Full text: Benedetti, Giovanni Battista: Io. Baptistae Benedicti ... Diversarvm specvlationvm mathematicarum, et physicarum liber

6.34.

6.34.1. NOTABILES ERRORES ORONTII
& Tartaleæ.

Cornelio Bitonto.

PArvvs error non fuit, vt putabat Orontius, quodanguli triangulorum
æquicrurium inuicem æqualium, baſibus oppoſiti, ijſdem baſibus propor
tionales eſſent, cuius opinionis cauſa fuit quod nunquam viderit vel me
minerit eius quod Ptolomeus ſcripſit lib. primo Almageſti, vbi de diſpro
portionalitate chordarum arcuumque arcuumq́; tractat, vel quod ſcribit Vitellio lib. primo pro
poſitione .35. ſeu lib. quarto, propoſitione .21. quod idem eſt. Sed nec ego tibi pro
ponam id quod ſcribit Nicolaus Tartalea diuiſioni .28. quinti capitis quartæ partis
ſuorum tractatuum, eo quod non exactè ſcientificè ſcripſerit, nec vniuerſaliter, quan- uis quã-uis talis propoſitio poſſit ſcientificè ſcribi, accipiendo .b.c. in eius figura, pro latere
octagoni, vnde angulus .a.e.b. duplum foret angulo .b.e.c. collocato poſtea .b.c. in
arcu .a.b. punctum .c. medium fuiſſet dicti arcus, et .e.c. diuideret .a.b. per æqualia,
ex quinta primi, nec non ad rectos ex .3. tertij, vnde ex .18. primi, clare vidiſſemus
non eſſe proportionem .a.b. ad .b.c. vt anguli ad angulum. Sed vniuerſaliori modo
poſſumus hoc ſpeculari. Nam manifeſtè ſcimus, eandem eſſe proportionem circun
ferentiæ ad diametrum in omnibus circulis tam maioribus, quam minoribus. Sint igitur duo anguli .a.e.b. et .c.e.b. cuiuſuis amplitudinis, quorum latera .e.a : e.b :
et .e.c. ſint inuicem æqualia, protrahatur .b.a. et .b.c . Tunc dico maiorem proportio
nem eſſe anguli .a.e.b. ad angulum .b.e.c. quam .a.b. ad .c.b. ducatur enim .b.g. ita quod
faciat angulum .g.b.c. æqualem angulo .e.b.a. protracta poſtea .c.g. quæ idem faciat
in puncto .c. vnde .g.b. et .g.c. æquales inuicem erunt ex .6. primi, & quia angulus .a.
æqualis eſt angulo e.b.a. ex quinta eiuſdem, ideo ex .32. dicti, et .4. ſexti, horum
duorum triangulorum latera, erunt inuicem proportionalia. Conſtituto deinde .g.
centro, & ſecundum ſemidiametrum .g.b. vel .g.c. quod idem eſt, deſcripto circu-
lo .b.i.c. necnon circulo .b.c.a. circa centrum .e. ope ſemidiametri .e.b. et .e.a. vn
de iſte circulus eritillo maior, cum .e.b. maior ſit .g.b. ex .14. quinti. cum ex .14. tertij
a.b. longior ſit .c.b. ſed ex vltima definitione tertij, arcus .b.i.c. et .b.c.a. erunt in-
uicem ſimiles, hoc eſt proportio totius cir-
cunferentiæ circuli .b.i.c. ad arcus .b.i.c. ea-
dem erit, quæ totius circunferentiæ circuli
b.c.a. ad arcus .b.c.a. ſed proportio diame-
tri ad circunferentiam eſt vt diametri ad cir
cunferentiam, vt ſupra diximus; Quare ex
proportionum æqualitate, vt ſemidiametri
ad circunferentiam erit, vt ſemidiametri
ad circunferentiam, & per eandem propor
tionum ęqualitatem, proportio .e.b. ad arcum arcũ
b.c.a. erit, vt .g.b. ad arcum .b.i.c. & per ean
dem æqualitatem, ita erit .a.b. chordæ ad ar
cum .b.c.a. vt .c.b. chordæ ad arcum .b.i.c.
& permutando, ita erit chordæ .a.b. ad chor
dam .c.b. vt arcus .b.c.a. ad arcum .b.i.c. ſed
arcus .b.i.c. maior eſt arcu .b.d.c. ex commu­ EPISTOL AE. ni ſcicntia. Quare maior proportio erit acus .b.c.a. ad arcum .b.d.c. quam ad arcum
b.i.c. ex .8. quinti. Vnde ex vltima ſexti et .12. quinti, proportio anguli .a.e.b. ad an-
gulum .c.e.b. maior erit quam chordæ, ſiue baſis .a.b. ad chordam ſiue baſim .c.b .

