open access
http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/policy/oa_basics/declaration
free
Automatically created from the ECHO source; ECHO version 1.0RC; Script version 2011-08-15
_Edmundo Boldero_
Procancellario. _Pet.
Gunning_ Præfect.
Coll.
S.
_ſoban_.
_fo. Pearſon_ Mag.
Coll.
S.
_Trin_.
Martii 22.
166 {8/9}.
Oi φύσει λομςιὸι είς πὰντα τὰ παθήματα,ώ \~ες ξπω εξπεῖν, \~οζ\~εῖς φα@-
νοντομ θϊιε βραδεῖς, αv̀ @ν τδτω πομδδ@ῶσι ηὶ γνμνὰσωντου ηᾶν
μηδὲν ἄλλο ώφελησῶσιν, ω
πάντες δπιδιδόχσιν. Platode Repub.
”Αρχεῖ, εῖ τà υεν {οὐ} χεῖρον Ariſt.
HAS, à
Venerabili Viro
_HENRICO LVCAS_
inſtitutæ atque dotatæ, ab
ipſis verò optimâ fide, ſummâque pru-
dentiâ adminiſtratæ & conſtitutæ in
Academia Cantabrigiensi, Professionis MATHEMATICÆ
primitias, gratitudinis ac obſervantiæ
ergò, devovet
_
Benigne Lector_,
MInimè tibi deſtinatum boc quicquid est opellæ,
ſtatim ipſe, modò digneris inſpicere, multis ab
indiciis deprebendes; nec tamen ut juris id
tui fieret, defuerunt auctores. quibus tandem,
animo certè trepidans atque renitens, idcircò
præſertim obſequutus ſum, quoniam in boc, quod ipſe primus
obiêrim, munus ſucc@ſſuris exemplo præire rem literariam; ſi minùs effectu, ſaltem conatu promovendi, non inboneſta,
nec ab officio meo aliena videbatur ambitio. acceſſit tenuis ſpes
ineſſe bonæ frugis non-nibil, quod & aliquatenus tibi proſit,
nec omnino diſpliceat. Memineris autem obteſtor qui in bis
literis provectior es, quale ſcriptum attrectas; non utique
tibi ſoli elaboratum; non ſponte productum;
non diuturnà
meditatione ſubactos exbibens feriantis ingenii conceptus; at
Lectiones Scholaſticas; primùm officii neceſſitate expreſſas;
tum ſubinde properantiùs effuſas, ut abſolveretur penſum, ac
bora deflueret; demùm ad promiſcui literarii populi inſtructi-
onem comparatas, cujus intererat complura (qualia tibi vide-
buntur) leviora non prætermitti; ut fruſtrà futurus ſis (id
quod te monitum oportuit, nè multùm expectando tibi pariter
obſis, ac mibi) accuratum bic quicquam, affabrè poſitum, aut
concinnè digestum ſperans. Enimverò, quò tibi ſatisface-
rem, expediret ſcio multa detruncare, meliora ſubstituere,
pleraque tranſponere, omnia adincudem limámque revocare;
quæ tamen adniti, nec stomacbi mei, nec otii fuit; ſed nec
facultatis exequi. in puris itaque naturalibus (quod aiunt)
& prout nata ſunt emittere malui;
quàm operosè lambendo
aliam in formam, nec ipſam placituram refingere. quinimò
poſtquam edendi propoſitum inii, ſeu faſtidio correptus ſeu no-
vandi ſubiturum ſtudium fugitans, nè quidem borum mag-
nam partem relegere ſuſtinui; verùm, quod tenellæ matres
tium nutriciæ curæ commiſi, prout ipſis viſum eſſet, educan-
dum aut exponendum. quorum unus (ipſos enim boneſtum
duco nominatim agnoſcere) D. Iſaacus Newtonus, collega
noſter (peregregiæ vir indolis ac inſignis peritiæ) exemplar
reviſit, aliqua corrigenda monens, ſed & de ſuo nonnulla
penu ſuggerens, quæ naſtris alicubi cum laude innexa cernes. alter (quem noſtræ gentis baud immeritò Merſennum dix-
ero, cùm ſuâ tum aliorum operâ provebendis biſce literis na-
tum) D. Joh.
Collinſius, ingente ſuo cum labore editionem
procuravit. Pθſſem jam alios expectationi tuæ obices ponere,
ſeu veniæ conciliatrices cauſ@s obtendere (meam ingenii te-
nuitatem, experimentorum inopiam, alias intercurrentes
curas) niſi Catonis ſenioris mordaculum illud in me ſubve-
rerer recaſurum: _Rectè ſi Amphictyonum decreto con-_
_ſtrictus hæc evulgas._ Hujuſmodi ſaltem præloquium partim
æquitas exegit, partim in fætum proprium ςοργ@ quædam eli-
cuit, ut excuſatior is, ac à cenſura munitior prodiret. ſin
acrior ſis, nec bæc aure dextrâ admittere velis, pro tuo (per
me licet) ingenio facias, quantumvìs strenuè reprebendas.
PErcontaris (amice cum primis chariſſimè) quid in
Lectionibus iſtis jam prælo ſubditis præſtiterim, aut
præſtare voluerim. reſponſo facilè defungi poſſem,
ea dicendo præſtita videri, quæ ſingularum initia
pollicentur, è quibus inſequentium methodus, materiâ,
ſcopus conſtare poterunt ipsâ delibanti. verùm in ſummam,
opinor, iſta contrahivis, & ſub unum aſpectum redigi.
id
quidem ægrè poſſum, niſi (quod juxtà faſtidioſum ac
longum eſſet) complura _Tbeoremata_ recitando; ſed ut-
cunque morem tibi geram, rerum capita ſuccinctè per-
ſtringens. Generatim eò connitor, ut illam, quam tra-
ctandam ſuſcipio, _Opticæ_ partem aliquatenùs promoveam,
ejus imprimìs principia explicando; tum ab ipſis _Vtilia_
_Conſectaria_ deducendo; demùm præcipuos (quos animad-
verteram) defectus ſupplendo, nec non _vulgatos errores_
corrigendo. huc collimans, ſpeciatim primò receptas hy-
potheſes ad examen revoco, quatenus admittendæ ſunt
& quomodò rectiùs intelligendæ edocere ſtudens;
tum è
phyſicis ueriſimilibus cauſis ipſas eliciens ac aſtruens. quâ
in parte mihi fidei multum attribui nolim; quæ probabi-
liora mihi viſa protuli, neutiquam verò talia, quibus ipſe
magnopere conſidam. valeant quantum valere poſſunt.
Saltem hypotheſes ipſas admitti peto, ceu experientiæ
conſentaneas, nec à ratione quaquàm abhorrentes.
Hypotheſibus conſtitutis, ab iis proximè generalia
methodi gratiâ, & propter aliorum probationem, meis de-
monſtrationibus firmata appono) partim à me obſervata. deinad ſpecialia progredior, id mihi negotii ſumens, ut
_Catoptricæ_, ac _Dioptricæ_ utriuſque, in uſu maximè poſitæ
(_planæ ſcilicet & spbæricæ_) potiſſima pertractem _In_
_Catoptrica spbærica_ (ſiquidem plana jam olim verè ſatìs,
ac fusè exculta habetur) ejuſmodi _Tbeoremata_ propono,
de quibus reflexorum radiorum interſectiones atque limi-
tes innoteſcunt; unáque punctorum tam à longè, quàm è
propinquo radiantium imagines, & apparentes loci deter-
minantur; reſpectu oculi nedum in radiationis axe, ſed
extra ipſum ubicunque conſtituti. quæ certè vel nuſquam
(quod ſciam) aut magnâ ex parte perperàm alibi tractata
proſtant; id quod, incidentèr aliorum refutans ſententias,
cùm ratiociniis perſpicuis, tum experimentis decretoriis
evictum eo. _Dioptricam_ porrò tam _planam quàm Spbæ_-
_ricam_, refractionis noviſſimâ præſtratâ lege vel hypotheſi
(quam _illustris Carteſius_ detexit, at plerique, reor, melio-
res _Optici_ jam amplexantur; quam &
propter aſſignatas
alicubi rationes veritati conſonam judico) velut à funda-
mentis extruo. nec enim eorum, qui principium illud ad-
miſerunt, ipſum hactenus quiſquam (in ſcriptis intelligo
quæ viderim luci commendatis) huc applicuit. Hîc au-
tem imprimìs puncta radiantia longè diſſita (ſeu quaſi
parallelos emittentia radios) conſiderans, quo pacto ab
ipſis proſluentes radii detorquentur exquiro, _Tbeoremata_
quædam eliciens, è quibus præcipua _refractorum ſympto_-
_mata_ liquent, ipſorum interſectiones ac limites dignoſcun-
tur; apparentia denique punctorum objectorum loca de-
ſignantur, tam oculi reſpectu qui in axe, quàm ejus qui
uſpiam extra axem collocatur. tunc eadem attento quoad
puncta ſenſibiliter vicina, ſeu divergentibus radiis allu-
centia. ſub extremum, quò paratior ſit horum uſus,
ſingillatim exhibeo determinatas. Hiſce qualitercunque
confectis, de magnitudinum dijudicandis (iſtis nempe,
quæ hujuſmodi conſequuntur inflectiones) apparentiis
nonnulla generatim attingo; tum poſteà ſpecialiùs ac
uberiùs planorum objectorum imagines quales ſunt, &
quomodò deſignandæ commonſtro. ab indè receptui
cano. Memoratis autem hiſce paſſim alia πάρερ@α inter-
ſpergo; de quibus tu videris, nam eg@ malim reticere.
Brevitatis gratiâ notæ quædam adhibentur, quarum hîc
ſubjungitur interpretatio.
A + B.
_hoc eſt_ A &
B _ſimul acceptæ_.
A - B.
A, _demptâ_ B.
A - :
B.
_differentia ipſarun@_ A, &
B.
A x B.
A _multiplicata, vel ducta in_ B.
{A/B} - A _diviſa per_ B, _vel applicata ad_ B.
A = B.
A _æquatur ipſi_ B.
A &
gt;
B.
A _major eſt quàm_ B.
A &
lt;
B A _minor eſt quàm_ B.
A.
B:
: C.
D A _ad_ B _eandem rationem habet, quam_ C _ad_ D.
A, B, C, D {.
./.
.}.
A, B, C, D _ſunt continuè proportionales_.
A.
B &
gt;
C.
D.
A _ad_ B _majorem rationem habet, quàm_ C _ad_ D.
A.
B &
lt;
C.
D.
A _ad_ B _minorcm rationem habet, quàm_ C _ad_ D.
A.
B + C.
D = \\ &
gt;
\\ &
lt;
} M.
N.
_Rationes_ A ad B, \\ &
C ad D _compoſitæ_ {_adæquant_ \\ _excedunt_ \\ _deficiunt à_} _ratione_ M \ȧd N.
Aq.
_Quadratum ex_ A.
√ A.
_Latus, vel radix quadrata ipſius_ A.
A c.
_Cubus e x _ A.
√ Aq + Bq.
_Latus compoſiti ex_ Aq &
Bq.
Reliquas, ſi quæ occurrunt, abbreviaturas Lector facili conjectur &
capiet, præſerti@ in analyſi tantillùm verſatus.
I.
PRæfatorio jam vinculo ſolutus, &
ſcopulum præterve-
cingor. Imprimis autem novi quod inîerim conſilii
rationem, paucis expediam. Cum prius inſtitutum ur-
gens adverterim, occurrere pleraque nimiam attentio-
nem deſiderantia, nec ex improviſo auſcultantibus, in-
dè ſatis opportuna; incommodum etiam illud à puram Geometriam
attrectantibus haud poſſe declinari; conſtitui, derelictâ tantiſper
iſtâ, protinus in amæniores (floribus nempe Phyſicis depicto, &
fructibus conſitos Mechanicis) mixtæ quam appellitant Matheſeos
Campos deviare; Opticæ nimirum, Mechanicæ, Coſmographiæ, re-
liquæ cujuſcunque, prout occaſio feret, & commodum videbitur.
Ne-
que tamen animus erit ullius ex his longè diffuſa latifundia pervagari,
vel extremos fines circumire; ſed ad ejus quaſi metropolim è veſtigio
rectà procedere; primas tantum hypotheſes excutere, præcipuáque
(quibus illa tam vaſta theorematum moles incumbit) fundamenta de-
nudare; tum verò nonnulla, palmaria quidem illa, ſtatim emergentia
corollaria ſubtexere. Quorum certè σκέψις jucunda praſ@r@im, utilis,
& fructuoſa videri poteſt;
quum è principiis rectè poſitis, probéque
perceptis reliquorum & firma fides, &
facilis comprehenſio ſub-
naſcantur.
II.
Ab Optica ſumemus exordium;
ſcientia cum primis Nobili;
quam cum peculiaris amænitas, tum ingens commendat utilitas.
Nam
Naturæ ſimul detegendis arcanis, ac explicandis Phænomenis minimè
vos latet quantopere conducat; neque minus ad Aſtronomicas rationes
quàm planè neceſſaria ſit; ut Perſpectivam, Picturam, &
his agnatas
alias eximias Artes taceam; quæ quantæ quantæ ſunt ab ea pendent,
ac prineipia ſua mutuantur. Ut &
præteream qualia, certè vix pretio
visûs
imperfectionibus & vitiis tam prompta, quàm certa, minimi ſumptûs,
& nullius periculi remedia conferendo.
Neque, quum curioſiſſimus
iſte ſenſus noſter ità varias indies, ità miras rerum ſpecies exhibeat
nobis; non admodum oblectare nos, non eximiâ voluptate mentes
noſtras afficere poſſit, unde talis emergat apparentiarum diverſitas, &
quis ſit illas attingendi modus nedum accuratè, certóque cognoſcere,
ſed utcunque veriſimilitér arbitrari; præſertim quum in nullâ parte
noſtri, nec in tota fortaſſis rerum compage, neceſſitatibus, commo-
dis, & voluptatibus noſtris proſpicientis melioris naturæ ſeu fines
agendi, ſeu modos pleniùs queamus perſpicere; nuſquam adeò di-
ftinctiùs aut apertiùs opificis _πανσφδ_ eluceat artificium. Verùm
elogia pertexere non vacat, aut convenit nobis. Rem potiùs ipſam
aggrediamur.
III.
Quæ circa viſum occupatur diſcipiina communiter in tria mem-
bra diſpertitur; primum, quod viſus directis radiis objecta cernentis
affectiones conſiderat (hoc ſpeciatim Optice nominatur;) alterum,
quod è radiorum ab opacis corporibus repercuſſu oriundas ſpeculatur
apparentias (cui Catoptricæ nomen inditum;) tertium denique, quod
ideò Dioptrica vocitatur, quia cauſas inveſtigat, aut exponit eorum
quæ à radiis apparent per diverſa media tranſlucentibus, & eorum oc-
curſu demutatis Quam diſtributionem ut non improbamus, ità nobis
haud obſervandam proponimus; nedum quia multa pariter his com-
munia ſunt, at præcipuè quia viſio quævis, ut libet ſimplex ac directa,
ſicuti reverà non abſque nonnulla radiorum inflectione peragitur, ità
nec eâ ſeclusâ penitus intelligi poteſt aut explicari. Igitur hujuſmodi
methodo potiùs inſiſtendum cenſemus; ut nempe primò viſionis cau-
ſas (quæ ſcilicet illam extrinſecus eſſiciunt, aut afficiunt) examine-
mus; tum ut videndi modum (hoc eſt quo pacto ſenſus hic noſter ido-
neis organis inſtructus iſtis concurrentibus cauſis, objectorum illas,
quas experimur, differentias apprehendit) adnitamur exponere; de-
hinc, ut Phænomena quædam ſelectiora ſuſcipiamus elucidanda; poſtremóque forſan, ut de viſùs remediis ac ſubſidiis aliquid ſub-
jungamus.
IV.
Viſionis cauſas externas quod attinet, nemini jam dubium eſt,
exiſtimo, non ullâ (quanquam _Empedocli, Platoui, Enclidi_, veteribus
aliisid placitum erat) ab oculo radiorum emiſſione, verùm ab objectis
defluente re quâpiam, oculoſque percellente viſum effici; quod &
) ſuboluer@t
_EpicuQuod ſanè malim adſumere, vel ſupponere, quam poſt tot
alios operoſo niſu comprobare. Certè (quo breviſſimè tangam hanc
quæſtionem) ſic in alia qualibet evenit ſenſione, (quidni pariter in vi-
ſu?) non ut ſenſus in objecta feratur, ſed ut ipſa ſe ſenſibus imprimant;
immediato nempe contactu, vel medii cujuſdam ſeu projecti, ſeu com-
moti interventu. Tum ratio vetat, ut ex ocello quicquam in immenſam
adeò circumquaque diſtantiam credamus emanare; neque quod ſic
emanet in eo quidpiam aptum natum deprehendimus. Totus enim-
vero pellucidis humoribus aut membranulis conſtat opacis, ad tranſ-
mittendam lucem, vel ad eam excipiendam, aptiſſimè, ſed ad progig-
nendam à ſe vel ejaculandam haudquaquam comparatis. Quòd ſi lu-
cem ipſe profunderet, inſitiſque radiis attingeret objecta, quidniden-
ſiſſimis in tenebris hoc præſertim faceret, & feles vel (Hiſtoricis ſi
placet) _Tiberii_ fieremus omnes? Quæ, dico, lucis externæ tam indiſ-
penſabilis ad viſum neceſſitas eſſet? συνωγας equidem Platonicæ.
Sonum audio, vim non capio. Demum ab objectis, etiam à tergo ſitis,
circumfuſas ſpecies quas vocant, ad oculos deportari, ſuíque percep-
tionem efficere, cùm à ſpeculis, tum ab aliis innumeris perquam ob-
viis experimentis compertum habetur; illarum igitur eſſicaciæ quidni
commodiſſimè viſionem adſcribamus? ſatìs hæc illam quam adſumimus
vulgarem jam hypotheſin adſtruunt, quam & totus dicendorum tenor
luculentè confirmabit.
V.
Cùm verò multa viſum aſſiciant diverſimode, puta lux, lumen,
dies, crepuſculum, colores,nec tamen
abſque luce. (Præſente nimirum aut prævia) quidvis horum aliquid
peragat, perſpicuum eſt lucis hîc præcipuas partes, primariam effica-
ciam fore. Quinimo rem ſedulò penſitantes, eò deveniemus, opinor,
ut varias his omnibus adnexas apparentias non aliunde quàm ex diverſi-
modâ lucis unius operatione putemus proficiſci. Cùm nempe lux ſit
illud quicquid ſit quod à corpore lucido (quale ſtella, ignis, flamma)
proveniens immediatè viſum afficit, lumen nil videtur aliud quàm lux
in corpuſcula quædam opaca (ſeu lucem non penitùs excipientia)
πς ωειΕΧονη interſperſa impingens, nec non ab iis in omnes undique
partes reſiliens; quæ ſcilicet in oculum itineri ſuo expoſitum tumultu-
ariè delapſa confuſam quandam apparentiam excitat; quàm, ſi fortior
ſit, eique prorogandæ lucens præſtò ſit, appellamus diem; at ſi de-
bilior fuerit, ejúſque fons abſceſſerit, crepuſculum dicimus. Etiam
color nil fermè videtur aliud, quam lux à corporibus quibus occurrit
aliquatenus ſtabilem ſuarum partium ſitum retinentibus
(pro varia particularum, è quibus illa componuntur, figura, diſpoſiti-
one, textura, hoc vel illo modo) detorta, vel utcunque repercuſſa; nimirum ut ejuſmodi corporibus illapſa lux vel motu ſuo, vel agendi
virtute, vel ipſâ quantitate ſuâ (quoad raritatem intelligo, vel denſita-
tem; radiorum copiam, aut paucitatem) talis evadat, &
pro modi
diſcrimine diſpares procreet apparentias, à quibus eam variis colorum
nominibus inſignimus. Imagines autem nil planè ſunt aliud, quum
lux ab objectis ita reflexa, vel refracta, ut rurſus in unum locum, ta-
lémque recolligatur ſitum, qualem tunc obtinuit, quum ab originali
proflueret objecto; directóque verſus oculum itinere procederet;
quo
fit ut ſimiliter objecta, ſed tanquam alibi collocata repræſentent.
Phaſmata deníque ſunt imaginum quaſi colores, pro lucis diverſa me-
dia trajicientis alia ac alia quoad motum, vim, quantitatem affectione
diverſa variati Craſſiuſculè jam iſta proponimus; quorum forſan ali-
qua ſaltem in dicendorum progreſſu magis eluceſcent.
VI.
Cùm itáque lux in viſione peragenda, diverſiſque procreandis
apparentiis ità quaſi paginam utramque faciat; Et reverà præter illam
nil aliud ſenſum ingredi, vel commovere videatur; de illa primo diſpi-
ciendum venit. Et ejuſce quidem de natura à Phyſicis magnoperè
deſceptatur; an puta ſit corporea quædam ſubſtantia, an qualitas;
an
actio tantùm, aut motus quidam; de productione quoque conſequen-
tèr ejuſdem, & propagatione diſquiritur, utrùm continuo per medium
tranſitu, vel medii duntaxat impulſu, vel ſuâ ipſius multiplicatione
quâdam huc propagetur; quales ego quæſtiones curioſè non eventilabo.
Quod iſtam ſaltem ſententiam attinet, quæ lucem accidentium claſſi
accenſet; quando veris corporeis effectibus quales ſunt rectâ progredi,
repercnti, refringi, calorem excitare, ſenſum afficere) veræ ſubliſten-
tes cauſæ, veri locales motus aſſignari debeant; neque quomodò meræ
qualitati, vel accidenti cuipiam iſta competant intelligere mihi datum
ſit; quinetiam quo ſeſe pacto multiplicare valeat, id genus entium,
quâ ratione vim ullam exerere, cùm è cordatioribus & rerum intima
perſerutantibus Philoſophis haud pauci ſe parùm capere profiteantur;
eam haud dubitem hîc miſſam facere. Verùm an corporeæ quædam
άπόῤῥοι{αι}, de lucidi corporis viſceribus emanantes, totúmque nobis &
ipſi interjectum ſpatium quàm perniciſſimè tranſcurrentes lucem con-
ſtituant; vel an illa potius nihil ſit aliud quàm ipſius lucentis actio,
contigua ſibi corpora prementis ac impellentis, iíſque mediantibus
alia, quæ adjacent; tum &
horum interceſſu rurſus alia proximè ſuc-
nec non ità perpetuâ deinceps ad nos deductâ ſerie;
vix au-
ſim certè mihi dijudicandum accipere; adeò paribus u@raque pars ar-
gumentis niti videtur, æquis utraque difficultatibus urgeri. Quin eo
fere propendeo, ut cenſeam utroque ſubinde modo lucem procreari,
tam per effluvia corporea, quàm per continuum impulſum; ſatiúſque
fore nonnullos ejus effectus huic, alios illi tribuere. Sanè cùm ad
quantum intervallum undiquaque protenſum exiguæ lampadis flam-
mula ſe vividè conſpiciendam præbeat, adeò quidem ut integrum ejus
radiatione circumpolitum medium perfundi compleríque videatur,
animadverto; quomodo tantillum corpus tali tamdiu ſuppeditandæ
profluviorum copiæ par ſit; quomodo dum ea profundit non ipſum
pluſquam exhauriatur, & confeſtim evaneſcat, haud facile capio.
Cum verò rurſus lucis inflectiones, illáſque qui conſequuntur effectus
cogito, vix animo meo nudus impulſus facit ſatis. Itaque mentis anxi-
us hæreo. Veruntamen quia de natura lucis aliquid præſternam expe-
dit, iis quas mox tradam hypotheſibus nonnihil explicandis congruum;
hoc ſe modo, vel non abſimili rem habere concipio.
VII.
Pono corpus omne lucidum, ut tale, congeriem eſſe quandam
corpuſculorum ultrà pene quàm cogitari poteſt minutorum & exilium;
horum autem unumquodque vehementiſſimo motu percitum, aliquò
(ſecundum legem iſtam naturæ ſatìs receptam & exploratam) rectà
tendere; tum medium circumſtare, fluidum quoque (cujus nempe
partes nullo colligatæ nexu quaquaverſùm liberè feruntur) è corpori-
bus aggregatum, exiliſſimis quidem & illis, aſt priorum reſpectu bene
craſſis & ſolidis;
ità tamen ut hoc meatus habeat, &
interſtitia tenui-
oribus illis admittendis opportuna; quin &
horum craſſiorum corpuſ-
culorum occurſu progreſſum impediri multorum ex illis, quæ in lucidi
ſuperficie verſantur, aut ab ea ruunt corpuſculis; ut neceſſe ſit iis ſic
inhibitis, atque repulſis introrſum ſe recipere, quo fit ut dicta conge-
ries (aliis etiam in eam aliunde confluentibus ejuſdem naturæ corpuſcu-
lis) aliquatenus intra ſuos cancellos reſtringatur, nec toto ſtatim in au-
ras expanſa diſſipetur. Interim verò complura per dictos canales re-
pertâ viâ curſum ſuum rectà continuare, materiam inibi deprehenſam
haud ita foniter obſiſtentem in fugam agentia, & ante ſe protrudentia;
quorum veſtigiis alia de lucido corpore ſimiliter prodeuntia prorſus
inſiſtent, longúmque ſimul omnia lucis rivulum efficient, indeflexâ
ſerie procurrentem. Quin &
iſtorum fortè nonnulla memoratas me-
dii craſſiores particulas impetu ferire tam prævalido, nonnunquam ut
ipſas quoque cedere cogant, & ſecum conſpirantes in directum adja-
quæ &
pari modo proximè ſuccedentibus
vim inferent, & ita continuò, ſic ut ſimul &
ſemel indefinitè protenſa
talium corpuſculorum ſeries promoveatur, & antrorſum connitatur;
qualis utrolibet modo producta lucis propago radius conſuevit appella-
ri. Ità quidem rem exiſtimo ſimpliciter obtingere, donec medìum
permanet homogeneum, hoc eſt ejuſdem fermè magnitudinis, ſolidi-
tatis, ac figuræ partibus conſtans, & ſimilibus interſtitiis pervium;
at
ſi medium occurrat aliter affectum, è diverſis quippe ſecundum quan-
titatem aut figuram particulis compactum, poriſque laxioribus, aut
ſtrictioribus pertuſum, cujúſque proinde materia vel promptius cedat,
aut contumaciùs obluctetur, oportebit illius ſeu curſus, ſeu impulſùs
vim, effectúmque demutari; quin &
ſi novi medii ſuperficies ita tran-
ſeunti lucis amni ſe obliquam objiciat, ejus quoque directionem infrin-
gi; vel ἀνακλασιν contingere, quam _Ariftoteles_ vocat, eo nomine
(quas nunc diſtinguere ſolemus) reflectionem ſimul ac refractionem
complectens. Enimverò materiæ impingens ità compactæ, ut venienti
tranſi um perneget, aut prementis impetum inconcuſſa ſuſtineat aliò tota
quò facillimè poterit & directiſſimè, regredietur &
reſiliet;
aliò vim
ſuam quàm retinet omnem derivabit; id quod lucis reflectio dicitur
(Hujuſmodi verò corpus lucem non ſuſcipiens eatenus opacum, (Hoc
eſt terrenum, ut Grammatici volunt, ab Opevocabulo priſco tellurem
deſignante) appellatur; quatenus autem ſibimet incurrentem aliò
projicit, illuſtratum dici; quatenus objecti ſpeciem redhibet aſpicienti,
ſpeculum.) Quòd ſi verò materia luci progredienti ſic obviam facta
tranſitum utcunque præbeat, ejuſve conatum excipiat, lentiùs tamen
aut paratiùs præ illa, per quam priùs decurrebat, tum virtutis ſuæ
quantitate aliquantùm hinc variatâ ſimul à recto quod affectabat itinere
deflectetur; eo nimirum ordine modóque quem poſthac conabimur
elicere. Qualis effectus refractionis nomine venire ſolet(ſubnotetur
autem, hoc modo lucem intromittens medium eatenus perſpicuum,
diaphanum, tranſparens, pellucidum appellari.) Ità lucis naturam,
originem, propagationem, ac progreſſum ὀλχερῶς (omiſſis quæ adjun-
gi poſſent pleriſque minùs ad noſtrum propoſitum ſpectantibus) expo-
no; nec aliud ferè præter hæc requiro declarandis hypotheſibus, quos
communiter adſumunt Optici; quæque neceſſariò debent huic extru-
endæ Scientiæ præſterni. Comprobandis autem iis, quæ dixi non in-
cumbam; cùm &
(quod inſtituto noſtro ſatis eſt) talia dari poſſe non
minùs ipſâ luce clarum videatur, imò reverà dari complura declarent
experimenta. Opticas verò quas innui hypotheſes præcipuas ſubjunge-
mus, & nonnihil attentabimus explicare.
VIII.
1.
Radii lucis (hoc eſt lucidi tranſitûs aut impulſùs quales de-
ſcripſimus tramites) in eodem exiſtentes ſimilari medio directi ſunt. Hoc è dictis abunde patet.
Quin indè Corollarii vice deducitur radios
quoad rem ipſam, Phyſicéque loquendo figurà priſmaticos eſſe, vel
cylindricos. Nempe corpuſculum illud quodpiam in lucidi ſuperficie
poſitum, à quo radius originem ſuam ducit, dum à primò ſuo loco ceu
baſe defertur aut totâ ſuâ ſuperficie contiguum ſibi corpus rectà propel-
lit, figuræ ſuæ (vel impulſi ſaltem corporis figuræ) congruum deſig-
nat, ſuper hac vel illa baſe conſtitutum, ſolidum longum, exile, teres,
quale cylindrus, aut priſma. Proinde quando Mathematicè rem tra-
ctamus, iſtos radios pro rectis lineis habere poſſumus; tum quia reve-
ra ſunt adeo tenues & recti;
tum quia plerumque pro cylindricis ejuſ-
modi ſeu priſmaticis figuris ipſarum axes ità ſumi poſſunt, ut nihil indè
ratiocinio Mathematico derogetur.
IX.
2.
Ab omni corporis lucidi (vel illuſtrati) puncto ad quodvis
medii (non obſtaculis interciſi) punctum lucis aliquis radius dirigitur. Hæc apud Opticos tritiſſima ſuppoſitio quò vel intelligi vel admitti
poſſit, omninò duplicem limitationem exigere videtur, è ſupra dictis
utramque deducibilem. Unam, ut omnis puncti nomine nedum non
præciſè punctum quodcunque Mathematicum, ac nec omnem particu-
lam concipiamus realem & Phyſicam;
verùm ſaltem admodum exi-
guam, qualíque ferme minorem vel animo deſignare nequeamus; al-
teram ut non in unoquoque ſtrictè dicto temporis inſtanti, nec in omni
reali temporis portiuncula cogitemus hoc contingere, ſed ut nullum
temporis intervallum ſentiri poſſit ità curtum, aut momentaneum, quin
intra ipſum à quavis lucidi deſignabili parte deſignatam ad medii partem
radius aliquis exporrigatur. Enimverò cùm radiorum iſtæ quas aſ-
ſignavimus radices, lucidum componentia corpuſcula, ſint illorum,
quorum nos utcunque quantitates ſenſu vel animo pertingere valemus,
corporum reſpectu tanquam infinitè parva, nec non infinità quaſi per-
nicitate donata, non difficilè concipi poteſt in omni deſignabili, vel
imaginabili lucentis ſpatiolo prorſus innumerabilem eorum multitudi-
tudinem exiſtere, quorum fere ſingula diverſas in plagas tendunt; ut
nulla ſit deſignabilis plaga, quam non una quæpiam appetat, aliquam
ſaltem, utlibèt imperceptibilis & anguſti, temporis moram interpo-
nendo. In eo ſiquidem tempuſculo lucidi partes ſingulas innumera
ſucceſſivè talia corpuſcula ſubingrediuntur juxta deſerúntque, de qui-
bus mirum fuerit ni quoddam unum ad deſignatum medii ſpatium ten-
dat, ſibi tranſmittendo meatuum aliquem (quos & pari ratione tan-
Ità vulgare pro-
nunciatum interpretor; id quod alias rigidè ſumptum haud verum du-
co. Nec enim idem corpus eodem temporis puncto diverſas in partes
contendere, vel adniti; ſed nec eandem præciſè medii partem è diver-
ſis locis accedentes corporum motus excipere quiſquam conceperit,
opinor, aut ego conceſſerim; non certè magìs quam idem corpus unà
plures locos occupare, vel eundem locum plura ſimul corpora ſuſcipe-
re; ad iſtum modum intellecta dicta ſuppoſitio totam unà cum radiis
lucidis naturam, omnem, utmihi videtur, Phyſicam permiſcebit. In
noſtro rem explicandi modo nihil durius obverſari video, quàm ut hinc
divinæ potentiæ, ſapientiæque vis magìs eluceſcat, in luce ſic efforman-
da, tam ejus effectricibus particulis admirabilem exilitatem, incom-
prehenſibilemque velocitatem impertiendo, quæ prorſus ei neceſſariæ
fuerunt, ut ſenſionem efficeret, & reliqua tam utilia ei deſtinata mu-
nia obiret. Sanè lucis corpuſculum unum ab arenula quavis litorea
pluſquam eâ fortaſſis proportione ſuperatur, quâ tota quanta quanta
eſt mundana moles arenulam iſtam excedit; id quod non ita cenſe-
bit abſonum, quiſquis ad complures ſatìs obvias apparentias men-
tem adverterit.
Subnotandum eſt porrò duas has fundamentales hypotheſes, ſic ac-
ceptas, innumeris adniodum familiaribus experimentis confirmari. Quovis enim in loco ubicunque collocati objecti lucentis vel illuſtrati
quæcunque deſignabilis particula conſpicitur oculo, repræſentatur in
ſpeculo, modò nihil objiciatur ab eo rectâ delabentes radios interclu-
dens; eadem verò ſtatim oculo ſubducitur, &
penitus obumbratur,
ſi quid opaci corporis directum intercipiens radiorum iter obtendatur.
Etiam foramen utcunque tantillum ſufficit trajiciendis radiis quibus tota
quantivis objecti facies obverſa depingatur. Et porrò quam nullà poſſit
apprehendi tam exigua lucidi pars, à qua non lux ad oculum defluit,
perſpiciliorum uſus apertiſſimè monſtrat. At pergo.
X.
3.
Lucis radius quilibet alteri medio perpendiculariter incur-
rens, aut rectà progreditur, ſiquidem cedente medio procedere valet,
aut in partes directè contrarias (hoc eſt in ſe, vel in ſuam retro ſemi-
tam) repellitur. Experientiâ firmatur hæc hypotheſis;
&
rationi
quoque conſentanea eſt; necenim ulla poteſt excogitari cauſa, cur in
unas potius quàm in alias partes deflectatur; igitur in nullas.
Quinimô
ſiverum ſit omne patiens, aut percuſſum vim inferenti poſitivâ quâdam
vi repugnare, perſpicuum videtur eò reſiſtentiam dirigi, unde vis ingru-
ebat; ejúque conſequenter effectum abſolutè loquendo, tantùm illic
Quod ſanè mihi tam verum apparet, ut non dubitem
hancipſam hypotheſin ad omnimodos incurſus extendere; ſeu genera-
tim effari, quod pulſus omnis & motus, utcunque medio culibet im-
pingens, directè (per ſe nimirum, propriè, diſtinctéque rem eſti-
mando) continuatur, aut prorſum aut retrorſum. Scilicet, exempli
cauſà ſi duo baculi A B Y Z, C D Y Z in idem medium E F (illud
perpendiculariter, hoc obliquè) uniformi quâdam preſſione vel impe-
tu adigantur, exiſtimo medii ceſſione vel reſiſtentiâ totam (quâ bacu-
lus obliquus fertur, aut medium impellit) vim æquè rectâ ſemità an-
trorſum verſus I K, vel retrò verſus C D derivari, ac perpendicularis
ipſius impetus in G H progreditur, aut regreditur in A B. Quod
enim nonnulli putant medii ſuperficiem baculi perpendicularis tenden-
tiæ magìs opponi, quam obliqui, proindéque perpendicularis impul-
ſum rectà continuari, ſed obliquum alio detorqueri; vel aſſertionem
ipſam non agnoſco, vel non admitto conſequentiam. Enimverò ſi per
illud opponi nil aliud volunt quàm realiter objici, ſeu obſtare recta
pergenti, non minùs eo modo ſuperſicies E F opponitur baculo C D,
rectum enim ejus progreſſum pariter intercipit, im-
pedit, demutat. Verùm ſi quam aliam neſcio quam imaginariam op-
poſitionem intelligunt, nihil video quod huc faciat indè conſectari. Proſectò rem abſtractè, nec ut accidentarium quid immiſceamus, ex-
pendendo, nihil attinet ullam medii partem conſiderare præter illam,
ad quam corpus progrediens aut propellens ei occurrit; hæc enim ſola
reſiſtendo quicquam efficit, aut cedendo. Quare per rectam D Z pro-
gredienti impulſui ſolum punctum Z opponitur; perindéque fuerit
qualem reliqua medii ſuperficies obtinere ſitum concipiatur. Punctum
autem Z æquè pulſui venienti à D perrectam D Z, atque tendenti per
rectam Z K verſus K contrariatur, ac ei qui à B per B Z procedens iter
affectat per Z H verſus H. Idémque de reliquis medii punctis intelligi
par eſt, quibus uterque baculus ipſum contingit, aut ei applicatur.
Itaque reverà par utriuſque pulſùs quoad oppoſitionem eſt ratio; ſimi-
líſque proinde utrobique reſultabit effectus; pulſumnempe recto tra-
mite vel tranſmittere, vel rejicere. Verùm longè ſecus eveniet, ſi ba-
culum alterum obliquum, ſeu P D Y Q, cum ipſo A B Y Z confera-
mus Etenim ſuperſicies E F baculi A B Y Z motui, vel impulſui
magìs opponitur, aut obſiſtit, quàm motui vel impulſui baculi P D Y Q.
Quoniam illi toti cum tota ſui parte Y Z, huic vero tantum ex parte Y
renititur. è qua diſcrepantia neceſſariò diſpar effectus conſequetur, ut
nimirum pulſùs aut motûs directio mutetur. Quod diſcrimen eò lu-
bentius adnoto, quoniam hoc arbitror modo (vel adſimili) lucis ra-
ſal-
tem eò ſpectantia lucis præcipua ſymptomata, tribus porrò ſubjiciendis
hypotheſibus comprehenſa, vix aliâ ratione commodius explicari.
XI.
4.
Omnis radii lucidi inflectio (hoc ſubinde generali nomine,
compendii cauſà, tam r@fractionem, quàm reflectionem complector)
fit in ſuperficie ad medii inflectentis ſuperficiem perpendiculari, ſeu
recta. Hujuſce ſuppoſitionis haud ullam facilè ſatìs commodam &
claram rationem reperias apud Opticos; petitione principii, vel in-
comprehenſibili quâdam obſcuritate laborat quicquid fermè eò ſpectans
afferunt; neque valdè miror radium lucis ſemper ut rectam concipien-
tibus individuam lineam id eis accidiſſe; quo poſito vix probam ullam
ejuſce rei cauſam aſſignari poſſe credo. Cadat enim radius linearis
A B in ſpeculi (inſtantiæ gratiâ) plani ſuperficiem ad punctum B; per
cùm igitur rectæ A B,
C D ſint in uno quodam plano, quidni reflectio radii peragatur in iſto
plano? Simili ratione quoniam rectæ A B, E F ſunt in uno plano,
quidni radius in hoc etiam reflectionem patiatur? eodémque planè
modo quìd obſtat quo minùs in ſingulis omnibus, hoc eſt infinitis
planis, ſpeculi ſuperficiem ſecantibus, & per rectam A B ceu com-
munem ſectionem traductis perficiatur reſlectio, idémque proinde ra-
dius unus in partes undique cunctas reflexus diſpergatur? cur hoc fieri
non poſſit, utique non capio. Quod reſpondetur enim, poſito plano
A B C ad ſpeculi ſuperficiem recto magis illud planum, quam cætera
quævis ſpeculi ſuperficiei contrarium eſſe, proindè reſiſtentiam in
eo maximam contingere, proptereáque radium in eo potiſſimùm in-
flecti, parùm ſatisfacit; quoniam, ut ſuperiùs inſinuatum, extra
punctum ipſum B, cui radius impingit, alia nulla ſpecularis ſuperficici
pars meritò venit conſideranda quid enim (ut hoc adjiciam prædictis)
an in univerſam quà longè latéque diſtenditur, ipſius ſpeculi ſuperfi-
ciem agit hic linearis radius, & ab ea viciſſim patitur;
an in ejus deſi-
nitam aliquam partem agit, patitúrque ab hac? quis in totam agere,
vel à tota pati concedet? Et cur id uni parti deputandum præ aliis?
ubi terminus figetur?
quouſque procedet operatio?
quinimò potiùs,
quia radii per rectam A B procurrentis impulſui tantùm id ſpeculi quod
eſt in recta A B verſus G protracta reſiſtit, ideò pulſus in ipſam A B
rejicietur; Et nulla ſuccurrit cauſa ſontica, propter quam aliorſum
deflectat; nihil datur, quod ejus tendentiam aliò determinet.
Igitur
ut aliis, quæ puto variæ aſſignantur, hujus effecti cauſis excutiendis
abſtineam, indè genuinam ejuſce rationem (ut & generatim omnium
dam, quod lucis radius non mera ſit linea, verùm dimenſionibus om-
nimodis præditum corpus; utpote (juxta quæ præmonuimus) cylin-
dricum aut priſmaticum, pro figura corpuſculi, a quo oritur. Sup-
ponatur, aliquatenus illuſtrandi propoſiti ergò, Parallelepipedum
ſentare; cujus latus B F applicetur ſpeculo, dum interea reliquum
ejus ſupra ſpeculi planum elevatur. Impedietur ergò Parallelogramum
ABFE, nè recta procedat; indè continget rectam BF aliquò ſupra
dictum planum reſilire. Verùm in allas ſaltem partes fiet hæc refle-
ctio, ſecundum quas rectus radii progreſſus, quoad ejus fieri poteſt,
quàm minimè pervertetur. Cùm enim is rectiſſimum curſum affectet,
eum (ex indole certa, perpetuáque lege naturæ) ſi perfectè nequit,
at tamen ut proximè conſequetur. Itaque cùm inter plana latera
ABDC, EFHG ſibimet oppoſita curſus ejus anteà dirigeretur, &
objecta ſuperficies nihil jam obſtet, quo minùs inter eadem plana, ta-
metſi ſurſum excuſſus, progrediatur, admodum liquet etiamnum inter
illa ſemitam ejus contineri; locumque ſeu plagam reflexionis eatenus
haud perperam determinari. Cæterùm eſt planum ABDC, eíque
oppoſitum EFGH ſpeculi plano rectum; quia Parallelepipedum
rectum ponitur, & ideò lateralisrecta B F in ſpeculi plano exiſtens,
planis ABDC, EFHG recta. Quocircà ſitotum hoc Paralleledipedum
ob exilitatem ſuam, aut Mathematicæ computationis gratiâ, pro recta
quaſi linea cenſeatur, erit pariter & reflexus radius etiam linea recta;
nec non uterque continebitur in ſuperficie ad ſpeculi planum recta.
Non diſſimili ratiocinio, ſi radius cylindri recti figura præditus admit-
tatur (qualis nimirum à corpore procurrente, vel impulſo producetur,
id ſi Sphæricum fuerit) etiam radius in ſuperficie plano ſpeculi recta
reflectionem oſtendetur ſubire. Speculi quippe plano rectus incidat
cylindrus ABDC; cujus baſes AMCN, BODP, axis XZ;
reli-
quum ejus corpus (prout in figura depictum exhibetur) obliquè ſur-
gens ſupra planum emineat. Baſis autem diametri B D, P O ſeſe nor-
maliter ſecent; ac per ipſam P O, &
axem ductum planum efficiat in
cylindro Parallelogrammum P O M N. Si jam per hujuſce latera
MO, NP ducta concipiantur duo plana axi parallela, cylindrúmque
contingentia, liquebit (ex antedictis cauſis pariter applicatis) totius
cylindri ductum inter hæc duo plana comprehendi, radiique reflecti-
onem inter ipſa definiri. Sunt autem hæc plana ſpeculi plano recta.
Sit enim recta G B H communis ſectio circnli B O D P, planíque
hæc utique circulum continget;
(quia ſpeculi planum, ex
hypotheſi, non alibi præterquam ad B circulo occurrit, adeóque nec
recErgo P O eſt ad
ſpeculi planum parallela. Huic verò perpendicularia ſunt plana præ-
dicta cylindrum contingentia per M O, N P ducta; axi parallela.
Quapropter eadem ſpeculi plano recta erunt.
Hinc, ut anteà ſi totus
radius habeatur inſtar rectæ lineæ, continget ejus reflectio velut in ſu-
perficie ad ſpeculum planum recta; quippe cùm ejus latitudo tota com-
prehendatur inter ejuſniodi duo plana; quæ proinde ſi nulla ſuppona-
tur, in unum illa coaleſcent. Accommodari poſſent hæc cuicunque
radii figuræ tali, qualem ſupra deſcripſimus, utcunque nonnulla de-
mutando; ſed &
eadem pari ratione radiorum refractionibus adapten-
tur. Atpluribus parco.
1.
V Iæ, quam nuper aperuimus, &
aliquatenus ingreſſi ſumus,
inhærentes eò jam devenimus, ut nobis incumbat proximè
celebres illas hypotheſes (an Theoremata malitis appellare) radiorum
inflexorum itineri penitus determinando (imaginúmque proinde locis,
figuris, quantitatibus inveſtigandis, nec non apparentiarum quarum-
cunque cauſis explicandis) neceſſarias, experientiæ quidem bene con-
ſonas illas, etiam aliquo rationis ſuffragio communire; præſtratis
utique ſundamentis, ac ſuppoſitionibus inſiſtendo. Cùm itaque lucis
radio corpus adſignatum ſit figurâ priſmaticum, aut cylindricum; Et
hoc quidem rectum (utpote præ reliquis ſimplex, & naturæ totas ſuas
in agendo vires exerenti præſertim conveniens;) cùm &
exinde pro-
greſſus ejus eatenus fuerit definitus, ut intra ſuperficies duas planas in-
Hectenti medio perpendiculares includatur; quas quidem abhinc (quan-
do nullus tranſverſæ dimenſionis illius, vel intervalli ſuperficies iſtas
dirimentis ad rem noſtram, illam ſaltem quam nunc attingimus ſpe-
ctans effectus, aut uſus ſit) brevitatis & perſpicuitatis cauſâ, velut u-
nam habere poſſumus; adeóque jam radium ut duabus ſolummodò di-
menſionibus præditum, & ad inſtar Parallelogrammi cujuſdam rect-
anguli, in plano ad medii inflectentis ſuperficiem recto jacentis, con-
fiderantes, reliquam itineris quod perſequitur determinationem, ulti-
completam, inveſtigabimus, ac exponemus;
cujuſce
quidem circa reflectionem inquiſitionis conſectaria reſultabit hæc pro-
poſitio, paſſim ab Opticis recepta:
II.
5.
_Radius inßidens, &
reflexus ad ſpeculi, velopaci reflectentis_
_ſuperficiem angulos conſtituunt aquales_. Hujus effati declarationem
ſic exequimur. Parallelogramum rectangulum ABCD lucis repræ-
ſentet radium obliquè plano ſpeculo EF incidentem. (Recta ſcilicet
EF ſit communis ſectio plani ad ſpeculum re@ i, in quo dictum Paral-
lelogrammum exiſtit, & in quo, ſecundum præmiſſa, reflectio per-
agitur, cum plano ſpeculi.) Cum itaque Parallelogrammi punctum B
ſpeculo primùm impingens opaco acimpervio, recta progredi nequeat,
conetur oportet (ut præſtruximus) retrò verſus A per ipſam rectam
BA reſilire. Cùm autem intereà rectæ BD ſupra ſpeculum eminen-
tis alter terminus D, nullo præpeditus obſtaculo pari vehementiâ cur-
ſum quoque ſuum adnitatur promovere per rectam CDH; palam
videtur utriuſque conatibus adverſis non aliter faciliùs aut propiùs ſa-
tisfieri poſſe, quàm ſi utrumque circa punctum Z rectæ BD medium
r@tationem concipiat. Sic enim utrumque pariter &
quàm minimum
à recto quem affectent curſu deflectent; ſiquidem rectæ BA, DC
circulum B β D δ tangunt, centro Z per B & D deſcriptum.
Cùm
autem hujuſmodi motum circularem obeundo punctum B deſcripſerit
arcum B β, & punctum D arcum D δ, hoc eſt quando recta BD ob-
tinuerit ſitum β δ, etiam ipſum punctum D ſpeculo impinget ad δ; reditúmque proinde per arcum δ D, ſcilicet ipſius quoque jam inter-
ciſo curſu, molietur; Sed &
nunc temporis ipſum punctum B ad β po-
ſitum per arcum β D tendit; quorum certè motuum adverſantium al-
ter alterius effectum impediet; itáque proximo ſaltem, quoad fieri
poterit, utrumque progreſſus arripient; proximi vero ſunt qui per
tangentes β α, δ κ; qui &
ſibi nihil repugnant, at potiùs omninò ſe-
cum conſpirant; itaque punctum B per rectam β κ, punctúmque D per
rectam β κ procurrent, adeò ut totus radius ABDC jam acquirat
ſitum α β δ κ; &
per hanc orbitam recta motum ſuum proſequatur.
Liquet autem angulos ABF, κ δE æquari. Nam æquantur anguli
ZB δ, Z δ B; quapropter adjunctis hinc indè rectis ZBA, β δ κ toti
ABF, κ δ E pares erunt. Unde patet è duobus quoque rectis reſiduos
quod propoſitum fuit oſtendere.
III.
Ità de præmiſſis ſuppoſitionibus noſtris fundamentalem hanc
Caεθptricæ legem ſeu regulani elicimus, quàm veriſimiliter aut con-
Non diffitebor autem aut penitus diſſi-
mulabo non eſſe nihil quod his objici poſſit, & dubitandi cauſam inji-
cere. Cur enim, percontetur aliquis, quando ſolum punctum B vet-
ſus A renitatur, & totum lineæ BD quod ſupereſt partes appetat
contrarias, non circa punctum quodpiam aliud in ipſa BD, puncto B
propinquius, ut puta circa X, potiùs iſta gyratio concipiatur peragen-
da? Reſpondeo quàm breviſſimè (quonia@ incitato curſu tendens ul-
tus rectus in circularem degenerat, ut extremæ ſibimet adverſæ mobi-
lium partes omnem motum dirigant ac moderentur, reliquis ad illa-
rum ductum componentibus ſe, motúſque ſuos attemperantibus; ne-
que non his quos ob extremarum contraniſmum, atque conflictum
amittere neceſſe habent in illas transfundentibus; quo fit ut mediis
hinc indè quàm tardiſſimè dimotis extremæ velociùs revolvantur, Ita-
que cùm extrema puncta B, D partes in contrarium æquâ vi nitantur,
neque niſi circa medium punctum Z rotatio peragatur, quod effectant
aſſequi poſſint, id ſtatim fiet, & reliquæ partes haud gravatim obſe-
quentur. Nè dicam in recta BD nullum aliud punctum exiſtere, cui
præ aliis jure prærogativa competit, ut circa ipſum mobile libretur. At pluribus abſtinens ad refractionis præcipuam legem haud abſimili
diſcurſu proliciendam atque declarandam accedo. Hanc nempe:
IV.
6.
Radii lucis alteri cuipiam diſſimili perſpicuo (nimirum ho-
mogeneo quoad ſe) incidentes ità refringuntur, ut perpetuò recti ſi-
nus inclinationum, quas habent incidentes, proportionales ſint rectis
ſinubus inclinationum, quas obtinent refracti. Huic elucidando, ſta-
biliendóque decreto; Parallelogrammum ABDC lucis radium re-
præſentans impingat planæ ſuperficiei EF pellucidi medii (vel ſit recta
EF ſectio communis, ut in caſu præcedente, quod & abhinc ſemper
intelligatur) progreſſum ejus aliquatenus retundentis. Itaque medium
iſthoc ſubingrediens punctum B procedere, tardiùs quidem, attenta-
bit per rectam BG, ſeu peripſam AB protractam, intereà verò pun-
ctum D in primo durans medio motum ſuum priorem adurgebit in re-
cta CDH. Hos autem conatus, aliàs irritos futuros (nec enim utrum-
que poteſt rectum motum illud tardiùs, hoc velociùs incedendo conſer-
vare) quàm proximè conſequentur, modò circa punctum aliquod in
recta DB producta ſitum, puta quale Z, rotentur; ità ſcilicet ut dum
punctum D in medio rariori (rarius appello quod minùs reſiſtit, aut
retardat; ut &
denſius quod motum magis reprimit, &
tardiorem
reddit) velociùs latum deſcribit arcum majorem D δ; punctum B
quibus peractis recta BD tenebit ſitum β δ.
Cùm verò jam punctum
D denſius quoque medium interet ad δ; proindéque pariter &
ipſum
retardetur; motus iſti circulares protinus extinguantur oportet (nec
enim jam punctum D velociùs feretur quàm B; nec ideò majorem ut
priùs ſimul arcum deſcribet.) Itaque prius iter, quàm poterunt proxi-
mè, deſerentia tendent utrumque per horum arcuum tangentes δ κ,
β α; radiúſque totus ABCD hoc modo detortus, &
ſitum α β δ κ
nactus per hanc poſteà ſemitam rectà decnrret Adnotandum eſt au-
tem quæcunque ſit rectæ AB ad rectam EF inclinatio arcus D δ, B β
(vel ſemidiametros ZD, ZB) eandem ſemper habere proportionem
inter ſe; talem nempe, qualem in denſitate, ſeu reſiſtentia peculiare
diſcrimen exigit. Etenim ſupponatur in quovis ſuperficiei pellucidæ
cùm medium hoc ex hypotheſi ſit
homogeneum (hoc eſt ubique pariter obſiſtens) nulla poteſt, opinor
aſſignari ratio cur hoc mobile non in quaſvis partes æ quâ velocitate de-
ferri poſſit; nimirum æquè celeriter ad Q tendet, (impetum modò
ceperit iſthàc dirigentem) per rectam OBQ, ac in N per rectam
ABN. Adeóque radii lucidi AB, OB utcunque differenter inclinati
punctum, inquam, B, ſeu verſus
Q, ſeu verſus N nitatur, æqualiter, eodémque modo retardabitur. Quinetiam cùm punctum D in primo medio ſemper eâdem, quæcunque
fuerit ejus poſitio, celeritate promoveatur, ſatis apparet motus iſtos,
aut motuum ſemitas eodem tempore decurſas, arcus nempe circulares
D δ, B β ſemper eandem inter ſe proportionem ſervare; nimirum il-
lam, quam habent ſemidiametri ZD, ZB, vel Z δ, ZB; quæ idcir-
co proportio, principaliter ac primariò, radiorum refractiones, ad
eadem duo media factas, determinat atque metitur. Hanc autem ean-
dem eſſe patet cum illa, quam habent recti ſinus angulorum ipſis Zδ,
ZB in triangulo Z δ B oppoſitorum, ipſorum ſcilicet ZB δ (vel
ZBE) & Z δ B.
Eſt autem angulus ZBE complementum anguli
ABE, (hoc eſt angulus inclinationis rectæ AB ad EF) & angulus
Z δ B eſt complementum anguli F δ κ, vel inclinatio rectæ δ κ ad ean-
dem EF. Igitur abunde liquet propoſitum.
Patet vero, quod in hoc
caſu, angulus EBZ major eſt angulo B δ Z; vel, ductis BM, δ N
ad EF perpendicularibus, quòd angulus MBG major eſt angulo
N δ κ; adeóque quòd hic refractio verſus perpendicularem, quod ai-
unt. contingit.
Ac ità quidem quando radius radius in medium tranſit,
ipſi magis obſiſtens, ſen denſiùs. At ſi medio incurrit faciliorem tran-
ſitum præbenti, ſeu rariori, planè ſimili modo, ſed inverſè ſe res habet.
_Tbebis Atbenas, ac Atbenis Tbebas_ eſt via, ità radium de raro tranſe-
untem in denſius, pérque denſius veſtigia ſua replicantem in rarum
nil aliud quàm eandem ſemitam repetere; ut nempe ſi radius ABDC
de raro tranſiens in denſius refringatur in α β κ δ; quòd etiam hic ra-
dius α β κ δ è denſiori recidens in rarum viciſſimin ABDC refringe-
tur; quia tamen aſſumptum illud non nemini demonſtrationis &
ip-
ſum indigere videatur; Et univerſim, extremóque rigore ſumptum for-
ſan haud adeò verum ſit; majoris etiam evidentiæ cauſa;
preſertîmq;
demùm quoniam huic caſui nonnulla quodammodò peculiaria ſunt no-
tatu non indigna; quin addo quia præſtare videtur effectum unum-
quemque propriis è cauſis deduci) ſeparatim oſtendemus. Rurſum
igitur radius ABDC, quâ priùs figurâ donatus rarioris medii ſuper-
ficiem EF incurrat. Cùm igitur punctum B velociùs procedere jam va-
leat quàm anteà (medio ſcilicet illapſum promptiùs cedenti) hoc eſt
quàm punctum D, neceſſariò commutabitur rectus utriuſque, quem
affectant, motus in ei proximum circularem, circa punctum aliquod
in recta BD, puta circa Z; itâ ut ZD, ZB talem inter ſe proportio-
diverſitas; utique ſicut in quæ præceſſerunt;
cùm verò punctum B
ità circumductum deſcripſerit arcum B β, & punctum D arcum D δ;
puncto D ad δ tunc medium rarius ingredienti, ceſſabit iſta motuum
inæqualitas; adeóque ſimul neceſſariò deſinet rotatus circa punctum
Z; ambóque puncta B, D per dictorum arcuum tangentes β α, δ κ (re-
ctæ Z β perpendiculares) quod proximum eſt iter arripient. Rurſus
autem, pariter ac in caſu præ cedente, rectæ ZD, ZB (vel Z δ, ZB)
proportionem exhibent, quæ refractiones hujuſmodi dimetitur; ha-
bent autem Z δ, ZB ſeipſas, ut recti ſinus angulorum ZB δ, Z δ E;
hoc eſt ut ſinus inclinationis rectæ AB ad ſinum inclinationis rectæ δ κ;
quod propoſitum fuit oſtendere. Liquet autem quòd hîc ang.
Z δ F
major eſt angulo ZB δ, adeóque quod refractus divergit à per-
pendiculari.
V.
Advertendum eſt porrò quoad priorem hypotheſin, ſeu caſum
radii de medio rariori contendentis in denſius, eum femper, qualiſcunq; fit ejus obliquitas, medium denſius ſubire;
&
per ipſum incedere;
modo commonſtratotrato. [Simpliciter autem hoc, &
abſtractè debet in-
telligi, necut accidentarium quicquam interveniat, qualia ſunt, opaci-
tas perſpicuitati immiſta, figura diaphanum terminans, ejus craſſities
inæqualis, aliud quid poſt poſitum diaphani reſiſtentiam promovens;
opacum, & inſtar opaciradios valebit repercútere;
ceu quando lapis
in aquam impingit obliquè; cùm hydrargyro ſubſtracto vitrum mu-
nitur. Dum lapis _e.
g._
obliquè impingit ſuperficiei EF (cui parallela
OQ) per lineam AB; tota linea BQ ad fundum OQ protenſa
venienti repugnabit, auxilii quoque nonnihil conferente fundo OQ; neque mirum fuerit, ſi major hic renitentia deprehendatur, quam ubi
radius alter MBP perpendiculariús incurrit, quando major ſit BQ,
quam BP.] At nos ſecluſis iſtis medium velut interminatum, in om-
nes partes æqualiter reſiſtens, abſolutè perſpicuum, & radios ex ſe
non reſpuens accipimus; quibus ſuppoſitis perpetuò, quod dixi, ra-
dius, obliquitate quâpiam incidentiæ nil vetante, medium denſius pe-
netrabit. Verum in alterò caſu, cùm de medio denſiori lux rarius in-
currit, non ſemper ea medium hoc permeabit. Nam ſi magna ſatìs
fuerit obliquitas; ſubinde radius inflexus ſupra ſuperficiem EF at-
tolletur, angulúſque (qui dicitur) refractus, aut inflexus rectum ex-
ſuperabit; quinimò fieri poteſt ut ipſum exæquet.
Sit in exemplum
primò inclinatio graduum 45, vel ſemirecta; Et ZB ad ZD ſe habe-
at ut quadrati diameter ad ſuum latus quæ fermè proportio radiorum
ex aqua in aerem tranſeuntium, experientiâ conteſtante, rationem
cedet. Eſt enim Z δ (æqualis ipſi ZD) jam ad EF perpendicularis,
adeoque δ κ arcum δ D contingens ipſi EF congruet. Unde patet
obiter, id quod ſuperiùs inſinuatum, non univerſim conſtare, quòd
radius à quo loco medii unius in aliud proceſſit, ad eundem retrogra-
dus accedet. Hoc enim ſaltem in caſu radius AB refringitur in β α ſu-
perficiei media dirimenti parallelam; veruntamen qui per α β progre-
ditur minjmè recedet ad BA, nec ullam, ut manifeſtum eſt, omninò
refractionem patietur. Sed hic caſus tantùm unus, &
quaſi pro nullo
cenſeri poteſt. Quod ſi, ſervatâ quoad denſitatem eâdem proportione,
Refractus
ſupra ipſam EF aſſurget; punctum quippe D rectam EF nunquam
pertinget; &
punctum B decurſâ rarius intra medium peripheriâ
B β in denſum remeabit; in quo proinde rurſus, circulatione ſuâ di-
miſſà, per tangentes β α, δ κ ferentur; adeò quidem ut radius ABCD
jam reflecti videatur, quatenus medium denſius haud penetrat totus,
vel egreditur.
VI.
Nec ineptè quidem (etſi quodammodò, velutíque primariò, ſit
refractio) reflectionis nomen adſciſcit hæc actio, quatenus & ipſa
Nam quoniam iſoſcelis trian-
guli ZB β anguli ZB β Z β B ſunt æquales, etiam anguli (de rectis
reſidui) ABE, α β F pares erunt; quod reflectioni proprium eſt.
Itaque non abs recto pronunciant hoc Dioptrici;
neque tamen cauſam,
flectionis cauſa diverſam; nè quiſquam hæſitet, aut hoc adſumenti
gravetur concedere.
VII.
Hæc autem doctrina cùm multis experimentis utcunque com-
probari queat, unum ſaltem breviter attingam ſatìs illuſtre, neminíſq; non examini patens.
Eſto triangulum ABC ſectio priſmatis triangu-
laris æquilateri (nimirum vitrei, ſeu cryſtallini) baſi parallela; in hu-
ſit angulus CFG
circiter graduum 50. (unde juxta doctrinam hîc inſinuatam, &
poſteà
clariùs exprimendam, radius GF velut extremus erit eorum, qui re-
ctæ BC è vitri partibus illabentes refractionem patientur; eo ſcilicet
obliquior quilibet reflectetur.) Sit igitur (quoniam utramque quaſi
patitur inflectionem) ejus refractus FM, reflexus FE; item FGre-
fringatur in GO, & FE in ER.
Porrò jam in GO ſtatuatur oculi
centrum O; &
ab eo prodeat radius OQ, qui refringatur in QP;
ipſorum OG, OQ refracti GF, OP (uti ſecundum principia no-
ſtra poſthac conſtabit) progredientes divergent; erítque proptereà
ang. QPC &
gt;
GFC;
quare radius QP medium BC penetrabit,
ac refringetur, puta in PN; liquebit autem è dicendis refractos FM,
PN à ſe divergere; Hinc jam radiis MF, NP interpoſitum objectum
radiis OG, OQ interjectum apparebit, velut ad μ ν, ſitu neutiquam
immutatum. Rurſus autem ab oculi dicto centro prodeat alter radius
OK, cujus refractus ſit KI; hìc itaque rurſum à GF diverget, ac
indè erit ang. KIF &
lt;
ang.
GFC;
adeóque KI minimè penetrabit
medium BC, at reflectetur, puta in IH; tum IH refringatur in HS.
Ergò jam radiis ER, HS interjacens objectum puta RS radiis OG,
OK interjectum cernetur, velut ad ρ σ, ſitu partium everſo. Conſe-
quuntur hæc doctrinam noſtram, & experientiæ liquidò conſentanea
deprehendentur, quin & obſervatu dignum erit, è duplici refractione
ſpectatum objectum MNIridis coloribus tinctum adparere (rubro
ſcilicet ad μ, cæruleo ad ν, croceo medium occupante) objecti verò
RS è duplici refractione, ſed reflectione tamen intercedente, appre-
henſi imaginem ρ σ colore nihil ab ipſo objecto differre. Quod ex eo
ſanè videtur evenire, quoniam ang FEB angulo FGC æquatur;
adeóque radius KO non aliter è vitro exit, quam RE ingreſſus eſt;
ſtatum reſtituens, ei quem ab origine habuit non diſparem. Verùm
hæc non eſt hujus loci penitiùs excutere, Saltem obſervari meretur hoc
præcipuum, ut arbitror, in priſmate Phænomenon.
VIII.
Hæc, inquam, cùm ab experientia confirmentur, neque tamen
ei magis, quam ratiociniis noſtris conſentiant, cauſis tamen adſcribun-
tur (à quibuſdam) nedum diverſis, at prorſus adverſis. Quòd enim
vitrum _e. g_.
radios intra corpus ſuum receptos, ejúſque poſticæ ſuper-
ficiei obliquius incidentes retrocedere cogat, hujuſmodi rationem exhi-
bent: aiunt vitrum radios faciliùs admittere, vel tranſmittere quàm
aërem; quin addunt aërem vi reflectendi prævalidâ pollere;
quódque
proinde qui poſt vitrum adventanti radio fit obvius aër cum reverbe-
rat. Quæ ratio mihi non adblanditur.
Nam imprimis rei naturæ mi-
nùs conſentanea videtur. Quum enim aëris corpus ex æthere puro
maximam partem, è corpuſculis terrenis, & ex halitibus aqueis con-
ſtare totum videatur; ex his partibus æther, opinor, non minùs
promptè quàm vitrum radios tranſmitti; aqua vero ſaltem (ex illo-
rum, quibuſcum diſputamus, ſententiâ) tantillo difficiliùs; adeóque
neutiquam harum alterutri dicta reflectio jure videtur attribuenda; terreſtres autem particulæ (quæ præ reliquis etiam pauciores videntur,
& rariùs interſperſæ, præſertim in aëre ſudo ſummíſque;
montium ex-
celſorum jugis) ſunt opacæ, nec lucem admittunt, aſt eam in omni-
cunque pariter incidentiâ rejiciunt; adeò ut nec ad has quam reſpici-
mus lucis inflectio propriè ſpectet; ergò nihil ſubeſſe videtur cauſæ, cur
aër (præ vitro) ingruenti luci potentiùs obſiſtat. Addo;
ſi talis aëri vis
reflexiva competat, & vera ſit, quam hi Philoſophi memorato Phæ-
nomeno cauſam adſignant, conſequi videtur, ut nulla prope Horizon-
tem Stella conſpici poſſit (admiſſo ſaltem hoc, non inverecundo reor,
ut pleriſque viſum erit, poftulato; quòd purus Æther, naturale lucis
vehiculum, aëreæ regioni ſuprajectus haud mînùs facile quàm vitrum
aut aqua radios intromittet.) Sit enim C terræ centrum, O oculus,
S viſibile punctum longinquum, ceu ſtella, ſitum in Horizonte; per
perficie circùlum OP; in atmoſphæræ, vel aëris circumfuſi, extima
ſuperficie circumferentiam ZNM; itaque cum radius quilibet, ut
SM, vel SN (Horizontalis puta, vel eò ſuperior) in ſuperficiem MZ
cadens ei incidat perquam obliquè (niſi ſaltem atmoſphæræ Semidi-
ameter CZ præ telluris Semidiametro CO dicatur enormiter, & in-
credibiliter magna) cùm & aer idcircò, juxta ſententiam quam ex-
omnino dicti radii SM, SN,
& conſimiles reflectentur, &
extra atmoſphæram procul abeuntes
oculum non pertingent. Quinimò ſatìs conſtare videtur exhinc, quòd
radii quales SN ut viſum afficere queant, aut accedere, verſus per-
pendicularem NC refringi debent; id quod adverſariæ Hypotheſi
pariter adverſatur. Verùm hæc obiter, ac in trancurſu dicta ſunto.
IX.
Porrò, ſubnotandum eſt, quoad binos caſus ſuprâ tractatos,
cùm duo media, diverſimoda comparandò duæ ſe repreſentent propor-
tiones, altera, terminorum ſitum tranſponendo, alterius inverſa, re-
fractionum ideò menſuras (quoad hæc) iiſdem terminis deſignabiles
ordine permutari. Ut ſi in primo caſu ſinus rectus anguli incidentis ſe
habeat ad ſinum rectum anguli refracti, ſicut A ad B, in ſecundo ſinus
incidentis ad ſinum refracti ſe inverſè habebit ut B ad A; nimirum
in præcedentibus ſiguris, quanto ZD major eſt quàm ZB, in prima
Hypotheſi; tanto conſtat ZD minorem eſſe quàm ZB, in ſecunda;
mediis ſcilicet iiſdem permanentibus.
X.
Denique, cùm medii cui radius impingit ſuperficiem hactenus
adſumpſerimus planam, advertendum ſupereſt, quamvìs illa curva ſit,
eodem tamen abſque ſenſibili diſcrimine ſeſe modo rem habere, ac ſi
plano curvam ſuperficiem iſthic, ubi radius occurrit, contingenti im-
pingeret. Incidat nempe radius ABCD in curvam lineam QBR,
quam ad incidentiæ punctum B tangat recta EF. Prorſuseodem mo-
quòd iſthic arcus D δ in rariori medio decurſus tangentem aliquouſque
prætergreditur. Id quod eximiam radii ſubtilitatem conſiderando,
quámque perexiguo diſtet intervallo punctum δ à curvæ vertice B,
nullam omnino ſenſibilem (imò nec imaginabilem) inducet differen-
tiam. Quantillus enim iſte circulus eſſe debet, in quo chorda B δ, ra-
dii latitudine paullo major, arcum ſubtendet aliqua cum ejus ſenſibili
parte comparabilem? poteſt igitur angulus ZB δ æqualis ſupponi
angulo ZBF; quo conceſſo reliqua fluent eodem tenore, quo præ-
cedentia. Quin unà rationem exhibuimus ſuppoſitionis, quæ paſſim
ab Opticis accipitur; ità tamen precariò, non ut ſubinde nullum
in audientibus ſcrupulum relinquat; nec ut ſemper adſenſu firmo
concedatur.
XI.
Ità primarias iſtas circa radiorum inflectionem Hypotheſes-
(vel Axiomata malitis, aut Theoremata) quibus omnis incumbit Optica
è principiis admodum affinibus elicere; modo, meâ ſententiâ ſaltem,
omnium qui legenti ſe vel cogitanti ſuggeſſerunt, ſimillimo veri, cúm-
que tam rationibus Mechanicis, quàm experimentis Phyſicis, & cùm
ipſa rerum natura congruentiſſimo. Neque nulla mihi tunc oborieba-
tur voluptas, cùm poſtquam inter alios iſta lucis ſymptomata expli-
candi modos hic ipſe ſemet ingeſſerat, eum examini ſubjiciens, Geo-
metriæ legibus (aliquanto ſanè præter expectationem) adeo quadran-
tem comperiſſem. Meæ tamen eum tam fuſe4;
diducendi peperciffem
operæ, ſi quæ doctiſſimus _Maignanus_ hiſce conformia, luculentius
quidem opinor & accuratius, pertractavit, priuſquam hæc aggrederer
contigiſſet inſpexiſſe; penes quem extare multa nil dubitem (nec enim
eum adhuc curioſiùs evolvi) ſupplendis his, & confirmandis accommo-
data. Porro fuit etiam animus, alias, quæ plurimæ traduntur, horum
rationes percenſere, ac perſtringere (quarum mihi nonnullæ craſſâ
petitione laborare; multùm aliæ à re propoſita abludere;
quædam
animum ſubtilitate potius confundere, quàm vi conſtringere videban-
tur) verùm etiam huic exponendæ nimiſquam immoratus, hactenus in-
ſinuatis contentus, omnes tranſiliam; illius ſaltem eruditiſſimi viri
nefas fuerit non aſtipulari penitus, & acquieſcere decreto;
“qui, De-
"um unicum & Optimum Naturæ Architectum, hanc (ait) legem ra-
"diis diverſa media permeantibus præſcripſiſſe; ut omnes omnino
"radii veri, & apparentes eandem ſemper inter ſe ſervent analogiam.
His, inquam, dimiſſis, ſuccedit ut è præſtructis emanantia quædam
Poriſmata ſubnectamus.
I.
HYpotheſes Opticæ primarias, &
fundamentales quaſi leges
expoſuimus hactenus, & excuſſimus quomodocunque:
Se-
quitur jam ut ex iis emergentia quædam (ad apparentiarum cauſas tam
verè quàm expeditè diſcernendas conducentia) ſubjungamus corollaria; de cæteris quæ faciliora videntur, aut uſum præ ſe ferunt potiſſimum
ſeligentes. Radios autem jam conſideramus, ut unicâ dimenſione præ-
ditos (ſiquidem reliquæ, quibus Phyſicè gaudent, parùm faciunt ad
computationes hîc inſtitutas) ut lineas, inquam ceu vulgò fit, rectas
concipimus a lucido quolibet aut aſpectabili puncto dimanantes. Quin
& cum, hoc admiſſo, ſinguli cujuſque radii inflectio in ſuperficie per-
agatur ad planum inflectens recta (uti conſtat è præmiſſis) cùm & no-
bis præſertim mox inſtitutum ſit ſingulorum punctorum radiationes
conſequentia ſymptomata ſic expendere, ut locos ipſorum apparen-
tes determinemus, oculi reſpectu centrum habentis in ejuſmodi
plano uſpiam conſtitutum; pro planis ubique rectas lineas, pro Sphæ-
ricis ſuperficiebus peripherias circulares, pro reliquis lineas reſpectivè
congruas, brevitati conſulentes & perſpicuitati, ſubſtituemus.
Porrò
cùm quo præciſè modo peragatur viſio, quibúſque prædita ſit affecti-
onibus adhuc expoſitum non ſit; Et de illa tamen ſubindè craſſius ali-
quid ac generalius dicendis intexere fortaſſis ex uſu fuerit, illa ſaltem
pervnlgata, poſt hac curioſiùs expendenda, jam προλεπτικῶς adſume-
mus; nempe:
Viſibile punctum in illo radio ſitum apparere, qui pro-
cedens ab ipſo (directè vel inflexè) centrum oculi permeat; proindéq;
ſitum objectorum è radiorum ità tranſeuntium poſitione judicari. Ma-
jora, minora, vel æqualia videri objecta, prout ipſorum extrema pun-
cta radiis cernuntur angulos ad oculi centrum reſpectivè majores, mi-
nores, aut æquales conſtituentibus; diſtinctam unius cujuſque puncti
viſionem radiis effici modo naturali, hoc eſt, divergentèr, oculo illa-
bentibus; Et ſiqua ſunt his agnata pariter obvia, ſeu manifeſta.
Quinetiam, verborum parci, vocabulis paſſim receptis & uſitatis defi-
niendis aut explicandis abſtinentes, ipſorum ſupponimus intelle-
His utcunque majoris evidentiæ cauſâ, prælibatis, ad corolla-
ria quæ diximus expromenda nos conferemus è veſtigio.
II.
Imprimis autem (poſthac quidem in decurſu, quoad plures ſibi
parallelos, aut ab eodem puncto divergentes (velin idem convergen-
tes) & huic vel illi ſingulari, quæ tractanda veniet, ſuperficiei inciden-
tes (radios, ſingularia quotvis inflexos deſignandi compendia, radia-
tionibus organicè examinandis profutura, tradituri) generales nunc
aliquos incidenti cuivis propoſito competentem inflexum aſſignandi
modos proponemus; quorum adhiberi poſſit, qui rei natæ videbitur
accommodatior. Pro reflectione.
Incidat radius AB ad B;
Et per
B ducatur QB reflectenti perpendicularis; &
fiat ang.
_a_ BQ = ang.
ABQ, vel per B ducta ſit EF reflectentem tangens;
&
fiat ang.
a BF = ang. ABE;
liquetque factum eſſe, modo utrovis, quod
ducatur QB refringenti per-
pendicularis, & ſuper diametrum (in hac liberè ſumptam) QB de-
ſcribatur ſemicirculus, incidentem AB ſecans in R; tum adjunctâ
QR, factóque I. R :
: QR.
T (terminis autem I, R hìc &
dehinc
perpetuò proportio refractiones metiens indignitatur) circulo QRB
adaptetur QS ipſam T exæquans; erit connexa SB protracta nempe)
incidentis AB refracta. ?
Vel:
perincidentiæ punctum B ducatur EF
refringentem contingens; &
in hac utcunque ſumpta BK ſit circuli
diameter, incidentem AB ſecantis ad R; &
fiat I.
R:
: BR.
T;
&
adaptetur BS = T;
erit SB _a_ ipſius AB refractus:
Vel demum:
In ipſa AB ſumptâ utcunque diametro RB, ſuper hac deſcriptus cir-
culus ſecet perpendicularem QB ad Q; vel tangentem EF in K;
fiátque I. R :
: BK.
T.
&
adaptetur QS = T;
erit rurſus SB _a_ inci-
dentis AB refractus. quorum ratio è poſitis inflectionum legibus ad-
modum eſt manifeſta. verba piget impendere.
III.
Radii cujuſvis incidentis inflexus inflexi viciſſim incidens
evadet.
Hoc plerique, diverſè paullò prolatum, accipiunt, aut poſtulant.
Idque potius methodi gratiâ
(ſicut & nonnulla quæ ſequentur) quàm quia res meretur, oſtende-
mus. Proreflectione;
Radius AB ſpeculo EF impingens reflectatur
dico radium B _a_ permutatim in BA reflecti.
Nam quoniam
AB incidens reflectitur in B _a_, erit ang. _a_ BF æ qualis angulo ABE.
Poſito jam _a_ B incidere, etiam angulus quem facit ejus reflexus cum
BE æquabitur angulo _a_ BF; proinde non alius erit ab ipſo ABE
quare BA ipſius _a_ B reflexus erit.
Pro refractione vero:
Incidat radius AB medio EF in B;
&
iſthic
refringatur in B _a_ dico permutatim radium _a_ B regredientem in BA
refringi. Nam per occurſum B ducatur QBP media dirimenti EF
&
in hac utcunque ſumpto puncto P ducatur PG
ad AB protractam perpendicularis, ut & PH ad B _a_;
&
produca-
tur _a_ BS. Eſt ergo PG ſinus rectus anguli incidentiæ ABQ ad
radium BP; &
PH ſinus anguli refracti QBS ad eundem radium
BP. Cùm ìtaque ratio PG ad PH refractionem metiatur è ſuperiori
medio factam in inferius; etiam viciſſim rectarum PH, PG propor-
tio refractionem determinabit ab inferiori medio factam in ſuperius. Unde ſi radius _a_ B jam ponatur incidens;
cùm ſint PH, PG recti ſi-
nus anguli incidentiæ PBH, & anguli PBG, liquidum eſt ipſam HB
in BA refringi.
IV.
Angulo incidentiæ majori major competit angulus inflexus.
(Angulum inflexum vocito, qui à perpendiculari continetur &
in-
flexo; is proinde reſpectivè dicitur angulus reflexus, vel refractus.
Angulus autem inflectionis (hoc eſt reflectionis reſpectivè, vel refracti-
onis) appellatur is, qui comprehenditur ab incidente & inflexo;
inci-
dentiæ verò, nè quis ſecùs accipiat, apud nos angulus eſt, quem con-
tinent incidens & perpendicularis.)
Quod propoſitum ſpectat effatum,
id è poſitis principiis manifeſtè conſectatur. Etenim in reflectione
ipſi anguli reflexi angulis incidentiæ proportionales ſunt; in refracti-
one ſaltem recti ſinus angulorum refractorum ſinubus angulorum in-
cidentiæ proportionantur. Unde liquido conſtat propoſitum:
quorſum
verba, quorſum Schemata multiplicem?
V.
Cùm incidentes ad ſuperficiem mediam ſeſe decuſſant, iidem
ſeſe inflectionem paſſi decuſſabunt, eodem ordine ſervato, quem directè
progedientes habuiſſent (utique ſic ut perpendiculari poſt inflectionem
propior incedat qui propior antea fuit.)
Hæc propoſitio reverà non differt à præcedente;
quò demirer
bari.
VI.
Angulo incidentiæ majori major convenit angul@s inflectionis.
Quoad refiectionem, res extra dubium evidens eſt;
angulus enim refle-
ctionis incidentiæ majori conveniens eum planè continet, qui minori
incidentiæ reſpondet. Pro refractione vero:
ſit recta QBP refrin-
genti perpendicularis; incidant autem radii ABG, DBH (ſcilicet AB
Horum verò refracti ſint B _a_, Bδ;
dico an-
Nam ad BP in perpendicu-
lari liberè ſumptam diametrum conſtituatur ſemicirculus BGP; cui
occurrant ipſæ AB, DB protractæ ad G, H; nec non ipſæ B _a_, B δ
punctis _a_, δ. Fiat autem angulus GBK æqualis angulo HBδ, vel
arcus GK arcui Hδ; connectatur etiam rècta δ G, ſecans ipſam PK
in X; ducatnurque denuò ſubtenſæ G δ, H δ.
Jam ob angulos PG δ,
PH δ pares (arcui quippe P δ inſiſtentes ambos) & angulos GPK,
HP δ inter ſe ſimilia. Quapropter erit PG.
PX :
: PH.
P δ.
eſt
autem, è lege refractionum PH. P δ :
: PG.
P _a_.
quare PG.
PX :
:
PG. P _a_:
unde PX = P _a_.
eſt autem PX minor quàm PK (quia
tota ſubtenſa G δ intra circulum jacet.) Quare P _a_ minor eſt quàm
PK; adeóque PK ſecabit angulum GP _a_.
quamobrem arcùs G _a_ ma-
jor erit arcu GK, hoc eſt arcu H δ. &
idcircò major erit angulus
GB _a_ angulo HB δ: Q.
E.
D.
Procedit hæc demonſtratio quoad caſum, ubi I &
gt;
R (vel cùm ra-
dius è medio rariori denſius ingreditur) at exinde quoad alterum quo-
que caſum facilè deducitur concluſio. Nam ſi viciſſim _a_ B, δ B con-
cipiantur incidentes, erunt ipſæ BA, BD earum refractæ; ac etiam-
num anguli _a_ BG, δ BH erunt anguli refracti.
Hujuſce Theorematis apud _Herigonium_ habetur alia demonſtra-
Confer ſodes, &
utramvis elige.
No3 quam res obtulit
poſuimus.
VII.
In iſto refractionis caſu, quum I minor eſt quàm R, ſi anguli
habeat ut I ad R; nullus incidente DB obliquior radius medium EF
refractus ingredietur, aut penetrabit.
Nam penerret (ſi fieri poteſt) obliquioris alicujus ABG refractus
B _a_. Erit ergo PG.
P _a_ :
: (I.
R :
: ) *PH.
PB.
eſt autem PG
ergo P _a_ major erit quam PB.
quod planè
fieri nequit. Ergò AB non refringetur in medium ipſi EF ſub-
jectum.
VIII.
Angulus incidentiæ major ad angulum ſuum refractum ma-
jorem habet rationem, quam angulus incidentiæ minor ad refra-
ctum fuum.
Erit ſcilicet (in figura numeri Sexti, cujus huc apparatus transfe-
GBP.
_a_ BP.
&
gt;
ang.
HBP.
δ BP.
Nam triangùla
de major angulus GP _a_ minorem HP δ comprehendet) tum centro P
per δ deſcribatur circulus E δ F ipſas PG, P _a_ ſecans punctis F, E; item
connexâ EH, centro H per δ tranſeat circulus HMN ipſas HP, HE
ſecans punctis N, M; denuò connexa E δ cum PG conveniat in L.
Eſtque jam ang.
_a_ P δ.
ang.
δ PH:
: ſector EP δ.
ſector δ PF &
gt;
triang. EP δ.
triang.
δ PL:
: Eδ.
δ L :
: triang.
EH δ.
δ HL &
gt;
ſector MH δ. ſector δ HN :
: ang.
EH δ.
ang.
δ HP.
eſt igi-
tur ang. _a_ P δ.
ang.
δ PH &
gt;
ang.
EH δ.
ang.
δ HP.
ergóque
compoſitè ang. _a_ PG.
ang.
δ PH &
gt;
ang.
EHP.
ang.
δ HP.
per-
mutandóque ang. _a_ PG.
ang.
EHP &
gt;
ang.
δ PH.
ang.
δ HP.
eſt
autem HP. PE :
: HP.
P δ :
: I.
R :
: GP.
P _a_.
adeoque EH ad
_a_ G parallela; vel ang.
EHP = ang.
_a_ GP.
ergò erit ang.
_a_ PG.
ang. _a_ GP &
gt;
ang.
δ PH.
ang.
δ HP.
hoc eſt ang.
_a_ BG, _a_ BP
>
ang.
δ BH.
ang.
δ BP.
vel componendo ang.
GBP.
ang.
_a_ BP
>
ang HBP.
ang.
δ BP.
Quod erat demonſtrandum.
Opportunum eſt hoc Theorema conciliandis cum experientia pro-
poſitis refractionum legibus. Ut demirari ſubeat nuperrimum Opticæ
ſcriptorem, virum alioqui diffuſè doctum, hujuſmodi ratiocinio leges
iſtas impugnàſſe: “In majoribus tamen angulis inclinationis (Ipſiſ-
"ſima ſunt ejus verba) falſum eſſe conſtat (principium nempe no-
"ſtrum;) in his enim angulus refractionis major eſt ſubtriplo an-
"guli inclinationis; quod mihi aliiſque ex luculentis experimentis
"compertum eſt. Hæc, inquam, ille ταντοεπ@.
Quaſi verò dixiſſet;
numeri 6 &
4 ſimul accepti non conficiunt 10, quia numerum effici-
unt majorem quam 8. planè ſimilis eſt diſcurſus;
non ovum ovo ſi-
milius. Nam in refractionibus ex.
gr.
ad vitrum factis ſi ponatur ad
quamvis inclinationem (puta graduum 15.) quòd ſit angulus refra-
ctionis ſubtriplus anguli inclinationis (quem ille vocat, incidentiæ nos
angulum appellare ſolemus) neceſſariò, ſicuti modò demonſtratum
eſt, è principio noſtro conſequetur, quòd ad aliam quamcunque ma-
jorem inclinationem refractionis angulus major erit ſubtriplo anguli
inclinationis; nominatim acceptâ graduum 30 inclinatione juxta di-
ctum principium inſtitutus calculus angulum præbebit reſractum
19.24';
angulúmque proinde refractionis 10.
36', qui 30 graduum
trientem exuperat. Quare cùm Clariſſimus vir Hypotheſin hanc (à
opticis _Merſenno. Herigonio, Hobbio, Maignano_, quin &
ipſo ejus
conſodale doctiſſimo _Ricciolo_ ſuſceptam & approbatam;
quam &
cer-
tè hujus Scientiæ non parùm intereſt veram deprehendi) labefactatum
iret; eam potiùs imprudens experientiæ Suffragio communivit.
Qui-
nimò ſi quid inſit huic principio vitii, illud potiùs erit, quod in maxi-
mis inclinationibus refractionis angulos exhibet apparentibus ali-
quantillo majores; quæ tamen diſcrepantia num ipſius legis hujus, an
experimentorum defectui, vel accidentariis quíbuſdam intervenienti-
bus cauſis adſcribi debeat, haud facilè pronunciaverim. Nec enim
fortaſſis cognata reflectionis lex, a nemine non admiſſa, experimen-
tis omnibus præciſè reſponderet. Nobis ſuſficiet quòd in reliquis in-
clinationibus, mediis præſertim, dicta lex experientiæ, quam præfe-
runt authores, perquam conſentanea reperitur; addo, quòd ab ea de-
ductæ concluſiones cum experientia mirè conſpirant; nec ab ea quòd
animadvertere potuerim, unquam diſcordant. Eam proinde (cùm alia
probabilis haud ſuppetat, Geometricis, ratiociniis præſternenda) non
verebimur ubivis ut ratam ſumere, ac adhibere; ſatis certi (apud nos
ſaltem) in elicitis ab ea concluſionibus haud omnino quicquam nota-
bilis erroris emerſurum.
IX.
Obiter hîc &
παρεπβαπκ\~ες problemation quoddam interſeram
6.
ſuperius ei gratis inſerviet, ejuſque conſtructio
è ſuperiore conſtructione derivatur.) Per datum in refringente pun-
ctum (B) incidentem ducere, cui datus conveniat angulus refractionis. Ducatur BP refringenti perpendicularis (hanc autem duci poſſe ſup-
ponimus, aut poſtulamus) & ad diametrum BP conſtruatur ſemicir-
culus; &
ſit utcunque PG.
P _a_ :
: I.
R (pro PG verò præſtat ipſam
diametrum PB accipere) ſumatúrque Arcus GK ſubtendens angulum
parem dato. Fiat autem PX = P _a_.
&
per G, X ducta recta circulo
occurrat in δ. demum accipiatur Arcus δ H = GK, erit ductæ BH
refractus B δ (uti præcedentem diſcurſum invertendo non difficilè col-
ligitur) adeóque liquet factum eſſe quod erat propoſitum. Hoc præter
ordinem; ergo perfunctoriè.
X.
Cujuſcunque generis lineæ RBS incidat radius MNO ad N,
&
in hac utcunque
ſumpto puncto C, per hoc tranſeat incidenti parallela CB; quâcum
conveniat ipſius MO inflexus GNK; erit in reflectione KN = KC;
in refractione verò KN.
KC :
: I.
R.
(vel item, ſi in ipſo inflexo
&
ab eo ducta KL ad perpendicularem
CN parallela cum incidente conveniet ad L, erit illic KN = NL; &
hìc KN. NL :
: I.
R.)
Nam 1.
in reflectione;
quoniam ang.
ONC = KNC (ex lege
Etang.
ONC = KCN (ex Hypotheſi quòd ON,
CB parallelæ ſunt ) erit ang. KCN = ang.
KNC.
adeóque KN
= KC = NL: Q.
E.
D.
2 In refractione;
ducantur CE ad NO, &
CF ad NK perpen-
diculares (unde liquet puncta E, F exiſtere in circulo ſuper diametrum
CN deſcripto) quare, connexâ EF; erunt anguli CEF = ang.
