Full text: Belidor, Bernard Forest de: Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie

696. Demonstration .

Les choſes étant toujours les mêmes que ci-devant, nous
aurons (art. 649) G P 2 = aa-xx, & (art. 650) G A 2 -G P 2
= ou A P x P B = G K 2 = xx. Or par la propriété de l’ellipſe,
l’on aura G A 2 : G R 2 : : A P x P B : P E 2 , ou analytiquement
a 2 : b 2 : : xx : {bbxx/aa}=P E 2 , & d’une autre part G A 2 : G R 2 : :
A K X K B : C K 2 , & en lettres a 2 : b 2 : : aa-xx : {aabb-bbxx/aa}. Or lestriangles rectangles G P E, G K C donnent E G 2 =E P 2
+ PG 2 =aa - xx+{bbxx/aa}, ou E G 2 ={a 4 - aaxx + bbxx/aa}, & encore CG 2 =CK 2 +GK 2 ={aabb-bbxx/aa}+xx={aabb-bbxx+aaxx/aa}: donc E G 2 +C G 2 ={a 4 -a 2 x 2 +b 2 x 2 +a 2 b 2 -bbxx+a 2 x 2 /a 2 }={a 4 +a 2 b 2 /a 2 },
& diviſant par a 2 , aa+bb=E G 2 +C G 2 , & en quadruplant
les termes de chaque membre A B 2 +Q R 2 =C D 2 +E F 2 . C. Q. F. D.

697. Corollaire .

657. Il ſuit de cette propoſition, qu’il ne peut y avoir dans
une ellipſe que deux diametres conjugués qui ſoient égaux: car puiſque la ſomme des quarrés de deux demi-diametres
conjugués eſt égale à celle des quarrés des deux demi-axes, ſi
l’on prend l’expreſſion générale de l’un de ces diametres pour
le quarré d’un des deux diametres conjugués égaux, par exem-
ple, celle de C G 2 , on aura cette équation {2aabb-2bbxx+2aaxx/aa}
= aa + bb, & multipliant tout par aa, 2aabb - 2bbxx+
2aaxx=a 4 +aabb, d’où l’on déduit, en effaçant aabb dans
chaque membre aabb-2bbxx+2aaxx=a 4 , ou en tranſ-
poſant aabb-a 4 =2bbxx-2aax, & diviſant tout par
bb-aa, il vient a 2 =2xx, ou x 2 ={aa/2}, d’où l’on déduit
cette propoſition {1/2} a : x : : x : a, qui fait voir que l’abſciſſe qui
détermine les deux diametres conjugués égaux, eſt moyenne
proportionnelle entre le quart & la moitié du grand axe. Et
comme il n’y a qu’une moyenne proportionnelle entre ces
deux grandeurs, il s’enſuit qu’il n’y a auſſi dans une ellipſe que
deux diametres conjugués égaux entr’eux. C. Q. F. D.

Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer