6.32.4. Duplex modus par allelam orizontalem alicui muro propoſito
una tantummodo statione ducendi.
AD EVNDEM.

DVcere parallelam orizontalem alicui muro recto propoſito vna tantummodò
ſtatione, non ſolum poſſibile eſt ſed etiam facile.

Sit exempli gratia murus rectus .a.d. ſitus verò .o.n . Si cupimus ducere .n.u.
parallelam dicto muro, accipiatur quadratum geometricum, ſeu ſcala altimetra
vel aliquod ſimile inſtrumentum, quo mediante à ſitu .o. videbimus punctum .q.
quod volueris ipſius muri, dexteram dexterã
verſus, inferius tamen. ipſo .o. vnde
formatum habebimus triangulum .
n.o.q . Quo facto ad partem ſiniſtram ſiniſtrã
cum eodem angulo .n.o.q. oporte-
bit nos inuenire punctum aliquod .
p. in dicta ſuperficie muri, & tunc
habebimus angulum .n.o.p. æqua-
lem angulo .n.o.q. vnde angulus .q.
n.p. nobis cognitus erit, duoque duoq́; late
ra .n.q. et .n.p. erunt inuicem æqua-
lia, ex .26. primi Euclid. cum angu-
li .q.o.n. et .q.n.o. ſint æquales angu
lis .p.o.n. et .p.n.o. & latus .o.n. com
mune, vnde angulus .q.n.g. extrinſe
cus trianguli .p.q.n. reſiduusque reſiduusq́; ex
duobus rectis nobis cognitus erit,
etiam & eius medictas .q.n.u. æqua
lis angulo .p.q.n. eo quod ex .5. pri-
mi, anguli .q.p. ſunt inuicem æquales, & ex .32. eiuſdem, æquales ſunt extrinſeco .q.n.
g. & ex 27. n.u. erit parallela ipſi .q.p .

Aliter etiam poſſumus idem efficere, ſumendo duo illa puncta in ſuprem a linea
orizontali ipſius muri ad ſuperiorem partem aſpiciendo, quemadmodum ad infe-
riorem, quod vnum & idem erit, dummodò non aſpiciamus orizontaliter, eo quod
nos oportet ſuperficiem conicam producere, linea viſuali mediante. cognoſcere au­
tem angulum .q.n.p. facile erit, conſtituendo primò inſtrumentum in ſitu trianguli .
o.n.q. aſpiciendoque aſpiciendoq́; punctum .c. in ſuperficie .n.q.o. & ſic in alia parte, exiſtente in-
ſtrumento in ſitu trianguli .o.p.n. aſpicere oportet punctum .e. proximum puncto .n.
vbi poſſit metiri angulum .c.n.e .

Sed ſi ſitus puncti .n. talis eſſet, vt ab eo non poſſet aliquis murum videre ad re-
ctos angulos, aſpiceremus punctum .q. ſub orizontali ab oculis noſtris, in orizontali
tamen puncti .n. ita quod angulus .o.n.q. rectus exiſtat, quo facto obſeruando angu-
lum .n.o.q. eo mediante, medianteq́ue .n.o. cum angulo .o.n.q. cognoſcemus
quantitatem diſtantiæ .n.q. idem etiam faciendum eſt cum alio puncto .p. quod
volueris, & mediantibus duobus punctis inuicem proximis .c.e. cognoſcatur an- EPISTOL AE. gulus .p.n.q. vnde ex methodo .56.
primi triangulorum Monteregij,
cognoſcemus reliqua trianguli .
q.p.n . Conſtituendo poſtea angu-
lum .q.n.u. æqualem angulo .n.q.p.
propoſitum habebimus.

Si etiam puncta .q.p. lineæ .q.p.
orizontali in eodem plano non exi
ſterent cum puncto .n. nihil refer-
ret, dummodo in pauimento notem notẽ
tur puncta pũcta .c.e. proxima .n. in ijſdem
ſuperficiebus triangulorum .n.o.p.
et .n.o.q. vnde .n.c. et .n.e. erunt com- munes cõ-munes ſectiones dictarum ſuperficierum cum ſuperficie pauimenti ſupra quam fit
ſtatio.

6.33.

6.33.1. CONI RECTI DIVISIO A PLANO
parallelo baſi ſecundum datam proportionem.
Rapbaeli de Auria.

QVotiescvnqve volueris conum rectum diuidere à plano parallelo ba-
ſi ſecundum vnam datam proportionem, nullius tibi erit difficultatis, con
ceſſa tamen tamẽ pro inuenta diuiſione cuiuſuis propoſitę proportionis per tres
æquales partes.