FNC (eidem inſiſtentes peripheriæ FC) æquales.
Item propterea
eſt ang. ECF = ang.
FNE = ang.
NKC.
quare triangula ECF,
NKC ſunt æquiangula ſibi mutuo; quamobrem eſt CE.
CF:
:
KN. KC.
atqui (juxta legem refractionis) eſt CE.
CF:
: I.
R.
qua propter erit, KN .. KC :
: I.
R :
vel KN.
NL :
: I.
R:
Q. E.
D.
XI.
Quod ſi per N ducatur tangens UT;
erit (in reflectione) eti-
am KT = KN; &
NT angulum MNK biſecabit.
In refracti-
one verò erit KT ad KN, ut co-ſinus anguli refracti, ad coſinum an-
guli incidentiæ. Quæ ſaltem ad noto, ceu Lemmatica.
XII.
Exhis facilè deducantur Conicarum Sectionum circa radiorum
inflectionem ſatis jam pervulgatæ proprietates; at quæ fortaſsè per
nimias ambages.
1.
Demonſtratæ proſtant.
Ut in parabola (puta RBS, cujus axis
BC) incidat MNO axi BC parallelus; ejuſque reflexus ſit NK;
crit igitur (ex oſtenſis) KN = KC.
at ſi punctum K ponatur umbi-
licus parabolæ; erit etiam indè (juxta notiſſimam hujuſce curvæ pro-
prietatem) KN = KC. quare paralleli radii reflexus neceſſariò
per umbilicum tranſibit; qui proptereà non immeritò quoque _focus_
appèllatur.
2.
Item _in ellipſe_, cujus axis BD, foci H, K, ſi ad quodvis curvæ
ſatis celebre eſt, quòd
perpendicularis CN angulum HNK biſecabit. Unde NH.
NK:
:
HC. CK.
&
componendo NH + NK.
NK :
: HK.
CK.
vel BD.
NK :
: HK.
CK.
vel permutando BD.
HK :
: NK.
CK.
quare
ſi talis@fuerit ellipſis, ut ſit BD. HK :
: I.
R.
etiam erit NK.
CK:
:
I. R.
verum ſi incidens MN ad BD parallelus refringatur in NK;
erit (juxta mox oſtenſa) etiam NK. CK:
: I.
R.
patet itaque quòd
ipſius MN refractus per focum K tranſibit, Quid plura?
3.
Non abſimiliter in _Hyperbola_, (cujus itidem axis BD, foci H, K;
reliquiſque velut anteà præparatis) oſtendetur fore perpetuò NK.
: BD.
HK.
unde ſi fuerit (ex _Hyperbolæ_ conſtructione) BD.
HK :
: I.
R.
erit etiam NK.
CK :
: I.
R.
quòd ſi radius MN ad
CB parallelus refringatur in NK; hoc idem accidet, ut nempe ſit
NK. CK :
: I.
R.
quare radii MN refractus per _Hyperbolæ_ focum
tranſibit.
4.
Quòd verò ab _Ellipſis_ aut _Hyperbolæ_ cujuſvis focorum alterutro
quilibet curvæ incidens radieus in alterum reflectatur, admodum facilè
diluceſcit. Nam in ellipſe, perpendicularis NC, in _Hyperbolæ_, tan-
gens. NT biſecat angulum HNK.
unde patet propoſitum, Hæc
extra noſtras oleas poſita curſim & leviſſimè perſtringo;
nec tamen
ut eò multa putem deſiderari.
Revertamur in orbitani;
&
quidem derelictis his generaliſſimis,
ac abſtractiſſimis, lemmatum vicem obituris, ad particularia deſcenda-
mus. Ad planas verò ſuperficies (vel earum loco propter inſinuatam
antehac cauſam ſubrogatas lineas rectas) inflexis obtingentia radiis pri-
mò contemplemur. Etiam quoad has Catoptricis primum, utpote fa-
cillimis, breviſſimè defungemur.
XIII.
1.
Parallelorum ſibi radiorum (AB, MN) rectæ (EF) in-
Nam quoniam AB, MN ex hypotheſi ſunt pàralleli, erunt anguli
ABE, MNE pares. Ergò ſunt anguli _α_ BF, μ NF etiam pares.
Quare rectæ _α_ B, μ N ſunt parallelæ.
XIV.
2.
Sit recta ABZ rectæ reflectenti EF perpendicularis;
cum
hacverò promanantis ab A cujuſvis radii AN reflexus _α_ N. conveniat
in Z; dico forè BZ = AB.
Nam ang.
ANB = ang.
_α_ NF =
ZNB. quare liquet triangula BNA, BNZ ſibi mutuò æquilatera
fore; &
eſſe AB = BZ:
Q.
E.
D.
XV.
3.
Hinc, omnes ab uno puncto, divergentium tanquam ab altero
Quoad punctum longè diſſitum (ſuo parallelos ad ſenſum radios eja-
@ulante) patet è penultima. Quòad punctum è ſenſibiliter finita di-
ſtantia radians, ex ultima patet, quòd omnium ab A divergentium ra-
diorum reflexi protracti concurrunt in Z; adeóque videbuntur ab eo
promanare.
XVI.
Hinc punctum Z erit ipſius A (reſpectu oculi uspiam conſti-
tuti) imago perfectiſſima. Siquidem imaginis vocabulo nil aliud in-
telligo, quàm locum à quo plures radii (quot ſcilicet afficiendo viſui
ſufficiunt) ſimiliter divergere, ſeu dimanare videntur, atque cùm à
primariis objectis diffunduntur. Proinde cujuſvis hoc modo radiantis
objecti locus apparens, vel imago facilimè determinatur.
XVII.
Exhinc etiam eâdem operâ, viſùs imaginem adſpectantis axis,
ſeu reflexus principalis (iſte nimirum qui per oculi centrum (puta O)
tranſit,) & reflectionis (quod vocant) punctum determinantur.
Con-
nexa nempe recta OZ@erit axis iſte; nec non ejus cum EF interſectio
N, punctum reflectionis.
XVIII.
Quoad hoc reflectionis punctum unicam ſubjiciemus anno-
tatiunculam. Radiante puncto A, &
oculi centro O fixis manentibus
recta Catoptrica EF ponatur rectæ cuidam OP parallela, ſed alioquin
ſitu indeterminata; erunt omnia reflectionis puncta in _Hyperbolæ_.
Sit, inquam, AP ad OP perpendicularis, &
biſecentur AP in X, at-
que PO in Y; &
per X ducatur XG ad PO parallela, item per Y
&
XG, YH concurrant in C;
tum
Aſymptotis CG, CH per ipſum O deſcripta concipiatur _Hyperbole_
ROS; hæc per omnia reflectionum dictarum puncta tranſibit.
Nam
utcunque ducta EF ad PO parallela _Hyperbolæ_ ROS occurrat ad N; &
ducantur rectæ AN, ON;
dico angulnm ANE angulo ONF
æquari. Secet enim AP ipſam EF in B;
&
ducatur OQ ad AB
parallela. Et, ex _Hyperbolæ_ natura, eſt CD.
CY :
: YODN.
quare dividendo erit YD. CY :
: YO-DNDN;
hoc eſt OQ.
CY :: NQDN.
&
permutatim OQNQ :
: CY.
DN.
item
rurſus ob CD. CY :
: YO.
DN.
erit componendo CD + CY.
CY :: YO + DN.
DN.
hoc eſt AB.
CY :
: BN.
DN.
vel
permutando AB. BN :
: CY.
DN.
quare eſt OQ.
NQ :
: AB.
BN. ergò rectangula triangula, OQN, ABN ſimilia ſunt;
&
patet
angulum ONQ angulo ANB æquari: Q.
E.
D.
Mereri ſaltem vel _Hyperbolæ gratiâ_ videbatur hæc ejuſce proprietas
adnotari; quin &
Analogiæ cauſà verſus ea quæ ſequentur.
Neque
de reflectionibus ad plana quicquam prætereà. Ad refractiones
tranſeo.
I.
AD ea jam accedimus quæ radiis obveniunt ad planam ſuperfici-
em, vel ad rectam lineam, refractis. Quod argumentum eo
diligentiùs proſequemur, quia nondum pro merito ſuo videtur ſatis ex-
cultum; ut &
quoniam in eo tractando methodum præſtituemus no-
bis, & quaſi normam in ſequentibus obſervandam.
Ad rem.
II.
Parallelorum rectæ lineæ (EF) incidentium radiorum (AB,
Nam quoniam
AB, MN ſunt, ex hypotheſi, paralleli, erunt anguli ABE, MNE
pares. Itaque refractos habent angulos pares;
horúmque comple-
menta (ſcilicet anguli _a_ BF, μ NF) æquantur, quare liquet refractos
B _a_, N μ ſibi parallelos eſſe.
III.
Hinc infinitè diſtantis, hoc eſt parallelos radios emittentis (in-
finitam ad ſenſum diſtantiam intelligo, qualis eſt quoad hoc ſtellæ cu-
juſpiam) puncti locus apparens, aut imago per hujuſmodi reſractio-
nem eſſecta infinitè quoque diſtat; quippe cùm hæc etiam per radios
parallelos adſpectetur. Itaque ſitus ejus reſpectu visûs ubivis poſiti fa-
cilè determinatur. Sit oculi puta centrum O;
&
A punctum radians
immenſè diſſitum; connexáque AO refringentem EF ſecet in G;
ſitque radii AG reſractus G _a_;
; per O verò ducatur OBZ ad _a_ G
in hac ad infinitum protenſa (velut ad Z) apparebit pun-
ctum A. Cùm enim radii AG, AB ſint (ad ſenſum) paralleli, eti-
am ipſorum refracti erunt paralleli. Quare cùm G _a_ ſit refractus ipſius
AG, erit BO, ad G _a_ parallela, etiam radii AB refractus. Ergò
punctum A in recta OB protenſa apparebit. Quoad hujuſmodi radi-
ationem nil ſuccurrit aliud; itaque de propinquo radiantis puncti ſym-
ptomata contemplemur.
IV.
Sit recta AB rectæ refringenti EF perpendicularis;
in qua
ab hoc
dico fore NK.
NA :
: I.
R.
(Neque non inverſè, ſi fuerit NK.
NA :
: I.
R;
erit KN _a_ ipſius NA refractus.)
Hoc è ſuperiùs oſtenſis immediatè conſectatur.
Et hinc etiam ſatis
apparet, quoniam (id quod bene notetur, ut paſſim in ſequentibus aſ-
ſumendum) angulus NAB, æ quatur angulo incidentiæ (quippe cum
is complementum ſit anguli ANB;) &
angulus NKB (comple-
mentum videlicet anguli KNB) æquatur angulo refracto. Cùm ita-
que ſit hinc ſinus anguli NAB (vel anguli deinceps NAK) ad ſi-
etiam in triangulo NAK latus NK ad
latus NA ſeſe habebit ut I ad R. Quod E.
D.
Quinetiam ſi latera
NK, NA ſe habeant ut I ad R; etiam dictorum angulorum ſinus ità
ſe habebunt; unde conſtabit ipſam KN _a_ ad AN pertinere.
V.
Hinc particularis emergit expeditiſſimus modus hujuſmodi quot-
cunque refractos deſignandi. Nempe per radians punctum A ducatur
AB refringenti EF perpendicularis; &
fiat AB.
ZB :
: R.
I;
tum
per Z ducatur recta GH ad EF parallela, Proponatur jam quilibet
incidens AN, cui conveniens deſignandus eſt refractus. Eum ſic de-
deſignaveris. Protrahatur NA (ſi opus) ut cum GH conveniat in
S; &
centro N per S deſcribatur circulus ipſam AB ſecans in K (ſe-
cabit utique ſi refractus aliquis ad incidentem AN pertineat) erit con-
nexa KN, protractáque radio AN debitus refractus. Etenim eſt
KN. AN :
: SN.
AN :
: ZB.
AB :
: I.
R :
: KN.
AN.
unde
liquet (è præcedente) propoſitum.
VI.
Exhinc etiam hujuſmodi refractionis præcipua ſymptomata
perfacili colliguntur Negotio; quæſeorſim acceptis, &
quæ ſe-
cum mutuò collatis accidunt refractis; hoc imprimis:
In primo caſu
(quum nempe refractio fit è rariori in denſius, ſeu quum I>
R)
concurſus refractorum cum recta AB (quam ſubinde radiationis hujus
axem appellare licebit) ſupra punctum Z exiſtit. Nam connexâ NZ;
quoniam ang.
NZS recto BZS major eſt, erit NS (vel NK) &
gt;
NZ; adeoque BK&
gt;
BZ.
Item, in ſecundo caſu (quum media
contrariè ſe habent) dictus concurſus infra punctum Z exiſtit. Ete-
nim rurſus connexâ NZ; eſt ang.
NSZ recto AZS (interno) ma-
jor, adeóque NZ >
NS, vel NK;
&
ideò BZ &
gt;
BK.
VII.
Hinc liquet punctum Z eſſe limitem ultra vel citra quem (re-
ſpectivè) omnes refracti cum axe AB concurrunt. Quinimò quòd
minatur. Porrò:
VIII.
_Lemma_:
ſit AB ad EF normalis, &
à duobus in AB
ſumptis utcunque punctis A, I (quorum A proprius ipſi B) ad duo
puncta quæ vis M, N in ipſa EF acceptis (quorum verò M ſit ipſi B
vicinius) connectantur rectæ AM, AN ; &
IM, IN;
dico fore A N.
AM &
gt;
IN.
IM.
Nam centro N per A deſcribatur circulus PA OR (rectas IM,
IN interſecans punctis O, R) & per R ducatur RT ad EF parallela,
ſecans IM in S. Et ob angulum NRT obtuſum, patet rectam RT
extra circulum totam excidere; unde SM &
gt;
(OM &
gt;)
AM.
adeóque AN.
AM &
gt;
AN :
SM :
: RN.
SM :
: IN.
IM.
li-
quet igitur eſſe AN . AM &
gt;
IN.
IM :
Quod E.
D.
Hinc
Si duorum radiorum AM, AN (quorum hic obliquior) refracti
M _a_, N _a_ cum axe AB conveniant punctis I, K, erit in primo caſu IB
<
KB;
in ſecundo IB &
gt;
KB.
Etenim connexâ IN;
eſt in primo
caſu, NK. MI :
: NA.
MA &
gt;
NI.
MI.
adeóque NK &
gt;
NI.
unde BK &
gt;
BI.
aſt in ſecundo, NK.
MI :
: NA.
MA &
lt;
NI.
MI quare NK <
NI;
&
indè BK &
lt;
BI.
IX.
_Coroll_.
Refractorum in primo caſu concurſus extra angulum
AB N verſantur; in ſecundo, intra eundem.
Sed hæc eadem in decur-
ſu liquidius, ac multifariàm conſtabunt.
X.
Porrò, bina quoad hos caſus _Theoremata_ ſubjiciemus, uſus haud
contemnendi.
I.
Si ſiat (in primo caſu) YB.
AB :
: I.
√ Iq - Rq.
ſit autem cu-
&
connectatur YN:
erit KB.
YN :
: √ Iq - Rq.
R.
Nam ob YBq.
ABq :
: (_a_) Iq.
Iq - Rq.
erit per converſi-
YBq - ABq :
: Iq.
Rq :
: _(b)_ KNq.
ANq.
permutando YBq.
KNq :
: YBq - ABq.
ANq .
componen-
dóque YBq + KNq. KNq :
: YBq + BNq.
ANq.
(nempe
YBq - ABq + ANq = YBq + BNq; quoniam ANq -
ABq = BNq) Quarè runſus permutando eſt YBq + KNq. YBq.
+ BNq :
: KNq.
ANq.
dividendoque KNq - BNq.
YBq + BNq :: KNq - ANq.
ANq;
hoc eſt KBq.
YNq
:: Iq - Rq.
Rq:
Q.
E.
D.
XI _corol_.
I.
Hinc ſi duo reſracti M _a_, N _a_ cum Axe AB conve-
niant in I, K; &
à puncto Y ad incidentias ducantur rectæ YM, YN;
erit KB.
IB :
: YN.
YM.
Nam KBq.
YNq :
: Iq - Rq.
: IBq.
YMq.
quare permutatim KBq.
IBq :
: YNq.
YM q.
XII.
2.
Hinc etiam ſi refracti M I, NK conveniant in X;
&
de-
mìttatur XP ad AB parallela; &
huic protractæ MY, NY occur-
rant in R, S; erit NS = MR Nam X P.
SN :
: KB.
YN :
:
IB. YM :
: XP.
RM.
cum itaque ſit X P.
SN :
: XP .
RM;
erìt SN = RM.
XIII.
2.
In ſecundo caſu ;
ſit cujuſvis incidentis AN refractus
KN _a_ & fiat YBq.
KBq :
: Rq.
Rq - Iq;
&
connectatur YN;
erit ABq.
YNq :
: Rq - Iq.
Iq.
Nam quia KBq = KNq - BNq = KNq - YNq + YBq;
erit
(hypotheſin perſequendo) YBq. KNq + YBq - YNq :
: Rq.
Rq - Iq :
: ANq.
ANq - KNq.
&
per rationis converſionem
YBq. YNq - KNq :
: ANq.
KNq.
(eſt autem YBq =
+ ABq. YNq - KNq :
: ANq.
KNq (hoc eſt, anteceden-
tes & conſequentes adjungendo) :
: YNq + ABq.
YNq.
quare
dividendo ANq - KNq. KNq :
: ABq.
YNq hoc eſt Rq -
Iq. Iq :
: ABq.
YNq:
Q.
E.
D.
XIV.
_Corol_.
1.
Hinc rurſus, ſi duo reſracti M _a_, N _a_ ſecent axem punctis
I, K; ipſos autem ſe decuſſent puncto X;
&
ſiat YP.
XP :
: R.
√
Rq - Iq. &
per Y ducantur MY R, NY S;
erit NS = MR.
Nam SB.
KB :
: YP.
XP :
: R.
√ Rq - Iq.
quare AB.
SN :
: √ Rq - Iq.
I.
item RB.
IB :
: YP.
XP :
: R.
√ Rq -
quare AB.
RM :
: √ Rq - Iq.
I.
ergò AB.
SN :
: AB.
RM.
quare SN = RM.
2.
Hinc SB.
RB :
: KB.
IB.
XV.
Porrò, notandum eſt quò radii ab A manantes axi viciniores
fſeu minora fore concur-
ſuum interſtitia; ut nempe ſi in refringente EF ſumantur æqualia
intervalla MN, NO; &
radiorum punctis M, N, O incidentium
refracti M _a_, N _a_, O_a_ cum axe concurrant punctis I, K, L ; erit in-
ſeu generalius efferendo, libere ſum-
ptis ipſis MN, NO ; erit IK.
KL &
lt;
MN.
NO.
hoc verò non
aliter, opinor, elegantius quam ex adjunctis uno, vel altero Theore-
XVI.
In primo caſu;
ſit (ut antehac) ZB.
AB :
: I.
R;
ſuper-
que diametro ZB conſtituatur ſemicirculus; cui à puncto B adapte-
tur BD = BA ; &
per puncta Z, D ducta recta refringenti occur-
rat in Y ; tum ad ſemiaxes BZ, BY (centro nempe B, vertice Z) de-
ſcribatur Hyperbole HZG; in hac autem ſumpto quolibet puncto S
ducantur SN ad AB, & SK ad EF parallelæ.
Denique ducantur
Nam ex _Hyperbolæ_ natura eſt KBq - ZBq.
BNq :
: BZq.
BYq :
: ZDq.
BDq (hoc eſt) :
: ZBq - ABq.
ABq.
quare
componendo KBq - ZBq + BNq. BNq :
: ZBq.
ABq hoc
eſt KNq - ZBq. BNq :
: ZBq.
ABq.
permutandóque KNq
- ZBq. ZBq :
: BNq.
ABq rurſuſque componendo KNq.
ZBq :: ANq .
ABq.
denuóque permutando KNq.
ANq :
:
ZBq. ABq :
: Iq .
Rq.
quare KN.
AN :
: I.
R.
ergo KN ip-
ſius AN reſractus erit: Q.
E.
D.
XVII.
Hinc refractorum cum axe concurſus (puta I, K, L) à ſe
diſtant intervallis ordinatim applicatarum ad _Hyperbolam_, puta recta-
rum, BZ, MR, NS, OT ; vel ipſarum O, ZI, ZK, ZL.
Hæ ve-
rò (ceu paſſim notum, & à nobis aliquando generatim circa cunctas
hujuſmodi curvas oſtenſum eſt) in majori ratione creſcunt, quam ipſæ
BM, BN, BO ; nempe ZL .
ZK &
gt;
LT .
KS.
&
ZK.
ZI &
gt;
KS.
IR.
quare ſatìs liquet propoſitum.
Enimverò prope verticem Z
ordinatarum differentiæ perquam exiguæ ſunt; ut bene multorum
perpendiculari AB adjacentium radiorum refracti velut è puncto
Z manare videantur ; utcunque circa ipſum præcipuè conſtipantur.
XVIII.
Haud abſimiliter, in ſecundo caſu, ſuper ipſa AB deſcriba-
tur ſemicirculus; &
huic accommodetur BD = BZ;
&
connexa
protractáque AD refringenti occurrat ad Y ; tum centro B ſemiaxi-
bus BZ, BY deſcribatur ellipſis HZG; &
in hac accepto quocunque
SK ad EF parallela;
connectan-
tur denique rectæ AN , KN; erit KN incidentis AN refractus.
Etenim ex ellipſis natura eſt KSq.
ZBq - SNq :
: BYq.
BZq
:: BYq.
BDq :
: BAq.
ADq:
: BAq.
BAq - BZq.
&
per con-
KSq - ZBq + SNq :
: BAq.
BZq.
hoc
eſt KSq. KNq - ZBq :
: BAq.
ZBq.
quare permutando erit KSq.
BAq :
: KNq - ZBq.
ZBq.
&
compoſitè KSq + BAq.
BAq :: KNq ZBq.
hoc eſt ANq.
BAq :
: KNq.
ZBq.
qua-
re rurſus permutando eſt ANq. KNq :
: BAq.
ZBq :
: Rq.
Jq.
itaque AN. KN :
: R.
I.
unde patet KN ipſius AN refractum fore:
Q. E.
D.
XIX.
Exhinc, ut in priore caſu, patet quòd diſtantiæ (ZI, IK,
KL) concurſuum æquantur differentiis ipſarum ZB, RM, SN, TO
ordinatarum ad ellipſim. Et quod ZI, ZK &
lt;
IR.
KS.
&
c dif-
ferentiæ porrò dictæ circa verticem ellipſis Z admodum exiguæ ſunt,
adeóque propinquiorum axi radiorum refracti circa Z denſè congre-
gantur, & velut ab eo procedere videntur.
XX Ex his tandem univerſis colligitur quòd puncti radiantis A
imago (reſpectu ſcilicet oculi centrum O habentis uſpiam in axe AB
conſtitutum) circa punctum Z conſiſtet. Sit enim D δ diameter pu-
pillæ (illa nempe quæ in plano EAFO ) & per hujus extrema tranſe-
ant radiorum AM, A μ reſracti IMD, I μ δ ; ſanè patet quòd nullius
obliquioris (ceu ipſius AN, vel A @) refractus oculum ingredi poterit ; quin univerſi tales aliorſum digredientur, adeóque nec illi quicquam
adviſum attinebunt; eique nil omnino conferent efficiendo quaquam,
nedum determinando. Quinimò cùm viſus a ſolis afficiatur radiis in-
bus, intra ſpatium ZI neceſſariò verſabitur imago ; quia verò ex his
qui circa Z concurrunt oculo rectiùs incidunt, ideóque præcipuâ vi
pollent; cùm &
ii (uti mox oſtendimus) ſpiſſiores ſint, &
præ cæte-
ris confertim incedant ( id quod etiam nonnihil illorum vim adauget)
cùm etiam iidem faciliùs ab oculo rurſus in idem punctum recolligantur
(id quod poſthac aliquatenus oſtendemus; &
interim ex eo fit veriſimile,
quòd res per exiguum foramen ſpectatæ, radiis ſcilicet obliquioribus
excluſis, longè diſtinctiùs, apprehenduntur) quoniam, inquam, hæc
ita ſe habent, iis perpenſis omninò rationi conſentaneum eſt objectum
videri ceu radios projiciens à puncto Z, hoc eſt ejus imaginem inibi con-
ſiſtere Addo, quòd ob exilem pupillæ latitudinem, & propter ali-
quantam oculi diſtantiam à refringente; totum ſpacium ZI perquam
anguſtum erit, & inſtar puncti merebitur exiſtimari:
quæ cuncta
propoſitum abunde videntur confirmare.
XXI.
Accedit tamen ei penitiùs aſtruendo etiam experientia quâ
nempe compertum habetur; quòd objectum (velut A) in aquâ ſitum,
oculo (O) perpendiculariter imminenti, ità diſtans videtur (puta ad
Z) ut ſit perpetuò AZ quadrans ipſius AB, id quod ratiociniis præ-
cedentibus exquiſitè congruit. Etenim cum experientia docuerit in
refractionibus ex aqua factis in aerem, _Sinum anguli Incidentia ad_
_Sinum anguli Refracti_ ſe habere circiter, ut 3 ad 4 ; erit juxta conſtru-
ctionem præmiſſam ipſius ZB ad AB ratio ſubſeſquitertia; ſeu hæc
ad illam ut 3 ad 4. Quare nihil erat caaſæ cur hoc fretus experimento
exploderet; at potiùs ut ei promptiùs accederet, aut firmius adhæreret,
expoſiti Phænomeni cauſam adeò perſpicuam, adeo neceſſariam ſugge-
renti. quinimo perpendicularem ipſam (quod adeò valde vult, acriterque
contendit) è ſuperiore doctrinâ quadantenus infringi, decurtaríque (ter-
minatione ſaltem refringi, tametſi non ſitu) patebit ad illam attendenti.
XXII Habetur itaque definitus imaginis ſitus, ob oculum in axe
collocatum. Succedit ut idem præſtemus oculi gratiâ extra ipſum ubi-
cunque ſiti. Sed priùs unum eſt quod opportunè moneamus, anteà
prætermiſſum; eâdem ſcilicet operâ quoad radios convergentes ſimul
ac divergentes confici negotium. Erunt enim ad punctum quodvis
(ceu A) tendentium radiorum refracti prorſus iidem eum illis, qui
divergentibus ab A convenient, modo cæteris manentibus invariatis
(refringente ſcilicet & puncto A deſignatum ſitum retinentibus) me-
dia concipiantur tranſpoſita. Nimirum, exempli cauſâ, ſi NK ſit
refractus radii BN verſus A tendentis è raro in denſum; erit itidem
NH ipſi KN in directum poſitus radii AN B, è raro in denſum
Itaq;
quæ de radiis divergentibus oſtenſa ſunt, ea convergentibus, adhibito
juſto moderamine, pariter adaptari poſſunt; in horum locum diver-
gentes reſpectivè congruos ſubrogando. Quare nedum in hoc caſu,
ſed in omnibus qui ſequentur, de radiis ſolummodò divergentibus in-
ſtituemus ſermonem; eò ſubintelligentes etiam convergentes ex hac
regula determinabiles referri. Quæ ſanè compendio deſerviens obſer-
vatio generalibus iſtis ſupra delibatis meruit intertexi; nec enim ad
hanc ſolam quæ præ manibus, aſt ad omnes æquè, quaſlibet ad ſuper-
ficies, radiorum inflectiones ſe extendit.
XXIII, Adſimilem &
indè conſequentem (cum paralleli à punctó
compendio ſervientem, etiam hîc tempeſtivum fuerit adjungere; pa-
rallelorum nempe Convexis incidentium partibus radiorum inflexi,
quoad poſitionis directionem, iidem erunt cum inflexis ipſorum con-
cavis partibus incidentium; modò tranſpoſita concipiantur media.
Quare parallelorum radiationes examinando nihil erit opus convexas
partes à concavis diſtinguere; ſeu exinde caſus multiplicare.
Res è
poſthac dicendis clarior evadet. His admonitis, de tabula jam manum ;
& quam propoſuimus inſtituendam proximè diſquiſitionem ſequenti
reſervamus.
I.
EO jam provecti ſumus, ut radiantis (à ſenſibiliter finita diſtan-
tia) puncti locum apparentem inveſtigemus, illum nempe qui
reſultat, è peracta ad planam ſuperficiem refractione; nec non reſpe-
ctu viſus extra radiationis axem conſtituti. Quorſum imprimis ſpectat,
ut rectam determinemus lineam, in qua locus ille verſatur; tum ut
ſingulare deſignemus in illa recta punctum, circa quod exquiſitè con-
ſiſtit. Utriuſque quæſiti gratiâ conficiendum, (imo penitius excutien-
endum) venit hujuſmodi _Problema_:
_II_.
Dato puncto A, in poſitione datam rectam EF radiante, deſig-
nandus eſt incidens, qui per alterum tranſeat datum punctum.
III.
Si datum punctum alterum (puta jam K) in recta AB exiſtat,
lè conficietur. In primo caſu (quando ſcilicet I &
gt;
R) fiat AB.
YB
:: √ Iq - Rq.
I.
itemque fiat KB.
T :
: √ Iq - Rq.
R;
tum cen-
tro Y intervallo T deſcriptus circulus ipſam EF ſecet in N ; conne-
ctantunrque AN, KN; erit KN _a_ ipſius AN refractus.
Itidem in ſecundo caſu (cùm I &
lt;
R) fiat KB.
YB :
: √ Rq.
-
Iq. R.
AB.
T :
: √ Rq - Iq.
I.
centroque Y intervallo T deſcri-
batur circulus ipſi EF occurrens in N ; critque rurſus KN _a_ ipſius
Hæc autem è ſupra poſitis Theorematis abunde
conſtant.
IV.
Verum extra caſum hunc, &
particulares alios nonnullos (quos
hìc certè nil attinet commemorare) generatim & illimitatè conceptum
Problema ſolidum eſt, plureſque duabus ſolutiones admittit; id quod
facilè perſpicietur concipiendo punctum datum (puta X) in primo ca-
ſu extra angulum AB F jacere (vel intra eundem, in ſecundo) quo po-
ſito liquet è præcedentibus obtingere poſſe nonnunquam, ut duorum
quin &
alterius
unius ad partes BE incidentis reſractum etiam per idem X tranſire
quod cùm ſubinde, dico, contingere poſſit, indè certo conſequetur
_Problema_ ſolidum eſſe.
V.
Pro cujus ſolutione, primùm adnoto vix ullum _Problema_ dari
(præſertim è difficilioribus) quod non peculiarem lineam naturâ ſibi-
met appropriatam habeat, cujus deſcriptione quàm expeditè conſtrua-
tur; &
quidem ità, ut ſimul indolem ſuam prodat ;
poſſibilitatem,
inquam, & impoſſibilitatem ſuam;
determinationes, &
limitationes
neceſſarias; caſuum &
ſolutionum varietatem apertè monſtret, &
ve-
lut ob oculos repreſentet. In cujus qualis qualis obſervationis ſpeci-
men (alia quædam poſtmodùm exhibituri) imprimis lineam propone-
mus hujuſce Problematis executioni peculiariter accommodatam, hoc
modo promptè deſcribendam.
VI.
Per radians punctum A ducatur ARS refringenti parallela;
Item
per datum alterum punctum X protendatur XR ad AB parallela: Quinetiam facto AS.
AR :
: I.
R;
per S extendatur SU ad AB pa-
rallela. Quibus ſtantibus per A quotcunque tranſeant rectæ ſecantes
ipſam SU punctis H; &
centro X, intervallis ipſas AH exæquanti-
bus, deſcribantur circuli ſecantes perpendicularem AB punctis K;
demum per X, K ductæ lineæ cum ipſis HA conveniant in N. Per
ejuſmodi quæ cunque puncta tranſibit propoſito noſtro deſerviens linea
(AN N) quam ſuſcepimus deſcribendam; cujuſce nimirum cum re-
fringente FF interſectiones ipſiſſima ſunt incidentiæ puncta, quæ in-
dagamus (hæ autem ad unas rectæ AB partes (veluti ad F ) aliquando
duæ erunt; ſubinde tantùm una, cù EF ſic effectam curvam tangit;
quandoque nulla, cùm EF ultra tangentem dictam jacet; ad alteras
ſaltem una erit; quæ ſatis attendenti manifeſta futura ſubnoto tan-
levi pede prætereo;
quoniam aliunde mox apparitura) ſit,
inquam, ejuſmodi quælibet interſectio N; dico fore XN, ipſius AN
Etenim eſt I.
R :
: AH.
AT.
hoc eſt ( quoniam AH,
KX ſunt ex conſtructione pares) I. R :
: KX.
AT :
: NK.
NA.
unde maniſeſtum, è præmonſtratis, eſt propoſitum.
VII.
Veruntamen hujuſmodi conſtructiones _Geometrarum_ uſus
aut non libenter admittit, aut alias ſaltem exigit per lineas vulgo no-
tas, atque receptas; itaque conſuetudini morem gerentes rem aliter
conficiemus; huc utique faciens ſequens _Problema Lemmaticum_ præ-
mittentes: Dato angulo recto XP F;
punctóque quovis Y;
per hoc
rectam duce e dati anguli cruribus occurentem, ſic ut ab iis intercep-
ta ſit a qualis datæ rectæ T. ‖ Expeditiſſimè quidem perſicitur hoc ope
_Concboidis_ alicujus polo Y deſcriptæ; ſed enim quoniam &
iſte modus
adhuc iiſdem Geometris obſequentes
ità propoſitum exequemur. Ducatur YB ad PF perpendicularis;
&
_Aſymptotis_ PX, PB ducatur _Hyperbola_ per Y tranſiens (ſi quidem
punctum Y exiſtat extra angulum datum, aut iſtius oppoſita (ſc. pun-
ctum Y ſit intra dictum angulum) tum centro Y intervallo datam T
æquante deſcriptus circulus _Hyperbolam_ inteerſecet in K; &
à K de-
mittatur KL ad BP perpendicularis; accipiatur autem BN = PL;
&
per NY trajiciatur recta NG.
dico factum;
vel eſſe NG parem
datæ T. ‖ Nam (ductâ YH ad PB parallelâ) ex _Hyperbolæ_ proprie-
tate eſt PL x LK = PB x BY. adeóque cùm ſit ex conſtructione
BN = PL; erit BN x LK :
: PB x BY.
adeóque BN.
BY :
:
PB. LK.
eſt autem BN.
BY :
: DY.
DG.
ergo eſt PB.
LK :
:
DY. DG.
quare cùm ſit PB = DY.
erit LK = DG.
adeóque
(pares LH, DP addendo, vel ſubtrahendo) eſt KH = GP. quin-
etiam eſt YH = LB = PN (communem nempe PB, vel LN
addendo) Ergò patet fore YK(vel T) æqualem ipſi GN: Q.
E.
F.
VIII.
Notandum eſt autem in caſu, quando punctum Y intra datum
angulum XPF exiſtit, quòd circulus ille centro Y deſcriptus ſubinde
deſignatam hyperbolem binis punctis ſecabit (quod enim pluribus haud
quoquam ſecabit univerſim haud ità pridem circa tales ad eadem con-
vexas curvas oſtendimus) quo caſu patet duas obvenire propoſiti ſolu-
tiones, aliquando rurſus ille dictus circulus _Hyperbolen_ continget; &
tum una tantùm per Y duci poterit recta, datam T adæquans; illa
ſcilicet omnium quæ per Y dato angulo interſeri poſſunt minima. Quod ſi circulus Hyperbolæ non occurrat, _Problema_ prorſus {άΠο}ριστον
‖ Sin punctum Y extra datum angulum exiſtat, evidens eſt tan-
tùm uno modo problemati ſatisfactum iri; quódque per alteram in-
erſectionem, & Y, ducta recta ad angulum pertinet dato verticalem.
hæc, inq̀uam, tantillùm attendenti manifeſtè conſtabunt;
nihil ut ſit
opus hic plura verba conſumere. verùm ut in horum caſuum primo
conſtet (id quod pro ſequentibus ex uſu erit cognoſcere) quando
dictus circulus _byperbolem_ contingit; ſeu quando tantùm una per
Y recta quantitatis ejuſdem interſeri poſſit, hoc adnectemus _Theo-_
_rema._
IX.
Si à puncto quovis Y intra rectum angulum XPF exiſtente
ac
inter YB, YD proportione mediæ ſint rectæ BN, GD; per puncta
N, Y, G tranſibit recta cunctarum minima, quæ per Y ductæ angu-
lum XPF ſubtendere poſſunt.
Quòd NYG ſit una recta patet, quoniam eſt YB.
BN :
: GD.
DY (ex conſtructione nimirum) porrò per Y tranſeat alia quæcunque
recta LYM; &
NH ad GN, MH ad PF perpendiculares concur-
rant in H. item HA ad NG parallela ducatur;
&
GS ad PF;
denuóque connectatur GH. Jam patet triangula GDY, YBN,
HMN, HMR ſimilia fore; quódque proptereà eſt MN.
MR :
:
MN q. MHq :
: DGq.
YDq.
item (ob BN, DG, YD {.
./.
.})
eſt BN. YD :
: DGq.
YDq.
hoc eſt YN.
YG (vel MN.
GS)
:: DGq.
YDq.
ergò eſt MN.
MR :
: MN.
GS.
adeóque MR
= GS. itaque major eſt GS ipsâ MT;
abeóque rectæ GH, LM
protractæ concurrent; puta ad Z.
ergò LM.
GH :
: LZ.
GZ.
verùm propter angulum LGH recto P majorem, eſt LZ >
GZ.
quare LM >
GH.
aſt ob angulum rectum GNH eſt GH &
gt;
GN.
quare magìs eſt LM >
GN.
eodémque modo quævis per Y ducta
major oſtendetur ipsâ GN : Q.
E.
D.
X.
Hinc etiam ſi GN ſit in ratione YB ad YN quarta proportio-
nalis; erit GN minima.
nam indè conſequetur fore YB, BN, GD,
YD {../.
.}.
Etenim erit YNq.
YBq :
: GN.
YN.
&
dividendo
BNq. YBq :
: GY.
YN :
: DY .
BN.
ac indè YBq x DY =
BNcub; velDY = {BN cub/YBq}.
itáque DY eſt quarta proportionalis in ra-
tione YB ad BN.
XI.
Subnotari poteſt autem, quòd minimæ GN propiores remo-
&
quod cuivis eâ majori binæ pares interſeri
poſſunt, ad ejus utramque partem ſingula. nimirum hæc è ſuperiori
conſtructione luculentè patent; pauxillùm expende Sodes;
&
per-
ſpicies; operámque meam non deſiderabis.
XII.
His præſtratis ad _Principale conſtruendum Problema_ reverti-
mur; &
reliqua detexenda.
ſcilicet imprimis à dato puncto A pro-
tranſibit. ‖ hoc ità conficitur.
per A, X ducantur refringenti perpen-
diculares AB, XP. tum in primo caſu fiat AB.
YB :
: √ Iq - Rq.
I.
neque non fiat XP.
T :
: √ Iq - Rq.
R .
&
per punctum Y
tranſadigatur recta NG ſubtendens angulum APF, & ipſam T ex-
æquans; &
connectantur AN, XN.
dico factum;
ſeu rectam XV
incidentis AN refractum eſſe. ‖ Etenim eſt X P.
KB :
: NP.
NB :
:
NG. NY.
permutandóque XP.
NG :
: KB.
NY.
hoc eſt X P.
NG (vel √ Iq - Rq. R) :
: KB.
YN.
itaque per theorema præ-
miſſum liquet KN ipſius AN refractum eſſe: Q.
EF.
Haud abſimiliter in ſecundo caſu;
fiat X P.
YP :
: √ Rq - Iq.
R;
itémque AB.
T :
: √ Rq - Iq.
I;
angulóque ABF per Y tranſi-
ens, ipſámque T adæquans inſeratur recta N G; connectantúrque
AN, XN; factum erit.
‖ Nam ipſam XP protractam ſecet AN in
S. èſtque SP.
YN :
: AB.
GN :
: AB.
T :
: √ Rq - Iq.
I .
unde
conſequitur è præmonſtratis fore XN ipſius SN refractum Q. E .
F .
XIII.
Exhinc, &
præmiſſa reſpiciendo ſatìs diluceſcit non ultra
duos ad unas perpendicularis AB partes incidentium refractos in uno
puncto convenire. nam (ut ſupra declaratum) per puntum Y (quod
univerſis hujuſmodi conſtructionibus commune, vel invariatum per-
perſiſtit; in primo caſu quoad omnes ab A incidentes;
in ſecundo
qnoad omnes per X tranſeuntes refractos) plures duabus ſibi pares
duabus ſibi pares rectæ angulo recto XP F, vel ABF interſeri ne-
queunt; adeóque nec plures refracti per ipſum X tranſibunt.
XIV.
Porrò, cùm è dictis definita habeatur recta, in qua puncti
A Imago verſatur; iſte nimirum refractus qui per oculi centrum
tranſit, modo jam expoſito ducendus; ipſum jam punctum determi-
nandum venit, ad quod illa præcisè conſiſtit; id quod etiam è præce-
dentibus haud difficulter eliciemus.
XV.
Sumatur, in caſu primo, punctum Y conditione præditum
ſcilicet ut ſit AB.
YB :
: √ Iq -Rq.
I;
&
deſignetur quilibet refractus KN;
tum continuetur ratio YB ad
BN; ut ſit ad has proportione quarta BP;
&
per punctum P du-
refracto KN occurrens in Z;
dico
nullum alium refractum per Z traſire. Nam ſi ſieri poteſt tranſeat
alius ZR; &
per Y traducantur rectæ NYG, RYS ;
è præmon-
ſtratis apparet quòd ſit RSitem è prædictis manifeſtum eſt
gt;
N G.
quæ repugnant.
XVI.
Non diſpari ratione, quoad caſum ſecundum, deſignetur quilibet
refractus KN; &
fiat KB .
GB :
: √ Rq - Iq.
R;
tum adnexâ
GN, ad ipſas NG, GB ſumatur tertia proportionalis V; &
ſiat
NG. V :
: BN.
NP;
&
per punctum P ducatur PY ad BA pa-
rallela refractum NK decuſſans in Z; dico nullum alium refractum
per ipſum Z meare. Nam, ſi neges, tranſeat alius ZR;
&
per
Y trajiciatur RY S; &
quoniam ZP .
YP :
: KB.
GB :
: √ Rq
- Iq. R.
ex * antedictis apparet fore RS = NG.
quinetiam ob
GBq :
: NG.
V :
: BN .
NP .
erit dividendo NBq.
GBq :
: BP .
NP .
hoc eſt NPq.
PYq :
: BP .
NP;
inde facile
deducitur eſſe BP quartam proportionalem in ratione YP ad PN ;
conſequentérque fore RS minimâ NG majorem . quod adver-
ſatur oſtenſis . itaque potiùs per Z nullus alius tranſit reſractus:
Q. E.
D.
XV I.
Prætereà, ſi refractum NKZ interſecet alius quilibet M I,
ad rectiorem pertinens incidentem (hoc eſt ut incidentiæ punctum M
inter B, & N jaceat) interſectio X ſolitario puncto Z citerior erit
(ſeu perpendiculari KB propinquior) . Nam ab X demittatur per-
ipſam NG ſecans in γ ;
&
(in primo caſu) per
M, Y traducatur recta MY H. ergò MH = Nγ.
quare minima earum
quæ per Y angulo XQF interſeri poſſuntinter puncta M, N cadet
(utì nuper admonitum, & adſtructum).
puta ad φ.
ergò quum ſit
BP quarta proportionalis in ratione YB ad BN ; &
BQ quarta
proportionalis in ratione YB ad B φ, erit PB >
QB;
adeóque
recta XQ rectis ZP, KB interjacet : Q.
E .
D.
In ſecundo caſu, per γ trajiciatur recta M γ H.
ergò cùm ſit
Q X. Q γ :
: PZ.
PY :
: √ Rq - Iq.
R.
erit HM = GN.
ergò
minima per γ ducibilium angulo AB F intercipienda punctis M, N
intercider; puta ad φ.
quare QB quarta proportionalis erit in ratione
γ Qad Q φ; &
eſt γ Q.
Qφ &
gt;
(γ Q.
QN.)
:
: YP.
PN .
&
QB &
gt;
YP .
PB.
&
his æquales rationes adjungendo eſt QN.
γ Q + γ Q.
QB&
gt;
PN . YP + YP.
PB;
hoc eſt QN.
QB &
gt;
PN.
PB.
compo-
nendóque BN. QB &
gt;
BN.
P B.
ergo QB &
lt;
PB.
unde rurſus
liquet rectam X Qipſis AB; ZP interjacere:
Q.
E.
D.
XVII.
Conſimili prorſus argumentatione conſtabit obliquio-
rum incidentium refractos ultra punctum Z ipſam KN interſe-
care.
XVIII.
Quinimò rurſus exertiùs apparet non niſi binos refractos
in eodem puncto convenire.
XI X.
Addo cum ipſo KN concurrentes refractos circa punctum
Z conglomerari, præſertim illos, qui ad partes F (obliquius) inci-
dentes pertinent.
Nam accipiantur, exempli causâ, ſibi pares N S, ST ;
&
ſit BP
&
BQ quarta proportionalis
in ratione YB ad BS; &
BR itidem quarta talis in ratione YB ad
BT; &
à punctis P, Q, R erectæ perpendiculares ipſam NKZ
ſecent in Z, X, & V.
patet (è mox oſtenſis) omnium ſpatio NS
incidentium refractos cum NK concurrere intra ZX; nec non omnes
ipſi ST incidentium refractos intra XV cum eodem convenire. por-
rò rectæ BP , BQ, BR ſe habent invicem ut _Cubi_ rectarum BN,
BS, BT, ( vel ſunt in ipſarum BN, BS, BT _ratione triplicata_ : nam
BP. YB :
: BN cub.
BY cub.
&
YB .
BQ :
: YB cub.
BS cub.
adeóque ex æquo BP.
BQ :
: BN cub .
BS cub.
&
conſimili ratione
BP. BR :
: BN cub.
BT cub.)
undè faciiè monſtrabitur eſſe PQ
multo minorem quàm QR; xel ZX quàm XV (verbis parco multis
in re ſatis manifeſta) . quare dicti refracti circa punctum Z ſpiſſiùs
ipſum NK decuſſabunt.
XX.
Ex his demùm conficitur omnibus bene trutinatis, oculo
(O) centrum habenti in refracto NK uſpiam conſtituto, puncti A
imaginem ad ipſum conditione præditum toties inſinuatâ punctum Z
conſiſtere. Sit enim CD pupillæ (in plano ABC jacens) _Diameter;_
_axi Optico_ KN perpendicularis;
&
per ejus extrema C, D tranſeant
refracti IM LR ipſi KN occurrentes punctis X, V. ex oſtenſis patet
omnium intra ſpatium MN incidentium radiorum refractos intra ten-
minos ZX principalem refractum interſecare; neque non omnes ad
quinetiam nulli-
us citra punctum M, vel ultra R incidentis refractum (ſeu nullum
citra X, vel ultra V cum ipſo KN concurrentem) oculum ingredi
poſſe. quare ſaltem imago conſiſtet intra terminos VX;
ſiquidem
aliunde qui videntur emanare _Radii_ nihil quicquam ad viſionem con-
ferent, aut ad eam ullatenus pertinebunt. cæterum quoniam ab VX
procedentium (apparenter, inquam, procedentium) reciſſimi, vel
axi propriores velut ab ipſo Z procedere videntur (ſeu à loco qui
circa ipſum) ipsíque proinde validiùs afficiunt oculum, & ab eo
facùm &
ii præ cæteris confer-
tim irruant (illi ſaltem qui ad partes NR, ) quia denique propter
anguſtiam pupillæ ſpatium VX haud ita magnum exiſtit; cùm, in-
guam, hæcità ſe habeant, omnino rationi conſentaneum eſt, dictam
imaginem circa punctum Z verſari; nec alias arbitror excogitari poſſe
veriſimiles cauſas, quæ ſitum ejus determinent. _Alhazenw_ quidem,
& poſt eum pleraque cohors _Opticorum_ ipſam ad punctum K, ubi
principalis refractus perpendicularem AB decuſſat, conſtituit; ve-
unicus
enim (niſi ſaltem pupilla perpendicularem ipſam AB comprehendat,
oculuſque valdè ſit ei propinquus) per illud punctum means radius,
afficiendo viſui minimè ſuffecturus, ingredietur oculum; eadémque
punctorum intra KX ipſi K adjacentium eſt ratio; nullus ſiquidem
ea permeans refractus oculum attingit; nil itaque ſubeſt cauſæ cur
punctum A circa K appareat. quin adhuc à vero magis aberrat, *qui
nior, impulſus quia taliter in reflectione ſe rem habere perſpexit; cui ſimilis cauſa nì fallor _Euclidem, Alhazenum, Stevinum_ (quan-
quam ipſos in diverſum euntes) horúmque ſequaces, in _Catoptricis_,
in errorem egit; prout uſu non rarò venit _analogias haud bene_
_fundatas,_ indiſtinctéque perceptas mortalibus imponere; ſed utcunque
quod dixi magìs iſta ſententia abhorret à ratione. ) nullus enim in
primo caſu refractorum concurſus fit infra angulum ABF; nullus extra
illum in ſecundo; proindèque fortiùs hanc quæ objecimus, quàm
priorem _Alhazeni_ percellunt ſententiam. addo quòd ſimul utraque,
ſed præſertim hæc, multiplici refragatur experientiæ, multiplicíque
ratiocinio; pariter enim ſe res habere debuit in _Catoptricis_, ut &
in _Dioptricis circularibus_; id quòd maniſeſtè, longéque ſecus tam
ab experientiâ, quàm à ratione compertum eſt. quin hanc abunde
ſubvertit ac peſſum dat quod ſupra propoſuimus experimentum, nemi-
ni non obvium; quod nempepunctum A, oculo in ipſo perpendicu.
oportuit) aſt pro mediorum diverſitate, (perquam ſenſibili inter vallo)
citeriùs adſpectatur, aut ulteriùs. Sed effatum hoc noſtrum (eíque
quoad reliquos in Catoptricis, Dioptricíſque caſus ſimiles conſona)
tametſi novitium, & nullâ quod ſciam hactenus auctoritate fultum,
cùm forſan expoſitum dilucidiùs, tum penitiſſimè dabimus confir-
matum, ſi quando nos de imaginum natura, locóque ſpeciatim
evenerit diſſertare. Mihi ſaltem videtur hæc Scientia quoad hanc
partem ſuam, certè palmariam (utì reperitur hactenus tractata)
perquam mutila, nè dicam admodùm vitioſa; nec aliò ferè collima-
mus quàm ut aliquouſque ſuppleamus eam, ac ſanemus.
XXI.
Proximè dictis confirmandis idoneum haud illepidum expe-
Aqueæ Superficiei RS (ſtagnanti, &
immotæ deſuper immineat objectum HG; ejus autem punctum G ra-
dat perpendiculum EF (filum puta candidum, aut ſtylus, cui
plumbum F appenditur) videbitur itaque punctum G (oculo O) ex
reflectione in ipſà perpendiculari GB velut ad γ; at perpendiculi
punctum F (admodum notabili diſtantiâ) citra lineam B γ aſpicitur
(velut ad φ) id quod ex ſententia noſtra factum oportuit; &
_Albaze-_
_ni_, ſequaciúmque doctrinam liquidò deſtruit.
XXII.
Subjicio tandem ex his comparere modum genuinam refra-
ctariam quam vocant (per quam nempe recta linea repræſentatur
in aquæ fundo conſpicua) lineam deſignandi; cujus loco complures
(utique non eandem omnes, aſt aliam alii) Chimæram inani ſunt
operà proſequuti; de quâ _Carteſius_ ipſe percontanti _Merſenno_ ſic
reſpondit: “ Non poteſt facilè determinari qualem figuram linea viſa
neque enim certus eſt aliquis ima-
ginis locus in reſlexis aut reſractis, quemadmodum ſibi vulgò per-
ſuaſerunt Optici. lmò verò (tanti viri pace) cùm ſpeciale quodvis
objectum (per ejuſdem generis & eodem modo terminatum medium
aſpectabile) ſimilem conſtanter exhibeat ſpeciem ſui, ſimili ſitu diſpo-
ſitam, ſimili præditam figurâ; non video quin ex parte rei certum
imago locum ſortiatur; cujus certè (quoad illum qui præ manibus
eſt caſum) quotcunque puncta non difficilè poterunt è præcedentibus
determinari. quinimò nullius non.
ex hujuſmodi planam ad ſuperfici-
em refractione ſubnaſcentis phænomeni (quoad ejus intelligo figuram)
cauſa verè, nì fallor, hinc & promptè poſſit aſſignari.
verùm hæc circa
planas ſuperficies dicta ſuſſicient; ad curvas nos proximè conferemus.
‖
I.
ABſolutis iis, quæ radiis accidunt ad planam ſuperficiem in-
flexis (obſervatu quæ videbantur non indigna, cúmque: prin-
cipiis noſtris cohærentia; quæ denuò viam ſternebant, aut metho-
dum aperiebant ſequentibus) ad curvas jam gradum promovemus; circa quas equidem cogitâram communia quædam delibare;
verùm
excuſſà re, tam exilem illam & abſtractam deprehendo, ſatius ut
exiſtimem actutùm ad particularia deſcendere. curvarum utique prin-
cipem, & ad praxes Opticas longè paratiſſimam, Superficiem Sphæ-
ricam aggrediar è veſtigio. pro qua tamen, ob cauſas pridem aſſigna-
tas, circulos ſubrogabo per oculi Sphæræque centra, pérque ſingula
radiantia puncta trajectos. &
quoad hos _Catoptrica_ primo, _D@op-_
_trica_ poſtmodum exequemur. Ad illa.
II.
Præſternemus autem _λημμdηον_ unum vel alterum;
hoc impri-
mìs: Incidenti@m circulo radiorum obliquior eſt, qui magis à centro
vel qui minorem arcum (ſubſemicircularem) ſubtendit.
ſci-
licet obliquiùs incidit recta QRS, quàm recta MNP. Nam à
centro C ducantur CN, CP; &
CR;
CS.
&
quoniam angulus
RCS angulo NCP (hypotheſi nimirum inſiſtendo) minor eſt; pater reliquos CRS, CSR reliquos CN, P, CPN (cùm junctim,
tum ſingulum ſingulo) majores eſſe. Cùm itaque Semidiametxi
CR, CN, circumferentiæ perpendiculares ſint; omninò liquet pro-
poſitum.
III.
Dato radio MN ad circulum incidenti congruum reflexum
reſignare.
Variis modis huc facilè peragitur;
quorum nunc unum adhibere,
tunc alium ex uſu ſit. nos unum aut alterum ex expeditoribus attinge-
mus. i.
Incidens MN protrahatur ut circulum denuò ſecet in P.
;
&
ſumatur arcus N Π = NP;
erit connexa Π NH ipſius MNP
reflexus. nam à centro C connexâ CN, manifeſtum eſt angulum
z 2.
Accepto quovis in NM puncto
(puta M) centro C per M deſcribatur circulus MQH; item centro
in H; erit HN Π reflexus ipſius MN P.
Etenim connexis CM,
CH; &
NM, NH, ex conſtructione liquet triangula CMN, CHN,
invicem æquilatera fore; proindéque angulos CNM, CNH (&
indè relìquos MNR, HNR) æquari 3. protenſà CNR, à quovis
in MN puncto, puta M ducatur MG ad CR perpendicularis, &
in hac producta ſumatur GH = GM; erit conjuncta HN Π iterum
reflexus. Nam connexis NH, NM patet angulos GNM, GNH
æquari. verum hi modi ſufficiunt huic conficiendo perfacili negotio.
IV.
Nocetur ſi fuerit HN P reflexus ipſius MN P fore N Π =
N P.
V.
Diſpiciamus jam primò quid ex hujuſmodi reflectione contingat
puncto ab infinitâ quo ad ſenſum diſtantiâ radianti, ſeu parallelos
projicienti radios. quorſum, per circuli reflectentis centrum C
protendatur indefinitè recta ABC (hoc autem in ſequentibus evitandæ
repetitioni perpetuò factum intelligatur; quin ejuſmodi recta nomi-
netur axis; hîc _Speculi,_ poſteà _Diapbani_) biſecetur autem Semidiame-
ter CB in Z; &
per Z tranſeat recta ZY ad CB perpendicularis,
indeſinitéque protenſa ; tum quilibet incidat axi parallelus radius
MN P ad N; (convexo circuli nil refert, an cavo;
nam in utroque
caſu reflexus quoad directionem idem erit; vel ejus qui in hoc, iſte qui
in illo productus erit) connexáque CN ipſam ZY interſecet in V; ſiátque CK = CV;
ducatúrque NK;
erit NK ipſius MN reflex-
us (vel reflexi productus) Nam ducatur NQ ad CB perpendicu-
laris, & connectatur CP.
éſtque CZ .
CK :
: (CZ.
CV :
: )
CQ. CN .
quapropter antecedentes duplicando CN .
CK :
:
PN. CN.
item angulus KCN æquatur alterno CNP.
ergò tri-
angula CKN, NCP ſimilia ſunt; adeoque KN = KC.
igitur è
ſuprà generatim oſtenſis patet fore KN, ipſius MN reflexum.
VI.
Hinc particularis emergit methodus hujuſmodi quotcunque
reflexos quàm expeditiſſime deſignandi; quin &
ipſorum erga ſe ra-
tiones ac reſpectus; nec non pleraque primaria _Symptomata_ facilè
diluceſcunt; corollariis nempe ſubjectis comprehenſa.
VII.
I.
Patet punctum Z, Semidiametrum CB biſecans, eſſe
iqſius reflexum BZ ad Z terminari). quia ſemper Cv &
gt;
CZ;
adeóque CK &
gt;
CZ.
VIII.
2.
Patet eſſe KN = KC.
3.
Patet fore PN (2 CQ), CN, CK {.
./.
.}
IX.
4.
Ductâ tangente BT, productâque CNE, patet ſecan-
tem CE diftantiæ CK duplam eſſe; &
EN = 2 KZ.
X.
5.
Manifeſtum eſt incidentis ad F (hoc eſt ad diſtantiam 60
proindéque
reflexos omnium intra BF incidentium axem intra ſpacium BZ decuſſa-
re; ſed omnes _extra_ BF reflexos ultra B cum eo convenire.
XI.
6.
Perſpicuum eſt duorum hujuſmodi quorumvis ad eaſdem
GNK, HRL,) productos ſe prius decuſſare, quàm axem. Nam,
ductis CR, CN, eſt C ρ >
Cv, adeóque CL &
gt;
CK.
unde ne-
ceſſariò rectæ NK, RL, ſe decuſſabunt, puta ad X.
XII.
Hinc ipſi convexis partibus incidentium reflexi, NG, RH,
antrorſum procurrentes divergunt; adeóque nunquam uno plures
idem oculi centrum permeant. unde ſpeculum convexum unicam lon-
ginqui radiantis imaginem reddit.
XIII.
7.
Notetur autem angulum GXR (vel KXL ) à duobus
reflexis comprehenſum æquare duplum angulum NCR (hoc eſt
duplum exceſſum angulorum incidentiæ) . Nam ang.
KXL = ang.
ALR - ang.
AKN = 2 ang.
ACR - 2 ang.
ACN = 2 ang.
NCR.
XIV.
Pro Sequentibus hujuſmodi _Lemma_ proponemus:
In trian-
gulo quopiam ABC recta AD biſecet angulum BAC; dico fore
gt;
2 A D.
In _Iſoſcele_ res clara eſt;
in alio proinde ſit AC &
gt;
AB;
centró-
que A per B ducatur circulus BXY ſecans ipſam. AD in X, &
AC
in Y. Subtenſa BX ducatur, ipſamque AC ſecet in V;
fiátque
VT ad AD parallela. denuo ſubtenſa XY connectatur.
Et quoni-
am ang. XVC major eſt angulo XYV, vel angulo BXD, vel ipſo
item ob angulum
XYV obtuſum, eſt XV >
XY = BX.
ergo BV &
gt;
2 BX;
&
VT >
2 XD.
Verùm ang.
VTC (major ipſo TVB, vel ipſo
DXB) eſt obtuſus; adeóque VC &
gt;
VT;
itàque magìs YC &
gt;
2 X D.
ergò AB + AY + YC &
gt;
2 AX + 2 XD.
hoc eſt
AB + AC >
2 AD :
Q.
E.
D.
XV.
Quò paralleli radii rectiùs (vel axi propinquiùs) incidunt,
eò reflexorum concurſus ad axem ſibi viciniores ſunt.
Nempe ſumantur utcunque pares arcus NR, RX;
&
incidentium
K, L, M, erit ML >
LK.
Nam connexæ CN, CR, CX rectæ
ZY occurrant punctis v, ρ, ξ. Eſt itaque (juxta _Lemma_ præcedens)
C ξ + Cv >
2C ρ;
hoc eſt, CM + CK &
gt;
2 CL.
quare CM
- CL >
CL - CK;
hoceſt ML &
gt;
LK:
Q.
E.
D.
XVI.
Exhinc patet axi propinquam lucem ab hujuſmodi reflectione
magìs magíſque conſtipari; maximè circa punctum Z, ubi perpendi-
cularis ipſius quaſi reflexus terminatur. unde potiſſima conſtat ratio,
quare concavis à ſpeculis ad ſolem expoſitis
accenditur; e
preſſa lux validiorem exerit vim, ac efficaciam.
XVII.
Quinetiam ex his conſectatur, longinqui puncti imaginem
oculo in axe conſtitnta circa punctum Z conſiſtere. Sit, inquam,
oculíque dìameter D δ (in plana nempe cir-
culi propoſiti ſita) hujus autem extrema permeent reflexi NKD,
VK δ (ad incidentes MN P, μ ν Π pertinentes) . jam abunde mani-
feſtum eſt imaginem conſpicuam intra KZ ſpatium verſari. Nam
alterius cujuſvis hinc, vel indè cadentis reflexus (ſeu ipſius R S, vel
ρ σ) oculum omnino transgredietur, adeóque nihil quicquam ad viſio-
nem ipſam, vel ad ejus quemcunque modum determinandum conferet; id autem omne meritó tribuetur radiorum intra peripheriam NV in-
cidentium reflexis; qui ſcilicet oculum ingredientes ſuo quiſque modo
viſum aliquatenus afficiant. quoniam tamen ex his, qui propiores
axi rectiùs incidunt oculo, magíſque pollent idcircò; nec non iidem
proptergà faciliùs ad unum in oculo punctum recolliguntur; præ cæte-
ris etiam illi catervatim ingruunt; rationi conſonum eſt iſthic præſer-
tim imaginem conſiſtere; ſiquidem velut ab eo plures, ac efficaciſſimi
radii videbuntur cmanare, Subjicio, propter admodum exiguam pu-
quin inſtat
_Puncti_ poſſit cenſeri. Quibus expenſis luculentè conſtare videtur pro-
poſitum.
XVIII.
Subdo tantùm, ſi oculus uſquam intra ſpacium ZB ſtatua-
tur, viſionem indè confuſam, aut nullam evadere; quia nempe tunc
reflexi præcipui (ſeu rectiſſimi) oculum convergentes appellent.
XIX.
Ex his porrò facilè refelluntur, quæ de imaginis loco pleni-
que tradunt omnes Optici; cum illis noviſſimus _Honor.
Fabri;_
juxta
quorum doctrinam imago à puncto reflectionis tanto diſtat intervallo,
quanto punctum radians ab eodem ſemovetur; ità quidem ut Sol ex hu-
juſmodi reflectione conſpicuus ad tantam, quantam directè ſpectatus, di-
ſtantiam (eorum inſiſtendo ſententiæ) debeat apparere. quod im-
mane quantum experientiæ refragatur. etenim ſi Soli exponatur _Spt-_
_culnm_ RB, (concavum, aut convexum) ſic ut ei Sol quaſi perpen-
diculariter immineat, oculúſque prope axem BC conſtituatur uſpi-
am; ferè circa punctum Z, arbitrante ſenſu, luculenta Solis imago
ſeſe præbebit oculo conſpiciendam; id quod juxta ratiocinium no-
ſtrum neceſſariò debuit evenire. verùm hic error (in Opticâ capitalis,
& quo non ablegato nulla phænomeni cujuſcunque ratio veriſimilis
conſtabit) ubique ſe objiciet refutandum. hîc itaque pluribus parco;
pergóque verſus oculum extra radiationis axem poſitum;
poſtquam
unicam hanc præcedentibus adnexam obnſervationem ſubjecero.
XX.
Majoris Sphæræ portio vehementiùs urit;
ut &
Objectum
viſibile clariùs atque diſtinctiùs repræſentat, quàm minoris æq@alem
obtinens latitudinem portio.
Super eandem nempe ſubtenſam NV inſiſtant imparium circulo-
rum ſegmenta NBV, Nbv; quorum axis AD;
&
in hoc circulo-
rum centra C, c; conſtat ut minoris peripheriam Nbv extra majoris
NBV jacere; ità majoris centrum C infra minoris centrum c ex-
biſecentur jam Semidiametri CB, cb in Z, z;
ducantúrque
tangentes BT, bt; bíſque ductæ CN, cN occurrant punctis E, e;
denuò radii PN axi paralleli ſit ad peripheriam NBV reflexus NK;
ad ipſam verò Nbv ſit ejuſdem reflexus Nk; liquidiſſimè jam patet
quòd ſit Ne >
NE;
hoc eſt quòd dupla zk major ſit duplâ ZK;
adeóque ſimpla zk major ſimplâ ZK. majoris itaque Sphæræ por-
tio ſtrictiores intra terminos illabentem lucem cogit; adeóque po-
tentiùs operatur; eâdemque de cauſa rem objectam illuſtriù@ atque
quod erat propoſitum oſtendere.
Et
hæc quidem ad locum imaginis determinandum attinentia pleraque
propter oculum in axe ſitum ſuffecerit attigiſſe. Supereſt ut idem
oculi gratiâ ſecùs conſtituti pertentemus. id operis ſequenti depu-
tamus.
I.
ID nunc agimus, ut ab infinito quoad ſenſum intervallo radiantis
puncti, è reflectione circularem ad peripheriam peracta oriun-
dæ imaginis, oculi reſpectu præter axem ſiti, locum exquiramus. quocirca primùm ipſa recta linea determinanda venit, in qua locus
iſte verſatur; tum ipſiſſimum præciſè punctum eſt deſignandum.
In
primi verò propoſiti gratiam hoc _Problema_ confici debet.
II.
Dato circulo reflectente BNP (cujus centrum C) rectâque
CB poſitione data; deſignandus eſt huic parallelus radius, cujus re-
flexus per datum tranſeat punctum.
III.
Si datum punctum ( puta K) in ipſa CB exiſtat, facilimè pe-
nam ſi centro K, intervallo KC deſcribatur circulus,
ipſi reflectenti occurrens in N; erit KN reſlexus ducti ad CB paralle-
li; prout ex antedictis abunde perſpicuum eſt.
IV.
Si datum punctum (puta jam X) in ipſa reflectentis circumfe-
rentia verſetur; arcûs triſectione ſtatim exhauritur _Problema_.
Nam
ducatur XH ad BC parallela (quæ quidem ipſa uno modo proble-
mati ſatisfacit) & interceptus arcus XH ſecetur punctis N, P, ut
connectantúrque rectæ
XN, NP. dico factum.
etenim ducantur CN, XP;
&
patet an-
gulum CN X ipſi CNP æquari; adeóque fore XN reflexum ipſius
PN; quinetiam ang.
NP X æquatur angulo HXP;
proindéque
NP ipſi XH, hoc eſt ipſi BC, parallela eſt. itaque factum.
V.
Verùm extra caſus hos, &
particulares alios (mihi non incog-
nitos, at nunc άΠροσ{δι}ονύ??{ου}ς) _Problema_ magìs ſolidum eſt;
in ſummo
quippe gradu tale; quatuórque ſubinde Solutiones admittens;
perque
lineam evolvi poteſt (ut alia pleraque, ſicutì pridem admonitum
nobis) ſibi peculiarem; illam hoc modo quàm expeditiſſimè per
puncta deſcribendam: Per datum punctum X protendatur indefinitè
recta GF. ad datam CB parallela;
connectatúrque recta XC;
&
ſuper hanc ceu diametrum deſcribatur circulus XICI.
tum è
puncto C prodeant quotcunque rectæ circulum XIC ſecantes punctis
I, rectamque GF punctis H; &
adſumantur in rectis CHI rectæ
IN æquales interceptis IH (ità ſcilicet ut puncta I rectas NH per-
tur linea; nimirum hæc (quà certè nulla Sectio conica faciliùs de-
lineatur) problematis noſtri conſtructioni deſervit, ejúſque liquidò
naturam patefacit; ſiquidem ejuſce cum dati circuli interſectiones
N (illæ verò ſubinde quatuor erunt, interdum tres (contactum e-
nim interſectionibus adnumero) nonnunquam Solummodò duæ; pro-
ut datus circulus magnitudine præditus eſt aliâ ac aliâ; quæ ſtrictim
adnoto tantùm, animum advertenti manifeſtè conſtitura) poſſibiles
quaſque Solutiones exhibebunt. ducatur enim ab ipſo X ad ejuſmodi
quamvis interſectionem N recta XN; &
per N tranſeat MP ad BC
parailela (vel ad GX) connexaque CN circulum XIC ſecet in I,
rectámque GX in H; item jungatur XI.
&
quoniam è deſcriptæ
lineæ naturâ ſeu conſtructione eſt IH = IN; angulúſque CIX, in
Semicirculo, rectus eſt; erit XN = XH;
vel ang.
XNI = ang.
XHI.
atqui ang.
XHI alterno HN P par eſt.
quapropter anguli
XNI, HNP pares ſunt. adeóque recta NX ipſius NP reflexus
erit. quod oportebat fieri.
ſic, inquam, enodari poterat id Pro-
blematis. at quoniam (ut innuebam ſuprà) _Geometrarum palato mi-_
_nùs ſapiunt hujuſmodi Problematum inuſitatæ ſolutiones;_ aliter id
(ſatis breviter atque perſpicuè) dabimus effectum hoc ſaltem eò
faciens Lemmaticum Problema præmittentes.
VI.
Dato circulo (cujus poſitione data diameter GF) &
puncto
C in ejuſce circumſerentia quoque dato; per hoc recta ducatur, cujus
pars diametro circumferentiæ que interjecta æquetur datæ rectæ Z.
Id ſic exequimur.
Connectatur recta CF;
&
huic perpen-
dicularis ducatur recta FV; &
accipiatur ad ipſas Z, GF tertia
proportionalis P; &
per G angulo CFV inſeratur recta RS par
ipſi P (id autem quomodò præſtandum, edocuimus ſupra) tum per C
erit intercepta HL (quod requiri-
tur) æqualis ipſi Z. Nam connectatur CG;
&
huic perpendicu-
laris ducatur GT; ad CF proinde parallela.
quia jam ang.
GCT
= CGR = FSR, liquet rectangula trigona CGT, RFS aſſi-
milari. adeóque fore CT.
CG :
: SR .
SF.
item (ob ſimilitudinem
triangulorum CGH, SFG) eſt CG. GH :
: SF.
FG.
erit igi-
tur ex æquo CT. GH :
: SR.
FG.
(hoc eſt) :
: FG.
Z.
verùm
eſt CT. FG :
: CH.
FH :
: HG.
HL.
permutandóque CT.
HG
:: FG.
HL.
quare FG.
Z :
: FG.
HL.
liquet igitur HL ipſi Z
datæ æquari: Q.
E.
F.
Plures eſſe caſus poſſunt;
ut nempe punctum L ſit intra Semicircu-
lum GCF (ídque poſitum inter puncta C, G, vel inter ipſa C, F) vel
ſed
hæc una conſtructio ſimul ac demonſtratio pariter omnibus convenit; ut pluribus huc non ſit opus.
VII.
Adnotetur ſaltem quoad iſtos caſus, quod ſicuti per punctum
G (ut antea commoſtratum) aliquando quatnor rectæ duci poſſunt
datam adæquantes, rectíſque FC, FV terminatæ; binæ ſcilicet inter
angulum quo punctum G continetur, alteræque totidem extra ipſum; nonnunquam verò tres ſolæ;
quum data recta minima continget eſſe
cunctarum, quæ dicto punctum G continenti angulo poſſunt interſeri;
ſubinde tantùm duæ, quando data tali minimæ cedit; ita reſpectivè
Problema jam expoſitum plures totidem ſolutiones accipit. Sanè
quò major eſt hîc data Z, cò minor evadet intercepta RS; &
viciſſim
quò minor RS, eò major ipſa IZ; unde ſi fuerit RS omnium mini-
ma, quæ angulo CFV punctum G capienti inſeri poſſunt, etiam HL
maxima erit è C prodeuntium rectarum, quæ inter diametrum GF,
& Semicirculum GEF comprchendi poſſunt.
unde Poriſmatis loco patet,
è ſupradictis, quo pacto talis maxima ducí poſſit; &
hoc ipſum Pro-
blema penitus determinari. quod attendenti non obſcurum innuiſſe
ſatìs videtur. jam ad principalis quæſiti rcſolutionem accedimus;
ità
jam brevitur propoſiti.
VIII.
Per datum punctum X rectam ducere, cujus reflexus datæ
Id ſic efficitur.
Centro X per C deſcribæur circulus GLFC;
item per X ducatur GF ad BC parallela;
tum ex C prjoiciatur
recta, cujus ſecundum Lemma mox præcedens, intercepta pars H L
æquetur Semidiametro reflectentis circuli; quæ &
illum ſecet in N;
Nam con-
nexis XC, XL; quoniam CN = HL, &
CX = LX;
&
anguli
XCL, XLC pares ſunt; erit XH = XN.
quapropter erit NP
ad XH, vel BC parallelus: Q.
E.
F.
IX.
Ex hac conſtructione, cum præmiſſi lemmatis ſolutione colla-
tâ diluceſcet hujuſmodi non ultra quatuor reflexos per idem quodcun-
que punctum, ceu X, tranſire; quorum duo ad unas axis partes inci-
dentibus, reliqui ad alteras conveniunt. adparebit ctiam ſi CN
major ſit, quam ut ci par HL rectâ GF, Semicirculóque GEF
intercipi poſſit; quòd ad axis partes, ad quas ipſum X ponitur, om-
quinetiam ſi CN
tanta ſit, ut ci par una tantùm ejuſmodi recta poſſit intercipi, quòd
unicus per ipſum X reflexus iter ſuſcipiet. tales, inquam, expoſiti
problematis determinationes hanc conſtructionem haud obſcurè ſe-
quuntur; quas certè tu meliùs uno mentis (haud dormitantis) ictu
perſpexeris, quàm ego pluribus verbis explicâro.
X.
Exhinc itaque denuò rectam (ſeurectas) ſatìs definivimus, in
qua (vel ìn quibus) puncti radiantis lmago, reſpectu visûs utcunque
poſitione datum centrum habentis, conſiſtit. ad ejus jam præciſiorem
locum inveſtigandum accingemur; in iſtarum rectâ quâpiam exiſten-
tem.
XI.
Huc adnotetur imprimìs, quòd ſi duorum ad eaſdem axis par-
tes incidentium parallelorum (NP, RS) reflexi ſint N Π, R σ; erit arcus NR, vel PS arcûs Π σ ſubtriplus.
Concurrant enim dicti
reflexi in X; &
Connectatur recta R Π.
&
quoniam, è præmonitis,
crit idem angulus NXR anguli N Π R quadruplus.
quapropter erit
ang. NXR - ang.
N Π R triplus anguli N Π R, hoc eſt angulus
XR Π anguli N Π R triplus. unde quoque triplus erit arcus Π σ ipſius
NR : Q.
E.
D.
XII.
Iiſdem ſtantibus dico fore RX (obliquioris reflexi partem
incidentiæ concursûſque punctis interceptam) majorem quadrante to-
tius reflexi R σ. Nam, ductis ſubtenſis NR, Π σ;
erit I.
3 :
:
arc. NR.
Π σ.
&
lt;
recta NR.
Π σ :
: RX.
X Π &
lt;
RX.
X σ (quia
ſcilicet eſt X Π >
X σ).
igitur eſt X σ minor triplâ RX;
compo-
nendóque minor erit R σ quadruplâ RX: Q.
E.
D.
XIII.
Item, dico fore NX (rectioris itidem reflexi concursûs
incidentiæque punctis interjectam partem) minorem quartâ parte
totius N Π. Etenim fiat ang.
HR Π = ang.
N Π R;
quapropter
erit HR = H Π; adeóque 2 H Π = HR + H Π &
gt;
R Π &
gt;
N Π.
item quoniam ang.
RHN = 2 ang.
HR Π = ang.
XRH;
eſt
XH = XR >
XN.
quum itaque ſit H Π major ſemiſſe totius N Π;
& XH major ſemiſſe reſidui NH;
liquet totam X Π majorem eſſe
triplâ X N; ſeu totam N Π majorem eſſe quadruplâ N X:
Q.
E.
D.
XIV.
Hinc perſpicuum eſt, ſi fuerit NZ reflexi N Π quadrans,
quòd nullus alter hujuſmodi reflexus punctum Z permeabit. Etenim
alterius cujuſvis reflexus permeare dicatur; erit igitur, ſi obliquior
is fuerit, NZ <
{1/4} N Π;
ſin rectior fuerit, erit NZ &
gt;
{1/4} N Π (ni-
mirum è proximè demonſtratis hæc conſequuntur) quæ repugnant
hypotheſi.
XV.
Quinetiam ipſi N Π propiùs adjacentium occurſus puncto Z vi-
Secent.
inquam, radiorum LM, RS reflexi
L μ, R σ ipſam N Π punctis Y, X; iſtæ quidem (rectior) in Y, hic
(obliquior) in X; erit ZY &
lt;
ZX.
Nam connectantur R Π,
L Π; &
fiat ang.
Π LH = ang.
N Π L;
ducantúrque rectæ RH,
RY. eſtque RH &
gt;
LH = H Π;
adeóque ang.
H Π;
R &
gt;
ang.
HR Π;
&
proinde ang.
NHR &
lt;
2 ang.
H Π R.
item YR &
gt;
YL
= YH; proindéque rurſus ang.
NYR &
lt;
2 ang.
YHR.
quare
multo minor eſt ang. NY R quadruplo N Π R eſt autem ang.
NXR
quadruplus anguli N Π R; igitur ang.
NXR &
gt;
ang.
NYR.
pona-
tur jam, ſi fieri poteſt, punctum X ipſis Y, Z interjacere. erit igitur
angulus externus NYR interno NXR major; atqui minor oſtenſus
eſt. quæ repugnant.
itaque potiùs eſt ZY &
lt;
ZX:
Q.
E.
D.
Ad alteras partes haud abſimilis erit diſcurſus;
parco faſtidioſæ re-
petitioni. ‖
XVI.
Hinc obiter patet ad eaſdem partes incidentium reflexos ſeſe
priùs (velut ad φ) quàm ipſum N Π decuſſare.
XVII.
Quinimò rurſus hinc conſtat ad eaſdem axis partes plures
duobus in uno puncto reflexos non concurrere.
XVIII.
Demùm (utaliquando tandem deſtinatum attingamus ſcopum)
ipſa N Π ponitur, circa punctum Z (ipſam N Π prænotato modo
quadriſecans) radiantis imago conſpicietur. Sit enim pupillæ (prout
antehac aliquoties) diameter EF; per eujuſce terminos tranſeant
radiorum LM, RS reflexi LE, RF; quorum iſte ſecet ipſum N Π in
Y, hic in X. quoniam igitur radiorum obliquiorum ipſo RS,
rectiorum ipſo LM nullus oculum intrabit; utì ſuprà non ſemel argu-
mentati ſumus, intra ſpatium XY neceſſario conſiſtet imago. quineti-
flectuntur axi N Π propiùs adjacentes perpendicularius oculum fe-
riunt, ìdque ſpiſſiùs (ut ex analogia par eſt exiſtimare; nec enim
id operoſiùs aggrediar demonſtrare) propter aliquoties expoſitas
cauſas ab eo videbuntur obtutum afficientes radii promanare; hoc eſt
ad ipſum imago conſiſtet. Accedit quod ob anguſtiam pupillæ ſpa-
tium XY ſatìs modicum exiſtit; ut puncti modum vix excedere vi-
deatur.
XIX.
Subdo;
ſi ſtatuatur oculi centrum uſpiam in ZN;
iſque ver-
ſus partes N obvertatur; objectum confuſiùs apparere;
quippe cùm
reflexi viſum convergentes appellant; vel quoniam imago Z tunc pone
viſum conſiſtit.
XX.
Hinc à ſpeculo Cavo tantùm una repræſentatur Imago, ſaltem
bene diſtincta. Nam in duorum reflexorum N Π;
, R σ concurſu X
ſtatuatur oculi centrum; &
ſit R ζ = 1/4 R σ;
unde R ζ &
lt;
RX.
itaque ſpectabitur quæ ad ζ imago ab oculo in X collocato, verſúſque
partes NR obverſo; ſed tum imago Z poſt oculum conſiſtit.
XXI.
Et hæc quidem rectè percepta, ſerióquè perpenſa vix addubi-
to quin facilè ſibi fidem conciliatura ſint; nihil ut ſit opus adverſantia
_ſeu veterum Opticorum decreta, ſeu recentiorum Commenta pluribus_
_convellere;_ quæ certè cùm nullâ perſpicuâ ratione nituntur, tum ab
experientia plerumque diſcordant. Cætera verò ſiqua reſtant ad hoc
argumentum ſpectantia ſtudio veſtro commendabimus elicienda; mox
ad è ſenſibiliter finita diſtantia radiantis puncti _Symptomata_ ſimiliter
exploranda animum adjecturi.
I QUæ radiis obveniunt à longinquo puncto manantibus, adc-
óque quaſi parallelis, ex reflectione peripheriam ad circula-
rem peractâ; ubinam &
quouſque vel ſibimet ipſis occurrunt, vel ax-
em interſecant; quo loco radians oculo ubicunque conſtituto repræ-
ſentant, in poſtremis eſt diſſertatum. ad punctum jam accedimus ra-
dios ejiciens ſenſibiliter divergentes. Et hujuſmodi quidem puncto,
quanquam ſeu in obverſas circuli Convexas partes ſeu ad concavas
radiet communia pleraque ſymptomata conveniunt; tamen communi
fretus _Opticorum_ exemplo, præſertímque majoris evidentiæ causâ,
caſus iſtos diſtinctè proſequemur; illum fuſiùs imprimis, hunc aliquan-
to conciſiùs. ad rem.
II.
In circuli BNP (cujus centrum C) convexum à puncto A
quilibet incidat radius AN, íſque reflectatur in NG; patet reflex-
um GN productum axi AC occurſurum. nam ductâ CNE patet
GN productum angulum ANC ſecare; nec non ideò trianguli
ANC baſin AC; puta in K;
quo poſito.
III.
Dico fore AC.
AN :
: KC.
KN.
Nam ducatur KH ad
CN parallela. eſt igitnr ang.
KHN = CNP = CNK = NKH.
hoc etiam è ſuperiùs generatim oftenſis conſectatur.
adeóque NH
= NK. itâque cùm ſit AC.
AN :
: KC.
HN.
erit etiam AC.
AN :: KC.
KN.
IV.
Corollarii loco notetur (ductâ CP) fore NH = NK;
&
triangula HNK, NCP aſſimilari;
vel eſſe HK.
HN :
: NP.
CN.
V.
Porrò, conftantibus iiſdem, dico fore AC.
KC :
: ACq
- ANq . CNq.
Nam eſt NP.
CN + AN.
CN = HK.
HN + AN.
CN = HK x AN.
HN x CN = AN.
HN
CN.
= AC.
KC + AK.
AC = AK.
KC.
verùm eſt
NP. CN + AN.
CN = NP x AN.
CNq.
ergò erit AK.
KC :
: NP x AN.
CNq.
componendóque AC.
KC :
: NP
CNq.
cum ſit igitur NP x AN = AP x AN
- ANq. &
AP x AN = ACq - CNq;
adeóque NP
x AN + CNq = ACq - CNq - ANq + CNq; = ACq
- ANq. erit AC.
KC :
: ACq - ANq.
CNq :
Quod E.
D.
_Coroll_.
AK.
KC :
: AN x NP.
CNq.
VI.
Etiam hoc _Theorema_ ſubdemus:
Si fiat 2 CA.
CN :
:
CN. E.
&
2 CK.
CN :
: CN.
F;
&
ſumatur CQ = E + F;
erit ducta NQ ad CA perpendicularis.
vel reciprocè;
poſito quòd
ſit NQ ad CA perpendicularis; erit CQ = E + F.
‖ Nam (ut
hoc poſterius oſtendamus) quoniam eſt 2 CA. CN :
: CN.
E.
& CN.
2 CK :
: F.
CN.
erit ex æquo perturbatè 2 CA.
2 CK
:: F.
E.
vel CA.
CK :
: F.
E.
componendóque CA + CK.
CK
:: F + E.
E.
Porrò quoniam eſt ANq = ACq + CNq - 2 AC
x CQ; erit 2 AC x CQ - CNq = ACq - ANq.
itaque
(juxta præcedentem) erit 2 AC x CQ - CNq. CNQ :
: AC.
CK. hoc eſt ( ob CNq = 2 AC x E) 2 AC x CQ - 2 AC
x E. 2 AC x E :
: AC.
CK.
hoc eſt CQ - E.
E :
: AC.
CK.
vel componendo CQ. E :
: AC + CK.
CK.
erat autem AC
+ CK. CK :
: F + E.
E.
ergò CQ = F + E:
Quod E.
D.
VII.
Ex iſtis porrò deducetur, ſi dividatur Semidiameter BC in
Z, ut ſit AC. AB :
: CZ.
BZ;
punctum Z limes erit citra quem
(reſpectu centri C) nullus hujuſmodi reflexus axem decuſſabit. Cu-
juſvis, inquam, radii AN eſto reflexus GN; axi occurrens in K.
dico fore CK &
gt;
CZ.
Nam ob hypotheſin (permutandóque) eſt AC.
CZ :: AB.
BZ.
igitur (antecedentes, &
conſequentes copulan-
do) AC. CZ :
: AC + AB.
CB.
quare ( poſterioris hujuſce
rationis utrumque terminum in æquales AC - AB, & BC ducen-
do) erit AC. CZ :
: ACq - ABq.
CBq.
eſt autem ACq
- ABq >
ACq - ANq;
adeóque ACq - ABq CBq.
>
ACq - ANq.
CBq :
: AC.
CK (è mox oſtenſis hoc) qua-
propter erit AC. CZ &
gt;
AC.
CK.
indéque CK &
gt;
CZ:
E.
D.
VIII.
Aliter hoc idem;
ut quibuſdam fortaſſe videbitur, minùs
involutè: per N ducatur VT circulum contingens.
&
quoniam NT
erit AN.
NK :
: AT.
TK.
&
lt;
AB.
BK.
quare BZ.
AB + AN.
NK &
lt;
BZ.
AB + AB.
BK
(communem adſciſcendo rationem BZ ad AB). eſt autem BZ.
AB + AN. NK = CZ.
AC + AC.
CK = CZ.
CK &
BZ. AB + AB.
BK = BZ.
BK.
ergo CZ.
CK &
lt;
BZ.
BK.
permutandóque CZ. BZ &
lt;
CK.
BK.
quin &
componendo CB.
BZ <
CB.
BK.
ideóque BZ &
gt;
BK;
quare punctum Z centro
propinquius eſt, quàm ipſum K: Q.
E.
D.
_Coroll_.
Hinc ſi puncta Z, ζ fuerint limites punctorum radiantium
A, _a_ (quorum A fit à fpeculo remotiùs, quàm _a_) erit CZ <
C ζ.
Nam eſt BC.
AB &
lt;
BC, _a_ B.
adeóque compoſitè AC.
AB &
lt;
_a_ C. _a_ B.
hoc eſt CZ.
BZ &
lt;
C ζ.
B ζ.
quare componendo
BC. BZ &
lt;
BC.
B ζ.
&
indè BZ &
gt;
B ζ.
IX.
Porrò, conſectatur è præmiſſis, quòd ſi duorum quorumvis
incidentium AN, AR reflexi GN, HR axem interſecent punctis
K, L; erit CL, CK :
: ACq - ANq.
ACq - ARq.
‖ Nam
quoniam eſt AC. CK :
: ACq - ANq.
CBq.
itémque CL.
AC :
: CBq.
ACq - ARq.
erit ex æquo perturbatè CL.
CK :: ACq - ANq.
ACq - ARq.
X.
Simili planè diſcurſu, ſi fuerit AC.
AB :
: CZ.
ZB.
erit CZ.
CK :
: ACq - ANq.
ACq - ABq.
&
CL.
CZ :
:
ACq - ARq. ACq - ABq.
XI.
Hinc perſpicuum eſt obliquioris reflexi concurſum à centro
magìs elongari quam rectioris; quod nempe ſit CL &
gt;
CK.
Cùm
enim ſit ACq - ANq >
ACq - ARq;
erit CL &
gt;
CK.
XII.
Hinc neceſſariò duo quilibet ad eaſdem axis partes incidentium
reflexi (quales NK, RL) ſeſe priùs quàm axem interſecabunt, puta
ad X. quo poſito.
XIII.
Adnotari poteſt angulum GXH vel KXL (à reflexis oc-
currentibus incluſum) æquari angulo NCR unà cum differentia angu-
lorum incidentiæ; vel, duplo angulo NCR unà cum ang.
NAR.
‖ Etenim
ang. KXL = ang.
ALR - AKN = ang.
ACR + CRL -:
ang.
ACR - ACN + :
ang.
CRL -
CNK = ang NCR +: ang CRS - CNP.
‖ Quinetiam ang.
CRS - CNP = ang.
RCA + CAR -:
ang.
NCA +
NCR + NAR.
itaque rurſus ang.
KXL =
2 ang. NCR + ang.
NAR.
liquent igitur quæ propoſita ſunt;
in uſum (ſi fortè) ſequentium.
pro quibus itidem hæc proponenda
ſunt.
XIV.
Etiam palàm eſt è dictis ipſos reflexos GN, HR directè
adeóque duntaxat unum hujuſmodi re-
flexum oculi centrum tranſire; conſequentèr &
puncti A tantùm u-
nam à convexo ſpeculo imaginem exhiberi.
XV.
_Lemmatia_ 1.
Sint quæcunque tria quanta A, P, C;
primó-
que ſit A. B &
gt;
B.
C;
dico fore A + C &
gt;
2 B.
ponatur enim
fore A. B :
: B.
E.
erit ergò A + E &
gt;
2 B.
quinetiam erit ergò
B. E &
gt;
B.
C adeóque C &
gt;
E.
ergo magis A + C &
gt;
2 B.
2.
