open access
http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration
free
Automatically created from the ECHO source; ECHO version 1.0RC; Script version 2011-08-15
Ex Officina Alexandri Benacii.
QVod tibi ſuperioribus diebus
pollicitus ſum, cum libellum
Ptolemæi de Analemmate in lu
cem proferrem, breui fore, vc
Archimedis etiam libri de ijs,
quæ in aqua vehuntur, & emen
datiores, & fortaſſe opera mea
illuſtriores ederentur: mihi non committendum eſ-
ſe duxi, vt iure optimo malum nomen, præſertim à
te, cui tantopere debeo, exiſtimari poſſem. quam-
uis cum mecum conſidero ſuſcepti negocij difficul
tates, quas multo plures, & multo grauiores, quàm
in libello de Analemmate deprehendi; vereor ne id
planè non aſſecutus ſim, quod ab initio ſpectaui, vt
mathematicarum diſciplinarum ſtudioſis hac in par-
te ſatisfacerem. cum enim græcus Archimedis co-
dex nondum in lucem venerit, non ſolum is, qui eum
latinitate donauit, multis in locis fœ de lapſus eſt, ve-
rum etiam codex ipſe, vt etiam interpres fatetur, ve-
tuſtate corruptus, & mancus eſt;
duæq́;
integræ
ἀποδείξεις, quas demonſtrationes dicimus, deperie-
runt. quæ iactura quantam vim habeat ad pertur-
bandum admirabilem illum ordinem, quo inter ſe
mathematicæ diſciplinæ quodãmodo connexæ ſunt,
tibi, qui iam in iis multam operam, multumq́;
ſtu-
dium poſuiſti, cogitandum relinquo. nonnulla præ-
terea Archimedes vt perſpicua in his tractandis po-
nere non dubitauit, quæ veteres mathematici, qui
de conicis conſcripſerunt, plurimis, & firmiſsimis
argumentis probauerũt. Hæc autem idcirco à nobis
omnino ignorantur; quòd poſtremi quatuor libri
conicorum Apollonii Pergæi adhuc in tenebris de-
liteſcunt. Qua quidem in re (vt mea fert opinio)
ſingulari fato fuerunt mathematicæ diſciplinæ, cum
tot ſcriptorum præclara monumenta interierint, per
quæ non ſolum in ſtudioſos homines, uerum etiam
in humanũ genus mirabiles utilitates importatæ fuiſ-
ſent. nam cum mecum conſidero quàm late pateant
hæ nobiliſsimæ ſcientiæ, quãtopere rebus publicis &
priuatis admirabili quadã ratione, atque ordine gu-
bernandis neceſſariæ ſint, dubitãdum non exiſtimo,
quin magna ſit habenda gratia huius diuini boni au-
ctoribus, & inuentoribus:
ueterumq́;
græcorum pru
dentiam ſatis admirari non poſſum, qui pueros cum
primum fari cœpiſſent, his diſciplinis imbuendos cu
rabant, ut à prima ætate multiplicis, ac ſubtilis ſcien-
tiæ contemplationi aſſueti nihil paruum, aut humile
cogitarent: ſed uel ſe totos ijs artibus traderent, qua-
rum ope ciuitatibus ſuis & præſidio, &
ornamento
eſſe poſſent: uel humanis ſtudijs multam ſalutem di-
centes, diuinam philoſophiam toto animo amplexa-
rentur, cum ad eam per mathematicas diſciplinas fa-
ciliorem ſibi aditum comparaſſent.
quamobrem gra
uisſimum damnum factum eſt in tot præſtãtisſimis
uiris: quorũ ſcripta ſi in manus noſtras perueniſſent,
profecto multo præclarius cum rebus humanis age-
retur. complures enim, qui nunctot difficultatibus
ab his ſtudijs deterrentur, hac ratione priuatis & pu-
blicis rationibus optime conſuluiſſent. Cum hæc ita
eſſent, tamen nullum mihi laborem ſubterfugiendũ
eſſe iudicaui, quo ſtudioſis hominibus, qui in mathe
maticis diſciplinis toto animo incumbũt, facilior pa
teret aditus ad abſtruſa, & recondita ſenſa tanti ſcri-
ptoris intelligenda: nec à uetere meo in ſtituto diſce-
dere uolui; ſcis enim me multos abhinc annos hanc
eandem prouinciam, Archimedis quàm plurima ſcri
pta illuſtrandi ſuſcepiſſe. quod neque arrogãtia, nec
inanis gloriæ ſpe adductus ſum, ut facerẽ, ſed me ue-
hementer in hanc mentem impulit honeſtisſima cu-
piditas de ſtudioſis hominibus benemerẽdi: etenim
ſemper mea fuit ſentẽtia, mathematicum, qui libros
Archimedis accuratisſime non euoluerit, uix mathe-
maticum appellari debere: cum eū neceſſe ſit in mul
tarum rerum ignoratione uerſari, ſine quibus mathe
maticæ diſciplinæ imperfectæ quodammodo, atque
in choatæ ſunt habendæ. Dedi igitur operam, ut his
etiam Archimedis libris, quoad eius fieri poſſet, per
me aliqua lux afferretur. quos ut Archimedis eſſe nõ
dubitarem, duæ non contemnendæ cauſſæ fuerunt. una quòd in tanta obſcuritate ab interpretis inſcitia,
&
à uetuſtate profecta, neſcio quod ueſtigium illius
acuti, & perſpicacis ingenij, quo Archimedes excel-
luit, impreſſum apparet: altera quòd tum græci, tum
latini ſcriptores grauisſimi hos ut Archimedis libros
recognoſcũt. Strabo enim in primo libro hæc ad uer
bũ ſcribit. ὁδὲ οὕτος ἡδὺς ἐ
τὴν Αρχιμήδουςβεβαιοῖ δόξαν, ὅτιφησὶνἐη{εῖ} νος ἐν τοῖς περἱ τῶνὀχον-
μένων, παντὸς ὑγροῦ καθεστηηότος, καἱ μένοντος τὴνἑ πιφάν{ει}αν σφαιρι-
κὴν {εῖ}ν{αι}, σφ{αὶ} ρας ταυτὸ ηέντρον ἐφούσης τῆ γῆ. ταὺ την γάρ τὴν δοξαν
ἀποδέχονται πάντες οἱ μαθημάτων πῶς άψάμενοι. &
Pappus Ale-
xandrinus in octauo mathematicarum collectionum
libro hæc ſcripta reliquit, ηαλοῦσι δὲ μηχανιηοὺςοἱ παλαιοὶ,
κ{αὶ} τοὺς θαυμασιουργοὺς, ὡνοἱ μὲν διὰ πνευμὰτων φιλοτεχνοῦσιν, ὡς
ἥρων πνευματιηοῖς, οἱ δὲ διὰ νευρίων καὶ σπάρτωνἐμψύχωνκινήσεις δο-
κοῦσι μιμ\~εισθαι, ὡςἥρων αὐτομάτοις, καὶ ζυγίοις: ἄλλοι δὲ διὰ τῶν ἐφ
ὕδατος ὁχουμένων, ὡςὰρχιμήδης ὀχουμένοις. Vitruuius etiam
in octauo libro de his eiſdem Archimedis libris me. minit.
Fortaſſe, inquit, qui Archimedis libros legit, di
cet non poſſe fieri ueram ex aqua librationem: ſed ei
placet aquam non eſſe libratam, ſed ſphæroides habe
re ſchema: &
ibi habere centrum, quo loci habet or-
bis terrarum. ut nemini dubium eſſe posſit, quin &
genere ſcriptionis, & tãtorum uirorum auctoritate,
ut germani Archimedis libri attente legendi, & per-
pendendi ſint: præſertim cum in ijs multa continean
tur cognitione dignisſirna, quæ nõ tam ad mathema
ticas diſciplinas, quàm ad naturæ obſcuritatem ſpe-
ctant. Quamobrem ego ne tanto, &
tam fructuoſo
theſauro diutius ſtudioſi carerent, primum loca par-
tim interpretis errore deprauata emendaui;
partim
uetuſtate corrupta & conſumpta in priſtinam inte-
gritatem redegi, compluribus, quæ deſiderabantur,
meo, ut aiunt, marte ſuppletis. Deinde quoniam Ar-
chimedes, quemadmodum ſupra dixi, non nulla po-
nit, ut perſpicua, & quæ uel ipſe, uel ſuperiores ma-
thematici ἀποδείξεσι confirmauerunt, coactus ſum non
ſine maximo negotio ex ijs principijs conicæ diſcipli
næ Apollonij Pergæi, quæ in manus noſtras peruene-
rũt, nouas probationes adhibere, nequid eſſet, quod
diligentem lectorem in hac parte remorari poſſet. re
ſtabat, ut theorema illud, quod ſine cognitione cen-
tri grauitatis corporum ſolidorũ percipinon poteſt,
uidelicet, Centrum grauitatis in portionibus conoi-
dis rectanguli axem ita diuidere, ut pars, quæ ad uer-
ticem terminatur, reliquæ partis, quæ ad baſim ſit du
pla, certisſimis rationibus comprobarem. ſed huic
quoque rei prouiſum eſt à me: ſeorſumq́ ab his li-
bris de cẽtro grauitatis ſolidorũ uberrime cõſcripſi. denique nihil prætermiſi, quod ad Archimedem in
hac materia illuſtrandum attineret. quod ſi, ut ſpero,
aſſecutus ſum, ſatis magnum fructum mihi cepiſſe ui
debor laborum, & uigiliarum mearum:
ſin ſecus acci
derit, hoc me tamen conſolabor, quòd omnes intelli
gent, honeſtisſimo meo conſilio, non tã ingenij mei
imbecillitatem, quàm rei obſcuritatem, & temporũ
iniurias obſtitiſſe. Hoc loco ſuperuacaneum eſſe arbi
tror pluribus uerbis exponere, cur tibi amplisſime
Cardinalis, has lucubrationes meas dicare conſtitue-
rim. tantis enim beneficijs à te affectus, quanta fem-
per & meminero, &
prædicabo;
tanta liberalitate cõ-
plexus, quantam ne optare quidem unquam auſus eſ
ſem. cupio memorem, &
erga te gratum animũ qua
ratione poſſum, oſtendere. quãuis ſi de te nihil aliud
præter auditum haberem, ſi amplitudini tuæ tanto-
pere deuinctus non eſſem; tua in omni genere diſci-
plinarum excellentia, tua grauitas, atque innocentia
me magnopere hortata eſſet, ut te potisſimum deli-
gerem, ſub cuius clarisſimi nominis ſplendore hi Ar-
chimedis libri ab obliuione hominum, atque à ſilen-
tio uindicarentur. uerecundius de te in præſentia di-
cerem, ne uiderer aſſentationi potius, quàm ueritati
ſeruire; niſi omnibus perſuaſisſimum eſſet, diuinas &
inauditas uirtutes tuas cum ſingulari eruditione con
iunctas in illo ſanctisſimo Reip. chriſtianæ conſilio
tanquam lumen aliquod elucere. quamobrem ea,
qua ſoles, benignitate, fidelisſimi clientis tui munus
accipies; quod tibi, qui &
mathematicis diſciplinis,
& phiſiologiæ ſtudijs tantopere delectaris, non iniu-
cundum fore confido.
PONATVR humidi eam
eſſe naturam, vt partibus ip-
ſius æqualiter iacentibus, &
continuatis inter ſe ſe, minus
preſſa à magis preſſa expella
tur. Vnaquæque autem pars
eius premitur humido ſupra
ipſam exiſtente ad perpendiculum, ſi humidum
ſit deſcendens in aliquo, aut ab alio aliquo preſ-
ſum.
SI ſuperficies aliqua plano ſecetur per idẽ ſem-
per punctum; ſitq́;
ſectio circuli circunferen-
tia, centrum habens punctum illud, per quod pla
no ſecatur: ſphæræ ſuperficies erit.
SECETVR ſuperficies aliqua plano per k punctum
ducto: &
ſicſectio ſemper circuli circunferentia, centrum
habens punctum k. Dico eam ſphæræ ſuperficiem eſſe.
Si
enim non eſt ſphæræ ſuperfi-
rectæ lineæ, quæ à pun-
cto k ad circunferentiam du-
cuntur non omnes æquales e-
runt. Itaque ſint a b puncta
in ſuperficie; &
inæquales li-
neæ a k k b: per ipſas autem
a k k b planum ducatur, quod
ſectionem faciat in ſuperficie
lineam d a b c. ergo d a b c cir
culi circunferentia eſt, cuius
centrum k; quoniam ſuperficies eiuſmodi ponebatur:
&
idcirco æquales inter ſe ſunt a k k b, ſed & inæquales;
quod
fieri non poteſt. conſtat igitur ſuperficiem eam eſſe ſphæ-
ræ ſuperficiem.
Omnis humidi conſiſtentis, atque manen-
tis ſuperficies ſphærica eſt; cuius ſphæræ centrũ
eſtidem, quod centrum terræ.
INTELLIGATVR humidũ conſiſtens, manẽsq;
:
& ſecetur ipſius ſuperficies plano per centrum terræ du-
cto. ſit autem terræ centrum k:
&
ſuperficieiſectio, linea
a b c d. Dico lineam a b c d circuli circunferentiam eſſe, cu
ius centrum k. Si enim non eſt, rectæ lineæ à puncto k ad
lineam a b c d ductæ non erunt æquales. Sumatur recta li
nea quibuſdam quidem à puncto k ad ipſam a b c d ductis
maior; quibuſdam uero minor;
&
ex centro k, interual-
lineæ ſumptæ circulus deſcribatur.
cadet ergo ipſius
circunferentia partim
tim intra; quoniam ea,
quæ ex centro quibuſ-
dam quidem à puncto
k ad ipſam ductis eſtma
ior; &
quibuſdam mi-
nor. Itaq;
ſit circuli de-
ſcripti circunferentia
fb h: &
ex b ad k ducta
linea, iungãtur fk k h e,
quæ angulos æquales faciant. deſcribatur autem &
ex cen
tro k circunferentia quædam x o p in plano, & in humido.
ergo partes humidi, quæ ſunt ad circunferentiam x o p æ-
qualiter iacent, ac continuatæ inter ſe ſe: &
premũtur qui
dem partes, quæ ad x o circunferentiam, humido, quod lo
co a b continetur: quæ uero ad circunferentiam o p pre-
muntur humido, quod continetur b e. inæqualiter igitur
premuntur partes humidi ad cir cunferentiã x o, & ad o p.
quare minus preſſæ à magis presſis expellentur. non er-
go conſiſtet humidum. Atqui ponebatur conſiſtens, &
ma
nens. neceſſarium eſt igitur lineam a b c d eſſe circuli cir
cunferentiam, cuius centrum k. Similiter autem demon-
ſtrabitur, & ſi quomodocunque aliter ſuperficies humidi
plano ſecta fuerit per centrum terræ ſectionem circuli cir
cunferentiam eſſe: &
centrum ipſius eſſe, quod &
terræ cen
trum. Ex quibus conſtat ſuperficiem humidi conſiſtentis,
&
eius ſphæræ centrum
idem, quod centrum terræ: quoniam eiuſmodi eſt, ut ſecta
per idem ſemper punctum ſectionem faciat circuli circun
ferentiam, centrum habentis punctum illud, per quod ipſa
plano ſecatur.
Solidarvm magnitudinum, quæ æqualẽ
molem habentes æque graues ſunt, atque humi-
dum; in humidum demiſſæ demergentur ita, vt
ex humidi ſuperficie nihil extet: non tamen ad
huc deorſum ferentur.
SIT magnitudo aliqua æque grauis, atque humidum:
&
ſi fieri poteſt, in humidum demiſſa extet ex ſuperficie ip
ſius: conſiſtat autem humidum, maneatq;
: &
intelligatur
aliquod planum ductũ
hu
midi, ac per ſolidam ma
gnitudinem, ut ſit ſuper
ficiei quidem humidi ſe
ctio a b c d; ſolidæ uero
magnitudinis inſiden-
tis e h t f; &
terræ cen-
trum k: ſitq;
ſolidæ ma-
gnitudinis pars, quæ in
humido eſt, b h t c; &
quæ extra humidum b e f c. intelligatur etiam ſolida figu-
ra comprehenſa pyramide, baſim quidem habente paralle
logrammum, quod eſt in ſuperficie humidi; uerticem au-
tem centrum terræ: ſitq;
ſectio plani, in quo eſt a b c d cir-
cunferentia, & planorum pyramidis k l, k m:
&
deſcriba-
tur quædam alterius ſphæræ ſuperficies x o p circa centrũ
k, in humido ſub e f h t, ut ſit ipſa x o p ſectio facta à ſuper fi
cie plani. Sumatur præterea alia quædam pyramis æqua-
lis, & ſimilis comprehendenti ſolidam figuram, ipſi con-
continuata:
ſitq;
ſectio planorũ ipſius K m K n:
&
in humido intelligatur quædam magnitudo r s q y ex ip
ſo humido conſtans, æqualis, & ſimilis ſolidæ b h t c, quæ
quidem pars eſt ſolidæ magnitudinis in humido demerſa.
partes igitur humidi, quæ ſcilicet in prima pyramide ſuper
ficie x o continetur, & quæ in altera continetur p o, æquali
ter ſunt poſitæ, & continuatæ ſed non ſimiliter premun-
tur. nam contenta quidem x o, premitur ſolido e h t f, &
humido interiecto inter ſuperficies x o, l m, & plana pyra-
midis; contenta uero p o premitur ſolido r s q y, &
humi-
do inter ſuperficies o p, m n, & pyramidis plana interiecto.
minor autem eſt grauitas humidi, quod eſt inter m n, o p,
quàm eius, quod inter l m, x o. ſolidum enim r s q y eſt mi
nus ſolido e h t f: cum ſit æquale ipſi b h t c;
quia magnitu
dine æquale, & æque graue ponitur ſolidum, atque humi-
dum: reliquum autem reliquo inæquale eſt.
conſtatigitur
partem contentã ſuperficie o p, expelli ab ea, quæ ipſa x o
continetur: &
non conſiſtere humidum.
ponebatur au-
tem conſiſtens, & manens:
non ergo ex ſuperficie humidi
extat aliquid ſolidæ magnitudinis. ſed neque demerſum
ſolidum ad inferiora feretur. Similiter enim prementur
omnes partes humidi æqualiter poſitæ, cum ſolidum ſit æ-
que graue, atque humidum.
Solidarvm magnitudinum, quæcunque
leuior humido fuerit, demiſſa in humidum non
demergetur tota, ſed aliqua pars ipſius ex humi-
di ſuperficie extabit.
SIT magnitudo ſolida humido leuior;
&
demiſſa in hu
midum demergatur tota, ſi fieri poteſt, ut nulla pars ipſius
conſiſtat autem humidum, ma
neatq;: &
intelligatur aliquod planum ductum per centrũ
terræ, per humidum, &
dam: à quo ſuperficies
quidem humidi ſecetur
ſecundum circunferen-
tiam a b c; ſolida autem
magnitudo ſecundum fi
guram, in qua r: &
cen-
trum terræ ſit K. Intelli
gatur etiam quædam py
ramis comprehendens
figuram r, ſicuti prius, quæ pũctum K pro uertice habeat: fecenturq;
ipſius plana à ſuperficie plani a b c ſecundum
a K K b: &
ſumatur pyramis alia æ qualis, &
ſimilis ſuperio
ri, cuius plana ſecentur à plano a b c, ſecundum b K K c:
deinde alterius ſphæræ ſuperficies quædam deſcribatur in
humido circa centrum K, ſub ſolida magnitudine: &
ſece-
tur ab eodem plano ſecundum x o p: poſtremo intelliga-
tur alia magnitudo h in poſteriori pyramide, quæ ex humi
do conſtet, & ſolidæ magnitudini r ſit æ qualis.
partes igi-
tur humidi, & quæ in prima pyramide continetur ſuperfi-
cie x o; &
quæ in ſecunda ſuperficie o p continetur, æquali
ter iacent, & continuatæ inter ſe ſe;
non tamen ſimiliter
premuntur: nam quæ eſt in prima pyramide premitur ma
gnitudine ſolida r, & humido cõtinente ipſam, quod eſt in
loco pyramidis a b o x: quæ uero in altera pyramide pre-
mitur ſolida magnitudineh, & humido ipſam continente
in loco pyramidis p o b c. At grauitas ſolidæ magnitudi-
nis r, minor eſt grauitate humidi, in quo h: quoniam ma-
gnitudo ſolida mole quidem æqualis, & humido leuior po
nitur: grauitas autem humidi continentis magnitudines
r h eſt æqualis; cum pyramides æquales ſint.
magis ergo
quare ex-
pellet partem minus preſſam, & non manebit humidum.
ponebatur autem manens.
non igitur demergetur tota,
ſed aliqua pars ipſius ex humidi ſuperficie extabit.
Solidarvm magnitudinum quæcunque le
uior humido fuerit, demiſſa in humidum vſque
eô demergetur, vt tanta moles humidi, quanta
eſt partis demerſæ, eandem, quam tota magnitu-
do, grauitatem habeat.
DISPONANTVR eadem, quæſupra:
ſitq;
humi-
dum manens: &
magnitudo e h t f humido leuior.
Si igitur
humidum manet, ſimiliter prementur eius partes, quæ æ-
qualiter iacent. ſimiliter ergo premetur humidum ſub ſu-
perficiebus x o o p.
tas, qua premuntur. eſt
autem & grauitas humi
di, quod in prima pyra-
mide abſque ſolido b h
t c, æqualis grauitati hu
midi, quod in altera py-
ramide abſq; r s q y hu-
mido. perſpicuum eſt
igitur grauitatem ma-
gnitudinis e h t f grauitati humidi r s q y æqualem eſſe. ex
quibus conſtat, tantam humidi molem, quanta eſt pars de
merſa ſolidæ magnitudinis, eandem, quam tota magnitu-
do habere grauitatem.
Solidae magnitudines humido leuiores, in
humidum impulſæ ſurſum feruntur tanta ui, quã
to humidum molem habens magnitudini æqua-
lem, grauius eſt ipſa magnitudine.
SIT enim magnitudo aleuior humido:
&
ſit magnitu
dinis quidem a grauitas b: humidi uero molem habentis
æqualem ipſi a, grauitas ſit b c. demonſtrandum eſt magni
tudinem a in humidum impulſam tanta ui ſurſum ferri,
quanta eſt grauitas c. accipiatur enim quædam magnitu-
do, in qua d habens grauitatem ipſi c æqualem. Itaque
magnitudo ex utriſque magnitudinibus conſtans, in qui-
bus a d, leuior eſt humido: nam magnitudinis quidem quæ
ex utriſque conſtat grauitas eſt b c; humidi uero habentis
molem ipſis æ qualem grauitas maior eſt, quàm b c: quo-
niam b c grauitas eſt humidi
Si ergo demittatur in humidũ
magnitudo ex utriſque a d con
ſtans; uſque eò demergetur, ut
tanta moles humidi, quanta eſt
pars magnitudinis demerſa eã
dem, quam tota magnitudo
grauitatem habeat. hoc enim
iam demonſtratum eſt. ſit autẽ
ſuperſicies humidi alicuius a b
c d circunferentia. Quoniam igitur tanta moles humidi,
quanta eſt magnitudo a grauitatem habet eandem, quam
magnitudines a d: perſpicuum eſt partem ipſius demer-
ſam eſſe magnitudinem a; reliquam uero d totam ex hu-
Quare conſtat magnitudinem a
tanta ui ſurſum ferri, quãta deorſum premitur ab eo, quod
eſt ſupra; uidelicet à d, cũ neutra ab altera expellatur, ſed
d fertur deorſum tanta grauitate, quanta eſt c: ponebatur
enim grauitas eius, in quo d ipſi c æqualis. patet igitur
illud quod demonſtrare oportebat.
Solidae magnitudines humido grauiores
demiſſæ in humidum ferentur deorſum, donec
deſcendant: &
erunt in humido tanto leuiores,
quanta eſt grauitas humidi molem habentis ſoli-
dæ magnitudini æqualem.
SOLIDAS magnitudines humido grauiores, in hu-
midum demiſſas deorſum quidam ferri, donec deſcẽdant,
manifeſtum eſt: partes enim humidi, quæ ſub eis ſunt, pre-
muntur magis, quàm partes æqualiter ipſis adiacentes; quoniam magnitudo ſolida humido grauior ponitur:
le-
uiores autem eſſe uti dictum eſt, demonſtrabitur hoc mo-
do. Sit enim aliqua ma-
mido: &
fit magnitudi-
nis quidem a grauitas
b c: humidi uero molẽ
habentis æqualem ipſi a
grauitas ſit b. demon-
ſtrandum eſt magnitudi
nem a in humido exiſtē
tem habere grauitatem
æqualem ipſi c. Accipia
tur enim alia aliqua magnitudo, in qua d, leuior humido;
humidi ucro molem ha-
bentis æqualem magnitudini d, ſit grauitas æqualis b c. Itaque compoſitis magnitudinibus a d, magnitudo ex
utriſque conſtans æque grauis erit, atque ipſum humidũ:
grauitas enim utrarũque magnitudinum eſt æqualis utriſ-
que grauitatibus, uidelicet b c, & b:
grauitas autem humi
di habentis molem æqualem utriſque magnitudinibus, eſt
eiſdem grauitatibus æqualis. Demisſis igitur magnitudini
bus, & in humidum proiectis æque graues erunt, atque hu
midum: neque ſurſum, neque deorſum ferentur:
quoniam
magnitudo quidem a
deorſum; &
eadem ui à
magnitudine d ſurſum
retrahetur: magnitudo
autem d humido leuior
feretur ſurſum tanta ui,
quanta eſt grauitas c: demõſtratũ enim eſt ma
mido leuiores, impulſas
in humidum tanta uiretrahi ſurſum, quanto humidum ha
bens molem magnitudini æqualem grauius eſt ipſa magni
tudine. Athumidum molem habens æqualem d, grauius
eſt, quam d, ipſa c grauitate. Conſtatigitur magnitudinem
a deorſum ferri tanta grauitate, quanta eſt c. quod de-
monſtrare oportebat.
Ponatvr eorum, quæ in humido ſurſum
feruntur, vnumquodque ſurſum ferri ſecundum
perpendicularem, quæ per centrum grauitatis ip
ſorum ducitur.
AT ucro ea, quæ feruntur deorſum, ſecundum perpendicula-
rem, quæ per centrum grauit atis ipſorum ducitur, ſimiliter ferri,
uel tanquam notum, uel ut ab alijs poſitum prætermiſit.
SI aliqua magnitudo ſolida leuior humido,
gat humidum: figura inſidebit recta, ita vt axis
portionis ſit ſecundum perpendicularem. Et ſi
ab aliquo inclinetur figura, vt baſis portionis hu-
midum cõtingat; non manebit inclinata ſi demit
tatur, ſed recta reſtituetur.
[INTELLIGATVR quædam magnitudo, qualis
&
ducatur planum per axẽ
portionis, & per terræ
ciei humidi ſectio circũ
ferentia a b c d: &
figu-
ræ ſectio e f h circunfe-
rentia: ſit autem e h
recta linea; &
f t axis
portionis. Si igitur in-
clinetur figura, ita ut a-
xis portionis f t non ſit
ſecundum perpendicu-
larem. demonſtrandum eſt, non manere ipſam figu-
ram; ſed in rectum reſtitui.
Itaque centrum ſphæræ eſt
nam ſit primum figura maior dimidia ſphære:
ſitq;
in dimidia ſphæra ſphæræ centrum t;
in minori por-
tioneſit centrum p; &
in maiori _k_:
per _k_ uero, &
terræ cen
trum l ducatur _k_ l ſecans circunferentiam e f h in pun-
cto n. Quoniam igitur unaquæque ſphæræportio axem
dicularis ducitur: habetq;
in axe grauitatis centrum:
portionis in humido demerſæ, quæ ex duabus ſphæræ
portionibus conſtat, axis erit in perpendiculari per _k_ du-
cta. &
idcirco centrum grauitatis ipſius erit in linea n _k_,
quod ſit r. ſed totius portionis grauitatis centrum eſt in li
f, quod ſit x.
reliquæ ergo figuræ, quæ eſt
tes x; &
aſſumpta ex ea, linea quadam, quæ ad r x eandem
proportionem habeat, quam grauitas portionis in humi-
do demerſæ habet ad grauitatem figuræ, quæ eſt extra hu-
midum. Sit autem s centrum dictæ figuræ:
&
per s duca-
tur perpendicularis l s. Feretur ergo grauitas figuræ qui-
portio
nis autem, quæ in humido, ſurſum per rectam r l. quare
non manebit figura: ſed partes eius, quæ ſunt ad e, deor-
ſum; &
quæ ad h ſurſum ſerẽtur:
idq;
cõtinenter fiet, quoad
ſ t ſit ſecundum perpendicularem. Eodem modo in aliis
portionibus idem demonſtrabitur.]
H_
VIVS_ propoſitionis demonſtratio iniuria temporum deſidera-
tur, quam nos ita reſtituimus, ut ex figuris, quæ remanſerunt Archi
medem ſcripſiſſe colligi potuit: neque enim eas immutare uiſum est,
quæ uero ad declarationem, explicationémque addenda fuerant, in
commentarijs ſuppleuimus, id quod etiam præstitimus in ſecunda
propoſitione ſecundi libri.
_SI aliqua magnitudo ſolida leuior humido.
]_ Ea uerba,
quo-
niam de eiuſmodi magnitudinibus in bac propoſitione agitur.
In humidũ demittatur, ita ut baſis portionis nõ tangat hu
] _Hoc est in humidum ita demitt atur, ut baſis ſurſum ſpe_
_ctet; uertex autem deorſum.
quod quidem opponitur ei, quod in ſe-_
_quenti dixit._ In humidum demittatur, ita ut baſis tota ſit in
humido. _His enim uerbis ſignificat portionem oppoſito modo in_
_humidum demitti, ut ſcilicet uertex ſurſum; baſis autem deorſum_
_uergat. eodem dicendi modo frequenter uſus est in ſecundo libro;
in_
_quo de portionibus conoidis rectangulitractatur._
_Quoniã igitur unaquæq;
ſphæræ portio axẽ habet in linea,_
]_
Iungatur enim b c, & k l ſecet circunferentiam a b c d in puncto g;
lineam uero rectam b c in m.
&
quoniam duo circuli a b c d, e f b
ſecant ſe ſe in punctis b c; recta linea, quæ ipſorum centra coniun-
git, uidelicet k l lineam b c bifariam, & ad angulos rectos ſecat:
ut in commentarij s in Ptolemæi planiſpbærium oſtendimus. quare
portionis circuli b n c diameter eſt m n; &
portionis b g c diame-
nam rectæ lineæ, quæ ipſi b c æquidistantes ex utraque
parte ducuntur, cum linea n g rectos angulos faciunt; &
idcirco ab
portionis igitur ſpbæræ b n c axis eſt n m;
&
portionis b g c axis m g.
ex quo ſequitur, portionis in bumido
demerſæ axem eſſe in linea k l; ipſam ſcilicet n g.
&
cum grauita-
tis centrum cuius libet ſpbæræ portionis ſit in axe; quod nos in libro
erit magnitudi-
nis ex utriſque portionibus b n c, b g c conſtantis; hoc eſt portionis
in humido demerſa grauitatis centrum in linea n g, quæ ipſarum
ſphæræ portionum centra graui-
ſi enim fieri po-
teſt, ſit extra lineam n g, ut in
q: sîtq;
portionis b n c centrum
grauitatis u; &
ducatur u q.
Quoniam igitur à portione in bu-
mido demerſa aufertur ſphæræ
portio b n c, non habens idem cen
trum grauitatis: erit ex octaua
primi libri Archimcdis de centro
grauitatis planorum, reliquæ por
tionis b g c centrum in linea u q
producta. quod fieri non potest;
eſt enim in axe ipſius mg.
sequi-
tur ergo ut portionis in humido demerſæ centrum grauitatis ſit in li
nean k. quod oſtendendum propoſuimus.
_Sed totius portionis grauitatis centrum eſt in linea ft, in-_
f, quod ſit x.
]_ Compleatur ſphæra, ut ſit portionis additæ
axis t y; &
centrú grauitatis z.
Itaque quoniá à tota ſphæra, cuius
grauitatis cétrum eſt k, ut etiam in eodem libro demóſtrauimus, au
erit reliquæ portionis
e f h cétrú in linea z k producta. quare inter k.
&
f neceſſario cadet.
Reliquæ ergo figuræ, quæ eſt extra humidum, centrum erit
] _Ex eadem octaua primi libri Archime-_
_dis de centro grauitatis planorum._
_Feretur ergo grauitas, figuræ quidem quæ extra humi_-
portionis autem, quæ in_
_humido ſurſum per rectam r l.]_ Ex antecedenti poſitio-
ne. magnitudo @enim, quæ in humido demerſa est, tanta ui per li-
neam r l ſurſum@fertur, quanta quæ extra humidum per li-
neam s l, deorſum: id quod ex propoſitione ſexta huius li-
briconſtare poteſt. &
quoniam feruntur per alias, atque alias li-
neutra alteri obſistit, quo minus moueatur;
ídq;
continenter
fiat, dum portio in rectum fuerit conſtituta: tunc enim utrarumque
magnitudinum grauitatis centra in unam, eandémq; perpendicula-
rum conueniunt, uidelicet in axem portionis: &
quanto conatu, im
petùue ea, quæ in humido eſt ſurſum, tanto quæ extra humidum de-
orſum per eandem lineam contendit. quare cum altera alteram non
ſuperet, non amplius mouebitur portio; ſed conſiſtet, manebítq;
in
eodem ſemper ſitu; niſi forte aliqua cauſſa extrinſecus acceſſerit.
Qvòd ſi figura humido leuior in humidum
demittatur, ita ut baſis tota ſit in humido; inſide
bit recta, ita ut axis ipſius ſecundum perpendicu
larem conſtituatur.
INTELLIGATVR enim magnitudo aliqua, qua-
lis dicta eſt, in humidum demiſſa: &
intelligatur planum
per axem portionis, & per centrum terræ ductum:
ſitq;
ſu
perficiei quidem humidi ſectio a b c d circunferentia; figu
ræ autem ſectio circun ferentia e f h: &
ſit e h recta linea:
&
axis portionis f t.
Si igitur fieri poteſt, non ſit f t ſecun
dum perpendicularem.
Demonſtrandum eſt non
manerefiguram; ſed in re
ctum reſtitui. eſt autem
centrum ſphæræ in linea
f t: rurſus enim ſit figu-
ra primo maior dimidia
ſphæra: &
ſphæræ centrũ
in dimidia ſphæra ſit pun-
ctum t; in minore portione p;
in maiori uero ſit _k_:
&
per
_k_, & terræ centrum l ducatur _k_ l.
Itaque figura quæ eſt
per _k_: &
propter ea, quæ ſuperius dicta ſunt, centrum gra-
uitatis ipſius eſt in linea n _k_, quod ſitr; totius autem por-
tionis centrum grauitatis eſt in linea f t, inter _k_ & f, quod
ſit x. reliquæ ergo figuræ, eius ſcilicet, quæ eſt in humido,
centrum erit in rectalinea r x producta ad partes x; &
aſ-
portionem, quam grauitas portionis, quæ eſt extra humi-
dum, ad grauitatem figuræ, quæ in humido. Sit autem o
centrum dictæ figuræ: &
per o perpendicularis ducatur
l o. Feretur ergo grauitas portionis quidem, quæ eſt ex-
tra humidum, per rectam r l deorſum; figuræ autem, quæ
in humido, per rectam o l ſurſum. non manet igitur flgu-
ra; ſed partes eius, quæ ſuntad h, deorſum ferẽtur;
&
quæ
ad e ſurſum. atque hoc ſemper erit, donec f t ſecundum
perpendicularem fiat.
ITAQVE figura, quæ extra humidi ſuperficiem,
]
D_vcatvr_ enim b c, quæ ſecet lineam n k in m: ipſa uero
n k circunferentiam a b c d ſecet in g. eodem modo, quo ſupra, de-
&
portionis b g c axem g m.
uſque, erit in linea n m. &
quoniam à portione b n c au-
fertur portio b g c, non ha-
bens@idem grauitatis centrú: reliquæ magnitudinis, quæ est
extra humidi ſuperficiem, cen-
trum grauitatis erit in linea
n k; quæ ſcilicet earum portionum centra grauitatis coniungit:
ex
eadem octaua Archimedis.
SI magnitudo aliqua humido
leuior demittatur in humi-
dum, eam in grauitate pro-
portionem habebit ad humi-
dum æqualis molis, quã pars
magnitudinis demerſa habet
ad totam magnitudinem.
