THEOREMA PRIMVM.

INterrogavit me Sereniſſimus Dux Sabaudiæ, qua ratione cognoſci poſ-ſet ſcientificè & ſpeculatiue (vt dicitur) productum ex duobus fractis numeris, quolibet producentium minus eſſe. Cui reſpondi, mente & cogitatione conci-piendum eſſe fractos producentes cum fractis productis, non vnius eiuſdemq́ue na-turæ eſſe, imò longè diuerfæ.

Exempli gratia, fractis numeris propofitis .a.i. et .a.c. quorum integri ſint .a.b. et .a.d. qui tanquam lineæ cogitentur, apertum fanè eſſet productum .c.i. fu-perficiale futurum, quod nomen caperet à producto ſuperficiali .d.b. generato ex vno in aliud totorum linearium, nam ſi conſtitueretur .a.i. octauum ipſius .a.b. et .a.c. dimidium .a.d. multiplicato .a.i. cum .a.c. produceretur fextumdecimum ipſius .d.b. Quare .d.b. eſſet totum relatiuumrelatiuũ ipſius .c.i. non aliquod totum producentium. Mirum itaque non eſt ſi productum .c.i. minus videatur fuis producentibus, cum toto, diuerſæ naturæ à primis conferatur, fractum fiquidem ab integro eiuſdem naturæ, linearis, ſuperficialis, aut corporeæ denominatur.

Quòd ſi amplioris cognitionis gratia ex ſcientiæ præceptis ſpeculari voluerit a@ IO. BAPT. BENED. quis, qua ratione fractus numerus .c.i. minor ſit in ſuo integro .d.b. fracto .a.i. in ſuo integro .a.b. aut fracto .a.c. in ſuo integro .a.d. conſideret is quo pacto pro-portio .c.i. ad .d.b. minor ſit proportione .a.i. ad .a.b. et .a.c. ad .a.d. hac ratione. Ma-nifeſtum eſt ex prima ſexti de quantitate continua, aut .18. ſeptimi Euclidis de diſcre ta, proportionem ipſius .d.i. ad .d.b. eſſe ſi-cut .a.i. ad .a.b. & cum .c.i. minor ſit .d.i. velut pars ſuo toto, proportio, c.i. ad .d.b. minor erit proportione .d.i. ad .d.b. ex .8. quinti, quare minor erit pariter proportio-ne .a.i. ad .a.b. ex .12. eiuſdemeiuſdẽ vnà etiam pro-portio .c.i. ad .d.b. minor erit .a.c. ad .a.d. ex eiſdem cauſis, medio .c.b. Ex quibus pa-tet ratio, cur fracti diuerſarum denomina-tionum ad vnicam reducantur. Cur etiam numeros integros in partes fractis ſimiles frangere liceat, quæ omnia ex ſubſequenti figura facilè cognoſci poſſunt.

0014-01

THEOREMA II.

QVae ſit ratio, cur hi, qui numeros, fractos diuerſarum denominationum col-ligere volunt, & in ſummam redigere, multiplicent vnum ex numerantibus per denominatorem alterius, & poſtmodum denominatores adinuicem, quorum vltimum productum, commune eſt denominans duorum priorum productorum, quæ collecta in ſummam efficiunt quod quærebatur.

Qua in re ſciendum eſt, denominantes conſiderari tanquam partes vnius eiuſdem- q́ueeiuſdẽ-q́ue magnitudinis quantitatis continuæ, linearum (verbigratia) a.b. et .a.d. æqualiumæqualiũ in longitudine, quarumquarũ .a.b. in quatuor partes diuidatur, et .a.d. in tres. Quare ſi colli-gere voluerimus duo tertia cum tribus quartis, multiplicabimus .a.c. duo tertia, cum .a.b. diuiſa in 4. partes, produceturq́ue .c.b. octo partium ſuperficialium, de-hinc multiplicando .a.i. tres quartas cum .a.d. diuiſa in .3. partes producetur .i.d. pri mis ſingulis æqualis, nouem partium ſuper ficialium, multiplicata deinde a.b. diui- ſa in .4. partes per .a.d. in .3. diuiſa, produ-cetur quadratum .d.b. in continuo, in 12. partes diuiſum, quod erit totum commune ſingulis productis, quorum primum erat .c.b. Quare .c.b. ita ſe habet ad totum .d.b. ſi-cut .a.c. ad .a.d. ex prima ſexti in continuis, aut .18. ſeptimi in diſcretis quantitatibus, et .d.i. ad .d.b. ſicut .a.i. ad .a.b. ex eiſdem propoſitionibus. Collectis deinde parti-bus producti .c.b. cum partibus producti .d.i. manifeſtè depræhendetur eiuſmodi ſummam componi ex partibus vnius totius communis ſingulis earum.

0014-02

THEOR. ARITH.

THEOREMA III.

CVr reperturi qualis ſit fractus aliquis numerus reſpectu alterius; multiplicare debeant numeratores adinuicem & ita etiam denominatores, ex quo produ-ctum ex numeratoribus nomen capiat à producto denominatorum.

Huius ſi cauſam noſce vis, ſume .o.i. & .o.u. pro totis denominatoribus, tum .o.e. & .o.a. pro numeratoribus (exempli cauſa) ſit .o.i. ſenarius .o.u. quaternarius .o.e. quinarius .o.a. ternarius. Si noſce vis quæ ſint tres quartę partes quinque ſextarum, patet ex regulis practicis oriri quindecim vigeſimaſquartas. Id quomodo fiat, ex ſubſcripta ſigura depræhendetur, memores tamen eſſe oportet, quodlibet productumproductũ conſiderari tanquamtanquã ſuperficiem, producentia autemautẽ tan-quam lineas. In hac igitur ſigura productum ex totis linearibus eſt .u.i. aggregatum ex .24. partibus, & .u.e. productum aggregatum ex .20. Quodita ſe habebit ad productum totale .u.i. ſicut .o.e. ad o.i. ex prima ſexti aut .18. ſeptimi, ita .u.e. erunt quinque ſextæ par tes .u.i. quarum in propoſito exemplo, tres quartæ quærunturquærũtur. Si itaqueitaq; multiplicabitur .o.e. cumcũ .o.a. orietur productum .a.e. ita proportionatumproportionatũ ad .u.e. ſicut .o.a. ad o.u. reperitur, ex prædictis rationibus. Quòd ſi ſtatutumſtatutũ eſt .o.a. tres quartas partes eſſe ipſius .u.o. etiametiã .a.e. tres quartæ partes erunterũt .u.e. ſed .u.e. quinque ſextæ ſunt ip-ſius .u.i. ex quo ſequitur bonum eſſe huiuſmodi opus.

0015-01

THEOREMA IIII.

CVr multiplicaturi fractos cum integris, rectè multiplicent numerantem fra-cti per numerum integrorum, partianturq́ue productum per denominantemdenominantẽ fracti, ex quo numerus quæſitus colligitur.

Propter quod mente concipiamus in ſubſequenti figura, numerum integrorum tanquam lineam .a.e. qui, verbigratia, ſit denarius, quorum vnuſquiſque ſit æqualis a.i. cogiteturq́ue productum ipſius .a.e. in .a.i. ſitq́ue .u.e. quod quidem erit dena-rius ſuperficialis, conſtituta prius .a.u. æqualis .a.i. & .a.o. ſint duæ tertiæ .a.u. quarumquarũ duarum tertiarum productum in numerum .a.e. ſit .o.e. pariter .u.i. vnitas ſit ſuper-ficialis prout .a.i. vnitas eſt linearis, quam .u.i. reſpicere debet productum .o.e. ex quo integer ſuperficialis .u.i. erit tanquam ternarius, & productum .o.i. tanquam bi narius, & quia quælibet pars è viginti ipſius .o.e. æqualis eſt tertiæ parti .u.i. vnita-tis ſuperficialis; ſi cupiamus ſcire quot integræ vnitates ſint in partibus .o.e. conſul-tum eſt eaſdem diuidere per denominantem .u.i. compoſitum ex tribus partibus ſu perficialibus, & cum tam linea u.a. quam ſuperficies .u.i. diuidatur in 3. partes aequa­ lesęqua­les noſce peroportunum eſt eiuſmodi partitionem numeri .o.e. fieri per numerum ipſius .u.i. non .u.a. ex prædictis cauſis.

0015-02

IO. BAPT. BENED.

THEOREMA V.

ALia quoque via prædicti effe ctus cauſa, ſpeculando inno-teſcere poteſt, cuius rei gratia for-metur ſequens figura .e.o.a.u.n. eiuſmodi, vt a.e. ſit numerus li-linearis integrorum, & o.e. produ-ctum numerantis ipſorum fractorumfractorũ in integris, ex quo .a.o. erunt duæ tertiæ, verbigratia, a.i. aut a.u. qua-rum linearumlinearũ ſingulę ſtatuuntur æqua les vnitati lineari, ſuperficies autem parallelogramma .u.n. conſtituatur æqualis magnitudinis ſuperficiei .o.e. ex quo .u.n. erit nobis cognita ſu-perficies. Cognoſcetur pariter quan titas partium .a.u. quam in propoſi-to exemplo diximus eſſe trium par-tium. ex regula igitur de tribus, di-cemus ſi .u.a. dat .a.e. ſine dubio .o.a. dabit .a.n. numerum linearem. quæ regula ex 15. ſexti in continuis, & ex 20. ſeptimi in diſcretis, depro-mitur. rectè igitur multiplicanturmultiplicãtur fra-cti numerantes cum integris, & productum diuiditur per denominantemdenominantẽ fractorum.

0016-01

THEOREMA VI.

ITem & alia ſpeculatione cognoſci poteſt hoc rectè fieri, mul-tiplicantes enim has duas tertias per decem, debemus conſide- rare quantitatem duarum tertiarumtertiarũ decies produci, ex quo oriuntur 20. tertia, quandoquidem ſingulæ vnitates, tunc pro duobus ter-tijs ſumuntur, ſed cum quilibet integer tria fragmenta contineat, ideo ex ratione partiendi quoties ternarius ingrediatur viginti, ſtatim cognoſcemus quod optabamus.

0016-02

Id ipſum accideret ſi integri in eiuſmodi ſpecie fractorum diui-derentur. quo facto hi multiplicandi eſſent cum numerante propo ſito, & partiendumpartiendũ productum per quadratum denominantis.

Cuius rei hæc eſt ſpeculatio. Sit linea .a.e. conſtans ex quinquequinq; integris numeris, quorum vnuſquiſquevnuſquiſq; æqualis ſit .a.u. vel .a.i. & .a.o. ſint duo tertia vnitatis integræ linearis. cogitemus nunc hos quinquequinq; integros diuidi in ſua fragmentafragmẽta linearia, quę in propoſito exemplo erunt 15. multiplicatis iam 15. cum propoſitis, videlicet a.o. orie-tur productum .o.e. triginta fragmentorum ſuperficialium, quorumquorũ in ſingulos integros ſuperficiales caduntcadũt nouemnouẽ in hoc exemploexẽplo, & cum notauerimus quoties nouemnouẽ ingrediatur triginta, propoſitum con-ſequemur.

THEOR. ARITH.

THEOREMA VII.

CVr multiplicaturi integros numeros & fractos, cum integris & fractis, de-beant integros reducere ad ſpecies fractorum, eos colligendo cum fractis: deinde multiplicare hos vltimos numerantes adinuicem & productum partiri per productum denominantium.

Vt (exempli cauſa) ſi volumus multiplicare vnum & duo tertia, per duo & tria quarta, reducentur omnia in fractos, ex quo vna ex parte eſſent quinque ter-tia, multiplicanda cum vndecim quartis ex altera, quo facto oriretur productum quinquagintaquinque fractorum, quod diuiſum per productum ternarijin quaternarium, videlicet per duode cim, quatuor integri proferentur cum ſeptem duodeci-mis fractis vnius integri.

0017-01

Detur ſubſequens figura in qua linea a.i. æqualis ſit li-neæ .u.a. quarum vnaquæquevnaquæq; conſidereturcõſideretur pro integro nume ro: cogiteturquecogiteturq́; .a.i. valere quatuor in pręſenti exemploexẽplo, & .a.u. tria: detur deinde linea .a.o. æquipollens vni integro cumcũ duobus tertijs, & a.e. æquipollens duobus integris & tri-bus quartis. Iam ſi hæ duæ lineæ in ſuos fractos redu-cantur, multiplicata (vt in ſequenti figura apparet.) a.o. cumcũ a.e. orietur productum o.e. fractorum ſuperficialium quinquagintaquinquequinquagintaquinq;, quorum integer ſuperficialis va-let duodecim, ſcilicet .u.i. vt cuique manifeſtum eſt, ex quo, quærenti media partitione, quoties duodecim in-grediatur quinquagintaquinque, citra errorem, quæſitum occurret.

THEOREMA VIII.

ID ipsvm accideret ſi fractiad vnam eandemq́ue denominationem reduceren-tur, qui poſtmodum ſimul multiplicarentur, productumq́ue partiremur per qua-dratum denominantis communis.

Exempli cauſa, ſint eadem quinque tertia, & vndecim quarta adinuicem multi-plicanda, quæ ſi reducantur ad vnam & eandem denominationem quinarius numerans vnius, multiplicabitur cum quaternario deno-minante alterius, & vndenarius ſecundi cum ternario de-nominante primi. ex quo vna ex parte eſſent viginti, ex altera 33. numerantia vnius communiscõmunis denominantis, quod eſſet productum ternarij in quaternarium, videlicet duo-decim, vt ex veteri regula patet. Iam ſi multiplicentur vi ginti cum trigintatribus, dabuntur 660. fracti, quorum in-teger erit quadratum duodenarij, nempe 144. quibus qui-dem 660. diuiſis per 144. proferentur quatuor integri & ſeptem duodecimi.

0017-02

Cuius rei gratia ſit in ſubſcripta figura linea .a.i. & ei æqualis .a.u. pro integro lineari, quæ .a.i. diuidatur in qua-tuor partes, & .a.u. in tres, & linea .a.e. ſit vndecim partiumpartiũ talium qualium .a.i. eſt quatuor, & .a.o. ſit quinque pro-ut .a.u. eſt trium. nunc multiplicato .a.o. & .a.i. orietur pro-ductum .o.i. viginti partium ſuperficialium. tum multipli- IO. BAPT. BENED. cato .a.e. per .a.u. dabitur productum .u.e. trigintatriumtrigintatriũ partium. ad hæc quadratum .u.i. conſtabit ex duode-cim partibus eiuſdem rationis cum reliquis duobus productis, quod quadratum .u.i. vnitas eſt ſuperficia-lis, & communis denominans duorum productorum. quod ſi in præſentiarum cogitabimus lineam .c.d. tri-gintatrium partium æqualium, et .c.t. duodecim ſimi-lium, et .c.f. viginti .c.n. duodecim, multiplicato .c.d. cum .c.f. dabitur ſuperficies .f.d. 660. fractorum ſuperficialium, quorum vnitas integra ſuperficialis erit quadratum .n.t. 144. partium cuiuſmodi .f.d. partes habet .660. diuiſo itaque .f.d. per .n.t. pro-poſitum conſequetur. eo quòd eadem proportio erit producti .f.d. ad .n.t. quæ producti eius quòd fit ex .a.e. in .a.o. ad .u.i. nam proportio .c.d. ad .c.t. ea-dem eſt quæ .a.e. ad .a.i. & c.f. ad .c.n. vt .a.o. ad .a.u. ex prima ſexti vel 18. ſeptimi, ſed vt .f.d. ad id quodꝙ fit ex .f.c. in .c.t. eſt vt .c.d. ad .c.t. & vt eius quodꝙ fit ex f.c. in .c.t. ad .n.t. eſt vt .f.c. ad .c.n. ex dictis pro-poſitionibus quare ex æqua proportionalitate, eodem modo diſcurrendo in figura .o.a.e. ita ſe habebit .f.d. ad .n.t. vt .o.e. ad .u.i. Porrò ex ijs, quæ hactenus de fractorum multiplicatione conſiderata fuerunt, apertè ratio deprehenditur, cur productum, ſingulis producen tibus ſemper minus ſit, cum producta ſint ſuperficialia producentia verò ſemper linearia, omiſſis productis corporeis, quæ omnia ad ſuperficialia reducuntur.

0018-01

0018-02

THEOREMA IX.

IN Ipsa fractorum diuiſione, animaduertendum eſt, denominantes numeros ſemper æquales inuicem eſſe debere, vnius ſcilicet ſpeciei, quòd ſi æquales non fuerint, neceſſe eſt via multiplicationis ipſorum denominantium adinuicem effice-re æquales vt ſint, ex quo productum oritur eiuſmodi, vt aptum ſit habere partes fractorum, quæ deſiderabantur.

Exempli gratia, ſi proponerentur diuidenda ſeptem octaua per tria quarta præ-cipit antiquorum regula, vt ad vnam tantum denominationem reducantur. quare multiplicant denominantes inuicem. ex quo productum in materia propoſita ori-tur triginta duarum partium commune denominans, cuius duo numerantes ſunt vi-gintiquatuor & vigintiocto, producti ex multiplicatione vnius numerantis in deno minantem alterius, ex quo dantur vigintiquatuor tamquam tria quarta trigintaduo rum, & vigintiocto tanquam ſeptem octaua particularum vniformium, prout ope primæ ſexti aut decimæoctauæ ſeptimi in ſubſcripta figura cognoſci poteſt.

THEOR. ARITH.

Sit itaque linea .a.i. diuifa in partes octo, & ei æqualis in longitudine .a.u. in qua-tuor, productum verò vnius in alteram ſit .u.i. trigintaduarum particularum fuperficialium fimilium & æqualiumæqualiũ ad-inuicem. fit deinde .a.e. ſeptem partiumpartiũ lineæ .a.i. & .a.o. trium partium .a.u. tunc productum .a.e. in .a.u. erit .u.e. particularum ſuperficialium vigintiocto & productum .a.o. in .a.i. erit .o.i. par ticularum ſuperficialiumſuperficialiũ vigintiquatuor eiuſdem naturæ cum partibus triginta-duabus totius denominantis communis. vnde diuifo numerante vigintiocto per-numerantem vigintiquatuor, dabitur vnum cum fexta parte illius vnius.

0019-01

THEOREMA X.

PArtiri ſeu diuidere vno numero alium numerum, eſt etiam quodammodo eiuſmodi partem numeri diuifibilis inuenire refpectu totius numeri diuifibilis, cuiuſmodi eſt vnitas in diuidente refpectu totius diuidentis, partem inquam numeri diuiſibilis ſic ſe habentem ad totum numerum diuiſibilem ſicut vnitas ad totum di-uidentem, quod ſimiliter ex regula de tribus præſtamus dicentes, ſi tantus numerus diuidens dat vnitatemvnitatẽ, quid dabit numerus diuifibilis, quemadmodum ex .15. ſexti ſeu .20. ſeptimi licet ſpeculari, Idcircò quotieſcunque minorem numerum per maiorem diuidimus, ſemper qui prouenit fractus eſt.

Exempli gratia, ſi cogitaremus lineam .a.e. diuiſam in octo partes æquales, qua rum vna ſcilicet vnitas effet .a.i. & cupere-mus eam diuidere in nouem partes, ac ſcire quan a ſit nona illius pars; manifeſtum eſſet, nonam partem ipſius .a.e. minorem futuram ipſa .a.i. cum .a.i. diminui debeat à ſua inte-gritate eadem proportione, qua .a.e. minor reperitur vna linea nouem partium æqualium fingularum .a.i.