Sit (iiſdem adhibitis quantis) ſecundò A + C &
lt;
2 B.
dico
fore A. B &
lt;
B.
C.
nam ſive dicatur eſſe A.
B :
: B.
C.
vel A.
B
>
B.
C.
ſequetur utrobique fore A + C &
gt;
2 B;
contra hypothe-
ſin. itaque potiùs eſt A.
B &
lt;
B.
C.
XVI.
Etiam hoc adjungo.
Si duo ſumantur ad eaſdem axi partes
R X; &
ducantur rectæ AN, AR, AX;
erit ANq + AXq
>
2 ARq.
Nam ducantur CN, CR, CX;
&
demittantur ad AC perpen-
diculares NE, RF, X G; ſint item NP, RQ ad AC parallelæ
ducantúrque ſubtenſæ NR, RX. ;
&
quoniam ang.
RXQ &
gt;
ang.
NRP;
patet eſſe R X.
RQ &
lt;
NR.
NP;
adeóque cum
RX = NR, erit RQ >
NP;
hoc eſt FG &
gt;
EF.
ergò 2 CF
>
CE + CG;
unde 4 AC x CF &
gt;
2 AC x CE + 2 AC x
CG atqui eſt ANq = ACq + CNq - 2 AC x CE. &
AXq
= ACq + CNq - 2 AC x CG. &
2 ARq = 2 ACq +
2 CNq - 4 AC x CF. ergo ANq + AXq &
gt;
2 ARq.
Addo, ſequentium gratià, ſi punctum A ſumatur ad alteras (inſra
centrum) partes; &
reliqua ſimiliter apparentur;
fore contrà, tum
ANq + AXq <
2 ARq.
nam in eo caſu eſt ANq + AXq
= 2 ACq + 2 CNq + 2 AC x CE + 2 AC x CG. &
2 ARq = 2 ACq + 2 CNq + 4 AC x CF. unde liquet pro-
poſitum.
XVII.
Sint jam ad eaſdem axis partes duo quilibet æquales arcus
&
incidentinm AN, AR, AX reflexi GN, HR, IX
erit intervallum ML ab
obliquiorum occurſibus concluſum majus ipſo LK rectiorum occurſi-
bus intercepto.
Nam quoniam eſt ANq + AXq &
gt;
2 ARq.
erit 2 ACq
- ANq - AXq <
2 ACq - 2 ARq.
adeóque ACq -
- AXq. ACq - ARq &
lt;
ACq - ARq.
ACq - ANq.
hoc eſt, è præmonſtratis, CL.
CM &
lt;
CK.
CL;
vel inversè
CM. CL &
gt;
CL.
CK.
quapropter erit CM + CK.
&
gt;
2 CL.
& ideò CM - CL &
gt;
CL - CK hoc eſt ML &
gt;
LK :
Q E. D.
XVIII.
Hinc conſtat, etiam in hac hypotheſi, rectiùs incidentem
lucem â reflectione magìs inſpiſſari; ſeu ſpatio verſus limitem Z arcti-
ore conſtringi.
XIX.
Quin ab his demum omnibus colligitur, ſi uſpiam in axe
(velut ad O) conſtituatur oculi centrum, quod punctum A neceſſa-
Etenim (prorſus ut in præcedente
quoad radios ab infinitè diſſito puncto manantes hypotheſi) ab axis
illi puncto adjacente parte radii cùm copioſiores, tum axi viciniores,
oculóque rectiores, efficaciâ proinde præpollentes, nec non qui
faciliùs re-adunentur, provenire videntur. quæ nempe cuncta ſimul
ac emergentem propoſiti conſequentiam abunde, puto, dedimus
enucleata. Succedit ut hâc parte defuncti pro viſu extra radiationis
axem collocato itidem imaginis ſedem definiamus. veruntamen hæc,
quanquam haud ità quantitate multa , pro rei tamen obſcuritate for-
taſſis nimia videbuntur. itaque jam opportunum autumo deſiſtere.
I.
Q Ualiter in obverſum Speculi circularis convexum finitè di-
ſtans punctum radiat, & ubi loci adparet oculo in recta con-
ſtituto per ipſum radians & ſpeculi centrum trajecta poſtremo con-
niſi demonſtrare; nunc idem quoad aſpectum aliàs ubicunque ſitum
aggredimur expiſcari. quò primum attinet ut rectam inveſtigemus,
in qua conſiſtet Imago; tum ut punctum ejus in iſta recta præciſum
determinemus. &
primo quidem negotio ſatisfactum erit hujuſmodi
_Prob@ema_ conficiendo; quod (ſequentium quoque gratiâ) genera-
tim proponimus.
II.
_Dato circulo reflectente_ (cujus centrum C) _datiſque binis pun-_
_ctis; ab horum uno recta ducatur, cujus rtflexus per alterum tran-_
_ſeat._
1.
Si data puncta (puta A, X) ſint ambo in circuli peripheria,
N X, rectas NA, NX ſibi mutuò reflexas fore; ſeu, junctâ CN,
angulum CNXangulo CNA æquari.
2.
Etiam ſi datorum unum (X) in circumferentia ponatur;
liquet,
XH alterum alterius reflexum.
3.
Item ſi data puncta (A, X) æqualiter à centro diſtent;
con-
lum reflectentem interſecante ad N; perſpicuum eſt conjunctas rectas
AN, XN, invicem in ſe reflecti; vel angulum CNXipſi CNA
æquari.
III.
4.
Si puncta data (puta jam A, K) ambo exiſtant in recta per
reflectentis centrum tranſeunte (nempe AB KC.)
I.
Fiat CK.
AC:
: CB.
T.
ac inter CB, &
T ſit proportione
Vq:
: CB.
T:
: CK.
AC).
tum centro A,
intervallo √:: ACq - Vq.
deſcribatur circulus reflectentem
&
per N ducatur KN G;
hæc ipſius AN reflexa
erit.
Nam ob ANq = ACq - Vq.
erit Vq = ACq - ANq.
ACq - ANq:
: (CBq.
Vq:
:) CK.
AC.
quod, è præmonſtratis, reflectioni proprium eſt.
ergò liquet pro-
poſitum.
2.
ltà quidem in hoc caſu;
at ſi punctum A ponatur aliàs, ut ſit
AC <
AN;
reliquis ſtantibus, Sumendum erit intervallum AN
= √ : ACq + Vq;
ut ſit ANq - ACq = Vq.
ut poſthac
conſtabit, ubi de concavis agemus. Aliter hoc idem.
Fiat 2 CK.
C B:
:
CB.
F.
&
2 CA.
CB :
:
CB.
E.
ſumatúrque CQ = E
+ F. &
du@ta QN ad AC perpendicularis circulum ſecet in N.
connexæ AN, KN altera alterius reflexa erit. hoc è ſuprà dictis
liquidò conſectatur. At ſi fuerit AN &
gt;
AC;
tum accipi debet
CQ = F - E; &
(reliquis nihil immutatis, utì poſtmodùm appa-
rebit) factum erit.
IV.
Intra caſus hos _Problema_, ceu videtis, facilè conſtruitur;
aſt illos;
alióſque ſpeciales, ſi qui ſunt, excipiendo, generaliter con-
ceptum omnino Solidum eſt, & certè _δυσ@@νον_;
vix ut aliud a
_Geometris_ hactenus attentatum difficilius reperiatur. Et primò qui-
dem per lineam extrui, explicaríque poterit ſibi peculiarem, hoc vel
adſimili modo deſcribendam.
Connexâ CA, ſuper diametrum CA deſcribatur circulus AI C;
item ſemidiametro CA deſcribatur alter circulus AH G.
tum à C
educantur rectæ quotvis CI circulum AICſecantes punctis I; &
per
A, I ductæ rectæ circulum AHGſecent punctis H; demum per H,
& X rectæ ducantur ipſas CI decuſſantes punctis N.
per hujuſmodi
lutioni accommodata. Sit enim ejus, ac reflectentis circuli quævis
interſectio N (qualium certè pro reflectentis circuli magnitudine ſub-
inde quatuor, aliquando tres, modò binæ tantùm erunt) & connecta-
tur AN. Et quoniam angulus CIA in Semicirculo rectus eſt, erit
recta AH biſecta in I. adeóque triangula AN I, HNIſibimet æqua-
lia prorſus & æquiangala erunt;
&
ſpeciatim ang.
INA = ang.
IN X.
unde patet propoſitum.
V.
Verùm quoniam (ut pridem admonitum) hujuſmodi conſtructi-
ones, etſi longè faciliores iis quæ per vulgò receptas lineas peraguntur,
& _Problematum_ naturam magìs in propatulo collocantes à _Geometris_
iſtâ tantummodò raptim inſinua-
tâ, ſubnectemus alìam ab illorum guſtu non abhorrentem; illam
nempe (quando ſcilicet haud alia melior, ut varias pertentans analyſes,
& hoc in alia complura _Problemata_ transformans exiſtimari poſſum,
facilè poſſit excogitari; quum &
operæ meæ ſatìs alioquin exerci-
tatæ nonnunquam videatur parcendum) quam olim _Alhazenus Arabs_
ſcriptis commendavit; ab horribili tamen illâ prolixitate ſimul ac
obſcuritate; neque non ab incondita ſermonis barbarie nonnihil re-
purgatam. quorſum hoc præmittimus _Lemmaticum Problema._
VI.
Trianguli DPNangulus ad P rectus ſit;
&
in hujus uno cru-
per F recta ducenda eſt, quæ reli-
quum latus DP (protractam nempe) ac hypotenuſam DN ità ſecet,
ut ab illis intercepta ad ſegmentum hypotenuſæ lateri primò contermi-
num datam obtineat proportionem R ad S.
Hoc ità peragatur licet.
Ducatur FH ad PD parallela.
&
Dia-
metro HN deſcribatur Circulus HFN(is nempe per F tranſibit, ob
angulum HFNrectum) tum connectatur DF; &
fiat angulus
FHI = ang. FD N.
ſit etiam R.
S:
: DF.
T &
a puncto I duca-
tur recta ILKdiametrum HN interſecans ad L, & circulo occurrens
in K, ità quidem ut ſit intercepta LK = T (hoc autem quomodò
præſtetur in ſuperioribus oſtenſum) denuo per puncta KF trajiciatur
recta CF, ipſam DP ſecans in X. Dico factum, vel ipſe CX.
CN:
: R.
S.
connectatur enim recta NK.
&
quoniam ang FK I
LK C; ac indè FD.
DC:
: KL.
CK.
item ob ang.
FKN = ang.
FHN = ang.
XDC;
erunt triangula XDC, NKCſibi quoque
ſimilia, proindéque DC. CX:
: CK.
CN.
quapropter erit ex
æquali FD. CX :
: KL.
CN.
vel permutando FDCK:
: CX.
C N; hoc eſt FD.
T (vel R.
S):
: CX.
CN;
quod faciendum
erat.
Advertendum eſt autem, quod datum punctum F in recta PN
indefinitè protenſa variè ſtatui poteſt; vel nimirum inter puncta P,
N; vel extra illa partes ad alterutras item quòd in iſtorum caſuum
ſingulo quoque recta IK (conditione gaudens præſtitutâ) plurifa-
riàm duci poteſt; ut antehac inculcatum;
unde plures emergent ſolu-
tiones. at quoad omnes caſus perſimilis erit conſtructio, nec ferè di-
verſa demonſtratio. quare cur plura?
VIII.
Proponatur jam circulus reflectens (is qui præ oculis, cujus
reperiendum eſt in
circumferentia punctum aliquod; à quo ductæ ad A, X rectæ, altera ſit
alterius reflexa. ‖ Hocità perficimus:
Conjungantur rectæ AC, XC;
&
fiat (ſeorſim) ang.
δ = {1/2} ang.
&
in ξ δ crure anguli δ ſumpto liberè puncto π ducatur π V
ad ξ δ perpendicularis alterum crus ſecans in V; &
in V π protracta
capiatur π γ = π V; tum dividatur γ V in φ, ut ſit γ φ.
φ V:
: XC.
CA;
perque punctum φ trajiciatur κ ξ ſic ut ſit κξ.
κ v:
: CX.
CN.
denique
erit punctum N quale deſi-
deramus. Nam ducantur XN, ξ v;
&
fiat ang.
CNG = ang.
κ v γ.
adſumatúrque PG = PN;
&
connectatur XG.
liquet jam
trangula XCN, ξ κ v ſimilia fore; nec non ipſa CNF, κ v φ;
& ipſa XP F, ξ π φ;
ipsáque demùm XFN, ξ φ v aſſimilari.
quare
PF. XF:
: π φ.
ξ φ.
&
XF.
FN:
: ξ φ.
φ V.
&
ex æquo PF.
FN:: π φ.
φ V.
&
antecedentes duplando 2 PF.
FN :
: 2 π φ.
φ V.
componendóque 2 PF + FN. FN:
: 2 π φ + φ V.
φ V.
hoc eſt
GF. FN:
: γ φ.
φ V (hoc eſt):
: XC.
CA.
ducatur jam NL ad
XG parailela; quare eſt ang.
ING = ang.
G = ang.
XNG;
& XG (XN).
NL:
: GF.
FN:
: XC.
CA.
porro fiàt ang.
LNH = ang. XCA;
&
HN protracta ipſi CA occurrat in M;
cſtque proptereà triangulum HNLſimile triangulo HCM; idcir-
cóque HC. CM:
: HN.
NL.
ducatur denuò tangens NQ;
eſt-
que tum ang. PNQ = rect - CNP = rect - κ V π = ang.
δ = {1/2} XC A; vel 2 ang.
PNQ = ang XCA = ang LNH.
verùm erat priùs 2 ang. XNF = ang.
XNL.
ergo 2 ang XNF
- 2 ang PNQ = ang XNL- ang. LNH.
hoc eſt 2 ang XNQ
= ang. XNH.
ergo tangens NQ biſecat angulum XNH;
indéque
conſectatur fore rectam HM ipſius XN reflexam; ac ideò eſſe XC.
HC:: XN.
HN.
atqui fuit priùs HC.
CM:
: HN.
NL quare
jam erit ex æquo XC. CM:
: XN.
NL (h@c eſt etiam è præmon-
ſtratis):: XC.
CA.
unde CM = CA.
quapropter HM, ipſius
XN reflexa tranſit per A: Quod propoſitum erat efficere.
‖
VIII.
Hujuſce _Problematis_ ità generaliùs propoſiti varii quidem
caſus ſunt (etenim vel data puncta jacent ambo extra circuh@ re-
flectentem; vel utrumque poſitum eſt intra circulum;
vel unum intra
jacet, alterum extra; quinetiam in horum caſuum unoquoque pluries
conficitur negotium) aſt ubique non abſimilis erit conſtructio; ſanè
nimius eſſem; meámque pariter ac veſtram patientiam macerarem
omnes intricati _Problematis_ nodos evolvendo; ſuffecerit ejuſce ſpeci-
men aliquod protuliſſe.
IX Adnotabimus tantùm quòd ex _Problematis_ hujuſce natura con-
ftructioneque propoſita ſatìs attendenti conſtabit (utique ſicut in _H@-_
_potheſibus_ antehac tractatis uberiùs eſt declaratum) duorum tantùm
ad eaſdem axis partes incidentium reflexosad unum ſeſe punctum de-
cuſſare. nam aliorum unius (qui ſubinde poteſt dari) vel alterius re-
flexi per ejuſmodi punctum tranſeuntes ad alteris partibus incidentes
pertinebunt.‖ Ex his quadantenus eluceſcit datis puncti radiantis,
oculíque poſitione deſignari poteſt linea quævis, in qua dicti puncti
ſpecies apparebit; incumbit proximè punctum in ea præciſum deter-
minare, ad quo eadem conſiſtit. eo ſpectat hoc Theoremation.
X.
Ab eodem quocunque puncto A manantes duo radii AN, AR
dentiæ punctis interjacent) intercipiant arcum PS; eorum verò re-
flexi intercipiant arcum π σ; erit arcus π σ æqualis Summæ vel diffe-
rentiæ dupli arcûs NR, & arcûs PS.
Nam (1) in prima figura;
eſt PS + SR + RN = PN = N π = π σ + σ R - RN;
er-
gò, pares hinc indè SR, & σ R ſubducendo, erit PS + RN =
π σ - RN. proindéque PS + 2 RN = π σ.
(2).
in altera figura;
erit PS + SR - RN = PN = N π = RN + R σ - σ π. qua-
rè rurſus æquales auferendo SR, R σ manebit PS - RN = RN
- σ π unde tranſponendo erit σ π = 2 RN - PS.
XI.
Etiam hoc _Lemmation_ adſcribemus:
Biſecetur recta NP in E;
ubivis ſumatur punctum A;
erit EA = {PA ±:
NA.
/2.
} Nam
EA = {P N/2} ±: AN = {PN ±:
2 AN / 2} = {PA ±:
AN.
/2}
XII.
Exhinc, ut propoſitum citiùs attingamus, Suppoſito radios
punctum deſignabimus ad quod ipſorum reflexi N π, R σ concurrunt; dicimus utique ſi dicti reflexi concurrant ad Z;
bifectis ſubtenſis NP,
N π in E, & F;
fore FZ.
ZN:
: EA.
NA.
‖ Nam quoniam
arcus NR, PS ex hypotheſi ſunt indefinitè parvi (ſeu minimi) ſe ha-
bebunt ut ſuæ ſubtenſæ; nec non idem de arcubus NR, π σ dici poteſt.
igitur arc. PS.
RN :
: PS.
RN:
: PA.
RA.
(hoc eſt ob RA,
NA nihil, ex eadem hypotheſi, differentes):: PA.
NA.
ergò,
bis componendo, erit PS + 2 RN. RN:
: PA + 2 NA.
NA.
RN:
: PA + 2 NA.
NA.
eſt autem arc σ π.
RN
:: ſubtenſa σ π.
RN:
: π ZZ R:
: π Z.
ZN.
ergo π Z.
ZN:
:
PA + 2 NA. NA.
&
componendo π N.
ZN:
: PA + 3 NA.
NA
& antecedentes ſubduplando FN.
ZN:
: {PA + 3 NA/2}.
NA.
de-
nique dividendo FZ. ZN:
: {PA + NA / 2}.
NA.
eſt autem EA =
{PA + NA/2}. ergò tandem eſt FZZN:
: EA.
NA:
Q.
E.
D.
XIII.
Hinc colligitur punctum Z eſſe locum ipſiſſimum, circa quem
puncti Z imago conſiſtit; oculi reſpectu in reflexo GN π conſ@ituti,
tanquam ad O. etenim ſuperiùs nec ſemel argumentis, ut mihi vide-
legíſve ratum, fixúmque cenſeri queat iſthic imaginem verſari, ubi
propiorum incidenti principali (hoc eſt ei cujus reflexus oculi centrum
tranſiens axis Optici vicem ſubit) radiorum reflexi principalem illum
reflexum interſecant; itaque circa Z in hoc caſu verſatur.
XIV.
Et hoc argumentatione collegi, non illâ quidem incertâ
vel ambiguâ, ſed nec ad _Geometrici_ rigoris amuſſim præ illa quam in
præcedentibus uſurpavi (quanquam & hæc è cognatis fontibus pro-
Huxerit) adeò exactâ; concisâ tamen, &
facili, talíque quæ conclu-
ſionis adſertæ cauſam apprimè detegit. Enim verò ſi pleraque cuncta,
quæ ſe oggerunt huc attinentia, minutatim ac moroſè perſequi vellem,
immane quantum tædii (commodo veſtro fortaſſè non tanto) mihi-
met accerſerem, & temporis plurimum veſtri pariter ac mei exhauri-
rem. ſuffecerit itaque jam, &
poſthac in reliquis Hypotheſibus ſuffi-
ciat, viâ quàm breviſſimâ (modò tamen certiſſimâ) metam attingere. De convexis hactenus;
ad concava proximè nos conferemus, aliquan-
to breviùs exponenda.‖
1.
IN poſtrema Lectione quod ſpectavimus punctum circuli convexo
alluxit; nunc parte@ concavas irradians aliud, at magìs @ π’ π ω,
contemplabimur. &
quidem caſuum præcipuorum diverſitatem im-
primìs diſtinguemus. Nempe radiet punctum A in circulum re-
flectentem, cujus centrum C; connexaque recta AC protendatur in-
definitè; quo poſito.
II.
1.
Incidat radius AN;
&
ſit AN = AC;
erit ipſius AN
reflexus, puta N _a_, ad AC parallelus.
Hoc è ſuprà generatim oſtenſis conſtat;
&
facilè jam patet, con-
nexâ CA. etenim eſt ang.
ACN = AN C;
ob AC, AN, ex
Hypotheſi pares; &
ang.
ANC = _a_ NC, propter reflectionem;
adeóque ang.
ACN = _a_ NC;
unde ſunt AC, N _a_ ſibi paralle-
læ.
III.
2.
Incidat radius AM major ipsâ AC;
ejus reflexus (puta
puncti A; (hoc eſt centrum C puncto radianti, concurſuique inter-
jacebit).
Nam ob AM &
gt;
AC, erit ang.
ACM&
gt;
AMC = CM _a_.
ergo ang.
BCM+ CM _a_ &
lt;
ang.
BCM+ ACM = 2 rect.
quare M _a_, CB convenient infra CM ad partes _a_ B; velut
ad K.
IV.
3.
Incidat radius AR;
&
ſit AR minor ipsâ AC;
ejus
(hoceſt ut radians
centro, concurſuíque ſit interjectum).
Nam hîc ob AR &
lt;
AC;
erit ang.
ACR&
lt;
ang ARC = ang.
_a_ RC.
quapropter ang.
DCR+ _a_ RC &
gt;
2 rect.
unde patet ipſas
D C, _a_ R portractas infra CR concurrere.
V.
Horum caſuum primus ad unum duntaxat ab una axis parte radi-
um pertinet, qui reliquos aliis caſibus convenientes medius diſterminat.
itaque primò AC = AG = A γ; unde quilibet incidens cavo GB γ
radius (ut AN) major erit quam AC; hujus itaque reflexus axem
ſecet puncto K; dico, ſi ſemidiameter CB dividatur in Z;
ut ſit CZ.
ZB:
: AC.
AB;
fore CK &
gt;
CZ.
etenim ob angulum ANK
CK:
: AN.
NK.
vel permutando AC.
AN
:: CK.
NK.
eſt autem AC.
AB &
lt;
AC.
AN ergo AC.
AB
<
CK.
NK &
lt;
CK.
BK.
ergo cùm ſit, ex hypotheſi, CZ.
ZB
:: AC.
AB;
erit CZ.
ZB &
lt;
CK.
BK.
componendóque CB.
ZB.
&
lt;
CB.
KB.
unde ZB &
gt;
KB;
ſeu CZ &
lt;
CK;
Q.
E. D.
VI.
Hinc punctum Z eſt limes infra quem, Verſus centrum, nullus
reflexus axem interſecat.
_Coroll._
Hinc ſi puncta Z, ζ ſint limites punctorum A, _a_ (quorum
A remotius) erit CZ >
C ζ.
Nam BC.
AC &
lt;
BC.
_a_ C.
componendóque AB.
AC &
lt;
_a_ B.
_a_ C.
hoc eſt ZB.
ZC &
lt;
ζ B.
ζ C.
vel compoſitè CB.
ZC
<
CB.
ζ C.
ergò ZC &
gt;
ζ C.
VII.
Quinetiam erit in hoc caſu;
ANq - ACq.
CNq:
:
AC. CK.
Nam ducatur KH ad CN parallela, protractæ AN
occurrens in H; &
connectatur CP;
&
eodem planè modo quo ſu-
periùs (in iis quæ circa convexas partes attigimus) oſtendetur fore
AN x NP. CNq:
: AK.
CK.
unde diviſim erit AN x NP -
CNq. CNq:
: AC.
CK.
eſt autem AN x NP = ANq -
AN x AP = ANq -: ACq - CNq = ANq - ACq +
CNq; adeóque AN x NP - CNq = ANq - ACq.
ergò
demum erit ANq - ACq. CNq:
: AC.
CK:
Q.
E.
D.
Notetur;
ſi fuerit AC minor ſemiſſe ſemidiametri circuli re-
flectentis, quòd punctum A duos focos habebit ad eaſdem centri par-
tes, quorum alter ad partes D, alter ad B pertinebit; ſin AC major
fuerit iſtâ Semiſſe, focis qui ad diverſos vertices B, & D pertinent,
centrum C interjacebit.
VIII.
Etiam hoc interſeram _Theorema_, præmiſſis conforme:
Si
fiat 2 CK. CN:
: CN.
F;
itémque 2 CA.
CN:
: CN.
E;
demittatur NQ ad AC perpendicularis, erit CQ = F - E.
‖
Nam (ut ſuprà) eft CA. CK:
: F.
E.
quare dividendo erit CA
- CK. CK:
: F - E.
E.
Item hîc erit ANq - ACq =
2 AC x CQ + CNq. adeóque 2 AC x CQ + CNq.
CNq
:: AC.
CK.
hoc eſt, (ob CNq = 2 AC x E.)
2 AC x CQ
+ 2 AC x E. 2 AC x E:
: AC.
CK.
hoc eſt CQ + E.
E:
:
AC. CK.
quare dividendo CQ.
E:
: AC - CK.
CK.
ergo
F - E = CQ: Q.
E.
D.
IX.
porrò, ſi duorum quorumvis radiorum AN, AR reflexi
NK, RL axem ſecent punctis K, L; erit CK.
CL:
: ARq -
ACq. ANq - ACq.
Nam ob CK.
AC:
: CNq.
ANq
- ACq. &
AC.
CL:
: ARq - ACq.
CNq.
erit ex æquo
perturbatè CK. CL:
: ARq - ACq.
ANq - ACq.
X.
Hinc ſi radius AR ſit ipſo AN obliquior;
erit CK &
lt;
CL.
Nam ARq - ACq &
lt;
ANq - ACq.
XI.
Hinc palàm eſt reflexos NK, RL ſeſe priùs quàm axem
decuſſare.
XII.
Accipiantur porrò bini pares arcus NR, RX;
&
inciden-
tium AN, AR, AX reflexi cum axe conveniant punctis K, L, M; dico ſpatium LM, obliquiorum occurſibus interjectum, majus eſſe
ſpatio LK, quod rectiorum continetur occurſibus. Nam è ſuprà
monſtratis conſtat eſſe ANq + AXq <
2 ARq.
proindeque fo-
lt;
2 ARq - 2 ACq.
ac indè
ANq. - ACq.
ARq - ACq &
lt;
ARq - ACq.
AXq -
ACq. hoc eſt CL.
CK &
lt;
CM.
CL.
vel CM.
CL &
gt;
CL.
CK.
quare CM + CK &
gt;
2 CL.
&
ideò LM &
gt;
KL.
XIII.
Hinc rectiùs ingruens lux à reflectione verſus axem conden-
fatior evadit.
XIV.
Quidnì demùm rurſus ex his inferatur, viſibilis A imaginem
@irca reflexorum metam Z, oculo uſpiam in AZ conſtituto, appa-
rere?
XV.
Adverſatur ſaltem (id quod experiendo deprehendetur) ocu-
lo uſpiam in ZB collocato confuſiorem apparentiam objici; quippe
&
imago diſtinctior Z
poſt oculum conſiſtat. quin ejuſmodi complures apparentias obſerva-
bitisipſi ſi lubet, & ex his deducetis ‖
XVI.
Prætereà, _dato oculi centro, velut O, quonodo deſignandus_
_ſit ipſum pervadens reflexus_ (ceu N π) è ſuprà tractatis aliquatenus
adparet. nec inibi generaliùs expoſitum _Problema_ libet h@c repo-
XVII.
Quinetiam antedicta recenſendo conſtabit, ſi biſecentur ſubtenſa
PN in E; &
ſubtenſa N π in F;
ac fiat FZ.
ZN:
: EA.
NA;
radiantis imaginem, visûs O reſpectu, circa punctum Z conſiſtere.
planè ſimilis eſt diſcurſus, quorſum κικζ@‖
XVIII.
Supereſt tantùm, ut de poſteriore quem innuebamus caſu
paucula ſubdamus. Eò, ponatur AC = AG = A γ;
indè quilibet
incidens cavo GB γ radius ipsâ AC minor erit; ſit talis alicujus
AN reflexus N π; qui nempe retro productus cum axe conveniet;
puta ad K.
Etiam hic præcedentibus conformia deprehendentur,
& ſuppari demonſtrabuntur modo;
qualia ſunt nempe
XIX.
AC.
AN:
: CK.
KN.
XX.
ACq - ANq.
CN q:
: AC.
CK.
XXI.
Radii AR ipſo AN obliquioris reflexus cum axe concurrat
in L; erit CK.
CL:
: ACq - ARq.
ACq - ANq.
ac indè
XXII.
CK &
lt;
CL.
XXIII.
Incidentium rectiorum (pares, ut ſuperiùs, arcus in re-
flectente ſumendo) reflexi concurſus habent a ſe minoribus intervallis
diſjunctos. hæc, inquam, &
alia quoad reliquos caſus præmonſtra-
tis conformia, vel agnata perſimili quoque quoad hunc caſum metho-
do comprobantur. quare pluribus tempero;
ſed enim id quod ubi-
que præcipuum etiam hîc exertiùs oſtendam; præmiſſo tamen hoc, ad
ſequentia quoque concidenda non inutili, _Lemmatio:_
XXIV.
Detur recta BC;
in ea protracta deſignandum eſt punctum,
velut Z; ita ut BZ ad CZ datam obtineat rationem, puta I ad R.
‖
‖
1.
Si fuerit I &
gt;
R;
fiat I-R.
R:
: BC.
CZ;
quare compo-
R:
: BZ.
CZ.
ergò factum.
2.
Sin I &
lt;
R;
fiat R - I.
I :
: BC.
BZ.
ergò rurſus compo-
nendo R. I:
: CZ.
BZ.
vel inversè, I.
R :
: BZ.
CZ.
XXV.
Fiat jam CA.
AB:
: CZ.
BZ;
Dico punctum Z eſſe
metam, citra quam (reſpectu centri C) nullus reflexus axem de-
cuſſabit; hoc eſt præmiſſis inſiſtendo, fore CK &
gt;
CZ.
Nam ducatur NT circulum contingens ad N.
erit ergo NK.
NA
:: KT.
AT &
lt;
BK.
AB.
quare NK.
NA + AB.
BZ &
lt;
BK.
AB + AB.
BZ = BK.
BZ.
eſt verò NK.
NA :
: CK.
CA.
& AB.
BZ:
: CA.
CZ.
ergò CK.
CA + CA.
CZ &
lt;
BK.
BZ. hoc eſt CK.
CZ&
lt;
BK.
BZ.
vel permutando CK.
BK &
lt;
CZ. BZ.
unde dividendo CB.
BK &
lt;
CB.
BZ.
adeóque BK&
gt;
BZ. unde liquet propoſitum.
XXVI.
Exhinc (ut in caſibus antè pertractatis) conſectatur ejuſ-
modi punctum Z eſſe locum ipſiſſimum imaginis punctum A exhiben-
tis oculo, puta O, in axe CA conſtituto; patétque quàm longè paſſim
ab Opticis; nominatim à noviſſimis _Stevino, Hobbio, Fabriog_ in eo
aſſignando loco aberratur; quorum ex ſententia verſatur is ad pun-
ctum (puta Q) tanto ſemotum à vertice B intervallo, quanto radi-
ans A ab ipſo B diſtat. id quod præterquam quòd nullâ veriſimili rati-
one nititur (imò rationi prorſus adverſatur; cùm nullus omnino
radius oculum ingrediatur tanquam à puncto Q proveniens) experi-
entiâ facilimè refutatur. Nam ſi tanquam circa punctum A accenſa
candela ſpeculo cavo GB γ exponatur, oculo velut ad O ſito longè
majori diſtans intervallo conſpicietur, quàm ipſo BQ, quod ipſam
AB exæquat. quinimò tantillo verſus centrum illum adducendo non
æquali diſtantiâ, ſed admodum majori videbitur elongari; tantâ
circiter ad ſenſum, probabilémque conjecturam; quantam proportio
requirit à nobis præſtituta. quo circà diſcurſus noſter experientiæ
ſuffragio conſtabilitur.
XXVII.
Quod demum attinet ad locum imaginis reſpectu visûs
determinatur is eodem ac in caſibus
antecedaneis modo; biſecando ſcilicet ipſas NP, N @ punctis E, F;
faciendóque EA.
AN:
: FZ.
ZN.
Adnotandum ſaltem in recti-
oribus reflexis imaginem extra circulum conſiſtere; ſed in obliquio@i-
bus intra illum, nempe ſi fuerit AE >
AN punctum Z ultra axem
ſin AE &
lt;
AN, punctum Z verſus π exiſtet;
ſin
AE = AN; concurſus infinitè diſtabit;
ſeu proximus reflexus ipſi
N π parallelus erit.
Not.
ductâ AQ ad CB perpendiculari, ſi AE = AN;
erit
AN = √{AQ q/3}. Nam AQ q = AP x AN = 3 AN x AN = 3 AN x AN
= 3 ANq; itaque punctum N, iſtos caſus diſterminans, facilè de-
Rationem ipſi tantillùm attendentes perſpicietis;
mihi ſanè cunctas
evolvendo minutias non animi ſatìs, non otii ſuppetit.
XXVIII.
Juvabit his unam, loco forſan opportuniore prætermiſſam,
obſervatiunculam attexere. Si fuerit Z radiantis A lmago, viciſſim erit
A radiantis Z lmago. è dictis quoad ſpeciales caſus facilè cernitur
hoc conſectari. quin &
hinc generatim verum apparebit ſatìs:
Si fue-
rit Z ipſius A imago, tantum unus idcircò ab A manantium inflexus
per Z tranſibit. (hoc imagini proprium eſſe ſæpiùs in decurſu in-
culcata ſatìs arguunt, ſuperque) quare reciprocè ſolus unus ab Z
manantium inflexus per A tranlibit (nam ſi duo tales per A tranſire
dicantur, etiam indè duo per Z tranſibunt, contra hypotheſin) erit
igitur A ipſius Z imago. Merebatur hæc (compendio bene ſerviens,
& caſus inter ſe varios conferentibus affundens lucem) obſervatio gene-
ralibus intertexi; niſi quòd non omnia ſe nobis ſtatim produnt;
&
quædam in abſtractione ſumma non ità facilè vèl explicari poſſunt,
vel comprobari.
A Catoptricis jam aliquando manum.
quæ contentus ità quadante-
nus promoviſſe, haud diſparia (certè magìs nova, miniméque pro-
trita) circa refractiones ſphæricas, ſeu circulares, attentabo.
I.
_CAtoptricâ circulari defunctus ad Dioptricam promovemur;_
quorſum incidentium quotcunque refractis unâ ſimulo perâ
delineandis, adeóque reſractionum ſymptomatis organicè pertentan-
dis modum imprimìs exponemus, præ cæteris, opinor expeditum.
Seorſim ad v γ æqualem diametro (NG) circuli refringentis deſcri-
batur circulus v π γ. item habeat v γ ad S γ rationem illam, quæ re-
fractiones determinat (illam autem deinceps, ut antehac, conſtanter
nuncupabo rationem I ad R) & ſuper diametro S γ deſcribatur quo-
que circulus SH γ. Incidat jam radius quilibet MN P, cui con-
ut hoc aſlequamur, circulo adpoſi-
to à V adaptetur v π = NP; &
centro γ per π deſcriptus circulus
ſecet circulum SH γ in H; connexáque γ Hcirculum v π γ interſecet
in ξ. demùm connexâ v ξ, circulo NPGaccommodetur NX =
v ξ; erit NX ipſius NP refractus.
Etenim (ductis GP, GX) eſt
γ H. γ ξ :
: (γ S γ v :
:) I.
R.
hoc eſt γ π.
γ ξ:
:I.
R.
hoc eſt
GP. GX:
: I.
R.
cùm itaque ſint ipſæ GP, GX recti ſinus angulo-
rum GN π, GNX(quorum GNPeſt angulus incidentiæ) liquet
propoſitum.
II.
Ad ipſa _Symptomata_ progrediamur exponenda radiis ad circu-
lum refractis competentia; quorum illa pro more primò pertractabi-
poſito, ſeu parallelos ad ſenſum radios ejaculanti. Quocirca per
circuli refringentis Centrum C punctúmque de longinquo radians
protendatur recta AC Z; tum fiat BZ.
CZ:
: I.
R;
nec non di-
vidatur CZ in F, ut ſit FZ. FC:
: I.
R;
&
centro F per Z deſcri-
batur circulus EG Z. his peractis, accipiatur jam quilibet ad AC
parallelus MNP(convexis incidens an concavis partibus perinde
fuerit) dico ſi recta NC (ab incidentiæ nempe puncto per refrin-
gentis centrum ducta) circulo EGZprotracta occurrat in G; &
connectatúrque recta NK, fore NK
ipſius MNPrefractum. Connectantur enim rectæ FG, BG;
&
quoniam eſt BZ. CZ:
: (I.
R:
:) FZ.
FC;
erit permutando
BZ. FZ:
: CZ.
FC.
dividendóque BF.
FZ:
: FZ.
itaque patet triangula BF G, GFC(latera ſcilicet habentia
circa communem angulum GFCproportionalia) ſimilia fore. quamobrem erit BG.
GF:
: GC.
CF.
ſeu permutatim BG.
GC
:: GF.
CF.
hoc eſt BG.
GC:
: FZ.
CF:
: I.
R.
verum in tri-
angulis BC G, NCKeſt BC = CN, & CG = CK;
&
ang.
BCG = NCK; adeóque BG.
GC:
: NK.
CK.
quare erit quo-
que NK. CK:
: I.
R.
ergò,
_Coroll._
Adnotetur eſſe triangula BFG, GFCſimilia;
ac eſſe
BG. CC:
: I.
R;
&
ang.
BG F = GC F;
&
eſſe BF, FG,
FC {../.
.}&
c.
III.
Ex hoc (ſanè pulchro, perutilíque _Theoremate_) cùm particu-
laris exoritur methodus hujuſmodi quotcunque refractos expeditiſſimè
ſeu delineandi, ſeu computandi; tum ipſorum præcipua _ſymptomata_
facilimè diſcernuntur ac demonſtrantur. qualia ſunt, quæ in ſubjectis
exhibentur _Corollariis._
IV.
Patet hinc punctum Z eſſe limitem ultra quem (reſpectu cen-
tri) nullus axem interſecat refractus; ſeu perpendicularis ipſius AB
(vel ei ſaltem quàm proximè adjacentis radii) refractum ad Z termi-
quia nimirum eſt CZ &
gt;
CG, vel CR.
V.
Conſequitur etiam, ſi duorum incidentium MN, QR (quorum
QR ſit obliquior) refracti conveniant cum axe punctis K, L, fore
CK>
CL.
Etenim ſi rectæ NC, RC ad circulum refractarium
ipſum ſecent punctis G, H; liquet eſſe CG &
gt;
CH;
adeóque CK
>
CL.
Hinc
VI.
Ad eaſdem partes incidentium refracti ſeſe priùs interſecant
quàm axem; (veluti puta refracti NK, RL ſeſe decuſſant in X.)
VII.
Quinetiam, ſi in primo caſu per centrum C dueatur recta
ad I; &
fiat CY = CI, patet punctum Y eſſe limitem refractionis
erit enim connexa VY refractus obliquiſſimi radii, ceu
T V, circulum refringentem contingentis.
VIII.
Item, in ſecundo caſu ſi recta CVIcirculum EGZtan-
adſumatur CY = CI, erit punctum Y citimus alter
refractorum limes. Etenim connexa VY refractus erit incidentis
(puta VT) ad BC paralleli; qui certè cunctorum obliquiſſimus
erit hujuſmodi refractionem patientium. quum enim (
CF:
: I.
R.
hoc eſt ſinus rectus anguli FCI
(vel anguli CV T) ad ſinum totum, ut I ad R; nullus ipſo TV
obliquior medium BNVpenetrabit; at ipſe quicunque talis reper-
cutietur; velut φ ψ in φ ξ.
IX.
Cæterùm hìc (tametſi præter ordlnem non nihil, extráque
ſuum locum) egregiam quandam & præſertim notabilem iſtius, quem
nuncupavimus, refractarii circuli proprietatem interſeremus: Om-
nium à puncto B promanantium, & à circuli EGZcavis partibus
refractionem patentium (juxta caſus prænominatos reſpectivam) re-
fracti per punctum C tranſibunt.
Nam ejuſmodi quilibet incidat radius BG, &
(ſtantibus quæ præ-
angulúſque BGFpar angulo GC F;
itémque FG.
CF:
: I.
R;
eſt autem FG ad CF, _ut Sinus anguli_ GCF_hoc eſt anguli BGF)_
_ad Sinum anguli CG F. ergò Sinus anguli_ BGF_(qui eſt angulus_
_incidentiæ) ad Sinum anguli_ CGFſe habet, ut I ad R. ergò CG β eſt
refractus ipſius BG: Q.
E.
D.
_Nota._
Si qui ad convexas hujuſce circuli partes incidunt, ità re-
flectantur, ut perpetuo Sinus anguli incidentiæ ad Sinum anguli reflexi
ſe habeat ut I ad R; etiam reflexi per C tranſibunt.
Hinc habetur unum (quoad hos caſus) è præcipuis in _Dioptrica_
deſideratum, perquam utile; Superficies ſimpliciſſima radios ab uno
puncto procedentes ità refringens, ut tanquam ab altero proveniant; id quod demonſtrationis adductus commoditate _Corollarii_ loco (licèt
ad aliam pertinens hypotheſin) hic apponere non dubitavi, redeamus
è diverticulo.
X.
Notandum porrò, quòd diverſos refringentes circulos, iíſque
competentes, modo præſtituto determinatos, refractarios adſumendo,
rectæ CB, EZ, CE, CZ, CF eaſdem in uno, quas in altero quovis
proportiones obſervant; id quod facilimè demonſtratur;
&
ſatís elu-
modo fundantur in una ratione I ad R. verbis, &
Schematis effin-
gendis parco. Pro ſequentibus hæc adjungo _Lemmatia._
XI.
1.
Sint tria quanta A, B, C (quorum maximum A) ſe dein-
ceps æqualiter excedentia; ſint etiam altera totidem M, N, O;
&
ſit A. B:
: MN;
ac B, C:
: N, O;
dico fore quoque tria M, N,
O in ratione continua _Aritbmetica._ Nam ob A.
B:
: M.
N.
erit
diviſim A-B. B:
: M-N.
N.
item ob B.
C:
: N.
O.
erit per
rationis converſionem B. B-C:
: N.
N-O.
ergò erit ex æquo
A-B. B-C:
: M-N.
N-O.
itaque cùm ſit ex Hypotheſi
A-B = B-C; erit etiam M-N = N-O:
Q.
E.
D.
XII.
2.
In circuli quadrante ZQ trium arcuum ZG, ZH, ZI
Sinus recti F α, F β, F γ æqualiter creſcant (ut nempe ſit αβ = βγ)
dico fore Gα-Hβ<
Hβ-Iγ.
Nam ducatur ſubtenſa GI ipſam Hβ ſecans, in X;
&
ſint XR,
IS ad FQ parallelæ patet ipſas GR, XS æquari hoc eſt fore
Gα-Xβ = Xβ-Iγ; unde liquidum eſt eſſe Gα-Hβ&
lt;
Hβ
-Iγ: Q.
E.
D.
XIII.
3.
Sunto concentrici bini circulorum quadrantes FZ X,
F ζ ξ; &
ad FZ parallela ducatur recta quævis LG γ;
circulos inter-
ſecans punctis G, γ; dico fore FZ - LG &
gt;
Fζ-Lγ.
Nam connexa FG circulum ζ γξ producta ſecet in T;
connectan-
túrque ſubtenſæ ZG, ζ T (hæc ipſam L γ ſecans in S) Patétque jam
rectas ZG, ζ T parallelas eſſe; adeóque quadrangulum ZGSζ fore
parallelogrammum; unde GS = Z ζ;
adeóque F ζ - LS = FZ
- LG. ergo F ζ- L γ&
lt;
FZ - LG:
Q.
E.
D.
XIV.
Sint jam tres radii paralleli MN, QR, VX, à ſe diſtantes
æqualiter (hoc eſt ut ductis N v, Rρ, Xξ ad axem AC perpendicu-
laribus ſit Xξ-Rρ = Rρ-Nv) & ipſorum refracti cum axe
conveniant punctis K, L, O; erit obliquiorum concurſibus interjectum
netur.
Nam ducantur NC, RC, XC circulo refractario occurrentes
punctis G, H, I; &
ad has à refractarii centro F ducantur perpendi-
culares F α, F β, F γ; &
quoniam triangula CXξ, CFγ ſimilia
ſunt; erit Xξ.
CX:
: Fγ.
CF.
item ſimili de cauſa, eſt CR (CX).
: CF.
Fβ quapropter erit ex æquo Xξ.
Rρ :
: Fγ.
Fβ.
non diſpare ratione conſtabit eſſe Rρ.
Nv:
: Fβ.
Fα.
ergò cùm
tres Xξ, Rρ, NV ſe æqualiter excedant; unde conſequetur eſſe Cα-Cβ&
lt;
Cβ-Cγ;
nec non eſſe
lt;
βH-γI;
adeóque conjunctim CG
lt;
CH - CI;
hoc eſt CK-CL &
lt;
CL - CO;
hoc
eſt denuò LK <
OL:
Q.
E.
D.
XV.
Hinc apparet rectiùs illapſam refringenti lucem magìs inſpiſſa-
ri; versúſque punctum Z in arctius redigi;
maximam proinde vim
ejus iſthic exeri; focúmque combuſtionis (ad ſolem) ibi verſari.
XVI.
Conſectatur etiam radios (hujuſmodi ſaltem parallelos) quò
rectiores oculo (cujus nempe ſuperficies refractionis munus obeuntes
aut Sphæricæ ſunt, aut Sphæricas aliquatenus referunt) incidunt, eò
facilius ab ipſo readunari, ſeu propiùs recolligi.
XVII.
Quinimò tandem ex his colligitur viſibilis longinqui puncti
ſpeciem oculo, in axe poſito, circa punctum Z apparere. Etenim ab
ei adjacentibus partibus refracti cùm præ cæteris perpendiculares (vi
proinde fortiores, & recollectu paratiores) neque non copioſiores
affluunt; quibus ex cauſis imaginis poſitio dependet;
ut jam ſæpiùs
admonitum: - ἐχ{θρ}όν δέ {μο}ι {ἐστι}ὶν Αὖ
cæterùm hâc defunctus curâ tantiſper reſpirabo.‖
I.
P_Arallelorum ad circulum refractionem patientium in contem-_
_platione defixus, præter alia præcipua ſymptomata, locum ultimè_
_determinavi, quam iſti repræſentant, imaginis, oculo in axe conſtitu-_
_to._ res jam poſtulat ut eandem deſiniamus oculi gratiâ ſecùs colloca-
ti. veruntamen unam priùs haud inutilem adnectam obſervationem, ad
præcedentia ſpectantem; hanc utique:
II.
Si duo Segmenta NB R, v βρ latitudines (vel ſubtenſas) NR,
quorum V β ρ ad majorem pertineat circulum;
hoc cùm potentiùs aduret, tum objectum viſibile clariùs atque di-
ftinctiùs exhibebit. Sint enim C, κ circulorum refringentium cen-
tra; &
circuli iis competentes refractarii ſint EG Z, ε γ ζ;
horúm-
que centra F; φ;
tum parallelorum punctis N, v incidentium ſint
refracti ND, V δ dico tum fore D Z>
ζ δ.
‖ Ducantur enim
rectæ NC G, V χ γ; híſque perpendiculares rectæ FL, φ λ.
éſtque
C N. v π:
: CN.
NP:
: CF.
FL.
&
v π.
χ v:
: φ λ.
χ φ.
ergò
(rationes ſibi pares adjungendo) eſt CN. v π + v π.
κ v:
: CF.
FL + φ λ. nφ.
hoc eſt CN.
χ v :
: CF x φ λ.
FL x n φ.
eſt autem
C N. κ v:
: CF.
κ φ :
: CF x φ λ.
n φ x φ λ.
quapropter erit CF
FL x κ φ :
: CF x φ λ.
n φ x φ λ;
&
idcircò FL x κ φ = κ φ
x φ λ; indeque FL = φ λ.
hinc conſequetur fore CF-CL&
gt;
κ φ- κ λ nec non FZ - LG&
gt;
φζ-λγ;
proindéque con-
junctim CZ-CG>
κ ζ-κ γ;
hoc eſt CZ-CD&
gt;
κ ζ-κ δ;
hoc eſt demum DZ >
δ ζ;
exhinc lux ab arcu y ζ ρ magìs conſtipata,
(in ſpatium quippe reſtrictius δ ζ coacta) viol@ntiùs operabitur; &
a fonte magìs ad punctum accedente promanare viſa punctum radians
diſtinctiùs exhibebit; id quod inſtitutum fuit oſtendere;
quo rei paſſim
obſervatæ, nec exilis in perſpiciliorum conſtructione usûs ratio con-
ſtaret. ‖ In ordinem jam recidimus;
ut puncti nempe longinqui
locum apparentem indagemus, oculi reſpectu quomodocunque ſiti-
quem in finem conſiciendum venit imprimìs hujuſmodi _Problema, re-_
ctum definiens in qua locus iſte verſatur:
III.
Dato circulo refringente;
punctóque quovis X;
per punctum
X ducatur recta, quæ ſit incidentis ad datam poſitione rectam CB
parallelè refractus.
Si punctum datum X ponatur in axe CB;
facillimè perficitur ne-
etenim ſi fiat R.
I:
: CX.
T;
&
centro X intervallo ip-
ſam T adæquante deſcribatur circulus refringentem interſecans in N; è præmiſſis admodum patet connexum NK per N incidentis ad BC
paralleli refractum eſſe; quia ſcilicet eſt.
CX.
XN:
: CX.
T:
:
R. I.
IV.
Verùm extra caſum hunc, &
alios particulares nil huc atti-
nentes, generatim conceptum _Problema_ Solidum eſt, aut pluſquam
Solidum (ut ex analyſi non difficilè perſpiciatur) & certè viâ con-
ſuetâ, per lineas vulgò receptas, conſtructu perquam arduum &
operoſum; ità quidem ut licèt mihi non penitus incomperta ſit metho-
dus ejuſmodi conſtructionem non unam moliendi, ægrè poſſim addu-
ci, tantum ut ei temporis, tantum laboris impendam, quantum
expoſcit; ſuffecerit itaque modum indigitare, quo per lineam quan-
dam ſibi peculiarem, punctatim facili negotio deſignabilem, ità
conſtrui poſſit, ut unà ſuam naturam ac indolem prodat. modus ille
ſic habet.
V.
Connectatur recta CX;
fiátque CX.
CV:
: R.
I;
&
per
tum è refringentis centro C rectæ quotcunque CI exeant, rectam
FG decuſſantes punctis H; &
centro X, intervallo rectas VH per-
petuùm æquantè deſcripti circuli rectis CI occurrant punctis N; per
hujuſmodi puncta quævis linea tranſit, quam innuimus expoſiti _Pro-_
_blematis_ Solutioni deſervituram; ejus ſcilicet, &
dati circuli reſſ@@-
gentis interſectio quæpiam incidentiæ punctum erit, ad quod per X
ducta recta refringetur in aliquam ipſi BC parallelam; ſeu viciſſim
hæc in illam. Sit enim talis interſectio quævis N;
&
ducta NX ip-
ſam BC ſecet in K; &
ſint NM, ac XT ad BC parallelæ.
Eſtque
tum CK. KN:
: (TX.
XN :
: TX.
VH :
: CX.
CV :
:) R.
I;
unde ſecundum oſtenſa liquet NXKrefractum eſſe ipſius MN;
quod oportebat factum. Ità _Problema_ δυ{στι}ό{ει}ςον utcunque licebit
exequi, nec non ejuſce qualitatem intueri; quot refracti per ocu-
li centrum meent definire, ſingulóſque reipsâ deſignare; quæ lon-
giuſculum eſſet ſigillatim exponere. cùm autem eâtenus imaginis loeus
ſuccedit ut breviter etiam ipſiſſimum in ſin-
gulo tali refracto punctum oſtendamus, ad quod illa conſiſtit. in cu-
jus rei gratiam hoc quaſi _Lemma_ præſternemus.
VI.
In circulo AN B, cujus centrum C, ſint Semidiametro CA
perpendiculares NE, RF; item Semidiametro CB ſint perpendicu-
lares NG, XH; ſint autem CE, EF ipſis CG, GH proportiona-
&
arcus NR, NX indefinitè parvi;
ſeu quaſi minimi dictâ
conditione præditi; dicimus arcum NR ad arcum NX rationem ha-
bere conflatam è rationibus ipſarum CE ad CG, & NG ad NE;
vel eſſe
arc. NR, NX:
: CE x NG.
CG x NE.
Nam per N ducatur VT
tangens circulum, ipſiſque FR, HX occurrens punctis T, V. eſt
itaque (propter Summam ex Hypotheſi parvitatem dictorum arcuum)
arc NR. CN:
: NT.
CN:
: EF.
EN.
item CN.
arc NX:
:
CN. NV:
: NG.
GH.
quapropter erit arc NR.
CN+ CN.
arc NX = (EF.
EN + NG.
GH = EF.
GH+ NG.
EN
= ) CE. CG + NG.
EN.
hoc eſt arc NR.
arc NX = CE.
CG + NG. EN:
Q.
E.
D.
(vel arc NR.
NX = CE x NG.
CG x EN.)
VII.
Sit jam radii cujuſvis talis MNP, refringentem interſecantis
punctis N, P, refractus N π (refringentem nempe denuò ſecans
in π) huic autem indeſinitè vicinus (& quaſi proximus) adjaceat
radius QR S, cujus itidem refractus R σ (refringenti nempe rurſus
occurrens in σ), priorem N π decuſſans in Z; biſecentur autem
ſubtenſæ NP, N π punctis G, E: Dico rationem NZ ad GZ com-
poni è rationibus NG ad NE, & CE ad CG.
Nam ducantur rectæ CE (hæc ipſam RS quoque ſecans in F) &
C G; nec non CI ad R σ perpendicularis, &
in protracta CG ſu-
@@@@@r CH = CI; &
per H ducatur XY ad N π parallela, ſeu per-
pendicularis ad CH; unde eſt XY = R π;
&
arc NX = Y π &
arc XY = arc R σ adeóque arc NR ±: σ π = 2 arc NX.
Eſt-
que prætereà CG. CE:
: R.
I:
: CI.
CF:
: CH.
CF;
adeóque
permutatim CG. CH:
: CE.
CF.
ergò (juxta præcedentem) eſt
arc. NR.
NX = NG.
NE + CE.
CG.
ad hæc ob illam (quæ
ponitur) arcuum NR, SP, π σ exiquitatem, erit arc NR. π σ :
:
ſubtenſa NR. π σ :
: NZ.
Zσ :
: NZ.
Zπ.
ergò (inverſè compo-
nendo, vel dividendo, tum & conſequentes ſubduplando) arc NR.
{arc NR±:
π σ/2}:
: NZ.
{NZ±Zπ/2}.
atqui velut modò dictum)
+ -;
: πσ/2} = NX;
item eſt {NZ &
+ -;
: Z π/2} = GZ.
eri@ ergòarc
NX :
: NZ.
GZ.
quapropter erit (juxta præcedentem)
NZ. GZ = NG.
NE + CE.
CG.
VIII.
Porrò liquet punctum Z eſſe locum imaginis, quem expe-
timus, oculo conſpicuæ in recta N π conſtituto; utpote circa quod
viciniorum ipſi NP radiorum refracti ipſam N π interſecant; qua de
re multoties egimus, ut pigeat eò plura βαττλγ{εĩ}ν.
IX.
Facilè verò, Secundum _Theorema pramiſſum_, deſignatur
punctum Z. Ducatur nempe CG ad refractum NK perpendicula-
ris; &
ad connexam CN ducatur perpendicularis GV;
&
per V
ducatur VZ ad CK parallela, ſecans ipſam NK in Z. factum erit.
Nam, connexâ GE, liquet angulos GEC, GNC(circumducti
ri; hoc eſt angulos GEC, VGCæquari.
quapropter (utrique
rectum adjiciendo) toti NEG, ZGVæquantur. item alterni
GNE, VZGæquantur. ergò triangula GN E, VZGſimilia ſunt,
unde NG. NE :
: ZV.
ZG.
itaque.
CE.
CG + NG.
NE =
CE. CG + ZV.
ZG.
verùm (ob refractionem) eſt NK.
KC
:: I.
R :
: CE.
CG;
hoc eſt NZ.
ZV :
: CE.
CG.
eſt igitur
CE. CG + NG.
NE = NZ.
ZV + ZV.
ZG;
hoc eſt CE.
CG + NG.
NE = NZ.
ZG.
ergò punctum Z conditionem
obtinet, imaginis loco congruentem, è mox oſtenſis. adeò liquet
propoſitum.
X.
Quin ſubnotamus rectam NK ad punctum Z ità dividi, ut ſit
NZ. ZK :
: NGq.
CGq.
Etenim eſt NZ.
ZK :
: NV.
VC
:: NVq.
VGq :
: NGq.
CGq.
XI.
Subjiciam &
hoc è dictis conſectarium _Theorema:_
Fiat √ 3 Rq.
√ Iq - Rq :
: CB.
CQ;
ductáque QN ad
CB perpendicularis circumferentiæ occurrat ad N; radii verò MN
ad CB paralleli refractus ſit NK, circuli peripheriæ denuò occur-
dico punctum Z eſſe imaginem, qualem mox definivimus,
oculo conſpicuam in ipſa NK ſito.
Nam (ductis CE ad MN, &
CG ad NZ perpendicularibus,
ac junctâ CN) ob 3 Rq. Iq - Rq :
: CNq.
NEq.
hoc eſt
3 CGq. CEq - CGq :
: CN q.
NE q;
erit dividendo 4 CG q
CEq - CGq :
: CNq - NEq.
NEq :
: CEq.
NEq.
quare permutando 4 CGq - CEq.
CEq :
: CEq - CGq.
NE q. (hoc eſt) :
: NGq - NEq.
NEq.
ergò componendo
4 CGq. CEq :
: NGq.
NEq.
&
ideò 2 CG.
CE :
: NG.
NE. quare 2.
1 + CG.
CE = NG.
NE.
vel 2.
1 = NG.
NE + CE. CG.
hoc eſt NZ.
GZ = NG.
NE + CE.
CG.
unde liquet, è mox antedictis, propoſitum.
XII.
Ex iſta porrò conſtructione facilè colligitur, ſi fuerit 3 Rq
= Iq - Rq (hoc eſt ſi 2 R = I) adeóque CQ = CB; quòd hu-
juſmodi punctum Z non aliud erit ab ipſo D; ſeu perpendiculari ipſi
AB debitam imaginem ad punctum D conſiſtere; eas verò quæ reli-
quis refractis conveniunt ejuſmodi imagines intra circulum omnes, vel
ſupra peripheriam extare. quinetiam ſi fuerit 2 R &
lt;
I, adeoque
CB <
CQ, patet nullius refracti imaginem in peripheria exiſtere,
ſed omnes ſupra ipſam. Enim verò in his caſibus omnes refracti ax-
em AD ſupra punctum D interſecant. verùm ſi fuerit 2 R &
gt;
I (uti-
que ſicut reverà quoad pleraſque cunctas in hac rerum natura pelluci-
das refringentes materias uſu venit) utì reipsâ datur ejuſmodi punctum
Z, in perepheria TD alicubi ſitum, ità facilè poterit iſto modo de-
terminari.
XIII.
Obſervetur porrò ſic definitum punctum Z circuli partem à
D verſus T per radios quadranti BT incidentes illuſtratam terminare. Omnes enim ipſo MN obliquiùs incidentium refracti ipſam NZ ſupra
Z verſus G decuſſabunt; adeóque ad partes ZD circulo impingent;
item omnium ipſo MN rectiorum refracti ipſam NZ infra Z verſus K
interſecabunt; &
hinc etiam in arcum ZD cadent.
XIV.
Exhinc apparet (id quod _ab eximio D.
Sluſio_ monitum ami-
one ſuum _Iridis_ angulum determinare. nam aſſumpto arcu DY = DZ;
angulum iſtum arcus ZY metitur;
poſito circulum propoſitum per
aquei globi centrum tranſire. quod ità facilè conſtat.
Radii cujuſvis
diametro BC paralleli MN refractus NZKreflectatur in ZF H;
& ZF in FO refringatur;
ſitque FL ad BD parallela;
ſumatur eti-
am DY = DZ; &
connectantur CZ, CY;
dico angulum LFO
æquari angulo ZC Y. Nam imprimìs ob ZN, ZF æqualiter ad pe-
ripheriam inclinatos, patet angulum OFHangulo PNZvel CKZ
æquari. igitur ang.
HFL- HFO = ang FIC- CKZ = ang
2 ang CKZ = 2 ang. ZCD = ZC Y.
eſt igitur ang.
OFL =
ang ZC Y. Cùm itaque ſit in ſuperiore Hypotheſi punctum Z um-
bræ lucíſque confinium, manifeſtè liquet propoſitum.
XV.
Subnotetur autem, ſi medium inflectens ſit aqueum, arcum
ZY eſſe partem circuli totam (poſticam ſcilicet) illuminatam; tan-
gentis enim ST refractus, puta TV, nedum non punctum Y præ-
tergreditur, at citra punctum D cadit. aſt in denſioribus mediis, ve-
lut in vitro, ſecùs accidere poteſt; ſiquidem in eo tangentis refractus,
ut quidem ex calculo facilè colligatur; unde pars illuminata arcu ZY
amplior evadit; tangentium quippe refractis circumſcripta.
Vide-
rit igitur excellentiſſimus vir; an univerſim conftet (id quod ipſe
niſi fallor innuere videbatur) ex obſervata partis illuminatæ quantitate,
_Iridis angulam, etiam juxta Carteſianas Hypotbeſes, recte determi-_
_nari._ Nam ſumendo arcum DR = DX;
ad punctum quidem R
pertinget illuſtratio; neque tamen ulla lux quadranti BT incidens à
parte ZR (ſed illa tantùm quæ ad partes ZD cadit) ad oculum O
inflectetur. unde quoad oculos ad has partes ſitos, hoc eſt quoad rem
quæ præ manibus, punctum Z lucem & umbram dirimit atque diſter-
minat.
XVI.
Vobis autem expendendum propono, annon exhinc _appa-_
ipſe _Carteſius_ aſſignavit. quid enim ſi dixero peripheriæ ZV impin-
gentem lucem, & verſus O inflexam magìs apparere;
primò, quia ſpiſ-
ſior eſt, ac à radiorum geminâ diffuſione conſtat, ab utraque puncti N
parte in arcum ZV retractorum; tum ſecundò quoniam obliquius
ipſi ZV incidit, adeóque faciliùs & copioſiùs indè quam aliunde
verſus partes O retorquetur? Et cum præſertim circa punctum Z
acutiùs radii coëant, neque non incurrant obliquius; quidni proptereà
vividier exindè reſultet apparentia? Verùm hæc παρβακῶ
_Quoniam Colorum incidit mentio, quid ſi de illis_ (etſi præter morem
ac ordinem) paucula divinavero?
XVII.
_Album_ eſt quod lucem copioſam, pariter ubique ſpiſſam,
circumfundit. Talia fermè ſunt corpora, rarioribus poris inter-
puncta; præſertim, quæ multas ſuperficieculas, in omne latus obver-
ſas, habent. Suadetur hoc, Quia purè lucida ſemper alba videntur;
Quo-
niam alba difficiliùs ignem concipiunt; Quòd humore tenuiore vacua-
ta corpora (_Capilli, Polia, Cineres) canitiem_ acquirunt; Quibus &
frigore conſtricta accenſeri poſſent.
_Nigrum_ eſt, quod lucem minimè, vel parciſimè refundit.
talia ple-
runque ſunt corpora valdè pellucida; nec non quæ crebros meatus,
& cavernulas lucem abſorbentes habent.
Hoc indicat, Quod omnes
_Umbrœ nigrœ apparent; Quod Aqua, Vitrum, Nubes_ ad hunc colo-
rem vergunt; Quod _nigra_ faciliùs ignem imbibunt, calefiunt, com-
buruntur; Quòd longiùs diſſita (quorum ſenſim intercipitur, &
amit-
titur lux) obſcuriora videntur.
_Rubrum eſt_, quod lucem eſſundit hinc indè confertam, ac ſolito
interruptam.
talia concipi poſſunt corpora, multas intra ſe quaſi _fornaculas &
focos_
habentia (qualia X, è _Speculis cavis_ contextum; &
Y è _Sphœrulis_,
tranſmiſſam lucem ad totidem _focas_ cogentibus, conſtans). Argu-
mento ſit, Quòd à _Speculis, & vitris uſtoriis_ collecta lux rubeſcit;
Quòd corpora denſa ignita (quippe quorum cellæ luce ſpiſsâ refer-
ciuntur) rubra videntur; Quòd roſcida nubes Soli (matutino, vel
veſpertino) expoſita rubet; Quòd eroſio rubiginem parit.
‖ Ad
rubri naturam fortaſſe pertinet, quòd compreſſa lux languidiùs emicat.
_Cœruleum_ eſt quod lucem raram, aut impetu ſegniore concitatam
emittit. talia videntur eſſe corpora, quæ particulis conſtant albis ac
atris alternatim diſpoſitis; ſed &
hunc ſubinde colorem oſtentant can-
dida maligniùs illuſtrata. Exemplo ſint, _Æther Sudus_ (in quo
nempe pauciora natant corpuſcula lucem ad oculos reverberantia, cæ-
terâ luce dilabente) _Mare_, ſale candido nimirum & humore pellu-
cido conſtans; Umbra corporis cujuſvis opaci, de die, ad lucernam
ardentem facta, & ad chartam albam excepta ſeu terminata;
(nempe
corporis AB ad chartam XY violacea depingitur umbra, à lucerna C).
_Viride_ cæruleo perquàm agnatum eſt.
_Diſcrimen_ explorent ſaga-
ego non auſim ariolari.
Cæterùm reliqua colorata ex iſtis variè commixtis, atque contem-
peratis emergunt; ut _flavum_ ex albo copioſo, rubríque nonnihillo in-
terſperſo; _purputeum_ ex multo cæruleo, rubríque tantillo, &
c.
Ve-
rùm ſuſficiat hâctenus, iſta ſupra captum noſtrum poſita Scrutantes; nos illis, quiàηιολογſicas pbyſicas moroſiùs excipiunt, deridendos pro-
pinaſſe.
Sufficient hæc pro radiis parallelis;
ad divergentes ordine proce-
dendum eſt; aſt interpoſitâ morâ, nè vix exorſi cogamur abrumpere.
‖
1._
Tranſactis iis quœ refractioni conveniunt iſti, quam ad ctr_-
_culi peripberiam ſubeunt radii ſibimet paralleli; quid iis.
ob_-
_venit proximè diſpicien ſxm venit, qui a puncto qu@piam ſenſibiliter_
_diver gentes itidem circulo ſe objiciunt refringendos._ cum autem in hac
Hypotheſi multa reperiatur caſuum varietus è pluribus cauſis oriunda
(nedum enim à mediorum ſpecie differentium ordine, vel ſitu verſus
ſe diverſo; quinetiam circuli refringentis alia ac alia, convexa nem-
pe vel concava, facie radiationi obverſa; ſed ab ipſius quoque radi-
antis magìs aut minùs à refringente ſemoti poſitione concluſionum
emergit nonnulla diſcrepantia) nobis incumbet ità rem, quâ poſſu-
mus, moderari, ſimul ut cùm ex abſtractione nimia proveniens con-
fuſio, tum è repetitione faſtidium aliquouſque devitentur. id autem
non aliàs, opinor, commodiùs aſſequemur quàm imprimìs generalia
quædam attingendo, cuidam uni caſui (illi nempe, ubi I >
R, &
radii convexis circuli partibus incidunt). Sic applicata, ut ſatì;
faci-
lè poſſint ad alios quoque transferri; tum peculiaria nonnulla ſingulis
congruentia ſubnotando. ad rem.
II.
In circulum refringentem BN (cujus centrum C) radiet pun-
&
connexa A @ protendatur ad utraſque partcs indefinitè;
tum cujuſvis incidentis AN ſit refractus NK, cum axe nimirum in K
conveniens; dico compoſitas rationes AC ad CK, &
NK ad NA
æquari rationi I ad R. Conjungatur enim CN, &
ducatur KH ad
CN parallela; erit igitur (ut generatim antehac habetur oſtenſum)
I. R :
: NK.
NH = NK.
NA + NA.
NH = NK.
NA +
CK:
Q.
E.
D.
III.
Hinc ſi fuerit CA.
CR :
: I.
R.
erit CK, CR :
: NK.
NA.
Nam erit tum CA.
CR = CA.
CK + NK.
NA.
unde, com-
munem utrinque adjiciendo rationem CK ad CA, erit CK. CA
+ CA. CR = CA.
CK + CK.
CA + NK.
NA.
hoc eſt
CK. CR :
: NK.
NA.
Notetur in figuris ſequentibus eſſe perpetuo CA.
CR :
: I.
R.
IV.
Hinc conſectatur;
primò;
Si fuerit AN &
gt;
CR, quòd re-
fractus N _a_ cum axe AC prorsùm excurrens conveniet. Nam erit
AN &
lt;
CK.
CR :
: NK.
AN.
adeóque CK &
lt;
NK.
V.
Secundò;
ſi fuerit AN = CR, refractus N _a_ ad AC pa-
Nam ſit NH ad AC parallela.
quum itaque ſit CA.
AN :
:
(CA. CR :
: ) I.
R;
erit AN ipſius HN refractus.
ergò viciſſim
N Hipſius AN.
VI.
Tertiò;
Si fuerit AN &
lt;
CR, refractus N _a_ cum AC
Erit enim tunc CK.
AN &
gt;
CK.
CR :
: NK.
AN.
ac indè
CK >
NK.
VII.
Hinc clarum eſt;
Si fuerit AB non minor quàm CR, om-
nes refractos verſus AC procurrentes convergere. erit enim tunc
ſemper AN >
CR.
VIII.
Subnotetur autem ſi fuerit ſaltem AB = CR;
axi propio-
res radios in ſenſibilem paralleliſmum refringi.
IX.
Item, Si AT circulum tangat, &
fuerit AT &
lt;
CR;
ma-
nifeſtum eſt omnes refractos retrò protractos cum AC concurrere. tunc enim ſemper eſt AN &
lt;
CR.
X.
Clarum eſt quoque, ſi AN = CR, omnes arcui BN inci-
dentium refractos retrò productos, omnes autem arcui NT inciden-
tium refractos antrorſum procurrentes axi occurrere.
XI.
Quum autem in caſu, propoſiti maximè contrario (quum
nempe I <
R;
&
radii concavis incidunt partibus) adſimilis contingat
diverſitas, hanc quoqne breviter attingemus.
1.
Si fuerit AN &
gt;
CR, refractus N _a_ cum AC retrò tractus
Nam CK&
lt;
NK.
(utin priore caſu).
2.
Etiam hîc ſi AN = CR, refractus N _a_ fit ipſi AC paralle-
lus.
Nam erit CK = NK.
quod in hoc caſu niſi K infinitè diſtet con-
tingere nequit.
3.
Si AN&
lt;
CR;
refractus N _a_ prorsùm excurrens axi oc-
currit.
Nam hîc CK&
gt;
NK.
4.
Si AB&
lt;
CR;
omnes refracti directè progredientes ad AC
Erit enim quivis incidens AN&
lt;
CR.
5.
Quum AN = CR, evidens eſt omnes arcui BN incidentes
retrorſum verſus CA refractos convergere; omnes autem ad partes
NT cadentes antrorſum verſus CB refringi.
XII.
Hinc apparet ſub iſtis duobus generalibus caſibus tres à diverſo
nempe vel omnes ab axe poſt refractionem progredientes divergunt,
vel omnes ad ipſum convergunt, vel aliqui divergunt, alii convergunt,
his intercedente medio quodam ad illum parallelo. quæ ſubnotâſſe
diſcrimina videbatur operæ pretium ac determinâſſe. Subdimus
etiam quoad reliquos generales caſus ſimpliciùs ſeſe rem habere;
ſcilicet eodem ſemper modo: Omnes enim ad cavum denſius inci-
dentium refracti directè procedentes ab axe divergunt; Ut &
omnes
eorum, qui convexo ratiori impungunt; id quod è generaliſſimis re-
fractionum legibus immediatè ſequitur, & è ſimplice ſecundum illas
linearum ductu diluceſcit. His admonitis in orbitam regreſſi pergi-
mus.
XIII.
E præmiſſo Theoremate non dificilè conficitur hoc _Problema:_
Dato in axe puncto K, refractum deſignare, qui per hoc ipſum tran-
ſeat.‖
Hoc nempe pacto.
Reperiatur punctum G, ut ſit KG.
AG :
:
CR.
item fiat GF.
FA :
: CK.
CR (:
: KG.
AG).
tum
centro F, intervallo FG deſcribatur circulus refringentem interſecans
ad N; erit connexa NK incidentis AN refractus.
Nam ducatur FN;
&
ob KG.
AG :
: GF.
FA.
erit permu-
tatim KG. GF :
: AG.
FA.
dividendóque KF.
GF :
: GF.
FA.
hoc eſt KF.
FN :
: FN.
FA.
quare triangula KFN, NFA
unde NK.
KF :
: AN.
NF.
ſeu permutando NK.
AN :
: KF.
NF.
erat autem priùs KF.
NF :
: GF.
FA :
: CK.
eſt igitur NK.
AN :
: CK.
CR.
unde (juxta dictum Theo-
rema) conſtat factum.
XIV.
Ad conſtructionem iſtam advertentes animum, hujuſmodi
facilè _Conſectaria_ deducetis:
1.
Si circulus GNH_refringentem_ contingat ad H;
ipſius AH
(perpendicularis utique) refractus in K terminabitur; &
aliorum
incidentium refracti ad unas ipſius K partes (ultra nempe vel citra
K reſpectu centri, pro diverſitate caſuum ab ipſius A poſitione reſul-
tantium) cadent.
2.
Si dictus ille circulus _refringenti_ non occurrat omninò, _Problema_
conſtructionem reſpuet; nec ullus refractus punctum K permeabit.
3.
Si circulus GNH_refringenti_ coincidat (id quod facilè concipi
poteſt, & in aliquo reverà caſu contingit) omnes refracti in punctum
K confluent.‖ Hæc &
alia conſtructionem iſtam conſectantur ſoler-
ter expanſem; quorum ſaltem nonnulla haud abs re fuerit exertiùs
oſtendi; velut hoc imprimìs palmarium.
XV.
Si fuerit AB.
CR :
: BZ.
CZ;
dico punctum Z eſſe limi-
tem, ultra vel citra quem nullus refractus axim interſecat; ſeu per-
pendicularis ipſius AB refractum in Z terminari.
Nam cujuſvis incidentis AN refractus axi occurrat in K, erit ideò
CK. CR :
: NK.
NA.
ergò quum ſit CR.
CZ :
: AB.
BZ;
erit CK.
CR + CR.
CZ = NK.
NA + AB.
BZ.
1.
Eſt autem (in prima figura, ubi puncta Z, &
K ſunt ad partes
BK>
NK, &
AB&
lt;
AN;
adeóque BK.
AB &
gt;
NK.
NA.
ergò CK.
CR + CR.
CZ&
lt;
BK.
AB + AB.
BZ.
hoc eſt
C K. CZ&
lt;
BK.
BZ.
vel inversè permutando BK.
CK&
gt;
BZ.
C Z. dividendóque BC.
CK&
gt;
BC.
CZ.
ergò CK &
lt;
CZ;
adeóque punctum K ſupra Z exiſtit, verſus centrum; quod erat pro-
poſitum oſtendere.
2.
In ſecundâ verò figurá ubi puncta Z, K ad alteras ſupra punctum
du-
catur AS ad KN parallela; hæc ſecabit angulum BA N, majorem
ipſo BK N, vel BA S; &
cùm angulus ABNfit obtuſus, èrit AN
>
AS.
adeóque KN.
AN&
lt;
KN.
AS :
: KB.
AB.
erit etiam hîc
igitur (ut ſupra)C K. CZ&
lt;
BK.
BZ.
vel permutatim CK.
BK
lt;
CZ.
BZ.
dividendóque CB.
BK&
lt;
CB.
BZ.
adeóque BK
>
BZ;
hoc eſt punctum K magìs quàm Z à centro elongatur.
3.
Haud diſſimilis in aliis caſibus erìt _Demonſtratio_;
ut in hoc, ubi
lt;
R, ad convexas;
eſt enim hîc (ut in præcedente) KB.
AB&
lt;
KN.
AN.
adeóque (ſupra monſtratis inſiſtendo) CK.
CZ&
gt;
KB. BZ.
vel permutando CK.
KB&
gt;
CZ.
BZ.
dividendóque
CB. KB&
gt;
CB.
BZ.
unde KB&
lt;
BZ.
adeóque punctum K
centro ſemper vicinius eſt quàm Z.
XVI.
Hæc autem cùm, modo ſuo mutatis mutandis, ad omnes
caſus transferri poſſint, habentur indè determinati refractorum limites,
hoc eſt apparentia radiantium punctorum A loca, reſpectu oculi cen-
trum habentis in axe AC ſitum; juxta doctrinam à nobis toties in-
culcatam.
XVII.
Id autem hîc in duobus caſibus (utroque nimirum ad circuli
cavas) peculiare venit obſervandum cùm ſit CB = CR, omnes
refractos in ipſo puncto Z (ut ſuprà definito) retrò protractos con-
gregari. Nam ob AB.
BC :
: AB.
CR :
: BZ.
CZ.
erit divi-
dendo AC. BC :
: BC.
CZ.
quapropter ad punctum quodvis N
adſumptum connexis AN, ZN, erit ZN. AN :
: (CZ.
CN :
: )
CZ. CR.
unde ZN refractus erit incidentis AN.
XVIII.
Hinc etiam ſi fuerit AB = CR, conſequetur punctum Z
quia nempe tum ob AB.
CR :
: BZ.
CZ,
erit BZ = CZ; id quod fieri nequit, niſi punctum Z ità elongetur
infinitè.
XIX.
_Conſectantur_ &
hæc:
Si punctorum radiantium A, _a_ limites
AB + BZ.
CZ = _a_ C.
_a_B + Bζ.
C ζ.
Nam è præmiſſis facilè conſtat eſſe
tam AC. AB + BZ.
CZ = \q̇uam _a_ C.
_a_ B + B ζ.
C ζ = }I.
R.
XX.
Unde Cζ &
gt;
CZ.
Nam ob BC.
AB &
lt;
BC.
_a_B.
componendóque AC.
AB &
lt;
_a_ C.
_a_ B.
erit BZ.
CZ &
gt;
BC α B.
Cζ. dividendóque BC.
CZ &
gt;
BZ.
Cζ.
adeóque Cζ &
gt;
C Z.
XXI.
Imò univerſim ſi radii quivis AF, _a_ φ ad circulum refrin-
erit C λ >
CL.
id quod hoc modo non inelegantèr oſtenditur.
Du-
catur recta BX cum BC angulum efficiens parem angulo refracto
ad poſitam inclinationem pertinenti; perque puncta F, φ;
&
cen-
trum C tranſeuntes rectæ ipſi BX occurant punctis P, π. tum quo-
niam triangula FC L, BCPæquiangula ſunt (angulus enim CB P
angulo CFLex conſtructione par eſt, & ang.
BCPverticali ſuo
FCLæquatur) nec non latus CB lateri CF æquatur, erit CP =
C L. Simili planè diſcurſu eſt C π = C λ.
Porrò quia C φ ad
C _a_ (hoc eſt Sinus anguli C _a_ φ ad Sinum anguli C φ _a_) majorem
rationem habet, quàm CF ad CA (hoc eſt quàm Sinus anguli CA F
ad Sinum anguli AF C, vel æ qualis anguli C φ α) liquet angulum
C _a_ φ majorem eſſe angulo CA F, adeóque reliquum _a_ C φ minorem
eſſe reliquo AC F; vel angulum PCBangulo π CB.
unde liquet
eſſe C π majorem quàm CP; hoc eſt C λ majorem eſſe quàm CL:
Quod E.
D.
_Coroll._
Vides arcum BF majorem eſſe arcu B φ.
Notes etiam omnes ejuſdem inclinationis refractos ope ductæ rectæ
BX promptiſſimè deſignari. ſed hæc an πρργδ fuerint neſcio.
XXII.
_Subjiciam &
hoc Theorema:_
Convexo denſiori inciden-
MK, NL axem ad eaſdem partes, directè pergentes, ſecent, iſte ad K,
hic ad L; dico fore CK majorem quàm CL.
Nam connexis CN, KN;
&
ductâ LH ad KN parallelâ quo-
niam, è præmiſſis, eſt CK. CR :
: MK.
MA.
&
CR.
CL :
:
NA. NL.
erit CK.
CK + CR.
CL = MK.
MA + NA.
NL.
eſt autem NK.
NA&
lt;
MK.
MA (quia NK&
lt;
MK, &
NA
>
MA)ergo CK.
CR + CR.
CL&
gt;
NK.
NA + NA.
NL. hoc eſt CK.
CL &
gt;
NK.
NL.
hoc eſt NK.
HL.
&
gt;
NK. NL.
quapropter eſt LH&
lt;
NL.
eſt autem angulus LCN
obtufus; ergò recta LH angulum CLNſecat;
ac angulus LHC
interno LNCmajor eſt; hoc eſt angulus KNCangulo LNC
major eſt. unde liquidò patet fore CK&
gt;
CL.
_Coroll._
CK.
CL = MK.
MA + NA.
NL.
XXIII.
Hinc, ejuſmodi omnes refracti ſeipſos priùs quàm axem
interſecant, velut ad X.‖ Hoc ſpeciminis loco pro caſu, qui præ
propter alios qui ſimilia volet, ipſeviderit, &
ſibi para-
verit. ego jam aliò progredior;
eò ſcilicet, ut locum definiam
imaginis in dato quovis refracto apparentis; prætervehemur enim
illud in his certè caſibus _intricatiſſimum Problema_ (cujúſque Solutio
nullatenus aut laborem quem exigit, aut temporis jacturam compen-
ſabit) quo jubetur per datum punctum tranſeuntem refractum deſig-
nare. poſitione datum igitur refractum accipimus;
&
in hoc ima-
ginis locum ex hoc uno Theoremate determinamus.
XXIV.
Duorum incidentium ANP, ARS ſibi quàm proximo-
biſe-
centúrque ſubtenſæ NP, N π punctis E, G; (à rectis nempe CE,
CG ad illas perpendicularibus) dico rationem NZ ad GZ è ratio-
nibus CE ad CG (hoc eſt 1. R), NG ad NE, ac AN ad AE
componi.
Ducantur enim CK ad RS, &
CI ad R σ perpendiculares;
in
que producetis CE, CG capiantur CF = CK; &
CH = CI;
&
per F ducatur TV ad NP parallela;
&
per H etiam XY ad N π
parallela. Jam eſt AP.
AN :
: arc PS.
arc NR (ob ſumptam
arcuum indefinitam parvitatem). ergò {AP ±:
AN/2}.
AN :
:
{arc PS ±: arc.
NR/2}.
arc NR.
hoc eſt AE.
AN :
: arc NT.
arc
NR. item eſt NZ.
Z π :
: arc NR.
arc πσ.
ac indè NZ.
{NZ ±: Z π/2} :
: arc NR.
{arc NR ±:
πσ/2}.
ZG :
: arc
arc NX.
ergò, rationes æquales adjungendo, eſt.
AE.
AN
+ NZ. ZG = arc NT.
arc NR + arc NR.
arc NX = arc
NT. arc NX.
quoniam autem eſt CE.
CG :
: (I.
R :
: CK.
CI :
:) CF.
CH.
vel permutando CE.
CF :
: CG.
CH;
erit,
arc NX = NG.
NE + CE.
CG.
AN + NZ.
ZG = NG.
NF + CE.
CG.
unde (rationes hinc indè pares ſubducendo) erit NZ.
ZG :
:
+ CE. CG + NG.
NE + AN.
AE.
Quod propoſitum fuit
oſtendere.
XXV.
Hinc, ſi fiat CE.
CG :
: NE.
L;
&
AN.
AE :
: L.
M;
erit NZ ZG :
: NG.
M.
Nam NG.
NE + CE.
CG
+ AN. AE = NG.
NE + NE.
L.
+ L.
M = NG.
M.
XXVI.
Subnectam &
ab amico communicatam (aliâ methodo
Duc NR incidenti AN perpendicularem, &
ſecantem axin in R.
Fac NP. N π :
: NR.
T.
duc N Qrefracto NK perpendicularem,
& æqualem ipſi T;
denique jungatur QC;
hæc producta ſecabit
NK in foco quæſito Z.
XXVII.
Hujuſmodi verò punctum Z eſſe locum ipſiſſimum ima-
ginis puncti A, oculo apparentis in ipſa N π conſtituto, ſæpiùs expo-
ſitæ rationes manifeſtant.
XXVIII.
Attendenti porrò conſtabit, ſiquidem fuerit
vallo diſtabit; ſeu proximi radio N π refracti ipſi N π paralleli erunt;
ſin ratio NG ad M ſit majoris inæqualitatis, quòd punctum Z exiſtet
infra G, vel in NG antrorſum protracta; verùm denuò ſi NG &
lt;
M,
quod punctum Z ſupra N, vel in NG retrò tractâ verſatur. Hæc
ſuffecerit innuiſſe. Hinc etiam poſticæ circuli partis illuminatæ quan-
titas utcunque poſſit determinari. ſed ad locum Solidum res ſpectat,
ipsámque proinde miſſam facio.
XXIX.
Inſeremus autem hîc _Phænomeni_ cujuſdam ſatìs obvii, quód-
_adverſum)_ mirabile videatur, explicationem. Sit lucidi puncti A
(modicè diſtantis, & vividè radios ejaculantis) ad arcum circularem
MBN (ab axe A B biſectum) imago, ſeufocus Z; &
per Z, ad ipſam
AZ perpendicularis traducta concipiatur linea XY. porrò, deſu-
matur aliud punctum remotius E; liquet ejus imaginem citra punctum
Z (centrum verſus) jacere; ductis itaque rectis EM, EN, harum
refracti adhuc altiùs ſe interſecant, puta ad K; productæque MK,
NK lineam XY ſecent punctis O, P. quinetiam ulterius accipiatur
punctum F; ductarúmque rectarum FM, FN refracti ſint ML, NL;
lineæ XY occurrentes ad puncta R, S;
quibus peractis manifeſtum eſt
intervallum RS ipſo OP majus eſſe. Hinc facilis habetur ratio, cur
punctum lucidum (velut _ardens lucerna,_ vel _Imago Solis_ ad _Speculum_
aut _lentem diaphanam_ effecta, (quin & ſtellæ fixæ) quæ propter exi-
guitatem ſuam apparentem punctorum ad inſtar haberi poſſunt) quò
a diſtinctæ viſionis loco longiùs amovetur, eò (contra quàm in aliis
Nam ſi arcus MNB oculi ſu-
fundum oculi, A locum diſtinctæ viſionis; ejuſmodi lucens ad A po-
ſitum ſatìs anguſtum circa Z ſpatium illuſtrabit; ad E verò conſtitu-
tum, validè radios vibrans, totum coruſcatione ſuâ ſpatium OP
afficiet; ad F denique collocatum adhuc majus intervallum R S per-
cellet, indéque grandiorem ſui ſpeciem exhibebit. In placidè verò
lucem remittentibus aliter ſe habet, quoniam pauciores, & langui-
diùs agentes qui extremis O, P vel R, Sallabuntur radii nullam ſui
perceptionem excitant.
Eo lubentius hanc, adeò perſpicuam, hujuſmodi _Phænomeγων_ aſſig-
namus rationem, quoniam in eorum reddendis cauſis ità titubat magnus
ille _Galilæus,_ neſcio quos, ex refractionibus, relectionibúsve quibuſdam
commentitiis oriundos, aſcititios ſuggerens cincinnos.‖
XXX.
Quin hic tandem _Dioptricam ſimplicens circularem claude_-
_mus,_ quam utcunque quàm pauciſſimis ità complexi ſumus, ut præ-
cipua ſaltem (quæ videbantur) & notatu digniora perſtrinxerimus.
priùs autem _Catoptricam cir cularem_;
nec non utramque, tam Di-
_optricam_ quàm _Catoptricam,_ planam, quantum inſtituto noſtro viſum
eſt congruere, pertractavimus. quibus perfuncto mihi propoſitum
aliquando fuit ad curvas alias, conicas præſertim ſectiones, haud diſſi-
mili methodo pertentandas cogitationem extendere. Sed enim, cùm
in his tricis _Geometricis_ etiamnum ſatìs ſupérque commoratus ſim;
& præter ea quæ circa conicas ſectiones à nobis pridem inſinuata ſunt
(quæ & ab aliis luculentè tractata proſtant) reliqua non ità magnum
uſum ſpondeant; contentus haſce primarias, in uſu maximè poſitas,
& uſui præſertim accommodatas ſuperficies, ultra paullò quàm hacte-
nùs attentatum aut peractum ſcirem, excuſſiſſe; cæteras omninò
miſſas faciam.
XXXI.
Porrò, quoad inflectiones iſtas, quos pluribus ſucceſſivè
planis, aut Sphæricis Superficiebus, utcunque conſtitutis aut compoſitis,
incidentes ſubeunt radii; quæ conveniunt illis Symptomata, poſſunt ea
de præmiſſis elici; quorum certè præcipuum eſt, quod apparentis
puncti locum reſpicit ab inflectionibus ad iſtas ſuperficies factis reſul-
tantem; in hoc enim indagando, determinandóque potiſſimùm hæ
diſquiſitiones verſantur; Hunc igitur ſaltem definitum exhibebimus,
idque ſatìs commodè, ex uno quodam Theoremate, ſeu regula gene-
rali; cui exempla quædam, communis usûs in gratiam ſelecta, eorúm-
que qui in hæc inciderit minuendo labori præſertim comparata, ſubjun-
gemus. Iſta verò, nè jam tædio Sinus, ſequenti reſervamus.
_I.
S_ub pracedentis calcem, Regulam pollicebamur, exemplis ſtipa-
tam, ex qua punctorum è variis inflectionibus reſultantes, ima-
gines dignoſcantur. iſlam nunc exhibemus quàm ſimplicimè conceptam.
