open access
http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration
free
Automatically created from the ECHO source; ECHO version 1.0RC; Script version 2011-08-15
QVANTVM ſit, Illuſtriſſime
Princeps, ad perfectam Mathe
maticorum ſcientiam in ſphę-
ricis Elementis, & in Sinuum,
linearumq́; Tangentium atque
Secantium, & in tota denique
Triangulorum diſciplina momenti, nemo me-
lius intelligit, mea quidem ſententia, quam qui
in rerum cęleſtium cognitionem neruos omnes
intendit. Nam nec Orbium globorumve cæle-
ſtium, nec ſiderum ſeu quæ vocantur errantia,
ſeu quæ infixa ſunt cælo, curſus ac magnitudo
(quæ vna omnium iucundiſſima, & ad decus a-
ptiſſima ſcientia eſt) ſine eorum ope ac benefi-
cio teneri poteſt. Locupletiſſimus teſtis eſt ex-
cellenti doctrina vir Ptolemæus eo libro, quem
Conſtructionem magnam inſcripſit: vbi quic-
quid ad cæleſtem doctrinam pertinet, id omne
vel ſphæricis ex elementis, vel ex triangulorum
doctrina, vel ex arcuum denique chordis (vnde
omnis Sinuum, omnis linearum Tangentium ac
Secantium diſciplina manauit) peracute demon
ſtrat: vt fruſtra laborem operamq́;
ſuſcipiat, quiſ-
quis hoc ſine præſidio Demonſtrationes illas
conetur attingere. Mitto quanta in Gnomoni-
ca, quanta in Coſmographia, Geodæſia, & vni-
uerſa pene Geometria earum rerum ſit oppor-
tunitas: ne aut in re perſpicua ſim multus, aut
aliena diſputatio videatur. Quocirca fatebor,
quod res eſt, Sapientiſſime Princeps, multas me
annorum vigilias ac labores pro eo amore, quo
ad Mathematicas voluptates incendor, in ea-
rum, quas dixi, rerum planam ac ſolidam cogni-
tionem contuliſſe: &
lucubrationes quaſdam
ſepoſuiſſe, meos duntaxat in vſus. Verum vt
eruditorum, & eorum, qui ſcripta noſtra tracta-
bant, Gnomonica præſertim, vbi Sinuum, Trian
gulorum, cæterarumq́; rerum frequens incidit
mentio, poſtulationi concederem; commode
me facturum exiſtimaui, ſi quæ priuatos in vſus
temere collegiſſem, ea in ordinem adducta, & in
vnum quaſi coacta corpus in commune confer-
rem: Et commentarios hoſce in tres Theodoſij
Tripolitæ libros de ſphæricis elemẽtis, vna cum
demonſtrationibus noſtris Sinuum, linearum
Tangentium atque Secantium, præcipueq́; Trian
gulorum tam Rectilineorum quam Sphærico-
rum diſciplina, paterer in apertum lucemq́; pro-
ferri. Quæ quidem peropportuna mihi viſa res
eſt ad declarandam noſtram in te voluntatem,
perpetuamq́; beneuolentiam, ſi cum tui nomi-
nis inſcriptione diuulgarem. Quibus enim ti-
tulis labores noſtros cohoneſtemus, niſi eorum
virorum, qui vel eiuſdem ſtudij delectatione
ducuntur, vel eas res, in quibus elaboramus, ſuo
pondere momentoq́; perpendunt?
Scientiæ co-
mes iucunditas eſt, & ea demum ſunt pretia re-
rum, quæ ſtatuerit cuiuſque cognitio. Tu Ma-
thematicorum ſcientia præſtas, atq; idcirco mi-
rificas inde voluptates hauris. Apud te maxi-
mo ſemper in pretio atque in honore fuit, quia
quanti facienda eſſet, eius diuturnus vſus tracta-
tioq; te docuit.
Accedit, quod cum Societati
noſtræ gens tua tot iam ſummæ liberalitatis of-
ficia tribuerit, vix videtur ſummam ingrati ani-
mi notam effugere poſſe, niſi cum ſe dedit occa-
ſio, aliquid aliquando retribuat. Extant Grego-
rianæ liberalitatis quam ampliſſima monumen
ta: extant eius de Societate noſtra iudicia perho-
norifica: Iura data atque amplificata.
Conceſſæ
immunitates: Collegia familiæ noſtræ in vlti-
mis etiam terrarum partibus excitata.
quæ om-
nia, quantum tuo ſimus obſtricti nomini, non
modo ijs, qui nunc ſunt, ſed omnibus etiam
poſteris teſtabuntur. Quare quî poteram in
quærendis honeſtis titulis operibus meis te,
Princeps Ampliſſime, præterire? Appareat igitur
in tuo nomine munuſculum hoc vigiliarum
mearum tenue illud quidem & perexiguum:
ſed
tamen eiuſmodi, quod & noſtra in te ſtudia, &
tua in nos officia grata quadam ſignificatione
memoriæ cunctis gentibus patefaciat. Romæ
Octauo Id. Decemb.
M D LXXXV.
CVM &
in Phænicia, &
in
Africa vrbs, cuinomen Tri-
polis, à Georgraphis, atque Hi-
Storicis deſcribatur, certo non
conſtat apudſcriptores, vtra
harum ciuitatum Theodoſit
patria fuerit. Quo item tempore floruerit, non
ſatis inter eoſdem conuenit: Non tamen leuis
coniectura eſt, eum circatempora Pompeij Ma-
gni vixiſſe: propterea quod eum ſimul cum Aſcle
piade medico (quitemporibus Pompeij Magni
floruit, ſi Plinio credimus) in Bithynia floruiſſe
ſcribit Strabo. Scripſit autem varia opuſcula
Mathematica, vt De Habitiationibus, De
Noctibus, & diebus, atque etiam tres hoſce ſphæ
bus varias ſphæræproprietates demõſtrat, qua-
rum quidem cognitio magnopere eſt neceſſaria
adrerum cæleſtium doctrinam conſequendam. Ctenim ſine his Aſtronomia ſuã dignit atẽ tue-
rinullaratione potect: Gnomonice quoque, ſeu
ratio horologiorum Solarium deſcribendorũ ex
his maximè pendet. Adde quod &
ad Geogra-
phiam, & ad Perſpectiuam rectè intelligendam
non parum momenti habeant, vt interim alias
vtilitates ſphæricorum elementorum taceamus.
QVONIAM verò duplex verſio Sphæ-
ricorum Theodoſie circumfertur, germana alte
ra & propria loannis Penæ exemplarigræco ad
verbumre ſpondens, altera Franciſci Mauro-
lyci Abbatis Meſſanenſis extraditione Ara-
bum: nos priorem ſecuti ſumus, quæ nouem &
quinquagint a propoſitionibus abſoluitur, inſe-
ruimus{q́ue} varia ſcholia, quibus plurima theore-
mat a neceſſaria, & ſcitu iucunda, à T heodoſio
quidem omiſſa, ab Arabibus autem adiuncta,
demonstrauimus. In demonſtrationibus autem
non ſumus ſecuti verba codicis Graci, ſed ſen-
ſum, vt demonstrationes ipſæ clariores fierent:
& ſcholia, necnõ lemmata, vt illis vtipoſsimus,
quandores poſtulabit. In margine porro appo-
ſuimus numeros ſeriem propoſitionu iuxta ver-
ſionẽ Franciſci Maurolyci referentes; vt facile
à quouis propoſitiones T heodoſii, quas nonnulli
ſecundũ ordinẽ Arabũ citant, poßint inueniri. Figuras quoque, quæ in græco exemplari extãt,
plerunque negleximus, quòd illæ, quas Mauro-
licus pinxit, commodiores ſint, & adintelligen-
dasres ſphæricas multò faciliores. Poſtremo, ne
demonstrationum curſus interrumperetur, ci-
tauimus propoſitiones Euclidis, & horum libro-
rum in margine. Id quod &
in ſequentibus ope-
ribus obſeruauimus. Citationes autem hoc mo-
do intelligendæ ſunt.
Ex his aliæ citationes facilè percipientur,
cum in omnibus eadem ſit ratio.
SPHAERA eſt figura ſolida compre-
henſa vna ſuperficie, ad quam ab vno
eorum punctorum, quæ intra figuram
ſunt, omnes rectæ lineæ ductæ ſunt in-
ter ſe æquales.
Centrum autem Sphæræ, eſt eiuſmodi punctũ.
Axis verò Sphæræ, eſt recta quædã linea per cen
trũ ducta, & vtrin que terminata in ſphæræ ſuper-
ficie, circa quã quieſcentẽ circumuoluitur ſphęra.
Poli ſphæræ ſunt extrema puncta ipſius axis.
Polus Circuli in Sphæra, eſt punctum in ſuper-
ficie ſphæræ, à quo omnes rectæ lineæ ad Circuli
circumferentiam tendentes ſuntinter ſe æquales.
_ADDITVR_ in exemplari græco alia adhuc definitio, qua explicatur, quid ſit
planum ad planum ſimiliter inclinari, atque alterum ad alterum. Sed quoniam in-
clinatio plani ad planum ab Euclide explicata eſt lib. 11.
defin.
6.
At vero, quan-
do planum ad planum ſimiliter inclinari dicitur, atque alterum ad alterum, eodem
lib defin. 7.
declaratum eſt, ſtatui eam omnino omittere hoc loco, &
ſequentem ap-
ponere non dißimilem definitioni 4. lib.
3.
Euclidis, ita vt ſextum locum obtineat.
IN Sphæra æqualiter diſtare à centro ſphæræ
circuli dicuntur, cum perpendiculares, quæ à cen-
tro ſphærę in ipſorum plana ducuntur, ſunt æqua-
les. Longius autem abeſſe ille dicitur, in cuius pla-
num maior perpendicularis cadit.
SI Sphærica ſuperficies plano aliquo ſece-
tur, linea quæ fit in ſphæræ ſuperficie, eſt
circumferentia circuli.
SECETVR Sphærica ſuperficies A B C, cuius centrum D, plano ali-
quo ſaciente in ſuperficie ſphæræ lineam B E F C G. Dico B E F C G, cir-
ſe circuli. Tran-
ſeat enim primò
planum ſecans per
centrũ ſphæræ D,
ita vt D, ſit in pla-
no ſecante, in quo
ex D, ad lineam fa
ctam B E F C G, du
cantur lineæ rectæ
quotcunque D E,
D F, D G. Quo-
niam igitur omnes
hæ lineæ ductæ,
quotcunque fuerint, cum ex centro ſphæræ ad eius ſuperficiem cadant, inter
ſe æquales ſunt, erit, per defin. 15.
lib.
1 Eucl.
linea B E F C G, circunferen-
tia circulia, cuius centrum D, idem quod ſphæræ.
TRANSEAT deinde planum ſecans non per centrum ſphæræ.
Du-
ex H,
rectę vtcunq; H E,
H F, ad lineam B E
F C G, & cõnectan
tur rectæ D E, D F. Quoniã igitur an-
guli D H E, D H F,
recti ſunt, ex defin.
3. lib.
11.
Euclid.
erit tam quadratũ
ex D E, quadratis
ex D H, H E, quàm
quadratis ex D H,
H F, æ quale: Sunt autem quadrata ex D E, D F, inter ſe æqualia, quod &
rectæ D E, D F, ex centro ſphæræ in eius ſuperficiẽ cadentes inter ſe æqua-
les ſint. Quadrata igitur ex D H, H E, ſimul quadratis ex D H, H F, ſi-
mul æqualia erunt. Dempto igitur communi quadrato rectæ D H, reliquæ
quadrata rectarum H E, H F, inter ſe æqualia, & rectæ propterea H E, H F,
inter ſe æquales erunt. Eodem argumento oſtendemus, omnes lineas ex H, ad
lineam B E F C G, cadentes eſſe æquales & inter ſe, &
dictis duabus H E,
H F. Linea ergo B E F C G, circum ſerentia erit circuli, ex defin.
15.
lib.
1.
Euclid.
cuius centrum eſt punctum H, in quod perpendicularis D H, cadit.
Quare ſi ſphærica ſuperficies Plano aliquo ſecetur, &c.
Quod erat demon-
ſtrandum.
ITAQVE ſi planum ſecans per centrum ſphæræ tranſierit’, efficietur circulus idem
centrum habens, quod ſphæra. Si verò non per centrum tranſierit, efficientur circulus aliud
habens centrum, quàm ſphæra, illud videlicet punctum, in quod cadit perpendicularis ex
centro ſphæræ ad planum ſecans deducta. Nam ſemper demonſtrabuntur lineæ rectæ caden
tes ex hoc puncto in circum ferentiam circuli eſſe æquales.
IDEM eſt ſphæræ centrum, &
circuli per ſphæræ centrum traiecti.
Et perpendiculatis
ducta à centro ſphæræ in planum circuli per centrum ſphæræ non traiecti, cadit in centrum
circuli: quia punctum H, in quod perpendicularis D H, cadit, demonſtratum cſt centrum
eſſe circuli.
SIT centrum inueniendum Sphæræ A B C D.
Secetur eius ſuperficies
crit. Sit huius circuli centrum F.
Siigitur circulus B D E, per centrum ſphæ
ræ traijcitur, erit punctum F, centrum quoque ſphæræ. Si verò per centrum
ſphæræ non traijcitur, erigatur ex F, ad planum circuli B D E, perpendicu-
G. Dico G, centrum eſſe ſphæræ.
Si enim nõ
eſt, ſit, ſi fieri poteſt, centrum H, ſecans diame
tros omnes bifariã, quod quidem in linea A C,
nõ exiſtet, cũ ea in puncto G, ſolũ bifariã diui
datur, ſed extra illã. Demittatur ex H, centro
ſphæræ ad planum circuli B D E, perpendicu
laris H I, quæ æquidiſtans erit lineæ F G; ac
proinde in punctum F, non cadet: coirent em̃
tunc duæ parallelæ H I, G F, in F, puncto,
quod fieri non poteſt. Quoniam verò perpen
dicularis ex centro ſphæræ in planũ circuli B D E, demiſſa cadit in eius cen-
Sed &
F, ex conſtructione, centrum eſt
eiuſdem circuli. Quod abſurdum eſt.
Idem enim circulus vnum tantum ha-
beat centrum neceſſe eſt. Non ergo aliud punctum præter G, centrum erit
ſphæræ. Quare datæ ſphæræ centrum inuenimus.
Quod faciendum erat.
HINC conſtat, ſi in ſphæra ſit circulus non per centrum ſphæræ traiectus, à cuius cen-
tro excitetur perpendicularis ad ipſius planum, in linea perpendiculari centrũ eſſe ſphærę. Oſtenſum enim eſt, punctum G, quod perpendicularẽ A C, bifariã diuidit, eſſe ſphærę centrũ.
SPHAERA planum, à quo non ſecatur, non
SI enim fieri poteſt, ſphæra planum, à quo non ſecatur, tangat in pluri-
B.
Inuento igitur C, centro ſphæræ, ducantur re
&
per C A, C B, ducatur pla-
num faciens quidem in ſuperficie ſphæræ cir
ſecante rectam lineam E A B F. Quia igitur
ram non ſecat, atque adeò neque circulum
A B D, in ſphęrę ſuperſicie exiſtentem, fit vt
neq; recta E A B F, circulũ A B D, ſecet.
Cadet
ergo recta A B, tota extra circulũ. Quoniã
vero duo puncta ſumpta ſunt A, B, in circũfe
rentia circuli A B D, cadet eadem recta A B, à
pũcto A, in punctũ B, ducta tota in tra circulũ
Quod eſt abſurdũ.
Sphęra igit̃ planũ,
à quo nõ ſecatur, nõ tangit in pluribus pũctis vno. Quod erat demonſtrandũ.
HINC fit, ſi duo puncta ſignentur in ſuperficie ſphæræ, rectam, quæ illa connectit, intra
ſphæram cadere. quia videlicet cadit intra circulum, qui in ſphæræ ſuperficie circumferen
SI Sphæra planum tangat, quod eam non ſe-
cet, recta linea ducta à centro ſphæræ ad conta-
ctum, perpendicularis erit ad planum.
TANGAT Sphæra planum, quod ip
Et inuento B,
centro ſphæræ, ducatur ab eo recta B A, ad
punctum contactus A. Dico rectam B A, ad
dictum planum perpendicularem eſſe. Nam
per rectam A B, ducantur duo plana vtcun
que ſe mutuo ſecãtia, quæ in ſuperficie qui-
rentias A C D E, A F D G, in plano autẽ
Quoniara
igitur vterque circulus A C D E, A F D G,
per centrum B, ſphæræ traijcitur, erit quo-
Rurſus quia planum tangens ſphęram non ſecat,
fit, vt neque rectæ H A I, K A L, in eo exiſtentes eandem ſecent; ac proinde
neque circulos A C D E, A F D G, in ſphæræ ſuperficie exiſtentes. Tanget
igitur recta H A I, circulum A C D E, in puncto A, & recta K A L, circulum
Igitur recta B A, &
ad rectam H A I, &
ad re-
ctam K A L, perpendicularis eſt. Quare eadem recta B A, &
ad planum tan-
Si ſphæra
ergo planum tangat, quod eam non ſecet, &c.
Quod oſtendendum erat.
SI Sphæra planum tangat, quod ipſam non ſe-
cet, à contactu autem excitetur recta linea ad an-
gulos rectos ipſi plano, in linea excitata erit cen-
trum ſphæræ.
SPHAERA A B C D, tãgat in C, pun
cto autem C, excitetur ad planum E F, per-
Dico in A C, centrum eſ
ſe ſphæræ. Si enim non eſt, ſit G, centrum
ſphæræ extra rectam A C, ſi fieri poteſt, & à
G, ad C, recta ducatur G C, quę ad planum
Erat autẽ &
A C,
ad idem planum perpendicularis. Igitur ex
eodem puncto C, ad idem planum E F, duæ
perpendiculares ducuntur. Quod eſt abſur-
Dato enim plano, à puncto, quod in illo datum eſt, duæ rectæ lincæ ad
Quare ſi ſphæra planum tangat, quod ipſam
non ſecet, &c.
Quod erat oſtendendum.
CIRCVLORVM, qui in ſphæra ſunt, ma-
ximi ſunt, qui per ſphærę centrum ducuntui: alio-
rum autem illi inter ſe æquales ſunt, qui æqualiter
à centro diſtát: qui vero longius à centro diſtant,
minores ſunt. Et circuli in ſphæra maximi per
ſphæræ centrum tranſeunt: aliorum autem æqua-
les à centro æqualiter diſtant: minores verò lon-
gius à centro diſtant.
IN ſphæra A B C D E F, cuius centrum G, tranſeat circulus A D, per
centrum G, & alij B C, F E, non per centrum.
Dico A D, circulum eſſe om-
nium maximum, &c.
Ducantur ex centro G, ad plana circulorum B C, F E,
ita vt H, I, cen-
tra ſint circulorum B C, F E: Eſt autem G, centrũ ſphæræ, centrũ quoq;
cir-
iecti. Si igitur ex G, H, I, ad ſuper-
ficiem ſphæræ rectæ ducantur G D,
H C, I E, erũt hæ ſemidiametri cir
culorum A D, B C, F E. Conne-
ctantur autem rectæ G C, G E. Quo
niam igitur in triangulo G H C, an
gulus H, rectus eſt, ex defin. 3.
lib.
11
Eucl. erit quadratum ex G C, æqua
Dempto
ergo quadrato rectæ G H, maius e-
rit quadratum ex G C, quadrato ex
H C; atque adeò &
recta G C, hoc
eſt, ſibi æqualis G D, (ducuntur em̃
G C, G D, ex centro ſphæræ ad ſu-
perficiem) maior erit, quàm recta
H C. Quare circulus A D, maiorẽ
habens ſemidiametrum, quàm circulus B C, maior erit circulo B C. Non ſe-
cus oſtendemus, circulum A D, quocunque alio, qui per centrum G, non
tranſeat, maiorem eſſe. Maximus eſt ergo circulus A D.
DISTENT iam circuli B C, F E, à centro G, æqualiter, hoc eſt, per-
pendiculares G H, G I, æquales ſint, ex deſin. 6.
huius libri.
Dico circulos
B C, F E, æquales eſſe. Cum enim rectæ G C, G E, à centro ſphæræ in eius ſu
earum quadrata æqualia;
ſit au
tem tam quadratum ex G C, quadratis ex G H, H C, quàm quadratum ex
erũt quadrata ex G H, H C, ſimul æqua-
lia quadratis ex G I, I E, ſimul. Demptis ergo æqualibus quadratis rectarum
G H, G I, (poſitæ enim ſunt hæ lineæ æquales) æqualia erunt reliqua quadra
ta rectarum H C, I E, ac proinde & rectæ H C, I E, æquales erunt:
quæ cum
ſint ſemidiametri circulorum B C, F E, æquales erunt circuli ipſi B C, F E.
QVOD ſi alter horũ circulorũ, nempe B C, longius à centro G, ponatur
diſtare, quàm alter F E, hoc eſt, perpẽdicularis G H, maior ponatur perpen-
diculari G I, oſtendemus eodem fere modo, circulum B C, minorem eſſe cir-
culo F E. Cum enim quadrata ex G H, H C, æqualia ſint demonſtrata qua-
dratis ex G I, I E; ſi auferantur quadrata inæqualia rectarum inæqualium
(quòd & recta G H, maior ponatur
quàm recta G I,) erit reliquum qua
dratum rectæ H C, minus quadrato
reliquo rectæ I E; ac propterea &
re
cta H C, minor erit, quàm recta I E. Igitur &
circulus B C, circulo F E,
minor erit.
SIT iam circulus omnium ma-
ximus A D. Dico eum per G, cen-
trum ſphæræ tranſire. Sienim non
tranſeat per centrũ, erit alius quiſ-
piam circulus per centrum G, tran
ſiens maior circulo A D, non per
centrũ tranſeũte, vt in hac propoſ,
demonſtratum eſt. Quare A D, non
eſt maximus circulus. Quod eſt ab-
ſurdum. Ponitur enim maximus.
Tranſit ergo per G, centrum ſphæræ.
DEINDE ſint æquales circuli B C, F E.
Dico eos à centro G, æquali-
ter diſtare. Conſtructa enim figura, vt prius, erunt ſemidiametri H C, I E, æ-
quales. Et quoniam quadrata ex G H, H C, æqualia ſunt quadratis ex G I,
ablatis æqualibus quadratis linearum æqualium
H C, I E, erunt reliqua quadrata rectarum G H, G I, æqualia; ac proinde &
lineæ G H, G I, æquales erunt. Quæ cum perpendiculares ſint, ex conſtru-
ctione, ad plana circulorum B C, F E, æqualiter à centro G, diſtabunt cir-
culi B C, F E, ex defin. 6.
huius lib.
QVOD ſi alter circulorum B C, F E, nimirum circulus B C, minor po-
natur altero circulo F E, oſtendemus eodem ferè modo, perpendicularem
G H, maiorem eſſe perpendiculari G I. Cum enim quadrata ex G H, H C,
oſtenſa ſint æqualia quadratis ex G I, I E; ſit autem quadratum ex H C, mi-
nus quadrato ex I E; (quòd &
ſemidiameter H C, circuli minoris minor ſit
ſemidiametro I E, circuli maioris) erit quadratum reliquum rectæ G H, reli
quo quadrato rectæ G I, maius; atque adeo &
recta G H, maior erit, quàm
G I. Quare cum G H, G I, perpendiculares ſint, ex conſtructione, ad plana
circulorum, longius diſtabit, per defin. 6.
huius lib.
circulus B C, minor à cen
tro G, quàm circulus maior F E. Itaque circulorum, qui in ſphæra ſunt,
c.
Quod erat demonſtrandũ.
SI in ſphæra ſit circulus, à centro autem ſphæ-
ræ ad centrum circuli connectatur recta linea, con
nexa linea ad circuli planum recta erit.
IN ſphæra A B C, cuius centrum D, ſit circulus B F C G, cuius centrũ
E: Et recta D E, connectat duo centra D, E.
Dico D E, rectam eſſe ad planũ
circuli B F C G. Ductis enim duabus diametris vtcunque B C, F G, in circu
lo, ducantur ab earum extremis ad D, centrum ſphæræ rectæ lineæ, B D,
les erunt, cum à centro ſphæræ ad eius ſuper
ficiem cadant: Sunt autem &
B E, C E, F E,
G E, ſemidiametri circuli B F C G, æquales. Igitur duo triangula D E B, D E C, duo la-
tera D E, E B, duobus lateribus D E, E C,
& baſim D B, baſi D C, æqualem habent;
ex
quo fit, angulos D E B, D E C, æquales, at-
Recta igitur D E, rectę
B C, ad rectos inſiſtet angulos. Non aliter
oſtendemus, rectam D E, rectæ F G, ad re-
ctos angulos inſiſtere. Quamobrem &
pla-
no circuli B F C G, per rectas B C, F G, du-
Si igitur in ſphæra ſit circulus, &
c.
Quod oſten
dendum erat.
SI ſit in ſphæra circulus, &
à centro ſphæræ ad
circulũ ducatur perpendicularis, quæ ad vtramq; partẽ producatur, cadet ea in polos ipſius circuli.
IN ſphæra A B C D,
culus B G D H, in cuius
planum à centro ſphæræ
cta ſit E F, quæ in vtram-
que partem protracta ca
dat in ſuperficiem ſphæ-
ræ ad puncta A, C. Dico
A, C, polos eſſe circuli
BGDH. Cadet em̃ per-
pendicularis E F, in cen-
Quòd ſi circu-
idem quod F, centrum circuli; ex quo ad planum circuli excitata ſit perpen-
Ductis igitur diametris B D, G H, vtcunque, ducantur ab ea
rum extremis rectæ ad puncta A, C. Et quia A F, perpendicularis eſt ad planũ
anguli omnes, quos ad F,
facit, recti, ex defin. 3.
lib.
11.
Euclid.
quare duo
triangula A F B, A F H,
duo latera A F, F B, duo
bus lateribus A F, F H,
æqualia habent, quę qui
dem angulos comprehen
dunt æquales, nempe re-
ctos. Igitur baſes A B,
A H, æquales erunt. Eo-
rectas A D, A G, & alias
quaſcunque ex A, ad circumferentiam circuli B G D H, ductas tam inter ſe,
quàm rectis A B, A H, æquales eſſe. Punctũ ergo A, polus eſt circuli B G D H,
ex defin. 5.
huius lib.
Non aliter demonſtrabimus, &
C, punctum eiuſdem cir
culi polum eſſe. Si igitur ſit in ſphæra circulus, &
à centro, &
c.
Quod erat
oſtendendum.
_IN_ verſione Maurolyci adduntur ſequentia duo theoremata, quæ Arabes adie-
cerunt.
SI ſit in ſphæra circulus, a cuius centro educatur perpendicu-
hæc in vtrumque polum circuli.
_IN_ eadem figura ex _F,_ centro circuli _B G D H,_ erigatur recta _F A,_ perpendi-
Dico
_A, C,_ eſſe polos circuli _B G D H._ Erunt enim rurſus ex definit.
3.
lib.
11.
Eucl.
om
nes anguli, quos ad _F,_ facit recta _A F,_ recti. Quare, vt prius, lineæ _A B, A D, A G,_
_A H,_ &c.
æquales inter ſe erunt, &
c.
_ALITER._
Quoniam perpendicularis _F A,_ tranſit per centrum ſphæræ _E;_
du
cta erit recta _E F,_ ex _E,_ centro ſphæræ ad planum circuli _B G D H,_ perpendicu-
laris. Quare vt demonſtratum eſt, cadet in polos eiuſdem circuli.
Quod eſt pro-
SI ſit in ſphæra circulus, &
ab altero polorum eius recta duca-
& producta cadet in reliquum polum.
_IN_ eadem adbuc figura ex _A,_ polo circuli _B G D H,_ per centrum eius _F,_ demit
tatur linea recta _A F,_ occurrens ſuperficiei ſphæræ in _C._ Dico rectam _A F,_ perpen
dicularem eſſe ad planum circuli _B G D H,_ & _C,_ eſſe reliquum polum eiuſdem cir-
culi. Quoniam enim duo triangula _A F B, A F D,_ duo latera _A F, F B,_ duobus la-
teribus _A F, F D,_ & baſim _A B,_ baſi _A D,_ æqualem habent, ex defin.
poli;
habebunt
quoque duos angulos _A F B, A F D,_ æquales, atque adeo rectos. Igitur _A F,_ re-
Similiter oſtendemus, eandẽ _A F,_ ad angulos rectos
inſiſtere rectæ _G H._ Quare &
plano circuli _B G D H,_ per rectas _B D, G H,_ ducto eadẽ
Quod eſt primò propoſitum.
Quoniamigitur _A F,_
ad rectos eſt angulos plano circuli _B G D H,_ ducta erit _F A,_ ex centro circuli _F,_ ad pla
num circuli perpendicularis. Quare, vt in hoc ſcholio proxime demonſtratum eſt, in
vtramque partem protracta in vtrumque polum circuli cadet, ac proinde _C,_ reli-
quus polus erit circuli _B G D H,_ quod eſt ſecundo loco propoſitum.
SI ſit in ſphæra circulus, &
ab altero polorum
eius in ipſum ducatur perpẽdicularis recta linea,
cadet hæc in circuli centrum, & inde producta ca
det in reliquum polum ipſius circuli.
IN Sphæra A B C D, ſit circulus B F D G, à cuius polo A, ad eius pla-
num perpendicularis ducatur A E, occurrens ſuperficiei ſphæræ in C. Dico
C, reliquũ
polum. Ductis enim per E, duabus rectis vtcun
que B D, F G, connectantur earum extrema
cum polo A, rectis A B, A D, A F, A G, quæ
omnes inter ſe æquales erũt, ex definitione po
li. Omnes item anguli, quos recta A E, facit ad
E, recti, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
Erit igitur tam
quadratũ ex A B, quadratis ex A E, E B, quàm
quale; atq;
adeò cum quadrata rectarum A B,
A G, æqualium æqualia ſint, erunt quadrata
ex A E, E B, ſimul quadratis ex A E, G E, ſi-
mul æqualia. Dempto ergo communi quadrato rectæ A E, reliqua quadrata
rectarum E B, E G, æqualia erunt, ac proinde & rectæ E B, E G, æquales.
Eodem modo oſtendemus, rectas E G, E D, æquales eſſe.
Quare E, centrum
eſt circuli BFDG; Quod eſt propoſitum.
Quoniam igitur ex E, centro cir
adeo ex H, centro ſphæræ eadem H E, ducta
erit perpendicularis ad planum circuli B F D G. Quocirca H E, vtrinq;
edu-
ac proinde C, reliquus polus erit circuli
BFDG. Si igitur ſit in ſphæra circulus, &
ab altero polorum eius, &
c.
Quod
oſtendendum erat.
SI ſit in ſphæra circulus, linea recta per eius po
los ducta, ad circulum recta eſt, tranſitq́ per cen-
trum circuli, & ſphæræ.
IN ſphæra A B C D, ſit circulus B F D G, per cuius polos A, C, recta du
catur A C, occurrens plano circuli in E. Dico rectam A C, ad planum circu
li rectam eſſe, tranſireq́; per eius centrum, (hoc eſt, E, eſſe ipſius centrum)
nec non per centrũ ſphæræ. Ductis namq;
per E, duabus rectis vtcunq;
B D,
F G, quarum extrema cum polis A, C, iungantur rectis, vt in figura; erunt
C G, C F, C D, inter ſe æquales, ex defin. poli.
Igitur duo triangula A B C, A D C, duo late-
ra A B, A C, duobus lateribus A D, A C, & ba
ſim B C, baſi D C, æqualem habent. Quapro-
pter & angulos B A C, D A C, æquales habe-
Quoniam igitur duo triangula A B E,
A D E, duo latera A B, A E, duobus lateribus
A D, A E; æqualia habent, anguloſq́;
ſub ip-
ſis contentos B A E, D A E, æquales, vt pro-
xime demonſtratum eſt, erunt & anguli A E B,
ob id recti.
Non aliter de-
monſtrabimus, rectos eſſe angu los A E G, A E F. Recta igitur A E, duabus re-
ctis B D, F G, ad rectos inſiſtit angulos. Quare perpendicularis erit ad planũ
circuli B F D G, per rectas B D, F G, ductum. Quod eſt primo loco propoſi-
Quoniam igitur ex A, polo circuli B F D G, ad eius planum perpendi-
cularis eſt ducta A E, cadet A E, in centrum ipſius. Eſt ergo E, centrum cir-
Rurſus quia ex E, centro circuli B F D G, educta eſt ad eius pla
num perpendicularis E A, tranſibit hæc per centrum quoq; ſphæræ.
Quare
centrum, & ſphæræ.
quod eſt propoſitum.
Si ſit igitur in ſphæra circulus,
linea recta per eius polos ducta, &c.
Quod erat demonftrandum.
_ADDVNTVR_ hoc loco alia duo theoremata huiuſmodi.
SI in ſphæra ſit circulus, &
ab altero polorum eius per centrum
cularis, & producta cadet in centrum ipſius, &
in reliquum polum.
_IN_ ſphæra _A B C D,_ cuius centrum _E,_ ſit circulus _B G D H,_ a cuius polo _A,_
per _E,_ centrum ſphæræ ducatur recta _A E,_ occurrens plano circuli in _F,_ & ſuperſi
ciei ſphæræ in _C. D_ico _A E,_ perpendicularem eſſe ad planum circuli, tranſireq́ per
eius centrum, & reliquum polum, hoc eſt, _F,_ eſſe eius centrum;
&
_C,_ reliquum
_D_uctis enim per _F,_ duabus xectis vtcun-
que _B D, G H,_ iungantur extrema cum punctis
_A,_ & _E,_ vt in figura;
eruntq́;
_A B, A H, A D,_
_A G,_ ex definitione poli, inter ſe æquales; nec
non & _E B, E H, E D, E G,_ ſemidiametri ſphæ-
ræinter ſe æquales. Quoniamigitur duo trian-
gula _A B E, A D E,_ duo latera _A B, A E,_ duo-
bus lateribus _A D, A E,_ & baſim _E B,_ baſi _E D,_
habent æqualem; erunt anguli _B A E, D A E._
_I_taque duo triangula _A B F, A D F,_
duo latera _A B, A F,_ duobus lateribus _A D, A F,_
æqualia habent, anguloſq́ ſub ipſis contentos
_B A F, D A F,_ æquales, vt proxime oſtenſum eſt. Quare anguli _A F B, A F D,_ æquales erunt, at-
_E_odem modo demonſtrabimus re-
ctos eſſe angulos _A F H, A F G,._ _R_ecta igitur _A F,_ duabus rectis _B D, G H,_ inſiſtit
ad angulos rectos. Quare perpendicularis erit ad planum circuli _B G D H,_ per re-
_I_taque producta cadet &
in centrum circuli, &
in reli-
ac proinde _F,_ centrum erit circuli, &
_C,_ reliquus polus.
Quod eſt
propoſitum. Si in ſphæra igitur ſit circulus, &
c.
Quod erat oſtendendum.
HINC fit, circulum maximum, qui per alterum polorum cuiuſlibet circuli in ſphæ-
ra tranſit, tranſire quoq; per polum reliquum.
Nam ſi ex vno polo per centrum ſphæræ dia
meter ducatur circuli maximi, qui per illum polum tranſit, cadet hæc in alterum polum,
vt demonſtratum eſt. Idem ergo circulus maximus per reliquum polum tranſibit.
Et quia diameter circuli maximi eſt quoq;
diameter ſphæræ, manifeſtum eſt, duos po-
los circuli cuiuſlibet in ſphæra per diametrum eſſe oppoſitos: atq;
adeò inter ipſos inter-
poſitum eſſe ſemicircuium maximi circuli.
SI in ſphæra ſit circulus, &
à centro ſphæræ per centrum circu-
_IN_ eadem figura ducatur per _E,_ centrum ſphæræ, &
_F,_ centrum circuli _B G D H,_
_D_ico _E F,_ cadere in vtrumque polum circulè
_BGDH;_ Quoniam enim recta _E F,_ centrum ſphæræ, &
centrum circuli _B G D H,_
connectens perpendicularis eſt ad planum eiuſdem circuli, cadet eadem _E F,_ vtrin
Quod eſt propoſitum.
EX his omnibus conſtat, in ſphæra quatuor hæc puncta, nempe duos polos cuiuſq;
cir-
culi, eiuſdem centrum, & centrum ſphæræ, perpetuo in vna ſinea recta, nempe diametro
ſphæræ, exiſtere, & ipſam quidem diametrum ad planum eiuſdem circuli eſſe perpendi-
cularem: Adeo vt recta pet quælibet duo puncta ex his ducta tranſeat per reliqua duo, ſitq́;
ad planum circuli perpendicularis:
Et recta pet vnum eorum ducta perpendicularis ad pla-
num circuli, tranſeat quoq; per tria puncta reliqua.
IN ſphęra maximi circuli ſe mutuo ſecant bi-
fariam.
IN ſphæra A B C D, ſecent ſe mutuo duo circuli maximi A C, B D, in
punctis E, F. Dico ſe mutuo ſecare bifariam.
Quoniam enim circuli maximi
in ſphæra per centrum ſphæræ tranſeunt, tranſibunt circuli A C, B D, per
Et quoniam idem eſt ſphæræ centrum, &
circu-
li per ſphæræ centrum traiecti, erit punctum G, quod ſphæræ centrum poni-
vtriuſq;
circuli A C, B D, ita vt in vtroq;
plano circu-
lorum A C, B D, exiſtat. Sunt autem &
puncta E, F, in vtroq;
eodem plano.
plano circulo
rũ A C, B D, exiſtunt; atq;
adeo in cõmuni eorũ
ſectione erunt, cum ſolũ cõmunis eorum ſectio
ſit in vtroq; plano:
Eſt autem communis eo-
Igitur tria puncta E, G, F,
in linea recta ex E, per G, ad F, ducta exiſtunt. quæ cum tranſeat per G, centrum vtriuſq;
cir-
culi, & ſphæræ, vt oſtenſum eſt, diameter erit
& ſphæræ, &
vtriuſq;
circuli;
atq;
adeo vtrum-
que eorum bifariam ſecabit, ita vtſemicirculi
ſint E A F, F C E, E B F, F D E: In ſphæra er-
go maximi circuli ſe mutuo ſecant bifariam.
Quod erat demonſtrandum.
IN ſphæra circuli, qui ſe mutuo bifariam ſe-
cant, ſunt maximi.
IN ſphæra A B C D, circuli A E, B D, ſe mutuo ſecent bifariam in pun-
ctis E, F. Dico circulos A C, B D, eſſe maximos.
Cum enim ſe mutuo fecent
bifariam in E, F, erit ducta recta E F, vtriuſq; diameter, cum ſola diameter
bifariam diuidat;
ac proin-
de diuiſa recta E F, bifariã in G, erit G, vtriuſq; circuli centrum:
quod dico etiam eſſe ſphæræ
centrum, atq; adeo vtrumq;
circulum per ſphę
ræ centrum duci. Sinamq;
G, dicatur non eſſe
centrum ſphæræ, ac proinde circulos A C, B D,
non eſſe per ſphæræ centrum ductos; hoc ipſo
oſtendemus, G, eſſe centrum ſphæræ, atq; idcir
co vtrumq; circulum per ſphæræ centrum du-
ci. Erigatur enim ex G, ad planum circuli A C,
Item G I, perpendicula-
ris ad planum circuli B D. Quoniam igitur cir
culi A C, B D, ponuntur non tranſire per centrum ſphæræ, tranſibit vtraq; perpendicularis G H, G I, per centrum ſphæræ.
Quare punctum G, in quo
ac proinde vterq;
circulus per centrum ſphæræ traijcietur.
Sunt ergo circu
In ſphæra ergo circuli, qui
ſe mutuo bifariam ſecant, ſunt maximi. Quod erat oſtendendum.
_HIC_ vides mirabilem ſane argumentandi modum.
_N_am ex eo, quòd _G,_ dici-
tur non eſſe centrum ſphæræ, demonſtratum eſt demonſtratione affirmatiua, _G,_ eſ-
ſe centrum ſphæræ. quo modo argumentandi etiam vſus eſt _E_uclides lib.
9.
propoſ.
12.
&
_C_ardanus lib.
5.
de _P_roport.
propoſ.
201.
vt in ſcholio eiuſdẽ propoſ.
monuimus.
SI in ſphæra maximus circulus circulum quẽ-
piam ad rectos angulos ſecet; &
bifariam eum ſe-
cat, & per polos.
IN ſphæra maximus circulus A B C D,
gulos rectos, hoc eſt, planũ circuli A B C D,
rectum ſit ad planum circuli B E D; ſitq́;
cõ-
munis eorum ſectio recta B D. Dico circu-
lum A B C D, bifariam, & per polos ſecare
circulum B E D. Sumpto enim F, centro cir
centrũ ſphę-
ræ erit, (Nam cum circulus maximus duca-
ducatur ex F, ad planũ
circuli B E D, perpendicularis F G, quæ in
Cadat autem in punctum G.
Et quoniam
in centrum circuli B E D, erit G, centrum circuli B E D;
adeo B D, per G, ducta, diameter eiuſ-
dem: quæ cum diuidat eirculum B E D, bi-
fariam, diuidet quoq; eundem bifariam cir-
culus maximus A B C D, per rectam B D,
ductus. Quod eſt primo loco propoſitum.
Quoniam verò recta F G, in plano eſt circu
li A B C D, cadet ea producta in circum-
ferentiam ad A, C, puncta, quæ in ſuperfi-
cie ſphæræ ſunt: cadit autem &
in vtrumq;
ſphæræ ad circuli planum perpendicularis
ſit ducta. Igitur A, C, poli ſunt circuli B E D,
ac proinde circulus maximus A B C D, per
polos circuli B E D, tranſit. quod ſecundo loco proponebatur demonſtrã-
dum. Si igitur in ſphæra ma ximus circulus circulum quempiam, &
c.
Quod
oſtendendum erat.
_CAETERVM_ hæc propoſ.
vnà cum 8.
9.
10.
&
earum ſcholijs intelligenda
etiam eſt, quando circulus _B D,_ maximus eſt, & per ſphæræ centrum tranſit.
_E_adem
enim eſt ferè ſemper demonſtratio, vtperſpicuum eſt.
SI in ſphæra maximus circulus circulum non
maximum bifariam ſecet; ad angulos rectos eum
ſecat, & per polos.
IN ſphęra maximus circulus A B C D, non maximum B E D, ſecet bifa-
communis eorum
ſectio recta B D. Dico circulum A B C D,
ſecare circulum B E D, ad angulos rectos,
& per polos.
Quia enim circulus B E D, bi
fariam ſecatur in B, D, hoc eſt, in ſemicircu
los, erit B D, communis ſectio diameter eius. Diuiſa ergo B D, bifariam in F, erit F, cen-
Sumpto autem G, cen
tro ſphæræ, quod & centrũ erit maximi cir-
culi A B C D, ducatur ex G, ad F, recta F G,
B E D. Igitur &
planum circuli maximi
Secat igitur
ctos. Quod eſt primo loco propoſitum.
Et quoniam oſtenſum eſt, rectã F G,
ex G, centro ſphæræ ductam ad planum circuli B E D, eſſe perpendicularẽ,
cadet F G, vtrinque producta in polos circuli B E D. Quare cum G F, in
puncta A, C, quæ etiam in ſuperficie ſphæræ funt, erunt A, C, poli circuli
B E D, atque adeo circulus maximus A B C D, circulũ non maximũ B E D,
per polos A, C, ſecabit. quod ſecundo loco propoſitũ fuit.
Si igitur in ſphæ
ra maximus circulus circulum non maximum, &c.
Quod erat oftendendum.
Si in ſphæra maximus circulus, eorum, qui in
ſphæra ſunt, circulorum aliquem per polos ſecet; bifariam, &
ad angulos rectos eum ſecat.
IN Sphæra maximus circulus A B C D, ſecet circulum B E D, per polos
A, C. Dico circulum A B C D, ſecare circulum B E D, fifariam, &
ad angu
Connectat enim recta A C, polos
A, C, occurrens plano circuli B E D, in F,
puhcto. Et quoniam recta A C, ad planũ cir
culi B E D, per pendicularis eſt, tranſitq́; per
circuli B E D;
erit F, cen
trum circuli B E D. Cum ergo circulus ma
ximus A B C D, circulum B E D, ſecans tran
ſeat per rectam A C, ac proinde per centrũ
F, erit communis ſectio B F D, diameter cir
culi B E D. Bifariam ergo ſecatur circulus
B E D. Dico quod &
ad angulos rectos.
Cum
enim recta A C, oſtenſa ſit perpendicularis
ad planum circuli B E D, erit quoque planũ
circuli maximi A B C D, per rectam A C, ductum ad idem planum circuli
Igitur ſi in ſphęra maximus circulus, &
c.
Quod demonſtran
dum erat.
_QVATVOR_alia theoremata hoc loco addútur in alia verſione, hoc ordine.
SI in ſphæra maximus circulus per polos alterius cuiuſpiam ma
_IN_ ſphæra tranſeat maximus circulus
_Dico_ &
maximum circulum _B D,_ per polos ma-
ximi circuli _A B C D,_ tranſire. Quoniam enim
circulus maximus _A B C D,_ circulum _B D,_ ſe-
Quare vicißim maximus circulus _B D,_ circu-
lum _A B C D,_ ad angulos rectos ſccabit; at-
que adeo per ipſius polos eum ſecabit. Quod eſt
SI in ſphæra circulus circulum per polos ſecet, circulus maxi-
mus eſt, & bifariam eum ſecat, &
ad angulos rectos.
_IN_ ſphæra circulus _A B C D,_ ſecet circu-
Dico ipſum eſſe circu-
culum maximum, ſecareq́; circulum _B D,_ bifa-
riam, & ad angulos rectos.
Coniungat enim re-
cta _A C,_ polos _A, C,_ quæ neceſſario in plano
circuli _A B C D,_ erit, quod circunferentia eius
per eoſdem polos _A, C,_ ponatur tranſire. Quo-
niam vero recta _A C,_ per _A, C,_ polos circuli
bit quoque cir culus _A B C D,_ (cum per rectã
_A C,_ ducatur) per centrũ ſphæræ; atque adeo
Quare cum per _A, C,_ polos cir
ad angulos rectos.
Quod eſt
propoſitum.
SI in ſphæra circulus circulum bifariam, &
ad angulos rectos
per polos eum ſecat.
_IN_ſphæra circulus _A B C D,_ ſecet circulum
ad angulos rectos.
_Dico_ ipſum
eſſe circulum maximum, tranſireq́; per polos cir-
culi _B D._ Sit recta _BD;_
communis circu lorum ſe-
etio. Quo niam igitur circulus _A B C D,_ circu-
lum _B D,_ ſecat bifariam, erit recta _B D,_ nempe
communis ſectio circulorũ, diameter circuli B D,
atque adeo diuiſa recta _B D,_ bifari am in E: erit
E, eiuſdem circuli centrum. Ducatur in plano cir
culi _A B C D,_ recta E A, perpendicularis ad re
etam _B D._ Et quoniam circulus _A B C D,_ circu
4.
lib.
11.
Eucl.
_E A,_ ad pla
num circuli _B D,_ recta; ac proinde cum ex E, centro ipſius educatur, in vtrunque
polum eiuſdem cadet. Cadit autem in circunferentiam circuli _A B C D,_ in ſuperficie
Sunt ergo _A, C,_ poli circuli _BD;_
at que adeo cir
culus _A B C D,_ circulũ _B D,_ per polos _A, C,_ ſecat. Quare ex præcedenti theoremate,
maximus circulus eſt. Probatum autem eſt, quod &
circulum _B D,_ per polos ſecat.
Conſtat ergo propoſitum.
SI in ſphæra ſit circulus, &
ab altero polorum eius recta cadens
circulus maximus eſt.
_IN_ſphæra ſit circulus _AB_, à cuius altero polorum _C,_ in planum eius cadens re
eta perpendicularis _C D,_ æqualis ſit ipſius ſemidiametro. _Dico A B,_ eſſe circulum ma
ximum. Cum enim _C D,_ perpendicularis ſit ad circulum _A B,_ cadet ipſa in circuli
centrum, & producta cadet in alterum polum, qui ſit E.
Eſt ergo _D,_ centrum circu
atque adeo perpendicularis _C D,_ tran-
ſit per centrum ſphæræ. Ducatur per rectã _C E,_
circulum _A E B C,_ qui cum tranſeat per centrũ,
qui circulum _A B,_ ſecet
in punctis _A, B,_ & iungatur ſemidiameter _D B,_
cui ex hypotheſi æqualis eſt _G D._ Quoniam vero
_C D,_ perpendicularis ponitur ad circulum A B,
erit, ex deſin. 3.
lib.
11.
Eucl.
angulus _C D B,_ re-
Quare _B D,_ media proportionalis eſt inter
_C D, D E,_ hoc eſt, erit, vt _C D,_ ad _B D,_ ita _B D,_
ad _D E._ Eſt autem _C D,_ ipſi _B D,_ æqualis.
Igi-
tur & _D E,_ eidem _B D,_ æqualis erit;
atq;
adeo
& _C D, D E,_ inter ſe æquales erunt.
Cum ergo _C E,_ oſtenſa ſit tranſire per centrũ
ſphæræ, erit _D,_ centrum ſphæræ. Erat autem &
centraum circuli _A B._
Idem ergo
eſt centrum ſphæræ. &
circuli _A B,_ ac proinde circulus _A B,_ maximus eſt.
Quod eſt
SI in ſphæra ſit maximus circulus, recta linea
ducta ab eiuſdem circuli polo ad circunferentiã
æqualis eſt lateri quadrati inſcripti in maximo cir-
culo.
IN ſphæra ſit circulus maximus A B, à cuius polo C, ad eius circũferentiã
ducatur recta C B. Dico C B, æqualẽ eſſe lateri quadrati in circulo A B, vel
Ducatur ex C, ad circulum A B, perpendicu
producta in reliquum
Iam per rectas C B,
culum A D B C, qui cum per E, centrum
ſphæræ (Eſt enim E, centrum circuli maxi-
atq; adeo circulum maximum A B, bifariam
Quod etiam inde patet, quòd per
Hinc enim fit, vt ipſum
Sit ergo communis ſectio
diameter B E A. Et quoniam C E, perpendi
cularis ducta eſt ad circulum A B, erit eadé
perpendicularis ad rectam A B, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
Duæ ergo diametri A B, C D, in maximo circulo A D B C, ſeſe
mutuo ſecãt ad angulos rectos; ac propterea vt in lib.
4.
Euclidis demonſtra
adeò &
in
maximo A B, deſcripti. Si igitur in ſphæra fit maximus circulus, recta linea
ducta, &c.
quod demonſtrandum erat.
QVONIAM verò quatuor anguli recti ad centrum E, æquales ſunt, atq;
adeò qua-
tuor arcus B C, C A, A D, D B, ſuper quos aſcendetunt, æquales, nem pe quadrantes, per-
drante maximi circuli. Abeſt enim C, polus circuli maximi A B, ab eius circunferentia
quadrante C B, eademq́; ratio de ceteris habenda eſt.
Semper enim recta ducta à circunfe-
rentia maximi circuli ad eiuſdem polum æqualis eſt lateri quadrati in maximo circulo
adeò quadrantem in maximo circulo ſubtendet.
_CONVERSVM_quoq;
huius demonſtratur in alia verſione hoc theoremate.
SI in ſphæra ſit circulus, &
ab eius polo ad circunferentiam du
maximus eſt.
_IN_ eadem figura ex _C,_ polo ad circunferentiã circuli _A B,_ ductarecta _C B,_ ſit
equalis lateri quadrati in circulo _A B,_ deſcripti. Dico _A B,_ circulum eſſe maxi-
mum. Ducatur enim ex _C,_ ad circulum _A B,_ perpendicularis _C E,_ quæ in eius
Ducta autem ſemidiametro _E B,_ erit ex deſin.
3.
lib.
11.
angulus _E,_ rectus.
Igitur quadratum in circul _A B,_ deſcriptum, æquale eſt
quadratis ex _B E, C E:_ ſed quadratum ſemidiametri _B E,_ dimiaium eſt quadrati
I gitur &
quadratum ex _C E,_ eiuſ-
dem quadrati in circulo _A B,_ deſcripti dimidium erit; atque adeo quadrata ex
_B E, C E,_ inter ſe æqualia, necnon & lineæ propterea _B E, C E._
aquales erunt.
Quare cum _C E,_ ducta ſit ex C, polo circuli _A B,_ ad ipſum circulum perpendicu-
laris, oſtenſaq̀; ſit ſemidiametro _B E,_ aequalis;
erit circulus _A B,_ maximus.
IN omni circulo quadratum ſemidiametri dimidium eſt qua-
drati in ipſo circulo deſcripti.
_IN_ circulo, cuius centrum E, ductæ ſint duæ diametri A C, B D,
tro. lunctis igitur rectis A B, B C, C D,
_D A,_ quadratum erit A B C D, in circu
lo inſcriptum, vt conſtat ex propoſ. 6.
lib.
4.
Eucl.
Quoniam vero quadrata ex ſemi-
diametris æqualibus E A, E B, æqualia
inter ſe, æqualia ſimul ſunt quadrato ex
A B; dimidium erit quadratum ſemidia
culo deſcribitur. Quod eſt propoſitum.
Ex
quo conſtat, in ſuperiorifigura, quadratum ſemidiametri B E, dimidium
eſſe quadrati ex C B, quod æquale ponitur ei, quod in circulo A B, in-
ſcribitur.
SI in ſphæra ſit circulus, à cuius polo in ipſius
circunferentiam ducta recta linea æqualis ſit late-
ri quadrati in ſcripti in maximo circulo, ipſe circu
lus maximus erit.
IN ſphæra ſit circulus A B, à cuius polo
C, ad eius circunferentiam recta ducta C A,
æqualis ſit lateri quadrati in maximo circulo
ſphæræ deſcripti. Dico A B, circulum eſſe ma
ximum. Per rectam enim A C, &
centrũ ſphæ
ræ planum ducatur, faciens in ſphæra circulũ
Ducatur quoq;
ex C, recta li-
nea C B, ad B, punctũ, in quo circulus maxi-
mus A C B, circulũ A B, ſecat; eritq́;
per deſi
nit. poli, recta C B, rectæ C A, æqualis.
Cũ
ergo A C, ponatur latus quadrati in maximo circulo A C B, deſcripti, erit
quoque C B, latus eiuſdem quadrati; atque adeò duo arcus A C, C B, qua-
drantes erunt conſicientes ſemicirculũ A C B, quòd quatuor latera quadra-
ti æqualia ſubtendãt quatuor circuli arcus æquales. Recta igitur A B, com-
ac proinde &
ſphæræ. Quoniamverò circulus maximus A C B, circulum A B, per polos ſe-
cans ſecat bifariam, erit quoq; A B, communis ſectio diameter circuli A B,
ſphæræ diameter ſit, circulus maximus erit A B.
Si in ſphæ
ra ergo ſit circulus, à cuius polo, &c.
Quod erat demonſtrandum.
LINEAM rectam deſcribere æqualem dia-
metro circuli cuiuſlibetin ſphæra dati.
IN ſphæra ſit datus circulus quilibet A B C D, cuius diametro rectam
æqualem oporteat deſcribere. Sumptis tribus punctis in circunferentia circu
li vtcunq; A, B, D, &
iunctis rectis A B, A D, B D, conſtituatur triangulo
A B D, triangulum æquale E F G, ita vt latus E F, lateri A B, & E G, ipfi
F G, ipſi B D, æqua-
le ſit. Deinde ex G, F, ducan-
tur ad rectas E F, E G, perpen
diculares F H, G H, coeuntes
in H, connectaturq́; recta E H.
Dico E H, æqualem eſſe diame
tro circuli A B C D. Ducta enim
diam etro A C, iungatur recta
D C. Quoniam vero quatuor
anguli quadrilateri E F H G,
quatuor rectis æquales ſunt,
E F H, E G H, recti;
erunt F E G, F H G, duobus re
ctis æquales; atq;
adeo in quadrilatero E F H G, duo quilibet anguli ex ad-
uerſo duobus rectis æqua les erunt. Quare circa ipſum circulus deſcribi po-
quo deſcripto erunt anguli E F G, E H G, eidem ſegmento, cuius chor
da E G, inſiſtentes, æquales. Eſt autem angulus E F G, angulo A B D, æqua-
quod duo latera E F, F G, duobus lateribus A B, B D, æqualia ſint, &
ba-
&
angulus A B D, angulo A C D, æqua-
Igitur &
angulus E H G, angulo A C D, æqualis erit.
Eſt autem &
re-
ctus angulus E G H, angulo A D C, æqualis, quòd hic quoque rectus ſit in ſe-
Igitur triangula E H G, A C D, duos angulos
duobus angulis æquales habent, necnon & latus E G, lateri A D, quod æqua-
Quare &
latus E H, lateri A C,
æquale erit. Lineam igitur rectam E H, deſcripſimus æqualem diametro A C,
circuli A B C D. Quod erat faciendum.
LINEAM rectam deſcribere æqualem dia-
metro datæ ſphæræ.
IN ſphæra data ſumptis vtcunq́ue duobus punctis A, B, deſcribatur ex
A, polo, & interuallo A B, circulus B D, cuius diametro æqualis recta deſcri
&
fiat ſupra F G, triangulum E F G, habens vtruque reliquorum
Deinde ex F, G,
ad E F, E G, perpendiculares
educantur F H, G H, coeun-
tes in H;iungaturq́;
recta E H.
Dico E H, æqualem eſſe dia-
metro datæ ſphæræ. Ducta em̃
ſphæræ diametro A C, traijcia
tur per rectas A B, A C, pla-
num ſaciens in ſphæra circulũ
atque adeo per centrum eiuſ-
dem ducatur. Quare idẽ per A, polũ circuli B D, ductus circulum B D, bifa-
ac propterea communis ſectio B D, diameter erit circuli B D.
Iunctis autem rectis A D, D C, erunt duo latera A B, B D, duobus lateribus
E F, F G, æqualia, nec non & baſes A D, E G, æquales.
Eſt enium F G, diame-
tro B D, æqualis, ex conſtructione: &
vtraque E F, E G, rectæ A B, vel A D.
Igitur & anguli A B D, E F G, æquales erunt.
Eſt autem angulo A B D, an-
&
angulo E F G, angulus E H G, vt in præcedenti
demonſtratum eſt.
Igitur &
anguli A C D, E H G, æquales erunt.
Sunt autem &
recti A D C, E G H, æquales, &
latus A D, lateri E G, quod
vni æqualium angulorum obijcitur, æquale. Igitur &
recta E H, rectæ A C,
Lineam igitur rectam E H, deſcripſimus æqualẽ diametro A C,
datæ ſphæræ. Quod faciendum erat.
_ADDITVR_in alia verſione ſequens hoc Theorema.
LINEA recta à polo cuiuſuis circuli in ſphæra ad ſuperficiem
ferentiam circuli ductæ, in circuli circunferentiam cadit.
_IN_ſphæra ex _A,_ polo circuli _B C,_ recta du-
cta ſit vtcumque _A D,_ ad eius circunferentiã,
quæ minor erit diametro ſphæræ, atque adeo dia
metro circuli maximi in ſphæra, cum diameter
ſphæræ ſit omnium rectarum in ſphæra ductarũ
maxima Ducatur iam ex eodem polo A. ad ſu-
perficiem ſphæræ recta _A E,_ quæ ipſi _A D,_ æqua-
lis ſit. Dico rectam A E, caderein circunferen-
tiam circuli _B C._ Si enim ſi eri poteſt, non cadat
in eius circunferentiam. Et per rectam _A E,_ &
centrum ſphæræ ducatur planũ faciens in ſphæ-
Secet au
_B, C._ Non cadet ergo recta _A E,_ in puncta _B, C._
cum ponatur non cadere in circunferentiam cir
culi _B C._ Ducta igitur recta _A B,_ erit hæc, ex
defin. poli, rectæ _A D,_ atque adeo rectæ _A E,_
æqualis. Et quia vtraque _A B, A E,_ minor eſt
diametro maximi circuli _A B C,_ vt dictum eſt,
erunt areus _A B, A E,_ cum ſint ſegmenta ſemi-
circulo minora, æquales, pars & totum.
Cadet ergo recta _A E,_ in
circunferentiam circuli _B C._ Quod eſt pros
poſitum.
PER duo puncta data in ſphærica ſuperficie
maximum circulum deſcribere.
IN ſphærica ſuperficie data ſint duo pũcta A, B, per quæ deſcribere opor
teat circulum maximum. Si ergo puncta A, B, ſint oppoſita ex diametro
ſphęræ, certum eſt, inſinitos circulos maximos per ipſa duci poſſe, ductis ni-
mirum inſinitis planis per diametrum ſphæræ puncta illa connectentem. Si
metro, deſcribatur ex A, polo, & interual-
lo quod lateri quadrati in maximo circulo
deſcripti æquale ſit, circulus C D, qui ma-
ximus erit, cum recta ex A, polo ad eius cir
drati in circulo maximo deſcripti, propter
interuallum, quo circulus C D, deſeriptus
eſt. Similiter ex B, polo, &
interuallo eodẽ,
quo prius, circulus deſcribatur E F, qui rur
Secet autem hic priorem
in puncto G, a quo ad polos A, B, rectæ du
cantur G A, G B; quarum vtraque, ex con
ſtructione, æqualis erit lateri quadrati in
maximo circulo deſcripti. Tanto enim interuallo ex polis A, B, circuli C D,
E F, deſcripti ſunt. Aequales ergo ſunt G A, G B.
Iam ex G, polo, &
inter-
uallo G A, circulus deſcribatur A E D F C B, qui maximus erit; cum recta
maximo circulo inſcripti, vt demonſtratum eſt. Quoniam vero recta G B, æ-
qualis ipſi G A, ducta ad ſuperficiem ſphæræ cadit in circunferentiam circu-
per data duo puncta A, B, in ſuperficie ſphæræ. Per duo ergo puncta data in
ſphærica ſuperſicie maximum circulum deſcripſimus, Quod faciendum erat.
CVIVSLIBET circuli in ſphæra dati po-
lum inuenire.
SIT inueniendus polus circuli A B, in ſphæra dati, ſitq́;
primum circu-
lus A B, non maximus. Sumptis duobus punctis in circunferentia vtcumque
C, D, diuidatur vterque arcus C A D, C B D, bifariam in A, & B, punctis, per
ſeceturq́;
arcus A E B, bifariam
Dico E, polum eſſe circuli A B;
Quoniam enim arcus A C, A D, æqua-
les ſunt, necnon B C, B D, erunt toti arcus A C B, A D B, æquales. Qua-
A E B, cum circulum
non maximum A B,
bifariam ſecet in A,
& B, ſecabit eum per
polos. Punctum ergo
a circunferentia cir-
culi A B, polus eſt cir
culi A B. Eodem mo-
do ſi reliquus arcus
A F B, ſecetur bifa-
riam in F, erit F, al-
ter polus circuli A B.
SED ſit iam datus circulus A B, maximus.
Sumptis rurſus punctis C, D,
vtcumque, & diuiſis arcubus C A D, C B D, bifariam in A, B, oſtendemus,
ſe ſemicirculũ circuli maximi. Diuiſo ergo altero ſemicirculo, nempe A C B,
bifariam in G, erit recta G A, ſubtendens quadrantem circuli, latus quadrati
in maximo circulo A B, deſcripti; vt ex prop.
6.
lib.
4.
Eucl.
cõſtat.
Itaq;
ex po
lo G, & in teruallo G A, circulus deſcribatur A E B, qui maximus erit, cũ recta
quadrati in circulo maximo A B, deſcripti, Diuidatur deniq; arcus A E B, biſa
riam in E. Dico E, polum eſſe circuli A B.
Cum enim maximus circulus A C B,
tranſeat per G, polum maximi circuli A E B, tranſibit viciſsim maximus cir
Quare punctum E, æqualiter
remotum à circunferentia circuli A C B, polus eſt circuli A C B. Eodem mo
do diuiſo arcu A F B, bifariam in F, erit F, alter polus circuli A C B. Cuiuſli
bet ergo circuli in ſphæra dati polum inuenimus. Quod erat faciendum.
_IN_ alia verſione demonſtrantur ſequentia duo theoremata.
SI in ſuperſicie ſphæræ acceptum fuerit punctum aliquod, &
cadant plures, quàm duæ rectæ lineę æquales, acceptum punctum
polus eſt ipſius circuli.
_IN_ ſuperficie ſphæræ _A B C,_ acceptum ſit punctum _A,_ a quo ad circunferentiã
circuli _B C,_ cadant plures, quàm duæ, rectæ linæ æquales _A D, A E, A F._ Dico
Demittatur enim ex
_A,_ in planum circuli _B C,_ perpendicularis
rectæ _D G, E G, F G,_ eruntq́;
ex 3.
defin.
lib.
I I.
Eucl.
omnes treas anguli ad
G, recti. Quare tam quadratum ex _A D,_ qua-
dratis ex _A G, G D,_ quàm quadratum ex _A E,_
quadratum ex _A F,_
quadratis ex _A G, G F,_ æquale erit. Cum er-
go quadrata rectarum æqualiũ _A D, A E, A F._ æqualia ſint, erunt &
quadrata ex _A G, G D,_
ſimul quadratis ex _A G, G E,_ ſimul, nec non
quadratis ex _A G, G F,_ ſimul æqualia; dem-
ptoq́; communi quadrato lineæ _A G,_ æqualia
erunt reliqua quadrata linearum _G D, G E,_
_G F,_ at que adeo & rectæ _G D, G E, G F,_ æquales erunt, Igitur _G,_ centrum erit
ac proinde recta _G A,_ quæ ex centro _G,_ ad circulum _B C,_ perpendi-
cularis eſt ducta, in polum circuli _B C,_ cadet. Punctum ergo _A,_ polus eſt circuli
Quod eſt propoſitum.
IN ſphæra circuli, à quorum polis rectæ ad eorum circunferen
Et circulorum ęqua-
lium ęquales ſunt rectę ab eorum polis ad circunferentias ductæ.
_IN_ ſphæra _A B C D E F,_ cuius centrum _G,_ ſint duo circuli _B F, C E,_ a quorum
rentias ductæ ſint æquales. Dico circulos _B F,_
_C E,_ æquales eſſe. Ducantur ex polis _A, D,_ ad
cadent in eorum centra _H, I,_ & inde productæ
atque adeo &
in _G,_ centrum
Ductis igitur ſemidiametris ſphæræ _F G,_
_E G,_ & ſemidiametris circulorũ _F H, E I,_ cum
latera _A G, G F,_ lateribus _D G, G E,_ ſint æqua
baſis _A F,_ baſi _DE_ erunt anquli _A G F,_
_D G E,_ æquales. Sunt autem anguli _H, I,_ ex
defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
recti.
Triangula igitur
_F G H, E G I,_ duos angulos duobus angulis æ-
quales habent: habent autem &
latus _F G,_ lateri _E G,_ quod recto angulo opponi-
Igitur &
ſemidiametri F H, E I, æquales erunt, atque adeo &
cir-
quod primo loco propoſitum eſt.
_SINT_ iam circuli B F, C E, æquales.
Dico &
rectas A F, D E, ab eorum po-
lis ad circunferentias ductas eſſe æquales. Conſtructis enim eiſdem, erunt ſemidiame-
tri F H, E I, æquales, & circuli ipſi æqualiter acentro ſphæræ diſtabunt.
Perpen-
atque adeo &
reliquæ lineæ A H, D I,
erunt æquales. Quoniam igitur latera A H, H F, lateribus D I, I E, æqualia
ſunt, continentq́; angulos H, I, æquales, cum recti ſint ex defin.
3.
lib, 11.
Eucl, erũt
Quod ſecundo loco propoſitum erat.
SI in ſphæra recta linea per centrum ducta re-
ctam aliquam lineam non per centrum ductam
bifariam ſecet, ad angulos rectos ipſam ſecabit. Quod ſi ad angulos rectos eam ſecet, bifariam
quoqueipſam ſecabit.
IN ſphæra, cuius centrum A, recta A B, per centrum ducta rectam C D,
B. Dico ipſam C D, ſecari ad angulos re-
ctos. Ducto enim per rectas A B, C D, pla-
Quoniam igitur in circulo C D, recta A B,
per eius centrum A, tranſiens rectam C D,
non per centrum ductam ſecat bifariam in
B, ad angulos rectos ipſam ſecabit. Et ſi ad
ſecabit. Si igitur in ſphæra recta linea, &
c.
Quod demonſtrandum erat.
_ADDITVR_ hic in exemplari græco theorema aliud, quod id em prorſus eſt,
quod prop. 7.
demonſtratum eſt.
Vnde ſuperuacaneũ eſſe duximus, illud hic repetere.
IN ſphæra circuli ſe mutuo tangere di-
cuntur, cum communis ſectio plano-
rum vtrumque circulum tetigerit.
IN ſphæra paralleli circuli circa eoſdem po-
los ſunt.
IN ſphæra A B C D E F, paralleli circuli
Dico eos circa eoſdem polos
eſſe. Sint enim A, D, poli circuli B, F, &
cõ-
cta erit, tranſibitq́; per centrum ſphæræ.
perpendicularis eſt, erit quoque ad circulũ
parallelum C E, perpendicularis. Quare cũ
eſt, cadet in polos circuli C E. Sunt ergo
ſunt autem &
poli
circuli B F. In ſphæra igitur paralleli circu-
li B F, C E, circa eoſdem polos A, D, ſunt. Quod erat demonſtrandum.
IN ſphæra circuli, qui ſunt circa eoſdem po-
los, ſunt paralleli.
IN eadem ſphæra A B C D E F, circa eoſdẽ polos A, D, ſint circuli B F,
C E. Dico eos parallelos eſſe.
Connexa enim recta A D, erit hæc ad vtrunq;
Quare plana circulorum B F, C E, parallela ſunt.
Quod
oſtendendum erat.
_SED_ &
hoc theorema ſequens in alia verſione demonſtratur.
IN ſphæra non ſunt plures circuli æquales, &
paralleli, quàm
_IN_ ſphæra quacunque ſint, ſi fieri poteſt, plu
paralleli, nem
erunt. Sint ergo eorum poli G, H, &
iungatur
ræ, & per _K, L, M,_ centra circulorum;
perpen
dicularisq́; erit ad circulos _A B, C D, E F._
Quo
niam igitur circuli _A B, C D, E F,_ æquales
Per defin.
ergo 6.
lib.
1.
huius, perpendiculares
_I K, I L, I M,_ æquales erunt, nempe pars _I L,_
& totum _I M._
Quod eſt abſurdum.
In ſphæra
igitur non ſunt plures circuli æquales, & paralleli, quàm duo.
Quod demonſtran-
dum erat.
SI in ſphæra duo circuli ſecent in eodem pun
cto circunferentiam illius maximi circuli, in quo
polos habent, ſe mutuo tangent illi circuli.
IN ſphæra duo circuli A B, A C, ſecent
li A B C, qui per illorum polos tranſeat. Di
co circulos A B, A C, ſe mutuo tangere in
A. Quoniam enim circulus maximus A B C,
ſecat circulos A B, A C, per polos, bifariam
ipſos ſecabit, & ad angulos rectos.
Commu-
circulo-
rum A B, A C, nempe rectæ A B, A C, dia-
metri ſunt circulorum A B, A C. Sit quo-
que communis ſectio planorum, in quo
circuli A B, A C, exiſtunt, recta D E, quæ
per punctum A, tranſibit, propterea quod plana circulorum in A, ponan-
Et quoniam pla
num circuli A B C, ad plana circulorũ A B,
A C, rectum eſt oſtenſum, erunt vicisſim pla
na circulorum A B, A C, ad planum circuli
A B C, recta; atque adeo &
D E, communis
perpendicularis erit. Igitur &
ad diametros
A B, A C, in eodem plano exiſtentes perpen
dicularis erit, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
Quare
D E, vtrumque circulum A B, A C, tanget
ac proinde per deſin.
huius lib.
circuli
A B, A C, ſe mutuo tangent in A, puncto. Si igitur in ſphæra duo circuli ſecent, &
c.
Quod erat oſtendendum.
SI in ſphæra duo circuli ſe mutuo tangant, ma-
ximus circulus per eorum polos deſcriptus, per
eorum contactum tranſibit.
IN ſphæra tangant ſe mutuo circuli A B, C B, in B;
&
per D, polum cir-
E, polum circuli C B, deſcribatur circulus maximus D E.
Dico
circulum D E, per contactum B, tranſire. Non tranſeat enim, ſi fieri poteſt,
per tactum B, ſed ſecet circunferentiam v. g.
circuli C B, in F.
Polo igitur
D, & interuallo D F, circulus deſcribatur F G, qui, cum ad maius interual-
lus A B, ſecabit circulũ C B,
in F; quandoquidem circulus
A B, eundem tangit in B, pun
cto, vltra quod circulus G F,
ex polo D, deſcriptus eſt. Quo
niam vero in ſphæra duo cir-
culi G F, C F, ſecant in eodẽ
puncto F, maximum circulum
D F E, per eorum polos de-
ſcriptum, tangent ſe mutuo in
F, duo circuli G F, C F: Sed
mutuo ſeſe ſecant in F, vt
dictum eſt. Quod eſt abſurdum.
Non ergo circulus maximus D E, ſecat ali-
bi circulos A B, C B, quàm in B, contactu, atque adeo per eorum tactũ tran
ſibit. Itaque ſi in ſphæra duo circuli ſe mutuo tangant, &
c.
Quod oſtenden-
dum erat.
SI in ſphęra duo circuli ſe mutuo tangant, ma-
per
contactum amborum circulorũ, per reliqui quo-
que circuli polos tranſibit.
IN ſphæra duo circuli A B, C B, tangãt ſe mutuo in B, ſintq́ D, E, poli
ipſorum. Dico maximum circulum per D, polum circuli A B, &
per conta-
ctum B, deſcriptum tranſire quoque per E, polum circuli C B. Si enim fieri
poteſt, non tranſeat per E, ſed per aliud quoduis punctum F, cuiuſmodi eſt
circulus maximus D B F: Et per polos D, E, maximus circulus deſcribatur
atque adeo
duo circuli maximi D B F,
D B E, ſe mutuo ſecabuntin
D, & B, ac proinde bifariam.
arcus D B.
Quoniam vero cir
culus maximus per alterũ po-
lorũ cuiuſlibet circuli in ſphæ
ra tranſiens, tranſit quoque
in-
ter duos polos eiuſdem circu-
li ſemicirculus circuli maximi
interpoſitus; fit, vt exiſtente D, vno polorum circuli A B, punctum B, ſit al
ter polus. Quod eſt abſurdũ.
Eſt enim B, in circunferentia circuli.
Tranſit
igitur circulus maximus D B, per E. Quocirca, ſi in ſphæra duo circuliſe
mutuo tangant, &c.
Quod erat oſtendendum.
SI in ſphæra maximus circulus aliquem circu
lorum in ſphęrica ſuperficie deſc@iptorum tangat,
tanget & alterum ei æqualem, &
parallelum.
IN ſphæra maximus circulus A B, tan-
Dico circulũ A B,
tangere quoque alterum circulum ipſi A C,
æqualem, & parallelum.
Sit enim D, polus
ac per D, A, circulus maximus
deſcribatur D A: qui, cum per D, polũ cir-
culi A C, & per contactum A, tranſeat, tran
ſibit per polos quoque circuli A B. Aſſum-
catur recta D E, quæ per centrum ſphæræ
ad interuallum E B, circulus deſcribatur B F.
Dico cir-
culum maximum A B, tangere quoque circulum B F, in B, & circulum B F,
æqualem eſſe, ac parallelum circulo A C. Quoniam enim recta D E, per po-
los circulorũ A C, B F, tranſiens perpendicularis eſt ad ipſos circulos, erunt
Rurſus quia cir
atque adeo ſemicir-
culo D C E, æqualis. Dempto ergo commu
ni arcu B D, æquales remanebũt arcus D A,
E B; atque adeo rectæ D A, E B, à polis D,
ductæ æquales. Quare æquales ſunt circuli
Denique quia circuli A B, B F, in
eodem puncto B, ſecant maximum circulũ
A E B, in quo quidem polos habent, ſe
mutuo tangent in B, circuli A B, B F. Qua-
circulum A C, tangit quoque alterum circulum B F, ipſi A C, æqualem, &
parallelũ. Ac proinde ſi in ſphæra maximus circulus aliquem circulorum, &
c.
Quod erat demonſtrandum.
HINC perſpicuum eſt, puncta contactuum A, B, per diametrum eſſe oppoſita.
Oſten-
ſum enim eſt, A C B, eſſe ſemicirculum, ac propterea rectam ex A, ad B, ductam eſſe dia-
metrum ſphæræ, ſen circuli maximi A C B, &c.
SI ſint in ſphæra duo æquales, &
paralleli cir-
culi, maximus circulus, qui eorum alterum tetige
rit, reliquum quoque tanget.
IN eadem figura ſint duo circuli æquales, &
paralleli A C, B F, &
maxi-
mus A B, tangat A C. Dico eundem A B, tangere quoque B F.
Sienim A B,
non tangat ipſum B F, tanget vtique alterum ipſi A C, æqualem, & paralle-
Cum ergo &
B F, eidem A C, æqualis ponatur, &
parellelus, erunt tres
circuli in ſphæra, nempe A C, B F, & ille alius, quem A B, tangit, inter ſe
æquales, & paralleli.
Quod eſt abſurdum.
Non enim plures circuli æquales
paralleli in ſphæra, quàm duo.
Tanget igitur circulus A B, circulũ
B F. Quamobrẽ, ſi ſint in ſphæra duo æquales, &
paralleli circuli, &
c.
Quod
erat oſtendendum.
_IN_ alia verſione demonſtratur &
ſequens theorema.
CIRCVLI in ſphæra paralleli, quos maximus aliquis circu-
IN eadem adhuc figura ſint duo circuli paralleli _A C, B F,_ quos circulus maxis
mus _A B,_ tangat in _A, B._ Dico circulos _A C, B F,_ æquales inter ſe eſſe.
Quoniam
enim paralleli ponuntur circuli _A C, B F,_ ipſi circa eoſdem polos erunt, qui ſint _D,_
per quos, &
polos circuli _A B,_ circulus maximus deſcribatur _A F B,_ qui per con
Quoniam vero circuli maximi in ſphæra ſe mutuo ſecant bi
Dempto
ergo arcu communi _D B,_ æquales remanebunt arcus _D A, E B;_ ac proinde &
rectæ
_D A, E B,_ ex polis _D, E,_ ad circunferentias circulorum _A C, B F,_ ductæ æquales.
Quod eſt propoſitum.
SI in ſphæra maximus circulus ad aliquẽ ſphæ
ræ circulum obliquus ſit, tanget is duos circulos
æqualcs quidem inter ſe, parallelos autem prædi-
cto circulo, ad quem obliquus eſt.
IN ſphæra maximus circulus A B, ad circulum quemcunque C D, obli-
quus ſit. Dico circulum A B, tangere duos circulos inter ſe quidem æquales,
parallelos autem ipſi C D. Sint E,F, poli circuli C D, per quos, &
polos cir
B.
Ex polo dein
de E, & interuallo E A, circulus deſcriba-
tur A G. Et quoniam circuli A B, A G, in
eodem puncto A, ſecant maximum circulũ
tangent in A. Circulus igitur maximus A B,
tangens circulum A G, tanget alterum il-
parallelum, qui ſit B H.
Quia
vero circuli paralleli A G, B H, circa eoſdẽ
Sunt autem E, F, poli etiã
circuli C D; erunt tres circuli A G, C D,
atque adeo paralle
li inter ſe erũt. Tangit igitur maximus circu
lus A B, duos A G, B H, æquales quidem inter ſe, parallelos autem ipſi C D,
ad quem obliquus eſt. Quocirca, ſi in ſphæra maximus circulus ad aliquem,
&c.
Quod oſtendendum erat.
_ALIVD_ theorema hoc loco adijcitur in alia verſione, videlicet.
SI in ſphæra maximus circulus aliquem circulorum in ſphæri-
lelos ei, quem tangit.
_IN_ eadem figura maximus circulus _A B,_ tangat circulum _A G,_ ſecet autem circu
Dico circulum
_A B,_ obliquum eſſe ad circulum _C D._ Quoniã
enim maximus circulus A B, tangens circulum
_A G,_ non tranſit per ipſius polos, (Si namque per
non autem tangeret.) atque adeo neque per po
los circuli _CD;_ (habent enim paralleli circuli
circulus _A B,_ circulum _C D,_ ad angulos rectos: Aliàs tranſiret per eius polos.
Igitur obliquus
Quod eſt propoſitum.
SI in ſphæra duo circuli ſe mutuo ſecent, ma-
ximus circulus per eorum polos ductus ſecabit bi
fariam ſegmenta ipſorum circulorum.
IN ſphæra ſe mutuo ſecent duo circuli A B C D, E D F B, in punctis B,
D, & per eorum polos deſcribatur maxim us circulus A F C E, ſecans circu-
Dico circulum A F C E, ſecare bifariã ſeg-
Quo-
niam enim circulus maximus A F C E, cir-
ad angulos rectos, quòd per eorum polos du
ctus ſit, erunt communes ſectiones A C, E F,
quas cum ipſis facit, diametri ipſorum ſecan
tes ſeſe in G. Secabunt enim ſe mutuo rectę
A C, E F, cum in eodẽ plano circuli A F C E,
exiſtant, ſitq́; punctum E, inter puncta A,
& C;
atque punctum E, inter eadem pun-
cta. Connectantur rectæ B G, D G:
Eruntq́;
tria puncta B, G, D, in vtroque plano circu
lorum A B C D, EDFB; atque adeo in cõ
muni eorum ſectione: Eſt autem communis
eorum ſectio linea recta. Igitur recta erit B G D.
Et quoniam circulus A F C E,
crit viciſsim vterque rectus ad circulum AFCE; atque adeo &
B D, com-
munis eorum ſectio ad eundem perpendicularis erit. Recti igitur erunt angu
3.
lib.
11.
Eucl.
Quare diameter
A C, cum per centrum circuli A B C D, tranſeat, ſecetq̃; rectam B D, ad
angulos rectos, bifariam eam ſecabit. Itaque cum latera A G, G B, æqualia
angulos æquales, nempe rectos, erunt
arcus A B, A D, æquales erunt.
Eodem modo oſtendemus arcus C B, C D,
æquales eſſe; nec non &
arcus E B, E D;
&
F B, F D.
Circulus igitur A F C E,
ſegmenta B A D, B C D, B E D, B F D, bifariam diuidit. Quapropter ſi in
ſphæra duo circuli ſe mutuo ſecent, &c.
Quod demonſtrandum erat.
_DVO_ alia theoremata in alia verſione hoc loco adduntur, hæc videlicet.
SI in ſphæra duo circuli ſe mutuo ſecent, circulus alius eorum
circulus ma-
ximus.
_IN_ eadẽ figura ſecent ſe mutuo duo circuli _A B C D, E D F B,_ in punctis _B, D,_ &
alius quiſpiã circulus _A F C E,_ ſecet ſegmenta _B A D, B C D, B E D, B F D,_ bifariã. _D_i
co ciculũ _A F C E,_ ire per polos ipſorũ, eſſeq́; circulũ maximũ.
Quoniã enim arcus _A D,_
_A B,_ æquales ſunt, nec nõ _C D, C B,_ erũt toti arcus _A D C, A B C,_ æquales, & propte
rea ſemicirculi. _E_odemq́;
modo ſemicirculi erũt _E D F, E B F.
C_irculus igitur _A F C E,_
bifariam ſecat circulos _A B C D, E D F B,_ atque adeo communes ſectiones _A C, E F,_
ſe interſecantes in _G,_ ipſorum diametri ſunt. _Q_uòd ſi connectantur rectæ _B G, D G,_
cum tria puncta _B, G, D,_ in vtroque plano circulorum _A B C D, EDFb_, ſint, at-
que adeo in communi ipſorum ſectione; ſit autem communis eorum ſectio linea recta;
B G D. Q_uoniam vero ſubtenſæ rectæ _D A, D C,_ ſubtenſis rectis
B _A_, B _C,_
continent æquales, nem-
æquales erunt anguli _D A C,
BAC. Q_uod etiã
_Q_uoniam latera _D A, A C,_ lateribus _
BA, A C,_ æqualia ſunt,
baſiſq́; _D C,_ baſi _
BC,_ æqualis, erunt anguli _D A C, BAC,_ æquales. Rurſus quia
Ab, A G,_ æqualia ſunt, angulosq́; continent æqua-
æquales erunt anguli _A G D, A G
B,_ ac propterea recti. Perpendicularis igitur eſt _
BGD,_ ad rectam _A C, E_odem modo oſtendemus rectam
eandem _BGD,_ ad _E F,_ perpendicularem eſſe. _Q_uare eadem _
BGD,_ perpendicula-
ris erit ad planum circuli _A F C E,_ per rectas _A C, E F,_ ductum; ac proinde &
AbCD, EDFb,_ per rectam _BGD,_ ductum ad
idem planum circuli _A F C E,_ rectum erit: &
vicißim circulus _A F C E,_ ad circu-
AbCD, EDFb,_ rectus erit. _I_taque circulus _A F C E,_ circulos _A
B C D,_
B,_ & bifariam &
ad angulos rectos ſecat, _Q_uare maximus eſt, tranſitq́;
per
ipſorum polos. _Q_uod eſt propoſitum.
SI in ſphæra duo circuli ſe mutuo ſecent, maximus circulus ſe-
arcum inter illa ſegmenta poſitum ſemicirculo inæqualem; tranfit
per polos ipſorum, duoq́; reliqua ſegmenta bifariam ſecat.
_IN_ ſphæra duo circuli _
AbCD, EbFD,_ ſe mutuo ſecent in punctis _B, D:_ Et
duo quæcumque illorum ſegmẽta,
nempe, _BAD, BED,_ bifariam
in punctis _A, E,_ & arcus _A F C E,_
interceptus inter dicta ſegmenta
non ſit ſemicirculus. Dico circu-
lum _A F C E,_ tranſire per polos
circulorum _AbCD, EbFD,_
ſecareé; reliqua ſegmenta _
BCD,_
_BFD,_ bifariam. Si enim circulus
_A F C E,_ non tranſeat per ipſorũ
polos, deſcribatur, ſi fieri poteſt,
alius circulus maximus _A G E,_ per
eorum polos, qui ſegmenta ipſo-
rum bifariam ſecabit; atque adeo per puncta _A, E,_ tranſibit.
Secabunt ſe igitur cir
ac propterea ſemicirculus erit
_AFCE._ Quod eſt contra hypotheſim.
Tranſit ergo circulus _A F C E,_ per polos cir-
EbFD._ Quare omnia ſegmenta ipſorum ſecabit bifariam.
Quod
eſt propoſitum.
SI ſint in ſphæra paralleli circuli, per quo-
rum polos deſcribantur maximi circuli; paralle-
lorum quidem circunferentiæ inter maximos cir-
culos interceptæ, ſimiles ſunt; maximorum autem
circulorum circunferentiæ inter parallelos circu-
los interceptæ, ſuntæ quales.
SINT in ſphæra circuli paralleli A B C D, E F G H, quorũ polus I:
(ſunt
enim paralleli circuli in ſphæra circa eoſdem polos.) Per I, autẽ circuli maxi
Dico circunferentias paral-
lelorum A B, E F, ſimiles, nec non B C, F G; Item C D, G H;
&
D A, H E:
B F, C G, D H, æquales eſſe. Sintenim communes ſectiones circuli A I C, &
parallelorum rectæ A C, E G, quæ parallelæ erunt: communes vero ſectiones
parallelorum eorundem, rectæ B D, F H, quæ ſimiliter pa-
Et quia circuli maximi A I C,
B I D, per polos parallelorum deſcripti ſe-
cant parallelos bifariam; erunt A C, B D,
punctum L, vbi
ſe interſecant, centrũ eiuſdem: Item E G,
F H, diametri circuli E F G H, & punctum
K, vbi ſe interſecant, centrum eiuſdẽ. Quo
niam igitur rectæ E K, K F, rectis A L, L B,
parallelæ ſunt, ſuntq́; in diuerſis planis, e-
runt anguli E K F, A L B, ad centra K, L,
Quare circunſerentiæ A B, E F,
per ea, quæ in ſcholio propoſ. 33.
lib 6.
Eu-
clid. oſtendimus, ſimiles erunt.
Eodemq́;
modo ſimiles erunt B C, F G, &
C D, G H, nec non D A, H E.
RVRSVS, quia rectæ ex polo I, ad puncta A, B, C, D, demiſſæ æquales
ſunt, ex defin. poli, erunt quoque arcus I A, I B, I C, I D, æquales:
Et eo-
Reliquæ igitur circunfe-
rentiæ A E, B F, C G, D H, æquales inter ſe erunt. Quapropter, ſi ſint in
ſphæra paralleli circuli, &c.
Quod erat demonſtrandum.
SI in diametris circulorum æqualium æqua-
lia circulorum ſegmenta ad angulos rectos inſi-
ſtant, à quibus ſumantur æquales circunferentiæ,
quarum quælibet inchoata ab extremitate ſui ſe-
gmenti, ſit minor ſemiſſe circunferentiæ integri
ſegmenti, à punctis autem æquales circunferen-
tias terminantibus ducátur æquales rectæ lineę ad
circunferentias circulorum primo poſitorum; ip-
ſæ circulorum primo poſitorum circunferentiæ
interceptæ inter illas rectas lineas, & extremitates
diametrorum, erunt æquales.
IN diametris A C, D F, circulorum æqualium A B C, D E F, inſiſtant
ipſis circulis ad angulos rectos ſegmenta circulorũ æqualia A G C, D H F: ſumanturq́ æquales arcus A G, D H, ita vt puncta G, H, ſecent ſegmenta
A G C, D H F, non bifariam. Ex G, H, denique in circunferentias circulo-
rum A B C, D E F, cadant rectæ æquales G B, H E. Dico circunferentias
A B, D E, eſſe æquales. Demittantur ex G, H, rectæ G I, H K, ad plana cir-
culorum A B C, D E F, perpendiculares, quæ in communes ſectiones A C,
Sumptis quoque L, M, centris circulorũ A B C,
M E, E K, D H:
cadantq́;
primum pun
cta I, K, in ſemidiametros A L, D M. Quoniam igitur arcus A G C, D H F,
æquales ſunt, nec non & arcus A G, D H;
æquales quoque erunt arcus, C G,
F H; ac propterea anguli G A C, H D F, illis inſiſtentes æquales.
Sunt autem
anguli A I G, D K H, æquales, quòd recti ſint ex defin.
3.
lib.
11.
Eucl.
Ita-
que duo triangula A I G, D K H, habent duos angulos G A I, A I G, duo-
D K H, æquales. Ha-
bent autem & latus
A G, lateri D H, ęqua
cuum A G, D H.) quod angulis æquali-
bus I, K, ſubtenditur.
Igitur & latus A I, la
latus G I,
lateri H K, æquale e-
rit. Quoniam vero an
guli G I B, H K E, re
cti ſunt ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
erunt quadrata ex G B, H E, quæ inter ſe æ-
ex
H K, K E, æqualia, ac {pro}pterea quadrata ex G I, I B, quadratis ex H K, K E,
æqualia erunt. Ablatis ergo quadratis æqualibus rectarum æqualiũ G I, H K,
remanebunt quadrata rectarũ I B, K E, æqualia; &
idcirco &
rectæ I B, K E,
æquales. Et quia A L, D M, ſemidiametri circulorum æqualiũ æquales ſunt;
oſtenſæ autem quoque ſunt æquales A I, D K, erunt &
reliquæ I L, K M, æ-
quales. Quare latera I L, L B, lateribus K M, M E, æqualia erunt:
ſunt au
tem & baſes I B, K E, oſtenſæ æquales.
Igitur &
anguli L, M, ad centra æqua
ac proinde &
arcus A B, D E, æquales erunt.
CADANT deinde puncta I, K, in ſemidiametros L A, M D, produ-
ctas ad A, & D:
quod quidem contingere poteſt, quando ſegmenta A G C,
D H F, ſemicirculo ſunt maiora; fiatq́;
eadem conſtructio, quæ prius.
Oſten
demus, vt prius, angulos G A C, H D F, eſſe æquales; ac propterea cum tam
G A I,
Cum ergo &
anguli I, K, æquales ſint, nempe recti, &
late
ra G A, H D, æqualia, ob æquales arcus A G, D H, erunt, vt prius, rectæ
ac propterea &
totæ I L, K M, inter ſe
Igitur, vt prius, oſtendemus rectam I B, rectæ K E, &
angu-
lum L, angulo M, æqualem eſſe: ac denique arcum A B, arcui D E.
CADANT tertio perpendiculares ex G, H, demiſſæ in plana circulo-
cta A, D: quod etiam con-
tingere poteſt, quando ſe-
gmenta A G C, D H F, ſe-
micirculo ſunt maiora. Du-
ctis igitur rectis A B, D E,
erũt anguli G A B, H D E,
recti, ex defin. 3.
lib.
11.
Eu-
clid. Quare, vt prius, æqua
G A, A B, quadratis recta-
rum H D, D E: Sunt autẽ
quadrata ex G A, H D, æ-
qualia, quòd & rectæ G A,
les arcus A G, D H. Igitur
& quadrata ex A B, D E, æ-
qualia erunt; &
propterea
& rectæ A B, D E, æquales.
Quare &
arcus A B, D E,
æquales erunt. Quod eſt {pro}-
poſitum. Itaque ſi in diametris circulorum æqualium æqualia circulorum
ſegmenta ad angulos rectos inſiſtant, &c.
Quod erat demonſtrandum.
SI in diametris circulorum æqualium, æqua-
lia ſegmenta circulorum erigantur, & ab ipſis ſe-
gmentis æquales circunferentiæ ad extremitates
ſegmentorum deſumantur minores dimidijs ip-
ſorum partibus, ab ipſis autem circulis æquales
circunferentiæ ſumantur ad eaſdem partes, quæ
ſunt ad extremitates diametrorum, rectæ lineæ
ductæ à punctis in circunferentijs ſegmentorum
ad puncta in circunferentijs circulorum, erunt
æquales.
REPETANTVR figuræ propoſition is præcedentis, cum eiſdẽ con-
ſtructionibus, ponanturq́; arcus A B, D E, æquales.
Dico &
rectas G B, H E,
Quoniam enim, vt in præcedenti propoſ.
demonſtratum eſt,
&
reliquæ I L, K M, ex
ſemidiametris A L, D M, vt in prima figura, vbi puncta I, K, cadunt in ſe-
midiametros A L, D M, vel certe erunt & totæ I L, K M, æquales, vt in ſe-
cunda figura, vbi puncta I, K, cadunt in ſemidiametros A L, D M, productas
D.
Quia igit̃
I L, L B, rectis K M,
M E, æquales ſunt; cõ
tinentq́ue angulos ad
L, M, æquales, ob æ-
D E; erunt &
baſes
I B, K E, æquales.
tera G I, I B, lateri-
bus H K, K E, æqua-
lia ſint, contineantq́; angulos G I B, H K E,
æquales, nimirum rectos, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
erunt &
baſes G B, H E, æ-
quod eſt propoſitum.
Facilius idem concludetur, ſi perpendiculares
ex G, H, in plana circulorum A B C, D E F, demiſſæ cadant in puncta A, D,
vt in tertia figura. Nam quia rectæ G A, A B, rectis H D, D E, æquales ſunt,
A B, D E, continentq́;
angulos æquales, vt-
pote rectos, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
erunt baſes G B, H E, æquales.
Si igitur
c.
Quod erat oſten
dendum.
SI in ſphæra ſint paralleli circuli, &
deſcriban
tur maximi circuli, qui vnum quidem parallelo-
rum tangant, reliquos vero ſecent; circunferentię
parallelorum interceptæ inter eos maximorum
circulorum ſemicirculos, qui non concurrunt,
ſimiles erunt; maximorum vero circulorum cir-
cunferentiæ inter duos quoſcunque parallelos in-
terceptæ, erunt æquales.
SINT in ſphæra paralleli circuli A B, C D E, F G H, quieundem polũ
Circuli autem maximi A F K, B H K, tangant parallelũ
A B, in punctis A, B, & reliquos ſecent in punctis F, C, L, M;
H, E, D, G:
ſeipſos aũt mutuo ſecent in K, N, vt ſint ſemicirculi K M N, N F K;
K G N,
N H K. Maximi enim circuli ſe ſecant mutuo bifariam.
Sumatur quoque ar
arcus K P, arcui N B, æ-
qualis, vt ſint quoque ſe
micirculi A M O, O F A; B G P, P H B.
Eruntigi-
tur ſemicirculi A M O,
B H P, non coeuntes, cũ
ſe mutuo non ſecent. Eo
dem modo nõ coeuntes
erunt ſemicirculi B G P,
A F O. Dico arcus paral
lelorum A B, L E, M H,
interceptos inter ſemi-
circulos A M O, B H P,
non coeuntes ſimiles eſ-
ſe, necnon & arcus A B,
C D, F G, interceptos in
ter ſemicirculos B G P,
A F O, non concurren-
tes ſimiles eſſe: Arcus vero maximorum circulorum A C, A L, B D, B E, æ-
quales eſſe; necnon &
arcus C F, L M, D G, E H:
quorum illi inter paralle-
los A B, C D E, hi vero inter parallelos C D E, F G H, interijciuntur: Eo-
demq́; pacto æquales eſſe arcus A F, A M, B G, B H, inter parallelos A B,
Per polum enim I, &
puncta contactuum A, B, circuli
maximi deſcribantur Q A I R, S B I T, ſecantes parallelos in Q, S, V, X. Tranſibunt hi circuli maximi per polos quoque circulorum A F K, B H K;
necnõ
Præterea ijdem circuli ad angulos
rectos ſecabunt parallelos A B, C D E, F G H, & maximos circulos A F K,
Quoniam igitur diametris circulorum æqualium A F K, B H K, inſi
ſtunt ad angulos rectos ſegmenta circulorum æqualia, nempe ſemicirculi in-
choati à punctis A, B, & per I, tranſeũtes, donec iterũ ſecent circulos A F K,
B H K; ſuntq́;
arcus æquales A I, B I, quòd ex defin.
poli recta I A, IB æqua
qui quidem minores ſunt dimidijs ſemicirculorum partibus:
(cum
enim dimidij ſint arcuum A I R, B I T, quòd, ex defin. poli, rectæ ex I, ad
ſint autem arcus
A I R, B I T, ſemicirculo minores, quòd ſemicirculi tendant ex A, & B, per
I, vſque ad circulos A F K, B H K; erunt arcus A I, B I, minores dimidijs par
tibus illorum ſemicirculorum.) ſunt quoque æquales rectæ I C, I E, ex po-
li defin. erunt arcus A C, B E, æquales:
Eſt autem A C, ipſi A L, &
B E, ipſi
Quatuor ergo arcus A C, A L, B E, B D, æquales ſunt.
Eo-
dem modo oſtendemus, æquales eſſe quatuor arcus A F, A M, B H, B G; ac
propterea & reliquos C F, L M, E H, D G, qui quidem ſinguli inter binos
parallelos intercipiuntur. Quodſecundo loco proponebatur demonſtrandũ.
QVIA vero arcus toti C A L, D B E, æquales ſunt, quòd ipſorum dimi
dia æqualia ſint, vt demonſtratum eſt; erunt &
rectæ ſubtenſæ C L, D E, æ-
ac pro-
arcus parallelo
quales erunt. Cum ergo
vt dictum eſt, æquales e-
runt eorum medietates,
nimirum quatuor arcus
C V, V L, D X, X E. Si
igitur arcubus ęqualibus
C V, D X, communis ar-
cus addatur V D, æqua-
les erunt arcus C D, V X: Eſt autem arcus V X, ar
Igitur
& C D, eidem A B, ſimi
lis erit. Non ſecus oſten
demus F G, eidem A B,
ſimilem eſſE; nec non &
arcus E L, H M, eidem
arcui A B, eſſe ſimiles. Quod ſecundo loco proponebatur demonſtrandum.
Siergo in ſphæra ſint paralleli circuli, &
c.
Quod oſtendendum erat.
CIRCVLO in ſphæra dato, qui minor ſit
quàm circulus maximus, datoq́ aliquo puncto
in eius circunferentia, per illud punctum deſcri-
bere circulum maximum, qui tangat datum cir-
culum.
IN ſphæra datus circulus ſit non maximus A B, cuius polus C, opor-
per A, punctum in eius circũferentia
datum, deſcribere maximum circulum, qui
circulum A B, tangat. Per polum C, &
pun
C A D E B, in quo ſumatur quadrans A D,
& polo D, interuallo D A, circulus deſcri-
batur A E, qui maximus erit, quòd recta
mo circulo deſcripti. Dico circulum maxi-
mum A E, tangere circulum A B, in A. Quo-
niam enim duo circuli A B, A E, eundem
circulum C A D, per eorum polos tranſeũ
Circu-
c.
Quod faciendum erat.
CIRCVLO in ſphæra dato, qui minor ſit
maximo circulo, & puncto aliquo dato in ſphæ-
ræ ſuperficie, quod ſit inter datum circulum, &
alium eidem æqualem, & parallelum, per pun-
ctum illud datum deſcribere maximum circu-
lum, qui tangat datum circulum maximo minorẽ.
SIT in ſphæra datus circulus non maximus A B, cui æqualis ſit &
paral
lelus C D, datumq́; punctum ſit G, inter duos circulos A B, C D;
oporteatq́;
per G, circulum maximum deſcribere, qui tangat circulum A B.
Sint E, F,
poli parallelorum A B, C D, (habent enim paralleli eoſdem polos.) &
per
ſcholij propoſ.
10.
lib.
1.
huius.
In hoc accipiatur quadrans
ca-
detq́; pũ
ctum H,
vel ſupra
D, vel in
D, vel in
fra D: Quodcũ
que autẽ
horũ cõ-
tingat,
ita rẽ exe
quemur.
Ex polo E, ad interuallum E H, vel ex polo F, ad interuallum F H, cir-
culus deſcribatur H I, qui ipſis A B, C D, parallelus erit, exiſtetq́; vel ſu-
H, ſupra D, vel in D, vel infra D, poſitum fuerit. Sumatur rurſum qua-
drans G K, eritq́; punctum K, vltra H, cum G H, quadrante minor ſit.
Po-
lo deinde G, interuallo autem G K, circulus deſcribatur K L, qui maxi-
mus erit, quòd recta ſubtendens quadrantẽ G K, æqualis ſit lateri quadrati
Secet autem K L, circulum H I, in L, &
per
L, F, circulus maximus deſcribatur F L, qui per reliquum polum E, tranſi-
ſcholij propoſ.
10.
lib.
1.
huius.
Secet autem hic circulus F L E,
circulum A B, in M. Eruntq́;
arcus M L, B H, circulorum maximorum per
L M, quadrans. Polo igitur L, interuallo autem L M, circulus deſcribatur
M N, qui maximus erit, quòd recta ſubtendens quadrantem L M, æqualis
Quoniam vero maximus cir
culus K L, tranſit per L, polum maximi circuli N M, tranſibit viciſsim ma-
ximus circulus N M, per G, polum circuli K L: atque ita tranſit maximus
Dico iam eundem tangere circulum
A B, in M. Quoniã enim circuli A B, G N, in eodem puncto M, ſecãt maximũ
circulum E F, in quo polos habent, ipſi ſe mutuo tangent in M. Deſcriptus
Quare
circulo in ſphæra dato, &c.
Quod faciendum erat.
_QVOD_ ſi punctum G, datum ſit præciſe in medio arcus _B D,_ erit quadrans _G F._
Polo igitur _G_, interualloq́;
_G F,_ circulus deſcriptus _F E,_ ſecabit _H I,_ in _L,_ puncto,
quod rurſum erit polus circuli tangentis, vt prius. Si vero _G,_ punctum datum ſit
idem, quod _D,_ erit polus circuli tangentis in medio arcus _D C A,_ cum hic arcus ſe-
micirculus ſit. Circulus aut em ex illo polo deſcriptus tanget _A B,_ in _A,_ &
_C D,_
patet: quo
niam vi-
delicet cir
culus hic
maximus,
& paral.
leli _A B,_
_C D,_ ſe-
cãt in pũ-
ctis _A,_ _D,_
circunfe-
rentiã ma
ximi circuli _A C D B,_ in quo polos habent.
_QVONIAM_ vero ſicut _L,_ polus eſt oſtenſus circuli maximi _G N,_ tangentis,
circulum _A B,_ ita quoque oſtendi poteſt, aliud punctũ, in quo maximus circulus _K L,_
circulum _H I,_ ex altera parte ſecat, polum eſſe alterius cuiuſdam circuli maximi,
qui per _G,_ tranſeat, tangatq́; circulum _A B,_ in alio puncto;
perſpicuum eſt per pũ-
ctum in ſphæra datum inter duos circulos æquales, & parallelos deſcribi poſſe duos
circulos maximos, qui circulum _A B,_ tangant in duobus punctis.
MAXIMI circuli, qui ſimiles circũferentias
per parallelorum polos tranſeunt, aut eundem v-
num parallelum tangunt.
IN ſphæra maximi circuli A B C, D B E, auferant ex paralleli:
A D C,
F G, circunferentias ſimiles A D, F G. Dico maximos circulos A B C, D B E,
F G, aut vnum eundem parallelum tangere. Aut enim alter illorum, nempe A B C, tran-
ſit per polos parallelorum, atque ita oſten-
demus, alterum per eoſdem tranſire, aut nõ
tranſit quidẽ per polos parallelorũ, ſed alte
rũ tamen illorũ tangit, atq; ita demonſtra-
bimus, alterum cundem tangere; aut deniq;
neque per polos parallelorum incedit, neq;
alterum illorum tangit: quo poſito conclu
demus circulos maximos datos aliquẽ aliũ
parallelum tangere datis parallelis minorẽ.
Tranſeat enim primum A B C, per polos pa-
rallelorum. Dico &
D B E, per eoſdem trã
ſire, hoc eſt, pũctum B, in quo ſe ſecant maximi circuli A B C, D B E, polum
eſſe parallelorum A D C, F G. Si namque B, non eſt eorum polus, ſit H, po-
lus ipſorum. Et quia circulus A B C, ponitur tranſire per eorum polos, erit
H, in circunferentia A B C. Per H, G, deſcribatur circulus maximus H G,
in I.
Eruntq́;
arcus A I, F G, ſimiles, cum intercipiantur in-
ter maximos circulos A H, H I, per polum H, deſcriptos: Ponitur autem
& arcus A D, eidem arcui F G, ſimilis.
Similes ergo ſunt arcus A I, A D;
atque adeo cum ſint eiuſdem circuli, inter ſe æquales erunt, totum &
pars.
Quod eſt abſurdum. Non ergo aliud punctum, præter B, polus erit parallelo-
rum, ſi alter circulorum A B C, D B E, nempe A B C, per illorum polos du
citur, Quare vterque circulus maximus A B C, D B E, per polum B, paralle
lorum tranſit, ſi vnusipſorum tranſit.
SED iam duo maximi circuli A B C, D E F,
auferant rurſum ex parallelis A D C, B E,
circunferentias ſimiles A D, B E, & neuter
illorum tranſeat per parallelorum polos,
ſed alter, nempe A B C, vnum eorum, puta
B E, tangat in B. Dico &
circulum D E F,
eundem B E, tangere in E. Si enim non tan
git, ſed ſecat, deſcribatur per E, punctũ in
parallelo B E, datũ maximus circulus G E H,
eruntq́;
ſemi
circuli, quorum alter ex E, per G, ducitur,
alter vero ex B, per A, tranſit, non coeun-
tes, vt conſtat ex figura propoſ. 13.
huius libri, &
ex demonſtratis ibidem.
Ponuntur autem &
ſimiles B E, A D.
Similes ergo ſunt inter ſe A G, A D;
ac proinde, cum ſint eiuſdem circuli,
inter ſe æquales erunt, totum, & pars.
Quod eſt abſurdũ.
Nullus ergo alius
circulus maximus per E, ductus præter D E F, parallelum B E, tangit in E,
ſi A B C, eundem in B, tangit. Quare ſi A B C, tangit B E, tanget &
D E F,
eundem B E.
POSTREMO maximi circuli A B C, D E F, auferant ex parallelis
A D C, G H, circunferentias ſimiles A D, G H; &
neuter illorum per paral-
lelorum polos ducatur, aut alterum eorum tangat. Dico circulos maximos
rallelum ipſis A D C, B E, minorẽ. Quo-
niam enim circulus maximus A B C, neque
tranſit per polos parallelorum, neque alte
rum ipſorum tangit, erit circulus maximus
A B C, ad vtrumque parallelorum A D C,
G H, obliquus. Sienim rectus eſſet, tranſi-
ret per ipſorum polos, quod non ponitur.
les inter ſe, & parallelos vtrique A D C,
Tangat ergo parallelum B E, qui mi
nor erit vtroque A D C, G H; (cum A B C,
ipſos ſecet) atque adeo & alter ſibi æqua-
lis, & parallelus minor erit vtroque A D C, G H:
ac {pro}inde paralleli A D C,
G H, poſiti erũt inter illos duos, quos circulus A B C, tangit. Dico &
D E F,
eundem B E, tangere. Si enim non tangit, deſcribatur per punctum H, quod
eſt inter circulum B E, & ſibi æqualem, ac parallelum, ut oſtendimus, cir-
eruntq́;
ſemicirculi, quorum alter ex
I, per H, alter vero ex B, per G, tranſit, non coeuntes, vt conſtat ex figura
13.
huius libri, &
ex demonſtra-
Igitur arcus A K, G H, ſimi-
les erunt: Ponuntur autem &
A D, G H,
ſimiles. Similes igitur ſunt A K, A D;
atque
adeo, cum ſint eiuſdem circuli, inter ſe æ-
quales erunt, totum & pars.
Quod eſt ab-
ſurdum. Nullus ergo alius circulus maxi-
mus per H, deſcriptus, præter D E F, paral-
lelum B E, tangit, ſi A B C, eundem tangit
in B. Quare ſi A B C, tangit circulum B E,
tanget & D E F, eundem B E.
Quapropter
maximi circuli, qui ſimiles circunferentias,
&c.
Quod erat oſtendendum.
_MANIFESTVM_ autem eſt, circulos maximos _A B C, D E F,_ ita tangere
eundem parallelum _B E,_ vt ſemicirculi eorum à contactibus per arcus ſimiles proce-
dentes non coeant. Alias non eſſent arcus ablati ſimiles, vt conſtat ex propoſ.
13.
buius libri.
IN ſphæra paralleli circuli, inter quos &
ma-
ximum parallelorum æquales circunferentiæ ma-
ximorum circulorum intercipiuntur, ſuntinter ſe
æquales: Illi vero, inter quos, &
maximum paralle-
lorum maiores maximorum circulorum circun-
ferentiæ intercipiuntur, ſunt minores.
SINT in ſphæra paralleli circuli A B, C D, E F;
ſitque C D, maximus
parallelorum. Inter circulum vero C D, &
vtrumq;
parallelorum A B, E F,
intercipiantur æquales circunferentiæ A C, C E, maximi alicuius circuli
Dico parallelos A B, E F, ęqua
lès eſſe. Sint enim communes ſectiones paral-
lelorum, & circuli A C E F D B, rectæ A B,
C D, E F, quæ parallelæ inter ſe erunt. Tran
F D B, per polos parallelorum. Quo poſito,
fecabit circulus A C E F D B, parallelos A B,
C D, E F, bifariam, & ad angulos rectos;
adeo diametri erunt A B, C D, E F, pa-
rallelorum. Quoniam vero arcus A C, B D,
æquales ſunt, nec non & arcus C E, D F;
po-
erunt A C,
B D, ſimul ipſis C E, D F, ſimul æquales: Sunt autcm ſemicirculi æquales C A B D,
C E F D: quia circuli maximi C D, A C E F D B, ſe mutuo bifariam diuidunt.
ac propterea &
rectæ A B, E F,
hoc eſt, diametri circulorum A B, E F, æquales. Circuli ergo A B, E F,
QVOD ſi arcus A C, maior ponatur arcu C E.
Dico circulum A B, mi-
norem eſſe circulo E F. Poſita enim eadem conſtructione, &
demonſtratione,
erunt vt prius, arcus A C, B D, æquales, nec non C E, D F, cum ergo A C, ma
cubus C E, D F, ſimul. Reliquus igitur A B, ex ſemicirculo C A B D, minor
erit reliquo E F, ex ſemicirculo CEFD; ac propterea &
recta A B, hoc eſt,
diameter circuli A B, minor erit, quàm recta E F, hoc eſt, quàm diameter cir-
culi E F, vt in ſcholio propoſ. 29.
lib.
3.
Eucl.
à nobis eſt demonſtratum, cum
arcus A B, E F, ſemicirculo ſint minores. Quare minor erit circulus A B, cir-
culo E F. quod eſt propoſitum.
SED iam circulus maximus A C E F D B, non tranſeat per polos paral-
lelorum A B, C D, E F; ſintque rurſus arcus A C, C E, æquales.
Dico adhuc
circulos A B, E F, eſſe æquales. Sint enim G, H, poli parallelorum A B, C D,
E F, & per G, H, ac polos circuli maximi A C E F D B, crrculus maximus de-
Quoniam igitur circulus maximus G I H K, per po
ſibunt hi viciſsim per illius polos. Puncta igitur C, D, vbi ſe duo hi circuli
(alias non vterque circulus A C E F D,
C D, per polos circuli G I H K, tranſiret) ac proinde ductæ rectę C I, C K, ex
poli, æquales erunt, ac propterea &
ar
cus C I, C K, inter ſe erunt æquales. Sunt
arcus A C, C E, per hypotheſim,
æquales Reliqui igitur arcus A I, E K, æqua
les quoque erunt. Rurſus quia ſemicirculus
I G K; ſemicirculo G K H, æqualis eſt;
(Diui-
G I H K, bifariam; ac proinde I G K, ſemicir
culus eft; Arcus autem G K H, ſemicireulus
eſt propter G, H, polos parallelorum.) dem
pto communi arcu G K, erunt reliqui arcus
G I, H K, æquales. Quoniam igitur in dia-
metro circuli I C K D, ſegmenta circulorũ
æqualia I G K, K H I, quæ ſemicirculi ſunt,
& non ſunt ſegmentorum ſemiſſes, ſiue quadrantes, cum G, H, non ſint poli
circuli I C K D: Item æquales ſunt arcus I A, K E, vt demonſtratum eſt;
erunt rectæ demiſſæ G A, H E, æquales.
Quarc circuli A B, E F, æquales in-
QVOD ſi arcus A C, maiot ponatur arcu C E;
Dico circulum A B, mi-
norom eſſe circulo E F. Sumpto enim arcu C L, quiæqualis ſit arcui C E, erit,
vt proxime demonſtratum eſt, parallelus per L, deſcriptus æqualis parallelo
E F: ſed parallclus A B, minor eſt, quàm parallelus per L, deſcriptus, cum ille
Minor igi
tur quoque eſt parallelus A B, quam E F. Quod eſt propoſitum.
In ſphæra
ergo paralleli circuli, inter quos & maximum parallelorum, &
c.
Quod erat.
demonſtrandum.
IN ſphæra circunferentiæ maximorum circu-
lorum interceptæ inter maximum parallelorum,
& duos alios circulos æquales, &
parallelos, ſunt
æquales: Illæ vero, quæ intercipiuntur inter maio-
rem parallelum, & maximum, ſunt minores.
IN ſphæra ſint duo paralleli æquales A B, C D, &
maximus parallelorũ
fit E F: Hos autem omnes parallelos ſecet maximus alius circulus A C D B.
Dico arcus A E, E C, nec non B F, F D, æquales eſſe.
Si enim non ſunt æqua
Erit igitur circulus A B, minor circulo C D.
quod eſt con-
Sunt ergo ęquales arcus A E,
E C, nec non B F, F D.
QVOD ſi circulus A B, maior po-
natur circulo C D; Dico arcum A E, mino-
rem eſſe arcu E C. Si enim non eſt minor,
erit vel æqualis, vel maior. Si æqualis, erunt
circuli A B, C D, æquales: ſi maior, erit cir-
Minor ergo eſt ar-
cus A E, quam E C. Quamobrem In ſphæra
circunferenriæ maximorum circulorum in-
terceptæ, &c.
Quod oſtendendũ erat.
SI in ſphæra maximus circulus parallelos ali-
quot circulos in ſphærica ſuperficie deſcriptos ſe-
cet quidẽ, non tamen per polos, in partes inæqua-
les eos ſecabit, excepto maximo parallelorum: De
parallelorum autem ſegmentis in vno hemiſphæ-
riorum interceptis, ea quæ ſunt inter maximum
parallelorum, & polum conſpicuum, ſunt maiora
ſemicirculo; reliqua vero, quæ ſunt inter maximũ
parallelorum, & polum occultum, ſunt ſemicircu
lo minora: Æqualium denique ac parallelorum cir
culorum alterna ſegmenta ſunt inter ſe æqualia,
IN ſphęra maximus circulus A B C D,
parallelos E F, G H, I K, ſecet in L, M; B,
&
O, P, non per polos, qui ſint Q, R;
&
fit G H, parallelorum maximus, & Q, polus
conſpicuus, & R, occultus in hemiſphęrio,
quod ſupra circulum maximum A B C D, ex
tat, & ad partes F, vergit.
Dico circulum
A B C D, parallelos non bifariam ſecare, ex
cepto maximo G H; hunc enim bifariam ſe-
ſegmentum autem L F M, inter maximũ
parallelum, & polum Q, conſpicuum ſemicir
culo eſſe maius, & O K P, minus.
Si denique
paralleli E F, I K, ęquales ſint, alterna ſegmẽ
Per polum
enim Q, & punctum B, circulus maximus
qui per reliquum po-
lum R, tranſibit ex coroll. ſcholij pro-
poſ. 10.
lib.
1.
huius;
nec non per pun-
ctum D, cum vtrumque circulum G B H D,
circuli au-
tem hi ſecentur bifariam in B, D. Ex
quo fit, circulum Q B R D, paralle-
lum E F, ſecare ſupra circulum A B C D,
at parallelum I K, infra eundem; vt in pun-
ctis S, T; &
V, X.
Quoniam vero circulus
Q B R D, parallelos E F, I K, bifariam ſe-
ac
propterea arcus L F M, ſemicirculo maior, & O K P, ſemicirculo minor erit.
Quod eſt propoſitum.
SINT iam paralleli E F, I K, ęquales.
Dico alterna ſegmenta L F M, O I P,
ęqualia inter ſe eſſe; nec non ſegmenta alterna L E M, O K P.
Nam per polos
parallelorũ, & polos circuli A B C D, deſcribatur circulus maximus A G C H,
Aequales ergo ſunt arcus A L,
C O, C P, inter ſe.
Et quoniam circulus maximus A G C H,
tranſit per polos maximorum circulorum G H, A C; tranſibunt viciſsim hi
Puncta igitur B, D, poli ſunt circuli AGCH;
ac propte-
rea rectę B A, B C, æquales erunt, ex defin. poli;
atque idcirco &
arcus ipſi B A
Sunt autem &
arcus B L, B O, ęquales;
propterea quod
Igitur &
reliqui arcus A L, C O, ęqua-
les erunt: Sunt autem arcus A L, C O, dimidij arcuum E A M, O C P;
pro-
pterea quòd A L, ipſi A M, & C O, ipſi C P, oſtenſus eſt ęqualis.
Aequales ergo
ſunt quoque arcus L A M, O C P, ae proinde & rectę ſubtenſę L M, O P,
Quare ex circulis ęqualibus E F, I K, auferent æquales arcus,
minorem L E M, minori O K P,
(hoc eſt alternum ſegmentum alterno ſegmento) ęqualem. Quod eſt pro po-
ſitum. Itaque ſi in ſphęra maximus circulus parallelos aliquot circulos in
ſphęrica ſuperficie deſcriptos ſecet quidem, &c.
Quod erat demonſtrandum.
SI in ſphæra maximus circulus parallelos ali-
quot circulos ſecet, non tamen per polos; de paral
lelorum aſſumptis cirtumferentijs in vno hemi-
ſphærio, illæ quæ propius accedunt ad polũ con-
ſpicuum, erunt maiores, quàm vt ſimiles eſſe poſ-
ſint illis, quæ ab eodem conſpicuo polo longius
abſunt.
IN ſphæra parallelos A B, C D, E F, ſecet in H, O;
I, N;
K, M, non ta-
men per polos, circulus maximus GHIKLMNO, ſitque ſupra hemiſphæ-
autem Q Dico arcum O B H, maiorem eſſe,
quàm vt ſimilis ſit arcui N D I, & N D I, ma
iorem, quàm vt ſimilis ſit arcui M F K. Per
polum enim parallelorum P, & puncta I, N,
cantes parallelum A B, ſupra circulũ G I L N,
in R, S: eritque arcus R B S, arcui I D N, ſi-
Cum ergo arcus O B H, maior ſit ar-
cu R B S, maior quoque erit, quam vt ſimilis
ſit arcui N D I. Eodem modo oſtendemus
arcum N D I, maiorem eſſe, quàm vt ſimilis
ſit arcui M F K, ſi nimirum per polum P, &
puncta K, M, duo alij circuli maximi deſcri-
bantur. Igitur ſi in ſphæra maximus circulus parallelos aliquot, &
c.
Quod
demonſtrandum erat.
HINC fit, ſimpliciter arcum O B H, maiorem eſſe partem ſui paralleli A B, quàm ar-
cum N D I, ſui paralleli, &c.
quandoquidem arcus R B S, tanta pars eſt ſui paralleli, quanta
eſt arcus I D N, ſui paralleli, cum hi arcus demonſtrati ſint eſſe ſimiles, &c.
SI in ſphæris æqualibus maximi circuli ad ma-
ximos circulos inclinentur, ille cuius polus ſubli-
mior ſupra planum ſubiectum eſt, inclinatior erit: illi vero circuli, quorum poli æqualiter diſtant à ſu
biectis planis, æqualiter inclinantur.
IN ſphæris æqua-
libus A B C D, E F G H,
ad circulos maximos
A B C D, E F G H, quo
rum poli L, M, incli-
nẽtur duo circuli ma-
ximi B N D, F O H, quo-
rum poli, P, Q; ſitque
primum polus P, ſubli-
mior ſupra planum cir
culi A B C D, quàm po
lus Q, ſupra planũ cir-
culi E F G H. Dico cir-
ad E F G H. Deſcribantur enim per L, P, polos, &
per polos, M, Q, cir-
ſitque communis ſectio circulorum A B C D,
B N D, recta B D; circulorum autem A B C D, A N C, recta A C;
&
circulo-
rum B N D, A N C, recta N I: quæ omnes rectæ per centrum ſphæræ I, tran-
ſibunt, cum circuli maximi per idem centrum ſphæræ ducantur. Eodem ordi-
lorum E F G H, F O H; recta vero E G, circulorum E F G H, E O G;
&
re-
cta O K, circulorum F O H, E O G: quæ omnes rectæ ſimiliter per centrum
ſphæræ K, tranſibunt. Et quoniam circulus A N C, per polos circulorum
A B C D, B N D, tranſiens, eos ſecat ad angulos rectos; erit viciſsim vterque
recta B D,
communis eorum ſectio, ad eundem circulum A N C, perpendicularis erit.
3.
lib.
11.
Eucl.
ac pro-
erit inclinationis cir-
culi B N D, ad circu-
lum A B C D, ex de-
fin. 6.
lib.
11.
Eucl.
Eo-
dem modo erit E K O,
angulus inclinationis
circuli F O H, ad cir-
circulũ E F G H. Quo-
niam vero P, polus cir
culi B N D, ſublimior
ponitur ſupra circu-
lum A B C D, quàm
polus Q, circuli F O H,
ſupra circulum E F G H, erit maior arcus C P, arcu G Q. Hi enim arcus,
cum ſint perpendiculares ad circulos A B C D, E F G H, altitudines polo-
rum P, Q, ſupra ipſos circulos metiuntur. Sunt autem arcus P N, Q O,
æquales, cum ſint quadrantes. Poli enim P, Q, à circulis maximis B N D,
F O H, per quadrantem abſunt. Arcus ergo C N, maior erit arcu G O, ac pro
culo E O G. Quare angulus A I N, angulo E K O, minor erit, ac proinde
F O H, ad circulum E F G H, vt in explicatione definitionis 7. lib.
11.
Eucl.
ſcripſimus.
SED ſintiam arcus C P, G Q, æquales, hoc eſt, poli B, Q, æqualiter di
ſtent à planis circulorum A B C D, E F G H. Dico circulos B N D, F O H,
æqualiter inclinari ad circulos A B C D, E F G H. Quoniam enim arcus C P,
G Q, æquales ſunt, ſi addantur quadrantes P N, Q O, erunt & arcus C H,
G O, æquales; ac propterea &
reliqui arcus A N, E O, ex ſęmicirculis æqua-
les erunt, Anguli igitur A I N, E K O, æquales erunt, ac propterea, ex defin.
lib.
11.
Eucl.
ſimiles, ſiue æquales erunt inclinationes circulorũ B N D, F O H,
ad circulos A B C D, E F G H. Si igitur in ſphæris ęqualibus maximi circuli
ad maximos circulos, &c.
Quod erat oſtendendum.
_HINC_ fit, ſi circulorum maximorũ ad alios inclinatorum poli equaliter diſtent
à polis maximorum, ad quos inclinantur, inclinationes eſſe equales: cuius vero polus
vicinior ſit pola eius, ad queminclinantur, inclinationem eſſe maiorem. Nam ſi arcus
_C P, G Q,_ æquales, cum quadrantes ſint _C L,_
_GM;_ atque adeo poli _P, Q,_ circulorum inclinatorum æqualiter diſtabunt à ſubie-
ctis planis circulorum _A B C D, E F G H._ Quare, vt demonſtratum eſt in hac propoſ.
æqualeserunt inclinationes circulorum _B N D, F O H,_ ad circulos _A B C D, E F G H._
Si vero arcus _L P,_ minor ſit arcu _M Q,_ erit reliquus arcus _C P,_ ex quadrante
maior arcu _G Q,_ reliquo ex quadrante. Igitur, vt oſtendimus in hac propeſ.
maior
erit inclinatio circuli _B N D,_ ad circulum _A B C D,_ quam circuli _F O H,_ ad cir-
culum _E F G H._
_CONVERSVM_ quoque huius Theorematis, &
ſcholij demonſtrabimus in
bunc modum.
SI in ſphæris æqualibus maximi circuli ad maximos circulos
æqualiter inclinentur, erunt diſtantiæ polorum ipſorum à ſubiectis
planis æquales: Illius verò, qui magis inclinatur, ſublimior erit po-
lus. Item diſtantiæ polorum illorum circulorum, qui æqualiter incli
nantur, à polis circulorum, ad quos inclinantur, æquales erunt: Di-
ſtantia vero poli illius circuli, qui magis inclinatur, à polo circuli,
ad quem inclinatur, minor erit.
_SI_ namque circuli _B N D, F O H,_ al circulos _A B C D, E F G H,_ æqualiter in-
clinentur, erunt anguli _A I N, E K O,_ æquales, ex defin 7 lib. 11.
Eucl.
ac propterea
arcus _A N, E O,_ æquales erunt.
Additis igitur quadrantibus _N P, O Q,_ æqudo
les erunt arcus _A P, E Q;_ ac propterea &
reliqui _C P, G Q,_ ex ſemicirculis
æquales erunt.
_SI_ verò circulus _B N D,_ ad circulum _A B C D,_ magis inclinetur, quam circulus
_F O H,_ ad circulum _E F G H,_ erit minor angulus _A I N,_ angulo _E K O,_ vt in defi-
nitionem 7. lib.
11 Eucl.
ſeripſimus;
ac propterea &
arcus _A H,_ minor erit arcu _F O._
ac proin-
de reliquus _C P,_ ex ſemicirculo _A N C,_ reliquo _G Q,_ ex ſemicirculo _F O G,_ maior erit.
_RVRSVS,_ ſi circuli æqualiter inclinentur, erunt arcus _C P, G Q,_ vt pro-
xime oſtendimus, æquales. Cum ergo quadrantes ſint _C L, G M;_
erunt &
arcus
_SI_ denique circulus _B N D,_ magis inclinetur, erit exproxime demoſtratis, ar@
cus _C P,_ maior arcu _G Q._ Reliquus igitur _L P,_ ex quadrante _C L,_ minor erit re-
lique _M Q,_ ex quadrante _G M,_ &c.
_DVO_ quoque alia Theoremata in alia verſione hoc loco adiecta ſunt, vide-
licet.
CIRCVLI maximi tangentes eundem parallelum, æqualiter
qui vero maiorem paralle-
lum tangit, inclinatior eſt ad maximum parallelorum. Et circuli
rallelum: Qui vero inclinatior eſt ad maximum parallelorum, ma-
iorem parallelum tangit.
_MAXIMI_ circuli _A B, C B,_ tan-
gant eundem parallelum _A C,_ ſitque
Dico cir-
culos _A B, C B,_ æqualiter inclinari ad
circulum _D E._ Sit enim _F,_ polus pa-
rallelorum, & per _F,_ &
contactus _A,_
_F C E,_ qui per polos circulorum _A B,_
atque adeo ipſos ad
Quare arcus
_A F, C F,_ metientur altitudinem po-
li _F,_ circuli _D E,_ ſupra circulos _A B,_
_CB;_ ac proinde cum arcus _A F, C F;_
tenſæ _F A, F C,_ æquales ſunt, ex defin.
_D E,_ ad circulos _A B, C B;_ &
hi vi-
ciſsim ad illũ æqualiter inclinabuntur.
_TANGAT_ iam maximus cireulus _G H,_ maiorem parallelum _G I._
Dico maio-
rem eſſe inclinationem circuli _G H,_ ad maximum parallelorum _D E,_ quàm circuli
_A B._ Deſcripto enim per _F,_ &
contactum _G,_ circulo maximo _F G E,_ metietur eodem
pra circulum _G H._ Eſt autem arcus _F G,_ maior arcu _F A,_ quòd circulus _G I,_ maior
pònatur circulo _A C,_ ac proinde à polo _F,_ remotior. Igitur magis inclinabitur cir-
culus _D E,_ ad circulum _G H,_ quàm ad circulum _AB;_ &
viciſsim _G H,_ magis ad
_RVRSVS_ circuli maximi _A B, C B,_ æqualiter inclinentur ad circulum _D E,_
maximnm parallelorum. Dico illos eundem parallelum tangere.