0019-02

Quod vt dilucidè cuiuis innoteſcat, hoc etiam modo licebit videre ſitlinea .n.c. no-nupla ad .a.i. & parallela ad .a.e. dubium non eſt quin .n.c. maior futura ſit ipſa .a.e. iam ſi earum extrema congiungantur medijs duabus lineis .n.a. et .c.e. quæ ſimul concurrant in puncto .o. (quod eſt probatu facillimum) da-buntur certe duo trianguli fimiles .a.o.e. et .n.o.c. Sit deinde .n.t. vna è partibus ipſius .n.c. quæ .n.t. æqualis erit .a.i. ex præſuppoſito. ducatur deinde .o.t. quę interſecet .a.e. in puncto .x. dico .a.x. tanto minorem futuram .a.i. quanto .a.e. minor eſt .n.c. neque enim dubium eſſe poteſt quin proportiones .n.t. ad .a.x. et . IO. BAPT. BENED. n.c. ad .a.e. ſint æquales inuicem quandoqui- dem vnaquæque earum ex triangulorum ſimi litudine æqualis eſt proportioni .o.n. ad .o.a. itaque .n.t. hoc eſt .a.i. tanto maior erit .a.x. quanto .n.c. maior eſt .a.e. vnde ficut .a.e. con-ſtat octo nonis ipſius .n.c. ita pars .a.x. ipſius .a.e. octo nonis conſtabit ipſius .a.i.

0020-01

Hinc patet ratio cur partituri numerum mino rem per maiorem collocent minorem fupra virgulam & maiorem infra & zerum ad læuamlæuã.

Sciendum eſt præterea diuidere numerum per numerum: eſſe inuenire alterumalterũ latus à quo producitur, ſuppoſito ſemper quòd numerus diuifibilis ſuperſicialis ſit, & rectangulus.

Exempli gratia, ſi proponantur triginta diuidenda per quinarium, nihil aliud erit hæc diuiſio, quam inuentio alterius numeri, qui multiplicatus per quinarium produ-cat triginta ſuperficies rectangulas, huiuſmodi verò eſt ſenarius, cuius ſingulæ vnita-tes ſuperficiales erunt.

Cuius rei gratia ſit ſubſcriptum rectangulum .a.e. triginta vnitatum ſuperſicialiumſuperſicialiũ, cuius latus .e.n. ſit quinque vnitatum. hinc latus .a.n. erit ſex vnitatum; ita diuiden-tes rectangulum .e.a. nihil a iud faciemus, quam vt inue- nia mus quantum valeat latus .a.n. quod erit ſex vnitatum. Sin verò diuiſerimus per latus .a.n. quæremus latus .e.n. quinque vnitatum. ex quo, proportio totius numeri diuifi-bilis ad numerum qui oritur, erit ſicut diuidentis ad vnita-tem, ex prima ſexti, aut .18. vel .19. ſeptimi, & permutatim ita ſe habebit diuiſibile ad diuidentem, ſicut numerus qui oritur ad vnitatem.

0020-02

Partiri igitur nihil aliud eſt, quam inuenire latus rectanguli, quod productum in diuidente, numerum diuiſibilem compl at, ex quo numerus diuiſibilis ſuperficialis eſt, diuidens autem, & qui oritur, numeri lineares & latera producentia huiuſcemodi numerum diuiſibilem. nam multiplicare & diuidere opponuntur inuicem, cum au-tem ex multiplicatione laterum ſiue linearum generatur ſuperficies, ex diuiſione po-ſtea ipſius ſuperficiei inuenitur alterum latus. quare mirum non eſt, ſi proueniens ex vna diuiſione (via fractorum) ſit ſemper maius numero diuiſibili.

Exempli gratia, diuidendo dimidium per tertiam partem, reſultat vnus integer nu merus cum dimidio pro numero qui oritur. Sit itaque dimidium ſuperſiciale diuiſi-bile .b.c. cuius totum ſit .b.p. quadratum. tertium verò lineare diuidens, b.n. cuius to-tum lineare ſit .b.d. quærendum nobis eſt latus .b.s. quod cum latere .b.n. producat re ctangulum .n.s. æquale dimidio ſuperſiciali propoſito .b.c. quod ſi ſiat, ex .15. ſexti, aut .20. ſeptimi. erit eadem proportio .b.n. ad .b.q. quæ eſt .q.c. ad .b.s. dicemus itaque ſi .n.b. dat .b.q. quid dabit .q.c? certè .b.s. ſed .n.b. eſt tertium lineare et .b.q. lineare in- tegrumin-tegrũ, & b.s. proueniens lineare. & quia .b.c. dimidium ſuperficiale, producitur à .q.c. dimidio lineari in .q.b. integro lineari. quare cum .n.s. ſit ęqualis .b.c. & productum ex .b.n. minori .q.c. neceſſe eſt, vt producatur in .b.s. maiore .q.b. quod .q.b. maius eſt .q.c. quod quidem .q.c. ita appellatur ſicut .b.c. quare mirum non eſt ſi proueniens per fra-ctos numeros ex diuiſione, maior ſit numero diuiſibili.

THEOR. ARITH.

Hinc manifeſte patet quamlibet diuiſionemdiuiſionẽ aut partitionem oriri ex regula de tri-bus, quandoquidem ſinguli diuidentes æquipollent vni integro, & loco illius ſu-muntur. Perinde enim eſt diuidere centum per viginti, ac regulamregulã obſeruare de tri-bus dicentesdicẽtes, ſi viginti æquipollent vni, quibus ęquiualebuntęquiualebũt centumcẽtum? Hoc autem ex ſub ſequenti figura facile deprehendetur, in qua linea .a.b. ſignificat viginti, et .a.o. vni- tatemvni-tatẽ linearemlinearẽ, et .a.c. vnitates lineares centumcentũ: o.c. verò centum vnitates ſuperficiales, et .a.d. quinquequinq; vnitates lineares, et .d.b. centum vnitates ſuperficiales, ex quo manife-ftè deprehenditur quòd quemadmodum multiplicare, nihil aliud eſt, quam inueni re productumproductũ ex duobus lateribus propoſitis, it a partiri nihil aliud eſt, quam da-to vno latere inuenire aliud latus producti propoſiti.

0021-01

0021-02

Nam quotieſcunquequotieſcunq; ratiocinantesratiocinãtes dicimus tantundem numeri, immediate produci mus ſuperficiem, mediantemediãte vnitate in huiuſmodi numero, qui numerus antequamantequã pro-ducatur in vnitatem, mente concipiendus eſt tanqua m linearis, tanquam linea in-quam diuiſa in totidem particulas lineares, ſingulas continuas & æquales vnitati propoſitæ. CumCũ verò productus fuerit numerus in vnitate ſuperficialis, erit ac ſi tot eſ-ſent vnitates quadratæ, quod ſi ita non eſſet, nulla mentio facienda eſſet quo-rumuis fractorumfractorũ. Ex eademeadẽ regula de tribus reduci poteſtad praxim tertiumtertiũ theorema.

Quare cupientes ſcire quæ ſint illæ partes, quæ ſunt tres quartę, ipſarum quin-que ſextarum, dicemus ſi quatuor dant tria, quid dabunt quinquequinq; ſextæ? dabunt .15. vigeſimas quartas, quæ quindecim ſunt tres quartæ ipſius .20. viginti autemautẽ quinquequinq; ſex tæ vigintiquatuor, quandoquidem nos numerum quęrimus, cui ita proportionentur quinquequinq; ſextæ alterius numeri, ſicut quatuor ad tria, vnde ſic ſe habent .20. ad .15. ſi-cut .4. ad .3. ipſe autem .20. quinquequinq; ſextę partes ſunt vigintiquatuor, vt per ſe notumnotũ eſt.

Ex eadem regula de tribus, huiuſmodi quęſito reſponderi poteſt, ſi conſtituamus prædictas quinquequinq; ſextas eſſe numerum, cuius tres quartæ quęrantur, dicentes, ſi vnus integer dat tres quartas, quid dabunt quinquequinq; ſextæ? quare ſequentes regulam de tribus, dabuntur quindecim vigeſimæ quartæ. Valet eadem regula de tribus; vt quis ſcire poſſit, quæ pars aut partes numeri propoſiti ſit aliquis numerus.

Exempli gratia, ſcire cupienti, quæ pars aut partes ipſius vigintiquatuor ſint ſex-decim, conſtituentur .24. tanquam vnum totum, cuius pars aut partes ſint ſexdecim, dicemus igitur ſi .24. dant ſexdecim, quid dabit vnum? ſexdecim videlicet vigeſi-masquartas, quæ cum ad primos numeros reductæ fuerint, erunt duæ tertiæ. Eadem ratione qui ſcire uellet, quæ partes aut pars eſſent tres quartæ, octo no-narum, diceret, ſi octo nonæ danttres quartas, quid dabit vnum? prouenient .27. trigeſimęſecundæ.

Subſeruit pariter ad ſciendumſciendũ naturamnaturã partiumpartiũ numeri propoſiti. Exempli cauſa, ſi quis quærat, cuius numeri, duodecim ſint duæ tertiæ partes. Dicet ſi duo dant tria, quid IO. BAPT. BENED. dabunt duodecim? nempe dabunt decemocto, numerum quæſitum ſcilicet, Tunc autem nil aliud pręſtamus quam quòd quærimus numerum ad quem ita ſe habeant duodecim, ſicut duo ad tria. Ita etiam ſi quis quærat, cuius numeri duo tertia ſint tres quintę, dicet, ſi tria dant quinquequinq;, quid dabunt duo tertia? nempe da-bunt integrum cum fracto nono. Hoc erit itaqueitaq; quęrere numerum ad quem ſic ſe habeant duo tertia ſicut tria ad quinquequinq;, quod manifeſtum eſt per ſe.

Eadem ratione qui ſcire vellet, cuius numeri duæ ſeptimæ, eſſent octo integra-rum cum duabus quintis, diceret, ſi duo dant ſeptem quid dabunt octo integra cum duabus quintis? nempe dabunt .29. integra cum duabus quintis numerum quæſi-tum. Sic etiam qui transferre uellet fractum numerum in fractum, id perficeret ex regula de tribus.

Exempli gratia ſi proponerentur vnde cim tertiædecimæ vnius totius, toto diui-ſo in .13. partes, deſideraremusquedeſideraremusq́; ſcire, quot partes totius eſsenteſsẽt vndecim tertiaedeci- mætertiędeci-mæ, toto in .4. partes diuiſo, diceremus ſi .13. dant .11. quid dabunt quatuor? nem pe dabuntdabũt tres quartas cumcũ quinquequinq; tertijsdecimis unius quartæ, hoc verò nihil aliud eſt quam querere numerum, ad quem ſic ſe habeat totum in 4. partes diuiſum, ſicut idem totum diuiſum in tredecim ſe habet ad undecim tertiasdecimas, Porrò ad alia etiam multa hæc regula accommodata eſt.

Hæc enim nonnõ ſine propoſito dicta ſunt, ſed ut quiſquequiſq; videat cauſam ſimilium ope-rationum, quæ à practicis circa fractos numeros ſcriptæ ſunt, omnem à diuina illa regula de tribus originem trahere ut etiam in ſequentibus videbimus.

THEOREMA XI.

CVr productum ex eo quod oritur in diuidente, ſemper æquale eſt numero diuiſibili ſi queras ita accipe.

Sit numerus diuiſibilis .b. quod oritur ſit .c. diuidens .d. & vnitas diuidentis .t. cum igitur, vt in præcedenti theoremate dictum fuit, eadem ſit proportio .b. ad .c. quæ eſt .d. ad .t. manifeſte deprehenditur ex .20. ſepti mi, productum ex .b. in .t. æquale eſſe pro-ducto .c. in d.

0022-01

THEOREMA XII.

ID ipſum alia ratione contemplari licet.

Numerus diuiſibilis ſignificetur per lineam .n.e. diuidens verò per lineam .a.e. quod oritur linea .u.e. vnitas diuidentis .o.e. quamquã cogitamus eſſe vnitatem linearem; ad hæc productum ex .u.e. in .a.e. ſit ſuperficies .u.a. Dico ſuperficiem .u.a. componi ex tot vnitatibus ſuperficialibus quot linearibus conſtat linea .n.e. nam ex ijs quæ diuidendi ratione notauimus, conſtituiturcõſtituitur eandem proportionem eſſe .n.e. ad .u.e. quę eſt .a.e. ad .o.e. At ex prima ſexti aut 18. ſeptimi ſic ſe habet totale productumproductũ .u.a. ad partiale .u.o. ſicut .a.e. ad .o.e. quare ſic ſe habebit .u.a. ad .u.o. ſicut .n.e. ad .u.e. ſed .u.e. et .u.o. numero non differunt, cum ſint vnius & eiuſdem ſpeciei, (ta-met ſi numerus .u.o. ſit ſuperficialis et .u.e. linearis). ItaqueItaq; ex nona quinti numerus .u.a. æqualis erit numero .n.e.

0022-02

THEOREM. ARITH.

THEOREMA. XIII.

CVr diuidentibus numerum diuiſibilem per proueniens, oritur numerus diui-dens?

Sit ſubſcriptus rectangulus .o.e. numerus diuiſi bilis, qui producitur, tam ex .a.o. in .a.e. quám ex .a.e. in .a.o. quare ſi .a.o. diuidens fuerit .a.e. proue-niens erit, ſi veró .a.e. diuidens extiterit, a.o. pro-ueniens erit futurum.

0023-01

THEOREMA. XIIII.

HOcipſum, alia quoquequoq; uia licebit ſpeculari.

Sit linea .a. denotansdenotãs numerum diuiſibilem, et .o. primi prouenientis linea .e. pri mi diuidentis .u. ſecundi prouenientis ideſt cum .o. pro diuidente ſumetur. Iam ex indicata definitione diuiſionis nono theoremate huius libri, dabitur proportio .a. ad .o. prout datur .e. ad vnitatem ſignificatam li-nea .i. & permutatim .a. ad .e. ſicut .o. ad .i. ſed .a. ad .u. ſic ſe habet prout .o. ad .i. ex eadem definitio-ne diuiſionis, itaqueitaq; ſic ſe habebit .a. ad .u. ſicut .a. ad .e. vnde .u. æqualis erit .e. ex .9. quinti.

0023-02

THEOREMA. XV.

VNde prouenit, vt qui velit cognoſcere cuius numeri quatuor quintæ par-tes, ſint duæ tertię, aut quid ſimile, conſultiſſimecõſultiſſime faciat, ſi ad unam eandemqueeandemq; denominationem reduxerit.

Prout in propoſito exemplo, cumcũ denominansdenominãs communiscõmunis ſit quindecim, cuius duæ ter tiæ ſunt decemdecẽ, & quatuor quintæ duodecim, communiscõmunis autemautẽ denominans .15. multipli candus ſit per quatuor quintas, ſcilicet duodecim, & productum diuidendum per duas tertias, hoc eſt decem, ex quo oriantur decemocto quęſitus numerus?

Quod ad reductionemreductionẽ numeratorumnumeratorũ ad vnam & eandem denominationem attinet, ea de cauſa fit quo uti poſſimus regula de tribus, quæ tribus tantummodo notis ter-minis indiget, quo quartus à prędictis dependens, inueniri poſſit, quandoquidem bini illi reſpectus, tribus terminis comprehendi poſsuntpoſsũt. At quod ad multiplicatio-nem ſpectat denominantis communiscõmunis cumcũ numerante denominantis in cogniti & diui-ſionem producti per numerantem cognitumcognitũ illę nihil aliud ſunt, quam quartumquartũ terminumterminũ inuenire, ita proportionatum tertio, vt ſecundus primo.

Excmpli gratia, ſit .a. denotansdenotãs nume-rantem denominantis cogniti, qui ſigni ficetur linea .o. et .e. ſit denominantis in-cogniti numerans, denotati linea .u. imò verò & cogniti .o. nempe quatuor quintæ, Iam ſi .o. cum .e. multiplicemus, & productum per .a. diuidemus dabitur .u. ſic ſe habens ad .e. ſicut .o. ad .a. ex .20. ſeptimi.

0023-03

IO. BAPT. BENED.

THEOREMA XVI.

INuenire autem cupienti cuius numeri, duæ tertiæ, ſint quatuor quintę partes, mul­tiplicandę eſſent duæ tertiæ per denominantem communem, & productum diui-dendum per quatuor quintas ipſius de-nominantis. Ac ſi quis diceret ſi .e. dat . o. quid dabit .a? nempe dabit .u. nam in propoſito exemplo, terminus .a. loco .e. duos ſortietur denominantes, cognitum videlicet .o. et .u. incognitum quod po-ſtea cognitum oritur ex regula de tribus, vt dictum eſt.

0024-01

THEOREMA XVII.

QVA ratione cognoſci poterit proportionem quantitatis cenſicæ cenſicæ ad ſimilem quantitatem quadruplam eſſe ad eam, quæ eſt ſuarum radicum; pro-portionem autemautẽ primarum relatarum eſſe quintuplam, atqueatq; ita deinceps?

Cuiusrei gratia, ſciendusſciẽdus eſt modus productionisꝓductionis harumharũ dignitatumdignitatũ qui oritur ex produ-ctione primæ radicis in ſeipſam, prout qui cubumcubũ requirit, ducat radicé in ſuo quadra-to, & orietur cubus, hæc poſtea ducta in cubum, quantitatemquantitatẽ cenſicam cenſicamcenſicã, et in hanc, prædictam radicem, dabit quantitatem primam relatam. Quod vbi ſciueri-mus, meminiſſe oportet Euclidem decimaoctaua ſexti aut .11. octaui docere, pro-portionem quadrati ad quadratumquadratũ, duplam eſſe proportioni ſuarum radicum, & .36. vndecimi aut .11. octaui, cubi ad cubumcubũ triplam eſſe, ego verò nunc aſſero, cenſici cen ſici ad radicum proportionem quadruplam eſſe, primi verò relati ad primum re-latum quintuplam atqueatq; ita gradatim.

Cuius ſpeculationis gratia, detur linea .d. quæ cubum maiorem ſignificet. et .b. minorem .c. verò ſit radixipſius .d. et .e. ipſius .b. ita ordinate adinuicem, vt in ſub-ſcripta figura cernitur. Iam .c. cum .d. producatur proueniatqueproueniatq́; .q. cenſicum cenſi-cum, tum producatur .e. cum .b. et dabitur .p. alterum cenſicum cenſicum. Dico igitur proportionem .q. ad .p. quadruplam eſſe proportioni .c. ad .e. hac de cauſa quòd proportio .q. ad .p. compo-natur ex proportione .d. ad .b. et .c. ad .e. prout facile ex .24. ſexti, aut quinta octaui depręhenditur. Quare cumcũ proportio .d. ad .b. proportioni .c. ad .e. tripla ſit, patet pro-portionem .q. ad .p. quadruplam eſſe pro-portioni .c. ad .e. Idem de cæteris dignitati bus dico, ſumptis ſemper .d et .b. pro duo-bus cenſibus cenſuum, aut duobus primis relatis, aut alio quouis axiomate.

0024-02

THEOREMA. XVIII.