Sit ABEFO radius principalis, puncti radiantis A ſpeciem per
inflexis BE,
EF, FO (in directum aut ſecùs diſpoſitis) conſtans; tum puncti A
reſpectu oculi in recta B E poſiti, & ex inflectione ad ſuperficiem B
reſultans (è præmiſſis utique deſignabilis) imago ſit Z. item hujus Z
(quod jam veluti radians concipiatur) reſpectu oculi in recta E F
conſtituti, & ab inflectione ad ſuperficiem E emergens imago ſit Y;
demùm puncti Y (tanquam in ſuperficiem F radiantis) reſpectu oculi
in FO collocati ſit imago X. erit hoc punctum Ximago cunctis ab
his inflectionibus proveniens. neque ſecùs quotcunque fuerint inflecti-
ones ſeſe res habebit; enimverò ſemper ex illa tali poſtrema inflectione
reſultans imago, eadem erit cum illa, quam omnes exhibent.
Hujus effati veritas è conſtructione ſatìs apparet;
è qua facilè colli-
gitur proximorum ipſi AB incidentium hinc indè radiorum inflexos
tandem circa punctum Xipſum FX interſecare. vel ità rem collegeris:
punctum Z eſt puncti A imago;
&
punctum Y ipſius Z;
denuóque
punctum Xipſius Y; itaque punctum X ipſius A imago erit, qualem
nempe res hîc fert, remota. Strictiore longiuſculo diſcurſu poſſet hoc
comprobari, ſed quorſum rem ſatìs claram intricare?
II.
Exempla jam, quæ dixi, ſeu è præmiſſis deducta conſectaria
ſubnectam. Notetur autem imagines, quæ in iis pròponuntur deſig-
nandæ, oculum reſpicere Centrum habentem in ipſo radiationis axe
(qualis eſt recta BD) conſtitutum. item diverſarum ſuperficierum
ac radiationum axes ſibimet in directum poni. præſumatur etiam in
refractionibus ex aere factis ad vitrum fore I. R :
: 5.
3;
ad aquam
vero fore I. R :
: 4.
3.
(hæ nempe rationes veris probè congruæ
addo, confuſionis evitandæ causâ ſymbolum I
dehinc in his exemplis perpetuò majorem proportionis refractiones
dimetientis terminum denotare, quocunque de medio in quodcunque
peragatur refractio. porrò, medium primum infringens perpetuò
denſius intelligatur rariori circundatum. item, in figuris appoſitis
litera C denotat centrum anterioris circuli, K centrum poſterioris; &
B verticem anterioris, D verticem poſterioris;
denuò deſignat Y
locum imaginis quæſitam.
Hiſce præmonitis, primum de longinquo radiantium, ſeu paralle-
los ejicientium radios punctorum imagines, pro lentium varietate, ſic
determinantur.
_I._
Ad lentem plano-convexam.
_II._
Ad lentem plano-concavam.
Fiat I- R.
R :
: DK.
DY.
_In Vitro_ eſt DY = {3/2} KD.
_In Aqua_ eſt DY = 3 KD.
_III._
Ad lentem convexo-planam.
_IV._
Ad lentem concavo-planam.
Fiat {I - R.
I :
: BC.
BZ;
&
\\ I.
R :
: DZ.
DY.
_In Vitro_ DY = {3/2} BC - {3/5} BD.
_In Aqua_ DY = 3 BC - {3/4} BD.
_V._
Ad lentem convexo convexam.
_VI._
Ad lentem concauo-concauam.
Fiat {I- R.
I :
: BC.
BZ;
&
\\ {I/R} KZ - DZ.
DZ :
: DK.
DY.
_Coroll._
Adintegram Spharam.
Fiat 2 I - 2 R.
I :
: CD.
CY.
_VII._
Adlentem conuexo-concauam.
_VIII._
Ad lentem concauo conuexam.
Fiat I - R.
I :
: BC.
BZ.
&
1.
Si punctum Z cadat inter C, &
K, fac DZ + {I/R} KZ.
DZ :
:
DY;
&
cape DY ad partes lentis verſus K.
2.
Si punctum Z cadat extra CK, &
ſit inſuper DZ &
gt;
{I/R} KZ,
fac DZ >
{I/R} KZ.
DZ :
: DK.
DY;
&
cape DY ad partes lentis
verſus K.
3.
Si DZ = {I/R} KZ, imago Y infinitè diſtabit.
4.
Si DZ &
lt;
{I/R} KZ;
fiat {I/R} KZ - DZ.
DZ :
: DK.
DY, &
cape DY ad partes lentis adverſas ipſi K.
De ſenſibiliter autem propinqua diſtantia radiantium ſeu divergentes
radios emittentium punctorum (qualia ſemper deſignat punctum A)
imagines (ut & illæ quas ad ejuſmodi puncta convergentes efficiunt
radii) hoc pacto determinantur.
_I._
Ad lentem plano-planam diverg.
_II._
Ad lentem plano-planam converg.
Fiat {R.
I :
: AB.
BZ, &
\\ I.
R :
: DZ.
DY.
Breviùs.
Fiat I.
I - R :
: BD.
AY.
_III._
Ad lentem plano-convexam diverg.
_IV._
Ad lentem plano concavam converg.
Fiat R.
I :
: AB.
BZ.
&
cum Z cadit
1.
Extra DK, ſi {I/R} KZ &
gt;
DZ;
fac {I/R} KZ - DZ.
DZ :
:
DK. DY;
&
cape DY ad partes lentis adverſus A.
2.
Si {I/R} KZ = DZ;
imago diſtabit infinitè.
3.
Si {I/R} KZ &
lt;
DZ;
fac DZ - {I/R} KZ.
DZ :
: DK.
DY;
&
eape DY verſus A.
4.
Cùm Z cadit inter puncta D, K;
fac DZ + {I/R} KZ.
DZ :
:
DK. DY;
&
cape DY verſus A.
_V._
Ad lentem plano-concavam diverg.
_VI._
Ad lentem plano convexam converg.
Fiat {R.
I :
: AB.
BZ;
&
\\ {I/R} KZ - DZ.
DZ :
: DK.
DY.
_VII._
Adlentem convexo-planam diverg.
_VIII._
Ad lentem concavo-planam converg.
1.
Si AB &
gt;
{R/I} AC, puncta Z, &
Y ad lentis partes puncto A
adverſas reperientur, facto AB - {R/I} AC. AB :
: BC.
BZ.
&
I. R :
: DZ.
DY.
2.
Si AB = {R/I} AC, imago infinitè diſtabit.
3.
Si AB &
lt;
{R/I} AC;
deprehendentur Z, &
Y verſus A, facto
{R/I} AC - AB. AB :
: BC.
BZ;
&
I.
R :
: DZ.
DY.
_IX._
Ad lentem concavo-planam diverg.
_X._
Ad lentem convexo-planam converg.
Si A cadat extra BC, fac AB - {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ;
ſin
A cadat inter B, & C, fac AB + {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ;
tum
fiat I. R :
: DZ.
DY.
_XI._
Ad lentem convexo-convexam diverg.
_XII._
Ad lentem concavo-concavam converg.
1.
Si AB &
gt;
{R/I} AC, facto AB - {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ;
&
{I/R} KZ - DZ :
: DK.
DY;
puncta Z, Y adverſus Acadunt.
2.
Si AB = {R/I} AC, fac I - R.
R :
: DK.
DY;
&
cape DY
adverſus A.
3.
Si AB &
lt;
{R/I} AC;
fac {R/I} AC - AB.
AB :
: BC.
BZ;
&
ſume BZ verſus A.
Jam cùm Z cadit extra DK, ſi primò ſit
{I/R} KZ >
DZ, fac {I/R} KZ - DZ.
DZ :
: DK.
DY;
&
ſume
DY adverſus A
4.
Secundò, ſi {I/R} KZ = DZ, imago diſtabit infini è.
5.
Tertiò, ſi {I/R} KZ &
lt;
DZ, fac DZ - {I/R} KZ.
DZ :
: DK.
DY;
&
ſume DY verſus A.
6.
Quum denuò cadit Z inter D, &
K, fiat DZ + {I/R} KZ.
DZ :
:
DK. DY;
ſumatúrque DY verſus A.
Corol.
Ad in regram Sphæram diυerg.
1.
Si AB + AC &
gt;
{2R/I} AC;
fiat AB + AC - {2R/I} AC.
AC :
: BC.
CY;
&
cape CY adverſus A.
2.
Si AB + AC = {2R/I} AC;
imago in infinitum abit.
3.
Si AB + AC &
lt;
{2R/I} AC;
fiat {2R/I} AC - AC - AB.
AC :
: BC.
CY;
capiatúrque CY verſus A.
_XIII._
Ad lentem concavc-concavam diverg.
_XIV._
Ad lentem convexo-convexam converg.
Si A cadat extra BC, fiat AB - {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ;
ſin A
fiat AB + {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ;
deinde fac
{I/R} KZ - DZ. DZ :
: DK.
DY.
Coroll- Adintegram Sphæram converg.
Si punctum A extra BC ponatur, fiat AB + {I-2R/I} AC :
: BC.
CY.
ſin A cadat inter B, &
C;
fiat AB+{2R-I/I} AC.
AC :
:
BC. CY;
&
cape CY ad partes centri verſus A.
_XV._
Ad lentera convexo-concavam diverg.
_XVI._
Ad lentem concavo convexam converg.
1.
Si AB &
lt;
{R/I} AC;
puncta Z, &
Y verſus A cadunt, facto
{R/I} AC - AB. AB :
: BC.
BZ;
&
{I/R} KZ - DZ.
DZ :
: DK.
DY.
2.
Si AB = {R/I} AC;
fac I - R.
R :
: DK.
DY;
&
cape DY
verſus A.
3.
Si AB &
gt;
{R/I} AC;
fac AB - {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ;
&
cape BZ adverſus A. Jam quum Z cadit extra DK, tum primò ſi
{I/R} KZ >
DZ, fac {I/R} KZ - DZ.
DZ :
: DK.
DY;
&
cape DY
verſus A.
4.
Secundò, ſi {I/R} KZ = DZ, imago infinitè diſtabit.
5.
Tertiò, ſi {I/R} KZ &
lt;
DZ, fac DZ - {I/R} KZ.
DZ :
: DK.
DY, &
ſume DY adverſus A.
6.
Sed quando Z inter D, &
K cadit;
fiat DZ + {I/R} KZ.
DZ :
:
DK. DY;
&
ſumatur DY adverſus A.
_XVII._
Ad lentem concavo convexam diverg.
_XVIII._
Ad lentem convexo-concavam converg.
Si Acadat extra BC, fiat AB - {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ;
ſin A
cadat inter B, & C;
fiat AB + {R/I} AC.
AB :
: BC.
BZ.
1.
Jam cùm Z cadit extra DK, tum primò ſi {I/R} KZ &
gt;
DZ, fac
{I/R} KZ - DZ. DZ :
: DK.
DY, &
cape DY adverſus A.
2.
Secundò, ſi {I/R} KZ = DZ;
imagò infinitè elongabitur.
3.
Tertiò, ſi {I/R} KZ &
lt;
DZ, fac DZ - {I/R} KZ.
DZ :
: DK.
DY;
&
ſume DY verſus A.
4.
Sed quando Z inter D, &
K cadit, fiat DZ + {I/R} KZ.
DZ :
:
DK. DY;
&
accipiatur DY verſus A.
Hiſce ſubnectam ſequentia;
non contemnendum in _engyſcopicis_
uſum præ ſe ferentia _Problemata._
I.
_Dati puncti propinqui A perfectam imaginem per lentem concavo-_
(per-
fectam imaginem intelligo, quæ reſultat ex omnibus, quos ipſum A
diffundit, radiis in ipſa readunatis.)
Fiat I - R.
R :
: AZ.
ZB.
&
dividatur ZB in C, ut ſit CB.
CZ :
: I.
R.
tum centro C deſcribatur circulus EBF.
item centro Z
intervallo quovis ZD (majoriquam ZB) deſcribatur circulus GDH;
factum erit; nempe lens EFGH puncti A perfectam imaginem in
punctum Z projiciet.
Nota, datâ CB puncta A, Z è propoſitis facilè determinari.
In vitro, ſi CB = 15, erit {ZC = 9 \\ ZB = 24} &
{AZ = 16.
\\ AB = 40.
Adnotetur etiam per lentem EGHF ad Z tendentes radios ad A
refringi.
_Hujuſmodi Vitrum Myopes juvat;_
pro quibus ità conſtruatur:
ſit ZD diſtantia, ad quam optimè cernunt;
ſumatúrque ZB utcun-
que paullo minor quàm ZD; &
fiat CB = {5/8} ZB;
tum centro C
per B deſcribatur circulus EBF, & centro Z per D circulus GDH
deſcribatur; ipſi (Superficiei GDH oculum admoventes) punctum
A diſtinctè ſpectabunt, velut ad Z ſitum.
Quod ſi velit _Myops,_ ad diſtantiam itidem ZD diſtinctè cernens,
aſſignatum punctum A contemplari; adſumpto, ut prius, liberè
puncto B, fiat CB = {2 AB x ZB/5 AB - 3 ZB}; &
reliqua fiant, ut priùs.
_II._
Dati puncti A perfectam imaginem, etiam ope lentis concave-
Fiat AZ.
AD :
: 1 - R.
R.
item dividatur AD in C, ut ſit CD.
CA :
: 1.
R;
&
centro C per D deſcribatur circulus EDF.
item
centro A, quopiam intervallo AB (minori quàm AD) deſcribatur
circulus EDF; factum erit;
nempe lens EDF puncti A ima-
ginem in punctum Z projiciet.
Datâ CB, puncta A, Z viciſſim è propoſitis innoteſcunt.
In vitro, ſi CB = 15, erit {ZC = 9.
\\ ZB = 24.
} &
{AZ = 16.
\\ AB = 40.
Itidem &
hîc, perlentem EF verſus Z tendentes radii in A refrin-
guntur.
Hinc _Presbytis_ utile conficiatur _Vitrum,_ hocpacto:
Ad interval-
lum ZD hi diſtinctè videant. Secetur ZD in A, ut ſit AD = {3/5} ZD.
item ſit CD = {5/8} AD (vel ſit CD = {3/8} ZD) centróque C per D
deſcribatur circulus EDF. item utcunque ſumpto puncto B (citra
D nempe, verſus A) centro A per B deſcribatur circulus EBF.
lente EF dicti _Presbyta_ punctum A diſtinctiſſimè conſpicient.‖
Hiſce demum in cumulum adjiciatur ab amico communicatus _Modus_
_elegans ac expeditus cujuſcunque caſûs imaginem Geometricè deſig-_
_nandi; ut &
lentem deſcribendi, quæ imaginem in datum punctum_
_projiciet._
1.
Imaginem deſignare.
E centris, &
verticibus circulorum lentem conſtituentium erigan-
deinde per punctum
A ducatur quævis recta API ſecans BP, & CIinP, &
I.
fac CI.
CR :
: I.
R.
agatur recta RP ſecans DQ, &
K ρ in Q, &
ρ;
fac
K ρ. Kj :
: R.
I, &
agatur 1 Q, quæ producta ſecabit axin in Y, loco
imaginis quæſito.‖
2.
Reliquis datis, lentem deſcribere.
Sumantur ad arbitrium BY diſtantia lentis ab imagine, BD craſſi-
ties lentis, & alter circulorum lentem conſtituentium ut (in hoc ex-
emplo) anterior EBF, cujus centrum ſit C; &
ad iſta puncta B, D, C
erigantur BP, DQ, CI ad axin perpendiculares. deinde per pun-
ctum A ducatur recta quævis API ſecans BP, & CI in P, &
I.
fiat
CI. CR :
: I.
R;
&
agatur RP ſecans DQ in Q.
fiat DQ.
DS :
:
I. R;
&
agatur SY ſecans RP productam in ρ;
à quo demittatur
perpendicularis ρ K; &
centro K intervallo DK deſeribatur circulus
EDF; erit EBFD lens quæſita.
Hîc autem in nimium excreſcenti ſpatium Lectioni defigatur limes.
BEne longo circa lucis reflectiones, quatenus hæ viſum afficiunt,
inſtituto ſtadio metam nunc opportunè ſixuri videmur, ea quomo-
docunque proſecuti, quæ πρ{ou}ρμαί{te}ρα nobis viſa, nec adeò pervulgata
ſe objecerant. quod autem magnitudines objectas attinet (quas utique
de punctis tantùm radiantibus agentes omnino videamur omiſiſie)
quales nimirum illæ ex hujuſmodi radiorum inflectionibus quoad ſi-
tum, figuram, quantitatem mutationes ſubeunt, id fermè totum paſſim
atque fuſiùs tractatum proſtat, nec animus eſt mihi toties actum agere,
vel è trivio petita quæque huc transferre. quin &
eò ſpectantia plera-
que cuncta de jam definitis ac oftenſis haud difficili negotio colligi
poſſe videntur; ſingulorum nempe cujuſvis objecti punctorum (ex-
tremorum præſertim ac mediorum) apparentias indè determinando. verùm nec ea penitus neglectui habita, ad ſubſequentem quoque
regulam (ſeu monitiunculam) preſſiùs animum advertentes forſan
autumabitis. Si qualem aſſignata quævis ſuperficies inflectens (ſim-
plex aut compoſita) magnltudinis cujuſvis expoſitæ ſpeciem exhibet
(ampliorem nempe vel contractiorem, directam aut inverſam, confuſam
diſtinctámve, ſeu quovis alio modo demutatam) internoſcere cupiatis,
Oculi centrum
(quale dari paſſim ſupponitur, ei ſaltem analogum quid dari videtur; nec indè, quoad illam quæ præ manibus rem, erroris quicquam
proveniet) oculi centrum, inquam, ubicunque pro libitu conſtitu-
tum ceu punctum radians concipiatur; tum ex eo duo prodeuntes
radii ad propoſitam ſuperficiem (eo quem hujus exigit natura vel pro-
prietas ſpecialis modo) inflectantur. tum inter hos inflexos colloca-
tum intelligatur objectum; ejus certè ſpecies inter duos primos ab
oculi centro procedentes radios conſiſtet, quæ cum ipſo (quoad ap-
parentem anguli quantitatem, punctorum correſpondentium poſitionem,
& reliquas affectiones) objecto comparata voti compotes vos reddet;
& id quidem perfectius, ſi extremorum ac mediorum præſertim
objecti punctorum juſtas imagines, ex doctrina hactenus tradita,
velitis inveſtigare. ab appoſitis exemplis res manifeſtior evadet;
in
quibus notetur punctum O ſemper oculi centrum, rectam OBA ra-
diationis axem (ſuperficiebus inflectentibus perpendicularem, & objecta
in partes æ quales dirimentem) denotare.
_Exemp.
1.
Proponatur Superficies plana medii refringentis den-_
ficies a recta MN repræſentata. &
ab oculi centro O prodeant utcun-
que duo radii OM, ON; qui in MF, NG refringantur;
inter
hos jam deſignetur objectum FAG (ab axe OA biſectum) hujus è
medio FGMN ſpectati ſpecies (vel apparentia) alicubi conſiſtet
inter rectas OM, ON, veluti puta ad φαγ. cùm autem (ut ex hu-
juſce ſuperficiei natura, communíque refractionum lege palàm eſt)
ſit angulus φ O γ major angulo FOG; hæc objecti ſpeciem ampli-
ficat inflectio. item cùm puncta (ſibi reſpondentia) F, φ;
&
G, γ ad
eaſdem reſpectivè partes jaceant, ab eadem objecti poſito non immu-
tatur. quòd ſi punctorum φ, α, γ poſitio juxta ſuperiorem doctrinam
ſtrictiùs exquiratur, de totius imaginis φαγ figurâ diſtantiâque
ſatìs accuratum feretur judicium.
_Exemp.
II.
Proponatur corpus denſum_ PMNQ, _Superficiebus_
&
ab oculi centro O
prodeuntes radii OM, ON ad ſuperficiem MN refringantur in MP,
NQ; horum verò ad Superficiem PQ refracti ſint PF, QG (qui,
propter incidentias (ad M, P, & N, Q) pares, ipſis OM, ON
æquidiſtabunt) inter PF, QG ſtatuatur objectum FAG, cujus ſit
imago φ α γ; tum verò manifeſtum eſt hìc ſe rem ſimiliter habere ac
in Exemplo præcedenti.
_Exemp._
III.
_Proponatur circulus ſpecularis concavus_ M B N, &
cum ipſis OM, ON concurrentes punctis X, Y) inter hos collocetur
objectum FAG; ejus itidem imago rectis OM, ON interjacebit,
puta ad φαγ. comparando jam angulos apparentes FOG, φ O γ,
clarè vides objecti FAG ſpeciem imminui. item cernis puncta ſibi
reſpondentia F, φ, & G, γ ad alias ac alias partes jacere, ſeu objecti
ſitum hinc inverti. Quòd ſi intra angulum &
ſpatium X H Y ſtatui
concipiatur objectum, clarum eſt hinc ejus quidem ſpeciem ampliari,
ſed adhuc ſitum inverti. ſin inter ipſa X Y conſiſtat objectum, ejus
itidem invertetur ſitus, at quantitas non immutabitur. demùm ſi intra
angulum NHM conſtituatur objectum, puta R L S; cujus imago
ſit ρλσ; evidens eſt hujuſce ſpeciem creſcere, ſitúmque retineri.
_Exemp._
IV.
_Proponatur circulus Specularis convexus_ MBN;
nè
plura prodigam verba, vides objecti F A G ſpeciem. (φαγ) co-
arctari, ſed ejuſce poſitionem eandem perſiſtere.
_Exemp._
V.
_Proponatur lens aliqua (exempli gratiâ, lens plano-_
Radii OM, ON ad ſuperficiem MBN
refringantur in MP, NQ; tum ipſi MP, NQ ad ſuperficiem PQ
refringantur in ipſos PF, QG (ſeſe decuſſantes in H, & cum ipſis
OM, ON concurrentes ad X, Y) vides jam in prima ſigura, ſi ob-
jectum FAG infra XY (verſus H) ſtatuatur, ipſum ab imagine
φαγ majus, quàm obtutu ſimplice, repræſentari. Quòd ſi inter ipſa
puncta X, Y ſubintelligatur collocatum, ejus quantitas neutiquam immu-
tabitur. at ſi ſupra XY ſtatuatur objectum RLS, ejus ſpecies, ad ρ λ σ
conſpicua, diminuetur; ubique verò punctorum correſpondentium
poſitio directa permanebit.
In altera verò figura (ubi refracti PF, QG verſus axem procur-
vides ejus ſpeciem quantitate adauctam, at ſitu non mutatam. verùm
objecti _RLS_ ultra concurſum H poſiti imago ρλσ nedum protorypo
major eſt, at quoad ſitum etîam eidem in verſa.
Et hoc quidem pacto nulla non lens pro varia vel objecti vel oculi
poſitione, objecti ſpeciem aliam exhibet ac aliam; nunc dilatat, tunc
contrahit; modò rectam dat, mox inverſam;
ſubinde propiùs adducit,
nonnunquam longiùs amovet. Singulos caſus ad examen facilè rediges
hoc ad ſpecimen aciem mentis intendendo.
Quinimò methodum hanc leviculam adhibendo pleraſque ſuperfi-
cierum quarumvis inſlectentium hujus generis affectiones (illas nempe
quæ magnitudinum apparentes quantitates, poſitiones, diſtantias,
figuras reſpiciunt) compluriúmque _Phænomenωv_ cauſas ipſe ſtatim o-
perâ levi deprehendes; quibus in expreſſiùs deducendis libri plures ad
tantam molem extumeſcere vel poſſunt, vel ſolent; ut mihi ſaltem
opus non ſit hujuſmodi plura congerere. veruntamen nè pars hæc
nimium deficiat, & quoniam nonnulla ſuccurrunt animadverſione non
indigna, de magnitudinum etiam apparentiis, tam _Dioptricis_ quàm
_Catoptricis,_ ſpecialia quædam proponam; ea verò commodius ſe-
quentem præſtolabuntur Lectionem.
Huic interim, nè abnormiter curta ſit, aliquatenus explendæ _Pro-_
_blemation_ hoc adnectam:
Exponatur oculo, cujus centrum O, longinquum objectum FG,
ab oculi, circulique refringentis axe ABO biſectum; datúſque ſit
angulus ſimpliciter (oculo nempe nudo) apparens FOG. item aſſig-
netur punctum Z, quod imago ſit puncti A à circulo refringeute facta; datus ſit denuò ex refractione apparens angulus POQ;
propoſitum eſt
_Analyſis._
Factum eſto;
ſit nempe circulus BN, qualis requiritur,
cujus ſit centrum C, vertex B; &
qui rectam OP in N ſecet.
duca-
tur CY ad OF parallela, rectæque OP occurrens in Y, & con-
nectatur CN. cum itaque ſit NY refractus radii ad FO, vel CY
paralleli; erit CY.
YN :
: R.
I.
ergò ratio CY ad YN datur;
&
cùm prætereà angulus Y (dato FOP æqualis) detur, etiam (in tri-
angulo CYN) angulus CNY innoteſcet. itaque triangulum CON
ſpecie datur; unde ratio CO ad CN (vel CB) datur.
eſt autem
CB. CZ :
: I - R.
R ergò ratio CB ad CZ datur.
itaque ratio
CO ad CZ quoque datur; unde ratio CO ad OZ datur.
verùm
OZ datur; ergò etiam CO datur.
hinc demùm &
ipſa CB datur.
Componitur autem in hunc modum.
In OF utcunque capiatur
O ρ, & fiat O ρ.
O σ :
: R.
I.
&
connectatur σ ρ ζ;
ducatúrque
ZRS ad ζ σ parallela. tum fiat OZ.
ZT :
: I - R.
R (unde com-
ponendo OT. ZT :
: I.
R) item V = √ ZT x ZS;
&
X =
√ OZq - Vq; tum X.
OZ :
: OZ.
Y.
denique X.
Y :
: OZ.
OC (unde erit Xq.
OZq :
: OZ.
OC;
hoc eſt OZq - Vq.
OZq :: OZ.
OC;
hoc eſt OZq - ZT x ZS.
OZq :
: OZ.
OC). per C verò ducatur CN ad ZS parallela, ſecans OP in N.
denique centro C per N ducatur circulus BN; is propoſito ſatis-
facit.
Nam ob OZq - ZT x ZS.
OZq :
: OZ.
OC;
erit OZ cub
= OC x OZq - OC x ZT x ZS. tranſponendóque OC x ZT x ZS = OC
x OZq - OZ cub. atqui propter OZ.
ZS :
: OC.
CN.
eſt
OZ x CN = ZS x OC. quare OZ x CN x ZT = OC x OZq
- OZ cub; adeóque (elidendo OZ) erit CN x ZT = OC
x OZ - OZq. vel CN.
OC - OZ:
: OZ.
ZT;
hoc eſt CB.
CZ:
:
OT. ZT.
. &
componendo BZ.
CZ :
: OT.
ZT :
: I.
R.
itaque
primò liquet punctum Z imaginem eſſe puncti A, ex refractione
factam ad circulum BN. quinetiam ob CY.
YN :
: ρ O.
O σ :
:
R. I;
palàm eſt NO refractum eſſe radii ad CY, hoc eſt ad FO
paralleli. liquidò proinde conſtat propoſitum.
‖
In hoc caſu debet eſſe OZq &
gt;
ZT x ZS.
Haud abſimili ratione quoad
alios caſus (ut ſi circuli refringentis cavum objecto exponatur, & c.)
peragetur negotium.
ego ſpecimen tantùm _inſtitui Problematis,_ juxta
quod viſibilis objecti ſpecies per refractionem circularem ſecundum
præſtitutas quantitatem atque diſtantiam utcunque poſſit immutari.‖
UT hæc paullò ſtrigoſior Lectio nonnihil incraſſetur, faciam hîc
(quanquam alienore loco) quod alibi (ſi mihi tunc in mentem
veniſſet) factum oportebat; raciociniis noſtris adverſantem, à viro
doctiſſimo (alioquin opinor rarò dormitante) commiſſum paralo-
giſmum, nè cui fraudi ſit, detegam ac amoliar; unáque doctrinam
noſtram confirmabo. horſum è præmiſſis conſequens, ſed &
expe-
rientiæ (ut videbimus) conſonum hoc præſterno: E refractione quavis
(nec non è reflectione ad circulum) duobus oculis apprehenſum ob-
jectum (puta lwcidum punctum A) reverà duplum apparet, ſeu duas (ad
minus) obtinet imagines.
Nam à puncto A exeuntes inſlectenti M N incidant duo quicunque
quorum inflexi ſint ME, NF;
concurrentes in X;
in his autem uſpiam conſtituantur oculorum centra O, P.
quòd puncti
A imago nulla ad occurſum X exiſtat, è ſupra poſitis, ac probatis con-
ſectatur (omnes enim imagines ad illa conſiſtere docuimus inflexorum
puncta, ad quæ nulli illos alii inflexi interſecant) itaque duæ ſunt
imagines puncti A, una in inflexo EM (qualis α) ad oculum O per-
tinens; altera in inflexo FN (qualis α) oculo P deputanda.
Hinc liquet etiam magnitudinis cujuſvis hoc modo ſpectatæ duplicem
imaginem haberi.
Huic effato ſi contraria obtendatur experientia, monſtrans ſubinde
duntaxat unam imaginem apparere; regero, in refractione quidem
ad ſuperficiem planam apparenter hoc plerumque contingere, quo-
niam imagines iſtæ duæ (quales α, _a_) ita ſibimet ipſis, ita refracto-
rum concurſui X vicinæ ſunt, ut ipſarum intervallum diſcerni nequeat,
ipſæque (ſicut in ſimili caſu obvenire mox oſtendemus) velut in unam
imaginem interceptibilitèr coaleſcant; aſt in aliis diverſi generis in-
flectionibus, etiam ſenſu conteſtante, maniſeſtè ſecùs apparet; id
quod cùm è compluribus admodum obviis experimentis conſtare poſſit,
unum ſaltem ac alterum proponemns. Speculo BNM exponatur ob-
tum oculis, velut ad O, P conſtitutis, apparebit ejuſce
duplex ſpecies α, _a_; quarum illa (a) clauſo oculo O, hæc (_a_) clauſo
P diſparebit.
Notetur autem, ſi placet, imaginum α, _a_ intervalla (pro vario
oculorum ſitu) nunc magìs, nunc minùs deduci, ſic ut ſubinde coadu-
nari videantur. Nempe ſi oculus P ad F concipiatur tranſlatus, duca-
túrque FG ipſi PO parallela, & æqualis;
unde jam &
oculus O
in C poſitus concipiatur; quoniam FE minor eſt quàm FG, radius
MO per G non tranſibit; tranſeat alter inflexus LG;
in hoc itaque
jam conſiſtet imago α, ab altera _a_; magìs elongata.
Reliquarum hujuſ-
modi diverſitatum haud diſpar aſſignari poterit ratio.
Adjungatur &
hoc, an paſſim obſervatum neſcio, dignum certè
Ad ſpeculum concavum RSMN faciem tuam
FAG (ſpeculo propiùs ad motam) contemplare. Et primò quidem
oculo O (altero P occluſo) cernes ejus imaginem φαγ; rurſus (ocu-
lo O occluſo) altero P conſpicies imaginem fag, à priore φαγ ali-
quantùm deflectentem; demùm utroque ſimul oculo recluſo ſpectans
itlas in unam coalitas percipies; ſeu, ſpeciem unam aſpicies, per-
quam notabili diſcrimine, ampliorem priorum ſingularum alterutrà.
Exhinc, obiter, ſuſpicari licet, etiam intuitum ſimplicem adhiben-
tibus objecta binis oculis ſpectata tantillo majora videri, quàm uno; ſpeciebus ità coëuntibus, ut non exquiſitè congruant.
Unicam prætereà ſubdemus inſtantiam:
Per ſphæram vitream (aut
per phialam conicam aut cylindricam aquâ repletam) MBN
tranſlucentem lucernulæ flammam A ſpecta; ejus duas imagines a, _a_;
obſervabis (pro oculorum ſitu magìs à ſe minúſve diſſitas) quarum
una (a) clauſo oculo O, altera (_a_) clauſo P evaneſcet.
Videtur hæc inſtantia vel ſola ſufficere vulgari ſententiæ refellendæ;
ad punctum X conſiſteret.
Has inſtantias, facilitatis gratiâ, ità propoſuimus, quaſi punctum
A, unà cum duobus oculis O, P in plano exiſteret ad ſuperficiem in-
flectentem recto. id quod utrùm in experiendo præcisè contingat
nécne, parùm refert; duas utcunque ſpecies apparere liquet.
quin
facilè concipitur etiam eo poſito rem non aliter ſe habituram.
His prælibatis, illud diſcutiamus, quod innuimus, ψευ{δ ο}{γ ρ}άφημæ
_Herigonius_ propoſitionem hanc ſuam comprobatum it:
“ Si oculus, &
aſpectabile ſint in diverſis mediis ſè mutuo contingen-
tibus, imago apparebit in concurſu catheti, & radii ab oculo per
punctum refractionis directè producti.
Sit utique punctum Fin medio denſiori HLMN collocatum, quod
D;
&
rectæ AE, BD conveniant in C;
ſit autem ſuperficiei refringenti
perpendicularis recta FG; erit (inquit) puncti F imago in recta
FG. id quod ità demonſtrat:
Quoniam dicta imago tam in refracto
AE, quàm in refracto BD exiftit, ergò in horum interſectione C
exiſtet. verùm interſectio C ìn recta FG exiſtet;
quoniam hæc
communis eſt ſectio planorum AEF, BDF ſuperficiei refringenti
rectorum. ergò liquet propoſitum.
In hanc demonſtrationem adverto;
1.
Supponit ea refractos AE,
BD concurrere; quod tamen falſum eſt, præterquam in uno vel al-
tero caſu; quum nempe planum ABF in eodem exiſtit cum ipſa
recta FG plano; vel, cùm puncta A, B ſunt in ſuperficie coni recti,
cujus axis eſt recta FG. quod ſi prior caſus ponatur, è ſuprà demon-
ſtratis maniſeſtum eſt refractos AE, BD non in recta FG, ſed intra
angulum FGH convenire; quod è principiis noſtris elicitum illum
ſaltem conſtringere debet, qui principia iſta admittit ac amplectitur. 2.
Hinc, illa demonſtratio ipſam ſe perimit:
Nam, quoniam (in po-
ſito caſu) puncti F imago tam in recta AE, quàm in recta BD exiſtit,
adeóque in harum concurſu; concurſus autem iſte non eſt in recta
FG; ergò liquet dictam imaginem extra rectam FG verſari.
3.
Sup-
ponit iſte diſcurſus (ut & ſuppar ille jamjam prolatus) puncti F uni-
cam oculo u@ique imaginem apparere; quod πρῶγον ψεῦδ{ος} erat,
à nobis paullo ſupra refutatum. Enimverò diverſi oculi ſunt reipsâ
diverſi ſpectatores. hæc, opinor, ratiocinium illud ſatìs enervant.
‖
I.
P_Unctorum ex inflectione determinatis apparentibus locis,_ con-
quieſcere poſſem; ſiquidem exinde magnitudinum apparentiæ
deducuntur, quotlibet in ipſis exiſtentium punctorum imagines de-
ſignando. cæterùm nè juſto parciùs in hac parte, vel illiberaliùs egiſſe
videar, etiam _de rectarum linearum (conſequenter & planarum ſuper-_
_ficierum, quibus diſtinctè viſui repræſentandis natur a præcipuè conſu-_
_luiſſe videtur) apparentiis & imaginibus expreſſiora ſpecimina quædam_
_haud gravabor adnectere._ de quibus etiam circa reliquarum magnitu-
dinum apparentias propius ac promptius fiat judicium.
II.
Notetur autem imprimìs;
Sicuti (quod ſæpiùs in antedictis
habetur inſinuatum) cujuſque puncti quodammodò duplex eſt imago; una ſimplex, abſoluta, principalis;
illa ſcilicet, quæ in recta verſatur
ad ſuperficiem inflectentem perpendiculari, perque radians punctum
ſimul ac oculi centrum tranſeunte (hoc eſt in communi lucidæ radia-
tionis, ſuperficiei reflectentis, ipſiúſque viſionis axe) altera verò
relata, mutabilis, ac minùs præcipua; quæ talis eſt reſpectu oculi
extra rectam inflectenti ſuperficiei perpendicularem arbitrariè conſti-
tuti; ità pari fermè modo duplex cujuſque magnitudinis imago con-
cipi poteſt; una quidem abſoluta (quam ſaltem hoc nomine deſig-
nabo) quæ ex punctorum ſingulorum in ipſa exiſtentium abſolutis
imaginibus quaſi conflatur, illas ſaltem comprehendit (qualis in ob-
jecta congrua ſuperficie vividè deformaretur; qualíſque videretur
oculo ad infinitam ab inflectente ſuperficie diſtantiam ritè collocato)
altera verò relata, quæ oculum reſpicit ubivis in certa poſitione con-
ſtitutum; quid velim, &
quare ſic diſtinguam ab exemplis benè mul-
tis in decurſu proponendis luculenter apparebit.
III.
_Superſiciem planam media dirimentem (aquam ſiplacet ac aërem)_
aquæ inſit recta FP ad PQ perpen-
dicularis. ſiat autem FP.
XP :
: R.
I;
erit X P imago abſoluta rectæ
FP; continet illa ſcilicet omnes locos punctorum, quæ in FP, oculo
apparentes in ipſa FP ſito. verùm ſi ponatur oculus uſpiam extra FP,
velut ad O, ei tota FP citra XP apparebit. tranſeat videlicet ali-
cujus radii FM refractus per O, & protrahatur OM, ut occurrat ipſi
FP in K. eſt ergò (ſecundum præmonſtrata) punctum Kinter X, &
P. itidem (è prius oſtenſis) puncti F imago quæ in refracto OMK,
ad oculum O relata, inter K, & M cadit, veluti puta ad φ.
ſimili ratione
cujuſvis alterius in ipſa FP accepti puncti, ceu R, imago (cogita ρ)
citra rectam XP, verſus oculum, jacet. totius itaque rectæ FP imago
talis eſt, qualem curva linea φρ P refert. quòd ſi P F infinitè protra-
hatur, ejus totius imago P ρρ verſus aſymptoton OBA, ad PF paralle-
lam, accedens excurrit.
IV.
_Delineatur autem curva P ρ φ hoc modo._
ab O ducatur utcun-
que recta OMK ſecans rectam PQ in M; &
(poſito fore S = √ Rq
- Iq) ſit PH = {Sq x PM cub/Iq x FPq}; atque per H ducatur H φ ad PR
parallela, ipſi OK occurrens in φ; erit φ in dicta linea;
nempe, ſi
OMK ipſius M F refractus concipiatur, erit punctum φ ipſius F ima-
go. eodem modo reliqua lineæ P ρ ρ puncta deſignantur.
V.
Quinetiam adſumptâ rectâ FG ad PQ parallelâ, ductâque
parallelâ;
item per X ductà X α Y ad PQ
parallelâ, erit quidem recta X α Y rectæ FAG imago abſoluta; verùm ejus imago ad oculum O relata citra rectam XY tota jacet, eám-
que curva φαγ repræſentat, admodum jamjam præſcriptum puncta-
tim delineabilis. itaque compoſitæ lineæ PFGQ, circa axem OBA
rotatæ, imago fornicem referet arcuatam. id quod experiri vos velim
vaſculi cylindrici aquâ repleti ſuperficiem inſpectando.
VI.
Quòd ſirecta viſibilis FG ad PQ inclinata ſit, cum ea conve-
&
connectatur XV, erit rurſus XY ipſius FG imago ab-
ſoluta; relatam verò curva φαγ repræſentat.
VII.
Quòd ſi viciſſim _oculus O in aqua ponatur conſtitutus,_ &
PX :
:
I;
erit quidem XP imago rectæ FP abſoluta;
at ejuſdem imago
relata (puta P ρ φ ρ) ultra PFR jacet, ab illa ſenſim reclinans; e-
júſque puncta quælibet ità ſignantur. Ab O ducatur recta OK ut-
cunque rectam PQ ſecans in M, & ſit KM ipſius FM refractus,
tum (poſito rurſus S = √ Iq - Rq) fiat PH = {Sq x PMq/lq x PFq} PM,
& per H ad PF parallela ducatur H φ, ipſam OMK interſecans
ad φ; erit punctum φ in dicta linea, punctum ſcilicet F repræſentans.
eodémque modo puncta quotlibet alia deprehendes.
VIII.
Similiter rectæ FG ad ipſam PQ parallelæ, vel inclinatæ
imago relata φ α γ (in partes arcuata contrarias illis, ad quas prioris. casûs imago videbatur incurvata) determinabitur.
rem appoſita figura
ſatìs exprimit.
Hæc autem omnia de ſuprà comprobatis dilucidè conſectantur.
IX.
Ac ità quidem circa ſimplices planas ſuperficies refringentes
Quòd ſi corpori parallelis planis MN, μν terminato
exponatur recta FG; Sint rectæ FP, GQ, ADBO ipſi PQ
perpendiculares, & fiat BD.
BS :
: I.
R;
adſumatúrque Aα = DS;
&
fiat AB.
αβ :
: FP.
XP;
&
per X, α ducatur recta X α Y, erit
X α Y lineæ FAG imago abſoluta. Ergò ejus imago ad oculum O
relata (in hoc caſu) citra ipſam X α Y verſus ſuperficiem μν nonnihil
incurvata diſponetur, qualem exhibet linea φαγ. id quod ex eo ſatìs
videtur liquere, quòd recta X α Y ſit imago reſpectu oculiin ipſa
OB à B infinitè ſemoti. deſignari verò poterit hæc imago ad hunc
modum. ſit fag (minuſculis elementis indigitata) imago rectæ FAG
ad ſuperſiciem refringentem μν relata (hoc eſt ad oculos in refractis
f μ M, q ν N, a DB, reliquíſque, nec non in medio μν MN verſus
O protenſo, ſitos) juxta proximè commonſtrata delineabilis. tum
hujus ipſius _fag_ velut in medio MN μν verſus A protenſo poſitæ, ex
refractione ad ſuperficiem MN emergens, & ad oculum O relata
conſtruatur imago φαγ (itidem ad modum nuperrimè præſcriptum)
hæc rectam FAG per corpus MN μν ſpectatam repræſentabit. ex-
perientia teſtis advocetur, ego pluribus in re perplexiore, quàm uti-
liore ſuperſedeo.
X.
Porrò quod _plana ſpecula_ (ſimplicia, vel compoſita) attinet,
in iis palàm eſt imagines abſolutas ac relatas omnino ſibi coincidere; quo fit, ut eæ objectorum magnitudines, figuras, diſtantias (ſitu
qua de re
(tam facili, toties acta) penitùs reticens ad minùs trita me pro-
moveo.
XI.
Sit jam _Circulare Speculum convexum_ DMB, cujus centrum C;
per C protendatur recta CBA;
in qua ſumatur portio quædam AR,
fiátque CA. AB :
: CX.
XB;
neq;
non CR.
RB :
: CY.
YB;
erit YX imago
abſoluta rectæ RA; quòd ſi CB biſecetur in Z;
erit BZ totius BA ad
infinitum exporrectæ imago abſoluta; hoc eſt, illæ tales erunt oculi
reſpectu in ipſa AB conſtituti. ſecùs autem uſpiam collocato oculo,
tanquam ad O, totius AB quod conſpicuum eſt (hoc eſt quod ſupra
horizontem OT, ſpeculo contiguum extat) ſupra citráque XB ap-
parebit. Enimvero tranſeat radii AM reflexus KMO per O;
ita-
que punctum K (quod olim oſtenſum) ſupra punctum X, verſus A,
extat. quinetiam (ex indidem monftratis) puncti A imagines omnes,
oculum O reſpicientes, ex reflexione factæ ad partes BMD, citra
CA verſus O, cadunt. ejus igitur imago quæ in OK, puta α, in ipſa
KM exiſtet (id quod etiam, nè quis dubitet, exertius mox oſten-
demus). ſimili ratione puncti R imago, cogitaρ, ſupra Y, citráque
BY jacet. quòd ſi porrò per O tranſeat recta ODLH, quæ reflexa ſit
rectæ DS ad CA parallelæ (hæc autem quomodo ducatur, antehac
declaratum habetur) erit in ODL imago puncti (quale concipiatur
S) in ipſa AB infinitè ſemoti; hæc puta ſit ad σ.
erit itaque curva
B ρασ imago totius infinitæ rectæ BAS, ad oculum O relata.
XII.
Iſta verò linea tali pacto delineatur:
Super diametrum CO
deſcribatur circulus OTC; &
ab O ducatur recta quæpiam OMF,
cujus reflexa ſit MA; in qua ſumatur ME = MF;
tum ſecetur
FM in α, ut ſit F α. α M :
: AE.
AM;
erit (è pridem demonſtra-
tis) punctum α puncti A imago. ſimili modo quotcunque lineæ
B αρσ puncta reperiuntur.
XIII.
Quòd autem ſit punctum α citra K (verſus oculum) ità con-
ſtabit. Ducatur FQ ad AM parallela.
eſt ergo angulus FQA
par angulo CAM. aſt angulus FCA angulo ACE minor eſt.
ergò
eſt CF. FQ &
gt;
CE.
AE.
atqui CF = CE;
quare FQ &
lt;
AE.
ergò eſt FQ.
AM &
lt;
AE.
AM.
hoc eſt FK.
KM &
lt;
F α.
αM.
componendóque FM. KM &
lt;
FM.
αM.
unde KM &
gt;
αM.
adeó-
que punctum αcitra K verſus O jacet: Q.
E.
D.
XIV.
Exhinc _Euclidis, Alhazeni_, communíſque fermè ſententia
convellitur, quæ rectæ BA rectam BK, infinitæque BS ipſam BL
imagines ſtatuit; proindéque corruunt omnia, quæ principio ſuper-
extruunt iſti gratìs adſumpto, rationíque diſſentaneo. Veruntamen
_Opticorum noviſſimus ſcriptor, eruditiſſimúſque vir_, veterum ipſe veſti-
giis inſiſtens poſtulatum iſtud ab experientia ſtabilitum vult, ejúſque
veritatem ſeſe deprædicat centies explorâſſe; doctrinam itaque no-
ſtram invicto ſensûs teſtimonio refutavit. atqui repono, non potuiſſe
illum quantumvis oculatum & ſagacem quod obtendit vel ſemel ex-
plorare. nec hoc in caſu poterit doctrina noſtra tentari, nedum re-
felli. nam (præterquam quòd perpendicularis CBA ſitum exactè
dignoſcere perquam arduum, forſan impoſſibile fuerit) quum lineola
B αρσ infinitam, juxta nos, lineam rectam BS repræſentet, ipſúm-
que punctum σ (infinitè diſſito puncto S reſpondens, atque rectam
DH biſecans) à puncto L modicè diſtet, quæ amabò visûs acies
curvæ B ασ à recta BL deflectionem cernat? itaque fruſtrà eſſe vide-
tur acutiſſimus vir, ad teſtem provocans hac in parte minùs com-
petentem, déque cujus ſententia vix ullatenus conſtare poſſit. Sanè
quoad affinem in _Dioptricis_ caſum, quem attigimus ſupra, demiſſo in
aquam perpendiculo, oculo ſimpliciter inſpectanti, videbitur ejus ima-
go nihil quicquam à perpendiculari declinans; verùm ope reflectionis
juſtum perpendicularis ſitum obſervando (qui nudo ſcilicet obtutu
planè dijudicari nequit) notoriè deprehenditur aquæ immerſi perpen-
diculi imago ab ipſo deviare. neque dubito quin pariter in præſente
caſu ritè conſulta experientia pro nobis ſit pronunciatura. Quinimò
noſtris ex effatis (luculentâ opinor ratione ſuffultis) apparebit, unde
principium illud multis in caſibus experientiæ videatur conſentire; quoniam nempe contingit, ut in iis à vero non multùm abſcedat;
ejúſque proinde falſitatem ſenſus (niſi ratione, vel certiore ſenſu adju-
tus) perſpicere nequeat. aſt exorbito.
XV.
Sit rurſus _Speculum concavum_ BMD;
cujus centrum C, &
CB in Z; ac in ZB ſumptis quibuſcunque punctis A, R;
fiat CA.
AB :
: CX.
XB;
itémque CR.
RB :
: CY.
YB;
erit quideminfi-
nita BL totius BZ imago abſoluta, & portio YX portionis RA;
verùm extra axem BC uſpiam conſtituto viſu, velut ad O, ad hunc
relatæ ipſius ZB, ejúſque partium imagines ità determinantur.
XVI.
Addiametrum CO deſcribatur circulus CFH;
&
ab O
= {1/2} DH, vel {1/2} DI; poſitâ CI ad DS perpendiculari (talis autem
radius facilè duci poſſe concipiatur; &
per curvam appropriatam re-
verà ſtatim determinetur; id proinde nos non diſtinebit).
Erit tum
puncti Simago, puta σ, à puncto D infinitè disjuncta; quoniam (id
quod fieri nequit, niſi H σ, σ D ſint infinitæ) eſt H σ. σ D :
: IS.
SD.
Jam in arcum DB cadat utcunque radius OM, cujus reflexus
ſit MA E; &
in hac ſumatur ME = MF;
tum in OM producta
capiatur punctum α, ut ſit F α. α M :
: EA.
AM;
erit α puncti A
imago. ſimili methodo reperiatur ρ puncti R imago;
neque non reliqua
totius R ρασ, ipſam BS referentis, puncta.
XVII.
In harc verò conſtructionem quædam veniunt adnotanda.
1.
Quòd CS &
gt;
CZ.
Nam 4 CZq = CBq = 3 SDq +
CSq. ergò quum ſit CZ &
gt;
SD;
erit CS &
gt;
CZ.
2.
Quod CA &
gt;
CS.
Nam (è ſuprà monſtratis) ſi ducatur
recta M ψ ad DO parallela, ejuſce reflexa (puta M ξ) ſecabit ipſam
DS, verſus I, puta ad ξ. ergò M ξ ipſam CB ſecabit ſupra punctum S,
velut ad φ. atqui quoniam ang.
CMO &
gt;
CMψ, ſeu ang.
CMA
>
CMφ, eſt CA &
gt;
C φ;
adeóque magìs eſt CA &
gt;
CS.
3.
Quòd EA &
gt;
AM.
cùm enim ſit EM (vel FM) &
gt;
HD,
atque DS >
MA;
erit EM.
MA &
gt;
FD.
DS :
: 2.
1.
4.
Hinc denuò liquebit totam lineam B ρασ ultra rectam CBL
jacere. nam ducatur FQ ad AM parallela eſt hîc ang FCA &
gt;
ang
ACE. &
ang FQA = ang CAE.
quapropter erit CF.
FQ
<
CE.
AE.
adeóque FQ &
gt;
AE.
acindè FQ.
AM &
gt;
AE.
AM;
hoc eſt FK, KM &
gt;
Fα.
αM.
dividendóque FM.
KM &
gt;
FM. αM.
quare α M &
gt;
KM.
adeóque punctum α ultra K in
recta OK protenſa jacet.
XVIII.
Quòd ſiad partes alteras rectæ OD ducatur radius ON’
cujus reflexus NGT = NV; ſitque TG.
GN &
lt;
2.
1;
ſtatuen-
da eſt puncti Gimago (puta γ) ad partes O. quinimò cùm in hanc
rem plura ſubjici poſſent, ego jam _Specimina_ tantùm inſtituens
(quippe cùm operâ dignum haud arbitrer adeò tenuem materiam curi-
oſiùs proſequi) à minutiis abſtineo. quo &
indè pronior ſum, quo-
niam in hac re copioſus videtur A. _Tacquetus;_
ſubinde quidem is,
ob admiſſum iſtud falſum principium, ceſpitans, at bene multa credo
relinquantur igitur ei cætera, mihi
ſuffecerit, quòd veriorem _phænomena{εμ}
thodum adniſus ſim aliquatenus enucleare. pergamus ad alios caſus,
haud ità pertractatos.
XIX Objiciatur ſpeculo MBND recta FAG, rectæ CA (per
ſpeculi centrum C tranſeunti) perpendicularis; adverto, ſi fuerit ipſa
ad infinitum utrinque protractæ ad totum circulum (ejus ad partes
intelligo concavas ſimul acconvexas) imago abſoluta (quinetiam ima-
go ad oculum in ipſo centro C conſtitutum relata) erit _Ellipſis_. item
ſi CA minor ſit, quàm CZ, quòd ipſius FA G imago abſoluta
(vel dicto modo relata) conſtabit ex hyperbolis oppoſitis; ſi denuò
CA ipſam CZ adæquet (vel FG per ipſum Z tranſeat) quòd ad
parabolam ejuſmodi conſiſtet imago. Sed modum tranſgrederer hæc
jam aggrediens demonſtrare. Expectent igitur.
‖
1.
ADea, quæ ſub finitam præcedentem propoſuimus demon-
ſtranda _neceſſariam, alioquin notabilem, Conicarum Sectionum_
_proprietatem_ imprimìs oſtendemus.
Sit triangulum ACE, rectum habens angulum ad C;
&
inde-
ctum X, ducatúrque XG ad CE parallela; inſeratur autem angulo
CXG recta CZ æqualis ipſi XG; dico punctum indeterminatum Z ad
ſectionum conicarum aliquam conſiſtere.
II.
Nempe primò, ſit angulus A ſemirecto minor (vel AC &
gt;
CE) erit punctum Z ad ellipſin, quæ determinatur hoc pacto:
An-
guli LCP ſemirecti fiant (ad utramque rectæ CE partem) liquet
igitur rectas CP ipſi AE occurrere, puta ad puncta R, & S.
ab his
palàm eſt indeter-
minatum punctum X inter limites T, V conſiſtere (nam extra TV
punctum quodlibet L accipiendo, & indè ducendo LI P ad CE paralle-
lam, erit CL, hoc eft LP, major quàm LI, unde à C ad rectam LI,
nulla duci recta poteſt æqualis ipſi LI). Jam autem dico, quòd
punctum Z ad ellipſin exiſtit, cujus axis TV, focus C. Nam biſe-
cetur TV in K; fiat VD = TC;
ducatur KH ad CE parallela;
per H ducatur HN ad CK parallela.
Eſtque KH = {TR + VS/2} =
{CT + CV/2} = KT = KV. Et quoniam AV.
AT :
: (VS.
TR (hoc eſt) :: CV.
CT :
:) CV.
DV;
erit per rationis con-
vcrſionem AV. TV :
: CV.
CD.
vel, conſequentes ſubduplando,
AV. KV :
: CV.
CK.
dividendóque AK.
KV :
: KV.
CK;
hoc eſt
AK. KH :
: KH.
CK.
hoc eſt HN.
NG :
: KH.
CK.
quare
KH x NG = CK x HN = CK x KX. atqui eſt CZq = XGq
= KHq + NGq + 2 KH x NG. &
CXq = CKq + KXq
+ 2 CK x KX = CKq + KXq + 2 KH x NG. ergo
KHq + NGq - CKq - KXq = CZq - CXq = XZq.
Ad alteras biſegmenti K partes ſumatur K ξ = KX, ducatúrque ξν ad
KH parallela, ſecans curvam TEZV in ζ, & rectam AH in γ, ac
ipſam NH in ν erit quoque, ſimili ex diſcurſu, ξζq = KHq +
νγq - CKq - Kξq; unde liquet fore ξζ = XZ;
connexíſque
proinde rectis Cζ, Dζ, erit Dζ = CZ; &
Cζ + CZ = ξγ +
XG = 2 KH = TV. ergò Cζ + Dζ (vel DZ + CZ) = TV.
unde perſpicitur _curvam TζZV eſſe ellipſin_, cujus _axis_ TV; _foci_
C, D.
III.
Sit autem ſecundò angulus CA E major ſemirecto (vel AC
lt;
CE) dico punctum Z ad oppoſitas hyperbolas, conſimili modo
determinabiles, exiſtere. enimverò factis (ad utramque rectæ CA
partem) angulis ſemirectis ACP; &
(ab ipſarum CP cum AE
occurſibus) ductis rectis RT, SV ad CE parallelis, punctum X
extra limites TV neceſſariò conſiſtet (etenim ubivis intra TV ductâ
LIP ad CE parallelâ, erit LI <
LP, ideóque nulla par ipſi LI
angulo AL I ſubtendi poteſt; id quod extra terminos hoſce nil pro-
hibet fieri) erit jam TV axis, & C focus hyperbolarum.
Fiant
enim omnia, quæ in caſu præcedente; erítque rurſus hîc KH =
KV. item ob AV.
AT :
: CV.
DV;
&
(inversè componendo)
AV.
TV :
: CV.
CD;
&
conſequentes ſubduplandò, dividendó-
que AK. KV :
: KV.
KD :
: KV.
CK.
vel AK.
KH :
: KH.
CK;
hoc eſt HN (KX).
NG :
: KH.
CK;
quare CK x KX = KH
x NG. eſt autem XZq = CZq - CXq = XGq - CXq =
NGq + KHq - 2 NG x KH: - KXq - CKq + 2 CK
x KX = NGq + KHq - KXq - CKq. Sumatur K ζ = KX,
diſcurſúmque ſimilem adhibendo liquebit fore ξζ = XZ; &
ideo
Dζ = CZ. unde Cζ - Dζ (DZ - CZ) = Cζ - CZ =
ξγ - XG = 2 KH = TV. quare manifeſtum eſt _cnrvas_ TZ,
Vζ eſſe _Hyperbolas,_ quarum axis TV, foci C,D.
IV.
Tertiò demùm, ſit angulus CAE ſemirectus (vel CA =
quæ itidem ita determina-
tur. Fiat angulus ACP ſemirectus, &
ab ipſarum AE, CP in-
terſectione R ducatur RT ad CE parallela; erit T_Vertex_, atque C
_Focus Parabolæ._ id quod ex bene nota ſectionis hujus proprietate con-
ſtat; qua ſcilicet eſt TA = TR = TC (ob angulos TAR,
TCR ſemirectos) & AX = XG = CZ.
V.
Manifeſtum eſt verò rectam AE ſectiones has ad E contingere.
quia nempe perpetuò major eſt CZ (vel XG) ordinatâ XZ;
adeó-
que puncta G extra cuŕvas unaquæque jacent hoc eſt tota AG extra
illas cadit.
VI.
Hiſce præſtratis:
_Eſto Circulare ſpeculum_ MBND, cen-
cui exponatur recta quæpiam F α G;
&
huic per-
pendicularis ſit recta C α; quam ad parte@ averſas ſumpta CA, ad-
æquet. Sit etiam CE ad CA perpendicularis, ac æqualis qua-
dranti diametri BD; connexáque recta AE producatur utcunque.
ſumpto jam in recta F α G puncto quolibet F, connectatur FC, &
radiationis ab F in ipſa FC limes, ſeu _focus_, ſit Z; ac per Z du-
catur ZX ad AC perpendicularis, ipſi AE occurrens in H; dico
fore XH parem ipſi CZ.
Nam (è jam antè monſtratis) eſt FC.
CZ :
: FM.
MZ (hoc eſt)
:: FC - CB.
CB - CZ.
hinc erit α C.
CX (AC.
CX) :
:
FC - CB. CB - CZ.
quare (ducendo in ſe extrema, ac media)
erit AC x CB - AC x CZ = CX x FC - CX x CB. hoc
eſt (ipſi CX x FC ſubſtituendo AC x CZ, propter α C. CX :
:
FC. CZ) erit AC x CB - AC x CZ = AC x CZ - CX x
CB. tranſponendóque AC x CB + CX x CB = 2 AC x CZ.
vel 2 AX x CE = 2 AC
x CZ; unde AX.
AC :
: CZ.
CE;
hoc eſt XH.
CE :
: CZ.
CE.
quapropter eſt XH = CZ :
Quod E.
D.
Quoad radiationem ad partes concavas, planè ſimilis eſt diſcurſus.
examinetis ipſi, peto.
VII.
Exhinc evidenter liquet, ſi fuerit CA &
gt;
CE;
quòd om-
cujus _focus_ C, &
cujus _axis_ TV è præmiſſis, non uno modo, deter-
minatur. item ſi CA = CE, limites Z ad parabolam conſiſtent
cujus _focus_ C, _axis_ CT = {1/2} CE, _vertex_ T. denuò, ſi CA &
lt;
CB,
puncta Z ad _h@perbolas eſſe conſtat_, quarum itidem _focus_ C; &
_axis_
TV facilè de modò (vel alibi) dictis reperitur; cunctarum verò ſecti-
onum _Parameter_ ipſi CB æquatur.
VIII.
Hinc in ſingulis reſpectivè caſibus, ejuſmodi _ſectiones co-_
_nicæ_ ſunt rectarum F α G abſolutæ imagines; quin &
eædem veræ
ſunt imagines ad oculum relatæ in ſpeculi centro conſtitutum; ex re-
flectione ſcilicet ad concavas ſpeculi partes effectæ quæ ſolæ oculo
ſic poſito conſpicuæ ſunt.
IX.
Patet autem ſirecta F α G infinitè diſtet, quòd _ellipſis_ in _cir-_
_culum_ abit. utì quoque ſi F α G per centrum tranſeat, quòd _hyperbolæ_
iſtæ in rectam lineam degenerant.
X.
Subnotetur etiam in caſu quum _imago fit hyperbolica_, quod
_hyperbolæ_ YTY pars YEEY, neque non tota ζ V ζ ad circuli partes
MBN pertinent; (nempe ſi centro C per E deſcriptus circulus ipſam
FG interſecet punctis K, tota hyperbola ζ V ζ rectam interceptam KK
referet; &
hyperbolicæ lineæ alterius pars ſuperior YEEY quod
reliquum eſt repræ ſentabit hinc indè protenſæ rectæ FG) pars autem
ETE ad partem concavam MDN ſpectat. id quod ſuffecerit ad-
monitum.
XI.
Et hæc quidem de rectæ FAG imaginibus abſolutis;
è qui-
ſit, inſtantiæ loco, oculus O,
ad quem (convexis è partibus) ab F, & G reflectantur OMK,
ON L; &
ſit ellipſis ZVYT abſoluta (qualem modò definivimus)
rectæ FAG imago; quam ductæ FC, GC punctis Z, Y ſecent.
itaque punctorum F, G imagines ad O relatæ (puta φ, &
γ) extra
Nam punctum K inter F &
Z;
ac punctum φ inter
O, & K;
nec non punctum L inter G, &
Y;
atque punctum γ in-
ter O, & L cadunt.
imaginis itaque φαγ figura ad ellipticam accedit;
eâ tamen aliquanto planior &
compreſſior.
non diſſimili ratione quo-
ad imagines ad concava factas, & quoad cæteros caſus inſtituetur
judicium. tædii plenum eſſet omnia ſingillatim percenſere.
quinetiam
ê præmiſſis luculentè conſtat quo pacto linea φαγ præcisè deſcribatur,
punctatim utique. circa refractiones paria veniunt præſtanda;
poſt-
quam tamen paullùm reſpiravero; nunc enim verbo quidem pauca,
rei qualitatem, ſtudiúmque demonſtrandis iſtis impenſum reſpectan-
do, ſatìs fortaſſe multa videor tradidiſſe.‖
I.
P_Ropoſitum eſt jam nobis rectæ lineæ ex refractione prognatas.
ad_
_circulum imagines aeſignare_; nempe primùm abſolutas;
quorſum hoc ſpectat I
In circulum (e.
g.
medii denſioris) refractivum MBND radiet
recta FAG; huic verò perpendicularis ſit recta CA (circuli cen-
recta FC; &
in hac ſit punctum Z limes (qualem anteà fiximus)
radiationis à puncto F; ſit autem ZX ad AC normalis.
porrò fiat
CA. CR :
: I.
R;
&
AR.
CB :
: CR.
CE (ponatur autem
CE ad XZ parallela) tum connexa RE cum ipſa XZ conveniat in
H. dico fore XH = CZ.
Nam (è præmonſtratis) eſt FC x MZ.
FM x CZ :
: I.
R:
:
CA. CR.
hoceſt FC x CM + FC x CZ.
FC x CZ - CM
x CZ :: CA.
CR.
quare (ducendo in ſe extrema, mediáque)
eſt FC x CM x CR + FC x CZ x CR = FC x CZ x CA -
CM x CZ x CA = FC x CZ x CA - CM x FC x CX (quoniam ſcilicet eſt
FC :
: CX.
CA;
adeóque CZ x CA = FC x CX).
qua-
propter (elidendo FC) eſt CM x CR + CZ x CR = CZ x
CA - CM x CX; tranſponendóque CM x CR + CM x
CX = CZ x CA - CZ x CR. hoc eſt CM x RX = CZ x
AR, quare (ad analogiſmum redigendo) eſt AR. CM :
: RX.
CZ.
hoc eſt CR.
CE :
: RX.
CZ.
hoc eſt RX.
XH :
: RX.
CZ; unde XH = CZ :
Quod E.
D.
II.
Exhinc (&
ex iis quæ circa _ſectiones conicas_ nuperrimè ſunt
oſtenſa) liquido conſectatur, ſi CR major fuerit quàm CE (vel
quod eódem recidit, AR major quam CB) quòd punctorum om-
nium F in recta FA G imagines abſolutæ (quales Z) ad _ellipſin_ con-
ſiftent, cujus _Focus_ C, cujúſque penitus determinandæ modum ſatìs
facilem tunc oſtendimus. item ſi CR = CE, quòd imagines iſtæ ad
parabolam erunt; &
denique, ſi CR &
lt;
CE, quòd eædem in hy-
perbolis oppoſitis reperientur; quarum etiam ſectionum focus com-
munis eſt punctum C, & quarum axes deſignandi modum reliquáque
circa ipſas præſertim advertenda declaravimus. (Nempe, ſi rectæ
CP cum ipſa CA ſemirectos conſtituant angulos; &
hæ rectam RE
interſecent ad puncta S, indéque demittantur ad A@ perpendiculares
ST, SV, erunt T, V axis termini, rectáque CE ſemi-parameter erit)
unde patet totius rectæ FAG ad infinitum protenſæ abſolutam ima-
ginem (quin & illam, quæ ad oculum in centro O poſitum refertur)
aliquam eſſe dictarum conicarum, pro ſuo peculiari ſitu hanc vel illam
reſpectivè.
III.
Adnotari porrò debet in iſto caſu, _ſectionis ellipticæ_ (quinetiam
_parabolicæ_) TE Z partem anticam TE ad concavas circuli partes
LDL ſpectare; ſicuti poſtica EY ad convexas MB N pertinet.
in
hoc autem altero tota _byperbola_ ZVZ, nec non _hyperbotæ_ ETE pars
(infra ECE) YEEY ad partem circuli convexam referri debent
(nempe ſi centro C, intervallo CE deſcriptus circulus rectam FG
ſecet punctis K, K; hyperbola ZVZ rectam interceptam KK repræ-
ſentabit, ipſiúſque FG quod reliquum eſt hinc indè protenſum pars
YEEY referet) pars autem ſuperior ETE ad cavam circuli partem
LDL ſpectat.‖ Semper autem (cúm hîc, tum ubique) intelligatur
ad utraſque propoſiti circuli partes ejuſdem generis refractionem effici,
ſeu ejuſdem ſpeciei medio radios incidere.
IV.
Ex his obiter naturæ, quam in oculi figura conſtruenda adhi-
nari poſſit, cur oculi fundus _Sphær@idicam_ (aut ab hac non multum
abludentem) nacta ſit ſiguram. quia nimirum illa planorum objecto-
rum modicè diſtantium (quibus in diſtinctiùs apprehendendis po-
tiſſimus verſatur uſus) excipiendis ſimulachris eſt accommodatiſſima. Sed hoc παρεισθδκῶς.
V.
In reliquis reſractionum caſibus paria fermè contingunt, quos
ideò tacitus præterlabi poſſem; at minuendo veſtro labori, ſeu quò
clariùs & promptiùs de iis conſtet, non gravabor &
illos vobis ob
oculos ponere: nempe
Rarioris medii circulo MBN objiciatur recta FAG, cui normalis
sitque punctum Z puncti cujuſvis F, in FG ſumpti, imago
abſoluta; &
ZX ad CA perpendicularis;
ac CA.
CR:
: I.
R;
&
RA.
CB:
: RC.
CE;
&
ipſi RE connexæ occurrat XZ pro-
tracta ad H; eritque rurſus XH = CZ.
Nam eſt CA.
CR:
: (FC x MZ.
FM x CZ:
:) FC x CZ
- FC x CM. FC x CZ- CM x CZ.
quare CR x FC x CZ
- CR x FC x CM = CA x FC x CZ - CA x CM x CZ = CA x FC x CZ - FC x CM x CX. ac indè CR x CZ-
CR x CM = CA x CZ - CM x CX. tranſponendóque CR x
CZ - CA x CZ = CR x CM - CX x CM; hoc eſt RX.
CZ:
: AR.
CM:
: RC.
CE:
: RX.
XH.
quapropter eſt CZ = XH.
VI.
Hinc dilucidè rurſus apparet rectæ FA Gimaginem abſolu-
tam (vel ad oculum in centro C ſitum relatam) ſi RC >
CE, _el-_
_lipticam_ fore; ſin RC = CE, fore _parabolicam_ (quarum ſectio-
num pars anterior ETE ad convexam circuli refringentis partem
Quòd ſi
fuerit RC <
RE, _ejus image hyperbolica erit_;
&
quidem _hyperbolæ_
YTY pars ſuperior ETE ad circuli partem NBN referenda eſt; pars autem inferior YEEY unà cum tota hyperbola ζ V ζ ad partes
concavas LDL pertinebit. nempe ſi fuerint rectæ CK æquales ipſi
CE, tota hyperbola ζ V ζ interceptam punctis K rectæ FG portio-
nem referet, ejúſque quod hinc indè protenſum ſupereſt ab ipſa YEEY
repræſentabitur.
VII.
Porrò, quoad omnes hoſce caſus animadvertere licet poſſe
ſectionem eandem conicam innumeris rectis lineis ad diverſos circulos
nimirum in caſu po-
ſtremo, ſi reliquis ſtantibus punctum A indeterminatum ponatur, ni-
hilominus hyperbolæ ζυζ, YTY rectas FAG repræſentabunt ad
circulos, quorum ſemidiametri CB ipſis AI ſingulæ reſpectivæ
ſingulis æ quantur, modò ſemper intelligatur eſſe CA. CR:
: I.
R.
id quod ſatìs fuerit obiter admonuiſſe.
VIII.
Ut &
illud curſim innuiſſe ſuſſecerit, quòd ſicut à conicis
ſectionibus rectæ lineæ, ita viciſſim _conicæ ſectiones_ à rectis lineis ex
juſta congruos ad circulos inſlectione repræſentantur; quos utique
non arduum videtur è præmiſſis deducere.
IX.
Ut &
exindè _datâ conicâ ſe
recta facilè deſignan-
tur, ità ut conica rectam illam repræſentet ex inſlectione ad iſtum
circulum. Nempe ſi à foco C ad axem CV applicetur normalis
CE; &
recta ER ſectionem tangat ad E;
factoque CR.
CA:
:
R. I;
ducatur per A recta AI ad CE parallela;
sitque CB = AI;
tum centro C per B ducatur circulus MBN, peractum erit nego-
tium.
X.
Ex his tandem de imaginibus ad oculum ubicunque collocatum
relatis, quales illæ figuras ac ſitus obtinent, proclivius erit judicare. ſcilicet eæ ſaltem unum (in recta per oculi, circulique reſringentis
centrum trajecta poſitum) commune cum abſolutis punctum habent;
quoad reliqua vero reſpectiva puncta nonnihil ab his deſlectunt ad eas
partes, quas oculi ſitus peculiaris, & radiorum curſus exigunt;
id
quod facilius ſit in ſingulis caſibus qualiter eveniat perſpicere, quam
verbis univerſim explicare. ſed enim unam rei declarandæ ſubjicie-
mus inſtantiam. Ad oculum O refringantur ab F, &
G radii FMO,
GNO; ſit autem _ellipſis_ TZVY rectæ FG abſoluta imago, quam
connexæ FC, GC punctis Z, Y ſecent (ità quidem ut Z ſit puncti F,
Y puncti G imago abſoluta) enimverò, de ſupradictis colligitur
punctum K ſupra Z verſus C exiſtere; quinetiam puncti F in recta
MO imaginem (puta φ) ultra FZ jacere. Similiter puncti G ima-
go (γ) ſupra Y, ultráque GY ſita eſt. unde conjectura ſiet de totius
imaginis φ α γ poſitione, ſeu figura ad _ellipticam_ accedente, qualis
in appoſita exhibetur figura; quæ certè (quanquam haud abſque
nimiâ moleſtiâ) juxta theoriam ſuprà conſtabilitam accuratè poterit
delineari.
XI.
Ità rectarum linearum ad ſphæricam ſuperſiciem ex inſlectione
quavis procreatas imagines qualitercunque liceat definire. unde de
planarum quoque ſuperſicierum ad eandem repræſentationibus haud
difficilè ſtatuetur; harum ſcilicet imagines abſolutæ _conoidum aut_
_Sphæroidum Superſicies erunt_ è rectarum imaginibus reſpectivis circa
radiationum axes converſis progenitæ; quin &
relatæ quoque pla-
narum ſuperficierum imagines è rectarum imaginibus relatis ſimili
pacto progenerantur. rem totam ipſi mentem aliquantillùm adver-
tentes perſpicietis; me λεπτολογιας
XII.
Reſtare videtur, ut quomodò compoſitæ ſuperficies ſphæricæ
objectas repræſentant lineas diſpiciamus. verum cum imagines indè
prognatæ ſint altioris gradûs lineæ, ab uſu notitiàque communi ſegre-
gatæ, atque proprietatibus intricatis præditæ; nil aliud quàm operam
luderem iis deſudans extricandis. illas itaque tranſiliam;
hoc com-
monens unicum, punctorum in illis aliquot principalium poſitiones è
præmonſtratis dignoſci, de cæteris commodiùs ex conjectura diju-
dicari.
XIII Hæc ſunt, quæ circa partem _Opticæ_ præcipuè _Mathemati-_
_cam_ dicenda mihi ſuggeſſit meditatio. circa reliquas (quæ φυσικώτε{ρο}ι
ſunt, adeóqve ſæpiuſculè pro certis principiis plauſibiles conjecturas
venditare neceſſum habent) nihil ferè quicquam admodum veriſimile
ſuccurrit, à pervulgatis (ab iis, inquam, quæ _Keplerus, Sche@ner@s,_
_Carteſius_, & poſt illos alii tradiderunt) alienum aut diverſum:
atqui
tacere malo, quàm toties oblatam cramben reponere. proinde re-
nec ità tamen ut prorſus diſcedam, anteaquàm impro-
bam quandam diſſicultatem (pro ſinceritate quam & vobis &
veritati
debeo minimè diſſimulandam) in medium protulero, quæ doctrinæ
noſtræ, hactenus inculcatæ, ſe objicit adverſam, ab ea ſaltem nul-
lam admittit ſolutionem. illa, breviter, talis eſt:
_Lenti vel ſpeculo_
manantes ex inflectione verſus axem AB cogantur; si
limes (ſeu puncti A imago, qualem ſupra paſſim ſtatuimus) pun-
ctum Z; inter hoc autem &
inflectentis verticem B uſpiam poſitus
concipiatur oculus. quæri jam poteſt, ubi loci debeat punctum A ap-
parere. retrorſum ad punctum Z videri natura non fert (cùm omnis
impreſſio ſenſum aſſiciens proveniat a partibus A) ac experientia re-
clamat. noſtris autem è placitis conſequi videtur ipſum, ad partes an-
maximum
ſenſibile quodvis intervallum quodammodò exſuperet) apparere. cùm enim quò radiis minùs divergentibus attingitur objectum, eò
(ſecluſis utique prænotionibus, & præjudiciis) longiùs abeſſe ſentia-
tur; &
quod parallelos ad oculum radios projicit, remotiſſimè poſi-
tum æſtimetur; exigere ratio videtur, ut quod convergentibus radiis
apprehenditur, adhuc magìs, ſi ſieri poſſet, quoad apparentiam
elongetur. quin &
circa caſum hunc generatim inquiri poſſit, quidnam
omninò ſit, quod apparentem puncti A locum determinet, faciátque
quòd conſtanti ratione nunc propius, nunc remotius appareat; cui
itidem dubio nihil quicquam ex hactenus dictorum _Analogia_ reſpon-
deri poſſe videtur, niſi debere punctum A perpetuò longiſſimè ſemo-
tum videri. Verùm experientia ſecùs atteſtatur, illud pro diversâ oculi
inter puncta B, Z poſitione variè diſtans; nunquam ſerè (ſiunquam)
longinquius ipſo A liberè ſpectato, ſubindè vero multo propinquius
adparere; quinimò, quo oculum appellentes radii magìs convergunt
eò ſpeciem objecti propiùs accedere. nempe, ſi puncto B admoveatur
_ocmlus,_ ſuo (ad lentem) ferè nativo in loco conſpicitur punctum A
(vel æquè diſtans, ad _ſpeculum_;) ad O reductus oculus ejuſce ſpeciem
appropinquantem cernit; ad P adhuc vicinius ipſum exiſtimat;
ac
ità ſenſim, donec alicubi tandem, velut ad Q, conſtituto oculo ob-
jectum ſummè propinquum apparens in meram conſuſionem incipiat
evaneſcere. quæ ſanè cuncta rationibus atque decretis noſtris repug-
nare videntur, aut cum iis ſaltem parùm amicè conſpirant. Neque
noſtram tantùm ſententiam pulſat hoc experimentum; at ex æquo
cæteras quas nôrim omnes; veterem imprimìs ac vulgatam;
noſtræ
præ reliquis aſſinem ità convellere videtur, ut ejus vi coactus doctiſſi-
mus _A. Tacquetus_ iſti principio (cui penè ſoli totam inædificaverat
_Catoptricam_ ſuam) ceu inſido ac inconſtanti renunciarit, adeoque
ſuam ipſe doctrinam labefactârit; id tamen, opinor, minimè facturus,
ſi rem totam inſpexiſſet penitiùs, atque difficultatis fundum attigiſſet.
Apud me verò non ità pollet hæc, nec eoúſque præpollebit ulla diffi-
cultas, ut ab iis quæ manifeſtè rationi conſentanea video, diſcedam;
præſertim quum ut hîc accidit, ejuſmodi difficultas in ſingularis cujus
piam casûs diſparitate fundetur. nimirum in præſente caſu peculiare
quiddam, naturæ ſubtilitati involutum, deliteſcit, ægrè fortaſsìs, niſi
perfectius explorato videndi modo, detegendum. circa quod nil, fateor,
hactenus excogitare potui, quod adblandiretur animo meo, nedum planè
ſatisfaceret. Vobis itaque nodum hunc, utinam feliciore conatu, re-
ſolvendum committo. Ità demum, _Auditores Optimi, Valeatis._
PAg.
3.
lin.
25 luce.
(præſente, leg.
luce (præſente p4, l 21, deſceptatur l diſceptatur
ib. l 31, valeat, id l valeat id p5, l 31, toto l tota, p 6, l 23, dici l dicitur, p 11,
l 10, allas l alias, p 13, l 27, proximo l proximos, p 14, l 12, contraniſmum
l contraniſum, p 14, l 16, effectant l affectant, p 15, l 14, nobile l mobile, p 16,
l 20, in quæ l in iis quæ, p 17, l 3, ſubſtracto l ſubſtrato, p 17, l 5, citentur fig 10,
p 17, l 20, fig 12 l fig 11, p 18, l 11, fig 13 l fig 12, p 19, l 17, tranſmitti l tranſ-
mittit, p 22, l 21 πρθλεπτικῶς lπροληπτικῶς, p 23, l 6, incidentes (radios l inci-
dentes @adios, p 23, l 19, SB protracta lSB (protracta, p 28, ambages. I.
De-
monſtratæ proſtant l ambages demonſtratæ proſtant. I.
Ut in Parabola, p 29,
l 25, citentur fig 29, p 29 l 20, puncto divergentium tanqu@m l puncto divergen-
tium radiorum reflexi rurſus divergunt tanquam, p 29, l 32, ſuo l ſeu, p 32, l 10,
fig 34, 35 deleatur, & citentur ad lineam 31, p 33, l4, citentur fig 36, ibid.
l 6,
citentur fig 37 & 38, p 38, l 28, I q.
R.
AB.
@ lIq.
R.
&
AB.
T p 40, l17,
Sc l Si, ib. l33, quoquam l quaquam, p 41, l 24, abeoque l adeoque, p 45, l7,
reciſſimi l rectiſſimi, ib l8, propriores l propiores, p 47, l 24, reſignare l deſignare,
p 48, l1, Z 2, l2. ib.
l 12, Nocetur ſi ſuerit HNP l Notetu ſi fuerit HN @,
p 57, l4, ejuſce l cn uſce, p 65, l4, exiſtimari l exiſtimare, ib. l22, ipſe l eſſe, p 67,
l 13, interjaceret l interjacet, p 70, l 3, poſteribus l poſterioribus p 71, l 32, Ad-
verſatur l Advertatur, p 71, l 15, γ S γ v l γ S. γ v.
p 78, l1, in eodem le
dem, p 89, l 25. ratiori l rariori, p 90, l 17, expanſem l expenſam, p 95, l 14,
relect onibus l reflectioni@us, ib. l 40, Sinus l Simus, p 96, l 3, ſim
ciſſime, p 97, l8, quæſitam l quæſitum, p 105, l 28, Poſito l Poſitio, p 112, l 26,
admodum l ad modum.
_E_Lectionibus bis (quas jam quo-
dammodò poſtbumas accipis) ſep-
tem, unâ ſepoſitâ, poſtremas Op-
ticis illis, quæ nuper editæ pro-
ſtant, Comitis & quaſi Mantiſſas dectinâ-
ram; aliàs, opinor, de proferendis in apri-
cum ejuſmodi quiſquiliis nibil cogitaturus. Sed cum nibilominùs è re ſua fore cenſeret
Librarius ab iſtis divulſas bas ſeorſum com-
parere; quin &
ad comparandum buic Opel-
læ ſpeciem aliquam (ut ea nempe rejecta-
nei Schediaſmatis molem tranſcenderet)
aliud quidpiam ſuppeditari cuperet; ejus
(baud gravatìm non dixero) votis obſecun-
dans, adjeci Lectionès priores quinque; ſub-
ſequentibus illis materiâ agnatas, & quaſz
cobærentes; quas ſcilicet ante aliquot annos
cura conceperam, quæ talem animum dece-
ret; Enimverò craſsiùs &
@πολ{αι}ότε&
ſunt, neque firmè quicquam continent, ex-
tra Tyronum, quibus accommodatæ ſunt,
uſum, captúmve jacens. quapropter barum
rerum peritos obteſtor, ut ab iis prorſus ab-
ſtineant oculos, vel ut veniam ſaltem paullò
liberaliùs indulgeant. alter as quas dixi
ſeptem conſpectui tuo lubentiùs expono, non-
nulla ſperans in illis baberi, quæ nec eruditi-
ores piguerit inſpicere. Vltimam amicus
(vir ſanè cum primis probus, aſt in bujuſ-
modi negotiis Flagitator improbus) extor-
ſit, aut certè, pro jure quod meritò obtinet
ſuo, exegit. Cæterùm quid tractent, &
quorſum tendant, facilè ſingularum initia
delibans edoceberis; ut non ſit cur te longiùs
morer aut detineam.
NOvum jam ingredior dicendi campum, amæniorem ſanè
neſcio vel feraciorem, uberrimâ varietate confertum, eó-
que delectabilem; &
quia primas fermè _Mathematicarum_
_hypotheſium origines_ recludit (è quibus nempe _magnitudinum_
_cùm deſinitiones effor mantur; tum preprietates emer gunt_) neceſſariò
perquam utilem. De magnitudinum intelligo generatione;
ſeu de
modis, quibus ortæ productæve concipiantur variæ magnitudinum
ſpecies. Nec ulla certè magnitudo datur, quæ non innumeris modis
& intelligi producta poſſit, &
reverà produci.
Poſſunt autem, qui
ſaltem hactenus uſurpati ſunt, ad præcipua quædam genera referri,
quorum ſe mihi jam cogitanti ſuggerentia ſunt hæc; _per motus locales;_
_per interſectiones magnitudinum;
per quantitate poſitionéque deter-_
_minatas ab aſſignatis locis. diſtantias;
per ductus magnitudinum in_
_magnitudines; &
per applicationes magnitudinum ad magnitudines;_
_per aggregationem magnitudinum ordine certo diſpoſitarum; per appo-_
_ſitionem magnitudinum ad alias, vel ſubductionem ab aliis; per orga-_
_nicam demum_ (ab horum quocunque deductam, aut ordinatam)
_effectionem._ Horum, &
ſi qui ſunt aliorum modus primarius, &
quem
alii cuncti quodammodo ſupponant oportet, utpote ſine quo nil pro-
creari poteſt, eſt iſte, _qui per motum localem._ De quo proinde primo
diſpiciendum. De motu celebratur illud _Ariſtotelis_ effatum,
ἁναγμigno-
rato motn neceſſariò naturam ignorari; in Phyſicis ideò paginam u-
nec immeritò, cùm in natura (ſaltem quantùm hu-
manus intellectus aſſequi valet, aut experientia commonſtrare) quic-
quid ſiat, à motu ſiat, aut certè non abſque motu. De natura motûs
igitur, & rectâ deſinitione;
de cauſis, de diſſerentiis complura
ſubtiliter argutantur Phyſici, quorum ferè _Matbematicis nibil cordi_
Sufficere poteſt his quæ communis ſenſus agnoſcit, &
ob-
via comprobant experimenta pro conceſſis arripere; hoc imprimìs
generale, Quamvis magnitudinem (magnitudinibus etiam punctum
accenſebo ceu minimum magnum, ut & inſinitum ceu maximum mag-
num, quibus mediæ interjacent magnitudines omnes ſinitæ) mobi-
lem eſſe, hoc eſt eo quo conſpicimus indies ſieri modo locum ſuum
& ſitum poſſe demutare, juxta differentias præſtitutas, motu nempe
vel directo, vel circulari; æquabiliter veloce, vel utcunque magis
accelerato, vel magìs retardato. Hujuſmodi dico motuum quemvis
pro lubitu ſuo tanquam evidenter poſſibilem aſſumunt, ut quid exinde
conſequatur inveſtigent & oſtendant.
De iis igitur differentiis motuum
quotæ ſint & quales diſſeremus.
In motu potiſſimum à _Mathema-_
_ticis_ conſiderantur _ipſe modus lationis, & quantitas vis motivæ_.
ipſe
modus primo lationis, juxta quem motus, alii progreſſivi ſunt, alii
circumlatitii, alii compoſiti ex his; tum vis motivæ quantitas, prop-
ter quam alter alterius reſpectu velocior, tardior, æquè velox; aut
in ſe æ quabilis, acceleratus, retardatus aſſirmatur. Ex his manant
ſontibus differentiæ motuum; quorum de poſteriore nos primùm age-
mus, quia nonnulla continet ὲξω{τε}{ει}{κο} quæ velim quam primum
ablegata, quo reliqua poſtmodùm expeditiùs fluant & limpidiùs.
&
quia vis motivæ quantitas ſine tempore dignoſci nequit, de temporis
natura perſtringendum eſt aliquid. Tempus autem dic ſodes, quid eſt?
illud _Auguſtini_ tritiſſimum noſtis;
ſi nemo quærat ſcio, ſi quis in-
terroget neſcio. Verùm quia _Mathematici_ crebrò tempus adhibent,
quid eo deſignetur vocabulo diſtinctè concipiant oportet; agyrtæ
ſecùs futuri. quare jure reſponſum exigatis;
ac ſtatim pareo, ſed
breviter ac ſimpliciter, & quantùm potero λε{πι}ολογήμα{τα} defugiens.
Ab-
ſtractè loquendo, tempus eſt perſeverantia rei cujuſque in ſuo eſſe. Ali-
as verò res aliis diutiùs in eſſe ſuo permanere; ſuiſſe cùm hæ non erant,
eſſe cum hæ non ſunt; priùs incepiſſe, ſeriùs deſinere;
neque non aliquas
cum aliis unà oriri ac occidere, ſimultaneóq; quaſi durationis progreſſu,
à carceribus ad metas, univerſum ætatis curriculum emetiri, nemini
non perſpectum eſt. Ergo tempus abſolutè quantum eſt;
ut quantitatis
admittens (modo ſuo) præcipuas affectiones æqualitatem, inæqua-
litatem, proportionem; nec enim diffiteatur quiſquam, opinor,
ίſimul intereunt;
inæqualiter
durâſſe, quorum unum fuit antequam alterum cæperit eſſè, necnon
eſſe perſeverat, poſtquam alterum deſiêrit exiſtere. Longius autem,
& brevius tempus nemo non dicere ſolet, nemo non concipere vide-
tur. Quantitatis igitur particeps eſſe tempus communis ſenſus agnoſcit,
At enim dices:
ante res
omnes conditas annon tempus fuit? extra mundum, ubi nihil manet,
annon tempus labitur? reſpondeo, ſicut ante conditum mundum
fuit ſpatium, & extra mundum nunc eſt &
quidem infinitum cui
Deus coëxiſtit) quatenuspoſſunt jam exiſtere
talia tantáque corpora, quæ tum non fuerunt, aut jam non ſunt; ità priùs mundo, &
ſimul cum mundo (licèt extra mundum) tem-
pus fuit, & eſt, quatenus ante mundum exortum potuerunt aliquæ
res in eſſe tamdiu permanere, poſſint jam extra mundum talis per-
manentiæ capaces res exiſtere; potuit _Sol_ multo prius in lucem emer-
ſiſſe; poſſit jam ille, vel alius talis ſpatiis imaginariis aſſulgere.
Tempus igitur non actualem exiſtentiam, at capacitatem tantùm ſeu
poſſibilitatem denotat permanentis exiſtentiæ; ſicut ſpatium capacita-
tem deſignat magnitudinis intercedentis. Sed mirum, ingeres, ſe-
cluſo motu tempus explicari; annon tempus motum implicat?
Mi-
nimé dico quoad abſolutam, & intrinſecam naturam ſuam;
haud ma-
gìs quàm quietem; à neutro temporis quantitas in ſe dependet;
ſeu
currant res, ſeu ſtent; ſeu dormiamus nos, ſive vigilemus æquo
tenore tempus labitur. Finge ſtellas omnes ab incunabulis ſuis fixas
perſtitiſſe; nihil indè quicquam tempori deceſſiſſet;
tamdiu quies iſta
perdurâſſet, quamdiu motus hic eſſluxit. Prius, poſterius, ſimul
(quoad ortus rerum & interitus) etiam in illo tranquillo ſtatu fuiſſet
in ſe, potuiſſet à mente magìs perfecta apprehendi. Sed prout ipſæ
magnitudines ſunt abſolutè quantæ, independenter ab omni menſuræ
reſpectu, etſi nos ipſarum quantitates niſi menſuras applicando per-
cipere nequeamus; ità per ſe tempus quantum eſt, etſi quo temporis
quantitas a nobis dignoſcatur, advocandum ſit motûs ſubſidium, ceu
menſuræ quâ temporum quantitates æſtimemus, & inter ſe confera-
mus; adeóque tempus ut menſurabile motum connotat, nec enim,
ſi res omnes immotæ perſtarent, ullo pacto quantum eſſluxiſſet tem-
poris poſſemus internoſcere; rerum ætas indiſcreta nobis, &
imper-
ceptibilis cederet. Temporis ſſuxum non perciperemus dico?