DEMITTATVR enim in humidum aliqua magni-
tudo ſolida, quæ ſit fa, leuior humido: &
pars quidem ip-
ſius demerſa ſit a; quæ autem extra humidum f.
demon-
ſtrandum eſt, ma
ad humidum æ-
qualis molis eam
in grauitate pro-
portionem habe
re, quam habet
a ad fa. accipiatur enim aliqua humidi magnitudo n i
ſitq, ipſi f æqualis n:
&
ipſi a æ-
qualis i. magnitudinis autem f a grauitas ſit b:
&
magni-
tudinis n i grauitas o r; &
ipſius i ſit r.
magnitudo igi-
tur f a ad n i eam proportionem habet, quam grauitas b
ad grauitatem or. Sed quoniam magnitudo f a in humi-
dum demiſſa leuior eſt humido; patet tantam humidi mo-
lem, quanta eſt pars magnitudin_i_s demerſa, eandem quam
magnitudo f a habere grauitatem. hoc enim ſuperius de-
Atipſi a reſpondet humidum i, cuius qui
dem grauitas eſt r; &
ipſius f a grauitas b.
ergo b graui-
tas eius, quod habet molem æqualem toti magnitudini
f a, æqualis erit grauitati humidi i, uidelicetipſi r. Et quo
niam ut magnitudo f a ad humidum n i ſibi reſpondens,
ita eſt b ad o r: eſt autem b æqualis ipſi r:
&
utr ad o r, ita
i ad n i; &
a ad f a.
Sequitur ut f a ad humidum æqualis
gnitudo a habet ad f a. quod demonſtrare oportebat.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
eius, quæ uſque ad axem, quamcunque propor-
tionem habens ad humidum in grauitate; demiſ
ſa in humidum, ita ut baſis ipſius humidum non
contingat; &
poſita inelinata, non manebit incli
nata; ſed recta reſtituetur.
Rectam dico conſi-
ſtere talem portionem, quando planum quod ip
ſam ſecuit, ſuperficiei humidi fuerit æquidiſtans.
SIT portio rectanguli conoidis, qualis dicta eſt;
&
ia-
Demonſtrandum eſt non manere ipſam;
ſed
rectam reſtitui. Itaque ſecta ipſa plano per axem, recto ad
planum, quod eſt in ſuperficie humidi, portionis ſectio ſit
a p o l rectanguli coni ſectio: axis portionis, &
ſectionis
diameter n o: ſuperficiei autem humidi ſectio ſit i s.
Si
igitur portio non eſt recta; non utique erit a l ipſi i s æ-
quidiſtans. quare n o cum i s non faciet angulos rectos.
ducatur crgo k ω contingens ſectionem coni in p [quæ
&
à puncto p ad i s ducatur p f æquidi
ſtans ipſi o n, quæ erit ſectionis i p o s diameter, & axis por
ſumantur deinde centra graui
tatum: ſitq;
ſolidæ magnitudinis a p o l grauitatis centrũ
ipſius uero i p o s centrum ſit b:
&
iuncta b r produca-
Quoniam igitur n o ipſius quidem r o ſeſquialtera eſt;
eius autẽ, quæ uſque ad axẽ minor, quam ſeſquialtera; erit
Quare angulus r p ω
cum enim linea, quæ uſque ad axem maior ſit
ipſa r o; quæ à puncto r ad k ω perpendicularis ducitur,
uidelicet r t, cũ
ſectionem con
ueniet: &
pro-
pterea inter p
& ω puncta ca-
datneceſſe eſt. Itaq;
ſi per b g
ducantur lineæ
ipſi r t æquidi-
ſtantes; angu-
los rectos cum
ſuperficie humidi continebunt: &
quod in humido eſt ſur-
eſt, ipſi r t æquidiſtans: quod uero eſt extra humi dum ſe-
&
non ita mane
bit ſolidum a p o l: nam quod eſt ad a feretur ſurſum;
&
quod ad b deorſum, donec n o ſecundum perpendicu-
larem conſtituatur.]
D_esideratvr_ propoſitionis huius demonstratio, quam nos
etiam ad Archimedis figuram appoſite restituimus, commentarijs-
que illustrauimus.
_Recta portio conoidis rectanguli, quando axem habue_
In tranſlatione mendoſe legebatur. maiorem quàm ſeſquialterum:
&
ita legebatur in ſequenti propoſitione.
est autem recta portio co
noidis, quæ plano ad axem recto abſcinditur: eâmque rectam tunc
conſiſtere dicimus, quando planum abſcindens, uidelicet baſis pla-
num, ſuperficiei humidi æquidiſtans fuerit.
Quæ erit ſectionis i p o s diameter, &
axis portionis in
uel ex co-_
_rollario_ 51 _eiuſdem_.
_Sitque ſolidæ magnitudinis a p o l grauitatis centrum r,_
]_ Portionis enim conoidis
rectanguli centrum grauitatis eſt in axe, quem ita diuidit, ut pars
eius, quæ ad uerticem terminatur, reliquæ partis, quæ ad baſim, ſit
dupla: quod nos in libro de centro grauitatis ſolidorum propoſitio-
ne 29 demonstrauimus. Cum igitur portionis a p o l centrum gra-
uitatis ſit r, erit o r dupla r n: &
propterea n o ipſius o r ſeſqui-
altera. Eadem ratione b centrum grauitatis portionis i p o s est in
axe p f, ita ut p b dupla ſit b f.
_Etiuncta b r producatur ad g, quod ſit centrum graui_
beat g r ad r b proportionem eam, quam conoidis portio i p o s ad
reliquam figuram, quæ ex humidi ſuperficie extat: erit punctum g
ipſius grauitatis centrum, ex octaua Archimedis.
_Erit r o minor, quàm, quæ uſque ad axem]_ Ex decima
Linea, quæ uſque ad axem
apud Archimedem, eſt dimidia eius, iuxta quam poſſunt, quæ à ſe-
ctione ducuntur; ut ex quarta propoſitione libri de conoidibus, &
ſphæroidibus apparet. cur uero ita appellata ſit, nos in commentarijs
in eam editis tradidimus.
_Quare angulus r p ω acutus erit]_ producatur linea n o ad
ſi igitur à puncto h du-
catur linea ad rectos angulos ipſi n h, conueniet cum f p extra ſe-
ctionem: ducta enim per o ipſi a l æquidiſtans, extra ſectionem ca
dit ex decima ſepti-
corum. Itaque con-
ueniat in u. &
quo
niam f p est æqui-
distans diametro; h u uero ad diame-
trum perpendicula-
ris; &
r h æqualis
ei, quæ uſq; ad axẽ,
linea à puncto r ad
u ducta angulos re-
ctos faciet cum ea, quæ ſectionem in puncto p contingit, hoc eſt cum
k ω, ut mox demonstrabitur. quare perpendicularis r t inter p &
ω cadet; erítque r p ω angulus acutus.
Sit rectanguli coni ſectio, ſeu parabole a b c, cuius
diameter b d: atque ipſam contingat linea e f in pun-
cto g: ſumatur autem in diametro b d linea h k æqua-
lis ei, quæ uſque ad axem: &
per g ducta g l, diame-
tro æquidistante, à puncto _k_ ad rectos angulos ipſi b d
ducatur _k_ m, ſecans g l in m. Dico lineam ab h ad
quidem ſecet in n.
D_vcatvr_ enim à puncto g linea g o ad rectos angulos ipſi
e f, diametrum in o ſecans: &
rurſus ab eodem puncto ducatur g p
ad diametrum perpendicularis: ſecet autem ipſa diameter producta
lineã e f in q. erit p b ipſi b q æqualis, ex trigeſimaquinta primi co
nicorum: &
g p pro-
quare quadratũ g p re-
erit: ſed etiã æquale est
rectangulo cõtento ipſa
p b, & linea, iuxta quã
poſſunt, quæ à ſectione
ad diametrũ ordinatim
ducuntur, ex undecima
primi conicorum. ergo
ad p b eadem est lineæ,
iuxta quã poſſunt, quæ
à ſectione ducũtur ad ip
ſam p o: est autem q p
dupla p b: cũ ſint p b,
b q æquales, ut dictum
est. Linea igitur iuxta
quam poſſunt, quæ à ſe-
ctione ducuntur ipſi-
us p o dupla erit: &
propterea p o æqualis
ei, quæ uſque ad axem,
uidelicet ipſi k h: ſed eſt p g æqualis k m;
&
angulus o p g angu-
quòd uterque rectus.
quare &
o g ipſi h m est œqualis:
angulus p o g angulo _k_ h m.
æquidistantes igitur ſunt o g, h n:
quòd cum ſit g o perpendi-
h n ad eandem perpendicularis erit.
quod de-
monstrare oportebat.
Et quod in humido eſt ſurſum ſeretur ſecundum per-
]
_Cur hoc quidem ſurſum, illud uero deorſum per lineam perpen-_
_dicularem feratur, diximus ſupra in octauam primi libri buius. qua_
_re neque in hac, neque in alijs, quæ ſequuntur, eadem iterare neceſſa_
_rium exiſtimauimus._
Recta portio conoidis rectanguli quando
axem habuerit minorem, quam ſeſquialterum
eius, quæ uſque ad axem, quamcunque propor-
tionem habens ad humidum in grauitate; demiſ-
ſa in humidum, ita ut baſis ipſius tota ſit in humi
do; &
poſita inclinata, non manebit inclinata, ſed
ita reſtituetur, ut axis ipſius ſecundum perpendi
cularem fiat.
DEMITTATVR enim aliqua portio in humidum,
qualis dicca eſt: ſitq;
ipſius baſis in humido:
&
ſecta ipſa
plano per axẽ, recto ad ſuperficiẽ humidi, ſit ſectio a p ol
rectanguli coniſectio: axis portionis, &
ſectionis diame-
ter p f: ſuperficiei autem humidi ſectio ſit is.
Quòd ſi incli
nata iaceat portio, non erit axis ſecundum perpendicula-
rem. ergo p f cum is angulos rectos non faciet.
Itaque
ducatur linea quædã k ω æquidiſtans ipſi is; contingensq;
ſectionẽ ap ol in o:
&
ſolidæ quidẽ magnitudinis a p o l
ſit r grauitatis centrum: ipſius autem i p o s centrum ſit
iunctaq;
br producatur:
&
ſit g centrum grauitatis
reliquæ figuræ isla. ſimiliter demonſtrabitur angulum
rok acutu eſ-
&
perpendi
culare ab r ad
k ω ductam ca
dereinter k &
o, quæ ſit rt. ſi autem à pun
ctis g b ducan
tur ipſi r t æqui
diſtantes; pars
quidem ſolidæ
magnitudinis,
quæ in humido eſt, ſurſum feretur ſecundum perpendicu-
larem per g ductam: quæ autem extra humidum ſecundũ
perpendicularem per b deorſum feretur: &
non manebit
ſolidum a p o l ſic habens in humido: ſed quod quidem
eſt ad a feretur ſurſum: quod autem ad l deorſum, donec
p f fiat ſecundum perpendicularem.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
fuerit humido leuior, & axem habuerit maiorẽ,
qnàm ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axem: ſi
in grauitate ad humidum æqualis molis non mi-
norem proportionem habeat ea, quàm quadra-
tũ, quod fit ab exceſſu, quo axis maior eſt, quàm
ſeſquialter eius, quæ uſque ad axẽ, habet ad qua-
dratum, quod ab axe; demiſſa in humidum, ita
&
poſi-
ta inclinata, non manebit inclinata, ſed recta re-
ſtituetur.
SIT portio conoidis rectanguli, qualis dicta eſt:
&
de-
miſſa in humidum, ſi fieri poteſt, non ſitrecta; ſed inclina-
ta: ſecta autem ipſa plano per axem, recto ad ſuperficiem
humidi, portionis quidem ſectio ſit rectanguli coni ſectio
a p o l, axis portionis, & ſectionis diameter n o;
&
ſuper-
ficiei humidi ſectio ſit is. ſi igitur portio non eſt recta, nõ
faciet n o cum is angulos æquales. Ducatur k ω contin-
gens rectanguli coni ſectionem in p; æquidiſtanſq;
ipſi
is: &
à puncto p ipſi o n æquidiſtans ducatur p f.
Itaque
ſumantur centra grauitatum: &
ſolidi quidem a p o l cen
trum ſit r; eius autem, quod intra humidum, centrum b:
iunctaq;
b r pro-
g ſit centrũ graui
tatis ſolidi, quod
extra humidum. Quoniam igitur
n o ipſius quidem
r o ſeſquialtera ẽ;
eius autẽ, quæ uſ-
que ad axẽ maior,
quàm ſeſquialte-
ra: patet r o maio
uſq; ad axẽ.
Sit ei,
æqualis r h: &
o h dupla ipſius h m.
quòd cū n o ipſius r o
item q;
m o ipſius o h:
&
reliqua n m reli
ergo axis tanto maior eſt, quàm
Ponebatur autem portio ad humidum æqualis molis non
minorem in grauitate proportionem habere, quam qua-
dratum, quod fit ab exceſſu, quo axis eſt maior, quam ſeſ-
quialter eius, quæ uſque ad axem, ad quadratum, quod ab
axe. quare conſtat portionem ad humidum in grauitate
non minorem proportionem habere, quàm quadratum li
neæ m o ad quadratum ipſius n o. Sed quam proportio-
nem habet portio ad humidum in grauitate, eandem por-
tio ipſius demerla habet ad totam portionem: hoc enim
&
quam proportionem habet de
quadratum: cum demonſtratum ſit in iis, quæ de conoidi
bus, & ſphæroidibus, ſi à rectangulo conoide duæ portio-
nes planis quomodocunque ductis abſcindantur, portio-
nes inter ſe eandem habere proportionem, qnàm quadra-
ta, quæ ab ipſorum axibus conſtituuntur. non minorem
ergo proportionẽ habet quadratum pf ad quadratũ n o,
quàm quadratum m o ad idem n o quadratum. quare
nec b p item minor h o.
Si
p cadet.
coeat in t.
&
quo
diametrum perpendicularis; &
r h æqualis ei, quæ uſque
ad axem: ducta linea ab r ad t &
producta angulos rectos
faciet cum linea ſectionem in puncto p contingente. qua-
re & cum is, &
cum humidi ſuperficie, quæ per is tran-
ſit. Itaque ſi per b g puncta lineæ ipſi r t æquidiſtantes du
cantur, angulos rectos facient cum ſuperficie humidi: &
quod quidem in humido eſt ſolidum conoidis feretur ſur-
ſum ſecundum eam, quæ per b ducta fuerit ipſi r t æquidi
ſtans: quod autem extra humidum, ſecundum eam, quæ
per g deorſum feretur. atque hoc tandiu fiet, quoad co-
noides rectum conſtituatur.
_Sit ei, quæ uſque ad axem æqualis r h.
]_ Ita legendum eſt,
conſtare poteſt.
_Et oh dupla ipſius h m.
]_ In tranſlatione mendoſe legeba-
Hoc enim ſupra demonſtratum eſt.
] _In prima huius_.
Et quam proportionem habet demerſa portio ad totã,
] _Hoc loco in_
_tranſlatione non nulli deſider abantur, quænos reſtituimus. Illud au_
_tem ab Archimede demonſtratum eſt in libro de conoidibus & ſphæ_
_roidibus propoſitione_ 26.
_Quare p f non eſt minor ipſa m o.
]_ Nam ex decima quinti
quare neque
linea p f minor erit linea m o ex 22 ſexti.
_Nec b p item minor h o.
]_ Eſt enim ut p f ad p b, ita m o,
permutando, ut p f ad mo, ita b p, ad b o.
ſed p f non
est minor m o, ut oſtenſiim cst. ergo neque b p ipſa h o minor erit.
Si igitur ab h
rectos angulos ip
ſi n o, coibit cum
b p, atque inter
b & p cadet.
]
_Corruptus erat hic_
_locus in tranſlatio-_
_ne. Illud uero ita de-_
_monſtr abitur. Quo-_
_niam p f non eſt mi-_
_nor o m, nec p b ip-_
_ſa h o; ſi ponatur p f_
_æqualis o m; &
p b,_
_ipſi h o æqualis erit._
_primi conicorum:
&
cum b p producta coibit inſra p.
ergò &
per-_
_pendicularis ducta per b cum eadem infra b coibit, at que inter b &_
_p neceſſario cadet. multo autem magis illud idem ſequetur, ſi pona-_
_mus pf ipſa om maiorem eſſe._
Et quoniam p f quidem æquidiſtans eſt diametro, htau
&
rh æqualis ei, quæ
uſque ad axem, ducta linea ab r ad e, & producta angulos
rectos facere cum linea ſectionem in p contingente.]
_Hoc ſuperius à nobis demonſtratum eſt in ſecundam buin
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior humido axem habuerit maiorem, quàm
ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axem; ſi ad hu-
midum in grauitate non maiorem proportionẽ
habeat, quàm exceſſus, quo quadratum quod ſit
ab axe maius eſt quadrato, quod ab exceſſu, quo
axis maior eſt, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque
ad axem, ad quadratum, quod ab axe: demiſſa in
humidum, ita ut baſis ipſius tota ſit in humido; &
poſita inclinata non manebit inclinata, ſed re-
ſtituetur ita, ut axis ipſius ſecundum perpendi-
cularem fiat.
DEMITTATVR enim in humidum portio aliqna,
qualis dicta eſt: &
ſit baſis ipſius tota in humido.
Secta au-
tem ipſa plano per axem, recto ad ſuperſiciem humidi, erit
ſectio rectanguli coniſectio, quæ ſit apol: axis portionis,
ſectionis diameter no:
ſuperſiciei autem humidi ſectio
ſit is. Quoniam igitur axis non eſt ſecundum perpendicu
larem; ipſa no cum is non faciet angulos æquales.
Du-
catur k ω contingens ſectionem apol in p; atque ipſi is
æquidiſtans: per p autem ducatur p f æquidiſtās ipſi n o:
&
ſumantur grauitatum centra:
ſitq;
ipſius a p o l ſolidi
centrum r; eius quod extra humidum ſit b:
&
iuncta br
producatur adg,
grauitatis ſolidi ĩ
humido demerſi: ſumatur præterea
r h æ qualis ei, quæ
uſque ad axẽ: o h
autem dupla ipſi-
us h m; &
alia fiãt,
ſicuti ſuperius di-
ctum eſt. Itaque
cum portio ad hu
midum in grauita
te non maiorem
proportionem ha
bere ponatur, quã
exceſſus, quo quadratum n o excedit quadratum m o, ad
ipſum n o quadratum: &
quam proportionem in grauita
te portio habet ad humidum æqualis molis, eandem ha-
beat magnitudo portionis demerſa ad totam portio-
nem, quod demonſtratum eſt in prima propoſitione:
magnitudo demerſa non maiorem proportionem ha-
portio. quare non maiorem proportionem habet tota
no ad quadratum m o. habet autem tota portio ad eam,
quadratum igitur n o ad
quadratum p f non maiorem proportionem habet, quàm
ad quadratum m o. ex quo eſſicitur, ut p f non ſit minor
neque p b ipſa o h.
quæ ergo ab h ducitur ad
b.
co-
eatin t. &
quoniam in rectanguli coniſectione p f eſt æqui
diſtans diametro n o; h t autem ad diametrum perpẽ-
dicularis: &
r h æqualis ei, quæ uſque ad axem:
conſtat r t
productam ſacere angulos rectos cum ipſa k p ω. quare
& cum is.
ergo rt perpendicularis eſt ad ſuperſiciem hu
midi. et ſi per b g puncta ducantur æquidiſtantes ipſirt,
ad ſuperſiciem humidi perpendicular es erunt. portio igi
tur, qnæ eſt extra humidum, deorſum in humidum feretur
ſecundum perpendicularem per b ductam; quæ uero in-
tra humidum ſecundum perpendicularem per g ſurſum
feretur: &
non manebit ſolida portio a p o l, ſedintra hu
midum mouebitur, donecutique ipſa n o ſecundum per-
pendicularem ſiat.
_Quare non maiorem proportionem habet tota portio_
_quadratum m o]_ cum enim magnitudo portionis in bumidum
demerſa ad totam portionem non maiorem proportionem babeat,
quàm exceſſus, quo quadratum n o excedit quadratum m o, ad ip-
ſum no quadratum: conuertendo per uigeſimáſextam quinti ele-
mentorum ex traditione Campani, tota portio ad magnitudinem de
merſam non minorem proportionem babebit, quàm quadratum n o
ad exceſſum, quo ipſum quadratum no excedit quadratum m o. In
telligatur portio, quæ extra bumidum, magnitudo prima: quæ in bu
mido demerſa est, ſecunda: tertia autem magnitudo ſit quadratum
mo: &
exceſſus, quo quadratum n o excedit quadratum m o ſit
quarta. ex his igitur magnitudinibus, primæ &
ſecundæ ad ſecun-
quartæ ad quartam;
est enim quadratum m o unà cum exceſſu, quo quadratum n o exce
dit quadratum m o æquale ipſi n o quadrato. quare per conuerſio
nem rationis ex 30 eiuſdem, primæ & ſecundæ ad primam non ma-
ior proportio erit, quàm tertiæ & quartæ ad tertiam:
&
idcirco to-
ta portio ad portionem eam, quæ est extra bumidum non maiorem
proportionem babebit, quàm quadratum n o ad quadratum mo.
quod demonstrandum proponebatur.
Habet autem tota portio ad eam, quæ extra humidum
tum p f.] _Ex uigeſimaſexta libri de conoidibus, &
ſpbæroi-_
_dibus._
Ex quo eſſicitur, ut p ſ non ſit minor ipſa o m;
neque
] _Sequitur illud ex decima &
decimaquarta quinti,_
_& ex uigeſimaſecunda ſexti elementorum, ut ſuperius dictum eſt._
Quæ ergo ab h ducitur ad rectos angulos ipſi n o coi-
b.
] _Cur boc ita contingat, nos proxi-_
_me explicauimus._
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior humido axem habuerit maiorem quidem
quàm ſeſquialterum eius, quæ uſque ad axem,
minorem nero, quàm ut ad eam, quæ uſque ad
axem proportionem habeat, quam quindecim
ad quatuor; in humidum demiſſa adeo, ut baſis
ipſius contingat humidum, nunquam conſiſtet
inclinata ita, ut baſis in uno puncto humidum
contingat.
SIT portio, qualis dicta eſt, &
in humidum demittatur,
ſicuti diximus, adeo ut baſis eius in uno puncto contingat
humidum. demonſtrandum eſtnon manere ipſam portio-
nem, ſed reuoluiita, ut baſis nullo modo humidi ſuperſicie
Secta enim ipſa per axem, plano ad ſuper ſiciem
humidi recto, ſit ſectio ſuperſiciei portionis a p o l re-
ctãguli coni ſe
ſuperſi-
ciei humidi ſe-
ctio ſit a s: axis
autem portio-
nis, ac ſectio-
nis diameter n
o: &
ſccetur in
f quidẽ ita, ut
o f ſit dupla ip
ſius ſn; in ω ue
ro, ut n o ad
f ω eandem ha
beat proportionem, quam quindecim ad quatuor: &
ipſi
n o ad rectos angulos ducatur ω k. Itaque quoniam n o
uſque ad axem; ſit ei, quæ uſque ad axem æqualis f b:
&
du
catur p c quidem ipſi a s æquidiſtans, cõtingensq; ſectio-
nem a p o l in p; pi uero æquidiſtans ipſi n o:
&
primum
ſecet pi ipſam κ ω in h. Quoniã ergo in portione a p o l,
rectanguli coni ſectione, κ ω
quidem æ quidiſtans eſtipſi a l; p i uero diametro æquidi-
ſtat: ſecaturq;
ab ipſa κ ω in h:
&
a s æquidiſtat contingen-
ti in p: neceſſarium eſtipſam p i ad p h uel ean dem pro-
portionem habere, quam habet n ω ad ω o, uel maiorem: hocenim iam demonſtratum eſt.
At uero n ω ſeſquialtera
eſt ipſius ω o. &
pi igitur uel ſeſquialtera eſt ipſius h p;
uel maior, quàm ſeſquialtera. Quare ph ipſius h i aut du
Sit autem p t dupla t i.
erit
centrum grauitatis eius, quod eſt in humido, punctum t. Itaque iuncta t f producatur;
ſitq;
eius, quod extra humi
dum grauitatis centrum g: &
à puncto b ad rectos angu-
los ipſi n o ducatur b r. Quòd cum p i quidem ſit æqui-
diſtans diametro n o: br autem ad diametrum perpendi
cularis. &
f b æqualis ei, quæ uſque ad axem:
perſpicuum
eſt f r productam æquales facere angulos cum ea, quæ ſe-
ctionem a p o l in puncto p contingit. quare &
cum a s:
& cum ſuperficie humidi.
lineæ autem ductæ per tg æqui-
diſtantes ipſi f r, erunt &
pendiculares: &
ſolidi
a p o l magnitudo, quæ ẽ
intra humidum ſurſum fe
retur ſecundum perpen-
dicularem per t ductam; quæ uero extra humidum
ſecundum eam, quæ per g
deorſum feretur. reuolue
&
baſis ipſius nullo modo
humidi ſuperficiem con-
tinget. At ſi pi lineam k ω
non ſecet, ut in ſecunda
figura; manifeſtum eſt punctum t, quod eſt centrum gra-
uitatis demerſæ portionis, cadere inter p & i:
&
reliqua
ſimiliter demonſtrabuntur.
Demonſtrandum eſt non manere ipſam portionem, ſed
tingat.] _Hæcnos addidimus tanquam ab interprete omiſſa_.
Itaque quoniam no ad f ω maiorem habetproportio-
] _Habet enim diame-_
_ter portioms n o ad f ω proportionem eandem, quam quindeeim ad_
_quatuor; ad eam uero, quæ uſque ad axem minorem proportionem_
_habere ponitur, quàm quindecim ad quatuor. quare n o ad f ω ma_
_iorem habebit proportionem, quàm ad eam, quæ uſque ad axem: &_
_propterea quæ uſque ad axem ipſa f ω maior erit_.
Quoniam ergo in portione a p o l, quæ continetur re-
cta linea, & rectanguli coni ſectione, _k_ ω quidem æ quidi-
ſtans eſt ipſi a l; p i uero diametro æquidiſtat;
ſecaturq;
ab ipſa k ω in h:
&
a c æquidiſtat contingenti in p neceſ-
ſarium eſt ipſam p i ad p h uel eandem proportionem ha
bere, quam habet n ω ad ω o, uel maiorem. hoc enim iam
demonſtratum eſt] _Vbi hoc demonſtratum ſit uel ab ipſo Ar-_
_chimede, uel ab alio, numdum apparet, quocircanos demonstra-_
_tionem afferemus, poſteaquam non nulla, quæ ad eam pertinent ex-_
_plicauerimus_.
Sint lineæ a b, a c angulum b a c continentes:
&
à
puncto d, quod in linea a c ſumptum ſit, ducantur d e,
d f utcunque ad ipſam a b. Sumptis uero in eadem li.
nea quotlibet punctis g l, ducantur g h, l m ipſi d e
æquidistantes; &
g k, l n æquidiſtantes f d.
deinde à
punctis d, g uſque ad lineam m l ducantur, d o p qui
dem ſecans g h in o; &
g q, quæ æquidistent ipſi b a.
Dico lineas, quæ inter æquidiſtantes ipſi f d ad eas, quæ
inter æquidiſtantes d e interiiciuntur, uidelicet k n ad g q,
uel ad o p; f k ad d o;
&
f n ad d p eandem inter ſe ſe
proportionem habere: nempe eam, quã habet a f ad a e.
itémq;
ſimilia efd, h k g, mnl:
erit ut af ad fd, ita ak ad kg;
ut autem fd
quare ex æquali ut af
ad fe, ita ak ad kh: &
per conuerſionem ra-
tionis ut af ad ae, ita ak ad ah. eodem
modo oſtendetur, ut af ad a e, ita an ad am. cum igitur an ad am ſit, ut a k ad a h;
erit
uel o p, ut a n ad a m; hoc estut a f ad a e.
rurſus a k ad a h est, ut a f ad a e.
er-
go reliqua f k ad e h reliquam, uidelicet
ad do, ut a f ad a e. Similiter demonſtrabi-
mus ita eſſe fn ad d p. quod quidem demonſtra
re oportebat.
Sint in eadem linea a b puncta
eandem proportionem habeat, quam
a f ad ae: &
per r ducatur rtipſi
e d æquidiſtans; per s uero ducatur
s t æquidiſtans fd, ita ut cum r t in
t puncto conueniat. Dico punctum t
cadere in lineam a c.
Si enim fieri potest, cadat citra:
&
produca
tur rt uſque ad ipſam a c in u. deinde per u
ducatur u x ipſi f d æquidiſtans. Itaque ex
ijs, quæ proxime demonstrauimus a x ad ar
Sed &
eandem habet
a s ad a r. quare a s ipſi a x eſt æqualis, pars toti, quod fieri non
Idem abſurdum ſequetur, ſi ponamus punctum t cadere ul-
tra lineam a c. neceſſarium igitur est, ut in ipſam a c cadat.
quod
demonſtrandum propoſuimus.
Sit parabole, cuius diameter a b:
atque eam cŏtingen
tes rectæ lineæ a c, b d; a c quidem in puncto c, b d ue
ro in b: &
per c ductis duabus lineis;
quarum alter a c e
diametro æquidiſtet, alter a c f æquidiſtet ipſi b d: ſuma
tur quod uis punctum g in diametro: fiatque ut f b, ad
b g, ita b g ad b h: &
per g h ducantur g k l, h e m,
æquidiſtantes b d: per m uero ducatur m n o ipſi a c
æquidistans, quæ diametrum ſecet in o: &
per n ducta
n p uſque ad diametrum, ipſi b d æquidistet. Dico h o
ipſius g b duplam eſſe.
V_EL_ igitur linea m n o ſccat diametrum in g, uel in alijs pun-
ctis: &
ſi quidem ſecat in g, unum at que idem punctum duabus li-
teris go notabitur. Itaque quoniam f c, p n, h e m ſibiipſis æqui
distant: &
ipſi a c æquidiſtat m n o:
fient triangula a f c, o p n,
o h m inter ſe ſimilia. quare erit o h ad h m, ut a f ad fc:
&
per-
est autem quadratum h m ad
quadratum g l, ut linea h b ad lineam b g, ex uigeſima primi libri
conicorum: &
quadratum g l ad quadratum fc, ut linea g b ad
ipſam b f: ſuntq;
h b, b g, b f lineæ deinceps proportionales.
er-
quadrata h m, g l, f c, &
ipſorum latera proportionalia
erunt. atque idcirco ut quadratum h m ad quadratum g l, ita li-
at uero
ut h m ad f c, ita
o h ad a f: &
ut
quadratum h m
ad quadratú g l,
ita linea h b ad
b g; hoc est b g
ad b f. ex quibus
ſequitur o h ad
a f ita eſſe, ut b g
ad b f: &
permu
tando oh ad b g,
ut a f ad f b. ſed
eſt a f dupla ip-
ſius fb: ſunt eni
a b, b f æquales
ex 35 primi libri
conicorum. ergo
& h o ipſius g b
eſt dupla. quod demonſtrare oportebat.
Iiſdem manentibus, &
à puncto m ducta m q uſque
ad diametrum, quæ ſectionem in puncto m conting at; Dico h q ad q o eandem proportionem habere, quam
habet g h ad c n.
F_IAT_ enim h r æqualis g f.
&
cumtriangula a f c, o p n ſimi
lia ſint, & p n ſit æqualis f c;
eodem modo demonſtrabimus p o, f a
inter ſe æquales eſſe. quare p o ipſius f b dupla erit.
Sed eſt h o du
pla g b. ergo &
reliqua p h reliquæ f g;
uidelicet ipſius r h eſt du-
ex quo fit ut pr, rh, fg inter ſe ſint æquales;
itémq;
æquales
rg, pf. eſt enim pg utrique r p, gf communis.
Quoniam igitur
hb ad bg est, ut
per c
uerſionem ratio-
mis erit b h ad
h g, ut b g ad gf. eſt autem q h ad
h b, ut h o ad gb.
nam ex 35 primi
libri conicorum,
cum linea qm có
tingat ſectionem
in punctom; erút
h b, bq æquales;
& gh ipſius h b
dupla. ergo ex æ-
quali q h ad hg,
ut ho ad g f; hoc
eſt ad hr: &
per
mutando q h ad
h o, ut g h ad h r.
rurſus per conuerſionem rationis h q ad qo, ut h g ad g r; hoc eſt
p f: &
propterea ad ipſam cn, quod demonstrandum fuerat.
His igitur explicatis, iam adid, quod propoſitum fue
rat, accedamus. Itaque dico primum nc ad c k eandem
proportionem babere, quam h g ad g b.
Quoniam enim h q ad qo eſt, ut h g ad c n, hoc eſt ad a o ipſi
cn æqualem; erit reliqua gq ad reliquam q a, ut h q ad q o:
&
ob eam cauſſam lineæ a c g l productæ ex ijs, quæ ſupra demonſtra
uimus in linea q m conueniunt. Rurſus gq ad qa eſt, ut h q ad
uidelicet ut h g ad f p:
quod proxime demonſtr atum eſt.
At
b g:
atque ipſi q a æqualis eſt h f.
Sienim ab æqualibus h b,
bq, æqualia fb,
manentia æqua-
lia erunt. ergo
dempta h g ex
duabus lineis h
b, h g, relinqui-
tur dupla ipſius
b g; hoc eſt o h:
&
dempta p f ex
f h, reliqua est
b p. quare o h
ad q a. Sed ut
g q ad q a, ita
h q ad q o; hoc
eſt h g ad n c: &
ut o h ad h p,
eſt
cnim o h dupla
g b, & h p item
dupla gf; hoc eſt
c k. eandem igitur proportionem habet h g ad n c, qnam g b ad
c k: &
permutando n c ad c k eandem habet, quam b g ad g b.
Sumatur deinde aliud quod uis punctum in ſectum in ſectione,
quod ſit s: &
per s duæ lineæ ducantur:
st quidem
æquidistans ipſi db, diametrumque in puncto t ſecans; s u uero æquidistans ac, &
ſecans c e in u.
Dico u c
ad ck maiorem proportionem habere, quamtg ad gb.
Producatur enim u s ad lineam qm in x:
&
à puncto x duca
tur ad diametrum x y ipſi bd æquidistans. erit gt minor quàm
gy, quoniam u s minor eſt quàm ux: &
ex primo lemmate yg
ad uc erit, ut h g ad n c; uidelicet ut g b ad c k, quod proxime de
monstrauimus: &
permutando yg ad gb, ut uc ad c k.
Sed t g
cum ſit ipſa y g minor, habet ad g b proportionem minorem, quàm
y g ad eandem. ergo u c ad c K maiorem proportioné habet, quàm
t g ad g b. quod demonstraſſe oportuit.
Itaque poſitione data g K
unum duntaxat erit in ſectione punctum, uidelicet m, à quo ductis
duabus lineis m e h, mno, habeat n c ad c K proportionem ean-
dem, quam h g ad g b. nam ſi ab alijs omnibus ducantur, ſemper
ea, quæ inter a c, & lineam ipſi æquidistantem interijcitur, ad c K
proportionem maiorem habebit, quàm quæ inter g K atque ei æqui
diſtantem, ad ipſam g b. Conſtat igitur id, quod ab Archimede di-
ctum est; nempe lineam pi ad p h uel eandem, quam n ω ad ω o,
uel maiorem habere proportionem.
Quare p h ipſius h i aut dupla eſt, aut minor quàm du
] _Si quidé_
_pla, ſit pt dupl. 2_
_ti. erit centrum_
_grauitatis eius,_
_quod in humido_
_est, punctumt. ſi_
_uero p h ſit ip-_
_ſius h i dupla,_
_erit h grauitatis_
_centrum: ductâq;_
_h f, &
producta_
_ad centrum eius,_
_quod est extra humidum, uidelicct ad g, alia ſimiliter demonstra-_
_buntur. atque idem intelligendum est in propoſitione, quæ ſe_-
_quitur._
Reuoluetur ergo ſolidum a p o l, &
baſis ipſius nullo
] _In translatione le-_
_gebatur ut baſis ipſius non tangat ſuperficiem humidi ſecundum_
_unum ſignum. nos autem ita uertere maluimus, &
hic &
in ijs,_
_quæ ſequuntur, quoniam græci οὐδὲ \~εις, οὐδὲ ἓν, pro οὐ δεὶς, &_
_οὐδε ν frequenter utútur. ut οὐδ ε ςιν οὐ δεὶς, nullus eſt:
οὐ \’δ ὑφ
_ànullo & alia eiuſmodi._
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior humido axem habuerit maiorem quidem
quàm ſeſquialtérum eius, quæ uſque ad axem; minorem uero, quàm ut ad eam, quæ uſque ad
axem proportionem habeat, quam quindecim
ad quatuor: in humidum demiſſa, adeo ut baſis
ipſius tota ſitin humido; nunquam conſiſtet ita,
ut baſis contingat humidi ſuperficiem: ſed ut to-
ta in humido ſit, & nullo modo eius ſuperficiem
contingat.