CVR diuidentibus nobis dignitatem, per dignitatem, radix prouenientis: pro ueniens ſit diuiſionis vnius radicis per alteram?

Sint exempli gratia duę lineæ .b.q. et .f.g. quæ ſignificent duas radices cuiuſuis dignitatis; demusquedemusq́; eſſe radices duorum quadratorum, quadratumquequadratumq́; ipſius b.q. per quadratum ipſius .f.g. diuidatur; quadrataq́ue radix prouenientis ſit .d.q. vnitas verò linearis ſit .i.g. Dico ipſam .d.q. eſſe proueniens ex diuiſione .b.q. per .f.g. Patet enim ex definitione diuiſionis nono theoremate tradita quadra- THEOR. ARITH. tum ipſius .d.q. talem eſſe partem quadrati ipſius .b.q. qualis quadratum ipſius .g.i. eſt quadrati ipſius .f.g. Scimus pręterea ex .19. ſexti, aut vndecima octaui, propor-tioné quadrati ipſius .b.q. ad quadratumquadratũ ipſius .d.q. duplam eſſe proportioni .b.q. ad .d.q. ſuarum radicum (cuborum enim tripla eſſet & cenſuum cenſuum, quadrupla, atqueatq; ita deinceps ex præcedenti theoremate) Id ipſum dico de dignitatibus ipſius .f.g. et .i.g. reſpectu radicum .f.g. et .i.g. Vnde cum proportio dignitatis ipſius .b.q. ad il-lam .d.q. ęqualis ſit proportioni dignitatis ipſius .f.g. ad illam .g.i. ex communi ſcien-tia apertè cognoſcemus ſimplices propor-tiones eſſe interſe æquales, nempe eam quę eſt .b.q. ad .d.q. æqualem eſſe ei, quæ eſt .f.g. ad .i.g. itaqueitaq; ſequitur ex definitione diuiſionis .d.q. eſſe proueniens ex diuiſione .b.q. per .f.g.

0025-01

THEOREMA XVIIII.

CVR productum ex duabus radicibus quadratis, eſt quadrata radix, producti ſuorum quadratorum ſimul?

In cuius rei gratiam, ſint duo quadrata .d.a. et n.o. coniuncta ſimul, prout in ſub-ſcripta figura apparet, ita tamen vtangulus .a.n.u. ſitre ctus, quare ex quartadecima primi, duo latera .n.c. et . n.a. directe coniungenturconiũgentur adinuicem, prout etiam reli-qua duo latera .n.u. et .n.d. Cogitato deinde .a.u. pro ducto ipſius .a.n. in .n.u. duarum videlicet radicum quadratarum ſimul, dabitur ex prima ſexti, aut de-cimaottaua ſeptimi, productum .a.u. medium propor tionale inter quadratum .a.d. et .u.c. quod ſi cogi-temus has tres ſuperficies, tres numeros eſſe, pate-bit ex vigeſimaprima ſeptimi productum .a.u. in ſe-ipſum, quadratum ſcilicet .a.u. æquale eſſe producto .a.d. in .u.c. ex quo propoſiti euidentia conſequetur.

0025-02

THEOREMA XX.

QVA ratione id ipſum in cubis cognoſci poterit. Sit cubus .l.b. & cubus .o.p. quorum productum ſit .u.g. quod aſſero eſle cubum, quamuis Eucli. idem probet in .4. noni. cuius radicem demonſtra-bo eſſe numeri æqualis numero .m.q. qui .m.q. productum eſt ipſius .m.e. in .e.q. radicum propoſitorum cuborum. Pa-tet enim ex præcedenti theoremate .m. IO. BAPT. BENED. q. radicem eſſe quadratam producti .l.e. in .e.p. quod productumproductũ ſit quadratuni corporeum .c.g. cogitemus pariter duo quadrata .l.e. et .e.p. eſſe pariter corpo-rea, tantę profunditatis, quantam, vnitas linearis radicum .m.e. et .e.q. requirit. Hæc duo corpora producentur à ſuperficie in vnitatem, vocenturquevocenturq́; .l.x. et .x.p. quo facto, cogitemus corpus .a.g. tamquam productum cubi .l.b. in quadratum .e.p. Vn-de ex decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eadem erit proportio .a.g. ad .c.g. quæ eſt .l.b. ad .l.x. corporeum, ſed ex .25. vndecimi & prima ſexti, ita ſe habet .a.K. ad .K.c. vnitatem linearé ſicut .a.g. ad .c.g. & ex eiſdemeiſdẽ ita ſe habebit .b.e. ad .e.x. vnita-tem linearem, ſicut .l.b. ad quadratum .l.x. corporeum. Itaque ſic ſe habebit .b.e. ad vnitatem linearem .e.x. videlicet .K.c. ſicut .a.K. ad ipſam .K.c. Vnde ex nona quinti .a.K. æqualis erit .e.b. & conſequenter æqualis .m.e. Iam verò ſit .u.g. productum .l.b. cubi, in cubum .o.p. vt ſupra dictum eſt, Hinc patebit ex quauis duarum propoſitio-num, decimaoctaua, aut decimanona ſeptimi, eandem futuram proportionem .u.g. ad .a.g. quæ eſt .o.p. ad .x.p. quadratum corporeum. Quare ex poſtremis, dictis ratio-nibus, eadem erit proportio .u.K. ad .a.K. quæ eſt .o.e. ad vnitatem linearem .e.x. at ex dictis decimaoctaua & decimanona ſeptimi, ita ſe habet numerusnumerꝰ .m.q. ad numerumnumerũ ſuperficialemſuperficialẽ .m.e. qui produciturꝓducitur à lineari .m.e. in vnitaté linearemlinearẽ ipſius .e.q. ſicut nume rus .q.e. ad ſuam vnitaté, ſed cumcũ numerus .a.K. æqualis ſit numero .m.e. vt probatumprobatũ eſt erit ergo ex vndecima & nona quinti, numerus .u.K. æqualis numero .m.q. At .f.g. pariter æqualis eſt numero .m.q. ex præcedenti theoremate, vnde .K.u. pariter æqua lis erit .f.g. Itaque ſequitur .u.g. cubum eſſe, & f.g. radicem ipſius, æqualem numero .m.q. quod quærebatur.

0025-03

0025-04

0026-01

0026-02

THEOREMA XXI.

VT autem in uniuerſum ſciri poſſit totum infinituminfinitũ dignitatum, hoc eſt radicem producti duarum dignitatum ſimilium, productum eſſe duarum radicum ea-rundem dignitatum.

Ponamus, exempli gratia, duas radices quadratas .q.p. et .g.K. incognitas, quas qui velit adinuicem multiplicare, cogatur earum quadrata cognita .n. cum .i. multi-plicare, quorum productum ſit quadratum .m. radix cuius ſit .b.d. quam dico æqualé THEOREM. ARIT. eſſe productoꝓducto .q.p. in .g.k. quodqđ autemautẽ ſit .o. Patet enim proportionemproportionẽ .o. ad .q.p. eandemeandẽ eſſe cum proportione .g.k. ad ſuam vnitatem linearem, ex decimaoctaua, aut decima-nona ſeptimi, hæc vero vnitas linearis ſit .t. cuius ſuperficialis ſit .u. vnitas ſcilicet to-ties in ſeipſam multiplicata quoties propoſita dignitas patitur, tametſi in præſen ti exemplo quadrata dignitas ſumatur. ItaqueItaq; ex eiſdem propoſitionibus decimaocta ua aut decimanona, ſic ſe habet .m. ad .n. ſicut .i. ad .u. Scimus pręterea proportionemproportionẽ .m. ad .n. (eo quod in propoſito exemplo ſint quadrata) duplam eſſe proportioni .b.d. ad .q.p. et ipſius .i. ad .u. pariter duplam proportioni .g.k. ad .t. iam autem dictum fuit ſic ſe habere .m. ad .n. ſicut .i. ad .u. ItaqueItaq; .b.d. ſic ſe habebit ad .q.p. ſicut .g.k. ad .t. quandoquidem ſic ſe habeattotum ad to- tumto-tũ, ſicut pars ad partempartẽ, dumdũ ſimiles ſint, proba tumtũ autemautẽ eſt ſuperius ita ſe habere .o. ad .q.p. ſicut .g.k. ad .t. itaqueitaq; .o. ſic ſe habebit ad .q.p. ſicut .b.d. ad .q.p. vnde .o. æqualis erit .b.d. Hocipſum cęteris dignitatibus conueniet, mutatis tantummodo proportionibus .m.n. ad proportionem .b.d: q.p. ſic propor-tionibus duarum dignitatum .i.u. ad pro-portionem ſuarum radicum .g.k.t.

0027-01

THEOREMA XXII.

DOcent veteres, quòd ſi quilibet numerus in duas partes inæquales diuiſus fuerit, totumquetotumq́ diuiſum per vnamvnã partium, & per eandem pars altera diuiſa fue-rit: differentia prouenientium ſemper vnitas erit. quodquidem veriſſimum eſt.

Detur enim .b.d. propoſitus numerus in duas partes inæquales diuiſus .b.c. et .c.d. & in primis totumtotũ .b.d. per .c.d. diuidatur, ex quo oriatur e.o. vnitas autem per.ꝑ .i.o. ſigni-ficetur, tum pars ipſa .b.c. perꝑ. eandemeãdem .c.d. diuidatur, ſitqueſitq́; proueniensproueniẽs .a. Sanè ex defini-tione diuiſionis, eadem erit proportio .b.d. ad .e.o. quæ eſt .c.d. ad .i.o. et ita .b.c. ad .a. ſicut .c.d. ad .i.o. Ex .19. autem quinti, ita ſe habet .b.c. ad .e.i. ſicut .b.d. ad .e.o. at .b.d. ad .e.o. ſic ſe habet ſicut .c.d. ad .i.o. hoc eſt ſicut .b.c. ad .a. Quare ex .11. quinti ſic ſe habebit .b.c. ad .e.i. ſicut .ad .a. ex quo ex .9. praedi­ ctiprędi­cti .a. æqualis erit .e.i. ſed .e.i. minor eſt .e.o. per .i.o. Quare ſequitur propoſitum verum eſ­ſe. Quod ipſum pauciſſimis verbis ſic definiri poteſt, ſi dixerimus, eiuſmodi diuidens .in par-te diuiſibili, quamquã in toto, ſemel minus ingredi, quandoquidem altera pars eſt, ex qua totum integrum perficitur.

0027-02

THEOREMA XXIII.

HOcipſum alia ratione contemplari po­ terimus.

0027-03

Significetur enim totalis numerus per .a.e. in duas partes diuiſus .a.u. et .u.e. totius autem diuidens ſit .u.e. & partis alterius .a.u. totius verò proueniensproueniẽs ſit .a.c. partis autemautẽ, ſit proueniensproueniẽs .a.n. tum differentia ſit .n.c. vni IO. BAPT. BENED. tas vero cui differentiamdifferentiã .n.c. æquari dico, ſit .a.i. Patet enim in primis, eandem propor tionem eſſe .a.e. ad .a.c. quæ eſt .u.e. ad .a.i. ex definitione diuiſionis, et eandem eſſe .a.u. ad .a.n. quæ eſt .u.e. ad .a.i. vnde ex .11. quinti ſic ſe habebit .a.e. ad .a.c. ſicut .a. u. ad .a.n. et ex .19. eiuſdem ſic ſe habe-bit .u.e. ad .n.c. ſicut .a.e. ad .a.c. ſed. ſic ſe habebat .u.e. ad .a.i. ItaqueItaq; ex prædicta .11. quinti, ſic ſe habebit .u.e. ad .n.c. ſicut ad .a.i. Quare ex .9. eiuſdem .n.c. æqualis erit .a.i. etidcirco .n.c. pariter vnitas erit.

0028-01

THEOREMA XXIIII.

CVr quibuslibet duobus numeris diuiſis adinuicem, multiplicatisquemultiplicatisq́ prouenien tibus ſimul, productum, ſemper eſt vnitas ſuperficialis? Nempe ex .20. ſeptimi, quoniam vnitas linearis ſemper media proportionalis eſt inter bina prouenientia. Quodita ſpecularilicet.

SignificenturSignificẽtur duo propoſiti numeri per .b.p. et .b.d. mutuo diuiſi, proueniens au-tem .b.p. per .b.d. diuiſum ſit .b.n. tum proueniens .b.d. diuiſum per .b.p. ſit .b.a. et .b.t. ſit vnitas .b.p. et .b.e. vnitas .b.d. ex quo .b.t. æqualis erit .b.e.

Iam ex definitio ne diuiſionis, dabitur eadem proportio .b.p. ad .b.n. quæ eſt .b.d. ad .b.e. et proportio .b.d. ad .b.a. quæ eſt .b.p. ad .b.t. Sed cum ſic ſe habeat .b.p. ad .b.n. ſicut .b.d. ad .b.e. permutando ſic ſe habebit .b.p. ad .b.d. ſicut .b.n. ad .b.e. hoc eſt ad .b.t. et cum ſic ſe habeat .b.d. ad .b.a. ſicut .b.p. ad .b.t: permutando ſic ſe habebit .b.d. ad .b.p. ſicut .b.a. ad .b.t. Quare euerſim ſic ſe habebit .b.p. ad . b.d. ſicut .b.t. ad .b.a. ſed .b.n. ad .b.t. ſic ſe habebat vt .b.p. ad .b.d. ItaqueItaq; ex .11. quintiſic ſe habebit .b.n. ad .b.t. ſicut .b. e. ad .b.a. Dictum autem eſt .b.e. et .b.t. idem omnino eſſe. Quare ex .20. ſeptimi pro-poſiti veritas innoteſcet.

0028-02

0028-03

THEOREMA XXV.

IDipſum & hac altera uia patebit.

Duo illi numeri per .o. et .u. ſignificentur mutuo diuiſi, proueniens autemautẽ .o. per .u. ſit .e. et proueniens .u. per .o. ſit .x. vnitas uerò per .i. ſignificetur, quas tamen quanti-tates ſubſcripto modo ad inuicem diſponi-to. ItaqueItaq; ex definitione diuiſionis, eadem erit proportio .o. ad .e. quę eſt .u. ad .i. et .o. ad .i. quę eſt .u. ad .x. Quare ex æqualitate proportionumproportionũ .c. ad .i. ſic ſe habebit ſicut .i. ad .x. erit enim .i. media proportionalis inter .e. et .x. ex .20. autemautẽ ſeptimi propoſitum concludetur. Huiuſmodi rei cauſa etiam eſt, quod proueniens diuiſionis vnius eſt numerator æqualis denominatori diuiſionis alterius.

0028-04

THEOREMA XXVI.

CVr duobus numeris mutuo diuiſis, sumptissũptis deinde prouenientibus ſimul et adinui cem, & per hanc ſummam, diuiſa ſumma quadratorum dictorum propoſitorumpropoſitorũ THEOREM. ARITH. numerorum, proueniat numerus æqualis numero producti duorum primorum nu-m erorum ſimul.

Sint exempli gratia propoſiti numeri .2. et .8. qui mutuo diuiſi in primis dent pro uenientia quatuor integra, tum quartam partem pro altero proueniente, hæc colle-cta dabunt ſummam quatuor integrorum et quartæ partis vnius, ſumma autem qua dratorum binarij & octonarij erit .68. qui quidem numerus per quatuor & quar tam partem vnius diuiſus dabit .16. pro proueniente, quæ .16. æqualia erunt pro ducto binarii in octonarium.

Cuius rei hæc erit ſpeculatio, ſint duæ lineæ .o.e. et .o.n. quæ duos numeros pro-poſitos ſignificent, inuicem ad angulum rectum .o. coniunctæ, quarum quadrata ſint .o.a. et .o.p. ipſorum productum ſit .n.e. tum .o.t. ſit proueniens ex diuiſione .o.e. per .o.n. Hęc ſingulatim conſideremus (namnã ſi in partibus ſimplicibus quod dicimus ac ciderit, id ipſum in compoſitis conſequenter eueniet) quamobrem ex definitione di uiſionis dabitur eadem proportio .o.e. ad .o.t. quæ eft .o.n. ad vnitatem, quæ ſit .o.x. Nunc cogitemus ſuperficiemſuperficiẽ rectangulamrectangulã .o.c. æqualemæqualẽ quadrato .o.a. tunc numerus .c.t. proueniens erit, ut patet, ex diuiſione numeri quadrati .o.a. per numerumnumerũ .o.t. eritqueeritq́ eademeadẽ proportio .c.t. ad .o.e. quæ eſt .o.e. ad .o.t. ex ſecunda parte quintæ decimæ ſexti, aut .20. ſeptimi. IamIã autemautẽ dictum eſt .o.e. ad .o.t. ſic ſe habere ſicut .o.n. ad .o.x. ItaqueItaq; ex .11. quinti ſic ſe habebit .c.t. ad .o.e. ſicut .o.n. ad .o.x. Sed ex prima ſexti, aut .18. vel .19. ſeptimi, ſic ſe habet productumꝓductum .n.e. ad .e.x. ſicut .o.n. ad .o.x. quare denuo ſic ſe ha-bebit numerus .c.t. ad numerum .o.e. ſicut nume-rus .n.e. ad numerum .x.e. Sed numerus .o.e. cum numero .x.e. ſpecie idem eſt, igitur ex .9. quinti nu merus .c.t. numero .n.e. æqualis erit.

0029-01

Id ipſum de quadrato ipſius .o.n. videlicet .p.o. dico. Nam ſi proueniens .o.n. diuiſo per .o.e. ideſt .o.i. proportionale reſpondens ad .o.t. cum .o.t. coniunctumconiunctũ fuerit, et per hanchãc ſummam diuiſa ſumma quadratorum .o.a. et .o.p. patet per ſe proueniens futurum eiuſdem numeri .c.t. ipſumqueipſumq́ .c.t. proue-niens ſemper ſuturum.

Quo autem lucidius res hæc innoteſcat. Cogi temus proueniens quadrati .o.p. diuiſi ab .o.i. re-ſpondentisqueſpondentisq; .o.t. eſſe .i.u. quod via prædicta inue-nitur æqualis eſſe numero .n.e. ex quo conſe-quenter æquale .c.t: cogitato deinde rectangu-lo .o.u. æquali .o.p. coniuncto .o.c:totum .t.u. æqua-le erit compoſito duorum quadratorum .o.a. et .o.p. cum in nullo numerus .c.t. mutetur, tam ex com-poſito .t.u. quamquã ex ſimplici .o.c. ex quo propoſiti ſe ſe ueritas profert.

THEOREMA XXVII.

PRoposvervnt veteres nobile quidem problema, ſed quod tamen citra al-gebraticam effectionem, aut neſcierunt, aut noluerunt diſſoluere, quod nihi-lominus facillimum eſt.

IO. BAPT. BENED.

Proponunt hi numerum in binas eiuſmodi partes diuidendum, vt ſumma qua-dratorum dictarum partium, alteri numero poſsibili propoſito æqualis ſit, poſſi-bili inquam, etenim ſi eiuſmodi numerus propoſitus, minor eſſet producto totius primi in ſuum dimidium, eſſet huiuſmodi factum impoſſibile. Quod nos exequi cupientes, ſumamus primum numerumnumerũ propoſitum, quem in ſe ipſum multiplice-mus. ab hoc quadrato deducamus ſecundum numerum propoſitum, tum quod re-manſerit duplicemus, quod duplum denuo iubeo ex eodem primo quadrato detra-hi, accepta poſtea radice quadrata reſidui & dempta ex priori numero propoſito, tunc dimidium reſidui vna pars erit ex duabus primi numeri quæſita.

