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Un Examen de l’opinion de M.
BORELLI,
ſur les propriétez des Poids ſuſpendus
par des Cordes.
Chez {la Vcuve d’
Edme Martin, \\ Jean Boudot, \\ & Estienne Martin,} ruë S. Jaques, \\ au Soleil d’or.
MESSIEVRS,
Fe n’ay pas crû devoir expoſer au
jugement du public ce Projet d’une
puyer d’une auſſi grande autboritè
que la vôtre, moy qui n’ay encore au-
cun nom dans les Lettres, & qui dois
par conſèquent me dèfier de ces pre-
miers mouvemens que @amour des
Sciences inſpire àceux qui commencent
à s’y apliquer. Sans cela on pourroit
juſtement m’accuſer de quelque tèmèri-
tè, d’avoir entrepris de dècouvrir dans
cette matière ce que tant de ſc1;avans
Autbeurs n’ont pas dècouvert; &
je
craindrois de m’être laiſſè tromper
par ces illuſions flateuſes de la nou-
veautè qui abuſent d’ordinaire les
bommes, lorſqu’ils ſe piquent d’avoir
des opinions particulières. Fe puis dire
neanmoins, Messieurs, que ce
n’eſt pas l’ambition de me ſignaler par
des idèes extraordinaires qui m’a
c’eſt un
Eſſay que j’ay voulu faire de mes for-
ces pour être connu de vous, & pour
vous donner occaſion de m’encourager
dans l’ètude que j’ay embraſsèe. Si je
n’ay pas tout ce qui eſt nècèſſaire pour
inſtruire les autres, j’ay du moins
toute la docilitè qu’il faut pour être
inſtruit: je ne me flatte point auſſi
d’avoir ètabli des principes certains
dans ce Projet, n’y d’en pouvoir
tirer des conſèquences infaillibles: Vous enjugerez mieux que perſonne,
Messieurs, Vous qui pènètrez ſi
avant dans les Sciences les plus rele-
vèes. On ſçait que rien n’ècbape à
vos ſoins & à vôtre èxactitude;
La
Nature ſi avare aux autres de ſes
treſors & ſi obſtinèe à ſe cacber, n’a
pû ſe dèfendre contre la pènètration
de vôtre eſprit & contre la ſubtilitè
vous en avez plus
dècouvert en vingt ans, qu’on n’a-
voit fait en pluſieurs Siècles. Vos
Obſervations Aſtronomiques ont dè-
voilè (pour ainſi dire) des Planettes
qui ſe dèroboient à nos yeux; vos
meſures ſi prèciſes ſur la terre, par
raport à celles que vous preniez en
même tems dans le Ciel, ont rècti-
fiè mille erreurs de nos anciens Geo-
grapbes. La Pbyſique vous doit
ce qu’elle a de plus curieux, ſoit
dans la diſſection du Corps bumain
& des Animaux, ſoit dans la deſ-
cription & dans l’analyſe des Plan-
tes, des Eaux & des Mineraux.
Lue ne vous doivent point auſſi les
Matbematiques en gènèral pour
tant d’ouvrages celebres que vous
avez mis au jour? Enfin, il n’y a
perfectionnèe & que vous n’enri-
cbiſſiez de tems en tems par vos
travaux. Lue n’attend on pas en-
core de vous, animez comme vous
êtes par les bienfaits d’un Grand
Roy, qui veut renàre ſon Regne
auſſi glorieux par les Sciences & par
les Arts, qu’il l’eſt dèja par ſes
prodigieuſes Conqueſtes, & par tou-
tes ſes Hèroϊques actions? A quoy
ne devez vous pas aſpirer vous-
meſmes aujourd’buy ſous la protè-
ction d’un Miniſtre ſi ſage & ſi vi-
gilant, qui excite tout le monde par
ſes ordres & par ſon exemple à
illuſtrer & à cèlèbrer un Regne ſi
plein de merveilles ? Souffrez donc,
Messieurs, s’il vous plaît,
vous qui êtes comme à la ſource de
à qui
rien ne manque pour continuer vos
recbercbes, & pour augmenter vos
connoiſſances, que j’oſe vous offrir
& mettre au jour ce que j’ay puisè
dans cette ſource, & qu’en eſſayant
de vous ſuivre & de vous imiter, je
puiſſe quelquefois profiter de vos
lumières, & vous aſſeurer que je ſuis
avec une parfaite vènèration,
MESSIEVRS,
Vôtre tres-humble &
tres-
obéϊſſant ſerviteur
V
ARIGNON.
A L’ouverture du ſecond Tome des
Lettres de Monſieur Deſcartes, je
tombai ſur un endroit de la 24. où
il dit que c’eſt une cboſe ridicule,
que de vouloir employer la raiſon du Le-
vier dans la Poulie. Cette réfléxion m’en
fit faire une autre@Sçavoir s’il eſt plus rai-
ſonnable de s’imaginer un levier dans un
poids qui eſt ſur un plan incliné, que dans
une poulie. Aprés y avoir penſé, il me
ſembla que ces deux machines étant pour le
moins auſſi ſimples que le levier, elles n’en
devoient avoir aucune dépendance, & que
ceux qui les y rapportoient, n’y étoient forcez
que parce que leurs principes n’avoient pas aſſez
d’étenduë pour en pouvoir démontrer les pro-
priétez indépendamment les unes des autres.
En effet en éxaminant ces principes un peu
tout au plus, qu’à démontrer que l’equilibre
ſe trouve toujours dans un levier auquel ſont
appliquez deux poids qui ſont entr’ eux en
raiſon rèciproque des diſtances de leurs lignes
de direction à ſon point d’appui; encore n’é-
toit-ce qu’en ce cas: 1°.
Que ce levier fût
droit. 2°.
Que ſon point d’appui fût entre les
lignes de direction des poids qui y ſont appli-
quez. 3°.
Lue ces mêmes lignes fuſſent pa-
ralleles entr’elles, & perpendiculaιres à ce
levier. Auſſi Guid-Ubalde, &
les autres qui
s’en tiennent à la démonſtration d’Archimede,
ont-ils été obligez de faire@
de force toutes ſortes de machines à cette
eſpece de levier, & de réduire de même tous
les autres cas à celui-ci.
C’eſt peut-être ce qui a porté M.
Deſcartes,
& M.
Vvallis a prendre une autre route;
quoi qu’il en ſoit, ce n’a pas été ſans ſuccez:
puiſque celle qu’ils ont ſuivie, conduit éga-
lement à la connoiſſance des uſages de chacune
de ces machines, ſans être obligé de les faire
dépendre l’une de l’autre; outre qu’elle à mené
M. Vvallis beaucoup plus loin qu’aucun
ce côté-là.
La comparaiſon que je fis de ces deux
fortes de principes, me fit ſentir que ceux d’Ar-
chimede n’étoient ny ſi étendus, ny ſi con-
vainquants que ceux de M. Deſcartes, &
de
M. Vvallis;
mais je ne ſentis point que les uns
ny les autres m’éclairaſſent beaucoup: J’en
cherchai la raiſon, & ce défaut me parut venir
de ce que ces Autheurs ſe ſont tous plus atta-
chez à prouver la néceſſité de l’équilibre, qu’à
montrer la maniére dont il ſe fait.
Ce fut ce qui me fit réſoudre à prendre le
parti d’épier moi-même la nature, & d’eſſayer
ſi en la ſuivant pas à pas, je ne pourrois point
apercevoir comment elle s’y prend pour faire
que deux puiſſances, ſoit égales, ſoit inégales,
demeurent en équilibre. Enfin je m’appliquai
à chercher l’équilibre lui-même dans ſa ſource,
ou pour mieux dire, dans ſa génération.
Le premier objet qui me vint à l’eſprit, ce
fut un poids qu’une puiſſance ſoutient ſur
un plan incliné; D’abord je me le repréſentai
direction avec celle de cette puiſſance, ſe fit
dans quelqu’un de ſes points: De-là je vis que
leur concours d’action ſe faiſant auſſi par ce
moyen dans ce ſeul point, il devenoit alors
ſon centre de direction: De ſorte que ſi ce
plan eut manqué tout d’un coup, ce corps au-
roit néceſſairement ſuivi l’impreſſion de ce
point. Je cherchai enſuite quelle devoit être
cette impreſſion, & j’aperçus que celles que
faiſoient ſur ce point, & la peſanteur de ce
poids, & la puiſſance qui le retenoit, étant
les mêmes que s’il eut été pouſſé en même-
tems par deux forces qui leur euſſent été éga-
les, & qui euſſent agi ſuivant leurs lignes de
direction: J’aperçus, dî-je, qu’il lui en réſultoit
une impreſſion compoſée ſuivant une ligne
qui étoit la diagonale d’un parallelogramme
fait ſous des parties de ces lignes de direction,
qui étoient entr’elles, comme ce poids &
cette puiſſance: D’où je vis que l’impreſſion
de ce corps ſe faiſoit alors ſuivant cette diago-
nale, qui devenoit en ce cas ſa ligne de di-
rection; mais que ce plan lui étant perpendi-
culairement oppoſé, il la ſoutenoit toute en-
tiére; ce qui faiſoit que ce poids ainſi pouſſé
de
la puiſſance qui lui étoit appliquée, demeuroit
ſur ce plan incliné de même que s’il eut été
horizontal, & que cette impreſſion compoſée
n’eut été qu’un effet de ſa ſeule peſanteur.
De cette penſée j’en vis naître pluſieurs
autres, & jem’aperçus 1°.
Que toute l’impreſ-
ſion que ce plan recevoit alors de ce poids
ainſi ſoutenu par cette puiſſance, ſe faiſoit
ſuivant cette diagonale. 2°.
Que ſa charge,
c’eſt-à-dire, la force de cette même impreſ-
ſion, étoit à ce poids & à cette puiſſance,
comme cette même diagonale à chacun des
côtez qui les répréſentent dans ſon parallelo-
gramme. 3°.
Que ce poids, &
cette puiſſance
étoient toujours entr’eux comme ces mêmes
côtez, c’eſt-à-dire, en raiſon réciproque des
ſinus des angles que font leurs lignes de direc-
tion avec cette diagonale, ou (ce qui revient
au même ) en raiſon réciproque des diſtances
de quelque point que ce ſoit de cette diago-
nale à leur lignes de direction. Je vis enfin
preſque tout à la fois quantité de choſes tou-
tes nouvelles qu’on verra dans les Corollaires
de la propoſition des ſurfaces.
Aprés avoir ainſi trouvé la maniére dont
l’équilibre ſefait ſur des plans inclinez, je cher-
chai par le même chemin comment des poids
ſoutenus avec des cordes ſeulement, ou appli-
quez à des poulies, ou bien à des leviers, font
équilibre entr’eux, ou avec les puiſſances qui
les ſoutiennent; &
j’aperçus de même que tout
cela ſe faiſoit encore par la voye des mouve-
mens compoſez, & avec tant d’uniformité
que je ne pûs m’empêcher de croire que cette
voye ne fût véritablement celle que ſuit la
nature dans le concours d’action de deux
poids, ou de deux puiſſances, en faiſant que
leurs impreſſions particulieres, quelque pro-
portion qu’elles ayent, ſe confondent en un@
ſeule qui ſe décharge toute entiére ſur le point
ou ſe fait cét équilibre: De ſorte que la
raiſon Phyſique des effets qu’on admire le
plus dans les machines me parut être juſte-
ment celle des mouvemens compoſez.
Je me démontrai d’abord par cett@ mé-
thode, & ſans le ſecours d’aucune machine,
les propriétez des poids ſuſpendus avec des
cordes, en quelque nombre qu’elles ſoient, &
faire entr’elles. De-là je paſſai à une démonſ-
tration des poulies qui comprend toutes les
directions poſſibles des puiſſances, ou des
poids qui y ſont appliquez, ſoit que le centre
de ces poulies demeure fixe, ſoit qu’on le ſup-
poſe mobile. Enſuite au lieu de la démonſtra-
tion qu’on ne fait ordinairement que pour les
plans inclinez, j’en trouvai une qui s’étend
généralement à toutes ſortes de ſurfaces, & à
toutes les directions poſſibles des puiſſances,
ou des poids qui y ſont appliquez. Enfin d’une
ſeule démonſtration je découvris les proprié-
tez de toutes les eſpeces de leviers, de quel-
que figure, & dans quelque ſituation qu’ils
ſoient, & pour toutes les directions poſſibles
des puiſſances, ou des poids qui y ſont appli-
quez.
Des vuës ſi étenduës me ſurprirent, &
l’é-
vidence avec laquelle le détail de tout cela
me paroiſſoit, indépendamment même du
général, me confirma encore dans l’opinion
ou j’étois, qu’il faut entrer dans la génération
d e l’équilibre pour y voir en ſoi, & pour y
reconnoître les propriétez que tous les autres
néceſſité de conſéquence.
Il y a encore un avantage dans la route
que je tiens, c’eſt qu’elle facilite extrémement
le calcul des forces, tant des poids, que des
puiſſances, en ce que leurs raports y ſont tou-
jours déterminez immédiatement par les ſinus
des angles que font leurs lignes de direction
avec celle de l’impreſſion qui réſulte de
leur concours d’action, & que cette méthode
détermine pour le point ou elles concourent. On y voit, que lors que deux puiſſances,
ou deux poids, ou bien une puiſſance & un
poids font équilibre, ſoit avec des cordes
ſeulement, ſoit à l’aide de quelque poulie, de
quelque ſurface, ou de quelque levier que ce
ſoit; ils ſont toujours entr’ eux en raiſon réci-
proque des ſinus de ces mêmes angles.
J’avois deſſein d’expliquer avec cette mé-
thode les effets les plus ſurprenans, & les plus
difficiles des machines compoſées que l’on ren-
contre dans les arts, & dans la nature;
mais cela
demandoit plus de loiſir, & même un plus
grand nombre d’expériences que l’état de ma
c’eſt pour cela
que je me ſuis déterminé à ne donner préſente-
ment que les Propoſitions fondamentales de
la Méchanique: peut-être que de plus habiles
gens que moy, & qui ſeront plus en état de
faire cette entrepriſe, voudront bien ſe donner
la peine d’en faire l’application à la Phyſique.
Mais en attendant, je ne laiſſeray pas d’a-
maſſer tout ce que je pouray d’expériences
pour ce deſſein; c’eſt pourquoy je prie ceux
qui n’auront pas en vuë d’y travailler, de vou-
loir bien me communiquer celles qu’ils croi-
ront s’y pouvoir rapporter: &
ſur tout de
me faire part de tout ce qui leur viendra de
difficultez ou de lumieres ſur les principes
qu’on propoſe icy, leur promettant d’en uſer
avec toute la docilité d’un homme qui ne
cherche que la vérité.
LES corollaires qu’on verra
citez dans la Solution de cba-
que Problême ſuivant, ſeront de la
Propoſition fondamentale qui le pré-
cède. C’eſt de peur d’ennuyer par
des rèpètitions trop frèquentes qu’on
ne la citera point.
CE C 1
ces matières pour en pouvoir juger, on ne s’arrê-
tera point à répéter des Définitions, ny des Axio-
mes qui ſe trouvent par tout; en voici ſeulcment
un, avec une demande, & quelques Lemmes
particuliérement néceſſaires pour l’intelligence de ce Projet.
Les eſpaces que parcourt un même corps, ou des
corps égaux dans des tems égaux, ſont entre-eux
comme les forces qui les meuvent; &
réciproque-
ment lorſque ces Eſpaces ſont entre-eux comme ces
On ſuppoſe ici que dans tout corps qui ſe meut,
ou qui fait effort pour ſe mouvoir, il y a toûjours
un certain point qui ſurchargé de l’impreſſion de
tous les autres, détermine ce corps à ſuivre celle
qu’il a pour lors vers l’endroit où il tend. On ne ſe
met point en peine que ce point ſoit le même dans
toutes les ſituations poſſibles de ce corps: c’eſt aſſez
que dans chaque ſituation il y en ait un que l’on
appelle ici ſon Centre de gravité, ou, plus générale-
ment ſon Centre de direction, ou, d’équilibre, du moins
pour le tems qu’il détermine ainſi ce corps à ſuivre
ſon impreſſion; &
la ligne qui joint ce point avec
celui où il tend, s’appelle ſa Ligne de direction.
On ne met ceci en ſuppoſition que pour abréger;
autrement
on le pourroit dèmontrer: car il n’y arien de plus évident que
de tous les points d’un corps, il y en a toûjours, & même
néceſſairement, quelqu’un autour duquel l’impreſſion qu’ils
ont tous vers le côtè ou ce corps tend, ſe trouve ſi ègalement
partagèe qu’ils demeureroient en èquilibre deſſus, ſi ſans cban-
ger la ſituation de ce corps par raport à l’endroit où il tend,
on le rendoit fixe; &
par conſèquent l’impreſſion d’un tel
point ainſi ſurcbargè de celle de tous les autres, étant l
même que s’il ètoit le ſeul qui en eût, il doit déterminer ce
corps à la ſuivre.
Il n’y a rien-là, ce me ſemble, que de clair;
cependant
s’il ſe trouvoit quelqu’un qui faute de le voir de même, fit
difficultè de l’accorder, il peut prendre dans la ſuite les corps
dont on parlera, pou@ des points qui ayent la peſanteur, ou
l’impreſſion qu’on y ſuppoſe; ou bien pour des puiſſances appli-
quées de même, & qui leur ſoient ègales:
parce que les démonſ-
aux autres.
LE poids A ètant ſuſpendu à une corde EH, ou à deux
NH attacbèes à un même point fixe H;
ou bien ſoutenu ſur un pieu EH, ou ſur deux MH &
NH
appuyez auſſi ſur un même point H: en ſorte que la li-
gne A H, qui joint ſon Centre de gravitè A avec ſon
point de ſuſpenſion, ou d’apuy, faſſe quelque angle que c@
ſoit avec ſa ligne de direction AK: Ce poids tombera de A
vers B le long de l’arc A B dont H eſt le centre, juſqu’à
ce que la ligne AH ſoit dans la perpendiculaire, ou dans
le plan borizontal H B, & étant arrivé en B, ily demeu-
rera, ſi l’on n’y ſuppoſe à’autre cauſe que ſa peſanteur.
L’effet de la peſanteur du poids A, c’eſt de l’ap-
procher ( byp. ) du centre de la terre, c’eſt-à-dire,
( dem. ) d’en approcher ſon centre de gravité A,
tant que rien ne l’en empêche. Or dans la ſituation
preſente rien ne l’empêche de s’en approcher de la
longueur de A K, en tombant le long de l’arc A B
juſqu’en B; au contraire étant arrivé en B, la cor-
de E H, ou les cordes M H & N H;
ou bien le plan
horizontal H B, le retiennent & l’empêchent de
deſcendre davantage; &
par conſéquent ce poids
dans la ſituation preſente tombera le long de l’arc A B
juſqu’en B, & y étant arrivé, il y demeurera.
Ce
qu’il faloit demontrer.
On prouvera de même que tout autre corps, de
que largeur qu’elle ſoit, doit neceſſairement avancer
du côté ou il eſt pouſſé par ſa peſanteur, ou par
quelqu’autre force que ce ſoit, non-ſeulement tant
que ſa ligne de direction ne paſſe point par ce point
d’apuy, ny par aucun de la partie de cette face ſur
laquelle il s’appuye; mais encore tant qu’elle n’eſt
point perpendiculaire au plan, ou à la ſurface qui ſe
trouve à ſon paſſage; c’eſt-à-dire, tant que ſon centre
de direction n’eſt point appuyé: Car ce centre pou-
vant encore avancer du côté où il tend, la force qui
le pouſſe, ne manquera pas de l’y obliger; Mais auſſi
par une raiſon toute contraire, ſi-tôt que l’un, &
l’autre arrivera, ce corps demeurera néceſſairement
en cet état.
LE poids MN étant ſuſpendu par deux cordes P M &
R, &
qui prolon-
gées concourent en H, ſa ligne de diréction A H paſſera
par ce point de concours.
Premiérement ( fig.
5.
) l’effort que le poids M N
fait pour attirer le point P de la corde P M vers M,
étant le même qu’il feroit contre le point H, ſi cette
corde prolongée y étoit attachée, & non plus en P;
ce corps, ou ce poids eſt ſoutenu par cette corde,
comme ſi elle n’étoit attachée qu’en H. Pour la
même raiſon il eſt auſſi ſoutenu par la corde R N,
comme ſi étant prolongée, elle n’étoit attachée qu’en
H: Il eſt donc ſoutenu par ces deux cordes enſem-
l’autre étant prolongée, elles
&
par con-
ſéquent ( Lemm. 1.
) la ligne de direction A K de ce
poids ainſi ſuſpendu, paſſera par le point H où les
cordes P M & R N concourent.
Ce qu’il F.
D.
Secondement ( fig.
6.
) l’effort que le poids M N fait
pour attirer le point P de ſa corde P M vers M, étant
le même que celui dont il preſſe ſon point C vers H,
il eſt encore ſoutenu par cette corde, comme il le
ſeroit par le pieu C H. Et pour la même raiſon il
eſt ſoutenu par la corde R N, comme il le ſeroit par
le pieu D H: Donc il eſt ſoutenu par ces deux cor-
des, comme il le ſeroit par ces deux pieux enſemble: &
par conſéquent ( Lemm.
1.
) la ligne de direction
A K de ce poids ainſi ſuſpendu, paſſera encore par le
point H. Ce qu’il F.
D.
De-là il eſt clair que de quelque côté que tende
le corps M N, & que ſa ligne de direction ſoit tour-
née, ſoit que cette impreſſion lui vienne de ſa pe-
ſanteur, ou de quelque autre force, cette ligne de
direction paſſera toûjours par le point H, ou les cor-
des qui le retiennent, doivent concourir, ou con-
courent en effet.
De ſorte que ſi ces cordes ne concourent qu’à une
diſtance infinie, c’eſt-à-dire qu’elles ſoient paralleles
entre-elles, cette ligne de direction ſera auſſi parallele
à l’une & à l’autre.
SI le point A ſans peſanteur eſt pouſſé en même tems,
uniformément par deux puiſſances E &
F ſuivant
les lignes A C & A B, qui faſſent entre-elles quelque an-
gle C A B que ce ſoit, & que la force dont agit la puiſ-
ſance E, ſoit à celle dont agit la puiſſance F, comme A C
à A B. Ce point A ſuivra la Diagonale A D du paral-
lelogramme B C fait ſous ces deux lignes.
Le point A pouſſé par la puiſſance E vers C D,
l’eſt de même que s’il y étoit porté avec la ligne A B
toûjours parallele à elle-même, de la même viteſſe
qu’il y eſt pouſſé; Nous pouvons donc le regarder
comme pouſſé de cette maniére vers C D avec la
ligne A B toûjours parallelle à elle-même, ou à C D,
au même tems qu’il eſt pouſſé par la puiſſance F
le long de la même ligne A B. Or cela bien conçu,
il eſt clair qu’en quelque point, par exemple G, que
la ligne A B rencontre A D, le point A s’y trouvera
toûjours: parce que la force qui le porte avec A B
vers C D, eſt à celle qui le porte le long de la mê-
me A B, comme ( byp. ) A C à A B;
c’eſt-à-dire, en
tirant H K par le point G parallele à A B, comme
A K à K G: Donc ( ax.
) au même tems que A B
parcourt A K, & qu’elle arrive avec le point A en
H K, ce même point parcourt une partie de A B
égale à K G; &
par conſéquent il ſe trouve alors
en G. On démontrera de même qu’au même tems
que A B arrive en C D, le point A ſe trouve en D; &
ainſi dans tous les autres points de la Diagona-
le A D: &
par conſéquent ce point ainſi pouſſé ſe
Ce qu’il
D.
Quand bien même les forces dont agiſſent les puiſ-
ſances E & F augmenteroient ou diminuëroient,
pourvu que ce fut ſuivant la même proportion de
part & d’autre;
ce même point ſe meuvroit encore
exactement le long de A D: parce que ces forces
ſeroient encore entre-elles comme A C à A B, ou
comme A K à K G.
C’eſt la même choſe que le point A ſoit pouſſé le
long de A D par le concours d’action des puiſſances
E & F, ou qu’il y ſoit pouſſé par une ſeule puiſſance
d’une viteſſe égale à celle que lui cauſent ces deux
enſemble.
Puiſque le point A parcourt A D &
A B en même
tems, la force, ou le compoſé de forces, qui le pouſ-
ſe le long de A D, eſt à celle qui le pouſſe le long
de A B, ( ax. ) comme A D à A B.
Et pour la même
raiſon, elle eſt à celle dont il eſt pouſſé le long de
A C, comme A D à A C.
PRèſentement que le point A ſoit le centre de diréction
que ce corps ſoit pouſſè en même tems
& uniformèment par deux puiſſances appliquées en E &
en F, ſuivant les lignes E C & F B, qui paſſent par le
point A, avec des forces qui ſoient entr’elles comme A C
A B:
que l’on acbeve le parallelogramme B C, &
que
cune peſanteur. Quelque angle BAC que ces lignes faſſe
entr’elles, ce corps ainſi pouſſè ſuivra la diagonale A D.
Les lignes EC &
FB, ſuivant leſquelles les puiſ-
ſances E & F agiſſent, paſſant ( byp.
) par le point A,
il eſt pouſſé en même-tems, & uniformement ſuivant
ces mêmes lignes vers CD & BD, par des forces
qui ſont entr’elles, ( byp. ) comme A C à A B:
Donc
( Lem. 3.
) le point A, &
par conſéquent auſſi
( Dem. ) le corps EF ſuivra la diagonale AD.
Ce
qu’il F. D.
On voit que c’eſt la même choſe que le corps EF
ſoit pouſſé ſuivant AD par le concours d’action de
deux puiſſances appliquées en E, & en F, ſuivant
des lignes EC & FB qui paſſent par ſon centre de
gravité A, ou qu’il y ſoit pouſſé par une ſimple
puiſſance d’une viteſſe égale à celle que lui cauſent
ces deux enſemble: de ſorte que ſi AD étoit perpen-
diculaire à l’horizon, & que la peſanteur, que nous
concevons préſentement être dans ce corps, l’em-
portât le long de cette ligne avec une ſemblable vi-
teſſe, il la ſuivroit de même que s’il n’avoit en effet
aucune peſanteur, & qu’il fût pouſſé de la maniére
que nous venons de dire, par les deux puiſſances
E & F.
C’eſt pour cela auſſi que ce corps étant pouſſé par
ſa peſanteur ſuivant A D perpendiculaire à l’hori-
zon, s’il lui ſurvenoit quelqu’autre force qui le
Quelque angle que ces deux lignes
fiſſent entr’elles, ce corps ſuivroit la diagonale d’un
parallelogramme fait ſous des parties de ces lignes,
qui depuis le point de leur rencontre, fuſſent entre-
elles, comme la peſanteur de ce poids & cette nou-
velle force: Il la ſuivroit, dis-je, de la même
maniére que s’il n’étoit pouſſé que par une ſeule
puiſſance ſuivant cette diréction, & d’une viteſſe
égale à celle que lui pouroient cauſer ces deux en-
ſemble.
Il ſuit encore de cette propoſition, &
du Corol-
laire 3. du Lemme 3.
, que la force dont le corps E F
eſt pouſſé le long de A D, eſt à celle dont la puiſ-
ſance F le pouſſe le long de A B, comme A D à A B; &
à celle dont la puiſſance E le pouſſe le long de A C,
comme A D à A C.
L E S trois côtez d’un triangle réctiligne, quel qu’il ſoit,
ſont ooppoſez.
Soit ABD tel triangle réctiligne qu’on voudra,
inſcrit dans un cercle, dont C ſoit le centre; ſur
quelqu’un de ſes côtez, comme A B, ſoit menée du
centre C la perpendiculaire C E avec la ligne C A. Il eſt clair que A E eſt le ſinus de l’angle A C E,
qui eſt égal à l’angle D; Donc A B eſt le double du
Et pour la même raiſon, BD eſt
&
AD le dou-
ble auſſi de celui de l’angle B: Donc les trois côtez
de cetriangle ſont entr’eux, comme le double du ſinus
de chacun des angles auſquels ils ſont oppoſez: Donc
ils ſont auſſi entr’eux, comme ces mêmes ſinus. Ce
qu’il F. D.
En quelque nombre qu’elles ſoient;
&
pour
tousles angles poſſibles qu’elles peuvent faire
entre-elles.