Per F, enim polum pa-
polos circulorum _A B, C B,_ circuli maximi deſcribantur _F A D,_
_F C E,_ ſecantes circulos _A B, C B,_ in _A, C._ Et quoniam cos ſecant ad angulos re-
metientur arcus _F A, F C,_ altitudinem poli _F,_ circuli _D E,_ ſupra circulos _A B,_
_C B:_ ſunt autem arcus _F A, F C,_ æquales, quòd circuli _
Ab, C B,_ æqualiter ponantur
hic viciſsim ad illos.
Si igitur ex polo _F,_
interuallo _F A,_ vel _F C,_ circulus deſcribatur _A C,_ tanget hic circulos _Ab, C B;_
AC,_ & circuli _A B, C B,_ in eiſaem punctis _A, C,_ ſecant
circulos maximos _F D, F E,_ qui per eorum polos tranſeunt.
_IAM_ vero circulus maximus _G H,_ magis inclinatus ſit ad circulum _D E._
Dico illum tangere maiorem parallelum.
Deſcripto enim per _F,_ polum parallelo-
per polum circuli _G H,_ circulo maximo _F G,_ qui circulum _G H,_ ſeca-
bit adangulos rectos, nimirum in puncto _G;_ metietur rurſus arcus _F G,_ altitu-
Eſt autem _F G,_ maior quàm _F A,_ quod
AB._ Igitur circulus ex polo _F,_ &
in-
teruallo _F G,_ deſcriptus maior erit circulo ex eodẽ polo _F,_ & interuallo _F A,_ deſcripto.
_G H, G I,_ ſe mutue quoq;
tangant
CIRCVLI maximi ad maximum parallelorum æqualiter in-
Et circuli
maximi, qui polos habent in circunferentia eiuſdem paralleli, ad ma-
ximum parallelorum æqualiter inclinantur.
_CIRCVLI_ maximi _A B, C D,_ quorum poli _E, F,_ æqualiter ſint inclinati ad
_D_ico eo-
rum polos _E, F,_ eſſe in eodem parallelo.
lorum, & per _E, F,_ polos circulorum
_A B, C D,_ maximis circulis _G E, G F,_
qui recti erunt ad circulos _A B, C D;_
_E, F,_ à polo _G:_ ſunt autem æquales,
liter inclinati ad circulum _D B._ Igitur
circulus _E F,_ ex polo _G,_ & interuallo
_G E,_ vel _G F,_ deſcriptus, parallelus
eſt circulo _DB;_ in quo quidem paralle-
habent. Quod eſt propoſitum.
_SED_ iam circuli maximi _A B, C D,_
habeant polos _E, F,_ in parallelo, _E F._ Dico eos æqualiter inclinari ad _D B,_ ma
ximum parallelorum. Erunt enim ex defin.
poli, rectæ _G E, G F,_ æquales, atque obid
arcus _E G, F G,_ æquales quoque erunt. Cum ergo ijdem arcus ſint diſtantiæpolorum
æqualiter inclinati erunt circuli _A B, C D,_ ad _D B,_
parallelorum maximum.
_SEQVITVR_ iam in codice græco prepoſitio 22.
cuius demon ſtratio longiſsi-
ma eſt. Vnde quoniam in alia verſione multo breuius, dilucidiusque eadem demon-
ſtratur, viſum eſt hoc loco inſerere alia tria theoremata a lterius verſionis, vt faci-
lius deinde propoſitionem 22. huius libri demonſtremus.
Eſt autem primum Theorema
ſecunda pars propoſ. 1.
lib.
3.
Theodoſii, quamuis magis vniuerſale ſit, vt hic proponi-
tur. Primum ergo Theorema, quod ordine tertium eſt in hoc ſcholio, ita ſe habet.
SI ſuper diametro circuli conſtituatur rectum circuli ſegmen-
quales partes, & à puncto ſectionis ad circunferentiam circuli primi
plurimæ rectæ lineæ cadant; erit recta ſubtendens minorem partem
inſiſtentis ſegmenti omnium minima: quæ autem maiorem ſubten-
dit, omnium maxima. Reliquarum vero propinquior maximæ remo
tiore ſem per maior eſt: At propinquior minimæ remotiore ſemper
Duæ vero rectæ lineæ æquales ab eodem puncto in circun
ferentiam circuli cadunt, à maxima æqualiter diſtantes.
_SVPER_ diametro _A D,_ circuli _A B C D E,_ conſtituatur rectum circuli ſegmen-
tum _A F D,_ quod ſecetur non bifariam in _F,_ ſitque minor pars _A F,_ & maior _D F:_
Cadant autem ex _F,_ plurimæ rectæ lineæ _F A, F I, F H, F B, F C, F D, F E._
_D_ico
omnium minimam eſſe _FA;_ maximam vero _F D:_
At _F C,_ maiorem, quàm _F B,_ &
c.
Et
_F I,_ minorem, quàm _F H._ &
c.
Denique duas _F E, F C,_ æquales eſſe, ſi æqualiter diſtent
à maxima _F D,_ hoc eſt, ſiarcus _D E, D C,_ æquales ſint. Demittatur enim ex _F,_ in pla
eritque punctum _G,_ vel inter puncta _A D,_ vt in prima figura;
(Id quod ſemper
continget, quando ſegmentum _A F D,_ ſemicirculo maius non eſt, quamuis idem accide-
re poſsit in ſegmento maiore.) vel idem quod A;
vel extra circulum in diametro _D
A,_
protracta, vt poſteriores duæ figuræ indicant. Id quod ſolumin ſegmento, quod ſemi-
circulo maius ſit, contingere poteſt. In prima autem figura non erit _G,_ centrum cir-
culi _A B C D E,_ quod _G F,_ non diuidat bifariam ſegmentum _A F D:_ Multò minus
in poſterioribus duabus figuris erit _G,_ centrum circuli _AbCDE._ Iungantur rectæ
_G I, G H, Gb, G C, G E;_ eruntque omnes anguli ad _G,_ recti, ex defin.
3.
lib.
11.
Eucl.
AbCDE,_ cadentium in prima figura,
tertia minima eſt _GA;_
In omnibus autem figuris maxima eſt _
GD;_ &
_
GC,_ ma-
ior, quàm _GB_; atque _
GI,_ minor, quàm _GH;_ duæ denique _
GC:_ _
GE,_ æquales: erunt
tertia figura duo quadrata rectarum _
Ag, GF,_ minora duo-
Ig, GF:_ quibus cum æqualia ſint quadrata rectarum _
Fa,_
minus quoque erit quadratum ex _F A,_ quadrato ex _FI;_
atque adeo &
recta
_F A,_ minor erit quàm _F I._ Eodem modo oſtendemus _F A,_ in eadem figura prima, &
tertia minorem eſſe, quàm F H, &c.
In ſecunda verà figura minor quoque eſt _F A,_
quam _F I,_ vel _F H,_ &c.
propterea quòd in triangulis _A I F, A H F,_ (in quibus an-
3.
lib.
11.
Eucl ac proinde alij acuti.)
recta _F A,_ ſub-
tendit angulum acutum _I,_ vel _H,_ at recta _F I,_ vel _F H,_ &c.
angulum rectum _A._
Minima ergo omnium èſt recta _F A._
Rurſus in omnibus figuris erunt duo quadrata
ex _G D, G F,_ maiora duobus quadratis ex _G C, G F:_ quibus cum æqualia ſint qua-
maius quoque erit quadratum ex _F D,_ quadrato ex _FC;_
ac pro-
inde & recta _F D,_ maior erit, quam recta _F C._
Non aliter oſtendemus, rectam _F D,_
c.
Maxima ergo omnium eſt recta _F D._
Præterea in om-
nibus figuris erunt duo quadrata ex _G C,_ _GF,_ maiora duobus quadratis ex _GB,_
_GF:_ quibus cum æqualia ſint quadrata ex _F C,
Fb;_ erit quoque quadratum ex _F C,_
ac proinde &
recta _F C,_ maior erit, quàm _F B._
Non ali-
ter oſtendemus, rectam _F C,_ quæ propinquior eſt maximæ _F D,_ maiorem eſſe quacun-
quealia remotiore, &c.
Adhuc in omnibus figuris erunt duo quadrata ex _G I,
GF,_
minora duobus quadratis ex _GH, GF:_ quibus cum æqualia ſint quadrata ex _F I,_
erit quoque quadratum ex _F I,_ minus quadrato ex _FH;_
proptereaq́ &
recta
_F I,_ minor, quàm _F H,_ erit. Eodemq́;
modo demonſtrabimus, rectam _F I,_ quæ pro-
pinquior eſt minimæ _F A,_ minorem eſſe quacunque alia remotiore, &c.
Poſtremo
erunt duo quadrata ex _GC, GF,_ æqualia duobus quadratis ex _GE, GF:_ quibus
cum æqualia ſint quadrata ex _F C, F E,_ æqualia quoque erunt quadrata ex _F C,_
atque adeò &
rectæ _F C, F E,_ æquales erunt.
Conſtat ergo id, quod proponitur.
Cæterum vt ex demonſtratione patet, eam rectam dicimus propinquiorem maximæ
_F D,_ quæ cadit in puctum vicinius pucto _D:_ Illam verò propinquiorem minimæ _F A,_
quæ cadit in puctum propinquius puncto _A._
SI in ſphæræ ſuperficie intra circuli cuiuſque peripheriam pun-
rétiam plurimi arcus circulorum maximorum ducantur ſemicircu
lo minores; maximus eſt, qui per circuli polum ducitur;
minimus
autem, qui ei adiacet: Reliquorum verò propinquior maximo, re-
motiore ſemper maior eſt: Duo verò arcus ab eodem maximo, vel
minimo æqualiter remoti inter ſe æquales ſunt.
_SIT_ in ſphæra circulus _A B C D E,_ cuius polus F, ſigneturq́;
in ſphæræ ſuperfi-
tie intra peripheriam circuli præter polum _F,_ punctum quodlibet _G,_ à quo plurimi
tiam circuli _A B C D E,_ ducantur, quorum _G A,_
in vtramque partem eductus tranſeat per polum
F; arcus verò _G B,_ propinquior ſit ipſi _G A,_ quàm
_GC;_ duo denique _G B, G E,_ æqualiter diſtent ab
eodem _G A,_ vel à _GD;_ ſintque omnes hi arcus ſe-
micirculo minores: quod tum demam erit, cum
ſe mutuo non interſecabunt in alio puncto, quàm
in _G._ Cum enim circuli maximi ſe mutuo diui-
lo minores, cum nondum ſe interſecent. Eademq́;
ratione erunt alij arcus ex _G,_ exeuntes minores
ſemicirculo, ſi ſe mutuo non interſecent. Quòd ſi vnus eorum, vt v.
g.
arcus _G A,_
eſſet ſemicirculus, tranſirent omnes alij per punctum A, eſſentq́; ſemicirculi quoque:
Si vero _G A,_ eſſet ſemicirculo maior, ſecarent eum omnes alij, antequam ad circun-
ferentiam peruenirent, eſſentq́; ſemicirculo maiores, vt patst.
Vnde nihil colligi
poſſet. Dico arcum _G A,_ omnium eſſe maximum, &
_G D,_ minimum:
_G B,_ verò ma-
iorem eſſe arcu _GC;_ duos denique _
GB, G E,_ eſſe æquales. Quoniam enim arcus _A D,_
ſecat circulum _AbC,_ bifariam, & ad angulos rectos;
erit recta ſubtenſa _A D,_ dia-
&
ſuper ipſam rectum circuli ſegmentum _A G D,_ conſtitutum,
quod quidem inæqualiter ſecatur in _G,_ (Nam quia, ex defin. poli, rectæ ſubtenſæ
_F A, F D,_ æquales ſunt, erunt quoque arcus _F A, F D,_ æquales; ac proinde arcus
pars eſt _G A._
minor _G D._
Igitur rectarum ductarum ex _G,_ ad circunferentiam circuli _A B C,_
maxima eſt _G A,_ & minima _G D:
G B,_ verò maior quàm _GC;_
&
_G B,_ _G E,_ æqua-
les. Quare cum arcus, quibus ſúbtenduntur, ponantur ſemicirculo minores, erit
arcus _G A,_ maximus, &
_G D,_ minimus:
_
GB,_ verò maior, quàm _GC;_ Arcus de-
nique _GB, GE,_ æquales.
SI in ſphæræ ſuperficie extra circuli cuiuſque peripheriam pun-
rentiam plurimi arcus circulorum maximorum ducantur ſemicir-
culo minores, ſecantesq́; circunferentiam circuli;
maximus eſt, qui
per circuli polum ducitur; Reliquorum verò maximo propinquior,
remotiore ſemper maior eſt: Minimus autem eſt ille, qui inter pun-
ctum, & circuli circunferentiam extra circulum interijcitur;
Reli-
quorum verò minimo propinquior, remotiore ſemper minor eſt: Duo verò arcus ab eodem maximo, vel minimo æqualiter remoti in-
ter ſe æquales ſunt.
_IN_ ſphara circulus ſit _A B C D E,_ cuius polus _F;_
ſigneturq́;
in ſphæræ ſuperficie
extra peripheriam circuli, punctum quodvis _G,_ præter alterum polum circuli
Ab C D E:_ &
à _
G,_ plurimi arcus maximorum
circulorum ducantur ad circunferentiam circu-
li _A B C D E,_ ipſam ſecantes; quorum _
G D F A,_
per polum _F,_ tranſeat;arcus verò _
G H B,_ pro-
pinquior ſit ipſi _G D F A,_ quàm _G I C:_ duo de-
nique _GHb, G K E,_ æqualiter diſtent ab eo-
dem _G D F A,_ vel à _G D,_ ſintque omnes hi ar-
cus ſemicirculo minores: quod tum demum erit,
cum ſe mutuo non interſecabunt in alio puncto,
quàm in _G,_ veluti in antecedenti theoremate
eſt oſtenſum. Dico arcum _
GA,_ eſſe omnium
maximum; &
_
GB,_ maiorem quàm _GC:_ Mini-
mum autem eſſe _GD;_ &
_
GH,_ minorem quàm _GI:_ Denique duos arcus _
GB, GE,_
Item _GH,_ _GK,_ æquales eße. Quoniam enim arcus _
GA,_ ſecat circulum _A B C D E,_
ad angulos rectos;
erit recta ſubten ſa _
AD,_ diameter circuli _A B C D E,_
& ſuper ipſam rectum circuli ſegmentũ conſtitutum _
Dg,_ quod initium ſumens à _D,_
per _G,_ ducitur, donec in alio puncto _A,_ circulum _A B C D E,_ iterum ſecet: quod qui-
dem non bifariam ſectum eſt in _G,_ (quòd _G,_ non ponatur polus circuli _A B C D E,_
in quo dictum ſegmentum bifariam diuiditur, vtin præcedenti theoremate oſtenſum
eſt.) maiorque pars eſt à puncto _
G,_ vſque ad _A,_ cum in ea ſit reliquus polus, (alias ar
cus _GDA,_ per vtrumque polum duceretur.)minor vero _
Dg._ Igitur rectarum ex _
G,_
GA,_ & minima _
GD,_
GB,_ verò maior quàm _GC;_ &
_
GB, GE,_ æquales Item _GH,_ minor quàm _GI;_ &
_
GH_
_GK,_ æquales. Quapropter cum arcubus ſemicirculo minoribus ſubtendantur, ex by-
GA,_ omnium maximus, & _
GD,_ minimus: at _
GB,_ mater,
quàm _GC;_ &
_
GH,_ minor quàm _GI:_ Denique _
GB, GE,_ nec non _GH, GK,_ æqua-
Quod eſt propoſitum.
_PERSPICVVM_ autem eſt in proximis duobus theorematibus arcus ſingulorũ
ex G, ductos non debere eſſe maiores ſemicirculo: alias non auferrent maiores lineæ
maiores arcus, & contra, vt conſtat exſcholio propoſ.
28.
lib.
3.
Eucl.
SI in ſphæra maximus circulus vnum quidem
circulum tangat, alium vero ei parallelum ſecet,
poſitum inter ſphæræ centrum, & eum circulum,
quem tangit maximus circulus, polus autem maxi
mi circuli fuerit inter vtrumque parallelorum, de-
ſcribanturque maximi circuli tangentes duorum
parallelorum maiorem: hi omnes erunt inclinati
ad maximum circulum, & eorum rectiſſimus qui-
dem eritille, cuius contactus erit in eo puncto, in
quo maius ſegmentum paralleli maioris bifariam
diuiditur; humillimus vero &
maxime inclina-
tus, cuius contactus eritin eo puncto, in quo mi-
nus ſegmentum bifariã diuiditur; Reliquorum au-
tem illi quidem, quiæqualiter diſtant ab alterutro
eorum punctorum, in quibus fegmenta bifariam
ſecantur, ſunt ſimiliter inclinati: qui vero conta-
ctum remotiorem habet à puncto, in quo maius
ſegmentum bifariam ſecatur, inclinatior perpetuo
eſt, quam qui contactum eidem puncto propio-
rem habet. Poli denique maximorum circulorum
erunt in vno circulo, qui & minor erit eo circulo,
ei-
dem parallelus erit.
IN ſphæra maximus circulus A B C D, cuius polus E, tangat circulum
A F, ſecet autem alium huic parallelum G B H D, poſitum inter ſphæræ cen-
trum, & circulum A F, ita vt circulus G B H D, maior ſit, quam A F;
ſitque
E, polus circuli maximi A B C D, inter vtrumque circulum A F, G B H D. Quoniam verò maximus circulus A B C D, ſecat circulum G B H D, non bi-
fariam, cum non tranfeat per eius polos, hoc eſt, per polos parallelorum, erit
lum conſpicuum, qui ſit I,
maiꝰ ſemicirculo, & B G D,
Ducatur per E, po-
lum circuli A B C D, & I,
maximus G A C, qui ſeca-
bit ſegmenta B G D, B H D,
puncta autem M,
N, æqualiter diſtent ab H; &
O, magis diſtet ab H,
quàm N. Tangant autem
parallelum G B H D, in
culi maximiGL, H K, M P,
N K, O L, qui quidem om-
nes inclinati erunt ad ma-
ximum circulum A B C D,
cum non tranſeant per E,
polum ipſius. Cum enim E,
polus ponatur inter parallelos A F, G B H D, non poterunt circuli tangen-
tes circulum G B H D, per E, tranſire, alias ſecarent ipſum, cum alter po-
lus, per quem etiam neceſſario tranſeunt, ſit extra dictos parallelos, vt patet.
autem, id eſt, maximè inclinatum eſſe G L; At M P, N K, ſimiliter inclinari,
& O L, magis quàm N K:
Polos denique horum circulorum tangentium eſſe
in vno eodemq́ue parallelo, qui minor ſit, quàm A F. Quoniam enim E, polus
eſt circuli A B C D, erit E A, quadrans maximi circuli; ſumatur ei æqualis
eritque punctum Q, inter puncta A, &
I, cum arcus H A, ma-
ior ſit quadrante, (quòd E A, quadrans ſit oſtenſus.) &
H I, quadrante mi-
porrectus ſit quadrans. Si igitur ex polo I, ad interuallum I Q, circulus de-
eo minor.
In hoc ergo paral-
lelo Q T R, dico eſſe polos omnium circulorum parallelum G B H D, tan-
Per polum enim I, &
puncta contactuum deſcribantur circuli maxi-
mi M I S, N I T, O I V; qui tranſibunt quoque per polos tangentium.
Quia
rectæ illis arcubus ſubtenſæ æquales ſint, eademq́ue ratione & arcus I Q, I S,
I T, I V, I R, æquales ſunt;erunt toti arcus H Q, M S, N T, O V, G R,
atque adeò cum H Q, ſit quadrans, omnes illi arcus quadrantes
erunt. Quare cum demonſtratum ſit eos tranſire per polos tangentium, erunt
puncta Q, S, T, V, R, poli circulorum tangentium, quæ quidem omnia
Iam vero quia arcus circulorum maximorũ ex E, polo circuli maximi A B C D,
ad Q, S, T, V, R, polos tangentium ducti metiuntur diſtantias poli E, à
polis tangentium; eſtq́ue omnium maximus E Q;
minimus autem E R;
æqua
&
denique E T, maior, quàm E V, quòd omnes hi arcùs
ſint ſemicirculo minores; (eſt enim E Q, quadrante E A, minor;
atque adeo
reliqui eum non ſecabunt citra punctum Q, ideoque ſemicirculo minores
erunt.) erit circulus H K, minimè inclinatus ad circulum maximum A B C D;
G L, maximè;
at M P, N K, æqualiter, ſeu ſimiliter;
&
O L, magis quàm
N K, quod primo loco demonſtrandum proponebatur. Quocirca ſi in ſphæ-
ra maximus circulus. &
c.
Quod erat demonſtrandum.
IISDEM poſitis, ſi circunferétiæ circulorum
tangentium à contactibus ad nodos ſint æqua-
les;prædicti circuli maximi ſimiliter inclinati erút.
RVRSVS in ſphæra maximus circulus A B C D, cuius polus E, tangat
circulum A F, ſecet autem alium huic parallelum G B H D, poſitum inter
ſphæræ centrum, & circulum A F, ita vt G B H D, maior ſit, quàm A F;
ſit-
que E, polus maximi circuli A B C D, inter vtrumque circulum A F, G B H D:
M, N, circuli maximi
M O, N P, circulũ G B H D,
ſecantes A B C D, in O,
P, nodis, ſintq́ue arcus
M O, N P, æquales. Di-
co circulos M O, N P,
ſimiliter inclinari ad ma-
ximum circulum A B C D. Ducatur enim per E,po-
I,
polum parallelorum cir-
culus maximus G A C: Itẽ
per I, polum parallelorũ,
& puncta contactuum cir
culi maximi I M, I N, qui
per polos quoque circu-
ſibũt;atque adeo ipſos ad
angulos rectos ſecabunt.
dunt ex M, & N, per I, donec iterum ſecent circulos tangentes M O, N P,
inſiſtunt diametris circulorum M O, N P, (eſt enim communis ſectio circu-
diuiduntur non bifariam in I, quod I, polus paral-
lelorum non ſit polus tangentium; ponunturque arcus M O, N P, æquales;
erunt ductæ rectæ I O, I B, æquales.
Si igitur ex I, polo parallelus deſcriba-
Et quia circulus
maximus I M, tranſiens per polos circulorum M O, O Q, ſe ſecantium in
O, Q, ſecat eorum ſegmenta bifariam, æquales erunt arcus M O, M Q, &
Eodemque argumento æquales erunt arcus N P, N R, &
T P,
T R; nec non K O, K P, &
C O, C P;
propterea quòd circulus maximus IkC,
tranſiens per polos circulorum O K P, O C P, ſecat eorum ſegmenta bifa-
C.
Cum ergo arcus M O, N P, ponantur æquales, erunt &
toti
ipſi dimidij ſunt, æqua-
les; atque adeo &
rectæ
les erunt. Igitur &
arcus
erunt; ac proinde &
eo-
rum dimidij O S, P T, æ-
quales erunt. Sunt autem
& toti K O, K P, oſtenſi
ęquales. Reliqui ergo K S,
K T, æquales erunt; atque
adeo, cum ſint vnius eiuſ-
demq́ue circuli, ſimiles in
ter ſe erunt. Quia verò ar-
ſunt arcus H M, H N; erũt
quoq;æquales arcus H M,
H N. Itaque cum ſeg-
mentum B H D, bifariam
erunt circuli M O, N P, ſimili-
ter inclinati ad circulum A B C D. Quare ijſdem poſitis, ſi circunferentiæ à
contactibus, &c.
Quod erat demonſtrandum.
SI recta linea circulum in partes inæ-
quales ſecet, ſuper qua conſtituatur re
ctum circuli ſegmentum, quod non
ſit maius ſemicirculo; diuidatur au-
tem ſegmenti inſiſtentis circunferentia in duas in
æquales partes: Recta linea ſubtendens earum mi-
norem, minima eſt linearum rectarum ductarum
ab eodem puncto ad minorem partem circunfe-
rentiæ primi circuli: Rectarum verò ductarum ab
eo ipſo puncto ad circunferentiam interceptam
inter illam minimam rectam, & diametrum, in
quam cadit perpendicularis deducta ab illo pun-
cto ſemper minimæ propior remotiore minor eſt. Omnium autem maxima eſt ea, quæ ab illo eodẽ
puncto ducitur ad extremitatem eiuſdem diame-
tri: Item recta ſubtendens maiorem circunferen-
tiam ſegmenti inſiſtentis, minima eſt earum, quæ
cadunt in circunferentiam interceptam inter ip-
ſam, & diametrum, ſemperque huic propior remo
Si verò recta linea ſubiectum circu
lum ſecans ſit eius diameter, & reliqua omnia ea-
dem ſint, vt ſupra; recta linea ſubtendens mino-
rem partem circunferentiæ ſegmenti inſiſtentis,
minima eſt rectarum ductarum ab illo eodem
puncto ad primi, & ſubiecti circuli circunferen-
tiam; ea verò, quæ maiorem partem circunferen-
tiæ ſegmenti inſiſtentis ſubtendit, maxima eſt.
RECTA linea A B, ſecet circulum A C B D, cuius centrum E, in partes
Inſiſtat
autem ipſi A B, rectum circuli ſegmentum
A F B, ſemicirculonó maius, quod in partes in-
æquales diuidatur in F; ſitque minor pars B F:
Ex F, demittatur in circulum A C B D, per-
Per E, autem, &
L, diameter
agatur C D; &
ex F, in circunferentiam A C B,
maioris ſegmenti circuli A C B D, plurimę
rectæ cadãt F B, F G, F H, F C, F A, F I, F K. Dico omnium minimam eſſe F B, &
F G, mino-
rem, quàm F H; Omnium autem maximam eſ
ſe F C. Item F A, eſſe omnium minimam, quæ
ex F, in portioncm A C, cadent; &
F I, minorem, quàm F K.
Ducantur ex L,
lineæ rectę L G, L H, L I, L K; eruntq́ue ex defin.
3.
lib.
11.
Eucl.
omnes an-
guli ad L, quos recta F L, facit, recti. Quoniam igitur recta L D, eſt omnium
rectarum ex L, cadentium minima, & L B, minor, quàm L G, L H, L C, L K,
erunt quadrata ex F L, L B, minora quadratis ex F L, L G:
Eſt au-
tem tam quadratum ex F B, quadratis ex F L, L B, quàm quadratum ex F G,
Igitur erit quoq;
quadratum ex F B, minus qua-
drato ex F G; atq;
adeo &
recta F B, minor erit quàm F G.
Nõ aliter oſtẽdemus,
rectá F B, minoré eſſe, quàm F H, F C, F K, F I, F A. Quare F B, omniũ minima eſt.
RVRSVS quia L G, minor eſt, quàm L H, erunt quadrata ex F L, L G,
Eſt autem tam quadratum ex F G, quadratis
ex F L, L G, quàm quadratum ex F H, quadratis ex F L, L H, æquale. Igitur
quadratum ex F G, quadrato ex F H, minus erit;
atq;
adeo &
recta F G, mi-
nor erit, quàm recta F H.
AMPLIVS quia L C, omnium ex L, cadentium maxima eſt;
erunt qua-
Eſt autem tam quadratum
ex F C, quadratis ex F L, L C, quàm quadratum ex Fk, quadratis ex F L, Lk,
Igitur &
qua dratum ex F C, maius erit quadrato ex F K;
ac proinde &
recta F C, maior erit, quàm recta F K. Non aliter demonſtrabimus, rectam F C,
maiorem eſſe, quàm F I, & F A.
Eſt ergo recta F C, omnium maxima.
ITEM quia L A, minor eſt, quàm L I, Lk, L C;
erunt quadrata ex F L,
Eſt autem tam quadratum ex F A, qua-
dratis ex F L, L A, quam quadratum ex F I, quadratis ex F L, L I, æqua-
Igitur &
quadratum ex F A, minus erit quadrato ex F I;
atque ob id re-
cta quoque F A, minor erit quàm recta F I. Eodem modo oſtendemus, rectam
F A, maiorem eſſe, quàm F K, F C. Eſt ergo F A, omnium rectarum ex F, in
arcum A C, cadentium minima.
DENIQVE quia L I, minor eſt, quàm L K;
erunt quadrata ex F L, L I,
Eſtautem tam quadratum ex F I, quadra-
tis ex F L, L I, quàm quadratum ex F K, quadratis ex F L, L K, æquale. Igi-
quadratum ex F I, minus erit quadrato ex F K, ideoque &
recta F I, mi-
nor erit, quàm recta F K.
QVOD ſi recta A B, ſecet circulum A C B D, bifariam, ita vt ſit eius
diameter, demonſtratum à nobis iam eſt theoremate tertio ſcholij propoſ.21.
præcedentis libri, rectam F B, minimam eſſe, &
F A, maximam.
Vnde non eſt
neceſſe, idem hoc loco demonſtrare. Immo plura ibi ſunt demonſtrata, quàm
hic proponuntur. Sirecta igitur linea circulum in partes inæquales ſecet, &
c.
Quod oſtendendum erat.
SI recta linea ſecans circulum ſegmentum au-
ferat, quod ſemicirculo minus non ſit, ſuper ipſa
autem recta linea ſtatuatur aliud circuli ſegmen-
tum, quod & ſemicirculo maius non ſit, &
incli-
natum ſit ad alterum ſegmentum, quod ſemicircu
lo maius non eſt; diuidatur vero inſiſtentis ſeg-
menti circunferentia in partes inæquales: Recta
linea ſubtendens minorem circunferentiæ partem
minima eſtrectarum omnium ductarum ab illo
puncto, à quo ipſa ducitur, ad ſubiecti circuli cir-
cunferentiam illam, quæ ſemicirculo minor non
eſt: &
reliqua omnia, quæ in præcedẽti, ſequuntur.
RECTA linea A B, à circulo A C B D, cuius centrum E, auferat ſeg-
mentum A C B, ſemicirculo non minus, ſed vel ſemicirculo æquale, vt in pri-
ma figura, vel maius, vt in alijs figuris; &
ſuper recta A B, ſtatuatur ſegmen-
tum aliud circuli A F B, ſemicirculo non maius, ſed vel ſemicirculo æquale,
vt in poſtrema trium figurarum, vel minus, vt in primis duabus figuris, & in-
clinatum ad ſegmentum alterum A D B, quod ſemicirculo maius non eſt, cum
A C B, vel ſemicirculo æquale, vel maius ponatur. Diuidatur quoque cir-
ſit F B, minor.
Ex F, demitta-
tur in planum circuli A C B D, perpendicularis F L, quæ ad partes ſegmenti
A D B, cadet, propterea quod ſegmentum A F B, ad ſegmentum A D C, eſt
inclinatum, ita vt punctum L, ſit vel intra ſegmentum A D B, vel extra, vel
certe in ipſa circunferentia A D B. Per centrum autem E, &
punctum L, dia-
meter agatur C D, & ex F, in circunferentiam A C B, plurimæ rectæ cadant
F B, F G, &c.
Dico omnium minimam eſſe F B;
&
F G, minorem quàm F H:
omnium autem maximam eſſe F C:
Item F A, eſſe omnium minimam, quæ ex
F, in circunferentiam A C, cadunt; &
F I, minorem quàm F K.
Ducantur ex
L, rectæ lineæ L B, L G, L H, L A, L I, L K, eruntque omnes anguli ad L,
quos facit perpendicularis F L, recti, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
Quoniam igitur recta L D, eſt omnium minima, (hæc autem linea nihil eſt om
&
L B, minor, quàm L G, L H,
L C, L K, L I, L A, & omnium maxima L C, &
c.
demonſtrabimus, vt in præ-
F G, minorem quàm F H:
Item
F C, omnium maximam, & F A, minimam omnium ex F, in circunferentiam
A C, cadentium; &
F I, minorem quàm F K.
Si igitur recta linea ſecans circu-
lum, &c.
Quod erat oſtendendum.
SI in ſphæra duo circuli maximi ſe mutuo ſe-
cent, ab eorum verò vtroque æquales circunfe-
rentiæ ſumantur vtrinque à puncto, in quo ſe ſe-
cant: Rectæ lineæ, quæ extrema puncta circunfe-
rentiarum connectunt ad eaſdem partes, æquales
inter ſe ſunt.
IN ſphæra duo circuli maximi A B C, D B E, ſe mutuo ſecent in B, &
in
vno quoque vtrinque à B, ſumantur duo arcus æquales B A, B C, & B D, B E,
Dico rectas A D, C E, æquales eſſe.
Polo enim
B, & interuallo B A, circulus deſcribatur, qui etiam per C, tranſibit, ob æqua
litatem arcuum B A, B C. Aut igitur idem circulus tranſit etiam per C, atque
per E, ob æquali-
tatem arcuum B D, B E,
aut non. Tranſeat primũ
per D, & E, vt in priori
figura; ſintq́ue communes
ſectiones circulorum ma-
ximorũ, & circuli A D C E,
rectæ A C, D E. Et quo-
niã circuli maximi A B C,
D B E, per B, polum cir-
culi A D C E, tranſeun-
tes ſecant ipſum bifariã,
F, centrum;
ac proinde rectæ
F A, F D, rectis F C, F E, æquales. Cum ergo &
angulos æquales compre-
erunt &
rectæ A D, C E, æquales.
SED non tranſeat iam circulus ex B, polo deſcriptus ad interuallum B A,
per D, ſed vltra punctum D, atque adeò & vltra punctum E, excurrat.
Produ-
Quoniam igitur arcus B G, B H, æquales
ſunt, quòd ex defin. poli, rectæ ſubtenſæ B G, B H, æquales ſint:
Sunt autem
& B D, B E, ex hypotheſi, æquales;
erunt &
reliqui D G, E H, æquales.
Et
quoniam rectæ ductæ A G, C H, æquales ſunt, vt proxime demonſtratum eſt
in prima parte huius propoſ. erunt &
arcus A G, C H, æquales.
Quia igitur
ad angulos rectos, inſiſtet ſegmentum G H, rectum diametro circuli
AGCH. Cum ergo arcus D G, E H, æquales ſint, &
minores dimidio arcu
G D H; ſintq́ue arcus G A, H C, oſtenſi quoque æquales;
erunt rectę D A,
E C, inter ſe æquales. Si igitur in ſphæra duo maximi circuliſe mutuo ſecent,
c.
Quod erat demonſtrandum.
SI in ſphæra duo maximi circuli ſe mutuo ſe-
cent, ab eorumque altero æquales circunferen-
tiæ ſumantur vtrinque à puncto, in quo ſeinterſe-
cant, & per puncta terminantia æquales circunfe-
rentias ducantur duo plana parallela, quorum alte
rum conueniat cum communi ſectione ipſorum
circulorum extra ſphæram verſus prædictum pun
ctum; ſit vero vna illarum æqualium circunferen-
tiarum maior vtralibet circunferentiarum in alte-
punctum, & vtrumque planorum parallelorum:
Ea circunferentia, quæ eſt inter illud punctum, &
planum, quod non conuenit cum communi ſe-
ctione ipſorum circulorum, maior eſt, quam ea
eiuſdem circuli circunferentia, quæ eſt inter idem
punctum, & planum, quod conuenit cum com-
muni ſectione circulorum.
IN ſphæra duo maximi circuli A B C, D B E, ſe mutuo ſecent in B, &
in
A B C, ſumantur arcus B A, B C, æquales, & per A, C, puncta duo plana pa-
rallela inter ſe ducantur facientia in ſuperficie ſphæræ circunferentias circu
ſit
verò arcus B A, vel B C, maior vtralibet circunferentiarum B F, B H, inter
punctum B, & plana parallela interceptarum.
Ex polo deinde B, &
interual-
lo B A, vel B C, circulus deſcribatur A D C E, qui puncta F, H, tranſcen-
det, propterea quòd arcus B F, B H, minores ponuntur arcubus B A, B C. Producantur arcus B F, B H, vſque ad circunferentiam circuli A D C E,
ad puncta D, E; ſintq́ue communes ſectiones circuli A D C E, &
circulorum
A F G, C H I, rectæ A G, C I; communes autem ſectiones circulorum ma-
circuli A D C E, rectæ A C,
D E; quæ ipſius diametri erunt, atque adeo
eiuſdem centrum K, cum circuli maximi ip-
ſum per B, polum bifariam ſecent: Secet au-
Sit quoque maximorum circulorum commu
nis ſectio K B, recta, cum qua producta ad par
tes B, conueniat planum A F G, productum
extra ſphæram in puncto L. Quo poſito, non
conueniet alterum planum C H I, cum re-
cta K B, ad partes B, necum ſibi parallelo
plano A F G, conueniat. Dico arcum B H,
maiorem eſſe arcu B F. Sint enim rectæ F M,
H N, communes ſectiones circuli D B E, &
circulorum A F G, C H I. Et quoniam pla-
num A F C, conuenit productum cum recta
K B, producta in L, erit L, punctum tam in
plano D B E, quàm in plano A F G; atque
adeo in cõmuni eorum ſectione, nempe in recta M F. Producta ergo M F, coi-
bit cum K B, producta in L. Quoniam verò planum D B E, ſecat plana pa-
rallela A F G, C H I, erunt ſectiones factæ M F, N H, parallelæ. Rurſus quia
Anguli ergo alterni K A M, K C N, æquales ſunt:
anguli A K M, C K N, ad verticem æquales, &
latera K A, K C,
Igitur &
latera K M, K N,
ſunt autem &
ſemidiametri K D, K E, æquales.
Reliquæ ergo
rectæ D M, E N, æquales erunt. Rurſus quoniam recta B K, ex B, polo circuli
A D C E, ad eiuſdem centrum K, ducta, recta eſt ad planum circuli, erit an-
3.
lib.
11.
Eucl.
Angulus igi-
Cum ergo duo anguli F M N, H N M, duobus ſint
erit angulus H N M, obtuſus.
Quare, vt mox, lemmate ſequen
ti oſtendemus, arcus E H, minor erit, arcu D F; atque adeo, cum æquales
ſint arcus B D, B E, quòd rectæ ſubtenſæ B D, B E, ex defin. poli, ſint æqua-
Si igitur in ſphæra duo maximi circuli ſe
mutuo ſecent, &c.
Quod erat demonſtrandum.
_QVOD_ autem arcus _E H,_ arcw _D F,_ minor ſit, facile demonſtrabimus, hoc propoſi-
to theoremate prius demonſtrato.
SI arcui circuli recta ſubtendatur, ad quam ex arcu duæ perpen-
diculares demittantur auferentes verſus terminos arcus duos arcus
æquales; auferent eædem duas rectas ex recta ſubtenſa æquales.
Et ſi
duæ perpendiculares ad rectam ſubtenſam ducantur auferẽtes duas
rectas æquales; auferent eædem duos arcus æquales.
ARCVI circuli A B C D, ſubtendatur recta A D, ad quam ex
arcu demittantur duæ perpendiculares B E, C F, auferentes duos arcus
Dico eaſdem auferre
æquales rectas A E, D F. Ducta enim
ob æqualitatem arcuum A B, D C: ſunt
autem & B E, C F, parallelæ.
Parallelo-
& rectæ B E, C F, æquales.
Et quoniam æqualibus arcubus A B, D C, re-
erunt quadrata ex A B, D C, æqua-
Cum ergo tam illud æquale ſit quadratis ex A E, B E, quàm boc qua-
ſi auferantur æqualia quadrata rectarum B E, C F,
æqualia erunt quadrata rectarum A E, D F; ac proinde &
rectæ A E,
D F, æquales erunt. quod primo loco proponebatur.
SED iam perpendiculares B E, C F, auferant æquales rectas A E,
D F. Dico eaſdem auferre æquales arcus A B, D C.
Si enim non ſunt
æquales, ſit, ſi fieri potest, maior arcus A B, à quo æqualis abſcindatur
A G, & ex G, ad A D, perpendicularis ducatur G H.
Erit igitur, vt
proxime demonſtr atum eſt, recta A H, rectæ D F, æqualis, atque adeò
& rectæ A E, pars toti:
Quod eſt abſurdum.
Non eſt ergo arcus A B,
maior arcu D C: eademque ratione neque minor erit.
Aequalis ergo eſt.
Ex his constat, arcum H E, in figura propoſitionis
minorem eſſe arcu D F. Nam cum angulus F M K, acutus ſit, &
H N K,
ebtuſus, ſi ex M, N, ad D E, perpẽdiculares ducerentur, caderent hæ in ar
cus D F, B H, auferrentque, vt in proximo lemmatc oſtendimus, arcus
æquales. Quare arcus H E, minor est arcu D F.
SI in circunferentia maximi circuli ſit polus
parallelorum, huncque maximum circulum ſecẽt
ad angulos rectos duo alij maximi circuli, quorú
alter ſit vnus parallelorum, alter verò obliquus ſit
ad parallelos; ab hoc autem obliquo circulo æqua
les circunferentiæ ſumantur deinceps ad eandem
partem maximi parallelorum, perque illa puncta
terminantia æquales circunferentias deſcriban-
tur paralleli circuli: Circunferentiæ maximi illius
circuli primo poſiti inter parallelos interceptæ in-
æquales erunt, ſemperque ea, quæ propior fuerit
maximo parallelorum, remotiore maior erit.
IN circunferentia maximi circuli A B C D, ſit A, polus parallelorum,
cumq́ue fecent duo maximi circuli B D, E C, ad angulos rectos, quorum B D,
E C, ad paralle
los obliquus: &
per F, G, H, puncta, quæ ex
obliquo circulo arcus æquales auferunt F G,
G H, deſcribantur paralleli I K, L M, N O, ex
polo A. Dico arcum I L, maiorẽ eſſe arcu L N.
punctum G, circulus
maximus deſcribatur A P, ſecans parallelos in
P, Q. Quoniam igitur in ſphæræ ſuperficie
intra periphæriam circuli I K, punctum G, ſi-
gnatum eſt præter polum A, & ex G, duo ar-
cus G P, G F, circulorum maximorum ca-
dunt in circunferentiam circuli I K; erit ar-
atque adeo minor
quam G F: quod arcus G P, G F, minores ſint ſemicirculo, cum ſe non inter-
ſecent, antequam parallelum I K, diuidunt. Rurſus quia in ſuperficie ſphæræ
extra periphæriam circuli N O, punctum G, ſignatum eſt præter eius polum;
arcus G Q, omnium ex G, cadentium minimus, hoc eſt, minor, quàm
quod arcus G Q, G H, minores ſint ſemicirculo, cum ſe non inter-
ſecent, antequàm parallelo N O, occurrant. Vterque igitur arcus F G,
G H, vtroque G P, G Q, maior eſt. Et quoniam recta per G, &
centrum
ſphæræ ducta, id eſt, communis ſectio circulorum maximorum A P, E C, ſe-
cant paralleli I K, planum intra ſphæram; (non enim recta illa ad centrum
ſphæræ perueniet, hoc eſt, ad centrum maximi circuli B D, niſi prius planum
circuli I K, ſecet; quòd parallelus I K, poſitus ſit inter maximum parallelo-
rum, & punctum G.)
ſecabit eadem recta planum paralleli N O, extra ſphæ-
ram, ſirecta illa, & planum circuli ad partes G, producantur:
propterea
quòd punctum G, poſitum eſt inter maximum parallelorum, & parallelum
N O. Quoniam igitur duo circuli maximi A P, E C, ſe mutuo ſecant in G,
puncto, & à circulo E C, vtrinque à puncto G, duo arcus æquales ſumpti
ſunt G F, G H, & per F, H, plana parallela circulorum I K, N O, ducta,
quorum N O, occurrit commnni ſectioni circulorum maximorum A P,
E C, extra ſphæram, vt oſtenſum eſt, eſtq́ue vterque arcuum G F, G H, ma-
ior vtroque arcuum G P, G Q, erit arcus G P, maior arcu G Q. Eſt au-
arcus G Q, arcui L N, æqualis.
Igitur &
arcus
Quare ſi in circunferentia maximi circuli ſit po-
lus, &c.
Quod demonſtrandum erat.
SI in circunferentia maximi circuli ſit polus
parallelorum, huncq́; maximum circulum ad an-
gulos rectos ſecentduo alij circuli maximi, quo-
rum alter ſit vnus parallelorũ, alter verò obliquus
ſit ad parallelos; ſumantur autem ab obliquo circu
lo æquales circunferentiæ deinceps ad eaſdem par
tes maximi illius paralleli, & per puncta terminan-
tia æquales circũferentias, perq́; polum, deſcriban-
tur maximi circuli: Hi circunferentias inæquales
intercipient de maximo parallelorum, quarum
propior maximo circulo primo poſito ſemper erit
remotiore maior.
IN circunferentia maximi circuli A B C D, ſit A, polus parallelorum,
eumq́ue ſecent duo maximi circuli B D, E C, adangulos rectos, quorum B D,
ſit parallelorum maximus, at E C, ad parallelos obliquus, ex quo ſumantur
&
per puncta F, G, H, perq́ue polum A, circuli ma-
ximi deſeribantur A I, A K, A L, ſecantes B D, in I, K, L. Dico arcum K L,
maiorem eſſe arcu I K. Deſcribantur enim per eadem puncta F, G, H, paral-
in V, X. Erit igitur arcus M O,
atque adeo, cũ
arcui O Q,
arcus G X, ſit æqualis; erit &
V G,
maior, quàm G X. Sumatur arcus
G Y, ipſi G X, æqualis, & per Y,
parallelus deſcribatur S T, ſecans
circulum A I, in Z. Quoniam igi-
tur arcus G Y, G X, æquales ſunt,
nec non G F, G H, erunt ductæ re-
ctæ H X, Y F, æquales. Et quia cir-
ſecat cir culum S T, ad angulos re
bifariam, erit communis
ſectio, nempe recta ex Z, ad alte-
ram ſectionem ducta diameter circuli S T, ſuper quam inſiſtit ſemicirculus
rectus ad circulum A I, nempe ſemicirculus à puncto Z, incipiens, & per S, vſq;
ad alteram ſectionem progrediens, (hoc eſt, ſegmentum circuli, quod ſemicir-
culo maius non eſt.) aufertque recta illa ex circulo A I, ſegmentum ſemicir-
culo maius, quod nimirum à puucto Z, per I, vſque ad alteram ſectionem cum
cireulo S T, ducitur, atque eſt Y Z, arcus inſiſtentis ſemicirculi quadrante
minor, (propterea quòd arcus Ik, qui illi eſt ſimilis, quadrante quoque mi-
quod ita oſtendi poteſt.
Quoniam circuli maximi B D, E C, recti ſunt
ad maximum circulum A B C D, erit hic viciſsim ad illos rectos, ac proinde
Quare eorum ſegmenta, quæ ſemicirculi ſunt, bi-
Quadrans ergo eſt arcus circuli B D, po-
ſitus inter B, & illud punctum, vbiſe mutuo ſecant circuli B D, E C, ideoque
I K, quadrante minor. Nam circulus Ak, cadit inter puncta B, I, cum circu-
lum A B C D, ſecet in altero polo.) atque adeo reliquus arcus ex ſemicirculo
inſiſtente interceptus inter Y, & altetam ſectionem cum circulo A I, quadran-
te maior; erit recta Y Z, omnium rectarum ex Y, cadẽtium in circunferentiam
atq;
adeò minor quàm Y F, hoceſt, quàm H X, quam ęqualẽ oſten
ndimus eſſe rectæ Y F. Quocirca cum eirculus Q R, minor ſit circulo S T, au-
feret recta H X, maior maiorem arcum ex ſuo circulo, quàm recta Y Z, minor
ex ſuo, vt mox oſtendemus. Maior igitur eſt arcus H X, quàm vt ſimilis eſſe
poſsit arcui Y Z: Eſt autem arcui H X, arcus kL, &
arcui Y Z, arcus Ik, ſimilis.
kL, maior eſt, quàm vt ſimilis fit ipſi Ik;
ac proinde, cum ſint in eo-
dem circulo, maior erit arcus kL, quàm Ik. Quamobrem, ſi in circumferentia
maximi circuli ſit polus parallelorum, &c.
Quod demonſtrandum erat.
_QVOD_ autem recta _H X,_ maiorem arcum auferatex ſuo circulo quàm recta
Y Z, ex ſuo, perſpicuum fiet, ſi prius theorema, quod ſequitur, demonſtretur.
ÆQVALES rectæ lineæ ex circulis inæqualibus auferunt ar-
cus inæquales, maiorq́ue eſt arcus minoris circuli, quàm vt ſimilis
ſit arcui maioris circuli.
_SINT_ circuli inæquales A B, C D, circa idem centrum E, deſcripti:
ducantur autem ex E, duærectę vtcunque E A, E B, ſecantes circulum
C D, in punctis C, D: erunt{quam} arcus A B, C D, ſimiles, cum illis idem an-
Et quoniam rectæ E A, E B, proportiona-
E B, æquales ſint, nec non E C, E D; erunt re-
atque adeo
triangula E A B, E C D, ſimilia, habentia
non & angulos E B A, E D C, &
angulũ E,
Quare erit, vt E A, ad A B,
ita E C, ad C D: Eſt autem E A, maior quam
E C. Igitur &
A B, maior erit, quàm C D.
erit{quam} arcus A B, maior, quàm F B.
Quare cum ar-
erit arcus C D, maior, quàm vt ſimilis ſit
ipſi F B. Aequales igitur rectæ F B, C D, ex circulis inæqualibus A B,
C D, inæquales arcus auferunt, maior{quam} eſt arcus C D, circuli minoris,
quàm vt ſimilis ſit arcui F B, circuli minoris. quod eſt propoſitum.
HINC perſpicuum eſt, multo magis maiorem lineam ex circulo mi-
nore auferre arcum maiorem, quàm vt ſimilis ſit ei, quem ex circulo ma-
iore aufert linea minor. Cum enim recta C D, æqualis ipſi F B, auferat arcũ
C D, maiorem, quàm vt ſimilis ſit arcui F B; multo magis linea maior quàm
C D, auferet maiorem arcum, quàm vt ſimilis ſit arcui F B; cum illa maior
Quare in propoſ.
hac ſexta etiam
recta H X, maior exiſtens, quàm recta Y Z, auferet ex circulo minore
Q R, arcum H X, maiorem, quàm vt ſimilis ſit arcui Y Z, quem recta
Y Z, aufert ex S T, circulo maiore.
HOC autem lemmate demonſtrato, facile etiam oſtendemus, æquales
rectas lineas ex circulis inæqualibus auferre arcus inæquales ſimpliciter,
ita vt arcus minoris circuli ſimpliciter maior ſit arcu circuli maioris, &
nθn ſolũ maior, quàm vt ſimilis ſit. Sint enim rectæ lineæ C D, B F, æquales,
auferat{quam} C D, arcum minoris circuli C E D, & F B, arcum circuli maioris
F G B. Dico ſimpliciter arcum C E D, maiorem eſſe arcu F G B.
Congruente
enim recta C D, rectæ F B, cadet neceſſario arcus C E D, extra arcũ F G B; at que adeo arcus C E D, maior erit arcu F G B, cum ille hunc totum intra ſe
cta habeant, vt vult Archimedes in ſuppoſitionibus ante lib. 1.
deſphæra
& cylindro.
Neque vero arcus C E D, arcui F G B, congruet, aut imra ip-
Nam ſi dicatur congruere,
congruet etiam tota circumferentia
circuli C E D, toti circumferentiæ cir-
culi F G B, atque adeo æquales erunt
circuli. quod eſt abſurdum, cum inæquæ
les ponantur: Si vero arcus C E D, di-
catur cadere intra arcum F G B, cu-
inſmodi eſt arcus C A D, quoniam vt
paulo ante in hoc lemmate ostenſum
eſt, arcus C E D, id eſt, C A D, maior
eſt, quàm vt ſimilis ſit arcui F G B, ſu-
matur arcus H F B, arcui C A D, ſimilis, atque adeo maior arcu F G B: Aſſumpto autem in arcu C A D, puncto A, vtcunque, ducantur rectæ
A F, A B; productaque recta F A, donec arcum F G B, ſecet in G,
ducantur rectæ G H, G B. Itaque quoniam arcus C A D, H F B, ſimiles
ſunt, erunt anguli C A D, H G B, inillis fegmentis exiſtentes, æquales. Quia
vero angulus C A D, angulo C G B, maior eſt, externus interno; &
angulus
erit multò maior angulus
C A D, angulo H G B. quod eſt abſurdũ.
Oſtenſus enim eſt æqualis.
Non ergo
arcus C E D, cadet intra arcũ F G B: ſed neq;
ei congruit, vt demõſtratũ eſt.
Cadet ergo extra, atq;
adeo maior erit arcus C E D, arcu F G B, vt dictũ eſ.
_HINC_ etiam liquido constat, multo magis maiorem lineam ex cir-
culo minore auferre arcum maiorem ſimpliciter eo, quem minor linea ex
circulo maiore aufert.
SI in ſphæra maximus circulus tãgat aliquem
ſphæræ circulum, alius autem maximus circulus
ad parallelos obliquus ſit, tangatq́; circulos maio-
res illis, quos tangit maximus circulus primo poſi-
tus, fuerintq́; eorum contactus in maximo circu-
lo primo poſito, & ſumanturà circulo obliquo cir
continuæ ad eaſdem par-
tes maximi parallelorum; per puncta autem termi-
nantia æquales circunferentias deſcribantur paral
leli circuli: Hi circumferentias inæquales interci-
pient de maximo circulo primo poſito, quorum
ea, quæ propior erit maximo parallelorum, erit
maior remotiore.
IN ſphæra maximus circulus A B C D, tangat circulum A E, in puncto
A; atque adeo &
alium C F, illi æqualem:
Alius autem circulus maximus G H,
tangit, ſintq́ue puncta contactuum G, H, in maximo circulo ABCD; ſitq́;
B D, maximus parallelorum:
Ex obliquo denique circulo G H, ſumantur
arcus æquales Ik, K L, & per puncta I, k, L, paralleli deſcribantur M N, O P,
Q R. Dico arcum M O, maiorem eſſe arcu O Q.
Nam per k, &
S, polum pa-
rallelorum circulus maximus dcfcribatur Sk, ſecans parallelos in punctis T,
Item per k, deſcribatur ma-
ximus circulus kE, tangens
parallelum A E, in E, ſecansq́;
ita ta-
men, vt hæc puncta X, Y, ſint
inter puncta L, T, & V, I.
quod
ita fiet. Quoniam per k, duo
ntes circulum A E, quorum
vnus inter arcus kG, kS, ca-
dit, alter vero extra ipſos; (Nã
ſi ambo ex eadem parte circu-
lum A E, tangerent, ſecarent
ſeſe mutuo prope puncta con-
tactuum, quòd alter alteri oc-
curreret. quod eſt abſurdum;
cum ſe interſecent in puncto,
quod ipſi K, opponitur inter
alterum polum, & maximum
parallelorũ.) ſi prior ſumatur,
cadẽt puncta X, Y, inter puncta L, T, & V, I, vt patet.
Igitur quoniã in ſpheræ
ſuperficie intra peripheriam circuli M N, punctum k, ſignatum eſt præter po-
lum S, & ex k, tres arcus cadunt in eius circunferentiam kV, kY, kI;
erit
kV, omnium minimus, & K Y, minor, quàm kI.
Rurſus quia in ſuperficie
polum, & ex K, in eius circunferentiam cadunt tres arcus K T, K X, K L,
kL, minor quam K L.
Vterque igitur arcus
Et quoniam recta per K, &
ſphęræ centrũ
ducta, id eſt, communis ſectio maximorum circulorum G H, E Y, ſecat pla-
num paralleli Q R, extra ſphæram, ſi recta illa, & planum circuli Q R,
producantur ad partes K, vt in demonſtratione propoſ. 5.
huius lib.
dictum
eſt; erit arcus K Y, maior arcu K X:
Sed arcui K Y, arcus M O, &
arcui K X,
Sunt enim ſemicirculi, quorum vnus ex A, per B, al-
tione propoſ. 13.
ſecundi lib.
diximus, perſpicuum eſt.
Igitur &
arcus M O, ma-
ior erit arcu O Q. Siergo in ſphæra maximus circulus tangat, &
c.
Quod
demonſtrandum erat.
SI in ſphæra maximus circulus aliquem ſphæ-
ræ circulum tangat, aliquis autem alius maximus
circulus obliquus ad parallelos tangat circulos ma
iores illis, quos tangebat maximus circulus primo
poſitus, fuerintque eorum contactus in maximo
circulo primo poſito; ſumantur autem de obliquo
circulo æquales circunferentiæ continuæ ad eaſ-
dem partes maximi parallelorum, perque puncta
terminantia æquales circunferentias deſcribantur
maximi circuli, qui & tangant eundem circulum,
quem tangebat maximus circulus primo poſitus,
& ſimiles parallelorú circunferentias intercipiant,
habeantque eos ſemicirculos, qui tendunt à pun-
ctis contactuum ad puncta terminantia æquales
obliqui circuli circunferentias, per quæ deſcribun-
tur, eiuſmodi, vt minime conueniant cum illo cir
culi maximi primo poſiti ſemicirculo, in quo eſt
contactus obliqui circuli inter apparentem po-
lum, & maximum parallelorum:
Inæquales inter-
quarum propior circulo maximo primò poſito
ſemper erit maior remotiore.
IN ſphæra maximus circulus A B, tangat circulum A C, in A;
atque adeo
parallelum:
&
alius circulus maximus D E, ad paralle-
los obliquus tangat alios parallelos maiores, ſintq́ue cõtactus in circulo A B,
cuiuſmodi eſt punctum D; &
ſit B E, parallelorum maximus:
Ex obliquo au-
tem circulo D E, ſumantur arcus æquales F G, G H; &
per puncta F, G, H,
circuli maximi deſeribantur C I, K L, M N, tangentes parallelum A C, in
C, K, M, ſecantesq́ue B E, maximum parallelorum in I, L, N, ita vt ſimiles
piant, eorumque ſemicirculi
à punctis C, K, M, incipien-
tes, & per F, G, H, tranſeun-
tes non conueniant cum ſe-
micirculo circuli A B, ab A,
incipiente, & per B, tran-
ſeunte. Dico arcum I L, ma-
iorem eſſe arcu L N. Deſcri-
bantur enim per F, G, H, pa-
ralleli P F, Q G, R H, ſecan-
tes circulum K L, in O, S. Erit
Q R; quibus cum ſint æqua-
G O,
maior, quàm G S. Fiat G T,
ipſi G S, æqualis, & per T, pa
rallelus deſeribatur V T, ſe-
cans circulum M N, in X. Et
quoniam eommunis ſectio cir
culorum M N, V X, hoc eſt,
recta ab X, ſectione, ad alte-
ram ſectionem ducta auſert ſegmentum, quod incipit ab X, & tranſit per V,
vſq; ad alteram ſectionem, ſemicirculo minus;
(Nam circulus maximus M N,
ſecans parallelum V X, non per polos auſert ſegmentum maius ſemicirculo,
polum conſpicuum, quale
eſt ſegmentum incipiens ab X, & tranſiens per α, vſque ad alteram ſectio-
nem cum circulo M N.) aufertq́ue ex maximo circulo M N, ſegmentum maius
ſemicirculo, quod nimirum ab X, incipiens per N, ad alteram ſectionem tran-
ſit; eſtq́ue ſegmentum X V, ad ſegmentum X M, inclinatum verſus partes R.
Nam ſi per N, &
Y, polum parallelorum circulus maximus deſcribatur Y N,
erit hic rectus ad B E. Ergo M N, qui inter hos duos eſt poſitus, (Quoniam
ad ſiniſtram circuli maximi Y N, & ad dexteram alter, nos priorem eligimus,
vt nimirum ponatur inter maxim os circulos Y N, B E.) ad eundem B E, in-
viciſsim B E, atque adeò &
ſibi parallelus V X, ad
M N, ad eaſdem partes R, erit inclinatus. Item ſegmentum incipiens ab X, &
per V, vſque ad alteram ſectionem tranſiens ſectum eſt inæqualiter in T, eſt-
q́ue minor pars T X, vt mox oſtcndemus. Igitur recta T X, minor eſt, quàm
Sed recta T F, æqualis eſt rectæ H S.
Igitur &
recta T X, minor erit
atquo adeo, vt in lemmate propoſ.
6.
huius lib.
demonſtratum
eſt, maior erit arcus H S, quàm vt ſimilis eſſe poſsit arcui T X. Cum ergo ar-
cus I L, arcui H S, & arcus L N, arcui T X, ſit ſimilis, maior erit quoque ar-
atque adeo, cum in eodem circulo ſint,
erit I L, maior, quam L N. Si igitur ſphæra maximus circulus aliquem ſphæræ
circulum tangat, &c.
Quod erat oſtendendum.
QVOD autem arcus T X, minor ſit ſemiſſe ſegmenti, quod ab X, inci
pit, et per V, vſque ad alteram ſectionẽ protenditur, it a demonſtrabimus. Per E, ducatur circulus maximus E Z, tangens parallelum A C, in Z, pun
cto, quod ſit ad dexteram cir culimaximi N Y: cùmex E, duo circuli tan-
vnus ad ſinistram circuli
Eritq́ E Z, quadrans.
Nam
circulus maximus Z Y, per
Y, polum circuli A C, &
per Z, cõtactum deſcriptus
trãſit quoq; per polum cir-
Quare
idem circulus Y Z, ſecabit
ſegmenta circulorum B E,
Cum ergo hi
ſecent, ſecabitur ſegmẽtum
à puncto E, per Z, vſque ad
alter am ſectionem, in duos
quadrantes in puncto Z; atque adeo E Z, quadrans
erit. Eodem modo quadrans erit E D, ſi per polum Y, &
contactum D,
circulus maximus Y D, deſcribatur. Eſt autem &
arcus cir culi maximi
inter E, & Y, polum, quadrans.
lgitur cir culus maximus ex E, tanquam
interuallo E Z, deſcriptus tranſibit per puncta Y, D.
Non aliter
oſtendemus N M, eſſe quadrantem; atque adeo circulum maximum ex
N, polo, & interuallo N M, deſcriptum tranſire per Y, polum paralle-
lorum, qualis eſt M Y, atque adeo ſecare arcum B D, vltra punctum D,
arcum N B, vltra arcum D B, ideoque &
arcum X V, vltra cundem
arcum D B: propterea quòd maximi circuli Z Y D, M Y, ſe mutuo ſe-
cant in Y, polo, & punctum M, e§t inter D, &
Z.
Quoniam verò circu-
lus maximus M Y, ductus per Y, polum paralleli A C, & per cont actum
M, tranſit etiam per polum circulitangentis N M; tranſibit per polos
N M, ſe mutuo ſecantium in X.
Quare bifariam ſe-
cabit ipſorum ſegmenta. Cum ergo vltra punctum V, ſecet ſegmentum ab
vt proxime eſt ostenſum; erit X V, arcus minor ſemiſſe ſegmentiab X, per
V, vſque ad alteram ſectionem; ac proinde multo minor ſemiſſe eiuſdem
ſegmenti erit T X. quod eſt propoſitum.
PROPOSITIS duabus magnitudinibus inæqualibus, repe-
rire aliam mediam, quæ datæ cuicunque magnitudini commen-
ſurabilis ſit.
SINT propoſitæ duæ magnitudines inæquales A B, A C, &
data
alia quæcunque D G: oporteat{q́ue} inuenire aliam mediam, boc eſt, quæ
maior quidem ſit, quàm A C, minor vero, quàm A B, & ipſi D G, com-
menſurabilis. Sit primum D G, minor, quàm B C, exceſſus inter magnitu-
&
E, multiplex ipſius
D G, proxime maior quàm A C. Quo po-
ſito, erit E, minor, quàm A B. Si enim
æqualis eſſet, ſi detraheretur ex E, vna
magnitudo ipſi D G, æqualis (quę quidem
minor ponitur, quàm B C,) maneret adhuc
reliqua multiplex ipſius D G, maior quàm
A C. Non ergo E, eſſet multiplex ipſius D G, proxime maior, quàm A C.
Quod eſt abſurdum.
Non ergo æqualis eſt E, ipſi A B;
atque adeo multo
magis neque maior erit. Minor igitur eſt, quàm A B;
atque adeo cum ma-
ior quoque ſit quà A C, & ipſi D G, commenſurabilis, quòd eius mul-
tiplex ſit, conſtat propoſitum.
SED iam data magnitudo D G, non minor ſit, quàm B C.
Diuiſa igi-
tur D G, bifariam, & dimidia parte rurſus bifariam, &
ſic deinceps, do-
nec relinquatur pars D F, minor quàm B C; ſit E, ipſius D F, multiplex
erit{q́ue} E, ipſi D F, commenſurabilis;
atque
adeo & ipſi D G:
propterea quod vtraque E, &
D G, ipſi D F, commen
Rurſus eodem pacto, vt paulo ante demonſtrauimus, erit E,
minor, quam A B. Cum ergo maior quoque ſit, quàm A C, &
ipſi D G,
commenſurabilis; constat propoſitum.
SI polus parallelorum ſit in circunſerentia ma-
ximi circuli, quem duo alij maximi circuli ad an -
gulos rectos ſecent, quorum circulorum alter ſit
vnus parallelorũ, alter verò ad parallelos obliquus
ſit: &
ab hoc obliquo circulo ſumantur æquales
circunferentiæ, quæ continuæ quidem non ſint,
ſed tamen ſint ad eaſdem partes maximi illius pa-
ralleli; per polum autem, &
ſingula puncta æqua-
les circunferentias terminantia deſcribantur ma-
ximi circuli: Inæquales circunferentias de maxi-
mo parallelo intercipient, quarum ea, quæ pro-
pior erit maximo circulo primo poſito, ſemper
erit maior remotiore.
IN circunſerentia maximi circuli A B, ſit A, polus parallelorum, eum-
que ſecent duo maximi circuli B C, D C, ad angulos rectos, quorum B C,
ſit maximus parallelorum, & D C, ad parallelos obliquus;
ex quo ſuman-
tur arcus æquales non continui E F, G H: &
per puncta E, F, G, H, &
polum
A, deſcribantur maximi circuli A E I, A F K, A G L, A H M. Dico arcum M L,
Autenim intermedius arcus F G, vtrique æqualium
ſurabilis. Sit primum commenſurabilis.
In-
uenta autem maxima communi menſura X,
tes ipſi X, æquales, vt in prima figura appa-
ret; &
per puncta diuiſionum, &
polum A,
circuli maximi ducantur. Quoniam igitur ar-
c.
æquales ſunt, ma-
ior erit arcus M R, arcu R L, & R L, maior,
c.
Igitur cum M R, maior ſit
quàm K V, & R L, maior quàm V I, erit &
totus M L, maior toto K I. quod eſt propo-
ſitum.
SED iam ſit arcus intermedius F G, in
commenſurabilis vtrique arcuum æqualium E F, G H. Dico Rurſus arcum
M L, maiorem eſſe arcu K I. Si enim maior non eſt, erit vel minor, vel æqua-
lis. Sit primum, ſi ſieri poteſt, M L, minor quàm K I, vt in ſecunda figura;
ex K I, ſumatur K N, ipſi M L, æqualis;
&
per N, &
A, circulus maximus
deſeribatur A O N, ſecans circulum C D, & in O.
Deinde per lemma 2.
præ-
inueniatur arcus F P, maior quidem, quàm F O, minor ve-
ipſi F G, commenſurabilis:
ſitque G Q, ipſi F P, (qui minor eſt, quàm
E F, atque adeo minor etiam quàm G H, ip-
ſi E F, æqualis.) æqualis:
&
per P, Q, &
A,
circuli maximi deſcribantur A P R, A Q S.
ſunt non continui, eſtq́ue vtrique illorum
commenſurabilis arcus intermedius F G; erit,
vt demon ſtratum iam eſt in prima ſigura, ar-
cus S L, maior arcu K R. Igitur &
multo
maior erit, quàm K N; ac proinde &
M L, mul
to maior erit, quàm K N: Sed &
K N, ipſi
M L, æqualis poſitus eſt. Quod eſt abſurdum.
Non ergo M L, minor eſt
quàm K I.
SIT deinde, ſi fieri poteſt, arcus M L, æqualis arcui K I, vt in tertia figura.
Diuiſis autẽ arcubus E F, G H, bifariã in N, O, deſcribantur per N, O, &
A, cir
Erit igitur arcus M Q, maior arcu Q L, &
K P,
Quare Q L, minor erit, quàm
dimidiũ ipſius M L; &
K P, maior, quàm dimi-
dium ipſius K I. Cum ergo M L, K I, ponãtur
æquales; erit Q L, minor, quàm K P, quod eſt
abſurdum. Quoniam enim arcus F N, G O,
dimidij æqualium arcuum E F, G H, æquales
ſunt non continui, non poterit Q L, minor
eſſe, quàm K B; vt proximè in ſecunda figura
demonſtratum eſt. Non ergo arcus M L, ar-
cui K I, æqualis eſt: ſed neque minor eſt oſten
ſus. Maior ergo eſt.
Si igitur polus paralle-
lorum ſit in circunferentia, &c.
Quod erat
demonſtrandum.
_SICVT_ Theodoſius in hac propoſitione 9.
idem demonſtrauit de arcubus non
continuis, quod de continuis propoſ. 6.
docuit, ita in alia verſione demonſtrantur tris
bus Theorematibus eadem de arcubus non continuis, quæ Theodoſius de continuis de-
monſtrauit propoſ. 5.
7.
&
8.
Primum autem theorema eiuſmodi eſt.
SI polus parallelorum ſit in circunferentia maximi circuli, quem
alter ſit vnus parallelorum, alter verò ad parallelos obliquus ſit, & ab
hoc obliquo circulo ſumantur æquales circunferentię, quę continuę
quidem non ſint, ſed tamen ſint ad eaſdem partes maximi illius pa-
per ſingula autem puncta æquales circun ſerentias terminan-
tia, deſcribãtur paralleli circuli. Circunferentię maximi illins circuli
primo poſiti inter parallelos interceptæ, inæquales erunt, ſemperq́; ea, quæ propior fuerit maximo parallelorum, remotiore maior erit.
IN _circunferentia maximi circuli_ A B, _ſit polus parallelorum, quem alij duo_
_maximi_ B C, A C, _ſecent ad angulos rectos, ſitque_ B C, _parall lorum maximus, &_
A C, _ad parallelos obliquus. Sumantur arcus non continui æquales_ D E, F G;
_ac per_
D, E, F, G, _paralleli ducantur_ D H, E I, F K, G L. _Dico arcum_ H I, _maiorem eſſe arcu_
K L. _Aut enim arcus intermedius_ E F, _vtrique æqualium_ D E, F G, _commenſurabilis_
_eſt, aut incommenſurabilis. Sit primum commenſurabilis.
Inuenta autem maxima_
per pun=_
_cta diuiſionum paralleli deſcribantur, vt in prima figura apparet. Quoniam igitur_
c.
æquales ſunt;
erit arcus_ H T, _maior arcu_ T I,
T I, _maior, quàm_ I S, _&
c.
Quare cum_ H T, _maior ſit, quàm_ K Q, _&_
T I, _ma=_
_ior quam_ Q L; _erit totus_ H I, _maior toto_ K L.
_Quod eſt propoſitum._
SED _iam_ E F, _incommenſurabilis ſit vtrique_ D E, F G.
_Dico adhucarcum_ H I,
_maiorem eſſe arcu_ K L. _Sienim maior non eſt, erit vel minor, vel æqualis.
Sit pri=_
_mum minor; &
ex_ K L, _(vt in ſecunda ſigura) auferatur ipſi_ H I, _æqualis_ K M;
_&_
_per_ M, _parallelus ducatur_ M N. _Deinde per Lemma 2.
Propoſ._
8.
_huius lib.
reperia=_
_tur arcus_ F O, _maior quidem, quàm_ F N, _minor verò quam_ F G, _& commenſurabi=_
_lis intermedio arcui_ E F: _Sitque_ E P, _ipſi_ F O, _(qui minor eſt, quàm_ F G, _atque_
_adeo minor etiam, quam_ D E, _ipſi_ F G, _æqualis) æqualis, ac per_ O, P, _paralleli de=_
_ſcribantur_ O R, P Q. _Quoniam igitur arcus non continui_ P E, F O, _æquales ſunt,_
_eſtque vtrique illorum commenſurabilis arcus intermedius_ E F; _erit, vt iam eſt de=_
_monſtratum in prima figura, arcus_ Q I, _maior arcu_ K R. _Ergo &
multo maior erit,_
_quaàm_ K M; _ac proinde multo magis arcus_ H I, _maior erit quàm_ K M:
_Sed &_
H I,
_equalis ponitur ipſi_ K M. _Quod eſt abſurdum.
Non ergo_ H I, _minor eſt, quàm_ K L.
SIT _deinde, ſi fieripoteſt, arcus_ H I, _arcui_ K L, _æqualis, vt in tertia figura._
_Diniſis autem arcubus_ D E, F G, _bifariam in_ M, N, _ducantur per_ M, N, _paralleli_ M O,
N P. _Erit igitur arcus_ H O, _maior, quàm_ O I;
_&_
K P, _maior, quàm_ P L.
_Quare_
K P, _maior dimidio ipſius_ K L.
_Cum_
_Quod eſt abſurdum._
_Quia enim arcus_ E M, F N, _dimidij æqualium_ D E, F G, _æquales ſunt, &
non con=_
_tinui, non poterit_ O I, _minor eſſe, quam_ K P, _vt in ſecunda figura demonſtratum_
_eſt. Nonergo arcus_ H I, _arcui_ K L, _æqualis eſt:
Sed nequeminor eſt oſtenſus.
Maior_
_igitur eſt. Quod eſt propoſitum._
SI in ſphæra maximus circulus tangat aliquem ſphæræ circu-
gatque circulos maiores illis, quos tangit maximus circulus primò
poſitus, fuerintque eorum contactus in maximo circulo primo poſi-
to; &
ſumantur à circulo obliquo circun ferentiæ æquales, quæ con-
tinuæ quidem non ſint, ſed tamen ſintad eaſdem partes maximi pa-
rallelorum; per puncta autem terminantia æquales circunferentias
deſcribantur paralleli circuli: HI circunferentias inæ quales interci-
pient de maximo circulo primò poſito, quarum ea, quæ propior erit
maximo parallelorum, maior erit remotiore.
HOC _Theorema demonſtrabitur ex propoſ.
7.
huius lib.
quemadmodum præce=_
_dens Theorema ex propoſ. 5.
demonſtratũ ſuit:
dummodo duo circuli maximi_ A B, A C,
_præcedentis Theorematis tangant duos parallelos, vt in propoſ. 7.
huius lib.
dictum_
_eſt. Reliqua conſtructio figuræ à conſtructione præcedentis Theorematis non dif=_
_fert, &c._
SI in ſphæra maximus circulus aliquem ſphæræ circulum tan-
gat circulos maiores illis, quos tangebat maximus circulus primo
poſitus, fuerintque eorum contactus in maximo circulo primo poſi-
to; ſumantur autem de obliquo circulo æquales circunferentiæ, quæ
continuæ quidem non ſint, ſed tamen ſint ad eaſdem partes maximi
parallelorum, per que puncta terminantia æquales circunferentias
deſcribantur maximi circuli, qui & tangant eundem circulum, quem
tangebat maximus circulus primo poſitus, & ſimiles parallelorum
circunferentias intercipiant, habeantque eos ſemicirculos, qui ten-
dunt à punctis contactuum ad puncta terminantia æquales obliqui
circuli circunferentias, per quæ deſcribuntur, eiuſmodi, vt minimè
cõueniant cum illo circuli maximi primò poſiti ſemicirculo, in quo
eſt contactus obliqui circuli inter apparentem polum, & maximum
parallelorum: Inæquales intercipient circunferentias de maximo
parallelorum, quarum propior circulo maximo primò poſito, ſem-
per erit maior remotiore.
HOC _etiam Theorema demonſtrabitur ex propoſ.
8.
buius lib.
quemadmodum_
_propoſitio 9. ex propoſ.
6.
fuit oſtenſa, dummodo maximi circuli propoſ.
9.
ex A,_
_prodeuntes tangant eundem circulum minoremillo, quem_ D C, _tangere debet, &c._
SI polus parallelorum ſit in circunferentia ma
ximi circuli, quem duo alij maximi circuli ad angu
los rectos ſecent, quorum alter ſit vnus parallelo-
rum, alter verò ſit obliquus ad parallelos; in hoc
autein obliquo circulo ſumãtur duo quælibet pun
cta ad eaſdem partes maximi illius paralleli, perq́; polum parallelorum, &
per vtium que illorum pun
ctorum deſcribantur maximi circuli: Erit, vt cir-
cunferentia maximi parallelorum intercepta inter
maximum circulum primò poſitum, & proximum
maximum circulum per polum, & per vnum pun-
ctorum deſcriptum, ad circunferentiam obliqui
circuli inter eoſdem circulos interceptam, ita cir-
cunferentia maximi parallelorum intercepta inter
duos magnos circulos per polum, perque vtrum-
que punctorum deſcriptos, ad circunferentiam
aliquam, quæ ſit minor, quam circunferentia obli-
qui circuli inter vtrum que punctum intercepta.
SIT polus A, parallelorum in circunferentia maximi circuli A B, quem
duo alij maximi circuli B D, C D, ſecent ad angulos rectos, & ſit B D, paral-
lelorum maximus, & C D, ad parallelos obliquus;
in quo ſumptis duobus
punctis vtcunque E, F, deſcribantur per A, polum, & per E, F, circuli ma-
Dico, vt eſt arcus B H, ad arcum C F, ita eſſe arcum H G,
ad arcum minorem arcu F E. Aut enim arcus C F, F E, commenſurabiles
ſunt, aut incommenſurabiles. Sint primum commenſurabiles, vt in prima fi-
gura; &
inuenta eorum maxima menſura P, diuidantur arcus C F, F E, in ar-
polum A, circu-
Quoniam igitur arcus continui C L, L K,
O N, maior
c.
Igitur maior erit proportio B O, ad C L, quàm O N, ad
&
maior proportio O N, ad L K, quàm N H, ad K F, &
c.
Quare, cum
ſint quotcunque magnitudines B O, O N, N H, & totidem numero C L, L K,
ad ſecundam L K; &
maior ſecundæ O N, ad ſecundam L K, quàm tertiæ
N H, ad tertiam K F; maior erit proportio B H, ad C F, quàm N H, ad K F:
Multo ergo maior eſt proportio B H, ad C F, quàm H M, ad
F I: Sed adhuc maior eſt proportio H M, ad F I, quàm H G, ad F E;
propte-
eſtq́ue
maior proportio primæ H M, ad primam F I, quæ ſecundæ M G, ad ſecundam
Multo igitur maior eſt proportio B H, ad C F, quàm H G,
ad F E. Sit vt B H, ad C F, ita H G, ad P.
Erit ergo maior proportio quoque
H G, ad P, quam H G, ad F E; ac proinde P, arcus minor erit arcu F E.
Qua-
norem. Quod eſt propoſitum.
SED iam ſint arcus C F, F E, incommenſurabiles, vt in ſecunda figura.
Dico adhuc, vt eſt arcus B H, ad arcum C F, ita eſſe arcum H G, ad arcum ar-
cu F E, minorem. Si enim non ita ſit, erit, vt B H, ad C F, ita H G, vel ad arcũ
arcu F E, maiorem, vel ad ipſummet F E. Sit primum, ſi fieri poteſt, vt B H, ad
C F, ita H G, ad arcum F I, arcu F E, maiorem. Inueniatur per lemma 2.
pro-
poſ. 8.
huius lib.
arcus F K, maior quidem quàm F E, minor autem quàm F I,
& ipſi C F, commenſurabilis, ducaturq́ue per K, &
A, polum circulus maxi-
Quoniam igitur commenſurabiles ſunt arcus C F, F K, erit, vt de-
monſtratum iam eſt in prima figura, vt B H, ad C F, ita H L, ad arcum arcu
F K, minorem: Sed vt B H, ad C F, ita ponebatur H G, ad F I.
Igitur erit quo-
que, vt H G, ad F I, ita H L, ad arcum arcu F K, minorem: &
permutando, vt
H G, ad H L, ita F I, ad arcum arcu F K, minorem: Sed H G, arcus minor eſt
arcu H L. Igitur &
arcus F I, minor erit, quàm arcus arcu F K, minor, totum
quàm pars. Quod eſt abſurdum.
Non ergo eſt, vt B H, ad C F, ita H G, ad ar-
cum arcu F E, maiorem.
SIT deinde, ſi ſieri poteſt, vt B H, ad C F, ita H G, ad F E, vt in tertia
figura. Diuiſo arcu F E, bifariam in I, deſcribatur per I, &
per A, polum cir-
Quoniam igitur arcus continui F I, I E, æquales ſunt, erit
H K, maior quàm K G; atque adeo H K, maior erit dimidio ipſius H G, Qua-
ad F E: Ponitur autem, vt H G, ad F E, ita B H, ad C F.
Igitur maior erit quo-
que proportio H K, ad F I, quàm B H, ad C F; atque adeo arcus H K, ad ar-
cum arcu F I, maiorem erit, vt B H, ad C F. Quod eſt abſurdum.
Demonſtra-
C F, ita arcum H K, ad arcum arcu F I, maiorem. Non ergo eſt, vt B H, ad
C F, ita H G, ad F E: ſed neque, vt B H, ad C F, ita eſt H G, ad arcum arcu
F E, maiorem, vt demonſtratum eſt. Igitur erit, vt B H, ad C F, ita H G, ad
arcum arcu F E, minorem. Quare ſi polus parallelorum ſit in circunferentia,
&c.
Quod oſtendendum erat.
HINC ſit, maiorem eſſe proportionem arcus B H, ad atcum C F, quàm arcus H G, ad
arcum F E. Cum enim ſit, vt B H, ad C F, ita H G, ad atcum arcu F E, minorem:
Sit autem
erit quoque maior
SI polus parallelorum ſit in circunferentia ma
ximi circuli, quem duo alij maximi circuli ad an-
gulos rectos ſecent, quorum alter ſit vnus paralle-
lorum, alter vero ſit obliquus ad parallelos; alius
autem maximus circulus per polos parallelorum
tranſiens obliquum circulũ ſecet inter maximum
parallelorum, & eum, quem obliquus circulus tan
git: Diameter ſphæræ ad diametrum eius circuli,
quem tãgit obliquus circulus, maiorem rationem
habet, quàm circunferentia maximi parallelorum
intercepta inter maximum circulum primo poſi-
tum, & maximum circulum per polos parallelo-
rum tranſeuntem, ad circunferentiam obliqui cir-
culi inter eoſdem circulos interceptam.
IN circunferentia maximi circuli AB, ſit parallelorum polus A, eumque
duo alij circuli maximi BC, DE, ad angulos rectos ſecent, quorum BC, ſit
maximus parallelorum, & DE, ad parallelos obliquus tãgens parallelum DF.
Per polum quoq;
A, alius
batur AE, ſecans obliquũ
DE, in puncto E, inter ma
ximũ parallelorum BC, &
parallelum DF, quem ob-
liquus tangit, poſito. Di-
co diametrum ſphæræ ad
diametrum paralleli DF,
maiorem habere rationé,
quàm circunferétiam BC,
ad circunferentiam DE. Sit AG, recta communis
ſectio circulorũ AB, AE;
& BG, communis ſectio
circulorũ AB, BC; eruntq;
AG, BG, ſemidiametri
ipſorum, (cum ſe mutuo
ſecent bifariã circuli ma-
ſphæræ, ſecantes ſe ſe in G, centro ſphæræ, &
circulorum maximorum. Sit quoque DL, communis ſectio circulorum AB,
DE, quæ quoque diameter ſphæræ erit tranſiens per centrum G. Rurſus
DM, ſit communis ſectio circulorum AB, DF; eritque DM, diameter cir-
culi DF, propterea quòd circulus AB, parallelum DF, ſecet bifariam per
Item FN, CG, ſint communes ſectiones circulorum DF, BC,
cum circulo AE. Ex polo A, interuallo vero AE, parallelus deſcribatur
OE, fintq́ue OH, EH, communes eius ſectiones cum circulis AB, AE; Eruntq́ue &
FN, EH, CG, ſemidiametri circulorum DF, OE, BC, quòd
ipſos bifariam ſecet circulus maximus AE, per polos; atque adeo communes
H, G. Eſt enim &
OH, diameter circuli OE, cum eum circulus AB, per po-
Sit rurſum EG, communis ſectio circulorum maximo-
rum AE, DE, quæ etiam diameter erit tran ſiens per G, centrum ſphæræ. Denique EI, communis ſit ſectio circulorum DE, OE.
Et quoniam re-
cta AG, ducta per polos paralleli OE, recta eſt ad planum paralleli, ca-
erit angulus OHG, ex defin.
3.
lib.
11.
Eucl.
in
triangulo GHI, rectus; atque adeo angulus HGI, acutus.
Latus igitur GI,
maius erit latere HI. Auferatur recta IK, rectæ IH, æqualis, iungaturq́ue
Rurſus quia vterq;
circulus DE, OE, rectus eſt ad circulum AB;
erit &
EI, communis eorum ſectio ad eundem perpendicularis:
ac proinde,
3.
lib.
11.
Eucl.
vterque angulus EIH, EIK, rectus.
Quoniam igi-
tur duo latera EI, IH, trianguli EIH, duobus lateribus EI, IK, trianguli
EIK, ęqualia ſunt, angulosq́; continent æquales, népe rectos, vt oſtendimus,
crunt anguli quoq; IHE, IKE, æquales.
Quia verò maior eſt proportio re-
Eſt autem angulus OHE, angulo
(ſunt enim rectæ OH, BG, communes ſectiones planorum pa-
rallelorũ OE, BC, factæ à plano AB, parallelæ; necnõ &
rectæ EH, CG, com-
erit quoque maior
proportio rectę GI, ad rectam IK, hoc eſt, ad rectam ſibi æqualem IH, quàm
anguli BGC, ad angulum DGE: Vt autem angulus BGC, ad angulum DGE,
ita eſt arcus BC, ad arcum DE. Maior igitur proportio quoq;
erit rectæ GI,
Eſt autem, vt GI, ad IH, ita
OE, factæ à plano AB, parallelæ.) Igitur maior quoque proportio erit DL,
DE. Quapropter, ſi polus parallelorum ſit in circunferentia maximi circu-
li, &c.
Quod demon ſtrandum erat.
_QVOD_ autem maior ſit proportio rectæ _GI,_ ad rectam _IK,_ quàm anguli _IKE,_
ad angulum _IgE,_ hoc theoremate propoſito demonſtrabimus.
IN omni triangulo rectangulo, ſi ab vno acutorum angulorum
vtcunque ad latus oppoſitum linea recta ducatur; erit maior propor-
tio huius lateris ad eius ſegmentum, quod prope angulum rectum
exiſtit, quàm anguli acuti, quem linea ducta cum prædicto latere, ef-
fecit, ad reliquum angulum acutum trianguli.
SIT triangulum rectangulum EGI, habens angulum I, rectum,
ducaturque ab angulo acuto IEG, ad latus oppoſitum GI, recta li-
nea EK, vtcunque. Dico maiorem eſſe proportionem rectæ GI, ad IK,
quàm anguli acuti IKE, ad angulum acutum IGE. Ducatur enim
per G, recta GA, ipſi EK, parallela, occurrens rectæ IE, protractæ
Et quoniam angulus I, rectus eſt,
erit angulus IEG, acutus, & propte-
rea AEG, obtuſus. Latus igitur EG,
in triangulo GEI, maius eſt latere GI;
AG. Quare arcus circuli ex centro G,
ad interuallum GE, deſcriptus ſecabit
rectam GI, productam vltra I, nempe
in B, rectam vero GA, citra A, vt
in C. Quoniam igitur triangulum GAE,
maius eſt ſectore GCE, maior erit proportio trianguli GAE, ad
triangulum GEI, quàm ſectoris GCE, ad triangulum GEI: Eſt
quòd triangulum GEI, minus ſit ſectore GEB.
Mul-
to igitur maior erit proportio trianguli GAE, ad triangulum GEI,
quàm ſectoris GCE, ad ſectorem GEB: ac proinde &
componendo
maior erit proportio trianguli GAI, ad triangulum GEI, quàm ſe-
ctoris GCB, ad ſectorem GEB: Eſt autem vt triangulum GAI, ad
&
vt ſector GCB,
Maior igitur
guli ſibi æqualis IKE, ad angulum IGE: Vt autem AI, ad IE, ita eſt
Igitur &
maior erit proportio rectæ GI, adrectam IK,
Quod eſt propoſitum.
_ADDITVR_ in alia verſione hoc loco ſequens Theorema.
IISDEM poſitis, Diameter ſphæræ ad diametrum paralleli per
deſcripti, minorem rationem habet quàm circunferentia maximi pa
rallelorum intercepta inter maximum circulum primo poſitum, &
maxmum circulum per polos parallelorum tranſeuntem, ad circun-
ferentiam obliqui circuli inter eoſdem circulos interceptam.
_SINT_ deſcripti circuli, vt in præcedenti propoſ.
Dico minorem eſſe proportionem
diametri ſphæræ ad diametrum paralleli _GE,_ quàm circunferentiæ _BC,_ ad circun-
ferentiam _DE._ Sint _GH, BI,_ communes ſectiones circulorum _GE, BC,_ cum circule
_Ab,_ quæ diametri illorum
erunt, cum _AB,_ per eorum po-
ad angulos rectos.
Erit er
go _BI,_ diameter etiã ſphæræ. Et quoniã circulus _DE,_ po-
nitur rectus ad _AB,_ tranſi-
bit _DE,_ per polos ipſius _AB._
BC,_ per polos
eiuſdem _AB,_ tanſibit, cum re-
ctus ad ipſum ponatur. Qua-
re M, punctum, vbi ſe mutuo
ſecant, polus erit circuli _AB;_ ac propterea ſegmẽtum _DEL,_
quod rectum eſt ad circulum
_AB,_ inæqualiter diuidetur in
E, puncto, vbi circuli _DE, GE,_
ſe interſecant, minorq́ pars
erit _ED:_ quandoquidem ar-
cus _MD, ML,_ æquales ſunt, quod rectæ illis ſubtenſæ, ex defin. poli, æquales ſint.
ac proinde cum circulus _GE,_
Eg,_ quàm circunferentia _DE._ Sienim recta rectæ _ED,_ æqualis aufert ex circulo _GE,_ maiorem arcum, quàm
multo magis recta _
Eg,_ quæ maior eſt, quàm recta
_ED,_ vt oſtendimus, maiorem arcum auferet, &c.
Quare minor erit propor-
tio arcus _BC,_ ad arcum _GE,_ quàm ad arcum _DE._ Quoniam vero eſt, vt arcus _BC,_
culi _BC,_ ita arcus _GE,_ ad to-
tam circũferentiã circuli _GE,_
propter ſimilitudinem arcuum
_BC, GE;_ (In hoc enim conſiſtit
ſimilitudo arcuum, vt ad ſuo-
rum circulorum circunferen-
tias integras eandem habeant
proportionem, vt in ſcholio pro
poſ 33. li.
6.
Eucl.
tradidimus)
atque adeo permutando, vt ar-
cus _BC,_ ad arcũ _GE,_ itateta
circunferentia circuli _BC,_ ad
totam circunferentiam circuli
_GE;_ erit quoque minor propor
tio circunferentiæ circuli _BC,_
ad circunferentiã circuli _GE,_
quàm arcus _BC,_ ad arcum
_DE:_ Vt autem circunferentia
circuli _BC,_ ad circunferentiam circuli _GE,_ ita eſt diameter _BI,_ (quæ ſphæræ etiam
diameter eſt.) ad diametrum _GH,_ vt Pappus demonſtrauit, &
nos in libello Archi-
medis de dimenſione circuli oſtendimus. Igitur minor quoque erit proportio diame-
tri ſphæræ _BI,_ ad _GH,_ diametrum paralleli _GE,_ quàm arcus _BC,_ ad circunferen-
tiam _DE._ Quod eſt propoſitum.
HINC ſit, ijſdem poſitis, maiorem eſſe rationem circunferentiæ BC, maximi parallelo-
rum interceptæ inter maximum circulum AB, primo poſitum, & maximum circulum AC,
per polos parallelorum tranſeuntem, ad circunferentiam DE, obliqui circuli inter coſdem
circulos interceptam, quàm ſinus totius ad ſinum circunferentiæ AE, maximi circuli per
polos parallelorum tranſeuntis; minorem vero, quàm ſinus totius ad ſinum circunferenciæ
AD, maximi circuli primò poſiti inter polos parall elorum, & obliquum circulum inter-
ceptæ. Quoniam enim hoc Theoremate oſtenſum eſt, maiorem eſſe rationem arcus BC, ad
arcum DE, quàm diametri ſphæræ ad diametrum paralleli GE: vt autem diameter BI,
ſphæræ ad GH, diametrum circuli GE, ita eſt BK, ſemidiameter, hoc eſt, ſinus rotus, ad
(Cum enim arcus AG, AE, æquales ſint,
erit quoque GN, ſinus arcus AE.)
Maiorigitur erit quoque
tatio arcus BC, ad arcum DE, quàm ſinus totius BK, ad GN, ſinum arcus AE.
RVRSVS, quoniã oſtenſum eſt, minorem eſſe rationem ascus BC, ad arcum DE, quàm
Vt autem diameter ſphæræ BI, ad DF, diame
trum paralleli DF, ita eſt BK, ſinus totus ad DO, ſinum artus AD. Minor igitur quoque
Quod eſt propoſitũ.
CÆTERVM quid ſit ſinus, ex ſequenti tractatione intelligetur.
Slin ſphæra maximi circuli tangant vnum, eun
demq́; parallelorum, intercipiantq́;
ſimiles paralle-
lorum circunferentias inter vtrũque maximorum
circulorum interiectas; alius autem maximus cir-
culus ad parallelos obliquus circulos tangat ma-
iores illis, quos tangunt maximi circuli primò po-
ſiti, ſecetq́; obliquus idem circulus eoſdem maxi-
mos circulos primò poſitos in punctis poſitis in-
ter maximum parallelorum, & circulum, quem tan
gunt circuli maximi primo poſiti: Diameter ſphæ
ræ ad diametrum circuli, quem tangit obliquus
circulus, maiorem rationem habet, quàm circun-
ferentia maximi paralleli intercepta inter circulos
primo poſitos, eundemq́; circulum tangentes ad
circunferentiam obliqui circuli inter eoſdem cir-
culos interceptam.
IN ſphæra duo maximi circuli AB, CD, tangant eundem parallelum
AC, intercipiantq́; ſimiles paralle-
teriectas; alius autem circulus maxi-
mus EF, tangat parallelum EG, ma-
iorem parallelo AC, in E, ſitque o-
bliquus ad parallelos, & ſecet duos
priores AB, CD, inter maximum pa
rallelorum HF, & parallelum AC,
in punctis I, K. Dico maiorem eſſe
rationem diametri ſphæræ ad diame-
trum paralleli EG, quàm circunfe-
rentiæ BD, ad circunferentiam IK. Per L, enim polum parallelorum, &
puncta E, I, K, maximi circuli deſcri-
ac per K, pa-
rallelus KO, ſecanscirculum AB, in P. Quoniam igitur maior eſt ratio dia-
metri ſphæræ ad diametrum circuli EG, quàm arcus HM, ad arcum EI; ra-
erit quoq;
maior ratio diametri ſphæræ ad diametrum circuli EG, quàm
arcus MN, ad arcum IK. Et quia arcus PK, ſimilis eſt arcui BD, ex hy-
potheſi, & arcus OK, ſimilis arcui MN;
eſtq́ue arcus PK, minor arcu OK;
erit
ac proinde minor erit ratio arcus BD,
ad arcum IK, quàm arcus MN, ad eundẽ arcum IK. Cum ergo oſtenſum ſit, ra
MN, ad arcum IK; Multo maior erit ratio diametri ſphæræ ad diametrum
cireuli EG, quàm arcus BD, ad arcum IK. Si igitur in ſphæra maximi cir-
culi tangant vnum, &c.
Quod erat demonſtrandum.
_IN_ exemplari græco habetur, maiorem eſſe rationem duplæ diametri ſphæræ ad
diametrum circuli _Eg,_ quàm arcus _BD,_ ad arcum _IK_ Quod quidem ex noſtra de-
monſtratione liquidò conſtat. Cum enim diameter ſphæræ maiorem habeat rationem
ad diametrum circuli _EG,_ quàm arcus _BD,_ ad arcum _IK;_ multo maiorem rationem
habebit dupla diametri ſphæræ ad diametrum circuli _Eg,_ quàm arcus _BD,_ ad ar-
cum _IK;_ propterea quòd dupla diametri ſphæræ ad diametrum circuli _
Eg,_ maiorem
SI in ſphæra paralleli circuli intercipiant cir-
cunferentias maximi alicuius circuli vtrinq; æqua
les ab illo puncto, in quo ipſe maximus circulus
ſecat maximum parallelorum; per puncta autem
terminantia æquales circunferentias, & per paral-
lelorum polos deſcribantur maximi circuli, aut ſi
deſcribantur maximi circuli, qui vnum eundem-
que parallelorum tangant: æquales intercipient cir
cunferentias de maximo parallelorum.
IN ſphæra AB, paralleli circuli CD, EF, auferant de maximo circulo
æquales GC, GF, vtrin-
que à puncto G, in quo
circulus AF, ſecat maxi-
mum parallelorum BG; &
per puncta C, G, F, du
cãtur maximi circuli ſi-
ue per polos parallelo-
rum, vt in priori figura,
ſiue tangẽtes vnum eun-
demque parallelũ, vt in figura poſteriori, ſecantes maximum parallelorum in
Dico arcus GH, GI, æquales eſſe.
Quoniam enim arcus GC, GF, æqua-
les ponuntur, erunt paralleli CD, EF, æquales. Igitur &
arcus GK, GL,
Quare rectæ ductæ CK, FL, æquales erunt;
ac proinde in cir-
&
idcirco inter
Eſt autem arcus GH, arcui CK, &
arcus
Igitur &
arcus GH, GI, ſimiles inter ſe erunt, ac
Siigitur in ſphæra ma-
c.
Quod demonſtrandum erat.
_HINC_ etiam conſtat, ijsdem poſitis, omnes arcus maximorum circuloruminter
parallelos interceptos inter ſe æquales eſſe, quales ſunt _CH, HE, KG, GL, DI,_
_IF._ Cum enim arcus _
GC, GH,_ arcubus _GF, GI,_ æquales ſint, erunt & rectæ _CH_,
ac propterea &
arcus _CH, FI,_ æquales erunt:
Sunt autem arcui _CH_,
Kg, DI,_ & arcui _FI_, arcus _LG, EH,_ æquales.
Igitur omnes illi ſex ars
SI in ſphæra maximus circulus aliquem circu-
lumtangat, alius autem maximus circulus obli-
quus ad parallelos tangat circulos maiores illis,
quos tangebat maximus circulus primo poſitus: inæquales intercipient circunferẽtias parallelorũ
circulorum, quarum propiores vtriuis polorum
maiores erunt, quàm vt ſimiles ſint remotioribus.
IN ſphæra maximus circulus AB, tangat circulum AC;
&
alius maximus
DE, tãgat alium maiorẽ DF, ſecet-
GH,
BI, in k, E. Dico arcus k H, EI, in-
æquales eſſe, maioremque eſſe k H,
polo conſpicuo propiorem, quàm
vt ſimilis ſit arcui EI, remotiori: vel ipſum EB, polo occulto pro-
piorẽ eſſe maiorem, quam vt arcui
KG, remotiori ſimilis ſit. Per pun-
cta enim E, K, deſcribantur maximi
lum AC, ita vt ſemicirculià C, per
N, & ab A, per B, procedentes non
conueniant: item ſemicirculi ab L,
per E, & ab A, per I, tendentes non
coeant. Erunt igitur arcus MH,
Quare k H, maior eſt, quàm vt arcui EI, ſimilis ſit.
Eodem
ior, quàm vt ſimilis ſit arcui Gk, ab eodem polo remotiori. Itaque ſi in ſphæ-
ra maximus circulus aliquẽ circulum tangat, &c.
Quod erat demonſtrandum.
POTERVNT, ſi placet, hæ duæ figuræ tribus illis propoſitionis
ſecundæ lib. 3.
adiungi, vt omnes caſus lineæ perpendicularis FL, per-
ſpiciantur. In prima namque harum figurarum ſegmentum inſiſtens
lus, caditq́, perpendicu
laris FL, intra ſegmen
tum ADB: In poſte-
riore autẽ eadem FL,
in ipſam circunferen-
tiam ADB, cadit,
exiſtente eodem ſegmen
to inſiſtente AFB, ſe-
micirculo; quemadmo-
dum & in tertia figura dictæ propoſitionis idem ſegmentum inſiſtens
AFB, ſemicirculus eſt, lineá perpendicularis FL, extra ſegmentum
ADB, cadit. Hoc, benigne lector, te latere noluimus.
DICI vix poteſt, quantam in
Geometricis, vtilitatẽ babeat
Sinuũ cognitio: cũ innumera-
bilia peneproblemata Aſtro-
nomica, & Geometrica ad
vſumper calculum & rationem Sinuũreuocen
tur, vt tumex noſtris triangulis rectilineis, ac
sphæricis, tum ex Almageſto Ptolemæi, ex noſtra
Gnomonica, & exalijs variorum Aſtronomo-
rum libris manifeſtumeſt. Quare, cum à paucis
admodum Sinuum demonſtrationes ſint expli-
catæ, operæpretiũme facturum arbitror, ſi, quan
ta potero breuitate, ac perſpicuitate, ex varijs
auctoribus, præſertim ex Ptolemæo, Purbachio,
colligam, quibus omnium arcuum ſinus & chor-
das cognitas babeamus, vt & tabulas Sinuum,
ac chordarumiam à multis ſcriptoribus ſuppu-
tatas examinare, (facile enim error in numero-
rum impreßione committitur) & nouas alias,
quandores tulerit (poſito Sinu toto vel diame-
tro quotcunq; particularum) condere poßimus.
QVONIAM vero Recentiores ſumma
felicitate ex ſinubus alias lineas collegerũt, nimi-
rum Tangentes, atque Secantes, vt facilius
quædam, ac breuius demonſtrarent; de biſce e-
tiam lineis agemus. Habent enim lineæ hæ egre-
gium vſum in rebus Aſtronomicis & Geome-
tricis, vt ex noſtris triangulis planis, ac sphæri-
cis fiet per ſpicuum. Initium autem ſumemus à
definitionibus.
COMPLEMENTVM arcus alicuius, eſt
nor eſt quadrante, vel ab eo ſuperatur, ſi eſt qua-
drante maior.
CHORDA eſt linea recta arcum quemcun-
SINVS rectus eſt dimidium chordæ ſubten-
SINVS rectus eſt linea perpendicularis cadens
ab vno extremo arcus, cuius dicitur ſinus rectus, in
diametrum circuli ab altero extremo eiuſdem ar-
cus ductam.
SINVS verſus eſt pars diametri circuli inter
ſinum rectum eiuſdem arcus intercepta.
SINVS complementi alicuius arcus eſt ſinus
arcus, cuius dicitur ſinus complementi.
SINVS totus eſt ſemidiameter circuli, hoc
SINVS tam rectus, &
verſus, quàm comple-
cus, qui in circulo deſcripto ex angulo inter duas
rectas angulum conſtituentes interijcitur.
_EXPONATVR_ circulus _ABCD,_ cuius centrum _E,_ per quod ducantur duæ
diametri _AC, BD,_ ſeſe ad rectos angulos ſecantes & totum circulum in quatuor
quadrantes equales diuidentes, vtpote qui angulis rectis æqualibus in centro ſub
ſumanturque arcus æquales _AF, AG:_
Item _BF, BI;_
&
rectæ ducantur
_FG, FI,_ ſecantes diametros in _H,_ & _K._
Arcusigitur _FB,_ dicitur complementum
quia quadrans _AB,_ arcum _FA,_ ſuperat arcu _FB._
Eadem ratione arcus
_FA,_ complementum nominatur arcus _FB._ Item arcus _BI,_ complementum appellatur
arcus _AI;_ quiaarcu _BI,_ ſuperatur quadrans _AB,_ ab arcu _AI._
_RECTA_ deinde _FG,_
chorda dicitur arcus _FAG;_ &
recta _FI,_ chorda arcus
_FBI._ Et quia diameter _AC,_
ſecãs arcũ _FAG,_ bifariã ſecat
quoq; rectã _FG,_ bifariã, vt ex
coroll, 1. propoſ.
_IO._
lib.
13.
Euil. cõſtat, (quod tamen in
lẽmate ſequẽti breuius oſtẽde
mus.) erit recta _FH,_ ſinus re-
ctus arcus _FA,_ iuxtapriorẽ de
fin. ſinus recti:
quia eſt dimi-
diũ chordæ _FG,_ ſubtendentis
arcũ _FAG,_ duplum arcus _FA,_
cuius _FH,_ dicitur ſinus. Itaq;
ſi quemlibet arcũ, eiusq́; chor
dam bifariã ſecemus, dimidiũ
chordæ dicetur ſinus rectus
dimidiati arcus. Hinc factum
eſt, vt Sinus recti à plerisque
in circulo ſubtenſarum. Eadem quoque recta _FH,_ erit ſinus rectus eiuſdem arcus
_FA,_ ſecundum poſteriorem defin. ſinus recti:
quoniam perpendicularis eſt, ducta ab _F,_
extremo dicti arcus ad diametrum _AC,_ ab altero extremo _A,_ eiuſdem arcus ductam; propterea quod recta _EA,_ ſecans rectã _FG,_ bifariam, ſecat eandẽ ad angulos rectos.
_RECTA_ vero _AH,_ ſinus verſus eſt eiuſdem arcus _FA;_
cum ſit pars diametri
_AC,_ inter _A,_ extremum dicti arcus, & ſinum eius rectum _FH,_ intercepta.
Dicitur
autem verſus Inc Sinus, quia verſomodo collocatur, ſi cum ſinu recto conferatur.
_FG,_ excuſſæ.
_RECTA_ porrò _FK,_ est ſinus complementi arcus _FA;_
quia eſt ſinus rectus arcus
_RECTA_ autem _KB,_ eſt ſinus verſus complementi arcus _FA,_ hoc eſt, ſinus ber-
ſus arcus _FB,_ qui complementum eſt arcus _FA._
_NONNVLLI_ porro Aſtronomi Sinum, quem nos rectum diximus, appellant
Sinum rectum primum; Sinum vero, quem Sinum complementi diximus, bocant Sinum
rectum ſecundum. Vt rectam _FH,_ appellant ſinum rectum primum arcus _FA;_
re-
ctam bero _FK,_ ſinum rectum ſecundum eiuſdem arcus. Sunt alij etiam, qui ſinum
rectum ſimpliciter appellent ſinum primum, verſum autem dicantſinum ſecundum.
Caterum cum ſcriptores de ſinu alique loquuntur, ſem-
per intelligunt ſinum rectum: niſi illum bocent ſinum complementi, aut verſum.
_SEMIDIAMETER_ deinde _AE,_ ſinus eſt tam rectus, quàm verſus quadran-
tis _AB:_ qui totus dicitur, ſiue maximus, propterea quò d maximus ſit omnium ſinuum
tam rectorum, quàm complemẽtorum; immo vero &
maior omnibus ſinubus verſis il-
Solum minor eſt ſinubus verſis illorum
arcuum, qui quadrante ſunt maiores, vt infradicemus, qui quidem rarius in vſum
veniunt, quàm alij. Vel certe dicitur totus, ſiue maximus, quia in tabula Sinuum, in
qua Sinus recti tantummodo ponuntur, omnium Sinuum maximus eſt ille, qui qua-
dranti, ſeu gradibus 90. reſpondet, vt ex tabula Sinuum, quam infra ponemus, perſpi-
cuumerit.
_POSTREMO,_ ducta recta _EF,_ erit recta _FH,_ ſinus rectus anguli _FEH;_
re-
cta autem _FK,_ ſinus complementi eiusdem anguli; &
recta _AH,_ eiusdem anguli ſi-
quoniam recta _FH,_ eſt ſinus rectus arcus _FA,_ in circulo deſcripto ex an-
gulo _FEH,_ interceptus inter rectas _EF, EA,_ angulum dictum conſt: tuentes:
recta
autem _FK,_ eſt ſinus complementi eiusdem arcus; &
recta _AH,_ ſinus verſus.
_CAETERVM_ duo arcus ſemicirculum conſtituentes eundem prorſus habent ſi-
num, tam rectum, quàm complementi; quemadmodũ &
duo arcus circulum conficien-
tes vnam eandemq́; chordam habent:
ſinus tamen verſi eorum differunt, conficiuntq́;
totam circuli diametrum.
Vt duo arcus _FA, FC,_ conficientes ſemicirculum _ABC,_
cundem habent ſinum rectum _FH,_ quemadmodum & duo arcus _FAG, FCG,_ eorum
dupli, circulum conficientes, eandem habent chordam _Fg,_ cuius dimidium eſt ſinus
rectus _FH,_ vt vult prior deſinitio ſinus recti; qui quidem ſinus rectus _FH,_ linea
perpendi cularis eſt, ducta à communi extremo _F,_ vtriuſque arcus _FA, FC,_ ad dia-
metrum _AC,_ ab extremis reliquis _A, C,_ eorundem arcuum ductam, vt vult poſte-
rior ſinus recti definitio. Iidem duo arcus _FA, FC,_ eundem ſinum complementi ha-
propterea quòd arcus _FB,_ cuius ſinus rectus eſt _FK,_ eſt complementum
vtriuſque arcus. Sinus tamen ve ſi ijdem non ſunt, ſed _AH,_ eſt ſinus verſus arcus
_FA;_ &
_CH,_ ſt ſinus verſus arcus _FC:_
qui quidem duo ſinus ve ſi diametrum _AC,_
conſtituũt. V bi vides ſinum verſum _CH,_ arcus _FC,_ quadrantem ſuperantis maiorem
_SIC_ etiam duo anguli duobus rectis æquales eundem ſinum babent tam rectum,
quam complementi. Vt patet in angulis _AEF, FEC,_ quorum vtriuſque ſinus re-
ctus eſt _FH;_ ſinus autem complementi _FK:_
propterea quòd arcubus _AF, FC,_ inſi-
ſtunt, quorum vtriuſque ſinus rectus eſt _FH,_ complementi autem ſinus _FK,_ vt dictum
eſt. Sinus tamen verſi eorundem angulorum ijdem non ſunt, ſed _AH,_ ſinus verſus eſt
anguli _AEF,_ nempe arcus _AF; &
HC,_ eſt ſinus verſus anguli _FEC,_ puta arcus
_FC._ Conficiunt autem ambo ſinus verſi totam diametrum _AC._
_RVRSVM_ ſinus rectus cuiuſuis arcus æqualis eſt ſegmento diametri inter cen-
ſinum rectum complementi eiusdem arcus interiecto:
Sinus autem comple-
menti cuiuslibet arcus æqualis eſt ſegmento diametri inter centrum, & ſinum rectum
eiuſdem arcus poſito. Vt _FH,_ ſinus rectus arcus _FA,_ æqualis eſt ſegmento diamet ri
_EK: &
FK,_ ſinus complementi eiuſdem arcus _FA,_ æqualis eſt ſegmento diametri _EH;_
ob parallelogrammum HK:
ſunt enim tam rectæ _HF, EK,_ quàm rectæ _KF, EH,_
parallelæ, propter rectos angulos _H, E, K, F._ Hinc fit, ſi ſint duo arcus, quorum vnus
alterius ſit complementum, vtriuſuis ſinum rectum æqualem eſſe complemento ſinus
Vocamus autẽ cõplementum ſinus verſi ſe gmentum diametri, quo
midiametrum ſuperat, ſi eius arcus maior eſt quadrante. Vt _HE,_ dicimus comple-
mentum tam ſinus verſi _AH,_ arcui _FA,_ reſpondentis, quàm ſinus verſi _CH,_ arcui
_FC,_ reſpondentis. Vides igitur, duorum arcuum _FA, FB,_ quorum vnus alterius
eſt complementum, ſinum rectum _FK,_ arcus _FB,_ æqualem eſſe ipſi _HE,_ complemente
ſinus verſi _AH,_ alterius arcus _FA:_ Et ſinum rectum _FH,_ arcus _FA,_ æqualem eſſe
ipſi _EK,_ complemento ſinus verſi _BK,_ alterius arcus _FB._ Eadem ratione, quoniam
arcus _FB,_ complementum eſt arcus _FC,_ vides ſinum rectum _FH,_ arcus _FC,_ æqualem
eſſe ipſi _EK,_ complemente ſinus verſi _BK,_ alterius arcus _FB:_ Et ſinum rectum _FK,_
_CH,_ alterius arcus _FC._ Sic
etiam ſinus complemẽtiarcus
cuiuſuis æqualis eſt complemẽ
to ſinus verſi eiuſdem arcus. Vt _FK,_ ſinus complementi are
cus _AF,_ vel _FC,_ æqualis eſt
verſi _AH,_ vel _CH,_ arcus
_AF,_ vel _FC._
_PARI_ ratione in eodem
circulo, vel in circulis æqua-
verſi, aut ſinus complemento-
rum arcuum æqualium, &
quadrante minorum, æquales
ſunt: Et contra, æqualium ſi-
nuũ tam rectorum, quàm ver
ſorum, aut ſinuum complemen
torum, arcus quadrãte mino-
res æquales ſunt. Arcuũ verò
inæqualium, & quadrante minorum, ſinus inæquales ſunt, ſinus quidem tam rectus
quàm verſus maioris maior, minoris verò minor; ſinus autem compleẽti maioris
arcus minor, & minoris maior;
Et contra, inæqualium ſinuum tam rectorum,
quam verſorum, aut ſinuum complementorum, inæquales arcus ſunt, maioris qui-
dem ſinus tam recti quàm verſi maior arcus, & minoris minor;
maioris autem
ſinus complementi arcus minor, & minoris maior.
Sint enim arcus æquales _BF,_
_DG._ Dico eorum ſinus rectos _FK, GL,_ æquales eſſe;
Item ſinus verſos _KB, LD;_
nec non ſinus complementorũ _EK, EL._
Cum enim arcus _BF, DG,_ æquales ſunt,
erunt quoque anguli _BEF, DEG,_ æquales. Sunt autẽ &
recti anguli _K, L,_ æquales,
latera _EF, EG,_ æqualia, vtpote ſemidiametri.
Igitur &
tam latera _FK,_
_GL,_ quàm latera _EK, EL,_ inter ſe æqualia erunt, nempe ſinus recti inter ſe, & ſi-
Detractis autem _EK, EL,_ æqualibus ex ſemidiametru
_EB, ED,_ reliqui erunt ſinus verſi _KB, LD,_ æquales. quod eſt propoſitum.
Sint iam
ſinus æquales ſiue recti _FK, GL,_ ſiue verſi _KB, LD,_ ſiue ſinus complementorum _EK,_
_EL._ Dico arcus _BF, DG,_ eſſe æquales, Nam ſi _FK, GL,_ ſint æquales, erunt eorum
Cum ergo quadrata rectarum _EF, EG,_ æqualia quoque ſint, &
ac
proinde duo quadrata ex _FK, KE,_ duobus quadratis ex _GL, LE,_ æqualia: ſiau-
ferantur duo æqualia quadrata rectarum _FK, GL,_ æqualia remanebunt quadra-
ta ex _EK, EL;_ ac proinde &
rectæ _EK, EL,_ æquales erunt Quare cum latera _EF,_
_EK,_ lateribus _EG, EL,_ æqualia ſint, & baſis _FK,_ baſi _GL,_ æqualis;
erunt anguli
ac proinde &
arcus _BF, DG,_ æquales erunt.
Quod ſi ſinus
æquales eſſe. Quare vt prius, erunt arcus _BF, DG,_ æquales.
Si tandem ſinus verſi _KB,_
_LD,_ ponantur æquales; ijs ablatis ex ſemidiametris _EB, ED,_ relinquentur ſinus
complementorum _EK, EL,_ æquales. Quare rurſus oſtendemus, vt prius, arcus _BF,_
_DG,_ æquales eſſe. quoderat oſtendendum.
Iam vero ſit arcus _BF,_ maior arcu _DM,_
& ducatur ſinus _MO._
Dico ſinum rectum _FK,_ maiorẽ eſſe ſinu recto _MO:_
Item ſinũ
verſum _KB,_ maiorẽ ſinu verſo _OD:_ ſinũ vero cõplementi _EK,_ minorẽ ſinu cõplementi
_EO._ Poſito enim arcu _DG,_ æquali arcui _BF,_ erunt, vt demonſtr auimus, tam ſinus recti
_FK, GL,_ quàm _OD,_ erit quoque ſinus verſus _KB,_ ſinu verſo _OD,_ maior: Item cũ _EL,_
maior ſit, quàm _OD,_ erit quoque ſinus verſus _KB,_ ſinu verſo _OD,_ maior: Item cũ _EL,_
minor ſit, quàm _EO,_ erit quoque ſinus cõplementi _EK,_ minor ſinu cõplementi _EO._ Ducatur _MN,_ ad _GL,_ perpendicularis, eritque _NL,_ ipſi _MO,_ æqualis.
Cum ergo _GL,_
ſinus rectus _FK,_ maior ſinu recto
_MO._ quod demonſt randum er at.
Sit denique tam ſinus rectus _FK,_ maior ſinu recto
_MO,_ quàm ſinus verſus _KB,_ ſinu verſo _OD;_ &
ſinus complementi _EO,_ maior ſinu
complementi _EK._ Dico ſinui maiori tam recto, quàm verſo reſpondentem arcum _BF,_
maiorem eſſe arcu _DM,_ qui minori ſinui tam recto, quàm verſo reſpondet. At maio-
ri ſinui complementi arcum reſpondentem _DM,_ minorem eſſe arcu _BF,_ qui minori
ſinui complementi reſpondet. Nam ſi _FK,_ maior ſit, quàm _MO,_ auferatur _KP,_ ipſi
_MO,_ æqualis, & ducatur _PQ,_ ad _FK,_ perpendicularis, ducaturque _QR,_ ad _BE,_
perpendicularis, quæipſi _PK,_ hoc eſt, ipſi _MO,_ æqualis erit; ac proinde, vt paulò ante
_QR, MO._ Cum ergoarcus _BF,_ arcu _BQ,_ maior ſit, erit idem arcus _BF,_ arcu _DM,_
maior. Quòd ſi _KB,_ maior ſit, quàm _OD,_ abſcindatur _BR,_ ipſi _DO,_ æqualis, duca-
turque _RQ,_ ad _BE,_ perpendicularis: eruntq́ arcus _BQ, DM,_ vt paulo antemon-
ſtrauimus, æquales, ob æqualitatem ſinuum verſorum _RB, OD._ Quare cũ arcus _BF,_
maior ſit arcu _BQ,_ eritidem arcus _BF,_ arcu _DM,_ maior. Si tandem maior ſit _EO,_
quàm _EK,_ detrahatur _EL,_ ipsi _EK,_ æqualis, ducaturque ad _ED,_ perpendicularis
Eruntq́;
arcus _BF,
Dg,_ ob æqualitatem sinuum complementorum _EK, EL,_
æquales, vt paulo ante fuit oſtenſum. Quam ob rem cum arcus _DM,_ arcu _DG,_ sit
minor, erit idem arcus _DM,_ arcn _BF,_ minor. Quod eſt propositum.
_
IDeM_ prorſus dicendum eſt de sinubus angulorum. Nam &
anguli æquales ha-
verſos, &
c.
propterea quod
æquales anguli insiſtunt in centro æqualibus arcubus, &c.
_
POSTReMO_ in omni triangulo rectangulo, si latus recto angulo oppositum
ponatur sinus totus, reliqua duo latera ſunt sinus recti reliquorum angulorum acu-
torum, quibus opponuntur. Vt in triangulo rectangulo _EKF,_ in quo _EF,_ eſt sinus to-
tus, vtpote ſemidiameter circuli ex F, deſcripti, latus _FK,_ eſtsinus rectus anguli
_FEK,_ ex deſin. 6.
Sic quoque si idem circulus ex _
F,_ deſcriberetur, eſſet latus _EK,_ si-
nus reclus anguli _EFK,_ ex eadem deſin. 6.
Quod etiam hinc patet, quèd angulus _
EFK,_
Aef;_ cuius sinus rectus est, ex defin.
6.
recta _
FH,_ quæ
EK._ Eodem pacto vtrumuis reliquorum laterum in trian-
plementi illius arcus, cuius alterum latus est sinus rectus. Vt in eodem triangulo re-
EKf,_ latus _FK,_ eſt sinus complementi anguli _EFK,_ siue arcus _FA,_ cuius
sinui recto _FH,_ alterũ latus _EK,_ æquale eſt. Item latus _
EK,_ æquale estipsi _FH,_ si-
nui complementi anguli _FEK,_ siue arcus _FB,_ cuius alterum latus _FK,_ sinus rectus
eſt. Sed iam lemma, cuius ſupra fecimus mentionem, demon ſtremus.
SI in circulo recta linea è centro ducta aliam rectam non per cen
trum ductam bifariam ſecet, ſecabit eadem & arcum, cui illa recta
Et ſi arcum ſe cet bifariam, ſecabit quoque re-
ctam ei ſubtenſam bifariam.
SECET in eadem figura recta EA, rectam FG, bifariam in H,
que arcum FG, bifariã
in A, & contra.
Ducta
enim recta EG; quoniã
duo latera EF, EH, triã
guli EFH, æqualia ſunt
duobus lateribus EG,
EH, trianguli EGH,
vtrumq; vtrique;
baſisq́,
HF, baſi HG, ponitur
æqualis; erit angulus
Igitur arcus
AF, arcui AG, æqualis
erit. Quod eſt propoſitũ.
VERVM ſecet iã
recta EA, arcum FG,
bifariam in A. Dico eandem ſecare quoque rectam FG, bifariam in H.
Quoniam enim arcus AF, AG, æquales ſunt, erunt quoq;
anguli FEH,
Igitur cum &
duo latera EF, EH, trianguli EFH,
duobus lateribus EG, EH, trianguli EGH, æqualia ſint; erunt &
ba-
ſes HF, HG, æquales. Quod eſt propoſitum.
EX boc ſequitur, rectam EA, quæ arcum FG, bifariam ſecat in A,
ſecare quoque rectam FG, bifariam in H; vt ſupra poſuimus.
_QVONIAM_ vero Sinus totus (hoc eſt, ſemidiameter cuiusuis circuli) intelligi-
tur ab Aſtronomis diuiſus in aliquot partes æquales, vt ratione barum partium om-
midiametrum in numeris exprimant; ex plicãdum paucis erit, in quot partes ſemidia-
metrum diſtribuerint: Neque enim omnes eodem modo eam ſunt partiti.
Ptolemæus
namque ſemidiametrum ſecatin _60._ partes æquales, totam vero diametrum in 120.
Quamlibet deinde partem concipit diuiſam eſſe in _60._
Minuta, &
quoduis Minutum
in 60. Secunda.
Hanc diuiſionem omnes fermè antiqui, &
nonnulli ex recentioribus,
inter quoseſt Orontius, ſecuti ſunt. Supputauit autem Ptolemæus lib.
I.
Almageſti ta-
perantibus, initio facto ab arcu _30._ Minutorum, reſpondẽt, in partibus, quarum 120.
tota diameter continet.
Orontius vero tabulam condidit omnium ſinuum, qui arcu-
bus quadrantis vno Minuto ſeſe ordine ſuperantibus, initio facto ab arcu I. Minuti,
reſpondent, in partibus, quarum _60._ ſemidiameter, ſeu ſinus totus continet.
Ar Zahel
vero Arabs conſtituit ſemidiametrum partium 150. ac proinde totam diametrum
partium 300. quas quidem partes rurſus diſtribuit in Minuta, &
Secunda, vt Pto-
lemæus. Sed vtrouis modo ſemidiameter, siue diameter diuidatur, permoleſtum eſt,
alios omnes ſinus ſiue chordas in eiusmodi partibus inueſtigare, cum ſemper multi-
plicatio, diuiſio, extractioq́; radicum per fractiones Aſtronomicas in ſtituenda ſit;
Vel
certe Partes in Minuta, ac Secunda conuertendæ, & contra, Minuta ac Secunda in
Partes: quæres valde laborioſa eſt non ſolum parum exercitatis in Arithmeticis, ve-
rum etiam peritißimis.
_QVAMOBREM_ alij Aſtronomi, inter quos eſt Georgius Purbachius, Ioan-
nes Regiomontanus. Petrus Appianus, ſemidiametrum, hoc eſt, sinum totum, in multo
vel _100000._
Ita enim opus non erit partes has in Minuta, ac Secunda diſtribuere;
cum vna ha-
rum partium sit vel multo minor, quàm vnum Secũdum ſemidiametri in partes _60._
ſecundum Ptolemæum diuiſæ, vel certe non multo maior. Nam vnum Secundum eſt
{1/216000} totius ſemidiametri diuiſæ in 60. partes, cum 60.
partes contineant
_216000._ Secunda:
At vna particula ſemidiametridiuiſæ in partes _10000000._
vel
_100000._ eſt {1/10000000}.
vel {1/100000}.
totius ſemidiametri.
Con
ſtat autẽ minutiã hãc {1/10000000}. eſſe multo minorẽilla {1/216000}.
hanc vero {1/100000}. non eſſe multo maiorẽ illa eadem {1/216000}.
Ita-
que etiã si in sinu aliquo negligatur interdum vna ferme particula ex _10000000._
particulis sinus totius, multò tamen minor error committetur, quàm si negligatur
vnum ferè ſecundum ex _216000._ Secundis, in quæ sinus totus intelligitur eſſe diui-
ſus: Si vero negligatur vna ferè particula ex _100000._
particulis sinus totius, non
multò maior error cõmittetur, quàm ſinegligatur vnum fere ſecundum ex _216000._
ſecundis, in quæ sinus totus diſtribuitur.
_SVNT_ etiam, qui diſtribuant sinum totum in partes _6000000._
vel _60000._
extantq́ tabulæ sinuũ à Ioan.
Regiom.
compositæ, in quibus sinus totus tot particu-
las ponitur continere: ſed magis in vſu eſt apud Aſtronomos diuisio sinus totius in
particulas _10000000._ vel _100000._
Immo communis fere vſus omnium obtinuit, vt
in ſupputationibus, quæ ex sinubus depromuntur, sinus totus ſtatuatur particula-
rum _100000._ qualem &
nos tam in ſphæra, quàm in Gnomonica alijsque operibus
conſtituimus: quamuis, quo maior fuerit sinus totus, eo etiam accuratior ſupputatio
Conſtruxit porrò Ioan.
Regiom.
tabulam omnium Sinuum,
Minuti:
quam nos
ſumma cura, ac diligentia exam inauimus, & in quibuſdam locis correximus;
quo-
niam propter typographorum incuriam mendis omnino non carebat. Hanc tabulam
emendatam infra ſubijciemus, si prius demonſtrationes ex Ioanne Regiomontano po-
tißimum decerpt as exponamus, qu bus omnium arcuum sinus numeris exprimi poßint
in partibus sinus totius in quotuis partes diſtributi. Poſt tabulæ vero vſumſubijcie
mus quoque Ptolemæi & aliorum demonſtrationes, quibus omnium arcuum chordæ
numeris exprimantur, ex quibus rurſus facili negotio tabula sinuũ conſtrui poteſt.
_ATQVE_ in primis, si in plano aliquo Quadrans tantæ magnitudinis conſtrue-
retur, vt eius arcus commode in _90._ gradus, &
singuli gradus in _60._
Minuta;
item-
que vtraque eius ſemidiameter, siue sinus totus, in _10000000._ partes æquales, vel
etiam in plures, pauciores ve diuidi poſſet, facili negotio sine vlla ſupputationis mole-
ſtia, aut labore, omniũ ſinuũ magnitudines cognoſcerẽtur, si ex singulis arcus Minu-
tis rectæ ad vtramque ſemidiametrũ perpendiculares ducerentur. Vt in quadrãte hoc
_ABC,_ si arcus _BC,_ in Gradus, ac Minuta ſecetur; (Nos ob ſpatij anguſtias eum in
gulæ denos complectãtur gra
dus.) Item vtraque ſemidia-
meter in _10000000._ particu-
las, vel in plures, pauciores ve
diſtribuatur, atque ad vtram
que ſemidiametrum perpendi-
culares ducantur: erunt per-
pendiculares ad ſemidiame-
trum _AB,_ ductæ, sinus recti
arcuum quadrantis à puncto
B, incipientium; quibus æqua
tri _AC,_ inter punctum _A,_ &
perpẽdiculares ad ſemidiame
trum _AC,_ ductas. Quot ergo
particulas cõtinebunt hæ por
tiones ex illis _10000000._ tot
particularũ erunt sinus recti
arcũ quadrantis. Eodem modo
tam sinus complementorum arcuum eorundem, quàm sinus versi cognoſcentur. Per-
pendiculares enim ad ſemidiametrum _AC,_ demiſſæ ſunt sinus complementorum, qui-
bus æquales ſunt portiones ſemidiametri _AB,_ inter punctum _A,_ & perpendiculares
Portiones vero eiuſdem ſemidiam etri _AB,_ inter pun-
ctum _B,_ & dictas perpendiculares ſunt sinus versi eorundem arcuum à puncto _B,_
incipientium. Sed quoniam fieri non poteſt, vt Quadrans tantæ magnitudinis repe-
riatur, qui commode tot diuisiones recipiat, inueſtigabimus sinuum magnitudines
per demonſtr ationes Geometricas, posito sinu to to quotcunq; particularum, ſequen-
tibus propoſitionibus. Satis autem erit, ſinus rectos omnium arcuum inquiramus:
ex
his enim cognitis & ſinus complementorum, &
verſi eorundem arcuum pateſient,
@@ in vſutabulæ Sinuum exponemus.
IN Quadrante circuli ſumptis arcubus æqua-
metrorum, vel ad rectam ſemidiametro paralle-
lam, perpendiculares ducantur; erunt ſegmenta
ſemidiametri, velillius parallelæ interillas perpen-
diculares intercepta, inæqualia, maiusq́ erit illud,
quod alteri ſemidiametro propinquius elt.
SIT Quadrans ABC, in quo arcus æquales ſint DE, EF, à quorum ter-
minis ad ſemidiametrum AC, vel ad rectam RS, ipſi AC, parallelam per-
pendiculares ducantur DKG, ELH, FMI. Dico ſegmenta GH, HI, vel
KL, LM, inæqualia eſſe, maiusq́ue eſſe GH,
Com-
pleto enim ſemicirculo BCN, producantur
rectæ DG, EH, FI, vſque ad O, P, Q. Du-
ctis quoque rectis ET, FV, ad DO, EP, per-
pendicularibus, iungantur rectæ EO, FP. Et quoniam arcus DE, EF, æquales ſunt,
ſtentes, æquales: Sunt autem &
recti anguli
T, V, æquales. Igitur cum tres anguli trian-
guli EOT, tribus angulis trianguli FPV,
ſint æquales; quòd tam illi, quàm hiduobus
erit &
reliquus angulus
TEO, reliquo angulo VFP, æqualis: ac
propterea æquiangula erũt triãgula EOT,
Quare erit vt OE, ad ET, ita PF, ad
Eſt auté recta OE, maior, quàm recta
PF; quod illa centro propinquior ſit, quàm
hęc. Igitur &
recta ET, maior eſt, quàm re-
cta FV. Cum ergo recta ET, æqualis ſit
TH, TL; &
recta FV, ſegmentis HI, LM,
ob parallelogramma VI, VM; erit quoque ſegmentum GH, maius ſegmen-
to HI, & ſegmentum KL, ſegmento LM.
