307
DES DÉRIVATIONS.
plus variable, dex, dex, etc. sont zéro, et l’on a Ax = dx : changeant donc
A en d dans les équations (3), elles deviennent
dy = nox.dr, day = n2Or.da2, d3y — nor.da, etc.,...(5)
Pour simplifier et pour nous conformer à l’usage reçu, nous écrivons da2,
das, dar au lieu de (dr)2, (dx)5, (dx)r, nous le ferons tant qu’il n’y aura
point d’équivoque à craindre, et alors nous indiquerons la différentielle de x
par d(vn).
Les expressions pOx.dx, »»0x. da2, etc. ont sur celles-ci nOx.Ax, p°Ox.(Ax)?,
etc. l’avantage de faire connoître par elles-même qu’elles ne représentent pas
des différences entières, mais seulement des différentielles.
On tire des équations (5) celles-ci
d3
day
d
.....(6)
= D5Ow, etc.,
= DOX
— D20X
das
da2
da
où les seconds membres pox, »x, n3x, etc., et partant aussi les premiers,
sont des fonctions de x sans Ax ou dx, c’est-à-dire des quantités indépendantes -
de Ax ou dx. On a nommé ces expressions (6) des rapports différentiels,
des coëfficiens différentiels ; comme elles sont précisément la même chose
que ce que nous avons nommé jusqu’ici des dérivées, nous leur conserverons
ce dernier nom. Substituant ces expressions dans la série (1) de Ay, et
dénotant par y la quantité y + Ay, c’est-à-dire, ce que devient y lorsque
« devient « + Ax, on a
dy
dy
(Aa)
. Ao1. -
2. 3da) etc.:
—
da
1.2 dac'est ¬
le théorème de TAYLOR.
ydy
de etc. dans cette série sont indépendans de Ax et de
Comme
dx, il est clair qu’il n’est pas nécessaire que dans cette série dx soit égal à
Ax, dx peut être tout ce qu’on voudra, pourvu que dans dy, d2y, etc. on
prenne pour da la même valeur; on pourroit donc aussi regarder dx comme
dy dey
da ? da ? etc., ainsi que nous le faisons à l'égard de pa dans pox,
= 1 dans
D2Ox, etc.
Pour éviter les expressions fractionnaires, nous proposons d’introduire dans
le calcul différentiel, pour désigner les différentielles divisées, des signes
semblables à ceux qui nous ont si bien servi jusqu’à présent pour les dérivées
d’y au lieu de
divisées : nous proposons donc d’écrire dzy au lieu de