SIT portio qualis dicta eſt:
&
demittatur in humidũ,
ut diximus, adeo ut baſis ipſius in uno puncto contingat
humidi ſuperficiem. Demonſtrandum eſt non manere ip-
ſam: ſed reuolui ita ut baſis fuperficiem humidi nullo mo-
do contingat. Secta enim ipſa plano per axem, recto ad ſu
perficiem humidi, ſectio ſit a p o l rectanguli coni ſectio: ſuperficiei humidi ſectio ſit s 1:
axis portionis, &
ſectio-
nis diameter p f: ſeceturq;
p f in r quidem ita ut r p ſit
dupla ipſius r f; in ω autem ut p f ad r ω proportionem
habeat, quam quindecim ad quatuor: &
ω k ipſi p f ad re-
ctos angulos ducatur erit r ω minor, quàm quæ uſque ad
axem. Itaque accipiatur ei, quæ uſque ad axem æqualis rh:
c o quidẽ
tingẽs ſectio
nẽin o, quæ
ipſi s l æqui-
diſtet; n o au
tem æquidi-
&
pri
mum ipſam
k ω ſecet, at-
quein pũcto
i ſimiliter ut
in ſuperiori-
bus demonſtrabitur no, uel ſeſquialtera ipſius oi, uel
maior, quàm ſeſquialtera. Sit autem o i minor, quam du-
pla ipſius in: ſitq;
o b dupla b n:
&
diſponantur eadem,
quæſupra. Similiter demonſtrabimus, ſi ducatur linea r t,
facere eam angulos rectos cum linea c o, & cum ſuperficie
humidi. quare à punctis b g lineæ ductæipſi r t æquidiſtã
tes, etiã ad humidi ſuperfi-
portio igitur quæ eſt extra
humidũ deorſum feretur
ſecundum eam perpendi-
cularem, quæ per b tran-
ſit; quæ uero intra humi-
dum ſecundum eam, quæ
per g ſurſum ſeretur. ex
quibus conſtat reuolui ſo-
lidum, ita ut baſis ipſius
nullo modo humidi ſuper
ficiem contingat: quo-
niam nuncin uno puncto
contingens deorſum fer-
Quod ſi n o non ſecuerit ipſam ω k,
eadem nihilominus demonſtrabuntur.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
axem habuerit maiorem quidem, quàm ſeſqui-
alterum eius, quæ uſque ad axem; minorem ue-
ro, quàm ut ad eam, quæ uſque ad axem propor-
tionem habeat, quam quindecim ad quatuor: ſi
in grauitate ad humidum habeat proportionem
minorem ea, quam quadratum, quod fit ab exceſ
ſu, quo axis maior eſt, quàm ſeſquialter eius, quæ
uſque ad axem, habet ad quadratum, quod ab
axe: demiſſa in humidum, ita ut baſis ipſius humi
dum non contingat; neque in rectum reſtitue-
tur, neque manebit inclinata, niſi quando axis
cum ſuperficie humidi angulum fecerit æqualẽ
ei, de quo infra dicetur.
SIT portio qualis dicta eſt;
ſitque b d æqualis axi:
&
b k quidem dupla ipſius _K_ d: r _K_ uero æqualis ei, quæ uſ-
que ad axem: &
ſit c b ſeſquialtera b r.
erit &
c d ipſius
_k_ r ſeſquialtera. Quam uero portionem habet portio ad
tum d b: &
ſit f dupla ipſius q.
perſpicuum igitur eſt f q
ad d b proportionem minorem habere ea, quam habet
c b ad b d. eſt enim c b exceſſus, quo axis maior eſt, quàm
ſeſquialter eins, quæ uſque ad axem: quare f q minor eſt
&
idcirco f minor ipſa b r.
ſit ipſi f æqualis r ψ:
ad b d perpendicularis ψ e, quæ posſit dimidiũ
eius, quod lineis _k_ r, ψ b continetur: &
iungatur b c.
De-
monſtrandum eſt portionem in humidum demiſſam, ſicu-
ti dictum eſt, conſiſtere inclinatam ita, ut axis cum ſuperſi-
cie humidi angulum faciat angulo c b ψ æqualem. demit-
tatur enim aliqua portio in humidum, ut baſis ipſius hu-
midi ſuperficiem non contingat: &
ſi fieri poteſt, axis cum
ſuperficie humidi non faciat angulum æqualem angulo
e b ψ; ſed primo maiorem.
ſecta autẽ portione plano per
axem, recto ad ſu-
di, ſit ſectio a p o l
rectanguli coni ſe
ctio: ſuperficiei
humidi ſectio x s: ſitq;
axis portio-
nis, & ſectiõis dia
meter n o: &
du-
catur p y quidem
ipſi x s æquidi-
ſtans, quæ ſectio-
nem a p o l contin
gat in p: p m ue-
ro æquidiſtans ip-
ſi n o: &
p i ad
n o perpendicularis. ſit præterea b r æqualis o ω.
itemq;
ω h perpendicularis ad axem.
Itaque quo-
niam ponitut axis portionis cum ſuperficie humidi facere
angulum maiorem angulo b: erit angulus p y i angulo b
maiorem ergo proportionem habet quadratum
p i ad quadratum y i, quam quadratum e ψ ad ψ b qua-
Sed quam proportionem habet quadratum p i
ad quadratum i y, eandem linea k r habet ad lineam i y:
quam proportionem habet quadratum e ψ ad quadra-
quare maiorem babet proportionem _k_ r ad i y, quàm di-
&
idcirco i y minor eſt, quàm dupla
eſt autem ipſius o i dupla.
ergo o i minor eſt, quàm
ψ b: &
i ω maior, quàm ψ r.
ſed ψ r eſt æqualis ipſi f.
maior
&
quoniam portio ad humidum in
grauitate eam ponitur habere proportionem, quam qua-
dratum f q ad quadratum b d: quam uero proportionem
habet portio ad humidum in grauitate, eam habet pars ip
ſius demerſa ad totam portionem: &
quam pars ipſius de-
merſa habet ad totam, eandem habet quadratum p m ad
quadratnm o n: ſequitur quadratum p m ad quadratum
o n eam proportionem habere, quam quadratum f q ad
b d quadratum.
demõſtrata eſt au
quàm f. cõſtat igi
tur p m minorem
eſſe, quàm ſeſqui-
alterã ipſius p h: &
idcirco p h ma
iorem, quàm du-
plam h m. Sit p z
ipſius z m dupla.
erit t quidem cẽ-
trũ grauitatis to-
tius ſolidi: centrũ
eius partis, quæ intra humidum, punctumz: reliquæ uero
partis centrum erit in linea z t producta uſque ad g. Eodẽ
ficiem humidi. &
portio demerſa in humido ſeretur extra
midi ſuperficiem ducta fuerit: quæ autem eſt extra humi-
dum ſecundum eam, quæ per gintra humidum feretur. nõ
ergo manebit portio ſic inclinata, ut ponitur: ſed neque re
ſtituecur recta: quoniam perpendicularium per z g ducta
rum, quæ quidem per z ducitur ad eas partes cadit, in qui
bus eſt l; &
quæ per g ad eas, in quibus eſt a.
quare ſequi-
tur centrum z ſurſum ferri: &
g deorſum.
ergo partes to
tius ſolidi, quæ ſunt ad a deorſum, quæ uero ad l ſurſum
ferentur. Rurſus alia eadem ponantur:
axis autem
portionis cum ſuperficie humidi angulum faciat minorẽ
eo, qui eſt ad b. minorem igitur proportionem habet qua
ψ b quadratum: quare k r ad i y minorem proportionẽ
habet, quàm dimidium k r ad ψ b: &
propterea i y maior
eſt, quam dupla ψ b. eſt autem ipſius o i dupla.
ergo o i
ipſa ψ b maior e-
ſed tota o ω eſt
æqualis ipſi r b: &
reliqua ω i mi-
nor quàm ψ r. qua
re & p h minor e-
rit, quàm f. Quòd
cum m p ipſi f q
ſit æqualis, cõſtat
p m maiorẽ eſſe,
quàm ſeſquialterã
ipſius p h: &
p h
minorem, quam
duplam h m. Sit
p z ipſius z m du
pla. Rurſus to-
tius quidem ſolidi centrum grauitatis erit pũctum t; eius
uero partis, quæ intra humidum z: &
iuncta z t inuenia-
tracta, quod ſit g. Itaque per z g ductis perpendiculari-
ſequi-
tur portionem ipſam non manere, fed reuolui adeo, ut a-
xis cum ſuperficie
faciat maiorẽ eo,
quem nunc facit.
Et quoniam cũ
antea poſuiſſem´
facere angulũ ma
iorem angulo b,
portio neque tũc
cõſiſtebat; perſpi
cuũ eſt ipſam con
ſiſtere, ſi angulum
fecerit angulo b
æqualem. Sic e-
lis ψ b: itemq;
ω i
æqualis ψ r: &
p h ipſi f.
erit igitur m p ſeſquialtera p h;
&
p h dupla h m.
quare cum h ſit centrum grauitatis eius
partis, quæ eſt in humido, per eandem perpendicularem,
& ipſa ſurſum, &
quæ extra eſt feretur deorſum.
mane-
bitigitur portio; quoniam altera pars ab altera non re-
pelletur.
_E T ſit c b ſeſquialtera b r.
erit &
c d ipſius k r ſeſqui-_
] In translatione ita legebatur.
ſit autem &
c b quidem
hemiolia ipſius b r: c d autem ipſius K r.
Sed nos quod postremo
loco legitur, idcirco corrigendum duximus, quoniam illud non po-
nitur ita eſſe, ſed ex ijs, quæ poſita ſunt, neceſſario colligitur. ſi enim
&
quoniam e b ſeſ
quialtera est b r, ſequitur reliquam c d ipſius ψ r, boc est eius, quæ
quare b c erit exceſſus, quo axis
maior est, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem.
_Quare f q minor éſtipſa b c.
]_ Nam cum portio ad bumi-
f q ad quadratum d b: habeatq, minorem proportionem, quàm qua
dratum factum ab exceſſu, quo axis maior eſt, quàm ſeſquialter eius,
quæ uſque ad axem, ad quadratum ab axe; boc eſt minorem, quàm
quadratum c b ad quadratum b d: ponitur enim linea b d æqualis
axi: quadratum f q ad quadratum d b proportionem minorem ha-
bebit, quàm quadratum c b ad idem b d quadratum. ergo quadra-
&
propterea linea f q ipſa b c
minor.
_Etidcirco f minor ipſa b r.
]_ Quoniam enim c b ſeſquial-
f q ipſius f ſeſquialtera:
estq;
f q minor b c;
&
f
_Itaque quoniam ponitur axis portionis cum ſuperficie_
erit angulus_
_p y i angulo b maior.]_ Nam cum linea p y ſuperficiei bumidi
æ quidistet; uidelicet ipſi x s:
angulus p y i æqualis erit angulo, qui
linea x s continetur.
quare &
angulo
b maior erit.
_Maiorem igitur proportionem habet quadratum p i ad_
]_
Deſcribantur ſeorſum triangula p i y, e ψ b. &
cum angulus p y i
maior ſit angulo e b ψ, ad lineam i y, atque ad punctum y in ea da-
tum fiat angulus u y i æqualis angulo e b ψ. est autem angulus ad
i rectus æqualis recto ad ψ. reliquus igitur y u i reliquo b c ψ est
æqualis. quare linea u i ad lineam i y eandem proportionem ha-
Sed linea p i, quæ maior est ipſa u i ad
ergo
&
propterea quadratum p i ad quadratum i y maiorem habebit, quàm
itum ψ b.
_Sed quam proportionem habet qua-_
_nea k r habet ad lineam i y.]_ Est enim ex
undecima primi conicorum quadratum p i æqua
le rectangulo contento linea i o, & ea, iuxta quam poſſunt quæ à
ſectione ad diametrum ducuntur, uidelicet duplaipſius k r. atque
est i y dupla i o, extrigeſimatertia eiuſdem: quare ex decimaſext a
ſexti elementorum, rectangulum, quod fit ex k r, & i y æ quale eſt
rectangulo contento linea i o & ea, iuxta quam poſſunt:
hoc eſt qua
drato p i. Sed ut rectangulnm ex k r, &
i y ad quadratum i y, ita
ergo linea κ r ad i y eandem proportionem
habebit, quam rectangulum ex κ r & i y, hoc eſt quadratum p i ad
quadratum i y.
Et quam proportionem habet quadratũ e ψ ad quadra
]
Nam cum quadratum e ψ poſitum ſit æquale dimidio rectanguli
contenti linea κ r, & ψ b;
hoc est ei, quod dimidia ipſius κ r
& linea ψ b continetur:
&
ut rectangulum ex dimidia κ r, &
ψ b
habebit dimi-
dia κ r ad ψ b proportionem eandem, quam quadratum e ψ ad qua-
dratum ψ b.
_Etidcirco i y minor eſt, quàm dupla ψ b.
]_ Quam enim pro
erit ea maior, quàm i y;
nempe ad quam κ r minorem proportioné
at que erit dupla ψ b.
ergo i y minor eſt, quam dupla ψ b.
_Et i ω maior, quam ψ r.
]_ Cum enim o ω poſita ſit æ qualis b r
ex o ω dematur o i, quæ minor eſt ψ b:
erit
reliqua i ω maior reliqua ψ r.
_Atqueideo f q æqualis eſt ipſi p m.
]_ Ex decimaquarta
_Demonſtrata eſt autem p h maior, quàm f.
]_ Etenim de-
atque est p h æqualis ipſi i ω.
_Eodem modo demonſtrabitur t h perpendicularis ad_
]_ Est enim t ω æqualis κ r, hoc eſt ei, quæ
uſque ad axem. quare ex ijs, quæ ſuperius demonſtrata ſunt, linea
t h ducta erit ad humidi ſuperficiem perpendicularis.
_Minorem igitur proportionem habet quadratum p i_
Hæc & alia, quæ ſequuntur, tum in hac, tum in ſequenti propoſitio-
ne non alio, quàm quo ſupra modo demonstrabimus.
_Itaque per z g ductis perpendicularibus ad humidi ſu-_
ſequitur portionem ip_
_ſam non manere, ſed reuolui adeo, ut axis cum ſuperſicie_
_humidi angulum faciat maiorem eo, quem nunc facit.]_
Nam cum perpendicularis, quæ per g, ducitur ad eas partes cadat,
in quibus eſt l; quæ autem per Z ad eis in quibus a:
neceſſarium eſt
centrum g deorſum ferri, & Z ſurſum.
quare partes ſolidi, quæ
ſunt ad l deorſum; quæ uero ad a ſurſum ferentur, ut axis cum ſu-
perficie humidi maiorem angulum contineat.
Sic enim erit i o æ qualis ψ b, itẽq;
ω i æ qualis ψ r, &
p h
] _Hoc in tertia figura, quam nos addidimus, perſpicue apparet_.
Recta portio conoidis rectanguli, quando
axem habuerit maiorem quidem, quàm ſeſquial-
terum eius, quæ uſque ad axem; minorem uero,
quàm ut ad eam, quæ uſque ad axem proportio-
nem habeat, quam quindecim ad quatuor; &
in
grauitate ad humidum proportionem habeat ma
iorem, quàm exceſſus, quo quadratum, quod fit
ab axe maius eſt quadrato, quod ab exceſſu, quo
axis eſt maior, quàm ſeſquialter eius, quæ uſq; ad
axem, habet ad quadratum, quod ab axe: in hu-
mido, & poſita inclinata, nec conuertetur ita, ut
axis ipſius ſecũdum perpendicularem ſit, nec ma
nebit inclinata, niſi quãdo axis cum ſuperficie hu
midi angulum fecerit æqualem angulo ſimiliter
ut prius, aſſumpto.
SIT portio, qualis dicta eſt:
ponaturq;
d b æ qualis axi
portionis: &
b _k_ quidem ſit dupla ipſius _k_ d;
k r autem
æqualis ei, quæ uſque ad axem: &
c b ſeſquialtera b r.
Quam uero proportionem habet portio ad humidum in
grauitate, eam habeat exceſſus, quo quadratum b d exce-
dit quadratum f q, ad ipſum b d quadratum: &
ſit f ipſius
q dupla. conſtat igitur exceſſum, quo quadratum b d ex-
cedit quadratum
b d, minorem ha-
bere proportio-
nem, quàm exceſ-
ſus, quo quadratũ
b d excedit qua-
dratum f q ad b d
quadratum. eſt e-
nim b c exceſſus
quo axis portiõis
maior eſt, quã ſeſ-
quialter eius, quæ
uſque ad axem. quare quadr atum
quadratum f q, quàm b c quadratum: &
idcirco linea f q
minor eſt, quàm b c itemq; f minor, quàm br.
Sit ipſi ſ
&
ducatur ψ r perpendicularis ad b d, quæ
posſit dimidium eius, quod ipſis k r, ψ b, continetur. Dico
portionem in humidum demiſſam adeo, ut baſis ipſius to-
ta ſit in humido, ita conſiſtere, ut axis cum ſuperficie humi
di faciat angulum angulo b æqualem. Demittatur enim
portio in humidum, ſicuti dictum eſt; &
axis cum humidi
ſuperficie non faciat angulum æqualẽ ipſi b, ſed primo ma
iorem: ſecta autem ipſa plano per axem, recto ad ſuperfi-
ciem humidi, ſectio portionis ſit a p o l rectanguli coni ſe-
ctio; ſuperficiei humidi ſectio c i;
ſitq, axis portionis, &
ſe
ctionis diameter n o, quæ fecetur in punctis ω t, ut prius. &
ducantur y p quidem ipſi ci æquidiſtans, contingensq; ſe
ctionem in p; m p uero æquidiſtans n o:
&
p s ad axem
perpendicularis. Quoniam igitur axis portionis cum ſu-
perficie humidi facit angulum maiorem angulo b; erit &
angulus s y p angulo b maior. quare quadratum p s ad
quadratum s y maiorem habet proportionem, quàm qua
dratum ψ e ad quadratum ψ b: &
propterea _K_ r ad s y ma
ergo s y
minor eſt, quam dupla ψ b; &
s o minor, quam ψ b.
quare
&
p h maior, quàm f.
Itaque quoniã
portio ad humidum in grauitate eam habet proportionẽ,
ad quadratum b d: quam uero proportionem habet por-
tio ad humidum in grauitate, eandem pars ipſius demerſa
habet ad totam portionẽ: ſequitur partẽ demerſam ad to
tam portionem, eam proportionem habere, quã exceſſus,
quo quadratum b d excedit quadratũ f q, ad quadratū b d. habebit ergo tota portio ad eam, quæ eſt extra humidum
tum f q. Sed quam proportionem habet tota portio ad eã,
quæ eſt extra humidum, eandem habet quadratum n o ad
quadratum p m. ergo p m ipſi f q æ qualis etit.
demonſtra
ta eſt autem p h maior, quàm f: quare m h minor erit,
&
p h maior, quàm dupla h m.
Sit igitur
p z dupla ip-
&
iun
cta z t produca
tur ad g. erit
totius quidem
portionis gra-
uitatis centrũ
t: eius, quæ eſt
extra humidũ
z: reliquæ uero
partis, quæ in
humido, cen-
trum erit in li-
nea z t produ-
cta; quod ſit g.
demõſtrabitur
ſimiliter, ut
prius, th per-
pẽdicularis ad
ſuperficiem hu
midi: &
quæ
per z, g ducun-
tur æquidiſtan-
tes ipſi th, ad
eandem perpẽ
diculares. ergo
portio, quæ eſt
extra humidũ
deorſum fere-
tur ſecundum
eam quæ per z
tranſit; quæ ue
to intra ſecun-
non igitur manebit
portio ſic inclinata, nec conuertetur ita, ut axis ad ſuperfi-
ciem humidi ſit perpendicularis: quoniam quæ ex parte 1
quæ uero ex parte a ſurſum ferentur, ut ex iam de
monſtratis apparere poteſt. Quòd ſi axis cum ſuperficie
humidi fecerit angulum minorem angulo b, ſimiliter de-
utique axis cum ſuperficie humidi faciat angulum angulo
b æqualem.
QVARE quadratum b d magis excedit quadratum
&
idcirco linea f q minor eſt,
quàm b c: itemq;
f minor quam b r.
] _Quoniani exceſſus, quo_
_quadratum b d excedit quadratum b c ad quadratum b d minorem_
_proportionem habet, quàm exceſſus, quo quadratum b d excedit qua_
_dratum f q, ad idem quadratum: erit ex octaua quinti exceſſus, quo_
_quadratum b d excedit quadratum b c, minor quàm exceſſus, quo ex_
_cedit quadratum f q. ergo quadratum f q minus est quadrato b c:
&_
_propterea linea f q minor linea b c. Sed f q ad f eandem proportionẽ_
_habet, quam b c ad b r; utraque enim utriuſque ſeſquialtera est.
cum_
f ipſa b r minor erit_.
Et propterea k r ad ſ y maiorem habet, quàm dimidium
] _Est enim k r ad ſ y, ut quadratum p s ad qua_
_dratum ſ y&
dimidium lineæ K r ad lineam ψ b, ut quadratum e ψ_
_ad quadratum ψ b_.
Et s o minor quàm ψ b] _Est enim ſ y dupla ipſius ſ o._
Et p h maior, quàm f.
] _Nam p h eſt æqualis ſ ω, &
r ψ_
Habebit ergo tota portio ad eam, quæ eſt extra humi-
dratum f q.] _Cum pars demerſa ad totam portionem ita ſit, ut_
_exceſſus, quo quadratum b d excedit quadratum f q ad b d quadratu
_tum b d ad exceſſum, quo quadratum f q excedit. quare per conuer-_
_ſionem rationis tota portio ad eam, quæ extra humidum est ut_
_qu.idratum b d ad quadratum f q:
nam quadratum b d tanto maius_
_est exceſſu, quo excedit quadratum f q, quantum est ipſum f q qua-_
_dratum_.
_Quoniam quæ ex parte 1 deorſum, quæ uero ex parte a_
]_ Hæc nos ita correximus, nam in translatione
mendoſe, ut opinor, legebatur, quoniam quæ ex parte l ad ſuperiora
ferentur, perpendicularis enim quæ tranſit per z ad partes l, & quæ
per g ad partes a cadit. quare centrum z unà cum p.
trtibus ijs, quæ
ſunt ad l deorſum feretur, centrum uero g unà cum partibus quæ ad
a ſurſum.
Similiter demonſtrabitur non manere portionem, ſed
angulum angulo b æqualem.] _Illud uero tum ex ijs, quæ in an_
_tecedenti dicta ſunt, tum ex figuris, quas appoſuimus, facile demon-_
_strari potest._
Recta portio conoidis rectanguli, quando
leuior humido axem habuerit maiorem, quàm
ut ad eam, quæ uſque ad axem proportionem ha-
beat, quam quindecim ad quatuor: in humidum
demiſſa, ita ut baſis ipſius non contingat humi-
dum: non nunquam quidem recta conſiſtet;
non
&
interdum adeo inclinata,
ciem humidi: idq;
in duabus diſpoſitionibus:
interdum uero ita, ut ſuperficiem
ſecundum pro-
te. Eorum quæ dicta ſunt, ſingula inferius de-
monſtrabuntur.
SIT portio qualis dicta eſt:
&
ſecta ipſa plano per axẽ.
recto ad ſuperficiem humidi, ſectio ſit a p o l rectanguli co
ni ſeccio: axis portionis, &
ſectionis diameter b d:
ſece-
turq; b d in puncto quidem _k_ ita, ut b k dupla ſitipſius
_k_ d: in c uero ita, ut b d ad
K C proportionẽ habeat ean-
dem, quam quindecim ad quatuor. conſtat igitur k c ma-
Sit ei quæ uſque ad
&
ipſius k r ſeſquialtera d s.
Eſt autem
s b ſeſquial-
Itaque iũgatur
a b, & per c du
catur c e per-
pẽdicularis ad
b d, quæ lineã
a b in puncto
e ſecet: &
per
e ducatur e z
æquidiſtãs b d.
Rurſus ipſa a b
bifariã in t di-
uiſa, ducatur t
h eidem b d æ-
quidiſtans: &
intelligantur rectanguli coni ſectiones deſcriptæ a e i qui-
a t d uero circa diametrum t h;
tranſibit igitur a e i coni
&
quæ ab r ducta eſt perpendicularis ad b d,
ipſam a e i ſecabit. ſecet in punctis y g:
&
per y g ducan
tur ipſi b d æquidiſtantes p y q, o g n, quæ ſecent a t d in
f x. ducantur poſtremo, &
p χ, o φ contingentes ſectionẽ
a p o l in punctis p o. cũ
rectangulorum cono-
rum ſectionibus; rectæq, ſimiles, &
inæquales, quæ contin
gunt ſe ſe ſuper unamquanque baſim: à puncto autem n
ſurſum ducta ſit n x g o; &
à q ipſa q fy p:
habebit o g ad
g x proportionem compoſitam ex proportione, quam ha
bet i l ad l a; &
ex proportione, quam a d habet ad d i.
Sed i l ad l a
quam duo ad
quinque. ete-
nim c b ad b d
quĩdecim; hoc
eſt ut duo ad
quinque: &
ut
e b ad b a: &
d z ad d a. ha-
rum autẽ d z,
ipſæ l i, l a: &
portionem habet, quam quinque ad unum. ſed proportio
compoſita ex proportione, quam habet duo ad quinque; &
ex proportione, quam quinque ad unum;
eſt eadem,
quam habent duo ad unum: duo autem ad unum duplam
proportionem habent. dupla eſt igitur g b ipſius g x:
&
Itaque quo
niam d s ſeſquialtera eſt ipſius _k_ r; erit b s exceſſus, quo
axis eſt maior, quàm ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem. Si igitur portio ad humidũ in grauitate eã habet propor-
tionem, quam quadratum, quod fit à linea b ſ ad quadra-
tum, quod à b d, aut maiorem; in hnmidum demiſſa, ita
ut baſis ipſius non contingat humidum, recta conſiſtet. de
monſtratum eſt enim ſuperius, portionem, cuius axis eſt
midum in grauitate non minorem proportionem habeat,
quàm quadratum, quod fit ab exceſſu, quo axis maior eſt,
quam ſeſquialter eius, quæ uſque ad axem, ad quadratum,
quod ab axe; demiſſam in humidum, ita ut dictum eſt, re-
ctam conſiſtere.
_
Qvae_ hac decima propoſitione continentur, Archimedes in
quinque partes diſſecuit, & ſingulas ſeorſum demonſtrauit.
Nonnunquam quidem recta conſiſtat.
] _Hæc eſt prima_
Etinterdum adeo inclinata, ut baſis ipſius in uno pun-
idq;
in duabus diſpoſi-
tionibus.] _Demonſtratum eſt illud in tertia parte._
Interdum ita, ut baſis in humidum magis demergatur.
]
Interdum uero ita, ut ſuperficiem humidi nullo modo
] _Hoc duobus item modis fit, quorum unus in ſecunda,_
_alter in quarta parte explicatur._
Secundum proportionem, quam habet ad humidum in
] _In translatione ita legebatur, quam autem proportio_
_nem habet ad humidum in grauitate._
_Conſtat igitur k c maiorem eſſe, quàm quæ uſque ad_
]_ Nam cum b d ad k c eandem habeat proportionem, quam
&
ad eam, quæ uſque ad axem maiorem pro
portionem habeat: erit quæ uſ que ad axem minor ipſa k c.
Sit ei, quæ uſque ad axem æ qualis k r.
] _Hac nos addidimus,_
_Eſt autem &
s b ſeſquialtera ipſius b r.
]_ Ponitur enim
itémq;
d ſ ſeſquialtera k r.
quare ut to
ta d b ad totam b K, ita pars d s ad partem K r. ergo &
reliqua
_Quæ ſimiles ſint portioni a b l.
]_ Similes portiones coni ſe-
i diffiniuit in ſexto libro conicorum, ut ſcri-
bit Eutocius, εν οἱς α χ θεισω
τὸ πλῆθος, ὰι παρὰλληλοι, καὶ αἱ βάσ{ει}ς πρ
ἀπὸ τῶν διαμέ τρων ταῖς νορυφαῖς ἐν τοῖς αὐτοῖ ς λὄγοιςεἰσἰ, καὶἁι
ἀποτεμνόμεναι πρhoc est.
in quibus ſi du-
cantnr lineæ æquidistantes baſi numero æquales: æquidiſtantes atq;
baſes ad partes diametrorum, quæ ab ipſis ad uerticem abſcindũtur,
eandem proportionem babent: it émq;
partes abſciſſæ ad abſciſſas.
ducuntur autem lineæ baſi æquidistantes: ut opinor, deſcripta in ſin
gulis plane rectilinea figura, quæ lateribus numero æqualibus conti
Itaq;
portiones ſimiles à ſimilibus coni ſectionibus abſcindũ
tur: &
earum diametri ſiue ad baſes rectæ, ſiue cum baſibus æ qua-
les angulos facientes, ad ipſas baſes eandem habent proportionem.
_Tranſibit igitur a e i coni ſectio per k.
]_ Sienim fieri po
Quoniam igitur in rectáguli coni ſectione a e i, cuius diameter e z,
ducta eſt a e, & producta:
&
d b diametro æquidistans utraſque
a e, a i ſecat; a e quidem in b, ai uero in d:
habebit d b ad b u
proportionem eandem, quam a z, ad z d, ex quarta propoſitione li
bri. Archimedis de quadratura parabol
Sed a z ſeſquialtera eſt
ipſius z d: eſt enim ut tria ad duo, quod mox demonſtrabimus.
ergo
d b ſeſquialtera eſt ipſius b u. eſt auté d b &
ipſius b k ſeſquialte
ra. quare lineæ b u, b k inter ſe æ quales ſunt;
quod fieri non po-
restanguli igitur com ſectio a e i per punctum k tranſibit.
quod demonstrare uolebamus.
Cum ergo tres portiones ſint a p o i, a ei, atd, con-
rectãgulorum conorum ſectionibus;
rectæq;
, ſimiles, &
inæquales, quæ contingunt ſe ſe ſuper
unam quamque baſim.] _Poſt ea uerba, ſuper unamquanque_
_baſim, in trans latione aliqua deſiderari uidentur. Ad borum autem_
_demonſtrationem non nulla præmittere oportet, quæ etiam ad alia,_
_quæ ſequuntur, neceſſaria erunt._
Sit recta linea a b, quam ſecent duæ lineæ inter ſeſe
æquidiſtantes a c, d e, ita ut quam proportionem ba-
bet a b ad b d, eandern haheat a c ad de. Dico li-
neam, quæ c b puncta coniungit, etiam per ipſum e
tr anſire.
SI enim fieri poteſt, non tranſeat pere, ſed nel ſupra, uel infra.
tranſeat primum infra, ut per f.
erunt triangula a b c, d b f inter ſe
ſimilia. quare ut a b ad b d, ita a c ad d f.
ſed ut a b ad bd, ita
ergo d f ipſi d e æqualis erit, uidelicet pars to-
Idem ab-
ſurdum ſe
quetur, ſi
linea c b
ſupra e pú
ctum tran
ſire pona-
tur. quare
c b etiam
per e ne-
ceſſario tranſibit. quod oportebat demonſtrare.
Sint duæ portionis ſimiles, contentæ rectis lineis, &
rectangulorum conorum ſectionibus; a b c quidem ma-
ior, cuius diameter b d; e f c uero minor, cuius diameter
fg: aptenturq;
inter ſeſe, ita ut maior minorem includat
& ſint earum baſes a c, e c in eadem recta linea, ut idẽ
punctum c ſit utriuſque terminus: ſumatur deinde in ſe
ctione a b c quodlibet punctum b: &
iungatur h c.
Di
co lineam h c ad partem ſui ipſius, quæ inter c, & ſe-
ctionem e f c interiicitur, eam proportionẽ habere, quam
habet a c ad c e.
_
Dvcatvr_ b c, quæ tranſibit per f. quoniam enim portiones
ſimiles ſunt, diametri cú baſibus æquales continent angulos. quare
æquidiſtant inter ſe ſe b d, f g: éſtq;
b d ad a c, ut f g ad e c:
&
permu-
f g, ut a c ad
c e: hoc eſt
midiæ d c ad
c g. ergo ex
antecedēti lé
mate ſequi-
tur lineá b c
per punctum
f tranſire. Ducatur præ
terea à puncto h ad diametrum b d linea h K, æquidiſtans baſi
a c: &
iuncta k c, quæ diametrum f g ſecet in l;
per l ducatur
stans. Sit autem ſectionis a b c, linea b n iuxta quam poſſunt, quæ
à ſectione ducuntur: &
ſectionis e f c ſit ipſa f o.
quoniam igi-
tur triangula c d b, c f g ſimilia ſunt, erit ut b c ad c f, ita d c
&
b d ad f g.
rurſus quoniam triangula c k b, c l f etiã
inter ſe ſunt ſimilia, ut b c ad c f, boc eſt ut b d ad f g, ita erit k c
ad c l; &
b K ad f l.
quare K c ad c l, &
b k ad f l ſunt ut d c
ad c g: hoc eſt ut earum duplæ a c ad c e.
ſed ut b d ad f g, ita d c
hoc ẽ a d ad e g:
&
permutãdo ut b d ad a d, ita f g ad e g.
quadratum autem a d æquale eſt rectangulo d b n ex undecima pri
mi conicorum. ergo tres lineæ b d, a d, b n inter ſe ſunt proportio
eadem quoque ratione cum quadratum e g æquale ſit rectan
gulo g f o, tres aliæ lineæ f g, e g, f o, deinceps proportionales
erũt. &
ut b d ad, a d, ita f g ad e g.
quare ut a d ad b n, ita e g
ad f o. ex æquali igitur, ut d b ad b n, ita g f ad f o:
&
permu-
tando ut d b ad g f, ita b n ad f o. ut autem d b ad g f, ita b k
ad f l. ergo b k ad f l, ut b n ad f o:
&
permutando, ut b k ad
bn, ita f l ad f o. Rurſus quoniá quadratú h K æquale eſt rectan
&
quadratum m l rectangulo l f o æquale:
erunt tres
lineæ b k, k h, b n proportionales: itémq;
proportionales inter ſe
f l, l m, f o. quare ut linea b K ad lineam b n, ita quadratum b K
&
ut linea f l ad ipſam f o, ita quadratú f l
ad quadratum l m. Itaque quoniam, ut b K ad b n, ita eſt f l ad
f o; erit ut quadratum b K ad quadratum k h, ita quadratum f l
ad l m quadratum. ergo ut linea b k, ad lineam K h, ita linea f l
&
permutãdo ut b k ad f l, ita k h ad lm.
ſed b k ad
f l erat ut k c ad c l. ergo k h ad lm, ut K c ad c l.
quare ex eo
dem lemmate patet lineam h c, & per m punctum tranſire.
ut igi-
tur K c ad c l: hoc eſt ut a c ad c e, ita h c ad c m;
hoc eſt ad eam
ipſius partem, quæ inter c, & e g c ſectionem interyeitur.
ſimiliter
demonſtrabimus idem contingere in alijs lineis, quæ à puncto c ad
a b c ſectionem perducuntur. At uero b c ad e f eandern propor-
tionem habere, liquido apparet; nam b c ad c f, eſt ut d c ad c g;
uidelicet ut earum duplæ, a c ad c e.
Ex quibus perſpicuum eſt lineas omnes ſic ductas ab
ipſis ſectionibus in eandem proportionem ſecari. eſt enim
diuidendo, conuertendoque cm ad mb, & cf ad fb, ut
ce ad ea.
Sed &
illud constare potest;
lineas, quæ in portioni-
bus eiuſmodi ſimilibus ita ducuntur, ut cú baſibus æqua-
les angulos contineant, ab ipſis ſimiles quoque portiones
abſcindere: hoc eſt, ut in propoſita figura, portiones h b c,
m f c, quas lineæ c h, c m abſcindunt, etiam inter ſe
ſimiles eſſe.
D_ividantvr_ enim ch, cm bifariam in punctis p q: &
per
ipſa ducantur lineæ r p s, t q u diametris æquidiſtantes. erit portio-
nis b s c diameter p s, & portionis m u c diameter q u.
Itaque fiat
ut quadratum c r ad quadratum c p, ita linea b n ad aliam lineam,
quæ ſit s x: &
ut quadratum c t ad quadratum c q, ita fiat f o ad
u y. iam exijs
uimus in com-
mentarijs in
quartam pro-
poſitioné. Ar-
chrmedis de co
noidibus, &
ſphæroidibus,
patet quadra-
tum c p æqua-
le eſſe rectan-
gulo p s x:
quadratum c q æquale rectangulo q u y, hoc eſt ſectionum
h s c, m u c lineas s x, u y, eas eſſe, iuxta quas poſſunt, quæ à ſectio-
ne ad diametrum ducuntur. ſed cú triangula c p r, c q t ſimilia ſint,
habebit c r ad c p eandem proportionem, quam c t ad c q: &
id-
quadratum c t ad quadratum c q. ergo &
linea b n, ad lineam
ſ x ita erit, ut linea fo ad ipſam u y. erat autem b c ad c m, ut a c
ad c e. quare &
earum dimidiæ c p ad c q, ut a d ad e g:
&
permutando c p ad a d, ut c q ad e g. Sed oſtenſum est a d ad b n
ita eſſe, ut e g ad f o: &
b n ad s x, ut f o ad u y.
ergo ex
æquali c p ad ſ x erit, ut c q ad u y. Quòd cum quadratú c p æqua
le ſit rectangulo p s x & quadratum c q rectangulo q u y, erunt
tres lineæ ſ p, p c, ſ x proportionales; itemq;
proportionales ip-
ſæ u q, q c, u y. quare &
ſ p ad p c, ut u q ad q c:
&
ut p c ad
c h, ita q c ad c m. ex æquali igitur ut portionis h ſ c diameter ſ p
ad eius baſim c h, ita portionis m u s diameter u q ad baſim c m. &
anguli, quos diametri cum baſibus continent, ſunt æquales, quòd
lineæ ſ p, u q ſibi ipſis æquidiſtent, ergo & portiones h ſ c, m u c
inter ſe ſimiles erunt. id quod demonstrandum proponebatur.
