, quare in vtraque figu-
ra quadratum G I ad quadratum D L, vel quadratum G E ad quadratum
E D, vel quadratnm G F ad quadratum D A, maiorem habebit rationem
quàm rectangulum C G B ad idem quadratum D L, vel ad rectangulum
C D B, ſed vt rectangulum C G B ad rectangulum C D B, ita
maiorem habet rationem quàm quadratum G H ad idem quadratum D
A; quare quadratum G F maius eſt quadrato G H:
vnde punctum F ca-
dit extra ſectionem, & ſic de quibuslibet alijs punctis rectæ E A F, præ-
ter A. Ducta eſt ergo E A ſectionem contingens in A.
Quod erat fa-
ciendum.
VT aliquando ad rem noſtram accedamus, quoniam in hac de
MAXIMIS, & MINIMIS tractatione frequenter nobis eſt
opus conicas ſectiones circà datam diametrum, per datum ver-
ticem, cum datis lateribus, cumque applicatis angulum dato
æqualem cum diametro efficientibus deſcribere, quæ omnia quidem nos docet
Apoll. in 52.
53.
54.
primi conic.
ad quas itaque vſu exigente confugien-
dum eſſet; attamen cum hæo ſint forſan longiſsimæ, ac difficillimæ omnium
demonſtrationum in quatuor conicorum libris contentarum, eò quod ipſarum
quælibet in duos caſus diſtribuatur, variaque ibi Lemmata requirantur à
Pappo, Eutocio, & Commandino ſuppleta;
conſentaneum viſum eſt noſtras
hic quoque horum problematum ſolutiones afferre, quæ expeditiores, admo-
dumque faciles nobis videntur, vniuerſaliter ſingulas oſtendendo, abſque
vſu prædictorum, vel aliorum Lemmatum, vt mox videre licet.
Data in quodam plano recta linea ad vnum punctum terminata,
cuius diameter ſit data linea, vertex eius terminus, rectum verò la-
tus ſit altera quædam linea magnitudine data, & diametrō
tim ductæ in dato angulo applicentur.
SIt in ſubiecto plano recta linea A B
minata, altera autem recta magnitu-
dine data ſit AC, & datus angulus ſit
D. Oportet in ſubiecto plano Para-
bolen deſcribere, cuius diameter ſit
AB vertex A, rectum figuræ latus ſit
AC, & ordinatim ductæ ad diametrũ
in angulo D applicentur.
Sumatur in AB quodcunque pun-
ctum B, per quod in ſubiecto plano, in
quo AB, ducatur recta EBF ad angu-
lum ABF, qui dato D ſit æqualis, ſu-
manturque hinc inde B E, & B F inter
ſe æquales, vtraque verò ſit media
proportionalis inter B A, & datam
AC, & per rectã EF intelligatur quod-
cunque planum GEHF, quod non ſit
idem cum plano per rectas E F, AB
horum communis ſe-
perpendicularis ducatur recta G B H
ad vtramque partem plani A E F pro-
ducta, in qua ſumpto quocunq; pun-
cto G, fiat, vt G B ad B E, ita B E ad
BH; (&
erit rectangulum BGH æqua-
le quadrato BE, vel BF) iungaturque
BA, & per H in plano per HG, &
GA
ducto agatur recta HI ipſi BA paral-
lela.
Itaque cum GH, EF in vno ſint pla-
no, ac inter ſe perpendiculares, ſitque
rectangulum GBH æquale quadrato
vtriuſque EB, BF, ſi circa G H, tan-
quam diametrum deſcribatur circulus
GEHF, ipſe tranſibit per E, & F.
Si
ergo intelligatur recta IAG circa pe-
ripheriam circuli GE, H F conuerti,
manente eius extremo puncto I, deſcribetur conus IGH cuius vertex I, ba-
ſis circulus GH, & communis ſectio conicæ ſuperficiei cum ſubiecto plano
erit linea EMANF, quam dico eſſe Parabolen quæſitam.
Conus enim IGH, cuius vertex I, &
baſis diameter GH ſecatur plano per
axem deſcribens triãgulum GIH; ſecatur autem, &
altero plano EAF (quod
eſt datum ſubiectum planum) baſi coni non æquidiſtante, cum eam ſecet,
ſecante baſim coniſecundum rectam lineam EF, quæ ad GH baſim triangu-
li per axem eſt perpendicularis, atque eſt AB diameter ſectionis EAF vni
laterum H I trianguli per axem æquidiſtans, talis ſectio E A F per primam
huius erit Parabolæ, cuius diameter A B, vertex A, & ordinatim ducta EF,
quæ ipſi diametro ad angulum ABF, dato angulo D æqualem, ap-
plicata eſt, ex ipſa conſtructione. Et cum factum ſit vt AB,
ad BE, ita BE ad A C, erit quadratum AB ad qua-
dratum BE, vel ad rectangulum GBH, vt
AB ad AC. Quare AC erit rectum
latus Parabolæ EMANF,
deſcriptæ vti quære-
batur: Quod erat
faciendum.
Data in quodam plano recta linea terminata, quæ ad alteram
inuenire in dato plano coni-ſe-
ctionem, quę dicitur Hyperbole, cuius diameter ſit producta linea,
vertex eius terminus, tranſuerſum latus ſit data linea terminata, re-
ctum verò ſit alia quæcunque data linea finita, & ad ipſius diametr@
ordinatim ductæ efficiant angulos dato angulo æquales.
SInt datæ rectæ lineæ terminatæ AB, BC, quæ in ſubiecto plano ad angu-
lum ABC, dato angulo P æqualem conſtituantur, & harum altera AB
ſit vtcunque producta ad BD: oportet in ſubiecto plano Hyperbolen deſcri-
bere, cuius diameter ſit BD, vertex B, tranſuerſum latus AB rectum BC, &
ordinatim ductæ ad diametrō BD conſtituant angulos, dato, angulo P æquales.
Iungatur AC, &
producatur, ſu-
in BD quodlibet punctum
D, per quod agatur in ſubiecto pla-
no recta linea DE ipſi BC parallela,
à qua, hinc inde producta, deman-
tur partes DF, DG, quæ ſint mediæ
proportionales inter BD, & DE;
&
per rectam FG intelligatur planum
IFHG, diuerſum à plano, quod per
AD, & FG tranſit, quorum cõmunis
ſectio ſit recta FG, cui per D in pla-
no IFHG perpendicularis ducatur
IDH, in qua, ad partes I, ſumptum
ſit quodcunque punctum I, & fiat vt
ID ad DF, ita DF ad DH; &
erit re-
ctangulum IDH æquale quadrato DF, uel
mutuò ſecant ad rectos angulos in D, quare ſi circa IH circulus deſeribatur,
tranſibit ipſe per puncta FG. Tandem iungatur HA, &
IB producatur ſe-
cans AH in L, & intelligatur conus cuius vertex L, baſis circulus I H, &
cõ-
munis ſectio ſuperficiei conicæ cum ſubiecto plano ſit linea FMBNG. Dico
hanc eſſe quæſitam Hyperbolen.
Conus enim LIH, cuius vertex L, &
diameter baſis, I H, plano per axem
ſecatur triangulum facient LIH, & ſecatur altero plano (quod eſt datum pla-
num ſubiectum) ſecante baſim coni ſecundum rectam lineam F G, quæ ad
IH baſim trianguli per axem, eſt perpendicularis, & communis ſectio ſubie-
cti plani, & trianguli per axem, hoc eſt DB, producta ad B conuenit cum al-
tero latere HL extra verticem producto in puncto A, erit, per primam hu-
ius, ſectio FBG Hyperbole, cuius vertex B, diameter BD, & ordinatim du-
ctæ FG cum diametro BD, ad angulum FDB, angulo CBA, ſeu dato P æ-
qualem applicantur, ex conſtructione. Cumque factum ſit vt BD, ad DF
ita DF ad DE, erit rectangulum EDB æquale quadrato DF, ſiue rectangulo
quare rectangulum ADB ad rectangulum EDB, erit vt idem ADB ad
IDH, ſed ADB ad EDB, eſt vt AD ad DE, vel vt AB ad BC, ergo rectan-
gulum quoque ADB ad rectangulum IDH, erit vt AB ad BC. Sequitur er-
go vt AB ſit tranſuerſum latus, & BC rectum deſcriptæ Hyperbolæ, vt in
prima huius oſtenſum eſt. Quod erat faciendum.
Duabus datis in ſubiecto plano rectis lineis terminatis, inuenire
in eodem plano circa ipſarum alteram, tanquam circà diametrum,
ſit prædicta diameter, rectum verò latus ſit altera data linea, & ad dia-
metrō
SInt datæ in ſubiecto plano terminate rectæ lineæ AB, BC, quæ ad datum
angulum P componantur. Oportet in ſubiecto plano Ellipſim deſcribe-
re, cuius diameter ſit AB, vertex B, tranſuerſum latus AB, rectum BC, & ad
diametrō
Iungatur AC, ſumaturque in
quo ducatur, in ſubiecto plano,
recta GDFE ipſi BC parallela, è
qua ex vtraque parte abſcindan-
tur DF, DG mediæ proportiona-
les inter BD, & DE;
erit vtriuſq;
ipſarum quadratum ęquale rectã-
gulo EDB: per rectam autem FG
intelligatur ſecans planum IFGHG
ad vtramque partem ſubiecti pla-
ni productum, quorum commu-
nis ſectio ſit recta FG, cui per D
in plano ſecante IFHG, perpen-
dicularis ducatur IDH hic inde
producta.
Iam, veleſt CB non maior BA, vel maior.
Si non maior, erit quoque ED
non maior ipſa DA. Itaque ex educta IDH infra ſubiectum planum dema-
tur DI, quæ maior ſit ipſa DB, iungatur I B, & ex A ducatur AO parallela
ad I B, ſecans IDH in O, & fiat vt ID ad DF, ita D F ad aliam DH;
erit re-
ctangulum IDH æquale quadrato D F, ſiue rectangulo EDB, ſed rectangu-
lum EDB eſt non maius rectangulo ADB (nam eſt ED non maior recta DA)
ergo rectangulum IDH erit non maius rectangulo BDA, ſed rectangulum
IDO maius eſt rectangulo BDA (nam cum ſit vt ID ad DB, ita OD ad DA,
ſitque I D maior D B ex conſtructione, erit quoque DO maior DA) quare
IDH rectangulum minus erit rectangulo IDO, hoc eſt linea DH minor DO; vnde punctum H eſt inter D, &
O, ſiue inter parallelas I B, AO;
quare iun-
cta AH, & producta ſecabit productam IB ad partes B, L, vt putà in L.
Siverò CB fuerit maior BA, erit quoque ED maior DA, &
tunc ex edu-
cta IDH ſupra ſubiectum planum dematur DH, quæ minor ſit ipſa DA, &
iungatur AH, & fiat vt HD ad DF, ita DF ad DI;
erit rectangulum HDI æ-
quale quadrato DF, ſiue rectangulo EDB, ſed rectangulum EDB maius eſt
rectangulo ADB, cum ſit ED maior DA, quare rectangulum HDI maius
erit rectangulo ADB. Iam ex I ducatur IR parallela ad AH, ſecans produ-
ctam AD in R; erit HD ad DA, vt ID ad DR;
ſed HD facta eſt minor DA,
ergo & ID erit minor DR, vnde rectangulum ſub maioribus AD, DR, maius
erit rectangulo ſub minoribus HD, DI; ſed rectangulum HDI demonſtra-
tum eſt maius rectangulo ADB, ergo rectangulum ADR eò amplius maius
erit rectangulo ADB: vnde recta BR maior erit recta DB, hoc eſt punctum
B cadet inter D, & R, ſiue inter parallelas AH, IR;
quare iuncta I B, &
pro-
ducta conueniet cum producta AH ad partes B, H, veluti in L.
His itaque conſtructis, &
demonſtratis;
cum factum ſit vt ID ad DF, vel
ad DG, ita DG ad DH, ſi circa diametrum IH in plano ſecante deſcribatur
circulus ipſe tranſibit per puncta F, G: ſi ergo intelligatur deſcriptus conus,
cuius vertex L, baſis circulus IFHG; &
in infinitum productus infra baſim,
communis ſectio eius conicæ ſuperficiei cum ſubiecto plano ſit linea AMF
BGNA. Dico hanc eſſe Ellipſim quæſitam.
Eſt enim conus ILH ſectus plano per axem, triangulum facient LIH, &
ſecatur altero plano FBGA, (nempe ſubiecto plano) quod baſi non æquidi-
ſtat (cum ſe mutuò ſecent ſecundum rectam FG) & communis ſectio baſis
coni I H, & ſecantis plani BA eſt recta linea FG, quæ ad IH baſim trianguli
per axem eſt ducta perpendicularis, erit, per primam huius, ſectio AMFBGN
Ellipſis, cuius vertex B, diameter BA, cui ordinatim ductæ, qualis eſt FG,
ad datum angulum P applicantur ex conſtructione. Cumque factum ſit vt
ED ad DF, ita DF ad DB, erit rectangulum EDB ęquale quadrato DF, ſiue
rectangulo IDH, vnde rectangulum ADB, ad rectangulum EDB, erit vt
idem rectangulum ADB, ad rectangulum IDH; ſed rectangulum ADB ad
EDB, eſt vt AD ad DE, vel vt AB ad BC, ergo rectangulum ADB, ad re-
ctangulum IDH, erit vt AB ad BC: vnde AB eſt latus tranſuerſum, BC ve-
rò rectum deſcriptæ Ellipſis BFAG, vt ex prima huius. Quod erat facien-
dum.
CVm ad MAXIMARV M, MINIMARV Mque coni-ſe-
ctionum inſcriptibilium, ac circumſcriptibilium inuentionem
nobis ſit opus admir andam illam affectionem propagare circa
lineas ſemper magis, ac magis inter ſe accedentes, nunquam
verò ſimul coeuntes, ab ipſo Apollonio præcipuè animaduerſam inter curuam
Hyperbolæ, rectamque lineam, quàm ipſe Aſymptoton appellauit, neceſsè
quidem videretur, ad hoc vt integram huius argumenti doctrinam hic ſi-
mul habeatur, addere nunc, primam, ſecundam, decimam tertiam, ac de-
cimam quartam ſecundi conicorum ad prædictam Aſymptoton ſpectantes; ſed
affirmati-
uas, non indirectas, quales ab Apollonio exhibentur in prima, ſecunda, ac
decima tertia, nè noſtri libelli molem aliundè tranſcriptis demonſtratiombus
augere velle videamur, apponemus hic proprias, ita procedendo.
Si Hyperbolen recta linea ad verticem contingat, &
ab ipſa ex
vertice ad vtramque partem diametri ſumatur æqualis ei, quæ po-
minos contingentis ducuntur cum ſectione non conuenient; (quæ
in poſterum cum Apollonio vocentur ASYMPTOTI) nec erit al-
tera aſymptoton, quæ diuidat angulum ab ipſis factum.
SIt Hyperbole, cuius diameter, &
tranſuerſum latus AB, centrum C, &
rectum figuræ latus B F, linea verò D E ſectionem contingat in B, &
AB, BF continetur æquale ſit quadra-
tum vtriuſque ipſarum BD, BE, & iun-
ctæ CD, CE producantur. Dico pri-
mum eas cum ſectione numquam con-
uenire.
Nam in altera ipſarum, vt in CD,
infra contingentem, ſumpto quolibet
puncto G, ab eo ordinatim applicetur
GIH ſectionem, ac diametrum ſecans
in I, H, quæ ipſi D B æquidiſtabit. Et
quoniam eſt vt latus AB ad BF, ita
quadratum AB ad rectangulum ABF,
vel ſumptis horum ſub-quadruplis, ita
quadratum CB ad quadratum BD, vel quadratum CH ad quadratum HG,
& vt idem latus AB ad BF ita
permu-
tando quadratum CH ad rectangulum AHB, vt quadratum GH, ad HI,
ſed quadratum CH maius eſt rectangulo AHB (cum eius exceſſus ſit qua-
dratum CB, nam eſt AB ſecta bifariam in C, & ei adiecta eſt quædam B H)
quare & quadratum GH quadrato IH maius erit, hoc eſt punctum G cadet
extra Hy perbolen, & hoc ſemper de omnibus punctis rectarum CDG, CEL
quamuis in infinitum productarum. Sunt igitur lineæ CD;
CE ſectioni nun-
quam occurrentes. Quod erat primò demonſtrandum, taleſque lineæ vo-
centur ASYMPTOTI.
Amplius, ijſdem manentibus, dico quamlibet aliam CM, quæ diuidat
angulum DCE, neceſſariò Hyperbolen ſecare. Ducta enim BM, ex vertice
B, parallcla ad CD, conueniet cum CM; nam &
ipſa CM cum altera æqui-
diſtantium CD conuenit in C: occurrat ergo in M, per quod ordinatim ap-
Quoniam igitur eodem pænitus argumento, quo ſuperius demonſtratum
eſt rectangulum AHB ad quadratum HI, eſſe vt quadratum CB ad BD, eſt
quoque rectangulum AOB ad quadratum ON, vt idem quadratum C B ad
BD, vel vt quadratum BO ad OM, erit permutando, rectangulum AOB ad
quadratum BO, vt quadratum NO ad OM, ſed rectangulum AOB ſuperat
quadratum BO, (exceſſus enim eſt rectangulum ABO) ergo & quadratum
NO, maius eſt quadrato MO; ſed punctum N eſt in ipſa ſectione, quare pun-
ctum M cadit intra: ideoque iuncta CM ſectionem prius ſecat.
Non eſt ergo
altera aſymptotos, quæ diuidat angulum ab aſymptotis factum. Quod erat
ſecundò demonſtrandum.
HIs itaque præoſtenſis, ipſarum ope, ac tertiæ ſecundi conico-
rum demonſtremus aliter decimam quartam eiuſdem, abſq; auxilio præcedentium 5.
10.
12.
ac 13.
quibus ipſa 14.
in-
diget, præmiſſo tantum ſequenti Lemmate.
Sit rectangulum ABD æquale quadrato BC.
Dico addita qua-
cunque BE, rectangulum AED maius eſſe quadrato EC.
CVm enim rectangulum ABD æquale ſit quadrato mediæ BC, erit AB
ad BC, vt BC ad BD, & diuidendo, &
permutando AC ad CD, vt
Et cum ſit DB minor
DE, habebit CD ad DB maiorem
rationem quam ad DE, & compo-
nendo CB ad BD, hoc eſt AC ad CD maiorem permutando AC ad CE
componendo AE ad EC
Si fiat ergo
vt AE ad EC, ita EC ad EF, habebit quoque EC ad EF maiorem rationem
vt EC ad EF) rectangulum AEF æquale eſt quadrato EC, quare rectangu-
lum AED maius erit quadrato EC. Quod erat &
c.
Aſymptoti, &
ſectio in infinitum productæ ad ſe propius acce-
ad interuallum perueniunt minus quolibet dato interuallo.
SIt Hyperbole, cuius aſymptoti CD, CE, &
datum interuallum ſit M.
Dico aſymptotos CD, CE, &
ſectionem productas, ad ſe ſe propius
accedere, & ad interuallum peruenire minus dato interuallo M.
Nam ſit quæcunque recta DBE ſectionem contingens in B:
patet per 3.
ſec.
conic.
ipſam DE cum vtraque aſymptoto conuenire, &
ad tactum B ſe-
cari bifariam, & quadratum vtriuſque portionis DB, BE æquale eſſe quarte
parti figuræ, quæ ad diametrum CB per tactum ducta conſtituitur; quare ſi
fiat CA æqualis CB, appliceturque quælibet GIH ipſi DB æquidiſtans,
aſymptoton, ſectionem, ac diametrum ſecans in G, I, H, & per I ducatur
IP parallela ad CD, ſecans diametrum in P infra C (nam punctum I eſt intra
angulum GCH) erit vt in præcedenti oſtenſum fuit rectangulum AHB ad
quadratum HI vt quadratum CB ad quadratum BD, vel vt quadratum PH
ad quadratum HI; vnde rectangulum AHB æquale erit quadrato HP, ſiue
recta HP erit media proportionalis inter AH & HB;
hoc eſt punctum P ca-
det inter C & B;
quare IP, quæ ipſi GC æquidiſtat contingentem BD ſeca-
bit in Q, eritque BD maior DQ, ſiue maior intercepta GI.
Iam applicata infra G qualibet alia RN diametro occurrent in O, ex N du-
cta ſit NS parallela ad RC, quæ contingentem BD, ac diametrum ſecabit vt
ſupra in T & S.
Cumque rectangulum AHB ſit æquale quadrato HP, vt mo-
dò oſtendimus, ſitque in directum ipſi AH addita quædam HO, erit, per
præcedens Lemma, rectangulum AOB maius quadrato OP, ſed rectangu-
lum AOB eadem ratione, vt ſupra, oſtenditur æquale quadrato OS; quare
quadratum OS maius eſt quadrato OP, hoc eſt punctum S cadit inter C, &
P, ſiue CP eſt maior CS, vel DQ maior DT, hoc eſt GI maior RN. Quare
aſymptotonſectio BIN quæ in infinitum productæ, nunquam ſimul
conueniunt, ad ſe propiùs accedunt; idemque de aſymptoto CE.
Quod erat
primò &c.
Præterea dico ipſas ad interuallum peruenire minus dato interuallo M.
Sumatur DT ex cõtingente BD, quę ſit minor interuallo M, &
per T aga-
tur STN parallela ad CD diametro occurrens in S, ſeceturq; SV æqualis SB,
fiat vt AV ad VS, ita AS ad SO, &
per O ordinatim applicetur ONR ſe-
ctionem ſecans in N, rectam verò ST in X. Et cum ſit vt AS ad SO, ita AV ad
VS, erit componendo AO ad OS, vt AS ad SV, vel vt AS ad SB, & permu-
tando, & per conuerſionem rationis, vt AO ad OS, ita SO ad OB, ergo re-
ctangulum AOB æquatur quadrato OS: ſed rectangulum AOB ad quadra-
tum ſuæ ordinatim ductæ ON in Hyperbola ſemper eſt vt quadratum CB ad
BD (vt iam ſuperius oſtendimus) vel vt quadratum SO ad OX: quare permu-
tando rectangulum AOB ad quadratum SO, erit vt quadratum ON ad qua-
dratum OX, ſed eſt rectangulum AOB æquale quadrato SO, ergo & qua-
dratum ON quadrato OX æquale erit, quare puncta N, & X idem funt, ſed
eſt N in ſectione, quare recta TX conuenit cum ſectione in X, vel N, hoc eſt
RN & RX æquales erunt, ſed eſt RX æqualis ipſi DT, &
DT minor M, vnde
RN, vel RX erit quoque minor M. Peruenit ergo aſymptoton
ctione ad interuallum RN minus dato interuallo M. Quod tandem erat de-
monſtrandum.
HInc eſt, quodlibet diametri ſegmentum inter quamcunque applicatam,
& rectam ex ipſius occurſu cum ſectione alteri aſymptoton
ſtanter ductam, medium eſſe proportionale inter aggregatum ex tranſuer-
ſo latere cum prædicto diametri ſegmento, idemque ſegmentum. Demon-
ſtratum eſt enim HP eſſe mediam proportionalem inter AH, & HB;
&
OS
mediam inter AO, & OB.
PAtet etiam quamcunque rectam, ex puncto tranſuerſi lateris inter cen-
trum, & verticem ſumpto alteri aſymptoton ęquidiſtanter ductam ne-
ceſſariò ſectioni occurrere. Iam enim ſupra oſtendimus rectam STX, quæ
ex puncto S in tranſuerſo CB ducta eſt aſymptoton
ctione conuenire in N.
HInc facilè erit oſtendere 13.
ſecundi conicorum aliter, &
affir-
matiuè, vt videre licet in ſequenti.
Si in loco aſymptotis, &
ſectione terminato quædam recta linea
ſectione conueniet, eamque neceſſariò ſecabit.
SIt in præcedenti ſchemate in loco ab aſymptotis, &
ſectione terminato
quodcunque punctum S, à quo ducta ſit STX aſymptotonDico ipſam cum ſectione conuenire, eamque omnino ſecare.
Iungatur CS, quæ producta ſectioni occurret, per ſecundam partem 8.
huius, eritque ſectionis diameter:
quare per Coroll.
2.
præcedentis, ipſa STX
ſectioni occurret, vt in X.
Præterea, cum quæcunque contingenti æquidiſtans GI ſupra RX, inter
aſymptoton, & ſectionem intercepta, maior ſit ipſa RX, ſiue ipſa GZ, pun-
ctum Z cadet extra ſectionem, & ſic de quolibet alio puncto rectæ XTS.
E
contra cum quælibet intercepta LY infra RX, parallela ad DB, minor ſit ip-
ſa RX, ſiue LF, punctum F cadet intra ſectionem, idemque de quolibet alio
puncto rectæ XF: vnde recta STX ab ipſo occurſu X cum ſectione, ad partes
verticis tota cadit extra, ad oppoſitas verò partes tota cadit intra ſectionem; ideoque in vno tantum puncto X Hyperbolen ſecat.
Quod erat propoſitum.
HInc eſt, lineam alteri aſymptoton æquidiſtantem per punctum, quod
ſit, vel in ipſa ſectione, vel intra, pariter in vno tantùm puncto ſe-
ctioni occurrere, eamque ſecare.
Nam recta XS ex puncto X, quod cſt in Hyperbola, vel recta FS ex pun-
cto F, quod eſt intra, æquidiſtanter ducta aſymptoto CD, ſi ad partes cen-
tri C producatur, alteri aſymptoto CE omnino occurrit, (quoniam EC, ſe-
cans DC vnam parallelarum ſecat quoque alteram CE) vnde aliqua pars,
ipſius rectæ XS, vel FS cadit in loco ab aſymptotis, & ſectione terminato,
ac ideo ex his, quæ ſuperius oſtendimus, ipſa linea in vno tantùm puncto ſe-
ctioni occurret, ac Hyperbolen ſecabit.
Qua propter, quælibet linea alteri aſymptoton æquidiſtans, dummodo ſit
ducta ex puncto, quod ſit in angulo ab aſymptotis facto, in vno tantùm pun-
cto Hyperbolæ occurrit, atque eam ſecat.
EX hucuſque demonſtratis liceat animaduertere quamcumque
aſymptoton quodam-modo eſſe primam ex centro ducibilium,
ſed Hyperbolæ non occurrentium; itemque eſſe primam ſibi ipſi
æquidiſtantium, ſed Hyperbolen non ſecantium.
QVæcunque enim educta ex C diuidens angulum DCE ſecat Hyperbo-
len, quæcunque verò ex C ducta extra CD, Hyperbolæ quidem non
occurrit, cum neque ipſa CD interior, cum ſectione conueniat. Quare angulus DCE dici poterit MINIMVS ex centro C Hyperbolen com-
prehendentium, rectis lineis nunquam ei occurrentibus.
Item quælibet SX aſymptoto CD æquidiſtanter ducta intra angulũ DCE,
Hyperbolen ſecat, quælibet verò extra angulum ducta eidem CD parallela,
nunquam conuenit cum CD, & eò minus cum ſectione:
ex quo aſymptoton
Hyperbolæ appellari quodammodo poſſet vltima tangentium Hyperbolen,
ad infinitum tamen interuallum. Nam, quæcumque contingens Hyperbo-
len ad finitam diſtantiam, ſecat ſemper diametrum CB infra C, & quò pun-
ctum contactus remotius fuerit à vertice eò magis occurſus contingẽtis cum
diametro, centro C fiet propior; donec, cum punctum contactus per infini-
tum interuallum abierit à centro, prædictus occurſus cum ipſo centro con-
ueniat.
Sed ne ſuſcipiendam materiam interpellare nobis ſit opus, cum in ipſius
progreſſu Parabolæ quadratura indigeamus, inter alias, quas habemus,
apponemus hic̀ tantùm eam, quæ, licet expeditior non ſit, nonnulla tamen
Lemmata, ac Theoremata præmittit, quorum prima ad aliquas de MA-
XIMIS, & MINIMIS propoſitiones omnino ſunt neceſſaria.
Si fuerit vt recta AD ad DC, ita quadratum AB ad BC.
Dico
tres AD, DB, DC eſſe in continua eademque ratione geometrica.
NAm ſumpta BE tertia proportionali poſt AB, BC;
erit componendo AB cum BC ad BC, vt BC cum BE ad
BE, & permutando, AB cum BC, ſiue AC, ad BC cum
BE, ſiue ad CE, vt BC ad BE, vel vt AB ad BC, ex con-
ſtructione: quod memento.
Et cum ſit, ex ſuppoſitione, linea AD ad DC vt qua-
dratum AB ad BC, & quadratum AB ad BC, vt linea AB
ad BE, ex conſtructione, erit AD ad DC, vt AB ad BE,
& per conuerſionem rationis, &
permutando, &
iterum
per conuerſionem rationis AD ad DB, vt AC ad CE,
&
permutan-
per conuerſionem rationis, AD ad DB vt DB ad
DC. Quod in prima figura oſtendendum erat.
In ſecunda verò:
cum ſit AB ad BC, vt BC ad BE, erit
diuidendo, & permutando, AC ad CE vt BC ad BE, vel
vt AB ad BC, ex conſtructione: quod ſerua.
Et cum ſit AD ad DC vt quadratũ AB ad BC, &
qua-
dratum AB ad BC vt linea AB ad BE, ex conſtructione,
erit AD ad DC vt AB ad BE, & per conuerſionem ratio-
nis, permutando, conuertendo, diuidendo, & iterum
conuertendo AD ad DB, vt AC ad CE, vel vt AB ad
BC, vt modò oſtenſum fuit, & permutando, conuerten-
ddiuidendo AD ad DB vt BD ad DC.
Quod
erat in ſecunda demonſtrandum.
Ijſdem poſitis:
dico iterùm vt in præcedenti.
DEſcribatur ſuper AD ſemicirculus AED, &
per Cerigatur CE diame-
tro AD perpendicularis, iunganturque DE, AE, & BE, quæ produ-
cta in ſecuuda figura, occurrat cum AF ipſi CE parallela in puncto F.
Iam in vtraque figura, cum
AB ad BC, vt recta AD ad DC,
vel vt quadratum AD ad DE,
vel vt quadratum AE ad EC,
ob triangulorum ſimilitudiné,
erit recta AB ad BC, vt recta
AE ad EC: quare in prima fi-
gura erit angulus AEB, æqua-
lis angulo BEC, ſed angulus
BAE æquatur angulo D E C,
quare duo ſimul AEB, BAE,
ſiue vnicus DBE, æqualis erit
duobus ſimul BEC, DEC, ſiue vnico DEB, ergo BD eſt æqualis ipſi DE. In
ſecunda verò, cum ſit AB ad BC, vel FA ad EC, vt AE ad EC erunt AF,
A E interſe æquales, vnde angulus AEF, æqualis angulo AFE ſiue paralle-
larum externo CEB, ſed eſt AEF æqualis duobus ſimul ABE, EAB, quare
& CEB ijſdem angulis ABE, EAB æqualis crit, eſtque pars CED æqualis
vnico angulo EAD, ergo reliquus angulus DEB reliquo DBE æqualis erit,
hoc eſt recta DB æqualis DE. Itaque in vtraque figura cum DB ſit æqualis
DE, ſitque DE media proportionalis inter AD, DC, erit quoq; DB media
inter eaſdem AD, DC. Quod erat demonſtrandum.
Sifuerit vt recta AD ad DC, ita quadratum AB ad BC, erunt
AD, DB, DC in continua ratione geometrica.
SIenim DB non eſt media proportionalis inter AD, DC, eſto ſi fieri po-
teſt media quæcunque DE; erit igitur, in prima figura, tota AD ad to-
tam DE, vt pars DE ad partem DC, ergo reliqua AE ad reliquam EC, erit
(ex cõ-
ſtructione) in ſecunda verò cum ſit AD ad DE vt DE ad
per-
mutando AE ad EC, vt ED ad DC, vel vt AD ad DE
(ex conſtructione) cum ergo in vtraque figura ſit AE ad
EC, vt AD ad DE, erit quadratum AE ad EC, vt qua-
dratum AD ad DE, vel vt recta AD ad DC, vel vt qua-
dratum AB ad BC (ex ſuppoſitione) vel recta AE ad
EC, vt recta AB ad BC, & in prima figura componen-
do, at in ſecunda diuidendo, AC ad CE, vt AC ad CB,
quare CE, CB inter ſe ſunt &quales, totum, &
pars,
quod eſt abſurdum: non eſt ergo media inter AD, &
DC, quæ ſit maior, vel minor DB; vnde ipſa DB erit
media proportionalis inter AD, & DC.
Quod demon-
ſtrare oportebat.
HInc patet, quod, cum fuerint tres magnitudines continuè proportio-
nales, tùm exceſſus quibus differunt, tùm earum aggregata, erunt in
eadem ratione, in qua ſunt datæ magnitudines: quando enim poſitum fuit
eſſe AD ad DE, vt DE ad DC oſtenſum quoque fuit AE ad EC eſſe vt AD
ad DE, ſed in prima figura AE, EC ſunt exceſſus datarum magnitudinum,
in ſecunda verò ſunt aggregata primæ cum ſecunda, & ſecundæ cum tertia;
quare patet, &
c.
Si duæ Parabolæ ad eaſdem partes deſcriptæ ad idem punctum
ſimul occurrant, ſintque earum diametri inter ſe æquidiſtantes, &
applicatæ ſint eædem, ac ipſarum vertices ſint in eadem recta, quæ
ducitur ex occurſu; ipſæ in nullo alio puncto ſimul conuenient, &
omnes, quæ ex contactu in ipſis ducuntur in eadem ratione à ſe-
ctionibus diuidentur.
ESto Parabole ABC, cuius diameter BF, &
ducta BA, ſit quælibet DE
ipſi BF æquidiſtans, & AC ordinatim applicata BF, &
per verticem D,
dico primum Parabolen ADG, etiam ſi in infinitum producatur, totam ca-
dere intra ABC, & ſi ex A ducatur quæcunque ANMH, ipſam à Parabola
ADG ſecari in O, in eadem ratione, ac AC ſecatur in G, & AB in D.
Ducta enim ex A recta AP contingente Parabolen ABC, erit FB æqualis
BP; ideoque ED æqualis DR, vnde AR continget Parabolen ADG, &
AH
ſecabit ipſam in O.
Iam ductis ex H, O, ſemi - applicatis HI, OL, erit, ob Parabolen, FB ad
BI, vt quadratum AF ad HI, vel vt quadratum FM ad quadratum MI; qua-
re per Lemma præcedens, erit FB ad BM, vt BM ad BI, & per Coroll.
eiuſ-
dem, in vtraque figura, erit FM ad MI, vt FB ad BM; eadem penitus ratio-
ne oſtendetur eſſe EN ad NL, vt ED ad DN, ſed eſt FB ad BM, vt ED ad
DN, quare & FM ad MI erit vt EN ad NL, ſed FM ad MI, eſt vt AM ad MH,
& EN ad NL, vt AN ad NO, quare AM ad MH erit vt AN ad NO, &
in pri-
ma figura conuertendo, componendo, & permutando, HA ad AO, vt MA
ad AN; in ſecunda verò per conuerſionem rationis, conuertendo, &
per-
mutando HA ad AO erit vt MA ad AN. Eſt igitur in vtraque figura HA ad
AO, vt MA ad AN, vel vt BA ad AD, ſed eſt BA maior AD ex conſtru-
ctione, quare & HA erit maior AO, ſed HA tota eſt intra Parabolen ABC,
vnde punctum O, quod eſt in Parabola ADG erit intra Parabolen ABC, &
ſic de quocunque alio puncto Parabolæ ADG, etiam ſi ducta AH cadat in-
fra AC; quare ipſa cadit tota intra ABC:
&
cum ſit HA ad AO, vt BA ad
AD, vel vt FA ad AE, vel ſumptis duplis, vt CA ad AG, erit diuidendo
HO ad OA, vt CG ad GA. Quod erat, &
c.
HInc patet, quod ſi recta linea in Parabola vtcunque applicata ex
ſectionem conueniat, atque ex ipſius terminis cum ſectione, ad diametrum
ducantur ordinatæ, erunt ab his abſciſſa diametri ſegmenta ex vertice ſum-
pta, extremæ, & abſciſſum ab applicata, erit media trium continuè propor-
tionalium. Demonſtratum eſt enim in figuris Theorematis quando AH dia-
metrum ſecat in M, & ſectionem in A, H, quod ordinatim applicatis AF,
HI, eſt FB ad BM, vt BM ad BI.
EX quo etiam elicitur, quod ſi in Parabola ABC ducta AH diametrum
ſecans in M producatur vſque ad occurſum cum contingente ex verti-
ce B in S, ſemper rectangulum ſub ſegmentis AS, & SH, inter ſectionem, &
contingentem interceptis æqua†@ quadrato ſegmenti SM inter contingẽtem,
ac diametrum intercepti. Nam cum ſit vt FB ad BM, ita BM ad BI erit quo-
que ob parallelas, AS ad SM, vt SM ad SH, quare rectangulum ASH æqua-
bitur quadrato SM.
HInc etiam eſt, quod, ſi ijſdem poſitis,
interior Parabole ADG habuerit ver-
que tranſibit per F medium punctum baſis
AC, & quæcunque educta ex contactu A,
qualis eſt AH, bifariam ſecabitur in O ab in-
terna ſectione; quare ſi ex O ducatur OLM
diametro BF æquidiſtans, ipſa erit diameter
portionis ALH, & AH vna applicatarum,
AO verò ſemi-applicata. Cumque ſit AP
contingens ABC in A, erit OL in trilineo
mixto ADFB, æqualis LM in trilineo mixto
ALBP, & ſic de omnibus vbicunque inter-
ceptis in ijſdem trilineis.
Parabolæ æqualium altitudinum inter ſe ſunt vt baſes.
SInt duæ Parabolæ ABC, DEF æqualium altitudinum, hoc eſt concipian-
tur diſpoſitæ inter eaſdem parallelas BE, AF: dico eſſe vt baſis AC
vnius, ad baſim DF alterius, ita Parabole ABC ad Parabolen DEF.
Nam ſi hæ Parabolæ non fuerint baſibus proportionales, erit altera Para-
bolarum minor quàm opus eſt ad hoc vt huiuſmodi magnitudines ſint pro-
portionales. Eſto igitur ſi poſſibile eſt minor ABC, &
eius defectus ſit O;
ita vt baſis AC ad DF ſit vt aggregatum Parabolæ ABC cum magnitudine O
ad Parabolen DEF. Iam iuxta vulgatam methodum Antiquorum circum-
ſcribatur Parabolæ ABC, ſigura ex parallelogrammis conſtans, æqualium
altitudinum, ita vt eius
exceſſus ſupra Parabo-
quod
fiet, nempè ſi ex circũ-
ſcripto Parabolæ paral-
lelogrammo A Y; per
biſectionem diametri B
G in I, auſeratur dimi-
dium parallelogrammũ
AL, & exreliquo dimi-
dium, donec ſuperſit pa-
rallelogrammum CM,
quod minus ſit ſpacio O: ſic enim exceſſus circumſcriptæ figuræ ex paralle-
logrammis, ſupra inſcriptam ex æque altis parallelogrammis erit maximum
parallelogrammum CM, (vt ſatis patet) quod eſt minus ſpacio O, ac ideo ex-
ceſſus circumſcriptæ ſupra ipſam Parabolen erit adhuc minor O; quapropter
addita communi Parabola ABC, erit vniuerſa figura circumſcripta minor
aggregato Parabolæ ABC cum ſpacio O: itaque circumſcripta ABC ex pa-
rallelogrammis ad Parabolen DEF minorem habebit rationem, quam hu-
iuſmodi aggregatum ad eandem Parabolen DEF, ſed prædictũ aggregatum
ad DEF Parabolen ponitur eſſe vt baſis AC ad DF, vel vt circumſcripta
ABC ad circumſcriptam DEF, quæ per æquidiſtantium baſibus interſectio-
nem deſcripta, ex æquè altis, & numero æqualibus, ac proportionalibus pa-
rallelogrãmis conſtabit (cum ſit quadratum A C ad QX, vt recta GB ad BN,
vel vt HE ad EP, vel vt quadratũ DF ad quadratum TZ;vnde &
recta AC ad
QX, vel parallelogrammum CM ad QS, vt recta DF ad TZ, vel vt paralle-
logrammum DR ad TV, & ſic de reliquis ſingula ſingulis, vnde vniuerſa cir-
cumſcripta ABC, ad vniuerſam DEF, eſt vt vnum CM ad vnum DR, vel vt
baſis AC ad baſim DF) quare circumſcripta ABC ad Parabolen DEF mino-
rem habebit rationem, quam eadem circumſcripta ad circumſcriptam DEF,
hoc eſt circumſcripta ex parallelogrammis erit minor ei inſcripta Parabola
DEF, totum parte; quod eſt abſurdum:
inter has ergo Parabolas non datur
minor quàm ſit opus ad hoc vt ipſæ ſint baſibus proportionales: erit ergo Pa-
rabole ABC ad DEF, vt baſis AC ad DF baſim. Quod erat demonſtrandum.
QVod oſtenſum eſt de integris Parabolis æquè altis, idem penitus con-
ſimili conſtructione, eademque ratiocinatione demonſtrabitur de
duobus trilineis ABG, CBG ab eadem diametro BG abſciſſis; item de duobus trilineis Parabolicis ABG, DEH æqualium altitudinum, à
diametris BG, EH;
&
ſemi-applicatis AG, DH compre-
henſis, nempe trilineum ABG ad CBG, eſſe vt baſis AG ad GC, ſib æqua-
lem; ac propterea diametrum BG Parabolen ABC bifariam ſecare;
&
vnũ-
quodque trilineorum eſſe ſemi-Parabolen; &
ſemi-Parabolen ABG ad ſe-
mi-Parabolen DEH æqualis altitudinis, eſſe vt baſis AG ad baſim DH, &
integram ABC ad dimidiam DEH eſſe vt baſis AC ad ſemi-baſim DH.
Parabolæ æqualium baſium ſunt inter ſe vt altitudines.
SInt primò duæ Parabolæ ABC, ABC ſuper eandem baſim AC, &
circa
eandem diametrum BE. Dico has eſſe inter ſe vt earum altitudines FA,
GA; &
quod de ſemi-Parabolis EBC, EDC demonſtrabitur, idem inſe-
quetur de duplis.
Si enim non eſt vt FA
le EBC ad EDC, erit al-
tera ipſarum minor quàm
ſit opus ad hoc vt ſint pro-
portionales altitudinibus
FA, AG, ſitque, ſi poſſi-
bile eſt, minor EBC de-
fectu R, & bifariam ſecta
EC in H, & iterum EH
bifariam in I, &c.
circum-
ſcribatur, vt in pręceden-
ti, trilineo ſemi-Parabo-
læ ECB figura BLCE ex
parallelogrammis ęque
altis conſtans, cuius ex-
ceſſus ſupra ſemi-Parabolen ſit minor R, ita vt ipſa circumſcripta figura
BLCE ad ſemi-Parabolen EDC adhuc minorem habeat rationem quàm
altitudo FA ad AG; quo facto, ſemi-Parabolæ quoque EDC per æquidi-
ſtantium diametro interſectionem altera circumſcribatur figura DMNCE
ex totidem Parallelogrammis æque altis, &c.
Et cum ſir ob Parabolas, re-
cta BE ad OI, vt rectangulum AEC ad AIC, vel vt DE ad PI, erit permu-
tando BE ad ED, vel parallelogrammum BI ad DI, vt OI ad IP, vel vt pa-
rallelogrammum OH, ad PH, & ſic de reliquis circumſcriptæ BL CE, ad re-
liqua circumſcriptæ DMCE, ſingula ſingulis, quare vniuerſa circumſcripta
ALCE ad vniuerſam DMCE, erit vt vnum parallelogrammum BI ad vnum
DI, vel vt baſis BE ad ED, vel vt FA ad AG, ſed FA ad AG habet maiorem
rationem quàm circumſcripta ALCE ad ſemi-Parabolen EDC; quare cir-
cumſcripta ALCE ad circumſcriptam DMCE, habebit maiorem rationem
quàm ad ſemi-Parabolen EDC, vnde circumſcripta DMCE minor erit in-
ſcripta ſemi-Parabola EDC; totum parte, quod eſt abſurdum.
Non datur
ergo inter has ſemi-Parabolas minor quàm ſit opus, ad hoc vt ipſæ ſint ba-
qua-
EDC, ſiue tota ABC ad
totam ADC, ſuper ea-
dem baſi AC, & circa eã-
dem diametrum BE, eſt vt
altitudo FA ad AG. At
ſi concipiatur altera Para-
bole QST, cuius baſis QT
æqualis ſit baſi AC, alti-
tudo verò SV ſit æqualis
ipſi GA (quæcunq; ſit in-
clinatio baſis cum diame-
tro SZ) ipſa, per præcedẽ-
tem propoſitionem, ęqua-
lis erit Parabolę ADC, ac
ideo QST ad ABC eandem habebit rationem, quàm ADC ad ABC, vel
quàm altitudo GA, ſiue SV ad FA. Vnde Parabolæ æqualium baſium
ſunt inter ſe vt altitudines. Quod erat, &
c.
Sirecta linea ſemi-Parabolen ad extremum baſis contingens
cum diametro conueniat, & intra ipſam ſuper eadem baſi deſcri-
pta ſit Parabole, cuius diameter ſit dimidium diametri ſemi-Para-
bolæ, ac ei æquidiſtet; erit trilineum à contingente, producta dia-
metro, & conuexa ſemi-Parabolica linea contentum, æquale tri-
lineo à diametro, conuexa Parabolica, & concaua ſemi-Parabo-
lica comprehenſo.
ESto ſemi-Parabole ABC, cuius baſis AC, &
contingens AE diametro
CB occurrens in E, & iuncta AB, ac bifariam ſecta AC in F, agatur F
GH æquidiſtans CB, & ſuper baſi AC cum diametro GF, quod eſt dimidium
CB, deſcripta ſit Parabole AGC, (quæ cadet Dico tri-
Sed ad hoc demonſtrandum, videndum eſt primò, quomodo cuilibet tri-
lineo ex prædictis, circumſcribi poſſint figuræ ex æquè altis, & numero æ-
qualibus parallelogrammis, &c.
Per continuam igitur biſectionem, diuidatur contingens AE, vel baſis AC
in quotcunq; partes æquales CD, DL, LM, MF &
c.
: &
per diuiſionum pun-
cta D, L, M, F, &c.
ducãtur ipſi CBE æquidiſtantes D1, L2, M3, F4, &
c.
quæ
ſemi-Parabolen ſecent in Q, R, K, H &c.
Parabolen verò in N, O, P, G, &
c.
;
& ex B, Q, R, K &
c.
: ducantur BY, QZ, R&
, KI &
c.
: ipſi AE parallelæ, quæ
intra ſemi-Parabolen ABC cadent (cum ſint contingenti æquidiſtantes) vel
extra trilineum AEBHA. Hac ergo methodo circumſcribetur trilineo figu-
ra EBYZ&I &
c.
ex æquè altis parallelogrammis &
c.
Iam ſi iungantur AN, AO, AP, &
c.
quæ ſecent LO, MP, FG, &
c.
in 5, 6,
7, &c.
incerceptæ N5, O6, P7, cadent totæ intra Parabolen AGC, hoc eſt
extra trilineum AGCB; &
ſi ex punctis B, Q, R, K, &
c.
ducantur contin-
gentes BS, QT, RV, KX, &c.
ipſæ æquidiſtabunt rectis CD, N5, O6, P7,
&c.
(cum ductæ AC, AN, AO, AP, &
c.
ſint
c) ſicque circumſcribetur trilineo AHBCGA, figura
ex æquealtis parallelogrammis BD, S5, T6, V7, &c.
Ampliùs, ſi ipſæ ZQ, &
R, IK, &
c.
producantur extra ſemi-Parabolen,
cadent totæ intra trilineum AEBH, atque ita inſcribetur ei figura ex paralle-
c.
Et ſi ex punctis Q, R, K, &
c.
ducantur contingentibus SB
TQ, VR, &c.
æquidiſtantes, cadent totæ intra trilineum AHBCG, cum ſint
ordinatim ductæ, & ſi ex punctis N, O, P, &
c.
ducantur ad partes diametri
EBC rectæ æquidiſtantes ipſis AC, AN, AO, &c.
(quæ erunt etiam paral-
lelæ contingentibus ex B, Q, R, &c.
vel prædictis applicatis ex Q, R, K &
c.)
cadent hæ@ quoq;
intra trilineum AHBCG, nam quæ ex N ducitur ipſi AC
æquidiſtans ad partes diametri CB cadit extra Parabolen AGNC, cum ſit
AD maior DC, & quæ ex O ęquidiſtat ipſi AN cadit extra AGC, cum ſit AS
maior 5N, & ſic de reliquis.
Itaq;
hac operatione inſcribetur trilineo AH-
BCG figura ex parallelogrãmis æquealtis, &c.
Quare ex his, &
ex 14.
huius
æque-altis parallelogrammis, &c.
quæ ſuperet proprium trilineum magni-
tudine, quæ minor ſit quacunque magnitudine propoſita.
Iam dico huiuſmodi trilinea inter ſe eſſe æqualia.
Nam ſi ſint inæqualia,
alterum ipſorum, vt puta AHBCGA altero AHBE minus erit, & defectus ſit
ſpacium Vquo poſito circumſcribatur, vti nuper docuimus, trilineo AHB
CGA figura ex parallelogrammis SC, TN, VO, HP, &c.
cuius exceſſus ſupra
trilineum ſit minor magnitudine Vquapropter talis figura adhuc minor erit
trilinco AEBHA, cui circumſcribatur, item per eaſdem lineas ipſi CB æqui-
, 3I, &
c.
Patet nũc
talem circumſcriptam, alteri circumſcriptæ ABD 567, &c.
ęqualem eſſe, cum
vtraq; ipſarum ex æqualibus numero, &
magnitudine parallelogrammis cõ-
ſtet vtrunq; vtrique:
(parallelogramma enim EY, BD, ſunt inter eaſdem pa-
rallelas, & ſuper æqualibus baſibus EB, BE;
&
parallelogrammum IZ æqua-
tur parallelogrãmo Q5, cum inter eaſdem ſint parallelas, & ſuper æqualibus
baſibus ſic de ſingulis) ſed circumſcripta ABD 567, &
c.
eſt mi-
circumſcripta AEBYZ
&I, &
c.
minor erit eodem trilineo AEBHA;
totum parte, quod eſt abſurdũ.
Quare huiuſmodi trilinea inter ſe ſunt æqualia.
Quod oſtendere propoſi-
tum fuit.
Parabole ſeſquitertia eſt trianguli eandem ipſi baſim, &
ean-
dem altitudinem habentis.
REpetito præcedenti diagrammate, dico Parabolen AB8 ſeſquitertiam
eſſe inſcripti trianguli AB8.
Nam ducta G9 parallela ad AC deſcribatur ſemi Parabole 9, 8, cuius dia-
meter ſit 9C, & ſemi-applicata ſit C8, æqualis baſi AC Parabolæ
AGC. Et cum ſit ſemi-Parabole ABC æqualis
c.)
erit Parabole AGC dimidium ſemi-Parabo-
quare
vt 6 ad 4, ſed ad triangulum ABC eſt vt 6 ad 3, cum ſit EC dupla CB, vnde
ſemi-Parabole ABC ad triangulum ABC, hoc eſt dupla ad duplum, nempe
Parabole AB8 ad inſcriptum triangulum AB8, erit vt 4 ad 3. Quod demon-
ſtrare oportebat.
VT hoc loco, ex aduerſo indirectæ Antiquorum viæ per duplicem
poſitionem, luce clarius pateat quantum facilitatis, breuitatis,
atquæ euidentiæ naſciſcatur è noua, directaque methodo (rectè
tamen cautèque vſurpata) acutiſsimi Geometræ Caualerij,
per indiuiſibilium doctrinam, nobis amiciſsimam, ex hac alteram accipe
eiuſdem theorematis demonſtr ationem, conſimili arte cōp@catam, ac in præ-
cedenti.
Parabole ſeſquitertia eſt trianguli eandem ipſi baſim, &
ean-
dem altitudinem habentis.
SIt Parabole ABC, cuius diameter BD, baſis AC:
dico ipſam ſeſquiter-
tiam eſſe inſcripti trianguli ABC.
Bifariam enim ſecta AD in G, per quod ducta GF parallela ad DB, &
per
F, FH parallela ad AD, ac deſcriptis, vt in præcedenti figura Parabola
AED, & portione Parabolæ HCD, cuius diameter ſit HD, &
ſemi-applica-
ta ſit DC ducatur in tota ABC quælibet applicata NI. diametrum ſecans in
M, eritque NM æqualis ML, & ſic de quibuslibet alijs applicatis ipſi AC æ-
quidiſtantibus, quare omnes ſimul in portione ABD, omnibus ſimul in por-
tione DBC æquales erunt, ſiue portio ABD æqualis DBC, nempè vtraque
erit ſemi-Parabole, & eadem ratione oſtendetur DHC ſemi-Parabolen eſſe.
Iam applicata quacunque OPQR, tùm in Parabola AED, tùm in ſemi-
Parabola DHC; cum ſit quadratum AD ad OP vt linca GF ad FS, vel vt DH
ad HQ, vel vt quadratum DC ad QR, ſintque antecedentia AD, DC ęqua-
lia, erunt & conſequentia OP, QR æqualia, nempè applicata OP æqualis ap-
plicatæ QR, & ita de omnibus &
c.
quare integra Parabole AED æquatur
ſemi-Parabolæ DHC.
Amplius ducta quacunque TVX
parallela ad BD, erit BD ad TX, vt
HD ad VX, & permutando, cum ſit
BD dupla DH, & TX erit dupla XV,
& ſic de omnibus interceptis, &
æ-
quidiſtantibus in ſemi-Parabola DB
C, & in ſemi-Parabola DHC, vnde
tota ſemi-Parabole DBC dupla eſt
totius ſemi-Parabolæ DHC, & ſum-
ptis æqualibus; ſemi-Parabole ABD
dupla Parabolæ AFD, ſiue trilineum
ANBDFA, æquale erit Parabolæ
AFD.
Tandé, ſi ſit AE contingens ABC
in A, erit EB æqualis BD, & ducta
in trilineo AEBDFA quacunque IKZ parallela ad ED, erit IK æqualis ſic de omnibus alijs interceptis in trilineis AEBNA, &
ANBDFA quare
totum trilineum AEBNA æquabitur toto trilineo ANBDFA, ſed hoc, modò
oſtenſum fuit æquale Parabolæ AFD, quapropter totum triangulum AED
erit ſeſquialterum ſemi-Parabolæ ABD, vel erit vt 6 ad 4, ſed ad triangulum
ABD eſt vt 6 ad 3; quare ſemi - Parabole ABD ad inſcriptum triangulum
ABD erit vt 4 ad 3, & duplum ad duplum, hoc eſt Parabole ABC ad trian-
gulum ABC, ſuper eadem baſi AC, & eiuſdem altitudinis cum Parabola,
erit vt 4, ad 3, nempe ſeſquitertium. Quod erat demonſtrandum.
Sed iam tempus eſt vt ſuſceptum opus aggrediamur, initio facto à defini-
tionibus.
CONI SECTIONES ÆQVALITER INCLINAT Æ
angulos cum earum diametris efficiunt.
Videlicet coni - ſectio ABC vocabitur æqualiter incli-
nata, vel eiuſdem inclinationis, ac ſectio conica DEF, cum
vtriuſque ordinatim ductæ AGC, DHF, earum diametros
BG, EH, ad æquales diuidunt angulos, hoc eſt cum an-
gulus AGB, angulo DHE, & qui ei deinceps CGB reli-
quo FHE æqualis fuerit.
Coni-ſectio vel circulus, coni-ſectioni, vel circulo ſi-
tur, quando cum fuerint æqualiter inclinatæ earum diametri, & ordinatim
ductæ inter ſe mutuò congruant.
Nempe cum duę coni-
qualiter inclinatæ, ita di-
ſpoſitę fuerint vt ipſarum
diametri BG, EI ſibi mu-
tuò congruant, & omnes
vnius applicatę (quarum
vna AG) congruant om-
nibus alterius applicatis,
(quarum vna ſit DI) ipſæ
vocentur ſectiones ſimul
adſcriptæ.
Coni-ſectio, vel circulus, coni-ſectioni, vel circulo inſcribi dicatur, vel
SECTIO SECTIONI INSCRIPTA vocetur, quando cum fuerit altera al-
teri adſcripta, ſit quoque tota intra eandem, nec alicubi ſe mutuò ſecent,
licet in infinitum producantur, quæ in infinitum extendi poſſunt.
Hoc eſt, ſi vt in prima, &
ſecunda figura vtriuſque ordinis præcedentis
ſchematis duæ coni-ſectiones ABC, DEF fuerint ſimul adſcriptæ, & altera
ipſarum vt DEF tota cadat intra aliam ABC, tunc dicatur ſectio DEF inſcri-
pta ſectioni ABC.
Coni-ſectio, vel circulus, coni-ſectioni, vel circulo circumſcribi intelli-
gatur, vel SECTIO SECTIONI CIRCVMSCRIPTA dicatur, ſi cum fue-
rit altera alteri adſcripta, tota quoque cadat extra eandem, nec alicubi ſe
mutuò ſecent quamuis in infinitum abeant.
Qualis eſt in prædictis figuris ſectio ABC, quæ cum ſit adſcripta ſectioni
DEF tota cadit extra eandem DEF.
Coni-ſectio, vel circulus coni-ſectioni, vel circulo per verticem, vel per
punctum intra, aut extra ſectionem datum adſcribi, vel inſcribi, aut circum-
ſcribi intelligatur, ſiue SECTIO SECTIONI PER VERTICEM, vel PER
DATVM PVNCTVM INTRA, aut EXTRA SECTIONEM ADSCRI-
PTA, vel INSCRIPTA, aut CIRCVMSCRIPTA dicatur, quando cum
fuerit altera alteri adſcripta, vel inſcripta, aut circumſcripta, vnius diameter
per datum punctum educta ſit quoque diameter alterius; vt videre eſt in
præcedentibus figuris.
HYPERBOLE, &
ELLIPSES, SIMILES inter ſe dicantur, quando cum
fuerint ęqualiter inclinatę ipſarum latera ſint proportionalia, hoc eſt vt tran-
ſuerſum vnius ad rectum, ita ſit tranſuerſum ad rectum alterius eiuſdem no-
minis.
CONGRVENTES CONI-SECTIONES dicantur illæ, quæ cum fue-
congruant.
CONI-SECTIONIS VEL CIRCVLI PORTIO, SIVE SEGMENTVM
vocetur ſuperficies à quadam ſectionis ordinatim ducta, & curua ſectionis,
aut circuli peripheria terminata. Et ipſa ordinata dicatur
BASIS PORTIONIS, SIVE SEGMENTI.
MENSALIS CONI-SECTIONIS, VEL CIRCVLI
dicatur differentia duorum ſegmétorum eiuſdem coni-
ſectionis, quorum baſes ſint parallelæ.
Vt ſi ex coni-ſectione, vel circulo ABC abſcindan-
tur duæ portiones ABC, DBE, quarum baſes AC, DE
ſint parallelæ, ipſarum portionum differentia ADEC di-
catur menſalis, & ipſæ AC, DE baſes, &
AD, CE late-
ra eiuſdem menſalis.
Si fuerint duæ quæcunque coni-ſectiones æqualiter inclinatæ
per vertices ſimul adſcriptæ, ipſæ vel erunt in totum congruentes,
& eiuſdem nominis, vel in totum diſiunctæ, præter in vertice, hoc
eſt altera alteri inſcripta, vel in duobus tantùm punctis ſe mutuò ſe-
cabunt in ipſis tamen verticibus ſe contingentes.
SInt in præſenti ſchematiſmo duæ quæcunque coni-ſectiones ABC, DBE
munis diameter ſit BF: dico has ſectiones, vel eſſe in totum congruentes, vel
in totum diſiunctæ, vel in duobus tantùm punctis, ſe mutuò ſecantes.
Ducatur ex vertice B cuilibet in altera ſectionum ordinatim applicatæ æ-
quidiſtans BGH, quæ vtranq; ſectionem continget
BG rectum ſectionis DBE, ipſarumque regu-
læ, ſectionis videlicet ABC, ſit HPL, & ſectionis DBE ſit GOI.
Iam, vel regulæ GOI, HPL ſibi mutuò congruunt, vel infra contingen-
tem BGH nunquam conueniunt, vel infra eandem ſe mutuò ſecant. Si pri-
mùm, vt in primis 4. figuris;
dico ſectiones in totum ſimul congruere, &
eiuſ-
dem nominis eſſe.
Sumpto enim in ſectione ABC quolibet puncto M, per ipſum ducatur ſe-
ctionum communis ordinatim applicata MNFOP, ſectionem ſecans DBE in
N, diametrum in F, regulam GI in O, NL in P. Et quoniam in 4.
primis fi-
guris, in quibus regulæ ſunt congruentes latitudines FO, FP ſunt æquales,
& altitudo eadem BF erit rectangulum BFO
ſemi-applicatæ NF, MF æquales erunt, hoc eſt ſectiones DBE, ABC con-
ueniunt ſimul in punctis N, & M, quæ ſunt extrema communium applicata-
idemque oſtendetur de omnibus alijs ex-
tremis punctis communium applicatarum ad vtraſque diametri partes: qua-
re huiuſmodi ſectiones erunt in totum congruentes: eruntque eiuſdem no-
minis; quoniam cum regula Parabolæ æquidiſtet diametro;
Hyperbolæ au-
tem conueniat cum diametro extra ſectionem; Ellipſis verò eidem diametro
intra ſectionem occurrat, hoc eſt ad extremum tranſuerſi lateris, cumque
harum ſectionum diametri ſimul congruant (nam ſectiones ſunt ſimul adſcri-
ptæ) ſi diuerſi nominis eſſent ipſarum regulæ nunquam congruerent, quod
eſt contra hypoteſim. Sunt ergo tales ſectiones congruentes ſimul, &
eiuſ-
dem nominis. Quod primò, &
c.
Si verò regulæ GOI, HPL infra contingentem BGH nunquam conueniũt,
diſiunctim ſimul procedentes, vt in 26. proximè ſubſequentibus figuris ap-
paret, in quarum primis quatuor, regulæ ſunt parallelæ, in reliquis autem à
contingente BGH ad partes ſectionum ſunt ſemper inter ſe recedentes, eſtq; regula GOI propinquior diametro quàm HPL;
facta eadem conſtructione,
vt ſupra; quoniam latitudo FO minor eſt latitudine FP, &
altitudo BF eſt ea-
dem, erit rectangulum BFO quare punctum m ſectionis AB
C cadit extra ſectionem DBE: idemque de omnibus alijs punctis ſectionis
ABC ad vtranque diametri partem. Vnde tota ſectio ABC cadit extra ſe-
ctionem DBE; ideoq;
tales ſectiones ſunt in totum diſiunctæ (eò quod ſem-
per diſiunctim procedant ipſarum regulæ) & in communi tantùm vertice B
ſe mutuò contingunt. Quod ſecundò, &
c.
Sitandem ſectionum regulę GOI, HPL infra contingentem BGH ad par-
tes ſectionum ſe mutuò ſecant in P, vt videre eſt in 9. vltimis figuris;
duca-
tur ex P communis ſectionum applicata PFNM ſecans diametrum in F, ſe-
ctionem ABC in M, & DBE in N.
Iam cum in ſectione ABC quadratum
applicatæ MF æquale quadratum applicatæ NF in
ter ſe æqualia, hoc eſt ipſæ applicatæ æquales; quare huiuſmodi ſectiones
conueniunt ſimul in puncto M. Eadem omnino ratione oſtendetur has ſe-
ctiones ad alteram quoque diametri partem ſimul conuenire in extremo pũ-
cto R reliquæ ad vnam ſectionum applicatæ ex eodem diametri puncto F: ergo in duobus punctis M &
R, præter in communi vertice B, ſimul conue-
niunt, in quibus patet has ſectiones ſe mutuò ſecare; nam regulæ HL, GI
conueniunt ſimul in vnico puncto P, in quo ſe mutuò ſecantes, hinc inde di-
ſiunctim procedunt, cadens PH ſegmentum regulæ LPH remotius à diame-
tro BF, quàm PG ſegmentum regulæ GOI; ideoque &
ſegmentum ſectionis
ABC ſupra applicatam MR totum cadet extra ſegmentum ſectionis DBE
ſupra eandem applicatam; è contra verò reliquum portionis ABC infra ap-
plicatam MR cadet totum intra reliquum portionis DBE infra eandem ap-
plicatam, cum ſegmentũ PL propriæ regulæ HPL diſiunctum ſit, & propius
diametro BF quàm ſegmentum PI propriæ regulæ GOI: omneque id oſten-
ditur eadem penitus ratione, ac in ſecunda parte huius Theorematis demõ-
ſtrauimus: quare huiuſmodi coni-ſectiones per vertices ſimul adſcriptæ, &
quarũ regulæ ſe mutuò ſecant infra contingentem ex vertice, in ipſis vertici-
&
in duobus tantùm punctis ſe mutuò ſecant.
Quod tan-
dem erat demonſtrandum.
PAtet hinc, quod ſi regulæ coni-ſectionum per vertices ſimul adſcripta-
rum ſibi ipſis congruant ſectiones quoque erunt inter ſe congruentes,
vt in primis quatuor figuris præcedentis ſchematis oſtenſum eſt; &
ſi fuerint
inter ſe congruentes, etiam ipſarum regulæ ſimul congruent: ſed cum regu-
læ ſimul congruunt, congruunt quoque, & latera, &
è conuerſo, cum ad æ-
quales angulos inter ſe diſpoſita intelligantur, quare cum latera fuerint inter
ſe congruentia ſiue æqualia, ſectiones quoque inter ſe congruentes erunt; &
ſi ſectiones fuerint congruentes etiam ipſarum latera æqualia erunt.
Si verò regulę infra recta ſectionum latera ex vertice contingenter appli-
cata diſiunctim procedentes nunquam ſimul conueniant, nec ipſæ ſectiones
vnquam conuenient, ſed in vertice ſe mutuò contingent, & ea inſcripta erit,
ſiue minor, cuius regula infra prædictam contingentem diametro ſectionum
ſit propior, ſeu cadat tota inter diametrum, & regulam alterius ſectionis;
quæ è contra circumſcripta erit, ſiue maior, vt apparet in 26.
figuris ſubſe-
quentibus.
Si tandem ipſarum regulæ infra contingentes ex vertice ſe mutuò ſecent,
ſectiones quoque, ſed in duobus tantùm punctis hinc inde à vertice (in quo
ſe tangunt) ſe mutuò ſecabunt, in illis nempe, quæ ſunt extrema eiuſdem
ordinatim applicatæ, ex regularum interſectione eductæ, ſuper qua duæ co-
ni-ſectionum portiones inerunt, quarum ea erit inſcripta, cuius regulæ ſe-
gmentum inter prædictam applicatam, & contingentem interceptum, pro-
pinquius ſit diametro ſectionum, altera verò circumſcripta, ſiue maior cuius
regulæ ſegmentum à prædicta diametro magis diſtet, quod omne ſatis patet
ex reliquis eiuſdem ſchcmatis figuris.
PAtet quoque in Parabolis, &
in alijs coni-ſectionibus eiuſdem nominis
per vertices ſimul adſcriptis, cum eodem tranſuerſo latere, illam, quę
minus habet rectum latus inſcriptam, ſiue minorem eſſe ea cuius rectum la-
tus maius eſt, & è contra.
Nam in 5.
13.
ac 14.
figura, in quibus ſectiones
ſunt eiuſdem nominis, vti etiam in 15. &
16.
(diximus enim circulum non
incongruè haberi poſſe pro Ellipſi) demonſtratum eſt ſectionem DBE, cuius
rectum BG minus eſt recto BH ſectionis ABC, totam cadere intra ABC, vn-
de erit inſcripta, ſiue minor, & è contra, ſectionem ABC cuius rectum maius
eſt totam cadere extra DBE, cuius rectum eſt minus: quapropter erit ei cir-
cumſcripta, ſiue maior.
HInc quoque eruitur Hyperbolarum per vertices ſimul adſcriptarum
cum æqualibus rectis lateribus, illam, cuius tranſuerſum latus maius
&
è con-
tra eam eſſe circumſcriptam, ſiue maiorem, cuius tranſuerſum minus eſt. Nam in 9.
figura, in qua ſectiones ſunt Hyperbolæ ſimul adſcriptæ cum eo-
dem recto latere, oſtenſum fuit Hyperbolen DBE, cuius tranſuerſum BI ma-
ius eſt, totam cadere intra Hyperbolen ABC, cuius tranſuerſum BL minus
eſt, & ideo DBE erit inſcripta, ſiue minor;
&
è contra ipſa ABC, cuius tranſ-
uerſum eſt minus, erit circumſcripta, ſiue maior.
PAtet etiam in Ellipſibus tantùm, vel in Ellipſibus, &
circulis per cundem
verticé ſimul adſcriptis cũ eodem recto latere, eam eſſe inſcriptam, ſiue
minorem, cuius tranſuerſum latus minus eſt, & è contra eam circumſcriptam,
vel maiorem eſſe, cuius tranſuerſum maius eſt: quoniam in 10.
11.
&
12.
figu-
ra oſtenſum fuit Ellipſim, vel circulum DBE, cuius tranſuerſum BI minus
eſt, totam cadere intra Ellipſim, vel circulum ABC, cuius latus tranſuerſum
BL maius eſt; quare ipſa DBE erit inſcripta, ſiue minor:
&
è contra Ellipſis,
vel circulus ABC erit circumſcriptus, ſiue maior, &c.
MAnifeſtum eſt etiam ſimiles coni-ſectiones per vertices ſimul adſcri-
ptas habere regulas parallelas, & eam ſectionem eſſe inſcriptam, vel
minorem, cuius latera minora ſunt; &
è contra eam eſſe circumſcriptam, vel
maiorem, cuius latera ſunt maiora. Si enim in 6.
7.
&
8.
figura coni-ſectio-
nes ABC, DBE eiuſdem nominis, ac per verticem B ſimul adſcriptæ, fuerint
ſimiles, erit tranſuerſum LB ad rectum BH vt tranſuerſum IB ad rectum BG,
& permutando, &
diuidendo, LI ad IB, vt HG ad GB, vndæ regulæ LH,
IG erunt parallelæ, ſed in hoc Theoremate demonſtratum eſt ſectioné ABE
minorum laterum, totam cadere intra ſectionem ABC maiorum laterum,
ergo ipſa DBE erit inſcripta; &
è contra demonſtrauimus ABC maiorum
laterum totam cadere extra DBE minorum laterum, ac propterea erit ei cir-
cumſcripta.
EX ipſa demum huius Theorematis demonſtratione elicitur, quod in co-
ni-ſectionibus per vertices ſimul adſcriptis, quadrata ſemi- applicata-
rum ex eodem diametri puncto inter ſe ſunt vt earundem latitudines. Oſten-
dimus enim in qualibet præcedentis ſchematis figura, quadratum ſemi-ap-
plicatæ MF, in ſectione ABC, ad quadratum ſemi-applicatæ NF, in ſectio-
ne DBE, eſſe vt latitudo propria FP, ad propriam latitudinem FO.
Datæ coni ſectioni, vel circulo, per eius verticem, cum dato
tranſuerſo latere, quod in Ellipſi, vel circulo non excedat eius
tranſuerſum, MAXIMAM Ellipſim inſcribere, & è contra.
DAtæ Ellipſi, vel circulo, per eius verticem _MINIMAM_ coni-ſectionem
circumſcribere cum dato, pro circumſcribenda Hyperbola, quocunq; tranſuerſo latere, pro Ellipſi verò, cum tranſuerſo dato, quod maius ſit tranſ-
uerſo datæ Ellipſis, vel circuli.
Sit quælibet coni-ſectio, vel circulus ABC, cuius diameter BD, latus
rectum BE, regula EF; oportet circa diametri ſegmentum BG per verticem
B _MAXIMAM_ Ellipſin inſcribere.
Adſcribatur
circa diametrum BG
Dico hanc eſſe _MAXIMAM_ quæſitam.
Nam iuncta ipſius regula GE, cum hæc diſiunctim procedat à regula EF,
ſitque propior diametro, Ellipſis quoq; GHB
erit _MAXIMA_ inſcriptibilium:
quoniam quæcunque Ellipſis cum eadem
tranſuerſa diametro BG adſcripta, & cum recto BI, quod minus ſit recto BE
minor eſt
nis regulam EL, infra contingentem BE. Vnde Ellipſis GHB eſt _MAXIMA_.
Quod primò, &
c.
Præterea ſit data Ellipſis, vel circulus GHB, cuius diameter BG, rectum
BE, regula EG, & oporteat per verticem B, _MINIMAM_ Parabolen in pri-
ma figura, vel cum dato quocunque tranſuerſo BF, _MINIMAM_ Hyperbo-
len in ſecunda figura, ſiue cum dato tranſuerſo BF, quod in tertia, & quarta
figura excedat tranſuerſum BG datæ Ellipſis, vel circuli, _MINIMAM_ Elli-
pſin circumſcribere.
Adſcribatur
in ſecunda Hyperbole ABC, cum dato tranſuerſo BF, &
in tertia, &
quar-
ta Ellipſis ABC cum dato tranſuerſo BF; &
harum omnium ſectionum re-
ctum latus idem ſit cum recto BE datæ Ellipſis. Iam patet ipſam ſectionem
ABC datæ GHB Inſuper dico talem ſectionem ABC
Nam, in prima figura, quælibet parabola, vel in reliquis, quæcunque eiuſ-
dem nominis ſectio adſcripta ſectioni ABC per verticem B, cum eodem
tranſuerſo BF, ſed cum recto BL, quod excedat rectum BE ſectionis ABC
eadem ſectione
cent. Quare ſectio Parabolæ, vel Hyperbole, aut Ellipſis ABC eſt _MINI_-
_MA_ circumſcriptibilium datæ Ellipſi, vel circulo GHB. Quod erat, &
c.
HInc ſolutio problematum.
Videlicet:
Datæ coni-ſectioni circa maio-
rem axem, per eius verticem _MAXIMVM_ circulum inſcribere.
Item datæ Ellipſi circa minorem axem, per eius verticem _MIMIMVM_ cir-
culum circumſcribere.
Si enim in tribus primis ſuperioribus figuris concipiatur diametrum BD
datæ Parabolæ, vel Hyperbolæ, aut Ellipſis ABC eſſe propriæ ſectionis
maiorem axem, eiuſque ſegmentum BG æquari recto lateri BE, circa quod
adſcripta ipſa vt ſuperius oſtensũ fuit, erit _MA_-
in Monito poſt primam huius, animaduerſum fuit circulum eſſe. Vnde da-
tæ coni-ſectioni circa maiorem axim inſcriptus erit _MAXIMVS_ circulus per
verticem ſectionis. Quod primò, &
c.
Siverò, vt in quarta figura, datæ Ellipſi GHB circa minorem axim BG, &
cuius rectum latus BE _MINIMVS_ circulorum ſit circumſcribendus; ſumpta
BF æquali recto BE, ipſa excedet tranſuerſum latus BG datæ Ellipſis GHB
(nam ſemper in Ellipſi minor axis ad maiorem, eſt vt maior axis ad latus re-
ctum) itaque ſi circa BF Ellipſis adſcribatur ABC, cum recto BE datæ Elli-
pſis, ipſa, per ſecundam partem propoſitionis huius, erit _MINIMA_ datæ
Ellipſi circumſcriptibilium, ſed talis Ellipſis ABC per Monitũ poſt 1. huius,
cum ſit æqualium laterum, & circa axim, idem eſt, ac circulus.
Quare da-
tæ Ellipſi circa minorem axem per eius verticem _MINIMVS_ circulus circũ-
ſcriptus erit. Quod ſecundò, &
c.
PAtet etiam quomodo datæ coni-ſectioni, vel circulo ABC per ipſius
verticem inſcribi poſſit Ellipſis, que ſit _MAXIMA_ circa idem tranſuer-
ſum, & ipſius rectum latus ad verſum in Parabola, vel Hyperbola datam
quamcumque teneat rationem; &
in Ellipſi, vel circulo data ratio non ſit
minor ratione recti BE, ad tranſuerſum BD.
Nam ſi exempli gratia Parabolæ, vel Hyperbolæ primæ, ac ſecundæ figu-
ræ inſcribenda ſit _MAXIMA_ Ellipſis circa idem tranſuerſum latus, & cuius
rectum ad verſum datam habeat rationem, R nempe ad S: fiat vt R ad S, ita
rectum EB datæ ſectionis ad BG, nam ſi cum eodem recto EB, ac tranſuerſo
BG adſcribatur per B Ellipſis GHB, ipſa erit _MAXIMA_ circa idem tranſ-
uerſum BG, per ea, quæ ſuperius demonſtrata fuerunt. Siverò data ratio R
ad S non ſit minor ratione recti EB ad tranſuerſum BD; in tertia, quarta, &
quinta figura, fiat vt R ad S, ita EB ad BG, quod erit tranſuerſum quæſitæ
inſcriptæ Ellipſis, quæ erit _MAXIMA_, &c.
Datæ Hyperbolæ, per eius verticem MAXIMAM Parabolen
inſcribere, & è contra.
Per verticem datæ Parabolæ, cum dato tranſuerſo latere MINI-
MAM Hyperbolen circumſcribere.
SIt data Hyperbole ABC, cuius vertex B, diameter BD, tranſuerſum la-
tus BE, rectum BF, & regula EFO oportet primùm per eius verticem B
_MAXIMAM_ Parabolen inſcribere.
Adſcribatur
cum recto BF Pa-
rabole GBH. Dico hanc eſſe _MAXI_-
_MAM_ quæſitam.
Ducta enim ex F Parabolæ regula
FI, cum hæc infra contingentem BF,
regulę EFO, nunquam occurat, (cum
ſimul conueniãt in F) ſitque regula FI
propinquior diametro BD quam pro-
ducta regula FO, erit Parabole _MAXIMA_:
quoniam quælibet alia
Parabole ipſi ABC per verticem B
adſcripta cum recto BL, quod minus
ſit recto BF datę Hyperbolæ,
ſcripta cum recto BM, quod excedat
rectum BF datę Hyperbolæ ipſa GBH
ſed omnino ſecat
Vnde Parabole
GHB erit _MAXIMA_ inſcripta, &c.
Quod primò, &
c.
Sit verò data Parabole GBH, cuius vertex B, diameter BD, rectum BF,
& regula FI, &
circumſcribenda ſit ei cum dato tranſuerſo BE _MINIMA_
Hyperbole.
Adſcribatur
Dico huiuſmodi Hyperbolen eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Nam quælibet alia Hyperbole per verticem B datæ Hyperbolæ ABC ad-
ſcripta, cum eodem tranſuerſo BE, ſed cum recto BM, quod maius ſit recto
BF ipſa ABC quælibet verò adſcripta cum recto BL, quod defi-
gulam FI datæ Parabolæ GBH. Quare huiuſmodi Hyperbole ABC erit _MI_-
_NIMA_ circumſcriptibilium datæ Parabolæ ABC per verticem B, & cum
dato tranſuerſo BE. Quod erat ſecundò, &
c.
ALiquis forſan hoc loco vereri poſſet enunciationes, vel ſaltem ar-
gumentum MAXIMARVM, MINIMARV MQVE ſe-
ctionum inſcriptibilium, ac circumſ criptibilium habuiſſe me à
celeberrimo ſui æui Mathematico Maurolico, & hoc quidem,
vt fateor, haud temerè; nam quod in duabus præcedentibus propoſitionibus
exponitur, profertur quoque in eius quinto conicorum libro, ab ipſo, vnà
cum ſexto iam ſupra nonaginta annos proprio Marte ſuppleto, quamuis typis
Meſſanæ tradito non antea annum 1654. ſedula opera eximij Mathemati-
ci, ac Philoſophi præſtantiſsimi 10. Alphonſi Borelli, qui, vt ipſemet aſſerit,
ex multis Maurolici poſthumis lucubrationibus, apud Auctoris hæredes tunc
extantibus, prædictum opus publici iuris fieri curauit, idemque mihi à duobus
circiter annis primò mdicauit, quod è Meſſana anxiè petiens, tandem ab hinc
paucis menſibus conſecutus fui. At quicunque æquo, gratoque animo Mau-
rolici demonſtrationes, cum meis conferat, dum diuerſa, expeditaque metho-
do generatim oſtenditur, ex præmiſſo Theoremate Lemmatico, duobus tan-
tum Problematibus, vnicoque Corollario, totum id, quod integro libro pecu-
liariter à Maurolico 24. Propoſitionibus, decẽque, aut Corollarijs, aut Scho-
lijs demonſtratur; curabitque vlterius procedendo, reliquum mei operis per-
currere, in quo, tot aliæ, ex his cmanantes concluſiones reperiuntur, à nemi-
ne, quod ſciam, hactenus animaduerſæ, hic quidem, vt ſpero, à tali ſuſpi-
cione omnino remouebitur, & de prædictis promeritum ius, qualecunque ſit,
mihi facilè tribuet. Sed ne tempus fruſtra teramus, incæptum opus proſe-
quamur.
MAXIMA coni-ſectionum coni-ſectioni per verticem inſcripti-
bilium cum recto datæ ſectionis, eſt quoq; MAXIMA ſibi ſimilium,
eidem ſectioni per verticem inſcriptarum. Et è contra.
MINIMA coni-ſectionum coni-ſectioni per verticem circum-
ſcriptibilium cum recto datæ ſectionis, eſt quoque MINIMA ſibi
ſimilium, eidem ſectioni circumſcriptarum.
SIt quælibet coni-ſectio ABC, cuius diameter BR, rectum BF, &
regula
GFI, ipſique inſcripta ſit per verticem B, cum recto BF coni-ſectio DB
E, quæ erit _MAXIMA_ inſcriptarum (per ea quę in præcedentibus oſtenſum
huius regula HF.
Patet has regulas infra contingentem BF in totum
eſſe inter ſe diſiunctas, cum ſit altera ſectio alteri inſcripta. Iam dico hanc
_MAXIMAM_ ſectionem eſſe quoq; _MAXIMAM_ ſibi ſimilium, eidem datæ ſe-
ctioni per B verticem inſcriptarum.
Quoniam, quæcunque ſectio ſimilis ſectioni DBE adſcripta per B ſectioni
ABC, cumrecto BM, quod minus ſit recto BF, minor quod maius ſit recto BF
vnde ipſa
DBE eſt _MINIMA_ ſibi ſimilium, &c.
Quod erat primò, &
c.
Nunc verò ſit coni-ſectio DBE, cuius rectum BF, &
regula FH, ipſique
circumſcripta ſit cum eodem recto BF, per verticem B coni-ſectio ABC, quæ
erit _MINIMA_ circumſcripta, per iam demonſtrata, eiuſque regula ſit GFI. Dico hanc _MINIMAM_ ſectionem ABC eſſe quoque _MINIMAM_ ſibi ſimi-
lium, eidem ſectioni DBE per verticem circumſcriptarum.
Nam quælibet coni-ſectio ſimilis ABC, adſcripta per B datæ ſectioni DB
E, cum recto BO, quod maius ſit recto BF
minor ipſa ABC, ſed datam ſecat DBE, quoniam ipſius regula QM, quę re-
gulæ GFI æquidiſtat, ſecat regulam FH, nam altera parallelarum GFI ſecat
infra BF ipſam FH in F. Quare ipſa ABC eſt _MINIMA_ ſibi ſimilium, &
c.
Quod erat ſecundò, &
c.
Datæ Hyperbolæ, cum dato quocunque tranſuerſo latere, per
ipſius verticem MAXIMAM Hyperbolen inſcribere: &
è contra.
Datæ Hyperbolæ cum dato quolibet tranſuerſo latere per eius
verticem MINIMAM Hyperbolen circumſcribere.
SIt data Hyperbole ABC, cuius
rectum BE, & regula DE:
oportet pri-
mò cum dato quocunque alio tranſ-
uerſo latere, per verticem B, _MAXI_-
_MAM_ Hyperbolen inſcribere.
Iam, vel datum tranſuerſum latus
exceditranſuerſum BD, datę Hyper-
bolæ, vel eodem minus eſt. Si pri-
mùm quale eſt BG;
cum eodem
recto BE Hyperbole HBI. Patet ip-
ſam HBI datæ ABC
quoniam
quælibet alia ipſi HBI adſcripta cum
eodem tranſuerſo BG, ſed cumrecto,
quod ſit minus BE, ſemper minor
BL producta, ſecet productam regu-
lam DE; vel cadit extra eandẽ ABC,
quando
nunquam conueniat. Quare huiuſmo-
di Hyperbole HBI erit _MAXIMA_
quæſita.
Si deniq;
datũ trã ſuerſum latus BM
ſit minus tranfuerſo BD, ducatur MF
ipſi BE parallela, & cũ tranſuerſo BM,
ac recto BF, per vcrticem B, Hyper-
bolæ ABC adſcribatur
ſit tranſuerſum DB ad rectum BE, vt
tranſuerſum MB ad rectum BF, eritq; inſcripta
Dico hanc eſſe
Quoniã quælibet alia, quæ cum recto minore ipſo BF adſcribitur, ſemper
F, & E, vt in N,
producta, ſecat regulam DE
vel cadit tota extra ABC, quod euenit
tunc enim
iuncta regula ML infra contingentem BE, diſiunctim procederet à regula
s ſupra BE.
Eſt igitur talis Hy perbole HBI _MA_-
_XIMA_ quæſita. Quod primò, &
c.
Amplius, ſit data Hyperbole HBI, cuius tranſuerſum latus ſit BD, rectum
BE, & regula DE, &
ipſi oporteat per verticem B _MINIMAM_ Hyperbolen
circumſcribere, cum dato quolibet tranſuerſo latere.
Si datum tranſuerſum circumſcribendæ Hyperbolæ fuerit minus ipſo BD,
quale eſt BM: adſcribatur
Nam ipſa
quoniam quælibet alia adſcripta cum
tranſuerſo BM, ſed cum recto quod excedat BE, quale eſſet BL, eſt quælibet verò adſcripta, cum eodem tranſuerſo BM, &
cum re-
Quare ipſa ABC erit _MINIMA_ quæſita.
Si autem datum tranſuerſum latus fuerit maius ipſo BD quale eſt BG;
du-
datæ Hyperbolæ HBI cum tranſuerſo BG, re-
ctoque BL adſcribatur Dico hanc eſſe _MINIMAM_ quæſitam:
Nam quælibet alia, quę
adſcribitur cum recto maiore ipſo BL, maior
E, & L, vt in O,
ſectiones;
veltota cadit intra
HBI quod fit
DE ſe mutuò ſecarent ſupra contingentem BE, ideoque infra diſiunctim ſi-
mul procederent. Quare huiuſmodi Hyperbole ABC, quæ ſimilis eſt datæ
HBI erit _MINIMA_ circumſcripta quæſita. Quod ſecundò faciendum erat.
Datæ Hyperbolæ, cum dato recto latere, quod recto datæ ſit
minus, per eius verticem MAXIMAM Hyperbolen inſcribere,
& è contra.