In quadrante ergo circuli ſumptis
arcubus æqualibus, &c.
Quod erat den.
onſtrandum.
BREVIVS.
Ducatur recta DF, ſecans ſemidiametrum ductam AE, in
Z, & rectam EH, in a, producaturq́ue recta FV, vſque ad b.
Quoniam igi-
tur arcus DF, ſectus eſt biſariam in E, ſecta quoque erit recta DF, biſariam
in Z, ex lemmate in definitionibus poſito, ac proinde Da, maior erit quàm
Cum ergo ſit, vt Da, ad aF, ita b V, ad VF, erit quoque b V, maior,
&
KL, maior quàm LM.
CONSTAT ex hac propoſitione, ſi quotcunque arcus quadrãtis à ſemidiametro eadé
ſinus rectos minorum arcuum habe-
re maiores differentias, quàm ſinus arcuum maiorum; adeo vt differentiæ ſinuum à prin-
cipio quadrantis ad finem vſque ſemper decreſcant. Nam ſi in eadem figura huius propof.
a cci piatur arcus FX, arcubus DE, EF, æ qualis, ducaturq́ue recta XY, ad ſemidiametrum
AC, perpendicularis, habebunt quatuor arcus BX, BF, BE, BD, æquales exceſlus, cum
BX, ipſum BF, ſuperetarcu FX; &
BF, ipſum BE, arcu EF, qui arcui FX, poſitus eſt
æqualis; &
arcus BE, arcum BD, arcu DE, qui arcui EF, æqualis eſt.
Sinus autem recti
eorum arcuum ſunt AY, AI, AH, AG, vt ſupra in ex poſitione definitionum docuimus,
cum ſint partes ſemidiametri AC, inter centrum A, & ſinus complementorum interiectæ,
vt patet. Et quoniam in hac propof.
demonftrauimus, rectam GH, maiorem eſſe, quàm
HI, & HI, maiorem, quàm IY;
liquet, exceſſum GH, inter ſinus arcuum minorum BE,
BD, maiorem eſſe exceſſu HI, inter ſinus arcuum maiorum BF, BE: Item exceſſum HI,
inter ſinus arcuum minorum BF, BE, maiorem eſſe exceſſu IY, inter ſinus maiorum ar-
cuum BX, BF. Eademq́ue ratio eſt de cæteris.
Conſtat igitur, differentias ſinuum rectorum
ſenſim decreſcere à principio quadrantis v ſque ad eius finem: Id quod perſpicuè ex ſinuum
tabula apparet.
LATERA Decagoni, &
Pentagoni æquila-
circulo inueſtigare.
QVAMVIS hæc latera inueniantur per ea, quæ ab Euclide lib.
4.
ſunt
demonſtrata: nihilominus eadem à Ptolemæo lib.
1.
Almageſti cap.
9.
inueſti-
gantur ratione alia, quæ ad plurimorum ſinuum inuentionem multum con-
ducit. Eſt autem hæc ratio.
Sit circulus, vel (quod ſatis eſt) ſemicirculus ABC,
educatur perpendicularis DB. Diuiſa
quoque ſemidiametro CD, bifariam
in E, ducatur recta EB, cui ęqualis ab-
ſcindatur EF, iungaturq́ue recta FB. Dico rectam BF, eſſe latus Penta-
goni, & DF, latus Decagoni in cir-
culo ABC. Cum enim recta CD,
ſecta ſit bifariam in E, eique addi-
ta DF; erit rectangulum ſub CF, DF,
quadrato rectæ EF, ideoq́ quadrato rectæ EB, quæ ipſi EF, ęqualis
eſt: Eſt autem quadratum rectæ EB, æquale quadratis rectarum BD, DE.
quadratis rectarum BD, DE: Ac proinde, dempto communi quadrato rectæ
De, relinquetur rectangulum ſub CF, DF, æquale quadrato rectæ BD,
hoc eſt, quadrato rectæ CD. Quamobrem erit, vt CF, ad CD, ita CD, ad
proptereaq́ue recta CF, diuiſa erit in D, extrema ac media ratione.
Cum
igitur maius ſegmentum CD, ſit latus Hexagoni in circulo ABC, ex co-
propoſ.
15.
lib.
4.
Eucl.
erit minus ſegmentum DF, latus Decagoni in eo-
dem circulo, vt ad propoſ. 9.
lib.
13.
Eucl.
demonſtrauimus.
Rurſus quoniam
quadrato lateris Hexagoni BD, vna cum quadrato lateris Decagoni DF,
Eſt autem eiſdem
quadratis rectarum BD, DF, æquale quadratum rectæ BF; erit quadratum
ac propterea recta BF, lateri
Pentagoni æqualis. Latera igitur Decagoni, &
Pentagoni æquilateri in vno
@odemq́ue circulo inueſtigauimus. Quod faciendum erat.
EX ſinu recto cuiuſuis arcus quadrante mi-
noris cognito, ſinum complementi eiuſdem ar-
cus; lté ex chorda cuiuſuis arcus ſemicirculo mino
ris, chordam rehqui arcus ſemicircuh cognoſcere.
SIT primo cognitus ſinus rectus DE, arcus BD, cuius arcus complemen
ti ſinus ſit DF, quem cognoſcere debemus. Ducta recta DA, erit quadratum
rectæ DA, æquale quadratis rectarum DE, EA. Si igitur ex quadrato ſinus
totius DA, noti (Ponitur enim ſinus totus particularum certo numero com-
prehenſarum) detrahatur
cogniti in partibus ſinus
totius DA, relinquetur
quadratum rectæ EA, no
tum; ac proinde per radi-
cem quadratam recta EA,
in eiſdem partibus nota
erit. Cum ergo recta EA,
æqualis ſit ſinui comple-
menti arcus BD, hoc eſt,
DF, ſinus complementi arcus BD, cuius ſinus rectus DE, notus eſt poſitus.
SIT deinde cognita chorda AB, arcus AB, &
chorda BC, ſubtendens re-
liquum arcum BC, ſemicirculi, quam iubemur inueſtigare. Quoniam angulus
Si igitur ex quadrato diametri AC, notæ (Ponitur enim
diameter diuiſa in particulas certo numero comprehenſas) dematur quadra-
tum chordæ AB, notæ in partibus diametri AC, notum relinquetur quadra-
tum chordæ BC; ac proinde per radicem quadratam chorda BC, in eiſdem
partibus nota efficietur. Ex ſinu igitur recto cuiuſuis arcus, &
c.
cognouimus.
Quod ſaciendum erat.
HINC efficitur, ſinum verſum cuiuſuis arcus cognoſci quoque ex cognito ſinu recto.
Quoniam enim ex ſinu recto DE, cognoſcitur ſinus complementi DP, hoc eſt, AE;
ſi ſinus
dati arcus BD. Pari ratione, ſi ſinus rectus DE, hoc eſt, AF, dati arcus BD, dematur ex ſinu
toto AC, notus relinquetur ſinus verſus CF, complementi dati arcus BD.
SINVS rectus cuiuſlibet arcus quadrante mi
ſem ſemidiametri, ſeu ſinus totius, & ſinum ver-
ſum arcus alterius, qui prioris arcus duplus eſt, &
quadrante quoque minor.
SIT arcus quicunque CE, quadrante minor, cuius dimidium ſit CD.
Di-
uiſa autem ſemidiametro AC, bifariã in G, ducatur ex E, ad AC, perpendi-
cularis EF, iungaturque recta AD, quæ ductã chordam CE, ſecabit in H, bifa-
riam, ex lemmate à nobis ad definitiones ſupra demonſtrato, atque adeo & ad
angulos rectos. Erit igitur CH, ſinus rectus arcus CD, &
CF, ſinus verſus
eiuſdem arcus CE, ſinus rectus: vt ex definitionibus
conſtat. Dico CH, ſinum rectum arcus CD, medio
loco eſſe proportionalẽ inter CG, dimidiũ ſinus to-
tius, & CF, ſinum verſum arcus CE, qui arcus CD,
duplus eſt. Quoniã enim duo anguli ACH, AHC,
trianguli ACH, æquales ſunt duobus angulis ECF,
EFC, trianguli ECF, quod angulus C, vtrique
triangulo ſit communis, & anguli H, F, recti;
ęquian
gula erunt triangula ACH, ECF. Igitur erit, vt
Et permutando, vt AC, ad CE, ita CH, ad
Vt autem AC, ad CE, ita eſt CG, dimidium ipſius AC, ad CH, dimi-
Igitur erit quoque vt CG, ad CH, ita CH, ad CF;
ac pro-
pterea CH, ſinus rectus arcus CD, medio loco proportionalis eſt inter CG,
ſemiſſem ſinus totius, & CF, ſinum verſum arcus CE, qui arcus CD, duplus
Igitur ſinus rectus cuiuſlibet arcus quadrante minoris, &
c.
Quod de-
monſtrandum erat.
COLLIGITVR hinc, ſi ſinus rectus alicuius arcus cognitus ſit, notum etiam ſieri
ſinum rectum alterius arcus, qui illius di midium ſit: ita vt ex EF, ſinu recto arcus CE,
cognito cognoſcatur etiam CH, ſinus rectus arcus CD, qui dimidium eſt arcus CE. Nam
ex noto ſinu recto EF, notus fiet ſinus EI, complementi: quo ablato ex ſinu toto AC,
(æqualis enim eſt ſinus EI, rectæ AF.) notus relinquetur ſinus verſus CF, arcus CE, vt in
coroll. præcedentis propoſ.
dictum eſt.
Cum ergo ſinus CH, ſit medio loco proporti onalis
inter medietatem ſinus totius, & ſinum verſum CF, vt oſtendimus;
erit rectangulum ſub di
midio ſinus totius, & ſinu verſo CF, contentum æquale quadrato ſinus CH.
Quare ſi
multiplicetur medietas ſinus totius in ſinum verſum CF, producetur quadratus numerus
Eademq́ue ratio eſt
de cæteris.
IDEM hac etiam ratione oſtendi poteſt.
Quoniam enim EF, ſinus rectus arcus
CE, notus ponitur, cognoſcetur & EI, ſinus complementi ei uſd em arcus, hoc eſt, re@
Detracta igitur recta AF, hoc eſt, ſinu complementi arcus CE,
propoſ.
3.
oſtendinaus.
Quia vero quadratum rectæ CE, æquale eſt quadratis rectarum EF,
FC; fit, vt quadrata rectarum EF, FC, nota rum in vnam ſummam collecta efficiant
quadratum rectæ CE: cuius radix quadrata ipſam rectam CE, reddet notam;
ac proinde
huius radicis dimidium dabit CH, ſinum rectum arcus CD, qui dimidium eſt dati arcus
CE, notum.
VICISSIM ex hac eadem propof.
4.
colligitur, ſi ſinus rectus alicuius arcus cognitus
te ſit minor: ita vt ex CH, ſinu recto arcus CD, cognito cognoſcatur etiam EF, ſinus rectus
arcus CE, qui arcus CD, eſt duplus. Cum enim ſin us CH, ſit medio loco proportionalis in-
ter medictatem ſinus totius, & ſinum verſum FC, vt oſtendimus;
erit rectangulum ſub di-
midio ſinus totius, & ſinu verſo FC, contentum æquale quadrato ſinus recti CH.
Quare
quadratum ſinus CH, noti erit illud rectangulum; quo diuiſo per dimidium ſinus totius,
notus euadet ſinus verſus FC. Quia vero recta CE, cum ſit dupla ſinus CH, noti nota eſt,
erit & eius quadratum notum:
à quo ſi auferatur quadratum ſinus verſi FC, noti, relinque-
tur etiam quadratum rectæ EF, notum; (cum quadratũ rectæ CE, quadratis rectarum CF,
FE, ſit æquale.) ac proinde radix quadrata illius notum dabit ſinum rectum EF.
QVOD _ſi quando perpendicularis_
Ef, _ſemidiametrum_ AC, _ſecet bifariam, vt_
_in hac figura contingit, erit adhuc_ CH, _ſinus arcus_ CD,
Cf, _ſemiſſem ſinus totius,_
& Cf, _ſinũ verſum arcus_ CE, _qui arcus_ CD, _duplus eſt. Erũt_
_enim rurſum triangula_ ACH, ECf, _æquiangula; ac_
_proinde, vt_ AC, _ad_ CH, _ita_ EC, _ad_ Cf: _Et permutan-_
Cf. _Cum ergo ſit, vt_
AC, _ad_ Cf, _dimidium ipſius_ AC, _ad_ CH, _dimi-_
Ce; _erit quoq;
vt_
Cf, _ad_ CH, _ita_ CH, _ad_ Cf: _proptereaq́;_
CH, _ſinus rectus arcus_ CD, _medio loco propor-_
_tionalis eſt inter_ Cf, _ſemiſſem ſinus totius,_ & Cf, _ſinum ver_
_ſum arcus_ CG, _qui duplus eſt arcus_ CD.
HINC _fit, ſiperpendicularis_ EF, _ſemidiametrum_ AC, _ſecet bifariam, rectam_
CH, _æqualem eſſe rectæ_ Cf. _Si enim maior eſſet, aut minor, non poßet eſſe, vt_
Cf,
_ad_ CH, _ita_ CH, _ad_ Cf: _cum vna proportio eſſet maioris inæqualitatis, &
altera_
_minoris inæqualitatis._
SINVS rectus arcus graduum 54.
componi-
tur ex ſemiſſe ſinus totius, & ſinu recto arcus grad
18. Sinus autem verſus arcus grad.
72.
componitur
ex ſemiſſe ſinus totius, & ſinu verſo arcus grad.
36.
IN quadrante ABC, ſit BD, arcus grad.
54.
ac proinde eius cõplementum
CD, grad. 36.
quod diuidatur bifariam in H, vt vterq;
arcuũ CH, HD, habeat
grad. 18.
Ducatur DM, ad AB, perpendicularis pro ſinu arcus grad.
54.
&
DE,
36.
Iunga
tur quoq; recta AH, quæ per lẽma in definitionibus
demonſtratũ ſecabit rectã CD, in I, bifariam, ac pro
inde & ad angulos rectos:
eritq́ propterea CI, ſinus
18.
Sũpta tandẽ recta EF, ipſi
EC, æquali, diuidantur AC, AF, bifariã in G, K, &
ex K, ad AC, perpendicularis ducatur KL. Dico ſi-
num rectũ DM, arcus grad. 54.
hoc eſt, rectam AE,
ex CI, ſinu recto arcus grad. 18.
hoc eſt, rectam GE,
(quæ cũ AG, conſtituit totam rectã AE,) ęqualẽ eſ
ſe ſinui recto CI. Item ſinũ verſum arcus grad.
72.
componi ex dimidio ſinus to
tius, & ex CE, ſinu verſo arcus CD, grad.
36.
hoc eſt, rectam EK, (quæ cum
ſinu verſo CE, rectam CK, componit) æqualem eſſe dimidio ſinus totius, ip-
ſam vero CK, eſſe ſinum verſum arcus grad. 72.
hoc eſt, arcum CL, (cuius ſi-
nus verſus eſt CK,) eſſe grad. 72.
Ducta enim recta LN, ad AB, perpendicu-
lari, pro ſinu arcus BL, iungantur rectæ AD, DF. Quoniam igitur arcus
CH, grad. 18.
continet {1/5}.
quadrantis BC, (quòd quinquies 18.
faciant 90.)
continebit arcus CD, {2/5}.
eiuſdem quadrantis, ac proinde proportio arcus
CD, ad arcum BC, erit vt 2. ad 5.
Eſt autem, vt arcus CD, ad arcum BC, ita
Igitur proportio anguli CAD,
ad angulum rectum BAC, erit quoque, vt 2. ad 5.
ac proinde angulus CAD,
continebit {2/5}. vnius anguli recti.
Cum ergo tres anguli trianguli CAD, con-
tineant {10/5}. vnius recti, hoc eſt, æquales ſint duobus rectis, ſintq́ue inter ſe
continebit vterque eorum {4/5}.
vnius recti.
rectę DF, DC,
(cum enim DE, EF, latera trianguli DEF, æqualia ſint lateri-
bus DE, EC, trianguli DEC, angulosq́ue ad E, contineant æquales, vtpo-
te rectos; æquales erunt baſes DF, DC,) continebit quoque angulus DFC,
vnius recti;
ac proinde reliquus angulus DFA, ex duobus rectis, hoc eſt, ex
{10/5}. vnius recti, continebit {6/5}.
vnius recti.
Cum ergo angulus DAF, oſtenſus
ſit continere {2/5}. vnius recti, &
omnes tres anguli in triangulo AFD, conti-
vnius recti, continebit angulus ADF, {2/5}.
vnius recti, propte-
reaq́ue angulo DAF, æqualis erit. Quare æqualia erunt latera DF, AF.
recta AF, rectæ DC,
æqualis: ideoque &
k F, medietas ipſius AF, ipſi CI, medietati ipſius DC,
æqualis erit.
RVRSVS quoniam AK, KF, æquales ſunt;
additis æqualibus EC, FE,
erit recta compoſita ex Ak, EC, æqualis rectæ KE: ac proinde KE, medie-
tas erit ſemidiametri AC; quandoquidem AC, diuiſa eſt in duas partes æqua
les, quarum vna eſt KE, altera vero, recta ex AK, EC, compoſita. Eſt igi-
tur KE, æqualis ipſi CG. Ablata ergo communi recta GE, remanebunt
æquales GK, EC. Eſt autem EC, ſumpta ipſi EF, æqualis.
Igitur &
GK, ipſi EF, æqualis erit; additaque communi recta FG, erit EG, ipſi FK,
æqualis, hoc eſt, ipſi CI, cui oſtendimus ſupra rectam k F, eſſe æqualem. Com-
54.
æqualis eſt.)
ex AG, me-
dietate ſinus totius, & GE, quæ æqualis eſt oſtenſa ſinui CI, arcus grad.
18.
Quod eſt primum.
IAM vero, quoniam KF, ipſi EG;
&
EG, ipſi CI, oſtenſa eſt æqualis:
erit, KF, ſinui recto CI, æqualis:
Eſt autem KF, ipſi AK, æqualis.
Igitur
erit quoque AK, ipſi CI, æqualis. Cum ergo AK, ſinui LN, ſit æqualis, erit
Eſt autem CI, ſinus arcus grad.
18.
Igitur
& LN, ſinus erit arcus grad.
18.
ac proinde arcus BL, cuius ſinus eſt LN,
continebit grad. 18.
ideoq́ue eius complementum CL;
continebit grad.
72.
cuius ſinus verſus KC, cõponitur ex CG, medietate ſinus totius, &
ex GK,
quæ ſinui verſo EC, arcus CD, grad. 36.
oſtenſa eſt æqualis.
Quod eſt ſecun-
dum. Itaque Sinus rectus arcus graduum 54.
componitur, &
c.
Quod erat
demonſtrandum.
CONSTAT cx his, triangulum ACD, cuius baſis CD, ſubtẽdit gradus 36.
verticemq́;
habet in centro, eſſe Iſoſceles, cuius vterque æqualium angulorum C, D, reliqui anguli ad
centrum duplus eſt. Nam angulus CAD, oſtenſus eſt continere {2/5}.
vnius recti, vtrumque
vero C, & D, {4/5}.
DIFFERENTIA chordarũ duorum arcuũ
120.
quanto alter maior eſt, æqualis eſt chordæ ar-
cus, quo alteruter dictorum arcuum ab arcu grad.
120. differt.
IN ſemicirculo ABC, ſit arcus BA, grad.
120.
arcus vero BD, eo tan-
to minor, quanto arcus BE, maior eſt; quorum chordæ BD, BE:
abſcin-
daturq́ue BF, ipſi BD, æqualis, & iungantur rectæ AD, AE, AF.
Dico EF,
differentiã duarũ chor
lem eſſe chordæ AE,
vel AD. Cõpleto enim
circulo, & inſcriptotriã
gulo æquilatero ABG,
cuius vnum latus eſt
AB, chorda arcus grad. 120.
cum ſubtendat ter
tiã circunferentiæ par-
tem; erit angulus AGB,
tertia pars duorum re-
Cum ergo ei æqualis ſit angulus AEB, in eodem cum illo exiſtens
erit &
AEB, tertia pars duorum rectorum.
Deinde, quo-
niam latera DB, BA, trianguli DBA, lateribus FB, BA, trianguli FBA,
æqualia ſunt, angulosq́ue continent æquales; erunt baſes AD, AF, inter ſe
Cum ergo AD, ipſi AE, æqualis ſit, propter æquales arcus AD,
erit &
AF, eidem AE, æqualis;
ac propterea anguli AEF, AFE, æqua
Eſt autem AEF, vt oſtendimus, tertia pars duorum recto-
rum. Igitur &
AFE, tertia pars erit duorum rectorum;
atque adeo &
reliquus
EAF, tertia pars erit duorum rectorum. Quare triangulum AEF, æquilate-
propof.
6.
lib.
1.
Eucl.
ideoque recta EF, differentia chorda-
rum BD, BE, chordæ AE, vel AD, æqualis erit. Differentia ergo chorda-
rum duorum arcuum ſemicirculi, &c.
quod erat demonſtrandum.
SEQVITVR hinc, ſi duorum arcuum, qui ſimul grad.
120.
conficiant, chordæ ſimul
iungantur, effici chordam arcus compoſiti ex arcu grad. 120, &
arcu minore illorum duo-
rum, ſi in æquales ſint. Ita namque vides chordas BD, DA, arcuum BD, DA, conſicientium
grad. 120.
ſimul ſumptas æquari chordæ BE, arcus BAE, compoſiti ex arcu BA, grad.
120.
&
arcu AE, qui minori AD, æqualis eſt:
propterea quòd vt demonſtratum eſt, differentia
EF, inter choidas BD, BE, æqualis eſt chordæ AD.
SI quantitas quantitatem excedat, ſemiſsis il-
SVPERET quantitas AB, quantitatẽ C, exceſſu DB, qui bifariã ſecetur in
ipſi EB, æqualis pona
tur AF. Quoniã igitur AF,
EB, toti exceſſui DB, æ-
quales ſunt, erit reliqua
FE, ipſi C, æqualis. Sece-
tur FE, bifaria in G. Quia
ergo GE, GF, æquales
sũt; additis æqualibus EB,
FA, æquales quoque erũt
GB, GA; ac proinde &
AB,
in G, ſecta erit bifariã. Se-
miſsis igitur BG, ipſius
AB, ſuperat GE, ſemiſſem
ipſius FE, hoc eſt, ipſius C, exceſſu EB, qui ſem iſsis eſt exceſſus DB. Si quan-
titas ergo quantitatem excedat, &c.
Quod demonſtrandum erat.
DIFFERENTIA ſinuum duorum arcuũ
60.
quanto alter maior eſt, æqualis eſt ſinui
arcus, quo alteruter dictorũ arcuum ab arcu grad. 60.
differt.
IN quadrante ABC, ſit arcus CD, grad.
60.
arcus vero CE, eo tanto
minor, quanto arcus CF, maior eſt: quorum ſinus recti EG, FH.
Dico horum
ſinuum differẽtiam æqualem eſſe ſinui arcus DE, vel DF. Producto enim qua-
drante, vna cum ſinubus EG, FH, ad I, K; ſumatur arcus CL, arcui CD,
æqualis, ita vt totus arcus
120.
Et quia &
arcus CI, CK,
æquales ſunt arcubus CE,
CF; quòd per lemma in
definitionibus poſitum re-
cta BC, ſecet arcus ECI,
FCK, bifariam, cum & re-
ctas EI, FK, bifariam ſe-
erunt quoque reliqui
arcus LI, LK, reliquis ar
cubus DE, DF, æquales. Sumptis quoque arcubus
EM, FN, qui arcubus DE,
DF, æquales ſint, ducan-
tur chordæ LM, LN. Et
quoniam arcus FN, arcui
LK, & arcus EM, arcui
LI, ęqualis eſt; additis com
munibus FL, MI, erit tam arcus NL, arcui FK, quàm arcus ML, arcui EI,
æqualis: ac proinde tan chorda NL, chordæ FK, quam chorda ML, chordæ
Quoniam igitur arcus LM, tanto minor eſt arcu LD, grad.
120.
quanto arcus LN, eodem maior eſt;
erit per propoſ.
6.
differentia chor-
darum LN, LM, chordæ DN, vel DM, æqualis; hoc eſt, recta k F, rectam
IE, ſuperabit chorda DN, vel DM. Quare per antecedentem propoſ.
ſemiſ-
ſis HF, hoc eſt, ſinus arcus CF, ſuperabit ſemiſſem GE, id eſt, ſinum arcus CE,
ſemiſſe chordæ DN, vel DM, hoc eſt, ſinu arcus DF, vel DE. Quod de-
monſtrandum erat.
ALITER.
In quadrante ABD, arcus BE, ſit grad.
60.
&
arcus EF,
EG, æquales, ac proinde arcus BF, tanto minor arcu BE, quanto arcus BG,
eodem arcu BE, maior eſt: ducanturq́ue FH, GI, ad BD, perpendiculares,
quæ ſinus erunt arcuum BF, BG. Ducta autem chorda FG, ſecet eam ſemi-
diameter ducta DE, in L. Et quoniam arcus FG, bifariam ſectus eſt in E, erit
quoque recta FG, bifariam ſecta in L, ex lemmate in definitionibus demon-
ſtrato; ac propterea &
ad angulos rectos.
Eſt ergo FL, ſinus arcus EF;
&
GL,
Ducta quoque recta FK, ad GI, perpendiculari, erit IK, re-
Quare GK, differentia erit ſi-
Dico hanc differentiam GK, æqualem eſſe ſinui FL, vel GL.
Ducta enim recta BE, quæ latus hexagoni eſt, ac propterea, ex coroll propoſ.
lib.
4.
Eucl.
ſemidiametro DE, æqualis;
ſecetur
BD, bifariã in M, iungaturq́ recta EM. Quoniã igi-
tur latera DM, ME, lateribus BM, ME, æqualia
ſunt, & baſis DE, baſi BE, æqualis, erunt anguli ad
Completo autem ſe-
micirculo ABC, & productis rectis GI, EM, ad
N, O, erit arcus NO, arcui GE, hoc eſt, arcui EF,
æqualis, ex ſcholio propoſ. 27.
li b.
3.
Eucl.
propterea
quod rectæ GN, EO, parallelæ ſunt, ob rectos angu
Addito ergo communi arcu FO, erit ar-
cus FN, arcui EO, æqualis: Sed arcus EO, duplus
eſt arcus BE. (Nam recta DB, rectam EO, ſecans ad
ac proinde &
arcum EO, bifariam, ex ſcholio in definitionibus
poſito) Igitur & arcus FN, eiuſdem arcus BE, du-
plus erit. Quare ductis rectis DF, DN, erit quoque
angulus FDN, anguli EDB, duplus: Eſt autem idem angulus FDN, in cen
Igitur æquales ſunt anguli EDM,
Suntautem &
recti M, K, æquales.
Aequiangula ergo ſunt triangula
EDM, FGK: atque idcirco erit vt ED, ad DM, ita FG, ad GK.
Cum ergo
M.) erit &
FG, ipſius GK, dupla:
Eſt autem &
FG, ipſius FL, vel GL, du-
pla. Igitur recta GK, differentia ſinuum FH, GI, æqualis eſt rectæ FL, ſi-
nui arcus EF, vel rectæ GL, ſinui arcus EG. Differentia ergo ſinuum duo-
rum arcuum quadrantis, &c.
quod erat demonſtrandum.
HINC ſequitur, ſi duorum arcuum conficientium grad.
60.
ſinus ſimul componantur,
effici ſinum arcus cõpoſiti ex arcu grad. 60.
&
arcu minore illorũ duorũ, ſi inæquales ſunt.
Ita enim vides in ſigura poſterioris demonſtrationis huius propoſ.
ſinus rectos FH, FL, ar-
cuum BF, FE, conſicientium grad. 60.
ſimul ſumptos æquari ſinui recto GI, arcus BEG,
compoſiti ex arcu BE, grad. 60.
&
arcu EG, qui minori EF, æqualis eſt:
propterea quòd,
vt demonſtratum eſt, differentia GK, inter ſinus FH, GI, æqualis eſt ſinui FL.
SINVS rectos omnium arcuum quadrantis
Sinus totius in quotcunque particulas diſſributi,
ſupputare.
PRIMVM omnium ſupputabimus ſinus rectos arcuum ſeſe 15.
gradibus
quotnimirum com
muniter ab omnibus, & ànobis etiam conſtituitur, vt ſupra diximus.
Vt auté
accuratior ſiat ſupputatio, ponemus in hiſce ſupputationibus Sinum totum
Ita enim fiet, vt abiectis duabus primis figuris ad dexte-
rá ex ſingulis ſinubus inuentis, (addita tamen vnitate, ſi duæ figuræ abiectæ nu
merũ 50. ſuperent) relinquãtur ſinus magis exquiſiti reſpectu ſinus totius par
tium 100000. Quòd ſi quis ſinus deſideret plurium particularum, poſito ni-
mirũ ſinu toto partiũ 10000000. quot eum Ioan.
Regiom.
poſuit, &
nos in ſe
quẽti tabula ſtatuemus, conſtituendus erit Sinus totus partiũ 1000000000. Nam hac ratione, abiectis duabus primis figuris ad dexteram ex ſingulis ſinu-
bus inuentis, vt dictum eſt, remanebunt Sinus magis exquiſiti reſpectu Sinus
totius partium 10000000. Ratio huius rei eſt, quòd in ſinuum inueſtigatio-
ne error ſolum contingere poteſt in vna aut altera figura ad dextram: quare,
abiectis duabus figuris ad dextram, relinquentur ſinus reſpectu ſinus totius
minoris exquiſrtiſsimi. Id quod in ſupputationibus ſinuum quiuis facile ex pe-
rietur, & nos infra demonſtrabimus.
Pari ratione, ſi inueſtigandi ſint ſinus re-
ſpectu alterius Sinus totius, qui plures, aut pauciores particulas contineat,
quàm 100000. vel 10000000.
conſtituendus erit in ſupputatione Sinus to-
tus, qui ad dexteram illum ſuperet duabus figuris his, 00; adeo vt illius ſit
centuplus, quemadmodum & hic 10000000.
quem in calculo aſſumimus, cen-
tuplus eſt illius 100000. quem nos cum alijs Aſtronomis in vſu recipimus.
SIT igitur in quadrante ABC, arcus CD, grad.
15.
CE, 30.
CF, 45.
ac
proinde EB, grad. 60.
&
DB, 75.
vtpote complementa arcuum grad.
30.
&
15.
Horum ergo arcuum ſinus rectos ita ſupputabimus.
Ducantur EH, DI, ad AB,
perpendiculares, quæ ſinus recti erunt arcuum grad. 60.
&
grad.
75.
Ductam
autem chordam BC, ſecet recta AF, in L, bi-
ſtrato; ac proinde ad angulos rectos:
eritq̀ue
45.
hoc eſt, arcus BF.
Ducatur rurſus EG, ad AC, perpendicula-
ris pro ſinu grad. 30.
Item ductam chordã CE,
mate; ac propterea ad angulos rectos;
eritq́ue
CK, ſinus rectus grad. 15.
Denique rectæ iun-
gantur AE, EB. Quoniam igitur arcus BE,
grad. 60.
ſexta pars eſt totius circunferentiæ
circuli, cum ſexies 60. ſaciant 360.
grad.
erit
recta BE, latus Hexagoni; atque adeo, ex
coroll. propof.
15.
lib.
4.
Euel.
ſemidiametro AE, æqualis.
Anguliergo EAB,
EBA, æquales erunt: Sunt autem &
anguli ad H, æquales, vtpote recti.
Igi-
gulis EBH, EHB, trianguli BEH, latusq́ue AE, lateri BE, æquale; erit la-
tus AH, lateri BH, æquale; ac proinde AH, medietas erit ſemidia metri AB.
30.
ſit ipſi AH, æqualis, erit ſinus rectus
30.
medietati ſemidiametri, ſiue ſinus totius, æqualis.
Cum ergo ſinus
erit EG, ſinus grad.
30.
talium particularum
5000000. nempe medietas ſinus totius.
EX hoc ſinu, per propof.
3.
cognoſcetur ſinus complementi arcus grad.
30.
60.
ſi nimirum quadratũ ſinus 5000000.
ex quadrato
ſinus totius 10000000. auferatur, &
reliqui numeri radix quadrata accipia-
tur, quę eſt 8660254. fere.
DEINDE, quoniam recta AF, fecans
mate definitionum, rectam BC, bifariam, at-
que adeo & ad angulos rectos;
erit CL, ſinus
45.
quem ita inueniemus.
Cum in triangulo CAL, angulus L, rectus
ſit, & angulus CAL, ſemirectus, erit &
angu-
CAL, æqualis. Igitur rectæ AL, CL, æqua-
Cum ergo quadratum rectæ AC,
æquale ſit quadratis rectarum AL, CL, ſi-
erit quadratum ſinus totius AC, du-
plum quadrati ſinus CL, grad. 45.
Medietas
igitur quadrati ſinus totius erit quadratũ rectæ CL, cuius radix quadrata da-
bit ſinum CL, 7071068. fere pro arcu grad.
45.
Qui etiam hoc modo re-
perietur. Quoniam quadratum rectæ BC, æquale eſt quadratis rectarum AB,
atque adeo duplum quadrati ſinus totius AC, ſi quadratum ſinus to-
tius duplicetur, habebitur quadratum rectæ BC, cuius quadrati radix dabit re
ctam BC, partium 14142136. fere, &
huius dimidium 7071068.
dabit ſinum
CL, grad. 45.
RVRSVS, quia recta AD, ſecans arcum CE, bifariam, ſecat quoque
rectam CE, bifariam in K, ex lemmate definitionum, atque adeo & ad angu-
erit CK, ſinus arcus CD, grad.
15.
quem ſic inueniemus.
Quoniã
ex propoſ. 4.
ſinus CK, medio loco proportionalis eſt inter medietatem ſi-
nus totius, & finum verfum CG;
(qui quidem habetur, ſi EH, ſinus grad.
60.
ex ſinu toto AC, detrahatur, vt in coroll.
propoſ.
3.
diximus) ſit vt, per co-
roll. propof.
4.
notus ſiat ſinus CK, arcus CD, qui dimidium eſt arcus CE.
Nam ſi medietas ſinus totius multiplicetur in ſinum verſum CG, cognitum,
producetur quadratum rectæ CK; quòd rectangulum ſub medietate ſinus to-
tius, & ſinu verſo CG, contentum, æquale ſit quadrato mediæ proportiona-
Si igitur quadrati rectæ CK, radix eruatur, habebitur ſinus CK, par-
tium 2588190. vt in dicto coroll.
propof.
4.
docuimus.
Quem ſinum hoc etiam
Quoniam quadratis rectarum notarum EG, GC, æqua
fiet notum quadratum
rectæ EC; cuius quadrati radix quadrata dabit re-
ctam EC, notam, & huius medietas erit ſinus CK,
cognitus.
EX ſinu autem grad.
15.
cognito cognofcetur
quoque, per propof. 3.
ſinus DI, complementi arcus
CD, hoc eſt, ſinus arcus BD, grad. 75.
qui quidem
deprehendetur partium 9659258. Itaq;
inuenti ſunt
hactenus ſinus recti arcuum continentium grad. 15.
30.
45.
60.
75.
&
90.
vt in hac formula apparet.
HORVM autem ſinuũ beneficio ad aliorum
inueſtigationem ita progrediemur. Quoniam per
propof.
4.
ex ſinu recto cuiuſuis arcus noto cognoſcitur quoque ſinus
rectus dimidij illius arous; cognofcemus ex ſinu a rcus grad.
15.
ſinum arcus
grad. 7.
Min.
30.
Atque ex hoc ſinum arcus grad.
3.
Min.
45.
qui arcus amplius
bifariam ſecari non poteſt ſine Secundis, (continet enim eius medietas grad. 1.
52.
Sec.
30.)
quæ in Sinuum tractatione negliguntur.
Deinde quia per pro
poſ. 3.
ex ſinu recto cuiuſlibet arcus cognito notus quoque efficitur ſinus
complementi illius arcus, cognoſcemus ex ſinu arcus grad. 7.
Min.
30.
ſi-
num arcus grad. 82.
Min.
30.
Ex hoc autem, per coroll.
propoſ.
4.
ſinum ar-
cus grad. 41.
Min.
15.
Atque ex hoc, per propof.
3.
ſinum arcus grad.
48.
Min.
45.
Item ex ſinu arcus gra.
3.
Min.
45.
cognoſcemus, per propoſ.
3.
ſinum arcus
grad. 86.
Min.
15.
Quòd ſi alij arcus, quorum ſinus in uenti funt, bifariam quo
que fecentur, & eorum medietates rurſus bifariam, &
ita deinceps, donec ad
Minuta numero imparia, quæ amplius bifariã diuidi ſine Secundis nequeunt,
peruentum ſit; Itemque harum medietatum complementa accipiantur, quæ
rurſus, eodem modo continue bifariam ſecẽtur, donec ad Minuta numero im-
paria ſit peruentum; &
medietatum complementa ſumantur, &
c.
cognoſce-
mus, per coroll. propoſ.
4.
&
per propof.
3.
ſinus omnium harum medieta-
tum, & complementorum.
Qui ſinus cum illis ſex primò inuentis conſtituent
ſinus 24. arcuum fefe ordine ſuperantium gradibus 3.
Min.
45.
vt in hac ta-
bula vides.
POST hæc, per ea, quæ propof.
2.
de inuentione lateris Decagoni, &
pen-
grad. 36.
hac ratione.
Repetatur figura propoſitionis 2.
vbi demonſtratum eſt,
DF, eſſe latus Decagoni, & BF, latus
Et quoniam qua-
drata rectarum BD, DE, notarum (Eſt
enim BD, ſinus totus, & DE, eius me-
dietas.) nota ſunt, &
æqualia quadrato
notum erit quadratum rectæ
EB; ac propterea &
ipſa recta EB, hoc
eſt, recta EF, illi æqualis, nota erit, nem
pe partium fere 11180339. Ex qua ſi
detrahatur recta ED, medietas ſinus to
tius partiũ 5000000. nota fiet recta DF,
partium 6180339. cuius quadratum ſi addatur quadrato ſinus totius BD, no
tum fiet aggregatum quadratorum ex rectis DF, BD, deſcriptorum; atque
quadratum rectæ BF, quod illis duobus æquale eſt, cognitum erit;
cu-
quæ cũ fubtendat grad.
72.
in cir
culo ABC, vtpote quintam partem circunferentiæ, quòd ſit latus pentago-
ni, nota erit chorda arcus grad. 72.
cuius medietas partium 5877852.
dabit ſi-
num rectum arcus grad. 36.
qui illius dimidium eſt.
PORRO ex hoc ſinu arcus grad.
36.
inueniemus, per propof.
3.
ſinum eius
54.
Quos duos arcus ſi biſariam fece-
mus, eorumq́ue medietates rurſus bifariam, & ita deinceps, donec ad minuta
numero imparia veniamus, quæ amplius diuidi nequeunt, reperiemus quoque
per coroll. propof.
4.
harum medietatum ſinus, nec non, per propoſ.
3.
ſinus ea-
rum complementorum: quæ complementa ſi rurſus bifariam ſecemus, quoad
poſſumus, & harum medietatum complementa accipiamus, quæ rurſus ſece-
mus bifariam, &c.
inueniemus eodem modo ſinus omnium ar cuum in hac ta-
bella contentorum. Quos ſinus ſi cum præcedentibus hactenus inuentis in or-
rantium gradibus 2. &
Min.
15.
initio facto ab arcu grad.
2.
Min.
15.
vſque ad
arcum grad. 87.
Min.
45.
incluſiue;
&
inſuper ſinus aliorum 17.
arcuum, qui
non ſeruant huiuſmodi incrementum. Vt in hac tabella appparet.
Vbi manife
54.
hoc eſt.
8090170.
componi præciſe ex ſinubus grad.
18.
&
30.
hoc eſt, ex 3090170.
&
5000000.
Et quia ſinus grad.
30.
æqualis eſt ſemiſ-
ſi ſinus totius, vt ſupra oſtenſum eſt, liquet ſinum grad. 54.
componi ad vngué
ex ſemiſſe ſinus totius, & ſinu recto grad.
18.
Id quod propoſ.
6.
à nobis eſt de-
monſtratum.
IAM vero ſinum arcus grad.
12.
beneſicio ſinuum grad.
30.
&
54.
qui iam
Sit in quadrā
30.
&
BE, grad.
54.
at-
que adeò arcus DE, eorum differentia, grad. 24.
ducanturque rectæ DF, EG, ad AB, perpendi-
culares, quæ ſinus recti erunt arcuum BD, BE;
Item rectæ DH, EI, ad AC, perpendiculares,
quæ finus recti erunt arcuum CD, CE, grad.
60. &
36.
qui complementa ſunt arcuum BD,
BE. Secet autem recta DH, rectam EG, in K.
Et quoniam ſinus DF, hoc eſt, KG, illi æqua-
EG, noti ſunt;
erit quoque eorum diffe-
rentia EK, nota. Similiter quia ſinus EI, hoc
eſt, KH, illi æqualis, & DH, noti quoque ſunt, per propof.
3.
cum ſint ſinus
erit etiam eorum differentia DK, nota;
ac proinde duo quadrata rectarum notarum Ek, DK, nota erunt:
quæ cum
æqualia ſint quadrato rectæ DE, notum quoque erit quadratum rectæ DE,
ipſarecta DE, nota erit, nem pe chorda arcus grad.
24.
Hinc
& eius medietas nota erit, nimirum ſinus rectus arcus grad.
12.
continebitque
Hac eadem arte;
ſi duorum arcuum quorumcumque ſinus
cogniti ſint, cognoſcetur etiam ſinus medietatis differentiæ illorum arcuum. Vt ſi ſinus arcuum BD, BE, quorumcumque etiam ſi non contineant grad.
30.
& 54.
noti ſint, erunt &
ſinus complementorum CD, CE, per propof.
3.
noti.
Quare, vt modo demon ſtrauimus, nota ſiet chorda DE; ac proinde eius me-
dietas nota quoque erit, nempe ſinus medietatis arcus DE.
CaeTervm ex ſinu arcus grad. 12.
(ſi hunc arcum bifariam ſecemus
complementa accipiamus, vnà cum
ſinu complementi arcus grad. 12.
quæ rurſus ſecemus bifariam continue, &
c.)
reperiemus per coroll.
propof.
4.
&
per propoſ.
3.
ſinus omnium hor um arcuũ,
qui in hac tabella continentur. Quos ſinus ſi cum ſinubus proxime antece-
dentis tabellæ in ordinem redigamus, habebimus ſinus arcuum numero 120.
Minutis, quorum primus eſt arcus grad.
o.
Min.
45.
vltimus vero totus quadrans grad.
90.
cuiuſm odi ſunt arcus ſequen
tis tabellæ. Omnium enim illorum arcuum ſinus inuentos eſſe comperies in
proximis duabus tabellis antecedentibus, licet non eo ordine ſint collocati.
POSTREMO aliorum arcuum ſinus ita inueniemus.
Ponatur in qua-
drante ABC, arcus BD, grad. 1.
&
arcus BE, grad.
1.
Min.
30.
&
arcus BH,
grad. 0.
Min.
45.
Ducta autem recta EK, ad AB, perpendiculari, diuiſoque ar-
cu BH, in tres partes æquales BF, FG, GH, & arcu DE, in duas DI, IE,
vt ſinguli arcus contineant 15. Min.
ducantur ad EK, perpendiculares FL,
GM, HN, DO, IP. Eritque EK, ſinus rectus arcus BE, &
OK, ſinus re-
ctus arcus BD, cum æqualis ſit rectæ ex D, ductæ ad AB, perpendiculari, quæ
Eademq́ue ratione erit NK, ſinus rectus arcus
Sit ergo propoſitum inuenire ſinum OK, arcus BD, grad.
1.
Quoniam
NK, ſinus grad. 0.
Min.
45.
eſt inuentus 130896.
erit eius tertia pars, nempe
43632. maior, quàm MN:
propterea quod, per propof.
1.
maior eſt KL, quàm
LM, & LM, maior, quàm MN, adeo vt MN, mi-
quàm 43632. Multo igitur maior erit eadem tertia
pars rectæ NK, nempe 43632. quàm NO:
quod, per
eandẽ propof. 1.
maior quoque ſit MN, quàm NO.
Quare ſi addamus 43632.
ad 130896.
id eſt, ad NK,
ſinum Minutorum 45. efficiemus numerum 174528.
qui maior erit, quàm OK, ſinus rectus grad. 1.
quan
doquidem ad NK, plus addimus, quàm rectã NO,
vt dictum eſt. Rurſus quia EK, ſinus grad.
1.
Min.
30. inuentus eſt 261769.
ſi ex eo detrahamus ſinum NK, Minutorum 45.
nem
pe 130896. relinquetur recta EN, partium 130873.
cuius tertia pars, nempe
43624. fere, minor erit, quàm NO:
propterea quod, per propof.
1.
maior eſt
NO, quàm OP, & OP, maior, quàm PE, adeo vt NO, maior ſit, quàm ter-
tia parsipſius EN, hoc eſt, maior, quàm 43624. Quare ſi addamus 43624.
ad
130896. id eſt, ad NK, ſinum Min.
45.
efficiemus numerum 174520.
qui minor
erit, quàm OK, ſinus re ctus grad. 1.
quandoquidem ad NK, minus addimus,
quàm rectam NO. Conſtatigitur, ſinum rectum grad.
1.
conſiſtere inter hos
duos numeros, 174528. 174520.
cum ille maior ſit, hic auté minor.
Statuamus
ergo eum eſſe, 174524. inter illos numeros omnino medium.
Ita enim non dif-
feret ſenſibiliter hic numerus à vero ſinu grad. 1.
EX hoc ſinu grad.
1.
inueniemus, per propoſ.
3.
ſinum eius cõplementi, hoc
89.
eſſe 9998477.
Quem hoc etiã modo reperiemus.
Quo-
niam numerus 174528. maior eſt, quam ſinus grad.
1.
vt diximus:
ſit, vt per eum
inueſtigatus, iuxta doctrinam propof. 3.
ſinus cóplementi grad.
1.
hoc eſt, ſinus
grad. 89.
ſit numerus 9998476.
&
paulo amplius, qui minor erit neceſſario,
quàm verus ſinus arcus grad. 89.
quandoquidem pro ſinu grad.
1.
numerum
ſumpſimus vero ſinu maiorem. Rurſus quia numerus 174520.
minor eſt, quàm
ſinus grad. 1.
vt diximus;
fit, vt per eum inueſtigatus, iuxta doctrinam propof.
3.
ſinus eius complementi, nimirum ſinus grad.
89.
ſit numerus 9998477.
&
pau
lo amplius, qui maior erit neceſſario, quàm verus ſinus grad. 89.
quandoqui-
dem pro ſinu grad. 1.
numerum accepimus vero ſinu minorem.
Conſtitutus er-
go erit ſinus grad. 89.
inter duos hos numeros 9998476.
&
paulo amplius, at-
que 9998477. &
paulo amplius:
ac proinde ſine notabili errore eum ſtatuemus
eſſe 9998477. quantum videlicet eundem inuenimus ex ſinugrad.
1.
Ex quo
conſtat, recte conſtitutum eſſe ſinum grad. 1.
partium 174524.
cum ex eo, per
propoſ. 3.
repertus ſit ſinus complementiipſius tot particularum, quot vere ac
reipſa continere debet.
PRAETEREA ex finu arcus grad.
1.
reperiemus, per coroll.
propoſ.
4.
30.
&
ex hoc, per propoſ.
3.
ſinum complementi, nem-
pe ſinum grad. 89.
Min.
30.
Item ex ſinu arcus Min.
30.
inueniemus, per coroll.
propoſ.
4.
ſinum arcus Min.
15.
atque ex hoe ſinum complementi, hoc eſt, ſi-
num grad. 89.
Min.
45.
QVEMADMODVM autem ſupra ex ſinubus rectis grad.
30.
&
54.
12.
qui dimidium eſt chordæ arcus grad.
24.
quo dicti arcus grad.
30.
&
54.
inter ſe differunt:
ita quoque ex ſinubus rectis
30.
&
arcus grad.
52.
Min.
30.
cognitis cognoſeemus ſinum rectum
grad. 26.
qui dimidium eſt chordæ arcus grad.
52.
quo dicti arcus Min.
30.
&
grad. 52.
Min.
30.
inter ſe differunt, vt ſupra oſtendimus;
atque ex ſinu grad.
26.
ſiet, per propof.
3.
notus quoque ſinus complementi, nimirum ſinus grad.
64.
QVOD ſi arcus grad.
26.
&
grad.
64.
&
grad 89.
&
grad.
89.
Min.
30.
quo-
rum ſinus inuenti ſunt, ſecemus continue bifariam, quoad poſſumus, accipia-
&c.
adhibeamusq́ue doctrinam illam, qua ex duorum arcuum ſinubus notis
cognoſcitur ſinus medietatis differentiæ illorum arcuum, reperiemus ſin us ar
cuum numero 240. qui in ordinem redacti cum ſinubus arcuum numero 120.
prius inuentis, conſtituent ſinus arcuum numero 360.
ſeſe ordine ſuperantium
Minutis 15.
VERVM quia laborioſum eſt, atque moleſtum tot ſinus ea ratione in-
numero 120. ſeſe ordine ſuperantium Minutis 45.
Ex illis enim ſacile per re-
gulam proportionum reperiemus ſinus arcuum ſe ordine ſuperantium Minu-
tis 15. Deinde ex his ſinus arcuum, qui ordine ſe ſuperant Minutis 5.
Acdeni-
que ex iſtis ſinus arcuum per ſingula Minuta extenſorum; neque vnquàm in
hac ſupputatione error ſenſibilis continget. Cum enim ſinum totum poſue-
rimus centies maiorem, quàm 100000. ſit vt abiectis primis duabus figuris ad
dexteram, vt ſupra dictum eſt, exquiſitiſsimi relinquantur ſinus reſpectu ſinus
totius 100000. quod totus error, qui in hac ſupputatione contingere poteſt,
conſiſtat in prima figura ad dexterá, vel ad ſummum in duabus primis. Qua-
re abiectis duabus primis figuris, remanebunt omnic ijdem ſinus, qui inuen-
ti eſſent priori illo modo Geometrico reſpectu eiuſdem ſinus totius 100000. ſi in ſupputatione poneretur ſinus totus centies etiam maior, nempe partium
10000000. &
ex inuentis ſinubus duæ figuræ reijcerentur:
Id quod experien-
tia docebit. Ita autem rem exequemur.
Statuátur ordine illi arcus cum ſinu-
bus, & ad dexteram cuiuſque ſinus aſcribatur differentia, qua à præcedenti ſi-
vt hic factum eſſe vides in quin
que arcubus. Deinde dic.
Si Minuta 45.
re-
quirunt differentiam 130896. addendam ad
ſinum Minuti. 0.
vt ſiat ſinus Minutorum
45. Minuta 15.
quantam poſtulant diffe-
rentiam addendam eidem ſinui Minur. 0.
vt fiat ſinus Minutorum 15?
Inuenies enim
requiri differentiã 43632. quæ addita ſinui
Minuti. 0.
conſtituet ſinũ Minutorum 15.
partium 43632. Rurſus dic.
Poſitis ijſdem,
quantam differẽtiam exigune Minuta 30.
addendam eidem ſinui Minuti 0. vt ſiat ſi-
nus Minutorum 30? Reperies enim differentiam 87264.
quæ addita ſinui Minu
tio. faciet 87264.
ſinum Min 30.
Item dic.
Si Minuta 45.
quibus arcus Min.
45.
ab arcu ſequenti grad. 1.
Min.
30.
differt, requirunt differentiam 130873.
ad-
dendam ſinui Min. 45.
vt ſiat ſinus grad.
1.
Min.
30.
quantam differentiam po-
ſtulant Minuta 15. addédam eidem ſinui Min.
45.
vt fiat ſinus Min.
60.
hoc eſt,
1?
Inuenies enim differentiã 43624.
quæ addita ad 130896.
ſinũ Min.
45.
faciat 174520.
ſinũ grad.
1.
qui licet minor aliquanto ſit illo, quem alio mo
do inuenimus, abiectis tamẽ duabus primis ſiguris 20. relinquetur ſinus 1745.
exquiſitiſsimus grad. 1.
reſpectu ſinus totius 100000.
Dic pręterea.
Iiſdẽ poſi-
tis, quantam differentiam poſcunt Minuta 30. addendam eidẽ ſinui Min.
45.
vt ſiat ſinus Min. 75.
hoc eſt, ſinus grad.
1.
Min.
15?
Inuenies enim differentiam
87249. quæ addita ad 130896.
ſinum Min.
45.
faciet 218145.
ſinum grad.
1.
Min.
15. qui licet ſit aliquanto minor illo, quem prior ille modus exhibet, tamen
abiectis duabus primis figuris 45. remanebit ſinus 2181.
ex quiſitiſsimus grad.
1.
Min. 15.
reſpectu ſinus totius 100000.
Item dic.
Si Minuta 45.
quibus arcus
grad. 1.
Min.
30.
differt ab arcu ſequentigrad 2.
Min.
15.
requirunt differẽtiam
130829. addendã ſinuigrad.
1.
Min.
30 vt ſiat ſinus grad.
2.
Min.
15.
quantã diffe
rentiam poſcunt Minuta 15. addendam eidẽ ſinui grad.
1.
Min.
30.
vt ſiat ſinus
grad. 1.
Min.
45?
quantam præterea differentiã ſlagitant Minuta 30.
addendam
eidem ſinui grad. 1.
Min.
30.
vt fiat ſinus grad.
2?
Reperies enim priorem diffe-
rentiã eſſe 43610. quę addita ad 261769.
ſinum grad.
1.
Min.
30.
efficiet 305379.
ſinum grad. 1.
Min.
45.
Poſteriorem vero differentiam inuenies eſſe 87219.
quæ
addita ad 261769. ſinum eundem grad.
1.
Min.
30.
componet 348988.
ſinũ grad.
2. qui duo ſinus quamuis minores ſint, quàm illi, quos prior ille modus exhi-
bet, reiectis tamen duabus figuris primis ex vtroque, reliquierunt ſinus 3053.
3489. exquiſitiſsimi reſpectu ſinus totius 100000.
Hac eadem arte progredien
dum erit in cæteris, donec inuenti ſint ſinus omnium arcuum per 15. Minuta
45.
Vltra hunc etenim progredi hac via nõ
expedit, cum magis exquiſite ſinus complementorum arcuũ illorum, per pro-
poſ. 3.
inueſtigari poſsint, reſpectu ſinus totius 10000000.
quàm per regulam
proportionum; propterea quòd, vt ſupra oſtendimus in coroll.
propof.
1.
dif-
ferentiæ ſinuum verſus ſinem quadrantis minores ſunt, quàm prope initium
quadrantis; ac proinde fæpius differentiæ ſinuum mutantur prope ſinem qua-
drantis, quàm iuxta principium. Ex quo ſit rectius prope quadrantis initium
reperiri ſinus per regulam proportionum, quàm prope ſinem: quandoquidem
ibi vna eademq́ue differentia pluribus ſinubus deſeruit, quàm hic, vt dictũ eſt. Id quod experientia a pertiſsime quoque demonſtrat.
QVOD ſi omnes ſinus arcuum per 15.
Minuta progredientium, initio fa-
0.
in ordinem redigantur, vna cum eorum differentijs;
repe-
riemus eodem artificio ſinus omnium arcuum per 5. minuta extenſorum:
Ex
quibus demum eadem ratione ſinus omnium arcuum per ſingula minuta pro-
gredientium explorabimus; ac proinde tabulam ſinuum conficiem us vſque ad
arcum gra. 45.
Per ſinus autem horũ arcuũ eliciemus, per propof.
3.
ſinus com-
plementorum arcuum eorundem. Quare tota ſinuum tabula conſecta erit:
ac
proinde ſinus rectos omnium arcuum Quadrantis ſeſe ordine ſuperantium
vno Minuto, in partibus Sinus totius in quotcunque particulas diſtributi,
ſupputauimus. Quod faciendum erat.
_CAETERVM_ vt rationem ſupputationis ſinuum per proportionum regulam
videas, ſint in Quadrante _ABC_, arcuum _BD_, _BE_, ſinus _DF_, _EG_, noti, ex quibus
propoſitum ſit elicere ſinum _HI_, arcus _BH_, inter duos illos arcus poſiti Ducta recta
_DK_, perpendiculari ad _EG_; erunt rectæ _LI_, _KG_, ſinui _DF_, æquales s atque adeo
ſinum _DT_.
Quoniam vero arcus _DE_,
ſi e xiguus fuerit, qualem nos ponimus, nempe Minutorum _45_. vel _15_.
vel _5_.
(Ex his
enim ſolis intermediorum arcuum ſinus inquirimus) à recta linea, quoad ſenſum, non
erunt trianæ
gula _DEK_, _DHL_, quodammodo rectilinea. &
æquian-
gula inter ſe. Quamobrem erit, vt _DE_, differentia inter
arcum _BE_, ad _EK_, differentiam inter ſi-
num _DF_, & ſinum _EG_, ita _DH_, differentia inter ar-
cum _BD_, & arcum _BH_, ad _HL_, differentiam inter ſi-
num _DF_, & ſinum _HI_.
Cum ergo priores tres magnitu-
dines ſint cognitæ, (nempe arcus _DE_, quo arcus _BE_, arcũ
_BD_, ſuperat; &
recta _EK_, qua ſinus _EG_, ſinum _DF_,
excedit; nec non arcus _DH_, quo arcus _BH_, cuius ſinus
queritur, ſuperat arcum _BD_.) cognita etiam erit quarta magnitudo, id eſt, recta _HL_,
quæ addenda eſt ſinui _DF_, vt fiat ſinus _HI_. Conſtat igitur, ſinus per regulam pro-
portionum inuentos ſenſibiliter non differre à veris ſinubus, præſertim quando arcus
_DE_, quo arcus cognitorum ſinuuminter ſe differunt, valde exiguus eſt, ita vt à recta
linea vix differat.
_MAGNVM_ quoque compendium in hoc negotio nobis afferet propoſitio octaua.
nanciſcemur. _N_am ſi ſinum cuiuſuis arcus, qui maior non ſit, quàm grad.
_30_.
addamus
ſinui arcus, qui ab arcugrad. _60_.
ſuperatur ſumpto illo arcu, componemus ſinum arcus
qui eodemillo arcu aſſumpto arcũgrad. _30_.
ſuperat:
propterea quod differentia inter
ſinus duorum horum arcuum maiorum æqualis eſt ſinui arcus illius aſſumpti, qui ma
ior nõ ponitur, quàm grad. _30_.
vt ibi demonſtrauimus.
Vt ſi _3461171_.
ſinũ arcus grad.
_20_.
Min.
_15_.
adijciamus ad _6394390_.
ſinum arcus grad.
_39_.
Min.
_45._
.
qui abarcu grad.
_60_. ſuperatur dicto arcu grad.
_20_.
Min.
_15_.
conficiemus _9855561_.
ſinum arcus grad.
_80_. Min.
_15_.
qui arcum gra.
_60_.
eodem arcu grad.
_20_.
Min _15_.
ſuperat.
Sic ſi _5000000_.
ſinum arcus grad. _30_.
addamus ſinui _5000000_.
arcus grad _30_.
quem arcus grad.
_60_.
fuperat dicto illo arcu grad. _30_.
componemus _10000000_.
ſinum arcus grad.
_90_.
qui
arcum grad. _60_.
eodem illo arcu aſſumpto grad.
_30_.
ſuperat.
_ITEM_ ſi ſinum cuiuslibet arcus, qui arcu grad.
_30_.
maior non ſit, ſubducamus ex
ſinu arcus, qui arcum grad _60_. ſumpto illo arcu ſuperat, relinquetur ſinus arcus, qui
eodem illo arcu aſſumpto ab arcu grad. _60_.
ſuperatur.
Vt ſi _3502075_.
ſinum arcus
grad. _20_.
Min.
_30_ detrahamus ex _9862856_.
ſinu arcus grad _80_.
Min.
_30_.
qui arcum
grad. _60_.
dicto arcu grad.
_20_.
Min.
_30_.
ſuperat, reliquus erit _6360781_.
ſinus arcus gra.
_39_.
Min.
_30_.
quem arcus grad.
_60_.
eodemillo arcu grad.
_20_.
Min.
_30_ ſuperat.
_RVRSVS_, ſi ex ſinu cuiuſuis arcus, qui maior ſit arcu grad.
_60_.
detrahatur ſinus
arcus, quitanto minor ſit arcu grad. _60_.
quanto ille maior eſt, relinquetur ſinus ar-
cus, quo vteruis illorũ ab arcu grad. _60_.
differt.
Vt ſi ex _9781476_.
ſinu arcus gra.
_78_.
auferatur _6691306_.
ſinus arcus gra.
_42_.
reliquus erit _3090170_.
ſinus arcus grad.
_18_.
quo vterq; illorũ ab arcu grad.
_60_.
differt.
Quæ omnia ex dicta propeſ.
_8_.
colliguntur.
_ITAQVE_ ſatis eſt, vt inueniantur per regulam proportionum ſinus ommum ar-
cuum à principio quadrantis vſque ad arcum grad. _30_.
Si enim ex his eliciantur ſinus
complementorum, & ex his inuentis detrahãtur priores illi ſinus, reli qui erunt ſinus
omnium arcuum inter arcum grad. _30_ &
arcum grad.
_90_.
Item ſicogniti eſſent ſinus
arcuũ omniũ ab arcu grad. _30_.
vſq;
ad finem quadrantis, &
ſinus omniũ arcuum, qui
60.
detraherentur ex ſinubus omnium arcuum maiorũ, quàm
grad. 60.
remanerent ſinus omnium arcuum à principio quadrantis vſque ad arcum
grad. 30.
Denique ſi ſinus omnium arcuum à principio quadrantis vſque ad arcum
grad. 60.
inuenti eſſent, &
ſinus omnium arcuum minorum, quàm grad.
30.
ſinubus
omnium arcuum maiorum, quàm grad. 30.
adijcerentur, componerentur ſinus omnium
arcuum maiorum, quàm grad. 60.
_SED_ iam ſubijciamus tabulam ſinuum omnium arcuum quadrantis per ſingula
Minuta extenſorumà Ioanne Regiom. ſupputatam, quam tamen pleriſque in locis ab
erroribus, qui incuria typographorum irrepſerant, purgauimus. Cõtinet autem in hac
tabula ſinus totus particulas 10000000. ratione cuius omnes alij ſinus inuenti ſunt.
Quòd ſi à ſingulis reijciantur primæ duæ figuræ ad dexteram, (addita tamen vnita-
te, ſi duæ figuræ abiectæ numerum maiorem conſtituant, quàm 50.) relinquetur ſinus
reſpectu ſinus totius 100000. Si tamen quis eandem tabulam per præcepta tradita
conſtituendus
ei erit ſinus totus in ſupputatione partium 1000000000. _N_am ſi ex ſingulis ſinubus
inuentis abijciantur duæ primæ figuræ ad dexteram, vt diximus, reliqui erunt ſinus
reſpectu ſinus totius 10000000. ijdem omnino, qui in tabula Ioannis Regiom.
de-
ſcripti ſunt. _H_oc idcirco dico, ne mireris, non omnes ſinus per regulam proportionũ
inuentos ex ſinubus arcuum Minutis 45. ſe ordine ſuperantium, poſito ſinu toto
10000000. ad vnguem reſpondere ſinubus huius tabulæ.
Vt enim ſinus exquiſitere-
periatur reſpectu alicuius ſinus totius, conſtituendus eſt in ſupputatione ſinus totus
centies maior, vt ſupra dictum eſt.
_QVOD_ autẽ, abiectis duabus primis figuris ad dexterã ex ſingulis ſinubus, rema
quàmuis priores illi nõ ſint exqui
ſite inuenti, manifeſtũ eſt. Quoniã enim ſinus totus, ſiue ſemidiameter ad ſinum rectũ
quemcumq; determinatã quandã proportionẽ habet;
fit, vt omnes partes illius, quot-
cunq; illæ ſint, ad partes huius inuẽtas reſpectu illarũ partiũ ſinus totius eandẽ habeãt
proportionem, quam omnes partes eiusdẽ ſinus totius pauciores, quàm illæ priores, ha
bent ad partes eiuſdem ſinus reſpectu illarum partium ſinus totius pauciorum : alio-
quin ſinus totus non haberet ſemper ad eundem ſinum eandem proportionem, ſed ali-
quando eſſet maioris quantitatis reſpectu illius, & ali quando minoris :
quod eſt ab-
ſurdum. Quocirca ſi ſinus cuiuslibet arcus, vt v.
g illius, qui continet grad.
28.
inuen-
tus ſit reſpectu ſinus totius in quotuis particulas diſtributi, facile per regulam pro-
portionum inueniemus eundem ſinũ reſpectu eiuſdem ſinus totius in pauciores partes
diuiſi, ſi ita dicamus. Si ſinus totus partium 10000000.
dat ſinum arcus grad.
28.
par
tium 4694716. Idem ſinus totus partium 100000.
quot partium dabit ſinam eiuſdẽ
arcus grad. 28?
Inueniemus enim ſinum partium 46947 {1600000/10000000}.
Omiſ-
ſa autem hac fractione, (quòd minor ſit, quàm vnitas.) continebit idem ſinus partes
duntaxat 46947. quemadmodum in tabulis ſinuum ponitur, in quibus ſinus totus
continet partes 100000. Vbi vides, ſinum hunc relinqui, ſi ex illo duæ primæ figuræ
ad dexteram abijciantur. Ratio huius abiectionis eſt;
quia vt ſinus ille grad.
28.
mul-
tiplicatus per ſinum totum 100000 (quæ multiplicatio fit per appoſitionem quinque
cifrarũ, hoc modo; 469471600000.
vt in cap.
4.
Arithmeticæ diximus.)
diuidatur per
ſinum totum 10000000. vt regula proportionnm præcipit;
ſatis eſt, ſi ex numero pro-
ducto reijciantur ſeptem figuræ, quotnimirum cifræ ſunt in diuiſore 10000000. vt in cap.
5.
Arithmeticæ docuimus.
Quare reijciendæ ſunt quing;
illæ cifræ appoſitæ,
& præterea duæ figuræ primæ, nẽpe hic numerus 1600000.
qui cum diuiſore hanc mi
conſtituit, quæ vnitate minor eſt;
proptered quòd n@
merator cotinet ſeptem figuras, denominator autem octo. Eademq́;
ratio eſt in omnibus
alijs ſinubus. Hinc fit, ſinum relictum poſt abiectionem duarum primarum figurarum
ſatis exquiſitum eſſe reſpectu ſinus totius 100000. etiamſi ille, a quo duæ figuræ abij
ciuntur, reſpectu ſinus totius 10000000. non eſſet exquiſite inuentus.
Cum enim to-
tus error, qui in ſupputatione contingere poteſt, (quando nimirum conſtituendus eſt
ſinus inter duos numeros, quorum vnus vero ſinu maior eſt, & alter minor;
Vel quan-
do per regulam proportionum ſinus inquiritur: hic enim maius periculum errandi eſ-
ſe poteſt. Nam quando ſinus inuenitur per extractionem radicis quadratæ, error
vnitatem non excedit.) conſiſtat vel in prima ſola figura ad dexteram, vel in duabus
primis, ita vt ad ſummum error ſit in 99. vnitatibus, quibus ſinus inuentus verum ſi-
num excedat, vel ab eo deficiat; (quis enim pluribus vnitatibus à ſcopo aberret, niſi
plane rerum Geometricarum, at que Arithmeticarum ſit ignarus?) Duæ vero primæ
figuræ cum quinque cifris appoſitis conſtituant numeratorem fractionis, quam diui-
ſio exhibet, minorem denominatore, ita vt fractio minor ſit, quàm vnitas; liquet,
ſatis exquiſitum ſinum relinqui.
_E A D E M_ ratione, ſicuilibet ſinui reſpectu ſinus totius partium 100000.
inuen-
to apponãtur duæ cifræ ad dexteram, habebitur idem ſinus reſpectu ſinus totius par-
tium 10000000. Nam ſi dicamus verbi gratia;
Sinus totus partium 100000.
dat
ſinum arcus grad. 28.
partium 46947:
Sinus ergo totus partiũ 10000000.
quot par-
tium dabit eundẽ ſinũ arcus grad. 28?
reperiemus ſinũ partium 4694700.
Vbi vides,
ſinum hunc procreari, ſi illi duæ ciſræ ad dexteram adijciantur. Ratio huius adiectio-
nis eſt; quia vt ſinus ille grad.
28.
multiplicatus per ſinum totum 10000000.
(quæ
multiplicatio fit per appoſitionem ſeptem cifrarum, vt in cap 4. Arithmeticæ tradidi-
mus) diuidatur per ſinum totum 100000. vt regula proportionum præcipit, ſatis eſt,
ſi ex numero producto 469470000000. auferantur quinque cifræ, vt ex cap.
5.
no
ſtræ Arithmeticæ conſtat. Quocirca relinquetur prior ſinus cum duabus cifris ad dex-
tram appoſitis. Quòd autẽ ex ſinu 46947.
non sit inuentus sinus 4694716.
ille idẽ, ex
quo prius illum elicuimus, ſed ſolum hic 4694700. cauſa eſt, quòd sinus 46947.
non eſt
omnino exquisitus reſpectu sinus totius 100000. Deberet namq;
eſſe 46947.
&
inſu-
per {1600000/10000000}. vt ex dictis patet, ex quo præciſe inuenietur sinus ille
4694716. Sed licet hæ 16.
vnitates negligantur, accipiaturq́;
sinus 4694700.
qua-
lem inuenimus, non tamen fit error notabilis, cum 16. vnitates reſpectu sinus totius
sint {16/10000000}. quæ minutia multo minor eſt, quàm {1/216000}.
hoc eſt, quàm vnũ ſecundũ reſpectu sinus totius 60.
vt merito negligi poßit.
Ad ſum
mũ poterit aliquãdo cõtingere error, quàmuis valde raro, in {99/10000000}.
quæ minutia licet sit ali quanto maior, quàm {1/216000}. hoc eſt, quàm vnum
Secundum reſpectu sinus totius 60 eſt tamen multo minor, quàm {1/3600}. hoc eſt,
quàm vnum Minutum reſpectu sinus totius 60. Id vero, quod de sinubus totis partiũ
10000000 & 100000.
diximus, intelligendum quoq;
eſt de alijs sinubus totis quot-
partium siue plurium, siue pauciorum.
Semper enim ex sinubus re ſpectu sinus
totius maioris inuentis abijciendæ ſunt tot figuræ, vt relinquantur sinus reſpectu si-
nus totius minoris, quot ci fris sinus totus maior sinum totum minorem ſuperat: Item
sinubus reſpectu sinus totius minoris inuentis adijciẽ dæ ſunt tot cifræ, vt fiãt sinus re
ſpectu sinus totius maioris, quot cifris minor sinus totus à sinu toto maiore ſupera-
tur. Quod eodem modo demonſtrabitur.
Vt si ſupputentur sinus reſpectu sinus totius
100000000. &
ex singulis abijciantur tres primæ figuræ ad dexteram, reliqui erũt
&
quidem multò exquisitiores, quàm si sinus
ſupputentur reſpectu sinus totius 10000000. &
ex singulis duæ figuræ abijciantur.
Quòd si sinubus reſpectu sinus totius 100000.
inuentis adijciantur tres cifræ, fient
sinus reſpectu sinus totius 100000000. at que ita de cæteris.
_E X_ his patet ratio illius operationis, qua frequenter &
in mea Gnomonica, &
alijs in locis vſus ſum; cum duabus lineis cognitis reſpectu alicuius lineæ rectæ, tan-
quam sinus totius, deinde vero vna earum iterum cognita reſpectu alterius lineæ
rectæ maioris vel minoris veluti sinus totius, vel reſpectu alterius cuiuſpiam menſu-
ræ, alteram reſpectu huius alterius sinus totius, vel reſpectu alterius huius menſuræ
inueſtigo. Id quod &
Ptolemæus, &
alij Aſtronomi non raro etiam faciunt.
Exempli
gratia; cum duabus lineis rectis A, B, co-
totius cõ tinentis particulas 100000. linea
quidem A, partium 91354. linea vero
B, partium 40673. Deinde vero recta A,
reſpectu alterius lineæ maioris D, veluti
sinus totius cõplectentis quoque particulas
100000. deprehenſa iterum sit partium
80901. vel palmorum.
4 reſpectu menſuræ
E. quæ palmo ſit æqualis, vel reſpectu men
ſuræ F, quæ plures palmos, nempe quinque, cõtineat, inquiro, quot partes, aut palmos
linea B, contineat reſpectu poſterioris sinus totius, aut reſpectu dictæ illius menſuræ
E, vel F. Quod quidem expedio per regulam proportionum hoc modo.
Si linea A, partiũ
91354. dat lineam B, partium 40673.
Eadem linea A, partium 80901.
vel palmo-
r@m 4. quot partium, aut palmorũ dabit eandem lineã B ?
Inuenietur namque lineæ
B, partium 36019. &
paulo amplius, vel palmorũ 1 {35669/45677}.
Cuius operationis
ratio à ſuperiori non differt, cum recta A, ad rectam B, habeat ſemper vnam & ean
dem, determinatamq́; proportionem.
_IN_vertice præcedentis tabulæ ordine deſcripti ſunt 90.
gradus Quadrantis, &
Minuta.
In infimo deinde latere ijdem 90.
gradus
Quadrantis repoſiti ſunt ordine retrogrado, & ad dexteram ſurſum verſus, 60.
Mi-
nuta. Quod ideofactum est à nobis, vt illico cuiuslibet arcus complementum cognoſca-
tur. Nam quilibet gradus in vertice tabulæ poſitus cum quouis Minuto ad ſiniſtram
reſpondentem cum Minuto, quod ad dextram Minuto ad ſiniſtram accepto reſpondet. Vt quomam gradui 46.
in vertice, &
Minuto O ad ſiniſtram poſito, reſpondet in infi-
mo latere gradus 43. &
Minutum 60.
ad dexteram collocatum;
erit arcus grad.
43.
Min. 60.
hoceſt, arcus grad.
44.
Min.
o.
complementum arcus grad.
46.
Min.
o.
Sic
quoque arcus grad. 43.
Min.
13.
complementum habebit arcum grad.
46 Min.
47.
Ea-
dem ratione quilibet gradus in infimo latere poſitus cum quouis Minuto ad dexteram
collocato, habet pro complemento gradum in vertice gradui acceptoin infimo latere
reſpondentem cum Minuto, quod ad ſiniſtram Minuto ad dextram accepto reſpondet.
Poſtremo ſub gradibus in vertice tabulæ deſcriptis poſiti ſunt ſinus recti omnium ar-
cuũ per ſingula Quadrãtis Minuta progredientiũ, quatenus ſinus totus eſt 10000000.
Quòd ſi ex ſingulis ſinubus binæ priores figuræ ad dexter am abijciãtur, (addita tamen
vnitate, ſi duæ figuræ abiectæ numerum 50. excedunt) reliqui erunt ſinus eorundem
arcuum, quatenus ſinus totus eſt 100000. vt ſupra diximus.
Vnde quicquid in vſu hu-
ius tabulæ præcipiemus de ſinubus reſpectu ſinus totius 10000000. intelligendum quo-
que erit de ſinubus reſpectu ſinus totius 100000. abiectis nimirum duabus primis fi-
_HVIVS_tabulæ vſus duplex eſt.
Nam in ea vel cuiuslibet arcus inquiritur ſi-
nus, vel cuiuſuis ſinus cogniti arcus inueſtigatur. Quando ergo dati arcus Quadrante
ſtram. In communi enim angulo, procedendo nimirum à Minutis dextram verſus, do-
nec adlocum ſub gradibus acceptis peruenias, illico ſinum rectum inuenies. Ita ſinum
rectum arcus grad 25. ſub grad 25.
è regione Minuti o ad ſinistram collocati repe-
ries 4226183. Sinum vero rectum arcus grad.
25.
Min.
19.
inuenies 4276209.
Sinum
denique rectum arcus grad. 25.
Min.
50.
offendes 4357549.
Si vero ſinum rectum ar-
ſemicirculo, & reſidui arcus ſinum rectum cape, vt prius.
Hic enim ſinus erit etiam
ſinus rectus arcus quadrante maioris: propterea quòd duo arcus ſemicirculum con-
ficientes eundem ſinũ rectum habent, vtin definitionũ expoſitione diximus. Vt ſi da-
tus ſit arcus grad. 138.
Min.
47.
detrabe eum ex ſemicirculo, hoc eſt, ex grad.
180.
Sinus namq;
rectus 6589082.
reſidui arcus grad.
41.
Min.
13.
eſt quoq;
ſinus rectus
arcus grad. 138.
Min.
47.
cum illo arcu grad.
41.
Min.
13.
ſemicirculũ coficientis.
_QVOD_ſiarcus datus præter gradus, ac minuta habeat etiam Secunda, inquiren-
Accipe differentiam inter ſinum rectum arcus
proxime minoris, & ſinũ arcus proxime maioris, &
dic.
Si 60.
ſecunda (qui-
bus ſinguli arcus proximiin hae tabula inter ſe differunt) requirũt tota eam differen
tiam addendam ſinui arcus proxime minoris, vt componatur ſinus arcus proxime
maioris, quantam differentiam requirunt propoſita ſecunda addendam eidem ſinui
_N_am differentia inuenta erit
ctus arcus propoſiti. _V_t ſi propoſitus ſit arcus grad.
_20_.
_M_in.
_43_.
_S_ec.
_20._
_A_ccipe dif-
ferentiam _2721_. inter ſinum _3537469_.
arcus grad.
_20_.
_M_in.
_43_.
proxime minoris,
& ſinum _3540190_.
arcus grad.
_20_.
_M_in.
_44_.
proxime maioris, &
dic.
_S_i _60._
ſecunda
vequirunt differentiam _2721_. addendam ſinui _3537469_.
arcus grad.
_20_.
min _43_.
vt efficiatur ſinus _3540190_.
arcus grad.
_20_.
_M_in.
_44_.
quantam differentiam poſtu-
lant _20_. ſecunda addendam eidem ſinui _3537469_.
arcus grad.
_20_.
_M_in.
_43_.
vt fiat
ſinus arcus grad. _20_.
_M_in.
_43_.
ſec.
_20_?
_I_nuenies enim differentiam, ſiue partem pro-
portionalem _907_. quæ addita ſinui _3537469_.
efficiet _3538376_.
ſinum arcus grad.
_20_.
_M_in. _43_ ſec.
_20_.
_C_ommuniter tamen ab _A_ſtronomis negliguntur in hoc negotio _S_e-
_S_i vero pl@ra, addunt proillis vnum minutum
alijs _M_inutis. _N_ullus enim error, qui alicuius momenti ſit, inde oritur.
_I_taq;
pro
dato arcugrad. _20._
_M_in.
_43._
_S_ec.
_20._
accipiunt ſinum arcus grad.
_20._
_M_in.
_43._
ne-
glectis illis _20_ ſec. _P_ro arcu vero grad.
_20._
_M_in.
_43_ ſec.
_48._
ſumunt ſinum arcus grad.
_20._
_M_in.
_44._
computatis illis _48._
ſec.
pro vno _M_inuto.
_SEMICIRCVLI_porro, atq;
arcus ſemicirculo maioris, non eſt quòd ſinus rectus
nus adbibeantur, quod ijs perſptcuum eſt, qui in triangulis rectilineis, ac ſphæri-
cis, in quibus tota _S_inuum ſcientia verſatur, ſunt exercitati. _I_mmo ſemicirculus
nullum habet ſinum, vt ex vtraq; defin.
ſinus recti patet.
quod etiam de arcu ma-
iore dici poteſt, niſi quis in prima figura definitionum rectam _FK,_ ſinum rectum velit
appellare arcus _DBF_, ſecundum poſteriorem defin. ſinus recti;
&
rectam _FH_, ſinum
rectum arcus _ACf_. quod non videturproprie dici, cum huiuſmodi lineis prior defi-
nitio ſinus recti nullo modo conuenire poſsit, vt ex eadem figura perſpicuum eſt.
_QVANDO_ autemdati arcus _Q_uadrante minoris ſinum complementi quæris, cape
gradus illius in in feriori parte tabulæ, _M_inuta vero ad dexteram. _I_n communi enim
angulo continuò ſinum complementireperies, hoc eſt, ſinum rectum illius arcus, qui
dati arcus complementum eſt. _N_am ſinus ille rectus debetur arcui, cuius gradus in
vertice tabulæ, & minuta in ſiniſtro latere collocantur, qui quidem dati arcus com-
plementum eſt, vt ſupra diximus. _I_ta ſinum complementi arcus grad.
_30_.
ſupra
grad. _30._
infimi lateris tabulæ è regione _M_inuti _0._
ad dextram collocati inuenies
_8660254_. qui quidem ſinus rectus eſt arcus grad.
_59_.
_M_in.
_60_.
hoc eſt, arcus grad.
_60_.
qui complementum eſt arcus grad.
_30_.
_I_tem ſinum complementi arcus grad.
_30_.
_M_in. _49_.
reperies _8588110_.
qui quidem sinus rectus eſt arcus grad.
_59._
_M_in.
_11._
qui
complementum eſt arcus grad. _30_.
_M_in.
_49_.
_S_i vero offeratur arcus _Q_uadrante
_D_etrabe ex eo
quadrantem, & reſidui arcus ſinum rectum cape.
_C_um enim reliquus hic arcus ſit
complementum dati arcus, vt in definitionibus dictum eſt, erit eius ſinus rectus, ſinus
complementi dati arcus. _V_t ſi oblatus ſit arcus grad.
_127_.
_M_in.
_30._
_D_etrabe ex eo
quadrantem, hoc eſt, _90._ gradus.
_S_inus namque rectus _6087614._
reliqui arcus grad.
_37._
_M_in.
_30._
eſt ſinus complementi dati arcus grad.
_127._
_M_in.
_30._
cumille arcus ſit
buius complementum.
_QVOD_ ſi datus arcus præter gradus, ac _M_inuta habeat etiã _S_ecunda;
ſi quidem
_Q_uadrante minor ſit, inueſtigabis eius ſinum complementi per regulam proportio-
num, quemadmodum ſupra de ſinu recto diximus, niſi quòd hic differentia inuenta,
ſiue pars proportionalis ſubtrahenda eſt à ſinu arcus proxime minoris, _S_i vero ar-
detracto _Q_uadrante, inqui-
ſupra de ſinu recto tradidimus. _Q_uamuis _S_ecunda negligi poſsint, vt ſupra docui-
mus, in hoc ſinuum negotio _E_xemplum. _S_it datus arcus grad.
_69_.
_M_in.
_16._
_S_ec.
_40._
_A_ccipedifferentiam _2721_.
inter ſinum _3540190._
arcus grad.
_69_.
_M_in.
_16_.
proxime
minoris in parte tabulæ inferiori deſcripti, & ſinum _3537469_.
arcus grad.
_69_.
_M_in.
_17._ proxime maioris in eadem parteinferiori tabulæ poſiti;
&
dic.
_S_i _40._
_S_ecundæ
requirunt differentiam _2721_. ſubtrahendam à ſinu _3540190_.
arcus grad.
_69_.
_M_in.
_16._ in i feriori parte tabulæ poſiti, vt relinquatur ſinus _3537469_.
arcus grad.
_69_.
_M_in. _17_.
in eadem parte inferiori tabulæ deſcripti:
quantam differentiam poſtulãt
_40_. _S_ecunda ſubtrahendam ab eodem ſinu _3540190_.
arcus grad _69_.
_M_in.
_16_.
poſiti
in part in feriori tabulæ, vt relinquatur ſinus arcus grad. _69_.
_M_in.
_16._
_S_ec.
_40_ in
eadẽ parte inferiori tabulæ contenti? Inuenies enim differentiã ſiue partẽ proportio-
nalẽ _1814_. quæ ſubtracta ex sinu _3540190_.
relinquet sinum _3538376_.
arcus grad.
_69_. _M_in.
_16_.
_S_ec.
_40_.
in inferiori parte tabulæ collocati:
qui quidem eſt sinus rectus
arcus grad. _20_ _M_in.
_43_ _S_ec.
_20_.
hoc eſt, complementi arcus datigrad.
_69._
_M_in.
_16_.
_S_ec. _40_.
_S_it rurſum datus arcus grad.
_110_.
_M_in.
_43_.
_S_ec.
_20_.
_D_etrahe _Q_uadrantem,
id eſt, grad. _90_ &
residui arcus grad.
_20_.
_M_in.
_43_.
_S_ec.
_20_.
quære sinum rectum, vt
ſupra tradidimus. _I_nuenies enim per partem proportionalem, sinum _3538376_.
qui
eſt sinus complementi arcus propositi.
_HOC_ etiam modo sinum complemẽti arcus propositi quadrante minoris reperies.
rectus eius complementi inuentus, vt de sinu recto diximus, eſt is, qui quæritur. _V_t
si quæratur sinus complementi arcus grad. _69_.
_M_in.
_16_.
_S_ec.
_40_.
detrahe hunc ar-
cum ex grad. _90_.
&
residui arcus grad.
_20_.
_M_in.
_43_.
ſec.
_20_.
(qui complementum
eſt dati arcus grad. _69_.
_M_in.
_16_.
_S_ec.
_40_) sinum rectum quære, quem inuenies eſſe
_3538376_. atque hic eſt sinus complementi dati arcus grad.
_69_.
_M_in.
_16_.
_S_ec.
_40_.
_HIC_ quoque ſemicirculi, atque arcus ſemicirculo matoris sinus complementi
quærendus non eſt, ob rationem ſupra dictam.
_QVANDO_ deniq;
propositi arcus sinum verſum desideras;
si quidem _Q_uadrante
minor eſt, detrahe eius sinum complementi ex sinu toto: si vero _Q_uadrante eſt ma-
ior, ſed ſemicirculo minor, adde eius sinum complementi sinui toti. _N_umerus enim
reliquus, vel compositus, erit sinus verſus dati arcus: propterea quod sinus comple-
in definitionibus oſtendimus. Ex quo fit, vt sinus complementi arcus cuiusuis abla-
tus ex sinu toto, vel ad eum adiectus relinquat, vel componat eiuſdem arcus sinum
verſum: _I_d quod perſpicuum eſt ex prima figura, quam in expositione definitionum
poſuimus. _E_xemplum.
_S_it quærendus sinus verſus arcus grad.
_20_.
_M_in.
_57_.
_H_uius
sinuscomplementi eſt _9338928_ qui detractus ex sinu toto _10000000_. relinquet
sinum verſum _661072_. dati arcus grad.
_20_.
_M_in.
_57_.
_R_urſus sit inueſtigandus sinus
verſus arcus grad. _138_.
_M_in.
_31_.
_H_uius sinus complementi eſt _7491484_.
qui additus
sinui toti _10000000_. efficiet sinum verſum _17491484_.
arcus propositi grad.
_138_.
_M_in.
_31_.
_P_oſtremo sit inueniendus sinus verſus arcus grad.
_69_.
_M_in.
_16_.
_S_ec.
_40_.
_H_uius complementi sinus eſt _3538376_. inuentus per partem proportionalem;
qui
ſubtractus ex ſinu toto _10000000_. relinquet ſinũ verſum _6461624_.
dati arcus grad.
_69_ _M_in. _16_.
_S_ec.
_40_.
_S_ic quoque ſinus verſus arcus grad.
_159_.
_M_in.
_16_.
_S_ec.
_40_.
reperie-
tur _13538376_. per partem proportionalem.
_CAETERVM_ _Q_uadrantist tam ſinus rectus, quàm verſus eſt ſinus totus;
ſinus
_IAM_ vero ex cognito ſinu recto ita arcum inuenies.
_Q_uære ſinum rectum propo-
ſitum inter ſinus tabulæ; vel ſi eum non inueneris, ſume proxime maiorem, vel mino-
rem, qui nimirum paucioribus vnitatibus à propoſito ſinu diſtat. _N_am in vertice ta-
bulæ reperies gradus, & ad ſini ſtram è regione ſinus accepti, _M_inuta illius arcus, qui
propoſito ſinut reſpondet. _V_t ſi cognitus ſit ſinus _7510767_.
_I_nuenio ſinum _7510722_.
proxime minorem, qui paucioribus vmtatibus à ſinu cognito diſtat, quàm ſinus
proxime maior:
_C_ui ſinui proxime minori reſpõdent in vertice tabulæ grad.
_48_.
&
ad ſiniſtram _M_inuta _41_.
_A_rcum ergo grad.
_48_.
&
_M_in _41_ dico deberi ſinui pro-
poſito. _N_am vnitates illæ, quibus ſinus propoſitus à ſinu dicti arcus differt, non indu-
cunt errorem notabilem. _S_i tamen arcum cupis præciſiorem, inueſtiganda erit pars
proportionalis, hac arte. _C_ape differentiam inter ſinum proxime minorem, &
ſinum
proxime maiorem: _I_tem differentiam inter ſinum propoſitum, &
illum in tabula re-
pertũ, à quo minus differt; &
dic.
_S_i differentia inter duos ſinus in tabula repertos dat
_S_ecunda addenda arcui ſinus proxime minoris, vel auferenda ab arcu ſinus proxi-
me maioris, (prout videlicet ſumpta fuerit differentia inter ſinum propoſitum, &
ſinum proxime minorem, vel proxime maiorem) vt habeatur arcus ſinus proxime ma-
ioris, vel proxime minoris; quot _S_ecunda poſtulat differentia inter ſinum propoſitum
& ſinum proxime minorem, vel proxime maiorem, addenda arcui ſinus proxime mi-
noris, vel auferenda ab arcu ſinus proxime maioris, vt habeatur arcus propoſiti ſinus? _N_am hæc ſecunda inuenta addita arcui ſinus proxime minoris, vel ablata ab arcu
ſinus proxime maioris, dabunt arcum ſinus propoſiti. _V_t in dato exemplo, ſi dicas.
_D_ifferẽtia _1920_. inter ſinum _7510722_.
proxime minorem, &
ſinum _17512642_.
pro-
xime maiorẽ, dat _60_. _S_ecunda addenda arcui grad.
_48_.
_M_in.
_41_.
qui ſinui proxime mi-
nori reſpõdet, (quoniã propoſitus ſinus minus differt à ſinu proxime minori quàm à si
nu proxime maiori) vt habeatur arcus grad. _48_.
_M_in.
_41_.
_S_ec.
_60_.
hoc eſt, grad.
_48_.
_M_in.
_42_. reſpõdens ſinui proxime maiori.
_Q_uot ergo Secũda poſtulat differẽtia _45_.
inter ſinũ
propoſitũ, & ſinũ proxime minorẽ, addenda eidẽ arcui ſinus proxime minoris, vt fiat
arcus dati ſinus? _I_nuenies enim _S_ecundũ _1._
&
paulo amplius addendũ arcui grad.
_48_.
_M_in. _41_.
ita vt ſinui propoſito _7510767_.
reſpondeat arcus grad.
_48_.
_M_in.
_41_.
_S_ec.
_1._
&
paulo amplius. _R_u-ſus ſit datus ſinus _455630_.
quem in tabula quæſitum non inuenio.
_A_ccipio ergo proxime maiorem _456536_. (_A_b hoc enim minus diſtat, quàm à proxime
minori _453630_.) cui reſpondet arcus grad.
_2_.
_M_in.
_37_.
_Q_uòd ſi magis præciſum arcum
deſiderem, inquiram partem proportionalem, hoc modo. _D_ifferentia _2906_.
inter ſinũ
_456536_. proxime maiorem, &
ſinum _453630_.
proxime minorem, dat _60_.
_S_ecũda au-
ferenda ab arcu grad. _2_.
_M_in.
_37_.
qui ſinui proxime maiori reſpondet, vt reliquus sit
arcus grad. _2_.
_M_in.
_36_.
reſpondens sinui proxime minori:
_Q_uot ergo _S_ecunda poſtulat
differentia _906_. inter sinum propositum, &
sinum proxime maiorem, auferenda ab
eodem arcu ſinus proxime maioris, vt fiat arcus dati sinus? _I_nuenio enim _S_ecunda _19_.
fere, quæ ablata ex arcu grad. _2_.
_M_in.
_37_.
relinquunt arcum grad.
_2_.
_M_in.
_36_.
_S_ec.
_41_. sinui dato _455630_.
debitum.
_Q_uoniam veroidem sinus rectus reſpondet duobus
recto inuentus ſubducatur ex ſemicirculo, ideſt, ex grad. _180_.
reliquus erit alter ar-
cus quadrante maior, qui dicto etiam ſinui debetur. _V_t ſi arcus grad.
_48._
_M_in.
_41_.
_S_ec.
_1._
inuentus dematur ex grad.
_180_.
remanebit arcus grad _131_.
_M_in.
_18_.
_S_ec.
_59_.
eidẽ
sinui recto _7510767_. debitus.
_P_ulchre autem operatio in triangulis tam rectilineis,
veſpondens, an vero minor, vt proprijs locis apparebit.
_SI_ vero sinus cognitus, eſt sinus complementi arcus quæsiti, ſumendierunt gra-
_M_inuta ad dextram.
_I_ta enim habebitur arcus quæ-
situs. _V_elcerte inueniendus erit arcus, vt prius diximus, ſinui dato, tanquam recto,
reſpondens, is que ex quadrante demendus, vt arcus quæsitus relinquatur. _V_t si co-
gnitus sit _7510767_. sinus complementi alicuius arcus.
_I_nuenio sinum _7510722_.
pro-
xime minorem; quoniam paucioribus hic vnitatibus à sinu cognito diſtat, quàm sinus
_7512642_. proxime maior in tabula sinuum:
_C_ui sinui proxime minori reſpondent in
ima ſede tabulæ grad. _41_.
&
ad dexteram _M_inuta _19_.
_A_rcus igitur grad.
_41_.
_M_in.
_19_.
eſt is, qui quæritur.
_H_uius enim complementum eſt arcus grad.
_48_.
_M_in.
_41_.
cui sinus
datus debetur _I_dem arcus grad. _41_.
_M_in.
_19_.
reperietur, si arcus grad.
_48_.
_M_in.
_41_.
sinui dato in vertice tabulæ, & ad siniſtram reſpondens ex quadrante ſubducatur.
_Q_uòd si partem proportionalem ſupra inuentam, nimirum _S_ec. _1._
detrahas ex arcure
_41_.
_M_in.
_19_.
(quia maiorem arcum, quàm par eſt, dato sinui _7510767_.
tri-
buimus.) inuenietur arcus magis præciſus grad.
_41_.
_M_in.
_18_.
_S_ec.
_59_.
_Q_ui etiam repe-
rietur, si arcum grad. _48_.
_M_in.
_41_.
_S_ec.
_1._
eidem ſinui, tanquam recto, debitum, &
ſe-
cundum partem propertionalem inuentum, detrahas ex quadrante. _R_urſus detur
_455630_. sinus complementi alicuius arcus, quem in tabula quæsitum non inuenio.
_A_ccipio ergo proxime maiorem _456536_.
(quoniam ab hoc minus diſtat, quàm à pro-
xime minore _453630_.) cui in parte inferiori tabulæ reſpondet arcus grad.
_87_.
_M_in.
_23_. quæſitus;
cum huius complementum ſit arcus grad.
_2_.
_M_in.
_37_.
sinui dato, tanquã
recto, debitus. _Q_uòd si partem proportionalem ſupra inuentam, nimirum _S_ec.
_19_.
ad-
das arcui inuento grad. _87_.
_M_in.
_23_.
(quia minorem arcum, quàm par eſt, dato sinui
_455630_. tribuimus.)
inuenietur arcus magis præciſus grad.
_87_.
_M_in.
_23_.
_S_ec.
_19_.
_Q_uẽ
etiam reperies, si arcum grad. _2_.
_M_in _36_.
_S_ec.
_41_.
eidem sinui, tanquam recto, debitũ,
& ſecundum partem proportionalem inuentum, ex quadrante ſubducas _I_am vero si
sinus propositus, eſt sinus complementi arcus quadrante maioris, (_Q_uod quãdo fiat,
ei in vertice tabulæ, tanquàm ſinui recto reſpondens, & quadrãti adijciendus, vt ar-
cus quæſitus conficiatur. _V_t sisinus complementi alicuius arcus quadrante maioris
cognitus sit _7510722_. ſumendus erit arcus ei reſpondens in vertice tabulæ vna cum
parte proportionali, grad. _48_.
_M_in.
_41_.
_S_ec.
_1._
&
quadranti adijciendus.
_C_omponetur
enim arcus grad. _138_.
_M_in.
_41_.
_S_ec.
_1._
qui quæritur, cuius nimirum complement@
datus sinus debetur.
_
DENIQVe_ ex sinu verſo cognito ita arcum inquires. _S_i datus sinus verſus
_R_eliquus enim eritsinus com-
plementi arcus quæsiti. _Q_uare ex hoc, vt proxime docuimus, arcum quæsitum inue-
nies. _S_i vero datus sinus verſus sinum totum ſuperat, ſubtrahe ex eo sinum totum.
_R_emanebit enim sinus rectus arcus, qui quadranti adiectus arcum quæsitum conficiet-
_E_xemplum. _D_etur ſinus verſus _9544370_.
_H_unc detraho ex sinu toto _10000000_.
re-
manebitq; _455630_.
sinus complementi arcus quæsiti, ex quo inuenietur arcus grad.
_87_. _M_in.
_23_.
_V_el partem proportionalem magis præciſus, grad.
_87_.
_M_in.
_23_.
_S_ec.
_19_.
_I_tem sit datus sinus verſus _10455630_. Exhoc ſubduco sinum totum _10000000_. re-
linqueturq́; _455630_.
sinus rectus, cuius arcus grad.
_2_.
_M_in.
_37_.
vel magis præciſus per
partem proportionalem inuentus, grad. _2_.
_M_in.
_36_.
_S_ec.
_41_.
adiectus quadranti efficiet
arcum quæsitum grad. _92_.
_M_in.
_37_.
vel magis præciſum, grad.
_2_.
_M_in.
_36_.
_S_ec.
_41_.
_H_uius
_I_n ea
enim ſinus verſus _AH,_ ex ſinu toto _Ae_, ſublatus relinquit _HE_, vel _FK_, ſinum comple
menti arcus _AF_, qui dicto ſinui verſo _AH_, debetur. _I_tem ex ſinu verſo _HC_, ſubdu-
ctus ſinus totus _EC_, relinquit _EH_, vel _Kf_, ſinum rectum arcus _FB_, qui quadranti
_BC_, adiectus componit arcum _FC_, dicto ſinui verſo _HC_, reſpondentem.
_EX_ eadem tabula ſinuum rectorum indagabimus quoq;
cuiusq;
arcus chordam;
contra datæ cuiusq;
chordæ arcum reperiemus.
_N_am ſi dimidij arcus propoſiti ſi-
num rectũ accipiamus, eumq; duplicemus, conflabimus dicti arcus chordam.
_I_tem ſi
datæ chordæ dimidium, tanquàm sinum rectum ſumamus, eiuſq́; arcum eliciamus, da
bit hic arcus duplicatus arcum datæ chordæ reſpondentem. _I_d quod ex eadem figura
prima, quã in definitionum explicatione deſcripsimus, manifeſtum eſt. _N_ã in ea _
FH_,
ſinus rectus arcus _AF,_ vel _FC_, eſt ſemißis chordæ _FG_, arcus _FAG_, vel _FCG_, &c.
_
VeRVM_ quia tabulam ſinuum non ſemper in promptu habemus, non iniucun-
dum ſtudioſis fore ſum arbitratus, ſi breuiter hoc loco doceam, antequam ad alia
progrediar, qua ratione ſinubus _G_eometrice, ſine auxilio numerorum, vti poßimus in
theorematibus, atq; problematibus _A_ſtronomorum ac _G_eometrarũ explicandis:
ita vt
ſolo circini beneficio omnia illa conſequamur, quæ longis multiplicationibus, diuiſioni
busq́; numerorum in ſinuum tabula contentorũ inquiri ſolẽt.
_H_ac enim reijs præſer
tim conſultum erit, qui vel magnã moleſtiam in numerorũ ſupputationibus ſentiũt,
vel non admodum in ijs ſeſe exercuerunt. _Q_uod vt commodius exequamur, rem totam
vno aut altero exemplo exponemus. _S_it ergo, exempli cauſa, inueſtiganda deslinatio
cuiuſuis puncti _E_clipticæ, vt grad. _20_.
_D_eſcribatur circulus _
AbCD_, vnà cum
ſeſe in centro
_E_, ad angulos
rectos ſecanti-
bus. _
E_tquoniã,
vt in coroll. propoſ.
_1._
lib.
_1._ noſtræ _G_no-
monices oſten-
dimus, ea eſt
proportio ſi-
nus totius ad
ſinum maximæ declinationis, quæ ſinus illius arcus, quo datum punctum à viciniori
puncto æquinoctij diſtat, ad ſinum declinationis eiuſdem puncti; ſumatur arcus maxi-
mæ declinationis _Df_, (quod quidem facile fiet, ſi adſit quadrãs æneus, aut ligneus ac-
curate in _90_. gradus diuiſus, de quo in initio noſtræ _G_nomonices ſcripſimus.
_S_ine hoc
enim quadrãte non eſſet operæ pretium velle ſinubus vti ſine numeris.) &
arcus grad.
_50._ _DG_, quo nimirum datus gradus _20._
à principio γ.
abeſt:
atq;
ex _
F, G_, ad _De_,
perpendiculares demittantur _FI, GH_; quod facile fiet, ſi arcubus _DF,
Dg,_ ſuman-
tur arcus _DK, DL_, æquales: _R_ectæ enim puncta _
G, L,_ & _
F, K_, iungentes erunt ad
_De_, perpendiculares, cum per ſcholium in definitionibus poſitum ſecentur in _H,_
_I_, bifariam, ac propterea ad angulos rectos: _
E_runt autem _FI, GH_, ſinus re-
Df, Dg._ _I_gitur ſi tribus rectis _ED_, ſinui toti, &
_
FI_, ſinui ma-
ximæ declinationis, & _GH_, ſinui arcus, quo datum punctum ab æquinoctio
_I_ta autem ſine magno labore quartam proportionalem reperiemus cum _E_u-
clide. _D_uctis duabus rectis _AB, AC_, angulum quemcunq;
facientibus in _A_, ſumatur
in earum altera, recta _AD_, primæ lineæ, boc eſt, ſinui toti _ED_, æqualis; &
_DB_,
æqualis ſecundæ lineæ, vt ſinui maximæ declinationis _FI:_ _I_n altera vero, recta _
Ae_,
tertiæ lineæ, nempe ſinui _GH_, æqualis. _D_einde ducta recta _
De_, ægatur illi per _B_,
parallela _BC_. _N_am _
EC_, erit quarta proportionalis, boc eſt, ſinus rectus declina-
tionis grad. _20._
_C_uius arcum ita inquiremus.
_R_ectæ _EC_, inuentæ abſcindemus
ex ſemidiametro _EA_, æqualem _EM_, & per _M_, rectæ _EB_, parallelam ducemus _MN_.
_A_rcus namq;
_BN_, erit arcus declinationis quæſitæ, cum reſpondeat ſinui recto _
EM_,
ſiue _EC:_ propterea quod, ducto ſinu recto _NO,_ arcus _NB_, inter ſe æquales ſintre-
EM, ON_, ob parallelogrammum _MO_. _E_undem tamen arcumita quoq;
obtine-
_R_ectæ inæ
uentæ _EC_, æquæ
lem abſcindemus
_Cf_, vt _EF_,
ipſius _EC_, ſit du
pla, hoc eſt, chor
da illius arcus,
qui duplus e§t
arcus, cuius ſis
nus rectus e§t
_EC_. _N_am ſire-
ctæ _EF_, æqua-
lem chordã _PQ,_
in circulo accommodemus, & cius arcum _PQ_, bifariam ſecemus in _R_, erit quoq;
_QR_,
vel _Pr_, arcus declinationis quæſitæ reſpondens ſinui _EC_, hoc eſt, dimidiatæ chordæ
_PQ_, vt conſtat ex definitione ſinus recti. _Q_uadrans porroin _90._
gradus diuiſus mon-
ſtrabit, (ſihoc etiam ſcire lubeat) quot gradus ac _M_inuta in _BN_, vel _PR,_ arcu declina
tionis contineantur: quamuis _M_inuta ſecundũ exiſtimationẽ accipienda ſint;
proptereæ
quòd gradus quadrantis, niſi admodum magnus eſſet, in _M_inuta diuidi non poßit.
_RVRSVS_ inueſtiganda ſit aſcenſio recta grad.
_20._
_Q_uoniamigitur, vtin ſch@
lio propoſ. _9_.
lib.
_2._
_G_nomonices demonſtrauimus, eadem eſt proportio ſinus complemen
ti declinationis puncti propoſiti ad ſinum complementi arcus, quo datũ punctũ à vicia
niori puncto æquinoctij abeſt, quæ ſinus totius ad ſinum complemẽti aſcenſionis rectæ: ſumatur in eadem figura arcus _
BN_, declinationis grad. _20_.
quæ in tabula declina-
tionis continet grad. _17_.
_M_in.
_47_.
ducaturq́;
_NM_, ad _
EA_, perpendicularis, quæ ſinus erit
complementi dictæ declinationis. _C_apiatur quoq;
arcus _DG_, grad.
_50_.
quo datum pun
ctum ab æquinoctio verno abeſt, & ad _
EA_, perpendicularis ducatur _GS_, nempe ſinus
complementi dicti arcus _DG_. _P_oſt hæc tribus rectis _NM_, ſinui complemẽti declinationis
dati puncti, & _GS_, ſinui complementi arcus _DG_, quo datũ punctum ab æquinoctij pun
cto diſtat, et _ED_, ſinui toti, quarta proportionalis inueniatur _LI_, vtin lineis _GH, GI_,
ſeſein _G_, ſecantibus factũ eſt: _S_umpta enim ibi eſt _
GK_, ipſi _NM_, & _KH,_ ipſi _GS_, &
_GL_,
ſinui toti _ED_, æqualis, &c.
_N_am _LI_, inuenta erit ſinus complementi aſcenſionis rectæ
dati grad. _20_.
_Q_uare ſi ipſi _LI_, ex ſemidiametro _EC_, abſcindatur æqualis recta _
ET_,
ducaturq; _TV_, ipſi _EB_, parallela, &
_VX_, ipſi _
EC_, parallela, erunt æquales rectæ _ET,_
C_um ergo ſinui _VX_, reſpondeat arcus _BV_, erit huius complementũ _VC_, aſcenſi@
_Q_uot autem gradus complectatur arcus _VC_, indicabit quadrans
in _90_. gradus diuiſus.
_EODEM_ pacto omnia alia problemata _G_eometrice per ſinus abſoluemus, etiamſi
ſinubus verſis vti oportuerit aliquando, qui quidem eadem facilitate exdatis arcu-
bus inueniuntur, & exipſis arcus, qua ſinus rectos, &
ſinus complemẽtorum reperi-
mus. _S_i enim arcus datus minor eſt quadrante, vt _AG;_
ducta _GS_.
ad _AE_, perpendi-
culari, erit _AS_ ſinus verſus arcus _AG_. _S_i vero datus arcus quadrante maior eſt, vt
_AV;_ ducta _VT_, ad _EC_, perpendiculari, erit _AT_, ſinus verſus arcus _AV_, vt ex
definitione manifeſtum eſt.
_SED_ iam ad inquiſitionem chordarum _G_eometricam aggrediamur, ex quibus
rurſum ſinuum tabulam facili negotio componemus.
IN circulo ſumptis duobus arcubus inæqua-
chorda minoris; maior eſt proportio arcus maio-
ris ad minorem, quam chordæ arcus maioris ad
chordam minoris arcus.
IN circulo ABCD, ſint inęquales arcus AB,
Bc; ille maior, hic vero minor:
quorum chordæ AB, BC;
illa maior, hæc vero minor.
Dico maiorem eſſe
proportionem arcus AB, ad arcum BC, quam chordæ AB, ad chordam BC.
Contineant enim chordæ AB, BC, angulum ABC, ita vt arcus ſint conti-
nuati, minoreſq; ſint tota circunferentia.
Nam ſi toti circunferentiæ forent
æquales, eſſet eadem chorda vtriuſq; arcus:
ſi vero totam circunferentiam
excederent, eſſet chorda arcus minoris maior, quam maioris, vt patet in ſe-
Angulus porrò ABC, bifariam ſe-
rectæ AC, AD, CD, quarum AC, rectam BD,
ſecet in E. Erunt autem rectæ AD, CD, æquales, propter arcus AD, CD,
Et quoniam in triangulo ABC, recta BE, angulum ABC, bifariam
ſecat; erit, vt AB, ad BC, ita AE, ad EC:
Eſt autem recta AB, maior, quam
Igitur &
AE, maior erit, quã EC.
Diuiſa ergo AC, bi-
fariã in F, erit punctũ F, in maiori ſegmento AE. Ducta autẽ recta DF;
quoniã
latera AF, FD, trianguli AFD, lateribus CF, FD, trianguli CFD, baſisq́; AD, baſi CD, oſtenſa eſt æqualis;
erit angulus AFD, angulo CFD, æqua-
ac proinde vterq;
rectus erit.
Cum ergo in triangulo DEF, duo anguli
E, F, duobus rectis ſint minores, erit angulus E, acutus, ac proinde reliquus
Quare cum in triangulo CDE, duo anguli C, E, ſint duo-
bus rectis minores, erit angulus C, acutus. Eſt igitur in triangulo DEF, la-
tus DE, maius latere DF, & in triangulo CDE, minus latere CD.
Quocir-
in H, rectam autem CD, infra punctum C, in G. Quoniam vero ſector DHE,
ad triangulum DEC, maiorem proportionem habet, quam triangulũ DFE,
Item ſector idem DHE, ad ſectorem DEG, ma-
iorem proportionem habet, quam ad triangulum DEC; habebit multò ma-
iorem proportionem ſector DHE, ad ſectorem DEG, quam triangulum
DFE, ad triangulum DEC. Eſt autem, vt ſector DHE, ad ſectorem DEG,
Maior ergo quoq;
erit proportio an-
guli HDE, ad angulum EDG, quam trianguli DFE, ad triangulum DEC:
EC. Eſt igitur maior quoq;
proportio anguli HDE, ad angulum EDG,
quæ rectę FE, ad rectam EC. Etcomponendo, maior etiam erit proportio
Quia igi-
recta AC, ad rectã FC: (vtrobiq;
enim eſt proportio
dupla) Angulus autem HDG, ad angulum EDG,
maiorem habet proportionem, quam recta FC, ad
rectam EC, vt oſtendimus; erit ex æquo maior quo-
quam rectæ AC, ad rectam EC, vt in hac formula
apparet. Diuidendo ergo erit quoq;
maior proportio anguli ADE, ad angu-
Atqui vt angulus ADE, ad an-
gulum EDG, ita eſt arcus AB, ad arcum BC; Et vt recta AE, ad rectam EC,
Igitur maior erit etiam proportio arcus
In circulo ergo ſum-
ptis duobus arcubus inæqualibus, &c.
Quod demonſtrandum erat.
_QVAMVIS_ autem Theorema hoc proponatur ſolum de arcubus illis inæqualin
bus, quorũ maiori maior chorda ſubtenditur, quam minori: _I_dem tamen locum etiam
habet in illis arcubus inæqualibus, quorum maioris chorda minor eſt, quam chordæ
minoris. _N_am quia tunc arcus maior ad minorem habet proportionẽ maioris inæqua-
litatis, chorda vero maioris arcus ad chordam minoris arcus proportionem habet mi-
noris inæqualitatis, maior erit proportio maioris arcus ad minorem, quam chordæ
arcus maioris ad chordam minoris arcus.
SEQVITVR ex hac propoſitione, minorem eſſe proportionem minoris arcus ad ma-
iorem, quam chordæ minoris arcus ad chordam maioris. Cum enim maior arcus ad mi-
norem habeat maiorem proportionem, quam chorda maioris arcus ad chordam minoris,
vt demonſtratum eſt; habebit conuertendo minor arcus ad maiorem, minorem propor-
SI in circulo quadrilaterum deſcribatur cum
eritrectãgulum ſub diametris com-
prehenſum æquale duobus rectãgulis ſimul, quæ
ſub lateribus oppoſitis continentur.
IN circulo ABCD, ſit quadrilaterum ABCD, cuius diametri AC, BD.
Dico rectangulum ſub AC, BD, comprehenſum æquale eſſe rectangulis ſi-
mul ſub AD, BC, & ſub AB, DC, contentis.
Fiat angulo DAC, æqualis
angulus BAE; cadetq́ recta AE, vel in ipſam rectam AC;
vel inter AC,
rectam, & punctum B;
vel deniq;
inter rectam AC, &
punctum D:
atq;
erit
in primo caſu angulus BAC, angulo DAE; &
in ſecundo caſu totus angu-
lus BAC,
DAE, pro-
pter cõ mu-
nem angu-
lum EAC,
additum; &
& in tertio
caſu reli-
quus angu-
lus BAC, reliquo angulo DAE, ob communem angulum EAC, ablatum
æqualis. Et quoniam angulus quoq;
ACB, angulo ADB, æqualis eſt;
erit
Erit igitur vt AC, ad CB, ita AD, ad DE.
Qua-
Rurſus
&
angulus
ABD, angulo ACD: erit &
reliquus angulus AEB, in triangulo AEB, re-
Erit igitur, vt AC, ad CD,
Quare rectangulum ſub AC, BE, æquale eſt rectangulo ſub
Quoniam igitur rectangulum ſub AC, DE, rectangulo ſub CB,
ſum eſt æqua
le; &
rectãgu
lum ſub AC,
BE, rectãgu
lo ſub CD,
AB: Suntau
tem rectangu
la ſub AC,
DE, & ſub
AC, BE, ſimul rectangulo ſub AC, BD, æqualia; erit rectangulum ſub AC,
ſub CD, AB, contentis æquale.
Siergo
in circulo quadrilaterum deſcribatur, &c.
Quod erat demonſtrandum.
_QVANDO_ figura in circulo deſcripta eſt quadratum, vt in prima figura, fa-
cilius demonſtrabitur theorema, hoc modo. _Q_uoniam rectangulum ſub _AC, BD,_
quadratis ex _AD, DC,_ hoc eſt, rectangulis ſub _AD, BC,_ & ſub _AB, DC,_ conten-
_AB, DC;_
liquido conſtatid, quod
proponitur.
EX data circuli diametro quotlibet particula-
rum, latera trianguli æquilateri, quadrati, hexago-
ni, pentagoni, & decagoni in eodem circulo de-
ſcriptorum, in eiſdem partibus inueſtigare.
PONATVR diameter partium 20000000.
Quoniam igitur latus he-
xagoni ſemidia metro circuli eſt æquale, ipſum notum fiet partium 10000000.
RVRSVS, quia quadratum à diametro quadrati cuiuſuis deſcriptum,
duplum eſt quadrati eiuſdem; Eſt autem diameter quadrati in circulo deſcri-
ſi accipiatur quadratum à diametro circuli
deſcriptũ, népe 400000000000000. erit dimidiũ eius, puta 200000000000000.
quadratum lateris quadrati, cuius radix quadrata 14142136.
dabit latus qua-
drati. Quod hoc etiam modo reperietur.
Quoniam quadratum in circulo de-
ſcriptum duplum eſt quadrati à ſemidiametro deſcriptum, vt patet in trian-
ſi 100000000000000.
quadratum ſemidiametri duplicetur, fiet quadratum in circulo deſcriptum
partium 200000000000000. cuius radix quadrata 14142136.
rurſus dabit la-
tus quad rati.
PRAETEREA, cum latus trianguli æquilateri in circulo deſcripti ſit
midiametri triplicatum det quadratum lateris triãguli 300000000000000. cu-
ius radix quadrata idem latus exhibebit partium 17320508.
SIT inſuper AB, ſemidiameter circuli cuiuſuis, qua diuiſa ſecundum ex-
BC; producta autem AB, &
abſciſſa BD, quæ maiori ſeg-
mento BC, ſit æqualis; erit
quoq; AD, in B, diuiſa ſecundum extremam ac mediam rationem, maiusq́;
quod cum ſit latus hexagoni in circulo, cuius ſemidia-
meter AB; erit BD, latus decagoni in eodem circulo.
Quod hac ratione
notum efficietur. Secta AB, bifariam in E, erit quadratum rectæ DE, com-
poſitæ ex minori ſegmento DB, & dimidio BE, maioris ſegmenti BA, quin-
AB, ac proinde partium 5000000. Quare ſi quadratum rectæ BE, quincupli-
cetur, fiet quadratum rectæ DE, 125000000000000. cuius radix quadrata
dabit rectam DE, partium 11180340. ex qua ſi dematur recta BE, partium
5000000. reliquum erit BD, latus decagoni partium 6180340.
POSTREMO, quoniam pentagoni latus poteſt &
latus hexagoni, &
ſi quadratum lateris hexagoni 100000000000000.
&
quadra-
tum lateris decagoni 38196602515600. ſimul componantur, fiet quadratum
lateris pentagoni 138196602515600. cuius radix quadrata dabit latus pen-
tagoni partium 11755705. Atq;
ita latera trianguli æquilateri, quadrati, pen
tagoni, hexagoni, & decagoni nota facta ſunt in partibus diametri circuli, in
quo deſcribuntur. Ex data igitur circuli diametro quotlibet particularum,
latera trianguli æquilateri, quadrati, &c.
inueſtigauimus.
Quod erat fa-
ciendum.
EX datis chordis duorum arcuũ inæqualium
chordam arcus, quo maior arcus minorem ſupe-
rat, inquirere.
IN ſemicirculo ABCD, ſint datæ chordæ AB, AC, &
BC, ſit chorda
arcus BC, quo maior arcus AC, minorem AB, ſuperat: oporteatq́;
inqui-
rere chordã BC. Ductis rectis BD, CD;
quoniam
erunt chordæ BD, CD. Rectangulum ergo ſub
datis rectis AB, CD, comprehenſum, notum erit: Itemrectangulum ſub datis rectis AC, BD.
Eſt
autem rectangulum ſub rectis, AC, BD, æquale
ſub BC, AD.
Ablato ergo rectangulo noto ſub AB, CD, ex
rectangulo ſub AC, BD, notum ſiet reliquum rectangulum ſub BC, AD.
Ex
datis ergo chordis duorum arcuum inæqualium chordam arcus, quo maior
arcus minorem ſuperat, inquiſiuimus. Quod faciendum erat.
ITAQVE datis chordis duorum arcuum inæqualium, ſi maioris chorda multiplice-
pro-
poſ. datur;
&
ex producto ſubtrahatur numerus procreatus ex minoris arcus chorda in chor
dam arcus, qui cum arcu maiori ſemicirculum complet, quæ per eandem propoſ. 3.
dat@r;
reliquus autem numerus per diametrum diuidatur, reddetur chorda illius arcus, quo ma-
ior arcus minorem ſuperat, nota: vt ex figura &
demonſtratione huius propoſ, manife-
ſtum eſt.
EX datis chordis duorum arcuum chordam
arcus, qui ex duobus illis arcubus componitur, in-
ueſtigare.
IN circulo ABCDE, cuius centrum F, datæ ſint duæ chordæ AB, BC:
oporteatq́;
inueſtigare chordam AC, arcus ABC, ex duobus arcubus AB,
BC, compoſiti. Ductis duabus diametris AD, BE, &
rectis BD, CE, CD,
DE; quoniam data eſt chorda AB, dabitur quoq;
chorda BD, arcus BCD,
Pariratione, quia
data eſt chorda BC, dabitur quoq; chorda CE,
arcus CDE, reliqui in ſemicirculo BCE. Et quia
anguli AFB, DFE, æquales ſunt, lateraq́; FA,
erunt baſes AB, DE; ac proinde cum AB, data
erit DE.
Quoniam igitur rectan-
gulum ſub datis rectis BD, CE, æquale eſt rectan
ſub diametro
BE, ac recta CD: ſi rectangulum ſub BC, DE,
datum auferatur ex rectangulo dato ſub BD, CE; notum relinquetur rectan
gulum ſub BE, CD. quo diuiſo per diametrum notam BE, nota fiet chor-
da CD; ac proinde &
chorda AC, reliqui arcus ABC, in ſemicirculo ACD,
ALITER.
Quoniam data eſt chorda AB, dabitur etiam BD, reliqui ar-
Data eſt autem &
BC.
Igitur cum chordæ
BD, BC, datæ ſint, dabitur quoq; chorda CD, arcus CD, quo maior arcus
ac proinde rurſus chorda AC, reliqui
Ex datis ergo chordis duorum ar
cuum chordam arcus, qui ex duobus illis arcubus componitur, inueſtigaui-
mus. Quod erat faciendum.
ITAQVE datis chordis duorum arcuum, ſi chordæ arcuum duorum, qui cum illis ſe-
3.
dantur, inter ſe multiplicentur;
&
ex pro-
ter ſe; reliquus autem numerus per diametrum diuidatur, relinquetur chorda, ex qua ſi per
propoſ. 3.
inueſtigetur chorda arcus, qui cum relictæ chordæ arcu ſemicirculum conficit,
erit hæc inuenta ſubtendens arcum compoſitum ex duobus arcubus duarum chordarum
datarum. Operatio hæc perſpicua eſt ex figura, &
demonſtrarione priori huius propoſ.
EADEM hæc operatio colligi poteſt ex poſteriori demonſtratione, vt manifeſtum eſt.
EX data chorda cuiuſuis arcus chordã ſemiſ-
ſis illius arcus inuenire.
IN circulo ABC, cuius centrum E, data ſit chorda BC, arcus BDC, cu-
ius ſemiſsis ſit arcus BD, eiusq́; chorda BD, quam inuenire oporteat.
Ducta
diametro DG, ſecabitea, per lemma in definitionibus poſitum, rectam BC,
bifariam, ac proinde ad angulos rectos. Iunctis autem rectis BA, BG;
erunt
ctus, & angulus ABC, ſit quoq;
rectus in ſemicirculo, at angulus C, commu
Igitur erit, vt CF, ad FE, ita CB, ad BA:
&
Cum
ergo CF, dimidium ſit ipſius CB, vt oſtendimus,
erit & EF, dimidium ipſius AB:
ac propterea cum
AB, data ſit ex data BC, data quoq; erit EF;
qua
reliqua FD.
Quoniam vero in triangulo GBD, an-
gulus B, rectus eſt, à quo demiſſa eſt BF, ad baſim
erit recta DB, media propor
FD:
atq;
adeo rectangulum
ſub GD, FD, notis quadrato rectæ DB, æquale.
proptereaq́;
radix eius quadrata re-
ctam DB, notam exhibebit. Quam etiam ita cognoſcemus.
Quoniam FD,
nota facta eſt, erunt quadrata rectarum FD, FB, nota: quæ cum æqualia ſint
erit &
hoc quadratum notum, cuius radix quadrata ite-
rum rectam BD, efficiet notam. quod eſt propoſitum.
ALITER.
SIT rurſus in ſemicirculo ABC, data chorda BC, arcus
BDC, cuius ſemiſsis ſit arcus DC, ciusq́; chorda DC, quam oporteat dari.
Ducta chorda AB, abſcindatur ei æqualis AE, iunganturq;
rectæ BD, DE;
Diuiſa quoq; EC, bifariam in F, demittatur recta
Quoniam igitur duo latera BA, AD, equa-
lia ſunt duobus lateribus EA, AD, anguloſq; comprehendunt æquales, ob arcus æquales BD,
erunt baſes BD, DE, æquales.
Eſt autem
Igitur &
recta DE,
Quare cum duo latera
EF, FD, duobus lateribus CF, FD, æqualia ſint,
baſisq́; DE, baſi DC, æqualis;
erunt anguli ad F,
recti.
Quoniam vero chorda AB, nota eſt ex data chorda BC;
AE, ipſi AB, æqualis, nota:
qua ablata ex diametro AC, nota re-
linquetur EC; ac proinde &
huius medietas FC.
Iam vero, quia CD, media
erit rectangulum ſub AC, FC, æquale
Cum ergo illud notũ ſit, ob notas AC, FC;
erit &
qua-
dratum ex DC, notum: atq;
adeo radix eius quadrata rectam DC, efficiet
notam. Quare ex data chorda cuiuſuis arcus chordam ſemiſsis illius arcus in-
uenimus. Quod erat faciendum.
ITAQVE, ſi per propoſ.
3.
inueniatur chorda arcus, qui cum arcu datæ chordæ ſemicir-
inuentæ autem huius chordæ dimidium ex ſemidiametro detrahatur, &
reliquus numerus in diametrum multiplicetur, dabit radix quadrata huius producti chor-
dam ſemiſsis illius arcus, cuius chorda data eſt. Vel ſi reliqui illius numeri quadratum iun
gatur quadrato ſemiſsis chordæ datæ, componetur numerus, cuius radix quadrata chordam
quæſitam exhibebit cognitam. Quæ quidem operatio facile colligitur ex figura, &
priori de-
mon ſtratione huius propoſ.
ITEM ſi per propoſ.
3.
reperiatur chorda arcus, qui cum arcu datæ chordæ ſemicircu-
lum conſicit; inuenta autem hæc chorda ex dia metro detrabatur, &
reliqui numeri dimi-
dium in diametrum multiplicetur, dabit radix quadrata huius producti chordam ſemiſſis
illius arcus, cuius chorda data eſt. Vt perſpicuum eſt ex figura, &
poſteriori demonſtra-
tione huius propoſ.
CHORDAS omnium arcuum ſemicirculi
diametri in quotius particulas diſtributæ, ſuppu-
tare.
STATVAMVS, chordas omnium arcuum ſupputandas eſſe reſpectu
diametri in partes 200000. diſtributæ.
Quod vt fiat accuratius, ponenda erit
in ſupputationibus diameter partium 20000000. Ita enim fiet, vt abiectis dua-
bus primis figuris ad dexteram ex ſingulis chordis inuentis, relinquãtur chor-
dæ magis exquiſitę reſpectu diametri partium 200000. quemadmodum ad ini-
tium propoſ. 9.
de Sinubus docuimus, vbi etiam addidimus, quot particula-
rum ſinus totus aſſumi debeat in ſupputatione, ſi ſinus totus in tabula plu-
rium particularum deſideretur. Quod etiam de tota diametro hic intelligi
debet, ſtatuendo ſemper diametrum duplo plurium particularum in ſuppu-
titione, quam ſinum totum ibi conſtituimus.
PRIMVM ergo omnium inuentæ ſunt in propoſ.
12.
chordæ arcuum
grad. 36.
grad.
60.
grad.
72.
grad.
90.
&
grad.
120.
nempe latera decagoni, he-
xagoni, pentagoni, quadrati, & trianguli æquilateri, partium 6180340.
10000000.
11755705.
14142136.
17320508.
qualium 20000000.
tota diame-
ter ſtatuitur. Ex chordis autem 6180340.
11755705.
arcuum grad.
36.
&
grad.
72. inuenientur chordæ arcuum reliquorum in ſemicirculo, vt grad.
144.
&
grad. 108.
partium 19021130.
16180340.
vt in propoſ.
3.
oſtendimus.
DEINDE per propoſ.
13.
eiusq́ corollarium reperientur chordæ om-
nium arcuum, qui differentiæ ſint duorum quorumlibet arcuum, quorũ chor-
dæ ſint notæ. Vt ex chorda arcus grad.
120.
&
ex chorda arcus grad.
36.
inue-
niemus chordam arcus grad. 84.
qui illorum differentia eſt.
Item ex chorda
90.
&
ex chorda arcus grad.
60.
cognoſcemus chordam arcus grad.
30.
quo duo illi inter ſe differunt.
Eodemq́;
modo plurimorum arcuum chor-
das inueſtigabimus.
RVRSVS perea, quæ propoſ.
14.
eiusq́;
corollario demonſtrauimus,
reperiemus chordam cuiuſq; arcus compoſiti ex duobus, quorum chordæ no-
tæ ſint. Vt ex chorda arcus grad.
60.
&
ex chorda arcus grad.
90.
nota red-
detur chorda arcus grad. 150.
ex illis duobus compoſiti.
Sic etiam ex chor-
da arcus grad. 90.
&
ex chorda arcus grad.
36.
cognoſcetur chorda arcus
grad. 126.
&
c.
PRAETEREA per doctrinam propoſ.
15.
eiusq́;
coroll.
cognita chor-
da cuiuſuis arcus, cognoſcemus & chordam dimidiati arcus.
Vt ex chorda ar-
cus grad. 60.
notam efficiemus chordam arcus grad.
30.
Ex hac chordam ar-
cus grad. 15.
Ex hac vero chordam arcus grad.
7.
Min.
30.
&
ex hac chordam
arcus grad. 3.
Min.
45.
Item ex chorda arcus grad.
72.
explorabimus chordam
arcus grad. 36.
Et ex hac chordã arcus grad.
18.
Et ex hac chordã arcus grad.
9.
Et ex hac chordã arcus grad.
4.
Min.
30.
Et ex hac chordam arcus grad.
2.
Min.
15. Sic etiam, quoniam per propoſ.
13.
eiusq́;
coroll.
ex chordis arcuum
grad. 36.
&
grad.
48.
cognoſcitur chorda arcus grad.
12.
quo illi duo inter ſe
differunt, cognoſcemus ex chorda arcus grad. 12.
chordam arcus grad.
6.
Et ex
hac chordam arcus grad. 3.
Ex hac chordam arcus grad.
1.
Min.
30.
Et ex hac
chordam arcus grad. 0.
Min.
45.
Deinde ſi per ea, quæ demonſtrata ſunt, ar-
das omnium arcuum, qui ſe ordine continuo ſuperant Minutis 45. ita vt pri-
mus arcus contineat grad. 0.
Min.
45.
ſecundus grad.
1.
Min.
30.
tertius grad.
2.
Min.
15.
vltimus deniq;
ſit totus ſemicirculus grad.