Exempli gratia proponantur .20. diuidenda in duas eiuſmodi partes, vt ſumma quadratorum ipſarum partium æqualis ſit .272. qui numerus maior eſt .200. maior inquam dimidio quadrati .400. ipſorum .20. hic autem numerus .272. è quadra-to .400. deducatur, remanebuntremanebũt enim .128. quod duplicari iubeo, producenturproducẽtur ſiquidemſiquidẽ .256. quæ pariter deducta è quadrato totali, remanebunt .144. cuius radicem ſumi volo, quæ erit .12. & dempta ex .20. priori numero dato remanebit .8. cuius di-midium erit .4: pars vna ex quæſitis, quæ ex primo numero propoſito .20. detra-hetur, remanebitqueremanebitq́ .16. pro altera parte.

Cuius demonſtrationis cauſa, in primis cogitemus quadratum .a.c. cognitum nu-meri .a.b. primò propoſiti, qui cogitetur diuiſus in duo quadrata .d.e. et .e.b. duo- queduo-q́ ſupplementa .a.e. et .e.c. numerus autem ſummæ duorum quadratorum .d.e.b. pro ſecundo propoſito datur; ex quo, ſumma duorum ſupplementorum .a.e.c. conſequenter erit cognita, quę cum duplicata fuerit, & quatuor hæc ſupplementa cogitatione accommodata, prout in quadrato .f.g. apparet (quanuisquãuis idipſum proueniret ſi modo Eucl. octaua ſecundiſecũdi aptaretur) æquali quadrato .a.c. ita vt cogitatis quatuor ſupplementis numeri cogniti in quadrato .f.g. ex conſequen-ti cognoſcetur numerus quadrati partia lis .h.i. & vna etiam eius radix qua de-tracta ex numero .a.b. aut .f.n. (quod idem eſt) primo propoſiti, relinquetur numerus cognitus duplum .x.k.n. aut .t.b. pars vna totius .a.b. ex quo uerum erit hoc meum problema.

0030-01

THEOREMA XXVIII.

SI quis & aliam rationem perficiendæ huius rei quærat, hoc præſtet inuen-to numero huius ſupplementi, cum in præcedenti theoremate dictum fuerit, qua ratione manifeſtetur duplum ſupple-menti ipſius.

0030-02

Cogitemus in ſubſcripta figura lineam .a.b. tanquam primum numerum propoſi-tum, & productum .a.e. ſupplemento .a.e. primæ præcedentis figuræ æquale ſit, ac deinde ordine ab antiquis tradito procedatur, ad quadratum reducto dimidio .a.b. videlicet .b.c. quod erit .b.d. ex quo detrahatur deinde .a.e. quare remane- THEOREM. ARIT. bit quadratum .e.d. cognitum, cuius radix æqualis erit .c.t. qua coniuncta dimi-dio .c.a. ex quinta ſecundi Eucli. dabit quod propoſitum erat.

THEOREMA XXIX.

QVid cauſæ eſt, cur ſubtracto duplo producti duorum numerorum ad inui-cem multiplicatorummultiplicatorũ ex ſumma ſuorum quadratorum, ſemper quod ſuper eſt duorum numerorum quadratum differentiæ ſit?

Exempli gratia ſi proponerentur duo numeri .16. et .4. duplum producti eorum eſſet .128. quò detracto ex ſumma ſuorum quadratorum, nempè ex .272. rema-neret .144. cuius quadrati radix eſſet .12. tanquam differentia inter .4. et .16.

Id vtſciamus, duo numeri propoſiti, duabus lineis ſignificentur, maiore .q.g. et minore .g.p. directè coniunctis, ſuper quas, totale quadratum extruatur .a.p. in quo cogitetur diameter .a.p. et à puncto .g. ducatur parallela .g.n.c. et à pun-cto .n. parallela .n.s.r. ex quo duo producta dabunturdabũtur .q.n. et .n.u. ſingula æqualia pro-ducto .q.g. in g.p. et .a.n. et .n.p. duo quadrata dictorum numerorum propoſi-torum, quod ſatis ſuperqueſuperq́ , probatur quarta ſecundi Eucli. Cogitemus deinde .n.o. æqualem .n.p. et à puncto .o. ducatur .o.m.t. parallela .r.s. et .o.e. ad .n.c. quare ex allatis ab Eucli. octaua ſecundi, dabi-tur quantitas .m.n. æqualis .q.n. producto .q.g. in g.p. et quantitas .o.c. minor ipſo producto, ex quantitate quadrati .n.p. ex quo quantitas .m.n.e. vna cum quadrato .n.p. æqualis erit duplo produ-cti .q.g. in .g.p. ſed hæ duæ quantitates, ſunt par-tes duorum quadratorum dictorum, & quæ ſuper eſt .m.e. quadratum differentiæ vnius numeri pro-poſiti ab altero, prout in ſubſcripta figura licebit cui libet conſiderare. Itaque veritas hæc manifeſta erit.

0031-01

THEOREMA XXX.

CVr ij qui ex duobus numeris propoſitis maiorem per minorem diuidunt, ſi proueniens per maiorem numerum multiplicauerint, productum æquale erit prouenienti ex diuiſione quadrati maioris numeri per minorem?

Exempli gratia ſi proponantur duo numeri .20. et .4. ipſequeipſeq́ .20. per .4. diui-datur, dabit quinque, tum .400. quadrato .20. diuiſo per prioré .4. dabit .100. quod proueniens, producto ex .20. in .5. primo prouenienti adæquatur.

Cuius ſpeculationis cauſa, ſint duo numeri, qui lineis .x.u. et .x.s. maiore atqueatq; mi-nore ſignificétur, tum .u.x. numerus per .s.x. di-uidatur, ſitq́ue proueniens .x.n. poſtmodum qua- dratum .u.x. ſit .x.o. et productum ex .n.x. in .u.x. ſit .x.e. quod æquale eſſe dico prouenienti ex diuiſione quadrati .o.x. per .s.x. quod ſit .m. Patet enim ex definitione diuiſionis, talem futuram pro-portionem .u.x. ad .n.x. qualis eſt .s.x. ad vnitatem, & quadratum .o.x. ad rectangulum .e.x. ita ſe ha- I O. BAPT. BENED. biturum, ſicut .u.x. ad .n.x. ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, quare ex 11. quinti ita ſe habebit .o.x. ad .e.x. ſicut .s.x. ad vnitatem; ſed ſicut ſe habet .s.x. ad. vnitatem, ita ſe habet pariter .o.x. ad .m. vnde ex .11. prædicta ita ſe habebit .o.x. ad .m. ſicut idipſum .o.x. ad .e.x. itaq́ue ex .9. prædicti quinti .m. æqualis erit .o.x.

0031-02

THEOREMA XXXI.

CVR propoſito aliquo numero in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus per quamlibet ipſarum diuidatur, prouenientia tantumdem coniuncta quantum multiplicata efficiant.

Exempli gratia, ſit denarius prop oſitus numerus, per binarium & octonarium diuiſus, prouenientia erunt quinque & vnum cum quarta parte, quæ coniuncta crunt .6. cum quarta parte lineari, quæ ſi mul multiplicata, pariter erunt .6. cum quarta parte ſuperficiali.

Cuius ſpeculationis cauſa, totalis numerns, linea .q.p. ſignificetur, eius duæ partes, per .k. maiorem et .u. minorem, ipſa vnitas per .t: proueniens ex diuiſio-ne .q.p. per .k. ſit .q.i. proueniens autem ipſius .q.p. per .u. ſit .q.f. quare ex defini-tione diuiſionis ita ſe habebit .q.p. ad .q.i. ſicut .k. ad .t. et .q.p. ad .q.f. ſicut .u. ad .t. hoc eſt .q.f. ad .q.p. ſicut .t. ad .u. vnde ex æqualitate proportionumproportionũ ſic ſe habebit .q.f. ad .q.i. ſicut .k. ad .u. et conuerſim. Ad hæc in linea .q.p. vnitas, per lineam .q.o. ſigni-ficetur, quo facto, dicamus, ſi .q.p. ad .q.i. ſic ſe habet vt .k. ad .q.o. itaque permu-tando, ſic ſe habebit .q.p. ad .k. ſicut .q.i. ad .q.o. hoc eſt .k.u. ad .k. ſicut .i.q.f. ad .q.f. (nam .k.u. partes ſunt integrales totius .q.p. et .k.u. ad .k. eſt ſicut .i.q.f. ad .q.f. ex .18. quinti) Quare ita erit .i.q.f. ad .q.f. ſicut .q.i. ad vnitatem .q.o. ex .11. quinti Addatur deinde .q.i. ad .q.f. et .q.i. per .q.f. multiplicetur, cuius multiplicatio- nis productum, ſit .x.f. quod probabo æquale eſſe ſummæ .f.q. cum .q.i. Sece-tur enim linea .q.x. in puncto .s. ita. vt .q.s. æqualis ſit .q.o. ſigneturq́ue pro-ductum .s.f. quare eademeadẽ erit propor-tio quantitatis .x.f. ad .s.f. quæ eſt .q.x. ad .q.s. ex prima ſexti, aut .18. vel 19. ſeptimi, hoc eſt, ſicut .q.i. ad .q.o. et ex .11. quinti (vt dictum eſt) ſicut .i.q.f. ad .q.f. ſed numerus .s.f. fuperficia-lis tantus eſt, quantus linearis .q.f. quare ex .9. quinti tantus erit (ſu-perficialiter) numerus .x.f. quantus (lineariter). f.q.i. quod erat pro-poſitum.

0032-01

THEOREMA. XXXII.

CVR numero aliquo in duas partes inæquales diuiſo, ſi rurſus diuidatur per ſingulas partes, ſumma duorum prouenientium per binarium, ſemper ma-ior ſit ſumma prouenientium ex diuiſione vnius partis per alteram.

ExempliExẽpli gratia, ſi proponeretur numerus .24. qui in duas partes inæquales diuide­ THEOREM. ARIT. retur .20. ſcilicet et .4. certè .24. perſingulas partes diuiſo, daretur vnum proue-niens ſex integra, & alterum vnum & quinta pars, quorum ſumma eſſet ſeptem in-tegra cum quinta parte, tum altera parte per alteram diuiſa, daretur vnum proue-niens quinque integrorum & alterum vnius quinti tantum, quorum ſumma eſſet quinque integra, & vna quinta pars, minor prima reliquorum duorum prouenien-tium per binarium.

Cuius conſiderationis cauſa, propoſitus numerus linea .q.p. ſignificetur, eius duę partes lineis .q.x. et .x.p. tumtũ .q.f. ſit proueniens ex diuiſione totius .q.p. per .x.p. et .q.i. ſit proueniens ex diuiſione eiuſdem .q.p. per .q.x. adhæc .h.m. ſit proueniens, ex diuiſione .q.x. per x.p. et .h.k. proue-niensex diuiſione .p.x. per .q.x. patet igi- tur ex .22. theoremate huiuslibri proue-niés.h.m. minus eſſe proueniente .q.f. per vnitaté, & proueniens .h.k. minus proue-niente .q.i. per alteram vnitatem. Itaque .f.q.i. maior erit .m.h.k. per numerum binarium, quoderat propoſitum.

0033-01

THEOREMA. XXXIII.

QVilibet numerus, medius eſt proportionalis inter numerum ſui quadrati & vnitatem.

0033-02

Detur enim numerus propoſitus, qui linea .a.u. ſignificetur, cuiusqua-dratum ſit .u.n. vnitas linearis ſit .i.a. et ſuperficialis .o. patebit ex .18. ſexti aut 11. octaui proportionem .u.n. ad .o. futuram duplam proportioni .u.a. ad .i.a. ſed .i.a. et.o. eadem (ſpecie) res suntsũt, tanta ſcilicet .a.i. quanta .o. vni tas eſt, Itaque proportio numeri .u.n. ad .u.a. æqualis erit proportioni .u.a. ad .i.a. Quare numerus .u.a. inter nu-merum .u.n. & vnitatem, medius erit proportionalis.

0033-03

THEOREMA XXXIIII.

HOc ipſum quod diximus & alia ratione ſpeculari licebit.

Propoſitus numerus, nunc etiam per .a.u. ſignificetur, eius quadratum per .u.n. vnitas linearis per .a.i. productumqueproductumq́; .a.u. in .a.i. terminetur, ſitqueſitq́; .n.i. quare n.i. conſtabit numero íuperficiali æquali numero lineari .a.u. & ex prima fexti aut .18. vel .19. ſeptimi, eadem erit proportio .u.n. ad .i.n. quæ eſt .a.u. ad .a.i. ſed nu-merus .a.u. cum numero .n.i. idem ſpecie eſt. Itaque medius eſt proportiona-lis inter .u.n. & vnitatem.

IO. BAPT. BENED.

THEOREMA XXXV.

QVivis numerus per alterum multiplicatus, & diuiſus, medius eſt propor-tionalis inter productum multiplicationis, & proueniens diaiſionis.

Exempli gratia, ſi .20. multiplicenturmultiplicẽtur per quinque & inde per quinque diuidantur productum erit .100. proueniens .4. inter quos numeros .20. medius eſt propor-tionalis.

Hoc vt ſpeculemur, proponatur numerus multiplicandus & diuidendus, qui ſi-gnificetur linea .u.e. multiplicans autem & diuidens linea .a.u. multiplicationis productum ſit .e.a. proueniens ex diuiſione ſit .o.e. Nunc proueniens .e.o. per nu- merumnu-merũ .a.u. diuidentem multiplicetur, cuius multiplicationis productum ſit .e.i. quare, eadem erit proportio numeri .a.e. ad numerum .e.i. quæ eſt numeri .u.e. ad numerum .e.o. ex prima ſextiaut .18. vel 19. ſeptimi. Sed cum numerus .u.e. ex .11. theoremate præſentis libri, numero .e.i. æqualis ſit. verum eſſe, quod propoſi-tum fuit conſequetur.

0034-01

THEOREMA XXXVI.

CVR ij, qui propoſitum numerum ita multiplicare & diuidere cupiunt, vt pro ductum multiplicationis, tam ſit multiplex prouenienti ex diuiſione, quam quæritur, rectè ſumant aliquem numerum pro multiplicante & diuidente, qui ſit ra dix quadrata denominantis quęſitę multiplicitatis.

Exempli gratia, proponuntur .20. multiplicanda atque diuidenda, ita vt pro-ductum multiplicationis nonuplum ſit prouenienti ex diuiſione, nempè, vt pro-ueniens, nona pars ſit eiuſmodi producti, quare quadratam radicem ipſorum no-uem, ideſt denominantis ſumunt, tria ſcilicet, multiplicant igitur & diuidunt data .20. ex quo productum erit .60. proueniens autem .6. cum duabus tertijs. & propoſitum ſequitur.

Cuius ſpeculationis cauſa, ſignificetur numerus propoſitus linea .u.e. multipli-cans autem & diuidens linea .u.a. productum ſit .e.a. proueniens .e.o. quadratum verò .a.u. ſit .x.a. erit igitur proportio .a.e. ad .e.o. dupla proportioni .a.e. ad nume rum .u.e. ex præcedenti theoremate: Adhæc, cogitemus in linea .u.a. vnitatem .u.i. terminenturqueterminenturq́; duo producta .e.i. et .x.i. quare eadem erit proportio .a.e. ad .e.i. quæ eſt .a.e. ad .u.e. numerus enim .e.i. (quamuis ſuperficialis) idem eſt cum nume-ro lineari .u.e. ſed .a.e. ad .e.i. ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .u.i. ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, (quod ipſum dico de .a.x. ad .x.i.) quare proportio .a.x. ad .x.i. hoc eſt .x.u. ęqualis erit proportioniꝓportioni .a.e. ad .u.e. at trigeſimotertio & trigeſimoquarto theo remate probatum eſt proportionem numeri .a.x. ad vnitatem, duplam eſſe propor-tioni eiuſdem numeri .a.x. ad .u.x. ſequitur igitur cum dimidia ſint æqualia, tota etiam æqualia eſſe: hoc eſt proportionem numeri . a.e. ad numerum .e.o. æqualem eſſe propor tioni numeri .a.x. ad vnitatem. Itaque rectè ſumitur numerus .a.u. eiuſmodi vt quadratumquadratũ THEOR. ARITH. ipſius .a.x. tam ſit multiplex ad vnitatem, quam cupimus numerum .a.e. numero .e.o. multiplicem eſſe.

0034-02

THEOREMA XXXVII.

CVR inuenire cupientes duos numeros, quorum quadrata in ſummam colle-cta, æqualia ſint numero propoſito, & ijſdem numeris multiplicatis ad-inuicem, productum alteri numero propoſito ſit æquale, rectè ſumant dimidium primi numeri propoſiti, cui ſumma quadratorum æquari debet, hocquehocq́; dimidium in ſeipſum multiplicent, vnà etiam alterum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicent, quod quadratum detrahunt de primo, & reſidui quadratam radicem, dimidio primi numeri propoſiti coniungunt, ex qua ſumma, quadratam radicem eruunteruũt, quæ duobus quæſitis numeris maior erit, cuius quadrato de primo numero detracto, & exreliquo erutaradice quadrata, detur minor numerus, duorum quae- ſitorumquę-ſitorum.

Exempli gratia, ſi proponerentur .34. pro primo numero cui æquari de-beret ſumma duorum quadratorum, quorum radicum productum æquale eſſe de-beret alteri numero, verbi gratia .15. iubet antiquorum regula, dimidium primi numeri in ſeipſum multiplicari, cuius dimidij quadratum erit .289. è quo ſi detra-has quadratum ſecundi numeri, nempe .225. remanebit .64. atqueatq; huius ſi quadra-tam radicem ſumas nempe .8. quam dimidio primi numeri, nempe .17. coniun-gas, dabitur duorum quadratorum numerorum quęſitorum maior numerus .25. hac deinde radice è dimidio detracta, minus quadratum dabitur .9. ſcilicet, quorum radices .5. et .3. eſſent ij numeri, qui quæruntur.

Cuius ſpeculationis gratia, cogitemus primum numerum, cui quadratorum fum ma æquari debet, ſignificari linea .a.n. tum concipiamus quæſita quadrata ſignifi-cari, coniungiqueconiungiq́ modo ſubſcripto .t.b.k. ſecundum porrò numerum propoſitum, ſignificari producto .d.b. Iam nil ſupereſt aliud quam vt quantitates .d.p. et .b.p. quæramus.

Itaque cum in linea .a.n. ſummæ quadratorum numerus detur, quadratum di-midij .o.a. ſit .s.a. quod nobis erit cognitum; ſit etiam .a.u. numerus quadrati ma ioris, et .u.n. minoris, et .a.z. productum vnius in alterum; qui quidem numerus .a.z. æqualis erit quadrato nume ri .d.b. ex .19. theoremate hu-ius libri. ItaqueItaq; a.z. cognitum erit, cum eius radix .d.b. ſit ſe- cundusſe-cũdus numerus propoſitus, quæ minor erit .a.s. ex quinta ſecundi, aut ſeptima conſequentia poſt .16. noni Eucli-dis. Iam ſubtracta quantitate .z.a. è quadrato .a.s. cognoſcetur quadratum .t.x. cuius radix æqualis erit .o.u. ex poſtremo adductis, Itaque cognoſcemus .o.u. qui numerus coniunctus dimidio .o.a. cognito, dabit quadratum .a.u. cognitum, at-queita .u.n. pariter cognoſcetur, & eorum radices conſequenter.