Datæ Hyperbolæ, cum dato recto latere, quod maius ſit recto
datę, per eius verticem MAXIMAM Hyperbolen circumſcribere.
SIt data Hyperbole ABC, cuius tranſuerſum BD, rectum BE, &
regula
DE; oportet per eius verticem B, cum dato recto BF, quod minus ſit re-
cto BE, _MAXIMAM_ Hyperbolen inſcribere.
Ducatur FG parallela ad ED, &
cũ
tur
rum latera ſint proportionalia) eritque
inſcripta quoniam quælibet alia adſcripta cum
recto BF, ſed cum tranſuerſo, quod ex-
cedat BG minor eſt
BE, ſed cum tranſuerſo, quod ſit minus
tranſuerſo BG, quale eſt BL, eſt quidẽ
maior producta, regulam DE infra contin-
gentem BE omnino ſecet: quare ipſa
HBI erit _MAXIMA_ inſcripta cum dato
recto BF, Quod primò, &c.
Sit iam data Hyperbole HBI, cuius
regula GF, & datum rectum latus ſit BE ipſo BF maius, cum quo oporteat
_MINIMAM_ Hyperbolen circumſcribere.
Agatur ED ipſi FG æ quidiſtans, &
cum regula ED, datæ Hyperbolæ HBI
erit _MINIMA_ quæſita.
Nam quælibet alia adſcripta cum recto BE,
quælibet
verò adſcripta cum eodem recto BE, ſed cum tranſuerſo BM, quod excedat
iuncta regula ME, & producta omnino ſecet regulam GF infra contingen-
tem BE. Vnde ipſa ABC erit _MINIMA_ circumſcripta cum dato recto BE,
vti quærebatur. Quod vltimò faciendum erat.
Datæ Ellipſi, cum dato latere, quodminus ſit eius recto, per ip-
ſius verticem MAXIMAM Ellipſim inſcribere: &
è contra.
Datæ Ellipſi, cum dato recto latere, quod maius ſit eius recto,
per ipſius verticem MINIMAM Ellipſim circumſcribere.
SIt data Ellipſis ABC, cuius tranſuerſum BD, rectum BE, regula DE:
oportet per verticem B, cum dato recto BF _MAXIMAM_ Ellipſim inſcri-
bere, neceſſe eſt autem, quod rectum datum BF
ſatis patet, cum vel ipſarum regulæ ſimul con-
gruerent, vel ſe mutuò ſecarent.)
Adſcribatur
&
hæc erit _MAXIMA_ quæſita.
Nam quælibet alia
eidem ABC adſcripta cum recto BF, ſed cum
tranſuerſo, quod minus ſit BD, eſt minor
BM, quod excedat BD eſt quidem iuncta regula FM,
Quare Ellipſis GBL erit _MAXIMA_ quæſita in-
ſcripta cum recto dato BF. Quod primò, &
c.
Sit iam data Ellipſis GBL, cuius tranſuerſum BD, rectum BF, regula DF,
& circumſcribenda ſit ci _MINIMA_ Ellipſis cum dato recto BE, quod debet
quidem eſſe maius recto BF (nam ſi æquale, vel minus eſſet, deſcribenda
quoque Ellipſis, vel eadem eſſet cum data GBL, vel huic eſſet
tota intra regulam deſcriptæ GBL.)
Adſcribatur
Quoniam quæcun-
que alia adſcripta datæ GBL cum recto BE, ſed cum tranſuerſo, quod maius
quælibet verò adſcripta cum tranſuerſo BN,
quod minus ſit tranſuerſo BD, eſt quidem minor
iuncta regula EN ſecet regulam FD.
Quare Ellipſis ABC, erit _MINIMA_ quæſita circumſcripta, cum dato recto
BE. Quod vltimò, &
c.
Datæ Ellipſi circa minorem axim, per eius verticem MAXI-
MVM circulum inſcribere. Item.
Datæ Ellipſi circa maiorem axim, per eius verticem MINI-
MVM circulum circumſcribere.
SIt in 1.
fig.
data Ellipſis ABC, circa minorem axim BD, cuius rectũ ſit BE,
regula DE, & oporteat per verticem B _MAXIMVM_ circulum inſcribere.
Deſcribatur circulus GBHD, cuius dimetiens ſit BD, quem dico eſſe _MA_-
_XIMVM_ quæſitum.
Sumpta enim BF æquali BD, erit ipſa rectum latus deſcripti circuli:
iun-
ctaque DF eius regula cum ſit axis minor BD, minor recto latere BE, erit
etiam BF minor BE, vnde regula DF cadet intra regulam DE, ideoque cir-
culus GBH inſcriptus nam quilibet
cuius diameter BI ſit maior BD
extra. Erit ergo GBH _MAXIMVS_ circulus per verticem B minoris axis da-
Quod primò erat, &
c.
Sit verò in 2.
figura, data Ellipſis ABCD, cuius maior axis BD, rectum BE,
regula DE. Oportet per verticem B _MINIMVM_ circulum circumſcribere.
Deſcribatur circulus GBHD, cuius diameter ſit axis maior BD.
Dico
hunc eſſe _MINIMVM_ quæſitum.
Cum ſit enim axis BD maior recto latere BE, ſumpta BF æquali BD, ipſa
erit latus rectum circuli GBH, & maior BE:
vnde circuli regula DF cadet
quoniam quilibet alius circulus GBH per B adſcriptus,
quicunque alius, cuius
diameter ſit minor ipſa BD, qualis eſt BI, minor eſt quidem circulo GBH,
que intra. Quare circulus GBH _MINIMV S_ eſt circumſcriptibilium per ver-
ticem B maioris axis datæ Ellipſis ABC. Quod ſecundò faciendum erat.
HInc facilè eruitur pulcherrima de _MAXIMIS_, &
_MINIMIS_ circulis,
Ellipſi inſcriptis, & circumſcriptis proprietas.
Nempe.
_MINIMV M_ circulum per verticem minoris axis AC Ellipſi circumſcri-
ptum, cuius diameter
_MINIMV M_ circulum per verticem maioris axis DE circumſcriptũ, cuius
diameter
_MAXIMV M_ circulum per verticem minoris axis AC inſcriptum, cuius
diameter
Et _MAXIMV M_ circulũ per ver-
cuius diameter
nua eademque ratione geometri-
ca; nam &
ipſorum diametri AB,
DE, AC, DF ſunt quatuor lineæ
continuè proportionales.
ELicitur quoque, Ellipſim quamcunque, mediam eſſe proportionalem
inter extremos prædictos circulos, mediamque inter medios. Cum
enim quatuor lineæ AB, DE, AC, DF ſint continuè proportionales, erit
rectangulum ſub extremis AB, DF æquale rectangulo ſub medijs DE, AC,
nempè quadrato G, quæ ſit media proportionalis inter DE, AC; hoc eſt vt
AB ad G, ita erit G ad DF; quare circulus ex diametro AB, ad circulum ex
diametro G, erit vt circulus G, ad circulum ex DF. Item cum ſit DE ad G,
ita G ad AC, erit circulus ex DE ad circulum ex G, vt circulus G ad circu-
vnde Ellipſis DAEC eſt
media proportionalis inter extremos prædictos circulos AB, DF mediaque
inter medios DE, AC.
Datæ portioni Parabolæ, cum dato quocunque tranſuerſo late-
re, vel cum dato recto, quod ſit minus recto datæ Parabolæ, per
eius verticem MAXIMAM Hyperbolæ portionem inſcribere; &
è contra.
Datæ portioni Hyperbolæ, per eius verticem MINIMAM Pa-
rabolæ portionem circumſcribere.
SIt data Parabolę portio ABCDE, cuius rectum CF, regula FG, baſis AE,
diameter CI, & oporteat primùm cum dato quocunque tranſuerſo CH
_MAXIMAM_ Hyperbolæ portionem inſcribere.
Producatur applicata AI vſque ad occurſum
iungatur HG, ſecans CF in
L, & cum tranſuerſo CH, rectoque CL adſcriba-
tur
in E (cum &
ipſarum regulæ ſe mutuò ſecẽt
ſupra baſim AE erit datæ Parabolę inſcripta. Iam
dico hanc portionem AMCNE eſſe _MAXIMAM_
quæſitam.
Quoniam quælibet alia Hyperbole adſcripta
cum eodem tranſuerſo CH, ſed cum recto, quod
minus ſit recto CL, minor eſt
gula ſit quæ ducitur per H & F ſit circumſcripta
eò ma-
vel ſaltem ſecat
F, vt
per P, & infra contingentem CF producta, ſecet regulam FG inter ipſam
contingentem, & applicatam AEG.
Quare talis Hyperbolæ portio AMC-
NE eſt _MAXIMA_ inſcripta quæſita cũ dato tranſuerſo CH. Quod primò, &
c.
Si verò inſcribenda ſit _MAXIMA_ Hyperbolæ portio cum dato recto CL,
quod minus ſit recto Parabolæ CF, (nam cum æquali, vel maiori ſemper eſ-
ſet circumſcripta) iungatur GL, & producatur, ipſa productam diametrum
IC ſecabit in H, cum eadem ſecet FG alteram Parallelarum ipſi diametro; &
cum tranſuerſo HC, rectoque CL
E, eique erit in-
Nam quæ cum eodem recto CL, ſed cum tranſ-
uerſo, quod excedat CH, minor eſt quæ verò cum tranſ-
eius regula QL
Quare huiuſmodi portio Hyperbolæ AMCNE eſt _MAXIMA_ inſcripta quæ-
Quod ſecundò, &
c.
Iam ſit data Hyperbolæ portio AMCNE, cuius tranſuerſum CH, rectum
CL, regula HLG, baſis AE, diameter CI, & oporteat, per verticem C, _MI_-
_NIMAM_ Parabolæ portionem circumſcribere.
Producatur applicata AI, conueniens cum re-
per G ducatur GF parallela ad
IC contingentem ſecans in F, cumque recto CF
adſcribatur E, ob
rationem ſuperius allatam, & datę Parabolæ AB
CD eritq;
_MINIMA_ portio.
Quoniam, quæ cum recto maiore ipſo CF eſt
maior eò magis ſi mi-
nus eſſet BL; vel ſaltẽ ſecat Hyperbolen AMCN
ſupra applicatam AE CL, quale
nam regula, quæ ex P, ducitur æquidiſtans CI, omninò ſecat regu-
lam LG infra contingentem CF, & ſupra applicatam AG.
Quare ipſa Para-
bolæ portio ABCDE, eſt _MINIMA_ circumſcripta quæſita. Quod tandem
faciendum erat.
Datæ portioni Hyperbolæ, cum dato tranſuerſo vel recto, quod
minus ſit tranſuerſo, vel recto datæ Hyperbolæ, per eius verticem
MAXIMAM Hyperbolæ portionem inſcribere: &
è contra.
Datæ portioni Hyperbolæ, cum dato tranſuerſo vel recto, quod
excedat tranſuerſum, aut rectum datæ Hyperbolæ, per eius verti-
cem MINIMAM Hyperbolæ portionem circumſcribere.
SIt data Hyperbolæ portio ABCDE, cuius
baſis AE, diameter CH. Oporter primò cum
dato tranſuerſo CI, quod minus ſit ipſo CF
_MAXIMAM_ Hyporbolæ portionem inſcribere.
Producta enim applicata AH, cõueniat cum
regula FG in L, & iuncta IL contingentem CG
ſecant in M, cum regula IM, per verticem C ad-
ſcribatur E, at quę
Dico portionẽ ANCOE eſſe
_MAXIMAM_ quæſitam.
Quoniam, quę adſcribitur cum eodem tranſ-
uerſo CI, ſed cum recto, quod ſit minus CM, eſt minor eò ampliùs ea, quæ cum recto quod excedat CG;
vel ſaltem
ſecat Hyperbolen ABCD ſupra portionis baſim AE G.
Vnde hæc Hyperbolæ portio ANCOE eſt _MAXIMA_ inſcripta
quæſita, cum dato tranſuerſo CI. Quod erat primò, &
c.
Siautem inſcribẽda ſit _MAXIMA_ Hyperbolæ portio cum dato recto CM,
quod ſit minus recto CG (cum æ quali enim, vel maiori ſemper eſſet circum-
ſcripta) iuncta LM, & producta vſque ad occurſum cum diametro in I;
cum
tranſuerſo latere CI, ac recto CM adſcribatur E, eique erit inſcripta.
Quoniam quæ adſcribitur per C cum
eodem recto CM, ſed cum tranſuerſo, quod excedat CI, minor Eſt igitur huiuſmodi Hyperbolæ portio ANCO _MAXIMA_ in-
ſcripta quæſita cum dato recto CM. Quod erat ſecundò, &
c.
Ampliùs, ſit data Hyperbolæ portio ANCOE, cuius verſum CI, rectum
CM, regula IML, baſis AE, ac diameter CI, cui oporteat per verticem C,
cum dato tranſuerſo CF, quod maius ſit CI _MINIMAM_ Hyperbolæ portio-
nem circumſcribere.
Producatur ſemi-baſis AH conueniens cum regula IM, in L, &
iungatur
FL contingentem CM ſecans in G, & cum tranſuerſo CF, ac recto CG ad-
ſcribatur erit
_MINIMA_ Hyperbolæ portio quæſita.
Quoniam, quæ adſcribitur cum eodem verſo CF, ſed cum recto maiore
ipſo CG, eſt quoque maior eò magis ſi minus
vel ſaltem ſecat
CG;
tunc enim harum regulæ ſe mutuò ſecarent,
ſupra eandem baſim AE. Vnde Hyperbolæ portio ABCDE, eſt _MINIMA_
circumſcripta quæſita cum dato tranſuerſo CF. Quod tertiò, &
c.
Demùm eidem datæ Hyperbolæ ANCO, ſit circumſcribenda _MINIMA_
Hyperbole cum dato recto CG, quod excedat datæ rectum CM. Facta ea-
dem conſtructione, iungatur LG diametro occurrens in F, & cum tranſuerſo
CF, ac dato recto CG E
erit _MINIMA_ quæſita.
Nam,
eſt producta, ſecet regulam IL ſupra ipſam baſim
AE. Quare Hyperbolæ portio ABCD eſt _MINIMA_ circumſcripta quæſita
cum dato recto CG. Quod tandem faciendum erat.
Datæ portioni circuli, vel Ellipſis, per eius verticem MAXI-
MAM Parabolæ portionem inſcribere; &
è contra.
Datæ portioni Parabolæ per eius verticem, cum dato recto,
quod excedat rectum datæ Parabolæ, vel cum dato tranſuerſo,
quod maius ſit diametro datæ portionis MINIMAM Ellipſis por-
tionem circumſcribere.
SIt data circuli, aut Ellipſis portio ABC, cuius diameter ſit BE, baſis AC.
Oporter per eius verticem B, _MAXIMAM_ Parabolæ portionem inſcri-
bere.
Sit BF tranſuerſum latus dati circuli, vel
FG regula, cui pro-
ducta AE occurrat in H, & per H agatur LHI
ipſi BF ęquidiſtans, & cum recto BI, per ver-
ticem B adſcribatur
inſcripta, & erit _MAXIMA_:
quoniam, quæ
adſcribitur cum recto, quod minus ſit BI mi-
nor
portionem ADB, ſinempe eo magis ſi ipſum ex-
cedat; vel ad minus ſecat datam portionem ſupra baſim AC, ſi Parabolę re-
ctum cadat inter I, & G, vt in N.
Nam
Quare Pa-
rabolæ portio AMBC eſt _MAXIMA_ inſcripta quæſita. Quod primò, &
c.
Iam ſit data Parabolæ portio AMBC, cuius rectum BI, regula IL, diame-
ter BE, baſis AC, & per eius verticem B oporteat _MINIMAM_ Ellipſis por-
tionem ei circumſcribere cum dato recto BG, quod excedat rectum datæ
portionis.
Conueniat applicata AE cum regula IL in H, iunctaq;
GH, &
producta,
occurrat portionis diametro in F (ſecans enim vnam parallelarum IH, ſecat
alteram BE:) cum tranſuerſo autem BF, ac dato recto BG
C, &
Nam Ellipſis quæ adſcribitur
per B, cum eodem recto BG, ſed cum tranſuerſo, quod excedat BF, maior
eſt quæ verò adſcribitur cum tranſuerſo, quod minus ſit ipſo
ipſarum regulę ſe mutuò ſecent ſupra eandem AC.
recto BG. Quod ſecundò, &
c.
Sit tandem circumſcribenda datæ portioni Parabolicæ AMB _MINIMA_
trum BE.
Iungatur FH, &
producatur, contingentem BI ſecans in G, &
cum dato
tranſuerſo BF, ac recto BG
BG eſt quæ verò cum recto, quod deficiat
à BG eſt
eò magis cum fuerit
minus;
vel ſaltem ſecat
BG, quale eſt BN;
nam iuncta regula FN ſecat om-
Quare huiuſmodi portio Elliptica
Quod
tandem erat faciendum.
Datæ portioni circuli, vel Ellipſis, cum dato quocunque tranſ-
uerſo latere, vel cum dato recto, quod minus ſit latitudine ſemi-ap-
plicatæ baſis portionis, per eius verticem MAXIMAM Hyperbo-
lę portionem inſcribere; &
è contra.
Datæ portioni Hyperbolæ, cum dato quocunque tranſuerſo la-
tere, quod maius ſit diametro datæ portionis, vel cum dato recto,
quod excedat prædictam latitudinem, per eius verticem MINI-
MAM Ellipſis portionem circumſcribere.
SIt data circuli, aut Ellipſis portio AB-
tranſuerſum latus CE, rectum CG, & re-
gula F G. Oportet per eius verticem C,
cum dato quocunque tranſuerſo CI _MA-_
_XIMAM_ Hyperbolę portionem inſcribere.
Producatur AE, vſq;
ad occurſum cum
regula FG in L, & iungatur IL contingen-
tem CG ſecans in M, & cum dato tranſ-
uerſo CI, ac recto CM adſcribatur
tion; ABCD occurret in A, &
D, eritq;
quàm dico eſſe _MAXIMAM_:
nã
quę adſcribitur cum eodem tranſuerſo CI,
ſed cum recto minore ipſo CM, eſt quoq; minor
tam Ellipſim ABCD, quando eò magis ſi rectum excedat CG;
vel
G, quale eſt CO nam producta omnino ſecat regulam
Quare Hyperbolæ portio ANCD eſt _MAXIMA_ in-
ſcripta quæſita cum dato tranſuerſo CI. Quod erat primò, &
c.
Iam eidem Ellipticæ portioni ABCD inſcribenda ſit _MAXIMA_ Hyperbo-
læ portio cum dato recto CM, quod tamen ſit minus latitudine EL, ſemiap-
plicatæ AE (ſi enim ei æquale, vel maius eſſet, iuncta regula LM nunquam
cum diametro EC conueniret) Supra C.
Iungatur I.
M, quę ideo producta occur-
cum tranſuerſo IC,
datoq; recto CM adſcribatur
ni ABC occurret in A, & D, &
quàm dico eſſe _MAXIMAM_:
nam quę
adſcribitur cum eodem recto CM, ſed cum
tranſuerſo, quod excedat CI minor quæ verò cum tranſuerſo, quod
ſit minus CI, quale eſt CP, eſt
portionem ABC, ſupra baſim AD producta, omnino
ſecet regulam GL ſupra eandem AD. Qua-
re huiuſmodi Hyperbolæ portio ANCD,
eſt _MAXIMA_ inſcripta cũ dato recto CM. Quod ſecundò, &
c.
Ampliùs ſit data Hyperbolę portio AN
CD, cuius tranſuerſum CI, rectum CM, regula IM, diameter CE, baſis
AD: oportet per verticem C _MINIMAM_ Ellipſis portionem circumſcribere
cum dato tranſuerſo CF, quod tamen excedat diametrum CE.
Producatur item AE occurrens regulæ IM in L, &
iungatur FL, quæ pro-
ducta conueniat cum contingente CM in G, & cum dato tranſuerſo CF, ac
recto CG adſcribatur erit _MINIMA_:
Nam quæ adſcri-
bitur cum eodem tranſuerſo CF, ſed cum recto, quod excedat CG eſt vel tota cadit intra
ANCD, tùm cum rectum æquet ipſum CM, &
CG, quale eſt CO, nam iuncta regula FO, omnino ſecat
Quapropter Ellipſis portio
ABCD, erit _MINIMA_ circumſcripta cũ dato tranſuerſo CI. Quod tertiò, &
c.
Poſtremò, datis ijſdem, ſit circumſcribenda _MINIMA_ Ellipſis portio, cum
dato recto CG, quod tamen excedat latitudinem EL (ad hoc vt iuncta re-
gula GL cum diametro CE poſſit conuenire infra E) & ipſa GL occurrat CE
in F, & cum dato recto CG, ac tranſuerſo CF adſcribatur
D, eritq;
quàm dico eſſe _MINIMAM_:
quæ enim adſcribitur cum codem recto
iuncta re-
Quare Ellipſis portio ABC
D eſt _MINIMA_ circumſcripta cum dato recto C E, Quod vltimò, &c.
Datæ portioni circuli, vel Ellipſis, cum dato tranſuerſo latere,
quod excedat verſum, vel cum dato recto, quod minus ſit recto datæ
portionis, maius verò latitudine ſemi-applicatæ baſis portionis, per
eius verticem MAXIMAM Ellipſis portionem inſcribere. Item.
Datæ portioni circuli, vel Ellipſis, cum dato tranſuerſo, quod mi-
nus ſit tranſuerſo, ſed maius diametro datæ portionis, vel cum dato
recto, quod excedat rectum datæ portionis, per eius verticem MI-
NIMAM Ellipſis portionem circumſcribere.
SIt data circuli, vel Ellipſis portio A B C D, cuius diameter C E, baſis A D,
verſum CF, rectum CG, & regula CF.
Oportet per verticẽ C _MAXIMAM_
Ellipſis portionem inſcribere, cum dato tranſuerſo CH, quod ſit maius ipſo CF.
Applicata AE, &
producta occurrat regulæ FG
iunctaque HI, conueniat producta cum con-
tingente C G in L, & cum dato tranſuerſo CH, re-
ctoq; CL adſcribatur
Iam dico hanc eſſe _MAXI-_
_MAM_. Nam quæ adſcribitur cum eodem verſo C
H, ſed cum recto, quod minus ſit ipſo C L, minor
quæ verò cum recto, quod
excedat C L, eſt quidem
vel ſaltim ſecat datã
portionem ABCD ſupra baſim AD quando C G, quale eſt C O, nam iuncta
regula HO, ſecat omnino regulã I G ſupra eandem
AD. Vnde Ellipſis portio A M C D eſt _MAXIMA_
inſcripta cum dato trãſuerſo CH. Quod primò, &
c.
Iam, ijſdem poſitis, oporteat cum dato recto C L, quod minus ſit recto CG;
maior verò latitudine E I, _MAXIMAM_ Ellipſis portionem inſcribere.
Iungatur L I, &
producatur, conueniens cum diametro C E in H, &
cum
tranſuerſo CH, datoque recto CL D, eique erit inſcripta.
Dico hanc eſſe
Quæ enim adſcribitur cũ eodem recto CL, ſed cum verſo, quod minus ſit ipſo
quæ autem cum verſo, quod excedat C H,
quale eſt C P, eſt quidem
Quave
Quod ſecundò, &
c.
SIt verò data Ellipſis portio AMCD, cuius tranſuerſum CH, rectum C L, re-
gula LH, baſis A D, & diameter C E:
oportet per verticem C _MINIMAM_
Ellipſis portionem circumſcribere, cum dato tranſuerſo C F, quod minus ſit
verſo CH datæ portionis, maius verò eius diametro C E.
Producta ſemi - applicata A E, occurrat regulæ
iuncta F I occurrat contingenti C L in
G, & cum tranſuerſo dato C F, cumque recto C G
adſcribatur D tranſibit, &
Quæ-
libet enim adſcripta Ellipſis cum eodem tranſuerſo
C F, ſed cum recto, quod maius ſit ipſo C G, eſt
maior quæ verò cum recto, quod
idem fuerit cum recto CL, aut ipſo minus; vel
do nempe illius rectum cadat inter C L, & C G,
quale eſt C O, nam iuncta regula O F, omnino ſe-
cat regulam L H ſupra eandem applicatam A D. Quare huiuſmodi portio Elliptica ABCD erit _MI-_
_NIMA_ cir cumſcripta cum dato tranſuerſo CF. Quod tertiò, &
c.
Sit tandem circumſcribenda portioni AMC _MINIMA_ Ellipſis portio cum
dato recto C G, quod tamen ſuperet rectum C L.
Iungatur G I, &
producatur, donec conueniat cum diametro in F, &
cum
tranſuerſo C F, datoque recto C G adſcribatur D tranſibit
inſuper
Ellipſis enim, quæ adſcribitur per C cum eodem recto C G, ſed cum tranſ-
iuncta regula CR ſe-
Quare Ellipſis portio
ABCD eſt _MINIMA_ circumſcripta cum dato recto CG. Quod vltimò, &
c.
Parabolæ, vel Hyperbolę cum earum diametris, iuxta ordinatim ſe-
mi - applicatas ſunt ſemper ſimul recedentes, & ad interuallum per-
ueniunt maius quolibet dato interuallo.
PRimum facilè conſtat ex 20.
ac 21.
primi Conic.
Secundum verò ſic.
Ducta enim cõtingente ex ſectionis vertice, quę quodam dato interuallo
ſit maior, atq; ex eius termino ducta alia, quæ ipſi diametro ſit æquidiſtans, hæc
datumq; interuallum ſuperabit:
vnde patet propoſitum.
Quod, &
c.
Parabolæ inæqualium laterum per eundem verticem ſimul adſcri-
ptæ, ſunt inter ſe nunquam alibi coeuntes, & inſcripta eſt ea, cuius re-
ctum latus minus eſt, ſuntque, in infinitum productæ, iuxta intercepta
applicatarum ſegmenta ſemper magis recedentes, & ad interuallum
perueniunt maius quolibet dato interuallo.
SInt duæ Parabolæ ABC, DBE, per eundem verticem B ſimul adſcriptę, qua-
rum communis diameter B H, & rectum ſectionis ABC ſit linea B F, D B E
verò ſit minor B G. Dico primùm has nunquam alibi ſimul conuenire, &
DBE
inſcriptam eſſe. Hoc enim iam patet ex 2.
Coroll.
19.
huius.
Ampliùs, dico has in infinitum productas ſemper
Ductis enim regulis F O, G P, &
applicatis vbi-
quæ productę ſecent
regulas in P, O, N, R; manifeſtum iam eſt ex 1.
h.
has regulas inter ſe æquidiſtare:
&
cum ſit vt qua-
dratum I M ad M L, ita
recta IM ad ML, vt AH ad H D, & per conuerſionẽ
rationis, & permutando I M ad A H, vt I L ad A D,
IL erit maior AD.
Quod ſecundò, &
c.
Demũ dico, has aliquando peruenire ad interuallũ maius quolibet dato NO.
Fiat vt AD ad DH, vel vt IL ad LM, quod idem eſt, (modò enim oſtẽdimus
omnes huiuſmodi applicatas proportionaliter diuidi à Parabola B D L) ita datũ
interuallum N O ad aliud O P, & ducta ex vertice contingente B Q R ſumatur
B R æqualis P N, & B Q æqualis PO, &
per R agatur R I diametro B M æquidi-
per I applicetur IL M.
Erit ergo
I M æqualis R B, ſiue æqualis NP, eſtque vt IL ad LM, ita NO ad OP, ex con-
ſtructione, quare IL ipſi N O ęqualis erit, ſed applicatę infra I L inter Parabolas
excedunt ipſam IL, vti nuper oſtendimus: quare huiuſmodi Parabolæ ad inter-
uallum perueniunt maius dato iuteruallo N O. Quod vltimò erat, &
c.
_HV_C Franciſcum Barocium ſubaudiet fortaſſe aliquis admurmurantem,
nos, qui de aſymptoticis lineis mutuam acceſsionem, vel receſsionem
perpendendam ſuſcepimus, æquidiſtantium linearum ſegmentis, inter
conuergentes, ac diuergentes aſymptotos interceptis vſos fuiſſe, veluti
in præcedenti, vbi iuxta lineas, ſiue portiones A D, I L ex ordinatim
app licatis ad communem diametrum, datarum ſectionum diſtantias commetimur; dum tamen ipſæ à breuiſsimis, ſeu MINIMIS lineis ſint determinandæ, atque hæ
ſectionis ſuper aliam educi queant: unde ob hoc Hieronymum Cardanum aſſectari
nos debuiſſe, qui iuxta perpendiculares à punctis hyperbolicæ ſectionis ſuper aſym-
pton ductas, ipſarum linearum interualla meditatus eſt; quod nullos alios, admi-
randum Apollonij hoc Theorema diſcutientes, animaduerſos fuiſſe, idem Barocius
in ſuo quodam commentario Geometrico ſæpiùs admonuit, inter alia hæc proferens; _quem errorem, omnes quos vidihuius rei Auctores commiſerunt, præter Car-_
_danum_. Sed bùc tã bonum Virum edoctum velimus, hoc idem iamdiu nobis innotuiſſe,
verùm deditaopera, æ libenter in hoc deſicere nobis placuiſſe cum ſummis Viris, qua-
les, eos inter quos maximè colimus, ſunt Torricellius, & Gregorius à S.
Vincentio,
immo ipſemet Apollonius tam reconditi ſymptomatis fortaſſe primus, & acutiſsimus
indagator. Præterea, nos quoque ſatis agnouiſſe, vnius puncti diſtantiam à quacun-
que ſeu recta, ſeu curua linea, ſtrictim aſſumendam eſſe iuxta MINIMAM ex
eodem puncto, ſuper datam lineam eductam. Inſuper ipſam MINIMAM d@m@ſſas
quel, datæ rectæ, vel contingenti ad datam curuam in puncto occurſus perpendicu-
lariter inſiſtetc quæ omnia hùc in proximo noſtro libello perſpicuè apparebunt: at-
tamen hiſce, alijſque notionibus de his inſtructi, alteram methodum conſultò eli-
gere maluimus. Itaquè ab humaniſsimo Barocio de hoc, cui ſanè criminis nomen
falsò tribuitur, veniam expectamus; dum nos etiam, &
ſua, quæquæ ſint ab ipſo
ſparſim prolata reticere parati ſumus. Interea concedat quæſo, vt ad inuentionem
MAXIMARVM MINIMARV Mque coni- ſectionum per diuerſos vertices inſcri-
ptibilium, aut circumſcriptibilium, vel ſaltim vt genio quodam noſtro indulgendo,
harum ſectionum diſtantias per æquidiſtantium interpoſita ſegmenta nobis perſcru-
tari liceat. Perlegat inſuper, ſimulque has meditationes percipiat;
quod ſi ex hac
hypotheſi ipſas euidenter comprobatas inuenerit, fateatur, ſi lubet, nos abundè in
his Geometræ partem expleuiſſe; ſin aliter, incuſatione dignos exiſtimet.
Scias itaque, ac iterum ſcias candide Lector nos, tum in decima huius, tum
in ſuperioribus, ac deinceps, vbi de non coincidentibus lineis diſſerimus, harum inter-
ualla ſemper aſſumpſiſſe iuxta interiecta parallelarum ſegmenta, licet hoc ſæpenu-
mero prætermittatur, cum ex ipſo demonſtrationum proceſſu id ſatis ſuperque ſe in
conſpectum præbeat. Zuod ſi ſubijciat Barocius, non quidem intercapedines à pun-
ctis vnius ad alteram coni- ſectionem, verùm longitudines tantùm illarum æqui-
diſtantium portionum ſic meditari; illum æquiter ratiocinaſſe nos ipſi profectò fa-
tebimur, quamuis & eædem parallelarum portiones verè dici poſsint diſtantiæ à
punctis vnius ſectionis ad aliam; prout lineæ omnes, ab vno eodemque puncto duci-
biles, dicuntur interualla ab ipſo puncto ad eandem lineam, etiamſi eductæ inter
ſe plurimùm differant longitudine.
Zuò verò ad methodum iuxta MINIMAS, plura ſunt, quæ à nobis huc eſſent
in medium afferenda, ſed non eſt cur in præſens futilem diſceptationem aggredia-
mur. At ſi quis nos ad huius Pelagi traiectionem deuinctos cenſeret (quamuis præ-
ſtantiori fortaſſe luce orbati, nempe conica Apollonij ineditorum librorum doctri-
na) diuino tamen præſidio, noſtris quibuſdam inuentis mox huc edendis innixi, na-
ue integra ad portum appellere non dubitaremus; ſed interim eum, non proprij of-
ficij cauſa, ſed pro ſua tantùm humanitate, nonnulla valde iucunda Problemata
enodanda recipere exoptaremus, quæ nobis circa nouam quandam meditationem
nuper aſſequi datum eſt. Sed miſsis parergis rem iam ſuſceptam progrediamur.
Si à puncto, quod eſt in Hyperbola ducatur recta linea alteri
aſymptoton æquidiſtans, ipſa, ac ſectio, quæ inter has parallelas
intercipitur, in infinitum productę ſunt infra occurſum ſemper ma-
gis recedentes, ſed tamen nunquam perueniunt ad interuallum
æquale cuidam dato interuallo; dum earum diſtantia metiatur per
interceptas æquidiſtantes cuilibet rectæ, quæ ducta ſit ex occurſu
vtramque aſymptoton ſecans.
SIt Hyperbole ABC, cuius aſymptoti ED, EF, ſitque ex quolibet ſectio-
nis puncto B recta BGN alteri aſymptoto ED æquidiſtans, quæ intra
lectionẽ cadens, in nullo alio pũcto quam
Dico primùm (ſi ex
aſym-
ptoton ſecans) ipſam, & ſectionem IAM
infra BI eſſe sẽper magis inter ſerecedẽtes.
Applicentur quotcunque DAG, LMN
infra HB, ipſi æquidiſtantes: patet has om-
nes LN, DG, HB inter ſe æquales eſſe, ſed
eſt DA MN
maior AG, & hoc ſemper ſi in infinitum
producantur; ergo linea BGN, &
ſectio
IAM ſunt ſemper ſimul recedentes. Quod
primò, &c.
Et quoniam earum interuallum, per eaſ-
dem interceptas metitum, ſemper minus
eſt HB interuallo parallelarum BN, HL,
cum ſit GA minos GD, NM minos NL, &
omnes GD, NL, &c.
ipſi BH equales:
qua-
propter, licet huiuſmodi lineæ ſint ſemper magis recedentes, non tamen
perueniunt ad interuallum æquale interuallo BH. Quod erat tandem, &
c.
Si recta linea diametro Hyperbolæ vltrà centrum occurrens, al-
teram ipſius aſymptoton ſecet, producta ſectionem quoq; ſecabit.
ESto Hyperbole ABC, cuius cẽtrum
F, è cuius puncto G vltrà cẽtrum aſſum-
pto ducta ſit quæpiam linea GE aſym-
ptoton ſecans in E; Dico, ſi produca-
tur, ſectionem quoque ſecare.
Ducta enim ex vertice B recta BH
parallela ad DE, ipſa ad partes A nun-
quam ſectioni
larum DE, quare producta ſecabit, &
reliquam BH, vnde neceſſariò ſectio-
nem priùs ſecabit. Quod, &
c.
Hyperbolæ per eundem verticem ſimul adſcriptæ, æquale re-
ctum latus habentes ſunt inter ſe nunquam coeuntes, & ſemper in-
ter ſe magis recedentes, & in infinitum productæ ad interuallum
perueniunt maius quocunque dato interuallo.
SInt duæ Hyperbolæ ABC, DBE per eundem verticem B ſimul adſcriptę,
quarum rectumlatus ſit idem BF, tranſuerſum verò Hyperbolæ ABC
ſit minor recta BH, & regula HF;
Hyperbolæ autem DBE ſit maior recta
BG eiuſque regula ſit GF: dico primùm has inter ſe ſimul eſſe non coeuntes.
Cum enim Hyperbole DBE, maius habens trãſuerſum latus, inſcripta
ter ſe conuenire, vnde erunt ſimul non coeuntes.
Iam dico ipſas eſſe ſimul ſemper recedentes.
Applicatis enim duabus
quibuſcunque rectis CEILM, PONQR, iungatur quoque FN rectam MI
ſecans in S. Cum ſit LS minor LI habebit ML ad L S maiorem rationem
quàm ML ad LI, & componendo MS ad SL, ſiue RN ad NQ, hoc eſt
tionem quàm applicata CI ad IE: ſi ergo fiat vt PN ad NO, ita CI ad IT,
habebit CI ad IT maiorem rationem quàm CI ad IE, ergo IT erit minor IE,
ideoque CT maior CE: cumque ſit PN ad NO vt CI ad IT, erit per conuer-
ſionem rationis, & permutando PN ad CI vt PO ad CT, ſed
quare PO maior erit ipſa CT, eſtque CT maior CE, ergo PO adhuc
Quò ergo in-
vertice B, eò ſunt maiores: quare
huiuſmodi ſectiones inter ſe ſunt
ſemper recedentes. Quod ſecun-
dò, &c.
Præterea ſit BY ſectionem con-
tingens in B, & bifariam ſectis trãſ-
uerſis lateribus, nempe GB in V,
& HB in X:
cum ſit tranſuerſum
GB maius BH, erit dimidium BV
maius dimidio BX: iam ex centro
V ducatur VY aſymptotos inſcri-
ptæ Hyperbolæ DBE, & ex cen-
tro X agatur XZ aſymptotos cir-
cumſcriptæ ABC, quæ aſymptoti
contingentem BI ſecent in Y, Z, &
per X agatur X & parallela ad BY contingentem ſecans in &
.
Itaque quadratum BY ad BZ eſt, vt rectangulum GBF ad rectangulum
HBF (vtrumque enim quadratorum
B&, quare BZ eſt media proportionalis inter BY, &
B&
: cum ergo inter pa-
rallelas VY, Z& recta ZX ſecet alteram parallelarum X&
in X, ipſa produ-
cta ad partes Z ſecabit quoque alteram parallelam VY infra BY: vnde ha-
rum ſectionum aſymptoti infra contingentem ex vertice inter ſe conueniunt.
Amplius cum aſymptotos VY inſcriptæ occurrat diametro BG vltra cen-
trum X circumſcriptæ Hyperbolę ABC in puncto V, ipſaque aſymptotos
VY conueniat cum XZ aſymptoto circumſcriptæ ABC, vt modò oſtendi-
mus, ſi producatur, Quare aſymptotos
Tandem cum harum ſectionum aſymptoti infra contingentem BY ſe mu-
tuò ſecent, & XZ aſymptotos circũſcriptæ BCP, cadat totas extra ipsã BCP,
harum aſymptoton occurſus erit extra eandem BCP, vt in 2: &
cum VY 2
aſymptotos inſcriptæ, ſecet Hyperbolen BCP circumſcriptam, eſto earum
communis ſectio in 3, & recta 2 3, producatur ad inferiores partes 4, atque
ex 3 ducatur recta 3 5 parallela ad X 2 aſymptoton circumſcriptæ BC 3, quę
recta 3 5 nunquam conueniet
eſt eius aſymptotos) & duæ rectæ 3 5, 3 4 ſunt ſemper ſimul recedentes,
& ad interuallum perueniunt maius quolibet dato interuallo;
quare eò ma-
gis interuallum ſectionum BC7, BE6, datum quodcunque interuallum ex-
cedet. Quod erat vltimò demonſtrandum.
EX hac manifeſtum fit, quod Hyperbolarum per eundem verticem ſimul
adſcriptarum, & idem rectum latus habentium aſymptoti infra contin-
aſym-
ptotos inſcriptæ ſecat Hyperbolen circumſcriptam.
Hyperbolæ concentricæ per eundem verticem ſimul adſcriptæ,
quarum recta latera ſint inæqualia, ſunt inter ſe nunquam coeuntes,
& ſemper magis recedentes, &
in infinitum productæ, ad interual-
lum perueniunt maius quolibet dato interuallo, & aſymptotos in-
ſcriptæ ſecat Hyperbolen circumſcriptam.
SInt duę Hyperbolę ABC, DBE per
pte, quarum idem centrum ſit F, idem-
que tranſuerſum BFG, ſed tamen Hy-
perbolæ ABC rectum latus ſit BH, ma-
ius recto BI Hyperbolæ DBE. Dico
primùm eas ſimul eſſe non coeuntes.
Cum enim Hyperbolæ DBE, ABC
ſint per verticem ſimul adſcriptæ cum
eodem tranſuerſo BG, ipſa DBE, cuius
rectum minus eſt, inſcripta
hoc eſt, ſi iſtæ ſimul in infinitum produ-
cantur, erunt ſimul non coeuntes.
Iam dico, has etiam eſſe ſemper in-
ter ſe recedentes. Ductis enim, &
pro-
tractis regulis; GH, GI, &
applicatis
duabus vbicunque rectis ADL, MON; quæ regulas ſecent in Q, S, T, V,
cum ſit vt quadratum MN ad quadratũ NO, ita
LD, & per conuerſionem rationis, &
permutando MN ad AL, vt MO ad
AD, ſed eſt MN MO erit maior AD;
ſimiliter demon-
las infra MO, maiorem eſſe ipſa MO, & hoc ſemper, quare huiuſmodi Hy-
perbolæ ſunt ſemper inter ſe recedentes. Quod ſecundò, &
c.
Ampliùs dico, has ſectiones in infinitum productas, aliquando perueni-
re, ad interuallum maius quolibet dato interuallo X. Hoc autem, eadem
penitùs arte, ac in 33. huius fieri poſſe demonſtrabitur.
Quod tertiò, &
c.
Tandem ſit FP aſymptotos inſcriptæ DBC, &
FR aſymptotos circumſcri-
pte, & contingens HB producatur, vtranque aſymptoton ſecans in P, R:
erit
ergo quadratum BP ęquale quartę parti figurę GBI, quadratũ BR quartę
BI minor BH, ergo BP minor eſt BR; hoc eſt FP aſymptoton inſcriptæ cadit
infra FR aſymptoton circumſcriptæ diuidens angulũ ab ipſius aſymptotis fa-
ctum, ex quo ipſa FP producta ſecabit
c.
In Parabolis quibuslibet, vel in ſimilibus Hyperbolis, aut ſimi-
libus Ellipſbus, ſegmenta diametrorum ſectionum lateribus pro-
portionalia, ſuſcipiunt applicatasijſdem lateribus proportionales.
SInt, vt in prima figura, duæquælibet Parabolæ, velvt in ſecunda, duæ
ſimiles Hyperbolæ, vel vt in tertia, duæ ſimiles Ellipſes ABC, DEF,
quarum diametrorum ſegmenta BG, EH, rectis earum lateribus BI, EL, vel
tranſuerſis BM, EN ſint proportionalia, dico & applicatas GA, HD ipſis la-
teribus eſſe proportionales.
Nam in Parabolis pri-
ad rectum EL, vt ſegmẽ-
tum BG ad EH, erit per-
mutando IB ad BG, vt
LE ad EH, vnde rectan-
gulum I B G ſimile erit
rectangulo LEH, quare
rectangulum IBG ad LE
H, erit vt quadratum la-
teris I B ad quadratum
homologilateris LE, ſed
rectãgulum IBG re-
ctãgulum LEH quadra-
to HD, vnde quadratum
GA ad HD, erit vt qua-
dratum IB ad LE, vel
applicata GA ad HD, vt
rectum IB ad rectum LE. In Hyperbolis autem, &
Ellipſibus cum ſit vt BI
ad EL, vel ob ſectionum ſimilitudinem, vt MB ad NE, ita BG ad EH, erit
permutando MB ad BG, vt NE ad EH, & in Hyperbolis, componendo, in
Ellipſibus autem diuidendo, MG ád GB, vt NH ad HE, quare rectangulum
MGB ſimile erit rectangulo NHE, ſed rectangulum MGB ad quadratum
GA eſt,
vel (ob ipſorum rectangulorum ſimilitudinem) quadratum BG ad quadra-
tum EH, vel quadratum BI ad quadratum EL, erit vt quadratum GA ad
quadratum HD, hoc eſt rectum BI ad rectum EL, vt applicata GA ad appli-
catam HD. Quod erat, &
c.
Si duæ menſales ABCD, EFGH fuerint ſuper eadem linea AH
ad eaſdem partes deſcriptæ, ita vt ipſarum baſes AB, DC; EF,
HG ſint omnes inter ſe parallelæ, ſintque proportionales lateribus
in directum poſitis; nempe ſit vt AB ad EF, ita AD ad EH, &
DC
ad HG. Dico, &
reliqua latera BC, FG eſſe inter ſe parallela.
DVctis enim diagonalibus BD, FH, productaque BC in I.
Cum ſit BA
ad EF, vt AD ad EH, erit permutando BA ad AD, vt FE ad EH, eſtq; angulus BAD ęqualis angulo FEH, ob parallelas BA, FE, quare triangulum
BAD ſimile eſt triangulo FEH; ideoq;
angulus BDA æqualis angulo FHE,
& totus CD A, æquatur
CD, GH, vnde reliquus
CDB, æquatur reliquo
GHF. Item cum ſit CD
ad GH, vt DA ad HE,
erit permutando CD ad
DA, vt GH ad HE, eſtq; DA ad DB, vt HE ad HF,
ob triangulorum ADB,
EHF ſimilitudinem, qua-
re ex æquali CD ad DB,
erit vt GH ad HF, ſuntq; anguli ad D, &
H æquales, ergo, &
angulus D CB,
ſiue HIB, æqualis angulo HGF, ideoque rectæ BC, FG inter ſe æquidiſtant.
Quod erat, &c.
Sià terminis æqualium ſegmentorum ex diametris ſimilium Hy-
perbolarum abſciſſorum rectæ ordinatim applicentur, vſque
ad ſectionum aſymptoto
la maiorum laterum, inter ſectionem, & aſymptoton interceptum,
maius ſegmento applicatæ, quod in Hyperbola minorum laterum
inter ſectionem eiuſque aſymptoton intercipitur.
ESto Hyperbole maiorum laterum ABC, cuius tranſuerſum DB rectum
BE, aſymptotos FG, & Hyperbole minorum ſit HIL, cuius tranſuer-
ſum MG, rectum GN, aſymptotos OP, & ipſarum ſectionum diametris, dem-
pta ſint ęqualia diametri ſegmenta BQ, IR, è quorũ terminis Q, R applicate
ſint (ad partes æqualium inclinationum) rectæ QAG, RHP vique ad earum
aſymptotos: Dico ſegmentum GA in ſectione maiorum laterum, maius eſſe
ſegmento PH in ſectione minorum.
Productis enim contingentibus EB, NI vſque ad aſymptotos in S, T, fiat
vt DB ad MI, ita BQ ad IV, & per V applicetur VXY:
cum ſit DB maior
MI, erit BQ, & IR maior IV, eſtque FB maior OI (cum duplum DB ſit maior
duplo MI) ergo tota FQ erit maior tota OV, & QA ad VX erit
quoniam QB ad VI, eſt vt BD ad IM, vel vt dimidium BF ad dimi-
dium IO, erit per-
nendo, & iterum
permutando QF ad
VO, vt BF ad IO,
vel vt DB ad MI; &
cum ſit quadratum
SB ad TI, vt rectan-
gulũ DBE ad MIN,
vtrunque enim eſt
quarta pars ſuæ fi-
guræ) vel vt qua-
dratum DB ad qua-
dratum MI; ob rectangulorum ſimilitudinem) vel ſumptis ſubquadruplis, vt
quadratum FB ad OI, erit quoque linea SB ad TI, vt linea FB ad OI, & per-
mutando SB ad BF, vt TI ad IO, ſed anguli SBF, TIO ſunt æquales per ſex-
tam ſecundarum definitionum, & per conſtructionem, quare triangula SBF,
TIO erunt ſimilia, vti etiam triangula GQF, YVO, obidque homologa eo-
rum latera proportionalia erunt, hoc eſt GQ ad YV, vt FQ ad OV, ſed eſt
FQ maior OV, ergo, & GQ erit maior YV, ſed FQ ad OV, eſt vt DB ad MI,
item AQ ad XV, vt DB ad MI, vt ſupra oſtendimus, quare GQ ad YV erit
vt AQ ad XV, & permutando, &
per conuerſionem rationis, &
iterum per-
mutando GQ ad YV, vt GA ad YX, ſed eſt GQ maior YV, ergo, & G A
maior YX, eſt autem YX maior PH, ergo eò magis GA erit maior PH. Quod
erat demonſtrandum.
EX hac patet, in ſimilibus Hyperbolis aſymptotos ad partes æqualium in-
clinationum ductas, æquales angulos cum diametris efficere, ac ideo
angulos ab aſymptotis factos eſſe inter ſe æquales. Cum enim demonſtrata
ſint triangula SFB, TOI ſimilia, erunt anguli ad F, O, æquales; eademque
ratione æquales etiam anguli ab alijs aſymptotis cum diametris ad alteram
partem conſtitutis; vnde eorum aggregata, nempe anguli ab aſymptotis fa-
cti in ſimilibus Hyperbolis inter ſe æquales erunt.
Similes Hyperbolæ per eundem verticem ſimul adſcriptæ, ſunt
inter ſe nunquam coeuntes, & ſemper magis recedentes, ſed ad in-
teruallum nunquam perueniunt æquale cuidam dato interuallo.
SInt duæ ſimiles Hyperbolæ ABC, DBE per eundem verticem B ſimul
adſcriptæ, & Hyperbolæ ABC maiora ſint latera, tranſuerſum nempe
FB, rectũ autem BG; &
DBE minora ſint, tranſuerſum HB, rectum verò BI.
Patet primùm has ſectiones eſſe inter ſe nunquam coeuntes;
cum enim DBE
alteri
Dico ampliùs, eaſdem in-
re. Applicatis enim in alte-
ra ſectionum, nempe in in-
ſcripta, duabus vbicunque
rectis MN, LD, fiat vt BH ad
BF, ita BM ad BQ, & BL ad
BR, & per Q, R, applicentur
in circumſcripta Hyperbola
rectæ QS, RA; &
cum dia-
metrorum ſegmẽta BM, BQ,
BL, BR ſint tranſuerſis BH,
B F proportionalia, LD, RA ijſdẽ lateribus pro-
portionales, quare M N ad
QS erit vt LD ad RA; cum-
que ſit vt tota BL ad totam BR, ita pars BM ad partem BQ, erit & reliqua
ML ad reliquam QR, vt tota BL ad totam BR, vel vt BH ad BF, vel vt MN
ad QS, & vt LD ad RA, vt nuper oſtendimus;
quare iunctis rectis DN, AS
in menſalibus DM, AQ, Iam pro-
O, ſi iun-
gatur PO, hæc omninò ſecabit iunctam AS, vel intra ipſam ſectionem; (ſi
nempe vnius iunctarum ſectioni occurſus, alterius occurſibus contineatur)
vel extra punctum P eſt
in ipſa ſectione, quare punctum P eſt inter parallelas lineas ASK, DN, ſed
taliſq;
occurſus eſt omnino ad partes O infra applicatam PN, cum punctum
S cadat infra P (nam ex ipſa conſtructione applicata QS eſt infra applicatam
MP) quare eadem OP producta conueniet quoque cum altera æquidiſtan-
tium DN, ad oppoſitas tamen partes, vtputa ſupra ipſam applicatam PN,
vnde intercepta applicata OD, maior erit intercepta PN vertici B propin-
hoc ſemper, &
c.
Quapropter huiuſmodi Hyperbolæ ſunt ſemper
ſimul recedentes. Quod ſecundò.
&
c.
Præterea ſit TX aſymptotos inſcriptæ DBE, &
VZ aſymptotos circum-
ſcriptæ, quæ contingentem GB productam ſecent in X, Z; &
cum huiuſmo-
di Hyperbole ſint ſimiles, ſintque earum aſymptoti VZ, TX ad partes ęqua-
lium inclinationum ductæ, erit angulus ZVB Aſymptotos circumſcriptæ, vnde TX pro-
ducta ſecet ergo eam in 2, &
diametrum ſecans in 3,4,5 dico huiuſmodi Hyperbolas, licet ſemper inter
ſe magis recedant, nnnquam tamen ad interuallum peruenire æquale inter-
uallo 3 2, quod inter æquidiſtantes aſymptotos intercedit, & iuxta ordina-
tim ductas metitur.
Nam cum in ſimilibus Hyperbolis ABC, DBE, ex æqualibus, immo ex
eodem diametri ſegmento B 5, ducta ſit quædam applicata 5 4 2 3 ſimi-
limium Hyperbolarum aſymptotos ſecans in 2, 3; erit
portione 2 4, in Hyperbola minorum. Ampliùs applicata infra 3 2 4 5,
qualibet alia 6 7 8 9; erit ob eandem rationem, &
portio 6 7 maior por-
tione 8 9, quare addita communi 7 8; erit 6 8 ſiue 3 2 maior 7 9, &
hoc ſemper, vbicunque ſit intercepta 8 9 infra 2 4 licet ipſae; interceptæ
continuè augeantur. Vnde ſimiles Hyperbolæ per eundem verticem ſimul
adſcriptę, quamuis ſint ſemper magis recedentes ad interuallum tamen non
perueniunt æquale cuidam dato interuallo. Quod erat vltimò, &
c.
HInc eſt, quod ſimiles Hyperbolæ per eundem verticem ſimul adſcriptę
habent aſymptotos parallelas, & aſymptotos inſcriptæ ſecat Hyper-
bolen circumſcriptam: nam vltimò loco oſtẽdimus TX ęquidiſtare ipſi VZ,
& ſecare inſcriptam in 2.
Parabolæ congruentes, per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ,
ſunt inter ſe nunquam coeuntes, & in infinitum productæ ad ſe pro-
pius accedunt, & ad interuallum perueniunt minus quolibet dato
interuallo.
SInt duæ congruentes Parabolæ ABC, DEF per diuerſos vertices B, E,
ſimul adſcriptæ, quarum recta latera ſint BG, EH (quæ inter ſe æqua-
lia Dico primùm has in in-
Nam producta contingente HE ſectioni ABC occurrent in A, &
C, hæc
erit quoque ordinatim ducta in ſectione ABC (cum ſint ſectiones ſimul ad-
ſcriptæ) & Parabole DEF tota cadet infra contingentem AEC, ſumptoque
alteram ſectionem ſecans in S: erit quadratum SO
quadratum DO rectangulo OEH, ſed rectangulum OBG maius eſt rectã-
gulo OEH, cum latitudo BG æqualis ſit EH, altitudo verò BO maior EO,
quare SO quadratum, maius eſt quadrato DO; vnde punctum D cadit intra
Parabolen BA, & ſic de quibuslibet alijs pũctis Parabolæ DEF;
ergo huiuſ-
modi ſectiones inter ſe nunquam conueniunt. Quod primò, &
c.
Has tamen dico, licet in infinitum productas, infra contingentem EA ad
ſe propiùs accedere: Ducta enim DM parallela ad ON, &
per M applicata
MN, fiet parallelogrammum DN, cuius oppoſita latera MN, DO æqualia
erunt. Iam quadratum MN,
latera BN, EO æqualia erunt:
itaque per proſtaphereſim, erit BE æqualis
NO, ſed eſt quoque MD æqualis eidem NO, igitur BE, & MD inter ſe ſunt
ED æquales
erunt, & parallelæ, ſed BM ſecat NM, quare producta ſecabit quoque alte-
ram parallelarum OD, ſed extra ſectionem BMA (cum ſit BM intra ſectio-
nem, producta verò, tota cadat extra) ſit ergo occurſus cum ODS in P, &
cum contingente EA in T; &
in ſecunda figura, in qua contingens EA cadit
inter applicatas MN, OS, iungatur SM ſecans EA in V.
Iam in prima figura, cum in parallelogrammo PE latera ET, DP, ſint æ-
qualia, ſitque EA maius ET, erit EA quoque maius DP, eſtque DP maius
intercepto ſegmento DS, quare AE, eò maius erit ipſo DS. In ſecunda au-
tem figura, cum pariter ET, DP ſint æquales, ſitque ablata TV minor abla-
ta PS, erit reliqua EV maior reliqua DS, & eò magis EA maior eadem DS.
Non abſimili modò oſtendetur quamcunque interceptam XY infra SD, mi-
norem eſſe ipſa SD; ducta enim YZ æquidiſtanter EB, demonſtrabitur item
YZ æqualis eidem BE, ideoque YZ, & DM inter ſe æquales erunt, &
pa-
DY, ipſæ æquales, &
parallelæ erunt, &
facta conſtructione vt ſupra, idem omninò demonſtrabitur, nempe interce-
ptam YX minorem adhuc eſſe ipſa DS. Huiuſmodi igitur Parabolæ con-
gruentes, quò magis à tangente EA remouentur ad ſe propiùs accedunt: quod ſecundò, &
c.
SEd hoc idem aliter in nouo hoc ſchemate, in quo item oſtendetur inter-
ceptam contingentem EA maiorem eſſe intercepta applicata DI, & DI
maiorem infra intercepta
hoc ſemper, ſi ſectio-
nes in infinitum producan-
tur. Ducta enim DN paral-
lela ad EB, eadem penitus
methodo, qua ſuperiùs vſi
ſumus, demonſtrabimus DN
ipſi EB æqualem eſſe, & pa-
rallelam, quare, & coniun-
ctæ BN, ED æquales erunt,
ac parallelæ: ſi ergo BN ſe-
cetur bifariam in O, duca-
turque POT diametro BE
æquidiſtans, patet ipſam
TOP eſſe BN eſſe
vnam ei applicatarum in
Parabola ABC, vti etiam QDER ipſi NB æquidiſtantem: quapropter QP,
& PR æquales erunt, ſed eſt DP æqualis PE (ob parallelas, &
quia NO
æquatur OB) quare reliquæ QD, ER æquales erunt, ideoque rectangulum
QDR æquabitur rectangulo QER. Ampliùs ducatur TV æquidiſtans ad
QR, vel ad NB: patet TV ſectionem
contingenti GB
quoque reliquam TV.) Cumque duæ rectæ TV, BV, ſectionem ABC con-
tingentes, in vnum conueniant, ſitque QR ipſi TV, atque IS, & AC ipſi BV
æquidiſtantes, ac ſe mutuò ſecantes in D, & E, erit rectangulum QDR ad
IDS, permutando rectangulum QDR ad QER,
vt rectangulum IDS ad AEC, ſed QDR, QER ſunt ęqualia, vt modò oſten-
dimus, ergo & rectangulum IDS æquatur rectangulo AEC, ſiue quadrato
AE, quare vt SD ad EA, ita EA ad DI, ſed SD maior eſt EA, cum Eadem ratione oſten-
detur rectangulum LMX æquale quadrato AE: vnde rectangula IDS, LMY
inter ſe æqualia erunt, ſed eſt latus MY maius later@ DS, cum eius ſegmen-
tum ZY reliquum ſegmentum MZ maius
ſemper, quò
ſunt minores, vnde tales ſectiones ad ſe propiùs accedunt. Sed quod de
congruentibus, ſiue æqualibus parabolis hactenus expoſuimus, & iam olim
demonſtrauimus (dum Aſymptoton doctrina promoueri poſſe animaduer-
timus) maximos poſtea Geometras, Torricellium nempe, ac Gregorium à
S. Vincentio aliter quoque oſtendiſſe reperimus, quorum edita opera ad
vberiorem de hac re eruditionem conſulere ſuademus.
Dico tandem has con-
teruallum ſimul peruenire
minus quocunque dato in-
teruallo 1 2. Fiat enim vt
1 2 ad AE, ita AE ad 2 3
quæ ipſi 1 2 indirectum po-
natur, & tota 1 3 bifariam
ſecetur in 4, & per B appli-
cetur BK ęqualis 1 4; aga-
turque KI parallela ad BX,
& per I recta IDS contingẽti
BK æquidiſtans, erit ergo
IX æqualis KB, ſiue 4 1; eſtque IX dimidium IS, &
4 1 dimidium 1 3; quare
IS, 1 3 ſunt æquales; ſed
factum eſt rectangulum 1 2 3 æquale quadrato AE, & rectangulum IDS
oſtenſum eſt æquale eidem quadrato AE, ergo rectangula IDS, 1 2 3 in-
ter ſe ſunt æqualia; ſed rectæ IS, 1 3, ſunt æquales, quare ſegmentum ID
æquatur dato interuallo 1 2; interceptæ verò infra ID ſunt minores ipſa
intercepta ID, quapropter huiuſmodi congruentes Parabolę ad interuallum
perueniunt minus dato interuallo 1 2. Quod erat vltimò demonſtrandum.
EXhac patet, in congruentibus Parabolis per diuerſos vertices ſimul ad-
ſcriptis, omnes, inter eas, interceptas lineas communi diametro ęqui-
diſtanter ductas, eſſe inter ſe æquales, quales ſunt EB, DN, &c.
PAtet quoque, ex penultima parte huius, rectangula ſegmentorum ap-
plicatarum vtranque Parabolen ſecantium omnia inter ſe æqualia eſſe,
qualia ſunt rectangula LMY, IDS, &c.
Si duo triangula ABC, DEF, habuerint circa angulos B, E,
latera AB, BE, item@altera BC, EF inter ſe æqualia, & in angulis
BAC, EDF applicatæ ſint GH, IL parallelæ ad BC, EF, ſitque
rectangulum BGH æquale rectangulo EIL. Dico latera BG, EI
inter ſe æqualia eſſe.
SEd conſultò omiſſa, præter mei inſtituti morem, affirmatiua demonſtra-
tione, libet potiùs indirectam, ac breuiorem afferre, ſimulque egregiæ
indolis ſpecimen exhibere nobiliſsimi, ac ingenioſiſsimi Romani Adoleſcentis,
Bruti Annibali della Molara, ex ſelectiſsimis Ephebis SERENISSIMO
MAGNO DVCI miniſtrantibus, de quo non auſim aſſerere, quæ ſint ei
maioris oblectamenti, an equeſtrium exercitationum ornamenta, quibus
elegantiſsimè inſignitur, an mathematicæ contemplationes, dum, etiam
inter Aulæ ſtrepitus, pacatos ſubtilioris Geometriæ nouit inuenire receſſus,
prout varia teſtantur problemata, ac theoremata, à me identidem ei propoſi-
ta, & ab ipſo quàm feliciter ſoluta, quorum, licet facillimum, poſteriori
tamen inſeruiens hic habes.
ESto, ſi fieri poteſt, alterum ipſorum laterum, quale eſt BG, maius alte-
ro EI: habebit ergo GB ad BA, maiorem rationem quam IE ad ED ipſi
BA æqualem, & componendo GA
ad DE, ſed GA ad AB, eſt vt GH ad
BC, & ID ad DE, vt IL ad EF;
ergo
GH ad BC habet maiorem rationem
quàm IL ad EF, hoc eſt ad ſibi æqua-
lem BC, quare GH erit maior IL, &
ponitur BG maior EI, vnde rectan-
gulum BGH maius eſt rectangulo
EIL: quod eſt contra hypoteſim.
Sunt ergo BG, EI interſe æquales.
Quod erat, &
c.
Hyperbolæ congruentes, per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ,
ſunt inter ſe nunquam coeuntes, & ſemper ſimul accedentes:
ſed
ad interuallum nunquam perueniunt æquale cuidam dato inter-
uallo.
SInt duæ congruentes Hyperbolæ ABC, DEF per diuerlos vertices B, E
ſimul adſcriptæ, quarum recta latera ſint BG, EH (quæ inter ſe æqua-
lia erunt) & ipſarum tranſuerſa ſint BI, EL (quæ item æqualia erunt
Dico primùm has ſectiones nunquam
inter ſe conuenire.
Nam producta contingente HE donec ſectioni ABC occurrat in A, &
C,
ipſa quoque erit ordinata in ſectione ABC (cum ſint ſectiones ſimul adſcri-
ptæ) & ſectio DEF tota cadet infra contingentem AEC;
ſumptoque in ipſa
ED quocunque puncto D, applicetur SDO, quæ iunctis regulis IG, LH oc-
currat in K, R; &
cum ſit triangulum IBG ſimile triangulo LEH (habent
enim circa æquales angulos B, E, æqualia latera, vtrunque vtrique) erit
angulus BIG æqualis angulo ELH, vnde regulæ IGK, LHR æquidiſtant,
ideoque IK cadit extra LR, cum ſit punctum I ſupra L, ergo OK maior eſt
OR, ſed eſt OB maior OE, igitur rectangulum BOK hoc eſt punctum D cadit in-
ſic de quocunque alio puncto eiuſdem ſectionis infra
contingentem EA: quapropter huiuſmodi Hyperbolæ inter ſe nunquam
conueniunt. Quod primò, &
c.
Ampliùs dico ipſam DEF quò longiùs aberit à vertice E infra EA, eò
magis appropinquare ſectioni B A M. quoniam ducta D M parallela ad
OEB, & MN ad DO, fiet parallelogrammum DN, cuius oppoſita latera
MN, DO æqualia erunt: Itaqueregulæ IG occurrat producta MN in Q, &
regulæ LH producta DO in R: cum ſit oſtenſa MN æqualis DO, erit qua-
dratum MN ſed in triangulis IBG, LEH ſunt latera IB, LE, &
BG, EH inter ſe
æqualia, alterum alteri, quapropter æqualium rectangulorum BNQ, EOR
latera BN, & EO
quare cum diametri ſegmenta BN, EO
MD æqualis NO in parallelogrammo DN, igitur rectæ BE, & MD inter ſe
ſunt æquales, at ſunt etiam parallelæ, ergo coniuncta BM iunctæ ED æqui-
diſtat, ſed BM ſecat NM, quare producta ſecabit quoque OD, ſed extra ſe-
ctionem BMA (cum BM ſit intra ſectionem, producta verò tota cadat extra)
ſitque occurſus in P, & OD occurrat ſectioni BMA in S, PM verò contin-
gentem EA ſecet in T; &
in ſecunda figura, in qua punctum A cadit inter
puncta S, & M, iungatur SM, quæ cum tota cadat intra ſectionem, neceſſa-
riò ſecabit applicatam AE: veluti in V.
Iam, in prima figura, cum in parallelogrammo P E oppoſita latera ET,
DP ſint æqualia, ſitque EA maius ET, erit EA quoque maius ipſo DP, ſed
eſt DP maius intercepto applicatæ ſegmento DS, erit ergo AE, eò maius
ipſo DS. In ſecunda autem figura cum pariter ET, DP ſint æquales, ſitque
dempta TV minor dempta PS, erit reliqua EV maior reliqua DS, & eò ma-
gis EA maior eadem DS. Eodè penitùs modo oſtendetur, quamlibet aliam
interceptam ZY infra SD minorem eſſe ipſa SD: nam ducta YZ æquidiſtan-
ter ad EB, demonſtrabitur item YZ æqualem eſſe eidem BE, ac ideo YZ, &
DM eſſe inter ſe ęquales, & parallelas:
ex quo ſi iungantur MZ, &
DY, ipſę
æquales erunt, & parallelæ;
completa igitur conſimili conſtructione, ac ſu-
pra, idem omnino inſequetur, hoc eſt interceptam YX minorem adhuc eſſe
DS: tales ergo interceptæ quò magis à tangente EA remouentur continuè
decreſcunt. Quare ſectiones ABC, DEF ſunt ſemper ſimul accedentes.
Quod ſecundò, &
c.
Præterea, ſi ad euitandam in hiſce figuris linearum implicationem, con-
cipiatur circumſcriptæ Hyperbolæ ABC centrum eſſe I, aſymptoton IG, &
contingens ex vertice BG; at inſcriptæ DEF centrum L, aſymptoton LH,
contingens autem ex vertice ſit EH: cum harum ſectionum latera ſint data
æqualia, erunt quoque ipſorum rectangula inter ſe æqualia, ideoque, & eo-
rum ſubquadrupla
dium æqualium verſorum laterum) quare in triangulis IBG, LEH, cum ſint
latera IB, BG, lateribus LE, EH æqualia, & anguli ad B, E æquales, etiam
anguli ad baſes I, L æquales erunt, vnde aſymptoti IG, LG inter ſe æqui-
diſtant; &
cum ſit à puncto L, quod eſt intra angulum ab aſymptotis cir-
cumſcriptæ ſectionis factũ, ducta LH alteri aſymptoto IK æquidiſtans, pro-
ducta quare LH aſymptotos inſcriptæ
ſecet ergo in 1, per quod applicetur
2 1 3: Dico harum ſectionum interuallum infra applicatam 2 1 3 per in-
creſcat, eſſe tamen non minus interuallo 1 3, quod iuxta eaſdem æquidi-
ſtantes ordinatim ſectionibus applicatas, inter vtranque aſymptoton cadit. Nam per ea, quæ infra demonſtrabimus, interuallum 2 1, maius eſt inter-
uallo 1 3. Pariter 4 5, eſt maius 6 7, communique addito 5 6, erit inter-
uallum 4 6, maius interuallo 5 7, ſiue 1 3, & hoc ſemper vbicunque ſu-
matur harum ſectionum interuallum infra applicatam 2 1 3. Quare hy-
perbolæ congruentes per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ, licèt ſemper ma-
gis accedentes, ad interuallum nunquam perueniunt æquale cuidam dato
interuallo. Quod erat vltimò, &
c.
EX his conſtat, congruentium Hyperbolarum non per eundem verticem
ſimul adſcriptarum aſymptotos eſſe inter ſe æquidiſtantes, & aſympto-
ton inſcriptæ ſecare Hyperbolen circumſcriptam.
SInt duæ congruentes Hyperbolæ KBC, DEF, per diuerſos vertices B, E
ſimul adſcriptæ, & circumſcriptæ KBC ſit centrum G, &
aſymptotos
GI, inſcriptæ verò ſit centrum H, & aſymptotos HM, quæ ipſi GI æquidi-
ſtabit, per præcedens Coroll. ſitque applicata quæcunque IL vtranque
aſymptoton, & Hyperbolen ſecans in I, A, K, D, communemque diame-
trum in L: dico interceptum applicatę ſegmentum AD inſcriptæ Hyperbolę
DEF, maius eſſe intercepto eiuſdem applicatæ ſegmento IK inter aſympto-
ton, & circumſcriptam.
Ducta enim IM parallela ad GHO, &
per
gramma, ac ideò tàm GH, quàm LO ipſi IM
æquales erunt, & inter ſe;
quare addita com-
muni HL, erit GL æqualis HO, ſed eſt GB
æqualis HE, (cum ſint ſemi-tranſuerſa late-
ra congruentium Hyperbolarum) vnde reli-
qua BL, reliquæ EO æqualis erit, & ob id
ſemi-applicata LK ſemi-applicatę ON ęqua-
lis, ſed eſt tota LI æqualis totæ OM (cum ſint
oppoſitæ in parallelogrammo IO) ergo reli-
quæ KI, NM æquales erunt, ſed eſt eadem DA erit maior
KI. Quod erat, &
c.
Similes Hyperbolæ per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ, &
quarum eadem ſit regula, ſunt inter ſe nunquam coeuntes, & in in-
finitum productæ ad ſe propiùs accedentes, ſed ad interuallum
nunquam perueniunt æquale cuidam dato interuallo.
SInt duæ Hyperbolæ ABC, DEF per diuerſos vertices B, E ſimul adſcri-
ptæ, quarum eadem ſit regula GH (ſic enim eſt tranſuerſum GB ad rectum BI, vt tranſuer-
ſum GE ad rectum EL.) Dico primùm, has in infinitum productas, nun-
quam ſimul conuenire.
Protracta enim contingente LE, ſectionem ABC ſecane in M, N, quæ
erit ipſi ordinata, cum ſectiones ponantur ſimul adſcriptæ; patet ſectionem
DEF totam cadere infra contingentem MN. Iam ſumpto in ſectione DEF
quolibet puncto D, per ipſum ordinatim applicetur ADOH alteram ſectio-
nem ſecans in A, regulam verò in H: erit quadratum AO, ad quadratum
DO, vt rectangulum BOH ad rectangulum EOH (ob
AO maius erit quadrato DO, ex quo punctum D cadit intra Hyperbolen
ABC; &
ſic de quibuſcunque alijs punctis Hyperbolę DEF:
quare huiuſmo-
di ſectiones inter ſe nunquam conueniunt. Quod primò, &
c.
Iam ſi datæ Hyperbolæ, per verticem E, adſcribatur Hyperbole P E Q
cuius latera ER, ES æqualia ſint lateribus BG, BI, vtrunque vtrique, ipſæ
Hyperbolæ ABC, PEQ, congruentes
laterum inſcripta &
infra ADX
cum Hyperbolæ ABC, PEQ ſint congruentes,
& per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ
cumque Hyperbolæ DEF, PEQ ſint ſimiles, ac per eundem verti-
cem ſimul adſcriptæ &
hoc ſemper:
quare huiuſmodi Hyperbolæ ABC, DEF ſunt ad ſe propiùs accedentes.
Quod erat ſecundò, &c.
Tandem, bifariam ſectis tranſuerſis lateribus GB, GE, RE, in Y, Z, K,
erit Y centrum Hyperbolæ ABC, Z verò centrum DEF, ac demum K cen-
trum PEQ: &
cum ſit GB minor GE, erit dimidium GY minus dimidio GZ;
quare punctũ Z cadit infra Y:
cumq;
ſit EG maior ER, erit dimidiũ EZ maius
dimidio EK, vnde K punctum cadit infra Z. Si ergo ex Hyperbolarum cen-
tris Y, Z, ducantur earum aſymptoti Y 2, Z 3, K 4, Y 2
quare aſymptoti omnes Y 2, Z 3, K4,
&
cum Y 2 ſit aſymptotos ABC, &
Z 3 ſit intra an-
gulum ab aſymptotis comprehenſum, ipſa ſectionem ABC
ipſam applicetur quælibet alia TVP, ſingulas Hyperbolas ſecans in T, V, P. Erit intercepta TP
quod inter datarum ſectionum parallelas aſymptotos eſt interceptum, ac
iuxta ordinatim ductis æquidiſtantes metitur. Quod erat vltimò demon-
ſtrandum.
EX his patet, ſimilium Hyperbolarum per diuerſos vertices ſimul adſcri-
ptarum, & quarum eadem ſit regula, aſymptotos eſſe inter ſe paralle-
las, & aſymptoton inſcriptæ ſecare Hyperbolen circumſcriptam.
Si in quocunque triangulo ABC ducta ſit quæpiam linea DE
baſi BC parallela, rectangulum ABC ſuperabit ADE rectangu-
lo ſub DB, differentia altitudinum, & ſub aggregato baſium
BC, DE.
PRoducta enim BC, ac ſumpta CF æ-
completis in angulo
A B C parallelogrammis AE, AC, DF. Conſtat parallelogrammum AC ſuperare
parallelogrammum AE gnomone DCG,
ſed gnomon DCG æquatur parallelogrã-
mis B E, GC, & GC æquatur DC, ſiue
EF, quare AC ſuperat AE parallelogram-
mo DF, hoc eſt rectangulum ABC ſupe-
rat rectangulum ADE, rectangulo DBF; ſed DB eſt differentia altitudinum,
& BF aggregatum baſium BC, DE.
Quare patet propoſitum.
Similes Hyperbolæ concentricæ per diuerſos vertices ſimul
adſcriptæ, ſunt inter ſe nunquam coeuntes, ac ſemper propiùs
accedentes, & ad interuallum perueniunt minus quocunque dato
interuallo.
SInt duæ ſimiles Hyperbolæ ABC, DEF per diuerſos vertices B, E ſimul
adſcriptæ, quarum commune centrum ſit G, ſitque Hyperbolæ ABC
tranſuerſum latus BH, rectum BI, Hyperbolæ autem DEF ſit tranſuerſum
EL, rectum EM. Dico primùm has, in infinitum productas, nunquam inter
ſe conuenire.
Producta enim contingente ME, donec vtrinque ſectioni ABC occurrat,
ipſa erit ordinata in ſectione ABC (cum ſint ſectiones ſimul adſcriptæ) ac
ſectio DEF cadet tota infra contingentem KEM; &
ſumpto in DEC quoli-
bet puncto D, applicataque per D recta ADN, quæ iunctis regulis HI, LM
quoniam datæ ſectiones ſunt ſimiles, erit HB ad BI, vt LE
ad EM, ſuntque anguli ad B, E æquales, (cum ſectiones ſint ſimul adſcriptæ)
quare triangula HBI, LEM æquiangula erunt, ideoque regula HIP æquidi-
ſtabit regulæ LMO; &
triangula LNO, HNP inter ſe ſimilia.
Iam cum ſit GE æqualis ipſi GL, &
ablata GB æqualis ablatæ GH, erit
reliqua BE, reliquæ HL æqualis, ſed eſt EN minor HN, quare BE ad EN
maiorem habet rationem, quàm LH ad HN, & componendo BN ad NE,
maiorem item rationem quàm LN ad NH, vel quàm ON ad NP, ergo re-
ctangulum ſub extremis BN, NP, ſiue
idemque de quolibet alio puncto ſectionis DEF: vnde ipſa DEF inſcripta
erit ipſi ABC, vel erunt nunquam ſimul coeuntes. Quod erat primò, &
c.
Ampliùs applicata infra ADT qualibet alia QRS, &
Hyperbolę DEF per
eundem verticem E adſcripta Hyperbola ETV, quæ ſit æqualium laterum,
ſiue congruens Hyperbolæ ABC, applicatas ſecans in T, V: cum duæ Hy-
perbolæ EDR, ETV, ſint ſimiles, & per eundem verticem ſimul adſcriptæ
erit ETV, cuius latera æqualia ſunt ipſis lateribus HB, BI, inſcripta ſed erunt
quare intercepta DT minor erit intercepta RV, eſt autem tota AT
quapropter reliqua AD erit omnino maior reliqua QR;
&
hoc
ſemper: Vnde ſimiles concentricæ Hyperbolæ per diuerſos vertices ſimul
adſcriptæ, ſunt ad ſe propiùs accedentes. Quod ſecundò erat, &
c.
DVcantur ex communi centro G aſymptoti GX, GZ ſectionis ABC, quę
alterius ſimilis, & concentricæ ſectionis DEF
ipſi GX, productæ contingentes IB, ME, occurrant in X, Y, &
per
G ſit G 2, regulis HI, LM parallela, recta latera ſecans in 2, & 3;
cum ſit GE
æqualis GL, & GB æqualis GH, erit E 3 æqualis 3 M, &
B 2 æqualis 2 I,
ſiue 3 4, quare E 4 eſt aggregatum E 3 cum B 2. Iam cum rectangulum
GE 3 ſit quarta pars rectanguli LEM, & quadratum EY eiuſdem rectangu-
li eadem-
GE 3 excedit rectangulum GB 2 rectangulo BE 4, ſiue ſed productis ap-
tibus in 5 ADFC 6, & in 7 QR 8 9, eſt quadratum EY æquale
quadratum BX ęquale rectangulo 5 A 6;
vnde quadratorum
exceſſus æquatur exceſſui rectãgulorum, ſed exceſſus quadratorum eſt qua-
dratum EK, & exceſſus rectangulorum 5 D 6, 5 A 6
vnde quadratum EK æquatur rectangulo ADC;
eademque ratione
oſtendetur idem quadratum EK æquale rectangulo QR 8, quare rectangu-
la ADC, QR 8 inter ſe ſunt æqualia, ideoque R 8 ad DC, vt DA ad QR,
ſed eſt R 8 maior DC (cum ſit RS maior DN, & S 8 maior NC) ergo AD
erit maior QR, & hoc ſemper, &
c.
Dico tandem has ſimiles concentricas Hyperbolas in infinitum produ-
ctas ad interuallum peruenire minus quolibet dato interuallo RNam facta
eadem penitus conſtructione, ac in vltima parte 42. huius, hoc quod expo-
nitur, non abſimili eiuſdem argumento demonſtrabitur. Quod vltimò, &
c.
EX hac elicitur ſimilium, &
concentricarum Hyperbolarum, per diuer-
ſos vertices ſimul adſcriptarum, Aſymptotos communes eſſe.
COnſtat etiam ex penultima parte huius, in prædictis Hyperbolis rectan-
gula ſegmentorum applicatarum vtranque Hyperbolen ſecantium,
qualia ſunt rectangula ADC, QR8, omnia inter ſe æqualia eſſe.
Quod in prima parte præcedentium 44.
45.
47.
earumque primis Co-
rollarijs oſtendimus, vniuerſaliùs ſequenti Theoremate demonſtrabitur.
Similes Hyperbolæ per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ habent
aſymptotos parallelas, & quando centrum interioris cadat vltra
centrum exterioris, tunc huius aſymptotos interiorem Hyperbolen
ſecabit, ac ipſæ Hyperbolæ neceſſariò ſe mutuò ſecabunt. Cum
verò centrum interioris idem ſit cum centro exterioris, tunc vnius
aſymptotos erit aſymptotos alterius; &
ſectiones erunt ſimul nun-
quam coeuntes. Et ſi interioris centrum cadat infra centrum ex-
terioris, tunc eædem ſectiones erunt inter ſe nunquam coeuntes; &
aſymptotos inſcriptæ ſecabit Hyperbolen circumſcriptam.
SInt, vt in vtraque figura huius propoſitionis, duæ ſimiles Hyperbolæ
ABC, DEF per diuerſos vertices B, E ſimul adſcriptæ, quarum centra
ſint G, H, & ſectionis ABC aſymptoti ſint GI, GO;
ſectionis verò DEF ſint
HM, HR; Dico has aſymptotos eſſe inter ſe æquidiſtantes.
Nam in ſimilibus Hyperbolis ABC, DEF, anguli IGE, MHE, ab earum
aſymptotis, & diametris ad homologas partes facti
Quod primò, &
c.
Iam in hac prima figura, (in
remotius eſt à verticibus B, E,
quàm ſit centrum G exterioris
Hyperbolæ ABC) cum ſint HM,
HR aſymptoti Hyperbolæ DEF,
& in loco ab eis, &
ſectione ter-
minato ducta ſit GI alteri aſym-
ptoton
omnino ſectionem DEF ſecabit. Quod ſecundò, &
c.
Sed ipſa GI, cum ſit aſympto-
tos ſectionis ABC, tota cadit ex-
tra ipſam BA, quare occurſus
prædictæ aſymptoton GI cum ſe-
ctione ED, erit extra ſectionem
BA, vnde ipſa interior ſectio ED
neceſſariò ſecabit priùs exterio-
rem BA. Quod tertiò, &
c.
Ad pleniorem autem doctrinam, ſi quæratur, quo nam in puncto huiuſ-
modi Hyperbolæ ſe mutuò ſecent, ita id conſequetur.
Sumpta enim GS æquali GB, erit tota BS tranſuerſum exterioris ABC;
item ſumpta HT æquali HE, erit tota TE tranſuerſum interioris DEF.
Iam, vel H centrum interioris cadit in ipſo puncto S;
vel ſupra inter S, &
T, vel infra inter G, &S.
Si primùm;
cum ſit EH æqualis HT, eſſet etiam EH æqualis ST, vnde
eius fegmentum EB mins eſſet diſtantia ST. Si ſecundùm;
cum ſit HT æ-
qualis HE omnino ST maior eſſet eadem HE, & eò maior ipſius ſegmento
BE. Si tertiùm;
vt in hac ipſa figura, in qua centrum H interioris cadit inter
S, & G;
cum ſit HE æqualis HT, &
ablata HB maior ablata HS (nam eſt to-
ta SB ſecta bifariam in G) erit reliqua BE maior reliqua ST. Quapropter in
hoc caſu, in quo centrum H interioris cadit vltra centrum G exterioris, vbi-
cunq; ſit eius incidentia, demonſtratum eſt ſemper diſtantiam verticum B, E,
minorem eſſe ipſa ST diſtantia inter ſuperiora extrema tranſuerſorum late-
rum ET, BS. Quod memento.
Ampliùs ſint harum ſectionum recta latera BV, EX, &
regulæ TV, TX.
Patet ob ſectionum ſimilitudinem, vt SB ad BV, ita eſſe TE ad EX, ſed an-
guli ad B, E, ſunt æquales (cum ſectiones ſint ſimul adſcriptæ, &c.)
quare
in triangulis SBV, TEX, anguli ad S, T, æquales erunt, ac ideò regulæ SV,
TX inter ſe æquidiſtabunt. Cumque ſit ST maior BE, ſi dematur SK ipſi BE
æqualis, ducaturque SY parallela ad EX, & abſcindatur EL æqualis SY, ac
iungantur KY, BL: erunt in triangulis KSY, BEL, in quibus latera circum
æquales angulos S, E, ſunt æqualia, vtrunque vtrique, anguli quoq; SKY,
EBL æquales; ſuntque alterni, quare KY, &
BL inter ſe ęquidiſtant, ſed KY
ſecat TX, vnde & BL producta ſecabit TX, vt in N:
Iam per N ordinatim
ductis æquidiſtans applicetur NQDP, regulam SV, ſecans in Z, communem
diametrum in Q, exteriorem ſectionem CBA in P, & interiorem in D:
Cum
in triangulo BQN ſit EL ipſi QN parallela, erit BQ ad QN, vt BE ad EL,
& permutando QB ad BE, vt QN ad EL, ſiue ad SY, vel ZN, &
per con-
uerſionem rationis BQ ad QE, vt NQ ad QZ, vnde rectangulum BQZ
catæ DQ ex quo puncta P, D in vnum conueniunt, hoc eſt interior Hyper-
bole FED exteriori ABC occurrit in D; eademque ratione oſtendetur ipſas
ſimul occurrere in F, altero extremo eiuſdem applicatæ DQF, quare in ipſis
occurſibus ſe mutuò ſecant: quoniam ſi exempli gratia, huiuſmodi ſectiones
non ſe ſecarent, ſed contigerent in D, contingerent ſe quoque in F, vt fa-
cillimum eſt demonſtrare, ſed Hyperbole ED ſecat omnino rectam GI extra
ſectionem BA, vti ſuperius oſtendimus, quare hæc inter ſectio alio in loco
cadet quàm in D, pariterque ad alteram partem ſectio EF ſecabit BC in alio
puncto, præter in F: Quapropter coni-ſectio coni-ſectionem contingeret in
duobus punctis D, F, & in alijs duobus punctis ſibi ipſis occurrerent, quod
eſt vnde in ipſis occurſibus D, F ſe mutuò ſecant;
quod ex
Si verò centrum H interioris idem fuerit cum G centro exterioris, etiam
aſymptotos GI eadem erit cum aſymptoto HM, cum angulus IGB æqualis,
vel Ergo ſimilium concentricarum Hyperbo-
Quod quartò erat, &
c.
Quod autem ſint ſimul nunquam coeuntes ſatis patet ex prima parte 47.
huius, vel quàm breuiſſimè ex propoſ.
208.
ſeptimi Pappi.
Quod quintò, &
c.
Si autem centrum H interioris DEF cadat infra G centrum exterioris
ABC, vt in ſecunda figura, per verticem E contingenter applicata CEA; cum HM ſit intra angulum IGO ab aſymptotis factum, ac ipſi GI æquidiſtãs,
CEA, vt in N, vel in ipſo occurſu A, vel infra ad partes AL; ſi in N, vel in
A, patet interiorem ſectionem totam cadere infra applicatas ex N, vel ex A,
& nunquam infra N, vel A ſectioni BNA occurrere, ne priùs ſecet propriam
aſymptoton HM.