Imo nec
aliud quippiam, at ſtupore continuo defixi ceu ſtipites conſiſteremus
aut ſaxa. Nihil enim animadvertimus niſi quatenus aliqua mutatio ſen-
ſum aſſiciens nos interpellat, aut interna mentis operatio noſtram
conſcientiam laceſſit, ac excitat. Ex motûs forinſecùs impellentis,
aut intra nos tumultuantis extenſione, vel intenſione diverſos rerum
gradus & quantitates æſtimamus.
Ità motûs quantitas, in quantum
a nobis obſervari poteſt, à motûs extenſione dependet;
Nec per ſe quenquam tempus ſentire fatendum eſt
Semotum ab rerum motu placidáque quiete;
Haud malè dixit Lucretius.
&
Philoſophus ipſe;
“Oταν {γρ}
{λλ}ον{τε}ς, {ου} δοκεῖ η
{γρ}éγ{ος}. Re
excitatis quantum temporis interceſſit; at non hinc rectè colligitur,
Φανε{ρὁ}γ @π {ου}λ {ἐστι}ίν ἄν{εμ} κγ νήσεως {καὶ} μεταβλῆς ὁ {χο}ὁν{ος}. Non perſen-
tiſcimus, ergò non eſt, illatio fallax, & fallax ſomnus, qui fecit ut
nos duo ſemota temporis inſtantia connecteremus. interim veriſſi-
mum illud; @{σκ} η
quantus nempe motus fuit, tantum tempus videtur extitiſſe; neque
quum tantum tempus dicimus, aliud conſuevimus intelligere, quam
tantum motum intercedere potuiſſe, cujus ſcilicet extenſioni continuò
ſucceſſivæ rerum permanentiam imaginamur coëxtendi. Cæterùm quia
tempus alveo ſemper æquali, non per vices nunc ſegniùs, tunc rapi-
diùs præterlabi concipimus (admiſsâ ſiquidem illâ diſparitate nullam
omninò computationem, aut dimenſionem admitteret) non ideò mo-
tus omnis æquè determinandæ dignoſcendæque temporis quantitati
cenſeatur accommodatus, at is præſertim qui ſummè ſimplex & uni-
formis æquabili ſemper tenore progreditur; mobili parem ubique
vim retinente, pérque medium uniforme delato. Quare tempori de-
terminando tale quiddam mobile deligendum eſt, quod ſaltem quoad
motûs ſui periodos æqualem conſtanter impetum ſervat; &
per æqua-
le ſpatium decurrit. Et ad communem quidem uſum accipiendus
eſt ejuſmodi motus præcipuè notabilis, in promptu cunctis obvius, &
ſenſus omnium incurrens, qualis eſt motus ſyderum, imprimìs _Solis_
_& Lunæ_, mirificè ſibi per omnia conſtans, &
orbi terrarum con-
ſpicuus; qui proinde nedum communi gentis humanæ ſuſſragio de-
putatus, at divino Creatoris conſilio aptus natus eſt huic uſui; à quo
nempe pronunciatum legimus: _Fiant luminaria in ſirmamento Cæli_,
_& dividant diem ac noctem, &
ſint in ſigna, &
tempora
dies, &_
At quomodò, dices, cognoſcetur _æquabili ſolem motu ferri,_
_& unum puta diem, aut annum alteri penitus exæquari, vel aqui_
_temporaneum eſſe?_ Reſpondeo non aliter hoc ( excipiendo quòd à di-
vino teſtimonio colligatur) nobis innoteſcere, quàm cum aliis æqua-
libus motibus ipſum ſolis motum contendendo. Si nempe deprehen-
datur ſolis motus in horologio ſolari (quod ſpatiorum à ſole in circulis
æquatori parallelis percurſorum penè eerto ac exquiſitè quantitates
motibus conſentire. Talis enim machina è fabrica ſua comparata eſt,
ſecundum motûs ſui repetitiones ſuccedaneas, æqualiter moveri; _Clepſydram_ puta dimetiendæ diei, vel horæ deſtinatam;
&
quoniam
in hac aqua, vel arena quoad quantitatem ſuam, & ſiguram, vimque
deſcendendi prorſus eadem manet; nec non vaſculum continens, &
meatus ipſam tranſmittens haud omnino variantur, tantillo ſaltem
tempore, pérque temperiem aeris conſimilem, nec ideò cauſa ſubeſt
ulla, cur non æquales in ſingulis eſſluxibus motus obire concedatur;
ergo ſi compertum ſit, Solares motus, ſeu quoad integras periodos,
ſeu quoad partes ipſarum proportionales, organi talis repetitis mo-
tibus exquiſitè congruere, meritò pronunciandum eſt, eos prorſus
æquabiles, & uniformes fore.
Ex quo diſcurſu liquere videtur, id
quod fortè non nemini mirum videatur, cæleſtia corpora non eſſe, ex
parte rei propriéque loquendo, primarias & originales temporis
menſuras; aſt illos potius motus, qui prope nos ſenſibus obverſantur,
& experimentis subjacent noſtris, cùm horum ope cæleſtium motuum
regularitatem dijudicemus. Nè quidem ipſe Sol temporis idoneus ju-
dex, aut teſtis {αυ}{τί}@ς{ος} eſt, niſi quatenus horariæ machinæ ſuſſra-
gio veracitatem ſuam adteſtatur. Nec ſanè, quod obiter interpono,
poteſt ullo pacto ſciri num periodi ſyderum ante multa ſecula tranſcur-
ſæ noſtri ſeculi revolutionibus omnino pares fuerint; nemo ſcilicet
aſſerat certo _Methuſelam_ illum qui tantùm non mille vitæ tranſegit
annos, eo fuiſſe reverà μακροβιώ{τε}{ρο}ν qui jam ante centum annos
fato cedit. Quid enim, ſi Sol tum junior, eóque vegetior decuplo
citiùs periodos ſuas evolverat? Quid ſi tum aër purior, &
indè cor-
porum gravitas validior eſſecerat, ut vel ipſa organa mechanica
citatiores acciperent motus, adeóque cum noſtri temporis inſtrumen-
tis comparata fidem ſuam fallerent? _Empedocles_ quidem, apud _Plu-_
_tarchum,_ exiſtimâſſe dicitur Solem initio dies longè prolixiores eſſe-
ciſſe. Sed minùs id rationi conſentaneum videtur, quia tales motus{?
}
vertiginoſi ſenſim elangueſcere potiùs ſolent; quàm invaleſcere.
Ve-
rum obiter hæc, & vix ſeriò;
revertamur in orbitam.
Temporis
(ſeu permanentiæ rerum in ſuo eſſe, ſtatu, motúve) quantitas, ut
dictum eſt, à motu quolibet dignoſcitur, bene notorio, æquabili,
(ſeu quoad partes ad hoc adh
dein ſecundario è quibuſvis aliis motibus, qui cum illo comparati
proportione correſpondent, è cæleſtibus imprimìs, Solis potiſſimùm
ac Lunæ. Adeò ut æqualia tempora ſint, in quibus eadem clepſydra
ſemel ac iterum, vel æquè multis viſibus exhauritur; aut in quibus
abſolvunt; inæqualia verò juxta quamcunque proportionem, in
quibus limiliter, ſeu proportionaliter inæquales periodi conſumun-
tur. Neque quiſquam objiciat tempus communiter haberi pro men-
ſura motûs, & conſequenter ad hoc motûs diſſerentias (velocioris,
tardioris, accelerati, retardati) adſumendo tempus ut præcogni-
tum definiri; nec ideò temporis quantitatem è motu, ſed motûs
quantitatem à tempore determinari; nil enim obſtat quo minùs tem-
pus & motus hæc ſibi mutuò præſtent oſſicia.
Sanè veluti ſpatium
ex aliqua primùm magnitudine metimur, & quantum ſit diſcimus,
è ſpatio poſteà reliquas ei congruas magnitudines æſtimanus; ità tem-
pus primò taxamus è motu quodam, poſteà motus reliquos ex eo di-
judicamus; quod planè nihil eſt aliud quàm mediante tempore motus
alios cum aliis comparare; ſicut &
mediante ſpatio magnitudinum
inter ſe rationes inveſtigamus. Qui nimirum è temporum propor-
tione motuum colligit proportionem, nil aliud quam ex organorum
horologicorum, vel ex Solarium motuum ſimul decurſorum propor-
tione dictam elicit motuum rationem. Quod certè vidit, &
exertè
docuit _Ariſtoteles_: @ μόγογ (inquit) {τὴν} κίνησιγτῶκ{ρό}νω με{τρ}{οῦ}{μεν}, α
{καὶ} @ῆ κινή{ει} τPorrò, quia tem-
partes æquabilis motûs partibus reſpectivis, ſeu ſpatiorum æquabili
motu peractorum partibus proportione reſpondent, poſſit id quàm
optimè per magnitudinem quamlibet δμοιομερῆ repræſentari, hoc eſt
menti noſtræ ſeu phantaſiæ proponi; per ſimpliciſſimas præſertim,
quales ſunt linea recta, & circularis;
quibuſcum etiam &
tempore
ſimilitudines & analogiæ non paucæ intercedunt.
Præterquam enim
quòd tempus partes habet omnino ſimilares, rationi conſentaneum
eſt ipſum velut unicâ dimenſione præditum quantum conſiderare; ip-
ſum enim velut ex ſimplici ſupervenientium momentorum additamento,
vel ex unius momenti quaſi continuo ſluxu conſtitutum imaginamur,
& ſolam proinde longitudinem ei ſolemus attribuere;
nec ejus quan-
titatem aliàs quàm ex lineæ decurſæ longitudine determinamus. Si-
cut, inquam, linea puncti promoti cenſetur veſtigium, à puncto
habens quò aliquatenus diviſibilis ſit, à motu verò quòd uno modo,
ſecundum longitudinem, dividi poſſit; ità tempus velut inſtantis con-
tinuò labentis veſtigium concipiatur, ab inſtante nonnullam indiviſi-
bilitatem habens, à ſucceſſivo ſluxu quòd eatenus diſpertiri queat. Et
ſicuti lineæ quantitas ab unica longitudine pendet motum conſe-
quente, ità temporis quantitas ab unica conſectatur velut in longum
quam ſpatii decurſi longitudo demonſtrat,
ac determinat. Tempus itaque per rectam lineam ſemper deſigna-
bimus; arbitrariè quidem initio ſumptam &
expoſitam, at cujus
partes proportionalibus temporis partibus, & puncta temporis inſtan-
tibus reſpectivis juſtè reſpondebunt, & iis appoſitè repræſentandis
inſervient. His de tempore prælibatis ad conſiderandam vim motûs
eſſectivam procedimus, quæ ſanè (quæcunque ſit ejus natura, vel
undicunque procedat, nam iſta _Phyſicis_ diſquirenda relinquimus)
merito quoque ſeu quantum quid concipitur, & ſicut alia quanta com-
puto ſubjicitur. Etenim experientiâ compertiſſi@@m eſt, ſæpe duo-
rum mobilium ab eodem termino per eandem orbitam delatorum al-
terum alteri prævertere, ſeu majus eodem tempore ſpatium conſi-
cere. Nec aliunde poteſt hoc procedere, quàm à majori vi, ſeu
potentia motiva, quâ præcellit alterum mobile, cujú@que gratiâ velo-
cius dicitur. Et quia perſpicuum eſt nil impedire, quin ſecundum
omnimodas proportiones contingat hic ſpatiorum una peractorum
exceſſus, ideò vis hæc jure concipiatur in partes quaſlibet (quas &
ſicuti partes cujuſcunque qualitatis intenſivas ſuccinctæ diſtinctionis
ergò gradus appellare licet, & conſuetum eſt) in partes, inquam,
quaſlibet infinitas, aut indefinitas diviſibilis concipiatur; quas inter
ſe nectens, & à ſe dirimens communis terminus, vel (juxta ſuppo-
ſitionem quòd quanta conſtant ex infinitis atomis) pars abſolutè mi-
nima dicatur quies, hoc eſt ſumma tarditas, aut infima velocitas; è cujus ſuccreſcentia, vel intenſione continua velocitatis gradus quili-
bet eo modo concipiatur aggregari, vel produci, quo linea è puncto-
rum appoſitione, vel motu, tempus ex inſtantium ſucceſſione vel ſluxu
progenitum imaginamur. Unde rem abſolutè conſiderando, quo
vis hujuſce quantitas menti ſeu phantaſiæ rectè proponatur, ſuſſicit
ejus vice magnitudinem quamvis regularem exhibere (hoc eſt talem,
in cujus partibus quamvis diſſerentiam, quamlibétque proportionem
clarè promptéque valeamus apprehendere) ſimplicitatis adeò perſpi-
cuitatíſque causâ cuilibet ejus repræſentando gradui recta linea cum
primìs accuratè quadrat. Ità quidem in ſe generatim &
abſoluta
ſpectata vis iſta tempus non implicat, eóque ſecluſo concipi poteſt (in
quolibet enim temporis inſtanti, pérque quodcunque temporis inter-
vallum eâ præditum mobile concipiatur) at quatenus computabilis,
ac æſtimio Mathematico ſubdita, quâ ratione velocitas dicitur, cum
ſpatio tempus adſignificat; è quibus nempe quantitas ejus dijudicatur,
ac diſcernitur definitur idcircò velocitas potentia, quâ mobile ſpatium
aliquod in aliquo tempore pertranſire poteſt. Uude conſectatur ſin-
ex abſumpti temporis quantitate dignoſci poſle (quælibet enim velocitas
aliquo tempore quodvis aſſignatum ſpatium emetiatur) aſt ex ſpatii
ſimul ac temporis quantitatibus ad calculum redactis eam innoteſcere; ſicut &
viciſſim temporis abſumpti quantitas non niſi ſpatii ſimul ac
velocitatis agnitis quantitatibus determinetur. Quinimo ſpati quo-
que quantitas (quatenus hoc modo per motum dignoſcibilis eſt) nec
è ſola definitæ velocitatis quantitate, nec ab aſſignato tanto tempore
dependet, aſt ab utriuſque ratione conjuncta. Et quidem ut hæc quo-
modo @e reſpiciant amplius exponamus, ſpatii quatenus hoc modo
computatur quantitas eo ferè dignoſcitur modo, quo è dimenſionibus
ſuis quanta ſit ſuperficies innoteſcit; è quantitate ſcilicet unius lineæ,
(quæ longitudinem ejus aut altitudinem oſtentat) & è quantitatibus
ſingularum invicem ſibi parallelarum linearum, quæ per iſtius lineæ
puncta quæque tranſeuntes ſuperficiem totam quodammodo conſti-
tuunt, & componunt;
eam ſa@tem limitant atque determinant;
hoc
eſt quaſi per ductum ſingularum ejuſmodi linearum in reſpectiva
dictæ lineæ puncta. Velocitatis autem, &
temporis quantitates
pariter eo modo diſcernuntur, quo ex ſuperficiei, & unius cui appli-
catur dimenſionis quantitate diſcernitur quanta ſit reliqua dimenſio
(ubivis, inquam, aut ſaltem alicubi quanta, nam fieri poteſt ut re-
liqua dimenſio quatenus per omnia prioris dimenſionis puncta diſſundi-
tur, ſibi paſſim diſpar & diſſormis ſit;
quid velim è veſtigio conſtabit,
nam utilis hæc conſideratio poſtulat enucleatiùs declarari. Omni
temporis inſtanti, ſeu indefinitè parvæ temporis particulæ (inſtanti
dico, vel indefinitæ particulæ, nam utì nihil admodum refert, utrum
lineam ex innumeris punctis, an ex indefinitè parvis lineolis compo-
ſitam intelligamus, ita perinde eſt, utrum tempus ex inſtantibus,
an ex innumeris minutis tempuſculis conſlatum ſupponamus; nos ſal-
tem brevitati conſulentes pro temporibus quantumlibet exiguis in-
ſtantia, hoc eſt pro tempuſcula repræſentantibus lineolis puncta non
verebimur uſurpare) cuilibet dico temporis momento competit velo-
citatis aliquis gradus, quem mobile tunc habere concipiendum eſt;
cui gradui reſpondet aliqua decurſi ſpatii longitudo (nam hìc mobile
tanquam punctum, & ſpa tium proinde tantummodò ceu longum
conſideramus) quia veròtemporis momenta quoad rem ipſam neuti-
quam à ſe dependent, ſupponi poterit in proximo inſtanti mobile
gradum velocitatis alium (alium inquam vel æqualem priori, vel in
quavis proportione diverſum) admittere, cui proinde reſpondebit
alia ſpatii longitudo, tali proportione reſpiciens priorem, quali
Quum enim temporis inſtantia
prorſus æqualia ſint inter ſe, ſpatialium longitudinum ratio à ſola
velocitatem ratione dependebit, eíque proinde par erit, aut ſimilis
(quod niſi pro veriſſimo ſumatur, haud ullo modo menſurari poſſit
velocitas; nam à ſola ſpatiorum eodem tempore decurſorum (vel
eodem inſtanti) proportione velocitatum inter ſe collatarum imme-
diatè vel mediatè ratio taxatur, & altera alterius reſpectu denomi-
natur tanta) ſimiliter ſi per omnia temporis cujuſvis momenta qui
conveniunt ipſis velocitatis gradus aſſignentur, aggregabitur ex iis
quantum quiddam, cujus partibus quibuſvis decurſorum ſpatiorum
partes reſpectivæ, hoc eſt iiſdem temporibus reſpondentes particulæ,
juſtè proportionantur, adeóque quantum è gradibus iſtis conſtans
repræſentans magnitudo ſpatium quoque decurſum repræſentare poſſit; quatenus nempe qualem ſpatii partes temporibus ſingulis peractæ pro-
portionem inter ſe ſervant, exactè referat. Quum igitur, utpote
quàm æquabiliſſimè ſluens per lineam, ut præmonuimus, rectam ap-
tiſſimè repræſentetur, & qui in ſingulis temporis inſtantibus haben-
tur alii ac alii, ſibimet æquales; aut inæquales, velocitatis gradus per
lineas itidem, ut priùs etiam inſinuatum eſt, rectas exprimantur,
& cùm hi velocitatis gradus ſingula temporis momenta alii ac alii
permeent, independentèr à ſe invicem ac impermixtè; itaque ſi per
lineæ tempus repræſentantis omnia puncta trajiciantur rectæ ſic
diſpoſitæ, ut altera nulla nulli alteri coïncidat, hoc eſt in ſitu pa-
rallelo; quæ reſultat hinc ſuperficies plana (pro quantitate temporis,
& poſitorum velocitatis graduum ratione determinata) graduum ve-
locitatis aggregatum exactiſſimè referet; cujus ſuperficiei partes cùm
reſpectivis (ut prædictum) ſpatii peracti partibus proportionales
ſint, poterit id ſpatio quoque repræſentando commodiſſimè adaptari.
Iſta verò ſuperficies brevitatis causâ dehinc appellabitur velocitas ag-
gregata, vel ſpatii repræſentativa. Neque quenquam aſſiciat, nam
ſubmovenda nobis hæc remora, quod diximus in ſingulis temporis
inſtantibus longitudinem aliquam confici, quaſi dari poſſe motum
inſtantaneum aſſirmarem. Nam poſito tempora è momentis com-
poni, etiam lineæ componentur è punctis; quòd ſi lineæ inæ-
quales componantur è punctis infinitis, ſibimet æquinume-
ris, neceſſariò ſequitur linearum puncta, juxta ſimilem cum ipſis
proportionem inæqualia fore, adeóque per longitudines in æquitem-
poraneìs momentis decurſas duntaxat intelligenda ſunt ejuſmodi inæ-
qualia puncta, è quibus tota decurſa longitudo quaſi conſlatur. Sin
hoc abſonum cuipiam videatur, & nullo ſenſu motus admittatur in-
finitas temporis particulas intelligamus; quibus reſpondeant certo
velocitatis gradu, alio atque alio, percurſa indefinitè minuta ſpatiola
velocitatis gradibus adproportionata; tum autem repræſentando
ſingulo cuipiam velocitatis gradui per tempuſculum aliquod retento,
loco lineæ rectæ ſubſtituatur oportet exiguum rectangulum dicto tem-
puſculo applicatum. Perinde fuerit, ac eodem recidet hoc an illo
modo ſe res habeat, aſt ſimplicior & clarior videtur iſte modus, quem
priùs expoſuimus, cui proinde poſthac inſiſtemus. Ut redeam, &
recolligam; ſicuti per omnia lineæ rectæ puncta traduci poſſunt pa-
rallelæ rectæ, magnitudine pro lubitu pares, vel impares, è qui-
bus aggregatis ſuperficiale planum exurgat, ità ad ſingula temporis
inſtantia applicari poſſunt velocitatis gradus diverſi, pares vel impares,
prout mobile per totam ſuam lationem vel eundem impetum retmere,
vel aliquando varium adſciſſere ſupponatur, utcunque creſcendo vel
decreſcendo. Si velocitatem ſemper eandem conſervare dicatur, fa-
cilè patet è dictis velocitatem aggregatam definito cuivis tempori con-
venientem rectiſſimè per figuram parallelogrammam exprimi, qua-
liquum AZ, eíque parallelæ rectæ omnes BZ, CZ, DZ, EZ
velocitatis gradus ſingulos per ſingula temporis momenta penetrantes,
in hoc ſcilicet caſu pares, exhibent. Poſſunt etiam, ut dictum, pa-
rallelogramma AZZB, AZZC, AZZD, AZZE ſpatia re-
ſpectivis temporibus AB, AC, AD, AE decurſa appoſitè deſignare. E qua conſideratione ſola, vel intuitu primo motûs hujuſmodi, quem
æquabilem, & uniformem vocitant, omnia ſymptomata deduci
poſſunt. Quales ſunt:
quòd æquali perpetuò velocitate tranſmiſſa
ſpatia ſeſe habent ut tempora: Quod æquali tempore peracta
ſpatia ſeſe habent ut velocitates; &
viciſſim:
Si ſpatia ſunt ut
velocitates tempora fore æqualia; ſi ut tempora, velocitates
æquari. Et ſi æqualia ſpatia fuerint, tempora velocitatibus propor-
tione reciprocari; contráque, ſi tempora velocitatibus proportione
reciprocentur, ſpatia ſibimet exæquari. Spatia denique quælibet
compoſitam habere rationem è rationibus velocitatum & temporum;
nec non, ſubducendo rationem temporum è ratione ſpatiorum reſiduam
manere rationem velocitatum; vel ſubducendo rationem velocitatum
relinqui rationem temporum. Hæc enim parallelogrammorum inter
ſe comparatorum aſſectiones ſunt (æquiangulorum intelligo paralle-
logrammorum; nam ubi repræſentativa, hæc parallelogramma con-
feruntur inter ſe, æquiangula conſtituantur oportet; alioqui cùm
nihil refert quinam angulus ſtatuatur) hæc,
inquam, è parallelogrammorum natura liquent, & ex iis quæ
poſuimus ſponte conſectantur; ut nullam aliam demonſtrationem re-
quirere videantur. Et ſanè quoad omnes Mathematicæ {ακ}
(hoc eſt utcunque quantitatem involventes) materias cùm magnâ fa-
cilitate Theoremata perſpicere, tum ſummo eadem compendio de-
monſtrare poterit, quiſquis contemplationi ſuæ ſubjecta cujuſcunque
generis quanta ad analogicas magnitudines ritè congruéque novit re-
digere. Quòd ſi porrò velocitatis gradus continuò per ſingula tempo-
ris inſtantia ſupponantur æqualiter adaugeri, vel imminui, à gradu
minimo, ſeu quiete, definitum ad velocitatis gradum, vel à definito
tali gradu ad quietem; conſimili pacto poterit aggregata velocitas per
quamvis ſuperficiem æqualiter à puncto creſcentem ad definitam mag-
nitudine lineam; vel eodem retrogradè paſſu decreſcentem, exhiberi;
ſimpliciſſimè verò, &
optimè per triangulum rectilineum;
ut puta per
triangulum AEY, in quo crus AE tempus denotat; ejúſque punctis
gulis inſtantibus congruos à puncto A (quod quietem, vel infimam
velocitatem refert) ad definitum gradum lineâ maximâ EY repræſen-
tatum æqualiter increſcentes; vel ab eadem EY retrò ad punctum A
quietis repræſentativum declinantes. Sed &
pari jure, quo priùs,
trigona ABY, ACY, ADY, AEY per reſpectiva ab initio tem-
pora decurſis ſpatiis repræſentandis inſervient. Et conſequenter, ſi
velocitas æqualiter à definito gradu ad gradum definitum ſupponatur
augeri, vel diminui, repræſentabitur tam aggregata velocitas, quàm
ſpatium ei reſpondens à figura quadrangula Trapezia, qualis eſt CYYE,
in ſigura priùs adhibita. Hinc, non ſecùs quàm in præcedentibus, hu-
juſmodi motûs quem uniformiter acceleratum nomine perquam apto
_Galilæus_ nuncupavit) aſſectiones omnes præcipuæ facilimè deprehen-
dentur, atque demonſtrabuntur; cujuſmodi ſunt:
Quòd æ quali tem-
pore conficietur æquale ſpatium per motum à quiete uniformiter acce-
leratum, ac per ipſum motum uniformem, modò velocitas hujus ſub-
dupla ſit velocitatis, quam ille maximam habet. Quòd ſpatia motu
à quiete uniformiter accelerato peracta, ſeſe habent ut _Quadr @ta tem-_
_porum_ (vel in duplicata temporum proportione.) Et diverſos hoc
modo acceleratos motus comparando: Quòd ab illis tranſacta ſpatia
habeant rationem è rationibus temporum, & velocitatum maxima-
rum: Et ſimilia talia vel his connexa, vel indè conſequentia, quæ
triangulis conveniunt inter ſe quoad ſuas, & quoad laterum rationes
comparatis; quæ ex poſitis haud diſſicilè perſpìciantur, ac demon-
Porrò, non abſimiliter ſi velocitatis gradus continuâ per
ſingula temporis inſtantia ſucceſſione, à quiete ad definitum gradum,
vel retrogradè, creſcere concipiantur, aut decreſcere juxta progreſſi-
onem numerorum quadraticorum repræſentatur tum optimè velocitas
ſpatium hujuſmodi motu confectum, à comple-
mento Semiparabolæ, qualis eſt AEX, cujus vertex A quietem (ſeu
motûs ac temporis initium) tangens AE tempus definitum, linea BX
primum velocitatis accreſcentis gradum (qui ſe habet ut I.) proxima
CX ſecundum gradum (habentem ſe ut 4.) ſubſequens DX (qui ſe
habet ut 9.) &
ità porrò uſque ad ultimum EX:
Id quod ex notiſſi-
ma parabolæ proprietate manifeſtum eſt. Eodem planè modo quivis
ſuppoſiti velocitatis gradus, utcunque creſcentis aut decreſcentis,
continuo vel interruptè, quovis, inquam, imaginabili modo per
lineas rectas ad temporis repræſentatricem rectam applicatas certiſſi-
mo, commodiſſimòque modo deſignari poſſunt, aſſervatâ quam quis
adſignare voluerit proportione; ſic ut inde cognitâ ſpatii repræſen-
tantis dimenſione, ſpatii per motum confecti quantitas faciliùs inno-
teſcat; &
reciprocè, cognitâ ſpatii dicti naturâ velocitatis ac tem-
poris quantitatibus dignoſcendis aliqua lux aſſulgeat: Quæ quidem
poſthac dicendorum intellectui neceſſaria, totíque motuum theoriæ
non parùm ut videtur utilia viſum eſt paullo fuſiùs expoſita præmittere. Quà perfunctus operâ pedem figo.
VArios, quibus productæ concipiantur magnitudines aggreſſi mo-
dos conſiderare, primum & præcipuum attingere cæpimus illum,
qui motu peragitur locali. Cùm verò ſoleant _Matbematici_ diverſi-
modos, è quibus aliæ ac aliæ magnitudines reſultant, motus adſumere
ceu poſſibiles, duos ad fontes digitum intendimus, è quibus iſtæ mo-
tuum differentiæ ſcaturiunt, modum lationis ipſum, & quantita-
tem vis motivæ; quorum poſteriopem haud ita clarum &
apertum
nuperrimè conati ſumus recludere, limpidúmque reddere. Jam diffe-
rentias quas aſſumunt ipſas proſequemur, & quo pacto generationi mag-
nitudinum inſervire poſſunt oſtendemus. Lationis modum ſpectando
generantur magnitudines vel per motus ſimplices, vel per motus com-
poſitos, vel ex concurſu motuum (nam compoſitionem à concurſu
diſtinguo, quæ tamen à nonnullis confunduntur.) De ſimplicium
motuum hypotheſibus, ac effectis primò videamus. Simplicium mo-
tuum duo genera ſunt, ρο@, & {πο}
circum-
latio. Sub progreſſivo motu comprehenditur motus omnis, qui nul-
lum fixum locum (loci nomine quamvis magnitudinem, etiam pun-
ctum adnumerans, intelligo,) reſpicit, cui velut innectitur, ac affigi-
tur; ſeu directus iſte motus ſit, ſeu reflexus, ſeu refractus;
ſive
callem certum perſequatur, ſive inconſtanter deſultet, divagetur,
exorbitet. Quia vero penitus irregularium in arte nulla ratio poteſt
haberi, ſufficit _Matbematicis_ ſupponere magnitudinem quamcunque
progredi poſſe juxta deſignatam quamlibet orbitam; ut _v.
g._
Quod
punctum _in linea recta, circulari, elliptica, ſpirali, vel alia quavis_
_præſtituta queat incedere._ Verùm præcipuæ, hoc eſt maximi, fre-
quentiſſimíque pro magnitudinibus efformandis usûs, circa hujuſmodi
motus quas _Mathematici_ præſtruunt hypotheſes, ſunt hæ: Quôd
punctum à præfixo termino in linea recta quouſque libuerit adſignare
directè progredi queat, quali motu perſpicuum eſt lineam rectam
Quòd linea recta per alterius cujuſvis lineæ longitudinem ità
procedere poſſit, ut ſitum intereà parallelum perpetuò ſervet (hoc eſt
ut ipſa juxta poſitionem, quam in quolibet remporis momento ſor-
titur, parallela ſit ſibi ſecundum poſitionem ſuam in alio quovis tem-
poris momento:) Item, quod linea quævis (definitè vel indefinitè
protenſa, quod in omnibus intelligendum) motu directo, itidem ſibi
parallelo, progredi poſſit (directo inquam, hoc eſt ut ejus ſingula
pu
lent, eundémque procreant effectum eorúmque alterutro productæ
concipiantur illæ, quæ præ cæteris æquabiles, ac uni@ormes haberi
merentur ſuperficies; quales ſunt in plano _Superficie par allelogramma
(ſeu penitus rectilineæ, ſive mixtæ) in Solido (ut ita dicam, vel non
in uno plano delineatæ) _Superficies priſmaticæ, Cylindricæque,_ tum
Sit in exemplum
primò recta linea BC, cui inſiſtens recta AB per ipſam BC feratur,
ſibi continuo parallela, donec puncto B ad C promoto recta AB ipſi
DC ad AB parallelæ congruat. Manifeſtum eſt hujuſmodi motu
procreari _figuram planam parallelogrammam_ ABCD. Patet etiam
quodlibet aſſumptum in AB punctum, ut E, rectam lineam deſcri-
bere, cujus partes EE rectis AB interceptæ, rectæ BC partibus
BB, per eaſdem reſpectivè rectas AB interceptis (hoc eſt eodem
tempore à puncto B decurſis) æquantur. Neque minùs patet, ſi
vice versâ recta BC per ipſam BA feratur, eandem ſuperficiem de-
lineari; omniáque rectæ BC puncta (ceu F) rectas lineas effingere;
AB partibus BB adæquari. (Notetur autem abhinc brevitatis ergò
tam in his, quàm in ſimilibus caſibus harum linearum illam, quæ
motu ſuo magnitudinem deſcribit à me _Genetricem_ dici; alteram
autem, juxta quam, vel cui inſiſtens, prior defertur, _Directricem_ ap-
pellari; quia motæ lineæ proceſlus ab ea dirigitur, vel ad eam accom-
modatur.) Sit rurſus linea quæpiam curva (velut arcus circularis)
&
per curvam BC
continuò deferatur recta AB, ſibimet æquidiſtans, donec punctum B
ad C pertigerit, & recta AB demum rectæ DC ad ipſam AB primò
poſitam parallelæ congruerit; deſcribetur hoc motu figura quoque
plano (latiore ſignificatu) parallelogramma; quia ſcilicet adverſa
hujus ſiguræ latera ſibi parallela ſunt, recta AB rectæ DC, & curva
AD curvæ BC. Nam &
hîc ſingula quæque _Genetricis_ rectæ puncta
(velut E) lineas deſcribent _directrici_ BC ſimiles & æquales;
cùm
integras, tum iiſdem parallelis AB interceptas partes; ſi enim duo
puncta BB rectâ quoque jungantur; quoniam rectæ EB ſibimet
æquantur (etenim nil aliud ſunt, quam eadem ipſa linea diverſum
BB æquales ac parallelæ. Unde patet curvas EE, BB adæquari ſi-
bimet, & aſſimilari.
Adæquari quia ſubtenſæ omnes EE ſubtenſis BB
ſingillatim æquantur; aſſimilari, quia rectæ AB cum ſubtenſis adja-
centibus reſpectivis EE, & BB pares angulos conſtituunt, adeóque
rectæ ipſæ EE pares iis, quos rectæ BB; ipſæ illæ cum ſeipſis, &
hæ cum ſeipſis (nam in hujuſmodi proportionalitate partium, & an-
gulorum æqualitate, ſicut alibi fortaſſe luculentiùs & fuſiùs diſſere-
mus, omnis conſiſtit linearum, & quarumcunque magnitudinum ſimi-
litudo.) Quod ſi vice commutatâ linea curva BC fiat linea _Genetriæ
& recta BA _directrix_, hoc eſt ſi BC per BA ſibi parallela feratur,
&
ſingula
rectæ BC puncta, veluti F, rectas lineas ad BA parallelas deſcri-
bent; neque non interceptæ FF reſpectivis BB pares erunt;
quod
& pari modo ex ſuppoſito perpetuo curvæ BC paralleliſmo facilè con-
ſectatur. Sit denique curva quævis (vel è rectis angulos efficientibus
compoſita, quæ curvæ quoque nomen meritò ferat; _Archimedes_
ſaltem è rectis compoſitas lineas, utì figurarum circulis inſcriptarum
aut adſcriptarum perimetros, {και} {πα}λῶν {γρ}αμμ@ν nomine complecti-
tur; ut &
viciſſim curvæ quævis lineæ cenſeri poſſunt è rectis, innu-
meris quidem illis indefinitè parvis, adjacentibus, & deinceps ſe-
cum angulos efficientibus, conſlatæ) ſit, inquam, talis aliqua curva
BC, in plano quovis conſtituta, tum in alio plano, vel ſuper lineæ
BC planum ut libet elevata, recta AB ſibi continuò feratur parallela,
modo quo ſemel ac iterum oſtendimus; deſcribetur hujuſmodi motu
_Superficies cylindrica_ (vel certè _priſmatica, ſi linea directrix è rectis_
ponatur compoſita) & _cylindrica_ quidem ſtrictè dicta, ſi _directrix
_fuerit linea circularis, aut elliptica_; latiore verò ſenſu talis, ſi curva
fuerit alterius generis ut _parabolica_ puta, vel _hyperbolica_, vel alia
quæpiam. In hoc autem motu lineæ quoque genetricis ſingula puncta
ſimiles & æquales deſcribunt curvæ directrici lineas;
æquales
(ut in mox præcedente diſcurſu) quoniam EB pares ac paral-
lelæ ſunt; adeóque EE, BB quoque pares, ac parallelæ
ſimiles; *quoniam etiam anguli EEE, angulis BBB æquantur.
BC perrectam AB parallelωs deportari. Quomodò ſingula quoque
curvæ BC puncta rectas parallelas & pares interceptis reſpectivis
exemplo commonſtratum eſt; unde ſi ſuperſicies hoc modo procreatæ
à plano quolibet ad rectam ſeu genetricem, ſeu directricem (quam
ubique ſitam Superficiei productæ latus appellare licet) parallelo
ſecetur, ſectio communis duabus rectis parallelis conſtabit æqualibus
inter ſe. De Superficiebus autem ità progenitis obſervatu dignum eſt
(nec enim planè nudas magnitudinum generationes indigitare, ſed &
generales nonnullas ipſarum affectiones è diverſis reſultantes generandi
modis inſinuare propoſitum eſt nobis) quòd ſi linea directrix recta ſit
(ut in figura per literam Z diſcriminata) Superficiei productæ partes
parallelis lineis genetricibus interjectæ reſpectivis directricis lineæ
partibus ſemper proportionales ſunt (ſuperficies nempe BCCB re-
ſpectivis rectis BB:) At ſi linea curva pro directrice habeatur (ut in
figura Y) non ſemper eveniet, ut interceptæ genetricibus rectis Super-
ficies interceptis curvæ directricis partibus proportionentur; at ſaltem
accidet hoc, cùm recta genetrix AB æqualiter ad curvam BC ubique,
vel ſecundum omnia ejus puncta inclinatur; quomodo fit in cylindri
cujuſcunque, laxè vel ſtrictè dicti, recti ſuperficie; quia tum recta
genetrix omnibus curvæ punctis (hoc eſt omnibus eam ad dicta puncta
Verum ſi, in
exemplum, curva BC ponatur arcus circularis, qui dividatur æqualiter
ad puncta B, non erunt neceſſariò ſuperficies ABBA peripheriis
æqualibus BB inſiſtentes inter ſe pares, quia (præterquam in caſu
prædicto cylindri recti) rectæ AB ubique ad puncta B inæqualiter
inclinantur (unam quamvis inclinationem cum alia conferendo) an-
gulos nempe cum tangentibus ad B aliis ac aliis, & cum ſubtenſis BB
mæquales efficiunt. E qua re pendet _inſuperabilis illa difficultas,_
quacum conflictantur, qui _cylindricas obliquas ſuperſicies conantur_
_dimetiri, ſen cum Cylinàricis Superficiebus rectis, aliìſve quadantenus_
_cognitis Superficiebus quoad proportionem comparare._ Supponunt denique
conſimili pacto ſuperſiciem quamvis planam directo motu ſibi parallelo
progredi, ſcilicet ut prædicto modo, ſingula ipſius puncta lineas
rectas deſcribant, inter ſe pares, ac parallelas; vel ut ejus ſingulæ
rectæ (id quod indè conſectatur) planas Superficies parallelogrammas
effingant; cujuſmodi motu deſcribuntur priſmatica quæque cylindricá-
que corpora; illa nimirum ipſa, de quorum Superficiebus mox egimus,
quibúſque ſimili jure poſſunt adaptari, quæ Superficiebus iſtis oſtendi-
mus convenire. Veluti quod parallelis planis interjectæ Superſicies
ipſorum, & ipſa corpora lateribus ſuis (ſeu directricis rectæ partibus
reſpectivis) proportionantur. Quòd &
ſi definita hujuſmodi corpora
_Parallelogramma_ (quale eſt EEBB.) Quin, ut paucis complectar
multa, quæ _de Superficiebus aut Solidis Priſmaticis ac Cylindricis_
_ſtrictè dictis generatim enunciantur aut probantur uſpiam,_ quòd ea
pleraque juſtam analogiam obſervando, univerſis congruunt hoc modo
progenitis quantis. Neque jam de progreſſivo motu quidpiam ſuccur-
rit adjiciendum; quædam enim {δυ}
da. Porrò ſimplicis motûs alterum genus, quod adhibet _Matheſis,_
eſt _circumlatio, ſeu motus converſivus_; qui tum ſcilicet efficitur, cùm
dimotæ magnitudinis quiddam (ut punctum aliquod puta lineæ, vel
Superficiei linea) fixum & immotum conſiſtit, dum ei velut innodata
ac adſtricta tota reliqua magnitudo, juxta quamvis aſſignatam di-
rectionem, circumagitur. Cujuſmodi motûs generaliſſima proprie-
tas eſt, ut quæque mobilis puncta dum in uno aliquo plano tranſversè
moventur, circulares ſingula peripherias deſcribant; &
quidem
omnia, quæ in eodem uno, per fixum punctum tranſeunte plano
moventur parallelas, ſeu concentricas, & ſimiles inter ſe;
quæ verò
in diverſis planis ſimiles, aut diſſimiles, prout hypotheſium exigit
arbitraria diverſitas. Præ cæteris autem propria, maximéque na-
turalis eſt circumlatio, cùm ſingula mobilis puncta circulares unius
ejuſdem circuli peripherias deſcribunt, hoc eſt cùm in uno cuncta
plano circumferuntur; qualem certè tum ipſa natura ſponte concipit
atque proſequitur, cùm nè rectos ſuos quos præſertim aſſectat motus
exequatur ab immobili retinaculo prohibere; velut in pendulorum,
& libris appenſorum motibus videre eſt;
imò cùm objectâ quâvis
reſiſtentiâ non ſatìs facilè recto tramiti valet in@ærere; ſicut in _rota-_
_rum, & vorticum, &
turbinum, &
in ipſorum fortaſſe ſyderum_,
_motibuus adparet_. Verùm hujuſmodi motuum generalem indolem
haud ità promptum eſt verbis explicare. Præſtat ipſas quas accipiunt
præcipuas hypotheſes percenſere. Aſſumunt primo rectam lineam in
plano circa punctum quodvis in ipſa fixum poſſe circumferri; cujuſ-
modi motu patet omnia lineæ motæ puncta circulares peripherias de-
ſcribere; ſingulas ab uno quovis deſcriptas ſingulis ab altero quolibet
ſimul eodem tempore deſcriptis parallelas, & ſimiles.
Ut ſi linea
recta AB manente fixo puncto C circumferatur, ſingula puncta A,
ſimiles
omnes (iiſdem nimirum, aut æqualibus angulis ſubtenſas, quorum
commune centrum, aut vertex C) deſcribent. Hoc autem modo
conſtat procreari circulos, & ſectorum circulares areas (quales ACA,
BCB,) ſed & annulos planos;
qualis eſt is qui reſtat, ſi è circulo
E
qua geneſi colligitur circulorum, & ſectorum circularium areas, è
circularibus peripheriis, integris aut partialibus concentricis ac ſimili-
bns, conſtare tot numero ququarum proinde
calculum ineundo circularis areæ talis qualis dimenſio quam facillimè
reperitur; id quod non eſt hujus temporis ulteriùs exponere.
Quin-
etiam ſupponunt lineam quamvis rectam, indeſinitè protenſam, uno
manente fixo ipſius puncto circa deſignatam quamvis in alio plano
conſtitutam lineam, curvam aut è rectis compoſitam, revolvi, ſic ut
ei nempe lineæ ſemper inſiſtat, vel eam quaſi lambat, aut perſtringat.
in ea
fixum punctum V; &
per V ſemper feratur linea AB juxta lineam
quamlibet BC in alio plano collocatam; ità quidem ut aliquod lineæ
mobilis punctum continuò lineæ BC inhæreat; ex hujuſmodi motu
producetur curva Superficies (è planis ſaltem compoſita, quam &
generali ratione, poſt _Archimedem_, curvam appellare nil vetat)
quæ quidem ſi linea directrix tota componatur è definitè magnis rectis
lineis, fiet _Superficies py@@m dalis_, è triangulis ad verticem V concur-
rentibus aggregata; ſin circularis fuerit, aut conicarum ſectionum
aliqua, Superficies evadet ſtrictè _conica_; ſin alterius generis aliqua,
conica ſaltem extenſo latiùs ſignificatu dicatur; &
à quibuſdam di-
citur. Cujus quidem Superficiei proprietas eſt, ex ipſa generatione
maniſeſta, quòd ſi per fixum punctum V plano ſecetur, communis
plani cum ipſa ſectio erit angulus rectilineus. Nam ſi planum ipſam
ſecans per V lineæ directrici occurrat in punctis duobus, ut in D, E
(occurret autem in duobus, aliàs Superficiem ipſam non ſecaret) ductæ
rectæ VD, VE erunt tam in plano ſecante, quàm in curva Super-
ficie; in plano, ex plani natura;
in Superficie, quia genetrix eadem
recta per harum terminos tranſit, ipsíſque proinde coincidit. In hu-
juſmodi verò motu poſito quòd lineæ rectæ à puncto fixo V (ſeu ver-
tice) ad directricem lineam BC ductæ ſunt inæquales inter ſe, ſatìs
liquet lineam BC non à lineà B delineari, vel perambulari, quia
lineæ inæquales (ut VB, VE, VC) ſibi nequeunt congruere; ade-
ut nec eâdem inæqualitate ſuppoſitâ punctum quodvis aliud in VB puta
G) motu ſuo lineam deſcribet lineæ directrici BC ſimilem (quare
linea VB ſupponitur indefinitè protenſa) at verò ſi lineæ omnes, quæ
ab V ad BC duci poſſunt (quas Superficiei propoſitæ latera nuncu-
pemus licet) proportionaliter ſecentur (id quod fiet à plano per hanc
Superſiciem trajecto ad planum, in quo ſita eſt BC, parallelo) divi-
BC ſimilem. Ductis enim quotlibet lateribus VB, VD, VE, VC,
& ducto plano GKLH ad planum BDEC parallelo, ſint com-
hæ parallelæ erunt.
Item communes plani VDE cum iiſdem planis
BC, GH Sectiones DE, KL parallelæ erunt. Ergò anguli BDE,
GKL ſunt æquales. Item ſe habet recta BD ad GK, ut DE ad
ad VK (ſimilia quippe ſunt triangula VDB, VKG, & triangula
VDE, VKL) permutandóque BD. DE:
: GK.
KL.
ergò omnes
ſubtenſæ in GH proportionales ſunt ſubtenſis omnibus in BC, eas
nimirum in utraque linea ordinatim & deinceps accipiendo;
&
quæ
ſibimet adjacent in una pariter inflectuntur cum iis, quæ ſibi adjacent
in altera. Ergò ſecundum ſuperiùs inſinuata lineas BC, GH ſimiles
eſſe conſtat.‖ Hinc etiam patet lineas curvas ſimiles BC, GH ean-
dem ad ſe proportionem habere, quam Superficierum, in eadem
qualibet recta ſita, latera VB, VG. Quum enim ſubtenſarum
iiſdem angulis incluſarum (ut BD, GK, vel DE, KL) ſingulæ
rationes æquales ſint rationi laterum VB, VG; etiam omnes ante-
junctas (hoc eſt totam GH) ſe habebunt ut VB ad VG. Hinc etiam
tali motu productarum ſuperficierum emergit hæc proprietas; quòd
interceptæ ſcilicet à parallelis ad BC planis, à vertice deſumptæ,
quibuſcunque lateribus iiſdem incluſæ partes ipſarum ſint inter ſe ſi-
miles; ut puta Superficies BVC, GVH;
&
BVD, GVK.
(Quod ex generali ſimilitudinis doctrina poſthac explicanda luculen-
tiùs apparere poterit; interim ex ſimilitudine linearum curvarum, &
earum cum Superficiei lateribus analogia, penitúſque conſimili Superſi-
cierum generatione ſatìs eluceſcit; ſaltem ex triangulorum VBD,
VGK; &
VDE, VKL, &
talium omnium ſimilitudine ſatìs con-
ſtat; ſiquidem ex talibus infinitis triangulis utraque Superficies com-
poſita cenſeatur.) Unde ſimilium Superficierum proprietates iis con-
venient. Verùm quòd interceptas attinet à diverſis lateribus Super-
ficies, eas inter ſe comparando, notandum eſt quòd baſibus ſuis, ſeu
directricis lineæ reſpectivis partibus non ſemper proportionales ſunt;
at ſaltem hoc tum evenit, cùm omnia dictæ Superficiei latera ſunt
æqualia inter ſe, adeóque cùm linea directrix eſt peripheria circuli;
quo caſu producta Superficies erit conica Superficies ſtrictè dicta,
rectúmque quidem ad conum pertinens. Quod ſi directrix BC ſup-
ponatur e. g.
peripheria circularis, lateráque ſibimer inæqualia, ſi
connectantur latera VD, VE
non erunt Superficies BVD, DVE, EVC æquales inter ſe, ſed
inſerutabili plerumque ratione; juxta varias angulorum incluſorum,
& laterum inæqualium differentias, inæquales;
id quod hactenus
illtorſit, _qui dimetiendæ coni ſcaleni ſuperficiei incu-_
buerunt.‖ Ex his conſectatur quòd poſſit hujuſmodi circumlatio
facta quadantenus concipi motu quoque tali lineæ rectæ genetricis,
ità ut ejus ſingula quæque puncta parallelωs lata ſimiles directrici lineæ
lineas deſcribant, modo tamen concipiatur linea genetrix ubique pro-
portionaliter aut contrahi, vel dilatari ſecundum omnes ſui partes. Quomodo nempe ſi recta VB ita ſenſim diduci concipiatur, ut pun-
ctum B totam lineam BC perambulet, etiam punctum G parallelo-
ad BC motu delata, lineam GH ipſi BC ſimilem deſcribet. Qui-
nimò ſi conſimili pacto curva BC, directo quoad lineam rectam BV
motu ſitúque ſemper ad ſeipſam parallelo concipiatur promoveri, ſic
ut ejus ſingula quæque puncta lineas rectas deſcribant, ſecum omnes
in punctum V concurrentes; hoc eſt ità ut ipſa per totum ſuum pro-
greſſum juxta ſuas omnes partes analogicè contrahatur, ad verticem
uſque V; producentur ex hujuſmodi motibus Superficies conicæ pror-
ſus eædem cum jam proximè tractatis. Verùm hujuſmodi motus ima-
ginarii ſunt, & quales rerum natura reſpuit.
Explicandæ tamen
hujuſmodi Superficierum naturæ deſervire poſſunt, & ſupponi ſaltem
ut per _divinam potentiam effectibiles._‖ Ad hæc, ſi _linea directrix_
in motu proximè memorato ſupponatur undique clauſa, ſic ut figuram
quamvis comprehendat, Superficies curva progenita cum hac figura,
ceu baſe, corpus ſolidum includet pyramidale, vel conicum (ſtrictè
vel laxè pro dictæ figuræ natura ſumptum) cujus generalia ſympto-
mata ſatìs è dictis eluceſcunt. Nempe quòd à parallelis ad hujuſce
ſolidi baſin planis abſcindentur ſimiles ad verticem Superficies, ſimiléſ-
que baſes intercipientur, & ſimilia corpora Solida progignentur.
Verbo dicam, quæ de _Conis_ generatim _E@clides, Apollonius,_ aliique
tradiderunt, ea conicis ho@ modo factis, ſervatâ debitâ analogia,
convenient, & ſimili ferme modo demonſtrabuntur convenire.
‖ Ve-
rùm uſitatiſſimus apud Mathematicos corpora progignendi modus eſt
is qui peculiari nomine _Rotatio_ dicitur, & fit ſuppoſito lineam quam-
vis, aut quamlibet Superſiciem planam cirea rectam lineam fixam,
tanquam axem, revolvi. Quomodo ex motu Semiperipheriæ circu-
laris circa diametrum producitur _Sphærica Superſicies,_ ex motu Se-
micirculi ipſius circa eundem _Sphæra_ detornatur; ex motu lineæ rectæ
circa lineam ipſi parallelam _Superſicies Cylindrica;_ ex motu parallelo-
grammi rectanguli circa latus unum ipſé _Cylindrus rectus;_ ex motu cruris
ex rectanguli
trianguli circa crus unum anguli recti _conus_ ipſe deſormatur; eóque
pacto _cùm integræ cum ſuis Curvis Superficiebus Solidæ magnitudines_
_innumeræ, tumipſarum portiones, fruſta, tubi, annuli procreantur._ Cujuſmodi motûs hæc præcipua proprietas eſt, quòd ſingula quæque
magnitudinis circumductæ puncta peripherias obeant circulares (inte-
gras quidem illas, modò perfecta ſit revolutio, ſeu mobile denuo
primum in ſitum reſtituatur, at ſimiles utcunque ſibi mutuo, quæ
ſimul deſcribuntur) quarum omnia Centra ſunt in dicto axe, radii
verò ſunt rectæ ab ipſis punctis ad axem perpendiculares. Vel;
quod omnes in mobili ſitæ rectæ lineæ axi perpendiculares eſſiciunt
circulos (ſi revolutio ponatur integrè peracta) aut circulares ſimiles
ſectores, illos intelligo qui ſimul eodem tempore delineantur. Ut ſi
g.
linea quævis circa axem VK rotetur, eo procreabitur motu curva
quædam Superficies, circularibus quaſi peripheriis conſtans (_Ato-_
_miſtarum_ enim phraſin facilitatis, perſpicuitatis, brevitatis, addere
licet & veriſimilitudinis causâ non illibenter uſurpo) circularibus, in-
quam, peripheriis AY, BY, CY, DY per puncta A, B, C, D reli-
quáque quæ ſunt in VD cuncta decircinatis; quarum radii ſunt rectæ
AZ, BZ, CZ, DZ axi perpendiculares, & Centra Z in axe.
Quód ſi revolutio tantum eouſque continuatur, donec VAD ſit in
ſitu V αδ, conſtabit _effecta superficies_ ex arcubus A α, B ε
D δ, ſimilibus inter ſe eodem modo ſi planum VDZ circa axem
VK revolvatur, poſito quòd integra peragatur converſio, produ-
cetur Solidum quali conſtans innumeris circulis parallelis AY, BY,
CY, DY, quorum (ut priùs) radii AZ, BZ, CZ, DZ,
centra Z; poſitóque quod circulatio deſiſtit in ſitu δ υ K, conſtitue-
tur Solidum è Sectoribus AZ α, BZ εreliquis inter ſe
ſimilibus. Cæterúm prætermittenda non eſt animadverſio quædam
perquam utilis, & neceſſaria circa _modum Superficierum, &
Soli-_
_dorum hoc modo reſultantium dimenſiones inveſtigandi juxta metbodum_
_indiviſibilium, omnium expeditiſſimam, & modò ritè adhibeatur haud_
_minùs certam & infallibilem._
Objicit huic methodo non ſemel, in
pererudito ſuo de _Solidis cylindricis ac annularibus libello, do
_A. Tacquetus_, eóque ſe putat illam deſtruere, quòd per eam in-
ventæ _conorum, & Spherarum ſuperſicies_ (quantitates horum intelligo)
veræ per _Archimedem_ repertæ ac traditæ dimenſioni non reſpondent.
Sit exemplo _rectus conus_ DVY, cujus axis VK; per cujus omnia
puncta tranſire concipiantur axi perpendiculares rectæ ZA, ZB,
ZC, | ZD, &c.
è quibus nempe juxta _methodum atomicam_ com-
&
è circulis ad quas
ceu radios deſcriptis ipſe _conus_ conflatur. Ergò, diſputat, ex ho-
rum circulorum peripheriis _Superficies conica_ componetur; qnod
tamen veritati comperitur adverſari; methodúſque proinde fallax
eſt. Repono, malè calculum hoc pacto iniri;
&
in peripheriarum è
quibus _Superficies_ conſtant computatione diverſam inſtituendam eſſe
rationem ab ea, quâ computantur lineæ quibus _planæ ſuperficies_ con-
ſtant, aut plana, è quibus corpora formantur. Nempe peripheria-
rum Superficiem curvam conſtituentium è revolutione prognatam
lineæ VD cenſeri debet è multitudine punctorum, quæ ſunt in ipſa
quippe cùm per ea ſingula puncta tales peri-
pheriæ tranſeant, nec plures tranſire queant; quicunque ſit axis, ſeu
longiùs diſtans, ſeu propiùs adjacens; axis enim ſolummodò, pro
longiore vel propiore diſtantia poſitionéque varia, dictarum periphe-
riarum magnitudinem determinat. Verùm multitudo linearum ex
quibus planum DVK ſupponitur conſtare, planorúmque quibus
Solidum DVY conſtat, è numero taxanda eſt punctorum in axe
VK; nec enim plures intra terminos VK parallelæ, ipſi VK perpen-
diculares, rectæ, vel plura talia parallela plana duci poſſunt, quam
horum punctorum multitudini æquinumera. Quod obſervando _diſcri-_
_men_ (ſedulò perpendendum) omnem devitabimus errorem, & _cur-_
_varum bujuſmodi rot@tu genitarum Superficierum facillimo, reor,_
_omnium quos rei natura ſubminiſtr at modo perquiremus._ Illum com-
monſtrabo. Pro reperienda v.
g.
dimenſione _curvæ ſuperficiei_ lineæ
VD circa axem VK revolutione, concipiatur ipſa VD in directum
extendi, ità ſcilicet ut ei exæquetur recta VD; &
ad ejus omnia
puncta rectæ concipiantur applicari ipſi VD perpendiculares, & pe-
ripheriis circularibus, è quibus Superficies curva conflatur, ordine
pares; ſingulæ ſingulis, puta AX ipſi AY, &
CX ipſi CY, ac
ità continuò. Erit ex his parallelis rectis conſtitutum planum VDX
æquale _dictæ curvæ ſuperficiei;_ hujúſque partes illius partibus re-
ſpectivis. Sin loco _peripberiarum_ applicentur ipſarum reſpectivi radii
AZ, BZ, CZ, & reliqui;
ſpatium ex his rectis conſtitutum (quæ
ſanè proportionali cum alteris ſerie procedunt) ſe habebit ad _curvam_
_Superficiem, ut c@rculi cujuſvis radius ad ejus circumſerentiam._ Un-
de ſiquâ ratione deprehendi poſſit _Summa radiorum peromnia lineæ_
_genetricis puncta tranſeuntium (hoc eſt ſi ſpatii VDZ dimenſionem_
reperire contigerit) eo ſtatim innoteſcet _curvæ Superſiciei dimenſio._ In exemplum, facilitatis ergò, proponatur _conica Superficies_ DVY,
è rotatu procreata rectæ VD, circa axem VK. Ad rectam VD ap-
& æquales ſingulæ ſingulis in cono circulorum radiis per eaſdem li-
teras deſignatis; fiet autem in hoc caſu _Spatium_ VDZ triangulum,
quia rectæ AZ, BZ, CZ æqualiter à ſe diſtantes æqualiter increſcunt,
id quod trianguli applicatis omninò proprium eſt. Hujus autem
trianguli, ex datis altitudine VD & baſe DZ, dimenſio in promptu
eſt. Quod ſi ſiat _ut circuli radius:
Ad circumferentiam ipſius, it à_
_triangulum VDZ ad quartum_, erit hoc quartum æquale _Superficiei_
_conicæ propoſitæ._ Eodem planè modo perquam facilè _Sphæræ
_carúmque portionum Superficies_ (nec, datis & præcognitis iis quæ
requiruntur, alias quaſlibet hoc modo natas) inveſtigare licet. At
mihi propoſitum eſt generalioribus tantùm inhærere. ‖ Hanc autem
magnitudinum geneſin æmulatur, & affinitate quâdam contingit iſte
modus, quum circa rectam lineam, (aut quidem circa quamvis
aliam) ſimiles innumeræ lineæ, vel figuræ parallelo juxta ſe ſitu
diſpoſitæ talit
dicta linea, quæ proinde tanquam axis rationem ſubit, ac talis deno-
minatur. Quomodo, e.
c, in _cylindris obliquis_, ínque _conis Scalenis_
circuli circa lineam quandam rectam conſiſtunt; quæ proptereà dicitur
ipſorum _axis_, quoniam in ea circulorum parallelorum _centra_ ex-
iſtunt. Sed cùm motus ità diſtortos natura non capiat (ſaltem juxta
modum operandi ſimplicem quem nunc ſupponimus) & quia poſſunt
hujuſmodi magnitudines ut modis aliis genitæ faciliùs concipi, de iis
abſtinebimus. Neque non de magnitudinum per motus ſimplices
effectione ſufficiet hactenus diſſeruiſſe.‖
Q Uomodo per _motus ſimplices progreſſivum, &
converſivum_
_ffectæ concipiantur magnitudines, & qualia generationes iſtas_
_conſequuntur ſymptomata_ (nonnulla ſaltem præcipua) _con-_
_niſi ſumus exponere ad compoſitos nunc, & concurrentes,_
_eidem propoſito ſervientes, motns accingimur;_ quorum in effectis
diſcernendis velocitates, ſecundum quas ſimplices peraguntur motus,
omnino, vel cum primis conſiderandæ ſunt; quarum in generatione
per motus ſimplices nulla prorſus habetur ratio. Per eundem enim
motum ſimplicem ſeu velocior is ſit, ſeu tardior eadem magnitudo,
quamvìs non eodem temporis intervallo, producitur; idem nempe
_circulus_ ex ejuſdem rectæ circa punctum in ea fixum, _eadem Sphæra_
ex Semicirculi circa _diametrum_ rotatu; quamvìs ut hæc fiant eò ma-
gìs awt minus expectandum ſit, quo ſegnior aut citatior ſupponitur ea
progenerans motus. Verùm in generatione per motus compoſitos
iiſdem manentibus lationis modis, prout unius aut plurium variatur
velocitas, nedum ſpecie, ſed etiam quantitate diverſæ magnitudines
emergere ſolent, poſitione ſaltem perpetuò differentes. Ut ſi recta
&
ſimul
punctum M in AB deſcendat uniformiter; vel ſimulrecta AC pa-
rallelo quoque uniformi motu deſcendens ipſam AB promotam inter-
ſecet in M; ex ejuſmodi motuum compoſitione vel concurſu produ-
cetur recta linea AM. Quòd ſi eodem, etiam quoad velocitatem
manente motu rectæ AB, immutetur in velocitate motus uniformis
puncti M, vel rectæ AC, ità quidem punctum M jam eodem tem-
pore pervenerit ad μ, vel AC ſecet ipſam AB in μ, deſcribetur
hoc motu alia recta A μ à priore AM poſitione diverſa. Sin verò,
manente rurſus eodem motu rectæ AB, pro motu puncti M, vel
rectæ AC uniformi ſubſtituatur motus, quem vocant, æqualiter
acceleratus, ex ejuſmodi compoſitione, vel concurſu fiet linea
celeratus gradu ponitur alius ac alius.) Quòd ſi quâpiam aliâ ratione
creſcere concipiatur, aut minui dicti puncti vel lineæ velocitas alia pro-
gignetur inde, pro ratione _bypotbeſis_, diverſa ſpecies magnitudinis. In his
conſpicitur exemplis quòd eodem ſubinde recidant _compoſitio motuum_
_et concurſus_; quod exinde quidem contingit, quia rectæ cujuſpiam paral-
lelo motu latæſingula puncta rectas deſcribunt ſibi parallelas; unde fit ut
perinde ſit an punctum ejus aliquod in ipſa fixum deferatur cum ea, vel
ſolutum per lineam ejus directioni parallelam; ut nempe utrùm punctum
M in AC fixum cum ea deferatur, an liberè decurrat per rectam AB eâ-
dem velocitate. At ſæpe non ita facile per horum utrumlibet modum
_magni@udinum generatio_ declaretur, ſit enim recta AB æquabiliter rc-
tata (hoc eſt, ita ut temporibus æqualibus æquales efficiat angulos)
et ſimultaneè punctum M ab A in ipſa recta AB continuo motu
feratur, etiam uniformi; ex iſta _motuum_ compoſitione linea quæ-
dam producetur, _belix_ ſcilicet _Archimedea_ (nam talia conſultò pro-
ponimus _exempla, quò celebrium apud Matbematicos magnitudinum_
_obiter naturam inſinuem_, et inſtillem minùs ad hæc exercitatis; id
tranſcurrens moneo) cujus generatio per nullos, opinor, mobi-
ita nimirum
ut motuum iſtorum, vel eorum quantitatem determinantium angulo-
rum, ſeu linearum, ratio, quantitaſve dignoſcantur. Generari qui-
dem poterit è concurſu paralleli motûs rectæ AC; vel circularis
motûs rectæ BA circa Centrum quodvis B, concurſu cum prædi-
cto regulari motu circa Centrum A; at quæ ſit tum futura recta-
rum AM, Aμ; vel angulorum ABM, ABμ quantitas difficilè
E contrà, ſi recta BA circa Centrum B motu rotetur
uniformi; et ſimul recta AC per AB parallelωs, &
uniformiter defe-
ratur, rectarum BA, AC ita latarum interſectio continua lineam quan-
dam efficiet (illam nempe, quæ quadratrix dici ſolet) cujus ge-
neratio non ità clarè per ſtrictè dictam motuum compoſitionem ex-
pediatur, aut explicetùr. Generari quidem poteſt per motum re-
ctum alicujus puncti M in AB delatâ parallelωs ad primò poſitam
AB; vel ex puucto tali in AC parallelo quoque delatâ;
vel per
motum puncti in AB, circa B; vel circa A rotatâ, rectè ab A
verſus B, vel à B verſus A decurrentis; ſed hujuſmodi ſnppoſi-
tâ quâpiam motuum compoſitione, quænam ſit rectarum AM,
aut BM; vel angulorum BAM aut ABM aut AMB, vel aliarum
quarumvis magnitudinum hoſce motus determinantium quantitas,
aut inter ſe relatio, difficulter innoteſcat. Qua præcipuè de cauſa
quia nem-
pe magnitudinum generatio nunc uno, nunc alio modò faciliús expli-
catur. Verum ad illos diſtinctius exponendos accedo.
De compoſitione
primum. Cùm autem motus duobus modis compoſitus intelligi
poſſit; vel nt è pluribus motibus aggregatus, vcl ut de pluribus par-
ticipans; de poſteriore nos diſſertamus;
quem fortè non meliùs
quàm prænobilis Philoſophi verbis, & exemplis enucleatum dem.
unum motum ſibi proprium, quoniam ab unis tantùm corpori-
bus ſibi contiguis, et quieſcentibus recedere intelligitur, parti-
cipare tamen etiam poteſt et de aliis innumeris; ſi nempe ſit
pars aliorum corporum alios motus habentium. Ut ſi quis am-
bulans in navi _horologium in_ pera geſtet, ejus horologii rotu-
læ unico tantùm motu ſibi proprio movebuntur; ſed participa-
bunt etiam ex alio, quatenus adjunctæ homini ambulanti unam
cum illo materiæ partem component; et ex alio quatenus erunt
adjunctæ navigio in mari fluctuanti; et ex alio quatenus ad-
junctæ ipſi mari; et denique alio, quatenus adjunctæ ipſi terræ,
ſiquidem tota terra moveatur. Omnesque hi motus revera e-
runt in rotulis iſtis, ſed quia non facilè tam multi ſimul intel-
ligi, nec etiam omnes agnoſci poſſunt, ſufficiet unicum illum,
qui proprius eſt cujusque corporis in ipſo conſiderare. Ac præ-
tereà ille unicus cujuſque corporis motus, qui ei proprius eſt,
inſtar plurium poteſt conſiderari; ut cùm in rotis curruum du-
os diverſos diſtinguimus, unum ſcilicet circa ipſarum axem, et
alium rectum ſecundum longitudinem viæ per quam feruntur. Sed quòd ideò tales motus non ſint reverà diſtincti patet ex eo,
quòd unumquodque punctum corporis quod movetur unam tan-
tùm aliquam lineam deſcribat. Nec refert quòd iſta linea ſæpe ſit
valde contorta, et ideò à pluribus diverſis motibus genita vi-
deatur, quia poſſumus imaginari eodem modo quamcunque li-
neam etiam rectam, quæ omnium ſimpliciſſima eſt, ex infini-
tis diverſis motibus ortam eſſe. Ut ſi linea AB feratur verſus
CD, et eodem tempore punctum A feratur verſus B, linea
bit à duobus motibus rectis, abA in B et ab AB in CD, quàm
linea curva, quæ à quovis rotæ puncto deſcribitur, pendet à
motu recto et circulari. Ac proinde quamvis ſæpe utile ſit u-
num motum in plures partes hoc pacto diſtinguere ad facilio-
rem ejus perceptionem; abſolutè tamen loquendo unus tantùm
Ita _Carteſius_.
Nem-
pe cùm magnitudo quæpiam exinde quod aliis modo quopiam-
adnectitur, illorum motus ita particeps eſt, ut ab eo quoad ſi-
tum ſuum aliquatenus determinetur, iſte motus hujus compoſitio-
nem quaſi pars ingreditur, ab exemplis poſthac adjungendis res
luculentius apparebit. Motus autem hoc modo componi poſſunt
_Progreſſivi_ cum _Progreſſivis, Progreſſivi_ cum _Circumlatititis, Cir-_
_cumlatitii_ cum _Circumlatitiis_; componi poſſunt, inquam, et decom-
poni modis innumeris; quorum omnium cùm inire cenſum im-
poſſibile ſit, illoſque qui à regularitate deflectunt intelligere difficile
ſit, exponere difficiliús; nos præcipuos ſaltem aliquos, in uſu magìs
poſitos, et explicatu faciliores attingemus. Quales imprimis
ſunt ii qui è motibus directis et parallelis; è directis et rotatitiis,
è pluribus rotatitiis componuntur; præſertim illi quos qui conſti-
tuunt ſimplices motus omnes vel nonnulli ſunt uniformes. Nam
_uniformitatem nedum R@ſpublic
_artes etiam atque ſcientiæ vehementer affectant._ Recti motns
(quibus parallelos à recta linea directos motus adnumero) pri-
mum ſibi non immeritò locum aſlerunt, ut ſimplicitate præcel-
lentes, naturæ convenientes et chari, præ cæteris utiles ac uſitati. Nec ulla ſané magnitudinis eſt ſpecies (nulla linea, nulla ſuper-
ficies, nullum corpus) cujus generatio non è rectis peracta moti-
bus concipiatur. Omnis, inquam, in uno planô conſtituta linea
procreari poteſt è motu parallelo rectæ lineæ, et puncti in ea;
omnis ſuperficies è motu parallelo plani, et lineæ iu eo (lineæ ſci-
licet alicujus è rectis modo jam inſinuato motibus progenitæ)
conſequenter et linea quævis etiam in curva ſuperficie deſignata re-
ctis motibus effici poteſt. Corpus autem ſolidum eodem modo
genitum intelligatur, quatenus è ſuperficierum genitura reſultat,
et quatenus ab ipſis ità genitis terminatur, ac circumſcribitur
Sed quia _ſuperficierum plerarumque curvarum_, quales hactenus _Ma-_
_theſis_ excogitavit, & linearum in iis non in uno plano jacentium, ge-
neratio per alios modos commodiùs explicetur, neque mihi quic-
quam ſuccurrit animadverſione dignum quod de iis dicam, de li-
nearum ſaltem in uno plano exiſtentium, per rectos et parallelos
motus generatione diſpiciam. Et quidem has quod attinet, earum nul-
la eſt quæ non ex motu parallelo lineæ rectæ, punctique per e-
am delati producatur; verum hi motus eo contemperari modo de-
bent, quem ſpecialis lineæ producendæ natura poſcit; nec reſert
qualem, velocitatis reſpectu, motum uni tribuas, ad hujus modò
U
g.
ſi recta ZA ſemper per rectam AY ſibi parallela feratur
motu quolibet uniformi, vel difformi (creſcente, vel decreſcente
vel alternante ſecundum velocitatem, juxta rationem quamvis ima-
ginabilem) et in ea punctum aliquod M deferatur, ità tamen ut
puncti motus lineæ rectæ motibus per ſingulas quasque temporis
partes eaſdem proportionentur, producetur utique linea recta. Nem-
pe ſi fuerit ſemper AB. AC:
: BM.
Cμ.
vell
: AM,
X μ (poſitâ ſcilicet MX ad AC parallelâ) liquet puncta A, M
μ in una recta verſari. Eſt enim rectæ lineæ proprietas in Ele-
demonſtrata, quòd ad eam parallelωs applicatæ rectæ
lineæ ſuis ad deſignatum in ea punctum diſtantiis proportionales in
rectam lineam terminantur. Quòd ſi motus hi ſic inter ſe contem-
perentur, ut aſſumptâ quâdam lineâ D habeat rectangulum ex diffe-
rentia lineæ D, & ipſius BM (à puncto mobili decurſæ in recta
AZ) & ipſa BM ad quadratum ex AB (eodem tempore decurſa
à linea AZ) rationem ſemper eandem progignetur _ellipſis aut cir-_
_culus;_ circulus quidem ſi ratio propoſita fuerit æqualitas, &
an-
gulus ZAY rectus, _ellipſis_ ſi ſecùs; &
in his erit D una _diame-_
_trorum_, ſitum habens in linea AZ primò poſitâ, à vertice A por-
recta verſus partes Z. Sin ità ſe habeant, ut rectangulum ex ſumma
linearum D, & BM &
ipſa BM ſemper eandem cum quadrato
e
_perbole_; quadrata quidem illa (vel æquilatera rectangula) ſi _ratio_
deſignata fuerit æqualitatis, & angulus ZAY rectus;
ſin aliter,
alterius, pro rationis aſſignatæ quantitate, ſpeciei; cujus _tranſverſa_
_diameter_ æquabitur ipſi D, ſitum habens in ZA primò poſita à
vertice A protenſa verſus partes averſas ab Z; &
parameter ex
ratione data determinatur. Quòd ſi perpetuò rectangulum ex ipſa
D, & decurſa BM ad quadratum ex AB eandem perpetuò ra-
tionem obtinet, conſtabit effici _lineam parabolicam_, cujus _para-_
_meter_ ex rectæ D, datæque rationis propoſitæ quantitate facilè
definietur. Et in horum primo quidem caſu ſi motus tranſverſus
per AY ponatur uniformis, etiam motus deſcendens per AZ unifor-
mis erit; in ſecundo &
tertio ſi motus per AY ſit uniformis, erit motus
deſcendens perpetuò creſcens; eodemque poſito quoad ultimum caſum,
in quo parabola fit; punctum M continuò velocitate creſcet æqualiter.
Nec abſimili modo quævis alia linea tali motûs compoſitione producta
concipi poteſt. Sed ut eò quo tendimus aliquando perveniamus;
agedum videamus ecquid in _rem Mathematicam_ utilitatis ex hujuſ-
Simpli-
citatis autem & perſpicuitatis cauſâ ſupponamus alterum ex his
motibus, rectæ nimirum paralleliſmum ſervantis, eſſe ſemper uni-
formem, & quænam ex alterius quoad velocitatem generalibus
differentiis generales emergant linearum productarum affectiones ad-
nitamur elicere. Adnitamur inquam, at proxima lectione.
Propoſitum eſt nobis è compoſitione motuum (qualem proximè
deſcripſimus) emergentes linearum affectiones indagare ac ex-
Quorſum imprimìs methodi cauſà repeto ſi recta AZ per
rectam AY ſibi perpetuò parallela feratur uniformiter, et in ea
quoque punctum M uniformiter deportetur, quâvis velocitate, li-
nea recta proveniet. Sumantur enim duæ quævis lineæ mobilis
AZ poſitiones, ad B ſcilicet & C;
&
quia motus per AY po-
nitur uniformis, erunt decurſa ſpatia AB, AC ad ſe, ut _Tempo-_
_ra_; ſed et ob motum uniformem puncti M etiam rectæ BM,
CM ſe habebunt ut eadem tempora; eſt igitur AB.
AC:
:
BM. CM.
Unde liquet puncta A, M, M in una recta linea ex-
iſtere. Parique ratione conſtat idem de punctis omnibuſcunque,
quibus punctum M per totum ſuum curſum inſiſtit, aut coincidit,
Supponatur ſecundò punctum M motu continuo increſcente deſerri
(juxta quamlibet velocitatis rationem, regulari modo quocunque
nil intereſt, an irregulari) aio _ſuppoſitionem banc conſectari progeni-_
_tarum linearum quas apponemus proprietates generales_ (quales uni
tali linearum generi convenientes certè præſtat ex unimoda com-
muni generatione ſimul univerſas elicere, quàm de ſingulis, ut
Notetur inte-
reà, quòd brevitatis cauſâ motum parallelum uniformem rectæ AZ
per AY appellabo ſubinde _motum tranſverſum_; puncti verò mo-
ventis ab A in linea AZ motum vocitabo _deſcenſum_, aut _motum_
_deſcendentem_, habito ſcilicet ad figuram exhibitam reſpectu. Item
quòd, ob motûs per AY et ei parallelas uniformitatem, poſſit
ea cum ipſius partibus motûs tempus, et ejus partes repræſentare. Jam ad dictas proprietates expendendas accedo.
I.
Hoc modo (per motum nempe tranſverſum uniformem, &
curva evadet.‖ Accipiantur enim in ipſa tria quælibet puncta M,
N, O; per quæ tranſeant BZ, CZ, DZ ad AZ parallelæ, &
per
puncta M, N ducatur recta MNK. Et quia recta MN gignitur è
motu compoſito tranſverſo per BC (vel huic parallelam MG) &
deſcendente per AZ, uniformi utroque; tranſverſus autem per MG
eſt prorſus idem cum tranſverſo, quo linea propoſita MNO de-
ſcribitur; patet velocitatem deſcendentis motûs uniformis rectam MN
gignentis minorem eſſe velocitate, quam motus itidem deſcendens,
lineam MNO deſcribens, habet in N (etenim niſi motus hic velo-
cior jam ſit illo, cùm continuò creſcere ponatur, in toto tempore
deſcenſus per GN illo tardior fuiſſet, adeóque nunquam eodem tem-
pore ſpatium æquale tranſegiſſet, nec unà cum eo pertigiſſet ad
punctum N) ergò motus hîc inæqualis & increſcens per tempus
motûs uniformis CD continuatus (quo nempe gignitur linea NO)
majus ſpatium emetitur, quàm uniformis motus deſcendens, quo
MN. ad K protractus deſcribitur, eodem tempore CD;
(liquet
enim eodem tempore à majore vi creſcente majus ſpatium peragi, quàm
à minore neutiquam creſcente) quare linea HO major eſt quàm HK; adeóque tria puncta M, N, O non exiſtunt in eadem recta linea;
quod cùm tribus quibuſvis lineæ MNO punctis conveniat, abunde
patet eam eſſe nullibi rectam, ſed per omnes ſui partes incurvatam, &
inflexam.
II.
Hinc emergit _Corollarium_;
velocitas motûs uniformis deſcen-
dentis, quo curvæ MNO ſubtenſa quævis (ut MN) deſcribitur,
exiſtente ſcilicet communi tranſverſo motu uniformi quo ipſa, ejúſque
arcus fiunt, minor eſt velocitate, quàm motus deſcenſivus increſcens
habet ad communem utriuſque terminum N.
III.
Hujuſce curvæ _ſubtenſa_ quælibet (ut MO) intra _ſuum arcum_
(verſus partes AZ) tota cadit, & producta tota cadit extra lineam
MNO.
Nam ſi ſumatur in arcu MO punctum quodvis N, &
connectantur
& proinde intra curvam MNO.
Tota verò, ſi producatur, extra
lineam MNO cadit, quia nuſquam alibi ei occurrit, utì mox oſtenſum.‖
Hoc accidens de circulo ſpeciatim demonſtrat _Euclides, de ſectionibus_
conicis Apollenius; de cylindricis Serenus
IV.
Patet curvam propoſitam eſſe convexam, aut concavam ad
eaſdem partes (convexam verſus partes ſuperiores vel exteriores AY,
concavam introrſum, aut deorſum verſus AZZ) nam hoc ipſum,
fore convexum aut concavum ad eaſdem partes, nil omnino deſignat
aliud, quàm à nulla recta linea præterquam duobus punctis ſecari; nec aliò recidit, quam initio libri de ſphæra &
cylindro tradit _Ar-_
_chimedes,_ lineæ ad eaſdem partes cavæ definitio. Perſpicuum eſt
v. g.
ut linea MN duobus in punctis M, N curvam MNO ſecans ei
rurſus occurrat, ut puta in K, debere curvam MNO reflecti, ver-
ſùſque partes AY recurvari; id quod modò demonſtratum eſt non
poſſe contingere. Quapropter ipſa linea verſus eaſdem partes con-
vexa eſt, ſeu concava.
V.
Apertiſſimè conſtat lineas quaſvis rectas (ut BZ, CZ) gene-
trici AZ parallelas propoſitam curvam ſecare (modò contineantur
intra terminos motûs per AY; quia curva per harum quamvis inde-
finitè promotam deſcripta cenſetur) addo quod harum quælibet cur-
vam in uno tantùm puncto ſecat.‖ Id patet, quia recta genetrix
AZ per unicum duntaxat inſtans temporis durat in ſitu quovis uno,
ſeu BZ; ſimúlque pertingit ipſam BZ, ac deſerit;
prætérque
punctum unum M in BMZ reliqua cuncta lineæ curvæ puncta ſunt
Ergò liquidum eſt ipſam BZ in uno tantùm
puncto curvam ſecare.‖ Hocipſum de parabola, &
hiperbola ſpecia-
tim oſtendit _Apollonius_; de ſectionibus conoideon _Arcbimedes_.
VI.
Non diſſimili modo patet ad AY parallelam quamvis, (qualis
PG) unico puncto propoſitam curvam attingere.‖ Quòd ſemel
occurret (modò contineatur intra limites deſcensûs per AZ) patet,
quia punctum mobile continuò deſcendens, indefinito progreſſu, eam
indefinitè protenſam aliquando trajiciet; nec in eo tamen præterquam
‖ Videatur hoc de ſectioni-
bus conicis oſtendens _Apollonius_.
VII.
Patet omnes curvæ ſubtenſas rectas cum AZ &
ei parallelis,
ſi producantur, concurrere.
Quòd enim ſubtenſa quævis, ut MN, uni parallelarum alicui, ut
BR, occurrit, ibi ſcilicet ubi ipſa curvam ſecat, exinde manifeſtiſſimum
eſt, quòd tota curva per parallelum dictæ rectæ motum deſcribitur. Ergò, cùm uni occurrat, omnibus occurret;
quæ enim uni paralle-
primo demonſtratur.
Operæ pretium exiſtimavit _Apollonius_ hoc de _parabola, &
byper-_
VIII.
Simili modo patet rectas quaſcunque curvas tangentes una
tantùm excipitur, ad extremum lineæ recurrentis. Vid.
18.
hujus.
Iiſdem parallelis occurrere.
‖ Etiam hoc, quoad _ſectiones conicas_, uno
IX.
Quinimò rectæ quævis ipſam AZ ſecantes (infra punctum
A, ſupráque limitem, ſiquis erit, motûs deſcenſivi) curvam
ſecabunt.
Cùm enim omnes ipſi AZ parallelas ſecent etiam infinitè pro-
ductæ curvam ſecent oportet. _Hujuſmodi Symptomatis demonſtra-_
X.
Porrò liquet applicatas ad rectam AY, ipſi AZ parallelas
(quas nempe propoſitæ curvæ ſinus verſos appellare fas erit mi-
norem inter ſe rationem habere (minores cum majoribus comparan-
do, ſeu minores antecedentium loco ponendo) quàm habent re-
ſpectivæ AY partes, iiſdem temporibus decurſæ (quas & curvæ
propoſitæ ſinus rectos appellare nil dubitem.) Nempe BM ad CN
minorem rationem habet, quàm AB ad AC, vel BM ad CF; quia
CN >
CF.
‖ Hoc de circulis, &
aliis curvis ſpeciatim reperiatur
paſſim oſtenſum.
Ad ſequentia notandum, quod ſi recta tranſverſim &
parallelωs
mota retrogradè (à D puta verſus A per DA) moveri concipiatur,
ab aliquo curvæ propoſitæ puncto, velut O, incipiens; eâdemque ſem-
per ratione dictum punctum ab O aſcendens quoad velocitatem de-
creſcat, quâ ad ipſum O deſcendens increverat, eadem curva pro-
ducetur. Quidni?
Cùm idem motus ſit, inversè tantum conſide-
ratus.
XI.
Supponatur rectam lineam TMS propoſitam curvam in
puncto M tangere (ſic ut eam nempe non ſecet) occurrátque tangens
hæc rectæ AZ in T, ducatúrque per M recta PMG ad AY parallela; dico velocitatem puncti deſcendentis, e
tis, quam habet ad contactum M, æquari velocitati, quâ recta
TP deſcribetur uniformiter eodem tempore, quo recta AZ fertur
(vel, quòd eodem recidit, dico quòd velocitas
puncti deſcendentis in M ad velocitatem quâ fertur recta AZ ſe
habet, ut recta TP ad PM.) Sumatur enim ubivis in tangente
punctum aliquod K, & per ipſum ducatur recta KG, curvæ occur-
rens in O, parallelis autem AY, & PG in D, &
G.
Et quia
tangens TM duplici concipiatur uniformi motu deſcripta, altero
rectæ TZ per AC vel PM parallelωs delatæ, altero puncti deſcen-
dentis à T per TZ; &
ſit horum motuum alter per AC, vel
PM communis vel idem cum illo quo curva deſcribitnr; cùm TZ
eſt in ſitu KG, erit AZ in eodem; ergò cùm punctum à T deſcendens
fuerit in K, erit punctum ab A deſcendens in curvæ cum KG in-
terſectione O (nec enim, ut anteà deductum eſt, alibi recta KG
curvam ſecat) eſt autem punctum O infra K quia tangens extra cur-
vam tota verſatur. Jam ſi punctum K ponatur ſupra contactum
verſus T, quoniam tum OG minor eſt quàm KG, liquet velo-
citatem puncti deſcendentis, quo curva deſcribitur, in curvæ pun-
cto O minorem eſſe velocitate motûs uniformis deſcendentis, quâ
tangens efficitur; quoniam illa ſemper increſcens eodem tempore
(per GM repræſentato) minus ſpatium tranſigit, quàm hæc mi-
nimè creſcens; aſt eadem continuo perſeverans;
illa ſcilicet rectam
OG hæc rectam KG conficit. Contra vero ſi punctum K infra
contactum ad partes S exiſtat, quoniam OG tum major eſt quàm
KG, patet velocitatem puncti deſcendentis, quo curva fit, in pun-
cto O majorem eſſe velocitate motûs uniformis itidem deſcenden-
tis, quo tangens efficitur; quia motus iſte, continuò decreſcens
eodem per GM tempore, majus peragit ſpatium OG, quàm hic
ſum nempe ſpatium KG. Ergo cùm velocitas curvam deſcribentis
puncti quovis in curvæ puncto ſupra contactum verſus A minor ſit
velocitate motûs per TP; quovis autem in puncto infra contactum
eâdem major; liquet in ipſo contactu M ei penitus exæquari.
Q.
E.
D.
XII Hujus converſa, conſimili diſcurſu, rem breviùs exponendo,
demonſtretur. Nempe, ſi velocitas puncti deſcendentis ab A in a-
liquo curvæ puncto M æquetur velocitati, quâ punctum T uni-
formiter latum, rectam TP deſcriberet tempore PM vel AC
(vel ſit velocitas motûs deſcendentis ad M ad velocitatem motûs
tranſverſi, ut TP ad PM) recta TMS curvam AMO tan-
get ad M.
Nam ſumpto quovis in recta TS puncto K, &
ductâ KG ad
AZ parallelâ; quoniam verſus partes AT velocitas aſcendentis
puncti, curvam efficientis, ſemper decreſcit ab M ad O, illi verò
ex hypotheſi par velocitas puncti rectam MT gignentis haud de-
creſcit ab M ad K, ſitque tempus MG commune, erit ſpatium
GO minus quàm GK; unde punctum K erit extra curvam.
Item,
quia verſus alteras partes, velocitas deſcendentis, quo curva fit, in-
creſcit ſemper ab M verſus O; æqualis autem ei velocitas, quâ recta
MS fit, haud creſcit ab M ad K; idémque ſit rurſus tempus MG,
liquet rectam GO excedere rectam GK; &
idc
curvam exiſtere. Quare mani@eſtum eſt omnia dictæ rectæ puncta
extra curvam exiſtere; &
eam proinde curvam contingere:
Q.
E.
D.
XIII.
Ex hiſce ſtatim _conſectatur, hujuſmodi curvas ad unum_
_punctum ab una tantùm recta contingi._
Nam tangere ponatur recta MT curvam AMO ad M;
&
ſi
fieri poteſt altera MX etiam tangat. Ergo eodem tempore, eâdem
velocitate (illâ ſcilicet, quæ puncti curvam deſcribentis ad contactum
M acquiſitæ velocitati æquatur) deſcribetur utraque recta XP, TM; quare XP, TP æquales eru
pars:
Q.
E.
A.
Ergo
non tanget altera præter poſitam MT.‖ _Hanc ſpeciatim de circule_
_demonſtravit Euclides; de Sectionibus Conicis Apollonius_, de lineis
aliis alii. Exhinc _Lucrum_ emergit haud aſpernandum, quòd eâdem
operâ _propoſitiones de tangentibus inve ſæ demonſtrantur._ Nempe ſi
determinetur angulus PMT (vel alter quiſpiam quem recta po-
ſitione data cum tangente facit ad punctum curvæ deſignatum) aut ſi
determinetur quantitas rectæ PT (vel ſimilis cujuſpiam alterius à
eo tangens determinabitur. Et permutatim, ſi tangens ſitu deter-
ſcetur. Adeóque parcetur operæ, qualem inſumpſerunt plerique
tales propoſitiones inverſas demonſtrandi. Quod &
eo magìs ob-
ſervatu dignum eſt, quia ſæpe talium inverſarum propoſitionum
una quàm altera longè promptiùs invenitur, atque faciliùs demon-
ſtratur. Cujus obſervationis, niſi longiùs evagari nollem, in promptu
forent _Specimina_.
XIV.
E dictis infertur puncti deſcendentis velocitates in duobus
quibuſvis deſignatis curvæ punctis ad ſe proportionem habere reciprocè
(ipſi ſcilicet AY parallelarum) & interceptarum à tangentibus ad iſta
puncta ac dictis applicatis (vel, rationem velocitatum æquari rationi
applicatarum ex interceptarum ratione ſubductæ.)
Nempe ſi duæ rectæ MT, NX curvam tangent ad puncta M, N;
protractæ ZA occurrentes in T, X;
&
applicentur NP, NQ ad
YA parallelæ, velocitatum ad puncta, M, N proportio componetur
è proportione ipſius TP ad PM, & ipſius QN ad QX.
Nam
PM; &
velocitas iſta uniformis ſe habet ad velocitatem in N, ut
QN ad QX. Ergo velocitas in M ad velocitatem in N ex his
duabus rationibus PP ad PM, & QN ad QX componetur Notetur à
concurſu tangentium ductâ FE ad AY parallelâ; fore TE, XE
= TP. PM + QN.
QX.
XV.