180.
Immo vero, ſi, vt
proxime docuimus, inuenta fuerit chorda arcus grad. 0.
Min.
45.
inueniemus
ex hac, per doctrinam propoſ. 14.
eiusq́;
coroll.
chordas omnium arcuum ſe-
ſe continue Minutis 45. ſuperantium, ſi primo inueſtigemus chordam arcus
grad. 1.
Min.
30.
ex duobus arcubus Min.
45.
&
Min.
45.
compoſiti:
Deinde ve
ro chordam arcus grad. 2.
Min.
15.
qui ex duobus arcubus grad.
1.
Min.
30.
&
Min. 45.
componitur:
Et poſtea chordam arcus grad.
3.
qui componitur ex
arcu grad. 2.
Min.
15.
&
ex arcu Min.
45.
atq;
ita deinceps, apponendo ſemper
arcui antecedenti arcum Min. 45.
POSTREMO aliorum arcuum chordas inueſtigabimus hac arte.
Sit in
&
AD, chorda arcus grad.
1.
Min.
30.
at AC,
chorda arcus grad. 1.
quæ inueſtiganda propo-
natur. Quoniam igitur maior eſt proportio arcus
AC, ad arcum AB, quam chordæ AC, ad chor-
Habet autem arcus AC, ad arcum AB,
proportionẽ ſesquitertiam; habebit chorda AC,
ad chordam AB, proportionem minorem, quàm
ſeſquitertiam. Cum ergo chorda AB, arcus Min.
45.
ex præcedentibus inuenta ſit partium ferè 130899.
erit chorda AC, ar-
cus grad. 1 (quæ nimirum ad chordam AB, hoc eſt, ad 130899.
minorem pro-
portionem habet, quam ſeſquitertiam.) minor, quàm 174532.
cum hic nume
Rurſus quia maior eſt pro-
portio arcus AD, ad arcum AC, quam chordæ AD, ad chordam AC: Habet
habebit chor
da AD, ad chordam BC, minorem proportionem, quam ſeſquialteram. Cum
ergo chorda AD, arcus grad. 1.
Min.
30.
ex præcedentibus inuẽta ſit partium
ferè 261792. erit chorda AC, arcus grad.
1.
(ad quam nimirum chorda AD,
hoc eſt, numerus 261792. minorem proportionem habet, quam ſeſquialterã.)
maior, quam 174528.
cum ad hunc numerum numerus 261792.
proportio-
Conſtat igitur, chordam arcus grad.
1.
conſiſtere
inter duos hos numeros, 174532. 174528.
cum ille maior ſit, hic vero minor.
Statuamus ergo eam eſſe 174530.
inter numeros illos omnino mediam.
Ita
enim ſenſibiliter non differet à vera chorda arcus grad. 1.
NON putes autem, eadem hac arte inueſtigari poſſe chordam arcus cu-
iuſuis plurium graduum ex duabus chordis notis duorum arcuum circunſtan
tium. Nam cum in maioribus arcubus magna ſit differentia inter arcus, &
chor
das, ægre iudicari poterit, quinam numerus ex intermedijs inter duos inuẽtos
conſtitui debeat chorda arcus propoſiti. Quod hoc exemplo faciemus perſpi-
cuum. Sint cognitæ chordæ arcuum grad.
59.
Min.
46.
&
grad.
60.
Min.
30.
partium 9964712.
&
10075480.
Si quis igitur ex his eruere vellet chordam ar-
cus grad. 60.
ita eſſet ei progrediendum.
Quoniam minor eſt proportio arcus
59.
Min.
46.
ad arcum grad.
60.
quam chordæ ad chordam:
Habet autem
9964712. chorda arcus grad.
59.
Min.
46.
ad 10003614 {1698/1793}.
proportio-
nem eandem, quam arcus grad. 59.
Min.
46.
ad arcum grad.
60.
erit chorda ar-
cus grad. 60.
minor, quam 10003614 {1698/1793}.
vtpote ad quam chorda
maiorem proportionem habeat, quam ad 10003614 {1698/1793}.
Item
quia maior eſt proportio arcus grad. 60.
Min.
30.
ad arcum grad.
60.
quam chor
Habet autem 10075480.
chorda arcus grad.
60.
Min.
30.
ad
9992211 {69/121}. eandem proportionem, quam arcus grad.
60.
Min.
30.
ad
arcum grad. 60.
erit chorda arcus grad.
60.
maior, quam 9992211 {69/121}.
vt-
proportionem habeat minorem, quam ad
9992211 {69/121}. Conſtituenda igitur eſſet chorda arcus grad.
60.
inter hos
duos numeros 10003614 {1698/1793}. 9992211 {69/121}.
qui cum valde inter ſe
differant (eſt enim eorum differentia ferme 11403.) ambiguum erit, quanta ea
ſit aſſumenda. Quæ ambiguitas in perueſtigatione chordæ arcus grad.
1.
lo-
cum non habet, cum in tam paruis arcubus chordę parũ ab arcubus differant.
IAM vero inuenta chorda arcus grad.
1.
reperiemus quoq;
, per propoſ.
eiusq́;
coroll.
chordam arcus Min.
30.
Et ex hac chordam arcus Min.
15.
Sed hanc poſtremam etiam inueniemus per propoſ.
13.
eiusq́;
coroll.
cum ar-
cus Min. 15.
ſit differentia inter arcum grad.
1.
&
arcum Min.
45.
quorũ chordæ
iam ſunt cognitæ. Per chordã autem arcus Min.
15.
cognoſcemus per propoſ.
14. eiusq́;
coroll.
chordã arcus Min.
30.
qui ex arcu Min.
15.
&
ex arcu Min.
15.
componitur. Item chordam arcus Min.
45.
ex arcubus Min.
30.
&
Min.
15.
com
poſiti. Item chordam arcus grad.
1.
ex arcubus Min.
45.
&
Min.
15.
conflati.
Et chordam arcus grad. 1.
Min.
15.
Et chordam arcus grad.
1.
Min.
30.
quam-
uis omnes hæ chordæ iam factæ ſint alia ratione notæ. Deniq;
hac via reperie-
mus chordas omnium arcuum ſeſe ordine Minutis 15. ſuperantium:
quamuis
multas illarum alijs rationibus inueſtigare poſsimus, vt ex propoſ. 13.
14.
15.
earumq́; corollarijs manifeſtum eſt.
QVOD ſi ſtatuantur ordine omnes arcus ſeſe Minutis 15.
ſuperantes,
&
ad dexteram cuiuſuis chordæ aſcribatur differen-
&
ex
his chordas omnium arcuum per ſingula minuta progredientium; quemadmo-
dum ſupra de inuẽtione ſinuum diximus. Quod vt facilius intelligatur, propo
nemus hoc vnum exemplum. Sit inquirenda chorda arcus Min.
20.
Quoniam
igitur differentia inter 43632. chordam Min.
15.
&
87264.
chordam Min.
30.
eſt 43632.
Dic.
Si Min.
15.
quibus arcus Min.
15.
ab arcu Min.
30.
differt, @ re-
quirunt differentiam 43632. adijciendam ad chordam arcus Min.
15.
vt fiat
chorda arcus Min. 30.
quantã poſtulant differentiam Minuta 5.
quibus arcus
Min. 15.
ab arcu Min.
20.
differt, addendam ad eandem chordam arcus Min.
15.
vt componatur chorda arcus Min. 20?
Inuenies enim requiri differentiam
14544. quæ additaad 43632.
chordam arcus Min.
15.
conſtituet 58176.
chor-
dam arcus Min. 20.
Eademq́;
ratio eſt de cæteris.
SED magnum compendium nobis in hac re afferet propoſitio ſexta.
Nam ex ea
Si namq;
chordam cuiuſuis arcus, qui maior non ſit, quàm grad.
60.
addamus chordæ
arcus, quem arcus grad. 120.
ſumpto illo arcu ſuperat, componemus chordam arcus,
qui eodem illo arcu aſſumpto arcum grad. 120.
excedit:
propterea quòd differentia
inter chordas duorum horum arcuum maiorum æqualis eſt chordæ arcus illius aſſum-
pti, qui maior non ponitur, quàm grad. 60.
vtibi oſtendimus.
Vt ſi 3472964.
chor-
dam arcus grad. 20.
adijciamus ad 15320890.
chordam arcus grad.
100.
quem arcus
grad. 120.
ſuperat dicto arcugrad.
20.
cõponemus 18793854.
chordã arcus grad.
140.
qui arcum grad. 120 codem arcu grad.
20.
excedit.
Ita quoque, ſi 10000000.
chor-
dam arcus grad. 60.
addamus chordæ 10000000.
arcus grad.
60.
quem arcus grad.
120. dicto illo arcu grad.
60.
ſuperat, conficiemus 20000000.
chordam arcus grad.
180. qui arcum grad.
120.
eodem illo arcu grad.
60.
ſuperat.
ITEM ſichordam cuiuslibet arcus, qui arcu grad.
60.
maior non ſit, ſubtraha-
mus ex chorda arcus, qui arcum grad. 120 ſumpto illo arcu ſuperat, relinquetur chor
da arcus, quem arcus grad. 120.
eodem illo arcu aſſumpto excedit.
Vt ſi 3472964.
chordam arcus grad.
20.
detrahamus ex 18793854.
chorda arcus grad.
140.
qui ar-
cum grad. 120.
ſuperat arcu illo ſumpto grad.
20 remanebit 15320890.
chorda arcus
grad. 100.
qui eodem illo arcu grad.
20.
abarcu grad.
120.
ſuperatur.
RVRSVS ſiex chorda cuiuſuis arcus, qui maior ſit arcu grad.
120 ſubducatur
chorda arcus, qui tanto minor ſit arcu grad. 120.
quanto ille maior eſt, reliqua erit
chorda arcus, quo vteruis illorum ab arcu grad. 120.
differt.
Vt ſi ex 18793854.
chorda arcus grad.
140.
auferamus 15320890.
chordam arcus grad.
100.
relinque-
tur 3472964. chorda arcus grad.
20.
quo vterq;
illorum ab arcu grad.
120.
differt.
Quæ omnia ex dicta propoſ. 6.
colliguntur.
SATIS ergo eſt, vt per regulam proportionum inueſtigentur chordæ omnium ar
cuum à principio ſemicirculi vſque ad arcum grad. 60.
Si enim ex his reperiantur
chordæ arcuum, qui cum illis ſemicirculum conficiant, & ex his repertis ſubducantur
priores illæ inuentæ, remanebunt chordæ omnium arcuum inter arcum grad. 60.
&
arcum grad. 120.
Item ſinotæ eſſent chordæ omnium arcuum ab arcu grad.
60.
vſq;
ad finem ſemicirculi, &
chordæ omnium arcuũ, qui minores ſint arcu grad 120.
au-
120.
reliquæ fierent chordæ
mnium arcuum à principio ſemicirculi vſque ad arcum grad. 60.
Deniq;
ſi chordæ om
nium arcuum à principio ſemicirculi vſque ad arcum grad. 120.
inuentæ eſſent, &
chordæ omnium arcuum minorum, quàm 60. grad.
chordis omnium arcuum maiorum
quàm grad. 60.
adijcerentur, componerentur chordæ omnium arcuum maiorum,
quàm grad. 120.
PORRO ſi chordæ omnium arcuum ſemicir culi in tabulam redigantur, &
chor
excedunt, ſecentur bifariam, inuenti
erunt ſinus omnium arcuum per ſingula Minuta progredientiũ, vt ex defin. 3.
conſtat.
HINC conſtat, rectius feciſſe recentiores, qui ſinuum tabulã confecerunt, quàm
Ptolemæum & veteres, qui chordas in tabulam redegerunt.
Pro ſinubus enim ſatis eſt,
at pro chordis neceſſe eſt totum
ſemicir culum per Minuia ſingula extendere: ita vt chordarum tabula ſit duplo maior
quàm tabula ſinuum. Taceo, multo expeditiorem, breuiorem, fac@ lioremq́;
eſſe ſinuum,
vjum in rebus Aſtronomicis, & Geometricis, quàm chordarum:
vt ijs eſt manifeſtum,
qui ſeſe in bu@@ ſmodi vſu exercue; unt aliquando.
QVEMADMODVM autem ſinuũ differentiæ ſenſim decreſcunt à principie
ita vt, poſitis pluribus arcubus æqualiter ſeſe exc@-
dentibus, minorum ſinus habeani maiores differentias, quàm ſinus maiorum, vt in co-
roll. propoſ.
1 oſtendimus@ ita quoque chordarum differentiæ paulatim decreſcunt à
principio ſemicirculiad eius finem vſq. Nam poſitis pluribus arcubus, quorum æqua-
les ſint differentiæ, minorum chordæ maiores habent differentias, quàm chordæ ma-
iorum. quod ita demonſtrabimus.
Sint in ſemicirculo
ABCDe, arcus AB, AC,
AD, quorum differentiæ BC, CD, æquales ſint,
abſeinda-
turq; recta
Af, chordæ AB, æqualis; &
recta AG,
chordæ AC, æqualis. Dico FC, differentiam inter
chordas AB, AC, maiorem eſſe, quàm GD, diffe-
rentiam inter chordas AC, AD. Abſeiſſa enim re-
cta AH, æquali ipſi AF, vel ipſi AB, iunctiſque re-
ctis BC, CD, CG, CH: quoniam latera BA, AC,
lateribus HA, AC, æqualia ſunt, angulosq́; con-
tinent æquales ad A, propter æquales arcus BC, CD; erunt baſes BC, CD;
æqua-
Eſt autem recta BC, rectæ CD, æqualis, ob æquales arcus eoſdem BC, CD.
Igi-
recta CH, rectæ CD, æqualis erit.
Anguli ergo CHD, CDH, æquales quo-
qui cum ſint duobus rectis minores;
erit vterque eorum acutus.
Eodem pa-
AGc, acutus: propterea quod inter ſe etiam
æqu@les ſunt ob æquales rectas AC, AG. Quia igitur in triangulo CGH, anguli
fit, vt CI, ducta ad DH, perpendicularis cadat intra triangu-
lum in r@ctam GH, vt in ſeholio propoſ. 13.
lib.
2.
Eucl.
demonſtrauimus.
Itaque quia
duo anguli CHI, CIH, trianguli CHI, duobus angulis CDI, CID, æquales
ſunt, ſuntq; duo latera CH, CD, æqualibus rectis angulis oppoſita æqualia, vel
certe latus CI, commune eſt; erunt quoque latera IH, ID, æqualia.
Cum ergo ID,
HI, &
à fortiori
Hg, maior, quam GD. Eſt au-
tem HG, ipſi FC, æqualis, propterea quòd & rectæ AC, AG, inter ſe, &
rectæ
Af,
AH, inter ſe æquales ſunt. Igitur &
FC, differentia chordarum AB, AC, maior
erit, quàm GD, differentia chordarum AC, AD. Quod eſt propoſitum.
NEC vero prætereundum eſt, ſi, poſita diametro par
nutis, & Secundis, vt Ptolemæus fecit, chordas arcuum
minorum, quàm grad. 60.
habere plures Partes, Minu@a,
ac Secunda: quam arcus, quorum ſunt chordæ:
at ve-
ro chordas arcuum maiorum, quàm grad 60. eſſe pau-
ciorum Partium, Minutorum, ac Secundorum, quàm ar-
cus illis reſpondentes. Vt in tabula hic appoſita manife-
ſtum eſt, quam ex Ptolemæi tabula exerceptam huc tran-
ſtuli. In qua cernis chordas arcuum minorum, quàm
grad. 60.
maiores eſſe, quoad numerum partium, Mi-
nutorum, & ſecundorum, quàm arcus reſpondentes,
quoad gradus, ac Minuta; chordas vero arcuum ma-
iorum, quàm grad. 60.
eſſe minores arcubus reſponden-
tibus, quoad eoſdem numeros. Cuius quidem rei hæc eſt
demonſtratio.
IN ſemicirculo ABCDE, ſit arcus AC, grad.
60.
&
Ab, minor, nempe grad. 45.
at AD, maior, puta grad.
80. Min.
30.
ducanturque chordæ AB,
Ac, AD. Dico chordam AB, maiorem eſſe,
quàm Par. 45.
at chordam AD, minorem, quàm Partiũ
Min.
30.
Cumenim maior ſit proportio arcus AC,
Ab: ſit
autem proportio arcus AC, ad arcum AB, eadem, quæ
60. ad 45.
erit proportio chordæ AC, ad chordam
Ab,
minor, quàm 60. ad 45.
Quare cum chorda
AC, ſit
Partium 60. vtpote quæ ſemidiametro æqualis eſt, per
coroll. propoſ.
15.
lib.
4.
Eucl.
erit chorda
Ab, maior,
quàm Partium 45. propterea quòd 60.
ad numerum, quimaior ſit, quàm 45.
mi-
norem proportionem habet, quàm ad 45. Atq;
ita in tabella ſuperiori vides chordam
45.
eſſe Partium 45.
Min.
55.
Sec.
19.
Rurſus quia maior eſt proportio
arcus AD, ad arcum AC, quàm chordæ AD, ad chordam AC: Eſt autem proportio
AC, eadem, quæ grad. 80.
Min.
30.
ad 60.
erit chordæ AD,
ad chordam AC, minor proportio, quàm Par. 80.
Min.
30.
ad 60.
Cum ergo chorda
AC, ſit Partium 60. erit chorda AD, minor, quàm Par.
80.
Min.
30.
propterea quòd
numerus, qui minor ſit, quàm Par. 80.
Min.
30.
ad 60.
minorem proportionẽ habet,
80.
Min.
30.
ad eundem numerum 60.
Atqueita cernis in ſuperiori tabella
chordã arcus grad. 80.
Min.
30.
cõtinere partes duntaxat 77.
Min.
32.
Sec.
6.
Eademq́;
ratio eſt dealij schordis minoribus, &
maioribus, quàm
AC, hoc eſt, quàm chorda ar-
cus grad. 60.
QVANQVAM Aſtronomi omnia
ſua problemata, atque theoremata per ſolos ſi-
nus explicare poßint, vt communiter ab omni-
bus fieri ſolet, quia tamen multa facilius, ac bre-
uius expediuntur, ſi vnà cum ſinubus lineætan-
gentes, ſecantesque adhibeantur, vt ex doctri-
na triangulorum erit manifestum; quas qui-
demlineas vtili ſane conſilio Recentiores exco-
gitarunt, atque in tabulas redegerunt: viſum
est has etiam lineas paucis exponere, vt doctri-
na noſtrorum triangulorum perfectior euadat. Vniuerſa ſiquidem triangulorum doctrina in
bus, lineis tangentibus, & ſecantibus, potißi-
mum conſiſtere videtur. Primum autem expli-
candum eſt, quid ſit linea tangens, & quid ſe-
cans propoſiti cuiuſuis arcus.
CVm ergoab altero extremo cuius libet arcus, qui quadrante minor ſit, ſemi-
per
alierum extremum eiuſdem arcus extendatur alia recta linea ex centro ad tangen-
tem lineam vſque: appellatur portio lineæ tangentis inter duas rectas è centro egre-
dientes, Linea tangens illius arcus, quem eædẽ duæ rectæ e centro eductæ includunt: Recta vero altera puncto contactus oppoſita inter centrum, &
lineam tangentem, di-
citur Linea ſecans eiuſdem arcus. Vt ſi in circulo AB, cuius centrum C, ſumatur ar-
cus AB, quadrante minor, & in extremitate ſemidiametri
Ac, ab extremitate A,
AD, in D, (conueniet enim neceſſario, propterea quòd duo anguli CaC, DCA,
duobus rectis ſunt minores; cum ille rectus ſit, hic autem
recto minor, propter arcum AB, quadrante minorem.) dicetur AD, Tangens arcus
AB, at CD, Secans eiuſdẽ
arcus. Tangentem vocant nonnulli Adſcriptam, quòd
Secantem vero, Hypo-
tenuſam, propterea quòd in triangulo rectãgulo ACD,
(angulus enim A, apud contactum rectus eſt) angulum
rectum ſubtendit: Semidiametrum denique
AC, ſiue ſi-
QVemADmODVm autemin omni triangulo
totus, reliqua duo latera ſunt ſinus recti reliquorum angulorum acutorum, quibus
opponuntur; Item vtrumuis reliquorum laterum eſt ſinus complementi anguli ſibi
adiacentis, vt in definitionibus ſinuum traditum eſt: ita quoque ſi alterutrum late-
rum circa angulum rectum ſtatuatur ſinus totus, erit alterum latus circa angulum
rectum Tangens anguli acuti ſibi oppoſiti, latus vero angulo recto oppoſitum Secans
eiuſdem anguli. Vt in triangulo rectangulo ACD, latus CA, eſt ſinus totus, nempe
ſemidiameter circuli AB: at
AD, tangens anguli C, vel arcus Ab, & CD, eiuſdem
ſecans. Eodem pacto, ſt DA, ſtatuatur ſinus totus, erit AC, tangens anguli D, &
DC, eiuſdem ſecans.
ETSI autem diximus, tangentem, &
ſecantem ſumi reſpectu arcus quadrante
minoris, tamen eadem tangens, & ſecans referri ſolet ad arcum etiam, qui cum illo
ſemicirculum complet: adeo vt duo arcus ſemicirculum conficientes, vel duo anguli
duobus rectis æquales, vnam eandemq; tangentem, atq;
ſ@cantem habeant:
quemad-
modum & eundem ſinum rectum habent, vt in tractatione ſinuum tradidimus:
adeo
ſecans alicuius arcus quadrante maioris, ſumenda ſit tan
gens, & ſecans arcus quadrante minoris, qui cum illo ſemicireulum complet.
PORRO qua ratione Tangentes, &
Secantes omnium arcuum quadrantis
reddantur cognitæ in partibus ſinus totius, ac proinde qua via tabula Tangentium,
tabula item Secantium componenda ſit, ſequentibus propoſitionibus, quæ ad line{as}
Tangentes, ac Secantes ſpectant, planum fiet.
TANGENS dimidij quadrantis ſinui toti
Tangens autem arcus maioris dimidi
quadrantis maior eſt ſinu toto: Et Tangens mino-
ris arcus minor eſt. Secans denique dimidij qua-
drantis dupla eſt ſinus recti eiuſdem dimidij.
IN quadrante ABC, ſit arcus CD, ſemiſsis ipſius;
CE, ſemiſſe maior, &
Ducta autem recta CH, ad AC, perpendiculari, quæ circulum
tanget in C, ducantur rectæ AG, AH, AI, per puncta D, E, F. Item DK, ad
Eritq;
CG, tangens arcus CD;
&
CH, tangens arcus
CE; &
CI, tangens arcus CF.
at DK, ſinus rectus
AG, eiuſdem ſecans.
Dico CG, æqua-
lem eſſe ſinui toti AC; at CH, maiorem, &
CI, mi-
norem. Item AG, duplam ſinus DK.
Quoniam
æquales CD, DB; eſtq́;
angulus BAC, rectus, erit
vterq; illorum ſemirectus.
Quare &
reliquus angu-
propterea quòd angulus C, rectus eſt.
Igitur recta
tis, ſinui toti AC, æqualis erit. Ex quo ſequi-
tur, CH, tangentem arcus CE, qui ſemiſſe quadrantis maior eſt, ſinu toto
AC, maiorem eſſe; &
CI, tangentem arcus CF, qui ſemiſſe quadrantis mi-
nor eſt, minorem: cum punctum H, neceſſario cadat ſupra G, &
punctum I,
infra.
QVOD tamen ſeorſum ita quoq;
oſtendi poteſt, nulla habita ratione tan
gentis CG, cuius arcus eſt ſemiſsis quadrantis. Quoniam arcus CE, ſemiſſe
quadrantis maior eſt, erit arcus BE, ſemiſſe quadrantis minor. Igitur angulus
CAH, angulo HAB, maior eſt, ac proinde maior ſemirecto. Cum ergo an-
RVRSVS quia arcus CF, ſemiſſe quadrantis minor eſt, ac proinde BF,
maior, erit angulus CAI, angulo IAB, minor; atque adeo minor ſemirecto.
ac propterea recta CI, tangens arcus CF, qui quadrantis ſemiſſe
minor eſt, minor erit ſinu toto AC.
PRAETEREA quoniam angulus K, rectus eſt, &
DAK, ſemirectus, vt
oſtenſum eſt; erit &
AD k, ſemirectus;
ac proinde AK, ſinui DK, æqualis
Quia vero triangula GAC, DAK, æquiangula ſunt, erit vt AG, ad AC,
ac proinde tres rectæ GA, ſecans;
AC, ſinus
totus, & AK, ſinus dimidij quadrantis, continue proportionales erunt.
Ita
ergo erit quadratum ex AG, ad quadratum ex AC, vt recta AG, ad rectam
Eſt autem quadratum ex AG, quadrati ex AC, duplum propterea quòd
Igitur &
AG, ſecans dimidij
quadrátis dupla eſt ſinus AK, vel DK, eiuſdem dimidij. Quocirca tangens di-
midij quadrantis ſinui toti æqualis eſt, &c.
Quod demonſtrandum erat.
E X hac propoſ.
aperte cauſa colligitur, cur in tabula Tangentium omnes tangen
tes arcuum minorum, quàm grad. 45.
minores ſint ſinu toto:
Tangens vero arcus gra.
45.
ſinui totiæqualis:
Tangentes denique omnes arcuum maiorum, quàm grad.
45.
ſinu toto maiores. Item cur in tabula Secantium ſecans arcus grad.
45.
dupla ſit ſinus
arcus eiuſdem grad. 45.
QVAM proportionem habet ſinus comple
cus, eam habet ſinus totus ad tangentem eiuſdem
arcus: Item quam proportionem habet ſinus re-
ctus cuiuſlibet arcus ad ſinum complementi eiuſ-
dem arcus, eam habet ſinus totus ad tangentem
eiuſdem complementi. Sinus autem totus medio
loco proportionalis eſt inter ſinum complementi
cuiuſuis arcus, & ſecantem eiuſdem aicus:
Item
inter ſinum rectum cuiuſlibet arcus, & ſecantem
complementi eiuſdem arcus. Sinus denique idem
totus medius proportionalis eſt inter tangentem
arcus cuiuſuis, & tangentem complementi eiuſ-
dem arcus.
IN quadrante ABC, ſit DF, ſinus arcus CD;
&
CE, eiuſdem tangens
inter ſemidiametrum AC, & ſecantem AE:
Item BG, tangens arcus BD, qui
complementum eſt arcus CD. Dico ita eſſe ſinum complementi arcus CD, ad
ſinum rectum eiuſdé arcus, vt eſt ſinus totus AC,
c.
Quoniam enim, vt in ex-
poſitione definitionum dictum eſt, AF, æqualis
eſt ſinui complementi arcus CD, cum ſit æqualis
ſinui recto arcus BD, qui complementum eſt arcus
CD; ſuntq́;
triangula AFD, ACE, æquiangula,
ob rectos angulos F, C, & communem angulum
A: erit vt AF, ſinus complementi arcus CD, ad
nus totus ad CE, tangentem eiuſdem arcus. quod
eſt primum.
DEINDE eadem ratione erit, vt AF, ſinus
rectus arcus BD, ad FD, ſinũ complementi eiuſdem arcus BD, ita AC, ſinus
totus ad CE, tangentem eiuſdem complementi arcus BD. quod eſt ſecundum.
TERTIO in eiſdem triangulis erit, vt AF, ſinus complementi arcus
CD, ad AD, ſinum totum, ita AC, ſinus totus ad AE, ſecantem eiuſdem
Item vt AF, ſinus rectus arcus BD, ad AD, ſinum totum, ita AC,
ſinus totus ad AE, ſecantem arcus CD, qui complementum eſt eiuſdem arcus
BD. Quare ſinus totus medius proportionalis eſt inter AF, ſinũ cõ plementi
arcus CD, & AE, ſecantem eiuſdem arcus CD:
AE,
ſecantem complementi eiuſdem arcus BD. quod
eſt tertium.
POSTREMO, quia triangula ACE;
GBA, æquiangula ſunt, quòd anguli C, B, ſint
recti; &
alterni CAE, BGA, nec non alterni
erit vt CE, tangens ar-
cus CD, ad AC, ſinum totum, ita AB, ſinus to-
tus ad BG, tangentem complementi eiuſdem ar-
cus CD. Pari ratione erit, vt BG, tangens arcus
BD, ad AB, ſinum totum, ita AC, ſinus totus
ad CE, tangentem complementi eiuſdem arcus BD. quod eſt quartum.
Quã ergo proportionem habet ſinus complementi arcus cuiuſuis, &
c.
Quod
erat demonſtrandum.
ITAQVE per ea, quæ primo loco demonſtrata ſunt in hac propoſ.
ſi fiat, vt ſin{us} com
hoc eſt, ſi ſi-
n{us} arc{us} cui{us}libet in ſinum totũ multiplicetur, (quod fiet facile, ſi ei ad dextrã præ-
ponas tot ci fras, quot in ſinu toto continentur, nempe ſeptem, ſi ſin{us} tot{us} fuerit
10000000. vel quinque, ſi ſinus totus fuerit 100000.)
productusq́;
numerus per ſi-
num complementi eiuſdem arc{us} diuidatur: inuenietur Tangens illi{us} arc{us}, cui{us} ſi-
num complementi accepiſti, vel cuius ſinum rectum in ſinum totum multiplicaſti. Vt
ſi tangens arc{us} gra. 30.
quæratur, adiungemus eius ſinui recto 5000000 ſeptem ci-
fras, hoc modo. 50000000000000.
&
hunc numerum per 8660254 ſinumcomple-
menti eiuſdem arcus grad. 30.
partiemur.
Nam quotiens numerus 5773503.
dabit
tangentem arcus grad. 30.
quatenus ſinus totus eſt 10000000.
Hinc fit, tangentes
Nam ſiomnium arcuum ſinubus, initio facto à
principio quadr antis, ſeptem ci fr{as} appon{as}, & compoſitos numeros per ſinus comple
mentorum eorundem arcuum, quemlibet per ſuum correſpondentem, diuid{as}, prodi-
bunt omnium arcuum tangentes, vt ex demonſtratis liquido cõſtat. Quamobrem per-
facilis eſt conſtructio tabulæ Tangentium.
RVRSVS per ea, quæ tertio loco in hac propoſ.
ſunt demonſtrata, ſi fiat, vt ſi-
hoc eſt, ſi ſi-
nus totus in ſeipſum multiplicetur, (quod facile fiet, ſi ei ad dextram præpon{as} tot
cifras, quot ſunt in ſinu toto, puta ſeptem, vel quinque, prout ſinus totus habuerit
ſeptem, aut quinque cifras.) numerusq́;
productus per ſinum complementi cuiuſuis ar-
cus diuidatur: reperietur Secans illius arcus, per cuius ſinum complementi diuiſio fa
cta eſt. Vt ſi ſecans arcus grad.
30.
deſideretur, diuidemus 100000000000000.
(pro-
ductum ſcilicet numerum ex ſinu toto in ſeipſum) per 8660254. ſinum complementi
arcus grad. 30.
Numerus enim Quotiens 11547005.
dabit ſecantem arcus grad.
30.
quatenus ſinus totus est 10000000.
Sola ergo diuiſ@one huius ſemper numeri
per sinus complementorum omnium arcuum, initio facto à
Ex quo facilima erit conſtructio tabulæ ſecantium.
TANGENS cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe qua-
ſecanti ſi-
mul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat.
IN quadrante ABC, ſit CG, tangens arcus CF, qui ſemiſſe quadrantis
maior ſit, inter ſemidiametrum AC, & ſecantem AG, eiuſdem arcus CF, com
prehenſa. Dico CG, æqualem eſſe tangenti, &
ſecanti ſimul arcus, qui duplus
ſit exceſſus, quo arcus CF, ſemiſſem quadrantis
Sumpto enim arcu FD, ipſi FB, æquali,
ducatur recta AD, extendaturq́; vſque ad E.
Et
quoniam anguli BAF, FAE, ob æquales arcus
Et angulo BAF, æqualis
eſt alternus angulus G; erit quoq;
idem angulus
Quare rectæ EG, EA,
ac propterea, addita communi CE,
erit CG, tota tangens arcus CF, duabus CE, &
AE, hoc eſt, tangenti, & ſecanti arcus CD, ſimul
æqualis. Dico iam arcum CD, duplum eſſe exceſ-
ſus quo arcus CF, propoſitus ſemiſſem quadrãtis ſuperat. Producto enim ar-
cu quadrantis ad partes B, ſumptoq́; arcu BH, æquali ipſi CD, cum &
arcus
FB, arcui FD, ſit æqualis, erit totus arcus FH, toti arcui CF, æqualis, ac pro-
inde arcus CH, duplus erit arcus CF. Quoniam vero arcus CH, quadrantem
CB, ſuperat arcu BH, hoc eſt, arcu CD; ſuperabit CF, ſemiſsis arcus CH, ſe
Arcus igitur CD, duplus eſt ex-
ceſſus, quo datus arcus CF, ſemiſſem quadrantis ſuperat. Eſt auté oſtenſum,
CG, tangentem arcus CF, æqualem eſſe tangenti CE, & ſecanti AE, ſimul ar-
cus CD. Igitur tangens cuiuſuis arcus, qui ſemiſſe quadrantis maior ſit, æqua
lis eſt tangenti, & ſecanti ſimul arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo datus ar-
cus ſemiſſem quadrantis ſuperat. Quod oſtendendum erat.
HANC propoſitionem nonnulli ita proponunt.
SECANS cuiuſuis arcus vna cum tangente eiuſdem æqualis eſt
ſemiſſe complementi
eiuſdem.
N A M in eadem figura ſit AE, ſecans, &
Ce, tangens eiuſdem arcus CD. Secto
A, per F, recta A G, ſecans tangentem C E, productam in G. Eritq́;
C
G, tangens
arcus Cf, compoſiti ex dato arcu CD, & Df, ſemiſſe complementi DB. Dico ſe-
cantem Ae, & tangentẽ
Ce. ſimul æquales eſſe tangenti
Cg. Quia enim anguli BAF,
Bf, FD; &
angulo BAF, alternus
erit quoque angulus idem G, angulo
GAe, æqualis Quare
EA, EG: at que adeo, addita communi
EC, duæ A E, EC, ſimul
toti CG, æquales erunt.
SECANS cuiuſuis arcus æqualis eſt tangen-
menti arcus eiuſdem.
IN quadrante ABC, ſit AD, ſecans, &
CD, tangens arcus CE, cuius
complementi EB, ſemiſsis ſit EF, vel FB, & huic ſemiſsi æqualis ſit arcus
CG. Ducta autem recta AG, &
producta, donec cum DC, protracta coeat in
H, erit CH, tangens arcus CG, qui ſemiſsis eſt complementi arcus CE. Dico ſecantem AD, æqualem eſſe tangenti
tangenti CH, ſimul, hoc eſt, toti li-
neæ DH. Quoniam enim anguli EAF, CAG,
addito communi angulo EAC, erunt toti
anguli FAC, EAH, æquales. Rurſus quia
in triangulo rectangulo ACH, duo anguli
les ſunt; ablatis angulis BAF, CAH, qui
propter æquales arcus BF, CG, æquales ſunt,
H, æquales.
Eſt
autem angulus FAC, oſtenſus æqualis angu
lo EAH. Igitur &
angulus H, eidem angulo EAH, æqualis erit:
ac propte-
rea rectæ AD, DH, æquales erunt, hoc eſt, ſecans AD, tangentibus DC, CH,
quod eſt propoſitum.
ALITER.
Sit rurſus AD, ſecans, &
CD, tangens arcus CE.
Dico ſecan-
tem AD, æqualem eſſe tangenti CD, vnà cum tangente ſemiſsis complemen
ti arcus EC, ſeu anguli DAC, hoc eſt, vna cum tangente ſemiſsis anguli D,
qui complementum eſt anguli DAC, cum ambo in triangulo rectágulo ACD,
vni recto ſint æquales. Centro namque D, &
interuallo DA, arcus circuli de-
AC, productam in I, ducan-
turq́; rectæ AH, HI.
Quia igitur recta DC, ex centro D, circuli AHI, edu-
cta ſecans rectam AI, ad angulos rectos, ſecat eam bifariam; ſecabit eadem
arcum AHI, bifariam, ex lemmate in definitionibus demonſtrato.
Quare anguli CAH, &
I, æquales ſunt.
Quoniam autem, cum anguli D, &
I,
ille ſit ad centrum D, hic vero ad cir-
erit quoque idem angulus D,
ac proinde angulus CAH, ſemiſsis erit anguli D, qui
complementum eſt anguli DAC. Cum ergo CH, tangens ſit anguli CAH,
ſitq́; DA, recta rectæ DH, ex defin.
circuli, æqualis:
liquido conſtat, ſecan-
tem AD, arcus CE, æqualem eſſe tangenti CD, eiuſdem arcus, vnà cum CH,
tangente ſemiſsis complementi arcus CE, ſeu anguli CAD. Quapropter Se-
cans cuiuſuis arcus æqualis eſt tangenti eiuſdẽ, &c.
Quod demonſtrandũ erat.
EX preximis duobus theorematibus mirificum nobis compendium ſuppeditatur ad
Nam ſiper ea, quæ pro-
poſ. 18.
eiuſq́;
ſcholio præcepim{us}, tangentes omnium arcuum per ſingula minuta ex-
tenſorum vſque ad ſemiſſem quadrantis, ſecantes vero omnium arcuum totius qua-
drantis inquiramus; inueniemus earum beneficio per ſolam additionem tangentes
aliorum arcuum, vſque ad arcum grad 67. Min.
30 ſi nimirum tangentem, &
ſecan-
tem cuiuſq; arcus minoris ſemiſſe quadrantis, qui minuta numero paria contineat, in
vnam ſummá colligamus: propterea quòd tangens cuiuſuis arc{us} maioris ſemiſſe qua-
ſemiſſem quadrantis ſuperat; quales ſunt omnes arcus minutorũ parium vſq;
ad gra.
45.
vt arcus Min.
2.
Min.
4.
Min.
6.
&
c.
Exempli cauſa.
ſi deſideretur tangens arcus
gra. 45.
Min.
1 colligemus in vnam ſummam tangentem 5818.
&
ſecantẽ 10000002.
arcus Min. 2 qui duplus eſt arcus Min.
1.
quo datus arcus grad.
45 Min.
1.
ſemißem quæ
drantis, hoc eſt, arcũ grad. 45 ſuperat.
Numerus enim cõſlatus 10005820.
dabit tã-
gentẽ propoſiti arcus grad. 45.
Min.
1.
qui ſemiſſem quadrantis ſuperat ſemiſſe arcus
Min. 2.
vt propoſ.
19.
oſtenſum eſt.
Idẽ arcus grad.
45.
Min.
1.
cõponitur ex arcu Min.
2. &
ſemiſſe cõplemẽti eiuſdẽ arcus, quod cõplectitur grad.
89.
Min.
58.
hoc eſt, ex ar-
cu Min. 2.
&
arcu grad.
44.
Min.
59 ac proinde, vt in ſcholio propoſ.
19.
demonſtraui-
mus, numerus 10005820. conſlatus ex tangente, &
ſecante arcus Min.
2.
dabit tan-
gentem dicti arcus compoſiti ex arcu Min. 2.
&
ſemiſſe complementi eiuſdem.
EADEM ratione tangens cuiuſuis arcus mauris ſemiſſe quadrantis compone-
tur ex tangẽte, & ſecante arcus, qui duplus ſit exceſſus, quo arcus ille ſemiſſem qua-
drantis ſuperat. Item ſi in vnam ſummã colligantur tangens, &
ſecans cuiuſuis ar-
cus minoris ſemiſſe quadrátis, conſlabitur tàgens arcus cõpoſiti ex illo arcu, & ſemiſ
ſe complementi eiuſdem. Vt tangens 14352451.
arcus grad.
55 Min.
8.
compoſita eſt
ex tangente 3692500. &
ſecante 10659951.
arcus grad.
20 Min.
16.
qui duplus eſt
arcus grad. 10.
Min.
8.
quo datus arcus grad.
55 Min.
8.
quadrantis ſemiſſem ſuperat.
Item ſi tangens 3692500.
&
ſecans 10659951.
arcus grad.
20.
Min.
16.
in vnam
ſummam colligantur, conſlabitur tangens 14352451. arcus grad 55.
Min.
8.
comſoſi-
ti ex illo arcu grad. 20.
Min.
16.
&
ſemiſſe complementi eiuſdem, nempe ex arcu grad.
34. Min.
52.
cum complementũ arcus grad.
20.
Min.
16.
cõprehendat grad.
69.
Min.
44.
ITAQVe propoſito arcu quocunque, qui maior ſit quadrantis dimidio, ſi ex
eo detrahatur ſemiſsis quadrantis, id eſt, arcus grad. 45.
&
reliqui arcus ſumatur
duplus, component tangens & ſecans huius dupli arcus ſumpti tangentem propoſiti
illius arcus. Vt ſi quæratur tangens arcus grad.
55.
Min.
8.
detrahendi erunt grad.
45.
ex eo, &
reliqui arcus grad.
10.
Min.
8.
ſumendus duplus arcus grad.
20.
Min,
Huius enim tangens, &
ſecant component illius tangentem, vt demonſtratum eſt.
INVENTIS autem hoc modo tangentibus arcuum ſemiſſe quadrantis maiorũ
vſque ad arcum grad. 67.
Min.
30.
incluſiue;
ſi rurſus tangentem, ac ſecantem cuiuſq;
horum arcuum, qui minuta numero paria complectatur, (quales ſunt arcus grad.
45.
Min. 2.
&
grad.
45.
Min.
4.
&
c.)
in vnam ſummam colligamus, reperiemus tangentes
maiorum adhuc arcuum, nempe grad. 67.
Min.
31.
&
grad.
67.
Min.
32.
&
c.
vſque ad
arcũ gra. 78.
Min.
45.
incluſiue.
Nam huius arcus grad.
33.
Min.
45.
quo arcus grad.
78 Min 45 ſemiſſem quadrantis excedit, duplus eſt arcus grad. 67.
Min.
30.
cu-
ius tangens vltimo loco inuenta ſuit. Item ex his tangentibus arcuum maiorum,
quàm grad. 67.
Min.
30.
@ſque ad arcum grad.
78.
Min.
45.
incluſiue inuentis;
ſi
rurſus tangentem, & ſecantem cuiuſq;
illorum, qui minuta numero paria compre-
hendat, in vnam colligamus ſummá, inueniemus tágentes maiorum adhuc arcuum,
cuiuſmodi ſunt arcus grad. 78.
Min.
46.
&
grad.
78.
Min.
47.
&
c.
vſque ad arcum
grad. 84.
Min.
22.
incluſiue.
Nam huius arcus grad.
39.
Min.
22.
quo arcus grad.
84. Min.
22.
ſemißem quadrantis ſuperat, duplus eſt arcus grad.
78.
Min.
44.
qui maxi-
mus eſt eorum, qui minuta numero paria habent, & quorum tangentes iam inuentæ
ſunt. Sic etiam ex his inuentis reperiemus tangentes maiorum adhuc arcuum, quàm
grad. 84.
Min.
22.
vſque ad arcum grad.
87.
Min.
11.
Quia huius arcus grad 42.
Min.
11 quo arcus grad 87 Min 11. dimidium quadrantis excedit, duplus eſt arcus grad.
84. Min 22.
cuius tangens vltimo loco fuit inuenta.
Ex his vero repertis conficiemus
tangentes ſequentium arcuum, vſque ad arcum grad. 88.
Min.
35.
propterea quòd hu-
ius arcus grad. 43 Min.
35.
quo arcus grad.
88.
Min.
35.
quadrátis dimidiũ excedit, d@
plus eſt arcus gra. 87.
Min.
10.
qui maximus eſt eorũ, qui minuta habent numero paria,
& quorum tangentes proxime inuent æ ſunt.
Per has quoque reperiemus aliorum ar-
cuum tangentes, vſque ad arcum grad. 89.
Min.
17.
incluſiue;
cum huius arcus grad.
44. Min.
17.
quo arcus grad.
89 Min.
17.
dimidiatum quadrantem excedit, duplus ſit
arcus grad. 88.
Min.
34.
vtpote maximus eorum, qui minuta numero paria continent,
& quorum iam tangentes ſunt cognitæ.
Beneficio deinde harum tangentium inuen-
tarum eliciemus tangentes aliorum arcuum, vſque ad arcum grad. 89.
Min.
38.
in-
cluſiue; eo quod huius arcus grad.
44.
Min 38.
quo arcus grad.
89.
Min.
38.
ſemiſſem
quadrantis ſuperat, duplus eſt arcus grad. 89.
Min.
16.
qui maximus eſt eorum, qui
minuta numero habent paria, & quorũ tangentes iam factæ ſunt notæ;
Hinc aliorum
arcuũ tãgentes inquiremus, vſq; ad arcũ gra.
89.
Min.
49.
quippe qui ſuperet quadrã
tis dimidiũ drcugrad. 44.
Min.
49 cuius duplus eſt arcus grad.
89.
Min.
38.
ad quẽ pro-
xime peruenimus. At ex his inueſtigabimus tangentes ſequentium arcuum vſq;
ad ar-
cum grad. 89.
Min 54 quippe qui quadran
44.
Min.
54. cuius duplus ſt arcus grad.
89.
Min.
48.
qui maximus eſt eorum, qui minuta ha-
bent numero paria, & quorum tangentes iam ſunt inuentæ.
Eadẽ ratione ex his in-
ueniemus tangentes ſequentium arcuum vſq@ ad arcum grad. 89.
Min.
57 Quia hu-
ius arcus grad. 44.
Min.
57.
quo arcus grad.
89.
Min 57 quadrantis dimidium ſupe-
rat, duplus eſt arcus grad. 89.
Min.
54.
ad quem proxime peruentum fuit.
Denique ex
tangente, & ſecante arcus grad.
89.
Min.
56.
conficiemus tangentem arcus grad.
89.
Min. 58.
Et hinc tangentem explor abimus arcus grad.
89.
Min.
59.
Atq;
ita, vt vides,
ex tangentibus arcuum vſque ad grad. 45.
&
ex ſecantibus omnium arcuum qua-
drantis perficitur integra tabula tangentium.
QVOD ſi ſecantem cuiuſcunq;
arcus ſubducas ex tangente alterius arcus, qui
ex priore illo, ac ſemiſſe complementi eiuſdem componitur, reliquam facies tangen-
libet arcus ex eiuſdem ſecante detrahas, remanebit tangens ſemiſsis complementi
arcus eiuſdem. Primum conſtat ex ſcholio propoſ.
19.
vbi oſtenſum eſt, ſecantem, &
tangentem cuiuſuis arcus ſimul æquales eſſe tangenti arcus compoſiti ex illo, & ex
ſemiſſe complementi eiuſdem. H@nc enim fit, vt ſecans ex cõpoſita hac tangente ablata
relinquat alteram illá tangentem. Secundum vero liquet ex propoſ.
hac 20.
vbi de-
monſtrauimus, ſeca ntem cuiusuis arcus æqualem eſſe tangenti eiuſdem, vna cum tan-
gente ſemiſsis complementi arcus eiuſdem. Quare huius ſemiſsis tangens reliqua fiet
poſt ſubtractionem alterius illius tangentis ex ſecante. V.
g.
ſi ſecantem arcus grad.
20.
quæ eſt 10641777.
detrahamus ex 14281480.
tangente arcus grad.
55.
compoſiti ex arcu grad. 20.
&
ſemi
3639703. arcus eiuſdem grad.
20.
Item ſi 4244748.
tangentem arcus grad.
23.
ex 10863603 ſecante eiuſdem arcus ſubducamus, remanebit tangens 6618855. ar-
cus grad 33. Min.
30.
hoc eſt, ſem ſsis complementi dati arcus grad.
23.
Rurſus
ſi 11547004. ſecantem arcus grad.
30 ex 17320508.
tangente arcus grad.
60.
qui ex arcu grad. 30.
&
ſemiſſe complementi eiuſdem componitur, auferamus, @elin
quetur tangens 5773504. arcus grad.
30.
Et ſi 1763268.
tangentem arcus grad.
10.
demamus ex 10154264. ſecante eiuſdem arcus gra.
10.
remanebit tangẽs 8390996.
arcus grad. 40.
qui ſemiſsis eſt complementi dicti arcus grad.
10.
IAM vero ſi per ea, quæ propoſ.
18.
eiusq́;
ſcholio tradidimus, tangentes om-
nium arcuum quadrantis per ſingula Minuta extenſorum inueſtigemus; reperiemus
earum beneficio per ſolam additionem ſecantes omnium arcuum per bina minuta pro-
gredientium, ſi mmirum tangentem cuiuſuis arcus minuta numero paria habentis
addamus ad tangentem ſemiſsis complementi arcus eiuſdem: propterea quòd Secans
cuiuſuis arcus æqualis eſt tangenti eiuſdem, vna cum tangente ſemiſsis complementi
conſtat autem omnium arcuum minuta numero paria habentium comple-
menta ſemiſſes habere, Exempli cauſa, ſi deſideretur ſecans arcus Min. 2.
addemus eius
tangentem 5818. ad 9994184.
tangentem arcus grad.
44.
Min.
59.
qui ſemiſsis eſt com
plementi arcus dati Min. 2.
Numerus enim compoſitus 10000002.
erit ſecans arcus
Min. 2.
sic etiam ſi quæratur ſecans arcus grad.
89.
Min.
58.
addemus eius tangentem
17188033689. ad 2909 tangentem arcus Min.
1.
qui ſemiſsis eſt complementi arcus
dati grad. 89.
Min.
58.
Ná numerus conflatus 17188036598.
erit ſecans arcus grad.
89 Min.
58.
Hac ratione conficietur dimidiata pars tabulæ Tangentium:
at Tangen-
tes arcuum minuta numero imparia habentium, quoniam eorum complementa ſemiſ-
ſes non habent, niſi ad Secunda venire velimus, inueſtigandæ erunt, vt propoſ. 18.
eiuſq; ſcholio præcepimus.
RVRSVS ſecantem cuiuſuis arcus inueniemus, ſi eius tangentem demamus ex
tangente arcus compoſiti ex ar cu illo, & ſemiſſe complementi eiuſdem arcus.
Nam cũ,
vt demonſtrauimu, ſecans cuiuſuis arcus, vnà cum tangente eiuſdem æqualis ſit tan-
ſemiſſe complementi eiuſdem;
efficitur, vt tan
gens dati arcus ex tangente arcus ex eo, & ſemiſſe complementi compoſiti ablata re-
linquat ſecantem eiuſdem dati arcus. Vt ſi cupiamus ſecantem arcus Min.
2.
aufere-
mus 5818. tangentem ipſius ex 10005820.
tangente arcus grad.
45.
Min.
1 cõpoſiti ex
arcu Min. 2.
&
ex arcu grad.
44.
Min.
59.
qui ſemiſsis eſt complementi arcus dati
Min. 2 Relictus namque numerus 10000002 erit ſecans arcus dati Min.
2.
Ita quoq;
ſi velimus habere ſecantem arcus grad.
60.
ſubducemus 17320508.
eius tangentem
ex 37320514. tangente arcus grad.
75.
compoſiti ex dato arcu grad.
60.
&
ex arcu
15.
qui ſemiſsis eſt complementi dati arcus grad.
60.
Remanebit enim numeras
20000006 pro ſecante dati arcus grad. 60.
HAEC, quæ hoc ſcholio tradita à nobis ſunt, vera ſunt, ſi ſinus exquiſite inuen@
ſed quia non omnes ſinus accurate ſunt cogniti, maxime ſinus arcus grad.
1.
&
alij ex hoc dependentes, quales ſunt ſinus arcuum per ſingula minuta extenſo-
rum; fit vt neq;
tangentes, neq;
ſecantes inuẽtæ per hoſce ſinus ſint admodũ accuratæ.
Quare ſi ex inuentis quibuſdam aliæ per ſolam additionem, ſubtractionem ve inqui-
rantur vt hoc ſcholio docuimus, non parum different ab eiſdem, ſi per ſinus inueſtiga
rentur. Nam tangentes &
ſecantes per ſinus inuentæ ex vno ſolo principio non omni
ex parte vero, nempe ex ſinubus, gignuntur: at eædem per ſolam additionem, ſubtra,
ctionem ve procreatæ oriuntur ex pluribus falſis principijs, nimirum ex ſinubus pr
mum, deinde vero etiá ex tangentibus, & ſecátibus per ſinus inuentis, quæ accuratæ
eſſeMagis exquiſite ergo cognoſcentur huiuſmodi lineæ per
ſinus, vt propoſ. 18.
eiuſq́;
ſcholio traditum eſt.
Hac ratione &
tabulam Tangentium,
& tabulam Secantium breui ſupputabimus.
Non paruos enim errores in aliorum ta-
bulis deprehendimus; vt tutò illis fid ere non poſsimus;
propterea quòd multas tangen-
tes, & ſecátes vel per partem proportionalem, vel per ſolam additionem aut ſubtra-
ctionem inueſtigarunt, non autem omnes per ſinus. Subiungemus tamen paulo infra
aliorum tabulas, donec per tempus nouas conſtruere licebit.
TANGENS cuiuſuis arcus eſt ad tangen-
menti poſterioris arcus ad tangétem complemen-
ti prioris.
IN quadrante ABC, arcus CD, tangens ſit CE, &
ſecans AE:
Item ar-
cus CF, tangens ſit CG, & ſecans AG:
Ducta autem recta BH, circulum tan
gente, & vtrique ſecanti AE, AG, occurrente in I, H;
erit BI, tangens com-
plementi arcus CD; &
BH, tangens comple-
Dico ita eſſe CE, tangentem
arcus CD, ad CG, tangentem arcus CF, vt eſt
BH, tangens complementi poſterioris arcus
CF, ad BI, tangentem complementi arcus prio
ris CD. Cum enim ſinus totus ſit medius pro-
& BI, tangentem complementi arcus eiuſdem
CD, quàm inter CG, tangentem arcus CF, &
BH, tangentem complementi arcus eiuſdem
CF; erit tam rectangulum ſub CE, BI, quam re-
ctangulum ſub CG, BH, quadrato ſinus totius æquale: ac proinde rectangu-
Quare erit, vt CE,
prima ad CG, ſecundam, ita BH, tertia ad BI, quartam; nempe vt CE, tan-
ti arcus poſterioris CF, ad BI, tangentem complementi prioris arcus CD. Tangens igitur cuiuſuis arcus eſt ad tangentem alterius, &
c.
Quod oſtenden-
dum erat.
SECANS cuiuſuis arcus eſt ad Secantem al-
ſterioris arcus ad ſinum complementi prioris.
IN quadrante ABC, ſit AD, ſecans arcus CE, &
AF, ſecans arcus CG:
&
EH, ſinus complementi arcus CE, at GI, ſinus complementi arcus CG. Di-
coita eſſe ſecantem AD, arcus CE, ad AF, ſecantem arcus CG, vt eſt GI,
ſinus complementi poſterioris arcus CG, ad EH,
Quoniam
enim ſinus totus eſt medius proportionalis tã in-
EH, ſinum com-
plementi eiuſdem arcus CE, quàm inter AF, ſe-
cantem arcus CG, & GI, ſinum complementi eiu-
ſdem arcus CG; erit tam rectangulum ſub AD,
EH, quàm rectangulum ſub AF, GI, quadrato
ac proinde rectangulum illud
huic æquale. Quare erit vt AD, prima ad AF, ſe-
hoc eſt,
vt AD, ſecans arcus CE, ad AF, ſecantem arcus CG, ita GI, ſinus comple-
menti arcus poſterioris CG, ad EH, ſinum complementi arcus prioris CE. Secans igitur cuiuſuis arcus eſt ad ſecantem alterius arcus, &
c.
Quod demon-
ſtrandum erat.
SI plures ſint arcus æquali exceſſu progredien
iorum arcuum maiorem differentiam, quàm mi-
norum:ita vt in tabula differentiæ tam tangentiũ,
quàm ſecantium ſemper creſcant vſque ad finem
quadrantis.
IN quadrante ABC, ſintarcus CD, CE, CF, quorum differentiæ DE,
EF, æquales ſint, & eorumdem tangentes ſint CG, CH, CI;
ſecantes autem
Et quia in triangulo ACH, angulus C, rectus eſt;
erit AHC,
recto minor, cum ambo ſint duobus rectis minores. Cum ergo duo anguli
Quare maior erit ſecans AI, ſecante
Eadẽ ratione maior erit quam AG:
Item
Abſcindatur ergo.
AK, ipſi
AH, & AL, ipſi AG, æqualis.
Dico IH, differẽ
tiã tangentiũ CI, CH, arcuũ maiorũ CF, CE,
maiorem eſſe differentia HG, tãgentium CH,
CG, minorum arcuum CE, CD: Item KI,
differentiam ſecantium AI, AH, arcuum ma-
iorum CF, CE, maiorem eſſe differentia LH,
ſecantium AH, AG, minorum arcuum CE,
CD. Cum enim arcus DE, EF, æquales ſint,
anguli DAE, EAF, æquales:
ac pro-
inde angulus IAG, ſectus erit bifariam per re-
Igitur erit, vt IA, ad AG, ita IH,
ad HG: Eſt autem AI, maior, quàm AG, vt oſtenſum eſt.
Recta ergo IH,
maior quoque erit, quàm HG. quod eſt primum.
DVCTIS iam FM, EN, DO, ad AC, perpendicularibus, nempe fi-
nubus rectis arcuum CF, CE, CD; erit AM, ſinus complementi arcus CF;
&
AN, ſinus complementi arcus CE;
&
AO, ſinus complementi arcus CD,
vt in expoſitione definitionum dictum eſt. Quoniam vero recta MN, maior
maior erit proportio AN, ad NO, quàm ad MN:
Eſt autem
Igitur
multo maior erit proportio AO, ad NO, quàm AN, ad MN. Et per con-
uerſionem rationis, minor proportio AO, ad AN, quàm AN, ad AM: hoc
Cum ergo ſit, vt
AN, ad AM, ita AI, ad AH; Et vt AO, ad AN, ita AH, ad AG:
maior
hoc eſt, ad AL. Diuidendo ergo maior etiam proportio erit IK, ad AK, hoc
Et conuertendo minor erit proportio AH,
hoc eſt, maior proportio erit AL, ad LH, quàm
AH, ad KI. Quare cum maior adhuc ſit proportio AH, ad LH, quàm AL,
multo maior proportio erit AH, ad LH, quàm eiuſdem
AH, ad KI; ac propterea recta LH, minor erit, quàm kI.
quod eſt ſecun-
Ex quo fit, differentias tam tangentium, quàm ſecantium in tabula ſem
per augeri ad finem vſq; quadrantis:
cuius quidem contrarium in ſinubus ac-
cidit, vt ſupra demonſtratum eſt. Quamobrem ſi plures ſint arcus æquali
exceſſu porgredientes, &c.
Quod demonſtrandum erat.
SEQVITVR hinc, ſi quotlibet arcuum tangentes æqualiter ſeſe excedant, arcus
ma orum arcuum eſſe minores:
quàm ma-
iorum Omnium item ſecantium ſegmenta extra quadrantem eſſe inæqualia, minoraq; eſſe
illa, quæ principio quadrantis ſunt propinquiora. Quoniam enim poſi is arcubus DE,
EF, æqualibus, oſtenſum fuit, rectam IH, maiorem eſſe quam HG; liquido conſtat, ſi ex
HI, auferatur recta ipſi HG, æqualis. ſecantem inter duas AI, AH, ductam diuidere ar-
adeo abſcindere arcum minorem arcu DE, nempe partem arcus EF.
Eademq́;
ratio eſt de alijs.
RVRSVS quia demonſtratum eſt, ſecantem AG, minorem eſſe, quàm AH;
fit, vt
ablatis femidiametris æqualibus AD, AE, ſegmentum DG, ſeliquum minus ſit ſegmen-
to reliquo EH, &c.
TANGENS arcus maioris ad tangentem
ſecans maioris eiuſdem arcus ad ſecantem eiuſdé
minoris.
REPETATVR figura pręcedentis propoſ.
ad tangentem CH, quàm ſecantis AI, ad ſecan
tem AH. Quoniam enim eſt, vt AF, ad FM,
Item vt AE, ad EN, ita AH,
ad HC. Eſt autem minor proportio ſemidia-
EN; quòd ſinus FM, maioris arcus CF, ma-
ior ſit ſinu EN, minoris arcus CE, vt in ex-
poſitione definitionum dictum eſt. Igitur minor
quoq; erit proportio AI, ad IC, quàm AH,
ad HC: Et permutando, minor etiam propor-
hoc eſt, tan
gens CI, ad tangentem CH, habebit maiorem
proportionem, quàm ſecans AI, ad ſecantem AH. Quocirca Tangensar-
cus maioris ad tangentem minoris arcus, &c.
Quod demonſtrandum erat.
EX vtraq;
tabula non aliter tangentes, ac ſecantes arcuum, vel complemento@
ſinus complementorum arcuum
ex ſinuum tabula eruere docuimus. Vt ſi quæratur tam tangens, quam ſecans arcus
grad. 50.
Min.
24.
inuenietur in tabula tangentium ſub grad.
50.
in vertice tabu-
læ poſitis, è regione Min. 24.
ad ſiniſtram collocatorum tangens particularum
1 2087923. qualium ſinus totus ponitur 10000000.
In tabula vero ſecantium repe-
rietur ſub grad. 50.
è regione Min.
24.
ſecans earundem particularum.
15688144.
Quod ſi quæratur tam tangens, quam ſecans complementi arcus 39.
Min.
36.
repe-
rietur in priori quidem tabula ſupra grad. 39.
in ima ſede poſitos, è regione Min 36.
ad dextram collocatorum tangens eadem, quæ prius, 12087923. In poſteriori vero ta-
bula eadem ſecans 15688144. propterea quòd complementum arcus grad.
39.
Min.
36. complectitur grad.
50.
Min.
24.
cui arcui dicta tangens, ac ſecans debetur, vt
patet.
I AM verò ſi ſinus totus aſſumatur particularum tantummodo 100000.
abiectis
duabus cifris ex ſinu tote 10000000. abijciendæ quoq;
erunt ex ſingulis tangentibus,
ac ſecantibus duæ priores figuræ ad dextram: quemadmodum de ſinubus diximus.
SINVVM, linearum tan-
ſecantium vſus
potißimum in doctrina trian-
gulorum tam rectilineorum,
quàm ſphæricorum conſiſtit. Omnes enim Aſtronomi in mo
tibus cæleſtibus vel inueſtig andis, vel explican-
dis explorant in triangulis beneficio ſinuum, li-
nearum tang entium, & ſecantium tumlatera
ex angulis notis, tum etiam angulos ex lateribus
cognitis. Id quod ex Epitoma Ioan.
Regiom.
in
Almageſtum, ſiue magnam cõſtructionem Pto-
lomæi, ex opere Copernici dereuolutionibus cæle-
ſtibus, & ex aliorum Aſtronomorũ ſcriptis per-
ſpicuè conſtare potest. Quam ob rem cum iarn
tractationem ſinuum, linearum{q́ue} tangentium,
ac ſecantium abſoluerimus, ordo poſtulat, vt
ſciẽtiam hanc triang ulorum à Foanne Regiom.
à Gebro Hi-
ſpalenſi Arabe, necnon à Nicolao Copernico bre-
uiter quidem, ſed paulò obſcurius traditam, pro
virili etiam exponamus, cum incredibilis ſit eo-
rum vtilit as cum in rebus omnibus Mathema-
ticis, tum præſertim in cæleſtibus motibus, & in
ijs rebus, quæ ex illis pendent, rectè intelligendis,
velinueſtig ãdis, vt dictum est, & partim etiam
non obſcure ex noſtra Gnomonica colligi poteſt,
vbi permulta ad horologia pertinentia ex trian-
gulis à nobis ſunt demonſtrata. Exordiemur
autem à triangulis rectilineis, tanquam facilio-
ribus, de quibus eaſolum demonſtr abimus, quæ
ad res Aſtronomicas, & Geometric as recte per-
cipiend as neceſſaria eſſe iudicamus: Id quod e-
tiam in ſphæricis triang ulis obſeruauimus. Qui
plur a deſider at, leg at Menelaum, & Mauro-
lycum de sphæricis triangulis, de rectilineis ve-
ro Ioannem Regiomontanum. Ante omnia au-
tem explicandum erit, penes quid angulorum
rectilineorum quantitas ſumenda ſit.
PENES QVID ANGVLI rectilinei magnitudo ſumatur.
ANGVLI cuiuſuis rectilinei magnitudo ſumitur penes arcum circuli ex ipſo
angulo, vt centro, deſcripti ad quodcunq; interuallum, inter rectas lineas angulum
comprehendentes interceptum. Nam quilibet angulus rectilineus tantus eſſe dicitur,
quantus eſt arcus circuli, cuius centrum eſt inipſo angulo, inter duas lineas rectas,
ita vt quot graduum fuerit ille arcus, totidem
angulus, qualium quatuor recti ſunt 360.
aut vnus rectus 90.
Ex
quo fit, indifferenter ſinum anguli rectilinei pro ſinù arcus accipi poſſe, & contra;
quod etiam de tangente, &
ſecante intelligatur:
quandoquidem arcus, &
angulus il-
li in centro inſiſtens eundem habent partium numerum, licet diuerſi generis, cum par
tes arcus ſint arcus, partes vero anguli ſint anguli: quamuis &
partes anguli dici
poſsint arcus, ita vt angulus dicatur habere tot gradus, quot in arcu, cui inſiſtit,
comprehenduntur.
QVANDOCVNQVE ergo arcus angulum rectilineum metiens eſt quadrãs,
id eſt, quarta pars totius circunferentiæ, angulus ei inſiſtens in centro rectus erit,
nempe quarta pars quatuor rectorum, quibus ſpatium, quod circumſtat centrum
quando autem
arcus idem eſt quadrante minor, angulus quoq; minor erit recto, nempe acutus:
quan
do deniq; arcus eſt maior quadrante, angulus etiam recto maior erit, nimirum obtu-
ſus. Et contra, quando angulus eſt rectus, erit arcus illum metiens quadrans: quan-
do acutus, quadrante minor: quando deniq;
obtuſus, maior quadrante.
Quæ omnia
ex lemmate ſequenti erunt perſpicua.
RECTÆ lineæ angulum rectum comprehendentes abſcindũt
interuallum deſcribitur:
lineæ vero rectæ angulum acutum conti-
nentes auferunt arcum quadrante minorem: lineæ deniq;
rectę con-
ſtituentes angulum obtuſum intercipiunt in eodem circulo arcum
maiorem quadrante. Et contra, rectæ lineæ ex centro circuli egre-
dientes, quadrantemq́; intercipientes conſtituunt angulum rectum:
lineæ vero arcum quadrante minorem abſcindentes angulum acu-
tum continent: rectæ deniq;
lineæ auſerentes arcum maiorem qua-
drante obtuſum angulum comprehendunt.
RECTAE lineæ AB, CB, angulum rectum contineant ABC, &
Dico
arcum AC, quadrantem eſſe, &c.
Quoniam
enim eſt, vt angulus ABC, in centro ad qua-
ferentiam;
eſt autem angulus ABC, cum re-
ctus ſit, quarta pars quatuor rectorum: erit
quoq; arcus AC, totius circunferentiæ quar
t a pars, id eſt, quadrans. Quoniam vero re-
cta linea conſtituens cum recta AB, in pun-
cto B, angulum acutum cadit in arcum AC,
recta vero linea cum eadem AB, conſtituens angulum obtuſum in puncto
B, cadit in arcum CD; liquido conſtat, rectas lineas angulum acutum in
neas vero rectas continẽtes angulum obtuſum abſcindere arcum quadran
te AC, maiorem.
SED auferant iam rectæ BA, BC, ex centro B, egredientes qua-
àrantem AC. Dico angulum ABC, eſſe rectum, &
c.
Quoniam enim
eſt, vt arcus AC, ad totam circunferentiam, ita angulus ABC, in cen-
eſt autem arcus AC, quadrans, id eſt, quarta pars
circunferentiæ totius: erit quoq;
angulus ABC, quarta pars quatuor
rectorum, atq; adeo rectus.
Quia vero rectæ ex centro B, emiſſæ, atque
arcum quadrante AC, minorem auferentes angulum conſtituunt mino-
rem angulo recto ABC, auferentes vero arcum quadrantc AC, maio-
rem conſtituunt angulum recto angulo ABC, maiorem; perſpicuum eſt,
rectas lineas arcum quadrante AC, minorem intercipientes conſtituere
in centro B, angulum acutum, lineas vero rectas arcum quadrante AC,
maiorem includentes continere in centro B, angulum obtuſum. Quod est
propoſitum.
ALITER.
Contineant rurſum rectæ AB, CB, angulum rectum
Dico arcum AC, eſſe quadrantem, &
c.
Productis enim rectis AB, CB, ad D, E,
erunt & anguli ABE, CBD, cum ſint an-
gulo ABC, deinceps, recti, ex definitione;
necnõ & angulus DBE, quòd angulo ABC,
Quare cum
omnes quatuor anguli ad B, centrum ſint re-
erunt qua-
tuor arcus AC, CD, DE, EA; atq;
adeo
quilibet eorum quadrans erit. Reliqua demonſtrabuntur, vt prius.
VERVM rectæ BA, BC, ex centro B, emiſſæ auferant iam qua-
drantem AC. Dico angulum ABC, rectum eſſe, &
c.
Pro tuctis enim
rectis AB, CB, ad D, E, cum angulus DBE, angulo ABC, ad verti-
arcus DE, arcui AC, æqualis, &
proinde qua-
Semicir culum ergo conficiunt duo quadrantes AC, DE;
atque
adeo reliqui duo arcus AE, DC, alterum ſemicir culum conſtituent. Cum
verticem ſint æquales; erit vterq;
eorum quadrans:
ac propterea qua-
Quatuor ergo anguli ad centrum B, æquales quoq;
erunt;
atq;
adeo eorum
Vel breuius.
Cum AC, ſit quadrans, erit quoque
ACD, reliquus arcus CD, quadrans: Eodemq́, modo in ſemicirculo
AED, vel CDE, reliquus arcus DE, quadrans erit; &
proinde qua-
tuor anguliad B, quatuor quadrantibus æqualibus inſiſtentes erunt æqua-
recti.
Reliqua, vt prius, oſtendentur.
_IN_ materia porro triangulorum rectilineorum, cum dantur duo anguli noti, ter
tius illico notus quoq; erit, cum ſit complementum duorum rectorum:
Item cum in
triangulo rectãgulo datur vnus acutus angulus, notus etiã erit reliquus acutus, quod
ſit complementum vnius recti. Itaq;
detractis duobus angulis notis ſimul ex grad.
180.
reliquus erit tertius notus.
Item in triangulo rectangulo, ſi detrahatur acutus no@
tus ex grad. 90.
remanebit alter acutus notus.
Quod ſemel monuiſſe ſatis ſit.
IN omni triangulo rectilineo latera quæuis
angulorum illis oppoſitorum.
SIT primum triangulum rectangulum ABC, cuius angulus rectus B.
Dico eſſe AB, ad AC, vt eſt ſinus anguli C, ad ſinum anguli B.
Item
AB, ad BC, vt eſt ſinus anguli C, ad ſinum angu-
c.
Quoniam enim, vt in definitionibus ſi-
nuum oſtendimus, ſi AC, ponatur ſinus totus, latus
AB, eſt ſinus anguli C; &
BC, ſinus anguli A:
liquido
conſtat, ita eſſe latus AB, ad latus AC, vt eſt AB, ſinus
anguli C, ad AC, ſinum totum anguli recti B: Vel ita
eſſe latus AC, ad latus AB, vt eſt AC, ſinus totus re-
cti anguli B, ad AB, ſinum anguli C; cum ipſa latera
ſint ſinus angulorum oppoſitorum, ac proinde vtro-
biq; ſit identitatis proportio.
Eadem ratione erit, vt latus AC, ad latus BC,
ita AC, ſinus totus anguli recti B, ad BC, ſinum anguli A: Vel vt latus BC,
ad latus AC, ita BC, ſinus anguli A, ad AC, ſinum totum recti anguli B. Item vt latus AB, ad latus BC, ita AB, ſinus anguli C, ad BC, ſinum an-
guli A: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita BC, ſinus anguli A, ad AB, ſi-
num anguli C.
SIT deinde triangulum ABC, non rectangulum.
Dico rurſus eſſe la-
tus AB, ad latus AC, vt eſt ſinus anguli C, ad ſinum anguli B, &c.
Aut enim latera aſſumpta AB, AC, æqualia ſunt, autinæqualia.
Siæqua-
lia, erunt quoq; anguli C, B, æquales;
ac proinde, vt in definitionibus ſi-
Quare erit, vt latus AB, ad latus
AC, ita ſinus anguli C, ad ſinum anguli B: Vel vt latus AC, ad latus AB, ita
ſinus anguli B, ad ſinum anguli C; cum ſemper ſit proportio æqualitatis.
Si
cta CE, minori lateri AB, æqualis, & ex A, E, ad tertium latus BC, perpen
cadet intra triangulum, quando angulus B, ma-
iori lateri AC, oppoſitus acutus eſt. Erit enim
& tunc angulus quoq;
C, acutus, cum minor
ſit, quam B. Quare perpendicularis AD, intra
perpendi@ula-
ris EF. Quando vero angulus B, obtuſus eſt,
cadet quidem AD, ſemper extra triangulum,
at EF, cadere poteſt vel extra etiam, vel in pun
ctum B, vel intra triangulum. Quomodocunq;
autem cadant dictæ perpendiculares, ſemper ea-
Nam cum AD, EF, ſint
parallelæ, erunt triangula CEF, CAD, ſimi-
lia. Quamobrem erit, vt CE, ad EF, ita CA, ad AD.
Cum ergo ex ijs, quæ
anguli C; poſito item ſinu toto AB, recta AD, ſit ſinus anguli ABD;
ſintq;
ſinus toti CE, AB, reſpectu quorum illi ſunt ſinus, æquales;
liquet eſſe, vt
CE, hoc eſt, latus AB, ad EF, ſinum anguli C, ita latus CA, ad AD, ſinum
anguli ABD: Et permutando, vt latus AB, ad latus AC, ita EF, ſinum
anguli C, ad AD, ſinum anguli ABD, hoc eſt, in poſteriori triangulo, ad
ſinum anguli ABC, cum duo anguli ad B, æquales ſint duobus rectis, & pro-
inde eundem ſinum habeant, vt in definitionibus ſinuum docuimus. Ex quo
conſtat, ita eſſe minus latus AB, ad maius AC, vt eſt EF, ſinus anguli C, mi-
nori lateri oppoſiti ad AD, ſinum anguli ABC, maiori lateri oppoſiti: Et
conuertendo, ita eſſe maius latus AC, ad minus AB, vt eſt AD, ſinus angu-
li ABC, maiori lateri oppoſiti ad EF, ſinum anguli C, minori lateri oppo-
ſiti. Non aliter oſtendemus eſſe, vt latus AB, ad latus BC, ita ſinum anguli
C, ad ſinum anguli A: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita ſinum anguli A, ad
ſinum anguli C. &
c.
dummodo ex puncto, vbi conueniunt latera aſſumpta
inæqualia, (ſi forte æqualia non ſunt) ducas ad latus oppoſitum lineam per-
pendicularem, & minori lateri ex maiore rectam æqualem abſcindas, initio
facto ab altero puncto extremo maioris lateris, vbi cum tertio latere coniun-
gitur, vt à nobis factum eſt, &c.
ALITER.
Sit rurſus triangulum non
rectangulum ABC: de rectangulo enim in
principio huius demonſtrationis iam eſt de-
monſtratum. Dico eſſe, vt latus AB, ad latus
AC, ita ſinum anguli C, ad ſinum anguli B: Vel vt latus AC, ad latus AB, ita ſinum an-
guli B, ad ſinum anguli C, &c.
Ducta enim ex
A, vbi duo late-
eunt, ad tertiũ
latus BC, per-
pẽdiculari AD,
quæ vel i@tra triangulum cadet, vel extra, prout anguli B, & C, acuti fue-
erit in triangulo rectangulo ABD, vt latus AB,
ad latus AD, ita ſinus anguli recti D, ad ſinum anguli B, vt ſupra eſt demon-
ſtratum: Item in triangulo rectangulo ADC, vt latus AD, ad latus AC, ita
ſinus anguli C, ad ſinum anguli recti D. Ex æqualitate ergo, &
perturbata
proportione erit, vt latus AB, ad latus AC, ita ſinus anguli C, (Habẽt enim
duo anguli ad C, in obtuſangulo triangulo eundem ſinum, vt in tractatione
ſinuum oſtendimus. ad ſinum anguli B, vt in formula ſuprapoſita apparet:
Et
conuertendo quoq;, vt latus AC, ad latus AB, ita ſinus anguli B, ad ſinum
anguli C. Eodem modo concludemus eſſe, vt latus AB, ad latus BC, ita ſi-
num anguli C, ad ſinum anguli BAC: Vel vt latus BC, ad latus AB, ita ſi-
num anguli BAC, ad ſinum anguli C, &c.
Quocirca in omni triangulo re-
ctilineo latera quæuis duo eandem proportionem habent, quam ſinus angu-
lorum illis oppoſitorum. Quod erat demonſtrandum.
_EX_ hac propoſ facile colligemus proportiones laterum cuiuſuis trianguli recti-
linei, cuius omnes anguli cogniti ſint, vel duo tantum Sint entm omnes anguli in
triangulo _ABC,_ noti. Dico proportiones laterum notas eſſe.
Cum enim eadem
ſit proportio lateris _AB,_ ad latus
anguli _B;_ ſint autem ſinus angulorũ
nuum; nota erit proportio lateris _AB,_
ad latus _AC,_ &c.
Exempli cauſa,
ponatur in primo triangulo angulus
_C,_ grad. _60.
B,_ grad.
_50.
&
A,_
grad. _70._
Horum ſinus ſunt _86602._
_76604.
93969._
Eſt ergo proportio
_AB,_ ad _AC,_ eadem, quæ _86602._ ad _76604._
&
_AB,_ ad _BC,_ eadem, quæ _86602._
ad _93969._ &
_AC,_ ad _BC,_ eadem, quæ _76604._
ad _93969._
In triangulo vero ſecun
do ponatur angulus _B,_ rectus, ac proinde grad. _90.
C,_ grad.
_50._
&
_A,_ grad _40._
Horum ſinus ſunt _100000. 76604.
64278._
Eritigitur _AB,_ ad _AC,_ vt _76604._
ad
_100000._ &
_AB,_ ad _BC,_ vt _76604._
ad _64278._
&
_AC,_ ad _BC,_ vt _100000._
ad
_64278._ In triangulo deniq;
tertio ſtatuatur angulus _B,_ obtuſus &
grad.
_124 C,_
grad. _30_ &
_A,_ grad _26_ Horum ſinus ſunt (ſi pro ſinu anguli obtuſi accipiatur ſi-
nus complementi ipſius vſq; ad grad.
_180_ nempe ſinus grad _56._)
_82903.
50000._
_43837_ Quare erit _AB,_ ad _AC,_ vt _50000._ ad _82903._
&
_AB,_ ad _BC,_ vt _50000._
ad _43837._ &
_AC,_ ad _BC,_ vt _82903._
ad _43837._
IT AQVE vt facile pro@ortiones laterum habeantur, ſatis eſt, ſila-
propterea quòd late-
ra eandem proportionem habent, quam oppoſitorum angulorum ſinus, vt
demonſtratum eſt.
_QVOD_ ſi duo tantum anguli cogniti ſint, erit reliquus tertius quoq;
notus.
Quare, vt prius, laterum proportiones cognoſcentur.
_POSSVMVS_ eaſdem proportiones laterum cognoſcere ex angulis datis, ſine
auxilio antecedentis propoſ. hoc modo.
Circa datum triangulum _ABC,_ deſcriba-
aut obtuſangulum. Ductis deinde ex centro _D,_ ad omnes angulos rectis _DA, DB, DC,_
(In rectangulo triangulo ſatis eſt, ſi ducatur _DA,_ quòd _DB, DC,_ partes ſint late-
ris _BC._) ſecentur ſingula latera, &
arcus, quos ſubtendunt, bifariam in punctis _F,_
_H, K,_ & _E, G, I._
In rectangulo tamen triangulo arcus _BC,_ cui rectus angulus inſiſtit,
non eſt diuidendus bifariã: In obtusangulo autem ſecãdus eſt bifariam arcus _BAC,_
in quo exiſtit obtuſus angulus, non autem arcus _BC,_ cui inſiſtit. Erunt autem me-
ſinus recti.
Itaq;
quo-
niamtam angulus _ADB,_ anguli _ACB,_ quàm angulus _ADC,_ anguli _ABC,_ & in
ponuntur
autem anguli triangulorum noti; erunt quoq;
eorum dupli in centro cogniti.
Qua-
re & eorũ arcus _AB, AC,_ necnon &
arcus _BC,_ in primo circulo noti erunt;
ac proin
de & ſemiſſes eorundem.
Igitur, ex tabula ſinuum, dabuntur ſinus harum ſemiſsium,
hoc eſt, ſemiſſes laterum _AB, AC,_ & in triangulo acutangulo ſemiſsis quoq;
lateris
_BC;_ proptereaq́;
&
tota latera _AB, AC,_ vnà cum latere _BC,_ in triangulo acno
tangulo, cognita fient in partibus ſinus totius _AD._ In triangulo porrò rectangulo
latus _BC,_ recto angulo oppoſitum duplum eſt ſinus totius, ac proinde notum in eiſdem
partibus ſinus totius _AD_ : In triangulo vero obtuſangulo latus _BC,_ angulo obtuſo
oppoſitum ita dabitur. Quoniam arcus _AB, AC,_ dati ſunt, datus etiamerit totus
arcus _BAC,_ ex ipſis conflatus. Igitur &
eius ſemiſsis _BE,_ &
proinde &
huius
ſemiſsis ſinus rectus _BF,_ dabitur; proptereaq́;
&
totum latus _BC._
Cognita ergo
erunt hacratione omnia laterain partibus ſemidiametri circuli triangulo circun-
ſcripti; &
proinde eorum proportiones notæ.
ITA autem ſine longa circuitione latera cognoſces in partibus dictæ
Sinus rectus cuiuſuis anguli acuti duplicetur, &
habebi-
tur latus illi angulo oppoſitum in partibus dictæ ſemidiametri. quod fa-
cile ex demonſtratis intelligi poteſt. Nam quilibet angulus acutus con-
tinet tot gradus, quot ſunt in ſemiſſe arcus, cui inſiſtit; Vt angulus ACB,
continet tot gradus, quot ſunt in arcu AG, ſemiſſe arcus AB, cui inſi-
ſtit, propterea quòd angulus ADB, cui totus arcus AB, debetur, du-
Quare cum AH, ſemiſſis lateris AB, ſit ſinus
arcus AG, erit eadem AH, ſinus anguli ACB: atq;
adeo ſinus an-
&c.
Latus autem recto angulo oppoſitum perpetuò eſt diameter circuli
circunſcripti triangulo. quare ſi ſemidiameter, ſinus ve totus duplicetur,
cognitum fiet ipſum latus. Latus deniq;
obtuſo angulo oppoſitum habe-
bitur, ſi vterq; angulorum acutorum duplicetur, &
duplicatorum ſemiſ-
ſis accipiatur. Nam ſinus huius ſemiſsis duplicatus illico latus oſtendet
Anguli namq;
ADB, ADC, dupli ſunt acutorum angulorum
ACB, ABC: quibus quidem duplis angulis totus arcus BAC, de-
betur, &c.
_IMMO_ vero ſinon dentur anguli, ſed eorum tantum proportiones, cogneſce-
eorundem magnitudines inueſtigemus, hocmodo. In primo triangulo prioris figur æ
huius ſcholij ponatur proportio anguli _C,_ ad angulum _B,_ eadem, quæ _12._ ad _10._
&
anguli _B,_ ad angulum _A,_ quæ _20._ ad _28._
quæ duæ proportiones notæ ſatis ſunt, e-
tiamſi proportio anguli _A,_ ad angulum _C,_ ignota ſit. Inuentis autem minimis nu-
meris _6. 5._
qui eandem proportio-
eſt, quam numeri _12. 10._
ſihi mini-
mi non ſint; Item minimis _5.
7._
ean-
dem proportionem habentibus, quam
anguli _B, A,_ ſiue numeri _20. 28._
ſu-
memus tres hoſce numeros deinceps
minimos _6. 5.
7._
in proportionibus
numerorum minimorum _6. 5._
&
_5 7._
qui ſi non eſſent deinceps minimi, in-
quirendi eſſent tres minimi, per ea, quæ ab Euclide demonſtrata ſunt lib. _8._
Erit
B,_ vt _5._
&
_A,_ vt _7._
quos in gradibus per regulam Societatum
ita notos efficiemus. Collectis numeris _6.
5.
7._
in vnam ſummam _18._
dicemus per
auream regulam. Si _18._
dant grad.
_180._
(tot enim gradibus omnes tres anguli, hoc
eſt, duo recti, æquiualent.) quid dabunt 6?
quid 5?
&
quid 7?
vt hic vides.
18.
180.
grad.
{6?
\\ 5?
\\ 7?
} fiunt {60.
gr.
\\ 50.
gr.
\\ 70.
gr.
} pro angulo {C.
\\ B.
\\ A.
Inueniemusq́;
angulum C, grad.
60.
_
B,_ grad. _50._
&
_A,_ grad.
_70._
Quòd ſi duæ no-
erunt. Vt ſi dicat quis.
Proportio anguli _C,_ ad angulum _B,_ eſt vt _12._
ad _10._
&
pro-
portio anguli _A,_ ad angulum _B,_ vt _28._ ad _20._
vbi vides, eundem angulum _C,_ in
vtraq; proportione eſſe conſequens:
continuabimus illas, ſi dicamus, proportionem
_C,_ ad _B,_ eſſe vt _12._ ad _10._
&
_
B,_ ad _A,_ vt _20._ ad _28._
Aut ſi quis dicat.
Proportio an-
guli _C,_ ad _B,_ eſt vt _12._ ad _10._
proportio autem _A,_ ad _C,_ eſt vt _28._
ad _24._
continua-
bimus eas, ponendo proportionem _A,_ ad _C,_ vt _28._ ad _24._
&
_C,_ ad _
B,_ vt _12._ ad _10._
Aut deniq;
ſi quis dicat.
Proportio _C,_ ad _
B,_ eſt vt _12._ ad _10._
&
_C,_ ad _A,_ vt _24._
ad
continuabimus eas, ponendo _
B,_ ad _C,_ vt _10._ ad _12._
&
_C,_ ad _A,_ vt _24._
ad _28._
&
c.
_SED_ demus aliud exemplum in tertio triangulo eiuſdem figuræ, in quo ſit pro-
portio anguli _B,_ ad angulum _C,_ vt _62._ ad _15._
&
proportio anguli _
B,_ ad angulum
_A,_ vt _248._ ad _52._
Quoniam angulus _B,_ bis fuit antecedens, hoc eſt, proportiones
datæ non ſunt continuatæ, eas continuabimus, ſtatuendo proportionem _A,_ ad _B,_ vt _52._ ad _248._
&
_
B,_ ad _C,_ vt _62._ ad _15._
Inuentis autem minimis numeris _13.
62._
eandem
proportionem habentibus, quam anguli _A, B,_ ſiue numeri _52. 248._
erunt duæ datæ
proportiones continuatæ in his tribus numeris minimis _13. 62.
15._
vt conſtat.
Col-
lectis ergo ipſis in vnam ſummam _90._ inueniemus per regulam Societatum angulos in
gradibus, vt hic apparet.
90.
180.
grad.
{13?
\\ 62?
\\ 15?
} fiunt {26.
gr.
\\ 124.
gr.
\\ 30.
gr.
} pro angulo {A.
\\ B.
\\ C.
Inuentis hac ratione angulis, reperientur laterum proportiones, vt prius.
_PORRO_ in triangulo rectangulo ſatis eſt, ſi duorũ angulorum proportio detur.
B,_ re-
ctum, vt _8._ ad _18._
Quoniam ergo rectus angulus _B,_ eſt grad.
_90._
inueniemus per re-
gulam auream angulum _A,_ eſſe grad. _40._
vt hic vides.
18.
90.
grad.
8?
fiunt 40.
gr.
pro angulo A.
Reliquus ergo angulus _C,_ complectetur grad.
_50._
&
c.
Sit rurſum proportio aculi
anguli _A,_ ad angulum acutum _C,_ vt _16._ ad _20._
Quoniam ergo duo anguli _A, C,_ vni
recto ſunt æquales, hoc eſt, continẽt grad. _90._
Collectis numeris _16._
&
_20._
in vnam
ſummam _36._ reperiemus per regulam Societatum vtrumq;
angulum in gradibus, vt
hic cernis.
36.
90.
grad.
{16?
\\ 20?
} fiunt {40.
gr.
\\ 50.
gr.
} pro angulo {A.
\\ C.
Iuuentis autem angulis hac ratione, notæ fient laterum proportiones, vt prius.
_EODEM_ modo in triangulo Iſoſcele ſatis eſt, ſi proportio vtriuslibet æqualium
angulorum ad tertium angulum cognoſcatur, aut tertij anguli ad vtrumlibet angu-
Nam ſi in triangulo Iſoſcele _
AbC,_ cu-
ius duo latera _AB, AC,_ æqualia ſunt, cognita ſit propor-
tio anguli _B,_ ad angulum _A,_ nempe eadem, quæ _10._ ad _16._
erit quoq;
proportio anguli _C,_ @ad angulum _A,_ vt _10._
ad _16._
Quare duæ proportiones notæ erunt, quas continuabimus,
ſi dicamus proportionem _A,_ ad _B,_ eſſe, vt _16._ ad _10._
&
_B,_
ad _C,_ vt _10._ ad _10._
Ex quibus inuenietur angulus _A,_ grad.
_80._ &
vterq;
_
B, C,_ grad. _50._
per ea, quæ iam demonſtra-
ta ſunt.
_
De_ æquilatero triangulo non eſt, quòd quicquam præcipiamus, cum in eo late-
@a babeant æqualitatis proportionem.
_SED_ iam ad inuentionem laterum, atq;
angulorum in triangulis rectilineis ex
quibuſdam datis ac cognitis accedamus; qua in re, vt certum ordinem, ac methodum
ſeruemus, agemus primo loco de triangulis rectangulis, deinde vero de non rectangu-
lis, cum in illis minor, quàm in his, difficultas reperiatur.
DATO vno latere, cum vno angulo acuto
angulorum quorumcunq;; reliqua duo latera co-
gnoſcere, & quorumlibet duorum laterum pro-
portionem efficere notam.
SIT triangulum ABC, cuius angulus B, rectus, ſitq;
primò latus AC,
palmorum, vna cum angulo acuto C, grad.
22.
Min.
37.
ac proinde &
cum angulo acuto A, grad.
67.
Min.
23.
Oportet
ex his indagare reliqua latera. Quoniam, per ea, quæ in defin.
Sinuum tra-
didimus, poſito ſinu toto AC, latera AB, BC, ſunt ſinus oppoſitorum angulo
rum: ſunt autem anguli dati;
noti erunt ſinus di-
AB, quidem 38456.
at BC,
92310. Per regulam ergo auream dicemus.
Si AC,
partium 100000. nempe quatenus ſinus totus,
dat 13. palmos, quid dabit AB, ſinus partium
38456. &
quid ſinus BC, partium 92310?
vt hic
vides. Inueniemusq́ue latus AB, palm.
5.
&
BC,
palm. 12.
ferè.
IT AQVE quando latus recto angulo oppoſitum datur cum angu-
Sifiat, vt ſinus totus ad
latus datum recto angulo oppoſitum, ita ſinus vtriusque anguli acuti
ſeorſum ad aliud, reperientur latera eiſdem angulis oppoſita in partibus
menſuræ, ſecundum quam datum est latus angulo recto oppoſitum.
DEINDe datum ſit vnum ex lateribus circa angulum rectum, vt BC,
cum angulo C, grad.
22.
Min.
37.
&
proinde cum angulo etiam
A, grad. 67.
Min.
23.
Oportet ex his reliqua latera inueſtigare.
Quoniam per
ea, quæ in lineis tangentibus, atque ſecantibus ad initium oſtendimus, poſito
ſinu toto BC, latus AB, eſt tangens anguli C, & latus AC, ciuſdem ſecans,
dabitur tangẽs AB, partium 41660. &
ſecans AC, partium 108331.
Quare per
Si BC, quatenus ſinus totus partium 100000.
dat
12. palmos, quid dabit tangens AB, inuenta partium 41660.
&
quid ſecans
AC, inuenta partium 108331? vt hic cernis.
Inueniemusq́ue latus AB, palm.
5.
&
AC, palm.
13.
ferè.
IT AQVE cum datur vnum latus circa angulum rectum, cum vno
Sifiat, vt ſinus totus
ad datum latus circa angulum rectum, ita tam tangens anguli acuti dato
lateri adiacentis, quàm ſecans eiuſdem anguli, ad aliud, prodibit tam la-
tus, quod fuit tangens, quàm latus, quod fuit ſecans, notum in partibus
menſuræ, ſecundum quam latus circa angulum rectum fuit datum.
PER ſolos autem ſinus, cum datur vnum latus circa rectum angulum, cũ
proinde etiam cum altero acuto, ita reliqua latera ex-
quiremus. Sit rurſus datum latus BC, palm.
12.
&
angulus C, grad.
22.
Min.
37.
ac proinde angulus A, grad.
67.
Min.
23.
Quoniam igitur, vt in defin.
ſinuum
diximus, poſito ſinu toto AC, latus AB, eſt ſinus anguli C, & BC, ſinus an-
guli A: ſunt autem anguli dati;
noti erunt dicti ſinus, vt AB, 38456.
&
BC,
92310. Per auream igitur regulam dicemus.
Si BC, ſinus partium 92310.
dat
palm. 12.
quid dabit ſinus AB, partium 38456.
&
quid ſinus totus AC, par-
tium 100000? &
c.
vt hic apparet.
Inuenietur enim latus AB, palm.
5.
&
AC, palm. 13.
ferè.
QV ANDO ergo vnum latus datur circa angulum rectũ, &
vnus
alter acutus:
Si fiat, vt ſinus anguli acuti
dato lateri circa angulum rectum oppoſiti ad latus datum, ita tam ſinus
alterius anguli acuti, quam ſinus totus, ad aliud, prodibit tam latus alte-
rum circa angulum rectum, quàm latus recto angulo oppoſitum, notum in
partibus menſuræ, ſecundum quam latus circa angulum rectum fuit datũ. Sed expeditior eſt via per lineas tangentes, &
ſecantes, cum ibiſinus to-
tus in regula aurea primum locũ obtineat, & proinde diuiſio fiat facilior.
QVOD ſidetur vnum latus, vnà cum proportione duorum angulorum,
Ex proportione angulorum reperiemus acutorum
angulorum magnitudines, vt in ſcholio propoſ. 1.
oſtendimus.
Quam ob rem
inueniemus ex angulis notis reliqua latera, vt prius.
INVENTIS autem lateribus, manifeſtum eſt, proportionem quorum-
libet duorum dari in numeris, in quibus inuenta ſunt. Erit enim proportio
ad 13.
Vel ut 38456.
ad 100000.
Vel ut 41660.
ad 108331.
&
c.
In his enim omnibus numeris dicta latera inuenta ſunt.
Dato ergo uno la-
tere, cum uno angulo acuto trianguli rectanguli, &c.
Quod faciendum erat.
DATIS duobus lateribus trianguli rectangu
tertio latere. Item data proportione duorum late-
rum, & inſuper vno latere dato quocunque, duos
angulos acutos, vna cum reliquis duobus lateri-
bus cognoſcere.
IN triangulo ABC, cuius angulus B, rectus, ſit primum latus AC, recto
inſuper latus AB, circa angulum rectum datum, nem-
pe AC, palm. 13.
&
AB, palm.
5.
Oportet ex his &
angulos A, C, &
latus ter-
tium BC, explorare. Quoniam, poſito ſinu toto AC, latus AB, eſt ſinus an-
guli C, dicemus. Si AC, palm.
13.
dat AC, ſinum totum partiũ 100000.
quid
dabit AB, palm. 5?
inueniemusq́ue
ut hic
uides.
Ex tabula ergo ſinuum dabitur an-
gulus C, grad. 22.
Min.
37.
ac pro-
inde reliquus angulus A, grad. 67.
Min.
23.
Igitur &
huius anguli A,
ſinus, nempe BC, dabitur partium
92310. ex eadem tabula ſinuum.
Dicemus ergo rurſum.
Si ſinus totus AC, par
tium 100000. dat AC, palm.
13.
Vel ſi ſinus AB, inuentus partium 38461.
dat AB, palm. 5.
quid dabit ſinus BC, partium 92310?
reperiemusq́ue BC, eſ-
ſe palm. 12.
fermè, ut hic apparet.
CVM ergo datur latus angulo recto oppoſitum, cum vno latere cir-
Si fiat, vt datum latus recto angulo oppoſi-
tum ad ſinum totum, ita alterum latus datum ad aliud, prodibit ſinus acu
ti anguli, qui lateri dato circarectum angulum opponitur. Inuento autem,
beneficio huius ſinus inuenti, vtro angulo acuto; Si iterum fiat, vt ſinus
vel vt ſinus anguli acuti
dato lateri circa rectum angulum oppoſiti ad datum latus circa angulum
rectum, ita ſinus alterius anguli acuti ad aliud, cognoſcetur tertium latus
in partibus menſuræ, ſec@ndum quam duo latera ſunt data.
ALITER.
Sit rurſus AC, palm.
13.
&
AB, palm.
5.
Quia igitur, ut ad
latus AC, ſecans eſt anguli A, & BC, tãgens eiuſdem;
dicemus.
Si AB, palm.
5.
dat AB, ſinum totum partium 100000 quid dabit AC, palm.
13?
inuenie-
musq́; ſecantem AC, partium 260000.
ut hic patet.
Ex tabula ergo Secantium erit angulus A, grad 67.
Min.
23.
&
proinde reli-
quus angulus C, grad. 22.
Min.
37.
Igitur &
tangens anguli A, nempe BC, da-
bitur partium 240038. ex tangentium tabula.
Quare rurſum dicemus.
Si ſinus
totus AB, partium 100000. dat AB, palm.
5.
Vel ſi ſecans AC, inuenta par-
tium 260000. dat AC, palm.
13.
quid dabit tangens BC, partium 240038?
in-
ueniemusque iterum BC, eſſe ferme palm. 12.
ut hic conſtat.
IGITVR quando latus recto angulo oppoſitum datur, cum vno
Si fiat, vt datum latus circa angulum re-
ctum ad ſinum totum, ita datum latus angulo recto oppoſitum ad aliud,
prodibit ſecans anguli acuti ſub datis lateribus comprehenſi. Inuento er-
go, beneficio huius ſecantis repertæ, vtroque angulo acuto, & tangente acu
ti anguli ſub datis lateribus comprehenſi, ex tarigentiũ tabula; S@ iterum
fiat, vt ſinus totus ad datum latus circa angulum rectum; Vel vt ſecans
acuti anguli ſub datis lateribus comprehenſi ad latus datum recto angu-
lo oppoſitum, ita tangens acuti anguli ſub lateribus datis comprehenſi ad
aliud, notum fiet tertium latus in partibus menſuræ, ſecundum quam ſunt
data duo latera. Verum ſatius eſt per ſolos ſinus operari, cum tangentes
lineæ, at que ſecantes nihil compendij afferant, ſintque per ſinus inuentæ.
ADHVC aliter.
Ponatur rurſum AC, palm.
13.
&
AB, palm.
5.
Quoniã
ergo quadratum rectæ AC, duobus quadratis rectarum AB, BC, æquale
ſi auferatur quadratum lateris AB, quod eſt 25.
ex quadrato lateris AC,
quod eſt 169 relinquetur quadratũ lateris BC, nempe 144. cuius radix qua-
diata 12. dabit latus BC, palm.
12.
Et quia, poſito AC, ſinu toto, latera AB,
BC, ſunt ſinus angulorum oppoſitorum, ut in defin. ſinuum explicauimus:
Sifiat, ut latus AC, angulo recto oppoſitum palmorum 13.
ad AC, ſinum
totum partium 100000. ita alterutrum laterum circa angulum rectum, nempe
BC, palm. 12.
ad aliud, prodibit ſinus anguli acuti A, ſumpto lateri oppoſiti
partium 92308. Ex ſinuum ergo tabula dabitur angulus A, grad.
67.
Min.
23.
22.
Min.
37.
Hoc modo primo loco inuenitur
tertium latus, deinde vero anguli:cũ alijs vijs inuenti ſint prius anguli, quam
tertium latus.
SINT iam duo latera AB, BC, circa rectum angulum data, vt AB, palm.
&
BC, palm.
12.
Oportet ex his tertium latus AC, &
acutos angulos in-
uenire. Quoniam, ex demonſtratis in principio linearum tangentium, ſecan-
tiumq́ue, poſito AB, ſinu toto, latus BC, tangens eſt anguli A, & latus AC,
eiuſdem ſecans; dicemus.
Si AB, palm.
5.
dat AB,
quid dabit BC,
palm. 12?
reperiemusq́ue tangentem BC, par-
tium 240000. vt hic manifeſtum eſt.
Ex tabula ergo tangentium dabitur angulus A,
grad.67.
Min.
23.
ac proinde reliquus angulus C, grad.
22.
Min.
37.
Igitur &
AC, ſecans anguli A, dabitur ex tabula ſecantium, partium 260035. Rurſus
ergo dicemus. Si AB, ſinus totus partium 100000.
dat AB, palm.
5.
Vel, ſit an-
gens BC, inuenta partium 240000. dat BC, palm.
12.
quid dabit AC, ſecans
partium 260035? inueniemusq́ue AC, palm.
13.
ferè vt hic vides.
ITAQVE ſidentur duo latera circa angulum rectum:
Si fiat, vt
ad aliud, proueniet tangẽs acuti anguli buic alteri dato lateri oppoſiti. In-
uento ergo, beneficio huius tangentis inuentæ, vtroq; angulo acuto, in tabu-
la tangentium; &
extabula ſecantium, ſecante anguli acuti, qui alteri
buic dato lateri opponitur: Sirurſum fiat, vt ſinus totus ad primum la-
tus datum; Vel vt tangens inuenta ad ſecundum latus datum, ita ſecans
accepta ex tabula ſecantium, ad aliud, notum fiet latus tertium recto an-
gulo oppoſitum in ijſdem partibus, in quibus duo latera circa angulum
ALITER.
Sit rurſum AB, palm.
5.
&
BC, palm.
12.
Et quoniam qua-
drata laterum AB, BC, ſimul æqualia ſunt quadrato lateris AC; erit qua-
169.
cuius radix quadrata dabit latus AC, palm.
13.
Quia vero, vt in deſin.
ſinuum traditum eſt, poſito AC, ſinu toto, latera
AB, BC, ſunt ſinus oppoſitorum angulorum: Si ſiat, vt latus AC, quod an-
gulo recto opponitur, inuẽtum palm. 13.
ad AC, ſinum totum partiũ 100000.
ita alterutrum laterum circa angulum rectum, nempe AB, palm. 5.
ad aliud,
reperietur ſinus anguli acuti C, qui accepto lateri opponitur, partiũ 38461.
Ex tabula ergo ſinuum dabitur angulus C, grad. 22.
Min.
37.
ac propterea re-
liquus A, grad. 67.
Min.
23.
Hac via primo loco reperitur tertium latus, de-
inde vero duo anguli: cum tamen alio modo anguli prius inuenti ſint, quam
tertium latus.
IAM vero ſi detur duorum laterũ quorumlibet proportio, &
vnum latus,
alicuius menſurę, in quibus duo illa latera dentur; atq;
ex his, vt demonſtra-
uimus in hac propoſ. angulos inueniemus, ac tertium latus in eiſdẽ partibus.
Deinde, ſi ſiat, vt numerus illius lateris, quod datum eſt, ad ipſum latus datũ,
ita numeri aliorum laterum ſigillatim ad aliud, reperientur alia latera in par-
tibus menſuræ, ſecundum quam illud alterum latus eſt datum. Vt ſi propor-
tio AB, ad AC, ſit, vt 15. ad 39.
&
latus BC, palm.
12.
reperietur, ex demon-
ſtratis, angulus A, grad. 67.
Min.
23.
&
angulus C, grad.
22.
Min.
37.
latus vero
BC, partium 36. qualium AB, eſt 15.
&
AC, 39.
Quare ſi fiat, vt latus BC,
inuentum partium 36. ad idem BC, datum palm.
12.
ita tam AB, partium 15.
quàm AC, partium 39. ad aliud, inuenietur AB, palm.
5.
&
AC, palm.
13.
Datis ergo duobus lateribus trianguli rectanguli, duos angulos acutos effeci-
mus notos, &c.
Quod erat faciendum.
_ABSOLVTVS_ iam eſt rectangulorum triangulorum calculus, ſequitur de
triangulis non rectangulis. Sed prius quædam ad hanc rem neceſſaria demonſtranda
ſunt, quorum nonnulla plurimum etiam triangulis ſphæricis conducent.
SI diameter circuli chordam quamlibet, eiusq́;
habebunt ſegmenta
chordæ eandem proportionem, quam ſinus ſeg-
mentorum arcus reſpondentium.
IN circulo ABCD, diameter AC, ſecet chordam BD, in E, eiuſq́ue ar-
cum BAD, in A, uel BCD, in C: ducanturq́ue BF, DG, ad diametrum
AC, perpendiculares; quarum BF, ſinus eſt arcus BA, uel BC:
&
DG, ſi-
Dico ita eſſe BE, ad ED,
ut BF, ad DG. Quoniam enim in triangulis BE F,
DEG, anguli F, G, æquales ſunt, utpote recti: Itẽ
æquiangula erunt
Quare erit, ut BE, ad BF,
Et permutando, ut BE, ad ED,
ita BF, ad DG. Si ergo diameter circuli chordam
quamlibet, eiusq́; arcum ſecet in duas partes, &
c.
Quod erat demonſtrandum.
SI in circulo chorda cuiuſlibet arcus ad vnam
cum diametro
erit eadem
exterius, quæ ſinus arcus inter punctú, per quod
diameter producta eſt, & remotius punctum ex-
tremum dictæ chordæ, ad ſinum arcus inter idem
punctum diametri, & propinquius punctum ex-
tremum eiuſdem chordæ.
IN circulo ABCD, chorda AD, arcus AD, ad partes D, producta con-
ueniat cum diametro BC, ad eaſdem partes producta in puncto E; demittan-
turq́ue AF, DG, ad diametrum BC, perpendiculares; quarum AF, ſinus eſt
arcus AC: &
DG, ſinus arcus CD.
Dico ita eſ-
Quoniam enim
AF, DG, parallelæ ſunt obangulos rectos F,
ſimilia erunt triangula AEF, DEG.
Qua-
re erit, ut AE, ad AF, ita DE, ad DG: Et per-
mutando, ut AE, ad DE, ita AF, ad DG. Si
igitur in circulo chorda cuiuſlibet arcus ad
unam partem producatur, conueniatq́ue cum
diametro quauis, &c.
Quod oſtendendum erat.
DATO aggregato duorum arcuum, quo-
rum ſinguli ſemicirculo ſint minores, vel duorum
angulorum rectilineorum, ſiue minus illud ſit, ſi
ue maius, quàm grad. 180.
vnà cum proportione,
quam eorum ſinus habent: vtrum queillorum ſi
gillatim exhibere notum.
IN circulo ABCD, cuius centrum E, datum ſit primo aggregatum ar-
FED, & aggregatum tam arcuum, quàm angulorum minus, quàm grad.
180.
nimirum datum ſit grad.
130.
Data quoque ſit proportio ſinus arcus BF, vel
anguli BEF, ad ſinum arcus FD, uel anguli FED, eadẽ, quæ 10.ad 5.
Opor-
tet ex his utrumque arcum BF, FD, uel utrumque angulum BEF, FED,
notum efficere. Ducta chorda BD, ducatur ex puncto F, ubi dati arcus con-
iunguntur, diameter FC, ſecans chordam BD, in G. Diuiſo quoque toto ar-
ſinuum demonſtrato;
atque adeo &
ad an-
Quoniam vero proportio ſinus
arcus BF, ad ſinum arcus FD, ponitur, vt 10.
eſtq́ue vt ſinus arcus BF, ad ſinum ar-
cus FD, ita BG, ad GD; erit quoque BG,
ad GD, vt 10. ad 5.
Poſita igitur recta BG,
10. erit GD, 5.
ac proinde tota BD, 15.
vtraque vero ſemiſsis BH, HD, 7 {1/2}.
&
de-
nique HG, differentia inter ſemiſſem BH,
& maius ſegmentum BG, vel inter ſemiſſem
HD, & minus ſegmentum GD, erit 2 {1/2}.
Rurſus quia totus arcus BAD, ponitur grad.
130. erit vtraque ſemiſsis BA, AD, grad.
65. ac proinde &
vterque angulus BEA,
AED, graduum quoque 65. Et quoniam ex ijs, quæ ad initium tangentium,
ſecantiumq́ue tradidimus, poſito ſinu toto EH, recta BH, tangens eſt angu-
li BEH, & HG, tangens anguli HEG;
dabitur, ex tangentium tabula, tan-
gens grad. 65.
nempe BH, partium 214451.
Quare, vt tangentem anguli AEF,
nimirum HG, inueniamus, dicemus per auream regulam. Si BH, ſemiſsis ag-
gregati terminorum proportionis datæ, nempe 7 {1/2}. dat BH, tangentem ſe-
miſsis aggregati angulorum BEF, FED, vel arcuũ BF, FD, partium 214451.
quid dabit HG, differentia inter ſemiſſem aggregati terminorum datæ pro-
portionis, & vtrumlibet terminorum eiuſdem proportionis, nimirum 2 {1/2}?
in-
ueniemusq́; tangentem HG, partium 71484.
vt hic factum vides.
Ex tabula ergo tangentium elicietur angulus HEG, hoc eſt, arcus AF, grad.
35.
Min.
34.
qui additus ſemiſsi AB, grad.
65.
componet arcum BF, maiorem,
a@q; adeo &
angulum BEF, grad.
100.
Min.
34.
ablatus vero ex ſemiſſe AD,
relinquet arcum minorem FD, & proinde &
angulum FED, grad.
29.
Min.
26.
ITAQVE, quando duo arcus ſimul minores ſunt, quàm ſemi@ir-
Si fiat, vt ſemiſſis ag-
gregatiterminorum proportionis datæ ad tangentem ſemiſſis aggregati ar
cuum, vel angulorum (quærendo tangentem per partem proportionalem
reſpondentem 30. ſecundis, ſi forte aggregatum bifariam diuidi nequeat
ſine Secundis.) ita differentia inter ſemiſſem aggregati terminorum datæ
proportionis, & alterutrum terminorum, ad aliud, reperietur tangens ar
cus, vel anguli, quo vterque arcus, angulusve quæſitus à ſemiſſe aggregati
eorundem differt. Additus igitur arcus, vel angulus buius inuentæ tan-
gentis ad ſemiſſem dabit maiorem arcum, vel angulum; ablat us vero ex
eadem ſemiſſe relinquet arcum, vel angulum minorem.
ALITER.
Producta ſemidiametro BE, ad K, &
diametro CF, produ-
ac proinde cum late-
baſis DI, baſi KI;
angulus DEI,
angulo KEI, æqualis erit. Quia ergo arcus BFD, datus eſt grad.
130.
dabi-
50.
&
eius ſemiſsis, id eſt, angulus DEI,
grad. 25.
Rurſus quia finus arcus BF, ad ſinum arcus FD, ponitur, ut 10.
ad
5. eſtq́ue idem ſinus arcus KF, qui arcus BF, vt in defin.
ſinuum oſtenſum eſt:
erit quoque ſinus arcus KF, ad ſinum arcus DF, vt 10.
ad 5.
Cum ergo ſit, vt
ſinus arcus KF, ad ſinum arcus DF, ita KL, ad DL; erit etiam KL, ad DL, vt
ad 5.
Poſita igitur KL, 10.
erit DL, 5:
ac proinde &
reliqua KD, 5.
&
eius
ſemiſsis ID, 2 {1/2}. At quoniam, vt ad initium tangentium &
ſecantiũ diximus,
poſito ſinu toto EI, recta ID, tangens eſt anguli DEI, hoc eſt, grad. 25.
da-
bitur ID, ex tabula tangẽtium, partium 46631. Dicemus ergo per auream re
gulam. Si ID, ſemiſsis differentiæ inter terminos proportionis datæ, nempe
2 {1/2}. dat ID, tangentem ſemiſsis differentiæ inter aggregatum datum, &
ſemi-
circulum, partium 46631. quid dabit IL, compoſita ex ſemiſſe differentiæ in-
ter terminos datæ proportionis, & conſequente eiuſdem proportionis, nimi-
rum 7 {1/2}? reperiemusq́ue IL, partium 139893.
qualium ID, eſt 46631.
vel
EI, 100000. vt hic vides.
Cum ergo IL, ſit tangens anguli IEL, poſito ſinu toto EI, vt in tractatione
tangentium ac ſecantium tradidimus; dabitur, ex tangentium tabula, angulus
IEF, grad. 54.
Min.
26.
Ablato ergo angulo DEI, grad.
25.
nimirum ſemiſſe
differentiæ inter datum aggregatum, & ſemicirculum, reliquus erit angulus
FED, ac propterea & arcus FD, minor, grad.
29.
Min.
26.
qui ſubtractus ex da-
to aggregato grad. 130.
relinquet angulum BEF, &
proinde &
arcum BF,
maiorem, grad.100.
Min.
34.
vt prius.
IGITVR ſi fiat, vt ſemiſſis differentiæ inter terminos proportio-
ſemicirculum, ita aggregatum ex ſemiſſe differentiæ inter terminos datæ
proportionis, & conſequente eiuſdem proportionis, ad aliud, inuenietur
tangens anguli, à quo ſi dematur ſemiſſis differentiæ inter datum aggrega-
tum, & ſemicir culum, reliquus erit angulus, ſeu arcus minor quæſitus:
qui
detractus ex aggregato dato, relinquet maiorẽ angulum, ſine arcũ quęſitũ.
ALITER adhuc per ſolos ſinus ſine tangentibus.
Ijsdem poſitis, quo-
guli BEH, nempe ſemiſsis aggregati angulorum, vel arcuũ dati, nempe grad. 65.
&
HE, ſinus anguli EBH, grad.
25.
vtpote complementi anguli BEH;
dabitur ex tabula ſinuum, BH, partium 90631. at HE, partiũ 42262.
Quòd
ſi dicamus. Si BH, ſemiſsis aggregati terminorum proportionis datæ, nempe
7 {1/2}.dat BH, ſinum ſemiſsis aggregati angulorum, vel arcuum, partiũ 90631.
quid dabit HG, differentia inter ſemiſſem aggregati terminorum proportio-
nis datæ, & alterutrum terminorum, nimirum 2 {1/2}?
reperiemus HG, partium
30210. qualium ſinus totus EB, eſt 100000.
vel EH, 42262.
vt hic patet.
Quia vero quadrata rectarum HE, HG, nempe 1786076644.
912644100.
dratum rectæ EG, 2698720744. cuius radix quadrata dabit EG, partium
51949. Cum autem, poſito ſinu toto EG, recta HG, ſinus ſit anguli HEG,
vt in ſinuum defin. diximus, dicemus rurſum.
Si EG, inuenta partium 51949.
dat EG, ſinum totum partium 100000.
quid dabit HG, inuenta partium
30210? inueniemusque HG, ſinum anguli HEG, partiũ 58153.
vt hic vides.
Ex ſinuum ergo tabula dabitur angulus HEG, ſiue arcus AF, grad.
35.
Min.
34.
qui additus ſemiſsi AB, grad.
65.
exhibebit maiorem arcum BF, ideoq́ue
& angulum BEF, grad.
100.
Min.
34.
ablatus vero ex ſemiſſe AD, reliquum
faciet arcum minorem FD, atque adeo & angulum FED, grad.
29.
Min.
26.
vt prius.
QVOCIRCA, quando aggregatum duorum arcuum, vel angulo-
180.
Si fiat, vt ſemiſſis aggregati terminorum
proportionis datæ ad ſinum ſemiſſis aggregatiarcuum, angulorumve, ita
differentia inter ſemiſſem aggregati terminorum datæ proportionis, &
alterutrum terminorum, ad aliud, inuenietur numerus; cuius quadr atum
ſi adiungatur quadrato ſinus complementi ſemiſſis aggregati arcuum, ſeu
angulorum; Et tandem fiat, vt compoſiti buius numeri radix quadrata
ad ſinum totum, it a numerus per auream regulam nuper inuẽtus ad aliud,
producetur ſinus anguli, ſiue arcus, quo vter angulus, arcusve quæſitus
ab eorundem aggregati ſemiſſe differt. Additus ergo arcus, ſiue angulus
buius ſinus inuenti ad ſemiſſem aggregati dati, dabit maiorem arcum, vel
angulum; ablatus vero ex eadem ſemiſſe relinquet minorem arcum, ſiu@
angulum. Sed priores duæ viæ longe ſunt expeditiores;
vt perſpicuum eſt
DETVR deinde aggregatum arcuum BC, CD, quorum ſinguli ſemicit
ſint minores, vel angulorum BEC, CED, at aggregatum tam
arcuum, quam angulorum ſuperet grad. 180.
nempe detur grad.
230.
Detut
item proportio ſinus arcus BC, vel anguli BEC, ad ſinum arcus CD, vel an-
guli CED, eadem, quæ 10. ad 5.
Oportet ex his vtrumq;
arcum BC, CD, vel
vtrumq; angulum BEC, CED, elicere.
Ducta diametro CF, &
detracto da-
to aggregato ex integro circulo, hoc eſt, ex grad. 360.
reliquum erit aggrega-
tum arcuum BF, FD, vel angulorum BEF, FED, grad. 130.
minus, quam
grad. 180.
Et quoniam arcus BC, BF, eundem ſinuum habent, necnon &
ar-
cus CD, FD, vt in deſin. ſinuum diximus, data quoq;
erit proportio ſinuum
arcuum BF, FD, vel angulorum BEF, FED, eadem, quæ 10. ad 5.
Quam
ob rem, vt iam demonſtratum eſt, inueniemus arcus BF, FD, vel angulos
BEF, FED, grad. 100.
Min.
34.
&
grad.
29.
Min.
26.
qui ex ſemicirculo, hoc
eſt, ex grad. 180.
ſublati relinquent arcus BC, CD, vel angulos BEC, CED,
grad. 79.
Min.
26.
&
grad.
150.
Min.
34.
QVANDO ergo aggregatum duorum arcuum, ſeu angulorum ma-
180.
Si illud ex grad.
360.
auferamus, remanebit
aggregatum aliorum duorum arcuum, vel angulorum minus, quam grad.
Quare ſi, vtiam demonſtratum eſt, beneficio buius aggregatimino-
ris, & proportionis datæ, vtrum arcum, vel angulum inquir amus, &
vtrumq, inuentum ſigillatim ex grad. _180._
demamus, noti relinquentur
arcus, vel anguli quæſiti.
QVOD ſi quando proportio ſinuum data ſit proportio æqualitatis, hoc
tam duo arcus, quam duo anguli æqua-
les, vt in deſin. ſinuum oſtendimus.
Quapropter ſemiſsis dati aggregati dabit
vtrumq; arcum, ſiue angulum cognitum.
Dato igitur aggregato duorum ar-
cuum, quorum ſinguli ſemicirculo ſint minores, vel duorum angulorum re-
ctilineorum, &c.
vtrumq;
illorum ſigillatim exhibuimus notum.
Quod fa-
ciendum erat.
_SI_ aggregatum duorum arcuum, vel angulorum fuerit præcisè grad.
_180_ non
data ſit. Nam quomodocunq;
ſemicirculus in duos arcus ſecetur, habebunt ſemper
eorum ſinus proportionem æqualitatis, cum vnus, & idem ſinus ſit vtriuſq;
arcus, vt
ad defin. ſinuum demonſtrauimus.
_Ne_ceſſe eſt ergo, aggregatum datum vel minus eſ-
ſe, vel maius, quam grad. _180._
vt in propoſitione expreſſum eſt.
DATA differentia duorum arcuum, quorum
ſinguli ſemicirculo ſint minores, vel duorum an-
gulorum rectilineorum, vna cum proportione,
quam eorum ſinus habent: vtrumq;
illorum ſigil-
latim notum efficere.
IN circulo ABCD, cuius centrum E, ſuperet arcus BF, ſemicirculo
lus BEF, angulum DEF, angulo BED,
ſitque differentia hæc, nempe arcus BD, vel
angulus BED, data grad. 60.
Proportio
quoque ſinus maioris arcus BF, vel angu-
li BEF, ad ſinum arcus minoris DF, vel
anguli DEF, ſit primo maioris inæqualita-
tis data, eadem, quæ 11. ad 5.
quod quidem
contingit, quando duo arcus BF, DF, ſemi-
circulo ſunt minores ſimul ſumpti. Oportet
ex his vtrumque arcum BF, DF, ſiue vtrum-
que angulum BEF, DEF, cognitum facere. Ducta chorda BD, &
diametro CF, conue-
Cum enim ſinuum
proportio ſit data maioris inæqualitatis, maior erit ſinus arcus BF, hoc eſt,
perpendicularis ex B, ad CF, demiſſa, ſinu arcus DF, hoc eſt, perpendiculari
ex D, ad CF, demiſſa. Quare minus diſtabit punctum D, à recta CF, quàm pun-
ctum B; atque adeo tandem coibunt BD, CF, productæ ad partes D, F.
Quod
etiam ita probabitur. Si ambo ſinus, hoc eſt, perpendiculares ex B, D, ad CF,
lelæ, eſſent quoque BD, CF, parallelæ. Cũ
ſit, eſſicitur, vt conueniant, &c.
Diuiſo dein-
de arcu BD, bifariam in A, ſecabit ſemidia-
meter ducta EA, chordã BD, quoq; bifariã
in H, ex lemmate ad defin. ſinuum demon-
&
proinde &
ad angulos rectos.
Quo-
niam vero proportio ſinus arcus BF, ad ſi-
num arcus DF, eſt, ex hypotheſi, vt 11. ad
5. eſtq́ue vt ſinus arcus BF, ad ſinum arcus
erit quoque BG, ad
DG, vt 11. ad 5.
Poſita igitur recta BG, 11.
erit DG, 5.
ac proinde reliqua BD, 6.
vtraque uero ſemiſsis BH, HD, 3.
ac
denique HG, 8. Rurſus quia arcus BD, ponitur grad.
60.
erit utraque ſemiſ-
ſis BA, AD, grad. 30.
proptereaq́ue &
uterque angulus BEA, AED, gra-
duum quoque 30. Et quia, poſito ſinu toto EH, recta HD, tangens eſt angu-
li DEH, & HG, tangens anguli HEG, ut ad initium tangentium, atque
ſecãtium monuimus; dabitur ex tangentium tabula, tangens grad.
30.
hoc eſt,
HD, partium 57735. Quapropter, ut tangentem HG, anguli HEG, cognoſ-
camus, dicemus per auream regulam. Si HD, ſemiſsis differentiæ terminorum
proportionis datæ, nempe 3. dat HD, tangentem ſemiſsis differentiæ datæ
arcuum BF, FD, uel angulorum BEF, DEF, partium 57735. quid dabit
HG, aggregatum ex ſemiſſe differentiæ terminorum datæ proportionis, &
conſequente eiuſdem proportionis, nimirum 8? prouenietq́ue HG, tangens
partium 153960. ut hic apparet.
In tangentium autem tabula hæc tangens inuenta offert angulum AEF, ſiue
arcum AF, grad. 57.
cui ſi addatur ſemiſsis AB, grad.
30.
dabitur maior arcus
BF, ſiue angulus BEF, grad. 87.
ſi uero ab eodem ſubtrahatur ſemiſsis AD,
grad.30.
remanebit minor areus DF, uel angulus DEF, grad.
27.
IGITVR quando proportio ſinus maioris arcus, vel anguli, ad ſi-
Si ſiat, vt ſemiſſis differentiæ termi-
norum proportionis datæ ad tangentem ſemiſſis differẽtiæ arcuum, vel an-
gulorum datæ, ita aggregatum ex ſemiſſe differentiæ terminorum propor-
tionis, & conſequente proportionis ad aliud, producetur tangens arcus,
vel anguli, qui ſemiſſi differentiæ arcuum, vel angulorum datæ additus
componit maiorem arcum, ſeu angulum; &
ſi ab eodem ſemiſſis dicta
ſubducatur, remanet arcus, vel angulus minor.
ALITER ſine tangentibus per ſolos ſinus.
Iisdem poſitis, quoniam, per
oſtendimus, poſito ſinu toto ED, recta HD, ſinus
eſt anguli HED, nimirum ſ@miſsis differentiæ arcuum, vel angulorum datæ,
hoc eſt, grad. 30.
&
HE, ſinus anguli HDE, grad.
60.
vt pote complementi
anguli HED; dabitur ex ſinuum tabula, HD, partium 50000.
&
EH, par-
tium 86603. Iam vero ſi dicamus.
Si HD, ſemiſsis differentiæ terminorum
proportionis datæ, nimirum 3. dat HD, ſinum @0000.
vtpote ſinum ſemiſsis
differentiæ arcuũ, angulorum ve datæ, quid dabit HG, aggregatũ ex ſemiſſe
differentiæ terminorum proportionis, & conſequente eiuſdem proportionis,
nempe 8? inueniemus HG, eſſe 133333.
reſpectu ſinus totius ED, vt hic vides.
Igitur, cum quadrata rectarum EH, HG, nempe 7499906404.
17777688889.
æqualia ſint quadrato rectæ EG, fiet quadratum rectæ EG, 25277595293.
reſpectu ſinus totius
ED. Cum autem, vt in noſtris ſinubus diximus, poſito ſinutoto EG, recta
HG, ſit ſinus anguli HEG; dicemus rurſum.
Si EG, inuenta partiũ 158989.
dat EG, ſinum totum partium 100000.
quid dabit HG, inuenta partium
133333? reperiemusq́;
HG, ſinum anguli HEG, partiũ 83863.
vt hic apparet.
Hic ſinus in tabula ſinuum monſtratarcum grad.
57.
Tantus eſt ergo angulus
AEF, ſiue arcus AF; cui ſi adijciatur ſemiſsis AB, grad.
30.
fiet arcus maior
BF, & angulus BEF, grad.
87.
Sivero ab eodem minuatur ſemiſsis AD,
grad. 30.
reliquus erit minor arcus DF, &
angulus DEF, grad.
27.
vt prius.
SI igitur (quando proportio ſinuum data eſt maioris inæqualitatis)
ſis differentiæ arcuum, vel angulorum datæ, ita aggregatum ex ſemiſſe
differentiæ terminorum proportionis, & conſequente eiuſdem proportio-
nis, ad aliud, inuenietur numerus; cuius quadratum ſi adijciatur quadra-
to ſinus compl@menti ſemiſſis differentiæ arcuum, vel angulorum datæ: Et
tandem fiat, vt compoſiti buius numeriradix quadrata ad ſinum totum,
itanumerus per regulam auream nuper inuentus ad aliud, inuenietur ſi-
nus anguli, ſiue arcus, cui ſi addatur ſemiſſis differentiæ arcuum, vel an-
gulorum datæ, notus fict maior arcus, ſiue angulus: Ab eodem vero ſi
eadem ſemiſſis detrahatur, remanebit minor arcus, angulusve cognitus. Sed prior ratio breuior eſt, vt conſtat.
ADHVC aliter tam per tangentes, quam per ſinus.
Ijſdem poſitis, &
extenſa recta BE, vſq; ad I:
Quoniam arcus BD, hoc eſt, differentia arcuum
BF, DF, datur grad. 60.
dabitur reliquus ſemicirculiarcus DI, nimirum ag-
gregatum arcuum DF, FI, grad. 120.
Datur autem &
proportio ſinus arcus
BF, hoc eſt, arcus FI, (cum arcus BF, FI, eundem ſinum habeant, vt in de-
fin. ſinuum diximus.)
ad ſinum arcus DF, eadem, quæ 11.
ad 5.
Quare, vt de-
monſtratum eſt, vterq; arcus IF, DF, cognoſcetur, quorum DF, eſt minor
at FI, complementum maioris BF, vſq;
ad ſemicir-
Erit
arcui BC, qui maior eſt arcu DF, quòd illius ſinus maior ponatur ſinu huius.
QVOCIRCA ijſdem poſitis:
Siex data proportione ſinuum ma-
ex arcu, quirelinquitur poſt detractionem differen
tiæ datæ ex ſemicirculo, tanquam aggregato duorum arcuum, inquiran-
tur duo arcus buius aggregati, vt in antecedente propoſ. oſtenſum eſt;
da-
bit maior inuentus, ſi ex ſemicirculo auferatur, maiorem arcum, atque
adeo & angulum propoſitum;
minor vero inuẽtus erit minor propoſitus.
DEINDE ſuperet arcus DBC, ſemicirculo minor arcũ BC, arcu DB, vel
ſitq́;
differẽtia hęc, nẽpe arcus DB,
vel angulus DEB, data grad.60.
Proportio quoq;
ſinus arcus maioris DBC,
vel anguli DEC, ad ſinũ arcus minoris BC, vel anguli BEC, ſit data, & mi-
noris inæqualitatis, eadem, quæ 5. ad 11.
quod quidem accidit, quando duo
arcus ſimul ſumpti DBC, BC, ſemicirculũ excedũt. Oportet ex his vtrumq;
arcum DBC, BC, vel vtrumq;
angulum DEC, BEC, notum fieri.
Ijſdem
conſtructis, quæ prius, non conueniet chorda DB, cum diametro CF, ad par
tes B, C, minoris arcus producta, ſed ad partes D, F, vt ex ijs, quæ ad initium
huius propoſ. oſtendimus, manifeſtum eſt.
Quia vero tam arcus DBC, DF,
quoq; proportio ſinus arcus DF, ad ſinum ar-
cus BF, data, eadem, quæ 5. ad 11.
&
proinde
proportio ſinus arcus BF, ad ſinum arcus DF,
vt 11. ad 5.
nempe maioris inæqualitatis.
Qua-
recum arcus BF, DF, eandem differentiam
habeant BD, datam, reperiemus vtrumq; ar-
cum BF, DF, atq; adeo &
vtrumq;
angulum
BEF, DEF, vt ante demonſtrauimus, illum ni-
mirum grad. 87.
hunc vero grad.
27.
qui ex ſe-
micirculo ſigillatim detracti relinquent mino-
rem arcum propoſitum BC, grad. 93.
maiorem
vero DBC, grad. 153.