Si verò HM ſecet exteriorẽ
vt in hac ipſa figura; item pa-
tet ſectiones BA, ED infra LD
nunquam ſimul conuenire, ſin
aliter propriam aſymptoton
ſecaret.
Præterea indirectũ produ-
cta communi diametro EBG,
ſumptiſque in ea punctis V, T,
quæ ſint extrema tranſuerſo-
rum laterum datarum ſectio-
num, ductiſque regulis TX,
VZ; ipſę vti ſuperiùs oſtenſum
fuit, inter ſe æquidiſtabunt. Ampliùs ſumpto in portione
ED quolibet puncto K, per ip-
ſum applicetur KY vtranque Hyperbolen ſecans in P, K; regulas verò in
Z, X.
Iam, vel recta VZ eſt regula interioris ſectionis DEF, &
TX exterioris;
vel ipſæ ſimul congruunt, ſi tamen puncta V, T, in vnum conueniant;
vel è
contra VZ eſt regula exterioris, TX verò interioris. Si primum, cum in ſe-
ctione ABC quadratum applicatæ PY æquale in
gulum BYX maius EYZ, cum ſub maioribus lateribus contineatur, erit quo-
que quadratum PY, maius quadrato KY: vnde punctum K eſt intra ſectio-
nem ABC. Si ſecundum nempe ſit VZ vtriuſque ſectionis communis regu-
la, erit quadratum PY æquale rectangulo BYZ, & quadratum KY æquale
rectangulo EYZ, ſed rectangulum BYZ maius eſt EYZ, cum altitudo BY
maior ſit altitudine EY, quare quadratum PY maius eſt quadrato KY, ſiue
punctum K eſt intra ſectionem ABC. Si denique interior recta VZ fuerit re-
gula exterioris ſectionis ABC, & exterior TX, regula interioris DEF, erit
HE ipſi HT æqualis, ſed eſt ablata HB minor ablata GV (cum ponatur GB,
quæ maior eſt HB, æqualis GV) ergo reliqua BE maior erit reſiduis ſegmen-
tis GH, VT, & eò maior vnico ſegmento VT, ſed eſt EY minor VY, quare
BE ad EY maiorem habebit rationẽ quàm TV ad VY, vel quàm XZ ad ZY,
& componendo BY ad YE maiorem habebit rationem quàm XY ad YZ, vn-
de rectangulum BYZ ſic de
Quare huiuſmodi ſimiles Hyperbolæ,
neque infra applicatam LF, neque inter lineas LF, AC ſimul conueniunt,
vnde ſunt in totum nunquam coeuntes. Quod ſextò, &
c.
Quod tandem HI, aſymptotos inſcriptæ DEF, ſecet circumſcriptam Hy-
perbolen ABC, iam ſatis patet ex dictis. Quod ſupererat demonſtrandum.
_E_N tibi Lector Geometra admiranda quædam Naturæ ſympto-
mata circa Aſymptoticas lineas iam olim à nobis detecta, ac ſi-
mul directa demonſtratione firmata, dum in Conicis hucuſque
animaduertimus non tantùm binas dari lineas in eodem plano
exiſtentes, quæ licet ſemper inter ſe magis accedant, nunquam tamen (quòd
ſanè mirum eſt) etiam ſi in infinitum productæ, ſimul conueniunt; quales
ſunt, conuexa linea hyperbolica, & celebris illa recta Aſymptotos Apoll.
ab
ipſo tunc negatiuè, à nobis verò in 8. &
10.
huius affirmatiuè demonſtrata:
verùm alias quoque, eiuſdem penitus naturæ reperiri, alteram nempe con-
uexam, concauam alteram, quales ſunt binæ congruentes parabolæ, vel hy-
perbolæ; item binæ ſimiles hyperbolæ, quarum centrum interioris, aut in ipſā
cadat, aut infra centrum exterioris, atque omnes ſint per diuerſos vertices
ſimul adſcriptæ; prout vidimus in 42.
44.
45.
47.
&
elicitur ex ipſa 48.
huius. Præterea, non ſolùm rectam Aſymptoton, &
Hyperbolen dari, quæ
dum ad ſe propius ſemper accedunt, ad interuallum aliquando perueniunt mi-
nus quolibet dato interuallo, vti ex ipſo Apollonio, & ex noſtra 10.
innotuit;
ſed congruentes item parabolas, & concentricas hyperbolas per varios ver-
tices ſimul adſcriptas hac ipſa admirabili affectione eſſe præditas, veluti in
42. &
47.
à nobis fuit oſtenſum.
Verum enimuero haud minori ſaltem
admiratione dignum videtur, binas pariter lineas inueniri, quæ licet nun-
quam coeuntes, & in infinitum productæ ad ſe propius accedentes, non ta-
men vnquam perueniunt ad interuallum cuiuſdam determinatæ magnitudi-
nis: huiuſmodi enim ſunt congruentes Hyperbolæ, pariterque hyperbolæ ſimi-
les per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ, prout didicimus in 44. &
45.
Alias amplius deteximus lineas, quarum diſtãtia perpetuò augetur, ſed nun-
quam tamen peruenit ad interuallum æquale cuidam terminato interuallo: ta-
les enim ſunt recta linea alteri aſymptoton æquidiſtans, & Hyperbolen ſecãs,
vna cum eadem curua hyperbolica: tales item ſunt hyperbolæ ſimiles per eun-
dem verticem ſimul adſcriptæ, prout in 34. &
41.
Oſtendimus denique
binas dari lineas ad eaſdem partes in infinitum productas, nunquam coeun-
tes, quæ ſimul, ac ſemel ſunt, & ad ſe propiùs accedentes, &
inter ſe æqui-
diſtantes: quales ſunt demum, parabolæ congruentes per diuerſos vertices
ſimul adſcriptæ, vti ex noſtra 42. eiuſque primo Coroll.
iam ſatis patuit.
Si binæ Parabolæ, aut binæ concentricæ Hyperbolæ fuerint per
diuerſos vertices ſimul adſcriptæ, ipſæ, vel ad neutram partem ſe
vnquam ſecabunt, vel ſi ad alteram partem occurrant, occurrent
quoque ad aliam, punctaque occurſuum erunt extrema eiuſdem
communis applicatæ, ac in ijſdem occurſibus ſe mutuò ſecabunt.
SInt duæ Parabolæ ABC, DEF, vel duæ concentricæ Hyperbolæ per di-
uerſos vertices B, E ſimul adſcriptæ. Dico primùm, ſi huiuſmodi ſectio-
nes ad alteram partium, vt ad A nunquam conueniunt, ad aliam quoque C
nunquam conuenire.
Nam ſumpto in ſectione DEF, ad
sũ ordinatim applicetur recta CFGDA,
quæ vtrinque producta, vtrique ſectio-
ni occurret (cum ipſæ ob Hypoteſim,
ſint ſectiones in infinitam diſtantiam
abeuntes ad inferiores partes) cumque
in ſectione ABC ſit ſemi-applicata AG,
æqualis GC, & in ſectione DEF, ſemi-
applicata DG, æqualis GF, ſitque ante-
cedens AG maior antecedente DG (cum ad partes A nunquam cõueniant)
erit etiam conſequens GC, maior conſequenti GF, quare punctum F, ſe-
ctionis DEF cadit intra ABC, & ſic de reliquis.
Quod primò, &
c.
Si verò ſectiones ad alteras partes, veluti ad A, &
D conueniant vt in H.
Dico ipſas ad alias quoque partes ſimul occurrere ad extrema puncta eiuſ-
de m applicatæ.
Nam, ducta per H communi applicata HI, ipſa producatur ſecans ſectio-
nem BC in L; &
EF in M.
Erit in ſectione ABC ſemi- applicata HI æqualis
IL, & in ſectione DEF eadem HI æqualis IM;
ergo IL, &
IM æquales, ideo-
que ſectionum puncta L, M in vnum conueniunt; Quare cum ſectiones
ABC, DEF non per vertices ſimul adſcriptæ ad alteram partem occurrunt,
occurrent quoque ad aliam, punctaque occurſuum erunt extrema eiuſdem
communis applicatæ.
Quod autem in occurſibus H, &
L ſe mutuò ſecent, ſic demonſtratur.
Nam
ſi huiuſmodi ſectiones tangerent ſe mutuò in occurſu H, ita vt ſectionis, ver-
bi gratia, ED partes HO, HN cadant totæ intra ſectionem ABC: ſumpto in
altera ipſarum partium, vt puta OH, quolibet puncto D, & per ipſum ducta
communi applicata ADGFG vtranque ſectionem ſecane
ABC rectæ AG, GC æquales, & in ſectione DEF rectæ DG, GF itẽ ę;
qua-
les, ſed eſt AG maior GD cum ponatur peripheria OH cadere intra BH, vn-
de & CG maior erit ipſa FG, hoc eſt punctum F cadet intra.
Idemque de-
monſtrabitur de quolibet alio extremo puncto cuiuſcunque applicatæ inter
O, & N, tùm ſupra, tùm infra occurſum L:
quare ſectio DEF continget
Er-
go in duobus punctis H, L ſe contingent; quod eſt falſum;
nam Parabole
Parabolen, ſiue Hyperbole Hyperbolen concentricam Non ergo tales ſectiones ſe tangunt in H;
neque in L, ob ean-
dem rationem; quare ipſæ in occurſibus H, &
L ſe mutuò ſecant.
Quod erat
oſtendendum.
Impoſſibile eſt Hyperbolen Parabolæ, per eundem, vel per
diuerſos vertices inſcribere. Item.
Impoſſibile eſt Parabolen Hyperbolæ, per eundem, vel per di-
uerſos vertices circumſcribere.
ESto Parabole ABC, cui per punctum D in ea ſumptum, vt in prima figu-
ra, vel intra ipſam, vt in ſecunda, adſcripta ſit quæcunque Hyperbole
EDF circa communem diametrum BDG, quæ per aliquas ſuæ peripheriæ
partes DE, DF, hinc inde à diametro ſumptas cadat intra Parabolen ABC. Dico ipſam Hyperbolen, ſi producatur, ex vtraque parte Parabolen ſecare.
Nam ductis ex D re-
ctis DA, DC vtrique
EDF ęquidiſtãtibus, hę; neceſſariò Parabolen
ſecabunt,
alio puncto quàm D
nunquam
EDF ex vtraque parte
in infinitum habeat, ſi
producatur, occurret
denique Parabolæ ABC inter puncta B, A, & puncta B, C;
eamque ſeca-
bit, nam ſi tantùm eam tangeret, vel non, ſi vlteriùs producatur intra Para-
bolen, ſecaret aliquandò rectas DA, DC; quod
Non igi-
vel intra ipſa datum, eadem ratione demonſtrabitur non poſſe circumſcribi
Parabolen datæ Hyperbolę per punctum in ea, vel extra ipſam datum. Quod
erat, &c.
HInc patet non dari _MAXIMAM_ Hyperbolen datæ Parabolæ, vel per
eundem verticem, vel per diuerſos inſcriptibilem; itemque non dari
_MINIMAM_ Parabolen datæ Hyperbolæ, vel per eundem, vel per diuerſos
vertices circumſcriptibilem.
Datæ Parabolæ per punctum intra ipſam datum MAXIMAM
Parabolen inſcribere, & è contra.
Datæ Parabolæ per punctum extra ipſam datum MINIMAM
Parabolen circumſcribere.
SIt data Parabole ABC, &
oporteat primò per punctum D intra ipſam da-
tum _MAXIMAM_ Parabolen inſcribere.
Ducatur diameter
latus ſit BF, (quod
in poſterùm intelli-
gatur ſemper ex ver-
tice cõtingenter ap-
plicatum ſectioni,
prout in prę;cedenti-
bus factum eſt, & in
quinta primarũ defi-
nitionũ monuimus)
& per verticem D,
circa diametrũ D E
adſcribatur nam ipſa erit congruens datæ Dico hanc eſſe _MAXIMAM_
in ſcriptam quæſitam.
Nam cum ipſæ ſint congruentes Parabolæ per diuerſos vertices ſimul ad-
ſcriptæ quare GDH datæ ABC erit per
Ampliùs, quælibet alia Parabole per verticem D adſcripta cum recto,
quod minus ſit ipſo DI minor Nam ſi fiat vt LI ad ID, ita BD ad DE,
& per E applicetur EMA ſecans BA in A, &
DM in M.
Cum ſit BD ad DE,
vt Li ad ID, erit componendo BE ad ED, vt LD ad DI; vnde rectangulum
ſub extremis BE, & DI, ſiue BF, hoc eſt
ME in Parabola MDN, ac ideò AE, ME ſunt æquales, quapropter
Parabole DN occurrit ſibi adſcriptæ BA, per diuerſos vertices in puncto M,
& ob id in eodem occurſu, &
ad alteram quoque partem ſe mutuò
Quod
primò, &c.
IAM datæ Parabolæ GDH, oporteat per punctum B extra ipſam datam
_MINIMAM_ Parabolen circumſcribere.
Ducatur BDE diameter datę;
GDH, cuius rectum ſit DI, &
ei adſcribatur
per B, cum recto BF, quod æquet ipſum DI, congruens Parabole ABC:
Cum ſint enim ipſæ Parabolæ congruentes, &
per diuerſos vertices ad-
ſcriptæ, erunt
Præterea, quælibet alia Parabole per B adſcripta cum recto, quod exce-
dat BF, maior eſt ipſa ABC, quę verò cum recto BO, quod minus ſit ipſo BF,
qualis eſt PBQ, eſt quidem minor ipſa ABC, ſed omnino ſecat inſcriptam
GDH. Quoniam ſi fiat vt FO ad OB, ita BD ad DE, ac per E applicetur
EGP ſecans DG in G, & BP in P:
cum ſit BD ad DE, vt FO ad OB, erit com-
ponendo BE ad ED, vt FB ad BO; vnde rectangulum ſub BE, &
BO
dijs ED, & BF, ſiue DI, hoc
Occurrit ergo Parabole BP, ſibi adſcriptæ DG
per diuerſos vertices, in puncto P, quare in eodem occurſu, & ad alteram
partem Quapropter congruens Parabole ABC erit _MI-_
Datæ Hyperbolę, per punctum intra ipſam datum MAXIMAM
Hyperbolen inſcribere, quarum eadem ſit regula.
ESto data Hyperbole ABC, cuius centrum D;
&
punctum intra ipſam da-
tum ſit E. Oportet per E Hyperbolen inſcribere, quæ ſit _MAXIMA_,
ſed tamen eius regula ſit quoque regula datæ ſectionis.
Iungatur ED ſecans datã ſectionem in
producta ſumatur DF æqualis BD,
erit
regula FG, quæ producatur, & per E ſit
ducta EH parallela ad BG, & per verticẽ
E, circa communem diametrum BE, da-
tę ſectioni ABC
eadem ſit regula FGH: patet ipſam IEL
datæ ABC eſſe inſcriptam, cum in infini-
tum productæ ſint inter
Dico ampliùs ipſam IEL eſſe _MAXI-_
_MAM_. Quoniam quęlibet alia adſcripta
per verticem E, cum eodem tranſuerſo
FE, ſed cum recto, quod minus ſit recto
EH, minor quæ verò cum recto EO, quod excedat EH, qua-
ſed omnino ſecat ipſam
Nam ſi fiat vt OH ad HE, ita BE ad EM, &
per M applicetur MPA
Hyperbolen PEQ ſecans in P, BA verò in A, & producta ſecet regulam
FH, in N, & iunctam regulam FO deſcriptæ Hyperbolæ PEQ in R.
Cum ſit BE ad EM, vt OH ad HE, erit
vel vt RM ad MN; quapropter rectan-
gulum BMN
ctangulo EMR, ac ideò lineæ
MA, MP ſunt æquales, quare Hyperbo-
læ ABC, PEQ occurrunt ſimul in pun-
cto Q, in quo etiam ſe mutuò ſecabunt. Nã ſumpto in ſectione QEP infra P quo-
libet puncto S, per quod applicata STV,
ſectionem ABC, diametrum, ac regulas
ſecans in T, V, X, Y: cum ſit EM minor
EV, habebit BE ad EM, vel OH ad HE,
vel YX ad XV, maiorem rationem quam
BE ad EV, & componendo YV ad VX
maiorem rationem, quàm BV ad VE, vnde rectangulum YVE, vnde punctum S cadit extra Hyperbolen ABC,
ac ideò ipſæ Hyperbolæ ſe mutuò ſecant, ſicuti in altero extremo Q, eiuſ-
dem applicatæ. Erit ergo Hyperbole IEL, quæ datæ ABC ſimilis eſt, &
ad
eandem regulam, _MAXIMA_ inſcripta quæſita. Quod erat, &
c.
Verùm cum ad inueſtigationem MAXIMAE, &
MINIMAE in-
ſcriptæ, ac circumſcriptæ ſectionis, mlreferat ignorare quo nam in puncto,
maior, vel minor quæſitarum ſectionum, datæ ſectioni occurrat, ſufficit
enim oſtendere ipſas, vbicunq; ſit earum occurſus, aliquando ſe mutuò ſeca-
re) ideò in proximè ſequentibus problematibus, hac omiſſa methodo per appli-
catarum potentias, tanquam prolixiori, & minus concinna, hoc ipſum aliter
elegantiori induſtria demonſtr abimus, & licet id pluribus, ac varijs aggreſ-
ſionibus conſequi poſsit, vt in hac, & proxima propoſitione videre licet, ta-
men eas eligemus, quæ apportunæ magis nobis videbuntur.
SEcetur igitur E F bifariam in 2, erit 2 centrum Hyperbolarum IEL,
PEQ, ex quo ductis harum aſumptotis, videlicet 2 3 inſcriptæ IEL,
& 2 4 circumſcriptæ PEQ, quæ cadet
Iam cum Hyperbolæ ABC, IEL ſimiles ſint, per diuerſos vertices, &
ad
eandem regulam FGH ſimul adſcriptæ, erunt earum aſymptoti D 5, 2 3
inter alteram 2 3 ſecat in 2, qua-
reliquam D 5;
ſed eſt 2 4
aſymptotos ſectionis SPEQ, & quædam recta D 5 occurrit ei, ac ſectionis
riò
bola SPEQ ſiet extra ABC, ideoque ſectio EP ſecabit priùs Hyperbolen
ABC, & ſic Hyperbole IEL erit _MAXIMA_ inſcripta quæſita.
Quod facien-
dum, ac demonſtrandum erat.
PRoducatur contingens HE vſque ad circumſcriptã ſectionem ABC in K.
Cum Hyperbolę ABC, IEL ſimiles ſint per diuerſos vertices, &
ad ean-
dem regulam ſimul adſcriptæ Verùm
cum Hyperbolę PEQ, IEL ſint concentricæ, & per eundem verticem ſimul
adſcriptæ, erunt ſemper magis recedentes, & ad interuallũ peruenient maius
quocunq; dato interuallo, videlicet ſectio EPS recedet ab eadem EI
quapropter ſectiones KAT, EPS neceſſariò
ſe mutuò ſecabunt: Vnde Hyperbole IEL erit _MAXIMA_ inſcripta quæſita.
Datæ Hyperbolæ per punctum extra ipſam datum MINIMAM
Hyperbolen circumſcribere, quarum eadem ſit regula.
Oportet autem datum punctum, vel eſſe in angulo aſymptotis
contento, vel in eo, quod
ipſius diſtantia à centro datæ ſectionis, minor ſit eius ſemi-tranſ-
uerſo latere per datum punctum tranſeunte.
ESto data Hyperbole ABC, cuius centrum D, aſymptoti DF, DG, &
da-
tum extra ipſam punctum ſit E, quod tamen ſit in angulo aſymptotali
FDG, vt in prima figura; vel in eò qui ipſi eſt ad verticem, vt in ſecunda,
dummodo coniuncta ED, & producta vſque ad ſectionem in B, ipſa ED mi-
(ſi enim datum punctum eſſet in angulis, qui
deinceps ſunt, recta linea per ipſum datum punctum, & centrum ſectionis
ducta non eſſet eius diameter, cum nunquam ſectioni &
cum
fuerit in angulo ad verticem, vt in ſecunda, niſi diſtantia ED minor ſit ſemi-
tranſuerſo DB, Hyperbole ad regulam datæ adſcribi minimè poſſet, vt ſatis
patet) oportet per E _MINIMAM_ Hyperbolen circumſcribere, cuius regula
eadem ſit cum regula datæ ſectionis.
Iungatur ED, &
ad partes ſectionis producatur donec ei occurrat in B,
ſumptaq; in directum DH æquali DB, erit HB tranſuerſum
ſit ergo BI eius rectum latus, &
regula HI;
ſitque EK æqui-
diſtans BI, & per verticem B, cum tranſuerſo EH, &
recto EK, ſiue ad ean-
dem regulam HI adſcribatur Hyperbole LEM: patet ipſam datæ ABC eſſe
inſcriptam, cum ſimul
Dico ampliùs ipſam LEM eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Quoniam quęlibet
alia adſcripta per verticem E, cum eodem verſo HE, ſed cum recto, quod
excedat EK, maior quæ verò cum recto EN, quod minus ſit
Nam ad productam regulam HN, ſecan@ BI in R adſcribatur per B
Hyperbole SBT; hæc tota cadet
eſtque ABC ipſi SBT, per eundem verticem, & cum maiori recto latere BI
adſcripta, quare per præce dentem Vnde Hyperbole LEM eſt _MINIMA_ circumſcripta quæſita.
Quod
faciendum, & demonſtrandum erat.
SEcetur EH bifariam in X:
erit X centrum vtriuſque LEM, OEQ:
ſi ergo
ex centris X, D, ducantur XY, XZ, DF ſectionum LEM, OEQ, ABC
aſymptoti, hoc eſt XY circumſcriptæ LEM; XZ inſcriptæ OEQ, quæ infra
XY &
DF ſectionis ABC, quæ ipſi XY æquidiſtabit;
cum XZ ſecet
ſectionem ABC,
ctio ABC occurret priùs ſectioni OEQ. Quapropter Hyperbole LEM eſt
_MINIMA_ circumſcripta quæſita. Quod, &
c.
PRoducatur contingens IB vſq;
ad circumſcriptam ſectionem in V.
Cum
ſectiones BA, EL ſimiles, & ad eandem regulam HI, infra BV ad ſe
propiùs
BV, cum ſint ſemper magis recedẽtes, & quare BA, &
OP omnino ſe mutuò ſecabũt.
Quod
iterum erat, &c.
Datæ Hyperbolę, per punctum intra ipſam datum MAXIMAM
ſibi concentricam Hyperbolen inſcribere, & è contra.
Datæ Hyperbolæ, per punctum extra ipſam datum MINIMAM
ſibi concentricam Hyperbolen circumſcribere. Oportet autem
datum punctum eſſe in angulo aſymptotali.
ESto data Hyperbole ABC, cuius centrum D, aſymptotos DL, &
pun-
ctum intra ſectionem datum ſit E: oportet primò per E _MAXIMAM_ ei
concentricam Hyperbolen inſcribere.
Iungatur ED ſecans ABC in B:
erit
concentrica Hyper-
bole FEG (hoc autem ſieri poſſe mani-
feſtum eſt: nam ſectionis FEG datur eius
aſymptotos DL, cum ſimiles concentri-
cæ Hyperbolæ per diuerſos vertices ad-
ſcriptæ cum datur tranſuerſum latus, &
aſymptotos datur quoque rectum) patet
hãc ſectionẽ FEG datæ ABC eſſe inſcri-
ptam, cum ſint
Dico ampliùs hanc ipſam FEG eſſe _MAXIMAM_ quæſitam:
quoniam quę-
libet alia per E verticem adſcripta ipſi ABC, vel FEG minor
dem Nam
per eundem verticem E ſi-
mul adſcriptæ, ſitque DL aſymptotos inſcriptæ FEG, ipſa ſecabit circum-
ſectio EH ſecabunt ſe mutuò extra ſectionem BA, qua-
propter EH ſecabit priùs ſectionem BA: ex quo ſimilis, &
concentrica Hy-
perbole FEG erit _MAXIMA_ quæſita: Quod primò faciendum, &
demon-
ſtrandum erat.
DVcatur ex E contingens EM.
Sectio MA accedit
at ſectio EH quæ cadit ex-
tra EF,
EH neceſſariò ſe mutuò ſecant:
Vnde FEG eſt _MAXIMA_ in-
ſcripta quæſita. Quod iterum, &
c.
IAM ſit data Hyperbole FEG, cuius centrum G, aſymptotos DL, &
opor-
teat per datum extra ipſam punctum B (quod tamen ſit in angulo aſym-
ptotali, ob rationem in præcedenti propoſ. allatam) _MINIMAM_ Hyperbo-
len circumſcribere.
Iungatur DB, &
producatur ſectioni
cum ſemi-tranſ-
uerſo BD, per verticem B, adſcribatur
ſimilis, & concentrica Hyperbole ABC:
patet hanc eſſe datæ FEG circumſcriptã,
cum nunquam
Dico præterea ipſam eſſe _MAXIMAM_
quæſitam. Quoniam quæcunque alia
adſcripta per B ipſi FEG, vel ipſi ABC
concentrica, cum recto, quod maius ſit
recto ſectionis ABC, maior
dicto ſit minus, qualis eſt Hyperbole
NBO, eſt quidem
ſed ſectio PN eſt intra MA, &
ab ipſa
quare PN, &
EF neceſſariò ſe mutuò ſe-
cant. Igitur ſimilis, &
concentrica Hyperbole ABC eſt _MINIMA_ circum-
ſcripta quæſita. Quod ſecundò faciendum erat.
Quod in hac, &
in duabus-præcedentibus factum eſt, idem ſimul, ac
vmuerſaliùs habebitur in ſequenti.
Datæ Hyperbolæ, per punctum intra ipſam datum, cum dato
ſemi-tranſuerſo latere, quodtamen non excedat diſtantiam inter
datum punctum, & datæ ſectionis centrum, MAXIMAM Hyper-
bolen inſcribere: &
è contra.
Datæ Hyperbolæ, per punctum extra ipſam datum, cum dato
ſemi-tranſuerſo latere MINIMAM Hyperbolen circumſcribere.
Oportet autem datum punctum, vel eſſe in angulo aſymptotali,
vel in eo, qui eſt ad verticem; &
ſi in primò caſu, neceſſe eſt, vt ſe-
mi-tranſuerſum excedat interuallum inter datum punctum, & cen-
trum datæ ſectionis: in ſecundò verò ſit cuiuslibet longitudinis.
ESto Hyperbole ABC, cuius centrum D, &
datum intra ipſam punctum
ſit E: oporret primò per E, cum dato ſemi-tranſuerſo EF (quod ſit mi-
nus interuallo ED) _MAXIMAM_ Hyperbolen inſcribere.
Iungatur E D
& ex ipſa ED de-
matur EF æ qualis
dato ſemi- tranſ-
uerſo, & per ver-
ticem E, cum cẽ-
tro F adſeribatur
ſectioni
milis datæ ABC; quæ (cum habeat
centrum F, velin
ipſo D, ſinempe datum ſemi-tran ſuerſum EF æquale fuerit iunctæ ED, vel
infra idem centrum D, ſi datum fuerit ipſa ED minus) erit Dico hanc eſſe _MAXIMAM_ quæſitam.
Quoniam quælibet alia per verticem E, cum eodem tranſuerſo EF adſcri-
pta, ſed cum recto, quod ſit minus recto ſectionis EG, ipſa EG minor
Nam ducta FI aſym-
ptoto ſectionis EG, & FM ſectionis EL, (quæ FM cadet extra E I, vt patet
ex vltima parte 37. huius) ac DH ſectionis ABC:
erunt
ab altera parallelarum in F, quare ipſa DH ſecabit ſed
cum ſectione EL, erit extra ipſam ABC, vnde EL neceſſariò ſecabit priùs
circumſcriptam ABC. Erit ergo EG _MAXIMA_ inſcripta quæſita, cum da-
to ſemi tranſuerſo EF. Quod primò erat, &
c.
IAM oporteat datæ Hyperbolæ GEN, cuius aſymptoti ſint FI, FO per da-
tum extra ipſam punctum B (quod tamen ſit, vel in agulo aſymptotali
IFO, vt in prima figura, velin eo, qui ipſi eſt ad verticem, vt in ſecunda, ob
id quod in 53. huius monuimus, cum dato ſemi- tranſuerſo latere BD (quod
in primo caſu excedat diſtantiam BF, in ſecundo verò ſit cuiuslibet longitu-
dinis) _MINIMAM_ Hyperbolen circumſcribere.
Iungatur F B,
tæ ſectioni GEN
occurrat in E, &
producta E B ad
partes oppoſitæ
ſectionis, ſuma-
tur B D æqualis
dato ſemi-tranſ-
uerſo; quę ex hy-
poteſi vtrobique
cadet in angulo
aſymptotali, ſiue
vltra centrum F, & per verticem B, datæ Hyperbolæ GEN, adſcribatur
Dico hanc eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Quoniam quælibet
alia per B ei adſcripta cum recto, quod maius ſit eius recto latere, maior
eſt quidem Ductis
DR cadet infra DH, ex vltima parte 37.
huius, ſed
ei occurrit in H, quare DR producta ſecabit alteram parallelam F I,
nempe aſymptoton ſectionis GEN, & vlteriùs producta, ipſam,
& ſectionem GEN ſecabit
rectæ DR cum ſectione GEN cadet extra ſectio-
nem PBQ, ac ideò inſcripta ſectio GEN, ſe-
ctionem PBQ priùs ſecabit: vnde ABC
erit _MINIMA_ circumſcripta quę-
ſita. Quod ſecundò facien-
dum, ac demonſtran-
dum erat.
Datæ Hyperbolę, per punctum intra ipſam datũ, cum dato recto
latere non excedent rectum Hyperbolæ, quæ ſimilis ſit, & concen-
trica datæ per datum punctum adſcriptæ, MAXIMAM Hyperbo-
len inſcribere: &
è contra.
Datæ Hyperbolæ, per punctum extra ipſam datum, cum dato
recto latere MINIMAM Hyperbolen circumſcribere.
Oportet autem datum punctum, vel eſſe in angulo aſymptotali,
vel in eo, qui eſt ad verticem, dummodo in primò caſu datum re-
ctum latus non ſit minus recto eius Hyperbolæ, quæ ſimilis ſit, &
concentrica datæ per datum punctum adſcriptæ, in ſecundò verò
ſit cuiuslibet magnitudinis.
SIt data Hyperbole ABC, cuius centrum D, &
datũ intra ipſam punctum
ſit E: oportet primò per E, cum dato recto EF _MAXIMAM_ Hyperbo-
len inſcribere.
Iungatur ED ſecãs
per E
concipiatur
milis, & concentrica
datę ABC, cuius re-
ctum ſit EG, quod ex
more, ordinatim ap-
plicetur diametro E
B, & cum dato recto
EF, quod non ſit ma-
ius E G, adſcribatur
ipſi ABC ſimilis Hy,
perbole HEK, cuius centrum ſit I; erunt ergo Hyperbolæ EH, EN inter ſe
ſimiles, quare vt rectum EF, ad rectum EG, ita ſemi-tranſuerſum EI ad ſe-
mi-tranſuerſum ED, & ponitur EF non maius EG, quare EI non maius erit
ED, ſiue punctum I centrum ſectionis EH, vel cadet in ipſo D, vel infra D
centrum ABC, quapropter ipſa EH datæ ABC erit
Ampliùs:
dico ipſam EH eſſe _MAXIMAM_ quæſitam.
Nam quælibet alia
per E adſcripta, cum eodem recto EF, ſed cum ſemi-tranſuerſo, quod ma-
ius ſit ipſo EI, eſt
eſt quidem quoniam du-
producta alteri æquidiſtanti DL
occurſus rectæ DL, cum ſectione EN, cadet extra ABC, ac ideò EN ſecabit
priùs circumſcriptam ABC: vnde ſectio HEK eſt _MAXIMA_ inſcripta quæſi-
ta, cum dato recto EF. Quod primò erat, &
c.
IAM oporteat datæ Hyperbolę HEK, cuius aſymptoti IM, IQ, per datum
extra ipſam punctum B, quod (per ea, quæ in 53. huius) ſit vel in angulo
ad verticem aſymptotalis, vt in prima figura, vel in ipſo aſymptotali MIQ,
vt in ſecunda, cum dato recto latere _MINIM AM_ Hyperbolen circumſcri-
bere.
Iungatur BI, &
currat datæ ſectioni
HEK in E; erit I E,
ipſius ſemi-tranſuer-
ſum, cuius rectum la-
tus ſit EF, & ex B cõ-
cipiatur adſcribi Hy-
perbole TBV ſimilis,
& concentrica datæ
HEK, cuius rectum
ſit BS; &
datũ rectum
BR, in caſu primæ fi-
guræ (in quo datum punctum B cadit in angulo ad verticem aſymptotalis
MIQ) ſit cuiuslibet longitudinis; in ſecundo verò non ſit minus BS, &
per B
cum recto BR adſcribatur Hyperbole ABC ſimilis datæ HEK, quæ item ſi-
milis erit TBV, & ſit eius centrum D:
erit ergo in ſecunda figura, ob Hyper-
bolarum ABC, TBV ſimilitudinem, rectum BR ad BS vt ſemi- tranſuerſum
BD ad ſemi-tranſuerſum BI, eſtq; BR non minus BS, quare BD erit non minus
BD; ex quo centrum D ſectionis ABC, vel cadet in I, vel ſupra I centrum
ſimilis ſectionis HEK: vnde ipſa ABC erit
Dicotandem ipſam ABC eſſe _MINIM AM_ quæſitam:
Quoniam alia Hy-
perbole, quæ per B adſcribitur, cum eodem recto BR, ſed cum ſemi-tranſ-
uerſo, quod minus ſit BD, eſt quæ verò cum eodem re-
cum ſemi-tranſuerſo BX, quod excedat BD, qualis dicatur eſſe
ſectio TBV, eſt quidem
ipſę
erunt inter ſe parallelæ; ductaque XY aſymptoto ſectionis TBV;
cum ſint
Hyperbole ABC, TBV per eundem verticem B adſcriptæ, cum eodem re-
cto BR earum aſymptoti DL, XY infra contingentem ex vertice B ſe mutuò
ſecabunt, cum XY ſecet DL, &
alteram huic æquidiſtantem IM ſecabit;
quare XY conueniet cum
ſectione HEK, extra Hyperbolen TBV, vnde ipſa TBV ſecabit priùs inſcri-
ptam ſectionem HEK. Quapropter ſectio ABC eſt _MINIMA_ circumſcripta
quæſita: cum dato recto BR.
Quod ſecundò faciendum, ac demonſtrandum
erat.
EX quinque proximè præcedentibus problematibus ſatis conſtat, _MAXI-_
_MAM_, vel _MINIMAM_ Hyperbolen, inſcriptam, vel circumſcriptam
cuilibet datæ per punctum intra, vel extra Hyperbolen datũ in locis poſſibili-
bus, ad eandem regulam, aut concentricè adſcriptam, vel cuius centrum pro
inſcripta cadat infra centrum datæ, & pro circumſcripta cadat vltra, ſemper
eidem datæ Hyperbolæ ſimilem eſſe.
PAtet quoque, _MAXIMAM_ Hyperbolarum datæ Hyperbolæ ſimilium,
per datum intra ipſam punctum inſcriptarum, eſſe concentricam, cum
hæc, inter ſimiles, ſit _MAXIMORVM_ laterum. Item _MINIMAM_ Hyperbola-
rum datæ Hyperbolæ ſimilium per datum extra ipſam punctum in angulo
aſymptotali, circumſcriptarum, eſſe pariter concentricam, cum eadem, in-
ter ſimiles, ſit _MINIMORV M_ laterum.
Datis magnitudine, &
poſitione cuiuslibet coni- ſectionis dia-
metri ſegmento, & vna applicatarum, &
pro Hyperbola, &
Ellipſi
dato etiam tranſuerſo latere; imperatam coni-ſectionem deſcri-
bere.
SIt in qualibet ſigura, pro quacunque coni-ſectione, datum magnitudine,
& poſitione diametri ſegmentum AB, &
vna applicatarum CD, &
pro
Hyperbola, & Ellipſi in ſecunda, &
tertia, datum ſit quoque rectum latus
AF, quod pro Hyperbola in ſecunda vltra BA ipſi in directum ponatur, & in
tertia, ex A ad partes B: oportet circa diametrum AB, ſuper applicatam
CD, quæſitam coni-ſectionem deſcribere.
Fiat in ſingulis figuris, vt
ipſi BC in directum poſitã,
& per E, in prima figura,
ducta EG parallela ad BA,
vel in ſecunda, & tertia iun-
cta FE, occurrat AG, (quæ
ipſi CD æquidiſtet) in G, &
per verticem A cum data
diametro AB, datiſque la-
teribus AF, A G deſcriba-
tur
ctæ ad angulum ABD ap-
Dico ipſam eſſe quæſitam.
Cum enim ſit CB media proportio
latitudinem BE, erit
D omni-
no tranſibit; eſtque A vertex, AB diameter, &
AF tranſuerſum Hyperbole,
aut Ellipſis, ex conſtructione: quare factum eſt quod erat propoſitum.
EX hac conſtat quomodo, magnitudine, &
poſitione datis tranſuerſo la-
tere, aut diametro AF, & vna applicatarum CD, per terminos, A, C,
F, D, Ellipſis deſcribi poſſit.
Si coni-ſectionem, vel circuli circumferentiam duæ rectæ lineæ
contingant, ipſæ productæ conuenient ſimul extra ſectionem; ſed
in Parabola, vel Hyperbola ſibiipſis occurrent ad partes periphe-
riæ à contactibus terminatę: In Ellipſi verò ad partes ſui ipſius por-
tionis à linea tactus iungente abſciſſæ, in qua centrum nõ reperitur.
ESto Parabole, vel Hyperbole ABC (nam de circulo, &
Ellipſi id ab
Apollonio oſtenſum fuit in vigeſima ſeptima ſecũdi conicorum) quàm
in punctis A, C tangant rectæ AD, CE.
ABC à contactibus A, C terminatæ ipſas
inter ſe conuenire.
Si enim per alterum contactuum, vt per
C, intelligatur fectro ris diameter H C G,
conuenire, hoc eſt ad partes G; ſiergo AD
ſecat CG, neceſſariò ſecabit priùs tangen-
tem CE, quæ cadit inter ſectionis periphe-
riam ABC, & diametrum HC:
quare tan-
gentes AD, CE ſibi ipſis occurrunt. Quod
erat, &c.
CVm recta CE ſectioni occurrat, &
producta ex vtraque parte extra ſe-
ctionem cadat, ſi ex puncto A, quod eſt in ſectione, ducta ſit AF, ipſi
EC æquidiſtans, producta ex vtraque parte ſectioni ſed AD tota
quare AD non congruit cum AF,
ſed ipſę ſe mutuò ſecant. Cum ergo DA ſecet alteram æquidiſtantium AF, ſi
producatur, ſecabit, & reliquam CE ad partes peripheriæ ABC à contacti-
bus A, C, terminatæ. Quod demonſtrandum erat.
Si coni-ſectionem, vel circuli circumferentiam recta linea con-
tingat conueniens cum diametro, cui à tactu ſit ordinatim applica-
ta vſque ad ſectionem, recta linea iungens alterum terminum ap-
plicatæ, & occurſum tangentis cum diametro, erit eidem ſectioni
ad alteram diametri partem contingens.
SIt coni-ſectio quæcunque, vel circuli circumferentia ABC, cuius diame-
ter ſit DE, & ſit quæpiam AD ſectionem contingens in A, diametro oc-
currens in D, & ex contactu A ducta ſit in ſectione diametro DE ordinatim
applicata AC, dico iunctam DC ſectionem quoque contingere.
Si enim poſſibile eſt, quæ ex C ducitur
Iam cum FA, FC ſectionem contingant,
& per contactus ducta ſit AC, quæ bifariam
ſecta eſt à diametro D E in E, ſi iungatur
æquidiſtanter ductam, vt in G, ſed D E L
quoque bifariam ſecat eandem HI in L, cum
DEL ſit diameter, per hypoteſim; ergo ea-
dem recta HI in duobus diuerſis punctis G,
& L bifariam diuiditur:
quod eſt abſurdum.
Non eſt ergo ex C alia contin-
gens linea quàm CD. Quod erat,
Cum Propoſitionum 13.
ac 14.
ſept.
Pappi, in hac noſtra tractatione fre-
quens ſit vſus, liceat hac eas transferre, vtranque ſimul ſequenti Theo-
remate demonſtrare.
Rectangulorum ſub partibus datæ rectę terminatæ MAXIMVM
eſt id, quod ab æqualibus ſegmentis producitur; reliquorum verò
id, quod fit à partibus minus inæqualibus, maius eſt eo, quod ab
inæqualioribus continetur.
SIt data recta linea AB terminata bifariam ſecta in C, &
non bifariam
vtcunque in D, E, &c.
Dico, &
c.
Cum enim recta AB ſecta ſit bifariam in C, &
non bifariam in D, erit
quadratum AC, ſiue rectangulum ACB, æquale rectangulo ADB, vna
rectangulum ergo ACB ſuperat re-
ctangulum ADB; &
hoc ſemper;
ergo rectangulum ACB, ſub æqualibus
partibus compræhenſum, eſt _MAXIMV M._ Quod primo, &
c.
Item, quadrato dimidiæ A C æquatur
DC, & eidem quadrato AC æquatur re-
ctangulum AED vna cum quadrato EC,
ergo rectangulum A D C cum quadrato
DC, æquale erit rectangulo AEB, cum
quadrato EC, eſt autem quadratum DC
minus quadrato EC, cum ſit linea DC mi-
nor EC, ex hypoteſi; ergo rectangulum
ADC maius erit rectangulo AEB. Quod ſecundò, &
c.
Si fuerint duæ quæcunque coni-ſectiones, non excepto circulo,
eiuſdem, vel diuerſi nominis per diuerſos vertices ſimul adſcriptæ,
quæ in eiuſdem communis ordinatim ductæ extremis punctis ſimul
conueniant, è quorum altero eadem recta linea vtranque ſectionem
contingat, ea coni-ſectio cuius vertex cadit infra verticem alterius
erit alteri inſcripta, & in ijſdem tantùm applicatæ extremis ſe con-
tingent.
SInt duæ quælibet coni-ſectiones ABC, ADC non excepto circulo, eiuſ-
dem, vel diuerſi nominis per diuerſos vertices B, D ſimul adſcriptæ,
applicata ſit AC, in cuius
extremis A, C, ſectiones ſimul occurrant, & ex eorum altero veluti ex A
Dico ſectionem ADC, cuius ver-
tex D eſt infra alterius verticem B, totam cadere intra ſectionem ABC, hoc
eſt ei eſſe inſcriptam, & in extremis A, C, ſe mutuò contingere.
Nam producta AE vſque ad occurſum cum diametro in E (ſi tamen ap-
plicata AC non fuerit diameter circuli, vel Ellipſis, vt ſecunda figura, quo
coniugatæ diametro BT
&
_lo_ eaſdem ſectiones ſecans in I, N, G, M.
_i, n,_
_g, m_, contingentes verò in L, O. _l, o_;
ducanturque ex verticibus tangentes
BQ, DP, quę ordinatim ductis æquidiſtabunt, & iungatur AB, ſecans DP
in S.
Iam cum ſit AH æqualis H C, erit LF.
_l f_ æqualis F O.
_f o_, eſtque IF.
_if_
æqualis FN. _fn_, &
GF.
_gf_, ipſi FM.
_fm_ (ſunt enim ſectionum ſemi-appli-
catæ) quare reliquæ LI. _li_, ON.
_on_, æquales erunt, itemque LG.
_lg_, OM.
_o m_ inter ſe æquales, ideoque rectangulum OIL.
_oil_ æquabitur rectangulo
NLI. _nli_, &
rectangulum OGL.
_ogl_ rectangulo MLG.
_mlg_.
Et cum in ſe-
_nli_ ad quadratum L A.
_l_A, &
in ſectione
_mlg_ ad idem
quadratum L A.
_l_A, habeatque quadratum SP ad PA minorem rationem
quàm DP quadratum, ad idem quadratum PA, habebit quoque rectangu-
lum NLI. _nli_ ad quadratum LA.
_l_A minorem rationem quàm rectangulum
MLG. _mlg_ ad idem quadratum LA.
_l_A;
quare rectangulum NLI.
_nli_, hoc
eſt OIL. _oil_, minus eſt rectangulo MLG.
_mlg_, ſiue rectangulo OGL.
_ogl_;
_g_, ſed I.
_i_ eſt in ipſa
ſectione ABC;
quare punctum G.
_g_ ſectionis ADC cadet intra ABC, &
ſic
de quolibet alio puncto ſectionis SADCT, præter A, C: vnde ipſa ADC in-
ſcripta erit ſectioni ABC, & in punctis tantùm A, C extremis eiuſdem ap-
plicatæ ſe mutuò contingent. Quod erat dei
Siextrema inæqualium baſium menſalis, cuiuſcunque coni- ſe-
ctionis, vel circuli, ad vtranque diametri partem rectis lineis iun-
gantur, ipſæ ſimul, & in eodem diametri puncto conuenient, à
quo, ſi ad terminos ordinatim ductæ per interſectionem diagona-
lis cum diametro, ducantur aliæ rectæ lineæ, hæ omnino ſectionem
contingent.
SIt menſalis coni-ſectionis, vel circuli ABCD, cuius baſis, AD maior,
BC minor, diameter E F. Dico ſi iungantur AB, DC, ipſas cum dia-
metro, & in eodem puncto conuenire, ac ducta diagonali AC ſecant dia-
metrum in G, & applicata LGM, ſi per extrema puncta L, M, ad prędictum
occurſum ducantur rectæ, ipſas ſectionem contingere.
Cum ſit enim AF maior BE, &
ipſi parallela, occurret AB cum FE ad par-
itemq;
DC cum eadem FE, vt in I, vtraque verò
cum ſit FH ad HE, vt FA ad EB, vel vt FD ad EC, vel vt FI ad
IE, erit diuidendo FE ad EH, vt FE ad EI, quare EH, & EI ſunt æquales
hoc eſt productę AB, DC in eodem pun-
ſi ſe-
ctio fuerit Hyperbola ideoque ex H duci
poterunt Hyperbolen contingentes.
Iam, ſi ductæ HL, HM ſectionem non
contingunt, ducatur ex H contingens HO
ad aliud punctũ quàm L, vt ad O, & per O
applicetur OPN; erit
BE, vel ad EC, vel vt FG ad GE (ob ſimi-
litudinem triangulorum AFG, CEG) vel
vt AR ad RB, ergo AP ad PB erit vt AR
ad RB: quod eſt falſum.
Non ergo contingens ex H ad aliud punctum per-
uenit quàm L, & ſic non ad aliud quàm M.
Quare iunctæ HL, HM ſectio-
nem contingunt. Quod erat, &
c.
HInc eſt, quod ſi circa diametrum rectilineæ, vel conicæ menſalis tan-
quam circa tranſuerſum latus, & per extrema applicatæ, quæ per pũ-
ctum inter ſectionis diagonalis eiuſdem menſalis cum diametro, ordinatim
ducitur, Ellipſis deſcribatur, ipſa, menſalis latera in eiuſdem applicatæ ex-
tremis omnino continget, nempe ei erit inſcripta.
Nam pro rectilinea menſali ABCD, &
pro ALBCMD coni-ſectionis, vel
circuli cuius baſis AD, maior ſit baſi BC, oſtendimus AH ad HB eſſe vt AR
ad RB, ergo & FH ad HE erit vt FG ad GE, vnde Ellipſis, quæ deſcribitur
cum tranſuerſo EF, & applicata RQ, vel LM à rectis HA, HD in
ſed ipſæ HL, HM,
vti nuper oſtendimus in ijſdem punctis ſectionem quoque contingunt: qua-
re huiuſmodi Ellipſis, & menſalem rectilineam, &
conicam ALBCMD
AD, BC ex diametri terminis F, E ordinatim ductis æquidiſtantes eandem
Ellipſim contingant.
At pro menſali coni-ſectionis ALBCMD, ſi ipſa fuerit menſalis Elliptica,
vel circularis, cuius oppoſita latera AD, BC ſint æqualia, erunt quoque eo-
rum dimidia AF, EC æqualia, ac ideo etiam FG æqualis GE, hoc eſt G cen-
trũ erit Ellipſis, quæ per ELFM deſcribitur cum tranſuerſo EF; &
applicata
LM erit eius diameter coniugata. Vnde quæ per L, &
M communi applicatæ
EF vtriuſque ſectionis æquidiſtantes ducentur quapropter Ellipſis,
quæ per E, L, F, Q deſcribitur eidem menſali Ellipticæ, vel circulari
In quacunque coni-ſectione, etiam in triangulo, MAXIMA
diametro æquidiſtantium inter ſectionem, & quamcunque ordina-
tim applicatam interceptarum, eſt ipſa diameter; aliarum verò
ea, quæ propinquior eſt diametro, maior eſt remotiori.
ESto triangulum, vt in prima figura, vel circuli, aut Ellipſis, vel Parabo-
læ, vel tandem Hyperbolæ portio ABC, vt in ſecunda, quarum dia-
meter ſit BD, & ordinatim applicata ſit AC, ductiſque quotcunque EF,
GH, &c.
parallelis ad BD.
Dico BD eſſe _MAXIMAM_, diametro reliqua-
rum verò, propinquiorem EF, maiorem eſſe remotiori.
Nam ſi concipiatur ex B duci
catæ AC æquidiſtans
recta linea puncta E, B
teram partem productam (cum
ſecet in B eam, quæ ducta ſit ex
B parallela ad AC) conuenire
quoque cum CA ad partes A, & ſic BD maiorem eſſe recta EF, ſiue omnium
_MAXIMAM_. Quod primò, &
c.
Item ſi puncta G, E, iungantur recta linea
ſit ipſi A C ęquidiſtans; cum ergo GE ſecet vnam parallelarum, ſecabit quo-
que, ſi producatur, alteram CA ad partes A, & ſic EF erit maior ipſa GH.
Quod ſecundò, &
c.
Ellipſium æqualium diametrorum, eidem angulo, vel Parabo-
læ, vel Hyperbolæ, aut portioni Ellipticæ, vel circulari, quæ non
ſit maior Ellipſis, vel circuli dimidio, inſcriptarum, ſe mutuò, ac
ſectionem contingentium, quæ propior eſt vertici, minor eſt re-
motiori.
ESto ABC, vel angulus rectilineus, vel Parabole, vel Hyperbole, aut por-
tio non maior dimidio ſemi-Ellipſis, vel ſemi-circuli, cuius vertex B,
diameter BD, & circa æqualia ipſius ſegmenta DE, EF adſcriptæ ſint dato
angulo, vel ſectioni Ellipſes DVE, ETF, ope diagonalium AG, IL, & ap-
plicatarum KHV, NMT, vt in præcedenti Scholio monuimus, quæ anguli
latera, vel ſectionem contingent in K, V, N, T, eique erunt inſcriptæ, & ſe
mutuò contingent in E (cum applicata LEG vtranque ſectionem contingat.)
vertice remotiori.
Applicata enim ADC;
eſt DH
DH erit
maior HE, eademq; ratione EM
maior MF, vnde harum Ellipſiũ
centra cadent infra H, & M, vt
in O, & O, ex quibus applicatis
OP, QR Ellipſium ſemi-diame-
tris coniugatis, productaque QR
vſque ad ſectionem in S, cum in
Ellipſi DVE ſit OP in angulo, vel ſectione ABC
ſit HV QS maior
duplum duplo maios, hoc eſt Ellipſis
DVE coniugata diameter, maior coniugata diametro Ellipſis ETF, ſed trãſ-
uerſa latera ED, EF ſunt æqualia, vnde & latus rectum Ellipſis DVE maios
recto ETF, ſuntque huiuſmodi Ellipſes æqualiter inclinatæ cum eidem ſe-
ctioni ſint ſimul adſcriptæ: quare Ellipſis DVE, maius habens rectum latus,
maior erit Quod erat demonſtrandum.
Per datum punctum in axe dati anguli rectilinei MAXIMVM
circulum inſcribere & è contra.
SIt datus angulus rectilineus ABC, cuius axis, ſiue linea ipſum bifariam
ſecans ſit BD, in quo datum ſit punctum E, per quod oporteat _MAXI_-
_MVM_ circulum inſcribere.
Ducatur ex E ſuper axim BD perpendicularis
ex A eri-
gatur AD perpendicularis ad BA, quæ axi oc-
curret in D (cum angulus ABD ſit omnino acu-
tus, & BAD rectus, hoc eſt ſimul ſumpti minores
duobus rectis). Dico punctum D eſſe centrum
quæſiti circuli. Nam iuncta AE;
cum ſint FA,
FE inter ſe æquales, erunt anguli ad baſim AE æ-
quales, ſed toti FED, FAD æquales ſunt, cum
ſint recti, vnde reliqui DEA, DAE æquales erũt,
ſiue latus DE ipſi DA æqualle. Ductaque DC
perpendiculari ad BC; in triangulis DBA, DBC
ſunt anguli ad B, & ad A, &
C æquales inter ſe,
& latus BD commune, ergo, &
DC ipſi DA, ſiue DE, ęqualis erit:
quapro-
pter ſi cum centro D, interuallo DA circulus deſcribatur, ipſæ per puncta E,
& C tranſibit, eritque angulo ABC inſcrintus.
cum obrectos angulos ad A,
&
erit _MAXIMVS_:
Nam licet fa-
cta ſupra EF eadem penitùs, conſtructione nempe ſumpta FG æquali ad FE,
& ducta GH perpendiculari ad GA, oſtendetur pariter H eſſe centrum alte-
rius circuli dato angulo inſcripti, ſed is erit minor circulo ex DE, cum ob
parallelas GH, AD, ſit AB ad BG, vt DA ad HG, ſed eſt AB maior BG, vn-
de radius DA erit maior radio HG, ſiue circulus AEC maior circulo ex HE. Iam quilibet alius circulus per E, dato angulo adſcriptus, cuius diameter
minor ſit EI, minor eſt ipſo AEC, & quilibet alius, cuius diameter ſit maior
ipſa EI, eſt quidem maior AEC, ſed omnino ſecat dati anguli latera, cum
hæc circulum contingant: ex quo circulus ex DE erit _MAXIMVS_ inſcriptus
quæſitus. Quod erat primò, &
c.
SIverò ad datum punctum B extra circulum AEC, cuius ſit centrum D, ſit
ei circumſcribendus _MINIMVS_ angulus rectilineus; iam per ſe patet
angulum ABC, à ductis contingentibus ex B, eſſe _MINIMVM_ quæſitum. Quod vltimò faciendum, ac demonſtrandum erat.
In dato angulo, à recta linea per verticem vtcunque ſecto, lineas
applicare, quæ à prædicta diuidantur in data ratione.
SIt datus angulus ABC, vtcunque ſectus à re-
tet rectam, qualis eſt ADC, applicare ita vt ip-
ſius partes AD, DC ſint in data ratione, veluti
E ad F.
Ducatur DG parallela ad alteram linearum,
angulum continentium, vt ad AB; &
fiat vt E ad
F, ita BG ad GC, iungaturque CD, quæ cum
BA conueniat in A. Dico factum eſſe, quod
proponebatur.
Et enim, ob parallelas, vt AD ad DC, ita BG
ad GC, vel E ad F. Quod, &
c.
SI data ratio E ad F, fuerit ratio æqualitatis, tunc BD, licet præter morem,
vocetur dati anguli diameter, & ſi bifariam, &
ad rectos angulos ipſas
applicatas ſecuerit, dicatur axis.
Dato angulo rectilineo, per punctum intra ipſum datum MA-
XIMAM Parabolen inſcribere: &
è contra.
SIt datus angulus rectilineus ABC, &
datum, intra ipſum, punctum ſit D.
Oportet per D _MAXIMAM_ Parabolen inſcribere.
Sumatur DE æqualis DB, &
per E in angulo ABC
per verticem D circa
applicatam AC magnitudine, &
poſitione datam
Dico ipſam eſſe quæſitam.
Quoniam cum ſint DE, DB æquales, rectæ
eritque _MAXIMA_
quoniam quælibet Parabole per D ipſi ADC
adſcripta cum recto, quod eius recto ſit minus
ipſa ADC
dem ſit
Quod
primò, &c.
SI verò data ſit Parabole ADC, &
extra ip-
ſam datum ſit pũctum B, per quod ei opor-
teat _MINIMVM_ angulum rectilineum circum-
ſcribere. Ducta BE parabolæ diametro, &
ſumpta DE æquali DB applica-
taque AEC, iunctiſque BA, BC, Erit angulus ABC _MINIMVS_ quæſitus,
Nam cum ipſæ BA, BC ſectionem
ſectionem ſecabunt, quare, &c.
Quod vltimò, &
c.
MOnendus hìc Lector eſt, quod dum in hoc, &
in ſequentibus
problematibus; dato angulo, per datum punctum adſcribitur,
velinſcribi, aut circumſcribi proponitur, quæſita coni-ſectio,
vel circulus; &
è contra, dum datæ com-ſectioni, vel circulo
per datum punctum adſcribitur, velinſcribitur, aut circumſcribitur quæſi-
tus angulus; id ſemper à nobis accipi intelligitur in eodem ſenſu quintæ ſe-
cundarum definitionum huius, qua in præcedentibus hactenus vſi ſumus; nempe lineam, quæ per datum punctum educta diameter eſt datæ, vel quæſitæ
ſectionis, eſſe quoque diametrum dati, vel quæſiti anguli, ſiue eius verti-
ci occurrere; ita vt quæ in angulo ducuntur æquidiſtantes ordinatim appli-
catis com-ſectionis, velcirculi, ſint quoque ab eadem ſectionis diametro per
non collimantibus conſequi minimè poſſet. Si verò inſcriptio, ac circumſcri-
ptio alijs conditionibus confici iubeatur, aliæ item defintiones, & conſtru-
ctiones diuerſæ ad problematum ſolutiones requirerentur, quas omnes, licet
nobis fortuitò datum ſit Geometriæ legibus ſubijcere, temporis tamen angu-
ſtijs obſequentes, hic ſed aliàs forſan, Deo dante, ſi
quid vnquam ocij nacti fuerimus, hanc ipſam de MAXIMIS, & MI-
NIMIS doctrinam, & duplò, &
triplò auctiorem denuò proferemus:
inte-
rim varijs ſtimulis, qui ad hæc edenda nos vrgent, obtemperantes, præſens
argumentum abſoluere properemus, vt citius (alteram huius tractationis
partem aggrediendo) ad noua pariter, & apprimè iucunda in conicis acciden-
tia deueniamus, & quod pluris eſt, præcipuè vtilitatis fundamenta iacien-
do, abſtruſionis doctrinæ myſteria perſpicacioribus ingenijs aperiamus.
Dato angulo rectilineo, per punctum intra ipſum datum, cum
dato ſemi-tranſuerſo latere, MAXIMAM Hyperbolen inſcribere. Item.
Datę Hyperbolæ, per punctum extra ipſam datum, MINIMVM
angulum rectilineum circumſcribere.
Oportet autem, ad hoc vt anguli circumſcriptio fiat iuxta alla-
tam definitionem, ac præcedens monitum, datum punctum, vel
eſſe in centro, vel intra angulos, ab aſymptotis conſtitutos.
SIt, in tribus primis figuris, datus angulus rectilineus ABC, &
datum in-
tra ipſum punctum ſit D: oportet per D _MAXIMAM_ Hyperbolen inſcri-
bere, cuius ſemi-tranſuerſum latus æquale ſit dato E.
Iungatur DB, &
ſe-
lis E. Iam, vel DO æ-
qualis eſt DB, vt in pri-
ma figura, vel minor vt
in ſecunda, vel maior
vt in tertia. Si primùm,
deſcribatur
Hyperbole FDG: &
ipſa erit _MAXIMA_
quæſita.
Nam, quæ cum eo-
dem tranſuerſo, eidem angulo per D adſcribitur, cum recto, quod minus ſit
circumſcriptam DH, eadem ratione BC ſecabit DI: quapropter Hyperbole
FDG eſt dato angulo _MAXIMA_ inſcripta quæſita. Quod, &
c.
Siverò data magni-
DO, minor fuerit di-
ſtantia DB inter datum
punctum, & dati angu-
li ABC verticem, vt in
ſecunda figura; ducan-
tur ex O, rectæ OP, OH,
aſymptotis BA, BC æ-
quidiſtantes, & intra
aſymptotos OP, OH
&
hæc
erit _MAXIMA_ inſcripta quæſita.
Quoniam, quæ cum eodem tranſuerſo, ſed cum recto minori adſcribitur
per D, minor eſt quoniam ducta
producta ſecabit BA, cum ſecet in O alteram parallelam OP;
qua-
re BA producta ſecabit vnde FDG eſt _MAXI-_
Quod, &
c.
Sitandem DO, quæ ipſi E æqualis eſt, excedat DB.
Fiat vt OB ad OD,
ita OD ad OF, & per F applicetur
cũ ſe-
applicatam AC.
Dico hanc eſſe _MAXIMAM_
quęſitam.
Quoniam, cum ſit FO ad OD, vt DO ad OB, erit rectangulum FOB æqua-
le quadrato OD, quare BA, BC Hyperbolen ſiue Hyperbo-
eritque _MAXIMA_;
quoniam, quæ
cumrecto minori
bole in infinitum produci poſſit, & ſpacium ABCDA ſit vndique clauſum:
Quod primò faciendum, ac demonſtrandum erat.
IAM oporteat (in quarta figura) datæ Hyperbolæ ABC, cuius aſymptoti
ED, EF, per datum extra ipſam punctum G, _MINIMV M_ angulum circũ-
ſcribere.
Itaque, vel datum punctum G congruit cum centro E, vel cadit in angu-
lo aſymptotali, vel in eo, qui huic eſt ad verticem; ſic enim ſemper, quę per
G, & centrum E ducitur, tum Hyperbolæ, tum anguli eſt communis diame-
ter, non autem ſi datum punctum alibi cadat. Si primùm;
ipſæ angulus aſym-
quę-
libet ſectionis diameter, eaſdem ipſi applicatas, ad latcra anguli productas,
bifariam eritque _MINIMV S_, nam
Si ſecun-
dum, duci poterunt
tunc an-
quoniam ſi iungatur AC, &
bifa-
riam ſecetur in N, iuncta GN qui
ſecet omnino Hyperbolen. Sitertium:
ducantur GL, GM aſymptotis ęqui-
diſtantes, & angulus LGM erit Hyperbolæ ABC circumſcriptus, cum cir-
cumſcriptus ſit angulo aſymptotali DEF: nam ducta GEN ſectionis diame-
tro, applicataque quacunque LDANCFM; in triangulis LGN, MGN eſt
ND ad DL, vt NE ad EG, vel vt NF ad FM, ſuntq; totę NL, NM ęquales, ſiue GEN circũ-
ſcripti etiam anguli LGM diameter erit: inſuper idem angulus LGM erit _MI-_
_NIMVS_: nam recta, quę ex G intra ipſum ducitur, minorem angulum cum al-
tera nunc ductarum conſtituens, ſi producatur, ſecat vnam aſymptoton (cum
ei æquidiſtanter ductam ſecet in G) quare vlterius producta ſecabit Datę igitur Hyperbolę per datum extra ipſam pũctum in locis
poſſibilibus, circumſcriptus eſt _MINIMVS_ quæſitus angulus. Quod, &
c.
Datę Hyperbolę, per punctum intra ipſam datum, MAXIMVM
angulum inſcribere. Item.
Dato angulo, per punctum extra ipſum datum, cum dato ſemi-
tranſuerſo latere, MINIMAM Hyperbolen circumſcribere.
Oportet autem datum punctum eſſe in angulo, qui eſt ad verti-
cem dato.
SIt data Hyperbole ABC, cuius aſymptoti ſint DE, DF, &
punctum intra
ipſam ſit G, per quod ei oporteat _MAXIMV M_ angulum inſcribere.
Ducantur ex G rectæ GH, GI aſymptotis æquidiſtantes.
Dico angulum
HGI eſſe _MAXIMVM_ quæſitum.
Nam iuncta DG, &
producta ad
lum HGI (vt ſatis patet) ſumptoque
in ea quolibet puncto L, & applica-
ta in Hyperbola, ad diametrũ BL, or-
dinata ELF, Intera anguli HGI ſecã
in H, I; erit ob triangulorum ſimili-
tudinem, DL ad LE, vt GL ad LH,
ſed DL ad LE eſt vt DL ad LF, cum
LE, LF ſint æquales, & DL ad LF
eſt vt GL ad LI, quare GL ad LH erit vt GL ad LI, ſiue LH ęqualis LI: vnde
&
cum GH,
GI, per punctum G, in Hyperbola ſumptum, ductæ ſint aſymptotis æquidi-
ſtantes, ipſæ, ad partes B productæ, Hyperbolæ occurrent, cum aſymptotos
ſecent, ſed ad partes H, I, nunquam cum ſectione conuenient,
ton (cum ſecet in G ipſi parallelam GH) ac ideò priùs Hyperbolen datam: eſt igitur HGI _MAXIMV S_ inſcriptus angulus, vti quærebatur.
Quod primò
erat, &c.
IAM ſit datus angulus HGI, &
datum punctum ſit B, in angulo tamen, qui
ei eſt ad verticem: oportet per B _MINIMAM_ Hyperbolen circumſcribe-
re, cum dato ſemi- tranſuerſo R.
Iungatur GB, &
producatur, ſu-
&
per D
agantur DE, DF, ipſis GH, GI pa-
rallelæ, & per B cum afymptotis
DE, DF deſcribatur
circumſcriptam quæſitam.
Nam eadem ratione, vt ſupra.
,
oſtendetur DBGL eſſe diametrum
ſectionis, & dati anguli, &
rectas
GH, GI, ad partes H, I productas (cum aſymptotis æquidiſtent) nunquam
cum ſectione conuenire; ideoque Hyperbolen ABC dato angulo eſſe circũ-
ſcriptam: ſed eſt quoque _MINIMA_, quoniam, quæ cum eodem tranſuerſo
adſcribitur, ſed cum recto maiori, quæ verò cum re-
quoniam ducta DO, quæ ſit aſymptotos inſcriptæ MBN,
ipſa cadet
erit extra BM; ſiue GH neceſſariò ſecabit priùs ſectionem BM.
Eſt igitur ſe-
ctio MBN _MINIMA_ circumſcripta quæſita dato angulo HGI, per datum
punctum B, & cum dato ſemi-tranſuerſo R.
Quod vltimò faciendum erat.
Dato angulo rectilineo, per punctum intra ipſum datum, cum
dato tranſuerſo latere, MAXIMAM Ellipſim inſcribere: &
è con-
tra.
SIt datus angulus ABC, &
punctum intra ipſum ſit D, per quod ei opor-
teat, cum dato tranſuerſo R, _MAXIMAM_ Ellipſim inſcribere.
Sumatur DE ęqualis R, &
per D, &
E in angulo ABC applicentur
iungatur HG diametrum ſecans in M, per quod applicetur AMD,
& circa diametrum DE, ac per terminos applicatæ AC, deſcribatur
Dico hanc eſſe _MAXIMAM_ quæſitam.
Quoniam, ipſa ADCE eſt
menſali HFGL, ſiue dato angulo quælibet alia Ellipſis eidem
adſcriptæ DAEC, eſt ipſa
dem, ſed omnino ſecat anguli latera BA, BC,
vt ſatis conſtat. Ampliùs, Ellipſis, quæ per
D ſupra applicatam FG eidem angulo contin-
genter inſcribitur, cum tranſuerſo latere ęqua-
li ipſo DE, vel dato R (ſi tamen interceptum
diametri ſegmentum DB maius fuerit DE) eſt
omnino quare ipſa
Quod erat, &
c.
Notandum eſt autem, quod ſi ABC fuerit
quælibet coni- ſectio, vel circulus, eadem penitùs conſtructione, ac demon-
ſtratione inſcribetur ei _MAXIMA_ Ellipſis ADCE, cum dato tranſuerſo R,
quod tamen in Ellipſi, vel circulo, non excedat maius diametri ſegmentum.
SI verò data ſit Ellipſis ADCE, &
per punctum B extra ipſam datum cir-
cumſcribendus ſit ei _MINIMV S_ angulus rectilineus. nam angulus ABC erit _MINIMV S_ circum-
ſcriptus quæſitus: quoniam ducta AC, ac bifariam ſecta in M, iunctaque
BME, ipſa vnde angulus
ABC erit datæ Ellipſi ADCE circumſcriptus: eritque _MINIMV S_;
quoniam
quæcunque recta, quæ ex B intra angulum ABC ducitur, cum altera con-
tingentium minorem angulum conſtituens, neceſſariò ſecat datam Ellipſim
ADC: quare angulus ABC eſt _MIMIMV S_ circũſcriptus quæſitus.
Quod, &
c.
Si duæ rectæ AB, CD ſe mutuò ſecent in E, ſitque AE æqualis
EB, ſed CE maior ED, dico iunctas CA, BD, ſi producantur, con-
uenire ſimul ad partes A, D, vt in F, & ſi per D ducatur DG pa-
rallela ad AE, eſſe FC ad CA, vt FG ad GA.
SVmpta enim EH æquali ipſi EC, erit EH ma-
iuncta BH, in triangulis BEH, AE
C erunt latera circùm æquales angulos ad E, æ-
qualia: quare reliqui anguli EBH, EAC ęquales,
vnde BH parallela ad CA, hoc eſt anguli BAG,
ABH duobus rectis æquales, ideoque duo BAG,
ABD minores duobus rectis: occurrit ergo BD
cum CA producta ad partes D, A; ſitque occur-
ſus in F, ex quo ducatur FI parallela ad DG, vel
ad AE.
Cum ſint ergo triangula FDI, BDE ſimilia, erit
FI ad EB, vel ad AE, hoc eſt FC ad CA, vt FD
ad DB, vel vt FG ad GA. Quod erat, &
c.
Dato angulo rectilineo ABC, cuius diameter BDE, &
applica-
ta ADC: oportet ex C, infra ADC, ſecantem ducere CEF, ita vt
ſi ex E, & F applicentur EH, FG ipſi ADC parallelæ, quadratum
HE ad rectangulum DEG, datam habeaa
SVmatur Q media proportionalis inter O, &
P;
&
ex D, niſi DA ſit dia-
metro BD perpendicularis, erigatur DL, & fiat vt O ad Q, ita DA ad
DL, iunctaque BLM, ſumatur LM æqualis LD, & per M demittatur ME per-
pendicularis ipſi BDE: dico per punctum E quæſitam ſecantem tranſire.
Nam iuncta MD, ductaque MN ipſi BM
LDN recti, erũt anguli NMD, NDM duo-
bus rectis minores; quare MN ipſi DE oc-
curret in N; cumque angulus LMD, ęqua-
lis ſit angulo LDM, erunt reſidui ex rectis
DMN, MDN æquales, hoc eſt ND æqua-
lis NM, facto igitur centro N, interuallo
ND, deſcribatur circulus DMG, qui vtrã-
que LD, LM, continget in D, M, cum an-
guli ad D, M ſint recti: ducatur tandem
EH parallela ad DA.
Iam cum BM circulum DMG contingat
in M, ſitque ME diametro DG perpendi-
cularis
eſt BG maior GE, ergo & BD maior DE,
eſtque AD æqualis DC, & anguli ad verticem D æquales, quare iunctæ
BA, CE, productę, conuenient ſimul ad partes A, E, vt in F permutando BF ad FH, vt BE ad AH, vel vt BD ad
DE, vel vt BG ad GE, & diuidendo BH ad HF, vt BE ad EG, quare iuncta
FG ipſis EH, DA æquidiſtabit. Et quoniam eſt HE ad EB, vt AD ad DB,
& BE ad EM, vt BD ad DL (ob triangulorum ſimilitudinem) erit ex æquo
HE ad EM, vt AD ad DL, & quadratum HE ad quadratum EM, hoc eſt ad
rectangulum DEG, vt quadratum AD ad DL, vel vt quadratum O ad qua-
dratum Q, vel vt linea O ad P. Quod erat faciendum.
Dato angulo rectilineo, per punctum in qualibet eius diametro
datum, MAXIMAM Ellipſim inſcribere, cuius latera datam ha-
beant rationem.
SIt datus angulus ABC, diameter BD, &
datum punctum D, per quod
oporteat Ellipſim inſcribere, cuius tranſuerſum latus ad rectum, datam
quamcunque habeat rationem E ad F, & ſit _MAXIMA_.
Applicetur per D,
BA in L, ita vt ex I, & L ductis A I, LM ipſi
DH parallelis, rectangulum DIM, ad quadra-
tum AI, rationem cum trãſ-
pſis Dico hanc eſſe
Eſt enim
Ellipſim
dentibus oſtenſum fuit. Quod erat, &
c.
Datis medijs proportionalibus, Arithmetica nempe, &
Geo-
metrica inter eaſdem ignotas extremas; ipſas extremas inuenire.
SIt AB media arithmetica, &
AC media
extremas, quarum idem ſit terminus A, &
ſimul congruere intelligantur: patet primò
AB ſuperare ipſam AC, cum media ari-
thmetica ſit maior media geometrica. Iam
oporteat datis AC, AB ignotas extremas
proportionales inuenire.
Fiat centro A interuallo A C circulus
CF, cui ex puncto B contingens ducatur
BF, quæ eum radio FA rectum efficiet an-
gulum, vnde ſubtenſa BA erit maior ipſa
BF; ſi ergo cum centro B, interuallo BF
deſcribatur ſemi- circulus DFE, ipſæ ſeca-
bit BA infra A, ſed tamen vltra C (cum ſit
BC minor BF, eo quod AC æquatur AF,
&tota AB minor eſt duobus AF, FB) ſecabitque productam AB in E;
quem
nempe AE, &
AD eſſe
quæſitas extremas. Nam cum ſit BD æqualis BE, erit data AB media ari-
thmetica inter inuentas EA, AD. Cumque ſit BF radius circuli EFD, &
an-
gulus BFA rectus, erit FA ipſi circulo contingens, quare rectangulum EAD
æquabitur quadrato AF, ſiue quadrato AC, vnde data AC erit media geo-
metrica inter eaſdem inuentas EA, AD. Quare ignotæ extremæ, ſunt in-
uentæ, vti quærebantur. Quod, &
c.
Datæ Parabolæ, per punctum intra ipſam datum, MAXIMAM
Ellipſim inſcribere, cuius latera datam habeant rationem: &
è
contra.
Datæ Ellipſi, per punctum extra ipſam datum, MINIMAM
Parabolen circumſcribere.
ESto data Parabole ABC, &
datum intra ipſam punctum ſit E;
oportet per
E _MAXIMAM_ Ellipſim inſcribere, cuius rectum latus ad tranſuerſum
rationem habeat R ad S.
Ducatur ex E Parabolę diameter BED,
applicetur EF, &
ſumpta V media pro-
portionali inter S, & R;
fiat vt R ad V, ita
FE ad ED, iunctaque FD, quæ producta
ſectioni occurrat ter-
minos applicatæ AC deſcribatur Hanc dico eſſe quæſitam.
Cum enim in Parabola
que quadrata applicatarum IH, AD, FE
in eadem ratione ipſæ applicatæ continuæ pro-
portionales, quapropter rectangulum ſub
IH, vel ſub HG, & FE æquabitur quadrato AD, ac proinde quadratum
AD, ad rectangulum HDE, erit vt rectangulum ſub GH, EF, ad idem re-
ctangulum HDE, ſed rectangulum ſub GH, EF, ad ſibi ſimile rectangulum
HDE, (habent enim circa rectos angulos latera proportionalia, cum ſit GH
ad HD, vt FE ad ED, & permutando GH ad FE, vt HD ad DE) eſt vt qua-
dratum FE ad ED (vtraque enim proportio, duplicata eſt proportionis linee
FE ad ED) quo circa, & quadratum AD ad rectangulum HDE, hoc eſt in
Ellipſi, Deſcripta eſt ergo Ellipſis
AECH, cuius latera habent datam rationem R ad S. &
eſt
Amplius dico, ipſam eſſe _MAXIMAM_ Ellipſium quarum
latera ſint in ratione R ad S, ſiue eſſe _MAXIMAM_ ſibi ſimilium: nam, quæ
cum minoribus lateribus datæ Parabolæ per E adſcribitur ad partes H, mi-
quæ verò cum maioribus eſt quidem
Quamobrem Ellipſis
AECH, datæ Parabolæ per datum intra ipſam punctum E eſt _MAXIMA_ in-
ſcripta quæſita. Quod primò erat, &
c.
IAM ſit data Ellipſis AECH, cuius centrum N, &
datum extra ipſam pun-
ctum ſit B, per quod oporteat _MINIMAM_ Parabolen circumſcribere.
Iungatur BN ſecans Ellipſim in E, &
poſita NE media geometrica, &
NB
media arithmetica inter eaſdem ignotas extremas, reperiantur per Dad Ellipſis diametrum EH applicetur ADC,
& per verticem B, circa diametri ſegmentum BD, &
per terminos A, C de-
ſcribatur Parabole ABC. Dico hanc eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Cum enim ſit NE media geometrica inter LN, ND, erit rectangulum
LND æquale quadrato NE; &
per D applicata eſt in Ellipſi recta ADC, ſi
iungantur LA, LC ipſæ Ellipſim contingent cumque ſit NB me-
inter ſe æquales; vnde eædem LA, LC Parabolen
Eritque _MINIMA_:
quoniam quæ per B
eidem Ellipſi adſcribitur cum recto maiori, maior per ſe ſatis conſtat.
Quapropter Parabole ABC eſt _MINIMA_ circumſcri-
pta quæſita. Quod ſecundò faciendum, ac demonſtrandum erat.
EX prima parte huius patet, quod ſi datum punctum D fuerit in axe Para-
bolæ, & data ratio ſit æqualitatis, inſcribenda Ellipſis, idem erit, ac
circulus; tunc enim applicata ADC erit axi perpendicularis, &
quadratum
AD æquabitur rectangulo HDE; ideoque AECH erit circulus:
ex quo ha-
bebitur, quo pacto per punctum E in axe Parabolæ, _MAXIMVS_ circulus in-
ſcribatur: applicata enim EF, cui ſumpta æquali ED, iunctaque FD, &
pro-
ducta in G, & applicata GH, ipſa dabit EH diametrum quæſiti circuli.
PAtet etiam ſemi-applicatas in Parabola, ex terminis diametri _MAXIMI_
inſcripti circuli, ęquari contiguis ſegmentis eiuſdem diametri, ab appli-
cata ex contactu circuli cum ſectione abſciſſis. Sienim ſit FE æqualis ED,
ob ſimilitudinem triangulorum, crit etiam GH æqualis HD.
SI quis in vigeſimo nono, ac trigeſimo antecedenti Problemate, a
ſeueritate geometricæ demonſtrationis expeteret, nontantum El-
lipſes, per datum punctum ibi contingenter inſcriptas, ad par-
tes verticis, tum anguli, tum Parabolæ oppoſitas, MAXI-
MAS eſſe ſibi ipſis ſimilium per idem punctum, adeaſdem partes inſcri-
ſcribuntur; id ſequenti Theoremate, in angulo, &
qualibet coni-ſectione,
vel circulo conſequetur, ſimulque dabitur Methodus ipſis inſcribendi ſimiles
Ellipſes, quæ ſucceſsiuè ſe mutuò, & anguli, vel ſectionum latera contin-
gant.
Ellipſes inſcriptæ eidem angulo, vel Parabolæ, vel Hyperbolę,
aut portioni Ellipticæ, vel circulari, quæ non excedat Ellipſis, vel
circuli dimidium, ſe mutuò, & anguli latera, vel ſectionem, vel
circulum contingentes, & quarum diagonales menſalium, quibus
inſcribuntur, inter ſe æquidiſtent, ſunt ſimiles, & quæ propior eſt
vertici, minor eſt remotiori.
SIt ABC, vel angulusrectilineus, vt in prima figura, vel Parabolæ, vel
Hyperbolæ, aut portio non maior ſemi-circuli, vel ſemi-Ellipſis dimi-
dio, vt in ſecunda, cuius vertex B, diameter BD, & circa ipſius ſegmentum
DE, inter applicatas AC, IF, ducta diagonali AF, ſecan@ diametrum ED
in K, & applicata per K recta GKH, per extrema G, E, H, D,
huius, menſali AIFC, hoc eſt dato
angulo, vel ſectioni crit inſcripta. Et per I ducta IL parallela diagonali AF,
diametrum ſecan@ in O, conſimili conſtructione, ac ſupra, deſcribatur in
menſali INLF Ellipſis PMQE. Dico primùm has Ellipſes inter ſe ſimiles
eſſe.
Nam, in prima figura, proportio rectanguli GKH, ad rectangulum AKF,
componitur ex ratione GK ad KA, ſiue (per triangulorum ſimilitudinem)
PO ad OI, & ex ratione HK ad KF, ſiue QO ad OL, ſed etiam proportio re-
ctanguli POQ, IOL, ex ijſdem rationibus componitur, quare in triangulo,
rectangulum GKH ad AKF, eſt vt rectangulum POQ ad IOL.
Iam, in ſecunda figura, eadem ratione, vt in 64.
huius, oſtendetur huiuſ-
modi Ellipſium centra cadere infra K, O, nempe in R, S, per quæ ſi appli-
centur RT, SV, ipſæ, diagonales ſecabunt in T, V;
lis RE, erit AT æqualis TF, ob parallelas; item IV æqualis VL;
ſuntque
AF, IL æquidiſtanter ductæ in ſectione, vel circulo, quare iuncta TV erit
earundem æquidiſtantium diameter, quæ producta ad aliud punctum, præ-
ter B, ſectioni occurret, vt in Z, eritque ſi
quidiſtantes, hæ ſectionem ſimul
eritque
ZX; item erit
IOL, quod etiam ſuperius in prima figura demonſtratum fuit. Itaque, cum
ſit in vtraque, rectangulum GKH ad AKF, vt rectangulum POQ ad IOL, &
terum proportionalitatem) vel vt quadratum IO ad OE (ob triangulorum
AKD, IOE ſimilitudinem) vel vt rectangulum IOL ad EOM (ob homolo-
gorum laterum proportionalitatem) erit, ex æquali, rectangulum GKH,
vel quadratum GK ad rectangulum DKE, ſiue vt rectũ latus Ellipſis GEHD
ad eiuſdem tranſuerſum, vt rectangulum POQ, ſiue quadratum PO, ad re-
ctangulum EOM, vel vt rectum Ellipſis PMQE ad ipſius tranſuerſum: cum
ergo huiuſmodi Ellipſes habeant latera proportionalia, ſintque æqualiter
Quod erat primò demonſtrandum.
Præterea, cum ſit AD´ ad DK, vt IE ad EO, ſitque AD maior
Item, cum ſit FE ad EK, vt LM ad MO, ſitque FE maior
LM, erit EK maior MO, ergo integra tranſuerſa diameter DE, maior toto
tranſuerſo latere EM; ſed tranſuerſum DE ad tranſuerſum EM, eſt vt rectum
vnius ad rectum alterius, vt ſuperiùs demonſtrauimus, eſtq; tranſuerſum DE
maios EM, quare rectum recto maios erit, ſiue Ellipſis GEHD maiorum la-
terum, maior Quod vltimò oſtendere propoſitum fuit.
SI ergo in figuris 29.
&
30.
Problematis, concipiantur methodo ſuperiùs
allata, per datum punctum inſcribi Ellipſes ad partes verticis, vel angu-
li, vel ſectionis, quæ ſimiles ſint alijs ad oppoſitas partes per idem punctum
inſcriptis (ſi tamen ſectionis, vel circuli portio, quæ ab applicata per datum
punctum terminatur, huius Ellipſis ſit capax, quod accidet, quando in ſe-
cunda præcedentium figurarum, diagonalis IL, quæ ex I ducitur diagonali
AF æquidiſtans, & occurrens ſectioni in L, punctum L pertingat ad B, vel
B;
tunc enim m
GEHD ſimilis inſcribi nũquam poterit, qualis ſemper inſcribi poteſt m
gulis IBF, MBL, &c.
primæ figuræ;
quod omne, vel leuiter intuenti ſatis
patebit) illę omnino his minores erunt, cum verticibus ſint propiores; &
ob
id, quæ ad oppoſitas partes ibi inſcribuntur, erunt quidem _MAXIMAE_
quæſitæ.
MAXIMI circuli m
à vertice ſucceſſiuè ſe
mutuò contingentes, ſunt inter ſe in ratione quadratorũ, diſparium
numerorum ab vnitate incipientium.
SIt Parabole ABC, cuius axis BH, vertex B;
&
_MAXIMI_ circuli m
ſcripti, & à vertice ſucceſſiuè ſe mutuò contingentes ſint, quorum dia-
metri BE, EF, FG, GH, &c.
contactus veròſint, primi vertex B, ſecundi
punctum L, ter@ij O, quarti R, &c.
dico huiuſmodi circulos, eſſe inter ſe, vt
quadrata numerorum diſparium ab vnitate incipientium, nempe 1. 9.
25.
49.
&
c.
Ducantur, tum ex diametrorum terminis E, F, G;
tum ex contactibus L,
O, R ordinatæ EI, FN, GQ, LM, OP, RS.
Iam cum circulus BE ſit _MAXIMVS_ in-
rectum latus,
hoc eſt inter æquales lineas, quare EI æ-
qualis erit ipſi EB, quæ concipiatur, vt
vnum; eſtque EI
tota BM, vt 2;
ſed eſt
4; erit ergo BF, 4:
eſtque BM, 2;
quare
vn-
eſtque BF ad BP, vel vt
vt 4 ad 6, ita 6 ad
9, vnde BG erit 9, ſed eſt BP, 6, ergo GP,
ſiue GQ, vel GS erit 3; quare tota BS, erit
12, ſed vt BG ad BS, vel vt 9 ad 12, ita BS
ad BH, & vt 9 ad 12, ita 12 ad 16, quare
BH, erit 16. Siergo dum BE eſt, vt I, BF
eſt 4, BG, 9, & BH, 16;
ipſa BE cum ea-
rum differentijs EF, FG, GH, erunt, vt
ſunt numeri 1, 3, 5, 7, qui ſunt numeri im-
pares ab vnitate incipientes, ſed circuli
ſunt, vt quadrata ſuorum diametrorum,
ipſæque BF, EF, FG, GH ſunt inſcripto-
rum circulorum diametri, quare hi _MAXI-_
te. Quod erat demonſtrandum.
Datæ Hyperbolę, per punctum intra ipſam datum MAXIMAM
Parabolen inſcribere; &
è contra.
Datæ Parabolæ, per punctum extra ipſam datum cum dato ſe-
mi- tranſuerſo latere MINIMAM Hyperbolen circumſcribere.
SIt data Hyperbole ABC, cuius centrum E, &
punctum intra ipſam da-
tum ſit G. Oportet per G _MAXIMAM_ Parabolen inſcribere.
Iungatur EG ſecans Hyperbolen in B, &
concipiatur EG eſſe mediam
arithmeticam, EB verò mediam geometricam inter eaſdem ignotas extre-
mas, quæ reperiantur, ſint EH, EF, &
per F applicetur AFC, &
circa
Dico ipſam Parabolen eſſe quæſitam.
