CHRISTIANI HUGENII C F, hoc eſt, quam cubi S ad cubum C F. Sicut autem
R B ad B F, ita eſt cubus R B ad id quod fit ex quadra-
to R B in B F. Ergo major quoque ratio cubi R B ad qua-
dratum R B in B F, quam cubi S ad cubum C F. Qua-
drato autem R B in B F minus eſt rectangulum ſub R B,
B G, in F C; quod ſic oſtenditur. Quia enim proportiona-
les ſunt R C, C F, C G, Erit id quo major mediam exce-
dit, hoc eſt F G, major quam quo media minimam, hoc
eſt, quam F R. Major autem eſt F C quam F B. Ergo o-
mnino major erit ratio C F ad F R, quam B F ad F G. Et
per converſionem rationis, minor ratio F C ad C R, quam
F B ad B G. Et permutando minor F C ad F B, quam
C R ſeu R B ad B G: hoc eſt, (ſumptâ communi altitu-
dine B R) quam quadrati R B ad rectangulum R B G. Un-
de quod fit ex rectangulo R B G in F C minus erit quam
quod ex quadrato R B in F B, uti dictum fuit. Quum ita-
que major oſtenſa fuerit ratio cubi R B ad quadratum R B
in B F, quam cubi S ad cubum C F; omnino quoque major
erit ratio cubi R B ad ſolidum ſub rectangulo R B G in
F C, quam cubi S ad cubum C F. Et permutando major
ratio cubi R B ad cubum S, quam rectanguli R B G in
F C ad cubum C F; hoc eſt, quam rectanguli R B G ad
quadratum C F. Eſt autem quadrato C F æquale rectan-
gulum G C R, hoc eſt rectangulum ſub G C, R B, quia
proportionales ſunt C R, C F, C G. Itaque major erit ra-
tio cubi R B ad cubum S, quam rectanguli R B G ad re-
ctangulum ſub G C, R B, hoc eſt, quam B G ad G C. Sicut autem B G ad G C, ita R C ad E K. Quia enim
eſt C R ad C G, ut quadratum C R ad quadratum C F ſeu
quadratum C E: ut autem quadratum C R ad quadratum
C E, ita eſt P R ad P E diametrum: Erit idcirco C R ad
C G, ut P R ad P E. Unde dupla C R, hoc eſt, C B ad
C G, ut dupla P R ad P E, hoc eſt, ut P R ad P A. Et
dividendo, B G ad G C, ut R A ad A P, ſeu A E, hoc
eſt, ut R C ad E K, quod dicebamus. Itaque major quo-
que ratio cubi R B ad cubum S, hoc eſt, ratio triplicata DE CIRCULI MAGNIT. INVENTA. R B ad S, quam R C ad E K. Eſt autem S major oſtenſa
arcu E C. Ergo omnino major erit ratio triplicata R B ſeu
R C ad æqualem arcui E C, quam R C ad E K. Sicut au-
tem R C ad arcum E C, ita eſt perimeter polygoni B C D L,
hoc eſt, linea Z ad circumferentiam circuli B D; Et ſicut
R C ad E K, ita perimeter polygoni B C D L ad perime-
trum polygoni H K M N, hoc eſt, ita Z ad T. Ergo ma-
jor quoque triplicata ratio Z ad circumferentiam totam B D,
quam Z ad T. Ratio autem triplicata Z ad X eadem eſt
rationi Z ad T. Itaque major eſt ratio ipſius Z ad dictam
circumferentiam, quam Z ad X. Ac proinde circumferentia
minor quam recta X. Quod erat demonſtrandum.

Sciendum eſt autem ipſam X minorem eſſe duabus tertiis
Z & triente T: hoc eſt, duabus tertiis perimetri polygoni
inſcripti & triente circumſcripti, quibus alioqui minorem eſſe
circuli circumferentiam conſtat ex præcedentibus. Nam {2/3} Z
cum {1/3} T æquantur minori duarum mediarum ſecundum Ari-
thmeticam proportionem, quæ major eſt minore mediarum
ſecundum proportionem Geometricam.

Jam vero & de polygono Y demonſtrabimus, ipſum videlicet
circulo B D majus eſſe. Quia enim polygonum Y habet ad po-
lygonum ſimile H K M N rationem duplicatam ejus quam peri-
meter ad perimetrum: perimeter autem polygoni Y æquatur
rectæ V, & perim. H K M N ipſi T. habebit proinde polygon. Y
ad polyg. H K M N rationem duplicatam ejus quam V ad
T, hoc eſt, eam quam X ad T. Sicut autem polygonum
H K M N ad circulum B D, ita eſt perimeter ipſius poly-
goni, hoc eſt, linea T ad circuli B D circumferentiam; quo-
niam polygonum æquale eſt triangulo baſin habenti perime-
tro ſuæ æqualem & altitudinem radii A E, circulus autem
æqualis ejuſdem altitudinis triangulo cujus baſis circumferen-
tiæ æquetur. Ex æquali igitur, erit polygonum Y ad circu-
lum B D ſicut X ad circumferentiam B D. Eſt autem X
major oſtenſa quam B D circumferentia. Ergo & polygo-
num Y majus erit circulo B D. Quod erat demonſtran-
dum.