Sit exempli gratia conus rectus .a.b.c. ſecandus vt dictum eſt, accipiatur latus
ipſius, quod ſit .a.c. ipſumque ipſumq́; diuidatur in puncto .d. ſecundum illam proportionem
quam deſideras, hoc eſt ipſius .a.c. ad .a.d. quo facto, inter totum .a.c. et .a.d. inuenian
tur duæ lineæ proportionales, quarum maior ſit .a.i. tunc ſi conus .a.b.c. ſectus fue-
rit à plano per punctum .i. parallelo baſi, habebimus quod quærebamus.

Cuius rei ratio, primò eſt, quia quotieſcunque conus aliquis ſectus fuerit ab ali-
quo plano parallelo baſi ipſius, pars ſuperior ſimilis ſemper erit totali cono, quod
ita probo, cogitemus conum ſectum eſſe
à plano per axem .a.l. vnde ex .3. primi
Pergei, talis ſectio triangularis erit, quæ
ſit .a.b.c. et .b.c. diameter erit baſis.

Imaginemur deinde .K.i. communem
eſſe ſectionem huiuſmodi trianguli cum
plano parallelo ipſi baſi, tunc tale planum planũ,
circulare erit ex .4. primi ipſius Pergei .K.
i. verò, eius diameter erit, et .a.m. ſuus ſuꝰ axis.

Cum verò .a.l. ſit perpendicularis ipſi
baſi conitotalis, eo quod rectus ſupponi-
tur, ideo eadem .a.m.l. erit perpendicula
ris eriam ipſi ſecundo plano circulari, ex
conuerſa .14. vndecimi Euclid. vnde ex IO. BAPT. BENED. ſecunda definitione eiuſdem libr .a.m.l. efficiet angulos rectos cum duabus .b.c. et .K.
i. in punctis .m. et .l. et .k.i. parallela erit ipſi .b.c. ex .28. primi, quod etiam poteſt con
cludi mediante .16. vndecimi, cum .k.i. et .b.c. ſint communes ſectiones duorum pla
norum cum triangulari. Deinde ex .29. primi anguli .a.i.m. et .a.c.l. erunt inuicem
æquales, idem etiam dico de angulis .a.k.i. et .a.b.c. anguli poſtea ad .a. communes
ſunt triangulis .l.a.c. et .m.a.i. vt triangulis .l.a.b. et .m.a.k . Vnde ex .4. ſexti, eadem
proportio erit ipſius .m.i. ad .l.c. & ipſius .m.k. ad .l.b. vt ipſius .a.m. ad .a.l . Quare ex
vndecima quinti, ita erit ipſius .m.k. ad .l.b. vt ipſius .m.i. ad .l.c. & ex .13. eiuſdem, ita
erit ipſius .k.i. ad .b.c. vt .m.i. ad .l.c. ſed ipſius .m.i. ad .l.c. eſt vt ipſius .a.m. ad .a.l. quod
iam dictum eſt, vnde ex .11. dicta, ita erit ipſius .k.i. ad .b.c. vt ipſius .a.m. ad .a.l. & ex
16. dicti ita erit ipſius .a.m. ad .k.i. vt ipſius .a.l. ad .b.c . Quare ex definitione ab Eu-
cli. poſita in .11, lib. pars coni ſuperior ſimilis erit cono totali.

Deinde ſciendum eſt illud quod Euclid. ſcribit in .10. duodecimi lib. hoc eſt, quod ꝙ
proportio duarum pyramidum inuicem
ſimilium, triplicata eſt ei diametrorum
ſuarum baſium, hoc eſt, quod proportio .
b.c. ad .k.i. tertia pars erit proportionis to
tius pyramidis .a.b.c. partiali pyramidi .a.
k.i. ſed ita eſt ipſius .a.c. ad .a.i. vt ipſius .b.
c. ad .k.i. ex .4. ſexti cum trianguli .a.b.c.
et .a.k.i. ſint æquianguli, quod ex ijs, quę
ſuperius diximus facile compręhenditur. Quare proportio ꝓportio .a.c. ad .a.i. tertia pars erit
proportionis totius coni .a.b.c. ad eius par
tem abſciſſam .a.k.i. ſed eadem proportio
ipſius .a.c. ad .a.i. erat etiam tertia pars pro
portionis ipſius .a.c. ad .a.d . Quare ex com
muni conceptu, proportio totius pyramidis, ad partem abſciſſam, æqualis erit pro-
portioni ipſius .a.c. ad .a.d .