Cum enim ſit FE ad EB, vt EB ad EH, erit
re AH Hyperbolen Cumque ſit
ipſarum diſferentiæ FG, GH æquales, vnde
Quod autem ſit _MAXIMA_,
patet; cum quælibet alia per G adſcripta cum
recto minori, minor eſt AGC, quę verò cum
maiori, eſt quidem maior, ſed omninò ſecat
Hyperbolen ABC, cum ſectio Parabole in in-
finitum abeat, & ſuperficies ABCGA vndi-
que ſit clauſa. Quod primò, &
c.
IAM ſit data Parabole AGC, &
datum extra ipſam pũctum ſit B, per quod
oporteat, cum dato quolibet ſemi-tranſuerſo D, _MINIMAM_ Hyperbo-
len circumſcribere.
Ducatur per B diameter Parabolæ DGF, quæ vltra B producatur, ſuma-
turque BE ipſi D æqualis, & facta EB media geometrica, &
EG media ari-
thmetica inter eaſdem ignotas extremas, reperiantur &
per F applicetur in Parabola AFC;
&
ſuper AC ad diame-
tri ſegmentum BF, cum ſemi- tranſuerſo BE deſcribatur
Si quidem iuncta HA, ijſdem omnino argumentis, ac ſupra, demonſtra-
bitur ipſam HA, & Parabolen, &
Hyperbolen contingere, vnde ſectiones
ſe mutuò contingent, Hyperbole ABC erit Parabolæ circumſcripta:
nam quælibet alia Hyperbole per B adſcripta cum eo-
dem tranſuerſo, ſed cum recto maiori, maior eſt ipſa ABC, quæ verò cum
minori, eſt quidem minor, ſed cum ipſi ABC ſit inſcripta, & ad partes verti-
per ſe patet: quapropter Hyperbole ABC erit _MINIMA_ circumſcripta quę-
ſita. Quod ſecundò faciendum, ac demonſtrandum erat.
HAEC de MAXIMARVM, &
MINIMARVM coni- ſe-
ctionum, circuli, & anguli reciproca inſcriptione, ac circumſcri-
ptione, per punctum in ipſis, vel intra, vel extra datum, iuxta
ſæpius memoratam definitionem, hactenus pertractaſſe ſuffi-
iat, quæ ſi grata vobis fuiſſe perceperimus, multa his ſimilia, & alia
quàm plurima ad aliud tempus proferemus. Cæterum, in proximè ſequenti-
bus, quæ ad vberiorem doctrinam, & alteri præſertim huius operis parti ma-
xime conducunt, hac omiſſa definitione, inſcriptio, & circumſcriptio aliter fiet,
prout in ipſis propoſitionibus exponetur.
Si recta AB ſecta fuerit in C, &
in D, ita vt AB ad BC, ſit vt
AD ad DC: Dico ſi BD bifariam ſecetur in E, punctum E cadere
inter B, & C, &
rectangulum AEC, æquari quadrato ED.
CVm ſit enim AB ad BC, vt AD ad DC, erit permu-
ior AD, quare BC erit maior CD: ex quo punctum E
bifariam ſecans BD cadit inter B, & C.
Ampliùs producatur BA ad F, &
ſecetur AF æqualis
AD.
Iam cum demonſtratum ſit eſſe BA ad AD, vt BC ad
CD, erit BA ad AF, vt BC ad CD; &
componendo BF
ad FA, vt BD ad DC; &
ſumptis antecedentium dimi-
dijs, EA ad AF, ſiue ad AD, vt ED ad DC, & per con-
uerſionem rationis, AE ad ED, vt DE ad EC, vnde re-
ctãgulum AEC ęquabitur quadrato ED. Quod erat, &
c.
Si fuerit rectangulum ABC, ęquale rectangulo DEF, ſitque AC
maior DF, erit BC minor EF.
SI enim dicatur BC æqualem, vel maiorem
eſſe EF, cum ſit data AC maior DF, eſſet
omnino AB maior DE, & BC dicitur æqualis,
vel maior EF, ergo rectangulum ABC eſſet om-
nino maius rectangulo DEF, ſed æquale poſi-
tum fuit. Ergo patet propoſitum.
Si recta linea ad alterũ terminũ cuiuſdam applicatæ coni-ſectio-
nem, vel circulũ cõtingat, ipſa omnino ſecabit ſibi adſcriptã eiuſdẽ
nominis ſectionẽ circa eandẽ applicatam, & cum æquali tranſuerſa
diametro, ſi ſectiones fuerint Hyperbolæ, vel Ellipſes, aut circuli.
ESto quæcunque coni-ſectio, vel circulus ABC, cuius diameter BD, yo
vna applicatarum ſit AC. &
ad ipſius terminum A, ſit recta contingens
EAF, quæ diametro occurret &
ſumpto in diametri ſegmento BD
applicata AC in qualibet figura,
pro Ellipſi, vel circulo, in tertia,
cum dato tranſuerſo latere GM, quod æquale ſit tranſuerſo BL datæ ſectio-
nis, deſcribatur dico hanc omnino ſecarià
Ducatur enim per A recta IAH, quæ ſectionem continge
eius diametro conueniat in H.
Iam in prima figura exhiben@ Parabolas, cum AF contingat ſectionem
cumque AH contingat AGC erit DG
BF erit maior GH, &
GF eò maior GH: quod memento.
Præterea, in ſecunda figura, cum ſit LB, æqualis MG, &
BD maior GD,
ex conſtructione, habebit LB ad BD minorem rationem, quàm MG ad GD,
& componendo LD ad DB, ſiue
iterum componendo LB ad BF, minorem quàm
eò magis
GF maior GH.
Intertia denique, cum ſit LB æqualis MG, &
DB maior DG, ex conſtru-
ctione, habebit LB ad BD minorem rationem, quàm MG ad GD, & diui-
dendo LD ad DB ſiue diuidendo iterum, LB ad BF minorem rationem, quàm MG
eò magis GF
maior GH.
Itaque cum demonſtratum ſit in qualibet figura eſſe GF maiorem GH,
punctum H incidet infra F; ſed HAI contingit ſectionem AGC in A, qua-
re FA, quæ contingit ABC, ſi producatur ad partes E, ſecabit ipſam ſectio-
nem ABC, cum inter ſectionem, & contingentem, ex puncto contactus al-
tera recta linea non quare, &
c.
Quod erat, &
c.
Dato angulo rectilineo, vel coni-ſectione
minos, cuiuſcunque in ipſo applicatæ, MAXIMAM Ellipſim in-
ſcribere, cuius tranſuerſum latus æquale ſit dato.
Oportet autem, ſi data ſectio ſuerit Ellipſis, datum tranſuerſum
minus eſſe diametro datæ Ellipſis, ad quam data applicata ordi-
natim ducitur.
ESto ABC datus angulus, vt in prima figura, vel Parabole, vt in ſecunda;
vel Hyperbole, vt in tertia;
vel tandem Ellipſis, aut circulus, vt in
in ipſis concipiatur quædam AC ad diametrum BF ordinatim du-
cta; oportet per eius terminos A, C, dato angulo, velſectioni, _MAXIMAM_
Ellipſim inſcribere, cuius tranſuerſa diameter æqualis ſit datæ lineæ DE,
quæ tamen, pro Ellipſi ABCO, quartæ figuræ, minor ſit eius tranſuerſa dia-
metro BO.
Ducatur
metro occurret KF, in
ſecetur in puncto G, quod in Pa-
rabola cadet in ipſō B, cum (ob
tangentem AK) ſit KB in Hyperbola cadet infra
B, cum ſit FB maior BK (ſumpta
enim eius tranſuerſa diametro
permutando OF ad OK,
vt FB ad BK, ſed eſt OF maior
OK, quare, & FB erit maior BK)
in Ellipſi verò cadet ſupra B, cũ
ſit KB maior BF (nam eſt OK ad
KF bifa-
riam ſecta eſt in G, ac ideo G ca-
det ſupra B.) Præterea ad datam rectam DE applicetur parallelogrammum
æquale quadrato GF, excedens figura quadrata, idque ſit rectangulum
DHE; ſumptaque HI media proportionali inter DH, HE, erit rectangulum
DHE, ſiue quadratum GF, æquale quadrato HI, ergo rectæ GF, HI æqua-
les inter ſe. Inſuper ſumatur GL æqualis HE, &
erit reliqua LF æqualis re-
liquæ EI; &
punctum L cadet omnino infra B, ſiue intra angulum, vel ſe-
ctionem, cum in angulo, & Hyperbola cadat infra G, quod eſt intra angu-
lum, vel ſectionem, & in Parabola cadat infra G, quod eſt in ipſa ſectione;
in Ellipſi verò, prædictum punctum L cadet infra B;
quoniam cum ſit OK
ad KB, vt OF ad FB, & KF bifariam ſecta in G, per conſtructionem, erit re-
ctangulum OGB
OGB æquari quadrato GF, vel GK) ſiue quadrato HI, ſiue rectangulo
DHE; ſed eſt OB maior DE, quare GB erit
Sumatur præte-
rea in quacumque figura FN æqualis ID, erit ergo LN æqualis datæ ED
(cum ſit quoque LF æqualis EI) & punctum N in quarta figura cadet omni-
no intra Eilipſim ABCO: quoniam cum ſit rectangulum DHE, ſiue NGL,
æquale quadrato HI, ſiue GE, & ſit etiam rectangulum OGB æquale eidem
quadrato GF, vt ſuperiùs demonſtrauimus, erunt rectangulo
inter ſe æqualeideo, vt OG ad GN, ita LG ad GB, ſed eſt LG maior
GB, vt paulò ante oſtendimus, quapropter, & OG erit maior GN, ſiue pun-
ctum N cadet intra Ellipſim ABCO.
Tandem cum trãſuerſo LN, quod æquatur datę lineæ ED, circa applica-
Dico hanc eſſe _MAXIMAM_ inſcriptã
Nam, in qualibet figura, cum
ſit rectangulum DHE, ſiue NGL
erit NG ad GF, vt GF ad GL, &
componendo NG cum GF, hoc
eſt NK, erit ad GF, vt FG cum
GL, ſiue vt KL ad GL, & permu-
tando NK ad KL, vt GF ad GL,
vel vt NG ad GF, vel vt
proportionalium NG, GF, GL; ergo recta KAM tanget
ABC erit inſcripta, ſed in alijs fi-
guris, ipſa KAM tangit quoque
datã ei ſimul adſcriptam ſectio-
nem ABC, (ex conſtructione)
adūdem terminum cõmunis ap-
plicatæ AC, quapropter Ellipſis ALCN datæ ſectioni, vel circulo
Dico demum hanc eſſe _MAXIMAM_:
quoniam quæ ipſi adſcribitur per
eoſdem terminos applicatæ AC, & cum tranſuerſa diametro æquali ipſi LN,
_licet minor fuerit eadem ALCN_, ſecat vel ad par-
tes AM, ſi cadat infra, vt ex ipſa 81. huius facilè elicitur:
cum ergo inouiter
adſcripta Ellipſis ſecet contingentem KAM, in ſe ipſam rediens, ſecabit om-
nino datam ſectionem ABC, quare Ellipſis ALCN, eſt _MAXIMA_ dato an-
gulo, vel ſectioni ABC inſcripta, circa datam applicatam, & cum data
tranſuerſa diametro DE, immo potiùs ipſa ALCN eſt vnica huiuſmodi con-
ditionibus inſcriptibilius. Quod faciendum, &
demonſtrandum erat.
EX hac conſtat interceptum diametri ſegmentum inter quamlibet appli-
tam, & verticem, æquale eſſe (in Parabola) intercepto ſegmento eiuſ-
dem diametri inter verticem, & occurſum contingentis, ductæ ex termino
applicatæ, cum diametro: in Hyperbola, verò maius, ſed in Ellipſi, vel cir-
culo minus eſſe.
Demonſtratum eſt enim, in ſecunda figura, KB æ qualem eſſe BF, in ter-
tia verò KB, minorem BF, & in quarta KB maiorem BF.
Si binarum Ellipſium ſimul adſcriptarum altera alteri fuerit in-
ſcripta, & per terminos communis applicatæ ſe mutuò contingant;
quælibet alia Ellipſis datis adſcripta, cum eadem applicata, &
cum æquali tranſuerſo latere, inſcriptam Ellipſim omnino ſecabit.
SInt duæ Ellipſes ABCD, AECF ſimul adſcriptæ, circa communem ap-
plicatam AC, ſitque ipſarum altera, nempe AECF, alteri inſcripta, ita
vt in extremis tantùm A, C, ſe mutuò contingant: dico, ſi his alia adſcriba-
tur Ellipſis ALCI, circa eandem applicatam AC, & cum tranſuerſo LI,
quod æquale ſit ipſo BD tranſuerſo circumſcriptæ, ipſam ALCI omnino ſe-
care inſcriptam AECF.
Nam ſi alterum extremum tranſuerſæ
intra inſcriptam, vt inter E, & O, tunc aliud
extremum I neceſſariò cadet extra, infra F,
cum ſit LI, ſiue BD maior EF, ex quo ma-
nifeſtè patet, Ellipſim ALCI ſecare inſcri-
ptam AECF.
Si verò vtrunque extremum L, I, cadit
extra inſcriptam, vti exhibetur ab hac figu-
ra; tunc ducta AG, quæ circumſcriptam
ABCD contingat in A, ipſa, vtrinque pro-
ducta, ad alteram partium ſecabit vnde, quæ ex A cõtingit ALCI,
diuerſa erit ab AG, & ſit ipſa AM.
Iam ſi ALCI non ſecat inſcriptã AECF;
contingat in A, C, ſi poſſibile eſt.
Cum ergo recta AM contingat Ellipſim
ALCI, atque hæc contingat inſcriptam Ellipſim AECF, eadem recta AM,
in A quoque continget AECF, ſed etiam AG eandem AECF contingit in
A: quare ex eodem puncto A ductæ erunt binæ rectę lineę eandem Ellipſim
contingentes; quod eſt
Non igitur Ellipſis ALCI contingit
Quod oſtendere propoſitum fuit. Sed hoc idem
CVm recta AG contingat ad A circumſcriptam Ellipſim ABCD, atque
hæc ad idem A contingat inſcriptam AECF, ipſa AG omninò con-
tinget ad A inſcriptam AECF; ſed MA (quę vt ſupra oſtendimus, diuerſa eſt
à GA) hanc ſecat in A; quare MA producta, ad alteram partium omninò
ſecabit inſcriptam AECF, & eò magis Ellipſis ALCI, quam contingit ad A
recta MA, ad eandem partem ſecabit inſcriptam AECF. Quod erat, &
c.
Datæ Ellipſi, vel circulo, per terminos cuiuſcunque in ipſo ap-
plicatę MINIMAM Ellipſim circumſcribere, cuius tranſuerſum la-
tus æquale ſit dato, quod tamen maius ſit tranſuerſa diametro datæ
Ellipſis.
SIt data Ellipſis, vel circulus ABCO, cuius tranſuerſa diameter BO, &
quædam ad eam applicata AC: oportet per terminos A, C, cum tranſ-
uerſo DE, quod excedat BO _MINIMAM_ Ellipſim circumſcribere.
Ducatur ex A contingens AK productæ
KF bifariam
ſecetur in puncto G, quod cadet iuter B, &
K, vt in 83. h.
oſtenſum fuit;
&
ad datam
lineam DE applicetur parallelogrammum,
æquale quadrato GF, excedens figura
quadrata, ſitque rectangulum DHE, &
ſumpta HI media proportionali inter DH,
HE, erit rectangulum DHI, ſiue quadra-
tum GF, ęquale quadrato HI, hoc eſt linea
GF æqualis HI: ſumpta ergo GL æquali
HE, erit reliqua LF æqualis EI, & pũctum
L cadet extra B: quoniam cum ſit OK ad
KB, ſed eſt OB minor DE, ex conſtructione, quare GB
erit maior itaque punctum L cadet extra Ellipſim AB
Sumatur ampliùs FN æqualis ID, &
erit tota LN æqualis datæ ED,
itemque punctum N cadet extra Ellipſim ABCO: Nam cum ſit rectangulum
DHE, ſiue NGL æquale quadrato HI, ſiue GF, ſitque rectangulum OGB,
æquale eidem quadrato GF, vt ſupra oſtendimus, erunt rectangula OGB,
NGL inter ſe æqualia, & ideo vt OG ad GN, ita LG ad GB, ſed eſt LG mi-
nor GB, vt ſuperiùs demonſtrauimus, vnde, & OG minor erit GN, nempe
punctum N cadet extra Ellipſim ABCO. Poſtremò cum tranſuerſo latere
NL, quod æquale eſt datæ lineæ DE, circa applicatam AC Dico hanc eſſe _MINIMAM_ circumſcriptam quæſitam.
Quoniam cum ſit rectangulum NGL æquale quadrato GF, erit NG ad
GF, vt GF ad GL, & componendo, NG cum GF, ſiue NK, erit ad GF, vt
FG cum GL, ſiue vt KL ad GL, & permutando NK ad KL, vt GF ad GL,
vel vt NG ad GF, vel vt quapropter Ellipſis ALCN datæ ABCO erit
nam quælibet alia, quæ ipſi adſcribitur per eoſdem
terminos communis applicatæ AC, & cum tranſuerſa diametro æquali ipſi
LN, _licet maior ſuerit eadem ALCN_, inſcriptam ABCO omnino ergo
plicatæ AC, cum dato tranſuerſo DE: immo ipſa ALCN vnica eſt, his con-
ditionibus circumſcriptibilis. Quod faciendum, &
demonſtrandum erat.
SIquæratur, qua nam ratione in prop.
82.
ad finem, dicatur _licet minor fue-_
_rit eadem ALCN_ in hac verò, _licet maior fuerit eadem ALCN_ (perinde ac
ſi, per terminos A, C, cum diametro æquali ipſi LN alia in ea deſcribi poſſit
Ellipſis minor ALCN, in hac verò alia maior ALCN) vtrunq; noshaud te-
merè dixiſſe ex ſequéti Theoremate manifeſtum fiet, à quo habebitur quam-
libet aliam Ellipſim per A, C, adſcriptam, cum tranſuerſo ęquali ipſi LN, ſed
cuius ſegmenta ab applicata AC abſciſſa, ſint magis inæqualia quàm ſint ſe-
gmenta NF, FL, minorem eſſe ipſa ALCN; &
è contra, eam quę cum ſegmentis
minus inæqualibus, quàm ſint NF, FL, eadem ALCN maiorem eſſe.
Ellipſium, perterminos communis applicatæ ſimul adſcripta-
rum, & quarum tranſuerſa latera ſint æqualia, MINIMA eſt ea,
cuius communis ordinatim ducta ſit diameter coniugata: aliarum
verò illa, cuius ſegmenta diametri ſunt minùs inæqualia, minor eſt
ea, cuius diametri ſegmenta ſunt magis inæqualia.
SInt duę Ellipſes ABCD, AECF, per terminos eiuſdem applicatæ AC
ſimul adſcriptæ, & quarum tranſuerſa BD, EF ſint æqualia, ſitq;
AGC
coniugata diameter Ellipſis ABCD, ſiue G eius centrum. Dico primùm
hanc minorem eſſe altera AECF, ſiue eſſe _MINIMAM_, &c.
Etenim, cum ſit DB æqualis EF, &
DB
qualiter ſecta, vnde rectangulum BGD ma-
ius erit rectangulo EGF, cum ſit ideoque rectangulum BGD ad qua-
dratum AG, ſiue tranſuerſum
tionem quàm rectangulum EGF ad idem
quadratum AG, ſiue quàm ſed tranſuerſa
BD, EF ſunt æqualia, ergo rectũ Ellipſis AB
CD, minus erit recto AECF:ſi igitur Ellipſis
huiuſmodi Ellipſes (cum ſint ęqualiter incli-
natæ) concipiantur eſſe per eundem verticem ſimul adſcriptæ, ita vt tranſ-
uerſæ diametri ſimul congruant, ipſa ABCD, cuius rectum minus eſt, inſcri-
pta erit, ſic minor quacũque
quare ABCD erit _MINI-_
_MA_, &c.
Inſuper, ſit alia adſcripta Ellipſis AHCI, cuius ſegmenta diametri HG,
GI ſint adhuc magis inæqualia, quàm ſegmenta EG, GF: dico AECF mi-
rcm eſſe Ellipſi AHCI. Oſtendetur enim, vt ſupra, rectangulum EGF ma-
ius eſſe rectangulo HGI, & rectum latus Ellipſis AECF, minus eſſe recto
AHCI, ſiue Ellipſim AECF inſcribi poſſe AHCI, hoc eſt ipſa minorem eſſe. Quod erat vltimò demonſtrandum.
MAXIMA ſemi-diametrorum, à centro Ellipſeos eductarum,
eſt ſemi-axis maior, MINIMA verò ſemi-axis minor: aliarum
autem, quæ cum MAXIMA minorem conſtituit angulum maior
eſt: &
quatuor ſunt in Ellipſi æquales ſemi-diametri, quarum vna
tantùm cadit in vnoquoque Ellipſis quadrante, genito ex axium
interſectione.
SIt Ellipſis ABCD, cuius axis maior BD;
minor AC, centrum E.
Dico
primùm maiorem ſemi-axim EB eſſe omnium ſemi-diametrorum _MA-_
_XIMAM_, & ſemi-axim minorem EA omnium _MINIMAM_.
Cum centro enim E, &
interuallo EB
extra Ellipſim, cum eiſit &
facto cétro E, cum radio EA deſcripto
circulo EOC, ipſæ totus cadet intra Elli-
pſim, cum ei ſit Quod erat primò, &
c.
Ampliùs in quadrãte Ellipſeos AFCE
ductæ ſint quotcunque ſemi-diametri EF,
EG, & ſit angulus BEF minor BEG:
dico
EF maiorem eſſe EG.
Applicentur enim per F, G, ad maio-
rem axim BE rectæ KF, LG, quæ produ-
ctæ, circuli peripheriæ BIH occurrant in I,
M, & iungantur E I, EM.
Erit in ſemi-circulo BHD, quadratum ML ad IK, vt rectangulum DLB
ad DKB; &
in ſemi-Ellipſi BCD, quadratum GL ad FK,
GL ad FK, ſiue linea ML ad IK, vt pars GL ad partem FK, & vt reliqua MG
ad reliquam IF, ſed eſt GL quare MG erit maior I F, ideoque
gulo IFK ſub minoribus, & duplum vnius, alterius duplo maius.
Iam cum triangula EKI, ELM ſint rectangula ad K, L, erunt triangula
EFI, EGM obtuſiangula ad F, G, eſtque linea E I æqualis EM, ergo qua-
dradratum E I, hoc eſt duo ſimul quadrata EF, F I, cum duplo rectanguli
KEI, maiora erunt quadrato EM, ſiue duobus ſimul quadratis EG, GM,
rectanguli LGM, vt ſuperiùs oſtenſum fuit; quare his demptis, erunt reli-
qua quadrata EF, FI ſimul, maiora reliquis ſimul EG, GM, ſed quadratum
FI minus eſt quadrato GM, cum ſit linea FI minor GM, ergo reliquum qua-
dratum EF maius erit reliquo EG, ſiue ſemi-diameter EF maior ſemi-dia-
metro EG. Quod ſecundò erat, &
c.
Dico tandem, in vno quoque Ellipſeos rectangulo quadrante, nempe
in quadrante ABE, reperiri aliam ſemi-diametrum ipſi EG æqualem.
Producta enim applicata GL ad N, &
iuncta EN, in triangulis ELG,
ELN, eſt NL æqualis LG, & LE communis, &
anguli ad L recti, quare ba-
ſes EG, GN æquales erunt, & ſic in quolibet alio quadrante;
&
vnaquequę
ſemi-diametrorum vnica eſt in eodem quadrante, cum quę ad partes maio-
ris axis ducuntur, maiores ſint, & quæ ad partes minoris, minores:
quapro-
pter à centro Ellipſeos quatuor tantùm (in rectangulis quadrantibus inter ſe-
mi-axes) ſemi-diametri æquales ad eius peripheriam duci poterunt. Quod
vltimò demonſtrandum erat.
HInc eſt, quod _MAXIMA_ diametrorum, in Ellipſi, eſt axis maior, _MINI-_
_MA_ verò axis minor; eadem enim eſt ratio de duplis, ac de ſubduplis.
PAtet etiam, quod ſi ex Ellipſeos centro ad interuallum cuiuſcunque ſe-
mi-diametri, quæ non ſit axis, circulus deſcribatur, ipſum ad partes
maioris axis cadere intra, ad partes verò minoris cadere extra, & in quatuor
tantùm punctis Ellipſim ſecare.
Si ad extremum axis datæ coni-ſectionis ducta fuerit contingens
linea, quæ cum alia ad alterum ſectionis punctum contingente
conueniat; ſemper ea, quæ inter occurſum, &
axem intercipitur
(qui tamen in ſectione Ellipſis, ſit axis maior) minor eſt altera con-
tingente: &
in Ellipſi tantùm, contingens ex minori axe altera
contingente maior eſt.
SIt coni-ſectio AB, cuius axis BC (quitamen in Ellipſi ſit axis maior) &
in
Hyperbola, ac Ellipſi ſit centrum D, ſitque ex vertice B contingens li-
nea BE; ſumptoque in ſectione quolibet alio puncto A (quod tamen in Elli-
pſi non ſit alterum axis extremum; nam ipſæ contingentes, per 27.
ſecundi
conic. inter ſe æquidiſtarent) ab eo ducatur contingens AE
Dico tangentem BE ipſa AE minorem eſſe.
Ducatur per occurſum E diameter DEF, iungaturque AB.
Patet ipſam
gentem
Iam in Parabola, quam exhibet prima huius ſchematis ſigura, cum ſint
BC, EF diametri
ctus (nam eſt CB axis Parabolæ) ergo angulus quoque EFA obtuſus erit,
ſiue maior conſequenti BFE.
In Hyperbola verò ſecundæ ſiguræ, cum angulus CBA externus triangu-
li DBF ſit acutus, (nam CBE rectus eſt) ſitque maior interno BFE, is quidem
acutus erit, & qui ei deinceps EFA erit obtuſus, ſiue maior ipſo BFE.
In Ellipſi tandem tertiæ ſiguræ iuncta DA, cum in trianguiis DFB, DFA
ſit BF ęqualis AF, & communis FD
eiad verticẽ EFA maior angulo ad verticẽ BFE.
In triangulis itaq;
AFE, BFE,
ſit latus A F æqualis FB, & FE
commune, augulus verò E F A
demonſtratus ſit maior angulo
BFE, erit baſis A F maior baſi
BE. Quare contingens B E ex
termino maioris axis, minor eſt
altera contingente A E. Quod
primò probandum erat.
Si verò, in Ellipſi ABC, quar-
tæ ſiguræ, axis BC fuerit minor. Poſitis, &
conſtructis ijſdem.
Cum in triangulis AFD, BFD ſit latus AF æ-
qualle lateri BF, & commune FD, baſis verò AD maior baſi DB (cum minor
ſemi-axis DB ſit _MINIMA_
AF latus FE commune:
quare baſis BE, erit maior baſi
Si coni-ſectionem recta linea contingens cum axe conueniat, &
à tactu erigatur contingenti perpendicularis, hæc neceſſariò cum
axe conueniet, in Ellipſi cum vtroque axe, ſed priùs cum maiori; parſque ipſius intercepta inter contactum, &
occurſum cum axe,
qui tamen in Ellipſi ſit axis maior, ſemper minor erit eo axis ſe-
gmento, quod inter occurſum, & verticem intercipitur.
Cum autem in Ellipſi, contingens linea minori axi occurret,
tunc prædicta perpendicularis inter contactum, & minorem axem
intercepta, maior ſemper erit ſegmento minoris axis, quod inter
occurſum, & verticem intercipitur.
SIt coni-ſectio ABC, cuius axis BD, &
prima ſigura Parabolen, aut Hy-
perbolen repræſentet, ſecunda verò Ellipſim, cuius axis maior, ſit BS,
ex puncto A in ſectione extra verticem ſumpto ipſam
in Ellipſi cum vtraque axe SB, TH;
à contactu A erigatur ipſi perpendicularis AD.
Dico primùm hanc cum axe conuenire, &
in Ellipſi cum vtraque axe, ſed
priùs cum maiori.
Ducatur ex A recta
cata, quæ cum axe re-
ctum angulum AFE cõ-
ſtituet, ac ideo angulus
AEF acutus erit, ſed eſt
rectus EAD, quare AD
conuenit cum EBD, vt-
puta in D. Eadem ra-
tione in Ellipſi demon-
ſtrabitur ipſam AD con-
uenire quoque cum mi-
nori axe HT, ſi ex A or-
dinatè ei applicetur AR: nam cum angulus ARL ſit rectus, angulus ALR
acutus erit, ſed LAD rectus ponitur, quare AD conuenit quoque cum axe
minori HT, vt in I. Quod autem priùs cum maiori axe conueniat, ita oſten-
detur. Etenim cum recta AF ſit ad axim applicata, &
contingens AE cum
axe in E conueniat, N verò ſit centrum Ellipſis, erit rectangulum EFN ad
quadratum AF,
nea FN ad FD, erit vt tranſuerſum latus ad rectum, hoc eſt vt quadratum
BS ad quadratum HT (nam ſecunda diameter HT media proportionalis eſt
inter tranſuerſum BS, & latus rectum) ſed quadratum BS maius eſt quadra-
to HT, cum ſit BS axis maior, ergo & linea NF maior erit ipſa FD.
Perpen-
dicularis ergo AD ſecat priùs maiorem axem, quàm minorem.
Dico inſuper in vtraque ſigura interceptam DA minorem eſſe intercepto
axis ſegmento DB.
_Ducta enim ex B recta BG_ ordinatim ductæ FA æquidiſtant, ipſa quidem
ſectionem alteri contingenti AE
Iungatur
cumque anguli GAD, GBD ſint recti, erunt duo quadrata DA, AG
lia, ergo duo ſimul DA, AG duobus ſimul DB, BG æqualia erunt, ſed AG
quadratum maius eſt quadrato BG cum ipſa tangens AG, ſit
DA minor maioris axis ſegmento DB. Quod erat primò, &
c.
Cum verò in Ellipſi tangens AL occurret minori axi TH, vt in L.
Dico in-
terceptam perpendicularem AI maiorem eſſe axis ſegmento IH.
Si enim ex H ducatur HM ordinatim applicatæ NB æquidiſtans hæc Elli-
pſim alteritangenti AL
iuncta ergo M I,
H recti
quare duo quadrata MA, AI vnico MI, &
duo MH, HI eidem MI æ-
qualia erunt, ergo duo ſimul MA, AI duobus ſimul MH, HI ſunt æqualia,
noris axis ſegmento IH. Quod tandem demonſtrare oportebat.
ALITER abſque ope propoſitionis 87.
premiſso
tantum ſequenti lemmate pro Ellipſi.
Si ſuerit, in vtraque figura, rectangulum ſub extremis AB, BD
æquale quadrato mediæ BC, dico, in prima ſigura, ſi à tertia BD
dematur aliqua pars BE, rectangulum ſub AE, ED, minus eſſe
quadrato mediæ EC.
Cum ſit enim, vt totum AB ad totum BC, ita ablatum BC ad ablatũ BD,
erit reliquum AC ad reliquum CD, vt totum AB ad totum BC.
Et cum ſit CE minor C B, habebit
AC ad CB, & componendo AE ad
EC maiorem quàm AB ad BC, vel
quàm AC ad CD. Siergo totum AE
ad totum EC maioré habet rationem
quàm ablatum AC ad ablatum CD,
habebit reliquum CE ad reliquũ ED
maiorem rationem, quàm totum AE
habebit rationem quàm CE ad ED; ergo rectangulum ſub extremis A E,
ED minus
SI verò, ijſdem poſitis, in ſecunda ſigura, tertiæ proportionali BD recta
quædam BE adijciatur; dico rectangulum ſub AE, ED maius eſſe qua-
drato EC; quod licet in 9.
prop.
huius iam ſit oſtenſum, hic idem aliter nulla
facta conſtructione demonſtrabimus.
Quoniam enim CE maior eſt CB, habebit AC ad CE minorem rationem
quàm AC ad CB, & componendo, tota AE ad totam EC, minorem quàm
liquam ED, minorem quoque habebit rationem quàm tota AE ad EC,
hoc eſt AE ad EC maiorem quàm EC ad ED, ergo rectangulum ſub AE,
ED maius Quod, &
c.
IAM, vt ad expeditiorem demonſtrationem præcedentis propoſitionis ac-
cedamus, ſuper eiſdem delineationibus, repetitis ijs omnibus, quæ ibi
(vſque ad ea verba excluſiuè _Ducta enim ex B recta BG, &c.)
_ exponuntur, ac
demonſtrantur, ſic vlteriùs proſequemur. Cum enim in ſingulis figuris triã-
gula DAE, LAI ſint rectangula ad A, ex quo baſibus ductæ ſunt perpendi-
culares AF, AR; erit in triangulo DAE rectangulum EDF æquale quadrato
in triangulo LAI rectangulum LIR æquale quadrato IA.
Quod
ſerua.
Iam ſi ſectio primæ figure ABC fuerit Parabole, cum AE ſit ei contingens
erit EB æqualis
ſiue quadratum DA mi-
nus erit quadrato DB,
ſiue linea D A minor
DB.
Siverò eadem figura
Hyperbolen reprefen-
tet, reperto eius centro
Q, erit rectangulum
FQE
QB ad QE, vel vt
dium ipſa FE, diuiſa ergo FE bifariam in V, erit FV minor FB, eritque re-
ctangulum EDF cum quadrato FV æquale quadrato DV, igitur ſolum re-
ctangulum EDF, hoc eſt quadratum DA minus quadrato DV, ſeu linea DA
minor DV, & eò minor ipſa DB.
Amplius in Ellipſi ſecundæ figuræ, dum perpendicularis AD conuenit
cum axe maiori, eſt rectangulum ENF à tertia
ctangulum EDF, ſiue quadratum DA minus quadrato DB, hoc eſt perpen-
dicularis DA maiori axi occurrens, minor eiuſdem axis portione DB.
Tandem rectangulum LNR æquatur quadrato NH, &
tertiæ proportio-
nali NR addita eſt NI, ergo per idem Lemma erit rectangulum LIR, ſiue
quadratum IA maius quadrato IH, ſiue perpendicularis AI minori axi oc-
currens maior eiuſdem axis portione HI. Quod fuit, &
c.
Si quamcunque coni-ſectionem recta linea contingat ad pun-
ctum, quod non ſit axis vertex, à quo ductæ ſint duæ rectæ lineæ,
altera contingenti, altera autem axi perpendicularis; erit in Para-
bola ea axis portio inter perpendiculares inrercepta æqualis, in
Hyperbola verò maior, ſed in Ellipſi minor dimidio recti lateris
eius axis, cui perpendiculares occurrunt.
SIt quæcunque coni-ſectio ABC, cuius axis BD, vertex B, &
aliud in ea
punctum ſit A, à quo ducta ſit
ueniet AF perpendicularis ad axem.
Dico primùm in Parabola
lem eſſe.
Nam quadratum AF æquatur
recto latere, vel
dimidio recti, ſed idem quadratum A F æ-
quatur rectangulo ſub eadem EF, &
ſub FD;
quare FD erit dimidium recti.
c.
Amplius in Hyperbola ſecundæ figuræ, dico interceptam portionem FD
eſſe pluſquam dimidium recti lateris.
Nam reperto eius centro G, erit rectangulum GFE ad quadratum AF,
vel ad rectangulum DFE, vt
tus ad rectum, vel vt ſemi-tranſuerſum GB ad ſemi-rectum, & permutando
GF ad GB, erit vt FD ad ſemirectum, ſed eſt GF maior GB, ergo FD erit
maior ſemi-recto latere. Quod ſecundò erat, &
c.
Tandem in Ellipſi
intercepta axis portio
DF eſt de maiori axe,
vel in quarta figura, in
qua prædicta portio
DF eſt de minori axe,
dico item ipſam DF
minorem eſſe dimidio
recti lateris eius axis,
cui ductæ perpendicu-
lares occurrunt.
Sumpto enim Elli-
pſis centro G, eſt re-
ctangulũ EFG ad qua-
dratum AF, vel ad re-
ctangulum E F D,
rectum, ſed idem rectangulum EFG ad EFD eſt vt linea GF ad FD quare
GF ad FD eſt vt tranſuerſum ad rectum, vel vt GB dimidium tranſuerſi ad
dimidium recti, & permutando GF ad GB, vt FD ad dimidium recti, ſed eſt
GF minor GB, ergo & FD erit minor quàm dimidium recti.
Quod vlti-
mò, &c.
HInc patet in Parabola, &
Hyperbola contingenti perpendicularem in-
ter contactum, & axem, ſemper eſſe pluſquam dimidium recti lateris
ſectionis. Nam in triangulo AFD recta AD recto angulo oppoſita maior eſt
latere DF, ſed DF, vel æqualis eſt (in Parabola) vel maior (in Hyperbola)
prædicto dimidio, quare perpẽdicularis AD erit omninò maior ipſo dimidio.
PAtet quoque in Parabola, &
Hyperbola interceptam axis portionem in-
ter verticem, & contingenti perpendicularem ſemper item eſſe pluſ-
quam dimidium recti lateris propriæ ſectionis. Quoniam cum demonſtra-
tum ſit DB maiorem DA in præcedenti Corollario ſit maior di-
MAnifeſtum eſt etiam in Hyperbola, &
Ellipſi ſemper eam axis portio-
nem, quæ eſt inter centrum ſectionis, & ordinatim ductam ex con-
tactu, ad portionem eiuſdem axis inter ipſam ordinatam, & contingenti
perpendicularem, eſſe vt ſemi-tranſuerſum ſectionis ad ſemi-rectum, vel vt
tranſuerſum ad rectum. Demonſtratum eſt enim in ſecunda, tertia, &
quar-
ta figura rectam GF ad FD eſſe vt tranſuerſum latus ad rectum.
Si Ellipſim quædam recta linea contingat inter axium extrema,
cui à tactu ducta ſit perpendicularis cum vtroque axe conueniens,
ſemper ipſius portio inter contactum, & minorem axim intercepta,
eſt maior ſemi-axe maiori; portio verò inter contactum, &
maio-
rem axim, maior eſt ſemi-recto latere maioris axis; &
eadem por-
tio eſt minor ſemi-axe minori; ac demum portio inter contactum,
& minorem axim minor eſt ſemi-recto latere minoris axis.
SIt Ellipſis ABC, cuius maior axis BC, minor IL, centrum G, &
quædam
contingens MAE inter axium extrema, quæ ipſis &
ſed
Dico primùm interceptam AH ſemper maiorem eſſe maiori ſemi-axe
G B.
Agatur HP æquidiſtans ad GE, &
AFO ad NH.
Et quoniam eſt HP ma-
ior GE, & HO æqualis GF, erit rectangulum PHO, ſiue quadratum HA (in
triangulo rectangulo PAH) maius rectangulo EGF, ſiue Quod primò, &
c.
Ampliùs, dico AD eſſe pluſquam dimidium recti lateris axis BC.
Quoniam cum ſit GB minor AH, vt modò oſtendimus, habebit GD ad
AD minorem rationem quàm AH ad AD, vel quàm FG ad FD, vel quàm
eadem vnde AD erit maior quam
Quod ſecundò, &
c.
Dico præterea eandem portionem AD minorem eſſe quam IG dimidium
minoris axis.
Quoniam ducta AQN parallela ad GF,
DQR ad HM;
cum ſit RD minor MG, &
DQ æqualis GN, erit rectangulum RDQ,
ſiue quadratum DA, (in triangulo rectan-
gulo RAD) minus rectangulo MGN hoc eſt intercepta linea D A
minor ſemi-axe minori GI. Quod ter-
tiò, &c.
Tandem, dico interceptam perpendi-
cularem AH minorẽ eſſe quàm dimidium
recti lateris minoris axis.
Etenim cum ſit IG maior AD, vt ſupra
oſtendimus; habebit IG ad AH maiorem
rationem quàm AD ad AH, vel quàm NG
ad NH, vel quàm quare intercepta
AH erit minor ſemi-recto minoris axis IL. Quod vltimò oſtendere proponebatur.
HInc eſt, quod ſemper in Ellipſi intercepta maioris axis portio inter cõ-
tingenti perpendicularem, & verticem, maior eſt dimidio recti late-
ris maioris axis. Nam in figura huius, oſtenſa eſt AD ad numerum 2.
maior
PAtet etiam in Ellipſi, quod intercepta minoris axis portio inter contin-
genti perpendicularem, & verticem, eſt minor dimidio recti lateris
Quoniam ſupra ad numerum 4.
demonſtrauimus AH
minorem eſſe ſemi-recto minoris axis IL, ſed eſt
Si Parabolen, vel Hyperbolen, aut Ellipſim circa maiorem
axim recta linea, præter ad verticem contingat, cui à tactu ducta
ſit perpendicularis axi occurrens; circulus, cuius centrum ſit idem
occurſus, radius verò ſit ipſa perpẽdicularis erit ſectioni inſcriptus.
Si autem Ellipſis fuerit circa minorem axim, cui prædicta per-
pendicularis occurrat, circulus ex ea tanquam radio, at centro fa-
cto ipſo occurſu, erit eidem Ellipſi circumſcriptus.
ESto ABC, Parabole, vel Hyperbole, in prima figura, aut Ellipſis in ſe-
cunda, circa maiorem axim BO; vel circa minorẽ, vt in tertia, quarum
vertex B, & ad aliud punctum quædam contingens EF, cui ducta ſit perpen-
dicularis ED, quæ axi occurret interuallo DE
Dico primùmhunc, in prima, &
ſecunda figu-
ra, datæ ſectioni eſſe inſcriptum.
Applicata enim EH, ſecans
iuncta DH.
Cum in triangulis
ELD, HLD anguli ad L ſint recti, & latera EL, LD æqualia lateribus HL,
LD, erit baſis DE æqualis DH, exquo circulus ex DE tranſibit omnino per
H, ideoque coni-ſectio, & circulus, ſunt binæ ſectiones ſimul adſcriptæ
(cum earum diametri, & applicatæ ſimul congruant) quæ in ijſdem extre-
mis communis applicatæ EH ſimul conueniunt, atque ad eorum alterum E,
eadem recta EF vtranque ſectionem contingit, nempe ſectionem ABC, ex
ſuppoſitione, & circulum EGHI, cum EF ſit ad extremum ſemi-diametri
ED perpendicularis, atque vertex circuli G cadit infra B verticem ſectionis,
cum ſit DB Quod primò erat, &
c.
AMpliùs, dico in tertia figura, prædictum circulum EGHI eſſe datæ El-
lipſi ABCO circumſcriptum.
Nam facta eadem conſtructione, ac ſupra oſtendetur pariter circulum
Ellipſeos contingentem
EF circulum quoque contingere, ſed huius verticem G, cadere vltra Elli-
pſeos verticem B, cum ſit DE, vel DG maior Quod erat vltimò demonſtrandum.
Si Parabolen, vel Hyperbolen, aut Ellipſim circa maiorem axim
quotcunque rectæ lineæ ad eaſdem axis partes, præter verticem
contingant, quibus à tactibus ductæ ſint perpendiculares axi occur-
rentes: ipſæ, quò magis contactuum puncta à maioris axis vertice
diſtabunt eò maiores erunt.
E contra:
ſi Ellipſis fuerit circa minorem axim, huiuſmodi per-
pendiculares ſemper decreſce
noris axis vertice remouentur.
SIt AB Parabole, vt in prima figura, vel Hyperbole, vt in ſecunda, aut
Ellipſis circa maiorem axim BR, vt in tertia, vel circa minorem, vt in
quarta, quas ſectiones duæ rectæ AE, DF ad eaſdem axis partes, & in Elli-
pſi in eodem quadrante BLM ad duo quælibet puncta contingant, præter
verticem B, quibus erectæ ſint perpendiculares AC, DG axi occurrentes
in C, G. Dico primùm in Parabola, &
Hyperbola, ac in Ellipſi tertiæ figu-
ræ interceptam perpendicularem AC ex puncto A, remotiori à vertice,
maiorem eſſe perpendiculari DG ex puncto D propinquiori.
1.
Nam, in ſingulis figuris, cum anguli CAE, GDF ſint duo recti, &
con-
tingentes AE, DF cadant extra ſectionem, & ſi concipiatur iungi recta AD,
ipſa cadat tota intra ſectionem, anguli,
quos eadem A D conficiet cum perpen-
dicularibus A C, D G, minores erunt
ſimul ad partem axis, vel vltra, vel inter
contactus, & axim.
2.
Iam, ducta D I parallela ad AH, ſiue
axi perpendiculari, cum in Parabola pri-
mæ figuræ AH
AH, ſiue quadratum AC, maius qua-
dratis ſimul G I, D I, ſiue quadrato DG,
hoc eſt linea AC maior DG.
3.
In Hyperbola verò ſecundæ figuræ ſumpto eius centro L:
cum L H
ad H C, itemque L I ad I G, permutando L H ad L I, vt H C ad I G, ſed eſt L H
maior L I, ergo, & H C, maior I G, eſtque H A maior I D, quare duo
quadratum A C, maius eſt duobus ſi-
mul quadratis G I, I D, ſiue vnico qua-
drato D G, hoc eſt linea A C maior
4.
At in Ellipſi tertiæ figuræ cum licet
A H excedens ſemper D I, non tamen
ſit C H, vel æqualis, vel maior G I, ſed
omnino minor (eſt enim L H ad H C,
itemque L I, ad I G, vt
L I ad I G, ſed permutando L H maior
eſt L I, ergo, & H C maior I G) opor-
ruit hic aliam demonſtrationem inqui-
rere, quæ, tum Hyperbolæ, tum Elli-
pſi circa maiorem axim ſimul inſeruiet,
ſi concipiatur tertia figura vtriuſque
ſectionis ſpeciem exhibere.
Itaque, vel ordinata AH, quæ ex re-
motiori contactu à vertice B applicatur,
occurrit axi in puncto G, vel infra, vel
ſupra. Si primum, vel ſecundum, patet
punctum C eò magis cadere infra G. Si
tertium, hoc idem tamen demonſtrabi-
tur, videlicet punctum C cadere omnino
infra G. Cum ſit enim G I maior G H
habebit L G ad G I minorem rationem
quàm L G ad GH, & componendo L I ad
I G minorem item rationem quàm LH ad
HG, ſed vt L I ad I G, ita LH ad HC, vt
ſuperiùs oſtendimus, quare LH ad HC,
minorem habebit rationem quàm eadem
LH ad HG, vnde HC maior eſt HG, ſiue
punctum C cadit infra G; quapropter in-
tercepta perpendicularis AC, ex A re-
motiori contactu à vertice B, occurrit axi
infra occurſum G interceptæ perpendi-
cularis DG, ex propiori contactu D.
5.
Iam AC, &
DG conueniunt ſimul ad partem axis BC, vt hic ad nume-
rum 1. oſtenſum fuit, &
eſt punctum C infra G, quare ſi ex G ducatur GN,
parallela ad C A ipſa ſectionis peripheriam ſecabit inter A, & D, vt in N.
Si igitur concipiantur puncta A, N, iungi recta linea, ipſa cadet tota intra
ſectionem, & producta, axi occurret extra ad partes B, &
fiet triangulum,
in quo A C erit maior NG: itaque ſi cum centro G, interuallo GD deſcriba-
tur circulus DO, cum
maior erit DG. Quod erat primò demonſtrandum.
6.
IN quarta autem figura Ellipſis
circa minorem axim BR, in
perpendiculares ipſi BR occur-
runt: dico AC, quæ à remotiori
contactu educitur minorem eſſe
DG, quæ à propinquiori. Nam
cum ſit DO ad DG, vt I L ad IG,
vel vt
AN ad AC, erit DO ad DG, vt
AN ad AC, & permutando, vt
DO ad AN, ita DG ad AC, ſed
eſt DO maior AN, vt ſupra ad numerum 5. oſtenſum eſt, ergo, &
DG maior
erit ipſa AC. Quod ſecundò oſtendere propoſitum fuit.
Dato angulo rectilineo, ad punctum in eius latere datum MA-
XIMVM circulum inſcribere.
SIt datus angulus rectilineus ABC, &
punctum in eius latere datum ſit A,
ad quod oporteat _MAXIMVM_ circulum inſcribere.
Bifariam ſecetur angulus à recta BD, &
ex A ipſi AB perpendicularis eri-
gatur AE, occurrens BD in E; &
centro E, interuallo EA deſcribatur circu-
lus. Dico hunc eſſe _MAXIMVM_ quæſitum.
Nam ſumpta BC ipſi BA æquali, iunctiſque AC, EC;
cum latera AB,
BE, æqualia ſint lateribus CB, BE, & anguli ad B æquales, erit EA æqualis
EC. Inſuper ſunt BA, AE, ipſis BC, CE æqualia, vtrunque vtrique, &
ba-
ſis BE communis, ergo angulus BAE angulo BCE æqualis, nempe rectus
quare circulus ex EA per C tranſibit, contigetque latera BA, BC, ſiue erit
angulo ABC inſcriptus. Dico hunc eſſe _MAXIMVM_ quæſitum.
Nam ſi centra circulorum ad A pertinen-
AE, inter A, & E;
ipſi, vt ſatis conſtat, erũt
quidem angulo inſcripti, cum circulo quo-
que inſcripti ſint; ſed minores erunt circulo
ADC cum ſint minoris radij; illi verò quo-
rum centra ſunt in producta AE, vt in F, ſunt
quidem maiores, ſed latus BC omnino ſecát: quoniam ducta F G parallela ad E C, quæ
productæ A C occurrat in G, cum ſit AF ad
FG, vt AE ad EC, ſitque AE ipſi EC æqua-
lis, erit quoque AF æqualis FG: quare cir-
culus ex FA tranſibit per punctum G, quod
eſt extra angulum; ideoque in ſe remeans ſecabit omnino latus BC, quod
eſt infinitæ extenſionis. Si verò centrum ſumatur extra prædicta perpendi-
los efficere, ac ideò peripheriam circuli ad partem acuti anguli cadere extra
datum angulum, & ad partem obtuſi cadere intra, ſicque latus dati anguli
ſecare. Quapropter circulus ACD erit _MAXIMVS_ inſcriptus ad datum
punctum A. Quod erat faciendum.
Datæ Parabolæ, vel Hyperbolæ, ſiue Ellipſi circa maiorem
axim, ad datum punctum in eius peripheria, præter axis verticem,
MAXIMVM circulum inſcribere.
SIt ABC data Parabole, vel Hyperbole, in prima figura, vel Ellipſis circa
maiorem axim BO, in ſecunda, quarum vertex ſit B, & punctum in ea
ſumptum præter B ſit E. Oportet ad punctum E _MAXIMVM_ datæ ſectioni
circulum inſcribere.
Ducatur ex E ſectionem con-
dicularis ED axi Dico ſi cum centro D, inter-
uallo DE, circulus EGHI deſcri-
batur ipſum eſſe quæſitum: nam
eſſe inſcriptum patet ex prima
parte 92. huius;
quod autem ſit
_MAXIMVS_ conſtabit ſic: appli-
cata enim ELH, & producta EF
axi occurrens in F, iunctaque
FH, hæc pariter ſectionem fiet angulus E F H, &
quilibet alius circulus, vel cadet intra AGHI, vel ſecabit latera anguli EFH,
vt in præcedenti oſtenſum fuit, ac ideò ſecabit priùs ſectionem. Quare cir-
culus EGHI erit _MAXIMVS_ ſectioni inſcriptus ad punctum AE. Quod erat
faciendum.
Datæ Ellipſi circa minorem axim, ad datum punctum in
eius peripheria, præter axis verticem, MINIMVM circulum
circumſcribere.
SIt data Ellipſis ABC, circa minorem axim BO, cuius vertex B, &
in pe-
pheria datum punctum, præter B, ſit E, per quod oporteat _MINIMVM_
circulum circumſcribere.
Ducatur EF Ellipſim contingens, cui ex E perpendicularis erigatur ED,
maiori axi occurrens in L, minori verò in D: quo facto centro, &
interual-
lo DE circulus deſcribatur EGHI. Dico hunc eſſe quæſitum.
Nam eſſe circumſcriptum, pater ex ſecunda parte 92.
huius.
Sed eſt quoq;
_MINIMVS_:
quoniam quilibet alius
DE, eſt omnino maior circulo EG-
HI, & cuius radius minor ſit D E,
eſt quidem minor, ſed vel totus ca-
dit intra Ellipſim, vel eius periphe-
riam neceſſariò ſecat. Nam ſi cen-
trum fuerit in perpendiculari ED,
& radius non maior diſtantia E L,
quæ cadit inter
intra, & ſi radius fuerit maior E L,
qualis eſt EP, tunc eius circulus ca-
det totus intra circulum EGHI, ſed
licet ipſius peripheria ad partes G,
B, ſtatim ac diſcedit ab E, cadat in-
ter peripheriam circuli AGH, & perip heriam Ellipſis EBH, cum tamen in
ſe ipſum redeat, neceſſariò Ellipticam peripheriam EBH ſecabit, nam ſpa-
tium EGHB eſt vndique occluſum.
Si verò centrum fuerit extra perpendicularem ED, vt in Q:
iuncta QE
cum contingente SEF inæquales angulos efficiet, quorum alterum, videli-
cet SEQ obtuſus erit, quare ſi ipſi EQ erigatur perpendicularis ER, hæc
omninò ſecabit quare ſi cum centro Q, interuallo QE circulus
pheriam, vt per ſe patet. Ergo circulus ex DE eſt _MINIMVS_ circumſcri-
ptus quæſitus. Quod faciendum erat.
MAXIMI circuli angulo rectilineo inſcripti, &
ſucceſſiuè ſe
mutuò contingentes, ſunt inter ſe in continua, eademque ratione
geometrica, quæ progreditur iuxta quadrata tangentium, ex ver-
tice dati anguli ductarum.
ESto angulus ABC, cuius axis B D E F, in quo ſint centra D, E, F, &
c.
_MAXIMORVM_ circulorum dato angulo inſcriptorum, &
mutui ipſorum
contactus ſint G, H, &c.
ad latus verò anguli, contactus ſint L, M, C, &
c.
Dico hos circulos inter ſe eſſe in continua, eademque ratione geometrica,
ipſamque incedere iuxta quadrata contingentium BL, BM, BC, &c.
Iunctis enim DL, EM, FC, &
GL, IC.
Cum in triangulis BLD, BCF,
anguli BLD, BCF ſint recti, & angulus ad B communis, erit reliquus BDL,
ergo ipſorum dimidia ad
circumferentias, hoc eſt anguli B G L,
B I C æquales erunt, vnde G L æquidi-
ſtabit I C: quare, vt C B ad B L, ita I B,
ad BG, vel ſumpta communi altitudine
BH, ita rectangulum IBH, ſiue quadra-
tum B C, ad rectangulum H B G, vel ad
quadratum BM: cum ergo ſit CB ad BL,
vt quadratum C B ad quadratum B M,
erunt tres contingentes BC, BM, BL,
in eadem ratione geometrica, ſed C B
ad B M, eſt vt C F ad M E, & M B ad
B L, vt M E ad L D; ergo C F, M E,
L D, vti etiam ipſarum quadrata, ſiue
_MAXIMI_ circuli ex FC, EM, DL erunt
in eadem ratione geometrica, quę pro-
cedit iuxta quadrata contingentium
B C, B M, B L. Quod oſtendere pro-
ponebatur.
HInc elicitur, quod ſi datus angulus fuerit angulus trianguli æquilateri,
ſiue duæ tertiæ vnius recti, prædicti _MAXIMI_ circuli erunt inter ſe
in continua progreſſione nonupla. Tunc enim in triangulo ęquilatero BNO,
_MAXIMVS_ inſcriptus circulus ex DG ſingula latera ad puncta contactuum
bifariam ſecabit, quare BL æquabitur LN, ſiue NG, ſiue NM, (cum circu-
lum contingentes, ex eodem puncto ſint æquales) hoc eſt BM erit tripla
BL, & quadratum BM nonuplum quadrati B L, vel circulus ex EM nonu-
plus circuli ex DL, itemque circulus ex F C nonuplus circuli ex E M, cum
ſint in eadem proportione geometrica, & hoc ſemper, quotcunq;
ſint huiuſ-
modi circuli ſe mutuò, & prædicti anguli latera contingentes.
Hic autem notandum eſt inter hos _MAXIMOS_ circulos non dari _MAXI-_
_MVM_, cum infra circulum FC alij infiniti in eadem progreſſione dato angu-
lo inſcribi poſſint, eò quod ipſe ad partes L ſit infinitæ extenſionis.
Item inter eoſdem _MAXIMOS_ circulos non dari _MINIMVM_;
quoniam
ad partes verticis B, ſupra circulum DL, reſiduo trilineo, licet terminato,
alij infiniti circuli perpetuò decreſcentes inſcribi poſſunt.
MAXIMORVM circulorum, ad puncta Parabolicę, aut Hy-
perbolicæ peripheriæ inſcriptorum, MINIMVS eſt, qui ad axis
verticem inſcribitur. Aliorum verò is, cuius contactus magis
diſtat à vertice, maior eſt, neque datur MAXIMVS.
ESto Parabole, vel Hyperbole ABC, cuius axis B D, vertex B, &
in
eius peripheria ſumpta ſint quælibet puncta A, E extra verticem
B, à quo agantur contingentibus per-
ab axe
abſciſſa ſit B F, æqualis dimidio recti
datæ ſectionis. Patet ſi cum centris
F, G, D, inueruallis verò FB, GE,
DA circuli deſcribantur, ipſos datæ
ſectioni ABC eſſe inſcriptos, atque
_MAXIMOS_ Dico iam inter hos _MA-_
_XIMOS, MINIMVM_ eſſe eum, qui ad
verticem B inſcribitur. Aliorum au-
tem illum, qui ad punctum E propin-
quius vertici, minorem eſſe eo, qui
ad A vertici remotius, inſcribitur.
Nam quælibet perpendicularis GE, DA, &
c.
maior
quare circulus ex FB erit _MINIMVS_, &
c.
ſed G E,
quæ à contactu vertici propiori, minor qua-
c.
neque inter hos,
_MAXIMVS_ reperitur, cum ſectio Parabole, aut Hyperbole ad partes ver-
tici oppoſitas ſit infinitæ cxtenſionis, ac proinde vnquam ei inſcribi ne-
queat circulus tàm longi interualli, quin infra alij adhuc maioris inter-
ualli inſcribi poſſint. Quod tandem erat demonſtrandum.
MAXIMORVM circulorum, ad puncta Ellipticæ peri-
pheriæ inſcriptorum, MAXIMVS eſt qui ad verticem mino-
ris axis inſcribitur. MINIMVS verò, qui ad verticem maio-
ris. Aliorum autem is, cuius contactus à vertice maioris axis
magis remouetur, maior eſt.
ESto Ellipſis ABCD, cuius axis maior BD, minor A C, centrum E,
ſitq; DF æqualis dimidio recti, cuius tranſuerſum latus eſt BD;
&
ex
contingentibus perpẽdiculares GI, HL. Conſtat, ſi cum centris E, L, I, F, inter-
uallis verò EA, LH, IG, FB, circuli de-
ſcribantur, ipſos Ellipſi ABCD inſcri-
ptos eſſe, ac _MAXIMOS_ Dico iam
inter hos _MAXIMOS, MAXIMV M_
eſſe qui ad A, _MINIMVM_ verò, qui
ad B inſcribitur. Aliorum autem inſcri-
ptum ad punctum H, quod à vertice
B maioris axis magis remouetur, maio-
rem eſſe inſcripto ad punctum G, quod
ipſi vertici propius eſt.
Etenim quelibet perpendicularis LH,
IG inter ſemi-axes, minor eſt ſemi- axe maiori EA, ſed maior vnde circulus ex E A erit _MAXIMVS_, &
ex F B _MINI-_
_MVS_ inſcriptibilium: ſed L H maior
quapropter circulus ex
MINIMORVM circulorum ad puncta Ellipticæ periphe-
riæ circumſcriptorum, MINIMVS eſt, qui ad verticem maio-
ris axis circumſcribitur. MAXIMVS verò qui ad verticem
minoris. Aliorum autem is, cuius contactus à vertice minoris
axis magis diſtat, minor eſt.
ESto Ellipſis ABCD, cuius axis maior A C, minor B D, centrum E,
& ſumpta ſit BF æqualis dimidio recti, cuius tranſuerſum latus eſt
BD, & ex punctis G, H, vbi-
cunque in Ellipſis peripheria
contingentibus perpendicula-
res GI, H L. Conſtat iam, ſi
ex centris E, L, I, F, cum in-
teruallis EA, LH, I G, F B de-
ſcribantur circuli, ipſos Ellipſi
ABCD circumſcriptos eſſe, &
_MINIMOS_ Di-
co tamen inter hos _MINI-_
_MOS, MINIMVM_ eſſe, qui
ad A; _MAXIMVM_, quiad B
Aliorum verò, inſcriptum ad H, minorem eſſe inſcripto
ad punctum G, quod minoris axis vertici propinquius eſt.
Quæuis enim perpendicularis LH, I G inter ſemi - axes, maior eſt
ſemi- axe maiori E A, ſed minor
ex FB
_MAXIMVS_ circumſcriptibilium; ſed eſt
L H quare circulus ex
IG. Quod erat pro-
poſitum.
At rotundus hic Propoſitionum nnmerus, eſt quæſo
IN huius operis contextu, vel etiam in ipſa perſcriptione, quædam
ſunt, quæ aut mentem noſtram, aut Amanuenſis, quamuis accura-
tiſsimi, oculum effugerant: itaque ſub calcem vniuſcuiuſque libri eadem ſic
addere liceat.
Quapropter huiuſmodi Parabolæ iuxta has interceptas lineas diametro B
E parallelas, ſunt ſemper inter ſe ęquidiſtantes, licet iuxta intercepta appli-
catarum ſegmenta A E, I D, L M, & ad eaſdem partes A I, E D ſint ſem-
per ſimul accedentes, nunquam verò coeuntes.
PAtet denique congruentes Hyperbolas per diuerſos vèrtices ſimul ad-
ſcriptas, & ad eaſdem partes productas, eſſe inter ſe, &
ſimul ſemper ma-
gis accedentes, & ſemper æquidiſtantes.
Nam iuxta intercepta applicata-
rum ſegmenta A E, S D, X Y, in præcedentibus figuris huiuſmodi Hyper-
bolæ ſemper fiunt propiores, licet nunquam ſimul conueniant; iuxta autem
rectas B E, M D, Z Y, ad eaſdem partes A S, E D, perpetuam ſeruant ęqui-
diſtantiam, cum ipſæ B E, M D, Z Y inter ſe æquales ſint oſtenſæ, &c.
atque item congruentes Hyperbolæ, &
c.
prout in 2.
Coroll.
prop.
quadrageſi-
quartæ monuimus.
MAXIMÆ ſimiles Ellipſes, Parabolæ inſcriptę, &
à vertice
ſucceſſiuè ſe mutuò contingentes, ſunt inter ſe in ratione quadra-
torum, diſparium numerorum ab vnitate incipientium.
ESto Parabole A B C, cuius diameter B D, latus rectum B E, &
circa
quodlibet diametri ſegmentum B F ſit ipſi Parabolæ per verticem E
inicripta _MAXIMA_ Ellipſis B F (quę erit applicata ex F ad diametrum recta H F G, ſumptaque
F I æquali ipſi F B, ducatur diagonalis G I L, ex L applicetur L M N,
lela ad L N, & R S A ad N O, atque A D C ipſi O R, &
hoc fiat quoties li-
buerit: patet, ſi per puncta I, P, S, interſectionum ipſarum diagona-
lium cum diametro, agantur applicatæ T V, X Y, Z K, &c.
&
circa diametri
ſegmenta F M, M Q, Q D, &c.
&
per extrema prædictarum applicatarum
deſcribantur Ellipſes T F V M, X M Y Q, Z Q K D, has omnes eſſe Para-
bolæ A B C inſcriptas, ſimiles inter ſe, ac ſe mutuò ſucceſſiuè contin-
Iam dico eaſdem Ellipſes, primæ B F ſimiles eſſe, atq;
inter ſe eam
rationem habere, ac numeri quadrati diſparium numerorum ab vnitate: ni-
mirum eſſe in progreſſione numerorum 1. 9.
25.
49.
&
c.
Quoniam igitur eſt
ſed eſt I F æqualis F B, ex conſtructione,
quare M I ipſi I B æqualis erit, ac ideo in
Ellipſi T F V M, erit quadratum T I ad re-
ctangulum M I F, hoc eſt rectum eius
rectangulum recto B E, ad rectá-
ſub I F, hoc eſt vt
linea B E ad I F, (cum ſit I B communis re-
ctangulorum altitudo) vel ad ei æqualem B
F, nempe vt rectum ad tranſuerſum Ellipſis
BF: quapropter Ellipſis B F ipſi T F V M eri
ſimilis, ſed vnaqueque aliarum inſcriptarum
Ellipſium circ? diametri ſegmenta M Q, Q
D, &c.
eidem T F V M eſt ſimilis, vt ſupra
monuimus, quare omnes huiuſm odi inſcri
ptæ Ellipſes erunt ſimiles inter ſe. Et cum ſit
M I ęqualis I B, & I B dupla F B, erit to-
ta M B quadrupla B F. Si ergo B F conci-
piatur vt vnum, erit B I vt 2, & M B vt 4,
atque M I vt 2, & M F vt 3.
Cumq;
in triangulis P M N, I F G ſint anguli ad M, F inter ſe æquales,
ob æquidiſtantes applicatas M N, F G; atque anguli ad P, I item ęquales,
ob parallelas diagonales N P, G I, erunt reliqui ad N, G pariter æquales,
ſiue ipſa triangula inter ſe ſimilia, vnde latus N M ad M P erit, vt latus G F
ad F I, & permutando N M ad G F, vt M P ad F I, vel quadratum N M ad
G F, ſiue hoc eſt 4.
ad 1, vt quadratum M P ad qua-
vnde quadratum M P quadruplum erit quadrati F I, ſiue linea
M P dupla F I, ſiue dupla ad B F, ſed B F ponitur vt vnum, ergo M P erit
2; eſtque B M 4, ergo B P erit 6, eſtque B M ad B P, vt eſt
Præterea, ea-
dem ratione, ac ſupra, oſtendetur triangulum R Q S ſimile triangulo G F I,
& quadratum R Q ad G F eſſe vt quadratum Q S ad F I, ſed eſt
dò oſtendimus, ergo, & quadratum Q S erit nonuplum quadrati F I, ſiue
quadrati B F, hoc eſt linea Q S tripla B F, quare tota B S erit vt 12; eſtq;
B S 12, erit B D 16,
Q D 7, &
ſic vlteriùs demonſtrabuntur diametri huiuſmodi ſimilium El-
lipſium Parabolæ inſcriptarum, &c.
à vertice ſumptæ, augeri iuxta progreſ-
ſionem diſparium numerorum ab vnitate, nempe vt numeri 1. 3.
5.
7.
9.
11.
&
c.
Sed Ellipſes ſimiles ſunt inter ſe, vt quadrata homologarum diame-
trorum: quare eædem _MAXIMAE_ Ellipſes Parabolæ A B C inſcriptæ, &
à vertice ſucceſſiuè ſe mutuò contingentes, ſunt in ratione quadratorum diſ-
parium numerorum ab vnitate. Quod probandum erat.
HInc iterum apparet veritas Prop.
77.
huius.
Nam ſi B D diameter da-
tæ Parabolæ A B C, fuerit axis; &
prima Ellipſis circa ſegmentum
B F fuerit circulus, reliquæ Ellipſes infra hanc ſucceſſiuè inſcriptæ, erunt
pariter Circuli, & demonſtratio, ac concluſio omnino erit eadem, ac in
ſuperiori.
In hac, &
in proxima præcedenti 82.
propoſitione ex ipſamet conſtru-
ctione, ac demonſtratione elicitur, nos vtrobique aſſumpſiſſe datam appli-
catam A C ad diametrum datæ Ellipſis, nunquam per centrum tranſire: in
hoc enim caſu vtriuſque Problematis ſolutio facillimè patebit, tunc nimirũ,
ſi hinc inde à centro ſuper diametrum ſumatur dimidium dati tranſuerſi la-
teris, atque circa ipſorum dimidiorum aggregatum, tanquam circa tranſ-
uerſum diametrum, & per extrema ipſius applicatæ deſcribatur Ellipſis, quę
vel erit
c.
Lineæ, quæ ibi in figuris iungentes puncta C, D, manifeſtò indicant
in ipſa tranſcriptione omiſſum fuiſſe ſequens
EX his aliàs manifeſtum fiet haud inutiliter animaduertiſſe in Parabola,
vel in Hyperbola, aut in quadrante Ellipſis circa maiorem axim, præ-
dictarum contingentibus perpendicularium ad eaſdem axis partes ductarũ,
quæ à contactu vertici remotiori ducitur occurrere axi infra occurſum ſupe-
rioris perpendicularis, ac ſimul vltra axim conuenire ad partes contactibus
oppoſitas: ſed in quadrante Ellipſis circa minorem axim ſe mutuò ſecare in-
ter tangentium contactus, & minorem axim in angulo quadrantis, qui dein-
ceps eſt ei, ad cuius peripheriam ductæ ſunt perpendiculares; ac ideo oc-
curſum inferioris perpendicularis cum axe minori cadere ſupra occurſum
ſuperioris, quæ ducitur ex contactu vertici propiori.
In ſingulis enim figuris iuncta recta C D:
erit in tribus primis circa maio-
rem axim, recta C D maior C A (cum circulus ex C A ſit ſectioni
2, 3, & 5.
oſtenſum eſt, ergo C D eò ampliùs maior erit ipſa G D, ſiue
quadratum C D maius quadrato G D, vel duo ſimul C I, I D maiora
duobus ſimul G I, I D, quare dempto communi D I, erit quadratum C I
maius quadrato G I, vnde punctum C cadet infra G: ſed A C, D G ſi-
mul conueniunt ad partes axis B R, vt ad num. 1.
oſtendimus, ergo ipſa-
rum occurſus erit vltra axim B R.
In quarta demum figura, eſt C D minor C A (cum circulus ex C A ſit
Ellipſi circumſcriptus C A minor G D, prout ad num.
6.
huius de-
minus quadrato G D, vel duo ſimul C I, I D minora duobus ſimul G I,
I D; quamobré dempto I D, erit C I minus G I, ſiue punctum C occurſus
inferioris perpendicularis A C cadet ſupra G occurſum ſuperioris D G; ſed tales perpendiculares A C, D G ſe mutuò ſecant (vt ſuperiùs oſten-
dimus ad num. 1.)
ad partes axis B R, quare ipſarum occurſus erit inter
contactus, & minorem axim, ſed reſpectu maiorem axim M L ſe mutuò
ſecant vltra M L, vti paulò ante demonſtrauimus. Quare in Ellipſi oc-
curſus huiuſmodi perpendicularium A C, D G cadet in angulo quadran-
tis M L G, qui deinceps eſt quadranti M L B, ad cuius peripheriam M A
B ductæ ſunt perpendiculares A C, D G, &c.
quodque de _MAXIMIS_ ſimilibus Ellipſibus angulo rectilineo inſcriptis
facillimùm eſt demonſtrare.
ABSVRDVM, aut inſolens minimè
quidem eſt SER ENISSIME
PRINCEPS, non tantùm aliena
largiri, verùm etiam muneris nomi-
ne animo libenti propria ſuſcipere. Quid enim vnquam Deo Opt.
Max.
mortales offerre poſsẽt, niſi ſuis quo-
que hoſtijs diuina benignitas oblectaretur? Quid ego
Celſitudini tuæ, cuius patrocinio omnia debeo, niſi quę
tua ſunt tibi reddi magnanimè patereris? Ab impuden-
tiæ nota me liberas, & frontem meam rubori ſubtrahis
SERENISS. LEOPOLDE.
Fidentiùs enim mentis
meæ tenuiſsimos partus tibi nunc exhibere audeo, Re-
gia namq; manu obſtetrice, è tenebris in quibus delite-
ſcebant in lucem eductos, quos nuper vt proprios deſpi-
ciebam, modò à perſpicaciſsimo iudicio tuo in cliente-
lam, atque, vt ita dicam, in liberorum locum humaniſ-
ſimè ſuſceptos nonnihil æſtimare cogor. Quid ergo
lucubrationes haſce meas, quæ tuæ iam ſunt, tibi am-
pliùs commendem? Quod te iubente lucem aſpicerent,
tuæ magnanimitatis beneficium fuit; quod tutæ à malo-
rum inuidia te propugnante per Geometrarum eruditas
manus incedant, tui in literas amoris beneficium erit. Hæc me alioquin, &
iure, formidoloſum bono eſſe ani-
mo eſſicaciter ſuadent. Et verè, ſi mihi Genethliaco-
rum more diuinare liceret, non infelix futurum DIVI-
NATIONIS meę fatum ſperarem, quam naſcentem
fulgidiſsima lumina, luppiter, atque Apollo Etruriæ
tam benignè aſpexerunt. Hoc ſi vnquam videre dabi-
tur, tuis auſpicijs SERENISSIME PRINCEPS,
non modò ingenium ad maiores conatus, ſed & diu ia-
centẽ fortunam meam aliquando ſe ſe erecturam confi-
do. Faxit Deus:
qui (vt enixè precor) te, literarum
præſidium, & decus ſeruet incolumem, &
Heroicæ
virtutis tuæ incœptis faueat.
Florentiæ Tertio Cal.
Ian.
1658.
MÆ NIS
SER.
CELS.
TVÆ
Humillimus, Obſequentiſs.
Obſtrictiſs.
Seruus
Vincentius Viuiani.
Si recta linea vtcunque ſecta fuerit:
quadratum totius æqua-
bitur quadrato vnius partis, vnà cum rectangulo ſub tota, & di-
cta parte, tanquam ab vna linea, & ſub altera parte contento.
ESTO data recta A B vtcunque ſecta in C.
Dico quadratum
A B æquale eſſe quadrato alterius partis, nempe A C, vna
cum rectangulo ſub B A cum A C, tanquam vna linea, &
ſub reliqua parte B C comprehenſo. Nam producta B A ſu-
matur A D æqualis ipſi BC. Quoniam igitur D C eſt bifa-
riam ſecta in A, ipſique adiecta C B, erit
quadratum A B æquale rectangulo ſub
D B, B C, vnà cum quadrato C A; ſed
DB linea conficitur ex D A cum A B, vel
ergo quadratum totius
A B æquatur quadrato partis C A, vna
cum rectangulo ſub B A cum A C, tan-
quam vna linea, & ſub reliqua parte B C
comprehenſo. Quod erat, &
c.
Si quatuor quantitatum eiuſdem generis, prima ſuperet ſecun-
dam maiori exceſſu, quo tertia ſuperat quartam, aggregatum
extremarum maius erit aggregato mediarum.
SInt quatuor quantitates eiuſdem generis A, B, C, D, &
prima A ſu-
peret ſecundam B, maiori exceſſu, quo tertia C ſuperat quartam D. Dico aggregatum extremarum A, D maius eſſe aggregato mediarum B, C.
Nam intelligatur magnitudo E F æ-
qualis primæ A, FG verò æqualis ſecun-
dę B; atque ipſis in directum magnitu-
F I quar-
tæ D. Erit exceſſus magnitudinis E F
ſupra F G, hoc est E G, maios exceſſu
quantitatis H F ſupra F I, ſiue maios-
ipſo H I, ex ſuppoſitione, quibus addi-
ta communi quantitate G I, proueniet
E I maior G H, ſiue aggregatum ex EF,
& F I, nempe extremarum A, &
D,
maius aggregato ex G F, & F H, velex medijs B, &
C.
Quod erat, &
c
MINIMA linearum in Parabola ducibilium ad eius peri-
pheriam à puncto axis intra ſectionem ſumpto, quod diſtet à
vertice per interuallum non maius dimidio recti lateris, eſt ip-
ſum axis ſegmentum inter punctum, & verticem interceptum.
Aliarum verò ea, quæ cum MINIMA minorem conſtituit an-
gulum, minor eſt.
ESto Parabole AB, cuius ſegmentum axis B D non excedat dimidium
recti lateris B C datæ Parabolæ. Dico D B eſſe _MINIMAM_ du-
cibilium ex eodem puncto D ad Parabolæ peripheriam A B, &c.
Applicetur axi ex D, recta D A, Erit
quadratum A D recto B C;
ſed rectangulum
latus rectum B C poſitum ſit, vel du-
plum, vel magis quàm duplum ipſius
B D) igitur quadratum A D maius erit
quadrato D B, ſiue linea D A maior
D B.
Rurſus ducatur infra D A ex D quę-
cunque alia D E ad peripheriam, & ex
A recta A F parallela ad B D, quæ to-
ta ad partes F
ad A; ideoque ſecabit eductam D E, vt in F, eritque E D maior D F,
ſed eſt D F maior D A (cum in triangulo D A F angulus ad A ſit rectus,
ſiue maior acuto ad F) & D A maior ipſa D B, vt ſupra oſtendimus, qua-
re D E multò maior erit ipſa D B.
Ampliùs ſit quæcunque D G ducta ex D ſupra D A, &
ex G applice-
tur G H. Cumque latus rectum B C ſit maios aggregato B D cum D H
(poſitum enim fuit B C non maius quàm duplum ſegmenti BD, eſtque
ſiue
dratum G H cum H D quadrato, ſiue vnicum quadratum G D, maius re-
ctangulo ſub aggregato B D cum D H in B H. vnà cum quadrato D H,
ſiue Eſt
D, quod abeſt à vertice per interuallum non maius dimidio recti lateris
B C. Quod primò demonſtrandum erat.
Præterea ſit quæpiam alia D M maiorem eſſiciens angulum cum _MI-_
_NIMA_ D B, quàm D G, & ex M applicetur M N.
Iam quadratum M N
ſuperat quadratum G H eo exceſſu, quo rectangulum C B N ſuperat re-
ctangulum C B H, (ob ſub aggregato H D cum D N, quod aggregatum, ex hypo-
tum G H, maior eſt exceſſu quadrati H D ſupra D N, vnde aggregatum
extremorum quadratorum M N, N D, ſiue vnicum quadratum MD, ma-
ius erit
Vlteriùs, quadratum A D ſuperat quadratum M N rectangulo ſub D N,
& recto B C, &
quadratum D M, ſuperat idem quadratum M N quadra-
to D N, quod eſt minus prædicto rectangulo ſub D N, & recto C B, qua-
re exceſſus quadrati A D ſupra M N, maior eſt exceſſu quadrati D M,
ſupra idem quadratum M N; quapropter A D quadratum maius eſt qua-
drato D M, ſiue linea A D maior ipſa D M.
Tandem ducta quacunque D O infra D E, agatur ex E recta E L ęqui-
diſtans ad B D. Cum angulus B D E ſit obtuſus, erit quoque parallela-
rum alternus D E L obtuſus, ideoque in triangulo D E L angulus D L E
acutus, ſiue minor angulo D E L: quare latus D E minus latere D L, &
eò minus educta D O. Vnde quæ minorem cum _MINIMA_ conſtituit an-
gulum minor eſt, &c.
Quod omnino oſtendere propoſitum fuit.
Si inter latera parallela AD, BC, menſalis ABCD rectangulę ad
B, ducta fuerit quædam linea EH ipſis lateribus æquidiſtans, ſitq; AD minor BC.
Dico rectangulum ABC, ſuperare rectangulum
AEH maiori exceſſu, quàm ſit rectangulum EBC.
COmpletis enim rectãgulis EG, BF, EC;
ctangulum AEH gnomone ECG, ſed gno-
mon ECG maios eſt rectangulo EBC, vnde
rectangulum ABC, ſuperat rectangulum A
EH maiori quantitate quàm ſit rectãgulum
EBC. Quod erat, &
c.
MINIMA linearum in Hyperbola ducibilium ad ipſius pe-
ripheriam à puncto axis intra ſectionem ſumpto, quod diſtet à
vertice per interuallum, non maius quàm dimidium recti late-
ris, eſt idem axis ſegmentum inter punctum, & verticem inter-
ceptum. Aliarum autem, quæ cum MINIMA minorem con-
ſtituit angulum minor eſt.
ESto Hyperbole A B C, cuius ſegmentum axis B D non excedat dimi-
dium recti lateris B F (quod axi ordinatim applicetur, &c.)
Dico
D B eſſe _MINIMAM_ ducibilium ex ipſo puncto D ad Hyperbolæ peri-
pheriam A B C, &c.
Sumatur in directum axi, tranſuerſum latus B E, iungaturque regula E F,
& producatur;
appliceturque per D ordinata A D C, regulæ occurrens
in G.
Iam, cum in triangulo E D G, ſit D G maior B F, &
B F maior ſegmen-
to B D (ex hypoteſi) erit D G eò maior ipſo ſegmento D B, quare re-
ctangulum G D B, hoc
Eodem modò, ac in Parabola, oſtendetur D A minorem eſſe quacun-
que educta D H infra D A, & D H adhuc minor D R, &
c.
Nunc verò ſit quælibet D L ducta ex D ſupra D A, &
perL applice-
tur L M, quę producatur, donec regulæ E F occurrat in N. Erit in trian-
gulo E D G, recta M N maior B F, ſed B F maior eſt aggregato B D cum
B D) ergo M N ipſo aggregato B D cum D M adhuc maior erit, vnde
rectangulum ſub N M in M B,
dito quadrato M D, erit quadratum L M cum M D, ſiue vnicum qua-
dratum D L, maius rectangulo ſub B D cum D M in M B, vna cum qua-
drato D M, ſiue maius vnico quadrato D B, quod prædicto Quare ſegmentum axis D B, non
excedens dimidium recti lateris B F, eſt _MINIMA_ linearum ducibilium
ex D ad Hyperbolæ peripheriam. Quod primò oſtendere oportebat.
Præterea, quadratum A D ſuperat quadratum L M, eo exceſſu quo re-
ctangulum B D G ſuperat rectangulum B M N, (ſunt
ius eſt ſed quadratum D L ſuperat idem
quadratum L M quadrato D M, quod minus eſt rectangulo MDG (nam
eſt D G maior D M, cum ſuperiùs demonſtrata ſit maior ipſa D B) ergo
quadratum D A maius eſt quadrato D L, ſiue linea D A maior quacun-
que D L, intercepta inter applicatam D A, & axem D B.
Ampliùs, ducatur alia quæpiam D O ſupra D A, ſed remotior à ſe-
gmento DB quàm D L, applicataque O P, producatur donec regulatrici
E F occurrat in Q. Erit exceſſus quadrati O P ſupra quadratum L M,
idem ac exceſſus rectanguli B P Q ſupra B M N (nam
pra B M N maior P Q;
at exceſſus
quadrati M D ſupra quadratum D P, minor eſt prædicto rectangulo (nam
quadratum M D
M D cum D P minor eſt recto latere B F, & eò minor ipſa QP,
quę maior eſt B F) quare exceſſus quadrati O P ſupra L M,
maior eſt exceſſu quadrati M D ſupra D P: duo igi-
cum quadratum D O, maius eſt duobus ſi-
mul quadratis medijs L M, M D, hoc
eſt vnico quadrato D L, ſiue li-
nea DO maior eſt linea DL. Vnde quæ minorem
efficit angulum
cum _MINI_-
_M A_
D B, minor eſt, &c.
Quod
fuit vltimò demon-
ſtrandum.
* * *
* *
*
MAXIMA linearum ad vniuerſam Ellipſis peripheriam du-
cibilium, à puncto maioris axis, quod non ſit centrum, ea eſt,
in qua centrum. Et eductarum ad peripheriam maioris Ellipti-
cæ portionis, cuius baſis, ſit recta ad axim ordinatim ducta, ex
prędicto puncto; quę cum MAXIMA minorem conſtituit an-
gulum, maior eſt. MINIMA verò in eadem portione, eſt ip-
ſa ſemi-applicata.
ESto Ellipſis A B C D, cuius axis maior B D, minor H I, centrum E,
& quodlibet aliud punctum in maiori axe ſit F.
Dico _MAXIMAM_
ducibilium ab F ad vniuerſam Ellipſis peripheriam eſſe F D, in qua cen-
trum.
Nam, quod D F ſit maior reliqua F B patet, cum F D, maior ſit axis
dimidio, F B verò minor.
Iam, ad quodcunque Ellipticæ peri-
F G, & iungatnr E G.
Itaque cum ſe-
mi-axis maior E D, ſit
quibus communi addita E F, erit tota
D F maior duobus G E, E F, & eò ma-
ior vnica F G. Quare F D eſt ad vni-
uerſam peripheriam ducibilium _MAXI_-
_MA_.
Inſuper applicetur ex F axi ordinata
A F C, & ad peripheriam eiuſdem qua-
drantis H D E, ductæ ſint ex F duę quę-
libet F L, F M, & F L minorem, F M
verò maiorem angulum efficiat cum
_MAXIMA_ F D. Dico F L maiorem eſſe
F M. Iunctis enim E L, E M;
erit
fiat E O æqualis E L, &
iungatur F O:
erunt igitur duo latera F E, E L, duobus F E, E O æqualia, alterum al-
teri, ſed angulus F E L maior eſt angulo F E O, ergo baſis F L, maior eſt
F O, ſed F O maior eſt F M, (cum in triangulo F M O angulus ad M ob-
tuſus ſit, eò quod ſit maior obtuſo F E M) quare F L eò maior erit ipſa
F M, quę cum _MAXIMA_ maiorem efficit angulum: ſimili modo oſtende-
tur F M maiorem eſſe educta F H.
De eductis verò ad portionem peripheriæ H A, ita ratiocinabimur.
Sit enim quælibet F P, &
per H ſit Ellipſim contingens H Q, quæ cum
æquidiſtet axi B F D, ſecabit omnino productam F P extra Ellipſim in Q;
eritque in triangulo F Q H, latus F H maius latere F Q (cum angulus
maius F P, quare educta F H eò maior erit educta F P. Ampliùs ducta
qualibet alia F R, adhuc maiorem angulum facient
agatur per R recta R S axi F E parallela, quæ cadet intra Ellipſim, (cum
ſit ad minorem axim H I ordinatim ducta) ſecabitque F P in S, ac in
triangulo F R S obtuſiangulo ad R, erit latus F S maius latere F R, &
educta F P eò maior educta F R; eademque ratione oſtendetur quamli-
bet eductarum ad peripheriam H A, vtputa F R, maiorem eſſe ſemi-ap-
plicata F A, ſi ex A ducatur A V parallela ad E F, &c.
quare eadem
ſemi-applicata F A omnium eductarum in portione maiori A D C erit
_MINIMA_. Aliarum autem, quæ cum _MAXIMA_ F D maiorem angulum
conſtituit, maior eſt. Quod omnino oſtendere opus fuerat.
Si in triangulo A B C, cuius rectus angulus ſit ad B, fuerit
latus A B maius altero B C, ſitque de maiori B A abſciſſa pars
ex quolibet eius
puncto G ducta ſit G H parallela ad B C. Dico primùm ipſam
G H ſemper maiorem eſſe aggregato B E cum E G.