0035-01

IO. BAPT. BENED.

Hoc ipſum & alia ratione perfici poteſt, nempe, iuncta ſumma .k.b: b.d: ec .b.t. alteri rectangulo æquali .b.d. quod ſit .b.c. ex quo totum quadratum lineæ .d.k. cognitum erit, atqueatq; ita etiam conſequenter eius radicem .d.k. cognoſcemus, cuius ope ac producti .d.b. cognoſcemus .d.p. et .p.k. prout ex theoremate quadrageſi-moquinto huius libri patebit.

Michael Stifelius, vndecimo cap. tertij libri, problema eiuſmodi proponit, quod tamen ipſe via algebræ diſsoluit.

0036-01

THEOREMA XXXVIII.

CVR ij, qui duos numeros inuenire volunt, quorum productum alicui nu-mero propoſito æquetur, & quadratorum eorundem differentia alteri nu-mero propoſito æqualis ſir. Rectè dimidium ſecundi numeri propoſiti in ſeipſum multiplicent, cui quidem numero differentia quadratorum æquari debet; porrò huic quadrato primi propoſiti numeri, cui æquandum eſt productum numerorum quæſitorum, quadratum adiungant; tum radicem quadratam huius ſummæ co-pulet dimidio ſecundi numeri propoſiti, ei inquam, cui differentia quadratorum æqualis eſſe debet, ex quo quadratum maius conſurgit, à quo, detracto ſecundo numero, ſupereſt quadratum minus.

Exempli gratia, ſi proponeretur primo loco numerus .8. cui æquandum eſt productum numerorum quæſitorum, tum proponeretur numerus .12. cui, detra-cto minore à maiore, differentia quadratorum vtriuſque quæſiti numeri æqualis eſſe debet, oportet huius vltimi numeri .12. dimidium in ſeipſum multiplicare, fient- q́uefiẽt-q́ue .36. quadratum dimidij, vnde in ſummam colligeremus quadratum primi numeri .8. quod eſſet .64. quæ cum .36. efficerent .100. cuius centenarij radice, nem pe .10. collecta in ſummam cum dimidio ſecundi numeri, nempe .6. daretur qua-dratum maius, nempe .16. ex quo, detracto ſecundo numero, nempe .12. rema-neret quadratum minus .4.

Cuius ſpeculationis cauſa, maius quadratum incognitum ſignificetur linea .q.g. minus verò pariter incognitum linea .g.i. quare .q.i. eorum differentia, tanquam data remanebit cognita, vnà etiam .b.i. et .q.b. ſua dimidia; tunc cogite-tur quadratum .y.g. ſuper .b.g. et parallelogram- mumparallelogrã-mum rectangulum .g.r. deſignatum, & ita etiam gnomon .u.g.t. prout ſexta ſecundi Euclidis pro ponitur, ex quo quadratum .b.i. nempe .u.t. co-gnitum erit, ſed gnomon æqualis eſt rectangulo .g.r. ex prædicta, aut ex .8. poſt .16. THEOREM. ARIT. noni, hocquehocq́; rectangulum .g.r. quadratum eſt primi numeri propoſiti ex .19. theo-remate huius libri, itaqueitaq; cognitum erit. vnà etiam gnomon .u.g.t. cognoſcetur, quare totum quadratum .g.y. eiusqueeiusq́; radix .b.g. manifęſta erit, cui coniuncta .q.b. data, maius quadratum .q.g. cognoſcetur, ex qua .b.g. detracta .b.i. data, cogno-ſcetur .i.g. quadratum minus conſequenter, etiam eorum radices notæ erunt.

0036-02

THEOREMA XXXIX.

ALia etiam ratione idipſum definiri poteſt, prætermiſſa antiquorum via, nempe multiplicatis in ſemetipſis primo & ſecundo, numeris propoſitis, qua-druplicatoquedruplicatoq́; quadrato primi, qua ſumma coniuncta cum quadrato ſecundi nume-ri, & ex hac altera ſumma eruta radice quadrata, ex qua detracto ſecundo nume-ro, & è reliquo ſumpto dimidio, quod erit quadratumquadratũ minus, quo detracto ex radi-ce poſtremo iuncta, ſupererit quadrarum maius.

Exempli gratia, ſi proponeretur numerus .8. cui productum duorum numerorum quæſitorum æquandum eſt, proponeretur idem .12. cui differentia quadratorum duorum numerorum æqualis eſſe debet. Iubeo primum numerum, nempe .8. in ſe ipſum multiplicari, ex quo exurget .64. pro numero ſui quadrati, quod quadru-plicari volo, eritqueeritq́; productum .256. quod cenſeo coniungendumconiũgendum cum quadrato ſe-cundi numeri propoſiti, nempe .144. eritqueeritq́; ſumma .400. ex quaſumetur radix, ſci licet .20. & ex hac detrahetur ſecundus numerus .12. reſiduiquereſiduiq́; dimidium, nempe .4. pro quadrato minore, quo in ſummam collecto cum, 12. dabit quadratum maius .16.

Cuius ſpeculationis cauſa, quadratum maius per lineam .q.g. minus per .g.p. ſi-gnificetur: ſuper integram autem .q.p. erigatur quadratum integrum .d.p. diuiſum, vt quadratum .f.g. vigeſimiſeptimi theorematis huius libri, (idipſum accideret di-uiſo quadrato modo octauæ ſecundi Euclidis) quæ quidem diuiſio, eſt via quatuor productorum .q.g. in .g.p. è quibus vnum ſit .g.r. quod erit cognitum ex .19. theore mate cum ſit quadratumquadratũ primi numeri ppoſiti, ex quo illa quatuor cognita erunterũt. Iam verò ſi cogitemus .q.p. ſectam in puncto .t. ita vt .q.t. æqualis ſit .p.g. dabitur differen tia .t.g. cognita, vt radix quadrati .e.o. cum ex præſup-poſito .r.n. æqualis ſit .q.g. et .r.e: g.p. ex quo etiam .q.t. ita pariter .e.n.t.g. æqualis erit. Collecto itaqueitaq; quadra to .e.o. ipſius .t.g. cum quadruplo .g.r: cognitum erit quadratum .d.p. ipſius .q.p. quare cognoſcetur .q.p. de quo numero detracta differétia quadratorum cognita .t.g. ſupererit aggregatum .p.g. et .q.t. cognitum. Qua-re ex conſequenti, dimidium aggregati, nempe .g.p. cognoſcetur, tanquam minus duorum quadratorum. cui iuncta .g.t. aut detracta .p.g. ex .p.q. quadratum .q.g. maius cognitum remanebit.

0037-01

THEOREMA XL.

CVR ijs, qui volunt duos eiuſmodi numeros inuenire, vt eorum maior mi-norem, numero propoſito ſuperet, & productum vnius in alterum, alteri nu-mero propoſito adęquetur, conſultiſsimum ſit dimidium primi numeri propoſiti, IO. BAPT. BENED. numerum inquam, cui differentia duorum quæſitorum æquanda eſt, in ſeipſum multiplicare, atque huic quadrato, ſecundum numerum propoſitum iungere, cui, productum numerorum quæſitorum æquale eſſe debet, & ex hac ſumma eruere qua dratam radicem, quæ coniuncta dimidio primi numeri propoſiti, dabit maiorem duorum numerorum & ex eadem radice detracto dimidio primi numeri, minorem numerum duorum quæſitorum.

Exempli gratia, ſi proponeretur .12. cui differentia vnius numeri ab altero æqua-ri deberet, tum proponeretur .64. cui productum multiplicationis duorum quæſi-torum ſimul æquandumæquãdum eſſet. Dimidium primi numeri in ſeipſum multiplicaremus, proueniretqueproueniretq́; quadratumquadratũ .36. cui coniuncto ſecundo, nempe .64. totum eſſet .100. ex quo detracta quadrata radice .10. etipſi coniuncto ſenario, dimidio primi nume ri, & ex eadem detracto eodem dimidio .6. pro maiore numero proueniret .16. & pro minore .4.

Cuius rei ſpeculatio hæc eſt. Sit .e.o. differentia cognita duorum incognitorum numerorum .a.o. et .a.e. quorum productum datum ſiue cognitum ſit .a.s: conſide-remus nunc .e.i. dimidium .e.o. datæ differentiæ, & ex compoſito .a.i. imaginetur quadratum .a.x. in quo protracta ſit .t.u. æquidiſtans lateri .a.i. & tam ab ipſa .a.i. re mota, quam .x.i. ab .s.e. vnde .t.e. quadratum erit .e.i. dimidiæ ſcilicet differentiæ datæ .e.o. et .t.n. rectan- gulum æquale erit rectangulo .n.c. vt cuilibet licet per ſe conſiderare, vnde ſequitur gnomonem .e.r.t. æqualem eſſe producto .a.s. ideo cognitus, qui quidemquidẽ gnomon, ſi coniunctus fuerit quadrato .e.t. cognito ex radice .e.i. cognita (vt dimidia toralis differentię .e.o. datæ) habebimus quadratum totale .a.x. cogni-tum, & ita eius radicem .a.i. cognitam & reliqua om nia conſequenter quæ quidem ſpeculatio eadem eſt quæ .6. ſecundi ſeu .8. noni Euclidis.

0038-01

Poteris tamen ex modo & rationibus præceden-ti theoremate allatis, hocipſum concludere.

THEOREMA XLI.

CVR ij, qui aliquo propoſito numero, inuenturi ſunt duos numeros inter ſe differentes, quorum quadratorum ſumma altero numero propoſito æqualis ſit, rectè primum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicant, quod quadratum exſecundo numero detrahuntdetrahũt, & dimidium reſidui ſumunt, quod productum erit multiplicationis duorum numerorum interſe, in reliquis præcedentis theorematis ordinem ſequuntur.

Exempli gratia, ſi proponeretur .12. tanquam numerus, cui differentia duorum numerorum quæſitorum æquanda eſt, proponerentur præterea .272. quibus ſum-ma quadratorum duorum numerorum quæſitorum æquari deberet, oporteret ſanè primum numerum, nempe .12. in ſeipſum multiplicare, cuius quadratumquadratũ hoc loco eſſet .144. atque hoc detrahere ex ſecundo numero, ſupereſſet .128. ſumpto deinde dimidio huiuſce numeri, népe .64. producto in quam duorum numerorum quæſitorumquæſitorũ. Cum hoc .64. proſtea et duodenario primo propoſito numero, præceden tis theorematis ordinem ſequeremur.

THEOREM. ARIT.

Quod vt ſpeculemus, conſideremus ſubſcriptam figuram, vigefiminoni theore-matis figuræ ſimilem, in qua numeri quæſiti duabus lineis directè coniunctis .q.g. et .g.p. fignificentur, ho rumrũ quadrata erunterũt .r.c. et .g.s. quorumquorũ summasũma iterumiterũ propo nitur, quare etiam cognita. DifferentiaDifferẽtia autem duorumduorũ numerorum primo propofita fit .q.i. eius verò qua-dratum .m.e. quod cognitum eſt ex ſua radice .q.i. quare gnomon .e.n.m. ſimul cum quadrato minori .g.s. cognitus erit, quæ ſumma æqualis eſt duplo .g.r. producto datorum numerorum. Itaque & ipſa .g.r. cognoſcetur, nunc ſi præcedentis theorematis ſpe-culationem in reliquis conſuluerimus propoſitum conſequemur.

0039-01

THEOREMA XLII.

ADhuc etiam & alia ratione idipſum conſequi poſſemus, non conſulto qua-drageſimo theoremate. Nam ſubtracto quadrato differentiæ, numeri primi (inquaminquã) propoſiti, ex summasũma duorum quadratorum, nempe ex ſecundo numero pro-poſito colligendum eſſet reſiduum in ſummam cum prædicto ſecundo numero, & ex ſumma hac deſumenda quadrata radix, quæ duorum numerorum ſumma erit, de qua detracto primo numero, remanebit duplum minoris numeri quæſiti, cuius dimidio addito primo numero propoſito, aut detracto minore inuento ex radice poſtremo inuenta, dabitur numerus maior, qui quæritur.

Exempli gratia, cum ſuperfuerint .128. hæc ſi cum ſecundo numero nempenẽpe .272. iunxerimus, dabunt .400. quorum radix erit .20. de quo numero detracto primo propoſito, nempe .12. ſupererunt .8. quorum dimidiumdimidiũ erit .4. quo ex .20. detracto aut coniuncto .12. maior numerus orietur.

Cuius rei contemplatio, præcedenti figura aperitur. Nam reſiduum detractionis quadrati .m.e. ex ſumma duorumduorũ quadratorum .r.c. et .g.s. numerum præbet æqua-lem duobus ſupplementis .q.n. et .n.u. ex .8. ſecundi Euclidis. qui coniunctus duo-bus quadratis (quorum ſumma ſecundo propoſita fuit) cognitionem profert qua-drati .q.u. & eius radicis .q.p. de qua, detracto primo dato numero, ſcilicet .q.i. ſu-pereſt .i.p. cuius dimidium nempe .g.p. minor eſt numerus qui quęritur; reſiduum verò totius .g.q. maior ſcilicet.

THEOREMA XLIII.

CVR ij, qui volunt duos numeros inuenire, quorum ſumma æqualis propo-fito alicui numero futura ſit, & ſumma quadratorum maior eorum produ-cto per quantitatem alterius propoſiti numeri, rectè dimidium primi dati numeri in ſeipſum multiplicant, quod quadratum ex ſecundoſecũdo dato numero detrahunt, ſumunt­q́ue tertię partis refidui quadratam radicem, quam dimidio primi numeri coniun-gunt, ex quo maior numerus duorumduorũ quæſitorumquæſitorũ datur, quo ex toto primo detracto, ſu-pererit minor.

Exempli gratia, propoſito numero .20. cui æquanda eſt ſumma duorum nume-rorum quæſitorum, datoquedatoq́; ſecundo numero .208. qui ſemper maior eſſe debet IO. BAPT. BENED. quadrato dimidij, prout ex ſpeculatione huiuſmodi operis cognoſcetur, cuiæquandacuiæquãda eſt differentiadifferẽtia inter ſummamſummã quadratorumquadratorũ duorumduorũ qui quærunturquærũtur numerorumnumerorũ, ſimul cumcũ pro ducto eorumeorũ radicum. Dimidium numeri .20. in ſeipſum multiplicandum eſſet, qua-dratumquedratumq́; detrahendum ex .208. vtremanerent .108. quorum .108. tertiæ partis qua drata radix eſſet .6. quæ ſi iuncta fuerit dimidio .20. nempe .10. daretur maior nu-merus quæſitus .16. quo detracto è .20. darentur .4.

Cuius ſpeculationis cauſa, datus primus numerus ſignificetur linea .g.h. in qua maior numerus incognitus ſit .g.h. minor verò .b.h. quorum quadrata ſint .y.t. et .b.l. in quadrato maximo .g.p. tum productum .g.b. in .b.h. ſit .g.c. cogitenturquecogitenturq́; duo diametri .q.h. et .g.p. diuiſi per medium in puncto .o. per quod duę lineæ ducan-tur .f.d. et .k.m. parallelæ lateribus maximi quadrati. Hæ dictum quadratum in quatuor quadrata æqualia diuident, quorum vnumquodquevnumquodq́;, æquale erit quadrato .g.f. dimidij ipſius .g.h. datę, quare eorum vnumquodquevnumquodq́; cognitum erit. Iterum co gitemus .s.x. per .e. parallelamparallelã .g.k. tantum diſtan-tem à .g.k. quantum .y.l. ab .g.h. diſtare inueni- tur. Cogitetur pariter .z.i.a. per punctum .i. parallela .d.p. quare .a.t. æqualis erit .f.c. et .y.x. æqualis .f.e. et .y.s: b.l. æqualis. Ita ſubtractis è duobus quadratis ſuperius dictis .a.t.y.x. et .b.l. producto .y.b. æqualibus, ſupererunt .k.d. et .a.c.x. cognita, tanquam æqualia dato ſecundo nu-mero, ſed .k.d. quadratum eſt medietatis .g.f. cognitæ, cognoſcetur igitur reſiduum .a.c.x. vnà etiam ſingulæ tertiæ partes nempe quadrata .o.i.o.c. et .o.e. & radix .b.f. vel .f.s. ſingularum, qua coniuncta dimidio .g.f. rurfusquerurfusq́; ab eodemeodẽ de-tracta, propoſitum conſequemur.

0040-01

THEOREMA XLIIII.

CVR ſi quis cupiat numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes diuidere, vt quadratum maioris, quadratum minoris ſuperet quantitate alterius numeri propoſiti, rectè primum numerum in ſeipſum multiplicabit, & ab eodem ſecun-dum numerum detrahet, reſiduum verò per duplum primi diuidet, ex quo proue-niens primi pars minor erit, quæ ex illo primo detracta, partem maiorem proferet.

Exempli gratia, ſi proponantur .20. diuiſa in duas eiuſmodi partes, vt quadratumquadratũ maioris ſuperet quadratum minoris numero æquali ipſi .240. oportebit primum numerum, qui quadratus cum fuerit, erit .400. in ſeipſum multiplicare, & ex hoc quadrato ſecundum numerum nempe .240. detrahere, tunc remanebunt .160. quę diuiſa per .40. numerumnumerũ duplumduplũ primo, dabuntur quatuor pro minori numero, à reſi-duo verò .20. detractis quatuor, erunt .16. pro maiorinumero.

Quod vt exactè conſideremus, primus numerus propoſitus ſignificetur linea .q.h. diuidendus in duas partes .q.p. et .p.h. tales quales quærimus. Poſtmodum eriga r quadratum .q.e. diuiſum diametro .f.h. ductisqueductisq́; .p.o.t. et .a.o.c. parallelis lateri-bus quadrati, dabuntur imaginaria quadrata .c.t. et .p.a. duarum partium .q.p. et .p.h. incognitarum. Ad hæc cogitemus quadratum .u.n. æquale quadrato .p.a. è quadra­ THEOR. ARITH. to maiore .c.t. extractum quare reſiduum qua- drati .c.p. cognitum erit, quam quantitatem co-gnitam, cum ſit ſecundo loco data, cogitemus detrahi è toto quadrato cognito .q.e. ex quo ſumma duorum ſupplementorum .q.o. et .o.e. cognoſcetur, vnà cum quadratis .u.n. et .p.a. du plo ſcilicet .q.a. quo diuiſo per duplum .q.h. aut ſimplex .q.a. per .q.h. ſimplicem, dabitur .a.h. nempe .p.h. minor numerus quæſitus.

0041-01

THEOREMA XLV.

CVR volentes diuidere numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt pro ductum vnius in alteram, alteri numero propoſito æquetur, rectè dimidium primi dati numeri in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato ſecundum datum nu-merum detrahunt, reſiduiquereſiduiq́; radicem ſumunt, qua coniuncta vni dimidio primi nu-meri, pars maior datur, ex altero verò dimidio detracta, minorem manifeſtabit.