LE Poids K ſoutenu avec les cordes P B &
C R par
R, &
en équilibre avec elles, eſt
toujours à cbacune d’elles, comme le ſinus de l’angle P A R que
leurs cordes font entre-elles, à chacun des ſinus des angles
RAK & PAK que font avec la ligne de direction AK
de ce poids, chacune de ces cordes réciproquement priſes. Par
exemple, il eſt à la puiſſance P, comme le ſinus de R A P
au ſinus de R A K; &
à la puiſſance R, comme le mème
ſinus de R A P au ſinus de P A K.
Les impreſſions particuliéres que font les puiſſances
P & R, ſur le point A de ce corps, (fig.
10.
11.
12.
13.
&
14.)
ou de ſa corde, (fig.
15.)
étant les mê-
mes qu’elles feroient, ſi elles le pouſſoient chacune
ſuivant ſa ligne de direction AP & AR:
1°.
Ce
3.)
le long de quelque
ligne AD, quiſoit la diagonale d’un parallelogramme
fait ſous des parties AB & AC des lignes de direction
des puiſſances P & R, qui ſoient entre-elles, comme
ces mêmes puiſſances. 2°.
Cette ligne AD doit être
la même que la ligne de direction A K de ce poids
prolongée du côté de D: autrement ces lignes A K
& AD faiſant en A quelque angle entre-elles, ce
point ainſi pouſſé, ou tiré ſuivant la ligne AD par
le concours d’action de ces puiſſances, & à même
tems ſuivant ſa ligne de direction A K par la peſan-
teur du poids K, devroit (Lemm. 3.)
ſuivre une
troiſiéme ligne qui fût la Diagonale d’un parallelo-
gramme fait ſous des parties de ces lignes priſes de-
puis A, & qui fuſſent entre-elles, comme la force
dont ce point eſt tiré par ces puiſſances ſuivant AD,
eſt à la peſanteur du poids K; ainſi ce poids ne ſeroit
plus en équilibre avec ces puiſſances, ce qui eſt contre
l’hypothêſe. 3°.
La force dont ce point eſt tiré ſuivant
AD, eſt auſſi égale à la peſanteur de ce poids; au-
trement cette ligne étant la même que la ligne de di-
rection de ce poids, il ſe meuvroit encore en haut, ou
en bas ſelon la différence de ces forces, ce qui eſt
encore contre l’hypothêſe: Donc ce point eſt tiré
de A vers D par le concours d’action des puiſſances
P & R ſuivant la ligne de direction de ce poids, &
d’une force êgale à ſa peſanteur. Or la force dont il
eſt ainſi tiré de A vers D, eſt à celle dont la puiſ-
ſance P le tire à elle, comme (Lemm. 3.
Cor.
3.)
A D
à A B; c’eſt-à-dire, (Lemm.
5.)
comme le ſinus de
l’angle D B A, ou de ſon complement PAR, (BC
eſt un parallelogramme) au ſinus de l’angle BDA,
ou de RAK égal à celui-ci, ou à ſon complement: Donc ce poids eſt à la puiſſance P, comme le ſinus
On dé-
ſance R, comme le même ſinus de l’angle PAR, au
ſinus de l’angle PAK.
Voilà pour les ſix premiers cas.
(fig.
10.
11.
12.
13.
14.
&
15.)
Pour les deux autres, (fig.
16.
&
17.)
il ne faut que concevoir le poids K de telle figure
que le point A lui appartienne; c’eſt-à-dire qu’il lui
ſoit continu, ſans àugmenter ny diminuër ſa peſan-
teur, ni ſans changer ſon centre de gravité, non
plus que les angles RAK & PAK que font les
cordes que tiennent les puiſſances P & R, avec ſa
ligne de direction A K. Or cela bien conçu, il eſt
clair par ce qui vient d’être dit, que la peſanteur
de tout le poids K eſt égale à la force dont le point A
en ce cas ſeroit pouſſé, ou tiré de A vers D: ainſi
une telle force étant (Lemm. 3.
Cor.
3.)
à celle de la
puiſſance P, comme AD à AB; le poids K, qui eſt le
même (byp.) que s’il avoit une telle figure, eſt encore
ici à la puiſſance P, qui eſt encore auſſi (byp) la même,
comme AD à AB; c’eſt-à-dire, (Lemm.
5.)
comme
le ſinus de l’angle DBA, ou de ſon complement PAR,
au ſinus de l’angle BDA, ou de RAK qui lui eſt
égal; &
de même à la puiſſance R, comme le ſinus
du même angle PAR au ſinus de l’angle PAK.
Et par conſéquent, quelque ſoit le poids K, &
de
quelque maniére qu’il ſoit ſoutenu avec les cordes
BP, & CR par les puiſſances P &
R, il eſt toujours
à chacune de ces puiſſances, comme le ſinus de l’an-
gle que leurs cordes font entre-elles, à chacun des
ſinus des angles que font chacune de ces cordes ré-
ciproquement priſes avec ſa ligne de direction. Ce
qu’il F. D.
Ce ſeroit ici le lieu de répondre à la digreſſion que Monſieur
1.
chap.
13.
Mais la bréveté
qu’on s’eſt propoſée dans cet eſſay, ne permet pas de s’étendre
ici autant qu’il faudroit pour cela: On en verra dans peu
un examen particulier, où l’on fera voir en quoy cet Illuſtre
Autbeur s’eſt mépris.
Il ſuit de cette propoſition que les puiſſances P &
R ſont entr’elles en raiſon réciproque des ſinus des
angles que font leurs lignes de direction avec celle
du poid qu’elles ſoutiennent, c’eſt-à-dire, en raiſon
réciproque des diſtances de leurs lignes de direction
à celle de ce poids.
D’où l’on voit qu’en mettant une troiſiéme puiſ-
ſance, dont le nom ſoit K, à la place de ce poids,
qui faſſe équilibre, comme lui, avec les deux P & R
qui le ſoutiennent: ces trois puiſſances K, P, &
R
ſeront entr’elles, comme les ſinus des angles P A R,
RAK, & PAK.
D’où il ſuit, non ſeulement que chacune de ces
puiſſances, de quelque maniére qu’on les prenne,
eſt toûjours plus petite que la ſomme des deux autres,
de même que chacun de ces ſinus eſt toujours moin-
dre que la ſomme des deux autres.
Mais encore qu’elles ſont toutes trois priſes à
diſcrétion deux à deux, en raiſon réciproque des ſinus
des angles que font leurs cordes, ou leurs lignes de
diréction avec celle de la troiſiéme; C’eſt-à-dire,
troiſiéme.
Il ſuit encore de cette propoſition, que de quel-
que côté que tende le corps K, ſoit que cette impreſ-
ſion lui vienne de ſa peſanteur, ou de quelqu’autre
force; celle de cette impreſſion, tant que ce corps
ſera en équilibre avec les puiſſances P & R, ſera
toujours à celle dont chacune d’elles le retient, com-
me le ſinus de l’angle P A R que font leurs cordes
entr’elles, à chacun des ſinus des angles R A K &
PAK, que font chacune de ces cordes réciproque-
ment priſes, avec la ligne de direction A K de ce
corps, qui paſſe toûjours (Lem. 2.
Cor.
1.)
par le
point A de leur concours.
Ce qui fait voir que ſi l’angle de ces cordes étoit infi-
niment aigu, c’eſt-à-dire, qu’elles fuſſent paralleles
entre-elles, la force, quelle qu’elle fût, dont ce corps
agiroit contre ces puiſſances, ſeroit égale à la ſomme
de celles dont elles lui reſiſtent: De ſorte que s’il
agiſſoit ſeulement comme poids, il ſeroit alors égal
à la ſomme de ces puiſſances; &
chacune d’elle ſeroit
à l’autre en raiſon réciproque des diſtances de leurs
lignes de direction à celle de ce corps, ou de ce poids,
qui pour lors leur ſeroit (Lem. 2.
Cor.
2.)
auſſi parallele.
Il ſuit de plus, que ſi le poids K eſt à chacune des
puiſſances P & R, comme les ſinus de l’angle R A P,
à chacun des ſinus des angles R A K & P A K, elles
le ſoutiendront en cet état, & feront équilibre avec
Car ces deux puiſſances étant alors entr’elles,
BAD, c’eſt-à-
dire, (Lem. 5.)
comme AB à BD, ou à CA qui lui
eſt égale; l’impreſſion compoſée qui réſulte du
concours d’action de ces deux puiſſances ſur le point
A, doit (Lem. 3.)
le faire tendre de A vers D ſui-
vant AD, d’une force qui ſoit à celle de chacune
de ces puiſſances P & R, (Lem.
3.
Cor.
3.)
comme
AD eſt à chacun des côtez AB & AC, ou BD, du
parallelogramme BC; ou bien (Lemm.
5.)
comme
le ſinus de l’angle DBA, ou de ſon complement
PAR, à chacun des ſinus des angles BDA & BAD,
ou de RAK & de PAK, quileur ſontégaux, ou qui
ſont leurs complemens; c’eſt-à-dire, (byp.)
comme
le poids K à chacune de ces puiſſances: &
par conſé-
quent la force dont ces puiſſances tirent ou pouſſent
le point A de ce corps, ou de ſa corde vers D, eſt
égale à celle, dont il eſt tiré vers K ſuivant la même
ligne DK par la peſanteur de ce poids: ainſi elles
le doivent ſoutenir en cet état, & demeurer en équi-
libre avec lui.
Ce qui fait voir que l’on peut faire ſoutenir quel-
que ce puiſſe être par le moyen d’une corde ſeulement. Il ne faut pour cela que de quelque point D comme
centre, avec le rayon A D perpendiculaire à l’hori-
zon, & pris à diſcrétion, décrire l’arc A C B;
&
y
ayant inſcrit A C qui ſoit à A D, comme la puiſ-
ſance R au poids K, joignez D C, & apres avoir
dirigé par le point A la corde A P de ce poids pa-
rallelement à C D, attachez-la au crochet P, & luy
appliquez en A la puiſſance R ſuivant A C. Il eſt
clair par le Corollaire précédent que cette puiſſance
à ce poids comme A C à A D;
c’eſt-à-
5.)
comme le ſinus de l’angle D, ou
de ſon égal D A P, au ſinus de l’angle D C A, ou deſon
complement PAC; elle ſe ſoutiendraen cet état.
Ainſi il n’y a point de force R, quelque petite qu’on
l’imagine, qui ne ſoit capable de mouvoir quelque
grand poids K que ce ſoit, ſuſpendu à une corde,
& de le faire ſortir de la ligne PF qui tombe à plomb
de ſon point de ſuſpenſion: &
cela, juſqu’à ce que
les ſinus des angles que font leurs lignes de direction
AC & AD avec AP, qui va du point où elles
concourent, à ce point de ſuſpenſion, ſoient en raiſon
réciproque de ce poids & de cette puiſſance.
Et parce que ce mouvement eſt impoſſible, à moins
que ce poids ne monte de même que le point A de ſa
corde, du moins de la hauteur du ſinus verſe H E
de l’angle APE fait par la partie AP de ſa corde,
avec la ligne AF, qui tombe à plomb de ſon point A
de ſuſpenſion: il ſuit évidemment qu’il n’y a point
de force, quelque petite qu’on l’imagine, qui ne ſoit
capable de faire monter du moins à cette hauteur
quelque grand poids que ce ſoit à l’aide ſeulement
d’une corde attachée à quelque point fixe.
La raiſon pour laquelle on dit ici du moins, c’eſt pour
s’ accommoder à toute bypothêſe: car ſi l’on regarde les lignes
de direction des poids comme paralleles entre-elles, ce poids
monte-ici juſtement de cette hauteur; mais ſi elles concourent
en quelque endroit du monde, il doit néceſſairement monter
plus baut, & ce d’autant plus (quoi.
qu’en proportion diffé-
rente) que l’angle que fait ſa ligne de direction avec celle qui
Tout cela eſt
clair; c’eſt pourquoi on ne s’y arrête pas davantage.
Il ſuit encore du Corollaire 7.
que ſi au lieu du
le ſoit auſſi appellée K) qui fûtaux deux premiéres P
& R, commele ſinus de l’angle P A R, aux ſinus des
angles RAK, & PAK;
c’eſt-à-dire, que ces trois
puiſſances K, P, & R fuſſent entr’elles, comme les
ſinus de ces trois angles PAR, RAK, & PAK;
elles demeureroient en équilibre entr’elles, de ſorte
qu’aucune ne l’emporteroit ſur aucune autre.
Ce qui fait encore voir, que ſans rien changer à
l’inclinaiſon des cordes B P & C R de ces puiſſances,
une infinité d’autres miſes en leurs places, pouront
demeurer en équilibre trois à trois, pourvu qu’elles
ſoient entr’elles, comme ces trois premiéres.
On peut auſſi en changeant l’inclinaiſon de ces
cordes conſerver l’équilibre de ces trois premiéres
puiſſances K, P, & R, dans ſix variations différentes
de leurs angles, pourvu que ces puiſſances faſſent
échange entr’elles de leurs cordes, juſqu’à ce que
chacune d’elles ſe trouve appliquée ſucceſſivement
à chacune de ces cordes pendant deux ſituations dif-
férentes des deux autres. Pour l’appercevoir il ne faut
que s’imaginer que lorſque deux de ces puiſſances,
par exemple P & R, font échange de leurs cordes, il
ſe fait en même-tems une échange des angles que
ces mêmes cordes faiſoient auparavant avec celle de
entr’elles: de cette maniére l’on aura deux des cas
dont il eſt ici queſtion. On en trouvera encore deux
en concevant de même l’échange des angles qui ſe
fait dans l’échange des cordes de P & de K;
&
encore
deux pour l’échange de celles de K & de R:
c’eſt ainſi
qu’on les aura tous ſix.
Mais tant que chacune de ces puiſſances demeure
appliquée à la même corde, l’on ne peut en changer
la direction, c’eſt-à-dire, l’inclinaiſon de ces cordes,
ſans en rompre l’équilibre; parce qu’il n’eſt pas poſ-
ſible de trouver ſeulement deux ſituations de cordes,
ou les ſinus de ces trois angles R A P, R A K, & P A K,
ayent le même raport entr’eux.
C’eſt ce qui fait que tout autant de fois que les
angles RAP, que font entr’elles les cordes des puiſ-
ſances P & R, ſont différens, les poids qu’elles ſou-
tiennent ſont différens auſſi. En effet plus cet angle
eſt obtus, plus le poids qu elles ſoutiennent, doit être
petit, quoi-qu’en proportion différente: puiſque plus
cet angle eſt obtus, moins eſt grande la raiſon de AD
à AB, & à BD;
c’eſt-à-dire, (Lemm.
5.)
celle du
ſinus de l’angle DBA, ou de ſon complement PAR,
à chacun des ſinus de l’angle BDA, ou de RAK qui
lui eſt égal, ou ſon complement; &
de l’angle BAD,
ou PAK encore égal à celui-ci, ou ſon complement: qui eſt juſtement celle que ce poids doit alors avoir à
chacune de ces puiſſances pour demeurer en équilibre
avec elles; De ſorte que cet angle peut être ſi obtus
que ces mêmes puiſſances pourront faire équilibre
c’eſt ainſi qu’il
faire cependant tou-
jours équilibre avec elles, que@ques grandes qu’on les
ſuppoſe.
Voilà ce qui peut arriver en changeant la direction
de l’une, & de l’autre de ces deux puiſſances;
Mais à
n’en déplacer qu’une: 1°.
Si elles ſont égales, ou ſi
étant inégales, il s’en trouve une qui ait une direc-
tion horizontale, il eſt clair qu’on changeroit le ra-
port des ſinus des angles que leurs cordes font avec
la ligne de direction du poids qu’elles ſoutiennent: ainſi (Cor.
I.)
elles ne pouroient plus ſoutenir n’y ce
poids, ny aucun autre. 2°.
Au contraire ſi étant inéga-
les, elles n’ont aucune de leurs cordes qui ſoit hori-
zontale; au lieu du poids qu’elles ſoutiennent, on
poura encore leur en faire ſoutenir un autre, pourvu
qu’on change tellement celle de leurs directions qui
fait le plus grand angle avec celle du poids qu’elles
ſoutiennent, qu’on lui en faſſe faire un autre encore
avec elle, qui ſoit le complement du premier: Car
les ſinus des angles de leurs cordes avec la direction
du poids appliqué à leur point de concours, étant
encore les mêmes qu’auparavant, elles en pouront
encore ſoutenir un (Cor. II.)
à qui elles ſeront com-
me ces mêmes ſinus réciproquement pris, à celui de
l’angle que feront alors leurs cordes entr’elles; c’eſt-
à-dire, qui ſera à celui qu’elles ſoutenoient aupara-
vant, comme ce dernier ſinus à celui de l’angle qu’el-
les faiſoient alors entr’elles. Mais auſſi par une raiſon
toute contraire en tout autre changement de cette
lignede direction ces deux puiſſances ne peuvent plus
rien ſoutenir.
La raiſon pour laquelle on vient de demander que ce
fait le plus grand angle avec celle du poids qu’elles ſoutien-
nent; c’eſt que ſi l’on faiſoit un tel cbangement à l’autre, l’an-
gle des cordes ſe tourneroit en deſſous, ce qui détermineroit
l’action de ces deux puiſſances à ſeconder ſa peſanteur, plutôt
qu’àla ſoutenir.
Puiſque ce poids pour faire équilibre avec les
puiſſances P & R, doit toujours être à chacune d’elles,
comme le ſinus de l’angle PAR de leurs cordes, à
chacun des ſinus des angles RAK & PAK:
Il ſuit
évidemment que ſi enfin cet angle, à force de deve-
nir obtus, devenoit à rien; c’eſt-à-dire, que R A &
AP ne fiſſent plus qu’une même ligne droite, ce poids
ſeroit auſſi réduit à rien, & ces deux puiſſances agi-
roient ſeulement alors l’une contre l’autre: ainſi tant
qu’il reſte quelque poids attaché à ces cordes entre ces
puiſſances, elles font toujours quelque angle PAR
que ce ſoit.
De-là on voit qu’il n’y a point de force imaginable,
n’y de poids, quelques grands qu’on les conçoive, qui
appliquez aux extrémitez d’une corde parfaitement
fléxible, la puiſſent tellement bander qu’elle devienne
parfaitement droite, pour peu de peſanteur qu’on y
ſuppoſe: car quelque prodigieuſe que ſoit cette force,
& quelques grands que ſoient ces poids, ils auront
toujours quelque raport à la peſanteur de cette corde: &
par conſéquent elle ſe courbera toujours.
Iuſqu’ici nous n’avons eu aucun égard à cette peſan-
@eur de cordes, c’eſt pour cela que nous n’y avons conſidéré
ce ſera en les conſidé-
rant de même que nous prendrons quelque jour leur peſanteur
pourune infinité de poids, qui leur étant appliquez dans toute
leur longueur, leur font faire une infinité d’angles quinous ſer-
viront à en déterminer la courbure pour toutes ſortes d’bypo-
theſes.
On pourroit encore de même démontrer le raport
du poids K ſuſpendu partrois cordes, ou par davanta-
ge, même juſqu’à l’infini, aux puiſſances qui le ſou-
tiendroient; en prenant pour une ſeule, l’impreſſion
compoſée de chacun des points, ou deux de ces cor-
des concourent, laquelle réſulte du concours d’action
des deux puiſſances qui y ſont appliquées; &
ainſi
toujours de même, juſqu’à ce qu’enfin toutes ces
puiſſances, en quelque nombre qu’elles ſoient, fuſſent
réduites à deux ſeulement: ce qui réduiroit toujours
tous ces cas, quclques différens qu’ils fuſſent, à celui
de la propoſition préſente, qui pour cela a été appel-
lée Fondamentale.
Lorſque de chacun des nocuds qui lient enſemble les
cordes avec leſquelles un poids eſt ſoutenu par plu-
ſieurs puiſſances, ſuivant chacune ſa direction, il
ne s’en répand point plus de trois dans un même
plan; alors cette réduction ſe peut faire ſans con-
noître aucun raport entre ces puiſſances, n’y d’au-
cune d’elles à ce poids. Mais lorſque le contraire
arrive, c’eſt-à-dire, lorſque d’un même næud il ſe
répand plus de trois cordes dans un même plan; alors
pour chacun de ces plans, il faut connoître entre leſ-
quelles on voudra des forces qui y ſont appliquées.
Par exemple, pour 4.
cordes, il ne faudra connoître
qu’un tel raport. Pour 5.
il en faudra 2.
Pour 6.
3.
Pour 7. 4.
&
ainſi toujours 3.
moins que le nombre
de ces cordes.
On n’entre point dans le détail de tout ceci, de peur de ſe
trop éloigner de la breveté qu’on s’eſt propoſée; outre qu’en voi-
la, ce me ſemble, aſſez pour juger de l’étenduë & de la fécondité
de ces principes: on le verra démontré dans un autre ouvrage.
LEs forces de trois bommes K, P, &
R, étant données,
ou même ſeulement le raport qu’elles ont entr’elles, les
appliquer tellement à trois cordes A K, A P, & A R, qui
aboutiſſent à un même næud A, qu’aucun des trois ne l’emporte
ſur aucun des deux autres.
Premièremènt, s’il y a quelqu’une des forces de
ces trois perſonnes, qui ſoit égale, ou plus grande que
la ſomme de celles des deux autres, ce Problême par
le Corollaire 3. de la propoſition préſente eſt impoſ-
ſible.
Secondement ſi chacune de ces forces, de quelque
maniére qu’on les prenne, eſt en effet moindre que
la ſomme des deux autres; placez à diſcretion une de
ces trois perſonnes, par exemple K, & lui donnez la
direction AK qu’il vous plaira. Ayant prolongé à
diſcretion AK du côté de E, faite ſur AE le triangle
AEF, tel que ſes trois côtez AE, EF, & AF, ſoient
entr’eux, comme les forces de ces trois perſonnes K,
R.
Placez enſuite la perſonne R ſuivant le côté
la perſonne P ſuivant AP paral-
lele à EF. Cela fait, ces trois hommes ſeront dans la
ſituation requiſe pour demeurer en équilibre.
Leurs forces K, P, &
R ſont (Hyp.)
entr’elles,
comme AE, EF, & AF;
C’eſt-à-dire, (Lemm.
5.)
comme les ſinus des angles AFE, EAF, &
AEF,
qui ſont les mêmes que ceux desangles PAR, RAK,
& PAK:
Donc (Corol.
II.)
ces trois hommes demeu-
reront ainſien équilibre, ſans qu’aucun d’eux le puiſſe
emporter ſur lequel que ce ſoit de deux autres. Ce
qu’il faloit faire.
Soit que le centre en demeure fixe, ſoit qu’on
le ſuppoſe mobile; &
pour toutes les
directions poſſibles des puiſſances, ou des
poids qui y ſont appliquez.
SOit la puiſſance, ou le poids D appliquè, ou ſuſpendu
la corde PMNR, dont les extremitez ſont retenuës par
les puiſſances P & R:
quelque angle MHN que faſ-
ſent entre-elles les parties MP, & NR de cette corde,
prolongées juſqu’àce qu’elles concourent en H; le poids, ou la
puiſſance D, ſera toujours à cbacune des puiſſances P & R,
comme le ſinus de cet angle, au ſinus de ſa moitié.
Il eſt clair que tant quele poids, ou la puiſſance D,
demeure ainſi en équilibre avec les puiſſances P & R
ſur la poulie A, non-ſeulement cette poulie demeure
ſans mouvement; mais encore la corde PMNR de-
meure fixe deſſus ſans gliſſer, n’y ſe mouvoir non plus
que ſi elley étoit colée, ou phyſiquement unie depuis
M juſqu’à N;
&
les points M, &
N de cette corde
équilibre, que ſi en effet PM, & RN étoient deux
cordes, qui y fuſſent ſéparément attachées: Les puiſ-
ſances P, & R reſi ſtent donc au poids, ou à la puiſſan-
ce D, de même que ſi MP, & RN étoient deux cor-
des différentes & attachées aux points M &
N de la
poulie A, ſuivant les tangentes en cespoints: De ſorte
que l’on peut regarder cette poulie comme un corps
qui tend vers D, ſuivant AD, d’une force égale à
celle du poids, ou de la puiſſance D; mais qui eſt re-
tenu avec les cordes PM & RN par les puiſſances
P & R.
Or en ce cas, non-ſeulement ſa ligne de di-
rection AD paſſeroit (Lemm. 2.
Cor.
1.)
par le point H,
ou concourent ces cordes prolongées; mais encore
cette poulie regardée avec une telle impreſſion, ſeroit
(prop. fond.
des cordes.
Cor.
5.)
aux puiſſances P, &
R,
qui la retiennent, comme le finus de l’angle MHN,
aux ſinus des angles NHA, & MHA:
Donc en effet
la ligne de direction AD de la poulie A ainſi tirée
par le poids, ou la puiſſance D, contre les puiſſances
P & R, paſſe toujours par le point H, ou leurs cordes
prolongées concourent; &
le poids, ou la puiſſance
D, eſt auſſi à chacune de ces puiſſances, comme le
ſinus de l’angle MHN à chacun des ſinus des angles
NHA, & MHA.
Or à cauſe que HA, paſſe auſſi
parle centre de cette poulie, & que MH, &
NH ſont
deux tangentes, les angles NHA, & MHA, ſont
chacun la moitié de l’angle MHN: Donc le poids,
ou la puiſſance D, eſt toujours à chacune de puiſſan-
ces P & R, comme le ſinus de l’angle MHN, que
ſont leurs cordes entr’elles, au ſinus de ſa moitié. Ce
qu’il faloit démontrer.
Il ſuit de-là que le poids, ou la puiſſance D, tant
que dure cet équilibre, eſt toujours à chacune des
puiſſances P, & R, en raiſon réciproque des ſinus des
angles que font les lignes de direction de ce poids, &
de cette puiſſance avec celle de l’autre; c’eſt-à-dire,
en raiſon réciproque des diſtances des lignes de di-
rection de ce poids & de cette puiſſance, à quelque
point que ce ſoit de celle de l’autre. Et pour la même
raiſon les puiſſances P & R ſont auſſi entr’elles en
raiſon rèciproque des diſtances de leurs lignes de di-
rection à quelque point que ce ſoit de celle du poids,
ou de la puiſſance D, qu’elles ſoutiennent.
Si la puiſſance, ou le poids D, (le tout étant
appliqué à la poulie A comme cy-deſſus) eſt à chacune
des puiſſances P, & R, comme le ſinus de l’angle
MHN, que font leurs cordes entr’elles, au ſinus de
ſa moitié; elles le ſoutiendront en cet état:
parce
que cette raiſon étant la même qu’il doit avoir aux
puiſſances qui l’y pourroient ſoutenir; les puiſſances
p, & R leur ſont néceſſairement égales;
&
par conſé-
quent étant appliquées de même, elles l’y doivent
auſſi ſoutenir.
Ce qui fait voir que lorſque lepoids D, eſt à cha-
cune des puiſſances P, & R, en raiſon réciproque des
diſtances des lignes de direction de ce poids, & de
cette puiſſance, à quelque point que ce ſoit de celle
de l’autre, il demeure en équilibre avec elles. Ce
qu’on dit du poids D ſe doit auſſi de la puiſſance D.
Il ſuit de plus de cette propoſition que les puiſ-
ſances P, & R agiſſent contre la puiſſance, ou le poids
D; &
ce poids, ou cette puiſſance réciproquement
auſſi contr’elles, de la même maniére que ſi leurs cor-
des PM, & RN, prolongées juſqu’en H, y etoient
noiiées avec la corde AD du poids, ou de la puiſſance
D; &
que la poulie A étant ôtée, elles tiraſſent contre
ce poids, ou contre cette puiſſance ſuivant les mêmes
angles MHA, & NHA:
puis qu’alors le poids, ou la
puiſſance D ſeroit encore (prop. fond.
des cordes.
Cor.
2.
&
5.) à chacune d’elles, comme le ſinus de l’angle MHN
de leurs cordes, au ſinus de la moitié de cet angle. Ainſi que les puiſſances P &
R ſoutiennent le poids,
ou la puiſſance D, par le moyen de la poulie A, avec
la même corde PMNR; ou qu’elles ſoutiennent l’un
ou l’autre ſans poulie, mais avec chacune une corde
PH, & RH, noiiée avec AD en H;
C’eſt toujours
la même choſe, pourvu que les angles de ces cordes
avec la ligne de direction du poids, ou de la puiſſan-
ce D, ſoient les mêmes dans l’un & l’autre cas.
