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Die  ersten  Begriffe
Kap.  I.  §.  7.
und  für  x  =  0  wird  direkt  Yoh
—,  welches  keine
(—  a  +h)
nach  ganzen  positiven  Potenzen  von  h  fortlaufende  Reihe  gibt,  so  oft
m  eine  negative  oder  gebrochene  Zahl  ist.  Eben -
  so  wird  für  X  =a
(a--h)m
direkt
welches
Ya-t-h
keine  nach  ganzen  positiven  Potenzen  von  h  fortlaufende  Reihe  geben
kann  (weil  sie  mit  h"  anfångt),  so  oft  n  positiv  ist.  —  Diese  Ausnahmsfälle -
  abgerechnet,  wird  aber  im  Allgemeinen  d.  h.  für  jeden  andern
Werth  von  X,  Y  in  eine  nach  ganzen  Potenzen  von  h  fortlaufende ¬
  Reihe  verwandelt  werden,  wenn  man  die  aus  (x--h)"  und
[(x—a)  +hJ"  nach  dem  binomischen  Lehrsatze  hervorgehenden  Reihen,
durch  einander  dividirt.  Die  beiden  ersten  Glieder  werden  dann
mX-1
nXi
h;
(—8)
(X—3
16—9
so  daß  für  diesesmal  die  Ableitung
unx
N
wird.
Sy  (an(a
Beispiel  6.  Ist  y  =  (x—a)n.log  (x—a),
so  ist
Yxth  =  ((x—a)--hjm.  log  ((x—a)-+-h).
Die  für  Y,1  existirende,  nach  ganzen  Potenzen  von  h  fortlaufende
Reihe  ergibt  sich  nun,  wenn  man  die  für  [(x—a)-+hJ"  nach  dem
binomischen  Lehrsatze  zu  erhaltende  Reihe,  mit  der  im  (Beisp.  4.)  für
log  [(x—a)  +h]  erhaltenen,  multiplizirt.  Die  beiden  ersten  Glieder
dieser  Reihe  werden  dann
(x—  a)m.log  (x—a)-+m(X—a)m-1.log  (x—a)-+(X—a)m-1].h,
so  daß  diesesmal  die  Ableitung
dy  =  m(x—a)m-1.log  (x-a)-+(x—a)m—
wird.
Hier  ist  y,  wegen  des  Logarithmen  offenbar  unendlich  vielförmig,
und  zugleich  auch  dy,,  weil  dasmal  auch  in  dieser  Ableitung  dy,  der
Logarithme  vorkommt.  (Man  vergleiche  hiermit  das  Beispiel  4.)