Sint duæ lineæ a b, c d, quæ ſecentur in punctis e f,
ita ut quam proportionem habet a e ad e b, habeat c f
ad f d: rurſus ſecentur in aliis duobus punctis g h;
&
habeat c h ad h d eandem proportionem, quam a g ad
g b. Dico c f ad f h ita eſſe, ut a e ad e g.
Q_voniam_ enim ut a e ad e b, ita c f ad f d, erit componen
do ut a b ad e b, ita c d ad f d. Rurſus cum ſit ut a g ad g b, ita
c h ad h d; componendo, conuertendoq;
ut g b ad a b, ita erit h d
ad c d. ergo ex æquali, conuertendoq;
ut e b ad g b, ita f d ad h d:
per conuer-
ut e b ad e g,
ita f d ad f h. eſt autem ut a e
ad e b, ita c f
ad f d. ex æqua
li igitur ut a e
ad e g, ita c f
ad f h.
A_liter_. Aptentur lineæ a b, c d inter ſe ſe, ita ut ad partes
a c angulum faciant; &
ſint a c in uno atque eodem puncto:
deinde
iungantur d b, h g, fe. cum igitur ſit ut a e ad e b, ita c f, hoc eſt
a f ad f d; æquidiſtabit fe ipſi d b:
&
ſimiliter h g eidem d b
quoniam a h ad h d eſt, ut a g ad g b.
ergo f c, h g
&
idcirco ut a e ad e g, ita a f;
hoc eſt c f ad
fh. quod demonſtrare oportebat.
Sint rurſus duæ portiones ſimiles, contentæ rectis li-
neis, & rectangulorum conorum ſectionibus, ut in ſupe-
riori figura a b c, cuius diameter b d: &
e f c, cuius
diameter f g: ducaturque à puncto e linea e h, diame-
tris b d, f g æquidiſtans, quæ ſectionem a b c in _k_ ſe-
cet: &
à puncto c ducatur c h contingens ſectionem
a b c in c conueniensque cumlinea e h in h, quæ ſectio
nem quoque e f c in eodem c puncto continget, ut demon
strabitur. Dico lineam ductam ab ipſa c h uſque ad ſe-
ctionem e f c, ita ut lineæ e h æquidistet, in eandem pro
portionem diuidi à ſectione a b c; in quam linea c a à
pars uero lineæ c a, quæ eſt in-
ter duas ſectiones proportione reſpondebit parti lineæ
ductæ, quæ itidem inter eaſdem ſectiones interiicitur; hoc
est ut in propoſita figura, ſi producatur d b uſque ad c h
in l, ut ſectioni e f c in puncto m occurrat; lineam l
b ad b m eãdem proportionem habere, quàm c e ad e a.
Produc.
itur enim
c h in n, ſecás a b c
ſectionem in o: &
iuncta b c, quæ tran
ſibit per f, ut oſten-
ſum eſt, erunt trian-
gula c g f, c d b ſi-
milia: itémq;
ſimi-
lia íter ſe, c f n, c b l. quare ut g f ad d b,
&
ut c f ad c b, ita
f n ad b l. ergo g f
&
permutando g f
ad f n, ut d b ad b l.
eſt autem d b æqua
lis ipſi b l ex trigeſi
maquinta primi li-
ergo
& g f ipſi p i æqua
lis erit: &
ex trige
ſimatertia eiuſdem
linea c h ſectionem
e f c in eodem pun-
Itaque iuncta cm producatur ad ſectionem a b c in p:
&
à p ad a c ducatur p q, quæ ipſi b d æquidiſtet.
quoniam igi-
tur linea c h contingit ſectionem e f c in c puncto; habebit l m
ad m d proportionem eandem, quam c d ad d e, ex quinta propoſi-
tione Archimedis in libro de quadratura parabolæ. &
propter triá
gulorum c m d, c p q
ad c d, ita erit c p ad
c q: permutandôq;
ut c m ad c p, ita c d
ad c q. ut autem c m
ad c p, ſic c e ad c a:
quod proxime demó-
ſtrauimus. quare ut
c e ad c a, ſit c d ad
c q: hoc eſt ut totum
ad totum, ſic pars ad
partem, reliquum igi
tur d e ad reliquum
q a eſt ut c e ad c a;
uidelicet ut c d ad
c q: &
permutando
c d ad d e, ut c q ad
q a. êſtq;
l m ad m
d, ut c d ad d e. ergo
l m ad m d, ut c q ad
q a. ſed l b ad b d
ex quinta Archime-
dis, quam diximus;
eſt ut c d ad d a. con
ſtat igitur ex antece-
denti lemmate c d ad d q ita eſſe, ut l b ad b m. ut autem c d ad d q,
ergo l b ad b m, ut c m ad m p.
Quòd cum demon
ſtratum fuerit, c m ad m p, ut c e ad e a: habebit l b ad b m eandé
ſimiliter demonſtrabitur eandem
babere n o ad o f: &
reliquas eiuſmodi, at uero b K ad K e eam
habere proportionem, quam habet c e ad e a, ex eadem quinta. Ar-
chimedis perſpicue apparet. at que illud eſt, quod demonſtr andum
propoſuimus.
Itaque maneant eadem, quæ ſupra:
&
itidem deſcri-
batur alia portio ſimilis contenta recta linea & rectan-
guli coni ſectione d r c; cuius diameter r s, ut ſecet li-
neam f g in t: producaturque s r ad lineam c h in u;
cuiſectio a b c occurrat in x, &
e f c in y.
Dico b m
ad m d proportionem habere compoſitam ex propor-
tione, quam babet e a ad a c; &
ex ea, quam c d ba-
bet ad de.
S_imiliter_ enim ut ſupra, demonſtrabimus lineam c h con-
tingere ſectioné d r c in c puncto: &
l m ad m d, itêmq;
n f ad f t;
&
u y ad y r ita eſſe, ut c d ad d e.
Quoniam igitur lb ad b m eſt,
ut c e ad e a; erit componendo, conuertendôq;
bm ad lm, ut e a ad
a c: &
ut lm ad m d, ita c d ad d e.
proportio autem b m ad m d
compoſita eſt ex proportione, quam habet b m ad l m, & ex propor
tione, quam l m habet ad m d. ergo proportio b m ad m d etiam com
poſita erit ex proportione, quam habet e a, ad a c; &
ex ea, quam
c d habet ad d e. Eadem ratione demonſtrabitur o f ad f t;
itêmq;
x y ad y r proportionem habere ex eiſdem proportionibus compo-
ſitam: &
ita in aijs.
quod demonſtrare oportebat.
Ex quibus apparet lineas ſic ductas, quæ inter ſectio
nes a b c, d r c interiiciuntur à ſectione e f c in eandem
proportionem diuidi.
_Etenim c b ad b d eſt ut ſex ad quindecim.
]_ Poſuimus
quare componendo b d ad k d erit,
ut tria ad unum; hoc eſt ut quindecim ad quinque.
ſed b d ad K c
erat ut quídecim
ergo
b d ad d c, ut quin
decim ad nouem: &
per conuerſio
nem rationis, con
uertendôq; c b ad
b d, ut ſex ad quí
decim.
Etut c b ad
b a, & d z ad
d a.] _Nam cum_
_triangula c b e,_
_d b a ſint ſimilia,_
_erit ut c b ad b e,_
_ita d b, ad b a & permutando, ut c b ad b d;
ita e b ad b a.
Rurſus_
_ut b c ad c e, ita b d ad d a: permutandôq;
ut c b ad b d, ita c e, hoc_
_eſt d z ei æqualis ad d a._
Harum autem d z d a duplæ ſuntipſæ l i, la.
] _Lineam_
_manifeſte conſtat. At uero l i ipſius d z dupla hoc pacto demon-_
_ſtrabitur. Quoniam enim z d ad d a eſt, ut duo ad quinque;
erit có_
_uertendo, diuidendôq; a z, hoc eſt i z ad z d, ut tria ad duo:
&_
_rurſus diuidendo i d ad d z, ut erat autem z d ad_
_d a, hoc eſt ad d l, ut duo ad quinque. ergo ex æquali, conuertendóq;_
_l d ad d i, ut quinque ad unum:
&
per conuerſionem rationis d l ad_
_li, ut quinque ad quatuor. ſed d z ad d l erat, ut duo ad quinque._
_ergo rurſus ex æquali d z ad l i, ut duo ad quatuor. dupla eſt igitur_
_l i ipſius d z. quod demonſtrandum fuerat._
Et a d ad d i eam proportionem habet, quã quinque
] _Hoc nos proxime demonſtrauimus._
Demonſtratum eſt enim ſuperius portionem cuius axis
humidum in grauitate non minorem proportionem ha-
beat &c.
] _Illud uero demonſtrauit in quarta propoſitione buius_
_libri_.
Si portio ad humidum in grauitate minorem
tum ſ b ad quadratum b d; maiorem uero,
quàm quadratum x o ad quadratum b d; de-
miſſa in humidum, adeo inclinata, ut baſis ip-
ſius non contingat humidum, inclinata conſi-
ſtet; ita ut baſis ſuperficiem humidi nullo modo
contingat; &
axis cum humidi ſuperficie angu-
lum faciat maiorem angulo χ.
Si portio ad humidum in grauitate, eam ha-
beat proportionem, quam quadratum x o ad
quadratum b d; demiſſa in humidum inclinata
adeo, ut baſis ipſius non contingat humidum; conſiſtet, &
manebit ita, ut baſis in uno pun-
cto humidi ſuperficiem contingat: &
axis cum
ſuperficie humidi angulũ faciat angulo χ æqualẽ.
Quòd ſi portio ad humidum in grauitate cam
proportionem habeat, quam quadratum p f ad
in humidum demiſſa, &
poſi-
ta inclinata adeo, ut baſis ipſius non contingat
humidum; conſiſtet inclinata, ita ut baſis in uno
puncto humidi ſuperficiem contingat: &
axis cũ
ea faciat angulum angulo φ æqualem.
Si portio ad humidum in grauitate maiorem
tum f p ad quadratum b d; minorem uero,
quàm quadratum x o ad b d quadratum; in hu-
midum demiſſa, & inclinata adeo, ut baſis ipſius
non contingat humidum conſiſtet, & manebit
ita, ut baſis in humidum magis demergatur.
Si portio ad humidum in grauitate proportio
nem habeat minorem, quàm quadratum f p ad
quadratum b d: demiſſa in humidum, &
poſita
inclinata adeo ut baſis ipſius non contingat humi
dum: conſiſtet inclinata, ita ut axis ipſius cum
humidi ſuperficie angulum faciat minorem an-
gulo φ: &
baſis nullo modo ſuperficiem humi-
di contingat. Hæc autem omnia deinceps de-
monſtrabuntur.
ITAQVE primum habeat portio ad humidum in
grauitate proportionem quidem maiorem, quàm qua dra
tum x o ad quadratum b d; minorem uero, quàm quadra
tum, quod fit ab exceſſu, quo axis eſt maior, quàm ſeſquial-
ter eius, quæ uſque ad axem, ad quadratum b d: &
quam
proportionem habet portio ad humidum in grauitate, eã
habeat quadratum, quod fit à linea ψ ad quadratum b d: erit ψ maior quidem, quàm x o, minor uero, quàm exceſ-
axem. aptetur quædam recta linea m n conicis ſectioni-
bus a m q l,
ac media, quæ li
neæ ψ ſit æqua-
lis; ſecetq;
reli-
quã coni ſectio
nem in pun cto
h; &
rectam li-
neam r g in u. demõſtrabitur
ſius h n, ſicuti
demonſtratum
eſt o g ipſius g x
duplam eſſe. à
puncto autẽ m
ducatur m y contingens ſectionem a m q l in m: &
m c a d
b d perpendicularis. poſtea ducta a n, &
producta ad q li
neæ a n, n q inter ſe æquales erunt. quoniã enim in ſimi-
portiones lineæ a q, a n, quæ æquales angulos continent
cum ipſis baſibus, eandem proportionem habebit q a ad
an, quam la ad a d. æqualis eſt ergo a n ipſi n q;
&
a q
Demonſtrandum eſt portionem in
adeo, ut baſis ipſius nõ
contingat humidum, inclinatam conſiſtere ita, ut baſis ſu-
perficiem humidi nullo modo contingat: &
axis cum ea fa
ciat angulum angulo χ maiorem. Demittatur enim in hu-
midum, conſiſtatq; ita, ut baſis ipſius in uno puncto cõtin
gat humidi ſuperficiem: &
ſecta ipſa portione per axem,
plano ad humidi ſuperficiem recto; ſuperficiei quidẽ por-
tionis ſectio ſit a p o l rectanguli coni ſectio: ſuperficiei
humidi ſectio ſit a o: axis autem portionis, &
ſectionis dia
meter b d: &
ſecetur b d in punctis k r, ut dictum eſt:
du-
contingat in p: atque ab eo puncto ducatur p t æquidiſtãs
ipſi b d; &
p s ad b d perpendicularis.
Itaque quoniam
portio ad humidum in grauitate eam proportionem ha-
bet, quam qua-
à linea χ ad qua
dratum b d: quã
uero proportio
nem habet por-
tio ad humidũ,
eandem pars ip
ſius demerſa ha
bet ad totã por
tionẽ: &
quam
pars demerſa ad
totam, eandem
habet quadra-
tum t p ad b d
quadratum: erit
linea ψ æqualis
ipſi t p. quare &
lineæ m n, p t;
itemq, portiones a m q,
a p o inter ſe ſunt æquales. Quòd cumin portionibus
ſimilibus, a p o l, a m q l ab extremitati-
bus baſium ductæ ſint a o, a q ita, ut portiones ablatæ
faciant cum diametris angulos æquales; &
anguli, qui
ad y g: &
lineæ y b, g b, &
b c, b s inter ſe æquales erunt.
quare &
ipſæ c r, s r:
&
m u, p z:
&
u n, z t.
Quo-
conſtat p z ip-
ſius z t minorem eſſe, quàm duplam. Sit p α dupla ipſius
ω t: &
iuncta α k ad e producatur.
ergo totius quidem por
tionis centrum grauitatis erit puntum κ; partis eius, quæ
in humido eſt, centrum ω; eius uero, quæ extra humidum
in linea k e, quod ſit e. Sed linea k z perpendicularis erit
ad ſuperficiem humidi. quare &
lineæ quæ per puncta e,
ω, æ quidiſtantes ipſi κ z ducuntur. non ergo manebit por-
nullo modo contingat: quoniã nuncin uno puncto contin
gens, ſurſum fertur ex parte a. perſpicuum eſt igitur por-
angulum maiorem angulo χ.
Siportio ad humidum in grauitate minorẽ proportio-
quàm quadratum s b ad quadratum b d;
ma-
iorem uero, quàm quadratum x o ad b d quadratum.] _Hæc_
_eſt ſecunda pars propoſitionis, quam aliæ deinceps, postea ipſarum_
_demonstrationes eodem ordine ſequuntur_.
SI portio ad humidum in grauitate maiorem quidem
]
_Hãc quartá parté nos reſtituimus, quæ ĩ trãſlatione deſiderabatur_.
Erit ψ maior quidem, quàm x o, minor uero, quàm ex-
ad axem,] _Sequitur illud ex decima quinti libri elementornm_.
Demonſtrabitur m h duplaipſius h n, ſicuti demonſtra
] _Vt in prima parte huius, &_
_exijs, quæ nos proxime in ipſam conſcripſimus_.
Quoniam enim in ſimilibus portionibus a p o l, a x d,
los æquales continent cum ipſis baſibus, eandem propor-
tionem habebit q a ad a n, quam l a ad a d.] _Hoc nos ſu_-
_pra demonstrauimus_.
Aequalis eſt ergo a n ipſi n q.
] _Cum enim q a ad a n ſit_,
diuidendo, conuertendoq;
erit an ad n q, ut a d ad_
_d l. eſt autem a d æqualis ipſi d l, quoniam d b ponitur diameter_
_portionis. ergo &
a n ipſi n q eſt æqualis_.
Et a q ipſi m y æquidiſtans.
] _Ex quinta ſecundi libri coni_-
Apollonij_.
Etſecetur b d in punctis k r, ut dictum eſt.
] _In prima_
ſecetur autem in K ita, ut b k ſit dupla ip_-
_ſius k d; &
in r, ut K r ſit æqualis ei, quæ uſque ad axcm_.
Quòd cũ in portionibus æqualibus, &
ſimilibus, a p o l,
portiones ablatæ faciant cum diametris angulos æquales: &
anguli, qui ad y g:
&
lineæ y b, g b inter ſe æquales erũt.
]
_Secet linea a q diametrum d b in θ, & a o ſecet in η.
Itaque quo_-
_niam in portionibus æqualibus, & ſimilibus a p o l, a m q l ab ex_-
_tremitatibus baſium_
_æquales angulos con_
_tinent cum ipſis baſi_
_bus: &
anguli ad d_
_utrique ſunt recti_: _erũt &
reliqui a η d_,
_a θ d inter ſe æqua_-
_les. linea autem p g_
_æquidiſtat lineæ a o_:
_itémq; m y ipſi a q_:
_& p s, m c ipſis a d_.
_triágula igitur p g s_,
_m y c triãgulis a η d_
_a θ d, atque inter ſe_
_ſunt ſimilia: &
ut a d ad a η, ita a d ad a θ:
&
permutando.
li_-
ergo &
ipſæ a η, a θ.
Sed ſunt_
_æquales a o, a q: &
earum dimidiæ a t a n.
ergo &
reliquæ t η, n θ_
_boc eſt p g, m y. ut autem p g ad g h, ita m y ad y c;
&
permutan_
quare g s, y c æquales ſunt:
&_
_ipſarum dimidiæ b s, b c: ex quibus ſequitur ut &
reliquæ s r, c r_:
_&
idcirco p z, m u &
u n, z t inter ſe ſunt æquales_.
Quoniam igitur m u minor eſt, quàm dupla u n.
] _Eſt_
m u minor ipſa m h.
ergo m u minor_
_eſt, quàm dupla h n; &
multo minor, quàm dupla ipſius u n_.
Non ergo manebit portio, ſed reuoluetur, ita ut baſis ip
quoniam
nunc in uno puncto contingens ſurſum fertur ex parte a.]
_Tranſlatio ſic habet. non ergo manet portio ſed inclinabitur, ut ba_-
_ſis ipſius nec ſecundum unum tang at ſuperficiem humidi, quoniam_
_nunc ſecundum unum tacta ipſa reclinatur. Quæ nos ex alijs Ar_-
_chimedis locis, & perſpicuitatis cauſſa in eum modum corrigenda_
_duximus. In ſexta enim propoſitione huius ita ſcribit, ut habetur in_
_tranſlatione. reuoluetur ergo ſolidum a p o l, &
baſis ipſius nó tan_
_get ſuperficiem humidi ſecundum unum ſignum. Rurſus in ſeptima_
_propoſitione. manifeſtum igitur, quòd reuoluetur ſolidum ita ut ba_-
_ſis ipſius nec ſecundum unum ſignum contingat ſuperficiem humidi_,
_quoniam nunc ſecundum unum tangens deorſum fertur ex parte l_. _At uero portionem ſurſum ferri ex parte a manifeſte constat.
nam_
_cumperpendicularis ad ſuperficiem humidi, quæ tranſit per ω ad_
_partes a cadat, & quæ per e ad partes l, neceſſe eſt ut centrum ω_
_ſurſum, e uero deorſum feratur_.
Perſpicuum eſtigitur portionem conſiſtere ita, ut axis
10 χ.] _Iuncta enim a x producatur, ut diametrum b d ſe_-
_cet in λ, & ab o puncto ipſi æquidistans ducatur o χ.
con_-
_tinget eaſectionem in o, ut in prima figura: atque erit angu_-
Sed angulus ad y æqualis est_
_angulo ad θ: &
angulus a θ d maior angulo a λ d;
quod ex_-
ergo angulus ad y eo, qui ad χ maior erit_.
_uertitur, ita ut_
_baſis humidum_
_non contingat_,
_axis cum ſuper_
_ficie eius faciet_
_angulum maio_-
_rem angulo g;_ _hoc est angulo_
_y: &
propter_-
_ea multo maio_-
_rem angulo χ_.
HABEAT deinde portio ad humidum eam in graui-
tate proportionem, quam quadratũ x o habet ad quadra-
tum b d: &
in humidum demittatur adeo inclinata, ut ba-
ſis ipſius non con
Secta aũt ipſa per
axem plano ad hu
midi ſuperficiem
recto, ſolidi ſectio
ſit rectanguli co-
ni ſectio a p m l: ſu
perficiei humidi
ſectio ſit i m: axis
portionis, & ſe-
ctionis diameter
b d: ſeceturq;
b d
ſicuti prius: &
du-
catur p n quidem
contingens ſectionem in p;
pt uero
æquidiſtans b d, & p s ad ipſam b d perpendicularis.
Demõ
ſtrandũ eſt, portionẽ non cõſiſtereita, ſed inclinari, donec
baſis in uno puncto ſuperficiem humidi cõtingat. Maneãt
enim eadem, quæ in ſuperiori figura: ducaturq;
o c ad b d
perpendicularis: &
iuncta a x ad q producatur.
erit a x
æqualis ipſi x q. deĩde ducatur o χ ipſi a q æquidiſtãs.
Quo
niã igitur portio ad humidũ eã in grauitate proportione
habere ponitur, quam quadratum x o ad quadratum b d: &
eandem proportionem habet pars ipſius demerſa ad to
tam; hoc eſt quadratum t p ad quadratum b d:
æqualis uti
que erit t p ipſi x o: cumq;
portionum i p m, a o q diame-
tri ſint æquales, & portiones ipſæ æquales erunt.
Rurſus
bus, & ſimilibus
a o q l, a p m l,
ductæ ſunt lineæ
a q, i m, quæ æ-
quales portio-
nes auferunt; il-
la quidem ab ex
tremitate baſis,
hæc autem non
ab extremitate: cõſtat eam, quæ
ab extremitate
baſis ducta eſt,
minorem facere
angulum acutũ
cum diametro totius portionis. &
quoniam angulus, qui
maior erit b c, quàm b s:
cr autem, quàm ſr minor.
quare &
o g minor, quàm p z:
& g x maior, quàm z t.
ergo p z maior eſt, quàm dupla z t;
Sit p h dupla h t:
&
iun-
cta h κ ad ω producatur. erit totius quidem portionis cen
trum grauitatis k; partis eius, quæ intra humidum h;
eius
uero, quæ extra humidum in linea κ ω, quod ſit ω. Itaque
demonſtrabitur
k z ad
humidi ſuperſi-
ciem perpẽdicu-
laris, & quæ per
puncta h ω æqui-
diſtantes ipſi κ z
ducuntur. quare
nõ manebit por
tio, ſed inclinabi
tur, donec baſis
ipſius in uno pũ
cto contingat ſu
perficiem humi-
di: atque ita con
ſiſtet. nam in por
tionibus æquali-
bus a o q l, a p m l, ductæ erunt ab extremitatibus baſium
a q, a m, quæ æquales portiones abſcindunt: etenim a o q
ipſi a p m, utin ſuperioribus æqualis demonſtrabitur. ergo
ſium: quòd anguli ad χ &
n æquales ſint.
quare ſi ducta
h k ad ω producatur, erit totius portionis grauitatis cen-
trum k; partis eius, quæ in humido h;
at eius, quæ extra
humidum in linea h κ; quod ſit ω:
&
h k ad humidi ſuper-
ficiem perpendicularis. per eaſdem igitur rectas lineas,
quod quidem in humido eſt, ſurſum, & quod extra humi-
dum deorſum feretur. quare manebit portio, cuius baſis
humidi ſuperficiem in uno puncto continget: &
axis cum
ipſa angulum faciet æqualem angulo χ. Similiter demon-
proportionem habeat, quàm quadratum p f ad quadratũ
b d in humidum demiſſam, ita ut baſis ipſius nõ cõtingat
humidum, inclinatam conſiſtere adeo, ut baſis in uno pun
cto humidi ſuperficiem contingat. &
axis cum ipſa faciat
angulum angulo φ æqualem.
_Hoc eſt quadratum t p ad quadratum b d.
]_ Ex uigeſima
ſphæroidibus.
ergo ex no
na quinti erit quadratum t p æquale quadrato x o: &
propterea li
nea t p lineæ x o æqualis.
_Et portiones ipſæ æquales erunt.
]_ Ex uigeſimaquinta eiuſ-
Rurſus
in portio
nibus æ-
qualibus,
& ſimili-
bus a o q
l, a p m l.]
_In portio-_
_ne enim a p_
_m l deſcri-_
_batur por-_
_tio a o q æ-_
_qualis por_
_tioni i p m_,
_cadet pun-_
_ctum q in-_
_fram, alio-_
_qui totum parti eſſet æquale. Ducatur deinde i u æquidiſtans a q_,
ſecet autem i m eandem in σ:
&
a q in_
_v. Dico angulum a ν d angulo i σ d minoré eſſe.
angulus enimi ψ d_
_æqualis est angulo a ν d. ſed angulus interior i ψ d minor eſt exte-_
ergo &
a ν d ipſo i σ d minor erit_.
_Et quoniam angulus, qui ad χ minor eſt angulo, qui ad_
]_ Ducantur per o duæ lineæ, o c quidem ad diametrum b d per-
pendicularis: &
o χ in puncto o ſectionem contingens, quæ diame
trum ſecet in χ. æquidiſtabit o χ ipſi a q:
atque erit angulus ad
ergo angulus ad χ angulo ad σ, uidelicet eo,
&
propterea χ infra n cadet.
linea igitur χ b
Sed cum b c ſit æqualis χ b, &
b s ipſi n b:
erit b c ipſa b s maior.
Ergo æquales faciunt angulos a q, a m cum diametris
] _Hoc demonstrabimus ut in commentarijs in ſecun-_
_dam partem_.
_Similiter demonſtrabitur, portionem, quæ ad humidũ_
_nem habeat, quã_
_quadratum p fad_
_quadratũ b d; in_
_humidum demiſ-_
_ſam, ita ut baſis ip_
_ſius non cõtingat_
_humidum, incli-_
_natam conſiſtere_
_adeo, ut baſis in_
_uno pũcto humi-_
_di ſuperficiem cõ_
_tingat: &
axis cũ_
_ipſa faciat angulũ_
_angulo φ æqualẽ]_
Habeat portio ad humidum in grauitate proportionem eam, quam
p f quadratum ad quadratum b d: &
demiſſa in humidum adeo in-
recto ad ſuperficiem humidi, ut ſectio ſit a m o l rectanguli coni ſe-
ctio: ſuperficiei humidi ſectio ſit i o:
axis portionis, &
ſectionis
diameter b d; quæ in eaſdem, quas diximus, partes ſecetur:
duca-
turq; m n quidem ipſi i o æquidiſtans, ut in puncto m ſectionem
cótingat: mt uero æquidiſtans ipſi b d:
&
m s ad eandem perpen
dicularis. Demonſtrandum eſt non manere portionem, ſed inclinari
ita, ut in uno puncto contingat ſuperficiem humidi. ducatur enim p c
ad ipſam b d perpendicularis: &
iuncta a f uſque ad ſectionem
producatur in q: &
per p ducatur p φ ipſi a q æquidiſtans.
erunt
iam ex ijs, quæ demonſtrauimus a f, f q inter ſe ſe æquales. &
cum
portio ad humi-
uitate proportio
nem habeat, quá
quadratú p f ad
b d quadratum: atque eandem ha
beat portio ipſi-
us demerſa ad to
tam portionem;
hoc eſt quadratú
m t ad quadratú
erit quadra
tum m t quadra-
to p f æquale: &
idcirco linea m t
æqualis lmeæ p
f. Itaque quoniam in portionibus æqualibus, &
ſimilibus a p q l, a
m o l ductæ ſunt lineæ a q, i o, quæ æquales portiones abſcindunt; illa quidem ab extremitate baſis;
hæc uero non ab extremitate:
ſe-
quitur ut a q, quæ ab extremitate ducitur, minorem acutum angulú
contineat cum diametro portionis, quàm ipſa i o. Sed linea p φ li-
neæ a q æquidiſtat, & m n ipſi i o.
angulus igitur ad φ angulo ad n
linea uero b c maior, quàm b s:
&
s r;
hoc eſt m χ ma-
ior, quàm c r, hoc eſt, quàm p y: &
propterea χ t minor, quàm y f.
quòd cum p y ſit dupla y f, erit m χ maior, quàm dupla y f;
&
multo maior, quàm dupla χ t. fiat m h dupla ipſius h t:
&
copu-
lata h k producatur. I am grauitatis centrum totius portionis erit
punctum k: eius, quæ in humido est, h:
at rel iquæ partis, quæ ex-
tra humidum in linea h k producta; quod ſit ω.
eodem modo demon
strabitur, & lineam k h, &
quæ per h ω puncta ipſi k h æquidi-
ſtantes ducuntur, ad humidi ſuperficiem perpendiculares eſſe. non
igitur maneb it
uſque eò inclina-
ta fuerit, ut in
uno puncto con-
tingat ſuperfi-
cié humidi, tunc
conſiſtet. an-
gulus enim ad n
angulo ad φ æ-
qualis erit; li-
neáq; b s lineæ
b c; &
s r ipſi
c r. quare &
m h
ipſi p y eſt æqua
lis. Itaque ducta
h k producatur. erit totius portionis grauitatis centrum K;
eius, quæ in humido eſt
h; &
reliquæ partis centrum in linea producta;
ſit autem ω.
per ean
dem igitur rectam lineam k h, quæ eſt ad humidi ſuperficiem perpen
dicularis, id quod in humido eſt ſurſum; &
quod extra humidum de
orſum feretur. atque ob hác cauſſam portio non amplius mouebitur;
ſed conſiſtet, manebítq, ita, ut eius baſis ſuperficiem humidi in uno
punsto contingat; &
axis, cum ipſa angulum faciat æqualem angulo
φ. at que illud eſt, quod demonſtrare oportebat.
HABEAT rurſum portio ad humidum in grauitate
proportionem quidem maiorem, quàm quadratum f p ad
quadratum b d; minorem uero, quàm quadratum x o ad
b d quadratum: &
quam proportionem habet portio ad
humidum in grauitate, eandem habeat quadratum, quod
fit à linea ψ ad quadratum b d. erit ψ maior, quàm f p, &
mi
nor, quàm x o. aptetur ergo quæ dam rectalinea i u inter
portiones a u q l, a x d interiecta, quæ ſit æqualis ψ, & ipſi
b d æquidiſtans: occurratq;
reliquæ ſectioni in y.
rurſus
u y dupla ipſius y i demonſtrabitur, ſicuti demonſtrata eſt
o g ipſius g x dupla. ducatur autem ab u linea u ο, quæ ſe
ctionem a u q l in u contingat: &
iuncta a i ad q produca
tur. eodem modo oſtendemus lineam a i ipſi i q æqualem
eſſe: &
a q ipſi
tem. Demon-
ſtrãdum eſt por
tionem in humi
dum demiſſam,
ĩclinatãq; adeo,
ut baſis ipſius
non contingat
humidũ, ita con
ſiſtere, ut baſis
in humidũ ma-
gis demergatur
quam ut in uno
puncto eius ſu-
perficiem cõtin
gat. Demittatur enim in humidum, ut dictum eſt;
&
iaceat
primo ſic inclinata, ut baſis nullo modo contingat ſuperfi-
ciem humidi. ſecta autem ipſa plano per axem ad humidi
ſuperficiei
humidi ez: a-
& ſectionis dia-
meter b d: ſece-
turq, b d in pũ-
ctis _K_r, ſicuti
prius; &
duca-
tur n l quidem
ipſi e z æquidi-
ſtans, quæ con-
tingat ſectionẽ
a n z g in n; &
n t æquidiſtans
ipſi b d; n s ue-
ro ad b d perpẽ
dicularis. Itaq;
quoniam portio ad humidum in grauitate eam proportio
nem habet, quam quadratum, quod fit à linea ψ ad quadra
tum b d: erit ψ ipſi n t æqualis:
quod ſimiliter demonſtrabi
tur, ut ſuperius. quare &
n t eſt æqualis ipſi u i.
portiones
igitur a u q, e n z inter ſe ſunt æquales. Et cum in æquali-
bus, & ſimilibus portionibus a u q l, a n z g ductæ ſint a q
e z, quæ æquales portiones auferunt; illa quidem ab extre
mitate baſis; hæc autem non ab extremitate:
minorem fa-
ciet acutum angulum cum portionis diametro, quæ ab ex-
tremitate baſis ducitur. At triangulorum n l s, u ω c angu
lus ad l angulo ad ω maior eſt. ergo b s minor erit, quam
b c: &
ſ r maior, quàm c r:
ideoq;
n χ maior, quam u h;
&
χ t minor, quàm h i. Quoniam igitur u y dupla eſt ipſius
y i; conſtat n χ maiorem eſſe, quàm duplã χ t.
Sit n m dupla
ipſius m t. perſpicuũ eſt ex iis, quæ dicta ſunt, non manere
portionẽ; ſed in clinari, donec eius baſis contingat ſuperfi-
ciem humidi: contingat autem in puncto uno, ut patet in fi
&
alia eadem diſponantur demonſtrabimus rurſum
n t æqualem eſſe ipſi u i: &
portiones a u q, a n z inter
ſe ſe æquales.
ĩ portionibus
æqualibus, & ſi
milibus a u q l,
a n z g ductæ
sũt a q, a z, por
tiones æqua-
les auferentes; cum diametris
portionum æ-
quales angu-
los cõtinebũt.
ergo triangulo
rum n l s, u ω c
anguli, qui cõ-
ſiſtũt ad l ω pũ-
cta, æquales ſunt: &
b s recta linea æqualis ipſi b c:
ſ r ipſi cr,
n χ ipſi u h: &
χ tipſi h i.
quòd cum u y dupla ſit ipſius y i,
erit n χ maior, quàm dupla χ t. Sit igitur n m ipſius m t du
pla. Rurſus ex his manifeſtum eſt, non manere ipſam por-
tionem; ſed inclinari ex parte a:
ponebatur autem portio
humidi ſuperficiem in uno puncto contingere. ergo ne-
ceſſe eſt, ut eius baſis in humidum magis demergatur.
HABEAT denique portio ad humidum in grauitate
minorem proportionem, quàm quadratum f p ad quadra-
tum b d: &
quam proportionem habet portio ad humidũ
in grauitate, eandem quadratum, quod fit à linea ψ habeat
ad quadratum b d. erit χ minor ipſa p f.
Rurſus aptetur
& ipſi b d æquidiſtans;
quæ mediam coni ſectionem in pun
cto h, & rectam
ſecet. demonſtra
bitur g h dupla
h i, quemadmo-
dum demonſtra
ta eſt o g ipſius
g x dupla. duca-
tur poſtea g ω cõ
tingens a g q l ſe
ctioneming: &
g c ad b d perpé
dicularis: iun-
ctaq; ai produ-
catur ad q. erit
ergo a i æqualis
i q: &
a q ipſi g ω
æquidiſtans. Demonſtrandũ eſt portionẽ in humidũ demiſ
fam, inclinatamq; adeo, ut baſis ipſius non cõtingat humi-
dũ, conſiſtere inclinatã ita, ut axis cum ſuperficie humidi
angulum faciat minorem angulo φ: &
baſis humidi ſuper-
ficiem nullo modo contingat. Demittatur enim in humi-
dum; &
conſiſtat ita, ut baſis ipſius in uno puncto contin-
gat ſuperficiem humidi. ſecta autem portione per axem,
plano ad humidi ſuperficiem recto, ſit portionis ſectio a n
z l rectanguli coni ſectio: ſuperficiei humidi a z:
axis autẽ
portionis, & ſectionis diameter b d:
ſeceturq;
b d in pun-
ctis _K_ r, ut ſuperius dictum eſt: &
ducatur n f quidem ipſi
a z æquidiſtans, & contingens coni ſectionem in pũcto n;
n t uero æquidiſtans ipſi b d:
&
n s ad eandem perpendi-
cularis. Quoniam igitur portio ad humidum in grauitate,
cam habet proportionem, quam quadratum, quod fit à χ
&
quam habet portio ad humidum in
grauitate, eandem quadratum nt habet ad bd quadratũ,
ex iis, quæ dicta ſunt: conſtat n t lineæ ψ æqualem eſſe,
quare & portio-
ſunt æquales. Et
quoniam in por
tionibus æquali
bus, & ſimilibus
a g q l, a n z l, ab
extremitatibus
baſiũ ductæ ſunt
a q, a z, quæ æ-
quales portiões
abſcindunt: per
ſpicuum eſt an-
gulos facere æ-
quales cum por
tionum diame-
tris: &
triangu-
lorum n fs, g ω c, angulos, qui ad f ω æquales eſſe: itemque
æquales inter ſe, s b, c b; &
s r, c r, quare &
n χ, g y æquales:
&
χ t y i.
cũq;
g h dupla ſit ipſius h i, erit n χ minor, quàm
duplaipſius χ t. Sit igitur n m ipſius m t dupla:
&
iuncta
m K protrahatur ad e. Itaque centrum grauitatis totius
erit punctum K: partis eius, quæ eſt in humido, punctũ m:
eius autem, quæ extra humidum in linea protracta, quod
ſit e. ergo ex proxime demonſtratis patet, nõ manere por
tionem, ſed inclinari adeo, ut baſis nullo modo ſuperficiẽ
humidi contingat. At uero portionem conſiſtere ita, uta-
xis cum ſuperficie humidi faciat angulum angulo φ mino-
rem, ſic demonſtrabitur. conſiſtat enim, ſi fieri poteſt, ut
non faciat angulum minorem angulo φ: &
alia eadem diſ-
ponantur; ut in ſubiecta figura.
eodem modo demonſtra
propterea ipſi gi.