On voit encore que ſi au lieu du poids, ou de la
puiſſance D, on attachoit la corde AD à quelque
clou, comme en D, ou ailleurs; ce clou feroit la même
réſiſtance contre les puiſſances P, & R, que fait pré-
ſentement le poids, ou la puiſſance D: ainſi n’étant
arrivé aucun changement du côté de ces puiſſances,
la direction de la corde AD ſeroit non ſeulement en-
core la même qu’auparavant, c’eſt-à-dire, qu’elle
diviſeroit encore l’angle MHN en deux parties éga-
les; mais encore la réſiſtance de ce clou ſeroit égale
à celle du poids, ou de la puiſſance D: D’où il ſuit
I°.
Que lors qu’une poulie ſur laquelle deux puiſſan-
R, eſt ſuſpenduë
ou retenuë par une corde telle qu’eſt ici AD, cette
corde ſe dirige toujours en ſorte qu’elle diviſe en
deux également l’angle des tangentes de cette poulie
aux points ou les cordes de ces puiſſances la touchent. (Il eſt clair que la même choſe arriveroit, ſi au lieu
de ces puiſſances on appliquoit à leurs cordes des poids
qui demeuraſſent de même en équilibre ſur cette pou-
lie) 2°. La charge du clou, ou la corde qui retient cette
poulie, eſt attachée, étant égale à la réſiſtance qu’il fait
contre chacune de ces puiſſances, ou des poids mis en
leurs places; eſt à chacun d’eux, ou d’elles, comme le
ſinus de l’angle de ces tangentes, au ſinus de ſa moitié.
Préſentement ſi la poulie A, au lieu d’être arrêtée
en D, ou en quelqu’autre point de ſa corde AD,
étoit ſeulement fixe en ſon centre A; les puiſſances
P & R agiſſant encore deſſus de la même maniére
qu’auparavant, & cette poulie leur faiſant auſſi en-
core la même réſiſtance qu’elle leur faiſoit, lors qu’elle
étoit retenuë parla corde AH; elle doit en recevoir
encore la même impreſſion, & ſuivant la même di-
rection qu’auparavant: Ainſi l’effort commun des
puiſſances P & R ſur cette poulie, ne tend encore
qu’à la mouvoir ſuivant HA avec la même force dont
elles tiroient auparavant contre le poids, ou la puiſ-
ſance D, ou contre le clou qu’on vient de ſuſpoſer en
D: de ſorte que la charge de cette poulie, lors qu’elle eſt
fixe, eſt toujours à chacune des puiſſances P & R, ou
à chacun des poids qui leur étant égaux, ſeroient mis
en leurs places, comme le ſinus de l’angle de leurs par-
ties de cordes PM & RN prolongées juſqu’à ce
qu’elles concourent, au ſinus de ſa moitié.
D’où il ſuit que plus l’angle MHN, que ces par-
ties de corde prolongées du côté de H, font entr’elles,
ſera obtus, moins ſera grande la charge de la poulie A,
ſoit que le centre en ſoit fixe, ou qu’il ſoit mobile: parce que plus cet angle ſera obtus, moins ſera grande
la raiſon de ſon ſinus au ſinus de ſa moitié, quoi qu’en
proportion difféentes: De ſorte que cet angle peut
être ſi obtus, que la poulie A ne ſera chargée que ſi
peu qu’on voudra des puiſſances P & R:
juſques-là
même qu’elle pourroit être ſoutenuë contre elles
par une puiſſance, ou un poids D indéfiniment petit,
c’eſt-à-dire, moindre que quelque poids donné, que
ce ſoit: Car il ne faut pour cela qu’ouvrir l’angle
MHN, que font entr’elles les parties de corde PM
& RN, juſqu’à ce qu’enfin ſon ſinus ſoit au ſinus de
ſa moitié en moindre raiſon que le poids donné, à
chacune des puiſſances P & R.
Au contraire on peut rendre cet angle MHN
ſiaigu que la puiſſance, ou le poids D, ou quel-
qu’autre en ſa place, devra être plus grand que
chacune des puiſſances P & R pour être en équilibre
avec elles; mais ce poids ne peut pas ainſi augmèn-
ter à l’infini, de même que nous venons de dire qu’il
peut diminuer; Car ne pouvant jamais être plus
grand que lors que cet angle eſt infiniment aigu,
c’eſt-à-dire, lors que les parties de corde MP & NR
ſont paralleles; &
le ſinus de cet angle n’étant encore
alors que double du ſinus de ſa moitié, ce poids ne
peut être tout au plus que double de chacune des puiſ-
ſances P & R.
D’ou l’on voit en général que lors qu’un poids fait
ainfi équilibre avec deux puiſſances, ou avec deux au-
tres poids par le moyen de quelque poulie à moufle,
il ne peut être tout au plus que double de chacune de
ces puiſſances, ou de ces autres poids; mais au con-
traire il peut diminuer à l’infini, & faire cependant
toujours équilibre avec elles, ou avec ces poids, quoi
qu’ils demeurent toujours les mêmes.
Ce qui fait voir que ſur une infinité de cas diffé-
rens ou cet équilibre peut arriver, il n’y en a qu’un
feul ou le poids, ou bien la puiſſance D, puiſſe être
double de chacune des puiſſances P & R;
&
que dans
tousles autres il eſt toujours moindre que double, &
même moindre à l’infini que chacune d’elles.
Tous ceux qwi ſe mêlent de Mècbanique, ſcavent aſſez
que l’on regarde ordinairement comme génèrale & comme
abſolument vraye cette propoſition: qu’un poids attaché,
ou ſuſpendu au centre mobile d’une poulie à moufle,
& en équilibre avec une puiſſance appliquée à l’ex-
trémitè d’une corde qui embraſſant cette poulie, à
ſon autre extrémité retenuë par quelque clou, ou
autrement, eſt double de cette puiſſance. Cependant
on voit par ce dernier Corollaire que ſur une infinité de cas
diffèrens, ou cet équilibre peut arriver, cette propoſition n’eſt
vraye que dans un ſeul, qui eſt lors que les parties de corde
gui touchent cette poulie ſont paralleles; &
fauſſe dans tous
les autres. Il eſt vrai que dans la dèmonſtration que les Au-
teurs qui l’ont avancèe, en donnent, ils ſuppoſent tous que ces
parties de corde touchent cette poulie aux extrèmitez d’un
même diametre, & conſèquemment qu’elles ſont paralleles;
dent dans la ſuite comme générale, & l’appliquent indiffé-
remment à toutes les machines ou l’on ſe ſert de moufles, ſans
avoir égard à la ſituation de leurs cordes; Ce qui les a jettez
dans des mépriſes conſidérables, comme on le verra dans les
Corollaires 15. &
17.
Soit que le centre de la poulie A demeure fixe,
ſoit qu’on le ſuppoſe mobile, tant que ces puiſſances
demeurent ainſi en équilibre aux extrémitez P & R
d’une même corde paſſée par deſſus, ou par deſſous
cette poulie, elles ſont toujours égales: puiſque quel-
que ſoit la charge de cette poulie, ſi elle eſt fixe, ou
bien le poids qui y eſt attaché, ſi elle eſt mobile; cette
charge, ou ce poids, tant que dure cet équilibre, eſt
toujours à chacune d’elles, comme le ſinus de l’angle
de leurs parties de corde, au ſinus de ſa moitié.
Si ces parties de corde des puiſſances P, &
R,
lorſqu’elles ſoutiennent la puiſſance, ou le poids D,
ne ſont point paralleles, ces deux mêmes puiſſances
le pourront ſoutenir dans deux ſituations différentes
de leurs cordes; parce que ces cordes peuvent faire
des angles égaux en H de part & d’autre de la poulie
A, avec ſa ligne de direction AH, ſoit en s’écartant
l’une de l’autre, (fig. 20.
&
22.)
ſoit en s’approchant;
(fig.
21.
&
23.)
&
par conſéquent les mêmes puiſſan-
ces P, & R, qui dans l’une de ces ſituations de cor-
des, ſont capables de ſoutenir la puiſſance, ou le
poids D, le pourront encore ſoutenir dans l’autre.
Mais ſi les parties de corde des puiſſances P &
R
ſont paralleles, elles ne pourront ſoutenir la puiſſan-
ce, ou le poids D qu’en cette ſeule ſituation; parce
qu’il n’eſt pas poſſible d’en trouver d’autre, ou cette
puiſſance, ou bien ce poids, ſoit double de chacune
des puiſſances P & R qui le ſoutiennent.
On voit encore de cette propoſition que le poids
moyen de pluſieurs moufles A, B, C, &c.
Séparez,
& appliquez le long du poteau EG, ou de quelqu’au-
tre corps que ce ſoit, de la maniére qu’on les voit
ici; eſt à cette puiſſance, comme le produit des ſinus
des angles H, K, L, &c.
que font, lors qu’on les pro-
longe, les parties des cordes EK, FL, GR, &c.
qui touchent ces poulies;
au produit des ſinus de
chacun leur moitié: Car ſelon la propoſition préſen-
te, la réſiſtance de la poulie A, ou bien le poids D eſt
à la réſiſtance de la poulie B, comme le ſinus de l’angle
H, au ſinus de ſa moitié. La réſiſtance de la poulie
B eſt auſſi à celle de la poulie C, comme le ſinus de
l’angle K, au ſinus de ſa moitié. Enfin la réſiſtance
de la poulie C eſt encore à celle de la puiſſance R,
comme le ſinus de l’angle L, au ſinus de ſa moitié; &
ainſi de même à l’infini: Donc en multipliant par
ordre les termes de toutes ces proportions, c’eſt-à-
dire, les antécédens par les antécédens, & les conſé-
quens par les conſéquens, on aura le poids D à la
puiſſance R, comme le produit des ſinus des angles
H, K, L, &c.
au produit des ſinus de chacun leur
moitié.
Il ſuit de ce dernier Corollaire que ſur une in-
finité de cas différens, ou le poids D peut être en
équilibre avec la puiſſance R, à l’aide de pluſieurs
moufles, de la maniére qu’ils ſont ici; il n’y en a qu’un
ſeul, ou ce poids ſoit à cette puiſſance comme le der-
nier terme d’une progreſſion double, qui en a autant
qu’il y a de moufles, plus un, eſt au premier; c’eſt-à-
dire, ici, comme 8. à 1.
C’eſt lors que les parties de
corde qui ſont tangentes de ces moufles, ſont paralle-
les entr’elles: parce que les angles H, K, L, &
c.
étant
alors infiniment aigus, leurs ſinus ſont doubles des
ſinus de leurs moitiez. Pour dans tous les autres, il
eſt toujours à cette puiſſance en moindre raiſon que
ce dernier terme au premier, & même, en moindre à
l’infini: parce que les angles H, K, L, &
c.
ne pou-
vant devenir plus aigus que lorſque ces parties de
cordes ſont paralleles, les raiſons de leurs ſinus aux
ſinus de leurs moitiez, ne peuvent auſſi jamais être
chacune plus grande que celle de 2. à I.
au contraire
ces angles pouvant devenir toujours plus obtus juſqu’à
l’infini, les raiſons de leurs ſinus aux ſinus de leurs
moitiez, peuvent auſſi diminuer à l’infini.
On voit aſſez la mépriſe de ceux qui dans cet uſage des
poulies à moufle, ont avancé comme propoſition générale que le
poids D eſt à la puiſſance R, comme le dernier terme
d’une progreſſion double, qui en à autant qu’il y a
de moufles, plus un, eſt au premier. Ce qui les a trom-
pez c’eſt l’uſage trop étendu qu’ils ont donné à la propoſition
raportée dans la réfléxion qui ſuit le Corollaire 10. de la
propoſition préſente.
Préſentement ſi l’on ſe ſert de pluſieurs poulies
liées enſemble, comme on les voit dans les figures 26.
27.
Il ſuit encore de cette propoſition que la puiſ-
ſance R eſt au poids D qu’elle ſoutient à l’aide de ces
poulies, comme le produit des ſinus des moitiez de
chacun des angles que font, ſi on les prolonge, les
cordes tangentes des poulies mobiles L, K, & H, à la
ſomme des produits de chacun des ſinus de ces mêmes
angles par les ſinus des moitiez de chacun des autres. Par exemple, ſoit le ſinus de l’angle de ces cordes fait
en A, appellé a; &
celui de ſa moitié appellé b.
Celui de
l’angle C, appellé c; &
celui de ſa moitié appellé d.
Enfin celui de l’angle E, appellé e; &
celui de ſa moi-
tié appellé f. Cela ſuppoſé il ſuit, dî-je, de cette pro-
poſition que la puiſſance R en ce cas eſt au poids D,
comme bàf à adf + cbf + ebd. Parceque la corde
RRORNRM étant également bandée dans tou-
tes ſes parties, & d’une force égale à celle de la puiſ-
ſance R; on la peut regarder, tant que dure cet équi-
libre, comme diviſée en autant de cordes RRO,
RN, & RM, qu’il y a de poulies L, K, &
H, dans
l’écharpe LH; &
chacune de ces cordes comme fixe
en O, N, & M, &
tirée du côté de R, R, &
R par la
puiſſance R, ou par d’autres qui lui ſoient égales.
Et parce que les poulies L, K, & H, portent chacune
quelque choſe du poids D, regardons-le auſſi comme
diviſé en autant de parties x, y, & z, dont la partie x
ſoit portée par la poulie L; la partie y, par la poulie
K; &
la partie z, par la poulie H.
Cela conçcû il eſt clair par la propoſition qu’on vient
z.
x + y :
: adeb.
aadf + abcf.
Donc z.
z + x + y :
:
adeb. adeb + aadf + abcf.
Or R.
z :
: f.
e.
Donc R.
z + x + y = D :
: adefb.
adeeb + aadef + aebcf.
Et en
diviſant les deux terniers termes de cette derniére
proportion, par ae, l’on aura R. D :
: dfb.
edb +
adf + bcf. Ce qu’il faloit démontrer.
D’où il ſuit que dans cet uſage des poulies, lors
que les parties de corde, qui touchent celles de l’é-
charpe LH, ſont paralleles, la puiſſance R eſt au
poids D, comme l’unité au double du nombre des
poulies ſuſpenduës; mais que dans tout autre cas,
elle lui eſt toujours en plus grande raiſon; &
même,
cette raiſon augmente, quoi qu’en proportion diffé-
rente, à meſure que les angles A, C & E deviennent
moins aigus, ou plus obtus.
On voit aſſez que tous ces Corollaires avec une infinité
d’autres qu’on pourroit encore tirer de cette propoſition, dé-
pendent abſolument de ſon univerſalité, & que ſans cela
il ſeroit impoſſible de réſoudre une infinité de Problêmes
qu’on peut faire ſur cette matiére. Par exemple celui-ci.
F Aire ſoutenir quelque poids D que ce ſoit, à quelque
poulie à moufle.
Premiérement ſi cette puiſſance eſt plus grande
que ce poids, faite ſur EH perpendiculaire à l’hori-
zon, & priſe à diſcretion, le triangle Iſocelle EFH,
dont chacun des côtez EF, & FH, ſoit en même rai-
ſon à ſa baſe EH, que la puiſſance R, dont il eſt
queſtion, eſt au poids D. Du point H tirez HG per-
pendiculaire à HF, & égale au rayon de la poulie
A, dont on ſe veut ſervir; du point G faite encore
GM parallele à HE, & qui rencontre HF en M;
&
de ce même point M faite auſſi MA parallele à HG,
& qui rencontre auſſi EH en A;
placez enſuite en
ce point le centre de la poulie A, & ſuſpendez le poids
D à cette poulie ſuivant AH. Enfin aprés avoir di-
rigé la partie MR dè ſa corde ſuivant HF, & ſon
autre partie PN parallelement à EF; arrêtez cette
corde par un bout au clou P, & appliquez à l’autre
la puiſſance R: cela fait elle ſoutiendra ce poids en
cet état.
Le poids D peut être ſoutenu en cet état (Cor.
2.)
par deux puiſſances, à chacune deſquelles il ſoit
comme le ſinus de l’angle RHP, au ſinus de ſa moitié
EHR, ou EHP; c’eſt-à-dire, (Lemm.
5.)
comme
EH à EF, ou bien (hyp.) comme il eſt à la puiſſance
R: Donc le clou P faiſant la fonction d’une de ces
Ce
Secondement, ſi c’eſt le poids D qui ſoit plus
grand que la puiſſance R, quelque grand qu’il ſoit,
& quelque petite elle, qu’elle puiſſe être, on le lui
voici comment.
Ayant
décrit du centre F avec le rayon HF perpendicu-
laire à l’horizon, & pris à diſcretion, l’arc HEB;
&
y ayant inſcrit une ligne HE, qui ſoit à HF, comme
la puiſſance R au poids D; joignez FE, &
faite en-
ſuite HG perpendiculaire à HF, & égale au rayon de
la poulie A, dont on ſe veut ſervir; Du point G faite
encore GM parallele à HE, & qui rencontre HF en
M, d’où il faut faire encore MA parallele à HG, & qui
rencontre HE en A, où vous placerez le centre de
la poulie A, à laquelle vous appliquerez la puiſſance
R ſuivant AH, & le poids D ſuivant HF, l’autre
bout de ſa corde étant attaché en P fuivant NP pa-
rallele à EF. Cela fait la puiſſance R ſoutiendra en-
core le poids D en cet état.
Cette puiſſance peut faire équilibre en cet état avec
deux autres, pourvu qu’elle ſoit à chacune d’elles,
(Cor. 2.)
comme le ſinus de l’angle PHF, au ſinus
de ſa moitié PHE, ou à EF; c’eſt-à-dire, (Lemm.
5.)
Comme HE à HF, ou EHF;
ou bien (hyp.)
comme
elle eſt au poids D: Donc le clou P faiſant la fonc-
tion d’une de ces puiſſances, & le poids D celle de
l’autre, la puiſſance R doit le ſoutenir en cet état.
Ce qu’il F. D.
On voit que l’on peut toujours faire ſoutenir quel-
fle: en appliquant le moindre des deux au centre
mobile de cette poulie, & le plus grand au bout libre
de la corde qui l’embraſſe. La raiſon en eſt évidente
par les Corollaires 7. &
8.
Il n’eſt pas cependant toujours néceſſaire de les
diſpoſer ainſi: car s’il arrive que le plus grand des
deux ne ſoit point plus que double de l’autre, on ſera
libre d’appliquer celuy qu’on voudra au centre mo-
bile de la poulie A: puiſque, qu’il y ſoit, (Cor.
8.)
ou non, (Cor.
7.)
il peut toujours monter juſqu’à
être double de l’autre, mais jamais davantage: (Cor.
8.)
ainſi lorſque l’un des deux (la puiſſance ou le poids)
fera plus que double de l’autre, il faudra néceſſai-
rement les appliquer ſuivant le Corollaire ci-deſſus;
c’eſt-à-dire, appliquer le moindre au centre du mouf-
fle dont on ſe ſert, & le plus grand ou bout libre
de la corde qui embraſſe cette poulie à moufle.
Sur quelque eſpéce de ſurfaces que ceſoit;
&
pour toutes les directions poſſibles
des puiſſances qui y ſont appliquées.
TELLE que ſoit la ſurface GH;
le poids EO, &
tr’ eux en raiſon réciproque des ſinus des angles que font leurs
lignes de direction avec AD tirée perpendiculairement du point
A de leur concours, ſur la ſurface GH.
A fin que ce poids &
cette puiſſance demeurent ainſi
en equilibre ſur la ſurface GH, telle qu’elle ſoit,
il faut 1°. que leurs lignes de direction EB &
FC,
ſe rencontrent en quelque point A: car ſi elles étoient
paralleles, il eſt clair que le centre de gravité de ce
poids pourroit encore deſcendre d’une longueur éga-
le à la diſtance qu’elles auroient entr’elles; ce qui
eſt contre l’hypothêſe. 2°.
Les impreſſions particu-
liéres que font ſur le point A, & la peſanteur de ce
poids, & la puiſſance R qui le retient;
étant les mê-
mes que ſi ce point étoit pouſſé en même temps par
AB:
le poids EO ainſi ſoutenu ſur
la ſurface GH par le concours d’action de ſa peſan-
teur & de la puiſſance R, doittendre (Lem.
4.
Cor.
2.)
ſuivant quelque ligne AD qui ſoit la diagonale d’un
parallelogramme fait ſous des parties AC & AB de
leurs lignes de direction, qui ſoient entr’elles, com-
me ce poids eſt à cette puiſſance. 3°.
Cette ligne AD
doit toujours être perpendiculaire à la ſurface GH,
telle qu’elle ſoit; par exemple, au point O:
autrement
AD devenant alors la ligne dedirection de ce corps, il
rouleroit ou couleroit (Cor. Lemm.
1.)
vers H, ou vers
G, ſelon que cette ligne ſe trouveroit au-deſſus ou
au-deſſous du point O. 4°.
Cette même ligne doit
encore paſſer par quelqu’un des points où ce poids
touche cette ſurface, c’eſt-à-dire, par quelqu’un des
points de ſa baze: autrement, &
pour la même rai-
ſon, il rouleroit, ou couleroit encore du côté qu’elle
s’en écarteroit. 5°.
La force dont ce poids eſt ainſi
pouſſé ou tiré ſuivant AD par le concours d’action
de ſa peſanteur & de la puiſſance R, eſt à celle de
cette puiſſance, (Lemm. 4.
Cor.
3.)
comme AD à AB;
c’eſt-à-dire, (Lem. 5.)
commele ſinus de l’angle DBA,
ou de ſon complement BAC, au ſinus de l’an-
gle BDA, ou de DAC qui luy eſt égal. Elle
eſt auſſi pour la même raiſon à la peſanteur de ce
poids, comme le ſinus du même angle BAC, au ſinus
de BAD: Ainſi la peſanteur de ce poids eſt à la
force de cette puiſſance, comme le ſinus de l’angle
BAD au ſinus de l’angle DAC; &
par conſéquent
ce poids, & cette puiſſance ſont entr’eux en raiſon
réciproque des ſinus des angles que font leurs li-
gnes de diréction avec la ligne tirée de leur point de
concours perpendiculairement à la ſurfacc GH,
telle quelle ſoit. Ce qu’il F.
D.
Les cas ou le point de concours de ces lignes de direction
ſe trouve encore dans ce poids, mais au-deſſous de ſon centre
de gravité, ſe réſoudront comme ceux des figures 33. 34.
&
36. &
ceux où il ſe trouvera debors, ſe réſoudront auſſi de
même, en regardant ſeulement ce point comme apparte-
nant à ce poids, de la maniére que nous avons fait en traitant
des poids ſoutenus avec des cordes ſeulement, figure 16. &
17.
Tout cela eſt aiſé;
c’eſt pourquoy on n’exprime point ici les
figures de tous ces cas.
On n’exprime point non plus la figure d’aucune ſurface
borizontale: parce que la ligne de direction de quelque poids
que ce ſoit, lui étant toujours perpendiculaire, il s’y ſoutient
de lui-même, & ſans le ſecours d’aucune puiſſance, par la
même raiſon qu’il en a beſoin, comme l’on vient de voir, pour
demeurer ſur quelque autre ſurface que ce ſoit. Cette propo-
ſition ne laiſſe pas cependant de s’étendre encore juſques-là,
comme on le verra dans les Corollaires 9. &
10.
ainſi on
n’en peut pas concevoir une plus générale.
On voit des articles 3.
&
4.
de cette démonſtra-
tion que le poids EO ne peut-être ſoutenu par quel-
que puiſſance R que ce ſoit, ſur quelque ſurface
quece puiſſe être, à moins que la ligne AD ne tombe
perpendiculairement ſur cette ſurface, & qu’elle ne
paſſe en même temps par quelqu’un des points ou
ce poids touche cette même ſurface; c’eſt-à-dire,
par quelqu’un des points de la baze de ce même
poids.
Mais auſſi pour la même raiſon dés que l’un &
De-là on voit qu’il n’y a point non plus de puiſſan-
ce capable de ſoutenir un poids rond, ou quelque
ſphére que ce ſoit, ſur quelque ſurface que ce puiſſe
être, à moins que le concours de leurs lignes de di-
rection ne ſe faſſe dans ſon centre de grandeur; parce
que c’eſt le ſeul point de ce corps, d’où l’on puiſſe
tirer une ligne qui paſſe par ſa baze, & qui ſoit en
même temps perpendiculaire à la ſurface ſur laquelle
il eſt ſoutenu. Dans tout autre configuration de poids,
il en va tout autrement: parce que l’on y peut trou-
ver pluſieurs points, d’où il eſt poſſible de tirer de
telles perpendiculaires.
Il n’y a point encore de puiſſance R, telle quelle
ſoit, qui puiſſe ſoutenir aucun poids ſur quelque ſur-
face que ce puiſſe être, à moins que ſa ligne de di-
rection AR ne ſe trouve dans le complement NAO
de l’angle CAO, que fait la ligne de direction AC
de ce poids avec AO tirée du point A perpendiculai-
rement à cette ſurface GH. Car 1°.
ſi elle concou-
roit avec AN elle ne feroit plus aueun angle avec
AC: ainſi cette puiſſance porteroit ſeule tout ce poids,
& non avec ce plan;
ce qui eſt contre l’hypothêſe.
2°.
Si cette ligne de direction concouroit avec AO,
ou ſi elle ſortoit de l’angle NAO, la diagonale AD
du parallelogramme BC ſe tourneroit vers G; ce
qui feroit néceſſairement (Corol. Lemm.
I.)
tomber ce
poids de ce côté-là, ce qui eſt encore contre l’hypo-
thêſe. Donc la ligne de direction AB de la puiſſance
R, doit toujours ſe trouver dans le complement NAO
de ſorte que c’eſt-là tout l’eſpace
du mouvement qu’elle peut avoir.
Le plan BAC, ou le parallelogramme BC de
cette ligne avec AC ligne de direction du poids
EO, eſt auſſi toujours perpendiculaire à la ſur-
face que la ligne GH repreſente, & ſur laquelle ce
poids eſt ſoutenu; puiſque la diagonale AD de ce pa-
rallelogramme BC, l’eſt toujours à cette même ſur-
face.
On voit auſſi de l’article cinquiéme de la demonſ-
tration ci-deſſus, que le poids EO eſt à la charge de
cette ſurface, c’eſt-à-dire, à l’impreſſion que lui & la
puiſſance R font enſemble deſſus, ou à la réſiſtance
qu’elle leur fait, comme le ſinus de l’angle BAD, au
ſinus de l’angle BAC.
D’où il ſuit que le poids EO, la charge de la ſur-
face GH, & la puiſſance R, ſont entr’eux comme
les ſinus des angles BAD, BAC, ou ABD ſon com-
plement, & DAC, ou ADB qui lui eſt égal;
c’eſt-à-
dire, (Lemm. 5.)
comme les lignes BD, AD, &
AB.
D’où il ſuit encore que plus l’angle BAC eſt obtus,
moins la charge de cette ſurface eſt grande: de ſorte
qu’il le peut devenir juſqu’à un tel point, quelle ſera
ſi petite qu’on voudra; c’eſt ainſi qu’elle peut dimi-
nuer à l’infini.
Mais elle ne peut pas augmenter de même;
parce
que ne pouvant jamais être plus grande, que lorſque
cet angle eſt infiniment aigu; c’eſt-à-dire, lorſque
les lignes AC & AB concourent avec AO:
&
AD
n’étant encore alors qu’égale à la ſomme de AB & de
BD; la charge de cette ſurface, qui eſt alors hori-
zontale ne peut jamais être plus grande que la ſomme
de ce poids, & de cette puiſſance.
On entend ici par ſurface horizontale unplan qui le ſoit,
ou bien un point d’une ſurface courbe dont toutes les tangentes
ſoient auſſi borizontales.
On voit encore qu’il faut d’autant moins de force
tion AB ſur un même point de quelque ſurface
que ce ſoit, que cette ſurface, ſi elle eſt droite
(fig. 30.
&
33.)
ou bien ſi elle eſt courbe;
(fig.
32.
36.)