ITAQVE, quando proportio ſinuum data eſt minoris inæqualita-
Si inuertatur, vt fiat maioris inęqualitatis proportio, &
ex hac, et dif
ferentia data inquirantur duo arcus, dabit maior inuentus, ſi ex ſemicir
culo dematur, minorem arcum, atq; angulum propoſitum, minor vero, ſi
ex eodem ſemicirculo auſeratur, maiorem.
IAM vero ſi quãdo ſinuum data proportio fuerit æqualitatis;
quod qui-
erunt arcus DF, BC, æquales, vt in ſinuum defin. demonſtrauimus, ob æqua-
litatem ſinuum.
QVARE ſitunc data differentia grad.
60.
nempe arcus BD, ex ſe-
reſidui arcus grad.
120.
ſemiſſis, nempe grad.
60.
ad differentiam addatur, componetur maior arcus BF, ſiue angulus
_120._
Ipſa vero ſemiſſis erit arcus minor DF, vel angulus
DEF, grad. _60._
Ita ſi differentia data complectatur grad.
_104._
Min.
_20._
detrahemus eam ex grad.
_180._
&
reliqui arcus grad.
_75._
Min.
_40._
ſemiſſem, nempe grad. _37._
Min.
_50._
datæ differentiæ addemus, vt com-
ponatur maior arcus, ſeu angulus propoſitus, grad. _142._
Min.
_10._
Minor
enim erit ioſa differentiæ ſemiſſis grad. _37._
Min.
_50._
QVOCIRCA, data diſſerentia duorum arcuum, quorum ſinguli ſe-
micirculo ſint minores, vel duorum angulorum rectilineorum, &c.
vtrumq;
illorum ſigillatim notum effecimus.
Quod faciendum erat.
SI ab angulo trianguli cuiuſuis duobus lateri-
laris ad baſim ducatur, ſi quidem intra triangu-
lum cadit, erit quadratum maioris laterum dictum
angulum ambientium maius, quam quadratum
minoris, rectangulo ſub baſe, & differentia ſeg-
mentorum à perpẽdiculari factorum comprehen-
ſo: ſi vero extra cadit, erit quadratum maioris la-
teris maius, quam quadratum minoris, rectangu-
lo ſub baſe, & recta linea, quæ ex baſe, &
duplo ex-
terioris lineæ inter perpendicularem, & angulum
trianguli componitur, comprehenſo.
IN triangulo ABC, cuius duo latera AB,
AB, minus,
ducatur ex angulo A, ad baſim BC, perpendicu-
laris AD, cadens primùm intra triangulum, vt
in priori figura. Et quoniam tam quadrata re-
ctarum AD, DB, quadrato rectæ AB, quàm
AC, æqualia ſunt; eſt autem quadratum rectæ
AB, minus quadrato rectæ AC, quòd minor po
natur recta AB, quam AC: erunt quoque duo
quadrata rectarum AD, DB, ſimul; minora
duobus quadratis AD, DC, ſimul; ablato-
que propterea communi quadrato rectæ AD,
quadratum rectæ BD, quadrato rectæ DC,
proinde &
recta:
BD, minor, quam recta DC.
Abſciſſa erge
recta DE, ipſi BD, æquali, erit EC, differentia inter ſegmenta BD,
DC. Dico quadratum lateris AC, ſuperare quadratum lateris AB, rectan-
gulo ſub BC, EC, comprehenſo. Quia enim recta BE, ſecta eſt bifariam in
D, eiq́; addita in continuum recta EC, erit rectangulum ſub BC, EC,
drato rectæ DC, æquale. Addito ergo quadrato
EC, vnà cum quadratis rectarum DE, AD, hoc
eſt, rectarum BD, AD, hoc eſt, cum quadrato
rectæ AB, æquale quadratis rectarum DC, AD,
hoc eſt, quadrato rectæ AC. Maius ergo eſt qua-
dratum lateris AC, quam quadratum lateris
AB, rectangulo ſub BC, EC, comprehenſo. quod eſt propoſitum.
CADAT deinde perpendicularis AD, ex-
tra triangulum in baſim CB, productam, vt in
figura poſteriori. Abſciſſa recta DE, ipſi DB,
æquali, erit recta EC, compoſita ex baſe BC, &
EB, quæ dupla eſt lineæ DB, inter perpendicu-
larem, & angulum B.
Dico rurſus, quadratum
lateris AC, ſuperare quadratum lateris AB, rectangulo ſub BC, EC, com-
Eritenim rurſus rectangulum ſub BC, EC, vnà cum quadrato re-
ctæ DB, quadrato rectæ DC, æquale. Addito ergo quadrato communi rectę
AD, erit rectangulum ſub BC, EC, vnà cum quadratis rectarum DB, AD,
hoc eſt, cum quadrato rectę AB, æquale quadratis rectarum DC, AD, hoc
eſt, quadrato rectæ AC. Excedit igitur quadratum lateris AC, quadratum
lateris AB, rectangulo contento ſub BC, EC.
ALITER.
Quoniã quadratis ex AD, DC, quadratum ex AC;
&
qua-
idem erit exceſſus qua-
drati ex AC, ſupra quadratum ex AB, qui quadratorum ex AD, DC, ſu-
pra quadrata ex AD, DB: Et, ablato communi quadrato ex AD, idem, qui
quadratiex DC, ſupra quadratum ex DB, per pronunciatum 17. lib 1.
Eucl.
Sed quadratum ex DC, ſuperat quadratum ex DB, rectangulo ſub BC, CE,
comprehenſo; propterea quòd quadratum ex DC, æquale eſt quadrato ex
Igitur &
quadratum ex AC, ſuperat quadratum ex AB, rectangulo com-
prehenſo ſũb BC, CE. Quocirca, Si ab angulo trianguli cuiuſuis duobus
lateribus inæqualibus com prehenſo linea perpendicularis ad baſim ducatur,
&c.
Quod oſtendendum erat.
EX demonſtratis conſtat, In Iſoſcele perpendicularem ſecare baſim bifariam.
Nam ſi in
priore triangulo latera AB, AC, ponantur æqualia, erunt eorum@uadrata quoque æqualia. Quare cum quadratum ex AB, æquale ſit quadratis ex AD, BD;
&
quadratum ex AC,
erunt quoque quadrata ex AD, BD, quadratis ex AD, CD, æqua-
lia: Ablatoque communi quadrato rectæ AD, reliqua erunt quadrata ex BD, CD;
æqua-
lia, & proinde rectæ BD, CD, æquales.
SI ab vno angulo trianguli cuiuſuis notorum
tatur: quanta ſit recta inter perpendicularem, &
vtrumuis angulorum reliquorum comprehenſa,
cognoſcere.
REPETANTVR duo triangula præcedẽtis propoſ.
ſitq́;
latus AC,
20. AB, 13.
&
in priori quidem triangulo, BC, 21.
in poſteriori vero, 11.
Oporteatq;
cognoſcere, quanta ſit tam recta BD, quàm CD.
Quoniam qua-
dratum ex AC, ſuperat quadratum ex AB, re-
ſi quadratum
rectæ AB, hoc eſt, 169. detrahatur ex 400.
qua-
drato rectæ AC, reliquum erit rectangulum ſub
BC, CE, contentum 231. quo diuiſo per latus
BC, hoc eſt, per 21. in priori triangulo, prodibit
recta CE, 11. quæ ablata ex latere BC, id eſt,
ex 21. relinquet BE, 10.
Huius ergo dimidium
5. dabit rectam BD:
ac proinde reliqua CD,
erit 16. nempe reſiduum lateris BC.
In poſte-
riori vero triangulo, diuiſo eodem rectangulo
231. per 11.
nimirum per latus BC, inuenietur
C E, 21. à qua ſi latus BC, hoc eſt, 11.
aufera-
tur, remanebit BE, 10. cuius ſemiſsis dabit BD,
5. ac proinde CD, erit 16.
nempe compoſitum
ex latere BC, ac BD.
ITAQVE, Sidifferentia inter duo quadrata laterum ambien-
latus, in quod perpendicularis eſt demiſſa, producetur numerus, qui
ſi minor tertio latere fuerit, indicabit perpendicularem intra triangu-
cuius ſemiſſis dabit minus ſegmentum baſis: hoc autem ex tertio latere
ſubtractum exhibebit ſegmentum maius. Si vero numerus ille ex diui-
ſione productus fuerit tertio latere maior, argumento eſt, perpendicula-
rem extra triangulum cecidiſſe. Quare ſi ex eo tertium latus detraha-
tur, reliquus erit numerus, cuius ſemiſſis dabit rectam extra triangu-
l um inter perpendicularem, & angulum obtuſum;
eadem vero ſemiſſis
tertio lateri addita exhibebit alteram rectam inter perpendicularem, &
angulum acutum.
ALITER &
facilius.
Ex A, ad interuallum minoris lateris AB, circulus
productum in G, &
latus BC,
gulum cadit, vel certe, ſi ex-
tra cadit, ipſum productum in
E: ſecabiturq́;
recta BE, bifa-
Quia vero rectan-
gulum ſub BC, CE, rectan-
erit, vt BC, latus, in quod
pe vt 21. in priori triangulo,
vel vt 11. in poſteriori, ad GC,
ſummam reliquorũ duorum
laterũ AC, AB, (quod AG,
ipſi AB, ſit æqualis) hoc eſt,
ad 33. ita CF, differentia in-
ter eadem duo latera, id eſt,
ita 7. ad CE.
Quare per
regulam auream inuenietur
C E, partium 11. in triangulo
priori, in poſteriori autem 21. vt hic perſpicuum eſt.
Quòd ſi EC, inuenta partium 11.
in priori triangulo auferatur ex latere
BC, nempe ex 21. remanebit BE, 10.
cuius ſemiſsis 5.
erit ſegmentum BD, ac
proinde alterum CD, erit 16. In poſteriori vero triangulo, ſi ex EC, inuenta
partium 21. dematur latus BC, partium 11.
relinquetur rurſus BE, 10.
Qua-
re eius dimidium 5. dabit rectam BD, extra triangulum inter perpendicula-
rem, & angulum obtuſum;
ac proinde tota CD, compoſita ex latere BC, &
dicto dimidio BD, erit 16.
SI igitur fiat, vt latus, in quod perpendicularis ducta eſt, ad ſum-
cularem intra triangulum cecidiſſe, idemq́, extertio latere ablatus relin-
quet numerum, cuius dimidium erit minus ſegmentum baſis, hoc autem
ex tertio latere demptum reliquum faciet maius ſegmentum. Si vero nu-
merus per auream regulam inuentus tertium latus ſuperet, argumento
eſt, perpenticularem cecidiſſe extra triangulum. Quare ſi ex eolatus
tertium detrahatur, dabit ſemiſſis reliqui numeri rectam extra triangu-
lum inter perpendicularem, & angulum obtuſum:
Eadem vero ſemiſſis
angulum acutum.
SI ergo ab vno angulo trianguli cuiuſuis notorum laterum, &
c.
Quod fa-
ciendum erat.
_
VIDeS_ igitur, in vtraque praxi calculum ipſum monſtrare, num perpendicula
ris intra triangulum cadat, an vero extra.
_
IDEm_ hoc problema abſolui poteſt per propoſ. _13._
aut _12._
lib.
_2._
Eucl. prout per@
pendicularis intra triangulum cadit, vel extra. Cadat enim primũ perpendicularis
_AD,_ intra, ſintq́; latera, vt prius;
_
Ab, 13. AC, 20 BC._
_21._
_
E_ritq; vterq;
angulus _B, C,_
acutus, propter rectos angulos ad _D._ cũ tam duo anguli _B,_ &
ADB, quàm duo _C,_ &
ADC,_ ſint duobus rectis minores. Quoniam igitur quadratũ ex _AC,_ minus eſt, quàm
duo quadrata ex _AB, BC,_ rectangulo bis cõprehenſo ſub _Cb, bD;_ ſi quadratũ lateris
auferatur ex ſumma quadratorum laterum _AB,
BC,_ nimirum ex
_610._ reliquum erit rectangulũ ſub _
Cb, BD,_ bis com-
Semiſsis ergo huius, vtpote _105._
erit re-
ctangulum ſub _Cb, bD,_ comprehenſum: quo diuiſ@
per latus _BC,_ hoc eſt, per _21._ exibit ſegmentum _
BD,_
_5._ Reliquum ergo _CD,_ erit _16._
Quod tamen eodem mo
do reperirs poteſt, ſi quadratum lateris _AB,_ ex qua-
dratis laterum _AC, CB,_ ſubducatur, &c.
_
E_ſt enim
illud minus, quàm hæc duo, rectangulo ſub _
Bc,_
_CD,_ bis comprehenſo.
_
CADAT_ deinde perpendicularis _AD,_ extra, ſintq́; latera, vt prius;
_AB, 13.
Ac, 20. Bc, 11._ _E_ritq́;
angulus _ABc,_ obtuſus: propterea quod duo _D,_ &
_ABD,_ ſunt duobus rectis minores; ac proinde _
ABD,_
Quia ergo quadratum ex
_AC,_ maius eſt, quàm duo quadrataex _AB, BC,_ re-
CB, BD;_ ſi ſumma quadratorum laterum _
Ab, bc,_
id eſt, _290._ auferatur ex _400._
quadrato lateris _
Ac,_ relinquetur rectangulum bis
comprehenſum ſub _CB, BD, 110._ Semiſsis ergo huius, nimirum _55._
erit rectangulum
ſub _CB, BD,_ contentum: quo diuiſo per 11.
latus _
BC,_ prodibit recta _BD,_ extra
triangulum, _5._ quæcum _11._
latere _
BC,_ componet rectam _CD, 16._
ITAQVE, cadente perpendiculari intra triangulum;
Siſemiſſis
quo perpendicularis demiſſa eſt, & ſummam quadratorum ex reliquis
duobus lateribus deſcriptorum, diuidatur per latus, in quod perpendicu-
laris cadit, producetur ſegmentum baſis prope angulum, quem continent
latera, quorum ſumma quadratorum accepta fuit: Hoc autem ſegmentum
ex eadem-baſe det ractum relinquet alterum ſegmentum.
CADENTE ver o perpendiculari extra triangulum;
Si ſe miſſis
diffcrentiæinter quadratum lateris angulo obtuſo oppoſiti, & ſummam
latus, in quod productum perpendicularis cadit, procreabitur linea ex-
tra triangulum inter perpendicularem, & angulum obtuſum:
Hæc vero
addita baſi conſtituet alteram rectam inter perpendicularem, & angu-
lum acutum baſis.
DATIS omnibus angulis trianguli non re-
vno latere; reliqua duo latera cognoſcere, &
quo-
rumlibet duorum proportionem facere notam.
IN triangulo ABC, ſint primum omnes anguli acuti, &
dati;
A, grad.
75.
Min.
45.
B, grad.
67.
Min.
23.
C, grad.
36.
Min.
52.
Datum quoq;
ſit la-
Oportet ex his
reliqua duo latera inueni-
re. Quoniam eſt, vt ſinus
A, ita latus AB, datum ad
latus BC: ſi fiat, vt ſinus
anguli C, nempe 59996. ad
96923. ſinum anguli A, ita
latus AB, datũ 13. ad aliud,
inuenietur latus BC, 21. ferè, vt hic apparet.
Item quia eſt, vt ſinus anguli C, ad ſinum anguli B, ita latus AB, datum
ad latus AC: ſi fiat, vt 59996.
ſinus anguli C, ad 92310.
ſinum anguli B, ita
latus AB, datum 13. ad aliud, inuenietur latus AC, fere 20.
vt hic vides.
Velquia eſt, vt ſinus anguli A, ad ſinum anguli B, ita latus BC, inuentum
ſi fiat, vt 96923.
ſinus anguli A, ad 92310.
ſinum anguli B, ita
latus BC, inuentum 21. ad aliud, reperietur latus AC, fere 20.
vt nic cernis.
SIT deinde angulus B, obtuſus grad.
112.
Min.
37.
A, grad.
30.
Min.
31.
C, grad.
36.
Min 52.
&
rurſum latus AB, 13.
Quoniam idem eſt ſinus anguli
B, qui eius complementigrad. 67.
Min.
23.
vt in tractatione ſinuum demou-
ſtrauimus, inuenietur ratione iam expoſita latus BC, 11. &
AC, 20.
fermè.
vt hic liquido conſtat.
ITAQVE, datis angulis omnibus, cum vno latere;
Si fiat, vt ſi-
ita latus datum ad aliud, inuenietur latus angulo illi, cuius ſinus acce-
ptus eſt, oppoſitum: Et ſi rurſus fiat, vt ſinus anguli lateri dato oppo-
ſiti ad ſinum tertij anguli, ita datum latus ad aliud, reperietur latus ter
tio angulo oppoſitum, &c.
QVOD ſi triangulum fuerit Iſoſceles, &
dentur anguli:
Vel ſi fuerit ſca-
lenum, & duo dentur latera cum angulis, vnius tantum lateris inuentione
opus eſt, vt patet. In æquilatero autem triangulo, ſi detur vnum latus, erunt
& reliqua data, vtpoteilli æqualia.
IAM verò ſi datæ ſint proportiones angulorum, cum vno latere, inue-
ſtigandæ erunt ex illis proportionibus magnitudines angulorum, vt in ſcho-
lio propoſ. 1.
demonſtrauimus:
Deinde vero reliqua latera exploranda, vt
INVENTIS autem lateribus, liquido conſtat, eorum proportiones
eſſe notas in numeris, in quibus ipſa cognita ſunt. Datis ergo omnibus angu-
lis trianguli non rectanguli, &c.
Quod erat faciendum.
DATIS omnibus trianguli non rectanguli
gulos notos efficere.
IN triangulo priori ABC, ſint data omnia
AB, 13.
AC, 20.
&
BC, 21.
Oporter ex
his inueſtigare angulos. In maximum latus BC,
ex oppoſito angulo A, ducatur perpendicularis
AD, quę neceſlario intra triangulum cadet. Cum
enim latus BC, ſit maximum, erit & angulus A,
ac propterea vterq;
B,
Ex quo fit, perpendicularem AD, in-
Primùm itaq;
inquiran-
Inuenietur BD, 5.
&
CD,
Quia ergo, poſito ſinu toto AB, recta BD,
ſinus eſt anguli BAD, vt in tractatione ſinuum
oſtendimus, dicemus per auream regulam. Si AB,
dat AB, ſinum totum partium 100000.
quid dabit BD, 5?
inueniemusq́
ſinum BD, 38461. vt hic vides.
Ex tabula ergo ſinuum dabitur angulus BAD,
22.
Min.
37.
atq;
adeo eius complementum
B, grad. 67.
Min.
23.
qui eſt vnus angulorum quę-
ſitorum. Rurſus, quia poſito AC, ſinu toto, CD,
ſinus eſt anguli CAD, dicemus iterum per regu-
lam auream. Si AC, 20.
dat AC, 100000.
ſinum
totum, quid dabit CD, 16? Inueniemuſq;
ſinum
CD, 80000. Vt hic patet.
Qui ſinus in tabula ſinuum monſtrat angulum
CAD, grad. 53.
Min.
8.
ac proinde eius comple-
mentum C, erit grad. 36.
Min.
52.
qui eſt vnus
etiam angulorum quæſitorum. Quòd ſi duo an-
guli duorum ſinuum inuentorum, nempe grad. 22.
Min.
37.
&
grad.
53.
Min.
ſimul componantur, fiet tertius angulus BAC, grad.
75.
Min.
45.
Vel cer-
te ſi ſumma duorum angulorum B, C, inuentorum ex grad. 180.
auferatur,
reliquus fiet tertius angulus BAC, grad. 75.
Min.
45.
ITAQVE, (vt totam praxim complectamur) ſi fiat, vt maximum
latus (in quod perpendicularis ducta eſt) ad ſummam aliorum duorum,
ita differentia eorundem duorum ad aliud, reperietur numerus, qui ex
maximo latere ſubductus relinquet numerum, cuius ſemiſſis dabit minus
ſegmentum baſis, hoc autem ex baſi detractum relinquet maius ſegmen-
tum, vt conſtat ex ſecunda praxi propoſ. 9.
Quòd ſi rurſum fiat, vt mi-
nimum latus ad ſinum totum, ita ſegmentum baſis minus ad aliud, inue-
nietur ſinus, cuius arcus complementum dabit angulum ſupra baſim me-
dio lateri oppoſitum. Deinde ſi rurſum fiat, vt medium latus ad ſinum
totum, ita maius ſegmentum baſis ad aliud, reperietur ſinus, cuius ar-
cus complementum dabit angulum ſupra baſim minimo lateri oppoſitum. Tertius vero angulus maximo lateri oppoſitus conflabitur ex duobus il-
lis arcubus duorum ſinuum inuentorum: vel certè relinquetur poſt de-
tractionem duorum angulorum inuentorum ex duobus rectis.
RVRSVS in poſteriori triangulo datum ſit latus AB, 11.
AC, 13.
&
BC, 20. Demiſſa in maximum latus BC, perpendiculari AD, inuenietur
ſegmentum BD, 8 {4/5}. at CD, 11{@/5}.
vt hic apparet ſecundum praxim poſte-
riorem propoſ. 9.
Hic numerus ex baſe 20.
ablatus relinquit 17 {3/5}.
cuius ſemiſsis 8 {4/5}.
dat ſeg-
mentum minus BD. Ergo maius CD, erit 11 {1/5}.
Hinc inuenietur angulus
36.
Min.
52.
C, grad.
30.
Min.
31.
&
BAC, grad.
112.
Min.
37.
vt
hic vides.
Complemétum arcus, quem prior ſinus inuentus offert, dat angulum B, grad.
36.
Min.
52.
At complementum arcus poſterioris ſinus inuenti dat angulum
C, grad. 30.
Min.
31.
&
c.
Eſt ergo doctrina huius propoſitionis generalis, ſi-
poſteriori, ſiue deniq; rectus ſit;
quamuis in rectangulo triangulo iam ſupra
traditum ſit propoſ. 3.
quo pacto ex duobus lateribus cognitis facilius an-
guli duo acuti inueniantur.
IAM ſi dentur laterum proportiones, ſaltem duæ, continuabimus eas in
tribus minimis numeris, ſi proportionum numeri minimi non ſint, vt Eucl. docuit propoſ.
4.
lib.
8.
eosq́;
numeros lateribus aſcribemus, perinde ac ſi in
Vt ſi in priori triangulo proportio AB, ad BC, ſit,
quæ 26. ad 42.
At AB, ad AC, quæ 39.
ad 60.
reuocabuntur hæ proportiones
ad minimos hoſce numeros 13. 21.
&
13.
20.
Dabitur ergo AB, 13.
AC, 20.
BC, 21.
Ex quibus angulos eruemus, vt prius.
PORRO in Iſoſcele datorum laterum ducenda eſt perpendicularis ad
baſim, ſiue ea ſit maximum latus, ſiue minimum: quæ diuidet baſim bifariam.
Quare ſi fiat, vt vnum æqualium laterum ad ſinũ totum, ita dimidium baſis
ad aliud, inuenietur ſinus cuiuſdam arcus, cuius complementum dabit vnum
æ qualium angulorum ſupra baſim, vt ex demonſtratis liquet. Ergo &
alter da-
bitur: ac proinde &
tertius baſi oppoſitus, vtpote reliquus duorũ rectorum.
IN æquilatero deniq;
triangulo dabuntur anguli, etiamſi latera non den-
60.
Datis igitur omnibus trianguli non rectanguli lateribus, &
c.
Quod fa-
ciendum erat.
_ETSI_ in hac propoſ.
præcepimus, perpendicularem ad maximum latus eſſe du-
cendam ex angulo oppoſito, vt intra triangulum cadat, fiatq; calculus facilior:
ta-
men eadem fere via problema abſoluemus, ſi in triangulo obtuſangulo perpendicula-
ris non ducatur ab obtſo angulo in maximum latus, ſed ab alterutro acutorum an-
quo latus _AB,_ datur _22. AC, 31._
&
_BC, 14._
_N_am ſi fiat,
vt _BC, 14._ (in quod latus perpendicularis eſt ducta) ad
_53._ ſummam aliorum laterum _AB, AC,_ ita _9._
differentia
eorundem laterum ad aliud, reperietur numerus _34 {1/14}._ à
quo ſi ſubducatur latus _BC,_ remanebit numerus _20 {1/14}._ cuius ſemiſsis _10 {1/28}._
erit recta _BD,_ ac proinde _CD,_
_24 {1/28}._ Quam obrem ſi iam fiat, vt _
Ab,_ _22._ ad _
Ab,_ ſi-
num totum 100000. ita _BD, 10 {1/28}._
ad aliud, innenietur _
BD,_ ſinus _45617._
_62._
Min.
_52._
ac propte-
rea reliquum duorum rectorum _ABC,_ grad. _117._
Min.
_8._
_I_tem ſi fiat, vt _
Ac, 31._ ad _AC,_ _100000._
ſinum totum, ita _CD, 24 {1/28}._
ad aliud, reperietur ſinus _77534._
cuius arcus complementum offeret angulum _C,_ grad. _39._
_M_in.
_10._
Quòd ſi duo an-
guli _AbC,_ & _
C,_ ex grad. _180._
demantur, relinquetur angulus _
BAc,_ grad. _23._
_M_in. _42._
_R_atio huius operationis colligitur ex tractatione ſinuum, vbi oſtendimus, ſi
_Ab,_ ſtatuatur ſinus totus, _BD,_ eſſe ſinum anguli _BAD:_ _I_tem ſi _
Ac,_ ponatur ſinus
totus, _CD,_ eſſe ſinum anguli _CAD,_ &c.
DATIS duobus lateribus trianguli non re-
vel
data proportione duorum laterum angulum da-
tum continentium: tertium latus, &
reliquos an-
gulos inuenire.
IN triangulo ABC, data ſint primum duo latera AB, AC, illud 3.
hoc
5. ambientia angulum A, obtuſum, qui datus etiam ſit gnad.
93.
Min.
50.
Oportet ex his tertium latus BC, &
reliquos angulos B, C, inueſtigare.
Quo-
niam datur angulus A, grad. 93.
Min.
50.
ſi detrahatur ex grad.
180.
hoc eſt,
ex duobus rectis, reliquum erit aggregatum duorum angulorum B, C, grad.
86. Min.
10.
Eſt autem &
proportio ſinuum angulorum C, B, data, nempe ea-
dem, quæ lateris AB, 3. ad latus AC, 5.
propterea quod eſt, vt latus AB, ad
latus AC, ita ſinus anguli C, ad ſinum anguli B. Quare vterq;
angulus C,
29.
Min.
55.
hic vero grad.
56.
Min.
15.
C, ad ſinum anguli A, ita latus AB, ad latus
BC: vel vt ſinus anguli B, ad ſinum anguli A,
ita latus AC, ad latus BC. Per auream ergo
regulam inuenietur latus BC, ferme 6. vt hic
apparet.
VT ergo totam praxim complectamur:
Si (ablato angulo dato ex
180.
vt ſumma aliorum duorum habeatur) fiat, vt ſemiſſis ſummæ
duorum lat erum datorum, nempe ſemiſſis ſummæ terminorum proportio-
nis ſinuum angulorum reliquorum, ad tangentem ſemiſſis ſummæ reliquo-
rum angulorum, ita differentia inter ſemiſſem ſummæ datorum laterum,
al-
terum laterum, ſiue terminorum proportionis, ad aliud, reperietur tan-
gens anguli, qui cum ſemiſſe ſummæ reliquorum angulorum componet ma-
iorem angulum, qui nimirum maiori lateri dato opponitur: idem verò ex
eadem ſemiſſe dictæ ſummæ detractus relinquet angulum minorem mino-
ri lateri dato oppoſitum; vt perſpicuum eſt ex praxi priore propoſ.
6.
Quòd ſi rurſus fiat, vt ſinus vtriuſuis angulorum inuentorum ad ſinum
anguli in principio dati, ita latus inuento angulo, qui acceptus fuerit in
regula aurea, oppoſitum ad aliud, inuenietur tertium latus. Et ad maio-
rem perſpicuit atem proponemus aliud exemplam.
SINT in triangulo ABC, data duo latera AB, AC, 22.
&
31.
vnà cum
23.
Min.
42.
Hicangulus ablatus ex
grad. 180.
reliqua fiet ſumma angulorum B, C, grad.
156.
Min.
18.
Si ergo fiat, vt 26 {1/2}.
ſemiſsis laterum
AB, AC, id eſt, terminorum proportionis ſinuum
angulorum B, C, ad 476595. tangentem ſemiſsis ſum-
mæ angulorum B, C, hoc eſt, ad tangentem grad. 78.
Min. 9.
ita 4 {1/2}.
differentia inter ſemiſſem ſummæ la-
terũ AB, AC, vel terminorũ laterum, ſeu terminorum,
ad aliud, reperietur tangens 80931. cuius arcus grad.
38.
Min.
59.
additus ad
grad. 78.
Min.
9.
nempe ad ſemiſſem ſummæ angulorum B, C, conſtituet an-
gulum maiorem B, maiori lateri dato AC, oppoſitum grad. 117.
Min.
8.
Idem
vero arcus grad. 38.
Min.
59.
ex eadem ſemiſſe ſummæ angulorum B, C, id
eſt, ex grad. 78.
Min.
9.
detractus relinquet minorem angulum C, minori la-
teri dato AB, oppoſitum grad. 39.
Min.
10.
Operationem aureæ regulæ
hic vides.
Quòd ſi iam fiat, vt 63158.
ſinus anguli C, ad 40195.
ſinum anguli A, ita la-
tus AB, 22. ad aliud:
Vel vt 88995.
ſinus anguli B, ad 40195.
ſinum anguli
A, ita latus AC, 31. ad aliud, inuenietur latus BC, 14.
ferè.
vt hic cernis.
SI vti nolis tangentibus, vſurpanda erit poſterior praxis propoſ.
6.
in in-
uentione angulorum B, C.
IAM ſi proportio laterum AB, AC, data ſit, vna cum angulo A, ab ipſis
data eſſent, problemaq́ abſoluemus, vt prius.
HOC etiam problema abſolui poteſt ſine auxilio propoſ.
6.
hoc modo.
AC, 24.
&
angulus A, primùm acutus
grad. 38.
Min.
16.
Ducatur ad maius latus A B, ab angulo oppoſito C, per-
pendicularis CD: quæ neceſſario intra triangulum cadet.
Cum enim latus
angulus C, angulo B, maior.
Quare B, acu-
Nam ſi rectus eſſet, aut maior, eſſet C, etiam
maior recto. quod eſt abſurdum;
quòd B, C, ſint mino-
Cum ergo &
A, ponatur acutus, ca-
det perpendicularis CD, intra triangulum. In trian-
38.
Min.
16.
erit eius complementum ACD, grad.
51.
Min. 44.
Quare cum ſit, vt ſinus totus anguli recti D,
ad latus CD:
inuenietur latus CD, per regulã auream, 14 {2699/3125}.
Vt hic apparet.
Eadem ratione, cum ſit, vt ſinus totus anguli recti D, ad ſinum anguli ACD,
ad latus AD:
reperietur latus AD, 18 {5271/6250}.
vt hic
vides.
Ablata autem AD, inuenta ex AB, data 29.
relinquetur BD, 10 {979/6250}.
Et quia, vt in tractatu tangentium oſtendimus, poſito ſinu toto BD, recta
CD, tangens eſt anguli B, inuenietur CD, tangens 146344. vt hic manife-
ſtum eſt.
Tangens autem 146344.
monſtrat in tabula tangentium angulum B, grad.
55.
Min.
40.
ac proinde duo anguli A, B, grad.
38.
Min.
16.
&
grad.
55.
Min.
40. ex grad 180.
ſubducti reliquum facient angulum ACB, grad.
86.
Min.
4.
Quoniam autem eſt, vt ſinus anguli B, noti ad ſinum anguli A, dati, ita latus
adlatus BC, reperietur latus BC, 18.
ferè.
vt hic vides.
RVRSVS in triangulo ABC, datum ſit latus AB, 13.
AC, 11.
&
an-
gulus A, ab ipſis comprehenſus obtuſus, & datus grad.
112.
Min.
37.
Duca-
ad oppoſitum latus CA, perpendicularis: quæ
Quia igitur angulus
BAC, ponitur grad. 112.
Min.
37.
erit BAD,
grad. 67.
Min.
23.
eiusq́ complementum pro-
pterea ABD, neceſſariò grad. 22.
Min.
37.
Quare cum ſit, vt ſinus totus anguli recti D, ad
ad latus BD:
Item vt ſinus to-
tus anguli recti D, ad ſinum anguli ABD, ita latus datum AB, 13. ad latus
AD; in uenietur BD, quidem 12.
at AD, 5.
ferè.
vt hic apparet.
Addita autem AD, inuenta 5.
ad latus AC, datum 11.
fiet tota CD, 16.
Cum
ergo, poſito ſinu toto CD, recta BD, ſit tangens anguli C; reperietur tan-
gens BD, 75000. vt hic cernis.
Quæ tangens offeret in tangentium tabula angulum C, grad.
36.
Min.
52.
&
proinde duo anguli A, C, grad. 112.
Min.
36.
&
grad.
36.
Min.
52.
ex grad.
180.
ablatirelinquent angulum ABC, grad.
30.
Min.
31.
Quoniam tandem
eſt, vt ſinus anguli C, cogniti ad ſinum anguli BAC, dati, ita latus AB, 13.
ferè.
vt hic apparet.
Verum, vt vides, prior ratio multò eſt breuior, &
ex peditior.
QVOD ſi quando data duo latera datum angulum ambientia fuerint
Sint namq;
in triangulo ABC, duo latera
&
angulus A, com-
prehenſus grad. 80.
Ablato hoc angulo ex grad.
180.
dabit ſemiſsis reſidui, quod eſt grad.
100.
vtrum-
que angulorum B, C, grad. 50.
Si autem fiat, vt ſinus
anguli B, vel C, ad ſinum anguli A, ita latus AC,
vel AB, ad aliud, prodibit latus BC, 11 {43685/76604}.
vt hic vides.
Datis ergo duobus lateribus trianguli non rectanguli, cum angulo ab ipſis
comprehenſo, &c.
Quod erat faciendum.
DATIS duobus lateribus trianguli non re-
ctanguli, vel eorum proportione data, vnà cum
angulo, qui alteri datorum laterum opponitur: reliquos angulos, &
tertium latus in quirere.
Opor
tet autem conſtare, num alter angulus reliquo la-
teri dato oppoſitus ſit acutus, an obtuſus, ſi datus
angulus acutus eſt.
SINT in triangulo ABC, data duo latera AB, AC.
13.
&
20.
datusq́;
ſit
acutus angulus C, grad. 36.
Min.
52.
lateri dato AB, oppoſitus, conſtetq́ue
de angulo B, qui alteri dato lateri AC, opponitur, num acutus ſit, an obtu-
ſus: alias enim nihil certi colligi poſſet, vt ex ſequenti ſcholio patebit.
Quo-
niam ergo eſt, vt latus AB, ad latus AC, ita ſinus anguli C, ad ſinum anguli
ſuntque tria primadata, inuenietur per auream regulam quartum, hoc eſt,
ſinus anguli B, 92302. vt hic liquet.
Qui ſinus in tabula ſinuum exhibet angulum B, ferè grad.
67.
Min.
23.
ſi acu
tus fuerit, vt in priori triangulo: ſi autem obtuſus, vt in triangulo poſterio-
ri, grad. 112.
Min.
37.
vtpote qui cum illo ſemicirculum compleat;
cum ob-
tuſus, & acutus conficientes grad.
180.
eundem ſinum habeant, vt ad deſini-
mus. Ablatis autem duo-
bus angulis C, B, ex grad. 180.
relinquetur in priori
triangulo angulus A, grad.
75. Min.
45.
In poſteriori
vero grad. 30.
Min.
31.
La-
tus autem BC, inuenietur,
per auream regulam, par-
tium ferè 21. in priori trian
gulo; in poſteriori autem
ferè 11. quòd ſit, vt ſinus anguli C, ad ſinum anguli A, ita latus AB, ad la-
vt in hac operatione apparet.
ITAQVE, ſi fiat, vt latus datum dato angulo oppoſitum ad al-
arcus dabit angulum alteri lateri dato oppoſitum, ſi acutus fuerit, (quod
quidem ſemper contingit, quando datus angulus eſt obtuſus) aut certe ex
ſemicirculo ſublatus dabit illum angulum, ſi obtuſus fuerit: Summa ve-
ro ex dato angulo, & inuento angulo conflata ex grad.
180.
ſubducta
exhibebit tertium angulum. Si deni fiat, vt ſinus anguli dati ad ſinum
tertij anguli à datis lateribus comprehenſi, qui vltimo inuentus eſt, ita
latus datum dato angulo oppoſitum ad aliud, producetur tertium latus.
QVOD ſi detur duorum laterum proportio,
eodem modo problema exequemur.
ALITER.
Dentur rurſum duo latera AB, 13.
&
AC, 20.
vnà cum angulo C, acuto grad.
36 Min.
52. ſitq́;
primum alter angulus B, acutus etiam, vt
in priori triangulo. Ducta ex A, ad BC, perpendi-
culari AD, quæ intra triangulum cadet: quoniam
recta AD, ſinus eſt anguli dati C, vt in tractatu ſi-
nuum docuimus; ſi fiat, vt AC, ſinus totus ad AC,
latus datum, ita AD, ſinus dati anguli C, ad aliud,
reperietur AD, 12. ferè, vt hic vides.
Rurſus, quia poſito ſinu toto AB, recta AD, eſt ſinus anguli B, vt in ſinubus
traditum eſt; ſi ſiat, vt AB, latus datum ad ſinum totum, ita AD, iam in-
uenta ad aliud, inuenietur ſinus AD, 92308. vt hic apparet.
Ex tabula ergo ſinuum dabitur angulus B, grad.
67.
Min.
23.
ac proinde
BAC, reliquus duorum rectorum, grad. 75.
Min.
45.
Quoniam vero eſt, vt ſi-
nus anguli dati C, ad ſinum anguli A, inuenti, ita latus AB, ad latus BC, in-
ferme:
vt hic cernis.
DEINDE, ijſdem poſitis, ſit alter angulus B, obtuſus, vt in poſterio-
Ducta ex A, ad BC, perpendiculari AD, quæ extra triangu-
lum cadet: quoniam in triangulo rectangulo ACD, poſito ſinu toto AC,
recta AD, ſinus eſt anguli C, vt dictum eſt in tractatione ſinuum; ſi fiat, vt
finus totus ad @@tum latus AC, ita ſinus dati anguli C, ad aliud, inuenietur
AD, ferme 12. vt hic apparet.
Rurſus, quia poſito ſinu toto AB, recta AD, ſinus eſt anguli ABD, vt in
defin. ſinuum explicauimus;
Si fiat, vt latus datum ad ſinum totum, ita AD,
proxime inuenta ad aliud, reperietur ſinus AD, 92308. vt hic vides.
Qui ſinus exhibet in tabula ſinuum angulũ ABD, grad.
67.
Min.
23.
ac proin-
de reliquum duorum rectorum ABC, grad. 11.
Min.
37.
Ablatis autem duo-
bus angulis C, & ABC, notis ex grad.
180.
remanebit angulus BAC, grad.
30.
Min.
31.
Hinc, quoniam eſt, vt ſinus anguli C, dati ad ſinum anguli A, in-
vt
hic manifeſtum eſt.
POSTREMO, datis ijſdem lateribus, detur angulus obtuſus ABC,
grad. 112.
Min.
37.
vt in poſteriori triangulo, factaq́ue eadem conſtructione;
quoniam poſito ſinu toto AB, recta AD, ſinus eſt anguli ABD, hoc eſt, an-
guli dati ABC, inuenietur rurſum AD, 12. ferè, vt hic cernis.
Rurſus, quia poſito ſinu toto AC, recta AD, ſinus eſt anguli C, reperietur
ſinus AD, 60000. Vt hic apparet.
Eſt ergo angulus C, grad.
36.
Min.
52.
&
proinde reliquus duorum rectorum
BAC, grad. 30.
Min.
31.
Latus BC, inuenietur 11.
vt prius.
Igitur, Datis
duobus lateribus trianguli non rectanguli, &c.
Quod faciendum erat.
QVOD _autem nihil certi colligi poſsit, quando datus angulus vni datorum la-_
_terum oppoſitus acutus eſt, niſi prius cognitum ſit, num angulus alteri dato la-_
_teri oppoſitus ſit acutus, obtuſusue, vt in propoſ. diximus, ita per ſpicuum faciemus._
_Sint in triangulo_
Abc, _data latera_ Ab, AC, _vna cum angulo acuto_ B. _Du-_
_cta ex_ A, _ad_ BC, _perpendiculari_ AD, _ignorabitur, num ea cadat extra trian-_
_obtuſum, acutumue. Sumpta quoque recta_ DE, _ex altera_
_parte perpendicularis_ AD, _ipſi_ DC, _æqualis, ductaq́; recta_
AE; _erit_
Ae, _ipſi_ AC, _æqualis: propterea quòd latera_
DC, Da, _lateribus_ De, Da, _æqualia ſunt, angulosq́; com_
_prehendunt æquales, vtpote rectos. Itaque etiamſinota ſint_
_latera_ Ab, AC, _vel_ AB, AE, _& angulus acutus_ B, _non_
_tamen idcirco reliquum latus notum erit, aut reliqui an-_
_guli; cum reliquum latus poſsit eſſe vel_
BC, _vel_ BE; _ac_
_propterea reliqui anguli vel_ BCA, BAC, _vel_ BEA, BAE: _niſi prius conſtet, angulum_
BCA, _obtuſum eſſe, vel acutum._ H_oc enim co-_
_gnito, ſciemus, quando perpendicularis_ AD, _extra triangulum cadit, & quando_
_intra; &
c._
EX _quibus conſtat, Nicolaum Copernicum, alioquin diligentißimum, hallucina-_
1.
_Reuo lutionum propoſ._
6.
_triangulorum rectilineorum, dum ſimplici-_
_ter proponit: Si duo latera trianguli data ſint, &
angulus vni eorum oppoſitus datus_
_etiam, reliquum latus, & reliquos angulos dari poſſe.
Hoc etenim fieri non poteſt, vt_
_demonſtrauimus, quando datus angulus eſt acutus, niſi conſtet, num angulus alteri_
_laterum daterum oppoſitus ſit acutus, an obtuſus._
XPLICATIS ijs, quæ ad
triangulorum rectilineorum
ſcientiam, qua ex angulis no-
tis latera, & vicißim ex notis
lateribus anguli cognoſcũtur,
neceſſaria eſſe duximus; reli-
quum eſt, vt sphæricorum etiam triangulorum
doctrinam, qua arcus ex cognitis angulis, et con
tra, anguli ex arcubus notis inquiruntur, tra-
damus. Quamuis enim Menelaus, qui etiam
Mileus, nobilis ſcriptor, qui temporibus Traia-
ni Imperatoris floruit, vt auctor eſt Ptolemæus,
poſuerit, non tamen eius ordinem nos in hiſce no
ſtris sphæricis triangulis ſequemur; propterea
quòd & plurimas eius propoſitiones, licet iucun-
dißimæ ſint, mira{q́ue} eruditione refertæ, tãquam
alias non paucas
ab eo omiſſas ex Gebro Hiſpalenſi, Ioanne Re-
giom. Franciſco Maurolyco, &
ex alijs adie-
cimus, quas omnino neceßarias eſſe iudic aui-
mus ad res Aſtronomicas intelligendas. Ple-
run{que} etiam nouas demonſtrationes, eas{q́ue} bre-
uiores, ac faciliores adhibuimus, nonnullas item
eodem modo demõſtrauimus, quoeædem de an-
gulis, & triangulis rectilineis demonſtratæ ſunt
ab Euclide, vt planior fieret earum demonſtra-
tio: ex quarum numero ſunt propoſ.
5.
6.
7.
8.
&
9.
Non parumtamen operæin eo poſuimus,
vt omnes propoſitiones triangulorum Sphærico-
rum it a in ordinem redigeremus, vt poſteriores
ex prioribus penderẽt, quemadmodum res Ma-
thematicæ poſtulant, & in omnibus elementis
Geometricis fieri conſueuit Sed iam ad rem ve-
niamus, exordio ſumpto à definitionibus.
ANGVLVS ſphæricus eſt, quem in ſphærę
ſe mutuo ſecantes continent.
_QVONIAM_ angulus ſphæricus, qui à Geometris in ſphærica ſuperficie conſia
deratur, ab arcubus maximorum circulorum tantummodo conſtituitur, omnes au@
ſe mutuo contingant: Ita vt omnis angulus ſphæricus fiat ex duobus arcubus ſeſe in-
terſecantibus in ſuperficie ſphæræ, non autem ex arcubus ſe mutuo tangentibus. _I_d
quod de angulis in plana ſuperficie exiſtentibus dici non poi ſt. _In_ hac enim non ſo-
lum duæ lineæ rectæ, vel curuæ, vel quarum vna recta eſt, & altera curua, ſe mutuo
ſecantes. ſi producantur, angulum planum conſtituunt, verum etiam duæ lineæ, qua-
altera recta, ſeſe tangentes tantum-
modo, angulum planum curuilineum, vel mixtum (qui quidem angulus contactus, vel
contingentiæ à Geometris vocatur,) conſtituere poſsunt, vt ex propoſ. 16.
lib.
3.
Eucl.
perſpicuum eſt:
licet Iacobus Peletarius neget eum eſſe angulum, coneturq́;
illud multis
rationibus confirmare, quæ omnes ſophiſticæ ſunt, & friuolæ, vt ex ſolutionibus il-
larum, quas in ſcholio dictæ propoſ. adduximus, perſpicuũ eſt.
Neque vero Peletarius
in Apologia de contactu linearũ, quam anno 1579. in me conſcripſit, (quàm modeſte,
& ſyncere, ipſe viderit.)
auſus eſt ſolutiones meas impugnare, aut opinionẽ ſuam, no
uamillam quidem, & inauditam, nouis rationibus (ſcilicet nullas habebat) confirma-
re: ſed verbis duntaxat, &
conuitijs ſe defendere conatur, vt facile ij, qui eam per-
legerint, iudicabunt.
HVIC ego Apologiæ iam pridem non tam mei purgandi, quam ve-
ditiſsimorum hominum auctoritas, qui eam reſponſo omnino indignam
iudicabant, reuocaſſet. Nunc vero quoniam de re ipſa, eiusq;
Apolo-
gia neceſſario mentio facta eſt, non alienum eſſe duxi, breuiter calumnias,
atq; iniurias, quibus frequenter me in ea Apologia afficit, quanta pote-
ro modeſtia, depellere, vt benignus lector intelligat, ſine cauſa eum tan-
to animi dolore, & iracundia, quantam præ ſe fert, contra me exarſiſſe,
falsoq; mihi impoſuiſſe multa:
me autemè contrario nullum verbum in-
iurioſum in illum effudiſſe, aut conuitium, quod fruſtra in epiſtola nuncu-
patoria criminatur, vbi me à conuitijs non abſtinere, aperte teſtatur. Atq;
in illa Apologia nihil adeo me offendit, quàm quòd me Peletarius non
ſyncere, ſed animoſe, atq; adeo inuidioſe feciſſe inſimulat, vt eum in meis
commentarijs vel reprehenderem, vel laudarem: quæ ſane vitia puſilli
ſemper animi eſſe duxi, & ab homine liberaliter, chriſtianeq;
educato a-
lieniſsima. Verum ea quàm longe abſint tum à noſtræ Societatis diſcipli-
na, tum à mea conſuetudine, nemo omnino, qui nos ac noſtra norit, igno-
rat. His vero, qui noſtra minime norunt, liber ipſe fidem faciet, ſyncere
omnia dici, nihil inuidioſe, nihil animoſe: planè vt veritatem quæſitam,
non cuiuſq; auctoritatem contemptam eſſe appareat.
Neq;
enim mihi tan
tum derogo, (etſi nihil arrogo) vt mihi vni interdictum putem, ne, ſi quid
in alienis ſcriptis falſum videatur, occaſione oblata, cur id mhi minus pro-
betur, oſtendam; modo (quod pudentium, ac bene moratorum hominum
conſuetudo poſtulat) id ſine conuitio, atq; irriſione faciam:
Hoc autem
liber ipſe, qui in medio eſt, ita à me factum eſſe clamat. Etenim vt totum
illum librum peruolutes, ne verbum quidem vnum reperias, quod vel
ſpeciem maledicti habeat, atq; conuitij.
Nam in ſcholio de angulo con-
rium obtrectandi animo oppugnarem; ſed illud habuiſſe propoſitum, (ſi
modo conſequi poſſem) vt ſuus eſſet veritati locus. Quod quidem eò li-
berius feci, quòd Peletario ipſo non modo inuito, ſed etiam libenti exi-
ſtimaui me eſſe facturum, quod vel ipſo auctore facerem: qui non à Car-
dano ſolum, atque Campano, ſed etiam à Proclo, Theone, Apollonio,
Eratoſthene, Pappo, Ptolemæo, Hippocrate Chio, Geometriæ lumini-
bus, ab ipſo deniq; omnium magiſtro Euclide diſſentire non dubitauit-
Nimirum quia, vt ab eodem in Apologia vere dictum eſt, in omni doctri-
na, præſertim verò in Geometria, non auctoritas eſt ſpectanda, ſed veri-
tas: quanquam non video, qui amicus veritatis ſit is, apud quem veritas
odium parit; niſi forte aut decipi ſe non poſſe arbitratur, qui columina
illa Geometriæ erraſſe interdum prædicat, aut veritatem in alienis rebus
amat, ac quærit potius, quàm in ſuis. Equidem ſi quis me in re quapiam
(quod pro humani ingenij imbecillitate fieri poſſe video) erraſſe oſten-
derit, næ ego maximam illi gratiam habuero, qui errantem in viam veri-
tatis reduxerit. At enim probat ſtudium veritatis Peletarius, conuitia
ferre non poteſt: quæ tandem conuitia?
rogas?
Demonſtrationes meas
appellas ſophiſmata. Nunc demum, quæ conuitia dicat, intelligo.
Nam
alia nulla in meo libro eſſe certò ſcio: ab his (ſi conuitia ſunt) fateor me
non abſtinere. At ego homo ſimplex, &
ignarus verborum, conuitia eſſe
nunquam duxi, cum vere dicerentur. Neq;
enim, quo alio vocabulo de-
monſtrationes plane fallaces, & adulterinas appellarem, habebam:
neq;
vero philoſophorum, ac Mathematicorum conſuetudo loquendi magis
appoſitum mihi verbum ſnppeditabat. Accedit, quòd cum à Peletario,
homine in loquendo conſideratiſsimo, germanas Campani, Cardanique
demonſtrationes paralogiſmos appellari viderem, exiſtimaui in falſis eius
demonſtrationibus refellendis impunius perſimili me vocabulo vſurum.
Quòd ſi ſophiſma contumelioſius verbum eſt, quam paralogiſmus, in Gal
lia, ignoſcat conſuetudinis eius ignaro, atq; exiſtimet, me paralogiſmos
dicere voluiſſe. Atq;
vt plane intelligat Peletarius, me non contradicen
di ſtudio illa ſcripſiſſe, mecum vnà conſideret, quantam mihi materiam
ſui refellendi dederit, ſi hominem refellere potius, quam rem, quæ tum
agebatur, explanare in animo fuiſſet: quanquam occaſionẽ eius reprehen
dendi in ſinum delatam ſæpius omiſi, ne illum mihi delegiſſe viderer, in
quem potiſsimum incurrerem. Quàm præclara enim occaſio fuit in pro-
poſ. 4.
&
8.
lib.
1.
atq;
in propoſ.
24.
lib.
3.
quam ipſe 23.
facit?
In his
enim omnibus reijcit demonſtrationes antiquiſsimas Euclidis, tanquam
non Geometricas; quippe in quibus figuram vnam alteri ſuperponi conci-
pere animo oporteat: quod ipſe a Geometriæ dignitate putat eſſe alie-
num, hac ſolum inductus ratione, quòd ſuperpoſitionem illam mechani-
cum quid eſſe arbitretur, & quòd omnes fere propoſitiones hoc modo,
vt ait, poſsint demonſtrari, etiam problemata, in quibus aliquid propo-
nitur conſtruendum: atq;
in huius rei exemplum adducit propof.
2.
&
3.
1.
quæ problemata ſunt.
Hic certe Peletarium iure carpere potuiſ-
ſem, ſi id mihi fuiſſet propoſitum, vt falſo criminatur; maxime in eo, quòd
eadem ratione vſui fore exiſtimauit ſuperpoſitionem in demoſtrãdis pro-
blematibus, ac theorematibus. Nam non ſatis intellexiſſe videtur, quo
pacto Geometræ ſuperpoſitionem illam vſurpent. Neq;
enim volunt, re
ipſa faciendam eſſe figurarum ſuperpoſitionem, (hoc enim mechanicum
intellectus.
Itaque in theorematibus quidem locum habebit genus hoc
argumentaudi, in problematibus vero non. Namq;
in theorematibus,
propter magnitudinum æqualitatem, inæqualitatemve, quæ, vt nota, po-
nitur, facile intellectus cuiuſuis ſine vlla hęſitatione comprehendit, vnam
vel non excedere alteram, vel excedere, ſi animo concipiatur vna alteri
eſſe ſuperpoſita, quamuis re ipſa non fiat illa ſuperpoſitio, vt in propoſ. 4.
lib. 1.
factum eſt:
At in problematibus, in quibus magnitudinẽ quis alte-
ri æqualem conſtruere iubetur, licet mente cogitet magnitudinem propo
ſitam ttansferri in alium locum, non tamen propterea quicquam efficiet,
cum reipſa tranſlatio nulla facta ſit: Vt mirum ſit, Peletarium ſibi perſua-
dere potuiſſe, propoſ. 2.
&
3.
lib.
1.
&
alias pene omnes per ſuperpoſitio-
nem, ſiue tranſlationem linearum, figurarumve poſſe demonſtrari, ſi hoc
modo argumentandi in Geometria vti liceret. Et certe hac in re non ſo-
lum Euclidem in crimen vocat Peletarius, verum etiam Archimedem,
quo, omnium iudicio, acutior in demonſtrando, & ſubtilior fuit nemo,
eiuſque commentatorem grauiſsimum, eumque doctiſsimum Eutocium
Aſcalonitam, qui eodem argumentandi genere vtuntur in æqueponderan
tibus, immo vero & omnes Geometras redarguat neceſſe eſt, qui non ra-
ro hoc argumenti genus adhibent. Sed videamus, quò tandem egregius
hic noſter Geometra, qui omnes alios Geometras reprehendit, ſit deuo-
lutus. Viderat Peletarius, (neq;
enim rem adeo manifeſtam videre non po
terat) ſi hunc modum argumentandi è medio tollat, vniuerſam ſe Geo-
metriam funditus euertere, cum plurimæ, eæque præcipuæ propoſitiones
in Geometria demonſtrentur ex propoſ. 4.
&
8.
lib.
1.
&
ex 24.
lib.
3.
quæ quidem alio modo demonſtrari nequeunt, quam per dictam figura-
rum ſuperpoſitionem, non quidem re ipſa exiſtentem, ſed cogitatione
duntaxat, vt dixi, comprehenſam. Quò igitur ſe verteret?
quid ageret?
Excogitauit ſane rem magis à Geometria alienam, quam eſt ſuperpoſitio
Coactus enim eſt aſſerere, propoſitionem 4.
lib.
1.
eſſe de-
finitionem angulorum ęqualium, (& quis vnquam talem audiuit definitio-
nem?) atq;
adeo concedendam eam eſſe ſine demonſtratione:
propoſi-
tionem vero 8. eiuſdem lib.
principium eſſe per ſe quoq;
notum.
Quod
vt credibile magis efficiat, ita ſcribit in propoſitionem 4. lib.
1.
[_Etenim_
_nulla euidentiori Specie æqualitas figurarum dignoſcitur, quam ex laterum_
_æqualitate._] Idemque quaſi confirmat, &
repetit in propoſitionem 8.
eiuſ-
dem lib. dum ita loquitur.
[_Quis enim negauerit, duas ſuperficies eſſe æqua-_
_les, quarum latera & quantitate, &
numero ſunt æqualia?_
] Hæc Peleta-
mẽtatus eſt, ſed quę omnino falſa ſunt: vt magnopere mirandũ ſit, potuiſſe
eũ propoſitiones a Geometria prorſus alienas tam incõſiderate proferre. Scilicet verum eſt, quod philoſophi aſſerunt;
Dato vno abſurdo, cætera
conſequũtur. Aſſumpſerat enim Peletarius propoſ.
4.
&
8.
lib.
1.
pro prin
cipijs: quod quidem falſum eſt, atq;
abſurdum.
Vnde ad eas abſurditates
neceſſario deuenit, quas etiam illi, qui vix adhuc principia Geometriæ
attigerunt, vel facile vitare potuiſſent. Nam quis non videt, Rhombum,
& Quadratum, etiamſi latera habeant &
quantitate, &
numero æqualia,
poſſe tamen inter ſe valde eſſe inæqualia? Id quod in Pentagonis quoque
æquilateris, & in alijs figuris pluriũ laterum æqualium cerni poteſt:
quod
non eſt huius loci pluribus verbis explicare. Cum ergo in omnibus figu-
ris multilateris inæqualitas reperiatur, licet latera habeant & quantitate,
& numero æqualia, demonſtrandum fuit neceſſario Euclidi, æqualitatem
triangulorum colligi ex laterum ęqualitate, quandoquidem in alijs figuris
ea non colligitur. Quare neq;
propoſitio 4.
Definitio, neq;
propoſitio 8.
principium erit; ac proinde omnes propoſitiones, quæ illis nituntur, quæ
innumerabiles propemodum ſunt, corruant neceſſe eſt, niſi demonſtra-
tiones Euclidis recipiãtur in illis propoſitionibus, cum alio modo demon
Demonſtratio enim noua propof.
4.
quam Peletarius
confinxit, nihil aliud eſt, quam (vt cum Logicis loquamur) petitio prin-
cipij. Id quod perſpicuum erit cuilibet, qui eam diligentius conſiderare
voluerit. Nam in ea ſolum cõſtruitur vnum triangulum poſteriori ex duo-
bus datis æquale, immo idem, atq; hoc ipſum quidem ineptiſsime, cum
ad id præſtandum circulos deſcribat Peletarius, quibus tamen in demon-
ſtratione non vtitur, quod vitioſum omnino eſt in Geometria: Deinde
infert, triangulum hoc conſtructum, quod a poſteriori ex duobus propo-
ſitis non differt, priori eſſe æquale, ſine vlla demonſtratione; certum au-
tem eſt, hoc ab initio propoſitum fuiſſe, vt demonſtretur. Quocirca ma-
nifeſte principium petit, cum eadem facilitate ſtatim in principio conclu
dere potuiſſet, etiamſi nullam adhibuiſſet conſtructionem, triangula pro-
poſita eſſe æqualia; quippe cum conſtructio illa ad rem non faciat.
Idem
dico de demonſtratione propof. 24.
lib.
3.
quam etiam nouam confinxit:
quod eorum iudicio, ad quorum manus eius commentarij peruenerunt, re-
linquo. Prætereo alia loca innumerabilia, in quibus abutitur propoſitio-
nibus Euclidis in demonſtrando, vt quòd plerunq; ſecundam propoſ.
lib.
1. inſcite pro tertia aſſumat, &
c.
Neq;
enim mihi in animo nunc eſt, eius
commentarios examinare, ſed ſolum calumnias, quas frequentes in ſua
Apologia adhibuit, a me depellere. Quæ cum ita ſint, quod ille falsò de
me, verè ego de illo dicere poſſem, rubere me, (vt eius verbis vtar) Eu-
clidi interpretem contigiſſe, quinõ iam Theonem, aut Campanũ emẽdet,
ſed ipſum Euclidem ſine cauſa reprehendat; quippe cum ego Euclidem
(vti par eſt) a calumnijs ipſius defendam, omneſque inſidias, ac fallacias,
quas contra eum inſtruxerat, detegam ac refellam. Liquet igitur, me ea
diſsimulauerim: quos ego ne nunc quidem in lucem protuliſſem, niſi vel-
lem omnes & intelligere, quantum Peletarius a me, de quo tam acerbe
queritur, tum beneficium acceperit, & ex breui hac diſputatione fructus
aliquid, vtilitatiſque percipere. Nunc vt, quam diſpari ille animo in me
fuerit, appareat, eius calumnias breuiter exponam, atq; ita refellam ac
diluam, vt omnes oculis videant, eas eſſe calumnias: In quo tamen eiuſ-
modi a me moderatio adhibebitur, vt modeſtiæ, quæ hominem religio-
ſum decet, minime obliuiſcar. Neq;
enim illi, vti prouocauit, reſpõdebo.
PRIMVM itaq;
mihi obijcit Peletarius, quòd in eius demonſtra-
tionibus citandis ita me geſſerim, vt ſi quo modo nomen ipſius ſupprime-
re potuiſſem, id me oſtendam libenter fuiſſe facturum. Quod quam ſit fal-
ſum, facile iudicabuntij, qui meos commentarios legerint; cum vbiq;
eum
honorifice appellem, eique plurimas demonſtrationes aſcribam, tanquam
proprias, quas tamen aliter, quam ipſe, & multo breuius demonſtro, &
interdum etiã (quod maius eſt) vniuerſalius, vt liquido conſtat ex ijs, quæ
tum ad propof. 38.
tum ad propof.
45.
lib.
1.
ex Peletario demonſtraui, vt
alia interim taceam: quæ non iniuria mihi vendicare potuiſſem:
vt mirer,
quid illi in mentem venerit, id a me parum ſyncere, atq; adeo inuidioſe
factum exiſtimare, quod ego verebar, ne nimis ambitioſe factũ quiſpiam
iudicaret. Quòd vero propoſ.
16.
lib.
3.
&
in prioribus duabus definitio-
nibus lib. 5.
vt ipſe obijcit, animoſe, vt ego fateor, libere, quid de eius de-
monſtrationibus ſentirẽ, expoſui, id feci, vt iam ante dixi, non cuiuſquam
lædendi cauſa, ſed quærendæ veritatis. Ea enim eſt natura, &
conditio
eorum, qui liberalibus artibus dant operam, vt etiamſi alter alterius in-
terdum ſententiam impugnet, non tamen idcirco odijs potius, quam in-
genijs inter ſe certare videantur. Qui ſit aliorum ſenſus ignoro, equidem,
vt ſupra dixi, ita ſum animo, vt ſi quis me alicuius erroris in demonſtran-
do commiſsi admoneret, ei quam maximas gratias haberem: atq;
vt libe-
rius id facerent, enixe rogaui non paucos, & nunc iterum eoſdem, atque
etiam alios amicè oratos volo. Scio enim quam facile poſsit in ſuis quisq;
inuentis hallucinari;
video (quod ipſe quoq;
Peletarius in Apologia ſa-
pienter aſſeruit) omnibus hominibus commune eſſe, vt peccent. Deinde
quòd in additionibus ad propof. 47.
lib.
1.
eius mentionem non fecerim,
non eſt, quod ægre ferat, cum illæ propoſitiones non ſint ab ipſo inuentæ.
Quædam enim multo tempore ante ipſum demonſtratæ ſunt vel a Cam-
pano, vel a Proclo, aut Theone: quaſdam vero demonſtraui egomet, ante-
quam ipſius demonſtrationes vidiſſem; quòd adeo manifeſtæ ſint, &
faci-
les, vt nulla probatione egeant, ſed ſint inſtar corollariorum propoſ. 47.
Vt nulla prorſus laus, aut gloria illi acceſſura videretur, ſi maxime eas ab
ipſo inuentas eſſe (quod tamen verum non eſt) prædicaſſem; cum eas qui-
libet, modo primoribus labris ſtudia Mathematica deguſtarit, nullo
negotio ex illa propoſ. 47.
colligere poſsit:
Vt non videam, cur tandem
eas propoſitiones tanti ponderis eſſe dicat, cum ſint omnium iudicio leuiſ
adeo vt in pleriſque earum nec ipſe Peletarius demonſtrationem vl
lam, propter earum euidentiam, adducat, ſed eas nulla probatione egere
fateatur. Denique non eſt, quod tantopere mihi ſuccenſeat idcirco, quod
conſtructionem Pentagoni æquilateri, & æquianguli ſupra datam rectam
lineam finitam ei non tribuerim: quoniam in ea conſtructione nihil prorſus
ab eo ſum mutuatus: quod ijs dijudicandum relinquo, qui meam cum illius
conſtructione contulerint. Nam &
mea omnino diuerſa eſt, &
ille in ſua
mirifice (vt alia peccata taceam) abutitur propoſitione 9. lib.
3.
cum ex ea
probet, punctum quoddam eſſe centrũ circuli, qui nondum eſt deſcriptus. Geometra ſanè dixiſſet, punctum illud eſſe eiuſmodi, vt circulus ex eo
oſtenſæ ſunt æquales, tranſeat per extremitates reliquarum duarum linea-
rum æqualium. Nam propoſitio 9.
lib.
3.
nihil eo loco ad rem facit, cum
propoſitum ex ipſa cõſtructione poſsit cõcludi, & ex demõſtratis, vt pro-
xime dixi, etiamſi propoſitio illa vera non eſſet, aut nuſquam demonſtra-
ta. Idem peccatum committit Peletarius in omnibus propoſitionibus lib.
4.
in quibus vel intra ſiguram rectilineam, vel circa eandẽ circulus deſcri-
bẽdus eſt. Quòd ſi ideo ſum reprehẽdendus, quòd propoſitionem vnã, mul
to aliter a me, & breuius demonſtratam, ei non aſcripſerim, non video,
quo pacto in idem ipſe vitium non incurrat, cum problema hoc [_Propoſi-_
_tis duabus lineis inæqualibus, potentiam maioris ſupra mincrem cognoſce-_
_re._] multis ſeculis ante ipſum a Theone demonſtratum ſibi arroget, hac
ſolum de cauſa, vt arbitror, quòd illud alia ratione, longiore tamen, de-
monſtrauerit. Mitto hoc aliud problema, [_Dato angulo rectilineo æqua-_
_lem angulum curuilineum constituere._] quod in Apologia ſuum proprium
appellat, idemque hactenus deſideratum eſſe gloriatur; cum tamen illud
ipſum ego ex Proclo, qui multis ante eum ſeculis floruit, in defin. 5.
lib.
5.
multo breuius, & clarius demonſtrauerim.
Nam, vt eo in loco oſtendi, ſi
rectæ lineæ datum angulum rectilineum continentes ponantur æquales, &
circa ipſas duo ſemicirculi (qui æquales erunt) verſus eaſdem partes de-
ſcribantur, illico conſtitutus eritangulus curuilineus dato angulo rectili-
neo æqualis: Neque opus eſt tot ambagibus vti, quot Peletarius ad eam
rem demonſtrandam adhibet; quamuis robur demonſtrationis ipſius idem
ſit, quod meæ. Et quod magis mirandum eſt, fatetur Peletarius, ſe meam
demonſtrationem vidiſſe, & eam nihilominus ſibi audet, tanquam pro-
priam arrogare. En cur Peletarius clamet, me non paucas demonſtratio-
nes parum honeſte, vt mihi vendicem, ſibi ſubducere conatum. Quis au-
tem non videt, id eum in altero vituperare, quod ipſe ſibi glorioſum pu-
tat? Itaque multo verius, ac iuſtius eodem illum crimine ego, quàm ille
me, condemnare poſſum; cum nunquam propoſitionum illarum inuento-
rem me appellauerim, vtipſe, ſed ſolum eius nomen, obrationes a me ex-
poſitas, reticuerim.
DEINDE angulum contactus, &
acutum rectilineum eiuſdem ge-
neris eſſe, contra me pluribus verbis conatur oſtendere. Sed neſcio quo
Solum enim probat, vtrumque angu-
lum eodem genere quantitatis contineri, hoc eſt, vtrumque angulum pla-
num eſſe; quod acutus angulus rectilineus, vel etiam rectus conſtare poſ-
ſit ex angulo contactus, & alio angulo mixto:
quod neque ego, neque vllus
vnquam Geometra negauit. Ego angulos illos eiuſdem eſſe generis nega-
angulum acutum rectilineum ſuperare nequeat, vt in ſcholio propof. 6.
lib.
3.
euidenter oſtendi.
Hinc enim fit, vt alter ad alterum proportionem
non habeat, atque adeo quodammodo diuerſi generis ſint: quemadmo-
dum eadẽ de cauſa linea recta finita, & infinita non cenſentur eſſe eiuſdem
generis, cum altera ad alteram proportionem non habeat; quamuis ſub
eodem genere magnitudinis; nimirum ſub linea recta, comprehendantur.
Hoc itaque feriat, vt collimaſſe videatur: quamquam vt omnia faciat, col-
limabit nunquam; ita longè abeſt, quod eſt propoſitum.
Magnitudines au-
tem, quarum altera multiplicata alteram ſuperare nequit, non cenſeri eiu-
ſdem generis, (quod ad proportionem attinet) licet ſub eodẽ genere quan
titatis, hoc eſt, ſub longitudine, aut latitudine, aut profunditate, aut nume-
ro, collocentur, liquido conſtat ex defin. 5.
lib.
5.
vbi Euclides ſatis perſpi-
cue explicat, cuiuſmodi debeant eſſe magnitudines eiuſdem generis, inter
quas proportio reperitur. Quare viderint alij, Peletarius homo conſide
ratus quam cogitatè me incogitantem hominem appellarit; quaſi non re-
cte intellexerim, quæ magnitudines ſint eiuſdẽ generis, quæ non ſint. Nun-
quam enim dixi (id quod mihi affinxit, vt carperet) duarum magnitudi-
num, quæ ſub diuerſis quãtitatis generibus collocantur, quales ſunt linea,
ſuperficies, corpus, ac numerus, alterutram ita poſſe multiplicari, vt alte-
ram ſuperet: In quo, nẽmine reluctante, fruſtra ſeſe fatigat, vt doceat, id
fieri non poſſe; ſed de illis duntaxat magnitudinibus ſum locutus, quæ cum
in eodem genere quantitatis verſentur, diuerſi tamen generis cenſeri poſ-
ſunt: quales ſunt ſuperficies rectilinea &
curuilinea, ſiue mixta:
Itemque li
nea recta, & curua.
Hæ etenim ita differre inter ſe videntur, vt Ariſtote-
les liquido affirmarit, vnam alteri æqualem eſſe non poſſe: quod tamen (pa
ce Ariftotelis dictum ſit) verum vſquequaque non eſt; cum Archimedes
in lib. de lineis ſpiralibus demonſtrauerit, quænam linea recta æqualis poſ
ſit eſſe circunferentiæ cuiuſuis circuli dati. Non igitur negare poterit Pele
tarius, aut quiſquam alius, ab Euclide defin. 5.
lib.
5.
aliquas quantitates
a proportionis definitione excludi, diuerſique propterea eſſe quodammo-
do generis, quod ad proportionem attinet, licet in eodem magnitudinis
genere ponantur: quales ſunt angulus contactus, &
angulus rectilineus;
Li
nea item recta finita, & infinita:
Multas item magnitudines comprehendi
in eadem definitione proportionis, quas plerique excludebant; cuiuſmo-
di ſunt curuilinea ſuperficies, & rectilinea;
necnon linea circularis, &
re-
cta, vt paulo ante diximus, latiuſque in defin. 5.
lib.
5.
expoſuimus.
Verum
Peletarius, ne opinionem illam ſuam, quam de angulo contactus ſemel im-
biberat, deſerere cogeretur, noluit hanc expoſitionem quintæ defin. lib.
5.
immo eã vt oppugnet, omnes videtur in Apologia intẽdiſſe ner-
uos, oblitus ſui, ꝗ fere eodẽ modo illam defin. in quinto lib.
olim expoſue-
rat; niſi quod nõ recte inde colligit, angulum cõtactus non eſſe quantitatẽ,
propterea quod multiplicatus nullam magnitudinem, vt dicit, poſsit exce-
dere. Hoc enim (pace eius dixerim) falſum eſt.
Nam licet angulus conta-
ctus multiplicatus angulum rectiiineum non poſsit excedere, excedet ta-
men alium angulum contactus. Quare ex illa defin.
ſolum recte colligitur,
angulum contactus ad angulum rectilineum non habere proportionem
vllam; ad angulum vero alium contactus quemcunque proportionem ha-
bere. Sed ſiue ita intellexerit eam deſin.
vt ex commentarijs eius in lib.
5.
colligi poteſt, ſiue ſecus, vt in Apologia indicare videtur, non multum la-
boro: Certè ita illam eſſe intelligendam, vt expoſui, nemo, qui verba Eu-
clidis diligenter expenderit, negabit. Verum enim verò, ſi mihi fidem ha-
bere non vult Peletarius, habebit certe, (niſi arrogans haberi volet) aut
Proclo grauiſsimo ſcriptori, qui lib. 2.
in lib.
1.
Eucl, ad definitionem an-
guli plani eodem modo definitionem illam intellexit, aut Petro Nonio
Luſitano, quem tanti facit, (& merito id quidẽ:
fuit enim acerrimo vir in-
genio, & nullo hac noſtra ætate in Mathematicis inferior) vt eum vnum
pro multis millibus teſtem citet, & ſuarũ demõſtrationum approbatorem,
qui diſertiſsimis verbis tum in libro de Erratis Orontij, tum in Algebra
ſua, illam definitionem explicat, vt a me eſt expoſita: quinetiam ibidem
aſſerit, ex ea defin. colligi, angulum contactus ad angulum rectilineum, &
lineam finitam ad infinitam nullam habere proportionem; vt Petrus No.
nius, quem teſtem produxerat pro ſe Peletarius, iam pro me teſtimonium
dicat. Atque ex hiſce duobus locis Petri Nonij facile quiuis intelliget,
quam ſine ratione, quanto contradicendi ſtudio mihi inſultet Peletarius,
cum ſemel atque iterum odioſe percontatur, vndenam potuerim illi lineã
inſinitam deportare. In idem enim crimen (ſi crimen eſt, lineam infinitam
exempli cauſa nominare) vocat etiam Petrum Nonium teſtem ſuum, at-
que adeo omnes philoſophos, quorum eſt illa vox nemini inaudita, præ-
terquam Peletario, finiti ad infinitum nullam eſſe proportionem. Deſi-
nat igitur a me ſciſcitari, vnde lineam infinitam deportauerim: Inde enim
reſpondebo, vnde eam Petrus Nonius, vnde philoſophi omnes deporta-
runt. Quid?
nonne ſophiſma illud Peletarij, ſemper in hoc erro, demon-
ſtratio illa, volui dicere, & quidem palmaris, qua conatur oſtendere, pro-
poſitionem 1. lib.
10.
cum propoſ.
16.
lib.
3.
ſtare non poſſe, ſi angulus con-
tactus concedatur eſſe quantitas, a Petro Nonio Peletarij cognitore ea-
dem prorſus ratione, qua a me ipſo, confutatur? Quæ ſi germana demon-
ftratio eſt, miror quid ſit, cur eã Nonius Geometriæ ſcientiſsimus, idemq;
Peletarij approbator, minus probarit: Cur nihilo magis demouſtrationes
eiuſdem, quibus planum ſacit, (vt putat) angulum contactus quantitatem
non eſſe, eundem illum Nonium nihil admodum mouerint? Id enim (niſi fal
lor) illa Nonij verba [_Si quis ſententiam Peletarij de angulo contactus am-_
_plecti velit._] declarant.
Nam ſi demonſtrationes exiſtimaſſet, profecto Pe-
ſtrationes eiuſmodi ſunt, vt aſſenſum extorqueant, ac dubitationem om-
nem excludant, nulloq; modo quempiam ſinant ancipiti opinione diſtra-
hi ſic, vt tum aſſentiatur, ſi velit, tum, ſi nolit, diſſentiat. En cur Peletarius
Nonij teſtimonio aliorũ iudicia cõtemnat, en pręclarum teſtimoniũ, quod
Petrus Nonius eius demonſtrationibus dedit: quò æquiore animo ferat,
eas a me nihilo magis, quã ab illo ſuo approbatore, demõſtrationes putari.
Tertio, quòd exiſtimare dixi Peletarium, angulum contingen-
tiæ nihil eſſe, falſum eſſe, clamat: Nuſquam enim dixiſſe ſe, nihil eſſe, ſed
quantitatem non eſſe. Ita ne vero?
at in prædicamento Quantitatis, quod
neque eſt punctum, (quis enim inclinationem illam punctum eſſe dixerit?) neque quantitas, quo alio nomine vocetur, quam Nihil?
Sed vt vt dixit,
profecto non modo mirabile eſt, ſed monſtri in Geometria fimile, putare
angulum contactus non eſſe quantitatem, qui poſtea additus alijs angulis
efficiat curuilineum angulum rectilineo æqualem. Quis enim vnquã Geo-
metrarum id, quod quantitas non eſt, magnitudini adiunxit, vt æqualem
eam alteri efficeret? Prætereo, quod figura trilatera curuilinea intra tres
circulos ſe mutuo tangentes concluſa nullum haberet angulũ ex Peleta-
rij ſententia; quia tres illi contactus, anguli non ſunt:
cum tamen tribus di-
uerſis lineis contineatur; quod omnino nouum eſt, &
inauditũ apud Geo-
metras. Itemque, ſi quatuor, aut plures circuli ſe mutuo tangerent, vt fie-
ret figura curuilinea quadrilatera, vel plurium laterum, illa nullum angu-
lum haberet. Atque etiam, ſi duæ lineæ rectæ angulum continentes, vnum
eundemque circulum tangerent, trilatera illa figura habens tertium latus
curuum, vnicum tantum haberet angulum. Quæ omnia ſi ſunt abſurda,
conſentanea non eſt opinio Peletarij. Sed nimis fortaſſe multa ad Nihil
illud Peletarij euertendum, ad quod tuendum ille nihil afferat. Quoniam
vero, ne pro Nihilo ſuo nihil agere videatur, quando res non poteſt, mea
verba carpit, verba defendam: quæ quidẽ ille neſcio quibus præſtigijs ita
deprauat, vt dicere videar, nihil eſſe minus quocũq; angulo:
atq;
(vt ſim-
plicem, credo, hominẽ irretiat) quærit ex me, quod tãdem genus ſermonis
ſit illud. Viderit is, cuius ex officina prodijt.
Neque enim ego eiuſmodi
ſermonem agnoſco, qui, nihil eſſe minus quocunque angulo, nuſquamdi-
xerim, niſi ex ſententia Peletarij. Sed videlicet homo vehemens, vt ſuum
illud Nihil vlciſceretur, aliud mihi nihil affinxit, quo cum impune pugna-
ret: At quam palæſtrice pugnat?
quam ſibi placet hoc loco, dum meum il-
lud argumentum, quo petitus fuerat, in me ipſum mira venuſtate conuer-
tit? Sic enim argumentatur.
[_Angulus contactus nihil eſt:
Angulus conta-_
_ctus angulo contactus maior eſt. Angulus igitur maior nihilo eſt:
Atqui Cla_
_uius eundẽ ponit minorẽ nihilo. Eſt igitur angulus contactus nihilo maior, et_
_idẽ nihilo minor_] Mox quaſi Nihil illud ab ſe effictũ iugulaſſet, exclamat.
[_En Clauy argumenta, quæ vtrum tandem Peletary ſophiſmata ſunt, an_
_Clauij potius ſigmenta, cum ipſe ſuum angulum contactus nihil eſſe dicat,_
_non ego?_] Verum vt hominem fæneum, atque adumbratum nequicquam
ſit. Ego vt oſtenderem, angulum contactus, ex Euclidis ſententia, verè eſ-
ſe angulum, & angulum ſemicirculi angulo recto rectilineo minorem, ita
ſum argumentatus. Si Euclides ſenſiſſet, angulum contactus nihil prorſus
eſſe, (hoc eſt, vt Peletarius intelligit, non eſſe angulum, vel non eſſe quan-
titatem) & angulum ſemicirculi æqualem recto rectilineo;
quid, obſecro,
tantopere deſudaſſet, vt demonſtraret, angulum contactus eſſe minorem
omni acuto rectilineo, angulum vero ſemicirculi maiorem? Quid enim cla
rius, quàm nihil, cuiuſmodi eſt angulus contactus, ex Peletarij ſententia,
hoc eſt, quàm id, quod quantitas non eſt, minus eſſe quocunque angulo? Quid rurſus magis perſpicuum, quàm angulum rectum, qualem ponit Pe-
letarius angulum ſemicirculi, maiorem eſſe quolibet acuto? Agnoſcat
itaque Peletarius, Nihil illud ſuum male à nobis acceptum, idque ita
vlciſcatur, vt meum hoc argumentum refellat: in quo ego ſi angulum
contactus dixi eſſe nihil, & non potius eum nihil eſſe aſſerui ex ſenten-
tia Peletarij, libenter manus dabo. Videtur Peletarius aut non intelle-
xiſſe meum argumentum, aut intelligere noluiſſe: niſi eum quis dicat, de-
dita opera verba mea voluiſſe cauillari; quod &
plerisque alijs in locis
facere videtur. Nunquam enim dixi, angulum contactus minorem eſſe, aut
maiorem nihilo: Solum affirmaui, angulum contactus quemcunque mino-
rem eſſe, aut maiorem aliquo alio angulo contactus, quem non ego dixi
nihil eſſe, ſed Peletarius, eundemque Euclides minorem quolibet acuto
rectilineo recte demonſtrauit. Vt autem intelligat Peletarius, me, quod
ipſe negat, didiciſſe Dialecticam, illum ipſum tam lepidum, atque acu-
tum ſyllogiſmum, quo Nihil illud ab ſe cõfictum mira venuſtate confixit,
pauliſper conſiderabimus; vt quàm ſuo iure Dialecticæ ignaros alios vo-
cet, appareat. Nam mihi quidem male tornatus ille ipſe ſyllogiſmus vide-
Etenim cum verſetur in tertia figura, in eo ma-
ior extremitas, (vt Dialectici loquuntur) quæ eſt, Nihil, de minori, quę eſt,
angulo contactus maior, in recto prædicari deberet, hoc pacto. Angulus
contactus nihil eſt: Angulus contactus angulo contactus maior eſt.
Igitur
aliquid, quod angulo contactus maius eſt, nihil eſt. Quæ quidem con-
cluſio recte ſequitur ex præmiſsis, quarum prior Peletarij eſt, non mea,
poſterior autem mea, & Procli, immo &
Euclidis.
Concluſio autem illa
Peletarij, Angulus igitur maior nihilo eſt, nulla ratione ex præmiſsis in-
ferri poteſt. Nam ſi, angulum cum dicit, intelligit Peletarius angulum con
tactus, aſſumitur medius terminus, qui in vtraq; præmiſſa ſubijcitur:
quod
nefas eſſe, Ariſtoteles in prioribus Anal. &
Dialectici omnes clamant.
Si
autem alium angulum intelligit, aſſumitur in concluſione terminus, cuius
nulla facta eſt mentio in præmiſsis: quod nihilo magis licere, nemo eſt tam
plumbeus in Dialecticis, qui neſciat. Neque contendat Peletarius, men-
tionem factam eſſe anguli in minore extremitate, vbi dictum eſt, angulum
contactus angulo contactus maiorem eſſe. Nam angulus in minore extre-
mitate poſitus eſt in obliquo, qui in concluſione ſubijcitur in recto: quod,
Quod vt planum fiat, vtemur ea palæſtra, quam ab illo didicimus.
Si quiſ-
piam ita argumentetur; Angulus in ſemicirculo rectus eſt:
Angulus in ſe-
micirculo angulo acuto maior eſt. Angulus igitur acutus maior recto eſt;
quis, modo ſit imbutus Dialecticis, eiuſmodi argumentationem probet,
cum præmiſſæ veræ ſint, concluſio autem falſa? Talis ille ſyllogiſmus
eſt Peletarij, qui apud imperitam multitudinem alter Chryſippus videri
voluit. Concluſio, quæ recte ex præmiſsis inferretur, hæc eſſet.
Igitur ali-
quis angulus, qui acuto maior eſt, rectus eſt. Sed tamen ei veniam dandam
puto, quòd ſe Geometricum Dialecticum, ex alio quodam Dialecticorum
genere, profitetur, cuius ego me Dialecticæ, ſi ab Ariſtotelica abhorret,
planè fateor ignarum. Fatetur deinde Peletarius, ſe non intelligere, quo
pacto dicere poſsim, angulum rectilineum minimum dari non poſſe, & ta-
men angulum contactus eſſe omni acuto rectilineo minorem, (ipſe, vt ali-
quid addat de ſuo, dicit, omni minimo acuto rectilineo minorem; cum ta-
men verbum illud, minimo, ego non addiderim) cupitque ſcire, quid aliud
ſit, angulum contactus minorem eſſe omni rectilineo acuto, quàm angu-
lum contactus eſſe acutorum rectilineorum minimum. Qua in re morem
geram homini non grauate, etſi è ſcholio ad propoſ. 16.
lib.
3.
potuit id,
quod cupit, cognoſcere. Nempe ea ratione me illud potuiſſe dicere, qua
dicimus, angulum obtuſum rectilineum minimum dari non poſſe, & tamen
angulum rectilineum acutum eſſe omni obtuſo rectilineo minorem. Item
quemadmodum aliud eſt, angulum rectilineum acutum minorem eſſe om-
ni rectilineo obtuſo, quàm angulum rectilineum acutum eſſe obtuſorum
rectilineorum minimum: propterea quod angulus acutus non eſt obtuſus,
ſicut nec angulus contactus rectilineus eſt, aut acutus. Id quod etiam cla-
riſsime docet Proclus lib. 2.
in primum Eucl.
ad defin.
anguli recti, obtuſi,
& acuti.
Sed hæc puerilia ſunt, &
quæ magis ad Grammaticos ſpectent,
quàm ad Geometras. Quòd etiam, ne librum meum parum ſpiſſum vide-
rer feciſſe, ſuas demonſtrationes ad verbum me recitaſſe queritur, id in me
reprehendit, quod ego in ipſo deſidero. Id enim eo a me conſilio factum
eſt, vt omnes plane viderent, ſyncere me, ac fideliter eius opinionem retu-
liſſe, nullumq; omnino verbũ immutaſſe.
Quod vtinam in meis verbis reci
tãdis ipſe facere in animum induxiſſet. Multo enim minus ſpiſſam Apolo-
giam ſuam facere potuiſſet. Nam ego, quid erat, cur laborarem meum li-
brum Peletarij verbis magis ſpiſſum efficere? Qui enim parum ſpiſſum iu-
dicarem librum eum, qui nec raras, nec inanes in libros omnes Euclidis
commentationes contineret, cum Peletarius ſuum librum, qui ſex prio-
rum duntaxat librorum demonſtrationes complectitur, ſatis ſpiſſum ſit ar-
bitratus? Sed eo ſum æquior Peletario, quòd ex ſe alios iudicat.
Nam in
Apologia ſua, ne inanis rerum videretur, tres demonſtrationes nihil pe-
nitus ad eam pertinentes inferſit: quarum priorem immeritò ſuam pro-
priam facit, vt ſupra dixi: poſteriorem vero, quam mirum in modum glo-
riatur ſe clariorem feciſſe, ego & longè breuius, &
dilucidius (niſi meorum
lo meo de dimenſionibus magnitu dinum apparebit. Sed licuerit Peletario
ſuæ A pologię, ne incomitata prodiret, nouo more comites ac pediſſequas
adiungere: mihi cur non liceat, quod omnibus ſemper licuit, aliorum ſen-
tentias totas meis ſcriptis intexere? Autigitur omnes reprehendat, atque
in primis Petrum Nonium laudatorem ſuum, qui idem fecit in refellen-
dis paralogiſmis Orontij, aut ſine cauſa id ſe mihi vitio dediſſe fateatur. Quòd ſi, poſtquam tam fideliter eius verba propoſui, Peletarius crimi-
natur, me eius ſententiam perperam eſſe interpretatum, quid facturus fuiſ-
ſet, ſi alienis verbis eius opinionem in medium adduxiſſem? Equidem fa-
cile ſibi perſuadebit quis, nullum eum verbum relicturum fuiſſe, quod
non reprehendiſſet.
QVARTO vt leuiora hæc omittat, illud putat palmare, quòd me
laborare oſtendit, vt probem, angulos cõtactus alios alijs eſſe inæquales: propterea quòd ſcripſi, æqualitatem angulorum eiuſdem generis require-
re eandem inclinationem linearum, ita vt lineæ vnius conueniant omni-
no lineis alterius, ſi alter alteri ſuperponatur, iuxta octauum pronuncia-
tum. Qua in re dupliciter me peccare ait.
Primum quod dicam, ad æqua-
litatem angulorum eiuſdem generis requiri eandem linearum inclinatio-
nem; cum tamen angulus rectilineus oſtenſus ſit a me æqualis circuilineo,
atque adeo eiuſdem generis cum illo, licet non ſit in vtroq; eadem linea-
rum inclinatio. Deinde quod putem angùlos contactus ideo inter ſe in-
æquales eſſe, quòd ſibi mutuo non congruant. Equidem ſi quid in eo a me
peccatum eſſe intelligerem, & peccatum (quod eſt ingenuo, &
liberali-
ter educato homine dignum) agnoſcerem, & Peletario correctori, &
emendatori meo (quo cunque id animo fecerit) gratias agerem. Nunc ve-
ro, cum, totare etiam atque etiam conſiderata, nihil omnino vitij ineſſe
videam, ita, quæ obijciuntur, diluam, vt tamen gratiam habeam Peletario,
qui occaſionem dedit eius loci diligentius explicandi. Ego igitur eo loco
intellexi angulos eiuſdem generis illos, qui vnam lineam habent rectam,
& alteram circularem, quales ſunt anguli contactus, &
ſemicirculorum,
de quibus tunc agebamus. Quare cum linea recta vnius congruat lineæ
rectæ alterius, circularis vero circulari non itẽ, niſi circuli ponantur æqua-
les, efficitur, angulos illos eſſe inæquales inter ſe, quippe cum alter alte-
rum excedat. Eadem ratione, ſi dentur duo anguli curuilinei æqualium
circulorum æquales, neceſſe eſt, lineas vnius lineis alterius congruere, ſi
alter alteri ſuperponatur. Quòd ſi Peletarius hanc doctrinam oppugnat,
ſciat, ſe iam bellum mouere non mihi, ſed Proclo, qui lib. 3.
in primum
Eucl. ad propoſ.
4.
idem prorſus docet, quod ego.
Ait enim [_Angulorum_
_autem æqualitatem ſumemus iuxta conuenientiam laterum in rectilineis,_
_in cæterisque omnibus, qui eiuſdem ſunt speciei, vt in Lunaribus, in Syſtroi-_
_dibus, atque in vtrinque conuexis, &c._
] Et infra.
[_Quæ æqualia data ſunt,_
_ſibi inuicem congruunt. Hoc autem non in omnibus veru eſt, ſed in ys, quæ_
_ſpecie ſimilia ſunt. Specie autem ſimilia hæc dico, vt recta linea rectæ lineæ,_
circunferentia circunferentiæ circuli eiuſdem, &
anguli, qui à ſimili-_
_bus ſimiliter iacentibus lineis comprehenſi ſunt. Horum autem dico, quòd_
_quæ æqualia data fuerint, ſibi inuicem congruũt._] Nonne luce clarius ex his
colligitur, Proclum illos ſolum angulos contactus concedere æquales,
quorum rectæ lineæ, & curuæ ſibi mutuò congruunt?
Temere igitur Pele-
tarius mihi obijcit angulum rectilineum & circuilineum, triangulum &
quadratum, atque alia huiuſmodi, de quibus eo loco ſermo non erat; quip-
pe quæ non ſint eiuſdem ſpeciei, atque adeo æqualitatem tueantur, etiamſi
alterum alteri non congruat. Vtiam vereri incipiam, ne Peletarius noſter
contentionis ſit cupidior, quàm veritatis.
POSTREMO, vt nihil intactum relinquat, me non modo Geo-
metriæ ignarum vocat, ſed etiam Logices: propterea quòd lib.
5.
dixi, non
recte à quibuſdam diuidi Proportionem rationalem in proportionẽ æqua-
litatis, atque inæqualitatis? quòd multæ proportiones inæqualitatis ſint
etiam irrationales. Ego vero (etſi non is ſum, qui mihi quicquã vllo in ge-
nere arrogem) tamen in hiſce ſtudijs, in quibus mediocriter verſatus ſum,
planè rudem non eſſe, præ me ſemper tuli. Quantulum autem ſit id, quod
in vtroq; poſſim, cæteri melius, qui vacant amore, &
odio, iudicabunt;
Pe-
letario quidem ipſi ita me adhuc reſpõdiſſe arbitror, vt iam minus fortaſſe
ignarus Geometriæ, ac Dialecticæ videar, quàm putarat. Nunc, vt perſpi-
ciat, neq; me pertinacem eſſe, neq;
illa, quæ exagitat, à Dialecticorũ præ-
ceptis abhorrere, libẽter ei concedo, diuiſionẽ illam, quam à me reprehen
ſam criminatur, probã eſſe, ita tamen, ſi in quolibet diuiſionis membro Di-
uiſum intelligatur: neq;
vero hoc vnquã negaui, cum alibi ſimiles diuiſio-
nes vſurpem. Solũ id eo loci contẽdi, rectius meo iudicio, diuidi Propor-
tionem in vniuerſum duplici diuiſione, priori quidem in proportionem ra
tionalem, & irrationalem;
poſteriori vero in proportionẽ æqualitatis, atq;
inæqualitatis, (quod veriſsimum eſſe, neminem negaturum cenſeo, qui
rem diligentius expenderit) cum tam priora duo membra diuidẽtia, quam
poſteriora totum Diuiſum (vt Logici loquuntur) exhauriant: quam ſi
prius membrum prioris diuiſionis, hoc eſt, proportio rationalis, ſecetur in
proportionem æqualitatis, & inæqualitatis, cum hæc membra diuidentia
latius pateant, quam Diuiſum, niſi in illis Diuiſum intelligatur. Atque eò
magis duplex illa diuiſio mihi probatur, quòd non deſint, qui primum par-
tiantur Proportionem in proportioneẽ æqualitatis, & inæqualitatis;
poſte-
riorem deinde hanc in proportionem rationalem, & irrationalem:
contra-
rio ſcilicet modo, quàm priores. Vt igitur hanc controuerſiam dirimerem,
ac dubitationem, vtri rectius faciant, priores ne an poſteriores, tollerem,
ſt atui duabus diuiſionibus ſecandam eſſe Proportionem, quarum vtraque
abſolutiſsima eſt, ac perfectiſsima. Non aliter arbitror, omnes magis eſſe
probaturos, ſi corpus duplici diuiſione ſecetur, primum quidem in viuens,
& non viuens;
deinde vero in album, nigrum, ac mixto colore affectum:
quam ſi corpus viuens diuidatur in album, nigrum, ac mixto colore affe-
ctum; ob cauſam iam dictam:
licet hęc ſubdiuiſio bona ſit, ſi Diuiſum ſem-
Huiuſmodi diuiſiones ſexcentas adducere poſſem:
ſed ſa-
tis eſt, me prudenti lectori inſtitutum meum in diuiſione Proportionis ex-
poſuiſſe, & cur duplicem illam diuiſionem ſubdiuiſioni aliorum prætule-
rim. Quòd ſi tam acres, &
ſeueri iudices ſingulorum verborum aut impro-
prietatum, quæ per incogitantiam interdum excidunt, eſſe velimus, næ
ſcriptorum nullus aliquo vitio carebit, neque ipſe quidem Peletarius, vt
partim ex ijs, quæ dicta ſunt, conſtat, partim etiam ex alijs eius demonſtra-
tionibus apparere poteſt: quas ſi liberet ad certam illam Dialecticorum
normam exquirere, profecto reprehendendi materia non deeſſet. Verum
non eſt hoc noſtri conſilij, refellendi ſtudio vitia aliena ſcrutari, ſed vbi ſe-
ſe occaſio obtulerit, meam (qualiſcunque eſt) de aliorum ſententijs ſenten-
tiam exponere: Solum ab eo peto, (quoniam ſe tam acutum Dialecticum
iactat, vt alios contemnere videatur; quanquàm ex ſuperiore ſyllogiſmo,
quem in me conuertit, liquido conſtat, quam ſit Dialecticæ peritus) ex qua
Logica hanc argumentationem hauſerit; Omnes anguli contactus ſunt mi-
ergo omnes inter ſe ſunt æquales.
Itemque hanc;
Anguli ſemicirculorum, quò a maioribus circulis fiunt, eò
ſunt maiores: igitur tandem ad aliquem perueniemus, qui recto rectilineo
maior ſit; in qua quidem ad Cardanum ſcribit, nullum eſſe paralogiſmum.
Ego ſane vehementer miror, qua ratione in tam apertas hallucinationes,
& viro Geometra omnino indignas, incidere potuerit.
Sed argumentatio-
nes eiuſmodi ſatis ſuperque in ſcholio propoſ. 16.
lib.
3.
a me ſunt confu-
tatæ, adductis contra ipſas euidentiſsimis inſtantijs. Deinde quòd me per-
ſtringit, quaſi parũ intellexerim, quæ ſit proportio rationalis, & quæ irra-
tionalis, non multum laboro. Conſtat enim eum ſtudio mihi detrahendi
id dixiſſe; cum has proportiones vbique ex ſententia grauiſsimorum ſcri-
ptorum definierim: neque vero ipſe, vllum peccatũ a me ea in re eſſe com-
miſſum, poterit oſtendere. Certe commentarius meus in lib.
10.
Eucl.
abun-
de declarat, numillas intellexerim, nec ne. Denique quòd criminatur, me
in deſinitionibus lib. 5.
proportionis nomen confundere cum Rationis no-
mine, nullo modo verum eſt. Perſpicuis enim verbis docui in defin.
4.
lib.
5. me in commentario comparationem duarum quantitatum Proportio-
nem cum pluribus Geometris appellaturum, habitudinem autem propor-
tionum, Proportionalitatem; licet in textu cum interprete illam dicam Ra
tionem, hanc vero, Proportionem. Neque enim quicquam in textu Eucli-
dis volui immutare. Itaque nulla in meis verbis poteſt eſſe ambiguitas.
EX HIS, quæ diximus, ſatis (vt opinior) apparet, doctiſsimos illos vi
ros, de quibus initio memini, non ſine cauſa Apologiam Peletarij inanem,
ac reſponſionis indignam iudicaſſe. Ego tamen, ne contemnere hominem
viderer, quem ſemper laudandum eſſe duxi, occaſione inuitatus reſponden
dum amice putaui. Exiſtimet ille, angulum contactus quantitatem non eſ-
ſe, atque adeo angulum ſemicirculi recto rectilineo eſſe æqualem, ego cer-
te contrariam ſententiam tuebor, donec aliud mihi demonſtratum ab ali-
quo fuerit; rationes enim Peletarij fallaces ſunt, nihilque continent in ſe
16.
lib.
3.
oſtendi, vbi omnes diſſolui:
neque meis ipſe ſolutionibus vel vnum verbum (exceptis ijs, quæ ſupra
ex lib. 10.
adduxi) reſpondit;
quod tamen maxime ad Apologiam pertine-
bat: Vt non ſine cauſa permulti exiſtimauermt, eum non veritatis ſtudio
eam Apologiã ſcripſiſſe, ſed ne veritati ceſsiſſe videretur. Nec vero quiſ-
quam putet, me vnum exiſtimare, angulum contactus vere eſſe angulum,
& angulum ſemicirculi recto rectilineo minorem.
Multos enim eius rei
trum Nonium, & (vt Nonius refert) Archimedem, atque Iordanum:
quin
etiam (quod plurimi facio) Euclidem ipſum, eiuſque commentatorem ce-
leberrimum Proclum; vt taceam ex Gallis præſtantiſsimos, atque eru-
ditiſsimos viros non paucos, è quorum numero in primis eſt Franciſcus
Candalla ex illuſtriſsima Fluſſatum familia oriundus, qui inſigne volumen
in elementa Geometrica Euclidis edidit, vbi ad propoſ. 16.
lib.
3.
apertiſ-
ſime docet, angulos contingentiæ verè eſſe angulos, ex definitione anguli
plani, aliosq; alijs eſſe maiores, æquales, ac minores:
Eos autem, qui aliter
ſentiũt, (Peletariũ proculdubio intelligit. Præter eum enim ad hunc diem
nemo hac de re ſcripſit) abſurde multa ex falſis ſuppoſitis concludere af-
firmat. Huc accedat etiam Henricus Monantholius Mathematicarum ar-
tium profeſſor regius qui, cum Apologiam Peletarij in me conſcriptam
vidiſſet, opuſculum eruditum aduerſus Peletarium de angulo contactus
edidit. Vt autem ſtudioſus lector videat, quid in hoc negotio ſentiat Pro-
clus, afferam in mediũ pauca quædam ex eius commentarijs in lib. 1.
Eucl.
quæ obiter notaui, &
ex quibus liquido conſtabit, eius ſententiam eſſe Pe-
letarij commento prorſus contrariam. Primum itaque ita ſcribit lib.
2.
in
ad definitionem anguli plani.
[_Duænamque circunferentiæ_
_ſe inuicem ſecando, vel ſeſe contingendo, angulos efficiunt. Quinetiam àre-_
_cta linea, & conuexa circunferentia angulus continetur, vt Cornicularis._
]
Intelligit autem nomine Cornicularis anguli angulum contactus mixtum. Paulo enim ante dixerat, angulum Cornicularem eſſe omni rectilineo mi-
norem: quod ſolius anguli contactus proprium eſt.
Deinde in eodem lib.
ad definitionem anguli recti, obtuſi, & acuti ita habet.
[_Cornicularis nam-_
_que angulus omni recto eſt minor, quandoquidem & acuto, nec tamen acu-_
_tus eſt: Semicir cularis itidem quocunque recto est minor, acutus tamen non_
_eſt._] Quid clarius, quam Proclum hic aſſerere, angulum ſemicirculi mino-
norem eſſe recto? Rurſus lib.
3.
ad propoſ.
4.
lib.
1.
Eucl.
ita ſcribit.
[_Addi-_
_ſcemus enim, quòd angulus Cornicularis acuto ſemper inæqualis eſt, & nun-_
_quàm æqualis: Et ſemicir cularis ſimiliter, tranſitusque à maiori ad minus_
_non omnino per æquale fit._] En quam aperte docet, angulum ſemicirculi
æqualem eſſe non poſſe angulo rectilineo, tranſitumque propterea fieri a
maiori ad minus non per æquale: quorum vtrumque Peletarius negat, au-
detque poſterius appellare paralogiſmũ. Denique in eodem lib.
3.
ad pro-
poſ. 23.
hæc verba habentur.
[_Cum autem nullus angulus mixtus rectilineo_
_æqualis eſſe poſsit, &c._
] Et Peletarius tamen non dubitat angulum ſemi-
cli ſententiam, Ex his liquere arbitror, vt de cæteris taceam, idem ſentire
Proclum de angulo contactus, & ſemicirculi, quod ego contra Peletarium
ſcripſi: quis autem neget, maiorem eſſe auctoritatem, meliora argumenta
Procli, quam Peletarij?
OBITER quoque hoc loco monendum lectorem cenſeo, id, quod
Procli do-
cui, verum etiam eſſe de angulo cõtactus, qui in conicis ſectionibus effici-
tur, nimirum in Parabola, Hyperbola, & Ellipſi.
Vt enim Apollonius Per-
gæus demonſtrat lib. 1.
propoſ.
32.
in locum, qui inter coni ſectionem, &
rectam lineam tangentem interijcitur, altera recta linea non cadit; atque
adeo angulus ille contactus minor etiam eſt omni acuto rectilineo, & re-
liquus angulus ex recto (ſi nimirum ex puncto contactus ad lineam tan-
gentem excitetur perpendicularis) omni acuto rectilineo maior. Si igitur,
vt opinatur Peletarius, angulus contactus quantitas non eſt, (eadem enim
hic eſt ratio, quæ in circulo) erunt omnes anguli contactus inter ſe æqua-
les, hoc eſt, vt ipſevult, non inæquales, & reliquorum angulorum ſingu-
li recto rectilineo æquales. Vbi ſanè maior abſurditas apparet, quo ad ſen
ſum, in Ellipſi, quæ perexiguam habeat latitudinem, & in Hypeibola, quæ
ferè linea recta eſſe videatur. Valde enim inæquales cernuntur anguli ad
verticem Ellipſis, & Hyperbolæ conſtituti;
vt incredibile omnino ſit, ni-
ſi firma ratione demonſtretur, angulos illos contactus ad vertices ſectio-
num conſtitutos inter ſe, & reliquos ex rectis inter ſe quoque eſſe æqua-
les; propterea quod in ea Ellipſi linea tangens magis recedere perſpicia-
tur a circunferentia Ellipſis, quam in circulo; in illa vero Hyperbola mi-
nus. Sed hæc alio tempore examinanda relinquamus:
nunc ad interruptam
expoſitionem definitionum reuertamur.
ANGVLVS ſphæricus rectus eſt, quem in
rum ſeſe ad angulos rectos ſecantium, id eſt, quo-
rum alter ad alterum rectus eſt, continent.
ANGVLVS ſphæricus obtuſus eſt, qui re-
cto maior eſt.
ACVTVS verò, qui minor eſt recto.
_CONSTITVITVR_ angulus ſphæricus rectus ad punctum datum in dato ar-
per polum dati arcus (qui
per propoſ 21. lib 1.
Theod.
inuenitur) circulus maximus deſcribatur.
Huius enim cir-
culi circunferentia cum arcu dato angulum rectum conſtituet; cum circulus hic ad
circulum illius arcus ſit rectus. Si vero per datum punctum deſcribatur arcus circuli
cu angulos inæquales, obtuſum vnum, & alterum acutum.
TRIANGVLVM ſphæricum eſt, quod tri
ſuperficie continetur.
_HOC_ autem eſt vel æquilaterum, ſi omnes arcus æquales fuerint;
vel Iſoſceles,
ſi duo arcus tantum fuerint æquales; vel denique Scalenum, ſi omnes arcus inæqua-
Itemq́;
vel rectangulum, ſi aliquem angulum habuerit rectum;
vel obtuſangulum, in quo angulus aliquis fuerit obtuſus;
vel denique acutangulum,
ſi omnes anguli fuerint acuti: quemadmodum de rectilineo triangulo dixit Euclides.
_Hoc_ tamen diſcrimen reperitur inter triangulum rectangulum, obtuſangulumque
rectilineum, & ſphæricum, quòd in rectilineo reliqui duo anguli neceſſario ſint acu-
ti, propterea quòd duo anguli quomodolibet ſumpti minores sũt duobus rectissin ſphœ
vel obtuſi, vel alter ſaltem, vt ex demonſtrationibus ſequentibus perſpicuum fiet.
ARCVS anguli ſphærici eſt arcus circuli ma
ximi, cuius polus eſt in ipſo angulo, inter duos ar-
cus angulum ſphæricum comprehendentes inter-
ceptus.
_QVIA_ vero polus circuli maximi quadrante maximi circuli ab eo abeſt, fit, vt
arcum anguli poſi-
Quare ſi angulus ſuerit rectus, arcus anguli erit quadrans;
ſi
acutus, quadrante minor; ſi denique obtuſus, maior quadrante:
&
contra.
Vt propoſ.
26, demonſtrabimus.
COMPLEMENTVM arcus eſt exceſſus,
COMPLEMENTVM anguli ſphærici di
ſuperat, vel ab eo ſuperatur.
SINVS, Tangens, &
Secans alicuius anguli
ſphærici eſt ſinus, tangens, & ſecans illius arcus,
qui arcus anguli dicitur.
DATIS duobus arcubus circulorum ma-
ximorum in ſuperficie ſphæræ inæquali-
bus, quorũ neuter ſemicirculo maior ſit,
de maiore æqualem minori arcum detrahere.
SINT duo arcus circulorum maximorum inæquales AB, CD, quorum
maior ſit CD; oporteatq́ue ex ma
iori CD, minori AB, æqualem de-
trahere. Ducta recta AB, applice-
Dico arcum ablatum CE, æqua-
lem eſſe arcui minori AB. Cum
enim circuli arcuum AB, CD,
maximi ſint, & propterea æqua-
les; auferent rectæ æquales AB,
CE, arcus æquales AB, CE: quòd
Datis igitur duobus arcubus cir-
culorum, &c.
Quod erat faciendum.
IN omni triangulo ſphærico, latus quodcun-
que minus eſt ſemicirculo.
SIT triangulum ſphæricum ABC.
Dico quodcunque latus ſemicir-
culo eſſe minus. Productis enim arcubus BA, BC, donec conueniant in D, vl
C, erunt arcus BAD, BCD, ſemicirculi;
cum circuli maximi ſe mu-
Quare tam arcus BA,
Eodem modo,
productis arcubus AB, AC, oſtendemus ar
cum AC, ſemicirculo eſſe minorem. Con-
uenient autem arcus BA, BC, producti vl-
tra puncta A, & C, propterea quòd ſphæ-
ricos angulos faciunt cũ arcu AC, ſuntq̀; omnes tres arcus portiones circulorum ma
ximorum, qui ſe mutuo ſecant in punctis
A,B, C, non autem tangunt. Hinc enim
fit, vt vterque arcus BA, BC, productus arcum AC, productum ſecet in pun-
ctis A, C, vt ex defin. conſtat;
ac proinde inter ſe coeant vltra puncta A, C.
In
omniergo triangulo ſphærico, &c.
Quod erat demon ſtrandum.
SIT triangulum ſphæricum ABC.
Dico duo quælibet latera, vt AB, AC,
maiora eſſe latere BC. Si enim triangulum eſt æquilaterum, manifeſtum eſt
duo ſimul dupla eſſe reliqui, atque adeo maiora. Quod ſi alterum laterũ AB,
AC, æquale ſit lateri BC, vel maius,
maius, perſpicuum
quoque eſt, duo latera AB, AC, ma-
iora eſſe reliquo BC. Si vero vtrum-
que latus AB, AC, aſſumptum late-
re tertio BC, minus ſit, demonſtrabi-
mus, latera AB, AC, ſimul maiora eſ-
ſe latere BC, hac ratione. Perficia tur
circulus arcus tertij BC. Deinde ex
polo B, nempe ex altero extremo ma
ioris lateris BC, ad interuallũ vtriuſ-
uis arcuum minorum, nimirum ad in-
teruallũ arcus BA, in ſuperficie ſphæ
ræ circulus deſcribatun AD, ſecans ar
cum BC, qui maior ponitur arcu BA,
in D, puncto inter B, & C.
Et quoniam
circulus BC, tranſit quoque per reliquum polum circuli AD; ſit alter po-
ita vt ſemicirculus ſit BCE.
C, vt dictum eſt.
Punctum igitur C, inter
puncta D, E, cadet. Quare cum ex puncto C, quod extra peripheriam circuli
AD, eſt, & præter eiuſdem polum E, ſignatur, ducantur duo arcus maximorum
circulorum CB, CA, ſemicirculo minores (quòd latera ſint trianguli ſphæ-
ad peripheriam AD, erit arcus CD, per polum B, tranſiens, mi-
Additis ergo æqualibus arcubus DB, AB;
(ſunt autem æqua-
poli.)
erit
hoc eſt, duo latera AB,
AC, maiora erunt latere BC. Eodemque modo quælibet alia duo latera re-
liquo maiora demonſtrabuntur. In omni ergo triangulo, &
c.
Quod erat de-
monſtrandum.
IN omni triangulo ſphærico, tria latera ſimul
minora ſunt integro circulo maximo.
SIT triangulum ſphæricum ABC.
Dico tria latera ſimul minora eſſe in-
tegro circulo maximo. Productis enim duobus arcubus quibuſlibet BA, BC,
donec coeant in D, puncto, (Coibunt autem neceſſario vltra A, C, quod cir-
C. vel propterea quòd vterque arcus BA,
BC, ſemicirculo minor eſt.) erunt duo ar-
us BAD, BCD, ſemicirculi; propte-
rea quòd circuli maximi ſeſe bifariam di-
quoniam verò in triãgulo DAC,
latera DA, DC, maiora ſunt latere AC; ſi
eſt, aggregatum ex arcubus AB, CB, fient
quoque arcus BAD, BCD, maiores tribus arcubus AC, AB, BC; hoc eſt,
tria latera AC, AB, BC, minora erunt duobus ſemicirculis BAD, BCD,
hoc eſt, integro circulo maximo. In omni ergo triangulo ſphærico.
&
c.
Quod
demonſtrandum erat.
CVM arcus circuli maximi in ſphęra ſuper ar
cum circuli maximi conſiſtens angulos facit; aut
duos rectos, aut duobus rectis æquales efficier.
ARCVS circuli maximi AB, cõſiſtens ſuper arcum circuli maximi CD,
faciat duos angulos ſphærices ABC, ABD. Si igitur circulus arcus AB, per
polum circuli arcus CD, tranſit, ſecabit, omnino arcum CD, ad angulos re-
atque idcirco anguli ABC, ABD,
recti erunt. Si verò arcus AB, per polos ar-
cus CD, non tranſit, faciet vnum quidem
angulũ obtuſum, alterũ verò acutum. Di-
coigitur ipſos duobus eſſe rectis æquales. Ducatur enim arcus circuli maximi EB, per
polum arcus CD;
eruntque
duo anguli EBC, EBD, recti. Quoniam
bus angulis DBA, ABE; appoſito communi angulo recto EBC, erunt duo
recti EBD, EBC, tribus angulis DBA, ABE, EBC, æquales. Rurſus quia an-
gulo ABD, erunt duo anguli ABC, ABD, tribus angulis DBA, ABE,
EBC, æquales. Sed eiſdem his tribus oſtenſum fuit eſſe etiam æquales duos
rectos EBD, EBC; quæ autem eidem æqualia, inter ſe ſunt æqualia.
Duo
igitur anguli ABC, ABD, æquales ſunt duobus rectis EBD, EBC. Cum
ergo arcus circuli maximi in ſphæra, &c.
Quod erat oſtendendum.
SEQVITVR ex his, duos arcus duorum angulorum, qui
maximi arcui alterius cireuli maximi inſiſtente efficiuntur, qua
les ſunt duo anguli ABC, ABD, ſemicireulum conſtituere. Nam
ſi ex polo B, circulus maximus deſeribatur CAD, erunt, ex
defin. 6.
CA, AD, arcus angulorum ABC, ABD, Perſpicuum
autem eſt, arcus CA, AD, ſemicirculum conſicere; cum circuli
maximi CBD, CAD, ſe mutuo ſecent bifariam in C, D.
SI duo arcus circulorum maximorũ in ſphæ-
ra ſe mutuo ſecuerint, angulos ad verticem æqua-
les inter ſe efficient.
SECENT ſe duo arcus AB, CD, circulorum maximorum in ſphæra
in E, vtcunque. Dico angulos, quos faciunt ad verticem E, inter ſe eſſe æqua-
les; angulum videlicet AED, angulo BEC,
angulum AEC, angulo BED.
Quoniam
enim tam anguli AED, DEB, quàm angu-
erunt illi duo his duobus æquales: ablato
ergo communi angulo DEB, remanebit
angulus AED, angulo BEC, æqualis. Ea-
demque ratione conſirmabimus, angulum
AEC, angulo BED, æqualem eſſe. Si duo
ergo arcus circulorum maximorum, &c.
Quod oſtendendum erat.
SI duo triangula ſphærica duo latera duobus
lateribus æqualia habeant, vtrumque vtrique; ha-
beant verò & angulum angulo æqualẽ ſub æqua-
libus arcubus contentũ: Et baſim baſi æqualem ha
bebunt; eritque triangulũ triangulo æquale, ac re-
liqui anguli reliquis angulis æquales erunt, vterq; vtrique, ſub quibus æqualia latera ſubtenduntur.
SINT duo triangula ſphærica ABC, DEF, habentia duo latera AB,
AC, duobus lateribus DE, DF, æqualia, vtrumq; vtriq;
, &
angulum A, an-
Dico &
baſem BC, ba-
ſi EF, æqualem eſſe, & triangulum ABC,
triangulo DEF, & reliquos angulos B,
C, reliquis angulis E, F, vtrumq; vtriq;
.
Quoniam enim arcus AB, arcui DE, æ-
qualis ponitur, fit, vt ſi alter alteri intel-
ligatur ſuperponi in ſuperficie ſphæræ,
collocato puncto A, in puncto D, & pun
cto B, in puncto E, plana circulorum AB,
DE, ſibi mutuo congruant, & proinde ar
cus AB, arcui DE, congruat. Alias ſe
mutuo ſecarent bifariam circuli illorum arcuum in A, & B, atq;
adeo ſemicir
quod eſt abſurdum.
Eſt enim ſemicirculo vterq;
mi-
Cum ergo angulus A, angulo D, ponatur æqualis, congruet quoq;
ar-
cus AC, arcui DF, punctumq; C, in punctum F, cadet, ob æqualitatem ar-
cuum AC, DF. Baſis igitur BC, baſi EF, congruet quoq;
: alias, ſi ſupra ca
deret, aut infra, cuiuſmodi eſt arcus EGF, eſſent arcus EF, EGF, vel BC,
ſe mutuo ſecantes in E, F, ſemicitculi; cum circuli maximi ſe mutuo ſecent
quod eſt abſurdum.
Singuli enim ſemicirculo minores ſunt.
Quo-
&
trian
gulum ABC, triangulo DEF; &
anguli B, C, angulis E, F, vterq;
vtrique,
æquales erunt, ob eandem cauſam. Quare ſi duo trangula ſphærica, &
c.
Quod oſtendendum erat.
ISOSCELIVM triangulorum ſphærico-
rum, qui ad baſim ſunt, anguli inter ſe ſunt æqua-
les: Et productis æqualibus arcubus, qui ſub baſi
ſunt, anguli inter ſe æquales erunt.
SIT triangulum ſphæricum Iſoſceles ABC, cuius duo latera AB, AC,
æqualia ſint. Dico angulos B, C, ſupra baſim BC, æquales eſſe:
Item ſi pro-
ducantur arcus æquales AB, AC, infra baſim BC, quantumlibet, angulos
quoque B, C, ſub baſi BC, æquales eſſe. Quoniam enim arcus AB, ſemicir-
lo. Sit igitur arcus AD, ſemicirculo minor;
&
ex arcu AE, quantumcunq;
&
per duo puncta B, F,
nec non per C, D, ducantur duo arcus maximorum circulorum BF, CD.
ribus AC, AD, trianguli ACD, vtrumque vtrique, continentq́; angulum
communem A; erit baſis BF, baſi CD, æqualis, &
anguli ABF, &
F, angu-
D.
Rurſus, quoniam arcus AD, AF, æquales ſunt;
ſi deman-
BD, CF, æquales.
Quare duo latera DB,
DC, trianguli DBC, æqualia ſunt duobus
quæ cum
contineant angulos æquales D, F, vt oſten-
dimus, erunt & anguli DBC, DCB, angu-
Quòd ſi ex angu-
lis ABF, ACD, quos oſtendimus æquales
eſſe, auferantur anguli FBC, DCB, quos
etiam æquales eſſe demonſtrauimus, rema-
nebunt anguli ABC, ACB, ſupra baſim
BC, æquales: Oſtenſum eſt autem &
angu-
los DBC, FCB, infra eandem baſim BC,
eſſe æquales. Igitur &
anguli ſupra baſim in-
ter ſe, & anguli infra eandem inter ſe æquales ſunt.
Quam ob rem Iſoſcelium
triangulorum ſphæricorum, &c.
Quod demonſtrandum erat.
HING manifeſtum eſt, omne triangulum ſphæricum æquilaterum, eſſe quoque
@uiangulum.
SI trianguli ſphærici duo anguli æquales inter
ſe fuerint: Et ſub æqualibus angulis ſubtenſa late-
ra æqualia inter ſe erunt.
IN triangulo ABC, ſint duo anguli B, C, ſupra latus BC, æquales.
Di-
co latera quoque AB, AC, illis ſubtenſa eſſe æqualia. Si enim non ſunt æ-
qualia, ſit, ſi fieri poteſt AB, maius. Et quo-
&
per puncta C, D, arcus cir
Quoniam ergo duo
latera AC, CB, trianguli ACB, æqualia ſunt
duobus lateribus DB, BC, trianguli DBC,
continentq́; angulos æquales ACB, DBC;
erunt triangula ACB, DBC, æqualia, totum
pars.
Quod fieri non poteſt.
Non ergo inæ-
qualia ſunt latera AB, AC, ſed æqualia. Si trian
guli igitur ſphærici duo anguli, &c.
Quod erat
oſtendendum.
SEQVITVR hinc, omne triangulum ſphætricum æquiangulum, eſſe quoque æqui-
laterum.
AD datum arcum circuli maximi in ſphæra,
datumq́; in eo punctum, dato angulo ſphærico æ-
qualem angulum ſphæricum conſtituere.
SIT datus arcus maximi circuli in ſphæra AB, datumq;
in eo punctum
C, oporteatq́; dato angulo ſphærico D, ad punctum C, æqualem angulum
ſphæricum conſtituere. Productis arcubus DE, DF, angulum D, continen-
atq;
per G, &
polum circuli
ximi ducatur GH, ſe-
cans arcum DF, in H. Erit igitur angulus G,
Deinde ſumpto
quoque quadrante CI,
ducatur per I, & polum
ximi circuli IK. Erit
igitur & angulus 1, re-
Poſtremo, quia ar-
cus GH, ſemicirculo
Dico
Cum enim latera DG, GH, æqualia
ſint lateribus CI, IK, contineantq́ue angulos æquales, vt pote rectos; æqua-
les erunt anguli D, & C.
Ad datum ergo arcum circuli maximi, &
c.
Quod fa-
OMNIS trianguli ſphærici maior angulus
maiori lateriſubtenditur. Et maius latus maiorem
angulum ſubtendit.
IN triangulo ſphærico ABC, ſit angulus ACB, angulo A, maior.
Dico
Quoniam angulus
angulo A, æqualis, ſecetq́ue arcus CD, arcum AB,
in D. Quoniam igitur in triangulo ADC, anguli
A, & ACD, æquales ſunt;
erunt &
latera AD, CD,
Addito ergo communiarcu DB, erunt ar-
cus BD, DC, æquales arcui AB: Sed arcus BD,
DC, ſimul maiores ſunt arcu BC. Igitur &
arcus
Quod eſt propoſitũ.
SED iam in triangulo ſphærico ABC, latus AB, maius ſit latere BC.
Dico angulum C, maiorem eſſe angulo A.
Si enim angu lus C, maior non eſt
angulo A, erit vel ei æqualis, vel minor. Si eſt æqualis, erunt latera AB, CB,
Quod eſt abſurdum, cum AB, ponatur ma-
Si vero minor eſt angulus C, angu-
lo A, erit latus BC, latere AB, maius, vt iã oſten-
ſum eſt. Quod etiam abſurdum eſt.
ponitur enim
AB, maius, quàm BC. Cum ergo angulus C, æqua-
lis non ſit, neque minor angulo A, erit vtique ma-
ior. Quod eſt propoſitum.
Omnis ergo trianguli
ſphęrici maior angulus, &c.
Quod erat oſtendendũ.
SI duo triangula ſphærica duo latera duobus
lateribus æqualia habuerint, vtrumque vtrique,
angulum verò angulo maiorem ſub æqualibus ar-
cubus contentum: Et baſim baſi maiorem habe-
bunt. Quòd ſi baſim baſi maiorem habuerint:
Et
angulum ſub æqualibus arcubus contentum an-
gulo maiorem habebunt.
SINT duo latera AB, AC, trianguli ABC, æqualia duobus lateri-
bus DE, DF, trianguli DEF, ſed angulus EDF, maior ſit angulo A. Dico
baſim EF, maiorem quoque eſſe baſi BC. Sint enim primum triangula hæc
ſphærica Iſoſcelia, & ex D, polo per puncta
ſphæræ EGF, qui circulus, ſi maximus fue-
rit, idem erit omnino, qui EF: alias, cum ma-
ximi circuli ſe bifariam ſecent, eſſet EF, ſe-
quod eſt abſurdum, cum ſit ſe-
micirculo minor. Tunc autem circulus arcus
quadrantes fuerint; quòd maximus circulus
quadrante abſit à ſuo polo. Sit ergo iam ar-
idem, qui EF,
arcui AB, æqualis:
propterea quòd
poli, æqua les ſunt.
Quia igitur latera
AB, AC, æqualia ſunt lateribus DG, DF, angulosq̀ue continent æquales; æquales reunt baſes BC, GF.
Cum ergo arcus EF, maior ſit arcu GF, ma-
Quod eſt propoſitum.
QVOD ſi circulus ex polo D, per puncta E, F, deſcriptus non fuerit ma-
ſed vel cadat infra arcum EF, ſiue
ſupra, (nihil enim intereſt, quocunque cadat.) fiat nihilominus angulus
eritq̀ue rurſus arcus DH, arcui DE, hoc eſt, ar-
eo quòd rectæ ſubtendentes DE, DH, æquales ſint, ex de-
fin. poli.
Ducto igitur per puncta F, H, arcu circuli maximi FH;
cum latera
erunt &
baſes BC, HF, æquales.
Quoniam verò circulus maximus DF, per
erit arcus EHF, ſemi-
(quia arcus à puncto F, per E, vſque ad illud punctum, in quo,
ſi protractus eſſet vltra E, ſecaretur ab arcu FD, ad partes D, producto, eſt
ſemicirculus: quandoquidem circulus arcus EHF, bifariam ſecatur a circulo
arcus FD, vt dictum eſt.) atque adeo recta FE, maior, quàm recta FH, in eo-
quia illa propin quior eſt centro circuli EHF, hoc eſt, diame-
tro, quàm hæc. Cum ergo circuli arcuum EF, HF, maximi ſint, ideoq̀ æqua-
les; ſit autem vterque arcus EF, HF, ſemicirculo minor;
erit arcus EF, ma-
Oſtenſus autem eſt arcus HF, æqualis arcui BC.
Maior igitur
Quod eſt propoſitum.
SINT deinde triangula propoſita non Iſoſcelia, ſed latus AB, maius
ſit latere AC, ac proinde & latus DE, maius latere DF.
Producto ergo arcu
DF, ad partes F, abſciſſoq́ue arcu DG, æquali ipſi DE, qui minor eſt ſe-
ximus is ſit, ſiue non maximus. Fiat rur-
ſus angulus FDH, angulo A, æqualis;
eò quòd rectæ ſubtenſæ
DH, DE, æquales ſint, ex defin. poli.
Du-
cto igitur per puncta H, F, arcu circuli
maximi HF, erit, vt prius, arcus BC, ar-
cui HF, æqualis. Quoniam verò circulus
maximus DG, per D, polum circuli EG,
riam circuli EG, (nempe inter circulum, & polum D.)
&
præter eius polum;
erit arcus FE, maior arcu FH, cum ille propin quior ſit arcui FD, per po-
vterque arcus FE, FH, ſemicirculo ſit minor:
propte-
Oſten ſus eſt autem arcus HF,
arcui BC, æqualis. Maior ergo erit quoque arcus EF, arcu BC.
Quod eſt
propoſitum.
SED iam baſis EF, maior ſit baſi BC.
Dico &
angulum D, maiorem eſſe angulo
A. Si enim angulus D, maior non eſt angu-
lo A, erit vel æqualis, vel minor. Si æqualis
dicatur eſſe, erit arcus EF, æqualis arcui
quod eſt abſurdum.
Ponitur enim arcus
EF, maior arcu BC. Si verò minor dicatur
eſſe angulus D, angulo A, erit, vt iam oſten
ſum eſt, arcus BC, maior arcu EF. quod
etiam abſurdum eſt, cum EF, maior pona-
Cum ergo angulus D, neque æqualis ſit angulo A, neque mi-
nor, erit vtique maior. Quod eſt propoſitum.
Itaque ſi duo triangula ſphæ-
rica, &c.
Quod demonſtrandum erat.
DVO ſemicirculi maximorum circulorum
ſe mutuo ſecantes continent duos angulos inter
ſe æquales.
DVO ſemicirculi maximorum circulorum ABC, ADC, ſe mutuo ſe-
cent in A, C. Dico angulos A, &
C, æqua-
Diuiſo enim ſemicirculo ABC, in
B, bifariam, vt AB, BC, quadrantes ſint,
ducatur per B, & polum circuli ABC, ar-
in D; eritq̀ angulus B, ex vtraque parte
Quia igitur duo latera AB, BD,
duobus lateribus CB, BD, æqualia, ſunt,
cõtinentq̀ angulos æquales, vtpote rectos; erunt &
anguli A, &
C, æquales.
Quare duo
c.
Quod demonſtrandum erat.
CVIVSCVNQVE trianguli ſphærici vno
latere producto, ſi reliqua latera ſimul ęqualia ſint
ſemicirculo, erit angulus externus æqualis angu-
lo interno oppoſito ſupra arcum productum: Si
verò minora ſint ſemicirculo, erit angulus exter-
nus eodem interno oppoſito maior: ſi denique
maiora ſint ſemicirculo, idem angulus externus
dicto angulo interno oppoſito minor erit.
IN triangulo ſphærico ABC, produca-
ſint primum reliqua
duo latera AB, AC, ſimul ſemicirculo æqua-
lia. Dico angulum externum ACD, æqualem
eſſe interno oppoſito B, ſupra arcum produ-
ctum BC, &c.
Coeat enim arcus BA, produ-
ctus cum arcu BC, producto in D; eritq̀ue
BAD, ſemicirculus. Quia vero arcus BA,
dempto communi arcu BA, erunt
reliqui arcus AC, AD, æquales. Quare &
angulus ACD, angulo D, æqua-
Cum igitur anguli B, &
D, ſint quoque æquales, æqualis quoque erit
quod eſt propoſitum.
SINT deinde duo latera AB, AC, mi-
nora ſemicirculo BAD. Dempto ergo com
muniarcu AB, erit reliquus AC, reliquo
AD, minor; ac propterea angulus ACD,
Quod eſt propoſitum.
SINT poſtremo latera AB, AC, ma-
iora ſemicirculo BAD. Dempto igitur cõ-
muni arcu AB, erit reliquus AC, reliquo
AD, maior; ac propterea angulus D, maior erit angulo ACD.
Cum ergo
Cuiuſcunque ergo trianguli,
&c.
Quod erat oſtendendum.
SI cuiuſcunque trianguli ſphærici vno latere
producto, externus angulus æqualis fuerit interno
oppoſito ſupra arcum productum, erunt duo reli-
qua latera ſimul æqualia ſemicirculo: Si verò an-
gulus externus maior fuerit interno eodem, & op-
poſito, erunt duo reliqua latera ſemicirculo mi-
nora: Si deniq;
externus angulus interno oppoſi-
to dicto minor fuerit, erunt duo latera reliqua ſe-
micirculo maiora.