Obiter interjicio generalem hinc &
bene facilem conſequi
_Problematis iſtius ſolutionem_, quam tanti fecit, & cui tantum laborem
impendit G_alilæus_, quámque _Torricellius_ pronunciat eum quàm optimè
& ingenioſiſſimè reperiſſe.
Rem ità proponit _Torricellius_ (nam ipſe
_Galilæus_ ad manum non eſt) propoſitâ quâvis _parabolâ_, cujus
_vertex_ A oportet punctum aliquod ſublime reperire; è quo ſi grave
ex puncto cum impetu jam concepto horizonta-
liter convertatur, ipſa _propoſitam parabolam_ deſcribat (notetur, quod
motus deſcenſivus parabolam deſcribens non è puncto ſublimi, ſed ab
ipſo puncto A cenſetur inchoare.) Huc recidit _Problema, @ alilæi_ ſup-
poſitis inſiſtendo, ut determinentur particulares velocitates motuum,
uniformis horizontalis, ſeu tranſverſi, & æqualiter creſcentis deſcen-
ſivi quorum è compoſitione deſcripta concipitur exhibita parabola. Nos illud, quæcunque ſit creſcentis deſcenſivi motûs ratio, quicunque
modus, generaliter exequemur; ſpecialem illum de _parobola_ caſum in
exemplum ſubjuncturi.‖ Reperiatur in recta AZ (quæ ſanè curvæ
diameter eſt) punctum aliquod, ut P, à quo ſi ordinatim applicetur
PM, & ducatur tangens MT, rectæ AZ occurrens in T, ſit in-
tercepta TP æqualis ipſi PM; tum ſumatur in ZA protractâ recta
AS = AP. Dico factum.
Nam quoniam SA = AP, concipiet mobile deſcendens ab S in
A tantum impetum, quantum ab A ad P curvam deſcribendo (ponitur
enim increſcentis velocitatis motus utrobique prorſus idem) iſte verò
impetus æquatur impetui, quo mobile à T deſcendens uniformi motu
percurret rectam TP, eodem tempore quo recta AZ uniformiter
rectam PM. Cùm igitur ſint TP, PM ex conſtructione pares,
adeóque velocitates motuum, quibus ſimul peraguntur, æquales; etiam motus deſcenſivus in P, vel M æquabitur motui tranſverſo, cur-
vam deſcribenti, hoc eſt motûs ab S ad A velocitas in A eidemæquatur.
Ergo punctum S eſt id ipſum, quod inveniri debuit, & abſolutum eſt
| Exemplo ſit _parabola_, quæ facta concipitur ex motu
uniformi horizontali, & deſcenſivo pariter accelerato;
tum punctum
P ità facilè per _Analyſin_ inveſtigatur. Sit recta R _datæ parabo
_rectunsEſt igitur ex _parabolæ_ natura, R x AP.
= PMq
= TPq (exhypotheſi modi noſtri generalis.) Item, ex parabolæ
nota proprietate eſt TPq = 4 APq. Ergo eſt R x AP = 4 APq.
Adeóque R = 4AP;
vel {1/4} R = AP = SA.
Nimirum ita _Gali-_
_læus_ determinavit. In hoc autem caſu puncta T, S coincidunt.
Quòd
ſi rurſus gravia juxta _triplicatam temporum rationem_ velocitate creſcen-
do deſcendant, adeóque motus ipſorum talis cum uniformi tranſverſo
compoſitus _parabolam cubicam_ deſcribat, & ſit R iſtius curvæ _para-_
_meter_, erit eo in caſù SA = √ {R q/27} nam ex hujuſce curvæ proprie-
tate eſt R q AP = PM cub. Et ex hujus regulæ generalis præſcripto
eſt PM = TP, adeóque PM cub. = TP cub.
Denique quoniam
in hujuſmodi _parabola_ tangentis intercepta ſemper triſecatur à vertice
(nimirum ut ſit AP = {1/3} TP) eſt TP cub. = 27 AP cub.
Erit
igitur R q AP = 27 AP cub. Adeóque R q = 27 APq;
vel
{Rq/27} = APq = SAq. In reliquis ſimili ratione procedentes
aſſequemur propoſitum. Poſſent opinor &
hinc nedum pleræque
_Galilæipoſitiones_ huic affines, & hanc attingentes materiam utcun-
generaliores reddi, vel ad alia curvas omnigenas
extendi. Verùm parco pluribus, hoc _ſpecimine_ (quoad iſta) con-
tentus; huc non niſi per tranſcurſum adducto.
Ad alia pergo præ-
dictis cohærentia.
XVI.
Si ad rectam lineam applicetur _planæ ſuperficies_, cujus
ſingulæ quæque partes applicatis ad iſtam rectam parallelis inter-
ceptæ proportionales ſint rectis ad rectam AY ſimpliciter diviſam
applicatis (ad AZ nempe parallelis.) Hujuſce ſuperficiei ad paral-
lelogrammum æquealtum, ſuper eadem baſe conſtitutum, proportio
proportionem indicabit ipſarum AP; TP, à puncto P vertici, tan-
gentique interjectarum.
Ut ſi ad rectam α δ applicetur plana ſuperficies α δ μ, &
utcun-
β, γ, fuerit ut BM ad CM ità ſuperficies β α μ, ad ſuperficiem
γ α μ, & hoc in comparationibus univerſis taliter inſtitutis contingat;
_completo parallelogrammo α δ μ φ, ſe habebit recta_ AP _adrectam_ TP
_ut ſuperficies αδ μ adlEt enim ſi recta
α δ commune tempus defignare concipiatur, quo recta AD motu
æquabili, rectáque DM motu continuè accelerato tranſiguntur,
recta δ μ bene deſignabit velocitatem hujus definiti temporis maxi-
mam, quam habet punctum deſcendens in curvæ puncto M infimo;
hoc eſt velocitatem quâ recta TP uniformiter decurritur eodem tem-
pore; quapropter (ut antehac commonſtratum eſt.)
_Parallelogram-_
_mum_ α δ μ φ optimè _Spatium_ repræſentabit, quod hâc eâdem per-
manente velocitate per totum tempus α δ uniformiter deſcribitur,
hoc eſt ipſam rectam TP. Cu
ditione, figura δ α μ rectam DM, vel AP, repræſentet, erit ut figura
δ αμ ad parallelogrammum α δ μ φ, ità AP ad TP; cognitáque
proinde modo quovis iſtâ proportione, ſimul hæc innoteſcet; &
re-
ciprocè. Exemplo res manifeſtior evadet uno, vel altero.
Propoſita
curva ſit _parabola quadratica_, ſeu in qua rectæ BM, CM ſe
habent, ut quadrata ex AB, AC, hoc eſt ut quadrata ex α β, α γ.
Ergò ſi figura α δ μ ſit triangulum, id optimè quadrabit huic negotio.
Nam eo ſuppoſito ſemper triangula βαμ, γαμ proportionalia erunt
quadratis ex α β, αγ, hoc eſt rectis BM; CM.
Quoniam verò
triangulum δ α μ parallelogrammi δ α φ μ eſt ſubduplum, erit
recta AP quoque rectæ TP ſubdupla; quod ità ſe habere demon-
ſtratum habetur in _conicis elementis_, & paſſim agnoſcitur.
Sit rurſus
curva AMM _parabola cubica_; &
quoniam in ea rectæ BM, CM
ſe habent ut cubi rectarum AB, AC, hoc eſt ut cubi rectarum α β,
α γ; &
ſi _ſuperficies α δ μ fuerit complementum ſemiparabolicæ qua-_
_draticæ portionis, trilinea α β μ, α γ μ cubis ex α β, α γ proportionalia_
_erunt_ (ut à _Pappo_, ac aliis oſtenditur, & ex _Archimidea parabolæ_
_dimenſione_ quàm facillimè deducitur) itaque negotio propoſito quàm
rectiſſimè adaptetur _parabola quadratica_; cúmque conſtiterit ali-
undè tum figuram α δ μ ſubtriplam fore parallelogrammi α δ μ φ;
erit etiam juxta regulæ jam aſſignatæ præſcriptum recta AP quoque
ſubtripla rectæ TP. De qua concluſione ſatis convenit inter _Geo-_
_metras_.
XVII.
Huic ſuppar modus dictas @rectas AP, TP comparandi
tali _Theoremate_ continetur: Si ad rectam aliquam lineam (hoc eſt
ad cjus ſingula quæque puncta) applicentur rectæ lineæ parallelæ, ad
nales, reſultantis hinc plani ad parallelogrammum æque altum, ad
eandémque baſin poſitum, rectarum AP, TP proportionem exhi-
bebit. Ut ſi rectæ AD, α δ ſimiliter (in partes ſcilicet æquales in-
definitè multas) dividantur; &
rectæ β μ, γ μ, δ μ rectis BM, NM,
OM (quæ differentiæ ſunt rectarum ad AD applicatarum, incipi-
endo à puncto A) proportionales ſint, erit ut figura α δ μ ad paral-
lelogrammum αCum enim recta quæpiam
ex applicatis ad AD; puta _v.
g._
DM æquetur omnibus ſeipsâ mi-
norum differentiis (ipſis nempe BM, NM, OM) & trilineum
α δ μ conſtituatur è rectis β μ, γ μ δ μ eâdem proportione creſcen-
tibus; ut &
recta CM æquatur ipſis BM, NM;
&
ei reſpondens
trilineum α γ μ quaſi conflatur è parallelis β μ, γ μ pari ratione
creſcentibus; &
hoc ſemper eveniat;
omnino patet trilinea α δ μ,
α γ μ, α β μ rectis DM, CM, BM proportionari; proindéque
modum hunc in priorem recidere; nec ab eo reipsâ differre.
Notetur
autem hic rectas β μ, γ μ, δ μ velocitates repræſentare, quas pun-
ctum mobile curvam delineans obtinet in reſpectivis ejus punctis M; ut &
trilinea α β μ, α γ μ, α δ μ velocitates aggregatas exhibent ab
initio ad definita reſpectiva temporis inſtantia; quibus (ut jam olim
præmonitum) reſpondentia ſpatia BM, CM, DM proportionantur.
XVIII.
E ſupradictis porrò conſectatur, quòd ſi _Circulus,_
_Ellipſis_, ejuſmodíque curvæ recurrentes hoc progenitæ concipiantur
modo, punctum eas deſcribens infinitam in recursûs puncto veloci-
tatem habebit. Nempe ſi quadrans AFM ità generetur;
quoniam
niſi ad infinitam diſtantiam convenit; ergô velocitas in M ad veloci-
tatem uniformis motûs per AY ſe habebit, ut infinita recta ad ipſam
PM; unde velocitas iſta ad M prorſus infinita ſit oportet.
Ità quidem
at quoad alias ad infinitum ſenſim continu-
atas (quales _parabolæ & byperbolæ_) deſcendentis puncti velocitas in
quovis deſignato curvæ puncto finita eſt. Verùm his omiſſis ad alias
propoſitæ curvæ proprietates exponendas progrediamur.
IN deducendis è propoſitâ generatione curvarum affectionibus etiam-
num progredimur.
_I._
Anguli, qui fiunt ab applicatis &
tangentibus ad diverſa curvæ
puncta, ſibimet inæquales ſunt; &
minores ſunt illi qui puncto A (ſe@@
vertici) propiores ſnnt.
Tangant rectæ TM, XN;
&
ad AY parallelæ ſint MP, NQ,
dico fore angulum PMT minorem angulo QNX.
Nam producta recta TM occurret ipſi QN extra curvam pro-
Item ipſa XN ſecabit applicatam PM extra
curvam, puta ad H. Manifeſtum eſt autem cùm puncta H, N ſint
ad alias, ac alias partes rectæ ME, rectas ME, NH ſeſe inter-
ſecare inter parallelas PH, QE; quare major eſt angulus externus
QNX interno QET, hoc eſt angulo PMT: Q.
E.
D.
_II.
Hinc_ poriſmatis _loco habetur_ tangentes ſe interſecare inter or-
dinatim applicatas per puncta contactuum; velut ad F, inter PM,
QN protenſas.
III.
Item _angulum PTM angulo QXN majorem eſſe_;
(ex
ternum ſcilicet interno.)
IV.
Item patet vertici propiores applicatas (proindéque rectas
quaſvis aliis parallelas) cur
Cæterùm iſta jam olim de _sectionibus Conicis_ oſtenderat _Apollonius_,
ut in edito nuper VI _conicorv
V.
In figura præcedente (poſito applicationis angulum TAY
rectum eſſe, vel obtuſum) _dico curvæ arcum MN rectâ NH, ma-_
_jorem eſſe; rectâverò ME minorem_.
Nam connectatur ſubtenſa MN, ducatúrque recta NR ad ZA
parallela. Et quoniam angulus XPH non minor eſt recto, erit,
eo major externus, NHP obtuſus. Ergò recta NM major eſt quàm
NH. Itaque magis arcus, arcus NH major eſt quàm ipsâ NH:
Q.
E.
D.
Item, quoniam ang.
RNE ipſi XQE par haud minor eſt recto,
erit RE >
RN.
quare MR + RE &
gt;
MR + RN.
hoc eſt
ME >
MR + RN.
Eſt autem (ex _Arcbimedæis_ aſſumptis) MR
+ RN >
arc.
MN.
ergò magìs eſt ME &
gt;
arc.
MN ∴
VI.
Perutilis eſt hæc propoſitio in _tangentium demonſtra@ionibus_
_expediendis_. Etenim hinc couſectatur, ſi arcus MN indefinitè par-
vus ponatur, ejuſce loco alterutram tangentis particulam ME, vel
NH tutò ſubſtitui.
_Speciminis_ hîc loco _metbodum proponam generalem cycloidum om-_
_nium, & conſimili modo deſcriptarum curvarum tangentes determi-_
_nandi_, hinc petitâ demonſtratione munitam.
Recta AY ſibi parallelè deportata quamcunque curvam ad eaſdem
licet ut æquales curvæ partes æqualibus tranſigat temporibus) eodém-
que ſimul tempore punctum aliquod ab A per AY etiam uniformiter
feratur; ab hoc puncto taliter moto progignetur curva AMZ;
cujus ad datum quodcunque punctum M tangentem oportet determi-
nare. Ut hoc fiat, ducatur recta MP ad AY parallela, curvam
APX ſecans in P; pérque P ducatur recta PE curvam APX con-
tingens; huic verò per M ducatur parallela MH;
ínque hac ſumatur
punctum quodpiam R, & ducatur RS ad PM parallela;
tum fiat
ut curva AP ad rectam PM (hoc eſt ut unus motus uniformis ad
alterum) ità MR ad RS; &
connectatur MS.
hæc curvam AMZ
continget. Sumatur enim in hac curva punctum quodvis Z, per quod
ducatur recta ZX ad MP parallela, ſecans curvam APX in X,
ejúſque tangentem in E; &
huic parallelam MR in H;
ipsámque
demum MS in K. Sit autem primò punctum Z ſupra M verſus A;
unde recta PE <
arc PX.
adeóque PA.
PE &
gt;
arc PA.
PX:
:
PM. PM - XZ:
: PM.
EH - XZ:
: PM.
ZH - EX &
gt;
PM. ZH.
quare permutatim erit PA.
PM &
gt;
PE.
ZH.
eſt
autem PA. PM:
: MR.
RS:
: MH.
KH:
: PE.
HK.
ergò
PE. HK.
&
gt;
PE.
ZH quare HK &
lt;
ZH.
eſt autem punctum
H extra curvam AZM; ob EZ &
lt;
XZ &
lt;
PM = EH.
ergò
palàm eſt punctum K extra curvam AZM exiſtere. Sit vero ſecundò
erit tum recta PE major arcu PX;
PE &
lt;
arc PA.
PX:
: PM.
XZ - PM:
:
PM. XZ - EH:
: PM.
XE + XZ &
lt;
PM.
HZ.
&
viciſſim
PA. PM &
lt;
PE.
HZ.
Verum ut priùs) eſt PA.
PM:
: PE.
HK.
ergò PE.
HK &
lt;
PE.
HZ;
proptereáque HK &
gt;
HZ;
ro
itaque liquet Punctum K extra curvam exiſtere. Tota proinde recta
MKZ extra curvam verſatur; &
eam tangit ad M:
Q.
E.
D.
In tranſcurſu hoc. ad alias curvæ noſtræ paſſiones revertamur.
VII.
Si tangenti cuipiam (ut ipſi MT) parallela ducatur quæ-
piam EF (à puncto nempe quopiam E in recta infra punctum T ſum-
pto) hæc curvæ occurret.
Si enim infra punctum M in curva ſumatur punctum quodlibet, &
huic occurret tangens
TM infra ordinatam PM. ergò recta EF eidem occurret;
at curvam
priùs tranſiliat oportet. ergò liquet Propoſitum.
VIII.
Eâdem operâ patet, ſi punctum aſſumptum E puncto T,
& vertici A interjiciatur, rectum EF curvæ bis occurſuram, tam ſupra
quàm infra contactum M.
Operosè conniſus eſt _Apollonius_ hæc de _Sectionibus Conicis_ oſtendere.
Cæterùm ad penitus determinandos occurſuum locos _Specialis mo-_
_dus ſeu ratio motuum deſcendentis atq; tranſverſi cognoſci debet_;
tunc
eos _Analyſis_ ſtatim prodet.
IX.
Si duæ rectæ quævis (HM, KN) ad curvam propoſi-
gentibus (puta cum ipſis MT, NX) angulos efficiant) hæ extrorſum
divergent, ſeu ad partes EF productæ concurrent.
Nam ducatur ſubtenſa NM;
hæc utiq;
ſecundum antedicta cum
ipſa AZ conveniet, puta ad O. Eſt ergò ang OMH &
lt;
(ang.
TMH = ang.
XNK &
lt;)
ang.
ONK.
ergo ang.
HMN +
MNK >
2 rect.
ergò rectæ HM, KN concurrunt ad partes EF.
Limitandum eſt hoc, intelligendo pares angulos HMA, KNA ad
eaſdem partes veſari; ſeu alterum alteri fore externum interno.
alias
cotnrà eveniet.
X.
Si fuerit recta HM _curvæ_ perpendicularis (hoc ejus tan-
in hac ſumatnr quæpiam definita HM;
erit HM mi-
Ducatur enim quævis HO;
hæc tangenti priùs occurret, puta ad
R. liquet HR majorem eſſe quàm HM;
multóq;
magìs eſſe HO
>
HM,
XI.
Hinc _Circulus Centro_ H per M deſcriptus _curvam_ contin-
get.
XII.
Etiam inversè, ſi HM minima ſit omnium quæ ab H ad
curvam duci poſſunt, erit HM curvæ perpendicularis.
Nam quoniam HM minima ponitur, circulus centro H, intervallo
quovis HS, majori quàm HM, curvam ſecabit, & proinde tangentem
MT, hanc puta in R. ergò quum ſit HR &
gt;
HM, non erit angu-
lus HRM rectus. idem de punctis omnibus in recta TM evidens eſt.
ergò tangenti perpendicularis non alibi quàm in punctum M cadit.
XIII.
Quinetiam ſi recta HM minima ſit omnium quæ ab H
perpendicularis ſit recta TM;
hæc curvam tan-
get.
Nam tangat alia, (ſi fieri poteſt) XM;
erit igitur XM ad HM
perpendicularis. Unde pares erunt anguli HMX, HMT;
totum
& pars Q:
E.
A.
XIV.
Dico porrò minimæ HM propiorem HN remotiore HO
Nam ducatur ſubtenſa MN;
hæc producta curvam tranſgredietur,
& ipſam HO ſecabit, puta in R.
&
quoniam Angulus HMR obtu-
ſus eſt (major illo nempe, quem tangens cum HM conſtituit ad M)
erit HNR magìs obtuſus; adeôq;
recta HR &
gt;
HN &
magis HO &
gt;
HN.
XV.
Hinc perſpicuum eſt Circulum quemvis Centro H deſcri-
ptum, uno tantùm ad eaſdem puncti M partes puncto curvæ occurrere; nec omnino pluries igitur, quàm in duobus punctis.
XVI.
Perpendiculari HM parallelæ, ſint rectæ IN, KO;
ha-
Nam per N, O ducantur ipſi curvæ perpendiculares EN, FO;
hæ
cum ipſa HM intra curvam convenient, puta ad R, & P;
ſibi verò
ipſis in Q.
Liquet jam eſſe ang.
FOK = ang, FPH &
gt;
ang.
PRQ = ang.
NRH = ang ENJ.
Cùm ergò ſit ang.
FOK major angulo ENJ,
liquet propoſitum.
XVII.
Si à puncto quopiam Hin perpendiculari HM aſſumpto
ducantur ad curvam rectæ HN, HO; harum propior HN, remoti-
ore HO rectiùs incidet.
Nam ducantur EN, FO curvæ perpendiculares, &
IN, KO ad
Eſt igitur ang.
FOK &
gt;
ang.
ENI.
Item
ang. OHM &
gt;
ang.
NHM.
hoc eſt ang.
KOH &
gt;
ang.
INH.
quare ang.
FOK + KOH &
gt;
ang ENI + INH.
hoc eſt ang.
FOH >
ang.
ENH.
Unde conſtat Propoſitum.
XVIII.
Hinc patet à perpendiculari progrediendo, (ab uno
nempe puncto H) iucidentium _obliquitatem_ creſcere, donec ad illam
devenitur, quæ _curvam_ tangit, omnium obliquiſſima.
XIX.
Porrò ſi introrſum jam ſumatur punctum H, &
ab eo in-
erit HM _curvæ_
perpendicularis, ſeu tangenti MT.
Nam dicaliam MR tangenti perpendicularem eſſe.
ergò HR &
lt;
&
magìs HO &
lt;
HM.
quare HM non eſt minima contra
_Hypotheſin_.
XX.
Item ſi recta HM ſit omnium ab H curvæ incidentium _maxima_,
Nam Circulus Centro H per M deſcriptus extra curvam totus ca-
ergò ſi recta MT Circulum tangat, hæc magìs extra curvam
cadet, eámq; proinde continget.
Eſt autem ang.
HMT rectus.
er-
gò liquet.
XXI.
Hinc ſi MT ſit minimæ vel maximæ HM perpendicularis;
Nam ſi dicatur alia MX tangere;
erit ideò ang.
XMH rectus, &
par angulo TMH: Q.
E.
A.
XXII.
Exhinc ſi recta YM non ſit curvæ perpendicularis;
in ea
nulla ſumi poteſt _maxima_, vel _minima._
Nam ſi ſumi poſſet, eſſet ex eo ipſo YM curvæ perpendicularis
XXIII.
Si HM ſit incidentium minima, &
intra ipſam ſumatur
erit etiam IM minima.
Cùm enim _circulus centro_ H per M deſcriptus _curvam_ intròrſum
un-
de liquet.
XXIV.
Etiam ſi HM ſit incid
extra ipſam accipiatur
punctum quodpiam I, erit IM maxima.
Cùm enim _Circulus Centro_ H _per_ M _deſcriptus curvam_ extrorſum
contingat, etiam potiori jure _Circulus Centro_ I _per_ M _deſcriptus eandem_
unde conſtat _Propoſitum_.
_Cæterùm_ minimarum &
maximarum propior determinatio pendet
ex ſpeciali curvæ natura.
De hac autem Tabula jam manum auferemus;
nec enim impræſen-
tiarum hujuſmodi pleraq; complecti profitemur.
Inſtituto noſtro ſuffi-
cit hactenus generalis cujuſdam curvarum proprietates comprehenden-
tis Doctrinæ _ſpecimen_ exhibuiſſe: qualis certè, plenior &
perfectior,
_baud exiguum videtur rebus Geometricis_ (quæ nempe circa _curvaruns
_proprietates & affectiones_ plurimùm occupàntur) _compendiuns allat@-_
_ra_. Nè dicam culpæ agnatum videri, _Logicæ{q́ue}_ Regulis haud admodum
congruere, quæ toti cuipiam generi conveniunt, & quæ de communi
quadam origine manant, ea quibuſdam partibus adſcribere, vel ex an-
guſtiorifonte derivare. _Plura_ forſan, &
_abſtruſiora_ proferemus ali-
quando. Nunc his ſuperſedemus.
AD eaſdem partes vergentium curvarum, è communi quadam
generatione deductas, generales aliquot affectiones jam antea
dudum expoſui; illas præſertim, quas à veteribus _Geometris_ obſer-
varam ſpecialibus, quas ipſi tractant, curvis applicari. Jam non
ingratum facturus videor, ſi complures alias (abſtruſiores quidem
illas, at non injucundas prorſus, aut inutiles) appoſuero; pro mèo
more quàm conciciſſimè demonſtratas, eâ tamen ratione quoad po-
tero, quæ cumprimis ſcientifica videtur, hoc eſt quæ nedum con-
cluſionum veritatem aſſerit, at fontes etiam aperit, unde illa pro-
manat. Verſantur autem præcipuè quæ proferemus, partim _circa_
_tangentium abſque calculi moleſtia vel faſtidio inveſtigationem ſi-_
_mul ac demonſtrationem expeditam_ (è ſimplicioribus nempe vulga-
tioribúſque perplexiora minúsque perſpecta deducendo) _partim cir-_
_ca mnltarum magnitudinum dimenſiones, tangentium deſignatarum o-_
_pe, quam promptiſſimè determinandas_; quæ materiæ cùm præ Ge-
ometricis aliis quodammodò difficiles videntur, tum non penitus
adhuc (ſicut aliæ quædam) occupatæ vel exhauſtæ ſunt, ad hunc
ſaltem modum quod ſciam nondum tractatæ Quin è veſtigiorem aggre-
dimur, _Lemmatica_ quædam utcunque, quorum in reliquis clariùs &
breviùs oſtendendis aliquem proſpicimus uſum, prælibantes.
II Sit _angulus rectilineus_ ABC, &
datum punctum D, ſit i-
ſit an-
guli lateribus intercepta MN æqualis à puncto D, & linea ODO
interceptæ DO; erit linea ODO _Hyperbola._
Nam ducatur DL ad CB parallela occurrénſq;
ipſi AB in L;
&
in protracta BL ſumatur LZ = LB; ducatúrq;
ZS ad BC paral-
lela; item ducatur OK ad BZ parallela.
Et ob poſitam DO = MN;
erit HO = BN;
ergò quum ſit DH.
HO:
: (DL.
LN:
: DL-
LN - HO:
: LH.
LB:
:) LH.
HK.
erit DH x HK =
HO x LH; hoc eſt DL x HK - LH x HK = KO x LH - HK
x LH. unde erit DL x HK = KO x LH.
vel ZL x LD = ZK
x KO. ergò conſtat lineam ODO eſſe _Hyperbolen_, cujus _Aſymptoti_
ZA, ZS. Breviùs hoc oſtendi poſſet, producendo rectam NDS.
Nam eſt DS = DM = DO ± OM = NM ± OM = ON.
Simi-
ter quartam & nonam breviùs demonſtres licet.
Quinimò ſi MN ad DO quamvis eandem perpetuò rationem pona-
Nempe ſi tum fiat R.
S:
: LB.
LZ;
&
R.
S:
: DL.
DE;
&
per
Z ducatur ZS ad BC; ac per E tranſeat RE ad ZA parallela, cum
ZS conveniens in Y; erunt YR, YS dictæ _Hyperbolæ aſymptoti_
quod jam ſufficerit innuiſſe.
Hinc in tranſcurſu noto facilè confici _Problema (quo problematum_
_confectiones iſtæ Arcbimedeæ, ac Vieteæ ope primæ Conchoidis peractæ_,
_ad Sectiones conicas rediguntur_) Per datum punctum D rectam lineam
ducere, ſic ut anguli dati ABC lateribus intercepta ductæ rectæ pars
æquetur datæ T. Nam deſcriptâ hyperbolâ ODO;
centro D, in-
tervallo datam T æquante deſcribatur circulus POQ _hyperbolam_ in-
terſecans in O; &
producatur DON;
fiétq;
MN = DO = T.
Modus autem hic generalior eſt, &
concinnior eo, quem in _Opticis_
tradidimus.
IV.
Sit angulus ABC, et punctum datum D;
ſit etiam linea O
ribus intercepta MN ad rectâ BC curvâque OBO interceptam
MO in eadem ſemper ratione (puta X ad Y;) erit linea OBO
_hyperbola_.
Ducatur enim recta DL ad CB parallela, ipſi AB occurrens
ſecentúrque DL, BL punctis E, F, ut ſit DL.
DE:
: X.
Y:
: BL.
BF;
tum per E ducatur recta ER, ad BA;
&
per
F recta FS ad BC parallela; concurrántque rectæ ER, FS pun-
cto Z; denuò per punctum O ducatur OH ad AB parallela.
Jam
ob DL. DH:
: LN.
HO:
: LB + BN.
HO:
: DE x LB
+ DE x BN. DE x HO.
item DL x KO = DE x BN
(nam DL. DE:
: MN.
MO:
: BN.
KO) &
DE x LB = DL
x BF (ob DE. DL:
: BF.
LB;)
erit DL.
DH:
: DL x BF
+ DL x KO. DE x HO;
hoc eſt DL x BF + DL x
KO. DH x BF + DH x KO:
: DL x BF x DL x KO.
hoc eſt
DH x BF + DH x HO - DH x BL = DE x HO; tranſpo-
nendo igitur eſt DH x HO - DE x HO = DH x BL - DH x
hoc eſt EH x HO = DH x FL;
vel EH x GO + EH x
HG = DE x FL + EH x FL; quare, demptis æqualibus, eſt EH
x GO = DE x FL; vel ZG x GO = DE x FL;
cum itaque
DE x FL ſit quid determinatum, conſtat lineam OBO effe hy-
perbolam, cujus aſymptoti ZR, ZS.
V.
Si MO capiatur ad alteras rectæ BC partes, etiam DE.
BF ad alteras punctorum D, B partes accipi debent;
uti Schema
nec abludit modus demonſtrandi.
VI.
Conſectarium.
Si recta BQ angulum ABC ſecet, pér-
que punctum D ducantur utcunque duæ rectæ MN, XY rectam
ſi B) erit MN. MO &
lt;
XY.
XP.
Nam per O deſcripta con-
cipiatur _hyperbola_ VOB (qualem jam mox attigimus, ſic ut inter-
ceptæ rationem habeant illam quam MN ad MO) erit igitur
MN. MO:
: (XY.
XV) &
lt;
XY.
XP.
_Coroll._
Dividendo eſt NO.
MO &
lt;
YP.
PX.
VII.
Quinimò ſi plures lineæ BQ, BG angulum ABC ſecent;
à puncto D projiciantur rectæ DN, DY (quæ rectas alteras
interſecant ut vides; quarúmque DN puncto B vicinior;)
erit
NE. MO &
lt;
YF.
VX.
Nam NE.
EO &
lt;
YF.
FV;
&
EO.
OM &
lt;
FV.
VX.
i-
gitur ex æquo eſt NE. OM &
lt;
YF.
VX.
‖
VIII.
Etiam exindè patet, per B (ad partes alterutras) rectam
duci poſſe; ità ut è D eductarum partes ab illa rectáque BC ad
interceptas à rectis BA, BC rationem habeant minorem quâpi-
am datâ.
Nam ſumatur PQ = PZ;
ergò connexa BQ _hyperbolam_ O
BO tangit; &
liquet à rectis BQ, BC interceptas ad intercep-
tas à BC, BA minorem rationem habere, quàm habent inter-
ceptæ ab hyperbolâ OBO & recta BC ad eaſdem;
hoc eſt mi-
norem datâ quâpiam.
IX.
Sit rurſum angulus rectilineus ABC, &
punctum D;
item
anguli latera punctis M, N, habeat DM ad NO ſemper eandem
Nam ducatur DL ad BC parallela;
ſitque DL.
DE:
: X.
Y;
&
per E ducatur ER ad AB parallela;
ſecans BC in Z;
de-
mum per O ducatur OH ad BA parallela.
Eſt jam DL.
DE:
: DM.
NO:
: LM.
GO (ob ſimilia tri-
angula DLM, NGO):: LM x DH.
GO x DH item DL x
HO = LM x DH (ob DL. LM:
: DH.
HO) quare DL.
DE:
:
DL x HO. GO x DH hoc eſt DL x HO.
DE x HO:
: DL x HO.
GO x DH adeóq;
DE x HO = GO x DH.
hoc eſt DE x HG + DE x
GO = GO x DE + GO x EH quare (communi ſublato) eſt
DE x HG = GO x EH; ſeu DE x HG = GO x ZG.
Pa-
tet itaque curvam OOO eſſe _hyperbolam_ cujus _aſymptoti_ ZR
ZC.
_Coroll_.
Si ratio data ſit æqualitatis (ceu DM = NO,) ipſæ AB,
CB aſymptoti erunt.
Sequentia quædam, quia magìs id perſpicuum videtur, Alge-
bricè monſtrabimus.
X.
Eſto poſitione data recta ID, in qua punctum deſignatum D,
ſit item curva DNN talis ut in ID ſumpto quopiam puncto G, &
tum adſumptis
determinatis rectis _m, b_; poſitiſq;
DG = _x_, &
GN = _y_;
ſit
conſtantèr _m y_ + _x y_ = {_m_/_b_}_x x_; erit linea DNN _hyperbola_;
quæ
ſic determinatur; ſumantur DM, &
DO (hinc indè) pares ipſi _m_;
&
per M ducatur M L@ad IK parallela, factóq;
_b.
m_:
: _m_.
MQ;
ſit
MZ = 2 MQ = {2_mm_;/_b_} tum per Z, O traducatur recta ZT;
erunt
ZM, ZT aſymptoti.
Ducatur enim ZS ad MO parallela, cui occurrat N Gin R (quæ
& ipſam ZT ſect in P).
&
connectatur DQ.
Eſt ergò PN = RG
+ GN - RP. Verùm eſt MD.
MQ:
: ZR (MG).
RP;
hoc
eſt _m_. {_mm_/_b_}:
: _m_ + _x_.
RP = {_mm_/_b_} + {_mx._
/_b_} adeóq;
RG - RP
= {_mm_/_b_} - {_mx._/_b_} ergò PN = {_mm_ - _mx_/_b_} + _y_.
Unde PN x MG
= {_m_3/_b_} + _my_ + _xy_ - {_mxx._/_b_} Verùm (ex hypotheſi) eſt _m y_
ergò PN x MG = {_m_
3/_b_} = MD x ZQ. vel PN.
ZQ:
: (MD.
MG:
:) QD.
ZP.
Quapropter eſt
Unde palàm eſt curvam DNN eſſe hy-
perbolam, cujus aſymptoti ZM, ZT.
XI.
Notetur;
ſi æquatio ſit _my_ - _xy_ = {_m_/_b_}_xx_;
eadem ha-
bebitur _hyperbola_; tunc ſolùm puncta G ad partes DM ſumuntur.
Quin &
fi æquatio ſit _xy_ - _my_ = {_m_/_b_} _xx_;
puncta G ultra M
capiendo, proveniet _hyperbola_, huic ipſi _conjugata_.
XII.
Sit Triangulum BDF;
&
linea DNN talis, ut ductâ ut-
punctis R, G, N) connexâque rectâ DN; ſit perpetuò DN propor-
tione media inter RN, NG; erit linea DNN _hyperbola_.
Per D ducatur DK ad DB perpendicularis (ſecans ipſam RN in E)
& ſit FH ad DB parallela;
vocentúrque DB = _b_;
DF = _d_;
FH
= _f_; tum DG = _x_;
&
GN = _y_;
Eſtque _d.
f:
: x._
{_fx_/_d_} = _GE_;
unde {_zfxy_/_d_} + _xx_ + _yy_ = 2 EG x GN + DGq + GNq
= DN q. Porrò eſt _d.
b_:
: FG.
GR:
: _d_ - _x_.
RG = _b_ - {_bx._
/_d_} Un-
de RN = _b_ - {_bx_/_d_} + _y_. Et ideò _by_ - {_bxy_/_d_} + _yy_ = RN x
NG = DNq = {2_fxy_/_d_} + _xx_ + _yy_. quare _by_ - {_bxy_/_d_} =
{2_fxy_/_d_} + _xx_. quam æquationem ordinando fit {_db_/2_f_+_b_}_y_ - _yx_ =
{_d_/2_f_+_b_}_xx_. quòd ſi ponatur _m_ = {_db_/2_f_+_b_
3} erit _my_ - _xy_ =
{_m_/_b_}_xx_. Unde liquet DNN eſſe _hyperbolam_, qualis habetur in præ-
cedente determinata,
Not.
Siangulus DGN rectus fuerit, evaneſcente tum _f_ = _o_, erit
vel _dy_ - _xy_ = {_d_/_b_}_x x_.
Aliaquædam hîc (nonnulla forſan παρέ
inſeremus.
XIII.
Sit poſitione data recta ID;
ſit item curva DNN talis,
nem datam IK parallelâ; ſumptiſque determinatis lineis _g, m, r_;
poſitíſque DG = _x_, &
GN = _y_;
ſit perpetim _y x_ + _gx_ - _my_ =
{_m_/_r_}_x x_; linea DNN erit _hyperbola_, ſic determinabilis:
Sumatur
DM = _m_; &
per M ducatur ML ad IK parallela;
&
in hac acci-
piatur MQ = {_mm_/_r_}; &
ſit QY = MQ;
&
ab MY auferatur
YZ = _g_; connexâque QD, ducatur ZT ad QD parallelâ;
erunt
ZM, ZT _aſymptoti_.
Nam ducatur ZS ad MD parallela;
cui occurrat GN producta in
R (ſed & GR ipſam ZT ſecet in P).
Eſtque jam PN = RG -
RP - GN = {_mm_/_r_} - _g_ + {_mx_/_r_} - _y_. adeoque PN x MG = {_m_
3/_r_}
- _mg_ + _yx_ + _gx_ - _my_ - {_m_/_r_}_x x_ = {_m_3/_r_} - _mg_ + _o_. = {_m_
3/_r_}
- _mg_ = DM x ZQ. unde PN.
ZQ:
: (DM.
MG:
:) QD.
ZP.
ergo PN x ZP = ZQ x QD.
Liquetigitur curvam DNN
eſſe _hyperbolam_, cujus _aſymptoti_ ZM, ZT.
Siæquatiò ſit - _yz_ + _gx_ + _my_ = {_m_/_r_} _xx_;
eadem erit _hyper-_
_bola_. Sed puncta G inter B, M tunc accipiuntur;
&
ità prout aliis
ac aliis locis puncta G deſignantur, æquationis ſigna variantur; at
non eſt ea jam exponendi locus.
XIV.
Poſitione datæ ſint rectæ DB, BA;
pérque rectam DB
feratur recta CX ad BA parallela; item per punctum D rotando
DC eadem ſemper proportio (puta quæ cujuſdam aſſignatæ R ad DB)
rectæ verò DE, CX ſe interſecent punctis N; erit linea DNN _Pa-_
_rabola_.
Nam ſit R.
DB:
: DB.
P.
Eſt ergò BE.
DC:
: DB.
P.
Item
eſt DB. BE:
: DC.
CN.
ergò DB.
BE + BE.
DC = DC.
P.
hoc eſt DB.
DC:
: DC x DB.
CN x P.
hoc
eſt DB x DC. DC q:
: DC x DB.
CN x P.
Quaproptcr eſt
DC q = CN x P; ergò patet _curvam_ DNN _eſſe parabolam_, cu-
jus _parameter_ P, _vertex_ D; _diameter_ ipſi BA parallela.
Dedit hoc _Gregorius
_Vincentio_,
XV.
Adjicimus;
Si reliquis iiſdem poſitis, ità ferantur CX, &
BD ad R) erunt etiam interſectiones ad _par abolam_.
Nam biſecetur DB in G, ducatúrque GV ad BE parallela, ſe-
cans curvam DNN in V; &
quoniam eſt BC.
R:
: BE.
BD:
:
CN. CD.
erit BC x CD = R x CN.
ergò (ſecundum benè
notam _parabolæ proprietatem_) eſt curva DNN _parabola_, cujus _para-_
_meter_ R, _diameter_ GV.
Proletaria ſunt forſan iſta;
ſed non perinde notata occurunt hæc:
XVI.
Si reliquis ſimiliter poſitis, recta CX non jam ad ipſam BA,
sitque per-
petuò BE. DC:
: DB.
R;
erunt _interſectiones_ N ad _hyperbolam_.
Nam ductâ NG ad BA parallelâ, nuncupentur DB = _b_.
BH =
_h_; DG = _x_.
GN = _y_.
Eſtque _x.
y:
: b_.
{_by_/_x_} = BE.
item _h._
_b:
: y._
{_by_/_h_} = GC.
quare CD = _x_ - {_by_/_h_}.
Eſt igitur (ex hypotheſi)
{_by_/_x_}._x_ - {_by_/_h_}:
: _b.
r_;
unde talis ordinabitur æquatio;
_y x_ + {_bry_/_b_} =
{_h_/_b_}_x x_. ponendóq;
{_hr_/_b_} = _m_;
erit _yx_ + _my_ = {_m_/_r_}_x x_;
eſt ergò
curva DNN _hyperbola_,
XVII.
Quinetiam ſi (reliquis, ut in præcedente, ſuppoſitis) ità
jam feratur CX, ut ſemper habeat BE ad BC rationem eandem, quam
BD ad R; erunt itidem interſectiones N ad _hyperbolam_.
Nam ductâ NG ad AB parallelâ, nominentur rectæ, ut in præ-
eunte; èſtque jam BC = _b_ - _x_ + {_by_/_b_};
atque {_by_/_x_}._
b_ - _x_ +
: _b.
r_.
unde talis emerget æquatio:
_yx_ + _hx_ - {_hr_/_b_}_y_ = {_h_/_b_}
_x x x_; hoc eſt (poſito {_hr_/_b_} = _m_) _yx_ + _hx_ - _my_ = {_m_/_r_} _xx_;
Eſt
natam.
XVIII.
Datæ poſitione ſint rectæ DB, BA;
(&
in DB deſigne-
tur punctum D) ſitque linea DNN talis, ut ductâ utcunque GN
ſumptis verò determinatis _g, r,_ vocatíſque DG
= _x_; &
GN = _y_, ſit _ry_ - _yx_ = _gx_;
erit linea DNN _by-_
_perbola_, ſic determinanda.
Capiatur DE = _r_, &
BO = _g_;
&
per E ducatur recta ER ad
BA, ac per O recta OS ad BD parallelæ; erunt ZR, ZS _aſym_-
_ptoti_.
Nam ductâ NP ad DB parallelâ, eſt ZP = _g_ + _y_;
&
PN =
_r_ - _x_; quare ZP x PN = _gr_ - _gx_ + _ry_ - _yx_.
Verùm ex
hypotheſi eſt - _gx_ + _ry_ - _yx_ = _o_. ergò ZP x PN = _gr_ =
ZE x ED. undè liquido conſtat Propoſitum.
Quòd ſi fuerit æquatio _x y - r y = g x_;
ſumenda eſt DE = _r_;
&
BO = _g_ (infra rectam DB) ductíſque, ceu priùs, parallelis
SZR; erit _hyperbola_ NNN angulo SZR comprehenſa;
quod eo-
dem facilè comprobatur modo.
XIX.
Datæ poſitione ſint rectæ DB, BA;
ac ità ferantur rectæ
FX ad DB parallela, ac DY per punctum deſignatum D tranſiens,
ut ſit ſemper ratio ipſius BE ad ipſam BF æqualis aſſignatæ DB ad
R; erunt rectarum DY, FX interſectiones ad lineam rectam.
Nam per N ducatur GK ad BA parallela;
éſtque DB.
DG:
:
BE. GN:
: BE.
BF:
: BD.
R.
itaque ſemper eſt DG = R.
Pa-
tet igitur factâ DG = R, & ductâ GK ad BA parallelâ, interſecti-
ones omnes ad hanc exiſtere.
XX.
Quòd ſi reliquis ſimiliter poſitis;
ſumpto autem alio in BA
puncto O; ab hoc ſumatur computandi initium;
ut nimirùm ſit
perpetuò BE, OF:: DB.
R;
erunt interſectiones N ad _hyper-_
_bolam_.
Nam ductâ NG ad AB parallelâ, ſit DB = _b_;
OB = _g_;
DG
GN = y.
ergò BE = {by/x};
&
OF = g + y;
ergò {by/x}.
g + y :
: b.
r;
hinc autem æquatio ry - yx = gx.
unde DNN
eſt _hyperbola_ ſuprà mox determinata.
Quòd ſi punctum O ſumatur infra D B;
ſiet æquatio _yx_ - _ry_ =
_g x_. unde rurſus conſtat.
XXI.
Quinetiam, reliquis ſimiliter poſitis, recta FX non jam
ipſi D B, ſed alteri DH feratur parallela; ità ut aſſumpto in B A
erunt interſectiones N itidem ad _hyperbolam._
Nam ducatur NG ad AB parallela;
vocentúrque DB = b;
HB
= f; HO = g;
DG = x;
GN = y;
eſt ergò x.
y :
: b.
{by/x}
= BE; &
b.
f :
: x.
{fx/b} = GK;
quare NK (FH) = y + {fx/b}
& OF = y + {fx/b} - g.
Eſt ergò{by/x}.
y + {fx/b} - g :
: b.
m.
unde reſultat æquatio my + gx - yx = {f/b}xx.
vel facto f.
b :
:
m. r;
eſt my + gx - yx = {m/r}x x.
Conſtat igitur lineam DNN
eſſe _hyperbolam_; qualis ſuperjùs habetur determinata.
Notetur, Si computatio ab ipſo puncto H.
initium ſumat, (hoc eſt
ſit BE. HF :
: DB.
m) evaneſcente tunc termino g;
erit my - yx
= {m/r}x x; unde quoque ſuprà habetur alìa determinatio ſimpli-
cior.
XXII.
Eſto triangulum ADB, &
linea DYY talis, ut ductâ ut-
cunque PM ad DB parallelâ, ſit perpetuò PY = √: PMq -
DBq; erit linea DYY _hyperbola_;
cujus utique Centrum eſt A, ſe-
_midiameter_ AD, (vel _aſymptotos_ AB) _ſemiparameter_ autem P ; faci-
DB :
: DB.
P.
Sit enim TD = 2AD.
Eſtque ADP :
: (ADq.
DBq :
:
PMq :
: *TP x DP + ADq.
PMq :
: TP x DP.
PMq - DBq :
:) TP x DP.
PYq.
vel TD.
2P;
TP x DP.
PYq. unde liquet Propoſitum.
_Corol_.
Si YS tangat _hyperbolam_ DYY;
erit PMq.
PYq :
:
PA. PS.
Nam eſt PMq.
DBq :
: PAq.
ADq :
: PA.
AS.
ergò per
rationis converſionem eſt PMq. PYq :
: PA.
PS.
XXIII.
Quòd ſi reliquis ſimiliter poſitis;
ſit jam PY = √ PMq
erit etiam linea YYY _hyperbola_;
cujus nempe Cen-
trum A; _Semidiameter_ AF (parallela &
æqualis ipſi DB) _Semi_-
_parameter_ autem P, ſi ſiat AF. AD :
: AD.
P.
Nam ducatur YK ipſi AP parallela cum AF conveniens in K;
Sítque FT = 2 FA;
éſtque AF.
P :
: (AFq.
ADq :
: DBq.
ADq :: PMq.
APq :
: PYq - DBq.
APq :
: AKq - AFq.
KYq ::) TK x FK.
KYq :
: AF.
P.
unde conſtat Propoſi-
tum.
_Corol_.
Rurſus, Si recta YS _hyperbolam_ FYY tangat, erit PMq.
PYq :
: PA.
PS.
Nam AD eſt _Semidiameter_ ipſi AF conjugata.
unde PA.
AS :
:
PAq. ADq :
: PMq.
DBq.
ergò PA.
PS :
: PMq.
PMq
+ DBq :: PMq.
PYq.
XXIV.
Sit triangulum ADB, rectum habens angulum ADB;
curva CGD talis, ut ductâ quâcunque rectâ FEG ad DB paral-
lelâ (quæ lineas expoſitas ſecet ut vides) ſit aggregatum quadrato-
rum ex EF, EG æquale quadrato ex DB; erit curva CGD _εllip_-
_ſis_ cujus ſemiaxes AD, AC.
Nam ſit AV = AD.
Eſtque ADq.
DBq (ACq) :
: AEq.
EFq :
: ADq - AEq.
DBq - EFq.
Hoc eſt ADq.
ACq :
:
VE x ED. EGq.
unde liquet Propoſitum.
_Nota_, Tangat GT _ellipſin_ CGD;
eſt EFq.
EGq :
: EA.
ET.
Nam ob AE.
AD :
: AD.
AT.
eſt AEq.
ADq :
: AE.
AT.
unde AEq.
ADq - AEq :
: AE.
AT - AE.
Hoc eſt EFq.
DBq - EFq :: AE.
ET.
hoc eſt EFq.
EGq :
: AE.
ET.
Sit _Angulus rectilineus_ DTH, in cujus latere TD ſignetur pun-
ctum A. Sit item curva VGG proprietate talis, ut ductâ rectâ quâ-
ſecet punctis E, F, G,) connexáque rectâ AF, ſit EG = AF; erit linea VGG _hyperbola_.
Nam ducantur AP ad TH &
VPC ad TD perpendiculares;
Eſtque EFq = EOq (CPq) + OFq
+ 2 EO x OF (+ 2 CP x OF). Verùm ob CP.
CA :
: OP.
OF :
: CE.
OF;
eſt CP x OF = CA x CE;
ergò EFq =
CPq + OFq + 2 CA x CE. item eſt AEq = CEq +
CAq - 2 CA x CE; quapropter eſt EFq + AEq = CPq +
CAq + OFq + CEq. hoc eſt EGq = (APq + PFq = )
CVq + PFq. vel EGq - PFq = CVq.
Verùm eſt CE.
(PO). PF :
: CP.
AP :
: CP.
CV;
unde EGq - {CVq/CPq} CEq
= CVq; adeóque linea GVG eſt _hyperbola_, cujus centrum C;
ſe-
miaxes CV, CP.
Not.
Ductà rectâ FQ ad TH perpendiculari, ſumptáque QR =
AE; &
connexâ GR;
erit GR _hyperbolæ_ VGG perpendicularis;
mihi præſta sîs ſidem;
aut ipſe rem ad Calculum exige;
eò verba
non proſundam.
XXVI.
Poſitione datæ ſint rectæ AC, BD (ſe interſecantes in X)
tum ductâ utcunque rectâ PKL ad AB
parallelâ, (quæ rectas AC, BD ſecet punctis P, K) ſit PL æqua-
lis ipſi BK; erit linea ALL recta.
Nam, (ductâ XQ ad BA parallelâ, eſt AQ.
AP :
: (BX.
BK :
: ) QX.
PL:
ergo linea ALL eſt recta.
XXVII.
Poſitione data ſit recta A X, &
punctum D;
neque non
linea DNN talis; ut per D ductâ quâcunque rectâ MN (quæ re-
lineam DNN in N) ſit perpetim rectangu-
lum ex DM, DN æquale dato (puta quadrato ex Z); erit linea
DNN circularis.
Nam ducatur DB ad AX perpendicularis;
ſitque DB.
Z :
: Z.
DE;
&
connectatur NE;
Eſt jam DM x DN = Zq = DB x
DE; quare DM.
DB :
: DE.
DN.
ergò triangula DBM, DNE
ſimilia ſunt; quapropter angulus DNE rectus eſt;
itaque linea DNN
eſt circularis: (ad circulum pertinens, _c@jus Diameter_ DE).
Vides nedum rectam &
_hyperbolam_;
ſed &
ſuo modo rectam ac
_circulum_ ſibi lineas eſſe reciprocas. Verùm hîc, etſi præludiis no-
ſtris nondum abſolutis, paulùm ſubſiſtamus.
ADhuc in _Veſtibulo_ hæremus;
nec aliud quàm velitamus.
I.
Sint duo quanta A, B;
quorum majus A;
adſumpto tertio quo-
piam X, erit A + X. B + X &
lt;
A.
B.
Nam ob X.
A &
lt;
X.
B;
erit componendo X + A.
A.
&
lt;
X +
B. B.
vel permutando X + A.
X + B &
lt;
A.
B.
II.
In linea YZ ſignentur tria puncta, L, M, N;
&
inter puncta
L, N ſumpto puncto quopiam E, alteróque G extra LN (verſus Z); ſecetur EG in F, ut ſit GE.
EF :
: NL.
LM;
cadet punctum F ad
Nam eſt N E.
ME
gt;
NL.
ML :
: GE.
FE &
gt;
NE.
PE.
gt;
ME.
III.
Sint rectæ BA, DC parallelæ item rectæ BD, GP parallelæ;
pérque punctum B ducantur utcunque duæ rectæ BT, BS ipſam GP
DT :
: KG.
LG.
Nam eſt KG.
LG = KG.
GB + GB.
LG = PK.
PS +
PT. PL = DB.
DS + DT.
DB = DT.
DS.
IV.
Eſto triangulum BDT, basíque DB parallelam quamvis PG
interſecent per B ductæ quæpiam duæ rectæ BS, BR punctis L, K; dico fore LG x TD + KL x RD.
KG x TD :
: RD.
SD.
Sumantur enim BM = GP, &
BN = LP;
&
BO = KP;
parallelas eſſe. Et quoniam eſt DM.
PD :
: DB.
TD.
erit DM x
TD = PD x Db. Similiter eſt DN x SD = PD x DB.
quare
DM x TD = DN x SD = DM x SD + MN x SD, tranſpo-
nendóque DM x TD - DM x SD = MN x SD. Simili plané
quapropter
MO x RD :
: TD - SD.
TD - RD.
hoc eſt
LG x SD. KG x RD :
: TD - SD.
TD - RD;
vel (ad æqua-
tionem redigendo) LG x SD x TD - LG x SD x RD = KG x
RD x TD - KG x RD x SD; tranſponendóque LG x SD x
TD + KG x RD x SD - LG x SD x RD = KG x RD x TD. hoc eſt LG x SD x TD + KL x SD x RD = KG x RD x TD.
vel (ad analogiſmum reducendo) LG x TD + KL x RD. KG x
TD :: RD.
SD.
Quod erat Propoſitum.
V.
Quòd ſi puncta T, R non ad eaſdem puncti D partes ſita ſint,
KG x TD :
: RD.
SD.
Simili conſtabit id diſcurſu;
quem piget repetere.
VI.
Sint quatuor continuè proportionalium ſeries æquinumeræ (qua-
les adſcriptas cernis) quarum cùm antecedentes primi, tum ultimi conſe-
quentes inter ſe proportionales ſint(A. α:
: M.
μ;
&
F.
φ:
: S.
σ)
crunt ejuſdem ordinis quilibet accepti quatuor etiam inter ſe proportio-
nales (puta nempe, D. δ:
: P.
π).
Sunt enim Aμ, Bγ, Cο, Dπ, Eς, Fσ, \\ &
αM, βN, γO, δP, @R, φ S,} Continuè propor-
tionales.
Cùm igitur ſit Aμ, = αM;
&
Fσ = φ S, liquidum eſt ſore D π
= σ P; ac idcircò D.
δ:
: P.
π.
Ad utramque proportionalitatem
(tam Arithmeticam quàm Geometricam) æquè ſpectat hæc Con-
cluſio.
VII.
Rectæ A B, CD parallelæ ſint;
hásque ſecet poſitione data
lineæ verò EBE;
FBF ita relatæ ſint, ut ductâ utcunque
recta PG ad DB parallelâ; ſit ſemper PF eodem ordine media pro-
portionalis inter PG, PE; tum per quodvis deſignatum lineæ EBE
punctum E tranſeat HE ipſis AB, CD parallela, sítque alia curva
KEK talis, ut ductâ utcunque QL itidem ad DB parallelâ, ſit QX
PF media fuerat inter PG, PE) : dico lineas FBF, KEK analo-
hoc eſt ordinatas (quales QR, QK) eandem perpetuò in-
ter ſe rationem habere; eandem ſcilicet illi quam habet PF ad PE.
Hoc è Lemmate proximè præmiſſo conſectatur, utì patebit, ad ſub-
jectum Schema mentem advertendo.
QS* QR* QI.
\\ QL* QK* QI.
\\ PG* PF* PE.
\\ PE* PE* PE.
} Sunt {.
./.
.}.
unde QR.
QK:
:
PF. PE.
Not.
Pro lineis rectis AB, HE, CD ſubſtitui poſſent quælibet,
etiam curvæ, parallelæ.
VIII.
Sint rurſus, in A concurrentes duæ rectæ AB, AD, rectaq;
item duæ curvæ EBE, FBF ſic relatæ, ut ductâ
utcunque PG ad DB parallelâ, ſit ſemper PF eodem ordine media
proportionalis inter PG, PE; tum connexâ AE, ſit alia cu
KEK talis, ut ductâ quâpiam rectâ QLI ad DB parallelâ ſit ſemper
QK eodem ordine media inter QL, QI, quo fuit PF inter P G, PE; erit rurſus linea FEF ipſi KBK analoga;
ſeu perpetim QR.
QK :
:
PF. PE.
Nam QS* QR* QI.
\\ QL* QK* QI.
\\ PG* PF* PE.
\\ PE* PE* PE.
} ſunt {.
./.
.}.
item QS.
QL :
: \\ PG.
PE.
\\ Et QI.
QI :
: \\ PE.
PE.
}ergò QR.
QK :
:
PF. PE.
_Not_.
Pro rectis AB, AH, AD ſubſtitui poſſent tres quævis lineæ
analogæ.
XI Item, ſit circulus AG B, cujus centrum D;
aliæque duæ curvæ
EBE, FBF tales, utper D ductâ quâcunque rectâ DG, ſit perpe-
tum
centro D per E deſ@ribatur circulus H E; ſitque præterea curva KEK
talis, ut ductâ per D quâpiam (ad circulum HE) rectâ DL, ſit ſemper
DE; erunt curvæ FBF, KBK analogæ, ſeu perpetuò DR.
DK :
:
DF. DE.
Nam rurſus DS.
* DR.
* DI.
\\ DL.
* DK.
* DI.
\\ DG.
*DF.
* DE \\ DE.
* DE.
* DE.
} ſunt {.
./.
.}.
unde DR.
DK :
:
DF. DE.
Rurſus, pro circulis aliæ lineæ parallelæ, vel analogæ ſubſtitui
poſſent.
X.
Sint denuò duæ lineæ quævis A GBG, EBE;
&
altera
FBF ſic ad iſtas relata, ut ductâ utcunque à deſignaro puncto D recta
DG, ſit perpetuò DF eodem ordine media proportionalis inter DG,
DE; tum adſumatur linea HEL lineæ AGB analoga (ſeu talis, ut
per D utcunque ductâ DLS, ſint perpetuò DS, DL in eadem ratio-
ne) ſit denuò linea KEK talis, ut ductâ utcunque DL, ſit perpetuò
DK eodem ordine media inter DL, DI, quo priùs DF inter DG,
DE; erit itidem linea FBF lineæ K EK analoga.
Rurſus enim DS.
* DR* DI.
\\ DL.
* DK* DI.
\\ DG.
* DF* DE \\ DE.
* DE* DE} ſunt {.
./.
.};
}Et tam primi quàm ulti-
mi quatuor termini
ſunt proportionales. Unde liquet Propoſi-
tum.
XI.
Sit Arithmeticè proportionalium Series A.
B.
C.
D.
E.
F;
in
qua ſumptis quibuſcunque duobus terminis D, F; ſit terminorum à
primo A (excluſivè) ad ipſum D numerus, N; &
terminorum ab A
(itidem excluſivè) ad F, ſit numerus M; erit A -:
D.
A -:
F :
:
N. M.
Nam eſto differentia communis, X.
eſt ergò D = A ± NX.
&
F = A ± MX. quare A -:
D = NX.
&
A -:
F = MX.
unde A -:
D.
A -:
F :
: ( NX.
MX:
:) N.
M.
XII.
Hinc, ſi duæ fuerint ejuſmodi ſeries;
&
in utraque ſumantur
P, R in ſecunda) erit A -: D.
A -:
F :
: M -:
P.
M -:
R.
Nam harum rationum utraque par eſt illi, quam habent ad ſe nume-
ri N, M, quales in præcedente deſignati ſunt.
Hi verò Numeri N, M vulgò terminorum, quibus aptantur, expo-
nentes, aut Indices vocantur, in ſerie quavis proportionalium; quales
nos ſemper in ſequentibus intelligimus, ubi literas has adhibemus.
XIII.
Sint quælibet quanta A, B, C, D, E, F continuè propor-
tionalia Arithmeticè; nec non alia totidem, ab eodem termino A in-
cipientia, Geometricè proportionalia; ſit au-
tem illorum ſecundum B non majus horum ſe-
cundo M; erit quodlibet in ſerie Geometrica
majus eo, quod ipſi coordinatur in ſerie Arith-
metica.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
A.
M.
N.
O.
P.
Q.
Eſt enim A + N &
gt;
2 M (vel &
gt;)
2 B = A + C.
ergò N &
gt;
C.
unde M + N &
gt;
B + C = A + D.
Eſt autem A + O &
gt;
M +
N. ergò A + O &
gt;
A + D.
Et ideò O &
gt;
D.
ergò M + O &
gt;
B + D = A + E. Eſt autem A + P &
gt;
M + O.
ergò A + P
>
A + E;
adeóque P &
gt;
E.
ſimilique porrò diſcurſu quoad
velis.
XIV.
Hinc, ſi rurſus fuerint A, B, C, D, E, F {.
./.
.} Arithmeticè;
&
A, M, N, O, P, Q ſint {.
./.
.} Geometricè;
sítque ultimum F non
minus ultimo Q; erit B majus quàm M.
Nam ſi dicatur B non majus quàm M;
erit indè F minus, quàm
Q contra hypotheſin.
Item, iiſdem poſitis;
erit penultimum E majus penultimo P.
XV.
Nam ſi F = Q;
conſtat ex præcedente fore E &
gt;
P (ſcilicet u-
tramque ſeriem invertendo) ſin F >
Q:
potiori jure liquet fore
E >
P.
XVI.
Quinimò demùm, iiſdem poſitis, quodlibet in ſerie Arith-
metica majus eſt coordinato quolibet in ſerie Geometrica; puta, C
majus eſt quàm N.
Eſt enim E &
gt;
P, ac indè D &
gt;
O;
&
hinc C &
gt;
N.
XVII.
Conſectatur hinc;
ſi fuerint quatuor lineæ HBH, GBG, FBF,
EBE ſeſe interſecantes in B, ac ita verſus ſe relatæ, ut ductâ utcunque
rectâ DH ad poſitione datam DB parallelâ (in linea nempe DD D
ſit perpetuò DG
inter DH, DE eodem ordine media proportionalis Arithmeticè, quo
DF inter eaſdem media Geometricè; lineæ GB G, FBF ſeſe mu-
tuò contingunt.
Enimverò linea GBH extra lineam FBF totam cadere manifeſtum
è præcedente.
XVIII.
Ex iſthinc etiam (quod ſtrictim tranſcurrens moneo) di-
venientes rectæ ασνμπωτοι definiuntur. Sint nempe rectæ VD, BD
poſitione datæ; ſint item aliæ duæ rectæ AB, VI;
ductâ verò li-
berè rectâ PG ad DB parallela, ſit P φ conſtantèr inter PG, PE eo-
dem ordine media proportionalis Arithmeticè, quo PF inter eaſdem
media Geometricè; quia jam
verùm linea VFF eſt _hyperbo-_
_la,_ vel _hyperboliformis_ aliqua (communis quidem vel _Apolloniana_
_hyperbola_, ſi PF ſit inter ipſas PG, PE ſimpliciter media, ſed alia
diverſi generis quædam _hyperboliformis_, ſi PE ſit alterius cujuſpiam
ordinis media) atqui patet è penultima præmiſſa lineam φ φ φ eodem
ordine reſpondenti lineæ VFF _aſymptoton_ eſſe. quod an πρ@@γ@ ſit
neſcio, nobis certè πáρε@γον fuit, hic adnotâſſe.
XIX.
A puncto aſſignato B ad datam poſitione rectam AC ductæ
ſint restæ tres BA, BC, BQ; tum in QC producta ſumatur ſumptum
per B recta (puta B R) duci poteſt (ad alterutras ipſi-
us BQ partes) tali@, ut à D projectâ quâcunque rectâ, ceu DN; ſit
hujus à rectis B Q, BR intercepta pars (F E) minor ejuſdem à rectis
BA, BC interceptâ parte (N M).
Nam, primò, ſi BR (ultra angulum ABC jaceat reſpectu puncti
D; ſiat QR = CA;
&
connectatur BR;
tum utcunque ducatur
DE, rectas ſecans, ut vides; &
maniſeſtum eſt, * è ſupra mon-
lt;
NM.
Sin B Q citra angulum ABC cadat verſus D;
(a) ducatur recta
BA; &
ſumatur HR = QC;
&
connectatur BR;
tum rurſus
quo-
lt;
NF;
&
KE * &
gt;
MF;
perſpicuum eſt
lt;
NM.
Ità quidem ab una rectæ BQ parte recta BR duci poteſt, quæ mi-
nores ipſis MN intercipiat; unde totum liquet
Propoſitum.
XX.
In recta DZ ſint tria puncta D, E, F;
&
in F ſit vertex an-
per E vero
ducta ſit recta EG; poteſt ab E recta duci (ceu EH) talis, ut à
puncto D projectâ utcunque rectâ DK ſit in hac à rectis EG, EH in-
tercepta minor à rectis FC, FB interceptâ.
Ducantur ES ad FC, &
ER ad FB parallelæ;
&
in primo caſu,
ubi punctum E puncto D vicinius eſt, (ob ſimilitudinem triangulorum
ENM, FKI) manifeſtum eſt fore MN <
IK;
interceptis MN; ergò liquet.
In altero caſu, ubi punctum F ipſi D propius, ſumatur SL æqualis
ipſi CB; &
connectatur EL;
Eſtque jam IK.
MN :
: FK.
EN :
:
DE :
: FC.
ES :
: BC.
RS
: LS.
RS
gt;
QN.
quapropter eſt IK &
gt;
QN.
QN. quamobrem abundè conſtat Propoſitum.
XXI Curvam BA tangat recta BO in B;
ſitque recta BO æ-
qualis curvæ B A; ſumpto tunc in curva puncto quopiam K conne-
erit KO major arcu KA.
Nam, quoniam recta minimum eſt inter bina puncta intervallum,
eſt BK + KO >
BO = BK + KA.
ergò KA &
gt;
KO.
XXII.
Hinc, utcunque ſumptis (ad eaſdem contactûs partes) duobus
punctis K, L, connexâque rectâ KL; erit KL + LO &
gt;
KA.
Nam, ſupra contactum verſus A, eſt KL + LO &
gt;
KO &
gt;
KA.
Infra verò, eſt KL + LB &
gt;
KB (ex hypotheſibus _Archime-_
_dæis_) adeóque KL + LO >
KA.
MIhi ſanè videor ( videbor &
vobis, opinor ) quod irridebat
_ſapiensille Scurra, perquam exiguæ Civitati portas ingentes_
_extrnxiſſe_ Nec enim adhuc aliud quàm ad rem aliquanto propiùs eni-
timur. ad illam.
I.
Hæcadſumimus.
Si duæ lineæ ( OMO, TMT ) ſeſe con-
gulo minores. Et vice versâ:
Si duæ lineæ ( OMO.
TMT ) an-
gulos contineant quovis rectilineo minores, illæ ſeſe contingent _(_con-
tingentibus ſaltem æquipollebunt_)_.
Hujus _effati_ rationem jampridem _(_ni fallor_)_ attigimus.
II.
Hinc;
Si duas lineas OMO, TMT tertia quæpiam linea
PM P contingat, ipſæ etiam lineæ OMO, TMT ſeſe contin-
gent.
Nam quoniam lineæ OMO, PM P ſeſe contingunt, erit angulus
OM P quovis _rectilineo_ minor. Item, ob linearum TMT, PMP
_contractum_, erit _angulus_ TM P quovis etiam _rectilineo_ minor. Erit
igitur angulus TMO _rectilineo_ quovis minor. Unde lineæ OMO,
TMT ſe mutuo contingent.
III.
Tangat recta FA curvam FX in F;
ſitque poſitione data recta
FE; ſint item duæ curvæ EY, EZ tales, ut ductâ utcunque rectâ
intercepta KL æqualis interceptæ I G; etiam curvæ EY, EZ ſeſe
contingent.
Si non tangant, poteſt inter ipſas conſtitui angulus rectilineus, puta
BEC; hunc utcunque ſecet ad FE parallela I L;
ſumatúrque G H
= BC, & connectatur F H;
ſunt igitur è parallelis ad FE à rectis
hoc eſt minores
interceptis à curvis EY, EZ; hoc eſt minores interceptis à curva
FX, & recta FA;
quapropter angulus XFA rectilineo HFG ma-
jor eſt; unde recta FA curvam FX non tangit, contra _Hy-_
_potheſin_.
IV.
Itidem, Tangat recta FA curvam FX, &
ſint duæ curvæ
EY, EZ tales, ut ab aſſignato puncto D utcunque ductâ rectâ IL
curvæ
EY, EZ ſeſe tangent.
Nam, ſineges, his interſeratur _angulus rectiline
quem
utcunque a D projecta ſecet recta DL;
ceptæ minores interceptis abipſis EB, EC, hoc eſt multo minores in-
terceptis à recta E A, curváque FX. Unde ſequetur angulum AFX
rectilineo GF H majorem eſſe; ac idcircò rectam AF non conting ere
curvam FX, adverſus _Hypotheſin_.
Hæ præcedentes duæ Concluſiones veræ ſunt, &
ſimili ratione de-
monſtrantur, poſito interceptas IG, KL quamvis ad ſe perpetim ha-
bere proportionem eandem. Parco verbis.
Propoſuimus hæc, ut ſequentium nonnulla à ſcrupulis munian-
tur.
V.
Sit recta VEI, duæque curvæ YFN, ZGO ſic ad ſe relatæ,
ut ductâ utcunque rectâ EFG ad poſitione datam AB parallelâ, ha-
beant interceptæ E G, EF ſemper eandem rationem inter ſe; tangat
autem recta TG curvarum unam ZGO in G _(_cum recta VE con-
veniens in T _)_ ducta TF alteram YFN quoque continget.
Nam utcun que ducatur recta IL (lineas expoſitas ut vides interſe-
cans ) Eſtigitur IL. IN
gt;
IO.
IN :
: EG.
EF :
: IL.
IK.
lt;
IK.
ergò punctum K extra curvam YFN jacet;
totáq;
recta TF.
Aliter.
Eſt IL.
IK :
: (IO.
IN :
: IK-IO.
IK-IN :
:)
OL. NK, ergò cùm lineæ GL, GO ſe
VI.
Etiam ſi tres curvæ XEM, YFN, ZGO itâ referantur ad ſe,
per EG, EF in eadem ra ione, concurrant autem duarum XEM,
ZGO tangentes ET, GT in T; adjuncta TF curvam YFN tan-
get.
Nam (facto ut priùs) erit IL.
IK :
: EG.
EF :
: MO.
MN.
* quapropter erit punctum K extra curvam YFN.
Poſſit hæc, ut præceden@, aliter oſtendi;
ſed verbis pluribus.
Curvas ità ſitas concipe quales figura monſtrat.
nam {στ}ενολχίαν} ego
ac{αδολεοιαν} fugitans caſus præ cæteris obvios ac faciles arripiens pro-
pono. Hoc ubique ſubnotatum velim.
VII.
Sit punctum datum D, curvæque duæ XEM, YFN, ità
relatæ, ut à D projectâ quacunque rectâ DEF, habeant ad ſe rectæ
unam verò YFN tangat recta
FS; cui parallela ſit ER;
tanget recta ER curvam XEM.
Nam à D utcunque projiciatur recta DK _(_ lineas interſecans, ut
vides). Eſtque DK.
DI :
: DF.
DE :
: DN.
DM;
ergò quum ſit
DK >
DN;
erit DI &
gt;
DM;
quare tota recta RE extra curvam
XEM cadit.
Rectæ NK, MI rationem ſemper eandem obtinent;
unde res ali-
ter conſtat.
VIII.
Sint tres curvæ XEM, YFN, ZG O tales, ut ſi ab aſſig-
nato puncto D projiciatur utcunque recta DEFG, habeant interceptæ
EG, EF rationem ſemper eandem (puta quam R ad _S_) tangant au-
oportet curvæ YFN tangentem ad F deſignare.
Concipiatur curva TFV talis, ut à D utcunque projectâ rectâ
DM K L, (quæ ſecet rectas TE, TG punctis I, L, & iſtam cur-
vam in K) habeant ſemper interceptæ IL, IK rationem eandem datæ
R ad S; gt;
I N;
quare curva TFK curvam YFN
hanc tangat FS;
Quoniam _hyperbolam_ tangentis hîc primum injecta eſt mentio;
hu-
jus ( unà cum aliarum omnium conſimili ratione procreatarum ſeu _re_-
_cipr ocarum linearum tangentibus_) _tangentem_ ità definiemus.
IX.
Sint VD recta linea, duæque curvæ XEM, YFN ità re-
ſemper _rectangulum_ ex DE, DF par eidem alicui ſpatio; tangat au-
tem recta ET curvam XEM in E, cum recta VD concurrens in T; ſumatúrque DS = DT;
&
connectatur F S;
hæc curvam YFN
tanget ad F.
Nam utcunque ducatur IN ad EF parallela;
lineas expoſitas ſe-
Eſtque T P.
PM &
gt;
( TP.
PI :
:) TD.
DE
item SP. PK :
: SD.
DF.
ergò TP x SP.
PM x PK &
gt;
TD
x SD. DE xDF :
: TD x SD.
PM xPN.
Verum TD x
SD >
TP xSP;
ac indè magís TD x SD.
PM x PK &
gt;
TD x
SD. PM x PN.
quare PM x PK &
lt;
PM x PN;
vel PK &
lt;
PN.
Itaque recta FS extra curvam YFN tota jacet.
_Not_.
Si linea XEM recta fuerit ( utique ipſi TE I coincidens) erit
YFN _hyperbola_ vulgaris, cujus centrum T, _aſymptotos_ una TS, al-
tera TZ ad EF parallela.
X.
Quinetiam ſit punctum D;
curvæque duæ XEM, YFN ità
relatæ, ut per D ductâ quacunque rectâ EF; ſit perpetuo rectangu-
lum ex DE, DF æquale cuidam quadrato _(_ex Z puta); unam verò
curvam XEM tangat recta ER; alterius ad F tangens ita determina-
tur: Ducatur DP ad ER perpendicularis:
factóque DP.
Z :
: Z.
biſecetur DB in C;
connexâque CF, ducatur FS ad CF nor-
malis; hæc curvam YFN tanget.
Nam centro C per F deſcribatur _Circulus_ DO B;
&
per B traji-
ciatur utcunque recta IN lineas interſecans, ut vides; eſtque DO x
DI DM
: DN.
DI.
ergò quum ſit DM (_c_) &
lt;
DI;
erit DO &
lt;
DN;
itaque circulus DOB curvam YFN tanget.
Quare recta FS eandem
XI.
Curvæ XEM, YFN tales ſint, ut ductâ quâpiam FE ad poſi-
tione datam parallelâ, ſit ſemper hæc æqualis eidem alicui; curvàm
autem YFN tangat recta SF; huic parallela RE alteram XEM
Nam utcunque ductâ MK ad FE parallelâ eſt NI &
lt;
( KI = FE
= ) NM. Quare punctum I extra curvam XEM jacet, _&
c_.
Reverà linea XEM nil aliud eſt, quàm ipſa YFN _tranſlocata_.
Levius hoc, &
methoditantùm gratiâ Propoſitum.
XII.
Sit curva quæpiam XEM, quam tangat recta ER ad E;
ſit
item alia curva YF N ad alteram ità relata, ut ab aſſignato puncto D
determinatæ Z; curvæ YFN tangens (ad F) ità deſignatur:
Su-
matur DH = Z; &
per H ducatur AH ad DH perpendicularis,
ipſi ER occurrens in B, & per F ducatur FG ad AB parallela;
ſuma-
túrque GL = GB; erit connexa LFS curvæ YFN tangens.
Nam _aſymptotis_ ER, AB per F deſcripta concipiatur _hyperbol@_
OFO; cui occurrat à D projecta quæpiam DO, lineas expoſitas
Eſtque QO
gt;
DP
gt;
DH
ergò _hyperbola_ OFO curvam YFN tan-
git.
Verùm
hæc itaque curvam
_Not_.
Si XEM ponatur linea recta ( vel ipſi ER coincidat) erit
YF N _Conchois_ prima vulgaris, ſeu _Nicomedea_; hujus igitur tangens
è generali ratione quâdam habetur determinata.
XIII.
Sit recta LA, curváque quæpiam BEI;
cum alia curva
DFG talis, ut ductâ liberè rectâ PFE ad p@itione datâm quandam
tâ Z; item curvam BE I tangat recta ET;
tum fiat PEq.
PFq :
:
PT. PS;
connexa SF curvam DFG tanget.
Nam concipiatur curva VFH talis, ut liberè ductâ QK ad PE
parallelâ (quæ lineas expoſitas ſecet ut vides) ſit perpetuò QKq =
QHq + Zq; unde quoniam eſt QK
gt;
Q I;
erit QKq --
gt;
Q Iq-- Zq;
hoc eſt QHq &
gt;
QGq;
ergò curva VFH
hæc itaque curvam DFG quoque contin-
get.
XIV.
Cætera ponantur eadem;
at jam PE unà cum quadrato ex
data Z poſſit quadratum ex PF; fiátque PEq.
PFq :
: PT.
PS;
connectatur FS;
hæc rurſus ipſam GFG continget.
Similis eſt demonſtratio;
ſed adhibe 23 am primæ Lectionis.
XV.
Sint curvæ duæ AFB, CGD, communem habentes _axe@@_
AD, ac ità verſus ſerelatæ, ut ductâ quâcunque rectâ FEG ad AD
perpendiculari ( quæ rectas expoſitas ſecet ut vides ) ſit ſumma qua-
dratorum ex ipſis EF, EG æqualis quadrato ex determinata recta Z;
&
fiat EFq.
EGq :
: ER.
ET;
connexa GT curvam CGD quoque tanget.
Concipiatur enim curva OGO talis, ut ductâ rectâ KQO (quæ
rectas FR, ER ſecet punctis K, Q, curvam OGO in O ) ſit QKq
+ QO = Zq; erit ideò QKq + QOq = QIq + QLq;
&
cùm ſit QKq
gt;
QIq, erit ideò QOq &
lt;
QLq.
itaque
ergò recta
GT curvam CGD quoque tanget.
XVI Sit curva quæpiam AFB (cujus axis AD, &
ad hunc ap-
nato quodam in axe AD puncto Z ad curvam AFB utcunque ductâ
rectâ ZF, & per F ductâ rectâ EFG ad DBC parallelâ, ſit EG
æqualis ipſi ZF; ſit autem PQ perpendicularis curvæ AFB;
ſu-
matúruqe QR æqualis ipſi ZE; connexa recta GR ipſi curvæ VGC
perpendicularis erit.
Nam ducatur FT ad ipſam FQ perpendicularis, ſeu curvam AFB
tangens; &
concipiatur curva OGO talis, ut ductâ quâcunq;
rectâ
HKO ad EFG parallelâ ( quæ rectas TE, TF, & curvam OGO
ſecet punctis H, K, O) connexâque ZK, ſit HO = ZK; tum du-
gt;
HI, erit ZK &
gt;
ZI, vel HO &
gt;
HL;
eadem
itaque GR curvæ VGC quoque perpendicularis erit: Quod E.
D.
XVII.
Sint recta DQ, duæque curvæ DRS, DYX ità relatæ,
dictas lineas ſecet, ut perſpicis) connexâque rectâ DY, ſit ſemper
RY. DY :
: DY.
EY;
tangat autem recta RF curvam DRS ad R;
oporter curvæ DYX tangentem ad Y rectam deſignare.
Concipiatur linea DYO talis, ut ductâ utcunque GO ad DB pa-
rallelâ ( quæ lineas FR, FP, DYO ſecet punctis G, P, O) connexâ-
que DO ſit ſemper GO. DO_:_
:
DO.
PO;
tanget curva DYO
curvam DYX ad Y; Nam ſecet recta GO curvas DRS, DYX
punctis S, X; &
connectantur rectæ DG, DS, DX;
patet (è cur-
varum natura) angulos XDP, DSP; nec non angulos ODP, DGP
æquari; quare cùm angulus DSP major ſit angulo DGP;
erit an-
gulus XDP angulo ODP major, adeóque PX major erit quàm PO;
eſt autem curva DYO
_hyperbolæ_ hanc tangat YS;
hæc igitur
curvam DYX quoque tanget.
_Not_.
Si curva DRS ſit circulus, &
angulus QDB rectus, erit cur-
va DYX _ciſſois_ vulgaris; hujus itaque ( cum innumeris aliis ſimiliter
genitis) tangens hîc deſinitur.
XVIII.
Poſitione datæ ſint rectæ DB, BK;
ſitque curva DYX
ut à puncto D ductâ quâvis rectâ DYH (quæ rectam BK ſe-
cet in H, curvam DYX in Y) ſit perpetuò ſubtenſa DY æqualis re-
ctæ BH; oportet curvæ DYX tangentem ad Y rectam determi-
nare.
Centro D per B ducatur circulus BRS;
cui occurrat recta YER
ad BK parallela; &
connectatur DR;
eſtque (propter ang.
DYE
= ang. DHB;
&
DY = BH, ac DR = DB) triangulum RDY
triangulo DBH ſimile ac æquale; quare RY.
YD :
: (DH.
HB)
:: YD.
YE.
unde ex præcedente determinabilis eſt recta curvam
DYX tangens in Y.
XIX.
Sint itidem rectæ DB, BK poſitione datæ;
nec non curva
BXX talis, ut à puncto Dprojectâ quâcunque rectâ DX (quæ re-
BH æqualis; deſignetur oportet recta curvam BMX tangens in X.
Concipiatur curva DYY talis, ut perpetuò ſit DY = BH (talis
nempe, qualem attigimus in præcedente) hanc verò tangat recta YT
in Y, ipſi BK occurrens in R; tum _aſymptotis_ RB, RT per X de-
ſcripta cenſeatur _hyperbola_ NXN; ad quam utcunque projiciatur re-
lt;
ergò _hyperbola_ NXN curvam BXX
tangit ad X.
Ducatur itaque recta XS _hyperbolam_ NXN contin-
gens, hæc ipſam curvam BXX quoque continget.
Cæterùm ſatìs pro hac vice nugati videmur;
ceſſemus aliquantiſper.
QUod ingreſſi ſumus iter actutùm rectà proſequemur.
1.
Sint rectæ AB, VD ſibi parallelæ;
quas ſecat poſitione data
DB; tranſeant verò per B lineæ EBE, FBF ità ad ſe relatæ, ut
eodem ordine deſignato media _Arithmeticè_; tangat autem recta BS
curvam EBE; oportet lineæ FB F tangentem (ad B) deſignare.
Sint Numeri N, M proportionalium PF, PE (quales
fiátque N.
M :
: DS.
DT;
connectatúr-
que TB; hæc lineam FBF continget.
Nam utcúnque ducta ſit recta PG, dictas lineas ſecans, utì cernis:
Eſtque FG.
EG
: N.
M :
:
DT :
:
KG;
lt;
EG;
erit LG &
lt;
FG;
unde liquet rectam
II.
Reliquis perſtantibus iiſdem, ſit jam PF inter PG, PE media pro-
portionalis Geometrìcè (eodem ordine media nempe, quo fuit priùs
Arithmeticè) eadem BT curvam FB F continget.
Etenim è mediis Arithmeticè Geometricéque proportionalibus hoc-
ergò cùm
recta BT tangat unam, hæc alteram quoque continget.
_Exemplum_.
Sit PF inter PG, PE è fex mediis tertia;
erit er-
go M = 7; &
N = 3;
adeóque DS.
DT :
: 3.
7.
III.
Manente porrò quoad cætera proximè præcedente hypotheſi,
etiam ad hoc punctum
tangens recta ſimili pacto deſignatur.
Nempe per F ducatur recta PG ad ipſam DB parallela, ſecans
curvam EXE in E, tum EX tangat curvam EBE in E; fiátque N.
: PX.
PY;
connectatúrque recta FY;
hæc curvam FBF continget.
Nam per E ducatur recta CE ad AB (vel VD) parallela;
conci-
piatúrque @@@ E tranſiens curva HEH talis, ut ductâ quâpiam QL
ad DE parallelâ (curvas EBE, HEH in L, & H;
rectáſque CE,
VP in I ac Q ſecante ) ſit ſemper QH inter QI, QL eodem ordine
media, quo PF inter PG, PE; è præcedente jam conſtat rectam
connexam EY curvam HEH contingere; verùm curvæ HEH
IV.
Adnotetur, poſito lineam EBE rectam eſſe, quòd linea FBF
parabolarum ſeu paraboliſormium aliqua ſit. quare quod de his paſ-
ſim obſervatum habetur _(_ex calculo deduc@um, & inductione quâdam
comprobatum, neſcio tamen an uſpiam Geometricè oſtenſum ) ex im-
mensùm uberiore fonte manat, ad iunumeras aliorum generum curvas
ſe diffundente.
V.
Hinc apertè conſectatur;
ſi TD ſit recta, síntque duæ quæ-
dam curvæ EEE, FFF ità ad ſe relatæ, ut ductis rectis PEF ad
ex ordinatis PF; rectæ verò ES, FT ( ex ejuſdem communis ordi-
natæ terminatis ductæ) curvas haſce contingant; erit TP = 2 SP;
Quòd ſi ordinatæ PE ſe habeant ut ipſarum PF cubi, erit TP = 3 SP;
ſi PE ſint ut quadrato quadrata ipſarum PF, erit TP = 4 SP; ac
ſic eodem ad infinitum continuo tenore.
VI.
Sit porrò Circulus ABC, cujus Centrum D, radius DB,
item lineæ EBE, FBF per B tranſeuntes, ac ità relatæ, ut ductâ
meticè inter DG, DE; tangat autem recta BO curvam EBE in B;
oportet curvæ FBF tangentem (ad B) deſignare.
Hoc (certè
Quorſum ſit DQ ad DB
perpendicularis, quam ſecet BO in S; fiat verò N.
M :
: DS.
DT;
connectatúrque recta TB;
hæc curvam FBF tanget.
Tangat enim recta PB _circulum_ AB G;
ſecentúrque rectæ D S
BS in Y, ità ut ſit DS.
D X :
: M.
N :
: BS.
BY;
perque
puncta X, Y ducantur XZ ad BS, & YV ad DS parallelæ, concur-
rentes in C; tum _aſymptotis_ YCZ per B traducta concipiatur _hyper_-
_bola_ LB L; porrò ex D projiciatur utcunque recta DP dictas lineas
eſtque jam PK.
PL :
:
N
:
GF
gt;
PE.
PF &
gt;
PK.
PF;
quare PL &
lt;
PF;
igitur _Hyperbola_ LBL curvam FB F tangit.
Protracta jam TB
eſtque tum RZ.
ZB :
: BS.
ST.
unde
atqui propter DS.
SX :
:
SY, eſt DS xSY = BS xSX.
ergò RZ xST = DS xS Y
vel RZ.
CX :
: DS .
ST;
compoſitéque RZ .
RZ
+ CX :: DS.
DT :
:
M :
: CZ.
CZ + CX.
itaque
diviſim eſt RZ.
CX :
: CZ.
CX.
adeóque RZ = CZ;
unde RB
_hyperbolam_ LBL tangit; hæc igitur ( RBT) curvam FBF, ipſi
LBL contiguam, quoque tanget. quod erat Propoſitum.
VII.
Hinc ſi perſiſtentibus reliquis, recta tantùm DF jam inter
D G, DE perpetuò Geometricè media ſtatuatur ( eodem qui priùs fuit
ordine) eadem BT curvam FBF quoque continget.
Etenim ex mediis ejuſdem ordinis _Aritbmetice Geometricéque_ pro-
portionalibus efformatæ lineæ ſe mutuò contingunt, adeóque commu-
ni rectâ tangente gaudent.
VIII.
Porrò _(_ſtantibus reliquis ut in poſtremâ) quodvis in curva
pacto determinatur.
Connectatur utique recta DF curvam EB E ſecans ad E ;
item du-
catur DQ ad DG perpendicularis ipſam EO interſecans ad X; fiat
etiam DX. DY :
: N.
M ;
&
connectatur EY;
ipſi demum EY pa-
rallela ducatur FZ; hæc curvam FBF continget.
Nam centro D per E ducatur circulus CEI;
concipiatúrque linea
HEH talis, ut à D eductâ quacunque rectâ DI ( quæ circulum CE
ſecet in I, curvam HEH in H, & ipſam EB E in L ) ſit pepertuò
DH eodem inter DI, DL ordine proportionalis, quo DF inter DG,
DE; palam eſt tunc (è præcedente) quòd recta EY curvam HEH
tanget; verùm ipſi HEH
Exhinc nedum innumerarum ſpiralium;
at aliarum diverſi generis
infinities plurium tangentes quàm promptè determinantur.
IX.
Hinc clarum eſt, ſi duæ lineæ EEE, FEF ſic ad ſe referan-
tur, ut à puncto quodam D utcunque projectis rectis DEF; habe-
ad harum terminos
tangant curvas rectæ ES, FT; cum perpendicularibus ad ipſas
erit ſemper DT = 2 DS.
Quòd
ac ſi-
mili deinceps modo.
X.
Sint rectæ VD, TB concurrentes in T, quas decuſſet poſnio-
tranſeant etiam per B lineæ EBE, FBF tales,
ut ductâ quâcunque PG ad DB parallelâ, ſit perpetuò PF eodem or-
dine media Arithmeticè inter PG, PE; tangat autem BR curvam
EBE, opertet lineæ FBF tangentem ad B determinare.
Sumptis NM (ordinum in quibus ſunt PF, PE exponentibus)
fiat N x TD + M \\ - N} x RD. M x TD:
: RD.
SD;
&
connecta-
tur BS; hæc curvam FBF continget.
Nam utcunque ducta ſit PG, dictas lineas ſecans ut vides.
Eſtque
EG. FG:
:
N.
ergò FG x TD.
EG x TD:
: N x TD.
M x TD.
Item EF x RD.
EG x TD:
: M - N x RD.
M x
Quapropter (antecedentes conjungendo) erit FG x TD +
EF x RD. EG x TD:
: N x TD + M - N x RD.
M x TD;
(hoc eſt):
:
SD.
: RD.
SD.
quare FG x TD + EF x RD.
EG x
TD:: LG x TD + KL x RD.
KG x TD.
hinc, cùm ſit EG
gt;
KG;
erit FG x TD + EF x RD &
gt;
LG x TD + KL x RD;
vel FG.
EF + TD.
RD &
gt;
LG.
KL + TD.