Exempli gratia, ſi numerus partiendus eſſet .34. alter verò numerus eſſet .64. cui productum vnius partis in alteram æquale eſſe deberet. Dimidium primi numeri, in ſeipſum multiplicaremus, cuius quadratum eſſet .289. de quo detracto ſecundo nu-mero nempe .64. remaneret .225. cuius quadrata radix nempe .15. coniuncta .17. dimidio .34. proferet .32. maiorem partem, detractoquedetractoq́; ex .17. ſupereſſet .2. pars inquam minor.

Cuius ſpeculationis cauſa, primus numerus propoſitus ſignificetur linea .a.d. cu-ius dimidium .c.d. cognitum erit, vnà etiam eius quadratum .c.f. quo diuiſo per dia metrum .e.d. ſupponantur partes ignotæ ipſius .a.d. eſſe .a.b. et .b.d. & à puncto .b. duci lineam .b.h.g. parallelam .d.f. et .m.h.k. parallelam .d.a. extructa figura ſimi li figuræ quintæ ſecundi Eucli. quare da bitur gnomongnomõ .l.d.g. æqualis producto .b.k. & proinde cognitus, quo detracto è quadrato, c.f. remanebit quadratum .g.l. cuius radice æquali .c.b. coniuncta .a.c. & detracta ex .c.d. partes .a.b. et .b.d. quæſitæ dabuntur.

0041-02

THEOREMA XLVI.

CVR propoſitis tribus numeris, quorum prior in duas eiuſmodi partes diui-dendus ſit, ut mutuò diuiſæ, & per ſummam prouenientium diuiſo ſecundo numero, proueniens vltimum ſit æquale tertio numerorum propoſitorum. Conſul tiſsimum ſit ſecundum numerum per tertium diuidere, ex quo proueniens ſit ſum-ma prouenientium è duabus partibus mutuò diuiſis, quam ſummam ſi quis velit di-ſtinguere, rectè poſſit medio operationis pręcedentispręcedẽtis theorematis sumptasũpta vnitate ſuper ficiali pro ſecundo numero diſtinctis poſtmodum prouenientibus, rectè meo iudi-cio operabimur per regulamregulã de tribus (quod fuit ab antiquis prætermiſſum) Si dixe- IO. BAPT. BENED. rimus, ſi ſumma vnius dictorum prouenientium cum vnitate dat primum numerum, quid ipſa eadem vnitas dabit? ex quo propoſitum oriatur.

Exempli gratia, proponuntur tres numeri, primus .20. ſecundus .34. tertius .8. Iam quærimus diuidere primum .20. in duas partes quæ mutuò diuiſæ prębeant duo prouenientia, quorum ſumma tanta ſit vt per eam diuiſo .34. proueniat numerus æqualis tertio numero .8. Quod vt præſtemus iubet regula ſecundum .34. per tertiumtertiũ .8. diuidi, vnde proueniet .4. cum vna quarta parte, quod proueniens erit ſumma pro uenientium ex diuiſione duarum partium quæſitarum, quæ ſi diſtinguere volueri-mus, præcedentis theorematis methodum ſequemur, vnitate ſuperficiali pro ſecun do numero propoſito ſumpta, ac ſi diceremus, diuidatur .4. cum vna quarta parte in duas eiuſmodi partes, vt productum vnius in alteram ſit vnitas ſuperficialis, cer-tè fractis integris cum quarta parte coniungendis, darentur vnitatis decemſeptem quartæ lineares, verum cum neceſſe ſit, ex præcedenti theoremate, dimidium in ſeipſum multiplicare, eſſetqueeſſetq́; dimidium .8. quartarum partium cum octaua, com-modius totum conſtituetur .34. octauarum, quarum dimidium, nempe decemſep-tem octauæ, in ſeipſum multiplicatum erunt .289. ſexageſimæ quartæ vnius integri ſuperficialis, quandoquidem integrumintegrũ ſuperficiale, cuius vnitas linearis in .8. partes diuiditur eſt .64. vt ex primo theoremate huius libri depræhendi poteſt. Nunc vni-tate hac ſuperficiali, nempe .64. ex .289. detracta, ſupererit .225. cuius radix qua-drata, ſcilicet .15. coniuncta dimidio dictorum prouenientium, nempe .17. dabit maius proueniens .32. detractaquedetractaq́; ex altero dimidio, dabit proueniens minus .2. hoc eſt pro maiore proueniente .32. octauas, & pro minore duas, quatuor ſcilicet inte-gros pro maiore, & quartam partem vnius integri pro minore. Nunc ſi ex regula de tribus dixerimus, ſi .4. iuncta vni, nempe .5. dant .20. primum numerum, quid dabunt .4. integra (proueniens inquam maius) dabuntdabũt certè .16. partem maiorem. Tum ſi dixerimus, ſi quarta pars coniuncta vnitati dat .20: quid dabit quarta illa pars (hoc eſt proueniens minus) dabit profectòꝓfectò quatuor ſcilicet minoremminorẽ partem, quod ab antiquis certè ignoratum fuit, qui, inuentis prouenientibus quieuerunt, ne-ſcientes ijs vti ad inueniendas duas primi numeri partes.

Cuius ſpeculationis gratia, demus primum numerum ſignificari linea .e.u. cuius partes .e.a. & a.u. ſint quæ quæruntur, alter verò numerus ſignificetur linea .b.d. tertius linea .g.f. proueniens autemaũt diuiſionis .e.a. per .a.u. ſit .n.t. diuiſionis autemaũt .a.u. per .a.e. ſit .t.o. ſumma erit .n.t.o. vnitas verò .n.i. et .o.i. Iam ſi numerus .f.g. tertiò propoſitus ex diuiſione ſecundi per .o.t.n. proferri debet. Ex .13. theoremate patet, quòd ſi .b.d. per .g.f. diuiſerimus, proferetur .o.t.n. qui cum fuerit inuentus, ſummamſummã eſſe oportet duorumduorũ prouenientiumprouenientiũ, ex diuiſione mutua duorumduorũ numerorum, nempe .a.e. per .a.u. et .a.u. per .a.e. deinde manifeſtum eſt ex .24. aut .25. theoremate eorumeorũ productum (multiplicatis prouenientibus adinuicem) vnitatem ſuperficialem futu ram eſſe. Hactenus igitur, totum .o.n. ex doctrina præcedentis theorematis diui-ditur in puncto .t. ita vt productum .o.t. in .t.n. ſolam vnitatem ſuperficialem contineatcõtineat, quo facto, ſi, vt antedictum eſt, cogitauerimus .n.t. proueniensproueniẽs eſſe ex diuiſione .e.a. per .a.u. et .t.o. proueniens ex diuiſione .a.u. per .a.e. pa-tebit ex definitione diuiſionis, quod eadem erit proportio .a.e. ad .n.t. quæ eſt .a.u. ad vni-tatem .n.i. et .a.u. ad .o.t. eadem quæ eſt .e.a. THEOREM. ARITH. ad vnitatem .o.i. permutandoquepermutandoq́; .e.a. ad .a.u. ſicut .t.n. ad .n.i. & componendo .e.a.u. ad a.u. ſicut .t.n.i. ad .n.i: & euerſim .e.a.u. ad .e.a. vt .t.n.i. ad .t.n. Quare, ex .20. ſepti mi, recte vtimur regula de tribus. Idem & de altera parte dico, quamuis qui vnam teneat, alteram quo que habiturus ſit. Non mirum tamen ſi huiuſmodi problema ab antiquis definitum non fuerit, qui hanc vltimam partem non cognouerunt.

0042-01

THEOREMA XLVII.

CVR duobus numeris mutuó diuiſis, ſi per ſummam prouenientium, produ-ctum vnius in alterum multiplicetur, vltimum productum, ſummæ quadra-tnm duorum numerorum æquale futurum ſit.

Exempli gratia, propoſitis .16. et .4. mutuò diuiſis, ſumma prouenientium erit .4. integrorum cum quarta parte, qua ſumma multiplicata cum producto primorumprimorũ numerorum, nempe .64. dabuntur .272. integri ſuperficiales, qui ſummæ quadra-torum duorum numerorum æquantur.

Hoc vt conſideremus, duo numeri partibus .a.e. et .e.i. in linea .a.i. ſignificentur, quorum productum ſit .e.d. & quadratumquadratũ ipſius .a.e. ſit .e.p: ipſius verò .e.i. ſit .e.q. pro-ueniens autemaũt ex diuiſione .e.i. per .a.e. ſit .o.u. proueniens autemaũt .a.e. per .e.i. ſit .o.t. quo-rum ſumma ſit .o.u.t. tum productum .e.d: linea .u.n. ſignificetur ad angulum rectumrectũ coniuncta in puncto .u. extremo ipſius .o.u.t. productum autemaũt .u.o.t. in .u.n. ſit .n.t. Iam probandum nobis eſt .n.t. æqualem eſſe ſummæ duorum quadratorum .q.e.p. Quod ſingillatim probo, & aſſero productum .o.n. æquale eſſe quadrato .q.e. & productumproductũ .s.t. quadrato .e.p. Nam ex .35. theoremate patet numerum .e.i. medium eſſe pro- portionalempro-portionalẽ inter .e.d. et .o.u: cum numerus .e.i. ex præſuppoſito ab .e.a. multiplicetur & diuidatur, cuius multiplicationis produ-ctum eſt .d.e: nempe .u.n. & proueniens ex diuiſione eſt .o.u: quare ex dicto theorema-te .e.i. media proportionalis eſt inter .u.n. et .u.o. ItaqueItaq; productum .o.n. æquale eſt qua-drato .e.q. ex .16. ſexti vel .20. ſeptimi. Idem dico de producto .s.t. nempenẽpe æquale eſſe qua-drato .e.p. quandoquidem numerus .a.e. ab e.i. multiplicatur ac diuiditur, cuius multi-plicationis productum eſt .d.e. nempe o.s. & proueniens ex diuiſione .o.t: inter quæ ex .35. theoremate .a.e. media proportionalis eſt. Quare ex allatis propoſitionibus productumproductũ .s.t. æquale eſt quadrato .e.p. ſed totumtotũ productum .n.t. ſumma eſt duorum productorum .o.n. et .s.t. ex prima ſecundi Eucli. Itaque verum eſſe quod dictum eſt, conſequitur.

0043-01

THEOREMA XLVIII.

CVR ſi quis maiorem duorum numerorum ſola vnitate inter ſe differentium, per minorem diuidat, maioremquemaioremq́; per proueniens multiplicet, productum, summæsũmæ ipſius maioris cum eodem proueniente æquale erit.

Exempli gratia .10 per .9. diuiſo, datur vnum cum nona parte, quo multiplica-to per proueniens, ipſo nempe .10: datur productum .11. cum nona parte, tantum ſci­ I.O. BAPT. BENED. licet quanta ſumma eſt maioris cum proueniente.

Cuius ſpeculationis cauſa, maior numerus ſignificetur .a.i. et minor linea .a.o. ex quo ex præſupoſito .o.i. vnitas erit. Sit autem proueniens ex diuiſione .a.i. per .a.o.a.e: quod .e.a. directè coniungatur ipſi .a.i. et productum .a.i. in .a.e. ſit .u.i. Probabo numerum ſuperficialem .u.i. æqualem eſſe lineari .i.a.e. quare meminiſſe oportet, decimotertio theoremate probatum fuiſſe, quod ſi numerus diuiſibilis per pro-ueniens diuidatur, proueniens futurus ſit numerus diuidens, quare .a.o. erit pro-ueniens ex diuiſione .a.i. per .a.e. & ex deſinitione diuiſionis ita ſe habebit .e.a. ad .a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componondo ita .e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. quare .a.i. erit me-dia pportionalis inter .e.i. et .a.o. ſed .a.i. non modò diuiſa nuncnũc cogitatur ab .e.a. ex quo ſit proueniens .a.o. ſed etiam per eandem .e.a. multiplicata, ex quo produ-ctum oriatur .u.i. ItaqueItaq; ex .25. theobema-te .a.i. media eſt proportionalis inter .u. i. et .a.o. Quare. ex .11. quinti. eadem erit proportio .u.i. ad .a.i. ſicut .e.i. ad eandem .a.i. Igitur ex .9. prædicti numerus .u.i. æqualis erit numero .e.i. quod erat propoſitum.

0044-01

THEOREMA XLIX.

IDipſtim etiam alia ratione conſiderari poteſt.

Linea .u.a. ſecetur in puncto .t. ita vt .a.t. æqualis ſit vnitati .o.i. & media paral lela .t.n. terminetur productum .t.i. quod conſtabit æquali numero, quamuis ſuperfi-ciali, numero .a.i. tametſi lineari. Tumparallela ducatur à puncto .o. ipſi .a.u. termi neturqueneturq́; productum .o.u. ex quo bina producta dabuntur .u.o. et .t.i. inter ſe æqualia ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi cum ita ſe habeat .a.i. ad .a.u. ſicut .a.o. ad .a.t. ſed .a.i. ad .a.o. permutando ſic ſe habet ſicut .a.u. ad .a.t. & ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſepti-mi ſic ſe habet .u.i. ad .u.o. ſicut .a.i. ad .a. o. hoc eſt .u.i. ad .t.i. ope .11. quinti. Iam ex definitione diuiſionis ita ſe habet .a.e. ad .a.i. ſicut .o.i. ad .o.a. & componendo .e.i. ad .a.i. ſicut .i.a. ad .o.a. Itaque ex præ-dicta .11. ſic ſe habebit .e.i. ad .i.a. ſicut .u.i. ad .t.i. ſed .t.i. numero conſtat æquali .a.i. quare ex .9. quinti numerus .u.i. numero .e.i. æqualis erit.

0044-02

THEOREMA L.

CVR diuidentes numerum propoſitum in duas eiuſmodi partes, vt productumproductũ vnius in alteram cum i pſarum differentia in ſummam collectum, æquale ſit alicui alteri numero maiori primo. Rectè primum ex ſecundo detrahunt, reſiduum verò conſeruant, tum ex primo ſemper binarium deſumunt, dimidiumquedimidiumq́; conſer-uant, alterum verò dimidium in ſeipſo multiplicant, & ex quadrato numerum con ſeruatum eruunt, reſiduiquereſiduiq́; radicem ex dimidio conſeruato, quod vltimum reſi-duum propoſiti numeri quæſita pars minor eſt.

Exempli gratia, ſi proponatur numerus .20. ita diuidendusdiuidẽdus, vt productumproductũ vnius partis in alteram, cum partium differentia collectum in ſummam, æquale ſit propoſito THEOR. ARITH. numero, verbi gratia .92. præcepit regula detrahi primum numerum ex ſecundo, nempe .20. ex .92. cuius reſiduum, ſcilicet .72. conſeruetur, tum detrahi iubet bi narium ex primo, ſic in propoſito exemplo remanebunt .18. huius autem .18. dimi dium in ſeipſum multiplicari iubet, quod cum ſit .9. datur numerus .81. ex quo .81. primum numerum conſeruatum, nempe .72. vult regula detrahi, ſic remanebit .9. tum huius .9. quadrata radix detrahenda eſt ex dimidio ipſius .18. quod fuit ante qua dratum, ſic ſupererit .6. hoc eſt .9. excepta radice quadrata, qui .6. erit minor pars quæſita, maior verò .14. quarum productum .84. coniunctum cum partium differen tia præbet exactè .92.

Cuius rei hæc eſt ſpeculatio. Primus numerus minor, qui proponitur diuiſibilis ſignificetur linea .q.g. maior vero linea .x. tum cogitemus .q.g. diuiſam, cuius maior pars ſit .q.o. minor .o.g. differentia .q.p. ex quo .p.o. æqualis erit .o.g. ſit autem produ-ctum .b.o. Oportet igitur, ut .b.o. ſimul cum differentia .q.p. æquale ſit numero .x. ſe-cundò propoſito, qui notus eſt, quare etiam ſumma producti .b.o. cum differentia q.p. cognita erit, ex qua detracto primo numero .q.g. reſiduum cognitum erit, nunc igitur quodnam erit hoc reſiduum? attendamus qua ratione ex ſumma .b.o. et .q.p. detrahenda ſit .q.g. In primis ſi ſubtraxerimus ex dicta ſumma .q.p. quę pars eſt .q.g. ſupererit detrahenda .p.g. ex .b.o. pars inquam ipſius .q.g. quod fiet quotieſcunque cogitauerimus .q.o. duabus vnitatibus diminutam, et per .o.g. multiplicatam, ſit au-tem productum .b.e. nam cum .o.g. toties .b.o. ingrediatur, quot ſunt in .q.o. vnitates ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, detrahendaquedetrahendaq́; ſit .p.g. ex .b.o. quæ .p.g. dupla eſt .o.g. patebit .o.c. æqualem eſſe .p.g. fu-pererit ita que .b.e. productum .q.e. in .e. i. cognitum, erutis autem ex .q.g. ijſdem duabus vnitatibus, remanebit .q.i. nobis nota, ex quo .e.i. æqualis erit .e.c. Cum igitur productum .q.e. in .e.i. cognoſcamus ſimul cum .q.i: Sivoluerimus partes .q.e. et .e.i. cognoſcere, vtemur .45. theorema-te huius libri, & propoſitum obtinebimus, nam cognoſcemus .e.i. & ex conſequen-ti .o.g. eius æqualem.

0045-01

THEOREMA LI.

DIvidere numerum in duas eiuſmodi partes, quæ pro medio proportionali alterum numerum propoſitum recipiant, primi dimidio minorem, aliud ni hil eſt, quàm binas primi numeri partes inuenire, quæ inter ſe multiplicatæ quadra to ſecundi numeri numerum æqualem proferant, ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi, quod tamen .45. theoremate fuit à nobis ſpeculatum.

THEOREMA LII.

CVR pro poſitis tribus numeris quibuſcunque, ſi productum primi in ſecun-dum per tertium multiplicetur, atque ſecundum hoc productum corporeumcorporeũ, per primum numerum diuidatur, proueniens erit numerus æqualis producto ſe-cundi in tertium.

Exempli cauſa, proponantur hi tres numeri .10. 11. 12. multiplicenturquemultiplicenturq́; .10. cumcũ. IO. BAPT. BENED. 11. dabuntur .110. quo producto multiplicato cum .12. dabuntur .1320. hoc pro ueniens per primum nempe .10. diuiſum dabit .132. numerum æqualem producto ſecundi in tertium numerorum propoſitorum, ſcilicet .132.

Hoc vt ſpeculemur, primus numerus ſignificetur line a.o.u. ſecundus .e.o. tertius .e.a. productum verò .o.u. in .o.e. ſit .o.i. ipſius ve rò .o.i. per .e.a. productumproductũ corporeumcorporeũ ſit .i.c. tum productumproductũ .e.o. in .e.a. ſit .e.c. Dico nuncnũc quod di-uiſo numero corporeo .i.c. per primumprimũ .o.u. proueꝓue niens æquale erit numero producti .e.c. Qua-re in primis cogitandum eſt, quod cum produ-ctum .i.c. ortum fuerit ex multiplicatione .o.i. in .e.a: dictum .o.i. toties ingredietur .i.c. quo-ties vnitas reperitur in .e.a. eadem ratione, to-ties .e.c. in .i.c. quot vnitates erunt in .o.u. ItaqueItaq; ſequitur quòd diuiſo .i.c. per o.u. proueniens ſit e.c. corporeum, æquale nihilominus producto .e.c. ſuperficiali.

