HOROLOG. OSCILLATOR.
X V, X K, ipſam K T; hinc autem relinqui apparet V X
& X T: erunt igitur hæ duæ V X, X T ipſi M N æqua-
les, ac proinde ratio K L ad M N eadem quæ V X ad
duas ſimul V X, X T. Ut autem hæc ratio innoteſcat cum
intervallum K L eſt minimum; oportet ſecundum prædicta
inquirere quis ſit locus, ſive linea ad quam ſunt puncta
T, V. Quod ut fiat ſit latus rectum paraboloidis A B F = a; S K = x; K T = y.
71.1.
De linea-
RUM CUR-
VARUM
EVOLUTIO
-
NE
.
*
In Exemplari ſuo ad marginem ſcripſit Auctor. ſupponitur hic rectam L N
majorem eſſe quam K M, quod melius fuerat antea probari, etſi verum eſt.
Demonſtratio autem haud difficilis eſt, ſit abſciſſa S K = x; perpendicularis K B
= u; Tatus rectum paraboloidis = a. Quia S H = {1/2} SK, eſt H K = {3/2} S K
({3/2}x). Propter angulum rectum H B M, triangula rectangula H B K, K B M
ſimilia ſunt, & H K ({3/2}x), K B (u), K M, ſunt in continua proportione; ergo
K M = {2uu/3x}, cujus quadratum eſt {4u
4.
/9xx} = {4au
4.
/9axx}; ſed ut notavit auctor ex natu-
ra Paraboloidis A B F, u
3
= axx; ergo quadratum lineæ K M = {4au
4
/9axx} = {4au
4
/9u
3
} =
{4/9} a u unde ſequitur ipſam K M, augeri ſi creſcat B K (u). Cum autem L F exce-
dat B K, L N ſuperabit K M, quod demonſtrandum erat.
Quia igitur proportionales ſunt K H, K B, K M, eſt-
que H K = {1/2} x: K B ex natura paraboloidis æqualis R. cub. a x x: fiet K M, hoc eſt K T = {2/3} R. cub. a a x = y,
ac proinde {8/27} a a x = y
3
. Unde patet locum punctorum T,
V, eſſe paraboloidem illam, quam cubicam vocant geome-
træ. Cui proinde ad T tangens ducetur, ſumptâ S Y duplâ
ipſius S K, junctâque Y T. Et jam quidem ratio V X ad
duas ſimul V X, X T, quam diximus eandem eſſe ac K L
ad M N, erit ea quæ Y K ad utramque ſimul Y K, K T. Hæc autem ratio data eſt, ergo & ratio K L ad M N. Sed
& rationem O B ad P B datam eſſe oſtenſum eſt. Ergo,
cum ex duabus hiſce componatur ratio B D ad D M, ut ſu-
pra patuit, dabitur & hæc; & dividendo, ratio B M ad
M D; adeoque & punctum D in curva D E.
Ad conſtructionem autem breviſſimam hoc pacto hic per-
veniemus. K T ſive K M dicta fuit y. Itaque M H erit y
+ {3/2} x. Et M H ad H K, ſive O B ad B P, ut y + {3/2} x
ad {3/2} x. ſive, ſumptis omnium duplis, ut 2 y + 3 x ad 3 x. Deinde quia Y K = 3 x, erit Y K ad Y K + K T, ſi-
ve per prædicta, K L ad M N, ut 3 x ad 3 x + y. Atqui
ex rationibus O B ad B P, & K L ad M N, componi di-
ximus rationem B D ad D M. Ergo ratio B D ad D M erit
compoſita ex rationibus 2 y + 3 x ad 3 x, & 3 x ad 3 x
+ y; ideoque erit ea quæ 2 y + 3 x ad 3 x + y. & divi-
dendo, ratio B M ad M D, eadem quæ y ad 3 x + y.
Sit S Z perpendicularis ad S K, eique occurrat M B pro-
ducta in Z. Quia ergo ratio B M ad M D inventa eſt ea quæ
y ad y + 3 x, hoc eſt quæ M K ad M K + 3 K S. Sicut au-