, que ſa tangente au point ou la perpendiculai-
re AO la rencontre, eſt plus inclinée, quoi qu’en
proportion différente: parce que la raiſon du ſinus
de l’angle CAD, au ſinus de l’angle BAD, en eſt
toujours moindre; &
comme cette inclinaiſon avec
l’horizon peut diminuer à l’infini, la force qu’il faut
pour ſoutenir quelque poids ſuivant la même direc-
tion ſur quelqu’une de ces ſurfaces, ſoit droite, ſoit
courbe, peut auſſi diminuer à l’infini: De ſorte que
lorſqu’elle ſera infiniment inclinée; c’eſt-à-dire, ho-
rizontale, du moins dans le point où la perpendicu-
laire AO la rencontre, cette force ſera nulle, & ré-
duite à zéro; c’eſt-à-dire, qu’il n’en faudra plus du
tout pour l’y ſoutenir.
Au contraire pour ſoutenir ce poids ſur le même
point d’une ſurface toujours également inclinée, telle
quelle ſoit, mais ſuivant différentes directions de
puiſſance; il faut d’autant plus de forces que l’angle
DAB fait dans l’eſpace NAD par la perpendiculaire
AO avec la ligne de direction AB de la puiſſance qui
ſoutient ce poids, differe davantage de l’angle droit: parce qu’alors la raiſon du ſinus de l’angle CAD, au ſi-
nus de l’angle BAD, en ſera d’autant plus grande, quoi
qu’en proportion différente: &
conime cet angle peut-
être plus ou moins grand qu’un angle droit, & en diffé-
rer de plus en plus juſqu’au concours de AB avec AN,
ou avec AO, ſans que AB ſorte de l’eſpace NAO; la
puiſſance qui ſoutient ce poids peut auſſi augmenter
juſques-là: mais différemment ſelon que AB s’appro-
che de l’une, ou de l’autre de ces deux lignes. Car
1°. ne pouvant jamais être plus grande par l’appro-
che de AB vers AN, que lorſque l’angle NAB, que
ces lignes font entr’elles, eſt le plus petit qu’elles
puiſſent faire; c’eſt-à-dire, celui qu’elles font immé-
diatement avant que de concourir; &
le ſinus de CAD
étant encore alors un peu moindre que celui de
BAO, quoique d’une difference infiniment petite:
Cette puiſſance ne peut être tout au plus de ce côté-là,
qu’un peu moindre que ce poids d’une différence qui
ſoit auſſi infiniment petite. 2°.
Au contraire du côté de
AO elle pent augmenter à l’infini: parce que la raiſon
du ſinus de CAD, à celuy de BAD, augmentant à
meſure quela ligne AB s’approche de AO, en s’éloi-
gnant de la ſituation qu’elle auroit ſi elle faiſoit un an-
gle droit avec AO; cette force peut auſſi augmenter
de ce côté-là juſqu’à ce que AB, & AO concourent.
Or en ce cas l’angle BAD étant infiniment petit, la
&
par conſéquent auſſi celle de cette puiſ-
ſance à ce poids. Ce qui fait voir que cette puiſ-
ſance peut augmenter à l’infini dans le mouvement
qu’elle peut avoir depuis la ſituation où ſa ligne de
direction feroit un angle droit avec la perpendiculaire
AO, juſqu’au concours de ces deux mêmes lignes, &
demeurer cependant toûjours en équilibre avec le
même poids, & ſur le même point d’une ſurface in-
clinée, telle quelle ſoit.
Pour les plans perpendiculaires à l’horizon, ou plu-
&
pour les points des ſurfaces courbes, d’où l’on peut
tirer des tangentes qui ſoient auſſi perpendiculai-
res à l’horizon: la ligne de direction AB de la puiſ-
ſance qui ſoutient ce poids ſur, ou contre ces plans,
ou ces points de ſurfaces courbes, ne pouvant (Co-
rol. 4.)
s’éloigner de la ſituation où elle ſeroit, ſi
elle faiſoit un angle droit avec AO, qu’en s’appro-
chant de AO, puiſque l’angle NAO en ce cas eſt
droit; cette puiſſance ne peut auſſi augmenter que
de ce côté-là: De ſorte qu’elle peut à la vérité aug-
menter à l’infini de même que ſur les ſurfaces incli-
nées: mais elle ne peut jamais être moins grande
que lorſque ſa ligne de direction AB fait le plus petit
angle qu’elle puiſſe faire avec AN; c’eſt-à-dire,
qu’en ne ſurpaſſant ce poids que d’une différence in-
finiment petite.
De ſorte que dés le moment que AB &
AN vien-
nent à concourir enſemble, le ſinus de CAD deve-
nant alors égal à celui de BAD, cette puiſſance de-
puyer ſur, ou contre la ſurface GH, telle qu’elle
ſoit.
Ce n’eſt que pour ne pas embaraſſer l’imagination de ceux
qui ſont accoutumez à regarder une ſurface perpendiculaire à
l’horizon, comme parallele à la ligne de direction d’un poids, &
une horizontale, comme lui étant perpendiculaire; que l’on s’eſt
accommodé à cette bypotbêſe dans ces trois derniers Corollaires: car pour les rendre auſſi généraux qu’on les puiſſe imaginer, &
pour toutes ſortes d’bypotbêſes, il ne faut que regarder les plans,
ou les tangentes des ſurfaces courbes, que l’on dit ici perpen-
diculaires à l’borizon, comme paralleles ſeulement à la ligne
de direction de ce poids, ſans avoir égard à l’angle qu’elles
font, ou qu’elles peuvent faire avec l’borizon. De même celles
que l’on appelle ici borizontales, ſe doivent ſeulement regar-
der comme perpendiculaires à cette ligne. De cette maniére ces
Corollaires ſeront ſi généraux, qu’ils ſe pourront appliquer à
toutes les directions poſſibles d’un corps ſoutenu ſur ou contre
quelque ſurface que ce puiſſe être.
Il eſt encore bon de remarquer que lorſqu’on dit ici qu’un
poids eſt ſoutenu ſur le même point d’une ſurface, l’on ne pré-
tend pas dire qu’il ne la rencontre jamais qu’en un ſeul point; mais on entend ſeulement que la ligne AD, qui tombe du
point A perpendiculairement deſſus, la rencontre toujours dans
le même point O, tant que ce poids eſt ſoutenu deſſus, quoi que
ce ſoit ſuivant différentes directions de puiſſances. La raiſon
de cette précaution eſt évidente du côté des ſurfaces courbes,
dont tous les points ont cbacun une tangente d’une direction
particuliére. Pour du côté des plans, on la reconnoîtra dans
le Corollaire 23. où l’on verra que dans l’bypotbêſe du con-
cours des lignes de direction des poids en quelque points de la
terre que ce ſoit, ils ne péſent pas toujours également deſſus,
quoique la ligne de direction de la puiſſance qui leur eſt appli-
Au contraire, ils péſent tou-
ſoit, à moins qu’on ne change la ligne de direction de cotte
puiſſance, ou la ſi@uation de cette ſurface. C’eſt pour cela
que dans les trois Corollaires précédens, où l’on examine ſépa-
rément le changement que peut cauſer dans l’action d’un poids
les différentes inclinaiſons de la même, ou des différentes ſurfaces
ſur leſquelles il eſt ſoutenu, & les différentes lignes de direction des
puiſſances qui l’yſoutiennent;on l’aregardé comme appliqué non-
ſeulement à la même ſurface, mais auſſi toujours au même point.
Puiſque la puiſſance qui ſoutient quelque poids
que ce ſoit ſur le même point de quelque ſurface
que ce puiſſe être, eſt d’autant plus grande que
ſa ligne de direction AB s’éloigne davantage de la
ſituaton où elle feroit un angle droit avec AO, ſans
cependant ſortir de l’eſpace NAO: Il s’enſuit qu’elle
n’eſt jamais moindre que lorſqu’elle eſt parallele au
plan, ou à quelqu’une des tangentes au point de la ſur-
face courbe, ſur lequel ce poids eſt ſoutenu.
D’où l’on voit dans l’hypothêſe ordinaire, ou l’on
BAD, HKG étant alors ſemblables, cette puiſſance qui
eſt à ce poids (Cor. 7.)
comme AB à BD, lui ſera auſſi
comme HK à HG: &
comme elle eſt alors la moin-
dre qu’elle puiſſe jamais être ſelon le Corollaire précé-
dent; il s’enſuit qu’elle ne peut jamais être en moindre
raiſon au poids qu’elle ſoutient ſur un plan incliné,
qu’eſt celle de la hauteur de ce plan à ſa longueur.
On voit encore que toute puiſſance qui peut ſoute-
de direction, qui faſſe avec une perpendiculaire faite
ſur AD au point A, un angle moindre que celui de
cette perpendiculaire avec AN; l’y peut ſoutenir
ſur le même point, ſuivant une autre ligne
de direction, qui paſſant de l’autre coté de cette per-
pendiculaire, faſſe avec elle un angle égal au pre-
mier: car les deux angles que font alors ces deux li-
gnes de direction avec AD, étant complemens à deux
droits, l’un de l’autre, leurs ſinus ſeront égaux; &
par conſéquent ils ſeront en même raiſon au ſinus de
l’angle CAD; &
par conſéquent auſſi ce même poids
ſeroit alors en même raiſon aux puiſſances, qui pla-
cées ſuivant ces différentes directions, le ſoutien-
droient l’une aprés l’autre; ainſi elles ſeroient égales
entr’elles: Donc la même puiſſance qui ſoutient ce
poids ſuivant une de ces directions, le peut encore
ſoutenir ſuivant l’autre ſur le même plan incliné
GH.
On verra par le Corollaire 23.
que pour rendre ce dernier
Corollaire général pour toutes ſortes d’hypotbéſes, il faut que
ce poids ſe trouve alors ſur le même point d’un plan toujours
également incliné.
1°.
Si AB ne concourt point avec la perpendiculaire
faite ſur AD au point A, la puiſſance R qui ſoutiet le
poid EO ſuivant cette même ligne AB, eſt à ce même
poids en plus grande raiſon que le ſinus de CAD au ſi-
nus total; c’eſt-à-dire, dans l’hypoth êſe ordinaire, en
plus grande raiſon que la hauteur dé ce plan (Cor. 14.
&
15.)
à ſa longueur.
2°.
Si l’angle de cette per-
pendiculaire avec la ligne de direction AB de cette
puiſſance, eſt moindre que l’angle de cette même per-
puiſque de quelque côté que AB
faſſe cet angle avec cette pendiculaire, la puiſſance qui
ſoutiendra ce poids, (Cor. 16.)
ſera la même;
il s’enſuit
(Cor. II.
n.
I.)
qu’elle ſera moindre que ce poids dans
l’un & l’autrecas:
ainſi l’on peut conclure en général
qu’une même puiſſance peut ſoutenir un même poids
ſur un même plan incliné ſuivant deux différentes di-
rections: pourvu qu’elle ſoit moindre que ce poids, &
qu’elle lui ſoit cependant en plus grande raiſon que le
ſinus de l’angle CAD au ſinus total; c’eſt-à-dire, dans
l’hypothêſe ordinaire, où l’on regarde la ligne de di-
rection de ce poids comme parallele à la hauteur de ce
plan: pourvu que cette puiſſance moindre que ce
poids, lui ſoit cependant en plus grande raiſon que la
hauteur de ce plan à ſa longueur.
En tout autre cas;
c’eſt-à-dire, lorſque cette puiſ-
ſance eſt plus grande que ce poids, ou du moins qu’el-
le lui eſt égale, ou bien lorſqu’elle lui eſt en même
raiſon que le ſinus de l’angle CAD au ſinus total,
elle ne le peut ſoutenir ſur le même point de ce plan
que ſuivant une ſeule direction. Tout cela eſt mani-
feſte par une raiſon toute contraire à celle du Corol-
laire précédent.
On voit aſſez comment ces quatre derniers Corollaires ſe
peuvent appliquer à toutes ſortes de ſurfaces courbes, pour les
points ou elles peuvent être touchées par des plans inclinez. Il n’eſt pas difficile non plus de reconnoitre ce qui leur peut
convenir de ce que nous allons encore dire des ſurfaces planes;
c’eſt pourquoi nous ne parlerons plus d’orénavant que de
celles-ci.
Puiſque (Cor.
7.)
le poids EO, la puiſſance R, &
la charge du plan GH, ſont entr’eux comme les li-
AD;
ſi la ligne de direction de la
puiſſance R eſt parallele au plan GH, & AC celle de
ce poids parallele auſſi à HK hauteur de ce plan: ce
poids, cette puiſſance, & la charge de ce même plan,
ſeront entr’eux comme la longueur de ce plan, ſa hau-
teur, & ſa baſe;
c’eſt-à-dire, comme GH, HK, &
KG; parce qu’alors les triangles GHK, &
DBA ſont
ſemblables.
Et pour la même raiſon, ſi cette ligne de direction
c’eſt-à-dire, à la baze
GK de ce plan; &
que AC ſoit encore parallele à ſa
hauteur HK: Ce poids, cette puiſſance, &
la charge
de ce plan, ſeront alors entr’eux comme la baze de
de ce plan, ſa hauteur, & ſa longueur;
c’eſt-à-dire,
comme GK, KH, HG; parce qu’alors les triangles
GKH, & DBA ſont encore ſemblables.
Fuſqu’ici nous n’avons regardé le même poids que comme
appliqué au même endroit d’un plan toujours également incli-
né: Mais s’il ſe trouvoit ſucceſſivement en différens points,
qu’arriveroit-il? Le voici.
Il ſuit encore de cette propoſition que les puiſſances
R qui ſoutiennent ſucceſſivement le même poids
A, ou des poids égaux ſur les points O, & Q d’un
même plan HG, ſont entr’elles en raiſon compoſée
de celles des ſinus des angles QAD, & QAP;
OAR
& OAD:
car puiſque la puiſſance P eſt au poids A
&
quele même poids appliqué
en O, eſt à la puiſſance R, comme le ſinus de l’angle
OAR, à celui de l’angle OAD: Il ſuit en multipliant
par ordre ces deux rangées de proportionnelles; que
la puiſſance P eſt à la puiſſance R, comme le produit
des finus des angles QAD, & OAR, au produit de
ceux des angles QAP, & OAD;
c’eſt-à-dire, en
raiſon compoſée de celles des ſinus des angles QAD,
& QAP;
OAR, &
OAD.
D’où l’on voit que tant que les lignes de direction
AP, & AR ſont la même, ou paralleles entr’elles,
& que celles du poids A appliqué en Q, &
en O, ſont
auſſi paralleles; les angles QAP, &
OAR étant
alors égaux entr’eux, de même que les angles QAD,
& OAD, les puiſſances P &
R ſont auſſi pour lors
égales; ce qui fait voir que ce même poids A péſe
alors également ſur quelque point O, ou Q de ce
plan, qu’il ſoit appliqué.
Au contraire, s’il n’y a que les lignes de de direc-
tion AP, & AR, de ces puiſſances qui ſoient paral-
leles entr’elles, & que celles de ce même poids A ap-
pliqué ſucceſſivement en O, & en Q, concourent en
quelque point D, que ce ſoit; par exemple, au cen-
tre de la terre: les angles QAP, &
OAR étant en-
core égaux, les puiſſances P & R ſeront entr’elles
comme les ſinus des angles QAD, & OAD;
ou bien,
à cauſe des paralleles QA, AO, ces puiſſances ſeront
entr’elles comme les ſinus des angles SAD, & ASA,
ou ASD ſon complement; c’eſt-à-dire, (Lem.
5.)
com-
me DS à AD. Ce qui fait voir qu’en ce cas plus le poids
A eſt haut ſur le plan HG, plus auſſi la puiſſance qui l’y
doit ſoutenir ſuivant une certaine direction, doit être
grande.
On voit préſentement qu’il peut y avoir bien de la diffé-
rence entre un poids ſoutenu ſur un même plan, & un poids
ſoutenu ſur le même point du plan; c’eſt auſſi pour cela qu’on
à pris ſoin ci-deſſus de ne les pas confondre, & de faire re-
marquer cette différence dans la ſeconde réfléxion qui ſuit le
Corollaire 13.
Mais s’il n’y a que les lignes de direction du poids
A placé tantôt en O, & tantôt en Q, qui ſoient pa-
ralleles entr’elles; les puiſſances P &
R ſeront alors
entr’elles comme les ſinus des angles OAR, & QAP;
c’eſt-à-dire, en raiſon réciproque des ſinus des angles
que font leurs lignes de direction avec AO, & AQ,
tirées des points A ou ces lignes de direction con-
courent avec celles de ce poids, perpendiculairement
au plan GH.
Si préſentement on conçoit que les puiſſances P &
R
ſoient égales, & que les poids A &
A ſoient différens;
on trouvera de méme que ces poids, qu’elles ſoutien-
nent ſur les points Q & O du plan GH, ſeront entr’-
eux en raiſon compoſée de celles des ſinus des angles
QAP, & QAD;
OAD, &
OAR;
c’eſt-à-dire, com-
me le produit des ſinus des angles QAP & OAD, au
produit de ceux des angles QAD & OAR:
De ſorte
que 1°. Lorſque les lignes de direction de ces puiſ-
ſances ſont paralleles entr’elles, & celles de ces poids
paralleles auſſi; ces poids ſont égaux.
2°.
Mais s’il
n’y a que celles de ces puiſſances qui le ſoient; ces
avec les perpendiculaires au plan GH en Q, & en O.
3°.
Au contraire s’il n’y a que les lignes de direction
de ces poids qui ſoient paralleles entr’elles; ils ſeront
entr’eux en même raiſon que les ſinus des angles que
font ces mêmes perpendiculaires avec les lignes de di-
rection des puiſſances qui les ſoutiennent.
Il y auroit encore bien des Corollaires à tirer de cette pro-
poſition non-ſeulement par raport aux plans, mais auſſi par
raport aux poli-plans: en voilà aſſés pour en pouvoir juger.
L Apaiſſance R étant donnée, la diſpoſer tellement qu’elle
plan GHMN incliné, & ſuivant ſa longueur GH, de la
hauteur HK; &
ſuivant ſa largeur GN, de la hauteur
NL.
Aiant placé ce poids en quelque point, ou partie
de ce plan qu’il vous plaira, de quelqu’un des points
ou ſa baze le touche; par exemple, du point O, tirez
OD perpendiculaire à ce plan, marquez auſſi la ligne
de direction FC de ce poids, qui rencontre auſſi ce
plan en L, & OD prolongée en A.
Enſuite de quel-
que point C qu’il vous plaira de la ligne AC, faite
AC à CD, comme le poids EO à la puiſſance R. 1°.
Si CD n’eſt pas aſſez longue pour atteindre de C
juſqu’en quelque point D de la ligne AD, ce Pro-
blême eſt impoſſible: parce que la diagonale tirée du
lignes; c’eft-à-dire, ſous AC &
CD, étant alors dif-
férente de AD, elle ne ſeroit pas perpendiculaire à
ce plan: ainſi ce poids rouleroit alors (n.
3.
Demonſt.)
du côté de L.
2°.
Mais ſi CD peut atteindre juſqu’en
quelque point D de la ligne AD, achevez le paral-
lelogramme BC, & placez la puiſſance R ſuivant
AB: alors elle ſoutiendra ce poids ſur ce plan.
Puiſque (Hyp.)
cette puiſſance eſt à ce poids com-
me CD, ou AB qui lui eſt égale, eſt à AC; leur con-
cours d’action doit le pouſſer (Lemm. 4.
Cor.
2.)
ſuivant AD perpendiculaire (Hyp.)
au plan GM,
& qui paſſe auſſi (Hyp.)
par la baſe de ce poids:
Donc (Cor. 2.)
il doit demeurer deſſus en équilibre
avec cette puiſſance. Ce qu’il F.
D.
Il eſt clair que ſi la puiſſance R ceſſoit de retenir le
poids EO, il couleroit le long de OL.
Si CD eſt la plus petite ligne qui puiſſe atteindre
de C juſqu’en AD; c’eſt-à-dire, ſi l’angle ADC eſt
droit, l’angle BAD le ſera auſſi; &
par conſéquent
cette puiſſance eſt la plus petite (Cor. 14.)
qui puiſ-
ſe ſoutenir ce poids ſur ce plan, & elle ne l’y poura
ſoutenir non plus que (Cor. 16.)
ſuivant cette ſeule
direction.
Si CD n’eſt pas la plus petite qui puiſſe atteindre
depuis C juſqu’en AD, mais qu’elle ſoit cependant
cncore moindre que AC; cette même puiſſance poura
points également éloignez de la perpendiculaire tirée
du point C ſur AD. Ce qui revient au Corollaire 16.
de la propoſition précédente.
Enfin ſi CD eſt plus grande que AC, elle ne poura
encore ſoutenir ce poids que ſuivant cette ſeule di-
rection. Ce qui revient auſſi au Corollaire 18.
Mais auſſi CD pouvant être infiniment plus gran-
de que AC, cette puiſſance peut auſſi être infiniment
plus grande que ce poids, & demeurer cependant tou-
jours en équilibre avec lui. Ce qui revient encore au
nombre 2. du Corollaire 11.
Tout cela ſe peut aiſément appliquer à toutes ſortes de
ſurfaces courbes: ceux pour qui ce Projet eſt écrit le voyent
aſſez.
De quelque eſpéce, &
dans quelque ſituation
qu’ils ſoient; &
pour toutes les directions
poſſibles des puiſſances, ou des poids qui y
ſont appliquez.
SOIENT les puißances E &
F appliquées aux points
X du Levier MN, de quelque eſpéce, &
en
quelque ſituation qu’il ſoit; quelque angle OAX que faſ-
ſent auſſi entr’elles, les lignes de direction de ces puiſſances,
indéfiniment prolongées vers A: Ces deux puißances feroni
équilibre ſur le point fixe B de ce levier, par ou paſſe la dia-
gonale AG du parallelogramme RS, dont les côtez AS & AR
ſont entr’eux, comme les puiſſances E, & F.
Concevons pour un moment que MAN eſt la
figure de ce Levier, & qu’au lieu d’être tiré, ou
pouſſé par les puiſſances E & F, ſon point A ſoit ſeu-
vers S ſuivant AS
par une autre puiſſance égale à E. Il eſt conſtant
(Lemm. 3.)
que l’impreſſion compoſée que ce point
recevroit alors du concours d’action de ces deux
puiſſances, s’il étoit ainſi pouſſé, ne tendroit qu’à le
mouvoir ſuivant la diagonale AG du parallelogram-
me RS; ainſi ne faiſant d’impreſſion ſur tout le corps
MAN, qu’autant que le point A, à raiſon de l’ob-
ſtacle qu’il leur fait, lui en communique, toute l’ac-
tion de ces deux puiſſances ſur ce corps, ſe trouveroit
réünie dans la ſeule ligne AG, ou AB; ſi donc il
ſe trouvoit quelque point fixe dans cette ligne, par
exemple B, ce point ſoutiendroit, lui ſeul, toute
l’impreſſion de ces deux puiſſances ſur ce corps, ou
ce Levier; &
par conſéquent ce corps n’en ayant
alors que ce qu’elles lui en communiquent, demeu-
reroit ainſi en équilibre ſur ce point, ſans qu’aucune
d’elles l’emportât ſur l’autre. Oſtons préſentement
ces deux puiſſances, & remettons les deux premiéres
E, & F en action comme auparavant, prenant encore
MAN pour la figure du Levier, ou elles ſont appli-
quées. Il eſt clair que ces deux puiſſances faiſant
toute la même impreſſion ſur le point A de ce Levier,
& ſuivant la même direction AG, que faiſoient
auparavant celles que nous leur avions ſuppoſées
égales; leur action doit ſe trouver de même que
celle de ces deux ſuppoſées, toute réünie dans la
ſeule ligne AB: &
par conſéquent le point fixe B la
ſoutenant, lui ſeul, toute entiére, elles doivent encore
demeurer en équilibre ſur ce point. Et ſi enfin on
retranche la partie MAN du corps AMN, en ſorte
qu’il n’en reſte plus que le Levier MN: Il eſt encore
clair que les puiſſances E & F agiſſant encore ſur ce
levier de même que lors qu’il étoit joint à la partie
réünie dans le ſeul point B de ce levier, par ou paſſe
la diagonale AG du parallelogramme RS; &
par
conſéquent, elles doivent encore demeurer en équi-
libre ſur ce point. Ce qu’il faloit démontrer.
On voit aſſez qu’en quelque ſituation, de quel-
que eſpéce, & de quelque figure, que ſoit le levier
auquel deux puiſſances, telles qu’elles ſoient, ſont
appliquées, elles ſeront toujours en équilibre, quelque
angle que faſſent entr’elles leurs lignes de direction,
tant qu’il y aura un point fixe de ce levier dans la
diagonale AG; c’eſt pourquoi on ne s’arrête point
ici à exprimer les figures detous les cas de cette pro-
poſition, chacun le pourra faire à ſon loiſir.
On voit encore que les deux mêmes puiſſances E
& F peuvent faire ſucceſſivement équilibre ſur une
infinité de points B de ce même levier en changeant
ſeulement leurs directions: puis qu’on les peut varier
en tant de maniéres que AG paſſera ſucceſſivement
par tous les points imaginables de ce levier, excepté
par les points O & X, où ces deux puiſſances ſont
appliquées.
Ce qui fait voir que dans la ſuppoſition du concours
des lignes de direction des poids au centre de la terre,
leurs centres de gravité, ou de direction peuvent chan-
ger inceſſamment à meſure qu’ils s’en approchent, ou
qu’ils s’en éloignent, ſelon la différente ſituation qu’ils
peuvent avoir par raport à lui, excepté dans les ſphéri-
ques. On nes’arrête point à démontrer cela ſur des fi-
qu’il n’y a perſonne qui ne le puiſſe
faire de ſoi-même.
On voit de plus de cette propoſition que le point fixe
de ce levier, où bien ſon appui B eſt pouſſé de A vers
G ſuivant AG par l’impreſſion compoſée qu’il reçoit
du concours d’action de ces deux puiſſances, & que
la réſiſtance qu’il leur fait, étant égale à cette même
impreſſion, eſt à la force de chacune d’elles (Lemm. 3.
Cor.
3.)
Comme la diagonale AG à chacun des
côtez du parallelogramme RS, qui les répréſen-
tent; c’eſt-à-dire, que cette réſiſtance du point fixe,
où bien de l’appui B de ce levier, eſt à la force de la
puiſſance E, comme AG à AS; &
à celle de la puiſ-
ſance F, comme la même AG à AR.
D’où il ſuit que lors que l’angle OAX eſt infini-
ment aigu, c’eſt-à-dire, lors que les lignes de direc-
tion EX & OF des puiſſances E &
F ſont paralleles,
le point A étant alors infiniment éloigné de B, la
ligne AG, c’eſt-à-dire, (Cor. 4.)
la direction de
l’appui B leur eſt auſſi parallele, & toujours vers
l’endroit, où tendent ces deux puiſſances, lors qu’elles
tirent du même côté; ou bien vers celui, ou tend la
plus proche de cet appui, lors qu’elles tirent de diffé-
rens cótez.
Il ſuit encore du Corollaire 4.
pour tous les leviers
&
42.
que
plus l’angle OAX, que les lignes de direction des
puiſſances E & F, font entr’elles, ſera obtus, moins
viers; parce que plus cet angle ſera obtus, moins ſera
grande la raiſon de AG aux côtez du parallelogramme
RS, dont elle eſt diagonale, quoi qu’en proportion
différente: De ſorte que l’on peut faire cet angle
ſi obtus que la charge de l’appui B de ce levier ſera
ſi petite qu’on voudra, quoi que les deux mêmes
puiſſances demeurent toujours en équilibre deſſus; juſque-là même qu’elle peut devenir indéfiniment
petite, c’eſt-à-dire, moindre que quelque poids don-
né que ce ſoit. Il ne faut pour cela qu’ouvrir l’angle
OAX juſqu’à ce que la diagonale AG du paralle-
logramme RS, ſoit à chacun de ſes côtez AR &
AS en moindre raiſon que celle qui eſt entre ce poids
donné, & chacune des puiſſances F &
E que l’on ſup-
poſe appliquées à ce levier.