0046-01

THEOREMA LIII.

CVR diuidens propoſitum numerum in tres partes ſic ſe habentes vt produ-ctum primi in ſecundam, in tertia multiplicatummultiplicatũ, præbeat numerum alteri nu-mero propoſito æqualem. Rectè ſecundum numerum per quemcunque alium mino rem primo diuidit, qui diuidens vna erit ex tribus partibus quæſitis, proueniens autem erit productum vnius in alteram reliquarum duarum, quarum ſumma cogni ta erit, detracto numero diuidente ex primo dato, quam quidem ſi diſtinguere quis voluerit, vtetur theoremate .45.

Exempli gratia, proponitur numerus .20. in tres partes diuidendus, quæ ſic ſe habeant, ut productum primæ in ſecundam in tertia multiplicatum det .90. itaque ſumenda erit pro prima vna pars ipſius .20. quæcunque illa ſit, verbi gratia .2. qua ſecundus numerus, nempe .90. diuidatur, dabitur igitur .45. quod erit productum cæterarum partium inter ſe, quarum ſumma eſt .18. quam ſummam ſi diſtinguere volueris in cęteris duabus partibus ſeparatis, vteris .45. theoremate, vt quàm citiſ-ſimè quod cupis exequaris, erunt autem partes .3. et .15.

In cuius ſpeculationis gratiam nihil aliud occurrit, quàm quod præcedenti theo-remate, & ſuperiore .45. allatum eſt.

THEOREMA LIIII.

DIvidere numerum in .3. eiuſmodi partes, vt quadratum vnius ſit æquale producto reliquarum duarum inter ſe, idem omnino eſt cum 51. theoremate. Nam qui ſumet quamlibet partem propoſiti numeri, quæ tertia parte maior tamen non ſit, reſiduumquereſiduumq́ in duas tales partes diuiſerit, vt prima ſumpta, media proportio nalis ſit ex probatione .51. theoremate allata, propoſitum conſequetur.

THEOREMA LV.

ID ipſum alia ratione ab ea diuerſa quamquã .51. theoremate adduximus, proficiꝓfici poteſt.

THEOREM. ARIT.

Sumantur enimtres numeri continui proportionales, cuiuſcunque denique pro portionalitatis, qui in ſummam colligantur, ac poſtmodum, regula de trib. dica-mus. Si ſumma hæc primo numero propoſito in tres partes diuidendo reſpondet, cuireſpondebit vna ex tribus partibus huiuſcę summæsũmæ? idem dereliquis duabus parti bus dico.

Exempli gratia, ſi proponatur numerus .57. diuidendus in tres continuas partes proportionales proportione ſeſquialtera, tres numeros in eiuſmodi proportio-nalitate diſtinctos ſumemus, vt potè .4. 6. 9. qui in ſummam collecti dabunt ſum- mamſum-mã .19. dicemusquedicemusq́; ſi .19. dant .4. quid dabuntdabũt .57? vnde proueniens vnius partis erit .12. Tum ſi dicamus, ſi .19. dat .6. quid dabit .57? nempe dabit .18. Poſtremò, ſi .19. dat .9. quid dabit .57? nempe .26. atque ita dabitur .18. cuius quadratum æqua-bitur producto reliquarum duarum partium inter ſe.

Quod vt ſciamus, numerus propoſitus in tres quaſlibet partes diuidendus ſi-gnificetur linea .a.d. tres autem numeri dictæ proportionalitatis, lineis .e.f: f.g. et .g.h. directè inter ſe coniunctis denotentur. Cogitemus pariter lineam .d.a. in tres partes diuiſam .a.b: b.c. et .c.d. eadem cum cæteris proportionalitate, tunc ea-dem erit proportio .a.d. ad quamlibet ſuarum partium, quæ eſt .e.h. ad reſponden tem ipſius in .a.d: Verbi gratia reſpondentem .a.b. ipſi .e.f. et .b.c: f.g. et .c.d: g.h. Di co enim quòd ita ſe habebit .a.d. ad .c.d. ſicut .e.h. ad .g.h. Nam cum ſic ſe habeat .a.b. ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. ex præſuppoſito, permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .e.f. ſi-cut .b.c. ad .f.g. & eadem ratione ſic ſe habe-bit .c.d. ad .g.h. ſicut .b.c. ad .f.g. & conſequen- tercõſequen- ter ſicut .a.b. ad .e.f. ex quo ex .13. quinti ſic ſe habebit tota .a.d. ad totam .e.h. ſicut .c.d. ad .g.h. aut .b.c. ad .f.g. aut .a.b. ad .e.f. per-mutando itaque propoſitum manifeſtum erit, ipſum autem productum .a.b. in .c.b. æquale erit quadrato .b.c. ex .15. fexti aut .20. ſeptimi.

0047-01

THEOREMA LVI.

VEteres aliud quoque problema indeterminatum propoſuerunt, quod ex more ratione à me definietur, eſt autem eiuſmodi.

Quomodo propoſitus numerus in tres eiuſmodi partes diuidatur, vt quadratumquadratũ vnius æquale fit fummæ quadratorum reliquarum duarum partium.

Hoc vt efficiamus tria quadrata ſeparata ſumamus, quorumquorũ vnumvnũ æquale ſit reliquis duobus; eorumeorũ autemautẽ radices in ſummam ſimul colligantur, tum regulam de tribus ſe quemur, ratione præcedenti theoremate demonſtrata, & rectè vt infra docebimus, quod autem dico de quadratis, etiam de cubis, & quibuſuis dignitatibus aſſero.

Exempli gratia, ſi numerus diuiſibilis proponatur .30. in tres eiuſmodi partes di uidendus, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum partium, in primis radices trium quadratorum ſumemus, ſic quomodocunque ſe habentes, vt maius ipſorum æquale ſit ſummæ reliquorum duorum, verbi gratia .25. 16. et .9. nempe .5. 4. et .3. quæ ſi colligantur in ſummam efficiunt .12. Tum ex regu-la de tribus dicemus, ſi .12. reſpondet .30: cui, 5. radix maior reſpondebit? nem-pe .12. cum dimidio.

Deinde ſi dixerimus ſi .12. valet .30. quid valebit .4. radix media? nempe vale-bit .10. tertia autem minor .7. cum dimidio. Itaquetota ſumma erit .30. & quadra- IO. BAPT. BENED. tum .12. cum dimidio erit .155. quod æquale erit ſummæ quadratorum duarum par tium, nempe .100. cum .55.

Hoc vt demonſtremusdemõſtremus, numerus diuiſibilis propoſitus ſignificetur linea .a.d. & ſum ma radicum, noſtro modo ſumptarum, linea .e.h. quarum prima & maior ſit .e.f. ſe-cunda .f.g. tertia .g.h. cogitemus etiam lineam .a.d. ea ratione diuiſam eſſe qua .e.h. patebit cnim ex modo præcedentis theorematis vnamquanque partium .a.d. ita ſe habituram ad ſuum totum ſicut ſe habent ſingulæ .e.h. ad ſuum. Quod ideo dico, vt intelligamus rectè nos dicere. Si .e.h. dat .a.d. ergo .e.f. dabit .a.b. atqueatq; ita de cæteris. Quare permutando ſic ſe habebit .a.b. ad .b.c. ſicut .e.f. ad .f.g. idem dico de reliquis. Igitur ex .18. ſexti aut .11. octaui, eadem erit proportio quadrati .a.b. ad quadratumquadratũ .b.c. quæ quadrati .e.f. ad quadratum .f.g. tota enim ſunt æqualia, cum eorum partes ſimiles inter ſe ſunt æquales. Idem dico de proportione qu@drati .a.b. nempe ita ſe habere ad .c.d. ſicut quadratum .e.f. ad quadratum .g.h. ex quo ex .24. quinti pro-portio quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum duarum partium .b.c. et .c.d. ſic ſe ha bebit ut quadrati .e.f. ad ſummam quadra-torum .f.g. et .g.h. At quadratum .e.f. æquale eſt ſummæ quadratorum .f.g. et .g.h. igitur ſic etiam ſe habebit quadratum .a.b. nempe æquale quadratis .b.c. et .c.g. Idipſum de cæ teris dignitatibus dices, vterisquevterisq́; .21. theoremate huius libri.

0048-01

THEOREMA LVII.

SImile quoque problema ab antiquis indeterminatum proponitur, quod eiuſ-modi eſt.

An numerus aliquis in tres eiuſmodi partes di@idi poſſit, vt quadratum vnius æ-quale ſit ſummæ quadratorum cæterarum duarum partium ſimul cum producto vnius in alteram.

Exempli gratia, ſi proponatur numerus .50. vt iam dictum eſt diuidendus, repe riendus erit alius quilibet numerus, qui tamen ſumma ſit trium radicum ſic ſe ha-bentium, vt quadratum vnius æquale ſit ſummæ quadratorum duarum partium ſi-mul cum producto vnius in alteram, eum autem qui primò occurrit ſumamus, utpo tè .30. qui ſumma eſt numerorum .6. 10. 14. partium ſic ſe habentium, vt quadratum ipſius .14. æquale ſit ſummæ quadratorum cæterarum partium ſimul cum produ-cto vnius in alteram, agamusq́ue regula de tribus, ac dicamus, ſi .30. valet .50. quid valebit .14. nempe .23. cum tertia parte. Idem efficiemus in cæte-ris partibus, quarum vna erit .16. cum duabus tertijs, altera verò .10. abſque @ractis, ex quo quadratum primæ erit .544. cum .4. nonis, ſecundæ .277. cum ſeptem nonis, tertiæ .100. & productum ſecundæ in tertiam .166. cum .6. nonis, quod productum, cum quadratis ſecundæ & tertiæ collectum erit .544. cum .4. nonis.

Huius rei ſpeculatio eadem eſt, quę fuit præcedentis theorematis vſquequo no-ueris eandem proportionem eſſe quadrati .a.b. ad ſummam quadratorum .b.c. et .c.d. quæ quadrati .e.f. ad ſummam quadratorum .f.g. et .g.h. Sed cum hic non demus quadratum .e.f. æquale ſummæ quadratorum .f.g. et .g.h. fed maius ex producto .g.h. in .f.g. aut quod idem eſt, è contrario, ſubſequentes figuræ cogitandæ erunt, qua-rum .i. ſit quadratum .a.b: l. ſit quadratum .e.f: x. quadratum .b.c: y. quadratum .f.g: p. quadratum .c.d: q. quadratum .g.h: k. ſit productum .b.c. in .c.d: m. ſit productum .f. THEOREM. ARITH. g. in .g.h. Nunc ex ſpeculatione præcedentis theorematis, eadem erit proportio .n.t. ad .o.u. quæ eſt .n.s. ad .o.r. quare pro-ductum .k. ex definitione ſimile erit producto .m. cum vtraque ſint rectan-gula, vnde proportio .k. ad .m. ad pro-portionem .n.t. ad .o.u. ex .18. ſexti du-pla erit. Igitur proportio .k. ad .m. æ-qualis erit proportioni .x. ad .y. et .p. ad .q. et .i. ad .l. & permutando ſic ſe ha-bebit .k. ad .i. ſicut .m. ad .l. ſed .x.p. ad .i. ſicſe habere probatum eſt vt .y.q. ad .l. Quare ex eadem .24. quinti ſic ſe habe bit .x.p.k. ad .i. ſicut .y.q.m. ad .l. ſed .y.q.m. æqualis eſt .l. Itaque .x.p.k. pariter .i. æqualis erit.

0049-01

THEOREMA LVIII.

ALIVD quoque problema, nec tamen definitum, veteres propoſuerunt, nempe an aliquis numerus in .4. eiuſmodi partes diuidi poſſit, vt ſumma qua-dratorum duarum partium dupla ſit ſummæ quadratorum reliquarum duarum.

Verum huius effectio & ſpeculatio non erit difficilis, cumcũ ſit eadem quæ præmiſsis proximè duobus theorematibus allata fuit, ſumpta nempe ſumma radicum quarun cunque ſic ſe habentium, prout dictum fuit. Verbigratia .44. cuius partes erunt. 16. 12. 14. 2. tunctũc progrediemur regula de tribus dicentes. Si .44 numerum propoſi-tum valet, quid .16. pars maior? nempe valebit partem maiorem numeri propoſi-ti reſpondentem .16. idem de cæteris dico.

Porrò ſpeculatio eadem eſt cum ſuperioribus.

THEOREMA LIX.

CVR diuidens propoſitum numerum in duas eiuſmodi partes, vt productum radicum quadratarum ipſarum partium æquale ſit alteri numero propoſito, cuius tamentamẽ quadratum maius nonnõ ſit quadrato dimidij primi numeri propoſiti. Rectè ſecundum numerum propoſitum in ſeipſum multiplicat, & eundemeundẽ ex quadrato di-midij primi detrahit, reſiduiquereſiduiq́; quadratam radicem ſubtrahit ex dimidio ipſius pri-mi, ex quo datur minor pars quæſita, quaipſi dimidio coniuncta, maior pars ha-betur.

Exempli gratia, ſi proponatur numerus, 20. propoſito modo, in duas partes eiuſmodi diuidendus, vt productum radicum æquale ſit (verbigratia) 8. Dimi-dium priminumeri in ſeipſum multiplicabimus, cuius quadratum erit .100. ex quo quadratum ſecundi numeri, nempe .64. detrahemus, remanebitqueremanebitq́; .36. cuius radi ce quadrata coniuncta .10. dimidio inquam primi numeri propoſiti, dabitur nume rus .16. pars maior, & ſubtracta à dimidio, dabitur minor pars, nempe .4.

IO. BAPT. BENED.

Hoc vt demonſtremus, primus nu- merus linea .a.b. ſignificetur, quam di-uiſam cogitemus in puncto .c. in partes quæſitas, ex quo præſupponitur duas li-neas .a.c. et .c.b. duo quadrata eſſe, quæ in altera figura ſignificetur per .d. et .e. productum autem radicum cognitum .f. quandoquidem datum eſt, cuius qua-dratum æquale erit producto quadra-torum .d.e. adinuicem, nempe .b.c. in .a.c. ex .19. theoremate huius. Quod verbi gratia ſit .x. itaqueitaq; cognitum, quo facto, doctrinam .45. theorematis libri huius ſecuti, propoſitum conſequemur.

0050-01

THEOREMA LX.

CVR productum differentiæ duarum radicum in ſummam ipſarum, ſemper differentia ſit quadratorum ipſarum radicum.

ExempliExẽpli gratia, quoslibet duos numeros pro radicibus ſumpſerimus, vt potè .3. et .5. quorum differentia eſt .2. certè ſi differentiam hanc per ſummam radicum ſcili-cet .8. multiplicauerimus, dabitur numerus .16. quod productum differentia eſt ſuorum quadratorum, nempeinter .9. et .25.

Hoc vt ſpeculemur, duæ radices in linea .n.i. ſignificentur, quarum vna ſit .n.c. & altera .c.i. ipſarum autem differentia .n.t. ex quo .t.c. æqualis erit .c.i. Tum cogitato toto quadrato .d.i. cum diametro .d.i. ductaqueductaq́ parallela lateri .n.d. à puncto .c. & altera à puncto .t. & à puncto .o. tertia ipſi .n.i. & à puncto .a. quarta .x.a.e. parallela ipſi .o. inueniemus .b.n. productum eſſe differentiæ .n.t. in ſumma radicum .n.i. & cum .d.o. et .a.o. ſint quadrata radicum prædictarum: b.e. æquale erit .n.u. cum vtrunque horum productorum æquale ſit .x.u. ex quo gnomon .e.d.u. æqualis erit producto .b.n. quod ſcire cupiebamus.

0050-02

THEOREMA LXI.

CVR propoſitum aliquem numerum diuiſuri in duas eiuſmodi partes, vt diffe-rentia radicum quadratarum æqualis ſit alteri numero propoſito, cuius ta-men quadratum dimidij primi quadratum non excedat. Rectè ſecundum numerum in ſeipſum multiplicant, productum verò ex primo numero detrahunt, rurſusquerurſusq́; di midium reſidui quadrant, & quadratum hoc ex quadrato dimidij primi ſubtrahunt, atque ita radice quadrata reſidui, dimidio primi coniuncta, pars maior datur, qua ex ipſo dimidio detracta, pars minor relinquitur.

Exempli gratia, propoſito numero .20. ita ut propoſitum eſt, diuidendo, nem-pe vt differentia radicum quadratarum dictarum partium æqualis ſit binario, bina-rium hocin ſeipſum multiplicabimus, cuius quadratum .4. è primo numero .20. de­ THEOREM. AR IT. trahemus, ſupereritqueſupereritq́; numerus .16. cuius dimidium ſcilicet .8. in ſeipſum multipli-cabimus, dabiturquedabiturq́; numerus .64. qui cum ex quadrato dimidij primi detractus fue-rit, nempe ex .100. & reſiduo .36. radix quadrata nempe .6. coniuncta denario, di-midio primi, dabit .16. partem maiorem, & ex denario detracta, partem minorem.

Cuius ſpeculationis cauſa, primus numerus propoſitus ſigniſicetur linea .x.y. pro voto diui- ſa in puncto .c. et .x.t. productum ſit ipſius .x.c. in .c.y. pariter etiam .q.p. ſit ſumma radicum quadratarum, nempe .q.g. ipſius .t.c. et .g.p. ip-ſius .c.y. Tum ſuper .q.p. extruatur & diuidatur quadratum .q.u. ea ratione qua .41. theoremate aut .29. diuiſimus, in quo ſanè quadrato, quadra tum ipſius .q.i. cernemus datæ differentiæ, & in eo collocata quadrata .x.c. et .c.y. ita etiam & rationem, qua cognoſcimus productum .g.r. (vſi modo .29. theorematis) cuius quidem .g.r. qua-dratum, ex .19. theoremate æquale erit produ-cto .x.t. ideo etiam cognitumcognitũ, ac proinde cum no uerimus .x.y. ſi rationem ſequemur .45. theore mate cognoſcemus non ſolum ratione .41. theoremate allata hocrectè perfici, ſed hac etiam alia ratione.

0051-01

THEOREMA LXII.

CVR propoſitum numerum diuiſuri in duas eiuſmodi partes, vt differentia ſuarumſuarũ radicumradicũ quadratarumquadratarũ æqualis ſit alteri numero propoſito. Cuius tamentamẽ qua- dratumqua-dratũ maius non ſit quadrato medietatis ipſius primi propoſiti numeri. Rectè etiametiã quadratumquadratũ dimidij ſecundi numeri ex dimidio primi detrahuntdetrahũt, reſiduiquereſiduiq́; radicem per ſecundum multiplicant, & productum ex dimidio primi detrahunt, vt reſiduum pars quæſita minor ſit, & illud alterum totius reſiduum, pars maior.

Exempli gratia, ſi numerus .50. in prædictas duas partes diuidendus pro- poneretur, & alter etiam .6. quadratum dimidij ſecundi numeri eſſet .9. eo detra cto ex dimidio primi, remaneret .16. cu ius radix .4. ſcilicet per totum ſecundum nempe .6. multiplicata, proferet .24. quo producto ex dimidio primi detra-cto, nempe .25. dabitur .1. pars minor, maior autemautẽ erit reſidumreſidũ .50. hoc eſt .49. radices autem erunt .1. et .7. differentes inter ſe, numero ſenario.

