Sint exempli gratia .4. quantitates
.a.b
:
c.d
:
e.f
: et
.g.h
: inuicem proportionales in
proportionalitate arithmetica. Hoc eſt vt quæ proportio (licet impropriè dicta)
eſt ipſius
.a.b.
ad
.c.d.
eadem
eadẽ ſit ipſius
.e.f.
ad
.g.h
. Tunc permutando dico eandem pro
portionem fore ipſius
.a.b.
ad
.e.f.
quæ ipſius
.c.d.
ad
.g.h
.
Nam, ex hypotheſi, differentia qua
.a.b.
ſuperat
.c.d.
(quæ ſit
.m.b.
) æqualis eſt
differentiæ qua
.e.f.
ſuperat
.g.h.
(quæ ſit
.i.f.
) vnde
.a.m.
reſiduum ex
.a.b.
æquale erit
c.d.
& reſiduum
.e.i.
æquale
.g.h
. Sit igitur exempli gratia
.c.d.
maior
.g.h.
per
.c.n.
vnde
.n.d.
æqualis erit
.g.h.
quare
.a.m.
maior erit
.e.i.
per
.a.K.
æqualem
.c.n.
ex com-
muni ſcientia. Vnde
.K.m.
æqualis erit
.n.d.
hoc eſt ipſi
.g.h.
hoc eſt ipſi
e.i
. Quare ex
communi conceptu
.b.K.
æqualis erit ipſi
.f.e.
ſed
.n.d.
æqualis eſt
.g.h.
vt dictum eſt. Cum ergo
.b.K.
æqualis ſit
.e.f.
et
.d.n.
ipſi
.g.h.
et
.a.b.
maior ſit ipſa
.K.b.
per
.a.K.
æqua-
lem ipſi
.c.n.
per quam
c.n
:
d.c.
maior eſt ipſa
.d.n.
ſequitur verum eſſe
propoſitum
propoſitũ hoc
eſt, quod eadem proportio ſit ipſius
.a.b.
ad
.e.f.
quæ
.c.d.
ad
.g.h.
arithmetice ſcilicet.
1.80.
THEOREMA LXXIX.
CVR prouenientia duorum numerorum diuidentium eiuſdem numeri diuiſi-
bilis, geometricè
eandem
eandẽ inter ſe
proportionem
proportionẽ ſeruant,
quam
quã ipſimet
diuidentes
diuidẽtes.
Exempli gratia ſi per ſenarium & octonarium numerus vigintiquatuor diuida-
tur, prouenientia erunt .4. et .3. eadem proportione, qua diuidentes.
Cuius eſt ratio numerus diuiſibilis ſignificetur rectangulis
.u.x.
et
.n.e.
diuidentes
autem ſint
.u.o.
et
.e.o.
quare ex ijs, quæ .10.
theoremate dicta fuerunt
.u.x.
per
.u.o.
diui-
ſo dabit
.x.o.
& diuiſo
.n.e.
per
.e.o.
dabit
.o.
n
. Dicimus itaque
eandem
eandẽ eſſe
proportionem
proportionẽ
o.x.
ad
.o.n.
quæ
.e.o.
ad
.o.u.
quod patet ſub
ſcriptam figuram conſiderantibus, in qua,
ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi, eadem propor-
tio cernitur
.o.x.
ad
.o.n.
quæ
.o.e.
ad
.o.u
.
1.81.
THEOREMA LXXX.
CVR quauis quantitate, tribus
aut quatuor aut etiam pro libi-
to pluribus diuidentibus numeris di-
uifa, prouenientia eandem prorſus
inter ſe proportionem ſeruabunt,
quam ipſi diuidentes habere compe
riuntur.
Exempli gratia, proponitur nu-
merus .60. quinque numeris diuiden
dus, vtpotè .30. 20. 15. 12. 10. pro-
uenientia erunt .2. 3. 4. 5. 6. eadem
THEOREM. ARITH.
proportione diuidentium, quamuis ex aduerſo.
Cuius ratio ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi dependet. prout in ſubſcripto ordine fa-
cillimè deprehendi poteſt.
1.82.
THEOREMA LXXXI.
CVR quantitate in tres continuas partes proportionales ſecta, & per ſingulas
ipſarum diuiſa, ſumma trium prouenientium quadrato medij prouenientis
æqualis eſt.