6.34.1.1.
0372-01

6.35.

6.35.1. DE CAVSA SVSPENSIONIS NVBIVM
in aere contra Antonium Bergam.

Clarißimo Franciſco Venerio.

EGo enim non tantum miror ea quæ mihi ſcripſiſti de opinione Ortenſij
quantum quod Antonius Berga putat nubes à Sole ſupenſas teneri, id pla
nè falſum eſt, vera cauſa huiuſmodi effectus, alia nulla eſt, niſi earundem
raritas hoc eſt, cum rariores ſint ipſo aere ſubiecto, propterea ſupra ipsum ipsũ
natant & ſtant ſub eo qui rarior ipſis eſt, eo quod corpora rariora poſita in medio
non tam raro, aſcendunt, & denſiora in medio minus denſo deſcendunt. Nam ſi
Sol ipſas nubes ſuſpenſas in aere teneret, hoc interdiu tantummodo fieret, ſed no
ctu, cur non deſcendunt vſque ad terram, & in eodem loco ſemper manent? Scien-
dum igitur eſt nubes aſcendere in altum quouſque inueniant aerem eiuſdem ra-
ritatis cuius ipſæ ſunt. Raritas enim & denſitas non ſunt res viſibiles niſi per acci-
dens, quemadmodum etiam leuitas, & grauitas, opacitas verò & diaphaneitas ma
gis compræhenduntur compræhendũtur, opacitas enim ex reflexione radiorum luminoſorum, diapha
neitas verò compræhenditur ex penetratione ipſorum radiorum, opacitas autem nu
bis non eſt denſitas, cum valde diuerſa ſit denſitas ab opacitate, ſicut raritas ab dia-
phaneitate, vt aliàs dixi. Et quando dicit, quod Sol calefaciendo aerem ipſam nu
bem ambientem, rarefaciat eum magis quam ipſam nubem reſpondeo, hoc verum
non eſſe, proptere [?] a quodradius Solis non multum calefacit ea corpora, quæ ip ſi per
mittunt liberum tranſitum. vnde corpora quanto magis diaphana ſunt tanto minus
ab ipſo radio luminoſo calefiunt, ſed ea quæ magis opaca ſunt, magis etiam calefiunt
& per conſequens magis rarefiunt, cum calidi ſit per ſe rarefacere, & non attrahere,
vt ipſe & ferè omnes alij putant.

6.36.

6.36.1. DE RATIONE EXTENSIONIS FVNIS
cuiuſdam libramenti, & de quadam ſimboleita-
te circuli cum ellipſi.

Angelo Ferrario Serenißimi Ducis Sabaudia
Agrimenſori expertißimo.

TIbi in mentem veniet, quod cum ſuperioribus diebus in villa lucenti, in
qua degebat Sereniſſimus Dux noſter, dum viridarium ad æquilibrium
reducebas, eſſemus, à te quæſiui an ſcires vnde fieret, vt ſtante libramen-
to ad angulos rectos ſupra ſuum pedem, funis quæ extrema eiuſdem li-
bramenti cum pede in formam trianguli æquicruris coniungit, magis diſtentus exi-
ſteret, quam cum dictum libramentum cum pede obliquum remanet, ita vt huiuſ- IO. BAPT. BENED. modifunis cum libramento triangulum ſcalenum conſtitueret.