DVcatur E F ęquidiſtans ad B C.
Et quoniam A B ponitur maior ip-
ſa B C; B C verò dupla, vel plus quàm dupla ad B E, erit omni-
no A B plus quàm dupla ad B E, ſiue AE
memento ſed, vt A E ad A B, ita E F
ad B C; quare E F eſt maior dimidio
ipſius B C, hoc eſt maior ipſa B E. Secta
igitur E S æquali ipſi B E, ducatur S K
D parallela ad B E, eritque B S paralle-
logrammum æquilaterum (cum E B,
E S ſint æquales) iungatur denique C S
rectam G H ſecans in T.
Itaque cum E B, ſiue B D poſita ſit
æqualis, vel minor dimidio ipſius B C,
erit C D æqualis, vel maior ipſa D B,
vel D S. Cumque ſit, vt C D ad D S,
ita T K ad K S, erit quoque T K ęqua-
lis, vel maior ipſa K S, ſiue G E, qui-
bus T K, & G E additis ęqualibus K G, E B, proueniet tota T G æqua-
lis, vel maior aggregato G E cum E B, ſed eſt H G maior ipſa T G: qua-
re H G erit omnino maior aggregato B E cnm E G. Quod, &
c.
Præterea, ijſdem poſitis in eadem figura.
Dico rectangulum
dratum G E.
COmpletis enim rectangulis B E F I, B G H L, productiſque E F, L H
vſque ad occurſum in O; cum ſit A E pluſquàm dimidium ipſius
A B, vt ſupra oſtendimus, erit A E maior E B; cumque ſit B A ad A E,
ita B C ad E F, vel ad B I, erit diuidendo B E ad E A, vt C I ad I B,
ſed eſt B E minor ipſa E A, ergo, & C I minor erit ipſa I B, quare ſum-
pta L M æquali ipſi C I punctum M non pertinget ad B.
Iam cum M L, I C ſint ęquales, erit
ad F N, vel vt L O ad O H, quare pun-
cta M, N, O erunt in vna, eademque
recta M N O. Poſtremò ducatur recta
M P Q parallela ad B E. Erunt in re-
ctangulo Q L ſupplementa Q N, L N
inter ſe æqualia, quibus addito com-
muni rectangulo B N, fiet gnomon G I
Q æqualis rectangulo B H, ſed exceſ-
ſus rectanguli B F ſupra gnomonem G I
Q, eſt rectangulum G Q, quare exceſ-
ſus quoque rectanguli B F, ſupra B H,
erit idem rectangulum G Q. Cumque
ſit C B minor B A, & vt C B ad B A,
ita C L ad L H, erit quoque C L, vel M I, vel Q F minor L H, vel BG; eſtque tota E F, maior tota E B, vt ſuperiùs oſtendimus, ergo reliqua
Q E maior erit reliqua E G, vnde rectangulum G E Q, quod eſt exceſ-
ſus rectanguli B E F ſupra B G H maius erit quadrato G E. Quod, &
c.
Poſtremò ijſdem poſitis, &
conſtructis, concipiatur quoque
A, & non maior dimidio ipſius B C.
Dico tandem exceſſum
rectanguli B E F ſupra rectangulum B G H, quod eſt G E Q,
maius eſſe exceſſu quadrati G R ſupra R E.
NAm, vt primo loco ſuperiùs demonſtrauimus, erit tota linea E F
maior aggregato B R, cum R E, ſed pars Q F minor eſt parte BG
prædicti aggregati (nam eſt Q F æqualis M I, ſiue L C, & B G æqualis
eſt L H, eſtque C L minor L H, cum ſit data C B minor quoque B A) er-
go reliqua E Q maior erit reliquo eiuſdem aggregati, quod eſt G R cum
R E; vnde rectangulum ſub Q E, &
E G, quod eſt exceſſus rectanguli B
E F ſupra B G H, maius erit rectangulo ſub G E cum R E, in eadem G E: ſed rectangulum ſub G R cum R E, in G E,
ri exceſſu, quo quadratum G R ſuperat quadratum RE. Quod tandem, &
c.
MINIMA linearum ad vniuerſam Ellipſis peripheriam du-
cibilium, à puncto maioris axis, quod diſtet à vertice per in-
teruallum non maius dimidio recti lateris, eſt idem axis ſegmen-
tum, inter datum punctum, & verticem interceptum.
Aliarum autem eductarum in minori portione Ellipſis, cuius
baſis, ſit applicata per datum punctum; quæ cum MINIMA
minorem angulum conſtituit, minor eſt.
ESto Ellipſis A B C D, cuius axis maior A C, minor B D, centrum E,
& latus rectum maioris axis C A ſit C F, &
regula A F:
ſegmentum
verò C G, ſit non mainsDico primùm G C eſſe _MINIMAM_
ducibilium ex G ad vniuerſam Ellipſis peripheriam A B C D.
Quod enim G C, licet ponatur
nor reliquo axis ſegmento G A, pa-
tet: quoniam C A ad B D, eſt vt B D
ad C F, & ſumptis ſubduplis, C E
ad E B, vt E B ad C G, eſtque C E
maior E B, quare E B quoque maior
eſt C G, & eò magis A E, immò A
G maior G C.
Iam applicetur per G recta H G S,
regulæ occurrens in I. Erit A E ad
ad A C, vt E L ad C F, ſed eſt A E
dimidia A C, quare E L recti C F
dimidia erit; eſtque G I maior E L,
ergo G I maior eſt dimidio recti C F,
& poſita eſt G C non maior dimidio
recti; ergo G C erit omnino minor
G I, ſiue quadratum G C minus re-
ctangulo C G I, ſiue
Ampliùs, ad peripheriam minoris portionis H C S ducatur quęcunque
G M, & per M applicetur M N O.
Cum in triangulo rectangulo A C F
oſtenſa ſit C G minor quàm dimidium C A, ſed poſita ſit non maior di-
midio C F, & ex puncto N in C G ſumpto, ducta ſit N O parallela ad
C F, erit N O maior aggregato C G cum G N, per primam partem 7. hu-
ius; ergo ſumpta communi altitudine N C, erit rectangulum O N C, ſiue
addito
communi quadrato G N, erit quadratum M N cum quadrato N G, ſiue
vnicum quadratum G M, maius rectangulo ſub C G cum G N in N C, vnà
drato G N, ex quò G C erit etiam
_MINIMA_ ductarum ex G ad peripheriam minoris portionis H C S. Vn-
de ipſa G C erit _MINIMA_ ad totam peripheriam A B C D.
Inſuper rectangulum C G I ſuperat rectangulum C N O ſpatio minori,
quàm ſit quadratum N G, per ſecundam partem 7. huius;
quare (alijs
ſumptis
ceſſu quadrati G N; ſed quadratum
G M ſuperat idem quadratum M N
quadrato tantùm G N, ergo exceſſus
quadrati G H ſupra N M, maior eſt
exceſſu quadrati G M ſupra idem qua-
dratum M N, quare quadratum G H
maius eſt quadrato G M, ſiue linea
G H maior G M.
Tandem ducatur G P minorem có-
ſtituens angulum cum _MINIMA_ G C
quàm G M, appliceturque PQR. Erit
exceſſus rectanguli C Q R ſupra CNO
maior exceſſu quadrati N G ſupra
G Q, per tertiam partem 7. huius,
ergo (permutatis æqualibus, c.)
M N maiori exceſſu, quàm quadrati N G ſupra G Q: vnde aggregatum
extremorum quadratorum P Q, G Q, ſiue vnicum quadratum G P, ma-
ius erit hoc
Quapropter linearum ex G ducibi-
lium ad minoris portionis peripheriam H C S, quæ minorem angulum
conſtituit cum _MINIMA_ minor eſt. Quod erat vltimò demonſtrandum.
Verùm prætermiſſa hac methodo mihi, vt fateor, moleſiiori, quod
in quatuor præcedentibus theorematibus, quò ad MAXI-
MAS tantùm, & MINIMAS attinet, hic ſi-
mul, & aliquid vltra, aliter, &
expeditiùs
demonſtrabitur.
MINIMA linearum, ad peripheriam cuiulibet coni - ſectio-
nis ducibilium à puncto axis (quod
ſtante
eſt idem axis ſegmentum inter aſſignatum punctum, & verticem
interceptum. At in Ellipſi tantùm, MAXIMA eſt reliquum ma-
ioris axis ſegmentum, in quo centrum reperitur.
In Ellipſi verò circa minorem axim;
MAXIMA ducibilium
à puncto eiuſdem axis, quod diſtet à vertice per interuallum non
minus dimidio recti, eſt ipſum axis ſegmentum, inter aſſumptum
punctum, & verticem interceptum.
MINIMA verò eſt reliquum
minoris axis ſegmentum, in quo centrum non reperitur.
1.
ESto A B C quæcunque coni-ſectio, vel Parabole, vel Hyperbole, vt
in prima figura, vel Ellipſis, vt in ſecunda, circa maiorem axim
B D, in quo ſumptum ſit pun-
vertice B per interuallum ęqua-
le dimidio recti lateris axis BD,
quodq; in Ellipſi omnino minus
erit ſemi - axe B H (eſt enim ſe-
mi - axis maior ad ſemi - axim
minorem, vt ſemi - axis minor
ad ſemi-rectum.) Dico ſegmen-
tum axis E B eſſe _MINIMAM_
linearum ex E ducibilium ad
ſectionis peripheriam ABC, &
reliquam B D, in qua eſt cen-
trum, eſſe _MAXIMAM._
Deſcripto enim cum centro
E, interuallo E B circulo B F,
ipſe cadet totus quare, quę ex centro E
ad ſectionis peripheriam ducẽ-
tur, præter ad B, omnino maio-
res erunt, quàm ductæ ex eo-
dem centro ad circuli periphe-
riam, quibus æqualis eſt E B. Ergo ipſa E B erit _MINIMA_.
Si verò, diſtantia à vertice B fuerit minor eodem recti dimidio qualis
eſt G B: cum ad peripheriam circuli B F ipſa G B ſit _MINIMA_, eò magis
_MINIMA_ erit ad Ellipſis circumſcriptam peripheriam A B C D.
2.
At in ſecunda tantùm figura, quod reliquum maioris axis ſegmentum
E D, vel G D ſit _MAXIMA_ ex E, vel G ducibililium, patet: quoniam
circulus ex radio H D cadit totus
culi centrum: quapropter E D, vel G D eò magis erit _MAXIMA_ ad in-
ſcriptam Ellipſim A B C D. Quod erat primò, &
c.
3.
Iam in tertia figura ſit A B C
B D, in quo infra verticem B
ſumptum ſit punctum E, quod
à vertice diſtet per interuallum,
quod primò ſit æquale dimidio
recti lateris axis B D. Dico E B
eſſe _MAXIMAM_ ex E ducibiliũ
ad Ellipſis peripheriam ABCD.
Si enim facto centro E, cum
radio E B circulus deſcribatur
B F, ipſe cadet totus vnde, quæ ex E ad Elli-
pſis peripheriam ducẽtur, pręter
ad B, minores erunt, quàm quę
ex eodem E, ad circuli circum-
ſcriptam circumferentiam, hoc
eſt minores ipſa E B. Quare
E B erit _MAXIMA_, &c.
Si verò diſtantia à vertice B,
maior fuerit eodem recti dimi-
dio, qualis eſt G B: cum ſit in
circulo B F, ipſa G B, in qua
eſt circuli centrum, _MAXIMA_ ad eius peripheriam ducibilium, eò ma-
gis _MAXIMA_ erit ad inſcriptæ Ellipſis peripheriam A B C D.
4.
Quod autem in eadem tertia figura reliquum minoris axis ſegmentum
E D, vel G D, ſit _MINIMA_ ex E, vel G ducibilium ad Ellipſis periphe-
riam A B C D, ſic manifeſtum fiet.
Quoniam circulus ex radio H D cadit totus
cum in ea non ſit circuli centrum: quare eadem E D, vel G D eò am-
pliùs erit _MINIMA_ ducibilium ad eidem circulo circumſcriptam Ellipſis
peripheriam A B C D. Quod erat vltimò demonſtrandum.
HOC loco animaduertendum eſt, ſemper in Ellipſi circa minorem
axim, tertiæ figuræ, interuallum B E ſemi-rectis lateris, omnino
excedere minorem ſemi-axim B H, (cum integrum rectum latus excedat
integrum minorem axim; vt in primo Coroll.
20.
primi huius monitum
fuit) ac idem punctum E cadere poſſe in quocunq; puncto infra H, ha-
maiorem, quæ
proportio, quò minor fuerit, eò magis E, terminus ſemi - recti lateris,
remouebitur à centro H, vt vel modicè introſpicienti ſatit conſtat.
Si quamcunque coni - fectionem recta linea contingat, cui à
tactu extra ſectionem perpendicularis erigatur, in qua ſumptum
ſit quodlibet punctum. Linea intercepta inter aſſumptum pun-
ctum, & contactum, erit MINIMA ducibilium ab eodem pun-
cto, ad conuexam coni-ſectionis peripheriam.
ESto coni-ſectio A B C, quam contingat recta D E in B, à quo ipſi
erecta ſit perpendicularis B F ad partes conuexæ peripheriæ ABC,
ſitque in ea aſſumptum quodlibet punctum F. Dico rectam F B eſſe _MI-_
_NIMAM_ rectarum ducibilium ab F ad conuexam peripheriam A B C.
Hoc enim per ſe ſatis patet:
nam cum
quoque _MINIMA_
ducibilium ad conuexam A B C, quę ca-
dit infra D E. Quod erat, &
c.
Quod autem de coni - ſectione hoc
loco oſtenditur, de quacunque etiam
curua linea verificari ex ipſa figura ſatis
patet, dummodo curua A B C ſit tota ad
alteram partem contingentis D E, per-
pendicularis verò B F ad aliam.
Si quamcunq, coni-ſectionem recta linea, pręter ad axis ver-
ticem contingat, cui à tactu intra ſectionem erigatur perpendi-
cularis, in qua ſumptum ſit punctum quodlibet, non tamen, quò
ad Ellipſim, vltra maiorem axim; linea intercepta inter aſſum-
ptum punctum, & contactum erit MINIMA ducibilium ex eo-
dem puncto, ad coni- ſectionis peripheriam.
Si verò in Ellipſi aſſumptum punctum in perpendiculari fue-
rit, vel in ipſo minori axe, vel vltra: linea inter punctum, &
contactum intercepta erit MAXIMA ducibilium ex ipſomet pun-
cto ad Ellipſis peripheriam.
ESto A B C Parabole, vel Hyperbole, vt in prima figura, vel Ellipſis,
vt in ſecunda, circa maiorem axim B D, quas in puncto A extra
dicularis A D, quæ priùs maiori axi occurret, Dico rectam
quamlibet ipſa minorem F A, eſſe _MINIMAM_ ducibilium ad ſe-
ctionis peripheriam A B C, ex punctis D, vel F.
Nam facto centro D, inter-
A C G, ipſe cadet totus
tùm punctis A, C, eam contin-
gens: quare quę ducentur ex D
ad ſectionis peripheriam, pręter
ad puncta A, C, interuallo D A
maiores erunt: exquo ipſa D A,
vel D C erit _MINIMA_, &c.
Si
verò interuallum F A minus ſit
ipſo D A. Cum in circulo A C
G ipſum F A diametri ſegmen-
tum, in quo centrum non repe-
ritur, ſit rectarum _MINIMA_ ad
circuli peripheriam ducibilium,
eò magis eadem F A _MINIMA_
erit ducibilium ex F, ad peri-
pheriam circumſcriptę ſectionis
A B C. Quod erat primò, &
c.
2.
Iam, in tertia figura, ſit Elli-
pſis A B C, circa minorem axim B D, & contingens linea ad punctum A,
quod non ſit axium vertex, ſit A E, cui ex contactu A, ducta ſit intra. fectionem recta A D, quę poſt occurſum cum maiori axe, occurret quo-
que Dico rectam D A, &
quamlibet aliam F A ipſa.
pheriam A B C.
Deſcripto enim circulo A C G ex radio D A, ipſe cadet totus
qua-
propter, quæ ducentur ex D ad Ellipſis peripheriam, præter ad puncta
A, C, diſtantia D A minores erunt: vnde D A, vel D C erit _MAXIMA_, &
c.
Si autem interuallum F A maius fuerit ipſo D A.
Cum in circulo
A C G in diametri ſegmento F A ſit circuli centrum, ipſam F
A, erit _MAXIMA_ ad circuli peripheriam A C G ducibi-
lium, & eò magis eadem F A _MAXIMA_ ducibilium
ex F, ad peripheriam inſcriptæ Ellipſis A B C.
Quod erat vltimò demonſtrandum.
Si per punctum quodlibet ſumptum in angulo à rectis lineis
comprehenſo, quarum altera ſit datæ Parabolæ, vel Hyperbo-
læ diameter, aut ipſi æquidiſtans, altera verò ſit quęlibet ſectio-
ni ordinatim ducta, vel huic parallela, deſcripta ſit ſectio Hy-
perbole, cuius aſymptoti ſint prædicti anguli latera; huiuſmodi
Hyperbole datam ſectionem in vno tantùm puncto neceſſariò
ſecabit.
ESto Parabole, vel Hyperbole A B, cuius diameter, vel diametro æ-
quidiſtans ſit B C, quàm ad quemcunque angulum D E C ſecet D
E, quæ vel ſit vna applicatarum in ſectione, vel ipſis æquidiſtans, & in
angulo D E C, per datum in eo punctum F, deſcribatur Dico hancvltrò, citroque productam,
in vno tantùm puncto ſectionem ſecare.
Ductis enim, in prima figura, per punctum F, quod eſt in ſectione
A B, rectis L F M, I F K aſymptotis D E, E C æquidiſtantibus, eiſque
occurrentibus in M, K. Patet rectam M F L etiam ſi in infinitum produ-
ctam ad partes L, in ipſo tantùm puncto F ſectioni A B occurrere, cum
ſit vna applicatarum in data ſectione; &
rectam I F K in eodem tantùm
ſed Hyperbole G F H à puncto F ad par-
tes G, tota incedit in angulo K F L, & inter æquidiſtantes F L, K D;
&
à puncto F ad partes H, tota incedit in angulo M F I, ac inter paralle-
las F I, M C. quare ipſa Hyperbole G F H in nullo alio puncto quàm F
ſectioni A B occurret.
In ſecunda verò, ac tertia figura, ductis ex dato puncto F (quod ibi
extra cadit, hic verò intra ſectionem) rectis F L, F I alteri aſymptoto,
ſectioni occurrentibus in L,I.
Conſtat Hyperbolen ex F ad partes H
omnino incedere intra angulum L F I, & cum ipſa in infinitum extendi
poſſit, cumque in ſecunda figura ſpatium F I B ſit occluſum ad I, & ad
rectam L B nunquam poſſit prouenire, eò quod ipſa L B ponatur Hyper-
bole G F H aſymptotos: in tertia verò cum ſpatium F I N ſit vndique oc-
cluſum, neceſſariò, in vtraque figura, deſcripta Hyperbole G F H in ali-
quo puncto datam ſectionem ſecabit. Sit ergo harum mutua interſectio
punctum M, per quod ductis, vt factum fuit in prima figura, rectis lineis
quæ aſymptotis E D, E C æquidiſtent, ijſdem penitus argumentis, ac in
primo caſu, demonſtrabitur ipſam Hyperbolen in nullo alio puncto quàm
M cum data ſectione A B conuenire. Quare ſi per punctum in angulo, &
c.
Quod erat demonſtrandum.
Si in Hyperbola, ſumpta fuerint duo quælibet puncta, à qui-
bus ductæ ſint aſymptotis æquidiſtantes, eiſque occurrentes: re-
cta linea iungens occurſus; lineæ, data puncta iungenti, æqui-
diſtabit.
ESto Hyperbole A B, cuius aſymptoti C D, C E, ſumptaque ſint in
ſectione duo quælibet puncta A, B, à quibus ductæ ſint A F, B G,
aſymptotis æquidiſtantes. Dico iunctas A B, F G, eſſe inter ſe paralle-
las.
Nam vtrinque producta A B vſque-
E.
in ſecun-
da verò, cum ſit A D æqualis B E, ad-
dita communi A B, erit item D B æ-
qualis ipſi A E. Sed in triangulis D B
G, E A F, anguli ad D, B, æquantur
angulis ad A, & E, vterque vtrique,
ob paralellas D G, A F, & B G, E F;
quare triangula D B G, A E F ſunt ſimi-
lia inter ſe, ac propterea vt D B ad B
G, ita A E ad E F, ſed antecedentes
D B, A E ſunt ęquales, vt modò oſten-
dimus, ergo, & conſequentes B G, E F,
æquales erunt, at ſunt quoque inter ſe
parallelæ, quare, & F G ipſi A B ęqui-
diſtabit. Quod, &
c.
Si in Hyperbola ſumpta fuerint duo quælibet puncta, è quo-
rum vno ducta ſit recta linea, alteri aſymptoto æquidiſtans,
aliamque ſecans; ex reliquo verò alia vtranque aſymptoton di-
uidens in angulo, qui aſymptotali deinceps eſt, à qua, producta
in angulo ad verticem aſymptotalis, ſumatur ęqualis ei, quę ex
ipſa inter prædictum punctum, & alteram aſymptoton interci-
pitur, atque ex ſumptæ termino ducta ſit parallela ei aſympto-
to, cui prima eductarum occurrit, hanc ipſam ſecans: recta li-
nea huiuſmodi interſectionem iungens cum puncto, in quo ſe-
cunda eductarum eam aſymptoton ſecat, cui prima æquidiſtat,
rectæ data puncta iungenti æquidiſtabit.
SInt in Hyperbola A B, cuius aſymptoti C D, C E, ſumpta duo
quæcunque puncta A, B, è quorum altero A ducta ſit A E I alteri
aſymptoto C D æquidiſtans, ex B verò quælibet B G F vtranque ſecans
in G, & F;
ſectaque G H in directum, &
æquali ipſi B F, ducatur ex H
recta H I parallela ad C E occurrens cum productis D C, A E in L, &
I. Dico iunctas A B, F I eſſe inter ſe parallelas.
Ducta enim B D parallela ad C E, iunctaque D E, cum ſit B F æqua-
lis G H, erit quoque D F æqualis C L, ob parallelas D B, G E, HI, ſed
eſt C L æqualis ipſi E I, quare D F, & E I æquales erunt, ſuntque etiam
parallelæ, ergo F I æquidiſtat ipſi D E, ſed eſt A B A B ſunt quoque inter ſe parallelæ.
Quod, &
c.
Si à puncto, quod eſt intra Hyperbolen, ductæ ſint duæ re-
ctæ lineæ aſymptotis æquidiſtantes, & Hyperbolæ in duobus
punctis occurrentes, è quorum altero ducta ſit recta linea vtran-
que aſymptoton ſecans, à qua, producta in angulo, qui aſym-
ptotalis eſt ad verticem, à puncto alteram aſymptoton ſecans
dematur æqualis ei, quę inter eductæ occurſum cum alia aſym-
ptoto intercipitur: recta linea hoc idem occurſum iungens cum
dato puncto, æquidiſtabit rectæ, ſumptæ terminum iungenti, &
ſectionis punctum, in quo conuenit recta alteri aſymptoto ęqui-
diſtanter ducta.
ESto intra Hyperbolen A B, cuius centrum C, &
aſymptoti C D,
C E vltra centrum productæ, ſumptum quodcunque punctum F, à
quo ductæ ſint F A D, F B E aſymptotis æquidiſtantes, quæ Hyperbolen
ſecent in punctis A, B, è quorum altero, vt ex B, ducta ſit quæcunque
B I aſymptoton C E ſecans in G, & C D in H, ſumptaque H I æquali,
& in directum ipſi B G, iungantur rectæ I A, G F.
Dico has inter ſe eſſe
parallelas.
Nam cum recta G H ſecet vtranque linearum C G, C H continentium
angulum H C G, qui deinceps eſt angulo D C E Hyperbolen A B conti-
nenti, ſitque ea (per conſtructionem) hinc inde æqualiter producta in. B, I, &
punctum B ſit ad Hyperbolen A B, erit etiam punctum I ad ei
oppoſitam ſectionem. Si enim oppoſita ſectio in alio puncto, pręter I, ſe-
pars, quod eſt abſurdum.
Cum ergo puncta I, A cadant in oppoſitas ſectiones, iunctaque ſit I
A ſecans rectas C O, C D continentes angulum O C D, qui deinceps eſt
angulo D C E ſectionem A B continenti ſectiones interiectæ inter ſe æquales.
Pro-
ducantur F A, F B vſque ad aſymptotos in D, E, agaturque ex I recta
I O æquidiſtans ad C D. Cumque triangulorum I O M, N D A, baſes I
M, N A ſint in directum conſtitutæ ſintque latera I O, N D; M O, A D
inter ſe parallela, ſingula ſingulis, erunt quoque anguli ad I, & N;
vti
etiam ad M, & A inter ſe æquales;
ſed &
baſes I M, N A inter ſe ſunt
æquales, vt ſuperiùs demonſtratum fuit, quare, & reliqua latera M O,
A D æqualia erunt.
Præterea cum ſit linea B G æqualis H I, erunt quoque E G, C O inter
ſe æquales (ob æ quidiſtantiam linearum I O, H C, B E,) quibus addita
communi G C in prima, ſecunda, & tertia figura, vel dempta in quin-
ta, proueniet E C, æqualis ipſi G O, ſed F D, E C ſunt æquales (nam
ſunt latera oppoſita in parallelogrammo C F,) quare F D ipſi G O ęqua-
lis erit; ſi ergo ex his demantur æquales M O, A D;
reliquæ G M, F A
æquales erunt, at ſunt quoque parallelæ, vnde G F, I A inter ſe ęquidi
ſtabunt. Quod demonſtrare oportebat.
Sint duæ rationes, A B nempe ad B C, &
D E ad F maioris
inæqualitatis, & ſit ratio A B ad B C, minor ratione D E ad F.
Oportet B C, ita ſecare in G, ita vt A G ad G C ſit vt D E
ad F.
FIat E H æqualis F, &
vt D H ad H E, ita A C ad C G, &
punctum
G erit quæſitum. Quoniam cum A C ad C G ſit vt D H ad H E,
erit componendo A G ad G C,
Quod
faciendum erat.
Quod autem punctum G ca-
dat infra B, patet. Nam ex hy-
poteſi, A B ad B C habet mi-
norem rationem quàm D E ad
F, vel ad E H, quare diuiden-
do A C ad C B habebit mino-
rem rationem, quàm D H ad H
E, vel quàm eadem A C ad C
G; ergo C B eſt maior C G;
ſiue
punctum G cadit infra B. Quod demonſtrandum erat.
HInc, data ratione maioris inæqualitatis, hoc eſt D E, ad E H, &
differentia A C inter duo s terminos ignotos A G, G C, qui de-
beant eſſe in data ratione, eruitur quomodo reperiantur ipſi termini A G,
G C. Facta enim fuit vt D H differentia primorum, ad H E minorem ter-
minum, ita data differentia A C, ad aliam C G, & reperti ſunt quæſiti
termini A G, G C, Nam ſtatim oſtenſum fuit eſſe A G ad G C, vt D E
ad E H.
Si fuerit in angulo rectilineo quælibet applicata, à qua hinc
inde ab eius termino æqualia ſegmenta ſint abſciſſa, & per v-
num diuiſionis punctum deſcribatur Hyperbole, cuius aſympto-
ti ſint latera dati anguli, ipſa per alterum punctum neceſſariò
tranſibit.
SIt in angulo A B C applicata quæcunque A C, quæ inæqualiter ſece-
tur in D, & ſumatur C E æqualis A D.
Dico ſi per punctum D de-
ſcribatur Hyperbole, cuius aſymptoti ſint B A, B C, ipſam omnino tran-
ſire per E.
Quod huiuſmodi Hyper-
ſecet applicatam A C, pa-
tet. Nam ſi eam continge-
ret in D, eſſet A C æquali-
ter quod eſt
Secet er-
go in F; &
erit F C
C eidem A D ęqualis, qua-
re F C, E C ęquales erunt; hoc eſt punctum F congruet
cum ipſo E; quare Hyper-
bole D F, quæ in angulo aſymptotali A B C deſcribitur per D, omnino
tranſit per E. Quod erat demonſtrandum.
Si per centrum Ellipſis deſcribatur Hyperbole, cuius aſym-
ptoti coniugatis diametris æquidiſtent; ipſa in duobus tantùm
punctis Ellipſis peripheriam ſecabit.
ESto Ellipſis A B C D, cuius centrum E, &
diametri coniugatæ ſint
A C, B D quibus ductæ ſint F G, H C ipſis diametris altera alteri ę-
quidiſtantes, & ſimul occurrentes in G;
&
cum aſymptotis G F, G H, per
centrum E, deſcripta ſit Hyperbole I E L. Dico hanc, Ellipſis periphe-
riam in duobus tantùm punctis ſecare.
Nam cum in Hyperbola I E L
ſumptum ſit punctum E, per
aſymptotis æquidiſtantes, ipſæ
in puncto tantùm E ſectioni oc-
current, & Hyperbole in angu-
lo B E A, inter E A, & G F
ſemper incedet, pariterque in
angulo C E D, inter E D, &
G H; ſed anguli B E A, C E D
terminantur à peripherijs B A,
C D, quare Hyperbole ex vtra-
que parte producta ipſas peri-
pherias omninò ſecabit, vt in
I, L. Si ergo ex I ducantur M
I N, O I F diametris æquidiſtã-
tes, ob eandem rationem ſupe-
riùs allatam ſectio E I P, in nullo alio puncto, quàm I cum rectis N I M,
F I O conueniet, ſed ipſæ N I M, F I O nil aliud commune habent
cum peripheria quadrantis A B, quàm idem punctum I, quare
Hyperbole E I P in vno tantùm puncto I Ellipſis periphe-
riam ſecabit in quadrante A B. Cõſimili conſtructione,
& argumento, oſtendetur ſectionem E L Q in
alio puncto quàm L peripheriam D C non
ſecare: quare huiuſmodi Hyperbole in
duobus tantùm punctis ſecat El-
lipſis peripheriam. Quod
erat demonſtrandum.
Si à puncto, quod eſt in angulo aſymptotali, ductæ ſint re-
ctæ lineæ aſymptotis æquidiſtantes, & Hyperbolæ occurrentes,
atque ex vnius eductarum occurſu agatur recta, quæ ſectionem,
vel in ipſo tangens puncto, vel alibi ſecans, producta ſecet
quoque eam aſymptoton, cui altera eductarum æqui diſtat; re-
cta linea iungens hoc idem punctum cum puncto contactus, vel
interſectionis nouiter ductæ lineæ cum Hyperbola, æquidiſtabit
rectæ, quę ab occurſu eiuſdem lineæ cum prædicta aſymptoto
ad datum punctum educitur.
SIt Hyperbole A B C, in cuius angulo aſymptotali E D F ſumptum ſit
quodlibet punctum G, vel extra Hyperbolen, vt in prima, ſecunda,
& tertia;
vel intra, vt in quarta, quinta, &
ſexta figura, à quo ductæ
ſint aſymptotis æquidiſtantes G A, G C, ſectioni occurrentes in A, C; &
ex altero occurſuum C ducta ſit quæcunque alia C B E, quæ, vel ſe-
ctionem contingat in C, vt in prima, & quarta figura, vel alibi ſecet in
B, vt in reliquis, & producta conueniat cum aſymptoto D E, quæ rectæ
G A ęquidiſtat. Dico, ſi iungantur A B, E G ipſas inter ſe æquidiſtare.
Nam ducta B H parallela ad F D, productiſque A G, C G vſque ad
aſymptotos in F, L; &
E B C ad aliam aſymptoton D F in I.
Erit iuncta
A B iunctæ H F quare, ob paral-
E G æquidiſtat H F, ſed A
B quoque ipſi H F æquidiſtat, vt modò oſtendimus: quare A B, &
E G
ſunt inter ſe parallelæ. Quod erat, &
c.
A dato puncto, ad datæ Parabolę peripheriam, MINIMAM
rectam lineam ducere.
SIt data Parabole A B C, cuius axis B D, vertex B, rectum latus B E,
& datum vbicunque punctum ſit F.
Oportet ex F ad peripheriam
A B C, _MINIMAM_ rectam lineam ducere.
Eſto primùm datum punctum F extra
Parabolen in axe producto, vt in prima
figura. Dico ipſam F B eſſe _MINIMAM_.
Nam cum B D ſit axis Parabolæ, ſi ex
B ducatur B G ordinatis æquidiſtans, ipſa
cum F D rectos angulos efficiet, ac Para-
Cum ergo B F perpen-
dicularis ſit contingenti B G, erit F B _MI_-
_MIMA_ Quod erat, &
c.
Si verò datum punctum F, in ſecunda
figura, fuerit in ipſo axe B D intra Para-
bolen A B C, quod diſtet à vertice B, per
interuallum non maius dimidio recti B E, idem axis ſegmentum F B erit
_MINIMA_
Si autem datum punctum F in eadem fi-
maius ſit dimidio recti B E. Secetur F G
æqualis eidem dimidio, & applicetut G A
peripheriæ occurrens in A. Dico iunctam
F A eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Ducta enim ex A
ne, ergo H G ad G B eſt vt E B ad G F; ex
quo rectangulum H G F æquabitur rectan-
gulo E B G, ſiue quare
Cumque A F ſit ex contactu A Contingenti
A H perpendicularis, &
punctum F ſit in axe, erit F A _MINIMA_
Quod, &
c.
Si denique datum punctum F ſit extra Parabolen A B C, vt in tertia
figura, vel extra, vt in quarta, inter axem B D, & peripheriam B A;
Applicetur ex recta F F G axi occurrens in G, dematurque de axe ſupra
ex H agatur H I paral-
in angulo I H D per
punctum F deſcribatur
cabit, iungatur F A.
Dico hãc
eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Applicetur A L, &
ex A duca-
tur contingens A M, axi occur-
vtranque partem, quæ cum aſym-
ptotis
in vtraque figura, interceptę A I,
F D inter ſe ęquales, ac ideo H L,
G D ęquales erunt, ob ęquidiſtan-
tes lineas I H, A L, F G, in trian-
gulo I H D; ſi ergo, in tertia figu-
ra, dematur communis L G, &
in quarta, addatur, fient H G,
L D inter ſe æquales; ſed eſt G
H dimidia B E, quare, & L D
ipſius B E dimidia erit. Et quo-
niam quadratum A L æquatur re-
rectangulum
L B E, æquale eſt rectangulo ſub
ſub dimidia B E, hoc eſt ſub L D, ergo qua-
dratum A L æquale erit rectangulo M L D, ac ideo angulus M A D re-
quare F A, in vtraque figura, erit
Quod fa-
ciendum erat.
NOn te pigeat hoc loco, Lector humaniſsime, à ſuſcepta MA-
XIMARVM, MINIMARV MQVE linearum inueſti-
gatione circa reliquas coni- ſectiones, aliquantisper recedere,
dum elegantiſsimam quandam, ac vere admirabilem affe-
ctionem exhibere tibi decernimus, circa MINIMAS lineas, ad peri-
pherias infinitarum Parabolarum, per eundem verticem ſimul adſcripta-
rum, ex eodem communis axis puncto ducibiles, quarum veſtigia, dum
hoc ipſam
qui voluimus. Huius itaque itineris delineatio, eſt quæ conſequitur.
Semita MINIMARVM linearum, ducibilium à puncto com-
munis axis infinitarum Parabolarum, per eundem verticem ſi-
mul adſcriptarum, ad earundem ſectionum peripherias, eſt cir-
cumferentia Ellipſis, cuius tranſuerſum latus ſit ipſum axis ſe-
gmentum, inter aſſumptum punctum, & vertieem interceptum:
rectum verò eiuſdem tranſuerſi ſit duplum.
ESto Parabole A B C, cuius axis B D, in quo ſumptum ſit punctum D
à vertice B diſtans per interuallum æquale dimidio ſui recti B E: pa-
tet ipſam D B eſſe &
ſi aliæ Para-
conſtat ipſas cadere eandem D B (quæ om-
At ſi Parabolæ fuerint ipſi A B C per B verticem inſcriptæ,
_MINIMAS_ ducibiles ex D,
ad harum Parabolarum peripherias pertingere, præter ad verticem B. Si
ergo quæratur, quàm delineent ſemitam harum _MINIMARV M_ extrema
puncta. Deſcribatur circa ſegmentum axis B D, tanquam circa tranſuer-
ſum latus, Ellipſis B F D G, cuius rectum ſit ipſum B E. Conſtat hanc
eſſe _MAXIMAM_ Parabolæ A B C per B verticem Dico
Iungatur Ellipſis regula D E:
&
Parabolę A B C inſcribatur quælibet
alia F B G, quæ Ellipſis peripheriam ad vtranq; partem omnino ſecabit, vt
ſitque F L Parabolen
Iam, in triangulo E B D cum ſit E B dupla B D, erit I H dupla H D,
ſed eſt quoque L H dupla H B, quare vt L H ad H B, ita I H ad H D: rectangulum ergo L H D æquale eſt rectangulo B H I,
F L Parabolen contingit in F:
vnde D F eſt
Conſimili ratione oſten-
detur, quamlibet aliam inſcriptam P B R Ellipſis peripheriam B F G D
iunctam D P, vel D R eſſe _MINIMAM_, &
c.
Qua-
re ſemita _MINIMARV M_ ex D ad huiuſmodi Parabolarum peripherias, eſt
prædictæ Ellipſis perimeter. Quod oſtendere propoſitum fuit.
A dato puncto, ad datę Hyperbolæ peripheriam, MINI-
MAM rectam lineam ducere.
SIt data Hyperbole A B C,
cuius axis B D, rectum B E
tranſuerfum verò B G, centrum
H, & datum vbicunque ſit pun-
ctum F. Oportet ex F ad Hyper-
bolæ peripheriam A B C _MINI-_
_MAM_ rectam lineam ducere.
Si primò datum punctum F,
in prima figura fuerit in axe pro-
ducto, extra Hyperbolen, ipſa
F B erit
Si datum punctum F ſit in axe intra ſectionem, vt in ſecunda figura,
quod tamen diſtet à vertice per interuallum non maius dimidio recti B E: item F B erit
Cum verò, in eadem figura,
recti dimidium: dematur B I ęqua-
lis ſemi-recto B E, & tunc habe-
bit H B ad B I maiorem rationem
quàm ad B F: ſi ergo H F ſecetur
in L, ita vt H L ad L F, ſit vt H B
ad B I, punctum L omnino cadet
inter B & F;
itaque ducta A L C
ordinatim axi applicata, iunctaq; F A.
Dico ipſam F A eſſe _MINI-_
_MAM_ quæſitam.
Ducta enim ex A
Erit rectangulum H L M ad quadratum
vel ſumptis
ſubduplis, vt H B ad B I;
vel, ob conſtructionem, vt H L ad L F;
vel,
gulum F L M: ergo quadratum L A æquabitur rectangulo F L M, ſed eſt
A L ipſi F M perpendicularis: quare angulus F A M
ergo F A eſt _MINIMA_ ducibilium ex F ad
Hyperbolæ vnde in
c.
At ſi datum punctum F fuerit in axe coniugato H F, vt in tertia figu-
ra. Diuidatur F H in I, ita vt F I ad I H ſit vt tranſuerſum G B ad rectũ
B E, & per I agatur I A axi æquidiſtans, quæ in vno tantùm puncto A
Hyperbolæ Dico iunctam F A eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Producatur F A axi occurrens
Erit in trian-
gulo F L H, ob parallelas, H M ad
ad M L, vt F A ad A L, vel vt F I
ad I H; vel vt tranſuerſum ad re-
ctum per conſtructionem; vel vt re-
pta communi altitudine M N) eſt
vt idem rectangulum H M N ad re-
ctangulum L M N; vnde quadratum
M A, æquabitur rectangulo N M L, & eſt A M ipſi L N perpendicularis:
quare angulus L A N, &
qui ei deinceps eſt F A N rectus
Si autem datum punctum F ſit extra Hyperbolen inter axem coniuga-
tum S H T, & ſectionis peripheriam, vt in quarta, &
quinta figura, vel
peripheriam, vt in ſexta, &
ſeptima
(nam ſi eſſet in ipſa peripheria, vt in A, tunc _MINIMA_ abiret in pun-
ctum.) Iungatur H, centrum Hyperbolæ, cum dato puncto F recta linea
H F, quæ ita ſecetur in I, vt H I ad I F ſit vt tranſuerſum latus G B ad
rectum B E, ſumaturque H L æqualis F I, & per L agatur L M axi B D
æquidiſtans, ac per I axi ordinata N I O, & in angulo N O M per datum
in eo punctum A deſcribatur Dico iunctam F A eſſe _MINI-_
Ducatur A P axi ordinata, &
A Q Hyperbolen contingens
Et quoniam in Hyperbola A F ſumpta ſunt duo pun-
diſtans, ex altero verò F, recta F I L H vtranque aſymptoton ſecans in
I, L; eſtque L H in directum, &
æqualis poſita ipſi I F, &
ex H recta
H B P alteri aſymptoto O M æquidiſtans, cum alia A P conueniens in P,
erit iuncta I P ſed H P ſecat I P alteram parallelarum,
ſecet igitur in R.
Erit er-
go in triangulo H F R (ob parallelas) H P ad P R, vt H I ad I F, vel vt
ſed eadem H P ad P R (ſumpta communi al-
titudine P Q) eſt vt idem rectangulum H P Q ad rectangulum R P Q,
quare quadratum P A æquabitur rectangulo R P Q, eſtque A P ipſi R Q
perpendicularis, vnde angulus R A Q, & in quarta, &
quinta figura, qui
ei deinceps Q A F
Si denique datum punctum F ſit extra Hyperbolen, ſed ſupra axem
coniugatum H S, vt in octaua, & nona figura.
A centro H date Hyper-
bolæ ad datum punctum F ducatur H F, quæ ita ſecetur in I, ita vt H I
ad I F, ſit vt tranſuerſum latus G B ad rectum B E, ſumptaque H L ęqua-
li ipſi I F, per I agatur I O N ordinatim ductis æquidiſtans, & per L re-
cta L O M axi H B D parallela, & in angulo N O M per datum punctum
H (quod eſt centrum Hyperbolæ) deſcribatur Dico iunctam F A eſſe
Sit A P axi ordinatim applicata, &
A Q ex A ſectionem
Iam in Hyperbola A H, cuius
P H aſymptotis æquidiſtantes, & Hyperbolæ occurrentes in A, H, &
ab
eorum altero H ducta eſt H L I vtranque aſymptoton ſecans in I, L, eſt-
que I F in directum, & æqualis poſita ipſi H L, rectaque F A coniungit
extremum F cum altero datorum A; ipſa F A
ſed H P ſecat I P quare producta ſecabit quoque alteram parallela-
rum F A, ſi hæc vltra F A producatur. Sit ergo harum occurſus R.
Erit
in triangulo F H R recta H P ad P R, vt H I ad I F, vel vt latus tranſuer-
ſum ad rectum, ex conſtructione, vel
vt idem rectangulum H P Q ad rectangulum R P Q: quare quadratum
rectangulum R P Q inter ſe ſunt æqualia, ſed eſt A P ipſi Q R
perpendicularis, ergo angulus Q A R rectus Quare perpendicularis F A
Quod
A dato puncto, ad datæ Ellipſis peripheriam, MAXIMAM,
& MINIMAM rectam lineam ducere.
SIt data Ellipſis A B C D, cuius centrum E, axis minor A C, maior B
D, rectum latus B F, & datum punctum ſit G.
Oportet ex G, ad
peripheriam A B C, _MAXIMAM_, & _MINIMAM_ rectam lineam ducere.
1.
Si primò datum punctum congruit cum centro E:
duo maiores ſemi-
-axes E B, E D, erunt _MAXIMAE_, duo verò ſemi- axes minores E A,
2.
Si datum punctum fuerit in vertice B maioris axis;
ipſæ maior axis
B D erit _MAXIMA_ ducibilium ex B, &c.
Nam ſi concipiatur deſcriptus
circulus B H D I ex radio E B, hoc eſt circa diametrum B D, eius peri-
pheria cadet tota extra &
cum B D ſit
ptam Ellipſis peripheriam. Verùm non dabitur _MINIMA_ ex B, cum ipſa
in punctum abeat.
3.
Si autem datum punctum G in eadem prima figura fuerit in axe maio-
ri, extra tamen Ellipſim: tota G D erit _MAXIMA_:
eſt enim _MAXIMA_
ad peripheriam circuli B H D I, cum in ea ſit centrum, ergo ad periphe-
riam inſcriptæ Ellipſis omnino _MAXIMA_ erit. G B verò erit
B contingit Ellipſim.
4.
Si verò, in ſecunda figura, datum punctum G fuerit in maiori ſemi-
axe, at diſtet à vertice B per interuallum G B non maius dimidio recti
B F, ipſa G D, in qua centrum, erit _MAXIMA_, reliqua G B _MINIMA_.
5.
At ſi in eadem figura datum punctum G item fuerit, in maiori ſemi-
axe E B, ſed diſter à vertice B per interuallum maius dimidio recti B F
(nam ſemi-axis maior E B, eſt ſemper maior ſemi-recto B F, cum totus
axis B D ſit maior toto recto B F) _MAXIMA_ erit
Cum ſit B G maior ſemi-recto B F, habebit E B ad B G minorem ra-
tionem, quàm E B ad ſemi-rectum B F, vel ſumptis duplis, quàm tranſ-
uerſum D B ad rectum B F, ſuntque hæ rationes maioris inæqualitatis: Itaque diuidatur
per
iungantur G I, G K:
nam ipſæ, quæ ſunt ęquales,
erunt _MINIMAE_.
Quoniam ducta I L contingente, hæc axi occurret
&
cum ſit
dine H L, erit rectangulum E H L ad G H L, vt tranſuerſum ad rectum,
ſed eſt quoque rectangulum E H L ad quadratum H I,
dratum H I, quare rectangulum G H L æquale eſt quadrato H I: eſtque
H I ipſi G L perpendicularis, ergo angulus G I L rectus erit, & I L ſectio-
nem contingit in I, à quo ducta eſt I G perpendicularis, & maiori axi
occurrens, quapropter G I erit Vn-
vna tantùm _MAXIMA_.
6.
Si verò datum punctum G fuerit in axe minori, vt in tertia figura, &
diſtantia G B ſit non minor dimidio recti lateris B E: (quæ G B omnino
maior erit ſemi-axe B E, vt ad finem 9. huius monuimus) tunc ipſa G B
erit _MAXIMA_, G D _MINIMA_, vel punctum G cadat infra D;
vel ſu-
E.
Nam ſi caderet in ipſo puncto D (dummodo D B ſit
vt ponitur, nempe non minor dimidio recti) ipſa D B eſſet _MAXIMA_,
nec daretur _MINIMA_, cum hæc in punctum euaneſcat.
7.
Verùm, ſi datum punctum G ſit in axe minori, ſed diſtet à vertice B
per interuallum minus dimidio recti B E, & cadat infra centrum E, vel
inter E, & D;
vt in quarta figura, aut infra D, vt in quinta.
Cum ſit
G B minor ſemi-recto, & E B æqualis ſemi-tranſuerſo B D, habebit G B
ad B E minorem rationem, quàm ſemi-rectum ad ſemi-tranſuerſum, vel
quàm rectum F B ad tranſuerſum B D. Diuidatur ergo B E in H, ita vt
G H ad H E, per H agatur or-
I L ſectionem contingens, &
axi occurrens in L, iunga-
turque G I. Dico G I eſſe _MAXIMAM_.
Cum ſit enim G H ad H E, vt F B ad B D, ſumpta communi altitudi-
ne H L erit rectangulum G H L ad E H L, vt F B ad B D, vel vt
quale eſt quadrato G H, eſtque H I perpendicularis ad G L; ergo angu-
lus G I L rectus erit, eſtque I L ſectionem contingens in L, à quo ducta
eſt I G perpendicularis, & minori axi in G, occurrens, quare ipſa G I
eſt G K æqualis G I:
ergo ex G duæ erunt _MAXIMAE.
MI-_
niſi punctum G cadat in ipſo D;
tunc enim _MINIMA_ abit in pun-
ctum.
8.
At, ſi, vt in ſexta figura, quando interuallum G B minus eſt dimidio
B E, punctum G cadat inter B, & E, tunc ſi concipiatur D eſſe Ellipſis
verticem, reliquum interuallum D G, vel erit non minus, vel minus di-
midio B F, quo in caſu duæ _MAXIMAE_ reperientur ad partem periphe-
riæ A D C: eadem conſtructione, &
demonſtratione, ac ad num.
6.
&
7.
huius, &
reliqua G B erit _MINIMA_, &
c.
9.
Si denique datum pun-
ctum G fuerit inter ſemi-
vt in ſeptima figura; vel
intra, vt in octaua; vel in
ipſa ſectione, vt in nona. Iungatur E G, quæ hinc
inde producatur, & fiat,
vt tranſuerſum D B ad re-
ctum B F,
ex H, I, ducantur H L,
minori axi A C, & I L
maiori D B parallelę, quę
ſimul occurrent in L, &
in angulo H L I per pun-
ctum E (quod eſt cen-
trum Ellipſis) deſcriba-
tur
ta G H, E I rectæ H I ap-
plicatæ in angulo aſym-
ptotali H L I, ſint ęqua-
lia,) & in duobus tantùm
punctis M, N, Ellipſis
peripheriam Di-
re puncta quæſita: hoc
eſt iunctam G N in ſepti-
ma, octaua, & nona fi-
gura eſſe _MAXIMAM_, &
G M _MINIMAM_, in ſe-
ptima, & octaua figura, tantùm, quoniam in nona ipſa _MINIMA_ abit in
punctum.
Quò autem ad _MINIMAM_ oſtendendam.
Ducatur ex M, Ellipſim
contingens M P maiori axi occurrens appliceturque M Q.
Et quoniam in angulo aſymptotali H L I ſumptum eſt punctum Q, ex-
Hy-
perbolæ occurrentes in M, E, & ab altero occurſuum E, ducta eſt E G H,
ſecans Hyperbolen in G, & aſymptoton H L in H, erunt iunctæ H Q,
M G O quare in triangulo Q E H, recta G M, quæ
erit-
que E Q ad Q O, vt E H ad H G, hoc eſt vt tranſuerſum A B ad rectum
B F, ſed E Q ad Q O, ſumpta communi altitudine Q P, eſt vt rectangu-
lum E Q P ad rectangulum O Q P, ergo rectangulum E Q P ad O Q P erit
vt tranſuerſum ad rectum, vel vt vnde rectangulum O Q P, æquale eſt quadrato Q M, eſtque
QM ipſi O P perpendicularis, ergo angulus O M P in ſe-
ſectionem, contingenti M P perpendicularis: quare G M erit
ei perpendicularis M G
eſt intra Ellipſim, ſed non excedit interceptam M O inter contactum, &
maiorem axim, quare G M erit
Quod tandem in quouis prædictorum ſchematum, ducta G N ſit _MA-_
_XIMA_, ita oſtendetur, ſed in nona tantùm figura, ne in reliquis noua li-
nearum, & characterum appoſitio confuſionem pariat.
Secet ergo G N ſemi-axim minorem A E in K, &
maiorem E D in R,
applicetur N S, contingens agatur N T, iungaturque S H.
Et cum à puncto S, &
in angulo aſymptotali H L I intra ſectionem
ductæ ſint S E, S N aſymptotis parallelæ, Hyperbolæ occurrentes in E,
N, & ab altero occurſuum E ducta ſit E G H, Hyperbolen ſecans in G,
& aſymptoton in H, erunt iunctæ S H, N R G
D B
quadratum S N æquale eſt rectangulo R S T, ex quo angulus R N T re-
ctus erit, ſed T N Ellipſim contingit in N, eſtque N G maior intercepta
N K inter contactum, & minorem axim, quare G N omnino erit
Quod erat faciendum.
DE inuentione MAXIMARVM à puncto dato ad univerſam
Parabolæ, vel Hyperbolæ peripheriam hactenus w
cum manifeſtè pateat ad eas educi minimè poſſe lineas tantæ
longitudinis, quin ipſis maiores, & maiores adhuc in infini-
tum reperiantur; eò quod ſectiones ipſæ ſint infinitæ extenſionis:
itaque con-
ſultò de hac re demonſtrationem omiſimus, cum hæc in promptu ſatis ſit. Verùm ſi quærantur MAXIMAE, ducibiles à puncto extra ſectionem da-
to, ad conuexas tantùm quarumlibet coni-ſectionum peripherias: ſi punctum
fuerit in axe producto, ex eo ductæ lineæ contingentes æquales erunt, & MA-
XIMAE ad ipſius ſectionis conuexam peripheriam. Si autem punctum fue-
rit extra axim Parabolæ vel Hyperbolæ, ſed intra angulum ab aſymptotis
per altera contingente ad oppofitam axis partem minor erit, atq; hæc erit MA-
XIMA. Si verò punctum fuerit extra Ellipſim inter axes, tunc contingens
ad partem maioris axis ducta, minor erit altera contingente ad partem mino-
ris, pariterque hæc erit MAXIMA ad conuexam Ellipſis peripheriã. Quæ
omnia facili negotio demonſtrabuntur ſi animaduertatur, quod in quocunque
triangulo, cuius vnum latus altero ſit maius, hoc ipſum eſſe MAXIMIAM
linearum omnium à vertice anguli ab ipſis lateribus comprehenſi, ad puncta
baſis prædicti trianguli ducibilium, (tale enim triangulum eſt, quod a prædi-
ctis contingentibus tanquam lateribus, & à recta puncta contactuum iungen-
te, tanquam baſi efficitur, in quo idem maius latus, ſiue contingentium ma-
ior eò magis erit MAXIMA ad incluſam ſectionis peripheriam.) Si tandem
punctum fuerit in angulo ad verticem aſymptotalis, aut in aſymptotis eum
comprehendentibus, tunc vllam contingentium ducere imposſibile eſt, & du-
cibiles lineæ ad conuexam Hyperbolæ peripheriam ſemper augentur, ideoque
non datur MAXIMA; &
cum eſt in altero angulorum, qui deinceps ſunt
aſymptotali, vel in ipſis aſymptotis Hyperbolen continentilem
tantùm contingens linea ab eo duci poteſt, & hæc ad partem axis, quæ erit
MAXIMA ad eandem partem ducibilium; ſed ad oppoſitam, ipſæ ducibiles
ad Hyperbolæ conuexam peripheriam perpetuò pariter augentur. Sed in re
haud difficilis inueſtigationis ne ampliùs quæſo immoremur.
Tranſuerſorũ laterũ in Hyperbola, MINIMVM eſt axis;
in Elli-
pſi autẽ, MAXIMVM eſt axis maior, MINIMVM verò axis minor.
SIt Hyperbole A B C, cuius axis tranſuerſus D B, centrum E.
Dico D
B omnium tranſuerſorum eſſe _MINIMVM._
Sit quodcunque aliud H
per B axi applicetur
G B F, quę axi perpendicu-
laris erit, ac ſectionem con-
tinget in B. Erit ergo per-
pendicularis E B _MINIMA_
ad
& duplum D B maius du-
plo H A: ex quo D B erit
tranſuerſorum _MINIMVM._
In Ellipſi verò A B C,
cuius centrum E, & B D ſit
axis maior, & A C minor:
patet B D eſſe tranſuerſorum _MAXIMVM_, &
A C _MINIMVM_, ex primo Coroll. 86.
primihuius.
Quod erat, &
c.
Rectorum laterum in Parabola, MINIMVM eſt rectum axis.
ESto Parabole A B C, cuius axis B D, rectum B E.
Dico ipſum B E
reliquorum rectorum eſſe _MINIMVM_. Sit quælibet alia diameter
A F, quæ axi B D B F
tan-
dem axi applicetur A H, ſumaturque A I æqualis recto diametri A F.
Iam, ob contingentem A G, cum ſit
H B æqualis B G, & F A eidem B G ę-
rectan-
gulum ergo H B E ad F A I, vel qua-
dratum
ad A I, ſed eſt quadratum A H minus
quadrato A G, ſiue recta A H minor
recta A G, cum acutus angulus A G B
minor ſit recto A H G, quare B E
rectum, minus erit recto A I: eadem-
que ratione demonſtrabitur B E quo-
cunque alio recto minus eſſe: quare
B E rectum axis, eſt _MINIMVM._ Quod erat oſtendendum.
HInc patet, data quacunque Parabolæ diametro, ſi quæratur ratio
inter eius rectum, rectumque axis, hanc ipſam reperiri inter qua-
dratum contingentis interceptæ, à vertice datæ diametri vſque ad axim,
& quadratum axi ſemi-applicatæ ab eodem vertice.
Verùm ſi omnium rectorum continuam proportionem, in lineis, &
veluti ipſorum quandam propagationem ante oculos ponere expetemus, id
à proximo Theoremate addiſcere liceat.
Recta latera diametrorum in Parabola, ſunt inter ſe in ratio-
ne linearum ex puncto axis remoto à vertice per quadrantem
ſui recti, ad ipſarum diametrorum vertices eductarum.
ESto Parabole A B C, cuius axis B D rectum B I, ac eius quarta pars
ſit B D, & quælibet aliæ diametri ſint A E, F G, &
c.
quarum ver-
tices iungantur rectis D B, D A, D F, &c.
Dico, tùm axis, tùm prædi-
ctorum diametrorum latera eſſe inter ſe, vt ſunt ipſæ eductæ D B, D A,
D F, &c.
Erigatur ex A contingenti A G perpendicularis A L, quæ axi
per quartam recti lateris partem ex hypoteſi) & H G dupla
tota L G dupla eſt tota G D, ſiue L D æqualis D G, eſt-
que angulus L A G rectus, quare ſi
cum centro D, interuallo G, vel L
tranſibit per A; vnde D A item æ-
qualis erit ipſis D G, D L, ſiue L G
erit dupla D A. Et cum rectum axis
B D, ad rectum diametri A E, ſit vt
quadratum
dratum A L ad L G, vel vt recta
H L ad rectam L G (cum L A ſit
media proportionalis inter G L, L H)
ſumptis harum ſubduplis, erit rectũ
axis ad rectum diametri A E, vt D
B dimidium H L ad D A dimidium L G. Quod erat demonſtrandum.
Vocatur autem punctum D, focus Parabolæ.
HInc cõſtat, omnes eductas à foco ad Parabolę peripheriam, ęqua-
ri quartæ parti rectorum, earum diametrorum, quarum vertices
ſint termini, quibus ipſæ eductæ ſectioni occurrunt: rectum enim axis
B D ad rectum diametri A E, eſt vt D B ad D A, eſtque D B quarta pars
recti B I, quare, & D A erit quarta pars recti lateris diametri A E, &
D F
quadrans recti, diametri F R. Vnde quò diametri ab axe remotiores
fuerint, eò ipſarum recta maiora erunt. nam eſt D F maior D A, &
c.
PAtet etiam, quamlibet eductam ex foco, ęquari aggregato ex inter-
uallo foci ab axis vertice, & ſegmento axis inter verticem, &
ap-
plicatam ex occurſu eductæ cum ſectione. Oſtenſa eſt enim D A æqua-
lis D G, quæ æqualis eſt aggregato G B, cum B D, vel H B cum B D.
CVm demonſtratum ſit D G æqualem eſſe D A, erit angulus D G A,
vel parallelarum externus E A M, æqualis angulo D A G, ſed M
A G Parabolen contingit in A, quare ex Opticæ legibus, ſi E A fuerit
radius
bunt; vnde ſi ipſi fuerint ſonori, aut lucidi, ſimulque calidi, ibi ſonus,
calor, augebitur:
&
ſi à Solis corpore directè emanantes, ibi
fiet iccenſio
Si autem incidentes radij axi paralleli R F, O A à quadam recta N P
axi ordinatim ducta ſecentur, erunt aggregata incidentium cum earum
reflexis, ſimul æqualia.
Nam cum A D, ex præcedenti Coroll.
2.
ſit æqualis aggregato H B,
cum B D, additis hinc inde æqualibus A O, H P, proueniet aggregatum
O A, A D, æquale aggregato P B cum B D, itemque aggregatum R F,
cum F D oſtendetur ęquale eidem aggregato P B cum B D, quare aggre-
gata O A D, R F D æqualia erunt: quod acutiſſimè quidem à perſpica-
ciſſimo Caualerio, in eius Speculo Vſtorio animaduerſum fuit.
Si in triangulo A B C, latus A C, ita ſectum fuerit in D, vt
rectangulum A C D ęquale ſit quadrato baſis B C. Dico, iuncta
B D, angulum A B C ęqualem eſſe angulo B D C: ſi verò A C D
rectangulum maius fuerit prædicto quadrato, & angulus angulo
maior erit: &
è contra.
NAm cum fuerit rectangulum A C D æquale quadrato C B, erit A C
ad C B, vt B C ad C D, quare triangula A B C, B D C, ad com-
munem angulum A conſtituta, ſimilia erunt, ob
idque angulus A B C æqualis angulo B D C.
At cum rectangulum A C D maius fuerit qua-
drato C B, erit C E minor C D, ergo iuncta B E,
erit angulus A B C, æqualis angulo B E C, ſed
B E C maior eſt angulo B D C, quare A B C om-
ninò maior erit angulo B D C.
Si tandem rectangulum A C D minus fuerit
quadrato C B, non abſimili modo oſtendetur
angulum A B C minorem eſſe angulo A D C. Quod vltimò erat, &
c.
Si duæ rectæ lineæ A B, C D proportionaliter ſectæ fuerint
in E, F, & homologis ſegmentis A E, C F æqualia ſumantur
A G, C H, & ſuper A B, C D deſcripta ſint ſimilia triangula
I A B, L C D. Dico vt rectangulum G B E, ad quadratum B I,
ita eſſe rectangulum H D F ad quadratum D L.
CVm ſit enim A E ad E B, vt C F ad F D, erit conuertendo, &
com-
ponendo B A ad A E, vt D C ad C F, vel quadratum B A ad A E,
per con-
uerſionem rationis, quadratum A B ad
ad rectangulum H D F, & conuertendo,
rectangulum G B E ad quadratum A B,
vt rectangulum H D F ad quadratum C
D, & quadratum A B ad B I, eſt vt qua-
dratum C D ad D L, ob triangulorum
I A B, L C D ſimilitudinem; quare ex
æquo rectangulum G B E ad quadratum
B I, erit vt rectangulum H D F ad quadra-
tum D L. Quod erat, &
c.
Si quatuor magnitudinum eiuſdem generis, prima A ad ſe-
cundam B maiorem habuerit rationem, quàm tertia C ad quar-
tam D E, ſitque prima minor tertia, erit ſecunda minor quar-
ta.
FIat, vt A ad B, ita C ad D F, &
cum
A ad B habeat maiorem rationem,
F maiorem quàm ad D E, vnde D F erit
minor D E, & eſt A ad B, vt C ad D F,
erit permutando A ad C, vt B ad D F,
eſtque A minor C, ergo B erit minor D
F, & D F oſtenſa eſt minor D E, quare B
eò ampliùs erit minor D E. Quod erat, &
c.
Rectorum laterum in Hyperbola, cuius axis tranſuerſus non
ſit minor eius recto latere, MINIMVM eſt rectum axis.
ESto Hyperbole A B C, cuius centrum D, axis tranſnerſus E B, qui
primò ſit minor recto B F. Dico rectum B F eſſe rectorum laterum
_MINIMVM._
Sit quæcunque alia tranſuerſa diameter G D A, in ſectione producta
ad I, cuius rectum ſit A K ex A contingenter applicatum, & axi occur-
rens in H; &
ſit B I æquidiſtans A H, quæ ad diametrum G A I erit or-
dinatim ducta, atque ex I ſit I L ipſi D I perpendicularis, ex A verò A
M axi applicata, cui ex vertice B ſit parallela, vel contingens B O, ſe-
cans A H in P, iunganturque A B, O H.
Iam cum rectangulum D M H ad quadratum M A, ſit
maior cum igi-
latere I B.
Præterea, cum trian-
gula A P O, B P H
ni triangulo A P B, erunt
triangula A O B, A H B
ſuper eadem baſi A B in-
ter ſe ęqualia, quare O H
æquidiſtabit A B, ideo-
que vt D O ad O A, vel
D B ad B M, ita D H ad
H B, vel D A ad A I. Sunt ergo D M, D I pro-
portionaliter ſectæ in B,
A, quibus additæ ſunt D
E, D G, æquales ipſis D
B, D A, vtraq; vtrique,
ſuntq; rectangula triãgu-
la D M A, D I L ſimilia
inter ſe, quare recta ngu-
lum E M B ad quadratũ
M A,
quadrato I B, ideoque rectangulum G I A ad quadratum I L, hoc eſt tranſ-
uerſum E B ad rectum B F, habebit maiorem rationem, quàm rectangu-
lum G I A ad quadratum I B, vel quàm
A ad quartam A K, ſed eſt prima E B minor ſecun-
&
ſic de reliquis diametrorum rectis la-
quare B F, rectum axis tranſuerſi, eſt _MINIMVM_, &
c.
Si autem axis E B æqualis fuerit eius recto B F;
cum demonſtratum ſit re-
ctangulum G I A ad quadratum I L eſſe vt tranſuerſus axis E B ad rectum
B F; patet rectangulum quoque G I A æquari quadrato I L, ſed quando
E B æquatur B F, rectangulum etiam D M H æquatur
gulum G I A æquale quadrato I L, ergo idem rectangulum G I A æqua-
bitur quadrato I B, ſiue tranſuerſa diameter A G, eius recto A K æqualis
erit, & hoc ſemper, quæcunque ſit ducta tranſuerſa diameter præter axim.
Cum ergo Hyperbole fuerit rectangula æquilatera, ad aliam quoque
diametri applicationem æquilatera erit, ſed axis eſt tranſuerſorum ergo in Hyperbola, cuius axis tranſuerſus eius rectum adæquet,
rectum axis aliorum rectorum eſt _MINIMVM_. Quod erat, &
c.
CVm fuerit axis E B minor ſuo recto B F, ijſdem rationibus oſtende-
tur rectangulum D M H minus eſſe quadrato M A, & angulum D A
M, ſiue D L I minorem eſſe angulo A H M, ſiue angulo I B L, ac propte-
rea latus I L maius eſſe latere I B, ideoque rectangulum G I A ad quadra-
tum I L, ſiue tranſuerſum axem E B ad rectum B F, minorem habere ratio-
nem, quàm idem rectangulum G I A ad quadratum I B, vel quàm tranſuer-
fa G A ad rectum A K.
EX his patet, in Hyperbola, cuius axis tranſuerſus ſit maior recto, maio-
rem eſſe rationem axis ad propriumrectum, quàm cuiuslibet aliæ trãſ-
uerſæ diametri ad proprium rectum.
Et ſi axis, ſuo recto æqualis fuerit, axem ad proprium rectum eandem ra-
tionem habere, quàm quęlibet alia tranſuerſa ad proprium rectum, ob ęqua-
litatem.
Si denique axis ſuo recto fuerit minor, minorem eſſe rationem inter axem,
ac proprium rectum, quàm inter quamcunque aliam diametrum propriumq; rectum.
Sed hæc ſunt præter inſtitutum noſtrum, &
fuſim à præclariſſimo
Mydorgio pertractata.
Hinc, humanum eſſe errare deprehenditur, cum propoſitio 70.
de Hy-
perbola Gregorij à Sancto Vincentio, contrarium his falsò concludat cx
præcedenti 69. in qua (pace tanti Viri dictum ſit) neſcio quo fato halluci-
natus eſt.
Si quatuor magnitudinum, prima A ad ſecundam B minorem
habuerit rationem, quàm tertia C D ad quartam E, ſitque prima
maior ſecunda, erit tertia maior quarta.
FIat enim vt A ad B, ita C F ad E;
cum
nem quàm C D ad E, habebit quoque C F
ad E, minorem quàm C D ad E; quare C
F erit minor C D. Et cum ſit A ad B vt C F
ad E, dataque ſit A, maior B, erit C F
maior E, & eò magis C D maior eadem
E. Quod erat, &
c.
Rectorum laterum in Ellipſi MAXIMVM eſt rectum minoris
axis, MINIMVM verò rectum maioris.
ESto Ellipſis A B C D, cuius centrum E, axis minor A C, rectum A
G, & axis maior B D, rectum B F.
Dico A G rectorum omnium
eſſe _MAXIMVM_; B F verò _MINIMVM_.
Sit enim quælibet alia tranſuerſa diame-
ter H I, cuius rectum H L, ſitque diame-
ter M N ipſi H I coniugata, quæ media
proportionalis erit inter I H, & H L;
vn-
de quadratum ipſius M N æquabitur re-
ctangulo I H L, vti etiam quadratum A C
æquatur rectangulo D B F, & quadratum
B D rectangulo C A G; ſed eſt quadratum
A C, minus quadrato M N, cum ſit tranſ-
uerſa A C minor
I H L, quare B D ad H I minorem habe-
bit rationem quàm H L ad B F, eſtque B
D maior rectum H L erit
Præterea, cum ſit M N minor
rectangulo C A G, vnde I H ad C A minorem habebit rationem quàm
A G ad H L, ſed eſt I H maior Cum ſit ergo A G maior H L, &
H L maior B F erit A G adhuc
Quare A G rectum minoris axis eſt _MAXIMVM_, B F verò
maioris axis rectum, eſt _MINIMVM_. Quod erat demonſtrandum.
A puncto dato intra angulum rectilineum rectam applicare,
cuius rectangulum ſegmentorum ſit MINIMVM.
ESto ABC angulus rectilineus, in quo datum punctum ſit D.
Opor-
tet ex D rectam in angulo applicare, ita vt rectangulum ſub ipſius
ſegmentis ſit _MINIMVM_.
Ducatur B E angulum A B C bifariam ſecans, cui per D recta perpen-
dicularis applicetur A D C. Dico hanc ipſam quæſitum ſoluere.
Cum enim in triangulis B E A, B E C anguli ad E ſint recti, &
ad B
facti æquales, erunt reliqui anguli B A E, B C E æquales, & qui infra A
C, baſim trianguli æquicruris A B C, pariter æquales.
Iam ducatur per D quælibet alia F D G.
angulus D C L maior interno D G C, fiat
angulus D G H ipſi D C L, ſiue D A F æ-
qualis, eſtque angulus G D C æqualis an-
gulo A D F, & duo ſimul D A F, A D F
minores ſunt duobus rectis, ergo & duo
D G H, G D C erunt duobus rectis mino-
res, ſiue G H cum D C producta conue-
niet, vt in H, eritque reliquus angulus H
in triangulo D H G æqualis reliquo F in
triangulo D F A: quare huiuſmodi trian-
gula ſimilia erunt, & circùm æquales an-
gulos ad D habebunt latera proportio-
nalia, ſiue vt A D ad D F, ita G D ad D
H, vnde rectangulum A D H æquale erit
rectangulo F D G, ideoque rectangulum
A D C minus erit rectangulo F D G, & hoc ſemper vbicunque applicata
ſit per D, recta F D G præter A D C. Quare rectangulum ſub ſegmentis
A D, D C eſt _MINIMV M_ quæſitum. Quod erat faciendum.
A puncto intra coni-ſectionem dato rectam applicare, cuius
rectangulum ſegmentorum ſit MINIMVM. In Ellipſi verò, &
MAXIMVM rectangulum reperire.
ESto primùm A B C Parabole, vel Hyperbole, vt in prima figura, cu-
ius axis B D, & datum intra ipſam punctum ſit E.
Oportet per E re-
ctam ſectioni applicare, ita vt rectangulum ſub eius ſegmentis ſit _MINI-_
_MVM_.
Applicetur per E recta A E D C axi ordinatim ducta.
Dico hanc ip-
ſam quæſitum ſoluere: ſiue rectangulum A E C eſſe _MINIMVM_.
Nam applicata per E qualibet alia inclinata F E G:
non abſimili mo-
do, ac in 26. ſecundi conicorum, demonſtrabitur applicatas A C, F G in-
tra ſectionem ſe mutuò ſecantes in E, in ipſo E nunquam bifariam ſimul
ſecari, ex quo ipſarum applicatarum diametri diſiunctæ erunt inter ſe,
ideoque B vertex portionis A B C non erit vertex portionis F H G: is er-
go ſit H; ducaturque ex B ſectionem contingens B I, ſiue applicatę A C
æquidiſtans; itemque ex H recta contingens H I, ſiue F G parallela, que
contingentes ſimul conuenient Erit ergo rectangulum A E C, ad
ſed eſt con-
quadra-
tum quadrato minus erit, ſiue rectangulum A E C minus rectangulo F E
hoc ſemper quæcunque ſit quæ per E applicatur diuerſa ab appli-
cata A C, ergo rectangulum A E C eſt _MINIMVM_ quæſitum.
Sit verò A B C D in ſecunda figura Ellipſis, cuius axis maior B D, mi-
nor A C, centrum E, & punctum intra datum ſit F.
Oportet per F re-
ctas in ſectione applicare quales inuenire propoſuimus.
Sit per F maiori axi B D ordinatim ducta G F H, minori verò ſit I F L.
Dico rectangulum G F H eſſe _MINIMVM, MAXIMVM_ verò I F L.
Sit quælibet alia per F ap-
portionis
M O N ſit vertex O, atque ex
axium verticibus A, B, vti e-
tiam ex O agantur contingen-
tes A P, B Q, P O Q, quæ ſi-
mul occurrent
ad I F L,
contingens B R, rectangulum G F H
minus erit rectangulo I F L.
Præterea rectangulum G F H ad M F N eſt vt quadratum B Q ad qua-
dratum O Q, ſed eſt contingens B Q
ctangulo M F N, & hoc ſemper vbicunque cadat applicata M F N:
qua-
re rectangulum G F H eſt _MINIMVM_ quæſitum.
Demùm cum rectangulum I F L ad N F M, ſit
erit rectangulo N F M, & hoc ſemper vbicunque ſit ducta N F M inter
applicatas I F L, G F H quare rectangulum I F L eſt _MAXIMVM_ quæſi-
tum. Quod vltimò inuenire propoſitum fuit.
PLANVM ACVMINATVM REGVLARE, vel ACVMINATVM
tantùm voco omnem figuram planam, circa diametrum, in alteram par-
tem deficientem, & cuius perimeter ſit in eaſdem partes cauus.
Hoc eſt figura plana A B C,
C, E F, G H, &c.
à figurę pe-
rimetro terminatæ, ac inter ſe
æquidiſtantes, à quadam re-
cta B D bifariam ſecentur, &
in alteram partem, vt puta ad
B, continuò decreſcant, do-
nec abeant in punctum B, ſit-
que earum perimeter A G B H C ad eaſdem partes cauus vocetur PLA-
ACVMINATVM, cuius terminus B vocetur VERTEX; &
æquidiſtan-
tes A C, E F, G H, &c.
quæ à B D bifariam diuiduntur, dicantur AP-
PLICAT Æ ad ipſam B D, qnæ vocetur DIAMETER, vel AXIS quan-
do ipſa perpendiculariter ſecet eaſdem applicatas. A C verò dicatur BA-
SIS ACVMINATI; &
B I, quæ à vertice ſuper baſim ducitur perpen-
dicularis, ACVMINATI ALTITVDO nuncupetur.
PLANA ACVMINATA REGVLARIA PROPORTIONALIA, vel
tantùm ACVMINATA PROPORTIONALIA dicantur illa, quorum
omnes applicatæ à punctis eorum diametros proportionaliter diuidenti-
bus, ſint quoque inter ſe proportionales.
Sint nempe duo Acu-
E F G, ſuper baſes A C,
E G, qualia in præce-
denti definitione expli-
cauimus, quorum dia-
metri B D, F H propor-
tionaliter ſectæ ſint in
quotcunque punctis I,
M; L, N, &
c.
ſiue ſit B I
ad I D, vt F M ad M H,
& B L ad L D, vt F N
ad N H, &c.
atque m
punctis inter ſectionum
applicatæ ſint O P, QR; S T, V X, quę ex homo-
logis punctis ſint ad inuicem proportionales, hoc eſt vt A C ad E G, ita
O P ad S T, & Q R ad V X, &
c.
huiuſmodi figuræ vocentur PLANA
ACVMINATA REGVLARIA PROPORTIONALIA, veltantùm ACV-
MINATA PROPORTIONALIA.
Si duæ rectæ lineæ terminatæ A B, C D bifariam ſectæ fue-
rint in E, F, & proportionaliter producantur, vt in prima figu-
ra; vel diuidantur, vt in ſecunda, in G, H, ita vt ſit A B ad B G,
vt C D ad D H, parteſq; adiectæ, vel demptæ B G, D H iterum
proportionaliter ſecentur in I, L, ita vt B I ad I G, ſit vt D L ad
L H. Dico rectangulum A G B ad rectangulum A I B, eſſe vt re-
ctangulum C H D ad rectangulum C L D.
NAm cum ſit A B ad B G, vt C D ad D H, erit in prima figura com-
ponendo, in ſecunda verò diuidendo A G ad G B, vt C H ad H D,
eſt B G ad G I, vt D H ad H L (cum diui-
dendo factum ſit B I ad I G, vt D L ad L H)
ergo ex æquo A G ad G I erit vt C H ad H L,
& in prima figura per conuerſionem rationis,
in ſecunda verò, componendo, per conuer-
ſionem rationis, & conuertendo, erit G A ad
A I, vt H C ad C L: &
cum ſuperiùs demon-
ſtratum ſit eſſe B G ad G I, vt D H ad H L,
erit, per conuerſionem rationis, G B ad B I,
vt H D ad D L. Iam rectangulum A G B ad
A I B habet rationem compoſitam ex ratione
G A ad A I, vel ex H C ad C L, & ex ratio-
ne G B ad B I, vel ex H D ad D L, ſed ex ijſ-
dem rationibus H C ad C D, & H D ad D L
componitur ratio rectanguli C H D ad rectan-
gulum C L D, quare vt rectangulum A G B ad
A I B, ita rectangulum C H D ad C L D. Quod erat, &
c.
Quælibet Portiones eiuſdem, vel diuerſarum Parabolarum
ſunt Acuminata Proportionalia.
Item, Portiones eiuſdem, vel diuerſarum Hyperbolarum,
Ellipſium, aut Circulorum; quarum tamen ſegmenta diametro-
rum in ijſdem portionibus intercepta ad ſuas ſemi-diametros
eandem homologam habeant rationem, ſunt pariter inter ſe
Acuminata proportionalia.
SInt primò duę portiones A B C, D E F eiuſdem, vel diuerſarum Pa-
rabolarum in prima figura, quarum baſes ſint A C, D F. Dico ip-
Repertis enim earum diametris B G, E H, diuidantur ipſæ proportio-
naliter in I, L, applicenturque M I N, O L P. Cum ſit ergo G I ad I B,
vt H L ad L E, erit componendo G B ad B I, hoc eſt quadratum ap-
plicata A C ad M N, vt applicata D F ad O P. Quare, ex ſecunda præ-
cedentium definitionum, ipſæ portiones A B C, D E F erunt Acuminata
Proportionalia. Quod primò, &
c.
Præterea ſint A B C, D E
diuerſarum Hyperbolarum, vt
in ſecunda figura, vel Elli-
pſium, aut circulorum, vt in
tertia, quarum baſes A C, D
F, & diametrorum ſegmenta
in ipſis intercepta ſint B G, E
H, quæ vſque ad ſectionum
centra Q, R producantur, &
ſit vt G B ad BQ, ita H E ad
E R. Dico item has portio-
nes A B C, D E F eſſe inter ſe
Acuminata Proportionalia.
Nam diuiſis diametris B G,
E H proportionaliter in I, L,
per I, L applicentur M I N,
O L P, & productis ſemi-dia-
metris B Q, E R ſumantur eis
æquales Q S, R T, ita vt S B,
T E ſint ſectionum diametri.
Iam cum ſit G B ad B Q vt
H E ad E R, erit conuerten-
do, & ſumptis antecedentium duplis S B ad B G, vt T E ad E H, ſuntq;
S B, T E bifariam ſectæ in Q, R, &
partes adiectæ, in ſecunda figura,
vel demptæ in tertia B G, E H proportionaliter diuiſæ ſunt in I, L, ergo
rectangulum S G B ad S I B, ſiue permutando A C
ad D F, vt M N ad O P, & hoc ſemper de quibuslibet applicatis per
pnncta diametrorum B G, E H ipſas proportionaliter ſecantia, quare, ex
definitione ſecunda, ipſæ portiones A B C, D E F erunt Acuminata pro-
portionalia. Quod vltimò demonſtrandum erat.
Proportionalia Acuminata, quorum baſes eorum altitudini-
bus ſint reciprocè proportionales, ſunt inter ſe æqualia.
SInt duo proportionalia Acuminata A B C, D E F, quorum diametri
ſint B G, E H, altitudines verò B I, E L, quæ inter ſe reciprocam
habeant rationem baſium A C, D F; ſiue ſit vt A C ad D F, ita E L ad
B I. Dico huiuſmodi Acuminata inter ſe æqualia eſſe.
Si enim poſſibile eſt,
nempe A B C reliquo D
E F minus, & per con-
tinuam diametri B G
biſectionem, iuxta vul-
gatam methodum, cir-
cumſcribatur ipſi A B
C, figura exparallelo-
grammis conſtans æ-
qualium altitudinum A
L, M N, &c.
quorum
altitudines I T, T V, &c.
æquales erunt (cum
altitudo B I in tot æ-
quales partes diuidatur
ab æquidiſtantibus parallelogrammorum baſibus A C, M O, &c.
in quot
partes diameter B G ſecta fuit) huiuſmodi autem circumſcripta figura ex
parallelogrammis, acuminatum A B C ſuperet minori exceſſu, quò acu-
minatum D E F ponitur excedere idem acuminatum A B C, adeo vt ipſa
circumſcripta A B N L C ſit adhuc minor acuminato D E F, cui circum-
ſcribatur item figura D E R P F ex totidem parallelogrammis D P, Q R &c.
æqualium altitudinum K X, X Y, &c.
Iam, cum ſit baſis A C ad D F, vt altitudo E K ad B I, vel vt ſubmul-
tiplex K X ad æque-ſubmultiplicem I T, erit parallelogrammum A L, æ-
quale parallelogrammo D P. Et cum, ex conſtructione, ſit G B ad B Z,
vt H E ad E 3, erit, ex definitione proportionalium acuminatorum, A C
ad D F, vt M O ad Q S, ſed A C ad D F eſt vt E K ad B I, ergo, & M
O ad Q S erit vt E K ad B I, vel vt ſubmultiplex X Y ad æque-ſubmul-
tiplicem T V: parallelogrammum igitur M N æquatur parallelogrammo
Q R; &
ſic de reliquis, ſingula ſingulis:
ergo vniuerſa figura A B N L C
æqualis erit vniuerſæ D E R P F, ſed figura A B N L C facta eſt minor
acuminato D E F, quare figura D E R P F erit quoque minor eodem ſibi
inſcripto acuminato D E F: totum parte, quod eſt abſurdum.
Nullum
ergo horum acuminatorum eſt reliquo minus, quapropter æqualia eſſe
inter ſe neceſſe eſt. Quod erat demonſtrandum.
EX hac facilè elicietur methodus, qua precipuas quorumlibet Acumi-
natorum paſſiones oſtendi poſſint, nempe: ipſa Acuminata à diame-
tris bifariam ſecari: &
Proportionalia Acuminata ęqualium altitudinum
inter ſe eſſe vt baſes: &
(tanquam Corollarium) Acuminata proportio-
nalia æqualium baſium eſſe inter ſe vt altitudines: item duo quæcunque
Acuminata proportionalia habere inter ſe rationem compoſitam ex ratio-
ne baſium, & ex ratione altitudinum:
&
ad inſcripta triangula, vel cir-
cumſcripta parallelogramma eandem retinere rationem, aliaque his ſimi-
lia: &
quod de proportionalibus Acuminatis, idem penitus euenire de ſi-
milibus menſalibus proportionalium Acuminatorum, præmiſſa priùs ha-
rum menſalium definitione, &c.
quæ omnia infinitas figurarum ſpecies
c.
maximè con-
ducunt. Sed hæc aliàs, quę tamen cum ſint haud obſcurę indagationis,
& huic noſtro inſtituto prorſus aliena, erudito Lectori ſic præmonſtraſſe
ſuſſiciat.
Si duæ rectæ lineæ inter ſe æquales fuerint, &
parallelæ, &
ab earum extremis terminis ducantur lineæ quemlibet angulum
efficientes, ab alteris autem terminis aliæ ipſis æquidiſtantes; hæ quoque angulum inter datas conſtituent, &
recta angulo-
rum vertices coniungens erit vtrique datarum æqualis, & pa-
rallela.
Si verò datæ rectæ lineæ terminatæ ad quemcunque angulum
applicatæ fuerint, & vbicunque proportionaliter ſectę, aut pro-
ductæ, atque ab homologis earum punctis, hoc eſt, vel ab ex-
tremis terminis, vel ab inter-ſectionum, aut productionum pun-
ctis, ductæ fuerint intra datum angulum aliæ rectæ lineæ, quæ
item angulum quemlibet conſtituant, à reliquis verò punctis aliæ
ipſis æquidiſtanter ducantur, hæ pariter tertium angulum effi-
cient intra datum, & horum trium angulorum vertices in vna
eademque recta linea reperientur.
SIt, in prima figura, recta A B æqualis, &
parallela ad C D, &
exter-
minis A, C inter eas conſtituatur angulus quicunque A E C ducta-
que B F parallela ad A E, D F verò ad C E. Dico B F, D F inter datas
æquidiſtantes conuenire, & E F iungentem angulorum vertices, alteri A
B, vel C D eſſe æqualem, & parallelam.
Iungantur A C, B D:
&
quoniam B F eſt parallela ad A E, erit angu-
lus G B F æqualis angulo B A E; cumque A B ſit æqualis, &
parallela ad
parallelæ, idcirco angulus G B D æ-
qualis angulo B A C, ergo reliquus angulus D B F, æqualis erit reliquo
C A E; eadem ratione oſtendetur angulum B D F æquari angulo A C E,
& B D demonſtrata eſt æqualis ipſi A C, ergo in triangulis B F D, A E
C, cum æqualia latera B D, A C æqualibus angulis adiaceant, erit ter-
tius angulus B F D, tertio A E C æqualis, & reliqua latera B F, A E,
itemque D F, C E, inter ſe æqualia, ſed ſunt quoque parallela, ob hy-
poteſim, ergo E F angulorum vertices iungens, erit æqualis, & paralle-
la ad A B, vel ad C D; cadetque inter datas A B, C D, cum punctum
E, ex quo ducitur ſit inter eas, ſicque angulus B F D cadet intra datas
æquidiſtantes A B, C D. Quod primò oſtendere opus erat.
Sint verò, in reli-
quis tribus figuris,
datæ rectæ A B, A C
B A C conſtituentes,
quę proportionaliter
ſecentur, vel produ-
cantur in D, E; &
ex punctis D, E du-
ctæ ſint D F, E F ſibi
ipſis occurrentes in-
tra datum angulum
in F, ex reliquis ve-
rò punctis B C, alię
ipſis æquidiſtantes B
G, C H. Dico item
has intra angulum B
A C inter ſe conue-
nire, vt in G, ac tres
angulorum occurſus
A, F, G in eadem re-
cta linea reperiri.