La charge de ce point ne peut pas de même
augmenter à l’infini: Car ne pouvant jamais être
plus grande que lors que l’angle OAX eſt infini-
ment aigu, c’eſt-à-dire, lors que les lignes de direc-
tion de ces deux puiſſances ſont paralleles; &
la
diagonale AG n’étant encore alors qu’égale à la
ſomme des côtez AR & RG du parallelogramme
RS alors infiniment long; la charge de cet appui ne
peut être, tout au plus, qu’égale à la ſomme des puiſ-
ſances E & F.
Pour les leviers des eſpeces exprimées dans les
figures 43. 44.
45.
&
46.
Il en va tout autrement:
car plus l’angle OAX eſt obtus, plus la charge,
ou la réſiſtance de l’appui B eſt grande; parce que
la raiſon de la diagonale AG à chacun des côtez du
mais elle ne peut pas pour
cela augmenter à l’infini: car ne pouvant jamais être
plus grande que lors que cet angle eſt infiniment
obtus, c’eſt-à-dire, lors que les lignes de direction
de ces puiſſances concourent en une ſeule ligne
droite; &
la diagonale AG n’étant alors qu’égale à
la ſomme des côtez AR & GR du parallelogramme
RS alors encore infiniment long; la réſiſtance de cet
appui ne peut par conféquent être encore, toutau plus,
qu’égale à la ſomme des forces de ces deux puiſſances.
Au contraire, plus cet angle OAX eſt aigu,
moins eſt grande la charge, ou la réſiſtance de l’ap-
pui B dece levier: car plus cet angle eſt aigu, moins
eſt grande la raiſon de la diagonale AG aux côtez
du parallelogramme RS, quoi qu’en proportion dif-
férente; mais elle ne peut pas non plus ainſi diminuer
à l’infini de même que nous venons de dire (Cor. 6.)
qu’elle le peut dans les leviers de l’eſpece exprimée
dans les figures 41. &
42.
Car ne pouvant jamais être
moindre que lors que cet angle eſt infiniment aigu,
c’eſt-à-dire, lors que les lignes de direction de ces
puiſſances deviennent parallel’es; &
le point G, qui
à meſure que cet angle devient plus aigu, s’approche
de plus en plus de la ligne AR, (fig. 43.
&
44.)
ou AS (fig. 45.
&
46.)
entrant alors dans cette
ligne, AG demeure encore égale à la différence de
AR à AS; &
par conſéquent la charge, ou la réſiſ-
tance d’e l’appui B ne peut jamais être moindre que
la différence des forces des puiſſances E & F.
D’où l’on voit en général 1°.
que dans toutes ſor-
tion, & de quelque eſpéce qu’ils ſoient, quelles que
ſoient auſſi les lignes de direction de puiſſances, ou
des poids qui y ſont appliquez, la charge de leur apui
7.
&
8.)
que la ſomme de ces poids, ou de ces puiſſances.
2°. que dans les leviers de l’eſpéce exprimée par les
figures 41. &
42.
elle peut (Cor.
6.)
diminuer à l’infi-
ni. 3°.
Mais que dans toute autre eſpéce (fig.
43.
44.
45. &
46.)
elle ne peut jamais être moindre (Cor.
9.)
que la différence des deux puiſſances, ou des deux
poids qui y ſont appliquez.
Perſonne que je fçache n’avoit encore démontré la charge,
n’y la direction des points d’apuy des leviers: il ne paroit p@ls
même qu’il ſoit aiſé de le faire par les principes ordinaires; ſans cela cependant il y à bien des Problêmes qu’on ne ſçau-
roit réſoudre. Par exemple, ſans la connoiſſance de la direc-
tion des apuis, il n’eſt pas poſſible de démontrer qu’elles doi-
vent être les directions de deux puiſſances, ſoit égales,
ſoit inégales, pour qu’elles puiſſent faire équilibre ſur
quelque levier que ce ſoit, dont l’apui eſt une ſphére; n’y
ſur combien de points de ce levier ainſi apuié, il eſt poſſi-
ble qu’elles faſſent équilibre en changeant ſeulement
leurs directions. Il n’eſt pas poſſible non plus ſans la connoiſ-
ſance & de la direction, &
de la charge des apuis des leviers de
trouver le point d’apui de celui auquel tant de puiſ-
ſances qu’on voudra, ſoient appliquées, pour toutes
les directions poſſibles dans leſquelles on les peut ſup-
poſer; ny deux puiſſances étant données avec leurs
directions & leurs points d’application à un levier,
de trouver quelle doit être la direction, & le point
d’application d’une troiſiéme puiſſance auſſi donnée,
pour que toutes trois enſemble faſſent équilibre ſur
quelque point donné, que ce ſoit, de ce levier. Ilfaut
& de la direction de leurs apuis.
Il ſuit encore de cette propoſition que les puiſſan-
ces E & F, qui demeurent ainſi en équilibre ſur le
levier MN, ſont en raiſon réciproque des lignes BD
& BP tirées de ſon point d’apui B perpendiculaire-
ment ſur leurs lignes de direction, qu’elles quelles
ſoient: Car puiſque la puiſſance E eſt à la puiſſance
F, comme AS, ou GR à AR; c’eſt-à-dire, (Lemm.
5.)
comme le ſinus de l’angle GAR, ou de OAB ſon
(fig. 41.
42.
43.
&
44.)
égal, ou (fig.
45.
&
46.)
ſon complement, eſt au ſinus de l’angle RGA, ou de
XAB ſon (fig. 41.
42.
43.
45.
&
46.)
égal, ou (fig.
44.) ſon complement;
&
que d’ailleurs BP eſt le
ſinus de l’angle OAB, & BD celui de l’angle XAB:
Il
ſuit quela puiſſance E eſt à la puiſſance F, comme BP
à BD; c’eſt-à-dire, en raiſon réciproque des diſtances
de leurs lignes de direction, au point d’appui de leur
levier. Ce qui fait que lors que l’angle OAX eſt
infiniment aigu, c’eſt-à-dire, lors que les lignes de
direction de ces deux puiſſances ſont paralleles, &
que ce levier eſt droit, quelque ſituation qu’il ait,
ces deux puiſſances ſont toujours entr’elles, tant
que dure leur équilibre, en raiſon réciproque des
bras de ce levier pris depuis ſon point d’appui, juſ-
qu’aux points où elles lui ſont appliquées.
L’inverſe de ce dernier Corollaire ſuit encore ma-
nifeſtement de cette propoſition: ſçavoir que lors
d’appui de leur levier, de quelque eſpece qu’il ſoit,
elles demeurent toûjours en équilibre; puis - qu’un tel
point ne ſe peut trouver ailleurs que dans la diagonale
AG du parallelogramme RS: ainſi lorſque, leurs lignes
de direction étant paralleles, & leur levier droit,
elles ſont en raiſon réciproque des bras de ce levier,
elles demeurent toujours enéquilibre deſſus.
D’où l’on voit en général que lors que deux puiſſances
font équilibre ſur un levier, de quelque eſpece, & en quelque
ſituation qu’il ſoit, elles ſont toujours entr’elles en raiſon
réciproque des diſtances de leurs lignes de direction au point
d’appui de ce levier. Et réciproquement auſſi, lors qu’elles
ſont en raiſon réciproque des diſtances de ces mémes lignes au
point d’appui de ce levier, de quelque eſpece, de quelque figure,
& en quelque ſituation qu’il ſoit, elles font toujours équilibre
deſſus.
Voila ce qu’on appelle ordinairement le premier principe
de Méchanique, & ce que perſonne, du moins que je con-
noiſſe, n’avoit encore démontré de cette maniére, n’y ſi gé-
néralement. Le voici encore d’une autre façon.
S I deux puiſſances D &
E appliquées au même point A
en raiſon réciproque des ſinus des angles que font leurs lignes
de direction, qu’elles quelles ſoient, avec ce levier; elles
demeureront en équilibre.
Le point A ainſi tiré par les puiſſances D &
E,
doit en recevoir une impreſſion ſuivant quelque
ligne AG qui ſoit la diagonale d’un parallelogramme
RS fait ſous des parties de leurs lignes de direction
AS & AR qui ſoient entr’elles, (Lemm.
3.)
comme
ces mêmes puiſſances; &
la force de cette impreſſion
doit être à chacune des puiſſances D & E, comme
(Lem. 3.
Cor.
3.)
AG à chacune des lignes AS &
AR,
ou SG qui lui eſt égale; c’eſt-à-dire, (Lem.
5.)
comme
le ſinus de l’angle ASG, à chacun des ſinus des angles
AGS, ou GAR qui lui eſt égal, & GAS;
&
par conſé-
quent les puiſſances D & E ſont entr’elles, commeles ſi-
nus GAR & GAS.
Elles ſont auſſi (hyp.)
entr’elles, com-
me les ſinus des angles RAB & SAB;
&
par conſé-
quent les ſinus de GAR & de RAB, de même que
ceux de GAS & SAB ſont égaux entr’eux:
donc les an-
gles GAR & RAB, auſſi-bien que GAS &
SAB, ſont
auſſi égaux, ou, du moins, complemens l’un de l’autre à
deux droits. D’où il ſuit que AG eſt en ligne droite avec
AB; &
par conſéquent le point fixe B dulevier AB ſou-
tient, lui ſeul, l’impreſſion toute entiére que le point A
reçoit du concours d’action des puiſſances D & E;
&
ce
point demeurant ainſi en repos, ces puiſſances doivent
auſſi par conſéquent demeurer en équilibre. Ce qu’il
faloit démontrer.
On voit de-là qu’une même puiſſance peut ainſi
faire ſucceſſivement équilibre avec pluſieurs autres,
quelques grandes, ou quelques petites qu’on les ſuppo-
ſe, pourvu qu’elle ſoit à chacune d’elles en raiſon ré-
ſa ligne de direction, & celle de la puiſſance avec
laquelle on la compare; c’eſt-à-dire, pourvû que les
produits de ces deux puiſſances par les perpendicu-
laires tirées du point d’appui de ce levier ſur leurs
lignes de direction, ſoient égaux.
D’où l’on voit que l’action d’une puiſſance ne ſe
prend pas ſeulement de la grandeur de ſa force; mais
auſſi de la diſtance de ſa ligne de direction au point
d’appui du levier ſur lequel elle agit: De ſorte que
le produit de cette diſtance par la force de cette puiſ-
ſance, eſt la meſure juſte de ſon action, ou de l’im-
preſſion qu’elle fait ſur ce levier.
Ainſi en quelque point que ce ſoit d’un levier
quelle ſoit appliquée, pourvû que la diſtance du
point d’appui de ce levier à ſa ligne de direction ſoit
toujours la même, ſon action ſur ce levier ſera auſſi
toujours la même.
Et par la même raiſon ſi différentes puiſſances éga-
les agiſſoient ſucceſſivement ſuivant la même direc-
tion, ou ſuivant des directions également diſtantes
du point d’appui du levier auquel elles ſeroient appli-
quées; leurs actions ſur ce levier ſeroient auſſi-
égales.
Et réciproquement ſi ces puiſſances ainſi appliquées
à ce levier agiſſent également ſur lui, elles ſeront
puis que les diſtances de leurs
elles ſont appliquées, ſont (hyp.) égales, &
que les
produits de chacune d’elles par la force de chacune
de ces puiſſances, ſont (Cor. 2.)
auſſi égaux.
SI les puiſſances E &
F appliquées à diſſérens points X
O du levier BO, de quelque ſigure, de quelque eſpéce,
& en quelque ſituation qu’il ſoit;
ſont entr’elles en raiſon
rèciproque des diſtances BD & BP de leurs lignes de direction
XE & OF, qu’elles quelles ſoient, au point ſixe B de ce
levier; c’eſt-à-dire, ſi E.
F.
:
: BP.
BD.
Ces deux
puiſſances ainſi appliquées demeureront en équilibre ſur ce
levier.
Si la puiſſance E étoit appliquée en O ſuivant une
ligne de direction OQ, dont la diſtance BQ au point
d’appui B de ce levier, fût égale à BD qui eſt celle
de ce même point à la ligne de direction XE qu’elle
a préſentement, cette puiſſance (Lemm. 6.)
demeu-
reroit en équilibre avec la puiſſance F. Or l’action
de cette puiſſance appliquée en X ſuivant XE, eſt
la même (Lemm. 6.
Corol.
3.)
qu’elle ſeroit alors ſur
ce levier: Donc ces deux puiſſances ainſi appliquées
en O, doivent demeurer en équilibre.
Ce qu’il
Il ſuit réciproquement de cette propoſition que ſi
les puiſſances E & F font équilibre ſur quelque levier
que ce ſoit, elles ſeront entr’elles en raiſon récipro-
que des diſtances de ſon point d’appui à leurs lignes de
direction: puis que ſi quelque nouvelle puiſſance miſe
en la place, par exemple, de la puiſſance E, & appli-
quée comme elle au levier BO, étoit en telle raiſon à la
puiſſance F, elle feroit équilibre avec elle. Orune telle
puiſſance (Lemm. 6.
Cor.
5.)
ſeroit égale à la puiſſance
E: Donc la puiſſance E ſeroit auſſi alors à la puiſſance
F en raiſon réciproque des diſtances de leurs lignes
de direction au point d’appui du levier ſur lequel
elles feroient équilibre.
On ne met point ici tous les Corollaires qu’on pourroit tirer
tant de cette propoſition, que de la précédente, par raport à la
Balance, à la Romaine, au Tour, aux Rouës à dent, aux Ci-
ſeaux, aux Tenailles, aux Etocs, &c.
ce ſera lors qu’on en
fera l’application à la phyſique; D’ailleurs tres-peu d’atten-
tion ſuſſit préſentement pour en déduire beaucoup plus que la
breveté, qu’on s’eſt propoſée dans ce projet, ne permet de ſaire.
TANT de puiſſances qu’on voudra appliquées à un
par exemple, les cinq que voici M, N,
O, P, Q, étant données avec leurs lignes de direction AM,
CN, EO, HP, & GQ, quelles quelles ſoient;
trouver le
point de ce levier ſur lequel elles peuvent ainſi appliquées de-
meurer toutes enſemble en équilibre.
Premiérement ſi ces lignes de direction ſont toutes
ſances tirent, il faut prendre ſur le levier AH pro-
longé s’il en eſt beſoin, H λ à G λ, commela puiſſance
Q eſt à la puiſſance P, & I’on aura le point λ ſur le-
quel ces deux puiſſances ainſi appliquées feroient
é12.)
ſi elles étoient ſeules.
La
direction de ce point (Cor. 5.)
étant vers Q paralle-
lement à HP, c’eſt-à-dire, (hyp.) à EO;
&
ſa charge
étant (Cor. 7.
ſig.
53.)
égale à la ſomme des forces de
ces deux puiſſances, ou (Cor. 9.
ſig.
54.
&
55.)
à leur
diffèrence: au lieu d’elles on en peut ſuppoſer une
nouvelle de cette valeur appliquée en ce point λ, &
dirigée du côté de la puiſſance Q parallelement à EO. Il eſt clair que cette nouvelle puiſſance faiſant la
même impreſſion ſur ce levier que les puiſſances P &
Q y en faiſoient auparavant, ſon centre d’équilibre
avec la puiſſance O, ſera le point lequel les trois
puiſſances O, P, & Q feroient équilibre, ſi elles
étoient ſeules, & appliquées comme elles ſont:
l’ayant donc trouvé comme l’on vient de faire le point
λ; c’eſt-à-dire, ayant fait λF à FE, comme la puiſ-
ſance O, à la charge qui réſulte au point λ du concours
d’action des puiſſances P & Q;
on aura le point F
dont la direction ſera encore (Cor. 5.)
parallele à celle
de ces puiſſances, & du côté de Q;
&
la charge en
ſera égale (Cor. 7.
ſig.
53.)
à la ſomme de ces trois-ci
O, P, & Q;
ou (ſig.
54.)
à la ſomme de la puiſſance
O, & de la diſſérence qui eſt entre les puiſſances P &
Q; ou enſin (Cor.
9.
ſig.
55.)
à la diſſérence qui eſt
entre la puiſſance O, & la diſſèrence des puiſſances
P & Q:
ainſi au lieu de la puiſſance O, &
de celle que
nous avons ſuppoſée en λ, ſi nous en concevons en-
dirigée du côté de la puiſ-
ſance Q parallelement à NC; nous trouverons ſon
centre d’equilibre D avec la puiſſance N, de même
que nous avons déja trouvé les points F, & λ.
Enſin
ôtant encore la puiſſance N avec celle qui étoit appli-
quée en F, & mettant à leur défaut au point D une
autre puiſſance égale à ſa charge, & dirigée du côté
de la puiſſance O parallelement à AM; on trouvera
encore le centre de direction B qui lui eſt commun
avec la puiſſance M, de même que l’on vient de faire
les points λ, F, & D;
&
ce point B ſera (Cor.
12.)
celui ſur lequel les cinq puiſſances M, N, O, P, &
Q,
ainſi dirigées demeureront en équilibre. Ce qu’il
faloit premiérement trouver.
On voit aſſez que ſi ce levier AH, (ſig.
55.)
ſe fû@t
terminé en H, ce Problême en ce cas auroit été im-
poſſible.
Ce que nous venons de démontrer des leviers
tes de leviers courbes; par exemple, à celui de la fig.
56.
en faiſant ſeulement à diſcretion quelque ligne
droite ah, qui rencontre (il n’importe comment)
toutes les lignes de direction des puiſſances M, N,
O, P, & Q, en a, c, e, h, &
g:
car la regardant com-
me un levier auquel ces puiſſances ſont appliquées
en ces mêmes points, on en trouvera, comme l’on
vient de faire, le point d’appui b, avec ſa ligne de
direction bB, qui rencontrant le levier AH, donnera
le point B qui ſera ſon point d’appui: Puis que les
rapports de diſtances de ce point aux lignes de di-
Cor.
5.
du point b à ces mêmes lignes.
Secondement, s’il ſe trouve quelques -unes des
point paralleles entr’elles, quelles que ſoient les autres,
& de quelque côté que ces puiſſances tirent encore;
Voici comment on pourra trouver le point d’appui
du levier AH auquel elles ſont appliquées. Soient, ſi
l’on veut, les directions HP & GQ des puiſſan-
ces P & Q, non paralleles, &
qu’elles ſe rencon-
trent en V: faite VR à VS, comme la puiſſance P à
la puiſſance Q; achevez le parallelogramme RS,
& faite la diagonale VK qui rencontre en λ le
levier AH prolongé juſqu’où il en ſera beſoin: ce
point ſera (prop. ſond.)
celui ſur lequel ces deux puiſ-
ſances ainſi appliquées feroient équilibre, ſi elles
étoient ſeules; &
ſa charge, dont la direction eſt
de V vers K ſuivant VK, (Cor. 4.)
ſera à chacune
des puiſſances P, & Q, comme VK à chacune des
lignes VR & VS qui les répréſentent:
De ſorte que
ſi au lieu de ces deux puiſſances, on en appliquoit
quelqu’autre au point λ de ce levier, ſuivant cette
même direction VK, & qui eût ce même raport à
chacune d’elles, c’eſt-à-dire, qui ſût égale à la
charge de ce point; elle feroit ſeule ainſi appliquée
la même impreſſion ſur ce levier que font préſente-
ment ces deux enſemble; &
par conſéquent ſon
centre d’équilibre avec la puiſſance O, ſeroit celui
des trois puiſſances, O, P, & Q;
c’eſt-à-dire, le
point ſur lequel elles feroient equilibre, ſi elles
étoient ſeules, & ainſi appliquées.
S’il arrive que
VK & OE ſoient paralleles, on trouvera ce point
comme l’on a fait dans l’hypothêſe des directions
mais ſi elles ſe rencontrent en quelque
TY à TZ, comme la puiſſance ſuppoſée en λ, eſt à
la puiſſance O; &
ayant achevé le parallelogramme
YZ, faite ſa diagonale TX qui rencontre en F le
levier AH: ce point ſera encore (Prop.
fond.)
celui
ſur lequel ces deux puiſſances, ou bien ces trois-ici O,
P, & Q, feroient équilibre, ſi elles étoient ſeules, &
appliquees ſuivant les conditions de ce Problême; &
ſa charge, dont la direction eſt de T vers X, (Cor. 4.)
eſt en ce cas à la puiſſance O, comme TX à TZ:
ôtant
donc encore cette puiſſance avec celle que nous
avions ſuppoſée en λ au lieu des puiſſances P & Q;
& en mettant une autre en F, dirigée de T vers X
ſuivant TX, & qui ſoit à la puiſſance O, comme
TX à TZ; elle fera encore ſeule ainſi appliquée la
même impreſſion ſur le leuier AH, que lui faiſoient
auparavant les trois puiſſances O, P, & Q;
&
par
conſéquent ſon centre d’équilibre avec la puiſſance
N, ſera celui des quatres puiſſances N, O, P, & Q.
S’il arrive que TX & NC ſoient paralleles, on trou-
vera encore ce point comme dans la première partie
de cette ſolution; mais ſi elles ſe rencontrent en quel-
que point β, il faut encore prendre βγ à βε, comme
la puiſſance ſuppoſée en F, eſt à la puiſſance N; &
ayant achevé le parallelogramme εγ, il faut prolon-
ger ſa diagonale βδ juſqu’à ce qu’elle rencontre le
levier AH en D, & ce point ſera (prop.
fond.)
celui
ſur lequel ces deux puiſſances, ou bien ces quatre-ci
N, O, P, & Q, feroient équilibre, ſi elles étoient
ſeules, & appliquées ſuivant les directions données
de ce problême. La direction de ce point ſera encore
de β vers δ ſuivant βδ, (Cor. 4.)
&
ſa charge ſera
auſſi à la puiſſance N, comme βδ à βε: ainſi au lieu
de la puiſſance N, & de celle que nous venons de
qui ſoit à la
puiſſance N, comme βδ à βε; cette nouvelle puiſ-
ſance ainſi appliquée au levier AH, fera encore
feule ſur lui la même impreſſion que faiſoient aupa-
ravant les quatre puiſſances N, O, P, & Q;
&
par
conſéquent ſon centre d’équilibre avec la puiſſance
M, ſera celui des cinq puiſſances données dans ce
problême. S’il arrive que βδ ſoit parallele à AM, on
trouvera encore ce point comme l’'on a fait dans le cas
des directions paralleles; mais ſi elles ſe rencontrent
en quelque point L, il faut encore prendre L θ à Lω,
comme la puiſſance qu’on ſuppoſe en D, eſt à la puiſ-
ſance M; &
ayant achevé le parallelogramme ωθ, il
faut tirer la diagonale LI, qui rencontrant le levier
AH, donnera le point B pour centre d’equilibre
(Prop. fond.)
de ces deux puiſſances;
c’eſt-à-dire en
remettant à la place de celle qu’on ſuppoſe en D, les
quatre N, O, P, & Q, qu’elle ſuppléoit;
ſur lequel
les cinq puiſſances données, & appliquées ſuivant
les conditions de ce Problême, feront équilibre. Ce
qu’il faloit encore trouver.
Ce Problème, tout facile qu’il paroit à réſoudre par les
principes q@’on ſuit ici, eſt peut - é
qu’on puiſſe propoſer à ceux qui ſont dans les principes ordi-
naires; non ſeulement quant à la maniére de déterminer les
points d’appui des levi
des puiſſances, ou des poids qui y ſont appliquez; mais auſſi
quant à celle de reconnoitre leur direction, & leur charge,
de quelque eſpece, & dans quelque ſituation qu’ils ſoient:
C’eſt peut ètre auſſi ce qui a fait que les Mécbaniciens, qui
ont entrepris de démontrer le cas de la figun’ont oſé tou-
ch@r aux autres.
Outre les Poulies, les Surfaces, &
les Leviers, on met
capitales entre celles qui ſont propres à faciliter les mouve-
mens; mais parce que cette dernière ſe rapporte toute au plan
incliné & au levier, dont on va voir qu’elle eſt compoſée,
nous n’en dirons ici que tres@ peu de choſes.
ON voit aſſez que tout l’uſage de la Vis eſt de
tirer, ou de repouſſer ſuivantla direction de ſon
axe tout ce qui lui fait quelque réſiſtance; &
ſi elle
eſtſixe, la force, ou le corps contre lequel on s’en ſert,
doit tirer, ou preſſer ſon écrouë du côté diametra-
lement oppoſé à celui vers lequel il eſt forcé d’avan-
cer. Au contraire ſi c’eſt l’écrouë qui ſoit ſixe, cette
force, où ce corps doit tirer, ou preſſer la vis elle-
même de ce même côté.
De ſorte, que dans l’uſage de la vis, lors qu’elle
eſt ſixe, l’on doit regarder tous les points de ſon
écrouë, comme tirez ou preſſez parallelement à ſon
axe du côté que cette écrouë eſt preſſée, ou tirée par
la force, ou par le poids dont elle eſt chargée.
D’où l’on voit que les lignes de direction de tous
ces points, ſont toutes obliques à celui des pas de
cette vis ſur lequel ceux de ces points qui le tou-
chent, s’appuyent; &
par conſéquent (démonſt.
des
n.
3.)
ſi cette vis, &
ſon écrouë étoient Mathé-
du côté que ſa ligne de direction s’écarteroit de la
perpendiculaire tirée de lui à ce pas; &
parce que
cet écartement ſe feroit pour tous du même côté, à
cauſe du paralleliſme de toutes ces lignes, & de la
pente uniforme du cordon de cette vis dans toute
ſa longueur: Il ſuit évidemment que tous ces points
devroient s’accorder dans un même mouvement qui
emportât cette écrouë ſuivant le fil de ce cordon,
c’eſt-à-dire, en tournoyant du côté de cet écartement; ſi dans ſon frotement avec la vis, l’inégalité de leurs
parties ne les acrochoient point enſemble.
La même choſe ſe doit entendre de tous les points
de la vis, ſi c’eſt l’écrouë qui ſoit fixe.
Ainſi à regarder l’une &
l’autre dans une juſteſſe
Mathématique, il faut néceſſairement quelque force
pour retenir celle des deux qui eſt mobile, contre
l’impreſſion de la force, ou du poids qui la charge. La voici.
LOrſqu’une puiſſance ſoutient quelque poids, ou l’action
de quelque autre force à l’aide d’une vis, ſoit que
cette vis ſoit fixe, ou que ce ſoit ſon écrouë cette puiſſance
la circonfèrence a’un cercle, dont le rayon eſt égal à la diſtance
qui eſt entre cette puiſſance & l’axe de cette mème vis.
Premiérement ſi la vis VXYZ eſt fixe, concevons que
pas GH par quelque puiſſance R dont la direction AB
ſoit dans le plan de cette écrouë, & perpendiculaire à
EP qui y eſt auſſi, & qui paſſe par le point A.
Il eſt clair
que cette puiſſance retenant par ce moyen toute l’é-
crouë PQ, ce point A fait ſur elle la même impreſſion
que s’il ſoutenoit lui ſeul toute l’action du poids, ou de
la force, quelle qu’elle ſoit, qui pouſſe cette écrouë,
ou qui la tire (Remarq. 1.)
vers ZY parallelement à
l’axe MS de cette vis: Ainſi l’on peut regarder le
point A de cette écrouë, comme ayant lui ſeul ſuivant
AC perpendiculaire au plan de cette écrouë, & pa-
rallele à MS, toute l’impreſſion qu’elle reçoit de ſa
charge; de ſorte que ſi l’on fait AD perpendiculaire
au pas GH de cette vis, & que de quelque point D
de cette ligne, l’on acheve le parallelogramme BC,
on verra (prop. fond.
des ſurf.)
que la puiſſance R ſera à
la charge de l’écrouë PQ, comme AB, à AC, ou à BD
qui lui eſt égale; c’eſt-à-dire, à cauſe que le triangle
HFG roulé ſur la vis VXYZ, eſt ſemblable au
triangle ABD; comme HF au demi tour FG de cette
vis, ou comme 2HF, c’eſt-à-dire, HK à un tour
entier. Or regardant EAP comme un levier dont
l’appui eſt le point E de l’axe MS de cette vis, & qui
ſe trouve dans le plan de ſon écrouë; la puiſſance P,
dont la direction eſt auſſi dans ce même plan, & per-
pendiculaire à EP, & conſéquemment parallele à AB,
le point A, ou la charge de
niére puiſſance, (Lemm 6. Cor.