Exempli gratia, ponamus lineam .d.b.c. eſſe libramentum .et .b.e.u. eius pedem,
funem autem, qui aliquando cum libramento facit triangulum iſocellum, & aliquan
do ſcalenum, eſſe .d.e.c. eſto etiam quod in figura .A. dictus triangulus .d.e.c. ſit iſo-
cellus, & in figura .B. ſcalenus. Tunc quæſiui à te an ſcires rationem, quare
funis .d.e.c. in figura .A. eſſet diſtenſus, & in figura .B. laxus quemadmodum vide-
bamus. cum mihireſponderis, neſcio quid, quod nunc memoria non nõ teneo, ſed quia
pollicitus ſum metibi eam afferre, propterea nunc ad te mitto. Scias ergo huiuſ-
modirationem nihil aliud eſſe niſi quod in figura .A. duæ lineæ .c.e. et .d.e. ſimul è
directo iunctæ longiores ſint illis, quę reperiuntur in figura .B. ſed quia funis tam in
figura .B. quam in figura .A. vnus, & idem eſt, ideo in figura .B. laxatus eſt, & non in
tenſus, ut in figura .A . Sed vt huiuſmodi veritatis certam notitiam habeas, infraſcri
ptum circulum mente concipe .f.e.i. cuius ſemidiameter, æqualis ſit .b.e. & diame-
ter ſit .f.i. in quo imaginare eſſe tuum
libramentum .d.b.c. & figuras .A. et .B.
& pr obabo lineas .d.e.c. figurę .A. lon
giores eſſe lineis .d.e.c. figuræ .B .

6.36.1.1.
0374-01
0374-02

Imaginemur igitur lineam .b.e. eſſe
dimidium minoris axis alicuius alicuiꝰ ellipſis
cuius quidem figuræ ponamus .d. et .c.
centra ipſius circunſcriptionis eſſe, cu
ius circunferentia circunferẽtia, nullidubium eſt, quin
extra propoſitum circulum tranſitura,
& in vno tantummodo puncto ipſum
circulum tactura ſit, qui exiſtat .e.
figuræ .A. ſeparatum tamen à puncto
e. figuræ .B . Tunc ſi protracta fue-
rit linea .d.e. figuræ .B. vſque ad gi
rum ellipticum in puncto .g. à quo
ad punctum .c. ducta etiam ſit linea
g.c . tunc manifeſtum manifeſtũ erit duas lineas
d.e. et .e.c. figuræ .A. ſimul iunctas,
æquales eſſe duabus .d.g. et .g.c. ſi-
mul poſitis, vt etiam ex .52. tertij
Pergei facilè videre eſt, ſed ex .21.
primi Euclid. iam certò ſcimus .d.g.c. longiores eſſe .d.e.c. ſiguræ .B. ergo .d.e.c. figu-
.A. longiores ſunt .d.e.c. figuræ .B. quod eſt propoſitum.

6.36.1.1.
0374-03

Quod etiam mihinunc circa hoc ſuccurrit, tibi libenter ſignifico, hoc eſt, quod
ſicut in ellipſi duæ lineæ .d.e.e.c. figuræ .A. ſimul iunctæ, ſunt ſemper æquales duabus
lineis .d.g.g.c. in longitudine, ita in circulo duæ .d.e.e.c. figuræ .A. æquales ſunt in
potentia duabus .d.e.e.c. figurę .B .