RD;
ſeu (dem-
ptâ communi ratione) FG. EF &
gt;
LG.
KL.
vel componendo
EG. EF &
gt;
KG.
KL
gt;
EG.
EL.
unde eſt EF &
lt;
EL.
adeoque liquet
Propoſitum.
XI.
Quinetiam, reliquis ſtantibus iiſdem, ſi PF ſupponatur ejuſ-
dem ordinis Geometricè media liquet (planè ſicut in modò præceden-
tibus) eandem BS curvam FBF contingere.
_Exemplnum._
Si PF ſit è ſex mediis tertia, ſeu M = 7;
&
N = 3;
erit 3 TD + 4 RD.
7 MD:
: RD.
SD;
vel SD = {7 MD x RD/3 TD + 4 RD.
}
XII.
Patet etiam, accepto quolibet in curva FBF puncto (ceu F)
rectam ad hoc tangentem conſimili pacto deſignari. Nempe per F
&
per E ducatur ER curvam EBE tangens; fiátque N x TP + M/- N} x RP.
: RP.
SP;
&
connectatur SF;
hæc curvam
FBF tanget; id quod omnino ſimili diſcurſu demonſtratur, quo ter-
tia hujus; tantùm hîc (non per E ad VD parallela ducitur, at) con-
nectitur ET; &
loco ſeptimæ allegatur octava ſeptimæ Lectionis.
quid plura?
XIII.
Adnotetur, ſi linea EBE ſit recta, (rectæ nempe BR coin-
cidens) eſſe lineam FBF ex _infinitis hyperbolis_ (vel _hyperboliformi-_
_bus_) aliquam; quarum igitur (unà cùm aliarum infinities diverſi ge-
neris plurium) _Tangentes_ determinandi modum uno _Tbeorem
plexi ſumus.
XIV.
Quòd ſi puncta T, R non ad eaſdem partes puncti D (vel P)
cadant; curvæ FBF tangens (BS) deſignatur faciendo N x RD-:
M x TD:
: RD.
SD.
Simili planè diſcurſu conſtat hoc, tantùm (quartæ loco) ſeptimæ
Lectionis quintam adhibendo.
XV.
Hinc autem nedum _Ellipſoidum_ omnium (poſito nempe line-
am EBE rectam eſſe, lineæ BR coincidentem) aſt aliarum alterius
generis _linearnm innumer abilium Taxgentes_ unâ operâ determinan-
tur.
_Exemplum._
Si PF ſit è quatuor mediis quarta, ſeu M = 5;
&
N
= 4; erit SD = {5 TD x RD/4 RD - TD.
}
_Notetur_;
Si contigerit eſſe ND x RD = M/- N} x TD, eſſe DS
infinitam; ſeu BS ipſi VD parallelam.
Alia poſſent adnotari;
ſed
relinquo.
XVI.
Inter alias curvas innumeras, etiam hâc methodo _Ciſſois_ &
_Ciſſoidaliam_ omne genus comprehenditur: Sit utique ſemirectus an-
curvæque duæ SGB, SEE ſic ad ſe referantur, ut
ductâ liberè rectâ GE ad BD parallelâ, (quæ lineas expoſitas, ut
conſpicis, ſecet) ſint PG, PF, PE continuè proportionales; tangat
autem recta GT curvam SGB in G, reperietur quæ ad E lineam SEB
tangit, faciendo 2 TP - SP. TP:
: SP.
RP;
utique connexa
RE curvam SEE tanget. Id quod è præmiſſis facilè colligitur.
Quòd ſi jam curva SGB ſit circulus, &
applicationis angulus SPG
alioquin
alterius generis _Ciſſoidalis_. Hoc autem ἐγ παςόδφ perſtringo.
Neq;
jam ampliùs vos detinebo.
IN ſtitutum circa tangentes negotium adhuc urgeo.
I.
Sit curva quæpiam AEG, nec non alia AFI ſic ad illam rela-
curvam AFG ſecet in E, curvámque AFI in F (ſit perpetim EF
æqualis curvæ AEG ab A intercepto arcui AE; tangat autem recta
ET curvam AEG in E, ſitque ET æqualis arcui AE, & connecta-
tur recta TF; hæc curvam AFI tanget.
Nam ducatur ntcunque recta GK ad AB parallela, lineas propo-
ſitas ſecans, ut cernis; éſtque GK = GH + HK = GH + HT
gt;
arc.
AG = GI;
unde punctum K extra curvam AFI ſi-
adeóque recta TK ipſam tangit.
II.
Quòd ſi recta EF quamlibet ad arcum AE rationem ſemper
eandem habeat, nihilo ſeciùs recta FT curvam AFI tanget; ut ex
hac, & octavæ Lectionis ſexta manifeſtæ conſectatur.
Hæc antea pridem aliter oſtendimus;
aſt hæc demonſtratio ſimpli-
cior aliquanto videtur, & clarior;
methodóque quam inſinuamus ac-
commodatior.
III.
Sit _curva_ quæpiam AGE, punctúmque deſignatum D;
ſit
item alia curva AIF talis, ut à D projectâ rectâ quâ cunque DEF,
tangátque recta ET curvam
AGE; oportet curvæ AIF _Tangentem_ (ad F) deſignare.
Fiat TE = arc.
AE;
ſitque curva TKF talis, ut ductâ utcunque
(è D) rectâ DK (quæ curvam TKF ſecet in K, rectámque TE in H)
tum curvam TKF
Eſt enim GK = GH + HK = GH + HT
adeóque recta FS cur-
vam AIF continget.
IV.
Quòd ſi recta EF ad arcum AE eandem aliquamcunque ſtatu-
atur habere proportionem, tangens ejus facilè determinatur ex hac, &
octava octavæ Lectionis.
V.
Sint recta AP, duæque _curvæ_ AEG, AFI, ità ad ſe relatæ
AFI punctis D, E, F, ſecet) ſit ſemper recta DT æqualis arcui AE; tangat autem recta ET curvam AEG ad E;
ſumatúrque ET par
arcui EA; &
ſit TR ad BA parallela;
connectatur denuò recta RF;
hæc curvam AFI tanget.
Concipiatur enim curva LFL talis;
ut ductâ quâcunque rectâ PL
ſimul; eſt itaque PL
gt;
arc.
AEG * = PI.
Unde curva LFL
Item recta IK
VI.
Etiam ſi rectæ DE ad arcus AE quamlibet ſemper eandem ra-
tionem habeant, recta RF nihilominus curvam AFI tanget, ut
ex hac, & ſexta octavæ Lectionis facilè patet.
VII.
Sit punctum D;
duæque curvæ AGE, DIF itâ verſus ſe
recta DF æqualis arcui AE; tangat autem recta ET curvam AGE
ad E; deſignanda jam eſt recta, quæ curvam DIF tangat (ad F).
Sumatur ET par _arcui_ FS;
concipiatúrque _carva_ DKK talis, ut
à D projectâ utcunque rectâ DH (quæ curvam DKK in K, rectam
tum curvam DKK
hæc curvam DIF quoque tanget.
Intelligatur enim _curva_ LFL talis, ut à D projectâ quapiam rectâ
eſt itaque DL
gt;
are.
AG
VIII.
Quòd ſi rectæ DF quamvis aliam conſtanter eandem ad ar-
cus AE rationem obtinuerint, itidem deſignari poteſt recta curvam
DIF tangens, ex hac, & ſeptima octavæ Lectionis;
erit utique tan-
gens iſta huic FS parallela.
IX.
Hinc nedum _ſpiralis circularis_, aſt innumerabilium ſimili ratione
progenitarum aliarum curvarum _Tangentes_ determinantur.
X.
Sint curva quæpiam AEH, recta AD (in qua determinatum
ſit item curva AGB talis,
ut in hac aſſumpto quocunque puncto G, & per hoc ac D projectâ
rectâ DGE (quæ curvam AEH ſecet in E) ductâque GF ad DH
parallelâ habeant AE, AF aſſignatam rationem X ad Y; tangat au-
tem recta ET curvam AEH; recta deſignetur oportet, quæ curvam
AGB ad G tangat.
Fiat recta EV æqualis arcui EA;
&
concipiatur curva OGO ta-
lis, ut projectâ quâcunque rectâ DOL (quæ curvam OGO ſecet
puncto O, rectam ET in L) ductâque OQ ad GF parallelâ, ſit
VL. AQ:
: X.
Y;
eſtque curva OGO (è ſuprà monſtratis) _Hy-_
_perboln;_ hanc tangat recta GS;
etiam recta GS curvam AGB
continget.
Nam concipiatur altera curva NGN talis, ut cùm hanc ſecet recta
arbitraria DL in N, curvam AEH in K, rectam TE in L; ductáq;
ſit NR ad GF parallela, ſit VL + LK.
AR:
: X.
Y;
manife-
ſtum eſt curvam NGN utramque curvam AGB, & OGO tange-
re. [ſecet enim recta DL curvam AEB in I, ducatúrque IP ad
GF parallela; quum ergò ſit VL + LK.
AR:
: X.
Y:
: AK.
AP, & ſit VL + LK &
gt;
AK;
erit AR &
gt;
AP;
vel DR &
lt;
DP; adeóque DN &
lt;
DI;
unde punctum N intra curvam AGB
ſemper cadet; ac proinde curva NGN curvam AGB tan-
get; ſimilique planè diſcurſu curva NGN curvam OGO contin-
get.] Itaque curvæ AGB, OGO ſeſe (æquipollentèr) tangunt.
Quare cùm recta GS curvam OGO tangat; eadem curvam AGB
quoque continget: Q.
E.
F.
Si curva AEH ſit circuli quadrans, cujus centrum D;
erit curva
AGB _Quadratrix communis_. Ejus igitur _Tangens_ (unà cùm omni-
um ſimili ratione genitarum tangentibus) hoc pacto deſignatur,
Hujuſmodi plura quædam cogitaram hîc inſerere;
verùm hæc ex-
iſtimo ſufficere ſubindicando modo, juxta quem, citra _Calculi moleſti-_
_am, curvarum tangentes_ exquirere licet, unáque conſtructiones de-
monſtrare. Subjiciam tamen unum aut alterum non aſpernanda, ut vi-
detur _Theoremata_ perquam generalia.
XI.
Sit linea quæpiam ZGE, cujus axis VD;
ad quam impri-
mìs applicatæ perpendiculares (VZ, PG, DE) ab initio VZ con-
ſit item linea VIF talis, ut ductâ quâcunq;
rectâ EDF ad VD perpendiculari (quæ _curvas_ ſecet punctis E, F,
ipſam VD in D) ſit ſemper _rectangulum_ ex DF, & deſignatâ quâ-
dam R æquale _ſpatio_ reſpectivè _intercepto_ VDEZ; fiat autem DE.
DF:: R.
DT;
&
connectatur recta TF;
hæc curvam VIF
continget.
Sumatur enim in linea VIF punctum quodpiam I (illud primò ſu-
per hoc ducantur rectæ IG ad
VZ, ac KL ad VD parallelæ (quæ lineas expoſitas ſecent, ut vides)
éſtque tum LF. LK:
: (DF.
DT:
:) DE.
R;
adeóque LF x
R = LK x DE. Eſt autem (ex præſtituta linearum iſtarum natura)
LF x R æquale ſpatio PDEG; ergò LK x DE = PDEG &
lt;
DP x DE.
Unde eſt LK &
lt;
DP;
vel LK &
lt;
LI.
Rurſus accipiatur quodvis punctum I, infra punctum F, reliquáq;
fiant, utì priùs;
ſimilíque jam planè diſcurſu conſtabit fore LK x DE
= PDEG >
DP x DE, unde jam erit LK &
gt;
DP, vel LI.
E
quibus liquidò patet totam rectam TKFK intra (ſeu extra) curvam
VIFI exiſtere.
Iiſdem quoad cætera poſitis, ſi _ordinatæ_ VZ, PG, DE, &
c.
con-
tinuè decreſcant, eadem concluſio ſimili ratiocinio colligetur; uni-
cum obvenit _Diſcrimen_, quòd in hoc caſu (contra quàm in priore)
linea VIF concavas ſu
_Corol_.
Notetur DE x DT æquari ſpatio VDEZ.
XII.
Exindè deducitur hoc _Tbeorema_:
Sint duæ lineæ quævis
ZGE, VKF ta relatæ, ut ad communem ipſarum axem VD ap-
EDF, ſit ſemper quadratum ex DE æquale _du-_
_plo ſpatio_ VDEZ; ſumatur autem DQ = DE, &
connectatur FQ;
hæc curvæ VKF perpendicularis erit.
Concipiatur enim linea VIF, per F tranſiens, talis qualem mox
attigimus (cujus ſcilicet ad VD applicatæ ſe habeant ut ſpatia VDEZ; hoc eſt ut quadrata ex applicatis à curva VKF in præſente hypotheſi)
item lineam VKF tângat recta
Eſt ergò SD
atqui DE x DT
ergò DE x SD = (2 VDEZ = ) FDq.
unde conſtat angulum
quod Propoſitum erat.
Adjungam &
illis cognata hæc.
XIII.
Sit curva quævis AGEZ, punctúmque quoddam D (à quo
projectæ DA, DG, DE, & _c_.
ab initio DA continuò decreſcant)
lis, ut à D utcunque projectâ rectâ DKG (quæ curvam AEZ ſecet
in G, curvam DKE in K) ſit perpetuò rectangulum ex DK, & de-
ſignatâ quâdam lineâ R æquale ſpatio ADG; tum ductâ DT ad
DE perpendiculari, ſit DT = 2 R; &
connectatur TE;
hæc
curvam DKE continget.
Nam ſumpto quovis in curva DKE puncto K, ducatur recta DKG;
&
ſumptâ DL = DK, ducatur LR ad DT parallela ( ſecans ipſam
DG in Y). tum per E ducatur EX ad DE perpendicularis (hæc
verò extra curvam AEZ, ad partes Z cadet, quia decreſcunt proje-
ctæ verſus Z; unde EX verſus A intra curvam EGA cadet;
eate-
Sit jam primò pun-
ctum G ſupra E, verſus initium A, & ob TD.
DE:
: RL.
LE;
>
2 DEX = EX x DE.
ergò RL &
gt;
EX &
gt;
LY.
Eſt autem
punctum Y extra curvam, quia DY >
DL = DK;
ergò magìs
punctum R eſt extra curvam.
Sit rurſus punctum G infra punctum E verſus Z;
eſtque rurſus,
utì priùs, RL x DE = 2 GDE <
2 triang.
EDX = EX x DE.
unde RL &
lt;
EX &
lt;
LY.
Eſt autem recta LY extra curvam EK
tota, (nam etiam extra arcum LK curvæ KE circumductum tota ja-
cet) ergò punctum R rurſus extra curvam exiſtit. Liquidum eſt igi-
tur rectam TER curvam DKE tangere.
Quòd ſi punctum aliud ìn curva DKE deſignetur, puta K;
per
quod ducta ſit DKG; &
fiat DG.
DK:
: R.
P;
ſumatúrque
DT = 2 P; &
connectatur TG;
tum ducatur KS ad GT paralle-
la; recta KS curvam DKE tanget.
Nam concipiatur curva DOG, per G tranſiens, talis, ut rectâ
quâcunque DON à D projectâ (quæ curvam DOG ſecet in O,
curvam DNE in M, curvam AGE in N) ſit ſemper DO x P æ-
qualis ſpatio ADN; erit ideò DM x R = DO x P;
ac proinde
DM. DO:
: P.
R.
unde lì
Ve-
ergò KS ip-
ſam DKE continget.
Notetur eſſe DG q.
DK q:
: 2 R.
DS.
Nam eſt DG q.
DK q = DG.
DK + DG.
DK = R.
P +
DT. DS = R.
P + 2 P.
DS = 2 RP.
P x DS = 2 R.
DS.
itaque DG q.
DKQ:
: 2 R.
DS.
Hæc autem perinde vera ſunt, nec abſimili modo demonſtrantur;
etiam ſi projectæ à D rectæ DA, DG, DE, &_
c_.
pares ſint (quo ca-
ſu curva AGEZ _Circulus_ erit, & _Curva_ DKE _Spiralis Archimedæa_)
aut à DA continuò creſcant.
Exindè verò facilè colligitur hoc _Theorema_:
XIV.
Sint duæ curvæ AGE, DKE ità verſus ſe relatæ, ut à de-
ſignato in curva DKE puncto D ductis rectis DA, DG (quarum
hæc ipſam DKE ſecetin K) ſit ſemper _Quadratum_ ex DK _Quadru-_
ductâ DH ad DG perpendiculari, &
facto DK.
DG:
: DG.
DH;
connexâque HK;
erit HK curvæ DKE per-
pendicularis.
Nam concipiatur linea DOKO, per K tranſiens, naturâque talis
ut ad illam à D projectæ (ceu DK) ſe habeant in eadem quâ ſpatia ADG
ratione (quales lineas attigimus in proximè ſuperiori) & lineam
DOK tangat recta KT, lineam DKE recta KS; conveniant âu-
tem hæ cum ipſa HD punctis T, S; eſt igitur (è præcedente) DG@q.
DKq:
: {DK/2}.
DT.
hoc eft DH.
DK:
: {DK.
/2} DT;
hoc eſt (quo-
niam è DK:
: ({DK.
/2} {DS.
/2}
:) DK.
DS.
Liquet igitur rectam HK tangenti KS perpendicu-
larem eſſe: Q.
E.
D.
Ità Propoſiti noſtri priore (quam innuebamus) parte quomodo-
tCui ſupplendæ, appendiculæ inſtar, ſub-
nectemus à nobis uſitatum methodum ex Calculo tangentes reperien-
di. Quanquam haud ſcio, poſt tot ejuſmodi pervulgatas atque pro-
tritas methodos, an id ex uſu ſit facere. Facio ſaltem ex Amici con-
ſilio; eóque libentiùs, quòd præ cæteris, quas tractavi, compendio-
ſa videtur, ac generalis. In hunc procedo modum.
Sint AP, PM poſitione datæ rectæ lineæ (quarum PM propo-
ſitam curvam ſecet in M) & MT curvam tangere ponatur ad M,
ut ipſius jam rectæ PT quantitatem exqui-
curvæ arcum MN indefinitè parvum ſtatuo;
tum duco rectas
NQ ad MP, & NR ad AP parallelas;
nomino MP = _m_;
PT
= _t_; MR = _a_;
NR = _e_;
reliquáſque rectas, ex ſpeciali curvæ
natura determinatas, utiles propoſito, nominibus deſigno; ipſas au-
tem MR, NR (& mediantibus illis ipſas MP, PT) per _æquationem_
è Calculo deprehenſam inter ſe comparo; regulas interim has obſer-
vans. 1.
Inter computandum omnes abjicio terminos, in quibus
ipſarum _a_, vel _e_ poteſtas habetur, vel in quibus ipſæ ducuntur in ſe
(etenim iſti termini nihil valebunt).
2.
Poſt _æquationem constitutam_, omnes abjicio terminos, literis
conftantes quantitates notas, ſeu determinatas deſignantibus; aut in
quibus non habentur _a_, vel _e_. (etenim illi termini ſemper, ad unam
æquationis partem adducti, nihilum adæquabunt).
3.
Pro _a_ ipſam _m_;
(vel MP) pro _e_ ipſam _t_ (vel PT) ſubſtituo.
Hinc demùm ipſius PT quantitas dignoſcetur.
Quòd ſi calculum ingrediatur curvæ cujuſpiam indefinita particula;
ſubſtituatur ejus loco tangentis particula ritè ſumpta;
vel ei quævis
(ob indefinitam curvæ parvitatem) æquipollens recta.
Hæc autem è ſubnexis Exemplis clariùs eluceſcent.
Angulus ABH rectus ſit;
&
ſit curva AMO talis, ut per A du-
ctâ utcunque rectâ AK, quæ rectam BH ſecet in K, curvam AMO
hujus curvæ ad
M tangens eſt deſignanda.
Fiant quæ ſuprà præſcripta ſunt, &
(ductâ ANL) nominetur
AB = _r_; &
AP = _q_;
unde AQ = _q_ - _e_;
item QN = _m_ -
_a_. ergò eſt _qq_ + _ee_ - 2 _qe_ + _mm_ + _aa_ - 2 _ma_ = (AQq
+ QNq = ANq = ) BLq; hoc eſt (rejectis, uti monitum eſt,
rejiciendis) _qq_ - 2 _qe_ + _mm_ - 2 _ma_ = BLq. Porrò eſt
AQ. QN:
: AB.
BL;
hoc eſt _q_ - _e.
m_ - _a_:
: _r._
BL =
{_rm_ - _ra_./_q_ - _e_} quare {_rrmm_ + _rraa_ - 2 _rrma_/_qq_ + _ee_ - 2 _qe_.
} = BLq;
ſeu
(rejectis ſuperfluis) {_rrmm_ - 2 _rrma_/_qq_ - 2 _qe@_} = BLq = _qq_ - 2 _qe_ +
_mm_ - 2 _ma_. vel _rrmm_ - 2 _rrma_ = _q_
4 - 2 _q_3_e_ + _qqmm_ - 2 _qqma_ - 2 _q_3_e_ +
4 _qqee_ - 2 _qmme_ + 4 _qmae_; hoc eſt (abjectis iis, quæ præſcripſimus
3_e_ - 2 _qqma_ - 2 _qmme_. vel
_rrma_ - qq_ma_ = 2 _q_3_e_ + _qmme_; vel denuò ſubſtituendo _m_
pro _a_, & _t_ pro _e_, eſt _rrmm_ - _qqmm_ = 2 _q_
3_t_ - _qmmt_; vel
{_rrmm_ - qq_mm_/2 q3 - q_mm_} = _t_ = PT.
Sit recta EA (poſitione ac magnitudine data) &
curva EMO
proprietate talis, ut ab ea utcunque ductâ rectâ MP ad EA perpen-
MP æquetur _Cubo_ rectæ AE.
Nominentur AE = _r_;
AP = _f_;
unde AQ = _f_ + _e_;
&
AQ
cub. = _f_
3 + 3 _ffe_ + 3 _fee_ + _e_3; (ſeu abjectis ſuperfluis, ex præ-
ſcripto) = _f_3 + 3 _ffe_. Item NQ cub.
= cub.
_m_ - _a_ = _m_
3 -
3 _mma_ + 3 _maa_ - _a_3 (hoc eſt) = _m_3 - 3 _mma_. Quapropter
eſt _f_3 + 3 _ffe_ + _m_3 - 3 _mma_ = (AQ cub. + NQ cub.
=
AE cub. = ) _r_
3. abjectíſque datis, eſt 3 _ffe_ = 3 _mma_ = _o_.
ſeu, _ffe_ = _mma_;
ſubrogatíſque loco _a_, &
_e_ ipſis _m_, &
_t_, erit
_fft_ = _m_3; ſeu _t_ = {_m_
3/_ff_}; eſt ergò PT quarta proportionalis in ratio-
ne AP ad PM continuata.
Similiter, Si fuerit APqq + MPqq = AEqq;
reperietur
fore PT = {_m_4/_f_3}; vel PM quarta proportionalis in ratione AP ad
PM; ac ità porrò quod de _Cycloformibus_ iſtis lineis an obſervatu
dignum ſit neſcio.
Poſitione data ſit recta AZ, &
AX magnitudine;
ſit etiam _curva_
AMO talis, ut ductâ utcunque rectâ MP ad AZ normali, ſit AP
+ PM _cub_.
= AX x AP x PM.
Dicantur AX = _b_;
&
AP = _f_;
ergò AQ = _f_ - _e_;
&
AQ
_cub_. = _f_
3 - 3 _ffe_; &
QN _cub._
= _m_
3 - 3 _mma_. &
AQ x
QN = _fm_ - _fa_ - _me_ + _ae_ = _fm_ - _fa_ - _me_; unde AX x
AQ x QN = _bfm_ - _bfa_ - _bme_; hinc æquatio _f_ - 3 _ffe_
+ _m_3 - 3 _mma_ = _bfm_ - _bfa_ - _bme_; ſeu amoliendo reje-
ſubſtituendóque _bfm_ -
3 _m_3 = 3 _fft_ - _bmt_; ſeu, {_bfm_ - 3 _m_
3/3 _ff_ - _bm_} = _t_.
Sit _Quadratrix_ CMV (ad circulum CEB pertinens cui centrum
A,) cujus axis VA; ordinatæ CA.
MP ad VA perpendicula-
res.
Protractis rectis AME, ANF, ductíſque rectis EK, FL ad AB
radius AC = _r_;
recta
AP = _f_; AM = _k_.
Eſtque jam CA arc.
CB:
: NR.
arc.
FE.
hoc eſt, _r.
p_:
: _a_.
{_pa_/_r_} = arc.
FE.
&
AM.
MP:
: AE.
EK;
hoc
eſt, _k. m_:
: _r_.
{_rm_/_k_} = EK;
item AE.
EK:
: arc.
FE.
LK.
hoc
eſt, _r_. {_rm_:
: _pa_/_kr_.
} {_pma_/_rk_} = LK.
Verùm AM.
AE:
: AP.
AK;
hoc eſt _k_._r_:
: _f_.
{_rf_/_k_} = AK.
ergò {_rf_/_k_} - {_pma_/_rk_} = AL.
Et{_rrff_/_kk_} -
{2 _fmpa_/_kk_} (abjectis ſuperfluis) = AL_q_; adeóque LF_q_ =
{_rrkk_ - _rrff_ + 2 _fmpa_/_kk_} = {_rrmm_ + 2 _fmpa_./_kk_}
Eſt autem AQ_q_.
QN_q_:
: AL_q_.
LF_q_;
hoc eſt Q:
_f_ - _e_.
Q:
_m_ + _a_:
: ALq.
LFq.
hoc eſt _ff_ - 2 _fe_.
_mm_ + 2 _ma_:
:
_rrff_ - 2 _fmpa_. _rrmm_ + 2 _fmpa_.
Unde (ſublatis ex nor-
ma rejectaneis) emerget _æquatio_, _ffpa_ + _mmpa_ - _rrfa_ = _rrme_; ſeu
_kkpa_ - _rrfa_ = _rrme_; vel ſubſtituendo juxta _præſcriptum_;
_kkpm_ - _rrfm_
= _rrmt_; vel {_kkp_/_rr_} - _f_ = _t_.
Hinc colligitur eſſe rectam AT =
{_kk_/_rr_} _p_; hoc eſt (quoniam, ut notum eſt, AV = {_rr_/_p_}) erit AT =
{AMq/AV}; ſeu, AV.
AM:
: AM.
AT.
Sit DEB _Quadrans Circuli_, quem tangat recta BX;
tum linea
adæquet, erectáque PM ad AV normali, ſit PM æqualis arcûs BE
tangenti BG.
Sumpto arcu BF = AQ:
&
ductâ CFH;
demiſſis EK, FL
ad CB normalibus; nominentur CB = _r_.
CK = _f_:
KE = _g_.
Et quoniam eſt CE.
EK:
: arc.
EF.
LK;
vel CE.
EK:
: QF.
LK; hoc eſt _r_.
_g_:
: _e_.
{_ge_/_r_} = LK;
erit CL = _f_ + {_ge_.
/_r_} Et LF
= √ _rr_ - _ff_ - {2 _fge_/_r_} = √ _gg_ - {2 _fge_./_r_}
Eſt autem CL.
LF:
: (CB.
BH:
:) CB.
QN.
hoc eſt,
_f_ + {_ge_./_r_} √ _gg_ - {2 _fge_/_r_}:
: _r_.
_m_ - _a_.
vel (quadrando) _ff_ +
{2 _fge._/_r_} _gg_ - {2 _fge_/_r_}:
: _rr._
_mm_ - 2 _ma_.
Unde (dimiſſis quæ
oportet) obtinetur æquatio, _rfma_ = _grre_ + _gmme_. unde
ſubſtituendo, eſt _rfmm_ = _grrt_ + _gmmt_. vel {_rfmm_/_grr_ + _gmm_} = _t_.
ſeu (quoniam eſt _m_ = {_rg_/_f_}) erit _t_ = {_rr_/_rr_ + _mm_} _m_ = {CB_q_/CG_q_} BG =
{CK_q_/CE_q_} BG.
Hæc ſufficere videntur huic methodo elucidandæ.
R Eliquis utcunque patratis, apponemus iam _quæ ad magnitudinum_
è _tangentibus_ (ſeu è perpendicularibus ad curvas) _Dimenſiones_
_eliciendas pertinentia ſe objecerunt Tbeoremata_; de compluribus utiq;
ſelectiora quædam.
I Sit curva quæpiam VH (cujus axis VD, applicata HD ad VD
normalis) item linea φZψ talis, ut ſi à curvæ puncto liberè ſumpto
recta EAZ ad
axem perpenicularis, ſit recta AZ interceptæ AP æqualis; erit _ſpatium_
ADψφ_æq@ lis ſemiſſi quadr ati_ ex recta DH.
Nam ſit angulus HDO ſemirectus;
&
æquiſecetur recta V Din-
definitè punctis A, B, C; per quæ ducantur rectæ EAZ, FBZ,
GCZ, ad HD parallelæ; curvæ occurrentes in E, F, G;
à quibus
rectæ EIY, FKY, GLY ad VD (vel HO) parallelæ ducantur; quin &
rectæ EP, FP, GP, HP curvæ VH perpendiculares ſint;
li-
neæ verò ſe interſecent; ut vides.
Eſtque triangulum HLG ſimile
triangulo PDH (nam ob indefinitam ſectionem curvula GH pro re-
ctà haberiporeſt) quare HL. LG:
: PD.
DH.
adeóque HL x DH
= LG x PD; hoc eſt HL x HO = DC x Dψ.
Simili monſtra
bitur diſcurſu, quoniam triangulum GMF triangulo PCG aſſimila-
tur, fore LK x LY = CB x CZ; &
ſimiliter KI x KY = BA x
BZ; itidem denuò ID x IY = AV x AZ;
unde conſtat triangu-
lum HDO (quod a rectangulis HL x HO + LK x LY + KI x
KY + ID x IY mi@mè differt) æqu@i ſoatio VDψφ (quod iti-
dem à rectangulis DC x Dψ + CB x CZ + BA x BZ + AV
x AZ minimè differt); hoc eſt {DHq/2} æquari ſpatio VDψφ.
Longiordiſcurſus apagogicus adhiberi poſſit, at quorſum?
II.
Iiſdem poſitis, atque paratis;
_ſummarectangulorum_ AZ x AE
+ BZ x BF + CZ x CG, &e.
æquatur _trienti cubi_ ex baſe
Nam ob HL.
LG:
: PD.
DH:
: PD x DH.
DHq;
erit HL x
DHq = LG x PD x DH. hoc eſt HL x HOq = DC x Dψ x
DH. Similíque diſcurſu, LK x LYq = CB x CZ x CG.
&
KI
x KYq = BA x BZ x BF, &c.
Verùm HL x HOq + LK x
LYq + KI x KYq, &c.
adæquant trientem cubi ex DH;
itaque
liquet Propoſitum.
III.
Simili ratione conſtabit ſummam AZ x AEq + BZ x BFq
+ CZ x CGq, &c.
æquari τῶ{DH_qq_;
/4} &
eſſe ſummam AZ x
AE cub. + BZ x BE cub.
+ CZ x CG cub &
c.
= {DH {5/ }/5};
ac
eodem in continuum tenore.
IV.
Exhinc conſectantur haud aſpernanda _Theoremata_:
Sit
VDψφ ſpatium quodlibet, cujus axis VD, ut dictum, æquiſectus;
c.
in
ſuas ordinatas AZ, BZ, CZ, &c.
reſpectivè ſingulas duci, quæ pro-
veniet ſumma adæquabitur ipſius ſpatii VDψφ ſemiquadrato.
Nam (utì priùs oſtenſum) figuræ VDψ φ adaptari poteſt ſpatium
VDH; tale nimirum ut ductà quâvis ad curvam VH perpendiculari,
ceu EP, ſit AP ſibireſpondenti applicatæ AZ æqualis; &
VBZ φ = {BF_q_;
/2} &
VCZ φ = {CG_q_/2}
&c.
quapropter omnia VAZφ x AZ + VBZφ x BZ + VCZφ
x CZ, &c.
æquabuntur omnibus {AE_q_ x AZ + BF_q_ x BZ + CG_q_ x CZ/2}
}
V.
Quòd ſi ducantur omnia √ VAZφ, √ VBZφ, √ VCZφ,
&c.
in ſuas applicatas AZ, BZ, CZ, &
c.
reſpectivè proveniet ag-
gregatum æquale duabus tertiis radicis quadratæ facti ex ipſo ſpatio
VDψφ cubato (τῶ {2/3} √ VDψφ {3/ })
Nam adaptatâ curvâ VH, eſt √ VAZ φ = AE√ {1/2};
&
√ VBZφ
= BF √ {1/2}, & VCZφ = √ CG √ {1/2}, &
c.
Cùm itaque ſint
c.
= {DHcub.
/3}
crunt omnia AZ x √ VAZ φ + BZ x √ VBZφ + CZ x
√ VCZφ, &c.
= {DHcub/3} √{1/2} = √ {DH
6/18.} Eſt autem DH_q_ =
2 VD ψ φ, vel DH6 = 8VD ψ φ {3/ }; quapropter omnia AZ x
√ VAZ φ + BZ x √ VBZφ + CZ x √ VCZφ, &c.
= √
{8/18} VD ψ φ {3/ } = {2/3} √ VDψφ {3/ }.
VI.
_Exempla._
Sit VDψ circuli quadrans (cujus radius dicatur
R, & Peripheria P) ſegmenta VAZ, VBZ, VCZ, &
c.
in ſi-
nus rectos AZ, BZ, CZ, &c.
ducta conficient {R_q_P_q_/8.
}
Item Summa AZ √ VAZ + BZ √ VBZ + CZ √ VCZ,
&c.
= {2/3} √{R
3P3/8.} = √ {R
3P3/18.}
Si VD ψ ſit parabolæ ſegmentum, factum è ſegmentis in applicatas
erit {2/9} VD_q_ x Aψ_q_; ac è radicibus ſegmentorum in applicatas factum
erit {2/3} √ {8/2} { /7} VD3 x Dψ3 √ {3/2} {2/4} { /3} VD3 x Dψ3.
Similia plura de factis è _Segmentorum poteſtatibus, autradicibus_
_aliis in applicatas, aut ſinus ductis_, hinc extundi poſſent.
VII.
E dictis porrò ſequitur, ſi omnes ( vertici, &
perpendicula-
ribus interjectæ) VP per reſpectiva puncta A, B, C, &c.
Concipian-
tur applicatæ, puta ut AY, BY, CY, &c.
reſpectivis VP æquentur;
erit è ſic applicatis _conſtitutum ſpatium_ ADξθ _æquale ſemiſſe quadrati_
_ex ſubtenſa_ VH.
Nam, ob omnes VA + VB + VC, &
c.
= {VD_q_;
/2} &
omnes
AP + BP + CP&c.
= {DH_q_,/2} liquet fore omnes VP =
{VH_q_./2}
VIII.
Porrò, ſi (poſitis iiſdem) ſit curva RXXS talis, ut ſit IX
= AP, & KX = BP;
&
LX = CP, &
c.
erit _ſolidum factum ex_
DRSH, _itidem circa axem_ VD _rotato, confecti._
Nam ob HL.
LG:
: PD.
DH:
: Dψ.
DH:
: Dψ_q_.
Dψ x
DH:: Dψ_q_.
HS x DH;
erit HL x HS x DH = LG x Dψ_q_.
= DC x Dψ_q_.
Simili planè diſcurſu erit LK x LX x DL =
CB x CZ_q_; &
KI x KX x DK = BA x BZ_q_, &
c.
atqui ſoli-
dum ptAZ_q_ + BZ_q_ + CZ_q_, &
c.
&
ſolidum poſte-
rius eſt {2 ῶ/δ}: DI x IX + DK x KX + DL x LX, &
c.
itaque
conſtat Propoſitum.
IX.
Hæc itidem omnia ſimili ratione vera ſunt, etiam ſi curva VEH
nempe quovis in curva ac-
cepto puncto E; &
per hoc ductâ EP ad curvam VEH perpendicu-
lari, & EAY ad rectam VD normali, factáque AZ = AP;
erit
ſpatium VDψ = {DH_q_;/2} Sin quoque fiat AY = VP;
erit ſpati-
um VD ψ = {VH_q_;/2} Et pariter quoad cætera.
Ex his verò _Theorematis quam innumerarum magnitudinum_ (ex
ipſarum immediatè conſtructione) _dimenſiones innoteſcant_, ab expe-
rientia facilè comperietur.
X.
Sit rurſus curva quæpiam VH (cujus axis VD, baſis DH)
linea DZZO talis, ut a curvæ puncto quopiam, cen E, ductâ
rectâ ET, quæ curvam tangat, & recta EIZ ad baſin parallelâ, ſit
qerpetuò IZ æqualis ipſi AT; dico _ſpatium_ DHO _ſpatio_ VDH
_æquari_.
Æquiſecetur enim recta DH indefinitè, punctis I, K, L, per quæ
ducantur rectæ EIZ, FKZ, GLZ ad VD parallelæ, curvæque oc-
currentes ad E, F, G, unde ducantur rectæ EA, FB, GC ad HD
parallelæ, rectæque ET, FT, GT (ut & HT) _curvam tangentes;_
lineæ verò ſe, ut Schema monſtrat, interſecent.
Eſtque jam triangu-
lum GLH ſimile triangulo TDH (nam ob diviſionem iſtam indefi-
nitam arculus GH rectæ inſtar cenſeri poteſt, eatenus tangenti HT
coincidens) quare LG. LH:
: TD.
DH;
&
LG x DH = LH
x TD; ſeu CD x DH = LH x HO.
ſimili ratiocinio eſt BC x
&
AB x BF = IK x KZ, &
VA x AE =
DI x IZ. Verùm ſumma CD x DH + BC x CG + AB x
BF + VA x AE à ſpatio VDH minimè differt; &
ſumma LH x
DO + KL x LZ + IK x KZ + DI x IZ à ſpatio DHO mi-
nimè differt. itaque ſpatio VDH, DHO æquantur.
Hoc _perutile Theorema_ doctiſſimo Viro D.
_Gregorio Aberdonenſi_
debetur; cui ſequentia ſubnectimus.
XI.
Iiſdem poſitis;
ſolidum ex ſpatio DHO circa axem VDR
rotato factum duplum erit ſolidi facti ex ſpatio VDH itidem circa ax-
Nam eſt HL.
LG:
: (DH.
DT:
: DH.
HO:
:) DHq.
DH x HO.
unde HL x DH x HO = LG x DHq = CD x
DHq. Similíque diſcurſu ſunt LK x DL x LZ = BC x CGq.
& KI x DK x KZ = AB x BFq.
&
demum ID x DI x IZ =
VA x AEq. Eſt autem (ut vulgò notatum habetur) ſumma CD
x DHq + BCB x CGq + AB x BFq + VA x AEq dupla
ſummæ DI x IE + DK x KF + DL x LG, &c.
Quare ſolidum
ex ſpatio HDO circa axem DR converſo factum duplum eſt ſolidi,
quod è ſpatio VDH circa VD converſo producitur.
XII.
Hinc, ſumma DI x IZ + DK x KZ + DL x LZ, &
c.
æquatur ſummæ quadratorum ex applicatis ad VD;
ſcilicet ipſis AEq
+ BFq + CGq, &c.
XIII.
Simili ratiocinio conſtabit ſummam DIq x IZ + DKq x
KZ + DLq x LZ, &c.
triplam eſſe ſummæ DIq x IE + DKq
x KF + DLq x LG, &c.
hòc eſt æqualem ſummæ cuborum ab
omnibus AE, BF, CG, &c.
ad VD applicatis.
Idem quoad _re-_
_liquas poteſtates_ obſervabilis eſt Concluſionum tenor.
XIV.
Iiſdem poſitis;
ſi DXH ſit linea talis, ut quævis ad DH
o
natas IE, IZ; erìt ſolidum ex ſpatio VDH circa axem DH rotato
duplum ſolidi ex ſpatio DXH circa eundem axem DH converſo pro-
creati.
Nam ob VA x AE = DI x IZ, erit VA x AE x EI = DI x IZ x IE = ID x
IXq. Similíque de cauſa AB x BF x FK = IK x KXq;
&
BC
c.
Eſt autem ſumma VA x AE
x EI + AB x BF x FK + BC x CG x GL, &c.
Subdupla ſum-
ergò ſumma IXq +
KXq + LXq + HXq, ſubdupla eſt ſummæ VDq - EIq +
FKq + GLq. Vnde liquet Propoſitum.
XV.
Quòd ſi curva DXH talis concipiatur, ut ſit ordinata quæpiam,
ceu IX, inter congruas ordinatas IE, IZ bimedia *; erit ſumma cubo-
rum ex IX, KX, LX, &c.
ſubtripla cuborum ex DV, IE, KF, &
c.
Sin IX
ſit trimed. * erit IXqq + KXqq + LXqq, &
c.
= {DVqq + IEqq + KFqq/4}
&c.
ac ità porrò quoad cæteras poteſtates.
* _Not._
bimediam ap-
pello, quæ duarum mediarum proportionalium prima; trimediam,
quæ trium prima eſt, &c.
Hæc ſimili ratione colliguntur, ac comprobantur.
piget χοχχὺζι
XVI.
Sit porrò linea VYQ talis, ut ordinata AY ipſi AT;
&
ordinata BY ipſi BT, &c.
æquentur;
erit IZq + KZq + LZq,
&c.
(ſumma quadratorum ex ordinatis à curva DZO ad rectam DH)
æqualis ſummæ VA x AE x AY + AB x BF x BY + BC x CG
x CY, &c.
(hoc eſt figuræ VDH in figuram VDQ ductæ).
XVII.
Item, ſumma IZ.
cub.
+ KZ cub.
+ LZ cub.
&
c.
=
VA x AE x AYq + AB x BE x BYq + BC x CG x CYq,
&c.
_hoc eſt figuræ_ VDH _in figuræ_ VDQ _quadrata ductæ_).
Simi-
lis & aliarum _poteſtatum_ eſt ratio.
Ad ſuperiorum normam hæc facilè colliges.
XVIII.
Eadem vera ſunt, &
omnino ſimiliratione comprobantur,
Etiam ſi curvæ VH convexa rectæ VD obvertantur. Nempe, ſi linea
ET, & EA ad HD parallelâ, ac EIZ ad VD parallelâ, ſit perpetim IZ =
AT; erit ſpatium DHO ſpatio VDH æquale;
&
ſolidum factum ex ſpa-
DHO circa axem VR converſo duplum erit ſolidi ex ſpatio VDH
circa eundem axem VD rotato producti. quin &
reliqua pari modo
convenient.
XIX Porrò, ſit curva quæpiam AMB, cujus axis AD, &
huic
perpendicularis BD; tum alia ſit linea KZL talis, ut ſumpto in cur-
va AB utcunque puncto M; &
per hoc ductis rectâ MT curvam
in Z, rectam AD in F) datâque quâdam lineâ R; ſit TF.
FM:
:
FZ;
erit ſpatium ADLK æquale rectangulo ex R, &
DB.
Nam ſit DH = R;
&
compleatur rectangulum BDHI;
tum
aſſumptâ MN indeſinitè parvâ curvæ AB partìculâ ducantur NG ad
BD; &
MEX, NOS ad AD parallelæ.
Eſtque NO.
MO:
:
TF. FM:
: R.
FZ.
Unde NO x FZ = MO x R;
hoc eſt FG
x FZ = ES x EX. ergò cum omnia rectangula FG x FZ minimè
differant à ſpatio ADLK; &
omnia totidem rectangula ES x EX
componant rectangulum DHIB, ſatìs liquet Propoſitum.
XX.
Iiſdem poſitis, ſit curva PYQ talis, ut ſumpta in ſumpta
recta MX ordinata EY (reſpectivæ) ipſi FZ æquetur, erit _ſumma_
_quadr atorum_ ex FZ (ad rectam AD computata) par ei quod fit ex
ipſa R in _ſpatium_ DBQB ducta.
Eſt enim FG.
ES:
: NO.
MO:
: R x FZ.
FZq:
: R x EY.
FZq.
adeóque FG x FZq = ES x R x EY.
XXI.
Simili ratione _ſumma Cuborum_ ex FZ æquatur ei quod fit ex R
in ſummam quadratorum ex rectis EY ad BD applicatis. neque non ſi-
mili quoad reliquas poteſtates tenore.
XXII.
Sit curva quævis DOK, in qua deſignatum punctum D;
ſubtenſa recta DK;
ſit item curva AE talis, ut à D projectâ quâ-
vis rectâ DMF (quæ curvas ſecet punctis M, F) ductíſque DS ad
DM normali, & MS curvam DOK tangente (concurrentibus utiq;
puncto S) datâque quâdam R, ſit DS.
2 R:
: DMq.
DFq;
erit
ſpatium ADE æquale ex R, DK.
Nam ſubtenſa DK indefinitè ſecta concipiatur punctis PQ, &
c.
per quæ centro C deſcripti tranſeant arcus PM, QRN;
curvam
DOK ſecantes punctis M, N; per quæ ducantur rectæ DMF,
DNG; ſint verò DT ad DK;
&
DS ad DM perpendiculares;
quibus occurrant tangentes KT, MS. demùm centro D per E duca-
tur arcus EX; &
per F arcus FY.
Jam, ob ſectionem indefinitam,
eſt triangulum KPM triangulo KDT ſimile. ac ideò MP.
PK:
:
TD. DK.
item eſt DP.
PM:
: DE.
EX.
ſeu, propter aſſigna-
tam cauſam, DK. MP:
: DE.
EX.
Eſt itaque MP x DK.
PK x
MP:: TD x DE.
DK x EX.
hoc eſt DK.
PK:
: TD x DEq.
DK x EX x DE. ac inde DKq x EX x DE = PK x TD x
DEq. (_a_) Eſt autem DT.
2 R:
: DKq.
DEq;
ſeu DT x DEq
ergò eſt DKq x EX x DE = PK x 2 R x DKq.
quare EX x DE = 2 R x PK;
hoc eſt, 2 ſector DEX = 2 R x PK.
unde ſector DEX = R x PK. Simili planè diſcurſu ſector DFY
itaque totum ſpatium ADE
quod ab ejuſmodi ſectoribus minimè differt adæquatur toti R x DK. quod erat Propoſitum.
XXIII.
Iiſdem, quoad cætera, poſitis atque paratis, ducantur KH
MI ad MS perpendiculares;
&
concipiatur jam curva
AE naturâ talis, ut ſit DE = √ DK x DH; &
DF = √ DM x
DI; ac ità perpetuò;
erit ſpatium ADE quadrati ex DK ſubqua-
druplum.
Nam eſt MP.
PK:
: DK.
DH:
: DKq.
DK x DH:
: DKq.
DEq.
item DP.
PM:
: DE.
EX;
hoc eſt DK.
PM:
: DE.
EX. ergò MP x DK.
PK x PM:
: DKq x DE.
DEq x EX.
hoc eſt DK PK:: DKq.
DE x EX.
vel DKq.
DK x PK:
: DKq.
DE x EX. unde DK x PK = DE x EX.
Simili ratione DM x MR
(vel DP x PQ) = DF x FY. Verúm omnia DK x PK, DP x
PQ, &c æquantur ſemiſſi quadrati ex DK;
&
omnia DE x EX,
DF x FY, &c æquantur _duplo ſpatio_ EDA;
unde manifeſte con-
ſequitur Propoſitum.
XXIV.
Sit curva quæpiam DOK, in qua punctum D;
cuique
ſit item curva DZI talis, ut ſumpto in curva
DOK puncto quopiam M, connexâque DM; &
ductâ DS ad DM
perpendiculari, & MS curvam DOK tangente;
ſumptâ demum
DP = DM, & ductâ PZ ad DK perpendiculari, ſit PZ = DS;
erit _ſpatium_ DKI æquale _duplo ſpatio_ DKOD.
Nam recta KP concipiatur indefinitè parva;
&
DT ipſi DK per-
pendicularis ſit, & KT curvam DOK tangat.
Eſt itaque (ducto
arcu MP) rurſus KP. PM:
: KD.
DT:
: KD.
KI.
unde KP x
KI = PM x KD. Capiatur alia particula PQ, &
centro D per
Q ducatur arcus QN, quem ſecet ſubtenſa DM in R; eſt ergòrur-
ſus MR. RN:
: MD.
DS;
hoc eſt PQ.
RN:
: MD.
PZ qua-
re PQ x PZ = RN x MD; ac ità continuò deinceps.
patet igitur
omnia ſimul rectangula KP x KI, PQ x PZ, &c.
æquari aggrega-
to omnium PM x KD, RN x MD, &c.
hoc eſt ſpatium DKI
duplo ſpatio DKOD æquari.
XXV.
Iiſdem quoad cætera poſitis atque paratis, ordinatæ PZ jam
æquales concipiantur ipſis MS reſpectivis; &
ad rectam aſſumptam
c, æquales ipſis curvæ partibus
DOK, DOM, DON, &c.
applicentur rectæ _kd_, _md_, _nd_, &
c.
&
c.
erit ſpatium X _k d_ æquale ſpa-
tio DKI.
Nam eſt KM.
KP:
: KT.
KD;
hoc eſt _km_.
KP:
: KI _kd_.
unde _km x k d_ = KP x KI.
Simiſique pacto, MN.
MR:
: MS.
MD. ſeu _mn_.
PQ:
: PZ.
_md_.
unde _mnx_ = PQ x PZ.
ac ità deinceps. unde cònſtat Propoſitum.
XXVI.
Sin porrò, perſiſtentibus reliquis, adſumptâ quâvis rectâ.
_kg_, completóque rectangulo X _kgb_, curva DZI talis intelligatur,
ut ſit MD. MS:
: _k g_.
PZ;
erit rectangulum X _k g b_ æquale ſpatio
Nam eſt rurſus KP.
KM:
: KD.
KT:
: _k g_.
KI.
adeóque KP x
KI = (KM x _kg_ = ) _km_ x _kg_. Similitérque PQ x PZ = _mn_ x
_kg_. ac ità ſemper.
Unde conſtat.
Hinc noto ſpatio DKI cognoſcetur quantitas curvæ DOK.
Hujuſmodi verò complura deprehendet quiſquis hanc _Mineram_ pe-
nitiùs explorârit, ac excuſſerit. Faciat cui id vacat &
adlubeſ-
cit
XXVII.
Uſui fortè nonnunquam erit (mihi ſubinde fuit) &
hoc,
è præmiſſis deductum Theorema.
Sit curva quæpiam VEH (cujus axis VD, baſis DH) quam tangat ut-
cunque recta ET; &
ducatur EA ad HD parallela.
tum altera ſta-
tuatur curva GZZ talis, ut à puncto E ductâ EZ ad VD pa-
rallelâ (quæ baſin DH in I, curvam GZZ in Z ſecet) adſumptâq; quâpiam determinatâ R, ſit ſemper DA q.
R q:
: DT.
IZ;
erit
DA. AE:
: R q ſpat.
DIZG.
(vel facto DA.
R:
: R.
DP;
ductâque PQ ad DH parallelâ, erit _Rectangulum_ DPQI par _ſpa-_
_tio_ DGZI).
Etiam hoc adjiciatur _Theorema;_
nonnunquam uſui futurum.
XXVIII.
Sit curva quælibet AMB (cujus axis A D);
ſit item li-
M, & ab eo ductis rectâ MP ad curvam AB perpendiculari (quæ
axem AD ſecet in P) & rectà MG ad AD perpendiculari (quæ
curvam KZL ſecet in Z) ſit conſtantèr GM. MP:
: arc AM.
GZ;
erit _ſpatium_ ADKL æquale _ſemiſſi quadrati_ ex arcn AM.
Hæcinquam, è præcedentibus haud magnâ o perâ colligantur, id
verò ſufficiat admonitum; etenim hic animus eſt paulo ſubſiſtere.
1.
Cum pridem ante plures annos illuſtris Viri, _Chriſtiani Hugenii,_
_Cyclometrica_ luſtrarem, ac in eo verſatus adverterem ad id
negotii duas præſertim ab ipſo methodos adhiberi; quarum una _Cir-_
_culi ſegmentum_ duobus parabolicis (uni inſcripto, alteri adſcripto)
medium eſſe monſtrans, illius inde magnitudini limites præſcribit; altera _Parabolici ſegmenti, &
Parallelogrammi_ æquè altorum cen-
tris gravitatum medium interjacere centrum gravitatis circularis ſeg-
menti oſtendens, alteros exindè limites, adſignat; incidit mihi cogi-
tatio poſſe loco parabolæ in prima methodo, nec non vice Parallelo-
grammi in ſecunda, paraboliformium aliquam circulari ſegmento cir-
cumſcriptibilem uſurpari, ſic ut res aliquanto propiùs attingatur; id
mox verum eſſe re perpensâ comperi; quin&
prætereà notavi facilèſup-
pares methodos _Hyperbolici ſegmenti dimenſioni_ accommodari. Quo-
rum demonſtratio (præ aliis fortaſſe, quæ excogitari poſſent) brevis
& clara cùm è ſuprà poſitis conſequatur aut pendeat, eam (alioquin
opinor haud injucundam) hîc viſum eſt apponere.
II.
Adſumimus autem hæc pervulgata;
quorúmque demonſtratio-
nes è præmonſtratis haud difficilè variis modis colligantur; ſi _parabo-_
_gens_ BT; _Gravitatis centrum_ K) exponens ſit {_n_/_m_};
erit _Area_ BAE
= {_m_/_n_ + _m_} AD x BE; &
TD = {_m_/_n_} AD, &
KD = {_m_/_n_ + 2 _m_} AD.
III.
Sint duæ quævis curvæ AEB, AFB (quarum communis
EFG ad BD parallelâ, quæ lineas expoſitas punctis E, F, G ſecet, po-
ſitóque quòd rectæ ES, FT tangant curvas, (illa curvam AEB, hæc
dico nullam cur-
væ AFB partem intra ipſam AEB cadere.
Si fieri poteſt, cadat pars NFM;
ità ſcilicet ut curva AFB cur-
vam AEB interſecet punctis M, N; his autem interjecta concipiatur
indeterminatè ordinata EFG; ſint verò lineæ LXK, RYQ tales,
utductis rectis EO, FP ad ipſas ES, FT perpendicularibus, protra-
ctâque rectâ EG, ut hæc dictas lineas LK, QR ſecet punctis X, Y; ſit GX = GO, &
GY = GP.
Jam ex oſtenſis patet eſſe _ſpatium_
IHKL = {HMq - INq/2} = ſpat. IHQR;
adeóq;
ſpat.
IHKL, IHQR
æquari. Verùm ob GE.
GO (GX):
: SG;
GE.
&
lt;
SG.
GF &
lt;
TG.
GF:
:
GF. GP (GY) &
lt;
GE.
GY;
eſt GX &
gt;
GY;
adeòque (cùm
hoc ubique ſimiliter contingat) ſpatium IHKL majus ſpatio IHQR;
quod repugnat oſtenſo. itaque liquet Propoſitum.
Hinc tota AFB extra totam AEB jacet, nec illa hane uſquam inter-
ſecat.
IV.
Sit curva quæpiam BAE, cujus axis AD, &
ad hunc ordina-
ſegmenti verò BAE centrum gravitatis ſit punctum
H, qer quod ducta ſit recta RS ad BE parallela Porrò per puncta
R, S tranſeat altera curva (vel linea quævis) MR ASN, habens iti-
dem axin AD, ac ita priorem curvam BAE ſecans, ut ejuſce pars
ſuperior RKAP Sintra curvam BAE cadat, inferiores verò reliquæ
partes RM, SN extra eandem; erit ſegmenti MRASN centrum
gravitatis infra punctum H, verſus baſin MN.
Nam è ſegmento RIAO Sablatum RIAK + AOSP reſidu-
um BRKAPSE deprimet verſus baſin BE, puta ut jam ſit hujus
reſidui _Centrum gravitatis_ ad X; tunc adjunctum BRM + ESN
adhuc totum MRKAPSN magis deprimet; adeóque centrum ejus
infra X conſiſtet, velut ad Y. itaque conſtat Propoſitum.
V.
_Circulum_ AFB, cujus _Centrum_ C, tangant duæ rectæ BT, E S
&
ad CA perpendiculares
ſint rectæ BD, EP; ſit autem AD major quàm AP;
erit TD.
AD
>
SP.
AP.
Nam eſt CT.
CA:
: CA.
CD.
Ideoque CT - CA.
CA -
CD:: CT.
CA;
hoc eſt TA.
AD:
: CT.
CA.
Simili ratione conſtabit
eſſe SA. AP:
: CS.
CA.
Eſt autem CT.
CA &
gt;
CS.
CA.
quare TA, AD &
gt;
SA.
AP.
vel componendo TD.
AD &
gt;
SP.
AP.
VI.
_Hyperbolam_ AEB, cujus _Centrum_ C, tangant duæ rectæ
BT, ES, & reliqua ponantur ut in proximè præcedente;
erit T D:
lt;
SP.
AP.
Nam eſt CA.
CD:
: CT.
CA.
unde CA - CT.
CD -
CA:: CT.
CA;
hoceſt TA.
AD:
: CT.
CA.
ſuppare diſ-
curſu, eſt SA. AP:
: CS.
CA.
Verùm eſt CT.
CA &
lt;
CS.
CA.
quare TA.
AD &
lt;
SA.
AP;
ſeu componendo TD.
AD
<
SP.
AP.
VII.
_Circali_ AEB (cujus _Centrum_ C) &
_paraboliformis_ AFB
communes ſint axis AD, & baſis BD;
ſit autem _paraboliformis_ ex-
ponens {_n_/_m_}; &
AD = {_m_ - 2 _n_/_m_ - _n_} CA (vel _m_ - _n_.
_m_ - 2 _n_:
:
CA. AD) _circulum_ verò tangat recta BT;
hæc quoque _paraboli-_
_formem_ AFB continget.
Nam quia BT _circulum_ tangit, eſt CT CA:
: CA.
CD;
unde TA.
:.
CACD.
AD:
: CA + CD.
CD Item, quo-
uiam eſt (ex hypotheſi) CA. AD:
: _m_ - _n_.
_m_ -2 _n_;
erit per ratio-
nis converſionem CA. CD:
: _m_ - _n.
n_.
&
componendo CA +
CD. CD:
: _m.
n_.
hoc eſt TD.
AD:
: _m.
n_.
unde
VIII.
Subnotetur, quòd inversè, datâ ratione ipſius AD ad CA’
deſignabitur hinc _paraboliformis_; quæ _Circulum_ AEB ad B contin-
get. Nempe, ſi AD = {_s_/_t_}, erit {_t_ - _s_/2 _t_ - _s_} dictæ _paraboliformis ex-_
ponens. Nam poſito fore {_t_ - _s_/2 _t_ - _s_} = {_n_/_m_};
erit ideò (juxta crucem
multiplicando) _mt_ - _ms_ = 2 _tn_ - _sn_; &
tranſponendo _mt_ -
2 _nt_ = _ms_ - _ns_. ac ideò (æqualitatem ad analogiſmum redigendo)
_m_ - _n. m_ - 2 _n_:
: _t.
s_:
: CA.
AD.
itaque conſtat ex anteceden-
te Propoſitum.
IX.
Manente quoad cætera ſeptimæ hypotheſi, _paraboliformis_
AFB extra _circulum_ AEB tota cadet.
Nam utcunque ducatur recta GEF ad DB parallela;
quæ ſecet
ductæque concipiantur rectæ
ES _circulum_, & recta FR _paraboliformem_ contingentes;
Eſtque
AG:
:
n_:
: TD.
AD
gt;
SG.
AG.
quare RG
gt;
SG.
unde
X.
Reliquis itidem ſtantibus, ſiad baſin GE (utcunque parallelam
axem AD conſtituta intelligatur _paraboliformis_ ejuſdem cum
ipſa AFB generis (nempe cujus etiam exponens {_n_/_m_}) illa ad partes A
ſupra GE, extra _circulum_ tota jacebit.
Nam in arcu AE accepto quocunque puncto M, ductâque MP ad
EG parallelâ, & MV circulum tangente;
eſt VP.
AP &
lt;
SG.
AG &
lt;
RG.
AG:
: _m.
n_;
XI.
Conſectatur etiam dictam (ipſi AFB coordinatam &
ad ba-
ſin GE conſtitutam) _paraboliformem_ infra GE ad DB protractam,
Quòd intra _Circulum_ ſtatim infra EG cadet ex eo patet, quòd ipſam
tangens RE circulum ſecat (quia nempe SE circulum tangit). quòd
alibi _Circulo_ non occurret hinc patet; quoniam poſito quòd occurrat
uſpiam ad N,
XII.
Porrò, _Hyperbolæ_ AEB (cujus centrum C) &
_parabolifor-_
ſit autem AD = {2 _n_ - _m_/_m_ - _n_} CA;
&
BT _hyperbolam_ tangat;
hæc
quoque _paraboliformem_ AFB continget.
Nam eſt CD.
CA:
: CA.
CT.
acindè AD.
TA:
: CD.
CA;
inverſéq;
componendo TD.
AD:
: CA + CD.
CD.
Verùm
theſi, eſt _m_ - _n_. 2 _n_ - _m_:
: CA.
CD;
adeoque inversè compo-
nendo CA. CD:
: _m_ - _n.
n_:
&
rurſus componendo CA + C D.
CD:: _m.
n._
hoc eſt TD.
AD:
: _m.
n_.
unde BT _hyperboliformem_
contingit.
XIII.
Hinc rurſu datà ratione ipſius AD ad CA, _paraboliformis_
ad punctum B _bype bolam_ contingens deſignabitur. nempe ſit AD =
{_s_/_t_} CA; erit {_n_/_m_} = {_t_ + _s_/2 _t_ + _s_}.
Nam hoc ſuppoſito erit (ςαυρδὸν
vel tranſponendo 2 _nt_ -
_mt_ = _ms_ - _ns_. unde _m_ - _n_.
2 _n_ - _m_:
: _t.
s_:
: CA.
AD.
er-
gò patet ex antecedente.
XIV.
Stante duodecimæ hypotheſi, _paraboliformis_ AFB intra hy-
perbolam AEB tota cadet.
Nam utcunque ducatur EFG ad BD parallela;
&
recta ER _hy-_
Eſtque SG.
AG:
:
n_:
: TD.
AD
lt;
RG.
AG.
unde RG &
gt;
SG.
XV.
Etiam, ſi reliquis perſtantibus, ad baſin GE, axin AG con-
ſtitutam imagineris ejuſdem ordinis _paraboliformem_; hæc ad partes
Nam ſi in _curva hyperbolica_ AE ſumatur ubicunque punctum M, &
ordinetur MP, ducatúrque hyperbolam tangens MV; erit VP.
AP &
gt;
_m.
n._
adeoque rurſus è tertia liquet Propoſitum.
XVI.
Quinetiam ſi hæc altera coordinata _paraboliformis_, ad baſin
EG conſtituta, ad DB protracta concipiatur, ejus ipſis EG, BD in-
Nam quòd extra _hyperbolam_ infra EG cadit, exinde patet, quòd
ipſa cum ipſius tangente recta ES angulum efficit minorem eo, quem
eadem recta ES efficit cum recta RE hyperbolam tangente. quòd au-
tem eadem alibi, velut ad N, _hyperbolæ_ non occurrit, patet; quoniam
hoc poſito,
XVII.
Habeant _Circulus_ AEB, &
_parabola_ AFB communem
axem AD, & baſin DB;
_parabola_ ad partes ſupra BD intra _Circu-_
_lum_; at infra BD extra _circulum_ cadet.
Sit enim _Circuli Diameter_ AZ, &
eiæqualis A Had BD paralle-
la, & connectatur ZH;
&
huic BD producta ad I;
ergo DI eſt
quòd ſi ſupra BD utcunque ducatur recta
EF GK ad BD parallela circulum ſecans in E, parabolam in F, rectas
AZ, HZ, in G, & K, patet eſſe GEq = AG x GK &
gt;
AG x DI
= GFq. unde GE &
gt;
GF.
Item, ſi infra BD utcunque ducatur
recta MN OL ad BD parallela _parabolam_ ſecans in M, _circu-_
_lum_ in N, rectas AZ, HZ in O, & L, itidem patet eſſe MO q
= AO x DI >
AO x OL = NO q.
&
ideò M O
gt;
NO.
quare liquent ea, quæ Propoſita ſunt.
Si _Circulo_ ſubſtituatur _Ellipſis_, eadem concluſio valet idem diſcur-
ſus probat; pofitâ AH _Ellipſis parametro_.
XVIII Habeant _hyperbola_ AEB (cujus axis AZ, parameter AH)
& _parabola_ AFB axin eundem AD, &
baſin DB, _parabola_ ſupra
DB tota extra _hyperbolam_ cadet, extra verò, ſi infra DB protraha-
Nam connexæ ZH occurrat BD in I;
ergò DI eſt _parabolæ pa-_
_rameter_. Quòd ſi ſupra BD utcunque ducatur recta FEGK ad BD
parallela, ſecans hyperbolam in E, parabolam in F, rectas AD, ZH
punctis G, K, erit FGq = AG x DI >
AG x GK = EGq.
qua-
re FG >
EG.
Quòd ſiinfra BD, utcunque ducatur recta MNOL
ſecans hyperbolam in N, parabolam in M, rectas AD, ZH in O, &
L, erit NO q = AO x OL >
AO x DI = MOq.
&
indè NO
>
MO.
unde conſtant ea quæ propoſita ſunt.
XIX.
E dictis eliciuntur hæ _ad Circuli dimenſionem pertinentes regu-_
_la._ Sit BAE circuli portio, cujus axis AD, baſis BE;
ſitque C
EH ſinus rectus arcus BAE;
item, ſit AD =
{_s_/_t_} CA; erit 1.
{2 _t_ - _s_/3 _t_ - 2 _s_} AD x BE &
gt;
port.
BAE.
2.
EH + {4 _t_ - 2 _s_/3 _t_ - 2 _s_} BH &
gt;
arc.
BAE.
3.
{2/3} AD x BE &
lt;
port.
BAE.
4.
EH + {4/3} BH &
lt;
arc.
BAE.
XX.
Itidem hæ deducuntur ad _hyperbolæ dimenſionem ſpectantes re-_
_gulæ_. Sit _hyperbolæ_ (cujus centrum C) ſegmentum ADB, habens
&
baſin DB;
erit 1.
{2 _t_ + _s_/3 _t_ + 2 _s_} AD x DB &
lt;
ſegm.
ADB.
&
2.
{2/3} AD x DB &
gt;
ſegm.
ADB.
XXI.
Porrò, ſit _circuli_ (cujus centrum C) ſegmentum BAE, cu-
jus axis AD, & _gravitatis centrum_ K;
ponatur autem AD =
{_s_/_t_} CA, & HD = {2 _t_ - _s_/5 _t_ - 3 _s_} AD;
erit HD major ipsâ KD.
Nam per H ducatur recta OP ad BE parallela;
éſtque punctum
(nam ſi {_t_ - _s_/2 _t_ - _s_} = {_n_/_m_};
erit {2 _t_ - _s_/5 _t_ - 3 _s_} = {_m_/_n_ + 2 _m_}) &
pro-
inde H ad baſin BE pertingentis.
Hæc autem ſupra O
P infra OP
XXII.
Sin punctum L ſit _centrum gravitatis parabolæ_, erit L infra
adeóque KD &
gt;
{2/5} AD.
Patet ex 4, &
17 hujus appen-
diculæ.
XXIII.
Sit _Hyperbolæ_ (cujus centrum C) _ſegmentum_ BAE, cujus
gravitatis centrum K;
ponatur autem AD =
{_s_ / _t_} CA, & HD = {2 _t_ + _s_/5 _t_ + 3 _s_} AD;
erit HD minor ipsâ
Nam per H ducatur recta OP ad BE parallela
Eſtque punctum
_paraboliformis_, puta AFB, ad baſin DB conſtitutæ,
cujus exponens {_t_ + _s_/2 _t_ + _s_}; _Hyperbolam_ ad B contingit (nam
erit {2 _t_ + _s_/5 _t_ +3 _s_} = {_m_/_n_ + 2_m_}
ad BE
pertingentis. hæc autem ſupra OP
infra OP
XXIV.
Parabolæ centrum gr.
(puta L) ſupra K exiſtit, adeóque
KD <
{2/3} AD.
Patet ex 4, &
18 hujus appendiculæ.
XXV.
Nè ſpeculatio præſens, _ob bujuſmodi complures metbodos Cy-_
_clometricas indies promulgatas_, aſpernanda videatur, adjungemus con-
ſectarium unum vel alterum, quibus fortè ſolis hæc paucula meruerant
à quibus nempe _Maxima, Minimaque_ ſui generis innume-
ra determinantur.
Sit _Semicirculus_ ABZ, cujus centrum C;
ſitque _ſegmentum
ADB; &
huic adſcripta _paraboliformis_ AFB, cujus exponens {_u_/_m_};
ſit item AD = {_m_ - 2 _n_/_m_ - _n_} CA;
_paraboliform@s_ autem _parameter_ (hoc
eſt recta, cujus aliqua poteſtas in poteſtatem ſegmenti axis, ſeu AD,
ducta conficit _poteſtatem_ ordinatæ, ceu D B) nominetur _p_; erit _p_ in ſuo
genere _maximum_.
Nam utcunque ducatur GE ad DB parallela, &
ad GE poſita
concipiatur _paraboliformis_, ipſi AFB coordinata, cujus _parameter_ di-
catur _q_. quum ergò _paraboliformis_ AFB _circulum_ extrorſum contin-
gat, erit GF >
GE;
adeóque GF {_m_/ } &
gt;
GE {_m_/ };
hoc eſt _p_ {_m_ - _n_/ } x
AG {_n_/ } >
q {_m_ - _n_/ } x AG {_n_/ };
quare _p_ &
gt;
_q_.
Notandum eſt eſſe _p_ {2 _m_ - 2 _n_/ } = ZD
_m_ x AD {_m_ - 2 _n_/ }. &
q {2 _m_ - 2 _n_/ }
= ZG {_m_/ } x AG {_m_ - 2 _n_/ }. unde ZD {_m_/ } x AD {_m_ - 2 _n_/ } &
gt;
ZG {_m_/ } x AG {_m_ - 2 _n_/ }.
quare ZD {_m_/ } x AD {_m_ - 2 _n_/ } eſt maximum.
Exemp.
1.
Sit _n_ = 1, &
_m_ = 3.
erit ideò _p_ {4/ } = ZD {3/ } x AD =
ZD_q_ x BD_q_; vel _p_
2 = ZD x BD. Item AD =
{1/2} CA.
2.
Sit _n_ = 3, &
_m_ = 10.
erit p {14/ } = ZD
10 x AD4. vel p {7/ } = ZD {5/ } x AD
2 = ZD3 x BD4. &
AD
= {4/7} CA.
XXVI.
Sit item _hyperbola_ (æquilatera) cujus centrum C, axis
ZA; &
huic inſcripta _paraboliformis_ AFB cujus expo-
ſitque AD = {2_n_ - _m_/_m_ - _n_} CA;
erit _p_ ſui gene-
neris maximum.
Nam utcunque ducatur EG ad BD parallela;
&
ad EG conſtituta
intelligatur _paraboliformis_, ipſi AFB coordinata, cujus _parameter q._ quum ergo _paraboliformis_ AFB _hyperbolam_ introrſum contingat,
erit GF {_m_/ } <
GE {_n_/ };
hoc eſt _p_ {_m_ - _n_/ } x AG
n <
_q_ {_m_ - _n_/ } x AG
n;
quare _p_ <
_q_.
_Notandum_ eſt eſſe _p_ {2 _m_ - 2 _n_/ } = {ZD {_m_/ }/AD {2 _n_ - _m_/ }}.
&
_q_ {2 _m_ - 2 _n_/ } =
{ZG {_m_/ }/AG {2 _n_ - _m_/ }}. unde erit {ZD {_m_/ }/AD {2 _n_ - _m_/ }} &
lt;
{ZG {_m_/ }/AG {2 _n_ - _m_/ }}.
quare {ZD {_m_/ }/AD {2 _n_ - _m_/ }} eſt mi-
_Exemp_.
1.
Sit _n_ = 2;
&
_m_ = 3;
erit _p_
2 = {ZD3/AD}. = {BD
6/AD4}. &
_p_ = {BD3/ADq}. = {ZDq/BD}.
Item AD = CA.
2.
Sit _n_ = 3;
&
_m_ = 4;
erit _p_
2 = {ZD4/AD2} vel p = {ZD2/AD}
= {BD4/AD3} = {ZD3/BD2}. Item AD = 2 CA.
3.
Sit _n_ = 5, &
_m_ = 8;
erit _p_ {6/ } = {ZD
8/AD2}. vel _p_
3 = {ZD4/AD}
= {BD8/AD5} = {ZD5/BD2}. Item AD = {2/3} CA.
Quoniam in his _Cyclometriam_ attigi, quid ſi obiter eò ſpectantia
_Theoremata_, quæ ad manum, paucula ſubjunxero? præſternatur au-
Sit curva quæpiam AGB, cujus axis AD, &
ad hunc ordinatæ
rectæ BD, GE; Habebit curva AB ad curvam AG majorem rati-
onem quàm recta BD ad rectam GE.
Nam ducatur recta GH ad AD parallela:
ſecentúrque recta B H
punctis Y, & recta GE punctis Z in particulas indefinitè multas;
pér-
que puncta Y, Z ducantur rectæ YM, YN, ZO, ZP ad AD paral-
lelæ: curvam interſecantes punctis M, N, O, P;
per quæ ducantur
rectæ MR, NS, OT, PV ad BD parallelæ. Eſtque angulus BM Y
(ut è ſuperius oſtenſis liquet) minor angulo NGS, unde MB. B Y
>
GN.
NS.
Similíque de cauſa eſt NM.
MR &
gt;
GN.
NS.
BY + MR + NS &
gt;
GN.
NS;
hoc eſt arc.
GB.
BH &
gt;
GN.
NS.
rurſus (è diſcur-
ſu conſimili) ratio GN ad NS major eſt ſingulis rationibus OG ad
GZ, OP ad PT, & AP ad PV;
idcircoq;
junctè eſt GN.
NS &
gt;
arc. AG.
GE.
quapropter erit GB.
BH &
gt;
AG.
GE.
permutan-
doque GB. AG &
gt;
BH.
GE.
quare componendo eſt AB.
A G
>
BD.
GE.
XXVIII.
Sit _Circulus_ AMB, cujus _Radiui_ CA, &
ad hunc per-
ſit item curva ANE talis, ut ductâ utcun-
que rectà PMN ad DE parallelâ (quæ circulum ſecet in M, dictam
curvam in N) ſit recta PN æqualis _Arcui_ AM; ſit demum _axe_
AD _baſe_ DE deſcripta _Parabola_ AOE, hæc extra curvam AN E
tota cadet.
Nam ſecet recta PN parabolam in O;
&
connectantur ſubtenſæ
AB, AM; eſtque DE.
PN:
: arc AB.
arc.
AM &
gt;
AB.
AM
:: DE.
PO.
quare PN&
lt;
PO;
unde liquet Propoſitum.
XXIX.
Exhinc (&
è vulgò notis _ſpatiorune_ ADB, ADE _dimen-_
_ſionibus_) facilè colligitur hæc regula:{3 CAx DB/2 CA+CD} &
lt;
arc.
AB.
Porrò ſi ponatur arc.
AB = 30 grad.
ſitque 2 CA = 113;
juxta
regulam iſtam computando, proveniet _tota circumferentia_ major quàm
355, minus fractione unitatis.
XXX.
Hinc etiam _dato arcu_ AB, nominatiſque AB = p;
CA = r;
&
DB = _e_, ad inveniendum _ſinum rectum_ DB adhibebitur hæc æqua-
tio; {3 _rrpp_/_9rr_ + _pp_} = {12 _rrp_/9 _rr_ + _pp_} _e_-_ee._
vel ponendo _k_ = {3 _rrp_/9 _rr_ + _pp_};
erit
_kp_ = 4_ke_ - _ee._ vel 2 _k_ - √ 4 _kk_ - _kp_ = _e._
XXXI.
Sit AMB _Circulus_, cujus Radius CA, &
huic perpendi-
ſit item curva ANE pars _Cycloidis_ ad _Circulum_
AMB pertinentis; demum ad axem AD, baſin DE ſtatuatur _Para-_
_bola_ AOE; hæc intra _Cycloidem_ tota cadet.
Etenim utcunque ducatur recta PM ON ad DE parallela, lineas
expoſitas ſecans, ut cernis; connectantúrque _ſabtenſæ_ AB, AM;
eſtque DE.
PO:
: AB.
AM :
: curv.
AE.
AN &
gt;
DE.
PN;
adeoque PO <
PN.
unde conſtat Propoſitum.
XXXII.
Exhinc, &
è _notis ſegmentorum circular is atque Cycloida-_
_lis dimenſionibus_, hæc elicitur _Regula_ {2CA x DB + CD x DB/CA + 2CD}
>
arc.
AB.
Porrò ſi fuerit arc.
AB = 30 grad.
&
ponatur 2 CA = 113;
è
regula hac conſectatur fore _totam circumferentiam_ minorem quam
355, plus fractione.
Vides igitur ut è propoſitis duabus regulis ſtatim emergit _Diametri_
ad _Circumferentiam Proportio Metiana_.
XXXIII.
Quoniam exorbitanti ſe obviam dedit _Cyclois_ hoc adno-
tabo _@ beorema_, neſcio an uſpiam ab illis, qui de _Cycloide_ tam fusè
ſcripſerunt, animadverſum; Completo _Rectangulo_ ADEG, _ſpatium_
evager, obmittam.
XXXIV.
Sint duo _circuli_ AIMG, AKNH ſeſe contingentes ad A;
DN M: habebit_ſegmentum_ AIMD ad _ſegmentum_ AKND mino-
rem rationem, quam recta DM ad rectam DN.
Nam ſit AR ad AG perpendicularis, ac ipſi AH æqualis;
&
connectatur HR, cui occurrat recta MD in X; ducatúrque recta
GXS; tum ad axem AG _parametrum_ AS per N deſcripta con-
cipiatur _Ellipſis_ ALNG; hæc (utì ſatis manifeſtum) intra arcum
AKN tota cadet. Eſt autem ſegm.
AIMD.
ſegm.
ALND:
:
DM. DN.
ergo ſegm.
AI MD.
ſegm.
AKND &
lt;
DM.
DN.
XXXV.
Sit Ellipſis YFZT, cujus axes conjugati YZ, FT;
ſit item
recta DC axi majori YZ parallela; &
per D, F, C tranſeat circulus
dico
circuli partem DOFPC intra ellipſis partem DMFNC jacere.
Nam ſit FI ad FV perpendicularis, &
in hac ſumatur FS = FV;
&
connectatur VS, cui DC producta occurrat in X; &
connexa TX
ipſi FI occurat in R. &
cum ſit GDq = FG x GV = FG x GX;
liquet ipſam FR eſſe ellipſis, axi FT congruam, parametrum;
unde
conſtat Propoſitum.
XXXVI.
Sit circuli, cujus centrum L, ſegmentum DEC, &
ſumpto
utcunque rectâ RMS ad GE parallelâ, ſit RS. RM:
: GE.
GF;
erit DMFC ellipſis, hoc modo determinata:
Fiat EG.
FG:
: GL.
GH; &
per H erigatur YHZ ad DC parallela, ſitque HY par ipſi LE;
erunt HY, HF ellipſis ſemiaxes.
Demonſtratum habetur à _Greg.
à S.
Vincentio_, L.
IV.
Prop.
154.
_Corol._
Hinc ſegm.
DEC.
DMFC:
: EG.
FG.
XXXVII.
Sint duæ circulorum portiones DEC, DOFC, quarum
communis ſubtenſa DC, & axis GFE;
portio major DEC ad portio-
nem DOFC majorem rationem habet eâ, quam habet axis GE ad
axem GF.
Nam ſint L circuli DSEC, &
K circuli DOFC centra;
&
fiat EG.
FG:
: GL.
GH;
&
fiat YHZ ad HF perpendicularis &
ſit HY æ-
qualis ipſi LE; tum ſemiaxibus HY, HF deſcripta concipiatur ellipſis
YDMFCZ; è mox prædictis liquet ellipſin DMFC circulo DOFC
circumduci. Eſt autem circulare ſegmentum DEC ad ſegmentum el-
lipticum DMFC, ut GE ad GF; quare ſegm DEC ad ſegm circula-
re DOFC. rationem habet majorem, quàm GE ad GF:
Quod.
E.
D.
IN ſuſcepto negotio progredimur;
quod ut (quatenus licet) decurte-
obſervetur, in ſequentibus ubique _line-_
_am_ AB _curvam_ eſſe (quales tractamus) quampiam; cujus _Axis_ AD;
huic applicatas omnes rectas BD, CA, MF, NG perpendiculares;
& ME, NS, CB parallelas eſſe;
_punctum_ M liberè ſumi;
_arcum_
MN indefinitè parvum eſſe; rectam α β curvæ VB, α μ curvæ AM,
μ ν _arcui_ MN æquales eſſe; ad rectam α β applicatas ei perpendicu-
lares eſſe. His præſtratis,
I.
Sit MP curvæ AB perpendicularis;
&
lineæ KZ L, α φ δta-
μ φ ipſi M Fæquentur;
erît _ſpatium_ α β δ ipſi
AD LK æquale.
Nam _Triangula_ MRN, PFM ſimilia ſunt, adeoque MN.
NR
:: PM.
MF.
unde MN x MF = NR x PM, hoc eſt (ſubſtitutis
æqualibus) μ ν x μ φ = FG x FZ; ſeu rectang.
μ θ = rectang.
FH;
ſpatium verò α β δ minimè differt ab indeſinitè multis rectangulis,
qualia μθ & ſpatium AD LK totidem rectangulis, qualia FH, æ-
quivalet. unde liquet Propoſitum.
II.
Hinc, ſi curva AMB circa axem AD rotetur, habebit ſe _pro._
_ducta ſuperficies_ ad _ſpatium_ AD LK, ut _Circumferentia circuli Ad ra-_
unde noto ſpatio AD LK cognoſcetur dicta _ſuperficies._
Con-
ſequentiæ rationem jam anteà pridem aſſignavimus.
III.
Exhinc _Spbæræ, Spbæroidis_ utriuſque, _Conidúmque ſuperficies_
_dimenſionem_ accipiunt; nam ſi AD ſit conicæ ſectionis, à qua iſtæ
figuræ oriuntur, axis; linea KZL ſemper aliqua conicarum exiſtet,
haud difficili negotio determinabilis. Hoc ſuggero tantùm, quoniam
nunc evulgatum habet ur.
IV.
Iiſdem ſtantibus, ſit curva AYI talis, ut ordinata FY ſit in-
ter congruas FM, FZ proportione media; erit _ſolidum_ ex ſpatio αδβ
axem AD converſo procreatur.
Nam eſt MN.
NR:
: PM.
MF:
: PM x MF.
MF q:
:FZ x
FM. MFq.
unde MN x MFq = NR x FZ x FM;
hoc eſt
μ ν x μ φ q = NR x FYq. Unde liquet Propoſitum.
V.
Simili ratione colligetur, ſi FY ponatur inter FM, FZ _bime-_
ad rectam α β, æqualem _ſummæ cuborum_ ex explicatis à curva AYI ad
rectam AD. paríque modo ſe res habebit quoad cæteras _poteſta-_
_tes._
VI.
Porrò, ſtantibus reliquis, ſit curva VXO talis, ut EX ipſi MP
æquetur; &
curva πξψ talis, ut μ ξ æ quetur ipſi PF;
erit ſpatium
Nam eſt MN.
MR:
: MP.
PF;
adeoque MN x PF = MR
x MP. hoc eſt μ ν x μ ξ = ES x EX.
vel rectang.
ET = rectang.
μ σ.
Unde liquet Propoſitum.
VII.
Subnotetur hoc:
Si curva AB ſit _Parabola_, cujus _Axis_ AD,
erit curva VXO _byperbola_, cujus _centrum_ D, _Axis_ DV,
cujuſque _parameter_ axi R æquatur (ſcilicet ob EXq = (PMq =
PFq + FMq = {R q/4}+FMq = {R q/4}+ DEq = ) DVq+ DEq). item _ſpatium_ α β ψ π erit _Rectangulum_;
quoniam ſingulæ applicatæ
μ ξ ipſi {R/2} æquantur. Conſtat itaque dato _ſpatio byperbolico_ DVOB
curvam AMB dari; &
viciſſim.
Hoc obiter.
VIII.
Adnotari poſſet etiam omnia ſimul quadrata ex applicatis
ad rectam α β à curva π ξ ψ æquari rectangulis omnibus ex PE, EX
cubos ex μ ξ æquari ipſis
PFq x EX; ac ità porrò.
IX.
Adjungatur etiam (productâ PM Q) ſi ponatur FZ æqua-
μ φ ipſi AQ;
_ſpatium_ α β δ _ſpatio_ AD LK æ-
quari.
Nam ob MN.
NR:
: PM.
MF:
: PQ.
QA;
erit MN x
QA = NR x QA; hoc eſt rectang.
μ θ = rectang.
FH.
X.
Porrò, curvam AB tangat recta MT, ſintque curvæ DXO,
α φ δ tales, ut EX æquetur ipſi MT, & μ φ ipſi MF;
erit ſpatium
α β δ æquale _ſpatio_ DXOB.
Nam MN.
MR:
: MT.
MF.
quare MN x MF = MR x MT;
hoc eſt μ ν x μφ = ES x EX;
unde patet.
XI.
Hinc rurſus, _ſuperficies ſolidi ex ſpatii_ ABD circa axem AD
converſione progeniti ad _ſpatium_ DX OB ſe habet, ut _Circuli Cir-_
ad _radium_;
hoc igitur noto ſimul illa innoteſcet.
unde rurſus
_Spbaroidum, Conoidumque ſuperficies_ dimetiri licebit.
XII.
Si linea DYI talis fuerit, ut ſit EY = √ EX x MF;
erit
_ſolidum_ ex _ſpatio_ αβδ circa axem αβ rotato factum æ quale _ſolido, quod_
_ex ſpatio_ DBI circa axem DB rotato progignitur.
Etenim eſt MN.
MR:
: MT x MF.
MF q:
: EX x MF.
MFq
: EYq.
MFq.
quare MN x MFq = MR x EYq.
hoc eſt μ ν
x μ φ q = ES x EYq.
XIII.
Simili ratione _Cuborum (aliarumque poteſtatum)_ ex ordina-
tis μ φ _ſummas_ cum _ſpatiis_ ad rectam DB computatis licebit conferre.
XIV.
Sint prætereà lineæ AZK, αξψ ætales, ut FZ ipſi MT, &
μξ ipſi TF æquentur; _ſpatium_ αβψ æquabitur _ſpatio_ ADK.
Etenim MN.
NR:
: MT.
TF;
hoc eſt μ ν.
FG:
: FZ.
μ ξ.
XV.
Etiam _ſumma quadratorum_ ex qpplicatis μ ξ æquatur _ſummæ_
_Rectangulorum_ ex TF, FZ; &
_ſumma Cuborum_ ex μ ξ æquantur
ipſis TFq x FZ (ad rectam ſcilicet AD computationem exigendo)
XVI.
Rurſus ponatur recta QMP curvæ AMB perpendicularis;
ſitque recta β δ æqualis ipſi BD, &
compleatur _Rectangulum_ αβδζ;
tum curva KZL talis ſit, ut FZ ipſi QP æquetur; erit _rectang._
αβδζ
Nam eſt MN.
NR:
: (PM.
MF:
:) PQIF.
quare MN
x IF = NR x PQ; hoc eſt μν x μξ = FG x FZ.
unde patet.
Hinc noto ſpatio AK LD cognoſcetur curvæ AMB quantitas.
XVII.
Item, poſito rectam TMY contingere curvam AM B, fa-
talis, ut FX ipſi TY æquetur; erit _ſpatium_ (infinitè protenſum)
AD OX X æquale _Rectangulo_ αβγψ.
Nam MN.
NR:
: YT.
DA;
hoc eſt μ ν.
FG:
: FX.
μ θ.
&
μ ν x μ θ = FG x FX. quare liquet.
Hinc rurſus, explorato _ſpatio_ ADOXX curva AMB innoteſcet,
XVIII.
Quin adſumptâ quâpiam determinatâ R, &
factâ rectâ β δ
ſi curva OX X talis lit, ut MF.
MP:
: R.
FX;
erit _rectan-_
_gulum_ αβδ ζ æquale _ſpatio_ ADOXX. ac inde comperto hoc ſpatio,
curva prorſus innoteſcet.
Nam MN.
NR:
: MP.
MF:
: FX.
R.
adeóque MR x R =
NR x FX; ceu μν x μξ = FG x FX.
Complura talia poſſent adponi;
ſed vereor ut hæc nimis quam ſuffi-
cere videantur.
XIX.
Adnotetur ſaltem, hæc omnia æquè vera fore, nec abſimili-
ter oſtendi, poſito curvæ AMB convexa rectam AD ſpectare.
XX.
Ex oſtenſis autem _methodus_ facilis emergit _curvàs_ (θεωδημαγι-
κπς) _deſignandi_, quæ _dimenſionem_ admittunt qualem qualem; nimirum
ità procedas.
Quamlibet (tibi quadantenùs notam) _aream trapeziam rectangu-_
_lam_, duabus parallelis rectis AK, DL; rectâ AD;
&
lineâ quâ-
ad iſtam verò ſic referatur al-
tera ADEC, ut ductâ quâ cunque rectâ FH ad DL parallelâ (quæ
ſecet lineas AD, CE, KL punctis F, G, H) adſumptàque rectâ de-
terminatâ Z; ſit _quadr atum_ ex FH æquale _quadratis_ ex FG, &
Z.
_rectangulum_ ex Z, & FI æquale _ſpatio_ AFGC;
erit _rectangulum_
ex Z, & _curva_ AB æquale _ſpatio_ AD LK.
Æ què procedit methodus, etiamſi recta AK ponatur inſinita.
_Exemp_.
1.
Sit KL _rectalinea_;
erit curva CGE _Hyperbola._
2.
Sit linea KL _Arcus Circuli_, cujus _Centrum_ D;
&
AK
erit curva AGF _Circulus_;
&
curva AB =
{AD 2}+{DL/2 AK}arc. KL.
3.
Sit linea KL _Hyperbola æquilatera_, cujus _Centrum_ A, &
erit CGE recta linea;
&
curva AB
_Parabola._
4.
Sit Linea KL _Parabola_ (cujus axis AD) erit curva CG E
&
curva AB _Paraboliformium_ quæ-
dam.
5.
Sit curva KL _Paraboliformis_ quædam inverſa, vel infini-
_is_, ad _circulum_ pertinens, cujus _Diameter_ ipſi Z æqua-
tur.