POSITO eodem triangulo ſphærico, &
conſtructione figuræ eadem;
lis interno oppoſito B. Dico latera AB,
AC, ſemicirculo eſſe ęqualia, &c.
Cum enim
angulus B, angulo D, æqulis ſit, erit quo-
ideoq̀ &
arcus AC, AD, æquales erunt.
arcus AB, AC, ſemicirculo BAD, æqua-
les. Quod eſt propoſitum.
SIT deinde angulus ACD, maior angulo B, hoc eſt, angulo D, quian-
eritq́ arcus AD, maior arcu AC.
Addito ergo commu-
Quod
eſt propoſitum.
SIT poſtremò angulus ACD, minor angulo B, hoc eſt, angulo D, qui
eritq́ue arcus AC, maior arcu AD.
Addito ergo com-
Quod
eſt propoſitum. Si igitur cuiuſcunque trianguli ſphærici, &
c.
Quod erat de-
monſtrandum.
SI cuiuſcunque trianguli ſphærici duo latera
ſimul æqualia ſint ſemicirculo, erunt duo angu-
li ſupra baſim duobus rectis æquales: Si verò mi-
nora ſint ſemicirculo, erunt duobus rectis mino-
res:Si denique ſemicirculo ſint maiora, erunt duo-
bus rectis maiores.
IN triangulo ſphærico ABC, ſint primum duo latera AB, AC, ſemi-
circulo æqualia. Dico duos angulos B, C, effe æquales duobus rectis, &
c.
Producto enim arcu BC, ad D, erit angulus ACD, angulo B, æqualis.
Cum
erũt
ACB, æquales duobus rectis.
SINT deinde latera AB, AC, ſemicirculo mi-
nora. Cum ergo duo anguli ad C, ſint duobus rectis
&
angulus B, minor ſit angulo ACD;
erunt
ACB, duobus rectis minores.
SINT tandem latera AB, AC, ſemicirculo ma-
iora. Quoniam igitur duo anguli C, ſunt duobus re-
ACB, maiores duobus rectis.
Si igitur cuiuſcun que trian
guli ſphærici, &c.
Quod erat oſtendendum.
SI cuiuſcunque trianguli ſphærici duo anguli
ſupra vnum latus duobus rectis æquales fuerint,
erunt reliqua duo latera ſemicirculo æqualia: Si
vero duobus rectis fuerint minores, erunt minora
ſemicirculo: Si denique maiores extiterint duo-
bus rectis, erunt ſemicirculo maiora.
POSITO eodem triangulo ſphærico, &
conſtructione figuræ eadem;
Sint primum duo anguli B, C, duobus rectis æquales ſupra latus BC.
Dico
reliqua duo latera AB, AC, ſemicirculo æqualia eſſe, &c.
Cum enim &
an-
dempto
Quare ſemicirculo æquales ſunt
arcus AB, AC.
SINT deinde anguli B, ACB, duobus rectis mi-
Cum ergo duo anguli ad C, ſint duobus rectis
æquales; dempto communiangulo ACB, remane-
bit angulus ACD, maior angulo B. Arcus ergo AB,
SINT denique anguli B, ACB, duobus rectis maiores.
Cum ergo duo
ſi dematur communis angulus ACB,
atque adeo arcus AB, AC, ſemicir-
culo maiores. Quo circa ſi cuiuſcunque trianguli ſphærici, &
c.
Quod oſten-
dendum erat.
SI duo triangula ſphærica habeant tria latera
tribus lateribus æqualia, ſingula ſingulis: habebũt
& tres angulos tribus angulis æquales, ſingulos
ſingulis, ſub quibus æqualia latera ſubtenduntur.
SINT duo triangula ſphærica ABC, DEF, habentia tria latera AB,
AC, BC, tribus lateribus DE, DF, EF, ſingula ſingulis, æqualia. Dico &
angulostres A,B,C, tribus angulis D,E,F, ſingulos ſingulis, eſſe æquales,
Si
enim angulus A, (vt ab hoc angulo incipia-
mus.) non eſt æqualis angulo D, erit vel ma-
Si maior, erit baſis BC, ma-
ior quoque baſi EF. Quod eſt abſurdũ.
ponun
tur enim latera BC, EF, æqualia. Si verò mi-
nor eſt angulus A, angulo D, erit baſis E F,
Quod rurſum eſt abſurdum,
cum æquales ponantur. Cum ergo angulus A,
neque maior ſit, neque minor angulo D, erit vtique illi æqualis. Igitur &
re-
liqui anguli B, C, angulis reliquis E, F, æquales erunt, nempe B, ipſi E, & C,
Si duo ergo triangula ſphærica, &
c.
Quod erat oſtendendum.
SI duo triangula ſphærica habeant tres angu-
los tribus angulis, ſingulos ſingulis, æquales: habe-
tria latera tribus lateribus æqualia, ſingu-
laſingulis, quæ æquales angulos ſubrendunt.
HABEANT duo triangula ſphærica ABC, DEF, tres angulos A,
B, C, tribus angulis D, E, F, ſingulos ſingulis, æquales. Dico &
tria latera
AB, AC, BC, tribus lateribus DE, DF, EF, eſſe æqualia, ſingula ſingulis,
quæ angulos æquales ſubtendunt. Sienim la-
non ſunt æqualia, ſit BC, ſi fieri poteſt, maius;
abſcindatur arcus BG, arcui EF, æqua-
lis. Aut ergo arcus BA, æqualis eſt arcui ED,
aut maior, aut minor. Quodcunque horũ di-
catur, ſequetur abſurdũ ex eo, quòd inæqua-
lia dicuntur eſſe latera BC, EF, nempe BC,
maius, quàm E F. Sit enim primum arcus BA,
ducaturq́ue per puncta
A, G, arcus maximi circuli AG. Igitur cum latera BA, BG, æqualia ſint la-
teribus ED, EF, angulosq́ue contineãt æquales B,E, ex hypotheſi; erunt an-
guli BAG, & D, æquales:
Eſt autem angulus D, poſitus æqualis angulo BAC.
Quod
eſt abſurdum.
SIT deinde arcus BA, maior arcu ED, &
abſcindatur arcus BI, æqua-
lis ipſi ED; ac per puncta G,I, arcus circuli maximi ducatur GI, conueniens
Quoniam igitur latera BI, BG, æqualia ſunt
erunt anguli BIG,
BGI, angulis D, F, hoc eſt, angulis BAC, BCA, æquales; quod his duobus
F;
ſunt autem anguli BIG, BAC, angulis HIA,
HAK, ad verticem æquales. Aequales ergo ſunt &
anguli HAK, HIA.
Igi-
tur cum & angulus BGH, externus æqualis ſit interno BCH, &
externus
HAK, interno HIK, vt oſtendimus: erunt tam arcus AH, HI, quam arcus
atque adeo arcus AH, HI, arcubus CH,
HG, æquales erunt, pars toti. Quod eſt abſurdum.
SIT tandem arcus BA, minor arcu ED, producaturq́ue vltra A, &
ex eo
abſcindatur arcus BK, æqualis arcui ED; atque per puncta G, K, arcus cir-
Quoniam ergo latera BK,
erunt & anguli BKG, BGK, angulis D, F, hoc eſt, angulis BAC, BCA,
æquales.
Itaque cum &
angulus BAL, externus æqualis ſit interno BKL, & externus BGL, inter-
no BCL, vt oſtendimus, erunt tam arcus AL, LK, quàm arcus CL, LG,
ac proinde duo arcus AC, GK, integro circulo æqua-
les erunt. Quod eſt abſurdum, cum vterque arcus AC, GK, ſemicirculo ſit
Non ergo inæqualia ſunt latera BC, EF, ſed æqualia.
Eodemq́ue mo-
do oſtendemus, latera AC, DF, nec non AB, DE, æqualia eſſe. Tria ergo
latera trianguli ABC, tribus lateribus trianguli DEF, æqualia ſunt. Quare
ſi duo triangula ſphærica, &c.
Quod oſtendendum erat.
SI duo triangula ſphærica duos angulos duo-
bus angulis æquales habuerint, vtrumque vtrique,
vnumque latus vni lateri æquale, quod æqualibus
adiacet angulis: Et reliqua latera reliquis lateribus
æqualia, vtrumque vtrique, & reliquum angulum
reliquo angulo æqualem habebunt.
DVO triangula ſphærica ABC, DEF, habeant duos angulos B, C, duo-
bus angulis E, F, æquales vtrumque vtrique, & latus BC, lateri EF, æquale,
quod æqualibus angulis adiacet. Dico &
reliqua latera AB, AC, reliquis la-
vtri-
que, & reliquum angulum A, reliquo angulo
D. Si enim latera AB, DE, (vt ab his exor-
diamur.) non ſunt æqualia, ſit AB, maius, &
abſcindatur arcus BG, arcui DE, æqualis,
per puncta C, G, arcus circuli maximi du-
Quoniam igitur latera GB, B C,
æqualia ſunt lateribus DE, EF, angulosq́uc
comprehendunt æquales B, E, ex hypotheſi;
anguli BCG, &
F, æquales:
Sed F,
æqualis ponitur ipſi BCA. Igitur &
angulus BCG, eidem BCA, æqualis
erit, pars toti. Quod eſt abſurdum.
Non ergo inæqualia ſunt latera AB, DE,
fed æqualia. Quare cum latera AB, BC, lateribus DE, EF, æqualia ſint, an-
gulosq́ue comprehendantæquales B, E; erunt &
latera AC, DF, æqualia, &
Quapropter ſi duo triangula ſphærica duos angulos,
&c.
Quod oſtendendum erat.
SI fuerint duo triangula ſphærica rectangula,
habuerintque duos alios angulos æquales, & non
rectos, nec non duo latera æqualia, quæ ſub rectis
angulis ſubtenduntur: Erunt &
duo reliqua latera
duobus lateribus æqualia, vtrumque vtrique, & re-
liquus angulus reliquo angulo æqualis erit.
SINT in duobus triangulis ſphæricis ABC, DEF, anguli B, E, recti,
& duo anguli C, F, æquales, &
non recti, nec non latera AC, DF, rectos an-
Dico &
reliqua latera AB, BC, reliquis lateri-
bus DE, EF, æqualia eſſe, vtrumque vtrique; Item &
reliquos angulos A,
D, eſſe æquales. Productis enim arcubus AC, BC, abſcindatur arcus CH, ar-
arcus CG, arcui FE, æqualis;
&
per puncta G,
H, deſcribatur arcus GH, maximi circuli. Et quo-
FE, angulosq́ue continent æquales GCH, & F;
(Eſt enim ex hypotheſi angulus F, angulo ACB,
æqualis, & ACB, ipſi GCH, ad verticem æqua-
baſes GH, ED, æquales, &
anguli G,
ac propterea, exiſten-
te angulo E, recto, erit & angulus G, rectus.
Duca-
tur iam per C, & polum arcus BG, in vtramque
lus arcus BG. Et quia circuli arcuum BA, HG,
tranſeunt quoque per polos eiuſdem arcus BG,
conuenient arcus BA,
GH, protracticum arcu CI, in polo I. Conue-
niat quoque arcus GH, ex altera parte cum
eodem arcu ICK, in K, puncto, quod alter polus erit arcus BG, cum vter-
Erunt igitur
propterea quòd rectæ ſubtenſæ illis inter ſe
Similiterq́ue æquales erunt arcus KC, KG.
Quoniam verò anguli ICG, IGC, æquales ſunt angulis KCG, KGC,
cum omnes ſint recti; quòd I, polus ſit arcus BG;
illisq́ue adiacet latus
erunt latera IC, IG, lateribus KC, KG, æqualia, vtrun-
ac propterea cum IG, arcus arcui IB, æqualis ſit oſtenſus, erit
& arcus KG, eidem arcui IB, æqualis.
Et quoniam latera IC, CA, æqualia
ſunt lateribus KC, CH, (factus enim eſt arcus CH, arcui AC, æqualis.) an-
gulosq́ue ad verticẽ continent æquales; erunt baſes IA, KH, &
anguli IAC,
Ablatis ergo arcubus æqualibus IA, KH, ex arcubus æqua-
angulis æqualibus IAC, KHC, ex binis ad A, &
H, quo-
rum bini duobus rectis æquales ſunt; remanebunt &
arcus AB, HG, &
angu-
oſten ſus eſt autem arcus HG, arcui DE, &
angulus
GHC, angulo D, ęqualis. Igitur &
arcus AB, arcui DE, &
angulus BAC, an-
gulo D, æqualis erit. Quare cum latera AB, AC, æqualia ſint lateribus DE,
DF, angulosq́ue complectantur æquales; erunt &
arcus BC, EF, æquales.
angulus BAC, an-
gulo D. Quamobrem, ſi fuerint duo triangula ſphærica rectangula, &
c.
Quod
demonſtrandum erat.
_DEBENT_ autem latera æqualia ſub rectis angulis ſubtendi.
Alioquin, ſi alios
angulos ſubtenderent, nihil certi colligi poßet. Sit enim triangulum ſphæricum quod-
cunque ABC, habens duo latera _AB, AC,_ inæqualia inter ſe, ſed ſimul ſemicircu-
lo æqualia: producto verò latere _CB,_ ad partes _B,_ ducatur per _A,_ &
polum arcus
eritq́;
angulus _D,_ rectus.
Quo-
Itaq;
duo triangula _ADB, ADC,_ angulum rectum _D,_ habent commu-
nem, & duos angulos _ABD,_ &
_C,_ æquales, &
non rectos:
(alias latera _AB, AC,_
æquales:)
nec non latus _AD,_ æqua-
Et tamen
nec reliqua latera _AB, BD,_ reliquis lateribus _AC,_
_CD,_ æqualia ſunt, vtrumque vtrique, nec reliquus an
gulus _BAD,_ reliquo angulo _CAD,_ vt perſpicuum eſt. Hoc autem indeprouenit, quòd latera æqualia non ſub-
tendunt rectos angulos, ſed latus commune _AD,_ angu-
los æquales non rectos ſubtendit.
_QVAMOBREM decipitur Nicolaus Copernicus_
_lib. I.
Reuolutionum propoſ.
6.
triãgulorũ ſphæricorum,_
_vbi dicit._ [Si bina triangula rectum angulum, ac in-
fuper alium ęqualem habuerint, alterum alteri, vnumq; latus vni lateri æqua-
le, quod alterutri ęqualiũ angulorum (etiã non recto, vt in demonſtratione di
cit) opponitur; reliqua quoque latera reliquis lateribus, alterũ alteri, acan-
gulum angulo, reliquũ reliquo æqualem habebunt.] _Oppoſitum enim apparuit_
_in triangulis rectangulis_ ADB, ADC, _in quibus latus commune_ AD, _opponitur_
_angulis æqualibus_ ABD, ACD, _non rectis._
_Vnde verum non ſemper eſt, quod idem Copernicus docet ibidem propoſ.
4.
vbi ait._
triãgulo rectum angulum habente, alius inſuper angulus fuerit
datus, cum quolibet latere, reliquus etiam angulus cum reliquis lateribus da-
bitur.] _Quamuis enim angulus rectus_ D, _&
angulus_ ABD, _noti ſint, cum latere_ AD,
_quod angulo noto_ ABD, _non recto opponitur, non tamen proptereain cognitionem
reliqui anguli, & reliquorum laterum veniemus, cum reliqua latera poſsint eſſe vel
AB, BD, _vel_ AC, CD, & _reliquus angulus vel_ BAD, _vel_ CAD, _vt perſpicuum_
_eſt. Oportebit ergo aliquid aliud præterea constare, antequam reliquus angulus cum_
_reliquis lateribus colligatur, vtin ſcholio propoſ. 45.
docebimus._
SI fuerint duo triangula ſphærica, quæ duos
angulos habeant duobus angulis æquales, vtrum-
que vtrique, vnumq; latus vni lateri æquale, quod
vni æqualium angulorum ſubtenditur, duo verò
latera ſubtendẽtia reliquos angulos æquales ęqua-
lia non ſint ſemicirculo, ſed vel maiora, vel mino-
ra: Erunt &
duo reliqua latera duobus reliquis la-
teribus æqualia, vtrum que vtrique, & reliquus an-
gulus reliquo angulo æqualis erit.
HABEANT duo triangula ſphærica ABC, DEF, duos angulos B,
latera AC, DF, ſub-
tendentia angulos æquales B, E, inter ſe æqualia, reliqua verò latera AB,
DE, ſubtendentia alios æquales angulos C,F, non æqualia ſint ſemicirculo,
ſed vel maiora, vel minora. Dico reliqua latera
lia, vtrumque vtrique, & reliquos quoque an-
gulos A, D, eſſe æquales. Si enim CB, &
FE,
non ſunt æqualia, ſit CB, maius, & abſcindatur
CG, arcus arcui FE, æqualis, & per A, G, ar-
Quoniam igi-
lia ſunt, angulosq́ue continent æquales C, F; erunt &
arcus AG, DE, &
anguli AGC, &
E, æquales:
Poſitus eſt autem an-
Aequalis igitur eſt etiam angulus AGC, angulo
B; ac propterea arcus AB, AG, ſemicirculo æquales erunt.
Cum ergo arcus
culo æquales: Ponuntur autem &
non æquales ſemicirculo.
Quod eſt abſur-
dum. Non ergo inæquales ſunt arcus CB, FE, ſed æquales.
Quare cum late-
ra AC, CB, ſint æqualia lateribus DF, FE, angulosq́ue æquales contineant
C, F; erunt &
arcus AB, DE, &
anguli BAC, &
D, æquales.
Siigitur ſue-
c.
Quod demonſtrandum erat.
_DIXIMVS,_ duo latera ſubtendentia reliquos angulos æquales, non debere
eſſe æqualia ſemicirculo. Nam alias propoſitio vera non eſſet.
Sit enim triangulum
ſphæricum _ABC,_ quodcunq; habens duo latera _AB, AC,_ inæqualia inter ſe, ſed
Producto autem latere _BC,_
vſque ad _D,_ ita tamen, vt _BD,_ ſemicirculo ſit minor, du-
caiur per _A, D,_ arcus circuli maximi _AD._ Quoniam igi-
lus _ACD,_ angulo _B,_ æqualis. Itaq;
duotriangula _ABD,_
duos angulos _B, D,_ duobus angulis _C, D,_ æqua-
leshabent, vtrumque vtrique, & latus _AD,_ commune,
quod æqualibus angulis _B, C,_ ſubtenditur; &
tamen ne-
que reliqualatera _AB, BD,_ reliquis lateribus _AC, CD,_
æqualia ſunt, vtrumque vtrique, neque reliquus angulus _BAD,_ reliquo angulo
_CAD,_ vt perſpicuum eſt. Hoc autem ideò contingit, quod latera _AE, AC,_ ſemicir-
culo ſunt æqualia.
_NICOLAVS_ ergo Copernicus lib.
1.
Reuolutionum propoſ.
12.
triangulorum
vtcunque dati fuerint, cum aliquo latere, datorum eſſicv angulorum, & laterum.
Nam in triangulo _ACD,_ licet duo anguli _D,_ &
_ACD,_ noti ſint cum latere _AD,_
non tamen ex hoc perueniemus in notitiam reliquerum laterum, & reliquianguli:
cum reliqua latera eſſe poſsint vel _AC, CD,_ vel _AB, BD,_ &c.
Oportebit ergo
præterea aliquid aliud conſtare, antequam reliquus angulus, cumreliquis lateribus
cognoſcatur, vt in ſcholio propoſ. 45.
dicemus.
Si fuerint duo triangula ſphærica, quæ duos an-
gulos duobus angulis habeantęquales, vtrumque
vtrique, duoque latera duobus lateribus circa re-
liquum angulum æqualia, vtrumque vtrique, &
in reliquo angulo dicto non ſit polus reliqui late-
ris: Erit &
reliquum latus reliquo lateri, &
reliquus
angulus reliquo angulo æqualis.
IN duobus triangulis ſphæricis ABC, DEF, ſint anguli B, C, angulis
E, F, æquales, vterque vtrique, & latera AB, AC, circa reliquum angulum
A, æqualia lateribus DE, DF, vtrumque vtrique, non ſint autem A,D, po-
Dico &
reliqua latera BC,
EF, æqualia eſſe, & reliquos angulos A, D.
Si
enim arcus BC, EF, non ſunt æquales, ſit BC,
per puncta A, G, arcus maximi circu-
li deſcribatur AG. Quoniã igitur latera AC,
CG, æqualia sũt lateribus DF, FE, angulosq́; æquales continent C, F;
erunt &
arcus AG,
anguli AGC, &
E, &
quales:
Ponitur
autem arcus DE, arcui AB, & angulus E, an-
gulo B, æqualis. Igitur &
arcus AG, arcui AB, &
angulus AGC, angulo B,
atque adeò, cum AGC, AGB, ſint æquales duobus rectis, erũt
& B, AGB, duobus rectis æquales:
Sunt autem B, &
AGB, inter ſe æquales,
Vterque igitut rectus erit;
ac propterea
vterque arcus AB, AG, per polum arcus BC, tran ſibit Eſt ergo A, polus ar-
Quod eſt abſurdum.
Ponitur enim non eſſe.
Non igitur inæquales
ſunt arcus BC, EF, ſed æquales; atque idcirco &
anguli BAC, &
D, æqua-
_EST_ autem neceſſaria conditio illa, quòd in reliquo angulo polus non ſit reliqui
ret reliqui lateris. Sit enim triangulum ſphæricum _ABC,_
ſitq́; in _A,_ polus arcus _BC;_
&
ex _A,_ arcus circuli ma-
ximi deſcendat quicunque _AD,_ ſecans _BC,_ in _D._ Erunt
Itaque duo triangu-
& _C,_ æquales habent, vtrumque vtrique, &
duo la-
tera _AB, AC,_ duobus lateribus _AD, AC,_ circa angu-
tamen neque veliqua latera _BC,_
_DC,_ æqualia inter ſe ſunt, neque reliqui anguli _BAC, DAC,_ vt manifeſturn eſt. Hoc autem ideo accidit, quòd _A,_ polus ſit arcuum _BC, DC._
_HINC_ perſpicuum quoque eſt, copernicũ hallucinari lib.
1.
Reuolutionum pro-
12.
cum aſſerit, omnetriangulum ſphæricum, cuius duo anguli vtcunque dati
fuerint, cum aliquo latere, datorum effici angulorum, & laterum.
Nam in trian-
gulo _ABC,_ etiamſi dentur duo anguli _B, C,_ cum duobus lateribus _AB, AC,_ (& non
cum vnotantum, vtipſe vult) non tamen ſtatim reliquum latus, & reliquus angu-
lus cognoſcetur; cum reliquum latus eſſe poſsit vel _BC,_ vel _DC,_ &
reliquus angu-
lus vel _BAC,_ vel _DAC,_ &c.
Aliquid ergo aliud præterea cõſtet, neceſſe eſt, vt relio
quus angulus, cum reliquis lateribus cognoſcatur, vt in ſcholio propoſ. 45.
oſtẽdemus.
SI fuerint duo triangula ſphærica, quæ vnum
angulum vni angulo æqualem habeant, & duo la-
tera duobus lateribus circa alium angulum æqua-
lia vtrumque vtrique, atq; vtrum que reliquorum
angulorum vel maiorem recto, vel minorem: Erit
& reliquum latus reliquo lateri æquale, &
reliqui
anguli reliquis angulis æquales, vterque vtrique.
IN duobus triangulis ſphæricis ABC, DEF, ſint anguli B, E, æquales,
& duo latera BC, CA, ęqualia duobus lateribus EF, FD, vtrumque vtrique,
vterq;
angulorũ reli-
quorum A, D, vel minor ſit, vel maior recto. Dico reliqua latera AB, DE, æqualia quo-
que eſſe, & reliquos duos angulos A, C, re-
liquis duobus angulis D, F, vtrũq; vtrique.
Si enim latera AB, DE, æqualia non ſunt,
ſit AB, maius, & abſcindatur arcus BG,
per puncta C, G, ar-
cus circuli maximi ducatur CH. Quia igi-
ED, EF, angulosque comprehendunt æquales B, E; erunt &
arcus GC, DF,
anguli G, D, æquales:
Ponitur autem arcus DF, arcui AC, æqualis.
Ae-
qualis igitur erit quoque arcus GC, eidem arcui AC; atque adeo anguli A,
CGA, æquales.
Et quoniam anguli duo ad G, ſunt æquales duobus re-
A, duobus rectis æquales;
ac proin-
de, cum angulus BGC, oſtenſus ſit æqualis angulo D, erunt & duo anguli
D, & A, duobus rectis æquales.
Quod fieri non poteſt.
Cum enim vterque
minor recto ponatur, vel maior, erunt ambo ſimul vel duobus rectis minores,
vel maiores. Non ergo inæqualia ſunt latera AB, DE, ſed æqualia.
Quare
duo Anguli A, C, duobus ãngulis D, F, æquales erunt, vterque vtrique.
Si
c.
Quod oſtendendum erat.
_DIXIMVS,_ vtrumque reliquorum angulorum debere eſſe vel maiorem, vel
minorem recto. Nam alias falſa eſſet propoſitio.
Sit enim triangulum ſphæricum
Producto autem latere
tur per puncta _A, D,_ arcus circuli maximi _AD. Itaque
triangula _ADB, ADC,_ angulum angulo æqualem habẽt,
nempe _D,_ communem, & duo latera _AD, AB,_ æqualia
duobus lateribus _AD, AC,_ vtrumque vtrique; &
tamen
reliqua latera _DB, DC,_ æqualia non ſunt, nec reliqui
anguli _DAB, DAC,_ immoneque anguli _ABD, ACD,_
niſi vterq; rectus ſit, vt demonſtrabimus.
Hoc autemideò
euenit, quòd non vterque angulus _ABD, ACD,_ maior
eſt vel minor recto, ſed vel vterq; rectus, vel vnus maior
recto, & alter minor:
quodita oſtendemus.
Sit primum angulus _ABD,_ rectus.
Dico &
_C,_ rectum eſſe.
Recto enim exiſtente angulo _ABD,_ erit &
_ABC,_ rectus;
quòd ambo anguli ad _B,_ æquales ſint duobus rectis: ſed hic æqualis eſt angulo _C,_ ob
Igitur &
_C,_ rectus erit.
_SIT_ deinde angulus _ABD,_ maior recto.
Dico _C,_ minorem eſſe recto.
Cum enim
_ABD,_ ſit recto maior, erit _ABC,_ minor recto, cum ambo duobus rectis ſint æquales.
angulus _C,_ qui æqualis eſt angulo _ABC,_ recto minor erit.
_SIT_ tandem angulus _ABD,_ minor recto.
Dico _C,_ eſſe recto maiorem.
cum enim
_ABD,_ ſit minor recto, erit _ABC,_ hoc eſt, ſibi æqualis _C,_ maior recto.
_HINC_ manifeſtum eſt, propoſitionem _8._
Nicolai Copernici de ſphæricis triangu-
lis, lib. _1._
Reuolutionum falſam eſſe, quo ad eam partem, in qua dicit.
_Si bina trian
gula duo latera duobus lateribus æqualia habuerint, alterum alteri, & angu-
lum angulo æqualem, quiad baſim fuerit; baſim quoque baſi, ac reliquos an-
gulos reliquis angulis habebunt æquales. Hoc enim verum non eſt, niſi ponatur
vter que reliquorum angulorum ad baſim vel maior recto, vel minor. In triangulis
enim propoſitis _ADB, ADC,_ ſunt duo latera _AD, AB,_ duobus lateribus _AD, AC,_
æqualia, angulusq́; _D,_ communis eſt ſuper baſes _DB, DC;_
&
tamen baſes non ſunt
æquales, ob cauſam dictam.
_VNDE_ errat idem Nicolaus in eodem libro propoſ.
II.
vbi ait.
_Omne trian-
angulorum, & laterum.
Nam etiamſi latera _AD, AB,_ nota ſintcum angulo _D,_
non tamen inde in notitiam alterius lateris, & aliorum angulorum perueniemus,
cum reliquum latus poſsit eſſe vel _DB,_ vel _DC,_ &c.
Neceſſe eſt ergo aliud quip-
piam præterea conſtare, antequam reliquum latus, cum reliquis angulis notum effi-
ciatur, vt in Scholio propoſ. 45.
perſpicuum faciemus.
IN omni triangulo ſphærico Iſoſcele, ſi duo
æquales ſuper baſim recti: ſi verò vtrumque qua-
drante minus ſit, acuti: ſi denique maius quadran
te, obtuſi. Et ſi duo anguli æquales ad baſim ſint
recti, erunt duo latera æqualia, quadrantes: ſi ve-
rò acuti, vtrumque quadrante minus erit: ſi deni-
que obtuſi, vtrumque quadrante maius.
IN triangulo ſphærico Iſoſcelc ABC, ſint primum duo arcus æquales
AB, AC, quadrantes. Dico æquales angulos B, C, ad baſim eſſe rectos, Cum
enim vterque atcus AB, AC, quadrans ſit, erunt
Quare producto
arcu BC, ad D, angulus ACD, æqualis erit an-
ſed angulus B, angulo ACB, æqualis eſt.
angulus, ACD, angulo ACB, æqualis
erit; atque adeò, cum duo anguli ad C, duobus re-
Qnare &
angulus B, quirecto ACB, æqualis eſt,
Quod eſt propoſitum.
SIT deinde vterque arcuum AB, AC, æqua-
lium quadrante minor. Dico angulos B, C, æqua-
les eſſe acutos. Cum enim vterque arcus AB, AC,
quadrante minor ſit, erunt ambo ſimul ſemicircu-
lo minores. Quare angulus ACD, maior erit
cum anguli B,
ACB, æquales ſint.
Cum ergo duo anguli ad C, æquales ſint duobus
atque adeo angulus B, qui ei æqua-
minor erit.
Sunt ergo duo anguli B, &
ACB, acuti.
Quod
eſt propoſitum.
SIT poſtremo vterque arcuum AB, AC, quadrante maior.
Dico angu-
los æquales, B, C, eſſe obtuſos. Cum enim vterque arcus AB, AC, maior ſit
quadrante, eruntambo maiores ſemicirculo. Quare angulus ACD, minor
Cum ergo
atque idcirco &
angulus B, qui ei æqualis eſt, obtuſus
Quod eſt propoſitum.
SED iam vterque angulorum æqualium B, C, ſit rectus.
Dico vtrumque
arcum AB, AC, quadrantem eſſe. Cum enim ACB, rectus ſit, &
duo angu-
li ad C, æquales duobus rectis, erit quoque ACD, rectus, ac proinde recto
Suntergo duo arcus AB, AC, ſimul ſemicirculo æquales, ac pro-
quadrans erit.
Quod eſt propoſitũ.
DEINDE vterque angulorum B, C, ſit acutus.
Dico vtrumque arcum
AB, AC, quadrante minorem eſſe. Cum enim duo anguliad C, æquales duo-
ACB, ponatur recto minor;
erit ACD, recto maior;
ae
ponitur. Sunt ergo arcus AB, AC, ſimul ſemi-
atque idcirco, cum ipſi ſint ę qua-
les, vterque quadrante minor erit. Quod eſt pro-
poſitum.
POSTREMO ſit vterque angulorum B, C,
obtuſus. Dico utrumque arcum AB, AC, maio-
rem eſſe quadrante. Cum enim duo anguli ad C,
ſint æquales duobus rectis, & ACB, ponatur maior
nor angulo B, qui recto quoque maior ponitur.
culo; atque adeò, cum ipſi æquales ſint, erit uterq;
quadrante maior.
Quod eſt propoſitum.
In omni
ergo triangulo ſphærico Iſoſcele, &c.
Quod demonſtrandum erat.
EX his ſequitur, omne triangulum ſphæricum æquilaterum, ſeu æquiangulum, ſi ſin-
gula latera ſint quadrantes, habere ſingulos angulos rectos: ſi verò quadrante minora, acu-
tos. Si denique quadrante maiora, obtuſos.
Et omne triangulum ſphæricum æquiangu-
lum, ſeu æquilaterum, ſi ſinguli anguli ſint recti, habere ſingula latera quadrantes: Si verò
acuti, quadrante minora: ſi denique obtuſi, quadrante maiora.
_CAETERVM,_ quando duo latera trianguli ſpliarici ſunt quadrätes, vtrum-
que angulum ad baſim eſſe rectum: Et ſi vterque angulus ad baſim rectus eſt, vtrum-
que latus eſſe quadrantem, demonſtrari etiam poterit bac ratione.
_SINT_ in triangulo _ABC,_ quadrantes _AB, AC._
Dico
Productis enim arcubus _AB, AC,_
donec coëantin _D,_ vt ſint ABD, ACD, ſemicirculi; erunt
atque adeo vterque
arcus _ABD, ACD,_ bifariam diuidetur ab arcu _B C,_ in
_C._
Igitur arcus _BC,_ per polos arcuum _AB,_
_AC,_ tranſibit; atqueidcirco rectos angulos ad _B,_ &
_C,_
_VERVM_ iam anguli _B, C,_ recti ſint.
Dico latera _AB,_
_AC,_ quadrantes eſſe. cum enim anguli _B, C,_ ſint recti,
atque adeò vtrumque bifariam ſe-
Sunt ergo arcus _AB, AC, DB, DC,_ qua-
drantes. Quod demonſtrandum erat.
IN omni triangulo Iſoſcele ſphærico, cuius
ipſis comprehenſus fuerit rectus, erit baſis qua-
drans: Si verò acutus, quadrante minor:
Si deni-
que obtuſus, quadrante maior. Et ſi baſis fuerit
quadrans, eritangulus ſub lateribus comprehen-
ſus, rectus: Si verò minor quadrante, acutus:
Si de-
nique maior quadrãte, obtuſus. Semper autem po-
lus baſis erit in angulo ſub lateribus cõprehenſo.
IN triangulo ſphærico Iſoſcele ABC, ſint latera AB, AC, quadrantes,
& primum angulus A, ſit rectus, vt in prima figura.
Dico baſim BC, quadran
tem eſſe. Cum enim AB,
anguli B, C, recti. Quare
Quadrans ergo
eſt BC. Quod eſt propo-
ſitum.
SIT deinde angulus
A, acutus, vt in ſecunda
figura. Dico baſim BC,
minorem eſſe quadrante. Ductoenim per A, &
po-
culi maximi AD, erit an-
gulus BAD, rectus, atque adeo maior acuto angulo BAC. Occurret ergo
Quoniam igitur in trian
gulo ABC, vterque angulus B, C, rectus eſt, erunt in triangulo ABD, duo
DAB, ideoque æquales;
ac propterea &
arcus DA, DB,
Quare Iſoſceles eſt DAB, habens ad baſim AB, duos angu-
ac proinde vterque arcus AD, BD, quadrans eſt.
Igitur BC, qua-
drante erit minor. Quod eſt propoſitum.
TERTIO ſit angulus A, obtuſus, vt in tertia figura.
Dico baſim BC,
eſſe quadrante maiorem. Ducto enim per A, &
polum arcus AB, arcu circuli
atque adeo minor obtuſo angulo
Occurret ergo arcus AD, arcui BC, intra triangulum, nempe in pun
cto D. Quoniam ergo in triangulo ABC, rectus eſt vterque angulus B, C,
propterea æqua-
les; atque idcirco &
arcus AD, BD, æquales.
Quare Iſoſceles eſt DAB, ha-
Vterque igitur arcus AD, BD, qua-
Quod eſt propoſitum.
SED iam baſis BC, quadrans ſit, vt in eadem prima figura.
Dico angu-
lum A, rectum eſſe. Quoniam enim duo arcus CA, CB, quadrantes ſunt,
Rectus igitur eſt angulus.
A.
SIT deinde baſis BC, quadrante minor.
Dico angulum BAC, eſſe acu-
tum. Producto enim arcu BC, ad D, vt ſit BD, quadrans, ducatur per pun-
Quoniã igi-
tur duo arcus BA, BD,
quadrãtes ſunt, erit vter-
DAB,
rectus. Acutus igitur eſt
angulus BAC.
SIT tãdem baſis BC,
maior quadrante. Dico
angulum BAC, obtuſum
eſſe. Abſcindatur BD, ar-
&
per puncta A, D, arcus
circuli maximi deſcriba-
Et quia duo arcus BA, BD, quadrantes ſunt, erit vterque angu-
lus BDA, DAB, rectus. Obtuſus igitur eſt BAC, angulus.
DICO præterea, in omnibus his punctum A, polum eſſe baſis BC.
Cum
enim latera AB, AC, ponantur quadrantes, erit vterque angulus ad baſim
ac propterea vterque arcus AB, AC, per polum arcus BC, tran-
Siue igitur BC, quadrans ſit, ſiue minor, ſiue maior quadrante;
Et ſi-
ue angulus A, ſit rectus, ſiue acutus, ſiue obtuſus, ſemper punctum A, vbi
coëunt arcus AB, AC, polus erit baſis BC. In omni igitur triangulo Ifo-
ſcele ſphærico, cuius duo latera, &c.
Quod erat oſtendendum.
_IMMO_ in omni triangulo ſphærico babente duos angulos rectos, demonſtrabi-
mus eodem modo, in concurſu duorum laterum, quæ rectos ſubtendunt angulos, re-
liqui lateris, quod rectis angulis adiacet, polum eſſe, etiam ſinondum ſciatur, duo
illa latera eſſe quadrantes. Sint enim intrangulo ſphærico _ABC,_ duo anguli recti
_B, C._ Dico _A,_ polum eſſe arcus _BC;_
Nam vterque arcus _AB, AC,_ per polum arcus
_VERVM_ eſt tamen, duos arcus AB, AC, eſſe ſemper quadrantes, propter an-
IN omni triangulo ſphærico, cuius omnes ar-
cus ſint quadrante maiores, vel vnus quadrans,
& reliqui duo quadrante maiores, omnes tres an-
guli ſunt obtuſi.
IN triangulo ſphærico ABC, ſint primum ſingula latera quadrante ma-
iora. Dico tres angulos A, B, C, eſſe obtuſos.
Aut enim triangulum æquila-
terum eſt, aut Iſoſceles, aut Scalenum.
SI æquilaterum, perſpicuum eſt, tres angulos eſſe obtuſos.
SI vero eſt Iſoſceles, habens duo latera AB,
Sint quadrantes BD, BE, &
per puncta
D, E, arcus circuli maximi ducatur ED, conue-
nienscum arcu CA, protracto in F. Quoniam igi-
tur BD, BE, quadrantes ſunt, & angulus B, oſten
anguli BDE, BED, recti:
Ponitur autem &
arcus AC, quadrante maior. Igitur arcus DE,
AC, ſimul ſemicirculo maiores ſunt; ac propte-
rea arcus FD, FA, ſimul minores ſemicirculo, cum
arcus FE, FC, integro circulo ſimul ſint mino-
res; cum vterque arcus minor ſit ſemicirculo.
An-
Eſt autem angulus FDB, rectus;
BDE, rectus oſten-
Ergo FAD, acutus eſt;
ac proinde, cum FAD, DAC, æquales ſint duo-
oſtenſi ſunt autem &
anguli B, C,
obtuſi. Omnes ergo tres anguli A, B, C, obtuſi ſunt.
SI denique triangulum ABC, eſt Scalenum, ſit latus AC, latere AB,
maius, & abſcindatur arcus AD, arcui AB, æqualis;
eritq́ue adhuc arcus AD,
quadrante maior, quòd & arcus AB, cui æqualis eſt, maior ponatur quadran
Si igitur per puncta B, D, ducatur arcus BD, circuli maximi, erit vterq;
Multo ergo ma-
Sint quadrantes
BE, BF, & per puncta E, F, ducatur arcus EF,
G. Quoniã igitur BE, BF, quadrantes ſunt, erunt
anguli ad E, & F, recti;
&
cum angulus EBF, oſten
arcus AC, quadrante maior.
Igitur arcus EF, AC, ſimul ſemicirculo ſunt ma-
iores; &
idcirco multo magis FG, CG, maiores
erũt ſemicirculo. Angulus ergo BFG, quem oſten
dimus eſſe rectum, min or eſt angulo BCG; ac pro-
Et quoniam arcus
FG, CG, ſimul integro ſunt circulo minores; quòd vterque ſemicirculo min or ſit;
&
EF, AC,
eruntarcus GE, GA, ſimul ſemicirculo mino-
res; ac proinde angulus GEB, maior erit angulo GAB.
Cum ergo angu-
an-
erit angulus GAB, acutus.
Quapropter cum
GAB, BAC, ęquales ſint duobus rectis, erit BAC, obtuſus. Suntautem duo
C, oſtenſi obtuſi.
Tres ergo anguli A, B, C, trianguli
ABC, obtuſi ſunt. Quod eſt propoſitum.
SINT iam in eodem triangulo ABC, duo arcus AB, AC, quadrante
quidem maiores, at BC, quadrans. Autigitur arcus AB, AC, æquales ſunt,
aut inæquales. Si æquales, erunt duo anguli B, C, obtuſi.
Sit quadrans BD,
per puncta C, D, arcus CD, maximi circuli du-
Quia igitur arcus BC, BD, quadrantes ſunt, erũt
anguli D, & BCD, recti;
&
arcus CD, propter
drante maior: Ponitur autem &
arcus AC, qua-
Igitur arcus CD, CA, ſimul ma-
iores ſunt ſemicirculo; ac propterea, cum arcus
CDE, CAE, circulum conficiant, (quòd vter-
que ſemicirculus ſit.) erunt arcus ED, EA, ſemi-
Quare angulus EDB, qui rectus
eſt, (quòd duo anguli ad D, æquales ſint duobus
angulus BDC, oſtenſus ſit rectus.)
maior
erit angulo EAD; atque adeo EAD, acutus erit.
Sunt etiam anguli B, C, demonſtrati obtuſi.
Tres igitur anguli A, B, C, trianguli ABC, obtuſi ſunt.
SI verò AB, AC, latera, quæ quadrante maiora ſunt, non ſunt æqualia,
ſit maius AC; &
abſcindatur arcus AD, æqualis arcui AB;
&
per puncta B,
eritq́ue adhuc arcus AD, maior qua-
Anguli igitur ADB, ABD, obtuſi ſunt. Multo
Sit qua-
drans BE, & per puncta C, E, tranſeat arcus CE,
F. Quoniam igitur quadrantes ſunt BE, BC, &
angulus EBC, oſtẽſus eſt obtuſus, erit arcus EC,
BCE, recti erunt.
Et quoniam
arcus CE, oſtenſus eſt quadrante maior, & arcus
AC, maior etiam ponitur, quam quadrans; erunt
arcus CE, CA, ſimul ſemicirculo maiores. Cũ ergo
arcus CEF, CAF, integro circulo æquales ſint,
ſimul ſemicirculo minores. Quamobrem angulus
FEB, quirectus eſt, (ſunt enim duo anguli ad E, duobus rectis æquales, &
maior erit angulo FAE.
Acutus ergo eſt
ac propterea, cum duo anguli ad A, ſint æquales duobus rectis,
Sunt autem etiam oſtenſi obtuſi anguli ABC,
ACB. Tres igitur anguli in triangulo ABC, obtuſi ſunt.
In omni ergo trian
gulo ſphærico, cuius omnes arcus, &c.
Quod erat demonſtrandum.
_HAEC_ propoſitio non conuertitur.
Non enim omne triangulum ſphæricum, cu-
ius omnes anguli ſunt obtuſi, neceſſario habet omnes arcus quadrante maiores, vel
vnum quadranti æqualem:
Sed poſſunt eſſe duo
quidem quadrante maiores, reliquus verò quadrante minor. Sint enim duo ſemicir-
culi in ſuperficie ſphæra continentes angulos _A, C,_ obtuſos. Si igitur accipiantur
duo arcus æquales _AB, AD,_ quorum vterque
ſimul tres quadrantes ſuperent; deſeribatur
autem per puncta _B, D,_ arcus circuli maximi
erit hic arcus _BD,_ quadrante minor.
Cum
enim tres arcus _AB, AD, BD,_ integro circu-
_AD,_ tribus quadrantibus maiores; erit neceſ-
ſario tertius arcus _BD,_ minor quadrãte: Alias,
ſi quadrans eſſet, aut maior quadrante, ſupe-
rarent tres arcus trianguli _ABC,_ integrum
circulum. Quoniam igitur duo anguli _B,_ &
_D,_ in triangulo _ABD,_ obtuſi ſunt,
tertius angulus _A,_ obtuſus quoque, ex bypotheſi;
erunt omnes tres anguli
_A, B, D,_ obtuſi; &
tamen neque omnes arcus ſunt quadrante maiores;
neque duo
tantum, & tertius quadrans;
ſed duo quidem _AB, AD,_ quadrante maiores ſunt,
at tertius arcus _BD,_ quadrante minor, vt oſtendimus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius
omnes arcus ſint quadrante minores, reliqui duo
anguli acuti ſunt. Et ſi reliqui duo anguli ſint acu-
ti, erunt ſinguli arcus quadrante minores.
IN triangulo ſphærico ABC, ſit angulus B, rectus, &
ſinguli arcus qua-
drante minores. Dico reliquos angulos A, C, eſſe acutos.
Producantur enim
arcus BA, BC, vt ſint quadrantes BD, BE; &
per puncta C, D, arcus maxi-
mi circuli ducatur CD, necnon per puncta A, E, ar-
Et quoniam quadrans BD,
ob angulum rectum B, per polos arcus BC, tranſit,
polus circuli maximi quadrate circuli maxi-
mi ab eo, erit D, polus arcus BC. Igitur erit angu-
ac propterea angulus ACB, acu-
Eodem modo, quia quadrans BE, ob angulum
rectum B, per polos arcus AB, tranſit, abeſtq́; polus
SED iam in eodem triangulo ABC, angulus B, rectus ſit, &
reliqui A,
C, acuti. Dico ſingulos arcus eſſe quadrante minores.
Fiant enim recti angu-
li BCD, BAE. Quia igitur vterque angulus B, BCD, rectus eſt, erit vter-
Arcus igitur BA, quadrante minor eſt.
Eo-
dem modo arcus BC, minor erit quadrante; propterea quòd &
arcus BE, AE,
Sed &
arcum AC, minorem eſ-
ſe quadrante, ita oſtendemus. Quoniam arcus BE, ducitur per E, polum ar-
(oſtendemus enim E, eſſe polum arcus AB,
vt ſupra, cum BE, quadrans ſit, rectusq́ue ad arcum
AB.) erit punctum C, intra peripheriam circuli ar-
cus BD, in ſuperficie ſphæræ, & præter eiuſdem po-
lum. Quare arcus CA, minor erit arcu CD:
At CD,
Igitur AC, quadrante mi-
Omnes ergo arcus trianguli ABC, qua-
drante ſunt minores. Quocirca in omni triangulo
ſpherico rectangulo, &c.
Quod oſtendendum erat.
_PRIMA_ pars buius propoſitionis vera quoque eſt, ſi ſolum vterque arcus circa
angulum rectum ponatur quadrante miner, etiamſi ignoretur, reliquum arcum,
qui rectum angulum ſubtendit, minorem eſſe quadrante. Id quod liquido conſtat ex
demonſtratione prioris partis. Oſtenſum eſt enim, angulos _BAC, BCA,_ eſſe acu-
tos, ex eo ſolum, quòd vterque arcus _BA, BC,_ quadrante minor ponatur, nulla
facta mentione arcus _AC._ Erit tamen ſemper arcus rectum angulum ſubtendens
quadrante minor, ſi duo arcus rectum angulum continentes quadrante minores ſint,
vt ex demonſtratione manife ſtum eſt. Nam cum ex eo, quòd arcus _BA, BC,_ mino-
res ſint quadrante, anguli A, C, acuti ſint, vt in priore parte demonſtratum eſt, ſit,
vt & arcus AC, minor ſit quadrante, vtin parte poſteriori eſt oſtenſum.
Itaque
proponi poterit etiam buiuſmodi Theorema.
IN omni ttiangulo ſphærico rectangulo, cuius duo arcus rectum
angulum comprehendentes quadrante ſint minores, erit & arcus
angulum rectum ſubtendens quadrante minor.
IN omni triangulo ſphærico, cuius omnes an-
guli ſint acuti, arcus ſinguli quadrante ſunt mi-
nores.
IN triangulo ſphærico ABC, ſint omnes an-
guli acuti. Dico ſingulos arcus quadrante mino-
res eſſe. Sint enim primum omnes anguli acuti
æquales. Quo poſito, erunt ſinguli arcus qua-
DEINDE ſint duo tantum anguli acuti æ-
quales B, C; &
A, minor vtroque illorum.
Eric
Cum igi-
nor, erit multo magis arcus BC, minor qua-
drante.
TERTIO ſint duo tantum anguli acu-
ti iterum æquales B, C; &
A, acutus vtroque
illorum maior. Erit igitur rurſus vterque ar-
Dico &
BC, quadrante eſſe minorem. Fiatenim angulus rectus BAD, ſirq́ue arcus
AD, vtrique arcuum AB, AC, æqualis; &
per puncta B, D, deſcribatur ar-
Quoniam igitur vter-
erit & AD, min or quadrante.
Vterque ergo an-
D, acutus eſt.
Quare cum in trian
gulo ABD, angulus BAD, rectus ſit, & reliqui
Ar-
cusigitur BD, quadrante minor eſt: At quia la-
tera AB, AC, lateribus AB, AD, æqualia ſunt,
eſtq́ue angulus BAD, angulo BAC, maior; erit
& baſis BD, baſe BC, maior:
Oſtenſus eſt autem
Multo ergo minor quadrante erit arcus BC.
Omnes ergo tres arcus trianguli ABC, quadrante ſunt minores.
POSTREMO ſint omnes anguli acuti A, B, C, inæquales;
&
ſit A, om-
niũ maximus. Eric igitur propterea arcus BC, maior vtrouis arcuũ AB, AC.
eritq́ue propterea arcus AB, maior
AB, maior, quam
AC; abſcindatur arcus BD, æqualis arcui AB, &
per puncta A, D, ducatur
arcus AD, circuli maximi: eruntq́ue anguli BAD, BDA, æquales:
Eſt au-
Igitur &
angulus BDA, acutus erit.
Vter-
que igitur arcus AB, BD, quadrante eſt minor. Mul
minor erit quadrante. Dico &
arcum BC, quadran-
te minorem eſſe. Fiat enim angulus BAE, rectus, &
arcus AE, arcui AC, æqualis, ac per puncta B, E,
deſcribatur arcus BE, maximi circuli. Et quia arcus
AE, mi-
nor quadrante. In triangulo ergo ABE, angulus
BAE, rectus eſt, & vterque arcuum ipſum comprehendentium quadrante
minor. Igitur reliqui anguli ABE, AEB, acuti ſunt.
Quoniam igitur in
reliqui duo acuti, erunt
omnes arcus quadrante minores. Arcus ergo BE, minor eſt quadrante.
Quo-
eſtque angulus BAE, maior angulo BAC; erit &
baſis BE, baſe CE, maior:
Multo igitur minor quadran
te erit arcus BC. Tres ergo arcus trianguli ABC, quadrante ſunt minores.
Quamobrẽ, In omni triangulo ſphærico, cuius, &
c.
Quod demonſtrandũ erat.
_PORRO_ neque hæc propoſitio conuerti poteſt.
Non enim omne triangulum ſphæ-
ric@m, cuius ſinguli arcus quadrante ſunt minores, neceſſario habet omnes angulos
acutos. Nam vnus angulus poteſt eſſe rectus, &
reliqui duo acuti, vt ex propoſ.
præcedenti conſtat.
Immo &
vnus poteſt eſſe obtuſus, &
reliqui acuti.
Sint enim
C, obtuſos, accipianturq́; duo arcus æquales _AB, AD,_
quorum vterque ſesquialterum quadrantem ſuperet, &
qui minor erit quadrante, vt in ſcbolio propoſ. 27.
oſten-
dimus. Erunt igitur in triangulo _BCD,_ tres arcus _BC,_
_CD, BD,_ ſinguli quadrante minores, & tamen non om-
dem obtuſus, ex bypotbeſi, at verò _B, D,_ acuti, propterea quòd duo latera _CB,_
CD, æqualia ſunt, & quadrante minora.
IN quolibet triangulo ſphærico, cuius vnus
quidem arcus quadrante maior ſit, reliquorum
verò vterque quadrante minor, nullus anguloium
rectus erit.
IN triangulo ſphærico ABC, ſit quidem arcus AC, quadrante maior, at
tam AB, quam BC, minor quadrante. Dico nullum angulorum eſſe rectum.
Sit enim ſi fieri poteſt, angulus B, qui arcui AC, quadrante maiori opponi-
tur, rcctus. Abſciſlo igitur AD, quadrante, &
producto arcu AB, ad E, vt
per puncta D, E, arcu D E,
circuli maximi deſcripto, qui arcum BC, ſecet in
erit vterque angulus D, E, rectus:
Ponitur autem
angulus ABC, rectus, hoc eſt, EBC;
ſunt enim
duo anguli ad B, duobus rectis æquales. Vterque igi-
natur quadrante minor. Non ergo angulus B, rectus
eſſe poteſt.
QVOD ſi angulus C, rectus eſſe dicatur, erit, ſi
eadem fiat conſtructio, eodem modo vterque arcus
DF, CF, quadrans: (Nam &
angulus CDF, rectus eſt, cum vterque D, E,
atque adeo arcus BC, quadrante maior.
SI denique angulus A, rectus concedatur, ſi ex arcu CA, abſcindatur
arcus CB, producatur vſque ad H, vt &
CH, quadrans ſit,
deſcribaturq́ue per puncta G, H, arcus circuli maximi GH, ſecans arcum AB,
erit vterque angulus G, H, rectus.
Cum ergo &
angulus A, ponatur re-
Quare vterque arcus
AI, GI, quadrans eſt; atq́ue adeo arcus AB, quadrante maior.
quod eſt con-
POSSVMVS tamen aliter demonſtrare, angulum A, non poſſe eſſe
rectum, licet non abſcindatur quadrans CG, &c.
Si enim angulus A, rectus
Cum ergo &
EA, quadrans ſit, erit
&
E, polus arcus AC, propterea quòd vter-
que arcus DE, AE, per polum arcus AD, tranſit, ob angulos rectos A,
Eodem modo D, polus erit arcus AB.
Quoniam igitur punctum F, eſt
intra peripheriam circuli AB, & præter eius polum, duciturq́ue arcus FE,
per polum circuli AB, nempe per D, erit arcus FB, maior arcu FE. Ea-
dem ratione arcus FC, maior erit arcu FD, cum FD, ducatur per E, polum
circuli AC. Totus igiturarcus BC, quadrante DE, maior erit.
quod eſt
Nullus ergo angulorum A, B,
C, rectus eſt. Quamobrem, In quolibet triangulo ſphærico, &
c.
Quod de-
monſtrandum erat.
CVIVSCVNQVE trianguli ſphærici tres
anguli duobus quidem rectis ſunt maiores, ſex ve-
rò rectis minores.
SIT triangulum ſphæricum ABC.
Dico tres angulos A, B, C, maiores
quidem eſſe duobus rectis, minores verò ſex rectis. Si enim omnes tres angu-
lirecti ſint, vel obtuſi; vel duo tantũ recti, vel obtuſi;
vel vnus tantum rectus,
& reliquorum alter obtuſus, perſpicuum eſt, omnes tres duobus eſſe rectis
maiores. In quolibet autem triangulo hæc erit demonſtratio.
Producto late-
re BC, ad D, erit angulus ACD, vel æqualis, vel mi-
Sit primum æqualis.
Erunt
igitur arcus AB, AC, ſimul ſemicirculo æquales; atq;
Sit deinde angulus ACD, minor angulo B.
Erunt
igitur arcus AB, AC, ſimul maiores ſemicirculo; ac
iores. Multo ergo magis tres anguli A, B, C, duobus
rectis maiores erũt. Sit denique angulus ACD, maior
angulo B, & fiat angulus DCE, angulo B, æqualis, occurratq́ue arcus CE,
&
tandem arcus CA, protrahatur ad F.
Erunt igi-
tur arcus EB, EC, ſimul æquales ſemicirculo; ac propterea arcus EA, EC,
Angulus igitur EAF, hoc eſt, angulus BAC,
Sed angulus ACE,
anguli ACB, &
B, duobus rectis ſuntæquales.
Igitur anguli BAC, ACB,
B, maiores erunt duobus rectis.
Semper ergo tres anguli ſimul duobus re-
ctis ſunt maiores.
QVIA verò omnis angulus ſphæricus, etiam obtuſus, minor eſt duobus
rectis; perſpicuum eſt, tres angulos cuiusuis trianguli ſphærici ſimul minores
eſſe ſex rectis. Cuiuſcunque ergo trianguli ſphærici tres anguli, &
c.
Quod
erat demonſtrandum.
IN omni triangulo ſphærico, cuius vnus an-
gulus rectus ſit, & alter reliquorum acutus, ſi qui-
dem arcus illis angulis adiacẽs fuerit quadians, erit
& arcus rectum ſubtendens angulum quadrans;
ſi
verò minor fuerit quadrante, quadrante quoque
minor erit: ſi deniq;
quadrante fuerit maior, qua-
drante quoq; maior erit:
Sem per autem arcus acu-
tum angulum ſubtendens minor erit quadrante.
IN triangulo ABC, angulus C, rectus ſit, &
B, acutus, ſitque primum ar-
cus BC, quadrans, Dico & AB, quadrantem eſſe.
Fiat enim angulus CBD,
producto in D. Erit igitur vterque arcus BD,
Ponitur autem &
BC, qua-
drans. Ergo B, polus eſt arcus CD;
atque
Quare vterque
Quadrans igi-
SIT deinde arcus BC, quadrante minor.
Dico &
arcum AB, quadrante eſſe minorem.
Fiat enim rurſus angulus CBD, rectus, oc-
curratq́ue arcus BD, arcui CA, producto in
D; eritque vt prius, vterque arcus BD, CD,
Producto autem BC, ad E, vt ſit
BE, quadrans, ducatur per puncta D, E, arcus circuli maximi DE, quem BA,
Quoniam igitur arcus BE, BD, quadrantes ſunt, erit
vterque angulus BDE, BED, rectus, & B, polus arcus DE.
Rectus ergo
atque adeò vterque arcus BE, BF, quadrans erit.
Igitur
SIT denique arcus BC, quadrante maior.
Dico &
arcum AB, maiorem
Fiat enim rurſus angulus CBD, rectus, conuenlatq́ue arcus
BD, cum CA, protracto in D; eritq́ue, vt prius, vterque arcus BD, CD,
Abſciſſo autem quadrante BG, ducatur per puncta D, G, arcus cir
Quoniam igitur arcus BD, BG,
B, polus ar-
cus DG. Rectus ergo erit angulus ad H;
ac proinde vterque arcus BG, BH,
Quare AB, quadrante maior erit.
ET quoniam arcus CD, ſemper oſtenſus eſt eſſe quadrans, erit arcus AC,
quadrante minor. Quapropter in omni triangulo ſphærico, &
c.
Quod oſten-
dendum erat.
IN omni triangulo ſphærico, cuius vnus an-
gulus rectus, & alter reliquorum acutus, ſi quidem
arcus illis angulis adiacens ſuerit quadrans, erit re-
liquus angulus rectus: ſi verò minor quadrante,
acutus: ſi denique quadrante maior, obtuſus.
SIT in triangulo ABC, ſphærico angulus C, rectus, &
B, acutus, ſitq́ue
primum arcus BC, quadrans. Dico reliquum angulum A, rectum eſſe.
Erit
AB, quadrans.
Igitur vterque angulus C,
SIT deinde arcus BC, quadrante minor.
Dico
angulum A, eſſe acutum. Erit enim &
arcus AB,
atque adeo arcus AB, BC, ſimul
ſemicirculo erunt minores. Quare anguli A, C, duo-
ac proinde, cum C, ſit re-
ctus, erit A, acutus.
SIT tandem arcus BC, maior quadrante.
Dico
angulum A, obtuſum eſſe. Erit enim &
AB, quadran
ac proptcrea arcus AB, BC, ſimul ſemi-
circulo maiores erunt. Igitur anguli A, C, duobus rectis ſunt maiores;
atque
Quocirca in omni triangulo ſphæ-
rico, cuius vnus angulus, &c.
Quod erat oſtendendum.
IN omni triangulo ſphærico, cuius vnus angu-
lus rectus, ſi vteruis reliquorum angulorum ſit re-
ctus, erit arcus eum ſubtendens, quadrans: ſi verò
ſi denique obtuſus, ma-
ior quadrante. Et ſi vteruis arcuum rectum angu-
lum continentium fuerit quadrans, erit angulus,
quem ſubtendit, rectus: ſi verò minor quadrante,
acutus: ſi denique quadrante maior, obtuſus.
SIT in triangulo ſphærico ABC, angulus C, rectus, ſitq́ue primum al-
ter reliquorum, nempe B, etiam rectus. Dico arcum AC, qui eum ſubtendit,
quadrantem eſſe. Cum enim vterque angulus B, C, rectus ſit, erit &
vterque
arcus AB, AC, quadrans.
SIT deinde B, angulus acutus.
Dieo arcum AC, eſſe quadrante mino-
Fiat enim angulus CBD, rectus, coëat-
que arcus BD, cum arcu CA, producto in
D. Quoniam igitur vterq;
angulus C, CBD,
rectus eſt, erit & vterque arcus BD, CD,
atque adeo arcus AC, minor erit
quadrante.
SIT poſtremo angulus B, obtuſus.
Dico
arcum AC, quadrante maiorem eſſe. Fiat
enim angulus CBE, rectus, ſecetq́ue arcus
BE, arcum AC, in E. Quoniam igitur vter-
que angulus C, CBE, rectus eſt, erit & v-
terque arcus BE, CE, quadrans; atque adeo
RVRSVM ſit angulus C, rectus, &
ſit primum arcus AC, quadrans.
Dico angulum ei ſubtenſum B, eſſe rectum.
Erit enim A, polus arcus BC,
atque
adeo angulus ABC, rectus.
DEINDE ſit arcus AC, quadrante minor.
Dico angulum ei ſubten-
ſum B, eſſe acutum. Producto enim arcu CA, ad D, vt ſit CD, quadrans,
cum arcus CA, per polum arcus BC,
tranſeat. Ducto ergo per puncta D, B, arcu DB, circuli maximi, erit angu-
lus DBC, rectus; ac proinde ABC, acutus.
POSTREMO ſit arcus AC, maior quadrante.
Dico angulum B, ei
Abſciſſo enim quadrante CE, erit rurſum E, polus
arcus BC; propterea quod arcus CA, per plum arcus BC, tranſit.
Ducto
ergo per puncta E, B, arcu EB, circuli maximi, erit angulus EBC, rectus; atque adeò ABC, obtuſus.
Quapropter, in omni triangulo ſphærico, &
c.
Quod erat demonſtrandum.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, ſi v-
terque arcuum comprehendentium angulum re-
ar-
cus rectum angulum ſubtendens, quadrans: Si ve-
ro vterque dictorum arcuum minor fuerit qua-
drante, aut maior, erit arcus rectum angulum ſub-
rendens quadrante minor: ſi denique alter illo-
rum maior fuerit quadrante, & alter minor, erit ar-
cus rectum angulũ ſubtendens maior quadrante.
IN triangulo ſphærico rectangulo ABC, ſit angulus B, rectus, &
primum
vterque arcus AB, BC, vel alter illorum tantum quadrans. Dico &
arcum
AC, qui rectum angulum ſubtendit, quadrantem
Si enim vterque arcus AB, BC, quadrans eſt,
cum angulus B, ponatur rectus, erit quoq; arcus AC,
Si verò alter tantum arcuum AB, BC, eſt
quadrans, ſit AB, quadrans. Quoniã igitur arcus AB,
quadrans eſt, tranſitq́; per polos arcus BC, propter
ac propte-
Cum ergo vterque angu-
lus B, C, rectus ſit, erit vterque arcus AB, AC, qua-
Eodem modo ſi BC, ponatur quadrans, oſten
demus AC, eſſe quadrantem. Erit enim ſimiliter C, polus arcus AB;
ac pro-
inde angulus A, rectus. Cum crgo vterque angulus B, A, rectus ſit, erit vter-
SIT deinde vterque arcus AB, BC, quadrante
minor, vel maior. Dico arcum AC, eſſe quadrante
minorem. Si enim vterque eſt quadrante minor, pro-
ducto arcu CB, ad partes B, & BA, ad partes A, vt
ſint CD, BE, quadrantes, ducatur per puncta D,
E, arcus circuli maximi DE, ſecans arcum CA, pro-
Quoniam igitur in triagulo BED, an-
gulus B, rectus eſt, & arcus BE, quadrans, erit angulus D, quem ſubtendit, re-
ctus. Rurſus quia in triangulo CDF, angu-
arcus DC, quadrans, erit
ſimiliter angulus F, rectus; atque idcirco vter-
que arcus DC, FC, quadrans erit. Quare
Si verò
eſt, abſciſsis quadrantibus BD, CE, ducatur
per puncta D, E, arcus circuli maximi ED,
Quoniã
igitur in triangulo DBE, angulus B, rectus
eſt, & arcus BD, quadrans erit angulus E,
quem BD, ſubtendit, rectus. Rurſus quia in
arcus EC, quadrans, erit eodem mo-
Vterque ergo arcus CE, CF, quadrans erit;
ac propte-
SIT poſtremo arcus AB, quadrante quidem maior, arcus vero BC, mi-
nor quadrante. Dico arcum AC, maiorem eſſe quadrante.
Auferatur enim
quadrans BD; &
arcus CB, producatur ad E, vt CE, ſit quadrans;
ac per pun
Quia igitur in triangulo BED,
angulus B, rectus eſt, & arcus BD, quadrans, erit an-
gulus E, rectus. Rurſus, quia in triangulo CEF,
arcus EC, quadrans, erit
eadem ratione angulus F, rectus. Vterque igitur ar-
ac proinde arcus AC,
In omni ergo triangulo ſphærico
rectangulo, &c.
Quod erat demonſtrandum.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, ſi ar-
cus rectum angulum ſubtendens fuerit quadrans,
erit vel vterq; arcuum angulum rectum compre-
hendentium quadrans, vel alter illorum ſaltem: ſi
verò fuerit minor quadrante, vterque reliquorum
vel minor, vel maior quadrante erit: ſi deniq;
qua-
drante maior fuerit, erit reliquorum alter maior
quadrante, & alter minor.
SIT in triangulo ſphærico ABC, angulus B, rectus, &
eum ſubtendens
arcus AC, ſit primum quadrans. Dico vel vtrumque arcuum AB, BC, eſſe
quoque quadrantem, vel ſaltem alterum illorum. Si enim neuter illorum eſt
quadrans, erit vel vterque illorum maior, vel minor
rò minor, ac proinde arcus AC, quadrante maior;
abſurdum eſt, cum arcus AC, po-
natur quadrans. Erit ergo vel vterque arcus AB,
BC, quadrans, vel ſaltem alter illorum.
DEINDE ſit arcus AC, quadrante minor.
Di-
co vtrumque arcum AB, BC, eſſe vel quadrante mi-
norem, vel maiorem. Si enim vterque non eſt minor,
vel maior quadrante, erit vel vterque quadrans, ideoq́ue & arcus AC, qua-
vel vnus illorum quadrans, &
alter non, atque idcirco &
arcus AC,
vel vnus quidem quadrante minor, alter verò maior, atque adeò &
quæ omnia abſurdo ſunt, eum arcus AC, po-
Erit ergo vel vterque arcus AB, BC, minor quadran
te, vel maior.
TERTIO ſit arcus AC, maior quadrante.
Dico alterum reliquorum
AB, BC, quadrante quidem eſſe maiorem, alterum verò minorem. Si enim
non eſt alter maior, & alter minor quadrante, erit vel vterque quadrans,
vel alter ſaltem quadrans, & alter non, ac proinde &
arcus AC, quadrans;
quæ omnia ſunt abſurda, cum arcus AC, maior ponatur, quam qua-
drans. Erit ergo alter arcuum AB, BC, quadrante quidem maior, alter ve-
ro minor. Quocirca in omni triangulo ſphærico rectangulo, &
c.
Quod de-
monſtrandum erat.
IN omni triangulo ſphærico, ſi vterque reli-
quorum angulorum, vel alter ſaltem fuerit rectus,
erit arcus rectum angulum ſubtendens, quadrans: ſi verò vterque reliquorum angulorum minor fue-
rit recto, vel maior, erit arcus ſubtendens angulum
rectum quadrante minor: ſi deniq;
alter reliquo-
rum fuerit maior recto, & alter minor, erit arcus
angulum rectum ſubtendens, quadrante maior.
IN triangulo ſphærico ABC, cuius angulus B, rectus, ſit primum vter-
que angulorum A, C, vel alter ſaltem, nempe C, rectus. Dico arcum AC, qui
rectum angulum B, ſubtendit, eſſe quadrantem. Si enim vterque angulus A,
C, rectus eſt, vel C, tantum, erit triangulum ABC,
Eſt autem &
angulus B, rectus. Igitur arcus AC, quadrans erit.
DEINDE ſit vterque angulus A, C, vel minor
recto, vel maior. Dico arcum AC, quadrante eſſe
minorem. Si namque vterque angulus A, C, eſt mi-
drante; ſi verò vterque angulus A, C, maior eſt re-
Quare cum in triangulo ABc, angulus B, rectus
ſit, & vterque arcus AB, BC, vel minor, vel maior quadrante, erit ſemper
arcus AC, quadrante minor.
TERTIO ſit angulus A, maior recto, &
C, minor.
Dico arcum AC, eſ-
ſe quadrante maiorem. Cum enim angulus A, obtuſus ſit, erit arcus BC,
Et cum angulus C, acutus ſit, erit arcus AB, quadrante mi-
Igitur cum arcus BC, quadrante quidem maior ſit, &
AB, minor, erit
arcus AC, quadrante maior. Quamobrem in omni triangulo ſphærico re-
c.
Quod erat oſtendendum.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, ſi ar-
cus rectum angulum ſubtendens fuerit quadrans,
erit ſaltem alter reliquorum angulorũ rectus quo-
que: ſi verò minor quadrante, erit vterq;
reliquo-
rum angulorum vel maior recto, vel minor: ſi de-
nique quadrante maior, erit alter reliquorum an-
gulorum maior recto, & alter minor.
IN triangulo ſphærico ABC, cuius angulus B, rectus, ſit primum arcus
AC, ſubtendens angulum rectum B, quadrans. Dico ſaltem alterum angu-
lorum A, C, rectum quoque eſſe. Cum enim angulus B, ſit rectus, &
arcus
AC, quadrans, erit ſaltem alter arcuum AB, BC, quadrans; atque adeò &
SIT deinde areus AC, quadrante minor.
Dico
vtrumque angulorum A, C, eſſe maiorem, vel mino-
rem recto. Erit enim vterque arcus AB, BC, vel ma-
Quare vterque angulus
A, C, maior erit recto, vel minor.
POSTREMO ſit arcus AC, maior quadran-
te. Dico alterum angulorum A, C, eſſe recto maio-
rem, & alterum minorem.
Erit enim alter arcuum
AB, BC, quadrante maior, & alter minor.
Igitur
alter mi-
Quapropter In omni triangulo ſphærico rectangulo, &
c.
Quod oſten-
dendum erat.
EX his omnibus colligitur, In omni triangulo ſphærico, cuius vnus arcuum eſt qua-
drans, vnusq́ue angulorum rectus, reliquorum quoque arcuum vnum ſal@em eſſe quadran
tem, & reliquotum angulorum vnum ſaltem rectum.
Nam ſi vnus angulorum rectus eſt,
& alter arcuum ipſum com prehendentium quadrans, erit &
arcus rectum angulum ſubten
&
angulus quem prior quadrans ſubtendit rectus:
Si verò arcus angulum
vel vterque arcuum rectum angulum comprehen-
&
vel vterque reliquorum angulorum, vel alter ſaltem
Itaque fieri non poteſt, vt detur triangulum ſphæricum rectangulum, cuius vnus
ces erunt.
ANGVLI ſphærici eandem habẽt rationem,
quam eorum arcus.
SINT duo anguli ſphærici BAC, EDF, quorum arcus BC, EF.
Dico
ita eſſe angulum A, ad angulum D, vt eſt arcus BC, ad arcum EF. Erunt
&
arcus AB, AC, DE, DF, quadrantes.
Productis igitur arcu-
tur quotcunque arcus
BG, GH, arcui BC,
& quotcũq;
arcus FI,
IK, KL, arcui EF,
æquales; ac per puncta
G, H, I, K, L, & po-
los A, D, arcus circu-
cantur AG, AH, DI,
DK, DL, qui omnes
quadrãtes erunt, nem-
pe quadrantibus AB,
rectæ ſubtenſæ AG, AH, DI,
DK, DL, rectis ſubtenſis AB, AC, DE, DF, æquales ſunt, ex defin. poli.
Erunt ergo omnes anguli ad A, inter ſe æquales;
atque adeò quam multiplex
ad A, anguli BAC: Eademque ratione tam multiplex erit aggregatum om-
nium angulorum ad D, anguli EDF, quam multiplex eſt arcus EL, arcus
EF. Quoniam verò ſi arcus CH, arcui EL, æqualis fuerit, etiam angulus
HAC, angulo EDL, æqualis eſt; ſi autem arcus CH, maior ſuerit arcu EL,
&
ſi minor, minor;
deficient
propterea vnà arcus CH, & angulus HAC, æquè multiplicia primæ magni-
tertiæ BAC, ab arcu EL, &
angulo EDL, æque multiplici-
bus ſecundę magnitudinis EF, & quartæ EDF;
vel vnà æqualia erunt, vel
vnà excedent. Quare quę proportio eſt arcus BC, primæ magnitudinis ad
dinis ad angulum EDF, quartam magnitudinem. Itaque anguli ſphærici
eandem habent rationem, quam eorum arcus. Quod erat demouſtrandum.
EX hoc ſequitur, @ta eſſe angulum ſphæricum quemcumque ad quatuor angulos rectos
ſphæricos, vt eſt arcus illius anguli ad totam circunferentiam circuli maximi; &
contra.
Cum enim ſit angulus ſphæricus quicunque ad angulum rectum ſphæricum, vt arcus il-
quadruplum anguli recti nempe ad quatuor rectos, vt idem arcus illius anguli ad quadru-
&
contra.
SI duo circuli maximi in ſphæra ſe mutuo ſe-
cent, & in eorum peripherijs duo puncta ſignen-
tur, quorum vtrumque vel in eodem ſemicirculo
ſumatur; vel in vno ſemicirculo vnum, &
alterum
in altero eiuſdem circuli; vel vnum in ſemicircu-
lo vno vnius circuli, & alterum in ſemicirculo
vtrolibet alterius circuli; atque per vtrumque ho-
rum punctorum arcus maximi circuli ducatur fa-
ciẽs cum peripheria alterius circuli, ad quamcum-
que partem, angulum rectum: habebit ſinus arcus
intercepti inter vnum illorum punctorum, & al-
terutram ſectionem circulorum, ad ſinum arcus,
qui per illud punctũ ductus rectum cum periphe-
ria alterius circuli angulum facit, eandem propor-
tionem, quam habet ſinus arcus inter punctum al
terum, & alterutram circulortum ſectionem inter-
iecti, ad ſinum arcus, qui per illud punctum de-
ſcriptus cum alterius circuli peripheria rectũ con-
ſtituit angulum.
IN ſphęra duo circuli maximi ABCD, AECF, ſe mutuo ſecentin A, &
C, & primum ad angulos non rectos;
ſignenturq́ue primum in eodem ſemicir-
culo ABC, duo puncta vtcũque B, G; per quę, &
polum circuli AECF, qui ſit
H, circuli maximi ducantur IBHK, LGHM; eruntq́ue anguli ad I, L, K, M,
Dico eãdem habere proportionẽ ſinum arcus AB, vel CB, ad ſinũ arcus
Sit enim cõmunis ſectio circulorum recta AC, ad quam ex B, G, perpẽdiculares
eritq;
BN, ſinus rectus tam arcus
&
eodem modo GO, ſinus
vtriuſque arcus AG, CG. Demittantur ab eiſdem punctis B, G, ad planum
Et quoniam rectæ BP, GQ, ca-
dunt in communes ſectiones circulorum IBK, LGM, cum circulo AECF,
L, M, hoc eſt, cadũtin diametros circulorũ
maximorum IBK, LGM;
circuli AECF,) ac proin-
de rectos angulos faciunt
cum diametris circulorum
IBK, LGM, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
erit quoque
tam BP, ſinus rectus arcuũ
BI, BK, quam GQ, ſinus
rectus arcuum GL, GM,
ex definitione ſinus recti.
Ducantur in plano circuli
AECF, rectæ NP, OQ;
eruntq; per defin.
3.
lib.
11.
Eucl. anguli P, Q, recti, in
triangulis NBP, OGQ.
Quia verò tam rectæ BN,
angulos rectos ANB, AOG,
quam rectæ BP, GQ, cum hæ perpendiculares ſint ad planũ circuli AECF;
atque adeò erit, vt NB,
cus ſumantur, cum cuilibet ſinui duo arcus ſemicirculũ conficientes reſpon-
deant. Hcc eſt, erit, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus BI, ita ſinus arcus AG,
ad ſinum arcus GL. Item vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus BK, ita ſinus ar-
cus AG, ad ſinum arcus GM. Item vt ſinus arcus CB, ad ſinum arcus BI, ita
ſinus arcus CG, ad ſinum arcus GL. Item vt ſinus arcus CB, ad ſinum arcus
BK, ita ſinus arcus CG, ad ſinum arcus GM. Item vt ſinus arcus AB, ad
ſinum arcus BI, ita ſinus arcus CG, ad ſinum arcus GM, &c.
DEINDE ſumatur vnum punctum, puta B, in ſemicirculo ABC, &
al-
terum, nempe D, in altero ſemicirculo CDA, eiuſdem circuli, ducanturq́ue
per puncta B, D, & polum circuli AECF, qui ſit H, duo arcus circulorum
eruntq́ue anguli recti F, I, S, K.
Dico rurſus, vt eſt ſi-
vel CD, ad ſinum arcus DF, vel arcus, qui cum arcu FD, ſemicirculum per-
ficit ã puncto D, vſque ad punctum S, ſemicirculi AEC. Nam arcus ab F, per
D, vſque ad S, ſemicirculus eſt, cum circuli AECF, DFS, ſe mutuo bifa-
Sumatur enim arcui AD, arcus AG, æqualis, &
per G,
polum circuli AECF, nempe per H, arcus maximi circuli ducatur LGM;
Quoniam igitur duo anguli A, L, trianguli AGL,
A, ad verticem æquales, & anguli L, F, recti.)
ſuntq́ue latera AG, AD, rectos
erunt quoque arcus GL,
eorum ſinus æquales erunt, necnon &
ſinus ar-
cuum æqualium AG, AD, erunt æquales. Eadem ergo eſt proportio ſinus
arcus AG, ad ſinum arcus GL, quæ ſinus arcus AD, ad ſinum arcus DF: Vt
autem ſinus arcus AG, ad ſinum arcus GL, ita demonſtratum eſt, eſſe ſinum
arcus AB, vel CB, ad ſinum arcus BI, vel BK, propterea quòd puncta B, G,
in eodem ſemicirculo ſumpta ſunt. Igitur erit quoque, vt ſinus arcus AB, vel
CB, ad ſinum arcus BI, vel BK, ita ſinus arcus AD, ad ſinum arcus DF, &c.
POSTREMO ſumatur in ſemicirculo ABC, punctum B, &
in alterius
circuli ſemicirculo vtrouis
nempe in AEC, aliud pun
ctum L: Et per B, &
polum
Item per L, &
per polum
circuli ABC, arcus LGM,
maximi circuli; eruntq́ue
anguli I, G, recti. Dico rur-
ad ſinum arcus BI, ita eſſe
ſinum arcus AL, ad ſinum
arcus LG, &c.
Per po-
los enim vtriusque circuli
culi maximi ducatur RE; eruntq́ue anguli R, E, re-
culi ABC, AEC, bifa-
atque
adeo ſinus quadrantum AR, AE, æquales erunt; Eademq́ue proportio erit
Quoniam vero eſt, vt ſinus arcus AR, ad ſinũ arcus RE, ita ſinus arcus AB,
ad ſinum arcus BI, vt demonſtratum eſt; (ſumpta ſunt enim duo puncta R,
B, in eodem ſemicirculo) erit quoque, vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus ER,
ita ſinus arcus AB, ad ſinum arcus BI: Sed eadem ratione eſt, vt ſinus arcus
AE, ad ſinum arcus ER, ita ſinus arcus AL, ad ſinum arcus LG. Igitur erit
quoque, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus BI, ita ſinus arcus AL, ad ſinum
arcus LG, &c.
Quòd ſi loco puncti L, ſumatur in altero ſemicirculo AFC,
eiuſdem circuli AECF, aliud punctum, nempe F, & arcus FD, faciat angu-
lum D, rectum, erit adhuc, vt ſinus arcus AB, ad linum arcus BI, ita ſinus ar-
cus AF, ad ſinum arcus FD, &c.
Vt enim proxime oſtendimus, vt ſinus ar-
cus AB, ad ſinum arcus BI, ita eſt arcus ſinus AL, ad ſinum arcus LG: Vt
autem ſinus arcus AL, ad ſinum arcus LG ita demonſtratum eſt, eſſe ſinum
arcus AF, ad ſinum arcus FD, quòd puncta L, F, ſumantur in duobus ſemi-
circulis eiuſdem circuli. Igitur erit quoque, vt ſinus arcus AB, ad ſinum ar-
cus BI, ita ſinus arcus AF, ad ſinum arcus FD: Atque ita in vniuerſum vera
eſt propoſitio, quomodocunq; duo puncta ſumãtur, quando circuli ABCD,
AECF, ſe mutuo ſecantad angulos non rectos.
SED iam circuli ABCD, AECF, ſecent ſe mutuo ad angulos rectos in
punctis A, C; ſitq́ue eorum communis ſectio recta AC.
Diuiſo autem v.
g.
ſemicirculo ABC, bifariam in H, vt ſint quadrantes AH, CH, ſumantur
duo puncta vtcunque B, G. Dico ita eſſe rurſus
ſinum arcus AB, ad ſinum arcus, qui per B, ductus
rectos angulos facit cum circulo AECF, vt eſt
cum circulo AECF, rectos facit angulos. Quo-
niam enim circulus ABC, cum rectus ad circulum
AEC, ponatur, tranſit per polos circuli AEC,
Quare arcus perpen-
diculares ad circulum AEC, per puncta B, G, du-
cti neceſſario per H, tranſibunt; atque adeò arcus
Perſpicuum autem eſt, vt eſt
ſinus arcus AB, ad ſinum arcus BA, ita eſſe ſinum
arcus AG, ad ſinum arcus GA, cum vtrobique
ſit proportro æqualitatis, ſeu identitatis: Eſt e-
nim idem ſinus arcus AB, & arcus BA, necnon
idem ſinus arcus AG, & arcus GA.
QVOD ſi alterum punctorum ſit H, polus circuli AEC, erit quicun-
que arcus ex H, ductus, qualis eſt HE, perpendicularis, ad AEC, atque adeò
Rurſus igitur manifeſtum eſt, ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum ar-
cum vtrobique
quoque ſit æ qualitatis proportio, &c.
Si duo ergo circuli maximi in ſphæra
ſe mutuo ſecent, &c.
Quod erat oſtendendum.
PERSPICVVM eſt ex demonſtratis:
Si duo circuli ſe mutuo ſecent, &
in vno
eorum ex duobus punctis vtcunq; aſſumptis ducantur ad alterius circuli planum duæ
lineæ rectæ perpendiculares; ita eſſe ſinum rectum arcus intercepti inter vnum illo-
rum punctorum, & alterutram circulorum ſectionem, ad perpendicularem ex illo
puncto in planum alterius circuli demiſſam, vt eſt ſinus rectus arcus inter alterum
punctum, & alterutram ſectionem circulorum interiecti, ad perpendicularem ab hoc
altero puncto in planum alterius circuli demiſſam. Nam in priori figura buius pro-
poſ. oſtenſum eſt, ita eſſe ſinum arcus
Ab, vel Cb, ad BP, ſinum rectum arcus BI,
vt eſt ſinus arcus AG, vel CG, ad GQ, ſinum rectum arcus GL. Cum ergo ſinus BP,
GQ, ſint perpendiculares ex punctis B, G, in planum circuli AECf, demiſſæ, pa-
tet propoſitum. Quòd ſi vnum punctorum acceptum ſit B, ex vna parte ſectionis A,
& alterum punctum acceptum ſit D, ex altera parte ſectionis
A, in eodem circulo; erit nibilominus ita ſinus arcus AB, ad perpendicularem BP, ex B, demiſſam in pla-
num alterius circuli AECF, vt ſinus arcus AD, ad perpendicularem, quæ ex D, in
planum alterius circuli AECF, demitteretur: propterea quod oſtenſum eſt, ita eſſe
ſinum arcus AB, ad ſinum arcus BI, vt @ſt ſinus arcus AD, ad ſinum arcus DF; qui
quidem ſinus arcuum BI, DF, ſunt perpendiculares ex punctis B, D, in planum
circuli AECF, cadentes, vt ex demonſtratis in hac propoſ. liquido conſtat.
Idem
perſpicitur in figura poſteriori; cum ibi etiam ſit, vt ſinus arcus AB, ad perpendicu-
AECf, demiſſam, ita ſinus arcus AG, ad perpendi-
cularem ex G, in planum circuli AECF, demiſſam: propterea quòd ſinus arcuum
AB, AG, ſuntipſæmet perpendiculares ex B, G, in planum circuli AECF, demiſſæ
cadentes in rectam AC, communem circulorum ſectionem, vt patet.
HINC facile demonſtrari poterunt ſequentia theoremata, quorum nonnulla pl@
rimum ad ſphæricorum triangulerum calculum conducunt. Primum autem ac ſecun-
dum ſunt duo Theoremata Ptolemæi Cyclica in primo lib. Almageſti, ſed multo bre-
uius, ac facilius demonſtrata ex ijs, quæ in hoc ſcholio oſtenſa ſunt. Vnde omittend@
@on videbantur, licet eorum vſus in hiſce triangulis non appareat.
SI in ſphæræ ſuperficie ab vno puncto duo arcus maximorum
circulorum educantur, quorum vterque ſemicitculo ſit minor, & ab
eorum terminis in ipſos reflectantur alij duo arcus maximorum cir-
culorum ſe inter duos illos priores arcus interſecantes: proportio,
quam ſinus ſegmẽti vnius eductorum arcuum inter terminum eius,
& arcum reflexum habet ad ſinum alterius ſegmenti eiuſdem arcus
educti, componitur ex proportione, quam ſinus ſegmenti arcus re-
flexi inter eundem terminum, & alterum arcum reflexum habet ad
ſinum alterius ſegmenti eiuſdem arcus reflexi, & ex proportione,
quam ſinus ſegmenti alterius eductorum arcuum inter eius termi-
num, & arcum reflexum habet ad ſinũ totius eiuſdem arcus educti.
E X puncto A, in ſuperficie ſpharæ educantur duo arcus AB, AC, ſemicirculis
minores, & à terminis B, C, reflectantur adipſos duo arcus BD, CE, ſe interſe-
cantes in F. Dico proportionem ſinus arcus BE, ad ſinum arcus EA, componi ex pro-
portione ſinus arcus Bf, ad ſinum arcus FD, & ex proportione ſinus arcus CD, ad
ſinum arcus CA. Ductis enim ex punctis B, A, D, ad planum
quoniam
duo circuli AB, CE, ſe mutuo ſecant in E, & ex punctis B, A,
in planum circuli Ce, demiſſæ ſunt perpendiculares BG, AH; erit vt ſinus arcus EB, ad ſinum arcus EA, ita recta BG, ad
Item quoniam duo circuli BD,
CE, ſe mutuo
ſecant in F, & ex punctis B,D, in planum circuli CE, deductæ
ſunt perpendiculares BG, DI; erit eadem ratione, vt ſinus ar-
cus FB, ad ſinum arcus FD, ita recta BG, ad rectam DI: De-
nique quia duo circuli AC, CE, ſe interſecant in C, & ex
punctis D, A, in planum circuli CE, demiſſæ ſunt perpendi-
culares rectæ lineæ DI, AH; erit ſimiliter, vt ſinus arcus
CD, ad ſinum arcus CA, ita recta DI, ad rectam AH. Pro-
p@rtio autem recta BG, ad rectam AH, (poſita media linea DI.) componitur ex pro-
portione rectæ BG, ad rectam DI, & ex proportione rectæ DI, ad rectam AH.
Igi-
tur & proportio ſinus arcus
BE, ad ſinum arcus EA, (quæ eadem eſt, quæ propor-
tio BG, ad AH.) componetur ex proportione ſinus arcus BF, ad ſinum arcus FD,
(quæ eadem eſt, quæ proportio BG, ad DI.) &
ex proportione ſinus arcus CD, ad
@inum arcus AC, (quæ eadem eſt, quæ DI, ad AH.) quod eſt propoſitum.
IISDEM poſitis, proportio ſinus vnius arcuum eductorum ad
ſinum ſegmenti eiuſdem arcus inter punctum eductionis, & arcum
reflexum, componitur ex proportione ſinus arcus reflexi à termino
dictiarcus ad ſinum ſegmenti eiuſdem arcus reflexi inter alterum ar-
cum eductum, & alterum arcum reflexum, &
ex proportione ſi-
nus ſegmenti alterius arcus reflexi inter terminum alterius arcus
educti, & priorem arcum reflexum ad ſinum totius poſterioris ar-
cus reflexi.
HOC eſt, proportio ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AE, componitur ex pr@-
portione ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DF, & ex proportione ſinus arcus CF, ad
ſinum arcus Ce. Ductis enim ex punctis B, E,
F, ad planum circuli AC, tribus per-
pendicularibus BG, EH, FI; quoniam duo circuli
A, & ex punctis
B,
E, in planum circuli AC, demiſſæ ſunt perpendicu-
lares BG, EH; erit, vt ſinus arcus
AB, ad ſinum
BG, ad rectam EH: Item quiæ
duo circuli BD, AC, ſe interſecant in D, & ex
punctis B, F, in planũ circuli AC, deductæ ſunt per-
pendiculares BG, FI; erit pari ratione, vt ſinus
arcus Db, ad ſinum arcus Df, ita recta BG, ad re-
ctam FI: Denique quoniam duo circuli AC, CE, ſe in C, interſecant, &
ex pun-
ctis F, E, in planum circuli AC, demiſſæ ſunt perpendiculares FI, EH; erit eadem
argumentatione, vt ſinus arcus CF, ad ſinum arcus CE, ita recta FI, ad rectam
EH. Componitur autem proportio rectæ
BG, ad rectam EH, (poſita media lineæ FI.) ex proportione rectæ
BG, ad rectam FI, & exproportione rectæ FI, ad rectam
EH. Igitur &
proportio ſinus arcus
Ab, ad ſinum arcus AE, (quæ eadem eſt, quæ BG, ad EH.) componetur ex proportione ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DF, (quæ
@adem eſt, quæ BG, ad FI,) & ex proportione ſinus arcus CF, ad ſinum arcus CE,
(quæ cadem eſt, quæ FI, ad EH.) quod eſt propoſitum.
IISDEM poſitis, proportio ſinus vnius arcuum eductorum ad
ſinum ſegmenti eiuſdem arcus inter eius terminum, & arcum refle-
xum, componitur ex proportione ſinus ſegmenti alterius arcus edu-
cti inter punctum eductionis, & arcum reflexum ad ſinum reliqui
ſegmenti, & ex proportione ſinus ſegmenti arcus reflexi à termino
poſterioris arcus educti inter terminum, & alterum arcum reflexum
ad ſinum reliqui ſegmenti eiuſdem arcus reflexi.
HOC eſt, (repetita figura primi theorematis) proportio ſinus arcus AC, ad ſi-
num arcus CD, componitur exproportione ſinus arcus AE, ad ſinum arcus Eb, &
BF, ad ſinum arcus FD. Quoniam enim duo circuli AC,
Ce, ſe interſecant in C, & ex punctis A, D, demißæ ſunt perpendiculares AH, DI,
ad planum circuli CE; erit, vt ſinus arcus CA, ad ſinum arcus CD, ita recta AH,
Item quoniam duo circuli
Ab, CE, ſe mutuo
ſecant in E, & expunctis
A, B, in planum circuli CE, dedu-
erit ſimili modo, vt ſinus
arcus EA, ad ſinum arcus Eb, ita recta AH, ad rectam BG. Denique quia duo circuli BD, CE, ſe mutuo ſecant in F, &
ex punctis B, D, ad planum circuli CE, ductæ ſunt perpendi-
culares BG, DI; erit eadem ratione, vt ſinus arcus
FB, ad ſi-
num arcus FD, ita recta BG, ad rectam DI. Componitur au-
tem proportio rectæ AH, ad rectam DI, (poſita media lineæ BG) ex proportione rectæ AH, ad rectam BG, & ex propor
tione rectæ BG, ad rectam DI. Igitur &
proportio ſinus ar-
cus AC, ad ſinum arcus CD, (quæ eadem eſt, quæ AH, ad
DI.) componetur ex proportione ſinus arcus AE, ad ſinum ar-
cus EB, (quæ eadem eſt, quæ AH, ad BG.) &
ex proportione ſinus arcus
BF, ad
ſinum arcus FD, (quæ eadem eſt, quæ BG, ad DI.) quod eſt propoſitum.
IISDEM poſitis, proportio ſinus ſegmenti vnius arcuum re-
flexorum inter terminum arcus educti, & alterum arcum reflexum
ad ſinum reliqui ſegmenti, componitur ex proportione ſinus ſegmen
ti vnius arcuum eductorum inter eundem terminum, & alterum ar-
cum reflexum ad ſinum reliqui ſegmenti, & ex proportione ſinus al-
terius arcus educti ad ſinum ſegmenti illius inter terminum, & ar-
cum reflexum.
HOC eſt, (repetita eadem figura primi theorematis) proportio ſinus arcus BF,
ad ſinum arcus FD, componitur ex proportione ſinus arcus BE, ad ſinum arcus EA,
& ex proportione ſinus arcus AC, ad ſinum arcus CD.
Cum enim duo circuli BD,
CE, ſe mutuo ſecent in F, & ex BD, ad planum circuli CE, perpendiculares BG,
DI, ſint demiſſæ; erit, vt ſinus arcus FB, ad ſinum arcus FD, ita recta BG, ad re-
Quia item duo circuli BA, CE, ſe mutuo ſecantin E, &
ex punctis B, A,
ad circulum CE, perpendiculares ductæ ſunt BG, AH; erit quoque, vt ſinus arcus
EB, ad ſinum arcus EA, ita recta BG, ad rectam AH: Denique quia duo circuli
AC, CE, ſeſe in C, ſecant, & ex punctis A, D, ad planum circuli CE, demiſſæ
ſunt perpendiculares AH, DI; erit ſimiliter, vt ſinus arcus CA, ad ſinum arcus
CD, ita recta AH, ad rectam DI. Proportio autem rectæ BG, ad rectam DI,
(poſita media linea AH) componitur exproportione rectæ BG, ad rectam AH, &
ex proportione rectæ AH, ad rectam DI. Igitur &
proportio ſinus arcus BF, ad
ſinum arcus FD, (quæ eadem eſt, quæ BG, ad DI.) componetur ex proportione ſi-
nus arcus BE, ad ſinum arcus EA, (quæ eadem eſt, quæ BG, ad AH.) &
ex pro-
portione ſinus arcus AC, ad ſinum arcus CD, (quæ eadem eſt, quæ AH, ad DI.) quod eſt propoſitum.
IISDEM poſitis, proportio ſinus vnius arcuum reflexorum
ad ſinum ſegmenti eiuſdem inter terminum arcus educti, & alterum
arcum reflexum, componitur ex proportione ſinus ſegmenti alte-
rius arcus educti inter punctum eductionis, & arcum reflexum ad
ſinum totius arcus educti; &
ex proportione ſinus alterius arcus re-
flexi ad ſinum ſegmenti eiuſdem inter priorem arcum eductum &
priorem arcum reflexum.
HOC eſt, (repetita figura ſecundi theorematis) proportio ſinus arcus CE, ad
ſinum arcus CF, componitur ex proportione ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AB,
& exproportione ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DF.
Nam cum duo circuli AC,
CE, ſe in C, mutuò ſecent, & ex punctis E, F, ad
FI, erit vt ſinus arcus CE, ad ſinum arcus CF,
Item cum duo circuli
AB, AC, ſe interſecent in A, & ex punctis E, B,
ad planum circuli AC, cadant perpendiculares
EH, BG; erit etiam, vt ſinus arcus AE, ad ſinum
arcus Ab, ita recta EH, ad rectam BG: Quia de-
nique duo circuli AC, BD, ſe mutuo ſecant in D,
& expunctis
B, F, ad planum circuli AC, demiſſæ ſunt perpendiculares BG, FI; erit pari ratione, vt ſinus arcus
De, ad ſinum arcus DF, ita recta BG, ad rectam FI.
Componitur autem proportio rectæ EH, ad rectam FI, (poſita media linea BG,)
ex proportione rectæ EH, ad rectam BG, & ex proportione rectæ
BG, ad rectam
FI. Igitur proportio quoque ſinus arcus CE, ad ſinum arcus CF, (quæ eadem eſt,
quæ EH, ad FI.) componetur ex proportione ſinus arcus AE, ad ſinum arcus
Ab,
(quæ eadem eſt, quæ EH, ad BG.) &
ex proportione ſinus arcus
BD, ad ſinum arcus
DF, (quæ eadem eſt, quæ BG, ad FI.) quod eſt propoſitum.
SI in ſphæræ ſuperficie duo maximi circuli ſe mutuò non ad an-
gulos rectos ſecent, & à duobus punctis in vno aſſumptis ad alterum
circulum ducantur duo arcus perpendiculares: Erit, vt ſinus arcus
inter punctum interſectionis, & alterutrum angulorum rectorum
intercepti ad tangentem illius arcus perpendicularis, ita ſinus arcus
inter punctum interſectionis, & alterum angulum rectum interie-
cti ad tangentem alterius huius arcus perpendicularis.
DVO circuli maximi
Ab, AC, ſe mutuo ſecent in A, non ad angulos rectos, &
ex punctis C, E, in circulo AC, aſſumptis ad circulum Ab, ducantur arcus perpen-
diculares GB, ED. Dico ita eſſe ſinum arcus
AB, ad tangentem arcus CB, vt eſt
ſinus arcus AD, ad tangentem arcus ED. Productis enim arcubus
BC, DE, donec
coëant in F, erunt BF, DF, quadrantes. Quoniam vero à puncto
B, duo arcus ma-
BA, BF, educuntur, ab eorumq́; terminis A, F, ad ipſos du@
arcus AC, FD, reflectuntur ſe interſecantes in E;componetur proportio ſinus arcus
AB, ad ſinum arcus AD, ex proportione ſinus arcus BC, ad ſinum arcus CF, & ex
proportione ſinus arcus EF, ad ſinum arcus DE. Eſt autem, (cum CF, ſit complementũ arcus
BC.)
BC, ita ſinus
BC; conuertendoq́;
vt
ſinus arcus BC, ad ſinum arcus CF, ita tangens
arcus BC, ad ſinum totum: Item (cum EF, ſit
complementum arcus DE.) vt ſinus arcus EF, ad
ſinum arcus DE, ita ſinus totus ad tangentem ar-
cus DE. Igitur proportio ſinus arcus
Ab, ad ſi-
num arcus AD, componetur quoque ex proportio-
ne tangentis arcus BC, ad ſinum totum, & ex
proportione ſinus totius ad tangentem arcus DE. Cum ergo &
proportio tangentis arcus
BC, ad
tangentem arcus DE, componatur exproportio-
ne tangentis arcus BC, ad ſinum totum, & ex proportione ſinus totius ad tangen-
tem arcus DE; quòd ſinus totus inter dictas tangentes ſit poſitus:
erit, vt ſinus ar-
cus AB, ad ſinum arcus AD, ita tangens arcus BC, ad tangentem arcus DE; &
permutando, vt ſinus arcus AB, ad tangentem arcus CB, ita ſinus arcus AD, ad
tangentem arcus ED. Quod eſt propoſitum.
SI in ſphæræ ſuperficie duo quadrantes maximorum circulorum
ſe interſecent ad angulos non rectos, & per extrema puncta arcus ma-
ximi circuli ducatur, necnon ab aliquo puncto vnius quadrantis ad
alterum arcus perpendicularis demittatur: Erit, vt ſinus totus ad tan-
gentem huius arcus perpendicularis, ita tangens complementi arcus
per extremitates quadrantum ducti ad ſinum arcus quadrantis, ad
quem perpendicularis arcus demiſſus eſt, inter punctum ſectionis, &
arcum perpendicularem interiecti.
DVO quadrantes maximorum circulorum
& per D, E, arcus circuli maximi deſeribatur
DE: eruntq́ anguli D, E, recti.
Item ex C, pun
dicularis CB: Productis autem arcubus DE,
BC,
donec in F, coëant, erunt DF, BF, quadrantes.
BC,
vt eſt tangens arcus EF, qui complementum eſt
arcus DE, ad ſinum arcus AB. Quoniam enim à
puncto D, duo arcus circulorũ maximorum educti
ſunt Da, DF, & ab eorum terminis
A, F, duo alij
AE, FB, ſecantes ſeſe in C; erit proportio ſinus arcus CF, ad ſinum
BC, compoſita ex proportione ſinus arcus EF, ad ſinum arcus DE, & ex
proportione ſinus totius quadrantis AD, ad ſinum arcus AB. Eſt autem, (cum CF,
ſit complementum arcus BC.) vt ſinus arcus CF, ad ſinum arcus
CB, ita ſinus to-
BC: Item, (cum DE, ſit cowplementum arcus EF.)
vt ſi-
nus arcus DE, ad ſinum arcus EF, ita ſinus totus ad tangentem arcus EF; &
con-
uertendo, vt ſinus arcus EF, ad ſinum arcus De, ita tangens arcus EF, ad ſinum
totum. Igitur &
proportio ſinus totius ad tangentem arcus
BC, compoſita erit ex
proportione tangentis arcus EF, ad ſinũ totum, & ex proportione ſinus totius qua-
drantis AD, ad ſinum arcus AB. Cum ergo proportio tangentis arcus
EF, ad ſi-
num arcus AB, componatur quoque ex proportione tangentis arcus EF, ad ſinum
totum, & ex proportione ſinus totius ad ſinum arcus
AB; quòd ſinus totus ſit me-
dius inter illam tangentem, & hunc ſinum:
erit, vt ſinus totus ad tangentem arcus
BC, ita tangens arcus EF, ad ſinum arcus AB. Quod eſt propoſitum.
SI in ſphæræ ſuperficie duo maximi circuli ad angulos non rectos
ſe mutuo ſecent, & à duobus punctis in vno aſſumptis ad alterum cir-
culum duo arcus perpendiculares ducantur: Erit, vt ſinus arcus inter
punctum ſectionis, & alterutrum punctorum ſumptorum ad ſecan-
tem complementi arcus per reliquum punctum aſſumptum ducti, ita
ſinus arcus inter punctum ſectionis, & reliquum hoc punctum ſum-
ptum ad ſecantem complementi arcus per alterum illud punctum aſ-
ſumptum ducti.
IN proxima figura ſecent ſeſe duo maximi circuli AD, AE, in A, ad angulosno@
rectos, & ex punctis C, E, ad AD, arcus perpendiculares ducantur CB, ED, pro-
ducanturq́;, donec coeant in F.
Erunt BF, DF, quadrantes, ac propterea CF,
EF,
BC, De. Dico ita eſſe ſinũ
arcus AE, ad ſecantem arcus CF, vt eſt ſinus ar-
cus AC, ad ſecantem arcus EF. Quoniam enim à
Da, DF, à quo-
rum terminis A, F, duo alij ad ipſos reflectuntur AE, FB, ſe interſecantes in C; erit proportio ſi-
nus arcus AE, ad ſinum arcus AC, compoſita ex
De, ad ſinum totum qua-
drantis DF, & ex proportione ſinus totius qua-
BF, ad ſinum arcus BC. Eſt autem, vt
ſinus arcus De, ad ſinum totum quadrantis DF,
ita ſinus totus ad ſecantem arcus EF; propterea
quòd ſinus totus medio loco proportionalis eſt in-
De, & ſecantem arcus
EF, qui complementum eſt arcus De: Eademq́; ratione ita eſt ſecans arcus CF, ad ſinum totum, vt ſinus totus quadrantis
BF, ad ſinum arcus BC; quòd ſinus totus medio quoque loco ſit proportionalis inter
ſecantem arcus CF, qui complementum eſt arcus BC, & ſinum rectum arcus
BC.
Igitur proportio ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, componetur quoque ex pro-
portione ſecantis arcus CF, ad ſinum totum, & exproportione ſinus totius ad ſecan-
EF. Cum ergo &
proportio ſecantis arcus CF, ad ſecantem arcus
EF,
componatur ex proportione ſecantis arcus CF, ad ſinum totum, & ex proportione
ſinus totius ad ſecantem arcus EF; quòd ſinus totus ſit medius inter has ſecãtes:
erit,
vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, ita ſecans arcus CF, ad ſecantem arcus EF; &
permutando, vt ſinus arcus
AE, ad ſecantem arcus CF, ita ſinus arcus AC, ad
ſecantem arcus EF. Quod eſt propoſitum.
ALITER.
Quoniam eſt, vt ſinus arcus
AE, ad ſinum arcus ED, ita ſinus ar-
AC, ad ſinum arcus CB; hoc eſt, permutando, vt ſinus arcus
AE, ad ſinum ar-
cus AC, ita ſinus arcus ED, ad ſinum arcus CB: Eſt autemita ſecans arcus CF,
EF, vt ſinus ED, qui complementum eſt poſterioris arcus EF, ad
ſinum arcus CB, qui complementum eſt arcus prioris CF; erit quoque, vt ſinus ar-
cus AE, ad ſinum arcus AC, ita ſecans arcus CF, ad ſecantem arcus EF. Et per-
mutando, vt ſinus arcus AE, ad ſecantem arcus CF, ita ſinus arcus AC, ad ſecan-
tem arcus EF. Quod eſt propoſitum.
EADEM hæc demonſtratio locum etiam habet, licet duo puncta aſſumpta ſint ad
diuerſas partes puncti ſectionis. Secent enim rurſum ſeſe duo circuli maximi
EF, BA,
in D; &
à punctis
F, E, arcus EF, ducantur ad BA, arcus perpendiculares FA, EB. Dicoita eſſe ſinum arcus
ED, ad ſecantem complementi
arcus FA, vt est ſinus arcus DF, ad ſecantem comple-
EB. Nam quoniam eſt, vt ſinus arcus ED,
EB, ita ſinus arcus DF, ad ſinum arcus FA; &
permutando, vt ſinus arcus
ED, ad ſinum arcus
DF, ita ſinus arcus EB, ad ſinum arcus FA; Vt autem
ſinus arcus EB, ad ſinum arcus FA, ita eſt ſecans com-
FA, ad ſecantem complementi arcus EB: erit quoque, vt ſinus arcus
ED, ad ſinum arcus DF, ita
ſecans complementi arcus FA, ad ſecantem complementi
arcus EB; &
permutando, vt ſinus arcus
ED, ad ſecantem complementi arcus FA,
ita ſinus arcus DF, ad ſecantem complementi arcus EB. Quod eſt propoſi@um.
REPETIVIMVS autem hic figuram quartam propoſ.
35.
licet arcuum BC,
CF, nulla fiat mentio, ne nouam figuram cogeremur extruere.
IN omni triangulo ſphærico, ſinus cuiuſlibet
arcus ad ſinum anguli, quem ſubtendit, eandem
habet proportionem, quam ſinus vtriuſque reli-
quorum arcuum ad ſinũ anguli, quem ſubtendit.
SIT triangulum ſphæricum quodcunque ABC.
Dico ita eſſe ſinum ar-
cus AB, ad ſinum anguli C, quem ſubtendit, vt eſt ſinus arcus AC, ad ſinum
auguli B, quem ſubtendit, & vt ſinus arcus BC, ad ſinum anguli A, quem
ſubtendit. Sint enim primum omnes tres anguli recti;
eruntq́ue propterea
Manifeſtum igitur eſt, vt eſt ſinus totus quadrantis
totum anguli recti B, & ſinum totum quadrantis B C,
DEINDE ſint duo tantum anguli A, B, recti,
eruntq́; idcirco arcus AC, BC, quadrantes, &
C, po-
Itaque rurſus perſpicuum eſt, vt eſt ſi-
nus arcus AB, ad ſinum anguli C, hoc eſt, ad ſinum
arcus AB, (Eſt enim A B, arcus anguli C, cum C, ſit
polus arcus AB, vt oſtenſum eſt) ita eſſe ſinum totum
quadrantis AC, ad ſinum totum anguli recti B, & ſi-
num totum quadrantis BC, ad ſinum totum anguli recti A; cum ſemper ſit
æqualitatis proportio.
TERTIO ſit angulus duntaxat C, rectus, &
reliquorum angulorum
A, B, vterque recto minor, vel maior; vel alter recto maior, &
alter minor.
Si
igitur vterque recto minor eſt, erunt omnes arcus quadrante minores. Produ-
fiant quadrantes BD, AE, BF, AG,
& per puncta D, F, arcus maximi circuli DF, &
per
e-
runtq́ue anguli D, F, E, G, recti, & B, polus arcus
A, polus arcus EG;
ac proinde arcus DF,
EG, arcus erunt angulorum B, A. Tam verò qua-
drans BD, quam AE, arcus eſt anguli recti C, vt ex
defin. 6.
perſpicuum eſt.
Quoniam igitur duo circu-
li maximi BD, BF, ſe mutuo ſecant in ſphæra in pun
cto B, & in arcu BD, ſumpta ſunt duo puncta A, D,
à quibus ad arcum BF, ducti ſunt arcus perpendiculares AC, DF; erit vt ſi-
nus arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DF:
permutando, vt ſinus arcus AB, trianguli ABC, ad ſinum quadrantis BD,
hoc eſt, ad ſinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita ſinus
arcus AC, trianguli eiuſdem ABC, ad ſinum arcus DF, hoc eſt, ad ſinum an-
guli B, eiuſdem trianguli ABC. Eodem modo erit, vt ſinus arcus AB, in
triangulo ABC, ad ſinum quadrantis AE, hoc eſt, ad ſinum totum anguli
recti C, eiuſdem trianguli ABC, ita ſinus arcus BC, eiuſdem trianguli ABC,
ad ſinum arcus EG, hoc eſt, ad ſinum anguli A, in eodem triangulo ABC. Patet ergo propoſitum.
SI verò vterque angulorum A, B, eſt re-
tam arcus AC, quam BC, quadrante ma-
Producto igitur arcu AB, in vtramque
partem, vt ſint quadrantes AE, BD, abſciſ-
ſisq́ue quadrantibus AG, BF, ducatur per
puncta D, F, arcus maximi circuli DF, & per
eritq́ue rur-
A, polus arcus EG.
Igitur DF, EG, arcus erunt angulorum B,
A; necnon tam quadrans BD, quam AE, ar-
cus anguli recti C, ex defin. 6.
Item propter
quadrantes BD, BF, vterque angulus D, F; &
propter quadrantes AE, AG,
Quia igitur duo maximi circuli BD, BC,
ſe mutuo in ſphæra ſecant in B, ſumptaq́ue ſunt in BD, duo puncta A, D, à
quibus ad BC, ducti ſunt duo arcus AC, DF, perpendiculares, erit vt ſinus
arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus arcus BD, ad ſin um arcus DF: &
per-
eſt, ad ſinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita ſinus arcus
AC, eiuſdem trianguli ABC, ad ſinum arcus DF, hoc eſt, ad ſinum anguli
B, in eodem triangulo ABC. Eademq;
ratione erit, vt ſinus arcus AB, trian
guli ABC, ad ſinum quadrantis AE, hoc eſt, ad ſinum totum anguli recti C,
in eodem triangulo ABC, ita finus arcus BC, eiuſdem trianguli ABC, ad
finum arcus EG, hoc eſt, ad ſinum anguli A, in eodem triangulo ABC. Quod
eſt propoſitum.
SI denique alter angulorum A, B, recto maior eſt, &
alter minor;
ſit B, ma-
ior, & A, minor.
Erit igitur arcus AB, quadrante maior:
Item arcus AC,
quadrante. Abſcindantur ergo quadrantes
AG, productoq́ue arcu BC, fiat
&
per puncta D, F, ducatur ar-
cus DF, circuli maximi, necnon per E, G,
arcus circuli maximi EG; eritq́ue rurſus B,
polus arcus DF, & A, polus arcus EG.
Igi-
necnon tam quadrans BD, quam AE, arcus
anguli C, recti, ex defin. 6.
Item propter qua-
drantes AE, AG, vterque angulus E, G, re-
Quoniam igitur duo circuli maxi-
mi BA, BF, in ſphæra ſe mutuo ſecant in B,
ſumptaq́ue ſunt in BA, duo puncta A, D, à
quibus ad BF, ducti ſunt duo arcus perpendiculares AC, DF; erit, vt ſinus
arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DF: &
hoc eſt, ad ſinum totum anguli recti C, in eodem triangulo ABC, ita ſinus
arcus AC, trianguli eiuſdem ABC, ad ſinum arcus DF, hoc eſt, ad ſinum an-
guli B, in triangulo eodem ABC. Eodemq́ue modo erit, vt ſinus arcus AB,
trianguli ABC, ad ſinum quadrantis AE, hoc eſt, ad ſinum totum recti an-
guli C, in eodẽ triangulo ABC, ita ſinus arcus BC, eiuſdem trianguli ABC,
ad ſinum arcus EG, hoc eſt, ad ſinum anguli A, eiuſdem trianguli ABC,
Quod eſt propoſitum.
QVARTO ac vltimo nullus angulorum A, B, C, rectus ſit.
Per pun-
polum circuli BC, ducatur arcus circu-
eruntq́;
anguli ad D, recti.
Quoniam
igitur in triangulo ABD, angulus D, rectus eſt; erit,
vt iam demonſtratum eſt, vt ſinus arcus AB, ad ſi-
num anguli ADB, ita ſinus arcus AD, ad ſinum an-
guli B: &
permutando, vt ſinus arcus AB, ad ſinum
arcus AD, ita ſinus anguli ADB, ad ſinum anguli
B. Sed eodem modo, cum in triangulo ADC, an-
eſt, vt ſinus arcus AD, ad ſinum anguli ACD, ita ſinus
arcus AC, ad ſinum anguli ADC: &
permutando, vt ſinus arcus AD, ad ſi-
num arcus AC, ita ſinus anguli ACD, ad ſinum anguli ADC, hoc eſt, ad
ſinum anguli ADB, cum anguli ad D, ſint recti. Ex æqualitate ergo, &
per-
turbata proportione, erit, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC, ita ſinus an-
guli ACD, ad ſinum anguli B; vt in appoſita formula apparet.
Igitur &
per-
mutando erit, vt ſinus arcus AB, in triangulo ABC, ad ſinum anguli ACB,
in eodem triangulo ABC, ita ſinus arcus AC, eiuſdem
trianguli ABC, ad ſinum anguli B, in eodem triangulo ABC.
CADAT deinde arcus per A, &
polum circuli BC,
ductus in arcum BC, productum ad E, eritq́; angulus E, re-
Quoniam igitur in triangulo ABE, angulus E, rectus
eſt; erit, vt demonſtratum eſt, vt ſinus arcus AB, ad ſinum
anguli E, ita ſinus arcus AE, ad ſinum anguli B: &
permu-
tando, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AE, ita ſinus anguli E, ad ſinum
anguli B. Sed eadem ratione, cum in triangulo ACE, angulus E, rectus ſit,
eſt, vt ſinus arcus AE, ad ſinum anguli ACE, ita ſinus arcus AC, ad ſi-
num anguli E: &
permutando, vt ſinus arcus AE, ad ſinum arcus AC, ita
ſinus anguli ACE, ad ſinum anguli E. Igitur ex æqualitate, &
perturbata
proportione, erit vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC,
ita ſinus anguli ACE, hoc eſt, anguli ACB, (cum idem ſit
anguli ad C, quòd eorum arcus ſemicirculum
conſtituant, vt conſtat ex coroll. propoſ.
5.
huius tracta-
tus. Perſpicuum autem eſt ex ijs, quæ in tractatione ſinuum
diximus, duos arcus ſemicirculum conficientes, eundem ha-
bere ſinum.) ad ſinum anguli B;
vt in appoſita ſormula ap-
paret. Igitur &
permutando erit, vt ſinus arcus AB, in triangulo ABC,
ad ſinum anguli ACB, eiuſdem trianguli ABC, ita ſinus arcus AC, in
eodem triangulo ABC, ad ſinum anguli B, eiuſdem trianguli ABC. Quod
ſi ex B, ad arcum AC, ducatur alius arcus perpendicularis, qui vel intra trian
gulum cadet, vel in arcum productum, oſtendemus eodem modo, ita eſſe ſinũ
arcus AB, ad ſinum anguli ACB, vt eſt ſinus arcus BC, ad ſinum anguli
BAC. Itaque in omni triangulo ſphærico, ſinus cuiuſlibet arcus, &
c.
Quod
erat oſtendendum.
HINC perſpicuum eſt, in omni triangulo ſphærico rectangulo, vt eſt ſinus arcus rectum
angulum ſubtendentis ad ſinum totum, nempe ad ſinum anguli recti, quem ſubtendit, ita
eſſe ſinum cuiuſ@@bet reliquorum arcuum ad ſinum anguli, quem ſubtendit. Quod idcir.
co dixerim, quia plerique ſcriptores hoc corollarium, tanquàm propoſitionem ab hac no-
ftra propoſitione 41. diuerſam, demonſtrant:
ſed placuit nobis propoſitionem hanc magis
vniuerſalem reddere, prout nimirum complectitur & triangulum ſphæricum rectangulum,
& non rectangulum.
IN hac, &
ſequentibus propoſitionibus adducemus problemata, quibus ſphæri-
corum triangulorum rectangulorum calculus perficitur, quæq́; ex ipſis propoſitioni-
bus eliciuntur, Quanquam autem nonnunquam in problemate aliquo plura propo-
turq́; primò ac per ſe ex ipſo problemate.
Ex hac igitur propoſitione ſequentia triæ
problemata colliguntur.
IN triangulo ſphęrico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
opponitur & alterutro arcuum angulum rectum ambientium;
in-
uenire angulum huic arcui oppoſitum.
IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, dati ſint
Ab, AC. Dico dari quoque angulum
B, arcui
Quoniam enim eſt, vt ſinus arcus
Ab,
ad ſinum totum anguli recti C, ita ſinus arcus Ac, ad ſi-
num anguli B:
S I fiat, vt ſinus arcus dati recto angulo
oppoſiti ad ſinum totum, ita ſinus arcus circa
anguli quæſiti.
VERVM hic diligenter attendendum eſt, num angulus quæſitus
B, ſit acutus,
an obtuſus. Si enim acutus eſt, dabit arcus ſinui inuento reſpondens angulum B:
Si
vero eſt obtuſus, relinquet idem arcus ex ſemicirculo ſublatus angulum B. Pulchre
autem arcus datus AC, circa angulum rectum C, docebit, an angulus B, acutus ſit,
Nam ſi AC, eſt minor quadrante, erit angulus
B, acutus: Si vero
quadrante maior, obtuſus. Sumimus autem hic triangulum ſphæricum, in quo vnus
tantum angulus rectus eſt, & proinde nullus arcus Quadrans, vt in propoſ.
dictum
eſt: quod etiam in ſequentibus intelligatur.
IN triangulo ſphęrico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
opponitur, & alterutro angulorum non rectorum;
inuenire arcum
huic angulo oppoſitum.
IN eodem triangulo datus ſit arcus
Ab, recto angulo C, oppoſitus, & in ſuper
angulus B. Dico dari quoque arcum AC, angulo B, oppoſitum.
Cum enim ſit, vt ſinu@
Ab, ad ſinum totum anguli recti C, ita ſinus arcus AC, ad ſinum anguli B @
erit conuertendo, vt ſinus totus ad ſinum arcus Ab, ita ſinus anguli B, ad ſinum
arcus Ac.
SI igitur fiat, vt ſinus totus ad ſinum arcus angulo recto oppoſiti, ita
Hic autem arcus erit quadrante minor, ſi datus angulus eſt acutus:
quadrante
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato alterutro arcuũ circa an-
gulum rectũ, & angulo, qui ei opponitur;
inuenire arcũ recto angulo
oppoſitum. Oportet autem conſtare, num tertius angulus ſitacutus,
an obtuſus: vel an tertius arcus ſit quadrante minor, aut maior.
IN eodem triangulo datus ſit arcus AC, circa angulum C, rectum, &
angulus
præterea B, illi oppoſitus. Dico dari quoque arcum AB, recto angulo oppoſitum,
Cum enim ſit, vt ſinus arcus AC, ad ſinum anguli B, ita ſinus arcus AB, ad ſinum
erit conuertendo, vt ſinus anguli B, dati ad ſinum arcus
AC,
dati, ita ſinus totus ad ſinum arcus AB, recto angulo oppoſiti, qui quæritur.
SI igitur fiat, vt ſinus anguli dati ad ſinum dati arcus, ita ſinus to-
OPORTET autem conſtare, num tertius angulus A, acutus ſit, an obtuſus:
vel an tertius arcus
CB, quadrante minor ſit, aut maior. Hinc enim diſcemus, quan
do arcus quæſitus Ab, eſt quadrante minor, & quando maior;
ſi aliunde id non con-
ſtiterit. Nam ſi angulus A, fuerit acutus, ſi quidem &
B, datus ſit acutus:
Vel ſi A,
fuerit obtuſus, ſi quidem & B, datus ſit obtuſus; erit arcus
Ab, recto angulo op-
Si vero angulus A, fuerit acutus, at
B, datus obtuſus: Vel
ſi A, fuerit obtuſus, at B, datus acutus; erit arcus
AB, maior quadrante. Ita etiã,
ſi arcus Cb, fuerit quadrante minor, ſi quidem & AC, datus ſit quadrante minor: Vel ſi CB, fuerit quadrante maior, ſi quidem &
Ac, datus ſit maior quadrante;
erit arcus AB, recto angulo oppoſitus quadrante minor. Si vero arcus
Cb, fuerit
Vel ſi CB, fuerit quadrante ma-
ior, at AC, datus quadrante minor; erit arcus AB, maior quadrante.
Itaq;
non
ſatis eſt, dari vnum arcum circa rectum angulum, cum angulo oppoſito, vt vult Co-
pernicus propoſ. 4.
de triangulis ſphæricis:
Id quod in ſcholio propoſ.
21.
ſupra ad-
monuimus; ſed dari etiam debet ſpecies tertij anguli, vel tertij arcus.
Qua in re etiam
lapſus eſt Ioan. Regiom.
propoſ.
27.
lib.
4.
triangulorum.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius nullus arcuum quadrans ſit, ſinus vtriuſlibet
reliquorum angulorum eandem habet propor-
tionem ad ſinum totum, quam ſinus complemen-
ti reliqui anguli ad ſinum complementi arcus ip-
ſum ſubtendentis.
IN triangulo ſphærico ABC, angulus B,
ſit rectus, & nullus arcuum quadrans.
Dico ita
nus complementi reliqui anguli A, ad ſinum
complementi arcus BC, angulum A, ſubten-
dentis. Quoniam enim nullus arcuum ponitur
quadrans, nullus reliquorum angulorum re-
ctus erit: Alias triangulum ABC, duos habens
quod non ponitur.
Sit ergo primum angulus
A, acutus, & arcus AB, ipſi, &
recto angulo B,
Quo poſito, erit &
angulus C, acutus:
atque adeo
Producantur arcus AB,
fiant quadrantes AD, AE, ac per
puncta D, E, arcus DE, circuli maximi
ducatur DE, conueniens cum arcu BC,
Erit ergo vterq;
angulus D,
E, rectus, ob quadrantes AD, AE; atque
adeo, cum & angulus B, rectus ſit, vterque
arcus BF, DF, quadrans erit, ob angulos
Erit quoque DE, arcus anguli
A; propterea quòd A, polus eſt arcus DE,
Item arcus EF,
complementum erit arcus DE, & arcus
CF, complementum arcus BC, ob qua-
drantes DF, BF. Quoniam vero in triangu-
lo CEF, angulus E, rectus eſt; erit vt ſinus arcus CF, ad ſinum totum, ita
&
conuertendo, vt ſinus anguli
cus EF, ita ſinus totus ad ſinum arcus CF: &
permutando, vt ſinus anguli
ACB, ad ſinum totum, ita ſinus arcus EF, hoc eſt, ſinus complemen-
ti anguli A, ad ſinum arcus CF, id eſt, ad ſinum complementi arcus CB. Quod eſt propoſitum.
SIT deinde angulus A, obtuſus, &
adhuc arcus AB, quadrante minor.
Fiat angulus BAD, rectus, ſecetq́ue arcus AD, arcum BC, in D.
Producto
quoque arcu AB, fiat quadrans AE, & per puncta E, D, ducatur arcus ED,
Et quia
atque adeo cum
AE, quadrans quoque ſit, & angulus DAE,
DE, quadrans, &
A, polus arcus
DE. Igitur &
arcus AF, quadrans erit, cum ar-
An
Præ-
terea EF, erit arcus anguli BAC, ob quadran-
tes AE, AF. Erit quoque arcus DF, comple-
tum arcus EF, ſeu anguli BAC; &
arcus CD,
complementum arcus BC, ob quadrantes DE,
BD. Quoniam igitur in triangulo CDF, an-
cus DF, ad ſinum anguli C: &
conuertendo, vt ſinus anguli C, ad ſi-
num arcus DF. ita ſinus totus ad ſinum arcus CD:
&
permutando, vt ſinus
anguli C, ad ſinum totum, ita ſinus arcus DE, hoc eſt, ſinus complemen ti
anguli BAC, ad ſinum arcus CD, id eſt, ad ſinum complementi arcus BC. Quod eſt propoſitum.
SIT tertio angulus A, acutus, &
arcus AB, quadrante maior.
Quo poſi-
to, erit reliquus angulus C, obtuſus; ac proinde arcus AC, rectum angulum
Abſcindantur quadrantes AD, AE,
per puncta D, E, ducatur arcus DE, circuli maximi coiens cum arcu BC,
eritq́;
vterq;
angulus D, E, re-
atque idcirco,
angulus B, ſit rectus, quadrantes erunt
Erit quoque DE, arcus anguli A,
quòd A, polus ſit arcus DE. Quare EF, com-
&
CF, complemen-
tum arcus BC, ob quadrantes DF, BF. Quoniam igitur in triangulo CEF, angulus
E, rectus eſt, erit vt ſinus arcus CF, ad ſinum
ECF: &
conuertendo vt ſinus anguli ECF,
hoc eſt, anguli ACB. (Habent enim duo an-
guli ad C, eundem ſinum, cum eorum arcus
ſemicirculum conficiant, ex coroll. propoſ.
5.)
ad ſinum complementi anguli A, ita ſinus totus ad ſinum arcus CF, hoc
eſt, ad ſinum complementi arcus BC: &
per mutãdo, vt ſinus anguli ACB, ad
ſinum totum, ita ſinus arcus EF, ſiue complementi anguli A, ad ſinum arcus
CF, ſeu complementi arcus BC. Quod eſt propoſitum.
QVARTO ac vltimo ſit angulus A, obtuſus, &
adhuc arcus AB, qua-
drante maior. Fiat angulus rectus BAD, ſecetq́;
arcus AD, arcum BC, in
D. Abſcindatur quoque ex AB, quadrans AE, &
per puncta E, D, ducatur
Et quia an-
gulus B, rectus ponitur, & angulus BAD, rectus quoque ex conſtructio-
ne eſt, erunt arcus AD, BD, quadrantes. Rurſus quia arcus AD, AE,
A, polus arcus DE;
ac proinde cum
erit angulus F, rectus. Item EF, erit arcus an-
Præterea arcus DF, complemen-
tum erit arcus EF, ſeu anguli BAC; &
arcus
CD, complementum arcus BC, ob quadran-
tes DE, BD. Quoniam igitur in triangulo
CDF, angulus F, rectus eſt, erit vt ſinus arcus
CD, ad ſinum totũ ita ſinus arcus DF, ad ſinum
Et conuertendo, vt ſinus anguli
DCF, hoc eſt, anguli ACB, (Habent enim ar-
cus angulorum DCF, ACB, eundem ſinum,
cum ſemicirculum cõſtituant) ad ſinum arcus
cus CD, hoc eſt, ad ſinum complementi arcus BC: Et permutando, vt ſinus
anguli ACB, ad ſinum totum, ita ſinus arcus DF, ſiue complementi anguli
BAC, ad ſinum arcus CD, ſeu complementi arcus BC. Quod eſt propoſi-
lum. Igitur in omni triangulo ſphærico rectangulo.
&
c.
Quod demonſtran-
dum erat.
COLLIGEMVS ex hac propoſitione duo hæc problemata.
IN triangulo ſphętico rectangulo, datis duobus angulis non
rectis; inuenire arcum vtrilibet eorum oppoſitum, vna cum arcu,
qui recto angulo opponitur.
IN triangulo
AbC, cuius angulus C, rectus, dati ſint anguli A, B. Dice
vtrumuis arcuum AC, BC, quoque dari, cum arcu
Quoniam enim eſt, vt ſinus anguli A, ad ſinum
totum, ita ſinus complementi anguli B, ad ſinum com-
AC. Item, vt ſinus anguli
B, ad ſinum
totum, ita ſinus complementi anguli A, ad ſinum com-
plementi arcus BC;
SI fiat, vt ſinus anguli dati, qui quæſito la
plementi reliqui anguli dati ad aliud, produ-
cetur ſinus complementi arcus huic posteriori angulo oppoſiti, qui quæ-
ritur. Inuento autem vtroque arcu circa angulum rectum, reperietur
quoque ex vtrolibet illorum, & ex angulo, qui ei opponuntur dato, ar-
cus recto angulo oppoſitus, vt in problemate 3. propoſitionis 41.
oſten-
dimus.
VTRVM autem arcus AC,
BC, ſint minores quadrante, aut maiores, ita
diſcemus. Si angulus
B, eſt acutus, erit arcus AC, ei oppoſitus quadrante minor: Si
Eadem ratione ſi angulus A, fuerit acutus, erit ar-
cus ei oppoſitus BC, quadrante minor: ſi vero obtuſus, quadrante maior.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato alterutro angulorum
non rectorum, cum alterutro arcuum circa angulum rectum; inue-
nire alium angulum non rectum, & reliquos duos arcus.