2.)
comme EA à EP,
ou comme le tour entier de cette vis à la circonfé-
rence d’un cercle dont le rayon ſoit EP: Ainſi en
multipliant par ordre ces deux rangées de proportio-
nelles, l’on aura la puiſſance P à la charge de l’écrouë
PQ, comme la diſtance HK qui eſt entre deux des
pas de cette vis, à la circonference d’un cercle dont
le rayon eſt égal à la diſtance EP qui eſt entre cette
fance & l’axe de cette même vis.
Secondement, ſi c’eſt l’écrouë PQ qui ſoit fixe,
concevons que le point A appartient à la vis VXYZ, &
qu’il eſt retenu ſur le pas de cette écrouë par quelque
puiſſance R dont la direction ſoit encore ſuivant AB
qu’on ſuppoſe dans le plan de cetteécrouë, & perpen-
diculaire à EP qui y eſt auſſi. Il eſt encore clair que
cette puiſſance retenant par ce moyen toute la vis
VXYZ, ce point A fait encore ſur elle la même
impreſſion ſuivant AC parallele à MS, que s’il ſou-
tenoit, lui ſeul, toute l’action de ce qui pouſſe, (re-
marq. 1.)
ou de ce qui tire cette vis vers ZY:
ainſi pour
la même raiſon que ci-deſſus, la puiſſance R ſera
encore à la charge de cette vis, comme AB à BD; c’eſt-à-dire, comme HF à FG, ou bien comme HK
au circuit de cette vis; &
la puiſſance T, qui au lieu de
la puiſſance R retient cette vis, eſt auſſi à cette dernié-
re puiſſance, (Lemm. 6.
Cor.
2.)
comme EA à ST, ou
comme un tour entier de cette vis à la circonférence
d’un cercle dont ST ſoit le rayon: ainſi en multi-
pliant encore par ordre ces deux rangées de propor-
tionnelles, on aura encore la puiſſance T à la charge
de cette vis, comme la diſtance qui eſt entre deux de
ſes pas, à la circonférence d’un cercle dont le rayon eſt
égal à la diſtance qui eſt entre cette puiſſance & l’axe de
cette même vis.
Donc lors qu’une puiſſance ſoutient un poids, ou
d’une vis, ſoit que cette vis ſoit fixe, ou que ce ſoit
ſon écrouë, cette puiſſance eſt toujours à ce poids, ou
à cette force, commela diſtance qui eſt entre deux des
pas de cette vis, à la circonférence d’un cercle, dont
le rayon eſt égal à la diſtance qui eſt entre cette puiſ-
ſance & l’axe de cette même vis.
Ce qu’il faloit dé-
montrer.
D’où l’on voit que pour peu que la raiſon d’une
puiſſance à un poids, ou à quelqu’autre force, ſur-
paſſe celle de la diſtance, qui eſt entre deux des pas
d’une vis, à la circonférence d’un cercle, dont le
rayon ſoit la diſtance de l’axe de cette vis à cette
puiſſance, elle pourra ainſi appliquée ſurmonter ce
poids, ou cette force à l’aide de cette vis, & elle le
fera dautant plus aiſément que cette raiſon ſera plus
grande.
L’obſtacle que le frotement de la vis avec ſon écrouë
fait à ce mouvement, doit être compté comme faiſant partie
de ſa charge: c’eſt ainſi qu’on la peut réduire à une juſteſſe
Mathématique, de meme que toute autre machine.
D’où il ſuit que plus les pas d’une vis ſont ſerrez,
& que la diſtance de ſon axe à la puiſſance qui y eſt
appliquée, eſt grande, plus il eſt facile à cette puiſ-
ſance de ſurmonter le poids, ou la force qui agit
contr’elle.
Il ſuit encore de cette propoſition qu’une même
vis, ſoit qu’on la ſuppoſe appliquée à cette vis, où
qu’elle le ſoit à ſon écrouë pourvû qu’elle ſoit éga-
lement diſtante de ſon axe dans l’un & l’autre cas.
On ne dit rien ici du Coin, de la Scie, du Mortier, &
c.
ce ſont plûtôt des inſtrumens, ou des outils propres à faciliter
la diviſion d’un corps, que des machines qui puiſſent en fa-
ciliter le mouvement; on aura peut-ê
parler.
C’EST ici l’éxamen promis dans la réfléxion qui
ſuit la preuve de la premiére propoſition du Trojet
précédent. On ne croyoit pas d’abord le pouvoir donner
ici; mais s’étant trouvé fait plûtôt qu’on ne s’y étoit
attendu, on le joint à ce projet. On a été naturelle-
ment conduit par les principes qu’on y ſuit, à une
propoſition ſur les proprietez des poids ſuſpendus par
des cordes, qui s’eſt trouvée la meſme que celle que
Monſieur Borelli avoit critiquée dans Stévin,
& dans Hérigone;
&
ç’a été par la neceſſité de
la juſtiſier qu’on s’eſt trouvé engagé à l’examen de ſa
critique.
On diviſe cet examen en deux Cbapitres:
dans le
premier on fait voir que le ſentiment que M. Borelli reprend dans H’erigone, dans Stévin, &
dans
les autres; bien loin d’ètre contraire, comme il l’a
crû, à la 68. propoſition du Tome premier de ſon traité
du mouvement des Animaux, en eſt une ſuite ſi né-
ceſſaire, que s’il eut fait encore quelques pas, il y ſeroit
infailliblement entré. On indique enſuite dans ce
meſme Chapitre quelques paralogiſmes que cet Au-
theur a commis, lors meſme qu’il croyoit en voir dans
les raiſonnemens qu’il a critiquez.
Dans le ſecond Cbapitre, apres avoir encore donné
quelques démonſtrations du ſentiment d’Hèrigone &
des autres, toutes différentes de celles que M. Borelli
a critiqu@es; on rend par la metbode du Projet
précedent les Lemmes ſur leſquels cet Au beur a fondé
tout ce qu’il a dit de la force des Muſcles, beaucoup
plus généraux qu’ils ne le peuvent eſtre par la ſienne.
Au reſte ſi l’on attaque une erreur ou M.
Borelli eſt tombé, on n’en eſt pas moins perſuadé
du mérite ex@raordinaire de ce grand bomme, dont
les principaux Ouvrages doivent eſtre mis au nombre
des Livres les plus originaux qui ayent paru dans ce
ſiecle-ci; mais il n’y a perſonne qui ne puiſſe faire un
fauxpas, ſur tout dans des matieres auſſi delicates que
celles-ci, & où le paralogiſme ſe gliſſe auſſi facile-
ment.
Tout ce qu’on citera de cet Auteur dans cet exa-
men, ſera pris du Tome premier de ſon Traité du mou-
vement des Animaux, de l’édition de Rome, faite en
1680. On ſpécifie l’édition à cauſe des pages qu’on en
citera quelques fois.
MOnsieur Borelli dans ſon Traité du
mouvement des Animaux Tome 1. Chapi-
tre 13. a fait une fort longue digreſſion pour prou-
ver que Hérigone, Stévin, & pluſieurs autres ſe
ſont trompez d’avoir avancé comme propoſition gé-
nérale que le poids T ſoutenu avec les cordes obliques AC
BC par deux poids, ou deux puiſſances R &
S;
eſt à chacun
MC du parallelogramme
MN, dont elle eſt diagonale. Cet Autheur dit (pag.
” 137.)
que cette propoſition priſe dans toute ſon
étenduë & ſans reſtriction, lui paroît ſuſpecte
pour bien des raiſons; &
même qu’il la croit capa-
ble de jetter dans l’erreur.
Il réduit toutes ces prétenduës raiſons à trois:
1°.
il dit (pag.
138.)
avoir démontré dans le ſcholie
” de la 68. propoſition du Tome 1.
de ce traité, que
les deux puiſſances R & S appliquées au poids T
ſuivant des direction obliques, peuvent demeurer
en équilibre avec lui, non ſeulement quelque
raport qu’elles ayent entr’elles, fût-il plus grand,
ou moindre que celui de NC à CM, mais encore de
quelque maniére que le raport de la ſomme de ces
deux puiſſances à ce poids, fût différent de celui
de la ſomme de NC & MC à CH.
2°.
il a fait, dit-
il, auſſi pluſieurs expériences qui lui paroiſſent
confirmer ce ſentiment. 3°.
Enfin il a crû voir du
paralogiſme dans deux démonſtrations qu’il a criti-
quées, dont la premiére paroît être du P.Pardie, &
l’au-
tre commune au reſte des Autheurs qu’il attaque.
Il eſt conſtant que de toutes ces raiſons la premiére
eſt non ſeulement la principale, mais encore l’unique
qui puiſſe ſervir à la deciſion de ce différent: Car 1°.
en
fait d’exactitude & de préciſion, l’expérience ne
prouve rien; ſur tout ici, ou la réſiſtance qui vient
du frotement des poulies avec leurs pivots, &c.
rend
ces ſortes d’expériences poſſibles en tant de manieres
différentes, qu’il n’y a preſque point de ſentiment
pour, ou contre lequel on n’en puiſſe faire à ſon gré. 2°.
Qu’il y ait, ou qu’il n’y ait point de paralogiſme
qu’il attaque; puiſque la vérité ne dépend point du
tout de la maniere dont on la démontre.
Toute la queſtion préſente ſe réduit donc à ſça-
voir ſi en effet M. Borelli a démontré dans le
ſcholie de ſa 6 8. Propoſition Tome 1.
que les “
deux puiſſances R & S appliquées au poids T
ſuivant des directions obliques, peuvent demeu-
rer en équilibre avec lui, non ſeulement quelque
raport qu’elles ayent entr’elles, fût-il plus grand,
ou moindre que celui de NC à CM; mais encore
de quelque maniére que le raport de la ſomme de
ces deux puiſſances à ce poids, fût différent de
celui de la ſomme de NC & MC à CH.
Que dî-je?
Ce ſeroit aſſez pour détruire la propoſition qu’il
rejette, s’il avoit ſeulement démontré un cas ou ce
poids pût ainſi demeurer en équilibré avec ces puiſ-
ſances, ſans être à chacune d’elles, comme la partie
CH de ſa ligne de direction, qui fait la diagonale du
parallelogramme MN, à chacune des parties de leurs
cordes, qui lui ſervent de côtez. Mais bien loin de
l’avoir fait, la propoſition d’où il tire le ſcholie en
queſtion, prouve tout le contraire, je veux dire, le
ſentiment d’où il a crû qu’elle le devoit cloigner.
C’eſt ce qu’on va faire voir dans le premier
Chapitre de cet Examen; &
dans le ſecond, aprés
avoir encore donné quelques démonſtrations de ce
même ſentiment, toutes différentes de celles que
M. Borelli a critiquées, on rendra par la méthode
du Projet précédent les Lemmes qu’il a déduits de ſa
68. propoſition, beaucoup plus généraux qu’ils ne le
peuvent être par la ſienne.
LE ſcholie de la 68.
propoſition de M.
Borel-
li, dont il eſt ici queſtion, porte ” 1°. Qu’a-
” vec les mêmes inclinaiſons de cordes, le poids qui
y eſt ſuſpendu, & les forces qui le ſoutiennent,
peuvent varier en mille manieres différentes ſans
pourvû que la puiſſance R ſoit à la partie X de ce poids,
comme GC à GF, ou comme AC à CH; &
que
la puiſſance S ſoit à ſon autre partie Z, comme IC à
IK, ou comme BC à CH...
..
..
. 2° Ce même ſcholie
porte réciproquement qu’en retenant les mêmes
poids; c’eſt - à - dire ici, les mêmes forces, (pourvû que
celui du milieu ſoit moindre que les deux extrê-
mes) on peut changer l’inclinaiſon de leurs cordes
ſans en rompre l’équilibre.
Il eſt clair que la premiére partie de ce ſcholie
peut avoir deux ſens bien différens. 1°.
Elle peut
ſignifier que dans cette variation de poids & de
poids demeure toujours à chacune de ces puiſſances
en même raiſon que la diagonale CH du parallelo-
gramme MN, à chaque partie de leurs cordes, qui
lui ſert de côté; &
en cela on va voir que cette conſé-
quence eſt parfaitement juſte, mais auſſi (Cor. 12.
de la Prop.
fond.
des poids ſuſpendus par des cordes, du
Proiet précéd.) parfaitement conforme au ſentiment
que cet Autheur attaque. 2°.
Au contraire, ſi on lui
fait ſigniſier que cet équilibre puiſſe ſubſiſter ſans un
tel raport; alors on conclud tres-mal, &
même au-
tant contre cet Autheur que contre Hérigone,
&c.
J’en dis tout autant de la ſeconde partie de
ce même ſcholie; &
pour le démontrer, je vais
faire voir que la propoſition d’où M. Borelli le
tire, prouve tout le contraire, & que s’il y eût
fait un peu plus d’attention, elle l’auroit infaillible-
ment conduit au ſentiment d’où il a crû qu’elle le
devoit éloigner; je veux dire, à croire (du moins
pour tous les cas qu’elle comprend) que le poids T
ſoutenu avec les cordes obliques AC & BC par deux poids,
ou deux puiſſances R & S, eſt toujours à chacun d’eux, ou
d’elles, comme la partie HC de ſa ligne de direction, à cbacun
descôtez CN & MC du parallelogramme MN, dont elle
eſt diagonale. Voici comment.
Selon cet Autheur (Prop.
68) lorſque les puiſ-
ſances R & S ſoutiennent enſemble le poids T, la
puiſſance R ſoutient pour ſa part une partie X de ce
poids, de même qu’elle feroit, ſi elle étoit appliquée
ſuivant ſa même direction AC avec cette partie X au
levier horizontal CG; &
la puiſſance S ſoutient auſſi
pour la ſienne l’autre partie Z de ce même poids,
de même qu’elle feroit, ſi elle étoit auſſi appliquée
égal
au premier: &
par conſéquent ſi l’on regarde (Cor 2.
Lem.
3.
du Projet précéd.)
l’impreſſion que la puiſſance
S fait ſuivant CB ſur le noeud C qui retient enſemble
les cordes de ces puiſſances & de ce poids, comme
compoſée de deux impreſſions particuliéres, dont
l’une eſt ſuivant l’horizontale CO, & l’autre ſuivant
la perpendiculaire CH; on trouvera que ce que cette
puiſſance lui en fait ſuivant CO, eſt égal à la réſiſ-
tance que feroit alors contre ce même point, & ſui-
vant cette même ligne, le levier CG pour empêcher
la corde ACX de ſe redreſſer; c’eſt-à-dire, égal à la
charge de l’apui G de ce même levier. Or (Cor.
4.
Prop. fond.
des leviers du Proj.
précéd.)
la puiſſance R
eſt à la charge de cet apui, comme le côté AC du
parallelogramme AE, à ſa diagonale CG; &
la force
de l’impreſſion que fait la puiſſance S ſur ce même
point C ſuivant CO, eſt (Cor. 3.
Lemm.
3.
du Projet
précéd.) à celle de cette même puiſſance ſuivant CB,
c’eſt-à-dire, à cette puiſſance, elle-même, comme
le côté OC du parallelogramme OH, à ſa diagonale
BC; c’eſt-à-dire, en faiſant IK perpendiculaire ſur
BC, comme CK à CI égale (Hyp.) à CG:
Donc la
puiſſance R eſt à la puiſſance S, comme le produit
de AC par CK, au quarré de CG. Or en faiſant GF
perpendiculaire ſur AC, les triangles AGC & GFC
étant ſemblables, le produit de AC par CF eſt égal
au quarré de CG: Donc la puiſſance R eſt à la puiſ-
ſance S, comme le produit de AC par CK au produit
de la même AC par CF, c’eſt-à-dire, comme CK à
CF; ou bien, à cauſe des rayons IC &
CG (byp.)
égaux, comme le ſinus de KIC égal à BCH, au ſinus
de FGC égal à ACH: Donc la puiſſance R eſt à la
puiſſance S, comme le ſinus de l’angle BCH à celui
Donc (Lemm.
5.
du Projet
précéd) la puiſſance R eſt à la puiſſance S, comme
HM, ou comme ſon égale NC à CM.
Voilà ce que M.
Borelli devoit premiérement
conclure de ſa 68. propoſition, ſinon en géné-
ral, du moins pour tous les cas qu’elle com-
prend: Sçavoir que lorſque deux puiſſances R &
S ſou-
tiennent enſemble quelque poids T avec des cordes ſeulement,
elles ſont toujours @ntr’elles en même raiſon que les parties
CN & MC de leurs cordes, qui ſervent de côtez au pa-
rallelogramme MN, qui a pour diagonale une partie CH
de la li@ne de direction du poids qu’elles ſoutiennent. De là
en faiſant MP & NQ perpendiculaires ſur HC, ces
lignes marquant toujours CP égale à HQ, cet Au-
theur auroit trouvé, comme il a fait (pag. 137.)
que chacune des puiſſances R &
S, étant toujours (par
le Cor. de ſa 69.
Prop.)
à tout ce poids, comme chacun
des côtez CN & MC du parallelogramme MN, à la
ſomme de leurs ſublimitez CP & CQ;
lui eſt auſſi
toujours comme cbacun de ces mêmes côtez à la diagonale
CH de ce même para@lelogramme. Ce qu’il faloit démon-
trer.
Quoi que cette conſéquence ſuive néceſſairement de la
68. Propoſition de M.
Borelli, cependant parce-que cette
Propoſition ne peut pas s’appliquer aux cas ou une de
ces pu@ſſances ſe trouve avoir ſa direction au deſſous de
l’borizontale qui paſſe par le point où leurs cordes ſe com-
muniquent, elle n’en eſt pas une ſuitte ſi générale que de la
Propoſition fondamentale des poids ſuſpendus par des cordes
du Projet précédent: C’eſt pour cela qu’on ſe contente ici de
dire, que ſi cet Autbeur eût fait un peu plus d’attention à
ſa 68. Prop.
il auroit aperçû que tout ce que nous venons
d’en conclure, eſt abſolument vrai, du moins pour tous
les cas qu’elle comprend.
Telle eſt la conſéquence que Monſieur Borelli
Propoſition;
s’il l’eût fait, il
auroit aperçû 1°. que la premiére partie du ſcholie
qu’il en tire, n’eſt vraye qu’en cas que la variation
du poids T & des forces ſ &
S, entre leſquels il dit
que l’équilibre ſe peut conſerver ſans changer l’in-
clinaiſon de leurs cordes, ſoit telle que ce poids de-
meure toujours à chacune de ces puiſſances en même
raiſon que la diagonale CH du parallelogramme
MN, à chaque partie de leurs cordes qui lui ſert de
côté. 2°.
Il auroit encore vû que la ſeconde partie
de ce même ſcholie eſt abſolument fauſſe; puis qu’il
n’eſt pas poſſible de faire le moindre changement
auquel que ce ſoit des angles ACB, ACH, & BCH,
ſans changer en même - tems le raport qui eſt, ou
entre les côtez du parallelogramme MN, ou entre
quelqu’un d’eux & ſa diagonale;
c’eſt - à - dire, puis
que (byp.) on ne change rien au raport qui eſt entre
ce poids & chacune de ces puiſſances, ſans faire ceſſer
la reſſemblance de ces deux raports: &
par conſe-
quent auſſi, ſuivant ce qui vient d’être conclu de la
68. Propoſition de M.
Borelli, ſans rompre l’équili-
bre de ce poids avec ces puiſſances.
Ayant demontré, comme l’on vient de faire,
que le ſentiment, dont il eſt ici queſtion, bien loin
d’être contraire à la 68. Propoſit.
de M.
Borelli,
comme cet Autheur l’a crû, en eſt une ſuitte ſi né-
ceſſaire que, s’il eût fait encore quelques pas, il
l’auroit linfailliblement trouvé: c’eſt encore une nou-
velle raiſon de ne nous point arrêter aux expériences
qu’il objecte à Stévin, à Hérigone, & aux autres, &
de ne toucher à la critique qu’il a faite de leurs rai-
du paralogiſme: Il y en a trois que voici.
1°.
Dans la Critique qu’il a faite du premier de
ces raiſonnemens, qui paroît être du P. Pardie,
aprés avoir dit que, ſi l’on regarde la corde AC com-
me une verge de fer mobile autour du point fixe A,
tenu avec cette verge par ce point fixe, de même que
ſur un plan CI perpendiculaire à AC; il fait IL per-
pendiculaire à l’horizontale LC, & (pag.
139.)
il
dit: patet quod pondus T.
..
..
..
. ad vim quâ idem T inni-
titur, & comprimit idem planum IC, eſt ut IC ad LC.
2°.
Dans la Critique qu’il fait enſuite du rai-
ſonnement de Hérigone, de Stévin, &c.
aprés
& BC, comme s’il l’étoit ſur les plans CK perpendi-
culaire à AC, & CG perpendiculaire à CB, inéga-
lement inclinez, il dit (pag. 141.)
Tunc pondus T
dum moveri niteretur per duas rectas inclinatas CK & CG,
cogeretur moveri, aut niſum exercere per diagonalem CO
ſecantem angulum GCK bifariam.
Outre cette ſuppoſition, M.
Borelli ſe ſert en-
core ici de la premiére qu’il a déja faite contre le
P. Pardie.
Il dit (pag.
141.)
aprés avoir fait CP
perpendiculaire à l’horizontale KG: Idem pondus ab-
ſolutum T ad vim, quâ comprimit planum CO, eandem
rationem babebit quàm CO ad OP.
3°.
Enfin ces deux ſuppoſitions ne lui ſuffiſant pas
encore pour trouver à redire au raiſonnement d’Hé-
c.
il y en ajoûte une troi-
Vis, dit-il au même en-
droit, quam patitur planum CO à compreſſione ponderis T
aqualis eſt viribus ambarum potentiarum R & S, quæ
ſuſtinendo idem pondus in tali ſitu plani CO inclinati vicem
ſupplent.
On ne démontre point ici la fauſſeté de toutes ces ſup-
poſitions: elle eſt trop évidente par la propoſition des Sur-
faces du Projet précédent, pour s’y arrêter davantage. D’ailleurs c’eſt, ce me ſemble, avoir ſuffiſamment répondu
à M. Borelli que d’avoir démontré, comme l’on vient de
faire, le ſentiment d’Hérigone, de Stévin, &c.
par la
Propoſition même que cet Autbeur croyoit leur être contraire:
c’eſt auſſi tout ce qu’on s’étoit propoſé dans ce premier Cba-
pitre; paſſons au ſecond.
LE Poids T étant ſoutenu par deux, ou pluſieurs puiſ-
ſances R, S, &c.
Si des extrémitez G, H, &
c.
des
c.
de leurs cordes qui leur ſoient pro-
portionnelles, on fait GP, HQ, &c.
perpendiculaires ſur
ſa ligne de direction CD; elles y déſigncront depuis leurs
points de rencontre P, Q, &c.
juſqu’au point C ou cette
ligne concourt avec ces cordes, certaines parties CP, CQ
&c.
d@nt nous parlerons ſouvent dans la ſuite;
C’eſt pour-
quoy nous leur allons donner des noms.
Lorſque ces parties CP, CQ, &
c.
ſe trouveront
au-deſſus du point C, nous les appellerons les ſublimitez
des puiſſances qui les auront déterminées par leurs
proportionnelles.
Et celles de ces lignes qui ſe trouveront au-deſſous
de ce même point C, nous les appellerons les Pro-
fondeurs de ces mêmes puiſſances.
Selon ces définitions C P eſt la Sublimité de la puiſſance R
dans les fig. 4.
&
5.
CL eſt encore la Sublimité de la
puiſſance S dans la fig. 4.
Mais dans la fig.
5.
CL eſt la
Profondeur de cette mème puiſſance.
On avertit encore que lorſqu’on comparera à la ſublimi-
té, ou à la profondeur de ces puiſſances, des parties de leurs
cordes qui leur ſoient proportionnelles, on ne l’entendra pas
indiffèremment de toutes les proportionnelles qu’on pouroit
leur aſſigner; mais ſeulement de celles qui déterminent les ſu-
blimitez, ou les profondeurs en queſtion.
LE poids T ſoutenu avec les cordes AC &
BC par les
S, &
en équilibre avec elles, eſt tou-
jours à chacune d’elles, comme la partie DC de ſa ligne de ái-
rection, à chacun des còtez GC & HC du parallelogramme
GH, dont elle eſt diagonale.
1°.
Voyez celle qu’on a donnée de cette même
propoſition dans le Projet précédent.
2°.
Voyez ci-aprés la Remarque qui ſuitle Corol-
laire de la Prop. 3.
3°.
Soient conçûs les leviers MC &
NC placez
AC & BC des puiſſances R &
S.
De leurs points
d’appui M & N pris à diſcretion, ſoient tirées MF
& NK perpendiculairement à ces mêmes lignes ré-
ciproquement priſes, & ML avec NO perpendicu-
laires auſſi à la ligne de direction DCE de ce même
poids. Enfin de quelqu’un des points D de cette
même ligne faite DH & DG paralleles à AC &
à
CB. Cela fait, il eſt clair que le levier CN, étant
(hyp.) en ligne droite avec la ligne de dìrection CB
de la puiſſance S, ſupplée néceſſairement tout l’effet
de cette puiſſance; &
que par conſéquent la puiſ-
ſance R pourroit ſuivant ſa même direction AC ſou-
tenir ſeule le poids T avec ce levier ainſi placé, de
même qu’elle le ſoutient préſentement avec la puiſ-
ſance S. Pour la même raiſon la puiſſance S pourroit
auſſi le ſoutenir ſeule avec le levier CM, de même
qu’elle le ſoutient préſentement avec la puiſſance
R: lepoids T eſt donc ſoutenu par le concours d’ac-
tion des puiſſances R & S, de même qu’il le ſeroit
par la ſeule puiſſance R appliquée avec lui au levier
NC, ou bien par la ſeule puiſſance S appliquée auſſi
avec lui au levier CM. Or dans le premier cas la
puiſſance R ſeroit (Prop. fond.
des leviers Cor.
13.
du
Projet précéd.) au poids T, comme NO à NK;
c’eſt-
à-dire, comme le ſinus de l’angle NCO, ou de
Et
ſeroit à la puiſſance S, comme MF à ML; c’eſt-à-dire
encore, comme le ſinus de l’angle MCF, ou de CHD,
à celui de l’angle MCL, ou de HDC: Donc la puiſ-
ſance R, le poids T, & la puiſſance S, ſont entr’eux,
comme les ſinus des angles DCH, CHD, & HDC;
c’eſt-à-dire, ( Demm.
5.
du Projet précéd.)
comme les
lignes DH, CD, & CH:
Le poids T eſt done à la
puiſſance R, comme CD à DH, ou à CG; &
à la
puiſſance S, comme la même CD à CH. Ce qu’il faloit
démontrer.
4°.
Si au lieu des puiſſances R &
S, les cordes AC
& BC étoient attachees aux extrémitez de quelque le-
vier AB, dont l’appui D fut dans la ligne direction de
Il eſt clair qu’en quelque fitua-
tion que ce levier ſe trouvât alors, (Lemm. @.
du
Projet précéd.) il y demeureroit, &
que la charge de
ſon point d’appui ſeroit alors égale au poids T. Il
eſt encore clair que les extrémitez A & B de ce mê-
me levier ſeroient auſſi tirées ſuivant AC & BC,
chacune avec une force égale à celle de la puiſſance
R, ou S qu’elle ſupplée. Or les forces avec leſquelles
les points A & B de ce levier ſeroient ainſi tirez ſui-
vant AC & BC, ſeroient entr’elles, ( Cor.
13.
prop.
fond.
des leviers du Projet précéd.)
comme DF &
DK
tirées du point D perpendiculairement ſur BC &
AC; c’eſt-à-dire, en faiſant le parallelogramme GH,
comme les ſinus des angles DCH & CDH, ou
(Lemm. 5.
du Proiet précéd.)
comme les côtez DH &
HC de ce parallelogramme. Ces mêmes forces ſe-
roient auſſi ( Cor. 4.
Prop.
fond.
des leviers au Projet
précèd.) chacune à la charge du point d’appui D de
ce levier, c’eſt-à-dire, au poids T, comme chacun
les forces
S, c’eſt-à-dire, ces mêmes puiſ-
ſances, elles-mêmes, ſont donc entr’elles, comme
DH, ou GC & HC;
&
au poids T, comme chacun
de ces mêmes côtez du parallelogramme GH, à ſa
diagonale DC. Cequ’il faloit démontrer.