6.33.2. De differentia caloris Solis propter vaporum [?]
altitudinem.
AD EVNDEM.

NOlo, mihi credas, ſed ex rationibus, quas tibi ſcribo conſidera, quod quo
tieſcunque tieſcunq; craſſities vel denſitas dẽſitas vaporum vaporũ, ſeu altitudo, maior eſſet ea, quę nunc re-
peritur, tunc minor differentia eſſet inter maiorem minoremque minoremq́; calorem Solis, quam
nunc ſentiamus. Pro cuius rei euidentia, imaginemur in hac ſubſcripta figura, li-
neam .o.a. pro ſemidiametro terræ, et .a.c. pro craſſitie vaporum, vt nunc ſe
habet, et .a.d. pro maiori craſſitie, imaginemurq́ue lineam .a.b. quaſi perpen-
dicularem ad .o.a. quæ abſciſſa ſit in puncto u. à circunferentia .c.u. inferiori prio-
rum vaporum.

Tunc dico minorem eſſe proportionem ipſius .a.b. ad .a.d. quam ipſius .a.u. ad .a.
c. cogitemus ergo protractas eſſe lineas .o.b : d.b : c.u. et .c.n. quæ .c.n. ſecabit .a.u. in EPISTOL AE. puncto .i. ex communi conceptu, &
parallcla erit ipſi .d.b. ex. ſecunda par-
te ſecundæ ſexti, vnde ex prima parte
ciuſdem, ita eritipſius .b.i. ad .i.a. vt .d.
c. ad .c.a. & coniunctim ita erit ipſius .b.
a. ad .a.i. vt ipſius .d.a. ad .a.c. & permu
tatim ipſius .a.b. ad .a.d. erit, vt .a.i.
ad .a.c. ſed cum .a.u. maior ſit ipſa .a.i.
vt omne totum maius eſt ſua parte. maior proportio erit ipſius .a.u. ad .a.
c. quam ipſius .a.i. ad .a.c. hoc eſt quam
ipſius .a.b. ad .a.d . Verum igitur eſt
propoſitum.

6.33.3. De differentia caloris Solis reſpectu altitudinis ipſius.
AD EVNDEM.

QVodà me poſtulas deinde, ita ſe habet. Inquis enim, quod cum differentia
inter maiorem, minoremque minoremq́; calorem, oriatur etiam ex differentia maioris
quantitatis vaporum ad minorem, per quam quantitatem vaporum rranſit lumen
Solis (vt alias etiam tibi dixi) velles nunc ſcire quantitatem ipſius differentię, quæ
inter duas Solis datas altitudines ſupra orizontem reperitur.

Quapropter imaginemur circulum .a.e. pro magno terræ, et .z.b.d. pro magno
vaporum, ſupponatur etiam quod angulus .z.o.d. vel .z.a.b. qui ſunt inuicem fe-
rè æquales, ſit angulus diſtantiæ Solis à zenit, z.a. verò ſit ſpiſſitudo vaporum, et .a.
b. radius tranſiens per vapores dictos. nunc
quæratur proportio, quæ eſt inter .a.b. et .a.
z. qua inuenta, angulo .z.a.b. mediante,
quæremus eandem mediante angulo .z.a.b.
maiore priori, velipſo minore, vnde cogno
ſcemus differentiam duarum .a.b. quæ qui-
dem inæquales inuicem erunt, eo quod ſup
ponatur .a.z. immutabilis, & hoc ita facie-
mus. Imaginabimur .o.b. quæ claudat trian
gulum .a.b.o. & quia .a.z. cognita eſt quam
Alhazem docetinuenire, cognoſcimus etiam etiã
o.a. vt ſemidiametrum terræ, vnde .o.b. et .
o.a. duo latera trianguli .a.o.b. cognita erunt erũt
ſimul cum angulo .o.a.b. reſiduo duorum re
ctorum, eo quod reliquus .z.a.b. datus eſt. Quare .a.b. cognita erit reſpectu .o.a. et .o.
b. et .a.z. quæ eſt eorum differentia. Nunc
ſi idem faciemus cum alia .a.b. ſub diuerſo
angulo, habebimus propoſitum.