722. Corollaire III.

682. Il ſuit encore delà que ſi loin que l’on prolonge la
courbe & ſes aſymptotes, jamais ces deux lignes ne ſe rencon-
treront, puiſque l’on aura toujours QL x LR = FB ₂ ; ce qui ne
pourroit arriver ſi ces lignes ſe rencontroient, puiſque dans
ce cas Q L ſeroit égal à zero; & c’eſt par cette raiſon que les
lignes C Q, C R ont été nommées aſymptotes, c’eſt-à-dire
qui ne peuvent rencontrer (l’hyperbole).

723. PROPOSITION III.
Theoreme .

683. Si l’on mene par deux points quelconques K, O de deux
hyperboles oppoſées deux lignes droites V X & Y Z paralleles en-
tr’elles, & terminées par les aſymptotes, je dis que le rectangle de
V O par O X eſt égal à celui de Y K par K Z.

724. Demonstration .

Pour démontrer cette propoſition, tirez par les points O, K les
lignes T O S, H K I paralleles entr’elles & au ſecond axe D E,
pour avoir les triangles ſemblables OSX, YHK, OTV, KIZ,
qui donnent les proportions ſuivantes, OS : KH : : OX : KY,
& O T : K I : : O V : KZ : donc en multipliant ces deux pro-
portions, termes par termes, on aura O S x O T : K H x K I
: : O X x O V : K Y x K Z, & (art. 680) O S x O T = KH x KI: donc O X x O V = K Y x K Z. C. Q. F. D.

725. PROPOSITION IV.
Theoreme.

684. Si l’on mene par deux points quelconques A & C d’une
hyperbole, ou des hyperboles oppoſées deux lignes droites A B & C D paralleles entr’elles, & deux autres A E, C F auſſi paralleles
entr’elles, & terminées aux aſymptotes, je dis que le rectangle
A E x A B ſera égal à celui de F C par C D.

726. Demonstration .

Soient tirées par les points A, C les lignes G A H, I C K pa-
ralleles entr’elles; & conſidérez que les triangles ſemblables
EAG, FCI, BAH, DCK, nous donneront AG : AE : : CI : CE,