&
quo-
niam triangulornm p φ c, n f s angulus f non eſt minor an
gulo φ, non erit b f maior, quam b c. ergo neque s r mi-
nor, quàm c r: neque n χ minor, quàm p y.
Sed cum p f ſit
maior, quàm n t:
p f ſeſquialte
ra p y: erit n t mi-
nor, quàm ſeſquial
tera n χ: &
idcir-
co n χ maior, quã
dupla χ t. ſit autẽ
n m dupla m t: &
iuncta m K produ
catur. conſtat igi-
tur ex iam dictis
non manere por-
tionem; ſed reuol
ui ita, ut axis cum
ſuperficie humidi
faciat angulum an
gulo φ minorem.
CVM multæ res in mathematicis
diſciplinis nequaquam ſatis ad-
huc explicatæ ſint, tum perdif-
ficilis, & perobſcura quæſtio
eſt de centro grauitatis corpo-
rum ſolidorum; quæ, &
ad co-
gnoſcendum pulcherrima eſt,
& ad multa, quæ à mathematicis proponuntur, præ-
clare intelligenda maximum affert adiumentum. de
qua neminem ex mathematicis, neque noſtra, neque
patrum noſtrorum memoria ſcriptum reliquiſſe ſci-
mus. &
quamuis in earum monumentis literarum nõ
nulla reperiantur, ex quibus in hanc ſententiam addu
ci poſſumus, vt exiſtimemus hanc rem ab ijſdẽ vber-
rime tractatam eſſe; tamen neſcio quo fato adhuc
in eiuſmodi librorum ignoratione verſamur. Archi-
medes quidem mathematicorũ princeps in libello,
cuius inſcriptio eſt, κέντρα βάρων ἐπιπέδων, de centro pla-
norum copioſiſsime, atque acutiſsime conſcripſit: &
in eo explicando ſummã ingenii, & ſcientiæ gloriã eſt
cõſecutus. Sed de cognitione cẽtri grauitatis corporũ
ſolidorũ nulla in eius libris litera inuenitur. non mul
tos abhinc annos Marcellvs iI. Pont. Max.
cum adhuc Cardinalis eſſet, mihi, quæ ſua erat hu-
manitas, libros eiuſdem Archimedis de ijs, quæ ve-
huntur in aqua, latine redditos dono dedit. hos cum
ego, ut aliorum ſtudia incitarem, emendãdos, & cõ-
mentariis illuſtrandos ſuſcepiſſem, animaduerti dubi
tari non poſſe, quin Archimedes vel de hac materia
ſcripſiſſet, vel aliorum mathematicorum ſcripta per-
legiſſet. nam in iis tum alia nonnulla, tum maxime
illam propoſitionem, ut euidentem, & aliàs proba-
tam aſſumit, Centrũ grauitatis in portionibus conoi
dis rectan guli axem ita diuidere, vt pars, quæ ad verti
cem terminatur, alterius partis, quæ ad baſim dupla
ſit. Verum hæc ad eam partem mathematicarum
diſciplinarum præcipue refertur, in qua de centro
grauitatis corporum ſolidorum tractatur. non eſt au
tem conſentaneum Archimedem illum admirabilem
virum hanc propoſitionem ſibi argumentis con-
firmandam exiſtimaturum non fuiſſe, niſi eam vel
aliis in locis probauiſſet, vel ab aliis probatam eſſe
comperiſſet. quamobrem nequid in iis libris intel-
ligendis deſiderari poſſet, ſtatui hanc etiam partem
vel à veteribus prætermiſſam, vel tractatam quidem,
ſed in tenebris iacentem, non intactam relinquere; atque ex aſsidua mathematicorum, præſertim Archi-
medis lectione, quæ mihi in mentem venerunt, ea in
medium afferre; ut centri grauitatis corporum ſoli-
dorum, ſi non perfectam, at certe aliquam noti-
Q uem meum laborem nō mathe-
maticis ſolum, verum iis etiam, qui naturæ obſcuri-
tate delectantur, nó iniucundam fore ſperaui: multa
enim προβλήματα cognitiòne digniſsima, quæ ad vtrã-
que ſcientiam attinent, ſeſe legentibus obtuliſſent. neque id vlli mirandum videri debet.
vt enim in cor-
poribus noſtris omnia membra, ex quibus certa quæ
dam officia naſcuntur, diuino quodam ordine inter
ſe implicata, & colligata ſunt:
in iisq́;
admirabilis il-
la conſpiratio, quam σύμπνοιαν græci vocant, eluceſcit,
ita tres illæ Philoſophiæ (ut Ariſtotelis verbo vtar)
quæ veritatem ſ
buſdam quaſi finibus ſuis regantur: tamen earũ vna-
quæque per ſe ipſam quodammodo imperfecta eſt:
neque altera ſine alterius auxilio plene comprehen-
di poteſt. complures præterea mathematicorum no-
di ante hac explicatu difficillimi nullo negotio expe
diti eſſent: atque (ut vno, verbo complectar) niſi
mea valde amo, tractationem hanc meam ſtudioſis
non mediocrem vtilitatem, & magnam volupta-
tem allaturam eſſe mihi perſuaſi. cum autem ad hoc
ſcribendum aggreſſus eſsem, allatus eſt ad me liber
Franciſci Maurolici Meſſanenſis, in quo vir ille do-
ctiſsimus, & in iis diſciplinis exercitatiſsimus af-
firmabat ſe de centro grauitatis corporum ſolido-
rum conſcripſiſſe. cum hoc intellexiſſem, ſuſtinui
me pauliſper: tacitusque expectaui, dum opus cla-
in lucem proferretur: mihi enim exploratisſimum
erat: Franciſcum Maurolicum multo doctius, &
exquiſitius hoc diſciplinarum genus ſcriptis ſuis tra
diturum. ſed cum id tardius fieret, hoc eſt, ut ego
interpretor, diligentius, mihi diutius hac ſcriptione
non ſuperſedendum eſſe duxi, præſertim cum iam li-
bri Archimedis de iis, quæ uehuntur in aqua, opera
mea illuſtrati typis excudẽdi eſſent. nec me alia cauſ
ſa impuliſſet, ut de centro grauitatis corporum ſoli-
dorum ſcriberem, niſi ut hac etiam ratione lux eis
quâm maxime fieri poſſet afferretur. atq;
id eò mihi
faciendum exiſtimaui, quòd in ſpem ueniebam fore,
ut cum ego ex omnibus mathematicis primus, hanc
materiam explicandam ſuſcepiſſem; ſi quid errati for
te à me commiſſum eſſet, boni uiri potius id meæ de
ſtudioſis hominibus bene merẽdi cupiditati, quàm
arrogantiæ aſcriberent. reſtabat ut conſiderarem, cui
potisſimum ex principibus uiris contemplationem
hanc, nunc primum memoriæ, ac literis proditam de
dicarem. harum mearum cogitationum ſumma fa-
cta, exiſtimaui nemini conuenientius de centro graui
tatis corporum opus dicari oportere, quàm Ale-xandro Farnesio grauisſimo, ac prudentisſi-
mo Cardinali, quo in uiro ſumma fortuna ſemper cũ
ſumma uirtute certauit. quid enim maxime in te ad-
mirari debeant homines, obſcurum eſt; uſuḿne re-
buiſti, & imperiorũ, &
ad Reges, &
Imperatores ho-
norificentiſsimarum legationum; an excellentiam
in omni genere literarum, qui vix adoleſcẽtulus, quæ
homines iam confirmata ætate ſummo ſtudio, diu-
turnisq́; laboribus didicerunt, ſcientia, &
cogaitione
comprehendiſti: an conſilium, &
ſapientiam in re-
gendis, & gubernãdis Ciuitatibus, cuius grauiísimæ
ſententiæ in ſanctiſsimo Reip. Chrſtianæ conſilio di-
ctæ, potius diuina oracula, quàm ſententiæ habitæ
ſunt, & habentur.
prætermitto liberalitatem, &
mu-
nificentiam tuam, quam in ſtudio ſiſsimo quoque ho
neſtando quotidie magis oſtendis, ne videar auribus
tuis potius, quàm veritati ſeruire. quamuis à te in tot
præclaros viros tanta beneficia collata ſunt, & confe-
rũtur, vt omnibus teſtatum ſit, nihil tibi eſſe charius,
nihil iucundius, quàm eximia tua liberalitate homi-
nes ad amplexandam virtutem, licet currentes incita-
re. nihil dico de ceteris virtutibus tuis, quæ tantæ
ſunt, quantæ ne cogitatione quidem comprehendi
poſſunt. Quamobrem hac præcipue de cauſſa te hu-
ius meæ lucubrationis patronum eſſe volui, quam ea,
qua ſoles, humanitate accipies. te enim ſemper ob
diuinas virtutes tuas colui, & obſeruaui:
nihilq́;
mi-
hi fuit optatius; quàm tibi perſpectum eſſe meum
erga te animum; ſingularemq́;
obſeruantiam.
cœ-
lum igitur digito attingam, ſi poſt grauiſsimas oc-
impertiri temporis non grauaberis: eumq́;
in iis, qui
tibi ſemper addicti erunt, numerare. Vale.
Federicus Commandinus.
CEntrvm grauitatis, Pappus
Alexandrinus in octauo ma-
thematicarum collectionum
libro ita diffiniuit.
λέγομεν δἐ κἐντρον βάρ
ματος {εἶ}ναι σημ\~ειον τικείμενον ἑντὸς, ἀφ
οὖ κα\’τ ἐποίνιαν ἀρτηθέν τό βάρ
φερ
σιν, οὐ μὴ περιτρhoc eſt,
Dicimus autem centrum grauitatis uniuſcu-
inſque corporis punctum quoddam intra poſi-
cum, à quo ſi graue appenſum mente concipia-
tur, dum fertur quieſcit; &
ſeruat eam, quam in
principio habebat poſitionem: neque in ipſa la-
tione circumuertitur.
Poſſumus etiam hoc modo diffinire.
Centrum grauitatis uniuſcuiuſque ſolidæ figu
ræ eſt punctum illud intra poſitum, circa quod
undique partes æqualium momentorum conſi-
ſtunt. ſi enim per tale centrum ducatur planum
figuram quomodocunque ſecans ſemper in par-
2 Priſmatis, cylindri, &
portionis cylindri axem
appello rectam lineam, quæ oppoſitorum plano-
rum centra grauitatis coniungit.
3 Pyramidis, coni, &
portionis coni axem dico li
neam, quæ à uertice ad centrum grauitatis baſis
perducitur.
4 Si pyramis, conus, portio coni, uel conoidis ſe-
cetur plano baſi æquidiſtante, pars, quæ eſt ad ba-
ſim, fruſtum pyramidis, coni, portionis coni, uel
conoidis dicetur; quorum plana æquidiſtantia,
quæ opponuntur ſimilia ſunt, & inæqualia:
axes
uero ſunt axium figurarum partes, quæ in ipſis
comprehenduntur.
1 Solidarum figurarum ſimilium centra grauita-
tis ſimiliter ſunt poſita.
2 Solidis figuris ſimilibus, &
æqualibus inter ſe
aptatis, centra quoque grauitatis ipſarum inter ſe
aptata erunt.
Omnis figuræ rectilineæ in circulo deſcriptæ,
quæ æqualibus lateribus, & angulis contine-
trum.
Sit primo triangulum æquilaterum a b c in circulo de-
ſcriptum: &
diuiſa a c bifariam in d, ducatur b d.
erit in li-
nea b d centrum grauitatis triãguli a b c, ex tertia decima
primi libri Archimedis de centro grauitatis planorum. Et
quoniam linea a b eſt æqualis
&
a d ipſi d c;
eſtq́;
b d utrique communis:
trian-
gulum a b d æquale erit trian
&
anguli angulis æ-
quales, qui æqualibus lateri-
bus ſubtenduntur. ergo angu
recti ſunt.
quòd
cum linea b d ſecet a c biſa-
riam, & ad angulos rectos;
in
quare in eadem b d linea erit
centrum grauitatis trianguli, & circuli centrum.
Similiter
diuiſa a b bifariam in e, & ducta c e, oſtendetur in ipſa utrũ
que centrum contineri. ergo ea erunt in puncto, in quo li-
neæ b d, c e conueniunt. trianguli igitur a b c centrum gra
uitatis eſt idem, quod circuli centrum.
Sit quadratum a b c d in cir-
&
ducantur
a c, b d, quæ conueniant in e. er-
go punctum e eſt centrum gra
uitatis quadrati, ex decima eiuſ
dem libri Archimedis. Sed cum
omnes anguli ad a b c d recti
ſint; erit a b c femicirculus:
b c d:
&
propterea li-
neæ a c, b d diametri circuli:
idem igitur eſt centrum
grauitatis quadrati, & circuli centrum.
Sit pentagonum æquilaterum, &
æquiangulum in circu-
lo deſcriptum a b c d e: &
iun-
in ſ diuiſa,
ducatur c f, & producatur ad
circuli circumferentiam in g; quæ lineam a e in h ſecet:
de-
inde iungantur a c, c e. Eodem
modo, quo ſupra demonſtra-
bimus angulum b c f æqualem
eſſe angulo d c f; &
angulos
ad f utroſque rectos: &
idcir-
colineam c f g per circuli cen
trum tranſire. Quoniam igi-
tur latera c b, b a, & c d, d e æqualia ſunt;
&
æquales anguli
c b a, c d e: erit baſis c a baſi c e, &
angulus b c a angulo
ergo &
reliquus a c h, reliquo e c h.
eſt au-
tem c h utrique triangulo a c h, e c h communis. quare
baſis a h æqualis eſt baſi h e: &
anguli, quiad h recti:
ſuntq́;
recti, qui ad f.
ergo lineæ a e, b d inter ſe ſe æquidiſtant.
nea fh bifariam diuidantur; centrum grauitatis ipſius erit
in linea f h, ex ultima eiuſdem libri Archimedis. Sed trian-
ergo in eadem
linea c h eſt centrum grauitatis trapezij a b d e, & trian-
guli b c d: hoc eſt pentagoni ipſius centrum &
centrum
circuli. Rurſus ſi iuncta a d, bifariamq́;
ſecta in k, duca-
tur e k l: demonſtrabimus in ipſa utrumque centrum in
eſſe. Sequitur ergo, ut punctum, in quo lineæ c g, e l con-
ueniunt, idem ſit centrum circuli, & centrum grauitatis
pentagoni.
Sit hexagonum a b c d e f æquilaterum, &
æquiangulum
in circulo deſignatum: iunganturq́;
b d, a c:
&
bifariam ſe-
&
protrahatur ad circuli
uſque circumferentiam; quæ ſecet a e in h.
Similiter conclu
demus c g per centrum circuli tranſire: &
bifariam ſecare
lineam a e; itemq́;
lineas b d, a e inter ſe æquidiſtantes eſſe.
Cumigitur c g per centrum circuli tranſeat;
&
ad punctũ
f perueniat neceſſe eſt: quòd c d e f ſit dimidium circumfe
rentiæ circuli. Quare in eadem
a f e, & quadrilateri a b d e, ex
c d e f. perſpicuum eſt igitur in
ipſa c f eſſe circuli centrum, &
centrum grauitatis hexagoni. Rurſus ducta altera diametro
a d, eiſdem rationibus oſtende-
mus in ipſa utrumque cẽtrum
ineſſe. Centrum ergo grauita-
tis hexagoni, & centrum circuli idem erit.
Sit heptagonum a b c d e f g æquilaterum atque æquian
gulum in circulo deſcriptum:
iungantur c e, b f, a g:
di-
uiſa autem c e bifariam in pũ
cto h: &
iuncta d h produca-
tur in k. non aliter demon-
ſtrabimus in linea d k eſſe cen
trum circuli, & centrum gra-
uitatis trianguli c d e, & tra-
peziorum b c e f, a b f g, hoc
eſt centrum totius heptago-
ni: &
rurſus eadem centra in
alia diametro cl ſimiliter du-
cta contineri. Quare &
centrum grauitatis heptagoni, &
centrum circuli in idem punctum conucniunt. Eodem mo
æquiangulis, quæ in cir-
culo deſcribuntur, probabimus cẽtrum grauitatis earum,
& centrum circuli idem eſſe.
quod quidem demonſtrare
oportebat.
Ex quibus apparet cuiuslibet figuræ rectilineæ
in circulo plane deſcriptæ centrum grauitatis idẽ
eſſe, quod & circuli centrum.
Figuram in circulo plane deſcriptam appella-
torum libro, propoſitione ſecunda deſcribitur. ex æqualibus enim lateribus, &
angulis conſtare
perſpicuum eſt.
Omnis figuræ rectilineæ in ellipſi plane deſcri-
ptæ centrum grauitatis eſt idem, quod ellipſis
centrum.
Quo modo figura rectilinea in ellipſi plane deſcribatur,
docuimus in commentarijs in quintam propoſitionem li-
bri Archimedis de conoidibus, & ſphæroidibus.
Sit ellipſis a b c d, cuius maior axis a c, minor b d:
iun-
ganturq́; a b, b c, c d, d a:
&
bifariam diuidantur in pun-
ctis e f g h. à centro autem, quod ſit k ductæ lineæ k e, k f,
k g, k h uſque ad ſectionem in puncta l m n o protrahan-
tur: &
iungantur l m, m n, n o, o l, ita ut a c ſecet li-
neas l o, m n, in z φ punctis, & b d ſecet l m, o n in χ ψ.
erunt l k, k n linea una, itemq́ue linea unaipſæ m k, k o:
& lineæ b a, c d æquidiſtabunt lineæ m o:
&
b c, a d ipſi
l n. rurſus l o, m n axi b d æquidiſtabunt:
&
l m,
Quoniam enim triangulorum a b k, a d k, latus
b k eſt æquale lateri k d, & a k utrique commune;
anguliq́;
ad k recti baſis a b baſi a d;
&
reliqui anguli reliquis an-
eadem quoqueratione oſtendetur b c
æqualis c d; &
a b ipſi
quare omnes a b,
b c, c d, d a ſunt æqua-
les. &
quoniam anguli
ad a æquales ſunt angu
lis ad c; erunt anguli b
a c, a c d coalterni inter
ſe æquales; itemq́;
d a c,
a c b. ergo c d ipſi b a;
&
a d ipſi b c æquidi-
ſtat. Atuero cum lineæ
a b, c d inter ſe æquidi-
ſtantes bifariam ſecen-
tur in punctis e g; erit li
nea l e k g n diameter ſe
ctionis, & linea una, ex
demonſtratis in uigeſi-
ma octaua ſecundi coni
corum. Et eadem ratione linea una m f k h o.
Sunt autẽ a d,
b c inter ſe ſe æquales, & æquidiſtantes.
quare &
earum di-
midiæ a h, b f; itemq́;
h d, f e;
&
quæ ipſas coniunguntrectæ
æquidiſtantes erunt.
æquidiſtãt igitur b a,
c d diametro m o: &
pariter a d, b c ipſi l n æquidiſtare o-
ſtendemus. Si igitur manẽte diametro a c intelligatur a b c
portio ellipſis ad portionem a d c moueri, cum primum b
applicuerit ad d, cõgruet tota portio toti portioni, lineaq́; b a lineæ a d;
&
b c ipſi c d congruet:
punctum uero e ca-
det in h; f in g:
&
linea k e in lineam k h:
&
k f in k g.
qua
re & el in h o, et fm in g n.
Atipſa lz in z o;
et m φ in φ n
cadet. congruet igitur triangulum l k z triangulo o k z:
et
ergo anguli l z k, o z k,
m φ k, n φ k æquales ſunt, ac recti. quòd cum etiam recti
ſint, qui ad k; æquidiſtabunt lineæ l o, m n axi b d.
&
ita.
Rurſus ſi
iungantur a l, l b, b m, m c, c n, n d, d o, o a: &
bifariam di
uidantur: à centro autem k ad diuiſiones ductæ lineæ pro-
trahantur uſque ad ſectionem in puncta p q r s t u x y: &
po
ſtremo p y, q x, r u, s t, q r, p s, y t, x u coniungantur. Simili-
ter oſtendemus lineas
quidiſtantes eſſe: &
q r,
p s, y t, x u æquidiſtan-
tesipſi a c. Itaque dico
harum figurarum in el-
lipſi deſcriptarum cen-
trum grauitatis eſſe pũ-
ctum k, idem quod & el
lipſis centrum. quadri-
lateri enim a b c d cen-
trum eſt k, ex decima e-
iuſdem libri Archime-
dis, quippe cũ in eo om
nes diametri cõueniãt. Sed in figura alb m c n
alb centrum grauitatis
trapezijq́;
a b m o centrum in linea e k:
trape
zij o m c d in k g: &
trianguli c n d in ipſa g n:
erit magnitu
dinis ex his omnibus conſtantis, uidelicet totius figuræ cen
trum grauitatis in linea l n: &
o b eandem cauſſam in linea
o m. eſt enim trianguli a o d centrum in linea o h:
trapezij
a l n d in h k: trapezij l b c n in k f:
&
trianguli b m c in fm.
cum ergo figuræ a l b m c n d o centrum grauitatis ſit in li-
nea l n, & in linea o m;
erit centrum ipſius punctum k, in
Poſtremo in figura
a p l q b r m s c t n u d x o y centrum grauitatis trian
guli pay, & trapezii ploy eſtin linea a z:
trapeziorum
uero lqxo, q b d x centrum eſtin linea z k: &
trapeziorũ
b r u d, r m n u in k φ: &
denique trapezii m s t n;
&
triangu
li s c t in φ c. quare magnitudinis ex his compoſitæ centrū
in linea a c conſiſtit. Rurſus trianguli q b r, &
trapezii q l
m r centrum eſt in linea b χ: trapeziorum l p s m, p a c s,
a y t c, y o n t in linea χ φ: trapeziiq;
o x u n, &
trianguli
x d u centrum in ψ d. totius ergo magnitudinis centrum
eſtin linea b d. ex quo ſequitur, centrum grauitatis figuræ
a p l q b r m s c t n u d x o y eſſe punctū _K_, lineis ſcilicet a c,
b d commune, quæ omnia demonſtrare oportebat.
Cuiuslibet portio-
ellipſis,
quæ dimidia non ſit
maior, centrum graui
tatis in portionis dia-
metro conſiſtit.
HOC eodem prorſus
modo demonſtrabitur,
quo in libro de centro gra
uitatis planorum ab Ar-
chimede demonſtratũ eſt,
in portione cõtenta recta
linea, & rectanguli coni ſe
ctione grauitatis cẽtrum
eſſe in diametro portio-
nis. Etita demonſtrari po
obtuſianguli coni ſe-
ctione, ſeu hyperbola continetur.
In circulo & ellipſiidem eſt figuræ &
graui-
tatis centrum.
SIT circulus, uel ellipſis, cuius centrum a.
Dico a gra-
uitatis quoque centrum eſſe. Si enim fieri poteſt, ſit b cen-
trum grauitatis: &
iuncta a b extra figuram in c produca
tur: quam uero proportionem habetlinea c a ad a b, ha-
beat circulus a ad alium circulum, in quo d; uel ellipſis ad
aliam ellipſim: &
in circulo, uel ellipſi ſigura rectilinea pla-
ne deſcribatur adeo, ut tandem relinquantur portiones
quædam minores circulo, uel ellipſid; quæ figura ſit e f g
h _k_ l m n. Illud uero in circulo fieri poſſe ex duodecimo
elementorum libro, propoſitione ſecunda manifeſte con-
ſtat; at in ellipſi nos demonſtra-
tam propoſitionem Archimedis
de conoidibus, & ſphæroidibus.
erit igitur a centrum grauitatis
ipſius figuræ, quod proxime oſtē
dimus. Itaque quoniam circulus
a ad circulum d; uel ellipſis a ad
ellipſim d eandem proportionē
habet, quam linea c a ad a b:
portiones uero ſunt minores cir
habebit circu-
lus, uel ellipſis ad portiones ma-
iorem proportionem, quàm c a
&
diuidendo figura recti-
linea e f g h _k_ l m n ad portiones
fiat o b ad b a,
ut figura rectilinea ad portio-
nes. cum igitur à circulo, uel el-
lipſi, cuius grauitatis centrum
eſt b, auferatur figura rectilinea
e f g h k l m n, cuius centrum a; reliquæ magnitudinis ex portio
tatis erit in linea a b producta,
& in puncto o, extra figuram po
ſito. quod quidem fieri nullo mo
do poſſe perſpicuum eſt. ſequi-
tur ergo, ut circuli & ellipſis cen
trum grauitatis ſit punctum a,
idem quod figuræ centrum.
Sit circulus, uel ellipſis a b c d,
cuius diameter d b, & centrum e:
ducaturq;
per e recta li
nea a c, ſecans ipſam d b adrectos angulos. erunt a d c,
a b c circuli, uel ellipſis dimidiæ portiones. Itaque quo-
niam por
cétrū gra-
uitatis eſt
in diame-
tro d e: &
portionis
a b c cen-
trum eſt ĩ
ipſa e b: to
tius circu
li, uel ellipſis grauitatis centrum eritin diametro d b. Sit autem portionis a d c cẽtrum grauitatis f:
&
ſumatur
erit g por-
tionis a b c centrum. nam ſi hæ portiones, quæ æquales
& ſimiles ſunt, inter ſe ſe aptentur, ita ut b e cadat in d e,
& punctum b in d cadet, &
g in f:
figuris autem æquali-
bus, & ſimilibus inter ſe aptatis, centra quoque grauitatis
ipſarum inter ſe aptata erunt, ex quinta petitione Archi-
medis in libro de centro grauitatis planorum. Quare cum
portionis a d c centrum grauitatis ſit ſ: &
portionis
a b c centrum g: magnitudinis;
quæ ex utriſque efficitur:
hoc eſt circuli uel ellipſis grauitatis centrum in medio li-
neæ f g, quod eſt e, conſiſtet, ex quarta propoſitione eiuſ-
dem libri Archimedis. ergo circuli, uel ellipſis centrum
grauitatis eſt idem, quod figuræ centrum. atque illud eſt,
quod demonſtrare oportebat.
Ex quibus ſequitur portionis circuli, uel ellip-
ſis, quæ dimidia maior ſit, centrum grauitatis in
diametro quoque ipſius conſiſtere.
Sit enim maior portio a b c, cu_i_us diameter b d, &
com-
pleatur circulus, uel ellipſis, ut portio reliqua ſit a e c, dia
Quoniam igitur circuli uel ellipſis
a e c b grauitatis centrum eſt in diametro b e, & portio-
nis a e c centrum in linea e d: reliquæ portionis, uidelicet
a b c centrum grauitatis in ipſa b d conſiſtat neceſſe eſt, ex
octaua propoſitione eiuſdem.
SI priſma ſecetur plano oppoſitis planis æqui
diſtante, ſectio erit figura æqualis & ſimilis ei,
quæ eſt oppoſitorum planorum, centrum graui
tatis in axe habens.
Sit priſma, in quo plana oppoſita ſint triangula a b c,
d e f; axis g h:
&
ſecetur plano iam dictis planis æquidiſtã
te; quod faciat ſectionem
K l m; &
axi in pũcto n occurrat.
Dico _k_ l m triangulum æquale eſſe, &
ſimile triangulis a b c
d e f; atque eius grauitatis centrum eſſe punctum n.
Quo-
niam enim plana a b c
rectæ li-
neæ a b, K l, quæ ſunt ip
ſorum cõmunes ſectio-
nes inter ſe ſe æquidi-
ſtant. Sed æquidiſtant
a d, b e; cum a e ſit para
lelogrammum, ex priſ-
matis diffinitione. ergo
& al parallelogrammũ
erit; &
propterea linea
Si-
militer demonſtrabitur
l m æquidiſtans, & æqua
lis b c; &
m
K ipſi c a.
Itaque quoniam duæ lineæ K l, l m ſe ſe tangentes, duabus
lineis ſe ſe tangentibus a b, b c æquidiſtant; nec ſunt in eo-
dem plano: angulus
K l m æqualis eſt angulo a b c: &
ita an
K, angulo b c a, & m
K lipſi c a b æqualis prob abi
tur. triangulum ergo
K l m eſt æquale, & ſimile triang ulo
a b c. quare &
triangulo d e f.
Ducatur linea c g o, &
per ip
ſam, & per c f ducatur planum ſecans priſma, cuius &
paral
lelogrammi a e communis ſectio ſit o p q. tranſibit linea
f q per h, & m p per n.
nam cum plana æquidiſtantia ſecen
tur à plano c q, communes eorum ſectiones c g o, m p, f q
ſibi ipſis æquidiſtabunt. Sed &
æquidiſtant a b,
K l, d e. an-
guli ergo a o c, K p m, d q f inter ſe æquales ſunt: &
ſunt
quare &
reliqui
reliquis æquales; &
triangula a c o, _K_ m p, d f q inter ſe ſimi
lia erunt. Vtigitur ca ad a o, ita fd ad d q:
&
permutando
eſt autem c a æqualis fd.
ergo &
a o ipſi d q. eadem quoque ratione &
a o ipſi _K_ p æqualis
demonſtrabitur. Itaque ſi triangula, a b c, d e f æqualia &
ſimilia inter ſe aptétur,
c g o. Sed &
centrũ gra
det. trãſibit igitur linea
f q per h: &
planum per
c o & c f ductũ per axẽ
g h ducetur: idcircoq;
li
neam m p etiã per n trã
ſire neceſſe erit. Quo-
niam ergo ſh, c g æqua-
les ſunt, & æquidiſtãtes:
itemq;
h q, g o;
rectæ li-
neæ, quæ ipſas cónectũt
c m f, g n h, o p q æqua-
les & æquidiſtãtes erũt.
ergo parallelogrãma ſunt
o n, g m, & linea m n æqualis c g;
&
n p ipſi g o.
aptatis igi-
tur K l m, a b c triãgulis, quæ æqualia & ſimilia sũt;
linea m p
in c o, & punctum n in g cadet.
Quòd cũ g ſit centrum gra-
uitatis trianguli a b c, & n trianguli
K l m grauitatis cen-
trum erit id, quod demonſtrandum relinquebatur. Simili
ratione idem contingere demonſtrabimus in aliis priſma-
tibus, ſiue quadrilatera, ſiue plurilatera habeant plana,
quæ opponuntur.
Exiam demonſtratis perſpicue apparet, cuius
Iibet priſmatis axem, parallelogrammorum lat eri
bus, quæ ab oppoſitis planis ducũtur æquidiſtare.
Cuiuslibet priſmatis centrum grauitatis eſt in
plano, quod oppoſitis planis æquidiſtans, reli-
quorum planorum latera bifariam diuidit.
Sit priſma, in quo plana, quæ opponuntur ſint trian-
gula a c e, b d f: &
parallelogrammorum latera a b, c d,
e f bifariam diuidãtur in punctis g h _K_: per diuiſiones au-
tem planum ducatur; cuius ſectio figura g h _K_.
eritlinea
h k ipſis c e, d f.
quare ex
decimaquinta undecimi elementorum, planum illud pla
nis a c e, b d f æquidiſtabit, & ſaciet ſectionem figu-
ſimilem, ut proxime demonſtra-
uimus. Dico centrum grauitatis priſmatis eſſe in plano
g h K. Si enim fieri poteſt, ſit eius centrum l:
&
ducatur
l m uſque ad planum g h K, quæ ipſi a b æquidiſtet.
Vtraque uero linearum a g, g b diuidatur in partes æqua-
les ipſi n g: &
per puncta diuiſionum plana oppoſitis pla-
erunt ſectiones figuræ æqua-
les, ac ſimiles ipſis a c e, b d f: &
totum priſma diuiſum erit
in priſmata æqualia, & ſimilia:
quæ cum inter ſe congruãt;
&
grauitatis centra ſibi ipſis congruentia, reſpondentiaq;
habebunt. Itaq:
nes quædã æqua-
les ipſi n h, & nu-
mero pares, qua-
rum centra gra-
uitatis in eadẽ re
cta linea conſti-
tuuntur: duæ ue-
ro mediæ æqua-
les ſunt: &
quæ ex
utraque parte i-
pſarum ſimili --
ter æquales: &
æ-
quales rectæ li-
neæ, quæ inter
grauitatis centra
interiiciuntur. quare ex corolla-
rio quintæ pro-
poſitionis primi
libri Archimedis
de centro graui-
tatis planorum; magnitudinis ex his omnibus compoſitæ
centrum grauitatis eſt in medio lineæ, quæ magnitudi-
num mediarum centra coniungit. at qui non ita res ha-
Conſtatigitur centrum grauitatis priſmatis eſſe in plano
At ſi op-
poſita plana in priſmate ſint quadrilatera, uel plurilatera,
eadem erit in omnibus demonſtratio.
Cuiuslibet cylindri, &
cuiuslibet cylindri por
tionis centrum grauitatis eſt in plano, quod baſi-
bus æquidiſtans, parallelogrammi per axem late-
ra bifariam ſecat.
SIT cylindrus, uel cylindri po rtio a c:
&
plano per a-
xem ducto ſecetur; cuius ſectio ſit parallelogrammum a b
c d: &
bifariam diuiſis a d, b c parallelogrammi lateribus,
per diuiſionum puncta e f planum baſi æquidiſtans duca-
tur; quod faciet ſectionem, in cy lindro quidem circulum
æqualem iis, qui ſunt in baſibus, ut demonſtrauit Serenus
in libro cylindricorum, propoſitione quinta: in cylindri
uero portione ellipſim æqualem, & ſimilem eis, quæ ſunt
in oppoſitis planis, quod nos
tariis in librum Archimedis
de conoidibus, & ſphæroidi-
bus. Dico centrum grauita-
tis cylindri, uel cylindri por-
tionis eſſe in plano e f. Si enĩ
fieri poteſt, fit centrum g: &
ducatur g h ipſi a d æquidi-
ſtans, uſque ad e f planum. Itaque linea a e continenter
diuiſa bifariam, erit tandem
pars aliqua ipſius k e, minor
g h. Diuidantur ergo lineæ
a e, e d in partes æquales ipſi
k e: &
per diuiſiones plana ba
ſibus æquidiſtantia ducãtur.
erunt iam ſectiones, figuræ æ-
quales, & ſimiles eis, quæ ſunt
in baſibus: atque erit cylindrus in cylindros diuiſus:
&
cy
lindri portio in portiones æquales, & ſimiles ipſi k f.
reli-
qua ſimiliter, ut ſuperius in priſmate concludentur.
Cuiuslibet priſmatis, &
cuiuslibet cylindri, uel
cylindri portionis grauitatis centrum in medio
ipſius axis conſiſtit.
Sit primum a f priſma æ quidiſtantibus planis contentũ,
quod ſolidum parallelepipedum appellatur: &
oppoſito-
rum planorum c f, a h, d a, f g latera bifariam diuidantur in
punctis k l m n o p q r s t u x: &
per diuiſiones ducantur
plana κ n, o r, s x. communes autem eorum planorum ſe-
ctiones ſint lineæ y z, θ φ, χ ψ: quæ in puncto ω conueniãt.
erit ex decima eiuſdem libri Archimedis parallelogrammi
c f centrum grauitatis punctum y; parallelogrammi a h
parallelogram mi a d, θ:
parallelogrammi f g, φ:
parallelogrammi d h, χ:
&
ψ: atque erit ω punctum me
dium uniuſcuiuſque axis, ui
delicet eius lineæ, quæ oppo
ſitorum planorũ centra con
iungit. Dico ω centrum effe
grauitatis ipſius ſolidi. eſt
enim, ut demonſtrauimus,
in plano K n; quod oppoſi-
tis planis a d, g f æ quidiſtans
reliquorum planorum late-
ra biſariam diuidit: &
fimili
rationeidem centrum eſt in plano o r, æ quidiſtante planis
a e, b f oppo ſitis. ergo in communi ipſorum fectione:
ui-
delicet in linea y z. Sed eſt etiam in plano t u, quod quidẽ
y z ſecat in ω. Conſtat igitur centrum grauitatis ſolidi eſſe
punctum ω, medium ſcilicet axium, hoc eſt linearum, quæ
planorum oppoſitorum centra coniungunt.
