17. Theorema VIII.

IN ſemicirculo & quolibet circuli ſectore, habet
arcus ad duas tertias rectæ ſibi ſubtenſæ hanc ra-
tionem, quam ſemidiameter ad eam, quæ ex centro
ducitur ad ſectoris centrum gravitatis.

Eſto primùm ſemicirculus A B C, deſcriptus centro D,
ſectuſque bifariam rectâ B D, in qua centrum gravitatis
ſemicirculi ſit E . Dico arcum A B C eſſe ad duas tertias A C, ſicut B D ad D E. Jungantur enim A B, B C. Igi-
tur, ut ſemicirculus ad triangulum A B C, ſic ſunt duæ ter-
tiæ B D ad D E , eſt enim B D æqualis diametro portio- nis reliquæ. Verùm etiam ut ſemicirculus, id eſt, ut trian-
gulus habens baſin æqualem arcui A B C & altitudinem B D,
ad A B C triangulum, ita eſt arcus A B C ad A C re-
ctam; ergo ut arcus A B C ad A C, ita ſunt duæ tertiæ
B D ad D E, & permutando, ut arcus A B C ad duas tertias
B D, ita A C ad D E, ſive ita {2/3} A C ad {2/3} D E, unde rur-
ſus permutando, ut arcus A B C ad {2/3} A C, ita {2/3} B D ad {2/3}
D E, ſive ita, B D ad D E.

Sit deinde ſector D A B C, ſemicirculo minor, bifariam
ſectus rectâ D B, in qua ſectoris centrum gravitatis ponatur
E punctum, & ducatur ſubtenſa A C. Dico rurſus, arcum
A B C ad duas tertias rectæ A C eam habere rationem,
quam B D ad D E. Jungantur enim A B, B C, & totius
circuli ſit diameter K D B, quæ producatur in Q, ut fiat
Q F, ad B F, ſicut portio A C B ad A B C triangulum,
& jungantur A Q, Q C; erit jam triangulus A Q C portio-
ni A C B æqualis. Ponantur deinde centra gravitatis, G tri-
anguli A C D, & H portionis A C B; & ſicut D Q ad
Q F, ita ſit H D ad D R.

Quia igitur ſicut portio A C B ſive triangulus A Q C ad
triangulum A B C, id eſt, ut Q F ad B F, ita {2/3} K F ad
D H , erit rectangulum ſub Q F, D H, æquale duabus