IN eodem triangulo datus ſit primum arcus AC, cum angulo A, ſibi adiacente.
Dico dari quoque angulum B, cum arcubus
BC, AB. Cum enim ſit, vt ſinus an-
guli A, ad ſinum totum, ita ſinus complementi anguli B, ad ſinum complementi ar-
AC; erit conuertendo, vt ſinus totus ad ſinum anguli A, dati, ita ſinus comple-
menti dati arcus AC, ad ſinum complementi anguli B, qui quæritur.
QVANDO ergo datur arcus cum angulo ſibi adiacẽte, ſi fiat, vt ſi-
reperietur ſinus complementi alterius anguli, qui quæritur. Hinc ex duo-
bus angulis non rectis iam cognitis, cognoſcentur reliqui duo arcus, vt
in proximè antecedenti problemate demonſtratum eſt: Tertius autem da-
tus eſt ex hypotheſi.
NVM vero angulus
B, quæſitus ſit acutus, obtuſusue, docebit datus arcus AC. Si enim fuerit quadrante minor, erit angulus
B, acutus: ſi vero maior quadrante,
DATVS deinde ſit arcus AC, cum angulo B, ſibi oppoſito, conſtetq́;
de reliqu@
angulo A, num acutus ſit, an obtuſus: vel de altero arcu B
C, circa rectum angulum,
qualis ſit. Dico rur ſum dari &
reliquum angulũ A, &
reliquos arcus
Bc, AB. Nam
cum ſit, vt ſinus anguli A, ad ſinum totum, ita ſinus complementi anguli B, ad ſinum
erit conuertendo, vt ſinus complementi arcus AC, dati ad
ſinum complementi anguli B, dati, ita ſinus totus ad ſinum anguli A, quæſiti.
IGITVR cum datur arcus cum angulo ſibi oppoſito, ſi fiat, vt ſi.
totus ad aliud, procreabitur ſinus reliqui anguli, qui quæritur. Ex duo-
bus ergo angulis non rectis iam cognitis, cognoſcentur reliqui duo arcus,
vt in præcedenti problemate monſtrauimus. Tertius autem per hypothe-
ſim datus est.
OPORTET autem conſtare, num reliquus angulus A, ſit acutus, an obtuſus,
vt ſciatur, qualis angulus ſinui inuento reſpondens ſit accipiendus, acutuſne, an obtu-
ſus. Quòd ſi conſtaret de arcu BC, qualis ſit, illico cognoſceretur quoque ſpecies an-
guli A. Nam ſi arcus
B C, fuerit quadrante minor, erit angulus A, acutus: ſi autem
quadrante maior, obtuſus. Pari ratione, ſi ſciretur, qualis ſit arcus AB, angulo re-
Nam ſi arcus AB, fuerit
minor quadrante, & datus quidem angulus B, acutus, erit quoque angulus A, acu-
Si vero datus angulus B, ſit obtuſus, erit quoque obtuſus angulus A.
At ſi arcus
AB, fuerit maior quadrante, & datus quidem angulus B, acutus, erit angulus A,
obtuſus: Si vero datus angulus B, ſit obtuſus, erit angulus A, acutus.
Itaque non
eſt ſatis, dari angulum non rectum, cum arcu oppoſito, vt vult Copernicus propoſ. 4.
de triangulis ſphæricis:
Id quod ſupra quoque monuimus in ſcholio propoſ.
21.
ſed
debet etiam dari ſpecies tertij anguli, vel ſpecies arcus alterius circa rectum angu-
lum; vel certe ſpecies arcus recto angulo oppoſiti.
Qua in re lapſus eſt Nicolaus Co-
de triangulis ſphæricis, ſatis eſſe, vt detur arcus cir-
ca rectum angulum, cum alterutro angulorum non rectorum. Falſum enim hoc eſt
de angulo dato arcui oppoſito, niſi aliud præterea conſtet, vt hic diximus, & in ſcho-
lio propoſ. 21.
monuimus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius
nullus arcuum quadrans ſit, ſinus complementi
arcus rectum angulum ſubtendẽtis ad ſinum com
plementi vtriuſve reliquorum arcuum eandem ha
bet proportionem, quam ſinus complementi re-
liqui arcus ad ſinum totum.
IN triangulo ſphærico rectangulo ABC, angulus B, ſit rectus, &
nullus
Dico ita eſſe ſinum complementi arcus AC, ad ſinum com
plementi arcus v. g.
AB, vt eſt, ſinus complementi reliqui arcus BC, ad ſi-
num totum. Quoniam enim nullus arcuum
lorum erit rectus. Alias triangulum ABC,
duos angulos habens rectos haberet duos ar-
quod non ponitur.
Sit ergo
primum angulus A, acutus, & arcus AB, ipſi
& recto angulo B, adiacens quadrante minor.
Quo poſito, erit &
angulus C, acutus;
atque
Producantur arcus AB, AC, &
fiant quadrantes AD, AE; ac per puncta D,
E, arcus DE, circuli maximi ducatur DE,
Erit
ergo vterque angulus D, E, rectus, ob quadrantes AD, AE; atque adeo, cum
angulus B, ponatur rectus, erit vterq;
arcus BF, DF, quadrans, ob rectos
angulos B, D. Præterea BD, erit arcus anguli F;
propterea quòd F, polus eſt
Item CF, complementum erit arcus BC;
&
BD, CE, complementa arcuum AB, AC, ob quadrantes BF, AD, AE.
Manifeſtum autem eſt in triangulo CEF, ita eſſe ſinum arcus CE, hoc eſt, ſi-
ſeu complementi arcus AB, vt eſt ſinus arcus CF, hoc eſt, ſinus complemen
ti arcus BC, ad ſinum anguli recti E, id eſt, ad ſinum totum. Quod eſt pro-
poſitum.
SIT deinde angulus A, obtuſus, &
adhuc arcus AB, quadrante minor.
Fiat angulus BAD, rectus, ſecetq́;
arcus AD, arcum BC, in D.
Producto
quoque arcu AB, fiat quadrans AE, & per puncta E, D, ducatur arcus ED,
Et quia duo anguli DAB, DBA,
recti ſunt, erunt arcus AD, BD, quadrantes; atque adeo cum AE, quoque
angulus DAE, rectus, erit &
arcus DE, quadrans; ac proinde BE, ob qua-
hoc eſt, anguli CDF, qui illi ad verticem eſt
Quoniam vero A, polus eſt arcus
arcus AF, quadrans, cum arcus
nec-
angulus AFE, &
angulus CFD, re-
Præterea erit arcus CE, complemen-
tum arcus AC; &
arcus BE, complementum
arcus AB; &
arcus CD, complementum ar-
cus BC, ob quadrantes AF, AE, BD. Per-
ſpicuum autem eſt in triãgulo CDF, ita eſſe
ſinum arcus CF, hoc eſt, ſinum complementi
menti arcus AB, vt eſt ſinus arcus CD, nempe ſinus complementi arcus BC,
ad ſinum anguli recti F, hoc eſt, ad ſinum totum. Quod eſt propoſitum.
TERTIO ſit angulus A, acutus, &
arcus AB, quadrante maior.
Quo
; ac proinde arcus AC, rectum angu-
per
F; Eritá;
vterque angulus D, E, rectus, ob
atque adeo, cum &
an-
gulus B, rectus ſit, quadrantes erunt arcus
proptereaq́;
BD, arcus erit anguli
F. Item arcus CF, complementum erit arcus
arcus DB, EC, complementa arcuum
AB, AC, ob quadrantes BF, AD, AE. Per-
ſpicuum eſt autem in triangulo CEF, ita eſ-
ſe ſinum arcus EC, id eſt, ſinum complemen-
ti arcus AC, ad ſinum anguli F, hoc eſt, ad ſi-
num arcus DB, hoc eſt, ad ſinum complementi arcus AB, vt eſt ſinus arcus
CF, nempe ſinus complementi arcus BC, ad ſinum anguli recti E, hoc eſt, ad
ſinum totum. Quod eſt propoſitum.
POSTREMO ſit angulus A, obtuſus, &
adhuc arcus AB, quadrante
maior. Fiat angulus rectus BAD, ſecetq́;
arcus AD, arcum BC, in D.
Ab-
ſcindatur quoque ex AB, quadrans AE, & per puncta E, D, deſcribatur ar-
productum in F. Et quia angulus B, ponitur
angulus BAD, rectus factus eſt, e-
Rurſus
quia arcus AD, AE, quadrantes ſunt, con-
tinentq́; angulum rectum DAE, erit &
arcus
DE, quadrans, & A, polus arcus ED;
atque
arcus anguli BDE, hoc eſt, anguli CDF, qui
Item cum A, po-
lus ſit arcus EF, erit arcus AF, quadrans,
polo. Arcus item CF, complementum erit
arcus AC; &
arcus EB, complementum arcus AB;
&
arcus CD, complemen
tum arcus BC, ob quadrantes AF, AE, BD. Maniſeſtum eſt autem in trian
gulo CDF, ita eſſe ſinum arcus CF, id eſt, ſinum complementi arcus AC, ad
vt eſt ſinus arcus CD, nempe ſinus complementi arcus BC, ad ſinum anguli
recti F, hoc eſt, ad ſinum totum. Quod eſt propoſitum.
In omni ergo trian-
gulo ſphærico rectangulo, &c.
Quod erat oſtendendum.
SEQVENS problema ex hac propoſ.
colligemus hunc in modum.
IN triangulo ſphærico rectangulo, datis duobus arcubus qui-
buſlibet, inuenire tertium arcũ, & reliquos duos angulos non rectos.
IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus, dat@
C. Dico dari quoque tertium arcum AB, cum duobus an-
gulis A, B. Quoniam enim eſt, vt ſinus complementi ar-
Ab, ad ſinum complementi arcus AC, ita ſinus com-
plementi arcus CB, ad ſinum totum; erit conuertendo, vt
ſinus totus ad ſinum complementi arcus CB, ita ſinus com
plementi arcus AC, ad ſinum complementi arcus AB.
QV AMOBREM, datis duobus arcubus rectum angulum ambien
datorum, ita ſinus complementi alterius arcus dati ad aliud, producetur
ſinus complementi arcus recto angulo oppoſiti, qui quæritur. Ex dato au-
tem arcu, quirecto angulo opponitur, cum vtrouis arcu cir ca rectum an-
gulum, inuenietur angulus ci oppoſitus, vt in probtemate 1. propoſ.
41.
tradidimus.
VTRVM vero quæſitus arcus AB, quadrante minor ſit, aut maior, docebunt
quadrante minor: Si vero vnus ſit quadrante minor, &
alter maior, erit arcus AB,
quadrante maior.
DATVS deinde ſit arcus AB, recto angulo oppoſitus, cum alterutro arcuum
circa angulum rectum, vt cum AC. Dico rurſum dari reliquum arcum CB, cum
duobus angulis A, B. Nam cum ſit, vt ſinus complementi arcus
Ab, ad ſinum com-
Cb, ad ſinum totum; erit conuer-
tendo, vt ſinus complementi arcus AC, ad ſinum complementi arcus Ab, ita ſinus
totus ad ſinum complementi arcus Cb.
QV APROPTER, dato arcu, qui recto angulo opponitur, cum
cus dati circa angulum rectum ad ſinum complementi arcus angulo recto
oppoſiti, ita ſinus totus ad aliud, inuenietur ſinus complementi alterius
arcus circa angulum rectum, qui quæritur. Ex quouis autem arcu dato
cir ca rectum angulum, cum arcu, quirecto angulo opponitur, reperietur
angulus illi arcui oppoſitus, vt in problemate 1. propoſ.
41.
demonſtra-
tum est.
AN vero tertius arcus CB, quæſitus ſit quadrante minor, aut maior, intellige-
mus ex duobus arcubus datis. Si namque arcus
AB, angulo recto oppoſitus fuerit
quadrante minor, ſi quidem & alter datus AC, ſit quadrante minor, erit &
arcus
CB, quadrante minor; ſi vero AC, ſit quadrante maior, erit &
CB, maior qua-
Si autem
AB, fuerit quadrante maior, ſi quidem & AC, ſit quadrante
maior, erit CB, quadrante minor; ſi vero AC, ſit minor quadrante, erit CB,
quadrante maior.
QVAMVIS &
hanc propoſ.
43.
&
antecedentem 42.
quadrimembrem feco-
ſatis tamen fuißet, ſi vtraq;
ſtratione fuiſſet confirmata. Eo enim caſu demonſtrato, facile demonſtrationem om-
nibus alijs caſibus accommodabimus. Sit nam-
que triangulum ſphæricum quodcunq; rectan
Aut
igitur duo arcus AC, CD, circa angulum re-
ctum quadrãte ſunt minores, ac proinde & ter
tius arcus AD, quadrante quoque minor; aut
vnus quadrante maior, & alter minor;
aut
Nam de eo
ſolo ſphærico triangulo rectangulo agimus, in
quo nullus arcus eſt quadrãs. Sint primum duo
arcus AC, CD, circa angulum rectum quadrante minores: quo poſito, erit vterque
poſitionis conueniet, quo ad primum caſum.
SIT deinde arcus DC, quadrante maior, &
CA, minor.
Productis arcubus DC,
DA, donec coeant in B; erunt
DAb, DCB, ſemicirculi; atque adeo CB, qua-
Sunt ergo in triangulo ACB, duo arcus
AC, CB, circa angulum re-
ctum C, quadrante minores. Quare, vt proxime oſtendimus, ei vtriuſque propoſi-
tionis demonſtratio, quo ad primum caſum, conueniet. Cum ergo ijdem ſinus tam re-
cti, quam complementorum, ſint arcuum, & angulorum trianguli
ACB, qui arcuum,
& angulorum trianguli
AcD; (Nam, vt in ſinubus diximus, arcus CD, CB, eun-
dem ſinum habent tam rectum, quam complementi, necnon & arcus
AD, AB. Item
tam recti anguli ad C, eundem ſinum habent, nempe totum, quam anguli obliqui ad
A, cum duobus rectis ſint æquales. Denique &
anguli D, B, eundem ſinum habent,
Arcus autem
Ac, vtrique triangulo communis eſt.) li-
trianguli ACB, fuerit
oſtenſum, idem in ſinubus arcuum, & angulorum trianguli
ACD, locum habere.
POSTREMO ſint duo arcus DC,
CA, quadrante maiores: quo poſito, erit
arcus CB, minor quadrante. Habet igitur triangulum
ACB, arcum AC, circa
angulum rectum C, quadrante maiorem, & Cb, minorem. Quare ei, vt proxime
eſt demonſtratum, vtraque propoſitio conueniet. Cum ergo ijdem ſinus tam recti,
quam complementorum, ſint arcuum, & angulorum trianguli ACB, qui arcuum,
& angulorum trianguli ACD, vt paulo ante diximus, liquet eaſdem propoſitiones
triangulo quoque ACD, conuenire. Perſpicuum ergo eſt, quicquid de ſinubus arcuum,
angulorumq́; trianguli ſphærici rectanguli, cuius duo arcus circa angulum rectum
quadrante ſint minores, demonſtratum fuerit, locum etiam habere in quocunq; alio
triangulo ſphærico rectangulo.
IDEM prorſus dicendum eſt de tertio caſu propoſ.
41.
Satis enim fuiſſet illum
demonſtraſſe in triangulo rectangulo, cuius omnes arcus ſunt quadrante minores,
quale est triangulum ſecundæ figuræ propoſ. 41 dictæ;
cum eius trianguli demon-
ſtratio omnibus alijs conueniat, vt ex demonſtratis in hoc ſcholio eſt manifeſtum.
EX his, quæ proximis tribus propoſitionibus demonſtrauimus, abſolutus iam per
ſinus eſt calculus triangulorum ſphæricorum rectangulorum: quareiam non rectan
gulorum calculus ſequi deberet. Sed quia per lineas tangentes, ac ſecantes breuius
plerunque triangulorum rectangulorum calculus, quam per ſinus, expeditur, adiun
antequam triangulorum ſphæricorum non rectangulorum calculum exponamus. Vt autem clariores fiant demonſtrationes, &
minus confuſæ, proponemus ſemper
triangulum ſphæricum rectangulum, cuius duo arcus circa angulum rectum, ac pro-
inde omnes tres, minores ſint quadrante. Nam eædem demonſtrationes alijs omnibus
conuenient, vt in hoc ſcbolio demonſtrauimus: quippe cum &
tam duo arcus ſemicir
culum conſicientes, quàm duo anguli duobus rectis æquales, eandem habeant tangen
tem, ac ſecantem, quemadmodum & eundem ſinum, vt in tractatione tangentium,
& ſecantium monuimus.
IN omni triangulo ſphætico rectangulo, cu-
ius omnes arcus quadrante ſint minores: ſinus to-
tus ad ſinum vtriuſuis arcuum circarectum angu-
lum eandem habet proportionem, quam tangens
anguli non recti dicto arcui adiacentis ad tangen-
tem reliqui arcus circa angulum rectum huic an-
gulo oppoſiti.
IN triangulo ſph ærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, ſit
angulus C, rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinum arcus BC, vt eſt tan-
gens anguli B, ad tangentem arcus AC. Productis
BD, ac per puncta F, D, arcu FD, circuli maximi
deſcripto; erit vterque angulus F, D, rectus, ob qua-
&
DF, arcus erit anguli B;
cum
B, polus ſit arcus DF. Quia igitur duo circuli ma-
ſunt ex A, D, ad BF, arcus perpendiculares AC,
DF; erit, vt ſinus quadrantis BF, hoc eſt, ſinus to-
anguli B, ita ſinus arcus BC, ad tangentem arcus AC: Et permutando, vt
ſinus totus ad ſinum arcus BC, ita tangens anguli B, ad tangentem arcus AC. Non aliter demonſtrabimus, ita eſſe ſinum totum ad ſinum arcus AC, vt eſt
tangens anguli A, ad tangentem arcus BC: vt patet, ſi arcus AC, AB, pro-
ducantur, donec fiant quadrantes AG, AE, perque G, E, arcus maximi cir-
culi deſcribatur GE. Erit enim rurſus, vt ſinus quadrantis AG, id eſt, ſinus
tem arcus BC: Et permutãdo, vt ſinus totus ad ſinum arcus AC, ita tangens
anguli A, ad tangentem arcus BC. In omni ergo triangulo ſphærico rectan-
gulo, &c.
Quod erat demonſtrandum.
HINC colligemus duo ſequentia problemata.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato alterutro arcuum circa
angulum rectum, cum alterutro angulorum non rectorum, reperire
alium arcum circa rectum angulum, & reliquum angulum non re-
ctum, cum arcu, qui recto angulo opponitur: dum modo, quando
angulus datus opponitur arcui dato, conſtet, an reliquus arcus circa
rectum angulum ſit quadrante minor, maiorve; vel an reliquus an-
gulus non rectus ſit acutus, obtuſusve.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, da-
A, ſibi adia-
cente. Dico dari quoque arcum BC, vnà cum angu-
lo B, & arcu
Ab. Quoniam enim eſt, vt ſinus totus
tem arcus BC:
SI (quando datur arcus cum angulo adia-
ita tangens anguli dati ad aliud, producetur
tangens arcus quæſiti. Ex eodem vero arcu dato, &
argulo dato, inue-
nietur alter angulus non rectus, et arcus recto angulo oppoſitus, vt in pro-
blemate 2. propoſ.
42.
demonſtrauimus.
AN vero arcus quæſitus
BC, ſit quadrante minor, maiorue, indicabit angulus
datus A. Nam ſi fuerit acutus, erit arcus
BC, quadrante minor; ſi vero obtuſus,
SIT deinde datus arcus
AC, cum angulo B, ſibi oppoſito, conſtetq́; præterea de
altero arcu BC, num quadrante minor ſit, an maior; vel an alter angulus A, acu-
tus ſit, an obtuſus. Dico rurſum dari arcum
BC, vnà cum angulo B, & arcu
AB. Cum enim ſit, vt tangens anguli
B, ad tangentem arcus AC, ita ſinus totus ad ſi-
BC:
SI (quando datur arcus cum angulo oppoſito) fiat, vt tangens angu-
arcus quæſiti. Ex dato vero arcu, &
angulo dato dabitur &
alter angu-
lus non rectus, & arcus recto angulo oppoſitus, vt in problemate 2.
pro-
poſ. 42.
diximus.
OPORTET autem conſtare, an arcus
BC, ſit quadrante minor, an maior, vt
ſciamus, qualis arcus inuento ſinui reſpondens accipiẽdus ſit, an videlicet minor qua-
dr ante, an vero maior. Quòd ſi conſtaret de angulo
A, qualis ſit, ſtatim cognoſce-
remus, qualis ſit arcus BC. Exiſtente enim angulo A, acuto, erit arcus BC, qua-
exiſtente vero obtuſo, quadrante maior.
Sic etiam, ſi ſciretur, qualis
Ab, recto angulo oppoſitus, ſpeciem quoque arcus BC, cognoſceremus. Nam
ſi AB, ſit quadrante minor, erit vterque AC, BC, vet
qualis ergo eſt datus arcus
Si vero AB, fuerit
maior quadrante, & datus arcus AC, minor quidem
quadrante, erit BC, quadrante maior; ſi vero datus ar-
cus AC, ſit quadrante maior, erit BC, quadrante mi-
nor. Itaque non ſatis eſt, dari arcum, cum angulo oppo-
ſito, vt vult Copernicus propoſ 4. de triangulis ſphæri-
cis. Id quod ſupra in ſcholio propoſ.
21.
monuimus.
IN triangulo ſphærico rectangulo, datis duobus arcubus circa
rectum angulum, vtrumlibetangulorum non rectorum, vnà cum ar-
cu reliquo, qui angulo recto opponitur, explorare.
IN eodem triangulo dati ſint duo arcus AC,
BC. Dico dari quoque vtrum vis
angulorum A, B, & arcum
AB. Cum enim ſit, vt ſinus totus ad ſinum arcus AC,
BC: Et conuertendo, vt ſinus arcus AC,
ad ſinum totum, ita tangens arcus BC, ad tangentem anguli A; Eademq́;
ratione,
vt ſinus arcus BC, ad ſinum totum, ita tangens arcus AC, ad tangentem anguli B.
SI fiat, vt ſinus vtriuſuis ar cuum circa angulum rectum ad ſinurn
poſteriori arcui oppoſiti. Ex datis quoque duobus ar cubus circa angulum
rectum cognoſcetur & tertius arcus recto angulo oppoſitus, vt in proble-
mate propoſ. 43.
traditum eſt.
Vel certe ex dato vno arcu, &
alterutro
angulor um inuento, vt in problemate 2. propoſ.
42.
oſtenſum eſt.
NVM autem angulus quæſitus ſit acutus, obtuſuſve, docebit arcus ei oppoſitus.
Hic enim ſi minor quadrante ſuerit, erit angulus ei oppoſitus, acutus, ſi vero ma-
QVONIAM verò in ſcholio 2.
propoſ.
præcedentis diximus, per lineas tangen-
tes, ac ſecantes breuius nonnulla expediri, quam per ſinus, intelligendum id eſt de ijs,
quæ primo loco in problematibus quæruntur, non autem, quæ ſecundo loco inueſti-
gantur. Quod vt planius fiat, exponemus, quo paõto vtrumque problema hic pro-
poſitum abſoluendum ſit per ſinus. Itaque, vt ex arcu circa angulum rectum dato,
cum alterutro angulorum acutorum, inueniatur alter arcus circa angulum rectums
qui primo loco in primo problemate inueſtigandus proponitur: ita progrediendum
erit. Si arcus circa rectum angulum detur cum angulo oppoſito, inquirendus pri-
mum erit arcus recto angulo oppoſitus, ex problemate 3. propoſ.
41.
Deinde ex hoc
arcu inuento, & dato arcu, eliciendus erit, per problema propoſ.
43.
alter arcus cir
ca angulum rectum, qui quæritur. Si vero detur arcus circa angulum rectum cum
angulo adiacente, quærendus eſt primum per problema 2. propoſ.
42.
alter angulus
acutus. Deinde per problema 1.
eiuſdem propoſ.
42.
ex hoc angulo inuento, &
angulo
dato, arcus dato angulo oppoſitus eliciendus. At, vt ex duobus arcubus circa angu-
lum rectum datis, vteruis angulorum acutorum eruatur; qui primo loco in ſecun-
do problemate inquiritur: reperiendus erit primum arcus recto angulo oppoſitus per
43.
ex datis duobus arcubus.
Deinde per problema 1.
propoſ.
41.
ex hoc arcu inuento, &
alterutro circa angulum rectum dato, inueniendus angulus
huic dato arcui oppoſitus. Vides igitur, id, quod primo loco in vtroque problemate
quæritur, duplici opere inueſtigari per ſinus, quod ſimplici per tangentes inuenimus.
Eadem ratio eſt in ſequentibus problematibus, quod ſemel hic monuiſſe ſatis ſit.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius omnes arcus quadrante ſint minores: ſinus to-
tus ad ſinum complementi vtriuſuis angulorum
acutorum eandem proportionem habet, quam tan
gens arcus recto angulo oppoſiti ad tangentem ar-
cus dicto acuto angulo adiacentis.
IN triangulo ſphærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, ſit
angulus B, rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinum complementi anguli A,
vt eſt tangens arcus AC, ad tangentem arcus AB. Productis enim arcubus
AB, AC, dictum angulum comprehendenti-
bus, donec quadrantes ſiant AD, AE; de-
per D, E, arcu circuli maximi DE,
productoq́ue, donec cum arcu BC, produ-
cto coëat in F: erit vterque angulus D, E,
&
DE, ar-
cus erit anguli A, cum A, ſit polus arcus DE.
ctos angulos B, D; ac proinde arcus EF, com
plementum anguli A. Quoniam igitur duo
circuli maximi in ſphæra BF, DF, ſe in terſe-
cant in F; ductiq́;
ſunt ex punctis B, C, arcus
BF, ad arcum DF, arcus perpẽdiculares BD,
CE; erit vt ſinus totus quadrantis DF, ad tangentem arcus BD, ita ſinus ar-
Et
permutando, vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli A, ita tangens ar-
cus BD, ad tangentem arcus CE. Eſt autem (cum AC, AB, ſint complemen
ta arcuum CE, BD.) vt tangens arcus BD, ad tangentem arcus CE, ita tan
Igitur erit quoque, vt ſinus totus
ad ſinum complementi anguli A, ita tangens arcus AC, recto angulo oppoſi-
ti ad tangentem arcus AB, acuto angulo A, adiacentis. Eodem modo oſten-
demus, ita eſſe ſinum totum ad ſinum complementi anguli C, vt eſt tangens
arcus AC, recto angulo oppoſiti ad tangentem arcus BC, angulo acuto C,
adiacentis, ſi nimirum arcus CA, CB, angulum C, continentes producantur,
&c.
In omni ergo triangulo ſphærico rectangulo, &
c.
Quod oſtendendũ erat.
EX hoc theoremate abſoluemus ſequentia tria problemata.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato alterutro arcuum circa
angulum rectum, cum angulo non recto adiacente, inuenire arcum
recto angulo oppoſitum, & reliquum arcum circa angulum rectum,
cum reliquo angulo non recto.
IN triangulo
ABc, cuius angulus C, rectus, datus ſit arcus AC, & angulus
A. Dico dari quoq;
arcum AB, cum arcu
BC, & angulo B.
Cum enim ſit, vt ſinus
totus ad ſinũ complementi anguli A, ita tangens arcus Ab, ad tangentem arcus AC;
A, ad ſinum totum, ita tangens arcus
AC, ad tangentem arcus AB:
SI fiat, vt ſinus complementi anguli dati
qui quæritur. Ex arcu vero AB, &
angulo A,
inuenietur arcus BC, per problema 2. propoſ.
41.
Et ex arcubus AB, AC, angulus B, arcui
AC, oppoſitus, per problema 1. eiuſdem pro-
poſ. 41.
ITA autem ſciemus, an arcus quæſitus AB, ſit quadrante maior, an minor.
Si datus
angulus A, fuerit acutus, erit arcus BC, quadrante minor. Si ergo datus arcus
Ac,
minor, erit &
arcus AB, minor quadrante, Si vero
AC, ſit quadrante ma-
Ab, maior. At ſi datus angulus
A, ſuerit, obtuſus, erit arcus BC, qua-
Si ergo datus arcus
Ac, ſit quoque maior, erit arcus AB, minor qua-
Si vero AC, ſit minor quadrante, erit AB, maior.
IN triangulo ſphęrico rectangulo, dato alterutro arcuum circa
angulum rectum, cum arcu, qui recto angulo opponitur, inueſtigare
angulum à dictis arcubus comprehenſum, hoc eſt, arcui, qui circa
angulum rectum datus eſt, adiacentem, cum reliquo arcu, & angulo.
IN eodem triangulo dati ſint arcus AC, AB.
Dico dari etiam angulum A, cum
angulo B.
Quoniam enim eſt, vt ſinus totus ad ſinum complementi angu
li A, ita tangens arcus AB, ad tangentem arcus AC: Hoc eſt, vt tangens arcus AB,
ad tangentem arcus AC, ita ſinus totus ad ſinum complementi anguli A:
SI fiat, vt tangens arcus recto angulo oppoſiti ad tangentem dati
complementi anguli quæſiti. Hinc reliqua inuenientur, vt in præcedenti
problemate.
VTRVM vero angulus A, quæſitus ſit acutus, obtuſusue, ita diſcemus.
Si arcus
AB, recto angulo oppoſitus fuerit quadrante minor, erit vterq; arcus AC,
BC, vel
Si ergo datus arcus AC, ſit minor, erit quoque
Bc, mi-
nor, ac proinde angulus A, acutus; ſi vero AC, ſit quadrante maior, erit &
BC,
At ſi arcus AB, fuerit quadrante maior, erit
alter minor:
Si igitur datus arcus AC, ſit ma-
angulus A, acutus;
Si vero AC, ſit quadrante mi-
nor, erit BC, maior, & angulus A, obtuſus:
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
opponitur, cum alterurro angulorum non rectorum, inuenire arcum
huic angulo adiacentem, cum reliquo arcu, & angulo.
IN eodem triangulo datus ſit arcus AB, cum angulo A.
Dico dari quoq;
arcum
AC, &c.
Nam cum ſit, vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli A, ita tangens
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli dati, ita tangens
Reliqua inuer.
ientur, vt in primo problemate huius propoſ.
NVM autem quæſitus arcus AC, ſit minor quadrante, maiorue, hinc cognoſce-
mus. Si arcus AB, angulo recto oppoſitus fuerit minor quadrante, erit vterq;
angu-
lus A, B, vel acutus, vel obtuſus. Quare ſi datus angulus A, ſit acutus, erit quoque
Si vero A, ſit obtuſus, erit &
arcus
AC, quadrante maior. At ſi arcus AB, ſuuerit maior qua-
drante, erit alter reliquorum angulorum acutus, & alter obtuſus.
Siergo A, datus
idcirco arcus AC, quadrante maior;
Si vero A, ſit
arcus
AC, quadrante minor.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius omnes arcus quadrante ſint minores: ſinus to-
tus ad ſinum complementi vtriuſuis angulorum
acutorum eandem proportionem habet, quam
tangens complementi arcus circa angulum rectũ
dicto angulo adiacentis ad tangentem comple-
menti arcus recto angulo oppoſiti.
IN triangulo ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, ſit angulus B,
rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinũ complemẽti anguli A, vt eſt tangens
Facta namque
conſtructione, vt in pręcedẽti propoſ. quoniam duo circuli maximi in ſphæra
BF, DF, ſe mutuo ſecãt in F, productiq́; ſunt
perpendiculares BD, CE; erit, vt ſinus totus
quadrantis DF, ad rangentem arcus BD, ita
ſinus arcus EF, ad tangentem arcus CE: Et
hoc eſt, ad ſinum complementi anguli A, ita
tangens arcus BD, hoc eſt, ita tangens com-
plementi arcus AB, ad tangentem arcus CE,
hoc eſt, ad tangentẽ complementi arcus AC. Non aliter demonſtrabimus, ita eſſe ſinum to
tum ad ſinum complementi anguli C, vt eſt
tangens complementi arcus BC, ad tangentem complementi arcus AC, ſi ni-
mirum arcus CB, CA, angulum C, continentes producantur, &c.
In omni
igitur triangulo ſphærico rectangulo, &c.
Quod demonſtrandum erat.
INFEREMVS hinc problema ſequens, quod quamuis in problemate prima
antecedentis propoſ. demonſtratum quoque ſit, facilius tamen hic abſoluitur, cùm in
aurea regula primum locum ſortiatur ſinus totus.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato alterutto arcuum cir-
ca angulum rectum, cum angulo non recto adiacente, inuenire ar-
cum recto angulo oppoſitum, vnà cum reliquo arcu circa angulum
rectum, & reliquo angulo non recto.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, datus
Dico dari
quoque arcum AB, vnà cum arcu BC, & angulo B.
Nam cum ſit, vt ſinus totus ad ſinum complementi angu-
li A, ita tangens complementi arcus AC, ad tangentem
AB:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum complemen-
ti ad aliud, producetur tangens complementi ar-
cus recto angulo oppoſiti, qui quæritur. Reliqua inuenientur, vt in pro-
blemate 1. propoſitionis antecedentis dictum eſt.
ARCVM autem AB, quæſitum eße quadrante minorem, maioremve, cognoſce-
mus, vt in dicto problemate 1. ſuperioris propoſ.
oſtendimus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius
omnes arcus quadrante ſint minores: ſinus totus
ſiti eandem proportionem habet, quam tangens
vtriusvis angulorum non rectorum ad tangentem
complementi reliqui anguli.
IN triangulo ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, ſit angulus
B, rectus. Dico, ita eſſe ſinum totum ad ſinum complementi arcus AC, vt
eſt tangens anguli C, ad tangentem complementi anguli A. Facta conſtru-
ctione, vt in propoſ. 45.
productoq́;
arcu CE, ad G, vt CG, ſit quadrans,
deſcribatur ex polo C, ad interual lum quadran
cus CF, EF, productos in I, H: eritq́;
CI, qua-
drans quoque; cum circulus GH, à polo C, ab-
Arcus item GH, EH, quadran-
tes erunt, propter rectos angulos G, E. Eſt enim
angulus E, rectus, vt propoſ. 45.
oſtenſum eſt;
at G, rectus eſt, propterea quòd circulus CG,
ad circulum GH, rectus eſt. Rurſus IG, ar-
&
CE, complementum arcus AC, recto angulo oppoſiti;
&
FE, complementum arcus DE, id eſt, anguli A.
Quoniam igitur duo cir-
culi maximi CG, CI, in ſphæra ſe interſecant in C, ductiq́; ſunt ex arcus CI,
punctis F, I, ad arcum CG, arcus perpendiculares FE, IG; erit, vt ſinus to-
cus CE, hoc eſt, complementiarcus AC, ad tangentem arcus FE, hoc eſt,
complementi anguli A: Et permutando erit, vt ſinus totus ad ſinum comple-
mentiarcus AC, recto angulo oppoſiti, ita tangens anguli C, ad tangentem
complementi anguli A. Similimodo, aliter conſtructa figura, demonſtrabi-
mus, ita eſſe ſinum totum ad ſinum complementi arcus AC vt eſt tangens
anguli A, ad tangentem complementi anguli C. In omni igitur triangulo
ſphærico rectangulo, &c.
Quod oſtendendum erat.
EX hoc theoremate ſequens problema colligitur.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
opponitur, cum alterutro angulorum non rectorum, inuenire alte-
rum angulum non rectum, & duos arcus circa angulum rectum.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, datus
AB, cum angulo B. Dico dari quoque reliquum
angulum A, & duos arcus
AC, CB. Cum enim ſit, vt
AB, ita tangens
anguli B, ad tangentem complementi anguli A:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum complementi
dati, ita tangens
anguli dati ad aliud, reperietur tangens comple-
Hincex arcu AB, &
vtroque angulo B, A, vter-
proble-
mate propoſ. 41.
oſtendimus.
AN vero angulus quæſitus
A, acutus ſit, obtuſusve,
diſcemus exarcu dato AB, & dato angulo
B. Nam ſi
AB,
eſt quadrante minor, & angulus
B, acutus quidem, erit
A, acutus; ſi autem
B, eſt obtuſus, erit & A, obtuſus. At ſi
AB, eſt maior quadrante, & B, quidem acutus, erit A, obtuſus; ſi vero
B, eſt obtuſus, erit A, acutus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius
omnes arcus quadrante ſint minores: Sinus totus
ad ſinum vtriusvis arcuum circa angulum rectum
eandem habet proportionem, quam tangens com
plementi alterius arcus circa angulum rectum ad
tangentem complementi anguli oppoſiti.
IN triangulo ſphærico ABC, cuius omnes arcus minores quadrante, ſit
rectus angulus B. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinum arcus AB, vt eſt tangens
plementi anguli A. Facta enim conſtructio-
ne, vt in propoſ. 45.
erit angulus D, rectus,
& Cf, complementum arcus BC; &
EF, com
plementum anguli A; &
AD, quadrans, vt ibi
oſtenſum eſt. Quoniam igitur duo circuli ma-
ximi AD, AE, in ſphæra ſe mutuo ſecãt in A,
ductiq́; ſunt ex punctis C, E, ad arcum AD,
arcus perpendiculares CB, ED; erit, vt ſinus
totus quadrantis AD, ad tangentem arcus
BC: Et permutando, vt ſinus totus ad ſinum
arcus AB, ita tangens arcus DE, ad tangen-
tem arcus BC. Eſt autem, (cum CF, EF, ſint complementa arcuum BC, DE,)
vt tangens arcus DE, ad tangentem arcus BC, ita tangens arcus CF, ad tan
Igitur erit quoque, vt ſinus totus ad ſinum arcus AB, ita
tangens arcus CF, hoc eſt, complementi arcus BC, ad tangentem arcus EF,
hoceſt, complementi anguli A, arcui BC, oppoſiti. Non aliter oſtendemus,
ſi aliter figura conſtruatur, ita eſſe ſinum totum ad ſinum arcus BC, vt eſt tan
gens complementi arcus AB, ad tangentem complementi anguli C. In omni
triangulo ergo ſphærico rectangulo, &c.
Quod demonſtrandum erat.
INFERTVR ex theoremate hoc ſequens problema:
quod licet demonſtratum
quoque ſit problemate 2. propoſ.
44.
facilius tamen hic abſoluitur, cumin aurea re-
gula ſinus to tus primum obtineat locum.
IN triangulo ſphærico rectangulo, datis duobus arcubus circa
angulum rectum, vtrumlibet angulorum non rectorum, vnà cum
arcu reliquo, qui angulo recto opponitur, indagare.
IN triangulo ABC, cuius angulus C, rectus,
Dico vtrumuis angulo-
rum A, B, & arcum AB, quoque dari.
Nam cum ſit,
vt ſinus totus ad ſinum arcus AC, ita tangens comple-
A. Item vt ſinus totus ad ſinum arcus CB, ita tan-
gens complementi arcus AC, ad tangentem complemen
ti anguli B:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum vtrius vis arcuum circa angulum re-
aliud, reperietur tangens complementi anguli huic poſterioriarcui oppo-
ſiti. Ex datis quoque duobus arcubus circa angulum rectum cognoſcetur
& tertius arcus angulo recto oppoſitus, vt in problemate propoſ.
43.
oſten
dimus. Vel certe ex dato vtrolibet arcu, &
angulo, qui ei opponitur, in-
uento, vt in problemate 3. propoſ.
41.
traditum eſt.
VTRVM autem angulus quæſitus ſit acutus, obtuſusve, docebit arcus ei oppo-
ſitus. Hic enim ſi minor fuerit quadrante, erit angulus ei oppoſitus, acutus;
ſi vero
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius omnes arcus ſint minores quadrante: ſinus to-
tus ad tangentem vtriusvis arcuum circa angulum
rectum eandem proportionem habet, quam tan-
gens complementi anguli oppoſiti ad ſinum alte-
rius arcus circa rectum angulum.
IN ſphærico triangulo ADE, cuius arcus omnes quadrante minores, ſit
angulus D, rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad tangentem arcus DE, vt eſt
Repetita enim conſtru-
45.
erunt AB, AC,
quadrantes, & CF, complementum arcus
BC, id eſt, anguli A, vt ibi oſtenſum eſt. Igitur quoniam quadrantes ſunt AB, AC,
& arcus ED, ad AB, perpendicularis;
erit,
vt ſinus totus ad tangentem arcus ED, ita
tangens complementi arcus CB, hoc eſt,
Eodem mo
do oſtendetur, ita eſſe ſinum totum ad tan
gentem arcus AD, vt eſt tangens comple-
menti anguli E, ad ſinum arcus DE: ſi ni-
mirum aliter figura conſtruatur. In omni
ergo trianguloſphærico rectangulo, &c.
Quod erat demonſtrandum.
HINC tale problema colligitur, quod per problema 1.
propoſ.
44.
alio modo ab-
ſelui quoque potest.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato alterutro arcuum circa
angulum rectum, cum angulo oppoſito, reliquum arcum circa re-
ctum angulum, & arcum recto angulo oppoſitum, cum reliquo an-
gulo non recto inquirere: ſi modo conſtet, num arcus quæſitus ſit
maior quadrante, minorve: Vel an reliquus angulus non rectus ſit
acutus, obtuſusve.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, datus ſit arcus AC, cum angulo
B. Dico dari quoque arcum
BC, &c.
Cumenim
ſit, vt ſinus totus ad tangentem arcus AC, ita tangens
B, ad ſinum arcus BC:
SI fiat, vt ſinus totus ad tangentem datiar-
producetur ſinus arcus quæſiti. Ex duobus por-
ro arcubus circa rectum angulum cognitis in co-
gnitionem reliqui arcus, & reliqui angulinon re-
cti perueniemus, vt in problemate propoſ. 43.
demonſtrauimus;
vel cer-
te ex alterutro arcuum circa angulum rectum, & dato angulo, vt in pro-
blemate 2. propoſ.
42.
docuimus.
OPORTET autem hic conſtare, num arcus quæſitus
BC, ſit quadrante maior,
minor ve; vel an angulus
A, reliquus ſit acutus, obtuſus ve: quemadmodũ in poſteriore
parte problematis 1. propoſ.
44.
traditum eſt:
Vbi etiam errorẽ Copernici deteximus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius
ſinus totus
ad tangentem complementi vtriusvis angulorum
non rectorum habet proportionem eãdem, quam
tangens complemẽti reliqui anguli ad ſinum com
plementi arcus recto angulo oppoſiti.
IN triangulo ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, ſit angulus
B, rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad tangentem complementi anguli A, vt
eſt tangens complementi anguli C, ad ſinum complementi arcus AC. Repe-
tita namq; figura propoſ.
47.
cum CG, CI, qua-
arcus IG, FE,
ad CG, perpendiculares, vt ex conſtructione ibi-
dem facta perſpicuum eſt; erit, vt ſinus totus ad
DE, hoc eſt, anguli A, ita tangens complementi
arcus IG, id eſt, anguli C, ad ſinum arcus CE,
hoc eſt, complementi arcus AC, recto angulo
oppoſiti. Simili ratione oſtendemus, ſi aliter figuræ conſtructio inſtituatur,
ita eſſe ſinum totum ad tangentem complementi anguli C, vt eſt tangens com
plementi anguli A, ad ſinum complementi arcus AC. Quam ob rem in omni
triangulo ſphærico rectangulo, &c.
Quod demonſtrandum erat.
INFEREMVS ex hac propoſ.
theorema ſequens.
IN triangulo ſphærico rectangulo, datis duobus angulis non re-
ctis, inquirere arcum angulo recto oppoſitum, & reliquos duos ar-
cus circa angulum rectum.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, dati
A, B. Dico dari quoque arcum
AB, vnà cum arcubus AC, BC. Quoniam enim eſt, vt
ſinus totus ad tangentem complementi anguli A, ita tan-
B, ad ſinum complementi ar-
cus AB:
SI fiat, vt ſinus totus ad tangentem comple-
menti vtriusvis angulorum datorum, ita tangens
complementi alterius dati anguli ad aliud, procre abitur ſinus complemen
ti arcus recto angulo oppoſiti. Iam ex arcu, qui recto angulo opponitur,
& vtrolibet angulorum non rectorum, inuenietur arcus ei oppoſitus, vt
in 2. problemate propoſ.
41.
monſtr auimus.
PORRO an arcus quæſitus quadrante ſit maior, aut minor, ita diſcemus.
Si
vterq; angulorum
A, B, fuerit obtuſus, vel acutus, erit arcus AB, quadrante minor,
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius
arcus omnes ſint minores quadrante: ſinus totus
ad tangentem complementi arcus recto angulo
oppoſiti proportionem habet eandem, quam tan
gens vtriusvis arcuum circa angulum rectum ad
ſinum complementi anguli non recti adiacentis.
IN triangulo ſphærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, re-
ctus ſit angulus B. Dico ita eſſe ſinum totum ad tangentem complementi ar-
complementi anguli A. Repetita namq;
con-
ſtructione figuræ propoſ. 45.
erunt AD, AE,
quadrantes, & anguli D, E, recti, necnon &
BF, DF, quadrantes, vt ibi eſt oſtenſum. Quia igitur in ſphæra arcus DB, per extremi-
tates quadrantum BF, DF, ſeſe in F, ſecan-
tium ducitur, & CE, ad DF, perpendicularis
eſt; erit vt ſinus totus ad tangentẽ arcus CE,
lo oppoſiti, ita tangens complementi arcus
DB, hoc eſt, tangens arcus AB, ad ſinum ar-
cus EF, qui complementum eſt arcus DE,
ſeu anguli A. Non aliter demonſtrabitur, ita eſſe ſinum totum ad tangen
tem complementi arcus AC, vt eſt tangens arcus BC, ad ſinum complementi
anguli C, ſi aliter inſtituatur conſtructio figuræ. Quocirca in omni triangulo
ſphærico rectangulo, &c.
Quod erat oſtendendum.
ORITVR ex hoc theoremate problema huiuſmodi, quod problemate 2.
propoſ.
45.
declaratum quoque fuit.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato arcu, quirecto angulo
opponitur, cum alterutro arcuum circa eundem rectum angulum,
reperire angulum non rectum huic arcui adiacentem, hoc eſt, à da-
tis arcubus comprehenſum, cum reliquo arcu, & angulo non recto.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, datus
ſit arcus AB, cum arcu AC. Dico dari quoque angulum
A, cum arcu BC, & angulo
B. Quoniam enim eſt, vt
ſinus totus ad tangentem complementi arcus AB, ita tan-
AC, ad ſinum complementi anguli A:
SI fiat, vt ſinus totus ad tangentem comple-
g@l adiacentis, qui quæritur. Hinc reliqua inuenientur, vt in problema-
te 1. propoſ.
45.
traditum est.
NVM vero quæſitus angulus acutus ſit, nec ne, addiſcemus, vt in problemate 2.
propoſ.
45.
docuimus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius omnes arcus quadrante ſint minores: ſinus to-
tus ad ſinum vtriusvis angulorum non rectorum
habet proportionem eandem, quam ſecans alte-
rius anguli non recti ad ſecantem arcus huic angu
lo oppoſiti.
IN triangulo ſphærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, ſit
angulus B, rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinum anguli A, vt eſt ſecans
anguli C, ad ſecantem arcus AB. Facta conſtructione, vt in propoſ.
47.
erunt
GH, HE, AE, AD, DF, quadrantes, & GI, arcus anguli C, &
DE, ar-
cus anguli A, vt partim in propoſ. 45.
partim vero in 47.
oſtenſum eſt.
Item
angulus I, rectus erit, propterea quòd arcus CI,
Itaque quonlam duo circuli maximi
BI, DH, in ſphæra ſe mutuo ſecant in F, & ex
punctis D, H, arcus DH, ad arcum BI, ducti
ſunt arcus perpendiculares DB, HI; erit, vt ſi-
GI, qui complementum eſt arcus HI, ita ſinus
arcus FH, ad ſecantem arcus AB, qui complementum eſt arcus DB: Et per-
mutando, vt ſinus totus ad ſinum arcus FH, vel arcus DE, (ſunt enim arcus
FH, DE, æquales, quod & toti quadrantes EH, DF, æquales ſint) hoc eſt,
anguli A, ita ſecans arcus GI, id eſt, anguli C, ad ſecantem arcus AB, angu-
lo C, oppoſiti. Pari ratione, ſi aliter conſtruatur figura, demonſtrabimus, ita
eſſe ſinum totum ad ſinum anguli C, vt eſt ſecans anguli A, ad ſecantem arcus
BC. In omni ergo triangulo ſphærico rectangulo, &
c.
Quod erat oſtendendũ.
ELICITVR hinc ſequens problema, quod aliter etiam in probl.
1.
ſcholij
propoſ. 42.
ſolutum fuit.
IN triangulo ſphærico rectangulo, datis duobus angulis non re-
ctis, elicere arcum vtrilibet eorum oppoſitum, vnà cum arcu, qui
recto angulo opponitur.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, dati ſint duo anguli A, B. Dic@
BC, AC, vnà cum arcu
AB. Nam cum ſit, vt ſinus totus ad ſinum anguli
A, ita
ſecans anguli B, ad ſecantem arcus AC: Item, vt ſinus
totus ad ſinum angult B, ita ſecans anguli A, ad ſecan-
tem arcus BC;
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum anguli non re
anguli non recti ad aliud, reperietur ſecans arcus
huic poſteriori angulo oppoſiti, qui quæritur. In-
uento autem vtroque arcu circa angulum rectum, reperietur ex ipſis ter-
tius arcus recto angulo oppoſitus, vt in problemate propoſ. 43.
oſtendi-
mus: Vel certe ex inuento alterutro arcu, &
angulo dato, quiei opponi-
tur, vt in problemate 3. propoſ.
41.
diximus.
NVM vero duo arcus quæſiti circa angulum rectum minores quadrante ſint, ma-
isresve, ſciemus, vt in problemate 1. propoſ.
42.
docuimus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cuius
omnes arcus quadrante minores ſint: ſinus totus
ad ſinum complementi vtriusvis arcuum circa an
gulum rectum habet eandem proportionẽ, quam
ſecans arcus recto angulo oppoſiti ad ſecantem re-
liqui arcus.
IN triangulo ſphærico ABC, cuius omnes arcus quadrante minores, ſit
angulus B, rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinum complementi arcus
cus AB. Facta namque conſtructione figuræ,
vt in propoſ. 45.
erit BF, quadrans;
CE, BD,
ad DF, perpendiculares, vt ibi eſt demon-
ſtratum. Quia ergo in ſphæra duo circuli ma-
ximi BF, DF, ſe mutuo ſecant in F, ductiq́; ſunt ex punctis B, C, ad DF, perpendiculares
arcus BD, CE; erit, vt ſinus totus quadran-
tis BF, ad ſecantem complementi arcus CE,
cus FC, qui complementum eſt arcus BC, ad
ſecantem complementi arcus BD, hoc eſt, ad
ſecantem arcus AB: Et permutando, vt ſi-
custotus ad ſinum complementi arcus BC, ita ſecans arcus AC, ad ſecantem
Simili modo oſtendemus, ita eſſe ſinum totum ad ſinum comple-
menti arcus AB, vt eſt ſecans arcus AC, ad ſecantem arcus BC, ſi nimitum
figura paulo aliter conſtruatur. In omni ergo triangulo ſphærico rectangu-
lo, &c.
Quod erat demonſtrandum.
SEQVENS problema ex hoc theoremate colligitur.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato arcu, quirecto angulo
opponitur, cum alterutro arcuum circa rectum angulum, inueſtiga-
re tertium arcum, cum duobus angulis non rectis.
IN triangulo
ABC, cuius angulus C, rectus, datus ſit arcus AB, vnà cum ar-
cu AC. Dico dari quoque arcum
BC, cum angulis A, B.
AC, ita ſecans arcus AB, ad ſecantem arcus BC:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum complementi
angulo recto oppoſiti ad aliud, producetur ſecans
tertij arcus, qui inquiritur. Hinc ex duobus ar-
cubus circa rectum angulum cognitis, vterlibet
angulorum non rectorum cognoſcetur, vt in 5. problemate ſcholij propoſ.
44.
vel in problemate ſcholij propoſ.
48.
docuimus.
VTRVM vero quæſitus arcus
BC, ſit quadrante maior, minorve, diſcemus eæ
datis duobus arcubus, vt ad finem problematis ſcholij 1. propoſ.
43.
traditum eſt.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius omnes arcus quadrante ſint minores: ſinus to-
tus ad ſinum vtriuſlibet angulorum non rectorum
proportionem habet eandem, quam ſecans com-
plementi arcus illi angulo oppoſiti ad ſecantem
complementi arcus recto angulo oppoſiti.
IN triangulo ABC, cuius arcus omnes ſint minores quadrante, ſit angu-
lus B, rectus. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinum anguli A, vt eſt ſecans com-
plementi arcus BC, ad ſecantem complementi arcus AC. Repetita enim
conſtructione figuræ propoſ. 47.
erit angulus I, rectus, vt in propoſ.
52.
monſtratum eſt;
necnon &
angulus G.
Item GH, EH, DF, BF, AE, qua-
drantes, vt ex demonſtratis in propoſ. 45.
&
47.
conſtat.
Quia igitur in ſphæra
ex punctis E, F, arcus
EH, ad arcum GH, ducti ſunt arcus perpendiculares EG, FI; erit, vt ſinus
plementum etiam eſt arcus BC, ita ſinus arcus
FH, hoc eſt, arcus DE, (eſt enim arcus FH, ar-
cui DE, æqualis, ob quadrantes EH, DF, æqua
les) qui arcus eſt anguli A, ad ſecantem comple-
menti arcus EG, id eſt, ad ſecantem arcus EC,
qui complementum quoque eſt arcus AC: Et
permutãdo, vt ſinus totus ad ſinum arcus DE,
hoc eſt, anguli A, ita ſecans complementi arcus BC, ad ſecantem comple-
menti arcus AC. Non ſecus oſtendemus, ſi aliter figura conſtruatur, ita
eſſe ſinum totum ad ſinum anguli C, vt eſt ſecans complementi arcus AB, ad
ſecantem complementi arcus AC. In omni igitur triangulo ſphærico rectan-
gulo, &c.
Quod erat demonſtrandum.
SEQVITVR ex hoc theoremate ſequens problema, quod aliter etiam abſol-
nimus in problemate. 3.
propoſ.
41.
IN triangulo ſphęrico rectangulo, dato vtrolibet angulorum non
rectorum, cum arcu oppoſito, inueſtigare arcum recto angulo op-
poſitum, vnà cum tertio arcu, & reliquo angulo non recto:
dummo-
do conſtet, num arcus angulo recto oppoſitus ſit maior quadrante,
minorve: aut an alter angulus non rectus ſit acutus, obtuſusve.
IN triangulo ABC, rectum habente angulum C, datus ſit angulus
B, cum ar-
AC. Dico dari quoque arcum AB, vnà cum arcu
BC, & angulo A.
Cum namque ſit, vt ſinus totus ad
ti AC, ad ſecantem complementiarcus AB:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum dati anguli,
ducetur ſecans complementi arcus recto angulo
oppoſiti, qui inquiritur. Ex arcubus vero AB,
AC, cognitis notus fiet tertius arcus BC, ex problemate propoſ. 43.
Item ex arcubus AB, BC, notis cognitus fiet angulus A, ex problema-
te 1. propoſ.
41.
OPORTET autem hic conſtare, num arcus quæſitus
AB, ſit quadrante ma-
ior, an minor: Vel an reliquus angulus non rectus
A, ſit acutus, obtuſus ve, alioquin
neſciremus, qualis arcus pro AB, aſſumendus ſit, cum poßit eße maior quadrante, vel
minor, vt perſpicuum eſt. Id quod ad problema 3.
propoſ.
41.
monuimus:
Vbi etiam
copernici, atque Ioan Regiom. errorem aperuimus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius omnes arcus minores quadrante ſint: ſinus to-
tus ad ſinum arcus recto angulo oppoſiti eandem
proportionem habet, quam ſecans complementi
vtriuſlibet arcuum circa angulum rectum ad ſecã-
tem complementi anguli huic arcui oppoſiti.
IN ſphærico triangulo ABC, cuius omnes arcus ſint minores quadrante,
angulus B, rectus ſit. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinum arcus AC, vt eſt ſe-
cans complementi arcus BC, ad ſecantem
complementi anguli A, arcui BC, oppoſiti. Repetita enim conſtructione figuræ propoſ.
erit AE, quadrans;
DE, arcus anguli A,
& EF, eius complementum;
atque CF, com-
plementum arcus BC, vt ibi demonſtratum
eſt. Quia ergo in ſphæra duo maximi circuli
AE, AD, ſe interſecant in A, & ex punctis
pendiculares arcus CB, ED; erit vt ſinus to
tus quadrantis AE, ad ſecantem complemen
ti arcus CB, hoc eſt, ad ſecantem arcus CF,
ita ſinus arcus AC, ad ſecantem complemen-
ti arcus DE, ſiue anguli A, id eſt, ad ſecan-
tem arcus EF: Et permutando, vt ſinus totus ad ſinum arcus AC, ita ſecans
complementi arcus BC, ad ſecantem complementi anguli A. Pari ratione, ſi
aliter figura extruatur, erit, vt ſinus totus ad ſinum arcus AC, ita ſecans com
plementi arcus AB, ad ſecantem complementi anguli C. Quare in omni trian
gulo ſphærico rectangulo, &c.
Quod erat oſtendendum.
EX his ſequens problema diſſoluemus, quod alio quoque modo in problemate 1.
propoſ.
41.
abſolutum fuit.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato arcu, qui recto angulo
opponitur, cum alterutro arcuum circa rectum angulum, inuenire
angulum huic arcui oppoſitum, cum reliquo arcu, & angulo.
IN triangulo ABC, cuius rectus angulus C, datus ſit tam arcus
AB, quam AC. Dico dari quo que angulum
B, vnà cum arcu B C, & angulo
A. Quia enim eſt, vt ſi-
nus totus ad ſinum arcus Ab, ita ſecans complementi arcus AC, ad ſecantem com-
B:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum arcus angulo recto oppoſiti, ita ſecans
cans complementi anguli quæſiti, qui dicto arcui opponitur. Iam ex da-
tis duobus arcubus tertium inueniemus, vt in problemate propoſ. 43.
vel
in problemate propoſ. 53.
tradidimus.
Item ex arcu, qui recto angulo
opponitur, & hoc arcu inuento, reperiemus reliquum angulum huic inuen
to arcui oppoſitum, vt dictum eſt in hoc problemate, vel certe, vt in pro-
blemate 1. propoſ.
41.
oſtendimus.
AN vero quæſitus angulus
B, acutus ſit, an obtuſus, docebit arcus AC, circa an-
gulum rectum datus, vt in problemate 1. propoſ.
41.
præcepimus.
IN omni triangulo ſphærico rectangulo, cu-
ius arcus ſint omnes quadrante minores: ſinus to-
tus ad ſinum complementi vtriuſlibet arcuum cir
ca rectum angulum eandem proportionem ha-
bet, quam ſecans anguli huic arcui oppoſiti ad ſe-
cantem complementi reliqui anguli non recti.
IN triangulo ſphærico ABC, angulum B, rectum habente, ſint omnes ar-
cus quadrante minores. Dico ita eſſe ſinum totum ad ſinũ complementi ar-
cus BC, vt eſt ſecans anguli non recti A, ad ſecantem complementi anguli
C. Repetita enim conſtructione figuræ propoſ.
47.
erunt anguli G, E, re-
cti, & arcus BF, DF, CI, EH, GH, quadran-
tes, & DE, arcus anguli A, &
GI, arcus anguli
45.
&
47.
liquet.
Igitur quia duo maximi in ſphæra circuli CG,
ſunt ex pun-
ctis F, I, arcus CI, ad arcum CG, arcus perpen-
diculares FE, IG; erit, vt ſinus totus quadran
tis CI, ad ſecantem complementi arcus FE, hoc
eſt, ad ſecantem arcus DE, anguli A, ita ſinus
arcus CF, qui complementum eſt arcus BC, ad ſecantem complementi arcus
GI, anguli C: Et permutando, vt ſinus totus ad ſinum complementi arcus
BC, ita ſecans anguli A, ad ſecantem complementi anguli C. Non ſecus o-
ſtendemus, ſi aliter conſtruatur figura, ita eſſe ſinum totum ad ſinum comple
menti arcus AB, vt eſt ſecans anguli C, ad ſecantem complementi anguli A. Quapropter in omni triangulo ſphærico rectangulo, &
c.
Quod demonſtran-
dum erat.
INFERTVR hinc problema huiuſmodi.
IN triangulo ſphærico rectangulo, dato vtrouis arcuum circa an-
gulum rectum, cum angulo non recto oppoſito, inquirere teliquum
angulum non rectum, & iuſuper reliquos duos arcus:
modo conſter,
an quæſitus angulus ſit acutus, obtuſusve: Vel certe, an alter arcus
circa angulum rectum ſit minor quadrante, an maior.
IN triangulo ABC, angulum C, rectum habente, datus ſit arcus
AC, cum an-
gulo B. Dico dari quoque engulum
A, cum arcubus BC,
AB. Cum enim ſit, vt ſinus totus ad ſinum complementi
arcus AC, dati, ita ſecans anguli dati B, ad ſecantem
A:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum complementi
rietur ſecans complementi anguli alterius non re-
cti. Hinc ex duobus angulis non rectis notis inue-
ſtigabitur arcus recto oppoſitus angulo, vt in problemate propoſ. 50.
mon
ſtrauimus, ac proinde & reliquus arcus, ex arcu, qui recto angulo oppo-
nitur, & ex noto angulo, qui reliquo arcui opponitur, vt in problemate 2.
propoſ.
41.
diximus.
OTORTET autem conſtare, an reliquus angulus non rectus, qui quæritur ſit
acutus, obtuſusve; vel, an reliquus arcus circa angulum rectum ſit minor, aut maior
quadrante, vt ad calcem problematis 2. propoſ.
42.
monuimus, vbi errorem etiam
Nicolai Copernici deteximus.
QVONIAM vero abſolutus iam eſt triangulorum ſphæricorum rectangulorum
calculus, libet hoc loco omnia problemata hactenus explicata in tabulam quandam
referre, vt facilius quilibet id, quod maxime ſcire deſiderat, poſsit inuenire. Itaque
cum in omni triangulo ſphærico rectangulo id, quod primo loco quæritur, ſit vel ar-
cus recto angulo oppoſitus, vel vterlibet arcuum circa rectum angulum, vel denique
alteruter angulorum non rectorum, (quamuis eo, quod potiſsimum quæritur, inuen-
to, cætera quoque reperiantur, vt ad praxes ſingulorum problematum monuimus)
trimembrem tabulam, pro numero quæſitorum, conſecimus, appoſuimuſque problema-
ta propoſitionum, in quibus inuentiones quæſitorum demonſtratæ ſunt.
Quando datur {1.
Arcus circa angulum rectum:
Et an- \ġulus non rectus ei oppoſitus.
\\ 2.
Vterque arcus circa angulum re- \ċtum.
\\ 3.
Arcus circa angulum rectum:
Et an- \ġulus non rectus ei adiacens.
\\ 4.
Vterque angulus non rectus.
Probl.
3.
propoſ.
41.
\\ (&
Probl.
propoſ.
54.
\\ Probl.
propoſ.
43.
\\ Probl.
1.
propoſ.
45.
\\ (&
Probl.
propoſ.
46.
\\ Probl.
propoſ.
50.
Quando datur {1.
Arcus recto angulo oppoſitus:
Et an- \ġulus non rectus quęſito arcui op- \ṗoſitus.
\\ 2.
Vterq;
angulus non rectus- \\ 3.
Arcus recto angulo oppoſitus:
Et al- \ṫer arcus circa rectum angulum.
\\ 4.
Arcus alter circa angulum rectum:
\\ Et vteruis angulorum non recto- \ṙum.
\\ 5.
Arcus recto angulo oppoſitus:
Et \ȧngulus non rectus quæſito arcui \ȧdiacens.
\\ 6.
Arcus alter circa angulum rectum:
\\ Et alter angulus non rectus ei op- \ṗoſitus.
Probl.
2.
propoſ.
41.
\\ Probl.
1.
propoſ.
42.
\\ (&
Probl.
propoſ.
52.
\\ Probl.
{pro}poſ.
43.
&
53.
\\ Probl.
1.
propoſ.
44.
\\ Probl.
3.
propoſ.
45.
\\ Probl.
propoſ.
49.
\\ (&
Probl.
1.
{pro}poſ.
44.
Quando datur {1.
Arcus recto angulo oppoſitus:
Et \ȧrcus circa angulum rectum quę- \\ ſito angulo oppoſitus.
\\ 2.
Arcus circa angulum rectum:
Et \ȧlter angulus non rectus.
\\ 3.
Vterq;
arcus circa rectum angulum.
\\ 4.
Arcus recto angulo oppoſitus:
Et \ȧrcus circa rectum angulum quę- \\ ſito angulo adiacens.
\\ 5.
Arcus recto angulo oppoſitus:
Et \ȧlter angulus non rectus.
\\ 6.
Arcus circa angulum rectum quæ- \\ ſito angulo adiacens:
Et alter an- \ġulus non rectus huic arcui op- \ṗoſitus:
Probl 1.
propoſ.
41.
&
\\ (Probl.
propoſ.
55.
\\ Probl.
2.
propoſ.
42.
\\ Probl.
2.
propoſ.
44.
\\ (&
Probl.
propoſ.
48.
\\ Probl.
2.
propoſ.
45.
\\ (&
Probl.
propoſ.
51.
\\ Probl.
propoſ.
47.
\\ Probl.
propoſ.
56.
&
\\ (Probl.
2.
propoſ.
42.
SED quia hactenus de eo ſolum triangulo rectangulo egimus, cuius nullus ar-
ſtratis) quo pacto nos gerere debeamus in eo, quod duos ſaltem arcus habet quadran
tes, & duos angulos rectos.
Nullum enim triangulum eſſe poteſt rectangulum, cuius
vnus duntaxat arcus ſit quadrans, ſed vel nullus erit quadrans, vel omnes tres qua-
c.
Sit ergo triangulum ſphæricum
ABC, in quo angulus B, ponatur rectus, & arcus
AB, circa angulum rectum quadrans. Hoc poſito, erit
& arcus
AC, recto angulo oppoſitus, quadrans. Quare cum duo arcus
AB, AC,
B, C, recti; ac propte-
A, polus erit arcus BC; &
BC, arcus anguli A, ex
Igitur ſi datus ſit tertius angulus A, datus
etiam erit tertius arcus BC: Et contra, ſi datus ſit ter-
tius arcus BC, datus quoque erit tertius angulus A. Eo-
dem modo, ſi alter arcus BC, circa angulum rectum qua-
drans ponatur, ostendemus & arcum
AC, recto angulo
oppoſitum quadrantem eſſe, & angulum
A, rectum. Si ergo
detur tertius angulus C, dabitur quoque tertius arcus AB, & contra, vt prius.
Quòd ſi quantitas tertij angu-
li, aut arcus datanon fuerit, nihilcerti colligi poterit, licet duo alij anguli recti ſint,
PONATVR iam arcus AC, recto angulo
B, oppoſitus quadrans. Quo poſito,
alter ſaltem arcuum
AB, BC, circa angulum rectum quadrans. Quamobrem
reliqua conſequentur, vt proxime demonſtratum eſt.
QVOD ſi quando duo arcus
AB, BC, circa angulum rectum quadrantes ponan
AC, recto angulo oppoſitus, quadrans. Quocirca cum
omnes arcus quadrantes ſint, erunt omnes anguli recti.
EX his facile quiuis intelliget, quid agere debeat, quando aliquis arcus in trian
gulo rectangulo quadrans ponitur: præſertim ſi propoſ.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
attente conſiderentur.
SEQVITVR iam, vt calculum triangulorum non rectangulorum tandem ex-
ponamus: Verũ prius aliquot theoremata ad hanc rem perutilia demonſtranda ſunt.
SI in triangulo ſphærico ſupra vnum arcum
duo anguli acuti, aut obtuſi conſiſtant; Perpendi-
cularis arcus à tertio angulo in eum arcum demiſ-
ſus intra triangulum cadit. Si vero duorum angu-
lorum ſupra vnum arcum conſiſtentium vnus ſit
acutus, & obtuſus alter;
Perpendicularis arcus à
tertio angulo in eum arcum demiſſus extra trian-
gulum cadit.
IN triangulo ſphærico ABC, ſint duo anguli B, C, ſupra arcum BC, acu-
ti, vel obtuſi. Dico arcum perpendicularem ex A, ad arcum BC, demiſſum
cadere intra triangulum, cuiuſmodi eſt arcus AD. Si enim dicatur cadere ex-
tra, cadat, ſi fieri poteſt, arcus AE, ad BC, arcum
productum perpendicularis extra triangulum, & po
angulus ACE, obtuſus. Quoniam igitur in trian-
gulo ACE, angulum E, habente rectum, angulus
ACE, obtuſus eſt, erit arcus AE, quadrante ma-
Rurſus quia in triangulo ABE, habente angu-
lum rectum E, angulus B, acutus eſt, erit arcus AE,
Sed &
quadrante maior oſten-
ſus eſt; quod eſt abſurdum.
PONANTVR deinde anguli B, C, obtuſi, atque adeo angulus ACE,
acutus. Quia ergo in triangulo ACE, habente rectum angulum E, angulus
ACE, acutus eſt, erit arcus AE, minor quadrante. Rurſus quoniam in trian
AE, quadrante maior: Sed &
quadrante minor oſtenſus eſt;
quod eſt abſur-
Non cadit ergo arcus perpendicularis extra triangulum:
ſed neque cum
rectus. Cadit ergo intra triangulum.
IAM vero ponatur in eodem triangulo ABC, angulus B, acutus, &
C,
obtuſus. Dico perpendicularem arcum ex A, ad arcum BC, demiſſum extra
triangulum cadere, cuiuſmodi eſt arcus AE. Nam ſi intra dicatur cadere, ca-
dat, ſi fi fieri poteſt, arcus AD, ad BC, perpendicularis intra triangulum. Ita-
que quia in triangulo ACD, angulum rectum habente D, angulus C, obtu-
ſus eſt, erit arcus AD, maior quadrante. Rurſus cum in triangulo ABD, re-
Sed &
quadrante oſtenſus eſt maior;
quod eſt abſurdum.
Arcus ergo
perpendicularis non cadit intra triangulum; ſed neque cum altero arcuum
AB, AC, coincidit, cum neuter angulorum B, C, rectus ponatur. Cadit ergo
extra triangulum. Quapropter, ſi in triangulo ſphærico ſupra vnum arcum
duo anguli acuti, &c.
Quod erat demonſtrandum.
IN omni triangulo ſphærico, cuius duo arcus
ſint inæquales; quadratum ſinus totius ad rectan-
gulum ſub ſinubus rectis duorum arcuum inęqua
lium contentum, eandem proportionem habet,
quam ſinus verſus anguli à dictis arcubus compre-
henſi ad differentiam duorum ſinuum verſorum,
quorum vnus differentiæ eorundem arcuum de-
betur, alter vero tertio arcui, qui prædicto angulo
oppoſitus eſt, reſpondet.
IN triangulo ſphærico ABC, ſint duo arcus AB, AC, inęquales, ille
minor, & hic maior.
Dico ita eſſe quadratum ſinus totius ad rectangulum ſub
ſinubus rectis arcuum AB, AC, contentum, vt eſt ſinus verſus anguli A, ad
differentiam inter ſinum verſum arcus, quo arcus AB, AC, inter ſe differunt,
& ſinum verſum arcus BC.
Cu-
rior fiat, & generalior, in quin-
decim caſus diuidemus.
1.
SINT omnes tres arcus
quadrante minores. Complea-
ABDGH, productisq́; arcu-
bus AC, BC, fiant quadrantes
AL, BM; &
polis A, B, inter-
uallis autem quadrantum AL,
BM, circuli maximi deſcribantur DLEF, GMEH: Et eiſdem polis, inter-
lis maximis paralleli erunt: &
tam hi, quam illi ad circulum ABDGH, re-
Poſt hæc, vt con-
nes ipſius, & circulorum ex polis A, B, deſcriptorum, nempe DF, GH, com-
munes ſectiones ipſius, & maximorum circulorum DLEF, GMEH, quæ
ipſorum diametri erunt ſeſe in centro ſphæræ X, interſecantes: At KN, OP,
communes ſectiones eiuſdem, & circulorum KCN, OCP, ſe interſecantes
in S; quæ ipſis DF, GH, parallelæ erunt;
&
diametri circulorum KCN,
quòd maximus circulus ABDGH, per eorum polos tranſiens eos
bifariam ſecet, nimirum per eorum diametros. Ducantur quoque ſemidiame-
&
BX, ſecans KN, OP, in I, R.
Eruntque ſemi-
diametri AX, BX, perpendiculares ad circulos per DF, KN, GH, OP,
cum ab eorum polis A,
ac proinde anguli ad Y, &
R, recti erunt, ex defin. 3.
lib.
11.
Eucl.
Ducantur denique ad BX,
OP, perpendiculares AV, KQ,
KT. Erit igitur, per ea, quæ in
tractatione ſinuum ſcripſimus,
AV, ſinus rectus arcus AB; &
KY, ſinus rectus arcus AK, hoc
eſt, arcus AC, cum arcus AK,
AC, ex defin. poli, æquales ſint, vt in primo circulo apparet.
BR, erit ſinus
verſus arcus BO, id eſt, arcus BC, cum arcus BO, BC, æquales ſint, ex defin.
poli. BQ, ſinus verſus erit arcus BK, qui differentia eſt arcuum inæqualium
AB, AC, propterea quod, ex defin. poli, arcus AK, arcum AB, arcu BQ, ſupe-
rans, æqualis eſt arcui AC: ac proinde QR, vel KT, differentia erit inter BR,
ſinum verſum tertij arcus BC, & BQ, ſinum verſum differentiæ arcuum inæ-
qualium AB, AC, hoc eſt, ſinum verſum arcus BK. Poſtremo erit KS, ſinus
verſus arcus KC, in circulo non maximo KCN, cum recta ex C, in commu-
nes ſectiones circulorum KCN, OCP, cum circulo ABDGH, hoc eſt, in
punctum S, cadens, (quæ quidem ad circulũ ABDGH, recta eſt, vtpote com-
munis ſectio circulorum KCN, OCP, ad eundem circulum ABDGH, re-
Sumatur quoque DZ, ſinus ver-
ſus arcus DL, hoc eſt, anguli A, qui quidem arcus arcui KC, ſimilis eſt. De-
ſub DX, XA, contentum, ad rectangulum ſub ſinubus rectis AV, KY, ar-
cuum AB, AC, contentum, vt eſt ſinus verſus DZ, anguli A, ad KT, diſ-
fer entiam inter BR, ſinum verſum arcus BC, & BQ, ſinum verſum arcus BK,
differentiæ arcuum inæqualium AB, AC. quod ita fiet.
QVONIAM angulus XIY, angulo RIS, æqualis eſt, &
angulus re-
erit reliquus angulus IXY, trianguli IXY, reliquo
Cum ergo &
angulus rectus V, recto angulo T, æqualis ſit, erit &
reliquus
angulus XAV, trianguli XAV, reliquo angulo SKT, trianguli SKT,
æqualis Quam ob rem erit, vt XA, ad AV, ita SK, ad KT. Rurſus quia DZ,
erit, vt DX, ad KY, ſinus
totus ad ſinum totum, ita DZ, ad KS, per lem ma propoſ. 1.
noſtræ Gnomo-
nices. Quia vero proportio rectanguli ſub DX, XA, ad rectangulum ſub KY,
AV, componitur ex proportione DX, ad KY, hoc eſt, DZ, ad KS, & ex
Et proportio DZ, ad KT, componitur ex eiſdẽ
proportionibus, nempe (poſita media recta KS) ex proportione DZ, ad KS,
& ex proportione KS, ad KT, hoc eſt, ex proportione XA, ad AV;
erit, vt
rectangulum ſub DX, XA, id eſt, quadratum ſinus totius, ad rectangulum
ſub KY, AV, ſinubus rectis arcuum inæqualium AC, AB, ita DZ, ſinus ver
ſus anguli A, ad KT, differentiam inter BR, ſinum verſum arcus BC, angu-
lo A, oppoſiti, & BQ, ſinum verſum differentiæ arcuum inæqualium AC,
AB. Quod eſt propoſitum.
2.
SINT duo arcus inæquales AB, AC, quadrante quidem minores, at
Compleatur minoris arcus AB, circulus ABDGH, &
pro-
ducto arcu AC, vt fiat quadrans AL, deſcribantur ex polis A, B, ad inter-
ualla quadrantum AL, BC, cir-
culi maximi DELF, GECH:
AC, circulus non maximus
KCN, qui ipſi DELF, paral-
ABDGH, circulos DELF,
ctos, & bifariam:
ac proinde ho-
rum cum illo communes ſectio-
nes DF, GH, KN, diametri eo-
rum erunt, & DF, GH, ſe in X, centro ſphæræ interſeca bunt, parallelæq́ue
erunt DF, KN. Reliqua fiant, vt in præcedenti caſu, niſi quòd hic punctum
adeo recta ORP, à recta GH, non differt.
Erit, vt prius, AV, ſinus rectus ar-
cus AB; &
KY, ſinus rectus arcus AK, hoc eſt, arcus AC, ipſi AK, ex de-
fin. poli, æqualis.
Item BR, ſinus verſus erit arcus BG, id eſt, arcus BC,
ipſi BG, æqualis. At BQ, ſinus erit verſus arcus BK, differentiæ arcuum
AB, AC; ideoq;
QR, vel KT, differentia erit inter ſinus verſos BR, BQ,
arcuum BC, BK. Deniq;
KS, erit ſinus verſus arcus KC.
Sumpto ergo DZ,
ſinu verſo arcus DL, hoc eſt, anguli A, demonſtrandum eſt, ita eſſe quadra-
tum ſinus totias, id eſt, rectangulum ſub DX, XA, ad rectangulum ſub AV,
KY, ſinubus rectis arcuum AB, AC, vt eſt ſinus verſus DZ, anguli A, ad
KT, differentiam ſinuum verſorum BR, BQ, arcuum BC, BK. quod quidem
demonſtrabitur, vt in præcedenti caſu, niſi quod triangulum XAV, oſtende-
tur hic æquiangulum eſſe triangulo SKT, ex eo quòd angulus IXY, angu-
lo YSX, æqualis eſt, propterea quòd triangula IXY, YSX, ſimilia ſunt inter
Hinc enim fit, rectangula triangula XAV, SKT, inter ſe omnino æquian-
gula eſſe.
3.
SINT rurſus AB, AC, quadrante minores, at BC, maior.
Com-
ex BC, abſcindatur quadrans BM,
producaturq́; AC, vt fiat quadrans AL.
Reliqua conſtruantur, vt in prmo
caſu. Erunt hic ſinus, vt ibi.
Demonſtrandum ergo eſt, ita eſſe quadratũ ſinus
Dx, XA, ad rectangulum ſub AV, KY, ſinu-
bus rectis arcuum AB, AC, vt eſt ſinus verſus DZ, anguli A, ad KT, diſſe-
rentiam ſinuum verſorum BR,
BQ, arcuum BC, BK. quod
caſu, niſi quòd triangulũ XAV,
oſtendemus hic triangulo SkT,
æquiangulum eſſe, ex eo, quòd
angulus XIY, angulo SKT,
externus interno, æqualis eſt.
lis rectangulis XIY, SkT, re-
liquos angulos IXY, kST, æ-
quales eſſe; atq;
idcirco rectangula triangula XAV, SkT, eſſe æquiangula.
4.
SIT arcus AC, quadrans, atque adeo AB, quadrante minor;
ſtatua-
Completo circulo ABDGH, minoris
arcus AB; productoq́;
arcu BC, vt fiat quadrans BM, deſcribantur ex polis
A, B, ad interualla quadrantum
GMEH: Item ex polo B, ad in-
teruallum arcus BC, circulus
non maximus OCP. Reliqua
conſtruantur, vt in primo caſu,
niſi quòd hic duo circuli paral-
leli DEF, kCN, inter ſe non
differunt, propter quadrantem
AC. Ex quo fit, rectas DF, kN,
inter ſe quoq; non differre.
quod etiam de ſinubus verſis kS, DZ, dicendum eſt.
Alij ſinus ſunt, vt prius.
Iam verò, ita eſſe quadratum ſinus totius, ſiue rectan
gulum ſub DX, XA, ad rectangulum ſub AV, kV, ſinubus rectis arcuum AB,
AC, vt eſt DZ, ſinus verſus anguli A, ſiue arcus KC, ad KT, differentiam ſi-
nuum verſorum BR, BQ, arcuum BC, BK, oſtendemus, vt in primo caſu; ex-
cepto, quod hic triangulum XAV, triangulo SkT, æquiangulum eſſe de-
monſtrabimus, ex eo, quòd angulus AXV, angulo YSR, æqualis eſt, (pro-
pterea quod triangula IXR, RSY, ſimilia ſunt) atque adeo angulo KST.
5.
SIT rurſus AC, quadrans, proptereaq́;
AB, quadrante minor, ſed
noris arcus AB, deſcribantur ex
polis A, B, ad interualla quadran-
tũ AC, BC, circuli maximi DCF,
GCH, & reliqua fiant, vt prius,
niſi quod hic circuli kN, OP, non
maximi à maximis DF, GH, non
differunt, &c.
Demonſtrandum
igitur eſt, ita eſſe quadratum ſinus
totius, hoc eſt, rectangulum ſub DX, XA, ad rectangulum ſub AV, kY, ſi-
kC, ad kT, differentiam ſinuum verſorum BY, BQ, quorum ille arcui BC,
hic autem arcui Bk, debetur. quod quidem oſtendemus, vt in primo caſu.
So-
lum triangulum XAV, ita demonſtrabitur triangulo SkT, æquiangulum. Quoniam anguli DSA, BSH, recti ſunt, cum AS, BS, axes ſint circulo-
rum DF, GH; erunt, dempto communi ASB, reliqui DSB, ASH, æqua-
les: ſed ille angulo alterno SkT, &
hic alterno angulo XAV, æqualis eſt.
anguli SkT, XAV, æquales erunt:
ac proinde triangula rectangu.
la XAV, SkT, æquiangula erunt.
6.
SIT adhuc AC, quadrans, ideoq́;
AB, minor quadrante, ſed BC,
Completo circulo ABDGH, arcus minoris AB;
&
ex BC, abſciſſo quadrante BM, deſcribantur ex polis A, B, ad interualla
quadrantum AC, BM, maximi
circuli DEF, GEH: Item ex
culus non maximus OCP, qui
ipſi GEH, parallelus crit. Reli-
inter ſe non difterũt circuli DF,
kN, &c.
Iam demon ſtrabimus,
vt in primo caſu, ita eſſe quadra-
tum ſinus totius, id eſt, rectan-
gulum ſub DX, XA, ad rectan-
gulum ſub AV, kY, ſinubus rectis arcuum AB, AC, vt eſt DZ, ſinus ver-
ſus anguli A, ſeu arcus DC, ad kT, differentiam ſinuum verſorum BR, BQ,
arcuum BC, Bk. Verum triangulum XAV, triangulo SkT, æquiangulum
eſſe, ita monſtrabimus. Cum anguli recti ſint AXk, BXG, reliqui æquales
erunt AXV, kXG: ſed hic æqualis eſt oppoſito, &
interno TSk.
Igitur &
an-
atque adeo rectangula triangula
XAV. SKT, æquiangula erunt.
7.
SIT arcus AC, quadrante maior, &
AB, BC, quadrante minores.
abſciſſo quadrante AL, ex AC, producto-
q́ue arcu BC, vt fiat quadrans
primo caſu. Demonſtrabimus
enim, vt ibi, ita eſſe quadratum
ſinus totius, ſiue rectangulũ ſub
DX, XA, ad rectangulum ſub
AV, kY, ſinubus rectis arcuum
AB, AC, vt eſt DZ, ſinus ver-
ſus anguli A, ſiue arcus DL, ad
kT, differentiam ſinuum verſo-
rum BR, BQ, arcuum BC, BK: ſed triangulum AXV, ita probabitur æquiangulum eſſe triangulo SKT.
An-
gulus KST, angulo ISR, æqualis eſt. Igitur in triangulis rectangulis SkT,
ac proinde &
in rectangulis
triangulis SKT, XIY, reliqui anguli KST, IXY, æquales erunt. Cum
ergo angulus IXY, angulo AXV, æqualis ſit, erit quoq; kST, eidem AXV,
proptereaq́;
in triangulis rectangulis SkT, XAV, reliqui anguli
SkT, XAV, æquales erunt.
8.
SIT adhuc AC, quadrante maior, &
AB, minor quadrante, ſed BC,
Completo circulo ABDGH, &
abſciſſo quadrante AL, ex AC,
deſcribantur ex polis A, B, ad in-
terualla quadrantum AL, BC,
GEh: Item ex polo A, ad interuallum
AC, circulus nõ maximus KCN,
& alia fiãt, vt in primo caſu.
De-
monſtrabitur, vt ibi, ita eſſe qua-
dratum ſinus totius, nimirum re
ctãgulum ſub DX, XA, ad re-
ctangulum ſub AV, KY, ſinubus
rectis arcuum AB, AC, vt eſt
DZ, ſinus verſus arcus DL, ſiue anguli A, ad KT, differentiam ſinuum verſo-
rum BR, BQ, arcuum BC, BK: ſi tamen triangula XAV,
SkT, oſtenda-
mus æquiangula eſſe, vtin ſeptimo caſu.
9.
SIT rurſus AC, maior quadrante, &
AB, quadrante minor, ſed BC,
Completo circulo ABDGH, &
abſciſsis quadran-
tibus AL, BM, ex AC, BC, reliqua conſtruantur, vt in primo caſu. Nam,
vtibi, ita hic demonſtrabitur, ita
eſſe quadratum ſinus totius, re-
XA, ad rectangulum ſub AV, KY, ſinubus rectis arcuum AB,
AC, vt eſt DZ, ſinus verſus ar-
cus DL, ſiue anguli A, ad KT,
differentiam ſinuum verſorum
BR, BQ arcuum BC, Bk. Sed
triangula XAV, SkT, eſſe æ-
quiangula, ita confirmabitur. Angulus
KST, angulo ISR, æqualis eſt. Igitur in rectangulis triangulis SKT,
reliqui anguli
SkT, SIR, æquales erunt; ac proinde in triangulis
rectangulis SkT, IXY, reliqui quoque anguli KST, IXY, hoc eſt, AXV,
(cum hic ipſi IXY, ſit æqualis) inter ſe æquales erunt. Quare &
reliqui angu-
SkT, XAV, in triangulis rectangulis SkT, XAV, erunt æquales.
10.
SIT arcus AC, maior
AB, quadrans, at
BC, quadrante minor. Comple-
to circulo ABGF, abſciſſoq́ue
quadrante AL, ex AC, & pro-
ducto BC, vt fiat quadrans BM,
deſcribãtur ex polis A, B, ad in-
terualla quadrantum AL, BM,
circuli maximi BLEF, AEMG,
incedetq́; ille per punctum B, &
hic per punctum A, ob quadrantem AB;
pro-
Item
mi KCN, OCP, qui prioribus erunt paralleli. Deſcriptis deinde in alio cir
inter ſe parallelę erunt, ſeſeq́; ad angulos rectos ſecabunt;
(Nam AX, ex A,
3.
lib.
11.
Eucl.
anguli ad X, recti erunt.
Ex quo fit, etiam
KN, & AG, OP.)
erit
KY, ſinus rectus arcus AC, ſiue arcus AK,
illi, ex defin. poli, æqualis;
BR, ſinus verſus arcus BC, ſeu arcus BO, illi, ex
poli defin. æqualis;
BQ, (ducta
KQ, ad BF, perpendiculari) ſinus verſus ar-
cus Bk, quo arcus AB, AC, inter ſe differunt; Denique
KS, ſinus verſus ar-
cus KC. Itaque ſi ſumatur DZ, ſinus verſus anguli A, ſiue arcus BL, qui ar-
cui KC, ſimilis eſt, demonſtrabimus, vt in primo caſu, ita eſſe quadratum ſi-
nus totius, nempe rectangulum ſub DX, XA, ad rectangulum ſub AV, KY,
ſinubus rectis arcuum AB, AC, vt eſt DZ, ſinus verſus anguli A, ſiue arcus
BL, ad KT, ſiue ad QR, differentiam ſinuum verſorum BR, BQ, arcuum
BC, Bk, niſi quòd hic non inueniuntur triangula æquiangula, ſed AV, ab
XA, non differt, quemadmodum nec KS, à KT.
11.
SIT iterum AC, quadrante maior, attam AB, quam BC, quadrans.
reſecto quadrante AE, ex AC, deſcribantur
ex polo A, ad interualla AE,
AC, circuli BEF, KCN, & ex
culus AEG, aliaque fiant, vt in
præcedenti caſu. Oſtendemus
ergo, vt in primo caſu, ita eſſe
quadratum ſinus totius, hoc eſt,
rectangulum ſub DX, XA, ad re-
ctangulum ſub AV, KY, ſinu-
bus rectis arcuum AB, AC, vt
eſt DZ, ſinus verſus anguli A, ſi-
ue arcus BE, ad KT, ſeu QR, differentiam ſinuum verſorum BR, BQ, ar-
cuum BC, BK, niſi quod hic nulla adſint æquiangula triangula, quemadmo-
dum nec in præcedenti caſu, atque AV, ab XA, & DZ, à BR, &
KS, à KT,
non differt.
12.
SIT arcus AC, quadrante maior, &
AB, quadrans, ſed BC, maior
Completo cir-
culo ABGF, & ablatis quadran
BC, deſcribantur circuli ex po-
lis A, B, ad interualla quadran-
tum AL, BM, & arcuum AC,
BC, cæteraq́ue fiant, vt in præ-
cedentibus. Erit ergo rurſus, vt
in primo caſu demonſtratum eſt,
ita quadratum ſinus totius, id
eſt, rectangulum ſub DX, XA,
ad rectangulum ſub AV, KY, ſinubus rectis arcuum AB, AC, vt eſt DZ,
BR, BQ, arcuum BC, BK; quamuis nulla hic appareant triangula æquian-
gula, ſed XA, AV, inter ſe non differant, quemadmodum neque KS, KT.
13.
SINT arcus AC, AB, quadrante maiores, at BC, minor quadran-
Completo circulo ABGF, &
reſecto quadrante AL, ex AC, producto
item arcu BC, vt fiat quadrans BM, reliqua fiant, vt in ſuperioribus. Demon
ſtrabimus iam, vt in primo caſu,
ita eſſe quadratum ſinus totius,
XA, ad rectangulum ſub AV,
KY, ſinubus rectis arcuum AB,
AC, vt eſt DZ, ſinus verſus an-
guli A, ſeuarcus DL, ad KT,
differentiam ſinuum verſorum
BR, BQ, arcuum BC, Bk; ni-
ſi quòd triagulum XAV, trian
gulo SkT, demonſtrandum eſt
eſſe æquiangulum hac ratione. Quoniam angulus
KST, angulo oppoſito, &
SkT, IXY, & re-
liquus angulus SkT, reliquo angulo IXy, hoc eſt, angulo oppoſito, & inter-
no VAX, (cum parallelæ ſint AV, GH.) æqualis.
Igitur in triangulis rectan
gulis SkT, XAV, anguli quoque reliqui KST, AXV, æquales erunt, ac
proinde æquiangula erunt triangula SkT, XAV.
14.
SINT rurſum AC, AB, maiores quadrante, at BC, quadrans.
Com-
abſciſſo quadrante AL, ex AC, necnon deſcriptis
circulis DEF, KCN, ex polo A, ad interualla AL, AC, deſcribatur quoq; ex polo B, ad interuallum quadrantis BC, circulus maximus GEH, atq;
alia
frant, vt ſupra. Demonſtrandum
ergo eſt, ita eſſe quadratum ſinus
XA, ad rectangulum ſub AV, KY,
ſinubus arcuum AB, AC, vt eſt
DZ, ſinus verſus anguli A, arcuſ-
ve DL, ad KT, differentiam in-
ter ſinus verſos BR, BQ, ar-
cuum BC, Bk. Quod quidem o-
ſtendemus, vtin primo caſu. So-
lum triangula SkT, XAV, pro-
babũtur æquiangula eſſe, hoc mo
do. Angulus S, communis eſt vtrique triangulo rectangulo
SkT, SRy. Igi-
tur angulus reliquus SkT, reliquo angulo SRy, hoceſt, angulo oppoſito, &
æqualis erit.
Quare rectangu
la triangula SkT, XAV, æquiangula erunt.
15.
SINT poſtremo omnes tres arcus trianguli ABC, quadrante ma-
Completo circulo ABGF, &
reſectis quadrantibus AL, BM, ex ar-
cubus AC, BC, fiant omnia alia, vt prius. Oſtendemus non ſecus, ac in pri-
mo caſu, ita eſſe quadratum ſinus totius, nempe rectangulum ſub DX, Xa,
ad rectangulum ſub AV, KY, ſinubus rectis arcuum AB, AC, vt eſt DZ, ſi-
KT, differentiam inter ſinus verſos
BR, BQ, arcuum BC, Bk; ſi modo triangula
SkT, XAV, æquiangula eſſe
concludamus, hac argumétatio-
Angulus
YIX, æqualis eſt
interno & oppoſito
KST. Igitur
SkT, IXy, reliquus angulus SkT, re-
liquo angulo IXy, hoc eſt, an-
gulo interno, & oppoſito XAV,
(cum parallelæ ſint AV, GH.) æqualis erit;
ac proinde triãgula
rectangula SkT, XAV, æquian-
gula erunt. Quapropter In omni triangulo ſphærico, cuius duo arcus ſint
inæquales, &c.
Quod demonſtrandum erat.
FX omnibus quindecim caſibus buius demonſtrationis liquet, arcum BC, angus
lo A, ſub arcubus inæqualibus comprehenſo oppoſitum ſemper maiorem eſſe arcu BK,
hoc eſt, d'fferentia arcuum inæqualium. In omnibus enim figuris arcus BC, per de-
fin. poli, arcui BO, (vel arcui BG, quando BC, quadrans eſt, vt in caſu 2.
5.
8.
11.
&
14.)
æqualis eſt.
Conſtat autem arcum BO, (vel arcum BH, in dictis quinque
caſibus) maiorem eſſe arcu BK: quod tamen ita eſſe, facile ſequens quoque theore-
ma demonſtrabit.
IN omni triangulo ſphærico, cuius duo arcus ſint inæquales;
ar-
cus reliquus maior eſt arcu, quo inæquales arcus inter ſe differunt.
IN triangulo enim
ABC, ſit arcus AB, maior arcu
AC, & ex polo A, ad interuallum AC, arcus circuli de-
Erit ergo arcus AD, arcui AC, per
deſin. poli, æqualis, atque adeo arcus BD, differentia
arcuum inæqualium AB, AC. Dico arcum BC, arcu
BD, maiorem eſſe. Quoniam enim duo arcus
Ac, CB,
ſimul maiores ſunt arcu AB; ablatis æqualibus arcubus
CB, reliquo BD, maior erit.
Quod eſt propoſitum.
ITAQVE in omni ſphærico triangulo, cuius duo arcus inæquales ſint, ſinus ver
Cum
enim arcus ille reliquus oſtenſus ſit maior, quam ea differentia, maior autem arcus
habeat ſemper maiorem ſinum verſum, vt ex tractatione ſinuum conſtat, perſpicuum
fit, reliqui arcus ſinum verſum maiorem eſſe ſinu verſo differentiæ arcuum inæ-
qualium.
HOC idcirco dixerim, vt rationem videas, quare in praxipropoſ.
64.
differentia
inter ſinus verſos, quorum vnus reliquo tertio arcui, alter vero differentiæ inæqua-
lium arcuum debetur, adijcienda præcipiatur ſinui verſo differentiæ arcuum inæqua
lium, vt componatur ſinus verſus reliqui tertij arcus, nunquam autem detrahenda à
ſinu verſo dictæ differentiæ, vt ſinus verſus reliqui arcus relinquatur.
CATERVM ex hac propoſ.
58.
colligemus ſequens theorema ad calculum trian
gulorum ſphæricorum non rectangulorum perutile, videlicet.
IN omni triangulo ſphærico, cuius duo arcus ſint inæquales:
ſi-
nus totus ad quantitatem, quæ ſinui toti, & duobus ſinubus arcuum
inæqualium quarto loco proportionalis eſt, eandem proportionem
habet, quam ſinus verſus anguli ſub dictis arcubus comprehenſi ad
differentiam inter ſinum verſum reliqui tertij arcus, & ſinum ver-
ſum arcus, quo duo inæquales arcus inter ſe differunt.
IN triangulo ſphærico ABC, proxime antecedenti
ex polo A, ad interual
lum AC, deſcribatur arcus circuli CD, vt arcus AC,
AD, per defin. poli, ſint æquales, atque adeo arcus BD,
exceſſus ſit, ſeu differentia arcuum AB, AC. Fiat iam,
vt ſinus totus ad ſinum arcus AB, ita ſinus arcus AC, ad
aliud, quod quantitas quarta proportionalis vocetur,
vt hic vides:
duobus ſinubus ar-
cuum inæqualium proportionalem, vt eſt ſinus verſus anguli A, ad differentiam inter
ſinum verſum arcus BC, & ſinum verſum arcus BD, quo inter ſe arcus
AB, Ac,
differunt. Quoiniam enim proportio ſinus totius ad quantitatem illam quartam pro-
portionalem componitur (poſito ſinu arcus AB, medio) ex proportione ſinus totius ad
ſinum arcus AB, & ex proportione ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam pro-
portionalem: Et proportio quadrati ſinus totius ad rectangulum ſub ſinubus rectis ar-
cuum AB, AC, componitur ex eiſdem proportionibus, nempe ex proportione ſinus to
tius ad ſinum arcus AB, & ex proportione ſinus totius ad ſinum arcus AC, quæ ea-
(Nam cum ſit, vt ſinus totus ad ſinum arcus
AB, ita ſinus arcus AC, ad quantita-
tem quartam proportionalem; erit permutando, vt ſinus totus ad ſinum arcus AC,
ita ſinus arcus AB, ad quantitatem quartam proportionalem.) erit, vt ſinus totus
ad quantitatem quartam proportionalem, ita quadratum ſinus totius ad rectangu-
lum ſub ſinubus arcuum AB, AC, contentum. Cum ergo ſit, vt quadratum ſinus to-
tius ad rectangulum ſub ſinubus arcuum AB, AC, ita ſinus verſus anguli A, ad dif-
erit quoque, vt ſinus totus ad quan-
titatem quartam proportionalem, ita ſinus verſus anguli A, ad differentiam inter ſi-
nus verſos arcuum BC, BD. quod eſt propoſitum,
SI duo triangula ſphærica duos angulos duo-
bus angulis æquales habeant, vtrumque vtrique:
ſinubus arcuum circa reliquum angulum alterius
proportionales, homologiq́; erunt ſinus arcuum
æquales angulos ſubtendentium. Et ſi vnus angu-
lus vnius vniangulo alterius ſit æqualis, ſinusq́; ar-
cuum circa alium angulum vnius ſinubus arcuum
circa alium angulum alterius proportionales, ita
vt ſinus arcuum æquales angulos ſubtendentium
ſint homologi: erunt &
anguli arcubus reliquo-
rum ſinuum homologorum oppoſiti inter ſe æ-
quales, vel æquales duobus rectis.
SINT in duobus triangulis ſphæricis ABC, DEF, duo anguli inter ſe
æquales B, E, necnon duo C, F. Dico ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum arcus
AC, vt eſt ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Quia enim eſt, vt ſinus arcus
AB, ad ſinum anguli C, ita ſinus arcus AC, ad ſinum
erit permutando, vt ſinus arcus AB, ad ſi-
hoc eſt, ita ſinus anguli F, ad ſinum anguli E, cum hi
anguli illis ponantur æquales. Item quia eſt, vt ſi-
nus arcus DE, ad ſinum anguli F, ita ſinus arcus DF,
erit permutando, vt ſinus arcus
DE, ad ſinum arcus DF, ita ſinus anguli F, ad ſinum
anguli E. Oſtenſum autem eſt, ita etiam eſſe ſinum
arcus AB, ad ſinum arcus AC, vt eſt ſinus anguli F,
ad ſinum anguli E. Igitur erit, vt ſinus arcus AB, ad
ſinum arcus AC, ita ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Quod eſt propoſitũ.
SED ſint iam anguli B, E, æquales, &
ita ſit ſinus arcus AB, ad ſinus ar-
cus AC, vt eſt ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF. Dico angulos quoq;
C,
F, æquales eſſe, vel certe duobus rectis æquales. Oſtendemus enim, vt prius,
ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum arcus AC, vt eſt ſinus anguli C, ad ſinum
Item ita eſſe ſinum arcus DE, ad ſinum arcus DF, vt eſt ſinus angu-
li F, ad ſinum anguli E. Quare cum ponatur, vt ſinus arcus AB, ad ſinum ar-
cus AC, ita ſinus arcus DE, ad ſinum arcus DF; erit, vt ſinus anguli C, ad ſi-
num anguli B, ita ſinus anguli F, ad ſinum anguli E: Et conuertendo, vt ſinus
anguli B, ad ſinum anguli C, ita ſinus anguli E, ad ſinum anguli F. Cum ergo
ſinus æqualium angulorum B, E, æquales ſint, erunt & ſinus angulorum C,
ac proinde vel anguli C, F, æquales erunt, vel duobus rectis æqua-
les. Quod eſt propoſitum.
Itaque ſi duo triangula ſphærica duos angulos,
&c.
Quod erat demonſtrandum.
QVOD ſi anguli B, E, vel C, F, non forent æquales, ſed ſolum æquales duobus
rectis, adhuc theorematis veritas vetineretur: propterea quod anguli B, E, ſemper
æquales ſinus rectos habent, ſiue ipſi inter ſe æquales ſint, ſiue æquales duobus re-
ctis. quod etiam de angulis C, F, dicendum eſt.
Id quod perſpicue conſtare poteſt ex
ijs, quæ in tractatione ſinuum tradidimus.
SI ab angulo ſphærici trianguli ad baſim arcus
maximi circuli demittatur diuidens angulum bi-
fariam: habebunt ſinus ſegmentorum baſis ean-
dem proportionem, quam ſinus reliquorum duo-
rum arcuum. Et ſi ſinus ſegmentorum baſis ean-
dem proportionem habeant, quam ſinus reliquo-
rum duorum arcuum: diuidet arcus demiſſus an-
gulum bifariam.
IN triangulo ſphærico ABC, ſecet arcus AD, angulum A, bifariam.
Di-
co ita eſſe ſinum arcus AB, ad ſinum arcus AC, vt eſt, ſinus arcus BD, ad ſi-
num arcus DC. Quia enim triangula ABD, ACD, angulos ad A, habent
angulos ad D, æquales duobus rectis;
erit, vt ſinus arcus AB, ad
ſinum arcus BD, ita ſinus arcus AC, ad ſinum arcus CD: Et permutando, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC,
quod eſt pro-
poſitum.
SED iam ſit, vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus AC,
ita ſinus arcus BD, ad ſinum arcus DC. Dico angulum
A, ſectum eſſe bifariam. Erit enim permutando quoque,
vt ſinus arcus AB, ad ſinum arcus BD, ita ſinus arcus AC,
ad ſinũ arcus CD. Habent igitur triangula ABD, ACD,
angulos ad D, ęquales duobus rectis, & ſinus arcuum circa
angulos B, C, proportionales, homologiq́; ſunt finus arcuũ angulis ad D, op-
poſitorũ. Igitur &
anguli ad A, vel æquales erunt inter ſe, vel duobus rectis æ-
Non poſſunt autẽ duobus rectis eſſe æquales, quod angulus A, ſit duo-
bus rectis minor. Igitur æquales inter ſe erunt.
quod eſt propoſitum.
Si igitur
ab angulo ſphærici trianguli ad baſim, &c.
Quod oſtendendum erat.
SI ab angulo ſphærici triáguli ad baſim, etiam
ha-
bebunt ſinus angulorum, quos arcus perpendicu-
laris cum duobus arcubus dictum angulum com-
prehendentibus facit, eandem proportionẽ, quam
ſinus complemẽtorum reliquorum duorum trian
guli angulorum.
IN triangulo ABC, deducatur ex angulo A, ad baſin BC, arcus perpen
dicularis AD, cadens ſiue intra triangulum,
ſiue extra. Dico ita eſſe ſinum anguli BAD,
menti anguli B, ad ſinum complementi angu
li C. Nam in triangulo ABD, cuius angulus
D, rectus, erit, vt ſinus anguli BAD, ad ſi-
ad ſinum complementi arcus AD. Item in
triangulo CAD, habente angulum D, rectum,
erit, vt ſinus anguli DAC, ad ſinum totum,
ita ſinus complementi anguli C, (habent au-
tem duo anguli ad C, in ſecundo triangulo
eundem ſinum) ad ſinum complementi arcus
AD: Et conuertendo, vt ſinus totus ad ſinum anguli DAC, ita ſinus com.
plementi anguli C. Ex æqualitate
ergo (vt in appoſita formula vides)
erit, vt ſinus anguli BAD, ad ſinum
anguli DAC, ita ſinus complemen-
tianguli B, ad ſinum complementi anguli C. Si igitur ab angulo ſphærici
trianguli ad baſin, &c.
Quod oſtendendum erat.
DATIS omnibus angulis trianguli ſphærici
non rectanguli, omnes tres arcus efficere notos.
IN triangulo ſphærico non rectangulo ABC,
ſintq́;
primum omnes
tres anguli inæquales. Oportet ex his tres cius arcus
perſcrutari. Quoniam nullus angulus ponitur rectus,
erunt ſaltem duo vel acuti, vel obtuſi: ſint B, C, vel
ambo acuti, vel obtuſi, quicquid ſit de reliquo A, ȧ
quo ad arcum BC, arcus perpendicularis ducatur, qui
neceſſario cadet intra triangulum. Et quia eſt, vt ſi-
proportio autem hæc poſterior data eſt in ſinu-
bus complementorum angulorum B, C, datorum; erit quoque proportio ſi-
nus anguli BAD, ad ſinum anguli DAC, data, nempe in ſinubus complemen
torum angulorum B,C: Sed &
aggregatum eorun-
minus ſemicirculo, nempe totus angulus BAC, qui
duobus rectis minor eſt. Sigillatim igitur vterque an-
gulorum BAD, DAC, cognitus erit. Quoniam ergo
duo anguli non recti B, & BAD;
dabitur quoque ar-
Hinc, quia in eo-
dem triangulo ABD, angulum habente rectum D, co
gnitus eſt arcus AB, recto angulo oppoſitus, & inſu-
VEL certe, quoniam dati ſunt duo anguli non
BAD;
notus quoque fiet, ex ſcholijs in margine citatis, arcus BD, circa angulum re-
ctum angulo BAD, oppoſitus. Eadem ratione, quia in triangulo ACD, cu-
ius angulus D, rectus, dati ſunt duo anguli non recti C, & CAD;
dabitur quo-
Hinc, quoniam in eodem triangulo
ACD, habente rectum angulum D, cognitus iam eſt arcus AC, recto angulo
oppoſitus, cum angulo non recto CAD:
CAD;
cognoſcetur etiam, ex eiſdem ſcholijs in margine adductis, arcus CD, circa
angulum rectum angulo CAD, oppoſitus. Atque ita iam duo arcus AB, AC,
cogniti ſunt: Aggregatum vero duorum arcuum BD, CD, inuentorum ter-
tium arcum BC, notum etiam efficiet.
QVOD ſi quando alter angulorum ad A, nempe BAD, inuentus fuerit
rectus, cum & D, rectus ſit, erit vterque arcus AB, BD, quadrans:
atque ita
Pari ratione, ſi angulus CAD,
deprehenſus fuerit rectus, non autem BAD, (fieri enim non poteſt, vt vter-
que angulus ad A, rectus ſit, cum angulus BAD, duobus rectis ſit minor.) erunt arcus AC, CD, quadrantes;
atque adeo noti, ſine alio labore.
PRAXIS huius problematis, cum ex propoſ.
6.
triang.
rectil.
&
ex
Nam ſi statuãtur duo ſinus complementorum angulorum B, C, acutorum,
vel obtuſorũ, pro terminis proportionis ſinus anguli BAD, ad ſinũ angu-
li CAD, inueniemus vtrumq; angulũ BAD, CAD, per primã, vel ſecun
dam praxim propoſ. 6.
triangulorum rectilineorum, quòd bæ expeditio-
res ſinò, quam tertia. Nam licet propoſitio illa 6.
de arcubus, &
angulis
ricis, cumillorum ſinus à ſinubus arcuum eorũdem angulorum non diſcre-
pent. Innento antem vtroque angulo BAD, CAD, adhibenda erit pra-
xis problematis ſcholy propoſ. 50.
huius, vt tam arcus AB, recto angu-
triangulo ACD, oppoſitus inueniatur. Poſtremo adducenda est praxis
problematis 2. ſcholij propoſ.
41.
vel problematis 1.
ſcholij propoſ.
42.
vel certe praxis ſcholij propoſ.
52.
ad eruendum tam arcum BD, angulo
non recto BAD, in triangulo ABD, oppoſitum, quam arcum CD, an-
gulo non recto CAD, oppoſitum in triangulo ACD.
QVOD ſi in hoc problemate enodando ſolis ſinubus vti libeat, inue-
6.
triang.
rectil.
non autem per primam, vel ſecundam.
Deinde cx praxi
problematis 1. ſcholij propoſ.
42, huius, eliciendus tam arcus BD, angu-
lo non recto BAD, oppoſitus in triangulo ABD, quam arcus CD, an-
gulo nonrecto CAD, in triangulo ACD, oppoſitus. Ad extremum, per
praxim problematis 3. ſcholij propoſ.
41.
inuestigandus tam arcus AB,
quam arcus AC, recto angulo D, quilibet in ſuo triangulo oppoſitus: quia
præter inuentum arcum BD, & oppoſitum angulum BAD;
necnon præ-
ter arcum inuentum CD, & angulum CAD, oppoſitum, conſtat etiam
LONGE facilius fit hoc problema, quando omnes tres anguli dati, vel
duo ſaltem, ſunt æquales. Nam ſi ſint duo v.
g.
anguli B, C, æquales, quic-
quid ſit de reliquo A; erunt &
arcus AB, AC, æquales.
Et quoniam trian-
gulorum æqualium B, C, vel acutus, vel obtuſus. Quare
BC, demiſſus intra triangulum cadet. Quia ergo triangu-
angulos
B, C, non rectos, æquales; necnon &
arcus AB, AC, rectis
angulis oppoſitos, æquales, vt oſtendimus; erunt &
arcus
BD, CD, & anguli BAD, CAD, æquales;
ac proinde
guli BAC, notus erit. Poſt hæc, quoniam in triangulo
ABD, rectum habente angulum D, datus eſt vterque an-
gulus non rectus B, & BAD;
dabitur quoque arcus AB, recto angulo oppo-
proptereaque &
illi æqualis AC, notus erit.
Atque ita iam duo arcus
Rurſus quia in eodem triangulo ABD, dati ſunt
duo anguli non recti B, & BAD:
VEL, quoniam datus eſt arcus AB, angulo recto op-
angulus non rectus B:
VEL denique, quia datus eſt arcus AB, recto angulo
cognitus etiam erit arcus BD, circa angulum rectum:
qui duplicatus totum
tertium arcum BC, notum exhibebit. Omnes ergo tres arcus, qui quæruntur,
noti effecti ſunt.
NON est obſcura praxis huius rei.
Pendet enim ex ſcholijs in mar-
AT ſi ſolis ſinubus quis vti velit, inquirendus erit per pro-
ſcholij propoſ.
42.
arcus BD, in triangulo ABD, in quo da-
tus est angulus B, & angulus BAD, nempe dimidium anguli dati BAC:
qui arcus BD, duplicatus dabit totum ar cum BC.
Deinde per problema
3. ſcholij propoſ.
41.
in eodem triangulo, in quo repertus eſt arcus BD,
& angulus oppoſitus BAD, constat{quam} ſpecies alterius anguli non recti B,
dati, eliciendus erit arcus AB, angulo recto oppoſitus: quo inuento, in-
uentus quoque erit ei æqualis AC.
DATIS igitur omnibus angulis trianguli ſphærici non rectanguli, om-
nes tres arcus effecimus notos. Quod faciendum erat.
DIFFERT ergo, vt vides, ſphæricum triangulum non rectangulum à rectili-
neo non rectangulo; quòd in ſphærico exſolis angulis datis inueniuntur omnes arcus,
vt in hoc problemate oſtenſum eſt; in rectilineo vero ex datis ſolis angulis latera co-
gnoſci nequeunt, niſi vnum ſaltem latus etiam detur. Cuius rei cauſa hæc eſt, quòd
duo triangula rect@linea ſimilia, quamuis latera vnius lateribus alterius valde ſint
inæqualia, ſingula ſingulis, angulos tamen habeant angulis aquales, ſingulos ſingu-
lis; ita vt dari poſsint duo triangula rectilinea inter ſe quidem æquiangula, non ta-
men æquilatera: At vero duo triangula ſphærica inter ſe æquiangula eſſe non poſ-
Ex quo fit, in ſphærico triangulo ex datis an-
gulis dari etiam arcus, cum angulis determinati reſpondeant arcus; in rectilineo ve
r
deant, ſed poſsint eiſdem maiora, vel minora later a ſubtendi.
DATIS omnibus arcubus trianguli ſphæri-
ci non rectanguli, omnes tres eius angulos inue-
ſtigare.
IN triangulo ſphærico non rectangulo ABC, dati ſint omnes tres arcus.
Oportet ex ipſis omnes tres angulos reperire.
Sit primo loco quærendus an-
gulus A: Neque enim ſemper omnibus angulis indigemus;
ſed ſæpenumero
vnus, aut alter ex datis arcubus inquirendus eſt. Aut igitur duo arcus AB,
AC, angulum A, qui quæritur, complectentes, ſunt inęquales, aut æquales:
Si inæquales, aut ambo ſunt quadrante minores; aut maiores;
aut vnus maior,
& alter minor;
aut vnus quadrans, &
alter quadrante minor;
aut deniq;
vnus
quadrans, & alter maior quadrante.
Neque enim ambo eſſe poſſunt quadran
tes: quia duo anguli ipſis oppoſiti eſſent recti.
quod eſſet abſurdum, cum trian
Sint primum duo arcus AB, AC, inæqua-
quadrante minores, quicquid ſit de arcu BC.
Productis arcubus AB,
AC, vt fiant quadrantes AD, AE, deſcribatur per D, E, arcus circuli maxi-
mi DE, occurrens arcui BC, in vtramuis partem producto in F: Hortarer
Erunt au-
Quoniam igitur duo maximi
circuli BF, DF, ſe interſecant in F, & à pun-
ſunt perpendiculares arcus BD, CE; erit, vt
ſinus arcus BF, ad ſinum arcus BD, ita ſinus
Et permutan
do, vt ſinus arcus BF, ad ſinum arcus CF, ita
ſinus arcus BD, ad ſinum arcus CE. Eſt au-
tem proportio ſinus arcus BD, ad ſinum ar-
cus CE, data, quòd arcus BD, CE, dati ſint,
vtpotè complementa datorum arcuum AB,
AC. Igitur proportio ſinus arcus BF, ad ſi-
num arcus CF, data quoque erit, nempe in
ſinubus complementorum, arcuum datorum
AB, AC: Sed &
eorundem arcuum BF, CF,
quorum ſinguli ſemicirculo minores ſunt, differentia data eſt, nempe arcus
Vterque ergo arcus BF, CF, notus reddetur.
Itaque quoniam in trian
poſitus cum arcu BD, complemento videlicet arcus AB, dati; cognitus erit
tertius arcus DF.
Eadem ratione, cum in triangulo CFE, angulum ha-
bente rectum E, datus ſit arcus CF, angulo recto oppoſitus, cum arcu CE,
complemento nimirum arcus dati AC; cognoſcetur, etiã tertius arcus EF:
qui
ac proinde angulus A, cognitus erit.
Rurſus in triangulo priore BFD, cuius
BD, complemento videlicet arcus dati AB: VEL, cum duo arcus BD, DF, circa angulum re-
AVT denique, cum datus ſit arcus BF, recto angu-
arcus DF;
inuenietur quoque, ex ſcholijs in margine citatis, angulus DBF:
ideoque &
reliquus duorum rectorum ABC, notus erit. Eadem ratione, cum in poſte-
lo recto oppoſitus, cum arcu CE, complemento nimirum arcus dati AC: VEL, cum duo arcus CE, EF, circa rectum angu-
AVT denique, cum datus ſit arcus CF, recto angu-
inſuper arcus EF;
cognoſcetur etiam, ex ſcholijs in margine poſitis, angu-
ideoq́ue &
angulus ACB, qui ei ad verticem
Tres ergo anguli trianguli ABC,
omnes noti facti ſunt.
SINT deinde duo arcus inæquales AB, AC, maio-
res quadrante. Prodocantur, donec coeant in D.
Erunt
iu triangulo DBC, duo arcus DB, DC, quadrante mi-
nores, atq; adeo noti, cum reliqui ſint ex arcubus ABD,
ACD, qui ſemicirculi ſunt. Igitur, vt proxime demon-
reliqui duorum re-
ctorum ABC, ACB, necnon & angulus A, cum angulo D, ſit æqualis.
SIT tertio arcus quidem AB, quandrante minor, at AC, maior.
Produ-
cto arcu AB, vt fiat quadrans AD, & reſecto quadrante AE, ex AC, vt in
prima harum figurarum, ducatur per D, E, arcus circuli maximi DE, ſecans
arcum BC, in F. Eruntq́;
anguli D, E, recti, ob quadrantes AD, AE.
Quia
à punctis B, C, arcus BC, ad arcum
DE, ducti ſunt arcus perpendiculares BD,
erit, vt ſinus arcus BF, ad ſinum arcus
BD, ita ſinus arcus CF, ad ſinum arcus CE: Et permutando, vt ſinus arcus BF, ad ſinum
arcus CF, ita ſinus arcus BD, ad ſinum ar-
cus CE. Eſt autem proportio ſinus arcus BD,
ad ſinũ arcus CE, cognita, quod arcus BD,
CE, dati ſint, cũ ſint complemẽta datorũ ar-
cuũ AB, AC. Igitur &
proportio ſinus arcus
BF, ad ſinũ arcus CF, cognita erit, vtpote in
ſinubus complementorum arcuum AB, AC,
datorum: Sed &
eorundem arcuum BF, CF,
aggregatum datum eſt, (nimirũ totus arcus BC.) &
minus ſemicirculo;
quod
latus quodlibet trianguli ſphærici ſemicirculo ſit minus. Igitur vterque arcus
Quoniam ergo in triangulo BFD, cuius angulus D,
notus erit quoque tertius arcus DF.
Simili
modo, quia in triangulo CFE, rectum habente angulum E, datus eſt arcus
CF, angulo recto oppoſitus, & arcus CE, complementum ſcilicet arcus AC;
reperietur quoque tertius arcus EF:
qui additus arcui DF, inuento, notum
proptereaq́;
angulus A, notus erit.
Rur-
ſus in triangulo priori BFD, cuius angulus D, rectus, quoniam datus eſt ar-
cus BF, recto angulo oppoſitus, & arcus BD, complementum nimirum da-
lum dati ſunt: VEL certe, quia datus eſt arcus BF, recto angulo
notus efficietur quoque angulus DBF, ex ſcholijs in margine adductis;
atque
adeo & reliquus duorum rectorum ABC, notus erit.
Pari ratione, cum in po
ſteriori triangulo CFE, cuius angulus E, rectus, datus ſit arcus CF, recto an-
VEL cum duo arcus CE, EF, circa angulum re-
VEL certe, cum datus ſit arcus CF, recto angulo
dabitur etiam angulus C, per ſcholia in margine deſcripta.
Atque ita omnes
tres anguli ABC, noti facti ſunt.
SIT quarto arcus AB, quadrans, &
AC, minor, vt in poſteriore proxi-
marum figurarum. Producto arcu AC, vt fiat quadrans AD, ducatur per B,
Etuntq́;
anguli ABD, &
D, recti, ob quadran-
Et quoniam in triangulo BCD, cuius angulus D, rectus, datus
eſt arcus BC, angulo recto oppoſitus, & inſuper arcus CD, quippequicom-
plementum ſit dati arcus AC; dabitur quoque arcus teriius BD, anguli A,
Deinde quia in eodem triangulo BCD, haben
te angulum rectum D, datus eſt arcus BC, recto angulo oppoſitus, cum arcu
VEL, quia duo arcus BD, CD, circa angulum re-
VEL certe, quoniam datus eſt arcus BC, recto an-
inuenietur etiam ex ſcholijs notatis in margine, angulus BCD:
ac proinde
& duorum rectorum reliquus ACB, notus erit.
Poſtremo, cum in eodem pro-
ximo triangulo BCD, angulum rectum habente D, datus ſit arcus BC, an-
præterea arcus CD, complementnm videlicet dati ar-
cus AC: AVT cum dati ſint duo arcus BD, CD, circa an-
VEL cum datus ſit arcus BC, recto angulo oppo-
AVT cum datus ſit angulus BCD, cum arcu CD,
Nam quando datur arcus BD, conſtat de al-
tero arcu CD, circa rectum angulum@, cum datus ſit,
an ſit maior quadrante, vel minor: VEL denique, quia datus eſt arcus BC, recto an-
notus fiet quoque ex ſcholijs in margine citatis, angulus CBD;
atque adeo
& eius complementum, angulus ſcilicet ABC, cognoſcetur, Omnes ergo tres
anguli trianguli ABC, cogniti ſunt.
SIT quinto, &
vltimo arcus AC, quadrans, &
AB, maior, vt in eadem
poſteriore proximarum figurarum. Abſciſſo quadrante AE, ex AB, ducatur
per C, E, arcus circuli maximi CE. Eruntq́;
anguli ACE, &
E, recti, ob quadran
Quia ergo in triangulo BCE, angulum rectum habente E, da-
tus eſt arcus BC, recto angulo oppoſitus, & præterea arcus BE, nempe com-
plementum dati arcus AB; dabitur quoque tertius arcus CE, anguli A;
pro-
&
angulus A, cognitus fiet.
Rurſus, cum in eodem triangulo BCE,
cuius angulus E, rectus, datus ſit arcus BC, recto angulo oppoſitus, cum ar-
AVT cum dati ſint duo arcus BE, CE, circa an-
VEL denique, cum datus ſit arcus BC, angulo
dabitur etiam angulus CBE, ex ſcholijs in margine adductis.
Denique quia
in triangulo eodem BCE, angulum rectum habente E, datus eſt arcus BC,
arcus etiam BE, cum ſit complementum arcus
AB, dati: VEL, quiæ duo arcus BE, CE, circa angulum re-
arcus CE:
VEL, quia datus eſt angulus CBE, &
arcus BE,
Nam quando datur arcus CE, conſtat etiam,
an alter arcus BE, circa angulum rectum datus, ma-
ior ſit quadrante, vel minor: AVT denique, quia notus eſt arcus BC, angulo
notus quoq;
ſiet, ex ſcholijs in margine citatis angulus BCE;
atque idcirco,
addito recto angulo ACE, totus angulus ACB, datus erit. Rurſus ergo om
nes tres anguli trianguli ABC, inuenti ſunt.
PRAXIS huius problematis petenda eſt ex ſcholijs in margine ci-
Solum, vt cognoſcantur arcus BF, CF, in primo caſu, &
tertio,
ſtatuendi erunt ſinus complementorum arcuum datorum AB, AC, pro
terminis proportionis ſinus arcus BF, ad ſinum arcus CF, & in primo
quidem caſu adhibenda vel prima praxis propoſ. 7.
triangulorum recti-
lineorum, vel aliqua ex alijs eiuſdem propoſ. prout res exiget;
in tertio
vero caſu adducenda erit prima, vel ſecunda praxis propoſ. 6.
triangulo-
rum rectilineorum, &c.
QVOD ſi ſolis vti libeat ſinubus, inueſtigandi erunt arcus BF, CF,
7.
triang.
rectil.
In tertio ve-
ro per praxim tertiam propoſ. 6.
Deinde in triangulo BFD, per praxim
ſcholij 1. propoſ.
43.
eruendus arcus DF:
Et eodem modo in triangulo
CFE, arcus EF; vt reliquus arcus DE, in primo caſu, vel totus arcus
DE, in tertio caſu habeatur, qui quidem eſt arcus anguli A. Poſt hæc per
praxim problematis 1. ſcholij propoſ.
41.
inueniendus in triangulo BFD,
angulus DBF: ex quo reliquus duorum rectorum ABC, notus fiet.
At-
que eodem pacto in triangulo CFE, eliciendus angulus ECF, ex quo in
primo caſu angulus quoque ACB, ad verticem cognitus erit.
AT vero in quarto caſu ex praxi ſcholij 1.
propoſ.
43.
inueniendus
eſt arcus BD, anguli A, in triangulo BCD: Et eodem modo in quinto ca
ſu arcus CE, anguli eiuſdem A, in triangulo BCE. Deinde in quarto ca-
ſu, per praxim problematis 1. ſcholij propoſ.
41.
in triangulo BCD, inda-
gandus angulus BCD; ex quo reliquus duorum rectorum ACB, notus
fiet: Atque eadem ratione in quinto caſu, angulus EBC, in triangulo
BCE, inueniendus. Ad extremum in quarto caſu, per praxim problema-
tis 2. propoſ.
42.
in triangulo BCD, exquirendus angulus CBD;
ex quo
& ABC, reliquus recti ABD, notus erit:
Et ſimiliter in quinto caſu,
eliciendus angulus BCE; qui additus recto angulo ACE, totum angu-
lum ACB, notum exhibebit.
ALITER, &
multo breuius.
Sint rurſum dati tres arcus trianguli ABC,
AB, AC, angulum A, inquirendum continentes, inæquales.
Quo-
toti, & duobus ſinubus arcuum AB, AC, inæqua-
ſinum verſum arcus, quo ſe mutuo excedunt arcus
inæquales AB, AC: Et conuertendo, vt dicta quan
titas quarta proportionalis ad ſinum totum, ita dif
ferentia inter ſinũ verſum arcus BC, & ſinum ver-
ſum arcus, quo inter ſe arcus inæquales AB, AC,
differunt, ad ſinum verſum anguli A, quæſiti:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum vtriuslibet arcuum inæqualium quæ-
ſitum angulum comprehendentium, it a ſinus alterius arcus circa eundem
angulum ad aliud, inuenietur numerus quartus proportionalis ſinui toti,
& duobus ſinubus dictorum duorum arcuum.
Si ergo rurſum fiat, vt nu-
merus quartus proportionalis proxime inuentus ad ſinum totum, ita dif-
ferentia inter ſinum verſum arcus quæſito angulo oppoſiti, & ſinum ver-
ſum arcus, quo duo arcus quæſitum angulum ambientes inter ſe differunt,
ad aliud, producetur ſinus verſus anguli, qui quæritur: Ex quo arcum an-
guli quæſiti, atque adeo ipſum angulum, elicies, vt in explicatione, atque
vſu tabulæ Sinuum docuimus.
CAETERVM differentia inter ſinum verſum arcus quæſito angu
ſinum verſum differentiæ arcuum eundem angulum conti-
nentium, ita facile reperietur. Quando arcus angulo quæſito oppoſitus
quadrante minor eſt, tetrahendus erit ſinus eius complementi ex ſinu com
plementi differĕtiæ arcuum quæſitum angulum ambientium. Reliqua enim
erit differentia, quæinquiritur. Id quod liquido conſtat ex figuris caſuum
1. 4.
7.
10.
&
13.
propoſ.
58.
Quando vero arcus quæſito angulo oppo-
ſitus quadrans eſt; dabit ſinus complementi differentiæ arcuum angulum
quæſitum comprehendentium differentiam inter dictos ſinus verſos quæſi-
tam: vt manifeſtum ex figuris caſuum 2.
5.
8.
11.
&
14.
eiuſdem pro-
poſ. 58.
Quendo denique arcus quæſito angulo oppoſitus quadrante maior
eſt; adijciendus erit ſinus eius complementi ad ſinum complementi diffe-
rentiæ arcuum quæſitum angulum continentium. Compoſitus namque nu-
merus erit differentia quæſita: Vt facile apparere poteſt ex figuris caſuum
3. 6.
9.
12.
&
15.
eiuſdem propoſ, 58.
EODEM modo inueſtigabimus angulos B, C, ſi arcus illos continentes
fuerint inæquales.
PORRO, inuento vno angulo, nullo fere negotio reliqui duo inueniren
tur, ſi conſtaret, qualis quiſque eorum ſit, acutuſne, an obtuſus. Nam inuento
v. g.
angulo A, ſi eſſet inueniendus angulus B, ſumeremus pro eius ſinu nume
rum, qui quartus proportionalis eſt ſinui arcus BC, inuento angulo A, op-
ſinui anguli inuenti A;
&
ſinui arcus AC, quæſito angulo B, oppoſiti:
Siautem quærendus eſſet angulus C, acciperemus pro eius ſinu numerum, qui
quartus proportionalis eſt ſinui arcus BC, inuento angulo A, oppoſiti; ſinui
anguli inuenti A; &
ſinui arcus AB, angulo quæſito C, oppoſiti:
propterea
quòd eſt, vt ſinus arcus BC, ad ſinum anguli A, ita tam ſinus arcus AC, ad
Quocirca ſi con-
ſtaret, qualis ſit tam angulus B, quam angulus C, illico ex ſinu illo quarto
proportionali angulum quæſitum in tabula ſinuum reperi@emus.
IAM vero ſi omnes tres arcus dati, vel duo tantum AB, AC, angulum
A, complectentes, æquales fint, quicquid ſit de reliquo arcu BC, longe faci-
lius angulum A, & reliquos duos B, C, inquiremus.
Quoniam duo arcus AB,
AC, æquales ſunt, erunt & duo anguli B, C, æquales inter ſe:
propterea quod
Iſoſcelium triangulorum ſphæricorum, qui ad baſin ſunt, anguli inter ſe ſunt
Cum ergo triangulum ABC, ponatur non rectangulum, neuter an-
gulorum B, C, rectus erit, ac proinde neuter arcuum AB, AC, quadrans: quia
Erit igitur vterque angulus B, C, vel acu-
tus, vel obtuſus. Demiſſus ergo ex A, ad arcum BC, ar-
Duo
bent, & angulos B, C, non rectos æquales, necnon &
ar-
cus AB, AC, rectis oppoſitos angulis æquales. Quare &
arcus BD, CD, & anguliad A, inter ſe æquales erunt.