On pourroit encore démontrer cette mème Propoſition en
ſe ſervant des plans inclinez, pourvû qu’on en prit un qui
fut perpendiculaire à la direction de quelqu’une des deux
puiſſances qui ſoutiennent ce poids: Car cette puiſſance &
la cbarge de ce plan alors égales, n’ayant qu’un mème
rapport avec ce poids, non plus qu’avec l’autre puiſſance
qu’on conſidére en ce cas comme le ſoutenant ſeule ſur ce plan; on trouveroit par le Cor.
7.
de la Prop.
des Surfaces du
Projet précédent, que ce poids eſt toujours à chacune de ces
puiſſances, comme le ſinus de l’angle que leurs cordes font
entr’elles, à chacun des ſinus des angles que font avec la
ligne de direction de ce poids chacune de ces cordes récipro-
quement priſes. Tout cela eſt préſentement trop clair pour
s’y arréter davantage.
On peut conclure généralement de ces démon-
1.)
dela
68. Propoſition de M.
Borelli, quepour les cas qu’elle
comprend: Sçavoir qu’il n’y en à aucun de poſſible,
ou l’on puiſſe conſerver l’équilibre du poids T avec
les puiſſances R & S, en changeant le rapport qu’elles
ont entr’elles, ou avec lui; à moins qu’on ne change
en même-tems l’inclinaiſon de leurs cordes: non plus
qu’en changeant l’inclinaiſon de ces cordes, ſans
changer auſſi le rapport de ces mêmes puiſſances,
ou entr’elles, ou avec ce poids: parce que ſans cela
il n’eſt pas poſſible de faire que chacun des côtez CH
CG du parallelogramme GH, continuë d’être à ſa
S
au poids T; ce qui doit cependant être, comme onle
vient de voir, pour qu’elles faſſent équilibre avec lui.
On peut comparer ce Corollaire aux Scholies des Pro-
poſitions 68. &
69.
M.
Borelli.
Il ſuit encore de ces démonſtrations que chacune
des puiſſances R & S eſt au poids T, comme chacune
HC de leurs cordes, qui leurs ſont
proportionelles, à la ſomme ( fig. 4.)
de leurs ſublimi-
tez, ou à la difference (fig. 5.)
quieſt entre la ſublimité
de l’une & la profondeur de l’autre:
parce que dans
le parallelogramme GH les angles GCD & CDH
étant égaux, auſſi-bien que les lignes GC & DH;
de plus les angles qui ſe font en P &
en Q, étant auſſi
(avert.) égaux, les triangles GPC &
HQD ſont
non ſeulement ſemblables, mais encore leurs côtez
CP & DQ ſont égaux:
Donc (fig.
4.)
CP plus CQ
eſt égal à DQ plus CQ, & ( fig.
5.)
CP moins CQ
ſera auſſi égal à DQ moins CQ. Or ( fig.
4.)
DQ
plus CQ eſt égal à CD, de même (fig. 5.)
que
DQ moins CQ: Donc ( fig.
4.)
CP plus CQ eſt égal
à CD, auſſi-bien (fig. 5.)
que CP moins CQ.
Or
ſelon les démonſtrations précédentes chacune des
puiſſances R & S eſt au poids T, comme chacune de
leurs proportionelles CG & HC à CD:
Donc cha-
cune de ces mêmes puiſſances eſt à ce poids, comme
chacune de ces mêmes proportionelles à CP ( fig. 4.)
plus CQ, ou (fig. 5.)
à CP moins CQ;
c’eſt-à-dire,
(Def. 1.
&
2.)
à la ſomme ( fig.
4.)
de leurs ſublimitez,
ou bien ( fig. 5.)
à la différence qui eſt entre la ſublimi-
té de l’une & la profondeur de l’autre.
D’où l’on voit que la ſomme des deux puiſſances
qui ſoutiennent un poids avec des cordes, eſt tou-
jours à ce poids, comme la ſomme des longueurs de
leurs cordes, qui leur ſont proportionelles, à la ſomme
de leurs ſublimitez, ou à la différence qui eſt entre de
la ſublimité de l’une & la profondeur de l’autre.
On peut comparer encore ces deux derniers Corollaires à la
69. Prop.
de M.
Borelli, &
au Corollaire qu’il entire.
DE quelque maniére qu’un poids T ſoit ſoutenu avee
E, F, & c.
que ce ſoit, appliquèes à un même nœud C;
ſi l’ on
prend ſur leurs cordes autant de parties CG, CR, CM, CN,
CP, &c.
qui leurs ſoient proportionelles, &
que ſous deux
de ces parties, par exemple, ſous GC & RC, l’on faſſe un
parallelogramme RG, dont la diagonale CH faſſe encore
avecune autre de ces parties CM le parallelogramme HM,
dont la diagonale CL faſſe encore avec une autre de ces
parties CN le parallelogramme LN, dont la diagonale
CQ faſſe encore avec une autre de ces parties CP le paral-
lelogramme PQ, & ainſi juſqu’à la derniére de ces propor-
tionelles. On verra 1°.
Que la diagonale du dernier de ces
parallelogrammes, qui eſt ici CK, ſera dans la ligne de di-
rection du poids T. 2°.
Et que chacune de ces puiſſances ſera
à ce poids, comme chacune de ces proportionelles, ſelon qu’el-
les leurs répoudent, eſt à cette même diagonale.
1°.
Puiſque ( hyp.)
la puiſſance A eſt à la puiſ-
3.
du
de leur concours d’action ſur le point
C, un@ impreſſion compoſée ſuivant CH, d’une force
qui ſera (Cor. 3.
du même Lemm.)
à chacune de ces
puiſſances, comme CH à chacune des lignes CG &
CR qui les répreſentent: l’impreſſion, que font en-
ſemble ces deux puiſſances ſur le point C, eſt donc
la même que celle que feroit ſeule ſur ce même point
quelque nouvelle puiſſance qui, lui étant appliquée
ſuivant CH, au lieu d’elles, leur ſeroit à chacune,
comme CH à chacune des lignes CG & CR:
&
par
conſèquent les 3. puiſſances A, B, D, doivent faire
enſemble la même impreſſion ſur le point C que cette
nouvelle puiſſance ( je l’appelle H ) feroit alors avec
la puiſſance D. Or (Lemm 3.
du Projet précéd.)
l’im-
preſſion qui réſulteroit alors du concours d’action
des puiſſances D & H ſur le point C, ſe feroit ſui-
vant CL, d’une force qui ſeroit (Cor. 3.
du même
Lemm.) à celle de la puiſſance D, comme CL à CM:
Donc l’impreſſion compoſée qui réſulte du concours
d’action des 3. puiſſances A, B, D, ſur le point C,
ſe fait en effet ſuivant CL, d’une force qui eſt à
celle de la puiſſance D, comme CL à CM: elles ne
font donc toutes trois enſemble ſur ce point que la
même impreſſion que feroit ſeule quelqu’autre puiſ-
ſance (je l’appelle L) qui appliquée ſuivant CL, au
lieu de ces trois, ſeroit à la puiſſance D, comme CL
à CM: &
par conſéquent les 4.
puiſſances A, B, D, E,
ne doivent faire ſur le point C que la même impreſ-
ſion que feroit alors la puiſſance L avec la puiſſance
E. Or (Lemm.
3.
du Projet Projet précéd.)
l’impreſſion qui
réſulteroit alors du concours d’action de ces deux
dernieres puiſſances ſur le point C, ſe feroit ſuivant
CQ, d’une force qui ſeroit ( Cor. 3.
du même Lemm.)
à celle de la puiſſance E, comme CQ à CN: Donc
puiſſances A, B, D, E, ſur le point C,
ſe fait en effet ſuivant la ligne CQ, d’une force qui
eſt à celle de la puiſſance E, comme CQ à CN. On
prouvera de même que l’impreſſion compoſée qui
réſulte du concours d’action des 5. puiſſances A, B,
D, E, F, ſe fait auſſi ſuivant CK, d’une force qui
eſt à la puiſſance F, comme CK à CP. Et ainſi tou-
jours de même juſqu’à la derniére des puiſſances
appliquées à ce poids: D’où il ſuit que l’impreſſion
compoſée qui réſulte du concours d’action de toutes
ces puiſſances ſur le point C, en quelque nombre
qu’elles ſoient, ſe fait toujours ſuivant la diagonale
du dernier des parallelogrammes faits comme l’on
vient de dire, c’eſt-à-dire ici, ſuivant CK: &
par
conſéquent (n. 2.
Demonſt.
Prop.
fond.
des poids ſoutenus
par des cordes du Projet précéd.) cette diagonale eſt
toujours en ligne droite avec CT, c’eſt-à-dire, dans
la ligne de direction du poids T. Ce qu’il faloit dé-
montrer.
2°.
On vient de voir que le poids T eſt ſoutenu
par les puiſſances A, B, D, E, F, &c.
De même qu’il
le ſeroit, par exemple ici, par la puiſſance F aidée
d’une autre appliquée ſuivant CQ, à qui elle ſeroit
comme CP à CQ ( les directions de toutes demeu-
rant toujours les mêmes): Donc (prop.
1.)
la puiſ-
ſance F eſt au poids T, comme CP à CK. Or ( hyp.)
la puiſſance F eſt à chacune des puiſſances E, D, B, A,
&c.
comme CP à chacune des parties de leurs cordes,
CN, CM, CR, CG, &c.
Donc chacune de ces
puiſſances eſt au poids T, comme chacune de ces
proportionelles, ſelon qu’elles leurs répondent, eſt à la
diagonale CK. Ce qu’on vient de dire de la puiſſance
F, ſe prouvera de même de toute autre dont la pro-
nale, comme ici CK, dans la ligne de direction du
poids T: Ainſi en général de quelque maniére qu’un
poids ſoit ſoutenu avec des cordes par quelque nom-
bre de puiſſances que ce ſoit, appliquées à un même
nœud, chacune de ces puiſſances eſt toujours à ce
poids, comme chacune de leurs proportionelles qui
ſervent de côtez aux parallelogrammes dont il eſt ici
queſtion, eſt à la diagonale du dernier, qu’on vient
de voir ſe trouver toujours dans ſa ligne de direction. Ce qu’il faloit démontrer.
D’où l’on voit que toutes ces puiſſances priſes
enſemble ſont toujours au poids T qu’elles ſoutien-
nent, comme la ſomme de leurs proportionelles CG,
CR, CM, CN, CP, &c.
à la diagonale du paralle-
logramme qu’on vient de démontrer (n. 1.)
ſe trou-
ver toujours dans la ligne de direction de ce poids: De ſorte que, lorſque toutes ces puiſſances ſont éga-
les entr’elles, ces mêmes proportionelles l’étant auſſi,
la ſomme de toutes ces puiſſances eſt à ce poids, com-
me une de ces proportionelles à une partie de cette
diagonale diviſée en autant d’égales qu’il y a de telles
puiſſances; c’eſt-à-dire ici, comme laquelle que ce
ſoit, des lignes CG, CR, CM, CN, CP, à {1/5} de
CK.
Pour exprimer le raport que nous venons de trouver
entre ce poids & les puiſſances qui le ſoutiennent, d’une
maniére qui en rende le calcul plus facile, ſoit le Lemme
ſuivant.
DE quelque maniére que la ligne droite CP paſſe par
autres pointes G, I, E, on tire ſur la même CP les trois
perpendiculaires GL, IP, VE: ſa partie CL compriſe
entre le point C, & la perpendiculaire GL qui part de la
pointe G qui lui eſt oppoſée, eſt toujours égale à la ſomme de
ſes deux autres parties CP & CV compriſes entre ce même
point C & les perpendiculaires IP &
EV, lors que ces
deux perpendiculaires tombent du même côté de C; ou à la
diffèrence de ces deux parties, lors que ces deux perpendiculaires
tombent de différens côtez.
Joignez IE &
GC qui ſe coupent par la moitié
l’une & l’autre en K, &
apres avoir fait QK perpen-
diculaire à CP, concevez un plan qui paſſe par QK,
à qui CP ſoit perpendiculaire, & ſur lequel des
points I & E, tombent auſſi perpendiculairement
IM, & EN;
Enfin joignez QM &
QN.
Cela fait,
ſoit que QK, QM, & QN, ſe confondent en une
ſeule ligne, ſoit qu’elles en faſſent trois différentes,
il eſt clair que puis que les lignes IM, PQ, NE, &
VQ, ſont toutes (Hyp.) perpendiculaires à ce plan,
elles ſont auſſi toutes paralleles entr’elles; &
par
conſéquent 1°. IM &
PQ ſont dans un même plan
avec PI & QM:
Ainſi les angles en M, Q, &
P,
étant (hyp) droits, MP ſera un parallelogramme. On prouvera de même que VN eſt auſſi un paralle-
logramme: Donc IM eſt égale à PQ, &
EN égale
à VQ. 2°.
De ce que IM &
EN ſont paralleles en-
NEK
&
par conſéquent, ſi l’on joint KM &
KN, les angles en M & en N étant (hyp.)
égaux,
auſſi-bien que les lignes IK & KE, les triangles IMK
& ENK ſeront non ſeulement ſemblables, mais en-
core IM ſera égale à EN. Or on vient de voir (n.
1.)
que IM eſt égale à PQ, &
EN égale à VQ:
Donc PQ eſt égale à VQ: Donc (fig.
9.
11.
12.
13.
& 14.)
CP plus CV, ou ( fig.
10.
14.
15.
&
16.)
CP moins CV, eſt égal à deux fois CQ. Or à cauſe
que les triangles CGL, & CKQ ſont ſemblables, &
que CG eſt double de CK; CL ſera auſſi double de
CQ: Donc (fig.
9.
11.
12.
13.
&
14.)
CP plus CV,
ou (fig. 10.
14.
16.
&
16.)
CP moins CV, eſt égale
à CL. Ce qu’il faloit dèmontrer.
T Outes choſes étant les mèmes que dans la propoſition
puiſſances A, B, D, E, F, &c.
eſt au poids T qu’elles
ſoutiennent, comme chacune de leurs proportionelles CG, CR,
CM, CN, CP, &c.
à la ſomme de leurs ſublimitez moins
celle de leurs profondeurs.
De toutes les pointes des parallelogrammes GR,
c.
tirez Gg, Hh, Rr, Ll, Mm, Qq,
Nn, Pp, &c.
perpendiculairement ſur la ligne de di-
rection du poids T, prolongée indéfiniment de part
& d’autre.
Cela fait, vous trouverez par le Lemme
précédent. 1°.
Ch = Cg Cr.
2°.
Cl = Cm -
Ch: Donc Cl = Cm - Cg + Cr.
3°.
Cq =
Donc Cq = Cm - Cg + Cr + Cn.
Ck = Cq - Cp:
Donc Ck = Cm - Cg +
Cr + Cn - Cp. Enfin continuant toujours ainſi
juſqu’à la diagonale qui ſetrouve toujours ( Prop. 2.)
dans la ligne de ditection du poids T, on trouvera
de même que cette diagonale eſt toujours égale à
Cm - Cg + Cr + Cn - Cp ± &c.
Or on vient
de voir ( Prop. 2.)
que chacune des puiſſances A, B,
D, E, F, &c.
eſt auſſi toujours au poids T qu’elles
ſoutiennent, comme chacune de leurs proportio-
nelles CG, CR, CM, CN, CP, &c.
à cette même
diagonale: Donc chacune de ces puiſſances eſt à ce
poids, comme chacune de ces proportionelles à Cm +
Cr + Cn - Cg - Cp ± &c.
C’eſt-à-dire, ( Def.
1. &
2.)
à la ſomme de leurs ſublimitez Cm, Cr,
Cn, &c.
moins la ſomme de leurs profondeurs Cg,
Cp, &c.
D’où l’on voit en général, que de qu@lque
maniére qu’un poids ſoit ſoutenu avec des cordes
par quelque nombre de puiſſances que ce ſoit, appli-
quées à un même nœud, chacune de ces puiſſances
eſt toujours à ce poids, comme chacune de leurs pro-
portionelles, à la ſomme de leurs ſublimitez moins
celle de leurs profondeurs. Ce qu’il faloit démon-
trer.
Soient encore les lignes CG, CR, CM, CN, CP,
&c.
proportionelles aux puiſſances A, B, D, E, F,
c.
proportionelles aux puiſſances A, B, D, E, F,
&c.
concevez par le point C, où elles ſe communi-
quent, un plan horizontal OH, c’eſt-à-dire, per-
pendiculaire à la ligne de direction du poids T; tirez
enſuite des extrémitez de ces proportionelles G, R,
M, N, P, &c.
autant de perpendiculaires ſur le
plan OH, & ſur la ligne de direction du poids T
indéfiniment prolongée de part & d’autre:
en faiſant
c.
qui joignent ce point avec les
perpendiculaires qui tombent ſur ce plan, on aura
autant de parallelogrammes rectangles Hg, Qr, Lm,
On, Kp, &c.
qui exprimeront ( Lemm 3.
Cor.
2.
du
Projet précédent) que chacune de ces puiſſances, par
exemple la puiſſance A, fait la même impreſſion ſur le
point C, que feroient deux autres puiſſances appliquées
à ce point, l’une ſuivant CH, & l’autre ſuivant Cg, à
chacune deſquelles celle-ci ſeroit comme @G à cha-
cune de ces mêmes lignes: Le point C eſt donc tiré
vers bas ſuivant la ligne de direction du poids T par
la puiſſance A, d’une force (Cor. 3.
du même Lemm)
à qui cette puiſſance eſt comme CG à C@. Pour la
même raiſon, il eſt encore tiré ſuivant la ligne de di-
rection de même poids, 1°. Vers bas, par la puiſſance
F, d’une force à qui elle eſt comme CP à Cp; &
c.
2°.
Vers haut, par la puiſſance B, d’une force à qui
elle eſt comme CR à Cr; par la puiſſance D, d’une
force à qui elle eſt comme CM à Cm; par la puiſſance
E, d’une force à qui elle eſt, comme CN à Cn; &
c.
Or (hyp.) la puiſſance A eſt à chacune des puiſſances
B, D, E, F, &c.
comme ſa proportionelle CG à cha-
cune des leurs CR, CM, CN, CP, &c.
Donc la
puiſſance A eſt à chacune des forces avec leſquelles
le point C eſt tiré ſuivant la ligne de direction du
poids T, 1°. Vers bas par les puiſſances A, F,
&c.
comme CG à chacune de leurs profondeurs
Cg, Cp, &c.
2°.
Vers haut par les puiſſances
B, D, E, &c.
comme la même CG à chacune de
leurs ſublimitez Cr, Cm, Cn, &c.
Donc cette
même puiſſance A eſt à la ſomme de toutes les forces
avec leſquelles le point C eſt tiré ſuivant la ligne de
direction du poids T, 1°. Vers bas par les puiſſances
A, F, &c.
comme ſa proportionelle CG à la ſomme
c.
2°.
Vers haut
c.
comme la même CG
à la ſomme de leurs ſublimitez Cr, Cm, Cn, &c.
Or la ſomme faite de la peſanteur de ce poids, &
des forces avec leſquelles le point C eſt tiré vers
bas ſuivant la ligne de direction de ce même poids
par les puiſſances A, F, &c.
étant diamétralement
oppoſée à la ſomme de celles avec leſquelles ce même
point eſt tiré en même-tems vers haut ſuivant cette
même ligne par les puiſſances B, D, E, &c.
&
au-
cune de ces deux ſommes de forces ne l’emportant
ſur l’autre; puiſque (hyp.)
le poids T ne monte n’y
deſcend: c’eſt une conſéquence néceſſaire qu’elles
ſoient égales: Donc la puiſſance A eſt non ſeulement
à la ſomme des forces avec leſquelles le point C eſt
tiré vers bas, ſuivant la ligne de direction du poids
T par les puiſſances A, F, &c.
comme ſa propor-
tionelle CG à la ſomme de leurs profondeurs Cg,
Cp, &c.
Mais auſſi à la ſomme faite de cette pre-
miére & de la peſanteur de ce même poids, comme
la même CG à la ſomme des ſublimitez Cr, Cm,
Cn, &c.
des puiſſances B, D, E, &
c.
Donc la puiſ-
ſance A eſt à cette derniére ſomme moins la pre-
miére; c’eſt-à-dire, à la peſanteur ſeule du poids
T, où à ce poids lui - même, comme ſa proportio-
nelle CG à la ſomme des ſublimitez Cr, Cm, Cn,
&c.
moins la ſomme des profondeurs Cg, Cp, &
c.
Or ( Hyp.) chacune des puiſſances B, D, E, F,
&c.
eſt à la puiſſance A, comme chacune de leurs
proportionelles CR, CM, CN, CP, &c.
à ſa pro-
portionelle CG: Donc chacune des puiſſances A,
B, D, E, F, &c.
eſt au poids T qu’elles ſoutien-
nent, comme chacune de leurs proportionelles à la
ſomme de leurs ſublimitez moins celle de leurs pro-
fondeurs. Ce qu’il faloit démontrer.
On voit préſentement en général que la ſomme
de toutes les puiſſances qui ſoutiennent un poids
avec des cordes qui ſe tiennent par un même nœud,
en quelque nombre qu’elles ſoient, quelque pro-
portion qu’elles ayent entr’elles, & de quelque ma-
niére qu’elles lui ſoient appliquées; eſt toujours à
ce poids, comme la ſomme des parties de leurs cor-
des qui leurs ſont (Chap. 2.
Avert ) proportionelles,
à la ſomme de leurs ſublimitez moins celle de leurs
profondeurs.
On peut comparer tout ceci avec les Propoſitions 70.
73.
74.
de M.
Borelli, &
on verra non ſeulement qu’elles ſont
tres-limitées; mais encore qu’avec ſa méthode on ne peut pas
aller ſi loin.
En faiſant la ſeconde des deux démonſtrations
précédentes, il m’en eſt encore venu une de la pre-
miére Propoſition: la voici.
Le poids T étant donc ſoutenu avec des cordes par deux
puiſſances R & S;
des angles G &
H du parallelogramme
rection de ce poids, ſoient faites GM & HN paralleles à
cette diagonale, & perpendiculaires à MCN;
achevez
les parallelogrammes MP & NQ.
Cela fait, vous trou-
verez encore de la maniére que nous avons fait la ſeconde
des deux démonſtrations précédentes, que le poids T eſt aux
puiſſances R & S, comme la partie CD de ſa ligne de di-
rection aux parties CG & CH de leurs cordes, qui font
les côtez du parallelogramme GH, dont elle eſt diagonale.
Car (Cor.
2.
Lem.
3.
du Projet précéd.)
la puiſſance
roient deux autres puiſſances appliquées à ce point,
l’une ſuivant CP, & l’autre ſuivant CM, à chacune
deſquelles celle-ci ſeroit, comme CG à chacune de
ces lignes: Le point C reçoit donc en même - tems
deux impreſſions différentes de la puiſſance R, l’une
ſuivant CP, d’une force qui eſt à celle de cette puiſ-
ſance, (Cor. 3.
du même Lemm.)
comme CP à CG, &
l’autre ſuivant CM, d’une force qui eſt auſſi (par le
mème Cor.) à celle de cette même puiſſance, comme CM
à CG. Pour la même raiſon ce même point C reçoit
encore en même - tems deux impreſſions différentes
de la puiſſance S, l’une ſuivant CQ, d’une force
qui eſt à celle de cette puiſſance, comme CQ à CH; &
l’autre ſuivant CN, d’une force qui eſt auſſi à celle de
cette même puiſſance, comme CN à CH. Or 1°.
La
force de l’impreſſion que reçoit le point C de la puiſ-
ſance R ſuivant CM, eſt égale à celle qu’il reçoit
en même - tems de la puiſſance S ſuivant CN; puis
qu’elles ſont diamétralement oppoſées, & qu’aucu-
ne des deux (byp.) ne ſurmonte l’autre:
La force
de la puiſſance R eſt donc à celle de l’impreſſion que
reçoit le point C de la puiſſance S ſuivant CN, com-
me CG à CM. Or CM eſt égale à CN;
puis que
les triangles GPD & HQC ſemblables, &
GD
égale à CH rendent GP égale à HQ; &
que les
parallelogrammes MP & NQ rendent auſſi GP
égale à CM, & HQ égale à CN:
Donc la puiſſance
R eſt à la force de l’impreſſion que le point C reçoit
de la puiſſance S ſuivant CN, comme CG à CN. Or on vient de voir que la force de cette même im-
preſſion eſt à la puiſſance S, comme CN à CH:
Donc la puiſſance R eſt à la puiſſance S, comme
CG à CH: 2°.
On vient de voir auſſi que la puiſſan-
Donc la
puiſſance R eſt auſſi à la force de cette même im-
preſſion, comme CG à CQ; c’eſt - à - dire, comme
CG à DP; puis que les triangles GPD &
HQC
ſemblables, & GD égale à CH, rendent DP égale
à CQ. On vient de voir encore que cette même
puiſſance R eſt à la force de l’impreſſion qu’elle fait
ſur ce même point C ſuivant CP, comme CG à CP: Donc la puiſſance R eſt à la ſomme, où à la diffé-
rence des forces de ces deux impreſſions faites ſur
le point C ſuivant CP & CQ, par elle &
par la puiſ-
ſance S, comme CG à la ſomme, où à la différence
de ces deux lignes. Or (fig.
18.)
la ſomme de ces
deux lignes, où (fig. 19.)
leur différence, eſt égale
à la diagonale CD du parallelogramme GH; &
(fig. 18.)
la ſomme, où (fig.
19.)
la différence des
forces de ces deux impreſſions, eſt auſſi égale au
poids T: Donc la puiſſance R eſt au poids T, com-
me CG à CD: On vient de démontrer (n.
1.)
que
cettemême puiſſance R eſt auſſi à la puiſſance S, com-
me CG à CH: Donc les puiſſances R &
S, &
le
poids T ſont entr’eux , comme les lignes CG, CH,
& CD:
&
par conſéquent ce poids eſt à chacune
d’elles, comme la partie CD de ſa ligne de direction
à chacune des parties de leurs cordes, qui font les
côtez du parallelogramme GH, dont elle eſt diago-
nale. Ce qu’il faloit démontrer.
On voit de-là, que ſi par le point C où ſe com-
muniquent les deux cordes qui ſoutiennent quel-
que poids que ce ſoit, on fait MN perpendiculaire à
la ligne de direction de ce poids, & qu’aprés avoir pris
de part & d’autre ſur cette ligne CM &
CN ègales en-
tr’elles, on faſſe aux points M & N les perpendiculaires
NH qui rencontrent auxpoints G &
H les
elles
en détermineront des parties CG, CH, qui ſeront
toujours proportionelles à ces mêmes puiſſances.
Si M.
Borelli eut fait rèflèxion que les puiſſances R &
S n’agiſſent pas ſeulement contre le poids T, mais auſſi
l’une contre l’autre ; &
que de même qu’elles concourent en-
ſemble pour empêcber que ce poids n’attire à lui (fig. 18.)
le nœud C, de même auſſi cbacune d’elles concourt avec
lui pour empêcber que l’autre ne l’emporte. Si, dî - je, il avoit
fait cette rèfléxion, il auroit vû ſans doute que chacune. de
ces puiſſances fait impreſſion ſur ce nœud, non ſeulement
ſuivant la direction du poids qu’elles ſoutiennent, pour le
tenir toujours à même hauteur; mais auſſi ſuivant l’hori-
zontale MCN, pour empêcher qu’aucune d’elles ne l’attire
n’y à droit, n’y à gaucbe: D'où il auroit infailliblement conclu
que ces impreſſions horizontales, ètant diamétralement
oppoſées, doivent toujours être égales. De-là voyant qu’el-
les augmentent, où diminuent néceſſairement à meſure que
les angles que font les cordes de ces puiſſances avec la ligne
de direction du poids qu’elles ſoutiennent, s’aprochent, où
s’éloignent de l’angle droit, il auroit enfin aperçû l’impoſſibi-
litè de faire, finon aucun, du moins un tel changement à leurs
d. rections ſans en rompre l’équilibre.
@e dis ſinon aucun changement, parce qu’il a été
démontré (Cor. 1.
Prop.
1.)
qu’il n’eſt pas poſſible d’y
en faire aucun ſans rompre l’équilibre qui eſt (hyp.) entre
ces puiſſances, & le poids qu’elles ſoutiennent.
Nous
l’avons même conclu (Chap. 1.)
de la 68.