Exempli gratia, proponitur .14. diuidendus in tres continuas partes proportio-
nales, nempe .8. 4. 2.
ipſeque
ipſeq́; numerus .14. per ſingulas diuiditur, ex quo tria proue-
nientia oriuntur, nempe ex prima parte .8.
proueniens
proueniẽs erit .1. cum tribus quartis par
tibus ex ſecunda .4. datur proueniens .3. cum dimidio vnius, & ex tertia .2. proue-
nient .7. integri, qui in ſummam collecti dant .12. integros & vnam quartam par-
tem tantumdem, videlicet quantum quadratum prouenientis medij, nempe .3.
cum dimidio.
Cuius ſpeculationis gratia, totalis numerus ſignificetur linea
.n.c.
qui in tres par-
tes diuidatur
.n.a
:
a.e.
et
.e.c.
quæ ſint continuæ proportionales, quarum ſingulis,
numerum
.n.c.
diuiſum eſſe cogitemus, proueniens autem ex diuiſione
.n.c.
per
.n.
a.
ſit
.i.d.
quod verò prouenit ex diuiſione
.n.c.
per
.a.e.
ſit
.d.u.
proueniens quoque ex
diuiſione
.n.c.
per
.e.c.
ſit
.u.o.
quorum ſumma ſit
.i.o.
quæ aſſeritur eſſe numeri æqua-
lis numero quadrati
.d.u
. Quod hac ratione probabo, producatur linea
.i.o.
donec
.
o.p.
æqualis ſit
.o.u.
erigaturque
erigaturq́;
.o.m.
æqualis
.d.i.
perpendiculariter
.o.p.
in puncto
.o.
quæ producatur donec
.o.q.
vnitati ſit æqualis,
terminenturque
terminenturq́; duo rectangula
.m.p.
et
.q.i.
ex quo habebimus rectangulum, aut productum
.m.p.
æquale quadrato
.d.u.
ex .16 ſexti aut .20. ſeptimi, quandoquidem tria prouenientia
.o.u
:
u.d.
et
.d.i.
ex
pręcedenti theoremate ſunt inter ſe continua proportionalia, proportionalitate qua
partes
.n.c
. Iam verò ſi probauero
.q.i.
productum, producto
.m.p.
æquale eſſe, pro-
poſitum quoque probatum erit. Numerus enim producti
.q.i.
æqualis eſt numero. ſummæ
.i.o
. Habemus autem ex definitione diuiſionis ita ſe habere
.n.c.
ad
.i.d.
ſicut
.
n.a.
ad
.o.q
. Itaque permutando ſic ſe habebit
.n.c.
ad
.n.a.
ſicut
.d.i.
hoc eſt
.m.o.
ad
.
o.q.
ſed ſicut ſe habet
.n.c.
ad
.n.a.
ita pariter ſe habet
.i.o.
ad
.o.u.
hoc eſt ad
.o.p
. Ita-
que
.i.o.
ad
.o.p.
ſic ſe habebit ſicut
.m.o.
ad
.o.q.
ex quo ex .15. ſexti aut .20. ſeptimi
.
q.i.
æqualis erit
.m.p.
& conſequenter quadrato
.d.u
. Vt autem lector minori labo-
re cognoſcere queat
.i.o.
ad
.o.u.
ſic ſe habere, vt
.n.c.
ad
.n.a.
ſciendum eſt quòd, ſic
ſe habet
.i.d.
ad
.d.u.
ut
.c.e.
ad
.e.a.
ex quo componendo ſic ſe habebit
.i.u.
ad
.d.u.
ſi-
cut
.c.a.
ad
.a.e.
& permutando ita
.i.u.
ad
.c.a.
vt
.d.u.
ad
.e.a.
ſed cum ex
præ- cedenti
præ-cedẽti theoremate ſic ſe habeat
.d.u.
ad
.u.o.
ſicut
.e.a.
ad
.a.n.
permutando
ſic ſe habebit
.d.u.
ad
.a.e.
ſicut
.u.o.
ad
a.n.
ex quo ex .11. quinti ſic ſe habe-
bit
.i.u.
ad
.c.a.
prout
.o.u.
ad
.a.n.
per-
mutandoq́ue
.i.u.
ad
.u.o.
vt
.c.a.
ad
.a.n.
& componendo, ita
.i.o.
ad
.u.o.
ſicut
.c.n.
ad
.a.n
.