Nam iuncta A F, &
producta cum B G ipſi D F ęquidiſtet, &
A F cum
D F conueniat, conueniet quoque producta cum B G, ſit ergo G punctum
occurſus. Item cum C H æquidiſtet ipſi E F, &
A F ſecet E F, producta
ſecabit quoque C H: ſecet in H.
Oſtendam puncta G, H, quæ iam in
recta A F reperiri demonſtratum eſt, eſſe vnum idemque punctum rectæ
A F: eſt enim in triangulo A G B vt G A ad A F, ita B A ad A D, vel,
ob hypoteſim, vt C A ad A E, vel vt H A ad A F, ergo G A, & H A
ſunt æquales, hoc eſt puncta G, & H non ſunt duo, ſed vnum tantùm,
& in eadem recta linea in qua ſunt puncta A, F.
Ergo B G, C H inter
ſe conueniunt intra datum angulum, ac trium angulorum vertices ſunt
in directum poſiti. Quod vltimò oſtendere propoſitum fuit.
Si fuerit quodcunque quadrilaterum rectilineum A B C D, cu-
ius oppoſita latera A D, B C bifariam ſecta ſint in punctis F,
E, iunctaque ſit recta F E, in qua ſumptum ſit quodlibet pun-
ctum G, vel intra, vel extra quadrilaterum à quo ad terminos
alterius ęquidiſtantium veluti ad A, D, ductæ ſint G A, G D,
ac in triangulo A G D, ſit quædam H I ipſis A D, B C æquidi-
ſtans, & E F ſecans in L.
Dico, ſi iungantur B H, C I, trian-
gula A B H, D C I inter ſe æqualia eſſe.
NAm totum quadrilaterum A B E F, æquale eſt integro quadrilatero
D C E F (vtrunque enim diuiditur per diagonales A E, D E, in
duo triangula alterum alteri æquale, eò quod ſint ſuper æqualibus baſi-
bus, ac inter eaſdem parallelas) eadem ratione quadrilaterum A H L F
æquale eſt quadrilatero D I L F, & quadrilaterum B E L H æquale qua-
drilatero C E L I, ergo, & reliquum triangulum A B H reliquo triangulo
D C I eſt æquale. Quod erat demonſtrandum.
His itaque præoſtenſis, ad inueſtigationem MAXIMARVM, MI-
NIMARV MQVE portionum per idem datum punctum ex qualibet coni-
ſectione abſciſſarum accedamus, præmiſſo tamen, ſuper figurastertij Sche-
matiſmi, ſequenti Theoremate, vniuerſalem, ſimulque facilem methodum
exhibente, qua æquales portiones de eadem coni-ſectione abſcindi poſſunt.
Si in Parabola, ex binis ipſius diametris duo æqualia ſegmen-
ta ſint abſciſſa: in Hyperbola verò, Ellipſi, vel circulo duæ ſe-
mi-diametri proportionaliter intra ſectionem ſectę fuerint, & ex
uiſionum, in reliquis ſectionibus, ordinatim applicentur lineæ ad
fuas diametros, & producantur, donec ad vtranque partem ſe-
ctioni occurrant: coni- ſectionum portiones;
at in Ellipſi, vel
circulo, minores portiones ijſdem applicatis, tanquam baſibus
inſiſtentes, inter ſe æquales erunt.
ESto A B C Parabole, in prima, ſecunda, &
tertia figura, vel Hyper-
bole in quarta, quinta, & ſexta, aut Ellipſis in ſeptima, octaua, &
nona, aut circulus, in reliquis, quarum ſectionum binæ diametri in Pa-
rabola ſint D B, D E, à quibus dempta ſint æqualia ſegmenta B F, E G,
& in reliquis binæ ſemi-diametri D B, D E (quæ primò in Ellipſi, vel
circulo omnino conſtituant angulum B D E) ita intra ſectiones ſectæ ſint
in F, G, vt D B ad B F, ſit vt D E ad E G, & per puncta F, G, in ſin-
gulis figuris ſint ad diametros D B, D E ordinatim ductæ A F C, H G I,
quæ ad vtranque partem ſectioni occurrent H, I, &
Di-
co portiones A B C, H E I ſuper ijſdem applicatis, tanquam baſibus inſi-
ſtentes, inter ſe æquales eſſe.
Nam, ductis ex B, E rectis B N, E N ſectionem contingentibus in B,
E; ipſæ occurrent
applicatis
Iungantur præterea E B, G F.
Iam in Parabolis, cum ſint E G, B F inter ſe æquales, &
parallelę, iun-
ctæ quoq; E B, G F inter ſe æquidiſtabunt, &
cum ex illarum terminis E,
B, ductæ ſint rectę E N, B N angulum E N B inter eas conſtituentes, atq; ex reliquis terminis G, F, ſint G I, F A, ipſis E N, B N æqurdiſtantes;
ipſæ G I, F A inter eaſdem E G, B F ſimul conuenient, vt in M, & iuncta
N M ijſdem E G, B F æquidiſtabit, ſiue erit altera Parabolæ
E N ad G M, erit E N æqualis
eademque ratione B N æqualis F M, quare vt E N ad N B, ita G
M ad M F.
In reliquis verò figuris, cum rectæ D B, D E angulum E D B efficien-
tes, proportionaliter ſectæ, aut productæ ſint in G, F, ſintque ex earum
homologis terminis E, B ductæ E N, B N angulum inter ipſas conſti-
tuentes E N B, & ex reliquis diuiſionum punctis G, F, ſint G I, F A ijſdem
E N, B N parallelę, hæ intra datum angulum E D B ſimul conuenient, vt
in M; &
recta iungens puncta D, M, per occurſum M omnino tranſibit,
ſiue Cumque ob parallelas G M, E N ſit G
ob parallelas M F, N B ſit M F ad N B,
permu-
tando G M ad M F, vt E N ad N B.
Cum ergo, in figuris prima, ſecunda, quarta, quinta, ſeptima, octaua,
decima, ac decimaprima ſit G M ad M F, vt E N ad N B, erit quoq; qua-
dratum G M ad M F, vt quadratum E N ad N B, vel vt permutando quadratum G M ad rectan-
gulum H M I, vt quadratum F M ad rectangulum C M A, & couertendo
in prima, quarta, ſeptima, & decima figura (in quibus applicatæ H I, C A
ſecant ſe mutuò intra ſectionem in puncto M) rectangulum H M I ad qua-
dratum G M, vtrectangulum C M A ad quadratum F M, & componendo
rectangulum H M I cum quadrato G M, ſiue vnicum quadratum H G, (nam
eſt A C bifariam ſecta in G, & non bifariam in M) ad quadratum G M, vt
rectangulum C M A cum quadrato F M, ſiue vt vnicum quadratum C F
(cum A C quoque ſecta ſit bifariam in F, & non bifariam in M) ad quadra-
tum F M. In figuris verò ſecunda, quinta, octaua, &
vndecima, in quibus
applicatæ H I, C A ſe mutuò ſecant extra ſectionem in puncto M, cum ſit
G M quadratum ad rectangulum H M I, vt quadratum F M ad rectangu-
lum C M A, erit per conuerſionem rationis quadratum M G ad quadratum
G H (eſt enim rectangulum H M I cum quadrato G H æquale quadrato G
M, cum ſit H I bifariam ſecta in G, & ei adiecta ſit I M) vt quadratum M
F ad quadratum F C, ob eandem rationem, (nam C A quoq; bifariam ſecta
eſt in C, eiq; addita eſt in directum A M) &
conuertendo quadratum H G ad
G M quadratum, erit vt quadratum C F ad F M. Itaq;
in ſingulis prædictis
figuris, déptis tertia, ſexta, nona, & duodecima, cum demonſtratum ſit qua-
dratum H G ad G M eſſe vt quadratum C F ad F M, erit quoque linea H G
G M, vt linea C F ad F M. In figuris deniq;
tertia, ſexta, nona, &
duodeci-
ma, in quibus applicatę H I, C A conueniunt ſimul cum ipſa ſectione in pun-
cto M, patet quoque eſſe H G ad G M, vt C F ad F M, cum ipſæ H I, C
A, vel H M, C M bifariam ſecentur in G, F ab earum diametris E G, B F. Eſt igitur in qualibet datarum figurarum huius ſchematiſmi, H G ad G M, vt
C F ad F M, quare iuncta H C æquidiſtabit iunctæ G F; ſed eſt I G æqua-
lis H G, & A F æqualis C F, ergo etiam I G ad G M erit vt A F ad F M,
ideoque iuncta A I æquidiſtabit eidem G F, ſed E B quoque ipſi G F ęqui-
diſtat (vt iam ſupra oſtendimus in Parabolis, & cum in reliquis ſectionibus
ſit D E ad E G, vt D B ad B F ex hypoteſi) ergo quatuor iunctæ rectæ lineæ
E B, A I, G F, H C ſunt inter ſe parallelæ; ſed N M, quàm ſuperiùs oſten-
dimus eſſe ſectionis diametrum, tranſit per N occurſum contingentium E
N, B N, ergo recta E B puncta contactuum iungens, ab eadem diametro N
M D bifariam ſecabitur,
ſecabuntur, vt H C in P.
Denique iungantur rectæ H E, C B, &
fiet quadrilaterum H E B C, cu-
ius oppoſita latera H C, E B ſunt parallela, & bifariam ſecta à recta P O, in
qua ſumptum eſt punctum M, & ab ipſo ad terminos alterius ęquidiſtantium
nempe ad H, C ductę ſunt rectæ M H, M C, ac in triangulo H M C eſt G F
ipſi H C parallela, quare iunctę E G, B F auferent triangula E G H, B F C
inter ſe quapropter baſis H G ad baſim C F erit reciprocè, vt al-
lorum altitudines eædem ſunt, ac altitudines portionum A B C, H E I, cum
puncta B, E ſint earundem portionum vertices; quare vt baſis H G ad ba-
ſim C F, vel ſumptis duplis, vt H I baſis portionis H E I, ad A C baſim
portionis A B C, ita reciprocè altitudo portionis A B C ad altitudinem por-
tionis H E I, ſuntque huiuſmodi portiones pro-
eorum baſes altitudinibus reciprocantur, quare ipſa Acumi-
nata, ſeu portiones H E I, A B C inter ſe ſunt Quod oſtendere
Princeps in 4. Prop.
de Conoid.
ac Sphæroid.
ſuppoſita tamen eiuſdem Pa-
rabolę quadratura.
HInc eſt, quod applicatæ ex terminis æqualium diametrorum in Para-
bola, vel ex punctis, in reliquis ſectionibus, proportionaliter diuidẽ-
tibus ſemi-diametros ad angulum conſtitutas, omnino ſe mutuò ſecant; &
quod rectæ lineę, tùm harum applicatarum puncta media, tùm extrema iun-
gentes, rectæ ſemi-diametrorum terminos iungenti æquidiſtant. Demon-
ſtratum eſt enim H I, A C ſecare ſe mutuò in M, & iunctas H C, G F, A I
ipſi E B eſſe parallelas.
PAtet quoq;
in quarta, quinta, ſeptima, &
octaua figura, portiones eiuſ-
dem Ellipſis, vel circuli, quarum baſes tranſeant per puncta earum ſe-
mi-diametros proportionaliter ſecantia, etiam ſi ipſæ ſemi-diametri ſint in
directum poſitæ, hoc eſt applicatæ inter ſe æquidiſtent, eſſe quoque inter ſe
æquales. Vtra enim talium portionum æqualis demonſtratur, (vt in ſupe-
riori propoſitione) ei portioni, cuius baſis ſit applicata per punctum propor-
tionaliter ſecans aliam ſemi-diametrum, quæ cum prædictis angulum con-
ſtituat.
EX ijſdem conſtat, quod ſi quotcunque applicatæ in eadem Ellipſi, vel
circulo integras diametros proportionaliter ſecent, abſciſſæ portiones
viciſſim æquales erunt, hoc eſt minor minori, & maior maiori.
Si enim in prædictis figuris ſint duæ diametri B R E L, ita ſectæ in F, G;
vt R F ad F B ſit vt L G ad G E, erit componendo, &
ſumptis antece-
dentium ſubduplis D B ad B F, vt D E ad E G; applicatis ergo A F C,
H G I erunt portiones A B C, H E I inter ſe æquales, & reliqua portio
A R C reliquæ portioni H R I æqualis erit.
Per datum punctum in angulo rectilineo, rectam applicare,
quæ de angulo abſcindat triangulum MINIMVM.
ESto angulus rectilineus A B C, in quo datum ſit punctum D.
Oportet ex
D rectam applicare, quæ ab angulo auferat triangulum _MINIMVM_.
Iungatur diameter B D, ad quàm applicetur per D recta A D C, quæ in
dato puncto D Dico hanc ipſam quæſitum ſoluere, hoc
Ducatur quælibet alia E D F, &
ab extremo
puncto C agatur C G ipſi E A ęquidiſtans. Et
cum ſit A D æqualis D C, ob conſtructionem,
erit quoque E D ęqualis D G, & angulus A D E
ęquatur angulo C D G, ergo triangulum A D E,
triangulo C D G ęquale erit, ac ideò A D E mi-
nus triangulo C D F; ſi ergo addatur commune
trapetium B E D C, erit triangulum A B C mi-
nus triangulo E B F, & hoc ſemper:
quare trian-
gulum A B C eſt _MINIMVM_. Quod reperien-
dum erat.
Per datum punctum intra coni-ſectionem, vel circulum rectam
applicare, quæ de ipſa auferat portionem MINIMAM.
ESto A B C data Parabole, vt in prima figura, vel Hyperbole, vt in ſe-
cunda, aut Ellipſis, vel circulus, vt in tertia, quarum centrum H, &
punctum intra datum ſit D. Oportet per D rectam applicare, quæ de ſe-
ctione abſcindat portionem _MINIMAM_.
Ducatur H B D ſectionis diameter tranſiens per datum punctum D, per
quod ei ordinatim applicetur recta A D C. Dico portionem A B C eſſe _MI-_
_NIMAM_ quæſitam.
Nam applicata per D in ſectione qualibet alia E D F, cum ipſa E F alte-
ram applicatam A C in ſectione bifariam ſecet in D, ipſæ ſe mutuò bifariam
non ſecabunt, per 6. ſecundi conicorum, quæ licet de ſola Ellipſi, vel circu-
lo agat, verificatur quoque de quacunque data coni-ſectione. Secetur er-
go E F bifariam in G, per quod ducatur eius diameter G I H ſectioni oc-
currens in I, per quod agatur ſectionem contingens IL, quæ ipſi E G F æ-
quidiſtabit,
reliqua producta F D E ad partes E, ac ideò D M, quæ ex D ducitur ipſi
B I æquidiſtans cadet ſupra D F, ſecabitque diametrum I G, vt in M, cui
Iam, in prima figura, cum ſit B D parallela ad I M, &
B I ad D M, erit
diametri ſegmentum B D æquale diametri ſegmento I M; ſuntque ex D, M
applicatæ diametris rectæ A D C, N M O, vnde portiones A B C, N I O
æquales
In reliquis verò, cum in triangulo D H M ſit B I parallela ad D M, erit
H B ad B D, vt H I ad I M, ſuntque ex D, M applicatæ diametris rectæ
A D C, N M O, quare portiones A B C, N I O æquales Cum er-
& ſit portio N I O minor portione E I F, pars toto, ergo portio A B C erit
quoque minor portione E I F, & ſic quacunque alia portione, ab applicata
per D abſciſſa, minor demonſtrabitur. Vnde portio A B C eſt _MINIMA_
quæſita. Quod faciendum erat.
HInc eſt, quod dum per datum punctum D intra Ellipſim, ducitur appli-
cata A D C _MINIMAM_ portionem abſcindes, habetur ſimul _MA_-
_XIMA_ portio, quæ eſt reliqua A P C, vt per ſe ſatis conſtat.
In congruentibus Parabolis per diuerſos vertices ſimul adſcri-
ptis, intercepta communium diametrorum ſegmenta inter ſe ſunt
æqualia, & huiuſmodi Parabolæ dicantur ęquidiſtantes.
Contin-
gentes verò vtranq; ſectionem ad terminos eiuſdem diametri inter
ſe æquidiſtant.
SInt duæ congruentes Parabolæ A B C, D E F per diuerſos vertices B, E
ſimul adſcriptæ circa communem diametrum B E H, & inter ipſas du-
cta ſit quæcunque alia A D ipſi B E parallela, (quæ vtrique Parabolæ con-
ueniet communi diame-
tro B E occurrentes Dico diametrorum intercepta ſegmenta B E,
contingentes A I, D L inter ſe æquidiſtare.
Nam primum patet ex primo Coroll.
42.
cumq;
omnes interceptæ B E,
A D, &c.
ſint æquales vocentur, huiuſmodi
Parabolæ inter ſe ęquidiſtantes. Secundum
verò, ita oſtenditur.
Applicentur ex A, D ad diametrum B H
rectæ A G, D H; erit A H parallelogram-
mum, ex quo G H æqualis erit A D, ſiue
ipſi B E, quare dempta, vel addita, vti opus
fuerit, communi G E, proueniet B G ęqua-
lis H E, & dupla
eſt G A æqualis H D, &
angulus
I G A angulo L H D æqualis, ergo angu-
lus quoque G I A angulo H L D æqualis erit. Quare contingentes A I, D
L inter ſe æquidiſtant. Quod, &
c.
In Hyperbolis, aut Ellipſibus ſimilibus, &
concentricis, per
diuerſos vertices ſimul adſcriptis, intercepta communium dia-
metrorum ſegmenta ad proprias ſemi-diametros vnam eandem-
que habent rationem, & quæ ſectiones contingunt ad terminos
eiuſdem diametri inter ſe æquidiſtant.
SInt duæ Hyperbolæ ſimiles in prima figura, vel duæ ſimiles Ellipſes in ſe-
cunda, quarum commune centrum ſit G, & communis ſemi- diameter
G B E, ſitque ducta quæcumque alia G A D, (quæ tamen in Ellipſi cadat in-
ter coniugatas ſemi-diametros G E, G N) eritque G A D, Dico primùm G A ad A D eſſe vt G B ad B E, &
contingentes
A L, D L inter ſe æquidiſtare.
Applicentur ex A, D ad diametrum communem G B M rectę A I, D H.
Erit iam in ſectione D E F, rectangulum G H M ad quadratum H D,
ctionis A B C ad eius rectum, vel vt rectangulum G I L ad quadratum I A,
& quadratum D H ad H G, eſt vt quadratum A I ad I G, ergo ex æquo
rectangulum G H M ad quadratum G H, erit vt rectangulum G I L ad qua-
dratum I G, & conuertendo quadratum G H ad rectangulum G H M, vt
quadratum I G ad rectangulum G I L, & per conuerſionem rationis in pri-
ma figura, & componendo in ſecunda, quadratum G H ad rectangulum.
permutando quadra-
tum H G ad G I, vel quadratum D G ad G A, erit vt rectangulum H G M
ad rectangulum I G L, vel permutatis æqualibus, diuiden-
do, & conuertendo G A ad A D, vt G B ad B E.
Quod primò erat, &
c.
Præterea, cum ſuperiùs demonſtratum ſit eſſe rectangulum G H M ad
quadratum H D, vt rectangulum G I L ad quadratum I A, erit permutan-
do rectangulum G H M ad G I L, vt quadratum H D ad I A; ſed propor-
tio quadrati H D ad I A componitur ex du@bus rationibus H D ad I A,
vel ex duobus rationibus H G ad G I, & proportio rectanguli G H M ad
G I L componitur ex duobus rationibus, nempe ex G H ad G I, & ex H M
ad I L; ergo proportio G H ad G I, hoc eſt H D ad I A, æqualis eſt pro-
portioni H M ad I I., &
permutando D H ad H M, erit vt A I ad I L, &
la, hoc eſt angulus D M H æqualis erit angulo A L I, ac ideo D M, A L
inter ſe æquidiſtant. Quod vltimò demonſtrandum erat.
PRoportionalitas, quàm primo loco ſuperioris theorematis inter ſemi-
diametros concentricorum quadrantum N G E, O G B ſimilium Elli-
pſium inuenimus, eadem penitùs reperietur in alijs deinceps quadrantibus,
& ad verticem, vt per ſe ſatis patet.
In Hyperbola intra angulum aſymptotalem;
vel in Parabolis
parallelis, ſiue in Hyperbolis, aut Ellipſibus ſimilibus, & concen-
tricis circa eandem diametrum per diuerſos vertices ſimul adſcri-
ptis, portiones omnes anguli, vel exterioris ſectionis, quarum ba-
ſes interiorem ſectionem contingant, inter ſe ſunt æquales.
SIt intra angulum aſymptotalem A B C deſcripta Hyperbole D E F, vt
in prima figura, vel duæ æquidiſtantes Parabolæ A B C, D E F, vt in
ſecunda; vel ſimiles concentricæ Hyperbolæ, vt in tertia, aut Ellipſes, vt in
quarta, quarum commune centrum ſit G, ac omnes per diuerſos vertices
B, E ſint ſimul adſcriptæ circa eandem diametrum G B E, & ad verticem E
interiorem ſectionem contingat recta A E C, & ad quodcunque aliud pun-
Dico ipſas contingentes exteriori
ſectioni ad vtranque partem occurrere, ac de ea æquales portiones abſcin-
dere.
Nam ductis diametris G B E, G M D;
cum in prima figura rectæ A E C,
H D I Hyperbolen contingant in E, D, ipſæ productæ cum vtraque aſym-
ptoto conuenient in A, C, & in H, I, atque
D P, D Q,
erit rectangulum N E O ęquale duplum duplo ęqua-
le erit, hoc eſt triangulum A B C, triangulo H B I (cum A C, H I ſint bi-
fariam ſectæ in E, D.)
In reliquis verò figuris cum A E C contingat in E interiorem ſectionem
D E F, ipſa æquidiſtabit bifariam
ſecabitur in E. Eadem ratione contingens H D I erit vna applicatarum ad
diametrum G M D in exteriori, & bifariam ſecabitur in D, eritque in ſe-
cunda figura ſegmentum diametri B E æquale ſegmento M D, & in tertia
habebit quare portiones A B C, H
M I exterioris ſectionis A B C, quarum baſes contingunt interiorem D E F
inter ſe ſunt Quod demonſtrandum erat.
HInc eſt, quod contingentes ad puncta interioris concentricæ ſectio-
nis, exteriori ſemper ad vtranque partem occurrunt, & à tactibus
bifariam ſecantur.
Si in Parabolis parallelis, vel in Hyperbolis, aut circulis, ſiue in
Ellipſibus ſimilibus, & concentricis ad punctum quodlibet interio-
ris ſectionis, quædam recta linea contingat, cui ducta ſit quęcunq; alia æquidiſtans, vtranque ſectionem ſecans, erit rectangulum
ſub ſegmentis huiuſmodi applicatę inter vtranque ſectionem in-
terceptis, æquale quadrato ſemi-tangentis.
SInt due Parabolę ęquidiſtãtes, vt in prima figura, vel ſimiles, &
concẽtricę
Hyperbolę, vt in ſecũda, aut Ellipſes, vel circuli, vt in tertia, A B C, D
E F, quarũ centrum, reſpectiuè ſit R, & ad quodcunq;
punctum E interioris
ſit contingens recta A E C, (quæ ad vtranque partem exteriori à tactu E bifariam ſecabitur) eique ſit æquidiſtanter ducta
quælibet alia G D H, (quæ item ad vtranque partem exterioris occurret in
c.)
interiorem ſecans in D, F.
Dico re-
ctangulum ſub ſegmentis G D, D H æquari quadrato ſemi-tangentis A E.
Nam iuncta D E, &
bifariam ſecta in N, ducatur eius diameter N O P,
quæ erit vtriuſque ſectionis diameter (cum ipſę ponantur parallelę, vel con-
centricæ) eas ſecans in O, P. Patet, ſi ex O, P concipiantur contingentes
ſectiones O V, P Q has inter ſe
re, & P Q ipſi D E æquidiſtabit, hoc eſt D E erit vna applicatarum in ſe-
ctione A B C ad diametrum R N P; ex quo N E producta ad vtranque par-
tem exteriori ſectioni A B C occurret, vt in L, M, & à diametro P N bifa-
riam ſecabitur in N, ſed D E quoque bifariam ſecta fuit in N, quare inter-
ceptæ L D, E M inter ſe ſunt æquales, hoc eſt rectangulum L D M æquale
eſt rectangulo L E M.
Iam cum ſit applicata A C bifariam ſecta in E, ducta eius diametro B
E, hæc quoque bifariam ſecabit aliam applicatam G H, vt in I, eritque
etiam diameter ſectionis parallelæ, vel concentricæ D E F; &
cum A C
contingat ſectionem D E F in E, ſitque D F ei æquidiſtans, hæc item bi-
fariam ſecabitur à diametro E I, vt in I. Cum ſit ergo G I æqualis I H, &
ablata D I æqualis ablatæ I F, erit reliqua G D reliquæ F H æqualis, ſiue
rectangulum G D H æquale rectangulo G F H.
Tandem ex B ducatur contingens B Q alteri contingenti P Q conue-
niens in Q. Erit ergo rectangulum G D H ad L D M,
eademque ratione rectangulum A E C ad L E M, vt quadratum
B Q ad P Q: quapropter rectangulum G D H ad L D M, erit vt A E C ad
L E M, & permutando G D H ad A E C, vel ad quadratum A C, (cum
A E, E C ſint æquales) vt rectangulum L D M ad L E M, ſed L D M ipſi
L E M æquale oſtenſum fuit, quare, & rectangulum G D H, vel G F H
æquale erit quadrato ſemi-tangentis A E. Quod erat demonſtrandum:
&
47.
primi huius, ſed alijs aggreſſionibus oſtenſum fuit.
HInc eſt, quod in parallelis Parabolis, vel concentricis, ac ſimilibus
Hyperbolis, aut Ellipſibus, applicata in interiori ſectione hinc inde
producta exteriori neceſſariò occurrit, totaque ab illius diametro bifariam
ſecatur, & quod huius applicatæ intercepta ſegmenta inter ſe ſunt æqualia.
Demonſtratum eſt enim applicatas D E, D F in interiori ſectioni D E F
exteriori A B C occurrere in L, M, & in G, H, &
diametros O N, F I,
quæ bifariam ſecant D E, D F in N, I, bifariam quoque diuidere totas L
M, G H, atque interceptas portiones L D, E M inter ſe æquales eſſe, item-
que G D, F H æquales.
COnſtat etiam ex vltima parte huius Theorematis, quod, ſi in quacunq;
coni-ſectione, vel circulo duæ rectæ lineæ applicatæ fuerint inter ſe
æquidiſtantes, ad vtranque partem ſectioni occurrentes, quæ à tertia qua-
dam applicata vtcunque ſecentur, rectangula ſub ſegmentis æquidiſtantium
eandem inter ſe habere rationem, quam rectangula ſub ſegmentis tertiæ ſe-
cantis homologè ſumpta.
Ibi enim oſtenſum fuit tùm in Parabola, tùm in Hyperbola, aut Ellipſi,
vel circulo A B C, in quibus duę æquidiſtanter applicatæ A C, G H ſecan-
tur à tertia applicata L M in punctis E, D, rectangulum G D H ad A E C,
eſſe vt rectangulum L D M ad L E M.
In Hyperbola intra angulum aſymptotalem deſcripta, vel in
æquidiſtantibus Parabolis, aut ſimilibus concentricis Hyperbolis,
aut Ellipſibus, rectarum in exteriori applicatarum, ac interiorem
ſectionem contingentium, MINIMA eſt ea, quæ ad verticem
maioris axis ducitur. At in Ellipſibus, MAXIMA eſt quæ ad ver-
ticem minoris axis.
ESto, in prima figura, in angulo aſymptotali A B C deſcripta Hyperbole
D E F, cuius axis B E G, vel in ſecunda, ſint duæ Parabolæ æquidi-
ſtantes, vel duæ ſimiles concentricæ Hyperbolæ A B C, D E F circa axim
B E; aut in tertia, duæ ſimiles concentricæ Ellipſes A B C, D E F, ſitque
exterioris ſectionis axis maior B P N, minor O P Q, & in interiori ſit maior
in quauis figura ad E verticem màioris axis interio-
rem ſectionem contingat recta A E C, quæ ad vtranque partem exterioris
pertinget, Dico ipſam A E C eſſe _MINIMAM_
Et in El-
lipſibus contingentem R S T ad verticem minoris axis eſſe _MAXIMAM_.
Sit quæcunque alia contingens L D M ad punctum D, quæ item exte-
riori ſectioui occurret in L, M, bifariam ſecabitur in D, &
per D aga-
Et cum in
ſectione A B C per punctum D intra ipſam ſumptum, ſint duæ H D I, L D
M, quarum prima maiori axi B G eſt perpendicularis, altera verò inclina-
ta, erit rectangulum H D I minus rectangulo L D M, (cum ipſum H D I ſit
_MINIMVM_ quadruplum quadru-
plo minus, hoc eſt quadratum A C minus quadrato L M, ſiue contingens
linea A C minor contingente A M, & hoc ſemper, vbicunque contingat
obliqua A M: quare A E C erit _MINIMA_ interiorem ſectionem contin-
gentium. Quod erat primò, &
c.
Iam, ducta ſit per D, recta V D X æquidiſtans contingenti R S T.
Et cum
in Ellipſi A B C ſit per punctum D recta V D X minori axi O Q perpendi-
cularis, ſitq; alia obliqua L D M;
erit rectangulum V D X maius rectangulo
L D M (cum V D X ſit
quadruplum quadruplo maius, hoc eſt quadratum R T maius quadrato L
M, hoc eſt linea R T maior linea R M, & hoc ſemper de qualibet contin-
gente inter S, & E, quare ipſa R T erit _MAXIMA_ interiorem Ellipſim
contingentium. Quod erat vltimò demonſtrandum.
MAXIMA portionum eiuſdem anguli rectilinei, vel Hyperbo-
le, & quarum diametri ſint æquales, eſt ea, cuius diameter ſit axis
dati anguli, vel Hyperbolæ.
ESto primùm, in prima figura, A B C angulus rectilineus, circa axim B
D, cui applicata ſit perpendiculariter quæcunque A E C, eum ſecans
in E. Dico portionum, ſiue triangulorum ex dato angulo abſciſſorum, &
quorum diametri ſint æquales ipſi B E, _MAXIMVM_ eſſe A B C.
Nam cum B E ſit perpendicu-
teruallo B D, ac circulo deſcri-
pto, eius peripheria continget re-
ctam A C in D, anguli latera ſe-
cans in F, K; quare diametri æ-
quales abſciſſorum triangulorum
ad peripheriam F E K pertingẽt: ſumpto igitur in ipſa quocunque
puncto G, iungatur B G, & du-
catur per G recta L G M ipſi A C
æquidiſtans, axim ſecans in N,
& erit L N æqualis N M, vnde
L G minor G M; ſecetur ergo G
O ipſi L G ęqualis, & agatur O I
parallela ad B A, iungaturque
I G, & producatur, quæ cum O I
ſecet in I, alteram quoque paral-
lelam B A ſecabit in H, eritque I G æqualis G H, ſed anguli ad verticem
I G O, H G L ſunt æquales, ergo, & triangulum I G O triangulo H G L æ-
quale erit, & communi addito trapetio B L G I, erit quadrilaterum B L O I
æquale triangulo H B I, ſed triangulum A B C maius eſt quadrilatero B L
O I, totum ſua parte, quare triangulum A B C erit quoque maius triangulo
H B I, cuius diameter B G æqualis eſt axi B E trianguli A B C, & hoc ſem-
per de quolibet alio triangulo circa diametrum ipſi B E ęqualem; quare
triangulum A B C eſt _MAXIMVM_. Quod erat primò, &
c.
Sit præterea, in ſecunda figura, Hyperbole A B C, cuius centrum D,
axis D B E, ex quo dempta ſit B E, eique per E applicata A E C, & ſit
quælibet alia diameter D F G, ex qua ſumatur F G ipſi B E æqualis, appli-
ceturque H G I. Dico portionem A B C portione H F I maiorem eſſe.
Nam cum ſit ſemi-axis D B ſemi-diametrorum
tionem quàm D F ad F G: fiat ergo D F ad F L, vt D B ad B E, &
habe-
bit D F ad F L minorem rationem quàm D F ad F G, ideoque F L maior
erit F G, ſi ergo per L applicetur M L N, quæ ipſi H G I æquidiſtet, erit
qualis hoc ſemper de qualibet alia portione, cu-
ius diameter æqualis ſit axi B E: ergo portio A B C eſt _MAXIMA_ portio-
num æqualium diametrorum. Quod erat vltimò demonſtrandum.
MAXIMA portionum ſemi- Ellipſi minorum, &
æqualium dia-
metrorum eſt ea, cuius diameter ſit minoris ſemi-axis ſegmentum. MINIMA verò, cuius diameter ſit ſegmentum maioris ſemi-axis.
ESto A B C D Ellipſis, cuius axis maior ſit B D, minor A C, centrum
E, ſitque ex minori ſemi-axe A E demptum ſegmentum A G, & ex
maiori B E ipſi A G ſit æquale B F perque puncta G, F applicatæ ſint
axibus rectæ L G M, H F I. Dico portionem L A M eſſe _MAXIMAM_, &
H B I _MINIMAM_ aliarum portionum eiuſdem Ellipſis circa diametros ipſis
A G, B F æquales.
Quod L A M ſit maior H B I patet ſic.
æqualis B F, habebit. E A ad A G mi-
norem rationem quàm E B ad B F: fiat
ergo E B ad B N, vt E A ad A G, & ha-
bebit E B ad B N minorem rationem
quàm E B ad B F, ſiue B N erit maior
B F; quare applicata O N P cadet infra
H I: &
cum ſit vt E A ad A G, ita E B
ad B N, erit portio L A M
H B I, totum parte, ergo L A M maior
eſt H B I.
Præterea, ducta inter ſemi-axes qua-
cunque ſemi-diametro E Q, ex ipſa, quę
maior eſt E A (eo quod hæc ſit ſemi-dia-
metrorum _MINIMA_ eò maior ipſa
Iam
cum ſit E A minor E Q, & A G æqualis Q R, habebit E A ad A G mi-
norem rationem, quàm E Q ad Q R, ac ideò vti ſuperiùs oſtendimus, por-
tio L A M erit maior portione S Q T. Eadem ratione, cum ſit E Q minor
E B, (eò quod hæc ſit Q R ęqualis B F,
portio S Q T maior erit portione H B I, & hoc ſemper de qualibet portio-
ne, cuius diameter ſit inter ſemi- axes; quare portio L A M erit _MAXIMA_,
& H B I _MINIMA_ portionum æqualium diametrorum.
Quod erat demon-
ſtrandum.
MAXIMA portionum eiuſdem anguli rectilinei, vel cuiuſcunq;
coni-ſectionis, quarum baſes ſint æquales, eſt ea, cuius diameter
ſit ſegmentum axis, vel maioris ſemi- axis (reſpectiuè ad Ellipſim)
datæ ſectionis. MINIMA verò in Ellipſi eſt, cuius diameter ſit ſe-
gmentum minoris ſemi- axis.
ESto A B C angulus rectilineus, vt in prima figura;
vel Parabole, aut
Hyperbole, vt in ſecunda; vel Ellipſis, vt in tertia, quarum axes ſint B
D, & in Ellipſi axis maior ſit B D N, minor L K M, centrum E, atque ma-
iori axi in quauis figura applicata ſit quęcunque A D C. Dico primùm por-
tionem A B C, quæ tamen in tertia figura ſit minor ſemi-Ellipſi L B M, eſſe
_MAXIMAM_ omnium portionum eiuſdem anguli, vel coni-ſectionis, qua-
rum baſes æquales ſint baſi A C.
Nam, in prima figura, deſcribatur per D in angulo aſymptotali A B C
Hyperbole F D G, in ſecunda verò, ſi A B C fuerit Parabole, deſcribatur per
D congruens Parabole F D G, vel ſi fuerit Hyperbole, deſcribatur item per
D, vti etiam in tertia, eiuſdem nominis ſectio F D G ſimilis, & concentri-
ca ipſi A B C, & tunc recta A D C continget omnino ſectionem F D G in
D; ſumptoque in interiori ſectione F D G quolibet puncto F, per ipſum
ducatur ſectionem contingens H F I exteriori occurrens in H I, deque ipſa
abſcindens portionem H O I, cuius diameter ſit O F.
Iam, in ſingulis ſiguris, baſis A C minor eſt baſi H I, cum ſit
dimidium D C dimidio F I mi-
nus erit. Fiat ergo F P æqualis D C, &
ex P agatur P R diametro F O
æquidiſtans, cui ex R applicetur R Q S: patet ipſam R Q S ęquari baſi A C,
S O R, totum parte, ergo, & A B C, quæ ipſi H O I
hoc ſemper, &
c.
vnde portio A B C eſt _MAXIMA_ portio-
num æqualium baſium. Quod primò erat, &
c.
Pręterea, cũ in tertia figura, quæ ex K ducitur interiorem Ellipſim F D G
contingens ſit quare eidem axi applicata, quæ ipſi A C ſit æqualis, mino-
rem axim ſecabit inter L, & K, &
ſit ea T V X.
Si ergo concipiatur per V
deſcripta Ellipſis, datis A B C, F D G ſimilis, & concentrica, recta T V X
hanc Ellipſim continget, eritque
mediam Ellipſim omnino ſecabunt, ac ideo maiores erunt portione T L X,
cum portiones ab ijſdem contingentibus abſciſſæ ſint Quare portio T L X eſt _MINIMA_ portionum æqualium baſium,
ex eadem Ellipſi A B C abſciſſarum. Quod erat vltimò demonſtrandum.
EX his conſtat _MINIMAM_ portionum ſemi-Ellipſi maiorum, quarum
baſes ſint ęquales eam eſſe, cuius diameter ſit ſegmentum maioris axis,
_MAXIMAM_ verò, cuius diameter ſit ſegmentum minoris.
Nam in tertia figura, cum portionum A B C, S O R, T L X, &
c.
ſemi-El-
lipſi minorum, & ſuper æqualibus baſibus, ipſa A B C ſit _MAXIMA_, &
TLX
_MINIMA_, ac ipſæ ſint portiones eiuſdem terminatæ magnitudinis, ſiue Elli-
pſis eiuſdem A B C N, patet reliquarum portionum ſemi-Ellipſi maiorum
A N C, S N R, X M T, &c.
quæ item ſunt ſuper æquales baſes A C, S R,
T X, portionem A N C eſſe _MAXIMAM_, & X M T _MINIMAM_.
MINIMA portionum eiuſdem anguli, vel cuiuslibet coni-ſectio-
nis, quarum altitudines ſint equales, eſt ea, cuius diameter ſit ſegmẽ-
tum maioris axis: in Ellipſi verò MAXIMA eſt, cuius diameter ſit
ſegmentum minoris axis.
ESto A B C, in prima figura, angulus rectilineus, vel in ſecunda, Parabole,
aut Hyperbole, ſiue in tertia Ellipſis, quarum axes ſint B D, at in Ellipſi
axis maior ſit B D N, minor L K; centrum E, atque axi B D in quauis figura
applicata ſit quælibet A D C. Dico portionem A B C, quæ in tertia figura
ſit, vel maior, vel minor ſemi-Ellipſi, eſſe _MINIMAM_ omnium portionum
eiuſdem anguli, vel coni-ſectionis, quarum altitudines ſint æquales ipſi B D.
Deſcripta.
n.
per D, vel Hyperbola
A, B C; vel in reliquis figuris, deſcri-
pta eiuſdem nominis coni-ſectione ſi-
mili, & concentrica F D G, que rectam
A D C continget in D; ſumatur in in-
teriori ſectione quodlibet aliud punctũ
F, ad quod ſit contingens H F I exte-
riori occurrens in H, I, atque portionẽ
abſcindens H O I, cuius diameter ſit
O F, altitudo verò ſit O P.
Itaque cum portio H O I equalis
reciprocè baſis H I ad baſim A C, vt
altitudo B D ad altitudinem O P, ſed
eſt H I maior A C, cum A C ſit om-
nium B D erit maior O P:
producatur ergo
O P, & ſumatur O Q ipſi B D æqualis,
appliceturque S Q R contingenti H I
æquidiſtans: eruntque portiones S O R, A B C æqualium altitudinum, ſed eſt
portio H O I minor S O R, pars ſuo toto, ergo, & portio A B C, quæ ipſi H O I
eſt æqualis, minor erit portione S O R, & hoc ſemper, &
c.
Vnde portio A B
C eſt _MINIMA_ portionum eiuſdem anguli, vel coni-ſectionis, & æqualium
altitudinum. Quod primò erat, &
c.
Ampliùs in tertia figura eſto recta V K T minori axi L M ordinatim appli-
cata. Dico portionem V M T (quæ ſit vel maior, vel minor ſemi-Ellipſi) cu-
ius diameter, vel altitudo eſt M K, eſſe _MAXIMAM_ portionum omnium, qua-
rum altitudines ipſi M K ſint æquales.
Deſcripta enim per K Ellipſi K D G ſimili, &
concentrica datæ A B C N,
quæ rectam V K T continget in K, ſumptoque in eius peripheria quocunque
puncto F, ducatur contingens H F I exteriori ſectioni occurrens in H, I, de-
que ipſa abſcindens portionem I X H, cuius diameter ſit F X, altitudo verò
ſit X Z.
Iam cum portio V M T æqualis ſit
cum ipſa V T ſit contingentium X Z erit maior M K;
T, R X S æqualium altitudinum, ſed eſt portio R X S minor portione I X H,
pars ſuo toto, ergo ipſa R X S minor quoque erit portione V M T, & hoc ſem-
per, &c.
Quare portio V M T eſt _MAXIMA_ portionum eiuſdem Ellipſis, &
æqualium altitudinum. Quod erat vltimò demonſtrandum.
PRoxima quatuor præcedentia Theoremata, ſuper hoc ipſo Diagrammate,
facilè ſimul, tanquam Conſectaria demonſtrabuntur, ſi tamen hæ tres
concluſiones notatu dignæ præmittantur, à quibus ipſa ortum ducant. Nimirũ.
1.
INter diametros æqualium portionum eiuſdem anguli, vel Hyperbolæ, aut
Ellipſis, _MINIMA_ eſt ea illius portionis, cuius diameter ſimul ſit ſegmentũ
axis dati anguli, vel Hyperbolæ: ſed in Ellipſi, quæ ſit ſegmentum minoris
axis, & _MAXIMA_, quæ ſit ſegmentum maioris.
Etenim in prima figura angulum ex-
quæ ſunt
cẽtricam Hyperbolen interiorem) dia-
meter B D, quæ eſt axis dati anguli,
minor eſt diametro O F, cum ſit B D
ſemi-tranſuerſorum Et in
in portionibus item A B C, H O I, quę
ob eandem rationem æquales ſunt, dia-
meter B D, quæ eſt ſegmentum axis
Hyperbolæ, minor eſt diametro O F,
cum ſit B D ad O F, vt ſemi - axis per-
tingens ad B ex centro exterioris Hy-
perbole, A B C, ad ſemi-tranſuerſum
pertingens ad O ex eodem centro, vt
ſatis conſtat ex 44. huius, at ſemi-axis,
minor eſt ſemi-tranſuerſo, quare pa-
tet, &c.
In tertia denique in portioni-
bus T L V, H O I, A B C interſe pariter æqualibus, diameter L K portionis
T L V, quæ eſt ex minori axe datæ Ellipſis, minor eſt diametro O F portionis
H O I, atque minor diametro B D portionis A B C, & ſic de ſingulis, quoniam
E K ad K L eſt vt E F ad F O, & vt E D ad D B, eſtque antecedens E K minor
qualibet alia antecedentium, cum ea ſit E
re & K L erit _MINIMA_, &
D B _MAXIMA_, &
c.
idemque dicetur de æqualibus
portionibus ſemi-Ellipſi maioribus. Verùm inter diametros æqualium por-
tionum eiuſdem Parabolæ non datur _MAXIMA_, cum omnes æquales ſint.
2.
INter baſes æqualiũ portionum eiuſdem anguli, vel coni-ſectionis _MINIMA_
eſt ea illius portionis, cuius diameter ſit ſegmentum maioris axis, reſpectiuè
ad Ellipſim: &
_MAXIMA_ eius, cuius diameter ſit ſegmentum minoris.
In qualibet enim ſigura, baſis A C portionis A B C, circa maiorem axim,
_MINIMA_ &
in Ellipſi baſis V T
portionum, vel ipſæ ſimul ſint ſemi-Ellipſi minores, vel ſimul maiores, &c.
3.
INter altitudines æqualium portionum de eodem angulo, vel coni-ſectione
_MAXIMA_ eſt ea illius portionis, cuius diameter ſit ſegmentum maioris axis
reſpectiuè ad Ellipſim, & _MINIMA_ eius, cuius diameter ſit ſegmétum minoris.
Id autem in ſuperiori propoſitione oſtenſum fuit:
nempe B D, quæ eſt alti-
tudo portionis A B C, circa maiorem axim, maiorem eſſe O P altitudine ęqua-
lis portionis H O I, atque ampliùs, in Ellipſi, altitudinem M K portionis T M
V circa minorẽ axim, minorem eſſe altitudine X Z æqualis portionis HXI, &c.
E´ prima itaque harum concluſionum, elicitur veritas prop.
48.
&
49.
h.
ex
altera verò prop. 50.
è tertia denique prop.
51.
quæ omnia per ſe ſatis patent.
Sed hæc de planis, pro hac vice, dixiſſe ſufſiciat.
Nonnulla ſequuntur quæ
iam diù pariter circa ſolida à coni-ſectionibus genita excogitauimus. Noua
omnia, ni fallor, omnia ſaltem geometrica: quæ ſi apertæ iucunditatis referta
comperies amice Lector, reconditæ vtilitatis haud expertia eße aliquando te
certiorem factum non dubito.
Recta linea, quę à puncto extra planũ dato ſit ipſi plano perpẽdicu-
laris, MINIMA eſt rectarũ ab eodem pũcto ad idem planũ ducibiliũ.
SIt extra planum A B, punctum C, à quo ducta ſit ipſi
Dico hanc eſſe _MINI_-
_MAM_ ducibilium ex C ad alia puncta plani A B.
Sumatur vbicunque in dato plano aliud punctum E,
iunganturque D E, C E. Et cum C D recta ſit ad pla-
num A B, erit quare C D minor erit C E,
& hoc ſemper.
Vnde C D eſt _MINIMA_, &
c.
Quod &
c.
Si in Cono, vel Cylindro recto planum ductum per vnum laterum
trianguli, vel rectanguli per axem eidem triangulo, vel rectangulo
rectum fuerit, idem planum in ipſo tantùm latere conicam, vel cy-
lindricam ſuperficiem continget, quæ tota cadet ad alteram partem
plani contingentis.
ESto in figura, (que &
Conum, &
Cylindrum rectum exhibeat) planum per
axẽ A B C, cui rectũ ſit aliud planũ G D K H tranſiens per latus A B, cum
Dico ipſum planum G D K H, licet in infinitum extendatur, in vnico tantùm
latere B A ſuperficiem Conicam, vel Cylindricam contingere, ac propterea
hanc totam cadere infra planum contingens.
Quoniam cum axis Coni, vel Cylindrirecti ſit perpendicularis plano baſis,
erit planum per axem B A C rectum baſi A C, ſiue planum baſis A C rectum
plano per axem A B C, cui rectum quoque poſitum fuit planum per B A, A D
ductum, quare G A D communis planorum ſectio eidem plano per axem erit
perpendicularis,
nicam, vel cylindricam ſuperſiciem.
Iam per B axis verticem concipiatur ductum pla-
ſectionem faciet cum plano G K rectam Q B R ipſi
G A D
quæ tota cadet ſupra planum S T ad oppoſitas par-
tes conicæ, vel cylindricæ ſuperficiei B A C (cum
hæc tota cadat inter æquidiſtantia plana S T, A C,
vt ſatis conſtat,) & partem Q R D G, quæ tota
erit ad partes eiuſdem ſuperſiciei. Sumatur ergo in
plano Q R D G extra lineam B A, inter æquidiſtã-
tes Q R, G D quodlibet punctum E, & iuncta B E
producatur: patet ipſam cum A D conuenire:
(cumrecta B E ſit in eodem
plano in quo ſunt B A, & A D, &
alteram parallelarum ſecet in B) conueniat
in F, & cum punctum F ſit extra ſolidi ſuperſiciem, ipſa quoque B F cadet to-
ta extra ſic de
G R ſuperficiem dati ſolidi contingit per rectam B A, ac ideo ipſa ſuperficies
cadit tota ad alteram partem plani G R. Quod erat, &
c.
SI per quodcunque aliud punctum N lateris B A concipiatur duci planum
ſecans Conum, vel Cylindrum, quod ſit baſi A C parallelum, ipſum in
ſolidi ſuperficie circuli peripheriam in plano per axem rectam,
æquidiſtantium planorum cum altero plano) eritque angulus O N P
rectum eſſe) hoc eſt recta M N O peripheriam N P continget in N, & ex vtra-
que parte cadet extra ſolidi ſuperficiem, & hoc ſemper de qualibet alia ducta
in plano B D ipſi G D æquidiſtante: quare totum planum G R, quod per la-
tus B A ductum fuit rectum ad planum A B C per axem ductum, ſolidi ſuper-
ficiem contingit tantùm per latus B A: vnde ipſa ſuperficies cadit tota ad alte-
ram partem plani G R. Quod, &
c.
Si Conus rectus plano per axem ſecetur, per in quo verticem du-
cta ſit quędam linea, quę non in directum ſit poſita cum aliquo late-
rum trianguli per axem perque ipſam agatur planum, quod rectum
ſit ad idem planum, per axem ductum: Huiuſmodi planum in ipſo
tantùm vertice coni ſuperficiem continget, quæ tota cadet ad alte-
ram partem ducti plani.
SIt conus rectus A B C plano per axem B D ſectus efficiente triangulum
A B C, in cuius plano, & per verticem B ſit quælibet linea E B F, non
tamen cum aliquo laterum B A, B C ſit in directũ poſita, per quam tranſeat
planum G H I K, quod ad planum per axem A B C ſit rectum. Dico tale
planum G I in nullo alio puncto, quàm in vertice B conicam ſuperficiem
contingere, &c.
Quoniam ſi recta E B F ęquidiſtat
guli interiores E B D, A D B duobus
rectis æquales erunt, ſed A D B re-
ctus eſt, cum ſit axis B D plano baſis
A C perpendicularis, quare, & an-
gulus E B D rectus erit, ſed planum
A B C ponitur rectum ad planum G
I, & in eo ad communem horum ſe-
ctionem E B F ducta eſt perpendi-
cularis D B, ergo ipſa D B erit
D recta ad planum baſis A C, quare
duo plana G I, A C inter ſe circuli peripheria A C in altero A C, ergo recta B A, quæ ma-
nente puncto B circa peripheriam C A circumducitur conicam ſuperficiem
deſcribens, hoc eſt ipſa conica ſuperficies tota cadet inter plana ęquidiſtan-
tia (vbicunque enim ducatur planum per axem, habentur communes æqui-
diſtantium planorum fectiones inter ſe parallelę, inter quas cadit communis
ſectio ſecantis plani cum ſuperficie) ac ideò planum G I in ipſo tantùm ver-
tice B, coni ſuperficiem continget.
Si verò recta F B E conueniet cum C A, vt in E;
patet, dum triangulum
B E D circa axim B D conuerti concipitur, rectam B E coni B E L ſuperfi-
ciem deſcribere, cuius triangulum per axem eſt B E L idem cum plano A B
C, cui rectum eſt planum G I ductum per latus B E, quare idem planum G
I continget conicam B E L in ipſo tantùm
A B C in ipſo tantùm vertice B contingit, ac propterea ipſa coni ſuperficies
cadit tota infra planum G I. Quod erat demonſtrandum.
Si rectum Conoides Parabolicum, vel Hyperbolicum, aut Sphę-
ra, aut Sphæroides rectum plano per axem ſecetur, & communem
ſectionem plani ſecantis cum ſolidi ſuperficie quædam recta linea
in puncto contingat, per quam ductum ſit aliud planum, quod re-
ctum ſit ei per axem ducto: huiuſmodi planum in prædicto tantùm
puncto ſolidi ſuperficiem continget, ipſaque ſuperficies cadet tota
ad alteram partem plani contingentis.
ESto rectum Conoides Parabolicum, vel Hyperbolicum, vt in prima fi-
gura; vel Sphæra, aut Sphæroides rectum, vt in ſecunda, plano per
axem B D ſectum efficiente in ſolidi ſuperficie ſectionem A B C, (quæ erit
genitrix per punctum E in ipſa ſumptum, ſit ei contingens li-
per axem A B C: dico huiuſmodi planum H I in ipſo tantùm puncto E con-
uexam ſolidi ſuperficiem contingere, atque hanc totam cadere infra pla-
num H I.
Cum enim recta F E G ſe-
ducta conueniet
B; qua propter ſi concipiatur
planum A B C denuò conuer-
ti circa axim B D, patet ſectio-
nem A B C, dati ſolidi, & cõ-
tingentem F E G, coni ſuper-
ficiem deſcribere, quæ conue-
xam ſolidi ſuperficiem per cir-
culi tantùm peripheriam à pũ-
cto E deſcriptam continget
(cum punctum E ſit tum in contingente, tum in ipſa ſectione, & in reuolu-
tione peripheriam circuli deſignet, ac reliqua puncta rectæ F G ſint extra
ſectionem A B C.) Et quoniam planum H I per contingentem F G du-
ctum, poſitum fuit rectum ad planum per axem A B C, quod eſt idem, ac
planum per axem coni â latere F G deſcripti, ergo planum H I ſecundùm
latus tantùm F G conicam ſuperficiem continget,
puncto E ſolidi ſuperficiem contingit, ac ideò hæc cadit tota infra planum
H I. Quod probandum erat.
Si coni-ſectio, vel circulus coni-ſectionem, vel circulum intus,
vel extra, in vno, aut in duobus punctis contingat, & harum ſectio-
num axes, vel ſibi mutuò congruant, vel æquidiſtent, vtraque au-
tem figura, altera immota, circa proprium axem conuertatur. So-
lidum factum ab vna ſectionum nunquam ſecabit ſolidum ab altera
genitum, ſed omnino ſe mutuò contingent, velin vnico puncto, ſi
figurarum planarum contactus fuerit tantùm in puncto, ſiue axes
congruant, ſiue æquidiſtent; vel in duobus tantùm, ſi ad duo pun-
cta ſe mutuò contingant, dum axes ſint paralleli; vel denique ad
integram circuli peripheriam à contactibus genitam, ſi ad duo
puncta ſectiones ſimul occurrant, dum axes ſimul congruant.
SInt duæ coni-ſectiones A B C, D E F, quarum axes ſint B G, E H, &
vel ſimul congruant, vt in prima, quinta, & ſexta figura, vel inter ſe æ-
quidiſtent, vt in ſecunda, tertia, & quarta, atque ſe mutuò contingant, vel
tertia, vel in duobus tantùm I
L, vt in quarta, quinta, & ſexta;
&
concipiatur modò figura A B C, ma-
nente alia D E F, circa axim B G conuerti; modò figura D E F, manente
altera, ita vt ab ipſis ſolida conoidalia, ſphærica, aut ſphæroidalia deſcri-
bantur. Dico talia ſolida nunquam ſimul ſecari, ſed vel in vnico puncto I,
in quo plana ſe contingunt, ſe quoque mutuò contingere in prima, ſecun-
da, & tertia, vel in duobus tantùm I, L, in quarta vbi axes B G, E H inter
vel tandem ad integram circuli peripheriam à contactibus I,
L in figurarum reuolutione deſcriptam in quinta, & ſexta vbi axes ſimul
congruunt.
Cum enim harum ſectionum axes, vel congruant ſimul, vel æquidiſtent,
quæ ad vnum ipſorum plana ducentur erecta, alteri quoque erecta erunt,
deſcribentque circulos in proprijs ſolidis, quorum centra in ipſ@s ax
dent: vnde cum axes ſimul congruent, vt in prima, quinta, &
ſexta, huiuſ-
modi circuli erunt concentrici; at ſi æquidiſtent, vt in reliquis, circuli erunt
eccentrici, & communes ſectiones horum planorum cum ipſis ſectionibus
A B C, D E F erunt eorundem circulorum diametri: quare ducto quocun-
que plano A D F C ad axes erecto, non per contactus I, vel L tranſeunte,
efficiente verò in ſectione A B C diametrum A C, in ſectione autem D E F
diametrum D F: patet in prima, ſecunda, quarta, quinta, &
ſexta figura,
in quibus ſectio D E F inſcripta eſt ſectioni A B C diametrum D F totam
diſiunctum eſſe à circulo ex A C in ſolido A B C, vel per armillam A D
C, vt in prima, ſecunda, & ſexta, ob circulorum concentricitatem, vel
per armillam excentricam A D C, in ſecunda, & quarta ob ipſorum cir-
culorum excentricitatem. Rurſus in tertia figura in qua ſectio D E F to-
ta cadit extra A B C, prædicta diameter D F tota cadet extra diametrum
A C, ideoque circulus ex D F in ſolido D E F totus cadet extra circulum
ex A C in ſolido A B C, & hoc ſemper:
quare in ſingulis figuris vbicun-
que ductum ſit planum A D F C, præter ad contactus, huiuſmodi ſolida
erunt in totum diſiuncta, ex quo nullibi ſe mutuò ſecabunt.
Præterea cum in prima figura ſectionum contactus ſit in ipſo axium verti-
ce, patet, & ſolida circa communem axim ab ipſis ſectionibus genita in eo-
dem puncto ſe mutuò contingere. In ſecunda verò tertia, &
quarta ducto
plano ad axes erecto per punctum contactus I, in ſolido A B C efficientæ
circulum, cuius diameter ſit I M, at in ſolido D E F circulum, cuius diame-
patet tales circulos in ipſo puncto I ſe mutuò contingere, ideo-
que, & ſolida in eodem contactus puncto I ſe tantùm contingere, &
ob ean-
demrationẽ in quarta figura in altero contactus puncto L ſe contingent, &c.
At in quinta, &
ſexta, in quibus ſectiones ſunt circa communem axim B G,
& in duobus punctis I, L ſe contingunt, ſi ex contactu I ducatur communis
applicata I M, & producatur, ipſa ad alterum contactus punctum L omni-
no pertinget; quoniam producta I M vtranque ſectionem ſecan@ in O, P, eſt
ſemi- applicata I M, in ſectione A B C, æqualis ſemi- applicatæ I M, in
ſectione D E F, ſed eſt M O in ſectione A B C æqualis I M, & M P in ſe-
ctione D E F æqualis eidem I M, ergo M O, M P ſunt æquales, hoc eſt
puncta O, P vnum, ac idem ſunt; quare ſectiones in puncto P ſimul con-
ueniunt, ſed conueniunt quoque in I, & in duobus tantùm punctis I, &
L
poſitum fuit eas ſimul occurrere, ergo punctum P idem eſt, ac punctum
contactus L: quare I M L eſt communis ſectionum applicata, per quam ſi
ducatur planum ad axem erectum, efficiet in vtroque ſolido circulum, cuius
diameter itaque per huius circuli peripheriam à puncto I
Quod
erat vltimò demonſtrandum.
A puncto extra conum rectum dato ad eius conuexam ſuperfi-
ciem, MINIMAM rectam lineam ducere.
ESto conus rectus, cuius axis A B.
Oportet per punctum G datum extra
conum ad eius conuexam ſuperficiem _MINIMAM_ rectam lineam du-
cere.
Secetur conus, in
per axem A B, ac per
datum punctum G
tranſeunte, quod ef-
ficiat in ſuperficie
triangulum C A D: producatur axis B A
in K; &
cum anguli
C A B, D A B ſint ę-
quales, & acuti, qui
ipſis deinceps ſunt C
A K, D A K erunt ę-
quales, & obtuſi.
Fiant igitur ex vertice A anguli C A E, D A F recti, &
primò ſit datum punctum G in prima figura in altero rectorum angulorum,
vt puta in ipſo C A E, demittaturque ex G recta G H perpendicularis late-
ri A C (quæ, vt patet _MINIMA_ eſt ad anguli latera, &c.)
Dico ipſam G
H eſſe _MINIMAM_ quæſitam.
Concipiatur enim per rectam A C duci planum N I L M, quod rectum
ſit ad planum per axem D A C, in quo eſt recta G H.
Iam cum planum N L rectum ſit ad planum D A C, cumque in plano N
L ſit G H communi planorum ſectioni A C perpendicularis, erit ipſa G H
ad idem planum N L recta
cies tota eſt infra planum N L, ipſum tantùm contingens
C A B ſuperficiem.
Si autem datum
ſa perpendiculari E
A, vt in E, eodem
modo demonſtrabi-
tur E A rectam eſſe
ad planũ N L, ideo-
que ad ipſum _MINI_-
_MAM_, & eò magis
ad coni ſuperficiem.
Si denique datum
punctum G fuerit in-
tra angulum E A F,
vt in ſecunda figura. Iungatur G A, &
hæc erit _MINIMA_ quæſita.
Nam cũ angulus C A G ſit maior recto, in plano per axem D A C, in quo
eſt A G, fiat rectus angulus O A G, & linea O A producatur ad P:
patet A P
cadere inter A G, & A D cum angulus G A P ſit rectus, &
duo ſimul G A F,
F A D recto ſint maiores: (eſt.
n.
vnicus D A F rectus, ex conſtructione) ita-
que ſi per rectam O P concipiatur planum Q R, quod rectum ſit ad planum
D A C, in quo eſt A G, ob rationem ſuperiùs allatam, ipſa G A recta erit
ad planum Q R, hoc eſt _MINIMA_,
coni ſuperficiem. Ducta eſt ergo à puncto G extra conum rectum dato, &
c.
Quod faciendum erat.
A puncto extra Conoides Parabolicum, aut Hyperbolicum,
vel Sphæram, aut Sphæroides dato, ad eius conuexam ſuperficiem
MINIMAM rectam lineam ducere.
ESto Conoides Parabolicũ, aut Hyperbolicũ, in 1.
figura, vel Sphęra, aut
Sphęroides in ſecunda, cuius axis A B, & oporteat per pũctum C extra
datum ad conuexam ſolidi ſuperficiem _MINIMAM_ rectam lineam ducere.
Secetur datum ſolidum plano per axem A B, ac per datum punctum C,
efficiente in ſuperficie genitricem ſolidi ſectionem D A E, ad cuius peri-
pheriam ex puncto C ducatur Dico hanc quoque
Ducatur enim in plano ſecante D A E, per punctum F ſectionem con-
tingens G F H, quæ, (vtielicitur ex propoſitionibus 20. 22.
ac 23.
huius)
cum _MINIMA_ C F rectos an-
gulos efficiet. Concipiatur
H, ductum planũ L M, quod
ad planum D A E, in quo iam
ponitur eſſe C F, rectum ſit. Cum ergo plana L M, D A E,
ſe mutuò ſecent per rectam G
H, cui in plano D A E ducta
eſt perpendicularis C F, erit
ipſa C F, ſed pla-
cadit Quod erat, &
c.
A puncto non intra ſphæram dato, ad eius ſuperficiem, MA-
XIMAM rectam lineam ducere.
SIt data ſphæra, cuius centrum A, &
oporteat per punctum B non intra
ſphæram datum, ad eius ſuperficiẽ, _MAXIMAM_ rectam lineam ducere. Iungatur B A, &
producatur, donec
E.
Dico B E, in qua eſt centrum, eſſe _MAXI_-
_MAM._
Concipiatur per B E ductum planum,
quod in ſpæræ ſuperficie maximum circu-
lum deſignabit D F E, ad cuius periphe-
riam eſt recta B E _MAXIMA._
Iam in plano circuli D F E, cum radio
B E deſcripto circulo G E H, & circa im-
motum axim B E reuoluto, ab ipſo deſcri-
betur ſphæra G E H, quæ datam ſphæram
D F E circa eundem axim deſcriptam comprehendet, ac ſe ſimul contingét
in ipſo
puncto B ad interioris ſphæræ D F E ſuperficiem ducentur ipſa B E mino-
res erunt. Vnde B E eſt _MAXIMA_ quæſita, &
c.
Quod erat, &
c.
A puncto intra ſphæram dato, ad eius concauam ſuperficiem,
_MAXIMAM, & MINIMAM rectam lineam ducere._
ESto ſphæra, cuius centrum A, &
oporteat per datum intra ipſam pun-
ctum B ad concauam ſphæræ ſuperficiem _MAXIMAM_, & _MINIMAM_
rectam lineam ducere.
Si punctum B fuerit in centro ſphæræ, patet tunc neque _MAXIMAM,_
neque _MINIMAM_ dari, cum omnes eductæ à centro ad ſphærę ſuperficiem
ſint æquales.
Si autem datum punctum fuerit præter cen-
trum: iungatur cum centro A recta B A, quæ
in punctis C, D. Dico B D, in quà eſt centrum,
eſſe _MAXIMAM_, reliquam B C _MINIMAM_.
Si enim circà axim C D intelligatur quicun-
que _MAXIMVS_ ſphæræ circulus C D F: patet
linearum ex B ad peripheriam C D F ducibi-
lium, B D in qua centrum A, eſſe _MAXIMAM_,
& B C _MINIMAM_.
Siverò ducta ſit quælibet alia B E extra peri-
pheriam C D F, ſphæricæ ſuperficiei occurrens
in E; per rectas C D, &
B E intelligatur pla-
num, cuius communis ſectio cum ſphæræ ſuperficie erit cuiuſdam _MAXIMI_
circuli peripheria C E D, & eius diameter C D:
quare B D, in qua eſt
centrum, cum ſit _MAXIMA_, erit maior B E; &
B C, cum ſit _MINIMA_
minor erit eadem B E, & hoc ſemper vbicunque pertingat ducta B E:
ideo-
que B D eſt _MAXIMA_ ad vniuerſam ſphæræ ſuperficiem ducibilium ex da-
to puncto B, & B C _MINIMA_.
Quod erat faciendum.
A puncto intra Conum rectum, vel Conoides Parabolicum,
aut Hyperbolicum dato, ad eius concauam ſuperficiem, MI-
NIMAM rectam lineam ducere.
ESto Conus rectus;
vt in prima ſigura, vel Conoides Parabolicum, aut
Hyperbolicum, vt in ſecunda, cuius axis A B, & oporteat per punctum
intra ipſum datum ad concauam ſolidi ſuperficiem _MINIMAM_ rectam li-
neam ducere.
Secetur ſolidum plano per axem A B, ac per datum punctum ducto effi-
ciente in ſolidi ſuperficie ſectionem D A E, quæ eadem erit, in Cono angulum rectilineum conſtituet.
Iam ſi datum punctum fuerit in axe;
vt in H;
ducta H D, quæ in ſe-
dicularis ad A D) ipſa H D erit quoque _MINIMA_ in ſolido.
dicularis ad A D) ipſa H D erit quoque _MINIMA_ in ſolido.
dicularis ad A D) ipſa H D erit quoque _MINIMA_ in ſolido.
Nam ſi H D eſt _MINIMA_
ad peripheriam D A E patet
22.
ac 23.
huius, ipſam
H D perpendicularem eſſe
rectæ F D G, quæ ad pun-
ctum D ſectionem contingat. Si ergo centro H, interuallo
H D circulus deſcribatur
ctionem, eam contingens tan-
tùm in duobus punctis D E: quare in reuolutione ſectio-
nis D A E circa axim A B
deſcribetur datum ſolidum, & à circulo ſphæra, quæ tota cadet intra ſoli-
dum, eius concauam ſuperficiem contingens &
ipſa H D, vna
cum qualibet alia eductarum ab H ad prædictam peripheriam D I E, erit
_MINIMA_ in ſolido quæſita; cum hæ omnes ſint æquales inter ſe, eò quod
ſint latera Conirecti, cuius baſis eſt circulus D I E, vertex H; cumque om-
nes alię eductæ ab H ad ſolidi ſuperficiem, occurrant priùs ſphęricæ ſuper-
ficiei (quæ cadit tota intra ſolidi ſuperficiem) quàm ſuperficiei conicæ, aut
dati ſolidi conoidalis.
Siverò datum punctum ſit C inter axem, &
ſectionem:
ducta item C D,
quæ in ſectione ſit Dico ipſam quoque eſſe _MINIMAM_ in ſo-
Cum enim C D ſit _MINIMA_ ad ſectionis peripheriam D A E, ipſa C D
erit contingenti F D G perpendicularis, quare, & producta axi
quo facto centro, ac interuallo H D deſcripto circulo D E B, &
facta reuolutione circa axim A B, procreabitur denuo datum ſolidum, &
ſphæra, cuius ſuperficies cadet tota intra exteriorem ſo-
lidi ſuperficiem. Quod facere oportebat.
A puncto vbicunque dato, ad Sphæroidis ſuperficiem, MAXI-
MINIMAM rectam lineam ducere.
ESto datum Sphæroides A B C D, cuius axis reuolutionis ſit B D, cen-
trum E, & punctum datum ſit F.
Oportet primò ex F ad Sphæroidis
fuperficiem _MAXIMAM_ rectam lineam ducere.
Pro huius lineæ indagatione, generalis conſtructio in ſingulis figuris
quarti Schematiſmi, talis eſt.
Secetur Sphæroides A B C D plano per axem B D, ac per datum pun-
eſt eadem, ac Ellipſis quæ ſolidum genuit; &
à dato puncto F ad huius ſe-
ctionis peripheriam ducatur Dico ipſam quoque eſſe
Iam, vel datum Sphæroides eſt Oblongum, vt in 9.
primis figuris;
vel
Prolatum, vt in totidem proximè ſequentibus.
Si primum:
vel datum punctum F idem eſt cum centro E, vt in prima fi-
gura, & tunc duo ſemi- axes maiores F B, F D erunt _MAXIMAE_ ad Ellipſis
peripheriam per 23. huius ad num.
1.
Vel eſt in maiori axe B D, hoc eſt in-
ter verticem, & centrum, vt in ſecunda, &
tunc F D tantùm, in qua eſt
centrum eſt _MAXIMA_, vt ad num. 4.
&
5.
Aut in ipſo vertice B, vt in ter-
tia, quo in caſu F B, item eſt _MAXIMA_, vt ad num. 2.
Vel in ipſo maiori
axe, extra tamen ſectionem, vt in quarta, & tunc ipſa F D, in qua eſt cen-
trum pariter eſt _MAXIMA_, vt ad num. 3.
Vel eſt in minori axe A C, hŏc eſt
vel diſtans à vertice A per interuallum F A non minus dimidio recti, cuius
tranſuerſum eſt A C, vt in quinta figura, & tunc ipſa F A eſt _MAXIMA_, vt
ad num. 6.
Aut diſtat ab A per interuallum minus prædicto dimidio, vt in
ſexta figura, & ſic duæ tantùm F H, F G ſunt _MAXIMAE_, vt ad num.
7.
Vel
denique datum punctum F eſt inter axes, & hoc, vel in ipſa peripheria, vt
in ſeptima figura, vel intra, vt in octaua, vel extra, vt in nona, atque in his
caſibus vna tantùm duci poteſt ex F _MAXIMA_, vt ad num. 9.
quæ ſit F G.
Si autem Sphæroides fuerit Prolatum, vt in nouem proximis figuris eiuſ-
dem Schematiſmi, vel datum punctũ eſt idem cum centro F, vt in 10. figura,
& tunc duo ſemi - axes maiores F A, F C erunt _MAXIMAE_ ad Ellipſis pe-
ripheriam. Vel eſt in maiori axe, &
hoc vel inter centrum, &
verticem C,
vt in vndecima, vel in ipſo vertice, vt in duodecima, vel extra verticem vt
in decimatertia, quibus in caſibus F A, in qua centrum, eſt _MAXIMA_. Vel
eſt in minori axe diſtans à vertice B per interuallum non minus dimidio re-
cti, cuius tranſuerſum ſit B D, vt in decima quarta figura, & tunc F B, vel
F G eſt _MAXIMA_, vel diſtans à vertice B per interuallum minus prædicto
dimidio, vt in decimaquinta, & tunc duæ ſunt _MAXIMAE_ F G, F H.
Vel
eſt inter axes, & hoc aut in ipſa peripheria, aut intra, aut extra, vt in 16.
17.
&
18.
in quibus vna tantùm F G eſt _MAXIMA_, quæ omnia ad præcitatos
numeros propoſ. 23.
huius ſunt demonſtrata.
Si ergo in ſingulis figuris ad
interuallum _MAXIMAE_ repertæ F D, vel F G reſpectiuè, cum centro dati
puncti F circulus deſcribatur, ipſe cadet totus extra Ellipſim, hanc tantùm
contingens in eò puncto, vel in ijs duobus ad quę _MAXIMA_, vel _MAXIMAE_
perueniunt; nam ſi circulus alibi cum Ellipſi conueniret _MAXIMAE_ quoq;
plures eſſent quàm vna, vel duæ reſpectiuè, quod eſt contra oſtenſa in 23.
huius.
Præterea, vbi F centrum deſcripti circuli G H non eſt in B D axe reuo-
lutionis Ellipſis A B C D, vti reperitur in 1. 2.
3.
4.
10.
14.
ac 15.
figura, in
quibus eadem B D eſt circuli diameter, ducatur I F L diameter circuli G H,
atque axi B D ęquidiſtans; &
concipiatur, modo circulum circa diametrum
I L, tanquam circa axim conuerti, interea manente Ellipſi, & fiet ſphæra G
H, modò Ellipſim circa axim B D, manente tamen circulo, & procreabitur
Sphæroides A B C D, quod cadet totum intra ſphæram, hanc 3.
4.
5.
7.
8.
9.
11.
12.
13.
14.
16.
17.
ac 18.
figura, quoniam in his quoque vnicus eſt contactus inter circulũ,
& Ellipſim;
vel ad duo tantùm puncta B, D, vt in prima, aut G, H, vt in
ſexta, in quot circulus Ellipſim contingit, & quæ non ſunt extrema eiuſdem
applicatæ in vtraq; ſectione ad communem axim;
vel tandem ad integram
circuli peripheriam à puncto A in decima figura, vel à puncto G in 15. ex
figurarum reuolutione circa communem axim B D deſcriptam. Cum ergo
Sphæra G H claudat Sphæroides A B C D, atque ipſum contingat tantùm,
vel in vno, vel in duobus punctis, vel ad integram circuli peripheriam, cũq;
omnes rectæ, quæ à centro F ad punctum ſphæricæ ſuperficiei duci poſſunt
ſint æquales ijs, quæ ad prædicta contactuum pũcta, vel peripherias ducun-
tur, ideò quæ ab eodem centro ad incluſam Sphæroidis ſuperficiem, præter
ad prædicta puncta, vel peripherias ducentur minores erunt, ac propterea
ipſæ eductæ à centro F, ſiue à puncto dato ad prędicta puncta, vel periphe-
rias in Sphæroidis ſuperficie erunt _MAXIMAE_ quæſitæ. Quod erat pri-
mò faciendum.
SIverò ad Sphæroidis ſuperficiem A B C D ducenda ſit _MINIMA_ linea à
puncto dato F. Vel datum punctum eſt in ipſa ſuperficie, &
tunc _MI-_
_NIMA_ in punctum abit. Vel cadit extra, &
tunc _MINIMA_ reperitur, vt in
58. huius.
Vel tandem eſt intra Sphæroides, &
tunc ad _MINIMAM_ venan-
dam generalis conſtructio eſt huiuſmodi.
Secetur Sphæroides plano per axem B D, &
per datum punctum F, geni-
tricem Ellipſim efficiente A B C D, ductaque ex F ad Ellipſis peripheriam
_MINIMA_
Iam, vel datum Sphæroides eſt Oblongum, vel Prolatum.
Sit primò
Oblongum, vt in figuris 19. 20.
21.
22.
23.
Itaque datum punctum F, vel
eſt in centro, vt in 19. &
tunc duæ F A, F C, ſunt _MINIMAE_, vel in ma-
iori axe A B diſtans à vertice B per interuallum maius dimidio recti, &c.
itemque duæ F G, F H ſunt _MINIMAE_, vt in 20.
vel per interuallum non
maius prædicto dimidio, vt in 21. &
tunc vnica F B, in qua non eſt centrũ,
eſt _MINIMA_; vel eſt in minori axe, vt in 22.
in qua F C vbi centrum non
reperitur eſt _MINIMA_; vel tandem eſt inter axes, vt in 23.
&
tunc vnica F
G eſt _MINIMA_, &c.
Sit denique Sphæroides Prolatum, vt in poſtremis figuris huius quarti
Schematiſmi. Si punctum F congruit cum centro E, vt in 24.
figura duæ F
D, F B ſunt _MINIMAE_; ſi eſt in ſemi- axe maiori E C, diſtans à C per in-
teruallum maius recti dimidio, &c.
vt in 25.
duo item F G, F H ſunt _MINI-_
_MAE_; ſi per interuallum non maius prædicto dimidio, vt in 26.
vnica F C
eſt _MINIMA_; ſi in ſemi- axe minori E B, vt in 27.
ipſa F B, in qua non eſt
centrum eſt _MINIMA_; ſi tandem inter axes, vt in 28.
vnica F G eſt _MINI-_
_MA_, quæ omnia in prop. 23.
huius ſunt demonſtrata.
Siergo in his omnibus figuris cum centro F, ad interuallum nuper inuen-
tæ _MINIMAE_ deſcribatur circulus G H, ipſe circumſcriptus erit Ellipſi,
hanc tantùm contingens in eo, vel in ijs punctis, ad quæ _MINIMA_, vel
_MINIMAE_ perueniunt; nam ſi alibi cum Ellipſi conuenirent, _MINIMAE_
plures eſſent, quàm eſſe poſſint. Itaque in circulis figurarum 22.
23.
25.
26.
in quibus eorum centra non ſunt in B D axe reuolutionis Ellipſis, prout
ſunt in reliquis, ducatur per centrum F diameter I L eidem axi B D æqui-
diſtans, & concipiatur, tum circulum, tum Ellipſim conuerti eadem arte,
qua ſuperiùs vſi ſumus, non abſimili ratiocinatione, atque ope 56. huius,
oſtendetur incluſam Sphæram Sphæroides contingere, vel in vnico puncto,
vt euenit in 21. 22.
23.
26.
27.
ac 28.
vel in duobus tantùm, vt in 24.
&
25.
vel ad integram circuli peripheriam, vt in 19.
&
20.
ideoque omnes rectas,
quæ à centro F ad puncta Sphæricæ ſuperficiei ducuntur, æquales eſſe ijs,
quæ ad prædicta contactuum puncta, vel ad peripherias ducuntur, ac pro-
pterea, quæ ad circumſcriptam Sphæroidis ſuperſiciem, præter ad eadem
puncta, vel peripherias ducentur, maiores erunt. Vnde ipſæ eductæ, à
dato puncto F ad reperta contactuum puncta, vel ad peripherias ſuper dati
Sphæroidis ſuperficiem erunt _MINIMAE_. Quod vltimò faciendum erat.
Iraberis fortaſſe, ac non immeritò, proximas haſce quinque
propoſitiones circa planas portiones verſantes, & immediatè
poſt quadrageſimam quintam huius aptè apponendas, locum
hunc inter ſolida ſortitas fuiſſe: ſed inuitam, vel fortuitam
potiùs huius tranſmisſionis cauſam, hic tibi enarrare ſuperuacaneum
puto. His itaque vtaris prout ſuo loco inſertis;
nulla namque ipſarum
indiget aliqua præcedentium vſque ad num. 46.
incluſiuè, licet ſola quin-
quageſima prima nonnullarum ſequentium notionem aſſumat.
Æquales portiones eiuſdem coni - ſectionis, vel circuli, ſi
fuerint de eadem Parabola habebunt intercepta diametrorum
Si de eadem Hyperbola, vel Ellipſi,
vel circulo, prædicta diametrorum ſegmenta erunt proprijs ſe-
mi- diametris proportionalia.
SInt, in quacunque harum figurarum, duæ portiones A B C, D E F inter
ſe æquales, quæ in ſectione Ellipſis tertiæ figuræ ſint primò minores ſe-
mi- Ellipſi, & harum omnium ſegmenta diametrorum ſint B G, E H, tùm
in Parabola primæ figuræ, tùm in reliquis, quarum centrum ſit O. Dico,
in prima, ſegmenta E H, B G inter ſe æqualia eſſe, in reliquis verò, eſſe vt
H E ad E O, ita G B ad B O.
Ex altera diametrorum, vtputa ex E H, ſecetur, in prima figura, E I
æqualis ſegmento B G; &
in reliquis, fiat O E ad E I, vt O B ad B G, atq;
in omnibus ordinatim applicetur per I ipſi diametro E I recta L I M, quæ
hæc quoque ſit eidem diametro ordina-
tim ducta.
Iam in ſingulis figuris erit portio L E M æqualis
quare duæ portiones L E M, D E F inter ſe æquales erunt, ſed vtraque eſt
de eadem ſectione, & circa communem diametrum E H I, &
ſuper baſes
parallelas, ergo baſis L I M tota congruet cum baſi D H F, vnde & pun-
ctum I cum puncto H; quare ſegmenta E I, E H inter ſe æqualia erunt,
ac propterea erit, in prima, ſegmentum quoque E H æquale B G, & in re-
liquis erit H E ad E O, vt G B ad B O. Quod primò oſtendere propone-
batur.
Sint iam in tertia figura duæ portiones æquales A N C, D P F ſemi- El-
lipſi maiores, quarum ſegmenta diametrorum ſint G N, H P, & commune
centrum O. Dico item eſſe G N ad N O, vt H P ad P O.
Producantur diametri N G, P H, ad B, E.
Et cum portiones A N C, D P F ſint æquales, &
ſemi- Ellipſi maiores
erunt quoque reliquæ A B C, D E F de eadem Ellipſi inter ſe æquales,
ſed ſemi- Ellipſi minores; quare erit, vt ſupra oſtendimus, G B ad B O,
vt H E ad E O, & conuertendo, &
diuidendo O G ad G B, vt O H ad
H E, & eſt G B ad B O, vel ad O N, vt H E ad E O, vel ad O P, ergo,
ex æquali G O ad O N, vt H O ad O P, & componendo, G N ad N O,
vt H P ad P O. Quod vltimò erat, &
c.
Portiones eiuſdem coni-ſectionis, vel circuli, aut etiam an-
guli rectilinei, quarum intercepta diametrorum ſegmenta in
Parabola ſint æqualia, vel in Hyperbola, aut in Ellipſi, vel
circulo, ad proprias ſemi- diametros eandem ſimul habeant ra-
tionem, vel in angulo pertingant ad eandem inſcriptam con-
centricam Hyperbolen, habent baſes altitudinibus reciprocè
proportionales.
NAm, quo ad primùm, reiterata inſpectione figurarum tertij Schemati-
ſmi pro propoſitione 40. huius;
ibi in portionibus A B C, H E I, tùm
quandò, in Parabola, diametri B F, E G ſint æquales; tùm quandò, in
B C, vt ſemi- diameter D E, ad E G diametrum portionis H E I, demon-
ſtratum ſuit, propè finem, baſim H I portionis H E I, ad baſim A C portio-
nis A B C, eſſe reciprocè, vt altitudo portionis A B C ad altitudinem por-
tionis H E I. Quod tanquam Coroll.
Prop.
40.
huius elici poterat.
At cum
ibi tantùm loquatur de portionibus Ellipticis, quæ ſint ſemi- Ellipſi mino-
res, hoc idem verificari etiam de portionibus ſemi - Ellipſi maioribus, vel
etiam de ijſdem ſemi-Ellipſibus, ita demonſtrabitur.
Sint duæ portiones A B C, D E F de ea-
vtraque ve-
rò ſit ſemi- Ellipſi maior, quarum diametri
G B, H E ad proprias ſemi - diametros B
O, E O ſint in eadem ratione. Dico, baſim
A C vnius, ad D F baſim alterius, eſſe vt
huius altitudo E M, ad illius altitudinem
B N.
Productis enim diametris B G, E H vſq;
ad Ellipſis peripheriam in punctis I, L, è
quibus ductis I P, L R, baſibus A C, D F
perpendicularibus, hæ erunt altitudines
portionum A I C, D L F, & reliquarum
portionum altitudinibus, B N, E M æqui-
diſtabunt.
Et cum, ex hypotheſi, ſit G B ad B O, vt H E ad E O, ſumptis conſe-
quentium duplis, conuertendo, & per conuerſionem rationis B I ad I G,
erit vt E L ad L H; &
ſumptis antecedentium ſubduplis, O I ad I G, vt O
L ad L H: quare, per ſuperiùs oſtenſa, in portionibus A I C, D L F, ſemi-
Ellipſi minoribus, erit baſis A C ad D F, vt altitudo L R ad altitudinem
I P, fed L R ad I P eſt, vt E M ad B N, vt mox demonſtrabitur, ergo A
C ad D F erit quoque, vt E M ad B N.
Quod autem ſit L R ad I P, vt E M ad B N.
Cum demonſtratum ſit
conuertendo L H ad
H E, vel L R ad E M (ob triangulorum L H R, E H M ſimilitudinem)
vt I G ad G B, vel ita I P ad B N (ob ſimilitudinem triangulorum I G P,
B G N) & permutando L R ad I P, vt E M ad B N.
Quod reliquum erat
oſtendere de portionibus ſemi-Ellipſi maioribus.
Tandem intelligantur duæ ſemi- Ellipſes I E B, E B L de eadem Ellipſi.
Dicobaſim I B ad baſim L E eſſe reciprocè, vt altitudo portionis E B L ad
altitudinem portionis I E B.
Iunctis enim E I, E B;
cum in triangulis I E O, B E O, quorum com-
munis vertex E, ſit baſis I O æqualis baſi B O, erit triangulum I E O,
triangulo B E O æquale; &
ſi concipiatur baſis trianguli B E O permutari,
ita vt ipſa ſit O E, & vertex B:
cum huiuſmodi triangula ſint æqualia, erit
baſis I O, vnius I E O, ad baſim O E, alterius B E O, ita reciprocè altitu-
do trianguli B E O, cuius vertex B, ad altitudinem trianguli I E O, cuius
vertex E; ſed horum triangulorum altitudines ſunt eædem, ac ſemi-Elli-
pſium E B L, I E B, ergo I O ad O E, vel ſumptis duplis, baſis I B ad ba-
ſim L E, erit reciprocè, vt altitudo ſemi- Ellipſis E B L ad altitudinem
ſemi- Ellipſis I E B.
Quò autem ad portiones eiuſdem anguli, ſuper figuram primam Propoſ.
45.
huius, in qua diametri B E, M D portionum, ſiue triangulorum A B C,
H M I pertingunt ad eandem Hyperbolen D E concentricam, cum ibi de-
monſtratum ſit ipſa triangula inter ſe eſſe æqualia, erit baſis A C vnius, ad
H I baſim alterius, vt altitudo trianguli H M I ad altitudinem trianguli A
B C: hoc enim elicitur ex elementis, nam triangula æqualia habent baſes
altitudinibus reciprocè proportionales. Quare portiones eiuſdem coni- ſe-
ctionis, &c.