Manifeſtum enim primum eſt ex penultima primi in figura .A. quadratum .e.c.
æquale eſſe duobus quadratis ſcilicet .e.b. et .b.c. & quadratum .e.d. æquale duobus .
e.b.
et .b.d . Quare quadrata .e.c. et .e.d. æqualia ſunt quadratis .e.b. figuræ .A. et .e.
b.
figurę. B et .b.c. et .b.d. hoc eſt duplo quadrati .e.a. (ducta cum fuerit .e.a. perpen-
dicularis ad .c.b.d.a. ) duplo quadrati .a.b. ex penultima primi, & duplo quadrati .b.
c
. Sed quadrata .d.e. et .e.c. figurę .B. æqualia ſunt duplo quadrati .a.e. & quadrato a.d. EPISTOL AE. & qua drato .a.c. ex eadem eadẽ. Nunc videndum eſt vtrum vtrũ duplum duplũ quadrati .a.e. cum cũ duplo qua
drati .b.a. cum cũ duplo quadrati .b.c. ſit æquale duplo quadrati .a.e. cum cũ quadrato .a.d. &
cum quadrato .a.c . Sed quia tam ex vna parte quàm ex alia habemus duplum qua-
drati .a.e . Videndum igitur erit vtrum duplum quadrati .a.b. ſimul cum duplo qua-
drati .b.c. ęquale ſit quadrato .a.c. cum quadrato .a.d. ſed hoc manifeſtum eſt .ex .10.
ſecundi Euclidis, dato quod punctum punctũ .a. ſit inter .f. et .d. ſed ſi fuerit inter .d. et .b. hoc
manifeſtum erit ex .9. ſecundi dicti, nihilominus accipe hunc alium modum.

Sit hic ſubſcriptum quadratum .D. ex .a.c. in ſeipſa producta, cuius diameter ſit
a.n. protrahanturque protrahanturq́ parallelę .d.h : b.K : l.m.o. et .r.q.s. eique eiq́; addatur .c.p. ad .a.c. æqua-
lis tamen .d.a. ſitque ſitq́; protracta .p.u. vſque ad .m.o.u. vnde habebimus .a.n. pro totali
quadrato, et .p.s. pro partiali, & æquali quadrato lineæ .a.d . Videndum nunc eſt, vtrum vtrũ
hęc duo quadrata æqualia ſint duobus quadratis lineæ .a.b. & duobus lineæ .b.c. Nam
duo quadrata lineæ .b.c. ſint .K.o. et .h.l. videndum nunc eſt utrum reſiduum ęquale
ſit duobus quadratis lineę .a.b. quorum vnum ſit .m.b. alterum verò .l.p. quod ſupe-
rat .l.c. et .s.p. figuræ .D. per ſupplementum .o.t. cui æquale eſt parallelogrammum .h.
m.
figuræ .D. ſed ſi punctus .a. poſitus fuerit inter .d. et .b. conſtituto quadrato .d.u. cum
omnibus parallelis, vtin figura .C. viderelicet, in qua figura videbimus quadrata .r.
n.
et .d.r. ęquari duplo quadratorum .l.n. et .r.l. nam in quadrato .r.n. ipſa duo quadra-
ta .l.n. et .r.l. capiuntur, reliquum eſt igitur vt videamus an duo ſupplementa .l.t. et .l.
s.
cum quadrato .d.r. ſint æqualia dictis [quadratis] .l.n. et .r.l. ſed quadratum .d.l. æ qua-
tur quadrato .l.n. videndum igitur eſt,
an duo ſupplementa .l.t. et .l.s. cum qua
drato .d.r. ſint æqualia duobus quadra
tis .d.l. et .r.l. ſed quadratum .d.l. æqua-
tur quadrato .d.r. & ſupplemento .l.t.
mediante .q.l. & ſupplemento .r.b. ſup-
plementum verò .l.s. ſuperat ſupplemem ſupplemẽ
tum .r.b. per quantitatem æqualem æqualẽ qua-
drato .r.l. quare duo ſupplementa .l.t.
et .l.s. cum quadrato .d.r. æquantur qua
drato .d.l. cum cũ quadrato .l.r. verum igitur eſt duas .d.e.e.c. figuræ .A. æquales eſſe in
potentia duabus d.e.e.c. figurę .D. quæ quidem affectio circuli, à nemine fuit adhuc
(quod ſciam) detecta.

6.36.1.1.
0375-01
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.

powered by Goobi viewer