Sit aliud prima a f;
&
in eo plana, quæ opponuntur, tri-
angula a b c, d e f: diuiſisq;
bifariam parallelogrammorum
lateribus a d, b e, c f in punctis g h κ, per diuiſiones planũ
ducatur, quod oppoſitis planis æ quidiſtans faciet ſe ctionẽ
triangulum g h k æ quale, & ſimile ipſis a b c, d e f.
Rurſus
diuidatur a b bifariam in l: &
iuncta c l per ipſam, &
per
c _K_ f planum ducatur priſma ſecans, cuius, & parallelogrã
mi a e communis ſcctio ſit l m n. diuidet pun ctum m li-
neam g h bifariam; &
ita n diuidet lineam d e:
quoniam
triangula a c l, g k m, d f n æ qualia ſunt, & ſimilia, ut ſu pra
Iam ex iis, quæ tradita ſunt, conſtat cen
trum greuitatis priſmatis in plano g h k contineri. Dico
ipſum eſſe in linea k m. Si enim fieri poteſt, ſit o centrum;
per o ducatur o p ad k m ipſi h g æquidiſtans.
Itaque li
nea h m bifariã uſque eò diuidatur, quoad reliqua ſit pars
quædam q m, minor o p. deinde h m, m g diuidantur in
partes æ quales ipſi m q: &
per diuiſiones lineæ ipſi m K
æ quidiſtantes ducantur. puncta uero, in quibus hæ trian-
gulorum latera ſecant, coniungantur ductis lineis r s, t u,
quæ baſi g h æquidiſtabunt.
Quoniam enim lineæ g z,
h α ſunt æ quales: itemq;
æquales g m, m h:
ut m g ad g z,
ita erit m h, ad h α: &
diuidendo, ut m z ad z g, ita m α ad
α h. Sed ut m z ad z g, ita k r ad r g:
&
ut m α ad α h, ita k s
quare ut κ r ad r g, ita k s ad s h.
æ quidiſtant igitur
eadem quoque ratione demonſtrabimus
Et quoniam triangula, quæ
fiunt à lineis K y, y u, u s, s h æqualia ſuntinter ſe, & ſimilia
triangulo K m h: habebit triangulum K m h ad triangulũ
ſed _K_ h poſita eſt quadrupla ipſius k y.
ergo triangulum
κ m h ad triangulum _K_ δ y eãdem proportionem habebit,
quam ſexdecim ad unũ & ad quatuor triangula k δ y, y u,
u s, s α h habebit eandem, quam fexdecim ad quatuor, hoc
eſt quam h K ad κ y: &
ſimiliter eandem habere demonſtra
bitur trian-
ad quatuor
triãgula K δ
x, x γ t, t β r,
r z g. quare
gulum K g h
ad omnia tri
angula g z r,
r β t, t γ x, x δ
_K_, K δ y, y u,
u s, s α h ita
erit, ut h κ a d
k y, hoc eſt
ut h m ad m
q. Si igitur in
triangulis a b c, d e f deſcribantur figuræ ſimiles ei, quæ de-
ſcripta eſt in g h K triangulo: &
per lineas ſibi reſp onden-
tes plana ducantur: totum priſma a f diuiſum eritin tria
ſolida parallelepipeda y γ, u β, s z, quorum baſes ſunt æ qua
les & ſimiles ipſis parallelogrammis y γ, u β, s z:
&
in octo
priſmata g z r, r β t, t γ x, x δ K, κ δ y, y u, u s, s α h: quorum
item baſes æquales, & ſimiles ſunt dictis triangulis;
altitu-
do autem in omnibus, totius priſmatis altitudini æ qualis.
linea δ: ſolidi u β centrum eſt in linea ε η:
&
ſolidi s z in li
nea η m, quæ quidem lineæ axes ſunt, cum planorum oppo
ſitorum centra coniungant. ergo magnitudinis ex his ſoli
dis compoſitæ centrum grauitatis eſt in linea δ m, quod ſit
θ; &
iuncta θ o producatur:
à puncto autem h ducatur h μ
ipſi m κ æquidiſtans, quæ cum θ o in μ conueniat. triangu
lum igitur g h κ ad omnia triangula g z r, r β t, t γ x, x δ k,
κ δ y, y u, u s, s α h eandem habet proportionem, quam h m
ad m q; hoc eſt, quam μ θ ad θ λ:
nam ſi h m, μ θ produci in
telligantur, quouſque coeant; erit ob linearum q y, m k æ-
quidiſtantiam, ut h q ad q m, ita μ λ ad ad λ θ: &
componen
do, ut h m ad m q, ita μ θ ad θ λ. linea uero θ o maior eſt,
quàm θ λ: habebit igitur μ θ ad θ λ maiorem proportio-
quare triangulum etiam g h k ad omnia
iam dicta triangula maiorem proportionẽ habebit, quàm
μ θ ad θ o. ſed ut triangulũ g h k ad omnia triangula, ita to-
tũ priſma a f ad omnia priſmata g z r, r β t, t γ x, x δ k, k δ y,
y u, u s, s α h: quoniam enim ſolida parallelepipeda æque al
ta, eandem inter ſe proportionem habent, quam baſes; ut
ex trigeſimaſecunda undecimi elementorum conſtat. ſunt
ſes habentium dupla: ſequitur, ut etiam huiuſmodi priſ-
ergo totum priſma ad
omnia priſmata maiorem proportionem habet, quam μ θ
ad θ o: &
diuidendo ſolida parallelepipeda y γ, u β, s z ad o-
ad o θ. fiat @ o ad o θ, ut folida parallelepipeda y γ, u β, s z ad
omnia priſmata. Itaque cum à priſmate a f, cuius cẽtrum
grauitatis eſt o, auferatur magnitudo ex ſolidis parallelepi
pedis y γ, u β, s z conſtans: atque ipfius grauitatis centrum
ſit θ: reliquæ magnitudinis, quæ ex omnibus priſmatibus
conſtat, grauitatis centrum erit in linea θ o producta: &
in puncto ν, ex o ctaua propoſitione eiuſdem libri Archi-
ergo punctum v extra p riſima a f poſitum, centrũ
erit magnitudinis cõpoſitæ e x omnibus priſmatibus g z r,
r β t, t γ x, x δ k, k δ y, y u, u s, s α h, quod fieri nullo modo po
teſt. eſt enim ex diſſinitione centrum grauitatis ſolidæ figu
ræ intra ipſam poſitum, non extra. quare relinquitur, ut cẽ
trum grauitatis priſmatis ſit in linea K m. Rurſus b c bifa-
riam in ξ diuidatur: &
ducta a ξ, per ipſam, &
per lineam
a g d plan um ducatur; quod priſma ſecet:
faciatq;
in paral
lelogrammo b f ſectionem ξ π di uidet punctum π lineam
quoque c f bifariam: &
erit p lani eius, &
trianguli g h K
communis ſectio g u; quòd p ũctum u in inedio lineæ h K
Similiter demonſtrabimus centrum grauita-
tis priſm atis in ipſa g u ineſſe. ſit autem planorum c f n l,
a d π ξ communis ſectio linea ρ ο τ quæ quidem priſmatis
axis erit, cum tranſeat per centra grauitatis triangulorum
a b c, g h k, d e f, ex quartadecima eiuſdem. ergo centrum
grauitatis pri ſmatis a f eſt punctum σ, centrum ſcilicet
ipſius ρ τ axis medium.
Sit priſma a g, cuius oppoſita plana ſint quadrilatera
a b c d, e f g h: ſecenturq;
a e, b f, c g, d h bifariam:
&
per di-
uiſiones planum ducatur; quod ſectionem faciat quadrila-
terum _K_ l m n. Deinde iuncta a c per lineas a c, a e ducatur
planum ſecãs priſma, quod ipſum diuidet in duo priſmata
triangulares baſes habentia a b c e f g, a d c e h g. Sint autẽ
triangulorum a b c, e f g gra-
&
triangu-
lorum a d c, e h g centra q r: iunganturq;
o p, q r;
quæ pla-
no _k_ l m n occurrant in pun-
ctis s t. erit ex iis, quæ demon
ſtrauimus, punctum s grauita
tis centrum trianguli k l m; &
ipſius priſmatis a b c e f g: pun
ctum uero t centrum grauita
tis trianguli _K_ n m, & priſma-
tis a d c, e h g. iunctis igitur
o q, p r, s t, erit in linea o q cẽ
trum grauitatis quadrilateri
a b c d, quod ſit u: &
in linea
p r cẽtrum quadrilateri e f g h
ſit autem x. deniqueiungatur
u x, quæ ſecet lineam ſ t in y. ſe
cabit enim cum ſint in eodem
atq;
erit y grauitatis centrum quadril ateri _K_ lm n.
Dico idem punctum y centrum quoque gra uitatis eſſe to-
tius priſmatis. Quoniam enim quadri lateri k lm n graui-
tatis centrum eſt y: linea s y ad y t eandem proportionem
habebit, quam triangulum k n m ad triangulum k lm, ex 8
Archimedis de centro grauitatis planorum. Vtautem triã
gulum k n m ad ipſum k l m, hoc eſt ut triangulum a d c ad
triangulum a b c, æqualia enim ſunt, ita priſina a d c e h g
quare linea s y ad y t eandem propor-
tionem habet, quam priſma a d c e h g ad priſma a b c e f g. Sed priſmatis a b c e f g centrum grauitatis eſts:
&
priſma-
tis a d c e h g centrum t. magnitudinis igitur ex his compo
ſitæ, hoc eſt totius priſmatis a g centrum grauitatis eſt pun
ctum y; medium ſcilicet axis u x, qui oppoſitorum plano-
rum centra coniungit.
Rurſus ſit priſma baſim habens pentagonum a b c d e:
&
quod ei opponitur ſit f g h _K_ l:
ſec enturq;
a f, b g, c h,
d _k_, el bifariam: &
per diuiſiones ducto plano, ſectio ſit pẽ
tagonũ m n o p q. deinde iuncta e b per lineas le, e b aliud
planum ducatur, diuidẽs priſ
ma ſcilicet al, cuius plana op-
poſita ſint triangula a b e f g l: &
in prima b _k_ cuius plana op
poſita ſint quadrilatera b c d e
g h _k_ l. Sint autem triangulo-
rum a b e, f g l centra grauita
tis puncta r ſ: &
b c d e, g h _k_ l
quadrilaterorum centra tu:
iunganturq; r s, t u o ccurren-
tes plano m n o p q in punctis
x y. &
itidem iungãtur r t, ſu,
x y. erit in linea r t cẽtrum gra
uitatis pentagoni a b c d e;
quod ſit z: &
in linea ſu cen-
trum pentagoni f g h k l: ſit au
tem χ: &
ducatur z χ, quæ di-
cto plano in χ occurrat. Itaq;
punctum x eſt centrum graui
tatis trianguli m n q, ac priſ-
matis al: &
y grauitatis centrum quadrilateri n o p q, ac
priſmatis b k. quare y centrum erit pentagoni m n o p q.
&
ſe centrum. Simili ratione &
in aliis priſinatibus illud
idem ſacile demonſtrabitur. Quo autem pacto in omni
figura rectilinea centrum grauitatis inueniatur, do cuimus
in commentariis in ſextam propoſitionem Archimedis de
quadratura parabolæ.
Sit cylindrus, uel cylindri portio c e cuius axis a b:
ſece-
turq, plano per axem ducto; quod ſectionem faciat paral-
lelo grammum c d e f: &
diuiſis c f, d e bifariam in punctis
erit ſectio g h
circulus, uel ellipſis, centrum habens in axe; quod ſit K:
at-
planorum oppoſitorum puncta a b: &
plani g h ipſum _k_.
in
quo quidem plano eſt centrum grauitatis cylindri, uel cy-
lindri portionis. Dico punctum K cylindri quoque, uel cy
lindri portionis grauitatis centrum eſſe. Si enim fieri po-
teſt, ſitl centrum: ducaturq;
k l, &
extra figuram in m pro-
ducatur. quam uero proportionem habet linea m K ad _k_ l
&
in circulo, uel ellipſi plane deſcribatur rectilinea figura,
ita ut tãdem relinquãtur portiones minores ſpacio u, quæ
ſit o p g q r s h t: deſcriptaq;
ſimili figura in oppoſitis pla-
nis c d, f e, per lineas ſibi ipſis reſpondentes plana ducãtur.
Itaque cylindrus, uel cylindri portio diuiditur in priſma,
cuius quidem baſis eſt figura rectilinea iam dicta, centrum
que grauitatis punctum K: &
in multa ſolida, quæ pro baſi
bus habent relictas portiones, quas nos ſolidas portiones
appellabimus. cum igitur portiones ſint minores ſpacio
u, circulus, uel ellipſis g h ad portiones maiorem propor-
tionem habebit, quàm linea m k ad K l. fiat n k ad K l, ut
circulus uel ellipſis g h ad ipſas portiones. Sed ut circulus
uel ellipſis g h ad figuram rectilineam in ipſa deſcri-
ptam, ita eſt cylindrus uel cylindri portio c e ad priſma,
quod rectilineam figuram pro baſi habet, & altitudinem
æqualem; id, quod infra demonſtrabitur, ergo per conuer
ſionem rationis, ut circulus, uel ellipſis g h ad portiones re
lictas, ita cylindrus, uel cylindri portio c e ad ſolidas por-
tiones, quare cylindrus uel cylindri portio ad ſolidas por-
tiones eandem proportionem habet, quam linea n k a d _k_
& diuidendo priſma, cuius baſis eſt rectilinea figura ad ſo-
lidas portiones eandem proportionem habet, quam n lad
1 _k_. &
quoniam a cylindro uel cylindri portione, cuius gra-
uitatis centrum eſt l, aufertur priſma baſim habens rectili-
neam figurã, cuius centrũ grauitatis eſt _K_: reſiduæ magnitu
dinis ex ſolidis portionibus cõpoſitæ grauitatis cẽtrũ erit
in linea k l protracta, & in puncto n;
quod eſt abſurdū.
relin
quitur ergo, ut cẽtrum grauitatis cylindri; uel cylin dri por
tionis ſit punctũ k. quæ omnia demonſtrãda propoſuimus.
At uero cylindrum, uel cylindri portionẽ ce
ad priſma, cuius baſis eſt rectilinea figura in ſpa-
cio g h deſcripta, & altitudo æqualis;
eandem ha-
figuram, hoc modo demonſtrabimus.
Intelligatur circulus, uel ellipſis x æqualis figuræ rectili-
neæ in g h ſpacio deſcriptæ: &
ab x conſtituatur conus, uel
lindri portio c e. Sit deinde rectilinea figura, in quay eade,
quæ in ſpacio g h deſcripta eſt: &
ab hac pyramis æquealta
conſtituatur. Dico conũ uel coni portionẽ x pyramidiy æ-
qualẽ eſſe. niſi enim ſit æqualis, uel maior, uel minor erit.
Sit primum maior, et exuperet ſolido z.
Itaque in circu
lo, uel ellipſi x deſcribatur figura rectilinea; &
in ea pyra-
mis eandem, quam conus, uel coni portio altitudinem ha-
bens, ita ut portiones relictæ minores ſint ſolido z, quem-
admodum docetur in duodecimo libro elementorum pro
poſitione undecima. erit pyramis x adhuc pyramide y ma
ior. &
quoniam piramides æque altæ inter ſe ſunt, ſicuti ba
pyramis x ad piramidem y eandem proportionem ha-
bet, quàm figura rectilinea x ad figuram y. Sed ſigura recti
gura rectilinea y. ergo pyramis x pyramide y minor erit.
Sed &
maior;
quod fieri nõ poteſt.
At ſi conus, uel coni por
tio x ponatur minor pyramide y: ſit alter conus æque al-
tus, uel altera coni portio χ ipſi pyramidi y æqualis. erit
eius baſis circulus, uel ellipſis maior circulo, uel ellipſi x,
quorum exceſſus ſit ſpacium ω. Siigitur in circulo, uel elli-
pſi χ figura rectilinea deſcribatur, ita ut portiones relictæ
ſint ω ſpacio minores, eiuſinodi figura adhuc maior erit cir
culo, uel ellipſi x, hoc eſt figura rectilinea _y_. &
p_y_ramis in
ea conſtituta minor cono, uel coni portione χ, hoc eſt mi-
nor p_y_ramide_y_. eſt ergo ut χ figura rectilinea ad figuram
rectilineam _y_, ita pyramis χ ad pyramidem _y_. quare cum
figura rectilinea χ ſit maior figura_y_: erit &
p_y_ramis χ p_y_-
ramide_y_ maior. ſed erat minor;
quod rurſus fieri non po-
teſt. non eſt igitur conus, uel coni portio x neque maior,
neque minor p_y_ramide_y_. ergo ipſi neceſſario eſt æqualis.
Itaque quoniam ut conus ad conum, uel coni portio ad co
dri portio ad c_y_lindri portionem: &
ut p_y_ramis ad p_y_ra-
midem, ita priſma ad priſma, cum eadem ſit baſis, & æqua
lis altitudo; erit c_y_lindrus uel c_y_lindri portio x priſma-
ti _y_ æqualis. eftq;
ut ſpacium g h ad ſpacium x, ita c_y_lin-
drus, uel c_y_lindri portio c e ad c_y_lindrum, uel c_y_lindri por-
tionem x. Conſtatigitur c_y_lindrum uel c_y_lindri portionẽ
c e, ad priſina_y_, quippe cuius baſis eſt figura rectilinea in
ſpacium g h habet ad ſpacium x, hoc eſt ad dictam figuram. quod demonſtrandum fuerat.
Si pyramis ſecetur plano baſi æquidiſtante;
ſe-
ctio erit figura ſimilis ei, quæ eſt baſis, centrum
grauitatis in axe habens.
SIT pyramis, cuius baſis triangulum a b c;
axis d e:
&
ſecetur plano baſi æquidiſtante; quod ſectionẽ faciat f g h;
occurratq;
axi in puncto k.
Dico f g h triangulum eſſe, ipſi
a b c ſimile; cuius grauitatis centrum eſt K.
Quoniã enim
communes eorum ſectiones a b, f g æquidiſtantes erunt:
&
eadem ratione æquidiſtantes ipſæ b c, g h: &
c a, h f.
Quòd
cum duæ lineæ f g, g h, duabus a b, b c æquidiſtent, nec
ſintin eodem plano; angulus ad g æqualis eſt angulo ad
&
ſimiliter angulus ad h angulo ad c:
angulusq;
ad f ei,
qui ad a eſt æqualis. triangulum igitur f g h ſimile eſt tri-
angulo a b c. At uero punctum k centrum eſſe grauita-
tis trianguli f g h hoc modo oſtendemus. Ducantur pla-
na per axem, & per lineas d a, d b, d c:
erunt communes ſe-
pariterq;
k g, e b;
&
k h, e c:
quare angulus k f h angulo e a c;
&
angulus k f g ipſi e a b
Eadem ratione
&
anguli ad h iis, qui ad c æ-
quales erunt. ergo puncta
e _K_ in triangulis a b c, f g h
ſimiliter ſunt poſita, per ſe-
xtam poſitionem Archime-
dis in libro de centro graui-
tatis planorum. Sed cum e
ſit centrum grauitatis trian
guli a b c, erit ex undecíma
propoſitione eiuſdem libri,
& K trianguli f g h grauita
tis centrum. id quod demonſtrare oportebat.
Non aliter
in ceteris pyramidibus, quod propoſitum eſt demonſtra-
bitur.
Data qualibet pyramide, fieri poteſt, ut fi-
gura ſolida in ipſa in ſcribatur, & altera circũſcri-
batur ex priſmatibus æqualem aItitudinem ha-
bẽtibus, ita ut cir cumſcripta inſcriptam excedat
magnitudine, quæ minor ſit quacũque ſolida ma
gnitudine propoſita.
Sit pyramis, cuius baſis
triangulũ a b c; axis d e.
Sitq;
priſma, quod eandẽ
baſim habeat, & axem eun
dem. Itaque hoc priſma-
te continenter ſecto bifa-
riam, plano baſi æquidiftã
te, relinquetur tãdem priſ
ma quoddam minus pro-
poſita magnitudine: quod
quidem baſim eandem ha
beat, quam pyramis, & a-
xem e f. diuidatur d e in
partes æquales ipſi e f in
punctis g h k l m n: &
per
diuiſiones plana ducãtur:
quæ baſibus æquidiſtent,
erunt ſectiones, triangula
ipſi a b c ſimilia, ut proxi-
me oſtendimus. ab uno
quoque autẽ horum trian
gulorum duo priſmata cõ
ſtruantur; unum quidem
ad partes e; alterum ad
in pyramide igitur inſcripta erit quædam figura,
ex priſinatibus æqualem altitudinem habentibus cóſtans,
ad partes e: &
altera circumſcripta ad partes d.
Sed unum-
quodque eorum priſmatum, quæ in figura inſcripta conti-
nentur, æquale eſt priſmati, quod ab eodem fit triangulo in
figura circumſcripta: nam priſma p q priſmati p o eſt æ-
quale; priſma s t æquale priſmati s r;
priſma x y priſmati
x u; priſma η θ priſinati η z;
priſina μ ν priſmati μ λ;
priſ-
ma ρ σ priſmati ρ π; &
priſma φ χ priſinati φ τ æquale.
re-
linquitur ergo, ut circumſcripta figura exuperet inſcriptã
priſmate, quod baſim habet a b c triangulum, & axem e f.
Illud uero minus eſt ſolida magnitudine propoſita.
Eadȩ
ratione inſcribetur, & circumſcribetur ſolida figura in py-
ramide, quæ quadrilateram, uel plurilaterã baſim habeat.
Dato cono, fieri poteſt, ut figura ſolida in-
ſcribatur, & altera circumſcribatur ex cylindris
æqualem habentibus altitudinem, ita ut circum-
ſcripta ſuperet inſcriptam, magnitudine, quæ ſo-
lida magnitudine propoſita ſit minor.
SIT conus, cuius axis b d:
&
ſecetur plano per axem
ducto, ut ſectio ſit triangulum a b c: intelligaturq;
cylin-
drus, qui baſim eandem, & eundem axem habeat.
Hoc igi-
tur cylindro continenter bifariam ſecto, relinquetur cylin
drus minor ſolida magnitudine propoſita. Sit autem is cy
lindrus, qui baſim habet circulum circa diametrum a c, &
axem d e. Itaque diuidatur b d in partes æquales ipſi d e
in punctis f g h _K_lm: &
per ea ducantur plana conum ſe-
cantia; quæ baſi æquidiſtent.
erunt ſectiones circuli, cen-
tra in axi habentes, ut in primo libro conicorum, propoſi-
Si igitur à ſingu-
lis horum circulorum, duo cylindri fiant; unus quidem ad
baſis partes; alter ad partes uerticis:
inſcripta erit in co-
no ſolida quædam figura, & altera circumſcripta ex cylin-
dris æqualem altitudinem habentibus conſtans; quorum
unuſquiſque, qui in
tinetur æqualis eſt ei,
qui ab eodem fit cir-
culo in figura circũ-
ſcripta. Itaque cylin
drus o p æqualis eſt
cylindro o n; cylin-
drus r s cylĩdro r q; cylindrus u x cylin-
dro u t cſt æqualis;
& alii aliis ſimiliter.
quare conſtat circũ-
ſcriptam figuram ſu-
perare inſcriptam cy
lindro, cuius baſis eſt
circulus circa diametrum a c, & axis d e.
atque hic eſtmi-
nor ſolida magnitudine propoſita.
Data coni portione, poteſt ſolida quædam
figura inſcribi, & altera circumſcribi ex cylindri
portionibus æqualem altitudinem habentibus; ita ut circumſcripta inſcriptam exuperet, magni
tudine, quæ minor ſit ſolida magnitudine pro-
poſita.
Figuram ciuſmodi, &
inſcribemus, &
circũſcribemus, ita
ut in cono dictum eſt.
Data ſphæræ portione, quæ dimidia ſphæ-
ra maior non ſit, poteſt ſolida quædam portio in-
ſcribi & altera circumſcribi ex cylindris æqualem
altitudinem habentibus, ita ut circumſcripta in-
ſcriptam excedat magnitudine, quæ ſolida ma-
gnitudine propoſita ſit minor.
HOC etiam eodem prorſus modo fiet:
atque ut ab
Archimede traditum eſt in conoidum, & ſphæroidum por
tionibus, propofitione uigeſimaprima libri de conoidi-
bus, & ſphæroidibus.
Cuiuslibet pyramidis, &
cuiuslibet coni, uel
coni portionis, centrum grauitatis in axe cõſiſtit.
SIT pyramis, cuius baſis triangulum a b c:
&
axis d e.
Dico in linea d e ipſius grauitatis centrum ineſſe.
Si enim
fieri poteſt, ſit centrum f: &
ab f ducatur ad baſim pyrami
dis linea f g, axi æquidiſtans: iunctaq;
e g ad latera trian-
guli a b c producatur in h. quam uero proportionem ha-
bet linea h e ad e g, habeat pyramis ad aliud ſolidum, in
quo K: inſcribaturq;
in pyramide ſolida figura, &
altera cir
cumſcribatur ex priſmatibus æqualem habentibus altitu-
dinem, ita ut circumſcripta inſcriptam exuperet magnitu-
dine, quæ ſolido _k_ ſit minor. Et quoniam in pyramide pla
num baſi æquidiſtans ductum ſectionem facit figuram ſi-
milem ei, quæ eſt baſis; centrumq;
grauitatis in axe haben
tem: erit priſmatis s t grauitatis centrũ in linear q;
priſ-
matis u x centrum in linea q p; priſmatis y z in linea p o;
priſmatis η θ in l_i_nea o n; priſmatis λ μ in linea n m;
priſ-
matis ν π in m l; &
denique priſmatis ρ σ in l e.
quare to-
quod ſit τ:
iũ-
producta, à
puncto h du-
catur linea a-
xi pyramidis
æquidiſtans,
quæ cũ linea
τ f conueniat
in φ. habebit
φ τ ad τ f ean-
dem propor-
tionem, quã
h e ad e g. Quoniam igi
tur exceſſus,
quo circũſcri
pta figura in-
ſcriptam ſupe
rat, minor eſt
ſolido K; py-
ramis ad eun-
dẽ exceſsũ ma
ioré propor-
tionȩ habet,
quàm ad _K_ ſo
lidum: uideli
cet maiorem,
quàm linea h
e ad e g; hoc
eſt quam φ τ
ad τ f: &
propterea multo maiorem habet ad partem ex-
ceſſus, quæ intra pyramidem comprehenditur. Itaque ha-
erit diuidendo ut χ f ad f τ, ita fi
gura ſolida inſcripta ad partem exceſſus, quæ eſtintra pyra
midem. Cum ergo à pyramide, cuius grauitatis cẽtrum eſt
punctum f, ſolida figura inſcripta auferatur, cuius centrũ
τ: reliquæ magnitudinis conſtantis ex parte exceſſus, quæ
eſtintra pyramidem, centrum grauitatis erit in linea τ f
producta, & in puncto χ.
quod fieri non poteſt.
Sequitur
igitur, ut centrum grauitatis pyramidis in linea d e; hoc
eſt in eius axe conſiſtat.
Sit conus, uel coni portio, cuius axis b d:
&
ſecetur plano
per axem, ut ſectio ſit triangulum a b c. Dico centrum gra
uitatis ipſius eſſe in linea b d. Sit enim, ſi fieri poteſt, centrũ
perq;
e ducatur e f axi æquidiſtans:
&
quam propor-
tionem habet c d ad d f, habeat conus, uel coni portio ad
ſolidum g. inſcribatur ergo in cono, uel coni portione ſoli
altera circumſcribatur ex cylindris, uel cylin-
dri portionibus, ſicuti dictum eſt, ita ut exceſſus, quo figu-
ra circumſcripta inſcriptam ſuperat, ſit ſolido g minor. Itaque centrum grauitatis cylindri, uel cylindri portionis
q r eſt in linea p o; cylindri, uel cylindri portionis st cen-
trum in linea on; centrum u x in linea n m;
y z in m b;
η @
in 1k; λ μ in K h;
&
denique ν π centrum in h d.
ergo figu-
Sitautem ρ:
&
iun-
cta ρ e protendatur, ut cum linea, quæ à pũctoc ducta fue-
rit axi æquidiſtans, conueniat in σ. erit σ ζ ad ρ e, ut c d
ad d f: &
conus, ſeu coni portio ad exceſſum, quo circum-
ſcripta figura inſcriptam ſuperat, habebit maiorem pro-
portionem, quàm σ ζ ad ρ e. ergo ad partem exceſſus, quæ
intra ipſius ſuperficiem comprehenditur, multo maiorem
proportionem habebit. habeat eam, quam τ ρ ad ρ e.
erit
tem, ut τ e ad e ρ. &
quoniam à cono, ſeu coni portione,
cuius grauitatis centrum eſt e, aufertur figura inſcripta,
cuius centrum ρ: reſiduæ magnitudinis compoſitæ ex par
te exceſſus, quæ intra coni, uel coni portionis ſuperficiem
continetur, centrum grauitatis erit in linea ζ e protracta,
atque in puncto τ. quod eſt abſurdum.
cõſtat ergo centrũ
grauitatis coni, uel coni portionis, eſſe in axe b d: quod de
monſcrandum propoſuimus.
Cuiuslibet portionis ſphæræ uel ſphæroidis,
quæ dimidia maior non ſit: itemq́;
cuiuslibet por
tionis conoidis, uel abſciſſæ plano ad axem recto,
uel non recto, centrum grauitatis in axe con-
ſiſtit.
Demonſtratio ſimilis erit ei, quam ſupra in cono, uel co
ni portione attulimus, ne toties eadem fruſtra iterentur.
In ſphæra, &
ſphæroide idem eſt grauitatis, &
figuræ centrum.
Secetur ſphæra, uel ſphæroid
quod ſectionem faciat circulum,
diameter, & ſphæræ, uelſphæroidis axis d b;
&
centrume.
Dico e grauitatis etiam centrum eſſe. ſecetur enim altero
plano per e, ad planum ſecans recto, cuius fectio ſit circu-
lus circa diametrum a c. erunt a d c, a b c dimidiæ portio-
nes ſphæræ, uel fphæroidis. &
quoniam portionis a d c gra
uitatis centrum eſt in linea d, & centrum portionis a b c in
ipſa b e; totius ſphæræ, uel ſphæroidis grauitatis centrum
in axe d b conſiſtet. Quòd ſi portionis a d c centrum graui
tatis ponatur eſſe f. &
fiat ipſi f e æqualis e g:
punctũ g por
ſolidis enim figuris ſimilibus &
centra grauitatis ipſarum in-
ter fe aptentur neceſſe eſt. ex quo fit, ut magnitudinis, quæ
uitatis centrum ſitin medio lineæ f g, uidelicet in e. Sphæ-
ræ igitur, uel ſphæroidis grauitatis centrum eſtidem, quod
centrum figuræ.
Ex demonſtratis perſpicue apparet, portioni
ſphæræ uel ſphæroidis, quæ dimidia maior eſt, cẽ
trum grauitatis in axe conſiſtere.
Data enim
ri portiõe, quo
niã totius ſphæ
ræ, uel ſphæroi
dis grauitatis
centrum eſt in
axe; eſt autem
& in axe cen-
trum portio-
nis minoris: reliquæ portionis uidelicet maioris centrum in axe neceſ-
ſario conſiſtet.
Cuiuslibet pyramidis triã
uitatis centrum eſt in pun-
cto, in quo ipſius axes con-
ueniunt.
Sit pyramis, cuius baſis trian
gulum a b c, axis d e: ſitq;
trian
guli b d c grauitatis centrum f: &
iungatur a f.
erit &
a faxis eiuſ
dem pyramidis ex tertia diffini-
tione huius. Itaque quoniam centrum grauitatis eſt in
axe d e; eſt autem &
in axe a f;
quod proxime demonſtraui
erit utique grauitatis centrum pyramidis punctum
g: in quo ſcilicet ipſi axes conueniunt.
Si ſolidum parallelepipedum ſecetur plano
baſibus æquidiſtante; erit ſolidum ad ſolidum,
ſicut altitudo ad altitudinem, uel ſicut axisad
axem.
Sit ſolidum parallelepipe
k 1: ſeceturq;
plano baſibus
æquidiſtante, quod faciat
fectionem m n o p; &
axi in
puncto q occurrat. Dico
ſolidum g m ad ſolidum m c
eam proportionem habere,
quam altitudo ſolidi g m ha-
betad ſolidi m c altitudi-
nem; uel quam axis k q ad
axem q l. Sienim axis K l ad
baſis planum ſit perpendicu
laris, & linea g c, quæ ex quin
ta huius ipſi k l æquidiſtat,
perpendicularis erit ad idẽ
planum, & ſolidi altitudi-
nem dimetietur. Itaqueſo-
eam proportionem habet,
quam parallelogrammũ g n
ad parallelogrammum n c,
hoc eſt quam linea g o, quæ
axis k q ad q l axem. Si uero axis k l non ſit perpendicularis
ad planum baſis; ducatur a puncto k ad idem planum per
pendicularis k r, occurrẽs plano m n o p in s. ſimiliter de-
mõſtrabimus ſolidum g m ad ſoli
ad axem q l. Sed ut K q ad q l, ita k s altitudo ad altitudi-
nem s r, nam lineæ K l, K r à planis æquidiſtantibus in eaſ-
ergo ſolidum g m ad ſolidum
m c eandẽ proportionem habet, quam altitudo ad altitu
dinẽ, uel quam axis ad axem. quod demõſtrare oportebat.
Solida parallelepipedain eadem baſi, uel in
æqualibus baſibus conſtituta eam inter ſe propor
tionem habent, quam altitudines: &
ſi axes ipſo-
rum cum baſibus æquales angulos contineant,
eam quoque, quam axes proportionem habebũt.
Sint ſolida parallelepipeda in eadẽ baſi cõſtituta a b c d,
a b e f: &
ſit ſolidi a b c d altitudo minor:
producatur au-
tem planum c d adeo, utſolidum a b e f ſecet; cuius ſectio
ſit g h. erũſoli
in eadem baſi,
& æquali altitu
dine inter ſe æ-
qualia. Quoniã
igitur ſolidum
a b e f ſecatur
plano baſibus
æquidiſtãte, erit
ſolidum g h e f
componendo conuertendo
que ſolidum a b g h, hoc eſt ſolidum a b c d ipſi æquale, ad
titudinem.
Sint ſolida parallelepipeda a b, c d in æqualibus baſibus
conſtituta: ſitq;
b e altitudo ſolidi a b:
&
ſolidi c d altitudo
d f; quæ quidem maior ſit, quàm b e.
Dico ſolidum a b ad
ſolidum c d eandem habere proportionem, quam be ad
d f. abſcindatur enim à linea d f æqualis ipſi b e, quæ ſit g f:
&
per g ducatur planum ſecans ſolidum c d;
quod baſibus
æquidiſtet, faciatq; ſectionẽ h K.
erunt ſolida a b, c k æque
cũ æqua-
les baſes
habeant. Sed ſolidũ
dum c _K_
eſt, ut alti
tudo d g
ad g f alti-
tudinẽ ſe
catur enim ſolidum c d plano baſi
&
rurſus cõpo-
nendo, conuertendoq; ſolidũ c _k_
ad ſolidum c d, ut g f ad fd. ergo
c k ad ſolidum c d eam proportio
nem habet, quam altitudo g f, hoc
eſt b e ad d f altitudinem.
Sint deinde ſolida parallelepipe
da a b, a c in eadem baſi; quorum
axes d e, ſ e cum ipſa æquales angu
Dico ſolidum a b ad ſolidum a c eãdem ha
bere proportionem, quam axis d e ad axem e f. Sienim
axes in eadem recta linea fuerint conſtituti, hæc duo ſoli-
da, in unum, atque i @m ſolidum conuenient. quare ex
iis, quæ proxime tradita ſunt, habebit ſolidum a b ad ſo-
lidum a c eandem proportionem, quam axis d e ad e f
axem. Siuero axes non ſint in eadem recta linea, demittan
tur a punctis d, f perpendiculares ad baſis planum, d g, fh: &
iungantur e g, e h.