Quod erat, &
c.
Æquales portiones eiuſdem coni - ſectionis, vel circuli, aut
etiam anguli, habent baſes altitudinibus reciprocè proportiona-
les. Et è conuerſo.
Si portiones de eadem coni - ſectione, vel circulo, aut etiam
angulo habuerint baſes altitudinibus reciprocè proportionales,
ipſæ portiones æquales erunt.
1.
ETenim, quò ad primùm, quandò portiones de eadem coni- ſectione,
vel circulo, aut etiam angulo ſunt æquales, ſi fuerint de cadem Para-
bola, habent intercepta diametrorum ſegmenta inter ſe æqualia, & ſi de ea-
dem Hyperbola, vel Ellipſi, vel circulo habent ſegmenta proprijs ſemi- dia-
metris ſed quandò huiuſmodi portionibus inſunt condi-
tiones prædictæ, ipſæ habent cum fuerint equales, ipſarum baſes altitudinibus erunt recipro-
Quod erat primò, &
c.
quodque tanquam præoſtenſum bis aſſumpſi-
mus in 5 1. h.
2.
PRo demóſtratione
ponantur portiones A
B C, D E F de eadem
coni-ſectione, in pri-
mis tribus figuris, (quę
tamen in tertia ſint ſe-
mi-Ellipſi minores) vel
de eodem angulo, vt in
quarta, quarum omniũ
diametri ſint G B, H E,
baſes A C, D F, alti-
tudines verò B K, E I,
centrum autem in ſe-
cunda, & tertia ſit R:
ſitque baſis A C ad ba-
ſim D F, reciprocè, vt
altitudo E I ad altitu-
dinem B K. Dico ip-
ſas portiones inter ſe
æquales eſſe.
Nam ſi ſegmenta
diametrorum B G, E
H, in prima exhibente
Parabolen, fuerint æ-
qualia; &
in ſecunda, ac tertia exhibentibus Hyperbolen, &
Ellipſim, ha-
buerint ad proprias ſemi- diametros B R, E R eandem rationem; iam patet,
per 40. huius, ipſas portiones inter ſe æquales eſſe.
At ſi inter hæc diametrorum ſegmẽta non eſt prædicta æqualitas in prima
figura; vel proportionalitas, in ſecunda, &
tertia, alterum ipſorum ſegmẽ-
torum erit æquo maius. Sit ipſum B G, &
ad æquum reducatur in L:
erit
ergo B L minus B G, cui per L ordinatim applicetur N L O (quæ baſi A
C æquidiſtabit) altitudinem B K ſecans in M; &
erit B M altitudo por-
tionis N B O.
Iam, diameter L B, in prima, facta eſt æqualis diametro H E;
in ſecunda
verò, & tertia nũc ponitur L B ad B R habere eandem rationem quàm H E
ad E R, ergo per primam partem huius, erit baſis N O ad D F, vt altitudo
E I ad B M; vnde rectangulum ſub N O, B M æquabitur rectangulo ſub
D F, E I; ſed eſt, ex hypotheſi, baſis A C ad D F, vt altitudo E I ad B K,
ergo, & rectangulum ſub A C, &
B K, æquabitur eidem rectangulo ſub D
F, & E I;
quare duo rectangula ſub N O, &
B M, &
ſub A C, &
B K ſunt
æqualia, quod eſt falſum. Rectangulum enim ſub N O, B M minus eſt re-
ctangulo ſub A C, B K, eò quod ſub minoribus lateribus contineatur, cum
ſit applicata N O minor applicata A C, & altitudo B M minor altitudine
B K: quapropter ipſa diametrorum ſegmenta, in prima, æqualia erunt;
&
in reliquis, erunt proprijs ſemi- diametris proportionalia, hoc eſt ipſæ
portiones æquales De portionibus tandem eiuſdem anguli, quæ
procè proportionales, ipſa triangula eſſe æqualia. Quare, &
c.
quod ſecun-
dò probandum erat.
Haud incongruum, neque inutile duximus hic adnotaſſe Theorema
huiuſmodi.
Æquales portiones eiuſdem coni-ſectionis, vel circuli (quæ
tamen in Ellipſi ſint, vel vnà æquales, vel vnà maiores, vel vnà
minores ſemi- Ellipſi) ad inſcripta ſibi triangula, (nempè ad ea,
quorum baſes eædem ſunt, ac portionum, eædemque altitudi-
nes, ſiuè ijdem vertices) vel ad circumſcripta parallelogram-
ma, ſunt inter ſe in vnà eademque ratione.
NAm cum baſes æqualium portionum eiuſdem coni- ſectionis, vel cir-
culi earum altitudinibus ſint
dines, & baſes ponantur eædem;
ac propterea ipſa triangula æqualia erunt.
Quare, vt portio ad portionem, ita triangulum ad triangulum, ob æquali-
tatem tùm portionum, tùm triangulorum; &
permutando, portio ad ſibi in-
ſcriptum triangulum, vt altera æqualis portio de eadem coni- ſectione, vel
circulo ad ſibi inſcriptum triangulum. Et ſumptis conſequentium duplis,
portio ad circumſcriptum parallelogrammum, erit vt altera portio ad cir-
cumſcriptum parallelogrammum. Quod erat, &
c.
Hoc de ſolis Parabolæ portionibus, etiam ſi inæqualibus, nec de
eadem Parabola, manifeſtum iam erat ex Archimede (omnis
enim Parabolæ portio ad ſibi inſcriptum triangulum ha-
bet De reliquarum autem
non dum.
Si in angulo A B C applicatæ ſint duæ rectæ lineæ D E, A
C, quæ ab eadem recta B G per verticem B ducta proportio-
naliter ſecentur, ita vt ſit A G ad G C, homologè, vt D F ad
F E. Dico ipſas A C, D F inter ſe æquidiſtare.
SI enim A C non eſt ipſi D E parallela, ſit alia
erit ergo
(ob parallelas) A I ad I H, vt D F ad F E; vel
ob hypotheſim, vt A G ad G C, ergo in trian-
gulo A C H erit I G parallela ad H C, ſed ipſæ
conueniunt in B. Quare non erit alia ex A ipſi
D E parallela, quàm A C. Quod erat, &
c.
Baſes æqualium portionum, ex eodem angulo, ſiue ex eadem
ſcriptam eiuſdem nominis ſectionem ſimilem, & concentricam
ad puncta media contingunt.
SInt de angulo rectilineo, vt in prima figura, vel de qualibet alia coni- ſe-
ctione, vel circulo, vt in ſecunda, abſciſſæ duæ æquales portiones A
B C, D E F, quarum baſes A C, D F ſint bifariam ſectæ in G, H, & per G
inſcribatur concentrica exteriori A B F,
Dico baſim A C ſectionem I G H contingere in G, &
ba-
ſim quoque D F eandem ſectionem contingere in H.
Iungatur, in prima, B G, &
producatur, nam ipſa erit diameter Hyper-
bolæ I G H (cum ſit B eius centrum) bifariam ſecans omnes in ea applica-
tas, quæ ſi vſque ad aſymptotos producantur, erunt, & ipſarum ſegmenta
inter aſymptotos, & ſectionem æqualia
poſitis, prouenient totæ applicatæ in angulo A B E biſariam ſectæ à dia-
metro B G producta, ſed ponitur quoque applicata A C bifariam ſecta in
G, quare A C ipſis applicatis in ſectione
In ſecunda autem figura quaſcunque coni- ſectiones exhibente ducatur
ex G diameter G B, quæ vtriuſque ſectionis A B E, I G H erit communis
diameter (cumipſæ ponantur ſectiones concentricæ, &c.)
ad applicatas in
quare applicatæ in ſectione I G H ad diametrum
B G æquidiſtabunt applicatis in ſectione A B C ad eandem diametrum,
quarum vna eſt A C per verticé G ducta, cum in G ſit bifariam ſecta; ergo
ipſa A C continget
Sed hoc idem breuiùs, tùm in angulo, tùm in qualibet coni-ſectione,
omiſſo precedenti Lemmate.
COncedatur ſectionem I G H occurrere rectæ A C in alio puncto quàm
G, quod ſit K. Dico tamen punctum K idem eſſe ac G.
Quoniam erit A K
A G ſunt æquales, ſed hæ habent communes terminos
ad A, ergo, & punctum K congruet cum G.
Quare ipſa baſis A C con-
tingit omnino ſectionem I G H in G.
Ampliùs, in prima figura, iungatur E H, quæ eſt
in ſecunda ex H ducatur vnius ſectionis diameter H
E, quæ erit quoque diameter alterius (cum ponantur concentricæ, &c.)
Si
ergo hæc diameter E H producatur, ipſa ſecabit interiorem ſectionem I G
H in aliquo puncto, vt in L, ex quo ducatur in ſectione A B F recta M L N
ipſi D F æquidiſtans.
Et quoniam, in ſingulis, figuris D F eſt bifariam ſecta in H, erit quoque
M N bifariam ſecta in L (cum M N ex conſtructione æquidiſter ordinatim
ductæ D F in eadem ſectione A B F) ſed ſectio I G tranſit per L, quare
ſectio ipſa I G continget omnino rectam M N in L (quod ijſdem rationi-
bus, ac ſupra de A C oſtenſum fuit, demonſtrabitur) ergo portio M E N
æquabitur
les erunt, ſuntque de eodem angulo, vel de eadem coni- ſectione, vel cir-
culo, & circa communem diametrum E H L, &
ipſarum baſes ſimul æqui-
diſtant, qua propter, & baſes quoque ſimul in totum congruent, nempe M
N cum D F, ac ideò punctum L cum puncto H. Recta igitur D F, quæ
eadem eſt cum M N, contingit ſectionem I G in H. Quod tandem erat
demonſtrandum.
HInc elicitur, quod baſis angularis portionis, vel baſis cuiuslibet coni-
ſectionis, vel circuli ad punctum medium contingit eiuſdem nominis
ſectionem ſimilem, & concentricam peripſum punctum dato angulo, vel
ſectioni, aut circulo inſcriptam.
Nam primò loco ſuperiùs demonſtratum fuit, in vtraque figura, baſim
A C ad eius punctum medium G omnino contingere ſectionem I G H per
punctum G concentricè inſcriptam, &c.
SEquitur etiam, quod ſegmenta diametrorum, omnium æqualium por-
tionum ex eodem angulo, aut ex eadem coni- ſectione, vel circulo ab-
ſciſſarum, cum earum extremis terminis ad baſim, perueniunt ad eandem
eiuſdem nominis, ſimilem, & inſcriptam concentricam ſectionem.
Etenim puncta media baſium ipſarum portionum, quæ iam eandem ſimi-
lem inſcriptam concentricam ſectionem contingunt, eadem ſunt, ac prædi-
cta diametrorum extrema puncta, &c.
vt ſatis conſtat.
OPportunè monendus hic Lector eſt, nos ſuperiùs, &
in ſe-
quentibus, Hyperbolen intra angulum aſymptotalem deſcri-
ptam, & Parabolen Parabolæ æquidiſtantem, interdum
nuncupaſſe ſimiles, & concentricas ſectiones, perindè ac ſi
angulus rectilineus aſymptotalis, ſectio eſſet ſimilis, & concentrica Hy-
perbolæ, & quaſi Parabole æquidiſtanti Parabolæ concentrica eſſet.
Ve-
rum ſi id accuratius perpendamus, quo ad angulum rectilineum, ani-
maduertere licebit ipſum non abs re haberi poſſe tanquam vnam Hyper-
bolarum, quarum centrum ſit vertex eiuſdem anguli, & aſymptoti ſint
eadem anguli latera: Omnes enim Hyperbolæ cum ijſdem aſymptotis,
ſiue cum eodem centro deſcriptæ, ſed cum diuerſis ſemi-axibus, inter ſe
ſimiles ſunt, vti ex doctrina primi huius iam ſatis patuit; &
quò ſe-
mi- axes ſunt minores, eò tales Hyperbolæ fiunt anguſtiores (nempe in-
ſcriptibiles per vertices ijs, quarum ſemi-axes ſint maiores) ſed tantò
magis accedunt ad latera eiuſdem anguli, nunquam tamen eis occur-
runt, & in hoc ſemi-axium decremento, peruenitur tandem ad MI-
NIMV M, nempe ad punctum, ſeu verticem anguli, qui eſt centrum
omnium ſimilium Hyperbolarum, & ad MINIMAM Hyperbolen,
concentricarum anguſtisſimam, cum
ipſis anguli lateribus, ſeu cum aſymptotis in totum congruentem. Itaque
angulus rectilineus vocari quodammodo poteſt prima, & MINIMA
ſimilium Hyperbolarum concentricarum, quarum angulus aſymptotalis
ſit æqualis dato, & quælibet prædictarum ſimilium Hyperbolarum in-
ſcriptarum dici poteſt ſectio eiuſdem nominis cum angulo ſimilis, &
concentrica, & c.
quales meritò appellantur duæ Hyperbolæ, vel duæ El-
lipſes inter ſe ſimiles, & concentricæ.
Quò autem ad congruentes Parabolas, vel etiam non congruentes,
(omnes enim Parabolæ ſunt ſimiles inter ſe) ſed per diuerſos vertices
ſimul adſcriptas, quas alibi æquidiſtantes diximus, liceat etiam, quam-
uis impropriè, concentricas appellare. Etenim, &
Parabole ſuum ha-
bet centrum à quo procedunt eius diametri, ſed cum id poſitum ſit in infi-
nitam diſtantiam extra ſectionem, ideò ipſæ diametri ab eodem centro
emanantes inter ſe æquidiſtant, & c.
Ob eaſdem quoque rationes, ſi concipiantur Hyperbolæ intra angulos
aſymptotales, vel Parabolæ æquidiſtantes, vel Hyperbolæ, aut Elli-
pſes, vel circuli ſimiles, & concentrici circa communes axes in gyrum
conuersi, ſolida ab ipſis genita vocabuntur in poſterum ſolida eiuſdem
nominis ſimilia, & concentrica.
Conus enim ab angulo procreatus ha-
bebitur pro primo, & MINIMO Conoidorum Hyperbolicorum ſimilium,
& concentricorum, &
c.
&
Conoidalia Parabolica tanquam ſimul con-
centrica, quarum commune centrum abeat in infinitam diſtantiam. De
ſimilibus verò, & concentricis Conoidibus Hyperbolicis, aut Sphæroidi-
bus, vel Sphæris, à ſimilibus, & concentricis ſectionibus genitis, nihil
eſi quod ad nominum declar ationem addamus, cum eadem defi-
nitio ipſi definito perquàm rectè conueniat. Verumenim-
uerò iam ſuſcepta, ac nuper interciſa ſolidorum tra-
ctatio, antequam reſumatùr, nouarum quarun-
dam vocum explicationem requirit, quam
ideò in ſequentibus ita exhibemus.
PLANA ACVMINATA SIMILIA vocentur illa, quæ inter ſe ſint
proportionalia, & quorum diametri ſuper baſes ſint æqualiter inclinatæ, ac
ijſdem baſibus proportionales.
Hoc eſt ſi ſint duo quælibet plana Acuminata proportionalia A B C, D
E F, quorum diametri B G, E H cum baſibus A C, D F æquales angulos
alterum alteri conſtituant, nempe A G B
ipſi D H E, & qui ei eſt deinceps C G B
ter B G ad baſim A C, vt diameter E H
ad baſim D F; huiuſmodi plana inter ſe
vocentur SIMILIA ACVMINATA. Vnde, &
duæ ſimiles Ellipſes vocari pote-
runt ſimilia Acuminata, cum vtraque ex
duobus proportionalibus Acuminatis con-
ſtet, ſiue ex dua
ſectis, quarum diametri ſunt baſibus proportionales, &c.
Idemque de duo-
bus circulis, &c.
SOLIDVM ACVMINATVM REGVLARE, vel tantùm SOLIDVM
ACVMINATVM, voco omnem figuram ſolidam ad alteram partem defi-
cientem, circa planum Acuminatum deſcriptam, cuius omnia plana baſi ſo-
lidi æquidiſtantia per Acuminati applicatas ducta, ſint quoque plana Acu-
minata, eidem baſi, ac inter ſe ſimilia, & ſimiliter poſita, &
quorum homo-
logæ diametri ſint ipſæ applicatæ prædicti Acuminati, &c.
Eſto planum quodcunque Acuminatum A B C, cuius baſis A C, dia-
meter B D, vertex B, & ipſa A C, ſit vel diameter circuli, aut Ellipſis,
vel cuiuſcun que ipſarum figurarum portionis, aut diameter Parabolæ,
vel Hyperbolæ, vel cuiuslibet alij plani Acuminati A E C F, quod tan-
quam baſis, ad quemlibet inclinationis angulum cum plano A B C ſit
c.
quæ baſi A E C F
æquidiſtanter ducuntur per Acuminati A B C applicatas G H, I L, &c.
ipſi baſi, ac inter ſe, ſimilia Acuminata, &
ſimiliter poſita, atque ipſæ
applicatæ G H, I L ſint eorundem Acuminatorum homologæ diametri:
huiuſmodi figura SOLIDVM REGVLARE ACVMINATVM vocetur,
vel tantùm ACVMINATVM SOLIDVM; A E C F verò BASIS ſoli-
di Acuminati; ſed portionem A B C Acuminati plani intra Acuminatum
ſolidum interceptam (eò quod ipſa ſit tanquam Regula, vel Modulus,
aut Canon homologarum diametrorum ſimilium planorum ęquidiſtantium,
ac ſolidum procreantium) nuncupare liceat CANONEM ſolidi Acumina-
ti, qui ſi ad planum ba
ſolidi Acuminati, & B D diameter Canonis, nuncupetur quoque AXIS
ſolidi, & eius VERTEX punctum B, in quod abit ſolidum, atque eiuſdem
ſolidi ALTITVDO dicatur recta B O, quæ à vertice B ſuper baſim A E C
F recta ducitur. Plana verò A C, G H, I L, &
c.
dicantur PLANA OR-
DINATIM DVCTA ad axim ſolidi Acuminati.
SOLIDA ACVMINATA PROPORTIONALIA dicantur illa, quo-
rum omnia plana ordinatim applicata per puncta, eorum axes proportio-
naliter diuidentia, ſint quoque inter ſe, & baſibus proportionalia.
Videlicet ſi duo ſolida Acumi-
ſint A G C I, L F H D axes verò
ſint B K, E O proportionaliter ſe-
cti in M, P; &
in N, Q;
ita vt K
M, ad M B ſit vt O P, ad P E; &
K N ad N B, vt O Q ad Q E, &c.
ſitque baſis A G C ad baſim L F H,
vt planum ordinatim applicatum
per M ad applicatum per P, & vt
applicatum per N ad applicatum
per Q, &c.
talia ſolida, dicentur
SOLIDA ACVMINATA PROPORTIONALIA.
Si ſuper diametrum Acuminati plani deſcriptum ſit parallelogrammum
quodlibet ſuper ipſum planum quomodocunque eleuatum, idem que Acu-
minatum concipiatur ſibi ipſi æquidiſtanter moueri, ita vt eius diameter ſuo
motu parallelo prædictum parallelogrammum deſcribat: ſolidum occluſum
à duobus oppoſitis Acuminatis congruentibus, ac parallelis, atque à ſuper-
ficie, quæ à perimetro figuræ motæ deſcribitur CYLINDRICVS vocetur. Acuminatum verò ſolidum procreans, dicatur BASIS, &
parallelogram-
mum, per quod fit æquidiſtans latio Acuminati plani Cylindricum pro-
creantis, CANON DIAMETRALIS nuncupetur.
Nimirum, ſit Acuminatum planum A B C, cuius diameter B D, cui in-
ſiſtat parallelogrammum quodcumq; B D E F ſuper planum figuræ A B C
rallelo, ſed ita vt recta B D æquidiſtanter
incedat ſuper parallelogrammum B E, do-
nec congruat cum oppoſito latere E F. Huiuſmodi ſolidum occluſum à parallelis,
& congruentibus Acuminatis A B C, G F
H, atque à ſuperficie, quæ à perimetro A
B C A in ſua latione deſcribitur, vocetur
CYLINDRICVS, Acuminatum verò A B C eius BASIS, & parallelo-
grammum B E CANON DIAMETRALIS prædicti Cylindrici, cuius
altitudo metietur per rectam ad vtrunque oppoſitorum planorum perpen-
dicularem.
Itaque CYLINDRICVS dicetur omne ſolidum circa parallelogrãmum
quodcunque deſcriptum, & cuius omnia plana baſi ſolidi æquidiſtantia, ac
per applicatas in parallelogrammo ducta, ſint plana Acuminata, eidem
baſi, ac inter ſe æqualia, & ſimilia, &
ſimiliter poſita, &
quorum homologę
diametri ſint ipſæ applicatæ in prædicto parallelogrammo; quod CANON
DIAMETRALIS Cylindrici vocabitur.
Omittimus vniuerſaliores Solidorum Acuminatorũ, ac Cylindricorum
definitiones, cum hoc loco de ijs ſermo minimè habendus ſit.
Si Conoides quodcunque, vel Sphæra, aut Sphæroides ob-
longum, vel prolatum plano ſecetur ex dato ſolido portionem
abſcindent: poſſibile eſt per axem ſolidi, planum ducere, quod
ad baſim abſciſſæ portionis ſit erectum. Item.
Poſſibile eſt baſi portionis aliud planum æquidiſtans ducere,
quod conuexam ſolidæ portionis ſnperficiem contingat.
ESto quodcunque ex prædictis ſolidis A B C, cuius axis reuolutionis ſit
B D, atque ex eo per planum E H G I ſit abſciſſa portio ſolida E F G,
cuius baſis E H G I (quæ, vel erit Dico poſſibile
G I rectum ſit. Præterea poſſibile eſſe eidem baſi aliud planum æquidiſtans
ducere, quod ſolidæ portionis ſuperficiem contingat.
Si enim planum ſecans E I G fuerit ad axem B D erectum, hunc ſecans
in K, ſectio circulus erit, &
ſi per axim B K agatur
G, ſectionis portio plana E B G erit ad baſim E H G I recta
Quod
c.
Iam ſi per verticem B ducatur in plano portionis E B G recta B L, ipſam
&
ſi per B L concipia-
tur planum duci, quod plano per axem E B G ſit erectum, id ſolidæ por-
communes ſectiones B L,
E G ſint parallelæ. Quod ſecundò, &
c.
Siverò planum ſecans E H G I rectum non fuerit ad axem B D;
(&
tunc
ſectio (quod tamen non tranſeat per interſectionem axis B
D cum plano E H G I, ſi hoc axem ſecuerit intra ſolidum) id in ſolido ſe-
ctionem faciet
in circulo applicatam, cui ex D, circuli centro, ducta perpendiculari D M; per axem B D, ac rectam D M agatur planum in ſolido efficiens genitricem
ſectionem E A B G C, cuius communis ſectio cum circulo erit diameter A
C, & cum Ellipſi erit recta E G.
Iam priùs oſtendam ſectio-
ctam ad ſecans planum E H
G I, ſiue ad baſim ſolidę por-
tionis E F G rectam eſſe. Quoniam cum planum circu-
li E H C I rectum ſit ad pla-
nũ per axem E A B C, cumq;
linea I M in circulo perpen-
dicularis ſit ad A C horum
planorum communem ſectio-
nem, erit eadem linea I M
recta quare omnia plana, quæ per ipſam ducentur ad idem planum E A
B C recta erunt,
ſiue id rectum ad planum ſecans, hoc eſt ad baſim ſolidæ portionis. Quod
primò, &c.
Cum ergo E G ſit communis ſectio planorum, eius ſcilicet, quod ſolidũ
ſecat, & cius, quod per axem ducitur erectum ſuper planum ſecans, ipſa E
G erit
ſciſſæ, & ſuper baſim ſolidæ portionis erectæ, ducta diametro N F, &
per F
ſectionem
baſi E H G I æquidiſtabit.
c.
Si
c.
poſſibile eſt, &
c.
Quod
erat faciendum, ac demondrandum.
CVm huiuſmodi ſolida portio E F G de quolibet prędictorum ſolidorum
abſciſſa, ſit ſolidum ad alteram partem F deficiens, circa Acuminatũ
planum E F G deſcriptum, cumque omnia plana eius baſi E H G I æquidi-
ſtantia, ſint plana Acuminata, vt in prima proximè præcedentium definitio-
talis ſoli-
&
planum Acuminatum, ſeu portio plana E F G, cum ſit recta ad baſim E H
G I, dicetur Canon rectus ſolidæ portionis.
EX hac elicitur, qua methodo per axem cuiuslibet Conoidis, aut Sphæ-
roidis, vel Sphæræ, aut etiam Coni recti duci poſſit planum, quod ad
datum quodcunque planum non per axem ductum, & ſolidum ſecans, re-
ctum ſit, etiam ſi ſecans planum in Conoide Parabolico, aut Hyperbolico,
vel Cono non ſit circulus, neque Ellipſis: ſimulque patet, quod prædictum
planum per axem, aliud non per axem ductum omnino ſecat intra ſolidum: quæ omnia, velleuiter perpendenti manifeſta ſunt ex dictis, quæque ab ip-
ſo Archimede tanquam poſſibilia, & iam nota paſſim ſupponuntur in libro
de Conoid. &
c.
POterat quidem prima pars huius Problematis breuiùs perſolui.
Nam
ex vertice B, vel ex quolibet alio axis puncto, ſuper planum ſe-
cans E H G I ducta perpẽdiculari, per quàm, & per axem B D ducto plano;
conſtat hoc idem ſuper planum ſecans rectum
Verùm cum ſæpe eue-
ſed vel in eius ſuperficie, vel extra, cumq; omnino oſtendere opus ſit, quod
huiuſmodi planum per axem, rectum ad planum ſecans, hoc idem planum
ſecat ſemper intra ſolidum, idcircò prò huius Problematis ſolutione ſupe-
riorem viam elegimus, quæ ad vtrunq; ſimul nos perduceret vnica conſtru-
ctione.
COlligitur quoque planum, quod baſi portionis cuiuslibet prædicto-
rum ſolidorum æquidiſtat, atque eius conuexam ſuperficiem con-
tingit, eam contingere ad verticem diametri recti Canonis; hoc eſt tan-
gere ad verticem axis portionis ſolidæ.
Nam, ad finem propoſitionis oſtenſum fuit, planum contingens portio-
nem ſolidam E F G, & baſi E H G I parallelum, eam contingere ad pun-
ctum F, quod eſt vertex diametri N F Canonis recti E F G, atque inſuper
idem punctum contactus F, iuxta Archim. definitiones præmiſſas ad librum
de Conoid. &
c.
iam notum eſt verticem vocari axis portionis ſolidæ E F G.
EX his itaque notandum eſt, axim ſolidæ portionis eundem eſſe cum dia-
metro prædicti Canonis recti, & altitudinem, eandem cum altitudine.
Nam eadem recta F N
ter eſt planæ portionis E F
G, eſt quoque axis ſolidæ,
cum ab F eius vertice, ad N
centrum baſis E H G I ince-
dat. Præterea ducta ex ha-
rum portionum cómuni ver-
tice F recta F P ad baſim E
G planæ portionis, ſeu recti
Canonis E F G perpendicu-
lari. Patet hanc eſſe Canonis
altitudinem, ſed Canon E F
G rectus ponitur ad baſim E H G I; quare F P, quæ ad communem horum
planorum ſectionem E G eſt perpendicularis, recta erit ad planum baſis
E H G I, ac propterea ipſa erit quoque altitudo portionis ſolidæ E F G,
cum perpendiculariter cadat ex eius vertice F ſuper baſim E H G I, &c.
PAtet denique axim portionis cuiuſcunque prædictorum ſolidorum, &
axim ſolidi, cuius eſt portio, eſſe in vno eodemque plano, quod per
axem eiuſdem ſolidi ad baſim portionis rectum ducitur, ſiue eſſe in plano
Canonis recti.
Etenim, &
B D axis dati ſolidi, &
F N axis ſolidæ portionis E F G ſunt
in plano E B C ducto per axem B D, ſed erecto ſuper baſim E I G H por-
tionis ſolidę E F G, quod planum E B C idem eſt, ac planum recti Canonis
E F G intra ſolidam portionem intercepti.
Siergo per axim datæ ſolidæ portionis, &
per axim ſolidi, cuius eſt por-
tio ducatur planum, hoc erit ad planum baſis portionis erectum, atque in
ſolida portione rectum Canonem exhibebit.
Portiones eiuſdem, vel diuerſorum Conorum, aut Conoidum
Parabolicorum, ſunt ſolida Acuminata proportionalia. Item.
Portiones eiuſdem, vel diuerſorum Conoidum Hyperbolico-
rum, vel Sphærarum, aut Sphæroidum, quarum ſegmenta diame-
trorum in portionibus genitricium earum ſectionum ad baſes ere-
ctis intercepta, ad ſuas ſemi-diametros eandem homologam ha-
beant rationem, ſunt pariter ſolida Acuminata proportionalia.
SInt primò duæ quæcunque portiones A B C, D E F eiuſdem, vel diuer-
ſorum Conorum, vt in prima figura, vel eiuſdem, aut diu erſorum Co-
noidum Parabolicorum, vt in ſecunda, quarum axes ſint B G, E H, baſes
verò circuli, aut Ellipſes A C, D F, ipſæque portiones ſolidæ, (quæ iam
ſient
communes ſectiones ipſorum cum baſibus erunt
Dico in vtraque ſigura ſolidas por-
tiones A B C, D E F eſſe Acuminata ſolida proportionalia.
Etenim horum Acuminato-
H proportionaliter vtcunque
L plana M N, O P baſibus A
C, D F æquidiſtantia, quæ in
ſolidis efficient ſectiones ipſa-
rum baſibus ſimiles
earundem ſi-
milium ſectionum homologæ
diametri.
Iam cum ſit G B ad B I, vt
H E ad E L, ob conſtructio-
nem, ſitque in prima figura A
C ad M N, vt G B ad B I; &
D F ad O P, vt H E ad E L (cum Canones A B C, D E F ſint triangula)
erit A C ad M N vt D F ad O P, & quadratum A C ad M N, vt
quadratum D F ad O P. In ſecunda verò eſt quadratum A C ad M N, vt
re cta G B ad B I (cum Canon A B C ſit portio Parabolæ) vel vt recta H
eſt ergo in
vtraque ſigura, vt quadratum A C ad M N, vel vt circulus,
Ellipſis D F ad ſibi ſimilem O P, & permutando, ſectio A C ad D F erit
vt ſectio M N ad O P, & hoc ſemper vbicunque ſolidorum Acuminatorum
axes ſint proportionaliter ſecti: quare, ex tertia præmiſſarum definitionum,
Acuminata ſolida A B C, D E F erunt ſolida Acuminata proportionalia. Quod erat primò, &
c.
PRæterea ſint A B C, D E F
diuerſorum Conoidum Hyper-
bolicorum, vt in tertia figura, vel
eiuſdem, aut diuerſorum Sphæ-
roidum, vel Sphærarum, vt in
quarta, (quæ portiones ſunt pa-
riter ſolida Acuminata per 1. Schol.
69.
h.)
quarum baſes ſint
circuli, aut Ellipſes A C, D F.
Patet quod ſi per axes ſolidorũ,
quorum ſunt portiones ducantur
plana,
in quarta portiones Ellipſium, quas vocamus
communes horum Canonum ſectiones cum baſibus erunt
Sint iam Canonum A B C,
ſolidarum
portionum axes vocantur ab Archimede) quibus productis vſque ad earum
rationem, ac ſegmentum H E ad ſemi - diametrum E R. Dico in vtraque
harum figurarum, portiones ſolidas, vel ſolida Acuminata A B C, D E F
eſſe Acuminata ſolida proportionalia.
Diuiſis enim ipſorum axibus B G, E H proportionaliter vtcunque in I,
L, ductiſque per I, L planis M N, O P ipſis baſibus A C, D F æquidi-
ſtantibus, erit ſectio M N in ſolido A B C ſimilis ſectio O P
earum communes ſectiones cum planis
Acuminatis A B C, D E F erunt rectæ M N, O P ipſis A C, D F paralle-
læ
Et quoniam, per conſtructionem, in Acuminatis planis A B C, D E F,
Hyperbolarum, vt in tertia figura, aut Ellipſium, vt in quarta, ſeginenta
diametrorum G B, E H ad proprias ſemi-diametros B Q, E R eandem ha-
bent rationem, erunt
vt recta A C ad D F, ita recta M N ad O P (ex definitione planorum Acu-
minatorum proportionalium) & quadratum A C ad D F, hoc eſt circulus,
hoc ſemper vbicunque
quare, ex
definitione, ipſæ ſolidæ portiones ABC, DEF erunt ſolida Acuminata
proportionalia. Quod vltimò demonſtrandum erat.
HInc manifeſtum fit ſolidas portiones eiuſdem Conirecti, vel Conoidis
Parabolici, aut Hyperbolici, ſiue Sphæræ, aut Sphæroidis oblongi,
vel prolati, quarum recti Canones ſint æquales, inter ſe eſſe Acuminata ſo-
lida proportionalia.
Nam quò ad portiones eiuſdem Conirecti, vel Conoidis Parabolici, iam
in prima parte huius propoſitionis oſtenſum eſt eas omnes, quæcunque ſint,
eſſe ſolida Acuminata proportionalia, ac ideò, & illæ quarum recti Ca-
nones ſint æquales, erunt pariter ſolida Acuminata proportionalia.
Quò autem ad ſolidas portiones eiuſdem Conoidis Hyperbolici, ſiue
Sphæræ, aut Sphæroidis oblongi, vel prolati; quandò earum portiones ge-
nitricium ſectionum ad plana baſium rectæ(quæ eædem ſunt, ac recti Cano-
nes) fuerint æquales: patet ex prop.
63.
huius, ſegmenta diametrorum ipſarum
ad proprias ſemi - diametros, vnam, eandemque ſimul rationem habere, ac
propterea ex ijs, quæ in hac vitimò loco demonſtrauimus, huiuſmodi ſolidæ
portiones erunt Acuminata ſolida proportionalia.
Cylindrici æqualium altitudinum, inter ſe ſunt vt baſes.
SInt duo Cylindrici A, B, quorum baſes ſint plana Acuminata C D E,
F G H, altitudines verò, ſint æquales cuidam rectæ I. Dico Cylindri-
cum A ad Cylindricum B, eſſe vt baſis C D E ad baſim F G H.
Concipiatur alius quicunque Cylindricus L, cuius baſis ſit parallelo-
grammum K T, altitudo verò ſit eadem I: quod erit parallepipedum.
Oſtendam priùs Cylindricum A ad parallelepipedum, vel Cylindricum
L eſſe vt baſis C D E ad baſim K T.
Nam ſi non eſt ita, erit baſis C D E, vel maior, vel minor quàm ſit opus,
ad hoc vt ad baſim K T habeat eandem rationem, ac Cylindricus A ad L. Eſto primùm maior, ſitque exceſſus O.
Et cum Acuminatum C D E ſit ſi-
gura circa diametrum D M ad partem D deſiciens, & cuius perimeter eſt
ad eandem partem cauus, poterit, vſitata methodo, per continuam diame-
tri D M biſectionem, inſcribi Acuminato C D E figura ex parallelogram-
mis, ita vt ipſum Acuminatum ſuperet inſcriptam minori exceſſu, quàm ſit
O; ſit ergo hæc inſcripta P Q, R S, &
c.
Itaque cum Acuminatum C D E
ſuperet inſcriptam P Q, R S, &c.
minori quantitate O, erit inſcripta adhuc
maior, quam opus eſt ad hoc, vt ad baſim K T ſit vt Cylindricus A ad Cy-
lindricum L.
Iam intra Cylindricum A ſuper omnia inſcriptæ figuræ parallelogram-
c, concipiantur deſcripta ſolida parallelepipeda æqualium
altitudinum cum Cylindrico A, vel L; &
quorum inſiſtentes lineæ ſint
æquidiſtantes inſiſtentibus Cylindrici A, &c.
erit ergo vnumquodque pa-
rallelepipedorum inſcriptorum, ad parallelepipedum L, c.
ad vnicum paralle-
lepipedum, vel Cylindricum L, erunt vt omnes baſes P Q, R S, &c.
hoc eſt
vt figura inſcripta ad baſim R T; ſed inſcripta ad K T maiorem habet ratio-
nem quàm Cylindricus A ad L, ergo, & omnia ſimul parallelepipeda in-
ſcripta, ad Cylindricum L maiorem habebunt rationem, quàm Cylindri-
cus A circumſcriptus ad eundem Cylindricum L, ergo inſcripta ſimul pa-
rallelepipeda maiora erunt Cylindrico A, pars ſuo toto, quod eſt abſurdũ: non eſt ergo baſis C D E maior quàm opus eſt ad hoc vt ad baſim K T ſit vt
Cylindricus A ad L.
Si verò ponatur baſim
norem rationem quàm
Cylindricus A ad L, erit
baſis C D E minor quàm
opus eſt ad hoc vt huiuſ-
modi magnitudines ſint
proportionales, inuento
igitur defectu, &c.
&
facta
baſi C D E circumſcri-
ptione figuræ ex paralle-
logrammis, &c.
quæ ad
baſim K T adhuc minorẽ
habeat rationem quàm
Cylindricus A ad L, &
circumſcriptis parallele-
pipedis vt ſupra, oſtendetur aggregatum circumſcriptorum parallelepipe-
dorum ad Cylindricum L eſſe vt figura circumſcripta ab baſim K T, hoc eſt
habere minorem rationem quàm Cylindricus A ad eundem Cylindricum
L, ideoque prædictum aggregatum parallelepipedorum minùs eſſe Cylin-
drico A, totum ſua parte, quod eſt abſurdum. Non ergo baſis C ad K T
habet maiorem, nec minorem rationem quàm Cylindricus A ad L, ergo
erit baſis C D E ad baſim K T, vt Cylindricus A ad L. Eadem ratione
demonſtrabitur, baſim K T ad Acuminatum F G H, ſiue ad baſim Cylin-
drici B, eſſe vt Cylindricus L ad Cylindricum B; quare, ex æquo, erit vt
baſis C D E ad baſim F G H, ita Cylindricus A ad Cylindricum B. Quod
erat, &c.
PErſpicuum hinc eſt, quod ſi huiuſmodi Cylindrici æqualiũ altitudinum
æquales baſes habuerint inter ſe æquales erunt.
Si Cylindricus plano ſecetur baſi æquidiſtante, erit Cylin-
dricus ad Cylindricum, vt altitudo ad altitudinem.
HOc eadem penitus conſtructione, ijſdemque argumentis demonſtrabi-
tur, ac 13. duodecimi Elem.
opetamen præcedentis Corollarij;
ani-
maduertendo ſimul, quod dum Cylindricus plano ſecatur baſi æquidiſtante,
in ipſa ſectione oritur figura ſimilis, & æqualis, ſiue in totum congruens baſi
Cylindrici: nam ipſæ Cylindricus, ex motu parallelo ſuæ baſis procreari
concipitur, ex definitione, &c.
EX hac pendet huius concluſionis demonſtratio, quod eſt conuerſum
prop. 71.
huius;
nempe.
Cylindrici æqualium baſium ſunt inter ſe, vt altitudines;
quod oſtenditur
vt in 14. duodecimi Elementorum.
Cylindrici, quorum baſes altitudinibus reciprocantur, inter ſe
ſunt æquales: &
è conuerſo.
HVius Theorematis demonſtratio elicitur ex præcèdenti, eſtque omni-
nò ſimilis 15. duodec.
Element.
itaque breuitatis gratia, hanc ipſam
o mittimus, ſimulque nonnullas alias Cylindricorum affectiones, cum hìc
de ijs diſſerere non ſit opus.
Solida Acuminata proportionalia, quorum baſes altitudinibus
ſint reciprocè proportionales inter ſe ſunt æqualia.
SInt duo Acuminata ſolida proportionalia, quorum Canones A B C, D
E F ſint ſuper baſes A C, D F, & circa diametros B G, E H;
baſes
verò horum ſolidorum ſint Acuminata plana A L C, N F O circa diametros
A C, D F, ſitque vnius ſolidi altitudo B I, ad alterius altitudinem E Q re-
ciprocè, vt baſis N F O ad baſim A L C. Dico huiuſmodi ſolida inter ſe
æqualia eſſe.
Si enim fuerint inæqualia, alterum ipſorum minus erit:
ſit ipſum A B C,
quod cum ſit ad partem B deficiens, patet ei circumſcribi poſſe per conti-
nuam axis B G biſectionem, &c.
figuram ex Cylindris æque-altis, quæ
inſcriptum ſolidum Acuminatum A B C ſuperet minori exceſſu, quo ſoli-
dum D E F dicitur excedere idem ſolidum Acuminatum A B C: (ſuſſi-
cit enim vt circumſcripto Canoni A B C parallelogrammo A R, eius
ope, tan quam circa diametralem Canonem, ad æquidiſtantem motum
baſis A L C deſcribatur Cylindricus A R, vt vides, circumſeribens Acu-
minatum ſolidum A B C, ſic enim plano per punctum medium axis B G
applicato, bifariam c.
relinquetur tandem Cylindricus A S, qui prædicto
exceſſu minor erit: vnde hac vltima diametri B G diuiſione per æqualia
ſegmenta, completa circumſcriptione Cylindricorum T M, X V, Z Y
æqualium altitudinum, quorum diametrales Canones ſint A S; T M;
X
V; X Y;
aggregatum ipſorum excedet ſolidum A B C minori quantitate,
quàm ſit primus Cylindricus A S, cum A S ſit ſemper exceſſus circum-
ſcriptæ figuræ ex Cylindricis ſuper inſcriptam ex æque - altis Cylindri-
cis, &c.
ſed Cylindricus A S ponitur minor exceſſu ſolidi D E F ſuper A B
C, ergo circumſcripta figura A S M Y ex Cylindricis, ſuperat inſcriptum
ſolidum A B C minori exceſſu ipſius ſolidi D E F ſupra A B C) ſit ergo quę-
ſita figura circumſcripta, ex Cylindricis A S, T M, X V, Z Y, &c.
quæ
ideò adhuc minor erit ſolido D E F, cuieadem arte circumſcribatur figura
ex totidem æque - altis Cylindricis D K; 2 3;
4 5;
6 7;
quorum maximi,
diametralis Canon ſit D K ſuper baſim O F N; proximi verò diametralis
Canon ſit 2 3, &c.
Iam patet horum ſoli-
Q in tot æquas partes ſe-
cari à parallelis baſibus
circumſcriptorum Cylin-
dricorum, in quot
Canonum A B C, D E F. Sit igitur primi Cylindri-
ci A S altitudo 8 I, &
primi D K altitudo 9 Q:
& cum ſit baſis A L C, ad
baſim O F N, ita recipro-
cè altitudo E Q ad altitudinem B I, ſumptis conſequentium æque-ſubmul-
tiplicibus 9 Q, 8 I; erit baſis A L C, ad O F N, vt altitudo 9 Q, ad 8 I;
quare Cylindricus A S æqualis erit Eadem ratione de-
æqual@a eſſe, ſingul@ ſingulis, quapropter vniuerſa figura ex Cylindricis,
circumſcripta ſolido A B C, æqualis erit vniuerſæ circumſcriptæ ſolido D
E F, ſed circumſcripta ipſi A B C demonſtrata eſt minor ſolido D E F, er-
go, & circumſcripta ſolido D E F, ipſo ſibi inſcripto ſolido minor erit, to-
tum ſua parte, quod eſt abſurdum. Non eſt ergo vllum horum Acuminato-
quare omnino inter ſe ſunt æqualia.
Quod erat demon-
ſtrandum.
NOn paucas alias ſolidorum Acuminatorum, eorumque trunco-
rum proprietates (quales nimirum attigimus de planis, &
menſalibus Acuminatis in Scholio propoſ. 37.
huius) facilè
huc eſſet, ſi locus requireret, ex ſuperioribus afferre: ve-
rùm ad opportuniorem occaſionem hæc omnia, aliaque fuſius forſan per-
tractabimus, ſi Deo nobis valetudinem cum vita, vel ſaltem mitio-
rem ægritudinem præſtare placuerit. Modò ad inuentionem MAXI-
MARVM, MINIMARVMQVE ſolidarum portionum acce-
damus, nonnullis adhuc præoſtenſis.
Datæ portioni anguli rectilinei, circa diuerſam diametrum
datam, æqualem portionem conſtituere.
ESto ex angulo rectilineo abſciſſa portio A B C, cuius baſis A C, dia-
meter verò B D; ſitque data alia diameter B E, circa quam oporteat
portionem ipſi A B C æqualem conſtituere.
Latus A B ſecetur bifariam in F, &
per F agatur F G parallela ad B C
cum B E occurrens in G, per G verò ducatur A G H ipſam B C ſecans
in H, atque inter C B, B H ſumatur media proportionalis B I agaturque
per I recta IL baſim A C ſecans in M, & datam diametrum B E in N, &
B A productam, in L. Dico ipſam I L abſcindere L B I portionem quæ-
ſitam.
Triangulum enim A B C ad triangulum A B H eſt vt baſis C B ad B H,
vel vt quadratum mediæ proportionalis I B ad quadratum tertiæ B H, vel
vt triangulum L B I ad idem triangulum A B H. (ob ſimilitudinem) quare
triangula A B C, L B I ſunt æqualia.
Et cum rectæ L I, A H ſimul æquidiſtent, ſecenturque ab eadem B N ex
vertice B trianguli L B I ducta, erit L N ad N I, vt A G ad G H, vel vt
A F ad F B (ob parallelas F G, B H) ſed eſt A F ipſi F B æqualis (per con-
ſtructionem) ergo, & L N ipſi N I æqualis erit.
Itaque ad datam diame-
trum B N, in angulo A B C ordinatim applicata eſt L I abſcindens trian-
gulum, vel portionem L B I alteri datæ portioni A B C æqualem. Quod
faciendum erat.
HIs peractis, patet baſes A C, I L æqualium portionum de eodem an-
gulo A B C neceſſariò ſe mutuò ſecare intra angulum. Nam I M,
quæ ex puncto I inter H, & C ſumpto æquidiſtans ducitur rectæ A H
neceſſariò occurrit cum A C, vt in M.
Dico ampliùs earum baſium occurſum M cadere omninò inter diame-
tros B D, B E; hoc eſt inter puncta E, D;
atque rectas N D, A I, L C
harũ baſim tùm puncta media, tùm extrema iungẽtes eſſe inter ſe parallelas.
Si enim per E agatur O
ſtans, & per P recta P Q
parallela ad A B, erit (ob
ipſarum æquidiſtantiam) O
E æqualis E P, itemque A
E ęqualis E Q (ob triangu-
lorum ſimilitudinem A E
O, Q E P) atque anguli ad
E ſunt æquales, quare &
ipſa triangula ęqualia erunt,
quibus communi addito tra-
petio A B P E, fiet triangu-
lum O B P æquale menſali
A B P Q, hoc eſt minus triangulo A B C, vel triangulo L B I, quare L I
eſt infra æquidiſtantem baſim O P, ſiue baſis L I ſecat baſim A C vltra E,
verſus D. Præterea cum ſit C B ad B I,
cadet vltra D, verſus E. Itaque harum baſium occurſus eſt inter diame-
tros B N, B D. Quod idem eſt, ac ſi dicatur nullam ipſarum baſium tranſi-
re per medium punctum alterius.
Tandem cum triangula A B C, L B I ſint æqualia, dempto com-
munitriangulo A B I, remanebit triangulum A C I ęquale trian-
gulo A L I, ſuntque ſuper eadem baſi A I, quare A I ipſi
L C æquidiſtabit; &
cum inter parallelas A I, L C
interceptæ ſint duæ C A, L I proportionaliter
ſectæ in N, D, (ibi enim bifariam ſectæ
ſunt ex hypotheſi) erit quoque iun-
cta N D ipſi L C, vel A I æqui-
diſtans; vt patet ex Ele-
mentis.
Si in angulo A B C applicatæ fuerint quotcunque rectæ lineæ
A C, D E, &c.
inter ſe parallelæ;
quæ a quacunque alia recta F
G vtrique lateri dati anguli occurrente in F, G, ſecentur in
H, I, &c.
Dico vt rectangulum F H G ad D H E, ita eſſe rectan-
gulum FIG, ad AIC.
ETenim ratio rectanguli F
ponitur ex ratione F H ad H
D, ſiue ex F I ad I A; &
ex
ratione G H ad H E, ſiue ex
G I ad I C; ſed &
ratio re-
ctanguli F I G ad A I C ex
ijſdem rationibus componi-
tur, quapropter rectangulum
F H G ad D H E, eſt vt re-
ctangulum F I G ad A I C. Quod erat, &
c.
Et permutan-
do, rectangulum F H G ad FIG, vt rectangulum D H E ad AIC.
Si fuerint duæ æquales portiones de eodem angulo, vel de
eadem coni - ſectione, vel circulo, & ex puncto medio baſis
vnius portionis applicata ſit in angulo, vel ſectione quædam
recta linea baſi alterius portionis æquidiſtans: rectangulum ſub
ſegmentis huius applicatæ æquabitur quadrato ſemi - baſis eiuſ-
dem portionis, cui hæc ipſa applicata æquidiſtanter ducta fuit.
SInt de eodem angulo, vt in præſenti figura, vel de quacunque coni-ſe-
ctione, vt in figuris tertij Schematiſmi, abſciſſæ duæ æquales portio-
nes A B C, H E I (vti docuimus in præcedenti, atque ex quadrageſima
huius abſolui poſſe elicitur) quarum diametri ſint B F, E G baſes verò
ſint A C, H I ab ipſis diametris bifariam ſectæ in F, G. Iam
M, ſiue, punctum earum occurſus M differre à punctis medijs F, G. Itaque ſi per alterum ipſorum, vtputa per G puncto medio baſis H I, ap-
plicetur in angulo, vel ſectione recta S G T parallela alteri baſi A C, hæc
omnino ad vtranque partem cum anguli lateribus, vel cum ſectione conue-
niet, cumipſa ſit vna applicatarum ad diametrum B F. Occurrat ergo in S,
T: Dico rectangulum S G T quadrato dimidiæ baſis A C, ſiue quadrato F
C æquale eſſe.
Iunctis enim rectis A I, G F, H C:
G M I, C F M A inter eas interceptas in
punctis G, F, M. Erit ergo, in ſingulis
figuris, quadratum H G ad quadratum
G M, vt quadratum C F ad quadratum
F M, & permutando quadratum H G
ad quadratum C F, vt quadratum G M
ad F M: ſed, in præſenti figura, eſt qua-
dratum H G æquale rectangulo H M I
vnà cum quadrato G M, & quadratum
C F æquatur rectangulo C M A vnà
cum quadrato F M, (cumrectæ H I, A C bifariam ſectæ ſint in G & F, &
non bifariam in M) atque eſt totum quadratum H G ad totum C F vt pars
ad partem, vel vt quadratum G M ad F M, ergo reliquum ad reliquum,
nempe rectangulum H M I ad C M A, vel
tecedentia ſunt æqualia, hoc eſt rectangulum H G I, & quadratum H G,
cum ſit recta H G æqualis G I, ergo, & conſequentia æqualia erunt, nem-
pe rectangulum T G S, & quadratum C F.
Quod in anguli portionibus
demonſtrandum erat.
In reliquis autem figuris iam dicti tertij Schematiſmi, eſt rectangulum H
G I ad rectangulum T G S, vt quadratum
quadratum G M ad M F (nam ibi primo loco oſtenſum fuit in ſingulis eſſe
E N ad N B, vt G M ad M F (vel ob parallelas A I, F G, C H, vt qua-
dratum H G ad quadratum C F, atque antecedentia ſunt æqualia, nempe
rectangulum H G I quadrato H G, cum recta H G ſit æqualis rectæ G I,
ergo, & conſequentia, ſiue rectangulum T G S quadrato C F æquale erit.
Quod omnino oſtendere propoſitum fuit.
CVM ad abſcindendas MAXIMAS, &
MINIMAS co-
ni - ſectionum portiones per punctum in ijs datum, animad-
uertiſsemus olim præmittendam eſſe inueſtigationem æqua-
lium portionum eiuſdem coni - ſectionis, quas deinde pro
quacunque coni - ſectione reperimus, atque vnica demonſtratione confir-
mauimus, (vt viſum eſt in 40. huius, ac ſimul vt in 45.
eas om-
nes proprijs baſibus ſimilem, & concentricam eiuſdem nominis ſectio-
nem contingere) ita dum MAXIMAS, ac MINIMAS Conorum, aut
Conoidalium, vel Sphæroidalium ſolidorum portiones nobis duximus in-
quirendum, neceſſe fuit prius contemplari, quæ nam eiuſdem Coni recti,
ſent: vnde mox venit nobis in animum perpendendi, an illæ inter ſe
æqualitatem ſortirentur, quarum portiones planæ genitricium ſectionum
ad plana baſium erectæ, nempe quarum recti Canones inter ſe pariter
æquales eſſent, prout æquales inſpexeramus in Conoide Paraboli co, ex
25. Archimedis in libro de Conoid.
&
Sphæroid.
Res quidem ex cogi-
tatione ſuccesſit, tunc enim in ſequentem vniuerſalem demonſtr ationem
incidimus, cuius, atque ſuperioris quadrageſimæ propoſitionis, ſolæ enun-
ciationes, cum præſtantisſimis Geometris, Galileo, ac Torricellio com-
municatæ, tantos Viros, meruerunt habere laudatores.
Solidæ portiones eiuſdem Coni recti, vel Conoidis Parabo-
lici, aut Hyperbolici, ſiue Sphæræ, aut Sphæroidis oblongi,
vel prolati, quarum recti Canones ſint æquales, inter ſe quoq; æquales ſunt.
ESto Coni recti, vt in prima figura, vel Conoidis Parabolici, aut Hy-
perbolici, ſiue Sphæræ, aut Sphæroidis oblongi, vel prolati, vt in ſe-
cunda, quorum axis B D, quælibet ſectio per axem A B C, quæ erit
G (hoc autem fieri poſſe manifeſtum iam ipſarum altera A C ſit axi perpendicularis,
altera verò vtcunque inclinata; &
per eas concipiantur duci plana A L C,
E M G ad planum per axem A B C erecta, auferentia portiones ſolidas A
B C, E F G, quarum recti Canones erunt ipſæ portiones planæ A B C, E
F G: patet ſectionem A L C circulum eſſe,
Parabolico, aut Hyperbolico, atque in Sphæroide oblongo, erit ipſa baſis
E G, ſed in prolato erit Dico hu-
Secetur iterum datum ſolidum A B C, plano per punctum I tranſeunte,
& ad axem B D erecto, ſiue plano A L C æquidiſtanti, quod in ſolido
efficiet diameter N
idem planum per axem erectorum) ideoque tùm ad circuli diametrum N
O, tum ad E G axem Ellipſis, erit perpendicularis, & in Cono, aut Co-
noide, vel Sphæroide oblongo erit ſemi- axis minor, in prolato verò ſemi-
axis maior. Et quoniam M I ad diametrum N O ſemi - circuli N M O eſt
perpendicularis, erit quadratum M I ęquale rectangulo NIO, ſed & qua-
per I punctum medium baſis E G ducta, &
c.
ergo, &
quadra-
tum M I ipſi A H, ſeu linea M I lineæ A H æqualis erit, ſed Ellipſis E M
G ad circulum A L C eſt vt I M ad quadratum
ſumptis duplis, vt E G ad A C, ergo baſis portionis ſolidę E F G, ad baſim
portionis ſolidę A B C, eſt vt E G baſis Canonis E F G, ad A C baſim Ca-
nonis A B C; verùm vt E G ad A C, ita
atque Canonum altitudines eædem ſunt
dæ portionis A B C ad altitudinem ſolidæ E F G: hæ autem portiones ſunt
ſolida
A B C, E F G ſunt Quod demonſtrandum erat.
Sed hoc idem, tribus proximè præcedentibus propoſitionibus omisſis,
ſuper nouo diagrammate ſic oſtendere conabimur
SIt Conus rectus, vt in prima figura, vel aliud quodcunque prædictorum
ſolidorum, vt in ſecunda, circa axim A B, & ſectio per axim ſit E A
D, quæ genitrix erit per ip-
ſas ducantur piana ſecantia data ſolida, & ad ipſum planum per axem E A
D erecta, circulos, vel Sphæroide ob-
æquales portiones planæ C A D, E A F. Dico tales portiones ſolidas inter
ſe æquales eſſe.
Nam bifariam ſectis E F in G, &
C D in H, patet puncta G, H eſſe cen-
tra circulorum, ſiue Ellipſium E O F, C P D; &
ſi per punctum G deſcri-
concentrica ſectioni E A D, &
qualis in Monito poſt 68.
h.
definiuimus,
patet inquam ipſam ſectionem G H omnino tranſire per H, ſimulque E F,
& C D in punctis medijs G, H
Iam ductis per G, H, rectis I G L, M H N ad axem A B perpendicula-
ribus, concipiantur per ipſas duci plana ad planum per axem E A D erecta,
communes eorum ſectiones cum planis per E F, C D ductis, erunt
vnde in circulis tranſeuntibus per I L, M N, rectangulum I G L
æquabitur quadrato G O, & re-
P, atque ipſæ G O, H P erunt
circulorum, aut Ellipſium E O
F, C P D minores ſemi-axes,
in Cono tamen, vel Conoide
Parabolico, aut Hyperbolico,
vel in Sphæroide oblongo; nam
in prolato, erunt maiores ſemi-
axes: ſed rectangula I G L, M
H N ſunt c.
ergo, &
quadrato G O, H P æqualia erunt, ſiue ſemi-axis G O æqualis ſe-
mi- axi H P; ſed circulus, aut Ellipſis E O F ad C P D, eſt vt
rectangulum ſub E F,
G O ad rectangulum ſub C D, H P eſt vt E F ad C D (cum eorum latitu-
dines G O, H P ſint æquales) ergo circulus, vel Ellipſis E O F ad C P D
erit in ſolido Parabolico, vel Hyperbolico, aut Sphæroide oblongo, vt ma-
ior axis E F ad maiorem axim C D, vel in Sphæroide prolato, vt minor
axis E F ad minorem C D: ſed E F ad C D eſt
dem coni-ſectionis, & horum Canonum altitudines ſunt
O F ad C P D, erit reciprocè vt altitudo ſolidæ portionis C A D, ad alti-
tucinem ſolidæ E A F: at huiuſmodi portiones ſunt
ipſorum baſes altitudinibus reciprocantur, ergo ipſæ ſo-
lidæ portiones inter ſe ſunt Quod erat demonſtrandum.
HInc colligitur, quod puncta media rectarum quarumlibet applicata-
rum in ſectione per axem ducta, cuiuſcunque prædictorum ſolidorũ,
ſunt centra baſium earum portionum ſolidarum à planis per eaſdem rectas
ductis, atque ad eandem ſectionem per axem erectis abſciſſarum.
Nam puncta media G, H, applicatarum E F, C D demonſtrata ſunt
eſſe centra prædictarum baſium E O F, C P D, &c.
PErſpicuum eſt quoque, baſes ſolidarum portionum inter ſe æqualium
eiuſdem Coni recti, vel Conoidis Parabolici, aut Hyperbolici, Sphe-
ræ, aut Sphæroidis oblongi, habere inter ſe axes minores æquales, ſiue eſſe
æqualium latitudinum, ac ideò eſſe inter ſe, vt axes maiores, vel vt baſes
rectorum Canonum. Baſes verò æqualium portionum eiuſdem Sphæroidis
prolati habere maiores axes æquales, ac propterea eſſe inter ſe vt axes mi-
nores, vel vt baſes eorundem rectorum Canonum.
Etenim, in pręcedentibus figuris, de baſibus E O F, C P D (vel ſint Cir-
culi, vel Ellipſes) portionum ſolidarum E A F, C A D, quas æquales eſſe
demonſtrauimus, oſtenſum priùs fuit ſemi- axes minores G O, H P in Co-
no recto, vel Conoide, aut Sphæroide oblongo eſſe æquales, ac ideò, &
eorum duplos, hoc eſt integros minores axes æquales eſſe; &
paulò poſt
circulum, vel Ellipſim E O F ad C P D eſſe vt maior axis E F ad maiorem
C D, vel vt baſis recti Canonis E A F, ad baſim recti Canonis C A D. In
Sphæroide autem prolato demonſtratum eſt ipſas G O, H P maiores ſemi-
axes, item æquales eſſe, ſiue integros maiores axes æquales, & poſtea cir-
culos, vel Ellipſes E O F, C B D habere inter ſe eandem rationem, ac ipſi
minores axes E F, C D; nimirum eſſe inter ſe, vt ſunt baſes rectorum
Canonum E A F, C A D.
Solidæ portiones eiuſdem Coni recti, vel cuiuſcunque Conoi-
dis, vel Sphæræ, aut cuiuslibet Sphæroidis tunc æquales ſunt,
qnando, in Cono, portionum axes pertingant ad idem Conoides
Hyperbolicum concentricum, &c.
In Conoide verò Parabolico,
quando portionum axes ſint æquales. At in Conoide Hyperboli-
co, Sphæra, aut quocunque Sphæroide, quando portionum axes,
ad proprias ſemi- diametros ijſdem axibus in directum poſitas, ſint
in vna eademque ratione.
ETenim quandò in portionibus eiuſdem cuiuſcunque prædictorum ſoli-
dorum diametri rectorum Canonum habuerint relatiuè conditiones
coni-ſectionis, aut circuli, æquales iam ſunt oſtenſi, vti de anguli portioni-
bus patet ex prima parte 45. huius, pro reliquis autem Coni-ſectionibus, &
c.
ex 40.
ſed dum huiuſmodi Canones recti ſunt æquales, &
portiones ſolidæ
demonſtrantur æquales, ex ſuperiori Theoremate, ſuntque rectorum Ca-
nonum diametri dum diametri re-
bunt, quod modò expoſuimus, ipſæ portiones ſolidæ æquales erunt. Quod
erat, &c.
Itaque prop.
25.
præcitati libri Archimedis, quæ ſolùm de portionibus
Conoidis Parabolici diſſerit, ſuppoſita etiam proportione Conoidis ad ſibi
inſcriptum Conum, nobis hic eſt præſens Theorema, quod generaliter
proponit ea, quæ ad cognitionem faciunt æqualium portionum, cuiuslibet
ſimul prædictorum ſolidorum, atque ipſa diuerſa ratiocinatione confirmat,
nulla habita ratione proportionis, quæ cadit inter ſolidas portiones, &
inſcriptos Conos, aut circumſcriptos Cylindros.
Omnes ſolidæ portiones eiuſdem Coni recti, vel Conoidis
Parabolici, aut Hyperbolici, ſiue Sphæræ, aut Sphæroidis ob-
longi, vel prolati, quarum baſes contingant eandem ſimilis, &
inſcripti concentrici ſolidi ſuperficiem, inter ſe ſunt æquales, &
ad centra baſium eandem ſuperficiem contingunt.
REpetito ſecundo Schemate præcedentis 78.
ijſdemque poſitis, quæ
ibi, ſi concipiantur figuræ conuerti circa axim A B, procreabitur de-
nuò à ſectione E A F datum ſo-
à ſectione G H inſcri-
ptum ſimile ſolidum concentri-
cum. Ampliùs ſi fuerint quot-
cunque rectæ E F, C D, &c.
interiorem ſectionem G H con-
tingentes, per quas agantur
plana E O F, C P D ad ipſas
ſectiones recta, hæc abſcin-
dent de exteriori ſolido por-
tiones ſolidas E A F, C A D,
atque erunt earundem portionum baſes, quæ concentrici ſolidi G H ſuper-
ficiem contingent
ſunt ipſæ ſolidæ portiones æquales
Vnde om-
rum, quarum baſes contingant eiuſdem ſimilis, & concentrici ſolidi ſuper-
ficiem inter ſe ſunt æquales, & ad centra baſium eandem ſuperficiem con-
tingunt. Quod oſtendere propoſitum fuerat;
quodque Cl.
Tor.
inter pro-
prios pugillares geometricos regerere non eſt dedignatus: animo, vt opina-
ri libet, huiuſce haud iniucundi Theorematis, a me ipſi tantummodo expo-
ſiti demonſtrationem inquirendi, quam poſtea ſolùm de Coni portionibus
nactus fuit, vel potiùs circa ipſas tantùm placuit ei meditari: eminentiſſimi
enim, ac propè diuini ingenij Vir, & de aliorum ſolidorum portionibus fe-
liciùs quàm à nobis ſuperiùs factum ſit, hoc idem reperiſſet, ſi tantillùm ex-
cogitaſſet: verùm proprias, ac ideò ſublimiores contem plationes affectans,
ab his nugis meis fortaſſe ſe abſtinuit.
Hlc autem animaduertendum eſt, quod nihil refert vtrùm baſes, huiuſ-
modi portionum ſolidarum inſcriptum ſolidum concentricum con-
tingant ad puncta eiuſdem ſectionis ſolidum genitricis, vel diuerſarum: nam
omnes genitrices ſectiones eiuſdem ſolidi concentrici, ſe mutuò ſecant in
eodem vertice axis reuolutionis prædicti ſolidi; ſed omnes portiones ſolidæ
exterioris, quæ quamlibet ſolidi interioris genitricem ſectionem per centra
earum baſium contingunt, æquales oſtendi poſſunt per ſuperiorem prop. 78.
eidem tertiæ portioni ſolidæ ab ipſo exteriori ſolido abſciſſæ, ei nempe,
cuius baſis tranſiens per axis verticem ad eundem axim ſit recta, circulum
in ſectione efficiens; ergo omnes prædictæ portiones ſolidæ, vbicunque ea-
rum baſes contingant ſuperficiem ſimilis, & concentrici inſcripti ſolidi, in-
ter ſe æquales erunt, cum tertiæ cuidam portioni ſint æquales, &c.
Si planum ductum per axem Coni recti, vel Conoidis Parabo-
lici, aut Hyperbolici, Sphæræ, aut Sphæroidis oblongi, vel pro-
lati à quadam recta linea ſecetur, per quam ductum ſit planum,
quod ad planum per axem rectum ſit: ſolidi portio, quæ per hoc
planum abſcinditur, MINIMA eſt omnium portionum à quibuſ-
libet alijs planis per eandem rectam ductis abſciſſarum.
ESto quodlibet prædictorum ſolidorum A B C, cuius axis reuolutionis
ſit B D, & planum per axem ductum ſit A B C vbicunque ſectum à
quadam recta A F, ad vtranque partem ſectioni occurrente, per quam con-
cipiatur duci planum A E F ad ipſum A B C rectum, portionem ex ſolido
Canon rectus A B F.
Dico
hanc ſolidam portionem _MINIMAM_ eſſe earum, quæ à quocunque alio
plano per eandem A F ducto ex dato ſolido abſcindi poſſunt.
Diuidatur A F bifariam in G, &
per G in plano per axem A B C de-
ſcribatur in ſecunda verò (quodcunque aliorum ſolidorum
repræſentante) deſciibatur concentrica ſe-
(nam ſi alia eſſet contingens per G ſectionem G H I, ipſa producta ad
vtranque partem exteriori ſectioni A B C occurreret, ac bifariam ſecare-
tur vnde duæ applicate per G in ſectione A B C ſe mutuò bifariam
ſec.
Conic.
, quæ vnicuique coni-ſectioni
inſeruit, licet de ſola Ellipſi, vel Circulo agat, ſed hoc idem, & pro angulo
ſimul, aliter patet, ex primo Coroll. 68.
h.)
&
concipiatur circa commu-
nem axim B D H ſectio G H I in gyrum conuersá: patet hanc deſcribere
ſolidum G H I ſimile, & concentricum exteriori A B C;
&
cum recta A F
contingat ſectionem G H I in G, & per A F ductum ſit planum A E F ipſi
plano per axem G H I perpendiculare, hoc ipſum continget
Ponatur primò punctum G eſſe extra axis verticem H, &
per G intelli-
gatur duci planum G L I ad axem erectum, quod in ſolido G H I circulum
efficiet cuius communis ſectio cum
E G, quæ cum ſit communis ſectio duorum planorum ad planum A B C
erectorum, erit ad idem planum
lum continget.
Iam intelligatur per A F aliud planum duci ad planum per axem A B C
non erectum (ſed tale quod de exteriori ſolido aliam terminatam ſectionem
abſcindat) cuius communis ſectio cum circuli plano diuerſa erit à linea G E
(planum enim nunc ductum conuenit cum plano A E F per rectam tantùm
A F.) Sit ipſa G L.
Et quoniam G E rectos facit angulos cum G I, ipſa.
ram partem cadet intra circulum G L I, eius peripheriæ occurrens in L. Cum ergo G L ſit tota intra circulum, circulus verò totus intra ſolidum,
erit quoquè G L tota intra ſolidum: quare planum, quod per A F, &
G L
ductum fuit, fecabit omnino interius ſolidum G H I, de quo aliquam ter-
minatam portionem abſcindet (cum idem planum vndique productum de
exteriori ſolido ponatur quoque portionem quandam auferre) cuius con-
uexa ſuperficies tota erit intra portionem exterioris ſolidi ab eodem plano
abſciſſam.
Si verò punctum G (quod nuper oſtẽſum fuit eſſe cõtactum plani per A F
ducti, ad planum per axem A B C recti, cum interioris ſolidi G H I ſuper-
ficie) fuerit in ipſo axis vertice H, vt in hac tertia figura, oſtendetur etiam
quodlibet aliud planum A L F per rectam A F ductum, ſed ad planum per
axem A B C inclinatum, quodque de exteriori ſolido aliquam portionem
abſcindat, omnino ſecare interius ſolidum, ideoque de ipſo quandam por-
tionem terminatam auferre.
Nam, in prædicto contingente plano A
recta G E cũ
G A quemlibet angulum conſtituente, &
per rectam G E, ac per axim G D ducto
alio plano, id in interiori ſolido deſcribet
genitricem
rum communis ſectio, cum hæc ponatur
eſſe in plano contingente vniuerſam ſolid
ſuperficiem, ſed planum inclinatum A L
F vndiq; productum ad alteram partium,
vtputa ad E, cadit infra contingens pla-
num, cum eo commune habens tantùm
rectam A F, ergo & communis ſectio ipſius plani inclinati cum ſectione L
G M, nempe recta G L cadet infra idem planum contingens, ac ideo infra
rectam G E; ſed G L, &
G E ſunt in plano L G M, atque G E ipſam ſe-
ctionem contingit, vt modò oſtendimus, quare G L, quæ cadit infra G E
cadet omnino G L ducitur, ſecabit omnino interius
ſolidum, ac de ipſo quandam terminatam portionem auferet, cum idem
planum inclinatum ponatur de exteriori terminatam portionem abſcindere.
Itaque, cum in vtroque caſu demonſtratum ſit, planum inclinatum tran-
ſiens per A F, & G L, de interiori ſolido G H I aliquam portionem ſecare,
poſſibile quare
ſi mente concipiatur iam hoc ductum eſſe, ac vndique productum, patet hoc
ipſum planum contingens, de prædicta exteriori portione dempta à plano
per A F, & G L ducto, aliam portionem abſcindere, ſed illa omninò mi-
norem (pars enim ſuo toto minor eſt) at hęc minor portio æqualis eſt
A B C rectum (vtraque enim talium portionum terminatur à planis baſium,
por-
tio A B F à prædicto plano recto abſciſſa, erit minor eadem portione, quæ
dempta fuit à plano per A F, & G L ducto, ſiue à plano, quod in conſtru-
ctione per A F obliquè ductum fuit ſuper planum per axem A B C: &
hoc
ſemper verum eſſe demonſtrabitur, quodcunque ſit planum inclinatum
tranſiens per A F; ergo portio ſolida A B F, quæ ex dato ſolido à plano
per A F ducto, & ad planum per axem A B C erecto abſcinditur, _M I N I-_
_M A_ eſt omnium portionum à quibuslibet alijs planis per eandem A F du-
ctis abſciſſarum. Quod erat demonſtrandum.
EX eo, quod prope finem huius demonſtratum eſt, elicitur, omnem por-
tionem cuiuſcunque prædictorum ſolidorum, cuius baſis ſecet ſimile
inſcriptum ſolidum concentricum, maiorem eſſe qualibet alia portione de
eodem exteriori ſolido, cuius baſis contingat idem inſeriptum ſolidum.
Ibienim oſtendimus prædictam exterioris ſolidi portionem, cuius baſis
ſecet inſcriptum ſolidum, maiorem eſſe ea, cuius baſis contingens idem in-
ſcriptum, ſimul ſit parallela ſecanti baſi; ſed omnes portiones de eodem ſo-
lido, quarum baſes contingant idem ſimile inſcriptum concentricum, inter
ſe ſunt ergo patet propoſitum, &
c.
Per datum punctum intra Conum rectum, vel Conoides Para-
bolicum, aut Hyperbolicum, ſiue Sphæram, aut Sphæroides ob-
longum, vel prolatum, planum ducere, quod de ſolido abſcindat
portionem MINIMAM; atque in Sphæroide, vel Sphæra portio-
nem MAXIMAM.
ESto quodlibet prædictorum ſolidorum A B C, cuius axis reuolutionis
ſit B D, ac datum vbicunque intra ſolidum ſit punctum E: oportet per
E planum ducere, quod ex dato ſolido abſcindat portionem _MINIMAM_,
atque ampliùs in Sphæroide, vel Sphæra, portionem _MAXIMAM_. Opor-
tet autem ſi ſolidum fuerit Sphæroides, vel Sphæra, quod datum punctum
non ſit idem, ac centrum, tune enim neque _MAXIMA_, neque _MINIMA_
portio exhiberi poſſet, cum omnia plana per centra eorum ſolidorum ducta
in duas æquas portiones diuidant ipſa ſolida; veluti in Ellipſi, vel circulo
dum quærebatur _MAXIMA_, & _MINIMA_ portio, neceſſe fuit datum pun-
ctum non eſſe in centro, cum rectæ omnes per ipſum ductæ, huiuſmodi ſu-
perficies bifariam ſecent, vt iam ſatis conſtat.
Secetur folidum plano per axem B D, ac per datum punctum E tran-
ſeunte, efficienteque in ſolido per eandem F E G agatur planum
Dico tale planum
F H G quæſitum ſoluere, ſiue de dato ſolido auferre portionem ſolidam F
B G _MINIMAM_ omnium, quæ ex eodem ſolido à quibuslibet alijs planis,
per idem punctum E ducibilibus, abſcindi poſſunt.
Iam patet primò portionem F B G _MINIMAM_ eſſe
datum punctum E, non autem rectis ſuper planum per axem A B C. Ve-
rùm quod ſit quoque _MINIMA_ abſcindendarum ab alijs planis non per re-
ctam F G, ſed omnino per punctum E ducibilibus, ſic demonſtrabitur.
In plano enim per axem A B C deſcripta per punctum E (quod bifariam
ſecat applicatam F G, vti elicitur ex 41. &
42.
huius) ſimili, &
concentri-
ca ſectione E L M; ipſa rectam F G continget
&
facta reuolutione
tricum ſolidum, quod continget itaque ducto per
per axim B D; (tunc enim planum hoc, datum ſolidum in duas partes diui-
deret, quarum vtra eſſet quidem maior portione F B G, quoniam vel eſſet
infinitæ magnitudinis, ſi datum ſolidum
fuerit Conus, vel Conoides, vel eſſet
vel Sphæra, ac propterea omnino eſſet
maior portione F B G, quæ dimidio
occluſi ſolidi minor eſt, cum extra ip-
ſam ſit centrum; nam centrum _MINI-_
_MAE_ portionis planæ F B G, quod
idem eſt, ac centrum ſolidi, iam con-
ſtat eſſe extra ipſam portionem, quando
datum punctum E in ſectione ſit extra
centrum, vt ponitur) patet id iuxta
quandam rectam N E M C neceſſariò
ſecare planum per axem A B C, in quo
eſt punctum E. Et quoniam F G ſectionem E L M contingit in E, recta
N C, quæ per E ponitur tranſire, omninò ſecabit interiorem ſectionem E
L M, ſiue per aliquam ſui partem, vt puta per E M, tota cadet intra ſe-
ctionem E L M; ſed ſectio E L M tota eſt intra concentricum inſcriptum
ſolidum, cum ſit ducta per axem, quare, & ipſa recta E M tota erit intra ſo-
lidum inſcriptum, vnde planum, quod modò per ipſam duximus, quodque
de exteriori aufert ſolidam portionem N B C, cuius baſis eſt N O C P, ſe-
cabit prorſus interius ſolidum, deque ipſo quandam ſolidam portionem
abſcindet, nimirum E L M, cuius baſis ſit E Q M R: portio igitur N B C,
cuius baſis eſt N O C P interius ſolidum ſecans, maior erit hoc ſem-
per, quodcunque ſit planum tranſiens per datum punctum E præter pla-
num F H G I. Quare ex dato ſolido A B C per datum punctum E abſciſſa
eſt _MINIMA_ portio F B G. Quod faciendum erat.
SI datum ſolidum fuerit quodcunque Sphæroides, vel Sphæra;
patet re-
liquam portionem ſolidam, dempta _MINIMA_ nuper inuenta, eſſe
_MAXIMAM_ quæſitam.
Æquales portiones ſolidæ eiſdem Conoidis, vel Sphæræ, aut
cuiuslibet Sphæroidis, ſi fuerint de eodem Conoide Parabolico
Si de eodem Hyperbolico, vel de Sphæ-
ra, aut Sphæroide quocunque, erunt axes proprijs ſemi- diametris
proportionales. At ſi fuerint de eodem Cono recto, extrema ip-
ſorum axium pertingent ad idem inſcriptum ſolidum ſimile, &
concentricum.
SInt duæ de eodem quocunque prædictorum ſolidorum portiones æqua-
les, quarum recti Canones concipiantur transferri ſuper eadem ſectio-
ne A B F per ſolidi axem ducta (hoc enim fieri poſſe manifeſtum eſt, cum
ipſi recti Canones intra ſolidas portiones intercepti, ſint portiones eiuſdem
ſectionis, quæ in reuolutione circa axim ſolidum genuit) & ſint A B C, D
E F, quarum baſes ſint A C, D F, & diametri B G, E H, quæ ſimul ſunt
Dico, in prima figura exhibente Conoides
in ſecunda exhibente
Hyperbolicum, atque in tertia Sphæram, vel Sphæroides, quarum centra
ſint O, eſſe axim H E ad ſemi-diametrum E O, vt axis G B ad ſemi-dia-
metrum B O.
Ex altero axium, videlicet ex E H, ſecetur in prima figura ſegmentum
E I ipſi B G æquale; &
in reliquis, fiat O E ad E I, vt O B ad B G, in
F æquidiſtabit, & per ipſam L I M concipiatur duci planum, quod plano
per D F tranſeunti, ſiue baſi portionis ſolidæ D E F æquidiftet, aliam por-
tionem ſolidam abſcindens L E M, quæ portioni ſolidæ A B C ſed ponitur etiam D E F eidem A B C æqualis;
ergo duæ L E M, D
E F inter ſe æquales erunt, ſed vtraque eſt de eodem ſolido, circa commu-
nem axim E H I, & ſuper baſes parallelas, quare planum baſis ductum per
L M, congruet cum plano baſis, quod tranſit per D F, vnde, & axis termi-
nus I, cum termino axis H. Erit ergo axis E I æqualis axi E H.
Sed in
prima, factus fuit E I æqualis B G, & in reliquis O E ad E I, vt O B ad
B G, quare axis quoque E H, in prima, æquabitur axi B G, in alijs verò
erit O E ad E H, vt O B ad B G, & conuertendo H E ad E O, vt G B
ad B O.
Sint tandem duæ æquales portiones de eodem Cono recto A B C, D B
E, quarum recti Canones concipiantur coaptari ſuper eadem ſectione A B
E per ſolidi axem ducta, & ſint A B C, D B E, quarum baſes A C, D E,
& diametri B F, B G, (quæ iam ſunt
Et per
quæ omnino
continget Dico iam extremum G axis B
gere: hoc eſt ſectionem F G ſecare dia-
Si poffibile
eſt ſectio F G alibi ſecet axim B G, vt in-
fra G in puncto H, & per H ducatur L
H M ipſi D E æquidiſtans: erit D G ad
G E, vt L H ad H M, eſtque D G ęqua-
lis G E, quare L M quoque bifariam ſe-
cta erit in H: ſed dicitur per H tranſire
ſectionem, ergo L M ipfam
æquabitur ſi per L
ad planum L B M rectum, quod &
plano datæ portionis ſolidæ D B E per D E ductum æquidiſtabit, cum hoc
ad idem planum L B M ponatur rectum eſſe; erit ſolida portio L B M ęqua-
lis ſed D B E quoque eidem A B C data eſt æqualis, ergo duæ
portiones L B M, D B E ſimul æquales erunt, totum ſuæ parti, quod eſt
abſurdum: non ergo ſectio F G ſecat axim B G infra H;
&
ob eandem ra-
tionem neque ſupra; ergo ſectio F G omnino tranſibit per G extremum
axis B G: ſed facta reuolutione anguli, ac ſectionis circa communem axim
procreatur Conus, & Conoides Hyperbolicum ſimile, ac concentricum:
ergo F, G, extrema puncta axium æqualium portionum ſolidarum A B C,
D B E, ex eodem Cono recto, pertingunt ad idem Conoides Hyperboli-
cum ſimile, & concentricum inſcriptum.
Quod vltimò demonſtrandum
erat.
Æquales portiones de eodem ſolido, quodcunque ſit ex ſæ-
inter ſe æquales.
ETenim huiuſmodi portiones ſolidæ æquales, habent axes,
Conoides ſimile concentricum, & inſcriptum pertingentes, ſed ijdem
axes ſunt quoque quando hæ dia-
Quod erat, &
c.
Baſes æqualium portionum ex eodem quocunque prædicto-
rum ſolidorum, ſuperſiciem eiuſdem ſimilis inſcripti ſolidi con-
POrtiones enim æquales eiuſdem ſolidi habent rectos Canones in ipſis
interceptos inter ſe
ptam, & ſimilem ſectionem
baſes ſolidarum portionum
pe ad planum per axem dati ſolidi, quare eędem baſes ſolidarum portionum
contingent ſuperſiciem interioris ſolidi concentrici ab inſcripta concentri-
ca ſectioni geniti (dum hæc circa axim conuertatur) ad eadem puncta,
centra axium, vel baſium ſolidarum portionum ex Archimede, & ex iam à
nobis animaduerſis.
Solidæ portiones eiuſdem Coni recti, vel Conoidis, ſiue Sphæ-
ræ, aut Sphæroidis, quarum axes (pro Cono recto) pertingant ad
idem inſcriptum concentricum Conoides Hyperbolicum (vel pro
Conoide Parabolico) ſint æquales (ſiue pro reliquis) ad proprias
ſemi - diametros eandem habeant rationem, habent baſes altitu-
dinibus reciprocè proportionales.
Eſto vt ponitur dico, &
c.
ETenim cum axibus huiuſmodi ſolidarum portionum inſint prædictæ
conditiones, ipſæ portiones ſolidæ æquales
al-
nibus reciprocè proportionales. Quod erat, &
c.
Æquales portiones ſolidæ de eodem Conoide, vel Sphæra, aut
quocunque Sphæroide, vel etiam de Cono recto, habent baſes al-
titudinibus reciprocè proportionales: &
è conuerſo.
Si baſes portionum de eodem ſolido fuerint altitudinibus reci-
procè proportionales, ipſæ portiones æquales erunt.
QVando enim huiuſmodi portiones ſolidæ ſunt æquales, neceſſariò ea-
rum axes (ſi portiones fuerint de eodem Conoide Parabolico) erunt
æquales (ſi de eodem Hyperbolico, aut Sphæra, aut Sphæ-
roide) erunt ſed in his caſibus
cum portiones de eodem quocunque prædictorum ſolidorum fuerint
æquales, ipſarum baſes altitudinibus reciprocabuntur.
De portionibus autem æqualibus eiuſdem, vel etiam diuerſi Coni recti,
aut obliqui, iam id oſtenſum fuit à Commandino in Comment. ſuper Ar-
chim. de Conoid.
&
c.
Quod erat primò, &
c.
PRæterea ſint duæ ſolidæ portiones A B C, D E F de eodem ſolido,
quodcunque ſit ex prædictis (quæ tamen in Sphæroide non excedant
eius dimidium) quarum axes ſint B G, E H, & baſes A I C, D K F, alti-
tudines verò B L, E M, & ſit
baſis A I C ad D K F reci-
L. Dico has portiones inter
ſe æquales eſſe.
Concipiantur ipſarum ſoli-
darum portionum recti Ca-
nones A B C, D E F, quo-
rum diametri, & altitudines
eædem
num.
Iam, ſi huiuſmodi Cano-
nes ſunt æquales, & portiones ſolidæ æquales
At ſi dicatur eos
vnde
diameter B G erit æquo maior:
ſi igitur ipſa ad æquum reducatur in N,
ita vt, vel B N ſit æqualis ipſi E H, (dum ſolidum ſuerit Conoides Parabo-
licum,) vel ita vt B N, & E H ad proprias ſemi- diametros ſint in eadem ra-
tione,) dum ſolidum ſuerit Hyperbolicum, vel Sphæra, aut Sphæroides;) vel
ita vt eędem pertingant ad eandẽ ſimilem concentricam ſectionem inſcriptã; erit B N omnino minor B G, &
ſi per N agatur ipſi A C ęquidiſtans O N P,
quę ad eandem diametrum B G erit ordinatim ducta, atq; minor ipſa A C,
ſiet portio, ſeu Canon O B P æqualis ipſa
lelas ſit angulus B R N rectus: &
ſi per rectam O P ducatur planum O Q P,
quod baſi A I C ſit parallelum, ſiue rectum ad Canonem A B C, id abſcin-
det ex dato ſolido portionem
O B P, cuius altitudo erit B
P. Cumque Canon O B P
æqualis ſit Canoni D E F,
erit ſolida portio O B P
ac ideo vt baſis O Q P ad ba-
ſim D K F, ita
R, eſtque baſis D K F ad ba-
ſim A I C, ex hypotheſi, vt
altitudo B L ad altitudinem
E M, quare, ex æquali in ratione perturbata, erit baſis O Q P ad baſim A
I C, vt altitudo B L ad altitudinem B R, ſed eſt B L maior B R, ergo &
baſis O Q P maior erit baſi A I C, quod eſt falſum, cum ſit minor, eò quod
O P diameter Ellipſis, aut circuli O Q P minor ſit homologa diametro A C
ſimilis Non erit ergo Canonum A B C, D E
ideoque, &
portiones ſolidæ A B C, D E F ęquales Quod ſecundò oſtendere
Æquales portiones ſolidæ de eodem quocunque Conoide, aut
Sphæra, aut Sphæroide ad ſibi inſcriptam Coni portionem, vel ad
circumſcriptum Cylindricum, vnam, eandemque ſimul habent
rationem.