Elegantiora forſan _Exempla_ ipſe circumſpectans excogitabis.
HIc demùm etſi præter inſtitutum ſit particularia nunc attingere;
qualibus ſanè, hæc generalia conſequentibus, admodum pro-
clive foret turgidum Volumen compingere (_amico tamen morem ge-_
_rens operâ_ dignum cenſenti) ſubtexam ad _Circuli Tangentes Secantéſq_;
ſpectantia nonnulla, pleraque de ſuprà poſitis emergentia.
Eſto _cirtuli Quadrans_ ACB, quam tangant rectæ AH, BG;
&
in productis HA, AC ſumantur AK, CE ſingulæ pares _radio_ CA; &
_aſymptotis_ AC, CZ per K deſcripta ſit _Hyperbola_ KZZ;
_aſymp-_
_totis_ BC, BG per E _byperbola_ LEO. Sumatur etiam in arcu AB
AH occurrens in S) recta MT circulum tangens; recta MFZ ad
BC parallela, recta MPL ad AC parallela. Sit denuò recta α β æ-
qualis _arcui_ AB, & α μ arcui AM;
&
rectæ α γ, ξ μ π ψ rectæ α β
perpendiculares; quarum α γ = AC;
μξ = AS;
μψ = CS;
μπ
= MP.
I.
Recta CS æquatur rectæ FZ;
adeoque _ſumma ſecantium ad_
_arcum_ AM pertinentium, & ad rectam AC applicatarum æquatur
_ſpatio byperbolico_ AF ZK.
Eſt enim CF.
CA:
: (CM.
CS:
:) CA.
CS.
adeòque CF
x CS = CAq. item CF x FZ = CA x AK = CAq.
ergo CS = FZ.
II.
_Spatium_ αμξ (hoc eſt _Smmma tangentium in arcu_ AM ad re-
Patet ex hujuſce Lectionis 9.
III.
Curva AX X talis ſit, ut PX ſecanti CS (vel CT) æquetur;
_ſpatium_ AC PX hoc eſt _Summa ſecamium ad arcum_ AM pertinen-
tium, & ad CB applicatarum) æquatur _duplo ſectori_ ACM.
Nam
&
_rect-_
ergo _totum ſpatium_ ACPX
totius _ſectoris_ ACM duplum eſt.
Etiam hoc è 16.
hujus duodecimæ Lectionis apertè conſtat.
IV.
Curva CVV talis ſit, ut PV _Tangenti_ AS æquetur;
erit
_ſpatium_ CVP (hoc eſt _ſumma tangentium ad arcum_ AM _pertinen-_
ad rectam CB applicatarum) æquale _ſemiſſi quadrati ex_
_ſubtenſa_ AM.
Manifeſtè conſectatur ex ſeptima undecimæ Lectionis.
V.
Acceptâ CQ = CP;
&
ductâ QO ad CE parallelâ (quæ
_byperbolæ_ LE occurrat in O) erit _ſpatium byperbolicum_ PL OQ du-
ctum in _radium_ CB (ſeu _cylindricum ad_ bafin PLOQ, altitudine
BC (duplum _ſummæ quadratorum_ ex rectis CS, ſeu PX ad _arcum_
ad rectam CB applicatis.
Nam quia PL.
QO:
: (BQ.
BP.
hoc eſt:
:) BC + CP.
BC - CP;
erit componendo PL + QO.
QO:
: 2 BC.
BC
- CP. item eſt QO.
BC:
: BC.
BC + CP;
ergò (pares ra-
tiones adjungendo) eſt PL + QO. QO + QO.
BC = 2 BC.
BC - CP + BC. BC + CP;
hoc eſt PL + QO.
BC:
:
2 BCq. BCq - CPQ (hoc eſt:
:) 2 BCq.
PMq.
verùm
eſt PXq. BCq:
: BCq.
PMq.
vel(antecedentes duplando)2 PXq.
BCq:: 2BCq.
PMq.
ergò PL + QO.
BC:
: 2 PXq.
BCq.
vel PL x BC +
QOxBC.BCq:
:2PXq.
BCq.
quare PL x BC + QO x BC = 2PXq.
itaque BC in omnes PL + QO ducta adæquat omnia totidem PXq.
unde conſtat Propoſitum.
VI.
Hinc ſpatium αγψμ (hoc eſt _ſumma ſecantium in arcu_ AM
Nam ſumatur arcus MN indefinitê parvus, &
huic æqualis recta μ ν,
ducatúrque recta NR ad AC parallela. Eſtque MN.
MR:
: (MC.
CF:
: CS.
CA:
: PX.
CA:
:) PXq.
PX x CA.
adeóque
MN x PX x CA = MR x PXq. ſeu μν x μψ x CA = MR x
PXq. atqui (ex præcedente) omnium MR x PXq ſumma ſpatii
PL OQ in CA ducti ſubdupla eſt. Ergò omnia totidem μν x μ ψ
in CA ducta eidem ſubduplo æquantur. quare ſpatium αγψμ (om-
VII.
Omnia quadrata ex rectis μψ (ad rectam αμ applicais) æquant
_Altitudine_ CS).
Hujus _Effati demonſtrationem_ (quanquam π&
χΗ&
ν) tranſilio;
quo-
niam aliud _Scbema_ diſcursúmque præ reliquis pleríſque longiuſculum
expoſcit; neque rem tanti video.
VIII.
Curva AYY talis ſit, ut FY æquetur ipſi AS;
ductâ tum rectâ YI
_Tangentium_ ad _arcum_ AM pertinentium, & ad rectam AC applica-
tarum, unà cum _rectangulo_ FCIY) æquale _ſubduplo ſpatio byperbo-_
_lico_ PL OQ.
Nam _ſpatium_ α γ π μ
hoc eſt
AS:
: CF.
FM;
vel CAFY:
:
CF. CP.
adeoq;
CA x CP = FY x CF).
item ſpatium γπψ (hoc eſt omnes
ergo _ſpatium_ ACIYA æquatur _ſpatio_ αγψμ;
hoc eſt (ut mox oſtenſum) _ſemiſſi ſpatii byperbolici_ PL OQ.
Aliter illud, (eíque connexa) dimenſus ſum, _boc præmiſſo Lem-_
_mate._
IX.
Sit _Hyperbola aquilatera_ (axes nempe pares habens) ERK ad
cujus axes CE D, CI; &
ad hos ordinatæ KI, KD;
ſit item curvâ
RVS ad DC parallelâ, ſint SR, CE, SV continuè proportiona-
les; connexâ rectâ CK, erit _Spatium_ CE YI _Sectoris byperbolici_
KCE duplum.
Nam ducatur RT _byperbolam_ tangens, &
R Had CI parallela.
Eſtque CH.
CE:
: CE.
CT.
quare CT = SV;
vel HT = RV.
itaque _Spatium_ ED KY duplum eſt _ſegmenti_ EDK. item _rectangu-_
ergo _reliquum ſpatium_
CE YI _reliqui ſectoris_ ECK duplum eſt.
X.
Reſumptâ jam quadrante circulari AC B, ſit CE = CA;
&
axe AE, _parametro etiam_ AE, deſcripta ſit _Hyperbola_ EKK;
MFY, ſit FY tangenti AS æqualis; ducatur recta YIK (rectam
connectatur CK;
erit ſpatium
ACIYA _ſectoris byperbolici_ ECK duplum.
Nam eſt CIq.
CAq :
: ASq.
CAq:
: FMq.
CFq:
: CAq
CFq.
componendóque CIq + CAq.
CAq:
:
CAq. CFq.
hoc eſt (ex _byperbolœ_ natura) IKq.
CAq:
: CAq.
CFq.
vel IK.
CE :
: CE.
IY.
itaque _ſpatium_ ACIYA _ſectoris_
ECK duplum eſſe perſpicuum eſt è præcedente.
XI.
_Coroll_.
Hinc ſi Polo E, _Cbordà_ CB, _Sagittâ_ CAdeſcripta ſit
_Concbois_ AVV, cui occurrat YFM producta in V; erit MV = FY;
adeóque _ſpatium_ AMV _ſpatio_ AFY æquatur.
XII.
Unde _ſpatiorum_ ejuſmodi _Conchoidalium dim@nſiones_ innoteſcunt.
XIII.
Neſcio, an _operæ_ ſit hoc adjicere _Corollarium_.
XIII.
Sit recta AErectæ RSperpendicularis;
&
CE = CA;
ſintque duæ (ſibimet inverſæ) _conchoides_ AZZ, EYY ad eundem
_polum_ E, _communémque regulam_ RS deſcriptæ, ab E verò ducatur
_œquilatera_, EKK, cujus _centrum_ C, _ſemiaxis_ CE; du&
âque IK
ad AE parallelâ, connectatur CK, erit _ſpatium quadrilineum_
AEOYZPA (rectis AE, YZ, & _concbis_ EOY, APZ compre-
henſum) æquale _quadruplo ſectori Hyperbolico_ ECK.
Nam ſi _centro_ E per C ducatur _arcus circularis_ CX;
è dictis faci-
lè colligetur _ſpatium_ APZIC æquari _duplo ſectori hyperbolico_ ECK
unà cum _ſectore circulari_ CEX. item _ſpatium_ EOYIC æquari _duplo_
_ſectori_ ECK, _dempto ſectore_ CEX.
Ità quoque facile colligas.
Ducantur ZF, YGad CS parallelæ;
&
protrahantur GYL, LIH.
ac ob IY = IZ, eſt FZ + GY =
2 CI. &
_trapezium_ FGYZ = _rectang._
EGLH = 2 CG x CI.
ergò patet.
Adnotari poteſt, ſi lubet, ductâ ATad CSparallelâ, protractâ-
que EZT, ſi ponatur N = 2 triang. CEI - 2 ſect.
ECK;
fore
ſpat EZT + EOYE = 2 N.
Nempe N + CXI = ſpat.
AZT.
&
N - CXI = ſpat.
EOY E.
XIV.
Adjiciemus etiam hiſce cognatam _Ciſſoidalis ſpatii_ dimenſio-
nem.
Sit _Semicirculus_ AMB (cujus centrum C) quem tangat recta
eique congruens _Ciſſois_ AZZ cujus ſcilicet hæc proprietas eſt,
AMB ſumpto utcunque puncto M, &
per hoc trajectâ
ſit MZ = AS) in recta verò α β ſumatur αμ æqualis arcui AM, &
ad αμ applicentur rectæ perpendiculares μ ξ æquales _arcunm_ AMſinu-
_bus verſis_ AF; erit _ſpatium trilineum_ MAZ _ſpatii αμξ duplum._
Nam ſumatur _arcus_ MNindeſinitè parvus, &
ei æqualis μν;
du-
catúrque recta NRad ABparallela, connectatúrque recta CM. Eſt-
que jam AS. AB (2 CM):
: (FM.
FB:
:) AF.
FM.
&
2 CM.
2 MN:
: CM.
MN:
:) FM.
NR.
quapropter erit ex æquo AS.
2 MN:: AF.
NR;
&
ideò NR x AS = 2 MN x AF.
hoc eſt
NR x MZ = 2 μν x μξ. unde _ſpatium_ MAZ _duplo ſpatio_ α μξ æ-
quatur.
Hinc cum _ſpatii_ αμξ dimenſio vulgò nota ſit, &
è ſuprà poſitis
etiam facilè deducatur; habetur _ſpatii ciſſoidalis_ MAZ _dimenſio._
cal-
Iſta claudet hoc _Conſectariolum:_
XV.
Sit _circuli quadrans_ ACB, _circulúmque_ tangant AH, BG;
ſintque curvæ KZZ, LEO _byperbolœ_, eædem quæ
ar-
punctis N; per quæ trajiciantur radii CN;
&
his occurrant rectæ
NXad puncta X; _ſumma rectarum_ NX(in radiis) æquatur ſpatio
{AFZK/Rad}; &
_ſummarectarum_ NX (in parallelis ad AS) æquatur _ſpatio_
{PLQO/3 Rad.}.
Nam triangulum XMN triangulo SAC ſimile eſt;
&
inde XM.
MN:
: AS.
CA.
&
XN.
MN:
: CS.
CA.
unde XM =
{MN x AS/CA}; &
XN = {MN x CS/CA}.
&
ità in reliquis;
unde liquet
Proſitum, ex 2, & 7 harum.
B Revitati ſimul ac perſpicuitati (huic autem præcipuè) conſulentes
præcedentia recto diſcurſu comprobata dedimus; qualinon mo-
do veritas, opinor, ſatis ſirmatur, at ejuſdem origo limpidiùs appa-
ret. Verùm nè quis, minùs hujuſmodi ratiociniis adſuetus, hæreat,
iſta paucula ſubdemus, quibus tales diſcurſus communiantur, quorum-
que ſubſidio non difficilè conficiantur _Propoſitorum demonſtrationes a-_
_pagogicœ_.
I.
Sint quotlibet _rationes_ A ad X, B ad Y, C ad Z, ſingulæ deſig-
natâ quâ piam ratione R ad S majores; erit _omnium antecedentium_
(ſimul acceptarum) ad _omnes conſequentes ratio_ major ratione
R ad S.
Nam ſint rationes A ad M, B ad N, C ad O ſingulæ æquales ra-
tioni R ad S. ergò X &
lt;
M;
&
Y &
lt;
N;
ac Z &
lt;
O.
patet igitur
fore A + B + C. X + Y + Z &
gt;
A + B + C.
M + N + O.
hoc eſt A + B + C.
X + Y + Z &
gt;
R.
S.
II.
Hinc patet, ſi quotlibet rationes ſingulæ deſignabili quâcunque
majores ſint, _antecedentium ſummam ad ſummam conſequentium_ eti-
am deſignabili quâcunque majorem rationem habere.
III.
Sit curva quævis ADB, cujus axis AD, &
ad hunc applica-
curvam verò tangat recta BT;
ſitque BP rectæ BD
particula indefinitè parva; ducatúrque recta POad DTparallela,
dico PNad NOrationem habere majorem quâ-
vis deſignabili, puta quàm R ad S.
Nam ſit DE.
ET:
: RS;
connexaque recta BEcurvam ſecet in
G, rectam POin K; per G verò ducatur FHad DAparallela.
quoniam igitur BP ponitur indefinitè parva, eſt BP &
lt;
BF;
adeóq;
PK <
PN (nam ſubtenſa BGintra curvam tota cadit).
ergo PN.
NO >
PK.
KO:
: DE.
ET:
: R.
S.
IV.
Hinc, ſi baſis DBin partes ſecetur indeſinitè multas ad puncta
Z; &
per hæc ducantur rectæ ad DAparallelæ curvam ſecantes pun-
ctis E, F, G; per hæc verò ducantur _Tangentes_ BQ, ER, FS, GT
parallelis ZE, ZF, ZG, DA occurrentes punctis Q, R, S, T; habebit recta ADad omnes interceptas EQ, FR, GS, AT(ſi-
mul ſumptas) rationem quàvis aſſignabili majorem.
Nam ducantur rectæ EY, FX, GV ad BD parallelæ.
Habent
igitur rectæ ZE, YF, XG, VA ad rectas EQ, FR, GS, AT (ſin-
bili quâcunque majorem. ergò ſimul omnes iſtæ ad has ſimul omnes
_rationem_ habent deſignabili quâvis _majorem;_ hoc eſt recta AD ad EQ
+ FR + GS + AT ejuſmodi rationem habet.
V.
Hinc inter computandum, omnes EQ, FR, GS, AT ſimul ac-
ceptæ nihilo æquivalent; ſeu rectæ ZE, ZQ;
&
ZF, YR, &
c.
æ-
quantur; item tangentium particulæ BQ, ER, &
c.
reſpectivis _curvœ_
portiunculis BE, EF, &c.
pares, &
quaſi coincidentes haberi poſſunt.
quin &
adſumere tutò licet, quæ evidentèr his cohærent.
VI.
Sit porrò _curva_ quævis AB, cujus _Axis_ AD, &
ad hunc
æquiſecetur autem DB in partes indefinitè multas ad
puncta Z, per quæ ducantur rectæ ad AD parallelæ, curvam AB
interſecantes punctis X; quibus occurrant per ipſa X ductæ ad BD
parallelæ rectæ ME, NF, OG, PH; ſit autem ſegmento ADB
(rectis AD, DB, & curvâ AB comprehenſo) _circumſcripta ſigura_
ADBMXNXOXPXRA major _ſpatio_ quodam S; dico _ſegmentum_
ADB non eſſe minus quàm S.
Nam ſi ſieripoteſt ſit ADB minus quàm S exceſſu _rectangulaum_
ADLKadæquante, & quoniam AReſt indefinitè parva, adeóque
minor quàm AK, liquet rectangulum ADZRminus eſſe _rectangulo_
item patet _ſegmentum_ ADB unà cum _rectangulo_ ADZR
majus eſſe _figurâ circumſcriptâ_ (etenim _rectangulum_ ADZR_rectan-_
_gulis_ RH, PG, OF, NE, MZ æ quatur, proindéque majus eſt _irili-_
_neis_ AXR, XXP, XXO, XXN, XBM). ergò _ſegmentum_ ADB
hoc eſt, _ſpatium_ S majus eſt _figurâ circumſcriptâ_, contra _Hypotbeſin._
VII.
Item, ſi ponatur _figura inſcripta_ HXGXFXEXZDH minor
_ſpatio quodam_ S; dico _ſegmentum_ ADB non eſſe majus quàm S.
Nam ſi majus eſſe velis, eſto rurſum _exceſſus par rectangulo_ ADLK;
quod utique (ſicut prius) majus erit _rectangulo_ ADZR.
Eſt autem
_ſegmentum_ ADB, dempto _rectangulo_ ADZR, minus figurâ inſcriptâ.
ergò ſegmentum ADB, dempro rectangulo ADLK, multo minus fit
inſcriptâ; hoc eſt _ſpatium_ S minus eſt inſcriptâ figurâ, contra
_Hypotbeſin._
VIII.
Hinc, ſi _ſp@tium_ quodcunque fuerit, (puta S) cui circumſcripta
figura æquetur _ſigurœ_ ADBMNOPRA; nec non cui _inſcripta figura_
_æquetur figuræ_ HGFEZDH; palàm eſt _ſpatium_ iſtud S _ſegmento_
ADB exæquari.
Nam (utì mox oſtenſum) hoc illo majus eſſe nequit, aut mi-
nus.
Poterunt autem hæc ad _alios circumſcriptionis ac inſcriptionis modos_
accomodari. ſuffecerit innuiſſe.
S It _curva_ quæpiam AMB, cujus _Axis_ AD, &
in hoc ſignatum
ad ipſum vero ordinata recta BD.
à puncto quo-
piam M in curva ſumpto ducatur recta ME curvam tangens, & à C
demittatur CGad ME perpendicularis; ſit item determinata recta
CV ad planam DAB recta, & connectatur VG(erit VG _ipſi_ MG
perpendicularis; nam ſi ducatur CHad GM parallela, liquet CH
plano GVG rectam eſſe, adeoque GMeidem recta erit) Porrò ſit
linea RStalis, ut ductâ rectâ MIX ad AD parallelâ (quæ ſecet or-
lineam RSin X) ſit MP.
ME:
: VG.
IX;
vel, ſit linea AL talis, ut ductâ MPY ad BDparallelâ (quæ ſecet
axem ADin P, & lineam ALin Y) ſit PE.
ME:
: VG.
PY;
erit
_perfici@i conicœ_, quod ex recta per V & curvam AMB mota progene-
ratur.
Nam ſumatur MNindefinita curvæ particula;
&
per N ducantur
rectæ NOKTad ipſam AD, & NQZ ad BDparallelæ (quæ li-
neas expoſitas, ut _Schema_ monſtrat, ſecent) connectantúrque rectæ
VM, VN. eſtque MO.
MN:
: MP.
MF:
: VG.
IX.
quare
MN x VG = MO x IX = IK x IX. Item eſt NO.
MN:
: PE.
ME:
: VG.
PY.
unde MN x VG = NO x PY = QP x PY.
Eſt autem MN x VG duplum trianguli MVN. quapropter tam IK
x IX, quàm QP x PY duplum eſt _trianguli_ MVN. pariter autem
ubique fit. ergò conſtat Propoſitum.
Sit curva AMB _byperbola æquilatera_, cujus _Centrum_ C, ſitque
&
CP = _x_ (nam hujuſmodi _calculo_ plerunque
rem expedit peragere) tum connexâ MC; patet eſſe EC = {_rr_/_x_};
&
MCq = 2 _xx_ - _rr_ (nam PMq = _xx_ - _rr_) item eſt MCq.
CPq:: MEq.
MPq;
hoc eſt MCq.
CPq:
: ECq.
CGq.
hoc
eſt 2 _xx_ - _rr_. _xx_:
: {_r_
4/_xx_}. CGq = {_r_
4/2 _xx_ - _rr_}. quare VGq = {_r_
4/2 _xx_ - _rr_} +
_rr_ = {2 _rrxx_/2 _xx_ - _rr_} = {VAq x CPq/MCq}.vel VG = {VA x CP/MC}.
quare
VG. VA:
: (CP.
MC):
: MP.
ME.
hinc conſectatur in hoc
caſu, quum ubique ſit IX = VA, _lineam_ RS fore _rectam_; &
_rectan-_
_gulum_ BRSD _ſuperficiei conicœ_ AMBV _duplum eſſe._
Cæterùm hoc _elegans exemplum_ ſuppeditavit Generoſus, ingenio ac
eruditione præſtans, Vir (_Collegii noſtri, quod olim Sociorum Com-_
_menſalis incoluit_, ornamentum) D. _Franciſcus Feſſopius_, Armiger;
cujus in hanc rem perquam ingenioſo mihi comiter impertito ſcripto
(ipſius injuſſu quidem, at ſpero non ingratiis) ſeu _Gemmâ_ quâdam au-
debo mea condecorare.
Si à puncto E in _axe A m coni recti_ ABC _p_ recta infinita EC
tranſeat per _coni ſuperficiem_, & quieſcente termino E circumferatur
aliqua pars ejus ſecet _coni ſuperficiem_ (puta per H) _perbolam_ CFD &
rectas DAA Cin ſuperficie coni ſitas) _ſolidum comprebenſum à ſuper-_
_ficie vel ſuperficiebus genitis à linea_ EC ſic mota & à _portione ſuperft-_
_ciei_ ejuſdem coni terminatæ à linea vel lineis CFD, DA, ACquas
recta ECcircumlata deſcribit in _ſuperficie conica_, erit æquale _Pyra-_
_midi_ cujus _Altitudo_ eſt æ qualis _perpendiculari_ E _n_ à puncto E ad latus
_Coni_ deductæ _b@ſis_ verò æqualis eidem _ſuperficiei conicœ terminat œ à_
linea vel lineis CFD, DA, ACgeneratis à motu lineæ EC.
_Solidum_ enim ECF, DAC conſtat ex _infinitis pyramidibus_ EC _o_ A
E _o o_ A, &c.
æquialtis perpendiculari E n, quarum baſes omnes
ſimul ſumptæ, exhauriunt _ſuperficiem conicam_ CFD, DA, AC.
Datus ſit _Conus rectus_ ABC _p_ ſecetur à plano CFD axi A _m_ pa-
CFD, & ſuper _triangulo_ ACD erigatur _pyramis_ EACD habens
_verticem_ E in _axe coni_; ſitque E δ plano ACD perpendicularis, &
E _n_ lateri coni.
Dico, _ſuperficies conica_ terminata à _linea byperbolica_ CFD &
re-
ctis DA, ACita ſe habet ad ACD _baſem pyramidis_ EACD ut
_altitudo_ E δ _pyramidis_ EACD ad perpendiculum E _n._ Quoniam
enim Conici ACF D, ECFD habent vertices A & E in plano baſi
CFD (quæ eſt utrique Conico communis) parallelo ergo ſunt æ-
quales. Si ergò à ſolido quod componitur à conico ACFDaddito
pyramide ECADauferatur conicus ECFDreliquum erit ſolidum
ECFDACquale in propoſitione prima deſcribitur motu rectæ EC
æquale pyramidi EAC D. Quoniam verò _œqualium pyramidum_ re-
ciprocæ ſunt _baſes al@itudinibus_, ut _altitudo_ E δ _pyramidis_ EACD
ad perpendiculum E _n_ ita erit _ſuperſicies conica_ terminata à _linea by-_
_perbolica_ CFD & rectis DA, ACad Triangulum ACD.
q.
E.
D.
Datus ſit _Conus rectus_ ABC _p._
Secetur à plano (puta _triangulo_
_cem_ productum & in communi interſectione cum _ſuperficie coni_ habe-
bit _lineam byperbolicam_ RS_t_ ducantur à vertice coni A rectæ A _r_, A _t_,
à puncto _q_ demittatur perpendiculum _q_ X lateri coni A _p_ producto & à
puncto A perpendiculum AZplano _qrt._
Dico _ſuperficies contca_ terminata à _linca byperbolica, rst_ &
rectis
_r_ A, _t_ A, ita ſe habet ad _figuram byperbolicam cavam qrstq_ ut _perpen-_
_diculum_ AZad _perpendiculum q_ X.
Recta enim _qr_, circumlata, quieſcente termino _q_ per lineas _rst, t_ A, Ar
generat tres _ſuperficies_, nempe _byperbolicam cavam qr, st_, & _duo tri-_
_angula qt_ A, _q_ A _r_, quæ unà cum _ſuperficie conica_ terminata à lineis
_rst, t_ A, A _r_, comprehendunt _Solidum qrs, t_ A _r._ Hoc verò _ſolidum_
_œguale_ eſt _pyramidi_ cujus _altitudo_ eſt æqualis perpendiculo _q_ X, nam
infinitæ pyramides _q_ A _r_ V, _q_ AVV, exhauriunt ſolidum _qr_ S _t_ A _r._ Si verò aliter contemplari volumus, hoc ſolidum _qrst_ A _r_ poteſt con-
ſideraritanquam _ſigura @onica_ A _r_ S _tqr_ habens pro _baſe figuram by-_
_perbolicam_ cavam _qr_ S _tq_, & pro altitudine _perpendiculum_ AZ.
Ergò
reciprocando _baſes altitudinibus_, ut AZad q X, ita _ſuperficies, r_ S t A _r_
ad _figuram byperbolicam cavam qr_ S _tq._
Datus ſit _Conus rectus_ AB _b g_ ſecetur à plano HFEGper axem
infra verticem, a puncto H ubi _planum_ fecat _axem coni_, demittatur HK
à verticè A _perpendiculum_ ALpla-
no HFE G.
Dico, _Superſicies conica_ terminata a lineis FECGAAF ita ſe
habebit ad _planum_ HFEG ut _perpendiculum_ AL ad _perpendiculum_
H K.
Probatur eodem fere eodem fere argumento quo ſuperior.
Præcedentia recolenti nonnulla videntur elapſa;
quæ forſan ex uſu
ſit adjicere. _Demònſtrationes_ elicere poterit quiſpiam è præmiſſis;
&
potior inde fructus emerget.
Sit _curva_ quævis KEG, cujus _axis_ AD;
&
in hoc ſignatum
punctum A; curva reperiatur, puta LMB, talis, ut ſi ductâ utcun-
que rectâ PEM axi ADperpendicularis curvam KEG ſecet in E, &
curvam LMB in M; nec non connectatur AE, &
curvam LMB
tangat recta TM; ſit TMipſi AEparallela.
Hoc ità fiet.
Per aliquodcunque punctum R, in axe AD fumptum,
protendatur recta RZad ipſam ADperpendicularis; cui occurrat re-
cta EAproducta in S; &
in recta EPſumatur PY = RS;
ità de-
terminetur curvæ OYY proprietas; tum ſit rectangulum ex AR, &
PMæquale ſpatio AYYP(ſeu PM = {ſpat AYYP/AR}) habebit
curva LMMBconditionem propoſitam.
Adnotari poteft, ſi ſtantibus reliquis, ſit curva QXX talis, ut cum
hanc ſecet recta E Pin X, ſit PX = AS; erit ſpatium AXXP
æqualerectangulo ex AR, & curva LM, ſeu {AXXP/AR} = LM.
Sit ADG _circuli_ quadrans, &
ductâ EPad ADutcunque per-
pendiculari, connexâque DE; deſignetur curva AMB talis, ut ſi
ſit MTad DEparallela. Hocita peragetur.
Ducatur AZad DG
parallela; &
huic occurrat producta DEin S, &
curva AYY talis
ſit, ut ſi hanc ſecet producta PEin Y, ſit PY = AS; tum capiatur
PM = {Spat. AYP/AD};
factum erit.
Not.
Quòd ſi curva QXX talis ſit, ut PX = DS (vel ſi AQ
= AD, & QXX ſit _byperbola_ angulo ADG comprehenſa) erit
curva AM x AD = ſpat. AQX P.
Sit curva AEG (cnjus Axis AD) proprietate talis, ut ſi à quo-
cunque puncto in ipſa ſumpto E, ducatur recta EPad AD normalis;
APpropor-
tione media, ſecundum ordinem, cujus exponens ſit {_n_/_m_}; reperiatur
curva AMB, quam tangat TMad AEparallela.
De curva AMadnoto fore _n.
m_:
: AE.
arc.
AM.
Si {_n_/_m_} = {1/2} (vel AEſit inter AR, AP ſimpliciter media) erit
AEG circulus, & AMB _Ciclois primaria_;
hujus igitur dimenſio è
lege generali habetur.
Hæc etiam ex adjuncto _Problemate_ magis ccomprehenſivo pera-
guntur.
Curva deſignetur, puta AMB, cujus _axis_ AD, ità ut in hac
ductâ MPad AD perpendiculâri, &
poſito rectam MT ipſam tangere, habeant TP, PM relationem aſ-
ſignatam.
Accipiatur recta quæpiam R, &
fiat ut TPad PM (quam utique
rationem aſſignatâ dabit relatio) ità R ad PY (quæ nempe ſumatur
in recta PM, & ad axem ADordinetur) ſic ut per ejuſmodi puncta
Y tranſeat curva YYK; tum ſi ſiat PM = {ſpat.
APY/R};
de curvæ
AMB indè conſtabit natura.
Sit ADG _circuli_ quadrans;
cujus radius æquetur deſignatæ R;
&
AE; ergo quum ſit, juxta præſcriptum, R.
arc.
AE:
: R.
PY;
e-
rit PY = arc. AE;
hinc habetur PM = {APY/R}
Sit ADG _circuli_ quâdrans, &
habere debeat TP ad PM ratio-
nem eandem quam PE ad R; eſt ergo PY æqualis _tangenti_ arcûs GE;
&
ſpat.
APYY = R x arc.
AE.
adeóque PM = arc.
AE.
Proponatur figura quælibet ADB (cujus _axis_ AD, _baſis_ DB)
DB utcunque parallela quæ lineas expoſitas ſecet ut cernis) poſitóque
rectam ZT tangere curvam KZL, ſit intercepta TP æqualis ipſi
PM.
Hocità perſicietur.
Sit curva OYY talis, ut adſumptâ quâdam
R, protractâque PMY, ſit PM. R:
: R.
PY;
tum liberè adſump-
tâ DL (in BD protensâ) ſit DL. R:
: R.
LE;
&
_aſymptotis_ DL,
DG per E deſcribatur _Hyperbola_ EXX; tum ſit ſpatium LEXH æ-
quale ſpatio DOYP, & protractæ XH, YP concurrant in Z;
erit
Z in curva quæſita; quam ſi tangat ZT, erit TP = PM.
Adnotetur, ſi propoſita ſigura ſit _rectangulum Parallelogrammum_
ADBC, quod curvæ KZL hæc erit proprietas, ut ſit DH eodem
ordine inter DL, DO media _Geometricè_ proportionalis, quo DP
θ
quod ſi liberè
juxta proprietatem hanc deſcribatur curva KZL, & _Mechanicè_ re-
periatur tangens ZT, indè quadrabitur _hyperbolicum ſpatium_ LEXH; erit utique hoc æquale _rectangulo_ ex TP, AP.
Subnotari poſſit fore 1.
Spat.
ADLK = R x DL - DO.
2.
Sum.
mam ZPq = R x :
{DLq - DOq/2}.
&
ſummam ZP cub.
= R x
{DLcub. - DOcub.
/3} &
c
3.
Siponatur φ eſſe centrum gr.
figu-
ræ ADLK, ducantúrque φψ ad AD, & φξ ad DL perpendicu-
lares, fore φψ = {DL + DO/4}, & φξ = R - {AD x DO/LO}.
Sit angulus BDHrectus, &
BF ad DH parallela;
&
_aſymptotis_
item centro Ddeſcrip-
tus ſit circulus KZL; ſit denuò
quocunque puncto M, & per hoc trajectâ rectâ DMZ, item ſumptâ
DI = DM; &
ductâ IX ad BF parallelâ, ſit _ſpatium hyperbolicum_
BFXI æquale duplo _circulari ſectori_ ZDK; curvæ AMB tangens
ad M determinetur.
Ducatur DS ad DM perpendicularis;
ſitque DB x BF = Rq;
fiátque DK.
R:
: R.
P;
tum DK.
P:
: DM.
DT;
&
connecta-
tur TM; hæc curvam AMB tanget.
Adnotetur curvæ AMB hanc eſſe proprietatatem;
ut DI ſit inter
DB, DO (vel DA) eodem ordine _media proportionalis Geometricè_,
quo arcus KZ inter _o_arcum KL eſt medius _Arith-_
_meticè_. hoc eſt, ſi DI ſit numerus in ſerie _Geometricè proprtionalium_
incipiente à DB, & terminatâ in DA;
ac _o_
ipſarum DB, DA; erit KZLogarithmus ipſius DI.
Vel
retrò (prout vulgares _Logarithmi_ procedunt, ſi DI ſit numerus in
ſerie _Geometrica_ exorſa à DO, & deſinente in DB ac _o_
_mus_ ipſius DO, & arcus LK ipſius DB, erit arcus LZ _Logarithmus_
ipfius DI.
Quod ſi abſolutè conſtruatur curva AMB, ejúſque _tangens Me-_
_chanicè_ deprehendatur, inde patet _hpperbolici ſpatii Cycliſmum_ dari,
vel _Circuli hyperboliſmum_.
Hujuſce _Spiralis_ naturam, ac dimenſionem (ut &
Spatii BDA di-
menſionem) luculentè proſecutus eſt præclariſſimus D. _Walliſſius
Libro dèquapropter de illa plura reticeo.
Sit ſpatium quodpiam EDG (rectis DE, DG, &
linea ENG
data quædam R;
curva AMB reperiatur talis, u
ſi utcunque à D projiciatur recta DNM, & DT ad hanc perpendi
t
cularis ſit, & MT curvam AMB contingat;
ſit DT.
DM:
: R-
DN.
Sit curva KZL talis, ut DZ = √ R x DN;
ſumptâque liberè
R:
: R.
BF (ſit autem BF, ut &
DHipſi DB
perpendicularis) tum per F, angulo BDHincluſa, tranſeat _hyperbola_
FXX; ſitque ſpatium BFXI (poſitâ nempe IX ad B
æquale duplo ſpatio ZDL; ſit denuò DM = DG;
erit Min cur-
va quæſita; quam utique ſi tangat recta TM, erit TD.
DM:
: R.
DN.
Sit rurſus ſpatium EDG (ut in præcedente) reperienda eſt curva
AMB, ad quam ſi projiciatur recta DNM, & ſit DT huic perpen-
MT curvam AMB tangat, fuerit DT = DN.
Adſumatur quæpiam R, &
ſit DZ q = {R
3/DN}; item acceptâ DB
(cui perpendiculares DH, BF = {R3/DBq}; &
per F intra _aſymptotos_
DB, DH deſcribatur _hyperboliformis_ ſecundi generis (in qua nempe
ordinatæ, ceu BF, vel IX, ſint quartæ proportionales in ratione DB
ad R, vel DG ad R) tum capiatur ſpatium BIXF æquale duplo
ZDL; &
ſit DM = DI;
erit M in curva quæſita;
quam ſi tan-
gat MT, erit DT = DN.
Sit figura quævis ADB (cujus _axis_ AD, _baſis_ DB) &
utcunque
ſpatium APM, oportet hinc ordinatam PM exhibere, vel expri-
mere.
Acceptâ quâqiam R, ſit R x PZ = APM;
hinc emergat linea
AZZK; huic perpendicularis reperiatur ZO;
tum erit PZPO
:: R.
PM.
_Exemp_.
AP vocetur x &
ſit APM = √ r x
3, ergo PZ = √
{x3/r}; unde reperietur PO = {3 x x/2 r}.
Eſtque √ {x
3/r}. {3 x x/2 r}
:: r.
{3/2} √ r x = PM.
unde AMB eſt _Parabola_, cujus _Pa-_
rameter eſt {9/4} r.
_Aliter_.
Fiat PZ = √ 2 APM.
&
ſit ZO curvæ AZK perpendi-
cularis; erit PM = PO.
_Exemp_.
Sit AP = x;
&
APM = {x
3/r}. quare PZ = √ {2 x
3/r}
unde reperietur PO = {3 x x/r} = PM; &
rurſus AMB
erit _Parabola_.
Sit figura quævis ADB (rectis DA, DB, &
linea AMB com-
à Dutcunque projectâ rectâ DM, datum ſit ſpatium
ADM; oportet rectam DM definire.
Acceptâ quâpiam R, ſit DZ = {2 ADM/R};
&
ZO curvæ AZK
perpendicularis; cui occurrat DH ad DM perpendicularis;
erit DM = √ R x DO.
_Aliter_.
Sit DZ = √ 4 ADM;
&
ZO curvæ AZK perpen-
dicularis; cui occurrat DH ad DZ perpendicularis;
erit DM
= √ DZ x DO.
_De figuris involutis &
evolutis_ bellam σκέψιγ inſtituit _Præclarus Ge-_
_ometra D. Gregorius Aberd._
Alienæ meſſi nollem ego falcem meam
immittere, verùm liceat utcunque iſthuc pertinentes (aliud agenti quæ
mihi ſe ingeſſerunt) unam aut alteram obſervatiunculam his intexere.
Data fit figura quæpiam ADB (cujus _axis_ AD, _baſis_ DB) oper-
_Centro_ C, intervallo quopiam CL deſcribatur _Circulus_ LXX;
ſit
PZ = {CL q/PM}). Sit tum arc.
LX = {ſpat.
DKZP/CL} (vel ſector
LCX ſubduplwin CX capiatur C μ = PM;
erit linea βμμ ipſius BMA involuta;
vel ſpatium Cμβ ſpatii
ADB.)
_Exemp_.
Sit ADB circuli quadrans;
erit ergò (quod è præmonſtra-
tis conſtat) ſpat. DKZP (2 ſector LCX).
ſect.
BDM
:: CLq.
DBq.
unde arc.
LX.
arc.
BM:
: CL.
DB.
quare ang.
LCX = ang.
BDM = ang.
DMP.
unde ang.
C μβ eſt rectus, adeóque linea βμ C eſt _ſemicirculus_.
_Coroll_.
1.
Subnotari poteſt, ſi duæ ſiguræ ADB, ADG analogæ fu-
&
harum _involu
&
fuerit _Cμ.
Cν_
:: DB.
DG;
erit reciprocè ang.
_βCμ.
β Cν:
: DG_.
DB.
2.
Illud etiam conversè valet.
3.
Sin curvæ Cνγ, CS β ſuo modo analogæ fuerint, hoc eſt,
dem perpetuò rationem, erunt hæ ſimilium linearum _invo-_
_lutæ_.
Dàta figurâ quâpiam β C φ rectis C β, C φ, &
aliâ lineâ βφ
_Centro_ Cutcunque deſcribatur _circularis arcus_ LE (cum rectis Cβ,
Cφ conſtituens ſectorem LCE) tum ductâ CK ad LC perpendicu-
CμZ, ſumptâque CO = arcLZ, ductâque OY ad CK perpen-
diculari, ſitOY = Cμ; porrò ad rectam DA ſic referatur curva
BMF, ut cùm ſit DP = {ſpat. C β YO/CL};
&
PM ad DA perpendi-
cularis; ſit eti
erit ſpatium DBFA ipſins Cβφ _evolutum_.
_Exemp_.
Sit LZE arcus circuli centro C deſcripti, &
βμ C ejuſmodi
C μ rationem aſſignatam (puta R ad S) Manifeſtum eſt lineam β YH
eſſe rectam, quoniam EZ (KO). Cμ (OY):
: R.
S, perpetuò.
quoniam axis partes AP, AD ſe
habent ut ſpatia KOY, KC β, hoc eſt ut quadrata ex ipſis OY, Cβ,
vel ex ipſis PM, DB.
Si ad figuram βCφ erigatur _cylindricus_ altitudinem habens æqua-
lem peripheriæ integræ _circuli_, cujus radius CL; erit iſte _cylindricus_
æ
tatâ.
Sit curva quæpiam AMB (cujus axis AD, baſis DB) &
curva
ſit
item alia curva OYY talis, ut ad hanc productâ rectâ ZPMY,
adſumptâque rectâ R, ſit ZP q. R q:
: PM.
PY;
ſitque denuò DL.
R:
: R.
LE.
&
per E intra angulum LDG deſcribatur _Hyper-_
huic autem occurrat ducta recta ZHX ad AD parallela,
erit ſpatium PDOY æquale _ſpatio Hyperbolico_ LHXE.
Hinc _ſumma_ omnium {PM/APM} = {2 LEXH/R q}.
Sit curva quæpiam AMB, cujus axis AD, baſis DB;
&
curva
KZL talis, ut adſumptâ quâdam R, & arbitrariè ductâ rectâ ZPM
ad BD parallelâ, ſit √ APM. PM:
: R.
PZ;
erit ſpatium ADLK
vel {ADLK/2 R} = √ ADB.
_Exemp_.
Sit ADB circuli quadrans, erit ſumma omnium {PM/APM} =
√ 2 DA x arc. AB.
Sit curva quæpiam AMB (cujus axis AD, baſis DB) ſintque
duæ lineæ EXK, GYL ità relatæ, ut in curva AMB ſumpto quopi-
MQY ad AD
parallelis, poſitóque rectam MT tangere curvam AMB, ſit TP.
: QY.
PX;
erunt figuræ ADKE, DBLG ſibimet æqua-
les.
Valet hoc converſum.
Nempe ſi figuræ ADKE, DBLG æ-
quentur, & MT curvam AMB tangat, erit TP.
PM:
: QY.
PX:
_Not_.
Omnium hactenus Propoſitorum fœcundiſſimum eſt hoc
_Tbeorema_; præcedentium quippe complura vel in eo continentur, aut
ab eo facilè conſectantur. Nam poſito lineam AMB indeterminatam
eſſe naturâ, ſi ipſarum EXK, GYL alterutra pro tuo arbitratu de-
terminetur, exinde reſultabit Theorema quoddam ejuſmodi, qualia
ſuperiùs exhibentur aliquammulta. Si _e.
g_.
linea GYL ponatur recta
cum ipſa BD ſemi-rectum conſtituens angulum (quo caſu concipiun-
tur puncta D, G coincidere) proveniet indè prima _Lectionis_ XI. Si
GYL ſit recta ad DB parallela, emerget _Lectionis ejuſdem._ Rur-
tur hinc _decima_ ejuſdem. Exhinc porrò liquet adſumpto cuilibet ſpa-
tio _infinita, genere diverſa, ſpatia æqualia_ facilè deſignari veluti ſi _ſpa-_
_tium_ DGLB ponatur _circuli quadrans_, cujus _centrum_ D; &
curva
AMB ſit _parabola_, cujus _axis_ AD, emerget curvæ EXK hæc pro-
prietas, ut (ſi dicatur DB = r; AP = x;
PX = y;
&
_k_ (vel
{DB q/2 AD}) ſit _parabolæ ſemipar ameter_) ſit {_rrk_/2} = _kkx_ + _xyy_. Sin
AMB ponatur _hyperbola_, procreabitur alterius generis curva EXK. his autem expenſis ἀβλεφι
cut & ea quæ ſubſequuntur, quorum ferè ratio conſimilis eſt, &
ſup-
par uſus) primo loco poſuerim, & ex eo (nec non è reliquis mox
ſubjiciendis) quod fieri poſſe video, reliqua deduxerim. Veruntamen
hujuſmodi _Phrygiam ſapientiam_ juxta mecum pleriſque familiarem au-
tumo, literas has tractantibus.
Sit ſpatium quodpiam ADB (rectis DA, DB, &
curva AMB
AMB liberè ſumatur punctum M, ducatur DMX, ſit DQ = DM,
ducatur QY ad DB perdendicularis, ſit DT ad DM perpendicula-
ris, recta MT curvam AMB contingat; ſi, his inquam ſuppoſitis, ſit
TD. DM:
: DM x QY.
DXq;
erit ſpatium DGLB ſpatii EDK
duplum.
Sit rurſus AMB curva quævis (cujus axis AD, baſis DB) &
axes AD, αβ relatæ, ut arbi-
trariè in curva AMB accepto puncto M, & ductâ MPX ad AD per-
pendiculari, ſumptâ αμ = arc AM, ductâ μZ ad αβ perpendiculari,
poſitóque rectam TM curvam AMB tangere; ſit TP.
TM:
: μ Z.
PX;
erunt ſpatia ADKE, α β OH æqualia ſibi.
Sit ſpatium quodpiam
curvâ AMB
capiatur punctum M in curva AMB, projiciatur recta DMX, ſuma-
tur αμ = arc AM; ducatur μZ ad rectam αβ perpendicularis;
ſit
DT perpendicularis ipſi DM; recta MT curvam AMB tangat;
ſit
TD. TM:
: DM x μ Z.
DX q;
erit ſpatium αβ OH ſpatii EDK
duplum.
Sed horum hic eſto terminus.
Æ _Quationum_ naturam è terminorum _analogia_ expoſuit _Vieta_;
illam ex eorum in ſe ductu dilucidiùs explicuit _Carteſius_.
Eam
ego jam è linearum ſingulis appropriatarum deſcriptione conabor ali-
quatenus enucleatam dare; qui ſanè modus rem præſertim elucidare
videtur, ac ob oculos ponere, agedum.
_Notetur_, In ſequentibus perpetim ad eaſdem ſeries redigi æquatio-
nes, quæ _coefficientes_ habent eaſdem.
_a_ + _b_ = _n_.
_aa_ + _ba_ = _nn_.
_a_
3 + _baa_ = _n_3.
_a_
4 + _ba_3 = _n_4, &c.
Sumatur recta BA æqualis coefficienti _b_, &
hæc verſus H indefini-
ſint anguli RAH, SBH ſemirecti, ſintque lineæ
ALL, AMM, ANN tales, ut rectâ GK ductâ ad AH utcunque
perpendiculari (quæ dictas lineas ordine ſecet punctis L, M, N; re-
ctaſque BS, AR punctis K, Z) ſit inter GZ, GK _media_ GL hæ lineæ propoſitarum æquationum
naturæ explicandæ inſervient. Nam ſi AG (vel GZ) dicatur _a_;
erit
BG (vel GK) = _b_ + _a_; atque GLq = _aa_ + _ba_;
&
GM cub.
= _a_
3 + _baa_; &
GN_qq_ = _a_
4 + _ba_3.
1.
Ducta AD ad BH perpendiculari, ſi in hac capiatur AE = _n_;
ducatúrque EF ad AH parallela;
hujus cum lineis expoſitis interſe-
ctiones æquationum propoſitarum radices exhibebunt reſpectivè; erit
hoc eſt ipſis AG, concipiendo à ſingula interſectione deduci ad AH
perpendiculares, quæ puncta G determinet.
2.
Quò punctum G magîs à termino A removetur (&
quidem poteſt
GA deſumi quavis deſignatâ major) eò ordinatæ GK, GL, GM, GN
magìs increſcunt; adeo ut quantacunque ponatur AE, parallela EF
curvis occurſura ſit; &
proinde ſemper habetur vera radix iſtarum
æquationum cuilibet conveniens; &
ea tantùm una, quoniam EF
curvas iſtas unico puncto interſecat.
3.
_Curva_ ALL eſt _hyperbola æquilatera_, cujus _axis_ AB, reliquæ
AMM, ANN ſunt _hiperboliformes_.
4.
Si AO ſit {1/2} AB;
&
AP = {1/3} AB, &
AQ = {1/4} AB, du-
cantúrque OT, PV, QX ad BS parallelæ, erunt hæ curvarum ALL,
AMM, ANN _aſymptoti_.
5.
Hinc conſtat in ſecundo gradu fore _a_ &
gt;
_n_ - {_b_/2};
in tertio _a_&
gt;
_n_ - {_b_/3};
in quarto _a_&
gt;
_n_ - {_b_/4};
quæ tamen inæqualitates, ſi AE
benemagna ſit, exiguæ erunt.
6.
Æquationibus iſtis nulla competit _maxima, vel minima_.
_a_ - _b_ = _n_.
_aa_ - _ba_ = _nn_.
_a_
3 - _baa_ = _n_3.
_a_
4 - _ba_3 = _n_4, &c.
Sit rurſus AB = _b_;
&
indefinitè protrahatur AB verſus I, &
tum concipiantur curvæ BLL,
BMM, BNN tales, ut ſi utcunque ducatur GZ ad AI perpendicu-
laris (dictas lineas ſecans, utì cernis, punctis K, L, M, N, Z) ſit inter
propoſitas æ-
quationes explicabunt hæ lineæ. Nam ſi AG (vel GZ) vocetur _a_;
erit BG (vel GK) = _a_ - _b_;
&
GLq = _aa_ - _ba_;
&
GM cub.
= _a_3 - _baa_; &
GN _qq_ = _a_
4 - _ba_3.
1.
Ductâ AD ad AI perpendiculari, &
EF ad AI parallelâ, ſi
AE ponatur æqualis ipſi _n_; erunt EK, EL, EM, EN radices æqua-
tionum reſpectivæ, ſeu æquales quæſitis _a_.
2.
Quoniam ordinatæ GK, GL, GM, GN à termino B verſus I
infinitè excreſcunt, ſemper habetur una vera radix, & unica.
3.
Curva BLL eſt _hyperbola æquilatera_, cujus _axis_ AB, reliquæ
curvæ ſunt _hyperboliformes._
4.
Si AB biſecetur in O, triſecetur in P, quadriſecetur in Q, du-
cantúrque ad AR parallelæ OT, PV, QX, erunt hæ curvarum BLL,
BMM, BNN _aſymptoti._
5.
Hinc ſeqiutur in ſecundo gradu fore _a_ &
gt;
_n_ + {_b_/2};
in tertio
_a_ >_
n_ + {_b_/3};
in quarto _a_ &
gt;
_n_ + {_b_/4};
quòd ſi _n_ ſatis magna ſit,
iſtæ inæqualitates ad æqualitatem proximè accedunt.
6.
Verarum in his radicum habetur _minima;_
ſcilicet ipſa AB, vel _b_.
_b_ - _a_ = _n_.
_ba_ - _aa_ = _nn_.
_baa_ - _a_
3 = _n_3.
_ba_
3-_a_4 = _n_4. &
c.
Sit AB = _b_, &
anguli RAB, SBA ſemirecti;
tum curvæ
perpendiculari (quæ lineas expoſitas ſecet, ut vides) ſit inter AG
(ſeu GZ) & GK _media_ GL, _bimedia_ GM, _trimedia_ GN;
pro-
poſitas æquationes explicatas dabunt hæ lineæ. Nam poſito fore AG
= _a_, erit GK = _b_ - _a_; &
GLq = _ba_ - _aa_;
&
GMq =
_baa_ - _a_3. &
GNq = _ba_
3 - _a_4.
1.
Si in AD (ad ipſam AB perpendiculari) deſumatur AE = _n_;
ducatur EF ad AB parallela, hujuſce cum lineis expoſitis interſe-
ctiones exhibebunt radices _a_ reſpectivè.
2.
Cum ad haſce curvas ordinatæ ſemper terminatæ ſint, &
inter
ipſas maxima quædam detur, hujus _ſeriei æquationes_, pro modulo aſ-
ſignatæ AE (vel _n_) ſubinde duas radices veras habent (cùm utique
fuerit AE curvæ maximâ ordinatâ minor reſpectivè, hoc eſt cùm EF
curvæ bis occurrerit) nonnunquam duntaxat unam (cum AE nempe
maximam adæquet, adeóque EF curvam contingat) aliquando nullam
(cum ſcilicet AE maximam excedat, adeoque nec EF curvæ unquam
occurrat).
3.
In ſecundo gradu ſi AO = OB, &
ordinetur OT, erit OT
maxima; (adeóque radicum una major quàm {AB/2}, altera minor) in
tertio, ſi AP = 2 PB, & ordinetur PV, erit PV maxima (unde
radicum una major erit quàm {1/3} AB, altera minor) demùm in quar-
to gradu ſi AQ = 3 QB, & ordinetur QX, erit QX _maxima_
(& hinc una radicum ſemper major, quàm {1/4} AB, &
altera minor).
4.
Hinc conſectatur, ſi fuerit, in ſecundo gradu n &
gt;
{_b_/2};
in tertio
_n_2>
{4_b_
3/9} - {8_b_3/273/27}; in quarto _n_
4>
{27/64}_b_
4 - {81/256}_b_4 =
{27_b_4/256}; nullam dari radicem.
5.
Omnium radicum _maxima_ eſt ipſa AB, vel _b_.
6.
Omnium curvarum communis _interſectio_ (ſeu _nodus_) eſt pun-
ctum T; &
ſi fuerit _n_ = {_b_/2};
ſemper AO (vel {_b_/2}) eſt una radix.
7.
Curva ALB eſt _Circulus_, reliquæ AMB, ANB eum quo-
dammodo referunt.
Aliter (&
forte commodiùs;
pro ſingulo trium ſerierum gradu tan-
tùm unam adhibendo lineam) explicantur iſtæ præcedaneæ æquatio-
nes, hoc pacto:
Sit AH recta indefinitè protenſa, &
huic perpendicularis AD;
in
ducatur BK ad AH parallela, tum ſint
lineæ LXL, MXM, NXN tales
puncto G, & ductâ GK ad AD parallelâ, ſit in proportione AG ad
GK (vel AB) proportione _tertia_ GL, _quarta_ GM, _quinta_ GN; hæ
lineæ propoſitarum æquationum naturæ explicandæ inſervient.
Nam ſumpta AE = _b_ (ſumatur autem AE ob primam ſeriem
ad partes I, ob ſecundam & tertiam ad partes H) &
fiat an-
gulus FEH ſemirectus (iſte quidem pro prima & ſecunda ſe-
rie inclinans verſus H, pro tertia reclinans ab H, ut Schema ſatis
monſtrat) tum rectæ EF cum expoſitis lineis interſectiones reſpectivæ
radices a determinabunt; nempe ſi per has ductæ concipiantur ad AH
perpendiculares(LG, MG, NG) erunt interceptæ AG radicibus _a_
æquales reſpectivè.
Exhinc conſtat, quòd
1.
In hac explicatione _coefficiens b_ indeterminata habetur;
ut in præ-
cedentibus ipſa _n_.
2.
In prima &
ſecunda ſerie ſemper una poſitiva radix habetur, &
unica.
3.
In ſecunda ſerie minima radix ipſi AB, vel _n_ æquatur.
4.
Communis omnium linearum _nodus_ eſt _punctum_ X, ubi BX
(vel _a_) = _n_.
5.
In tertia ſerie ſubindè duæ habentur radices poſitivæ (quando
ſcilicet EF curvas bis ſecat) nonnunquam una tantùm (cùm EF ip-
ſarum aliquam contingat; id quod accidit in ſecundo gradu cùm
a = {_b_/2}; in tertio cùm a = {2/3}_b_;
in quarto cùm a = {3/4}_b_) aliquando
nulla, cùm EF infra tangentes cadit, & adeò nuſquam curvis occur-
rit.
6.
Secundi gradûs curva eſt _hyperbola_, reliquæ _hyperloliformes_,
quarum communes _aſymptoti_ ſunt rectæ AH, AD.
_a_ + {_cc_/_a_} = _n_.
_aa_ + _cc_ = _nn_.
_a_
3 + _cca_ = _n_3.
_a_
4 + _ccaa_ = _n_4.
Sit recta indefinitè protenſa AH, &
huic perpendicularis AD;
fiat autem angulus RAH ſemirectus;
tum utcunque ducatur GZK
&
facto AG.
AG:
: AC.
ZK;
per Kintra
angulum DAR deſcribatur _hyperbola_ KXK; ſint denuò curvæ CLL,
AMM, ANN tales, ut inter GZ, GK ſint _media_ GL, _bimedia_
GM, _trimedia_ GN; hæ propoſito deſervient.
Nam ſi AG (vel
GZ) dicatur _a_, erit GK = _a_ + {_cc_/_a_}; &
GLq = _aa_ + _cc_;
&
GMcub = _a_3 + _cca_; &
GNqq = _a_
4 + _ccaa_.
1.
Deſignantur radices, ut in præcedentibus, poſitâ AE = _n_, &
ductâ
EF ad AH parallelâ.
2.
Si AP = AC, erit PX ad _hyperbolam_ KXK ordinatarum _mi_-
_nima_; unde ſi AE (vel _n_) &
lt;
PX;
nulla dabitur radix in primo
gradu.
3.
Curva CLL eſt _hyperbola æquilatera_, cujus _centrum_ A, _ſemi_-
_axis_ AC; quæ &
ordinatarum eſt _minima_;
alioquin ſi _n_&
gt;_
c_, ſem-
per una vera radix habetur, & unica.
4.
Reliquæ AMM, ANN ſunt hyperboliformes ad infinitum
excurrentes; unde ſemper una vera radix habetur, neque plures.
5.
Si fuerit Y α = {1/2} YX;
Y β = {1/3}YX;
Y γ = {1/4} YX, &
per
puncta α, β γ, traductæ concipiantur _hpperbolaipſæ _a_-
_ſymptotos_ DA, AR) α λ, β μ, γ ν; erunt hæ ipſarum curvarum
CLL, AMM, ANN _aſymptoti_. (Similes etiam _aſymptoti_ con-
veniunt lineis poſthac deſcribendis, quanquam de illis conticeamus.)
6.
Hinc in ſecundo gradu _a_ + {_cc_/2_a_}&
gt;_
n_;
in tertio _a_ + {_cc_/3_a_}&
gt;_
n_;
gt;_
n_;
quæ tamen inæqualitas eo minor eſt, quò
AE (vel _n_) major exiſtit.
_a_ + {_cc_/_a_} = _n_.
_a_ + {_cc_/_a_} = {_nn_/_a_}.
_a_ + {_cc_/_a_} = {_n_
3/_aa_}.
_a_ + {_cc_/_a_} = {_n_
4/_a_3}.
Poſſit hæc ſeries explicari juxta præcedentium modum ſecundum,
eaſdem adhibendo curvas LXL, MXM, NXN;
quarum nimi-
rum proprietas eſt, ut rectâ GK ductâ ad AH utcunque perpendicu-
lari, ſit GL = {_nn_/AG}; &
GM = {_n_
3/AGq}; &
GN = {_n_
4/AGcub}.
Nam ſi fiat angulus HAR ſemirectus, &
utcunque ducatur GEO
ad AH perpendicularis; &
ſit GE.
_c_:
:_c_.
EO;
&
per O intra a-
ſymptotos AD, AR deſcribatur _hyperbola_ OO; hujuſce cum expo-
ſitis lineis LXL, MXM, NXN interſectiones, radices _a_ reſpectivas
determinabunt; ductis utique LG, MG, NG ad AH perpendicu-
laribus; erunt interceptæ AG ipſis _a_ æquales reſpectivè.
Poſſint conſimili modo ſubſequentes omnes æquationes explicari;
ſed eas modo duntaxat priore dabimus expoſitas.
{_cc_/_a_} - _a_ = _n_.
_cc_ - _aa_ = _nn_.
_cca_ - _a_
3 = _n_3.
_ccaa_ - _a_
4 = _n_4.
_a_ - {_cc_/_a_} = _x_.
_aa_ - _cc_ = _nn_.
_a_
3 - _cca_ = _n_3.
_a_
4 - _ccaa_ = _n_4.
Fiat angulus RAI ſemirectus, &
AD ad AI perpendicularis;
tum utcunque ductâ GZ ad AD parallelâ, ſit
AG (vel GZ). AC:
: AC.
ZK, &
per K, intra angulum DAR
deſcribatur _hyperbola_ KYK; tum ſint curvæ CLYHLλ, AMYHMμ,
ANYHN νGK ſit _media_ GL,
_bimedia_ GM, _trimedia_ GN; hæ propofito deſervient.
Conſtat hoc, ut in præcedente;
&
quo pacto radices reſpectivè
determinantur. Verùm adnotetur prætereà.
1.
Curvæ CLH, AMH, ANH ad quintam ſeriem pertinent;
re-
liquæ HL λ, HM μ, HN ν ad ſextam.
2.
Quoad curvas ad quintam ſeriem pertinentes;
ſi A φ = √{ACq/2};
&
ordinetur φ Y;
erit Y communis linearum interſectio, ſeu _no_-
_dus._
3.
In harum primo gradu ordinata AK eſt inſinita in ſecundo AC
eſt maxima; in tertio ſi fuerit AP = √{ACq/3}, &
ordinetur PV,
erit PV maxima(unde radicum una ſemper major eſt quam √{ACq/3}
altera minor) in quarto ſi AQ = √{ACq/4} = {AC/2}, & ordinetur QX,
erit QX maxima (unde radicum una major erit, altera minor ipsâ
{AC/2}).
4.
Conſequentèr in harum ſecundo gradu ſin &
gt;_
c_;
in tertio, ſi _n_
3
>
_cc_√{_cc_/3} - {_cc_/3} √ {_cc_/3} = {2/3}_cc_ √ {_cc_/3};
vel _n_
6>
{@@/27}_c_
6; in quar-
to ſi _n_4>
{_c_
4/4} - {_c_4/16} = {3/16}_c_4; nulla radix habetur;
unam in iſtis
caſibus recta EF curvas ſupergreditur; nec iis occurrit.
5.
Itidem in his omnibus maxima poſſibilis radix eſt AH = AC.
6.
Curva CYH eſt _Circuli quadrans_, reliquæ AMH, ANH
quodammodo κυχλο{ει}δ{ετ}ς.
7.
Ad ſextam ſeriem pertinentium curva HLL eſt _byperbola æqui_-
_latera_, cujus axis AH; reliquæ ſunt _Hyperboliformes_.
Unde quoad
hanc ſeriem liquent cætera.
_a_ + _b_ + {_cc_/_a_} = _n_.
_aa_ + _ba_ + _cc_ = _nn._
_a_
3 + _baa_ + _cca_ = _n_3.
_a_
4 + _ba_3 + _ccaa_ = _n_4, &c
In recta BAH indefinitè protensâ capiatur AB = _b_;
&
in AD
ſint etiam anguli HAR, HBS Semi-
recti; tum arbitrariè ductâ GY ad AH perpendiculari quæ ipſam
BS ſecet in Y; fiat AG.
AC:
: AC.
YK;
&
per K intra angulum
DVS deſcribatur _hyperbola_ KKK; ſint demum curvæ CLL, AMM,
ANN tales, ut inter AG (vel GZ) & GK ſit _media_ GL, _bime_-
_dia_ GM, _trimedia_ GN; hæ ſatisfacient negotio.
Nam eſt GK = _a_
+ _b_ + {_cc_/_a_}; &
GLq = _aa_ + _ba_ + _cc_;
&
GMcub = _a_
3 + _baa_
+ _cca_; &
GNqq = _a_
4 + _ba_3 + _ccaa_.
1.
Secundi gradûs curva CLL eſt pars _hyperbolæ æquilateræ_, cujus
_centrum_ O, ipſam AB biſecans; &
ſiquidem AC&
gt;
AO, eſt OH
(ad AB perpendicularis, &) = √ ACq - AO qejus _ſemiaxis_;
ſin AC&
lt;
AO, ejus axis eſt OI = √ AOq - ACq.
reliquæ
verò curvæ AMM, ANN ſunt _hyperboliformes_.
2.
Hinc conſtat in ſecundo gradu ſi fuerit _n_&
lt;
C, nullam veram
radicem dari; alioquin in omnibus una ſemper habetur, &
unica;
quoniam recta EF curvas ſemel interſecabit, nec pluries,
{_cc_/_a_} + _b_ - _a_ = _n_.
_cc_ + _ba_ - _aa_ = _nn._
_cca_ + _baa_ - _a_
3 = _n_3.
_ccaa_ + _ba_
3 - _a_4 = _n_4, &c.
_a_ - _b_ - {_cc_/_a_} = _n._
_aa_ - _ba_ - _cc_ = _nn._
_a_
3 - _baa_ - _cca_ = _n_3.
_a_
4 - _ba_3 - _ccaa_ = _n_4. &
c.
In recta AI ſumatur AB = _b_;
&
in AD ad ipſam AI perpen-
fiant autem anguli IAR, ABS ſemirecti;
ducatúrque recta ZGK ad AI utcunque perpendicularis, ipſam BS
ſecans ad ξ; &
ſit AG.
AC:
: AC.
ξ K;
tum per K intra angu-
lum DSB deſcribatur _byperbola_ KYHK; ſint denuò curvæ CLHLλ,
AMHMμ, ANHNν tales, ut inter AG, GK ſint _media_ GL, _bime-_-
_dia_ GM, _trimedia_ GN; hæ curvæ propoſito ſatisfacient;
conſtat
autem hoc ut in præcedente.
1.
Curvæ CLH, AMH, ANH ad octavam ſeriem pertinent, re-
liquæ verò HLλ, HMμ, HN@, ad nonam.
2.
Quoad octavam ſeriem, ſi biſecetur AB in O, &
ordinetur OT
ad curvam CLH eſt OT maxima; ſin ſiat AP = {_b_/3} + √{_bb_/9} +
item ſi
AQ = {3/8}_b_ + √{9/64}_bb_ + {_cc_/2}, & ordinetur QX ad curvam ANH
erit QX maxima.
3.
Hinc, ſi in ſecundo harum gradu ſit _n_&
gt;
√ _cc_ + {_bb_/4};
in ter-
tio ſi (poſito fore f = {_b_/3} + √{_bb_/9} + {_cc_/3}) ſit _n_3 >
_ccf_ + _bff_
- _f_3; in quarto, ſi (poſito fore _g_ = {3/8}_b_ + √{9/64}_bb_ + {_cc_/2}) ſit _n_
4
>
_ccgg_ + _bg_
3 - _g_4; nulla datur radix;
nam his ſupp ſitis,
recta EF curvis non occurret, reſpectivè.
4.
Si fuerit Aφ = {_b_/4} + √{_bb_/16} + {_cc_/2}, &
ordinetur φ Y;
erit Y
_Nodus_ curvarum; unde ſi _n_ = Aφ;
erit Aφ una radicum in omni-
bus.
5.
Curva CLH, eſt _circumferentia Circuli_, cujus _Centrum_ O;
reliquæ AMH, ANH ſunt _Cycliformes_.
6.
Peculiare eſt in ſecundo gradu, quòd ſi n&
lt;
c, detur una tan-
tùm radix.
7.
In hac radicum maxima (quæ &
minima eſt in nona ſerie) eſt
AH = {_b_/2} + √{_bb_/4} + _cc_.
8.
Curva HL λ eſt _hyperbola æquilatera_, cujus _ſemiaxis_ OH;
re-
liquæ HMμ, HNν ſunt _hyperboliformes_; unde patet in ſerie nona
ſemper unam, & hanc unicam radicem haberi.
_a_ + _b_ - {_cc_/_a_} = _n_.
_aa_ + _ba_ - _cc_ = _nn_.
_a_
3 + _baa_ - _cca_ = _n_3.
_a_
4 + _ba_3-_ccaa_ = _n_4, &c.
{_cc_/_a_} - _b_ - _a_ = _n_.
_cc_ - _ba_ - _aa_ = _nn_.
_cca_ - _baa_ - _a_
3 = _n_3.
_ccaa_ - _ba_
3 - _a_4 = _n_4, &c.
In recta BAH ſumatur BA = _b_;
&
in AD ad AH perpendi-
ſintque anguli HAR, HBS ſemirecti;
tum
utcunque ductâ GK ξ ad AH perpendiculari (quæ ipſam BS
ſecet in ξ; ſit AG.
AC:
: AC.
ξK;
&
per K intra _aſymptotos_
VD, VS deſcribatur _hyperbola_ KYHK; ſint demum curvæ CLHLλ,
AMHMμ, ANHNν tales, ut inter AG (vel GZ) & GK ſint _me_-
_dia_ GL, _bimedia_ GM, _trimedia_ GN; hæ propoſito ſervient.
id
quod conſtat, ut in præcedentibus.
1.
Curvæ HLλ, HMμ, HNν ad decimam ſeriem pertinent;
reliquæ CLH, AMH, ANH ad undecimam.
2.
Curva HL λ eſt _hyperbola æquilatera_, &
curva CLH _circula_-
_ris circumferentiæ_ pars; utriuſque commune centrum eſt O, ipſam AB
biſecans (unde AH = √{_bb_/4} + _cc_: - {_b_/2})
3.
In decima ſerie radix una ſemper habetur, &
unica;
in undeci-
ma nunc duæ, nunc una, ſubinde nulla.
4.
Aφ = {_cc_/_b_};
&
Aψ = √{_bb_/16} + {_cc_/2}:
- {_b_/4};
&
ordinentur
φ Y, ψ X; puncta Y, X ſunt nodi curvarum.
5.
In undecimæ ſecundo gradu ordinata AC eſt maxìma;
ſin AP
= √{_bb_/9} + {_cc_/3}: - {_b_/3};
&
à P ad curvam AMH ordinetur Pγ,
hæc maxima erit; item ſi AQ = √{9_bb_/64} + {_cc_/2}:
- {3_b_/8};
&
à
unde
de radicum limitibus fiet judicium; ut in iis, quæ ad ſeriem octavam
ſunt adnotata.
_a_ - _b_ + {_cc_/_a_} = _n_.
_aa_ - _ba_ + _cc_ = _nn_.
_a
3_ - _baa_ + _cca_ = _n3_.
_a
4_ - _ba3_ + _ccaa_ = _n4_, &c.
_b_ - _a_ - {_cc_/_a_} = _n_.
_ba_ - _aa_ - _cc_ = _nn_.
_baa_ - _a
3_ - _cca_ = _n3_.
_ba
3_ - _a4_ - _ccaa_=_n4_, &c.
Pro his, Sit AB=_b_;
&
AC = _c_;
&
angulus.
AB S ſemire-
G ξ ad AB utcunque perpendicularis, &
AG .
AC :
: AC.
ξ K;
&
KH KI K _byperbola aſymptotis_ SA , SB deſcripta;
denuò
curvæ CLHLILλ, AMHMIMμ, ANHNINν tales ſint, ut inter AG,
GK ſit _media_ GL , _bimedia_ GM , _trimedia_ GN .
1.
Curvæ CLH, AMH, ANH, atque curvæ IL λ, IM μ,
IN ν ad ſeriem duodecimam ſpectant, verùm intermediæ curvæ HLI,
HMI, HNI ad decimam tertiam.
2.
Curvæ CLH, IL λ ſunt _hyperbolæ æquilateræ_, quarum com-
mune _centrum_ O (rectam AB biſecans) & _ſemiaxis_ OH (vel OI)
= √ AO q. - AC q reliquæ tales ſunt, quales figura monſtrat.
3.
Curva HLLI eſt _ſemicirculus_;
reliquas itidem oſtentat
Schema.
4.
Si A ζ = {_cc_/_b_};
A Ψ = {_b_/4} - √ {_bb_/16} - {_cc_/2};
&
A φ = {_b_/4} +
√ {_bb_/16} - {_cc_/2}; ordinentúrque rectæ ζ V, ψ X, φ Y;
erunt puncta V,
X, Y _nodi_ curvarum (ſi _b_ <
√ 8 _c c_, deerunt _nodi_ X, Y;
ſi _b_ = √
8 _c c_; ii coaleſcent).
5.
Ordinatarum ad curvam CL H _maxima_ eſt ipſa AC ;
ſin AP
= {_b_/3} - √ {_bb_/9} - {_cc_/3}, & ordinetur P γ ad curvam AM H;
erit
P γ _maxima_; item ſi AQ = {3/8} _b_ - √ {@9/64} _b b_ - {_cc_/2};
&
ordinetur
Q δ ad curvam AN H, erit Q δ _maxima_.
6.
Ordinatarum ad curvam HLLI _maxima_ eſt ipſa OT ;
ſin AP
= {_b_/3} + √ {_bb_/9} - {_cc_/3}, & ad curvam HM I ordinetur _p g_, erit _p g_
_maxima_; item ſi A q = {3/8} _b_ + √ {9/64} _b b_ - {_cc_/2};
&
ordinetur _q d_
ad curvam HN I, erit _q d maxima_.
7.
Hinc radicum limites dignoſcentur, ut innuitur in iis, quæ ad
octavam ſeriem animadverſa ſunt.
8.
Patet in Serie duodecima nunc tres, modo duas, ſemper unam
radicem haberi; in decima tertia verò ſubinde duas, aliquando tantùm
unam, interdum nullam haberi.
9.
Et hæc quidem conſtant poſito fore {_b_/2}&
gt;
_c_;
at ſi {_b_/2} = β;
evaneſcet Series decima tertia;
coaleſcent puncta H, O, I;
recta AB
_byperbolam_ KK K tanget; curvæque CL H, IL λ in rectas lineas
degenerabunt.
10.
Sin {_b_/2} &
lt;
_c_;
etiam evaneſcit Series decima tertia;
_byperbola_ KKK
tota infra rectam AB jacente; quo caſu curva CL L erit hyperbola
æquilatera, habens centrum O, ſemiaxem (ipſi AB perpendicula-
rem) OT = √ AC q - AO q; tunc &
curvæ AM M, AN N
unam ſemper, & unicam radicem obtineant.
Hæc ſuffecerit inſinu-
âſſe; quin &
rem totam hactenus particulatim attigiſſe.
Subnecte-
mus autem notas quaſdam magìs generales.
In _pramiſſas explicationes_ animadvertatur generatim.
1.
Propoſitam quamvis æquationem explicans _@μγνα_ deſignatur
hoc modo: proponatur, exempli causâ, _æquatio a
5_ + _ba4_ + _cca3_
- _d3aa_ - _f4a_ = _n5_; In recta indefinitè protenſa HI deſignetur pun-
tum arbitrariè ſumptâ
AG pro indeterminatâ radice _a_; fiat GK æqualis primo feriei pro-
poſitam æquationem continentis gradu; nempe ſit hîc GK = _a_ + _b_
+ {_cc_/_a_} - {_d3_/_aa_} - {_f+_/_a3_} (utique rationem _a_ ad _c_ ſemel continuando fit
{_cc_/_a_}; rationem _a_ ad _d_ bis continuando fit {_d
3_/_aa_}; acità porrò) tum inter
AG, GK tot mediarum proportionalium, quot æquationis propoſitæ
gradus exigit (is autem à pura quæſitæ radicis poteſtate indicatur) in
hoc nempe caſu quatuor mediarum proportionalium prima ſit GO; per ejuſmodi puncta O traducta curva AOO propoſito deſerviet.
2.
De radicibus falſis, ſeu negativis nihil attigimus ſuprà;
cæte-
rùm eæ reperiuntur hoc modo. Æquationi propoſitæ ſubrogetur
altera, cujus in locis paribus (etiam vacuos locos adnumerando)
ſigna ſunt illis contraria, quæ habet æquatio propoſita; erunt hu-
juſce _ſubdititiæ æquationis_ radices veræ, ſeu poſitivæ ipſius propoſitæ
æquationis radices falſæ, ſeu negativæ. _Exemplo_ ſit _æquatio a
3_ + _baa_
= _n3_; vel _a
3_ + _baa*_ - _n3_ = _o_. Subrogetur _a
3_ - _baa*_ + _n3_ = _o_; &
hujus, + utì ſuprà edoctum, veræ radices deſignentur, hæ _propoſitæ_
Rurſus ſit _a
3_ - _baa_ = _n3_; vel _a
3_ - _baa_ - _n3_
= _o_; ſubſtituatur æquatio _a
3_ + _baa_ + _n3_ = _o_; hæc nullam veram
radicem obtinet; ergò nec _æquatio propoſita_ falſam admittit.
3.
Quinimò datâ verâ radice quâpiam, depreſſioris gradûs æqua-
tio quædam ſalſis reperiendis inſerviet, qualis ità determinatur. Pro-
ponatur æquatio quævis, puta _a3_ + _baa_ = _n3_; cujus nota ſit radix una,
quæ vocetur _f_. Conſtruatur æquatio planè ſimilis propoſitæ, eáſ-
demque _coefficientes_ habens, tantum pro _a_ ſubſtituendo _f_; nempe
_f3_ + _bff_ = _n3_. ergo _a
3_ + _baa_ = _n3_ = _f3_ + _bff_; adeóque
_a3_ + _baa_ - _f3_ - _bff_ = _o_. dividatur hæc æquatio (id quod ſem-
per fieri poteſt) per _a_ - _f_; proveniet _a a_ { + _ba_ + _bf_ + _fa_ + _ff_} = _o_;
cujus æ-
quationes eædem erunt cum reliquis æquationis propoſitæ radicibus; quæ proinde duas colligitur radices falſas habere;
itaque mutatis loco-
rum parìum ſignis, ut ità fiat _a a_ { - _ba_ + _bf_/ - _fa_ + _ff_} = _o_; hujus æquationis
Hic inſuper modus æquatio-
nis propoſitæ, quatenus illa ex aliarum in ſe ductu provenit, conſtitutio-
nem oſtendit.
4.
Radices maximæ &
minimæ deprehenduntur in quacunque ſe-
rie ponendo (quovis in gradu ſeriei) fore n = o; ut in octava ſerie ſit
_ba_ - _aa_ + _cc_ = _o_; adeóque _cc_ = _aa_ - _ba_, erit _a_ ( = {_b_/2} + √ {_bb_/4} +
_cc_) _maxima radix_; item in Serie duodecima ſit _aa_ - _ba_ + _cc_ = _o_;
unde _cc_ = _ba_ - _aa_;
erit _a_ ( = {_b_/2} + √{_bb_/4} - _cc_) _radix maxima_;
& _a_ ( = {_b_/2} - √ {_bb_/4} - _cc_) _radix minima_.
5.
_Curvaram nodi_, vel _interſectiones_ innoteſcunt, cujuſvis in Seriei
quovis gradu, ponendo fore _a_ = _n_; ut in octava Serie, ubi _ba_ - _aa_
+ _cc_ = _nn_, ſit _a_ = _n_; ergò _ba_ - _aa_ + _cc_ = _aa_;
vel _cc_ = 2_aa_ - _ba_;
vel {_cc_/2} = _aa_ - {_ba_/2};
quare _a_ = {_b_/4} + √ {_bb_/16} + {_cc_/2}.
Item in Se-
rie duodecima, ubi _aa_ - _ba_ + _cc_ = _nn_ = _aa_; erit ideò _cc_ = _ba_;
acinde
_a_ = {_cc_/_b_}.
6.
_Ordinatæ maxima, mini@æque_ variis nodis, methodiſque paſ-
ſim notis inveſtigantur; ego ſimul illas atque curvarum _tangentes_
unà operâ ſic determino. Sit curva A γ H, ad Seriem undecimam
pertinens, ejuſque gradum, cujus æquatio eſt _cca_ - _baa_ - _a3_ = _x3_;
γ P ad AH ordinari, reperio (de ſu-
pra monſtratis) fore PT = {_3n3_/_3aa_ + _2ba_ - _cc_}, tum conſidero, ſi or-
dinata P γ ſit maxima, fore tangentem ipſi HA parallelam, ſeu rectam
PT eſſe infinitam; quare cùm ſit _n
3_ = PT x: _3aa_ + _2ba_ - _cc_;
&
_n_
ſit finita, patet eſſe _3aa_ + _2ba_ - _cc_ = _o_; vel _aa_ + {2/3}_ba_ = {_cc_/3};
adeó-
que √: {_bb_/9} + {_cc_/3}:
- {_b_/3} = _a_ = AP.
7.
Adnoto demùm è _maximis_ &
_minimis ordinatis_ radicum li-
mites derivari; nempe ſi reperiatur ad maximam ordinatam pertinen-
tis radicis (velut ipſius AP in exemplo proximè ſuperiori) valor, &
??is ubique in æ quatione pro ipsâ _a_ ſubſtituatur, ſi quod provenit, de-
ficiat ab _bomogeneo_ (quod vocant) _comparationis, problemn_ conſtrui
ſpecies præ ſe ferunt. Eadem _minimarum_ eſt ratio;
tantùm ibi
proveniens _ſumma_ debet _homogeneum_ illud excedere, quò radix ali-
qua, vel omnes habeantur. _Exempla_ comparent in præmiſſis.
Hîc
itaque ſubſiſto.
P _Ag.
5.
Lin.
20_.
ad teſtatur, _lege_ teſtatam facit.
_p.
9.
l.
3.
leg_.
velocitatum.
_p.
14.
l.
36.
leg_.
plana.
_p.
17.
l.
24.
leg_.
prohibetur.
_p.
18.
l.
32.
leg_ à puncto B.
_p. 19.
l.
4.
leg_.
BD , GK .
_p.
22.
10.
leg_.
VD multitudo cenſeri.
_p.
23.
l.
7_.
_leg_. radius ad _p.
23.
l.
10.
leg_.
nec non, datis.
_p.
24.
l.
2.
leg_.
effectæ.
_p.
24.
l.
24_.
_leg_. quidem ut punctum.
_p.
30.
l.
18.
leg_.
protracta.
_p.
32.
l.
5, 6.
leg_.
tangentes
(una - hujus) _p. 35.
l.
5.
leg_ tangant.
_p.
35.
l.
6.
leg_.
MP .
_p.
35.
l.
12.
leg_.
TP .
_p. 37.
l.
2.
leg_.
divisâ.
_p.
40.
l.
4.
leg_ arcus NH major eſt ipsâ.
_p.
41.
l.
32.
leg_.
ver-
ſari. _p 43.
l.
15.
leg_.
aliam HR .
_p.
47.
l.
26._
Fig 39, &
40.
_pag.
49.
l.
16.
leg_.
_@ f x y. p.
52.
l.
3.
dele_ Fig.
_51, 52.
p.
52.
l.
6.
leg_.
Fig.
_51, 52.
pag.
52 l.
24.
leg_.
Fig. 53.
_p.
55.
l.
15.
dele_ ſe interſecantes in X.
_p.
57.
l.
25.
leg_.
δ P.
_p.
58.
l.
19_.
_leg._ FB F ipſi KE K.
_p.
59.
l.
2.
leg_.
KE K.
_p.
61.
l.
26.
leg_.
punctum.
_p.
62.
l.
27_.
_leg._ KO &
gt;
KA _p.
63.
l.
16.
leg_.
contactum.
_p.
64.
l.
22.
leg_.
Fig.
_80.
p.
65.
l.
4_.
_leg_. ςενολεοχίαν.
_p.
67.
l.
11.
leg_ tum alia.
_p.
67.
l.
35.
leg_, QO q = Z q.
_p.
68_.
_l. 7.
leg_.
FQ .
_p.
70.
l.
22.
leg_.
Fig.
_95.
p.
76.
l.
3.
leg_.
HT (_a_) &
gt;
GA .
_p.
76_.
_l. 11.
leg_.
DF _p.
76.
l.
18 leg_.
PK .
_p.
76.
l.
20.
leg_.
tanget recta RFK.
_p.
78.
l.
24_.
_leg_. infra.
_p 79.
l.
18.
dele_ Fig.
113.
_p.
79.
l.
31.
leg_.
Fig.
113.
_p.
86.
l.
31_.
_leg_. √ VC Z φ = CG.
_p.
87 l.
14.
leg_.
D Ψ
3 = √ {32/243}. _pag.
91.
l.
9.
leg_.
inrecta. _p.
91.
l.
23.
leg_.
æquale rectangulo ex.
_p.
91.
l.
24.
leg_.
P, Q.
_p.
96_.
_l. 15.
leg_.
CA.
CD.
_p.
96.
l.
22.
leg_.
AD = {s/t}CA .
_p.
97.
l.
2.
leg_.
totam.
_p. 102.
l.
25.
leg_.
OP ad OT .
_pag.
106.
l.
10.
leg_.
applicatis, _p.
106.
l.
19.
leg_.
ſemi-axis. _p.
112.
l.
2.
leg_.
applicatis.
_p.
114.
l.
22.
leg_.
{PLQO/2 Rad.
} _p.
114.
l.
26_.
_leg_. propoſitum.
_p.
116.
l.
5.
leg_.
R.
S.
_p.
122.
l.
22.
leg_.
Fig.
_183.
p.
123.
l.
1.
leg_.
Fig. 184 _p.
125.
l.
4.
leg_.
DM = DI .
_p.
128.
l.
7.
leg_.
Fig.
195.
_p.
128.
l.
11:_
_dele_ Fig. 195.
_p.
128.
l.
23_ {PM/√APM} _p.
129.
l.
13_.
emerget undecima Lect.
_p.
136_.
_l. 20.
leg_.
hyperbolæ.
_pag.
139.
l.
3.
leg_.
nam.
_p.
140.
l.
1.
leg.
n &
lt;
β_.
_à p. 105_.
ad _p.
112.
l 1.
leg_.
Lect.
XII.
@
Vacuæ Pagellæ explendæ bæc adjici poſſunt:
υΠοραδικὰ vice,
animadverto potuiſſe ſecundo Appendiculæ tertiæ Lectio-
nis XII Problemati, pag. 122.
Corollaria quædam adponi
non injucunda, qualium adſcribam unum & alterum.
DE tur linea quæpiam AMB (cujus axis AD, baſis DB)
ad BD parallelâ, quæ ipſam AN E ſecet in N, ſit curva AN
æqualis ipſi GM .
Curva AN E talis ſit ut ſi MT curvam AMB, &
NS cur-
vam ANE tangant, ſit SG. GN :
: TG.
√ GM q - TG q,
ipſa ANE Propoſito faciet ſatis.
Iiſdem quoad cætera Suppoſitis, &
conſtitutis;
curva ANE
jam talis eſſe debeat, ut curva AN ſemper æquetur interceptæ rectæ
NM.
Curva ANE jam talis ſit, ut ſit SG.
GN :
: 2 TG x GM.
GM q - TG q;
erit ANE curva quæ deſideratur.
Datur curva quæpiam DX X, cujus axis DA ;
reperiatur curva
AD perpendicularis, ponaturque SM T curvam AM tangere, ſit
MS æqualis ipſi GX .
Liquetrationem TG ad TM (hoc eſt rationem GD ad MS, vel
GX ) dari; adeoque rationem TG ad GM quoque dari.
Inſervit hoc ſuperficiebus deſignandis, quarum in promptu ſit di-
menſio, etenim (ductâ ME ad AD parallelâ) Superficies Solidi
ex plani BM E circa axem DB rotatu progeniti adæquat {Periph/Rad}
x GD X; ut habetur in 11
a Lectionis XII.
In Lect.
XI.
appendice, numero XXXIII.
de Cycloide profer-
tur Tbeorema quoddam, id quod ex bujuſmodi generaliori
Tbeoremate deduci potuiſſet.
SI t AM B curva quælibet, cujus Axis AD , baſis DB , ſit item
rallela, poſitoque rectam TN curvam AN E tangere, ſit TN parallela
ſubtenſæ AM ; completo Rectangulo AD EG erit Spatium trili-
neum AE G æquale Segmento AD B.
Huic ſuppar Theorema tale eſt:
liſdem poſitis, ſi tam Segmentum
AD B, quam Spatium AE G circa Axem AG convertantur; erit
productum è Segmento AD BS olidum producti ex AE G duplum.
E tangentium porrò contemplatione ſuborta eſt methodus, per
quam expediſſimè plurima circa maximas quantitates Theoremata
deducuntur; quæ certè ſi tempeſtivè ſe objeciſſent, digna cenſuiſſem
quæ Lectionibus inſererentur, ex iis indigitabo nonnulla.
Sit curva quæpiam AL B, cujus Axis AD , baſis DB ;
&
huic
item LT curvam tangat.
Sit _m_ numerus quicunque, poteſtates exponens;
ſi ponatur
DG {_m_ - 1/} x TG = GL {_m_/}, erit DG {_m_/} + GL {_m_/} maximum, ſeu
majus quam D γ {_m_/} + γ λ {_m_/}.
Itidem ſumpto numero _m_, ſi ponatur BL {_m_ - 1/} x TL = GL {_m_/};
erit GL {_m_/} + BL {_m_/} maximum ſeu majus quam γ λ {_m_/} + B λ {_m_/}.
Sint numeri quilibet _m_, _n_;
ſi ponatur _m_ x TG = _n_ x DG , erit
DG {_m_/} x GL {_n_/} maximum, ſeu majus quam D γ {_m_/} x γ λ {_n_/}.
Quod ſi ponatur _m_ x TL = _n_ x arc BL , erit GL {_n_/} x BL {_m_/}
maximum, ſeu majus quàm γ λ {_n_/} x B λ {_m_/}.
Si fuerit TG x GL = DG LB, erit DG LB x GL maxi-
mum, ſeu majus quàm D γ λ B x γ λ.
Sin TG x GL = 2 DG LB, erit GL x √ DG LB maxi-
mum, ſeu majus quàm γ λ x √ D γ λ B.
Haud difficili negotio, cum hæc demonſtrantur, tum ejuſmodi
complura deprehenduntur.
Ad illa verò ſuccinctius comprobanda deſervire poſſunt bujuſmodi
Tbeoremata.
Sint duæ curvæ AG B, DH C quarum communis axis AD ,
AC ; ad ordinatæ verò communis GE H terminos, recta GS cur-
vam AG B, & recta HT curvam DH C contingant.
I.
Si recta HT rectæ GS parallela ſit, erit GE H maxima or-
dinatarum in continuum jacentium ſumma.
Nam utcunque ducta OK FL P ad GE H parallela (quæ Li-
neas ſecet ut cernis) erit GH = QP >
KL .
Not.
Verum hoc, ſi curvarum partes concavæ axi obverſæ jaceant,
aliàs GE H erit minima.
II.
Si ES = ET, erit rectangulum ex EG , EH maximum:
Nam ob SE.
SF :
: EG.
FO , &
TE.
TF :
: EH.
FP ;
erit
SE x TE. SF x TF :
: EG x EH.
FO x FP, itaque cum ſit
SE x TE >
SF x TF, erit EG x EH &
gt;
FO x FP.
UBi (_pag.
100_) de Centro gravitatis parabolæ &
para-
boliformis verba fiunt, intelligantur non curvæ lineæ,
ſed iis comprehenſa ſpatia, de quibus apparet iſthic agi.
Sicubi ponitur {δ/π}, nec adponitur εκθεσις ulla, deſignan-
tur termini rationem exprimentes, quam habet circuli di-
ameter ad ejus circumferentiam.