Quoniam igitur axes cum baſibus
æquales angulos eontinent, erit d e g angulus æqualis an-
gulo f e h: &
ſunt
cti, quare & re-
liquus e d g æqua
lis erit reliquo
e fh: &
triangu-
lum d e g triãgu-
lo f e h ſimile. er-
go g d ad d e eſt,
ut h f ad f e: &
per
mutando g d ad
h f, ut d e ad e f. Sed ſolidum a b
ad ſolidum a c
eandem propor-
tionem habet,
quam d g altitu-
do ad altitudinẽ
f h. ergo &
ean-
dẽ habebit, quã
axis d e a l e f axẽ
Poſtremo ſint
ſolida parallelepi
peda a b, c d in
gulos faciant. Dico ſolidum a b adſolidũ c d ita eſſe, ut axis
e f ad axem g h: nam ſi axes ad planum baſis recti ſint, il-
lud perſpicue conſtat: quoniam eadem linea, &
axem &
ſoli
di altitudinem determinabit. Si uero ſintinclinati, à pun-
ctis e g ad ſubiectum planum perpendiculares ducantur
e k, g l: &
iungantur f_k_, h l.
rurſus quoniam axes cum ba
ſibus æquales faciunt angulos, eodem modo demonſtrabi
tur, triangulum e f K triangulo g h l ſimile eſſe: &
e k ad g l,
ut e f ad g h. Solidum autem a b ad ſolidum c d eſt, ut
e K ad g l. ergo &
ut axis e f ad axem g h.
quæ omnia de
monſtrare oportebat.
Ex iis quæ demonſtrata ſunt, facile conſtare
poteſt, priſmata omnia & pyramides, quæ trian-
gulares baſes habent, ſiue in eiſdem, ſiue in æqua
libus baſibus conſtituantur, eandem proportio-
&
ſi axes cum ba
ſibus æquales angulos contineant, ſimiliter ean-
dem, quam axes, habere proportionem: ſunt
res baſes habentiũ dupla; &
pyramidum ſextupla.
Priſmata omnia &
pyramides, quæ in eiſdem,
uel æqualibus baſibus conſtituuntur, eam inter
ſe proportionem habent, quam altitudines: &
ſi
axes cum baſibus faciant angulos æquales, eam
etiam, quam axes habent proportionem.
Sint duo priſmata a e, a f, quorum eadem baſis quadri-
latera a b c d: ſitq;
priſmatis a e altitudo e g;
&
priſmatis
a f altitudo f h. Dico priſma a e ad priſma a f eam habere
proportionem, quam e g ad f h. iungatur enim a c:
&
in
unoquoque priſmate duo priſmata intelligantur, quorum
baſes ſint triangu
habe
bunt duo priſma-
te in eadem baſi
a b c conſtituta,
proportionem eã
dem, quam ipſo-
rum altitudines e
g, f h, exiam de-
monſtratis. &
ſi-
militer alia duo,
quæ ſunt in baſi a
c d. quare totum priſma a e ad priſma a f eandem propor
Quòd cum priſmata ſint pyramidum tripla, &
ipſæ pyrami
des, quarum eadem eſt baſis quadrilatera, & altitudo priſ-
matum altitudini æqualis, eam inter ſe proportionem ha-
bebunt, quam altitudines.
Si uero priſmata baſes æquales habeant, nõ eaſdem, ſint
duo eiuſmodi priſmata a e, f l: &
ſit baſis priſmatis a e qua
drilaterum a b c d; &
priſmatis f l quadrilaterum f g h k.
Dico priſma a e ad priſma f l ita eſſe, ut altitudo illius ad
huius altitudinem. nam ſi altitudo ſit eadem, intelligãtur
duæ pyramides a b c d e, f g h k l. quæ ĩter ſe æquales erũt,
altitudinem eandem habeant.
quare
& priſmata a e, f l, quæ ſunt harù pyramidum tripla, æqua-
ex quibus perſpicue conſtat propoſitũ.
Si uero altitudo priſmatis f l ſit maior, à priſmate f l ab-
ſcindatur priſma fm, quod æque altum ſit, atq; ipſum a e.
e, f m inter ſe æ-
qualia. quare ſi-
militer demon-
ſtrabitur priſma
f m ad priſma f l
eandem habere
proportionem,
quam priſmatis
f m altitudo ad
altitudinem ip-
ſius f l. ergo &
priſma a e ad priſma f l eandem propor-
tionem habebit, quam altitudo ad altitudinem. ſequitur
igitur ut & pyramides, quæ in æqualibus baſibus conſtituũ
tur, eandem inter ſe ſe, quam altitudines, proportionem
habeant.
Sint deinde priſmata a e, a f in eadem baſi a b c d;
quorũ
axes cum baſibus æ quales angulos contineant: &
ſit priſ-
&
priſmatis a f axis l h.
Dico priſma
a e ad priſma a f eam proportionem habere, quam g h ad
h l. ducantur à punctis g l perpendiculares ad baſis pla-
num g K, l m: &
iungantur k h,
Itaque quoniam anguli g h
k, l h m ſunt æquales, ſimiliter ut
ſupra demonſtrabimus, triangu-
la g h K, l h m ſimilia eſſe; &
ut g
K adlm, ita g h ad h l. habet au
tem priſma a e ad priſma a f ean
dem proportionem, quam altitu
do g k ad altitudinem l m, ſicuti
demonſtratum eſt. ergo &
ean-
dem habebit, quam g h, ad h l. py
ramis igitur a b c d g ad pyrami-
dem a b c d l eandem proportio-
nem habebit, quam axis g h ad h l axem.
Denique ſint priſmata a e, k o in æqualibus baſibus a b
c d, k l m n conſtituta; quorum axes cum baſibus æquales
faciant angulos: ſitq;
priſmatis a e axis f g, &
altitudo f h:
priſmatis autem k o axis p q, &
altitudo p r.
Dico priſma
a e ad priſma k o ita eſſe, ut f g ad p q. iunctis enim g h,
ad p r. ſed priſma a e ad ipſum k o eſt, ut f h ad p r.
ergo
& ut f g axis ad axem p q.
ex quibus fit, ut pyramis a b c d f
ad pyrami-
eandem-ha
beat pro-
portionẽ,
quãaxis ad
axẽ. quod
demonſtrã
dũ fuerat.
Simili ra
tione in a-
liis priſma-
tibus & py
ramidibus eadem demonſtrabuntur.
Priſmata omnia, &
pyramides inter ſe propor
tionem habent compoſitam ex proportione ba-
ſium, & proportione altitudinum.
Sint duo priſmata a e, g m:
ſitq;
priſmatis a e baſis qua
drilaterum a b c d, & altitudo e f:
priſmatis uero g m ba-
fis quadrilaterum g h K l, & altitudo m n.
Dico priſma a e
ad priſma g m proportionem habere compoſitam ex pro
portione baſis a b c d ad baſim g h k l, & ex proportione
altitudinis e f, ad altitudinem m n.
Sint enim primum e f, m n æquales:
&
ut baſis a b c d
ad baſim g h k l, ita fiat linea, in qua o ad lineam, in qua p: ut autem e f ad m n, ita linea p ad lineam q.
erunt lineæ
p q inter ſe æquales. Itaque priſma a e ad priſma g m eã
ſi enim intelligantur duæ pyramides a b c d e, g h k l m, ha-
bebunt hæ inter ſe proportionem eandem, quam ipſarum
baſes ex ſexta duodecimi elementorum. Sed ut baſis a b c d
ad g h K l baſim, ita linea o ad lineam p; hoc eſt ad lineam q
ei æqualem. ergo priſma a e ad priſma g m eſt, ut linea o
ad lineam q. proportio autem o ad q cõpoſita eſt ex pro-
portione o ad p, & ex proportione p ad q.
quare priſma
a e ad priſma g m, & idcirco pyramis a b c d e, ad pyrami-
dem g h K l m proportionem habet ex eiſdem proportio-
nibus compoſitam, uidelicet ex proportione baſis a b c d
ad baſim g h _K_ l, & ex proportione altitudinis e f ad m n al
titudinem. Quòd ſi lineæ e f, m n inæquales ponantur, ſit
e f minor: &
ut e f ad m n, ita fiat linea p ad lineam u:
de
&
per r duca-
tur planum, quod oppoſitis planis æquidiſtans faciat ſe-
ctionem s t. erit priſma a e, ad priſma g t, ut baſis a b c d
ad baſim g h k l; hoc eſt ut o ad p:
ut autem priſma g t ad
priſma g m, ita altitudo r n; hoc eſt e f ad altitudinẽ m n;
ergo ex æquali priſma a e ad
priſma g m eſt, ut linea o ad ipſam u. Sed proportio o ad
u cõpoſita eſt ex proportione o ad p, quæ eſt baſis a b c d
ad baſim g h k l; &
ex proportione p ad u, quæ eſt altitudi-
nis e f ad altitudinem m n. priſma igitur a e ad priſma g m
& proportione altitudinum.
Quare &
pyramis, cuius ba-
ſis eſt quadrilaterum a b c d, & altitudo e f ad pyramidem,
altitudo m n, compoſi
tam habet proportionem ex proportione baſium a b c d,
g h k l, & ex proportione altitudinum e f, m n.
quod qui-
dem demonſtraſſe oportebat.
Ex iam demonſtratis perſpicuum eſt, priſma
ta omnia, & pyramides, in quibus axes cum baſi-
bus æquales angulos continent, proportionem
habere compoſitam ex baſium proportione, &
proportione axium. demonſttatum eſt enim, a-
xes inter ſe eandem proportionem habere, quam
ipſæ altitudines.
Cvivslibet pyramidis, & cuiuslibet coni,
ditur, ut pars, quæ terminatur ad uerticem reli-
quæ partis, quæ ad baſim, ſit tripla.
Sit pyramis, cuius baſis triangulum a b c;
axis d e;
&
gra
uitatis centrum _K_. Dico lineam d k ipſius _K_ e triplam eſſe.
trianguli enim b d c centrum grauitatis ſit punctum f;
triã
guli a d c centrũ g; &
trianguli a d b ſit h:
&
iungantur a f,
b g, c h. Quoniam igitur centrũ grauitatis pyramidis in axe
cõſiſtit: ſuntq;
d e, a f, b g, c h eiuſdẽ pyramidis axes:
conue
Itaque animo concipiamus hanc pyramidem diuiſam in
quatuor pyramides, quarum baſes ſint ipſa pyramidis
triangula; &
axis pun-
ramides inter ſe æquales
ſunt, ut demõſtrabitur. Ducatur enĩ per lineas
d c, d e planum ſecãs, ut
ſit ipſius, & baſis a b c cõ
munis ſectio recta linea
c e l: eiuſdẽ uero &
triã-
guli a d b ſitlinea d h l.
erit linea a l æqualis ipſi
l b: nam centrum graui-
tatis trianguli conſiſtit
in linea, quæ ab angulo
ad dimidiam baſim per-
ducitur, ex tertia deci-
ma Archimedis. quare
eſt triangulo b c l: &
propterea pyramis, cuius baſis trian-
gulum a c l, uertex d, eſt æqualis pyramidi, cuius baſis b c l
triangulum, & idem uertex.
pyramides enim, quæ ab eodẽ
baſes. eadem ratione pyramis a c l k pyramidi b c l k:
&
py
ramis a d l k ipſi b d l k pyramidi æqualis erit. Itaque ſi a py
ramide a c l d auferantur pyramides a clk, a d l k: &
à pyra
mide b c l d auferãtur pyramides b c l k, d b l K: quæ relin-
quuntur erunt æqualia. æqualis igitur eſt pyramis a c d k
pyramidi b c d _K_. Rurſus ſi per lineas a d, d e ducatur pla-
num quod pyramidem ſecet: ſitq;
eius &
baſis communis
ſectio a e m: ſimiliter oſtendetur pyramis a b d K æqualis
pyramidi a c d K. ducto denique alio piano per lineas c a,
a f: ut eius, &
trianguli c d b communis ſectio ſit c fn, py-
ramis a b c k pyramidi a c d K æqualis demonſtrabitur. cũ
ergo tres pyramides b c d _k_, a b d k, a b c k uni, & eidem py
ramidia c d k ſint æquales, omnes inter ſe ſe æquales erũt. Sed ut pyramis a b c d ad pyramidem a b c k, ita d e axis ad
axem k e, ex uigeſima propoſitione huius: ſunt enim hæ
pyramides in eadem baſi, & axes cum baſibus æquales con
tinent angulos, quòd in eadem recta linea conſtituantur.
quare diuidendo, ut tres pyramides a c d k, b c d _K_, a b d _K_
ad pyramidem a b c _K_, ita d _k_ ad _K_ e. conſtat igitur lineam
d K ipſius _K_ e triplam eſſe. ſed &
a k tripla eſt K f:
itemque
b K ipſius _K_ g: &
c
K ipſius K l tripla. quod eodem modo
demonſtrabimus.
Sit pyramis, cuius baſis quadrilaterum a b c d;
axis e f:
&
diuidatur e fin g, ita ut e g ipſius g f ſit tripla.
Dico cen-
trum grauitatis pyramidis eſſe punctum g. ducatur enim
linea b d diuidens baſim in duo triangula a b d, b c d: ex
quibus intelligãtur cõſtitui duæ pyramides a b d e, b c d e:
ſitque pyramidis a b d e axis e h; &
pyramidis b c d e axis
e K: &
iungatur h _K_, quæ per ftranſibit:
eſt enim in ipſa h K
centrum grauitatis magnitudinis compoſitæ ex triangulis
a b d, b c d, hoc eſt ipſius quadrilateri. Itaque centrum gra
uitatis pyramidis a b d e ſit punctum l: &
pyramidis b c d e
ſit m. ductaigitur l m ipſi h m lineæ æquidiſtabit:
nam el ad
cet triplam. quare linea l m ipſam e f ſecabit in puncto g:
etenim e g ad g f eſt, ut el ad l h.
præterea quoniam h k, l m
æquidiſtant, erunt triangula h e f, l e g ſimilia: itemq;
inter
ſe ſimilia f e k, g e m: &
ut e fad e g, ita h fad l g:
&
ita f _K_ ad
g m. ergo uth fadlg, ita f k ad g m:
&
permutando uth f
ad f _K_, ita l g ad g m. ſed cum h ſit centrum trianguli a b d;
& K triãguli b c d:
punctũ uero f totius quadrilateri a b c d
centrum: erit ex 8.
Archimedis de centro grauitatis plano
rum h fad f K, ut triangulum b c d ad triangulum a b d: ut
autem b c d triangulum ad triangulum a b d, ita pyramis
b c d e ad pyramidem a b d e. ergo
b c d e ad pyramidé a b d e. ex quo
ſequitur, ut totius pyramidis
a b c d e punctum g ſit grauitatis
centrum. Rurſus ſit pyramis ba-
ſim habens pentagonum a b c d e: &
axem f g:
diuidaturq;
axis in pũ
cto h, ita ut fh ad h g triplam habe
at proportionem. Dico h grauita-
tis centrũ eſſe pyramidis a b c d e f.
iungatur enim e b: intelligaturq;
pyramis, cuius uertex f, & baſis
triangulum a b e: &
alia pyramis
intelligatur eundem uerticem ha-
bens, & baſim b c d e quadrilaterũ:
ſit autem pyramidis a b e faxis f K,
& grauitatis centrum l:
&
pyrami
dis b c d e faxis f m, & centrum gra
uitatis n: iunganturq;
K m, l n;
quæ per puncta g h tranſibunt.
Rurſus eodem modo, quo ſup ra,
demonſtrabimus lineas K g m, l h n ſibiipſis æ quidiſtare
denique punctum h pyramidis a b c d e f grauitatis eſſe
centrum, & ita in aliis.
Sit conus, uel coni portio axem habens b d:
ſecetur que
plano per axem, quod ſectionem faciat triangulum a b c: &
b d axis diuidatur in e, ita ut b e ipſius e d ſit tripla.
Dico punctum e coni, uel coni portionis, grauitatis
eſſe centrum. Sienim fieri poteſt, ſit centrum f:
&
pro-
ducatur e f extra figuram in g. quam uero proportionem
habet g e ad e f, habeat baſis coni, uel coni portionis, hoc
eſt circulus, uel ellipſis circa diametrum a c ad aliud ſpa-
cium, in quo h. Itaque in circulo, uel ellipſi plane deſcri-
batur rectilinea figura a k l m c n o p, ita ut quæ relinquũ-
tur portiones ſint minores ſpacio h: &
intelligatur pyra-
mis baſim habens rectilineam figuram a K l m c n o p, &
axem b d; cuius quidem grauitatis centrum erit punctum
e, ut iam demonſtrauimus. Et quoniam portiones ſunt
minores ſpacio h, circulus, uel ellipſis ad portiones ma-
ſed ut circu-
lus, uel ellipſis ad figuram rectilineam ſibi inſcriptam, ita
conus, uel coni portio ad pyramidem, quæ figuram rectili-
neam pro baſi habet; &
altitudinem æqualem:
etenim ſu-
æqua-
lis altitudo. ergo per conuerſionem rationis, ut circulus,
uel ellipſis ad portiones, ita conus, uel coni portio ad por-
tiones ſolidas. quare conus uel coni portio ad portiones
ſolidas maiorem habet proportionem, quam g e ad e f: &
diuidendo, pyramis ad portiones ſolidas maiorem pro-
portionem habet, quam g f ad f e. ſiat igitur q f ad f e
ut pyramis ad dictas portiones. Itaque quoniam à cono
uel coni portione, cuius grauitatis centrum eſt f, aufer-
tur pyramis, cuius centrum e; reliquæ magnitudinis,
quæ ex ſolidis portionibus conſtat, centrum grauitatis
erit in linea e f protracta, & in puncto q.
quod fieri
non poteft: eſt enim centrum grauitatis intra.
Conſtat
igitur coni, uel coni portionis grauitatis centrum eſſe pun
ctum e. quæ omnia demonſtrare oportebat.
Qvodlibet fruſtum à pyramide, quæ
triangularem baſim habeat, abſciſſum, diuiditur
in tres pyramides proportionales, in ea proportio
ne, quæ eſt lateris maioris baſis ad latus minoris
ipſi reſpondens.
Hoc demonſtrauit Leonardus Piſanus in libro, qui de-
praxi geometriæ inſcribitur. Sed quoniam is adhucim-
preſſus non eſt, nos ipſius demonſtrationem breuíter
perſtringemus, rem ipſam ſecuti, non uerba. Sit fru-
ſtum pyramidis a b c d e f, cuíus maior baſis triangulum
a b c, minor d e f: &
iunctis a e, e c, c d, per line-
as a e, e c ducatur planum ſecans fruſtum: itemque per
lineas e c, c d; &
per c d, d a alia plana ducantur, quæ,
diuident fruſtum in tres pyramides a b c e, a d c e, d e f c.
teris a b adlatus d e, itaut earum maior ſit a b c e, me-
dia a d c e, & minor d e f c.
Quoniam enim lineæ d e,
a b æquidiſtant; &
interipſas ſunt triangula a b e, a d e;
erit triangulum a b e
ut linea a b ad lineam
d e. ut autem triangu
lum a b e ad triangu-
lum a d e, ita pyramis
a d e c: habent enim
altitudinem eandem,
quæ eſt à puncto c ad
planum, in quo qua-
drilaterum a b e d. er-
Rurſus quoniam æquidiſtantes ſunt a c, d f;
erit eadem
ratione pyramis a d c e ad pyramidem c d f e, ut a c ad
Sed ut a c a l d f, ita a b ad d e, quoniam triangula
a b c, d e f ſimilia ſunt, ex nona huius. quare ut pyramis
a b c e ad pyramidem a d c e, ita pyramis a d c e ad ipſam
d e f c. fruſtum igitur a b c d e f diuiditur in tres pyramides
proportionales in ea proportione, quæ eſt lateris a b ad d e
latus, & earum maior eſt c a b e, media a d c e, &
minor
d e f c. quod demonſtrare oportebat.
Qvodlibet fruſtum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis, plano baſi æquidiſtanti ita ſe-
care, ut ſectio ſit proportionalis inter maiorem,
& minorem baſim.
SIT fruſtum pyramidis a e, cuius maior baſis triangu-
lum a b c, minor d e f: &
oporteat ipſum plano, quod baſi
æquidiſtet, ita ſecare, ut ſectio ſit proportionalis inter triã
gula a b c, d e f. Inueniatur inter lineas a b, d e media pro-
portionalis, quæ ſit b g: &
à puncto g erigatur g h æquidi-
ſtans b e, ſecansq; a d in h:
deinde per h ducatur planum
baſibus æ quidiſtans, cuius ſectio ſit triangulum h _k_ 1. Dico
triangulum h K l proportionale eſſe inter triangula a b c,
d e f, hoc eſt triangulum a b c ad
proportionem, quam triãgulum
h K l ad ipſum d e f. Quoniã enim
lineæ a b, h K æquidiſtantium pla
ſtant: atque æquidiſtant b _k_, g h:
linea h _k_ ipſi g b eſt æqualis:
&
pro
d e. quare ut a b ad h K, ita eſt h
K
ad d e. fiat ut h k ad d e, ita d e
ad aliam lineam, in qua ſit m. erit
ex æquali ut a b ad d e, ita h k ad
m. Et quoniam triangula a b c,
triangulū
a b c ad triangulum h k l eſt, ut li-
triangulũ
autem h k l ad ipſum d e f eſt, ut h _k_ ad m. ergo tríangulum
quam triangulum h K l ad ipſum d e f. Eodem modo in a-
liis fruſtis pyramidis idem demonſtrabitur.
Sit fruſtum coni, uel coni portionis a d:
&
ſecetur plano
per axem, cuius ſectio ſit a b c d, ita ut maior ipſius baſis ſit
circulus, uel ellipſis circa diametrum a b; minor circa c d.
Rurſus inter lineas a b, c d inueniatur proportionalis b e:
& ab e ducta e ſ æquid_i_ſtante b d, quæ lineam c a in f ſecet,
culus, uel ellipſis circa diametrum f g. Dico ſectionem a b
ad ſectionem f g eandem proportionem habere, quam f g
ad ipſam c d. Simili enim ratione, qua ſupra, demonſtrabi-
tur quadratum a b ad quadratum f g ita eſſe, ut quadratũ
f g ad c d quadratum. Sed circuli inter ſe eandem propor-
ellipſes au-
tem circa a b, f g, c d, quæ ſimiles ſunt, ut oſten dimus in cõ-
mentariis in principium libri Archimedis de conoidibus,
& ſphæroidibus, eam habẽt proportionem, quam quadrar
ta diametrorum, quæ eiuſdem rationis ſunt, ex corollaio-
ſeptimæ propoſitionis eiuſdem li-
ellipſes enim nunc appello ip-
ſa ſpacia ellipſibus contenta. ergo
circulus, uel ellipſis a b ad circulũ,
uel ellipſim f g eam proportionem
habet, quam circulus, uel ellipſis
f g ad circulum uel ellipſim c d. quod quidem facienduni propo-
ſuimus.
Qvodlibet fruſtum pyramidis, uel coni,
uel coni portionis ad pyramidem, uel conum, uel
coni portionem, cuius baſis eadem eſt, & æqualis
altitudo, eandem proportionẽ habet, quam utræ
que baſes, maior, & minor ſimul ſumptæ vnà cũ
ea, quæ inter ipſas ſit proportionalis, ad baſim ma
iorem.
SIT fruſtũ pyramidis, uel coni, uel coni portionis a d,
cuius maior baſis a b, minor c d. &
ſecetur altero plano
baſi æquidiſtante, ita utſectio e f ſit proportionalis inter
baſes a b, c d. conſtituatur autẽ pyramis, uel conus, uel co-
ni portio a g b, cuius baſis ſit eadem, quæ baſis maior fru-
ſti, & altitudo æqualis.
Di-
dem, uel conum, uel coni
portionem a g b eandem
proportionẽ habere, quã
utræque baſes, a b, c d unà
cum e f ad baſim a b. eſt
enim fruſtum a d æquale
pyramidi, uel cono, uel co-
ni portioni, cuius baſis ex
tribus baſibus a b, e f, c d
conſtat; &
altitudo ipſius
altitudini eſt æqualis: quod mox oſtendemus.
Sed pyrami
des, coni, uel coni portiões,
eãdem inter ſe, quam baſes,
proportionem habent, ſicu-
ti demonſtratum eſt, partim
ab Euclide in duodecimo li-
nobis in cõmentariis in un-
decimam propoſitionẽ Ar-
chimedis de conoidibus, &
ſphæroidibus. quare pyra-
mis, uel conus, uel coni por-
tio, cuius baſis eſt tribus illis
baſibus æqualis ad a g b eam
habet proportionem, quam
baſes a b, e f, c d ad ab bafim. Fruſtum igitur a d ad a g b
portionem habet, quam baſes ab, cd unà cum e ſ ad ba-
ſim a b. quod demonſtrare uolebamus.
Fruſtum uero a d æquale eſſe pyramidi, uel co
no, uel coni portioni, cuius baſis conſtat ex baſi-
bus a b, c d, e f, & altitudo fruſti altitudini eſt æ-
qualis, hoc modo oſten demus.
Sit fruſtum pyramidis a b c d e f, cuius maior baſis trian-
gulum a b c; minor d e f:
&
ſecetur plano baſibus æquidi-
ſtante, quod ſectionem faciat triangulum g h k inter trian-
gula a b c, d e f proportionale. Iam ex iis, quæ demonſtrata
ſuntin 23. huius, patet ſruſtum a b c d e f diuidi in tres pyra
mides proportionales; &
earum maiorem eſſe pyramidẽ
a b c d minorẽ uero d e f b. ergo pyramis à triangulo g h k
conſtituta, quæ altitudinem habeat ſruſti altitudini æqua-
lem, proportionalis eſtinter pyramides a b c d, d e f b: &
idcirco fruſtum a b c d e f tribus dictis pyramidibus æqua
le erit. Itaque ſi intelligatur alia pyra-
bus baſibus a b c, d e f, g h k conſtan-
tem; perſpicuum eſtipſam eiſdem py-
ramidibus, & propterea ipſi fruſto æ-
qualem eſſe.
Rurſus ſit ſruſtum pyramidis a g, cu
ius maior baſis quadrilaterum a b c d,
minor e f g h: &
ſecetur plano baſi-
bus æquidiſtante, ita ut fiat ſectio qua-
drilaterum K lm n, quod ſit proportio
nale inter quadrilatera a b c d, e f g h. Dico pyramidem,
cuius baſis ſit æqualis tribus quadrilateris a b c d, _k_ l m n,
e f g h, & altitudo æqualis altitudini fruſti, ipſi fruſto a g
æqualem eſſe. Ducatur enim planum per lineas f b, h d,
bentia, uidelicet in fruſtum a b d e f h, & in fruſtũ b c d f g h.
erit triangulum k l n proportionale inter triangula a b d,
e f h: &
triangulum l m n proportionale inter b c d, f g h.
ſed pyramis æque alta, cuius baſis conſtat ex tribus trian-
gulis a b d, k l n, e f h, demonſtrata
&
ſi-
militer pyramis, cuius baſis con-
ſtat ex triangulis b c d, l m n, f g h
æqualis fruſto b c d f g h: compo-
nuntur autem tria quadrilatera a
b c d, _k_ l m n, e f g h è ſex triangu-
lis iam dictis. pyramis igitur ba-
ſim habens æqualem tribus qua-
drilateris, & altitudinem eandem
ipſi fruſto a g eſt æqualis. Eodem
modo illud demõſtrabitur in aliis
eiuſmodi fruſtis.
Sit fruſtum coni, uel coni, uel coni portionis a d;
cuius maior ba-
ſis circulus, uel ellipſis circa diametrum a b; minor circa
c d: &
ſecetur plano, quod baſibus æquidiſtet, faciatq;
ſe-
ctionem circulum, uel ellipſim circa diametrum e f, ita ut
inter circulos, uel ellipſes a b, c d ſit proportionalis. Dico
conum, uel coni portionem, cuius baſis eſt æqualis tribus
circulis, uel tribus ellipſibus a b, e f, c d; &
altitudo eadem,
quæ fruſti a d, ipſi fruſto æqualem eſſe. producatur enim
fruſti ſuperficies quouſque coeat in unum punctum, quod
ſit g: &
coni, uel coni portionis a g b axis ſit g h, occurrens
planis a b, e f, c d in punctis h _k_ l: circa circulum uero de-
ſcribatur quadratum m n o p, & circa ellipſim rectangulũ
m n o p, quod ex ipſius diametris conſtat: iunctisq;
g m,
g n, g o, g p, ex eodem uertice intelligatur pyramis baſim
habens dictum quadratum, uel rectangulum: &
plana in
quibus ſunt circuli, uel ellipſes e f, c d uſque ad eius latera
Quoniam igitur pyramis ſecatur planis bafi
æquidiſtantibus, ſectiones ſimiles erunt: atque erunt qua-
quemadmodum & in ipſa baſi.
Sed cum circuli inter ſe eã
proportionem habeant, quam diametrorum quadrata:
ellipſes eam quam rectangula ex ipſarum diametris
conſtantia: &
ſit circulus, uel ellipſis circa diametrum e f
erit re-
ctangulum e f etiam inter rectangula a b, c d proportio-
nale: per rectangulum enim nunc breuitatis cauſa etiã ip-
ſum quadratum intelligemus. quare ex iis, quæ proxime
dicta ſunt, pyramis baſim habens æqualem dictis rectangu
lis, & altitudinem eandem, quam fruſtum a d, ipſi fruſto à
pyramide abſciſſo æqualis probabitur. ut autem rectangu
lum c d ad rectangulũ e f, ita circulus, uel ellipſis c d a d e f
circulum, uel ellipſim: componendoq;
ut rectangula c d,
e f, ad e f rectangulum, ita circuli, uel ellipſes e d, e f, ad e f: &
ut rectangulum e f ad rectangulum a b, ita cir culus, uel
cllipſis e f ad a b circulum, uel ellipſim. ergo ex æquali, &
componendo, utrectãgula c d, e f, a b ad ipſum a b, ita cir-
In-
telligatur pyramis q baſim habens æqualem tribus rectan
gulis a b, e f, c d; &
altitudinem eãdem, quam fruſtum a d.
intelligatur etiam conus, uel coni portio q, eadem altitudi
ne, cuius baſis ſit tribus circulis, uel tribus ellipſibus a b,
e f, c d æqualis. poſtremo intelligatur pyramis a l b, cuius
baſis ſit rectangulum m n o p, & altitudo eadem, quæ fru-
ſti: itemq, intelligatur conus, uel coni portio a l b, cuius
baſis circulus, uel ellipſis circa diametrum a b, & eadem al
titudo. ut igitur rectangula a b, e f, c d ad rectangulum a b,
&
ut circuli, uel ellip-
ſes a b, e f, c d ad a b circulum, uel ellipſim, ita conus, uel co
ni portio q ad conum, uel coni portionem a l b. conus
igitur, uel coni portio q ad conum, uel coni portionem
a l b eſt, ut pyramis q ad pyramidem a l b. ſed pyramis
a l b ad pyramidem a g b eſt, ut altitudo ad altitudinem, ex
20. huius:
&
ita eſt conus, uel coni portio al b ad conum,
uel coni portionem a g b ex 14. duodecimi elementorum,
& ex iis, quæ nos demonſtrauimus in commentariis in un-
decimam de conoidibus, & ſphæroidibus, propoſitione
quarta. pyramis autem a g b ad pyramidem c g d propor-
tionem habet compoſitam ex proportione baſium & pro
portione altitudinum, ex uigeſima prima huius: &
ſimili-
ter conus, uel coni portio a g b a d conum, uel coni portio-
nem c g d proportionem habet compoſitã ex eiſdem pro-
portionibus, per ea, quæ in dictis commentariis demon-
ſtrauimus, propoſitione quinta, & ſexta:
altitudo enim in
utriſque eadem eſt, & baſes inter ſe ſe eandem habent pro-
portionem. ergo ut pyramis a g b ad pyramidem c g d, ita
eſt conus, uel coni portio a g b ad a g d conum, uel coni
portionem: &
per conuerſionẽ rationis, ut pyramis a g b
ad fruſtū à pyramide abſciſſum, ita conus uel coni portio
a g b ad fruſtum a d. ex æquali igitur, ut pyramis q ad fru-
ſtum à pyramide abſciſſum, ita conus uel coni portio q ad
Sed pyramis q æqualis eſt fruſto à pyramide
abſciſſo, ut dem onſtrauimus. ergo &
conus, uel coni por-
tio q, cuius baſis ex tribus circulis, uel ellipſibus a b, e f, c d
conſtat, & altitudo eadem, quæ fruſti:
ipſi fruſto a d eſt æ-
qualis. atque illud eſt, quod demonſtrare oportebat.
Cvivslibet fruſti à pyramide, uel cono,
uel coni portione abſcisſi, centrum grauitatis eſt
in axe, ita ut eo primum in duas portiones diui-
ſo, portio ſuperior, quæ minorem baſim attingit
ad portionem reliquam eam habeat proportio-
nem, quam duplum lateris, uel diametri maioris
baſis, vnà cum latere, uel diametro minoris, ipſi
reſpondente, habet ad duplum lateris, uel diame-
tri minoris baſis vnà cũ latere, uel diametro ma-
ioris: deinde à puncto diuiſionis quarta parte ſu
perioris portionis in ipſa ſumpta: &
rurſus ab in-
ferioris portionis termino, qui eſt ad baſim maio
rem, ſumpta quarta parte totius axis: centrum ſit
in linea, quæ his finibus continetur, atque in eo li
neæ puncto, quo ſic diuiditur, ut tota linea ad par
tem propinquiorem minori baſi, eãdem propor-
tionem habeat, quam fruſtum ad pyramidẽ, uel
conum, uel coni portionem, cuius baſis ſit ea-
dem, quæ baſis maior, & altitudo fruſti altitudini
æqualis.
Sit ſruſtum a e a pyramide, quæ triangularem baſim ha-
beat abſciſſum: cuius maior baſis triangulum a b c, minor
d e f; &
axis g h.
ducto autem plano per axem &
per lineã
d a, quod ſectionem faciat d a k l quadrilaterum; puncta
K l lineas b c, e f bifariam ſecabunt. nam cum g h ſit axis
ſruſti: erit h centrum grauitatis trianguli a b c:
&
g
centrum trianguli d e f: cen-
li eſt in recta linea, quæ ab an-
gulo ipſius ad dimidiã baſim
ducitur ex decimatertia primi
libri Archimedis de cẽtro gra
uitatis planorum. quare cen-
eſt in linea _K_ l, quod ſit m: &
à
puncto m ad axem ducta m n
ipſi a k, uel d l æquidiſtante; erit axis g h diuiſus in portio-
nes g n, n h, quas diximus: ean
dem enim proportionem ha-
bet g n ad n h, quã l m ad m _k_.
At l m ad m K habet eam, quã
duplum lateris maioris baſis
b c una cum latere minoris e f
ad duplum lateris e f unà cum
later b c, ex ultima eiuſdem
libri Archimedis. Itaque à li-
nea n g abſcindatur, quarta
pars, quæ ſit n p: &
ab axe h g abſcindatur itidem
quarta pars h o: &
quam proportionem habet fruſtum ad
pyramidem, cuius maior baſis eſt triangulum a b c, & alti-
tudo ipſi æqualis; habeat o p ad p q.
Dico centrum graui-
tatis fruſti eſſe in linea p o, & in puncto q.
namque ipſum
eſſe in linea g h manifeſte conſtat. protractis enim fruſti pla
erit pyra-
midis a b c r, & pyramidis d e f r grauitatis centrum in li-
nea r h. ergo &
reliquæ magnitudinis, uidelicet fruſti cen-
trum in eadem linea neceſſario comperietur. Iungantur
d b, d c, d h, d m: &
per lineas d b, d c ducto altero plano
intelligatur fruſtum in duas pyramides diuiſum: in pyra-
midem quidem, cuius baſis eſt triangulum a b c, uertex d: &
in eam, cuius idem uertex, &
baſis trapezium b c f e.
erit
igitur pyramidis a b c d axis d h, & pyramidis b c f e d axis
d m: atque erunt tres axes g h, d h, d m in eodem plano
d a K l. ducatur præterea per o linea ſt ip ſi a K æquidiſtãs,
quæ lineam d h in u ſecet: per p uero ducatur x y æquidi-
ſtans eidem, ſecansque d m in
&
iungatur z u, quæ ſecet
g h in φ. tranſibit ea per q:
&
erunt φ q unum, atque idem
pun ctum; ut inferius appare-
bit. Quoniam igitur linea u o
æ quidiſtat ipſi d g, erit d u ad
Sed g o tri-
pla eſt o h. quare &
d u ipſius
u h eſt tripla: &
ideo pyrami-
dis a b c d centrum grauitatis
erit punctum 11. Rurſus quo-
niam z y ipſi d l æquidiſtat, d z
a d z m eſt, utly ad y m: eſtque
ly ad y m, ut g p ad p n. ergo
d z ad z m eſt, ut g p ad p n. Quòd cum g p ſit tripla p n;
erit etiam d z ipſius z m tri-
pla. atque ob eandem cauſ-
ſam punctum z eſt centrũ gra-
uitatis pyramidis b c f e d. iun
ctaigitur z u, in ea erit cẽtrum
ſtat; hoc eſt ipſius fruſti.
Sed fruſti centrum eſt etiam in a-
xe g h. ergo in puncto φ, in quo lineæ z u, g h conueniunt.