ETenim huiuſmodi portiones habent baſes altitudinibus reciprocè pro-
portionales, vt in præcedenti, primo loco demonſtratum eſt, ſed ba-
ſes, & altitudines portionum eædem ſunt, ac baſes, &
altitudines inſcripta-
rum Coniportionum, quare, & Coni portionum baſes ipſarum altitudini-
bus erunt reciprocè proportionales, ſed eædem portiones Conorum ſunt
baſes altitudinibus recipro-
erit ergo
portio ad inſcriptam Coni portionem (ob æqualitatem) & permutando
ſolida portio ad ſibi inſcriptam Coni portionem, vt altera æqualis portio ad
ſibi inſcriptam Coni portionem, & ſumptis conſequentium
ſcriptum Cylindricum, &c.
Quod erat, &
c.
MAXIMA portionum eiuſdem Coni recti, aut Conoidis Hy-
perbolici, ſiue Sphæroidis oblongi, vel prolati, & quarum axes
ſint æquales, ea eſt, cuius axis congruat cum axe ſectionis, quæ
ſolidum genuit; &
reſpectiue ad Sphæroides, cum minori axe El-
lipſis genitricis.
MINIMA verò, cuius axis congruat cum maiori axe eiuſdem
Ellipſis.
ETenim quando portiones eiuſdem Conirecti, aut Conoidis Hyperboli-
ci, ſiue Sphæroidis cuiuslibet ſunt æquales, & eorum recti Canones
ſunt quando recti Canones ſiue portiones de eodem angulo,
eſt in Ellipſi, quæ ſit axis
_MAXIMA_, quæ ſit axis maior, ergo, &
dum portiones eiuſdem
Coni recti, aut Conoidis Hyperbolici, vel Sphæroidis fuerint æquales, in-
ter ipſorum axes (qui ijſdem ſunt,
aut cum minori axe Ellipſis Sphæroidis, & _MAXIMVS_, qui congruat cum
maiori: quare ſi primùm axes harum omnium equalium portionum, dempta
ea circa _MINIMV M_ axem, huic _MINIMO_ axi æquales ſecentur, atque ex
interſectionibus ducantur plana baſibus portionum æquidiſtantia, auferen-
tur ab ipſis portiones ſolidæ æqualium axium, ſed vnaquæque erit minor
quacunque æqualium portionum, (cum ſit pars ſuo toto minor) ac propte-
rea minor ea, è cuius, axe, ſiue à qua portione nihil ablatũ ſuit, quę quidem
ea eſt, cuius axis congruit cum axe Coni recti, vel Conoidis Hyperbolici,
& in Sphæroide cum minori axe Ellipſis genìtricis.
Si ergo omnes aliæ por-
tiones æqualium axium ſunt hac portione minores, erit è contra hæc ipſa
portio, cuius axis congruit cum axe dati Coni, vel Conoidis Hyperbolici,
& pro Sphæroide, cum minori axe genitricis Ellipſis, earundem omnium
portionum, æqualium axium, _MAXIMA_. Quod primò erat, &
c.
PRæterea ſi axes omnium æqualium portionum eiuſdem Sphæroidis pro-
ducantur, ac prædicto _MAXIMO_ axi (qui iam, vt ſuperiùs diximus,
ctionum punctis plana ducantur portionum baſibus æquidiſtantia, abſcin-
dentur portiones ſolidæ æqualium axium, & vnaquæque erit maior quali-
bet æqualium (totum enim ſua parte maius eſt) ac ideò maior ea portione,
cuius axi, vel cui portioni nihil additum fuit, quæ quidem eſt ea, cuius axis
congruit cum maiori axe Sphæroidis. Itaque ſi omnes planæ portiones
æqualium axium ſunt hac portione maiores, erit è contra hæc ipſa portio,
cuius axis conuenit cum maiori axe Sphæroidis, _MINIMA_ earundem om-
nium portionum æqualium axium, in caſibus tamen poſſibilibus. Quod vl-
timò demonſtrandum erat.
MAXIMA portionum de codem Cono recto, vel de quocun-
que Conoide, aut Sphæroide, & quarum baſes ſint æquales, ea eſt,
cuius axis ſit ſegmentum maioris ſemi- axis genitricis ſectionis dati
ſolidi, reſpectiuè ad Sphæroides.
In Sphæroide autem, MINIMA, cuius axis ſit ſegmentum mi-
noris ſemi- axis Ellipſis, quæ ſolidum procreat.
QVando enim portiones eiuſdem Coni recti, vel cuiuslibet Conoidis,
aut Sphæroidis ſunt æquales, & recti earum Canones ſunt
cum recti Canones, vel portiones de eodem angulo, vel de
eadem coni- ſectione, quæ ſolidum genuit æquales ſunt, inter ipſorum ba-
_MAXIMA_ eius, cuius diameter ſit ſegmen-
tum minoris, atque vt ſunt baſes æqualium planarum portionum de eodem
angulo, vel coni-ſectione, ita ſunt inter baſes æqualium por-
tionum de eodem Cono recto, vel Conoide, aut Sphæroide quocunque,
_MINIMA_ erit ea illius portionis, cuius axis (qui idem eſt
eſt portio, & _MAXIMA_, in Sphæroide, erit baſis illius portionis, cuius axis
ſit ſegmentum minoris axis Ellipſis genitricis eiuſdem Sphæroidis; quare ſi
primò intra has æquales portiones, dempta ea ſuper _MINIMA_ baſi, ducan-
tur plana baſibus æquidiſtantia, quorum vnumquodque efficiat in portione
ſectionem prædictæ _MINIMAE_ baſi æqualem (hoc autem ſieri poſſe, &
quomodò infra docebimus) per huiuſmodi plana abſcindentur portiones
ſolidæ æqualium baſium, ſed harum quælibet minor erit quacunque æqua-
lium portionum (cum ſit pars minor ſuo toto) ideoque minor ea, à qua ni-
hil ablatum fuit, ſiue minor ea, cuius axis conuenit cum maiori axe dati ſo-
lidi. Si ergo omnes aliæ portiones æqualium baſium hac portione ſunt mi-
nores, erit è contra hæc ipſa portio, cuius axis eſt ſegmentum maioris ſemi-
axis ſectionis genitricis dati ſolidi earundem portionum æqualium baſium,
ac de eodem ſolido _MAXIMA_, &c.
QVod autem in quolibet Sphæroide, inter portiones eius dimidio mi-
nores, & æqualium baſium, _MINIMA_ ſit ea, cuius axis ſit ſegmen-
tum minoris axis Ellipſis datum Sphæroides procreantis, id con-
ſimili conſtructione, atque argumentis oſtendetur, vti factum fuit in ſecun-
da parte Prop. 50.
huius, ſi tamen ſuper tertia figura lineæ rectæ, &
Ellipſes
ibi animaduerſæ, concipiantur tanquam baſes ſolidarum portionum, & ve-
luti Sphæroidalia ſolida, &c.
Quod fuit, &
c.
HInc conſtat _MINIM AM_ portionum ſemi- Sphæroide maiorum, &
quarum baſes ſint æquales, eam eſſe, cuius axis ſit ſegmentum maio-
ris axis Ellipſis genitrics; _MAXIM AM_ autem, cuius axis ſit ſegmentum
minoris.
QVod ſuperius promiſſimus abſoluetur ſic, ſuper figuras prædictæ 50.
h.
Cum ibi ſit A C minor H I, erit quoque dimidium D C minus di-
midio F I. Detrahatur ergo F P, quę ſit media proportionalis
inter F I, D C; agatur P R diametro F O æquidiſtans, &
ſectioni occur-
rensin R, atque ex R applicetur R Q S, & facta figurarum reuolutione
circa axim B D, concipiantur deſcribiſolida, &c.
èquibus cum planis per
rectas A C, H I, S R ductis, & ad eaſdem genitrices ſectiones erectis, ab-
ſcindentur portiones ſolidæ A B C, H O I inter ſe portio S O
Dico huius baſim per S R ductam, æqualem eſſe baſi per A C.
Nam baſis per H I ad baſim per A C, eſt
F P, ſiue ad quadratum Q R, vel ſumptis quadruplis, vt quadratum H I ad
quadratum S R, ſed etiam baſis per H I ad baſim per S R, eſt vt quadra-
tum H I ad quadratum S R, cum ob planorum æquidiſtantiam ſint
I ad baſim per S R: vnde baſis per S R æqualis eſt baſi per A C, &
c.
Quod
facere oportebat.
MINIMA portionum de eodem Cono recto, vel de quocunque
Conoide, aut Sphæroide, & quarum altitudines ſint æquales ea
eſt, cuius axis congruat cum maiori axe genitricis ſectionis dati
ſolidi.
In Sphæroide, MAXIMA eſt, cuius axis cum minori axe eiuſ-
dem genitricis ſectionis conueniat.
NAm quando portiones de eodem Cono recto, vel Conoide, aut Sphę-
roide quocunque ſunt æquales, & ipſarum recti Canones inter ſe
ipſarum altitudines _MAXIM A_ eſt _MINIMA_, cuius diameter ſit ſegmentum mi-
noris; atque altitudines, &
diametri rectorum Canonum, ſiue planarum
portionum eædem ſunt, axes ſolidarum, ergo, &
dum
inter earum altitudines _MAXIM A_ erit ea illius portionis, cuius axis ſit ſe-
gmentum maioris axis genitricis ſolidi, cuius eſt portio, & _MINIM A_ eius,
cuius axis ſit ſegmentum minoris. Itaque ſi primò altitudines omnium ha-
rum æqualium portionum, (dempta ea circa _MAXIM AM_ altitudinem)
producantur, & huic _MINIM AE_ altitudini æquales fiant, atque ex interſe-
ctionum punctis ducantur plana portionum baſibus æquidiſtantia, abſcin-
dentur ab ipſis portiones ſolidæ æqualium altitudinum, & vnaquæque ma-
ior erit quacunque æqualium portionum (nam totum ſua parte maius eſt)
vnde, & maior ea portione, cuius altitudini, vel cui portioni nihil additum
fuit, quæ ea eſt, cuius axis conuenit cum maiori axe genitricis ſectionis dati
ſolidi. Si ergo omnes aliæ portiones æqualium altitudinum hane portio-
nem excedunt, erit è contra hæc ipſa portio, cuius axis congruit cum maio-
ri axe genitricis ſectionis dati ſolidi aliarum portionum æqualium altitudi-
num _MINIM A_.
PRo Sphæroide autem, ſi altitudines omnium prædictarum æqualium
portionum (dempta ea circa _MINIM AM_ altitudinem, quæ iam ea eſt
circa minorem axem Ellipſis Sphæroidis genitricis) ę quales ſecentur eidem
_MINIM AE_ altitudini, atque per puncta ſectionum, plana ſolidarum por-
tionum baſibus æquidiſtantia ducantur, hæc à portionibus auferent portio-
nes ſolidas æqualium altitudinum, ſed vnaquæque ipſarum minor erit
quacunque æqualium portionum (eò quod pars ſuo toto ſit minor) quapro-
pter & minor ea portione a cuius altitudine, vel à qua portione nihil dem-
ptum fuit, quæ quidem eſt ea, cuius axis congruit cum minori axe Ellipſis
datum Sphæroides procreantis: ſi igitur omnes portiones æqualium altitu-
dinum hac portione ſunt minores, erit ex aduerſo hæc eadem portio, cuius
axis conuenit cum minori axe genitricis Ellipſis dati Sphæroidis earundem
omnium portionum, æqualium altitudinum, _MAXIMA_. Quod tandem ſu-
pererat demonſtrandum.
HVc etiam, prout expoſuimus in Scholio poſt 51.
huius, hæc tria ſunt
animaduertenda. Videlicet.
1.
I Nter axes æqualium portionum eiuſdem Coni recti, vel Conoidis Hy-
perbolici, aut cuiuſcunque Sphæroidis, _MINIMV S_ eſt is eius portionis,
cuius axis congruat cum axe, & pro Sphæroide, cum minori axe genitricis
ſectionis dati ſolidi, & in Sphæroide _MAXIMV S_ eius portionis, cuius axis
congruat cum maiori axe eiuſdem genitricis ſectionis.
2.
INter baſes æqualium portionum de eodem Cono recto, aut de quocun-
que Conoide, aut Sphæroide _MINIM A_ eſt ea illius portionis, cuius axis
ſit ſegmentum axis, & pro Sphæroide ſit ſegmen tum maioris axis genitricis
ſectionis dati ſolidi. _MAXIM A_ verò eius, cuius axis ſit ſegmentum mino-
ris axis eiuſdem ſectionis genitricis.
3.
INter altitudines æqualium portionum de eodem Cono recto, ſiue de quo-
libet Conoide, aut Sphæroide, _MAXIMA_ eſt ea illius portionis, cuius
axis congruat cum maiori axe genitricis ſectionis dati ſolidi, & in Sphæroi-
de _MINIM A_ eius, cuius axis cum minori axe eiuſdem genitricis ſectionis
conueniat.
Quæ omnia, ex hucuſque demonſtratis, paucis oſtendentur (vti factum
fuit in præfato Scholio, & ſuper eaſdem figuras 51.
h.)
conſimilibus, ac ibi
argumentis, veruntamen circa ſolidas portiones verſantibus, è quibus de-
nique vniuſcuiuſque trium proximè præcedentium propoſitionum veritas
iterum eluceſcet. Sed de his hactenus.
PLacuit SERENO, Antinſ enſi Philoſopho, in quibuslibet Conis
terminatis MAXIMV M, & MINIMV M triangulum
per verticem ductum inquirere, liceat nobis tanti Geometræ
veſtigia inſequentibus in Cono pariter terminato quocunque
MAXIMAM, & MINIMAM Paraboæ portionem aſsignare, pro
cuius indigatione nonnulla circa plana, nec præter ſuſceptam materiam,
nec ſcitu iniucunda occurrunt afferenda.
Si duo triangula habuerint latus lateri æquale, atque alterum
adiacentium angulorum in vno triangulo, alteri adiacentium in
reliquo æqualem, ſitque reliquus angulus adiacentium in primo,
maior reliquo adiacentium in altero, & latus illi oppoſitum, late-
re huic oppoſito maius erit.
SInt duo triangula A B C, D E F, quo-
anguli pariter A B C, D E F æquales, an-
gulus verò A C B maior ſit angulo D F E. Dico, &
latus A B maiori angulo oppoſitũ,
maius eſſe latere D E oppoſitum minori.
Fiat angulus B C G æqualis ipſi E F D.
latus
B C lateri E F æquale, erunt in triangulis G C B, D F E reliqua latera G
B, D E æqualibus angulis oppoſita, inter ſe æqualia, ſed eſt latus A B ma-
ius latere B G, cum recta C G ſecet angulum A C B, ergo latus A B erit
quoque maius latere D E. Quod erat probandum.
A data circuli peripheria arcum abſcindere, ita vt rectangulum
ſub eius chorda in ſagittam ſit MINIMVM.
1.
ESto circulus, cuius diameter A B, centrum C, &
exequi oporteat,
quod imperatum eſt.
Sumantur in peripheria, hinc inde à puncto A, duo trientes A D, A E,
& iungatur chorda D E ſecans diametrum A B in F.
Dico arcum D A E
eſſe quæſitum; hoc eſt rectangulum ſub eius chorda D E in ſagittam A F
eſſe _MAXIMV M_.
Secta enim ſemi - peripheria A K B bifariam in K, iunctaque K C, ac
ſumpto in arcu D K quolibet puncto G, quod vel in ipſum K, vel inter
K, & D vbicunque cadat, demiſſaque ex G ſuper diametrum A B per-
pendiculari G H, quæ producta occurrat peripheriæ in I, iungatur G D.
Et cum arcus A G ſit non minor quadrante A K, erit duplus G A I
non minor ſemi - circulo, atque arcus D A I omnino maior ſemi - circu-
lo; vnde iuncta G D, angulus I G D erit acutus, eſtque G H B rectus,
quare duo ſimul D G H, G H B duobus rectis minores erunt, ex quo G
D producta conueniet cum diametro ad partes D, vt in L. Et cum ar-
cus A K D, A I E ſint trientes totius peripheriæ, erit D B E, quod ſupe-
reſt de aſſe, eiuſdem peripheriæ triens, ſiue æqualis arcui A I E, itaque
arcus D B I erit maior arcu A I E: ſi ergo iungatur A D, erit angulus A
D E, ſiue A D F minor angulo I G D, ſiue parallelarum externo F D L,
& latus F D commune, atque angulus A D F minor eſt angulo L D F,
quare & latus A F minus
A H eò minus F L;
habe-
componendo H L ad L F, ſiue G H ad D F, minorem quàm F A ad A
H, vnde rectangulum G H A ſub extremis minus hoc ſemper, vbicunque ſumptum ſit punctum G, vel in-
ter D, & K, vel in ipſo K, nempe rectangulum ad G, vel K, pertin-
gens, minus eſſe rectangulo D F A, ſiue D F A maius eſſe quocunque
prædictorum rectangulorum G H A, vel K C A, &c.
Si autem punctum ſumatur in quadrante A K, vt in O;
demiſſa per-
pendiculari O P. Cum ſit K C maior O P, &
C A maior A P, erit re-
ctangulum K C A maius rectangulo O P C, ſed rectangulum D F A oſtẽ-
ſum eſt maius rectangulo K C A, ergo rectangulum D F A eò amplius
maius erit rectangulo O P A.
Si denique punctum ſumatur in peripheriæ ſextante D B, veluti in Q,
demiſſa perpendiculari Q R, & iuncta D Q, &
producta, ipſa conueniet
o mnino cum diametro A B ad partes B, vt in S, quoniam angulus E D
Q eſt in portione E A Q ſemi - circulo maiori, ac propterea acutus, &
angulus D F S rectus eſt, &c.
Et cum arcus A I E æqualis ſit arcui D B
E, vterque enim eſt triens peripheriæ, erit arcus A I E maior arcu Q B
E, ac ideo angulus A D E, vel A D F maior angulo Q D E, vel S D F,
ſed in triangulis A F D, S F D latus F D eſt commune, & anguli ad F
ſunt æquales, eò quod ſint recti, & angulus A D F maior eſt angulo S
D F, vnde latus A F maius eſt adhuc maius latere R S,
componendo F S ad S R, vel D F ad Q R, maiorem quàm R A ad A F; vnde rectangulum D F A ſub extremis, maius
hoc ſemper vbicunque aſſumptum ſit punctum Q in ſex-
tante D B. Quare cum rectangulum A F D demonſtratum ſit maius om-
nium applicatosum, tum in triente A D, tum in ſextante D B, ipſum A
F D erit _MAXIMV M_, & ſumptis duplis, rectangulum ſub ſagitta A F in
chordam D E, erit _MAXIMV M_ rectangulum ſub qualibet alia ſagitta in
ſuam chordam. Quod, &
c.
Quodque alibi aliter enodabimus.
2.
AD pleniorem autem doctrinã, in proxima ſequenti ſecunda figura, ma-
nentibus poſitione ijſdem punctis K, D, E, dico talium rectang lo-
rum id, quod puncto D propinquius eſt, ſemper maius eſſe remotiori.
Nam de ijs, quæ ad arcum quadrantis A K pertingunt, vtputa de re-
ctangulis A C K, A F R, A H G, &c.
patet A C K propinquius puncto D
maius eſſe rectangulo A F R, quod ab ipſo D magis remouetur, & A F
R maius eſſe A H G, &c.
cum, tum altitudines K C, R F, G H, tum ba-
ſes C A, F A, H A continuè decreſcant.
De ijs verò, quæ perueniunt ad arcum K D, videlicet in punctis I,
L, ita ratiocinabimur. Demittantur ex I, L ad diametrum perpendicu-
lares I M N, L O P, & iungatur I L, quæ producta conueniet ad partes
L cum diametro in Q (nam arcus N A L maior eſt ſemi-peripheria, ex
N I L, I M B duobus rectis minores.) Et cum arcus A E æqualis ſit arcui
D E, erit arcus A P minor arcu D E, & multò minor arcu L B N:
vnde
iuncta A L, erit angulus A L P, ſiue A L O minor angulo L I N, ſiue L I
M, ſiue angulo Q L O parallelarum externo, eſtque in triangulis A L O,
Q L O latus O L commune, & anguli ad O ſunt æquales, cum ſint recti,
ergo latus A O erit minus A M eò minus O Q;
habebit
compo-
nendo O A ad A M maiorem quàm M Q ad Q O, vel quàm I M ad L O,
vnde rectangulum A O L ſub extremis, quod propinquius eſt puncto D,
maius
De rectangulis denique pertingentibus ad puncta in ſextante D B, nimi-
rum ad S, T, idem ſic demonſtrabitur. Ductis enim S V Y, T X diametro
perpendicularibus, & iunctis A S, &
S T, hæc producta conueniet cum
A B in Z, quoniam angulus T S Y eſt in portione T A Y ſemi- circulo ma-
iori, nempe acutus, & angulus S V B rectus eſt, &
c.
Et cum arcus A E Y
ſit triente maior, & arcus Y B T minor E B D, ſiue minor triente, erit an-
gulus A S Y, ſiue A S V maior angulo Y S T, ſiue V S Z, & in triangulis
A S V, Z S V ſunt anguli ad V æquales, cum ſint recti, & latus S V com-
mune, ergo latus A V erit eò maius latere X Z:
ha-
componen-
do, V Z ad Z X, ſiue S V ad T X maiorem rationem quàm X A ad A
V: quapropter rectangulum S V A ſub extremis, quod propius eſt puncto
D maius erit Qnod ex abundanti oſtendere propoſitum fuit.
EX eo, quod ad num.
1.
ſuperiùs oſtenſum fuit;
facilè conſtat, in prima
figura, quæſitam chordam D E ſecare circuli diametrum A B in F,
in 3. ratione ad 1.
Nam iunctis C B, B D.
Cum ſit arcus B D circuli ſextans, ipſius chor-
D B anguli ad C, B, æquales erunt, & in triangulis C F D, B F D cum
anguli ad C, B, ſint æquales, atque etiam æquales ad F, cum ſint recti,
& latus D F commune, erit reliquum latus C F, reliquo F B æquale, eſtq;
A C æqualis C B, ergo A F erit tripla F B.
Verum hæc omnia conſimili ratione perſolui, ac verificari de rectan-
gulis in Ellipſi applicatis, &c.
ita ſequenti Problemate demonſtrabitur.
Ad diametrum datæ ſemi - Ellipſis rectam applicare, cuius
rectangulum in alterum diametri ſegmentum ſit MAXIMVM.
1.
ESto ſemi - Ellipſis A D B, cuius centrum C, &
diameter A B, ad quam
applicare oporteat D E, ita vt rectangulum A E D ſit _MAXIMVM._ Secetur B C bifariam in E, appliceturque E D, quæ erit quæſita.
Nam deſcripto ſuper A B ſemi - circulo A F B, erigatur ex E ipſi A B
perpendicularis E F. Patet ex præcedenti Scholio, rectangulum A E F
eſſe _MAXIMVM_ in ſemi - circulo, &c.
cum A E ſit tripla E B.
Sumatur ampliùs quodlibet aliud
punctum G, præter E, applicenturq;
lipſi rectæ G H, G I. Et cum ſit qua-
dratum E F ad G H vt rectangulum
A E B ad A G B, vel vt linea E F ad G H,
vt E D ad G I, ſed ratio rectanguli A
E F ad rectangulum A G H compo-
nitur ex ratione E F, ad G H, ſiue ex
ratione E D ad G I, & ex ratione E
A ad A G, atque rectangulum A E D
ad A G I ex ijſdem componitur ratio-
nibus, vnde rectangulum A E F ad A
G H erit vt rectangulum A E D ad A G I, & hoc ſemper, ſed eſt rectangu-
lum A E F _MAXIMVM_ in ſemi - circulo, ergo, & A E D erit _MAXIMVM_
in ſemi - Ellipſi. Applicatum eſt ergo, &
c.
Quod erat faciendum.
2.
QVod autem eorum, quæ hinc inde à puncto D applicantur, nempe de
rectangulis A L M, A G I id, quod _MAXIMO_ propius eſt maius ſit
remotiori, eadem penitus arte nuper adhibita oſtendetur, ſi ex L
in ſemi - circulo applicetur L N. Nam eodem argumento demonſtrabitur
rectangulum A L M ad A G I, eſſe vt A L N ad A G H, ſed A L N maius
eſt A G H, prout in præcedenti ad num. 2.
concluſum fuit, ergo &
rectan-
gulum A L M maius erit rectangulo A G I, & hoc ſemper verum eſt, tum
reliqui arcus D B, hoc eſt prædicta rectangula hinc inde à puncto D, con-
tinuè decreſcere, quò magis diſtant à _MAXIMO_ rectangulo A E D.
Hinc ſoluendum fit obuiam Problema huiuſmodi.
In dato ſemi - circulo, vel ſemi - Ellipſi, hinc inde à MA-
XIMO rectangulo nuper inuento, bina æqualia rectangula re-
perire.
SIt datus ſemi- circulus, vel ſemi-Ellipſis, cuius diameter A B, centrum
C, & punctum, ad quod peruenit _MAXIMVM_ rectangulum, ſit D,
(quod habebitur ſi diameter A B ſecetur in L, ita vt A L ſit applicetur L D,) ſitque exempli gratia è quolibet puncto E arcus A E
D, applicata E F ad diametrum A B, & oporteat in reliquo arcu D B pun-
ctum G reperire, ita vt ducta G H ipſi E F parallela, rectangula A F E, A
H G inter ſe ſint æqualia.
Ducatur ex A ſectionem contingens A I, quę ipſis applicatis æquidiſta-
bit, atque in angulo aſymptotali I A B per punctum E deſcribatur Dico hanc neceſſariò in aliquo puncto circuli arcum D B ſe-
care, vt in G, & hoc eſſe quæſitum, atque vnicum.
Etenim demiſſa ordinata D L, cum hæc aſymptoto A I æquidiſtet, ipſa
neceſſariò Hyperbolen E G ſecabit, ob Hy-
D maius eodem rectangulo A F E, cum ſit
_MAXIMVM_, ex hypotheſi, ergo idem rectan-
gulum A L D maius erit rectangulo A L M,
atq; eſt A L communis eorum altitudo, qua-
re L D maior erit L M. Hyperbole igitur E
G ſecat omnino D L inter D, & L, vnde &
producta neceſſariò ſecabit peripheriam arcus
D B, cum ſpatium L D B ſit vndique clau-
ſum, & Hyperbole ſit infinitæ productionis:
ſecet igitur in G.
Dico punctum G quæſitum ſoluere, vt ſatis patet, cùm
rectangulum G H A, ob Hyperbolen, ſit
Quod autem in nullo alio puncto, præter in E, &
G, huiuſmodi Hyper-
bole arcui A D, vel arcui D B occurrat, manifeſtum eſt: nam ſi alibi oc-
curreret, vt in N; eſſet ob Hyperbolen, rectangulum pertingens ad N
æquale rectangulo A F E, quod eſt falſum, quoniam ob circulum, vel El-
lipſim, quando punctum N eſt inter E, & D, rectangulum ad N maius eſt
quàm rectangulum ad E, & ſi fuerit inter A, &
E, ipſo rectangulo ad E
idemque ſequetur, ſi
Itaque inuenta
ſunt in ſemi - circulo, vel ſemi - Ellipſi vltrò citròque à _MAXIMO_ rectangu-
lo, duo rectangula inter ſe æqualia. Quod faciendum erat.
In quocunque Cono terminato, ex infinitis Parabolæ portioni-
bus, quæ à planis inter ſe æquidiſtantibus, iuxta quodlibet Coni
latus, tanquam regulam ductis, in ipſo Cono procreantur, MA-
XIMAM aſſignare.
ESto Conus quicunque terminatus A B C, cuius vertex B, baſis circu-
lus A C, & quodcunque triangulum per axem ductum ſit A B C.
Patet, ſi huinſmodi Conus, &
triangulum per axem alio plano ſecetur, quo-
rum communis ſectio D E æquidiſtet alterutri laterum trianguli per axem,
nempe B C, & communis ſectio plani ſecantis per D E cum baſi A C, quę
ſit F G, ſit ad baſim A C trianguli per axem perpendicularis, patet inquam
ſectionem in Cono genitam G E F (quam vocò factam iuxta latus B C,
quod communi ſectioni E D æquidiſtat) ſemper eſſe quæritur modò, quæ ſit _MAXIMA_ harum æquidiſtantium infi-
nitarum Parabolæ portionum in Cono, iuxta latus B C, tanquam regulam,
progenitarum.
Secetur diameter A C in D, ita vt A
per D agatur pla-
num iuxta regulam B C, vti dictum eſt,
ſectionem faciens Parabolen G E F. Di-
co hanc eſſe _MAXIMAM_ quæſitam.
Secto enim Cono, quocunque alio
plano iuxta eandem regulam B C, quod
ſectionem faciat Parabolen H I K, cuius
communis ſectio cum triangulo per axem
ſit I L, cum circulo verò ſit K L H, erit
D E ipſi L I, & F D ipſi K L
lis
ſint æquiangula ad D, L, habebunt rationem compoſitam ex latere E D
ad I L, ſiue ex D A ad A L, & ex D F ad L K, ſed rectangulum quoque
A D F, ad rectangulum A L K habet rationem ex ijſdem rationibus com-
poſitam, ergo triangulum E D F ad I L H erit vt rectangulum A D F ad A
L K, ſed rectangulum A D F maius eſt ipſo A L K, cum ſit triangulum E D F ipſo I L K maius erit, &
ſumptis duplis
K, & hoc ſemper, vbicunque æquidiſtans planum ducatur extra G E F
quare Parabolica portio G E F, aliarum, iuxta ean-
dem regulam B C progenitarum, eſt _MAXIMA._ Quod inuenire propoſi-
tum fuerat.
HInc eſt, quod _MAXIMAE_ Parabolæ iuxta quæuis Coni latera genitæ,
habent baſes æquales: nam ipſæ baſes, vti conſtat ex ſuperiori con-
ſtructione æqualiter diſtant à centro circuli (qui eſt baſis Coni) ſiue per
quadrantem ſui ipſius diametri, ac propterea inter ſe ſunt æquales.
SI hinc inde à _MAXIMA_ inuenta Parabolica ſectione, quærantur binæ
æquales, id facili negotio conſequetur, & conſimilibus argumentis, ac
ſupra demonſtrabitur, eas nimirum æquales eſſe inter ſe, quæ ductæ ſint ex
punctis in circuli diametro A C, hinc inde à puncto D æqualia rectangula
præſtantibus.
Si autem quæratur inter has _MAXIMAS_ Parabolicas ſectiones, iuxta in-
finita Conilatera genitas, quæ ſit _MAXIMA_, quæue _MINIMA_, hoc, non-
nullis præmiſſis, proximo Problemate venabimur, ſed tantummodò in Co-
no Scaleno, nam in recto, ſatis ſuperque patet, omnes huiuſmodi _MAXI-_
_MAS_ inter ſe æquales eſſe, cùm omnia triangula per axem Coni recti, ſint
ad baſim erecta, æqualia, æquicruria, & æqualium laterum, &
c.
In plano dati circuli, perpendicularium à puncto dato, quod
non ſit centrum, ſuper rectas eiuſdem circuli peripheriam contin-
gentes ducibilium, MAXIMA eſt ea, in qua centrum, MINIMA
verò, ſi punctum fuerit intra circulum, eſt reliquum diametri ſe-
gmentum; ſi autem datum punctum fuerit in ipſa peripheria, vel
extra, tunc non datur MINIMA.
ESto circulus A B, cuius centrum C, &
datum punctum vbicunque ſit
D præter in centro, & iuncta D C, ac producta vſque ad peripheriam
in A, B punctis, è quibus ductis contingentibus A E, B L (quæ diametro
A B perpendiculares erunt) & ex quolibet alio peripheriæ puncto F, ducta
item contingente F H, ſuper qua ex dato puncto D demiſſa ſit perpendicu-
laris D H, &c.
Dico huiuſmodi perpendicularium _MAXIMAM_ eſſe D A,
in qua eſt centrum C, & in prima figura, in qua punctum cadit intra, _MI-_
_NIMAM_ eſſe D B: ſi verò datum punctum D cadat in ipſam peripheriam,
vt in B, vel extra, vt in ſecunda figura, tunc dico non dari _MINIMAM._
Ex centro C ad punctum contactus F ducatur radius C F;
patet ipſum
cum contingente F H rectum angulum efficere, ſed angulus quoque D H F,
rectus eſt ex hypotheſi, quare D H ipſi C F eſt parallela, vnde perpendi-
cularis D H, occurrit tangenti extra punctum contactus F. Iungatur de-
nique D F, &c.
Cum enim ex puncto D in circuli peripheriam cadant rectæ D A, D F,
D B, &c.
patet, ex elementis, D A, in qua eſt centrum, _MAXIMAM_ eſſe,
nempe maiorem D F, ſed eſt obliqua D F maior perpendiculari D H, er-
go D A eò magis maior erit D H. Quod D A quoque ſit maior D B, pa-
tet cum ipſa ſit diametri ſegmentum, in quo eſt centrum, & hoc ſemper
oſtendetur de quibuslibet alijs perpendicularibus ad contingentes; ergo D
A, in qua centrum reperitur, eſt _MAXIMA_ in vtraque figura, etiam ſi da-
tum punctum cadat in ipſam peripheriam.
In prima verò, iam eſt D B minor D A;
item eſt D B minor D G, eſtq;
D G minor D H, ergo D B eò ampliùs eſt minor D H, &
hoc ſemper de
qualibet perpendiculari ad quamcunque contingentem, pręter ad punctum
D; quare, dum datum punctum D cadit intra circulum, _MINIMA_ eſt D
B reliquum diametri ſe gmentum, dempta _MAXIMA_.
Si autem datum punctum incidat in ipſam peripheriam, vt in B:
patet
perpendicularem ex B, ſuper contingentem ex eodem B ductam, pun-
ctum euadere, ac propterea non dari _MINIMAM_, niſi dicatur illud idem
punctum eſſe _MINIMAM_.
Si tandem punctum D cadat extra, vt in ſecunda figura:
ducta ex D
circulum contingente D I, conſtat pariter perpendicularem ductam ex D
ſuper ipſam D I in punctum abire, ac ideo in hoc etiam caſu non dari _MINI-_
_MAM_, &c.
Quod vltimò probandum erat.
Perpendicularium à vertice Coniſcaleni ſuper rectas baſis peri-
pheriam contingentes ducibilium, MAXIMA eſt, quæ ſuper con-
tingentẽ extermino MAXIMI lateris Coni ducitur, ſiue eſt ipſum
MAXIMVM Coni latus: &
dum veſtigium verticis cadit intra ba-
ſim, vel in ipſius peripheriam, MINIMA eſt, quæ ſuper contin-
gentem ex termino MINIMI lateris, ſiue eſt idem latus MINI-
MVM: dum autem cadit extra, MINIMA eſt, quæ cadit ſuper
contingentem ductam à puncto veſtigij verticis ad eandem baſis
peripheriam, ſiue MINIMA eſt ipſa Coni altitudo.
ESto Conus ſcalenus A B C, cuius vertex B, baſis A C, centrum D, &
altitudo B E baſi occurrens in puncto E (quod verticis veſtigium vo-
co,) quod vel cadat intra baſim, vt in prima figura, vel in ipſam peripheriã,
vt in ſecunda, vel extra, vt in tertia, per quàm B E, & per centrum D con-
cipiatur ductum planum efficiens in Cono triangulum A B C, quod rectum
erit
Præterea ex terminis diametri A, C, contingant peripheriam rectæ A
F, H C, & ducto per axem quolibet alio plano efficiente triangulum I B L
obliquũ ad planum baſis A C, ex terminis I, L alterius diametri I D L, agan-
tur contingentes I M, L N, & hoc fiat vt contingit, &
c.
Dico perpendicula-
rium, quæ à vertice B ad ipſas contingentes A F, C H, I M, L N, &c.
du-
ci poſſunt, in ſigulis caſibus, _MAXIMAM_ eſſe, quæ ſuper A F, atque eam
eſſe ipſum _MAXIMVM_ latus B A: in primò autem, &
ſecundò caſu _MINI-_
_MAM_ eſſe, quæ ſuper C H, atque hanc eſſe, ipſum _MINIMVM_ latus B C: in tertio denique ſi ex puncto veſtigij E ducatur E G peripheriam baſis
contingens. Dico earundem perpendicularium _MINIMAM_ eſſe, quæ ſu-
per E G ducitur, & hanc eſſe ipſam altitudinem B E.
Etenim, in ſingulis figuris, cum triangulum A B C ſit, ex hypotheſi re-
ctum ad planum baſis A C, & ad communem eorum ſectionem A C ſit F A
perpendicularis (nam eſt A F contingens circulum, & A D centrum iun-
gens) erit eadem F A recta ad planum A B C, ac propterea recta erit quo-
que ad A B, quæ eſt in eodem plano A B C, in quo eſt A C, hoc eſt B A
perpendicularis erit ſuper contingentem A F; eadem ratione oſtendetur B
C perpendicularem eſſe ad contingentem C H.
Præterea ducta ex E recta M E N parallela ad I L, cum anguli D I M, D
L N ſint recti, à contingentibus cum radijs conſtituti, erunt quoque reliqui
parallelarum interni I M E, L N E recti. Iungantur denique B M, B N.
Et cum B E ſit recta ad planum baſis A C, erit etiam planum trianguli
M B N, quod per eam ducitur, rectum ad rectam M B, quæ eſt in
eodem trianguli plano perpendicularis erit, ſiue B M perpendicularis ſuper
I M: eodem modo oſtendetur B N perpendicularem eſſe ad L N.
1.
Iam perpendicularis B A maior eſt B C, cum B A ſit _MAXIMVM_ Coni
latus, & B C _MINIMVM_, vt ſupra monuimus;
ob eandem rationem eſt
B A maior B I, ſed B I maior eſt B M, cum B M ſit perpendicularis ad I
M, ac ideo _MINIMA_ ad ipſam I M, ergo B A eò magis maior erit per-
pendiculari B M: eodem modo demonſtrabitur B A maiorem eſſe perpen-
diculari B N, & hoc ſemper, &
c.
quare in ſingulis caſibus _MAXIMVM_
Conilatus B A eſt _MAXIMA_ prædictarum perpendicularium.
2.
QVo autem ad _MINIMAM_ in prima figura.
Eſt B C minor B A, cum ea
ſit _MINIMVM_ Coni latus. Ampliùs eſt
quadratum E C minus eſt quadra-
to E M, & communi addito quadrato E B, erunt duo ſimul quadrata C E,
E B, ſiue vnicum quadratum B C, minus duobus ſimul quadratis M E, E B,
ſiue vnico quadrato B M (ponitur enim B E recta ad baſim, ac ideo cum om-
nibus E C, E M, &c.
rectos efficit angulos) hoc eſt recta B C, quæ perpen-
dicularis eſt ad contingentem C H, minor erit recta B M, quæ eſt perpen-
dicularis ad contingentem I M; eadem ratione oſtendetur B C minorem
eſſe perpendiculari B N, vel quacunque alia ex B ad quamlibet contingen-
tium ducta: quare B C eſt ipſarum perpendicularium _MINIMA_.
In ſecunda verò cum altitudo B E congruat cum perpendiculari B C ad
contingentem C H, cumque eadem B E ſit
_NIMA_ quarumlibet perpendicularium. In primo igitur, ac ſecundo caſu
recta B C, quæ eſt _MINIMVM_ Coni latus, perpendicularium ad prædi-
ctas contingentes eſt _MINIMA_.
3.
IN tertia denique, cum ſit recta B E ad planum baſis perpendicularis, ipſa
cum contingente E G rectos efficiet _MINIMA_ quoque erit prædictarum
quarumlibet perpendicularium. Quod vltimò oſtendere proponebatur.
EX hac igitur conſtat in Cono ſcaleno, tum _MAXIMVM_, tum _MINI-_
_MVM_ latus perpendiculare eſſe ad rectas ex eorum extremis terminis
baſis peripheriam contingentes.
Nam ſuperiùs primo loco demonſtrauimus rectam B A, quæ eſt _MAXI-_
_MVM_ Coni latus, rectum angulum efficere cum contingente A F, & rectam
B C, quæ eſt latus _MINIMVM_, cum contingente C H rectum pariter an-
gulum conſtituere.
PAtet quoque in eodem Cono ſcaleno, perpendicularem ex vertice du-
ctam ſuper aliam contingentem ad extrema baſis cuiuſcunque trian-
guli per axem non recti ad baſim Coni, eam eſſe, quæ iungit eundem verti-
cem cum interſectione ipſius tangentis cum ea recta linea, quæ à veſtigio
verticis ipſi baſi prædictitrianguli per axem æquidiſtans ducitur.
In triangulo enim I B L per axem ducto, ſed ſuper baſim A I C L obli-
quo, ibi demonſtratum fuit rectas B M, & B N perpendiculares eſſe
ſuper contingentes I M, & L N, ductas ex terminis I, &
L baſis I L eiuſ-
dem trianguli, atque iam puncta M, & N ſunt interſectiones ipſarum tan-
gentium cum recta M E N, quæ per verticis veſtigium E æquidiſtans duci-
tur ad I L baſim trianguli.
In quocunque Cono ſcaleno, Parabolæ portiones iuxta quæli-
bet Coni latera genitæ, & quarum diametri, in earum triangulis
per axem ab ijſdem lateribus proportionaliter diſtent, vel qua rum
baſes ſint æquales, habent altitudines proportionales perpendicu-
laribus, quę ducuntur à Coni vertice ſuper rectas baſis peripheriam
contingentes ad puncta, quibus eadem latera occurrunt.
ESto Conus ſcalenus A B C, cuius vertex B, baſis circulus A C, cen-
trum D, & Coni altitudo ſit B E, per quam, &
per axim ductum ſit
planum ad baſim erectum, efficiens in Cono triangulum A B C: &
iterum
ſectus ſit Conus quocunque alio plano per axem efficiente triangulum ſuper
baſim obliquum G B H, atque iuxta vtriuſque horum triangulorum latera
B A, B G tanquam regulas, cõcipiantur duci - plana, parabolicas portiones
efficientia, ita vt communis ſectio Parabolæ genitæ iuxta latus B A cum
triangulo A B C ſit recta P I, (quæ in triangulo A B C æquidiſtabit lateri
B A cum baſi A C ſit recta L I M (quæ
nis autem ſectio Parabolæ genitæ iuxta latus B G cum triangulo G B H, ſit
recta Q S, (quæ parallela erit ipſi B G, ac item erit cum baſi A C erit recta N S O, (quæ ad rectam G D H erit perpendi-
cularis, & ipſius Parabolæ baſis) quæ baſes inter ſe æquales erunt, cum ſint
rectæ in circulo A C à centro D æqualiter diſtantes, atque huiuſmodi Pa-
rabolarum diametri P I, Q S proportionaliter diſtent à lateribus, ſeu ab ip-
ſarum regulis B A, B G, ita vt ſit B P ad P C, vel A I ad I C, vt B Q ad
Q H, vel G S ad S H. Dico altitudinem Parabolæ per P I ad altitudinem
Parabolæ per Q S (quæ ſunt Parabolæ æqualium baſium) habere eandem
rationem, ac perpendicularis ex vertice B ſuper contingentem ex A, ter-
mino lateris B A, ad perpendicularem ex B ſuper contingentem ex G,
termino lateris B G. Et è conuerſo, &
c.
Nam ſit A F baſim contingens
diametrum A C, quę erit
ſitque
G R contingens ad G, quæ item
cum diametro G D H rectos an-
gulos efficiet; atque ex E Coni
verticis veſtigio, ducatur E R pa-
rallela ad H D G, iungaturque B
R, quæ ſuper contingentem G R
erit
T, agatur recta Q T.
Iam cum ſit I M parallela ad A
F, (vtraque enim perpendicularis
eſt ad A C) & I P ad A B, erit
angulus P I M
ducitur per P I iuxta latus B A, cum ſit M I L eius baſis. Præterea cum ſit
R H ad H T, vt G H ad H S, (ob parallelas R G, T S in triangulo G H R)
vel vt B H ad H Q (ob æquidiſtantes G B, S Q in triangulo G H B) erit
in triangulo R H B recta B R parallela ad Q T, eſtque R G parallela ad T
S, ergo angulus Q T S æquabitur
B G, cum N S O ſit baſis ipſius Parabolæ. Et quoniam demonſtrata eſt B
R parallela ad Q T, erit B R ad Q T, vt B H ad H Q in triangulo B H R,
vel vt B C ad C P, ex hypotheſi, vel vt B A ad P I, ob parallelas in trian-
gulo A B C, & permutando B R, quæ eſt perpendicularis ex vertice B ſu-
per contingentem G R, ad B A, quæ eſt perpendicularis ex B ſuper con-
tingentem A F, ita Q T, quæ eſt altitudo Parabolæ per Q S, ad P I, quæ
eſt altitudo Parabolæ per P I, & hoc ſemper;
quare patet propoſitum.
HInc eſt, quod Parabolarum in Cono genitarum, iuxta quodlibet latus
trianguli per axem ad baſem recti, eędẽ ſunt diametri, ac altitudines. Superiùs enim oſtendimus diametrum Parabolæ per P I in triangulo per
axem A B C iuxta latus B A, eſſe quoque altitudinem eiuſdem Parabolæ.
In dato quocunque Cono ſcaleno, MAXIMAM MAXIMA-
RVM, & MAXIMARVM MINIMAM Parabolæ portionem
aſſignare.
ESto Conus ſcalenus A B C, cuius vertex B, baſis B C, centrum D.
Oportet inter _MAXIMAS._
Parabolas, &
_MAXIMAM_, &
_MINIMAM_
aſſignare.
Secetur Conus plano per axem, &
ad baſim erecto, efficiente triangulum
A B C. Patet alterum ipſius laterum, vt puta B A eſſe
Radius D A ad partes _MAXIMI_ lateris ſecetur bifariam in E, ita vt C
E ſit tripla ad E A; &
per E iuxta regulam _MAXIMI_ lateris B A concipia-
patet hanc eſſe
cunque cadat punctum H veſtigium verticis.
Nam _MAXIMA_ Parabole, ducta per E iuxta latus B A, ad quamlibet
aliam _MAXIMAM_ Parabolen iuxta aliud quodcunque latus, nempe iuxta
B F (cum ipſæ ſint
ctum F, atque perpendicularis B A maior eſt perpendiculari ex B ſuper
contingentem ad F, cum ipſa B A ſit _MAXIMA_ Parabole ducta per E iuxta latus B A erit maior
_MAXIMA_ Parabola ducta iuxta latus B F, & hoc ſemper, vnde ipſa ducta
per E iuxta _MAXIMVM_ Coni latus B A, erit _MAXIMARVM MAXIMA:_ quod primò erat, &
c.
Præterea ſi H veſtigium verticis B ce-
ſius peripheria: ſecto radio D C, (qui eſt
ad partem _MINIMI_ lateris B C Coni A
B C) bifariam in G, & per ipſum ducto
plano iuxta regulam lateris B C efficiente
Dico hanc eſſe
_MAXIMARVM, MINIMAM_ quæſitam.
Etenim _MAXIMA_ Parabole per G iux-
ta latus B C, ad quamcumque aliam _MA_-
_XIMAM_ iuxta quodcunque aliud latus B
F, eſt homologè ſed altitudo ad altitudinem
eſt vt perpendicularis B C minor eſt perpendiculari ex B ſuper contingentem
ad F, cum ea B C ſit ipſarum perpendicularium _MA_-
Parabola genita iuxta latus B F, & hoc ſemper;
quapropter ipſa _MAXI_-
_MA_ Parabole, ducta per G iuxta _MINIMVM_ Coni latus B C, in his caſi-
bus, erit _MAXIMARVM MINIMA._ Quod ſecundò erat, &
c.
Sitandem veſtigium verticis H ceciderit extra baſim Coni, vti apparet
in hac ſigura. Ducta contingente H I, atque iuncta B I, ſi radius D I biſa-
riam ſecetur in puncto L, per quod iuxta latus B I ducatur planum Para-
bolen efficiens, quæ erit _MAXIMA._ Dico hanc eſſe _MAXIMARVM MI_-
_NIMAM._
Quoniam _MAXIMA_ per L iuxta latus B I ad _MAXIMAM_ iuxta aliud
quodcunque latus B F, eſt vt
omnes rectas in plano baſis Coni ad punctum H pertingentes eſt perpen-
dicularis B H minor eſt perpendiculari ex B ſuper contingentem ad F,
cum ipſa ſit _MAXIMA_
contactum rectæ
lineæ H I, quæ à veſtigio H ad peripheriam baſis ducitur, mi-
nor erit _MAXIMA_ Parabola iuxta latus B F, & hoc ſem-
per, vnde ipſa _MAXIMA_ Parabole per L iuxta la-
tus B I, erit, in hoc caſu, _MAXIMARVM MI_-
_NIMA._ Quod vltimò faciendum erat,
quodque eſto DIVINATIO-
NIS, ac
HInc eſt, quod applicatæ ex terminis ęqualium diametrorum in Parabo-
la, vel (in reliquis ſectionibus) ex punctis proportionaliter diuiden-
tibus ſemi-diametros ad quemlibet angulum conſtitutas; nempe quod baſes
equalium portionum de eadem coni-ſectione, vel circulo, omnino ſemu-
tuò ſecant inter diametros; &
quod rectæ lineæ, tum harum applicatarum,
vel baſium portionum puncta media, tum extrema iungentes, rectæ ſemi-
diametrorum terminos iungentiæquidiſtant.
Demonſtratum eſt enim rectas H I, E C, quæ ſunt baſes æqualiũ portio-
num H E I, A B C, ſecare ſe mutuò in M inter diametros E D, B D; &
iun-
ctas H C, G F, A I ipſi E B eſſe parallelas.
QVod in Ellipſi demonſtratum fuit de portionibus A B C, H M I, ſemi-
Ellipſi minoribus, idem ſequitur de maioribus A H C, H C I, qua-
rum baſes A C, H I ſimilem concentricam interiorem Ellipſim. contingunt;
nempe has quoque inter ſe æquales eſſe.
Nam ipſæ portiones
A H C, H C I ſunt partes ſuperſtites de eadem Ellipſi A B C H, demptis
æqualibus portionibus A B C, H M I.
PAtet denique in Parabolis parallelis, vel in ſimilibus concentricis Hy-
perbolis, aut Ellipſibus, vel Circulis A B C, D E F, omnia rectangu-
la ſub ſegmentis applicatarum, interſe, & prædictæ contingenti A E C
æquidiſtantium (quorum vnum eſt rectangulum G D H, vel G F H) eſſe. inter ſe æqualia, cum quodlibet ipſorum æquale ſit eidem quadrato ſemi-
tangentis A E.
_H_ACT ENVS babes Amice Lector plurima eorum, quæ iam-
diu occaſione Diuinationis in V. Conicor.
excogitauimus,
dum ex tribus illis faſciculis SERENISS. LEOPOLDI
inuicto teſtimonio comprobatis, de quibus latius in Proæmio,
priorem exinaniuimus, alterum extenuauimus. Ex eorum reliquijs ter-
tium ſaltem librum efformare ſtatueramus, circa MAXIMAS pariter,
ac MINIMAS magnitudinis verſantem, atque ampliùs illas eiuſdem
nominis, quæ à MAXIMIS, & MINIMIS plus minuſue rece-
dunt excutientem; quod rarò bucuſque, ac tantùm neceſsitate cogente
de monſtrauimus, quodque de induſtria omiſimus, tum ne à ſuſcepta
materia longiùs diſcederemus, tum vt ipſam expeditiùs perſolueremus. Verùm graues, ac diuturnæ egritudines, quæ nos, huic editioni in-
cumbentes, exagitarunt, ita ipſimet remoram fecere, totque è contra
ſunt ſtimuli ad hoc in vulgus manandum, vt cætera ad aliud tempus
proferre cogamur, ſi hæc tibi grata comperiamus. Liceat tamen ex tertio
libro quaſdam Propoſitiones aliunde receptas deſumere, atque Appendicis
nomine huc apponere, ad id præſertim impulſi, tum quod noſtræ harum
Propoſitionum demonſtrationes huic tertio libro ſint penitus inutiles, tum
quia pollicitam quorundam fidem, ſolidam, incorruptamque prorſus non
inuenerimus.
Duo potiſsimùm ſunt Problemata, quibus bæc Appendicula conftatur.
Primum (vti conſtat ex quadam variarum Propoſitionum narratio-
ne, quæ inter ſummum Geometram Torricellium, præſtantioreſque Gal-
Fermat Senator Tholoſanus, D.
Roberuallius in Pariſienſi Academia Re-
gius Mathematum Profeſſor, ac D. de Verdus) præfatus Cl.
Vir de
Fermat ipſi Torricellio olim propoſuerat, qui licet ſtatim in ipſius ſolu-
tionem non incidiſſet, inde mox animaduertens Problema determinatum
eſſe, illud demum triplici via, altera nimirum per locos planos, reliquis
per ſolidos demonſtrauit, nobiſque poſtmodum exercitationis gratia in.
bunc, qui ſequitur modum enodandum tradidit.
Dato triangulo, cuius vnuſquiſq;
angulorum minor ſit graduum
120. punctum reperire, à quo ſi ad angulos tres rectæ educantur
ipſarum aggregatum ſit MINIMVM.
Quod, vt vera fatear, non niſi iteratis oppugnationibus tunc nobis
vincere datum fuit, ſed aggreſsione omnino ab alijs diſcrepante, ac,
ni decipimur, ſatis iucunda, & ad ipſiuſmet Problematis propagatio-
nem valde accommoda, dum non tantum ad tria data puncta, (qualia
ſunt vertices angulorum propoſiti trianguli) verùm etiam ad quotquot li-
buerit, ex alio quæſito puncto, MINIMVM eductarum aggregatum
reperiri queat, manente tamen determinata eorum poſitione, prout deter-
minatum eſt prædictum triangulum.
Alterum Problema præclariſsimum Virum, &
Auorum ſplendore, &
morum integritate conſpicuum agnoſcit Auctorem: P.
Honoratum F abbri,
natione Gallum, in Ieſuitarum celeberrima Societate magni nominis Theo-
logum, omnigena hiſtoriarum, humaniorumque literarum eruditione de-
coratum, Mathematicum præſtantiſsimum, Philoſophum acutiſsimum,
qui olim Lugduni apud Gallos Philoſophiam publicè edocens, ſummam
egregij acuminis famam ſibi peperit, quod manifeſtò teſtantur (ita nobis
aſſerente alibi iam, ſed parum commendato nobiliſsimo Adoleſcente Lau-
rentio Magalotti tanti Viri amantiſsimo, & obſequentiſsimo) quædam
ipſius PROPOSITIONES PHYSICAE, CVM BREVISSIMIS
RATIONVM MOMENTIS, tunc ibidem publici iuris factæ, &
prout fuſiùs, Deo dante, patebit ex nouis eiuſdem geometricis, ac phyſi-
comathematicis contemplationibus, quibus Literatorum Reſpublica ali-
quando ſe locupletaturam expectat.
Hoc igitur Problema, anno 1656.
idem Cl.
Adoleſcens Laurentius
Magalotis, (dum in Piſano Lyceo Iuriſprudentiam excoleret) à prædicto
P. F abbri, tunc Romæ immorante receperat, nobiſque per epiſtolam, Pi-
ſis, ſub 27. Decembris datam communicarat, cui poſt triduum reſcri-
bentes, vniuerſaliorem quæſiti propoſitionem, ita expoſuimus;
Duabus datis rectis lineis terminatis, non modò ad rectum, ſed
ad quemlibet angulum conſtitutis, & per vnius ipſarum terminum
alia alteri ipſarum æquidiſtanter ducta, ad contrarias tamen par-
tes, & in infinitum producta:
oportet per extremum terminum al-
terius, rectam ducere æquidiſtanti occurrentem, quæ cum bina
ſimilia triangula ad verticem conſtituat, ipſorum aggregatum ſit
MINIMA quantitas.
ſimulque noſtram Problematis enodationem his verbis enunciauimus;
Diuidatur ſecanda linea, ita vt ſegmentum ipſius propè termi-
natam parallelam, ad ſegmentum reliquum ſit in ratione diametri
cuiuslibet quadrati ad exceſſum diametri ſuper latus: nam pũctum
interſectionis erit quæſitum.
ac demum de inuentione binorum æqualium ex triangulis aggregatorum,
tam ſupra, quàm infra punctum MINIMI aggregati eundem Cl. Ado-
leſcentem commonefecimus. Sed iam Appendicem aggrediamur.
Si fuerint duo ordines quotcunque triangulorum æqualem al-
titudinem habentium; erit aggregatum baſium triangulorum pri-
mi ordinis, ad aggregatum baſium triangulorum ſecundi, vt ag-
gregatum triangulorum primi, ad aggregatum triangulorum ſe-
cundi ordinis.
SIt vnus ordo triangulorum A B C, C D E, E F G, G H I, alter verò
triangulorum ordo L M N, N O P, P Q R, & omnia ſint æqualis alti-
tudinis, vtriuſque autem ordinis triangula ſint ad eaſdem partes, & ipſorum
baſes in directum diſponãtur, quarum baſium aggregatum, in primo ſit A I,
& in ſecundo ſit L R.
Dico aggregatum A I, ad aggregatum L R eſſe vt
aggregatum triangulorum primi ordinis ad aggregatum tr iangulorũ ſecũdi.
Quoniam iunctis rectis A H,
&
L Q, N Q:
erit
triangulum A B C ęquale trian-
gulo A H C, (cum ſint ſuper ea-
dembaſi A C, & habeant ex hy-
potheſi eandem altitudinem) &
C D E ęquale C H E, ac E F G
æquale E H G; vnde communi
addito G H I, erunt omnia ſimul
primi ordinis æqualia vnico A
H I: item oſtẽdetur omnia ſimul
ſecundi ordinis æqualia eſſe vni-
co L Q R; ſed triangulum A H I ad L Q R eſt vt baſis A I ad L R, cum po-
aggregatum triangulorum ſecundi ordinis erit, vt A I ad L R, vel vt aggre-
gatum baſium primi ordinis ad aggregatum baſium ſecundi. Quod erat, &
c.
In quocunque polygono regulari, aggregata perpendicularium
ex quibuſcunque punctis, (quæ tamen non ſint extra perimetrum
polygoni) ſuper omnia eius latera eductarum, inter ſe ſunt æqua-
lia. Si verò alterum punctorum fuerit extra perimetrum, aggrega-
tum perpendicularium ex eo eductarum, maius ſemper erit quoli-
bet prædictorum aggregatorum ex puncto, quod non ſit extra.
ESto polygonum regulare A B C D E, &
duo quælibet puncta F, G, in
prima figura, vel intra, vel in ipſius perimetro, à quibus ſuper eius late-
ra eductæ ſint perpendiculares F N, F H, F I, F L, F M; &
G O, G P, G
Q, G R, G S. Dico talium perpendicularium aggregata inter ſe æqualia
eſſe. Si verò alterum punctorum G, cadat extra, vt in ſecunda ſigura, dico
aggregatum perpendicularium ex G maius eſſe quolibet prædictorum ag-
gregatorum, vtputa perpendicularium ex F.
Ductis enim rectis ex G, F ad omnes àngulos polygoni, vt in ſiguris:
Patet ipſum polygonum vtrinque diuiſum eſſe in duos triangulorum ordines
æquales altitudineshabentium, quæ ſunt ipſa polygonilatera, ſuper quæ ca-
dunt perpendiculares, (ſinempe hæ accipiantur tanquam baſes) erit ergo
aggregatum baſiun triangulorum, quæ ſimul conueniunt in F, ad aggre-
gatum baſium triangulorum, quæ conueniunt in G,
ſed hęc triangulorumaggregata in prima figura ſunt æqualia (namipſa idem
polygonum complent) ergo, & aggregata baſium eorundem, hoc eſt ag-
gregata perpendicularium ex F, & G, ſuper polygoni latera eductarum
In ſecunda verò figura, aggregatum triangulorum ex G ma-
ius eſt aggregato triangulorum ex F, vt ſatis patet (cum illud, ipſum poly-
gonum excedat) quare, & aggregatum baſium triangulorum ex G, (quæ
ſuntipſæ perpendiculares ex G) maius eſt aggregato baſium triangulorum
ex F, (quæ ſunt perpendiculares ex F.) Quapropter, &
c.
Quod erat, &
c.
HInc eſt, quod aggregatum perpendicularium ex centro dati polygoni
ſuper eius latera eductarum, ſemper eſt non maius quolibet ex alio
puncto perpendicularium aggregato, vbicunque aſſumptum ſit punctum
hoc, velintra, vel in perimetro, vel extra perimetrum dati polygoni.
In quocunque polygono regulari, aggregatorum linearum ex
punctis vbicunque aſſumptis ad ipſius angulos eductarum, MINI-
MVM eſt, quod ex centro.
SIt polygonum regulare A B C D E, cuius centrum P, à quo ad angulos
eductæ ſint rectę P A, P B, P C, P D, P E, ſumptoq; vbicunque alio
puncto O, vei intra polygonum A B C D E, vel in eius perimetro, vel ex-
tra, iungantur item O A, O B, O C, O D, O E. Dico aggregatum edu-
ctarum ex centro P, minus eſſe aggregato ductarum ex O.
Ex punctis enim A, B, C, D, E, erigan-
diculares L I, I H, H G, G F, F L vtrinq; productæ.
Patet has ſimul conuenire, &
polygonum L I H G F dato ſimile conſti-
tuere circa idem centrum P, ad cuius late-
ra ex puncto O ducantur perpendiculares
O R, O Q, O N, O M, O S.
Iam per Coroll.
præcedentis Lemmatis
in polygono I H G F L aggregatum per-
pendicularium, quæ ex centro P eſt non
maius aggregato perpendicularium, quæ
ex puncto O vbicunq; aſſumpto, ſed aggregatum perpendicularium ex O,
minus eſt aggregato obliquarum O A, O B, O C, O D, O E, ſuper ijſdem
lateribus circumſcripti polygoni eductarum, (eſt enim perpendicularis O
R, minor obliqua O A, & O Q minor O B;
O N minor O C;
O M minor
O D, & O S minor O E) ergo aggregatum perpendicularium ex P, hoc eſt
ad angulos dati polygoni A B C D E eductarum, eſt omnino minus aggre-
gato obliquarum ex O, nempe eductarum ad eoſdem angulos dati poly-
goni à puncto O, vbicunque ſit ipſum O. Quare aggregatum ductarum ex
centro ad angulos polygoni regularis _MINIMVM_ eſt. Quod erat, &
c.
Si quotcunque rectæ lineæ terminatæ (non minus verò quam
tres) cuiuslibet longitudinis, ad vnum idemque punctum occur-
rant, totidem angulos inter ſe æquales conſtituentes, & quatuor
rectos complentes. Erit aggregatum harum ſimul omnium occur-
rentium, MINIMVM aggregatorum rectarum, à quibuſcunque
alijs aſſumptis punctis, ad eoſdem datarum terminos eductarum.
SInt quotcunque rectę A B, A C, A D, A E, A F, A G terminatę, quę
ad punctum A ſimul occurrant, conſtituantque angulos B A C, C A
D, D A E, E A F, F A G, G A B inter ſe æquales, & ſimul ſumpti ęquales
quatuor rectis: dico aggregatum harum omniũ minus eſſe aggregato linea-
rum, quæ ex quolibet alio puncto I ad eoſdem terminos B, C, D, E, F, G,
educi poſſunt, quales ſunt I B, I C, I D, I E, I F, I G.
Sit enim A G _MAXIMA_ ductarum ex A, ſuper qua ſumatur A P ipſa A
G non minor, cui demantur æquales A H, A L, A M, A N, A O, & com-
pleatur polygonum H L M N O P, quod erit æquilaterum, & æquiangulũ,
ſiue regulare, cum anguli ad A ſint æquales, eiuſque centrum erit A; deni-
que iungantur I H, I L, I M, I N, I O, I P.
Iam aggregatum ductarum A H, A L, A M, A N, A O, A P ex centro
A ad angulos polygoni, cum ſit
nus eſt aggregato binarum I B, B H; I C, C L;
I D, D M;
I E, E N;
I F,
F O; I G, G P;
nam I B, B H maiores ſunt I H, &
I C, C L maiores I
L, &c.
quare eò magis aggregatum, ex A ductarum, A H, A L, A M, A
N, A O, A P minus erit aggregato binarum I B, B H; I C, C L;
I D, D
M; I E, E N;
I F, F O;
I G, G P;
demptis ergo communibus ſegmentis B
H, C L, D M, E N, F O, G P, erit reliquum aggregatum datarum A B,
A C, A D, A E, A F, A G minus reliquo aggregato ductarum I B, I C,
F, G; itaque aggregatum ductarum ex A æquales angulos inter ſe efficien-
tes, & quatuor rectos ſimul complentes eſt _MINIMVM_.
Quod erat, &
c.
Hinc ſolutio Gallici Problematis, ſequenti Lemmate præoſtenſo.
Si in triangulo A B C fuerit angulus A B C, minor grad.
120.
&
ſuper latera B A, B C deſcribantur ad partes baſis A C ſimiles
circuli portiones A E B, C D B capientes angulos graduum 120.
Dico ipſarum peripherias ſe mutuò ſecare, atque omnino intra
triangulum A B C.
NOn enim ſe contingunt in B:
quoniam ducta ex B recta F B G vnam
harum portionum peripheriam contingente, ipſa, & alteram quoque
continget: quare angulas G B A à contingente, &
ſecante confectus equa-
lis erit ei, qui ſit in alterna portione A E B, nempe erit gr. 120.
&
ob eandem
rationem angulus G B C erit grad. 120.
vnde reliquus A B C, è quatuor
rectis, erit pariter gr. 120.
quod eſt contra hypotheſim, cum ſit minor.
Nec autem ſe ſecant extra trian-
nam
ducta G B, eſſet angulus G B A mi-
noreo, qui fit à contingente ex B cũ
ſecante B A, ſiue minor facto in al-
terna portione A E B, qui eſt grad. 120.
itemque G B C minor eſſet gr.
120. quare reliquus A B C è grad.
360. maior eſſet omnino 120.
quod
item eſt contra hypotheſim, cum ſit
minor; quapropter huiuſmodi peri-
pherias ſe mutuò ſecare infra B ad
partes baſis A C neceſſe eſt.
Verùm ipſarum interſectio haud fiet in baſi A C, nec infra, quoniam
ſi in ipſa baſi A C, vt in F, eſſet, ex conſtructione, angulus A F B grad. 120.
ſiue maior recto, &
C F B pariter maior recto;
ex quo duo ſimul A F
B, C F B eſſent duobus rectis maiores; quod eſt abſurdum, cum duos re-
ctos adæquent.
Sitandem eædem peripheriæ ſe mutuò ſecarent infra baſim A C, vt in H;
iunctis A H, C H, eſſent pariter, ex conſtructione, duo ſimul anguli A H B,
C H B, ſiue vnicus A H C maior duobus rectis; quod eſt falſum cum ipſe à
duobus rectis deficiat per aggregatum duorum angulorum A C H, C A H.
Quamobrem huiuſmodi ſimilium portionum peripherię neceſſariò ſe mutuò
ſecabunt, atque intra triangulum A B C|. Quod demonſtrandum erat.
Dato triangulo, cuius vnuſquiſq;
angulorum minor ſit gr.
120.
punctum reperire, à quo ſi ad angulos tres rectę educantur, ipſarum
aggregatum ſit MINIMVM.
ESto triangulum A B C vt ponitur, &
inuenire oporteat punctum quale
imperatum eſt.
Super latera B A, B C ad partes baſis A C deſcribantur circuli portio-
nes A D B, C D B capientes angulos grad. 120.
ſiue æquales externo cuiuſ-
libet trianguli æquilateri, quarum portionum arcus omnino ſe mutuò Di-
co ipſum eſſe quæſitum.
Nam iunctis D A, D B, D C, erunt an-
vnde reli-
quus A D C, vſque ad quatuor rectorum cõ-
plementum item erit gr. 120.
Cum ergo tres
rectę D A, D B, D C ad punctum D coeun-
tes tres æquales angulos efficiant, cumque hi
ſimul ſumpti æquales ſint quatuor rectis, erit
ipſarum D A, D B, D C aggregatum _MINIMA_ Quare in-
Quod faciendum erat.
Datam rectam lineam terminatam ita diuidere, vt ſumpta par-
tium ipſius tertia proportionali, aggregatum extremarum ſit MI-
NIMA quantitas.
ESto data linea A B, quam ſecare oporteat, vt imperatum eſt.
Erigatur ex A ipſi A B perpendicularis, &
æqualis A D, iunctaq;
D
B ſecetur D E æqualis D A, & ex E ſuper A B perpendicularis demitta-
tur E C. Dico punctum C quæſitum ſoluere.
Nam bifariam ſecto angulo A D E per rectam D F ſecante A B in F, &
iuncta F E: cum ſit latus D A æquale D E, &
D F commune, &
anguli
A D F, E D F æquales, erunt baſes F A, F E æquales, & reliquus angulus
F E D reliquo F A D æqualis ſiue rectus: quare ſi cum centro F interuallo
F A circulus deſcribatur A E G, is tranſibit quoque per E, & vtramque D.
A, D B continget in A, E.
Iam cum in ſemi-circulo ſit A C ad C E, vt C E ad C G, ſitque C B
æqualis C E (cum etiam A D ſit æqualis A B) erit A C ad C B, vt C B
ad C G. Vnde aggregatum extremarum poſt ſegmenta A C, C B erit A
G; quod eſſe _MINIMVM_ ſic demonſtrabitur.
Sumpto enim in data recta A B quocunque alio puncto H, vel in ipſius
parte producta vltra B, vt in prima figura, vel in ipſa A B, vt in ſecunda,
& ex H ducta H I perpendiculari ad A B, ſecante diagonalem D B in I,
ductaque A I ſecante circuli peripheriam in L, iunctiſque G L, G I: erit
angulus A L G rectus, atque externus trianguli L I G; quare internus L I
G acutus erit, ac ideo recta I M, quæ ex I erigitur perpendicularis ad I A,
hoc eſt, quæ ipſi L G æquidiſtat, ſecabit A B vltra punctum G, vt in M, ac
ideo erit A G minor A M. Et cum in triangulo rectangulo A I M, ſit vt A
H ad H I, ita H I ad H M, ſitque H I æqualis H B, erit A H ad H B, vt
H B ad H M, ergo A M eſt aggregatum extremarum proportionalium poſt
partes A H, H B, ſed eſt A G minor A M, vt modò oſtendimus: ergo ag-
gregatum A G minus eſt aggregato A M: &
hoc ſemper vbicunque aſſum-
ptum fuerit punctum H extra C: ergo aggregatum A G minus eſt aggrega-
to A M: &
hoc ſemper vbicunque aſſumptum fuerit punctum H extra C:
quare A G eſt _MINIMVM_ aggregatum quæſitum;
&
recta A B ſecta eſt in
C, vt imperatum fuit. Quod faciendum erat.
SI quæratur iuxta quam rationem repertum punctum C diuidat datam A
B; id ex ipſa Theorematis conſtructione elicietur.
Nam cum triangu-
la D A B, B E F ſint ſimilia inter ſe, erit B D ad D A, ſiue diameter qua-
drati ad latus, vt B F ad F E, vel ad F A, & cum ſit B C ad C E, vt C E
ad C F, ſitque B C æqualis C E (cum & B A æqualis ſit A D) erit etiam
C E ſiue C B æqualis C F. Quare ſi data recta B A diuidatur, ita vt pars
B F ad reliquam partem F A, ſit vt diameter cuiuſdam quadrati ad eius la-
tus, & maior pars B F ſecetur bifariam in C, hoc ipſum punctum erit quæ-
ſitum.
Vel.
Cum rectæ A B, A D ſint æquales, &
perpendiculariter conſtitu-
tæ, erit A D, ſiue D E latus quadrati, & D B diameter, &
E B exceſſus
diametri ſuper latus, ſed eſt A C ad C B, vt D E ad E B: ergo quæſitum
punctum C ſecat datam rectam A B, ita vt maior pars A C ad minorem C
B, ſit vt latus cuiuſdam quadrati ad exceſſum diametri ſuper latus, quæ ra-
tio, vt iam conſtat, cadit inter terminos incommenſurabiles.
Si in triangulo A B C, cuius baſis A B, ex vertice C ducta ſit
C E ipſi B A parallela, vel ad eaſdem, vel ad oppoſitas partes, &
ducatur quælibet A D E vtranque B C, C E ſecans in D, & E:
dico aggregatum triangulorum A D B, D C E ad triangulum A
C B eſſe vt aggregatum extremarum poſt B D, D C, ad B C.
SVmatur D F tertia proportionalis poſt B D, D C.
Iam triangulum D C E ad A D C eſt vt E D ad D A, vel vt C D ad
&
triangulum A D C ad trian-
gulum A B C, eſt vt D C
ad C B, ergo ex æquali triã-
gulum D C E ad A B C, erit
vt D F ad C B; ſed triangu-
lum A D B ad idem A B C
eſt vt B D ad B C, quare
duo ſimul triangula D C E,
A D B, ad triangulum A C
B, erunt vt duæ ſimul lineæ
D F, D B, hoc eſt tota B F,
aggregatum extremarum poſt B D, D C, ad B C. Quod erat, &
c.
Duabus datis rectis lineis terminatis ad quemlibet angulum
conſtitutis, & per vnius ipſarum terminum alia alteri datarum
æquidiſtanter ducta, ad contrarias tamen partes, & in infinitum
producta: oportet per extremum terminum alterius, rectam duce-
re ęquidiſtanti occurrentem, ita vt, cum ipſa bina ſimilia triangula
ad verticem conſtituat, horũ aggregatum ſit MINIMA quantitas.
SInt A B, B C rectæ lineæ terminatæ ad quemcunque angulum A B C
compoſitæ, ſitque C D in infinitum producta ipſi B A parallela, ſed ad
oppoſit as partes rectæ C B: oportet ex A rectam ducere, qualis eſt A D,
ita vt aggregatum ſimilium triangulorum A E B, C E D ad verticem E
ſit _MINIMVM_.
Diuidatur B C in E, ita vt B E ad E C ſit vt latus cuiuſdam quadrati ad
exceſſum diametri ſuper latus: dico punctum E eſſe quæſitum.
Nam ducta qualibet alia A F G;
iunctaque A C:
cum aggregatum ex-
tremarum proportionalium poſt B E, E C ſit _MINIMVM_ (per Scholium
7.
huius) ipſum erit minus aggregato extremarum poſt B F, F C;
qua-
re primum aggregatum, ad rectam B C minorem habebit rationem, quam
ſecundum aggregatum ad eandem B C, ſed primum ad B C eſt
gulum A C B, & ſecundum ad eandem B
C eſt vt aggregatum triangulorum A F B,
G F C ad idem trian gulum A C B, quare
aggregatum A E B, D E C ad triangulum
A C B minorem habebit rationem quàm
aggregatum A F B, G F C ad idem trian-
gulum A C B, vnde aggregatum ex A E
B, D E C minus erit aggregato ex A F B,
G F C, ac propterea aggregatum triangu-
lorum ad punctum E erit _MINIMVM_. Quod faciendum erat.
HInc, cum ſit vt ſubduplum ad ſubduplum, ita duplum ad duplum, ſi
compleantur parallelogramma B H, C I, ipſorum aggregatum erit
_MINIMVM_, &c.
Ijſdem poſitis, ac in præcedenti.
Si datum ſit in linea B C,
quodlibet aliud punctum F inter inuentum punctum E, & extre-
mum B, & oporteat aliud in ipſa punctum aſſignare, quæ ſimul
exhibeant aggregata triangulorum ad verticem inter ſe æqualia.
ERigatur B G perpendicularis, &
æqualis ipſi B C, iungatur G C, &
per F agatur F H æquidiſtans B G, & fiat vt B F ad F H, ita F H ad
aliam F I, & circa diametrum B I circulus deſcribatur rectam G C ſecans
in H, & L, &
ex L ducatur L M parallela ad G B;
dico punctum M eſſe
quæſitum, hoc eſt ſi producantur A F, A M rectam C D ſecantes in D,
N;
aggregatum triangulorum A F B, D F C, æquale eſſe aggregato
triangulorum A M B, N M C.
Quoniam cum ſit vt B F ad F H, ita F H, vel F C ad F I, erit B I aggre-
gatum extremarum B F, F I, poſt B F, F C. Item cum ſit B M ad M L, vt
M L, vel M C ad M I, erit idem BI aggregatum extremarum B M, M I,
poſt B M, M C; ſed aggregatum triangulorum ad F ad triangulum A B C
tum extremarum poſt B M, M C ad eandem B C, ſuntque prædicta extre-
marum aggregata inter ſe æqualia, cum vtrinque conficiant eandem B I,
quare, & aggregatum triangulorum A F B, D F C, æquale erit aggregato
triangulorum A M B, N M C. Quod faciendum erat.
ERrata, quæ non niſi peracta Operis impreſſione pacato animo adnotare potuimus, &
quæ parsim ob
noſtrum authogr apbum multis lituris, & contr actionibus conſperſum, in Amanuenſis tranſcriptione
exciderunt, partim ex Typothetæ incuria irrepſerunt, quæque ipſo calamo reſtitui nequeunt, antequam
ad lectionem accedas, ita ſuis locis corrigere te rogatum volumus. Reliqua minutiora ad orthogr aphiam
præſertim pertinentia, veluti, & quaſdam paucas citationes turbatas, vel omiſſas æquiſſimo iudicio tuo
relinquimus emendandas.
Pag.
17.
verſ.
12.
ductæ diametro BD - ductæ ad diametrum BD | p.
18.
v.
10.
&
diametro - &
ad diametrum
v. 14.
&
diametro - &
ad diametrum | p.
20.
v.
6.
&
ab ipſa ex - &
ex ipſa à | p.
31.
v.
9.
A B C, ABC - A B C,
ADC | v. 11.
&
quod de - &
quod priùs de | v.
38.
40.
41.
ALCE - DLCE | p.
38.
v.
5.
à quadam ſectionis --
à quadam in ſectione | p. 47.
v.
7.
eſt MINIMA ſibi - eſt MAXIMA ſibi | p.
49.
v.
4.
Hyperbolen AEC, - Hyper-
bolen HBI | v. 17.
MAXIMAM - MINIMAM | v.
35.
regula LE - regula LF | p.
51.
v.
1.
in margine deeſt cita-
tio - _a._ 1.
coroll.
19.
h.
| p.
55.
v.
2.
regula IG - regula ſit ducta I G | v.
14.
C I, &
quidem - C I, eſt quidem |
p. 57.
v.
5.
circũſcripta:
- circumſcripta:
quam dico eſſe MINIMAM | p.
58.
v.
8.
conueniret - conueniret ſupra C
v. 43.
GI cum- GL cum | p.
59.
v.
17.
verſum AF - verſum CF | p.
68.
v.
34.
&
Hyperbole - &
ſimilis Hyperbole
v. 35.
M G, rectum G N, aſymptotos O P, &
ipſarum - MI, rectum I N, aſymptotos OP, &
ex ipſarum |
p. 74.
v.
3.
Parabolis hactenus - Parabolis in hac | p.
75.
v.
3.
AB, BE, item altera - AB, D E, tem latera | p.
77.
v.
35.
ex vettice BG;
- ex vertice ſit B G;
| p.
78.
v.
13.
adſcriptarum aſymptotos - adſcriptarum regulas, &
aſymptotos | p. 79.
v.
21.
Hyperbolæ, per - Hyperbolæ ABC, per | p.
83.
v.
7.
Iam, cum rectangulum GE 3
ſit - Iam, rectangulũ GE 3 eſt | p. 92.
v.
10.
in puncto Q, - in puncto P, | v.
32.
tamen eas eligemus, que appor-
tunæ - tamen eas in reliquis eligemus, quæ opportunæ | p. 96.
v.
14.
Hyperbolen circumſcribere - Hyperbolen
concentricam circumſcribere | v. 22.
eſſe MAXIMAM - eſſe MINIMAM | p.
99.
in prima ſigura, Hyperbole N
E concipiatur punctata, & HEK continuata | p.
100.
v.
9.
latere MINIMAM - latere BR MINIMAM | p.
101.
v. 22.
rectus latus - tranſuerſum latus |.
p.
107.
v.
10.
remotiori.
- remotiori GH.
| v.
vlt.
LEG - IEG | p.
109.
v. 29.
Et enim - Eſt enim | p.
110.
v.
6.
Sumatur D E - Iungarur B D, &
producatur, &
ſumatur DE | v.
7.
dia-
metro AE - diametro BE. | p.
111.
v.
vlt.
adſcribitur, cum recto - adſcribitur, ſed cum recto | p.
112.
v.
3.
ſed
BH - ſed BA | v. 4.
ipſa BH - ipſa BA | v.
24.
OM aſymptoto - OM aſymptotos | v.
39.
punctum D - punctum
D, & cum dato ſemi-tranſuerſo E.
| p.
114.
v.
30.
MBN - ABC | p.
120.
v.
30.
in qua cum - &
cum.
| p.
122.
v.
1.
in portione - portioni | v. 2.
in triangulis - triangulis | v.
8.
in Parabola - Parabolæ | v.
11.
in ea inſcripti - ei in-
ſcripti | p. 123.
v.
23.
cum quælibet - nam quælibet | v.
32.
Parabolæ DGF - Parabolæ BGF | p.
125.
v.
2.
equa-
le rectangulo - æquale, vel minus rectangulo | v. 8.
æquale poſitum - æquale, vel minus poſitum | v.
12.
ſeca-
bit ſibi - ſecabit aliam ſibi | p. 127.
v.
22.
vt OF ad FB, &
KF - vt OF ad FB, &
permutando OK ad OF, vt KB
ad BF, & eſt OK maior OF, ergo, &
KB maior eſt FB, &
KF | p.
129.
v.
5.
cum æquali - cum circumſcriptæ
æquali | v. 10.
ſit ipſo - ſit ipſi | p.
130.
v.
12.
vt in 83 - vtin 82.
| v.
22.
vt AF - vt OF | p.
131.
v.
1.
ALCO - A
LCN | v. 12.
&
è contra, quæ - &
è contra, eam, quę | v.
35.
ſi igitur ellipſis - ſi igitur | p.
132.
v.
vlt.
KEI
maiora - KFI æqualia | p. 133.
v.
11.
EG, GN - EG, EN | p.
135.
v.
42.
eſſe axis - eſſe minoris axis | p.
142.
v.
37.
cum LH - cum ſit LH | p. 143.
v.
12.
LH maior - LH minor | v.
13.
&
HC maior - &
HC minor | p.
144.
v.
30.
pertinentium - pertingentium | p. 146.
v.
14.
inter _a_ contactum - inter contactum | v.
15.
cadet totus intra, &
ſi - cadet _a_ totus intra Ellipſim, & ſi | p.
148.
v.
vlt.
ſitque DF - ſitque BF | pag.
149.
v.
20.
LA - LH.
Pag.
1.
verſ.
14.
ipſi BC.
- ipſi AC.
| p.
5.
v.
7.
rectangulo æquale eſt - rectangulo cum quadrato DM æquale
eſt | p. 8.
v.
5.
in O;
cum - in O;
FI ſecet GH in N.
Et cum | p.
9.
v.
33.
MINIMA erit - minor erit quacunque
ducibilium | p. 11.
v.
25.
&
reliquam B D - &
in ſecunda figura, reliquam E D | p.
12.
v.
11.
à vertice diſtet - à
vertice B diſtet | p. 16.
v.
4.
prouenire - peruenire | p.
21.
v.
6.
BD quibus - BD, atque | p.
23.
v.
40.
Quod, &
c.
-
Quod, &c.
Sed FC æqualis eſt ipſi FA:
ergo in hoc caſu duæ ſunt MINIMAE.
| v.
42.
vel extra - vel intra |
v. 43.
ex recta F FG - ex F recta FG | p.
32.
v.
9.
erit - eſſet | p.
34.
v.
12.
MAXIMA ad incluſam - MAXIMA du-
cibilium ad incluſam | p. 37.
v.
2.
ademptum - adeptum | v.
34.
ſumantur - addantur | p.
38.
v.
31.
ſit minor - ſit
maior | citat. 25.
pr.
conic.
- 27.
pr.
conic.
| p.
42.
v.
39.
rectangulum GEC - rectangulum GEF | p.
43.
v.
25.
quadratum Q P - quadratum OP | v.
25.
contingente Q P - contingente OP | v 26.
quadrato Q P - quadrato
OP | p. 50.
v.
3.
latera AD - latera parallela AD | p.
51.
v.
40.
D, M, - D, N, | v.
41.
ſiue erit - atque erit |
p. 53.
In Coroll.
II.
dele ea verba in 4.
5.
6.
7.
&
8.
figura | p.
56.
v.
23.
comm uni B E - communi G E | p.
60.
v. 9.
ex quo NE - ex quo DE | p.
61.
v.
5.
Hyperbolis, aut Ellipſibus - Hyperbolis, vel circulis, aut Ellipſibus |
p. 62.
citat.
46.
h.
- 10.
ſec.
conic.
&
46.
h.
| v.
18.
Iam, ducta - Iam, in prima figura, ducta | p.
63.
v.
2.
Hy-
perbole - Hyperbolæ | v. 11.
BD - BE | v.
13.
in D - in E | p.
72.
v.
18.
producta conueniet - producta, vel con-
ueniet | v. 20.
verticis B;
qua propter - verticis B;
velin ſecunda figura aliquando axi æquidiſtabit, quapro-
pter | v. 24.
Coni ſuperficiem - Coni, vel Cylindri ſuperficiem | v.
33.
Coni à latere - Coni, vel Cylindri à la-
tere | v. 34.
Conicam ſuperficiem - Conicam, vel Cylindricam ſuperficiem | p.
75.
v.
41.
latera, &
c.
- latus A
C, &c.
| p.
76.
v.
1.
in plano NL - in plano DAC | p.
79.
v.
5.
ex 20.
22.
ac 23.
huius - ex 20.
ac 22.
huius | v.
11.
DEB - DE | v. 30.
DEB - DE | p.
121.
v.
vlt.
eſſet alter - eſſe, alter | p.
129.
v.
33.
rectangulum - rectangulo-
rum | p. 130.
v.
penult.
in 3.
ratione ad 1.
- in ratione 3.
ad 1.
Imprimatur ſeruatis ſeruandis 18.
Martij 1658.
Vinc.
de Bardis Vic.
Gen.
Florentiæ.
Excellentiſsimus Dominus Auguſtinus Coltellinus Aduocatus, &
S. Officij Conſultor, videat hoc Opus inſcriptum DE MAXI-
MIS, & MINIMIS, &
c.
&
referat, die 9.
Aprilis 1659.
F.
Gabriel Pierotius Florentinus S.
Officij
Flor. Cancell.
&
c.
Sic diuinare licet Reuerendiſs.
Pater, nec malè de arte ſua au-
diet Mathematicus, dum per retortos linearum tramites itur
ad rectam geometricæ veritatis; bonis interim lætantibus,
cum nihil obliquum ab orthodoxa fide inueniatur S. R.
E.
in-
uiſum, prout refero. Die x v j.
April.
MDCLIX.
Auguſtinus Coltellini manu propria.
Stante prędicta atteſtatione imprimatur.
Hac die 19.
April.
1659.
F.
Gabriel Pierotius S.
Officij Flor.
Cancell.
de mandato.
Alexander Victorius Sereniſs.
Magni Ducis Auditor.