0051-02

Hocvt ſciamus, duo numeri lineis ſi- gnificenturſi-gnificẽtur, primus linea .b: ſecundusſecũdus linea .c. duæ autem partes .b. duobus quadra-tis .q.i. et .i.d. notentur, eorum verò radi-ces lineis .a.g. et .g.d. differentia porrò ip ſi .c. æqualis & co gnita ſit .a.h. ex quo .h. IO. BAPT. BENED. g. æqualis erit .g.d. tum productum .a.g. in .g.d. ſit .a.i. et .t.i. æqualis .a.i. et .l.i. pariter ſecetur æqualis .t.i. quæ omnia ex diametro .q.d. cogitari poſſunt: erit igitur .u.i. æ-qualis .i.d. ſupereritqueſupereritq́; quadratum .q.u. differentiæ .a.h. cognitum, hoc verò cogi-temus diuiſum eſſe in .4. partes æquales medijs diametris .p.r. et .n.e. quare vnaquæquevnaquæq; partium cognoſcetur, & quadratumquadratũ erit ipſius .a.K. aut ipſius .K.h. dimidij .a.h. Quòd ſi aliquod iſtorum quadratorum detrahere voluerimus, nempe .n.r. ex dimidio ſum mæ .b. duorum quadratorum .q.i. et .i.d. cognitæ, hac via procedemus, primum con ſiderabimus .t.r. coniunctam .t.i. quæ quantitates erunt ſumma dimidij duorumduorũ qua-dratorum .q.i. et .i.d. quando quidem .t.r. dimidiumdimidiũ eſt quadrati .t.l. et .t.i. dimidiumdimidiũ gnomonis .t.i.l. coniunctum dimidio quadrati .i.d. ex quo .i.t.r. dimidium erit .b. ex qua quantitate .i.t.r. cogitare debe mus detrahi quadratum ipſius .K.h. nem pe .n.r: quare quod ſupereſt cognitum erit nempe .y.s. cum .n.i. ſed .y.m. æqualis eſt .n.i. et .y.m. cum .y.s. conſtituunt qua-dratum .p.m. ItaqueItaq; .p.m. quadratum & conſequenter .p.s. eius radix cognoſce-tur, ita etiam & productum huius .p.s. in .s.x. æqualis .c. nempe .p.x: eſtqueeſtq́; produ-ctum huiuſmodi ſemper minus quantita te .r.t.i: per .u.i. æquale quadrato minori .i.d. quare .i.d. cognoſcetur, conſequen-ter .i. @q. tanquam reſiduum ex .b. & eo-rum radices quadratæ cognoſcentur .a.g. et .g.d.

0052-01

THEOREMA LXIII.

IDEM præſtari hac alia via, meo iudicio poteſt. Secundus numerus in ſuumſuũ dimi diumdiũ multiplicetur, productumproductũ autem ex dimidio primi detrahatur, ex quo re-manens erit productum vnius quadratæ radicis in alteram partium primi numeri quæſitarum, deinde productum hoc duplicetur, & primo numero dato coniunga-tur, ſicqueſicq́; huius ſummæ quadrata radix erit ſumma radicum quadratarum dictarum partium, cui iuncto producto ex quadrageſimoquinto theoremate ſingulæ radices proferentur.

Exempli gratia, primus numerus diuiſibilis erat .50. alter verò .6. Iam ſi multi-plicemus .6. per .3. nempe dimidium proferetur numerus .18. quo ex dimidio pri-mi, nempe .25. detracto, ſupererit .7. productum vnius radicis in alteram, quod du plicatum dabit .14. quo coniuncto cum primo numero .50. dabitur numerus .64. cuius quadrata radix ſcilicet .8. erit ſumma radicum duarum partium quæſitarum, qua & producto .7. ex quadrag eſimoquinto theoremate dictæ radices diſtinguen, tur, quarum vna erit .7. & altera .I.

Vtautem hocſpeculemur, præcedenti figura vti poterimus, in qua patet .t.r. pro ductum eſſe ſecundi numeri .c. nempe .a.h. hoc eſt .t.u. in dimidio .a.e. ſcilicet .p.t. re-ſiduum autem dimidij primi .b. eſſe .t.i. nempe .a.i. productum radicum, quod ſupple­ THEOREM. ARITH. mentum eſt quadrati .q.d. totalis. Quare duplicato .a.i. & coniuncto .b. cognoſci-mustotum .q.d. & conſequenter .a.d. ſuam radicem, hoc eſt ſummam duarum radi cum .a.g. et .g.d. quæ medio .a.i. cognito, & quadrageſimoquinto theoremate ſingu-læ cognoſcuntur.

THEOREMA LXIIII.

CVR propoſitum aliquem num erum in duas eiuſmodi partes diuiſuri, vt ſum-ma radicum dictarum partium æqualis ſit alteri numero propoſito. Rectè ſe-cundum numerum in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato, primum datum nu-merum detrahunt, rurſusquerurſusq́; reſiduum in ſeipſum multiplicant, & ex eo quadrato quartam partem deſumunt, quamquã ex quadrato dimidij primi numeri detrahunt, radi-cemq́ue qua dratam reſidui cum iunxerint, & ex dimidio primi numeri detraxerint, partes quæſitæ proferuntur.

Exempli gratia, ſi proponeretur primus numerus .20. diuidendus et .6. ſecundus pro ſumma radicum, hunc ſecundum .6. in ſeipſum multiplicabimus, dabiturquedabiturq́; nu-merus .36. ex quo quadrato primus numerus detrahetur, ſupereritqueſupereritq́; numerus .16. qui quadratus dabit .256. cuius numeri quarta pars ſumetur, nempe .64. quæ ex qua drato dimidij primi numeri detrahetur, nempe .100. ſupereritqueſupereritq́; .36. cuius radix qua drata .6. coniuncta & detracta ex .10. dabit .16. partem maiorem et .4. minorem.

Cuius rei hæc ſpeculatio, primus numerus diuiſibilis ſignificetur linea .a.b. diui-ſa in puncto .e. in partes adhuc incognitas, et .a.c. ſit productum .a.e. in .e.b. item .q.p. ſecundum numerum ſignificet, æqualem ſummæ radicum, quæ puncto .n. diſtin-guantur. Poſtmodum totum quadratum .p.d. erigatur (quod nobis eſt cognitum), in duo quadrata diuiſum .o.p. et .o.d. quorum ſumma .a.b. cum detur, cognita rema-net ſumma duorumduorũ ſupplementorumſupplementorũ .o.u. et .o.q. qua quadrata cumcũ fuerit dabit quadru plumplũ quadrati ſupplementiſupplemẽti .o.q. nempenẽpe quadruplumquadruplũ producti .a.c. etenim .a.c. ex .19. theo remate huius libri quadratum eft ipſius .q.o. ſicqueſicq́; poterant etiam veteres quadrare dimidium differentiæ .a.b. ab .p.d. nempe quadrato tantummodo ſupplemento .q.o. Tunc habito .a.c. eius ope tanquam producti .a.e. in .e.b. ex .45. theoremate ſingu læ partes cognoſcentur.

Quod alia etiam ratione præſtari poterat, nempe cognito ſupplemento .q.o. diſtinguendæ radices q.n. et .n.p. ex .45. theoremate, quibus cognitis, eorum etiam quadrata cognoſcuntur.

0053-01

0053-02

IO. BAPT. BENED.

THEOREMA LXV.

CVR propoſito numero in tres qualeſcunque partes diuiſo, ſi prima in tertiam multiplicetur, & huic producto, ſecundæ in primam productum coniungatur, itemqueitemq́; ſecundæ in tertiam, hæc ſumma duplicata æqualis ſit ſummæ productorum ſingularum in cæteras duas.

Exempli gratia, ſi proponatur .20. diuiſus in tres partes nempe .12. 5. 3. multipli-cato primo .12. per .3. tertiam partem dabitur .36. ſecunda verò multiplicata per re liquas duas, hoc eſt .5. per .12. et .3. in primis dabitur .60. poſtea .15. quorumquorũ triumtriũ pro ductorum ſumma erit .111. quæ duplicata dabit .222. qui numerus æqualis eſſe di-citur ſummæ productorum ſingularum partium in reliquas duas, nempe ſummæ .60. 36. 60. 15. 36. 15. hoc eſt ipſis .222.

Cuius rei per ſe patet ſpeculatio, cum in his ſex vltimis productis, ſingula tria prima duplicentur.

THEOREMA LXVI.

CVR propoſito numero in .3. qualeſcunque partes diuiſo, ſi in reliquas duas ſin-gulæ multiplicentur, & hæc producta cum ſumma ſuorum quadratorum con-iungantur, tota ſumma hæc vltima æqualis erit quadrato totali propoſiti numeri.

Exempli gratia, ſi fuerit idem numerus .20. in .3. partes diuiſus .12. 5. 3. Si .12. in 5. et .3. producatur, ſumma productorum erit .96. at .5. in .12. et .3. erit .75. poſtmo-dum .3. in .12. et .5. erit .51. nempe in vniuerſum .222. quadratorum porrò ſumma erit .178 quæ coniuncta .222. dabit .400. quadratum ipſius .20.

Erit autem huiuſce rei facillima ſpeculatio, ſi ſequentem figuram mente conce-perimus, in qua .a.b. propoſitum numerum ſignificet, cuius partes diſtinctæ ſint me-dio .e. et .c. Ip ſum autem .q.b. ſit quadratum totale parallelis .e.s. et .c.x. diuiſum, quæ qua dratum in triarectangula diuident, quorum primum erit .q.e. compoſitum ex producto .a.e. in ſemetipſam, nempe quadratum .o.e. & ex producto eiuſdem .a.e. in .e.b. quod erit re ctangulum .o.s. ex quo tria rectangula .o.s. et .n.x. et .t.u. tria producta erunt ſingularum par tium in cæteras duas, et .e.o: c.n: b.t. tria qua-drata erunt: quibus ſex quantitatibus quadra tum totale .q.b. completur.

0054-01

THEOREMA LXVII.

VEteres aliud quoque problema indefinitum propoſuerunt, quod tamen à nobis determinabitur.

Cur diuiſuri propoſitum numerum in duas eiuſmodi partes, vt mutuò diuiſis, & per ſummam prouenientium diuiſa ſumma qua dratorum partium, oriatur proue-niens alter numerus propoſitus.

Propoſito deinde tertio quolibet numero diuidendo per ſingulas partes primi, THEOREM. ARIT. ita vt ſimul prouenientibus in ſummam collectis huius fummæ ad primum nume-rum propoſitum proportio futura ſit ea quæ eſt tertij ad ſecundum. Rectè dimidium primi numeri in ſeipſum multiplicant, ex quo quadrato ſecundum numerum detra hunt, tum reſidui radicem ſumunt, quam iungentes, & detrahentes ex dimidio primi, partes quæſitas habent, cætera ex neceſsitate ſubſequuntur, prout nunc a me docebitur.

Exempli gratia, proponitur numerus .20. in duas partes diuidendus, quibus po ſtea mutuò diuiſis, & per ſummam prouenientium diuiſa ſumma quadratorum, dent ſecundumſecundũ numerum propoſitum .36. nam reliqua conſequuntur. Itaque .10. dimidium primi in ſeipſum multiplicatur, & ex quadrato .100. eruitur numerus .36. nempe ſecundus propoſitus reſidui porrò .64. quadrata radix .8. fumitur, quam con iungimus & detrahimus ex dimidio primi ſcilicet .10. ex quo partes quæſitæ dabun tur .18. et .2. quæ mutuo diuiſæ dabunt ſuorum prouenientium ſummam .9. cum no-na parte, per quam diuidentes .328. ſummam quadratorum ipſarum partium, exactè dabitur numerus .36. qui fuit ſecundò propoſitus. Tum ſi per ſingu-las iam inuentas partes quilibet numerus diuiſus fuerit, verbi gratia .72. ſumma pro uenientium erit .40. qui num@rus eandem proportionem cum primo nempe .20. ſer uabit, quam tertius propoſitus .72. cum ſecundo .36.

Quod vt ſpeculemur, primus numerus ſignificetur linea .n.e. ita diuidendus à puncto .o. vt diuiſa parte .n.o. per .o.e. et .o.e. per .n.o. & per ſummam prouenien-tium diuiſa ſumma quadratorum .n.o. et .o.e. detur ſecundus numerus notatus linea .q.K. Porrò meminiſſe oportet quòd .26. theoremate probatum fuit vltimum hoc proueniens æquale producto partium inter ſe futurum, nempe producto .n.o. in .o.e. quod ſignificetur rectangulo .n.e. Itaque datis .n.e. et .q.K. ſi .45. theorema conſu-luerimus, partes .n.o. et .o.e. cognoſcemus.

Proponitur deinde tertius quilibetnumerus, verbi gratia .x. diuidendus per .o.e. et .o.n. qui ſi diuidatur per .o.e. dabit pro ueniens .b.o. Si verò per .n.o. proueniens erit .d.n. nunc aſſerimus ſummamſummã duorum horum prouenientium, ſic primo nume-ro .n.e. dato proportionatam eſſe, ſicut tertius .x. ſecundoſecũdo .q.K. Producatur enim li-nea .d.n. donec .n.q. æqualis ſit .o.b. ex quo .q.d. erit ſumma vltimò prouenien-tium: item producatur .e.n. donec .n.u. æ-qualis ſit .o.e. termineturquetermineturq́ rectangulum .q.u. quod tertio numero propoſito .x. vt patet, æquale erit, quare ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi eadem erit proportio .d.n. ad n.q. quæ .u.n. nempe .o.e. ad .o.n. & com-ponendo .d.q. ad .q.n. ſicut .e.n. ad .n.o. & permutando .d.q. ad .e.n. quæ .q.n. hoc eſt .b.o. ad .o.n. nempe ſicut .b.e. ad .e.n. ſuperficialem, ex prima ſexti aut .18. vel .19. ſeptimi, ſed rectangulum .e.n. conſtitutum fuit æquale numero .q.K. itaque verum eſt propoſitum.

0055-01

IO. BAPT. BENED.

THEOREMA LXVIII.

CVR numero per numerum diuiſo, productoqueproductoq́; duorum numerorum per pro-ueniens multiplicato, quod vltimò productum eſt, diuiſi numeri ſemper qua dratum exiſtat.

Exempli gratia, ſi diuidamus .10. per .2. proueniens erit .5. quo producto ex duo bus numeris multiplicato, nempe .20. habe bimus .100. quadratum numeri diuiſi.

0056-01

Cuius gratia duo numeri ſint .a. et .e. por rò .a. per .e. diuiſo detur .u. tum .o. produ-ctum .a. in .e. eſſe conſtituatur, quo per .u. multiplicato dabitur .x. quadratum .a. pro-ptereà quòd .a. medium eſt proportionale inter .o. et .u. ex .35. theoremate. itaque ex .16. ſexti aut .20. ſeptimi, propoſiti veri-tas eluceſcet.

THEOREMA LXIX.

CVR numero aliquo per duos alios multiplicato & diuiſo, ſi per horum duo-rum productum, ſumma duorum primorum productorum diuiſa fuerit, vl-timum proueniens, ſummæ duorum primorum prouenientium æquale ſit.

Exempli gratia, proponitur numerus .24. per .8. et .6. multiplicandus & diuiden dus ſumma productorum crit .336. prouenientium autem .7. ſi igitur ſummam .336. productorum per productum duorum ſecundorum numerorum nempe .48. diuiſe-rimus, proueniens pariter erit .7.

In cuius gratiamgratiã primus numerus ſignificetur linea .q.b. multiplicandus & diuiden-dus numeris deſignatis per .k.m. et .y.m. productorum ſumma ſit .k.z. prouenien-tium autem .a.e: et .a.o. ex .k.m. et .o.e. ex .y.m: tum productum .k.m. in .m.y. ſit .f.m. Dico quòd ſi .k.z. per .f.m. diuiſerimus proueni et .a.e. Quod cum ſic fuerit, erit quoque verum quòd diuiſa .k.z. per .a.e. proueniet .f.m. numerus ſcilicet æqualis numero .f.m. ex .13. theoremate huius. Itaque quotieſcunque probauero quòd di-uiſa .k.z. per .a.e. proueniat numerus æqualis ipſi .f.m. propoſitum verum eſſe con ſequetur. ex .13. theoremate. Quòd ſi proueniens ex diuiſione .k.z. per .a.e. æqua le fuerit .f.m. patet ex .7. quinti quòd eademeadẽ erit proportio numeri .k.m.y. ad ipſum proueniens, quæ ad numerum .f.m. Cogitemus itaqueitaq; .k.u. æqualem .a.e. ſuper quam mente concipiamus rectangulum .u.p. æqualem .k.z. ex quo eadem erit proportio .k.p. ad .k.y. quæ .g.k. ad .k.u. ex .15. ſexti, aut, 20. ſeptimi, numerus autem .k.p. erit proueniens, quod probandum eſt æquale eſſe .f.m.

Probabitur autem ſic, ex .9. quinti, nempe demonſtrato quòd numerus .k.p. ean dem proportionem habeat ad numerum .k.y. quam habet numerus .f.m. ad eundem k.y. Sed probatum eſt ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .k.p. ad .k.y. ſufficiet igitur pro-bare ſic ſe habere .k.g. ad .k.u. ſicut .f.m. ad .k.y. Sed .k.g. dicitur æqualis eſſe .q.b: et .k. u; a.e. ſatis erit igitur probare ita ſe habere .q.b. ad .a.e. ſicut .f.m. ad .k.y. Scimus au-tem quòd eadem eſt proportio .q.b. ad .a.o. quæ .m.k. ad vnitatem, quæ ſit .x. & quod proportio .o.e. ad .q.b. eadem eſt, quæ .x. ad .m.y. ex definitione diuiſionis. Quare ex æqualitate proportionum eadem erit proportio .k.m. ad .m.y. quæ .e.o. ad .o.a. & THEOREM. ARIT. componendo ſic ſe habebit .k.y. ad .m.y. ſicut .e.a. ad .o.a. & permutando .k.y. ad .e.a. ſicut .m.y. ad .o.a. & ex .19. quinti ita .k.m. ad .e.o. ſicut .k.y. ad .e.a. & permutando .k.m. ad .k.y. ſicut .e.o. ad .e.a. Nunc producatur .f.t. donec .t.i. æqualis ſit .k.y. produ- ctaqueprodu-ctaq́; .m.t. done c.t.s. æqualis ſit vnitati .x. termineturquetermineturq́; rectangulum .s.i. ex quo da-bitur proportio numeri .f.m. ad numerum .s.i. compoſita ex .m.t. ad .t.s. et .f.t. ad .t.i. ex .24. ſexti, aut quinta octaui, ſed ita etiam proportio .q.b. ad .a.e. componitur ex eiſdem proportionibus, nempe ex .q.b. ad .o.e. æquali .m.t. ad .t.s. & ex proportione .o.e. ad .a.e. æquali .f.t. ad .t.i. ita que proportio numeri .f.m. ad .s.i. hoc eſt ad numerumnumerũ ipſius .k.y. ęqualis eſt proportioni numeri .q.b. ad .a.e. nempenẽpe .k.g. ad .k.u. hoc eſt .k.p. ad x.y. ex quo ſequitur .k.p. conſtare numero ęquali .f.m. proueniens igitur ex diuiſione numeri .k.z. per .f.m. æquale eſt numero ipſius .a.e.

0057-01