D, rectus eſt, arcus AB, recto angulo oppoſitus datus eſt,
& præterea arcus BD, quippe qui dimidium ſit dati arcus
BC; dabitur quoque angulus BAD, arcui BD, circa an-
qui duplicatus totum an-
gulum quæſitum BAC, notum efficiet; cum anguli ad A, oſtenſi ſint æqua-
les. Rurſus, quia in eodem triangulo ABD, angulum rectum habente D, ar-
cus AB, angulo recto oppoſitus datus eſt, cum arcu BD, nempe cum dimi-
VEL, quia datus eſt angulus non rectus BAD, cum
conſtatq́;
præterea ſpecies reliqui anguli nõ recti B.
Nam ſi AB,
quadrãte minor ſit, erit angulus B, acutus, quemadmo-
BAD, acutus eſt:
Si vero AB, ſit maior quadran
te, erit idem angulus B, obtuſus, cum BAD acutus ſit:
gulo oppoſitus, cum angulo non recto BAD; datus quoque erit angulus B;
ac proinde &
reliquus angulus C, ipſi B, æqua-
lis notus erit. Atq;
ita omnes tres anguli in triangulo ABC, inuenti ſunt.
QVANDO ergo duo arcus ſunt æquales, adhibenda erit praxis ſcho
55.
vel problematis 1.
propoſ.
41.
vt ex altero arcuum æqua-
lium, & ex dimidio tertij arcus eliciatur angulus, qui duplicatus angu-
lum tertio arcui oppoſitum exhibeat. Deinde adhibenda praxis ſcholij
propoſ. 51.
vel 45.
vt ex eiſdem arcubus inueniatur alter angulorum æ-
qualium ſupratertium arcum. Vel aduocanda praxis problematis 2.
ſcho
42.
vel propoſ.
56.
aut certe praxis ſcholij propoſ.
47.
PER ſolos ſinus ita rem peragemus.
Ex praxi problematis 1.
propoſ.
41.
inueniemus angulum BAD;
qui duplicatus totum BAC, dabit.
De-
inde per praxim problematis 2. ſcholij propoſ.
42.
reperiemus angulum
B, qui ipſi C, æqualis est.
IOANNES Regiom.
&
Nicolaus Copernicus alio etiam modo, datis omnibus
arcubus trianguli ſphærici, omnes tres angulos inquirunt, inueſtigantes nimirum
angulum quendam rectilineum in centro ſphæræ, cuius arcus angulum ſphæricum
quæſitum exhibet notum. Sed eam rationem, quamuis acutam, &
ſubtilem, quoniam
obſcurior eſt, & longior, dedita opera hic omiſimus:
præſertim, cum eam quilibev
apud Regiom. propoſ.
34.
lib.
4.
triangulorum, &
apud Copernicum lib.
1.
Reuo-
lutionum propoſ 13. de triangulis ſphæricis, legere poſsit.
MALVIMVS in ſecund@ demonſtratione huius problematis vſurpare theoremæ
ſcholij 2. propoſ.
58.
quam cum Ioan.
Regiom.
theorema eiuſdem propoſ.
58.
vt labo-
ris difficultatem effugeremus. Nam cum ſit, vt rectangulum ſub ſinubus arcuum in-
tiainter ſinum verſum arcus eidem angulo oppoſiti, & ſinum verſum differentiæ ar-
cuum illorum inæqualium, ad ſinum verſum anguli quæſiti: ſi vellemus hoc theore-
mate propoſ. 58.
vti, obtineret rectangulum illud primum aureæ regulæ locum.
Qua-
re laborioſa redderetur diuiſio, vt patet. Facilior autem fit diuiſio ſecundum theore-
ma ſcholij 2. eiuſdem propoſ.
58.
cum primum locum aureæ regulæ quantitas quartæ
proportionalis occupet, quæ multo minor eſt illo rectangulo, facileq́; inuenitur per
abiectionem ſolam tot figurarum ad dexteram ex eo rectangulo, quot cifræ in ſinu to
to cominentur; propterea quod dictum rectangulum per ſinum totum ſit diuidendum,
vt illa quantitas quarta proportionalis producatur.
DATIS duobus arcubus trianguli ſphærici
non rectanguli, cum angulo ab ipſis comprehen-
ſo; reliquum arcum, cum reliquis angulis reperire.
IN ſphærico triangulo ABC, non rectãgulo dati ſint duo arcus AB, BC,
Oportet ex his &
reliquum arcum AC, &
reliquos angulos
BAC, & ACB, exquirere.
Sint primum dati arcus inæquales, &
ex termino
vnius eorum, nempe ex termino A, arcus AB, ad alterum arcum BC, demit-
tatur arcus per pendicularis AD: qu@an intra triangulum, an vero extra ca-
dat, calculus, & operatio docebit.
Quoniam enim in triangulo ABD, cu-
ius angulus D, rectus, datus eſt arcus AB, recto angulo oppoſitus, cum an-
gulo B; dabitur quoque arcus perpendicularis AD, dato angulo B, oppoſi-
Rurſus, quia in eodem triangulo datus eſt arcus AB, recto angulo oppo-
præterea an-
conſtatq́;
ſpecies alterius arcus BD,
circa angulum rectum. Nam quando arcus AB, eſt mi-
nor quadrante, ſi quidem & inuentus AD, ſit minor,
erit & BD, minor;
Si vero AD, ſit quadrante maior, erit
BD, maior:
At ſi AB, eſt maior quadrante, ſi quidem
& inuentus AD, ſit maior, erit BD, minor;
ſi autem
AD, ſit minor, erit BD, maior:
VEL denique, quia datus eſt arcus AB, recto angu
arcus AD, circa rectum angulum;
inuenietur quoq;
, ex ſcholijs in margine ad-
Si igitur arcus hic BD, in-
uentus fuerit minor dato arcu BC, argumen
to eſt, arcum perpendicularem AD, intra
triangulum cecidiſſe; extra vero, ſi maior.
Et
quoniam ad vtramque partem arcus AB, du-
ci poteſt arcus perpendicularis ad BC, nos,
quãdo is extra triangulum cadit, eum in hac,
& ſequentibus propoſitionibus eligimus, qui
angulum ABC, ſubtendit. Iam ablato arcu
inuento BD, ſi minor eſt, quam datus arcus
BC, ex arcu BC; vel ſi maior eſt, ſublato ar-
cu dato BC, ex inuento arcu BD, notus fiet
reliquus arcus CD. Quare cum in triangulo ADC, angulum habente rectum
D, arcus duo AD, CD, circa rectum angulum cogniti ſint; dabitur quoque ar-
POST hæc, quoniam in triangulo ABD, rectum
oppoſitus, cum angulo B: VEL, quia notus eſt arcus AD, circa angulum re-
conſtatq́;
præterea de
reliquo arcu BD, circa rectum angulum inuento, an
maior ſit quadrante, minorue. AVT quia datus eſt arcus AB, recto angulo oppo-
inſuper arcus AD, circa rectum angulum:
VEL deniq;
, quia datus eſt arcus AB, oppoſitus an
præterea arcus BD, circa rectum angulũ;
cognitus quoque erit, per ſcholia in margine notata, angulus BAD, Sic quo-
que, quia in triangulo ACD, rectum habente angulum D, datus eſt arcus
VEL certe, quia datur arcus AC, recto angulo op-
præterea arcus CD, circa angulum rectum;
notus efficietur etiam, per ſcholia in margine appoſita, angulus CAD.
Addi-
tus autem angulus CAD, proxime inuentus angulo BAD, nuper etiam in-
uento, quando arcus AD, intra triangulum cadit; vel quando cadit extra,
ablatus angulus CAD, ex angulo BAD, notum efficiet angulum BAC, qui
in triangulo ABC, quærebatur.
AD extremum, cum in triangulo ACD, rectum habente angulum D, da-
angulus CAD, iam inuentus:
VEL cum ſit cognitus arcus CD, circa angulum.
conſtetq́;
de re-
liquo arcu AD, circa rectum angulum noto iam facto,
an minor quadrante ſit, an maior: AVT, cum datus ſit arcus AC, angulo recto oppo-
VEL denique, quoniam notus eſt arcus AC, recto
lum rectum; cognitus quoque fiet, per ſcholia in margine adducta, angulus ACD;
qui qui-
dem in priori triangulo, vbi arcus AD, intra triangulum cadit, quærebatur:
in poſterioriautem, vbi arcus AD, extra triangulum cadit, idem angulus
ACD, ex duobus rectis ablatus, notum relinquit quæſitum angulum ACB.
Atque ita inuentus eſt & arcus reliquus AC, &
reliqui anguli BAC, ACB.
NVLLA porro ratione alteruter arcuum AD, BD, eſſe poteſt quadrans:
quia alias &
arcus AB, recto angulo oppoſitus quadrans foret:
quod eſt con
QVOD ſi quando arcus CD, deprehenſus fuerit quadrans;
erit &
arcus
AC, quæſitus, & recto angulo oppoſitus, quadrans;
&
angulus CAD, rectus.
arcus AC, qui quæritur, &
angulus
Reliqua reperientur, vt prius.
PRAXIS ad enodandum hoc problema petenda eſt ex ſcholijs in
margine citatis.
VERVM per ſolos ſinus ita progrediendum erit.
Ex praxi proble-
ſcholij propoſ.
41.
inquirendus erit arcus AD.
DEINDE ex praxi ſcholij 1.
propoſ.
43.
arcus BD;
ex quo arcus CD,
notus efficietur, auferendo inuentum arcum BD, ex dato arcu BC, vel
datum arcum BC, ex ipſo inuento arcu BD, prout minor inuentus fuerit,
quam datus arcus BC, aut maior.
AD hæc, in triãgulo BAD, explorãdus erit angulus BAD, per praxim
problematis 1. propoſ.
41.
vel per praxim problematis 2.
ſcholij propoſ.
42.
Similiter in triangulo ACD, eliciendus angulus CAD, ex praxi
problematis 1. ſcholij propoſ.
41.
Ex duobus autem angulis BAD, CAD,
inuentis notus euadet angulus BAC, trianguli propoſiti; addendo ſcili-
cet vnum alteri, vt in prioritriangulo, vel auferendo angulum CAD, ex
angulo BAD, vt in triangulo poſteriori.
PER praxim denique problematis 1.
ſcholij propoſ.
41.
vel problema-
tis 2. ſcholij propoſ.
42.
in triangulo ACD, eodem indagandus angulus
ACD. Hic enim in priori triangulo propoſito eſt quæſitus, in poſteriori
veroreliquus duorum rectorum eſt is, qui quæritur.
ALITER, &
quidem magis expeditè.
Sint rurſus in triangulo ABC, dati
Quoniam igitur eſt, vt ſinus
duobus ſinubus
guli A, ad difterétiam inter ſinum verſum arcus BC,
ſinum verſum differentiæ ar-
cuum AB, AC:
SI fiat, vt ſinus totus ad ſinum vtriuslibet
arcus dati ad aliud, producetur numcrus quartus
proportionalis ſinui toti, & duobus ſinubus dicto-
rum duorum arcuum. Si ergo rurſus fiat, vt ſinus totus ad numerum quar
tum proportionalem proxime inuentum, ita ſinus verſus anguli A, dati
ad aliud, reperietur differentia inter ſinum verſum tertij arcus, qui quæ-
ritur, & ſinum verſum differentiæ ar cuum datorum inæqualium.
Et quia
ſupra monſtrauimus, ſinum verſum tertij arcus maiorem ſemper eſſe ſinu
ſi differentia nuper inuen-
ta adijciatur ad ſinum verſum differentiæ datorum arcuum inæqualium,
componetur ſinus verſus tertij arcus dato angulo oppoſiti, qui quæritur,
ex quo arcum ipſum eliciemus, vt in explicatione, atque vſu tabulæ ſinuum
dictum eſt. Angulum porro C, inueniemus ex cognitis arcubus AC, CB;
&
angulum B, ex notis arcubus AB, BC, vt in praxi ſecundæ demon-
strationis præcedentis propoſ. præcepimus, ſi duo arcus angulum quemli-
bet quæſitum continentes fuerint inæquales. Nam ſi aliquando æquales
ſint, adhibenda erit praxis poſtremæ demonstrationis eiuſdem propoſitio-
nis antecedentis. Quòd ſi ſciremus, an anguli B, C, ſint acuti, vel obtuſi,
demonstrationis antecedentis propoſ. monuimus.
QVOD ſi alter inæqualium arcuum datorũ ſit quadrans, nempe AB,
ducemus ab eius extremo A, ad alterum arcum BC, arcum perpendicu-
larem AD. Eritq́ alter ſaltem arcuum AD, BD, quadrans quoque.
Non
quia alias, cum &
AB, quadrans po-
natur, eſſent anguli B, D, recti, atq; adeo triangulum ABC, eſſet rectan-
quod non ponitur.
Erit ergo BD, quadrans, ideoq́ angulus oppo-
Polus quoq;
arcus AD, erit B, ob quadrantes AB,
proptereaq́, arcus AD, ex angulo ipſo B, dato cognitus erit.
Atq;
ita duo arcus AD, BD, cum angulo BAD, facti erunt noti ſine vllo ne-
gotio multiplicationis. Reliqua inuenientur, vt prius.
SED ſint iam dati arcus AB, AC, datum angulum A, comprehendentes,
Erunt igitur duo anguli B, C, æquales, nempe vel acuti, vel obtuſi,
& neuter arcuũ AB, AC, quadrans;
arcusq́;
perpendicularis AD, ex A, in BC,
demiſſus intra triangulum cadet, necnon & arcus BD, CD, &
anguli ad A,
oſtendimus:
ac proin-
de vterque angulus ad A, datus erit, cum dimidium ſit an-
Quoniam ergo in triangulo ABD, an-
gulum habente rectum D, datus eſt arcus AB, recto angu-
lo oppoſitus, cum angulo BAD, nimirum cum dimidio
cognitus erit arcus BD, dato angulo
BAD, oppoſitus: qui duplicatus totum arcum BC, quæ-
ſitum reddet notum. Rurſus quia in eodem triangulo ABD,
recto opppoſitus, cum arcu BD, circa angulum rectum: VEL, quia datus eſt arcus AB, recto angulo op-
præterea angulus non rectus BAD:
VEL denique, quia datus eſt arcus BD, circa re-
dato arcui BD, opponitur, conſtatq́; pręterea ſpecies
reliqui anguli non recti B. Nam ſi AB, fuerit quadran
te minor, erit angulus B, acutus, ſicut & BAD, acutus
eſt: Si vero AB, maior quadrante extiterit, erit angu-
lus B, obtuſus, quandoquidem BAD, acutus eſt; notus erit quoque, ex ſcholijs in margine adductis, angulus B;
ideoq́;
&
an-
gulus C, illi æqualis.
PRAXIS petatur ex ſcholijs in margine adductis.
SOLIS ſinubus ita vtemur.
Per praxim problematis 2.
ſcholij pro
41.
exquiremus arum BD;
qui duplicatus totum BC, qui quæritur,
dabit. Deinde ex praxi problemat is 2.
ſcholij propoſ.
42.
quæremus an-
gulum B; cui æqualis eſt alter angulus C.
DATIS igitur duobus arcubus trianguli ſphærici non rectanguli, cum
angulo ab ipſis comprehenſo; reliquum arcum, cum reliquis angulis reperi-
mus. Quod faciendum erat.
HIC quoque potius vti voluimus theoremate ſcholij 2.
propoſ.
58 in demonſtra-
tione ſecunda huius problemat is, quam theoremate eiuſdem propoſ. 58.
vt praxis mi-
nus fieret laborioſa. Nam cum ſit, vt quadratum ſinus totius ad rectangulum ſub ſi-
arcubus comprehenſi ad differentiam inter ſinum verſum arcus dato angulo oppoſiti,
& ſinum verſum differentiæ duorum arcuum datorum inæqualium:
ſi vellemus vti
hoc theoremate propoſ. 58.
moleſta redderetur multiplicatio in aurea regula, cum
ſinus verſus dati anguli multiplicandus eſſet per dictum rectangulum. At in noſtra
praxi multo breuior fit muliiplicatio, vt patet, quamuis bis regulam auream adhi-
beamus.
DATIS duobus angulis triáguli ſphærici non
reliquos
arcus, cum reliquo angulo ſcrutari.
IN triangulo ſphærico ABC, non rectangulo dati ſint duo anguli B, &
Oportet ex his reliquos arcus AC, BC, cum
reliquo angulo C, ſcrutari. Sit prim um datus arcus AB, non quadrans, ſed
vel maior, vel minor quadrante, & dati anguli B, BAC, inæquales, à quorum
vno, nempe à BAC, ad arcum oppoſitum BC, arcus perpendicularis demit-
tatur AD: qui an intra triangulum, an ve-
ro extra cadat, calculus, atque operatio in-
Nam cum in triangulo ABD, rectũ
habente angulum D, datus ſit arcus AB, an-
gulo recto oppoſitus, & angulus B;
dabitur
etiam angulus BAD: qui ſi minor repertus
intra triangulum; extra vero, ſi maior.
Iam
ablato angulo BAD, inuento, ſi minor eſt
dato angulo BAC, ex angulo BAC; vel ſi
maior eſt, ſubducto angulo dato BAC, ex
inuento angulo BAD, notus euadet reliquus
angulus CAD.
NVNQVAM vero inuentus angulus BAD, eſſe poteſt rectus:
quia
duo arcus AB, BD, eſſent quadrantes, ob angulos rectos BAD, ADB; cum
ſed CAD, poterit aliquando eſſe rectus.
RVRSVS, quia in eodem triangulo ABD, rectum habente angulum
angulus non rectus B:
VEL, quia notus eſt vterque angulus non rectus
BAD:
AVT denique, quoniam datus eſt arcus AB, recto
cognoſcetur quoque, per ſcholia adducta in margine, arcus AD.
Eodemq́ue
cus AB, recto angulo oppoſitus, vna cum angulo BAD: VEL, quia cognitus eſt vterque angulus non re-
BAD:
VEL, quoniam notus eſt arcus AB, angulo recto
AVT, quia datus eſt arcus AB, angulo recto oppo
præterea arcus AD, circa rectum angulum:
VEL, quoniam notus eſt arcus AD, circa angu-
conſtatq́;
præterea, an alter arcus BD, circa rectum
angulum ſit maior, minorue quadrante. Nam ſi inuen
tus angulus BAD, eſt acutus, erit arcus BD, quadran
te minor; maior autem, ſi obtuſus:
VEL denique, quoniam notus eſt arcus AD, circa
præterea angulus non rectus BAD,
ci adiacens;
Præterea, quia
in triangulo ACD, habente rectum angulum D, cognitus eſt arcus AD, circa
angulum rectum, vnà cum angulo non recto CAD, ei adiacente; inuenietur
quoque arcus AC, recto angulo oppoſitus. Atque ita iam vnus reliquorum
POST hæc, quoniam in eodem triangulo ACD, cuius angulus D, rectus,
VEL, quia datus eſt arcus AC, recto angulo op-
præterea arcus AD, circa eundem angu-
lum rectum: VEL denique, quia datus eſt arcus AD, circa angu
cente: notus quoque fiet, ex ſcholijs in margine deſcriptis, arcus CD:
qui adiectus
arcui inuento BD, quando perpendicularis arcus AD, intra triangulum ca-
dit; vel, quando extra cadit, ſublatus ex arcu inuento BD, notum exhibebit
arcum BC, qui eſt alter reliquorum arcuum, qui quæruntur.
AD extremum in eodem triangulo ACD, quoniam datus eſt arcus AC, re-
VEL, quia datus eſt arcus AD, circa angulum re-
angulus non rectus CAD, ei adiacens:
VEL, quia datus eſt arcus AD, circa angulum re-
angulus non rectus ACD, ei oppoſitus;
con-
ſtatq; præterea, an reliquus arcus CD, circa rectum an-
gulum inuentus ſit maior quadrante, aut minor: AVT, quia datus eſt vterque arcus AD, CD, cir-
AVT, quia datus eſt arcus AC, angulo recto op-
inſuper arcus CD, circa rectum angulum:
AVT denique, quoniam datus eſt arcus AC, recto
notus quoque fiet, ex ſcholijs in margine nominatis, angulus ACD, qui in
priori triangulo eſt is, qui quæritur; in poſteriori vero ſubductus ex duobus
rectis reliquum facit quæſitum angulum ACB. Atque ita iam omnia, quæ
propoſita ſunt, inuenimus.
DE praxi nibil noui præcipimus, ſed recurrendum erit ad praxes ſcho
liorum, quæ in margine citata ſunt.
PER ſolos autem ſinus ita propoſitum exequemur.
Per praxim pro-
ſcholij propoſ.
41.
in triangulo ABD, rectangulo inueſtiga-
bimus arcum AD: Et per praxim problematis ſcholij 1.
propoſ.
43.
ar-
cum BD. Deinde per praxim problematis 1.
ſcholij 1.
propoſ.
41.
angu-
lum BAD: quem, ſi minor est dato angulo BAC, auferemus ex angulo
BAC, dato; vel, ſimaior eſt, ab eo datum angulum BAC, detrahemus,
vt notus fiat angulus CAD.
HINC per praxim problematis 2.
ſcholij propoſ.
42.
eliciemus in
qui erit quæſitus ACB,
in triangulo ABC, ſi inuentus angulus BAD, fuerit minor angulo dato
BAC: Si autem maior, idem angulus ACD, ex duobus rectis demptus
reliquum faciet angulum quæſitum ACB.
IAM vero per praxim problematis 3.
ſcholij propoſ.
41.
inueniemus
in triangulo eodẽ ACD, arcum AC, recto angulo oppoſitum. Datur enim
arcus AD, circa angulum rectum, & angulus nõrectus ACD, constat{quam}
præterea, qualis ſit alter angulus non rectus CAD, iamdudũ inuentus: qui
quidem arcus AC, eſt vnus reliquorũ, qui in triangulo ABC, quæruntur.
PER praxim tandem problematis 2.
ſcholij propoſ.
41.
reperietur
arcus CD: Vel per praxim problematis 1.
ſcholij propoſ.
42.
Vel certe
per praxim problematis ſcholij 1. propoſ.
43.
eundem arcum CD, cogno-
ſcemus: qui additus inuento arcui BD, quando angulus BAD, inuentus
minor fuerit dato angulo BAC; vel, quando maior ſuerit, ab eodem ar-
cu BD, ſubtractus, notum efficiet arcum BC, qui eſt alter eorum in trian
gulo ABC, qui inueſtigari debent.
QVOD ſi quando angulus inuentus CAD, fuerit rectus, cum &
ADC, rectus ſit, erunt AC, CD, quadrantes; &
AD, arcus anguli C;
Reliquus autem
arcu BD, inuento, vt prius.
IAM vero ſi datus arcus AB, ſit quadrans, exiſtentibus adhuc angulis B,
& BAC, inæqualibus, erit angulus BAD, rectus, &
arcus etiam BD, quadrãs.
Nam cum in triangulo rectangulo ABD, arcus AB, angulo recto oppoſitus
ponatur quadrans, erit ſaltem alter reliquorum arcuum quadrans. Non po-
quia duo anguli B, D, eſſent recti, ob quadran
Igi-
tur BD, quadrans erit; ac propterea oppoſitus angulus BAD, rectus.
Polus
ac proinde AD, arcus
Inuentis autem arcubus AD, BD, &
angu-
lo recto BAD, ſine vllo labore, cum in eis inueſtigandis nullo problemate ex
præcedentibus egeamus, reliqua inueniemus, vt prius.
SINT deinde in triangulo ABC, dati duo anguli B, &
C, æquales, cum
arcu BC, illis adiacente, ſiue quadrans is ſit, fiue qua-
drante maior, aut minor. Erunt arcus AB, AC, æqua-
ideoq́;
arcus perpendicularis AD, ad datum arcum
BC, ex oppoſito angulo A, demiſſus intra triangulum ca-
det, ſecabitque & arcum datum BC, &
angulum BAC,
oppoſitum bifariam, vt in poſteriore caſu propoſ. 62.
monſtrauimus.
Quoniam ergo in triangulo ABD, re-
ctum habente angulum D, datus eſt arcus BD, circa re-
ctum angulum, quippe qui dimidium ſit datiarcus BC, &
inſuper angulus B, ei adiacens; dabitur &
arcus AB, re-
&
AC, illi æqualis datus erit.
Atque ita duo ar-
Rurſus quia in eodem triangulo datus eſt, per
ctum angulum: VEL, quia datus eſt arcus BD, circa angulum re-
VEL certe, quia datus eſt arcus AB, angulo recto
reperietur, per ſcholia in margine adducta, angulus quoque BAD:
qui du-
plicatus totum angulum BAC, quæſitum efficiet cognitum.
SED per ſolos ſinus ita praxis ſe habet.
Per praxim problematis 2.
42.
ex arcu BD, circa angulum recturn dato, &
ex angu-
lo B, ei adiacente dato, inueniemus angulum BAD, qui duplicatus totum
angulum quæſitum BAC, dabit. Deinde per praxim problematis 3.
ſcho
lij propoſ. 41, ex arcu BD, circa rectum angulum, &
angulo BAD, op-
poſito iam inuento, eruemus ar cum AB, recto angulo oppoſitum, ideo{quam}
& arcum AC, illi æqualem.
Nam præter data conſiat etiam ſpecies re-
liqui anguli B, dati non recti.
DATIS igitur duobus angulis trianguli ſphærici non rectanguli, vnà
cum arcu ipſis adiacente; reliquos arcus, cum reliquo angulo ſcrutati ſumus.
Quod faciendum erat.
IN triangulis rectilineis non rectãgulis problema huic ſimile propoſitum non fuit:
propterea quod, datis duobus angulis, datur &
tertius:
qui nimirum relinquitur,
Quare cum vnum etiam latus detur, duo reli-
qua latera per propoſ. 10.
triang.
rectil.
efficientur nota.
DATIS duobus angulis triãguli ſphærici non
rectanguli, cum arcu, qui alteri illorum opponi-
tur; reliquos arcus, cum reliquo angulo indagare.
Oporter autem conſtare, num arcus alteri angulo
dato oppoſitus maior ſit quadrante, an minor, aut
certe quadrans.
IN triangulo ABC, non rectangulo dati ſint duo anguli B, C, cum ar-
cu AB, qui angulo C, opponitur, conſtetq́ue, an arcus AC, maior quadrante
ſit, minorve, an quadrans. Oportet ex his &
reliquos arcus AC, BC, &
reliquũ
angulum BAC, inuenire. Sint primum dati duo anguli B, C, inæquales, &
Ducatur ex angulo A, ad arcum BC, datis
angulis adiacentẽ arcus perpendicularis AD:
ſus; extra vero, ſi vnus fuerit acutus, &
obtu
ſus alter. Quia ergo in triangulo ABD, re-
ctum habẽte angulum D, datus eſt arcus AB,
angulo recto oppoſitus, cum angulo non re-
cto B; notus fiet arcus AD, circa angulum
Hinc in
eodem triangulo ABD, quoniam datus eſt
AD, circa angulum rectum: VEL, quia datus eſt arcus AB, angulo recto op-
præterea angulus B, non rectus:
VEL denique, quoniam datus eſt arcus AD, circa
conſtatq́;
præterea ſpecies arcus BD.
Nam ſi AB, da-
tus fuerit minor quadrante; ſi quidem &
AD, inuentus
ſit minor, erit quoque BD, minor; ſi autem maior, ma-
Si vero AB, datus fuerit quadrante maior;
ſi qui-
dem & AD, inuentus ſit maior, erit BD, minor;
ſi ve-
ro AD, ſit minor, erit BD, maior; reperietur quoque, ex ſcholijs in margine citatis, alter arcus BD, circa an-
gulum rectum. Hinc rurſus in eodem triangulo ABD, quoniam datus eſt ar-
præterea arcus BD, circa angulũ rectum:
AVT, quia datus eſt vterque arcus AD, BD, cir-
VEL, quia datus eſt arcus AB, recto angulo oppo
VEL, quia datus eſt arcus AD, circa rectum angu-
inſuper angulus non rectus B, ei oppoſitus;
con
ſtatq́; præterea ſpecies anguli BAD.
Nam ſi BD, arcus
inuentus ſit quadrante maior, erit angulus BAD, ob-
ſi vero minor, acutus.
VEL denique, quia datus eſt arcus AD, angulo
notus fiet quoq;
angulus non rectus BAD, ex ſcholijs in margine appoſitis.
DEINDE in triangulo ACD, rectum habente angulum D, quoniam
datus eſt arcus AD, circa rectum angulum, cum angulo C, oppoſito; (Nam
quando perpendicularis arcus AD, extra triangulum cadit, dabitur angulus
ACD, ſi datus angulus ACB, ex duobus rectis ſubducatur.) poniturq;
præ-
terea conſtare ſpecies arcus AC, qui in propoſito triangulo ABC, alteri da-
to angulo B, opponitur, in hoc vero triangulo ACD, recto angulo D, op-
poſitus eſt; notus quoque euadet arcus AC;
qui vnus eſt reliquorum arcuum,
Hinc quia in eodem trian
gulo ACD, datus eſt arcus AC, recto angulo oppoſitus, & arcus AD, circa
VEL denique, quoniam datus eſt arcus AD, circa
præterea ſpecies arcus CD.
Nam ſi arcus AC, recto an-
gulo oppoſitus, inuentus fuerit minor quadrante, erit
vterque arcus AD, CD, vel minor etiam, vel maior;
ſit, vel maior quadrante: Si vero inuentus arcus AC,
fuerit quadrante maior, & AD, minor, erit CD, maior;
at ſi AD, maior fuerit, erit CD, minor;
cognoſcetur etiam, per ſcholia in margine poſita, arcus CD: qui additus ar-
cui iamdudum inuento BD, ſi perpendicularis arcus AD, intra triangulum
cadit; vel, ſi extra, ablatus ex arcu BD, inuento;
notum efficiet arcum BC,
quæſitum. Atque ita iam reliqui duo arcus AC, BC, inuenti erunt.
POSTREMO, quia in eodem proximo triangulo ACD, datus eſt ar-
VEL, quoniam datus eſt arcus CD, circa rectum
præterea angulus non rectus C:
VEL, quia datus eſt arcus AD, circa angulum re-
conſtatq́;
præterea ſpecies alterius anguli CAD.
Nam ſi arcus
inuentus CD, minor eſt quadrante, erit angulus CAD,
obtuſus vero, ſi CD, quadrante maior eſt:
VEL, quia datus eſt vterq;
arcus AD, CD, circ@
VEL, quoniam datus eſt arcus AC, recto angulo
arcus AD, circa rectum angulum;
VEL denique, quia datus eſt arcus AC, angulo re-
fiet quoque notus angulus CAD, ex ſcholijs in margine adductis.
Hic autem
angulus CAD, additus angulo BAD, iam antea inuento, ſi arcus perpendi-
cularis AD, intra triangulum cadit; vel ſi extra, ablatus ex inuento angulo
BAD, cognitum exhibebit angulum BAC, quæſitum.
CAETERVM nullo modo alteruter arcuum AD, BD, quadrans eſſe
poteſt in hoc caſu: quia ſi alter illorum eſſet quadrans, eſſet quoq;
arcus AB,
quod eſt contra hypotheſim.
PRAXIS huius problematis pendet ex ſcholijs in margine not atis.
SOLIS autem ſinubus it a rem perficiemus.
Per praxim problema-
ſcholij propoſ.
41.
inueniemus arcum AD:
Et per praxim proble-
matis ſcholij 1. propoſ.
43.
arcum BD:
Et per praxim problematis 1.
ſcholij propoſ.
41.
angulum BAD.
DEINDE per praxim problematis 3.
ſcholij propoſ.
41.
cognoſce-
mus arcum AC, cum conſtet ex bypotheſi eius ſpecies. Hinc per praxim
problematis ſcholij 1. propoſ.
43.
arcus CD, notus fiet;
ex quo, ſi adda-
tur arcui inuento BD, vel abe@dem ſubtrahatur, prout perpendicularis
AD extremum, per praxim problematis 1.
ſcholij propoſ.
41.
erue-
mus angulum CAD; qui additus angulo inuento BAD, vel ab eo ſubtra-
ctus, prout arcus perpendicularis AD, intra triangulum ceciderit, vel
extra, notum faciet angulum BAC.
QVOD ſi quando arcus AC, alteriangulo B, dato oppoſitus, ſit qua-
drans, quod euenire poteſt, non exiſtente quadrante AB; erit alter ſaltem
reliquorum quoque arcuum AD, CD, in triangulo ACD, quadrans. Cum
ac proinde angulus
Itaque tunc inuentus erit &
arcus CD, &
angu-
ex quibus &
arcus BC, &
angulus BAC, de-
prehendentur, vt dictum eſt.
SIT iam arcus datus AB, quadrans, &
adhuc duo anguli dati B, C, inæ-
quales. Erit arcus BD, quadrans etiam, &
angulus BAD, rectus.
Cum enim
in triangulo ABD, arcus AB, angulo recto oppoſitus quadrans ponatur; erit
alter reliquorum arcuum AD, BD, quadrans.
Non poteſt autẽ AD,
quia duo anguli B, D, ob quadrantes AB, AD, recti eſſent,
ideoq́; triangulum ABC, rectangulum, quod non ponitur.
Erit ergo BD,
quadrans, ac proinde angulus oppoſitus BAD, rectus. Erit quoque B, po-
proptereaq́;
datus angulus B, arcum
Inuẽtis autem arcubus AD, BD, cum angulo recto BAD,
ſine vlla multiplicationis moleſtia, in uenientur reliqua, vt prius. In hoc ta-
men caſu arcus AC, nullo pacto quadrans erit, ne duo quadrantes ſint AB,
Quod eſtet contra
hypotheſim, cum triangulum ponatur non rectangulum.
VERVM ſint iam in triangulo ABC, dati duo anguli B, C, æquales.
atq;
adeo neuter
eorum quadrans, ne duo anguli B, C, recti exiſtant.
angulo A, intra triangulum cadet, diuidetq; tam ar-
cum BC, quam angulum BAC, bifariam, vt ſupra in
ſecundo caſu propoſ. 62.
oſtendimus.
Igitur quia in
triangulo ABD, rectum habente angulum D, datus
eſt arcus AB, angulo recto oppoſitus, cum angulo
cognitus erit &
arcus BD:
qui duplicatus totum
arcum BC, notum efficiet: Sed &
AC, notus eſt,
cum dato arcui AB, æqualis ſit. Deinde quoniam in eodem triangulo ABD,
ctum proximè inuento; VEL, quia datus eſt arcus BD, circa angulum re-
VEL denique, quoniam datus eſt arcus AB, recto
dabitur quoque, per ſcholia in margine adducta, angulus BAD:
qui duplica-
tus totum BAC, quæſitum præbebit.
ITA autem ſolis ſinubus in hoc caſu vtemur.
Per praxim proble-
ſcholij propoſ.
41.
reperiemus arcum AD:
Ethinc per pra-
propoſ.
43.
arcum BD;
qui duplicatus totum
arcum BC, dabit notum. Deinde per praxim problematis 1.
ſcholij pro-
poſ. 41.
Vel per praxim problematis 2.
ſcholij propoſ.
42.
inueniemus an-
gulum BAD, ac proinde eius duplum BAC, qui quæritur. Tertius au-
tem arcus AC, dato arcui AB, æqualis eſt, atque adeo cognitus.
DATIS igitur duobus angulis trianguli ſphæricinon rectanguli, cum
vno arcu, qui alteri illorum opponitur, &c.
Quod erat faciendum.
HVIC etiam problemati nullam propoſitionem reſpondentem attulimus in triam
gulis rectilineis, propter cauſam in ſcholio antecedentis propoſ. allatam.
OPORTET autem in primo caſu huiuſce problematis dari etiam neceſſario ſpe
ciem arcus AC, alteri angulo dato B, oppoſiti. Alioquin in triangulo ACD, exda-
to arcu AD, & angulo C, oppoſito, (cum nihil certi adhuc exploratum habeamus de
arcu CD, vel angulo CAD, qualesnã ſint.) non inueniretur arcus
Ac, recto angu-
lo oppoſitus, cum is poſsit eſſe vel maior quadrante, vel minor, & nondum ex datis,
vel demonſtratis conſtet, qualis futurus ſit. Caterum non ſatis eſſe, ſi dentur anguli
duo, cum arcu vnieorum oppoſito, ad eliciendos reliquos arcus, & reliquum angu-
&
23.
Vbi etiam Copernicum hal-
lucinatum ea in re eſſe lib. 1.
Reuolutionum propoſ.
12.
triang.
ſphær.
indicauimus.
Ab, AC, angulum BAc, con
tinentes, & ſemicirculo ſimul æquales;
atque adeo vnus
quadrante maior, & alter minor.
Ducto autem per B,
C, arcu circuli maximi BC, ducatur ad eum productum
ex A, alius arcus AD, neque per polos arcus Ac, neque
per polos arcus BC; ita vt anguli D, &
CAD, ſint non
recti. Sed neque angulus ACD, rectus eſt.
Nam ſi foret
rectus, eſſet angulus AbC, cui ille æquælis eſt, rectus quo
atque ita duo arcus
Ab, AC, propter rectos angu-
quadrantes.
Quod eſt contra hypotheſim.
Triangulum
ergo ACD, non rectangulum eſt; in quo licet duo anguli
ACD, & D, dentur, cum
arcu AD, qui angulo ACD, opponitur; non tameninde colligemus arcum
Ac, alte-
ridato angulo D, oppoſitum, cum eidem opponatur in triangulo ABD, etiam arcus Ab, ipſi AC, inæqualis; propterea quod eadem hypotheſis manet in triangulo ABD,
nempe anguli dati B, D, (cum angulus B, angulo AcD, æqualis ſit, vt oſtendimus)
& arcus datus
AD, angulo B, oppoſitus. Neceſſe eſt ergo, vt detur ſpecies arcus an-
gulo D, oppoſiti, vt ſciamus, num maior quadranteis ſit, an minor, hoc eſt, num ar-
cus AB, an AC, ſumendus ſit, cum vnus eorum maior quadrante ſit, & alter mi-
nor, &c.
HaC inre lapſus etiam eſt Ioan. Regiom.
lib.
4.
triangulorum propoſ.
32.
cum
quod tamen
non ſatis eſſe, hic demonſtrauimus.
DATIS duobus arcubus trianguli ſphærici
non rectanguli, cum angulo, qui alteri eorum op-
ponitur; reliquos angulos, cum reliquo arcu inue-
nire. Oportet autem conſtare, num angulus alte-
ri arcui dato oppoſitus acutus ſit, an obtuſus.
IN triangulo ſphærico non rectangulo ABC, dati ſint duo arcus AB, AC,
cum angulo B, qui arcui AC, opponitur,
, an angulus C, acutus ſit, an obtu-
ſus. Oportet ex his &
reliquos angulos C,
BAC, & reliquum arcum BC, ſcrutari.
Sint
primum dati duo arcus AB, AC, inæquales, &
neuter eorum quadrans. Ducantur ab angulo
A, tertio arcui oppoſito ad ipſum arcum ter-
tium BC, arcus perpendicularis AD: qui in-
tra triangulum cadet, ſi vterque angulus B,
extra vero, ſi vnus
acutus, & alter obtuſus fuerit:
conſtat autem
ex datis, an vterque angulus acutus ſit, obtu-
ſusve, an vnus acutus, & obtuſus alter;
cum
datus ſit angulus B, cum ſpecie anguli C. Ita-
que quoniam in triangulo ABD, rectum habente angulum D, datus eſt arcus
datus etiam erit arcus AD, circa
rectum angulum dato angulo B, oppoſitus. Hinc in eodem triangulo ABD,
quia datus eſt arcus AB, recto angulo oppoſitus, & inſuper arcus AD, circa
VEL, quia datus eſt arcus AB, recto angulo op-
præterea angulus non rectus B:
VEL denique, quia datus eſt arcus AD, circa an-
conſtatq́;
ſpe-
cies præterea arcus BD. Nam ſi AB, datus fuerit mi-
nor quadrante; ſi quidem &
AD, inuentus minor ſit,
erit quoque BD, minor; ſi autem maior, maior.
At ſi
ſi quidem &
AD,
inuentus maior ſit, erit BD, minor; ſi autem AD, mi-
nor ſit, erit BD, maior;
cognitus etiam erit, ex adductis ſcholijs in margine, alter arcus BD, circa an-
gulum rectum. Hinc rurſus in eodem triangulo ABD, quia datus eſt arcus
VEL, quia datus eſt vterque arcus AD, BD, cir-
VEL, quoniam datus eſt arcus AB, recto angulo
VEL, quia datus eſt arcus AD, circa angulum re-
præterea ſpe-
cies anguli BAD. Nam ſi BD, arcus inuentus ſit mi-
nor quadrante, erit angulus BAD, acutus; obtuſus
VEL denique, quoniam datus eſt arcus AB, an-
inſuper angulus non rectus B;
efficietur quoq;
notus, ex ſcholijs in margine poſitis, angulus nõ rectus BAD.
DEINDE, quia in triangulo ACD, rectum habente angulum D, da-
tus eſt arcus AC, recto angulo oppoſitus, & inuentus arcus AD, circa angu-
lum rectum; cognoſcetur quoque angulus CAD, à dictis arcubus comprehen
qui additus inuento angulo BAD, vel ab eo ſubtractus, prout arcus per-
pendicularis AD, intra triangulum cadit, aut extra, (quod quidem cogno-
ſcemus, vt ad initium diximus, ex dato angulo B, & ſpecie data anguli C.)
da-
bit quæſitum angulum BAC.
RVRSVS, quoniam in eodem triangulo ACD, datus eſt arcus AC, an-
inuentus arcus AD, circa rectum angulum:
VEL, quia datus eſt arcus AD, circa angulum re-
inſuper angulus non rectus CAD:
AVT denique, quoniam datus eſt arcus AC, an-
præterea angulus non re-
ctus CAD;
cognitus quoque erit angulus ACD.
Si igitur arcus perpendicularis AD, ca-
dit intra triangulum, inuentus angulus erit ACB, qui quæritur; ſi vero ca-
dit extra, angulus inuentus ACD, demptus ex duobus rectis, notum relin-
quet quæſitum angulum ACB. Qui quidem angulus ACB, ita quoque re-
perietur, licet arcus AD, non adeſſet. Quoniam eſt, vt ſinus arcus AC, ad
ſi fiat, vt ſinus da-
ti arcus dato angulo oppoſiti ad ſinum dati anguli, ita ſinus alterius arcus da-
ti ad aliud, producetur ſinus anguli huic arcui oppoſiti; ac proinde angulus
ipſe ACB, cognitus erit, cum conſtet eius ſpecies. Atq;
ita inuenti iam ſunt
reliqui duo anguli BAC, ACB.
QVONIAM denique in eodem triangulo ACD, datus eſt arcus AC,
VEL, quia datus eſt vterque angulus non rectus
VEL, quia datus eſt arcus AC, recto angulo oppo-
VEL, quia datus eſt arcus AD, circa angulum re-
VEL, quoniam datus eſt arcus AD, circa rectum
conſtatq́;
præ-
terea ſpecies alterius arcus CD, circa rectum angulum. Exiſtente enim angulo inuento CAD, acuto, erit ar-
cus CD, quadrante minor; maior autem, ſi obtuſus.
VEL denique, quia datus eſt arcus AC, recto an-
reperietur quoque, per ſcholia in margine adducta, arcus CD, circa rectum
angulum: qui vel additus arcui BD, iam dudum inuento, vel ab eo ſubductus,
(prout nimirum arcus perpendicularis AD, intra triangulum ceciderit, vel
extra) dabit arcum BC, in propoſito triangulo ABC, quæſitum.
PORRO nulla ratione alteruter arcuum AD, BD, in hoc caſu, qua-
drans eſſe poteſt: quia alioquin &
arcus AB, recto angulo D, oppoſitus eſſet
Eadem ratione neque CD, quadrans
erit, ne & arcus AC, angulo recto oppoſitus quadrans ſit, quod eſſet etiam
contra hypotheſim.
PRAXIS huius problematis petatur ex ſcholijs in margine poſitis.
SED per ſolos ſinus ita problema abſoluetur.
Per praxim problema-
tis 2. ſcholij propoſ.
41.
inuenietur arcus AD, in triangulo ABD:
Et hinc
per praxim problematis ſcholij propoſ. 43.
arcus BD.
Deinde per praxim
problematis 2. ſcholij propoſ.
42.
reperietur angulus BAD.
POST hæc in triangulo ACD, per praxim problematis 1.
ſcholij pro-
poſ. 41.
cognitus erit angulus ACD, qui e§t vnus quæſitorum, ſi conſtet,
angulum C, eiuſdem eſſe ſpeciei cum angulo dato B; ſi vero diuerſæ, veli-
quus duorum rectorum erit angulus ACB, quæſitus, quia ibi arcus per-
Rurſus per praxim
problematis ſcholij propoſ. 43, notus efficietur arcus CD, qui in priori
triangulo additus inuento arcui BD, in poſteriori vero ex eodem ſublatus
exhibebit reliquum arcum BC, in propoſito triangulo notum. Ad extre-
mum, per praxim problematis 1. ſcholij propoſ.
41.
reperietur angu-
lus CAD, qui additus, vel ſubductus ex inuento angulo BAD, tertium
angulum BAC, qui quæritur, notum efficiet.
QVOD ſi alter arcuum datorum inæqualium AB, AC, ſit quadrans;
ſi
quidem AB, quadrans fuerit, erit quoque BD, quadrans, & angulus BAD,
rectus, necnon B, polus arcus AD; atque adeo angulus datus B, eundem ar-
cum AD, notum exhibebit, vt in præcedenti propoſ. oſtendimus, quando ar-
cus AB, ponebatur eſſe quadrans. Inuentis igitur arcubus AD, BD, &
angu
lo BAD, ſine vllo negotio, reliqua inueniemus, vt prius. Si vero arcus AC,
ſit quadrans, erit eadem ratione CD, quadrans, & angulus CAD, rectus, nec
non C, polus arcus AD; atque adeo inuentus arcus AD, angulum ACD, no-
qui vnus erit ex quæſitis, quando arcus AD,
cadit intra triangulum; ſi vero extra, reliquus duorum re
ctorum dabit angulum quæſitum ACB. Atq;
ita inuen-
tus tunc erit, ſine multiplicatione vlla, & arcus CD, &
angulus CAD, necnon angulus ACD: ex quibus repe-
rientur reliqua, vt prius.
SINT iam dati duo arcus AB, AC, æquales.
Erunt
&
arcus perpendicularis AD, ex
A, in BC, demiſlus intra triangulum cadet; necnon &
ar-
cus BD, CD, & anguli ad A, ęquales erunt, vt in vltimo caſu propoſ.
63.
oſten
Cum ergo angulus B, datus ſit, erit quoque C, illi æqualis, datus.
Dein-
de quia in triangulo ABD, habente rectum angulum D, datus eſt arcus AB,
angulo recto oppoſitus, cum angulo B; dabitur quoque angulus BAD:
qui
Hinc, quoniam in
eodem triangulo ABD, datus eſt arcus AB, recto angulo oppoſitus, cum an-
VEL, quia vterq;
angulus non rectus B, &
BAD,
VEL denique, quia datus eſt arcus AB, angulo re-
cognoſcetur quoque, per ſcholia in margine allata, arcus BD, circa angulum
rectum; atque adeo &
eius duplus BC, qui in quirendus proponitur.
PRAXIS facile colligi poteſt ex ſcholijs in margine appoſitis.
SI vero ſolos ſinus adhibere malueris;
inueniendus primum erit ar-
ſcholij propoſ.
41.
Atque hinc per
praxim problematis ſcholij propoſ. 43.
arcus BD:
qui duplicatus totum
quæſitum BC, dabit. Deinde per praxim problematis 1.
ſcholij propoſ.
41.
vel per praxim problematis 2.
ſcholij propoſ.
42.
reperiendus angulus
BAD; ex quo eius duplus BAC, quem quærimus, notus erit:
tertius au-
tem angulus C, iam datus eſt, cum æqualis ſit dato angulo B.
DATIS igitur duobus arcubus trianguli ſphærici non rectanguli, cuns
vno angulo, qui alteri eorum opponitur, &c.
Quod faciendum erat.
NECESSE eſt autem conſtare in hoc problemate, num angulus
C, alteri da-
to arcui oppoſitus ſit acutus, obtuſus ve, vt ſciatur, num perpendicularis arcus AD,
intra triangulum cadat, nec ne. Hoc enim ignorato, neſciremus, an angulus CAD,
addendus ſit angulo BaD, an ab eo ſubtrahendus, vt inueniatur angulus BaC, quæ-
ſitus: Item an arcus CD, arcui BD, ſit adij ciendus, an ſubducendus ex eo, vt ar-
cus quæſitus BC, reperiatur. Vel denique, num angulus inuentus ACD, ſit is, qui
quæritur, an vero reliquus duorum rectorũ, vt manife§tum eſt. Non eſſe porro ſatis,
ſi duo arcus dentur, cum angulo vni eorum oppoſito, ad inquirendos reliquos angu-
los, cum reliquo arcu, iam dudum ſupra docuimus in ſcholio propoſ. 24.
Qua in re
1.
Reuolutionum, pro-
poſ. 11.
triang.
ſphær.
ibidem monuimus.
Quod tamen bre
Sint duo arcus æquales
AD, AC, angulum DAC, ambientes, & vterque qua-
drante minor, aut maior. Ducto autem per C, D, arcu
circuli maximi CD, ducatur ad eum productum alius ar
cus AB, ex A, neque per polos arcus CD, neque per po-
los arcus AD, ita vt anguli B, & DAB, ſint non recti.
Sed neque angulus ADB, rectus eſt.
Si namque vterque
arcus AD, AC, minor eſt quadrante, erunt duo anguli C, & ADC, acuti;
ſi vero
arcus AD,
AC, quadrante maior eſt, erunt duo anguli C, & ADC, obtuſi.
ADb, eſſe vel obtuſum, quando nimirum ADC, acutus eſts
cum duo anguli ad D, duobus re-
ctis ſint æquales. Triangulum ergo
AbD, non rectangulum e§t: in quo licet duo ar-
AB, AD, dentur, cum angulo B, qui arcui AD, oppo
nitur; non tamen inde colligere poterimus reliquum an-
gulum alteri arcui dato AB, oppoſitum eſſe ADb; cum
eidem arcui AB, opponatur quoque in triangulo AbC,
angulus C, ipſi ADC, inæqualis: propterea quòd in trian
gulo Abc, eadem hypotheſis manet, nempe arcus duo da
ti AB, AC, (ponitur enim arcus AC, arcui AD, æqua-
lis) & angulus datus
B, arcui AC, oppoſitus. Oportet
ergo conſtare, num angulus alteri arcui Ab, oppoſitus
ſit acutus, aut obtuſus, hoc eſt, an ſumendus ſit angulus ADb, an vero C, cum vnus
obtuſus ſit, & alter acutus, &
c.
Hactenvs demonſtrauimus ea, quæ ad triangulorum calculum requirun-
tur, pluribus ſane propoſitionibus, & fortaſſe longioribus, quam in calculo, qui fa-
cilis & breuis eſſe debet, quis deſideret.
Quare operæ pretium me facturum arbitror,
ſi Epilogi loco praxes omnium problematum, quæ in triangulis rectilineis, & ſphæ-
ricis demon ſtratæ ſunt, ſeorſum hic, in vnum quaſi locum congeſtas, deſcribam; vt in
promptu eas ſemper, & quaſi ad manus habeamus, quando vſurpandæ ſunt, ne ſru-
ſtrain eis è tanta propoſitionum multitudine ſeligendis tempus teramus. In margine
porrò propoſitiones, ac problemata, in quibus earum demonſtrationes continentur,
adducemus, vt facile à quovis, cum res exiget, poſsint reperiri. Itaque quod ad cal
culum triangulorum attinet, ſatis erit, ſi pauca hæc, quæ ſequuntur, attente, cum
opus fuerit, perlegantur. In eis enim ſumma omnium, quæ de triangulis demonſtra-
uimus, comprehenditur. Quamuis autem in triangulis ſphæricis non rectangulis ple-
runque arcus, & angules triangulorum, in quæ triangula non rectangula reſol-
uimus, pluribus vijs inueſtigauerimus, in praxibus tamen ſequẽtibus, vt omnem con-
fuſionem vitaremus, vnam tantum in quouis arcu, ſiue angulo inquirendo, quam vi-
delicet iudicauimus eſſe commodiorem, delegimus.
SEQVVNTVR PRAXES PRO-
blematum omnium triangulorum ex de-
monſtrationibus ſuperioribus excerptæ,
in quibus totus fructus noſtrorum trian-
gulorum tam rectilineorum, quam ſphæ-
ricorum conſiſtit.
1.
DATIS angulis omnibus cuiuſcunq;
trian
inuentire omnium laterũ proportiones.
ADSCRIBANTVR fingulis lateribus ſinus recti angulorum oppo-
Latera enim eas inter ſe proportiones habent, quæ inter dictos ſi-
nus angulorum lateribus oppoſitis adſcriptos reperiuntur. Quod ſi duo tan-
tum anguli dati ſint, in ueniendus primum erit tertius angulus, per ſubt ractio
nem duorum datorum ex duobus rectis, ac tum demum eodem modo propor-
tiones laterum indagandæ.
DVPLICETVR ſinus rectus cuiusvis anguli acuti, habebiturq́;
la-
circuli triangulo circumſcripti. Pro latere vero, quod recto angulo opponi-
tur, ſi forte triangulum eſt rectangulum, ſumatur ſinus totus duplicatus. Pro
latere denique, quod angulo obtuſo opponitur, ſi forte obtuſangulum eſt
triangulum, accipiatur duplũ ſinus recti, qui ſemiſsi aggregati ex duplis duo-
rum angulorum acutorum debetur.
FIAT, vt ſinus totus ad datum latus recto angulo oppoſitum, ita ſinus
latus illi dato acuto angu-
lo oppoſitum in partibus menſuræ, ſecundum quam datum eſt latus angulo
recto opppoſitum.
FIAT, vt ſinus totus ad latus datum circa angulum rectum, ita tangens
alterum latus circa
angulum rectum: Fiat item, vt ſinus totus ad latus idem circa angulum re-
ctum datum, ita ſecans eiuſdem anguli acuti dato lateri adiacentis ad aliud,
produceturq́; latus recto angulo oppoſitum, in partibus menſuræ, ſecun-
dum quam latus circa angulum rectum eſt datum.
FIaT, vt ſinus anguli acuti dato lateri oppoſiti ad latus datum circa angulum
latus huic alteri acuto
angulo opp oſitum circa angulum rectum: Fiat item, vt ſinus anguli acuti dato lateri
oppoſiti ad datum latus circa rectum angulum, ita ſinus totus ad aliud, produceturq́; latus angulo recto oppoſitum, in partibus menſuræ, ſecundum quam latus circa an-
gulum rectum datum eſt.
FIAT, vt datum latus recto angulo oppoſitum ad ſinum totum, ita da-
ſinus anguli acuti
huic poſteriori lateri dato oppoſiti: Ex hoc autem angulo inuẽto, alter quo-
que acutus notus fiet, cum ambo vni recto ſint æquales. Fiat rurſus, vt ſinus
totus ad datum latus angulo recto oppoſitum, ita ſinus acuti anguli inuenti
quæſito tertio lateri oppoſitiad aliud, inuenieturq́; alterum hoc latus circa
angulũ rectum, in partibus menſuræ, ſecundũ quam duo alia latera data ſunt.
FIAT, vt alterutrum laterum datorum ad ſinum totum, ita alterum la-
tangens anguli acuti huic poſteriori lateri op
poſiti. Ex hoc autem angulo inuento notus euadet alter acutus angulus, cum
ambo acuti vni recto ſint æquales. Fiat rurſum, vt ſinus totus ad vtrumuis la-
terum circa angulum rectum datum, ita ſecans anguli acuti accepto huic la-
teri a diacentis ad aliud, inuenieturq́; latus angulo recto oppoſitum, in par-
tibus, in quibus data ſunt duo latera circa rectum angulum.
ADDANTVR ſimul quadrata duorum laterum circa angulum rectum date-
Nam huius aggregatir adix erit latus angulo recto oppoſitum.
Fiat rurſus, vt
latus recto angulo oppoſitum, quod iam inuentum eſt, ad ſinum totum, ita alteru-
trum datorum laterum circa angulum rectum ad aliud, prouenietq́; ſinus acuti angu-
li aſſumpto lateri circa angulum rectum oppoſiti. Ex hoc autem angulo inuento fiet
quoque alter cognitus, cum vni recto ambo acuti ſint æquales.
FIAT, vt ſemiſsis aggregati terminorum proportionis datæ, quam ſinus
angulorum dati, (quærendo tangentem per partem proportionalem reſpon-
dentem 30. ſecundis, ſi forte aggregatum arcuum, vel angulorum bifariam
diuidi nequeat ſine ſecundis.) ita differentia inter ſemiſſem aggregati ter-
minorum datæ proportionis, & alterutrum terminorum, ad aliud.
Inue-
nietur enim tangens arcus, vel anguli, quo vterque arcus, vel angulus quæſi-
tus à ſemiſſe aggregati eorundem arcuum, vel angulorum dati differt: atque
adeo arcus, vel angulus tangentis huius inuentæ additus ad ſemiſſem dati ag-
gregati arcuum, vel angulorum dabit maiorem arcum, vel angulum quęſitum; ablatus vero ab eadem ſemiſſe relinquet arcum, vel angulum minorem.
FIAT, vt ſemiſsis differentiæ inter duos terminos proportionis datæ ad
rum, & ſemicirculum, ita aggregatum ex ſemiſſe differentiæ inter duos termi-
nos datæ proportionis, & conſequente termino eiuſdem proportionis, ad
aliud. Producetur enim tangens arcus, ſeu anguli, à quo ſi detrahatur ſemiſ-
ſis differentiæ inter datum aggregatum arcuum, vel angulorum, & ſemicircu-
lum, reliquus fiet arcus, ſiue angulus minor quæſitus: hic autem ex dato ag-
gregato ſubductus relinquet arcum, vel angulum quæſitum maiorem.
FIAT, vt ſemiſsis aggregati terminorum proportionis datæ ad ſinum ſemiſsis aga
datæ proportionis, & alterutrum terminorum, ad aliud, inuenieturq́;
quartus qui-
dam numerus; cuius quadratum ſi adijciatur quadrato ſinus complementi ſemißis ag-
gregati arcuum, ſeu angulorum: Et rur ſum fiat, vt radix quadrata aggregati duo-
rum dictorum quadratorum ad ſinum totum, ita quartus ille numerus inuentus ad
aliud, producetur ſinus arcus, ſiue anguli, quo vterque arcus, angulus ve ab eorun
dem aggregati dati ſemiſſe differt. Additus ergo hic arcus, ſeu angulus ad ſemiſſem
aggregati datipræbebit maiorem arcum, vel angulum; ablatus vero ex eadem ſemiſ-
ſe minorem arcum, ſeu angulum relinquet.
QVOD ſi quando proportio ſinuum data ſit æqualitatis, dabit ſemiſsis
dati aggregati arcuum, ſeu angulorum, vtrumque arcum, ſiue angulum.
DETRACTO dato aggregato ex grad.
360.
inueniatur per proble-
vterque arcus, ſiue angulus reſidui aggregati, quod minus eſt ſemper,
quam grad. 180.
remanetq́;
eadem proportio ſinuum.
Nam ſi ambo inuenti
ſeorſum ex ſemicirculo ſubtrahantur, reliqui erunt arcus, vel anguli quęſiti.
QVANDO proportio data eſt æqualitatis, dabit quoque ſemiſsis dati
aggregati vtrumque arcum, ſiue angulum quæſitum.
QVOD ſi forte datum aggregatum contineat præciſe grad.
180.
proble-
maſolui non poteſt.
SI proportio ſinus maioris arcus, vel anguli, ad ſinum minoris eſt maio-
fiat, vt ſemiſsis differentiæ ter minorum proportionis datæ
ad tangentem ſemiſsis datæ differentiæ arcuum, vel angulorum, ita aggrega-
tum ex ſemiſſe differentiæ terminorum proportionis, & conſequente termino
proportionis eiuſdem, ad aliud, produceturq́; tangens arcus, ſiue anguli, qui
ſemiſsi differentiæ arcuum, vel angulorum date additus componet maiorem
arcum, ſeu angulum; ſi vero ab eodem ſemiſsis differentiæ arcuum, vel angu-
SI vero proportio ſinus maioris arcus, vel anguli, ad ſinum minoris eſt
minoris inæqualitatis; inuertantur eius termini, vt fiat proportio maioris in-
æqualitatis; atque ex hac, &
data differentia arcuum, ſeu angulorum inue-
niantur duo arcus, vel anguli, vt dictum eſt. Nam maior eotum ex ſemicircu-
lo ſublatus dabit minorem arcum, ſeu angulum quæſitum; minor vero ſubdu-
ctus ex ſemicirculo offeret maiorem.
QVANDO ſinus maioris arcus, vel anguli ad ſinũ minoris habet pro-
inquirantur ex data illa proportione maio-
ris inæqualitatis, & ex arcu, ſeu angulo, qui poſt detractionem datæ differen-
tiæ ex ſemicirculo relinquitur, tanquam ex aggregato duorum arcuum, ſiue
angulorum, duo arcus, ſiue anguli huius aggregati, vt in problemate 6. præ-
cepimus. Nam maior arcus, ſeu angulus inuentus, ſi ex ſemicirculo aufera-
tur, dabit maiorem arcum ſiue angulum quæſitum: Minor autem inuentus
erit minor quæſitus.
QVANDO autem proportio data eſt minoris inæqualitatis;
inuertan-
tur eius termini, vt fiat proportio maioris inæqualitatis: atque ex hac, &
da-
ta differentia arcuum, ſeu angulorum, inueſtigentur duo arcus, ſiue anguli,
vt iam dictum eſt. Maior enim eorum ex ſemicirculo ſubtractus dabit arcum,
ſeu angulum quæſitum minorem; Minor vero maiorem.
SI data proportio ſinus maioris arcus, ſiue anguli ad ſinum minoris eſt maioris in-
fiat, vt ſemiſsis differentiæ terminorum proportionis datæ ad ſinum ſe-
miſsis datæ differentiæ arcuum, vel angulorum, ita aggregatum ex ſemiſſe differen
tiæ terminorum proportionis, & conſequẽte termino eiuſdem proportionis, ad aliud,
inuenieturq́; quartus quidam numerus;
cuius quadratum ſi adijciatur quadrato ſi-
nus complementi ſemiſsis differentiæ arcuum, ſeu angulorum datæ: Et rurſum fiat,
vt radix quadrata aggregati dictorum duorum quadratorum ad ſinum totum, ita
numerus ille quartus inuentus ad aliud, reperietur ſinus arcus, ſiue anguli, cui ſi
addatur ſemißis datæ differentiæ arcuum, ſeu angulorum, notus fiet maior arcus, ſi-
ue angulus: ab eodem vero ſi eadem ſemiſsis detrahatur, reliquus erit minor.
QVOD ſi data proportio ſit minoris inæqualitatis, agẽdũ erit, vt ſupra diximus.
IAM vero ſi forte proportio data ſit æqualitatis, detrahatur differentia
data arcuum, ſiue angulorum ex ſemicirculo. Nam reſidui ſemiſsis erit minor
arcus, ſeu angulus quæſitus: eadem vero ſemiſsis ad datam differentiam adie-
cta dabit maiorem.
DIFFERENTIA inter quadrata duorum laterum ambientium an-
ceturq́; numerus;
qui ſi minor fuerit tertio latere, indicabit, perpendicularem
intra triangulum cecidiſſe; idemq́;
ex tertio eodem latere ſubductus relinquet
numerum, cuius ſemiſsis dabit minus ſegmentum baſis, hoc autem ex toto ter
tio latere ſubtractum dabit ſegmentum maius. Idem vero numerus ex diui-
ſione productus, ſi fuerit maior tertio latere, argumento erit, perpẽdicularem
extra triangulum cecidiſſe. Quare ſi ex eo tertium latus auſeratur, reliquus
erit numerus, cuius ſemiſsis dabit rectam extra triangulum inter perpendicu-
larem, & angulum obtuſum;
eadem vero ſemiſsis tertio lateri appoſita dabit
alteram rectam inter perpendicularem, & angulum acutum.
FIAT, vt tertium latus, in quod demiſſa eſt perpendicularis, ad ſummam
nu-
merus, ex quo rectam inter perpendicularem, & angulum vtrumq;
inuenie-
mus, vt nuper diximus.
CADENTE perpendiculari intra triangulum;
diuidatur ſemiſsis diffe-
pendicularis eſt demiſſa, & ſummam quadratorum ex alijs duobus lateribus de-
ſcriptorum, per latus, in quod perpendicularis cadit, produceturq́; ſegmen-
tum baſis prope angulum, quem continẽt duo latera, quorum ſumma quadra-
torum fuit accepta; hoc autem ſegmentum ex tota baſi detractum relinquet
alterum ſegmentum.
CADENTE vero perpendiculari extra triangulum, diuidatur ſemiſsis
differentiæ inter quadratum lateris angulo obtuſo oppoſiti, & ſummam qua
dratorum ex alijs duobus lateribus deſcriptorum, per latus, in quod produ-
ctum perpendicularis cadit, procreabiturq; linea extra triangulum inter per-
pendicularem, & angulum obtuſum;
hæc vero toti baſi adiecta conficiet alte-
ram rectam inter perpendicularem, & acutum angulum baſis.
QVOD ſi duo latera circa perpendicularem ſint æqualia, ſecabit perpen
Quare dimidiũ baſis dabit vtramq;
rectã quęſitam.
FIAT, vt ſinus anguli dato lateri oppoſiti ad ſinum vtriusvis reliquo-
latus poſteriori huic
angulo oppoſitum. Fiat rurſus, vt ſinus anguli dato lateri oppoſiti ad ſinum
tertij anguli, ita latus datum ad aliud, produceturq́; tertium latus huic ter-
tio angulo oppoſitum.
SI triangulum ſit Iſoſceles, vnius tantum lateris inuentione opus eſt, ſi
vnum datum ſit, cum angulis. Idem dicendum eſt de Scaleno, ſi duo eius late-
ra cum angulis data ſint. In Aequilatero vero, ſi vnum latus detur, data e-
runt & reliqua illi æqualia.
DVCTA ad maximum latus perpẽdiculari ex angulo oppoſito, (vt per-
blema, rectæ inter perpendicularem, & duos angulos maximi lateris poſitæ.
Deinde fiat, vt minimum latus ad ſinum totum, ita minus ſegmentum baſis ad
aliud, gigneturq́; ſinus, cuius arcus complementum dabit angulum baſis mini-
mo lateri adiacentem. Rurſus fiat, vt medium latus ad ſinum totum, ita ma-
ius ſegmentum baſis ad aliud, procreabiturq́; ſinus, cuius arcus complemen-
tum dabit angulum baſis medio lateri adiacentem. Tertius vero angulus ma-
ximo lateri oppoſitus conflabitur ex duobus arcubus duorum ſinuum inuen-
torum: Vel certe relinquetur poſt detractionem duorum angulorum inuen-
torum ex duobus rectis.
SI triangulum ſit Iſoſceles, ducenda erit perpendicularis ad baſim, quam
bifariam ſecabit. Nam ſi tunc fiat, vt vnum æqualium laterum ad ſinum to-
tum, ita dimidium baſis ad aliud, reperietur ſinus, cuius arcus complementum
dabit vnum æqualium angulorum ſupra baſim, ac proinde & alterum.
Ter-
tius ex his duobus elicietur.
IN æquilatero dabuntur anguli, etiam ſi latera non dentur, cum quilibet
ſit tertia pars duorum rectorum, vel duæ tertiæ vnius recti.
SVBDVCTO angulo dato ex duobus rectis, vt aggregatum aliorum
problema triang.
rectil.
ex hoc aggrega-
to, & proportione laterum da torum eis oppoſitorum, (quæ eadem eſt, quæ
inter ſinus eorum reperitur) vterque eorum. Deinde fiat, vt ſinus vtriusvis
horum angulorum inuẽtorum ad ſinum anguli in principio dati, ita latus in-
uento angulo, qui in aurea regula acceptus fuerit, oppoſitum ad aliud, inue-
nieturq́; tertium latus.
QVOD ſi data duo latera ſint æqualia, ablato angulo dato ex duobus
rectis, dabit ſemiſsis reſidui vtrumque angulorum æqualium: Et ſi fiat, vt ſi-
nus vnius illorum ad ſinum anguli dati, ita vnum laterum æqualium ad aliud,
prodibit tertium latus.
FIAT, vt latus datum angulo dato oppoſitum ad alterum latus da-
teri oppoſiti, qui ſi acutus fuerit, (ſemper autem acutus erit, ſi datus eſt ob-
tuſus) ex ipſo ſinu inuento notus fiet; ſi vero obtuſus, ſinus inuentus dabit
angulum, qui ex duobus rectis ſubductus quæſitum angulum alteri dato la-
teri oppoſitum relinquet: Summa autem ex dato angulo, &
inuento angulo
conflata, ſi ex duobus rectis ſubtrahatur, indicabit tertium angulum à datis
lateribus comprehenſum. Fiat deinde, vt ſinus anguli dati ad ſinum huius ter
tij anguli inuenti, ita latus datum dato angulo oppoſitum ad aliud, gigne-
turq́; tertium latus quæſitum.
SI data latera ſint æqualia, datus etiam erit angulus alteri dato lateri op-
poſitus, cum dato angulo vt æqualis. Hinc tertius angulus, &
tertium latus
reperietur, vt prius.
FIAT, vt ſinus arcus dati recto angulo oppoſiti ad ſinum totum, ita ſi-
ſin us anguli huic
arcui oppoſiti, qui quæritur. Hic autem angulus erit acutus, ſi datus ar-
cus ei oppoſitus circa rectum angulum fuerit quadrante minor; obtuſus au-
tem, ſi maior.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum arcus angulo recto oppoſiti, ita ſecans
ſecans
complementi anguli quæſiti, qui huic arcui opponitur.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum arcus angulo recto oppoſiti, ita ſinus an-
ſinus arcus huic angulo oppoſiti, qui quæri-
tur. Hic autem arcus quadrante minor erit, ſi datus angulus ei oppoſitus fue
rit acutus; maior vero, ſi obtuſus.
FIAT, vt ſinus anguli dati ad ſinum dati arcus, ita ſinus totus ad aliud,
ſinus arcus recto angulo oppoſiti:
qui ex inuento ſinu cogno-
ſci non poterit, niſi conſtet, num ſit quadrante minor, vel maior; aut an al-
ter angulus non rectus ſit acutus, obtuſusve; aut an alter arcus circa angu-
lum rectum ſit minor, aut maior quadrante. Nam ſi alter angulus eſt acutus,
ſi quidem & angulus datus acutus ſit;
aut ſi tam ille, quam hic eſt obtuſus,
erit quæſitus arcus recto angulo oppoſitus, quadrante minor: ſi vero alter
ille angulus eſt acutus, & datus obtuſus;
aut ille obtuſus, &
hic acutus, erit
idem arcus quæſitus, & angulo recto oppoſitus, quadrante maior.
Sic etiam,
ſi alter arcus circa angulum rectum, & datus arcus, ſunt eiuſdem ſpeciei, nem
pe ambo minores, aut maiores quadrante, erit arcus quæſitus recto angulo op
poſitus quadrante minor; ſi vero diuerſarum ſpecierum, nimirum vnus qua-
drante minor, & altet maior, erit idem arcus quæſitus quadrante maior.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum dati anguli, ita ſecans complementi arcus
ſecans complementi arcus recto angulo oppoſiti.
FIAT, vt ſinus anguli dati quæſito arcui adiacentis ad ſinum totum, ita
ſinus comple-
menti arcus huic poſteriori angulo oppoſiti. Erit autem vterlibet arcus inuen
tus quadrante minor, ſi datus angulus ei oppoſitus fuerit acutus; maior vero,
ſi obtuſus.
IAM inuento vtroque arcu circa angulum rectum, inuenietur, per pro-
blema 3. ex vtrolibet illorum, &
angulo ei oppoſito dato, arcus quoque recto
angulo oppoſitus.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum anguli non recti quæſito arcui adiacen-
ſecans arcus huic
poſteriori angulo oppoſiti, qui quæritur.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum anguli dati, ita ſinus complementi arcus
ſinus complementi alterius anguli, quem quæri-
mus. Hic autem angulus erit acutus, ſi datus arcus ſuerit quadrante minor;
obtuſus vero, ſi maior.
EX vtroque autem angulo non recto, quorum vnus datus eſt, &
alter in-
uentus, reperientur reliqui duo arcus, vt in præcedenti problemate dictũ eſt.
FIAT, vt ſinus complementi arcus dati ad ſinum complementi anguli da
ſinus alterius anguli non recti quæſi-
ti: qui ex inuento ſinu non elicietur, niſi prius conſtet, an acutus ſit, an ob-
tuſus: Aut, an alteruter reliquorum duorum arcuum non datorum ſit qua-
drante minor, aut maior. Nam ſi alter arcus circa angulum rectum non da-
tus, & quæſito angulo oppoſitus, fuerit minor quadrante, erit quæſitus angu
lus acutus; ſi vero maior, obtuſus.
Pari ratione, ſi arcus recto angulo oppo-
non datus, fuerit quadrante minor;
ſi quidem angulus datus ſit acu-
tus, erit quæſitus quoque angulus acutus; ſi vero obtuſus, obtuſus:
At ſi ar-
cus angulo recto oppoſitus fuerit maior quadrante; ſi quidem datus angulus
ſit acutus, erit quæſitus angulus obtuſus; ſi vero obtuſus, acutus.
EX vtroque porro angulo non recto, quorum vnus datus eſt, &
alter in-
uentus, inuenientur reliqui duo arcus, vt in problemate 4. traditum eſt.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum complementi arcus dati, ita ſecans dati
ſecans complementi alterius anguli non recti,
qui quæritur. Reliqua in uenientur, vt ſupra dictum eſt.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinũ complementi vtriuſlibet arcuum datorum,
ſinus com-
plementi arcus recto angulo oppoſiti. Hic autem arcus quadrante erit mi-
nor, ſi vterque arcus circa rectum angulum datus fuerit minor, aut maior qua
drante; quadrante vero maior, ſi vnus datorum arcuum fuerit quadrante mi-
nor, & alter maior.
EX arcu autem rectum angulum ſubtẽdente inuento, &
alterutro arcuum
circa angulum rectum datorum, inuenietur angulus ei oppoſitus, vt in pro-
blemate 1. diximus.
FIAT, vt ſinus complementi arcus dati circa angulum rectum ad ſinum
ſinus complementi alterius arcus circa rectum angulum, qui quæritur.
Hic au
tem arcus erit quadrante minor, ſi vterque arcus datus minor quadrante fue-
rit, aut maior; maior vero, ſi alter datorum arcuum fuerit quadrante minor,
& alter maior.
INVENTO autem arcu rectum angulum ſubtendente, reperientur an-
guli, vt in præcedenti problemate dictum eſt.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum complementi dati arcus circa angulum re
ſecans ter
tij arcus, qui quæritur, &c.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum dati arcus, ita tangẽs dati anguli ad aliud,
tangens arcus quæſiti.
Qui arcus min or quadrante erit, ſi datus
angulus ei oppoſitus fuerit acutus; maior autem, ſi obtuſus.
EX eodem porrò arcu circa angulum rectum dato, &
angulo adiacente,
reperietur & alter angulus non rectus, &
arcus recto angulo oppoſitus, vt ſu-
pra in 5. problemate docuimus.
FIAT, vt tangens anguli dati ad tangentem dati arcus, ita ſinus totus ad
ſinus arcus quæſiti:
qui ex inuento ſinu non cognoſcetur,
niſi cõſtet, num quadrante minor ſit, aut maior; vel an alter angulus non re-
ctus ſit acutus, obtuſusve; vel denique, an arcus recto angulo oppoſitus ſit
minor quadrante, aut maior. Nam ſi alter angulus fuerit acutus, erit quæſi-
tus arcus ei oppoſitus, quadrante minor; ſi vero obtuſus, maior.
Sic etiam, ſi
arcus recto angulo oppoſitus fuerit minor quadrante, ſi quidem & datus ar-
cus ſit quadrante minor, erit quæſitus arcus minor quoque quadrante; ſi vero
quadrãte maior, maior quoque: At ſi arcus recto angulo oppoſitus fuerit qua-
nor quadrante; ſi vero quadrante minor, maior.
IAM vero ex eodem arcu circa angulum rectum dato, &
angulo oppoſi-
to, reperietur & alter angulus non rectus, &
arcus recto angulo oppoſitus, vt
in problemate 6. traditum eſt.
Vel certe, ex duobus arcubus circa angulum
rectum, quorum vnus datus eſt, & alter inuentus, inuenietur arcus recto angu
lo oppoſitus, cum duobus angulis non rectis, vt in problemate 7. traditum eſt.
FIAT, vt ſinus totus ad tangentem dati arcus, ita tangens complemen-
ſinus arcus quæſiti.
Reliqua inuenientur,
vt proxime præcepimus.
FIAT, vt ſinus vtriusvis arcuum datorum ad ſinum totum, ita tangens
tangens anguli huic poſteriori ar-
cui oppoſiti. Qui angulus acutus erit, ſi datus arcus oppoſitus fuerit quadran
te minor; obtuſus autem, ſi maior.
EX eiſdem duobus arcubus datis inuenietur, per 7.
problema, arcus ter-
tius recto angulo oppoſitus: Vel certe, per problema 3.
ex alterutro arcuum
datorum, & angulo oppoſito inuento.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum vtriusvis arcuum datorum, ita tangens
tangens complemẽti an-
guli poſteriori huic arcui oppoſiti. Reliqua inueniẽtur, vt proxime dictum eſt.
FIAT, vt ſinus complementi anguli dati ad ſinum totum, ita tangens
tangens arcus angulo recto oppoſiti.
Hic
autem arcus quadrante erit minor, ſi datus angulus fuerit acutus, & datus
arcus ei adiacens quadrante minor; aut ſi angulus datus obtuſus fuerit, &
ar-
cus datus quadrante maior: Maior autem quadrante erit idem arcus quæſitus,
arcus datus quadrante maior;
aut ſi datus
angulus fuerit obtuſus, & arcus datus minor quadrante.
IAM vero, per 2.
problema, ex arcu rectum angulum ſubtendente inuen
to, & angulo dato, reperietur alter arcus circa angulum rectum dato angulo
oppoſitus. Ex eodem vero arcu rectum angulum ſubtendente, &
arcu in prin
cipio dato, inuenietur, per 1. problema, alter angulus non rectus dato ar-
cui oppoſitus.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum complementi anguli dati, ita tangens com
tangens complementi arcus recto
angulo oppoſiti. Reliqua reperientur, vt prius.
FIAT, vt tangens arcus recto angulo oppoſiti ad tangentem dati arcus
ſinus comple-
menti anguli à dictis arcubus comprehenſi, qui quæritur. Hic autem acutus
erit, ſi datus arcus recto angulo oppoſitus fuerit quadrante minor, & arcus
circa rectum angulum datus minor quoque; aut ſi tam ille, quam hic quadran
te maior fuerit: Idem vero angulus quæſitus erit obtuſus, ſi datus arcus an-
gulo recto oppoſitus fuerit minor quadrante, & datus arcus circa rectum an-
gulum quadrante maior; aut ſi ille fuerit quadrante maior, &
hic minor.
RELIQVA inueſtigabũtur, vt in præcedenti problemate traditum eſt.
FIAT, vt ſinus totus ad tangentem complementi arcus angulo recto op
ſi-
nus complementi anguli adia centis, qui deſideratur.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum complementianguli dati, ita tangens ar-
tangens arcus quæſiti.
Qui
quadrãte minor erit, ſi arcus datus recto angulo oppoſitus fuerit minor qua-
drante, & datus angulus acutus;
aut ſi arcus datus quadrante fuerit maior, &
angulus datus obtuſus: Idem vero arcus quæſitus erit quadrante maior, ſi da-
tus arcus angulo recto oppoſitus fuerit minor quadrãte, & datus angulus ob-
tuſus; aut ſi arcus datus fuerit quadrante maior, &
datus angulus acutus.
CAETERA explorabuntur, vt in problemate 12.
docuimus.
15.
DATO arcu in triangulo rectangulo, qui
lorum non rectorum, inquirere alterum an-
gulum non rectum, & duos arcus circa re-
ctum angulum.
FIAT, vt ſinus totus ad ſinum complementi dati arcus recto angulo op
tangens complementian-
guli quæſiti. Hic vero erit acutus, ſi arcus recto angulo oppoſitus fuerit qua-
drante minor, & datus angulus acutus;
aut ſi datus arcus fuerit maior quadran
te, & datus angulus obtuſus:
At angulus idem quæſitus erit obtuſus, ſi arcus
angulo recto oppoſitus quadrante minor fuerit, & angulus datus obtuſus;
aut
ſi arcus ille fuerit quadrante maior, & datus angulus acutus.
HINC ex dato arcu angulum rectum ſubtendente, &
vtroque angulo
non recto, quorum vnus datus eſt, & alterinuentus, reperietur, per 2.
pro-
blema, vterque arcus circa rectum angulum.
16.
DATIS duobus angulis non rectis in trian
lo oppoſitum, & reliquos duos arcus circa
angulum rectum.
FIAT, vt ſinus totus ad tangentem complementi vtriusvis angulorum
turq́; ſinus complementi arcus angulo recto oppoſiti, quem deſideramus.
Hic
arcus erit quadrante minor, ſi vterque angulorum datorum acutus fuerit, ob-
tuſusve; quadrante vero maior, ſi alter acutus fuerit, &
alter obtuſus.
PORRO ex arcu rectum angulum ſubtendente inuento, &
vtrouis an-
gulorum datorũ, reperietur arcus ei oppoſitus, vt in 2. problem.
traditum eſt.
17.
DATIS omnibus angulis trianguli non
SINT primum omnes anguli dati in triangulo ABC, inæquales, quo-
ex tertio angulo A, ad BC, ducatur arcus
Sta
tuantur finus complementorum angulorum B, C, pro
terminis proportionis ſinus anguli BAD, ad ſinum
Atque ex hac proportione, &
ag-
gregato angulorum BAD, CAD, hoc eſt, ex dato
angulo BAC, inquiratur, per problema 6. triang.
re-
ctil. vterque angulus BAD, CAD.
Deinde, per pro-
blema 16. triang.
ſphær.
tam ex duobus angulis B,
BAD, non rectis inueſtigetur arcus AB, angulo re-
cto D, oppoſitus in triangulo ABD, quam ex duo-
bus angulis non rectis C, CAD, arcus AC, recto angulo D, in triãgulo ACD,
oppoſitus. Poſtremo, per problema 2.
tam ex arcu AB, rectum angulum D,
ſubtendente, & angulo BAD, inuentis reperiatur arcus BD, quam ex arcu
AC, rectum angulum D, ſubtendente, & angulo CAD, inuentis arcus CD.
Summa enim arcuum BD, CD, totum arcum BC, efficiet notum.
Atque ita
omnes tres arcus AB, AC, BC, noti facti erunt.
_PER_ ſolos ſinus ita problema abſoluemus.
_V_ter que angulus _
BAD, CaD,_ in-
praxim problematis 6.
triang.
rectil.
_D_einde, per 1.
praxim proble-
matis _4._ triang.
ſphær.
tam ex duobus angulis _
B, BAD,_ inueſtigetur arcus _BD,_
quam ex duobus angulis _C, CaD,_ arcus _CD._ Summa enim arcuum _
BD, CD,_ to-
tum arcum _BC,_ notum efficiet. _P_oſtremo, per problema _3._
triang.
ſphær.
reperia-
tur tam arcus _Ab,_ recto angulo _D,_ oppoſitus, ex arcu _BD,_ & angulo eioppoſito
_BAD,_ inuentis, quam arcus _AC,_ recto angulo _D,_ oppoſitus, ex arcu _CD,_ & an-
gulo _CAD,_ ei oppoſito inuentis: quia preter data conſtat etiam ſpecies tam alterius
anguli _B,_ quam anguli alterius _C,_ cum vterque datus ſit.
QVOD ſi quando alter angulorum ad A, inuentus fuerit rectus, nempe
BAD; inuenti erunt duo arcus AB, BD, cum vterque ſit quadrans, ob rectos
angulos D, DAB. Eadem ratione, ſi deprehenſus fuerit angulus CAD, re-
ctus, non autem BAD, (fieri enim non poteſt, vt angulus vterque ad A, re-
ctus ſit, cum totus BAC, minor ſit duobus rectis.) inuenti erunt duo arcus
AC, CD, vtpote quadrantes, ob angulos rectos D, DAC.
SINT deinde duo ſaltem anguli dati B, C, æquales, quicquid ſit de ter-
Erunt tam duo ar-
cus AB, AC, quam duo BD, CD, & duo anguliad A, æquales;
ac proinde
vterque angulus ad A, cognitus, tanquam dimidium dati anguli BAC. Inue-
problema, triang.
ſphær.
arcus AB, recto angulo D, op-
poſitus, ex duobus angulis B, BAD; eritq́;
proinde &
Deinde, per problema 14.
triang.
ſphær.
ex inuento arcu AB, rectum angulum ſub-
tendente, & dato angulo B, reperiatur arcus BD;
eritq́;
propterea & CD, illi æqualis, cognitus;
ideoq́;
&
totus
BC, notus. Inuentiq́;
iam erunt omnes tres arcus AB,
AC, BC.
_PER_ ſolos autem ſinus ita rem exequemur.
_P_er 1.
praxim
triang.
ſphær.
inquiratur arcus _
BD,_ ex duobus
angulis _B, BAD;_ eritq́;
idcirco &
_CD,_ illi æqualis, cognitus, proptereaq́;
&
totus
_BC,_ notus. _D_einde, per problema _3._
triang.
ſphær.
ex arcuinuento _
BD,_ & an-
gulo ei oppoſito _Bad,_ reperiatur arcus _AB,_ recto angulo oppoſitus: quia præter da-
ta conſtat etiam ſpecies alterius anguli _B,_ cum datus ſit: eritq́;
propterea &
arcus
_AC,_ ipſi _Ab,_ æqualis, cognitus.
18.
DATIS omnibus arcubus trianguli non
SINT omnes arcus in triangulo ABC, dati, ſitq́;
primo loco inquiren
duo arcus AB, AC, eum continentes ſint inæquales, quadran
teq́; minores, quicquid ſit de arcu BC.
Productis arcubus AB, AC, vt fiant
quadrantes AD, AE, deſcribatur per D, E, arcus circuli maximi DE, occur-
rens arcui BC, producto verſus maiorem arcum, qui ſit AC, in puncto F. Sta-
portionis ſinus arcus BF, ad ſinum arcus CF. Atque ex hac proportione, &
arcu dato BC, qui differentia eſt arcuum BF, CF, inueſtigetur, per proble-
ma 8. triang.
rectil.
vterque arcus BF, CF.
triang.
ſphær.
inue-
ſtigetur tam arcus DF, ex arcu inuento BF,
rectum angulum D, ſubtẽdente, & arcu BD,
qui complementum eſt dati arcus AB; quam
arcus EF, ex arcu inuento CF, rectum angu
lum E, ſubtendente, & arcu CE, qui comple
mentum eſt dati arcus AC. Subducto enim
arcu EF, inuento, ex inuento arcu DF, no-
tus remanebit arcus DE, anguli, A; ac proin
de angulus A, notus erit. Poſt hæc, per pro-
blema 11. triang.
ſphæ.
ex arcubus notis BD,
DF, circa rectum angulum D, inueniatur an-
gulus DBF, ac proinde & reliquus duorum
rectorum ABC. Eadem denique ratione, ex arcubus CE, EF, notis circa an-
gulum rectum E, eruatur angulus ECF, atque adeo & angulus ACB, ei ad
verticem æqualis. Atque ita iam omnes tres anguli A, B, C, inuenti erunt.
_PER_ ſolos ſinus ita progrediemur.
Vterque arcus _
BF, CF,_ reperiatur per _3._
triang.
rectil.
_D_einde, per _1._
praxim problematis _8._
triang.
ſphar.
tam arcus _DF,_ ex arcu inuento _
BF,_ rectum angulum _D,_ ſubtendente, & ar-
cu _BD,_ complemento dati arcus _Ab,_ inueniatur, quam arcus _EF,_ ex inuento ar-
CF,_ rectum angulum _E,_ ſubtendente, & arcu _CE,_ complemento dati arcus _
Ac._
atq;
adeo angulus _A,_ notus erit.
Poſt hæc, per problema _1._
triang.
ſphær.
ex arcu inuen-
to _BF,_ rectum angulum _D,_ ſubtendente, & inuento arcu _DF,_ inquiratur angu-
lus _DbF,_ arcui _DF,_ oppoſitus: _E_x quo notus quoque fiet reliquus angulus duorum
rectorum, nempe _ABC._ Ad extremum eadem ratione, ex arcuinuento _
CF,_ rectum
angulum _E,_ ſubtendente, & inuento arcu _EF,_ inueſtigetur angulus _ECF,_ arcui
_EF,_ oppoſitus: Ex quo notus etiam fiet angulus ei ad verticem æqualis _ACB._
SINT deinde duo arcus inæquales AB, AC, qua-
qui producantur, donec conueniant
in D: Eruntq́;
in triangulo DBC, duo arcus DB, DC,
inæquales, & quadrante minores.
Quare, vt proxime
diximus, omnes eius tres anguli reperientur; ac pro-
inde & reliqui duorum rectorum ABC, ACB, noti
erunt, nec non & A, ipſi D, æqualis.
SIT tertio arcus AB, quadrante minor, &
AC,
Producto AB, vt fiat quadrans
AD, & abſciſſo ex AC, quadrante AE, ducatur per D, E, arcus circuli maxi-
mi DE, ſecans BC, in F, vt in priore harum duarum figurarum. Statuantur
AC, pro terminis proportionis ſinus arcus
BF, ad ſinum arcus CF. Atque ex hac pro-
portione, & aggregato arcuum BF, CF, hoc
eſt, ex dato arcu BC, indagetur, per 6. pro-
blema triang. rectil.
vterque arcus BF, CF.
Deinde, per problema 8.
triang.
ſphær.
inue-
niatur tam arcus DF, ex arcu BF, inuento
rectum angulum D, ſubtendente, & arcu BD,
complemẽto dati arcus AB; quam arcus EF,
ex inuento arcu CF, rectũ angulum E, ſubten
dente, & arcu CE, complemento arcus AC,
dati. Summa enim inuentorum arcuum DF,
EF, dabit totum arcum DE, anguli A; ac proinde angulus A, cognitus erit.
Poſt hæc, per problema 11. triang.
ſphær.
perueſtigetur ex arcubus DB, DF,
notis circa angulum rectum D, angulus DBF, ac proinde & duorum recto-
rum reliquus ABC. Ac tandem eodem modo ex arcubus CE, EF, circa an-
gulum rectum E, notis eliciatur angulus C: Inuentiq́;
erunt omnes tres an-
guli A, B, C.
_PER_ ſolos ſinus ita agendum erit.
_V_terque arcus _BF, CF,_ per _3._
praxim pro-
triang.
rectil, inueniatur.
_D_einde per _1._
praxim problematis _8._
triang.
ſphær.
tam arcus _DF,_ ex arcus _
BF,_ inuento, rectumq́; angulum _D,_ ſubtendente, &
arcu _BD,_ complemento arcus dati _Ab;_ quam arcus _EF,_ ex inuento arcu _CF,_ qui
recto angulo _E,_ opponitur, & arcu _CE,_ complemento dati arcus _AC,_ eruatur.
_N_am ſumma inuentorum arcuum _DF, EF,_ totum arcum _DE,_ anguli _A,_ dabit. Poſt
hæc, per problema _1._ triang.
ſphær.
reperiatur ex arcu _
Bf,_ rectum angulum _D,_ ſub-
tendente, & arcu _DF,_ notis, angulus _
DbF,_ ac proinde & duorum rectorum re-
liquus _ABC._ Et tandẽ eodem modo ex notis arcubus _CF, EF,_ angulus _C,_ inueniatur.
SIT quarto maior arcus AB, quadrans, &
AC, minor quadrante, vtin
Producto arcu AC, vt fiat qua-
Deinde, per proble-
ma 8. triang.
ſphær.
ex arcu dato BC, rectum angulum D, ſubtendente, &
ar-
cu CD, complemento dati arcus AC, inueniatur arcus BD, anguli A; ex quo
angulus ipſe A, notus erit. Poſt hæc, per problema 11.
triang.
ſphær.
inueſti-
getur ex duobus arcubus notis BD, CD, circa rectum angulum D, angulus
BCD; ex quo notus quoque erit duorum rectorum reliquus ACB.
Denique,
per idem problema 11. ex eiſdem arcubus BD, CD, reperiatur angulus CBD;
qui ex recto ABD, detractus notum relinquet angulum ABC.
_PER_ ſolos ſinus ſic procedemus _P_er _1_ praxim problematis _8._
triang ſphær ex da
BC,_ rectum angulum _D,_ ſubtendente, & arcu _CD,_ complemento dati arcus
_AC,_ reperiatur _BD,_ arcus anguli _A:_ ex quo angulus ipſe _A,_ cognitus erit.
_D_einde
ex arcubus notis _BC, BD,_ per problema _1._ triang ſphær.
eruitur angulus _
BCD;_ ac proinde &
duorum rectorum reliquus _
ACb._ _E_adem tandem ratione, ex notis
arcubus _BC, CD,_ inquiratur angulus _CbD,_ qui ex recto _AbD,_ demptus notum
relinquet angulum _ABC._
SIT quinto, &
vltimo maior arcus AB, quadrante maior, &
minor AC,
Abſciſſo
quadrante AE, ex AB, ducatur per C, E, arcus circuli maximi CE, Deinde,
per problema 8. triang.
ſphær.
ex dato arcu BC, rectum angulum E, ſubten-
dente, & arcu BE, complemento arcus dati AB, inueniatur arcus CE, angu-
li A; ex quo angulus ipſe A, cognoſcetur.
Poſt hæc, per problema 11.
triang.
ſphær.
ex notis duobus arcubus BE, EC, circa rectum angulum E, eliciatur
angulus BCE; cui ſi addatur rectus ACE, notus fiet totus angulus ACB.
Eadem tãdem ratione ex eiſdem arcubus BE, EC, inueniatur angulus EBC.
_PER_ ſolos ſinus ita propoſitum exequemur.
_P_er _1._
praxim problematis 8 triang.
ex dato arcu _
BC,_ rectum angulũ _E,_ ſubtendente, & arcu _
BE,_ complemento da-
ti arcus _Ab,_ inquiratur arcus _CE,_ anguli _A:_ fietque ita notus angulus _A.
D_einde
per problema _1._ triang ſphær.
ex notis arcubus _
BC, BE,_ reperiatur angulus _BCE;_ cui ſi addatur rectus _ACE,_ totus _
ACb,_ cognitus erit. _P_ari ratione tandem ex ar-
cubus notis _BC, CE,_ indagetur angulus _CbE._
ALITER, &
facilius, per ſolos ſinus, quan-
do duo arcus quæſitum angulũ comprehen-
dentes ſunt inæquales quo modocunque.
_FIAT,_ vt ſinus totus ad ſinum vtriuslibet arcuum inæqualiũ quæſitum angulum
nieturq́; numerus quidam quartus.
_D_einde rurſus fiat, vt numerus ille quartus
inuentus ad ſinum totum, ita differentia inter ſinum verſum arcus quæſito angulo
oppoſiti, & ſinum verſum arcus, quo duo arcus quæſitum angulum ambientes inter
ſe differunt, ad aliud, produceturq́; ſinus verſus anguli, qui quærnur:
ex quo an-
gulus ipſe elicietur.
_EODEM_ modo alij duo anguli inueſtigabuntur, ſi arcus illos continentes fue-
rint inæquales.
SINT iam duo arcus AB, AC, quæſitum angulum A, comprehenden-
Secabit arcus perpendicularis AD, &
angulum A, &
baſim BC,
Inueniatur ergo, per problema 1.
triang.
ſphær.
ex dato arcu AB,
arcu BD, dimidio
dati arcus BC, angulus BAD, qui duplicatus totum
angulum BAC, dabit. Deinde, per problema 13.
triang.
ſphær.
ex eiſdem notis arcubus AB, BD, reperiatur an-
gulus B, cui æqualis eſt angulus C, (ob æquales arcus
AB, AC,) ac proinde cognitus quoque.
_PER_ ſolos ſinus ita agemus.
_P_er _1._
praxim problematis
triang.
ſphær.
inueniatur ex dato arcu _
Ab,_ rectum angu
lum _D,_ ſubtendente, & arcu _
BD,_ dimidio arcus dati _BC,_ an-
gulus _BAD,_ qui duplicatus totum _BAC,_ notum efficiet. Deinde per _1._
praxim problematis 6.
triang.
ſphær.
ex arcu _
BD,_ dimidio arcus da-
ti _BC,_ & angulo oppoſito _
BAD,_ inuento, (cum ſpecies alterius anguli _B,_ conſtet.
_N_am ſi datus arcus _AB,_ recto angulo _D,_ oppoſitus eſt quadrante minor, angulus _B,_
acutus erit, quemadmodum & _
BAD,_ acutus eſt: Si vero _
Ab,_ quadrante maior eſt,
erit angulus _B,_ obtuſus, cum _BAD,_ acutus ſit.) reperiatur angulus _
B,_ cui æqualis
eſt angulus _C,_ ob æquales arcus _Ab, ac._
NEQVE vero duo duo æquales arcus eſſe poſſunt quadrãtes.
Nam alias
duo anguli ſupra baſim eſſent recti; atque adeo triangulum eſſet rectangulum.
quod eſt contra hypotheſin.
19.
DATIS duobus arcubus trianguli non re-
ctanguli cum angulo ab ipſis comprehen ſo,
inueſtigare reliquum arcum, cum reliquis
duobus angulis.
SINT in triangulo ABC, duo arcus AB, BC, dati, cum angulo B:
ſintq́;
neuter eorum quadrans.
Ex A, termino vnius eorum ad
alterum demittatur arcus perpendicularis AD, qui an intra triangulum, an
vero extra cadat, ex operatione ipſa diſcemus. Nam inueniatur, per proble-
triang.
ſphær.
ex arcu dato AB, rectum
angulum D, ſubtendente, & dato angulo B,
arcus AD, angulo B, oppoſitus. Rurſus ex da-
te, & inuento arcu AD, reperiatur, per pro-
blema 8. triang.
ſphær.
tertius arcus BD.
Si
igitur arcus hic BD, inuentus fuerit minor
dato arcu BC, cadet arcus AD, intra trian-
gulum, extra vero, ſi maior. Sublato autem
inuento arcu BD, ex dato arcu BC, (ſi ille
hoc minor eſt) vel dempto arcu BC, dato ex
inuento arcu BD, (ſi hic illo maior eſt) no-
tus relinquetur arcus CD. Ex arcubus deni-
que AD, CD, circa angulum rectum D, inueniatur, per problema 7. triang.
ſphær.
tertius arcus AC, qui quæritur.
DEINDE, per problema 13.
triang.
ſphær, ex dato arcu AB, rectum
arcu inuento AD, reperiatur angulus BAD, à
dictis arcubus comprehenſus. Eademq́;
ratione, ex inuento arcu AC, rectum
angulum D, ſubtendente, & inuento arcu AD, inueniatur angulus CAD, à
dictis arcubus comprehenſus. Nam angulus CAD, additus angulo BAD,
(quando arcus AD, intra triangulum cadit) vel angulus CAD, ex angulo
BAD, ſublatus, (quando arcus AD, cadit extra triangulum) conſiciet, aut
relinquet angulum quæſitum BAC.
AD extremum, per problema 13.
triang.
ſphær.
ex inuento arcu AC, re-
ctum angulum D, ſubtendente, & arcu inuento CD, eliciatur angulus C:
qui,
vbiarcus AD, intra triangulum cadit, quæritur; at, quando arcus AD, ca-
dit extra triangulum, ſubductus ex duobus rectis relinquit angulum ACB,
quæſitum.
_PER_ ſolos ſinus ſic agemus.
_P_er problema 2.
triang.
ſphær reperiatur ex dato ar-
dato angulo _
B,_ oppoſitus arcus _AD: E_t
hinc per _1._ praxim problematis _8._
triang.
ſphær arcus _
BD. H_ic enim ablatus ex dato
arcu _BC,_ (ſi ille hoc minor eſt) vel ex inuento arcu _BD,_ ablatus adtus arcus _BC,_
(ſi hic illo minor eſt) notum relinquet arcum _CD. D_einde per _1._
praxim problematis _1._
triang.
ſphær.
tam ex dato arcu _
AB,_ rectum angulum _D,_ ſubtendente, & arcu in-
uento _BD,_ eruatur angulus oppoſitus _BAD;_ quam ex inuento arcu _
AC,_ rectum
angulum _D,_ ſubtendente, & inuento arcu _CD,_ oppoſitus angulus _
CaD. N_am ex duo-
bus angulis _BAD, CaD,_ inuentis quæſitus angulus _Bac,_ cognoſietur, ſi vnus al-
vi addatur, quando arcus _AD,_ intra triangulum cadit, vel, quando cadit extra, ſi
ex _BAD,_ detrahatur _CAD. P_oſtremo, per _1._
praxim problematis _1._
triang.
ſphær.
inquiratur ex inuento arcu _AC,_ rectum angulum _D,_ ſubtendente, & arcu inuente
_AD,_ oppoſitus angulus _C. H_ic enim in priori triangulo eſt quæſitus, in poſteriori ve
ro reliquus duorum rectorum _ACB,_ eſt is, qui quæritur.
QVOD ſi forte arcus CD, deprehendatur quadrans, (nunquam autem
BD, erit quadrans, poſito AB, non quadrãte) erit tunc & arcus quæſitus AC,
quadrans, & angulus CAD, rectus.
Atque ita ſine moleſtia inuentus erit ar-
cus AC, qui quæritur, & angulus CAD:
ex quibus quæſitos angulos BAC,
ACB, inueniemus, vt prius.
SIT iam alter datorum arcuum inæqualium quadrans, nempe AB, à cu-
Erit tunc
arcus quoque BD, quadrans, & angulus BAD, rectus:
nec non B, polus ar-
cus AD; ac proinde arcus AD, ex dato angulo B, notus ſiet.
Atque ita in
hoc caſu duo arcus BD, AD, cum angulo BAD, noti facti erunt, ſine alio la-
bore: ex quibus reliqua inueſtigabuntur, vt prius.
ALITER, &
facilius, per ſolos ſinus, quando
cunque.
_FIAT,_ vt ſinus totus ad ſinum vtriuslibet datorum arcuum inæqualium, ita
ſinus alterius arcus dati ad aliud, produceturq́; quidam quartus numerus.
_D_einde
vurſus ſiat, vt ſinus totus ad inuentum illum quartum numerum, ita ſinus verſus
anguli dati ad aliud, reperieturq́; differentia inter ſinum verſum tertij arcus, qui
quæritur, & ſinum verſum differentiæ datorum arcuum inæqualium:
quæ differen-
num verſum tertij arcus quæſiti. _C_ognitis iam tribus arcubus propoſiti trianguli, re-
perientur alij duo anguli ex præcedenti problemate, præſertim ex praxi illa facilio-
ri, ſi arcus duo quemlibet illorum continẽtes fuerint inæquales. Quòd ſi quando æ qua-
les ſint, adhibenda erit poſtrema praxis eiuſdem problematis præcedentis.
SED iam duo arcus dati AB, AC, datum angulum A, com prehendentes
Secabit arcus
perpendicularis AD, bifariam & datum angulum A, &
baſim BC. Inueniatur ergo, per problema 2.
triãg.
ſpher.
ex dato arcu AB, angulum rectum D, ſubtendente, &
ex
angulo BAD, dimidio dati anguli BAC, arcus oppoſi-
tus BD: qui duplicatus totum arcum BC, quæſitum da-
bit. Deinde, per problema 13.
triang.
ſphær.
ex dato ar-
cu AB, rectum angulum D, ſubtendente, & inuento arcu
BD, inquiratur angulus B, à dictis arcubus comprehen-
ſus; cui ęqualis eſt angulus C, ob ęquales arcus AB, AC.
_PER_ ſolos ſinus ita res peragetur.
_E_x dato arcu _AB,_ rectum angulum _D,_ ſub-
angulo _
BaD,_ dimidio dati anguli _BAC,_ reperiatur, per problema 2,
triang. ſphær.
arcus oppoſitus _BD:_
qui duplicatus quæſitum totum _BC,_ offeret.
_D_e-
inde, per _1._ praxim problematis 6.
triang.
ſphær.
ex inuento arcu _BD,_ &
angulo
_BaD,_ dimidio anguli _BaC,_ dati (cum præterea conſtet ſpecies alterius anguli _B._ _N_am ſi arcus _
AB,_ fuerit minor quadrante, erit angulus _B,_ acutus, ſicut & _
BAD,_
acutus est: Si vere _
Ab,_ ſit quadrante maior, erit _B,_ obtuſus, cum _BAD,,_ acutus
ſit.) eliciatur angulus _
B;_ cui angulus _C,_ æqualis eſt.
20.
DATIS duobus angulis trianguli non re-
reliquos arcus, cum angulo reliquo.
SINT in triangulo ABC, dati duo anguli B, BAC, cum arcu AB, adia-
ſintq́;
primum dati anguli inæquales, &
arcus AB, non quadrans.
Ex
arcum oppoſitum BC, demittatur arcus per-
pendicularis, quian intra triangulum cadat,
an extra, operatio ipſa docebit. Inueniatur
enim per problema 15. triang.
ſphær.
ex dato
dato angulo B, alter angulus nõ rectus BAD: qui ſi minor fuerit angulo dato BAC, cadet
arcus AD, intra triangulum; extra vero, ſi
maior. In priori caſu ſubductus angulus BAD,
inuentus ex dato angulo BAC; in poſterio-
ri vero datus angulus BAC, ex inuẽto BAD,
detractus, notum relinquet angulum CAD.
Rurſus, per problema 2. triang.
ſphær.
ex da-
to arcu AB, angulum rectum D, ſubtendente, & angulo B, dato, reperiatur ar-
cus AD, oppoſitus, Item, per problema 12. triang.
ſphær.
ex inuento arcu AD,
angulo adiacente CAD, inuento, eruatur arcus AC, recto angulo D, op-
poſitus; qui quidem eſt vnus ex quæſitis.
DEINDE, per problema 8.
triang.
ſphær.
tam ex dato arcu AB, rectum
angulum D, ſubtendente, & inuento arcu AD, indagetur arcus BD;
quam
ex inuento arcu AC, rectum angulum D, ſubtendente, & arcu inuento AD,
arcus CD: qui adiectus ad inuentum arcum BD, cadente arcu AD, intra
triangulum, vel ſubductus ex eodem arcu BD, cadente arcu AD, extra trian
gulum, notum dabit alterum arcum BC, quæſitum.
AD extremum, per problema 15.
triang.
ſphær.
inueſtigetur ex inuento
arcu AC, rectum angulum D, ſubtendente, & angulo inuento CAD, angulus
ACD: qui in priori triangulo eſt is, qui quæritur;
in poſteriori autem ſubdu-
ctus ex duobus rectis reliquum facit ACB, quæſitum.
_PER_ ſolos ſinus ſic negotium abſoluetur.
_P_er problema _2._
triang.
ſphær.
inue-
angulo dato _B,_ arcus
oppoſitus _AD:_ _E_tper _1._
praxim problematis _8._
triang.
ſphær.
reperiatur ex dato ar-
cu _AB,_ rectum angulum _D,_ ſubtendente, & inuento arcu _AD,_ tertius arcus _BD._
_I_tem per _1._
praxim problematis _1._
triang.
ſphær.
inquiratur ex dato arcu _
Ab,_ an-
gulum rectum _D,_ ſubtendente, & inuento arcu _BD,_ angulus oppoſitus _
BAD:_ qui
ablatus ex dato _BAC,_ (ſi ille hoc minor eſt) vel ex eo datus _BAC,_ detractus, (ſi hic
illo minor eſt) notũ relinquet angulum _CaD. R_urſus per problema _5._
triang.
ſphær.
ex inuento arcu _AD,_ & angulo adiacẽte _CAD,_ eruatur angulus _
ACD;_ qui in priori
triangulo eſt quæſitus, in poſteriori vero reliquus duorũ rectorum _AcB,_ quæſitus eſt.
_POST_ hæc, per _1._
praxim problematis _4._
triang.
ſphær.
ex vtroque angulo
_CAD, ACD,_ inuento reperiatur arcus _CD:_ qui in priori triangulo additus iam-
dudum inuento arcui _BD,_ vel in poſteriori ab eo ablatus, notum faciet arcum _BC,_
quæſitum.
_DENIQVE,_ per problema _7._
triang.
ſphær.
inueniatur exinuentis arcubus
_AD, CD,_ circa angulum rectum _D,_ arcus tertius _AC,_ recto angulo _D,_ oppoſitus,
qui quæritur. _
A_tqueita inuenti erunt duo reliqui arcus _BC, Ac,_ cum reliquo an-
gulo _ACB._
QVOD ſi quando angulus inuentus CAD, fuerit rectus, (BAD, nun-
quam poteſt eſſe rectus, poſito AB, non quadrante) erunt AC, CD, qua-
drantes; &
AD, arcus anguli C;
ac proinde angulus C, notus fiet ex inuento
arcu AD. Reliquus autem arcus BC, cognoſcetur ex inuento arcu BD, &
quadrante CD, veluti prius.
IAM vero ſi datus arcus AB, ſit quadrans, exiſten tibus adhuc angulis B,
arcus quoque BD,
quadrans. Item B, erit polus arcus AD;
proptereaq́;
arcus ipſe AD, ex dato
angulo B, cognitus erit. Inuentis autem tunc tanta facilitate arcubus AD,
BD, & angulo recto BAD, reperiemus cætera, vt prius.
SINT deinde in triangulo ABC, dati duo anguli B,
ſiue non. Erunt arcus AB, AC, æquales, &
arcus per-
pendicularis AD, ex tertio angulo A, ad BC, demiſſus
ſecabit & arcum BC, &
angulum A, bifariam.
Inuenia-
tur ergo, per problema 12. triang.
ſphær.
ex arcu BD, di-
midio dati arcus BC, & dato angulo B, adiacente, arcus
AB, recto angulo D, oppoſitus; cui cum æqualis ſit AC,
Rurſus, per problema 5.
triang.
ſphær.
ex
eodem arcu BD, dimidio dati arcus BC, & dato angulo B, adiacente reperia-
tur alter angulus non rectus BAD. Hic namque duplicatus totum quæſi-
tum angulum BAC, dabit.
_PER_ ſolos ſinus ita operabimur.
_P_er problema _5._
triang.
ſphær.
inueniatur ex
dato angulo _B,_ adiacente angulus _BAD:_
qui
duplicatus dabit totum _BAc,_ quæſitum. _D_einde per _1._
praxim problematis _3._
triang.
ſphær.
ex arcu _BD,_ dimidio dati arcus _BC,_ &
inuento angulo _BAD,_ oppoſito re-
periatur (cum præterea conſtet ſpecies alterius anguli _B,_ qui datus eſt) arcus _AB,_
recto angulo _D,_ oppoſitus: cui æqualis eſt _AC._
21.
DATIS duobus angulis trianguli non re-
nitur, reliquos arcus, cum reliquo angulo in-
ueſtigare: ſi modo conſtet, num arcus alteri
angulo dato oppoſitus quadrante maior ſit,
aut minor, aut certe quadrans.
SINT in triangulo ABC, dati duo anguli B, C, primum inæquales, cum
præterea ſpe-
Du-
catur ex tertio angulo A, ad arcum BC, arcus per-
pendicularis AD; qui intra triangulum cadet, ſi v-
terque angulus datus B, & C, eſt acutus, vel obtu-
ſus; extra vero, ſi vnus acutus, &
alter obtuſus eſt.
Inueſtigetur, per problema 2.
triang.
ſphær.
ex dato
dato
angulo B, arcus oppofitus AD. Item, per proble-
ma 14. triang.
ſphær.
ex eodem dato arcu AB, an-
gulum rectum D, ſubtendente, & dato angulo B, eli-
ciatur arcus BD. Rurſus reperiatur, per problema
15. triang.
ſphær.
ex eodem dato arcu AB, rectum
angulum D, fubtendente, & dato angulo B, angu-
lus BAD. Ad hæc, per problema 3.
triang.
ſphær.
inueniatur quoque ex in-
uento arcu AD, & dato angulo C, oppoſito (Nam, cadente arcu AD, extra
triangulum, angulus ACD, arcui AD, oppoſitus relinquitur norus poſt ſub-
tractionem dati anguli ACB, ex duobus rectis) arcus AC, recto angulo D,
oppoſitus, cum eius ſpecies conſtare ponatur. Atque ita inuentus erit arcus
AC, vnus ex quæſitis.
DEINDE, per problema 14.
triang.
ſphær.
reperiatur ex inuento arcu
AC, rectum angulum D, ſubtendente, & dato angulo C, arcus CD:
quiad-
ditus arcui BD, ſupra inuento, vel ex eo detractus, (prout nimirũ arcus AD,
mtra triangulum cadit, aut extra) notum faciet arcum BC, qui eſt alter ex
quæſitis.
AD extremum, per problema 15.
triang.
ſphær.
ex inuento eodem arcu
dato angulo C, inueniatur angulus
CAD: qui additus angulo BAD, ſi arcus intra triangulum cadit, vel ſi ex-
tra, ex eodem ſubductus, cognitum efficiet angulum BAC, quæſitum.
SOLIS _ſinubus vtemur ſic.
Per problema 2.
triang.
ſphær.
ex dato arcu_
AB,
dato angulo_ B, _inquiratur arcus oppoſitus_
AD. _Et hinc, per 1.
praxim problematis_ 8.
_triang.
ſphær.
ex dato arcu_
AB, _angulum
_rectum_ D, _ſubtendente, & inuento arcu_
AD, _reperiatur tertius arcus_ BD. _Et_
_rurſus, per_ 1. _praxim problematis_ 1.
_traing ſphær.
ex dato arcu_
AB, _rectum an-_
_gulum_ D, _ſubtendente, & inuento arcu_
BD, _eruatur angulus oppoſitus_ BAD. _Po§t_
_hæc, per_ 1 _praxim problematis_ 3. _triang.
ſphær.
eliciatur ex inuento arcu_
AD, &
_oppoſito angulo dato_ C, _arcus_ AC, _recto angulo_ D, _oppoſitus, cum eius ſpecies con-_
_ſtet ex hypotheſi: qui arcus_
AC, _ex quæſitis vnus eſt._
Deinde, _per_ 1. _praxim problematis_ 8 _triang.
ſphær.
ex inuento arcu_ AC,
_rectum angulum_ D, _ſubtendente, & arcu_ AD, _reperiatur tertius arcus_ CD:
_ex quo,_
_ſi in priori triangulo arcui_ BD, _inuento addatur, velin poſteriori ex eodem ſub-_
_trahatur, cognitus fiet alter arcus quæſitus_ BC.
PBR 1.
_praxim denique problematis_ 1.
_triang.
ſphær.
ex arcu_
AC, _angulum_
_rectum_ D, _ſubtendente, & arcu_
CD, _inuento, inquiratur angulus oppoſitus_ CAD. _Nam hic in priori triangulo additus inuento angulo_
BAD, _vel in poſteriori ab eo-
_dem demptus, notum faciet angulum_ BAC, _quæſitum._
QVOD ſi quando arcus AC, alteri angulo B, dato oppoſitus ſit quadrãs,
quod euenire poteſt, non exiſtẽte quadrante AB, (quo in caſu nunquam qua-
drans eſſe poterit AD, vel BD,) erit quoque CD, quadrans, & angulus CAD,
rectus. Quare non laborandum tunc erit in inquiſitione arcuum AC, CD,
& anguli CAD:
ſed ex ijs inueniendus erit arcus BC, &
angulus BAC, vt
diximus.
VERVM ſit iam datus arcus AB, quadrans, &
adhuc dati duo anguli B,
Quo poſito, erit &
BD, quadrans, &
angulus BAD, rectus;
nec
non B, polus arcus AD; ac proinde arcus AD, ex dato angulo B, cum eius
arcus ſit, notus fiet. Cognitis autem tanta facilitate arcubus BD, AD, cum
angulo recto BAD, inuenientur reliqua, vt prius.
SINT tandem dati duo anguli B, C, æquales.
Diui-
baſim BC, &
angulum A, bifariam;
&
arcus AB, AC, æquales erunt. Inquiratur, per pro-
blema 14. triang.
ſphær.
ex dato arcu AB, angulum re-
ctum D, ſubtendente, & dato angulo B, arcus BD:
qui
duplicatus totum quæſitum BC, offeret. Alter autem
quæſitus AC, datus erit, cum dato AB, ſit æqualis. Rur-
ſus, per problema 15. triang.
ſphær.
ex eodem arcu dato
AB, & angulo B, eliciatur angulus BAD;
quo duplica-
to, habebitur totus BAC, qui quæritur.
PER _ſolos ſinus ita abſoluemus problema.
Per problema_ 2.
_triang.
ſphær.
inve-_
AD, _ex dato arcu_ AB, _rectum angulum_ D, _ſubtendente, & dato an-_
_gulo_ B, _arcui_ AD, _oppoſito. Atque hinc, per_ 1.
_praxim problematis_ 8.
_triang.
ſphær._
_reperiatur ex dato arcu_
AB, _angulum rectum_ D, _ſubtendente, & inuento arcu_ AD,
_tertius arcus_ BD: _qui duplicatus totum quæſitum_
BC, _dabit. Deinde, per_ 1.
_pra-_
_xim problematis_ 1. _triang.
ſphær.
ex dato arcu_
AB, _rectum angulum_ D, _ſubtendente,_
arcu_
BD, _inuento indagetur angulus oppoſitus_ BA:D _qui duplicatus offeres_
_totum_ BAC, _quæſitum._
IN hoc porro caſu non poteſt datus arcus AB, eſſe quadrans.
22.
DATIS duobus arcubus trianguli non
opponitur, reliquos angulos, cum reliquo
arcu ſcrutari: ſi modo conſter, num angu-
lus alteri arcui dato oppoſitus acutus ſit, aut
obtuſus.
SINT in triangulo ABC, dati duo arcus AB, AC, cum angulo B, qui
ſint autem primum illi arcus inæquales, &
neuter qua-
drans, conſtetq́; præterea ſpecies anguli C, alteri arcui dato AB, oppoſiti.
Ducatur ex angulo A, à datis arcubus comprehenſo ad arcum BC, arcus per-
vterque angulus B, C, ſit acutus, vel obtu-
ſus; extra vero, ſi vnus acutus ſit, &
alter ob-
Conſtat autem, an vterque angulus
acutus ſit, obtuſusve, an non; quia angulus
B, datus eſt, cum ſpecie anguli C. inquiratur
ergo, per problema 2. triang.
ſphær.
ex dato
arcu AB, angulum rectum D, ſubtendente, &
angulo dato B, arcus oppoſitus AD. Et hinc,
per problema 8. triang.
ſphær.
ex eodem ar-
cu dato AB, & arcu inuento AD, eliciatur
tertius arcus BD. Hinc rurſus, per proble-
ma 1. triang.
ſphær.
ex dato arcu AB, rectum
angulum D, ſubtendente, & arcu BD, inuen-
to reperiatur angulus BAD, arcui BD, oppoſitus: Et per problema 13.
triãg.
ſphær.
ex dato arcu AC, rectum angulum D, ſubtendente, &
arcu AD, in-
uento eruatur angulus CAD, à dictis arcubus comprehenſus. Nam hic an-
gulus adiectus ad inuentum angulum BAD, vel ab eodem ſubtractus, (prout
arcus AD, cadit intra, vel extra triangulum) dabit quæſitum angulum BAC.
Inueniatur præterea, per problema 15. triang.
ſphær.
ex dato arcu AC, re-
ctum angulum D, ſubtendente, & inuento angulo CAD, angulus ACD:
qui
erit is, quem quærimus, ſi arcus AD, intra triangulum cadit, ſi vero extra,
ablatus ex duobus rectis dabit angulum ACB, quæſitum: ſicq́;
duo reliqui
anguli BAC, ACB, erunt cogniti.
DEINDE, per problema 8.
triang.
ſphær.
ex dato arcu AC, angulum
rectum D, ſubtendente, & inuento arcu AD, inquira tur arcus CD.
Hic enim
additus arcui inuento BD, vel ab eodem ſubductus (prout arcus AD, intra
triangulum cadit, vel extra) notum offeret quæſitum arcum BC.
IN hoc porro caſu, nullus arcuum AD, BD, CD;
quadrans eſſe poteſt.
PER _ſolos ſinus ita erit agendum.
Per problema_ 2.
_triang.
ſphær.
ex dato arcu_
Ab, _angulum rectum_ D, _ſubtendente, & angulo dato_
B, _inueniatur oppoſitus ar-_
AD: _Atque hinc, per_ 1.
_praxim problematis_ 8.
_triang.
ſphær.
ex dato arcu_
AB,
_dato rectum ſubtendente angulum_ D, _& inuento arcu_
AD, _eruatur tertius arcus_ BD: _Atque hinc rurſus, per_ 1.
_praxim problematis_ 1.
_triang.
ſphær.
ex arcu_
Ab,
_angulum rectum_ D, _ſubtendente, & arcu inuento_
BD, _reperiatur angulus oppoſitus_
BAD: _Nec non, per_ 1.
_praxim problematis_ 8.
_triang.
ſphær.
ex dato arcu_ AC,
_rectum angulum_ D, _ſubtendente, & arcu inuento_ AD, _eruatnr tertius arcus_ CD;
_qui vel additus arcui inuento_
BD, _vel ex eo ſubtractus, (prout arcus_ AD, _cadit_
_intra, vel extra triangulum) dabit quæſitum arcum_ BC.
Deinde _inueſtigetur per_ 1. _praxim problematis_ 1.
_triang ſphær.
ex dato ar-_
_cu_ AC, _rectum angulum_ D, _ſubtendente, & inuento arcu_ CD, _angulus oppoſitus_
CAD: _qui angulo_
BAD, _adiunctus, vel ab eo demptus, (prout arcus_ AD, _intra_
_triangulum, aut extra cadit) exhibebit quæſitum angulum_ BAC. _Denique per_
_problema_ 5. _triang.
ſphær.
ex arcu inuento_ AD, _&
inuento angulo adiacente_ CAD,
_reperiatur angulus alter_ ACD: _qui erit ex quæſitis alter, ſi arcus_
AD, _intra trians-_
_gulum cadit, ſi vero cadit extra, detrahendus erit ex duobus rectis, vt reliquus_
_fiat alter angulus quæſitus_ ACb.
QVOD ſi alter datorum arcuum ſit quadrans;
ſi quidem AB, quadrans
angulus BAD, rectus, nec non B, po-
lus arcus AD, ac proinde arcus AD, cognoſcetur ex dato angulo B. Atque
ita cognitis arcubus AD, BD, & angulo recto BAD, reliqua inueniemus, vt
prius. Pariratione, ſi AC, fuerit quadrans, erit quoque CD, quadrans, &
angulus CAD, rectus, nec non C, polus arcus AD; atque adeo inuentus ar-
cus AD, notum faciet angulum ſuum ACD; qui vnus erit ex quæſitis, ſi ar-
cus AD, intra triangulum cadit; ſi vero cadit extra, idem ex duobus rectis
detractus relinquet quæſitum angulum ACB. Inuentis autem tanta facilita-
te angulis CAD, ACD, & arcu CD, reperientur cætera, vt prius.
SINT iam dati duo arcus AB, AC, æquales.
Secabit arcus AD, &
ba-
angulum A, bifariam, anguliq́;
B, C, &
qua-
atque ita inquirendus erit tantum angulus
BAC, cum arcu BC. Inquiratur ergo, per problema
15. triang.
ſphær.
ex dato arcu AB, rectum angulum D,
ſubtendente, & dato angulo B, angulus BAD;
qui du-
plicatus offeret totum quæſitum BAC. Rurſus, per pro-
blema 2. triang.
ſphær.
ex arcu AB, angulum rectum D,
ſubtendente, & inuento angulo BAD, reperiatur arcus
oppoſitus BD: qui duplicatus totum quæſitum BC,
dabit.
PER _ſolos ſinus ſic.
Per problema_ 2.
_triang.
ſphær.
inueniatur ex dato arcu_
Ab,
dato angulo_
B, _arcus oppoſitus_ AD: _Atque hinc
_per_ 1. _praxim problematis_ 8.
_triang.
ſphær.
ex dato arcu_
AB, _rectum angulum_ D,
_ſubtendente, & inuento arcu_ AD, _reperiatur tertius arcus_
BD; _qui duplicatus_
_totum quæſitum_ BC, _exhibebit. Per problema tandcm_ 5.
_triang.
ſphær.
inueſtige-_
_tur ex inuento arcu_ BD, _& dato angulo_
B, _adiacente angulus_ BAD, _arcui_ BD,
_oppoſitus. Hicenim duplicatus dabit totum_
BAc, _quem deſideramus._
CAETERVM, vt facilius problema illud, quod maxime optamus, prę-
ſertim in ſphæricis triangulis, inuenire poſsimus, confecimus hic indicem om-
quibus quidem numeros prę-
fiximus, qui indicent, quem ordinem quodlibet inter problemata, quorum
praxes proxime expoſuimus, obtineat; quemadmodum &
ſupra problematibus
ipſis in margine adſcripſimus propoſitiones, & problemata, in quibus praxes
demonſtrantur in noſtris triangulis rectilineis, & ſphæricis.
Quanquam autem
in indice triangulorum ſphæricorum rectangulorum proponantur tantum
ſingula in ſingulis problematibus inuenienda: ijs tamen inuentis, pleraque
etiam alia in eiſdem reperiuntur, vt ex ſuperioribus liquet.
2.
Latus circa angulum rectum vtrilibet angulorum acutorum op-
poſitum; ex latere rectum angulum ſubtendente, &
alterutro
acutorum angulorum.
3.
Latus angulo recto oppoſitum, &
alterutrum duorum circa eun-
dem rectum angulum; ex altero latere circa angulum rectum,
& vno acutorum angulorum.
4.
Vterque angulus acutus, &
alterutrum duorum laterum circa an-
gulum rectum; ex latere angulum rectum ſubtendente, &
al-
tero latere circa eundem rectum angulum.
5.
Vterque angulus acutus, &
latus recto angulo oppoſitum;
ex duo-
bus lateribus circa eundem angulum rectum.
10.
Duo latera;
ex omnibus angulis, &
reliquo latere.
11.
Omnes anguli;
ex omnibus lateribus.
12.
Vnum latus, &
duo anguli illi adiacentes;
ex reliquis duobus la-
teribus, & reliquo angulo ab ipſis comprehenſo.
13.
Duo anguli, &
vnum latus vni eorum oppoſitum;
ex reliquis duo-
bus lateribus, & reliquo angulo, qui vni eorum opponitur.
3.
Ex arcu circa rectum angulum, &
angulo ei oppoſito.
12.
Ex arcu circa angulum rectum, &
angulo ei adiacente.
7.
Ex vtroque arcu circa angulum rectum.
16.
Ex vtroque angulo non recto.
2.
Ex arcu rectum angulum ſubtendente, &
angulo, qui quæſito ar-
cui opponitur.
14.
Ex arcu rectum angulum ſubtendente, &
angulo, qui quæſito ar-
cui adiacet.
8.
Ex arcu angulum rectum ſubtendente, &
altero arcu circa angu-
lum rectum.
10.
Ex altero arcu circa rectum angulum, &
angulo ei oppoſito.
9.
Ex altero arcu circa angulum rectum, &
angulo ei adiacente.
4.
Ex vtroque angulo non recto.
1.
Ex arcu rectum angulum ſubtendente, &
arcu circa angulum re
ctum, qui quæſito angulo opponitur.
13.
Ex arcu angulum rectum ſubtendente, &
arcu circa angulum re-
ctum, qui quæſito angulo adiacet.
15.
Ex arcu rectum angulũ ſubtendente, &
altero angulo non recto.
11.
Ex vtroque arcu circa angulum rectum.
5.
Ex arcu circa rectum angulum, qui angulo quæſito opponitur, &
6.
Ex arcu circa angulum rectum, qui angulo quæſito adiacet, &
al-
tero angulo non recto illi arcui oppoſito.
17.
Omnes tres arcus;
ex omnibus tribus angulis.
18.
Omnes tres anguli;
ex omnibus tribus arcubus.
19.
Vnus arcus, &
duo anguli illi adiacentes;
ex alijs duobus arcubus,
& reliquo angulo ab ipſis comprehenſo.
20.
Duo arcus, &
angulus ab ipſis comprehenſus;
ex reliquo arcu, &
alijs duobus angulis huic arcui adiacentibus.
21.
Duo arcus, &
vnus angulus vni eorum oppoſitus;
ex reliquo arcu,
& alijs duobus angulis, quorum vni hic arcus opponitur:
ſi mo-
do conſtet ſpecies arcus alteri angulo dato oppoſiti.
22.
Duo anguli, &
vnus arcus vni eorum oppoſitus;
ex reliquo angu-
lo, & alijs duobus arcubus, quorum vni hic angulus opponi-
tur: ſi modo conſtet ſpecies anguli alteri arcui dato oppoſiti.
ATQVE hic finis ſit noſtrorum triangulorum, in quibus omnia ea
videor eſſe complexus, quæ ad calculum ipſorum requiruntur. His ergo,
benigne Lector, interea fruere feliciter, dum tres integros libros triangu-
lorum ſphæricorum Menelai, cum duobus Franciſci Maurolyci, in quibus
multo plura, quam hic à nobis explanata ſunt, & quidem ſcitu iucundiſ-
ſima, continentur, clarioribus demonſtrationibus illuſtratos in lucem, Deo
noſtris cœptis bene fauente, prodire ſinamus.
ABCDEFGHIKLMNOPQRST
VXYZ.
Aa Bb Cc Dd Ee Ff Gg Hh Ii Kk Ll Mm
Nn Oo Pp Qq Rr Sſ Tt Vu Xx Yy Zz.
Aaa Bbb Ccc Ddd Eee Fff Ggg Hhh Iii Kkk
Lll Mmm Nnn Ooo Ppp Qqq Rrr.
Omnes ſunt Duerni.
Solum Gg Sſ Nn Terni ſunt.