Prop.
d’où cet
Autheur tire un ſcbolie tout contraire par un raiſonnement dont
le défaut eſt préſentement aiſé à découvrir; Voyez-le.
Sur ce qu’on vient de dire de l’uſage des impreſſions hori-
18.
&
19.)
les puiſſan-
S, il eſt aiſé de juger de celui des impreſſions ſem-
blables que font auſſi ſur le nœud C de leurs cordes ſuivant
le plan OH (fig. 17.)
les puiſſances A, B, D, E, F,
& C.
auſſi ne s’y arrêtera-t-on pas davantage.
DE quelque maniére qu’un poids ſoit ſoutenu avec des
cordes par quelque nombre de puiſſances que ce ſoit,
appliquées à tant de nœuds qu’on voudra; chacune d’elles eſt
toujours à ce poids en raiſon compoſée d’autant d’autres raiſons
qu’il y a de nœuds entre cette puiſſance & ce poids:
Sçavoir
par chaque nœud, de la raiſon qui eſt entre la proportionelle
à la force dont ce nœud eſt tiré ſuivant la corde qui lui donne
communication avec cette puiſſance, & la ſomme des ſu-
blimitez moins celle des profondeurs de toutes les forces dont
les branches dans leſquelles ce même nœud ſe diviſe, ſont
tirèes chacune ſuivant ſa direction contre la réſiſtance qui leur
vient par la corde de communication de lui à ce poids.
Soit le poids T dont la corde C p ſe diviſe en tant
c.
qu’on vou-
dra, dont celles qu’on voudra, ſe diviſent encore
en pluſieurs branches, & celles qu’on voudra encore
de celles-ci en pluſieurs autres de la maniére qu’on
voit ici; &
toujours de même juſqu’auſſi loin qu’on
voudra. Commencez au premier nœud C à marquer
ſur les branches CZ, XC, YC, Cφ, &c.
des parties
CM, CN, CP, Cθ, &c.
qui ſoient entr’elles com-
me les forces avec leſquelles ces cordes ſont tirées
chacune ſuivant ſa direction. Faites - en autant ſur
toujours de même juſqu’aux derniéres auſquelles
les puiſſances A, E, D, B, F, G, H, I, K, φ, &c.
ſont appliquées.
Cela fait, aprés avoir marqué des
extrémitez de toutes ces proportionelles (Avertiſſ.
Chap. 2.)
les ſublimitez &
les profondeurs de toutes
ces forces, on trouvera que chacune de ces puiſ-
ſances, par exemple, la puiſſance D eſt toujours à
ce poids en raiſon compoſée d’autant d’autres rai-
ſons telles que cette propoſition porte, qu’il y a de
nœuds entre cette puiſſance & lui:
Car 1°.
La puiſ-
ſance D étant (hyp) à la puiſſance E, comme O S
à OV., elle eſt auſſi (Prop.
3.)
à la force dont
nœud O leur réſiſte ſuivant OZ, comme OS à la
ſomme de leurs ſublimitez O ſ & O u.
2°.
Cette
même force étant auſſi (hyp.) aux puiſſances A &
B,
comme ZR à ZL & ZQ, elle eſt de méme (Prop.
3.) à la réſiſtance que leur fait le nœud Z ſuivant
Z C, comme Z R à la ſomme des ſublimitez Z r &
Z q moins la profondeur Z l. 3°.
Enfin la valeur
de cette réſiſtance étant encore (hyp.) aux forces
dont le nœud C eſt tiré ſuivant C X, C Y, C φ. &
c.
comme CM à CN, CP, C θ, &c.
elle eſt auſſi
(Prop. 3.)
au poids T, comme CM à la ſomme des
ſublimitez C m, C n, &c.
moins celle des profondeurs
Cλ, C p, &c.
Donc en multipliant par ordre ces
trois rangées de proportionelles, la puiſſance D ſe
trouvera au poids T, comme le produit fait des
trois antécédens OS, ZR, & CM, au produit fait
de leur trois conſéquens Oſ + Ou, Zr + Zq -
Zl, & Cm + Cn - Cp - Cλ.
C’eſt - à - dire, en
raiſon compoſée des trois raiſons de OS à Oſ +
Ou, de Z R à Zr + Zq - Zl, & de CM à Cm +
Cn - Cp - Cλ, qu’on voit telles que cette pro-
poſition porte. Or il n’y a en eſfet que trois nœuds
C, entre cette puiſſance &
ce poids:
Donc
d’autant d’autres raiſons telles que cette propoſition
porte, qu’il y a de nœuds entre cette puiſſance &
ce poids. On prouvera de même que la puiſſance A
eſt à ce poids en raiſon compoſée de ZL à Z r +
Z q - Zl, & de CM à C m + C n - C p - C λ.
On trouvera encore de même que la puiſſance F
eſt à ce même poids en raiſon compoſée de X β à
X b + X f, & de CN à C m + C n - C p - C λ;
& ainſi de toutes les autres puiſſances, en quelque
nombre qu’elles ſoient, de quelque maniére, & à
quelque nombre de nœuds qu’elles ſoient appli-
quées. D’où l’on voit en général, que de quelque
maniére qu’un poids ſoit ſoutenu avec des cordes
par quelque nombre de puiſſances que ce ſoit, ap-
pliquées à tant de nœuds qu’on voudra, chacune
d’elles eſt toujours à ce poids en raiſon compoſée
d’autant d’autres telles que cette propoſition porte,
qu’il y a de nœuds entre cette puiſſance & ce poids.
Ce qu’il faloit démontrer.
On voit qu’en prenant ZR égale à O ſ + O u,
avec ZL & ZQ à ZR en même proportion qu’elles
ſont ici; de plus CM égale à Zq + Zr - Zl,
avec CN, CP, Cθ, &c.
auſſi à CM en même
proportion qu’elles ſont ici; la puiſſance D ſera au
poids T, comme OS à Cm + Cn - Cλ - Cp ±
&c.
c’eſt-à-dire, comme ſa proportionelle à la ſomme
des ſublimitez moins celle des profondeurs des for-
ces avec leſquelles les branches du premier nœud
C ſont tirées chacune ſuivant ſa direction. Il en faut
penſer autant de toutes les autres puiſſances appli-
quées au poids T, ſoit de prés, ſoit de loin.
On peut comparer cette propoſition avec ce Corollaire à la
de M.
Borelli.
Lors qu’un poids attaché à une corde qui a plu-
les branches qui en naiſſent, il n’y en a qu’une qui
ſe ſubdiviſe en d’autres branches: lors dî-je que le
poids T attaché à une telle corde, eſt ſoutenu par
pluſieurs puiſſances Y, X, S, R, V, Z, &c.
telle-
ment appliquées aux derniéres de ces branches que
tous les nœuds F, E, C, &c.
d’où elles naiſſent, ſe
trouvent dans la ligne de direction de ce poids; chacune de ces puiſſances, en quelque nombre qu’el-
les ſoient, eſt toujours à ce poids, comme la pro-
portionelle de cette même puiſſance à la ſomme des
ſublimitez moins celle des profondeurs de tout ce
qu’il y en a d’appliquées à ce même poids: car ſi l’on
prend ſur les branches de chaque nœud des parties
OF, EI, CB, CA, EH, FK, FN, EM, &c.
proportionelles aux forces avec leſquelles chacune
d’elles eſt tirée ſuivant ſa direction, & que des ex-
trémitez de ces mêmes parties on marque (avert.
Chap. 2.)
leurs ſublimitez avec leurs profondeurs;
on trouvera 1°. que les proportionelles FN, EM,
&c.
qui ſe trouvent dans la ligne de direction de ce
poids, ſont égales aux ſublimitez FN, FM, &c.
des
forces avec leſquelles elles ſont tirées ſuivant leur
direction, c’eſt-à-dire, ſuivant cette même ligne.
2°. On trouvera encore que chacune de ces mêmes
proportionelles, par exemple FN eſt auſſi toujours
égale à la ſomme des ſublimitez moins celle des pro-
fondeurs des forces, ou des puiſſances appliquées au
puis que (hyp) cette même proportionelle, &
(Prop.
3.) cette même ſomme ſont à la proportionelle EI
de la puiſſance X, comme la force dont le nœud E
eſt tire ſuivant la corde EF, eſt à cette même puiſſan-
ce. Pour la même raiſon EM eſt égale à la ſomme
des ſublimitez moins celle des profondeurs des forces
où des puiſſances appliquées au nœud C qui eſt im-
médiatement au-deſſus de E; &
ainſi des autres
proportionelles qui ſe trouvent dans la ligne de di-
rection du poids T. De-là on verra que chacune des
ſublimitez FN, EM, &c.
des forces qui ſuivent la direc-
tion de ce poids, eſt toujours égale à la ſomme des ſu-
blimitez moins celle des profondeurs des forces, ou
des puiſſances appliquées au nœud qui eſt immédia-
tement au-deſſus de celui depuis lequel elle ſe prend:
D’où il ſuit que la ſublimité FN qui ſe prend depuis
le plus bas de tous ces nœuds, eſt égale à la ſomme
des ſublimitez moins celle des profondeurs de toutes
les puiſſances X, V, S, R, &c.
appliquées à tous
les autres nœuds E, C, &c.
Or on vient de voir
dans le Corollaire précédent que chacune de toutes
les puiſſances qui ſoutiennent le poids T, par exem-
ple S, ou Y, eſt à ce poids, comme ſa proportio-
nelle CB, ou OF à la ſomme des ſublimitez moins
celle des profondeurs des forces avec leſquelles
toutes les branches du plus bas nœud F ſont tirées
chacune ſuivant ſa direction contre le poids T;
c’eſt-à-dire, à la ſomme faite de la ſublimité FN,
& de la ſomme des ſublimitez moins les profondeurs
des puiſſances Y, Z, &c.
immédiatement appliquées
au nœud F: Donc chacune des puiſſances Y, X, S,
R, V, Z, &c.
eſt en ce cas au poids T, comme ſa
à ce même poids.
D’où l’on voit que la ſomme de toutes ces puiſ-
ſances eſt à ce poids, comme la ſomme de leurs pro-
portionelles à la ſomme de leurs ſublimitez moins
celle de leurs profondeurs: De ſorte que s’il n’y
en avoit que deux d’appliquées à chaque nœud
dont l’une tirât à droit & l’autre à gauche, &
que
toutes celles de chaque côté fuſſent égales entr’elles,
& avec des directions paralleles entr’elles;
la ſomme
(fig. 21.)
des ſublimitez, par exemple F o, + F k, où
Ei + Eh, où Cb + Ca, &c.
des deux puiſſances ap-
pliquées au quel que ce ſoit des nœuds F, E, C, &c.
ou bien la différence (fig.
22.)
de la ſublimité de l’une
à la profondeur de l’autre, par exemple Fk,- Fo,
ou Eh - Ei, au Ca - Cb, &c.
étant alors la même
pour tous ces nœuds, auſſi-bien que les proportio-
nelles de ces puiſſances; la ſomme de ces mêmes
puiſſances ſeroit alors au poids T, comme la ſomme
des proportionelles de deux d’entr’elles appliquées à un
même nœud, quel qu’il ſoit, eſt à la ſomme (fig. 21.)
des ſublimitez de ces deux puiſſances, où (fig. 22.)
à la
différence qui eſt entre la ſublimité de l’une, & la
profondeur del ’autre.
Ce qui fait enfin voir que ſi toutes les puiſſances
Y, X, S, R, V, Z, &c.
étoient égales entr’elles, &
que toutes leurs directions fiſſent avec celle de ce
poids des angles égaux auſſi entr’eux, leur ſomme
ſeroit alors à ce même poids, (fig. 21.)
comme une
de leurs proportionelles à une de leurs ſublimitez,
l’autre choiſie à diſcretion;
c’eſt - à - dire,
celui qu’on voudra de ces mêmes angles.
On peut encore comparer ces trois Corollaires à la Propo-
ſition 71. de M.
Borelli &
au Corollaire qu’il en tire.
On voit encore de cette propoſition que dans l’hy-
du corps A D concourent au centre E de la terre,
de quelque maniére que ce poids ſoit ſoutenu par
tant de puiſſances F, G, H, I, K, L, M, N, &c.
qu’on voudra avec des cordes qui lui ſoient appli-
quées en tant de points A, B, C, D, &c.
qu’on vou-
dra; chacune de ces puiſſances ſera toujours à ce
poids, comme chacune de leurs proportionelles à la
ſomme des ſublimitez des forces avec leſquelles ces
points A, B, C, D, &c.
ſont tirez ſuivant les lignes
AE, BE, CE, DE, &c.
par le concours d’action
des puiſſances qui y ſont appliquées: des ſublimitez,
dî-je, déterminées comme dans le Corollaire 1. Car
il eſt clair que ce poids agit contre toutes ces puiſſan-
ces de même que feroit une force qui lui ſeroit égale,
ſi AE, BE, CE, DE, &c.
étoient autant de cor-
des attachées enſemble au point E par un nœud
commun auquel cette force fut appliquée ſuivant la
direction ZE du centre de gravité de ce poids. Or
en ce cas les points A, B, C, D, &c.
étant comme
autant de nœuds auſquels ſont appliquées, chacune
ſuivant ſa direction, les puiſſances F, G, H, I, K,
L, M, N, &c.
ſi l’on prend depuis E ſur chacune
des lignes AE, BE, CE, DE, &c.
une partie Eg,
Ef, Ec, Eb, &c.
égale à la ſomme des ſublimitez
c.
On
trouvera (Cor 1.) que chacune de toutes ces puiſ-
ſances F, G, H, I, K, L, M, N, &c.
ſeroit alors à
la force qu’on ſuppoſe en E, comme chacune de leurs
proportionelles DO, CP, BQ, DX, AR, CV, BT,
AS, &c.
à la ſomme des ſublimitez, El, Ee, Ed,
Ea, &c.
des forces dont les nœuds A, B, C, D, &
c.
ſeroient alors tirez, chacun ſuivant la ligne qui le
joint avec le point E: Donc chacune de ces mêmes
puiſſances eſt en effet au poids AD, comme chacune
de leurs proportionelles à la ſomme de telles ſubli-
mitez des forces avec leſquelles les points A, B, C, D,
&c.
ſont tirez ſuivant les lignes AE, BE, CE, DE,
&c.
par le concours d’action de celles qui y ſont ap-
pliquées.
Si les forces, avec leſquelles les différens points A, B, C,
D, &c.
du corps AD, ſont tirez ſuivant des lignes qui con-
courent au centre E de la terre, par le concours d’action des
puiſſances qui y ſont appliquées, avoient quelque profondeur,
on trouveroit de même que chacune de toutes les puiſſances qui
ſoutiennent ce poids, lui ſeroit en même raiſon que chacune de
leurs proportionnelles à la ſomme de telles ſublimitez moins
celle des profondeurs de ces mêmes forces: mais ce cas étant
naturellement impoſſible; puiſqu’il faudroit pour cela que ce
poids comprît pour le moins plus du quart de la circonférence
de la terre, on n’a pas crû qu’il fût néceſſaire de l’exprimer.
On voit préſentement que dans l’hypotheſe ordi-
naire, ou l’on regarde les directions AE, BE, CE,
DE, &c.
comme paralleles entr’elles, chacune des
ſublimitez El, Ee, Ed, Ea, &c.
déterminées ſur
c.
qu’on vient de prendre egales à la ſomme
des ſublimitez moins celle des profondeurs des puiſ-
ſances appliquées à chacun des points A, B, C, D,
&c.
étant alors égales à ces mêmes proportionelles;
chacune de ce qu’il y a de puiſſances ainſi appliquées
à ce poids, ſçavoir F, G, H, I, K, L, M, N, &c.
eſt
toujours en ce cas à ce même poids, comme chacune
de leurs proportionelles à la ſomme de toutes leurs
ſublimitez moins celle de toutes leurs profondeurs.
D’où il ſuit que dans la même hypothêſe la ſom-
me de toutes ces puiſſances eſt à ce poids, comme
la ſomme de leurs proportionelles à la ſomme de leurs
ſublimitez moins celle de leurs profondeurs: De
ſorte que s’il n’y en avoit que deux d’appliquées à
chaque point, dont l’une tirât à droit, & l’autre à
gauche; &
que toutes celles de chaque côté fuſſent
égales entr’elles, & avec des directions qui fiſſent
avec celle du point où elles ſont appliquées, des angles
de@chaque côté égaux entr’eux: la ſomme (fig.
23.)
des
ſublimitez, par exemple Ar + Aſ, ou Bq + Bt,
ou Cp + Cu, ou Do + Dx, &c.
des deux puiſſances
appliquées au quel que ce ſoit des nœuds A, B,
C, D, &c.
ou bien (fig.
24.)
la différence de la ſu-
blimité de l’une à la profondeur de l’autre, par
exemple Ar - Aſ, ou Bq - Bt, ou Cp - Cu, ou
Do - Dx, &c.
étant alors la même pour tous ces
points, auſſi-bien que les proportionelles de ces puiſ-
ſances; la ſomme de toutes ces puiſſances ſeroit
alors au poids AD, comme la ſomme des proportio-
nelles de deux d’entr’elles appliquées à un même
point, quel qu’il ſoit, eſt à la ſomme (fig. 23.)
de leurs
24.)
à la différence qui eſt entre
la profondeur de l’autre.
Ce qui fait enfin voir que ſi toutes les puiſſances
F, G, H, I, K, L, M, N, &c.
étoient égales en-
tr’elles, & que toutes leurs directions fiſſent avec
celles des points où elles ſont appliquées, des angles
égaux entr’eux; leur ſomme ſeroit alors au poids
CD (fig. 23.)
comme une de leurs proportionelles
à une de leurs ſublimitez, de quelque maniére qu’on
les prenne; c’eſt-à-dire, comme le ſinus total au ſinus
du complement de celui qu’on voudra de ces mêmes
angles.
On peut enfin comparer ces quatre derniers corollaires à
la Propoſition 72. de M.
Borelli, &
au corollaire qu’il
en tire.
Tels ſont les principes généraux de tout ce que cet Au-
theur a dit des poids ſuſpendus par des cordes, & de l’uſage
qu’il en a fait pour exprimer la force des muſcles; c’eſt ce
qu’on s’étoit propoſé d’établir dans ce Chapitre par la mé-
@hode du Projet précédent: qu’on voye préſentement ſi la
ſienne peut aller juſques-là, & ſi elle peut conduire à la So-
lution du Problême ſuivant.
DIx puiſſances φ, A, E, D, B, F, G, H, I, K,
avec les angles que toutes ces cordes font entr’elles; trouver
Soit la valeur de chaque puiſſance, &
de chaque
angle donné dans la Table ſuivante.
Cela ſuppoſé, ſur les branches des cordes auſquel-
ſont immédiatement appliquées, ſoient priſes depuis
leurs nœuds des parties θC, LZ, VO, SO, QZ, βX,
hX, δY, zY, eY, qui ſoient entr’elles, comme les
forces de ces mêmes puiſſances, c’eſt-à-dire, comme
les chifres qui leur répondent dans la Table pré-
cédente.
Préſentement ſi l’on regarde chacune de ces pro-
portionelles comme un ſinus total, le ſinus de la diffé-
rence d’un angle droit à l’angle d’application de la
puiſſance qui rèpond à cette proportionelle, ſera la
ſublimité, ou la profondeur de cette même puiſſance: par exemple, ſi l’on prend la proportionelle C θ
de la puiſſance φ, pour un ſinus total, ſa profondeur
Cλ ſera le ſinus de l’angle Cθλ, qui eſt la différen-
ce de θCλ angle d’application de cette puiſſance, à
un angle droit. De même en prenant la proportio-
nelle V O de la puiſſance E, pour un ſinus total, ſa
ſublimité Ou ſera le ſinus de l'angle OVu, qui eſt la
diffèrence d’un angle droit à ſon angle d’application
V O Z; de cette facon nous aurons les ſublimi-
tez & les profondeurs de toutes ces puiſſances par les
analogies ſuivantes.
Aprés avoir ainſi trouvé la valeur de chacune des ſu-
blimitez & des profondeurs de toutes les puiſſances qui
ſoutiennent le poids T; ſoit priſe Z R égale à Ou
plus O ſ; c’eſt-à-dire, ſuivant les analogies précéden-
tes, égale à 6. {13639713.
/40000000.
} plus 4.
{110101.
/400000.
};
ou bien en ré-
duiſant ces deux fractions à une même dénomina-
{24649813.
/40000000.
}.
Aprés cela O V étant à Z R,
tiré ſuivant ZO par le concours d’action des puiſ-
ſances D & E;
Z R ſera la proportionelle de cette
force, & l’angle R Z C étant (hyp.)
de 112.
deg.
15.
min.
ſa diffèrence à un angle droit;
c’eſt-à-dire,
l’angle ZRr ſera de 22. deg.
15.
min.
Ce qui don-
nera par une analogie ſemblable aux précédentes,
3. {74265285916559.
/200000000000000.
} pour la valeur de Zr ſublimité de cette
force: puiſque ZR de 10.
{24642813.
/40000000.
} eſt à 3.
{17426@285916559.
/200000000000000.
}
comme le ſinus total 10000000. à 3786486.
ſinus
de l’angle ZRr de 22. deg.
15.
min.
Soit enſuitte 1°.
C M égale à Zq plus Zr moins
Zl; c’eſt-à-dire, ſuivant les analogies que nous ve-
nons de trouver, égale à 11. {180897.
/1000000} plus 3.
{174265285916559.
/200000000@00000.
}
moins 2. {4412381.
/20000000.
};
ou bien en réduiſant ces trois frac-
tions à une même dénomination, égale à 12. {1663208759165@9.
/200000000000000}.
Ce qui donnera par une analogie ſemblable aux pré-
cédentes, 11. {74566272432665199141.
/500000000000000000000.
} pour la valeur de la
ſublimité Cm: puis que 12.
{166320875916559.
/200000000000000.
} eſt à 11.
{745662724;2665199141.
/500000000000000000000.
}, comme le ſinus total 10000000.
à
8689196. ſinus de l’angle CMm de 60.
deg.
20.
min. qui eſt la différence d’un angle droit à l’angle
M C T de (hyp.) 150.
deg.
20.
min.
2°.
Faite de même C N égale à Xb plus Xf;
c’eſt-
à-dire, ſuivant les analogies de la table précédente,
égale à 9. {382929.
/1000000.
} plus 7.
{64,9043.
/20000000.
};
ou bien en réduiſant
ces deux fractions à une même dénomination, égale
à 16. {14097623.
/20000000}.
Ce qui donnera par une analogie ſem-
blable aux précédentes, 13. {136767694854583/200000000000000.
} pour la va-
leur de la ſublimité Cn: puis que 16.
{14097623.
/20000000.
} eſt à
13. {136767694854583.
/200000000000000.
}, comme le ſinus total 10000000.
à
ſinus de l’angle CNn de 55.
deg.
qui eſt
(hyp.) 145.
deg.
3°.
Enſin ſoit encore C P égale à Yg plus Yx
moins Yd; c’eſt-à-dire, ſuivant les analogies de la
table précédente, égale à 11. {8827189.
/10000000.
} plus 4.
{479303.
/625000.
} moins
3. {521037.
/1000000.
};
ou bien en réduiſant ces trois fractions à
une même dénomination, égale à 12. {232141683.
/282000000.
}.
Ce qui
donnera par une analogie encore ſemblable aux
précédentes, 5. {686442223302177.
/1410000000000000.
} pour la valeur de la pro-
fondeur C p: puis que 12.
{232141683.
/282000000.
} eſt à 5.
{686442223302177.
/1410000000000000.
},
comme le ſinus total 10000000. à 4278838.
ſinus
de l’angle CPp de 25. deg.
20.
min.
qui eſt la diffè-
rence d’un angle droit à l’angle P C T de (hyp.) 64.
deg.
40.
min.
De tout cela on voit preſentement que
la {Subl. Cm \\ Subl.
Cn \\ Prof.
Cλ \\ Prof.
Cp} eſt ègale à {11.
{74566272432665199141.
/500000000000000000000.
}.
\\ 13.
{136767694854583.
/200000000000000.
} \\ 3.
{1013093.
/2000000.
} \\ 5.
{686442223302377.
/1410000000000000.
}
De ſorte qu’en réduiſant toutes ces fractions à une
même dénomination, on aura Cm + Cn - Cλ -
Cp = 15. {5919081693@137450578881.
/70500000000000000000000}.
Or ayant pris, comme
nous venons de faire, 1° CR = Oſ + Ou. 2°.
CM
= Zq + Zr - Zl. 3° CN = Xf + Xb.
4°.
CP
= Yg + Yx - Yd; chacune des puiſſances qui
ſoutiennent ainſi le poids T; par exemple, la puiſ-
ſance E eſt (Prop. 4.
Cor.
1.)
à ce poids, comme ſa
proportionnelle OV de (hyp.) 7 {1/4} à Cm + Cn -
Donc cette même puiſſance E eſt à ce
{1/4} à 15.
{1919081693413745
/705
};
&
par con-
ſèquent la valeur de cette puiſſance étant (hyp.) de 7.
{1/4} liv.
ce même poids eſt auſſi juſtement de
15. {5919081692@137450@78881.
/70500000000000000000000.
} liv.
c’eſt-à-dire, de 15.
livres, &
un peu plus de cinq ſeptiémes de livre. Ce qu’il faloit
trouver.
LE S neuf planches au pied deſquelles on voit Projet,
doivent ètre reliées ſelon l’ordre de leurs chifres immé-
diatement à la fin de la Méchanique; en ſorte que le quart
du papier où il n’y a rien, ſoit enfermé dans le livre, & que
l’autre quart où ſont les figures, puiſſe, en les dépliant, en
ſortir tout entier, pour ſervir à tous les endroits de cette Mé-
chanique où l’on en aura beſoin. Pour les quatre autres plan-
ches, au pied deſquelles on voit Examen, elles doivent auſſi
être reliées de la même maniére à la fin de l’Examen que voicy
de M. Borelli.
De l’Imprimerie dela Veuve Clement Gaſſe, 1687.
PAr Lettres Patentes du Roy, données à Ver-
ſailles 19. jourde Juin 1687.
ſignées par le Roy
en ſon Conſeil, Galloys & ſcellées.
Il eſt permis
à Jean Boudot Libraire à Paris, d’imprimer un
livre intitulé Projet d’une nouvelle Méchanique, avec un
Examen de l’Opinion de M. Borelli, ſur les propriétez des
Poids ſuſpendus par des Cordes, par M. V * * * * * * * en
tel volume, marge, & caractére, en autant de volumes,
& tout autant de fois que bon luy ſemblera, pendant
le tems de huit années conſécutives, à commencer
du jour qu’il aura été achevé d’imprimer pour la
premiére fois. Et défenſes ſont faites à toutes ſortes
de perſonnes d’imprimer ledit livre, d’en vendre n’y
diſtribuër d’autre impreſſion que de celle dudit Boudot, ou de ceux qui auront ſon droit, à peine
de mil livres d’amende, & de tous dèpens, dom-
mages & intérêts, &
de confiſcation des Exemplaires
contrefaits, ainſi qu’il eſt porté plus au long dans ledit
Privilége.
Regiſtré ſur le Livre de la Communauté des Li-
braires & Imprimeurs de Paris, le 30.
Juillet 1687.
Signé,
Coignard, Syndic.
Achevè d’imprimer pour la premiére fois le 30.
Aouſt 1687.
PAg.
4.
lig.
20.
AH liſez AK
pag.
9.
ligne 14.
Lemme 3.
, liſez Lemme 3.
pag.
14.
ligne 11.
poid liſez poids
pag.
17.
ligne 4.
elle ſe liſez elle le
pag.
23.
à la marge Vis-à-vis du problême marquez fig.
19.
pag.
29.
ligne 22.
AH liſez AD
pag.
35.
à la marge fig.
26.
liſez fig.
26.
27.
pag.
38.
ligne 25.
à EF;
liſez HEF;
&
ligne 26.
effacéz ou EHF,
pag.
48.
ligne 31.
points liſez point
pag.
74.
ligne 1.
puiſſnces, liſez puiſſances,
pag.
99.
ligne 14.
&
pag.
100.
lignes 5.
16.
&
17.
propotionnelles liſez
proportionelles
pag.
103.
ligne 1.
ces de liſez de ces
pag.
104.
ligne 6.
69.
M.
liſez 69.
de M.
pag.
105.
ligne 27.
répoudent, liſez répondent,