Itaque u φ ad φ z eam proportionem habet, quam pyramis
&
componendo u z ad z φ
eam habet, quam fruſtum ad pyramidem a b c d. Vtuero
u z ad z φ, ita o p ad p φ ob ſimilitudinem triangulorum,
u o φ, z p φ. quare o p ad p φ eſt ut fruſtum ad pyramidem
a b c d. ſed ita erat o p ad p q.
æquales igitur ſunt p φ, p q:
&
ex quibus ſequitur lineam
z u ſecare o p in q: &
propterea pũctum q ipſius fruſti gra-
uitatis centrum eſſe.
Sit fruſtum a g à pyramide, quæ quadrangularem baſim
habeat abſciſſum, cuius maior baſis a b c d, minor e f g h,
& axis k l.
diuidatur autem primũ _k_ l, ita ut quam propor-
tionem habet duplum lateris a b unà cum latere e f ad du
plum lateris e f unà cum a b; habeat k m ad m l.
deinde à
púcto m ad k ſumatur quarta pars ipſius m k, quæ ſit m n. &
rurſus ab l ſumatur quarta pars totius axis l k, quæ ſit
l o. poſtremo fiat o n ad n p, ut fruſtum a g ad pyramidẽ,
cuius baſis ſit eadem, quæ fruſti, & altitudo æqualis.
Dico
punctum p fruſti a g grauitatis centrum eſſe. ducantur
enim a c, e g: &
intelligantur duo fruſta triangulares ba-
ſes habentia, quorum alterum l f ex baſibus a b c, e f g cõ-
ſtet; alterum l h ex baſibus a c d, e g h.
Sitq;
fruſti l f axis
q r; in quo grauitatis centrum s:
fruſti uero l h axis t u, &
x grauitatis centrum: deinde iungantur u r, t q, x s.
tranſi-
bit u r per l: quoniam l eſt centrum grauitatis quadran-
guli a b c d: &
puncta r u grauitatis centra triangulorum
a b c, a c d; in quæ quadrangulum ipſum diuiditur.
eadem
quoque ratione t q per punctum _k_ tranſibit. At uero pro
portiones, ex quibus fruſtorum grauitatis centra inquiri-
mus, eædem ſunt in toto ſruſto a g, & in fruſtis l f, l h.
Sunt
enim per octauam huius quadrilatera a b c d, e f g h ſimilia:
ſimilia triangula a b c, e f g;
&
a c d, e g h.
idcir-
coq; latera ſibi ipſis reſpondentia eandem inter ſe ſe pro-
portionem ſeruant. Vt igitur duplum lateris a b unà
cum latere e f ad duplum lateris e f unà cum a b, ita eſt
duplum a d late-
re e h ad duplum
e h unà cum a d: &
ita in aliis.
Rurſus fruſtum
a g ad pyramidẽ,
cuius eadem eſt
bafis, & æqualis
altitudo eandem
proportionẽ ha
bet, quam fruſtũ
l f ad pyramidẽ,
quæ eſt eadẽ ba-
ſi, & æquali alti-
tudine: &
ſimili-
ter quam l h fru-
ſtum ad pyrami-
dem, quæ ex ea-
dẽ baſi, & æquali
altitudine con-
ſtat. nam ſi inter
ipſas baſes me-
diæ proportio-
nales conſtituan
tur, tres baſes ſimul ſumptæ ad maiorem baſim in om-
nibus eodem modo ſe habebunt. Vnde fit, ut axes K l,
q r, t u à punctis p s x in eandem proportionem ſecen-
tur. ergo linea x s per p tranſibit:
&
lineæ r u, s x, q t in-
Itaque cum fruſti a g latera pro-
gala u y l, x y p, t y _k_ inter ſe ſimilia: &
ſimilia etiam triangu
la l y r, p y s, _k_ y q. quare ut in 19 huius, demonſtrabitur
x p, ad p s: itemq;
t k ad _k_ q èandem habere proportionẽ,
quam u l ad l r. Sed ut u l ad l r, ita eſt triangulum a b c ad
triangulum a c d: &
ut t k ad K q, ita triangulum e f g ad
triangulum e g h. Vt autem triangulum a b c ad triangu-
lum a c d, ita pyramis a b c y ad pyramidem a c d y. &
ut
triangulum e f g ad triangulum e g h, ita pyramis e f g y
ad pyramidem e g h y; ergo ut pyramis a b c y ad pyramidẽ
a c d y, ita pyramis e f g y ad pyramidem e g h y. reliquum
ad pyramidem a c d y, hoc eſt ut u l ad l r, & ut x p ad p s.
Quòd cum fruſti l f centrum grauitatis ſit s:
&
fruſti l h ſit
centrum x: conſtat punctum p totius fruſti a g grauitatis
Eodem modo fiet demonſtratio etiam in
aliis pyramidibus.
Sit fruſtum a d à cono, uel coni portione abſciſſum, cu-
ius maior baſis circulus, uel ellipſis circa diametrum a b; minor circa diametrum c d:
&
axis e f.
diuidatur autẽ e f
in g, ita ut e g ad g f eandem proportionem habeat, quam
duplum diametri a b unà cum diametro c d ad duplum c d
unà cum a b. Sitq;
g h quarta pars lineæ g e:
&
ſit ſ K item
quarta pars totius f e axis. Rurfus quam proportionem
habet fruſtum a d ad conum, uel coni portionem, in eadẽ
baſi, & æquali altitudine, habeat linea _k_ h ad h l.
Dico pun-
ctum l fruſti a d grauitatis centrum eſſe. Si enim fieri po-
teſt, ſit m centrum: producaturq;
l m extra fruſtum in n:
& ut n l ad l m, ita fiat circulus, uel ellipſis circa diametrũ
a b ad aliud ſpacium, in quo ſit o. Itaque in circulo, uel
ellipſi circa diametrum a b rectilinea figura plane deſcri-
batur, ita ut quæ relinquuntur portiones ſint o ſpacio mi-
nores: &
inteiligatur pyramis a p b, baſim habens rectili-
neam figuram in circulo, uel ellipſi a b deſcriptam: à qua
erit ex iis quæ proxime
tradidimus, fruſti pyramidis a d centrum grauitatis l. Quo
niam igitur portiones ſpacio o minores ſunt; habebit cir
culus, uel ellipſis a b ad
proportionem, quàm n l
ad lm. ſed ut circulus, uel
ellipſis a b ad portiones,
ita a p b conus, uel coni
portio ad ſolidas portio-
nes, id quod ſupra demon
ſtratum eſt: &
ut circulus
uel ellipſis c d ad portio-
nus, uel coni portio c p d
ad ſolidas ipſius portio-
nes. Quòd cum figuræ in
circulis, uel ellipſibus a b
c d deſcriptæ ſimiles ſint,
erit proportio circuli, uel
ellipſis a b ad ſuas portio
nes, eadẽ, quæ circuli uel
ellipſis c d ad ſuas. ergo
conus, uel coni portio a p
b ad portiones ſolidas eã-
dem habet proportionẽ,
quam conus, uel coni por
tio c p d ad ſolidas ipſius
portiones. reliquum igi-
portiones ſolidas in ipſo contentas eandem proportionẽ
habet, quam conus, uel coni portio a p b ad ſolidas portio
nes: hoc eſt eandem, quam circulus, uel ellipſis a b ad por
tiones planas. quare fruſtum coni, uel coni portionis a d
n l ad l m: &
diuidendo fruſtum pyramidis ad dictas por-
tiones maiorem proportionem habet, quàm n m ad m l. fiat igitur ut fruſtum pyramidis ad portiones, ita q m ad
m l. Itaque quoniam à fruſto coni, uel coni portionis a d,
cuius grauitatis centrum eſtm, aufertur fruſtum pyrami-
dis habens centruml; erit reliquæ magnitudinis, quæ ex
portionibus ſolidis conſtat; grauitatis cẽtrum in linea l m
producta, atque in puncto q, extra figuram poſito. quod
fieri nullo modo poteſt. relinquitur ergo, ut punctum l ſit
fruſti a d grauitatis centrum. quæ omnia demonſtranda
proponebantur.
Omnivm ſolidorum in ſphæra deſcripto-
rum, quæ æqualibus, & ſimilibus baſibus conti-
nentur, centrum grauitatis eſt idem, quod ſphæ-
ræ centrum.
Solida eiuſmodi corpora regularia appellare ſolent, de
quibus agitur in tribus ultimis libris elementorum: ſunt
autem numero quinque, tetrahedrum, uel pyramis, hexa-
hedrum, uel cubus, octahedrum, dodecahedrum, & icoſa-
hedrum.
Sit primo a b c d pyramis ĩ ſphæra deſcripta, cuíus ſphæ
ræ centrum ſit e. Dico e pyramidis a b c d grauitatis eſſe
centrum. Si enim iuncta d e producatur ad baſim a b c in
f; ex iis, quæ demonſtrauit Campanus in quartodecimo li
bro elementorum, propoſitione decima quinta, & decima
ſeptima, erit f centrum circuli circa triangulum a b c de-
ſcripti: atque erit e f ſexta pars ipſius ſphæræ axis.
quare
ex prima huius conſtat trianguli a b c grauitatis centrum
eſſe punctum f: &
idcirco lineam d f eſſe pyramidis axem.
ergo
punctum e eſt grauitatis cen-
trum ipſius pyramidis: quod
in uigeſima ſecunda huius de-
monſtratum fuit. Sed e eſt cen
trum ſphæræ. Sequitur igitur,
ut centrum grauitatis pyrami-
dis in ſphæra deſcriptæ idem
ſit, quod ipſius ſphæræ cen-
trum.
Sit cubus in ſphæra deſcriptus a b, &
oppoſitorum pla-
norum lateribus bifariam diuiſis, per puncta diuiſionum
plana ducantur, ut communis ipſorum ſectio ſit recta li-
nea c d. Itaque ſi ducatur a b, ſolidi ſcilicet diameter, lineæ
a b, c d ex trigeſimanona undecimi ſeſe bifariam ſecabunt. ſecent autem in puncto e.
erit
id quod demonſtratum eſt in
octaua huius. Sed quoniam ab
eſt ſphæræ diametro æqualis,
ut in decima quinta propoſi-
tione tertii decimi libri elemẽ
torum oſtenditur: punctum e
ſphæræ quoque centrum erit. Cubi igitur in ſphæra deſcri-
pti grauitatis centrum idem
eſt, quod centrum ipſius ſphæræ.
Sit octahedrum a b c d e f, in ſphæra deſcriptum, cuius
ſphæræ centrum ſit g. Dico punctum g ipſius octahedri
grauitatis centrum eſſe. Conſtat enim ex iis, quæ demon-
ſtrata ſunt à Campano in quinto decimo libro elemento-
rum, propoſitione ſextadecima eiuſimodi ſolidum diuidi
in duas pyramides æquales, & ſimiles;
uidelicetin pyrami-
altitudo e g:
&
in pyramidem, cuius eadé baſis, altitudoq; f g;
ut ſint e g,
g f ſemidiametri ſphæræ, & linea una.
Cũigitur g ſit ſphæ-
ræ centrum, erit etiam centrum circuli, qui circa quadratũ
a b c d deſcribitur: &
propterea eiuſdem quadrati grauita
tis centrum: quod in prima propoſitione huius demon-
ſtratum eſt. quare pyramidis a b c d e axis erit e g:
&
pyra
midis a b c d f axis f g. Itaque ſit h centrum grauitatis py-
ramidis a b c d e, & pyramidis a b c d f centrum ſit _K_:
per-
ſpicuum eſt ex uigeſima ſecunda propoſitione huius, lineã
e h triplam eſſe h g: cõ
e g ipſius g
h quadruplam. &
eadẽ
ratione f g quadruplã
ipſius g k. quod cum e
g, g f ſintæquales, & h
g, g _k_ neceſſario æqua-
les erunt. ergo ex quar
ta propoſitione primi
libri Archimedis de cẽ-
tro grauitatis planorũ,
totius octahedri, quod
ex dictis pyramidibus
conſtat, centrum graui
tatis erit punctum g idem, quodipſius ſphæræ centrum.
Sit icoſahedrum a d deſcriptum in ſphæra, cuius centrū
ſit g. Dico g ipſius icoſahedri grauitatis eſſe centrum.
Si
enim ab angnlo a per g ducatur rectalinea uſque ad ſphæ
ræ ſuperficiem; conſtat ex ſexta decima propoſitione libri
tertii decimi elementorum, cadere eam in angulum ipſi a
oppoſitum. cadat in d:
ſitq;
una aliqua baſis icoſahedri tri-
angulum a b c: &
iunctæ b g, c g producantur, &
cadant in
angulos e f, ipſis b c oppoſitos. Itaque per triangula
a b c, d e f ducantur plana ſphæram ſecantia. erunt hæ ſe-
doſii: unus quidem circa triangulum a b c deſcriptus:
al-
ter uero circa d e f: &
quoniam triangula a b c, d e f æqua-
lia ſunt, & ſimilia;
erunt ex prima, &
ſecunda propoſitione
duodecimi libri elementorum, circuli quoque inter ſe ſe
æquales. poſtremo a centro g ad circulum a b c perpendi
cularis ducatur g h; &
alia perpendicularis ducatur ad cir
culum d e f, quæ ſit g _k_; &
iungantur a h, d k.
perſpicuum
eſt ex corollario primæ ſphæricorum Theodoſii, punctum
h centrum eſſe circuli a b c, & k centrum circuli d e f.
Quo
niam igitur triangulorum g a h, g d K latus a g eſt æquale la
teri g d; ſunt enim à centro ſphæræ ad ſuperficiem:
atque
eſt a h æquale d k: &
ex ſexta propoſitione libri primi ſphæ
ricorum Theodoſii g h ipſi g K: triangulum g a h æquale
erit, & ſimile g d k triangulo:
&
angulus a g h æqualis an-
gulo d g _K_. ſed anguli a g h, h g d ſunt æquales duobus re-
ergo &
ipſi h g d, d g k duobus rectis æquales erunt.
&
idcirco h g, g _K_ una, atque eadem erit linea.
cum autem
tri-
trũ probabitur ex iis, quæ
in prima propoſitione hu
ius tradita funt. quare g h
erit pyramidis a b c g axis. &
ob eandem cauſſam g k
axis pyramidis d e f g. Ita-
que centrum grauitatis py
ramidis a b c g ſit púctum
l, & pyramidis d e f g ſit m.
Similiter ut ſupra demon-
ſtrabimus m g, g linter ſe æquales eſſe, & punctum g graui
tatis centrum magnitudinis, quæ ex utriſque pyramidibus
conſtat. eodem modo demonſtrabitur, quarumcunque
duarum pyramidum, quæ opponuntur, grauitatis centrũ
Sequitur ergo uticoſahedri centrum gra
uitatis fit idem, quodipſius ſphæræ centrum.
Sit dodecahedrum a ſin ſphæra deſignatum, ſitque ſphæ
ræ centrum m. Dico m centrum eſſe grauitatis ipſius do-
decahedri. Sit enim pentagonum a b c d e una ex duode-
cim baſibus ſolidi a f: &
iuncta a m producatur ad ſphæræ
ſuperficiem. cadetin angulum ipſi a oppoſitum;
quod col-
ligitur ex decima ſeptima propoſitione tertiidecimilibri
elementorum. cadat in f.
at ſi ab aliis angulis b c d e per cẽ
trum itidem lineæ ducantur ad ſuperficiem ſphæræ in pun
cta g h k l; cadent hæ in alios angulos baſis, quæ ipſi a b c d
baſi opponitur. tranſeant ergo per pentagona a b c d e,
f g h K l plana ſphæram ſecantia, quæ facient ſectiones cir-
culos æquales inter ſe ſe poſtea ducantur ex centro ſphæræ
m perpen diculares ad pla-
ad
circulum quidem a b c d e
perpendicularis m n: &
ad
circulum f g h K l ipſa m o,
centra: &
lineæ m n, m o in
ter ſe æquales: quòd circu-
li æquales ſint. Eodem mo
mus lineas m n, m o in unã
atque eandem lineam con-
uenire. ergo cum puncta n o ſint centra circulorum, con-
ſtat ex prima huius & pentagonorũ grauitatis eſſe centra:
idcircoq;
m n, m o pyramidum a b c d e m, ſ g h _K_ l m axes.
ponatur a b c d e m pyramidis grauitatis centrum p: &
py
ramidis f g h K l m ipſum q centrum. erunt p m, m q æqua-
les, & punctum m grauitatis centrum magnitudinis, quæ
ex ipſis pyramidibus conſtat. eodẽ modo probabitur qua-
rumlibet pyramidum, quæ è regione opponuntur, centrũ
patetigitur totius dodecahe-
dri, centrum grauitatis idẽ eſſe, quod & ſphæræ ipſum com
prehendentis centrum. quæ quidem omnia demonſtraſſe
oportebat.
Data qualibet portione conoidis rectangu
li, abſciſſa plano ad axem recto, uel non recto; fie-
ri poteſt, ut portio ſolida inſcribatur, uel circum-
ſcribatur ex cylindris, uel cylindri portionibus,
æqualem habentibus altitudinem, ita ut recta li-
nea, quæ inter centrum grauitatis portionis, &
figuræ inſcriptæ, uel circumſcriptæ interiicitur,
ſit minor qualibet recta linea propoſita.
Sit portio conoidis rectanguli a b c, cuius axis b d, gra-
uitatisq; centrum e:
&
fit g recta linea propoſita.
quam ue
ro proportionem habet linea b e ad lineam g, eandem ha-
beat portio conoidis ad ſolidum h: &
circumſcribatur por
tioni figura, ſicuti dictum eſt, ita ut portiones reliquæ ſint
ſolido h minores: cuius quidem figuræ centrum grauitatis
ſit punctum K. Dico lineã k e minorem eſſe linea g propo-
ſita. niſi enim ſit minor, uel æqualis, uel maior erit.
&
quo-
niam figura circumſcripta ad reliquas portiones maiorem
hoc eſt maiorem, quàm b c ad g:
&
b e ad g non minorem
habet proportionem, quàm ad _k_ e, propterea quod k e non
ponitur minor ipſa g: habebit figura circumſcripta ad por
tiones reliquas maiorem proportionem quàm b e ad e k:
diuidendo portio conoidis ad reliquas portiones habe-
bit maiorem, quàm b K ad K e. quare ſi fiat ut portio co-
K ad
k e: erit 1k maior, quam b k:
&
ideo punctum l extra por-
tionem cadet. Quoniã
ſcripta, cuius grauitatis
centrum eſt k, aufertur
portio conoidis, cuius
centrum e. habetq;
l K
ad K e eam proportio-
nem, quam portio co-
noidis ad reliquas por-
tiones; erit punctum l
extra portionem cadẽs,
centrum magnitudinis
ex reliquis portionibus compoſitæ. illud autem fieri nullo
modo poteſt. quare conſtat lineam k e ipſa g linea propoſi
ta minorem eſſe.
Rurfus inſcribatur portioni figura, uidelicet cylindr us
m n, ut ſit ipſius altitudo
&
quam proportionem
habet b e ad g, habeat m n
cylindrus ad ſolidum o.
inſcrib itur deinde eidem
alia figura, ita ut portio-
nes reliquæ ſint ſolido o
minores: &
centrum gra
uitatis figuræ ſit p. Dico
lineam p e ipſa g minorẽ
eſſe. ſi enim non ſit mi-
nor, eodem, quo ſupra modo demonſtrabimus figuram in
ſcriptam ad reliquas portiones maiorem proportionem
habere, quàm b e ad e p. &
ſi fiat alia linea l e ad e p, ut eſt
figura inſcripta ad reliquas portiones, pũctum l extra por
Itaque cum à portione conoidis, cuius gra-
uitatis centrum e auferatur inſcripta figura, centrum ha-
bens p: &
ſit l e ad e p, ut figura inſcripta ad portiones reli
quas: erit magnitudinis, quæ ex reliquis portionibus con
ſtat, centrum grauitatis punctum l, extra portionem ca-
dens. quod fieri nequit.
ergo linea p e minor eſt ip ſa g li-
nea propoſita.
Ex quibus perſpicuum eſt centrum grauitatis
figuræ inſcriptæ, & circumſcriptæ eo magis acce
dere ad portionis centrum, quo pluribus cylin-
dris, uel cylindri portionibus conſtet: fiatq́ figu
ra inſcripta maior, & circumſcripta minor.
&
quanquam continenter ad portionis centrū pro-
pius admoueatur nunquam tamen ad ipſum per
ueniet. ſequeretur enim figuram inſcriptam, nó
ſolum portioni, ſed etiam circumſcriptæ figuræ
æqualem eſſe. quod eſt abſurdum.
Cvivslibet portionis conoidis rectangu-
li axis à cẽtro grauitatis ita diuiditur, ut pars quæ
terminatur ad uerticem, reliquæ partis, quæ ad ba
ſim ſit dupla.
SIT portio conoidis rectanguli uel abſciſſa plano ad
axem recto, uel non recto: &
ſecta ipſa altero plano per axé
ſit ſuperſiciei ſe ctio a b c r ectanguli coni ſectio, uel parabo
le; plani abſcindentis portionem ſectio ſit recta linea a c:
axis portionis, &
ſectionis diameter b d.
Sumatur autem
in linea b d punctum e, ita ut b e ſit ipſius e d dupla. Dico
centrum. Diui-
datur enim b d
bifariam in m: &
rurſus d m, m
b bifariam diui-
dantur in pun-
ctis n, o: inſcri-
baturq; portio-
ni figura ſolida,
& altera circum
ſcribatur ex cy-
lindris æqualem
altitudinem ha-
bentibus, utſu-
perius dictũ eſt.
Sit autem pri-
mum figura in-
ſcripta cylĩ drus
f g: &
circũſcri-
pta ex cylindris
a h, K l conſtet.
punctum n erit
tatis figuræ in-
fcriptæ, mediũ
ſcilicet ipſius d
m axis: atq;
idẽ
erit centrum cy
lindri a h: &
cy-
lindri K l centrũ
o, axis b m me-
dium, quare ſi li
ut quã propor-
tionẽ habet cy-
lindrus a h ad
cylindrum K l,
habeat linea o p
ad p n: centrum
us figuræ circũ-
ſcriptæ erit pun
ctum p. Sed cy-
æquali altitudi-
ne, candem in-
ter ſe ſe, quam
baſes propor-
tionem habent: eſtq;
ut linea d b
ad b m, ita qua-
dratũ lineæ a d
ad quadratũ ip-
ſius _K_ in, ex uige
ſima primi libri
conicorũ: &
ita
ad quadratũ K
g: hoc eſt circu-
trum a c ad cir-
culum circa dia
metrum k g. du
pla eſt autem li-
nea d b lineæ
ergo circulus a c circuli _k_ g:
&
idcirco cylindrus
a h cylindri _k_ l duplus erit. quare &
linea o p dupla
ipſius p n. Deinde inſcripta &
circumſcripta portioni
alia figura, ita ut inſcripta conſtituatur ex tribus cylin-
dris q r, s g, tu: circumſcripta uero ex quatuor a x, y z,
_K_ ν, θ λ: diuidantur b o, o m, m n, n d bifariam in punctis
μ ν π ρ. Itaque cylindri θ λ centrum grauitætis eſt punctum
μ: &
cylindri
K ν centrum ν. ergo ſi linea μ ν diuidatur in σ,
ita ut μ σ ad σ ν proportionẽ eã habeat, quam cylindrus K ν
ad cylindrum θ λ, uidelicet quam quadratum K m ad qua-
dratum θ o, hoc eſt, quam linea m b ad b o: erit σ centrum
K ν, θ λ. &
cum linea
m b ſit dupla b o, erit & μ σ ipſius σ ν dupla.
præterea quo-
niam cylindri y z centrum grauitatis eſt π, linea σ π ita diui
ſa in τ, ut σ τ ad τ π eam habeat proportionem, quam cylin
drus y z ad duos cylindros K ν, θ λ: erit τ centrum magnitu
dinis, quæ ex dictis tribus cylindris conſtat. cylindrus au-
tẽ y z ad cylindrum θ λ eſt, ut linea n b ad b o, hoc eſt ut 3
ad 1: &
ad cylindrum k ν, ut n b ad b m, uidelicet ut 3 ad 2.
quare y z cylĩdrus duobus cylindris k ν, θ λ æqualis erit.
&
propterea linea σ τ æqualis ipſi τ π. denique cylindri a x
centrum grauitatis eſt punctum ρ. &
cum τ ζ diuiſa fuerit
in eã proportionem, quam habet cylindrus a x ad tres cy-
lindros y z, _k_ ν, θ λ: erit in eo puncto centrum grauitatis
totius figuræ circũſcriptæ. Sed cylindrus a x ad ipſum y z
eſt ut linea d b ad b n: hoc eſt ut 4 ad 3:
&
duo cylindri _k_ ν
θ λ cylindro y z ſunt æquales. cylindrns igitur a x ad tres
iam dictos cylindros eſt ut 2 ad 3. Sed quoniã μ σ eſt dua-
rum partium, & σ ν unius, qualium μ π eſt ſex;
erit σ π par-
tium quatuor: proptereaq;
τ π duarum, &
ν π, hoc eſt π ρ
trium. quare ſequitur ut punctum π totius figuræ circum
ſcriptæ ſit centrum. Itaque fiat ν υ ad υ π, ut μ σ ad σ ν.
&
υ ρ
bifariam diuidatur in φ. Similiter ut in circumſcripta figu
ra oſtendetur centrum magnitudinis compoſitæ ex cylin-
totius figuræ in
ſcriptæ, quæ cõ-
ſtat ex cylindris
q r, ſ g, t u eſſe φ
centrum. Sunt
enim hi cylindri
æquales & ſimi-
les cylindris y z,
K ν, θ λ, figuræ
circumſcriptæ. Quoniã igitur
ut b e ad e d, ita
eſt o p ad p n;
utraq; enim u-
triuſque eſt du-
pla: erit compo
nendo, ut b d ad
d e, ita o n ad n
p; &
permutan
do, ut b d ad o
n, ita d e ad n p.
Sed b d dupla
eſt o n. ergo &
e d ipſius n p du
pla erit. quòd ſi
e d bifariam di-
uidatur ĩ χ, erit
χ d, uel e χ æ-
qualis n p: &
ſublata e n, quæ
eſt cõmunis u-
trique e χ, p n,
cum autem b e ſit dupla
e d, & o p dupla p n, hoc eſt ipſius e χ, &
reliquum, uideli-
cet b o unà cum p e ipſius reliqui χ d duplnm erit. eſtque
ergo p e, hoc eſt n χ ipſius χ ρ dupla.
ſed d n
dupla eſt n ζ. reliqua igitur d χ dupla reliquæ χ n.
ſunt au-
tem d χ, p n inter ſe æquales: itemq;
æquales χ n, p e.
qua-
re conſtat n p ipſius p e duplam eſſe. &
idcirco p e ipſi e n
æqualem. Rurſus cum ſit μ ν dupla o ν, &
μ σ dupla σ ν;
erit
etiam reliqua ν σ o dupla. Eadem quoque ratione
cõcludetur π υ dupla υ m. ergo ut ν σ ad σ O, ita π υ ad υ m:
componendoq;
, &
permutando, ut υ o ad π m, ita o σ ad
m υ & ſunt æquales ν o, π m.
quare &
o σ, m υ æquales.
præ
terea σ π dupla eſt π τ, & ν π ipſius π m.
reliqua igitur σ ν re
liquæ m τ dupla. atque erat ν σ dupla σ o.
ergo m τ, σ o æ-
quales ſunt: &
ita æquales m υ, n φ.
at o σ, eſt æqualis
m υ. Sequitur igitur, ut omnes o σ, m τ, m υ, n φ in-
ter ſe ſint æquales. Sed ut ρ π ad π τ, hoc eſt ut 3 ad 2, ita n d
ad d χ: permutãdoq;
ut ρ π ad n d, ita π τ ad d χ.
&
ſũt æqua
les ζ π, n d. ergo d χ, hoc eſt n p, &
π τ æquales.
Sed etiam æ-
quales n π, π m. reliqua igitur π p reliquæ m τ, hoc eſt ipſi
n φ æqualis erit. quare dempta p π ex p e, &
φ n dempta ex
n e, relinquitur p e æqualis e φ. Itaque π, ρ centra figurarũ
ſecundo loco deſcriptarum a primis centris p n æquali in-
teruallo recedunt. quòd ſi rurſus aliæ figuræ deſcribantur,
eodem modo demonſtrabimus earum centra æqualiter ab
his recedere, & ad portionis conoidis centrum propius ad
moueri. Ex quibus conſtat lineam π φ à centro grauitatis
portionis diuidi in partes æquales. Si enim fieri poteſt, non
ſit centrum in puncto e, quod eſt lineæ π φ medium: ſed in
ψ: &
ipſi π ψ æqualis fiat φ ω.
Cum igitur in portione ſolida
quædam figura inſcribi posſit, ita ut linea, quæ inter cen-
trum grauitatis portionis, & inſcriptæ figuræ interiicitur,
qualibet linea propoſita ſit minor, quod proxime demon-
ſtrauimus: perueniet tandem φ centrum inſcriptæ figuræ
Sed quoniam π circum ſcripta itidem alia
figura æquali interuallo ad portionis centrum accedit, ubi
primum φ applieuerit ſe ad ω, & π ad punctũ ψ, hoc eſt ad
portionis centrum ſe applicabit. quod fieri nullo modo
poſſe perſpicuum eſt. non aliter idem abſurdum ſequetur,
ſi ponamus centrum portionis recedere à medio ad par-
tes ω; eſſet enim aliquando centrum figuræ inſcriptæ idem
quod portionis centrũ. ergo punctum e centrum erit gra
uitatis portionis a b c. quod demonſtrare oportebat.
Quod autem ſupra demõſtratum eſt in portione conoi-
dis recta per figuras, quæ ex cylindris æqualem altitudi-
dinem habentibus conſtant, idem ſimiliter demonſtrabi-
mus per figuras ex cylindri portionibus conſtantes in ea
portione, quæ plano non ad axem recto abſcinditur. ut
enim tradidimus in commentariis in undecimam propoſi
tionem libri Archimedis de conoidibus & ſphæroidibus.
portiones cylindri, quæ æquali ſunt altitudine eam inter ſe
ſe proportionem habent, quam ipſarum baſes; baſes autẽ
quæ ſunt ellipſes ſimiles eandem proportionem habere,
lario ſeptimæ propoſitionis libri de conoidibus, & ſphæ-
roidibus, manifeſte apparet.
SI à portione conoidis rectanguli alia portio
abſcindatur, plano baſi æquidiſtante; habebit
portio tota ad eam, quæ abſciſſa eſt, duplam pro
portio nem eius, quæ eſt baſis maioris portionis
ad baſi m minoris, uel quæ axis maioris ad axem
minoris.
ABSCINDATVR à portione conoidis rectanguli
a b c alia portio e b f, plano baſi æquidiſtante: &
eadem
portio ſecetur alio plano per axem; ut ſuperficiei ſectio ſit
parabole a b c: planorũ portiones abſcindentium rectæ
lineæ a c, e f: axis autem portionis, &
ſectionis diameter
b d; quam linea e fin puncto g ſecet.
Dico portionem co-
noidis a b c ad portionem e b f duplam proportionem ha-
bere eius, quæ eſt baſis a c ad baſim e f; uel axis d b ad b g
axem. Intelligantur enim duo coni, ſeu coni portiones
a b c, e b f, eãdem baſim, quam portiones conoidis, & æqua
lem habentes altitudinem. &
quoniam a b c portio conoi
dis ſeſquialtera eſt coni, ſeu portionis coni a b c; &
portio
e b f coniſeu portionis coni e b feſt ſeſquialtera, quod de-
24 libri
de conoidibus, & ſphæroidibus:
erit conoidis portio ad
conoidis portionem, ut conus ad conum, uel ut coni por-
tio ad coni portionem. Sed conus, uel coni portio a b c ad
conum, uel coni portionem e b f compoſitam proportio-
nem habet ex proportione baſis a c ad baſim e f, & ex pro-
portione altitudinis coni, uel coni portionis a b c ad alti-
tudinem ipſius e b f, ut nos demonſtrauimus in com men-
tariis in undecimam propoſitionem eiuſdem libri A rchi-
medis: altitudo autem ad altitudinem eſt, ut axis ad axem.
quod quidem in conis rectis perſpicuum eſt, in ſcalenis ue
Ducatur à puncto b ad planum ba-
ſis a c perpendicularis linea b h, quæ ipſam e fin K ſecet. erit b h altitudo coni, uel coni portionis a b c:
&
b K altitu
Quod cum lineæ a c, e f inter ſe æ quidiſtent, ſunt
enim planorum æ quidiſtantium ſectiones: habebit d b ad
quare por-
tio conoidis a b c ad portionem e f g proportionem habet
compoſitam ex proportione baſis a c ad baſim e f; &
ex
proportione d b axis ad axem b g. Sed circulus, uel
hoc eſt ut
quadratũ a d ad quadratũ e g. &
quadratum a d ad quadra
tum e g eſt, ut linea d b ad lineam b g. circulus igitur, uel el
lipſis circa diametrum a c ad circulũ, uel ellipſim circa e f,
ex quibus ſequitur portionem a b c
ad portionem e b f habere proportionem duplam eius,
quæ eſt baſis a c ad bafim e f: uel axis d b ad b g axem.
quod
demonſtrandum proponebatur.
Cuiuslibet fruſti à portione rectanguli conoi
dis abſcisſi, centrum grauitatis eſt in axe, ita ut
demptis primum à quadrato, quod fit ex diame-
tro maioris baſis, tertia ipſius parte, & duabus
tertiis quadrati, quod fit ex diametro baſis mino-
ris: deinde à tertia parte quadrati maioris baſis
rurſus dempta portione, ad quam reliquum qua
drati baſis maioris unà cum dicta portione duplã
proportionem habeat eius, quæ eſt quadrati ma-
centrum ſit in
eo axis puncto, quo ita diuiditur ut pars, quæ mi
norem baſim attingit ad alteram partem eandem
proportionem habeat, quam dempto quadrato
minoris baſis à duabus tertiis quadrati maioris,
habet id, quod reliquum eſt unà cum portione à
tertia quadrati maioris parte dempta, ad reliquà
eiuſdem tertiæ portionem.
SIT fruſtum à portione rectanguli conoidis abſciſſum
a b c d, cuius maior baſis circulus, uel ellipſis circa diame-
trum b c, minor circa diametrum a d; &
axis e f.
deſcriba-
tur autem portio conoidis, à quo illud abſciſſum eſt, & pla-
ut ſuperficiei ſectio ſit parabo-
le b g c, cuius diameter, & axis portionis g f:
deinde g f diui
datur in puncto h, ita ut g h ſit dupla h f: &
rurſus g e in ean
dem proportionem diuidatur: ſitq;
g _k_ ipſius k e dupla.
Iã
ex iis, quæ proxime demonſtrauimus, conſtat centrum gra
uitatis portionis b g c eſſe h punctum: &
portionis a g c
punctum k. ſumpto igitur infra h punctol, ita ut k h ad h l
tionem a g d; erit punctum l eius fruſti grauitatis cẽtrum:
habebitq;
componendo K l ad 1 h proportionem eandem,
quam portio conoidis b gc ad a g d portionem. Itaq;
quo
b c ad quadratum a d eſt, ut linea f g ad g e: erunt duæ ter-
tiæ quadrati b c ad duas tertias quadrati a d, ut h g ad g _k_: &
ſi à duabus tertiis quadrati b c demptæ fuerint duæ ter-
tiæ quadrati a d: erit diuidẽdo id, quod relinquitur ad duas
tertias quadrati a d, ut h k ad k g. Rurſus duæ tertiæ quadra
ti a d ad duas tertias quadrati b c ſunt, ut _k_ g ad g h: &
duæ
tertiæ quadrati b c ad tertiã partẽ ipſius, ut g h ad h f. ergo
ex æ quali id, quod relinquitur ex duabus tertiis quadrati
b c, demptis ab ipſis quadrati a d duabus tertiis, ad tertiã
partem quadrati b c, ut _k_ h ad h f: &
ad portionem eiuſdẽ
tertiæ partis, ad quam unà cum ipſa portione, duplam pro
portionem habeat eius, quæ eſt quadrati b c ad quadratũ
a d, ut K 1 ad 1 h. habet enim _K_l ad 1 h ean dem proportio-
nem, quam conoidis portio b g c ad portionem a g d: por-
tio autem b g c ad portionem a g d duplam proportionem
habet eius, quæ eſt baſis b c ad baſim a d: hoc eſt quadrati
b c ad quadratum a d; ut proxime demonſtratum eſt.
quare
quod relin quitur unà cum dicta portione tertiæ partis ad
reliquam eiuſdem portionem, ut el ad 1 f. Cum igitur cen-
trum grauitatis fruſti a b c d ſit l, à quo axis e f in eam, quã
diximus, proportionem diuidatur; conſtat uerũ eſſe illud,
quod demonſtrandum propoſuimus.
Impreſſ.
Bononiæ cum licentia Superiorum.